Περιεχόμενα 2 Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης j ω α j ω j ω

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόμενα 2 Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης j ω α j ω j ω"

Transcript

1 Περιεχόμενα 2 Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης 2. Ο μετασχηματισμός Laplace Εισαγωγή Θεμελιώδεις κανόνες μετασχηματισμού Laplace Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace Η συνάρτηση μεταφοράς Η χαρακτηριστική εξίσωση και η σημασία της θέσης ριζών στο πεδίο s για την απόκριση του συστήματος Πραγματικές αρνητικές ρίζες: s = α Φανταστικές ρίζες: s = ±jω Συζυγείς μιγαδικές ρίζες: s = α+jω Ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος: s =α ή s =α±jω Ευστάθεια συστήματος ρύθμισης Απεικόνιση μηδενικών θέσεων και πόλων στο πεδίο s Μορφές επιβαλόμενης διαταραχής Απόκριση συνάρτησης σε παλμική διαταραχή. Συνάρτηση βάρους Απόκριση συστήματος σε βαθμωτή διαταραχή. Συνάρτηση μετάβασης Συχνοτική απόκριση Συστήματα κλειστού βρόχου H συνάρτηση μεταφοράς συστήματος κλειστού βρόχου Κανόνες για το μετασχηματισμό των διαγραμμάτων βαθμίδων Αποκρίσεις συναρτήσεων μεταφοράς ης και 2ης τάξης Απόκριση συνάρτησης μεταφοράς ης τάξης Απόκριση συνάρτησης μεταφοράς 2ης τάξης Παραδείγματα σε Matlab Ασκήσεις κεφαλαίου Βιβλιογραφία Κεφαλαίου i

2 Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης 2 2. Ο μετασχηματισμός Laplace 2.. Εισαγωγή Η αναλυτική (μαθηματική) αντιμετώπιση των προβλημάτων, που αφορούν τη λειτουργία και τη δράση της αυτόματης ρύθμισης, απαιτεί την κατάστρωση και λύση των εξισώσεων που διέπουν τις διάφορες διεργασίες ενός συστήματος ρύθμισης. Στις περισσότερες περιπτώσεις οι εξισώσεις αυτές αφορούν σε μεταβατικές, ως προς χρόνο, καταστάσεις και είναι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Όταν οι εξισώσεις είναι ης και 2 ης τάξης η επίλυση τους είναι απλή. Τα περισσότερα όμως συστήματα ρύθμισης παρίστανται με εξισώσεις ή συστήματα εξισώσεων ανώτερης τάξης, η λύση των οποίων είναι δύσκολη με τις συνηθισμένες μεθόδους λύσης διαφορικών εξισώσεων. Για τη λύση των εξισώσεων αυτών χρησιμοποιείται ευρύτατα η μέθοδος του μετασχηματισμού Laplace (για μια ιστορική αναδρομή στην ανάπτυξη της μεθόδου ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει π.χ. στην εξής πηγή []). Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται μόνο σε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Πρέπει να υπενθυμίσουμε ότι γραμμικότητα εδώ σημαίνει ότι κάθε όρος της εξίσωσης περιέχει μια μόνο μεταβλητή, υψωμένη στην πρώτη δύναμη ή μια, ως προς τον χρόνο, παράγωγό της υψωμένη στην πρώτη δύναμη.

3 Ενότητα 2. 2 Για τη λύση ενός συστήματος, που απαρτίζεται από μια διαφορική εξίσωση και τις αρχικές συνθήκες, χρησιμοποιείται πολλές φορές η μέθοδος του «ολοκληρωτικού μετασχηματισμού». Την περιγραφή της μεθόδου αυτής δίνουμε ευθύς αμέσως. Θα θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(t), την οποία θα καλέσουμε «κύρια συνάρτηση». Η συνάρτηση αυτή μπορεί να μετασχηματιστεί σε άλλη, της μορφή F (s). Η μορφή της δεύτερης αυτής συνάρτησης εξαρτάται, προφανώς, τόσο από την πρώτη, όσο και από τον ειδικό τρόπο μετασχηματισμού. O ολοκληρωτικός μετασχηματισμός της συνάρτησης f(t) δίδεται από τη σχέση (2.). F (s) = L {f(t)} = + K(s, t)f(t)dt (2.) Είναι, δηλαδή, ο ολοκληρωτικός μετασχηματισμός της συνάρτησης f(t), το ολοκλήρωμα του γινομένου της συνάρτησης f(t) επί μια «ειδική συνάρτηση» K(s, t). Η ειδική αυτή συνάρτηση K(s, t) συνιστά τον ειδικό τρόπο μετασχηματισμού, τον οποίο αναφέραμε. Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή ως συνάρτηση πυρήνα (Kernel). Εξάλλου, η συνάρτηση F (s) είναι γνωστή ως συνάρτηση του αποτελέσματος, ή απλώς μετασχηματισμένη. Διάφορες μορφές της συνάρτησης πυρήνα K(s, t) οδηγούν σε ειδικούς μετασχηματισμούς, κάθε ένας από τους οποίους έχει τις δικές του ιδιότητες και επομένως είναι κατάλληλος για ορισμένα προβλήματα. Ο μετασχηματισμός ο οποίος ορίζεται από τη συνάρτηση-πυρήνα K(s, t) με τις ακόλουθες τιμές: 0 t 0 K(s, t) = e st x 0 ονομάζεται μετασχηματισμός Laplace και συμβολίζεται με L {f(t)}. Επομένως, για κάθε συνάρτηση f(t), για την οποία είναι δυνατές οι σχετικές ολοκληρώσεις, ο μετασχηματισμός Laplace δίδεται από την σχέση: L {f(t)} = 0 e st f(t)dt = F (s) (2.2) όπου δηλαδή η μετασχηματισμένη είναι συνάρτηση μίας «παραμέτρου» της s. Αναγκαίες συνθήκες υπάρξεως του ολοκληρώματος της (2.2) είναι:. Η τμηματική τουλάχιστον συνέχεια της f(t).

4 Ενότητα Για t η f(t) πρέπει να είναι «εκθετικής τάξης», όπου M και b είναι σταθερές: f(t) Me bt. 3. Για t < 0 η f(t) να είναι μηδέν. Υπό τη μορφή αυτή ο μετασχηματισμός έχει και την έννοια του τελεστή. Στη προκειμένη περίπτωση ο τελεστής είναι γραμμικός. Αυτό σημαίνει ότι αν οι κατά Laplace μετασχηματισμένες δύο συναρτήσεις f (t) και f 2 (t) είναι L {f (t)} και L {f 2 (t)} αντίστοιχα, τότε: L {Af (t) + Bf 2 (t)} = AL {f (t)} + BL {f 2 (t)} (2.3) όπου A και B είναι τυχαίες σταθερές. Στις συνηθισμένες περιπτώσεις, λοιπόν, χρήσης μετασχηματισμού Laplace, τιμές του t μικρότερες από τον μηδέν δεν έχουν φυσική έννοια. Για τιμές t < 0 δεχόμαστε ότι η συνάρτηση f(t) μηδενίζεται. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός συμβολίζεται με: f(t) = L {F (s)}, είναι μια συνάρτηση, της οποίας μετασχηματισμένη κατά Laplace είναι η F (s). Με το μετασχηματισμό Laplace επιτυγχάνεται η μετατροπή μια γραμμικής διαφορικής εξίσωσης σε αλγεβρική, από την οποία είναι εύκολος ο προσδιορισμός της μορφής της μετασχηματισμένης συνάρτησης F (s). Κατά τον τρόπο αυτό, η ανεξάρτητη μεταβλητή (μεταβλητή χρόνου) της διαφορικής εξίσωσης μετασχηματίζεται στη μιγαδική μεταβλητή s. Μια τέτοια μετατροπή επιτρέπει παράγωγοι και ολοκληρώματα να παρίστανται αλγεβρικά, επιτρέπει δηλαδή να χειριζόμαστε τη μετασχηματισμένη εξίσωση σαν μια συνηθισμένη αλγεβρική εξίσωση. Παράδειγμα 2... Θα θεωρήσουμε τη βαθμωτή συνάρτηση (σχήμα 2.): f(t) = για t > 0 της οποίας ζητάμε την κατά Laplace μετασχηματισμένη. Σύμφωνα με τον ορισμό έχουμε: L {} = 0 e st dt = s [e st ] 0 Παράδειγμα Θα θεωρήσουμε στη συνέχεια τη συνάρτηση f(t) = t (σχήμα = s 2.2). Η κατά Laplace μετασχηματισμένη της συνάρτησης αυτής είναι: L {t} = 0 te st dt = [ e st s 2 ( st )] 0 = s 2

5 Ενότητα 2. 4 Σχήμα 2.: Η συνάρτηση f(t) = για t > 0. f(t) 0 t Σχήμα 2.2: Η συνάρτηση f(t) = t για t > 0. f(t) t Παράδειγμα Θα θεωρήσουμε τέλος τη συνάρτηση f(t) = e nt. Η μετασχηματισμένη μορφή της τελευταίας αυτής συνάρτησης είναι: F (s) = 0 e nt e st dt = 0 e (n+s)t dt = n + s [e (n+s)t ] 0 = n + s (2.4) Στη πράξη, η εύρεση της μετασχηματισμένης μορφής δεν γίνεται με ολοκλήρωση, η οποία άλλωστε θα ήταν επίμονη, άλλα με τη βοήθεια πινάκων ή και λογισμικού. Περιορισμένος αριθμός μορφών της μετασχηματισμένης βασικών συναρτήσεων δίνεται στον πίνακα 2.. Στον πίνακα 2.2 εξάλλου παρίστανται γραφικά ορισμένες από τις βασικότερες συναρτήσεις που συναντώνται στη αυτόματη ρύθμιση (βλ. επίσης [2, 3]).:

6 Ενότητα 2. 5 Πίνακας 2.: Η κατά Laplace μετασχηματισμένη βασικών συναρτήσεων. Μετασχηματισμένη F (s) Συνάρτηση χρόνου f(t) δ(t) (μοναδιαία παλμική συνάρτηση) /s (μοναδιαία βαθμωτή συνάρτηση) /s 2 t n!/s n+ t n (n =, 2, 3,...) /(s + b) /(s + b) 2 e bt te bt n!/(s + b) n+ t n e bt (n =, 2, 3,...) s(s+b) s+a s(s+b) ( b e bt ) a b + ( a b )e bt, (s+a)(s+b) a b [e at e bt ]/(b a) s, (s+a)(s+b) a b [ae at be bt ]/(a b) s(s+b)(s+c) s+a s(s+b)(s+c) (s+a)(s+b)(s+c) s/(s + b) 2 [ + ce bt be ct ] bc (b c) a + a b bc b(b c) e bt + a c c(c b) e ct (b c)e at +(c a)e bt +(a b)e ct (a b)(b c)(c a) e bt ( bt) (s + a)/(s + b) 2 [(a b)t + ]e bt s(s+b) 2 ω/(s 2 + ω 2 ) s/(s 2 + ω 2 ) ω (s+b) 2 +ω 2 s+b (s+b) 2 +ω 2 ω 2 s(s 2 +ω 2 ) a b 2 + [( a b t a b 2 )]e bt sin ωt cos ωt e bt sin ωt e bt cos ωt cos ωt s+a s 2 +ω 2 ω (a2 + ω 2 ) /2 sin(ωt + ϕ), ϕ = tan ω a (s+b)(s 2 +ω 2 ) s+a s(s 2 +ω 2 ) e bt b 2 +ω 2 + ω b 2 +ω 2 sin(ωt ϕ), ϕ = tan ω a a (a2 +ω 2 ) /2 cos(ωt ϕ), ϕ = tan ω ω 2 ω 2 a

7 Ενότητα 2. 6 Πίνακας 2.: Συνέχεια. Μετασχηματισμένη F (s) Συνάρτηση χρόνου f(t) s+a (s+b) 2 +ω 2 ω [(a b)2 + ω 2 ] /2 e bt sin(ωt + ϕ), ϕ = tan ω a b n+jm + n jm (s+b+jω) (s+b jω) 2Ke bt sin(ωtϕ), K = n 2 + m 2, ϕ = tan n m ω 2 n s[(s+b) 2 +ω 2 0 ] ω 2 n s(s 2 +2ζω n s+ω 2 n) + + ω n ω 0 e bt sin(ω 0 t ϕ), ϕ = tan ω 0, b ω2 n = b 2 + ω 0 e ζωnt sin(ω ζ 2 n ζ2 t ϕ), ϕ = tan Σημείωση: Οι δυο τελευταίες μετατροπές είναι μορφές της ίδιας συνάρτησης. όπου: ω 0 = ω n ζ2, b = ζω n ζ 2 ζ, (ζ < ) s+a s[(s+b) 2 +ω 2 0 ] a + ωn 2 ω 0 ω n [(a b) 2 + ω0] 2 /2 e bt sin(ω 0 t + ϕ) ϕ = tan ω 0 a b tan ω 0, b ω2 n = b 2 + ω0 2 Πίνακας 2.2: Γραφική παράσταση βασικών συναρτήσεων. Συνάρτηση Μετασχηματισμένη Γραφική παράσταση f(t) F (s) f(t), t f(t) δ(t) t f(t) u(t) = s t f(t) t s 2 t f(t) t n n s n+ t

8 Ενότητα 2. 7 Πίνακας 2.2: Συνέχεια. Συνάρτηση Μετασχηματισμένη Γραφική παράσταση f(t) F (s) f(t), t f(t) e bt s+b t f(t) t n e bt n (s+b) n+ t f(t) sin ωt ω s 2 +ω 2 t f(t) cos ωt s s s 2 ω 2 t f(t) sinh ωt ω s 2 ω 2 t f(t) cosh ωt s s 2 ω 2 t f(t) e bt sin ωt ω (s+b) 2 +ω 2 t f(t) e bt cos ωt ω (s+b) 2 +ω 2 t

9 Ενότητα Θεμελιώδεις κανόνες μετασχηματισμού Laplace. Γραμμικότητα Αν η συνάρτηση f(t) απαρτίζεται από περισσότερους από έναν όρους: f(t) = f (t) + f 2 (t) f n (t) τότε για τον κατά Laplace μετασχηματισμό της συνάρτησης αυτής ισχύει, σύμφωνα με τη γραμμική ιδιότητα του τελεστή, η ακόλουθη αθροιστική μορφή: F (s) = F (s) + F 2 (s) F n (s) (2.5) όπου: F i (s) = L {f i (t)}, i =, 2,..., n Επίσης αν για δύο μετασχηματισμένες ισχύει: L {f (t)} = F (s) και L {f 2 (t)} = F 2 (s) τότε ισχύει και η ακόλουθη σχέση: L {c f (t) + c 2 f 2 (t)} = L {c f (t)} + L {c 2 f 2 (t)} (2.6) 2. Ομοιότητα Αν η κατά Laplace μετασχηματισμένη της f(t) είναι η F (s) L {f(t)} = F (s) = 0 e st f(t)dt από τα ολοκληρώματα Laplace προκύπτει: και L {f(at)} = ( ) s a F για a > 0 a { L β F ( t } β ) = F (βs) για b > 0 (2.7) (2.8)

10 Ενότητα Παραγώγιση Αν η συνάρτηση f(t) για t + δεν αυξάνει ταχύτερα από μια εκθετική συνάρτηση και αν επίσης η συνάρτηση f(t) είναι για όλες τις τιμές t > 0 παραγωγίσιμη και τείνει για t 0 από θετικές τιμές, προς μια τελική τιμή f(0 + ), τότε ισχύει η ακόλουθη σχέση: { } df(t) L = sl {f(t)} f(+0) = sf (s) f(+0) (2.9) dt για την παράγωγο n τάξης ισχύει η σχέση: L { f (n) (t) } = s n F (s) f(+0)s n f (+0)s n 2... f n (+0) (2.0) Η σχέση (2.0) ισχύει με την παραδοχή ότι οι πρώτες n παράγωγοι της f(t) υπάρχουν, ότι οι f, f,..., f n για τις τιμές του t + δεν αυξάνουν ταχύτερα από τις εκθετικές συναρτήσεις και ότι οι f, f,..., f n τείνουν προς τελικές τιμές καθώς t Κανόνας απόσβεσης Αν για μια συνάρτηση f(t) υπάρχει η μετασχηματισμένη κατά Laplace F (s), τότε η κατά Laplace μετασχηματισμένη της παράστασης e γt f(t), δίνεται από την ακόλουθη σχέση: L { e γt f(t) } = F (s + γ) (2.) 5. Κανόνες μετατόπισης Αν για τη συνάρτηση f(t) υπάρχει η εικονική συνάρτηση, μετασχηματισμένη κατά Laplace, F (s), τότε στη συνάρτηση f(t τ) αντιστοιχεί η εικονική συνάρτηση: L {f(t τ)} = e τs F (s) (2.2) με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση f(t τ) μηδενίζεται για όλες τις τιμές του t < τ.

11 Ενότητα Κανόνες συνέλιξης Αρχικά δίνεται ο ορισμός του ολοκληρώματος συνέλιξης: f (t) f 2 (t) = t 0 f (t) f 2 (t τ)dτ = t 0 f (t τ) f 2 (t)dτ (2.3) Ο κανόνας συνέλιξης αναφέρει ότι αν ένα από τα ολοκληρώματα Laplace L {f (t)} και L {f 2 (t)} συγκλίνει απόλυτα, τότε για όλες τις τιμές της μεταβλητής στην κοινή περιοχή σύγκλισης ισχύει η ακόλουθη σχέση: L {f (t) f 2 (t)} = F (s)f 2 (s) ή L {F (s)f 2 (t)} = t 0 f (t) f 2 (t τ)dτ (2.4) 7. Θεώρημα αρχικής τιμής Το θεώρημα της αρχικής τιμής δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού της αρχικής τιμής μιας συνάρτησης χρόνου απ ευθείας από τη μετασχηματισμένη μορφή, χωρίς να απαιτείται να γίνει πρώτα ο προηγούμενος αντίστροφος μετασχηματισμός. Το θεώρημα της αρχικής τιμής δίνεται από την ακόλουθη σχέση: lim L {f(t)} = lim F (s) (2.5) t +0 s + 8. Θεώρημα τελικής τιμής Το θεώρημα της τελικής τιμής δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού της τελικής τιμής μιας συνάρτησης χρόνου, χωρίς να απαιτείται να γίνει ο αντίστροφος μετασχηματισμός. Η μαθηματική έκφραση του θεωρήματος είναι η ακόλουθη: lim L {f(t)} = lim F (s) (2.6) t + s +0 Τα θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής ονομάζονται και θεωρήματα ορίου. Οι σχέσεις (2.5) και (2.6) έχουν ισχύ μόνο με τον ακόλουθο περιορισμό: η συνάρτηση sf (s) πρέπει να είναι αναλυτική στο δεξιό ημιεπίπεδο s, τιμές της μεταβλητής s με θετικό πραγματικό μέρος περιλαμβανομένης και της τιμής s = 0, ή με διαφορετική

12 Ενότητα 2. Πίνακας 2.3: Οι βασικές ιδιότητες του κατά Laplace μετασχηματισμού μιας συνάρτησης. f(t) f(t) Af (t) + Bf 2 (t) f (t) 0 L{f(t)} = F (s) f(t)dt AF (s) + BF 2 (s) sf (s) f(0) f (t) s 2 F (s) sf(0) f (0) f n (t) s n F (s) n k= s n k [f k (0)] t 0 f(r)dr s t 0 f (τ)f 2 (t τ)dτ F (s) F 2 (s) tf(t) t n f(t) F (s) ( ) n F (n) (s) f(t) t s F (x)dx e at f(t) F (s a) f(t b), t > b f( t ), a > 0 a a e bs F (s) F (as) διατύπωση, η συνάρτηση f(t) να καταλήγει σε μια τελική τιμή, π.χ. αν η συνάρτηση f(t) μεταβάλλεται ημιτονοειδής τα θεωρήματα 7 και 8 δεν ισχύουν. Στον πίνακα 2.3 δίνονται οι βασικές ιδιότητες του κατά Laplace μετασχηματισμού μιας συνάρτησης Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace Η σπουδαιότητα και σημασία του μετασχηματισμού Laplace για τη λύση μαθηματικών προβλημάτων με φυσική σημασία έγκειται στην απλότητα της λύσης και, κυρίως, στο ότι δεν απαιτείται βαθειά γνώση της μαθηματικής μεθόδου που χρησιμοποιούμε, ούτε ακόμη εμβάθυνση στην ακριβή έννοια μετασχηματισμού που χρησιμοποιούμε. Η γενική πορεία στη λύση των διαφορικών εξισώσεων με τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace περιλαμβάνει μετασχηματισμό όλων των όρων της διαφορικής εξίσωσης που πρόκειται να λύσουμε. Από το μετασχηματισμό αυτό θα προκύψει μια αλγεβρική εξίσωση που περιλαμβάνει τη μετασχηματισμένη F (s), καθώς και τη μεταβλητή s. Ακολουθεί η λύση της αλγεβρικής αυτής εξισώσεως ως

13 Ενότητα 2. 2 προς F (s) και η εύρεση της κυρίας συναρτήσεως f(t) με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού. Η πορεία αυτή μπορεί να δοθεί και με το ακόλουθο σχήμα: Πραγματικός χώρος Διαφορ. εξισ.+άρχ. συνθ. Λύση L - μετασχηματισμός - L - μετασχηματισμός Εικονικός χώρος Αλγεβρική εξίσωση Λύση Για την κατανόηση της έννοιας του αντίστροφου μετασχηματισμού θα θεωρήσουμε την παρακάτω απλή διαφορική εξίσωση, με αρχική συνθήκη x(0) = 0: dx dt = cos ωt (2.7) Με τη βοήθεια του πίνακα 2. η εξίσωση (2.7) μετασχηματίζεται στην αλγεβρική μορφή: sx(s) = s s 2 + ω 2 Λύνοντας την προηγούμενη σχέση ως προς X(s), υπολογίζουμε την X(s): X(s) = s 2 + ω 2 (2.8) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός για την εύρεση της κύριας συνάρτησης γίνεται πάλι με τη βοήθεια του πίνακα 2.. Στη μετασχηματισμένη s 2 +ω 2 κύρια συνάρτηση: x(t) = sin ωt ω αντιστοιχεί η Ανάλυση κλασματικής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων Στο παράδειγμα που αναφέραμε, η εύρεση της κύριας συνάρτησης από τη μετασχηματισμένη της ήταν εύκολη, λόγω της απλότητας της εξίσωσης (2.8). Συνήθως, όμως, η μετασχηματισμένη συνάρτηση συνίσταται από πολυώνυμα, από τα οποία

14 Ενότητα 2. 3 ο αντίστροφος μετασχηματισμός προκύπτει εύκολα μόνο όταν τα πολυώνυμα αυτά διαχωριστούν σε παραστάσεις, των οποίων ο μετασχηματισμός είναι γνωστός. Για παράδειγμα, θα θεωρήσουμε τη διαφορική εξίσωση: A d2 t dt + B dx + Cx = D sin ωt (2.9) 2 dt με αρχικές συνθήκες x(0) = 0 και x(0) = 0. Πρέπει να σημειωθεί ότι στα περισσότερα από τα προβλήματα ρύθμισης οι αρχικές τιμές της συνάρτησης x και της παραγώγου της είναι συνήθως μηδενικές. Από το μετασχηματισμό της (2.9) και με τις δοθείσες αρχικές συνθήκες λαμβάνουμε: As 2 X(s) + BsX(s) + CX(s) = Dω s 2 + ω 2 Dω ή X(s) = [As 2 + Bs + C][s 2 + ω 2 ] (2.20) (2.2) το δεξιό σκέλος της (2.20) είναι της γενικής μορφής: X (s) X 2. Όπως είναι γνωστό, ένα (s) κλάσμα της μορφής: X(s) = X (s) X 2 (s) = B 0s m + B s m B m (s s )(s s 2 ) (s s n ) όπου s, s 2,..., s n οι ρίζες του πολυώνυμου στον παρονομαστή, είναι εν γένει δυνατό να διαχωριστεί σε μερικά κλάσματα: X(s) = C + C C n + (B 0 ) (2.22) s s s s 2 s s n όπου C, C 2,..., C n σταθερές και B 0 ο συντελεστής του s m ο οποίος υπάρχει μόνο όταν n = m και είναι μηδέν όταν m < n. Για φυσικά συστήματα ισχύει πάντοτε m n. Η εύρεση των σταθερών C, C 2,..., C n είναι δυνατό να γίνει με τη βοήθεια ορισμένων μεθόδων, τεχνασμάτων όπως περιγράφεται στη συνέχεια. Μετά απ αυτό,

15 Ενότητα 2. 4 η εύρεση της κύριας συνάρτησης από τη μετασχηματισμένη είναι απλή: x(t) = C e s t + C 2 e s 2t C n e snt (2.23) Εύρεση των σταθερών των μερικών κλασμάτων Για τον υπολογισμό των σταθερών C, C 2,..., C n της εξίσωσης (2.22), εργαζόμαστε ως εξής: έστω ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε το C. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (2.22) με τον παράγοντα (s s ) επιτυγχάνουμε την ακόλουθη μετατροπή: C 2 (s s )(s) = C + [ + + C n ](s s ) (2.24) s s 2 s s n Η σχέση (2.24) ισχύει για όλες τις τιμές του s, επομένως και για s = s. Για την τιμή όμως s = s στο δεξιό σκέλος τής εξίσωσης (2.24) μηδενίζονται όλοι οι άλλοι όροι εκτός από τον όρο C. Προκύπτει δηλαδή: C = (s s )X(s) s=s Γενικεύοντας την ιδιότητα αυτή και εφαρμόζοντάς την για κάθε σταθερά C k, μπορούμε να διατυπώσουμε το συμπέρασμα ότι: C k = (s s k )X(s) (2.25) s=sk Πολλαπλές ρίζες Αν υπάρχει διπλή ρίζα, αν δηλαδή ένας από τούς παράγοντες του παρονομαστή είναι υψωμένος στο τετράγωνο, τότε η ανάλυση του κλάσματος γίνεται σύμφωνα με την ακόλουθη τεχνική: X(s) = X (s) (s s ) 2 (s s 2 ) (s s n ) = C, s s + C,2 (s s ) 2 + C 2 s s 2 + C n s s n (2.26) Ο συντελεστής C,2 προσδιορίζεται, όπως και προηγουμένως, με τη βοήθεια της σχέσεως: C,2 = (s s ) 2 X(s) s=s

16 Ενότητα 2. 5 Ο συντελεστής C,, όμως, δεν μπορεί να προσδιοριστεί με τον ίδιο τρόπο. Για τον προσδιορισμό του C, θα πρέπει να παραγωγίσουμε την παράσταση (s s ) 2 X(s) ως προς s και στη συνέχεια να επιτρέψουμε στο s να πάρει την τιμή s, οπότε όλοι οι άλλοι όροι του δεξιού μέρους της εξίσωσης, εκτός από τον C,, μηδενίζονται, ο δε C, προσδιορίζεται με τη βοήθεια της ακόλουθης σχέσης: C, = d ds (s s ) 2 X(s) s=s (2.27) Στην περίπτωση ρίζας r τάξης, η ανάλυση του κλάσματος ακολουθεί τεχνική, όπως περιγράφεται ευθύς αμέσως: X(s) = C, s s + C,2 (s s ) C,r (s s ) r + C 2 s s C n s s n οι σταθερές C,, C,2 C,r υπολογίζονται με την βοήθεια των εξισώσεων (2.28): C,r = (s s ) r X(s) s=s C,r = d! ds [(s s ) r X(s)] s=s d (r ) C, = (r )! ds [(s s ) r X(s)] (r ) s=s (2.28) Τέλος, οι σταθερές C,, C,2 C,r προσδιορίζονται, σύμφωνα με όσα προηγήθηκαν με την βοήθεια της εξίσωσης (2.25). Φανταστικές λύσεις Αν στον παρανομαστή της μετασχηματισμένης συνάρτησης υπάρχει ο παράγοντας s 2 + ω 2, πράγμα που υποδηλώνει τη ύπαρξη δύο φανταστικών ριζών s = ±jω, τότε οι σταθερές, που προσδιορίζονται με τη βοήθεια (2.25), θα είναι μιγαδικοί αριθμοί. Αυτό βέβαια δεν εμποδίζει τον προσδιορισμό της συνάρτησης χρόνου από τη μετασχηματισμένη. Αν όμως θέλουμε να αποφύγουμε πράξεις με μιγαδικούς

17 Ενότητα 2. 6 αριθμούς, τότε μπορούμε να αναλύσουμε τη συνάρτηση με τρόπο ώστε να εμφανίζεται ο όρος s 2 + ω 2, στην ακόλουθη μορφή: X(s) = K ω + K 2 s s 2 + ω 2 + C 2 s s 2 + (2.29) Στη συνεχεία, πολλαπλασιάζοντας επί s 2 + ω 2 και επιτρέποντας στο s να πάρει την s = jω: (s 2 + ω 2 )X(s) s=jω = K + K 2 jω (2.30) υπολογίζοντας τα K και K 2 από τις σχέσεις: K = ω Re[(s2 + ω 2 )X(s)] s=jω K 2 = ω Im[(s2 + ω 2 )X(s)] s=jω όπου Re είναι το πραγματικό μέρος και Im το φανταστικό μέρος της μιγαδικής παράστασης. Ο τρόπος αυτός αναλύεται διεξοδικά στο παράδειγμα Μιγαδικές ρίζες Μιγαδικές ρίζες εμφανίζονται πάντοτε ως ζεύγος συζυγών μιγαδικών αριθμών της μορφής s = α ± jω ως ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Όπως και στην περίπτωση των φανταστικών ριζών που οι σταθερές των μιγαδικών ριζών, που προσδιορίζονται με τη βοήθεια της εξίσωσης (2.25), θα είναι μιγαδικοί αριθμοί. Βασικά, αυτό δεν είναι εμπόδιο, μπορεί δε να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός και στη συνέχεια να γίνουν οι απαιτούμενες μετατροπές, για να φθάσουμε σε μια μορφή με πραγματικούς αριθμούς, όπως φαίνεται στο παράδειγμα Αν όμως θέλουμε να αποφύγουμε μιγαδικές τιμές των συντελεστών, μπορούμε να γράψουμε το κλάσμα υπό τη μορφή: A (s + α jω)(s + α + jω) = K ω + K 2 (s + α) (s + α 2 ) + ω 2

18 Ενότητα 2. 7 και να προσδιορίσουμε του συντελεστές K και K 2 όπως και στην περίπτωση των φανταστικών ριζών, υπολογίζοντας την παράσταση: [(s + α) 2 + ω 2 X(s) s+α=jω ] = K ω + K 2 jω (2.3) και εξισώνοντας τα πραγματικά και φανταστικά μέρη των δύο παραστάσεων, αντιστοίχως. Τα παραδείγματα που ακολουθούν, έχουν σκοπό να παρουσιάσουν τη λύση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace. Παράδειγμα Να λυθεί η παρακάτω διαφορική εξίσωση: 2 d2 x dt 2 6dx dt 20x = 4 με αρχικές συνθήκες: x(0) =, ẋ(0) =. Λύση: Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Laplace λαμβάνοντας: L {αριστερού σκέλους} = L {δεξιού σκέλους} 2[s 2 X(s) sx(0) ẋ(0)] 6[sX(s) x(0)] 20X(s) = 4 s και αντικαθιστώντας τις τιμές του x(0) και ẋ(0), παίρνουμε τη συνάρτηση της μετασχηματισμένης: X(s) = s2 4s + 2 s(s 2 3s 0) = s2 4s + 2 s(s 5)(s + 2) η οποία έχει τρεις πραγματικές ρίζες: s = 0, s = +5, s = 2. Έτσι, η παράσταση αυτή αναλύεται στην ακόλουθη μορφή: X(s) = s2 4s + 2 s(s 5)(s + 2) = C s + C 2 s 5 + C 3 s + 2

19 Ενότητα 2. 8 Οι σταθερές C, C 2 και C 3 υπολογίζονται με τη βοήθεια της (2.25): C = s2 4s + 2 = 2 (s 5)(s + 2) s=0 0 = 5 C 2 = s2 4s + 2 = 7 s(s 2) s=5 35 = 5 C 3 = s2 4s + 2 = 4 s(s 5) s= 2 4 = Δηλαδή: X(s) = /5 s + /5 (s 5) + s + 2 και επομένως η αντίστροφη συνάρτηση είναι: x(t) = e5t + e 2t Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση: d 3 x dt + x 3 3d2 dt + 3dx 2 dt + x = 4 4e 2t με αρχικές συνθήκες: x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 0. Λύση: L {αριστερού σκέλους} = L {δεξιού σκέλους} (s 2 + 3s 2 + 3s + )X(s) = 4 s 4 s X(s) = s(s + 2)(s + 3) 3 με ρίζες s = 0, s = 2 και τρεις ρίζες για s =. Η παράσταση X(s) αναλύεται στην ακόλουθη μορφή: X(s) = 8 s(s + 2)(s + ) 3 = C, s + + C,2 (s + ) 2 + C,3 (s + ) 3 + C 2 s + C 3 s + 2

20 Ενότητα 2. 9 Οι σταθερές C 2 και C 3 υπολογίζονται με την βοήθεια της (2.28): 8 C 2 = (s + 2)(s + ) 3 s=0 = 4 8 C 3 = s(s + ) 3 s= 2 = 4 Αντικαθιστώντας τις τιμές των σταθερών λαμβάνοντας: X(s) = s s + s (s + 3) s + 4 s + 2 (2.32) Η συνάρτηση χρόνου x(t) βρίσκονται με τη βοήθεια του πίνακα 2.. x(t) = 4 + 4e 2t 8e t 8 2 t2 e t = 4[ + e 2t e t (2 + t 2 )] Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση: d 3 x dt + x 3 3d2 dt + 3dx 2 dt + x = 4 4e 2t με αρχικές συνοριακές συνθήκες: x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 0. Λύση: L {αριστερού σκέλους} = L {δεξιού σκέλους} (s 3 + 3s 2 + 3s + )X(s) = 4 s 4 s X(s) = s(s + 2)(s + ) 3 με ρίζες s = 0, s = 2 και τρεις ρίζες για s =. Η παράσταση X(s) αναλύεται στην ακόλουθη μορφή: X(s) = 8 s(s + 2)(s + ) 3 = C, s + + C,2 (s + ) 2 + C, 3 (s + ) 3 + C 2 s + C 3 s + 2

21 Ενότητα Οι σταθερές C 2 και C 3 υπολογίζονται με την βοήθεια της (2.25) 8 C 2 = (s + 2)(s + ) 3 s=0 = 4 8 C 3 = s(s + ) 3 s= 2 = 4 Οι σταθερές C,, C,2 και C,3 υπολογίζονται με τη βοήθεια της (2.28): C,3 = 8 s(s + 2) s= = C,2 = d ds ( 8 s(s + 2) ) s= = 8 ( )( + 2) = 8 8(2s + 2) s 2 (s + 2) 2 s= = 0 C, = d 8(2s + 2) 2 ds s 2 (s + 2) 2 s= = 6 = 8 2 Αντικαθιστώντας τις τιμές των σταθερών λαμβάνουμε: X(s) = 8 s + 8 (s + ) s + 4 s + 2 Η συνάρτηση χρόνου x(t) βρίσκεται με τη βοήθεια του πίνακα 2.. x(t) = 4 + 4e 2t 8e t 8 2 t2 e t = 4[ + e 2t e t (2 + t 2 )] Παράδειγμα Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός της συνάρτησης: F (s) = A (s 2 + ω 2 )(s + s 2 ) Λύση: Η συνάρτηση έχει δυο μιγαδικές ρίζες s = ±jω και μια πραγματική s = s 2, μπορεί να λάβει τη μορφή: F (s) = A (s 2 + ω 2 ) = K ω + K 2 s + C 2 s 2 + ω 2 s + s 2 Οι σταθερές K και K 2 βρίσκονται από την εξίσωση (2.30): K ω + K 2 jω = A s + s 2 s=jω = A s 2 jω s 2 + jω s 2 jω

22 Ενότητα 2. 2 Και εξισώνοντας πραγματικό με πραγματικό και φανταστικό με φανταστικό μέρος, υπολογίζοντας τις σταθερές K και K 2 : K + K 2 j = K = As 2 ω(s ω 2 ) As 2 ω(s ω 2 ) A ω(s ω 2 ) j και K 2 = A s ω 2 Η σταθερά C 2 βρέθηκε από την εξίσωση (2.25): C 2 = A (s ω 2 ) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίδει τη συνάρτηση χρόνου: f(t) = K sin ωt + K 2 cos ωt + C 2 e s 2t Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί στη μορφή: f(t) = C 2 e s 2t + K sin(ωt + ϕ) (2.33) όπου: K = K 2 + K 2 2 και ϕ = tan K 2 K. και αντικαθιστώντας τις τιμές των σταθερών: f(t) = A/ω sin(ωt arctan ω ) + A s ω 2 s 2 s 2 + ω 2 e s 2t Παράδειγμα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: d 2 x dt 2 + 2dx dt + 2x = 2 με αρχικές συνθήκες: x(0) = ẋ(0) = 0. Λύση: s 2 X(s) + 2sX(s) + 2X(s) = 2 s 2 X(s) = s(s 2 + 2s + 2) = 2 s(s + + j)(s + j)

23 Ενότητα Η παράσταση αναλύεται σε μερικά κλάσματα ως εξής: X(s) = 2 s(s + + j)(s + j) = C C 2 s + + j s + j + C 3 s Οι σταθερές C, C 2, C 3 προσδιορίζονται από τη σχέση (2.25): 2 C 3 = s 2 + 2s + 2 s=0 = 2 C = s(s + j 2 + j s= j = 2 + 2j + j = + j 2 2 C 2 = s(s + + j 2 j s= +j = 2 2j j = j 2 Αντικαθιστώντας τις σταθερές στην παράσταση που δίνει την X(s): X(s) = s + j 2 s + + j + + j 2 s + j (2.34) Ο αντίστοιχος μετασχηματισμός δίνει τη συνάρτηση x(t) : x(t) = + j 2 e (+j)t + + j e ( j)t (2.35) 2 Η εξίσωση (2.35) με τη βοήθεια της ταυτότητας: e (a±jβ) = e αt (cos βt ± j sin βt) (2.36) μετατρέπεται σε: x(t) = e t (cos t + sin t) (2.37) και χρησιμοποιώντας τη σχέση: K sin ωt + K 2 cos ωt = K 2 + K 2 2 sin(ωt arctan K 2 K ) (2.38) μετατρέπουμε την x(t) στη μορφή: x(t) = 2e t sin(t + π 4 ) (2.39)

24 Ενότητα Αν θέλουμε να αποφύγουμε τις μιγαδικές σταθερές, η παράσταση X(s) μπορεί να αναλυθεί κατά την εξίσωση (2.3) σε: X(s) = 2 s(s 2 + 2s + 2) = 2 2[(s + ) 2 + ] = K + K 2 (s + ) + K 3 (s + ) 2 + s (2.40) Οι σταθερές υπολογίζονται από τις (2.25) και (2.3): K 3 = 2 s 2 + 2s + 2 s=0 = K + K 2 (s + ) s= j = 2 s s= j K + K 2 j = 2 j + j j = + j Δηλαδή: K =, K 2 =. Αντικαθιστώντας τις σταθερές στην (2.40) λαμβάνουμε: X(s) = s (s + ) 2 + s + (s + ) 2 + (2.4) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίδει: x(t) = e t sin t e t cos t (2.42) Η σχέση (2.42), με τη βοήθεια της (2.38), παίρνει τη μορφή της (2.39). Ο μετασχηματισμός της (2.34) μπορεί επίσης να γίνει απευθείας στη μορφή της (2.39) με τη χρήση του μετασχηματισμού του πίνακα 2.: { n + mj L s + b + jω + n mj } = 2 n s + b jω 2 + m 2 e bt sin(ωt + ϕ) ϕ = tan n m όπου: n = /2, m = /2, b = και ω =.

25 Ενότητα Η συνάρτηση μεταφοράς Όπως αναφέρεται και στο πρώτο κεφάλαιο η συνάρτηση μεταφοράς δίδει τη μαθηματική σχέση μεταξύ των σημάτων εξόδου και εισόδου ενός στοιχείου μεταφοράς. Σαν παράδειγμα θα θεωρήσουμε το γραμμικό στοιχείο του σχήματος 2.3 που μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές: Σχήμα 2.3: Γραμμικό στοιχείο. x i ( t ) x Γραμμικό Στοιχείο a ( t ) A 0 d n x a (t) dt n B 0 d m x i (t) dt m + B d n x a (t) + A + + A dt n n x a (t) = d m x i (t) + + B dt m m x i (t) (2.43) όπου: m n. Από την εξίσωση (2.43) μπορούμε να υπολογίσουμε το x a (t) αν πάρουμε την κατά Laplace μετασχηματισμένη: A 0 [s n X a (s) s s x a (+0)... x n a (+0)] A n X a (s) = B 0 [s m X i (s) s m x i (+0)... x m a (+0)] B m X i (s) Λύνοντας τη σχέση αυτή ως προς x a (s) προκύπτει: X a (s) = B 0s m B s m B m A 0 s n + A s n A n + [A 0s n A n ]x a (+0) A 0 x (n ) a (+0) A 0 s n + A s n A n [B 0s m B m ]x i (+0) B 0 x (m ) i (+0) A 0 s n + A s n A n (2.44)

26 Ενότητα ότι: Αν όλες οι αρχικές συνθήκες της διαφορικής εξίσωση είναι ίσες με μηδέν, ισχύει και x a (+0) = x a (+0) = = xa n (+0) = 0 x l (+0) = x i (+0) = = x m i (+0) = 0 Επομένως οι δύο τελευταίοι όροι της σχέσης (2.44) απαλείφονται και προκύπτει η ακόλουθη σχέση: X a (s) = B 0s m + B s m + + B m A 0 s n + A s n + + A n x i (s) (2.45) Η συνάρτηση: G(s) = x a(s) x i (s) = B 0s m + B s m + + B m A 0 s n + A s n + + A n (2.46) είναι γνωστή ως Συνάρτηση Μεταφοράς του δεδομένου γραμμικού συστήματος. Με άλλα λόγια, η συνάρτηση G(s) είναι το πηλίκο του κατά Laplace μετασχηματισμένου σήματος εξόδου προς το κατά Laplace μετασχηματισμένο σήμα εισόδου όταν οι αρχικές συνθήκες είναι ίσες με μηδέν. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ανεξάρτητη από τη συγκεκριμένη μορφή των σημάτων εξόδου και εισόδου x a (t) και x i (t). Τέλος, η συνάρτηση μεταφοράς G(s) ορίζεται (υπάρχει), μόνο, για γραμμικά συστήματα με σταθερές παραμέτρους. Η σπουδαιότερη ίσως ιδιότητα της συνάρτησης μεταφοράς είναι ότι περιγράφει απόλυτα τη δυναμική συμπεριφορά ενός γραμμικού συστήματος. Συγκεκριμένα όταν σ ένα σύστημα δρα ένα σήμα εισόδου τυχαίας μορφής και οι αρχικές συνθήκες του σήματος εισόδου και του σήματος εξόδου είναι ίσες με μηδέν, πράγμα το οποίο συμβαίνει όταν το σύστημα ξεκινάει από συνθήκες ισορροπίας, τότε η μετασχηματισμένη κατά Laplace του σήματος εξόδου προσδιορίζεται από τον πολλαπλασιασμό της μετασχηματισμένης κατά Laplace του σήματος εισόδου με τη συνάρτηση μεταφοράς G(s): X a (s) = G(s)X i (s) (2.47) Η εξίσωση (2.47) παρίσταται σχηματικά (διάγραμμα βαθμίδων):

27 Ενότητα X i (s) G(s) X a (s) Η απόκριση του συστήματος x a (t) στη δράση του σήματος εισόδου x i (t) προσδιορίζεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό της εξίσωσης (2.47). Για την περίπτωση που οι αρχικές συνθήκες του σήματος είναι x i (t) και του σήματος εξόδου x a (t) είναι διαφορετικές από το μηδέν ισχύει η ακόλουθη σχέση: x a (s) = G(s)x i (s) + [A 0s n A n ]x a (+0) A 0 x (n ) a (+0) A 0 s n + A s n A n [B 0s m B m ]x i (+0) B 0 x (m ) i (+0) A 0 s n + A s n A n (2.48) που προκύπτει από τη σχέση (2.44). Οι συντελεστές A i και B j προσδιορίζονται από τη G(s). 2.3 Η χαρακτηριστική εξίσωση και η σημασία της θέσης ριζών στο πεδίο s για την απόκριση του συστήματος Όπως είδαμε, η απόκριση ενός γραμμικού συστήματος, σε δεδομένη διαταραχή, είναι δυνατό να παρασταθεί από εξίσωση που έχει μορφή της σχέσης (2.22): X a (s) = X (s) X 2 (s) = C + C C n (2.49) s s s s 2 s s n όπου s, s 2,..., s n είναι οι ρίζες του παρονομαστή X 2 (s). Όπως όμως φαίνεται και από την εξίσωση (2.25), η γενική μορφή της απόκρισης εξαρτάται από τις ρίζες του παρονομαστή. Για τον λόγο αυτό η εξίσωση X 2 (s) = 0 ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση. Οι ρίζες του παρονομαστή X 2 (s) ονομάζονται πόλοι της συνάρτησης X a (s), ενώ οι ρίζες του αριθμητή X i (s) ονομάζονται μηδενικές θέσεις της συναρτήσεως X a (s).

28 Ενότητα Όπως αναπτύχθηκε παραπάνω η απόκριση του συστήματος μπορεί να παρασταθεί ως το γινόμενο της συνάρτησης μεταφοράς G(s) που παριστάνει τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος επί τη συνάρτηση της επιβαλλόμενης διαταραχής i (s) (εξίσωση (2.47)). Ο παρονομαστής της X a (s) ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση της απόκρισης, ενώ ο παρονομαστής της G(s) χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος. Η χαρακτηριστική εξίσωση της απόκρισης, δηλαδή, έχει όλες τις ρίζες της G(s) και επί πλέον τις ρίζες της X i (s). Στο παράδειγμα θα αναφέρουμε την περίπτωση που, η επιβαλλόμενη διαταραχή είναι βαθμωτή, ύφους βαθμίδας A. Είναι δηλαδή: x i (t) = A και X i (s) = A s Είναι φανερό ότι η χαρακτηριστική εξίσωση της απόκρισης έχει ρίζες τις ρίζες της G(s) και επί πλέον τη ρίζα s = 0 που είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της X i (s). Αν στο σύστημα επιβληθεί ημιτονοειδής διαταραχή, τότε x i (t) = sin ωt και X(s) = ω, στις ρίζες δηλαδή, της χαρακτηριστικής εξίσωσης του συστήματος s 2 +ω 2 προστίθενται οι ρίζες: s = ±j. Συνήθως εξετάζεται η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος, δηλαδή της συνάρτησης G(s), που προσδιορίζει, γενικώς, τη συμπεριφορά του συστήματος σε τυχαία διαταραχή και κυρίως την ευστάθεια του συστήματος όπως θα παρουσιαστεί στη συνέχεια. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης κατατάσσονται στις παρακάτω κατηγορίες Πραγματικές αρνητικές ρίζες: s = α Στην παράσταση X a (s) (εξίσωση (2.49)) θα εμφανισθεί όρος της μορφής C/(s+α), ο οποίος κατά τον μετασχηματισμό θα δώσει τον όρο Ce αt, δηλαδή φθίνοντα όρο εκθετικής μορφής. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του α τόσο γρηγορότερα ο εκθετικός αυτός όρος τείνει στο μηδέν. Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι η επίδραση του όρου Ce αt στην απόκριση του συστήματος εξαρτάται όχι μόνο από τη ρίζα α αλλά και από τη σταθερά C, που είναι συνάρτηση και των υπόλοιπων παραγόντων τόσο του παρονομαστή X 2 (s) όσο και του αριθμητή X i (s) όπως φαίνεται από την εξίσωση (2.25). Εξαρτάται δηλαδή από τη σχετική θέση όλων των μηδενικών θέσεων και των πόλων της X a (s), όπως θα δούμε αναλυτικότερα στα επόμενα.

29 Ενότητα Φανταστικές ρίζες: s = ±jω Στην παράσταση X a (s) υπάρχει ο όρος: C (s + jω) + C 2 s jω ή ο ισοδύναμος όρος: K ω + K 2 s s 2 + ω 2 που μετασχηματίζεται σε K sin(ωt + ϕ) (βλέπε παράδειγμα 2..7). Η τιμή των K και ϕ εξαρτάται, όπως και η τιμή του C στην περίπτωση πραγματικής ρίζας, από τη σχετική θέση όλων των ριζών του αριθμητή και του παρανομαστή της X a (s) Συζυγείς μιγαδικές ρίζες: s = α+jω Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, τόσο οι φανταστικές όσο και οι μιγαδικές ρίζες, δεδομένου ότι αποτελούν ρίζες δευτεροβάθμιων όρων, παρουσιάζονται πάντοτε ως ζεύγη συζυγών αριθμών. Αν υπάρχουν δύο ρίζες της μορφής s = α ± jω, τότε η X a (s) θα έχει τους όρους: n + mj s + α + jω + n mj s + α jω ή τον ταυτόσημο όρο: K + K 2 (s + α) (s + α) 2 + ω 2 Οι όροι αυτοί μετασχηματίζονται σε Ke αt sin(ωt + ϕ) (βλ. παράδειγμα 2..8). Αν η ρίζα έχει αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε ο όρος αυτός παριστάνει ταλάντωση με απόσβεση. Η ταλάντωση αποσβένεται τόσο ταχύτερα όσο μεγαλύτερο, κατ απόλυτη τιμή, είναι το πραγματικό μέρος της ρίζας. Το φανταστικό μέρος της ρίζας ορίζει τη συχνότητα της ταλάντωσης.

30 Ενότητα Ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος: s =α ή s =α±jω Αν η ρίζα έχει θετικό πραγματικό μέρος, τότε παρουσιάζεται ένας εκθετικός όρος (με παράγοντα e at ), πράγμα που σημαίνει ότι η απόκριση θα αυξάνει εκθετικά με το χρόνο και το σύστημα είναι ασταθές. Αν η ρίζα είναι πραγματική, τότε η απόκριση θα αυξάνει εκθετικά, ενώ αν η ρίζα είναι μιγαδική τότε θα προκύψει ταλάντωση, το εύρος της οποίας θα αυξάνει εκθετικά Ευστάθεια συστήματος ρύθμισης Από την ανάπτυξη που προηγήθηκε, προκύπτει το συμπέρασμα ότι για να είναι ένα σύστημα ευσταθές, πρέπει το πραγματικό μέρος όλων των ριζών της μετασχηματισμένης να είναι αρνητικό, ή, το πολύ, ίσο προς μηδέν. Αν δηλαδή παραστήσουμε γραφικά τις τιμές των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο, με τετμημένη,δηλαδή, το πραγματικό μέρος και τεταγμένη το φανταστικό μέρος, όπως εικονίζεται στο σχήμα 2.4, θα πρέπει, για να είναι το σύστημα ευσταθές, όλες οι ρίζες να βρίσκονται στο αριστερό τμήμα του πεδίου ή οριακά επάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών. Σχήμα 2.4: Ο χώρος ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης για ευσταθές σύστημα. Im Ευσταθές Ασταθές 0 Re Ειδικά για τη θέση s = 0, αν υπάρχει μία ρίζα, το σύστημα είναι ευσταθές, ενώ αν υπάρχει διπλή ρίζα, αν δηλαδή s 2 = 0, τότε το σύστημα είναι ασταθές γιατί η συνάρτηση είναι γραμμικώς αύξουσα συνάρτηση ως προς χρόνο, δεδομένου ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός του όρου α/s 2 είναι αt.

31 Ενότητα Ανακεφαλαιώνοντας μπορούμε να πούμε ότι:. Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) είναι μια κλασματική ρητή συνάρτηση του s. Η τάξη του αριθμητή m είναι μικρότερη ή ίση προς την τάξη του παρονομαστή n. 2. Η διαφορική εξίσωση του συστήματος μπορεί να προκόψει από τη συνάρτηση μεταφοράς αν αντικαταστήσουμε όπου s τον διαφορικό τελεστή D = d/dt. 3. Οι συντελεστές A 0,..., A n, B 0,..., B m είναι πραγματικοί επειδή και οι παράμετροι του γραμμικού συστήματος ρυθμίσεως είναι πραγματικοί. 4. Οι μη πραγματικές μηδενικές θέσεις και πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί. 5. Οι πόλοι της συναρτήσεως μεταφοράς είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης που αντιστοιχεί στη διαφορική εξίσωση του εξεταζόμενου συστήματος. 6. Από την πλευρά των συστημάτων αυτόματης ρύθμισης ενδιαφέρουν - μόνο - συστήματα με ευστάθεια δηλαδή συστήματα των οποίων οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονται αριστερά από τον φανταστικό άξονα του μιγαδικού συστήματος συντεταγμένων. Επομένως και οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς ενός ευσταθούς συστήματος ρυθμίσεως βρίσκονται όλοι χωρίς εξαίρεση στο αριστερό ημιεπίπεδο. 7. Ένα γραμμικό σύστημα και η δυναμική συμπεριφορά του μπορεί να χαρακτηρισθεί με τη βοήθεια της συνάρτησης μεταφοράς αυτού. 2.4 Απεικόνιση μηδενικών θέσεων και πόλων στο πεδίο s Όπως αναπτύξαμε προηγουμένως αν η απόκριση του συστήματος, στη μετασχηματισμένη της μορφή, γραφεί υπό τη μορφή παραγόντων, τότε είναι δυνατό να εξάγουμε γενικά συμπεράσματα για τη μορφή της απόκρισης, χωρίς να αναλύσουμε ούτε να μετατρέψουμε την X a (s). Έστω, λοιπόν ότι: X a (s) = K(s z )(s z 2 )... (s z m ) (s s )(s s 2 )... (s s n ) (2.50)

32 Ενότητα Όπου z, z 2,..., z m είναι οι ρίζες του αριθμητή (μηδενικές θέσεις της συνάρτησης X a (s)) και s, s 2,..., s n είναι οι ρίζες του παρανομαστή (πόλοι της X a (s)). Από το είδος των ριζών του παρανομαστή είναι δυνατό ευθύς εξαρχής να διαπιστώνουμε:. αν το σύστημα είναι ευσταθές ή ασταθές. Για να είναι το σύστημα ευσταθές, θα πρέπει όλοι οι πόλοι να έχουν αρνητικό ή μηδενικό πραγματικό μέρος. 2. πόσοι και ποίοι όροι θα υπάρχουν στην x a (t), χωρίς να είναι δυνατό εκ πρώτης όψεως να συμπεράνουμε για τη μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, δεδομένου ότι αυτή εξαρτάται όχι μόνο από τους συντελεστές κάθε όρου. Οι συντελεστές αυτοί υπάρχει τρόπος να βρεθούν από την απεικόνιση μηδενικών θέσεων - πόλων όπως θα εκτεθεί στη συνέχεια. 3. την τελική τιμή της συνάρτησης (εφόσον, βεβαία, είναι ευσταθής) χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των μετασχηματισμών**: lim t + x(t) = lim sx(s) (2.5) s 0 Αν υπάρχει ένας πόλος στο s = 0, τότε η παράσταση x a (t) t= θα ισούται προς K(z z 2 z m )/(s s 2 s n ). Αν δεν υπάρχει πόλος στο s = 0, τότε η παράσταση x(t) t= θα είναι μηδέν. Αν υπάρχουν περισσότεροι του ενός πόλοι στο s = 0, τότε η παράσταση x(t) t= τείνει στο άπειρο. Σε ό,τι αφορά στον υπολογισμό των συντελεστών C K της εξίσωσης (2.25), πρέπει να αναφέρουμε ότι οι συντελεστές αυτοί μπορούν να υπολογιστούν, αν απεικονίσουμε τις μιγαδικές θέσεις και τους πόλους της X a (s). Όπως φαίνεται από την εξίσωση (2.25), οι συντελεστές υπολογίζονται με τη βοήθεια της εξίσωσης: C = (s s )X(s) s=s = (s s ) K(s z )(s z 2 )... (s z m ) (s s )(s s 2 )... (s s n ) s=s = K(s z )(s z 2 )... (s z m ) (s s )(s s 2 )... (s s n ) Η διαφορά s z παριστά διάνυσμα με αρχή το σημείο z και τέλος το σημείο s. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να παραστήσουμε όλους τους παράγοντες. Αν, δηλαδή, απεικονίσουμε όλες τις μηδενικές θέσεις και όλους τους πόλους της συνάρτησης ** Πρέπει να σημειωθεί ότι η σχέση (2.5) ισχύει μόνο εφόσον δεν υπάρχουν πόλοι της X a (s) (τιμές δηλαδή του s, για τις οποίες X(s) = ) στην περιοχή από s = 0 ως s = ισχύει δηλαδή μόνο για ευσταθή συστήματα.

33 Ενότητα X a (s), τότε ο συντελεστής C K κάθε μερικού κλάσματος C/(s s) προκύπτει ως γινόμενο των ανυσματικών αποστάσεων όλων των μηδενικών θέσεων από τον πόλο στο s = s K διαιρεμένο με τις ανυσματικές αποστάσεις όλων των άλλων πόλων από τον πόλο στο s = s K. C K = K [ ] Πz (2.52) Πs s=s K Από τη δομή της σχέσης (2.52) δεν έχει ιδιαίτερη σημασία, όταν θέλουμε να εξακριβώσουμε τη σχετική επίδραση που ασκεί ο κάθε πόλος στην ολική απόκριση του συστήματος, με δεδομένο ότι είναι κοινός παράγοντας όλων των όρων. Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση: X(s) = 3(s + 2) s(s + 3)(s + 5) (2.53) Η συνάρτηση αυτή έχει μια μηδενική θέση: s = 2 και τρεις πόλους: s = 0, s = 3 και s = 5, η γραφική παράσταση των οποίων εικονίζεται στο σχήμα 2.5, όπου η μεν μηδενική θέση συμβολίζεται με O, οι δε πόλοι με X. Οποιοσδήποτε σταθερός συντελεστής της παράστασης μπορεί, βεβαίως, να σημειωθεί στο σχήμα, αλλά όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, δεν επηρεάζει τη σχετική «ισχύ» κάθε όρου (πόλου), αφού είναι κοινός παράγοντας όλων των όρων. Ο συντελεστής δηλαδή καθορίζει απλώς την κλίμακα, στην οποία πρέπει να αναχθούμε, για να βρούμε την πραγματική τιμή του x(t), όχι όμως και τη μορφή της x(t). Από τη μορφή της συνάρτησης (2.53) συνάγεται ότι η αντιμετασχηματισμένη της θα έχει τη μορφή: x(t) = C + C 2 e 3t + C 3 e 5t Σχήμα 2.5: Απεικόνιση των μηδενικών θέσεων των πόλων της (2.53). Im Im Im Re Re 3 Re (i) (ii) (iii) Ο σταθερός όρος C (συντελεστής του όρου l/s) είναι το πηλίκο της απόστασης της μηδενικής θέσης s = 2 από τον πόλο s = 0 προς την απόσταση των πόλων

34 Ενότητα s = 3, s = 5 από τον πόλο στο s = 0 (βλ. 2.6i), δηλαδή: ( ) 2 C = 3 = Κατά τον ίδιο τρόπο, ο συντελεστής C 2 (συντελεστής του όρου l/(s+3)) υπολογίζεται από ανάλογη παράσταση (βλ. 2.6ii): C 2 = 3 ( ) = ( 3)(2) 2 Και ο συντελεστής C 3 από την παράσταση (βλ. 2.6iii): ( ) 3 C 3 = 3 ( 2)( 5) = 9 0 Μολονότι δεν συντρέχει κανένας λόγος να καταφύγουμε στον γραφικό τρόπο υπολογισμού των επακριβών τιμών των σταθερών C K, εφόσον είναι δυνατό να υπολογισθούν ευκολότερα, αριθμητικά, με τη βοήθεια της εξίσωσης (2.25), ωστόσο μπορούμε να συνάγουμε συμπεράσματα για τη σχετική ισχύ κάθε όρου μόνο από την απεικόνιση μηδενικών θέσεων-πόλων. Η ισχύς ενός πόλου, ο συντελεστής, δηλαδή, του όρου που δίνει ο συγκεκριμένος πόλος, ελαττώνεται όσο αυτός απομακρύνεται από τους άλλους πόλους ή όσο πλησιάζει προς μία μηδενική θέση. Αυτό φαίνεται εύκολα από την εξίσωση (2.52), όπου ο σταθερός συντελεστής C K ισούται με το γινόμενο των αποστάσεων των μηδενικών θέσεων από τον πόλο στο s K διαιρούμενο με το γινόμενο των αποστάσεων των άλλων πόλων από τον πόλο στο s K, μπορεί δηλαδή να γίνει αμελητέος όταν μικραίνει ο αριθμητής της εξίσωσης (2.52) ή όταν μεγαλώνει ο παρονομαστής. Όταν ένας όρος έχει πολύ μικρότερο σταθερό συντελεστή από όλους τους άλλους, τότε μπορεί να παραλειφθεί, με την εξής όμως παρατήρηση: επειδή οι πόλοι κοντά στο μηδέν αντιστοιχούν σε όρους που φθίνουν πολύ αργά με τον χρόνο, οι όροι αυτοί δεν μπορούν να παραλειφθούν, έστω και αν ο αντίστοιχος συντελεστής έχει μικρή τιμή. Για παράδειγμα, ο όρος 0, 0e 0.t για t = 5 γίνεται περίπου ίσος προς e t, ενώ γίνεται πολύ μεγαλύτερος από τον e t για t = 20. Για τον λόγο αυτό, μόνο πόλοι που βρίσκονται προς τα αριστερά, μακριά από τους υπόλοιπους πόλους, μπορούν να παραλειφθούν. Στο σχήμα (2.7i) φαίνεται η περίπτωση πόλου κοντά σε μηδενική θέση. Η συνάρτηση είναι:

35 Ενότητα Σχήμα 2.7: Η επίδραση της σχετικής διάταξης μηδενικών θέσεων και πόλων επί της ισχύς των πόλων. Μικρή η ισχύς του πόλου στο s = 2 (2.7i) (πόλος κοντά σε μηδενική θέση) και του πόλου s = 5 (2.7ii) (πόλος απομακρυσμένος προς τα αριστερά). (i) 2 Im (ii) 2 Im Re Re 2 2 X(s) = C s + C 2 s C 3 (s + ) 2 + ή x(t) = C + C 2 e 2t + C 3 e 2t sin(t + ϕ) Επειδή ο πόλος s = 2 είναι πολύ κοντά στη μηδενική θέση s = l.8 η σταθερά C 2 θα είναι πολύ μικρή και γι αυτό το λόγο ο όρος C 2 e 2t μπορεί να παραλειφθεί. Η συνάρτηση, δηλαδή, θα είναι περίπου ισοδύναμη με την: x(t) = C +C 3 e 2t sin(t+ϕ). Ας θεωρήσουμε τώρα τη συνάρτηση του σχήματος (2.7ii): X(s) = K(s + ) s(s + 2)(s + 5) (s + 2) Η επίδραση του πόλου s = 5 είναι μικρή. Δεν ισχύει το ίδιο και για τον πόλο s = 0 της συνάρτησης: X(s) = K s(s + 5)[(s + 4) 2 + ] Ο πόλος s = 0, αν και είναι απομακρυσμένος από τους άλλους 3 πόλους s = 5, s = 4 + j και s = 4 j, δεν μπορεί να παραλειφθεί και αυτό διότι, για t η x(t) λαμβάνει την τιμή του όρου, που αντιστοιχεί στον πόλο s = 0 : C s=0. Τις παρατηρήσεις που προηγήθηκαν μπορούμε να συνοψίσουμε ως εξής: αʹ) Πόλος κοντά σε μηδενική θέση απαλείφεται και βʹ) Πόλος απομακρυσμένος προς τα αριστερά από την περιοχή των υπολοίπων πόλων έχει μικρή ισχύ και μπορεί να παραλειφθεί.

36 Ενότητα Είναι φανερό ότι για να παραλειφθεί ένας προς τα αριστερά απομακρυσμένος πόλος, θα πρέπει ο αριθμός των πόλων να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των μηδενικών θέσεων ώστε ο αριθμητής της εξίσωσης (2.52) να είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Παράδειγμα Η μετασχηματισμένη της αποκρίσεως ενός συστήματος δίδεται από τη σχέση: X(s) = as + s(s + ) Να μελετηθεί η επίδραση της τιμής του α στη μορφή που θα έχει η x(t). (2.54) Λύση: Η συνάρτηση X(s) γράφεται στη μορφή: X(s) = α(s + /α) s(s + ) (2.55) Δηλαδή έχει δύο πόλους στις θέσεις s = 0 και s = και μια μηδενική θέση για s = /α, την οποία μεταβάλλουμε από για α = 0 μέχρι 0 για α =. Η αντί-μετασχηματισμένη της (2.55) είναι η: x(t) = C + C 2 e t Όπου οι συντελεστές C και C 2, υπολογίζονται με τη βοήθεια της (2.25), είναι: C =, C 2 = α( + /α) = α Η αρχική τιμή της x(t) για t = 0 είναι: x(0) = + (α ) = α και η τελική τιμή για t = είναι: x( ) =. Στον πίνακα 2.4 φαίνεται η επίδραση της τιμής του α στη μορφή της απόκρισης.

37 Ενότητα Πίνακας 2.4: Επίδραση της μηδενικής θέσης στη μορφή της απόκρισης της συνάρτησης X(s) = α((s+)/α) s(s+). Im x(t) Τελική τιμή 2 Re α 0 t Im x(t) 2 Re α t Im x(t) 2 Re α ( ) t Im x(t) 2 Re α (+) t

38 Ενότητα Πίνακας 2.4: Συνέχεια. Im x(t) 2 Re α (+) t Im x(t) 2 2 Re α = 2 t Im x(t) 2 Re α t

39 Ενότητα Μορφές επιβαλόμενης διαταραχής Μπορούμε να μελετήσουμε τη δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος, αν επιβάλουμε μια διαταραχή στην είσοδο και καταγράφουμε τς αντίστοιχες μεταβολές που προκαλούνται στην έξοδο. Από τη σχέση που υπάρχει μεταξύ των σημάτων εισόδου και εξόδου μπορούμε με αναλυτικές μεθόδους να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος και τη δυναμική συμπεριφορά του σε κάθε μορφή διαταραχής όπως θα δειχθεί παρακάτω. Κατά τη μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος επιβάλλουμε διαταραχές ορισμένης μορφής, έτσι ώστε η είσοδος να έχει μια συγκεκριμένη μαθηματική έκφραση. Οι μορφές διαταραχής που χρησιμοποιούνται συνηθέστερα στη μελέτη των συστημάτων είναι η βαθμωτή (step), η γραμμική (ramp), η παλμική (impulse) και η ημιτονοειδής (sinusoid) διαταραχή. Κάθε μια από τις μορφές αυτές διαταραχής θα εξετασθούν χωριστά ακολούθως. α) Βαθμωτή διαταραχή Ένα σύστημα υφίσταται βαθμωτή διαταραχή, όταν η είσοδος μεταβληθεί ξαφνικά από μια τιμή ισορροπίας, την οποία έχει, σε μια νέα τιμή, στην οποία και παραμένει σταθερή. Η γραφική παράσταση μιας βαθμωτής συνάρτησης εικονίζεται στο σχήμα 2.8. Σχήμα 2.8: Βαθμωτή συνάρτηση. f(t) (i) F(t) = f(t) f(0) (ii) α α 0 t 0 t

40 Ενότητα Η αλγεβρική έκφραση της βαθμωτής συνάρτησης είναι: F (t < 0) = 0 F (t > 0) = α (2.56) όπου f(t) είναι η τιμή της συνάρτησης σε χρόνο t μετά την επιβολή της διαταραχής και F (t) η διαφορά f(t) f(0). Η σταθερά α είναι γνωστή και ως «βαθμίδα» ή «βήμα». Όταν α = η συνάρτηση ονομάζεται και μοναδιαία βαθμωτή συνάρτηση. Από τη σχέση (2.56) προκύπτει ότι για την τιμή t = 0, η συνάρτηση δεν είναι καθορισμένη. Αν χρειαστεί να καθοριστεί η τιμή στη θέση t = 0, για να εφαρμοστούν οι οριακές συνθήκες, δεχόμαστε: F (0 ) = 0 F (0 + ) = α όπου ο συμβολισμός ( ) υποδηλώνει ότι το μηδέν προσεγγίζεται από αρνητικές τιμές του t, ο δε συμβολισμός ( + ) ότι το μηδέν προσεγγίζεται από θετικές τιμές του t. Η κατά Laplace μετασχηματισμένη της βηματικής συνάρτησης είναι α/s (βλέπε πίνακα 2.). Η απόκριση ενός συστήματος σε μοναδιαία βαθμωτή διαταραχή λέγεται και συνάρτηση μετάβασης του συστήματος. β) Γραμμική διαταραχή Η είσοδος του συστήματος έχει στην περίπτωση αυτή τη μορφή: f(t) = f(0) + αt t 0 ή F (t) = αt Η γραφική παράσταση της συνάρτησης εικονίζεται στο σχήμα 2.9 Η κατά Laplace μετασχηματισμένη της γραμμικής συνάρτησης είναι α/s 2.

41 Ενότητα Σχήμα 2.9: Γραμμική συνάρτηση. (i) (ii) f(t) F(t) Κλίση α a Κλίση α 0 t 0 t γ) Παλμική διαταραχή-συνάρτηση δ(t) Συγκεκριμένα τη βαθμωτή με τη γραμμική συνάρτηση παρατηρούμε ότι η γραμμική είναι το χρονικό ολοκλήρωμα της πρώτης: αt = t 0 αdt Οι μετασχηματισμένες των δύο συναρτήσεων διαφέρουν κατά τον παράγοντα, I/s όπως άλλωστε αναμένεται και από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace. ( t ) L f(r)dr = 0 s {f(t)} δηλαδή: L(αt) = α/s 2, Lα = a/s. Βλέπουμε δηλαδή ότι ο «υποβιβασμός» της συνάρτησης οδηγεί σε απλούστευση της κατά Laplace μετασχηματισμένης. Είναι εύλογο ήδη να αναζητήσουμε τη συνάρτηση εκείνη, για την οποία η κατά Laplace μετασχηματισμένη θα «απαλλαγεί» από τον παράγοντα /s, θα γίνει δηλαδή ίση με τη σταθερά α. Σύμφωνα με τα παραπάνω η συνάρτηση αυτή θα πρέπει να είναι η παράγωγος της βαθμωτής συνάρτησης. Για κάθε τιμή τού t, διάφορη από το μηδέν, η παράγωγος της βαθμωτής συνάρτησης, όπως αυτή έχει ορισθεί με την εξίσωση (2.56), είναι μηδέν. Σε χρόνο t = 0 η παράγωγος γίνεται άπειρη. Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή ως παλμική συνάρτηση και για α = λέγεται συνάρτηση δέλτα και συμβολίζεται με δ(t). H γραφική παράσταση της συνάρτησης δ(t) εικονίζεται στο 2.0 Ας εξετάσουμε τη φυσική έννοια της συνάρτησης δ(t). Έστω ότι θέλουμε να προσθέσουμε σε μια δεξαμενή μια ορισμένη ποσότητα υγρού π.χ. lit. Η προσθήκη μπορεί να γίνει με διάφορους συνδυασμούς του ρυθμού ροής και του χρόνου, όπως

42 Ενότητα Σχήμα 2.0: Παλμική συνάρτηση. (i) Παλμός σε χρόνο t = 0 (ii) Παλμός σε χρόνο t = t 0 δ(t) δ(t t ) 0 0 t 0 t 0 t φαίνεται στο σχήμα 2.. Όσο μικρότερος γίνεται ο χρόνος, κατά τον οποίο η δεξαμενή εφοδιάζεται με την πρόσθετη ποσότητα, τόσο ο ρυθμός ροής αυξάνεται, έτσι ώστε το εμβαδόν (γινόμενο της παροχής επί τον χρόνο) να παραμένει σταθερό. Σχήμα 2.: Η συνάρτηση δ(t t 0 ) ως όριο. δ(t-t 0 ) t t(min) Όταν ο ρυθμός ροής είναι lit/min, θα απαιτηθεί, προφανώς, χρόνος min. Η ίδια ποσότητα μπορεί να προστεθεί με ρυθμό ροής 2lit/min σε χρόνο 0, 5min ή με 4lit/min σε χρόνο 0, 25min κ.ο.κ. Ο όγκος που προστίθεται, παραμένει πάντα σταθερός και ίσος με lit. Αν ο χρόνος, κατά τον οποίο προστίθεται το υγρό, ελαττωθεί τόσο, ώστε να τείνει στο μηδέν, τότε ο ρυθμός ροής θα τείνει στο άπειρο αλλά ο όγκος του προστιθέμενου υγρού θα είναι πάντα lit.

43 Ενότητα Γενικά η συνάρτηση δέλτα εκφράζει μαθηματικά ορισμένα φυσικά φαινόμενα που έχουν μικρή διάρκεια και συγχρόνως μεγάλη ένταση «δράσης» όπως π.χ. μια μηχανική κρούση ή η εκφόρτωση ενός πυκνωτή με βραχυκύκλωση. Η συνάρτηση δέλτα εκφράζεται μαθηματικά από τις συνθήκες: δ(t) = 0, t 0 + δ(t) =, t = 0 δ(t)dt = (2.57) (2.58) Μια συνάρτηση που είναι μηδέν πάντα εκτός από ένα συγκεκριμένο σημείο δεν είναι δυνατό να έχει ολοκλήρωμα διάφορο του μηδενός δηλαδή η σχέση (2.58) δεν έχει νόημα. Γι αυτό η μαθηματική ανάλυση της δέλτα συνάρτησης γίνεται με τη θεωρία των κατανομών στην οποία δεν θα αναφερθούμε εδώ. Για τη δέλτα συνάρτηση ισχύει η σχέση: + 0 f(t)δ(t t 0 )dt = f(t 0 ) (2.59) Η σχέση αυτή αποδεικνύεται εύκολα αν ληφθεί υπόψη ότι η συνάρτηση δ(t t0) είναι μηδέν σε κάθε άλλη θέση εκτός από τη θέση t = t 0. Επομένως το ολοκλήρωμα μπορεί να γραφεί: + 0 f(t)δ(t t 0 )dt = t0 +ϵ t 0 ϵ f(t)δ(t t 0 )dt Αλλά στη θέση t = t 0 η f(t) έχει μια συγκεκριμένη σταθερή τιμή και μπορεί να βγει έξω από το ολοκλήρωμα. Είναι δηλαδή : + 0 f(t)δ(t t 0 )dt = f(t 0 ) δ(t t 0 )dt = f(t 0 ) Όπου f(t 0 ) η τιμή που παίρνει η f(t) στη θέση t = t 0. Για να ισχύει η σχέση (2.59) απαιτείται μόνο η συνάρτηση f(t) να είναι συνεχής στη θέση t = t 0.

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/16 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #20 Πόλοι και μηδενικά Διάγραμμα πόλων και μηδενικών Ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Laplace Αμφίπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transfer function) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου. ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC . Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα RC Το κύκλωμα του Σχήματος είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά με μια αντίσταση και έναν

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας

Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας 1. Εισαγωγή Στο προηγούμενο μάθημα - εισήγηση αναλύθηκε ποιοτικά η λειτουργία του βρόχου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Διδακτικές Σημειώσεις Τμήματος Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τομέας Αρχιτεκτονικής Υπολογιστικών και Βιομηχανικών εφαρμογών Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος email:

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Εργαστηριακές Ασκήσεις με χρήση του λογισμικού Matlab Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΚΟΠΟΣ: Ο βασικός σκοπός της άσκησης αυτής είναι η μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση Αρμονική Ταλάντωση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Δ8- Η αρμονική διέγερση αποτελεί θεμελιώδη μορφή διέγερσης στη Δυναμική των Κατασκευών λόγω της μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) 1 Πόλος στην αρχή των αξόνων: 2 Πόλος στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα: 3 Πόλος στον θετικό πραγματικό ημιάξονα: 4 Συζυγείς πόλοι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Θεωρία και Εφαρμογές. Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος,

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Θεωρία και Εφαρμογές. Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος, Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Θεωρία και Εφαρμογές Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος, (svol@teicm.gr) 9 Νοεμβρίου 204 Περιεχόμενα Βασικές έννοιες. Σήματα και συστήματα.........................2 Σήματα συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα