έκκεντρον Μαθηματικό Ηλεκτρονικό Περιοδικό Τεύχος 1 ο 1 η Μαΐου 2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Transcript

1 έκκεντρον Μαθηματικό Ηλεκτρονικό Περιοδικό Τεύχος ο η Μαΐου 07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Επίλυση εξισώσεων με αξιοποίηση «εργαλείων» της ανάλυσης. Μέθοδοι - λυμένα παραδείγματα. σελ 0-7. Οι εξισώσεις στις Πανελλαδικές εξετάσεις σελ 8-4. Ερατοσθένης: Η μέτρηση της ακτίνας της Γης, της Σελήνης και του Ήλιου σελ 4-5 Εισαγωγικό σημείωμα ου τεύχους Το ηλεκτρονικό μαθηματικό περιοδικό «έκκεντρον» είναι μια νέα προσπάθεια που σκοπεύει, μέσω της αξιοποίησης των δυνατοτήτων και πλεονεκτημάτων της ηλεκτρονικής τυπογραφίας, στη συστηματική και οργανωμένη παρουσίαση θεματικών εργασιών, με περιεχόμενο από την ιστορία των επιστημών ή από τα μαθηματικά στο πλαίσιο της σχολικής ύλης και με έμφαση στην ύλη του Γενικού Λυκείου. Επιδιώκουμε τη δημιουργία ενός βήματος έκφρασης για μαθητές/τριες ή μαθηματικούς αλλά και για όλους/ες όσους/ες επιθυμούν να καταθέσουν μια εργασία τους, μια τεκμηριωμένη άποψη, έναν προβληματισμό. Στο πλαίσιο αυτό είναι ευπρόσδεκτη η συμμετοχή όσων επιθυμούν να συμβάλλουν στην προσπάθεια αυτή. Οι στήλες του περιοδικού είναι ανοικτές σε κάθε μαθητή/τρια, μαθηματικό ή «ερασιτέχνη» των μαθηματικών. Εργασίες ή άρθρα που αποστέλλονται για δημοσίευση θα πρέπει να είναι είτε πρωτότυπα είτε να αναφέρονται οι πηγές τους, να είναι γραμμένα σε word και οι μαθηματικές εξισώσεις σε mathtyp. Επίλυση εξισώσεων με αξιοποίηση «εργαλείων» της ανάλυσης. Μέθοδοι - λυμένα παραδείγματα. Η μαθηματική ανάλυση μας προσφέρει ένα πλήθος από «εργαλεία» όπως η μονοτονία, τα κοίλα, η ιδιότητα -, τα ακρότατα, τα θεωρήματα ύπαρξης Bolzano, Roll, Μέσης τιμής, το θεώρημα Frmat, κλπ. Η αξιοποίηση των παραπάνω σε συνδυασμό με τις προϋπάρχουσες γνώσεις επίλυσης εξισώσεων τις ιδιότητες της άλγεβρας και τις αρχές της μαθηματικής λογικής, μας δίνει έξυπνες ιδέες και ευέλικτες διαδικασίες στην αντιμετώπιση εξισώσεων που διαφορετικά θα ήταν από πολύ δύσκολο έως αδύνατον να αντιμετωπιστούν. Στην εργασία που ακολουθεί ι αναλύονται μέσα από ένα πλήθος λυμένων παραδειγμάτων, οι βασικές μορφές και οι «τεχνικές» επίλυσης εξισώσεων στο πλαίσιο της σχολικής ύλης των μαθηματικών.. Στις σελίδες του περιοδικού «έκκεντρον» δημοσιεύονται ολοκληρωμένες θεματικές εργασίες με περιεχόμενο σχετικό με τα μαθηματικά στο πλαίσιο της σχολικής ύλης και με έμφαση στην ύλη του Γενικού Λυκείου. Ερωτήματα, προτάσεις, παρατηρήσεις, ή εργασίες για δημοσίευση γραμμένες σε word, μπορούν να αποστέλλονται στο mail επικοινωνίας papagrigorakism@gmail.com Επιμέλεια έκδοσης : Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός M.Ed. Χανιά

2 έκκεντρον - τεύχος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΓΕΛ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (ΟΧΙ συναρτησιακών εξισώσεων με ζητούμενο τον τύπο συνάρτησης) ΕΚΔΟΣΗ η 0/05/07 ) Επίλυση με αλγεβρικές μεθόδους. Αξιοποιούμε τις γνώσεις μας σχετικά με την επίλυση πολυωνυμικών, ρητών, άρρητων, τριγωνομετρικών, εκθετικών, λογαριθμικών κλπ εξισώσεων ( ) ( ( )) F: ) Μορφή: F f F g f g Μετά από κατάλληλους αλγεβρικούς μετασχηματισμούς και εφόσον τα δύο μέλη της εξίσωσης έχουν «την ίδια μορφή» θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση F, εκφράζουμε τα δύο μέλη ως σύνθεση συναρτήσεων αξιοποιώντας την F και στη συνέχεια λύνουμε την ισοδύναμη εξίσωση f g. Η συνάρτηση F είτε δίνεται είτε προκύπτει «εμπειρικά» από την μορφή των δύο μελών. ) Μορφή: ( ) F F Έχουμε μεταφέρει όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, θεωρούμε συνάρτηση F, στη συνέχεια αξιοποιούμε τη γνώση ότι: Η F είναι συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της (εφαρμόζεται και σε ένωση διαστημάτων εφόσον η F είναι σε κάθε διάστημα) Η F παρουσιάζει μοναδικό τοπικό ακρότατο στη θέση Το είναι το μοναδικό κοινό σημείο επαφής εφαπτομένης σε κοίλη ή κυρτή συνάρτησης (αναγνωρίζεται από τη μορφή F F F Το είναι η μοναδική θέση ισότητας σε γνωστή ανισοïσότητα (π.χ. ln t t, t 0 με την ισότητα μόνο για t,, R με το ίσον μόνο για 0 ) 4) Μορφή: F k( ) F m( ) F p( ) F q( ) Όπου F γνησίως μονότονη συνάρτηση. Εντοπίζουμε Ρίζα(ες) και αποδεικνύουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες, διακρίνοντας περιπτώσεις για το και συγκρίνοντας μεταξύ τους τις παραστάσεις k( ), m( ) με τις p( ), q( ). Μορφή: F k( ) F m( ) F Όπου F είναι συνάρτηση και είναι θέση μοναδικού ακροτάτου. Τότε με αξιοποίηση των ιδιοτήτων της διάταξης προκύπτει ότι k και m κλπ 5) Μορφή: f f Κοινά σημεία αντίστροφων συναρτήσεων, ένας τρόπος να εργαστούμε είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f f f f F f F f Μορφή: Αν έχουμε «πληροφορίες» για την f τότε f f 6) Εντοπίζουμε πιθανή-ές ρίζα-ες και με άτοπο αποδεικνύουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες. Εδώ μπορούμε να αξιοποιήσουμε γνωστά θεωρήματα όπως: το θ. Roll το Θ.M.T. κλπ. Αν δίνεται ανισοïσότητα προσοχή στο θ. Frmat g 7) Στην περίπτωση που έχουμε εξίσωση με ολοκληρώματα f t dt 0 και εφόσον δεν εφαρμοστεί κάποιες από τις προηγούμενες περιπτώσεις, θεωρούμε ότι F είναι μια αρχική της f τότε g f t dt 0 F g F προηγούμενα βήματα ( ) ( ) 0 και στη συνέχεια ακολουθούμε τα Μ Παπαγρηγοράκης / Χανιά / Μάιος 07 Σελίδα

3 έκκεντρον - τεύχος Επίλυση με αλγεβρικές μεθόδους. Αξιοποιούμε τις ιδιότητες της άλγεβρας καθώς και γνώσεις μας σχετικά με την επίλυση πολυωνυμικών, ρητών, άρρητων, τριγωνομετρικών, εκθετικών, λογαριθμικών κλπ εξισώσεων ΑΣΚΗΣΗ. Να λυθεί η εξίσωση Ισοδύναμα έχουμε ότι ln ln 4 για κάθε R. ln ln 4 ln ln ln 4 ln ln ΑΣΚΗΣΗ. Αν f ln, R τότε να λύσετε την εξίσωση f ln f f Για κάθε R έχουμε ότι f f f f ( ) f ( ) f ln f f f ΑΣΚΗΣΗ. f ( ) f 0 ln 0 Να λυθεί η εξίσωση για κάθε. 0 Ισοδύναμα έχουμε ότι ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 Σελίδα

4 έκκεντρον - τεύχος ΣΥΝΘΕΣΗ ( ) ( ( )) F: Μορφή: F f F g f g Μετά από κατάλληλους αλγεβρικούς μετασχηματισμούς και εφόσον τα δύο μέλη της εξίσωσης έχουν «την ίδια μορφή» θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση F (που είναι -), εκφράζουμε τα δύο μέλη ως σύνθεση συναρτήσεων αξιοποιώντας την F και στη συνέχεια λύνουμε την ισοδύναμη εξίσωση f g. Η συνάρτηση F είτε δίνεται είτε προκύπτει «εμπειρικά» από την μορφή των δύο μελών. Μορφή: ( ) F F Έχουμε μεταφέρει όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, θεωρούμε συνάρτηση F, στη συνέχεια αξιοποιούμε τη γνώση ότι: Η F είναι συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της (εφαρμόζεται και σε ένωση διαστημάτων εφόσον η F είναι σε κάθε διάστημα) Η F παρουσιάζει μοναδικό τοπικό ακρότατο στη θέση Το είναι το μοναδικό κοινό σημείο επαφής εφαπτομένης σε κοίλη ή κυρτή συνάρτησης (αναγνωρίζεται από τη μορφή F F F Το είναι η μοναδική θέση ισότητας σε γνωστή ανισοïσότητα (π.χ. ln t t, t 0 με ΑΣΚΗΣΗ 4. την ισότητα μόνο για t,, R με την ισότητα μόνο για 0 ) Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι στο R. Β) Nα λύσετε την εξίσωση Γ) Να λύσετε την εξίσωση f ln ( ) ln 5 Δ) Να λυθεί ως προς η εξίσωση α α α α για κάθε και α E) Να λυθεί η εξίσωση f f Α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f Επειδή f 0 για κάθε,, αύξουσα στο R 0 και f είναι συνεχής στο R, η f είναι γνησίως Σελίδα 4

5 έκκεντρον - τεύχος Β) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: ln ( ) ( ) ( ) f f ( ) Στη γνωστή ανισότητα lnt t, t 0 με την ισότητα να ισχύει για t θέτουμε t 0 και θα έχουμε ότι με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν 0. Συνεπώς λύση της εξίσωσης είναι η 0 Γ) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: f f f ln 5 ln ln f ln( ) f ln( ) ln Δ) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: α α α α α α α α α α α α α f f α α α (4) Έστω η συνάρτηση α f α με f α α α α α α α Είναι f και f 0 0 Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο παρουσιάζει μοναδικό ελάχιστο στο μηδέν το f 0 0,0 Άρα μοναδική ρίζα της εξίσωσης (4) είναι το μηδέν. E) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται, γνησίως αύξουσα στο 0, και Σελίδα 5

6 έκκεντρον - τεύχος f f f f f f f f f f f f 0 0 ΑΣΚΗΣΗ 5. Δίνεται η συνάρτηση f, R. Να λύσετε την εξίσωση ( )( ) ( )( ) f f Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f Επειδή ισχύει ότι θα είναι 0 οπότε και f 0 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Για κάθε R η εξίσωση γίνεται: ( )( ) ( )( ) f f ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f 0 0 ΑΣΚΗΣΗ 6. Αν 5 f R, να λυθεί η εξίσωση f 5 f 6 Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα επειδή έχει και η εξίσωση γίνεται: f 6 5 ( ) 5 5 f f f f f f f f f f Σελίδα 6

7 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ 7. Έστω η συνάρτηση l n f, 0. Να αποδείξετε ότι η f είναι Β) Να λυθεί το σύστημα εξισώσεων 5 y 5 y 4 4 στο R Γ) Να λυθεί η εξίσωση συν ημ συν ημ αν Δ) Nα λυθεί η εξίσωση αν 0, π 0, l n A) Η συνάρτηση f, 0 είναι παραγωγίσιμη στο f l n 0, με Από την ανισότητα lnt t, t 0 για t ln l n 0 t παίρνουμε Συνεπώς f 0 άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα και - Β) Για 0 ή y 0 το σύστημα είναι αδύνατο. Για 0 και y 0 θα έχουμε ότι: Τότε η () γίνεται y ln ln y y y l n ln y y l n ln y y y y f f y y y ή y ln ln 5 ln 4ln 5 (4) H συνάρτηση g ln( ), 0 είναι γνησίως αύξουσα επειδή g ln( ) 0 (4) g g 4 4 ή Οπότε Σελίδα 7

8 έκκεντρον - τεύχος Άρα λύσεις του συστήματος είναι τα ζεύγη: και y ή και y Γ) Για κάθε π 0, έχουμε ημ συν ln ημ ln συν συν ημ συν ημ ημ συν ln ημ ημ ln συν ln ημ ln συν π f ημ f συν ημ συν ημ συν Δ) Για κάθε 0, ΑΣΚΗΣΗ 8. έχουμε ότι Έστω η συνάρτηση f : 0, f στο 0, ln ln ln ln ln ln ln ln f f Α) Να αποδείξετε τη μονοτονία F R με f ( ) ln για κάθε 0, B) Nα λύσετε την εξίσωση F( ) F F 4 F Γ) Να λύσετε την εξίσωση f στο, Α) Για κάθε 0, έχουμε ότι και F μια αρχική της ln με F f F f και F f 0 Συνεπώς η F είναι γνησίως αύξουσα και μηδενίζεται στο και θα είναι 0 και F F F Συνεπώς η F είναι γνησίως φθίνουσα στο ελάχιστο στο το F. F 0 F F 0, και γνησίως αύξουσα στο, και παρουσιάζει Σελίδα 8

9 έκκεντρον - τεύχος Άρα είναι F 0 που σημαίνει ότι η F είναι γνησίως αύξουσα στο 0, B) Για κάθε R ισχύει ότι 0 και 0 Θεωρούμε τη συνάρτηση για την οποία στο 0, ισχύει ότι F F Η με 0 F F αφού στο διάστημα Η 0 0, η F είναι γνησίως αύξουσα οπότε για F F F F 0 Συνεπώς η Η είναι γνησίως αύξουσα άρα Για την εξίσωση έχουμε ότι F( ) F F 4 F Η Η ή Γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση Φ f γνησίως φθίνουσα στο 0, η οποία είναι και γνησίως αύξουσα στο, (Η συνάρτηση Φ προκύπτει από παράλληλη μετατόπιση της f προς τον ) Για τη λύση της εξίσωσης έχουμε ότι: Αν, τότε f f f Φ Φ που είναι δεκτή Άρα μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η. ΑΣΚΗΣΗ 9. Έστω ότι η συνάρτηση f : R R για είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R ισχύει ότι f 0 κάθε R, f R R και τα σημεία A(,) και B(6,5) βρίσκονται στη γραφική παράσταση της Α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη Β. α) Να λυθεί η εξίσωση 5 και η ανίσωση 5 β) Να λύσετε την εξίσωση f f f f 5 ln + =6 Σελίδα 9

10 έκκεντρον - τεύχος Α) Η f ως συνάρτηση συνεχής σε διάστημα που δεν μηδενίζεται θα διατηρεί πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι η f είναι γνησίως μονότονη. Θα αποδείξουμε τη μονοτονία της f. Υποθέτουμε ότι δεν είναι γνησίως αύξουσα. Επειδή είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα. Τότε για οποιαδήποτε, R έχουμε ότι Για, 6 f f θα έχουμε ότι: f f που είναι άτοπο. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, επομένως αντιστρέψιμη. Β)α) 5 Ισοδύναμα έχουμε ότι 5 () Θεωρούμε τη συνάρτηση γίνεται () 5 f, R η οποία είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η εξίσωση f f και η ανίσωση 5 5 f f () β) Ισοδύναμα έχουμε ότι: f f f 5 ln f + =6 5 ln + =f 6 f f f f f f f 5 ln f + =6 f f 5 ln f + = f f f 5 ln f + =f f 5 ln f += f 5 ln f f 5 ln f ln () H () επαληθεύεται για 5 f 5 f Για f 5 ln f ln 0 Σελίδα 0

11 έκκεντρον - τεύχος 5 f 5 f f 5 ln f ln 0 Επομένως μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η ΑΣΚΗΣΗ 0. Έστω η συνάρτηση f : R R f α α, α με Α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο 0, Β. Να λύσετε τo σύστημα y 4 7. y 4 7 : A. H συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, με f Για κάθε 0, και α είναι α ln α α ln α α α α ln α α ln α α ln α α ln α 0 f 0 ln α ln α 0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, B. Από τις εξισώσεις του συστήματος έχουμε ότι y y y y y y y y g, R Θεωρούμε τη συνάρτηση ln ln 0 g, R και θα έχουμε ότι:.που είναι γνησίως αύξουσα επειδή y y * g g y y y y y * Η εξίσωση 4 7 δεν έχει ρίζα αρνητική αφού τότε το πρώτο μέλος της γίνεται αρνητικό και το δεύτερο θετικό. Επομένως η όποια λύση ανήκει στο διάστημα 0,. Τότε όμως 4 7 αύξουσα. f f, όπου η συνάρτηση 4 Επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση την, y,. f είναι γνησίως Σελίδα

12 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ln, 0 ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα Α) Να λυθεί η εξίσωση ln στο 0, Β) Να λύσετε την εξίσωση στο, f f Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f 0. 0 και f Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη στο 0, Α) Η εξίσωση στο 0, γίνεται: ln ln ln ln f f Β) Η εξίσωση για, ισοδύναμα γίνεται: f f ln ln ln ln f f ln ln ΑΣΚΗΣΗ Α. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f, R Β. Να λύσετε την ανίσωση: 4 4 A. Για κάθε R έχουμε Σελίδα

13 έκκεντρον - τεύχος f 0, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Β Για κάθε R είναι h h 0, ΑΣΚΗΣΗ. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R για τη οποία ισχύει η ισότητα κάθε R. Να αποδείξετε ότι 0 0 f, f f dt για 0 t 0, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και να λύσετε την εξίσωση f f f f t dt 0 Για 0 έχουμε 0 f 0 t dt 0. Έστω F παράγουσα της στο R με τότε F 0 οπότε η F είναι γνησίως αύξουσα στο R, και θα έχουμε ότι 0 f 0 t dt 0 F f (0) F 0 0 F f (0) F 0 f (0) 0 Επίσης είναι f dt f όπου έχουμε f 0 0 t f άρα f γνησίως αύξουσα στο R Για 0 έχουμε f 0 f 0 f 0 H δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: f f f f t dt 0 F f f F f f 0 ( ) ( ) F f f F f f f f f f f f ή ( ) ( ) 0 Σελίδα

14 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ 4. Έστω η συνάρτηση f, R. Να λυθεί η εξίσωση f f για R Α) Ισοδύναμα παίρνουμε ότι: f f f f ln f ln f ln Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) f ( ) ln ln που είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ) επειδή είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο h 0. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την h h ( ) ( ) 0 0 Επομένως μοναδική ρίζα της εξίσωσης είναι το μηδέν ΑΣΚΗΣΗ 5. Έστω η συνάρτηση f : R R με f ( ) για κάθε R Α) Να αποδείξετε τη μονοτονία και τα κοίλα της f B) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια συνάρτηση. Γ) Nα λύσετε την εξίσωση f ( ) f f f f Δ) Να λύσετε την εξίσωση Α) Για κάθε R Ισχύει ότι f 0 η f είναι παραγωγίσιμη με f και για κάθε R f και 0 f 0 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, είναι κυρτή στο διάστημα 0, και κοίλη στο,0 Β) Για κάθε R ισχύει ότι R και f f. Άρα η f είναι άρτια Γ) Για κάθε R ισχύει ότι 0 και 0 Θεωρούμε τη συνάρτηση Η f f με 0 για την οποία ισχύει ότι Σελίδα 4

15 έκκεντρον - τεύχος f f, επειδή στο διάστημα Η 0 f f f f 0 Συνεπώς η Η είναι γνησίως αύξουσα άρα Για την εξίσωση έχουμε ότι Η Η ή 0, η f είναι γνησίως αύξουσα οπότε για Δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση Η f που είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο, - Η συνάρτηση Η προκύπτει από παράλληλη μετατόπιση της f προς τον Επειδή η f είναι άρτια συνάρτηση και ισχύει ότι f θα ισχύει και ότι f Για τη λύση της εξίσωσης διακρίνουμε τις περιπτώσεις: f f f Η Η που είναι Αν, τότε δεκτή f f f Η Η που είναι Αν, τότε δεκτή Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι και ΑΣΚΗΣΗ 6. Να λύσετε την εξίσωση Για κάθε 0, έχουμε ότι: 0, () στο () Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο 0, f Οπότε: f f Σελίδα 5

16 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ 7. Έστω η συνάρτηση f στο R. A) Nα αποδείξετε ότι η f είναι περιττή και Β) Nα λύσετε την εξίσωση Γ) Να λύσετε την εξίσωση f f Δ) Να βρείτε τους α,β R ln 0 για τους οποίους ισχύει ότι f f α β α 4β 5 0 Α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f 4 0, με το ίσον να ισχύει μόνο στο μηδέν. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Για κάθε R ισχύει ότι R περιττή. Β) Για την εξίσωση έχουμε και f f. Άρα η f είναι f f () Από την ανισότητα ln t t για t παίρνουμε ότι με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν 0. Άρα λύση της εξίσωσης είναι η 0 Γ) Ισοδύναμα παίρνουμε ότι: f ln f 0 f ln f f ln f ln Δ) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: f α β α 4β 5 0 α β α 4β 5 f f f f α β f α 4β 5 α β α 4β 5 α α β 4β 4 0 α β 0 α 0 και β 0 α και β Σελίδα 6

17 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ 8. Έστω η συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R. Έστω ότι F είναι μια παράγουσα της f στο R. Να λύσετε στο R τις εξισώσεις ημ A)* f tdt ημ f t dt B) Να λύσετε την εξίσωση F F F 4 F στο R Α)* Για κάθε R η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την ημ ημ f t dt f t dt F t dt F t dt ημ ημ ημ ημ F F F F Θεωρούμε τη συνάρτηση Η F F που είναι αφού για την παράγωγό της ισχύει ότι Η f f 0 (είναι f f Η εξίσωση γίνεται: f ημ ημ ημ F F F F H H ημ ημ που είναι αληθής μόνο για 0 ημ, R με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν 0. ) αφού ως γνωστόν ισχύει ότι Β) Για κάθε R η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την 4 F F F F Θεωρούμε τη συνάρτηση Η F F ότι που είναι αφού για την παράγωγό της ισχύει f f (είναι f f Η 0 4 F F F F H H που είναι αληθής μόνο για 0 f ) Σελίδα 7

18 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ 9. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο R. Αν F είναι μια αρχική της f, να λύσετε την εξίσωση 4 F F F F στο R Η εξίσωση γράφεται F F F 4 F H F F, R με Θεωρούμε τη συνάρτηση H F F f f 0 επειδή ισχύει f f f f 0. Επομένως η Η είναι γνησίως αύξουσα και η εξίσωση γίνεται Η Η Από την ανισότητα ln t t, t 0 θέτουμε t και παίρνουμε ln με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν 0 ή, που είναι οι λύσεις της δοθείσας εξίσωσης. ΑΣΚΗΣΗ 0. α f f f β Δίνεται μια συνάρτηση f : 0, R με την ιδιότητα α β η εξίσωση f 0 έχει μοναδική ρίζα τότε: για κάθε α,β 0. Αν Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι στο 0, Β) Να λύσετε την εξίσωση f f f f A) Για α β η ρίζα αυτή είναι το ένα. Η f είναι βρίσκουμε ότι f 0, και επειδή η εξίσωση 0 επειδή για οποιαδήποτε, 0, με f f f f f f 0 f 0 B) Για κάθε 0, έχουμε ότι f έχει μοναδική ρίζα, έχουμε ότι: f f f f f f f f 0 f f Σελίδα 8

19 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ. Να λυθεί η εξίσωση ( ) t dt 0 στο R t ( ) Έστω F μια αρχική της συνάρτησης f t στο R t Τότε θα είναι F f 0 που σημαίνει ότι η F είναι γνησίως αύξουσα. ( ) ( ) dt 0 F t 0 F F 0 t ( ) Η εξίσωση γίνεται: t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Θεωρούμε τη συνάρτηση f f ) με ( Συνεπώς η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,, γνησίως αύξουσα στο, και παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση το είναι το f 0. Επομένως μοναδική λύση της εξίσωσης ΑΣΚΗΣΗ. Α) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f ln ln Β) Να λυθεί η εξίσωση ln ln A) Ισχύει ότι ln οπότε ln 0 για κάθε 0 0 Η συνάρτηση f ορίζεται μόνο όταν 0 ln 0 Σελίδα 9

20 έκκεντρον - τεύχος ln ln ln Και είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f ln ln Ακόμη είναι f 0 0 Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, γνησίως φθίνουσα στο, και παρουσιάζει μέγιστο στο το f B) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται ln f f ln Επειδή ισχύει f και f, ισχύει f f ισχύει μόνο όταν που είναι η λύση της αρχικής εξίσωσης. Για τη λύση της εξίσωσης γνησίως αύξουσα επειδή με την ισότητα να θεωρούμε τη συνάρτηση κ, 0 που είναι. Θα έχουμε ότι κ 0 κ κ ΑΣΚΗΣΗ. Α) Έστω η συνάρτηση είναι το f με R. Να δείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της f αβ αβ Β) Να λυθεί ως προς α, β και γ η εξίσωση f f 4 γ Απόδειξη H συνάρτηση γίνεται: f Γνωρίζουμε ότι για κάθε α 0 ισχύει μόνο αν α ισχύει ότι α 0 α α α, με την ισότητα να α Οπότε για α παίρνουμε ότι f με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν 0 Σελίδα 0

21 έκκεντρον - τεύχος Επομένως ισχύει f f 0 f 0, και συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο μόνο όταν 0 το B) Αποδείξαμε ότι f με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν 0. α β Συνεπώς ισχύει ότι f α β, f και γ 0 με το ίσον να ισχύει μόνο όταν α β 0, α β 0 και γ. Επομένως ισχύει ότι f f α β α β γ 4 με το ίσον να αληθεύει μόνο όταν Που είναι η λύση της εξίσωσης. αβ 0 α β α αβ 0 α β β γ γ γ ΑΣΚΗΣΗ 4. f 6, R Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να λύσετε την εξίσωση 6 Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με και f f Επειδή η f είναι συνεχής και f 0 στο,, επομένως η f είναι κυρτή Η εφαπτομένη της στο 0 είναι y f f y θα είναι f γνησίως αύξουσα στο R Επειδή η f είναι κυρτή, η γραφική της παράσταση βρίσκεται «πάνω» από την εφαπτομένη σε κάθε σημείο της εκτός από το σημείο επαφής. Συνεπώς ισχύει ότι f με την ισότητα μόνο για, που αποτελεί τη μοναδική λύση της εξίσωσης f 6 6 Σελίδα

22 έκκεντρον - τεύχος Κατασκευαστική μέθοδος. Μορφή: F k( ) F m( ) F p( ) F q( ) Όπου F γνησίως μονότονη συνάρτηση. Εντοπίζουμε Ρίζα(ες) και αποδεικνύουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες, διακρίνοντας περιπτώσεις για το και συγκρίνοντας μεταξύ τους τις παραστάσεις k( ), m( ) με τις p( ), q( ). Μορφή: F k( ) F m( ) F Όπου F είναι συνάρτηση και είναι θέση μοναδικού ακροτάτου. Τότε με αξιοποίηση των ιδιοτήτων της διάταξης προκύπτει ότι k και m κλπ ΑΣΚΗΣΗ 5. Να λύσετε την εξίσωση 5 4 ln 0 Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: ln 5ln 4ln ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση f ln, 0 η οποία είναι παραγωγίσιμη με f H f είναι αρνητική στο 0,, θετική στο, και επειδή είναι συνεχής θα είναι γνήσια φθίνουσα στο 0,, γνήσια αύξουσα στο, και παρουσιάζει ελάχιστο στο το f Στο 0, η εξίσωση έχει προφανή ρίζα το που είναι μοναδική επειδή f Αν 0 ln ln f f, ενώ f Αν f f ln ln ΑΣΚΗΣΗ 6. Έστω η συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R. Να λύσετε την στο 0, εξίσωση f f f f Β) Ισοδύναμα για 0 έχουμε ότι f f f f f f f f Η ισότητα είναι αληθής για 0 και που είναι οι ρίζες της εξίσωσης αφού Αν έχουμε ότι 0 0 f f f f Σελίδα

23 έκκεντρον - τεύχος Αν 0 έχουμε ότι f f f f 0 f f f f f f f f ΑΣΚΗΣΗ 7. Έστω ότι η συνάρτηση f : R R είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R. Να λυθεί στο R η f f f f εξίσωση Επειδή ισχύει ότι : 0 0 με το ίσον να ισχύει μόνο όταν : με το ίσον να ισχύει μόνο όταν Θα έχουμε ότι: Για η εξίσωση f f f f επαληθεύεται Για είναι: f f f f f f f f Επομένως λύση της εξίσωσης είναι η Σελίδα

24 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f : R R και g : R R για τις οποίες ισχύουν ότι: Η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f 0 για κάθε R και g y g g y,, g 0 0 y R F είναι μια αρχική της f στο R A) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα και η g γνησίως φθίνουσα Β) Να λύσετε την εξίσωση F g 5 F g 4 στο R Γ) Να λύσετε την εξίσωση g 4 07 g 4 07 g 8 4 f 0. Α) Η συνάρτηση f ως συνεχής που δεν μηδενίζεται σε διάστημα, θα διατηρεί πρόσημο και επειδή f 0 είναι f 0 για κάθε R. Επειδή F f 0, η F είναι γνησίως αύξουσα άρα και. Για οποιαδήποτε, R με έχουμε ότι 0 g 0 g g 0 g g Επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα Β) Η εξίσωση F g 5 F g 4 επαληθεύεται για 0 Αν 0 τότε Αν 0 τότε F F F g F g g 5 g F F F g F g g 5 g 4 4 Επομένως μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η 0 Γ) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: 5 4 Σελίδα 4

25 έκκεντρον - τεύχος g 4 07 g 4 07 g g 4 07 g 8 4 g 8 4 g 4 07 g g g g g g ΑΣΚΗΣΗ 9. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R με f 0. Να λύσετε την εξίσωση 5 f tdt f tdt 0 στο 0, Έστω F παράγουσα της f στο R με τότε F f. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R ισχύει ότι Οπότε η F είναι γνησίως φθίνουσα στο H εξίσωση γίνεται: 5 Η τελευταία έχει προφανή ρίζα το Αν 0 τότε Αν Για f f f 0 Για f f f 0, και γνησίως αύξουσα στο, 5 f t dt f t dt 0 F F F F 0 5 F F F F F F 0 F F F F 5 5 F F F 5 F F F F F 5 5 F F Επομένως λύση της δοθείσας εξίσωσης είναι η 5 Σελίδα 5

26 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ 0. Έστω η συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R. Να λύσετε την ln f f εξίσωση Α) Για κάθε 0, () στο 0, έχουμε ότι: f f ln ln ln 0 ln 0 ln () Από τη γνωστή ανισότητα lnt t, t 0 με την ισότητα να ισχύει μόνο για t παίρνουμε ότι: Αν θέσουμε t, R τότε ln 0 0 () με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν. Αντίστοιχα αν θέσουμε t, 0 τότε ln ln 0 (4) με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν Από τις () και (4) προκύπτει ότι η ισότητα () αληθεύει μόνο όταν, που είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης ΑΣΚΗΣΗ. ln 0 ln Να λυθεί η εξίσωση στο 0, Για κάθε 0, ισχύει ότι: 0 0 με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν 0 0 Αντίστοιχα ισχύει (από τη γνωστή ανισοïσότητα) ln ln με την ισότητα να μόνο όταν ln Επομένως για κάθε 0, ισχύει με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν Άρα λύση της εξίσωσης είναι η Σελίδα 6

27 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ. Έστω συνάρτηση f : 0, α0,,β,. Α) Nα αποδείξετε ότι f είναι R με την ιδιότητα: f α α β f β, για κάθε στο 0, B) Να λυθεί η εξίσωση f f f f στο, Γ) Να λυθεί η εξίσωση f f ημ f f Α Για οποιαδήποτε, 0, με θέτουμε α, β και έχουμε ότι : f f f f Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, οπότε είναι. B) Η εξίσωση έχει προφανή ρίζα το και είναι μοναδική επειδή: Για κάθε 0, έχουμε ότι: f f 0 f f f f f f Αντίστοιχα για κάθε, ισχύει ότι f f f f f f f f Γ) H εξίσωση f f ημ f f στο 0, έχει προφανή ρίζα το μηδέν, που είναι μοναδική επειδή για κάθε 0 είναι γνωστό ότι ισχύουν οι ανισότητες: f f f f ημ ημ f ημ f ημ f f f f. Σελίδα 7

28 έκκεντρον - τεύχος Σχέσεις αντίστροφων συναρτήσεων 4 Μορφή: f f Κοινά σημεία αντίστροφων συναρτήσεων, ένας τρόπος να εργαστούμε είναι: ( ) ( ) ( ) f f f f f f f f ( ) F f F f Μορφή: f Αν έχουμε «πληροφορίες» για την f τότε f f ΑΣΚΗΣΗ. Να λύσετε την εξίσωση στο 0, () Από τη μορφή της εξίσωσης παρατηρούμε ότι τα δύο μέλη της είναι συναρτήσεις αντίστροφες. Πράγματι. Η συνάρτηση f, 0, είναι γνησίως αύξουσα άρα αντιστρέψιμη. Για την εύρεση της αντίστροφης θέτουμε y y y y 0 Επομένως,, και η εξίσωση για 0, f γίνεται f f f f ( ) f f ( ) f f () H συνάρτηση h f είναι γνησίως αύξουσα στο R επομένως η h f ( ) h f ( ) 0 ή Δεκτή λύση λόγω των περιορισμών η Σελίδα 8

29 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ 4. Αν f ln 4, 4, να λύσετε την εξίσωση Για κάθε 4, είναι f είναι γνησίως φθίνουσα. 0 επομένως η f 4 H συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο 4, και έχει σύνολο τιμών το R επειδή Η εξίσωση για f lim f lim ln lim f lim ln 4 με R είναι ισοδύναμη με την f f f f με 4. Οπότε έχουμε f ln 4 ln 0 ln που είναι δεκτή. ΑΣΚΗΣΗ 5. Δίνεται η συνάρτηση f με f για κάθε R. Να αποδείξετε ότι f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f Για κάθε, R έχουμε ότι f f Επομένως η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R άρα και αντιστρέψιμη. Έστω ότι α,β είναι κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των f και f. Έχουμε ότι : f α β f α β α α β α α β α α β f α β f β α β β α β β α α β α β α β α α β α α β α α α α α 0 αα 0 α 0 β α 0 α β α β α β α β β 0 Επομένως μοναδικό κοινό σημείο είναι το 0,0. Σελίδα 9

30 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ 6. Να λύσετε την εξίσωση ln στο 0, () η Η συνάρτηση f, R είναι γνησίως αύξουσα άρα αντιστρέψιμη. Για την εύρεση της αντίστροφης θέτουμε y y y ln ln R R R y 0 y 0 y 0 Επομένως ln, και η εξίσωση για 0, f γίνεται ln f f f f ( ) f f ( ) f f () H συνάρτηση h f είναι γνησίως αύξουσα στο R επομένως η h f ( ) h f ( ) ln η Θεωρούμε τη συνάρτηση Με h ln, 0, 0 και h 0, 0 h H συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει 0 ενώ h h h Συνεπώς η h Είναι γνησίως αύξουσα στο μοναδικό ακρότατο στο με τιμή h 0 h h 0,, γνησίως φθίνουσα στο h 0.Άρα λύση της εξίσωσης, και παρουσιάζει ln είναι το η Mε αξιοποίηση της ανισοïσότητα ln t t, t 0 με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν t έχουμε ότι: Ισχύει ln με την ισότητα μόνο όταν, ενώ αν θέσουμε t 0 παίρνουμε ln με την ισότητα μόνο αν, Συνεπώς ισχύει ότι εξίσωσης ln με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν που είναι η λύση της Σελίδα 0

31 έκκεντρον - τεύχος 5 Αξιοποίηση των θεωρημάτων ROLLE και ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ στην επίλυση εξισώσεων ΑΣΚΗΣΗ 7. Να λυθεί η εξίσωση 4 5. Έστω ρίζα της εξίσωσης, δηλαδή (). Θεωρούμε τη συνάρτηση f t t, t 0 Με εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στα διαστήματα υπάρχουν κ, και λ 4,5 και f f, τέτοια, ώστε: f f κ f κ Επομένως, λόγω της σχέσης () είναι ΑΣΚΗΣΗ 8. f 5 f 4 λ f λ , και κ 4,5 προκύπτει ότι f κ f λ κ λ κ λ 0 0 λ 0 ή 0 κ κ λ λ Επομένως 0 ή Έστω η συνάρτηση f,. ln Να λυθεί η εξίσωση 5 5 στο 0, Η συνάρτηση f, ln είναι παραγωγίσιμη στο, με: Σελίδα

32 έκκεντρον - τεύχος ln ln f 0 Επειδή από την ανισότητα lnt t, t 0 για Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα άρα και - Ισοδύναμα έχουμε ότι: ln ln t παίρνουμε ln ln ln ln 5 ln 5 ln 5 ln ln 5 5 ln f 5 f Οι τιμές μηδέν και ένα αποτελούν λύσεις της εξίσωσης 5 0 αφού την επαληθεύουν. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση 5 0 έχει τρείς διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες τις ρ ρ ρ Θεωρούμε τη συνάρτηση f 5 ισχύει ότι f f f ρ ρ ρ 0., R Με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα για την οποία με f 5 ln5 ln ρ,ρ και ρ,ρ προκύπτει ότι υπάρχουν και λ ρ,ρ ώστε f κ 0 και f λ 0, δηλαδή η εξίσωση f 0 κ ρ,ρ να έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. Όμως για την παράγωγο της f ισχύει ότι: θα πρέπει 5 f 0 5 ln5 ln 0 ln5 ln 0 (). Επειδή η συνάρτηση 5 g ln5 ln έχει το πολύ μία ρίζα, που είναι άτοπο. η f 0 είναι γνησίως αύξουσα η εξίσωση g 0 άρα και Καταλήξαμε σε άτοπο επειδή υποθέσαμε ότι η αρχική εξίσωση έχει τρείς ρίζες, που σημαίνει ότι έχει ρίζες μόνο το μηδέν και το ένα. Σελίδα

33 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ 9. Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ln, είναι κυρτή. ln Β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. ln ln ln ln ln ln,, (ε) ln ln ln 0 ln ln Α) H f είναι παραγωγίσιμη με f ln f 0 για κάθε. Άρα η f είναι κυρτή ln και Β) Έστω ότι η είναι μια λύση της εξίσωσης (ε). Τότε έχουμε ότι: ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln f f f f f f f f Με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα, και, έχουμε ότι υπάρχουν κ, και λ,, ώστε f κ f f και f λ f f Τότε η f f λ κ κ λ που είναι άτοπο αφού τα κ,λ ανήκουν σε ξένα μεταξύ τους διαστήματα. Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη. Σελίδα

34 έκκεντρον - τεύχος ΑΣΚΗΣΗ 40. Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f, 0, είναι κυρτή. Β) Να λύσετε την εξίσωση στο 0, Γ)* Να λύσετε την εξίσωση f f 5 f στο 0, Δ) Να λύσετε την εξίσωση στο 0, Α) Για κάθε 0, έχουμε ότι f με Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο το f 0,, γνησίως αύξουσα στο f 0 0., και παρουσιάζει ελάχιστο για Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f 0, συνεπώς η f είναι κυρτή στο 0, Β) Παρατηρούμε ότι η τιμή αποτελεί λύση της εξίσωσης αφού την επαληθεύει. Έστω ότι ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης. Τότε έχουμε ότι f f f f f f f () Με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα, και, θα έχουμε ότι υπάρχουν κ, και λ, ώστε f κ f f και f λ f f κ αι τότε από την () προκύπτει ότι f f ξένα μεταξύ τους διαστήματα. κ λ κ λ που είναι άτοπο αφού τα κ,λ ανήκουν σε Σελίδα 4

35 έκκεντρον - τεύχος Όμοια αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση δεν έχει λύση με 0. Επομένως μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η Γ) Για κάθε, παρατηρούμε ότι προφανής λύση της εξίσωσης 5 f f f είναι η τιμή Υποθέτουμε ότι η εξίσωση έχει ρίζα και τον αριθμό ρ,, Αν ρ, τότε θα ισχύει ότι ρ ρ 5ρ ρ ρ ρ ρ 5ρ f f f f f f f ρ f ρ ρ ρ f 5ρ Με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. έχουμε ότι υπάρχει ξ ρ,ρ ώστε Οπότε έχουμε ότι f ξ f 5 ξ 5 f ρ f ρ ρ ρ f ξ Όμως επειδή ρ ξ ρ θα είναι ρ 5ρ ρ από όπου προκύπτει ότι ρ και ρ που είναι άτοπο Αντίστοιχα καταλήγουμε σε άτοπο και στην περίπτωση που το ρ, Επομένως η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα το Δ) Η εξίσωση γίνεται Η εξίσωση της εφαπτομένης της f C f στο σημείο της με τετμημένη είναι η y f f y y Επειδή η F είναι κυρτή, η γραφική της παράσταση βρίσκεται «πάνω» από την εφαπτομένη σε κάθε σημείο της εκτός από το σημείο επαφής. Συνεπώς ισχύει ότι λύση της εξίσωσης f με την ισότητα μόνο για, που αποτελεί τη μοναδική f Σελίδα 5

36 έκκεντρον - τεύχος 6 Θεωρητικές Μέθοδος της εις άτοπον απαγωγής ΑΣΚΗΣΗ 4. Για τη συνάρτηση f : R R f,ισχύει ότι: Έστω ότι υπάρχει α R ώστε (α) α f f f f f ( ) 4 για κάθε R. Να λυθεί η εξίσωση: f, τότε η f f ( ) 4 για α ( (α)) α α 4 α α α 4 α α α 4 α 0 α Αντίστροφα: θα αποδείξουμε ότι f Πράγματι από την αρχική έχουμε για ενώ για f παίρνουμε Από τις () και ( ) έχουμε f f f Άρα μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η ΑΣΚΗΣΗ 4. Έστω η συνάρτηση f : R R, R. Να λυθεί η εξίσωση f f f f f f f () f f f f f 4 () Έστω ότι ο αριθμός α R είναι λύση της εξίσωσης f η οποία είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει ότι. Δηλαδή ισχύει ότι f α α f f ( ) Η εξίσωση για α δίνει f f (α) α f α α α α α Θα αποδείξουμε ότι Έστω ότι Έστω ότι f f τότε f f f f f () που είναι άτοπο f τότε f f f f f () που είναι άτοπο Άρα μοναδική ρίζα της εξίσωσης f είναι η Σελίδα 6

37 έκκεντρον - τεύχος ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ) Tom M Apostol «Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός» Ατλαντίς 96 ) Michal Spivak «Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός» Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης 995 ) Gorg B. Thomas Ross L. Finny «Απειροστικός λογισμός» Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης 995 4) Γ.Ν. Παντελίδη «Μαθηματική Ανάλυση» Ζήτη 99 5) Θ.Ν. Καζαντζή «000 ασκήσεις ολοκληρωμάτων» Μαθηματική Βιβλιοθήκη 997 6) Srgi Dnidovich «Συλλογή ασκήσεων» Αίθρα 997 7) Gaston Aligniac «Θέματα Μαθηματικών» Αίθρα 997 8) Ν. Ζανταρίδης κ.α. «Μαθηματικά Γ Λυκείου» ΖΤ 07 9) Π Κανδύλας Ν. Ζανταρίδης κ.α. «Μαθηματικά Γ τάξης Γενικού Λυκείου» Κανδύλας 06 0) Χ. Στεργίου Χ Νάκης «Μαθηματικά Γ» και «Μαθηματικά Γ» Σαββάλας 05 ) M Γεωργιακάκης κ.α. «Ανάλυση ης Δέσμης» Βιβλιοεκδοτική Αναστασάκη 994 ) Δ. Μπουνάκης «Γενικά Θέματα και προβλήματα ανάλυσης» Τυποκρέτα 994 ) Ι Μαντάς «Γενικά Μαθηματικά Θέματα» Μαντάς 995 4) Σχολικό Εγχειρίδιο: «Μαθηματικά Β μέρος Γ Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής» ΙΤΥΕ Διόφαντος 06 5) Ο ιστότοπος 6) Ο ιστότοπος Σελίδα 7

38 έκκεντρον - τεύχος ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (επίλυση εξισώσεων) Άσκηση. 99 Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες ισχύει ότι λ 4 λ α α (λ 4) (λ ), 0 α Έστω η συνάρτηση f α, R και 0 α η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R, και η εξίσωση γίνεται: Επειδή f α ln α 0 λ 4 λ λ 4 λ f α α (λ 4) (λ ) α (λ 4) α (λ ) f λ 4 λ λ 4 λ λ λ 0 λ ή λ Άσκηση. 998 Η συνάρτηση f : R R f f ( ) f, R ικανοποιεί τη σχέση:, R Να αποδείξετε ότι η f είναι ένα προς ένα και να λύσετε την εξίσωση: f f 4 Για οποιαδήποτε, R με f f έχουμε ότι f f f f f f f f f f f f f f Επομένως η f είναι Για κάθε R η εξίσωση γίνεται: f f Που είναι η λύση της ανίσωσης Άσκηση. 004 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R R m ώστε f 0 για κάθε R. Έχουμε ότι f 0 f f 0 0 ή 0 µε f m 4 5, όπου m R, m 0. Να βρείτε τον Άρα η f παρουσιάζει ακρότατο στο μηδέν, στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη και που είναι εσωτερικό σημείο του R. Σύμφωνα με το θ. Frmat είναι Όμως ln ln 4 ln 4 5 ln 5 με f f m m f ln ln m ln 4 ln 5 άρα f 0 0 ln ln m ln 4 ln 5 ln m ln 0 m 0 m 0 Σελίδα 8

39 έκκεντρον - τεύχος Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R και. Αν η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A, 005 και, Ισοδύναμα έχουμε ότι C της f f - B, να λύσετε την εξίσωση f f f -004 f( 8). f f( 8) f f( 8) -004 f( 8) f( 8) 005 f( 8) f 8 9 ή Άσκηση Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα, 4 f t dt f t dt f t dt έχει ακριβώς μια ρίζα στο Να αποδείξετε ότι η εξίσωση διάστημα 0, Για κάθε 0, είναι και έχουμε: 4 4 f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt Aν F είναι αρχική της f τότε F F F 4 F 4 f t dt f t dt Θεωρούμε τη συνάρτηση Η F F f f Η 0. Τότε: που είναι γνήσια αύξουσα επειδή H( ) H() Άσκηση 6. 00, R Δίνεται η συνάρτηση f ln - + = ln Να λύσετε την εξίσωση: Σελίδα 9

40 έκκεντρον - τεύχος Η συνάρτηση f ( ) έχει πεδίο ορισμού το R και είναι παραγωγίσιμη με ( ) f ( ) 0 για κάθε R. Συνεπώς η συνάρτηση f ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο R Επειδή οι αριθμοί ( ) και 4 είναι θετικοί, η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: ( ) ln ( ) ln( 4 ) ln ( ) ( ) ln ( ) f ( ) f ( ) 0 ή. Άσκηση 7. 0 Έστω ότι η συνάρτηση g( ) f ( t) dt είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο (, ) α t f ( t) dt f έχει ακριβώς μια λύση. α t Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α α α, (α ) g( ) f (α) ( α) με. Η δοσμένη εξίσωση ισοδύναμα γράφεται Η εξίσωση έχει προφανή λύση την α. Η εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο f (α) y g(α) g(α)( α) y ( α). α α είναι: Επειδή η g είναι κυρτή, βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη σε κάθε σημείο της εκτός του σημείου επαφής f (α) g( ) ( α) (α ) g( ) f (α) ( α) α Άρα νόνο για α. Επομένως, η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση, την α αφού α με την ισότητα να ισχύει Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f : R 0,, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, γνήσια αύξουσα και κυρτή Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f '( ) f ( u) du 0 έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι η 0 0 Αφού η f είναι συνεχής στο R άρα έχει αρχική, έστω F( ). Τότε, F( ) f ( ) 0. Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο R. Σελίδα 40

41 έκκεντρον - τεύχος Συνεπώς έχουμε διαδοχικά: f ( ) f ( ) f ( u) du 0 F( u) 0 F( f ( )) F() 0 F( f ( )) F() f ( ) 0 Άσκηση Δίνεται η συνεχής συνάρτηση ln f ( ), αν 0 0, αν 0 Α) Να αποδείξετε ότι, για 0 f f 4 4, ισχύει η ισοδυναμία 4 Β) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 4, 0, έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις και 4 Α) Eίναι: 4 4. ln ln4 f ( ) f (4) 4 4 ln ln4 Β) Για τη λύση της εξίσωσης θα προσδιορίσουμε το σύνολο τιμών της f ln ln Η συνάρτηση f συνεχής στο [0, ) και για κάθε 0 ισχύει f ( ) έχουμε: f ( ) 0 ln 0 ln και f ( ) 0 ln 0 ln και f ( ) 0 ln 0 ln άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [0, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, ) ln Είναι 4 f f 4 ( ) (4), ακόμη ισχύει ότι ln 4 ln ln f (4) f 4 4 Στο διάστημα [0, ] η f είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει ότι 4 f f 4 ( ) () Στο διάστημα [, ) η f είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει ότι Άρα η εξίσωση έχει λύσεις τις και 4 4 f f 4 ( ) (4) 4 Σελίδα 4

42 έκκεντρον - τεύχος Άσκηση Αν f είναι κυρτή στο R, να λυθεί η εξίσωση f ημ f ημ f f [0, ). Θεωρούμε τη συνάρτηση h f f ορισμένη στο Η h είναι παραγωγίσιμη στο 0,, με: h f f όταν. 0,. Επειδή η f είναι κυρτή στο IR, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, IR. Αφού για κάθε 0, διάστημα έχουμε: ισχύει και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό το f f f f 0 h 0. Επομένως η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο 0,, άρα και. Η εξίσωση f ημ f ημ f f, για 0, Ισχύει ημ ημ h h ημ., για R, με το ίσον να ισχύει μόνο αν 0. Αν 0 προκύπτει ημ, με το ίσον να ισχύει μόνο αν 0. Άρα η αρχική εξίσωση έχει μοναδική λύση τη 0. γράφεται ισοδύναμα : Σελίδα 4

43 έκκεντρον - τεύχος Η μέτρηση της ακτίνας της Γης, της Σελήνης και του Ήλιου από τον Ερατοσθένη (76 π.χ 94 π.χ.) Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη της σημερινής Λιβύης το 76 π.χ. και πέθανε στην Αλεξάνδρεια το 94 π.χ.. Ήταν μαθηματικός, γεωγράφος και αστρονόμος. Από τα πιο σπουδαία επιτεύγματά του ήταν ότι υπολόγισε για πρώτη φορά το μέγεθος της Γης, ότι κατασκεύασε ένα σύστημα συντεταγμένων με παράλληλους και μεσημβρινούς, και ότι κατασκεύασε ένα χάρτη του κόσμου, όπως τον θεωρούσε. Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη της σημερινής Λιβύης το 76 π.χ. και πέθανε στην Αλεξάνδρεια το 94 π.χ.. Ήταν μαθηματικός, γεωγράφος και αστρονόμος. Από τα πιο σπουδαία επιτεύγματά του ήταν ότι υπολόγισε για πρώτη φορά το μέγεθος της Γης, ότι κατασκεύασε ένα σύστημα συντεταγμένων με παράλληλους και μεσημβρινούς, και ότι κατασκεύασε ένα χάρτη του κόσμου, όπως τον θεωρούσε. Νέος πήγε στην φημισμένη για την βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρεια την πρωτεύουσα της πτολεμαϊκής Αιγύπτου όπου σπούδασε και εργάστηκε. Από πολύ νεαρή ηλικία ήταν εξαιρετικά ευφυής και αμέσως φάνηκε ότι στη ζωή του θα μπορούσε να καταπιαστεί επιτυχώς- με οτιδήποτε, από την ποίηση μέχρι τη γεωγραφία. Τον φώναζαν Πένταθλο, παρομοιάζοντας τον με τον αθλητή που συμμετέχει στα πέντε αθλήματα του πένταθλου, για να τονίσουν το εύρος του ταλέντου του. Δεν παντρεύτηκε ποτέ και το 95 π.χ. ο Ερατοσθένης τυφλώθηκε, ενώ ένα χρόνο αργότερα σε μεγάλη ηλικία λένε ότι πέθανε από εκούσιο υποσιτισμό. Ο Ερατοσθένης ισχυριζόταν ότι σπούδασε για κάποια χρόνια και στην Αθήνα. Το 6 π.χ. ορίστηκε από τον Πτολεμαίο τον Γ τον Ευεργέτη, ως βιβλιοθηκάριος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, διαδεχόμενος τον Ζηνόδοτο. Η κοσμοπολίτικη Αλεξάνδρεια είχε πάρει τότε τα σκήπτρα από την Αθήνα ως το διανοητικό κέντρο της Μεσογείου, και η βιβλιοθήκη της πόλης ήταν το πιο αξιοσέβαστο πνευματικό ίδρυμα στον κόσμο. Δεν είχε καμία σχέση με τις σημερινές βιβλιοθήκες, όπου αυστηροί βιβλιοθηκονόμοι σφραγίζουν βιβλία και ψιθυρίζουν ο ένας στον άλλο, καθώς επρόκειτο για ένα ζωντανό και συναρπαστικό μέρος, γεμάτο εμπνευσμένους μελετητές και ευφυείς μαθητές. Έκανε αρκετές σημαντικές συνεισφορές στα Μαθηματικά και ήταν φίλος του Αρχιμήδη. Γύρω στο 5 π.χ. εφηύρε τον σφαιρικό αστρολάβο, που τον χρησιμοποιούσαν ευρέως μέχρι την εφεύρεση του πλανηταρίου τον 8ο αιώνα. Αναφέρεται από τον Κλεομήδη στο Περί της κυκλικής κινήσεως των ουρανίων σωμάτων ότι είχε υπολογίσει την περιφέρεια της Γης γύρω στο 40 π.χ. χρησιμοποιώντας το ύψος του Ηλίου κατά την εαρινή ισημερία κοντά στην Αλεξάνδρεια και στη νήσο Ελεφαντίνη, κοντά στη Συήνη (το σημερινό Ασουάν της Αιγύπτου). Επίσης, ο όρος Γεωγραφία αποδίδεται στον Ερατοσθένη. Σελίδα 4

44 έκκεντρον - τεύχος Ο παγκόσμιος χάρτης κατά τον Ερατοσθένη Εκτός από την ακτίνα της Γης ο Ερατοσθένης προσδιόρισε την καμπυλότητα του ελλειψοειδούς, μέτρησε την απόκλιση του άξονα της Γης με μεγάλη ακρίβεια δίνοντας την τιμή 5 5", κατασκεύασε έναν αστρικό χάρτη που περιείχε 675 αστέρες, πρότεινε την προσθήκη στο ημερολόγιο μίας ημέρας ανά τέσσερα χρόνια και προσπάθησε να συνθέσει μία ιστορία βασισμένη σε ακριβείς ημερομηνίες. Τα επιτεύγματα του δεν σταματάνε εδώ. Ανέπτυξε μια μέθοδο για την εύρεση πρώτων αριθμών, μικρότερων οποιουδήποτε δεδομένου αριθμού, η οποία, σε παραλλαγή, ακόμη και σήμερα είναι ένα σημαντικό εργαλείο έρευνας στη θεωρία των αριθμών. Έγραψε κι ένα ποίημα που ονομαζόταν Ερμής, όπου περιέγραφε τις αρχές της αστρονομίας σε στίχους! Παρά το γεγονός ότι το μεγαλύτερο μέρος των γραπτών του Ερατοσθένη έχει χαθεί, πολλά σώζονται μέσω των γραπτών σχολιαστών. Η σφαιρική Γη Η εποχή του Ερατοσθένη ήταν έτοιμη για επιτεύγματα όπως η μέτρηση των πραγματικών διαμέτρων του Ήλιου, της Σελήνης και της Γης, και των μεταξύ τους αποστάσεων. Αυτές οι μετρήσεις υπήρξαν ορόσημα στην ιστορία της αστρονομίας, αντιπροσωπεύοντας τα πρώτα διστακτικά βήματα στην πορεία της κατανόησης ολόκληρου του σύμπαντος. Ως τέτοιες, αυτές οι μετρήσεις αξίζουν μια πιο λεπτομερή περιγραφή. Ο Ερατοσθένης σαν πραγματικός επιστήμονας χρησιμοποίησε όχι μόνο τις προηγούμενες γνώσεις για την σφαιρική Γη και τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία, αλλά σχεδίασε και τα αναγκαία πειράματα. Η άποψη ότι η Γη ήταν σφαιρική Γη ήταν αποδεκτή στην αρχαία Ελλάδα, το είχαν καταλάβει γιατί έβλεπαν τα πλοία, μετά τον απόπλου, να εξαφανίζονται σιγά σιγά στον ορίζοντα μέχρι που από το λιμάνι φαινόταν μόνο η κορυφή του καταρτιού τους. Κάτι τέτοιο είχε νόημα μόνο αν η επιφάνεια της θάλασσας καμπυλωνόταν. Αν η θάλασσα είχε καμπυλωμένη επιφάνεια, το ίδιο θα έπρεπε να συμβαίνει και με τη Γη, πράγμα που σημαίνει ότι ίσως είναι σφαίρα. Αυτή η άποψη ενισχύθηκε με την παρατήρηση των εκλείψεων της Σελήνης: κατά την έκλειψη, η Γη έριχνε στη Σελήνη μια σκιά σε σχήμα κυκλικού δίσκου, ακριβώς όπως το σχήμα που θα περιμέναμε από ένα σφαιρικό αντικείμενο. Ίδιας σπουδαιότητας ήταν και το γεγονός ότι όλοι Σελίδα 44

45 έκκεντρον - τεύχος μπορούσαν να δουν ότι η ίδια η Σελήνη ήταν στρογγυλή, γεγονός που υποδείκνυε ότι η σφαίρα ήταν η φυσική κατάσταση ύπαρξης, ενισχύοντας την υπόθεση ότι και η Γη είναι στρογγυλή. Όλα άρχισαν να αποκτούν νόημα, ακόμη και τα γραπτά του έλληνα ιστορικού και ταξιδευτή Ηρόδοτου που μιλούσε για ανθρώπους στο μακρινό βορρά οι οποίοι κοιμούνταν τις μισές μέρες του χρόνου. Αν η Γη ήταν σφαιρική, τότε διαφορετικά μέρη της υδρογείου θα φωτίζονταν με διαφορετικό τρόπο ανάλογα με το γεωγραφικό τους πλάτος, γεγονός που εξηγούσε με φυσικό τρόπο έναν πολικό χειμώνα και νύχτες με διάρκεια έξι μηνών. Η μέτρηση της ακτίνας της Γης Την εποχή που βρισκόταν στη βιβλιοθήκη, ο Ερατοσθένης πληροφορήθηκε για ένα πηγάδι με εκπληκτικές ιδιότητες, το οποίο βρισκόταν κοντά στην πόλη της Συήνης στη νότια Αίγυπτο, κοντά στο σημερινό Ασουάν. Κάθε χρόνο, το μεσημέρι της ης Ιουνίου τη μέρα του θερινού ηλιοστασίου- ο Ήλιος καθρεφτιζόταν ολόκληρος μέσα στο πηγάδι και το φώτιζε σε όλο το βάθος του. Ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι για να συμβαίνει κάτι τέτοιο, τη συγκεκριμένη μέρα ο Ήλιος έπρεπε να βρίσκεται ακριβώς πάνω από το πηγάδι, κάτι που ο ίδιος ποτέ δεν είχε παρατηρήσει στη Αλεξάνδρεια, η οποία βρισκόταν αρκετές εκατοντάδες χιλιόμετρα βόρεια της Συήνης. Σήμερα γνωρίζουμε ότι η Συήνη βρίσκεται κοντά στον Τροπικό του Καρκίνου, το πιο βόρειο γεωγραφικό πλάτος από το οποίο ο Ήλιος περνάει κατακόρυφα. Ο Ερατοσθένης γνώριζε ότι ο λόγος που ο Ήλιος δεν μπορούσε να μεσουρανεί ταυτόχρονα στη Συήνη και στην Αλεξάνδρεια οφειλόταν στην καμπυλότητα του πλανήτη μας και σκέφτηκε να εκμεταλλευτεί το γεγονός προκειμένου να μετρήσει την περιφέρεια της Γης. Χρησιμοποίησε γεωμετρίες, συμβολισμούς και ερμηνείες που σίγουρα διαφέρουν κάπως από εκείνες των σύγχρονων μεθόδων, όμως έχει ενδιαφέρον να προσεγγίσουμε την εξήγηση του. Στο σχήμα παράλληλες ακτίνες από τον Ήλιο φτάνουν στη Γη στις Ιουνίου. Ο Ερατοσθένης χρησιμοποίησε τη σκιά που ρίχνει ένα κοντάρι βυθισμένο στο έδαφος της Αλεξάνδρειας για να υπολογίσει την περιφέρεια της Γης. Πραγματοποίησε το πείραμα στις Ιουνίου, την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου, όταν η Γη παρουσιάζει τη μέγιστη κλίση της ως προς τον Ήλιο, οπότε οι πόλεις κατά μήκος τον Τροπικού τον Καρκίνου βρίσκονται στην κοντινότερη απόσταση τους από τον Ήλιο. Αυτό σημαίνει άτι ο Ήλιος το μεσημέρι βρισκόταν ακριβώς πάνω από αυτές τις πόλεις. Τη στιγμή που το ηλιακό φως βυθιζόταν στο πηγάδι της Συήνης, ο Ερατοσθένης έμπηξε στην Αλεξάνδρεια ένα κοντάρι κάθετα στο έδαφος και μέτρησε τη γωνία που σχηματιζόταν ανάμεσα στο κοντάρι και στις ακτίνες του Ήλιου. Είναι αποφασιστικής σημασίας ότι αυτή η γωνία ισοδυναμεί με τη Σελίδα 45

46 έκκεντρον - τεύχος γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα σε δύο ακτίνες που συνδέουν το κέντρο της Γης με την Αλεξάνδρεια και τη Συήνη αντίστοιχα. Ο Ερατοσθένης βρήκε ότι η γωνία ήταν 7,. Τώρα, φανταστείτε κάποιον που ξεκινά από τη Συήνη, βαδίζει ευθεία προς την Αλεξάνδρεια και ύστερα συνεχίζει να περπατά μέχρι να διασχίσει όλη τη Γη και να επιστρέψει στη Συήνη. Αυτός ο άνθρωπος θα καλύψει όλη την περιφέρεια της Γης, διανύοντας έναν ολόκληρο κύκλο, δηλαδή 60. Έτσι, εάν η γωνία Συήνη-κέντρο Γης- Αλεξάνδρεια είναι μόνο 7,, τότε η απόσταση μεταξύ των δυο πόλεων είναι το 7,/60 ή το /50 της περιφέρειας της Γης. Η Αλεξάνδρεια δεν βρίσκεται ακριβώς βόρεια της Συήνης γι αυτό υπάρχει και ένα μικρό λάθος στη μέτρηση. Επίσης, η Συήνη δεν βρίσκεται ακριβώς στον Τροπικό του Καρκίνου αλλά 55 km πιο βόρεια. Και τέλος η γωνιακή διαφορά είναι 7 o 5 Ακολούθως το μόνο που χρειαζόταν ήταν η απόσταση της Συήνης από την Αλεξάνδρεια. Ο Ερατοσθένης μέτρησε αυτήν την απόσταση, χρησιμοποιώντας ένα είδος οδομέτρου με γρανάζια και την βρήκε ίση με 5040 στάδια. Επομένως η περιφέρεια της Γης είναι = στάδια. Αυτή είναι η μεσημβρινή περιφέρεια, αλλά δεχόμενοι τη Γη σαν μια σφαίρα, θα ισούται και με την Ισημερινή περιφέρεια. Πόσο όμως είναι το ένα στάδιο; Το στάδιο ήταν ίσο με 59 μέτρα (άλλοι λένε 57 μέτρα), κατά την Ελληνιστική εποχή στην Αίγυπτο (το στάδιο διέφερε από περιοχή σε περιοχή, αλλά και από εποχή σε εποχή). Άρα η περιφέρεια της Γης σε μέτρα είναι μέτρα. Η πραγματική Ισημερινή ακτίνα της Γης είναι.756 Κm, με αποτέλεσμα η περιφέρεια να ισούται περίπου με μέτρα. Το σφάλμα που έκανε ο Ερατοσθένης είναι απειροελάχιστο (φτάνει το 0,0 %). Βέβαια στην πραγματικότητα ο Ερατοσθένης υπολόγισε την μεσημβρινή περιφέρεια, η οποία σήμερα υπολογίζεται σε μέτρα. Έτσι το σφάλμα ανέρχεται περίπου στο 0, %. Εκπληκτικά μικρό για εκείνη την εποχή, όπου δεν υπήρχαν οι υπολογιστές και τα Lasr. Ένα άλλο εξαιρετικό γεγονός είναι ότι η μέτρηση στηρίζεται στην κατ εκτίμηση μέση ταχύτητα ενός καραβανιού από καμήλες. Ακόμα, παρά όλες αυτά τα μειονεκτήματα, η μέθοδος του ακόμα προκαλεί το θαυμασμό. Ας μην ξεχνάμε ότι βρισκόμαστε περίπου στο 50 π.χ., και η Γη επιτέλους είχε ένα σωστό μέγεθος. Ας σημειωθεί ότι την πληροφορία για την μέτρηση της περιφέρειας της Γης από τον Ερατοσθένη την πήραμε από τον γεωγράφο Στράβωνα, ο οποίος γράφει ακριβώς: "όντως δε κατ Ερατοσθένη του ισημερινού κύκλου σταδίων μυριάδων πέντε και είκοσι και δισχιλίων". Μία μυριάδα ισούται με Για αυτό λέμε εκατομμύριο, δηλαδή 00 μυριάδες. Έτσι = Ο αριθμός που σχηματίζεται από τα αναφερόμενα του Στράβωνος είναι στάδια. Αν η ακρίβεια του Ερατοσθένη είχε απόκλιση 0.% ή % δεν έχει ιδιαίτερη σημασία. Το σημαντικό είναι ότι ο Ερατοσθένης βρήκε πώς να εκτιμήσει επιστημονικά το μέγεθος της Γης. Οποιαδήποτε ανακρίβεια ήταν απλώς αποτέλεσμα μιας κακής γωνιακής μέτρησης, ενός λάθους στην απόσταση μεταξύ Συήνης και Αλεξάνδρειας (η απόσταση δεν είναι 800 χιλιόμετρα αλλά 79), της Σελίδα 46

47 έκκεντρον - τεύχος ώρας του μεσημεριού στο θερινό ηλιοστάσιο, και του γεγονότος ότι η Αλεξάνδρεια δεν βρισκόταν ακριβώς βόρεια της Συήνης (δηλαδή δεν είναι στον ίδιο μεσημβρινό αλλά απέχουν ο περίπου). Πριν από τον Ερατοσθένη κανείς δεν γνώριζε αν η περιφέρεια της Γης ήταν ή χιλιόμετρα, και έτσι η προσέγγιση της τιμής στα χιλιόμετρα ήταν τεράστιο επίτευγμα. Αποδείχτηκε ότι το μόνο που χρειαζόταν για να μετρηθεί ο πλανήτης ήταν ένας άνθρωπος με ένα κοντάρι και ένα μυαλό. Με άλλα λόγια, αν βρεθούν μαζί μια διάνοια και μια πειραματική διάταξη, σχεδόν τα πάντα είναι εφικτά. Μέτρηση της ακτίνας της Σελήνης και της απόστασης της Ο Ερατοσθένης μπορούσε πλέον να υπολογίσει το μέγεθος της Σελήνης και του Ήλιου καθώς και τις αποστάσεις τους από τη Γη. Το μεγαλύτερο μέρος των προκαταρκτικών εργασιών είχε γίνει από προγενέστερους φυσικούς φιλοσόφους, αλλά οι υπολογισμοί τους δεν ήταν πλήρεις μέχρι να βρεθεί το μέγεθος της Γης. Τώρα πλέον ο Ερατοσθένης διέθετε την τιμή που έλειπε δηλαδή τη διάμετρο της Γης περίπου.700 χιλιόμετρα. Πώς θα μπορούσε κάποιος να μετρήσει την απόσταση από τη Γη ως το φεγγάρι; Ένας που θα ήξερε ευκλείδεια γεωμετρία θα μετρούσε τη γωνία έως το φεγγάρι από δύο πόλεις που βρίσκονται σε μεγάλη απόσταση, την ίδια στιγμή, και να φτιάξει ένα όμοιο τρίγωνο. Όπως ακριβώς μέτρησε ο Θαλής την απόσταση ενός πλοίου μέσα στη θάλασσα. Δυστυχώς, η γωνία από δύο σημεία με διαφορά μερικών εκατοντάδων χιλιομέτρων ήταν πολύ μικρή για να υπολογιστεί με ακρίβεια, με τις υπάρχουσες τεχνικές εκείνης της εποχής. Έτσι, η μέθοδος αυτή δεν μπορούσε να δουλέψει. Παρόλα αυτά, ο Ερατοσθένης βρήκε με έξυπνο τρόπο την απόσταση μέχρι τη Σελήνη, παρατηρώντας προσεκτικά μια σεληνιακή έκλειψη, που συμβαίνει όταν η Γη εμποδίζει τις ακτίνες του ήλιου να φτάσουν ως το φεγγάρι. Για την καλύτερη οπτικοποίηση της σεληνιακής έκλειψης, φανταστείτε ότι κρατάτε ένα νόμισμα (διαμέτρου περίπου μια ίντσα ή,54 εκατοστά) σε απόσταση, όπου αυτό μόλις να μπλοκάρει τις ακτίνες του ήλιου από το μάτι σας (φυσικά δεν θα πρέπει να το δοκιμάσετε μπορεί να καταστρέψετε το μάτι σας!). Μπορείτε να το δοκιμάσετε με την πανσέληνο, η οποία τυχαίνει να έχει το ίδιο φαινόμενο μέγεθος στον ουρανό, με τον ήλιο. Αποδεικνύεται ότι η σωστή απόσταση για να το κρύψουμε είναι περίπου 74 εκατοστά. Εάν το νόμισμα είναι πιο μακριά από αυτή την απόσταση, δεν είναι αρκετά μεγάλο για να μπλοκάρει όλο το ηλιακό φως. Αν είναι πιο κοντά από 74 εκατοστά, θα μπλοκάρει εντελώς το ηλιακό φως από κάποια μικρή κυκλική περιοχή, η οποία σταδιακά αυξάνει σε μέγεθος κινούμενο προς την κατεύθυνση του νομίσματος. Έτσι το μέρος του χώρου, όπου το ηλιακό φως "μπλοκάρει" εντελώς είναι ένας κώνος, (όπως ένα χωνάκι παγωτού), με την άκρη του να είναι 74 εκατοστά πίσω από το νόμισμα (δηλαδή το μήκος όλου του κώνου είναι 74 εκατοστά). Φυσικά, υπάρχει μια πλήρως σκιασμένη περιοχή και μια παρασκιά αλλά δεν ασχολούμαστε με την παρασκιά. Για να το καταλάβετε καλύτερα φανταστείτε πως είστε έξω στο διάστημα, σε κάποια απόσταση από τη Γη, εξετάζοντας τη γήινη σκιά που δημιουργείται από τον ήλιο. (η Γη παίζει το ρόλο του νομίσματος που εμποδίζει τις ακτίνες του Ήλιου). Προφανώς, η σκιά της Γης πρέπει να είναι κωνική, ακριβώς όπως συνέβαινε και με τον κώνο του νομίσματος προηγουμένως. Και πρέπει επίσης να είναι όμοια με τον κώνο του νομίσματος. Σελίδα 47

48 έκκεντρον - τεύχος Τι σημαίνει αυτό από μαθηματική σκοπιά; Ότι όλη η σκιά της Γης θα πρέπει να είναι 08 φορές τη διάμετρο της Γης! (το 08 είναι το πηλίκο του 74 με τη διάμετρο του νομίσματος.54). Αυτό συμβαίνει διότι η άκρη του μεγάλου κώνου είναι το πιο μακρινό σημείο όπου η Γη μπορεί να μπλοκάρει όλες τις ηλιακές ακτίνες, και ο λόγος της απόστασης της Σελήνης προς τη διάμετρο της Σελήνης είναι ίσος με τον λόγο των 74 εκατοστών (η απόσταση που κρύψαμε το φως) με τη διάμετρο του νομίσματος. Πολλαπλασιάζοντας 08 φορές τη διάμετρο της Γης βρίσκουμε την απόσταση μέχρι τη Σελήνη. Ο Ερατοσθένης έδειξε ότι η διάμετρος της Γης ήταν σχεδόν.700 χιλιόμετρα, άρα και το μήκος του κώνου της σκιάς που δημιουργούσε η Γη ήταν περίπου (.700*08=) χιλιόμετρα!!! Η Σελήνη εισέρχεται στην σκιά της Γης (στα δεξιά μας) σε μια έκλειψη. Αφού παρατήρησαν ότι EF=.5 * ED κατάλαβαν με τη βοήθεια των ομοίων τριγώνων FAE και DCE ότι AE=.5 * EC και από αυτό ότι AC=.5 * EC. Γνωρίζοντας από πριν ότι το μήκος του κώνου AC είναι 08 * BC (όπου BC είναι η διάμετρος της Γης 700 χλμ), συμπέραναν από τα όμοια τρίγωνα ότι AC είναι,5 φορές η EC ή ότι η απόσταση της Σελήνης είναι χιλιόμετρα περίπου. Επίσης, η διάμετρος της Σελήνης ήταν (/4 *.700) χιλιόμετρα, ή σχεδόν.00 χιλιόμετρα. Τώρα, κατά τη διάρκεια μιας ολικής σεληνιακής έκλειψης η Σελήνη κινείται για κάποιο χρόνο μέσα στην σκοτεινή περιοχή του κώνου (πάνω σχήμα). Ακόμα και όταν το φεγγάρι είναι εντελώς μέσα στην σκιά, μπορεί ακόμη να το δούμε αμυδρά, επειδή κάποιο λιγοστό φως σκεδάζεται από τη γήινη ατμόσφαιρα. Παρατηρώντας το φεγγάρι προσεκτικά κατά την έκλειψη, και βλέποντας πώς πέφτει πάνω του η γήινη σκιά, αστρονόμοι σαν τον Αρίσταρχο διαπίστωσαν ότι η διάμετρος της κωνικής σκιάς της Γης ως την Σελήνη (δηλαδή η EF), ήταν περίπου,5 φορές η διάμετρος του φεγγαριού (ED). Σημείωση: Ο Ερατοσθένης είχε βρει με ακρίβεια το μέγεθος της Γης (μια σφαίρα με διάμετρο περίπου.700 χιλιόμετρα) και ως εκ τούτου, ήξερε και το μέγεθος της γήινης κωνικής σκιάς (08 φορές το μήκος των.700 χιλιομέτρων). Ήξερε ότι όταν το φεγγάρι πέρναγε μέσα από τη σκιά, η διάμετρος της σκιάς στην θέση που ήταν η Σελήνη, ήταν δυόμισι φορές η διάμετρος της Σελήνης. Κι αυτές οι πληροφορίες του ήταν αρκετές για να καταλάβει πόσο μακριά ήταν το φεγγάρι; Σελίδα 48

49 έκκεντρον - τεύχος Λοιπόν, κατάλαβε ότι το φεγγάρι είναι πιο κοντά από χιλιόμετρα (το γινόμενο.700*08), άλλως το φεγγάρι δεν θα διέρχονταν καθόλου από τη γήινη σκιά. Μήπως όμως η Σελήνη ήταν μεν στην απόσταση των χιλιομέτρων (στην κορυφή του κώνου), αλλά ήταν πολύ πιο μικρή σαν σημείο; Ωστόσο, ένα τέτοιο μικρό φεγγάρι σαν σημείο, δεν θα μπορούσε ποτέ να προκαλέσει μια ηλιακή έκλειψη. Στην πραγματικότητα, οι Έλληνες γνώριζαν καλά ότι το φεγγάρι έχει το ίδιο φαινόμενο μέγεθος στον ουρανό με τον ήλιο. Κι αυτό είναι ένα κρίσιμο επιπλέον γεγονός που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της απόστασης της Σελήνης από τη Γη. Εν συνεχεία, το γεγονός ότι η Σελήνη και ο Ήλιος έχουν το ίδιο φαινόμενο μέγεθος στον ουρανό αυτό σημαίνει ότι η γωνία ECD είναι η ίδια με τη γωνία EAF. Παρατηρήστε τώρα ότι το μήκος FE είναι η διάμετρος της γήινης σκιάς στην απόσταση που είναι η Σελήνη, όπως και το μήκος ED είναι η διάμετρος της Σελήνης. Είδαμε πριν ότι από παρατηρήσεις της σεληνιακής έκλειψης η αναλογία των FE να ED ήταν,5 προς, και γι αυτό από τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα FAE και DCE, βλέπουμε ότι η ΑΕ είναι,5 φορές όσο η EC, ή ότι η AC είναι,5 φορές την EC. Από πριν είδαμε ότι το μήκος της κωνικής σκιάς AC είναι , επομένως η απόσταση της Σελήνης ΑΕ είναι :.5 = χιλιόμετρα περίπου!!!. Η μεγαλύτερη πηγή σφαλμάτων είναι πιθανά η εκτίμηση της αναλογίας του μεγέθους της Σελήνης με το μήκος της σκιάς σε αυτό το σημείο.5. Μέτρηση της ακτίνας του Ήλιου και της απόστασης του Κατόπιν, χάρη σε μια υπόθεση του Αναξαγόρα από τις Κλαζομενές, και μιας ευφυούς συλλογιστικής του Αρίσταρχου από τη Σάμο, ο Ερατοσθένης μπόρεσε να υπολογίσει το μέγεθος του Ήλιου καθώς και την απόσταση του από εμάς. Μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγεθος του Ήλιου, εφόσον γνωρίζουμε την απόσταση του από τη Γη. Μια προσέγγιση είναι να χρησιμοποιήσουμε μια ολική έκλειψη Ηλίου και τη γνώση μας για τη διάμετρο και την απόσταση της Σελήνης από τη Γη. Μια ολική ηλιακή έκλειψη είναι ορατή μόνο από μικρό τμήμα της επιφάνειας της Γης οποιαδήποτε χρονική στιγμή, διότι ο Ήλιος και η Σελήνη εμφανίζουν σχεδόν το ίδιο μέγεθος έτσι όπως φαίνονται από τη Γη (αφού καλύπτει το ένα σώμα το άλλο θα έχουν και το ίδιο φαινόμενο μέγεθος). Αυτό το διάγραμμα (δεν είναι υπό κλίμακα) δείχνει ότι ο παρατηρητής, όταν βλέπει την έκλειψη από τη Γη, βρίσκεται στην κορυφή δύο όμοιων τριγώνων. Το πρώτο τρίγωνο εκτείνεται μέχρι τη Σελήνη και το δεύτερο μέχρι τον Ήλιο. Αφού γνωρίζουμε τις αποστάσεις της Σελήνης και του Ήλιου από τη Γη, καθώς και τη διάμετρο της Σελήνης, μπορούμε να υπολογίσουμε τη διάμετρο του Ήλιου. Το πόσο μακριά είναι ο Ήλιος ήταν μια ακόμα δύσκολη ερώτηση για τους Έλληνες αστρονόμους. Βρήκαν όμως μια πολύ έξυπνη μέθοδο να μετρήσουν την απόσταση του ήλιου, αλλά Σελίδα 49

50 έκκεντρον - τεύχος αποδείχθηκε όχι και τόσο ακριβής δεδομένου ότι δεν μπορούσαν να μετρήσουν με σημαντική ακρίβεια την γωνία α στο παρακάτω σχήμα. Ακόμα, έμαθαν από αυτήν την προσέγγιση ότι ο ήλιος ήταν πολύ πιο πέρα από το φεγγάρι, και συνεπώς, δεδομένου ότι έχει το ίδιο φαινόμενο μέγεθος, πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερος και από το φεγγάρι και από τη Γη. Η ιδέα τους για τη μέτρηση της απόστασης του ήλιου ήταν πολύ απλή σε γενικές γραμμές. Ήξεραν, φυσικά, ότι το φεγγάρι αντανακλούσε το φως του ήλιου και δεν είχε δικό του. Επομένως, σκέφτηκαν, την ημέρα που το φεγγάρι είναι το μισό του πλήρους φεγγαριού, η γραμμή από το φεγγάρι έως τον ήλιο πρέπει να είναι ακριβώς κάθετη στη γραμμή από το φεγγάρι έως τον παρατηρητή (δείτε το παρακάτω σχήμα). Έτσι, εάν ένας παρατηρητής στη γη, στην παρατήρηση ενός μισού φεγγαριού στο φως της ημέρας, μετρά προσεκτικά τη γωνία μεταξύ της κατεύθυνσης του φεγγαριού και της κατεύθυνσης του ήλιου, δηλαδή η γωνία α στο παρακάτω σχήμα, πρέπει να είναι σε θέση να κατασκευάσει ένα μακρύ-μακρύ λεπτό τρίγωνο, με τη βάση να είναι η γραμμή Γη-Σελήνης, που έχει μια γωνία 90 βαθμών από τη μία πλευρά και την α στην άλλη, και να βρει έτσι το λόγο της απόστασης του ήλιου προς την απόσταση του φεγγαριού. Το πρόβλημα σε αυτήν την προσέγγιση είναι ότι η γωνία α αποδεικνύεται στην πραγματικότητα πως ισούται με την εξής διαφορά: 90 μοίρες μείον το /6 της μιας μοίρας, πάρα πολύ μικρή φυσικά για να μετρηθεί ακριβώς. Η πρώτη προσπάθεια έγινε από τον Αρίσταρχο, ο οποίος υπολόγισε τη γωνία αυτή λανθασμένα μοίρες. Αυτή η γωνία θα έδινε μια απόσταση ως τον ήλιο μόνο 8 εκατομμύρια χιλιόμετρα. Εντούτοις, έστω και αν ο Αρίσταρχος έβγαλε τόσο μικρή την απόσταση Γης Ήλιου έδειξε ότι ο ήλιος ήταν πολύ μεγαλύτερος από τη Γη. Και μάλλον αυτό ήταν που έκανε τον Αρίσταρχο να προτείνει ότι ο ήλιος, κι όχι η Γη, ήταν στο κέντρο του Κόσμου. Αργότερα έγιναν νέες καλύτερες μετρήσεις από άλλους Έλληνες, που βρήκαν την απόσταση του Ήλιου από τη Γη να είναι η μισή της σωστής απόστασης, 50 εκατομμύρια χιλιόμετρα. Η επιστήμη στην Αρχαία Ελλάδα Τα εκπληκτικά επιτεύγματα του Ερατοσθένη, του Αρίσταρχου και του Αναξαγόρα αντικατοπτρίζουν την πρόοδο της επιστημονικής σκέψης στην αρχαία Ελλάδα, διότι οι μετρήσεις τους για το σύμπαν βασίστηκαν στη λογική, τα μαθηματικά, την παρατήρηση και τη μέτρηση. Όμως, αυτό που έκαναν οι Έλληνες κι αξίζουν τα εύσημα μας είναι ότι ήταν οι πρώτοι στην αρχαία εποχή που έθεσαν τα θεμέλια της επιστήμης. Γιατί ναι μεν οι Βαβυλώνιοι ήταν σπουδαίοι πρακτικοί αστρονόμοι και έκαναν χιλιάδες λεπτομερείς παρατηρήσεις για πρώτη φορά στον κόσμο, αλλά οι ιστορικοί της επιστήμης συμφωνούν ότι οι Βαβυλώνιοι δεν ήταν πραγματικοί επιστήμονες διότι ήταν ικανοποιημένοι με ένα σύμπαν που Σελίδα 50