1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ 5

Transcript

1 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ 5. Συµβολισµοί µε τη χρήση δεικτών 7. Συµµετρικά και αντισυµµετρικά συστήµατα 9. Συµµετρικό και αντισυµµετρικό µέρος συστήµατος ας τάξεως 0.4 Το σύµβολο Lev-Cvta και τα σύµβολα Konecke.5 Συµµετρίες συστηµάτων ης τάξεως 5.6 Ορίζουσες 6.7 Γραµµικά συστήµατα 8.8 Θετικώς ορισµένες τετραγωνικές µορφές 8.9 Η χαρακτηριστική εξίσωση τετραγωνικού πίνακα 0.0 Ο τελεστής " ".0. Ο τελεστής βαθµίδας.0. Ο τελεστής στροβιλισµού.0. Ο τελεστής αποκλίσεως 5. Παράρτηµα I: Χρήσιµες ταυτότητες µεταξύ διαφορικών τελεστών 7. Παράρτηµα ΙΙ: Το θεώρηµα αποκλίσεως 8 Στο Κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τη σηµειολογία µε χρήση δεικτών και τη χρήση της αθροιστικής σύµβασης κατά Gauß-Ensten. Ειδικότερα παρουσιάζεται µία σύνοψη ορισµένων βασικών ορισµών και θεωρηµάτων από την περιοχή της Γραµµικής Άλγεβρας,, και της ιανυσµατικής Ανάλυσης 4 kvs M.. and Goldbeg V.V. n Intoducton to Lnea lgeba & Tensos, Dove, 97. Pettofezzo.J., Matces and Tansfomatons, Dove, 966. McConnell.J., pplcatons of Tenso nalyss, Dove, Ruthefod D.E., Vecto Methods, Dove, 004.

2 6 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ, 008 Ιωάννης Γ. Βαρδουλάκης, D-Ing., Καθηγητής της Μηχανικής στο Ε. Μ. Πολυτεχνείο Τ.Θ. 44, Παιανία 90-0,

3 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης Συµβολισµοί µε τη χρήση δεικτών Συχνά θα συναντήσουµε στη βιβλιογραφία τη συντοµογραφία µιας αλγεβρικής ποσότητας, όπως είναι π.χ. οι συντεταγµένες ενός σηµείου, όπου θα γίνεται χρήση του λεγόµενου βωβού δείκτη. Έτσι όταν θέλουµε να αναφερθούµε στις συντεταγµένες ενός σηµείου στο χώρο, αντί της πλήρους αναλυτικής αναγραφής αυτών, x, x, x (.) θα χρησιµοποιήσουµε απλά το συµβολισµό, x (.) αφού προηγουµένως έχουµε καθορίσει ότι ο βωβός (και εµ προκειµένω κάτω) δείκτης θα παίρνει τις τιµές, και. Επειδή όµως δεν έχουµε καθορίσει ακόµα τη µαθηµατική υπόσταση της ποσότητας x, δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε στο σηµείο αυτό ονοµασίες όπως «διάνυσµα» ή «τανυστής», που έχουµε ακούσει πιθανώς να αναφέρεται σε άλλα Μαθήµατα Μηχανικής και Μαθηµατικών. Εδώ θα αρκεσθούµε στο να αποκαλούµε το µέγεθος x, ως ένα σύστηµα ης τάξεως, αφού εµφανίζει ένα µόνο δείκτη. Επίσης θα παρατηρήσουµε ότι ο δείκτης µπορεί να αναγράφεται είτε κάτω είτε πάνω, οπότε συχνά θα συναντήσουµε το συµβολισµό x (.) αποσαφηνίζοντας ότι στη περίπτωση αυτή ο άνω δείκτης δεν θα πρέπει να εκληφθεί ως εκθέτης. Στο σηµείο αυτό συνηθίζεται να γίνεται αναφορά στις λεγόµενες, α) γραµµικές µορφές, που είναι αθροίσµατα της µορφής (.4) = L= a x = a x + a x + a x και β) δι-γραµµικές ή τετραγωνικές µορφές j j (.5) = j= Q = a x x = a x x + a x x + a x x + Παράλληλα, για τη συµπύκνωση της γραφής µας, θα κάνουµε χρήση της λεγόµενης συµβάσεως αθροίσεως πάνω σε επαναλαµβανόµενο δείκτη κατά Gauß-Ensten, συµφώνως µε την οποία οι παραπάνω γραµµικές ή πολυ-γραµµικές µορφές θα γράφονται χωρίς το σύµβολο του αθροίσµατος και µε προκαθορισµένο το πεδίο τιµών των δεικτών, L= a x (, j =,,) (.6) j Q= a x x (, j =,,) j Παρατηρούµε ότι η µετονοµασία ενός δείκτη π.χ. από σε k δεν επιφέρει καµία αλλαγή στο αποτέλεσµα της αθροίσεως, k L ax akx = = (.7)

4 8 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 Επίσης παρατηρούµε ότι σε κάθε ένα σύστηµα ης τάξεως µπορούµε να αντιστοιχίσουµε αµφιµονοσήµαντα ένα µητρώο-γραµµή ( ) που περιέχει τα στοιχεία του εν λόγω συστήµατος { } a { a} = a, a, a (.8) ή ένα µητρώο-στήλη ( ), x T x { x } = x x Η γραµµική µορφή υπολογίζεται από το µητρωικό γινόµενο γραµµής επί στήλη x a a a x = a x L x {,, } { } (.9) (.0) Σε κάθε σύστηµα ας τάξεως µπορούµε να αντιστοιχήσουµε το µητρώο των στοιχείων του, a a a aj [ aj ] = a a a (.) a a a η δε τετραγωνική µορφή υπολογίζεται από το αντίστοιχο µητρωικό γινόµενο Άσκηση a a a x x x x a a a x = a a a x x j j = { x a, x a, x a} x = { x ajx } = { ajx x } Q x {,, } (.) Να σχεδιασθούν οι δευτεροβάθµιες επιφάνειες στο χώρο που δίδονται από τις εξισώσεις, Q =, Εξ. (.), για τις κάτωθι περιπτώσεις (Εικ. -): Ελλειψοειδές: a 0 0 x [ ] 0 0 x x a j = b + + = a b c 0 0 c

5 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης Μονόφυλλο υπερβολοειδές: ίφυλλο υπερβολοειδές: a 0 0 x [ ] 0 0 x x a j = b + = a b c 0 0 c a 0 0 x [ ] 0 0 x x a j = b = a b c 0 0 c Παρατηρούµε ότι για Q = 0 το δεύτερο µητρώο οδηγεί στην εξίσωση ενός πραγµατικού κώνου. Εικ. -: (α) Ελλειψοειδές. (β) Μονόφυλλο υπερβολοειδές. (γ) ίφυλλο υπερβολοειδές.. Συµµετρικά και αντισυµµετρικά συστήµατα Ένα συµµετρικό σύστηµα ας τάξεως a j χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα ότι η τιµή του δεν αλλάζει αν γίνει εναλλαγή των δεικτών, a = a (.) j j Παρατηρούµε ότι στη θεωρούµενη περίπτωση ο πίνακας των στοιχείων του αντίστοιχου συστήµατος ας τάξεως είναι συµµετρικός ως προς την κύρια διαγώνιό του. Π.χ. ένας συµµετρικός πίνακας περιέχει µόνο 6 ανεξάρτητα στοιχεία, a a a a c b a = a a a a = c a a j j a a a b a a Ως σύµβολο Konecke ορίζουµε το εξής συµµετρικό σύστηµα ας τάξεως δ j, (.4)

6 0 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 f : = j δj = δj = δ j 0 f : j Στο σύµβολο Konecke αντιστοιχεί ο µοναδιαίος πίνακας δ δ δ 0 0 δj = δ j [ I ] = δ δ δ 0 0 = δ δ δ 0 0 (.5) (.6) Ένα πλήρως συµµετρικό σύστηµα ης τάξεως χαρακτηρίζεται από τις εξής σχέσεις, ajk = akj = ajk = akj = ajk = akj (.7) Ένα αντισυµµετρικό σύστηµα ας τάξεως χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα ότι εναλλαγή των δύο δεικτών επιφέρει αλλαγή του πρόσηµου του, a = a (.8) j j Από τον ορισµό αυτό προκύπτει ότι σε ένα αντισυµµετρικό σύστηµα ας τάξεως τα διαγώνια στοιχεία είναι µηδενικά. Π.χ., σε έναν αντισυµµετρικό πίνακα έχουµε, a = a = a = 0 (.9) οπότε ο πίνακας αυτός περιέχει µόνο ανεξάρτητα στοιχεία a a a 0 c b aj = aj a a a = c 0 a (.0) a a a b a 0 Αντιστοίχως ένα πλήρως αντισυµµετρικό σύστηµα ης τάξεως ικανοποιεί τις παρακάτω σχέσεις ajk = akj = ajk = akj = ajk = akj (.). Συµµετρικό και αντισυµµετρικό µέρος συστήµατος ας τάξεως Ως το συµµετρικό και το αντισυµµετρικό µέρος του a j ορίζουµε αντιστοίχως τα συστήµατα a( j) = ( aj + aj ) (.) a[ j] = ( aj aj ) (.) Με τη χρήση των συµβόλων Konecke µπορούµε να κατασκευάσουµε δύο συστηµάτων 4 ης τάξεως, που έχουν την ιδιότητα να µετατρέπουν ένα τυχόν σύστηµα ας τάξεως σε συµµετρικό και αντισυµµετρικό σύστηµα. Πράγµατι τα συστήµατα Sjkl = ( δkδ jl + δlδ jk ) (.4)

7 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 = δk δl ( δ δ δ δ ) δ δ = (.5) jkl k jl l jk jk jl χαρακτηρίζονται αντιστοίχως από τις εξής ιδιότητες, Ασκήσεις Sjklakl a( j) jklakl a[ j] = (.6) = (.7) ) Να αποδειχθεί ότι ένα πλήρως αντισυµµετρικό σύστηµα ης τάξεως έχει µία µόνο µη- µηδενική συνιστώσα, a f :( jk) = cycl(,,) ajk = a f :( jk) = cycl(,,) 0 else (.8) ) (Ευθύ) Να αποδειχθεί ότι αν το σύστηµα ας τάξεως a j είναι αντισυµµετρικό τότε η δι-γραµµική µορφή, j axx = 0 (.9) j ) (Αντίστροφο) Να αποδειχθεί ότι. αν ισχύει η παραπάνω Εξ. (.9) για όλες τις τιµές της µεταβλητής x, τότε το σύστηµα a j είναι αντισυµµετρικό. 4) Έστω w k και ψ k η µετατόπιση και στροφή της διατοµής αµφιέρειστης ελαστικής δοκού ακαµψίας ( EI ) στη θέση x λόγω µοναδιαίου φορτίου στη θέση x k (Εικ. -). Να διερευνηθεί και να αιτιολογηθεί αν τα συστήµατα ας τάξεως συµµετρικά ή όχι. w k και ψ k είναι Εικ. -: Η επιρροή µοναδιαίου φορτίου στην παραµόρφωση αµφιέρειστης δοκού.4 Το σύµβολο Lev-Cvta και τα σύµβολα Konecke Το λεγόµενο µοναδιαίο αντισυµµετρικό ή αντιµεταθετικό σύστηµα ης τάξεως ή σύµβολο Lev-Cvta, ε jk ορίζεται ως εξής:

8 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 ε jk + f :(, j, k) = cycl(,,) = f :(, j, k) = cycl(,,) 0 else δηλ. ε ε ε ε ε ε ε ε = = =, = = =, = = = 0. (.0) Με τη βοήθεια του συµβόλου αυτού το τυχόν αντισυµµετρικό σύστηµα ης τάξεως γράφεται ως εξής (γιατί;) a = a ε (.) jk jk Όπως ήδη αναφέραµε θα χρειασθεί να διακρίνουµε ανάµεσα σε συστήµατα που έχουν δείκτες αναγραµµένους είτε «κάτω», όπως το σύστηµα ε jk, είτε «πάνω», όπως το σύστηµα, το οποίο θα ορισθεί κατ αναλογία της (.0) ως, ε jk ε jk + f :(, j, k) = cycl(,,) = f :(, j, k) = cycl(,,) 0 else (.) Ένα αντισυµµετρικό σύστηµα ας τάξεως προσδιορίζεται πλήρως από ένα σύστηµα ης τάξεως, 0 ω ω [ ωj ] = ω 0 ω ωj = εjkωk (.) ω ω 0 Στην περίπτωση αυτή έχουµε ότι, ωl = εlω (.4) Προφανώς αν ορίσουµε ως ω = ω από τις παραπάνω σχέσεις παίρνουµε τις εξής ισοδύναµες εκφράσεις, ωj = εjkω k ω l = εlω (.5) Το γινόµενο των δύο αντισυµµετρικών συστηµάτων ης τάξεως, ορίζει το εξής σύστηµα 6 ης τάξεως st st ε pε δp = (.6) Το σύστηµα αυτό καλείται σύµβολο Konecke 6 ης τάξεως. Για τον προσδιορισµό του συστήµατος δ ορίζουµε κατ αρχήν τα συµµετρικά σύµβολα Konecke ας τάξεως st p j j j f : = j δj = δ = δ = δ = 0 f : j Στα σύµβολα Konecke ας τάξεως αντιστοιχεί ο µοναδιαίος πίνακας, π.χ. (.7)

9 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης j j j δj = δ = δ = δ [ I ] = (.8) Με τη βοήθεια των συµβόλων Konecke ας τάξεως µπορούµε να ορίσουµε τις πράξεις: α) της αναβιβάσεως, καταβιβάσεως και εναλλαγής ενός δείκτη δ x = x, δ x = x, δ x = x, δ x = x j j j j j j j j j j j j j j j j k k k k δ x = x, δ x = x, δ x = x, δ x = x δ a = a, δ a = a β) της συστολής 5 ενός δείκτη δ δ δ δ j ja = a = a + a + a j aj = a j a j = a j aj = a (.9) (.40) Κάνοντας χρήση του ορισµού του συµβόλου Lev-Cvta µπορούµε να αποδείξουµε ότι το σύµβολο Konecke 6 ης τάξεως δ παίρνει τις εξής τιµές: st p δ = 0, όταν δύο ή περισσότεροι δείκτες ταυτίζονται, st p st δ p st δ p =+, όταν οι δείκτες (,s,t) και (p) διαφέρουν κατά άρτιο αριθµό µεταθέσεων, =, όταν οι δείκτες (,s,t) και (p) διαφέρουν κατά περιττό αριθµό µεταθέσεων. Αυτός ο ορισµός µπορεί να συνοψισθεί στην παρακάτω χρήσιµη σχέση, που συνδέει το st σύµβολο δ p µε µία ορίζουσα της οποίας τα στοιχεία είναι σύµβολα Konecke ας τάξεως, δ δ δ δ = δ δ δ (.4) m n p st s s s p m n p t t t δm δn δp st Συστολή του συµβόλου δ p δίνει το σύµβολο Konecke 4 ης τάξεως, δ = δ δ = δ δ = δ = δ + δ + δ (.4) s st tp sp sp s s s p t tp p όπου αποδεικνύεται ότι, 5 Αγγλ. contacton, Γερµ. Vejüngung

10 4 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 οπότε δ δ δ = = δδ δδ (.4) s m n s s s s m n n m δm δn ε ε = ε ε δ = δ δ = δ = δ δ δ δ (.44) sp st tp st tp s s s p p p m n n m Άρα από τις εξ. (.5), (.7) και (.44) παίρνουµε ότι, klp a[ j] = ( aj aj ) = εjpε akl (.45) Περαιτέρω συστολή του συµβόλου Konecke 4 ης τάξεως οδηγεί στη σχέση του µε το σύµβόλο Konecke ας τάξεως, δ n = δ (.46) m Επίσης ισχύουν και οι κάτωθι χρήσιµες ταυτότητες, δ δ = δ δ jk hlp jk hl p st st jk hnp jk h δ δ =! δ δ p st st m (.47) δ δ =! δ jk p jk p st st Ασκήσεις Nα αποδειχθεί ότι ε st = ( s)( s t)( t ),, s, t {,,} (.48) Να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις: δ = δ st mst = δ m δ st st =! δ = δ = δ st st s t ntm (.49) δ a = a a s s s δ a = a a + a a + a a st p st ts st st ts ts p

11 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης Συµµετρίες συστηµάτων ης τάξεως 6 Έστω jk ένα τυχόν σύστηµα ης τάξεως. Με βάση το σύστηµα αυτό µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα πλήρως συµµετρικό σύστηµα ης τάξεως, Sjk = ( jk + kj + jk + jk + kj + kj ) (.50)! και ένα πλήρως αντισυµµετρικό σύστηµα ης τάξεως, Qjk = ( jk kj + jk jk + kj kj ) (.5)! Παρατηρούµε όµως ότι το σύστηµα ( ) R = S + Q (.5) jk jk jk jk δεν είναι το µηδενικό σύστηµα ης τάξεως. Πράγµατι το «υπόλοιπο» R jk µπορεί να αναλυθεί ποικιλοτρόπως. Π.χ. το R jk αναλύεται σε ένα σύστηµα συµµετρικό ως προς τους δύο πρώτους δείκτες (, j ) και σε ένα σύστηµα συµµετρικό ως προς τον πρώτο και τρίτο δείκτη (, k ), όπου R = S + S (.5) () () jk jk jk (( ) ( )) S =! + S =! + () jk jk kj jk kj (( ) ( )) () jk jk jk kj jk (.54) Προφανώς τα συστήµατα αυτά µηδενίζονται όταν το σύστηµα jk είναι πλήρως συµµετρικό. Οµοίως µπορούµε να αναλύσουµε το υπόλοιπο Rjk σε ένα σύστηµα αντισυµµετρικό ως προς τους δείκτες (, k ) και σε ένα σύστηµα αντισυµµετρικό ως προς τους δείκτες (, j ) όπου R = Q + Q (.55) () () jk jk jk (( ) ( )) Q =! + + Q =! + () jk jk jk kj jk (( ) ( )) () jk jk kj jk kj (.56) 6 Wade; T. L. and Buck, R. H. (944). Types of symmetes. The mecan Mathematcal Monthly, 5, -9.

12 6 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 Τα συστήµατα αυτά µηδενίζονται όταν το σύστηµα jk είναι πλήρως αντισυµµετρικό. Συµπέρασµα των ανωτέρω είναι ότι για να είναι ένα σύστηµα ης τάξεως συµµετρικό πρέπει το αντισυµµετρικό του µέρος Qjk να µηδενίζεται αλλά αυτό δεν αρκεί, διότι πρέπει επίσης να µηδενίζεται και το υπόλοιπο που συµβολίσαµε µε R jk..6 Ορίζουσες Ας θεωρήσουµε την ορίζουσα του πίνακα [ a ] s = det[ a ] = a = a a a (.57) s s a a a a a a Παρατηρούµε ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις a a a = ε a a a jk j k s ε = ε a a a m st jk s t n j k ε = ε a a a m j k n st jk s t (.58) Ας θεωρήσουµε το ανάπτυγµα της ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της πρώτης στήλης, s a a a a = a a a = a + a + a (.59) a a a Στο ανάπτυγµα αυτό µε a, δηλαδή έχουµε συµβολίσει τις ελάσσονες ορίζουσες των στοιχείων a a a a a a a a a a a a + s t = ( ) = = ε + ε = εst a a + a a s t = ( ) = ( ) = ε + ε = εst a a + a a = ( ) = = ε + ε a a = ε aa s t st a a a a a a a a a a a a a a a a a a Γενικώς ισχύει η σχέση, (.60) s t jk s t jk s t ε εstaa = ε εstaa j k = δst aa j k (.6)!! οπότε το στοιχείο, παίρνει την εξής µορφή,

13 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης jk s t = δstajak (.6)! Με τη βοήθεια αυτής της σχέσεως µπορούµε να υπολογίσουµε το παρακάτω ανάπτυγµα, a = δ a a a = ε ε!! a a a jk p jk p = ε εjk aq = δjk aq!! m jk m s t jk m s t m mst j k mst j k Οπότε παίρνουµε την παρακάτω έκφραση για το ανάπτυγµα µιας ορίζουσας, a m m (.6) = δ (.64) Οµοίως έχουµε και τη σχέση, a = δ (.65) m m Όταν η ορίζουσα είναι διάφορη του µηδενός ( 0 ) τότε το στοιχείο α = (.66) είναι το συµπληρωµατικό του στοιχείου ( ) a και συµβολίζεται ως, α = co a (.67) Οπότε, έχουµε τις σχέσεις ή ή a α = a α = δ (.68) m m m m a a a α α α 0 0 a a a α α α 0 0 = a a a α α α 0 0 a a a 0 0 a a a 0 0 = a a a 0 0 Η παραπάνω σχέσεις ορίζουν τον αντίστροφο ενός τετραγωνικού πίνακα: Έστω, a a a = [ as ] = a a a a a a [ ] (.69) (.70) (.7)

14 8 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 Αν η ορίζουσα του πίνακα αυτού είναι διάφορη του µηδενός, δηλαδή αν [ ] τότε ορίζουµε τον αντίστροφο του πίνακα [ ] ως = det 0, = [ ] Επίσης µπορούµε να αποδείξουµε τις παρακάτω χρήσιµες σχέσεις, ε = ε a a st jk s t j k s t jk = εstajak ε a = Αντίστοιχο τυπολόγιο µπορεί να αναπτυχθεί και για το σύστηµα a : a a a = det[ as ] = as = a a a a a a jk st = ε ε ajsakt! m m am = am = δ co( a ) = α = ( 0) m m a α = a α = δ m m (.7) (.7) (.74).7 Γραµµικά συστήµατα Η λύση του γραµµικού συστήµατος m a x = b ( 0) (.75) m είναι, m x = b m (.76).8 Θετικώς ορισµένες τετραγωνικές µορφές m n Ορισµός: Η τετραγωνική µορφή, Q= a x x, λέγεται θετικώς ορισµένη, όταν 0 f : x = 0 Q = > 0 f : x 0 (.77)

15 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης m n m n Θεώρηµα: Θεωρούµε δύο τετραγωνικές µορφές Q= ax x και S = bx x, όπου τα συστήµατα a και b είναι συµµετρικά. Επίσης θεωρούµε την ορίζουσα, ( ) λa b λa b λa b Λ λ = λa b = λa b λa b λa b λa b λa b λa b (.78) Αν η τετραγωνική µορφή m n Q ax x = είναι θετικώς ορισµένη, τότε η εξίσωση, Λ ( λ ) = 0 (.79) έχει πραγµατικές ρίζες. Απόδειξη: Έστω, ρ = α + β, ρίζα της Εξ. (.79). Τότε υπάρχει ένα µη-µηδενικό σύστηµα 7, n n n z = x + y που να ικανοποιεί το γραµµικό σύστηµα 8 ή n [ a b ]{ z } 0 ρ = (.80) n n { } [( α + β) a b ] x + y = 0 (.8) Εξισώνοντας τα πραγµατικά και φανταστικά µέρη της παραπάνω εξισώσεως παίρνουµε, n n n αa x βa y b x = 0 (.8) n n n αa y + βa x b y = 0 (.8) Οπότε πολλαπλασιάζοντας την Εξ. (.8) επί αθροίζοντας πάνω στο δείκτη m παίρνουµε, m y και την Εξ. (.8) επί β ( a x n x m + a y m y n ) = ( b b ) x m y n = 0 (.84) nm m x και Τα στοιχεία x και y δεν είναι όλα κατ ανάγκην µηδέν και η τετραγωνική µορφή m n a x x είναι θετικώς ορισµένη, οπότε από την Εξ. (.84) έπεται ότι β = 0. ο.ε.δ. m Αν πολλαπλασιάσουµε την Εξ. (.8) επί x και την Εξ. (.8) επί πάνω στο δείκτη m, τότε παίρνουµε τη σχέση m y και αθροίσουµε α ( a x n x m + a y m y n ) = b x m x n + b y m y n (.85) 7 Ο n είναι εµ προκειµένω ένας άνω δείκτης. 8 Υπενθυµίζουµε ότι ο δείκτης n δεν είναι εκθέτης και ότι πραγµατοποιείται άθροιση πάνω σε κάθε επαναλαµβανόµενο δείκτη.

16 0 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 m n Αν τώρα δεχθούµε ότι και η τετραγωνική µορφή bx x είναι επίσης θετικώς ορισµένη, m n τότε από την Εξ. (.85) παίρνουµε ότι, α > 0. Άρα αν οι τετραγωνικές µορφές ax x m n και bx x είναι θετικώς ορισµένες και τα συστήµατα a, b είναι συµµετρικά, τότε οι ρίζες της εξισώσεως, λa b = 0, είναι όλες πραγµατικές και θετικές..9 Η χαρακτηριστική εξίσωση τετραγωνικού πίνακα Οι ιδιοτιµές ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ] ικανοποιούν τη χαρακτηριστική του εξίσωση (γιατί;) αδ = 0 (.86) j j ή α I α + II α III = 0 (.87) όπου I, II και III είναι οι λεγόµενες βασικές αναλλοίωτες του πίνακα [ ], που δίδονται από τις παρακάτω σχέσεις, συναρτήσει των στοιχείων του πίνακα [ ] = [ a j ] και των ιδιοτιµών του α ( =,,) : I = + + = α + α + α (.88) II = + + = αα + αα+ αα (.89) III = = ααα (.90) Θεώρηµα Οι ιδιοτιµές ενός συµµετρικού πραγµατικού πίνακα είναι πραγµατικοί αριθµοί. Απόδειξη Έστω και έστω n = λn, = (.9) j j j j j n = a + b, n = a b (.9) Από την Εξ. (.9) παίρνουµε,

17 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 nn j j = ( nn j j + nn j j ) = ( j ( a + b )( aj bj ) + j ( aj + bj )( a b )) = = = aa + bb ( aa j j ab j j ba j j bb j j aa j j ab j j ba j j bb j j ) ( aa j j ab j j ba j j bb j j aa j j ab j j ba j j bb j j ) j j j j αλλά και nn ( ) λ λ j j = nn j j + nn = λ + = λ + + = λ + λ ( a b)( a b) ( aa ab ba bb ) ( aa bb) Ασκήσεις ο.ε.δ.. Να γραφεί πρόγραµµα H/Y, που για δεδοµένο συµµετρικό πίνακα να υπολογίζει τις ιδιοτιµές και τα ιδιο-διανύσµατά του συµπεριλαµβανοµένων και των περιπτώσεων 0 πολλαπλών ιδιοτιµών. Π.χ. ο πίνακας: [ j ] = έχει τις ιδιοτιµές, 0 α =,,5. { } { }. Ποια είναι η γεωµετρική σηµασία των ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων ενός συµµετρικού πίνακα σε σχέση µε την αντίστοιχη επιφάνεια ας τάξεως που j T ορίζεται από τη σχέση, { x}[ j]{ x j} =. Για τη διερεύνηση αυτού του ερωτήµατος σκόπιµο θα ήταν να σχεδιασθεί η αντίστοιχη επιφάνεια στο σύστηµα κυρίων αξόνων του πίνακα [ j ].

18 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης Ο τελεστής " " 9.0. Ο τελεστής βαθµίδας Εικ. -: Η κάθετος σε σηµείο επί επιφανείας στο χώρο Ας θεωρήσουµε καρτεσιανές συντεταγµένες x ( ) = x, x = y, x = z και την εξίσωση, φ( x ) = φ x, y, z = c = const. (.9) Για διάφορες τιµές της σταθεράς c παίρνουµε µία οικογένεια επιφανειών (Εικ. -). Για κάποια τιµή της σταθεράς c µία από αυτές τις επιφάνειες διέρχεται από δεδοµένο σηµείο Pxyz (,, ). Η κάθετη στην επιφάνεια αυτή στο σηµείο αυτής Pxyz (,, ) δίδεται από τα συνηµίτονα κατευθύνσεώς της, που όπως γνωρίζουµε από την Αναλυτική Γεωµετρία των επιφανειών είναι ανάλογα των ποσοτήτων φ φ, φ, φ = x x y z Οπότε το διάνυσµα P P (.94) φ e x P είναι παράλληλο προς την κάθετο στην επιφάνεια ( x, yz, ) (.95) φ = C στο σηµείο P. Έστω dn το µήκος ενός απειροστικού ευθύγραµµου τµήµατος κατά µήκος της καθέτου στην εν λόγω επιφάνεια στο σηµείο P. Τα συνηµίτονα κατευθύνσεως της καθέτου αυτής είναι 9 Το κεφάλαιο αυτό είναι βασισµένο στο αντίστοιχο από το βιβλίο: D.E. Ruthefod, Vecto Methods, Dove, 004.

19 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 dx dy dz,, dn dn dn Οπότε το µέγεθος του διανύσµατος που δίδεται από την Εξ. (.95) είναι φ dx φ dy φ dz + + = φ x dn y dn z dn n Εισάγοντας τον τελεστή βαθµίδας σε καρτεσιανές συντεταγµένες, = e x Ορίζουµε την βαθµίδα του βαθµωτού µεγέθους φ ( x ) ως φ φ gad φ = φ = e = φ, e, φ, = x x (.96) (.97) (.98) (.99).0. Ο τελεστής στροβιλισµού Εικ. -4: Κλειστή όδευση στο επίπεδο Έστω ένα διανυσµατικό πεδίο, v = ve = v e + v e + v e x x y y z z (.00) Θεωρούµε µία κλειστή καµπύλη ( C) = ( BCD) η οποία περικλείει το σηµείο Pxyz (,, ) σε ένα επίπεδο το οποίο είναι κάθετο στο διάνυσµα n = ex (Εικ. -4). Επίσης εξασφαλίζουµε όπως η όδευση της καµπύλης αυτής είναι δεξιόστροφη. Κατά µήκος αυτής της καµπύλης ( C ) µε παράµετρο το µήκος τόξου s ( C): x= x( s), y = y( s), z = z( s) (.0) ορίζουµε το στοιχειώδες διάνυσµα ds,

20 4 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 dx dy dz ds = ex + ey + ez ds (.0) ds ds ds Π.χ. για την καµπύλη στην Εικ. -4, dyey ( B),( CD) ds = (.0) dze ( BC),( D) z Με βάση τα παραπάνω ορίζουµε την ποσότητα Γ = vds (.04) C ( Γ) η οποία και καλείται η (δεξιόστροφη) κυκλοφορία κατά Kelvn της ποσότητας v (π.χ. ταχύτητας) κατά µήκος της καµπύλης C. Ένα διανυσµατικό µέγεθος, το οποίο θα συµβολίσουµε ως ot v, και το οποίο αποκαλούµε στροβιλισµό του διανύσµατος v, έχει συνιστώσα στην κατεύθυνση του διανύσµατος n που ορίζεται ως εξής: Γ lm C (.05) S 0 S όπου S είναι το εµβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από την καµπύλη ( C ). Αποδεικνύεται ότι όταν το παραπάνω όριο υπάρχει όντως η Εξ. (.05) ορίζει ένα διάνυσµα, το οποίο είναι ανεξάρτητο της επιλογής της ( C ). Βάσει της Εικ. -4 η αναλυτική έκφραση του διανύσµατος otv υπολογίζεται ως εξής: Με ( B) ( BC) ( CD) ( D) y+ β ( ) vd = v dy= βv x, y, z γ, y β y y+ β y y y β z+ γ ( ) vd = vdz= γv x, y+ β, z, z γ z z+ γ z z z γ y β ( ) vd = v dy= βv x, y, z+ γ, y β y y+ β y y y+ β z γ ( ) vd = vdz= γ v x, y β, z, z γ z z+ γ z z z+ γ (.06) S = 4βγ (.07) Από την Εξ. (.05) και (.06) παίρνουµε

21 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης Οπότε, β 0 γ 0 ( + ) ( ) γvz x, y β, z γvz x, y β, z lm lm 4βγ βvy x, y, z γ βvy x, y, z γ lm lm β 0 γ 0 4βγ ( + ) ( ) (, + β, ) (, β, ) vy( x, y, z+ γ ) vy( x, y, z γ ) vz x y z vz x y z = lm lm β 0 β γ 0 γ = vz( x, y, z) vy( x, y, z) y z v v z y v v x vz y v x ot v = ex + ey + ez (.09) y z z x x y Συµφώνως προς την Εξ. (.09) ο διαφορικός τελεστής του στροβιλισµού του διανύσµατος vx ( ) ορίζεται ως το εξωτερικό γινόµενο του τελεστή βαθµίδας και του v, ot v = v = e ( ve ) k l l xk Παρατηρούµε ότι ο στροβιλισµός του διανύσµατος vx ( ) αντισυµµετρικό µέρος της βαθµίδας του..0. Ο τελεστής αποκλίσεως (.0). ταυτίζεται µε το (.08) Εικ. -5: Κλειστή επιφάνεια στο χώρο Κατ αναλογία µε τη διαδικασία που εκθέσαµε στη προηγούµενη παράγραφο ορίζουµε µία κλειστή επιφάνεια ( S ), που περιβάλει ένα δεδοµένο σηµείο Px ( ) στο χώρο. Π.χ. η

22 6 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008 κλειστή επιφάνεια µπορεί να αποτελείται από τις πλευρές ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου του οποίου οι πλευρές είναι παράλληλες προς τους άξονες του καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων (Εικ. -5). Γενικώς σε κάθε σηµείο της εν λόγω κλειστής επιφάνειας θεωρούµε το εξωτερικό µοναδιαίο διάνυσµα n και αν ds συµβολίζει το εµβαδόν του στοιχείο της επιφάνειας τότε ορίζουµε το διάνυσµά nds. Για ένα δεδοµένο διανυσµατικό µέγεθος vx ( ) ορίζουµε την ποσότητα, Q = vnds (.) S ( S ) καλείται η ροή του vx ( ). Ένα βαθµωτό µέγεθος, το οποίο θα συµβολίσουµε ως dvv, και το οποίο αποκαλούµε απόκλιση του διανύσµατος v, έχει τιµή που ορίζεται ως εξής: Q dvv = lm S (.) V 0 V όπου V είναι ο όγκος που περικλείεται από την επιφάνεια ( S ). Άσκηση Να αποδειχθεί ότι dvv και ότι, dvv v v v v x y z = + + = = x y z x = v v, (.) (.4)

23 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης Παράρτηµα I: Χρήσιµες ταυτότητες µεταξύ διαφορικών τελεστών

24 8 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης 008. Παράρτηµα ΙΙ: Το θεώρηµα αποκλίσεως 0 Θεωρούµε ένα χωρίο V του R που περιβάλλεται από το σύνορο V. Στο τυχόν σηµείο του συνόρου ορίζουµε την στοιχειώδη επιφάνεια ds µε µοναδιαίο εξωτερικό διάνυσµα n. Εικ. -6: Κανονικό χωρίο εφαρµογής του θεωρήµατος αποκλίσεως Έστω στο χωρίο αυτό µία διανυσµατική συνάρτηση q q ( x ) (, k,,) = =, που k είναι συνεχής και έχει συνεχείς πρώτες παραγώγους. Τότε ισχύει qk dv = q k n k ds x (.5) ( V) k ( V) ή dv q dv = ( V ) ( V ) q n ds (.6) δηλαδή το ολοκλήρωµα της αποκλίσεως ενός διανυσµατικού πεδίου πάνω στο χωρίο V ισούται µε την συνολική «ροή» του πεδίου δια µέσου του συνόρου αυτού V. Άσκηση Να αποδειχθεί ότι ψ dv = nψ ds x (.7) ( V) k ( V) 0 Το θεώρηµα αυτό παρουσιάστηκε υπό διαφορετικές µορφές από τους Lagange (76), Gauss (8), Ostogadsky (8) και Geen (88). Καµιά φορά αποκαλείται και Θεώρηµα Αποκλίσεως (Dvegence Theoem). Στη σχετική βιβλιογραφία θα αναζητήσουµε επίσης και τα παρεµφερή Θεωρήµατα Geen και Stokes. Hay, G.E., Vecto and Tenso nalyss, Dove, p. 49 ff, 95.