Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 2., Ι. Βαρδουλάκης, 2008
|
|
- Κλείτος Αλεξανδρίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . ΤΑΝΥΣΤΕΣ. ΤΑΝΥΣΤΕΣ 9.1 Ορθογώνιοι γραµµικοί µετασχηµατισµοί 31. Αναλλοίωτοι και αντικειµενικοί τανυστές 34.3 Συµβολική γραφή Chapan-Cowlng 36.4 Το τανυστικό γινόµενο 37.5 Καρτεσιανοί τανυστές 38.6 Ισότροποι τανυστές 38.7 Ισότροπες τανυστικές συναρτήσεις µίας τανυστικής µεταβλητής 40.8 Λοξά συστήµατα συντεταγµένων 47.9 Τανυστές Συναλλοίωτες και ανταλλοίωτες συντεταγµένες ενός διανύσµατος Τανυστές ανωτέρας τάξεως 59 Στο Κεφάλαιο αυτό γίνεται µία σύντοµη εισαγωγή στην έννοια του τανυστή και των τανυστικών συναρτήσεων 1,,3 σε καρτεσιανές συντεταγµένες καθώς και η επέκταση της έννοιας του τανυστή σε λοξά συστήµατα συντεταγµένων. 1 Teple G., Cartesan Tensors, Dover, 004 Dushe A. und Hochraner A., Tensorrechnung n Analytscher Darstellung, Ι. Tensoralgebra Sprnger McConnell A.J. Applcatons of Tensor Analyss, Dover, 1957
2 30 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008. ΤΑΝΥΣΤΕΣ, 008 Ιωάννης Γ. Βαρδουλάκης, Dr-Ing., Καθηγητής της Μηχανικής στο Ε.Μ. Πολυτεχνείο Τ.Θ. 144, Παιανία 190-0,
3 31 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, Ορθογώνιοι γραµµικοί µετασχηµατισµοί Εικ. -1: Στροφή αξόνων το επίπεδο Θεωρούµε δύο δεξιόστροφα καρτεσιανά συστήµατα συντεταγµένων x και x, αντιστοίχως (Εικ. -1). Το τυχόν διάνυσµα θέσεως παρίσταται ως εξής, OP = R = x e = x e (.1) Η µετάβαση από τις συντεταγµένες του πρώτου συστήµατος στις συντεταγµένες του δευτέρου προκύπτει από τις προβολές του διανύσµατος θέσεως πάνω στους αντίστοιχους άξονες, π.χ., Re 1 = x1 1+ x 0+ x3 0 = x ( e e ) + x ( e e ) + x ( e e ) = Q x + Q x + Q x (.) ή γενικώς x = Q x (.3) Παρατηρούµε ότι στον παραπάνω µετασχηµατισµό, Εξ. (.3), οι συντελεστές ταυτίζονται µε τα συνηµίτονα κατευθύνσεως των αξόνων x ως προς άξονες x Q = e e = e e = Q (.4) Q Από τη σχέση e = a e e e = a e e n n Q = a δ = a n n n (.5)
4 3 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 παίρνουµε ότι, e = Q e (.6) Π.χ. σε δύο διαστάσεις έχουµε (Εικ. -1), [ Q] cosφ snφ = snφ cosφ Έστω ν και ν τα συνηµίτονα κατευθύνσεως του µοναδιαίου διανύσµατος R / R, ως προς τα συστήµατα αξόνων x και x, αντιστοίχως. Τότε συµφώνως µε τα ανωτέρω έχουµε την σχέση και οµοίως Οπότε, και (.7) ν = Q ν (.8) ν = Q ν = ν Q (.9) ν ν = Q Q ν ν (.10) n n ν ν = ν ν = 1 Q Q ν ν = 1= ν ν = δ ν ν (.11) n n n n n n n n Η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε επιλογή των συνηµίτονων ν, οπότε και Q Q = δ (.1) n n Q Q Q = Q δ = Q (.13) j ' ' l ' j ' l jl ' Επειδή δ j Ql Qjl = (.14) από τις Εξ. (.13) και (.14) παίρνουµε τελικά ότι Q Q ' j ' ' j' = δ (.15) Από τις παραπάνω σχέσεις επίσης προκύπτει ότι det[ Q Qn ] det[ Qn ] 1 Qn 1 = = =± (.16)
5 33 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Παρατηρούµε ότι προκειµένου περί στροφής των αξόνων ισχύει το θετικό πρόσηµο, ενώ το αρνητικό πρόσηµο περιγράφει κατοπτρισµό σε επίπεδο. Ο αντίστροφος του [ Q ] ταυτίζεται µε τον ανάστροφό του, Q Q = δ, Q Q = δ (.17) n n ' j' ' j' Οπότε η ορίζουσα του πίνακα [ Q ] και του αντίστροφού του έχει µέτρο την µονάδα, Q = Q =± 1 (.18) n n Όπως αναφέραµε πιο πάνω, η τιµή + 1 αντιστοιχεί σε στροφή αξόνων η δε τιµή 1 αντιστοιχεί σε κατοπτρισµό σε επίπεδο. Οι µετασχηµατισµοί που αντιστοιχούν σε στροφές καλούνται και κανονικοί ορθογώνιο µετασχηµατισµοί 4. Επειδή ο [ Q ] είναι ορθογώνιος από την Εξ. (.6) έπεται ότι (γιατί;) e = e Q n n (.19) Παρατηρούµε ότι οι ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί που δίδονται από την Εξ. (.3) αποτελούν πάλι µιαν αλγεβρική οµάδα. Πράγµατι: α) Με το στοιχείο, Qj = δj υπάρχει ο µοναδιαίος ή ταυτοτικός µετασχηµατισµός, x = Q x = δ x = x (.0) β) Για κάθε µετασχηµατισµό, x = Q x, υπάρχει και ο αντίστροφός του, x Q = Q Q x = δ x x = x Q (.1) n n n n γ) Αν θεωρήσουµε δύο διαδοχικούς ορθογώνιους µετασχηµατισµούς, x = Q x και x = Q x, τότε ο µετασχηµατισµός, x = Q x = Q Q x = Q x (.) n n n n ανήκει στην οµάδα, αφού ο πίνακας Qn = Q Qn είναι ορθογώνιος (γιατί;). 4 Αγγλ. proper orthogonal
6 34 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008. Αναλλοίωτοι και αντικειµενικοί τανυστές Θεώρηµα A B Η απόσταση δύο σηµείων A( x ), B( x ) παραµένει αναλλοίωτη µετά από έναν ορθογώνιο µετασχηµατισµό. Απόδειξη: Έστω x = x x και B A x = x x B A οπότε, x = Q x και ' ' = x x = Q x Q x = δ x x = x x = ο.ε.δ. Ορισµoί 1. Ένα διάνυσµα καλείται αντικειµενικό όταν µετασχηµατίζεται όπως και οι συντεταγµένες του διανύσµατος θέσεως, Εξ.(.3), b = Q b (.3) οπότε (γιατί;) b = b Q (.4) n n. Ένας τανυστής ας τάξεως καλείται αντικειµενικός, όταν ως προς κάθε του δείκτη µετασχηµατίζεται ως αντικειµενικό διάνυσµα t = Q Q t (.5) j n j n 3. Ένα βαθµωτό, διανυσµατικό ή τανυστικό µέγεθος καλείται αναλλοίωτο 5, όταν 5 Αγγλ. nvarant
7 35 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 = a T j = a = T j κλπ. (.6) Καµία φορά, όταν δεν υπάρχει περίπτωση παρανόησης, ο χαρακτηρισµός ενός τανυστή ως αντικειµενικού παραλείπεται. Παραδείγµατα αντικειµενικών τανυστών είναι ο τανυστής των τάσεων κατά Cauchy, ο απειροστικός τανυστής των τροπών κ.λπ. 6. Ασκήσεις 1. Να αποδειχθεί ότι για ένα ορθογώνιο µετασχηµατισµό το µετασχηµατισµένο διάνυσµα x = Q x είναι ισόµηκες προς το αρχικό.. Να αποδειχθεί ότι ο κατοπτρισµός στο επίπεδο x = x 1 cotα, δίδεται από τον πίνακα µετασχηµατισµού, cos α sn α 0 [ Q ] = snα cosα Εικ. -: Κατοπτρισµός 3. Θεωρούµε δύο ορθογώνιους µετασχηµατισµούς [ Q ] και [ T ] σε δύο διαστάσεις: Ο µετασχηµατισµός που περιγράφεται από τον πίνακα [ Q ] αντιστοιχεί σε στροφή αξόνων κατά γωνία ϕ και ο µετασχηµατισµός [ T ] αντιστοιχεί σε στροφή αξόνων κατά γωνία 6 Πρβλ. Ι. Βαρδουλάκης, Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., Εκδ. Συµµετρία, 1998.
8 36 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 ψ. Να αποδειχθεί ότι ο µετασχηµατισµός [ S] = [ T][ Q] αντιστοιχεί σε στροφή αξόνων κατά γωνία ψ + ϕ και ως εκ τούτου ένα τέτοιο σύνολο µετασχηµατισµών συνιστά µια οµάδα µετασχηµατισµών. 4. Να αποδειχθεί ότι ο απειροστικός τανυστής των στροφών είναι αναλλοίωτος. 5. Να αποδειχθεί ότι τα συστήµατα Kronecer είναι αντικειµενικοί τανυστές..3 Συµβολική γραφή Chapan-Cowlng 7 Θεωρούµε ένα αντικειµενικό τανυστή 1 ης τάξεως και κάνουµε χρήση της λεγόµενης συµβολικής γραφής Chapan-Cowlng, βάσει της οποίας το διάνυσµα αυτό γράφεται στα δύο συστήµατα ως εξής b b Έχουµε ότι και Άρα = b e (.7) = b b e be Οµοίως δε Άρα e (.8) e e = b δ = b (.9) = b e e = bq = bn Qn Q = bn Qn Q = bn δn = b (.30) = b be = b e b = (.31) be = b e = b (.3) b = b e = Q b e = Q bq e = bδ e = b e = b (.33) Αυτό σηµαίνει ότι ένα αντικειµενικό διάνυσµα ή αντικειµενικός τανυστής 1 ης τάξεως είναι µια κλάση ισοδυναµίας της µορφής b = b e = b = b e = (.34) 7 Αγγλ. bold notaton.
9 37 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, Το τανυστικό γινόµενο Έστω δύο αντικειµενικά διανύσµατα a και b. Το τανυστικό τους γινόµενο συµβολίζεται ως a b και έχει τις εξής ιδιότητες, ( λa) b= a ( λb) = λ( a b) a ( b+ c) = a b+ a c ( b+ c) a = b a+ c a (.35) όπου το λ είναι βαθµωτό µέγεθος. Επειδή στον παραπάνω ορισµό του τανυστικού γινοµένου υπεισέρχονται δύο διανύσµατα, το γινόµενο αυτό καλείται και δυαδικό γινόµενο 8.Από τους παραπάνω ορισµούς προκύπτει η διατύπωση του τανυστικού γινοµένου συναρτήσει των συνιστουσών των διανυσµάτων a και b, a b = a e b e ab = e e (.36) Επειδή δε γενικώς ab a b a b b a (.37) Παρατηρούµε ότι η έκφραση του τανυστικού γινοµένου, Εξ. (.36), είναι ανεξάρτητη του συστήµατος συντεταγµένων. Πράγµατι έστω a = a e, b = b e (.38) οπότε a b = ab e e = aqbq l l Q n Q s en es = ab l e e l (.39) Μία σηµαντική ιδιότητα του τανυστικού γινοµένου είναι ότι µπορούµε να ορίσουµε το «εσωτερικό» γινόµενό του µε ένα διάνυσµα ως εξής, ( ) = ( ), ( ) = ( ) a b c a b c a b c a b c (.40) Επειδή δεν υπάρχει περίπτωση παρανοήσεως οι παραπάνω εξισώσεις µπορούν να γραφούν ως εξής, Άρα ( ), ( ) a b c = a b c a b c = a b c (.41) a b c = abc j j e, a b c = abc e (.4) 8 Αγγλ. dyadc product
10 38 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, Καρτεσιανοί τανυστές Ορισµός Ένας γραµµικός συνδυασµός δυαδικών γινοµένων συνιστά ένα καρτεσιανό τανυστή ας τάξεως. Το δυαδικό γινόµενο, Εξ. (.36), ως γραµµικός συνδυασµός των µοναδιαίων δυαδικών γινοµένων είναι ένας καρτεσιανός τανυστής ας τάξεως, συµβολικά παριστάµενος ως εξής, A = e e (.43) Aj j Παρατηρούµε εδώ ότι καρτεσιανοί τανυστές συµβολίζονται συνήθως µε έντονα σύµβολα. Οι συντελεστές A j καλούνται συνιστώσες του αντίστοιχου καρτεσιανού τανυστή A. Παρατηρούµε εδώ ότι εξ ορισµού ένας (καρτεσιανός) τανυστής υπάρχει ανεξαρτήτως συστήµατος συντεταγµένων. Οι συνιστώσες του όµως καθορίζονται µόνον όταν έχουµε εισάγει το σύστηµα συντεταγµένων. Οι τιµές των συνιστουσών ενός τανυστή εξαρτώνται προφανώς από την επιλογή του συστήµατος συντεταγµένων. Κατ αναλογία της Εξ. (.39) έχουµε όπου, A = A j Aj e e = A j e e (.44) j j e e = AjQ Qn j e e (.45) j n Άρα 9 οι συντεταγµένες ενός καρτεσιανού τανυστή µετασχηµατίζονται όπως εκείνες ενός αντικειµενικού τανυστή (πρβλ. Εξ. (.5) A = Q Q A (.46) n nj j.6 Ισότροποι τανυστές Ο τανυστής I = δ j e e (.47) j καλείται µοναδιαίος τανυστής 10. Σε ένα άλλο σύστηµα συντεταγµένων έχουµε, I = δj e e j = δ jq Qn j e en = δ n e e n (.48) Τυπικό παράδειγµα ισότροπου τανυστή ας τάξεως είναι ο τανυστής των τάσεων σε ένα ιδεατό ρευστό, 9 πρβλ. Εξ.(.158) 10 Αγγλ. unt tensor
11 39 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 σ j = p δ (.49) j όπου p > 0 είναι το πεδίο πιέσεως. Ορισµός Ένας τανυστής ας τάξεως ο οποίος έχει την ιδιότητα οι συνιστώσες του σε κάθε σύστηµα συνταγµένων να ταυτίζονται µε τις συνιστώσες του µοναδιαίου τανυστή καλείται ισότροπος Παρατηρούµε ότι οι παραπάνω ορισµός µπορεί να γενικευθεί και για τανυστές ανωτέρας τάξεως. Π.χ. ο τανυστής j e = ε e ej e = e j e ej e (.50) είναι ένας ισότροπος τανυστής 3 ης τάξεως. Επίσης µπορούµε εύκολα να δείξουµε ότι ο τυχόν ισότροπος τανυστής 3 ης τάξεως είναι πολλαπλάσιος του e. Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν µόνον 3 γραµµικώς ανεξάρτητοι ισότροποι τανυστές 4 ης τάξεως, οι εξής (4) I1 = j l δ δ e e e e (.51) j l = δ δ e e e e (.5) (4) I jl j l (4) I3 = l j δ δ e e e e (.53) j l Άρα η γενική µορφή του ισότροπου τανυστή 4 ης τάξεως είναι ο γραµµικός συνδυασµός των ανωτέρω, λδjδ l + µδδ jl + νδδ l j (.54) όπου οι συντελεστές λ, µ και ν είναι βαθµωτά µεγέθη. Τυπικό παράδειγµα ισότροπου τανυστή 4 ης ισότροπα, συµπιεστά υλικά, τάξεως είναι ο τανυστής ελαστικότητας για E ν C jl = δδ jl + δlδ j + δjδl (.55) 1+ 1 ν ( ν) όπου E > 0 έχει διαστάσεις πιέσεως και καλείται µέτρο ελαστικότητος Young και 1< ν < 1/ είναι αδιάστατο µέγεθος και καλείται λόγος Posson.
12 40 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, Ισότροπες τανυστικές συναρτήσεις µίας τανυστικής µεταβλητής Ένας συµµετρικός τανυστής B καλείται ισότροπη τανυστική συνάρτηση του αντικειµενικού τανυστή A, συµβολικά, B = f( A ), όταν για κάθε κανονικό ορθογώνιο µετασχηµατισµό των συντεταγµένων που ορίζεται από το αντίστοιχο σύστηµα Q ισχύει, A = B = Aj Bj e e j = A j e e j, An = Q Qnj Aj (.56) e e j = B j e e j, Bn = Q Qnj Bj (.57) τότε ( ) ( ) B = f A Q Q B = f Q Q A (.58) j j l n j j n j l l Σε µητρωϊκή µορφή η παραπάνω ισοδυναµία γράφεται ως εξής Θεώρηµα 11 [ B] f ([ A] ) = Τ ( ) [ Q][ B][ Q] Τ f [ Q][ A][ Q] (.59) = (.60) Η τανυστική συνάρτηση, B= f( A ), είναι ισότροπη τότε και µόνο τότε, όταν παρίσταται ως εξής, B I A A (.61) =Β 0 +Β 1 +Β όπου οι συντελεστές Β ( ν = 0,1,) είναι συναρτήσεις των αναλλοίωτων του τανυστή A : Απόδειξη: ν (,, ) Β = Β Ι ΙΙ ΙΙΙ (.6) ν ν Α Α Α Οι συµµετρικοί τανυστές A και B έχουν πραγµατικές ιδιοτιµές και ιδιοκατευθύνσεις. Κατ αρχήν θα αποδείξουµε ότι οι κύριοι άξονες των τανυστών A και B ταυτίζονται. Στο σύστηµα Ox ( 1, x, x3 ) των κυρίων αξόνων του A τα διανύσµατα βάσης συµβολίζονται e, e, e και ο A δίδεται από τον πίνακα των ιδιοτιµών του, µε n 1 Το θεώρηµα αυτό ισχύει για τανυστές διαστάσεως n, B =Β 0I +Β 1A+ Βn 1A. Truesdell C. & Noll. W. Non-lnear Feld Theores n Mechancs. Handboo of Physcs, III/3, Sect. 1, Sprnger, (Πρβλ. Παράρτηµα)
13 41 [ A] δηλαδή A α α 0 = Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 α 3 = α, A = 0, κοκ... Επιλέγουµε το κανονικό ορθογώνιο µητρώο, (3) (3) Q =, det Q = Υπενθυµίζουµε ότι κατά τον µετασχηµατισµό x = Q x που αντιστοιχεί σε στροφή ή κατοπτρισµό, τα στοιχεία του µητρώου [ Q ] δίδονται από τα εσωτερικά γινόµενα των αντίστοιχων διανυσµάτων βάσης Q = e e (3) Άρα ο µετασχηµατισµός που αντιστοιχεί στο παραπάνω µητρώο [ Q ], αντιστοιχεί µε τη σειρά του σε µία στροφή περί τον άξονα Ox 3 κατά γωνία 180. Αυτό σηµαίνει ότι το διάνυσµα e 3 είναι κοινό ιδιοδιάνυσµα των τανυστών A και (3) Q. Αναλυτικά µπορεί κανείς να δείξει ότι ισχύει η σχέση, α α α α 0 = α α 3 ή συνοπτικά T [ ] [ ] = (3) (3) Q A Q A (.63) Ισχύουν τώρα οι παρακάτω ισότητες: Εξ.:(.63) [ ] (3) (3) T ( ) [ ] ( ) f Q A Q = f A Εξ.(.60) [ ] T ( ) [ ] f Q A Q = Q B Q (3) (3) (3) (3) T
14 4 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Εξ.(.59) : f ([ A] ) = [ B] Άρα οι (3) Q και B είναι πολλαπλασιαστικά αντιµεταθετοί, T [ ] = [ ] [ ] = [ ] (3) (3) (3) (3) Q B Q B Q B B Q Επειδή το διάνυσµα e 3 είναι ιδιοδιάνυσµα του (3) Q για την ιδιοτιµή +1, έχουµε ότι [ Q]{ e } =+ 1{ e } και Q (3) [ B]{ e } [ ] (3) = B Q { e } = [ B]{ e } ηλαδή το διάνυσµα Be 3 είναι επίσης ιδιοδιάνυσµα του τα ιδιοδιανύσµατα του [ B]{ e } = β { e } (3) Q για την ιδιοτιµή +1. Όλα όµως (3) Q για την ιδιοτιµή +1 πρέπει να είναι πολλαπλάσια του e 3, οπότε δηλαδή το e 3 είναι ιδιοδιάνυσµα του B για την ιδιοτιµή β 3. Η παραπάνω διαδικασία µπορεί να επαναληφθεί και για τα διανύσµατα e 1 και e. Άρα οι τανυστές A και B έχουν τους ίδιους κύριους άξονες (είναι οµοαξονικοί) και σε σύστηµα κοινών κυρίων αξόνων οι τανυστές αυτοί παρίστανται από τους πίνακες των ιδιοτιµών τους α 0 0 β 0 0 = = , 0 β α β 3 [ A] α [ B] Υπενθυµίζουµε τους παρακάτω συµβολισµούς 0 ( α1) [ A] = 0 ( α ) 0 = = [ I ] ( α3) ή A 0 = I 1 ( α1) 0 0 α ( α3) 0 0 α [ A] = 0 ( α ) 0 = 0 α 0 = [ A] ή A 1 = A [ A] = ( α1) ( α) ( α3), ή T T T T A = AA = A A= AA= A A, κ.λ.π. Με τη βοήθεια αυτού του συµβολισµού θεωρούµε την εξής τυπική παράσταση της θεωρούµενης συναρτήσεως σε απειροσειρά µίας τανυστικής µεταβλητής, Εξ. (.59)
15 43 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 [ B] f ([ A] ) ϕ0( A) [ A] ϕ1( A) [ A] ϕ( A) [ A] 0 1 = = (.64) Από την Eξ. (.64) παίρνουµε, Τ ( ) Τ [ Q][ B][ Q] = f [ Q][ A][ Q] Τ = ϕ0( [ Q][ A] Q )[ Q][ I][ Q] + ϕ1( [ Q][ A][ Q] )[ Q][ A][ Q] Τ Τ Τ + ϕ ([ Q][ A][ Q] )[ Q][ A][ Q] [ Q][ A][ Q] + όπου [ Q] Τ [ Q] [ I] Έστω =. [ A ] = [ Q][ A][ Q] Τ, [ ] = [ ][ ][ ] Τ Τ Τ B Q B Q Τ οι συζυγείς κατά τον ορθογώνιο µετασχηµατισµό πίνακες των αρχικών πινάκων, τότε [ B ] f ([ A ]) ϕ0( [ A ])[ A ] ϕ1( [ A ])[ A ] ϕ( [ A ])[ A ] 0 1 = = Η παραπάνω σχέση σηµαίνει ότι το τυπικό ανάπτυγµα σε σειρά, Eξ. (.64), είναι µία ισότροπη τανυστική συνάρτηση του τανυστή A. Άρα οι συντελεστές ϕν ( ν = 0,1,, ) πρέπει να είναι ισότροπες βαθµωτές συναρτήσεις του τανυστή A, δηλαδή συναρτήσεις των αναλλοίωτών του, ϕ = ϕ ( α, α, α ), ν = 0,1,, (.65) ν ν 1 3 Παρατηρούµε τώρα ότι οι ιδιοτιµές του τανυστή A ικανοποιούν τη χαρακτηριστική του εξίσωση 1, 3 α Αα Αα Α Ι +ΙΙ ΙΙΙ = 0 Άρα και ο A ικανοποιεί την χαρακτηριστική του εξίσωση 13 A Ι A + ΙΙ A ΙΙΙ I = 0 (Cayley-Halton) 3 Α Α Α οπότε, A = Ι A ΙΙ A + ΙΙΙ A ( ν = 0,1, ) 3+ ν + ν 1+ ν ν Α Α Α 1 Πρβλ. Κεφ Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως το Θεώρηµα Cayley-Halton
16 44 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Άρα η τυπική σειρά, Eξ.(.64), µπορεί να γραφεί ως εξής ( ) 0 1 [ B] [ A] [ A] [ A] [ A] [ A] ή = Ι ΙΙ +ΙΙΙ + ϕ0 ϕ1 ϕ ϕ3 Α Α Α [ B] [ A] [ A] [ A] =Β +Β +Β (.66) όπου οι συντελεστές Β ν ( ν = 0,1,) πρέπει να είναι συναρτήσεις των αναλλοίωτων του τανυστή A. Άρα δείξαµε ότι κάθε τυπική απειροσειρά της µορφής, Eξ. (.64), ανάγεται πάντοτε σε ένα µητρωικό τριώνυµο της µορφής, Eξ. (.66), µε συντελεστές που είναι συναρτήσεις των αναλλοίωτων του τανυστή A. Αποµένει να δείξουµε ότι οι συντελεστές αυτοί είναι µοναδικοί. Λόγω της οµοαξονικότητας των τανυστών A και B η παράσταση [ B] =Β ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ )[ I] +Β ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ )[ A] +Β ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ )[ A] (.67) 0 Α Α Α 1 Α Α Α Α Α Α οδηγεί στο εξής σύστηµα εξισώσεων µεταξύ ιδιοτιµών ή β = B + α B + α B β α α β α α = B0 + B1+ B 3 = B0 + 3B1+ 3B 1 α1 α 1 B0 β1 1 α α B 1 β = 1 α3 α 3 B β 3 (.68) Η ορίζουσα του συστήµατος αυτού είναι 1 α1 α 1 D = det 1 α α = α1 α α α3 α3 α1 1 α3 α 3 ( )( )( ) (.69) Για µεταξύ τους διάφορες ιδιοτιµές οι ορίζουσα του συστήµατος, Eξ. (.69), δεν µηδενίζεται 14. Άρα οι συντελεστές Β ν υπολογίζονται µονοσήµαντα και έτσι αποδείξαµε ότι η γενική ισότροπη τανυστική συνάρτηση, που ορίζεται µε την τυπική απειροσειρά, Eξ. (.64), ανάγεται πάντοτε στο µητρωικό τριώνυµο Eξ. (.66), µε µονοσήµαντα καθορισµένους συντελεστές Β, που είναι συναρτήσεις των αναλλοίωτων του τανυστή A. Αντιστρόφως, ν 14 Η απόδειξη εύκολα µπορεί να επεκταθεί και στις ειδικές περιπτώσεις όπου υπάρχει διπλή ή τριπλή ιδιοτιµή.
17 45 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 είναι άµεσα φανερό ότι το τριώνυµο, Eξ. (.66) ορίζει µία ισότροπη τανυστική συνάρτηση f (). ο.ε.δ. Παρατηρούµε τώρα ότι σε τυχαίο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων η γενική παράσταση µιας ισότροπης τανυστικής συναρτήσεως παίρνει την εξής µορφή, B = B ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ ) δ + B ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ ) A + B ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ ) A A (.70) j 0 Α Α Α j 1 Α Α Α j Α Α Α j Αν διαχωρίσουµε τον τανυστή A σε σφαιρικό και αποκλίνον µέρος 1 Aj = Ι Αδj + aj, a = 0 (.71) 3 τότε η παράσταση Εξ. (.70) γράφεται ως εξής, Bj =Β 0δj +Β1( Ι Αδj + aj ) +Β Ι Αδ + a Ι Αδj + aj = Β 0 + Β1Ι Α +Β Ι Α δj + Β 1 + ΙΑΒ aj + Ba aj ή Bj = B0 δj +Β 1 aj + Ba aj (.7) Παράδειγµα Ας θεωρήσουµε την συνάρτηση B = A I (.73) που είναι ορισµένη για συµµετρικούς τανυστές A και B. Θα δείξουµε παρακάτω ότι κάτω από ορισµένες συνθήκες µπορούµε πράγµατι να ορίσουµε µια τέτοια ισότροπη τανυστική συνάρτηση. Οι τανυστές A και B. είναι συµµετρικοί και για να έχει νόηµα ο παραπάνω ορισµός πρέπει να τηρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος παραστάσεως. Άρα δεχόµαστε ότι οι τανυστές A και B. είναι οµοαξονικοί και ως εκ τούτου η Εξ. (.73)µπορεί να γραφεί στο καρτεσιανό σύστηµα των κοινών κυρίων αξόνων, B = A I β1 0 0 α β 0 0 α = 0 0 β α οπότε
18 46 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 β = α β = α 1 0 β = α β =+ α β =+ α 1 0 β =+ α Συµφώνως προς την Εξ. (.68) έχουµε 1 α1 α 1 B α α α B1 = α 1 1 α3 α 3 B α3 1 Κάνοντας τώρα χρήση των τύπων του Craer για το παραπάνω σύστηµα παίρνουµε τις εξής εκφράσεις για τους συντελεστές : α 1 α α det α 1 α α D α3 1 α3 α3 Β = 1 α 1 α det 1 α 1 α D 1 α3 1 α3 Β = 1 α1 α1 1 1 Β = det 1 α α 1 D 1 α3 α3 1 όπου D = ( α α )( α α )( α α ) Άρα η ισότροπη τανυστική συνάρτηση που ορίζεται τυπικά ως B = A I (.74) δύναται να κατασκευασθεί και παίρνει την εξής µορφή,
19 47 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 α1 1 α1 α 1 1 α1 1 α 1 1 α1 α1 1 1 det Bj = α 1 α αδj + det 1 α 1 αaj + det 1 α α 1 A Aj D α3 1 α3 α3 1 α3 1 α3 1 α3 α3 1 (.75) Είναι φανερό ότι η σχέση µεταξύ της συµβολικής εκφράσεως, Εξ. (.74), και της αναλυτικής της µορφής, Εξ. (.75), δεν είναι προφανής. Άσκηση Να κατασκευασθεί η ισότροπη τανυστική συνάρτηση του συµµετρικού τανυστή A, B = ln( I + A ), όπου: t 0 0 A = t t [ ] Λοξά συστήµατα συντεταγµένων Θεωρούµε δεδοµένο το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Ox (, x, x ). Τα αντίστοιχα διανύσµατα βάσεως έστω, e 1, e, e3 Θεωρούµε τώρα ένα λοξό σύστηµα συντεταγµένων, του οποίου τα διανύσµατα βάσεως g 1, g, g δίδονται συναρτήσει των 3 e, e, e, 1 3 g = ae (.76) και e = a g l l (.77) Παρατηρούµε ότι τα µητρώα που καθορίζουν τις παραπάνω γραµµικές εξαρτήσεις είναι αντίστροφα, ή g = ae = aag δ g = aag l l l l l l aa l l (.78) = δ (.79) 15 Klngbel, E., Tensorrechnung für Ingeneure, BI, Hochschultaschenbücher, 1966.
20 48 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Εικ. -3: Λοξή διανυσµατική βάση, Εξ.(.80). Για παράδειγµα θεωρούµε τις παρακάτω σχέσεις µεταξύ των δύο βάσεων (Εικ. -3), g1 = e1 g = e1+ e g = e + e + e (.80) Από τις Εξ. (.80)παίρνουµε ότι, e1 = g1 e = g + g e = g + g (.81) Οπότε εν προκειµένω έχουµε ότι 1 3 a1 a1 a a = a a a = 1 3 a3 a3 a [ ] (.8) και
21 49 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, a1 a1 a a = a a a = 1 3 a3 a3 a [ ] (.83) Άρα aa = δ l l a1 a1 a 1 a1 a1 a a a a a a a = = a3 a3 a 3 a3 a3 a (.84) ή [ a][ a] = [ I] (.85) Το διάνυσµα θέσεως ενός σηµείου στο χώρο µε τις καρτεσιανές συνταγµένες P( x ) είναι, OP = x e (.86) Έστω ότι στο λοξό σύστηµα διάνυσµα θέσεως του εν λόγω σηµείου έχει συνταγµένες, Άρα, OP = x g x g = x a e x = a x x e = x a g x = a x l l l l (.87) (.88) Αντιστοίχως στο συγκεκριµένο παράδειγµα (Εικ. -3), έχουµε ότι x e1 e1+ x e e1+ x e3 e1 = x g1 e1+ x g e1+ x g3 e1 (.89) x = x g e + x g e + x g e ή x = x e e + x e + e e + x e + e + e e ( ) ( ) (.90) και οµοίως
22 50 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, x = x e1 e + x e1+ e e + x e1+ e + e3 e x = x e e + x e + e e + x e + e + e e (.91) ( ) ( ) ( ) ( ) Οι παραπάνω σχέσεις συνοψίζονται στις εξής τρεις γραµµικές εξισώσεις, x = x + x + x x = 0x + x + x 1 3 x = 0x + 0x + x (.9) ή 1 x x1 x = x 3 x x 3 (.93) ή T T {} x [ a] { x} T = (.94) Επειδή η ορίζουσα του παραπάνω συστήµατος είναι διάφορη του µηδενός (εµ προκειµένω έχει την τιµή +1) το σύστηµα αυτό µπορεί να αντιστραφεί, 1 x x1 x = x 3 x x 3 (.95) ή T T { x} [ a] {} x Σύνοψη αποτελεσµάτων: T = (.96) Από τα παραπάνω συµπεραίνοµε ότι στη θεωρούµενη περίπτωση η µετάβαση από το ένα σύστηµα συντεταγµένων στο άλλο θα γίνει βάσει ενός γραµµικού µετασχηµατισµού της µορφής, x = ax+ ax + ax x = a x + a x + a x x = ax+ ax + ax (.97) βάσει του οποίου το σύστηµα x µετασχηµατίζεται στο σύστηµα µετασχηµατισµός αυτός παίρνει την µορφή, x. Συντοµογραφικά ο
23 51 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 x = ax (.98) r r s s Γενικώς θα υποθέσουµε ότι ο µετασχηµατισµός (.98) είναι αντιστρέψιµος, δηλαδή ότι υπάρχει ο µετασχηµατισµός x = ax (.99) r r Για να είναι αυτό δυνατό πρέπει η ορίζουσα του µετασχηµατισµού να µη µηδενίζεται, r r r r a = a = det[ a ] 0 a = a = det[ a ] 0 aa = 1 (.100) οπότε τα στοιχεία s s s s r r r s s s r a είναι τα συµπληρωµατικά των στοιχείων aa = aa = δ (.101) Παρατηρούµε ότι οι γραµµικοί µετασχηµατισµοί που δίδονται από την Εξ. (.98) αποτελούν πάλι µιαν αλγεβρική οµάδα (γιατί;). Επίσης παρατηρούµε ότι (γιατί;) r a s x x x e = ( ax ) e = aδ e = a e = g g = e, a = x x x x x x s s x x g = ( asx ) g = asδ g = ag = e e = g, a = x x x x (.10) Παρατηρούµε τώρα ότι στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων το µήκος του διανύσµατος θέσεως δίδεται από την παρακάτω σχέση, = x e x e = x x δ = x x = x + x + x (.103) ( ) ( ) ( ) j j 1 3 j j Θα υποθέσουµε τώρα ότι η πυθαγόρεια αυτή σχέση, που δίνει το µήκος του διανύσµατος θέσεως, ισχύει τυπικά και στο λοξό σύστηµα µε την εξής µορφή = x g x g = x x g (.104) j j j j όπου g = g g j j (.105) Πράγµατι από την υπόθεση, Εξ. (.104), και τον µετασχηµατισµό, Εξ. (.98), παίρνουµε = x g x g = x x g = a x a x g (.106) j j s j r j j s r j Αν ισχύει η υπόθεση Εξ. (.104), τότε λόγω της Εξ.(.103) πρέπει να ισχύει η εξής, = a x a x g = δ x x a a g = δ (.107) s j r s r j s r j sr s r j sr
24 5 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Παρατηρούµε όµως ότι από τις Εξ. (.105) και (.76) προκύπτει g = g g = ae ae = aaδ = aa j j j j j (.108) Άρα g = aa (.109) j j οπότε aa g = aa aa = δ δ = δ (.110) j j s r j s r j s r sr ο.ε.δ. Συγκρίνοντας τώρα τις Εξ. (.103) και (.104), = δ x x = g x x (.111) j j j j παρατηρούµε ότι το σύστηµα ας τάξεως g j καθορίζει τη µετρική 16 συντεταγµένων. στο λοξό σύστηµα Εικ. -4: Η µετρική σε λοξό σύστηµα συντεταγµένων 1 Για την επεξήγηση της έννοιας της µετρικής ας περιορισθούµε στο επίπεδο Ox (, x ). Βάσει του σχήµατος (Εικ. -4) έχουµε ότι το µήκος του διανύσµατος θέσεως υπολογίζεται ως εξής, 16 Αγγλ. etrc. Ο όρος µετρική σηµαίνει τον τρόπο µε τον οποίο υπολογίζουµε το µήκος το διανύσµατος θέσεως, όταν η θέση του άκρου του δίδεται από τις λοξές του συντεταγµένες.
25 53 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1 OP = OP OP = OA+ OB OA+ OB = x g + x g x g + x g ( ) = x g g + x g g + x x g g (.11) Παρατηρούµε ότι στην παραπάνω έκφραση για τον υπολογισµό του µήκους του διανύσµατος θέσεως, Εξ. (.111), υπεισέρχονται µέσω της µετρικής τα πραγµατικά µήκη των διανυσµάτων βάσεως καθώς και µεταξύ τους γωνία, ϕ = π / 4, g11 = g1 g1 = g1 g1 cos( 0) = e1 e1 1 = 1 g = g g = g g cos( 0) = e1+ e e1+ e 1 = = g1 = g1 g = g1 g cos( ϕ) = e1 e1 + e cos ( π / 4) = 1 = 1 g = g 1 1 (.113) Στο συγκεκριµένο παράδειγµα ο πλήρης πίνακας της µετρικής στο θεωρούµενο λοξό σύστηµα συντεταγµένων είναι ο εξής (γιατί;), g j 1 = 1 3 (.114) Κάνοντας χρήση των παραπάνω, µπορούµε τώρα να επεκτείνουµε τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων σε λοξά συστήµατα συντεταγµένων ως εξής: Έτσι δύο διανύσµατα, (.115) x = xe = x g y = y e = y g Στο καρτεσιανό σύστηµα το εσωτερικό γινόµενο ορίζεται ως γνωστόν ως, x y = x y =δ x y j j (.116) οπότε x y = δ x y = δ a x a y = a a x y j j n n j j n n (.117) Κάνοντας χρήση της Εξ. (.109) από την Εξ. (.117) προκύπτει τελικά ο τύπος υπολογισµού του εσωτερικού γινοµένου σε λοξό σύστηµα συντεταγµένων n x y = gnx y (.118)
26 54 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Άσκηση Στο παραπάνω λοξό σύστηµα έστω x = g + g και 3 y = 5g + g 3 τους γωνία. να υπολογισθεί η µεταξύ.9 Τανυστές Τανυστής καλείται ένα σύστηµα συναρτήσεων του τύπου ( ρ x ), v ( x ), tj ( x ), µ j ( x ) κ.λπ., των οποίων οι συνιστώσες υπακούουν σε ένα συγκεκριµένο νόµο µετασχηµατισµού, όταν οι µεταβλητές υποβάλλονται σε ένα γραµµικό µετασχηµατισµό του τύπου (.98). Για την επεξήγηση της έννοιας του τανυστή ας θεωρήσουµε κατ' αρχήν ένα σύστηµα µηδενικής τάξεως ρ ( x ). Το µέγεθος αυτό, από φυσικής σκοπιάς, θα µπορούσε να είναι πυκνότητα ενός σώµατος στο σηµείο αυτού µε συντεταγµένες x. Αν το µέγεθος αυτό παραµένει το ίδιο (αναλλοίωτο) κατά το γραµµικό µετασχηµατισµό x x, δηλαδή αν ισχύουν οι σχέσεις ρ( x ) = ρ( ax r ) = ρ( x ) (.119) τότε το µέγεθος αυτό καλείται βαθµωτό 17. Η πυκνότητα και η θερµοκρασία ενός υλικού σώµατος είναι βαθµωτά µεγέθη, αφού η τιµή της πυκνότητας ή της θερµοκρασίας ενός σώµατος σε κάποιο σηµείο ενός υλικού σώµατος δεν εξαρτώνται από το σε πιo σύστηµα συντεταγµένων έχουµε υπολογίσει τις συντεταγµένες του θεωρούµενου σηµείου. Εν συνεχεία ας θεωρήσουµε ένα σύστηµα 1 ης τάξεως. Η απλούστερη περίπτωση ενός τέτοιου συστήµατος είναι οι συντεταγµένες του διανύσµατος θέσεως x αυτές καθ εαυτές. Μετά το γραµµικό µετασχηµατισµό οι συνιστώσες του θεωρούµενου συστήµατος 1 ης τάξεως υπολογίζονται βάσει της Εξ. (.98) ως, x = a x (.10) Ορισµός: Ένα σύστηµα 1 ης τάξεως f ( x ) το οποίο µετασχηµατίζεται όπως οι συντεταγµένες του διανύσµατος θέσεως x καλείται ανταλλοίωτος τανυστής 1ης τάξεως 18, οπότε f = a f (.11) Η σχέση αυτή δίνει έναν µόνον από τους δυνατούς τρόπους µετασχηµατισµού ενός συστήµατος 1 ης τάξεως. Ένας άλλος τρόπος µετασχηµατισµού προκύπτει αν θεωρήσουµε τη γραµµική µορφή που ορίζεται από τη σχέση A = f u (.1) 17 Αγγλ. scalar («κλιµακωτό»). 18 Αγγλ. contravarant tensor of order one.
27 55 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 όπου το f ( x ) είναι ένας ανταλλοίωτος τανυστής 1 ης τάξεως. Παράλληλα υποθέσουµε ότι η γραµµική µορφή A είναι ένα βαθµωτό µέγεθος, δηλαδή ότι παραµένει αναλλοίωτη, A f u f u A = = = (.13) Για παράδειγµα η ποσότητα A θα µπορούσε να συµβολίζει το έργο µιας δυνάµεως µε συνιστώσες f, όταν το διάνυσµα µετατοπίσεως του σηµείου εφαρµογής της έχει συνιστώσες u. Η χρήση διαφορετικού συµβολισµού για τα δύο διανύσµατα (δηλαδή η χρήση ενός συστήµατος 1 ης τάξεως µε άνω δείκτη για τον συµβολισµό της δυνάµεως και ενός συστήµατος 1 ης τάξεως µε κάτω δείκτη για τον συµβολισµό της µετατοπίσεως) έχει όπως συνηθίζουµε να λέµε «φυσικό» νόηµα. Οι δύο αυτές ποσότητες πρέπει να διακρίνονται από φυσική σκοπιά, αφού η δύναµη είναι από θερµοδυναµική άποψη ένα εντατικό µέγεθος και η µετατόπιση ένα εκτατικό µέγεθος. Στη συνέχεια θα προσδώσουµε µαθηµατικό νόηµα σε αυτό τον διαχωρισµό. Από την Εξ. (.11) παίρνουµε ότι f = a f (.14) r r οπότε το θεωρούµενο σύστηµα 1 ης τάξεως 19 u ( x ) ικανοποιεί την εξής σχέση, A= f u = f u = a f u p p ( u a u ) f = 0, f p p p p (.15) Αυτό σηµαίνει ότι το θεωρούµενο σύστηµα µετασχηµατίζεται ως εξής, u = a u (.16) Ορισµός: Ένα σύστηµα 1 ης τάξεως u ( x ) το οποίο µετασχηµατίζεται σύµφωνα µε τo νόµο (.16) 0, καλείται συναλλοίωτος τανυστής 1ης τάξεως 1. Παρατηρούµε τώρα ένας ανταλλοίωτος τανυστής 1 ης τάξεως f παρίσταται ως, = f f g (.17) όπου η διανυσµατική βάση g µετασχηµατίζεται ως ένα συναλλοίωτο σύστηµα 1 ης τάξεως, g = ag (.18) 19 Το σύστηµα u καλείται το συζυγές του 0 ηλαδή έτσι ώστε µια δεδοµένη γραµµική µορφή συνιστούν ανταλλοίωτο τανυστή 1 ης τάξεως. 1 Αγγλ. covarant tensor of order one. f µε µέτρο A. A= f u να παραµένει αναλλοίωτη, όταν τα f
28 56 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Η παρατήρηση αυτή µας επιτρέπει να ονοµάσουµε την διανυσµατική βάση συναλλοίωτη διανυσµατική βάση. g ως µια Κατ αναλογία ένας συναλλοίωτος τανυστής 1 ης τάξεως u θα παρασταθεί ως, u = u g (.19) και η βάση g θα ονοµασθεί ως µία ανταλλοίωτη διανυσµατική βάση. Η κατασκευή της ανταλλοίωτης διανυσµατικής βάσης δεν είναι µια προφανής διαδικασία, γι αυτό και θα την αναπτύξουµε στο αµέσως επόµενο κεφάλαιο..10 Συναλλοίωτες και ανταλλοίωτες συντεταγµένες ενός διανύσµατος Mε δεδοµένη την συναλλοίωτη βάση g 1, g, g ορίζουµε µία άλλη βάση g, g, g, την οποία ονοµάζουµε ανταλλοίωτη, έτσι ώστε τα διανύσµατα των δύο αυτών βάσεων να είναι κάθετα µεταξύ τους j j g g = δ (.130) Με την εισαγωγή του µετρικού τανυστή της συναλλοίωτης βάσης g j, Εξ. (.105), µπορούµε να εισάγουµε τον µετρικό τανυστή της αντίστοιχης ανταλλοίωτης βάσης, j j g = g g Αν δεχθούµε ότι g = Ag g g = Ag g j j j j (.131) (.13) ή g = A δ = A g = g g j j j j (.133) Αντιστοίχως λαµβάνουµε ότι, g = g g l l (.134) οπότε, g g = g g g g g g = δ j j l j l j (.135) Άρα οι τανυστές (.110) έχουµε g j και j g είναι αντίστροφοι. Λαµβάνοντας υπ όψη τις Εξ. (.109) και Αγγλ. contavarant vector bass.
29 57 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 δ a = g g a = g a a a j j s j s j s a = g a δ a = g a j j s s j s s j aa = g aa aa = gδ n j s n n j n s s j s s s j (.136) Άρα g = aa (.137) n n s s Για τον κατ ευθείαν υπολογισµό των διανυσµάτων της ανταλλοίωτης βάσεως παρατηρούµε 1 ότι βάσει του ορισµού τους, Εξ. (.130), το διάνυσµα g είναι κάθετο στα διανύσµατα, g και g 1 3. Άρα θα µπορούσαµε να γράψουµε τυπικά ότι το διάνυσµα g µε τη βοήθεια το εξωτερικού γινοµένου των άλλων δύο διανυσµάτων βάσεως α = 1 g g g3 (.138) Για τον υπολογισµό του ανταλλοίωτου διανύσµατος από την παραπάνω σχέση, Εξ. (.138), πρέπει πρώτα να ορίσουµε το εξωτερικό γινόµενο σε ένα λοξό σύστηµα συντεταγµένων. Για το σκοπό αυτό θεωρούµε δύο διανύσµατα l x = xe, y = ye (.139) l Το εξωτερικό τους γινόµενο ορίζεται τυπικά ως το διάνυσµα z = x y: z = ε l l x y e (.140) όπου ε l είναι ο αντίστοιχος πλήρως αντισυµµετρικός τανυστής 3 ης τάξεως 3. Στο λοξό σύστηµα συντεταγµένων τα ως άνω διανύσµατα γράφονται, l x = x g, y = y g l και ο παραπάνω ορισµός του εξωτερικού γινοµένου επεκτείνεται ως εξής: z = x y = e x y g = e x y g l l l l (.141) (.14) όπου εισάγοµε το αντισυµµετρικό ή αντιµεταθετικό σύστηµα 3 ης τάξεως g f :(, l, ) = cycl(1,,3) el = g f :(, l, ) = cycl(,1,3), g = g 0 else j (.143) 3 Πρβλ. Κεφ. 1.4
30 58 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Παρατηρούµε ότι σε ένα καρτεσιανό σύστηµα gj = δj και ως εκ τούτου ο τανυστής e l, Εξ. (.143), ταυτίζεται µε σύµβολο Lev-Cvta, ε l και ο ορισµός του εξωτερικού γινοµένου που δώσαµε µε την Εξ. (.14) συµπίπτει µε εκείνον που ισχύει σε για ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων. Έχοντας τώρα προσδώσει νόηµα στο εξωτερικό γινόµενο, µπορούµε να γράψουµε τυπικά τις εξισώσεις από τις οποίες θα υπολογίσουµε τις συνιστώσες της ανταλλοίωτης βάσεως, 1 1 αg = g g3 α( g g1) = α = ( g g3) g1 βg = g3 g1 β( g g) = β = ( g3 g1) g (.144) 3 3 γg = g g γ( g g ) = γ = ( g g ) g ή g g g g g g g = = [ g, g3, g1] [ g1, g, g3] g g g g = = [ g3, g1, g] [ g1, g, g3] g g = [ g, g, g ] (.145) Κάνοντας χρήση της ταυτότητας a a a b a c [ abc,, ] = b a b b b c c a c b c c παρατηρούµε ότι το µεικτό γινόµενο των διανυσµάτων βάσεως είναι (γιατί;), [ g, g, g ] = g = g [ g, g, g ] = g 1 3 j 1 3 (.146) (.147) Παράδειγµα Περιοριζόµαστε εδώ χάριν απλότητας στο επίπεδο (1, ) και υποθέτουµε ότι η συναλλοίωτη βάση ορίζεται ως εξής (Εικ. -5), g = e, g = e + e (.148) Με δεδοµένη την συναλλοίωτη βάση µπορούµε να υπολογίσουµε ο το µητρώο της µετρικής στη βάση αυτή, 1 1 g j = 1 (.149)
31 59 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Υπολογίζουµε και το αντίστροφο του, j 1 g = 1 1 (.150) Οπότε η συναλλοίωτη βάση προκύπτει ως: g = g g1+ g g = g1 g = e1 e (.151) g = g g + g g = g + g = e Εικ. -5: Συναλλοίωτη και ανταλλοίωτη βάση σε συζυγή λοξά συστήµατα συνταγµένων στο επίπεδο..11 Τανυστές ανωτέρας τάξεως Γενικεύοντας τους παραπάνω ορισµούς µπορούµε να ορίσουµε τανυστές ας, 3 ης κ.λπ. τάξεως διαφόρων ειδών. Οι εν λόγω τανυστές ορίζονται από τους παρακάτω κανόνες µετασχηµατισµού. Θεωρούµε δύο λοξά συστήµατα συντεταγµένων. Η µετάβαση από το ένα σύστηµα στο άλλο καθορίζεται από γραµµικούς µετασχηµατισµούς της µορφής, j j g = ag j, g = ag j (.15) g = ag, g = ag Η βάσεις g, g λέγονται συναλλοίωτες και οι βάσεις g, g λέγονται ανταλλοίωτες. Η µετάβαση από το ένα σύστηµα στο άλλο γίνεται µέσω των αντίστοιχων µετρικών,
32 60 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 j j g = g g, g = g g j j g = gg, g= gg j j j j (.153) Παρατηρούµε ότι το µεικτό σύστηµα g = g g = δ j j j j g ταυτίζεται µε το σύµβολο Kronecer, (.154) Ένας τανυστής 1 ης τάξεως είναι ένα διάνυσµα, που µπορεί να παρασταθεί ως εξής, Α = A g = A g = Ag = Ag (.155) Τα συστήµατα A και A λέγονται ανταλλοίωτες συνιστώσες του διανύσµατος Α στις βάσεις g και g, αντιστοίχως. Τα συστήµατα A και A συναλλοίωτες συνιστώσες του διανύσµατος Α στις βάσεις g και g, αντιστοίχως. Η µετάβαση από το ένα σύστηµα στο άλλο γίνεται πάλι µέσω των αντίστοιχων µετρικών j j j j A = g A, A = g A A = g A, A = g A j j j j (.156) Οι συνιστώσες του θεωρούµενου τανυστή 1 ης τάξεως µετασχηµατίζονται ως εξής, A = a A, A = a A A = aa, A= aa (.157) Οµοίως µπορούµε να ορίσουµε ως τανυστή ας τάξεως ένα σύστηµα δευτέρας τάξεως του οποίου κάθε δείκτης µετασχηµατίζονται ως οι συνιστώσες ενός τανυστή πρώτης τάξεως. Π.χ.: οι συνιστώσες ενός ανταλλοίωτου τανυστή ας τάξεως µετασχηµατίζονται ως j j l j j l t = aat, t = aat (.158) l l Αντιστοίχως για ένα συναλλοίωτο τανυστής ας τάξεως έχουµε: l l t = a a t, t = a a t (.159) j j l j j l Τέλος, οι συνιστώσες µεικτών τανυστών ας τάξεως µετασχηµατίζονται ως: t = a a t, t = a a t l l j j l j j l t = a a t, t = a a t j j l j j l l l (.160)
33 61 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Παράρτηµα 4 4 Truesdell C. & Noll. W. Non-lnear Feld Theores n Mechancs. Handboo of Physcs, III/3, Sect. 1, Sprnger, 1965
34 6 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008
35 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης,
3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 59
3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 59 3. Καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 6 3. Κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες 64 3.3 Η µετρική σε καµπυλόγραµµες
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότερα1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότερα[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:
Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του
Διαβάστε περισσότεραΠροσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών
Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραx 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x
Διαβάστε περισσότεραιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση
44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια
Διαβάστε περισσότεραΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι τα διανύσµατα
Τι είναι τα διανύσµατα Μέχρι τώρα έχουµε εξετάσει τις επιπτώσεις των νόµων του Νεύτωνα σε ένα µονοδιάστατο κόσµο Θα αναπτύξουµε τώρα τη µηχανική στο χώρο των τριών διαστάσεων Αποδεικνύεται όµως ιδιαιτέρως
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις
Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων
57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης
Διαβάστε περισσότερα(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα
Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραΚ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές
Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι
Διαβάστε περισσότερα3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 65
3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΜΕΝΕΣ 3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΜΕΝΕΣ 65 3. Καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 67 3. Κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες 70 3.3 Η µετρική σε καµπυλόγραµµες
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα
KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι
Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότεραιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012
ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
Διαβάστε περισσότερα1.1 Η Έννοια του Διανύσματος
ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος ΜΘΗΣΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να κατανοήσει τις έννοιες : διάνυσµα, µηδενικό διάνυσµα, φορέας-διεύθυνση, κατεύθυνση - φορά, µέτρο διανύσµατος, ϖαραλληλία
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότερα4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { }
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότερα[A I 3 ] [I 3 A 1 ].
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)
Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε
Διαβάστε περισσότεραL = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε
ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΣτροβιλισµός πεδίου δυνάµεων
Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 29 Μαρτίου 2019 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε
Διαβάστε περισσότεραΠαραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)
Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότερα4 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ... 91
Θεωρία Πλαστικής Ροής, Κεφ. 4, Ι. Βαρδουλάκης 2009 91 4 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ 4 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ... 91 4.1 Εισαγωγή... 93 4.2 Ελαστικότητα... 93 4.3
Διαβάστε περισσότεραΗ ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα
Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότερα1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1
1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Πετρωμάτων Τάσεις
Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y
5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη
Διαβάστε περισσότερα( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.
http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 4 Μαίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις. Κεφάλαιο 6. a = a 0 + x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3, όπου b i = a i a 0, i = 1, 2, 3, P 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2y + 3z = 2}.
Κεφάλαιο 6 Ασκήσεις 1. (αʹ) ώστε δράση του Χ R 2 στο αφινικό επίπεδο P = {(x, y, z) R 3 : x = 2}. Επίσης, δώστε µία αφινική ϐάση τριών σηµείων (a 0, a 1, a 2 ) και ϐρείτε τις ϐαρυκεντρικές συντεταγµένες
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ
ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται
Διαβάστε περισσότερα