Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Κεφάλαιο 3 Το Θεώρημα Jordan Hölder 31 Προκαταρκτικές Έννοιες 311 Υποορθόθετες και ορθόθετες Σειρές για μια Ομάδα Ορισμός 311 Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα και ότι G = G 0 G 1 G r = {e G } (*) είναι μια πεπερασμένη ακολουθία υποοομάδων τής G Η ακολουθία (*) ονομάζεται μια υποορθόθετη σειρά για την G, αν για κάθε i {1, 2,, r}, η G i είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G i 1 Η ακολουθία (*) ονομάζεται μια ορθόθετη σειρά για την G, αν για κάθε i {1, 2,, r}, η G i είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G Οι υποομάδες G i, i {1, 2,, r} ονομάζονται οι όροι τής σειράς Οι πηλικοομάδες G i /G i+1, 0 i r 1 ονομάζονται οι παράγοντες τής σειράς Λέμε ότι μια υποορθόθετη (αντιστοίχως ορθόθετη) σειρά (*), δεν διαθέτει επαναλήψεις αν, για κάθε i, 1 i r 1, η G i περιέχει γνήσια την G i+1, διαφορετικά λέμε ότι η (*) διαθέτει επαναλήψεις Προφανώς, καθε ορθόθετη σειρά για την G είναι και μια υποορθόθετη σειρά για την G Ωστόσο, κάθε υποορθόθετη σειρά για μια ομάδα δεν είναι απαραίτητο να αποτελεί και μια ορθόθετη σειρά για την G Παραδείγματα 311 (αʹ) Έστω G = x μια κυκλική ομάδα Οι σειρές G x 2 {e G } και G x 3 {e G } είναι υποορθόθετες και ταυτοχρόνως ορθόθετες σειρές για την G 45

4 3 Το Θεώρημα JORDAN HÖLDER Γενικότερα, κάθε πεπερασμένη ακολουθία G = G 0 G 1 G r = {e G } υποομάδων μιας αβελιανής ομάδας G είναι μια υποορθόθετη και ταυτοχρόνως μια ορθόθετη σειρά για την G (βʹ) Θεωρούμε την εναλλάσσουσα υποομάδα A 4 τής συμμετρικής ομάδας (S 4, ) και την ακολουθία A 4 V H {Id S4 }, (**) όπου V = { Id S4, ( 1 2 ) ( 3 4 ), ( 1 3 ) ( 2 4 ), ( 1 4 ) ( 2 3 )} και H = { Id S4, ( 1 2 ) ( 3 4 )} Η V είναι ορθόθετη υποομάδα τής S 4 επειδή είναι ένωση τής κλάσης συζυγίας τού στοιχείου Id S4 } και τής κλάσης συζυγίας τού στοιχείου ( 1 2 ) ( 3 4 ) Επομένως, η V είναι ορθόθετη υποομάδα τής A 4 Η H είναι ορθόθετη υποομάδα τής V, αφού η V είναι αβελιανή Ωστόσο, η H δεν είναι ορθόθετη υποομάδα τής A 4, αφού το στοιχείο ( ) (( 1 2 ) ( 3 4 )) ( ) 1 = ( 1 4 ) ( 2 3 ) / H Επομένως, η (**) είναι μια υποορθόθετη σειρά για την A 4, η οποία δεν είναι ορθόθετη Ορισμός 312 Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα και ότι G = K 0 K 1 K r = {e G } G = H 0 H 1 H s = {e G } (I) (II) είναι δύο υποορθόθετες (αντιστοίχως ορθόθετες) σειρές για την G Η σειρά (II) ονομάζεται μια υποορθόθετη (αντιστοίχως ορθόθετη) εκλέπτυνση τής (I), αν, η οικογένεια {K 0, K 1,, K r } των όρων τής (I) περιέχεται στην οικογένεια {H 0, H 1,, H s } των όρων τής (II) Παραδείγματα 312 Έστω η κυκλική ομάδα G = x τάξης 48 και οι ορθόθετες σειρές G = x x 6 x 24 {e G }, (*) G = x x 3 x 6 x 12 x 24 {e G }, (**) G = x x 2 x 6 x 12 {e G }, (***) Η (**) αποτελεί εκλέπτυνση τής (*) Η (***) δεν αποτελεί εκλέπτυνση τής (*) και η (**) δεν αποτελεί εκλέπτυνση τής (***) Ν Μαρμαρίδης 46

5 32 Το Θεώρημα Εκλέπτυνσης SCHREIER Ορισμός 313 Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα και ότι G = K 0 K 1 K r = {e G } G = H 0 H 1 H s = {e G } (I) (II) είναι δύο υποορθόθετες (αντιστοίχως ορθόθετες) σειρές για την G Οι υποορθόθετες (αντιστοίχως ορθόθετες) σειρές (I) και (II) ονομάζονται ισόμορφες αν, υπάρχει μια «1 1» και «επί» αντιστοιχία ϕ από την οικογένεια {K i /K i+1, 0 i r 1} των παραγόντων τής (I) στην οικογένεια {H j /H j+1, 0 j s 1} των παραγόντων τής (II), τέτοια ώστε i, 0 i r 1 ο παράγοντας (K i /K i+1 ) να είναι ισόμορφος (ως ομάδα) με τον παράγοντα ϕ(k i /K i+1 ) Παραδείγματα 313 Έστω η κυκλική ομάδα G = x τάξης 12 και οι ορθόθετες σειρές G = x x 2 x 4 {e G }, (*) G = x x 3 x 6 {e G } (**) Η (*) είναι ισόμορφη τής (**), αφού το σύνολο των παραγόντων τής (*) είναι το { x / x 2 = Z 2, x 2 / x 4 = Z 2, x 4 /{e G } = Z 3 } και το σύνολο των παραγόντων τής (**) είναι το { x / x 3 = Z 3, x 3 / x 6 = Z 2, x 6 /{e G } = Z 2 } 32 Το Θεώρημα Εκλέπτυνσης Schreier Θα αποδείξουμε ότι δύο οποιεσδήποτε υποορθόθετες (αντιστοίχως ορθόθετες) σειρές μιας ομάδας διαθέτουν ισόμορφες εκλεπτύνσεις 321 Το Λήμμα τής Πεταλούδας Αρχίζουμε με το εξής πολύ απλό: Λήμμα 321 Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα και ότι A, B, C είναι υποομάδες τής G με την B C ορθόθετη υποομάδα τής C Τότε (α ) η A B είναι ορθόθετη υποομάδα τής A C, (β ) επιπλέον αν A G, τότε η AB είναι υποομάδα τής AC και μάλιστα AB AC Απόδειξη (α ) Έστω ότι x A C και y A B Τότε xyx 1 A και xyx 1, αφού B C Επομένως, A B A C 47 Ν Μαρμαρίδης

6 3 Το Θεώρημα JORDAN HÖLDER (β ) Αφού η A είναι ορθόθετη υποομάδα τής G, οι AB και AC είναι υποομάδες τής G και προφανώς AB AC Υπολείπεται η απόδειξη ότι AB AC Θα αποδείξουμε ότι για κάθε a A, c C είναι (ac)ab(ac) 1 = AB Έχουμε: (ac)ab(ac) 1 = ((ac)a)bc 1 a 1 = ((Aa)c)Bc 1 a 1 = A(cBc 1 )a 1 = (AB)a 1 = B(Aa 1 ) = BA = AB, αφού x G, xa = Ax και c C, cb = Bc Λήμμα 322 (Το Λήμμα τής Πεταλούδας, Zassenhaus) Έστω ότι H 1, H και K 1, K είναι υποομάδες μιας ομάδας (G, ) με H 1 H και K 1 K Τότε και υπάρχει ένας ισομορφισμός H 1 (H K 1 ) H 1 (H K) K 1 (K H 1 ) K 1 (K H) H 1 (H K) = H 1 (H K 1 ) K 1(K H) K 1 (K H 1 ) Απόδειξη Θεωρούμε το επόμενο διάγραμμα υποομάδων τής G, στο οποίο όταν δύο υποομάδες συνδέονται με ένα ευθύγραμμο τμήμα, τότε αυτή που βρίσκεται στο χαμηλότερο άκρο τού ευθύγραμμου τμήματος είναι υποομάδα εκείνης που βρίσκεται στο υψηλότερο άκρο H K H 1 (H K) K 1 (H K) H K H 1 (H K 1 ) K 1 (H 1 K) (H 1 K)(H K 1 ) H 1 K 1 H 1 K H K 1 Παρατηρούμε ότι επειδή K 1 K G και H G έπεται, από το Λήμμα 321(α ), ότι H K 1 H K και παρομοίως συμπεραίνουμε ότι K H 1 K H Ν Μαρμαρίδης 48

7 32 Το Θεώρημα Εκλέπτυνσης SCHREIER Τώρα επειδή H K 1 H K H και H 1 H, έπεται, από το Λήμμα 321(β ), ότι H 1 (H K 1 ) H 1 (H K) Εντελώς ανάλογα αποδεικνύεται ότι K 1 (K H 1 ) K 1 (K H) Επειδή H 1 K H K και H K 1 H K, συμπεραίνουμε ότι (H 1 K)(H K 1 ) H K Θα δείξουμε ότι (H 1 K)(H K 1 ) = (H K) [H 1 (H K 1 )] (*) Αφού (H 1 K) H 1 έπεται (H 1 K)(H K 1 ) H 1 (H K 1 ) Αφού H 1 K H K και H K 1 H K έπεται (H 1 K)(H K 1 ) H K Συνεπώς, Υπολείπεται η απόδειξη ότι (H 1 K)(H K 1 ) (H K) [H 1 (H K 1 )] (H K) [H 1 (H K 1 )] (H 1 K)(H K 1 ) Έστω α (H K) [H 1 (H K 1 )] Τότε α H K και α H 1 (H K 1 ) Επομένως, α = βγ με β H 1, γ H K 1 Επομένως, το β = γ 1 α ανήκει στο H 1 K και γι αυτό το α ανήκει στο (H 1 K)(H K 1 ) Θέτοντας A = H K και B = H 1 (H K 1 ), διαπιστώνουμε ότι AB = [(H K)H 1 ](H K 1 ) = [H 1 (H K)](H K 1 ) = H 1 [(H K)(H K 1 )] = H 1 (H K), αφού H 1 H και H K 1 H K Θεωρούμε την πηλικοομάδα η οποία είναι, ως γνωστόν, ισόμορφη με την H 1 (H K) H 1 (H K 1 ) = AB B, A A B = H K (H K) [H 1 (H K 1 )] = H K (H 1 K)(H K 1 ), αφού, λόγω τής (*), (H 1 K)(H K 1 ) = (H K) [H 1 (H K 1 )] Χρησιμοποιώντας την αριστερή πλευρά τού σχήματος τής πεταλούδας αποδείξαμε ότι H 1 (H K) = H 1 (H K 1 ) H K (H 1 K)(H K 1 ) Εντελώς ανάλογα, χρησιμοποιώντας την δεξιά πλευρά τού σχήματος τής πεταλούδας αποδεικνύεται ότι K 1 (K H) = K 1 (K H 1 ) H K (H 1 K)(H K 1 ) και γι αυτό τελικά παίρνουμε H 1 (H K) H 1 (H K 1 ) = K 1(K H) K 1 (K H 1 ) 49 Ν Μαρμαρίδης

8 3 Το Θεώρημα JORDAN HÖLDER Θεώρημα 321 ( Το Θεώρημα Εκλέπτυνσης Schreier) Δύο οποιεσδήποτε υποορθόθετες (αντιστοίχως ορθόθετες) σειρές μιας ομάδας (G, ) διαθέτουν ισόμορφες εκλεπτύνσεις Απόδειξη Έστω ότι G = K 0 K 1 K i K i+1 K r = {e G } G = H 0 H 1 H j H j+1 H s = {e G } (I) (II) είναι δύο υποορθόθετες (αντιστοίχως ορθόθετες) σειρές τής ομάδας G Θα εκλεπτύνουμε την (I) σε μια νέα υποορθόθετη σειρά (I ) Ορίζουμε K i,j = (K i H j )K i+1, 0 j s, 0 i r 1 και παρατηρούμε ότι K i,j K i, αφού K i+1 K i και K i H j K i Επιπλέον, K i,0 = (K i H 0 )K i+1 = K i, K i,j = (K i H j )K i+1 K i,j+1 = (K i H j+1 )K i+1, j, 0 j s και K i,s = (K i H s )K i+1 = K i+1 = K i+1,0 Έτσι επιτυγχάνουμε μια εκλέπτυνση τής (I) K i = K i,0 K i,1 K i,s = K i+1 μεταξύ των όρων K i και K i+1 Παρατηρούμε ακόμη ότι για i με 0 i r 2, έχουμε K i,s = (K i H s )K i+1 = K i+1 = K i+1,0, και γι αυτό μπορούμε να παραλείψουμε τους όρους K i,s Έτσι το πλήθος των όρων K i,j τής (I ) ισούται με το άθροισμα (r 1)s όρων (όταν 0 i r 2) συν (s + 1) όρων (όταν i = r 2) Δηλαδή, η (I ) διαθέτει συνολικά rs + 1 όρους Τώρα εργαζόμενοι παρομοίως εκλεπτύνουμε την (II) σε μια νέα υποορθόθετη σειρά (II ) Ορίζουμε H i,j = (H j K i )H j+1, 0 i r, 0 j s 1 και παρατηρούμε ότι H i,j H j, αφού H j+1 H j και H j K i H j Επιπλέον, H 0,j = (H j K 0 )H j+1 = H j, H i,j = (H j K i )H j+1 H i+1,j = (H j K i+1 )H j+1 και H r,j = (H j K r )H j+1 = H j+1 = H 0,j+1 Έτσι επιτυγχάνουμε μια εκλέπτυνση τής (II) H j = H 0,j H 1,j H r,j = H j+1 μεταξύ των όρων H j και H j+1 Παρατηρούμε ακόμη ότι για j με 0 j s 2, έχουμε H r,j = (H j K r )H j+1 = H j+1 = H 0,j+1 και γι αυτό μπορούμε να παραλείψουμε τους όρους H r,j Έτσι το πλήθος των όρων H i,j τής (II ) ισούται με το άθροισμα (s 1)r όρων (όταν 0 j s 2) συν (r + 1) όρων (όταν j = s 1) Δηλαδή, η (II ) διαθέτει συνολικά sr + 1 όρους Ν Μαρμαρίδης 50

9 32 Το Θεώρημα Εκλέπτυνσης SCHREIER Συνεπώς, οι δύο εκλεπτύνσεις διαθέτουν το ίδιο πλήθος όρων Τέλος παρατηρούμε ότι, λόγω τού Λήμματος τής Πεταλούδας, βλ Λήμμα 322, οι (I ) και (II ) είναι ισόμορφες, αφού i, 0 i r 1, και j, 0 j s 1 είναι K i,j K i,j+1 = H i,j H i,j+1 Στην περίπτωση που οι αρχικές σειρές (I) και (II) ήταν ορθόθετες, τότε και οι εκλεπτύνσεις τους (I ) και (II ) είναι επίσης ορθόθετες, επειδή οι υποομάδες K i,j = (K i H j )K i+1 και H i,j = (H j K i )H j+1 είναι ορθόθετες υποομάδες τής G, αφού οι K i H j, K i+1, H j K i, H j+1 είναι για κάθε i και j, ορθόθετες υποομάδες τής G Παραδείγματα 321 Θεωρούμε την κυκλική ομάδα (Z, +) και τις ορθόθετες σειρές Z 2 4 {0}, Z 5 10 {0} Οι δύο προηγούμενες σειρές διαθέτουν αντιστοίχως τις επόμενες εκλεπτύνσεις Z {0}, Z {0} Οι συγκεκριμένες εκλεπτύνσεις είναι ισόμορφες, αφού η οικογένεια παραγόντων τής πρώτης είναι το {Z 2, Z 2, Z 5, Z 2, Z} και η οικογένεια παραγόντων τής δεύτερης είναι το {Z 5, Z 2, Z 2, Z 2, Z} Ορισμός 321 Μια συνθετική σειρά (αντιστοίχως κυρίαρχη σειρά) για μια ομάδα G, είναι μια υποορθόθετη (αντιστοίχως ορθόθετη) σειρά χωρίς επαναλήψεις, τής οποίας κάθε εκλέπτυνση με περισσότερους όρους οφείλει να περιέχει επαναλήψεις Οι παράγοντες μια συνθετικής (αντιστοίχως κυρίαρχης) σειράς G = G 0 > G 1 > > G r = {e G } (*) ονομάζονται οι συνθετικοί (αντιστοίχως οι κυρίαρχοι) παράγοντες τής (*) Υπάρχουν ομάδες που δεν διαθέτουν ούτε συνθετικές ούτε κυρίαρχες σειρές Ωστόσο, κάθε πεπερασμένη ομάδα διαθέτει και συνθετικές και κυρίαρχες σειρές, αφού οποιαδήποτε εκλέπτυνση χωρίς επαναλήψεις τής σειράς G e G οφείλει να περατώνεται κατόπιν ενός πεπερασμένου πλήθους βημάτων Παραδείγματα 322 (αʹ) Η άπειρη κυκλική ομάδα (Z, +) δεν διαθέτει ούτε συνθετικές ούτε κυρίαρχες σειρές Έστω ότι η Z = 1 > n 1 > n 2 > > n s > {0}, n i N, i, i = 1, 2,, s (*) 51 Ν Μαρμαρίδης

10 3 Το Θεώρημα JORDAN HÖLDER είναι μια υποορθόθετη και συνεπώς ορθόθετη σειρά χωρίς επαναλήψεις για την άπειρη κυκλική ομάδα Z Τότε η Z = 1 > n 1 > n 2 > > n s > 2n s > {0} είναι μια εκλέπτυνση τής (*) χωρίς επαναλήψεις Γι αυτό καμιά υποορθόθετη και συνεπώς ορθόθετη σειρά για την ομάδα Z δεν είναι ούτε συνθετική ούτε κυρίαρχη (βʹ) Η σειρά Z 12 = [1] 12 > [3] 12 > [6] 12 > {0} είναι κυρίαρχη και προφανώς συνθετική, αφού πρόκειται για μια ορθόθετη σειρά, όπου οι τάξεις των παραγόντων της είναι [ [1] 12 : [3] 12 ] = 3, [ [3] 12 : [6] 12 ] = 2, [ [6] 12 : {0} ] = 2 (*) Αφού η τάξη κάθε παράγοντα είναι πρώτος αριθμός είναι προφανές ότι κάθε γνήσια εκλέπτυνση τής (*) οφείλει να περιέχει επαναλήψεις (γʹ) Η υποορθόθετη σειρά τής A 4 A 4 V H {Id S4 }, (**) βλ Παράδειγμα 311(β ), είναι μια συνθετική σειρά Πράγματι, για τις τάξεις των παραγόντων τής σειράς έχουμε [A 4 : V] = 3, [V : H] = 2, [H : Id S4 ] = 2 Αφού λοιπόν αυτές οι τάξεις είναι πρώτοι αριθμοί, έπεται ότι κάθε γνήσια εκλέπτυνση τής (**) οφείλει να περιέχει επαναλήψεις Θεώρημα 322 (Το Θεώρημα Jordan Hölder) Αν μια ομάδα (G, ) διαθέτει συνθετικές (αντιστοίχως κυρίαρχες) σειρές, τότε αυτές είναι ισόμορφες Απόδειξη Έστω ότι G = K 0 K 1 K i K i+1 K r = {e G } G = H 0 H 1 H j H j+1 H s = {e G } (I) (II) είναι δύο συνθετικές (αντιστοίχως κυρίαρχες) σειρές τής ομάδας G Σύμφωνα με το Θεώρημα Schreier, βλ Θεώρημα 321, οι συγκεκριμένες σειρές διαθέτουν ισόμορφες εκλεπτύνσεις Αφού όμως είναι συνθετικές (αντιστοίχως κυρίαρχες) σειρές, κάθε εκλέπτυνσή τους οφείλει να διαθέτει επαναλήψεις Επομένως, οι (I) και (II) ήταν εξαρχής ισόμορφες, γεγονός που αποδεικνύει τον ισχυρισμό τού θεωρήματος Ν Μαρμαρίδης 52

11 33 Συνθετικοί και κυρίαρχοι Παράγοντες Παραδείγματα 323 Στο Παράδειγμα 322(β ) διαπιστώσαμε ότι η Z 12 = [1] 12 > [3] 12 > [6] 12 > {0} είναι μια κυρίαρχη και προφανώς συνθετική σειρά, τής οποίας η οικογένεια των συνθετικών παραγόντων της είναι η {Z 3, Z 2, Z 2 } Παρατηρούμε ότι και η Z 12 = [1] 12 > [2] 12 > [4] 12 > {0} είναι ακόμη μία κυρίαρχη και συνθετική σειρά Η οικογένεια των συνθετικών παραγόντων της είναι η {Z 2, Z 2, Z 3 } και προφανώς οι συνθετικές και κυρίαρχες σειρές είναι ισόμορφες 33 Συνθετικοί και κυρίαρχοι Παράγοντες Για την περιγραφή τής μορφής των παραγόντων μιας συνθετικής ή κυρίαρχης σειράς θα χρειαστούμε ορισμένα στοιχεία από τα ευθέα γινόμενα ομάδων τα οποία παρουσιάζουμε στην επόμενη ενότητα 331 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Ορισμός 331 Έστω ότι (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) είναι δύο ομάδες Ονομάζουμε εξωτερικό ευθύ γινόμενο των ομάδων G 1 και G 2 την ομάδα (G 1 G 2, ), όπου G 1 G 2 είναι το καρτεσιανό γινόμενο των G 1 και G 2 και όπου η πράξη ορίζεται ως : (G 1 G 2 ) (G 1 G 2 ) (G 1 G 2 ), ((g 1, g 2 ), (h 1, h 2 )) (g 1, g 2 ) (h 1, h 2 ) := (g 1 1 h 1, g 2 2 h 2 ) Ο προηγούμενος ορισμός γενικεύεται στο εξωτερικό ευθύ γινόμενο ( i I G i, ) οποιασδήποτε οικογένειας ομάδων ((G i, i )) i I Παραδείγματα 331 Η ομάδα (R, +) με στοιχεία τις ακολουθίες (α i ) i N των πραγματικών αριθμών και πράξη + : R R R, ((α i ) i N, (β i ) i N ) ((α i + β i ) i N ) την πρόσθεση των ακολουθιών συμπίπτει με το εξωτερικό ευθύ γινόμενο τής οικογένειας ομάδων ((G i, i )) i N, όπου για κάθε δείκτη i N, η ομάδα (G i, i ) ισούται με την ομάδα (R, +) των πραγματικών αριθμών με πράξη τη συνηθισμένη πρόσθεση των πραγματικών 53 Ν Μαρμαρίδης

12 3 Το Θεώρημα JORDAN HÖLDER Η επόμενη πρόταση αποδεικνύεται σε οποιοδήποτε εισαγωγικό μάθημα άλγεβρας: Πρόταση 331 Έστω ότι (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) είναι δύο ομάδες (α ) Το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 1 G 2, ) των G 1 και G 2 είναι μια αβελιανή ομάδα αν, και μόνο αν, οι (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) είναι αβελιανές (β ) Το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 1 G 2, ) είναι ισόμορφο με το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 2 G 1, ) (γ ) Αν οι G 1 και G 2 είναι πεπερασμένες κυκλικές ομάδες με τάξεις σχετικώς πρώτες, δηλαδή με ΜΚΔ([G 1 : 1], [G 2 : 1]) = 1, τότε το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 1 G 2, ) είναι κυκλική ομάδα τάξης [G 1 : 1] [G 2 : 1] Πόρισμα 331 Έστω ότι ((G i, i )) i I, I = {1, 2,, s N}, είναι μια πεπερασμένη οικογένεια κυκλικών ομάδων, όπου οι τάξεις [G i : 1] = n i είναι ανά δύο σχετικώς πρώτες, δηλαδή όπου ΜΚΔ(n i, n j ) = 1, i, j, 1 i, j s, i j Τότε το εξωτερικό ευθύ γινόμενο ( s i=1 G i, ) τής οικογένειας ((G i, i )) i I είναι μια κυκλική ομάδα τάξης s i=1 n i Απόδειξη Επαγωγή ως προς το πλήθος s των ομάδων Παρατηρήσεις 331 (αʹ) Το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 1 G 2, ) δύο κυκλικών ομάδων (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) δεν είναι απαραιτήτως κυκλική ομάδα Για παράδειγμα, το εξωτερικό ευθύ γινόμενο τής κυκλικής ομάδας C n με n > 1 στοιχεία, δηλαδή η C n C n, δεν είναι ποτέ μια κυκλική ομάδα, αφού η τάξη οποιουδήποτε στοιχείου (a, b) C n C n είναι πάντοτε ένας διαιρέτης τού n (γιατί;), ενώ η τάξη της [C n C n : 1] ισούται με n 2 (βʹ) Είναι εύκολη η διαπίστωση ότι αν, (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) είναι δύο ομάδες και H i G i, i = 1, 2, είναι αντιστοίχως δύο υποομάδες τους, τότε το εξωτερικό ευθύ γινόμενο H 1 H 2 είναι μια υποομάδα τού εξωτερικού ευθέος γινομένου G 1 G 2 Ωστόσο, δεν έχει κάθε υποομάδα H G 1 G 2 απαραιτήτως τη συγκεκριμένη μορφή Επί παραδείγματι, το εξωτερικό ευθύ γινόμενο Z Z διαθέτει ως υποομάδα την = {(z, z) z Z} Ωστόσο, δεν υπάρχουν υποομάδες H 1, H 2 τής Z με H 1 H 2 = Αφού, αν υπήρχαν H 1, H 2 Z με H 1 H 2 =, τότε κάθε (h 1, h 2 ) H 1 H 2 θα ήταν ίσο με κάποιο (z, z) και γι αυτό τελικώς θα ήταν H 1 = H 2 Τώρα επειδή η Z είναι κυκλική, έπεται ότι και η H θα ήταν κυκλική Συνεπώς, θα υπήρχε a Z, a 0 με H = a Αλλά τώρα αφού H H =, πρέπει όλα τα στοιχεία τής H να είναι ίσα, το οποίο μπορεί να συμβεί μόνο στην περίπτωση όπου H = {0} Αυτό είναι άτοπο, διότι η τάξη τής H H ισούται με 1, ενώ η τάξη τής είναι άπειρη Ν Μαρμαρίδης 54

13 33 Συνθετικοί και κυρίαρχοι Παράγοντες Ορισμός 332 Τα εξωτερικά ευθέα γινόμενα ( n i=1 G i, ), όπου κάθε ομάδα G i είναι ισόμορφη με την κυκλική ομάδα C p, p πρώτος αριθμός, ονομάζονται στοιχειώδεις αβελιανές p ομάδες Προσέξτε ότι το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 1 G 2, ) δύο ομάδων (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) δεν έχει ως υποομάδες τις G 1 και G 2 Ωστόσο, η συγκεκριμένη «ιδιάζουσα συμπεριφορά» αίρεται με την εισαγωγή τής έννοιας τού εσωτερικού ευθέος γινομένου Ορισμός 333 Έστω ότι {G i i = 1, 2,, s} είναι ένα πεπερασμένο σύνολο υποομάδων μιας ομάδας (G, ) Η G ονομάζεται το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των υποομάδων G i, i = 1, 2,, s αν, για κάθε 1 i s, η G i G είναι ορθόθετη υποομάδα τής G και αν, κάθε g G γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο τής μορφής g = g 1 g 2 g s, όπου g i G i, i, 1 i s Υπενθυμίζουμε ότι ονομάζουμε την G γινόμενο των υποομάδων της {G i i = 1, 2,, s}, όπου G i G, i, 1 i s αν, G = G 1 G 2 G s, δηλαδή αν, κάθε στοιχείο g G ισούται με ένα γινόμενο τής μορφής g 1 g 2 g s, όπου g G i, i, 1 i s Παραδείγματα 332 Η κυκλική ομάδα (C 6 = x, ) τάξης 6 είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των κυκλικών υποομάδων C 2 = x 3 και C 3 = x 2 των οποίων οι τάξεις είναι 2 και 3 αντιστοίχως Προφανώς C 2 C 6 και C 3 C 6 Για τα στοιχεία τής C 6 έχουμε: e C6 = e C6 e C6, x = x 3 (x 2 ) 2, x 2 = e C6 x 2, x 3 = x 3 e C6, x 4 = e C6 x 4, x 5 = x 3 x 2 (*) Συνεπώς, C 6 = x 3 x 2 Υπολείπεται η απόδειξη ότι τα ανωτέρω γινόμενα (*) είναι μοναδικά ως γινόμενα, όπου ο πρώτος παράγοντας ανήκει στην C 2 και ο δεύτερος στην C 3 Όμως αυτό διαπιστώνεται αμέσως λαμβάνοντας υπ όψιν την αμέσως πρόταση Πρόταση 332 Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα και ότι G i G, 1 i s είναι ορθόθετες υποομάδες τής G με G = G 1 G 2 G s Η ομάδα G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των G 1, G 2,, G s αν, και μόνο αν, i, 2 i s, (G 1 G 2 G i 1 ) G i = {e G } Απόδειξη Απόδειξη Σύμφωνα με τον ορισμό τού ευθέος γινομένου, υπολείπεται η απόδειξη του μοναδικού τής παράστασης κάθε στοιχείου τής G ως γινόμενο στοιχείων από τις υποομάδες G 1, G 2,, G s Έστω ότι g = g 1 g 2 g s = h 1 h 2 h s ( ), όπου i, 1 i s, g i, h i G i Τότε g s h 1 s = (g 1 g 2 g s 1 ) 1 (h 1 h 2 h s 1 ) 55 Ν Μαρμαρίδης

14 3 Το Θεώρημα JORDAN HÖLDER Αλλά g s h 1 s G s και (g 1 g 2 g s 1 ) 1 (h 1 h 2 h s 1 ) G 1 G 2 G s 1 Επομένως, g s h 1 s (G 1 G 2 G s 1 ) G s = {e G } και γι αυτό g s = h s Τώρα η σχέση ( ) παίρνει τη μορφή g = g 1 g 2 g s 1 = h 1 h 2 h s 1 από όπου ακριβώς όπως προηγουμένως συμπεραίνουμε ότι g s 1 h 1 s 1 = e G, δηλαδή g s 1 = h s 1 Συνεχίζοντας έτσι καταλήγουμε ότι g s = h s, g s 1 = h s 1,, g 2 = h 2, g 1 = h 1 Έστω ότι α είναι ένα στοιχείο τής G, το οποίο ανήκει στην τομή (G 1 G 2 G i 1 ) G i Τότε α = g 1 g 2 g i 1 με g j G j, j = 1, 2, i 1 και α G i Αλλά το α έχει μοναδική παράσταση ως γινόμενο στοιχείων g i G i, i = 1, 2,, s Επομένως, α = e G Επιστρέφοντας στο Παράδειγμα 332 διαπιστώνουμε τώρα ότι η C 6 είναι το εσωτερικό γινόμενο των δύο κυκλικών υποομάδων της C 2 και C 3, αφού C 2 C 3 = {e C6 } Πόρισμα 332 Έστω ότι μια ομάδα (G, ) είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των υποομάδων της G 1, G 2,, G s Τότε g i G i, g j G j με i j, 1 i, j s είναι g i g j = g j g i Απόδειξη Παρατηρούμε ότι το στοιχείο g i g j g 1 i g i g j g 1 i G j και g j g 1 i δηλαδή g i g j = g j g i g 1 j g 1 j ανήκει στην τομή G i G j = {e G }, επειδή g 1 j = e G, G i, αφού G i G και G j G Επομένως, g i g j g 1 i Σχέση μεταξύ εσωτερικού και εξωτερικού ευθέος Γινομένου Πρόταση 333 Μια ομάδα (G, ) είναι το εξωτερικό ευθύ γινόμενο των ομάδων (G i, i ), i = 1, 2,, s αν, και μόνο αν, υπάρχουν ορθόθετες υποομάδες N i G τής G, όπου i, 1 i s η N i είναι ισόμορφη με την G i έτσι, ώστε η G να ισούται με το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των N i, 1 i s Απόδειξη Για κάθε i, 1 i s θεωρούμε την απεικόνιση θ i : G G, (g 1, g 2,, g s ) θ i ((g 1, g 2,, g s )) := (g 1, g 2,, g i 1, e Gi, g i+1,, g s ) Αποδεικνύεται εύκολα ότι η θ i είναι ένας ομομορφισμός ομάδων με πυρήνα N i := Kerθ i = {(e G1, e G2,, e Gi 1, g i, e Gi+1,, e Gs ) g i G i } Γι αυτό i, 1 i s, οι N i είναι ορθόθετες υποομάδες τής G Επιπλέον, έχουμε G = N 1 N 2 N s, αφού αν, α = (g 1, g 2,, g s ), τότε α = (g 1, e G2,, e Gi 1, e Gi, e Gi+1,, e Gs ) (e G1, e G2,, e Gi 1, g i, e Gi+1,, e Gs ) (e G1, e G2,, e Gi 1, e Gi, e Gi+1,, g s ), όπου προφανώς i, 1 i s, n i = (e G1, e G2,, e Gi 1, g i, e Gi+1,, e Gs ) N i Η συγκεκριμένη παράσταση τού α ως γινόμενο των στοιχείων n i N i είναι μοναδική, αφού αν, α = (h 1, e G2,, e Gi 1, e Gi, e Gi+1,, e Gs ) (e G1, e G2,, e Gi 1, h i, e Gi+1,, e Gs ) (e G1, e G2,, e Gi 1, e Gi, e Gi+1,, h s ), Ν Μαρμαρίδης 56

15 33 Συνθετικοί και κυρίαρχοι Παράγοντες είναι ακόμη μια παράσταση τού α ως γινόμενο στοιχείων από τις N i, 1 i s, τότε α = (h 1, h 2,, h s ) από όπου έπεται ότι h i = g i, i, 1 i s και συνεπώς τα n i = (e G1, e G2,, e Gi 1, g i, e Gi+1,, e Gs ) N i, 1 i s με α = n 1 n 2 n i n s είναι μοναδικώς καθορισμένα Έστω ότι η G ισούται με το εσωτερικό ευθύ γινόμενο G = N 1 N 2 N s των ορθόθετων υποομάδων της N i G, 1 i s Θεωρούμε το εξωτερικό ευθύ γινόμενο N 1 N 2 N s των N i και την απεικόνιση σ : N 1 N 2 N s G = N 1 N 2 N s, (n 1, n 2,, n s ) n 1 n 2 n s Παρατηρούμε ότι η σ είναι ένας ομομορφισμός ομάδων, αφού σ ((n 1, n 2,, n s )(n 1, n 2,, n s)) = (n 1 n 1)(n 2 n 2) (n s n s) = (n 1 n 2 n s )(n 1n 2 n s) = σ ((n 1, n 2,, n s )) σ ((n 1, n 2,, n s)), αφού n i n j = n j n i, i, j, i j, 1 i, j n Προφανώς ο σ είναι ένας επιμορφισμός Επιπλέον αν, (n 1, n 2,, n s ) Kerσ, τότε n 1 n 2 n s = e G Αλλά αφού η G = N 1 N 2 N s είναι το εσωτερικό γινόμενο των N i, 1 i n, η παράσταση τού e G ως γινόμενο στοιχείων n i N i, 1 i n είναι μοναδική και γι αυτό n i = e G, i, 1 i s Επομένως, Kerσ = {(e G1, e G2,, e G2 )} και ο επιμορφισμός σ είναι ένας ισομορφισμός Παραδείγματα 333 Η διεδρική ομάδα (D 4, ) των στερεών κινήσεων τού τετραγώνου δεν ισούται με ένα εσωτερικό ευθύ γινόμενο δύο γνησίων υποομάδων της Πράγματι, οι γνήσιες υποομάδες τής D 4 έχουν τάξη 1, 2 ή 4 Αν ήταν η D 4 το εσωτερικό ευθύ γινόμενο δύο υποομάδων της, τότε θα ήταν και η ίδια αβελιανή Πράγμα άτοπο, αφού η D 4 δεν είναι αβελιανή Παραδείγματα 334 Έστω ότι (S n, ) είναι η συμμετρική ομάδα των «1 1» και «επί» απεικονίσεων από το σύνολο N = {1, 2,, n} στον εαυτό του και ότι I είναι ένα γνήσιο μη κενό υποσύνολο τού N Έστω G το υποσύνολο τής S n που αποτελείται από τα σ S n με σ(i) = I, δηλαδή από τα στοιχεία τής S n που απεικονίζουν το υποσύνολο I στον εαυτό του Προτείνουμε στον αναγνώστη να αποδείξει ότι το σύνολο G είναι μια υποομάδα τής S n Έστω ότι J είναι το συνολοθεωρητικό συμπλήρωμα το I ως προς N, δηλαδή J = N \ I Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία σ τής G διατηρούν το υποσύνολο J, δηλαδή σ(j) = J, επειδή αυτά διατηρούν το I και επειδή το N είναι μια αποσυνδετή ένωση των υποσυνόλων I και J Θεωρούμε το υποσύνολο H (αντιστοίχως K) τής G που αποτελείται από τα σ G (αντιστοίχως τ G) που διατηρούν σημειακά το I (αντιστοίχως σημειακά το J), δηλαδή σ H i I, σ(i) = i (αντιστοίχως τ K j J, τ(j) = j) Προτείνουμε στον αναγνώστη να αποδείξει ότι τα υποσύνολα I και J είναι υποομάδες τής G Πρόκειται μάλιστα για ορθόθετες υποομάδες τής G, αφού είναι πυρήνες των δράσεων τής G επί των συνόλων I και J, βλ Ορισμό 113 ξένη 57 Ν Μαρμαρίδης

16 3 Το Θεώρημα JORDAN HÖLDER Ιαχυριζόμαστε ότι η G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των υποομάδων της H και K Παρατηρούμε ότι H K = {Id n }, αφού αν, σ H K, τότε σ(α) = α, α I J = N Αν τώρα αποδείξουμε ότι κάθε σ G είναι σύνθεση ενός στοιχείου από την H με ένα στοιχείο από την K, τότε από την Πρόταση 333 θα προκύψει ότι η G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των H και K Έστω σ G και μια ανάλυσή του σ = c 1 c t σε αποσυνδετούς κύκλους Παρατηρούμε ότι κάθε κύκλος c l, l = 1,, t περιέχει ή μόνο στοιχεία από το I ή μόνο στοιχεία από το J αφού αν, σε κάποιον c l υπήρχαν στοιχεία και από το I και από το J, τότε το σ δεν θα σταθεροποιούσε το σύνολο I, πράγμα άτοπο αφού το σ είναι στοιχείο τής G Γι αυτό σχηματίζοντας το γινόμενο σ I (αντιστοίχως σ J ) των κύκλων τού σ που δεν περιέχουν στοιχεία από το I (αντιστοίχως που δεν περιέχουν στοιχεία από το J), διαπιστώνουμε ότι το σ I ανήκει στο H και το σ J ανήκει στο K και σ = σ I σ J Ώστε η G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των H και K και [G : 1] = [H : 1][K : 1] Προφανώς, η H (αντιστοίχως η K) είναι ισόμορφη με την συμμετρική ομάδα S J τού συνόλου J (αντιστοίχως με την συμμετρική ομάδα S I τού συνόλου I) και γι αυτό G = S J S I και [G : 1] = (n m)!m!, όπου m είναι το πλήθος των στοιχείων τού συνόλου I 332 Περιγραφή συνθετικών ή κυρίαρχων Παραγόντων Πρόταση 334 Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα με [G : 1] > 1 Αν η G = G 0 > G 1 > > G i > G i+1 > > G r = {e G } (*) είναι μια συνθετική σειρά για την G, τότε κάθε συνθετικός παράγοντας G i /G i+1, i {0, 1,, r 1} είναι μια απλή ομάδα Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι για κάποιον δείκτη i {0, 1,, r 1} η G i /G i+1 δεν είναι απλή Τότε θα υπήρχε μια γνήσια και ορθόθετη υποομάδα H τής G i /G i+1, η οποία θα περιείχε γνησίως την τετριμμένη υποομάδα G i+1 /G i+1 Συνεπώς, θα υπήρχε μια γνήσια και ορθόθετη υποομάδα N τής G i, η οποία θα περιέχε γνησίως την G i+1 με N/G i+1 = H και ακόμα, η G i+1 θα ήταν ορθόθετη υποομάδα τής H, αφού G i+1 G i Όμως τότε η υποορθόθετη σειρά G = G 0 > G 1 > > G i > H > G i+1 > > G r = {e G } θα ήταν μια εκλέπτυνση τής ( ) χωρίς επαναλήψεις και με περισσότερους όρους Αυτό είναι αδύνατο αφού, η ( ) είναι μια συνθετική σειρά Επομένως, κάθε συνθετικός παράγοντας G i /G i+1, i {0, 1,, r 1} είναι μια απλή ομάδα Πρόταση 335 Οι συνθετικοί παράγοντες μια πεπερασμένης αβελιανής ομάδας (G, ) είναι κυκλικές ομάδες πρώτης τάξης Ν Μαρμαρίδης 58

17 33 Συνθετικοί και κυρίαρχοι Παράγοντες Απόδειξη Οι συνθετικοί παράγοντες είναι πεπερασμένες αβελιανές και απλές ομάδες Επομένως, από την Πρόταση 2211 συμπεραίνουμε ότι οι συνθετικοί παράγοντες είναι κυκλικές ομάδες πρώτης τάξης Παρατηρήσεις 332 Το Θεώρημα Jordan-Hölder μπορεί να θεωρηθεί ως μια γενίκευση τού Θεμελιώδους Θεωρήματος τής Αριθμητικής Πράγματι, αν n είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός, τότε θεωρούμε την κυκλική ομάδα (Z n, +) και μια συνθετική σειρά της: Z n = a 0 > a 1 > > a i > a i+1 > > a r = {[0] n }, Οι τάξεις [ a i : a i+1 ] = p i+1 των συνθετικών παραγόντων a i / a i+1 είναι πρώτοι αριθμοί, αφού όλοι οι συνθετικοί παράγοντες είναι κυκλικές ομάδες πρώτης τάξης Παρατηρούμε ότι r p i = [ a 0 : a 1 ] [ a 1 : a 2 ] [ a r 1 : a r ] = [Z n : 1] = n 1 Συνεπώς, κάθε συνθετική σειρά τής Z n χορηγεί μια ανάλυση τού n σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Αντίστροφα, κάθε ανάλυση τού n σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, ας πούμε n = s 1 q i χορηγεί τη συνθετική σειρά Z n = [1] n > [q 1 ] n > [q 1 q 2 ] n > > [q 1 q 2 q i ] n > [q 1 q 2 q i+1 ] n > > > [q 1 q 2 q s ] n = {[0] n }, όπου η τάξη τού συνθετικού παράγοντα [1] n / [q 1 ] n ισούται με (q 1 q 2 q s /q 2 q s ) = q 1 και οι τάξεις των υπόλοιπων συνθετικών παραγόντων [q 1 q 2 q i ] n / [q 1 q 2 q i+1 ] n ισούνται με (q i+1 q i+2 q s /q i+2 q i+3 q s ) = q i+1, i {1, 2,, s 1} Αφου όμως οι παράγοντες οποιασδήποτε συνθετικής σειράς είναι μοναδικοί (με ακρίβεια ισομορφισμού), έπεται ότι υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ τής οικογένειας των πρώτων (p i ), i {1, 2,, r} και τής οικογένειας των πρώτων (q j ), j {1, 2,, s} και γι αυτό η ανάλυση τού n σε γινόμενο πρώτων είναι μοναδική (μέχρι τη σειρά εμφάνισης των παραγόντων) Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει με τους κυρίαρχους παράγοντες Ορισμός 334 Μια ομάδα (G, ) ονομάζεται χαρακτηριστικώς απλή αν, G {e G } και οι μοναδικές χαρακτηριστικές υποομάδες της είναι οι τετριμμένες υποομάδες G και {e G } 59 Ν Μαρμαρίδης

18 3 Το Θεώρημα JORDAN HÖLDER Πρόταση 336 Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα με [G : 1] > 1 Αν η G = G 0 > G 1 > > G i > G i+1 > > G r = {e G } (*) είναι μια κυρίαρχη σειρά για την G, τότε κάθε κυρίαρχος παράγοντας G i /G i+1, i {0, 1,, r 1} είναι μια χαρακτηριστικώς απλή ομάδα Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι για κάποιον δείκτη i {0, 1,, r 1} η G i /G i+1 δεν είναι χαρακτηριστικώς απλή Τότε θα υπήρχε μια γνήσια χαρακτηριστική υποομάδα H τής G i /G i+1, η οποία θα περιείχε γνησίως την τετριμμένη υποομάδα G i+1 /G i+1 Λόγω τής αντιστοιχίας μεταξύ των υποομάδων τής G i /G i+1 και των υποομάδων τής G i που περιέχουν το G i+1, θα υπήρχε μια γνήσια υποομάδα K τής G i που θα περιείχε γνησίως την G i+1 με H = K/G i+1 Αλλά αφού η K/G i+1 θα ήταν μια χαρακτηριστική υποομάδα τής G i /G i+1 και αφού η G i /G i+1 είναι ορθόθετη υποομάδα τής G/G i+1, τότε η K/G i+1 θα ήταν μια ορθόθετη υποομάδα τής G/G i+1, βλ Παρατήρηση 222 και έτσι η K θα ήταν μια γνήσια και ορθόθετη υποομάδα τής G, η οποία θα περιέχε γνησίως την G i+1 Όμως τότε η ορθόθετη σειρά G = G 0 > G 1 > > G i > K > G i+1 > > G r = {e G } θα ήταν μια εκλέπτυνση χωρίς επαναλήψεις και με περισσότερους όρους τής κυρίαρχης σειράς ( ) Αυτό είναι αδύνατο Επομένως, κάθε κυρίαρχος παράγοντας G i /G i+1, i {0, 1,, r 1} είναι μια χαρακτηριστικώς απλή ομάδα Οι χαρακτηριστικώς απλές πεπερασμένες Ομάδες Θεώρημα 331 Μια πεπερασμένη και χαρακτηριστικώς απλή ομάδα (G, ) είναι ένα εσωτερικό ευθύ γινομένο από υποομάδες της, οι οποίες είναι όλες απλές και ισόμορφες Απόδειξη Έστω ότι G 1 είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G με G 1 {e G } με τον μικρότερο αριθμό στοιχείων, δηλαδή αν μια υποομάδα L {e G } τής G έχει λιγότερα από [G 1 : 1] στοιχεία, τότε η L δεν είναι ορθόθετη υποομάδα τής G Θεωρούμε τώρα όλα τα εσωτερικά ευθέα γινόμενα τής μορφής G 1 G 2 G s, όπου G i = G1, i, 2 i s και μεταξύ αυτών διαλέγουμε μια υποομάδα H = G 1 G 2 G r, η οποία έχει τον μέγιστο αριθμό στοιχείων Παρατηρούμε ότι η H είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G, αφού είναι γινόμενο των ορθόθετων υποομάδων G i, 1 i r τής G Ισχυριζόμαστε ότι η είναι μια χαρακτηριστική υποομάδα τής G Προφανώς, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε αυτομορφισμό ϕ Aut(G) έχουμε ϕ(h) H, αφού τότε ϕ(h) = H, διότι τα H και ϕ(h) είναι πεπερασμένα σύνολα με το ίδιο πλήθος στοιχείων Παρατηρούμε ότι για να δείξουμε ϕ Aut(G), ϕ(h) H, αρκεί να δείξουμε ότι ϕ Aut(G) και i = 1, 2,, r, ϕ(g i ) H, αφού ϕ(h) = ϕ(g 1 G 2 G r ) = ϕ(g 1 ) ϕ(g 2 ) ϕ(g r ) Ν Μαρμαρίδης 60

19 34 Η απλότητα τής A n, για n 5 Έστω ότι υπάρχουν κάποια ϕ Aut(G) και j, 1 j r τέτοια, ώστε ϕ(g j ) H Τότε η τομή ϕ(g j ) H περιέχεται γνησίως εντός τής ϕ(g j ) και γι αυτό [ϕ(g j ) H : 1] [ϕ(g j ) : 1] = [G 1 : 1] Αλλά η ϕ(g j ) είναι ορθόθετη υποομάδα τής G, επειδή η G j είναι ορθόθετη υποομάδα τής G και έτσι η ϕ(g j ) H είναι ορθόθετη υποομάδα τής G, αφού πρόκειται για τομή ορθόθετων υποομάδων Όμως επειδή η ϕ(g j ) H έχει λιγότερα στοιχεία από την G 1 και η G 1 ήταν μια ορθόθετη υποομάδα τής G με τον ελάχιστο αριθμό στοιχείων, συμπεραίνουμε ότι ϕ(g j ) H = {e G } Τώρα όμως αμφότερες οι υποομάδες H και ϕ(g j ) είναι ορθόθετες υποομάδες τής G με ϕ(g j ) H = {e G } και γι αυτό το H ϕ(g j ) είναι ένα ευθύ εσωτερικό γινόμενο με περισσότερα από [H : 1] στοιχεία, όπου μάλιστα η ϕ(g j ) είναι ισόμορφη τής G 1 Αυτό αντίκειται στον τρόπο επιλογής τής H ως μιας τέτοιου είδους υποομάδας με τον μέγιστο αριθμό στοιχείων Ώστε ϕ Aut(G) και i = 1, 2,, r, ϕ(g i ) H και έτσι διαπιστώνουμε ότι η είναι μια χαρακτηριστική υποομάδα τής G Αλλά η G είναι μια χαρακτηριστικώς απλή ομάδα και η H είναι μια χαρακτηριστική υποομάδα με {e G } G 1 H Επομένως, H = G, δηλαδή η G ισούται με το ευθύ εσωτερικό γινόμενο G 1 G 2 G s, όπου G i = G1, i, 2 i s Υπολείπεται η απόδειξη ότι η G 1 (συνεπώς και κάθε G i, i, 2 i r) είναι απλή ομάδα Έστω ότι N G 1 είναι μια γνήσια ορθόθετη υποομάδα τής G 1 Ισχυριζόμαστε ότι g G, gn = Ng από όπου συμπεραίνουμε ότι η N είναι μια ορθόθετη υποομάδα της G Πράγματι, αφού g G = G 1 G 2 G s, έπεται ότι g = g 1 g 2 g r, όπου g i G i, i, 1 i r Τώρα επειδή η N είναι υποομάδα τής G 1 και επειδή xy = yx, x G i, y G j όταν i j, βλ Πόρισμα 332, έπεται gn = (g 1 g 2 g r )N = g 1 (g 2 g r N) = g 1 (Ng 2 g r ) = (g 1 N)g 2 g r = (Ng 1 )g 2 g r = N(g 1 g 2 g r ) = Ng, όπου g 1 N = Ng 1, g 1 G 1, επειδή N G 1 Ώστε, N G Αλλά τώρα η N οφείλει να ισούται με {e G }, αφού η G 1 είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G με τον ελάχιστο αριθμό στοιχείων Επομένως η G 1 είναι απλή Παρατηρήσεις 333 Κάθε πεπερασμένη και χαρακτηριστικώς απλή ομάδα είναι ισόμορφη με ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο πεπερασμένου πλήθους απλών ισόμορφων ομάδων Πόρισμα 333 Οι κυρίαρχοι παράγοντες μια πεπερασμένης αβελιανής ομάδας (G, ) είναι στοιχειώδεις αβελιανές p ομάδες Απόδειξη ΟΙ κυρίαρχοι παράγοντες είναι πεπερασμένες, χαρακτηριστικώς απλές και αβελιανές ομάδες και γι αυτό είναι ισόμορφοι με ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο πεπερασμένου πλήθους απλών ισόμορφων ομάδων, οι οποίες είναι αβελιανές Αλλά οι απλές αβελιανές ομάδες είναι κυκλικές πρώτης τάξης Συνεπώς, κάθε κυρίαρχος παράγοντας είναι ισόμορφος με ένα πεπερασμένο εξωτερικό ευθύ γινόμενο Z p Z p, δηλαδή με μια στοιχειώδη αβελιανή p ομάδα 34 Η απλότητα τής A n, για n 5 Ολοκληρώνουμε την παρούσα ενότητα αποδεικνύοντας ότι η A n είναι απλή όταν n 5 Υπενθυμίζουμε ότι στην Ενότητα 222 έχουμε ήδη αποδείξει ότι η εναλλάσσουσα υποομάδα 61 Ν Μαρμαρίδης

20 3 Το Θεώρημα JORDAN HÖLDER A 5 τής συμμετρικής ομάδας S n είναι απλή Αρχίζουμε με το Λήμμα 341 Η εναλλάσσουσα υποομάδα A n τής συμμετρικής ομάδας (S n, ), n 3 παράγεται από τους κύκλους μήκους τρία Απόδειξη Κάθε στοιχείο τής A n είναι μια σύνθεση άρτιου πλήθους αντιμεταθέσεων, αφού η A n αποτελείται ακριβώς από τις άρτιες μετατάξεις τής S n Συνεπώς, η A n παράγεται από τις συνθέσεις ζευγών αντιμεταθέσεων Αρκεί να δείξουμε ότι οι συνθέσεις ζευγών αντιμεταθέσεων, είναι συνθέσεις κύκλων μήκους τρία Κάθε ζεύγος αντιμεταθέσεων διαθέτει ένα ή δεν διαθέτει κανένα κοινό στοιχείο Στην πρώτη περίπτωση, όπου τα i, j, s {1, 2,, n} είναι ανά δύο διαφορετικά, έχουμε ( i j ) ( i s ) = ( i s j ) και στη δεύτερη περίπτωση, όπου τα i, j, r, s {1, 2,, n} είναι ανά δύο διαφορετικά, έχουμε ( i j ) ( r s ) = ( i r j ) ( i r s ) Πόρισμα 341 Αν μια ορθόθετη υποομάδα N τής A n, n 3 περιέχει έναν κύκλο μήκους τρία, τότε συμπίπτει με την A n Απόδειξη Προτρέπουμε τον αναγνώστη να επιβεβαιώσει τον ισχυρισμό στην περίπτωση όπου n = 3 ή 4 Εδώ θα εξετάσουμε την περίπτωση n 5 Παρατηρούμε ότι δοθέντος οποιουδήποτε 3 κύκλου σ = ( i j k ) S n, υπάρχει μια αντιμετάθεση τ = ( r s ) S n με σ τ = τ σ Πράγματι, αφού n 5 μπορούμε να επιλέξουμε από το σύνολο {1, 2,, n} \ {i, j, k} δύο στοιχεία r, s με r s Οι κύκλοι σ = ( i j k ) και τ = ( r s ) S n είναι αποσυνδετοί και ως εκ τούτου μετατίθενται Συνεπώς, δοθέντος οποιουδήποτε 3 κύκλου σ, ο κεντρωτής του C Sn (σ) = {ϕ S n ϕ σ ϕ 1 = σ} περιέχει πάντοτε μια αντιμετάθεση τ Έτσι συμπεραίνουμε ότι η υποομάδα C Sn (σ)a n τής S n ισούται με την S n, αφού S n = τa n A n C Sn (σ)a n Θεωρούμε επίσης τον κεντρωτή C An (σ) = {ψ A n ψ σ ψ 1 = σ} τού σ εντός τής A n Προφανώς, C Sn (σ) A n = C An (σ) Τώρα υπολογίζουμε με τη βοήθεια τής Πρότασης 131 τον δείκτη [C Sn (σ) : C An (σ)] [C Sn (σ) : C An (σ)] = [C Sn (σ) : C Sn (σ) A n ] = [C Sn (σ)a n : A n ] = [S n : A n ] = 2 αντιμεταθέσεις ονομάζονται οι κύκλοι μήκους δύο αν το ζεύγος διαθέτει δύο κοινά στοιχεία, τότε η σύνθεση των ζευγών δίνει το ταυτοτικό στοιχείο τής S n Ν Μαρμαρίδης 62

21 34 Η απλότητα τής A n, για n 5 Επειδή συμπεραίνουμε ότι [S n : C Sn (σ)][c Sn (σ) : C An (σ)] = [S n : A n ][A n : C An (σ)] [S n : C Sn (σ)] = [A n : C An (σ)] (*) Έστω ότι O Sn (σ) (αντιστοίχως O An (σ)) είναι η τροχιά τού σ που αποτελείται από τα στοιχεία τής S n (αντιστοίχως τής A n ) τα οποία είναι S n συζυγή (αντιστοίχως A n συζυγή) τού σ Ο πρώτος δείκτης [S n : C Sn (σ)] στην ισότητα (*) μετρά το πλήθος των στοιχείων τής O Sn (σ) και ο δεύτερος [A n : C An (σ)] μετρά το πλήθος των στοιχείων τής O An (σ), δηλαδή το πλήθος των A n συζυγών τού σ Αφού O An (σ) O Sn (σ) και επειδή πρόκειται για πεπερασμένα το πλήθος σύνολα με το ίδιο πλήθος στοιχείων συμπεραίνουμε ότι O Sn (σ) = O An (σ) Η τροχιά O Sn (σ) συμπίπτει με το σύνολο όλων των 3 κύκλων τής S n, αφού δύο οποιοιδήποτε 3 κύκλοι είναι S n συζυγείς Συνεπώς, δύο οποιοιδήποτε 3 κύκλοι τής S n είναι επίσης A n συζυγείς, επειδή O Sn (σ) = O An (σ) Αν λοιπόν μια ορθόθετη υποομάδα N τής A n περιέχει έναν 3-κύκλο, τότε περιέχει και όλα τα στοιχεία τής A n τροχιάς του Αφού όμως όλοι οι 3 κύκλοι τής S n είναι A n συζυγείς, συμπεραίνουμε ότι η N τους περιέχει όλους, επομένως και την υποομάδα που παράγεται από αυτούς, η οποία είναι η A n, λόγω τού Λήμματος 341 Ώστε A n N και τελικώς N = A n Θεώρημα 341 Η εναλλάσσουσα υποομάδα A n τής συμμετρικής ομάδας (S n, ) είναι απλή όταν n 5 Απόδειξη Ο ισχυρισμός θα αποδειχθεί με επαγωγή ως προς n 5 Για n = 5 γνωρίζουμε, βλέπε Θεώρημα 221, ότι η A 5 είναι απλή ομάδα Έστω ότι η A m είναι απλή ομάδα, για κάθε m n Θα αποδείξουμε ότι η A n είναι απλή ομάδα, όπου προφανώς το δοθέν n είναι 6 Συγκεκριμένα θα αποδείξουμε ότι κάθε ορθόθετη υποομάδα N τής A n με N {Id Sn } ισούται με την A n Έστω N A n με N {Id Sn } Ισχυριζόμαστε ότι υπάρχουν σ N, σ Id Sn και i {1, 2,, n} με σ(i) = i Ας υποθέσουμε το αντίθετο, δηλαδή ότι (*) σ N, σ Id Sn και i {1, 2,, n}, έχουμε σ(i) i Έστω σ N, σ Id Sn Η παράσταση τού σ είναι ή σ = ( ) 1 a ή σ = a 1 ( ) 1 a, όπου a 1 a 1 Επειδή n 6, μπορούμε στην ανωτέρω παράσταση τού σ να επιλέξουμε µια στήλη η οποία να μην περιέχει ούτε στην πάνω ούτε στην κάτω γραμμή τα στοιχεία 1 ή a και έτσι θα έχουμε ή σ = ( ) 1 a b ή σ = a 1 c ( ) 1 a b a 1 c 63 Ν Μαρμαρίδης

22 3 Το Θεώρημα JORDAN HÖLDER Με άλλα λόγια μπορούμε να βρούμε b {1, 2,, n} με b 1, a και σ(b) = c 1, a Επιπλέον έχουμε b c, λόγω τής παραδοχής (*) Τα στοιχεία 1, a, b, c είναι ανά δύο διαφορετικά, και απαρτίζουν ένα σύνολο τεσσάρων στοιχείων Επειδή n 6 μπορούμε να επιλέξουμε στοιχεία d, e {1, 2,, n} \ {1, a, b, c} με d e Θεωρούμε το στοιχείο ρ = ( 1 a ) ( b c d e ) S n Το ρ είναι στοιχείο τής A n ως γινόμενο δύο περιττών κύκλων τής S n Το ρ σ ρ 1 ανήκει στην N, αφού N A n και το ρ σ ρ 1 σ ανήκει επίσης στην N ως γινόμενο στοιχείων τής N Έχουμε ρ σ ρ 1 σ(1) = ρ σ ρ 1 (a) = ρ σ(1) = ρ(a) = 1 Αλλά το ρ σ ρ 1 σ Id Sn, επειδή ρ σ ρ 1 σ(b) = ρ σ ρ 1 (c) = ρ σ(b) = ρ(c) = d Αυτό όμως αντίκειται στην παραδοχή (*), επομένως υπάρχει κάποιο σ N, σ Id Sn και κάποιο i {1, 2,, n} με σ(i) = i Θεωρούμε το σύνολο A i = {ϕ A n ϕ(i) = i} που αποτελείται από τα στοιχεία τής A n τα οποία διατηρούν σταθερό το συγκεκριμένο i Το A i είναι μια υποομάδα τής A n με N A i {Id Sn }, αφού όπως αποδείξαμε υπάρχουν μη τετριμμένα στοιχεία τής N που έχουν αυτήν ακριβώς την ιδιότητα Αλλά η A i είναι ισόμορφη με την εναλλάσσουσα υποομάδα A n 1 τής S n 1, η οποία λόγω τής επαγωγικής υπόθεσης είναι απλή ομάδα Επομένως, η τομή N A i = A i και επειδή η A i περιέχει 3 κύκλους, συμπεραίνουμε ότι η N περιέχει 3 κύκλους Όμως σύμφωνα με το Πόρισμα 341, η μοναδική ορθόθετη υποομάδα τής A n που περιέχει έναν 3 κύκλο είναι η ίδια η A n Ώστε η μοναδική ορθόθετη υποομάδα N {Id Sn } τής A n είναι η A n και γι αυτό η A n είναι απλή ομάδα Ν Μαρμαρίδης 64

23 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

24 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης «Θεωρία Ομάδων» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1]