UNIVERZITET SINGIDUNUM. Doc. dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA. Prvo izdanje. Beograd, 2010.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "UNIVERZITET SINGIDUNUM. Doc. dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA. Prvo izdanje. Beograd, 2010."

Transcript

1

2 UNIVERZITET SINGIDUNUM Doc dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Prvo izdanje Beograd, 00

3 MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Autor: Doc dr Ivana Kova evi Recenzent: Prof dr Nenad Caki Izdava : UNIVERZITET SINGIDUNUM Beograd, Danijelova wwwsingidunumacrs Za izdava a: Prof Dr Milovan Staniši Tehni ka obrada: Novak Njeguš Dizajn korica: Aleksandar Mihajlovi Godina izdanja: 00 Tiraž: 00 primeraka Štampa: Mladost Grup Loznica ISBN Copyright: 00 Univerzitet Singidunum Izdava zadržava sva prava Reprodukcija pojedinih deloa ili celine ove publikacije nije dozvoljena

4 Lakše je matematiku nau iti nego živeti bez nje H Baus

5

6 PEDGOVOR Ovaj udžbenik napisan je za studente prve godine Univerziteta Singidunum u Beogradu, koji slušaju jednosemestralni kurs matematike, na svim fakultetima Prilago en je planu i programu ovog predmeta Udžbenik objedinjuje teoriju i zadatke, što je standard u savremenoj literaturi Ideja autora je bila da se izloži kratak pregled teorije, odnosno najvažnije definicije i teoreme koje su neophodne studentima Dokazi su lišeni esto optere uju ih detalja, sa željom da ovaj na in izlaganja bude prihvatnjiv za što širi krug italaca Osim teorije udžbenik sadrži veliki broj zadataka koji pomažu da se izložena teorija lakše savlada U posebnom poglavlju nalaze se vežbe za rad u laboratoriji, koriš enjem programskog paketa MATLAB MATLAB je prvenstveno bio namenjen inženjerima, ali je za kratko vreme postao standardni programski paket na univerzitetima, školama i institutima MATLAB je jednostavan za koriš enje Problemi i rešenja se izražavaju na na in sli an kao u standardnim matemati kim izra unavanjima, bez potrebe tradicionalnog programiranja Broj funkcija koje nudi MATLAB je ogroman U svakoj novoj verziji taj broj se pove ava Mi nismo imali potrebe, ali ni mogu nosti da sve funkcije pomenemo Zadržali smo se na najvažnijim Mnogi zadaci koji su se pojavljivali na ispitima u okviru predmeta matematika, obra eni su koriš enjem MATLAB -a Na taj na in studentima je pružena mogu nost da se upoznaju sa savremenim mogu nostima realizacije programa predmeta matematika Autor poziva sve studente, itaoce i druge korisnike ovog udženika da daju svoje sugestije, da bi naredna izdanja bila kvalitetnija i sadržajnija U Beogradu AUTOR

7

8 SADRŽAJ UVOD TEORIJA BROJEVA ELEMENTARNE FUNKCIJE ARITMETI KI I GEOMETRIJSKI NIZ 4ANALITI KA GEOMETRIJA MATRICE 7 POJAM MATRICE I OPERACIJE 7 DETERMINANTE 0 RANG MATRICE 5 4INVERZNA MATRICA 7 SISTEMI LINEARNIH JEDNA INA 57 GAUSOVA METODA 57 KRAMEROVA METODA 60 KRONEKER KAPELIJEVA TEOREMA 6 4 HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNA INA 64 5 MATRI NA METODA 65 4 POJAM FUNKCIJE 79 4 POJAM FUNKCIJE 80 4 NIZOVI 88 4 GRANI NA VREDNOST FUNKCIJE 9

9 5 DIFERENCIJALNI RA UN 7 5 IZVOD FUNKCIJE 8 5 DIFERENCIJAL FUNKCIJE 4 5 TEJLOROVA I MALORENOVA FORMULA OSNOVNE TEOREME DIFERENCIJALNOG RA UNA ISPITIVANJE FUNKCIJA 65 6 INTEGRALNI RA UN 0 6 NEODRE ENI INTEGRALI 04 6 ODRE ENI INTEGRALI 40 6 NESVOJSTVENI INTEGRALI PRIMENE INTEGRALNOG RA UNA 58 7 LABORATORIJSKE VEŽBE PRIMENA MATLAB-A 79 7 OSNOVNE FUNKCIE 8 7 MATRICE 9 7 GRAFIKA UPRAVLJANJE PROGRAMOM 75 M-FAJLOVI 76 REŠAVANJE SISTEMA JEDNA INA 7 77 SIMBOLI KA MATEMATIKA 6 78 IZVODI 4 79 INTEGRALI 5 70 PRIMENE INTEGRALA 59 7 ZADACI ZA VEŽBANJE 68 7 DODACI 7 8 LITERATURA 76

10 UVOD TEORIJA BROJEVA ELEMENTARNE FUNKCIJE ARITMETIČKI I GEOMETRIJSKI NIZ 4 ANALITIČKA GEOMETRIJA - -

11 - -

12 UVOD U uvodnom delu dati su osnovni obrasci, definicije i teoreme sa kojima se srećemo u srednjoj školi, a koji su neophodni u daljem radu TEORIJA BROJEVA Broj je jedan od osnovnih pojmova matemake koji se ne definiše, već se intuitivno shvata PRIRODNI BROJEVI Prirodni brojevi su oblika N = {,,,, n, n+, } Za svaki broj n N postoji broj n+ N Brojevi n i n + su uzastopni ili sukcesivni brojevi Prirodan broj čiji su jedini činioci on sam i broj nazivamo prostim brojem, na primer,,5,7,, Uzajamno prostim brojevima nazivamo dva prirodna broja ako im je jedini zajednički činilac broj Prirodni broj je paran ako mu je bar jedan prost činilac broj Ako to nije slučaj broj je neparan Parne brojeve obeležavamo sa k, a neparne sa k + ili k, gde je k N - -

13 Skup prirodnih brojeva je zatvoren u odnosu na operacije sabiranja i množenja, tj rezultat sabiranja i množenja dva prirodna broja uvek je priprodan broj Za operacije sabiranja i množenja prirodnih brojeva važe zakoni: a + b = b + a, ab = ba komutacije; ( a b) c a ( b c), ( ab) c a( bc) + + = + + = asocijacije; ( ), ( ) a+ b c= ac+ bc a b+ c = ab+ ac distribucije Stepen prirodnog broja definišemo kao, n N n a = a a a nputa Na osnovu definicije stepena zaključujemo: n m n m a a = a +, a a n m n m n = a, ( ) m a n m = a CELI BROJEVI Skup celih brojeva sadrži sve prirodne brojeve, nulu i brojeve oblika n, gde n N {,, 0,,,, n, n, } Z = + Oduzimanje celih brojeva se definiše na sledeći način: abc,, Z, a b= c a= b+ c Skup Z je nadskup skupa N i zadržava sva pravila koja smo definisali u skupu N, dodajući neka nova koja važe samo u njemu Ovaj princip koristićemo i u definisanju naredih proširenja skupova brojeva i zove se princip permanencije - 4 -

14 RACIONALNI BROJEVI Skup racionalnih brojeva je oblika: p Q = : p Z q N q Deljenje celih brojeva definiše se na sledeći način: abc,, Z b 0, a = c a= b c b Skup raconalnih brojeva je prebrojiv skup tj imeđu tog skupa i skupa prirodnih brojeva može se uspostaviti obostrano jednoznačno preslikavanje Svaki racionalni broj se može predstaviti u obliku konačnog ili periodičnog decimalnog broja IRACIONALNI BROJEVI Broj koji se ne može predstaviti u obliku razlomka nazivamo iracionalnim brojem, na primer,,log, π, e, Svaki iracionalan broj može se predstaviti u obliku beskonačnog neperiodičnog razlomka Skup iracionalnih brojeva obeležavamo sa I Skup iracionalnih brojeva, kao i skup racionalnih brojeva je neograničen REALNI BROJEVI Svi racionalni i iracionalni brojevi obrazuju skup realnih brojeva, tj R = Q I Skup realnih brojeva je neprebrojiv skup - 5 -

15 Skup realnih brojeva je uređen skup, tj između svaka dva realna broja postoji samo jedan od sledećih odnosa a> b, a= b, a< b Na skupu realnih brojeva za nejednakosti važe sledeće osobine: ( a > b) ( b< a) ; ( a > b) ( a+ c> b+ c) ; ( a b, c 0 ) ( ac bc),( a b, c 0) ( ac bc) > > > > < < Realni brojevi se mogu predstaviti kao tačke na brojnoj pravoj APSOLUTNA VREDNOST BROJA Ako je a proizvoljan realan broj, tada je apsolutna vrednost broja a : a, a > 0 a = 0, a = 0 a, a < 0 Napomena: Apsolutna vrednost broja uvek je nenegativan broj, tj a 0 Za apsolutnu vrednost broja a važe sledeća pravila: a = a, a b b a b < < <, a b ( a b) ( a b) > > < a+ b a + b, a b a + b, a b a b a a ab = a b, =, b 0 b b - 6 -

16 PROŠIRENJE SKUPA REALNIH BROJEVA Skup realnih brojeva proširuje se sa dva simbola i +, tako da za svaki a R važi nejednakost: < a <+ Za operacije sa ovim simbolima važe pravila ( a R) : ( + ) + ( + ) = +, a + ( + ) = + ; ( ) + ( ) =, a + ( ) = Za a > 0 imamo: ( + ) ( + ) = +, a ( + ) = + ; ( ) ( ) = +, ( + ) ( ) =, a ( ) = Izrazi ( + ) ( + ) i ± nisu definisani INTERVAL Ako su ab, Rtakvi da je a< b sledeći podskupovi nazivaju se: otvoren interval: ( ab, ) { a b} zatvoren interval: = < <, [ ab, ] { a b} =, polu-otvoren interval ili polu-zatvoren interval: [ ab, ) = { a < b}, ( ab, ] { a b} = < - 7 -

17 KOMPLEKSNI BROJEVI ALGEBARSKI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA Poznato je da neke kvadratne jednačine nemaju rešenja u skupu realnih brojeva, na primer jednačina + = 0 Da bismo rešili ovu veoma jednostavnu jednačinu, moramo skup realnih brojeva proširiti Tako dolazimo do skupa imaginarnih i kompleksnih brojeva Imaginarna jedinica je po definiciji i = Rešenje pomenute jednačine postaje sada =± =± i Imaginarni brojevi su oblika i,, i i obeležava se sa I Skup svih uređenih parova realnih brojeva (, y ) u kojem je z = + iy, tj (, y) z = naziva se skupom kompleksnih brojeva C, gde je i = y z = + iy Kompleksni brojevi mogu se grafički predstaviti kao tačke u kompleksnoj ili Gausovoj ravni Realni deo kompleksnog broja je Re( z) =, a imaginarni deo Im( z) Dva kompleksna broja z = + iy i z = + iy su jednaka ako su im jednaki realni delovi za sebe, a imaginarni za sebe; = i y = y = y - 8 -

18 Svakom kompleksnom broju z = + iy odgovara konjugovano kompleksni broj u oznaci z = iy Moduo kompleksnog broja z definiše se kao ρ = z = + y OPERACIJE SA KOMPLEKSNIM BROJEVIMA U ALGEBARSKOM OBLIKU Neka su data dva kompleksna broja z = + iy i z = + iy Sabiranje: z z ( ) i( y y ) + = Oduzimanje: z z ( ) i( y y ) = + Množenje: z z ( y y ) i( y y ) Deljenje: = + + z z z = z z z Stepenovanje kompleksnog broja prirodnim brojem se definiše kao skraćeno množenje Napomena: Kako je, n N n z = z z z n puta 4 i =, i = i i= i, i = i i =, možemo uopštiti da je: 4n 4n+ 4n+ 4n+ i, i i, i, i i = = = = Primer: ( ) i = i = i i = - 9 -

19 EKSPONENCIJALNI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je oblika z i = ρ e ϕ, iϕ Ojlerova formula: e = cosϕ + isinϕ Gde je ρ = z je moduo, a ϕ je argument kompleksnog broja gde je b tgϕ = i obeležava se ϕ = Arg z a Argument kompleksnog broja nije jednoznačno određen Imajući u vidu periodičnost trigonometrijskih funkcija, argument je svaki realni broj oblika k Z ϕ + kπ, gde je Specijalno, broj ϕ koji zadovoljava uslov π < ϕ π naziva se glavni argument i obeležava sa arg z OPERACIJE SA KOMPLEKSNIM BROJEVIMA U EKSPONENCIJALNOM OBLIKU i Neka su dati kompleksni brojevi z = ρ e ϕ i i z = ρ e ϕ Množenje: Deljenje: z z ( + ) z z e ϕ ϕ i = ρ ρ ρ e ( ϕ ϕ ) i = ρ Logaritam: ln z = ln ρ + iϕ Napomena: Korišćenjem poslednje formule u mogućnosti smo da definišemo logaritam negativnog realnog broja Primer: ln ( ) = ln + iπ - 0 -

20 ELEMENTARNE FUNKCIJE n Stepena funkcija y, n R, ( 0, ) = + Eksponencijalna funkcija y = a, a> 0, a, R Logaritamska funkcija y log, a 0, a, ( 0, ) = > + a Trigonometrijske funkcije: y = sin, y = cos, y = tg, y = ctg Inverzne trigonometrijske funkcije: y = arcsin, y = arccos, y = arctg, y = arcctg Elementarnim funkcijama nazivaju se funkcije koje se mogu zadati pomoću osnovnih elementarnih funkcija, konstanti i konačno mnogo operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja i kompozicije funkcija Ponovićemo neke od najvažnijih osnovnih funkcija sa kojima ćemo se sretati u radu Apsolutna vrednost:, 0 f ( ) = =, < 0 Funkcija je definisana za R i f ( ) 0 y y = - -

21 Funkcija znaka:, < 0 y = sgn= 0, = 0, > 0 y y = sgn n Stepena funkcija: y =, n R n Ako je n N funkcija predstavlja stepene realnog broja y = i ta funkcija će za n= k paran broj biti parna i ograničena, a za n= k+ neparan broj biti neparna i neograničena y n y =, n= k y n y =, n= k+ Ako je stepen oblika n =, funkcija predstavlja korenu funkciju k - -

22 Eksponencijalna funkcija: y = a, a> 0, a Domen funkcije je skup svih realnih brojeva R, a kodomen ( 0, ) Funkcija nema nula jer je a 0 i na celom domenu je pozitivna, tj y > 0 Ukoliko je 0< a < funkcija stalno opada, a kada je a > funkcija stalno raste i samim tim nema ekstrema y 0< a < a > y = a POJAM I OSOBINE LOGORITAMA Definicija logaritma log b a b a = = ako je a,b, R, a > 0, a, b > 0 log a b a = b za, y R, > 0, y > 0 loga y = loga + loga y, loga loga loga y y = s log = slog ; s R a a loga = 0, log a = a log b a =, log b a log a logc b b = log a log = s log a a s, log log s a = a s c - -

23 log0 log e = log (dekadni logaritam) = ln, e,78 (prirodni logaritam) Logaritamska funkcija: y = log, a> 0, a Domen funkcije je ( 0, ), a kodomen je R a Funkcija ima nulu za = jer je loga = 0 Ukoliko je 0< a < funkcija stalno opada, a kada je a > funkcija stalno raste i samim tim nema ekstrema y y = log a a > 0< a < TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE Osnovne trigonometrijske funkcije oštrog ugla u pravouglom trouglu su sinus, kosinus, tangens i kotangens, koje se definišu: B c α A b sin α = a, cos α = b, tgα = a, ctgα = b c c b a C a - 4 -

24 MERENjE UGLOVA RADIJANOM Radijan je uz stepen i grad jedinica za merenje uglova Radijan je ustvari centralni ugao čiji je kružni luk jednak poluprečniku kruga i njegova brojna vrednost se uzima kao jedinica za merenje lukova i uglova Pun ugao iznosi π radijana π = 0, rad 80 rad = 577'45'' π OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI α + α =, sin cos sinα tgα =, cosα cosα ctgα =, tgα ctgα = sinα VREDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA NEKIH UGLOVA α 0 =0 90 = π 80 =π π 70 = sinα = π 0 π = 6 π 45 = 60 4 π = cosα 0 0 tgα 0 ± 0 ± 0 ctgα

25 DEFINICIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA MA KOG UGLA Jedinični krug sa centrom u koordinatnom početku naziva se trigonometrijski krug Uopšteni ugao ϕ α kπ, α [ 0,π] = + je ugao čiji je početni krak pozitivni deo ose, a krajnji krak orijentisana duž OA Neka je α proizvoljan ugao Trigonometrijske funkcije ugla α, tj sinα, cosα, tgα i ctgα definišu: Ordinata tačke A, duž OB predstavlja sinus ugla α, a apscisa, duž OC predstavlja kosinus ugla α - 6 -

26 Znak trigonometrijskih funkcija po kvadrantima: TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE NEGATIVNOG UGLA sin ( α ) = sinα, cos( α ) tg ( α ) = tgα, ctg ( α ) = cosα, = ctgα sinα, tgα i ctgα su neparne funkcije cosα je parna funkcija PERIODIČNOST TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA sin ( α kπ) sin α k Z, α [ 0,π] ( k ) ( ) ( ) + =, cos α + π = cosα, tg α + kπ = tgα, ctg α + kπ = ctgα Funkcije sinα i cosα su periodične sa osnovnom periodom T = π, a tgα i ctgα sa osnovnom periodom T = π SVOĐENjE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA MA KOG UGLA NA OŠTAR UGAO Ako je α = π ± kπ, α = π ± kπ trigonometrijska funkcija se ne menja, a znak funkcije određuje se pomoću trigonometrijskog kruga - 7 -

27 π π Ako je α = ± kπ, α = ± kπ trigonometrijska funkcija se menja u svoju kofunkciju, a znak funkcije određuje se pomoću trigonometrijskog kruga ADICIONE TEOREME ( ) sin α ± β = sinαcos β ± sin βcosα, ( ) cos α ± β = cosαcos β sinαsin β, tgα ± tgβ tgαtgβ tg ( α ± β) =, ctg ( α β) ctgαctgβ ± = ctgα ± ctgβ TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE DVOSTRUKOG I POLOVINSKOG UGLA sin α = sinαcosα, tgα tgα =, tg α α = α, sin cos cos cos sin α = α α, ctg α ctgα = ctgα α = + α cos cos OSNOVNE TRANSFORMACIJE α ± β α β sinα ± sin β = sin cos, α + β α β cosα + cos β = cos cos, α + β α β cosα cos β = sin sin, = ( + + ), sinα cos β sin ( α β) sin ( α β) - 8 -

28 = ( + ), sinα sin β cos ( α β) cos( α β) = ( + + ) cosα cos β cos( α β) cos( α β) Trigonometrijske funkcije: y = sin, y = cos, y = tg, y = ctg Domen funkcija [,] y = sin i y = cos je skup svih realnih brojeva R, a kodomen π Domen funkcija y = tg i y = ctg je R, + kπ, k R odnosno, R, kπ, a kodomen je skup svih realnih brojeva R Funkcije y = sin, y = tg, y = ctg su neparne, a y = cos parna Funkcije y = sin, y = cos su periodične sa periodom kπ, k Z, a y = tg, y = ctg sa periodom π ( π) ( π) ( + π) = ( + π) = sin + k = sin, cos + k = cos ; tg k tg, ctg k ctg y y π y = sin π π π π y = cos π y = tg π π π π - 9 -

29 y = ctg π π π π Inverzne trigonometrijske funkcije: y = arcsin, y = arccos, y = arctg, y = arcctg Za funkciju y za y π π = arcsin domen je [,], a kodomen je y, ; = arccos domen je [,], a kodomen je y [ 0, π ] ; za za π π y = arctg domen je (, ), a kodomen je y, ; y = arcctg domen je (, ), a kodomen je y ( 0, π ) y π - π y = arcsin - 0 -

30 y π π - y = arccos y π y = arctg π y π y = arcctg π - -

31 ARITMETIČKI I GEOMETRIJSKI NIZ Aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika svaka dva uzastopna člana konstanta d, koju nazivamo diferencija niza Opšti član niza: ( ) an = a + n d, d 0 Zbir prvih n članova niza: n n Sn = а+ а + + аn = ( a+ an) = ( a+ ( n ) d) Svaki član niza je aritmetička sredina simetričnih članova a + a n k n+ k an = Geometrijski niz je niz brojeva takvih da je količnik svaka dva uzastopna člana konstanta q, koju nazivamo količnik niza Opšti član niza: a = a q q n n, Zbir prvih n članova niza: n q Sn = а+ а + + аn = a q Svaki član niza je geometrijska sredina simetričnih članova a = a a n n k n+ k - -

32 4 ANALITIČKA GEOMETRIJA Dužina duži AB gde je A(, y ), (, ) A A B y : B ( ) ( ) B AB = + y y A B A B Koordinate tačke S( s, y s ), središta duži AB : A + B A B s, y + = y y s = Opšti (implicitni) oblik jednačine prave je: a + by + c = 0 Eksplicitni oblik jednačine prave je: y = k + n ; gde je k = tgα koeficijent pravca prave, a n je odsečak na y osi Jednačina prave kroz jednu tačku A( A, y A ) je: y ya k( A ) Jednačina prave kroz dve tačke A(, y ) i B (, y ) je: y y ( ) B A y ya = A B A ; gde je A A k = y B B y Ugao između pravih y = k + n i y = k + n je: k = k je uslov paralelnosti pravih k = je uslov normalnosti pravih k A A B = B koeficijent pravca prave tgϕ k k = + kk Jednačina kruga sa centrom u tački C( p, q ), poluprečnika r je: ( p) + ( y q) = r d e + y + d+ ey+ f = 0, p =, q=, r = p + q f y Jednačina elipse: b + ay = ab ili + = a b y Jednačina hiperbole: b ay = ab ili = a b Jednačina parabole: y = p - -

33 - 4 -

34 MATRICE POJAM MATRICE I OPERACIJE DETERMINANTE RANG MATRICE 4 INVERZNA MATRICA - 5 -

35 - 6 -

36 MATRICE POJAM MATRICE I OPERACIJE Matrica je pravougaona šema sa m n elemenata raspoređenih u m vrsta i n kolona: a a an = a a an A am am amn Matrice se označavaju velikim slovima latinice: A, B, C, Proizvoljni element matrice a ij pripada i -toj vrsti i j -toj koloni, pa matricu možemo označiti kao [ ] a ij m n Za matricu sa m vrsta i n kolona kažemo da ima dimenziju m n Dve matrice A = [ a ij ] m n i B = [ b ij ] m n su jednake, tj A = B ako i samo ako je: a = b, i, j, i =,,, m ; j =,,, n ij ij ( ) Matrica vrste je matrica kod koje je [ a ij ] m n m=, n>, tj a ] = [ a a a ] [ ij n n Matrica kolone je matrica kod koje je m>, n=, tj [ a ij ] m = a a a m - 7 -

37 Nula matrica je ona matrica čiji su svi elementi jednaki nula Kvadratna matrica je matrica kod koje je broj vrsta jednak broju kolona Elementi a, a,, a nn leže na glavnoj dijagonali, dok elementi a n, a n,, an pripadaju sporednoj dijagonali kvadratne matrice Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi van glavne dijagonale nula, a elementi na glavnoj dijagonali nisu svi nula, naziva se dijagonalna matrica Jedinična matrica je dijagonalna matrica kod koje je a = a = a nn = i označava se slovom I I = 0 0 Transponovana matrica matrice = [ ] je matrica dobijena zamenom mesta A a ij m n svih vrsta odgovarajućim kolonama ili obrnuto Obeležava se sa T T A i iznosi A [ a ji] n m = Primer: Za matricu X = 4 4 transponovana matrica matrica je T X 4 = 4 OPERACIJE SA MATRICAMA Zbir matrica A = [ a ij ] m n i B = [ b ij ] m n, je matrica C = [ c ij ] m n ako i samo ako je a + b = c ( i =,,, m; j =,,, n) ij ij ij Operacija sabiranja matrica ima sledeće osobine: A + B = B+ A, komutativnost; ( A + B) + C = A+ ( B+ C), asocijativnost - 8 -

38 Zbir matrica različitih dimenzija nije definisan Primer: Sabrati matrice A = i B = Zbir je matrica 4 A+ B = Proizvod broja λ R i matrice A = [ a ij ] m n je matrica istih dimenzija oblika: λ A= λ[ a ] = [ λa ] ij m n ij m n Operacija množenja matrice brojem ima sledeće osobine: λ A= Aλ, komutativnost; ( αβ ) A α ( β A); α, β 0 =, asocijativnost; ( α + β)a = αa+ βa, distributivnost s obzirom na zbir brojeva; ( ) α A + B = αa+ αb, distributivnost s obzirom na zbir matrica Primer: Pomnožiti matricu A = brojem λ = 4 6 A = Proizvod A B matrica A= [ a ik ] m p i B = [ b kj ] p n je matrica C, čiji se elementi c ij formiraju po zakonu: p c = a b ( i=,, m; j =,, n) ij ik kj k = - 9 -

39 Napomena: Matrica C ima onoliko vrsta koliko ih ima matrica A i onoliko kolona koliko ih ima matrica B Napomena: Dakle element c ij matrice C koji se nalazi u preseku i -te vrste i j -te kolone, obrazuje se tako što se elementi i -te vrste matrice A pomnože odgovarajućim elementima j -te kolone matrice B i dobijeni proizvodi saberu Operacija množenja matrica ima sledeće osobine: Primer: ( A B) C = A ( B C), asocijativnost; A B B A, ne važi zakon komutacije; A I = I A= A Pomnožiti matrice A = i B = 0 7 A B = Proizvod B A nije definisan zato što dimenzije matrica nisu odgovarajuće DETERMINANTE Svakoj kvadratnoj matrici pridružujemo realni broj koji zovemo determinanta Determinanata je kvadratna šema brojeva od n n elemenata raspoređenih u n vrsta i n kolona a a a n a a a D = det ( A) = n a a a n n nn Napomena: Determinanta je broj, za razliku od matrice koja je samo šema proizvoljnih elemenata - 0 -

40 Broj a = a naziva se determinanta prvog reda Broj Broj a a a a a a a a a a a a a = a a a a naziva se determinanta drugog reda naziva se determinanta trećeg reda IZRAČ UNAVANJE DETERMINANTI SARUSOVO PRAVILO (SARRUS, ) Pravilo se odnosi samo na determinante trećeg reda i glasi: + + ± a a a a a a a a a a = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a a a a a a Dakle, dopišu se prve dve kolone i determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata na glavnoj dijagonali i dvema pomoćnim paralelnim dijagonalama i razlici proizvoda elemenata na sporednoj dijagonali i dvema pomoćnim paralelnim dijagonalama Primer: Izračunati vrednost determinante

41 = = LAPLASOVO PRAVILO P LAPLACE (749-87) Francuski matematičar Laplas dao je značajan doprinos u teoriji diferencijalnih jednačina, verovatnoći, analizi, astronomiji i nebeskoj mehanici Mada skromnog porekla Napoleon ga je proizveo u grofa zbog njegovih zasluga u konstruisanju oružja, a nakon njegovog pada kralj Luj 8 u markiza Engleski prevodilac njegovih dela napisao je Uvek kada sam kod Laplasa nalazio izjavu, lako je videti; znao sam da mi treba nekoliko sati napornog rada dok se ne dosetim i ne dokažem kako je to lako videti Za razliku od Sarusovog pravila koje se koristi za izračunavanje samo determinanti trećeg reda, Laplasovo pravilo važi za determinante bilo kog reda Osnovna ideja ovog pravila je da se izračunavanje determinante n -tog reda svodi na izračunavanje determinante n reda, determinanta n reda svodi se na izračunavanje determinante n reda i taj postupak se ponavlja sve dok se ne dođe do determinante prvog reda Da bismo objasnili ovu metodu prvo je potrebno da definišemo pojam minora i kofaktora - -

42 Neka je D determinanta n -tog reda D = a a a n a a a n a a a n n nn Determinanta koja se dobija iz determinante D odbacivanjem i -te vrste i j -te kolone naziva se minor elementa aij i obeležava se sa Kofaktor elementa ij i + j a je broj A ( ) ij = M ij M ij Primer: Detreminanta trećeg reda ima onoliko minora koliko i elemenata, tj 9 Na primer, elementima a, a i a odgovaraju minori a a a a a a M =, M =, M = a a a a a a a kofaktori su a a a a a a A =+, A =, A =+ a a a a a a LAPLASOVO PRAVILO Vrednost determinante je jednaka zbiru proizvoda elemenata ma koje vrste (odnosno kolone) i odgovarajućih kofaktora tj - -

43 D = a A + a A + + a A = a A, i =,,, n i i i i in in ik ik k = n (razvoj po elementima i -te vrste) D= a A + a A + + a A = a A, j =,,, n j j j j nj nj kj kj k = n (razvoj po elementima j -te kolone) Primer: Izračunati vrednost determinante Determinanta se može izračunati razvojem po bilo kojoj vrsti ili koloni Razvojem po prvoj vrsti dobiće se: = ( ) ( ) ( ) = = 0 OSOBINE DETERMINANTI Ako dve susedne vrste (kolone) uzajamno promene mesta vrednost determinanata je suprotnog znaka a b a b D = = = D a b a b Determinanta se množi brojem k 0, ako se svi elementi prpizvoljne vrste (kolone) pomnože tim brojem ka kb a kb k D= = a b a kb - 4 -

44 Ako su svi elementi bilo koje vrste (kolone) jednaki nula, vrednost determinanta je jednaka nula Ako su dve vrste (kolone) jednake ili proporcionalne, tada je vrednost determinante jednaka nula a b a b = k = k( ab ab ) = k 0= 0 ka kb a b Vrednost determinante se ne menja ako se svakom elementu jedne vrste (kolone) dodaju odgovarajući elementi druge vrste (kolone) pomnoženi jednim istim brojem a b c a b c + ma a b c = a b c + ma a b c a b c + ma Ako su elementi jedne vrste (kolone) date determinante zbirovi od dva ili više sabiraka, tada se determinanta može razložiti na zbir od dve ili više determinanata a b + c a b a c = + a b + c a b a c Napomena: Determinante su istorijski nastale u vezi proučavanja sistema jednačina i predstavljaju značajno sredstvo za njihovo računanje RANG MATRICE Matrica A ima rang rang ( A) nule, a svi minori reda r +, i višeg, su jednaki nuli = r, ako ima bar jedan minor reda r različit od - 5 -

45 6 Primer: Odrediti rang matrice A = 6 Kako su svi minori trećeg reda su jednaki nuli: = 0, 6 = 0, = 0, 6 = 0, a postoji minor drugog reda koji je različit od nule 0, 6 zaključujemo da je rang matrice A jednak Elementarne transformacije matrica su: Množenje svih elemenata bilo koje vrste (kolone) matrice jednim istim realnim brojem λ 0 Uzajamna promena mesta dve vrste (kolone) Transponovanje matrice Dodavanje elementima jedne vrste (kolone) odgovarajućih elemenata neke druge vrste ( kolone ) pomnoženih proizvoljnim brojem Elementarne transformacije konačno mnogo puta primenjene na matricu ne menjaju rang matrice Matrice A i B, su ekvivalentne, (pišemo A ~ B ), ako i samo ako se mogu transformisati jedna u drugu pomoću konačno mnogo uzastopnih elementarnih trans- rang A = rang B formacija, tj ako je ( ) ( ) Primer: Odrediti rang matrice: A = 4 0 Primenom elementarnih transformacija prevešćemo matricu A u ekvivalentnu matricu: - 6 -

46 () Prva kolona pomnožena je sa i redom dodata drugoj, trećoj i četvrtoj koloni () Prva vrsta pomnožena je sa, odnosno i dodata drugoj odnosno trećoj vrsti () Druga vrsta je pomnožena sa i dodata trećoj vrsti (4) Druga kolona pomnožena je sa i dodata trećoj koloni, odnosno druga kolona je dodata četvrtoj koloni A = ( 4) () ( ) () ( 4) Rang matrice jednak je broju ne nultih članova na glavnoj dijagonali, tj rang ( A ) = 4 INVERZNA MATRICA Da bi se mogla definisati inverzna matrica potrebno je uvesti sledeće pojmove: Za kvadratnu matricu A kažemo da je je regularna ako je det A 0, a singularna ako je det A = 0 Adjungovana matrica matrice A u oznaci adj A je transponovana matrica, matrice kofaktora, matrice A, tj - 7 -

47 A A An A A A A = A n An Ann n adj Inverzna matrica regularne kvadratne matrice A je matrica da je A A = A A= I, gde je I jedinična matrica A, koja ima osobinu Inverzna matrica kvadratne regularne matrice A je matrica koje je adja A = deta Za regularne matrice A i B istog reda važe pravila: ( ) A B B A =, ( A ) = A, det ( A ) = det A Primer: Naći inverznu matricu date matrice Kako je a A A A = det A A A, A = 5 det A = = 7 0, onda postoji matrica 5 A Kofaktori matrice A su A = 5, A =, A =, A = Nalazimo da je: A 5 = 7-8 -

48 Primer: Naći inverznu matricu date matrice A = 4 det A = = Kofaktori matrice A su: A = =, A = =, A = = 5, A = =, A = = 7, A = =, 4 4 A = =, A = =, A = = 4 4 A 5 = 7 7 Primer: Naći inverznu matricu date matrice Kako je A = det A = = 0, onda ne postoji matrica A - 9 -

49 ZADACI Naći zbir i razliku matrica A = i B = Rešenje: ( ) + + A+ B= + = = ( ) A B = = = 0 Naći matricu C = A B, ako su date matrice A = i B = Rešenje: 4 4 C = A B= = = Izračunati ( A ) 0 C = B C, ako je 0 0 A = 0, B = 0,

50 Rešenje: = = Naći proizvode AB i B A matrica, Rešenje: A = i AB = = + ( ) AB = = + ( ) B = Proizvod B A ne postoji jer dimenzije matrica A i B nisu odgovarajuće 5 Dokazati da za matrice ( ) A + B = A + B A = i B = 4 važi Rešenje: 0 ( ) A+ B= + = ; A+ B = =

51 A = = ; B = = ( ) A+ B = = + = A + B a b 6 Ako je A =, c d A a + d A + ad bc I izračunati ( ) ( ) Rešenje: a b a b a b 0 A ( a + d ) A + ( ad bc) I = ( a d ) ( ad bc) c d c d + + c d 0 a + bc ab + bd a ad ab bd ad bc = + + = ac cd bc d ac cd ad d 0 ad bc Rezultat je nula matrica 7 Ako je 4 A = 5 6 5, naći njenu transponovanu matricu T A Rešenje: T A 5 = Ako je A =, naći sve matrice koje su komutativne sa matricom A Rešenje: Mada množenje matrica nije komutativna operacija, postoje neke matrice koje u specijalnom slučaju ispunjavaju taj uslov - 4 -

52 Neka je X tražena matrica, takva da je AX = XA a b Uzmimo da je matrica X = c d, i dobijamo 0 a b a b a b 0 a+ b b AX =, XA c d = = = a+ c b+ d c d c+ d d Iz uslova da je AX = XA, dobijamo sistem jednačina: a = a+ b, b= b, a+ c= c+ d, a+ d = d, odnosno b= 0, a = d odakle nalazimo rešenje X a 0 = c a 9 Proveriti sledeće rezultate: 4 5 = , 0 0 = 8, [ ] = [ ], = 4 48,

53 = Dat je polinom ( ) Rešenje: P = + 5 i matrica A = 4 5, naći P( A ) ( ) P A = A A+ 5I 0 0 P( A) = = = = Dat je polinom ( ) Rešenje: ( ) P A = P = i matrica A = 4, naći P( A )

54 Izračunati vrednosti determinante a) 4 ; b) 5 ; c) 5 ; d) ; 5 e) 0 5 Rešenje: a) 4 4 = = = b) Koristeći Sarusovo pravilo dobijamo: + + ± 5 5 = = c) Koristeći Laplasovo pravilo, razvijanjem po prvoj vrsti dobijamo: = + = ( 9 8) ( 5 ) + ( 0 ) = c) Koristeći Laplasovo pravilo, razvijanjem po drugoj vrsti dobijamo: = ( ) + ( ) = ( 9) =

55 d) Koristeći jednu od osobina determinanti, možemo prvu kolonu da pomnožimo sa i dodamo trećoj koloni Determinantu sada razvijamo po prvoj vrsti koja sadrži dve nule = 0 = = 4 5 Izračunati determinantu: 4 4 Rešenje: Determinante viših redova se najjednostavnije rešavaju tako što se primenom osobina napravi što više nula, pa se onda primeni Laplasovo pravilo = Izračunati determinante: a) 5 0, b) 0, c) a b+ c b c+ a c a+ b, d) a a a

56 Rešenje: a) 7; b) 0; c) 0; d) ( a ) RANG MATRICE 5 Odrediti rang datih matrica: 6 a) A = 6 ; b) A = 4 ; c) A = Rešenje: a) Svi minori trećeg reda su jednaki nuli = 6 = = 6 = Kako postoji bar jedan minor drugog reda koji je različit od nule: 0, 6 zaključujemo da je rang ove matrice rang ( A ) = b) Izračunajmo determinantu date matrice A = + + = + + 6= Zaključujemo da je rang ove matrice rang ( A ) = c) Primenom elementarnih transformacija prevešćemo matricu A u ekvivalentnu matricu Jedan od načina je:

57 () Prva vrsta se množi sa i i redom dodaje drugoj i trećoj vrsti () Druga vrsta se množi sa i dodaje trećoj vrsti () Druga vrsta je pomnožena sa i dodata trećoj vrsti (4) Prva vrsta se množi sa i dodaje drugoj vrsti (5) Prva kolona se množi sa i redom dodaje drugoj, trećoj i četvrtoj koloni (6) Druga kolona je pomnožena sa i dodata trećoj koloni, odnosno sabrana sa četvrtom kolonom A = ( 4) ( 5) ( 6) rang A = ( ) () ( ) () Rang matrice je jednak broju nenultih članova na glavnoj dijagonali matrice 6 Proveriti rezultate: a) b) 4 rang 4 = ; rang 0 =

58 INVERZNA MATRICA 7 Naći inverznu matricu matrica: a) A = ; b) A = 0 Rešenje: a) Kako je det A = 0, postoji matrica A Kofaktori matrice A su: A =, A =, A =, A = Nalazimo da je: A = = b) ( A) det = = Kofaktori matrice A su: A = = 8, A = = 6, A = = 5, A = = 4, A = = 4, A = =, 0 0 A = = 4, A = = 4, A = = A =

59 8 Proveriti rešenje: a) = ; b) ne postoji c) = Rešiti matrične jednačine : XA= B, gde je A = 0 i Rešenje: Rešenje date matrične jednačine je 0 B = 0 XA B XAA BA XI BA X BA = = = = Kako je det A = 0 = 0 postoji 4 4 = ( ) 5 = A A i iznosi

60 Znači, X = 5 0 = X = Rešenje: Matrična jednačina glasi AX Rešenje date matrične jednačine je Kako je A = B, gde je X = A B 6 =, dobijamo 4 0 A=, B 0 = 0 0 X = = = A X + X B = 0, ako je 4 A = 0 i 0 B =

61 Rešenje: ( A I) ( ) ( ) ( ) AX + X B = 0 A + I X = B X = A + I B det + = A+ I = ; X 8 4 = Rešenje: T + A ako je XA X = 0 A = 0 ( ) ( ) T T T XA + X = A X A + I = A X = A A + I 0 A+ I =, det( A+ I) = 0 X 0 = 0 0 = ( A+ I) X = A I, ako je Rešenje: Neka je A = B= A+ I =, C A I = = Tada jednačina postaje BX = C - 5 -

62 6 6 Kako je B = 4 0, rešenje date matrične jednačine je X = 4 0 = a) X ( A I) = A+ I, ako je A = ; 0 0 X = B C b) AX = B, ako je A= 5 6, B = ; c) AX X A = I gde je Rešenje: 0 A = 4 0 a) X 5 0 = ; b) 0 0 X 7 6 = 7 5 ; c) 4 X 6 =

63 - 54 -

64 SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA GAUSOVA METODA KRAMEROVA METODA KRONEKER KAPELIJEVA TEOREMA 4 HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAČINA 5 MATRIČNA METODA

65 - 56 -

66 SISTEMI LINEARNIH JEDNAČ INA GAUSOVA METODA ILI ALGORITAM Dat je sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih gde je m > n, m= n ili m< n a + a + + a = b a + a + + a = b n n n n a + a + + a = b m m mn n m Gausova metoda se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema i transformacijom u trougaoni ili trapezni ekvivalentni sistem iz koga se dobija rešenje ili se ustanovi da sistem nema rešenja Pretpostavimo da je koeficijent a 0 Isključimo nepoznatu iz svih jednačina sistema osim prve Da bismo to realizovali potrebno je prvu jednačinu pomnožiti sa a a i dodati je drugoj jednačini, zatim prvu jednačinu pomnožiti sa a a i dodati je trećoj jednačini, itd Na taj način se umesto polaznog sistema dobija ekvivalentan sistem: a + a + + a nn = b () () () a + + ann = b () () () a + + a = b m mn n m

67 Ako sada pretpostavimo da je a () 0, primenićemo isti postupak za isključivanje promenljive iz poslednjih m jednačina sistema i dobićemo ekvivalentan sistem jednačina: a + a + a + + a = b n n a + a + + a = b () () () () n n a + + a = b () () () n n a + + a = b () () () m mn n m Ako bi produžili isti postupak k puta dobili bi sistem: a + a + + a = b n n a + + a = b () () () n n a + + a = b ( k ) ( k ) ( k ) kk k kn n k Ako su svi koeficijenti dobijenog sistema jednaki nuli, a slobodni član nije nula, sistem je nesaglasan i nema rešenja Ako je k = n, sistem ima jedinstveno rešenje Ako je k < n sistem ima beskonačno rešenja Tada su,, + slobodne promenljive koje prenosimo na desnu stranu, a zatim se određuju vezane promenljive,,, k k k n

68 Primer: Gausovom metodom rešiti sistem jednačina: + y z = 4 y+ z = + y+ z = 6 Nakon množenja prve jednačine redom sa i i dodavanjem redom drugoj i trećoj jednačini dobijamo sistem: + y z = 4 5y+ 7z = 5y 4z = Dodavanjem druge jednačine trećoj dobijamo sistem: + y z = 4 5y+ 7z = z = 9 Ovo je sistem trougaonog oblika iz kojeg se neposredno dobija jedinstveno rešenje ( yz,, ) = (,,) Primer: Gausovom metodom rešiti sistem jednačina: + y + z = 0 + y + z = 6 0 y + z = Nakon množenja prve jednačine redom sa i 0 i dodavanjem redom drugoj i trećoj jednačini dobijamo sistem: + y + z = 0 y z = 4 y 7z = 98 Množenjem druge jednačine sa 7 i dodavanjem trećoj dobijamo sistem:

69 + y + z = 0 y z = 4 0 z = 0 Ovo je neodređen sistem Stavljajući z = t R neposredno se dobija rešenje t 4 t,, =,, t ( yz) KRAMEROVA METODA - (Kramer, ) Dat je sistem od n jednačina sa n promenljivih: Uočimo sledeće determinante: a + a + + a = b n n a + a + + a = b n n a + a + + a = b n n nn n n D = a a a a k n a a a a k n a a a a n n nk nn determinanta sistema a a b a n a a b a Dk = n a a b a n n n nn determinanta koja odgovara nepoznatoj k ; k =, n

70 Ako je determinanta sistema D 0, tada sistem ima jedinstveno rešenje Dk k =, k =,,, n D Ako je determinanta sistema D = 0, a bar jedna od determinanti Dk 0, k =,,, n, sistem nema rešenja Ako je determinanta sistema D = 0, i sve determinante D k = 0, k =,,, n, sistem je neodređen i ako ima rešenja može ih imati samo beskonačno mnogo Primer: Rešiti sistem jednačina: Determinanta sistema je: + y z = y + z = + z = 7 D = = 0 0 Determinante D, D y, drugu i treću kolonu, kolonom slobodnih članova D z dobijamo kada u determinanti D zamenimo redom prvu, D = =, D = = 6, D = = Rešenje sistema je: y 7 z 0 7 D = = =, D D y 6 y = = =, D D z 9 z = = = D - 6 -

71 Napomena: Kramerovo pravilo skoro i da nema praktični značaj Algoritamska složenost tog pravila je velika, a zato se za rešavanje sistema reda n > uvek koristi Gausov metod Danas u okviru savremenih numeričkih metoda rešavanja sistema linearnih jednačina razvijene su mnoge praktične računarski algoritmi, prikladni za rešavanje sistema jednačina primenom računara KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMA (Kronecker 8-89, Capelli ) Neka je dat sistem a + a + + a = b n n a + a + + a = b n n a + a + + a = b m m mn n m a a a n a a a n b a a a n a a an b A, A = p = a a a a a a b m m mn m m mn m gde je A je matrica sistema, a A p je proširena matrica sistema KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMA: Ako je n je broj nepoznatih, tada: Dati sistem je saglasan i ima jednoznačno rešenje ako je rang ( ) rang ( p ) A = A = n - 6 -

72 Sistem je saglasan i ima beskonačno mnogo rešenja ako je ( ) ( ) rang A = rang Ap < n Sistem je protivrečan i nema rešenja ako je rang ( A) rang ( Ap ) < Primer: Rešiti sistem jednačina: y z = + y + z = 5+ 8y + 5z = rang ( A) = rang = rang = rang =, 5 8 5, a ( A p ) zaključujemo da je sistem protivrečan i nema rešenja Primer: Rešiti sistem jednačina: y+ z = 6 + y + z = + y+ z = 5 rang = rang = Kako je ( A) 6 rang = rang =, 5, a ( A p ) zaključujemo da je sistem saglasan i ima jedinstveno rešenje koje možemo dobiti nekom od već izloženih metoda - 6 -

73 4 HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAČ INA Dat je sistem od m jednačina sa n promenljivih: a + a + + a = 0 n a + a + + a = 0 n n a + a + + a = 0 m m mn n n U homogenom sistemu je b = b = = b m = 0 Homogeni sistem je uvek saglasan, jer je rang ( A) rang ( Ap ) = Homogeni sistem ima samo trivijalno rešenje = = = n = 0 ako i samo ako je rang ( A ) jednak broju nepozantih n Homogeni sistem ima i netrivijalno rešenje ako i samo ako je rang ( A ) manji od broja nepozantih n Napomena: Prethodni stav o saglasnosti i broju rešenja homogenog sistema, je posledica Kroneker-Kapelijeve teoreme Primer: Homogeni sistem jednačina y+ z = 0 y = 0 + y+ 4z = 0 ima samo trivijalno rešenje ( 0,0,0 ), jer je, ( ) rang A =

74 Primer: + y 4z = 0 y+ z = 0 5 y+ z = 0 Kako je rang ( A ) =, a n = sistem jednačina ima i netrivijalnih rešenja i svodi se na sistem od dve jednačine sa dve nepoznate: + y 4z = 0 y+ z = 0, yz, = t,7 t, t ; t R čije je rešenje ( ) ( ) 5MATRIČ NI METOD ZA REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČ INA Dat je sistem od n jednačina sa n promenljivih: a + a + + a = b n n a + a + + a = b n n a + a + + a = b n n nn n n Sistem se može napisati u matričnom obliku kao: AX = B gde je a a a n b a a a n b A =, X =, B = a a a b n m nn n n Pod pretpostavkom da je matrica A regularna, tj da joj je determinanta različita od nule, sistem ima ekvivalentan oblik X = A B, odakle dobijamo rešenje sistema

75 Primer: Matričnom metodom rešiti sistem jednačina: y+ z = 7 y z = y+ z = 6 Ako uzmemo da je 7 A=, B=, X = y, 6 z dati sistem se može napisati u matričnom obliku kao AX Kako je = = = AX B A AX A B IX A B = X A B A= A = 0 5 det 0 0, 7 5 X A B ( yz) = ( ) = B = = = 0 = 5 6 0,,,,

76 ZADACI Gausovom metodom rešiti sisteme jednačina: a) + y+ z = 6 + y+ z = + 5y z = b) y+ z = 8 + y z = 7 + y z = 4y+ z = 5 c) + y+ z = + y+ z = 0 a + y z = Rešenje: a) + y+ z = 6 + y+ z = + 5y z = Ako se prva jednačina pomnoži sa i doda drugoj jednačini i prva jednačina doda trećoj dobićemo sistem: + y+ z = 6 y + z = 6y z = 9 Množenjem druge jednačine sa 6 i dodavanjem trećoj dobijamo sistem: + y+ z = 6 y+ z = 5y = 0 Ovo je sistem trougaonog oblika iz kojeg se neposredno dobijamo jedinstveno rešenje ( yz,, ) = (,,) b) Ako u polaznom sistemu prvu jednačinu pomnoženu redom sa, i dodamo drugoj, trećoj, u četvrtoj jednačini, dobijamo ekvivalentan sistem:

77 y+ z = 8 5+ y = 9 y+ z = 8 5+ y = 9 5+ y = 9 5 y = 9 Ovo je sistem od dve jednačine sa tri nepoznate koji ne može da ima jedinstveno rešenje Neka je = t R proizvoljno Tada iz druge jednačine sistema dobijamo y = 9 5t i zamenom obe vrednosti u prvu jednačinu dobijamo z = 7 7t Dakle skup rešenja je (, yz, ) ( t,9 5 t,7 7t) c) + y+ z = 0 + y+ z = 0 4y = 4y = a+ + 4y = a = ( ) ( ) = Skup rešenja zadatog sistema jednačina glasi: Za a imamo a 5 a,,, =,, a 4( a ) 4( a ) ( yz) ( yz,, ) = (,,) ; Za a = sistem nema rešenja ( yz,, ) = (,,) ; Matričnom metodom rešiti sisteme jednačina: a) + y 6z = + 5y+ 4z = 4 + 0y+ z = 6 b) + y z = 5 + y 5z = 8 5+ y 8z = 7 Rešenje a)

78 6 A= 5 4, B = 4, X = y, AX = B, 0 6 z ( yz,, ) = (,,) ; b) ( yz,, ) = (,,0) ; Kramerovom metodom rešiti sisteme jednačina: a) + y+ z = 5 + y+ z = + y+ z = b) + y+ z = 0 + y+ z = 6 0 y+ z = c) + y+ z = y+ z = + y z = 4 d) + y+ z = + y+ z = + y+ 4z = Rešenje: a) D = =, 5 D = = 4, 5 D = = 4, y 5 D z = = 6 Kako je D 0 sistem ima jedinstveno rešenje: D 4 = = =, D ( yz,, ) = (,,) D y 4 y = = =, D D z 6 z = = =, D

79 b) D= 0, D = D = D = 0 Zaključujemo da je sistem neodređen y z Sistem se transformiše u ekvivalentni sistem: + y+ z = 0 y z = 4 čije je rešenje ( yz) + t 4 t,, =,, t, gde je t R c) D= 0, D =, pa prema Kramerovoj teoremi sistem nema rešenja d) ( yz,, ) = (,0,) 4 Diskutovati i rešiti sisteme jednačina u zavisnosti od realnog parametra a : a) a + y + z = + ay+ z = + y+ z = 0 b) y+ z = 0 + y z = a y z = 0 c) + y+ az = + ay + z = a + y + z = d) a + y + z = + ay + z = a + y+ z = a Rešenje: a) a a a D= a = a + = ( ) ( ) D= a a + + = a 4a+ 4= a ; D = a = + = a ; a

80 D y a a = = + = a ; 0 a a Dz = a = = 5 4 a a 0 D 0 a 0 a sistem ima jedinstveno rešenje: Za ( ) D D y a Dz 5 4a = =, y = =, z = = D a D D a 5 4a,, =,, a ( a ) ( a ) ( yz) ( a ) ( a ) Za D = 0,odnosno za a = dobijamo D = 0, pa je sistem nemoguć b) D ( a ) =, 6 Za D ( a ) ( yz) D =, D = ( a+ ), D ( a ) y y z = =, tj za a imamo jedinstveno rešenje: ( a ) ( ) ( a ) ( ) +,, =,, a a a Za D = 0, tj za a =, D 0, D 0, D 0 sistem je nemoguć i nema rešenja y z c) D= ( a ) ( a+ ), D = ( a ), D ( a ) Dz ( a ) = y =, Za D 0, odnosno za a a sistem ima jedinstveno rešenje:,, =,, a+ a+ a+ ( yz) - 7 -

81 D = 0 za a= a= Za a = je D 0, D 0, D 0 sistem je nemoguć i nema rešenja y z Za a = je D = 0, D = 0, D = 0 sistem je neodređen i svodi se na tri iste jednačine: y z + y+ z =, + y+ z =, + y+ z = Ako uvedemo smenu da je = t R i y = r R, dobijamo z = t r, pa je rešenje oblika (, yz, ) ( tr,, t r) = d) D= a a+ = ( a )( a ), D = a + a + a = ( a )( a+ )( a ), ( )( ) ( ) D = a + 4a a = a a a, D = a y z Za D 0, odnosno za a a sistem ima jedinstveno rešenje: ( ) ( ) ( ) ( a ) a a a+ a ( yz,, ) = ( a+ ),, ( a ) D = 0 za a= a= Za a = sistem se svodi na: + y+ z = z = 0, y = + y+ z =, yz, = t, t,0, t R, pa je ( ) ( ) Za a =, Dz 0 sistem nema rešenja - 7 -

82 5 Rešiti sisteme jednačina: a) + y+ az = + ay+ z = a + y + z = + y+ z = a + + a y+ z = a b) ( ) ( ) + y + a z = 0 c) + y+ az = + ay+ z = 0 a + y + z = 0 d) + y+ az = + ay+ az = a + ay + az = Rešenje: a) D= ( a ) ( a+ ), D = ( a )( a+ ), D ( a )( a ) ( )( ) D = a a+ z y = +, Za D 0, tj za a a sistem ima jedinstveno rešenje ( yz,, ) =,, a a a D = 0 za a = a= Za a = je D = 0, D = 0, D = 0 i sistem se svodi na: + y z = y + z = + y + z = y z Rešavanjem bilo kojom od poznatih metoda dobijamo rešenje: (, yz, ) ( t, t, t) = + + Za a =, D = 0, D = 0, D = 0, sistem je kontradikcija y z + y+ z =, + y+ z =, + y+ z = i nema rešenja - 7 -

83 b) D a( a ), D a( a ) = + = + ( ) D = a a+, D = a Za D 0, tj za a 0 a sistem ima jedinstveno rešenje: a a,, =,, a+ a+ ( yz) D = 0 za a = a = 0 Za a = sistem je nemoguć a = sistem je neodređen i rešenje je (,, ) (,,0) Za 0 y yz = t t t R z c) Za D 0, odnosno za a a, sistem ima jedinstveno rešenje ( yz) ( a + ) ( )( ),, =,, ( a )( a+ ) ( a )( a+ ) a a+ Za D = 0, odnosno za a = sistem nije moguć i nema rešenja Za D = 0, odnosno za a = sistem nije moguć i nema rešenja y z d) D a( a ), D 0, D 0, D ( a ) = = = = Za D 0, odnosno za a 0 a Za D = 0, odnosno za je ( yz),, = 0,0, a a = je ( ) ( ), yz, = t rtr,,, tr, R Za D = 0, odnosno za a = 0 sistem nije moguć i nema rešenja 6 U zavisnosti od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina: a) y+ z = + y+ z = 0 5 y+ az = b) + y+ z = ay+ z = + y az = 6 c) + y+ z+ u = 0 y+ z u = 0 y z u =

84 Rešenje: a) Korišenjem Kroneker -Kapelijeve teoreme imamo da je A matrica sistema, a A p proširena matrica sistema a 0 8 a a Ako je a, onda ranga = ranga= Kako je broj nepoznatih u sistemu n =, sistem ima jedinstveno rešenje, y+ z = 8y z = ( yz) ( a ) z =, a 7 a,, =,, 4( a ) 8( a ) a p Ako je a =, onda je ranga =, a ranga =, pa sistem nema rešenja p b) Ako je a a, onda je ranga = ranga= i tada sistem ima jedinstveno rešenje ( yz),, =,,0 a+ a+ Ako je a =, onda je ranga = ranga= < i tada sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( ) ( ) p p, yz, = 5, tt,, t R Ako je a = onda je ranga= ranga p = i tada sistem nema rešenja c) Kako je ( ) rang A =, a n = sistem jednačina ima i netrivijalnih rešenja i svodi se na sistem od dve jednačine sa dve nepoznate: + y = z u y = z+ u

85 - 76 -

86 POJAM FUNKCIJE FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE NIZOVI GRANIČ NA VREDNOST FUNKCIJE

87 - 78 -

88 4 FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE Prelazak od fiksnih ka promenljivim veličinama, kao apstrakciji višeg stepena, vezan je za period od do 6 veka Prekretnica u razvoju bila je Dekartova metoda koordinata, koja je omogućila definisanje funkcionalne zavisnosti i dalji razvoj matematike Tek u 9 veku nemački matematičar L Dirichlet ( ) napravio je odlučijući korak u uopštavanju pojma funkcije, prekinuvši tradicionalna shvatanja kojim se pojam funkcije izjednačavao sa pojmom analitičkog izraza i daje definiciju koju mi danas modifikovano koristimo Moderna teorija skupova otišla je još dalje i oslobodila pojam funkcije ograničenja vezanih za domen i kodomen R Descartes ( ) Dekart je bio veliki francuski matematičar i filozof, ali se danas u matematici, njegovo ime prvenstveno pamti po vezi koju je uspostavio između algebre i geometrije Na taj način stvorio je novu naučnu disciplinu, analitičku geometriju, koja je omogućila dalji napredak matematike U filozofiji zastupao je metodu kritičke sumnje i poznata je njegova misao cogito egro sum ( mislim dakle postojim)

89 4POJAM FUNKCIJE Neka su A i B proizvoljni skupovi Preslikavanje ili funkcija f : A B predstavlja zakon pridruživanja pomoću koga se proizvoljnom elementu A dodeljuje element y B y = f takav de je ( ) A y = f ( ) B Skup A naziva se oblast definisanosti ili domen funkcije i obeležava sa Skup B naziva se oblast vrednosti ili kodomen obeležava sa Element A naziva se original, a y B njegova slika D y D Za funkciju f : A B kažemo da je jednoznačna ako bilo kojem elementu A odgovara najviše jedan element y B Funkcija f : A B se naziva preslikavanje ili injektivnom ako (, A) f ( ) f ( ) Funkcija f : A B se naziva preslikavanje na ili surjektivnim ako ( y B, A) y f ( ) = Ako je preslikavanje f : A B i na zovemo ga bijektivnim ili obostrano jednoznačnim preslikavanjem Primer: f ( ) = +, A= B= R, jeste bijekcija ( ) f = +, A R =, B = [, ) +, nije -, a jeste na, nije bijekcija

90 NAČ INI ZADAVANJA FUNKCIJA Funkcije mogu biti zadate na različite načine u zavisnosti od primena Najčešći načini su: Analitičkim izrazom, koji može biti eksplicitnog oblika y = f ( ), ili implicitnog oblika F(, y ) = 0, tablicom, grafikom, parametarski Primer: Funkcija u eksplicitnom obliku je y = + sin Funkcija u implicitnom obliku je y = Funkcija u parametarskom obliku je = t, y = t, gde eliminacijom parametra t dobijamo funkciju y = REALNE FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE Pod realnom funkcijom podrazumeva se svako preslikavanje kod koga su original i slika realni brojevi Primer: Odrediti domen funkcija: a) f ( ) + =, Iz uslova da je 0, dobijamo Prema tome domen funkcije je skup D b) = R\ { } ili uobičajen je i zapis (,) (, ) y = 4, 4 0 [,] - 8 -

91 c) y = ln d) >, 0 ( 0,) y e =, = R Primer: Odrediti kodomen funkcija: a) y sin =, : [,] b) y =, Dy D y ; y = R; c) y = +, Dy : y [, + ) Napomena: Za svaku funkciju neophodno je odrediti domen Kodomen je poželjno odrediti, ali to nije uvek moguće bez poznavanja ostalih osobina funkcija INVERZNA FUNKCIJA Neka je f : A B bijektivno preslikavanje ( i na ) Tada postoji jedinstvena funkcija f : B A koju nazivamo inverzno preslikavanje ili inverzna funkcija takva da je f f = ( ( )) Za datu funkciju f : A B može da postoji samo jedna inverzna funkcija f : B A Primer: Odrediti inverznu funkciju funkcije f ( ) = Prvo treba dokazati da je preslikavanje bijekcija Ako je ispunjeno (, R) ( f ( ) f ( ) ) preslikavanje je Izrazi koji u sebi sadrže nejednakosti se teško dokazuju i jednostavnije je koristiti kontrapoziciju predhodnog izraza koja glasi ( ) ( ) f = f =, dakle = =, čime smo dokazali da je preslikavanje - 8 -

92 Da bismo dokazali da je preskikavanje na rešimo polaznu jednačinu po y Dobićemo izraz je preslikavanje na y = + Onda (, ) y R R = y+ i zaključujemo da Pošto je preslikavanje i na, odnosno bijekcija, postoji inverzno preslikavanje f Zamenom vrednosti i y u izrazu Grafici funkcija f i y = + dobijamo ( ) f su simetrični u odnosu na pravu y = f = y = + y = ( ) y = f y = f ( ) Primer: Odrediti inverznu funkciju funkcije f ( ) = Pošto je preslikavanje f ( ) =, f : R R + nije, odnosno bijekcija, ne postoji inverzno preslikavanje f SLAGANJE-PROIZVOD FUNKCIJA Proizvodom dve funkcije f : A B i g: B C naziva se funkcija g f : A C, za koju važi: A g f = g f ( ) ( )( ) ( ( )) - 8 -

93 Primer: Date su funkcije f ( ) = + i ( ) ( ) ( ) ( ) f g = f g = +, ( ) ( ) ( ) 6 g f = g f = + + ( ) = ( ( )) = + 6 f f f f g = Odrediti f g, g f i f f OSOBINE FUNKCIJA Funkcija f ( ) je ograničena na skupu A ako važi: (, )( ) ( ) m M R A m< f < M Grafik funkcije se nalazi između dve prave y = m i y = M Ako brojevi m i M ne postoje, za funkciju f ( ) kažemo da je neograničena Primer: = + Ispitati ograničenost funkcije ( ) Kako je za ( ) f R 0<, funkcija je ograničena + Nula funkcije je onaj broj α D za koji je f ( α ) = 0 Nule funkcije su tačke preseka grafika funkcije sa O osom

94 Primer: Odrediti nule funkcija: a) y = ; y = 0 4= 0 =± Kako funkcija nije definisana za =, nula funkcije je samo = b) c) + ln y = ; y e = 0 + ln = 0 ln = = e y = ; y 0, R i funkcija nema nula + Funkcija f ( ) je pozitivna na domenu A ako ( A) f ( ) 0 ako ( A) f ( ) < 0 Pojmovi pozitivan i negativan predstavljaju znak funkcije Funkcija f ( ) je parna ako je ( D ), f ( ) f ( ) = Grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na osu Oy Funkcija f ( ) je neparna ako je ( D ), f ( ) f ( ) = >, a negativna Grafik neparne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatni početak O Primer: Ispitati parnost i neparnost funkcija: a) f ( ) = ; f ( ) ( ) f ( ) f = + sin; b) ( ) = = =, funkcija je parna ( ) ( ) ( ) sin( ) sin ( sin ) ( ) f = + = + = + = f, funkcija je neparna f = + ; c) ( ) ( ) ( ) ( ) f = + = + +, funkcija nije ni parna ni neparna

95 Funkcija f ( ) je periodična ako postoji broj T 0 za koji je ispunjena jednakost ( A) f ( + T) = f ( ) Broj T nazivamo periodom funkcije Najmanji pozitivni period zovemo osnovnim periodom funkcije Primer: Trigonometrijske funkcije su periodične Funkcije f ( ) = sin i ( ) cos f ( ) = tg i ( ) ctg Primer: f ( ) f = imaju osnovni period T = π, a funkcije f = imaju osnovni period T = π, 0 =, 0 i f ( ) f ( ) + = Funkcija je periodična sa perodom T = Funkcija f ( ) je rastuća (označavamo ( ) (, A) < f ( ) f ( ), a strogo rastuća ( f ( ) < f ( ) < f ( ) Funkcija f ( ) je opadajuća (označavamo ( ) (, A) < f ( ) f ( ), a strogo opadajuća ( f ( ) < f ( ) > f ( ) f ) na domenu A ako ) ako f ) na domenu A ako Rastuće i opadajuće funkcije jednim imenom zovemo monotone funkcije ) ako

96 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Primer: Ispitati monotonost sledećih funkcija: a) y = e ; Funkcija je strogo rastuća jer < e < e, R b) y ln = ; Funkcija je strogo rastuća za ( 0, ) c) y = ; Funkcija je strogo opadajuća za R d) y = ; Ako <, onda je ( )( ) ( )( ) ( ) = + 8 = = + 4 > < 0 > 0, > < 0, < < 0, raste ; 0, opada Funkcija f ( ) ima maksimum u tački a f ( a) f ( ) za ( a ε, a+ ε ) Funkcija f ( ) ima minimum u tački a f ( a) f ( ) za ( a ε, a+ ε ) = ako postoji broj ε > 0, takav da je = ako postoji broj ε > 0, takav da je Mininum i maksimum funkcije nazivamo ekstremnim vrednostima funkcije

97 Primer: Odrediti ekstreme funkcija: a) y = ; Tačka ( 0, ) predstavlja minimum funkcije b) y = ; Funkcija nema ekstrema, jer je strogo rastuća f na domenu A, za, A i je Funkcija ( ) ( ) ( ) konveksna ako konkavna ako f + f + < f i ( ) ( ) f + f + > f Primer: Funkcija y = je konveksna, što zaključujemo iz + + < ( ) > 0, za 4NIZOVI Uređeni skup a, a,, a n, obrazuje niz ako se svakom prirodnom broju n N po nekom zakonu pridruži jedan i samo jedan element an R Niz je preslikavanje f : N R Niz je određen svojim opštim članom a n Primer:,,, predstavlja niz prirodnih brojeva

98 Primer: Ako je opšti član niza a =, a =, a =, an =, n N, onda su članovi niza n Niz a, a,, a n, je: rastući ako je a > + a, opadajući ako je a < + a, neopadajući ako je a + a, n n nerastući ako je a + a, za n N Ovakvi nizovi zovu se monotoni nizovi n n n n n n Za niz se kaže da je ograničen ako postoje realni brojevi m i M takvi da je m< an < M, n N Broj m je donja granica, dok je M gornja granica niza Najveća donja granica naziva se infimum niza, a najmanja gornja granica naziva se supremum niza Primer: Niz sa opštim članom granica je a n ( ) n = je ograničen Donja granica je m =, a gornja n M =, tj svi članovi niza zadovoljavaju relaciju a n Napomena: Treba naglasiti da m i M nisu jedinstveni, naime ima neprebrojivo mnogo drugih granica Tačne su i sledeće nejednakosti a n < ili < a n < itd U ovom primeru su navedeni upravo infimum i supremum skupa vrednosti niza

99 GRANIČ NA VREDNOST NIZA Ideja granične vrednosti bila je poznata još u antičkom dobu Starogrčki matematičari Eudoks (408-55),Arhimed (87-) i mnogi drugi, bavili su se problemom kvadrature ravnih figura i kubature geometrijskih tela i te probleme uspešno rešavali metodom iscrpljivanja ali preciznu definiciju granične vrednosti funkcije dao je Koši 8 god Broj a se naziva granična vrednost niza, ako za svaki proizvoljno mali pozitivni broj ε, postoji prirodni broj n 0, takav da je što označavamo sa ( ) n> n a a < ε, 0 n a= lim a n, ili an a, n n Niz koji ima graničnu vrednost naziva se konvergentnim nizom, a koji je nema naziva se divergentnim nizom Granična vrednost konvergentnog niza je jedinstvena Primer: n Dat je niz an =, n N Pokazati da je njegova granična vrednost n + Odrediti n 0 za ε = 0, 0 Kako je a n granična vrednost niza Za ε = 0,0 imamo n a = n+ = 4n+ <ε < 0,0, odakle je 4n + za ε > 0, pa zaključujemo da je 98 n > = 4,5 tj n0 5 4 Dakle, van ε okoline broja nalazi se 4 člana niza, a u ε okolini počev od člana a 5, svi ostali članovi niza, njih beskonačno mnogo

100 OSOBINE KONVERGENTNIH NIZOVA Svaki konvergentan niz je ograničen Monoton i ograničen niz je konvergentan Primer: Niz a n an a n + n + =, n N, odnosno n >, a ograničen je n + niza, tj lim = n n 4 n +,,,,, je monotono opadajući, n n + < <, što znači da postoji granična vrednost ovog n OPERACIJE SA GRANIČ NIM VREDNOSTIMA NIZOVA Neka je lim a n = a i lim b n = b Tada važi: n n lim c a = c a, c R; n ( ) n lim a ± b = lim a ± lim b = a± b; n n n n n n n ( ) lim a b = lim a lim b = a b; n n n n n n n a lim a a = = b lim b b n n n lim, ( b 0) n n n Primer: + lim + n + n n lim = lim n = = n n + n + lim n + n n n - 9 -

101 TAČ KA NAGOMILAVANJA NIZA Tačka a na brojnoj pravoj u čijoj se svakoj proizvoljno maloj okolini nalazi beskonačno mnogo članova niza naziva se tačka nagomilavanja niza Broj a je tačka nagomilavanja niza ako je za ε > 0 i n I an a < ε, gde je I jedan beskonačni podskup skupa prirodnih brojeva Niz može imati jednu, dve, uopšte konačno ili beskonačno mnogo tačaka nagomilavanja Ograničen niz koji ima samo jednu tačku nagomilavanja je konvergentan Primer: a) Niz sa opštim članom an = n nema tačku nagomilavanja b) Niz sa opštim članom a n = ima jednu tačku nagomilavanja a = 0 koja ne n pripada nizu i on je konvergentan ( ) n n + c) Niz sa opštim članom an = ima dve tačke nagomilavanja a =, n + koja pripada nizu i a =, koja ne pripada nizu Niz je divergentan BROJ e Granična vrednost niza sa opštim članom odnosno: a n = + n lim + = e n n n n je broj e =,788 Napomena: Može se dokazati da je niz sa opštim članom monoton i ograničen, pa samim tim i konvergentan a n = + n n - 9 -

102 Primer: Naći graničnu vrednost niza: a n n = + n Ako uvedemo smenu = n= t i za n dobijamo t, onda je n t n t t lim + = lim + = lim + = e n n t t t t 4GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE Ako posmatramo funkciju y =, uočavamo da je funkcija nije definisana za = Dakle ponašanje funkcije u toj vrednosti, kao i u beskonačnosti ne možemo ispitati koristeći dosadašnje znanje o osobinama funkcija Jedino možemo se tim vrednostima u beskonačno približavati i posmatrati promene funkcije Na taj način dolazimo do pojma granične vrednosti funkcije, uopštavajući pojam granične vrednosti niza Broj A je granična vrednost funkcije f ( ) kada a, ako za svaki ε > 0 postoji broj δ > 0, takav da je za D za koje važi uslov a < δ, ispunjena nejednakost f ( ) A < ε i pišemo ( ) lim f = A a Navedenu definiciju možemo zapisati i na sledeći način: ( ) ( ε > 0)( δ > 0 )( ) ( a δ, a+ δ) f ( ) ( A ε, A+ ε) - 9 -

103 A ε A A ε ( ) y= f a δ a a + δ Napomena: Prethodna definicija znači da ako se na y osi zada ε okolina tačke A, tada postoji δ okolina tačke a na osi, tako da kada ( a δ, a δ ) ( ) ( ε, ε ) +, onda f A A+, tj ako nezavisno promenljiva teži a, vrednosti funkcije f ( ) teže A Napomena: Funkcija u tački a može, a ne mora biti definisana, ali tačka a mora biti tačka nagomilavanja funkcije Primer: Dokazati da je ( ) lim + = 7 Polazeći od definicije granične vrednosti, ako je + 7 < ε, dobijamo ε < ε, tj < ε Dovoljno je uzeti da je δ =, pa da gornja formula bude tačna

104 LEVA I DESNA GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE Broj A je desna granična vrednost funkcije f ( ) u tački a, tj lim ( ) a+ 0 ako i samo ako je (akko) ε > 0 δ > 0 a< < a+ δ f A < ε ( ) ( )( )( ) ( ) Broj A je leva granična vrednost funkcije f ( ) u tački a tj lim ( ) a 0 ( ε > 0)( δ > 0)( ) a δ < < a f ( ) A < ε ( ) f = A, f = A, akko Funkcija f ( ) ima graničnu vrednost A kada a ako leva i desna granična vrednost postoje i jednake su A Primer: Odrediti graničnu vrednost funkcije f ( ) lim = lim + = Imamo da je ( ) = u tački = lim = lim + =, ( ) 0 0 Pošto leva i desna granična vrednost funkcije u tački = postoje i imaju istu vrednost, funkcija ima graničnu vrednost koja iznosi Primer: Odrediti graničnu vrednost funkcije ( ) Kako je f =, =, dobijamo: ( ), < ( ) ( ) 0 0 u tački = lim = lim =, lim = lim = Levai desna granična vrednost funkcije u tački = postoje, ali nisu jednake, funkcija pa nema graničnu vrednost u toj tački

105 lim ( ) + lim ( ) f = A ako: ( ε > 0) ( M > 0) ( ) ( ) f = A ako: > M f A < ε ( ε > 0) ( M < 0) ( ) ( ) Ako je lim ( ) = 0, kažemo da je ( ) lim ( ) f a lim ( ) f a f a =+ ako: ( M > 0) ( δ > 0) ( ) = ako: Ako je lim f ( ) a Ako je funkcija ( ) velika a ( M < 0) ( δ > 0) ( ) < M f A < ε f beskonačno mala kad a a δ < ( ) a δ < ( ) f > M f < M = +, kažemo da je f ( ) beskonačno velika kad a f beskonačno mala kad a, tada je f ( ) OSOBINE GRANIČ NIH VREDNOSTI FUNKCIJA beskonačno Ako funkcije f ( ) i g( ) imaju granične vrednosti kad ( ) lim g = B, tada je: a lim ( ) lim ( ) cf = c f = ca; a a ( ) ( ) ( ) lim f ± g = lim f ± lim g = A± B; ( ) ( ) a a a lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) f g = f g = A B, a a a ( ) ( ) = = za ( g( ) 0, B 0) ( ) ( ) f lim f a A lim a g lim g B a a, tj lim f a ( ) = A i

106 NEPREKIDNOST FUNKCIJE Funkcija ( ) Funkcija ( ) f je neprekidna u tački a D, ako ( ε > 0) ( δ > 0) ( ) a δ f ( ) f ( a) f je neprekidna u tački a D, ako je < < ε ( ) ( ) lim f = f a a Funkcija je neprekidna na intervalu ako je neprekidna u svakoj tački tog intervala Ako funkcija nije neprekidna u tački a, onda je a to tačka prekida funkcije Napomena: Definicija neprekidnosti ima sličnosti sa definicijom granične vrednosti u tački Razlika je u tome što definicija granične vrednosti ne zahteva definisanost funkcije u tački a, a neprekidnosti zahteva a D, onda su u toj tački c f, f ± g, f g f ( ),, g( ) 0 g Ako su funkcije f ( ) i g( ) neprekidne u tački funkcije: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Primer: a) Ispitati neprekidnost funkcije f ( ) ( ), < =, < <+ Funkcija je neprekidna u svakoj tački osim za = lim 0 =, a lim ( ) =, znači da ne postoji lim ( ) + 0 f, pa u toj tački funkcija ima prekid Ovaj prekid se zove prekid prve vrste b) Ispitati neprekidnost funkcije f ( ) = funkcija nije definisana u tački = 0, odnosno u njoj ima prekid druge vrste

107 ASIMPTOTE FUNKCIJE Asimptota funkcije je prava ili kriva kojoj se zadata funkcija približava u beskonačno Prava Prava y Prava y k n Odavde je ( ) = a je vertikalna asimptota funkcije f ( ) ako je ( ) lim f a =± = b je horizontalna asimptota funkcije f ( ) ako je lim ± ( ) f = b = + je kosa asimptota funkcije f ( ) lim ( ) ± ( f ( ) k n) ako je: lim = 0 ± f k = n Ako podelimo poslednju vezu sa dobićemo: ( ) ( ) ( ) f k f f lim = 0 lim k = 0 lim = k, pa je ± ± ± k f ( ) = lim, a ( ) ± n= f k lim ( ) ± vetrika ln a horizonta ln a kosa

108 Primer: f a) ( ) Odrediti asimptote funkcija: = Funkcija ima prekide za = ± i te prave mogu da budu njene vertikalne asimptote Kako je lim = ±, lim =,funkcija ima dve vertikalne ± 0 0 ± asimptote =± Pošto je lim = 0 ±, postoji i horizontalna asimptota, - osa, tj prava y = 0 Funkcija koja ima horizontalnu nema kosu asimptotu b) f ( ) = Funkcija ima prekid za je vertikalna asimptota Pošto je lim f ( ) Kako je ± =, a lim f ( ), lim f ( ) =+ =, i prava = = ±, funkcija nema horizontalnu asimptotu i može da ima kosu ( ) f k = lim = lim = ± ± kosa asimptota je prava y = + c) ( ) f = e n= lim ( f k) = lim =, ± ±, ( ) Funkcija ima prekid za = 0, a vertikalna asimptota s desna lim e = +, lim e = 0, i prava = 0 je Pošto je lim e =, funkcija ima horizontalnu asimptotu pravu y = ±

109 ZADACI Odrediti oblast definisanosti sledećih funkcija: a) y = ; b) y = ; c) y = 9 ; d) y = 4 ; ( ) 8 6 e) y = f) f ( ) = + + Rešenje: a) 0 ±, (, ) (,) (, + ) b) D R\ { } = c) 9 0 ( )( ) 0, [,] d) 4 0 ( 4 ) 0, [ 0,4] ; e) > 0 <, (,) ; + ; ; f) 0 ( )( + ) 0 (, ] [, + ) ; + > 0 ( + )( ) > 0 ( + )( ) > 0 (,) Rešenje je presek dobijenih rešenja [,) a) y = Rešenje: a) 0, ( 0,) > ; ln ; b) y ln ( 6 ) = ; c) f ( ) 5 = ln 4 b) 6> 0, (,0) ( 6, + ) c) ;

110 5 5 ln 0, > 0 0,5 4 ( ) [ ] Rešenje je presek dobijenih rešenja [, 4] Odrediti kodomen funkcija: a) y = ; b) = y 9 ; c) y = + Rešenje: a) y (, ] ; b) y [ 9, + ) ; c) y (, + ) 4 Date su funkcije ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) f = f = f = f4 = Da li među njima ima istih? Rešenje: ( ) f =, D = R, D = R f ( ) = =, D = R/ {} 0, Dy = R ( ) f D R Dy R+ 4 = =, =, = ( ) ( ) f = =, D = R, D = R Sve funkcije su različite y + y + 5 Date su funkcije - 0 -

111 ln e f( ) = sin + cos, f( ) =, f( ), f4( ) = = Da li među njima ima istih? Rešenje: ( ) = + = = f sin cos, D R f D R ( ) = =±, = / {} 0 ln e f D R ( ) = =, = / {} 0 f4 D R ( ) = =, = / {} 0 Iste su funkcije fif 4 6 Odrediti domen i nule datih funkcija: + 0 a) y = ; b) y + + ln c) y = ( 4) e ; d) y = Rešenje: a) Domen: D Nule funkcije: = R b) Domen: (, ] [, + ) = ; + 0 = 0 = = 5 + c) Domen je skup R Nule funkcije: ( ) d) Domen: ( 0, ) Nule funkcije: y = 0, =± 4 e = 0 =±, e 0 + Nule funkcije: + ln = 0 = e, - 0 -

112 7 Odrediti domen, nule i znak funkcija: 4 a) y = ln ( ) ; b) y = ln Rešenje: a) Domen: 0 >, (,) Nule funkcije: = = 0 Znak funkcije: < 0 0< < ( 0,), y 0 (,0) y 4 b) Domen: > 0 5 Nule funkcije: = Znak funkcije: 4 y < 0 za 0 < <, 4 y > 0 za > za, (, 4) 5,4 i 5, > > 8 Dokazati da funkcije nisu ni parne ni neparne: e a) y = ; b) y = Rešenje: ( ) ( + ) a) y( ) = = ( ) ; y ( ) y( ) i y ( ) y( ) ; b) y( ) e = = e + ( ), y ( ) y( ) i y ( ) y( ) - 0 -

113 9 Dokazati da su funkcije parne: Rešenje: a) y = 4 ; b) y = e ; c) ( ) y = e ; d) y = cos a) y ( ) 4 ( ) 4 y( ) b) ( ) = = = ; ( ) ( ) y = e = e = y ; c) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) y = e = e = y ; d) y ( ) ( ) cos( ) cos y( ) = = = 0 Dokazati da su funkcije neparne: a) y = ; b) y = ; Rešenje: c) f ( ) e = e + ; d) y = + a) y ( ) ( ) ( ) ( ) y( ) b) ( ) = = = ; y = = = y ( ) + + e e e + e e e ( ) c) y ( ) = = = = y( ) ; ;

114 + + + d) y ( ) = = = = y( ) Ispitati sve poznate osobine funkcija: a) = ln( ) Rešenje: y ; b) + ln y = ln a) Domen: ( )( + ) > 0, (, ) (, + ) Nule: Znak funkcije: = =± ( ) < 0 0< < 0 (, ) (, ) ( ) > 0 > 0 (, ) (, + ) y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y = ln = ln = y, funkcija je parna > >, ( 0, e) ( e, + ) b) Domen: ln 0 0 e 0 Nule: + ln = 0 = e ( ) 0 y <, ( 0, e ) ( e, + ), ( ) 0 y >, ( e, e) Funkcija nije ni parna ni neparna, jer ln ( ) R i ne može da se izračuna Odredi osnovni period sledećih funkcija: a) y = sin; b) y = tg ; c) y = sin ; d) y = cos + cos cos

115 Rešenje: a) ( T) ( T) sin = sin + sin sin + = 0 + T + T sin cos = 0 sint cos T = 0 sint = 0, cos T 0 T = π ; ( ) ( ) π Napomena: Osnovni period funkcija y = sin b i y = cosb je T =, a za b π funkcije y = tgb i y = ctgb je T = b π b) T = = π ; c) y sin ( cos ) = =, T = π ; π T = π, T = π, T =, pa je T = NZS( T, T, T) = π d) Ispitati ograničenost sledećih funkcija: a) y = 4 ; b) y = 4 ; c) y = sin Rešenje: a) Funkcija je neograničena y [ 0, ) ; b) Funkcija je neograničena; c) Funkcija je ograničena y [, ]

116 4 Ispitati monotonost sledećih funkcija: a) y = + ; b) y = Rešenje < + < +, što znači da funkcija strogo raste a) < <, što znači da funkcija raste b) 5 Ispitati konveksnost, konkavnost funkcije ( ) log Rešenje log log + log + ( ) log ( ) + + f ( ) ( ) log = 6 Ako je f ( ) = + + naći (, ) ( ), ( ) Rešenje f () = + + = 4 ( ) = + + ( ( )) ( ) ( ) f a a a f f = , pa je funkcija konveksna ( ) f f a f f ( ) 7 Ako je f ( + ) = + + naći (, ) ( ), ( ) Rešenje Ako stavimo da je + = t, dobijamo da je = t f f a f f () = ( ) + ( ) + = +, odnosno ( ) f t t t t t f =

117 () = + = ( ) = + ( ( )) ( ) ( ) f f a a a f f = Napisati nekoliko članova niza čiji je opšti član: a) a n = ; b) a ( ) n n = n + n Rešenje: a),,, 4 ; b),,, 9 Naći opšti član niza, zadatog sa nekoliko prvih članova: a),, 4, ; b),,,, Rešenje: a) n n n+ a = ; b) = ( ) a n n n + 0 Naći tačke nagomilavanja i ispitati konvergenciju sledećih nizova: a) a n = ; b) a ( ) n n = ; n + n c) Rešenje: a n n + n = ; d) a ( ) n n n + = n a) tačka nagomilavanja je 0, lim a = 0 i niz je konvergentan, n b) tačka nagomilavanja je 0, lim a = 0 i niz je konvergentan, n c) tačka nagomilavanja je, lim a = i niz je konvergentan, n n n n

118 d) niz ima dve tačke nagomilavanja, i, i niz ne konvergira Dat je niz ε = 0,0 Rešenje: a n lim = lim = n n + n + n n n = Izračunati njegovu graničnu vrednost Odrediti n 0 za n + Kako je granična vrednost niza, onda je je n > 99 tj n 0 = 99 n = = < 0,0 odakle n+ n+ n+ Prema tome 99 članova niza je van ε okoline tačke širine 0,0, a počev od a 00 svi ostali, tjnjih beskonačno mnogo nalaze u ε okolini tačke Odrediti granične vrednosti nizova: a) lim n + n+ n ; b) lim n n + n n + ; c) n lim n n +, ( n ) d) lim ; e) lim n n n + n Rešenje: a) ( ) = = n n lim lim n n n n + n + n b) lim = lim n = 0 ; n n + n + n n ;

119 n c) lim = lim = ; n n + n + n n n = +, d) Po formuli za zbir prvih n članova aritmetičkog niza Sn ( a ( n ) d) n n gde je a =, d =, dobijamo lim = lim n = n n + ( n + ) n q e) Po formuli za zbir prvih n članova geometrijskog niza Sn = a, gde je q a =, q= dobijamo: n+ lim lim n = = Odrediti granične vrednosti nizova: a) lim ( n + n) ; b) lim n( n ) n n c) Rešenje: lim n n n n n + a) ( n n) lim + = lim n + ( n + n ) n + n ; d) lim n n + n n n n + ; n n+ n ( n )( ) + n n + + n n + + n = lim = lim = 0 n b) n( n n) ( )( ) n n n n n lim + = lim n n n + + n - 0 -

120 ( + ) n n n n lim = lim = lim = n n n n + + n n + + n + + n n n( n + n + n) c) lim = lim n n n + n n ( n + n n)( n + n + n) d) n + n + n = lim = lim n n n + + = n n lim n n( n+ + n) ( )( ) n = lim n+ n n n+ n n+ + n ( + + ) n n n = lim = lim ( n+ + n) = n n+ n n 4 Odrediti granične vrednosti nizova: a) ( n ) ( n ) n! + +! lim ; b) n n! +! n + 5 lim n n 5 n n ; c) lim n n( n+ ) Rešenje: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n+ ) n! + n+! n! + n! n+ n! + n+ + n lim = lim = lim = lim = n n! n+! n n! n! n+ n n! n n ( ) b) n n lim = lim = n n n n 5 n 5 n - -

121 c) lim lim n n( n ) = = n + n n+ = lim = n n + 5 Odrediti granične vrednosti nizova: a) Rešenje: n lim + n n ; b) n lim n n + n ; c) n n lim n n a) b) n n n n n lim n e e e n n lim + = lim + = = = n n n ; n n n n ( n+ ) n+ n n+ lim = lim = lim = lim n n n n n n n n+ c) n lim n n+ = e = e = e n n n lim lim = = e n n n n 6 Odrediti graničnu vrednost niza lim n( ln ( n ) ln n) Rešenje: n + n n n + lim nln = lim ln ln lim + = + = ln e = n n n n n n Dokazati sledeće rezultate: - -

122 ( ) ( ) ( ) ( ) n + n+ n a) lim = ; b) lim = 0 ; n n n + n+ + n ( ) n n n + c) lim = ; d) lim = ; n n + n ( n ) n 4 e) lim n = ; i) lim 0 n = ; n n + n+ n+ + n + n n j) lim = ; k) lim 0 n n n = ; + n n l) lim n( n n) n n + n) lim n n + + = ; m) lim = e n n n+ = e n 6 ; 7 Na osnovu definicije granične vrednosri pokazati da je: 4 a) lim( ) = ; b) lim = 4 Rešenje: a) Po definiciji broj će biti granična vrednost funkcije ako ε > 0, δ > 0, tako da ako je < δ, onda je ( ) < ε Kako je ( ) ( ) ε ε = < ε <, i ako uzmemo da je δ =, biće < ε, za < δ Zanači, je granična vrednost funkcije b) 4 4 = + 4 = <ε, za svaki < δ = ε - -

123 8 Odrediti granične vrednosti funkcija: a) lim + + ; b) + + lim ; + + Rešenje: + c) lim + ( ) + ; d) + + lim + a) + lim + = ; b) lim = lim = ; c) 0 ; d) 9 Izračunati: a) lim ; b) lim + 7+ c) Rešenje: ; 5 + lim 4+ ; d) 6 lim ( )( ) a) lim = lim = lim = ; + 7+ ( + )( + 4) ( 9)( + ) ( )( + ) 6 b) lim = lim = lim = ; ( )( ) ( + )( ) ( + )( ) c) lim = lim = lim = lim = ; + ( ) ( ) - 4 -

124 d) 6 0 Izračunati: a) lim ( ) c) Rešenje: lim ; b) lim ; + ; d) lim 4 + ( )( ) ( ) a) lim = lim b) + = lim = lim = lim ( + ) 4 ( )( ) = lim = lim = lim = 8 ( )( + + ) ( + )( + + ) c) 4 ; d) 4 Izračunati granične vrednosti : a) lim ; b) lim 0 + ; c) lim ; d) lim e) a lim a 4 4 a - 5 -

125 Rešenje: lim = lim a) = lim = 4; ( ) b) lim = lim 0 0 ( ) ( + ) 0 0 ( ) ( ) = lim = lim = ; c) ; d) ; e) 4 a sin Dokazati lim = 0 Rešenje: π Za 0,, dobijamo sin < < tg sin sin < < < < cos sin cos sin cos kako je funkcija y = sin, neparna Znajući da je lim cos =, zaključujemo da je sin lim =

126 sin 4 a) lim ; 0 b) tg c) lim ; 0 d) sin ; sin lim 0 + sin lim 0 sin Rešenje: sin 4 sin 4 a) lim = 4 lim = 4 ; b) sin sin lim = lim = ; 0 sin 0 sin c) ; d) 4 a) cos cos lim ; b) lim ; 0 sin 0 Rešenje: a) b) cos sin sin lim = lim = lim = 0 sin 0 sin 0 sin sin sin lim = lim = lim 0 0 = 5 a) sin 4 lim ; b) 9 lim 0 sin + + ; c) lim sin ( + ) Rezultat: a) 6 ; b) ; c) 8-7 -

127 Odrediti granične vrednosti funkcija ako je: e = lim + e= lim + odnosno ( ) 0 6 a) lim ; b) lim ( + ) ; 0 + c) lim ; d) + lim Rešenje: a) lim = lim = e = ; e = + = + = e ; b) lim ( ) lim( ) lim( ) c) lim + lim + = lim + = lim + = e = e ; d) e 7 a) + lim ; b) lim lim ; c) ( ) Rezultat: a) 4 e ; b) 8 e ; c) e 8 a) ( ) ln 4 lim ; b) ( ) ln + 6 ln 6 lim 0-8 -

128 Rešenje: ( ) ln 4 a) ( ) ( ( )) lim lim ln 4 ln lim = = = ln e = ; b) 6 lim 9 a) ( ) sin 0 c) ( ) lim cos 0 ctg ; b) lim( tg ) 0 tg sin ; d) ( ) lim sin π 4 + ; Rešenje: lim sin = = = ; lim e e 0 a) ( ) sin 0 tg e 0 0 ctg b) lim( tg ) lim( tg ) e + = + = ; ( ) ( cos )( cos ) lim cos lim cos lim cos + c) ( ) sin = ( + ) cos = ( ) lim + cos 0 = e = e = ; e tg sin d) ( ) ( )( sin)( + sin) π π 4 4 sin lim π ( + sin) 4 lim sin = lim + sin = e = e 40 a) ln lim 0 ( + ) ; b) e lim 0 a ; c) lim ; 0-9 -

129 Rešenje: ( ) ln + a) lim = lim ln ( + ) = ln lim( + ) = ln e= ; e t = e t b) lim = = lim = ; 0 ln 0 ( t t = + ) ln ( + t) c) ln a 4 a) e lim 0 cos ; b) e lim 0 e ; c) lim 0 sin Rešenje: a) b) sin e cos e cos e lim = lim lim = + 0 = ; 4 4 e e lim = lim = ; c) Odrediti asimptote funkcija: + a) y = ; b) y = ; + c) Rešenje: y = 6+ 4 ; d) y = a) Funkcija ima prekid za = Kako je 4 lim = +, lim =, funkcija ima vertikalnu asimptotu = Kako je lim = 0, funkcija ima i horizontalnu asimptotu, pravu y = 0, tj - ± osu Funkcija koja ima horizontalnu asimptotu nema kosu - 0 -

130 b) Prava = je vertikalna asimptota Prava y = je horizontalna asimptota Funkcija nema kosu akimptotu c) Prava je = je vertikalna asimptota 6+ 4 Kako je lim =, funkcija nema horizontalnu asimptotu lim + k = = lim = ; n= lim = lim = 5, pa je y = 5 kosa asimptota d) =± Prave = ± su vertikalne asimptote Horizontalnih asimptota nema Kosa asimptota je prava y = e 4 a) y = ; b) y = e ; ln c) y = ; d) y = ln + Rešenje: e e a) lim =+, lim =, vertikalna asimptota je prava = e e lim =+, lim = 0, funkcija ima horizontalnu asimptotu pravu y = 0 kada + Nema kosih asimptota b) e e 0+ 0 lim =+, lim = 0, funkcija ima vertikalna asimptotu = 0 kada 0+ lim e ± =± pa funkcija nema horizontalnu asimptotu - -

131 e e k = lim = lim e =, n= lim e = lim =, pa je kosa ± ± ± ± asimptota je prava y = + c) Kako je ( 0, ) +, imamo: ln lim =, funkcija ima vertikalnu asimptotu = 0 kada ln lim = 0, horizontalna asimptota je prava y = 0 + Nema kosih asimptota d) Kako je (, ) (, + ), imamo: lim ln =+, lim ln = i = lim ln = 0 ± + Nema kosih asimptota, horizontalna asimptota je prava y = 0, funkcija ima vertikalne asimptote = 44 Ispitati neprekidnost sledećih funkcija: sin, 0 f = 0, = 0 a) ( ) c) f ( ) Rešenje: sin a) lim 0 sin, 0 =, = 0 =, a ( ) f ; b) ( ) ; d) ( ) + 4, = ; + 6, > +, f = 0, = f 0 = 0, zakjučujemo da funkcija ima prekid za - -

132 = 0 b) ( ) lim =, ( ) neprekidana za = c) sin lim 0 = 0 d) ( ) lim + 6 = 7, zaključujemo da je funkcija + =, a ( 0) f =, zakjučujemo da je funkcija neprekidna za +, > +, f = =, <, 0, = 0, = ( ) ( ) lim f =, lim f = 0, funkcija u tački = je prekidna + - -

133 - 4 -

134 DIFERENCIJALNI RAČUN IZVOD FUNKCIJE DIFERENCIJAL FUNKCIJE TEJLOROVA I MAKLORENOVA FORMULA 4 TEOREME SREDNJE VREDNOSTI 5 ISPITIVANJE FUNKCIJA PRIMENOM IZVODA - 5 -

135 - 6 -

136 5 IZVOD FUNKCIJE Problemi tangente i brzine, kao i problemi ekstrema, tj minimuma i maksimuma postepeno su podsticali nastajanje pojma izvoda Mnogi matematičari još od antičke Grčke uspevali su da reše neke od ovih problema u pojedinačnim slučajevima Tek sa pojavom Dekartove metode koordinata omogućeno je da se krive predstavljaju jednačinama i tako je stvoren osnovni preduslov za pojavu opšte metode za analitičko rešavanje problema tangente, odnosno za definisanje pojma izvoda Problem tangente prvi je rešio nemački matematičar i filozof Lajbnic definišući novu oblast matematike pod nazivom diferencijalni račun U isto vreme Njutn je definisao izvod kao posledicu istrživanja fenomena kretanja To su bile dve idejno i metodolški različite koncepcije koje su dovele do istog rezultata Danas, diferencijalni račun, predstavlja nezaobilazno sredstvo u rešavanju mnogih problema savremene nauke i tehnike G Leibniz (646-76) I Newton (64-77) Najpoznatiji spor u istoriji matematike vođen je između Njutna i Lajbnica oko otkrića diferencijalnog računa Njutn je ima samo godine kada je 666 otkrio metod, koji je nazvao metod fluksije On je prvi shvatio da su integracija i diferenciranje dve inverzne operacije Međutim oklevao je sa objavljivanjem svojih rezultata U međuvremenu 675 Lajbnic je samostalno došao do istog metoda koji je nazvao diferencijalni račun On je svoje rezultate odmah publikovao i zadobio sva priznanja Sukob ovih matematičara se nastavljao tako da je Londonsko kraljevsko društvo formiralo komitet koji je 7 dalo prioritet Njutnu Međutim simbolika koju je uveo Lajbnic bila je mnogo jednostavnija i opšte je prihvaćena - 7 -

137 5 DEFINICIJA IZVODA FUNKCIJE Neka je funkcija f ( ) definisana u okolini tačke Proizvoljnu malu veličinu Δ nazivamo priraštaj argumenta Kada se nezavisna promenljiva, argument, promeni od do + Δ, tada se vrednost funkcije f + Δ, tj za veličinu promeni od f ( ) do ( ) Δ y =Δ f ( ) = f ( +Δ) f ( ), koja se naziva priraštaj funkcije Ako postoji granična vrednost Δy f ( +Δ) f ( ) lim = lim = y = f ( ) Δ 0Δ Δ 0 Δ f f u datoj tački tada kažemo da je ( ) prvi izvod funkcije ili izvod funkcije ( ) Postupak nalaženja izvoda naziva se diferenciranje Ako je f ( ) konačna vrednost, tada kažemo da je funkcija diferencijabilna u datoj tački Primer: Odrediti izvod funkcije f ( ) = po definiciji ( +Δ) Δ ( +Δ) Δy y = lim = lim = lim = lim ( +Δ ) = Δ 0Δ Δ 0 Δ Δ 0 Δ Δ 0 Ako postoji granična vrednost f ( ) ( +Δ ) ( ) f f = lim ona se naziva Δ 0 Δ levi izvod funkcije, a granična vrednost f ( +Δ) f ( ) f + ( ) = lim naziva se desni izvod funkcije u tački Δ + 0 Δ Funkcija f ( ) je diferencijabilna u tački ako i samo ako postoji levi i desni izvod funkcije i jednaki su: ( ) ( ) f = f

138 Funkcija f ( ) je diferencijabilna na intervalu ako i samo ako je diferencijabilna u svakoj tački tog intervala Ako je funkcija f ( ) diferencijabilna u nekoj tački, onda je ona i neprekidna u toj tački Obrnuto tvrđenje nije tačno Primer: Ispitati diferencijabilnost funkcije f ( ) = u tački = 0 Funkcija je neprekidna u tački = 0, ali nije diferencijabilna jer je ( 0+Δ) 0 Δ f + ( 0) = lim = lim =, Δ + 0 Δ Δ + 0 Δ ( 0+Δ) 0 Δ f ( 0) = lim = lim =, Δ 0 Δ Δ 0 Δ f 0 f 0 f 0 ne postoji tj ( ) ( ) pa zaključujemo da ( ) + OSNOVNA PRAVILA DIFERENCIRANJA Ako su funkcije f ( ) i g( ) diferencijabilne u tački, tada je: ( C f ) C f ( ),( C const ) ( ) = = ; ( f g ) f ( ) g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± = ± ; ( f g ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) = + ; f ( ) f ( ) g( ) g ( ) f ( ) =, ( g( ) 0) g( ) g ( ) - 9 -

139 TABLICA OSNOVNIH IZVODA f ( ) f ( ) C 0 α, α R α α a, a R,0 a < a ln a e log a, a R,0< a ln sin cos e loga e cos sin tg cos ctg sin arcsin arccos arctg + arcctg

140 Primer: Naći izvod sledećih funkcija po definiciji: a) f ( ) = C, C = const, ( +Δ ) ( ) Δy f f C C 0 y = lim = lim = lim = lim = lim 0 = 0, Δ 0Δ Δ 0 Δ Δ 0 Δ Δ 0Δ Δ 0 f =, b) ( ) sin Δ Δ cos + sin Δy sin ( +Δ) sin y = lim = lim = lim Δ 0Δ Δ 0 Δ Δ 0 Δ Δ Δ sin sin Δ = lim cos cos lim + = = cos Δ 0 Δ 0 Δ Δ c) f ( ) = a Δ Δ ( ) ( ) +Δ Δy a a a a a y = lim = lim = lim = a lim = a ln a Δ 0Δ Δ 0 Δ Δ 0 Δ Δ 0 Δ Primer: Naći prvi izvod sledećih funkcija: a) y = =, y = = = ; b) y y = + = 9 + ; = +, ( ) ( ) ( ) e c) y = e ln, y = ( e ) ln + e ( ln ) = e ln + ; d) y =, ( ) ( ) ( ) ( ) y = = = ln e) y = ln ( ) ( ) ( ) ( ln ) ln ; y = = ( ln ) ( ln ) ; - -

141 GEOMETRIJSKO TUMAČ ENJE IZVODA Neka je funkcija f ( ) neprekidna u tački i definisana u nekoj njenoj okolini y B A t α Δ Δf ( ) β + Δ Koeficijent pravca sečice koja je povučena kroz tačke A i B je f ( ) ks = tgα = Δ, gde je α ugao koji sečica zaklapa sa - osom Δ Sa druge strane kada pustimo da Δ 0, odnosno kada se tačka B po krivoj približava tački A, sečica AB postepeno postaje tangenta krive u tački A Koeficijent pravca tangente koja je povučena kroz tačku A iznosi kt = tgβ Kako Δf ( ) tgα tgβ, kada Δ 0 dobijamo kt = lim = f ( ), a to je izvod Δ 0 Δ funkcije f ( ) u tački Koeficijent pravca tangente grafika funkcije u tački A, jednak je vrednosti prvog izvoda u toj tački Jednačina tangente grafika funkcije u tački A glasi y y = f ( )( ) A A A Jednačina normale grafika funkcije u tački A glasi y ya = f ( ) ( ) A A - -

142 Primer: Naći jednačinu tangente grafika funkcije Kako je y = dobijamo k y ( A) t y = = = = + u njenoj tački (, ) A Tangenta je prava koja prolazi kroz tačku A, a koeficijent pravca je k t = Njena =, odnosno y = jednačina je y ( ) IZVOD INVERZNE FUNKCIJE Neka je funkcija f ( ) monotona i neprekidna u okolini tačke, a diferencijabilna u tački, tj postoji f ( ) 0 Neka je f ( y) = njena inverzna funkcija Izvod inverzne funkcije je: ( f ( y) ) = f ( ) Primer: y = e Kako je = ln y inverzna funkcija funkcije y = e dobijamo: ( e ) = = = y = e ( ln y) y IZVOD SLOŽENE FUNKCIJE Ako je data složena funkcija F( ) = f ( g( ) ) gde je funkcija g( ) diferencijabilna u tački, a funkcija f ( u ) diferencijabilna u tački u = g( ), onda je: ( ) ( ( )) ( ) F = f g g - -

143 Primer: Naći izvod sledećih složenih funkcija: y = +, a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y = + + = + 4= + b) y = e, y e ( ) e = = ; = = = tg sin cos sin cos cos c) y = ln ( tg), y ( tg) 5DIFERENCIJAL FUNKCIJE Ako je funkcija f ( ) diferencijabilna u tački, onda se izraz ( ) diferencijalom funkcije u tački i obeležava dy : ( ) dy = f Δ f Δ naziva t Δ α dy + Δ Diferencijal funkcije y = je dy = Δ, tj d = Δ Izvod funkcije se može izraziti preko diferencijala kao f ( ) dy = d - 4 -

144 Diferencijal funkcije proporcionalan je priraštaju funkcije: Δy dy Δ y = f ( +Δ) f ( ) f ( ) Δ ( ) ( ) ( ) f + Δ f + f Δ Kako je diferencijal funkcije linearna funkcija priraštaja Δ, mnogo je jednostavnije odrediti diferencijal date funkcije nego njen priraštaj Δ y Ta činjenica se koristi u približnom računanju Za diferencijal funkcije važe slična pravila kao za izvode funkcija: Primer: Naći diferencijal funkcije ( ) dy = y d= 6 + d ( Cf ) = C ( f ) C = const ; d( f ± g) = d( f ) ± d( g) ; ( f g) ( f ) g f ( g) d( f ) g f d( g) d d, d = d + d ; f d = g y = + g IZVODI I DIFERENCIJALI VIŠEG REDA Neka je f ( ) diferencijabilna funkcija, tj postoji njen izvod f ( ) izvod funkcije f ( ), on se definiše kao drugi izvod funkcije f ( ) ( 4 f ( ) Na sličan način se definišu f ( ), f ) ( ), izvod Ako postoji i obeležava sa Diferencijal od diferencijala dy, zove se diferencijal drugog reda i označava se sa ( ) d y Dakle, d y d d( y) y d = = Izvodi višeg reda funkcije definišu se kao: f ( 0) = f, f ( f ) ( n ) ( n) =, n = 0,,

145 Diferencijali višeg reda funkcije f ( ) definišu se kao: 0 d y n+ n = y, d y = d( d y), n = 0,, Za funkciju kažemo da je n puta diferencijabilna u tački, ako postoji konačan k - ti izvod ( k ) ( ) f, za svako k = 0,,,, n Primer: Odrediti drugi izvod funkcija: f = + ; a) ( ) + f ( ) =, f ( ) = + = f = e ; b) ( ) ( + ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 4 ) f = e f = e + e = e Primer: Odrediti treći izvod funkcija: f = cos ; a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = cos sin = sin, f = cos, f = 4sin ; b) f ( ) = ln ; f ( ) = ln +, f ( ) = ln+, f ( ) = - 6 -

146 ZADACI Koristeći tablicu izvoda naći prvi izvod sledećih funkcija: 4 5 a) y = ; b) y = + + ; c) y = + 4 ; 5 5 d) y = Rešenje: a) y = = = = ; b) y = ( 4 ) + ( ) ( ) + ( ) = = + 4+ ; c) 5 5 y = + 4= + 4, y = + + = + + ; 4 6 d) y = = 6 + 5, 7 = = y a) y ( ) ( 4 7) c) = + ; b) y ( )( ) = + + ; y = cos ; d) y = sin cos Rešenje: y = = a) ( ) ( ) ( ) y = = ; b) ( ) - 7 -

147 c) y = cos sin; = = y cos sin sin d) ( ) a) y = Rešenje: + ; b) e y = ; c) y = e ( ) ( ) + 4 a) y = = ; ( + ) ( + ) ( ) b) y = = ; ( ) ( ) e ( e + ) e ( e ) e c) y = = ; e + e + d) ( ) ( ) + ; d) tg y = tg ( tg) tg y = = = cos cos cos ( tg) cos sin ( cos sin) cos + + ln 4 a) y = b) y = ; + + sin c) y = ; d) y = arctg cos + Rezultat: a) y = ( + + ) ln ; b) y = ; c) y = cos y = ; d) ( + ) Naći izvod složenih funkcija: y = ; b) y = sin4; c) 5 a) ( ) y 4 = sin - 8 -

148 Rešenje: = = ; a) y ( ) ( ) 6( ) y = cos 4 4 = cos 4; b) ( ) = = y 4sin sin 4sin cos c) ( ) 6 a) y = e + ; b) y Rešenje: = e y e e + + = + = a) ( ) ( ) = + = + b) ( ) y e e e ( ) + 7 a) y = ln Rešenje: ; b) y ln ( ) = ; c) y = ln + a) y = = = ; + + ( ) b) y = = ( ) + + c) y = = ( ) ( ) ( ) ; sin + sin 8 a) y = ln ; b) y = ln ; c) cos sin Rešenje: ( ) a) y = = ; sin cos sin cos y = sin + sin - 9 -

149 ( ) ( ) sin cos sin + + sin cos cos b) y = = = ; + sin sin sin cos c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + sin cos + sin cos sin y = sin + sin + sin cos + sin cos 4 sin sin sin = = = + ( + sin ) ( + sin ) 9 a) y arcsin = ; b) y = arcsin a Rešenje: a a) y = = ; a a a b) y = arcsin = = = 4 0 a) y = ln ( e + e + ) ; b) y ln ( a ) a Rešenje: a) = e e e 4 y = e + = e + e + e + e + e + e + 4 e e + + e e = = ; e + e + e + e + b) y = + a sin y = ln ; Rešenje: sin ctg y = sin

150 y = tg + tg ; Rešenje: y = 4 cos = + ; Rešenje: y = e sin y e ( sin cos ) 4 y = arcsin ; Rešenje: a y = a 4 5 = sin sin ; Rešenje: y y = cos 6 + y = ln ; Rešenje: y = = + ; Rešenje: y = arctg 7 y arctg ln ( 4) 8 Data je parabola y 4 tangente i normale parabole u datoj tački Rešenje: = i tačka A( 4, ) y na njoj Napisati jednačinu Kako tačka A( 4, y ) pripada paraboli, zamenom koordinate = 4 jednačinu parabole dobijamo koordinatu y = 4 Izvod date funkcije je y = Znajući da je koeficijent pravca tangente jednak vrednosti prvog izvoda funkcije u datoj tački dobijamo kt = y ( 4) =, a kn = = kt Jednačine tangente i normale su: t: y 4= ( 4) y = 4, n: y 4= ( 4) y =

151 9 U tački M (, ) normale Rešenje: Za = je y krive y =, pa su kordinate tačke (, ) y = + + napisati jednačinu njene tangente i M Izvod date funkcije je y = +, pa dobijamo k t = y ( ) =, a kn = = kt Jednačine tangente i normale su: 0 t: y = ( ) y =, n: y = ( ) y = + 0 Odrediti parametre a i b tako da parabola y = + a + b dodiruje pravu y = u tački A (,) Rešenje: Kako tačka A (,) pripada grafiku parabole zamenom koordinata tačke u njenu jednačinu dobijamo jednakost a+ b= 0 Data prava y = je tangenta parabole sa koeficijentom pravca k = Kako je y a k = y =, tj = + a a = i b = = +, dobijamo ( ) Jednačina parabole glasi U kojoj tački parabole y = + = + 4 njena tangenta ima koeficijent pravca y? Rešenje: Kako je y =, a koeficijent pravca tangente je, dobijamo =, tj = 4 Kako je tačka sa apscisom 4, dodirna tačka parabole i tangente, zamenom ove vrednosti u jednačinu parabolu dobijamo ordinatu dodirne tačke y = 0 Dakle, tražena tačka ima koordinate ( 4,0 ) - 4 -

152 U kojoj tački parabole y = + + je njena tangenta paralelna osi? Rešenje: Prvi izvod date funkcije je y = + Kako je tangenta paralelna osi njen koeficijent pravca je 0 Iz uslova de je + = 0, dobijamo 9 ima koordinate, 4 Odrediti tačke u kojima su tangente krivih paralelne Rešenje: (, ) i ( ), 0 y =, odnosno tačka = i y = Pod kojim uglom parabola π π Rešenje: i 4 4 y = seče -osu? 5 U kojoj tački je tangenta krive Rešenje: (, ) y = 7 + paralelna pravoj y = 5 +? 6 Primenom diferencijala izračunti približnu vrednost izraza 6,9 Rešenje: Za diferencijabilnu funkciju f ( ) važi formula f ( +Δ) f ( ) + f ( ) Δ Ako uzmemo da je f ( ) =, 7 dobijamo +Δ + ( Δ ), =, 0,8 ( ) ( ) Δ =, i kako je ( ) f =, 6,9 = 7 + 0, ,8 0,8,

153 7 Primenom diferencijala izračunati približnu vrednost funkcije f ( ) = + 7 u tački =, 0 Rešenje: Izvod date funkcije je f ( ) = ( + 7) ( ) + 7 Za = i Δ = 0,0 dobijamo f (,0) = f ( + 0,0) ( + 7 ) ( ) + 7 0,0 = 8 + ( 8) ( 0) 0, 0, Primenom diferencijala izračunti približnu vrednost izraza cos59 Rešenje: Ako uzmemo da je f ( ) = cos, = 59, Δ = i f ( ) = sin, dobijamo π π cos59 cos 60 ( sin 60 ) + 0, Naći približnu vrednost: a) 4 7 ; b), 0 ; c) sin 9 ; d) arctg,05 Rešenje: 4 a) Ako je f ( ) =, =, 7 = 6 + +, 0 b) Ako je f ( ) =, c) ( ) Δ =, i ( ) =, 0,0 Δ = i ( ) 4 f = =, dobijamo f = =, dobijamo 4,0 = + 0,0 + 0,0,0066 π π sin 9 = sin 0 sin 0 cos 0 = 0, ,05 π arctg, 05 = arctg + 0, 05 arctg+ = + 0, 05 0,8 + 4 d) ( )

154 5TEJLOROVA I MAKLORENOVA FORMULA Kod trigonometrijskih, eksponencijalnih ili logaritamskih funkcija, kada je potrebno izračunati vrednost funkcije za neku konkretnu vrednost nezavisno promenljive, npr = a, srećemo se često sa složenim računima Kako su polinomi funkcije koje se najjednostavnije izračunavaju, vrednost funkcije u tački može se približno izračunati aproksimacijom date funkcije polinomom Ako funkciju f ( ) aproksimiramo polinomom P( ) činimo neku grešku R ( ), koja iznosi R ( ) = f ( ) P( ) Cilj aproksimacije je da greška bude minimalna Aproksimacija je bolja ukoliko je tačka bliža tački a Postoje različiti postupci aproksimacije funkcije polinomom, a jedan od njih je Teljorov polinom Ako je funkcija f ( ) u nekoj okolini tačke a, ( n + ) je Tejlorova formula: gde je polinom ( ) ( ) '( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f = P + R, n n -puta diferencijabilna tada ( n ) ( )( ) Pn n = f a + f a a + f a a + + f a a, n! a greška ili ostatak je: n+ n+ Rn ( ) = a f n +! c, c (, a) ili c ( a, ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ako se uzme da je c a θ ( a) = +, gde je 0 < θ <, greška ima oblik R = a f a+ a n ( ) ( ) ( ) ( ) n+ ( n+ ) θ ( ) n +! Ovo je Lagranžov oblik greške Polinom Pn ( ) se naziva Tejlorov polinom u tački a Za slučaj kada je tačka a = 0 dobija se Maklorenova formula: ( n ( ) ( ) ( ) ( ) ) n ( n ( 0) ) n f = f + f + f + + f + f ( θ ) n! n+! ( )

155 Primer: Razviti u Tejlorovu formulu funkciju f ( ) = po stepenima +, odnosno u + okolini tačke a =, polinomom drugog stepena f =, ( ) f = f =, ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) f = f =, ( ) 6 6 f ( ) = f 4 ( θ) =,0< θ < 4 ( + ) ( θ + ) Tejlorova formula date funkcije glasi: ( + ) = ( + ) ( + ), 0< θ < 4 + ( θ ( + ) ) Primer: Razviti funkciju f ( ) = + u Maklorenovu formulu za n =, tj zaključno sa kvadratnim članom f ( 0) =, f ( ) = f ( 0 ) =, + f ( ) = ( + ) f ( 0 ) =, f ( ) = ( + ) f ( θ) = ( + θ),0< θ <, = + + ( + θ )

156 e MAKLORENOVI RAZVOJI NEKIH VAŽNIJIH FUNKCIJA: e = + 0!! n k θ n+ ; k = k ( n+ ) n n k k ( ) cosθ n+ ( ) ; k = ( k )! ( n+ )! sin = + k n+ k ( ) cos ( ) ( k ) ( n+ ) n n+ ; k = 0!! cos = + θ α α n α n n+ k = 0 k n+ ; α k ( + ) = + ( + θ ) n = n+ k k k+ ( ) ( ) ; n+ k = 0 ( θ ) ln n k n+ n+ k n ( + ) = ( ) + ( ) k = k ( n+ )( + θ ) Primer: Dokazati Maklorenovu formulu za funkcije a) f ( ) = e ; b) f ( ) = sin ; c) ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n ) ( ) ( n ) ( ) f = f = f = = f = e f 0 = f 0 = f 0 = = f 0 =, θ ( n+ ) e n+ f ( ) = e, Rn+ ( ) =! e ( n + ) n θ e n+ = !!! n!! ( n+ ) b) f ( ) = cos f ( 0) =, π f ( ) = sin = cos + f ( 0) = 0, f = + α,

157 π f ( ) = cos = cos + f ( 0) =, ( n f ) π π ( ) = cos ( n ) + = sin n +, ( + ) ( ) f n = cos n + π Korisno je uočiti da je f ( n ) ( ) n+ n Rn+ ( ) = ( ) cos ( θ ) ( n + )! ( n+ ) ( ) ( ) 0 = 0, f 0 = n n ( ) ( n ) n ( ) ( n ) 5 cosθ sin = ! 5!! +! c) α ( ) α( ) ( ) f = + f 0 = α, n n+, 0 θ α ( ) = α( α )( + ) ( ) = α( α ) f f 0, α ( ) = α( α )( α )( + ) ( ) = α( α )( α ) f f 0, ( n ) ( ) = α( α )( α ) ( α ( ))( + ) α n f n, ( n+ ) ( ) = α( α )( α ) ( α )( + ) α( α )( α ) ( α n) n+ ( ) = ( + θ ) ( n +! ) α ( n+ ) f n, α n n+ R α k ( + ) = = + ( + θ ) k = 0 < < n α α α α α n n+ k n

158 ZADACI Napisati Tejlorov polinom trećeg stepena funkcije f ( ) = u tački a = Rešenje: f () =, f ( ) = f () =, 5 f ( ) f = () =, f ( ) = f () =, 4 8 ( ) ( ) pa je: P ( ) = f () + ( ) f () + f () + f ()!! = + ( ) ( ) + ( ) 8 6 Napisati Maklorenov polinom trećeg stepena za funkciju f ( ) Rešenje: f ( ) = = cos, f ( 0) = ; cos f ( ) = cos sin, f ( 0) = 0 ; f ( ) = cos sin + cos, f ( 0) = ; 4 f = 6cos sin + 5cos sin, f 0 = 0 ( ) ( ) P ( ) = + = cos Dokazati formulu sin 4 e Rešenje: sin Kako je f ( ) = e, tada je:

159 f ( 0) =, sin f ( ) e f ( ) = cos 0 =, f = e cos sin f 0 =, sin ( ) ( ) ( ) sin ( ) ( ) ( ) f = e cos sin cos cos f 0 = 0, sin 4 ( ) ( ) ( ) IV IV f = e cos 4 cos + sin + sin 6sin cos f 0 =, f pa je ( ) 4 4 Date funkcije razviti u Maklorenov polinom četvrtog stepena: f ln sin f = ln + + Rezultat: = + ; b) ( ) ( ) a) ( ) ( ) 4 a) P ( ) = + ; b) P ( ) = Funkciju f ( ) = sin razviti u Maklorenov polinom četvrtog stepena Rešenje: Znajući razvoj funkcije sin, dobijamo! 4 sin =!! 6 Koristeći Maklorenov polinom odgovarajućeg stepena funkcije sin izračunati sin lim 0 Rešenje: 5 5 Kako je sin + = + dobijamo! 5! ! 5! 6 0 lim lim 0 = 0 =

160 7 Koristeći Maklorenov polinom odgovarajućeg stepena funkcije e izračunati e lim 0 4 Rešenje: 4 Kako je e dobijamo da je e , pa!! 4!!! 4! je e!! 4! 6 4 lim = lim = lim = Primenom Maklorenovog razvoja datih funkcija izračunati granične vrednosti sin + e a) lim 0 e sin + cos, b) lim 0 Rezultat: a) ; b) Cilj procene greške je da se nađe gornja granica greške gde ima datu vrednost, a θ ( 0,) Kod procene greške obično se koriste jednostavne nejednakosti, traženjem najgoreg slučaja u kome oba faktora dostižu maksimalnu apsolutnu vrednost Zbog toga, stvarna greška je znatno manja od procenjene 9 Kolika je greška aproksimacije sin, na intervalu, 0 0? Rešenje: sin = + R, gde je R = cosθ! R = cosθ < cosθ < <, greška je na trećoj decimali! Funkciju f ( ) ln ( ) procenu greške za računanje vrednosti ove funkcije na intervalu [ 0, ] = + razviti u Maklorenov polinom trećeg stepena, uz - 5 -

161 Rešenje: IV 6 f =, f =, f =, f ( ) =, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f 0 = ln= 0, f 0 =, f 0 =, f 0 = ln ( + ) = + + R R ( ) = = 4! ( θ+ ) 4( θ+ ) Za θ ( 0,) i [ 0,] R 4 4 ( ) imamo procenu greške ( θ+ ) ( θ+ ) ( + ) ( ) 4 4 = = = 0, Funkciju f ( ) ln ( ) ( ) = + razviti u Maklorenov polinom četrvtog stepena, približno izračunati ln,5 uz procenu greške Rešenje: 4 5 ln ( + ) = ( + θ ) 4 ln,5 = ln ( + 0,5) + 0,400 4 R ( ) 5 5 0,5 = 0, ( θ) 5 θ 5 θ < 5 = Aproksimirati funkciju f ( ) = e Maklorenovim polinomom i izračunati približnu vrednost broja e za n = 0 Rešenje: n θ e e = !! n! n+! ( ) n

162 Iz ove formule za =, dobijamo a apsolutna vrednost greške je R n e =, 78876,!! 0! θ e = < = 0 +!! 0 ( n ) n+ 7 7 Aproksimirati funkciju f ( ) = e Maklorenovim polinomom i izračunati približnu vrednost broja e sa greškom ne većom od Rešenje: n θ e n+ e = !! n! n+! ( ) 9 0 e= Rn, a apsolutna vrednost greške je!! n! θ e n+ 0 9 R ( )! 0 9 n = < n+ > n+! n+! ( ) ( ) Zamenom redom za n =,,, dobijamo da je n =! > 0 9, što znači da je 4 Aproksimirati funkciju f ( ) = + Maklornovim polinomom drugog stepena Izračunati, i oceniti grešku Rešenje: R 8 + = + + ( ) i R ( ) ( 0, ) 0,, + =,095 8 Apsolutna vrednost greške je = 8 5 ( + θ ), R 0, 0 0 0, = < = ( ) 5 5 ( + θ 0,) ( + 0 0) - 5 -

163 54 OSNOVNE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČ UNA Među najvažnije teoreme diferencijalnog računa spadaju teoreme srednje vrednosti One pokazuju da se iz same egzistencije izvoda funkcije može mnogo zaključiti o osobinama funkcije Fermaova teorema: Neka funkcija f ( ) dostiže svoju ekstremnu vrednost u nekoj tački c ( a, b) i neka je diferencijabilna u tački c Tada je f ( c) = 0 =, to znači da je Geometrijsko tumačenje Fermaove teoreme: Kako je f ( c) 0 tgα = 0, tj α = 0, gde je α ugao koji tangenta u tački, ( ) funkcije zaklapa sa osom To znači da ako diferencijabilna funkcija u tački c ( a, b) najmanju vrednost, onda je tangenta na njen grafik u tački, ( ) osom y M ( ) M c f c grafika dostiže svoju najveću ili ( ) M c f c paralelna sa a c b Rolova teotema: Neka je funkcija f ( ) definisana i neprekidna na [ ab, ], diferencijabilna na ( ab, ), f ( a) = f ( b) Tada postoji bar jedna tačka c ( a, b), takva da je f ( c) 0 =

164 y ( ) = f ( b) f a a c c b ( ) Geometrijsko tumačenje Rolove teoreme: Postoji bar jedna tačka, ( ) c ( a, b) u kojoj je tangenta grafika funkcije paralelna sa osom Primer: Dokazati da funkcija f ( ) = 4+ na intervalu [, ] M c f c, ispunjava uslove Rolove teoreme i odrediti odgovarajuću vrednost nezavisno promennjive c Data funkcija je definisana za R, pa je definisana i neprekidna i na, intervalu [ ] Kako je ( ) f = 4, zaključujemo da je funkcija diferencijabilna na intervalu (, ) Kako je f ( ) f ( ) = =, Znači, funkcija ispunjava uslove Rolove teoreme na [, ] Dakle, postoji bar jedana tačka c (, ) takva da je f ( c) = 0 Rešavanjem jednačine ( ) f c = c 4= 0 dobijamo c, =± Kako obe vrednosti pripadaju intervalu (, ), zaključujemo da postoje dve tačke koje pripadaju datom intervalu za koje je f ( c ) = f ( c ) = 0 Košijeva teorema: Neka su funkcije f ( ) i ( ) [ ab, ], a diferencijabilne na ( ab, ), i neka je g ( ) 0, ( ab, ) ( ) ( ) Tada postoji bar jedna tačka c ( a, b) takva da je ( ) ( ) g definisane i neprekidne na ( ) ( ) f b f a f c = g b g a g c

165 Lagranžova teorema: Neka je funkcija f ( ) : definisana i neprekidna na [ ab, ], diferencijabilna na ( ab, ) Tada postoji bar jedna tačka c ( a, b) takva da je f ( b) f ( a) f ( c) ( b a) = Lagranžova teorema je specijalan slučaj Košijeve teoreme za g( ) = y A t M B t AB a c b Geometrijsko tumačenje Lagranževe teoreme: Postoji bar jedna tačka, c a, b u kojoj je tangenta grafika funkcije paralelna sa sečicom M ( c f ( c )), ( ) AB, čiji je koeficijent pravca ( ) f ( a) f b b a Primer: Odrediti tačku ( c, f ( c )) grafika funkcije f ( ) = takvu da c ( 0,), u kojoj je tangenta paralelna sa sečicom koja prolazi kroz tačke ( 0, f ( 0) ) i (, f () ) Funkcija f ( ) = je definisana i neprekidna za R pa i na intervalu [ 0, ] f = 4+ 9, funkcija je diferencijabilna za svako R pa i za Kako je ( ) ( 0,) Na osnovu Lagranžove teoreme imamo:

166 f () f ( 0) 0 ± Odavde je c, ( ) ( ) = f c, c 0,, odnosno = c 4c+ 9 ili = Kako ( 0, ), a ( ) vrednost je c = Tražena tačka je, f c 6c 0 + = + 0,, tražena Lopitalova teorema: Ako su funkcije f ( ) i ( ) tačke a, pri čemu je lim f ( ) = lim g( ) = 0 ili ( ± ) i g ( a) 0 a a g diferencijabilne u nekoj okolini, tada je: f ( ) f ( ) lim = lim a g( ) a g ( ) Ako funkcije f ( ) i g( ) imaju n - te izvode koji su neprekidni u tački ako je ( ) ( ) ( ) ( ) ( n ) ( ) ( n ) ( ) = = = = = = = 0 i f a g a f a g a f a g a ( n g ) ( a) 0, onda je Napomena: ( ) ( ) ( ) ( ) ( n ) ( ) ( n ) ( ) f f f lim = lim = = lim a g a g a g = a i Lopitalova teorema se koristi za određivanje graničnih vrednosti neodređenih izraza 0 tipa 0 i U slučaju neodređenosti tipa 0 i, one se moraju 0 0 transformisati oblik 0 ili U slučaju neodređenosti tipa 0, 0 ili, izaraz se prvo logaritmuje čime se svodi na jedan od pomenutih slučajeva Primer: Primenom Lopitalove teoreme odredimo granične vrednosti: sin L ( sin ) a) lim = lim = lim cos = ;

167 6 ln lim = lim = lim = 0 ; c) cos cos sin L cos sin cos lim ctg = lim = lim = lim 0 0 sin 0 sin 0 sin + cos sin L sin cos = lim = lim = 0 0 sin + cos 0 cos sin ln L d) lim ln = lim = lim = lim = L L b) e) lim ln ln lim = lim e = e = e =

168 ZADACI Ispitati da li funkcija f ( ) = na intervalu [,] teoreme Rešenje: Data funkcija je definisana i neprekidna za [,] Osim je f ( ) f ( ) = = ispunjava uslove Rolove R, pa prema tome i na intervalu Kako je f ( ) =, funkcija nije diferencijabilna u tački 0 (,) funkcija ne ispunjava uslove Rolove teoreme na [,], pa Dokazati da jednačina intervalu [ 0, ] Rešenje: Uočimo funkciju = ima bar jedno rešenje na = 4 + Ona je definisana i neprekidna na [ ] y Pored toga f ( 0) f ( ) 0 c ( 0,) takva da je f ( c) 0 0, = = Prema tome, na osnovu Rolove teoreme postoji tačka = ± 5 Kako je y = 6, 6c c = 0 c, = + 5 Tačka c = ( 0,) i ta vrednost je rešenje jednačine, Dokazati da važi Langranžova teorema za funkciju f ( ) = [ 0,] + odrediti odgovarajuće c i

169 Rešenje: Data funkcija je definisana i neprekidna za f ( ) =, + ( ), a to znači i za [ ] 0, Kako je biće f ( ) diferencijabilna za sve pa dakle i za ( 0, ) Na osnovu Langranžove teoreme postoji c ( 0, ), tako da je f c ( ) = f ( c), odnosno = Rešenja ove jednačine su 0 ( c + ) =, c = pa kako ( 0, ), biće c = tražena vrednost ( ) f ( 0) f = 5, za 4 Dokazati da važi Langranžova teorema za funkciju ( ) [, ] i odrediti c Rešenje: 7 c = 5 Dokazati da važi Langranžova teorema za funkciju za funkciju f ( ) = za [, ] i odrediti c Rešenje: =, pa je Data funkcija je definisana i neprekidna [, ] Izvod f ( ) diferencijabilna za (, ) f Prema Langranžovoj teoremi postoji c (, ) ) f ( ) tako da ( ) odakle je c =± Kako (, ), tražena vrednost je c = = c, 6 Napisati Langranžovu formulu za funkciju f ( ) = na odsečku [, 4 ] i odrediti c Objasniti i geometrijski

170 Rešenje: Data funkcija je definisana i neprekidna [, 4 ] Izvod f ( ) definisan za (, 4) = je takođe Znači f ( ) je diferencijabilna na (, 4 ), pa prema Langranžovoj teoremi važi f ( 4) f ( ) jednakost = f ( c), c (,4) 4 f ( 4) =, f ( ) =, f ( ) =, pa je = c = c= 9 c 4 9, 4, to je tražena vrednost c 4 S obzirom da ( ) y t Geometrijski gledano, postoji tangenta grafika funkcije koja je paralelna sa sečicom koja prolazi kroz tačke (, ), ( 4, ) i njena dodirna tačka ima apscisu 9 4 Primenom Lopitalove teoreme odrediti granične vrednosti: Neodređenost tipa 0 0 ili 7 a) lim sin ; b) lim ; c) 0 e lim cos ; d) lim

171 Rešenje: + L = lim = a) lim ; sin cos sin cos = = = = ; L L L b) lim lim lim lim e L e L 4 e L 8 e c) lim = lim = lim = lim = ; 6 6 sin cos L cos sin d) lim lim lim 0 = = = = cos 4 a b e e sin + e 8 a) lim ; b) lim 0 sin 0 arcsin e e c) lim ; d) lim 0 sin 0 sin ; Rešenje: a b a b e e L ae be a) lim = lim = a b; 0 sin 0 cos sin + e L cos + e 4 b) lim = lim 0 0 L sin + 4e 4 L cos + 8e = lim = lim = ; arcsin L c) lim = lim = 0 0 sin sin cos ( ) L lim lim = lim = ; 0 sin 0 cos 0 6sin cos 6 d) ; - 6 -

172 Neodređenost tipa 9 a) lim ; b) lim 0 e 0 sin ; c) lim ; d) π lim π ctg cos Rešenje: e L e L e a) lim = lim = lim = lim = ; e e + e e + e + e 0 + ( ) sin L cos b) lim lim lim ; 0 = = = 0 0 sin sin sin + cos c) ; d) Neodređenost tipa 0 0 a) lim 0 ln ; b) lim ctg 0 ; c) lim( e ) 0 Rešenje: ln L a) lim ln = lim lim lim = 0 = 0 = ; L b) lim ctg= lim = lim = ; 0 0 tg 0 cos c) ( ) ctg e L e lim e ctg= lim lim cos = lim = 0 0 sin 0 0 cos - 6 -

173 Neodređenost tipa 0 0, 0 ili a) ( ) ; b) ( ) lim cos 0 lim ln + ; c) lim 0+ sin Rešenje: ( ) ln cos sin sin lim L cos ln( cos ) 0 lim lim 0 0cos a) lim e = e = e = e = e = ; 0 e ln(ln ) lim L lim ln ln(ln ) b) lim e = e = e = e = ; + ln sin lim sin ln lim L ln sin lim e = e = e = 0+ c) ; lim 0 + cos sin lim L lim sin cos sin = = = = e e e e

174 55 ISPITIVANJE FUNKCIJA POMOĆ U IZVODA MONOTONOST FUNKCIJE Neka je funkcija f ( ) neprekidna na [ ab, ], a diferencijabilna na (, ) Tada, ako je za ( ab, ) Dokaz: ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 : f, funkcija je rastuća, f, funkcija je opadajuća, f >, funkcija je strogo rastuća, f <, funkcija je strogo opadajuća Neka je za ( ab, ) ispunjeno f ( ) 0 ab Uzmimo proizvoljne vrednosti, takve da je a < b Na osnovu Lagranžove teoreme imamo da je f ( ) f ( ) = f ( 0)( ), za neko < 0 < Znajući da je < 0 i f ( ) 0 f f <, tj funkcija f ( ) je rastuća Dokaz u preostalim slučajevima je identičan Primer: Ispitati monotonost sledećih funkcija: a) f ( ) = ; b) f ( ) a) Izvod funkcije f ( ) je rastuća, dobijamo da je ( ) ( ) f = ; c) ( ) f = + = je ( ) = Kako je f ( ) 0 b) Izvod funkcije f ( ) = je f ( ) = Kako je f ( ) 0 je opadajuća c) Izvod funkcije f ( ) = + je f ( ) f ( ) 0, a za f ( ) 0 opadajuća za < 0 za R, funkcija < za 0, funkcija = Kako je za > <, zaključujemo da je funkcija je rastuća za >, a

175 EKSTREMNE VREDNOSTI FUNKCIJE y a b Funkcija f ( ) definisana na ( ab, ) ima maksimum u tački ( ab, ) ako i samo ako je f ( ) < f ( ) za svako koje pripada nekoj okolini tačke, a minimum u tački ( ab) ako i samo ako je ( ) > ( ) za svako koje, pripada nekoj okolini tačke f f Maksimum i minimum funkcije f ( ) nazivaju se ekstremnim vrednostima date funkcije Napomena: Prethodne dve definicije odnose se na lokalni maksimum i minimum, koji su vezani za neku dovoljno malu okolinu datih tačaka Ovako definisani maksimum i minimum ne moraju istovremeno predstavljati najveću ili najmanju vrednost date funkcije na celom intervalu [ ab, ] Potreban uslov za ekstrem: Ako diferencijabilna funkcija f ( ) ima u tački = ekstrem (maksimum ili minimum), tada je u toj tački f ( ) = 0 Iz navedenog uslova sledi da, ako je funkcija f ( ) diferencijabilna, tada ona može imati ekstremum samo u tačkama u kojima je njen izvod jednak nuli, obratan zaključak ne važi Naime, ako je f ( ) = 0, ne mora značiti da u toj tački funkcija ima ekstrem Tačke u kojima funkcija f ( ) nema izvod, kao i tačke u kojima je f ( ) = 0, nazivaju se kritične tačke funkcije f ( )

176 Funkcija može imati ekstrem samo u svojim kritičnim tačkama, dok svaka kritična tačka ne mora biti tačka ekstrema funkcije Primer: Odrediti ekstreme funkcije ( ) f = Izvod funkcije je f ( ) = Mada je f ( ) 0, a f ( ) 0 ( ) 0 f < za < 0, zaključujemo da funkcija ima minimum u tački = 0 Primer: Odrediti ekstreme funkcije f ( ) = Izvod funkcije je f ( ) = f ( ) 0 = za 0 funkcija uvek raste i ona nema ekstrem u tački = 0 Tačke u kojima je f ( ) 0 > za > 0 i = Kako je f ( ) 0 = nazivaju se stacionarnim tačkama, znači da Dovoljan uslov za ekstrem: Neka je funkcija f ( ) neprekidna u nekom intervalu koji sadrži stacionarnu tačku tog intervala i diferencijabilna u tom intervalu Ako je: f ( ) > 0 za < i f ( ) < 0 za >, tada je f ( ) ma f ( ) f ( ) < 0 za < i f ( ) > 0 za >, tada je f ( ) min f ( ) Napomena: Predhodna teorema kaže da ako izvodna funkcija f ( ) menja tada funkcija ( ) znak pri prolasku kroz tačku = ; = f ima ekstrem u tački Pri ispitivanju ekstrema funkcije pomoću prvog izvoda određujemo: f, ( ) =, stacionarne tačke, tjrešavamo jednačinu f ( ) 0 određujemo znak izvoda, f ( ) 4 vrednost funkcije f ( ) za svaku od stacionarnih tačaka, sa obe strane stacionarnih tačaka,

177 ODREĐ IVANJE EKSTREMA FUNKCIJE POMOĆ U DRUGOG IZVODA Pretpostavimo da je f ( ) = 0 i da je f ( ) tačke Ako je: f ( ) < 0 tada funkcija ( ) f ( ) > 0, tada funkcija ( ) Primer: f ima maksimum u tački f ima minimum u tački f = 9+ 5 Odrediti ekstreme funkcije ( ) Prvi izvod funkcije je ( ) Drugi izvod funkcije je f ( ) = 6 6 Kako je f ( ) = > 0, a ( ) ( ) fmin = f =, a za neprekidna funkcija u nekoj okolini, f ( ) ma f ( ), f ( ) = f ( ) = ; min f = 6 9 Nule izvoda su =, = f = < 0, funkcija za = ima minimum = ima maksimum f f ( ) ma = =

178 Funkciju f ( ) je konkavna na (, ) koje njene tangente na tom intervalu KONVEKSNOST I KONKAVNOST FUNKCIJE y A a 0 ab ako sve tačke grafika funkcije leže ispod bilo M B b Funkcija f ( ) je konveksna na (, ) proizvoljne tangente na intervalu y B A ab ako sve tačke grafika funkcije leže iznad M a 0 b Neka je funkcija f ( ) dva puta diferencijabilna na ( ab, ) Ako je za ( ab, ), f ( ) 0, tada je funkcija konveksna na (, ) Ako je ( ab, ), f ( ) 0, tada je funkcija konkavna na( ab, ) PREVOJNE TAČ KE FUNKCIJE ab Prevojna tačka grafika funkcije f ( ) je tačka koja razdvaja konveksni i konkavni deo (tangenta u toj tački postoji i preseca grafik, jer je sa jedne strane prevojne tačke iznad, a sa druge strane ispod grafika)

179 Potreban uslov za postojanje prevojne tačke: Ako je = 0 prevojna tačka funkcije f ( ), onda ili ( ) ne postoji ili je ( ) f 0 f 0 = 0 Dovoljan uslov za postojanje prevojne tačke: Ako je funkcija f ( ) dva puta diferencijabilna na ( ab, ), a pri prolasku kroz tačku ( ab) drugi izvod f Primer: ( 0 0 ) ( ) menja znak, tada je tačka, ( ) Odrediti prevojne tačke funkcije f prevojna tačka y = , Prvi izvod funkcije je f ( ) = 6 9 Drugi izvod funkcije je f ( ) 6 6 ( ) 0 f = za = Za <, f ( ) 0 >, f ( ) 0 = > i u toj oblasti funkcija je konveksna, a za < i u toj oblasti funkcija je konkavna Prevojna tačka je (, 6) ISPITIVANJE TOKA FUNKCIJE Ispitivanje funkcija vršićemo kroz sledeće korake: Određivanje domena funkcije; Određivanje nula i ispitivanje znaka funkcije; Ispitivanje parnosti odnosno neparnosti i periodičnosti funkcije; 4 Ispitivanje ponašanja funkcije na krajevima oblasti definisanosti i određivanje asimptota funkcije; 5 Ispitivanje monotonosti i određivanje ekstrema funkcije primenom prvog izvoda funkcije; 6 Ispitivanje konveksnosti i određivanje prevojnih tačaka funkcije primenom drugog izvoda funkcije; 7 Skiciranje grafika funkcije

180 ZADACI Ispitati i grafički prikazati sledeće funkcije: a) c) y 6 9 = + + ; b) y = ; d) y = ( ) y 4 = + ; Rešenje: a) Domen: R Nule funkcije: y = = 0 ( + ) = 0 = 0 = Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u koordinatnom početku Znak funkcije: Za (,0), y< 0, za ( 0, ), y > 0 Asimptote: Funkcija nema asimptota Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = za y = 0 = = (, ) (, ) (, ) y y,, + 0, y > 0 i Za ( ) ( ) y y = 0, y = 4 min ( ) ( ) ma y < i y, a za ( ) Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = 6+ y = 0 za =,, y 0,, y > 0 i y Za ( ) < i y, a za ( ) Funkcija ima prevojnu tačku P (, ) - 7 -

181 y b) Domen: R Nule funkcije: Funkcija nema realnih nula Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u tački ( 0, ) Znak funkcije: y > 0 za D Parnost, neparnost: y ( ) = y( ) funkcija je parna Asimptote: Funkcija nema asimptota Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = 0 = 0 =± y ma ( ) y ( ) 0 =, ± = min =, y 4 4 (, ) (, 0) ( 0, ) (, ) y y Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = 4 y = 0 za,, y y, =± - 7 -

182 Funkcija ima dve prevojne tačke P / ±, 9 y c) Domen: R Nule funkcije: ( ) ( ) Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u tački ( 0, 4) Znak funkcije: Za (,4), y< 0, a za ( ) y Asimptote: lim ± y = = 4 = = 4 y = ± funkcija nema asimptota Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: = = = Za ( ) ( ) (, ), < 0 i y y ( ) y ( ) y 0 y 4,, > 0 y = + 9= 0 za,, +, y > 0 i y, a za ma = 0, = 4 Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = 6 y = 0 za = Za (,), y < 0 i y, a za ( ) Funkcija ima prevojnu tačku P (, ) min,, y > 0 i y - 7 -

183 y 4 4 d) Domen: R Nule funkcije: y = 0 = 0 = Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u tački ( 0,0 ) Znak funkcije: Za (,) y > 0, a za (, ) Asimptote: lim ± y = funkcija nema asimptota Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y 0 0 y < 0 = za y 6 = = = Za ( ) ( ) ( 0, ), > 0 i y y ( ) y ( ) y,0, +, y < 0 i y, a Za ma = 4, 0 = 0 Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = 6 y = 0 za Za,, y > 0 i y, a za Funkcija ima prevojnu tačku 5 P, 8 min,, y < 0 i y =

184 y 4 a) y = ; b) + y = ; c) y = ; ( ) d) y = 4 ; e) y = 4 ; f) y = 4 Rešenje: a) Domen: + > 0, R Parnost, neparnost: y ( ) = y( ) funkcija je neparna Nule funkcije: y = 0 = 0 Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u koordinatnom početku,0, y 0 0,, y > 0 Znak funkcije: Za ( ) <, a za ( ) Asimptote: lim y = 0 pa je y = 0 ( -osa) horizontalna asimptota funkcije ± ( ) Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = ( + ) = = = Za ( ) ( ) (, ), > 0 i y y ( ) y ( ) y 0 y,, +, y < 0 i y, a za min Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: =, = ma ( ) ( + ) 4 y =,

185 = = =± Za ( ) ( ) (, ) ( 0, ), y < 0 i y y 0 0,0, +, y > 0 i y, a za P,, P 0,0, P, Funkcija ima tri prevojne tačke ( ) y b) Domen: (, ) (,) (, + ) Parnost, neparnost: Funkcija je parna Nule funkcije: Funkcija nema nule,, +, y> 0 Znak funkcije: Za ( ) ( ), a za ( ) Asimptote funkcije: Kako je, lim ± y, y< 0 =, Prave = ± su vertikalne asimptote lim y = 0, pa je prava y = 0, tj - osa horizontalna asimptota ± Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = 6 ( ) y = 0 = 0 Za (,0), > 0 i y, a za ( 0, + ), y < 0 i y ( ) y Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( + ) ( ) 6 y = Za (, ) (, ), y > 0 i y, a za ( ) Funkcija nema prevojne tačke y ma 0 =,, y < 0 i y

186 y c) Domen: (,) (, + ) Nule funkcije: y = 0 = 0 = Presek sa y osom: y ( 0) = Znak funkcije: Za, +, y > 0, a za,, y< 0 Asimptote: lim y = 0 pa je prava y = 0 horizontalna asimptota lim y ± ± =+, pa je prava = vertikalna asimptota Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = ( ) Za (,0) (, + ), y < 0 i y, a za ( ) y y min ( 0) = 0,, y < 0 i ( + ) ( ) 4 Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = Za,, y < 0 i y, a za tačka je tačka 8 P, 9, y = 0 = 0 y = 0 =, +, y > 0 i y Prevojna

187 y d) Domen: (, ) (,)(, + ) Parnost, neparnost: y ( ) = y( ) funkcija je parna Nule funkcije: y = 0 =± Presek sa y osom: ( ) Znak funkcije: Za ( ) ( ) ( + ) y> ( ) ( ),,, y< 0 y 0 = 4,,,, 0, a za Asimptote: lim y = pa je prava y = horizontalna asimptota ± ± lim y =±, lim y = ± Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti:, pa su prave = ± vertikalne asimptote y = 6 ( ), y = 0 = 0 Za (,0), y < 0 i y, a za ( 0, + ), y > 0 i y ( ) Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: 6 ( ) ( ) + y = Za (, ) (, + ), y < 0 i y, a za ( ) Funkcija nema prevojne tačke y min 0 = 4,, y > 0 i y

188 y 4 e) Domen: (,0) ( 0,) (, + ) Nule funkcije: y = 0 = 0 = = Presek sa y osom: Funkcija ne seče y - osu Znak funkcije: Za (, 0) (, ), y > 0, za (, ) ( 0,) (, ), y< 0 Parnost neparnost: Funkcija nije ni parna ni neparna Asimptote: lim y = pa je y = horizontalna asimptota 0 ± lim y =±, lim y ± = ±, pa su = 0 i = vertikalne asimptote Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = ( ) 6 ( ), y = 0 = Za (,), y > 0 i y, a za (, + ), y < 0 i y ( ) y ma = 4 6 ( 6+ 4) Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = Za (,0) (, + ), y > 0 i y, a za ( ) Funkcija nema prevojne tačke ( ) 0,, y < 0 i y

189 e) y a) y = Rešenje: d) y = + 6+ ; b) ( ) ; e) a) Domen: (,) (, + ) ( ) ( + ) y = y = ; c) y = ; 0 y = f) Nule funkcije: y = 0 6+ = 0 = 6 = + 6 Znak funkcije: 6, + 6, +, y > 0, za Za ( ) ( ) ( ) ( ) y, 6,+ 6, < 0 Asimptote: lim lim y ± ± y = ±, funkcija nema horizontalnu asimptotu =, prava = je vertikalna asimptota funkcije Kosa asimptota funkcije je prava y = k + n : y k = lim = lim =, n= lim ( y k) = lim =

190 + k = lim = pa je prava y = kosa asimptota funkcije Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: je stalno rastuća Funkcija nema ekstremnih vrednosti Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = Za (,), y > 0 i y, a za ( ) Funkcija nema prevojnih tačaka 6+ 5 y = > 0 ( ) ( ),, y < 0 i y pa je funkcija y b) Domen: (, ) (, + ) Nule funkcije: y 0 = = Presek sa y osom: ( 0) Znak funkcije: Za (,), y< 0, a za ( ) Asimptote: lim lim y ± ± y =,, y > 0 y = ± pa funkcija nema horizontalnu asimptotu =, pa je prava = je vertikalna asimptota funkcije ( ) ( ) ( ) ( ) k = lim =, n= lim = lim =,

191 5 prava y = je kosa asimptota funkcije Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y 0 5 y = = = = ( ) ( ) ( ) ( + 5) ( + ), 5,, y > 0 i y, a za 7 ( 5, ) (, + ), y < 0 i y yma ( 5) = 4 Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = y = 0 = + Za (,), y < 0 i y, a za ( ) funkcije je P (, 0) y ( ) ( ) 4,, y > 0 i y Prevojna tačka c) Domen: (,) (, + ) Nule funkcije: y = 0 = Znak funkcije: Za (,), y > 0, a za (, + ), y< 0 Asimptote: Funkcija nema horizontalne asimptote Prava = vertikalna asimptota, a prava y = + je kosa asimptota + Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = ( ) = = = Za ( ) ( + ) y < ( 0, ), > 0 i y y ( ) = i y ( ) = y 0 0 y ma 0,0,, 0 i y, a za min

192 Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = Za (,), y > 0 i y, a za ( ) Nema prevojnih tačka y 4 ( ), +, y < 0 i y d) Domen: (, ) (, + ) Nule funkcije: y = 0 za = 0 Znak funkcije: 0 y < za (, ) (,0), 0 y > za ( 0, ) + Asimptote: Funkcija nema horizontalnu asimptotu, prava = je vertikalna asimptota, a prava y = je kosa asimptota funkcije ( + ) y = ( + ) = = = Za ( ) ( + ) y > Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y 0 0 (, ), < 0 i y ( ) y,,, 0 i y, a za 7 yma = 8 Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = Za (,0), y < 0 i y, a za ( ) Prevojna tačka funkcije je P ( 0,0) ( + ) 4 0, +, y > 0 i y y = 0 = 0-8 -

193 y 7 8 e) y 4 6 f) y

194 4 a) y = e ; b) y = e ; c) y e ( ) = ; d) y = e Rešenje: a) Domen: (, + ) Nule funkcije: = 0 Znak funkcije: y 0 za R L L Asimptote: lim y = +, lim = lim = lim = + 0, + e + e + e pa je y = 0 ( -osa) horizontalna asimptota funkcije Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = e, y = 0 = 0 = ( ) Za (,0) (, + ) y < 0 i y, a za ( 0, ) y ( 0) = 0, y ( ) = 4e 0,54 min ma y > 0 i y Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = e 4+, y = 0 4+ = 0 = ± ( ) Za (, ), y 0 ( ) ( ) + < i y, a za, +, +, y > 0 i y Prevojne tačke date funkcije, tj njihove približne koordinate su P ( 0,59;0,9 ) i ( ), 4;0,5 / P

195 y P P b) Domen: (, + ) Nule funkcije: = 0 Znak funkcije: y < 0 za < 0, y > 0 za > 0 Asimptote: L L 6 L 6 lim = lim = lim = lim = 0, lim y = +, e e e e + pa je y = 0 ( - osa) horizontalna asimptota funkcije Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = ( + ) e, y = 0 = 0 = Za (, ), y < 0 i y, a za (, + ), y > 0 i y ( ) ( ) 7 ymin = e =,4 e Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke : y = e ( ) y = 0 = 0 = 4,7 = +, 7 Za ( ) ( ) ( ) ( ), +,0, y < 0 i y, a za, + 0, +, y > 0 i y Prevojne tačke funkcije su P(, 0,7 ), P (, 0,8 ), P ( 0,0)

196 y P P P c) Domen: (, + ) Nule funkcije: =± Presek sa y osom: ( ) y 0 =, Znak funkcije: Za (, ) (, + ), y< 0, a za (, ) y > 0 L L L y Asimptote: lim =, lim = lim = lim = 0, e e e pa je y = 0 horizontalna asimptota Funkcija nema vertikalnu asimptotu Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = e, y = 0 = ± y za ( ) (, ) (, ), y za (, ) + ( ) ( ) yma = y = y, ; ymin = y = y 0,9 Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = e 4 y = 0 = 0 = 4 ( ) + Za ( 0, 4 ), y > 0 i y, a za ( ) ( ) 4 4 y( 0), y( 4) e ( 4) 4e 0, 6,0 4,, y < 0 i y = = = su prevojne tačke funkcije

197 y P + P d) Domen: (, + ) Nule funkcije: y = 0 = 0 Znak funkcije: Za (,0) y < 0, a za ( 0, ) y > 0 Parnost, neparnost: funkcija je neparna Asimptote: lim y = 0 pa je prava y = 0 horizontalna asimptota funkcije ± Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y =, y = 0 =± e Za,, y > 0 i y, a za y y y ma ; min e y y = = = = e Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) y = e y = 0 = 0 =± Za, 0,, y > 0 i y, a za,0,, y + < 0 i y,, y < 0 i

198 y ( 0) = 0, y = e, y = e su prevojne tačke funkcije y P P 5 a) Rešenje: y e = ; b) y e = ; c) a) Domen: (,0) ( 0, ) y e + = ; d) ( ) y e = + ;e) Nule funkcije: Funkcija nema nula Znak funkcije: y > 0 za D Asimptote: lim y =, funkcija ima horizontalnu asimptotu y = ± 0 0+ y e = lim y = 0, lim y =+, funkcija ima vertikalnu asimptotu = 0, kada 0 Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: e y =, D, y < 0 i y Funkcija nema ekstremnih vrednosti Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke : + y = e, y = 0 = Za 0,, y 0 4 < i y, a za,, y + < 0 i y Prevojna tačke je P, e

199 y P b) Domen: (,0) ( 0, ) Nule funkcije: Funkcija nema nula + y > 0 Znak funkcije: Za (,0), y< 0, a za ( 0, ) Parnost, neparnost: funkcija je neparna Asimptote: lim y = ±, funkcija nema horizontalnu asimptotu ± L e e k = lim e =, n = lim e = lim = lim 0 = pa je y = kosa asimptota funkcije lim y =± 0, pa funkcija nema vertikalnih asimptota 0± Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = e +, D, y > 0 i y Funkcija nema ekstremnih vrednosti Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = e, y = 0 =± 5 Za (, ) ( 0, ), y > 0 i y, za ( ) ( ) i y ( ) ( ),0, +, y < 0 y = e 0,86; y = e 0,86 su prevojne tačke

200 y P P c) Domen: (, ) (, + ) Nule funkcije: funkcije nema nula Znak funkcije: y > 0 za D + lim e + 0 e ± e e e e + Asimptote: Presek sa y osom: y( 0) e = = e = =, prava y = je horizontalna asimptota lim = =+, lim = =+ 0, prava = je vertikalna asimptota funkcije Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) + y e = + ; D y > 0 y Funkcija nema ekstremnih vrednosti Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: + y e + ; y = = 0 = Za 0,, 0 4 y > i y, a za + ( ), +, y < 0 i y Prevojna tačke funkcije je, P e - 9 -

201 y P d) Domen: (,0) ( 0, ) Nule funkcije: = +, y > 0 Znak funkcije: Za (, ), y< 0, a za (, ) Asimptote: lim ± y + k = lim = lim e =, y = ±, funkcija nema horizontalnu asimptotu e n= lim ( + ) e = lim e + e = lim + =, pa je y = + kosa asimptota funkcije lim y = 0, lim y =+ Funkcija ima vertikalnu asimptota kada 0+ Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y e =, y = 0 za = =,,, y > 0,, y < 0 i y Za ( ) ( ) i y, a za ( ) yma = y( ) = ; ymin = y( ) = e e + Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = e, 4 y = 0 = Za,, y < 0 i y, a za, +, y > 0-9 -

202 8 i y y = e je prevojna tačka funkcije y P e) Domen: (,0) ( 0, + ) Nule funkcije: = 0 Znak funkcije: Za (,0), y < 0, a za ( 0, ) Asimptote: lim ± , y > 0 y = ±, funkcija nema horizontalnu asimptotu lim y = 0, lim y =+, pa je prava = 0 vertikalna asimptota kad + 0 e e k = lim = lim e =, n= lim e = lim e = lim =, pa je y = + kosa asimptota funkcije Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: Za (,0) (, + ), y > 0 i y a za ( ) y min () = e y = e, y = 0 = 0,, y < 0 i y Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke : y = e,,0 y 0 0, +, y > 0 i y Nema prevojne Za ( ) < i y a za ( ) tačke - 9 -

203 y 6 a) d) ln y = ; b) y = ln y ln = ; c) y ( ln) = ; Rešenje: a) Domen: ( 0, + ) Nule funkcije: = Znak funkcije: Za ( 0,) y < 0, a za (, ) Asimptote: lim y y > 0 =, pa je prava = 0 vertikalna asimptota lim y =+ 0, pa je prava y = 0 horizontalna asimptota funkcije + Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ln y =, y = 0 ln = 0 = e Za ( 0, e), y > 0 i y, a za ( e, + ), y < 0 y yma ( e) = e ln Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y =, y = 0 = e Za 0, e, y < 0 i y, a za e,, y > 0 i y y e = je prevojna tačka e

204 y e e b) Domen: ( 0, + ) Nule funkcije: y = 0 = Znak funkcije: y 0, D Asimptote: lim y = + 0, lim y = +, funkcija nema asimptota y = ln+ ln, Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) = 0 = = Za ( e ) ( ) y y e 0,, +, > 0 i y, a za ( e,), y < 0 y yma ( e ) = e 0,4, ymin ( ) = 0 Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y ln ( ln ) y = = e 0,07 = e 0,68 = + +, Za ( 007,068 ), y < 0 i y, a za ( ) ( ) y 0, , +, y > 0 i Funkcija ima dve prevojne tačke: ( 007, 00 ), ( 068, 0,07) P P

205 y P P e c) Domen : ( 0, + ) Nule funkcije: = e +, y < 0 Znak funkcije: Za ( 0, e), y > 0, a za ( e, ) ln lim ln = lim = lim =+ 0, L Asimptote: ( ) y lim y =, lim = lim ( ln ) =+ Funkcija nema asimptota Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y = 4ln, pa je y = 0 = Za ( 0, ), y > 0 i y, a za (, + ), y < 0 i y yma = y() = Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke ( ) y = 4ln +, y e = 0 = Za ( e ) ( e, + ), y < 0 i y y ( e ) y 0,, y > 0 i y, a za = e je prevojna tačka P e

206 d) Domen ( 0, + ) Nule funkcije: = +, y > 0 Znak funkcije: Za ( 0, ), y< 0, a za (, ) Asimptote: ln y y lim = lim ln =+, pa funkcija nema asimptota + + y = ln +, L lim = lim = lim 0, lim, = = Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) y = 0 = e 0,7 Za e, +, y > 0 i y 0, e, y < 0 i y, a za ymin = e ln e = 0, e Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = ( 6ln+ 5) 5 6 y = 0 = e 0, Za 5 6 0, e, y > 0 i y Prevojna tačka funkcije y P e y < 0 i y a za , e 6 5 e 6, +, P e

207 7 a) y = ln ; b) + ln y = ; c) d) y = ln 4ln + ln y = + ln Rešenje: a) Domen: > 0 ln 0 > 0 e ( 0, e) ( e, + ) Nule funkcije: Funkcija nema nula 0, e 0 Znak funkcije: Za ( ) Asimptote: lim y = 0, lim y 0+ e± y <,a za ( e, ) + y > 0 = ±, pa je prava = e vertikalna asimptota lim y =+ 0, pa je prava y = 0 horizontalna asimptota funkcije + Intervali monotonosti: i ekstremne vrednosti: y = ln Funkcija nema ekstremnih vrednosti ln + Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y =, ln = 0 = Za ( e, e) y e y > 0 i y, pa je, 0 ( ) ( ), y < 0, y y < i y a za ( 0, e ) ( e, + ) P e, prevojna tačka funkcije, y P e

208 b) Domen: ( 0, + ) Nule funkcije: = e Znak funkcije: Za ( 0, e ) y < 0, a za ( e, ) Asimptote: , y > 0 lim y =, lim y = + 0, pa su prave = 0, odnosno y = 0 vertikalna i horizontalna asimptota Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ln y =, y = 0 = Za ( 0,), y < 0 i y, a za (, ), y > 0 i y yma = y( ) = ln Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke y =, pa je y 0 e 0, e, y 0 y e,, = = Za ( ) y > 0 y y ( e) = Prevojna tačka je e <, a za ( ) y e, e y e P c) Domen: ( 0, e ) ( e, + ) Nule funkcije: = e Znak funkcije: Za ( 0, e ) ( e, + ) Asimptote: Prava, 0 y < a za ( e, e) y > 0 = e je vertikalna, a y = horizontalna asimptota

209 Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: y =, y < 0 i y Nema ekstrema + ln ( ) ( + ) ( + ln) ln Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: y = = 0 = Za ( e ) ( e ) y y e 0,, +, > 0 i y, a za (, ), < 0 i y Prevojna tačka je (, ) e e y y P e, e P e d) y e e P

210 INTEGRALNI RAČUN NEODREĐ ENI INTEGRALI ODREĐ ENI INTEGRALI PRIMENE ODREĐENOG INTEGRALA - 0 -

211 - 0 -

212 6 INTEGRALI Aristotel (87-) Problemi kvadrature, kubature i rektifikacije rešavani su od Aristotela do Lajbnica i Njutna uglavnom metodom ekshaustije (iscrpljivanja) i metodom nedeljivih delova (matematički atomizam) Obe metode bazirale su se na beskonačnim sumama i kao takve predstavljale nadahnuće u postepenom i dugotrajnom nastajanju pojma integrala Njutn i Lajbnic, uz pomoć Dekartovih koordinata, učinili su onaj kvalitativni skok koji se zove otkriće integralnog računa Tokom 8 i prve polovine 9 veka integralni račun se razvijao pod dominantnim uticajem primena u geometriji, mehanici i fizici - 0 -

213 6NEODREĐENI INTEGRALI Jedan od osnovnih zadataka diferencijalnog računa je određivanje izvoda ili diferencijala date funkcije Ako se postavi obrnuti problem, određivanje funkcije kojoj je poznat izvod ili diferencijal, dolazimo do integralnog računa Pitanja koja sada možemo postaviti i potražiti odgovor su sledeća: da li svaka funkcija može biti izvod neke druge funkcije, ako ta funkcija postoji da li je jednoznačna i ako ta funkcija postoji, kako da je odredimo Neka je neprekidna funkcija f ( ) definisana na intervalu ( a, b) Funkcija F( ) zove se primitivna ili prvobitna funkcija funkcije f ( ) akko je F ( ) = f ( ) ili df ( ) = f ( ) d Ako je F( ) primitivna funkcija funkcije f ( ) na intervalu ( b) koja funkcija oblika F( ) + C takođe primitivna funkcija funkcije f ( ) je C proizvoljna konstanta ( F( ) C ) f ( ) + = a,, tada je i bilo, pri čemu C C C Napomena: Primitivna funkcija nije jednoznačno određena već je u pitanju familija krivih koje se međusobom razlikuju za konstantu C

214 Primer: Funkcija F( ) = sin je primitivna funkcija funkcije ( ) cos ( sin + C) = cos, tj ( sin ) d + C = cos d Skup svih primitivnih funkcija funkcije f ( ) na intervalu ( b) integral i obeležava se: f ( )d odnosno f ( ) d = F ( ) + C f = jer je a, zove se neodređeni Funkcija f ( ) zove se podintegralana funkcija, a sam postupak izračunavanja integrala zove se integracija Oznaku za integral, kao skraćenicu od latinske reči integralis, koja znači potpun, uveo je Lajbnic Oznaka predstavlja modifikovano slovo S koje predstavlja zbir i potiče iz definicije određenog integrala Primer: cos d = sin + C OSOBINE NEODREĐ ENOG INTEGRALA Svaka neprekidna funkcija f ( ) na intervalu ( b) primitivnu funkciju F( ) a, ima na tom intervalu Diferencijal neodređenog integrala jednak je podintegralnom izrazu d f ( ) d= f ( ) d, ( f ( ) d ) = f ( ) Neodređeni integral diferencijala neke funkcije jednak je podintegralnoj funkciji: d( f ( ) ) = f ( ) + C f ( d ) = f( ) + C Nasuprot izračunavanju izvoda koje nije predstavljalo problem ni kod veoma složenih funkcija, ne postoji opšti postupak za izračunavanje primitivne funkcije,

215 odnosno izračunavanje neodređenog integrala Na osnovu uvedenih pravila, tablice integrala i definisanjem specifičnih metoda mogu se izračunati neki tipovi neodređenih integrala Međutim, postoje relativno jednostavne funkcije čiju je primitivnu funkciju nemoguće odrediti pomoću elementarnih funkcija, mada postoje: sin (na primer y = e, y =, y = ln ) OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE Ako funkcije f ( ) i g( ) imaju primitivne funkcije na nekom intervalu onda važi: C f ( ) d= C f ( ) d, C R, C 0 f ( ) ± g ( ) d = f d ± g d ( ) ( ) ( ) TABLICA OSNOVNIH INTEGRALA n d= + C d = + C, n + n a d= ln + C 4 a d C, = + ln a a> 0 5 e d = e + C 6 sin d = cos + C n+ ( ) ( ) 7 cos d = sin + C 8 d = tg+ C cos 9 d = ctg+ C 0 d arctg = + C sin + * d = arctg + C d + a a a = arcsin + C * * d = arcsin + C 4 d ln a C a = + ± + a ± a * a 5 d = ln + C a + a

216 Tablica osnovnih integrala dobija se iz tablice osnovnih izvoda Integrali obeleženi sa * su polutablični integrali Oni se računaju pomoću osnovne tablice integrala, primenom neke od metoda integracije Primeri: d = + C, zato što je, + C = d = d = + C sin d = sin d = cos + C, ( ) d e + = e d + d = e + + C, f METODE INTEGRACIJE METODA SMENE U nekim slučajevima i pored toga što znamo da postoji primitivna funkcija funkcije ( ) ne možemo metodom neposredne integracije izračunati njen neodređeni integral U ovakvim slučajevima se često koristi metoda smene ( ) Neka je f ( ) složena funkcija promenljive t, tj f ( ) f g( t) = g() t gde je funkcija ( ) funkcijom t = g ( ), dobijamo = Smenom g t neprekidna sa neprekidnim izvodom i inverznom f ( ) d= f ( g( t) ) g ( t) dt

217 Primer: Izračunati I = + d Ako uvedemo smenu + = t, diferencijal je d = dt, odnosno d = dt, pa zadati integral postaje tablični integral oblika t t C t C tdt dt = = + = + Ako se vratimo na promenljivu, rešenje zadatog integrala je I = ( + ) + C Primer: d Izračunati I = + + = t dt I = = = ln t + C = ln + + C d = dt t Neka su u = u( ) i v v( ) METODA PARCIJALNE INTEGRACIJE = diferencijabilne funkcije Jednakost: udv= uv vdu nazivamo formulom parcijalne integracije Dokaz: Na osnovu formule za diferencijal proizvoda funkcija dobijamo da je d u v = u v d= u v + u v d= u v d + v u d = udv+ vdu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Integracijom ove veze dobijamo d( u v ) = ( u d v + v d u ) ( u v) = ( udv+ vdu) u v= uv v u ili d d odakle je:, pod uslovom da postoji vd u Napomena: Kod parcijalne integracije najveći praktični problem je odrediti šta je funcija u, a šta je diferencijal d v U radu, korisno je držati se sledećih pravila :

218 a) Kod proizvoda polinoma i eksponencijalne funkcije ili trigonometrijske funkcije, u je uvek polinom b) Kod proizvoda polinoma i logaritamske funkcije ili inverzne trigonometrijske funkcije u je uvek logaritamska funkcija, odnosno inverzna trigonometrijska funkcija c) Kod proizvoda inverzne trigonometrijske i eksponencijalne funkcije svejedno je šta je u Primer: Izračunati I = cos d u =, du = d I = = sin sin d = sin + cos + C dv= cosd, v= sin Napomena: Konstanta integracije za funkciju v može se izostaviti i proizvoljnu konstantu dodajemo na kraju postupka integracije INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJA Pn ( ) Neka je f ( ) Qm ( ) Ako je n m, tj funkcija f ( ) polinoma Pn ( ) sa polinomom Qm ( ), funkciju f ( ) = racionalna funkcija, gde su n i m stepeni datih polinoma polinoma i prave racionalne funkcije u obliku neprava racionalna funkcija, tada deljenjem možemo prikazati kao zbir ( ) ( ) R f ( ) = P( ) + Q m Primer: Izračunati I = d

219 Podintegralnu funkciju možemo napisati u obliku = + +, pa je I = + + d= + + ln + C Pn ( ) Ako je f ( ) = Q ( ) prava racionalna funkcija ( n m ) m < tada se ona može rastaviti kao zbir parcijalnih razlomaka oblika A A + B, ( a) k ( k + b + c ) pri čemu prvi tip razlomka potiče od realnih, a drugi tip od kompleksnih nula polinoma f Q ( ) u imeniocu funkcije ( ) m Prema tome, problem se svodi na rešavanje integrala oblika A k a i A + B d k + b+ c ( ) d ( ) gde su A i B realne konstante koje treba odrediti, k N, a kvadratni trinom + b + c ima konjugovano kompleksno nule SLUČAJ KADA POLINOM U IMENIOCU IMA REALNE I JEDNOSTRUKE NULE Pn ( ) Ako su kod funkcije f ( ) Qm ( ) nule polinoma Q ( ), onda se funkcija f ( ),,, m obliku f ( ) m = realni međusobno različiti brojevi m Pn ( ) ( )( ) ( ) = a Ovaj izraz se može rastaviti kao Pn ( ) A A Am = a ( )( ) ( ) m m m m može napisati u, - 0 -

220 gde se posle odreživanja koeficijenata A, A, Am, izračunavanje integrala svodi na Ak zbirova integrala oblika d, k m Primer: + I = d Rastavićemo podintegralnu funkciju na parcijalne razlomke + + A B = = + k ( ) Metodom neodređenih koeficijenata odredićemo nepoznate koeficijente A i B Iz predhodne veze, uklanjanjem razlomaka dobijamo: ( ) ( ) + = A + B + = A A + B + = A + B A Upoređujući koeficijente uz promenljive sa leve i desne strane jenakosti, dobijamo sistem jednačina A + B = i A = Rešavanjem ovog sistema jednačina dobijamo tražene koeficijente, tj A=, B= Traženi integral je: + ln ln d = + + C Napomena: Koeficijente A i B mogli smo izračunati ako redom zamenimo vrednosti = 0, = u jednakost + = A( ) + B Za = 0, dobijamo A =, za =, dobijamo B = SLUČAJ KADA POLINOM U IMENIOCU IMA I VIŠESTRUKE NULE Pn ( ) Ako su kod funkcije f ( ) = Qm ( ) nule polinoma ( ) m k k, onda se funkcija f ( ) k, obliku: = reda = m reda m Q višestruke, = reda može napisati u - -

221 f ( ) A B C = k ( ) ( ) k ( ) ( ) km ( ) ( ) k A B C k A B B m m m km m m m Integral se svodi na izračunavanje zbira integrala Primer: d I = ( ) Kako je = 0 dvostruka nula imenioca, njoj odgovaraju dva parcijalna razlomka: = A + B + C, = A( ) + B( ) + C, ( ) ( ) ( ) = A+ C + A+ B B, A=, B=, C =, I = ln + + ln + C SLUČAJ KADA POLINOM U IMENIOCU IMA I KOMPLEKSNE NULE Pn ( ) Ako su kod funkcije f ( ) = Qm ( ) nule polinoma Q ( ) m višestrukosti, onda se funkcija f ( ) može napisati u obliku Pn ( ) f ( ) = ( + a + b)( + a + b) ( + am+ bm) Ovaj izraz se može rastaviti kao A + B A + B A m + Bm f ( ) = + +, + a + b + a + b + am+ bm A + B Integrali oblika d se rešavaju metodom smene + b+ c komleksne bez - -

222 Primer: I = ( + ) ( + ) d A B+ C = +, = A ( + ) + ( B+ C), + ( ) = A+ B + C+ A A= C = B=,,, d + d d I = + d d = = ln + ln ( + ) + arctg + C - -

223 ZADACI Izračunati sledeće integrale: d a) I = ; b) I = ( ) d; + c) I = d I = d + Rešenje: a) b) I = d = + C = + C ; I = 4 d+ d 5 d+ 8d = 5 d+ d 5 d+ 8 d = C = C ; c) I = + d= + + C = + + C; d) I = d= d arctg C = a) I d = ; sin cos sin + cos d = tg d ; b) I cos I = d ; d) sin cos c) Rešenje: sin cos a) I = d= d= d tg C = + cos cos cos ; - 4 -

224 sin + cos b) I = d= d tg ctg C + = + sin cos ; cos sin cos sin c) I = d= d ctg tg C = + sin cos ; sin cos d) I = sin + sin cos + cos d = ( + sin ) d = cos + C a) I = + sin e d + ; 4 b) I = + d + ; e c) I = e + d cos ; 5 d) I = 4cos d 9 9 Rešenje: a) I = + sin e d = cos e arctg+ C ; + b) I = arctg arcsin + 4 ln + C; c) I = e + d = e + tg+ C cos ; d) I 5 5 4cos = d 4sin arcsin = + C e + e sin 4 4 a) I = d ; b) I = d e ; + 8 c) I = d ; d) I = ( + )( + ) d - 5 -

225 Rezultat: a) I = e cos + C; b) c) I C = + + ; d) I = + C ; I = + + C 5 Rešiti sledeće integrale metodom smene: I = 5 d; b) 5 a) ( ) 8 Rešenje: I = d + ; c) = ( + ) I d; 9 5 = t t 9 ; 8 a) I = = t dt = + C = ( 4 ) + C d = dt = t dt b) I = = = ln t + C = ln + + C d = dt t + = t t c) I = d = t t = + C = ( + ) + C d= dt 9 6 a) I = d ; b) + Rešenje: I = d ; c) + I = d + ( + ) + = t dt a) I = = == ln t + C = ln + + C d = dt ; t + = t dt b) I = = = t dt = + C = + C d = dt t t ( + ) + = t dt c) I = = = ln t + C = ln + + C ( + ) d = dt t ; 7 a) ; b) I = 9d I = d ; c) I ( + ) = d - 6 -

226 Rešenje: a) 9 = d d 9 ( ) t t I = = t t = t t = + C = + C d= dt 9 = t, = t + 6 I = t t dt t t dt = + = + = d = t dt ; b) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 4 t t = + + C = + + C ; = t I = d = t d= t + C = + + C = dt 4 4 c) ( ) 4 8 a) I e d = ; b) e d) I = d e + e = ; c) I = d ; I e d Rešenje: = t t t a) I = = e dt = e + C = e + C d= dt ; = t t b) I = edt e C = = + d dt ; = = t t t c) I = d = e dt = e + C = e + C = dt ; e + = t dt d) I = ln t C ln e C = = + = + + e d= dt t 9 a) I ln = d ; b) I = d ln ln(ln ) - 7 -

227 Rešenje: ln = t t ln a) I = d = t dt = + C = + C = dt ; b) ln = t ln t = s dt ds I = d = = dt = = ln s + C= ln ln t + C= ln ln ( ln ) = dt tln t = ds s t Dokazati d a) ln b a C, b 0 a a = + + ; b) e d e C, a 0 b + a b = + ; a c) sinad = cos a + C, a 0 ; d) cosad sin a C, a 0 a = + a Rešenje b + a = t d dt a) = = = ln t + C = ln b+ a + C, b 0 b + a d = d t b t b b b a = t a t a b) e d= = edt = e + C d= dt a ; a a primeri pod c) i d) se dokazuju istom smenom kao u predhodnom slučaju ; Napomena: Rezultate ovih integrala korisno je znati i koristi u rešavanju složenijih integrala Često ih nazivamo polutablični integrali 0 a) I = ( e + d ) ; b) ( = + ) Rešenje I e e d; I = sin + cos d c) ( ) a) b) I = e + + C; I = e e + C; - 8 -

228 c) I = cos + sin + C a) = sin cos d ; b) I = tgd; I c) d sin I = ; d) I = d sin + cos Rešenje: sin = t 4 4 a) I = = t dt = t + C = sin + C cos d= dt ; 4 4 sin cos = t dt b) I = d= = cos sin d= dt t = ln t + C = ln cos + C = ln + C; cos = t dt c) I = = = ctgt+ C = ctg + C 4 d = dt 4 ; sin t cos= t dt d) I = = = ln t + C = ln + cos + C sin d = dt ; t a) I sin d = ; b) I cos d 4 = ; Rešenje I cos d = sin C = + ; a) ( ) b) = ( ) = = ( + + ) + cos I cos d d cos cos d 4 + cos4 = cos d sin sin = C = + sin + sin 4 + C

229 a) I Rešenje: = sin d ; b) I = sin cos d cos = t I = sin sin d= cos sin d= sin d= dt t cos = ( t ) dt = t+ + C = cos+ + C; sin = t I = sin sin cos d= = t t dt cos d = dt t t sin sin = + C = + C a) ( ) b) ( ) ( ) 4 a) I d = ; b) ) sin I = d ; c) I = arcsin + ln d Rešenje: cos d d a) I = = d = sin cos sin cos tg cos tg = t d t = d = = ln t + C = ln tg + C = d t ; t cos arcsin = t dt b) I = = = ln t + C = ln arcsin + C d= dt ; t + t = ln + c) I = = tdt t C ln C = + = dt = d - 0 -

230 5 a) I d = ; b) e I arctg = d ; c) ( + ) I d = >, Rešenje: a) e = t, e = t + dt I = d arctgt C arctg e C t t = = + = + ; e d= td t,d= + t + t = t arctgt = s arctgt b) I = d = dt = dt = d t,d= tdt + t = d s + t = sds = s + C = arctg t+ C = arctg + C; c) t d = dt I = = = arcsin t C arcsin C = + = + d d t = t = arcsin C arcsin C t + = + Dokazati d a) = arctg + C; a 0 + a a a d b) arcsin C a 0 a = a + ; > Rešenje: a) d d = t dt = = arctgt C arctg a = = + = + a + a a + t a a a + d= adt a b) - -

231 d d = t dt = = a = = arcsin t+ C = arcsin + a a d d t a a t = a d cos d 6 a) I = ; b) I = d ; c) I = + ; 4+ sin d d) I = ; e) I = d e + e Rešenje: d d a) I = = = arctg + C = arctg + C 7+ ; = t dt b) I = = = arctg t+ C = arctg C + d = dt ; t + 4 c) sin = t I = = dt = arctg t + C = arctg sin + C cos d = d t ; 4+ t e = t d t d) I = arctgt C arctge C = = + = + e d= dt ; t + = t dt dt e) I = d = 4 = = d= dt t + t+ 5 ( t + ) + 4 t+ + = arctg + C = arctg + C a) I = d 4 ; b) c) I = 6 d Rešenje: I = cos d ; sin - -

232 d a) I = arcsin = + C ; sin = t dt t sin b) I = = = arcsin + C = arcsin + C cos d = d t ; t = t d t c) I = arcsin t C arcsin C = = + = + d= dt t Dokazati d ± a = + ± + ln a C Rešenje: Oba integrala rešavamo Ojlerovim smenama t a,d t + a d, t + a + = t = = t a + t = a t t t d t + a dt = dt = = ln t + C = ln + a + + C a + t + a t t t 8 a) I = d ; b) 9+ 4 I = + d 4 ; c) I d = 5 Rešenje: d 9 a) I = ln ln 9 4 = C = C; b) 4 = t I = + d= d ln = d= tdt d t+ ln + 4 = t+ ln C = 4 + ln C c) = ln I C - -

233 Dokazati: d ln a = + C a a + a Rešenje: d d = = d a ( a)( a) a a + a = ( ln a ln + a) + C = ln a + C a a + a d d 9 a) I = ; b) I = Rešenje: a) b) 5 + d + 5 I = ln ln 4 = + C = + C ; I = ln + C d d d 0 a) I = ; b) I = ; c) I = Rešenje: d d + = t a) I = = = d = dt ( ) dt t + = = arctg + C = arctg + C; t b) d + = t dt t + I = = = = arctg + C = arctg + C d= dt + + t + ( ) 5 c) I = ln + C 4-4 -

234 d a) I = ; b) e c) I = d + e + e ; d) d I = ; 6+ 5 d I = 4ln ln Rešenje: a) d = t dt t I = = = = arcsin + C = arcsin + C 6 d= dt t 6 6 b) ( ) 6 d d I = ln = 5 = + + C c) e = t dt dt t+ = u dt I = = = = = = e d= dt + t+ t dt du t + + = u ln u+ u + + C = ln t+ + t+ + + C = ln e + + e + e + + C 4 4 d) ln = t dt dt t+ ln+ I = d = = = arcsin + C = arcsin = d t 4t t 5 ( t ) Integrali oblika ( sin,cos ) smenom tg = t, gde je R d, gde je R racionalna funkcija rešavaju se t t dt sin =,cos =, d= + t + t + t - 5 -

235 Izračunati integrale: cos sin tg t cos = = = cos + sin + tg + t sin cos tg t sin = = = sin + cos + tg + t tg = t, = arctgt, d = dt + t d d a) I = ; b) I = sin ; cos d c) I = ; d) I = sin d 5+ sin + cos Rešenje: dt a) dt I = + t = ln t C ln tg C t = + = + ; t + t π d + = t dt t π b) I = = = = ln tg + C = ln tg C π + + sin t 4 sin d dt + = c) dt dt I = + t dt = C C t = = + = + t t+ ; ( t ) t tg + t dt dt dt d) I = = = t t + t t + t t t + t 4 ;,, - 6 -

236 t + tg t + + = arctg + C = arctg + C = arctg + C d a) I = ; + 5 cos b) sin c) I = d ; sin d) I I sin = d ; + cos = d 5 4sin + cos Rešenje: tg + a) t dt t + I = + dt = = ln + C = ln + C ; t 4 t 4 t tg + t t b) t dt t t + I = + = 4 dt = t + t ( + t )( + t + ) + t t t+ At+ B Ct+ D = +,, 0,, A = B = C = D =, ( + t )( + t ) + t + t t t + 4 I = dt+ dt = ln ( t + ) + t dt+ 4 dt t + t + t + t + 4 t t + 4 t = ln ( t + ) + ln ( t + ) + arctg + C = ln + arctg + C t + tg + tg 4 = ln + arctg + C; tg + c) I = + tg+ + C; d) I cos = C + tg Integrali oblika (sin n m R,cos ) d rešavaju smenom tg = t - 7 -

237 t dt cos,sin, + t + t + t = = d= d d 4 a) I = ; b) I = + sin ; 4cos + 9sin d d c) I = ; d) I = 4 4 cos + 5sin cos Rešenje: a) dt dt dt I = = = = arctg tg + C ( ) t + 4t 4 ; + ( + t ) + t + t 4 dt b) dt t tg I = + t = = arctg + C = arctg + C t 4+ 9t t + t dt c) dt I = + t = arctgt C arctg ( tg) C 5t = + = + ; 9t t + t dt d d) I = + t = 4 ( t ) dt t t C tg tg C cos = + = + + = t ; Integrali oblika R ( tg) d rešavaju smenom tg = t, arctgt d 5 a) I = ; b) I = tg d + tg ; c) I = ctg d ; d) I = ( tg + ctg) d dt = i d = + t - 8 -

238 Rešenje: a) dt I = + t dt = = + ln tg + + ln cos + C ; + t + t + t ( )( ) t b) I = dt = dt = t arctgt + C = tg + C + t + t c) I = ctg ln sin + C ; d) I = ( tg ctg ) + ln tg + C ; Rešiti integrale metodom parcijalne integracije: 7 a) I = e d ; b) I = sin d ; c) I = d; d) I = d sin Rešenje: u =, du = d a) I = e e d e e C = = + dv= e d, v= e ; b) u =, du = d I = = cos + cos d = cos + sin + C dv= sind, v= cos c) u =,du = d I = d C = + = + dv= d, v= ln ln ln ln ln d) u =,du = d cos I = = ctg+ ctgd = ctg+ d dv= d, v= ctg sin sin = ctg+ ln sin + C 8 a) I = cos d ; b) I e d = ; - 9 -

239 c) ( ) I = + + e d; d) = ( + + ) I 5 6 cosd Rešenje: u =,du = d a) I = = sin sin d = sin J dv= cosd, v= sin u =,du = d J = = cos + cos d = cos + sin dv= sind, v= cos I = sin + cos sin + C; Napomena: U ovakvim primerima parcijalna integracija se ponavlja onoliko puta koliki je stepen polinoma b) c) = = dv= e d, v= e J = e e, I = e e + e + C; u,du d I = = e e d= e J ( ) u = + +,du = + d I = d = + + e + e dv= e d, v= e = ( + + ) e J ; ( ) ( ) + = u,du = d J = ( ) e e d ( = + = + ) e e dv= e d, v= e ( ) ( ) ( ) I = + + e + e + e + C = + e + C ; 4 4 I = + 0+ sin+ + 5 cos+ C 4 4 d) ( ) ( ) 9 a) I = ln d ; b) I = arctg d ; c) I arcsin d = ; d) = ln ( + ) I d - 0 -

240 Rešenje: u = ln, d u = d a) I = = ln d = ln + C; dv= d, v= b) d u = arctg, d u = I = + = arctg d = arctg ln + + dv= d, v= c) d u = arcsin, d u = I = = arcsin d = arcsin J dv= d, v= = t J = = t dt = t = + C d= dt I = + + C arcsin ; u = ln +, d u = d I = + = ln ( + ) d + dv= d, v= = ln ( + ) d ln = ( + ) + arctg + C + ( ) d) 0 a) I = e sin d ; b) I = e cos d ; Rešenje: a) u = e,du = e d I = e sin d = = e cos + e cos d = dv= sind, v= cos u = e,du = e d = e cos + e sin e sin d = dv= cosd, v= sin = e cos + e sin I ( ) - -

241 I = e cos+ e sin+ C I = ( e ( sin cos) ) + C ; b) I = ( e ( sin + cos ) ) + C ; arctg a) I = arctg d ; b) I = d ; c) I = arcsin d ; d) I = e d Rešenje: a) u = arctg, du = d + I = arctg d = + dv= d, v= = arctg d arctg arctg C = = (( + arctg ) ) + C; b) d u = arctg,du = + arctg d arctg I = = + d = + ( + ) + d v=, v= arctg arctg = + ln ln ( + ) + C = + ln + C; + ( ) c) ( ) arcsin + + C; 4 + d) e + C - -

242 a) I = + d; b) I d ; d) c) = ln ( ) I = ± a d ; ln I = d Rešenje: d,d u = + u = d a) I = + = + = + dv= d, v= + + = + d= + d + = = + + d+ ln + + = + I + ln + + I = I = C a b) ± a + ln + ± a + C; c) I = ( ln ) ( ) + C; d) I = ( ln + ln + ) + C ln ln ; a) I = e d ; b) ln c) d ; d) I I e d = ; arcsin = d Rešenje: = t, = t t t t a) I = = te dt = ( te e ) + C = e ( ) + C ; d= tdt - -

243 b) u =, du = d e e e e I = d = d e = e e = + + dv= d, v= d= e ln c) I = C + ; d u = arcsin, d u = arcsin d) I = d = = v= d, v= arcsin + d == arcsin + + C Rešiti integrale racionalne funkcije: 4 a) Rešenje: I = + d + 4 ; b) I = d + a) b) I = + d arctg C; = I = + 9 d= + 9 7ln + + C + 5 a) I = d ; b) + c) I = ; d) + ( )( ) d I I + = d ; ( )( + ) = + + ( )( ) d - 4 -

244 Rešenje: a) A B C = = ( )( ) ( ) ( ) ( ) = A + B + C + = 0 A= = C = = B = I = d + = ln ln + ln + C = ln + C ; ( )( + ) + A B C b) = + + ( )( + ) + A=, B =, C = I = + + = ln + ln + ln + + C = + + = ln + C ; 4 c) I = ln + ln ln + + C; d) I = ln + + ln + + C + d d 6 a) I = d ; b) I = ; c) I = Rešenje: a) I ln = + + C ; b) I 5 = ln ++ C ; c) 4 I = arctg + C - 5 -

245 + 7 a) I = d ; b) c) I = d ; d) + ( ) I I + = ( )( + ) d = d ; ( ) Rešenje: + + A B C a) = = ( + ) ( ) + = A + + B + + C ( ) ( ) ( ) ( ) + = A+ B + A+ B+ C + A 4 4 A=, B=, C = 4 4 I = + d 4 4( ) ( ) + + ( ln ln ) = + + C = ln + C; A B C D b) = ( )( + ) + ( + ) ( + ) 5 A=, B=, C =, D= I = + + d 9( ) 9( ) ( ) ( ) = ln + + C ; 9 ( + ) ( + ) 4+ c) I = ln + + C ; + + ( ) d) I = ln C + + ( ) - 6 -

246 d 8 a) I = + + ; b) d I = ; + Rešenje: a) ( )( ) c) I = d + ( + ) ( + ) ( ) ( ) A B+ C = A= C =, B= d d d I = d= d = ln + ln ( + ) + arctg + C; 4 b) A B+ C = A=, B=, C = d I = ln d = + I = + + t t = I = d = dt = d dt t + + = 4 4 t dt t = dt ln arctg dt = t + + C = 4 t + t = ln + arctg + C I = ln + ln ( + ) + arctg + C; 6-7 -

247 c) I = ln + ln ln + + C + 9 a) I = d ; b) I = d + ; + Rešenje: ( )( ) d c) I = + ( ) a) I = ln + ln( + ) + arctg+ C ; b) I = ln + + ln + + arctg + C ; c) I = + C ( ) d 40 a) I = ; b) ( ) c) I = d I + = d ; Rešenje: = t + dt 4 4 a) I = t dt t C 4 C d = = = + = = dt t 4 + ( + ) 4 ; b) t + = t, = t t + I = = dt = dt = dt + t t t d = t dt - 8 -

248 t + t+ ln + C = + + ln + C; t c) = t ( + t) t t + t I = = dt = dt = d = t dt t t t = t + t+ + dt = + t + t+ ln t + C = t ( ) = + C ( ) 6 6ln - 9 -

249 6ODREĐENI INTEGRALI Kao što smo već naglasili, pojam integrala istorijski je vezan sa problemom merenja površine dela ravni ograničenog nekom krivom linijom Iz tog razloga u definisanje određenog integrala krenućemo od pojma krivolinijskog trapeza i izračunavanja njegove površine POJAM ODREĐ ENOG INTEGRALA Neka je funkcija f ( ) nenegativna, neprekida i ograničena na intervalu [, ] Krivolinijski trapez predstavlja figuru ograničenu osom O, grafikom funkcije f ( ) na intervalu [, ] ab, pravama = a i = b ab y = f ( ) = a = b Da bismo izračunali njegovu površinu, podelimo interval [ ab, ] na n proizvoljnih delova tačkama a= 0 < < n < n = b, tako da je 0 =Δ, =Δ,, n n =Δn U svakom intervalu [, i i], i=,, n izaberimo proizvoljnu tačku ξ i i Δ f ξ Ovaj proizvod predstavlja površinu bilo kog formirajmo proizvode i ( i) pravougaonika stranica Δ i ( ) i f ξ Uočimo zbir površina svih ovako dobijenih pravougaonika: i ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) S = f Δ + f Δ + + f Δ = f Δ n n n i i i= n

250 y = f ( ) a 0 f ( ξ ) b= = n ξ Ako postoji granična vrednost, nezavisno od podele intervala [ ab, ] na n delova i izbora tačaka ξ i, tj lim n i i ma Δi 0 ma Δi 0 n n i = onda je ona je površina krivolinijskog trapeza n ( ξ ) ( ) S = lim f Δ = f d b a DEFINICIJA ODREĐENOG INTEGRALA Neka je funkcija f ( ) definisana i ograničena na intervalu [, ] [, ] ab Ako interval ab podelimo tačkama a= 0 < < n < n = b na n delova takvih da je 0 =Δ, =Δ,, n n =Δn U svakom intervalu [ ], i i, i =,, n izaberimo proizvoljnu tačku ξ i i formirajmo sumu ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) S = f Δ + f Δ + + f Δ = f Δ n n n i i i= Ovaj zbir zove se integralna suma funkcije f ( ) na intervalu [, ] Ako postoji granična vrednost n ab - 4 -

251 lim ( ξ ), S = lim f Δ = I n i i ma Δi 0 ma Δi 0 n n i = ona se zove određeni integral funkcije f ( ) na intervalu [, ] Određeni integral funkcije f ( ) simbolički obeležavamo sa b a n ( ) I = f d Funkciju f ( ) zovemo podintegralnom funkcijom Broj a je donja, a broj b gornja granica integrala ab Primer: Izračunati povšinu ograničenu grafikom funkcuje f ( ) = na intervalu [, ] ordinatama f ( a ) i f ( b ), ( a > 0, b> 0) ab i Rešenje: Δ Podelimo interval [ ab, ] na n jednakih delova, b a Δ = n Zbir površina svih pravougaonika čije su osnovice a+ Δ,, a+ nδ je Δ, a visine redom a+δ, - 4 -

252 n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n( n+ ) ( ) S =Δ a+δ +Δ a+ Δ + +Δ a+ nδ =Δ na+δ n ( ) =Δ na+δ n =Δ na+δ ( ) b a b a ( ) nn+ nn+ n+ =Δ na +Δ = na + = b a a + b a n n n ( n + ) b a S = lim Sn = lim ( b a) a+ ( b a) = n n n ( ) ( ) ( ) Po definiciji određenog integrala imamo da je b b a P = d = a Napomena: Ovaj primer pokazuje koliko je složeno izračunavati određeni integral koristeći pojam integralne sume čak i kod najjednostavnijih funkcija OSNOVNE TEOREME VEZANE ZA ODREĐENI INTEGRAL Ako funkcija f ( ) na intervalu [ ab, ] ima određeni integral, kažemo da je ona na tom intervalu integrabilna Neprekidna funkcija f ( ) na intervalu [ ab, ] je integrabilna na tom intervalu Integrabilna funkcija na intervalu [ ab, ] mora biti ograničena na tom intervalu ( obrnuto ne važi) Ograničena funkcija na intervalu [ ab, ] sa konačnim brojem prekida je integrabilna na tom intervalu Ako je funkcija f ( ) nenegativna i integrabilna, onda izraz f ( ) predstavlja površinu ograničenu lukom krive, -osom i pravama = a i = b b a d - 4 -

253 OSNOVNE OSOBINE ODREĐENOG INTEGRALA a ; f ( ) d= 0 a b f d f d; ( ) = ( ) a b ( ) = ( ) a a b b C f d C f d C = const ; b b b ( ) ( ) a ( f ± g ) d= f ( ) d± g( ) d; a a a Ako tačka c pripada intervalu [ ab, ] tj a < c < b, tada važi b c b ( ) = ( ) + ( ) f d f d f d a a c VEZA ODREĐ ENOG I NEODREĐ ENOG INTEGRALA NJUTN-LAJBNICOVA FORMULA Njutn i Lajbnic su dokazali da postoji veza između određenog i neodređenog integrala Na taj način dobijena je opšta metoda za rešavanje određenih integrala i mogućnost njihove primene u različitim oblastima nauke i prakse Ako je funkcija ( ) funkcija, tj F ( ) = f( ) tada je f neprekidna na intervalu [, ] b b f ( ) d= F( ) = F( b) F( a) a a Dokaz: Neka je F ( ) tako]e primitivana funkcija funkcije f ( ), takva da je ab, a F( ) njena primitivna

254 ( ) = ( ), [ ab, ] F f d a Kako su F( ) i F ( ) dve primitivne funkcije iste funkcije, one se razlikuju za neku konstantu C, pa je ( ) ( ) F = f d+ C a a Za = a dobijamo F( a) = f ( ) d+ C = 0 + C = C, čime je određena konstanta C, pa je F( ) = f ( ) d+ F( a) a a Uzmimo sada da je = b > a Iz predhodne relacije dobijamo b ( ) = ( ) + ( ), odnosno f ( ) d = F( b) F( a) F b f d F a Primer: π 0 a π π I = sin d= cos = cos cos 0 = 0 b a METODA SMENE KOD ODREĐ ENOG INTEGRALA Neka je f ( ) složena, neprekidna funkcija na intervalu [, ] = g() t Ako funkcija g( t ) ima neprekidan izvod na intervalu [, ] g( α ) = a, g( β ) = b i inverznu funkciju, tada je Uvođenjem smene g( t) b a β ( ) = ( ( )) () f d f g t g t dt α = menjaju se granice integracije ab Uvedimo smenu α β gde je

255 Ako su polazne granice integracije bile a i b, onda su nove granice α g ( a) β ( b) = g Primer: d π arcsin t, dt, π 6 6 arcsin = = t π I = d= = tdt = = π 0 = 0, t = 0; =, t = 6 = i METODA PARCIJALNE INTEGRACIJE KOD ODREĐ ENOG INTEGRALA Ako su u( ) i v( ) diferencijabilne funkcije na intervalu [, ] integrabilna, tada je b b b u( ) dv( ) = u( ) v( ) v( ) du( ) a a a Dokaz je sličan kao kod pravila za neodređene integrale Primer: π π π I = sin d= cos + cos d= π cosπ + sin = π NESVOJSTVENI INTEGRALI π ab, a vdu je Integrali kod kojih granice integracije nisu konačne ili podintegralna funkcija nije ograničena na intervalu [ ab, ], nazivaju se nesvojstveni integrali INTEGRALI SA BESKONAČ NIM GRANICAMA Neka je funkcija f ( ) neprekidna na intervalu [, ) a

256 t t + a Ako postoji granična vrednost lim f ( ) integralom funkcije f ( ) na intervalu [, ) + a d, onda se ona naziva nesvojstvenim a +, tj ( ) = lim ( ) f d f d t t + a Ako je ova granična vrednost konačna, nesvojstveni integral konvregira, inače divergira Analogno se definiše nesvojstveni integral funkcije f ( ) na intervalu (,b] b ( ) = lim ( ) f d f d b t t Ako su obe granice integracije beskonačne tada je Primer: + d I = t + a + t + t + a + ( ) = ( ) + ( ) f d f d f d a d t I = lim = lim = lim + = t, tj INTEGRALI NEOGRANIČ ENIH FUNKCIJA Neka je y = f ( ) neprekidna funkcija na intervalu ( ab, ] i ( ) b d ε ε 0 > a + ε Ako postoji granična vrednost f ( ) nesvojstvenim integralom funkcije f ( ) na intervalu (, ] f za a lim, 0, onda se ona naziva ab, tj

257 b a ( ) = lim ( ) f d f d b ε 0 a +ε Neka je y = f ( ) neprekidna funkcija na intervalu [ ab, ) i ( ) b ε Ako postoji granična vrednost f ( ) f za b lim d, ε > 0, onda se ona naziva ε 0 a nesvojstvenim integralom funkcije f ( ) na intervalu [, ) b a b ε ( ) = lim ( ) ε 0 a ab, tj f d f d Neka je funkcija y = f ( ) neograničena u okolini tačke c [ a, b] nesvojstveni integral definiše sa Primer: d I = b c ε b ( ) ( ) ( ) f d= lim f d+ lim f d, ε > 0 ε 0 ε 0 a a c + ε 0 d ε ε 0+ ε 0+ ε 0+ ε ( ε ) I = lim = lim = lim = Tada se

258 ZADACI Primenom Njutn Lajbnicove formule izračunati sledeće integrale: 7 d a) I = ; b) 8 d c) I = ; d) + 0 π 4 sin d π cos ; 4 I = 4 4 I = + e d 0 Rešenje: a) I = d= = ( ) = (( 7 ) ( 8) ) = ; b) c) 8 8 π π 4 4 π π I tg cos tg π cos cos 4 tg π π π tg π = + = + = = ; 4 I = ln ; d) I = 4e a) I = + d; b) 0 I d = + ; c) I 9 + = d 4 Rešenje: a) = + = = = + = t, = t, d= tdt I d t dt 0 = 0, t =, =, t = 4 = t = ( 8 ) = b) d = t, d= tdt t t + I = = = dt = dt =, t = 0; =, t = t + t+ + t + t

259 t+ dt = dt = ln( t + + t ) + = ln4 t + t+ 0 t c) I = 7 ( t + ) a) I π = sin d ; b) 0 I e = d ln ; c) I d = Rešenje π π cos = t, sin d = dt a) I = sin sin d= ( cos ) sin d= = 0, t = cos 0 = 0 0 π π =, t = cos = 0 0 t = = = = ( t ) dt ( t ) dt t ; d ln = t, = dt dt b) I = =, t = ln = = ln t = ln ln ln = ln ln ; t ln ln = e, t = π c) I = 8 4 a) I ln e = d ; b) e ln I = π d ; c) π cos ( + tg) 4 I = d arctg + 0 Rešenje: e = t, e d= dt dt t a) I = = ln, t = = = ln = ln ln ln = ; t t + = ln, t =

260 b) d tg = t, = dt cos dt I = = π π = = ( ) t, t ;, t t + = = = = + 4 = = + π c) I = r e e 5 a) I = r d b) I = d ; e π ln c) I = e d; d) I = sin cos d 0 ln 5 0 π π Rešenje: a) = rsin t, d= rcostdt + cost I = π = r cos tdt = r dt = 0, t = 0,; = r, t = 0 0 π r r π sin I = t+ 0 = 4 π π b) I = 4 π ; c) I = ; d) I = a) I e d = ; b) 0 π I cos d π = ; c) sin ( ) 0 0 I = d, Rešenje: u =, du = d a) I = e e d e e = = = dv = e d, v = e 0 ;

261 b) u =, du = d I = = sin sin d= dv = cos d, v = sin 0 π 0 π π π π sin + cos = ; 0 0 π π cos 0 0 u =, du = d c) I = = + cosd dv = sin d, v = cos π π π u =, du = d = cosd sin sin d = = = 0 0 dv = cos d, v = sin 0 π π π + cos = 7 a) e I ln d = ; b) I arctgd = ; c) 0 I = arcsin d 0 Rešenje: d u = ln, du = 4 e e e e e + a) I = ln ln 4 = d 4 4 = = ; dv = d, v = 4 d u = arctg, du = b) I = arctg d 4 = dv = d, v = 4 4 d arctg + 0 = π + = π + = π c) I = - 5 -

262 8 a) I = + d ; b) I = arctgd; c) π I e sin d = ; d) = ln ( + ) 0 0 I d Rešenje: a) Kako je podintegralna funkcija parna možemo da napišemo 0 0 I = + d= I d + = u, = du I = + = + d dv = d, v = + = = + + = = + ( + + ) = ( + ( + )) 0 d d d I d I ln, I ln I = ln ( + ) + ; b) I π = = ; d) ; c) I ( e π ) 5 I = ln 9 a) I d = ; b) I d d = ; c) I = ln Rešenje a a d = t ; d= tdt tdt a) I = lim lim a + = = a + =, t = ; = a, t = a t t + a a a + a + a ( ) ( ) dt π = lim = lim arctgt = lim arctg a arctg = ; t

263 a t, d dt a d = = dt b) I = lim lim a + = = a + =, t = ; = a, t = t a lim arcsin a lim arcsin arcsin π = t = + = a + a + a 6 c) I = ln 0 a) 0 I = e d ; b) I + ln d = ; c) I = d ( + ) Rešenje: a) a dt = = t, d a t t I = lim e d= = 0, t = 0 = lim e dt = lim e a 0 a + a + 0 = a, t = a a = ( lim e ) = ; a + a 0 ln b) I = lim d a + a ln a u ln, du d a ln = = ln a ln I = d = d = + d = dv =, v = ln, a u = du = d ln a ln a l = = + + d d = dv =, v =

264 ln a ln a a ln a ln a a a a + = + ln a ln a I = lim I = lim + = a + a + a a a ln a L ln a Zato što je lim = lim = lim = 0 i a + a a + a a + a c) I = ln a L lim = lim = 0 a + a a + a a) I = e sin d b) 0 + arctg I = e cos d; c) I = lim d 0 a Rešenje: a I = lim e sin d a + o a a u = e, du = e d a 0 0 dv = sin d, v = cos 0 I = e sin d= = e cos e cos d= u = e, du = e d e cos a e sin e sin d dv d v a = cos, = sin a a = a a e (cosa+ sin a) = + = I e (cosa sin a) I I = lim I = b) a I =, a arctg c) I = lim d ;

265 d u arctg, du arctg = = + arctg d I = d= = + d ( + dv =, v = ) arctg arctg = + d ln ln ( ) C = arctg = + ln + C + lim arctg ln a lim arctga lim ln a I = + = + + arctg ln a + a + a a + + a + π = + ln 4 Zato što je arctga a a lim = 0 i da je lim ln = ln lim = ln = 0, a > 0 a + a a + a + a + a + a d a) I = ; b) Rešenje ε d I = ln ; c) e I = d d d ε a) I = lim lim lim lim ε ε 0 + ε 0+ = + = ε 0 ε 0+ ε = lim + lim + = ; ε 0 ε ε 0+ ε d ln d ln = t, = dt dt b) I = lim lim ε + 0 = = ln ε + 0 t + ε =, t = 0; =, t = ln ε ln ε + 0 ε ε + 0 ( ε ) = lim ln t = lim ln ln ln =+ ;

266 ε t, dt d e = = ε t c) I = lim d lim te dt ε 0 = = ε 0 =, t = ; = ε, t = ε ε lim ( t t ε ε = te e ) = e e + + = ; ε 0 ε e e e zato što je L t t ε lim e = = t = lim te = lim = lim = 0 i lim e ε = 0 ε 0 t t t t t ε ε e e ε 0 a) I π sin = d ; b) cos 0 I d = 0 Rešenje: a) I = ; b) I =

267 64 PRIMENE INTEGRALNOG RAČUNA IZRAČ UNAVANJE POVRŠINA RAVNIH FIGURA Ako je f ( ) neprekidna i nenegativna funkcija na intervalu [ ab, ], onda površina ograničena osom, grafikom funkcije f ( ), pravama = a i = b iznosi b a ( ) P= f d y = f ( ) = a = b Ako je funkcija f ( ) na intervalu [, ] ab negativna onda je = a = b y = f ( ) b a ( ) ( ) P= f d= f d b a

268 Ako funkcija f ( ) na intervalu [, ] funkcija obrazuje sa osom i pravama ab menja znak onda se površina koju ova = a i = b dobija tako što se interval podeli na podintervale u kojima je f ( ) 0 i na podintervale u kojima je f ( ) 0 Površina će biti zbir vrednosti integrala c d b ( ) ( ) ( ) P= f d+ f d+ f d a c d ili c d b ( ) ( ) ( ) P= f d f d+ f d a c d = a = c y = f ( ) = d = b Ako je oblast ograničena graficima neprekidnih funkcija f ( ) i ( ) f ( ) g( ) na intervalu [ ab, ] i pravama razlika površina dva krivolinijska trapeza, tj b b b ( ) ( ) ( ( ) ( )) P= f d g d= f g d a a a y = f ( ) g, = a i = b, tada je površina ( ) y= g = a = b

269 Primer: Izračunati površinu ograničenu linijama y = cos, = 0 i = π 0 y = cos π π π π π π π π P= cos d cos d= sin sin = sin sin 0 sinπ + sin = 0 0 π π IZRAČ UNAVANJE ZAPREMINA OBRTNIH TELA Neka je funkcija f ( ) neprekidna i stalnog znaka na intervalu [, ] ab Zapremini obrtnog tela koje nastaje rotacijom grafika funkcije oko ose je: Dokaz: b V π f ( ) d a = Δ k

270 Ako interval [, ] ab podelimo tačkama a=,,,, n = b na n delova, tada svaki od upisanih pravougaonika ima osnovicu Δ k = k+ k i visinu k ( ) y = f, k =,, n k Pri obrtanju pravougaonika oko ose obrazuje po jedan valjak zapremine V = y π Δ k k k gde je y k poluprečnik osnove valjka, Δ k njegova visina Zbir zapremina svih tih valjaka je n yk π Δk k = Zapremina obrtnog tela jednaka je sledećoj graničnoj vrednosti n ma Δk 0 n k = k π k π ( ) V = lim y Δ = f d Zapremina obrtnog tela koje se dobije rotacijom grafikom funkcije oko y ose dobija se po obrascu Primer: Izračunati zapreminu lopte poluprečnika r d V π y dy c ( ) = b a + y = r Lopta se dobija rotacijom kruga jednačine r + y = r oko - ose 4 V = π y d = π r d = π r = r π 0 r ( ) ( ) 0 0 r - 6 -

271 DUŽINA LUKA KRIVE [ ab, ] Neka je f ( ) neprekidna funkcija, sa neprekidanim izvodom f ( ) Dužina luka krive je: Dokaz: b ( ( )) l = + f d Podelimo luk AB krive y = f ( ) tačkama i i i i a, na intevalu M i=, n na n delova Tetive Δ t = M M koje odgovaraju parcijalnim lukovima obrazuju poligonalnu liniju AM M M B čija je dužina n l n n ti i= = Δ y M M i M i y = f ( ) B y = f ( ) Δt i M i A M i Δy i Δ i a i i b i ξ i i Odredimo dužinu tetive M i M Na osnovu Pitagorine imamo i Δy i yi y i Δ ti = Δ i +Δ yi =Δ i + =Δ i + Δi i i a na osnovu Lagranžove teoreme imamo postoji tačka ξ [ ], i i i, za koju je - 6 -

272 f y i i ( ξ ) = Prema tome i y ti i Δ = f ( ξ ) Δ + i n n b lim i lim i i ma Δi 0 ma Δi 0 i= i= a i ( ξ ) ( ) Δ t = Δ + f = + f d= l b l = + f ( ) d a Primer: 5 Izračunati dužinu luka krive y =, [0,] y = =, y' = =, 4+ 5= t 5 9 l = + d = 4+ 5d = = t dt = t = d = tdt 5-6 -

273 ZADACI Izračunati površinu koju zaklapaju grafici datih krivih: y = 4 i y = 6 Rešenje Apscise presečnih tačaka grafika funkcija dobijaju se rešavanjem sistema jednačina: 4 = 6 i iznose = 0 = 4 ( ) ( ) y = 6 6 ( 4) y = 4 Tražena površina iznosi: ( ( ) ) ( ) 4 4 P= 6 4 d= 4 d= = P = = y = i y = + Rešenje Apscise presečnih tačaka grafika funkcija su: = ± Tražena površina iznosi: = = = = P d d arctg π π P = =

274 y = y = + y = + i y = Rešenje Apscise presečnih tačaka grafika funkcija su = = y = y = Tražena površina iznosi: 9 P= ( + ) d d= + = 4 y = i y = Rešenje Apscise presečnih tačaka, uz uslov > 0, su: = 0 = y= y= = 0 =

275 ( ) P= d= d= = = y = i y Rešenje = 8 P= d= d= d= = ( ) ( ) 4 ( ) y = 5+ 4 i y = Rešenje 5 5 P = ( ( ) ( 5 + 4) ) d = ( + 6 5) d = 7 Odrediti površinu ograničenu parabolom y = +, njenom tangentom u tački M (, y ) i y - osom Rešenje: Kako tačka M (, y ) pripada paraboli, biće y = 5 y =, pa je k = y ( ) = 6 Jednačina tangente parabole u tački y+ 5= 6 ili y = 7 6 M (, 5) glasi ( ) y = + y = 5 Tražena površina iznosi: =

276 ( 7 6 ( ) ) ( 4 4) ( ) P= + d= + d= d= P = ( ) ln 8 Izračunati površinu figure ograničene grafikom funkcije y = nad odsečkom, e Rešenje: 0 ln y = = = e Tražena površina iznosi d u ln, du e e ln = = e e P= d= = ln d = 4e 4 = 4 d dv =, v = 9 Odrediti površinu koja je ograničena lukom krive y = e, njenom asimptotom M, y i tangentom u tački ( ) 0 Rešenje: ( ) Koordinata y 0 tačke M je y0 = e = e, pa jednačina tangente date krive u tački M (, e) glasi y e = y ( )( + ) Kako je y = e, y ( ) = e, pa je y = e tražena jednačina tangente Asimptota je osa

277 y = e y = e + 0 a 0 P e d ( e) d lim e d ( e) d a + = = = 0 e e a a ( e ) e ( e e) lim + = lim = a + a + Izračunati površinu ograničenu krivim linijama : 0 6 y = + i y = 0 Rešenje: P = y = 8+ 8 i y = + 8 Rešenje: P = 6 7 y = i y = Rešenje: P = y = e, y = e i = Rešenje: P= e + e 4 6 y =, y = + Rešenje: P = 5 y = sin, y = 0, = 0, = π Rešenje: P = π 6 y = i + y = 4 Rešenje: P = 4 ln 7 4 y = 8 i y+ 8= 0 Rešenje: P = 8 Izračunati površinu ograničenu krivom y = +, njenom tangentom u tački M (, y ) i y - osom Rešenje: P =

278 9 Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko - ose površi ograničene linijama y = i y = + 4 Rešenje: Presečne tačke grafika funkcija su rešenja sistema da se date krive seku u tačkama A(, 4) i (, 4) y B = i y 4 = + Dobijamo y 4 4 = + y = V = π + ( ) d= π + + d= = π + + d= π + + = π Odrediti zapreminu tela nastalog rotacijom oko y - ose površi ograničene linijama y = i y = + 4 Rešenje: V = V V 4 π 4 π 0 0 V = ydy = y = 8 π

279 4 4 4π y 4 4π 9 V = π ( y ) dy = y = = 6 π V V = π Izračunati zapreminu obrtnog tela koje se dobija kada površina koju čine krive y =, y = 8, = 0, rotira oko y ose Rešenje y=8 y = π V = π y dy = y dy = y = ( ) ( ) 8 π π 0 0 Izračunati zapreminu obrtnog tela koje se dobija kada površina koju čine krive y = 4, =, = 4, y = 0, rotira oko ose Rešenje d 4 V = π d= 6π 6π 4π = = Izračunati zapreminu obrtnog tela koje se dobija kada površina koju čine krive y =, + y = 4, rotira oko ose Rešenje Apscise presečnih tačka krivih su = =

280 V = V V 6 V = π ( 4 ) d = ( ) d = π V d = π d= 9π = 6π 8 V = π 4 Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko - ose krive linije Rešenje: ( y ) + = Data jednačina predstavlja krug sa centrom ( 0,) y = ±, pa su y = + i donjeg polukruga tog kruga S i poluprečnikom r = Iz nje je y = jednačine gornjeg i ( y ) + = Telo koje nastaje rotacijom date krive je torus čija je zapremina ( ) ( ) ( ) ( ) V = π y y d = π y y d = π π 4π d 4π 6 π = = =

281 5 y = sin, = 0 i = π oko ose Rešenje: V = π y = 4 i y = 0 oko ose Rešenje: V = π y = 4 i y = 0 oko ose Rešenje: V = π 8 y = + 4 oko ose 4 Rešenje: = π + ln 5 9 Površina ograničena krivom + y = 6, pravom = i tangentoma u presečnim tačkama date prave i krive rotira oko ose Naći zapreminu obrtnog tela Rešenje: V = π Izračunati dužinu luka sledećih krivih na zadatom intervalu 0 y = ln, za [, e] 4 Rešenje: f ( ) = y' = =, y' = + = =, 4 e e + l = d= + d= + = e + 4 e ln ( ) Izračunati obim kruga + y = r Rešenje: y = r, y = r - 7 -

282 r r r l = 4 + d= 4r d= 4r arcsin = rπ r r r π π y = ln ( sin ),, Rešenje: cos y = = ctg, + y = + ctg =, sin sin π dt d dt l = + t = ln t ln ln ln sin = t = = = t π + t y = ln 4, [0,] ( ) Rešenje: y ' =, + y ' = + =, l = d= d 8ln ln + = + = ( ) y e arctg e = za [ 0, α ] Rešenje: e e e y = e ( ) = =, e + e e e ( ) α 0 α α α l = + e d= e d= e = e 0 0 =, [ 0, α] 5 y e + e + ln( e + + e + e ) Rešenje e + e e + e y = + e + = e + e e + e e + + e + e e + e, - 7 -

283 α α α ( ) ( ) ( ) 0 α l = + e + e d= + e d= + e = e e + y= ln, ab,, ab, 0 e 6 [ ] α Rešenje e e + y =, + y = e e, b b b e + b d l = ( ) d= + d b a I = + = + e e a e a a a b b dt e e b, ln, e e = t = t d = dt t I = t = = dt = ln = a a b a t( t ) a t t t e = a, t = e ; = b, t = e e e b a b b e e b a e e ln ln = ln ( e ) b ln ( e ) + a = ln b a a a e e e e 7 = ( ln( + ) ) y, [, a+ ], a> 0 Rešenje ' y = + = + + a+ a+ a+ a( a+ ) l = + d= d= =, 8 y = ln, [, ] 4 5 Rešenje: y ' =, + + y = + =, '

284 l = d = d = + = I d =, = d + t d tdt 7 I = 5 = dt = t = 5 =, t = ; =, t = d 5 5 t, dt d = = dt I = = = 4 5 = 4 + =, t = ; =, t = + t ln t t ln ln 4 ln + + = = 7 l = + ln 0 I 9 π π y =,, sin 4 4 Rešenje: cos y ' =, sin y ' ( cos ) + 4 cos ( + cos ) 4 4cos sin + 4cos + = + = = = sin sin sin sin π 4 π ( ) π π π + cos + cos sin l = d= d= d= sin sin sin 4 π π π π 4 π d = ( ctg ) = 4 sin π

285 U narednim primerima funkcija ili njen izvod u krajevima intervala definisanosti ima prekide Iz tih razloga izračunavanje luka svodi se na nesvojstveni integral = 40 y, [ 0,9] Rešenje 9 y = = =, 6 6 ( + ) y = + = = =, l = d= lim 9 d lim ε + = + = ε ε ε 4 y ln ( ), [, ] = + Rešenje y =, dt = t, d= d d l = = lim ε, t ε ε = = = = ε =, t = lim dt lim t lim ε ε = = = ε ε ε ε + y = + = =, 4 y = arcsin Rešenje: Data kriva je definisana za [ 0,]

286 y =, + y =, t t ( ) ( ) t 0 t 0 t ( ) l = d= lim d= lim = lim t = = ; b) y = ( e + e ), [ 0,] ; 6 ln y =, 0, ; d) π y =, 0, cos 4 ; 4 a) y ln, [,] c) ( ) Rešenje: a) l = 6+ ln, b) l = e 6 e, π c) l = ln, d) l =,

287 - 78 -

288 LABORATORIJSKE VEŽBE MAT-LAB Vežba Alati i osnovne funkcije Vežba Matrice -definicija Vežba Grafika 4 Vežba 4 Upravljanje tokom programa 5 Vežba 5 M fajlovi (datoteke) 6 Vežba 6 Jednačine i sistemi linearnih algebarskih jednačina 7 Vežba 7 Simbolička matematika 8 Vežba 8 Granična vrednost i izvod funkcije 9 Vežba 9 Integrali 0 Vežba 0 Primena integrala Zadaci za vežbanje Spisak naredbi i funkcija

289 - 80 -

290 VEŽBA ALATI I OSNOVNE FUNKCIJE MATLAB (Matri Laboratory) je viši programski jezik razvijen sredinom 80-ih godina Prvenstveno je bio namenjen inžinjerima, ali je za kratko vreme postao standardni programski paket na Univerzitetima, fakultetima KAKO POČETI RAD U MATLAB U MATLAB je jednostavan za korišćenje Kada je program pozvan, pojavljuje se MATLAB - ov komandni prozor (slika ) slika Prvi red predstavlja liniju menija (Menu bar), koja sadrži uobičajene komande Ako se na ekranu odmah ne pojavi prozor sa slike, dobićemo ga ako izaberemo View-Desktop Layout-Default - 8 -

291 Na ekranu se mogu videti manji prozori: Command window Command History window Launch Pad window Postoje takođe dugmad za dva nova prozora: Workspace window Current Directory window Command window je glavni deo MATLAB-ovog interaktivnog sistema Iz tog prozora pristupamo MATLAB-ovim komandama i funkcijama U radnom prostoru pojavljuje se znak >>, koji se naziva prompt, pored koga se nalazi kursor, vertikalna trepćuća linija, koja predstavlja spremnost računara da primi naredbu Kada se u radnom delu otkuca naredba i pritisne taster Enter, naredba se odmah izvršava Command History window čuva predhodne naredbe koje su bile korišćene u Command window Launch Pad window je drugi način da se pristupi MATLAB-u Treba kliknuti na ikonu na vrhu prozora i otvoriće se osnovni program ili toolbo-ovi, prema želji korisnika Workspace window pokazuje promenljive koje su korišćene tokom rada, odnosno njihovu veličinu i vrstu Ove informacije mogu biti od velike koristi kasnije u radu Current Directory window pokazuje korišćene fajlove OPERATORI ZA POMOĆ U RADU Naredbom help obezbeđena je pomoć i informacije tokom rada To je velika pogodnost za korisnike jer je teško memorisati veliki broj funkcija koje su definisane Postoji nekoliko verzija ove naredbe Ako otkucamo help i pritisnemo taster <Enter> na ekranu će se pojaviti spisak oblasti i uputsta za rad Na ekranu će se pojaviti spisak svih opcija koje poseduje MATLAB >> help HELP topics: matlab\general matlab\ops - General purpose commands - Operators and special characters Da bi se dobilo uputstvo za neku posebnu oblast, operator ili funkciju potrebno je uneti naredbu: - 8 -

292 >> help oblast Otkucati sledeće naredbe help i videti šta se dobija na ekranu >> help * >> help i >> help sqrt Za ilustrovanje mogućnosti MATLAB-a, priređeni su uzorci raznih programa, koji se mogu pozvati naredbama demo Aktiviranjem ove naredbe otvara se grafički prozor koji pokazuje meni demonstracionih datoteka UNOŠENJE PODATAKA - BROJEVI I ARITMETIČKI IZRAZI Osnovni objekat nad kojim se vrše operacije u MATLAB-u je polje brojeva Ovo polje brojeva može da se tumači kao matrica u uobičajenom smislu, ali zavisno od komande, može se tumačiti i kao tabela podataka koje treba obraditi Pod skalarom se podrazumeva matrica tipa Vektori predstavljaju matrice jedne vrste ili jedne kolone MATLAB je jezik izraza Oni su sačinjeni od konstanti, promenljivih, operatora, specijalnih znakova i funkcija Operacije i izrazi u MATLAB-u se pišu na uobičajen način, slično kao što pišemo na papiru Rezultat izvršenja izraza je matrica MATLAB operiše sa realnim i kompleksnim brojevima Koristi se uobičajena decimalna notacija sa znakom i decimalnom tačkom MATLAB može da se koristi za izračunavanje jednostavnih matematičkih izraza Tada on radi slično kalkulatoru MATLAB je veoma strog prema definisanoj sintaksi jezika Na primer, izostavljena zagrada ili zarez mogu da utiču da ceo program ne funkcioniše Sa druge stane, velika olakšica u radu je što se na ekranu ispisuje vrsta učinjene greške i olakšava se korisniku da se greške isprave >> y=sin(??? y=sin( Error: ")" epected, "end of line" found MATLAB-ove promenljive mogu imati numeričke ili znakovne vrednosti (string) Znakovni tip podataka sastoji se iz niza ASCII znakova, a unose se pod jednostrukim apostrofima, na primer '' PRIMER : Napisati reč student >> rec='student' rec = student - 8 -

293 PRIMER : Odrediti broj slova u reči student >> size(rec) ans = 7 U ovom primeru korišćena je naredba size(), koja određuje dimenziju unete promenljive Napomena: (Odgovor 7 označava polje brojeva,tj u jednom redu ima sedam elementa) Napomena: U MATLAB-u se znak = naziva operatorom dodele Ovaj operator dodeljuje vrednost promenljivoj Promenljiva= numerička vrednost ili izraz Imena promenljivih ili funkcija, moraju početi slovom, iza koga može slediti prizvoljan niz simbola, ali se samo prvih karaktera iz imena pamti MATLAB razlikuje velika i mala slova, tj i X su dve različite promenljive Imena matrica obično se pišu velikim slovima, dok imena skalara i vektora malim slovima Imena funkcija moraju se pisati malim slovima 4 ARITMETIČKI OPERATORI Aritmetički izrazi se prave korišćenjem uobičajenih aritmeričkih operacija za koje koristimo sledeće simbole: + sabiranje - oduzimanje * množenje / deljenje ^ stepenovanje PRIMER : Izračunati vrednost izraza +4-6 >> +4-6 ans = 0 Iz ovog primera vidimo da MATLAB sam kreira promenljivu pod imenom ans (answer-odgovor) ukoliko korisnik sam ne dodeli ime promenljivoj ili vrednosti izraza

294 PRIMER 4: Izračunati vrednost izraza = + 4 π >> =+(*4-/pi) = 9687 Broj π je definisan kao stalna veličina MATLAB-a i dovoljno je ukucati samo pi PRIMER 5: Izračunati vrednost izraza y =, ako je >> =^; >> y=* y = 7 = Napomena: Ako ne želimo da se rezultat ili međurezultat prikaže na ekranu, na kraju naredbe unesi se znak ; Na ovaj način se ubrzava rad na računaru, jer se eliminiše ispisivanje velikog broja, često nepotrebnih međurezultata 5 RELACIJSKI OPERATORI Relacijski operatori su binarni operatori i koriste se za poređenje izraza Rezultat poređenja je tačno (true) u oznaci ili netačno (false) u oznaci 0 < Manje od Manje ili jednako od > Veće od Veće ili jednako od == Jednako = Nejednako PRIMER 6: Izračunati vrednost izraza 5< >> 5< ans = 0 PRIMER 7: Izračunati vrednost izraza 5<(7= =8) >> 5<(7= =8) ans =

295 Zamenimo sada == sa = >> 5<(7=8)??? 5<(7=8) Error: ")" epected, "=" found Napomena: Operator == često se pogrešno zamenjuje sa =, jer == predstavlja jednakost, a = je pridruživanje U prvom slučaju 7= = 8 ima istinitosnu vrednost pogrešno, tj 0 i zato 5< 0 daje kao rezultat 0 U drugom slučaju greška se javlja zato što = predstavlja samo operaciju pridruživanja, a ne računanja vrednosti koja ima neku istinitosnu vrednost 6 LOGIČKI OPERATORI Operacije Logičko ne & Logičko i Logičko ili Vrednosti za logičke operacije A B A A&V A B

296 7 KOMPLEKSNI BROJEVI Imaginarna jedinica je definisana kao stalna veličina Koristi se uobičajena definicija i = ili j = PRIMER 8: Definisati imaginarnu jedinicu i >> i=sqrt(-) i = i Kompleksni brojevi se mogu, kao i u matematici definisati na više načina: z = + iy algebarski oblik, gde je realni, a y imaginarni deo kompleksnog broja iϕ w = re eksponencijalni oblik, gde je r moduo, a ϕ argument kompleksnog broja PRIMER 9: Napisati broj z = + i >> z=+*i z = i >> z=+i z = i Napomena: Jedino kada se definiše kompleksni broj, moguće je izostaviti operator * množenja U ostalim slučajevima operator množenja mora da se piše 6 PRIMER 0: Napisati broj w = e >> w=*ep(i*pi/6) w = i iπ Moduo, argument, realni, imaginarni deo kompleksnog broja i konjugovano kompleksni broj dobijaju se korišćenjem naredbi abs, angle, real, imag, conj

297 8 OSNOVNE FUNKCIJE Funkcije se pozivaju tako što se iza imena funkcije u maloj zagradi navede argument funkcije Neke od elementarnih funkcija koje su ugrađene u MATLAB možemo videti u tabeli Kao što smo već napomenuli funkcije se pišu malim slovima, a argumente navodimo u zagradama abs() apsolutna vrednost sqrt() kvadratni koren sin() sinus cos() kosinus tan() tangens cot() kotangens ep() eksponencijalna funkcija osnove e log() logaritam osnove e log0() logaritam osnove 0 PRIMER : Izračunati >> sin(pi/4) ans = 0707 sin π 4 PRIMER : Za = 5 i y = 59 izračunati vrednost izraza z = ln y+ >> =5; >> y=59; >> z=log(y)+sqrt() z=60775 Napomena: Primetimo da vrednosti promenljivih i y nisu prikazane na ekranu, jer se iza promenljivih nalazi znak ; PRIMER : Izračunati rešenja kvadratne jednačine >> % Kvadratna jednačina je oblika a^+b+c : b ± b 4ac >> % Rešenja se dobijaju na osnovu formule, = : a >> a=;b=-;c=-; >> koren=sqrt(b^-4*a*c); >> =(-b+koren)/(*a)

298 = >> =(-b-koren)/(*a) = - PRIMER 4: Izračunati vrednost izraza z = log0 + y, za vrednosti promenljivih i y zadatih u predhodnom primeru ( primer ) >> % i y su vrednosti promenljivih iz predhodnog primera >> z=log0()+abs(y) z = Napomena: Treba imati u vidu da MATLAB pamti predhodno unete veličine pa ih nije potrebno ponovo definisati, ako nam kasnije trebaju u radu Napomena: Oznaka % koristi se za pisanje komentara 9 OSNOVNE KONSTANTE U MATLAB - U ans Vrednost izraza kada nije pridružen promenljivoj eps Dozvoljena tolerancija greške i, j Imaginarna jedinica, pi π =45965 Inf, ili rezultat /0 (infinity) NaN Nije broj, ili rezultat 0/0 (Not a Number) Napomena: Prednost rada u MATLAB-u je što deljenje nulom ne dovodi do prekida programa ili greške Ispisuje se poruka upozorenja i specijalna veličina se ponaša korektno u kasnijim izračunavanjima 0 IZLAZNI FORMAT Izlazni oblik prikazivanja rezultata može se kontrolisati naredbom format Ova komanda utiče samo na prikaz na ekranu, a ne na to kako se šta izračunava ili smešta u memoriju Postoje različiti izlazni formati: format short, format long, format long e, format short e, format rat Ako nije definisan neki drugi format automatski se koristi format short, standardni format sa 4 značajnih cifara

299 PRIMER 5: Broj π prikazati koristeći sve prethodne komande % napomene % format short ima 4 decimalna mesta >> format short, pi ans = 46 >> format long, pi ans = >> format long e, pi ans = e+000 >> format short e, pi ans = 46e+000 >> format rat, pi ans = 55/ >>% za ponovno koriscenje standardnog formata >> format short, pi Napomena: Sledeći broj sa kojim budemo radili biće u poslednjem formatu koji smo koristili Da bi se vratili u uobičajeni format short, dovoljno je otkucati samo naredbu format BRISANJE I ČUVANJE PODATAKA clear clear save save ime quit, eit load Briše podatke iz radne memorije Briše se promenljiva Čuva podatke u fajlu na disku za kasniju upotrebu Pamti sve veličine iz radnog prostora pod zadatim imenom Ostvaruje se prekid programa Predstvlja obrnutu naredbu od save

300 VEŽBA: Utvrditi šta je veće π e e ili π? (Voditi računa da e nije definisano kao konstanta MATLAB a, već ga izračunavamo kao vrednost eksponencijalne funkcije za argument = ) ( 00 ) ( ) ( ) 98 + i Izračunati z, ako je z = i 96 i + i Za = 0, izračunati 5 tg + sin π 4 Proveriti tačnost iskaza cos = za = tg 5 5 Korišćenjem različitih izlaznih formata napisati broj 6 Ako je a = 8, b = 64, c = a / b, d = 05( cb + a) izračunati vrednost a + b ( a + d ) d + c abc 7 Uneti svoje ime i prezime pa odrediti broj slova u njemu - 9 -

301 VEŽBA MATRICE I OPERACIJE MATRICE I VEKTORI Već smo naglasili, da su u MATLAB - u, promenljive polja brojeva, koje mogu da se tumače kao matrice u uobičajenom smislu Pod skalarom se podrazumeva matrica tipa Vektori predstavljaju matrice jedne vrste ili jedne kolone Matrica se definiše sa dva indeksa m i n, gde prvi indeks m označava broj vrsta, a drugi, n broj kolona Elementi se uglavnom unose po vrstama, a zagrade [, ] ograničavaju listu elemenata U okviru liste elementi se razdvajaju zarezom ili razmakom Taster Enter ili ; se koriste za odvajanje vrsta matrice 4 PRIMER : Uneti matricu A = >> A=[ - 4; ; 7-4 ] A = Druga mogućnost upisa je: >> A=[, -, 4; -6, 8, 5; 7, -4, ] A = Vektori su matrice vrste ili kolone i unose se na isti način Ako su vrednosti elemenata ekvidistantne (sa istim korakom) koristi se simbol : PRIMER : Uneti vektor =(,,, 0) >> =:0 =

302 Naredba length() izračunava dužinu vektora >> length() ans = 0 PRIMER : Uneti vektor >> =:0 ; =[ +] = Ako želimo proizvoljan korak, a ne, kao u predhodnom primeru, koristimo naredbu h=a:k:b, gde su a i b početna i krajnja vrednost, a k je korak PRIMER 4: Uneti vektor =(,, 5,7), sa korakom dužine >> =::8 = 5 7 Matrice sa kompleksnim elementima možemo da unosimo na dva načina PRIMER 5: + 5i 6i Uneti matricu Z =, tako što prvo unosimo realne, a zatim + 7i 4 + 8i imaginarne delove zadatih kompleksnih brojeva >> A=[-, ;, 4] ; V=[5, -6; 7, 8] ; Z=A+V*i Z = i i i PRIMER 6: Uneti matricu Z iz prethodnog primera tako što elemente matrice unosimo kao kompleksne brojeve >> Z=[-+5*i, -6*i ; +7*i, 4+8*i] Z = i i i i Element matrice A koji se nalazi u preseku i-te vrste i j-te kolone može se dobiti primenom naredbe A(i,j) - 9 -

303 PRIMER 7: Izdvojiti element a, >> A=[ ; - ; ] ; >> A(, ) ans = matrice A = Ako želimo da izdvojimo celu vrstu ili kolonu koristimo komande A(k,:), A(:,k), gde k predstavlja traženu vrstu, odnosno kolonu Dimenzije matrice određuju se naredbama: size(a) [m,n]=size(a) PRIMER 8: Odrediti dimenzije date matrice A, koristeći naredbu size >> size(a) ans = PRIMER 9: Odrediti dimenzije matrice A koristeći naredbu [m,n]=size(a) >> [m, n]=size(a) m = n = MATRICE SPECIJALNIH STRUKTURA Naredba eye daje jediničnu matricu Naredba eye(n) eye(m,n) eye(size(a)) Opis Jedinična matrica dimenzija nn Jedinična matrica dimenzija mn Jedinična matrica dimenzija date matrice A PRIMER 0: Formirati matricu X dimenzija, čiji su elementi na glavnoj dijagonali jednaki, a ostali su jednaki 0 >> X=eye(,) X =

304 PRIMER : Odrediti jediničnu matricu dimenzija date matrice A >> A=[,, ;, -, ; -4, -5, -6] ; X=eye(size(A)) X = Naredba ones daje matricu čiji su svi elementi jedinice Naredba ones(n) ones(m,n) ones(size(a)) Opis Matrica dimenzije nn čiji su svi elementi jedinice Matrica dimenzije mn čiji su svi elementi jedinice Matrica dimenzije date matrice A čiji su svi elementi jedinice PRIMER : Formirati kvadratnu matricu reda čiji su svi elementi jednaki >> X=ones() X = Naredba zeros daje matricu čiji su svi elementi nule Naredba zeros(n) zeros(m,n) zeros(size(a)) Opis Matrica dimenzije nn čiji su svi elementi nule Matrica dimenzije mn čiji su svi elementi nule Matrica dimenzija date matrice A čiji su svi elementi nule PRIMER : Formirati matricu dimenzija čiji su elementi jednaki 0 >> X=zeros(,) X = Naredba magic(n) daje matricu sa celobrojnim elementima između i n, dimenzija nn, sa osobinom da je zbir elemenata po vrstama i kolonama konstantan (čarobni kvadrat)

305 PRIMER 4: Formirati magičnu matricu trećeg reda >> X=magic() X= Naredbom diag(a) dobijamo dijagonalnu matricu date matrice A PRIMER 5: Napisati matrice diag(a) >> A, X=diag(A), X=diag(diag(A)) A = X = - -6 OPERACIJE SA MATRICAMA Osnovne operacije sa matricama su: sabiranje, oduzimanje, množenje, stepenovanje i transponovanje Sabiranje i oduzimanje matrica Sabiranje i oduzimanje matrica vrši se tako što se sabiraju, odnosno oduzimaju odgovarajući elementi matrica Tom prilikom moramo voditi računa da matrice budu istih dimenzija PRIMER 6: Sabrati matrice A i B >> A, B=[,,-4; -, ;,, -], C=A+B A = B =

306 - - C = Sabiranje i oduzimanje je izvodljivo i u slučaju kada je jedan činilac skalar PRIMER 7: Od date matrice A oduzeti skalar >> D=A- D = Napomena: U predhodnom primeru, skalar MATLAB automatski shvata kao matricu istih dimenzija kao što je matrica A čiji su svi elementi jednaki Množenje matrica Množenje matrica skalarom se vrši tako što svaki element te matrice pomnožimo vrednošću datog skalara Za množenje matrica skalarom važi zakon komutacije, tj ka = Ak PRIMER 8: Ako je k = 5, odrediti matricu 5A Množenje matrica se u obavlja korišćenjem operatora * >> A, F=5*A A = F= Množenje dve matrice: Proizvod matrica A={( ai, j) m r r matrica C = {( c, ) } čiji su elementi c i j m n ij = ai, kbk, j k= b r n } i B={ ( ) i, j } je nova

307 PRIMER 9: Pomnožiti matrice A i A >> A ;A=[, ;, - ;, 6], P=A*A A = - 6 P= PRIMER 0: Pomnožiti matrice A i A >> A*A??? Error using ==> * Inner matri dimensions must agree Napomena: Matrično množenje nije komutativna operacija i dimenzije matrica A i A moraju da budu usklađene Transponovanje matrica Transponovanje matrica sa realnim koeficijentima, je zamena vrsta i kolona Vrši se pomoću operatora ' PRIMER : Transponovati datu matricu A >> A, E=A' A = E =

308 PRIMER : Transponovati vektore, y >> =[- 8]', y=[-;-;4]' = - 8 y = Determinanta matrice Determinanta kvadratne matrice je broj koji se u MATLAB-u izračunava pomoću naredbe det() PRIMER : Izračunti determinantu kvadratne matrice A >> A ; D=det(A) D= -7 5 Inverzna matrica Inverzna matrica date matrice A računa se po obrascu A = adja det( A) U MATLAB-u inverzna matrica PRIMER 4: Naći inverznu matricu, zadate matrice A >> A ; inv(a) A, određuje se korišćenjem naredbe inv(a)

309 PRIMER 5: Naći inverznu matricu, matrice S = >> S=[ ; ; 7 8 9] >> inv(s) Warning: Matri is close to singular or badly scaled Results may be inaccurate Napomena: Kako je matrica S singularna (determinanta matrice je jednaka nuli), inverzna matrica ne postoji 6 Stepenovanje matrica Ako je A kvadratna matrica, a p N, matrični stepen definišemo kao: p A = AAAA AAAA p Stepenovanje može da se vrši i ako p nije ceo broj, ali to razmatranje prevazilazi ovaj kurs Stepenovanje matrice matricom, davaće poruku o grešci p Za regularnu matricu (determinanta različita od nule) A, važi A = ( A ) p Stepenovanje matrica vrši se pomoću operatora ^ PRIMER 6: Za datu matricu A odrediti gde je I jedinična matrica >> J=A^, M=A^(-), I=J*M J = M = I = A, A i proveriti da li važi da je A A = I,

310 7 Deljenje matrica U matričnom računu operacija deljenja nije definisana, ali u MATLAB - u postoje dve naredbe za deljenja: \ označava deljenje sa leva, / označava deljenje sa desna Neka je A kvadratna regularna matrica, tada je A \ B A = * B, A/ B= B* A Rezultati se dobijaju direktno, bez računanja inverzne matrice PRIMER 7: Rešiti matričnu jednačinu AX A = i B = 4 Da bismo rešili matričnu jednačinu AX zakon komutacije, postupak je sledeći: AX = B A AX = A IX = A B X = A B B = B gde su date matrice = B, kako za množenje matrica ne važi U MATLAB u poslednja jednačina se može napisati pomoću simbola deljenja X=A\B Zadati problem može zato rešiti na dva načina >> A=[,;,]; B=[,;,4]; >> X=A\B X = >> X=inv(A)*B X = PRIMER 8: Rešiti matričnu jednačinu XA= B koristeći matrice A i B iz prethodnog primera Jednačinu XA= B, odnosno njeno rešenje X = BA možemo rešiti matričnim deljenjem s desna X=A/B - 0 -

311 >> A;B; >> X=B*inv(A) X = 0 >> X=A/B X = 0-8 Operacije nad poljem brojeva Za množenje, stepenovanje i deljenje u polju brojeva ne važe pravila matričnog računa, već se množenje vrši po principu član po član U zapisu ove operacije sadrže decimalnu tačku ispred operatora *, /, ^ PRIMER 9: Uočiti razliku između množenja * i * >> A=[ ; ]; B=[ 0; ]; >> A*B ans = >> A*B ans = Napomena: U prvom slučaju imamo matrično množenje, a u drugom množe se element po element - 0 -

312 VEŽBA: Dati su elementi π, e, Formirati matricu, čiju prvu vrstu čine dati brojevi, drugu vrstu njihovi tangensi, a treću vrstu kvadratni koreni datih brojeva Koristeći datu matricu A odrediti: a) član na mestu (,), b) drugu vrstu matrice A, c) determinantu matrice A, d) transponovanu matricu matrice Ukucati i objasniti: A(:), A(:,:), A(:,), A(:,:-:), A([ ],[ ]) A ( A ) 4 Izračunati T + A 4+ det A koristeći datu matricu A 5 Izračunati ( A+ I)( A I) ako je A = Rešiti matričnu jednačinu A XB = C ako je: A =, B = 0, C = 8-0 -

313 VEŽBA GRAFIKA U MATLAB-u postoji mnogo komandi za crtanje grafika Izgled grafika može se podešavati proizvoljnim izborom boje, debljine i vrste linija, unošenjem mreže, naslova, komentara i slično U ovoj vežbi obrađeno je crtanje dvodimenzionih grafika GRAFIČKO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJA JEDNE PROMENLJIVE Najjednostavniji način za grafičko predstavljanje, sa linearnom podelom na osama, je korišćenjem naredbe plot Prilikom crtanja otvara se grafički prozor za koji važe ista pravila kao kod Windows prozora Naredba ima oblik plot(,y) Argumenti i y su vektori, koji moraju imati isti broj elemenata PRIMER : Nacrtati vektor = (,,4,8,6) >> =[,,4,8,6];plot() Iz ovog primera možemo videti da je MATLAB za vrednosti nezavisno promenljive uzeo redni broj elementa, a njihove slike, su vrednosti vektora, tj tačke nacrtanog grafika imaju koordinate (,),(,),(,4),(4,8),(5,6) U opštem slučaju naredba plot() crta grafik spajajući tačke (i, (i)), i=,,,, N, gde je N dužina vektora

314 PRIMER : Nacrtati vektor dat koordinatama = (,,4,8,6) i y = (,, 4,8,6) >> =[,,4,8,6]; y=[-,,-4,8,6]; plot(,y) Naredba plot se koristi i za crtanje funkcija jedne promenljive U ovom slučaju mora unapred da se definiše domen promenljive u kome će funkcija biti nacrtana PRIMER : Nacrtati funkciju y >> =-: = - 0 >> y=*ep() y = >> plot(,y) = e u domenu [,]

315 >> =-:5: = >> y=*ep() y = >> plot(,y) >> =-::; >> y=*ep(); >>plot(,y) Napomena: U prvom slučaju koristili smo domen [,] i MATLAB je za vrednosti nezavisno promenljive uzeo tri uzastopne vrednosti, 0,, a funkcija je nacrtana kao izlomljena linija kroz tačke U drugom i trećem slučaju smo definisali korak 0,5 i 0,, pa je nezavisno promenljiva imala 5 i 0 vrednosti, a funkcija je nacrtana kao izlomljena linija kroz 5, odnosno 0 tačaka

316 PRIMER 4: U istom koordinatnom sistemu nacrtati funkcije y = i y = e, u domenu [,], sa korakom 0 >> =-::; y=* ;y=*ep(); plot(,y,,y) IZBOR VRSTE I OBLIKA LINIJE Naredbom plot u mogućnosti smo da biramo izbor oblika i boje linija Nareba ima oblik plot(,y,'vrsta linije boja') Simbol linije Opis Tačka o Krug -znak + Plus * Zvezda - Puna linija - Tačka crta : Tačkasta -- Isprekidana linija

317 Simbol boje y m s r g b k w Boja Žuta Ljubičasta Cijan Crvena Zelena Plava Crna Bela PRIMER 5: U predhodnom primeru, proizvoljno, uvedimo oznake za vrstu i boju linije >> =-::;y=*; y=*ep(); >> plot(,y,'g',,y,'m+') CRTANJE GRAFIKA FUNKCIJA Za crtanje grafika funkcija možemo da koristimo i naredbu fplot Nareba ima oblik fplot(f(),min,ma) f ( ) je funkcija koju crtamo, je vektor čiji je prvi element min, a poslednji element ma U naredbi fplot funkcija se piše pod navodnicima ' f '

318 PRIMER 6: Nacrtati funkciju = 9 >> y='^-9'; fplot(y,[-,]) y u domenu [,] OZNAČAVANJE GRAFIKA I OSA MATLAB nudi mogućnosti označavanja osa, pisanje različitog teksta i razne druge mogućnosti Oznaka title() label() ylabel() tet() gtet() grid Opis naziv grafika naziv ose naziv y ose naziv teksta na grafiku tekst na poziciji označenoj mišem crtanje linija mreže Tekst u predhodnim naredbama piše se u zagradi pod navodnicima Naredba hold on zadržava sliku na ekranu Suprotna njoj je naredba hold off U naredbi gtet korisnik naknadno sam određuje mišem mesto na koje želi da smesti tekst PRIMER 7: Nacrtati funkciju y sin tabele obeležiti sliku >> y='sin()';fplot(y,[-*pi,*pi]) >> hold on >> grid >> title('sinusna funkcija') = na domenu [ π,π ] i koristeći naredbe iz

319 >> label(' osa') >> ylabel('y osa') >> gtet('ma') sinusna funkcija ma 04 0 y osa osa Naredba subplot(m, n, p) formira više grafika na ekranu Ekran se deli na m n delova, a grafik se crta u p -tom delu ekrana PRIMER 8: Koristeći naredbu subplot nacrtati funkcije: y =, [,] ; y = e, [ 0,] ; y =, [,] ; y cos, [ π, π ] >> =-::; y=; >> =0:05:; y=*ep(); >> =-::; y=^; >> 4=-pi:pi/6:pi; y4=cos(4); >> subplot(,,),plot(,y) >> subplot(,,),plot(,y) >> subplot(,,),plot(,y) >> subplot(,,4),plot(4,y4) =

320 5 SKALIRANJE OSA Ose i y automatski se postavljaju na osnovu minimalne i maksimalne vrednosti koordinata Oznaka ais('equal') ais(min,ma,ymin,yma) ais('normal') ais('ais') ais Opis Provera se da li je priraštaj po osama isti Zadaju se granice u kojima će biti nacrtan grafik Vraćanje na prvobitne dimnezije grafika Vraćanje na prvobitno skaliranje Dobija se informacija o trenutnim dimenzijama PRIMER 9: Nacrtati funkciju y = sin za -π π, a zatim postaviti da domen po osi bude -π π, a po y osi bude, >> =-*pi:pi/6:*pi; y=sin();plot(,y),grid >> ais([-pi,pi,-,])

321 VEŽBA: π Nacrtati funkcije y = sin i y = cos u domenu od 0, π, sa korakom 6 Nacrtati funkciju = u proizvoljnom domenu i opisati je tekstom y Koristeći naredbu subplot nacrtati sledeće funkcije: y = ; y 4 = za: y = ; y = sin( ) ; a) [ 0,], 4 Nacrtati funkciju y = u domenu [-,] + 5 Nacrtati funkciju y 05 = 5 cos 6 u domenu [-,4] sa korakom 0,0 - -

322 VEŽBA 4 UPRAVLJANJE PROGRAMOM Računarski program je niz naredbi Kada je program jednostavan naredbe se izvršavaju jedna za drugom, po redosledu kako su napisane Međutim, postoje složeni programi kada se naredbe ne moraju tako izvršavati MATLAB ima više naredbi koje omogućavju korisniku da upravlja tokom programa To su naredbe: if, for, while, else, break, error, while Uslovni iskaz je naredba koja omogućava MATLABu da se odluči da li će izvršiti grupu naredbi koje slede ili će ih preskočiti U uslovnom izrazu mora se zadati uslov USLOVNI IZRAZ : IF Naredba if se koristi za uslovno izvršavanje programa Prilikom izvršavanja programa prvo se dolazi na iskaz if Ako je uslovni izraz u iskazu if tačan, program izvršava komande koje neposredno slede, sve do iskaza end Ako je uslovni iskaz netačan, program preskače komande između if i end i nastavlja da izvršava komande iza iskaza end Oblik petlje je if izraz naredbe end - -

323 if izraz naredbe else naredbe end if izraz naredbe elseif izraz naredbe else naredbe end - 4 -

324 Za unošenje vrednosti promenljive može da se koristi naredba input Naredba ima oblik ime promenljive=input ( tekst koji će biti prikazan u prozoru ) Za ispisivanje izlaznih rezultata koristi se naredba disp Naredba ima oblik disp( tekts koji će biti prikazan u prozoru ) PRIMER : Uneti godine starosti i ako je broj godina manji od na izlazu ispisati 'zabranjen alkohol', a u suprotnom izaći iz programa >> godine=input('godine su:'); Godine su: >> if godine < disp('zabranjen alkohol') end zabranjen alkohol >> godine=input('godine su :'); Godine su : >> if godine < disp('zabranjen alkohol') end - 5 -

325 U prvom slučaju uneti broj godina je bio manji od, pa smo na ekranu dobili ispis zabranjen alkohol U drugom slučaju je bio veći od i na ekranu nije bilo ispisa PRIMER : Uneti godine starosti i ako je broj godina manji od ispisati na izlazu 'zabranjen alkohol', a u suprotnom ispisati na izlazu 'dozvoljen alkohol' >> godine =input ('godine su:'); godine su: >> if godine < disp( 'zabranjen alkohol' ) else disp( 'dozvoljen alkohol' ) end dozvoljen alkohol PRIMER : Za unapred zadatu vrednost promenljive izračunati vrednost izraza y, tako da, ako je < sledi da je y =, za = je y =, inače je y = > =input('=') =4 = 4 >> if < y=-*; - 6 -

326 elseif = = y=; else y=*; disp(y) end 8 Napomena: Treba obratiti pažnju da u izrazu = = koristi se oznaka = =, a ne =, zato što se u ovom izrazu koristi logički operator za upoređivanje veličina USLOVNI IZRAZ: FOR- PETLJA for petlja omogućava ponavljanje dela programa zadati broj puta Završava se komandom end Oblik petlje: for promenljiva=izraz naredbe end PRIMER 4: Za sve vrednosti promenljive {,,, 4, 5} y = sin izračunati vrednost funkcije - 7 -

327 >> for =:5 y ()=sin(*); end >> y y= PRIMER 5 : Napisati matricu A 4 čiji se elementi izračunavaju po zakonu a( i, j) = i+ j >> for i=:4 for j=: A(i,j)=/(*i+j-); end end >> A A = U ovom primeru korišćena je dupla for petlja USLOVNI IZRAZ: WHILE - PETLJA `While petlja koristi se za ponavljanje skupa naredbi dokle god je neki uslov tačan i kada nije poznat broj prolaza kroz petlju unapred Uslov je obično neko poređenje u kome se koriste relacijski logički operatori Oblik petlje: while izraz naredbe end PRIMER 6: Izračunavati vrednosti promenljive, po zakonu =, dogod je 5 >> =; >> while <=5 =*; end >> = 6-8 -

328 Napomena: Na početku zadatka mora se definisati početna vrednost promenljive Kako funkcioniše nareba, preciznije se može videti, ako prikažemo sve međurezultate promenljive >> = >> while <=5 =* end = = = 4 = 8 = 6 Deo programa između while i end izvršava se sve dok je izraz koji sledi posle while istinit PRIMER 7: n ( ) 4 Izračunati zbir reda s = = + + sa tačnošću 0 ( n= n dogod je član veći od 0 ) >> s=0; >> n=; >> while abs((-)^n/n^)>0^(-4) s=s+(-)^n/n^; n=n+; end >> s s =

329 PRIMER 8: Neka je s n = Rešiti nejednačinu s n < 0 7!! n! >> n= ; p= ; s=0 ; >> while s<07 n=n+; p=p*n; s=s+/p; end >> n- ans = VEŽBA: Formirati matricu dimenzija 55 čiji se elementi formiraju po zakonu a( i, j) = i + j Za unete godine starosti, u zavisnosti da li je taj broj manji od ispisati na izlazu 'zabranjen alkohol', ako je broj godina veći od 65 ispisati 'alkohol zabranjen iz zdravstvenih razloga', inače, ispisati 'dozvoljeno piti umereno' Izračunati 5! koristeći petlje 4 Neka je a n = Rešiti nejednačinu a n < n - 0 -

330 VEŽBA 5 M-FAJLOVI (DATOTEKE) Svi dosadašnji primeri bili su izvršavani u komandnom prozoru Nedostatak ovakvog načina rada je gubljenje unetih podataka i svih dobijenih rezultata nakon završetka rada u MATLAB-u Zato se nameće potreba za formiranjem fajlova u koje se mogu smestiti programi, numerički rezultati, grafici, strukture, itd, a koji će ostati trajno sačuvani i po potrebi biti pozivani od strane korisnika Komande se upišu u fajlove, snime i zatim pokrenu Pokretanjem takvog fajla komande se izvršavaju redom kojim su navedene M fajlovi su specifičnost MATLAB-a To su fajlovi koji sadrže tekst u ASCII kodu i u imenu imaju ekstenziju m Postoje dve vrste M fajlova: komandni (script) i funkcijski (function) KOMANDNI ILI SKRIPT FAJLOVI Komandni ili skript fajl predstavlja niz MATLAB-ovih komandi snimljenih kao zaseban program, koje se izvršavaju kada se fajl pozove Formiranje fajlova vrši se korišćenjem editora teksta koji se u MATLAB programskom paketu pokreće tako što se iz menija File komandnog prozora bira komanda New, a zatim opcija M-file Tada se otvara nov prozor za pisanje programa Komande se pišu red po red MATLAB automatski dodeljuje broj novom redu kada se pritisne taster Enter Skript fajl mora biti snimljen da bi se mogao pokrenuti To se radi naredbom Save As iz menija File, posle čega bira se mesto gde će se snimiti fajl i ime pod kojim se snima Pravila za imena su ista kao i za imena promenljivih (počinju slovom, mogu sadržati cifre i imaju najviše 6 znaka) Imena skript fajlova ne mogu biti imena MATLAB-ovih komandi ili imena promenljivih koje definišete Fajl se poziva ukucavanjem njegovog imena u komandnoj liniji Program se izvršava ukucavanjem imena fajla bez ekstenzije i pritiskom na taster Enter - -

331 PRIMER : Napisati fajl za određivanje zbira kvadrata prvih deset prirodnih brojeva i sačuvati fajl pod imenom zbir Prvo je potrebno iz menija File komandnog prozora izabrati komandu New, a zatim opciju M-file U novootvorenom prozoru ukucati program za izračunavanje traženog zbira % ime ovog m fajla je zbir =:0; =[^]; z=sum() Fajl mora da se snimi naredbom Save As iz menija File U ovom primeru snima se pod imenom zbir Svaki put kada nam je potreban ovaj rezultat, dovoljno je samo otkucati reč zbir, pod kojim smo upamtili ovaj fajl i pritisnuti taster Enter Kao rezultat dobijamo: z = 85 Napomena: Ukoliko želimo da promenimo vrednosti u fajlu, moramo ga otvoriti, promeniti željene vrednosti i ponovo snimiti ovako izmenjeni fajl - -

332 PRIMER : Izmeniti fajl pod imenom zbir tako da broj sabiraka bude proizvoljan Vrednost promenljive uneti naredbom input =input('unesi broj željenih sabiraka ') y=:; y=[y^]; S=sum(y) Svaki put kada nam je potreban zbir kvadrata proizvoljno mnogo brojeva, dovoljno je samo otkucati reč zbir pod kojom smo upamtili ovaj fajl i uneti broj željenih sabiraka >> zbir unesi broj željenih sabiraka: = S = 59 FUNKCIJSKI FAJLOVI Funkcijski fajl omogućava korisniku MATLAB-a da stvara nove funkcije Funkcijski fajlovi se pišu i uređuju isto kao i skript fajlovi Osnovna osobina funkcijskog fajla je da ima ulaz i izlaz Funkcijski fajlovi moraju u prvoj liniji da sadrže naredbu function Naredba je oblika: function [ izlazni argumenti y, y, ] = ime funkcije (ulazni argumenti,, ) function ime funkcije (,, ) function [y, y, ] = ime funkcije Posle ovoga izraza sledi niz MATLAB - ovih komandi i izraza PRIMER : f = e + i Formirati funkcijski fajl u kome se definiše nova funkcija ( ) sin zapamtimo ga pod imenom fi % funkcijski fajl % ime nove funkcije je fi function y=fi() y=ep()+sin(); - -

333 Ako želimo da izračunamo vrednost ove funkcije, dovoljno je da pozovemo π funkciju fi i definišemo vrednost promenljive, na primer = >> fi(pi/) ans = 5805 PRIMER 4: f = e + pod Formirati funkcijski fajl u kome se definiše nova funkcija ( ) sin imenom fa, a da se vrednost nezavisno promenljive unesi korišćenjem naredbe input % ime nove funkcije je fa function y=fa =input('unesi promenljivu = ') y=ep()+sin(); Pozivanjem funkcije fa i odgovorom na postavljeno pitanje dobićemo odgovor: >> fa unesi promenljivu = = ans = 067 PRIMER 5: Formirati funkcijski fajl pod imenom ime kojim se određuje broj slova u nekom imenu % funkcijski fajl ime kojim se određuje broj slova u imenu function br() =input('unesi svoje ime:','s') % oznaka s u naredbi označava da se unose stringovi n=length(); disp(['broj slova u imenu je',numstr(n)]) >> ime unesi svoje ime: ivana = ivana broj slova u imenu je 5 U naredbi disp, tekst je definisan kao dvodimenzioni vektor, čija je prva komponenta znak (string), a druga koja kao rezultat programa daje broj koji mora da se naredbom numstr prebaci u znak (string) - 4 -

334 PRIMER 6: Formirati funkcijski fajl pod imenom element, za izračunavanje elemenata matrice dimentija n m, gde je aij = sin ( ij i) za i = j, a aij = sin ( ij i) + za i j % izračunavanje elemenata matrice function a=element(i,j) if i= =j a=sin(*i*j-i); else a=sin(*i*j-i)+05; end Ako želimo da odredimo bilo koji element naše matrice, na primer element (,), pozvaćemo formirani fajl pod imenom element: >> element(,) ans = Koristeći formirane fajlove možemo formirati nove funkcijske fajlove PRIMER 7: Formirati funkcijski fajl pod imenom matrica, za definisanje matrice prizvoljnog reda n m, čiji su elementi dati funkcijskim fajlom pod imenom element % formiranje matrice čiji su elementi sinusne funkcije iz fajla pod imenom element % ime novog fajla je matrica function A=matrica(m,n) for i=:m for j=:n A(i,j)=element(i,j); end,end Ako želimo da definišemo neku određenu matricu na primer matricu sa vrste i kolone možemo postupiti na sledeći način: >> matrica(,) ans =

335 VEŽBA: Napraviti skript fajl za crtanje funkcije y cos imenom funkcija Neka je a n = n za razne vrednosti parametra k =, na intervalu ( π, π ) pod Definisati fajl kojim se rešava nejednačina an Formirati funkcijski fajl pod imenom si kojim se izračunava funkcija izračunati π si si, ( 0) < k, sin(), zatim 4 Formirati funkcijski fajl pod imenom ime kojim svako unosi svoje ime i prezime, prebrojava broj slova i ako je taj broj manji od 5 određuje moduo i argument kompleksnog broja z = + i, ako je broj slova između 5 i 0 definiše jediničnu matricu, a ako je veći od 0 izračunava sumu kvadrata prvih 00 prirodnih brojeva 5 Napravite skrip fajl pod imenom kvadkoreni koji računa realna rešenja jednačine a + b + c = 0 Koefcijente a,b,c unosi korisnik, diskriminanta se računa po formuli d = b 4ac Ako je: i d > 0 prikazuje poruku Jednačina ima rešenja i izračunava, ii d = 0 prikazuje poruku Jednačina ima rešenje i izračunava ga iii d < 0 prikazuje poruku Jednačina nema rešenje Napomena rešenja se računaju po formuli, b ± b 4ac = a - 6 -

336 VEŽBA 6 JEDNAČINE I SISTEMI ALGEBARSKIH JEDNAČINA SREĐIVANJE POLINOMA Za izračunavanje rešenja, korena, odnosno nula polinoma koristi se naredba roots Naredba ima oblik r = roots (p) r je vektor koji sadrži rešenja polinoma, a p vektor koji sadrži koeficijente polinoma PRIMER : Odrediti nule polinoma >> p=[ -5 6]; >> r=roots(p) r = = 0 Sa druge strane, kada su poznata rešenja polinoma, pomoću naredbe poly mogu se odrediti koeficijenti polinoma, odnosno napisati polinom Naredba ima oblik p=poly (r) r je vektor koji sadrži rešenja polinoma, a p je vektor koji sadrži koeficijente polinoma PRIMER : Odrediti polinom čija su rešenja = i = >> r=[ ]; >> p=poly(r) p = -5 6 Dakle, traženi polinom je

337 Vrednost polinoma u tački može se izračunati pomoću funkcije polyval Naredba ima oblik: polyval (p,) gde je p vektor koji sadrži koeficijente polinoma, a je broj, promenljiva kojoj je dodeljena vrednost ili izraz koji se može računati PRIMER : Za polinom: 5 4 = nacrtati grafik polinom za >> p=[ ] p = >> polyval(p,9) ans = 76e+00 >> =-5:0:67; >> y=polyval(p,); >> plot(,y) f ( ) 88 izračunati () 9 f i - 8 -

338 OPERACIJE SA POLINOMIMA Polinomi se sabiraju i oduzimaju tako što se saberu, odnosno oduzmu koeficijenti polinoma (odgovarajućih monoma) PRIMER 4: Sabrati polinome p ( ) = 4+ 6 i 4 p ( ) = >> p=[ ]; >> p=[ -7 - ]; >> p=[0 p]+p p = Kako polinomi nisu istog stepena kraći vektor se mora dopuniti nulama da bi bio iste veličine kao duži vektor Polinomi se množe pomoću naredbe conv Naredba ima oblik c=conv (a,b) c je vektor koeficijenata polinoma rezultata, a a i b su vektori koeficijenta polinoma koji se množe PRIMER 5: Pomnožiti polinome p i p >> c=conv(p,p) c = Dakle, rešenje je polinom Polinomi se dele pomoću naredbe deconv Naredba ima oblik [q,r]=deconv (a,b) q je vektor koeficijenata polinoma količnika, r vektor koeficijenata polinoma ostatka, a je vektor koeficijenta polinoma brojioca, b je vektor koeficijenta polinoma imenioca - 9 -

339 PRIMER 6: Podeliti polinome p ( ) = + + i ( ) >> p=[ 9 7-6]; >> p=[ ]; >> [q r]=deconv(p,p) q = - r = p = + Dobijamo da je količnik polinom +, bez ostatka REŠAVANJE JEDNAČINA SA JEDNOM PROMENLJIVOM Jednačina sa jednom promenljivom ima oblik f ( ) = 0 Za izračunavanje nula funkcije koristi se naredba fzero Naredba ima oblik =fzero('funkcija',0) je skalarna vrednost Funkcija se unosi u obliku znakovnog niza ( string ) Funkcija se prethodno može definisati u funkcijskom fajlu, a ime funkcije se zadaje u obliku znakovnog niza 0 je vrednost promenljive u blizini mesta gde funkcija preseca osu 0 može biti skalar čija je vrednost bliska tački preseka funkcije sa osom ili vektor sa dva elementa čije su vrednosti tačke na suprotnim stranama rešenja Ako ima više rešenja svako se izračunava za sebe Početno rešenje 0 se može odrediti grafičkim putem Funkcija fzero pronalazi samo rešenja u kojima funkcija preseca osu PRIMER 7: Naći rešenja jednačine e = 0 Približna rešenja određujemo grafički >> fplot('*ep(-)-0',[0 8]);grid - 0 -

340 Sa slike čitamo da su približna rešenja 0, i,8 >> =fzero('*ep(-)-0',0) = 059 >> =fzero('*ep(-)-0',8) = REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA Za rešavanje sistema od n linearnih jednačina sa n nepoznatih mogu da se koriste razne metode: Gausova, Kramerova, matrična 4 Kramerova metoda Kramerova metoda ili metoda determinanti Promenljive se izračunavaju po formulama Dj j =, ( D 0, j =,,, n), D gde je D determinanta tog sistema, a D j je pomoćna determinanta dobijena tako što su u D koeficijenti uz j zamenjeni, redom, slobodnim članovima b j Sistem ima jedinstveno rešenje ako je D 0 - -

341 PRIMER 8: Kreirati fajl Cramer za rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina koristeći Kramerovo pravilo % Novi fajl pod imenom Cramer %Rešavanje sistema AX=B- Cramerovim pravilom % m,n su dimenzije matrice A % samo kvadratni sistemi se mogu rešavati ovom metodom function X=Cramer(A,B) %određivanje dimenzija matrice A [m,n]=size(a); if m ~= n, error('matrica nije kvadratna-ne moze da se primeni Kramerova metoda'), end if det(a)==0, error('matrica je singularna-determinanta joj je nula'), end for j=:n, C=A; C(:,j)=B; X(j)=det(C)/det(A); end X=X'; PRIMER 9: Koristeći kreirani fajl Cramer rešiti sistem jednačina 4y z = 0 + y+ z = 6 + 6y = 6 >> A=[ 4 ; ; 6 0]; >> B=[0 ; 6 ; 6]; >> Cramer(A, B) ans = 0 4 PRIMER 0: Koristeći kreirani fajl Cramer rešiti sistem jednačina + y+ z = + y z = 6y+ z = - -

342 >> A=[ ; ; 6 ] A = >> B=[;;] B = Cramer(A,B)??? Error using ==> cramer Matrica je singularna 4 Matrična metoda Matričnom metodom, sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih, mora da se napiše u obliku AX = B, gde je A matrica sistema, X matrica nepoznatih, a B matrica slobodnog člana Rešenje dobijamo iz jednačine X = A B, samo ako postoji inverzna matrica A, odnosno ako je njena determinanta različita id nule PRIMER : Rešiti sistem jednačina matričnom metodom + y+ z = + y z = 6y+ z = >> A=[- ; -; -6 -] A = >> B=[;;] B = >> X=inv (A)*B X =

343 PRIMER : Rešiti sistem jednačina matričnom metodom i koristeći kreirani fajl Cramer Uporediti ovako dobijena rešenja + y+ z = + 5y+ z = 9 + y+ z = 4 >> M=[,, ;, 5, ;,, ] M = 5 >> N=[ ; 9 ; 4] N = 9 4 >> X=inv(M)*N X = >> X=Cramer(M,N) X = - 4 -

344 VEŽBA: Rešiti jednačinu + = 0 koristeći naredbu fzero 4 4 Nacrtati grafik polinoma y = u opsegu A X + X B = 0, ako je A = 0 i B = Rešiti sistem jednačina matričnom metodom i koristeći kreirani fajl Cramer Uporediti ovako dobijena rešenja + y z = y + z = + z = 7 5 Napisati skript fajl kojim se za unete polinome: p()= i q()= , određuje proizvod, količnik i nule(koreni) zbira polinoma - 5 -

345 VEŽBA 7 SIMBOLIČKA MATEMATIKA Sve matematičke operacije koje smo do sad koristili bile su numeričke Zadati izrazi sadržali su brojeve i promenljive kojima su predhodno dodeljene numeričke vrednosti Rezultat takvih operacija je numerička vrednost ( broj ili vektor brojeva) Sa druge strane, mnogi matematički problemi zadati su izrazima koji sadrže simboličke promenljive, koje nemaju numeričku vrednost u trenutku izvršenja Rezultat takvih operacija je simbolički izraz Symbolic Math Toolbo nam omogućava da radimo sa simboličkim promenljivim Komande i funkcije za simboličke operacije imaju istu sintaksu i stil rada kao komande za numeričke operacije SIMBOLIČKI OBJEKTI I IZRAZI Simbolički objekti mogu biti promenljive ( kojoj nije dodeljena numerička vrednost ), brojevi ili izrazi sastavljeni od simboličkih promenljivih i brojeva Naredbe za definisanje simboličkih promenljivih su sym ili syms Naredba ima oblik ime objekta = sym ( ' znakovni izraz' ) >> a=sym('a') a= a PRIMER : Napisati 5 kao simboličku, a zatim kao numeričku promenljivu > s=sym('5') s = 5 >> s=5 s = 5-6 -

346 Napomena: Rezultat u prvom slučaju je simbolička promenljiva i rezultat se prikazuje na ekranu sa uvlakom, nasuprot drugom rezultatu koji je numerički rezultat i na ekranu se prikazuje bez uvlake Naredba syms koristi se za definisanje više simboličkih objekata Syms ime promenljive ime promenljive PRIMER : Napisati simbolički izraz >>% Prvi nacin >> syms a b c >> f=a*^+b*+c f = a*^+b*+c >>% PDrugi nacin >> f= a*^+b*+c f = a*^+b*+c f = a + b + c To možemo učiniti na dva načina: Napomena: Za razliku od predhodnog primera gde smo definisali sve ulazne promenljive i dobili simbolički izraz f, u drugom primeru nismo definisali ulazne promenljive i samim time sa simboličkim izrazom f ne možemo vršiti nove operacije u kojima učestvuju promenljive a,b,c,, jer ih nismo posebno definisali Na primer ne možemo sabrati izraz f i promenljivu PRIMER : Izračunati vrednost izraza y = + b za a = i b = 4 Prvo uzeti da su a i b a simboličke promenljive, a zatim ih zadati kao numeričke vrednosti > a=sym();b=sym(4); >> c=/a+sqrt(b) c = 8/ >> a=;b=4; >> c=/a+sqrt(b) c =

347 Napomena: Ako računamo sa simboličkim promenljivama rezultat je tačna brojna vrednost i vidi se na ekranu bez uvlake, a u drugom slučaju rezultat je približna numerička vrednost REŠAVANJE JEDNAČINA Rešavanje jednačina i sistema jednačina vrši se naredbom solve() Naredba ima oblik : s=solve(jednačina) s=solve(jednačina, promenljiva ) PRIMER 4: Rešiti jednačinu 5= 0 > syms >> y=solve(*-5) y = 5/ Jednačina sadrži jednu ulaznu simboličku promenljivu, a rešenje je broj, dat kao simbolička promenljiva PRIMER 5: Rešiti jednačinu a + b + c = 0 >> syms a b c >> solve(a*^+b*+c) ans = [ //a*(-b+(b^-4*a*c)^(/))] [ //a*(-b-(b^-4*a*c)^(/))] Jednačina sadrži više ulaznih simboličkih promenljivih, abc,,, a rešenje je simbolička promenljiva u funkciji ulaznih parametara abc,, REŠAVANJE SISTEMA JEDNAČINA Naredbe imaju oblik : [r,r,]=solve (jednačina, jednačina,) rezultat=solve(jednačina, jednačina,, promenljiva promenljiva,,) - 8 -

348 PRIMER 6: Rešiti sistem jednačina + 5y = i y = 4 >> [,y]=solve( '+5*y-','*-y-4') = / y = / Napomena: Kako je sistem saglasan i ima jednoznačno rešenje, mi ga vidimo na ekranu kao par simboličkih brojeva PRIMER 7: Rešiti sistem jednačina + 5yz = i y = 4 >> [,y]=solve( '+5*y*z-','*-y-4') = (0*z+)/(+0*z) y = /(+0*z) Napomena: Kako je sistem saglasan, a ima beskonačno mnogo rešenja, mi rešenje vidimo na ekranu kao simboličku promenljivu izraženu u funkciji promenljive z PRIMER 8: Odrediti presek kruga + y = 4 i prave y = 0 >> syms y > [ y]=solve('^+y^-4','y--') = 4-5 y = CRTANJE GRAFIKA KRIVE SIMBOLIČKOG IZRAZA Crtanje grafika simboličkog izraza se radi korišćenjem naredbe ezplot Naredba ima oblik : ezplot(s) ezplot(s,[min,ma,ymin,yma]) - 9 -

349 S je simbolički izraz krive koja se crta U prvoj naredbi ezplot(s) grafik se crta u π,π, a u drugoj sami zadajemo domen promenljive i domenu ( ) promenljive y PRIMER 9: Nacrtati grafik funkcije >> syms >> y=^+*+; >> ezplot(y) y = PRIMER 0: Nacrtati grafik funkcije >> syms >> y=cos(); >> ezplot(y,[0,4*pi]) y = cos, na intervalu ( 0, 4π ) cos()

350 VEŽBA: Rešiti jednačinu Rešiti jednačinu a = 0 + 5b = 0 Rešiti sistem jednačina y = 0 i + y+ 4= 0 4 Nacrtati funkciju y = e + u različitim domenima 5 Ispitati uzajamni položaj kruga + y = i pravih a) + y 4= 0, b) + y = 0, c) + y = 0 Zadatak uraditi računski i grafički - 4 -

351 VEŽBA 8 GRANIČNA VREDNOST I IZVOD FUNKCIJE GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE Naredbom limit računa se granična vrednost simbolički zadate funkcije Naredba ima oblik limit(f,a) gde je f funkcija, a vrednost kojoj teži nezavisno promenljiva PRIMER : Naći graničnu vrednost funkcije >> syms >> limit( (^-)/(^+*-),) ans = / lim + PRIMER : Naći graničnu vrednost funkcije lim >> syms >> limit( (^-)/(^+*-),inf) ans = + IZVOD FUNKCIJE Naredbom diff dobija se izvod simbolički zadate funkcije Naredba ima oblik diff(f) diff(f,n) prvi izvod funkcije, n-ti izvod funkcije - 4 -

352 PRIMER : Naći prvi izvod funkcije y = sin >> syms >> y=^*sin(); >> diff(y) ans = *^*sin()+^*cos() >> pretty(ans) sin() + cos() PRIMER 4: Naći drugi izvod zadate funkcije >> syms >> y=^*sin(); >> diff(y,) ans = 6**sin()+6*^*cos()-^*sin() PRIMENE IZVODA Odeđivanje ekstremnih i prevojnih tačaka Ekstremne vrednosti funkcije dobijamo kao nule prvog izvoda funkcije, a prevojne tačke kao nule drugog izvoda funkcije Naredba double pretvara simboličku promenljivu u numeričku, dvostruke preciznosti sa decimalnim zarezom PRIMER 5: Odrediti ekstremne i prevojne tačke funkcije y = e ( ) >> syms >> y=ep()*(*-*^) ; >>% izracunavanje ekstrema >> E=diff(y) E = ep()*(*-*^)+ep()*(-4*) >>% nule prvog izvoda >> e=solve(e) e = - 4 -

353 -/ >>% prebacivanje simbolickih vrednosti u numericke >> ed=double(e) ed = >> y=ep()*(*-*^) y = 78 >> double(y) >> y=ep(-5)*(*(-5)-*(-5)^) y = -008 >>% izracunavanje prevoja >> P=diff(y,) P = ep()*(*-*^)+*ep()*(-4*)-4*ep() >>% nule drugog izvoda >> p=solve(p) p = -5/4+/4*4^(/) -5/4-/4*4^(/) >>% prebacivanje simbolickih vrednosti u numericke >> p=double(p) p = >> yp=ep( 0508)*(*( 0508)-* (0508)^) yp = 45 >> yp=ep( -8508)*(*( -8508)-* ( -8508)^) yp = -48 U predhodnom primeru nismo bili dovoljno precizni Nule prvog izvoda koje smo odredili predstavljaju samo stacionarne tačke, odnosno, moguće ekstreme Da bismo odredili da li su izračunate stacionarne tačke zaista ekstremi, moramo ispitati promenu znaka pravog izvoda u njima, ili koristiti znak drugog izvoda Ako je 0 dobijena stacionarna tačka i y ( 0 ) > 0 u toj tački funkcija ima minimum,

354 y ( 0 ) < 0 u toj tački funkcija ima maksimum y ( ) Ako je 0 = 0, ne možemo odrediti vrstu ekstrema PRIMER 6 : Odrediti ekstremne tačke funkcije y = e Primer ćemo rešiti uz pomoć M fajla koji ćemo nazvati stacionarna_tacka i if iskaza % M file nazvati stacionarna_tacka syms y=input('unesite funkciju') y=diff(y) =solve(y) y=diff(y) 0=input('Unesite nule prvog izvoda: ') y0= input ('Unesite drugi izvod u funkciji 0: ') if y0< 0 disp('funkcija ima maksimum') elseif y0> 0 disp('funkcija ima minimum') else disp('ne moze se odrediti ekstrem') end Pozivamo fajl u komandnom prozoru >> stacionarna_tacka Unesite funkciju: *ep() y = *ep() y = ep()+*ep() = - y = *ep()+*ep() Unesite nule prvog izvoda: - 0 =

355 Unesite drugi izvod u funkciji 0: *ep(0)+0*ep(0) y0 = 0679 Funkcija ima minimum PRIMER 7 : Nacrtati funkciju y = i tekstom opisati sliku >> syms >> y=^/(-); >> limit(y,) ans = NaN >> limit(y,inf) ans = Inf >> solve(y) ans = 0 0 >> ezplot(y) >> grid, hold on >> gtet('nula(0,0)') >> d=diff(y) d = */(-)-^/(-)^ >> s=solve(d) s = 0 4 >> y=0^/(0-) y = 0 >> y=4^/(4-) y = 8 >> gtet('ma(0,0)') >> gtet('min(4,8)') >> label(' osa') >> ylabel('y osa')

356 /(-) 0 5 y osa ma(0,0) nula(0,0) min(4,8) osa Tejlorova formula Naredbom taylor određuje se Tejlorov odnosno Maklorenov polinom kojim se aproksimira data funkcija Naredba ima oblik taylor(f) određuje se Maklorenov polinom petog stepena kojim se aproksimira data funkcija, taylor(f,n) određuje se Maklorenov polinom n- vog stepena kojim se aproksimira data funkcija, taylor(f,a) određuje se Tejlorov polinom petog Stepena u okolini tačke a kojim se aproksimira data funkcija PRIMER 8: Odrediti Maklorenov polinom funkcije y = e >> syms >> taylor(ep(-)) ans = -+/*^-/6*^+/4*^4-/0*^5 >> pretty(ans) / - /6 + /4 - /0-47 -

357 PRIMER 9: Odrediti Tejlorov polinom šestog stepena funkcije u okolini tačke >> syms >> taylor(sin(),pi/,7) ans = -/*(-/*pi)^+/4*(-/*pi)^4-/70*(-/*pi)^6 >> pretty(ans) / ( - / pi) + /4 ( - / pi) - /70 ( - / pi) π = PRIMER 0: Odrediti Maklorenove polinome prvog trećeg i petog stepena funkcije i grafički predstaviti y = sin % Maklorenovim polinomima prvog, treceg i petog stepena aproksimirati % funkciju sin() i graficki predstaviti syms y=sin(); t=taylor(y,),t=taylor(y,5),t5=taylor(y,7) t = t = -/6*^ t5 = -/6*^+/0*^5 % crtanje funkcije i njenih polinoma ezplot(y,[-,]),grid,hold on, ezplot(t,[-,]),ezplot(t,[-,]),ezplot(t5,[-,]) %obelezavanje slike gtet('y'),gtet('t'),gtet('t'),gtet('t5') title('aproksimacija funkcije polinomima prvog, treceg i petog stepena')

358 aproksimacija funkcije polinomima, prvog, treceg i petog stepena t t 05 t5 0 y Lagranžova teorema Ako je funkcija definisana na intervalu [ a, b], neprekidna i diferencijabilna na f ( a, b) onda postoji tačka c ( a, b) takva da je () ( b) f ( a) f ' c = b a Geometrijski to znači da će u tački c tangenta funkcije biti paralelna sa pravom f a b, f b koja prolazi kroz tačke ( a, ( )) i ( ( )) PRIMER : Definisati fajl pod imenom lagr kojim se određuje tačka c na intervalu [,4] koja zadovoljava uslove Lagranžove teoreme za funkciju f ( ) = % fajl pod imenom lagr % Lagranzova teorema srednje vrednosti % interval [a,b] syms a=input ('a='); b=input ('b='); y=sqrt() k=(sqrt(b)-sqrt(a))/(b-a); % izvod funkcije df=diff(y) % nule prvog izvoda funkcije c=solve(df-k); yc=sqrt(c); pretty (c) c,yc

359 >> lagr a= b=4 y = ^(/) df = //^(/) c = 9/4 yc = / U ovom primeru tačka c je pripadala traženom intervalu [, 4 ], pa su bili ispunjeni uslovi teoreme PRIMER : Odrediti tačku c na intervalu [,] koja zadovoljava uslove Lagranžove teoreme za funkciju f ( ) = arcsin Formirati fajl pod imenom lagr kojim se definiše teorema Grafički predstaviti i tekstom opisati sliku % Lagranzova teorema za funkciju y=arcsin() % interval (-,) sa grafickim prikazom syms a=-;b=; k=(asin(b)-asin(a))/(b-a); df=diff(asin()) % tražena tačka c=solve(df-k); c=double(c); n=length(c) % provera da li tacka pripada datom intervalu for i=:n if c(i)<a c(i)>b disp(['uslovi teoreme nisu zadovoljeni za c=' numstr(c(i))]) else disp(['odgovor c=' numstr(c(i))]) end end % graficko predstavljanje teoreme y=asin(); % grafik funkcije ezplot(y,[-5,5]),hold on title('graficko predstavljanje Lagranzove teoreme') label(' osa')

360 ylabel('y osa') =[a,b] y=[asin(a),asin(b)] % grafik secice kroz tacke sa apsicisama a i b plot(,y,'m') % dodirne tacke tangenti i krive plot(c(i),asin(c(i)),'b*') % k je koeficijent pravca secice % p, su tangente kroz dve dodirne tacke for i=:n p(i)=k*(()-c(i))+asin(c(i)); % grafik tangenti ezplot(p(i),[-5,5]) title('graficko predstavljanje Lagranzove teoreme') label(' osa') ylabel('y osa') end gtet('tangenta u prvom dodiru') gtet('tangenta u drugom dodiru') gtet('secica') >> lagr df = /(-^)^(/) n = odgovor c=0778 odgovor c=-0778 = - y =

361 graficko predstavljanje Lagranzove teoreme y osa tangenta u prvom dodiru secica tangenta u drugom dodiru osa VEŽBA: Izračunati lim Izračunati lim Naći prvi izvod funkcije y = e 4 Naći deseti izvod funkcije y = n e f = + + razviti u Maklorenov polinom četvrtog stepena i nactrati sliku f 5, zadovoljava 5 Funkciju ( ) ln( ) 6 Dokazati da funkcija ( ) = na segmentu [ ] uslove Lagranžove teoreme i odrediti odgovarajuću vrednost c Grafički predstaviti 7 Nacrtati i opisati sliku funkcije y = e 8 Nacrtati i opisati sliku funkcije y = - 5 -

362 VEŽBA 9 INTEGRALI Neodređeni integral Naredbom int izračunava se neodređeni integral simbolički zadate funkcije Naredba ima oblik: int(f) int(f, ') ukoliko je funkcija konstanta i vraća vrednost funkcije u odnosu na promenljivu PRIMER : + 5 Izračunati integral d + + >> syms >> f=(*+5)/(^+*+); >> int(f) ans = /*log(^+*+)+*atan(+) >> pretty(ans) / log( + + ) + atan( + ) PRIMER : Izračunati integral 5 d > % broj 5 se mora prebaciti u simboličku promenljivu >> y=sym('5') y = 5 >> % sada se može izračunati vrednost integrala >> int(y,'') ans = 5* - 5 -

363 PRIMER : Izračunati integral ( )d >> syms >> f=(5*^ + *^ -5*(sqrt()) +9) f = 5*^+*^-5*^(/)+9 >> r =int(f) r = 5/4*^4+^-0/*^(/)+9* >> pretty(r) 4 / 5/ / + 9 PRIMER 4 : Izračunati integral d + >> syms >> f=(*sqrt() + ^(/)) / f = (^(/)+^(/))/ >> r =int(f) r= /*^(/)+*^(/) >> pretty(r) / / / + Određeni integral b Određeni integral a int(f,a,b) gde su a i b granice integracije f ( ) d izračunavamo naredbom PRIMER 5: + + Izračunati d ( )( )

364 >> syms >> f=(*^+*+)/*(-)*(-); >> int(f,,) ans = /4+4*log()-4*log() >> pretty(ans) /4 + 4 log() - 4 log() >> double(ans) ans = 98 7 d PRIMER 6 : Izračunati integral 8 >> syms >> f=/^(/) f = /^(/) >> r =int(f,8,7) r= /*7^(/)-/*8^(/) >> pretty(r) >> double(r) ans = / / / 7 - / 8 d PRIMER 7 : Izračunati integral + >> syms >> f=/(+*sqrt(-)) f = /(+*(-)^(/)) >> r =int(f,,) r = -+*log() >> pretty(r) - + log() >> double(r) ans =

365 PRIMER 8: 9 Izračunati integral sin d >> syms >> f=*sin() f = *sin() >> r =int(f,,9) r = sin(9)-9*cos(9)-sin()+*cos() >> pretty(r) sin(9) - 9 cos(9) - sin() + cos() >> double(r) ans = 550 Nesvojstveni Integral Nesvojstvene integrale izračunavamo istom naredbom kao i određene integrale Oznaka za beskonačnu granicu je inf (infinity) PRIMER 9: Izračunati nesvojstveni integral e d >> syms >> y=*ep(-^); >> int(y,,inf) ans = /*ep(-) >> pretty(ans) >> double(ans) ans = 089 / ep(-) PRIMER 0 : d Izračunati nesvojstveni integral

366 >> syms >> f= /(+^) f = /(+^) >> r =int(f,0,) r = /4*pi >> pretty(r) >> double(r) ans = /4 pi PRIMER : Izračunati nesvojstveni integral >> syms >> f= /(+^) f = /(+^) >> r =int(f,-,) r = /*pi >> pretty(r) >> double(r) ans = 5708 / pi d + PRIMER : + Izračunati nesvojstveni integral >> syms >> f=/(+^) f = /(+^) >> r =int(f,-inf,inf) r = pi d

367 VEŽBA: Odrediti sledeće integrale : + 5 a) neodređene d + + b) određene, π 7 d, d cos e d,, ln c) nesvojstvene d, d + Odrediti sledeće integrale : cos a) neodređene d, sin cos b) određene c) nesvojstvene e + d, 0 I = e d, b e + d e, a I = sin cos d ( ) + d

368 VEŽBA 0 INTEGRALI PRIMENA Dužina luka krive Ako je zadata funkcija y = f ( ) [ a, b], dužina luka krive l izračunava se po obrascu, neprekidna i diferencijabilna na segmentu b y d a l = + PRIMER : Izračunati dužinu luka krive y = ln( ) na intervalu, >> syms >> y=log(-^); >> f=sqrt(+diff(y)^); >> l=int(f,-/,/) l = -+*log() >> double(l) ans = 97 PRIMER : Izračunati dužinu luka parabole >> syms >>% granice integracije su =0 i = >> y=^; >> f=sqrt(+diff(y)^); >> l=int(f,0,) l = 7^(/)-/4*log(-4+7^(/)) >> double(l) ans = y = između tačaka A(0,0) i B(,4)

369 PRIMER : Izračunati dužinu luka krive y = ln na intervalu, 4 5 >> syms >> y=log(); >> f=sqrt(+diff(y)^); >> l=int(f,/4,/5) l = 7/0-atanh(5/)+atanh(4/5) >> double(l) ans = 04 Izračunavanje površina Funkcija fill se koristi za obelezavanje površine na dobro poznatom objektu Naredba ima oblik fill(, y, boja ) Funkcija koju posmatramo uzima tri ulazna parametra: dva polja, ovde imenovanih i y Oni sadrže i y koordinate ivica poligona koje treba popuniti i definišemo ih u obliku ([p k],[yp y yk]), gde je p, yp početna tačka ivice poligona, a k, yk krajnja tačka ivice poligona koji tražimo Treći parametar je boja koju korisnik odabire da bi popunio objekt Naredba fill će popuniti sav prostor između zadate krive y i prave koja prolazi kroz tačke, (p, yp), (k, yk) PRIMER 4: Data je funkcija y = na intervalu 5 5 Obeležiti oblast ograničenu datom funkcijom i pravom koja prolazi kroz krajnje tačke zadatog intervala

370 >> =-5:5; >> p=-5;yp=-5; >> k=5;yk=5; >> y=^; >> fill([-5,,5],[-5,y,-5],'b') Napomena: Površina koju senčimo mora da bude zatvorena PRIMER 5: Data je funkcija y = na intervalu 0 Obeležiti oblast ograničenu datom funkcijom i pravom koja prolazi kroz krajnje tačke zadatog intervala i izračunati brojnu vrednost površine >> % domen nezavisno promenljive je (0,) >> =0:000:; >> % (p,yp) je početna tačka zadatog intervala >> % (k,yk) je krajnja tačka zadatog intervala >> p=0;yp=0; >> k=;yk=; >> y=^; >> fill([0,,],[0,y,],'r') - 6 -

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...

x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve... 1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1

Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα