ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΔΙΑΣΤΡΩΜΑΤΟΜΕΝΩΝ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΚΟΣ Κ. ΥΦΑΝΤΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2016 ΠΑΤΡΑ

2 Στη Χαριτίνη

3 i Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα της διατριβής, Καθηγητή κ. Δημήτρη Λ. Καράμπαλη, ένα σπάνιο άνθρωπο και εξαιρετικό επιστήμονα, για την δυνατότητα που μου πρόσφερε να εκπονήσω την παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή, για την συνεχή επιστημονική του καθοδήγηση και για την ανεκτίμητη υποστήριξή του για την επίτευξη των στόχων μου. Ευχαριστώ θερμά τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Μανώλη Σφακιανάκη και τον αναπληρωτή Καθηγητή κ. Ευστάθιο Μπούσια για την κριτική ανάγνωση του κειμένου και την συμμετοχή τους στην τριμελή επιτροπή για την αξιολόγηση της παρούσας εργασίας. Ευχαριστώ θερμά την υποψήφια διδάκτωρ του Τμήματος Παρασκευή Ασκούνη για το κλίμα συνεργασίας και βοήθειας που δημιούργησε, καθώς και τον διδάκτωρ Ανδρέα Μαραβά για την βοήθεια και συνεργασία σε διάφορες φάσεις της παρούσας εργασίας. Ευχαριστώ την ξαδέρφη μου και υποψήφια διδάκτωρ Μαρίνα Πεππέ για την στήριξη και την παρέα κατά την διάρκεια συγγραφής της παρούσας διατριβής. Ήταν πάντα διπλά μου να με βοηθήσει να συνεχίσω. Τέλος, θα είμαι πάντοτε ευγνώμων στην οικογένεια μου και στους φίλους μου, που στέκονται πάντα δίπλα μου.

4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ii Στην παρούσα εργασία εξετάζεται η μελέτη του φαινομένου της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής όταν αυτή θεμελιώνεται επί άκαμπτων ή εύκαμπτων επιφανειακών θεμελιώσεων. Αρχικά, εξετάζεται η περίπτωση θεμελίωσης που εδράζεται σε ισότροπο, ελαστικό στρώμα εδάφους πάνω σε βραχώδες υπόστρωμα (bedrock) και στο τέλος επιχειρείται η επέκτασή του στην περίπτωση ημιχώρου. Στόχος της εργασίας είναι η ανάπτυξη ενός διακριτού μοντέλου για την επιφάνεια του εδάφους, το οποίο θα δύναται να χρησιμοποιηθεί για την δυναμική ανάλυση επιφανειακών θεμελίων. Το προτεινόμενο διακριτό μοντέλο βασίζεται σε προσεγγιστικές κλειστές σχέσεις για την δυσκαμψία και απόσβεση στον οριζόντιο, κατακόρυφο και λικνιστικό βαθμό ελευθερίας του εδάφους, δίνοντας έτσι την δυνατότητα να αντικατασταθεί το έδαφος από ένα ισοδύναμο σύστημα ελατηρίων και αποσβεστήρων. Για την δημιουργία των σχέσεων αυτών, ο εδαφικός χώρος διακριτοποιείται με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και το προγράμμα ACS SASSI για διαφορετικά βάθη του βραχώδους υποστρώματος. Στην συνέχεια, υπολογίζονται οι μετακινήσεις στην επιφάνεια του εδάφους για διαφορετικές συχνότητες φόρτισης και με αντιστροφή αυτών υπολογίζονται οι αντίστοιχες δυναμικές δυσκαμψίες. Τέλος, με κατάλληλη αδιαστατοποίηση, προκύπτουν οι σχέσεις του προτεινόμενου μοντέλου που εξαρτώνται από την συχνότητα φόρτισης, το πάχος του εδαφικού στρώματος πάνω από το βραχώδες υπόστρωμα, την απόσταση από το σημείο φόρτισης και τα χαρακτηριστικά του εδάφους θεμελίωσης. Η χρήση πεπερασμένων στοιχείων (FEM) για την διακριτοποίηση της κατασκευής σε συνδυασμό με τα προτεινόμενα διακριτά στοιχεία εδάφους επιτρέπουν την δυναμική ανάλυση οποιασδήποτε περίπτωσης κατασκευής-εδάφους. Μελλοντικά θα επιτρέπεται μη γραμμική ανάλυση κατασκευών λαμβάνοντας υπόψη την αλληλεπίδραση εδάφους κατασκευής (SSI). Ο έλεγχος της ακρίβειας του μοντέλου πραγματοποιείται με την εφαρμογή του σε άκαμπτα κυκλικά ή δακτυλιοειδή θεμέλια, καθώς και σε εύκαμπτα τετραγωνικά θεμέλια συγκρίνοντας την δυναμική απόκρισής τους με αποτελέσματα παλαιότερων εργασιών.

5 iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...Ι ΠΕΡΙΛΗΨΗ....ΙΙ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ..IV 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 2.ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΑΧΩΔΕΣ ΥΠΟΣΤΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ-ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ - ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΟΥ ΚΑΙ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΑΚΑΜΠΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΘΕΜΕΛΙΟ ΕΠΙ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΑΧΩΔΕΣ ΥΠΟΣΤΡΩΜΑ ΑΚΑΜΠΤΟ ΔΑΚΤΥΛΙΟΕΙΔΕΣ ΘΕΜΕΛΙΟ ΕΠΙ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΑΧΩΔΕΣ ΥΠΟΣΤΡΩΜΑ ΕΥΚΑΜΠΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΘΕΜΕΛΙΟ ΕΠΙ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΑΧΩΔΕΣ ΥΠΟΣΤΡΩΜΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 57 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. 58

6 iv ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1 Το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής θεμελίωσης (Μαραβάς 2013). Σχήμα 1.2 (α) Γεωμετρία του προβλήματος αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, (β) Χωρισμός σε κινηματική και αδρανειακή αλληλεπίδραση, (γ) Ανάλυση της αδρανειακής αλληλεπίδρασης σε δύο βήματα- διακριτό προσομοίωμα (Mylonakis et al., 2006). Σχήμα 2.1 Διακριτοποίηση και φόρτιση επιφάνειας εδαφικού στρώματος πάνω σε βραχώδες υπόστρωμα. Σχήμα 2.2 Διάσπαση συνολικού συστήματος σε υποκατασκευές με την μέθοδο του εύκαμπτου όγκου (ACS SASSI 2010). Σχήμα 2.3 Διακριτοποίηση της επιφάνειας του εδάφους. Σχήμα 2.4 Διακριτοποίηση: α) κατακόρυφων εδαφικών στρωμάτων και β) ενός εδαφικού στρώματος. Σχήμα 2.5 α)διάγραμμα χωρισμού εδάφους σε περιοχές, β) πεπερασμένα στοιχεία για την ανάλυση του εδαφικού στρώματος. Σχήμα 3.1 Εφαρμογή μοναδιαίου δυναμικού φορτίου σε όλους τους βαθμούς ελευθερίας τυχαίου κόμβου στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου. Σχήμα 3.2 Διακριτό προσομοίωμα εδαφικού στρώματος επί βραχώδους υποστρώματος. Σχήμα 3.3 Σύστημα συντεταγμένων για τον υπολογισμό της δυσκαμψίας και απόσβεσης στους κύριους βαθμούς ελευθερίας του εδαφικού χώρου. Σχήμα 3.4 Κατακόρυφη απόκριση για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης. Σχήμα 3.5 Οριζόντια απόκριση για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης. Σχήμα 3.6 Λικνιστική απόκριση για στρεπτική φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης. Σχήμα 3.7 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδάφους για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης.

7 v Σχήμα 3.8 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδάφους για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης. Σχήμα 3.9 Πραγματικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδάφους για στρεπτική φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης. Σχήμα 3.10 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδάφους για κατακόρυφη φόρτιση κανονικοποιημένα ως προς την κατακόρυφη στατική δυσκαμψία κυκλικού θεμελίου. Σχήμα 3.11 Σύγκριση πραγματικού μέρους κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ACS SASSI (2010). Σχήμα 3.12 Σύγκριση πραγματικού μέρους κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ACS SASSI(2010). Σχήμα 3.13 Σύγκριση πραγματικού μέρους κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ASC SASSI (2010). Σχήμα 3.14 Σύγκριση πραγματικού μέρους κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ACS SASSI (2010). Σχήμα 3.15 Σύγκριση πραγματικού μέρους κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ASC SASSI (2010). Σχήμα 3.16 Σύγκριση πραγματικού μέρους κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ACS SASSI (2010). Σχήμα 4.1 Διακριτοποίηση θεμελίου και προσομοίωση εδαφικού χώρου με χρήση του προτεινόμενου μοντέλου (Μαραβάς, 2013). Σχήμα 4.2 Κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R. Σχήμα 4.3 Κατακόρυφη δυναμική απόσβεση άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R. Σχήμα 4.4 Οριζόντια δυναμική δυσκαμψία άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R. Σχήμα 4.5 Οριζόντια δυναμική απόσβεση άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R. Σχήμα 4.6 Λικνιστική δυναμική δυσκαμψία άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R.

8 vi Σχήμα 4.7 Λικνιστική δυναμική απόσβεση άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R. Σχήμα 4.8 Γεωμετρία τετραγωνικών θεμελίων με εσωτερικά ανοίγματα και θεμελίων μορφής δακτυλίου (Karabalis and Huang, 2005). Σχήμα 4.9 Κατακόρυφη απόκριση άκαμπτου θεμελίου μορφής δακτυλίου με λόγο Ri/R0 = 0.90 επί ελαστικού ημιχώρου και λόγους μαζών Μc = 5 και 0 (αβαρής θεμελίωση). Σχήμα 4.10 Οριζόντια απόκριση άκαμπτου θεμελίου μορφής δακτυλίου με λόγο Ri/R0 = 0.90 επί ελαστικού ημιχώρου και λόγους μαζών Μc = 5 και 0 (αβαρής θεμελίωση). Σχήμα 4.11 Λικνιστική απόκριση άκαμπτου θεμελίου μορφής δακτυλίου με λόγο Ri/R0 = 0.90 επί ελαστικού ημιχώρου και λόγους μαζών Μc = 5 και 0 (αβαρής θεμελίωση). Σχήμα 4.12 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στο κέντρο πολύ εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=0.004). Σχήμα 4.13 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στο κέντρο πλευράς πολύ εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=0.004). Σχήμα 4.14 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην γωνία πολύ εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=0.004).

9 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής είναι ένα διεπιστημονικό πεδίο στο οποίο διασταυρώνονται διαφορετικοί κλάδοι, όπως της μηχανικής του εδάφους και των κατασκευών, της δυναμικής του εδάφους και των κατασκευών, της σεισμικής μηχανικής, της γεωλογίας, της μηχανικής υλικών, των υπολογιστικών και αριθμητικών μεθόδων. Το φαινόμενο της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής μπορεί να οριστεί με γενικό τρόπο ως εξής: εάν η απόκριση οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στην διεπιφάνεια εδάφους κατασκευής εξ αιτίας δυναμικής φόρτισης, διαφέρει από την απόκριση του ίδιου σημείου όταν δεν υπάρχει κατασκευή (ελεύθερο πεδίο), τότε υπάρχει δυναμική αλληλεπίδραση μεταξύ της κατασκευής και του εδάφους θεμελίωσης. Στις περισσότερες περιπτώσεις θεμελίωσης κατασκευών σε φυσικό έδαφος, η απόκριση του θεμελίου επηρεάζεται από την ύπαρξη της κατασκευής και του εδάφους. Το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής είναι ιδιαίτερα σημαντικό στις περιπτώσεις θεμελίωσης κατασκευών σε σχετικά μαλακά εδάφη, σε περιπτώσεις χρήσης γενικών κοιτοστρώσεων, στην περίπτωση ύπαρξης πολλαπλών όμορων μεμονωμένων θεμελίων και στην περίπτωση θεμελίωσης με χρήση πασσάλων (Veletsos, 1977). Γενικά, το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής μπορεί να οριστεί ως ένα πρόβλημα υπολογισμού παραμορφώσεων εξαιτίας διαφόρων φορτίσεων (δυναμικών ή στατικών, συγκεντρωμένων ή κατανεμημένων, δυνάμεων ή ροπών) σε ένα σώμα (ελαστικό ή μη). Οι πρώτοι επιστήμονες που ασχολήθηκαν με το πρόβλημα της φόρτισης πάνω ή μέσα σε ένα άπειρο (ή ημι-άπειρο) ελαστικό σώμα και προσπάθησαν να βρουν κλειστές λύσεις για τον υπολογισμό των παραμορφώσεων είναι οι γνωστοί Γάλλοι μαθηματικοί Gabriel Lamé και Benoît Paul Émile Clapeyron, οι οποίοι στις αρχές του 19 ου αιώνα παρουσίασαν το πρόβλημα του ημιχώρου με περίπλοκα και δυσνόητα μαθηματικά εργαλεία που απέτυχαν να επιλύσουν το πρόβλημα. Η πρώτη θεμελιώδης λύση εμφανίστηκε στα μέσα του ίδιου αιώνα, όταν το 1848, ο Sir William Thomson- ευρύτερα γνωστός ως λόρδος Kelvin- έδωσε την έκφραση για τις μετακινήσεις σε ελαστικό, άπειρο στερεό προκαλούμενες από 1

10 συγκεντρωμένα στατικά φορτία σε τυχαία σημεία του (Thomson, 1848). Το 1849 ακολούθησε η λύση του πιο δύσκολου προβλήματος, στην οποία η φόρτιση μεταβάλλεται σε σχέση με τον χρόνο από τον Sir George Gabriel Stokes (1849). Οι λύσεις του Stokes, των οποίων οι αρμονικά μεταβαλλόμενες με τον χρόνο δυνάμεις και οι στατικές δυνάμεις αποτελούν ειδικές περιπτώσεις, αποτελούν βασικό κομμάτι της μεθόδου συνοριακών στοιχείων (ΜΣΣ). Σημαντικό χαρακτηριστικό των λύσεων του Stokes είναι η κλειστή τους μορφή στον χώρο, τόσο στο πεδίο του χρόνου, όσο και των συχνοτήτων. Μια μοντέρνα έκφραση των λύσεων του Stokes σε δύο και τρεις διαστάσεις βρίσκεται στην εργασία των Βρετανών μαθηματικών (Eason, Fulton and Sneddon, 1956). Το τελευταίο τέταρτο του 19 ου αιώνα, άλλος ένας Γάλλος μαθηματικός, ο Joseph Valentin Boussinesq δημοσιεύει το 1878 μια σειρά από εργασίες στο Comptes Rendus, στις οποίες παρουσιάζει μια μεθοδολογία για την επίλυση του προβλήματος της επιβολής στατικής, κατακόρυφης φόρτισης στην επιφάνεια ελαστικού ημιχώρου και δίνει μια κλειστή έκφραση για έναν άκαμπτο δίσκο σε επαφή με την επιφάνεια του εδάφους (Boussinesq, 1878a,1878b,1878c). Ο Ιταλός μαθηματικός Valentino Cerruti δημοσιεύει το 1882 ένα σχετικό, εκτενές άρθρο στο περιοδικό της Ιταλικής Βασιλικής Ακαδημίας (Reale Accademia dei Lincei), στο οποίο με μια γενικότερη προσέγγιση του προβλήματος και με εκτεταμένη χρήση ολοκληρωτικών θεωρημάτων ελαστοστατικής (όπως της αρχή του Betti) επιλύει το ίδιο πρόβλημα. Παρ όλο που ο Cerruti δεν χρησιμοποιεί την μοντέρνα ορολογία σε θέματα μηχανικής συνεχούς μέσου, είναι εμφανές ότι στην εργασία του προσπαθεί και επιλύει ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών ελαστικού σώματος με τα όρια να είναι, εν μέρει ένα σύνορο Dirichlet, στο οποίο οι μετατοπίσεις είναι προκαθορισμένες και στο υπόλοιπο ένα σύνορο Neumann, στο οποίο οι τάσεις είναι προκαθορισμένες. Η μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς της απόκρισης ελαστικού ημιχώρου ξεκινά από τον Lamb (1904), ο οποίος επιλύει μερικώς το πρόβλημα του Boussinesq αλλά για εφαρμογή δυναμικής κατακόρυφης ή οριζόντιας δύναμης στην επιφάνεια του ελαστικού ημιχώρου. Η διατύπωση του συγκεκριμένου προβλήματος αποτελεί και την επιστημονική αρχή του κλάδου της σεισμολογίας. Ο Lamb σύμφωνα με τα σημερινά δεδομένα προσπαθεί να επιλύσει το πρόβλημα χρησιμοποιώντας μεθόδους μετασχηματισμού που βασίζονται σε ολοκληρώματα, όπως ο μετασχηματισμός Laplace. Η μοντελοποίηση και η διατύπωση του προβλήματος του είναι σωστή, αλλά η 2

11 αδυναμία να υπολογίσει πλήρως τα ολοκληρώματα δεν του επιτρέπουν την πλήρη λύση του προβλήματος. Παρ όλα αυτά, ακόμα και σήμερα, το πρόβλημα της απόκρισης επιφάνειας ελαστικού ημιχώρου σε δυναμική φόρτιση αναφέρεται ως πρόβλημα του Lamb. Τέσσερις δεκαετίες αργότερα από τον Lamb, o Cagniard (1939) καταφέρνει να λύσει τα απαιτούμενα διπλά ολοκληρώματα που προκύπτουν από τους μετασχηματισμούς με την πρωτοποριακή χρήση επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων. Δύο δεκαετίες αργότερα, ο de Hoop (1960) επιτυγχάνει να βρει μια απλοποίηση στην διαδικασία του Cagniard, η οποία σήμερα ονομάζεται μέθοδος Cagniard-de Hoop. Η πρώτη πλήρης λύση του προβλήματος του Lamb δίνεται από τον Pekeris (1955) και τον Chao (1960), οι οποίοι παρουσιάζουν κλειστές σχέσεις για την κίνηση που δημιουργείται λόγω οριζόντιας και κατακόρυφης φόρτισης, αλλά μόνο όταν ο λόγος Poisson έχει τιμή ¼. Ο Mooney (1974) επεκτείνει την λύση του Pekeris για οποιαδήποτε τιμή του λόγου Poisson, αλλά μόνο για το κατακόρυφο τμήμα της απόκρισης, ενώ για την οριζόντια φόρτιση δίνει λύση μέχρι τον λόγο Poisson , τιμή στην οποία η εξίσωση για την ταχύτητα Rayleigh δίνει μιγαδική λύση. Το 1979 o Richards (1979) επιλύει πλήρως το πρόβλημα και για τις δύο περιπτώσεις φόρτισης, για οποιονδήποτε λόγο Poisson, δίνοντας την ακριβή λύση του προβλήματος. Η ανάπτυξη του κλάδου της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής αρχίζει με τις πρωτοποριακές εργασίες του γερμανού μηχανικού Eric Reissner. Ο Reissner (1936) παρουσιάζει στην διδακτορική του διατριβή την πρώτη εφαρμογή πάνω στο θέμα της δυναμικής συμπεριφοράς θεμελίων. Στην εργασία του μελετάει την απόκριση κυκλικού δίσκου σε κατακόρυφη φόρτιση, κάνοντας την παραδοχή ότι η κατανομή των τάσεων στην διεπιφάνεια δίσκου-εδάφους για δυναμική φόρτιση ταυτίζεται με αυτή που προκύπτει για στατική φόρτιση, ανεξάρτητα από την συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης. Έναν χρόνο αργότερα, ξανά ο Reisnner (1937) μελετάει το πρόβλημα ενός ελαστικού ημιχώρου στην επιφάνεια του οποίου ασκούνται συγκεντρωμένες και κατανεμημένες στρεπτικές ροπές. Υπολογίζει την στρεπτική απόκριση ενός κυλίνδρου με βάση την θεώρηση ότι οι διατμητικές τάσεις επαφής μεταβάλλονται γραμμικά. Επιπροσθέτως, θεωρεί τις περιπτώσεις εδαφικού στρώματος πεπερασμένου μήκους, εδαφικού στρώματος πάνω από ημιχώρο και σχολιάζει την γενική περίπτωση στην οποία οι ιδιότητες του εδάφους μεταβάλλονται σε σχέση με το βάθος. Παρ όλες τις 3

12 απλοποιήσεις και κυρίως την εσφαλμένη θεώρηση για την κατανομή των τάσεων στην διεπιφάνεια θεμελίου- εδάφους, οι εργασίες του Reissner (1936, 1937) αποτελούν τις πρώτες προσπάθειες στην μελέτη της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής και τον καθιστούν πατέρα του πεδίου. Αρκετοί μελετητές στα μέσα της δεκαετίας του 50 ασχολήθηκαν ξανά με το πρόβλημα θεωρώντας κυκλικά και τετραγωνικά θεμέλια (Arnold et al.,1955; Bycroft, 1956). Ο Bycroft (1956) στην αξιοθαύμαστη εργασία του είναι ο πρώτος που λαμβάνει υπόψη και τις τέσσερις μορφές ταλάντωσης ενός θεμελίου (κατακόρυφη, οριζόντια, λικνιστική και στροφική) κάνοντας την ίδια παραδοχή με αυτήν του Reisnner για την κατανομή των τάσεων κάτω από το θεμέλιο και λαμβάνοντας υπόψη την υποχώρηση του θεμελίου, υπολογίζοντας μια μέση τιμή των μετακινήσεων του εδάφους στην φορτισμένη επιφάνεια, η οποία είναι μια προσέγγιση που δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα. Παρ όλα αυτά, τα όρια της ανάλυσης του στο πεδίο των συχνοτήτων είχαν μικρό εύρος. Χρειάστηκε να περάσει μια δεκαετία έως ότου να αναθερμανθεί το επιστημονικό ενδιαφέρον, εξαιτίας της ανέγερσης μεγάλου αριθμού κατασκευών ευάλωτων σε δυναμικά φορτία (πυρηνικά εργοστάσια, μεγάλα βάθρα γεφυρών κ.α.) στα μέσα του Είναι αποδεδειγμένο πως η δυναμική απόκριση μιας κατασκευής θεμελιωμένης σε άκαμπτη βάση (βράχος) μπορεί να διαφέρει σημαντικά από την απόκριση της ίδιας κατασκευής θεμελιωμένης σε ελαστικό παραμορφώσιμο έδαφος. Αυτό οφείλεται στους εξής παράγοντες (Veletsos, 1977): (α) Μια κατασκευή που εδράζεται σε παραμορφώσιμο έδαφος έχει περισσότερους δυναμικούς βαθμούς ελευθερίας σε σχέση με την πακτωμένη κατασκευή και επομένως διαφορετικά δυναμικά χαρακτηριστικά. Η λικνιστική κίνηση της θεμελίωσης προστίθεται στην μεταφορική κίνησή της προκαλώντας αλλαγή στις ιδιομορφές και ιδιοπεριόδους της κατασκευής. (β) Η παρουσία του εδάφους έχει ως αποτέλεσμα μέρος της ενέργειας ταλάντωσης της κατασκευής, να διαχέεται στο εδαφικό υλικό μέσω κυμάτων ακτινοβολίας (γεωμετρική απόσβεση) και υστερητικής συμπεριφοράς του υλικού (υστερητική απόσβεση). Αυτό έχει ως συνέπεια την αύξηση της συνολικής απόσβεσης του συστήματος εδάφουςκατασκευής. 4

13 Για την καλύτερη κατανόηση του φαινομένου αλληλεπίδρασης εδάφους - κατασκευής θεωρούμε το σύστημα που απεικονίζεται στο Σχήμα 1.1. Το σύστημα αποτελείται από μια κατασκευή (στην γενική περίπτωση γραμμικά ελαστική), η οποία θεμελιώνεται σε εύκαμπτο ή άκαμπτο θεμέλιο. Η θεμελίωση θεωρείται πως εδράζεται πάνω σε εδαφικό υλικό, το οποίο αντιστοιχεί σε γραμμικό ελαστικό ημιχώρο. Το εδαφικό υλικό υπόκειται σε σεισμική διέγερση, η οποία αποτελείται από έναν αριθμό προσπιπτόντων κυμάτων τα οποία χωρίζονται σε κύματα πίεσης (P), διατμητικά κύματα (S) και επιφανειακά κύματα (Rayleigh και Love). Με δεδομένο ότι τα σεισμολογικά χαρακτηριστικά μιας περιοχής καθορίζουν τις ιδιότητες της εισερχόμενης σεισμικής διέγερσης (συχνοτικό περιεχόμενο, εύρος και είδος κυμάτων), η γεωμετρία και οι ελαστικές ιδιότητες του εδαφικού υλικού επηρεάζουν σημαντικά την απόκριση που παρατηρείται στο ελεύθερο πεδίο. Η απόκριση ελεύθερου πεδίου προκύπτει από το σύνολο των πολλαπλών ανακλάσεων και διαθλάσεων των διαφόρων κυμάτων στο σώμα και στην επιφάνεια του εδαφικού υλικού. Ο καθορισμός της κίνησης ελεύθερου πεδίου (πχ ως επιταχυνσιογράφημα), αποτελεί το πρώτο βήμα της δυναμικής ανάλυσης του συνολικού συστήματος εδάφους κατασκευής. Το επόμενο βήμα είναι η προσθήκη της κατασκευής και της θεμελίωσής της πάνω στο εδαφικό υλικό. Το υπό σεισμική διέγερση παραμορφώσιμο έδαφος, θέτει σε κίνηση αρχικά την θεμελίωση και στην συνέχεια την κατασκευή. Αυτό έχει ως συνέπεια την εμφάνιση δύο καταστάσεων (Gazetas and Mylonakis, 1998): (α) το σύστημα θεμελίωσης τείνει να αντισταθεί στην επιβαλλόμενη εδαφική παραμόρφωση, λόγω της δυσκαμψίας του, ενώ ταυτόχρονα τα προσπίπτοντα σεισμικά κύματα ανακλώνται και διαχέονται στο εδαφικό υλικό, καθώς το θεμέλιο ταλαντώνεται, με τρόπο που διαφέρει σημαντικά από την κίνηση ελεύθερου πεδίου και (β) η ταλάντωση του συστήματος θεμελίωσης προκαλεί την ταλάντωση της υπερκείμενης κατασκευής με αποτέλεσμα οι αδρανειακές δυνάμεις που αναπτύσσονται στην κατασκευή να δημιουργούν δυνάμεις και ροπές στην βάση της, οι οποίες μεταδίδονται στο σύστημα θεμελίωσης και στο έδαφος. Συνεπώς, το σύστημα θεμελίωσης και η κατασκευή αναπτύσσουν επιπλέον δυναμικές μετακινήσεις και επιταχύνσεις. Οι δύο αυτές καταστάσεις προκύπτουν ταυτόχρονα και είναι γνωστές ως κινηματική και αδρανειακή αλληλεπίδραση. Στο 5

14 Σχήμα 1.2 παρουσιάζεται η ανάλυση του φαινομένου της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής σε κινηματική και αδρανειακή αλληλεπίδραση. Σχήμα 1.1 Το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής θεμελίωσης (Μαραβάς 2013). Η κινηματική αλληλεπίδραση αναφέρεται στην επίδραση των προσπιπτόντων κυμάτων στο σύστημα του Σχήματος 1.2β, το οποίο αποτελείται από την αβαρή αλλά παραμορφώσιμη κατασκευή, την θεμελίωση και το έδαφος θεμελίωσης. Η βασική συνέπεια της κινηματικής αλληλεπίδρασης οδηγεί στην εισαγωγή μια κίνησης θεμελίωσης (foundation input motion- FIM), η οποία διαφέρει (συνήθως μικρότερη Mylonakis et al., 2006) από την κίνηση ελεύθερου πεδίου και επιπλέον περιέχει ένα στροφικό βαθμό ελευθερίας. Η αδρανειακή αλληλεπίδραση αναφέρεται στην απόκριση του πλήρους συστήματος εδάφους-θεμελίωσης-κατασκευής λόγω αδρανειακών δυνάμεων, που προκύπτουν από την επιτάχυνση της μάζας της κατασκευής λόγω της 6

15 κινηματικής αλληλεπίδρασης (αρχή του D Alembert) και μπορεί να αναλυθεί σε δύο βήματα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.2γ (Mylonakis et al., 2006), με υπολογισμό αρχικά του μητρώου δυναμικών δυσκαμψιών της θεμελίωσης και στην συνέχεια της απόκρισης του συνολικού συστήματος. Η άμεση λύση του ίδιου προβλήματος είναι δυνατή χωρίς την διάσπαση σε απλούστερα βήματα, όπως περιγράφεται, π.χ., από τους Clough and Penzien (1975) παρά την πολυπλοκότητα του συστήματος και του μεγάλου αριθμού παραγόντων που επηρεάζουν την δυναμική του απόκριση. Σχήμα 1.2 (α) Γεωμετρία του προβλήματος αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, (β) Χωρισμός σε κινηματική και αδρανειακή αλληλεπίδραση, (γ) Ανάλυση της αδρανειακής αλληλεπίδρασης σε δύο βήματα- διακριτό προσομοίωμα (Mylonakis et al., 2006). Η ανάλυση του συστήματος εδάφους-κατασκευής των Σχημάτων , μπορεί να πραγματοποιηθεί με διάφορες μεθόδους ανάλογα με το τμήμα του συστήματος που επιλύεται, οι οποίες είναι: 7

16 Μέθοδοι συνεχούς μέσου ή αναλυτικές μέθοδοι (π.χ. Reissner 1936, Robertson 1966) Ημι-αναλυτικές μέθοδοι (π.χ. Wong and Luco 1978, Whitaker and Christiano 1982) Αριθμητικές μέθοδοι διακριτά προσομοιώματα (π.χ. Lysmer 1965, των Lysmer et al. 1974, Veletsos and Meek 1974, Dobry and Gazetas 1982, Mulliken and Karabalis 1998) Η πλειονότητα των μελετητών έχει ασχοληθεί κυρίως με το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, θεωρώντας πως η κατασκευή θεμελιώνεται επάνω σε άκαμπτο θεμέλιο, το οποίο μπορεί να υποβληθεί σε οριζόντια, κατακόρυφη, λικνιστική και στρεπτική κίνηση. Μια συνολική αποτίμηση της έρευνας πάνω στην δυναμική απόκριση άκαμπτων θεμελίων που εδράζονται σε εδαφικό ημιχώρο έως το τέλος της δεκαετίας του 1960 παρουσιάζεται στην εργασία των Richart et al. (1970). Οι Veletsos and Wei (1971), παρουσίασαν εκφράσεις για οριζόντιες και λικνιστικές ταλαντώσεις ενός άκαμπτου δίσκου σε εδαφικό ημιχώρο, επιλύοντας ημι- αναλυτικά το πλήρες πρόβλημα συνοριακών τιμών, μέσω μετατροπής των θεμελιωδών εξισώσεων κίνησης σε ανομοιογενείς ολοκληρωτικές εξισώσεις Fredholm, των οποίων η επίλυση γίνεται αριθμητικά. Με αυτόν τον τρόπο, οι δυναμικές δυσκαμψίες του θεμελίου, μπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση της συχνότητας διέγερσης. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, οι Luco and Westman (1971) παρουσίασαν εκφράσεις για κατακόρυφες και στρεπτικές ταλαντώσεις ενός άκαμπτου θεμελίου. Οι Veletsos and Verbic (1973), υπολογίζουν την απόκριση ενός άκαμπτου δίσκου για μεταφορικές και λικνιστικές ταλαντώσεις, στην περίπτωση ιξωδο-ελαστικού εδαφικού ημιχώρου. Με αυτό τον τρόπο λαμβάνουν υπόψη την επιρροή της υστερητικής απόσβεσης του εδαφικού υλικού. Οι Luco and Westman (1972), θεωρώντας πλήρη σύνδεση μεταξύ θεμελίου και ημιχώρου, υπολογίζουν τις οριζόντιες, λικνιστικές και κατακόρυφες ταλαντώσεις μια άκαμπτης θεμέλιο-λωρίδας σε συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης. Οι Wong and Luco (1976, 1977) και Wong and Luco (1978), βασιζόμενοι στις παραδοχές του Lamb (1904) και διακριτοποιώντας την διεπιφάνεια θεμελίου ημιχώρου σε τετραγωνικές υπό-περιοχές, ανέπτυξαν μια αποδοτικότερη αριθμητική μέθοδο για τον υπολογισμό της δυναμικής απόκρισης άκαμπτων θεμελίων τυχαίου σχήματος. Με αυτό 8

17 τον τρόπο, υπολόγισαν την κατακόρυφη, οριζόντια και λικνιστική ευκαμψία ενός άκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου, καθώς και το φαινόμενο της πρόσπτωσης κεκλιμένων σεισμικών κυμάτων σε άκαμπτα επιφανειακά τετραγωνικά θεμέλια, λαμβάνοντας υπόψη κύματα Rayleigh, SH, SV και P. Ο Dominguez (1978) και Dominguez and Roesset (1978) χρησιμοποιούν την μέθοδο συνοριακών στοιχείων (ΜΣΣ) στο πεδίο των συχνοτήτων, για τον υπολογισμό των δυναμικών δυσκαμψιών επιφανειακών και εγκιβωτισμένων άκαμπτων θεμελίων σε ελαστικό ημιχώρο. Οι Karabalis and Beskos (1984), χρησιμοποιούν για πρώτη φορά στο πεδίο του χρόνου την ΜΣΣ για την διακριτοποίηση του εδαφικού ημιχώρου και σε συνδυασμό με χρήση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ) για το θεμέλιο, υπολογίζουν την δυναμική απόκριση τριδιάστατων άκαμπτων επιφανειακών θεμελίων. Οι Karabalis and Beskos (1986) χρησιμοποιούν την ΜΣΣ στο πεδίο του χρόνου για την διακριτοποίηση του εδαφικού ημιχώρου και ενός άκαμπτου τριδιάστατου εγκιβωτισμένου θεμελίου και υπολογίζουν την απόκρισή του. Οι Mita and Luco (1987, 1989), υπολογίζουν την δυναμική απόκριση άκαμπτου εγκιβωτισμένου θεμελίου, εφαρμόζοντας μια υβριδική τεχνική που περιλαμβάνει χρήση ολοκληρωτικών εξισώσεων και συνοριακών στοιχείων για την προσομοίωση του ελαστικού ημιχώρου και πεπερασμένων στοιχείων για την διακριτοποίηση του άκαμπτου εγκιβωτισμένου θεμελίου. Ο Huang (1991) και οι Karabalis and Huang (1994) χρησιμοποιούν την ΜΣΣ σε συνδυασμό με τις θεμελιώδεις λύσεις του Stokes στο πεδίο του χρόνου για τον υπολογισμό της αλληλεπίδρασης μεταξύ εδάφους και άκαμπτων τετραγωνικών θεμελίων (Foundation-Soil-Foundation Interaction) σε ισότροπο, ομογενή, γραμμικό ελαστικό ημιχώρο, ενώ οι Karabalis and Mohammadi (1991,1991,1996,1998) εφαρμόζουν την ΜΣΣ στο πεδίο της συχνότητας, σε συνδυασμό με τις θεμελιώδεις λύσεις για τον άπειρο χώρο και την επονομαζόμενη αποτελεσματική μέθοδο δυσκαμψίας (successive stiffness method) για τον υπολογισμό της αλληλεπίδρασης μεταξύ άκαμπτων θεμελίων επί στρωματομένου εδαφικού υλικού. Την ίδια περίοδο, οι Qian and Beskos (1995,1996) εφαρμόζουν την άμεση ΜΣΣ στο πεδίο της συχνότητας σε συνδυασμό με την χρήση τετραγωνικών τετράπλευρων στοιχείων (quadratic quadrilateral elements) και την συνάρτηση Green της επιφάνειας του ημιχώρου για την λεπτομερή μελέτη της αλληλεπίδρασης μεταξύ, δύο τετραγωνικών άκαμπτων με ή χωρίς μάζα επιφανειακών θεμελίων που υπόκεινται σε τυχαία πρόσπτωση αρμονικών 9

18 κυμάτων SH, SV, P και Rayleigh. Η ακρίβεια της μεθόδου των Qian and Beskos (1995,1996) μπορεί να είναι μικρότερη από αυτήν που χρησιμοποιούν οι Bielak and Coronato (1981), οι οποίοι εξετάζουν το ίδιο πρόβλημα, δηλαδή την δυναμική συμπεριφορά δύο τετραγωνικών θεμελίων που βρίσκονται στην επιφάνεια ελαστικού ημιχώρου εξαιτίας αρμονικών σεισμικών διεγέρσεων. Παρ όλα αυτά, η υπεροχή της μεθόδου των Qian and Beskos (1995,1996) έγκειται στην δυνατότητα ανάλυσης θεμελίων τυχαίου σχήματος. Το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής έχει αναλυθεί από πολλούς ερευνητές με χρήση απλών διακριτών προσομοιωμάτων. Η σχέση μεταξύ του μεγέθους ενός εφαρμοσμένου φορτίου σε ένα δύσκαμπτο, συμπαγές θεμέλιο, συνδεδεμένο με ένα ελαστικό μέσο και της αντίστοιχης μετακίνησης του θεμελίου, μπορεί να καθοριστεί για κάθε βαθμό ελευθερίας του θεμελίου, χρησιμοποιώντας απλά προσομοιώματα. Μια πρώτη προσπάθεια προσέγγισης της θεωρίας αλληλεπίδρασης θεμελίου εδάφους έγινε από τον Lysmer (1965), ο οποίος χρησιμοποιώντας έναν αριθμό ομόκεντρων δακτυλίων, υπολόγισε με επιτυχία την κατακόρυφη ευκαμψία ενός άκαμπτου δίσκου. Η προσεγγιστική μέθοδος που χρησιμοποίησε βασίστηκε στις παραδοχές του Lamb (1904). Η έρευνα τους είχε ως αποτέλεσμα τη δημιουργία ενός πρακτικού προσομοιώματος ενός βαθμού ελευθερίας για τον υπολογισμό της κατακόρυφης απόκρισης θεμελίων που εδράζονται σε έναν ελαστικό ημιχώρο. Στην εργασία του Luco (1974), αναπτύσσονται αναλυτικές εκφράσεις για τις δυναμικές δυσκαμψίες κυκλικών θεμελίων, θεμελιολωρίδων (π.χ. πεδιλοδοκοί μεγάλου μήκους) και τετραγωνικών θεμέλιων, τα οποία θεωρείται πως εδράζονται στην επιφάνεια στρωματομένου ελαστικού ημιχώρου. Οι Veletsos and Meek (1974) και Veletsos (1977) αναλύουν μια ελαστική κατασκευή θεμελιωμένη σε επιφανειακό άκαμπτο κυκλικό θεμέλιο και είναι οι πρώτοι που κάνουν σαφή την ανάγκη να λαμβάνεται υπόψη το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης στον σχεδιασμό των κατασκευών. Οι Dobry and Gazetas (1982), παρουσίασαν εκφράσεις για τον υπολογισμό της δυσκαμψίας και την απόσβεσης συστημάτων εγκιβωτισμένης θεμελίωσης τυχαίου σχήματος. Ο Gazetas (1983), υπολογίζει τις δυναμικές δυσκαμψίες για επιφανειακές και εγκιβωτισμένες θεμελιώσεις κυκλικού, τετραγωνικού και τυχαίου σχήματος πάνω σε: (α) ημιχώρο, (β) στρώμα εδάφους πάνω από βράχο και (γ) εδαφικό στρώμα πάνω από ημιχώρο. Ο Mulliken (1994) και οι Mulliken and Karabalis (1995, 1998) παρουσιάζουν 10

19 αποτελεσματικά διακριτά μοντέλα χρησιμοποιώντας δυναμικές δυσκαμψίες, αποσβεστήρες και μάζες ανεξάρτητες της συχνότητας για τον υπολογισμό της αλληλεπίδρασης θεμελίου-εδάφους-θεμελίου. Κάθε μοντέλο έχει ξεχωριστούς βαθμούς ελευθερίας ταλάντωσης για την πρόβλεψη της δυναμικής αλληλεπίδρασης μεταξύ των άκαμπτων επιφανειακών θεμελίων, τα οποία βρίσκονται πάνω σε ομογενές, ισότροπο και γραμμικά ελαστικά ημιχώρο. Η εύρεση της αλληλεπίδρασης αυτής επιτυγχάνεται με την χρήση μιας τροποποιημένης μορφής της μεθόδου Wilson-θ. Έτσι, λαμβάνονται υπόψη τα φαινόμενα της χρονικής καθυστέρησης εξαιτίας την διάδοσης των κυμάτων. Στις εργασίες των Aviles and Perez-Rocha (1996, 1998), γίνεται χρήση διακριτού προσομοιώματος για τον καθορισμό της επιρροής της αλληλεπίδρασης εδάφουςκατασκευής στην περίοδο και την απόσβεση της κατασκευής συναρτήσει του εγκιβωτισμού και του βάθους του εδαφικού στρώματος. Επιβεβαιώνεται πως η περίοδος του συστήματος μειώνεται και η απόσβεσή του αυξάνεται με τον εγκιβωτισμό της θεμελίωσης. Οι Aviles and Suarez (2002), με διακριτό προσομοίωμα επιτυγχάνουν τον υπολογισμό της περιόδου και της απόσβεσης του συστήματος εδάφους-κατασκευής λαμβάνοντας υπόψη και την επιρροή των σεισμικών κυμάτων, για διάφορες περιπτώσεις κατασκευών εδραζόμενων σε εδαφικό στρώμα που βρίσκεται πάνω από βράχο. Οι Mylonakis and Gazetas (2000), μελετούν τον ρόλο της αλληλεπίδρασης εδάφουςκατασκευής στην σεισμική απόκριση των κατασκευών. Έμφαση δίνεται στην διερεύνηση της θετικής ή αρνητικής επιρροής του φαινομένου στα μεγέθη σχεδιασμού της κατασκευής μέσω συγκεκριμένων παραδειγμάτων ανάλυσης συστημάτων εδάφουςκατασκευής με χρήση διακριτού προσομοιώματος. Στην εργασία των Mylonakis et al. (2006), παρουσιάζεται μεγάλος αριθμός διαγραμμάτων και πινάκων για την δυσκαμψία και την απόσβεση διαφόρων ειδών θεμελίωσης με έμφαση σε βάθρα γεφυρών, τα οποία προκύπτουν από απλά διακριτά προσομοιώματα για όλες τις συνιστώσες ταλάντωσης (μεταφορική, λικνιστική και στρεπτική). Πρόσφατα, ο Maravas (2006) και οι Maravas, et al. (2007) ανέπτυξαν ένα ακριβέστερο διακριτό προσομοίωμα για τον υπολογισμό της δυναμικής απόκρισης κατασκευών πάνω σε άκαμπτο θεμέλιο, το οποίο επέκτειναν και στην περίπτωση έδρασης σε πάσσαλο. Είναι προφανές από τα παραπάνω, πως τα άκαμπτα επιφανειακά και εγκιβωτισμένα 11

20 θεμέλια έχουν μελετηθεί διεξοδικά και με διάφορες μεθόδους τις τελευταίες δεκαετίες. Γενικά, τα εύκαμπτα συστήματα θεμελιώσεων είναι ιδιαιτέρως ευαίσθητα στο φαινόμενο της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής (ίσως και περισσότερο από τα αντίστοιχα άκαμπτα). Τέτοια συστήματα θεμελίωσης είναι αυτά που περιλαμβάνουν εύκαμπτα επιφανειακά (ή εγκιβωτισμένα) θεμέλια όπως γενικές κοιτοστρώσεις. Η δυναμική απόκριση εύκαμπτων θεμελιώσεων έχει μελετηθεί πολύ λιγότερο σε σχέση με τη δυναμική απόκριση άκαμπτων θεμελιώσεων. Ο λόγος είναι πως η ευκαμψία της θεμελίωσης περιπλέκει σημαντικά το πρόβλημα και δυσκολεύει την ανάλυσή του. Η ανάλυση διδιάστατων εύκαμπτων επιφανειακών θεμελίων ή εγκιβωτισμένων εύκαμπτων γενικών κοιτοστρώσεων που εδράζονται σε εδαφικό ημίχωρο γίνεται με χρήση της ΜΠΣ σε συνδυασμό με τη εφαρμογή της μεθόδου των υποκατασκεύων. Χαρακτηριστικά αναφέρονται οι εργασίες των Vaish and Chopra (1974), Chopra et al (1976) και Guitierrez and Chopra (1978). Οι Iguchi and Luco (1981) συνδυάζουν την ΜΠΣ για την διακριτοποίηση της θεμελίωσης με αναλυτικές λύσεις βασισμένες στην επίλυση του προβλήματος του Lamb (1904), για την δυσκαμψία του εδαφικού υλικού, μελετώντας την επίδραση της ευκαμψίας του θεμελίου πάνω στην δυναμική αλληλεπίδραση εδάφους θεμελίου. Οι Whittaker and Christiano (1982 a,b) χρησιμοποιώντας την ΜΣΣ σε συνδυασμό με την ΜΠΣ, παρουσιάζουν, στο πεδίο της συχνότητας, εκτενή αποτελέσματα απόκρισης επιφανειακών τριδιάστατων εύκαμπτων πλακών που εδράζονται σε ελαστικό ημίχωρο, και διεγείρονται από εξωτερικά φορτία ή σεισμικά κύματα. Οι Riggs and Waas (1985), χρησιμοποιούν μια ημί-αναλυτική διαδικασία που περιλαμβάνει διακριτοποίηση του εδάφους στην κατακόρυφη έννοια και τον υπολογισμό των δυναμικών φορτίσεων και μετακινήσεων στην επιφάνεια του εδάφους εξ αιτίας της δυναμικής φόρτισης ενός κυκλικού εύκαμπτου θεμελίου με δύσκαμπτο πυρήνα. Οι Karabalis and Beskos (1985), υπολογίζουν την απόκριση τρισδιάστατων εύκαμπτων επιφανειακών θεμελίων με εφαρμογή της ΜΣΣ στο πεδίου του χρόνου για την διακριτοποίηση του εδάφους και της ΜΠΣ για το τρισδιάστατο θεμέλιο. Χρησιμοποιώντας την ίδια μεθοδολογία οι Spyrakos and Beskos (1986) μελετούν εύκαμπτες δισδιάστατες θεμελιολωρίδες. Οι Gaitanaros and Karabalis (1988), χρησιμοποιούν συνδυασμό της ΜΣΣ και ΜΠΣ για την δυναμική 12

21 ανάλυση τρισδιάστατων εύκαμπτων εγκιβωτισμένων θεμελιώσεων επί ελαστικού ημιχώρου, στο πεδίο της συχνότητας. Οι Ahmad and Banerjee (1988) χρησιμοποιούν αποκλειστικά την ΜΣΣ για τον υπολογισμό της απόκρισης εύκαμπτου θεμελίου επί ελαστικού ημιχώρου στο πεδίο του χρόνου. Οι Estorff and Kausel (1989), χρησιμοποιούν συνδυασμό της ΜΠΣ και της ΜΣΣ για τον υπολογισμό της δυναμικής απόκρισης εύκαμπτων κατασκευών επί εύκαμπτων θεμελίων, στο πεδίο του χρόνου. Ο Μαραβάς (2013) δημιουργεί ένας πλήρες διακριτό προσομοίωμα του ελαστικού εδαφικού ημιχώρου για την δυναμική ανάλυση κατασκευών επί εύκαμπτων επιφανειακών θεμελίων με ή χωρίς πασσάλους, στην οποία οι δυσκαμψίες και οι αποσβεστήρες για τα σημεία της επιφάνειας του εδάφους προσεγγίζονται σαν ανεξάρτητες της συχνότητας φόρτισης. Ίσως, η πλέον διαδεδομένη μέθοδος για την επίλυση του συνολικού συστήματος εδάφους-κατασκευής είναι η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ), η οποία εφαρμόζεται με επιτυχία σε γραμμικά ελαστικά συστήματα, καθώς είναι δυνατή η προσομοίωση προβλημάτων με περίπλοκη γεωμετρία και συνδυασμούς διαφόρων ειδών θεμελίωσης, παρέχοντας λύσεις μέσω βηματικής ολοκλήρωσης ή μετασχηματισμού Fourier. Χαρακτηριστικές είναι οι εργασίες των Lysmer et al. (1974, 1975 και 1981). Επίσης με την ΜΠΣ είναι δυνατή η επίλυση συστημάτων εδάφους-κατασκευής συνολικά ως ένα χωρίο, όπως περιγράφεται, από τους Clough and Penzien (1975). Η χρήση της ΜΠΣ στην επίλυση της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, διαφέρει από άλλες εφαρμογές της μεθόδου στην στατική και δυναμική ανάλυση των κατασκευών, διότι ενώ το έδαφος θεμελίωσης εκτείνεται σε άπειρο μήκος κατά την οριζόντια διεύθυνση (και σε μερικές περιπτώσεις και την κατακόρυφη), αντιπροσωπεύεται με ένα προσομοίωμα πεπερασμένων διαστάσεων. Αυτό το προσομοίωμα «παγιδεύει» την ενέργεια του συστήματος εντός των ορίων του και αλλοιώνει τα δυναμικά χαρακτηριστικά του, οδηγώντας σε λανθασμένα αποτελέσματα. Για να αποφευχθεί αυτό το φαινόμενο απαιτείται η χρήση, είτε απομακρυσμένων στοιχειωδών συνόρων, είτε ειδικών απορροφητικών ή μη-επιτρεπόντων την ανάκλαση κυμάτων συνόρων. Τα πιο απλά και συνηθισμένα στην πράξη ειδικά τεχνητά σύνορα είναι τα ιξώδη 13

22 σύνορα των Lysmer and Kuhlemeyer (1969). Οι Lysmer and Waas (1972), Kausel (1974), και Tassoulas et al. (1981) ανέπτυξαν τα συμβατά σύνορα (ή σύνορα οριζοντίου κύματος) για την απορρόφηση κυρίως επιφανειακών κυμάτων Love and Reyleigh. Τα σύνορα αυτά κατασκευάζονται με την βοήθεια ενός συνοριακού μητρώου δυναμικής δυσκαμψίας, το οποίο είναι συνάρτηση της συχνότητας και αποκτάται από τη λύση ενός προβλήματος διάδοσης κυμάτων σε ένα ελαστικό στρωσιγενές εδαφικό χωρίο. Τα συμβατά σύνορα είναι τα ακριβέστερα σύνορα απορρόφησης, ακόμα και όταν τοποθετούνται στα δύο άκρα της θεμελίωσης. Ένας άλλος τρόπος αντιμετώπισης των ανεπιθύμητων κυματικών ανακλάσεων είναι η χρήση των στοιχείων απείρου που κατασκευάζονται με βάση συναρτήσεις σχήματος (Chow and Smith 1982, Zhao and Valliappan 1993). Μια σειρά από διαφορετικές δημοσιεύσεις σε θέματα που αφορούν την αλληλεπίδραση εδάφους κατασκευής και δεν αναφέρθηκαν μέχρι τώρα είναι οι ακόλουθες: Στο πρόβλημα της απόκρισης ελεύθερου πεδίου και ειδικά στο πρόβλημα της ενίσχυσης των κυμάτων που διαδίδονται κατακόρυφα και την επιρροή ανελαστικών φαινομένων (Schnabel et al., 1972) Σύνθετη συμπεριφορά υλικού (Seed and Idriss, 1969) Εδάφη στα οποία οι ιδιότητες αλλάζουν σταθερά με το βάθος (Vrettos, 1991, 1999) Περίθλαση κυμάτων εξαιτίας τοπογραφικών χαρακτηριστικών, όπως εδαφικές λεκάνες, φαράγγια, λόφοι κ.ά. (Wong et al. 1976, Sanchez-Sesma et al. 2000) Διάχυση κυμάτων από βαθειές θεμελιώσεις σε διαφορετικά είδη εδαφών (Trifunac 1971,1973, Lee 1988) Θεμέλια σε διαστρωματομένο υλικό (Luco 1974, Kausel 1974, Gazetas and Roesset 1976) Επιρροή ευκαμψίας θεμελίων (Savidis and Richter 1979) Αριθμητικές μέθοδοι (Lysmer and Richart 1966, Karabalis and Beskos 1984, Apsel and Luco 1987, Alarcon and Cano 1989). Κάποια από τα ανοιχτά ερευνητικά θέματα στον τομέα της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής είναι τα εξής: Βαθιές θεμελιώσεις (και θεμελιώσεις με πασσάλους). Λόγω απλότητας και υπολογιστικού κόστους, οι περισσότερες εργασίες μέχρι σήμερα εξετάζουν κυρίως 14

23 αβαθείς ή επιφανειακές θεμελιώσεις. Με την συνεχιζόμενη αύξηση στο ύψος διάφορων υπερ-κατασκευών η ανάγκη για βαθύτερες θεμελιώσεις αυξάνεται και αντίστοιχα η μελέτη τους. Μη-γραμμικές αναλύσεις. Η συμπεριφορά του εδάφους και της κατασκευής συνήθως ξεπερνάει την γραμμική ελαστική συμπεριφορά και απαιτείται ελαστοπλαστική ανάλυση. Για να λυθεί το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής απαιτούνται μη-γραμμικές αναλύσεις, τόσο για το έδαφος, όσο και για την κατασκευή. Ελάχιστη μελέτη υπάρχει σχετικά με το θέμα ακόμα και σήμερα. Πειραματικά. Υπάρχουν ελάχιστα πειράματα αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής. Παρ όλα αυτά με την ανάπτυξη σεισμικών τραπεζών, υπάρχει η δυνατότητα πραγματοποίησης περισσότερων πειραμάτων. Μελέτη σεισμικής βλάβης και παρατήρησης σεισμολογικών φαινομένων. Η ανάπτυξη μιας βάσης δεδομένων για σεισμικές βλάβες μπορεί να βοηθήσει στην εκτίμηση της υπάρχουσας έρευνας και την περαιτέρω βελτίωση της. Η αλληλεπίδραση σε κτίρια κατοικιών. Ένα μεγάλο τμήμα των εργασιών επικεντρώνεται κυρίως σε ειδικές κατασκευές, όπως τα πυρηνικά εργοστάσια (nuclear power plant), εξαιτίας της σημαντικότητας τους. Παρ όλα αυτά, εξαιτίας των διαφορών των κατασκευών, περισσότερη μελέτη και προσοχή πρέπει να δοθεί σε σύνθετα συστήματα κτιρίων. Πρακτικά απλά υπολογιστικά μοντέλα. Στόχος κάθε έρευνας είναι η παροχή οδηγών και κανονισμών για σχεδιασμό πραγματικών κατασκευών, έτσι η απλότητα και η πρακτική εφαρμογή αποτελούν βασικούς στόχους. Η χρήση της ΜΠΣ και ΜΣΣ είναι υπερβολικά δύσχρηστες και χρονοβόρες στην εφαρμογή τους. Η ανάπτυξη απλούστερων υπολογιστικών μοντέλων είναι αναγκαία. Σημασία και επιρροή γειτονικών κατασκευών. Η ύπαρξη γειτονικών κατασκευών έχει αποδειχτεί ότι επηρεάζει την σεισμική απόκριση των κατασκευών. Περαιτέρω έρευνα απαιτείται στην συσχέτιση της απόκρισης των κατασκευών με την παρουσία ομάδας κτιρίων. Στην παρούσα εργασία, πραγματοποιείται η μελέτη του φαινομένου της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής όταν αυτή θεμελιώνεται επί εύκαμπτων, επιφανειακών θεμελιώσεων επί εδαφικού στρώματος πάνω από βραχώδες υπόστρωμα. Η μέχρι σήμερα μελέτη της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής έχει περιορισθεί 15

24 κυρίως σε επιφανειακά, άκαμπτα ή εύκαμπτα θεμέλια επί εδαφικού ημιχώρου. Συνεπώς, η κρισιμότητα των διαφόρων παραμέτρων που εισάγονται μέσω της διαστρωμάτωσης του εδάφους και των πολλαπλών αλληλεπιδράσεων τους, στη σεισμική απόκριση των κατασκευών δεν έχει μελετηθεί επαρκώς. Εύκαμπτα επιφανειακά θεμέλια χρησιμοποιούνται συνήθως σε περιπτώσεις έδρασης κατασκευών σε εδάφη χαμηλής αντοχής. Ειδικότερα στις περιπτώσεις πολύ χαλαρών εδαφών επιλέγεται ο συνδυασμός επιφανειακών εύκαμπτων θεμελίων με πασσάλους. Ακόμη όμως και στην περίπτωση ανθεκτικότερων εδαφών έχει επικρατήσει σαν κοινή πρακτική η λύση της εύκαμπτης γενικής κοιτόστρωσης ή των εύκαμπτων θεμελιολωρίδων. Οι λύσεις αυτές εφαρμόζονται τόσο σε κοινά κτιριακά έργα, όσο και σε σημαντικότερα έργα, όπως η θεμελίωση βάθρων γεφυρών. Παρά την ευρεία χρήση αυτού του είδους θεμελίωσης δεν έχει αναπτυχθεί έως σήμερα μια διαδικασία σεισμικού σχεδιασμού τέτοιων συστημάτων εδάφους-κατασκευής. Στις περισσότερες περιπτώσεις μάλιστα δεν λαμβάνεται υπόψη η σχετική ευκαμψία της θεμελίωσης και του εδάφους για την δυναμική ανάλυση. Στόχος της παρούσας εργασίας αποτελεί η ανάπτυξη ενός διακριτού, απλού στην εφαρμογή προσομοιώματος εδαφικού χώρου σε βραχώδες υπόστρωμα που θα μπορεί να εφαρμοστεί για την δυναμική ανάλυση διαφόρων συστημάτων αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής. 16

25 2. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΑΧΩΔΕΣ ΥΠΟΣΤΡΩΜΑ 2.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται η δυναμική ανάλυση του γραμμικά ελαστικού εδαφικού χώρου πάνω από βραχώδες σχηματισμό με χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ). Σκοπός της ανάλυσης είναι ο υπολογισμός της δυναμικής απόκρισης του εδάφους στην επιφάνειά του. Αρχικά, γίνεται ο υπολογισμός των μετατοπίσεων στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου υπό την επιρροή αρμονικών δυνάμεων και ροπών και στην συνέχεια με αντιστροφή αυτών υπολογίζονται οι αντίστοιχες δυσκαμψίες και αποσβέσεις των σημείων. Ως εργαλείο για την πραγματοποίηση αυτής της ανάλυσης επιλέγεται το πακέτο λογισμικού ειδικού σκοπού ACS SASSI (2010). Το πακέτο λογισμικού ACS SASSI είναι βασισμένο στο κώδικα SASSI που πρωτοπαρουσιάστηκε από τους Lysmer et al. (1981). Το υπό μελέτη σύστημα παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.1 Σχήμα 2.1 Διακριτοποίηση και φόρτιση επιφάνειας εδαφικού στρώματος πάνω σε βραχώδες υπόστρωμα. 17

26 Όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.1, η επιφάνεια του εδαφικού χώρου διακριτοποιείται με ένα πυκνό δίκτυο επιφανειακών κόμβων. Οι κόμβοι αυτοί φορτίζονται διαδοχικά με φορτία (δυνάμεις ή ροπές) που μεταβάλλονται αρμονικά με τον χρόνο περιγράφονται από τις εξισώσεις : (2.1) όπου (2.2) (2.3) Ο στόχος της ανάλυσης είναι ο υπολογισμός της απόκρισης κάθε κόμβου της επιφάνειας του εδαφικού χώρου, με την αντιστροφή του οποίου θα υπολογίζεται η δυσκαμψία στον αντίστοιχο βαθμό ελευθερίας. 2.2 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ-ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ Η διακριτοποίηση του εδαφικού σχηματισμού και ο υπολογισμός της απόκρισής του υλοποιείται με το πακέτο λογισμικού ACS SASSI (2010). Το λογισμικό αυτό χρησιμοποιεί την μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής στο πεδίο των συχνοτήτων. Ειδικότερα η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων εφαρμόζεται σε συνδυασμό με την μέθοδο των υποκατασκευών. Η μέθοδος των υποκατασκευών είναι ιδανική για την ανάλυση της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής στην περίπτωση που όλα τα κομμάτια του συστήματος εδάφους θεμελίωσης κατασκευής μπορούν να θεωρηθούν πως συμπεριφέρονται ελαστικά. Σε αυτή την προσέγγιση το πρόβλημα μπορεί να διαιρεθεί σε μια σειρά από απλούστερα υπό προβλήματα, τα οποία επιλύονται ξεχωριστά. Το τελικό αποτέλεσμα προκύπτει με εφαρμογή της αρχής της υπέρθεσης των επιμέρους λύσεων. 18

27 Οι διάφορες τεχνικές για την εφαρμογή της μεθόδου των υποκατασκευών διαφοροποιούνται βάσει του τρόπου με τον οποίο λαμβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση στην διεπιφάνεια εδάφους θεμελίωσης. Για περισσότερες πληροφορίες ο αναγνώστης παραπέμπεται στις εργασίες των Lysmer (1978) και Chin and Chih-Cheng (1998). Στο πακέτο λογισμικού ACS SASSI (2010) είναι διαθέσιμες οι τεχνικές του εύκαμπτου όγκου και της εύκαμπτης διεπιφάνειας. Για τους σκοπούς της παρούσας εργασίας, χρησιμοποιήθηκε η τεχνική του εύκαμπτου όγκου (flexible volume), διότι είναι η αμεσότερη καθώς δεν απαιτείται ξεχωριστή ανάλυση διάδοσης κυμάτων και ο υπολογισμός των δυναμικών δυσκαμψιών γίνεται σε ένα βήμα. Η τεχνική εύκαμπτου όγκου χωρίζει το συνολικό σύστημα όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.2 σε τρείς υποκατασκευές: (α) στο ελεύθερο πεδίο, (β) στον όγκο του «διαταραγμένου» εδάφους (excavated soil volume) και (γ) στην υπερκατασκευή. Στην τεχνική αυτή γίνεται η θεώρηση ότι το ελεύθερο πεδίο και ο όγκος του «διαταραγμένου» εδάφους, αλληλεπιδρούν τόσο στο σύνορό του όσο και στο εσωτερικό του. Η αλληλεπίδραση αυτή προστίθεται στην αλληλεπίδραση μεταξύ των υποκατασκευών στο σύνορο με την θεμελίωση της κατασκευής. Σχήμα 2.2 : Διάσπαση συνολικού συστήματος σε υποκατασκευές με την μέθοδο του εύκαμπτου όγκου (ACS SASSI 2010). 19

28 Ο ελαστικός εδαφικός σχηματισμός διακριτοποιείται στην επιφάνειά του, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.3. Θα πρέπει σε αυτό το σημείο να σημειωθεί πως για να λειτουργήσει ο κώδικας ACS SASSI, θα πρέπει να ορίζονται όλες οι υποκατασκευές του Σχήματος 2.2. Αυτό σημαίνει πως στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου θα πρέπει να υπάρχει μια υπερκατασκευή. Η υπερκατασκευή αυτή επιλέγεται για τις ανάγκες της παρούσας ανάλυσης να είναι ένα επιφανειακό θεμέλιο με μηδενική δυσκαμψία, μάζα και απόσβεση. Το θεμέλιο αυτό δημιουργείται με την βοήθεια επίπεδων τετράκομβων στοιχείων πλάκας. Οι κόμβοι των στοιχείων αυτών χρησιμοποιούνται για την δημιουργία του δικτύου των επιφανειακών κόμβων (κόμβοι αλληλεπίδρασης), στους οποίους υπολογίζεται το πεδίο μετακινήσεων. Τα στοιχεία αυτά δεν έχουν δυσκαμψία και αδράνεια (πρακτικά μηδενικό πάχος, μέτρο ελαστικότητας και μηδενική πυκνότητα) ώστε να μην επηρεάζουν την απόκριση του εδαφικού χώρου. Με τη χρήση αυτών των στοιχείων είναι δυνατή η εύρεση της απόκρισης οποιουδήποτε σημείου j εξ αιτίας της φόρτισης οποιουδήποτε σημείου i. Η απόσταση s από κόμβο σε κόμβο, επιλέγεται μικρότερη ή ίση της τιμής λmin/8, όπου λmin είναι το μήκος κύματος για την μέγιστη συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης. Με αυτό τον τρόπο εξασφαλίζεται ότι δεν θα χαθεί κάποια έξαρση της απόκρισης καθώς υπάρχουν αρκετά σημεία σε κάθε μήκος κύματος. Οι αναλύσεις γίνονται για μεγάλες επιφανειακές διαστάσεις (L s >10m) και για εύρη συχνοτήτων μέσα στα συνηθισμένα όρια που εμφανίζονται σε σεισμικά προβλήματα. Σχήμα 2.3 Διακριτοποίηση της επιφάνειας του εδάφους. 20

29 Η διακριτοποίηση του εδαφικού χώρου στην κατακόρυφη διεύθυνση έγινε όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.4, με χρήση οριζοντίων στρωμάτων σταθερού πάχους. Κάθε τέτοιο στρώμα έχει μέγιστο πάχος μικρότερο ή ίσο της τιμής λ min /5. Η προσομοίωση του οριζόντιου συνόρου στην κατακόρυφη διεύθυνση πραγματοποιείται με προσθήκη στρωμάτων μεταβλητού πάχους τα οποία καταλήγουν σε αποσβεστήρες που παίζουν τον ρόλο ιξωδοελαστικών απορροφητικών συνόρων. Το συνολικό βάθος διακριτοποίησης επιλέγεται σε κάθε περίπτωση ανάλογα με το βάθος στο οποίο βρίσκεται το βραχώδες υπόστωμα. Η χρήση απορροφητικών συνόρων είναι απαραίτητη στην εφαρμογή της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων, όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, διότι ενώ το έδαφος θεμελίωσης εκτείνεται σε άπειρο μήκος κατά την οριζόντια διεύθυνση (αλλά όχι και στην κατακόρυφη, στην προκειμένη περίπτωση, σε αντίθεση με το πρόβλημα ημιχώρου), αντιπροσωπεύεται με ένα προσομοίωμα πεπερασμένων διαστάσεων. Αυτό το προσομοίωμα «παγιδεύει» την ενέργεια του συστήματος εντός των ορίων του και αλλοιώνει τα δυναμικά χαρακτηριστικά του οδηγώντας σε λανθασμένα αποτελέσματα. Για να αποφευχθεί αυτό το φαινόμενο, εισάγονται ειδικά απορροφητικά σύνορα ώστε να συμπεριληφθεί η ακτινοβολία ενέργειας στην περιοχή του εδαφικού μέσου που δεν περιέχεται στο προσομοίωμα (άπειρο). Στον κώδικα ACS SASSI (2010), πέρα από τα σύνορα που τοποθετούνται στην βάση για την προσομοίωση του βραχώδους υποστρώματος (rigid bedrock), στα άκρα των οριζοντίων στρωμάτων σταθερού πάχους τοποθετούνται ειδικά απορροφητικά σύνορα. Τα επιπλέον εδαφικά στρώματα μεταβλητού πάχους χρησιμοποιούνται για τον περαιτέρω περιορισμό του φαινομένου της «παγίδευσης» ενέργειας στο προσομοίωμα του εδαφικού υλικού, αυξάνοντας την ακρίβεια της μεθόδου. Το συνολικό βάθος H αυτών των στρωμάτων δίνεται από την εξίσωση: (2.4) όπου f είναι η συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης σε Hz, και Vs είναι η ταχύτητα διατμητικού κύματος του εδαφικού σχηματισμού. Το πάχος του j στρώματος καθορίζεται από το πάχος του πρώτου στρώματος μεταβλητού πάχους h0 με βάση την εξίσωση 21

30 (2.5) Όπου α είναι μια σταθερά που καθορίζεται από τον συνολικό αριθμό επιπλέον εδαφικών στρωμάτων μεταβλητού πάχους, n και το συνολικό βάθος Η, ως εξής (2.6) Σχήμα 2.4 Διακριτοποίηση: α) κατακόρυφων εδαφικών στρωμάτων και β) ενός εδαφικού στρώματος. Η διακριτοποίηση του εδαφικού χώρου φαίνεται στο Σχήματα 2.4 σε δισδιάστατη απεικόνιση. 22

31 Σχήμα 2.5 α)διάγραμμα χωρισμού εδάφους σε περιοχές, β) πεπερασμένα στοιχεία για την ανάλυση του εδαφικού στρώματος. Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, στο πεδίο των συχνοτήτων. Ο εδαφικός χώρος διαιρείται σε τρεις περιοχές. Η περιοχή που μας ενδιαφέρει είναι αυτή στην οποία βρίσκεται η θεμελίωση (περιοχή Ι) (Σχήμα 2.5). Η βάση του μοντέλου θεωρείται οριζόντια και εδράζεται σε βραχώδες υπόστρωμα (rigid bedrock). Στο Σχήμα 2.5 φαίνεται η διακριτοποίηση με πεπερασμένα στοιχεία που χρησιμοποιείται στην ανάλυση. Συνήθως επιλέγονται τετραγωνικά ή τριγωνικά χωρικά πεπερασμένα στοιχεία. Η επιλογή της διακριτοποίησης εξαρτάται από διάφορες παραμέτρους που εξετάζονται στην εργασία του Hamdan (2013). Οι περιοχές ΙΙ και ΙΙΙ του Σχήματος 2.5 δεν μπορούν να διακριτοποιηθούν με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείου λόγω του απείρου μήκους τους και γι αυτό απαιτείται ιδιαίτερη μεταχείριση για να ληφθεί υπόψη η επιρροή τους. Έτσι, χρησιμοποιούνται αποτελεσματικά συνοριακά στοιχεία στα όρια την περιοχής ανάλυσης Ι για να υπάρχει μείωση του υπολογιστικού κόστους και για να εξασφαλιστεί η ακτινοβολία των κυμάτων στον άπειρο χώρο. Η ορθή επιλογή των κατάλληλων απορροφητικών συνόρων είναι κομβικής σημασίας για την σωστή προσομοίωση του υπό ανάλυση εδαφικού χώρου. Υπάρχουν δύο κατηγορίες στοιχείων απόσβεσης που χρησιμοποιούνται, τα τοπικά και μη τοπικά. Γενικά, τα τοπικά στοιχεία απόσβεσης (Local Absorbing Boundary Conditions-ABC) που 23

32 χρησιμοποιούνται θεωρούνται ότι έχουν μικρό υπολογιστικό κόστος και είναι απλά στην μαθηματικής τους έκφραση, αλλά δεν επιτυγχάνουν την ίδια ακρίβεια με τα μη τοπικά (nonlocal methods). Τα ιξώδη τοπικά στοιχεία που αναπτύχθηκαν από τους Lysmer and Kuhlemeyer (1969) είναι τα πρώτα τοπικά απορροφητικά στοιχεία που εμφανίζονται στην βιβλιογραφία και δημιουργήθηκαν για την επίλυση προβλημάτων ελαστοδυναμικής στο πεδίο του χρόνου. Η βασική ιδέα είναι η τοποθέτηση αποσβεστήρων ιξώδους στα όρια της υπό ανάλυση περιοχής με στόχο την απορρόφηση ενέργειας από τα P και S κύματα. Εξαιτίας της απλότητας και την ευκολίας με την οποία συνδυάζονται με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, η χρήση των συγκεκριμένων στοιχείων είναι ευρέως διαδεδομένη σε εμπορικά προγράμματα π.χ. (ACS SASSI, ABAQUS). 24

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται η ανάπτυξη ενός διακριτού μοντέλου του εδαφικού χώρου με την παρουσία του βραχώδους υποστρώματος που βασίζεται στον υπολογισμό των δυναμικών δυσκαμψιών και αποσβέσεων στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου. Στόχος αυτής της διαδικασίας είναι η αντικατάσταση του εδαφικού χώρου από ένα απλό και ακριβές μοντέλο, το οποίο θα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην συνέχεια σε συνδυασμό με την μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ) για τον υπολογισμό της απόκρισης διαφόρων θεμελίων. Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο ο υπολογισμός των δυναμικών δυσκαμψιών πραγματοποιείται με χρήση της ΜΠΣ, η οποία υλοποιείται από το πακέτο λογισμικού ACS SASSI (2010). Θεωρούμε τμήμα της επιφάνειας του εδαφικού χώρου διαστάσεων 2Ls 2Ls, όπου Ls μεγαλύτερο των 10m και ορίζουμε πάνω στην επιφάνεια ένα θεμέλιο χωρίς μάζας και δυσκαμψία, προκειμένου να μην επηρεάζεται η απόκριση ελεύθερου πεδίου του εδαφικού χώρου (free field response) (Σχήμα 3.1). Υπενθυμίζουμε ότι στο λογισμικό ACS SASSI (2010) πρέπει να ορίζονται, τόσο το εδαφικό στρώμα, όσο και η υπερκατασκευή (θεμέλιο) προκειμένου να πραγματοποιηθεί οποιαδήποτε ανάλυση αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής. Στην συνέχεια κάθε κόμβος i της επιφάνειας του εδαφικού χώρου φορτίζεται με μοναδιαίο αρμονικό φορτίο, το οποίο εφαρμόζεται σε όλους τους βαθμούς ελευθερίας (Σχήμα 3.1). Τα μοναδιαία δυναμικά φορτία {Q} που ασκούνται στους μεταφορικούς βαθμούς ελευθερίας u x, u y, u z και οι δυναμικές ροπές στους στροφικούς βαθμούς ελευθερίας θ x,θ y ορίζονται από την εξίσωση 3.1: (3.1) 25

34 Σχήμα 3.1 Εφαρμογή μοναδιαίου δυναμικού φορτίου σε όλους τους βαθμούς ελευθερίας τυχαίου κόμβου στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου. Τονίζεται σε αυτό το σημείο η έλλειψη της δυνατότητας «μεταφοράς» του στρεπτικού φορτίου μέσω των διαθέσιμων πεπερασμένων στοιχείων του κώδικα ACS SASSI (2010). Άρα σε κάθε κόμβο i οι βαθμοί ελευθερίας που υπολογίζονται είναι πέντε (u x, u y, u z, θ x, θ y). Η δυναμική απόκριση του κόμβου i, καθώς και όλων των κόμβων της επιφάνειας δημιουργούν το μητρώο ευκαμψίας [U(ω)]. Επειδή η φόρτιση που εφαρμόζεται έχει μοναδιαίο εύρος, η άμεση αντιστροφή του μητρώου [U(ω)] οδηγεί στην εύρεση του ζητούμενου μητρώου δυναμικής δυσκαμψίας [Κ(ω)], με βάση την εξίσωση 3.2: [K(ω)] = [U(ω)] -1 (3.2) Το μητρώο δυναμικής δυσκαμψίας είναι ένα μιγαδικό μητρώο, το οποίο είναι συνάρτηση της συχνότητας ω και μπορεί να γραφεί σύμφωνα με την εξίσωση 3.3: [Κ(ω)] = Re [K(ω)] + Im[K(ω)] (3.3) 26

35 Ή χρησιμοποιώντας την φανταστική μονάδα στην μορφή της εξίσωσης 3.4: [Κ(ω)] = [ΚI] + iω[ci] (3.4) Όπου τα μητρώα [ΚI] και [CI] αντιστοιχούν στην δυσκαμψία και απόσβεση (γεωμετρική) της επιφάνειας του εδαφικού σχηματισμού. Τα μητρώα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάση για την δημιουργία ενός μοντέλου της επιφάνειας του εδαφικού στρώματος πάνω από το βραχώδες υπόστρωμα, το οποίο θα αποτελείται από ισοδύναμα ελατήρια και αποσβεστήρες (Σχήμα 3.2). Σχήμα 3.2 Διακριτό προσομοίωμα εδαφικού στρώματος επί βραχώδους υποστρώματος. 27

36 Θεωρώντας ότι το δίκτυο διακριτοποίησης της επιφάνειας του εδαφικού σχηματισμού αποτελείται από n κόμβους, τα μητρώα [ΚI] και [CI] έχουν διαστάσεις (5 n) (5 n), ενώ σε κάθε κόμβο i το μητρώο είναι διαστάσεων 5 5. Τα μητρώα [ΚI] και [CI] δίνονται σε μητρωϊκή μορφή από τις εξισώσεις (3.5) και (3.6) (3.5) (3.6) Τα μητρώα [ΚI] και [CI] εκφράζουν την αλληλεπίδραση μεταξύ όλων των κόμβων της επιφάνειας του εδαφικού στρώματος του εδαφικού σχηματισμού. 28

37 Η ανάπτυξη του προτεινόμενου διακριτού μοντέλου υπολογίζεται με την χρήση ενός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, όπως αυτό του Σχήματος 3.3. Επιπλέον όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.3, δύο κόμβους i, j απέχουν απόσταση R μεταξύ τους. Σχήμα 3.3 Σύστημα συντεταγμένων για τον υπολογισμό της δυσκαμψίας και απόσβεσης στους κύριους βαθμούς ελευθερίας του εδαφικού χώρου. Οι κυριότερες παράμετροι που επηρεάζουν την δυναμική απόκριση του εδαφικού χώρου με την παρουσία βραχώδους υποστρώματος είναι : (α) οι μηχανικές ιδιότητες του χώρου, όπως η ταχύτητα διάδοσης διατμητικού κύματος Vs, το μέτρο διάτμησης G s, και ο λόγος Poisson ν, (β) η απόσταση R του εκάστοτε σημείου από τον κόμβο φόρτισης, (γ) η συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης ω, (δ) η απόσβεση του εδαφικού υλικού ξ (material damping), (ε) το βάθος στο οποίο βρίσκεται το βραχώδες υπόστρωμα από την επιφάνεια του εδάφους Η και (στ) ο προσανατολισμός του συστήματος συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε στην ανάλυση μας. Όπως φαίνεται από τα παραπάνω, ακόμα και η ανάλυση της πιο απλής περίπτωσης στην οποία η συμπεριφορά του υλικού είναι γραμμική και όχι μη-γραμμική, καθώς και με 29

38 δεδομένο ότι οι ιδιότητες του εδαφικού στρώματος δεν μεταβάλλονται με το βάθος, είναι αρκετά πολύπλοκη και εξαρτάται από αρκετές παραμέτρους. Στο σημείο αυτό πρέπει να τονιστεί ότι η επιρροή της απόσβεσης του υλικού (ξ) δεν εξετάζεται στην παρούσα εργασία, αλλά παραμένει σταθερή ξ=5% σε όλα τα στάδια μελέτης. Η παραμετρική ανάλυση που πραγματοποιείται έχει να κάνει με την μεταβολή του βάθους στο οποίο βρίσκεται το βραχώδες υπόστρωμα και με την απόσταση που απέχει το σημείο της επιφάνειας που εξετάζουμε από το σημείο φόρτισης. Πραγματοποιούνται αναλύσεις για δύο διαφορετικές περιπτώσεις βάθους Η, για 10 και 20 μέτρα αντίστοιχα και δίνονται αποτελέσματα για αποστάσεις R από το σημείο φόρτισης 0, 5, και 15 μέτρα. Η εξωτερική φόρτισης ω εκφράζεται μέσω της αδιάστατης ποσότητας α0 που δίνεται από την εξίσωση (3.7): (3.7) Όπου R η απόσταση του σημείου που εξετάζουμε από το σημείο φόρτισης και Vs η ταχύτητα διάδοσης διατμητικού κύματος. Στα Σχήματα φαίνεται η επιρροή του βάθους H του εδαφικού στρώματος, όσο και της απόστασης R του σημείου που εξετάζουμε από το σημείο φόρτισης. Παρατηρούμε ότι όσο απομακρυνόμαστε από το σημείο φόρτισης (αύξηση του R), η απόκριση είναι μικρότερη (κατ απόλυτη τιμή), ενώ με αύξηση του εδαφικού στρώματος H και σταθερή την απόσταση R, η απόκριση αυξάνεται. Επιπλέον, στα Σχήματα είναι εμφανές ότι η απόκριση της επιφάνειας του εδαφικού χώρου εξαρτάται από την εξωτερική συχνότητα φόρτισης, εμφανίζοντας μέγιστα και ελάχιστα. Οι αρνητικές τιμές της στροφής του Σχήματος 3.6 που υπολογίζονται σχετίζονται με τον προσανατολισμό του συστήματος συντεταγμένων και την θεώρηση για θετικές στροφές (Σχήμα 3.3). 30

39 uz(x10 3 m) 2,3E-09 2,1E-09 1,9E-09 1,7E-09 1,5E-09 1,3E-09 1,1E-09 H=20m,R=0 H=20m,R=5m H=20m,R=15m H=10m,R=0 H=10m,R=5m H=10m,R=15m 9E α 0 Σχήμα 3.4 Κατακόρυφη απόκριση για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης. 1,2E-09 1,1E-09 ux(x10 3 m) 1E-09 9E-10 8E-10 7E-10 6E-10 5E-10 4E-10 3E-10 2E H=20m,R=0 H=20m,R=5m H=20m,R=15m H=10m,R=0 H=10m,R=5m H=10m,R=15m α 0 Σχήμα 3.5 Οριζόντια απόκριση για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης. 31

40 Θx(x10 3 rad) 0-0,0001-0,0002-0,0003-0,0004-0,0005-0,0006-0,0007-0,0008-0, α 0 H=20m,R=5m H=20m,R=15m H=10m,R=5m H=10m,R=15m Σχήμα 3.6 Λικνιστική απόκριση για στρεπτική φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης. Η επόμενη αδιάστατη ποσότητα που επηρεάζει την δυσκαμψία του εδαφικού χώρου, σχετίζεται με την απόσταση R του εκάστοτε σημείου που εξετάζουμε από το σημείο φόρτισης. Η έκφραση για την αδιάστατη ποσότητα δίνεται από την εξίσωση (3.8) : (3.8) όπου F ext είναι η εξωτερική δυναμική φόρτιση. Η μεταβλητή d o εκφράζει με αδιάστατο τρόπο την απόσταση οποιουδήποτε σημείου της επιφάνειας του εδαφικού χώρου από το εκάστοτε σημείο φόρτισης. Τέλος, ένας αδιάστατος όρος σχετίζεται με το βάθος του εδαφικού στρώματος (Η) κανονικοποιημένος με ένα σταθερό μήκος r, το οποίο είναι χαρακτηριστικό για το σημείο του εδάφους που εξετάζουμε (Η/r). Όπως παρουσιάζεται και στην συνέχεια, η τιμή του r είναι σταθερή και ίση με την μονάδα. 32

41 Kzz(kN/m) H=20m,R=0 H=20m,R=5m H=20m,R=15m H=10m,R=0 H=10m,R=5m H=10m,R=15m α 0 Σχήμα 3.7 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδάφους για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης. Kxx(kN/m) H=20m,R=0 H=20m,R=5m H=20m,R=15m H=10m,R=0 H=10m,R=5m H=10m,R=15m α 0 Σχήμα 3.8 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδάφους για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης. 33

42 Kθxθx(kN m) H=20m,R=0 H=20m,R=5m H=20m,R=15m H=10m,R=0 H=10m,R=5m H=10m,R=15m α 0 Σχήμα 3.9 Πραγματικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδάφους για στρεπτική φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διαφορετικά βάθη βραχώδους υποστρώματος και αποστάσεις από το σημείο φόρτισης. Στα Σχήματα φαίνονται οι δυσκαμψίες της επιφάνειας του εδαφικού χώρου σε διαφορετικούς βαθμούς ελευθερίας. Στο Σχήμα παρατηρούμε ότι με αύξηση του βάθους Η του βραχώδους υποστρώματος, το πραγματικό μέρος της δυσκαμψίας (Κxx, Kzz) μειώνεται. Επιπλέον, όσο απομακρυνόμαστε από το σημείο φόρτισης (απόσταση R- ισοδύναμα d o ), η δυσκαμψία αυξάνεται για το ίδιο βάθος υποστρώματος. Παρ όλα αυτά, υπάρχουν διαφορετικοί συνδυασμοί Η-R που μπορούν να έχουν την ίδια δυσκαμψία (για παράδειγμα οι κατακόρυφες δυσκαμψίες για Η=20m, R=5m, με τις τιμές για Η=10m, R=0, Σχήμα 3.7 είναι παραπλήσιες). Είναι εμφανές από τα Σχήματα ότι οι δυσκαμψίες εξαρτώνται από την συχνότητα διέγερσης και υπάρχουν σημεία που εμφανίζει μέγιστα και ελάχιστα. Η παρουσία μεγίστων και ελαχίστων έχει να κάνει με την ανάκλαση των κυμάτων πάνω στο βραχώδες υπόστρωμα και την επιστροφή τους στην επιφάνεια του εδάφους δημιουργώντας φαινόμενα συμβολής κυμάτων που άλλοτε ενισχύουν ή αποσβένουν το εύρος ταλάντωσης. Υπενθυμίζεται ότι τα φαινόμενα συντονισμού που παρατηρούνται σχετίζονται με τις θεμελιώδεις συχνότητες του εδαφικού στρώματος. Σύμφωνα με την απλή θεωρία μονοδιάστατης διάδοσης κυμάτων, η θεμελιώδης συχνότητα του εδαφικού στρώματος σε κατακόρυφα διατμητικά κύματα δίνεται από την σχέση Vs/4H, δηλαδή στην περίπτωσή 34

43 μας περίπου α0=1,8. Παρατηρώντας το Σχήμα 3.8, η τιμή αυτή είναι σε πλήρη αντιστοιχία και επιβεβαιώνει την ισχύ της απλής μονοδιάστατης θεωρίας να υπολογίσει την πρώτη κρίσιμη συχνότητα ακόμα και σε προβλήματα τριών διαστάσεων. Η εξήγηση βασίζεται στην παρατήρηση ότι η δεύτερη συχνότητα στην οποία εμφανίζεται σημαντική αλλαγή σχετίζεται με την πρώτη συχνότητα συντονισμού με κύματα διαστολής (dilatation waves), ενώ η επόμενη με την δεύτερη συχνότητα συντονισμού με διατμητικά κύματα (shear waves). Η ισχύς όμως της μονοδιάστατης θεωρίας διάδοσης κυμάτων αδυνατεί να υπολογίσει με ακρίβεια τις επόμενες συχνότητες συντονισμού εξαιτίας της παρουσίας πλέον στον εδαφικό χώρο κυμάτων Rayleigh, SV και SH λόγω της πρόσπτωσης στο βραχώδες υπόστρωμα των διατμητικών κυμάτων. Τονίζουμε εδώ ότι πριν την εμφάνιση του πρώτου συντονισμού, τα μόνα κύματα που υπάρχουν στον εδαφικό χώρο είναι τα διατμητικά τα οποία και κινούνται κατακόρυφα στον ελαστικό εδαφικό χώρο. Στο Σχήμα 3.9 παρατηρούμε ότι για τα δύο διαφορετικά βάθη στα οποία βρίσκεται το βραχώδες υπόστρωμα και εξετάζουμε στην παρούσα εργασία, η απόκριση δεν επηρεάζεται από το βάθος του εδαφικού στρώματος. Μια εξήγηση είναι ότι μετά το βάθος των 10m στο εδαφικό στρώμα, η απόκριση δεν επηρεάζεται από το βάθος του εδαφικού στρώματος, δηλαδή ισχύει η προσέγγιση ημιχώρου. Στο επόμενο βήμα, οι τιμές των δυναμικών δυσκαμψιών κανονικοποιούνται με την κατακόρυφη στατική δυσκαμψία ενός άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας r (θεωρούμε πάντα r μονάδα) που εδράζεται σε στρώμα εδάφους πάνω από βραχώδες υπόστρωμα βάθους Η (Gazettas 1983) σύμφωνα με τις εξισώσεις ( ): (3.7) (3.9) 35

44 (3.10) Στο Σχήμα 3.10 φαίνεται η κανονικοποίηση της κατακόρυφης δυσκαμψίας με την κατακόρυφη δυσκαμψία κυκλικού θεμελίου που δίνεται από την εξίσωση 3.8. Ενδεικτικά φαίνεται η απόκριση στο σημείο φόρτισης για τα δύο διαφορετικά βάθη που εξετάζουμε, ενώ ίδια συμπεριφορά παρουσιάστηκε και σε περιπτώσεις με διαφορετικές αποστάσεις R. Στο Σχήμα 3.10 παρατηρούμε ότι για τα δύο διαφορετικά βάθη στα οποία βρίσκεται το βραχώδες υπόστρωμα και εξετάζουμε στην παρούσα εργασία, το συχνοτικό περιεχόμενο της απόκρισης δεν επηρεάζεται από το βάθος του εδαφικού στρώματος. Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσουμε ότι η παραμετρική ανάλυση έχει γίνει μόνο για δύο διαφορετικά βάθη. Μια μελλοντική έρευνα πρέπει να περιλαμβάνει περισσότερα βάθη προκειμένου να στηρίξει ή όχι την παρούσα διαπίστωση. Kzz/Κzz,st 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0, H=10m,R=0 H=20m,R=0 H=20m,R=5 H=20m,R=15 α 0 Σχήμα 3.10: Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδάφους για κατακόρυφη φόρτιση κανονικοποιημένα ως προς την κατακόρυφη στατική δυσκαμψία κυκλικού θεμελίου. 36

45 Στην συνέχεια με την χρήση του προγράμματος Mathematica πραγματοποιείται προσαρμογή της καμπύλης με παραμέτρους τη συχνότητα α0 και την αδιάστατη απόσταση do. Οι τελικές εξισώσεις των δυσκαμψιών του προτεινόμενου μοντέλου μετά την προσαρμογή των καμπύλων δίνονται από τις εξισώσεις : (3.11) (3.12) (3.13) Οι πρώτοι δύο όροι των εξισώσεων έχουν να κάνουν με την κανονικοποιημένη στατική δυσκαμψία του κυκλικού θεμελίου. Είναι εμφανές ότι με αύξηση της απόστασης R (ισοδύναμα do), η δυσκαμψία αυξάνεται. Επιπλέον, με αύξηση του βάθους H έχουμε μείωση της δυσκαμψίας του εδαφικού ημιχώρου. Όσον αφορά τον τελευταίο όρο των εξισωσεων εξαρτάται μόνο από τη συχνότητα α0 και αποτελεί το ανάπτυγμα μιας σειράς Fourier στην οποία έχουν υπολογισθεί οι πρώτοι τρείς όροι. Υπενθυμίζουμε ότι ο όρος α0 δεν σχετίζεται με το βάθος του εδαφικού στρώματος H. Στην εξίσωση 3.13 η αδιάστατη συχνότητα α0 εμφανίζεται σε ένα εκθετικό όρο. Η παραπάνω σχέση εκφράζει με μαθηματικό τρόπο τα χαρακτηριστικά της απόκρισης που 37

46 έχουν παρατηρηθεί, όπως ότι δίνει μηδενική τιμή δυσκαμψίας στο σημείο φόρτισης και ότι με απομάκρυνση από το σημείο φόρτισης έχουμε αύξηση (κατ απόλυτη τιμή) της δυσκαμψίας. Η παρουσία του όρου r/6h που περιγράφει την επιρροή του βάθους H του εδαφικού στρώματος στην δυσκαμψία, εξηγεί το γεγονός της ταύτισης των αποτελεσμάτων για τα βάθη που εξετάζουμε, εφόσον έχει μικρή επιρροή στην δυσκαμψία (περίπου 3-5% παραπάνω από την τιμή της δυσκαμψίας ημιχώρου). Σύμφωνα με τα παραπάνω, μπορούμε να πούμε με ασφάλεια ότι η σχέση για την λικνιστική δυσκαμψία πρέπει να δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα και για την περίπτωση ημιχώρου. Για μικρότερα βάθη πρέπει να πραγματοποιηθεί περαιτέρω μελέτη με την εξέταση εδαφικών στρωμάτων μικρότερου πάχους Η πάνω από βραχώδες υπόστρωμα. Παρ όλα αυτά, σε διάφορες εργασίες που εξετάζουν την συνολική απόκριση θεμελίου σε εδαφικό στρώμα πάνω από βραχώδες υπόστρωμα (Gazetas, 1983), παρατηρείται η μικρή επιρροή του βάθους του εδαφικού στρώματος στην λικνιστκή δυσκαμψία. Στα Σχήμα φαίνεται η ακρίβεια του μαθηματικού μοντέλου για τα διαφορετικά βάθη στρώματος σε σχέση με τα αποτελέσματα από το πρόγραμμα ACS SASSI(2010) Kzz(kN/m) H=20m,R=0 H=20m,R=5m H=20m,R=15m Η=20m,R=0(Μοντέλο) H=20m,R=5m(Μοντέλο) Η=20m,R=15m(Μοντέλο) α 0 Σχήμα 3.11 Σύγκριση πραγματικού μέρους κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ACS SASSI (2010). 38

47 Kxx(kN/m) H=20m,R=0 H=20m,R=5m H=20m,R=15m Η=20m,R=0(Μοντέλο) H=20m,R=5m(Μοντέλο) Η=20m,R=15m(Μοντέλο) α 0 Σχήμα 3.12:Σύγκριση πραγματικού μέρους κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ACS SASSI(2010). Kθxθx(kN m) H=20m,R=0 H=20m,R=5m H=20m,R=15m Η=20m,R=0(Μοντέλο) H=20m,R=5m(Μοντέλο) Η=20m,R=15m(Μοντέλο) α 0 Σχήμα 3.13:Σύγκριση πραγματικού μέρους λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ACS SASSI (2010). 39

48 1200 Kzz(kN/m) H=10m,R=0 H=10m,R=5m H=10m,R=15m Η=10m,R=0(Μοντέλο) H=10m,R=5m(Μοντέλο) Η=10m,R=15m(Μοντέλο) α 0 Σχήμα 3.14 Σύγκριση πραγματικού μέρους κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ACS SASSI (2010) Kxx(kN/m) H=10m,R=0 H=10m,R=5m H=10m,R=15m Η=10m,R=0(Μοντέλο) H=10m,R=5m(Μοντέλο) Η=10m,R=15m(Μοντέλο) α 0 Σχήμα 3.15:Σύγκριση πραγματικού μέρους κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ASC SASSI (2010). 40

49 Kθxθx(kN m) H=10m,R=0 H=10m,R=5m H=10m,R=15m Η=10m,R=0(Μοντέλο) H=10m,R=5m(Μοντέλο) Η=10m,R=15m(Μοντέλο) α 0 Σχήμα 3.16 Σύγκριση πραγματικού μέρους κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού χώρου μεταξύ μοντέλου και προγράμματος ACS SASSI (2010). Για την απόσβεση στον οριζόντιο, κατακόρυφο και λικνιστικό βαθμό ελευθερίας οι εξισώσεις προσαρμογής είναι: (3.14) (3.15) (3.16) 41

50 Παρατηρούμε ότι οι αποσβέσεις εξαρτώνται από την συχνότητα φόρτισης α0, το πάχος του εδαφικού στρώματος πάνω από το βραχώδες υπόστρωμα (Η) όσο και την απόσταση από το σημείο φόρτισης R. 42

51 4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ 4.1 ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ - ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΟΥ ΚΑΙ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται η εφαρμογή του προτεινόμενου μοντέλου για τον υπολογισμό της κατακόρυφης, οριζόντιας και λικνιστικής απόκρισης διαφόρων τύπων θεμελίου. Σκοπός της διαδικασίας είναι ο έλεγχος της ακρίβειας του μοντέλου με αποτελέσματα από υπάρχουσες εργασίες. Εξετάζονται περιπτώσεις θεμελίων με διαφορετικές ευκαμψίες και σχήματα. Οι συνδυασμοί που εξετάζονται είναι οι εξής: α) άκαμπτο κυκλικό θεμέλιο, β) άκαμπτο θεμέλιο μορφής δακτυλίου και γ) εύκαμπτο τετραγωνικό θεμέλιο. Η μοντελοποίηση του προβλήματος της απόκρισης θεμελίου αντιμετωπίζεται με την χρήση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων σε συνδυασμό με την εφαρμογή των σχέσεων που αναπτύχθηκαν στο Κεφάλαιο 3 για την δυσκαμψία και απόσβεση των επιφανειακών σημείων του εδαφικού στρώματος. Το θεμέλιο διακριτοποιείται με την χρήση τετραγωνικών πεπερασμένων στοιχείων πλάκας για την περίπτωση κατακόρυφης και στροφικής φόρτισης. Με την διακριτοποίηση αυτή του θεμελίου δημιουργείται ένα σύστημα κόμβων (Σχήμα 4.1). Στην συνέχεια, το έδαφος κάτω από το θεμέλιο αφαιρείται και στους κόμβους που υπάρχουν, προστίθεται ένα ισοδύναμο σύστημα ελατηρίων και αποσβεστήρων με τιμές που υπολογίζονται από τις σχέσεις του Κεφαλαίου 3 (Σχήμα 4.1). Στο σημείο αυτό τονίζεται η εφαρμογή της παραπάνω διαδικασίας σε επιφανειακά θεμέλια οποιουδήποτε σχήματος, καθώς η διακριτοποίηση του θεμελίου επιτυγχάνεται με την χρήση πεπερασμένων στοιχείων. Επιπλέον, αποφεύγεται η διακριτοποίηση του εδαφικού χώρου στον οποίο εδράζεται το θεμέλιο, μειώνοντας έτσι το υπολογιστικό κόστος, καθώς λαμβάνεται υπόψη η επιρροή του μέσω των σχέσεων του Kεφαλαίου 3. 43

52 Σχήμα 4.1: Διακριτοποίηση θεμελίου και προσομοίωση εδαφικού χώρου με χρήση του προτεινόμενου μοντέλου (Μαραβάς, 2013) ΑΚΑΜΠΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΘΕΜΕΛΙΟ ΕΠΙ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΑΧΩΔΕΣ ΥΠΟΣΤΡΩΜΑ Στο σημείο αυτό υπολογίζεται η δυναμική απόκριση ενός άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R με αλλαγή του πάχους H του στρώματος εδάφους πάνω από το βραχώδες υπόστρωμα. Η σύγκριση γίνεται με τα αποτελέσματα από την εργασία του Gazeta (Gazetas, 1983) σε σχέση με τον λόγο H/R. Το εδαφικό υλικό έχει λόγο Poisson ν=1/3 και απόσβεση υλικού ξ=0.05 (5%). Το θεμέλιο που χρησιμοποιείτε έχει ακτίνα R=1m και παραμένει σταθερή, ενώ το βάθος Η αλλάζει, ελέγχοντας έτσι την απόκριση για διαφορετικούς λόγους Η/R. Στα Σχήματα που ακολουθούν, φαίνονται οι τιμές της δυσκαμψίας και της απόσβεσης στον οριζόντιο, κατακόρυφο και λικνιστικό βαθμό ελευθερίας. 44

53 Kzz/Kzz,static 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 H/R=2 H/R=2 (Gazetas) H/R=4 H/R=6 H/R=8 Ημιχώρος (Gazetas) 0-0, a O Σχήμα 4.2: Κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R. 1,2 Czz/Czz,static 1 0,8 0,6 0,4 0,2 H/R=2 H/R=2 (Gazetas) H/R=4 H/R=6 H/R=8 Ημιχώρος (Gazetas) a O Σχήμα 4.3: Κατακόρυφη δυναμική απόσβεση άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R. 45

54 Kxx/Kxx,static 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 H/R=2 H/R=2 (Gazetas) H/R=4 H/R=6 H/R=8 Ημιχώρος (Gazetas) 0, a 0 Σχήμα 4.4: Οριζόντια δυναμική δυσκαμψία άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R. 1 Cxx/Cxx,static 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 H/R=2 H/R=2 (Gazetas) H/R=6 Ημιχώρος (Gazetas) a 0 Σχήμα 4.5: Οριζόντια δυναμική απόσβεση άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R. 46

55 Kθxθx/Kθxθx,static 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 H/R=2 H/R=2 (Gazetas) H/R=6 Ημιχώρος (Gazetas) 0, a 0 Σχήμα 4.6: Λικνιστική δυναμική δυσκαμψία άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R. Cθxθx/Cθxθx,static 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, H/R=2 H/R=2 (Gazetas) H/R=6 Ημιχώρος (Gazetas) a 0 Σχήμα 4.7: Λικνιστική δυναμική απόσβεση άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας R, σε εδαφικό στρώμα πάχους H επί βραχώδους υποστρώματος, με μεταβολή του λόγου H/R. 47

56 Στα Σχήματα παρατηρούμε ότι για λόγο Η/R=2 τα αποτελέσματα του μοντέλου σε σχέση με τα αποτελέσματα της εργασίας του Gazeta (Gazetas, 1983) δίνουν ικανοποιητικά αποτελέσματα και στην εκτίμηση των συχνοτήτων όπου εμφανίζονται μέγιστα και στις αντίστοιχες αδιάστατες τιμές δυσκαμψίας για τον κατακόρυφο και οριζόντιο βαθμό ελευθερίας, όσο και για την απόσβεση στην κατακόρυφη διεύθυνση. Αντίθετα, όσο αυξάνεται ο λόγος Η/R, δηλαδή πλησιάζουμε την περίπτωση του ημιχώρου, το μοντέλο αδυνατεί να προβλέψει την απόκριση του θεμελίου. Ο λόγος είναι εμφανής παρατηρώντας την μορφή των προτεινόμενων σχέσεων για το μοντέλο, καθώς για τις περιπτώσεις της κατακόρυφης και οριζόντιας δυσκαμψίας και της κατακόρυφης απόσβεσης, οι σχέσεις περιέχουν τριγωνομετρικούς όρους που δεν μεταβάλλονται με αλλαγή του βάθους. Στα Σχήματα παρατηρούμε απόκλιση στην απόκριση του θεμελίου για την λικνιστική δυσκαμψία και την οριζόντια και λικνιστική απόσβεση για λόγο Η/R=2. Ενώ, για λόγο H/R=6 τα αποτελέσματα εμφανίζουν σύγκλιση με εκείνα του ημιχώρου ΑΚΑΜΠΤΟ ΔΑΚΤΥΛΙΟΕΙΔΕΣ ΘΕΜΕΛΙΟ ΕΠΙ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΑΧΩΔΕΣ ΥΠΟΣΤΡΩΜΑ Στο συγκεκριμένο σημείο γίνεται παρουσίαση των αποτελεσμάτων για την δυναμική απόκριση άκαμπτων δακτυλιοειδών θεμελίων επί εδαφικού στρώματος πάνω σε βραχώδες υπόστρωμα. Στην βιβλιογραφία υπάρχουν ελάχιστες εργασίες σχετικά με την απόκριση θεμελίων (τετραγωνικών ή κυκλικών διατομών) (Σχήμα 4.8) με κεντρικά ανοίγματα και αφορούν εξ ολοκλήρου άκαμπτα θεμέλια επί εδαφικού ημιχώρου. Σύμφωνα με τα παραπάνω, και προκειμένου να υπάρχει ένα σημείο αναφοράς και σύγκρισης των αποτελεσμάτων, χρησιμοποιούνται τα αποτελέσματα άκαμπτων θεμελίων επί ελαστικού ημιχώρου. Η σύγκριση γίνεται με τα αποτελέσματα της εργασία των Karabalis and Huang (2005). Στην συγκεκριμένη εργασία υπάρχουν αναλύσεις κυκλικών και τετραγωνικών άκαμπτων θεμελίων με ανοίγματα στο κέντρο τους επί εδαφικού ημιχώρου (Σχήμα 4.8). 48

57 Σχήμα 4.8: Γεωμετρία τετραγωνικών θεμελίων με εσωτερικά ανοίγματα και θεμελίων μορφής δακτυλίου (Karabalis and Huang, 2005). Στην συγκεκριμένη εργασία, υπάρχουν παραμετρικές αναλύσεις που εξετάζουν την επιρροή στην απόκριση του θεμελίου, σε σχέση με τον λόγο του εσωτερικού ανοίγματος (λόγος Ri/R0 ή a/b), καθώς και της μάζας του θεμελίου. Για την πραγματοποίηση της σύγκρισης, επιλέγεται ένα θεμέλιο μορφής δακτυλίου με λόγο Ri/R0 = 0.90 και εξωτερική ακτίνα R0 = 1m για το δακτυλιοειδές θεμέλιο που εξετάζεται. Στην εργασία τους, οι Karabalis and Huang (2005), εξετάζουν την επιρροή της μάζας στην απόκριση του θεμελίου χρησιμοποιώντας την σχέση 4.1 : (4.1) 49