Μαθηματικά για το δημοτικό και το Γυμνάσιο: Μια εξελικτική διαδικασία

Transcript

1 Μαθηματικά για το δημοτικό και το Γυμνάσιο: Μια εξελικτική διαδικασία John Van De Walle Παρουσίαση: Χρυσούλα Κολέσια

2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ Το κλάσμα δεν είναι εύκολη ως έννοια ακόμα και για μαθητές γυμνασίου. Τα περισσότερα ΑΠ διδάσκουν ορισμένες ιδέες των κλασμάτων στην Α και τη Β δημοτικού και τα αναπτύσσουν πλήρως στη Γ και τη Δ δημοτικού. Κλάσμα είναι η έκφραση μιας σχέσης ανάμεσα σε ένα μέρος και ένα όλο. Θέμα της ενότητας είναι να βοηθήσουμε τα παιδιά να κατασκευάσουν τη σχέση μέρους και όλου και να τη συνδέσουν με το συμβολισμό.

3 3 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Χρήση μοντέλων πρέπει να γίνεται σε όλες τις τάξεις ώστε να αναπτυχθούν επαρκώς οι κλασματικές έννοιες. Μοντέλα περιοχής ή εμβαδού Μια επιφάνεια ή περιοχή υποδιαιρείται σε μικρότερα μέρη. Κάθε μέρος μπορεί να συγκριθεί με το όλο (κύκλοι, ορθογώνια, ο γεωπίνακας ή το χαρτί με διάστικτο καμβά ή τετραγωνάκια, το διπλωμένο χαρτί ή πλαστικά μοντέλα εμβαδού).

4 Μοντέλα μήκους ή μέτρησης Αντί για εμβαδά συγκρίνονται μήκη (λωρίδες κλασμάτων ή ράβδοι, διπλωμένες λωρίδες χαρτιού).

5 Μοντέλα συνόλων Το όλο νοείται ως σύνολο αντικειμένων και τα υποσύνολα συνιστούν κλασματικά μέρη. π.χ. 3 αντικείμενα είναι το ¼ ενός συνόλου 12 αντικειμένων. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάθε είδους πούλια, να σχεδιάσουμε Χ και Ο, ή να κόψουμε ένα δίχρωμο χαρτόνι σε τετραγωνάκια των δύο εκ.

6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΡΩΝ Πρώτος στόχος στην ανάπτυξη των κλασμάτων είναι να βοηθήσουμε τα παιδιά να κατασκευάσουν την ιδέα των κλασματικών μερών του συνόλου. Η μοναδική ιδέα που μεταφέρουν τα παιδιά στην έννοια των κλασματικών μερών είναι η έννοια της μοιρασιάς, την ιδέα του χωρισμού μιας ποσότητας σε δύο ή περισσότερα μέρη που μπορούν να μοιραστούν μεταξύ φίλων.

7 Δύο αναγκαίες προϋποθέσεις για τα κλασματικά μέρη Το όλο πρέπει να αποτελείται από το σωστό αριθμό μερών ή μεριδίων. Όλα τα μέρη πρέπει να είναι ίσα ή δίκαια μερίδια, πρέπει, δηλαδή, να έχουν το ίδιο μέγεθος. Τα ονόματα των κλασματικών μερών καθορίζονται από τον αριθμό των δίκαιων μερών που συνιστούν το όλο: τα μισά είναι δύο ίσα μερίδια, τα τρίτα 3 ίσα μερίδια, τα τέταρτα 4 ίσα μερίδια κ.ο.κ.

8 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΗ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ Χρησιμοποιούμε κάθε είδους μοντέλο (εκτός από τα σύνολα για πολύ μικρά παιδιά) Διδάσκουμε ανεπίσημα την ορολογία του όλου ή του ενός Οι κλασματικοί όροι (μισά, τέταρτα, πέμπτα κλπ.) χρησιμοποιούνται τόσο προφορικά όσο και ολογράφως. Στην αρχή το βάρος πέφτει στα τρίτα και τα έκτα και όχι το ένα τρίτο ή το ένα έκτο.

9 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΗ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ Δραστηριότητα: Τα σωστά μερίδια Δίνουμε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα κλασματικών μερών. Ζητάμε να εντοπίσουν τα σύνολα που είναι σωστά χωρισμένα στα ζητούμενα κλασματικά μέρη, καθώς και σε εκείνα που δεν είναι και να εξηγήσουν το σκεπτικό τους. Να γίνει με διάφορα μοντέλα. Σημαντικότερη φάση ο σχολιασμός των αντιπαραδειγμάτων. Τέταρτα Κυκλώστε τα σωστά σχήματα.

10 Δραστηριότητα: Βρείτε τα δίκαια μερίδια Δώστε στα παιδιά μοντέλα και πείτε τους να βρουν τέταρτα, πέμπτα, όγδοα ή άλλα κλασματικά μέρη. (με δίπλωμα χαρτιού και όχι με σχεδίαση).

11 Δίνεται ένα σύνολο. Βρείτε τα κλασματικά μέρη. Διαφορετικό όλο οδηγεί σε διαφορετικά κλασματικά μέρη στο ίδιο μοντέλο.

12 Απαρίθμηση των κλασματικών μερών Μόλις τα κλασματικά μέρη ή τα ίσα μερίδια καλλιεργηθούν ως ιδέες, τότε μπορούμε να τα απαριθμήσουμε με τον ίδιο τρόπο που θα απαριθμούσαμε μήλα ή άλλα αντικείμενα. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να κατανοήσουμε κλάσματα μεγαλύτερο από ένα όλο. Δραστηριότητα: Απαρίθμηση με κλάσματα Δείχνουμε σε διαφάνειες 5 ή 6 τέταρτα. Τα μετράμε. Μετράμε και άλλες ομάδες με τέταρτα. Ρωτάμε ποια ομάδα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από ένα όλο ή από 2 όλα. Κάνουμε πρόχειρες συγκρίσεις: γιατί φτάσαμε σχεδόν στα δύο όλα με 7/4 κι όμως δεν έχουν συμπληρώσει ούτε ένα όλο με 7/12; Πώς αλλιώς μπορούμε να ονομάσουμε το 7/3; (2 όλα και 1/3 ή ένα όλο και 4/3).

13 Η απαρίθμηση κλασματικών μερών θα θέσει τα θεμέλια για την περαιτέρω ανάπτυξη των κλασματικών εννοιών. Η απαρίθμηση μερών διαφορετικού μεγέθους διαλύει την απατηλή σκέψη ότι π.χ. τα όγδοα είναι μικρότερα από τα τρίτα. Απαριθμήσεις συνόλων μεγαλύτερων από το 1 διαλύουν την εντύπωση ότι το κλάσματα είναι μικρότερο από το 1. Με τα μεγαλύτερα παιδιά συζητάμε την παρουσία ισοδύναμων κλασμάτων όπως 6/12 (μισό) ή τα 9/6 (ένα και μισό). Αυτές οι συζητήσεις συνιστούν καλούς προπομπούς των ισοδύναμων κλασμάτων και των μεικτών κλασμάτων.

14 ΣΥΝΔΕΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΜΕ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ Τα αφήνουμε για όσο το δυνατόν αργότερα. Και οι 3 πρώτες δραστηριότητες γίνονται προφορικά ή ολογράφως. Γράφουμε τα κλάσματα με οριζόντια διαχωριστική γραμμή και όχι κάθετη. ΠΑΝΩ ΚΑΙ ΚΑΤΩ ΑΡΙΘΜΟΣ VS ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ Ο πάνω αριθμός απαριθμεί. Ο κάτω αριθμός μας λέει τι απαριθμείται. Κανένα παιδί της Γ δημοτικού δε θα μπέρδευε ποτέ τους χαρακτηρισμούς πάνω και κάτω αριθμός. Οι λέξεις, όμως, αριθμητής και παρονομαστής δεν έχουν κανένα κοινό σημείο αναφοράς για τα παιδιά.

15 ΜΙΚΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΚΑΤΑΧΡΗΣΤΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Εξηγούμε στα παιδιά ότι 2+1/6 γράφεται συνήθως 2 1/6 και καλείται μικτός αριθμός. Αυτός είναι ένας συμβατικός συμβολισμός. Δε χρειάζεται να διδάξουμε κανόνες για τη μετατροπή των μικτών σε κοινά κλάσματα. Δραστηριότητα: Ονομασίες μικτών κλασμάτων Τους ζητάμε να μετατρέψουν ένα μικτό κλάσμα σε απλό χρησιμοποιώντας οικεία υλικά ή κάνοντας σχέδια και να εξηγήσουν το αποτέλεσμα. Ή αρχίζοντας από ένα κλάσμα μεγαλύτερο του 1 π.χ. 17/4 να προσδιορίσουν το μικτό αριθμό. Σιγά σιγά αποσύρουμε τη χρήση μοντέλων.

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΑ Στόχος η κατανόηση των κλασματικών μερών. Χρήση μοντέλων ως αναπαράσταση του όλου και των μερών του Τους δίνουμε δύο από αυτά όλο, μέρος και κλάσμα- με οποιαδήποτε σειρά και τους ζητάμε το τρίτο. Δημιουργούμε απλά προβλήματα που ζητούν το ίδιο. π.χ. Αν η ομάδα κολύμβησης πουλούσε 400 λαχνούς θα έπαιρνε αρκετά χρήματα για να αγοράσει καινούριες φανέλες. Μέχρι στιγμής έχουν πουληθεί τα 5/8 των λαχνών. Πόσοι ακόμα λαχνοί χρειάζεται να πουληθούν;

17 Μοντέλα εμβαδού Όλο Ποιο κλάσμα του μεγαλύτερου τετραγώνου αναπαριστά το μικρό τετράγωνο; Όλο Ποιο κλάσμα είναι το μεγαλύτερο ορθογώνιο, αν το μικρό είναι το όλο;

18 Μοντέλα μήκους ΣΚ. ΠΡΑΣΙΝΗ ΚΙΤΡΙΝΗ Αν η σκούρα πράσινη ράβδος είναι το όλο ποιο κλάσμα είναι η κίτρινη ράβδος; ΣΚ. ΠΡΑΣΙΝΗ ΓΑΛΑΖΙΑ Αν η σκούρα πράσινη ράβδος είναι το όλο, ποιο κλάσμα είναι η γαλάζια ράβδος;

19 Μοντέλα συνόλου Ποιο κλάσμα αυτού του συνόλου είναι πράσινο; (Μην απαντήσετε σε ένατα) Αν τα 10 πούλια είναι το όλο, ποιο κλάσμα του συνόλου είναι τα 6 πούλια; Αυτά τα 16 πούλια είναι ποιο κλάσμα ενός συνόλου με 12 πούλια;

20 ΑΙΣΘΗΣΗ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΩΣ ΑΡΙΘΜΟΥ η αριθμητική αντίληψη των κλασμάτων απαιτεί περισσότερα από την εστίαση στα κλασματικά μέρη. Απαιτεί από τους μαθητές κάποια διαισθητική κατανόηση των κλασμάτων. Θα πρέπει να ξέρουν περίπου πόσο μεγάλο είναι ένα κλάσμα και να μπορούν να πουν με ευκολία ποιο είναι το μεγαλύτερο μεταξύ 2 κλασμάτων. ΕΥΕΛΙΞΙΑ ΜΕ ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΗ Τα παιδιά πρέπει μόνα τους να ξεφύγουν από τη λανθασμένη άποψη ότι οι μεγαλύτεροι αριθμοί σημαίνουν «περισσότερο». Δραστηριότητα: Βάζοντας στη σειρά κλασματικές μονάδες Φτιάξτε μια λίστα με κλασματικές μονάδες (1/3, 1/5, 1/8, 1/10). Ζητήστε να τα βάλουν σε σειρά χρησιμοποιώντας μοντέλα και να εξηγήσουν. Ενθαρρύνετε τη χρήση της ορολογίας των μεριδίων (όσα περισσότερα μερίδια τόσο μικρότερο το καθένα). Αυθαίρετοι κανόνες όπως οι μεγαλύτεροι κάτω αριθμοί δηλώνουν μεγαλύτερα κλάσματα» είναι όχι μόνο ακατάλληλοι αλλά και επικίνδυνοι.

21 Το Μηδέν, το Μισό και το Ένα ως σημεία αναφοράς Δραστηριότητα: Μηδέν, Μισό ή Ένα Γράφουμε κλάσματα. Κάποια λίγα μεγαλύτερα του 1 και τα άλλα ανάμεσα στο 0 και το 1. Τα παιδιά κατηγοριοποιούν τα κλάσματα σε 3 ομάδες. Για όσα είναι κοντά στο ½ βάλτε τα να αποφασίσουν αν το κλάσματα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο του ½. Δραστηριότητα: Κοντινά κλάσματα Βάλτε τα παιδιά να βρουν ένα κλάσμα κοντά στο ένα. Έπειτα άλλο ένα πιο κοντά στο ένα. Γιατί πιστεύετε ότι το δεύτερο είναι πιο κοντά στο ένα από το πρώτο; Παρόμοια δοκιμάζουμε με κλάσματα κοντά στο 0 ή στο ½. Τις πρώτες φορές αφήνουμε τα παιδιά να χρησιμοποιήσουν βοηθητικά μοντέλα.

22 Εντοπίζοντας το μεγαλύτερο Κλάσμα Η ικανότητα αυτή δομείται γύρω από έννοιες σχετικές με τα κλάσματα και όχι με βάση κάποιο αλγόριθμο για τη σύγκριση κλασμάτων. Οι δραστηριότητες σύγκρισης (ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο;) μπορούν να βοηθήσουν σημαντικά τα παιδιά να αναπτύξουν τις έννοιες των σχετικών κλασματικών μεγεθών. Ωστόσο, θα πρέπει να πηγάζουν από τις εμπειρίες και τις συζητήσεις των παιδιών.

23 Δραστηριότητα: Σύγκριση και δοκιμή Συγκρίνουν ζεύγη κλασμάτων και δοκιμάζουν την επιλογή τους με τα μοντέλα. Αιτιολογούν. Δραστηριότητα: Γιατί είναι περισσότερο; Δώστε στα παιδιά ζεύγη κλασμάτων για σύγκριση. Στόχος είναι να βρουν όσο το δυνατόν περισσότερες καλές αιτιολογήσεις για την επιλογή τους. Οι εξηγήσεις καταγράφονται και συζητούνται από όλη την τάξη. (καλή εργασία για το σπίτι αλλά και δραστηριότητα αξιολόγησης). Δραστηριότητα: Βάλτε τα σε σειρά Τα παιδιά βάζουν 4 ή 5 κλάσματα σε σειρά από το μεγαλύτερο στο μικρότερο.

24 Άλλοι μέθοδοι σύγκρισης Δεν μπορούμε να συγκρίνουμε τα κλάσματα μόνο με την εννοιολογική προσέγγιση. Η συνηθέστερη μέθοδος είναι να μετατρέψουμε το κλάσμα σε κάτι άλλο (Κλάσματα με κοινό παρονομαστή ή αριθμητή, μετατροπή σε δεκαδικό ή ποσοστό).

25 ΕΚΤΙΜΗΣΗ Υπολογίστε την απάντηση στο 12/13 + 7/8. δεν έχετε χρόνο να λύσετε το πρόβλημα στο χαρτί. Να τι απάντησαν τα 13χρονα παιδιά: 1 7% 2 24% 19 28% 21 27% Δεν ξέρω 14%

26 Η ορθή αντίληψη των κλασμάτων είναι πιο σημαντική για τους κατά προσέγγιση υπολογισμούς από την τέλεια γνώση των διαδικασιών με χαρτί και μολύβι. Πιο χρήσιμο αποδεικνύεται να γνωρίζουμε αν ένα κλάσμα βρίσκεται πιο κοντά στο 0, στο ½ ή στο 1. Τότε μπορούμε να τους στρογγυλοποιήσουμε και να τους προσθέσουμε εύκολα. Δραστηριότητα: Διαλέξτε το καλύτερο Δείχνουμε κάποια αθροίσματα ή διαφορές γνήσιων κλασμάτων. Ρωτάμε: είναι περισσότερο ή λιγότερο από το 1; Είναι πιο κοντά στο 0, το 1 ή το 2; Δραστηριότητα: Εκτιμήσεις ταχύτητας Δώστε σύντομες ασκήσεις ταχύτητας για την εκτίμηση αθροισμάτων και διαφορών με μικτούς αριθμούς.

27 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Η έννοια: 2 κλάσματα είναι ισοδύναμα αν συνιστούν αναπαραστάσεις του ίδιου ποσού ή της ίδιας ποσότητας, αν είναι, δηλαδή, ο ίδιος αριθμός. Ο κανόνας: για να πάρουμε ένα ισοδύναμο κλάσμα πολλαπλασιάζουμε (ή διαιρούμε) τον πάνω και τον κάτω αριθμό με τον ίδιο αριθμό. Ο κανόνας ή αλγόριθμος για τα ισοδύναμα κλάσματα δε συνδέεται διαισθητικά με την αντίστοιχη έννοια. Οι μαθητές θα πρέπει πρώτα να κατανοήσουν σε βάθος την έννοια για να διαπιστώσουν ότι ο αλγόριθμος είναι ένας λογικός και αποδοτικός τρόπος εξαγωγής ισοδύναμων κλασμάτων.

28 ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΟΝΟΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Δραστηριότητα: Διαφορετικά γεμίσματα Σχεδιάζουμε το περίγραμμα ενός μοντέλου π.χ. ορθογωνίου χωρίς υποδιαιρέσεις για το 2/3, το ½ και το 5/4. Τους ζητάμε να το γεμίσουν με κομμάτια κλασματικών μονάδων. Δραστηριότητα: Διπλώνοντας και ξαναδιπλώνοντας Βάλτε τα παιδιά να διπλώσουν ένα χαρτί σε μισά ή σε τρίτα. Γράψτε το κλάσμα. Τώρα διπλώστε το ξανά. Ξεδιπλώστε και χρωματίστε ένα κλάσμα του χαρτιού. Γράψτε το κλάσμα. Τώρα διπλώστε ξανά και μετά άλλη μια φορά. Είναι διασκεδαστικό να συζητήσετε πριν το ανοίξετε πόσα τμήματα θα έχει όλο το χαρτί και πόσα θα είναι χρωματισμένα. Ανοίξτε το και συζητήστε τα κλασματικά ονόματα που μπορείτε να δώσετε τώρα στη σκιασμένη περιοχή. Είναι πάλι το ίδιο; Γιατί; Δραστηριότητα: Ισοδυναμίες στο διάστικτο χαρτί Ζητήστε από τα παιδιά να σχεδιάσουν να σχεδιάσουν ένα μοντέλο για το όλο και να σκιάσουν κάποιο κλασματικό μέρος που να μπορεί να ορίζεται από τις γραμμές ή τις τελίτσες του χαρτιού. Δείτε πόσα διαφορετικά ονόματα μπορούν να βρουν για το σκιασμένο μέρος με τη βοήθεια των μικρότερων περιοχών του καμβά.

29 ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΝΤΑΣ ΕΝΑΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΓΙΑ ΤΑ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Σιγά σιγά τους εισάγουμε στον αλγόριθμο δημιουργίας ισοδύναμων κλασμάτων με πολλαπλασιασμό ή διαίρεση του πάνω και του κάτω αριθμού χρησιμοποιώντας μοντέλα εμβαδού ή μήκους.

30 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ύπαρξη πλοκής ή συγκείμενου απομακρύνει τα παιδιά από τους κανόνες και τα ενθαρρύνει να εξερευνήσουν διάφορες ιδέες με πιο ανοικτό και ανεπίσημο τρόπο. The doorbell rang (Hutchins, 1986) Δύο παιδιά ετοιμάζονται να μοιραστούν ένα πιάτο με 12 κουλουράκια. Μόλις έχουν αποφασίσει πως θα μοιράσουν τα κουλουράκια, χτυπά το κουδούνι και καταφτάνουν κι άλλα παιδιά. Αυτό συμβαίνει ξανά και ξανά, ώσπου τα κουλουράκια είναι πια περισσότερα από τα παιδιά. Η γιαγιά δίνει τη λύση.

31 Gator Pie (Mathews, 1979) Ο Άλβιν και η Άλις μαζί με άλλους αλιγάτορες μοιράζονται μια πίτα που βρίσκουν στο δάσος. Καθώς καταφτάνουν όλο και περισσότεροι αλιγάτορες γίνεται προφανής η ανάγκη να κόψουν την πίτα σε όλο και περισσότερα κομμάτια, φτάνοντας στο τέλος, στα εκατοστά, οπότε και γίνεται μια καλή σύνδεση ανάμεσα στους δεκαδικούς και τα κλάσματα. The man who counted: A collection of mathematical adventures (Tahan, 1993) Beast of burden (Τα υποζύγια): ένας σοφός μαθηματικός ο Beremiz και ένας αφηγητής ταξιδεύουν πάνω στην ίδια καμήλα. 3 αδέρφια τους ζητούν να λύσουν μια διαφωνία τους. Ο πατέρας τους τους άφησε 35 καμήλες να τις μοιράσουν μεταξύ τους: τις μισές στον έναν αδερφό, το 1/3 στον άλλον και το 1/9 στον άλλον.