Ο τελεστής Laplace κατά μήκος μιας φυλλώδους δομής με ιδιομορφίες και το φάσμα του

Transcript

1 Ο τελεστής Laplace κατά μήκος μιας φυλλώδους δομής με ιδιομορφίες και το φάσμα του Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Αθήνα, Μάρτιος 2013 Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

2 Περίληψη 1 Εισαγωγή Φυλλώδεις δομές και Λαπλασιανές Ομαδοειδές ολονομίας και η C -άλγεβρά του Διατύπωση θεωρημάτων 2 Απόδειξη των θεωρημάτων Συστατικά των αποδείξεων Αποδείξεις 3 Η ιδιόμορφη περίπτωση Σχεδόν κανονικές φυλλώδεις δομές Φυλλώδεις δομές Stefan-Sussmann 4 Γενικεύσεις: Ιδιόμορφες φυλλώδεις δομές Κατασκευές A-Skandalis Γενίκευση θεωρημάτων Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

3 Εισαγωγή Φυλλώδεις δομές και Λαπλασιανές 11 Ορισμός: Φυλλώδης δομή (κανονική) Άποψη 1: Διαμέριση σε συνεκτικές υποπολλαπλότητες Τοπικά: Με άλλα λόγια: Υπάρχει ανοικτό κάλυμμα της M από φυλλώδεις χάρτες της μορφής Ω = U T, όπου U R p and T R q T είναι η εγκάρσια κατεύθυνση και U η κατεύθυνση κατά μήκος των φύλλων Η αλλαγή χαρτών είναι της μορφής f(u, t) = (g(u, t), h(t)) Άποψη 2: Θεώρημα Frobenius Ισοδύναμα θεωρούμε το μοναδικό C c (M)-πρότυπο F διανυσματικών πεδίων που εφάπτονται στα φύλλα Ισχύει: F = C c (M, F) και [F, F] F Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

4 Εισαγωγή Φυλλώδεις δομές και Λαπλασιανές Παραδείγματα M: συμπαγής πολλαπλότητα 1 Τροχιές δράσης Διανυσματικά πεδία: Εικόνα απειροστικής δράσης g X(M) 2 Γεωμετρία Poisson: Η συμπλεκτική φυλλώδης δομή της M με Χαμιλτονιανά διανυσματικά πεδία (σπάνια κανονική) Χαρακτηρίζει πλήρως τη δομή Poisson Προς το παρόν κοιτάμε κανονικά παραδείγματα: 3 X διανυσματικό πεδίο της M που δε μηδενίζεται πουθενά δράση του R στην M 4 Άρρητη στροφή στον τόρο T 2 : ροή Kronecker του X = d dx + θ d dy R εμβαπτίζεται ( immersed ) στο T 2 σαν πυκνό φύλλο 5 Οροκυκλική φυλλώδης δομή: Έστω Γ cocompact υποομάδα της SL(2, ( R) Θέτουμε ) M = SL(2, R)/Γ 1 0 R εμβαπτίζεται στο SL(2, R) ως εξής:, t R t 1 Άρα το R δρα στην M Η δράση είναι εργοδική, πυκνά φύλλα Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

5 Εισαγωγή Φυλλώδεις δομές και Λαπλασιανές Οι Λαπλασιανές της ροής Kronecker Ροή Kronecker στο M = T 2 : F = X = d dx + θ d dy L = R Δύο Λαπλασιανές: L = d2 dx 2 δρα στο L 2 (R) M = X δρα στο L 2 (M) Μετασχηματισμός Fourier: L πολ/μός με ξ 2 στο L 2 (R) Φάσμα: [0, + ) M πολ/μός με (n + θk) 2 στο L 2 (Z 2 ) Φάσμα πυκνό στο [0, + ) Ερ 1: Έχουν τα L και M το ίδιο φάσμα για κάθε (κανονική) φυλλώδη δομή? Ερ 2: Αν ναι, πως υπολογίζεται το φάσμα? Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

6 Εισαγωγή Ομαδοειδές ολονομίας και η C -άλγεβρά του Ομαδοειδές ολονομίας μιας κανονικής φυλλώδους δομής Ολονομία Θέλουμε να ορίσουμε διαφορίσιμη δομή στη σχέση ισοδυναμίας Ποια είναι η διάσταση? {(x, y) M 2 : L x = L y } p + q βαθμοί ελευθερίας για το x; τότε p βαθμοί ελευθερίας για το y Μια περιοχή του (x, x ) όπου x W = U T and x W = U T πρέπει να είναι της μορφής U U T: χρειαζόμαστε ταύτιση των T και T (Τα T, T είναι τοπικές εγκάρσιες υποπολλαπλότητες) Ορισμός Μια ολονομία της (M, F) είναι μια αμφιδιαφόριση h : T T ώστε τα t, h(t) ζουν στο ίδιο φύλλο για κάθε t T Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

7 Εισαγωγή Ομαδοειδές ολονομίας και η C -άλγεβρά του Παραδείγματα ολονομιών Έστω W = U T Τότε id T είναι ολονομία Αν h ολονομία τότε h 1 είναι ολονομία Η σύνθεση ολονομιών είναι είναι ολονομία (Οι ολονομίες είναι ψευδοομάδα) Αν W = U T και W = U T, στην τομή τους u = g(u, t) και t = h(t) από τον ορισμό της αλλαγής χαρτών Η απεικόνιση h = h W,W είναι ολονομία Έστω γ : [0, 1] M λεία καμπύλη σε ένα φύλλο Καλύπτουμε την γ με φυλλώδεις χάρτες W i = U i T i (1 i n) Θεωρούμε τη σύνθεση h(γ) = h Wn,W n 1 h W2,W 1 Ορισμός Η ολονομία της καμπύλης γ είναι το σπέρμα της h(γ) Ισχύει: Η ολονομία της γ εξαρτάται μόνο από την κλάση ομοτοπίας της γ! Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

8 Εισαγωγή Ομαδοειδές ολονομίας και η C -άλγεβρά του Το ομαδοειδές ολονομίας Ορισμός Το ομαδοειδές ολονομίας είναι G = {(x, y, h(γ))} όπου γ καμπύλη στο φύλλο που ενώνει τα x και y Δομή πολλαπλότητας Αν W = U T και W = U T χάρτες και h : T T ολονομία καμπύλης, παίρνουμε χάρτη Ω h = U U T Δομή ομαδοειδούς t(x, y, h) = x, s(x, y, h) = y και (x, y, h)(y, z, k) = (x, z, h k) Το G είναι ομαδοειδές Lie Το σχετικό αλγεβροείδές Lie είναι F Οι τροχιές του είναι τα φύλλα Το G είναι το μικρότερο λείο ομαδοειδές για την F Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

9 Εισαγωγή Ομαδοειδές ολονομίας και η C -άλγεβρά του Η C -άλγεβρα ενός ομαδοειδούς Lie (Connes, Renault) Για f, g C c (G): θέτουμε f (x) = f(x 1 ) θέλουμε να σχηματίσουμε f g με τύπο f g(x) = f(y)g(z) yz=x Με άλλα λόγια, θα θέλαμε να ολοκληρώσουμε στα νήματα της G s,t G G Χρησιμοποιούμε είτε συστήματα Haar είτε ημι-πυκνότητες (half densi es) Πρόταση Η ενέλιξη και το γινόμενο όπως πριν κάνουν το C c (G) μια -άλγεβρα Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

10 Εισαγωγή Ομαδοειδές ολονομίας και η C -άλγεβρά του Η C -άλγεβρα Ο J Renault απέδειξε: Οι (συνεχείς) -αναπαραστάσεις της -άλγεβρας C c (G) είναι σε 1-1 αντιστοιχία με τις unitary αναπαραστάσεις του ομαδοειδούς Μια L 1 -εκτίμηση δείχνει ότι για κάθε f C c (G), το supremum f sup π π(f) ως προς όλες τις αναπαραστάσεις π είναι φραγμένο f 1 = sup max{ f(x) dλ u (x), f(x) dλ u (x)} u G u G u Ορισμός Η πλήρης C -άλγεβρα του G είναι η πλήρωση του C c (G) ως προς τη νόρμα f sup π π(f) Αριστερά-κανονική αναπαράσταση ρ u στο L 2 (G u ) Η ανηγμένη C -άλγεβρα C r(g) του G είναι η πλήρωση ως προς f sup u ρ u (f) Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

11 Εισαγωγή Ομαδοειδές ολονομίας και η C -άλγεβρά του Δεύτερη επίσκεψη στις Λαπλασιανές Πιο γενικά, έστω M συμπαγής και (M, F) κανονική φυλλώδης δομή Η άλγεβρα Lie F = C (M, F) δρα στην C (G) με μη φραγμένους πολλαπλασιαστές Η Λαπλασιανή = X i X i είναι μη φραγμένος πολλαπλασιαστής της C (M, F) Με την ορολογία των Baaj-Woronowicz: κανονικοί (regular) πολλαπλασιαστές Δηλαδή: είναι ορισμένος σε ένα πυκνό και είναι κλειστός (το γράφημα του είναι κλειστό (δεξιό) υποπρότυπο του C (M, F) C (M, F)) Το έχει πυκνά ορισμένο (κλειστό) συζυγή ; graph (graph ) = C (M, F) C (M, F) ((y, x) graph (x, y) (graph ) ) L 2 (L), L 2 (M) είναι αναπαραστάσεις της C (M, F) Proposi on (Baaj, Woronowicz) Κάθε αναπαράσταση επεκτείνεται στους κανονικούς πολλαπλασιαστές Επανακτούμε Ι Ανδρουλιδάκης έτσι (ΕΚΠΑ) τις Λαπλασιανές Laplacian along a singular L, folia on M & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

12 Εισαγωγή Διατύπωση θεωρημάτων Διατύπωση θεωρημάτων Θεώρημα 1 (Connes, Kordyukov) Τα M και L είναι essen ally αυτοσυζυγή Ισχύει επίσης για (και είναι πιο ενδιαφέρον) για M + f, L + f όπου f είναι μια διαφορίσιμη συνάρτηση στο M (Τελεστές Schroedinger, σύμμορφη Γεωμετρία, κλπ) πιο γενικά για κάθε (ψευδο-)διαφορικό τελεστή κατά μήκος των φύλλων που είναι ελλειπτικός Όχι τετριμένο γιατί: M όχι ελλειπτικός (σαν τελεστής στο M) L όχι συμπαγές Θεώρημα 2 (Kordyukov) Αν το L είναι πυκνό + amenability, τα M και L έχουν το ίδιο φάσμα Connes Σε πολλές περιπτώσεις μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανές τρύπες του φάσματος Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

13 Απόδειξη των θεωρημάτων Συστατικά των αποδείξεων Βασικό εργαλείο: Ψευδοδιαφορικός λογισμός (Connes) Η άλγεβρα Lie των διανυσματικών πεδίων που εφάπτονται στα φύλλα δρα με μη-φραγμένους πολλαπλασιαστές στο C c (G) Παράγεται η άλγεβρα των διαφορικών τελεστών Μέσω μετασχηματισμού Fourier ένας διαφορικός τελεστής P (που δρα με αριστερή πολλαπλασιασμό στοf C c (G)) γράφεται: Όπου (Pf)(x, y) = exp(i ϕ(x, z), ξ )α(x, ξ)χ(x, z)f(z, y)dξdz ϕ είναι η φάση: μέσω μιας τοπικής αμφιδιαφόρισης που ορίζεται σε ένα ανοικτό υποσύνολο Ω U U T G (όπου Ω = U T είναι φυλλωμένος χάρτης) ϕ(x, z) = x z F x ; χ είναι η συνάρτηση cut-off: η χ είναι διαφορίσιμη και χ(x, x) = 1 σε (ένα συμαγές υποσύνολο του) Ω, χ(x, z) = 0 για (x, z) / Ω; α C (F ) είναι ένα πολυώνυμο ως προς ξ Λέγεται σύμβολο του P Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

14 Απόδειξη των θεωρημάτων Συστατικά των αποδείξεων Γενικευμένα σύμβολα Μπορούμε να δώσουμε νόημα σε μια τέτοια έκφραση για πολύ πιο γενικά σύμβολα, ειδικά τα λεγόμενα πολυ-ομογενή: α(u, ξ) k N α m k (u, ξ) όπου α j είναι ομογενές βαθμού j (έξω από μια περιοχή του M F ) Το m λέγεται τάξη του α και του αντίστοιχου τελεστή; Το α m είναι το πρωτεύον σύμβολο Πρόταση (Connes) Οι αρνητικής τάξης ψευδοδιαφορικοί τελεστές ζουν στην C (M, F) Οι μηδενικής τάξης ψευδοδιαφορικοί τελεστές είναι πολλαπλασιαστές της C (M, F) Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

15 Απόδειξη των θεωρημάτων Συστατικά των αποδείξεων Ψευδοδιαφορικός λογισμός κατά μήκος των φύλλων Η πολλαπλασιαστικότητα του πρωτεύοντος συμβόλου δίνει μια ακριβή ακολουθία C -αλγεβρών: 0 C (M, F) Ψ (M, F) C(SF ) 0 Θεώρημα (Connes, Kordyukov, Vassout) Οι ελλειπτικοί τελεστές με θετική τάξη είναι κανονικοί μη φραγμένοι πολλαπλασιαστές (με την έννοια των Baaj-Woronowicz: graph(d) graph(d) είναι πυκνό) Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

16 Απόδειξη των θεωρημάτων Αποδείξεις Απόδειξη των θεωρημάτων 1 και 2 Θεώρημα 1 Τα M and L είναι essen ally αυτοσυζυγή Οι L 2 (M) και L 2 (L): αναπαραστάσεις της C (M, F) Υπενθύμιση (Baaj, Woronowicz): Κάθε αναπαράσταση επεκτείνεται στους κανονικούς πολλαπλασιαστές εικόνα του συζυγή = συζυγής της εικόνας Θεώρημα 2 (Kordyukov) Αν όλα τα φύλλα L είναι πυκνά + υποθέσεις amenability, τα M και L έχουν το ίδιο φάσμα (Fack και Skandalis): Αν όλα τα φύλλα είναι πυκνά τότε η C (M, F) είναι απλή Άρα όλες οι αναπαραστάσεις είναι πιστές Κάθε 1-1 μορφισμός C -αλγεβρών είναι ισομετρικός και ισοφασματικός Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

17 Απόδειξη των θεωρημάτων Αποδείξεις Ελλειπτικοί τελεστές - Κενά στο φάσμα τους Θεώρημα 3 (Connes) Σε πολλές περιπτώσεις μπορεί κανείς να βρει τα πιθανά κενά στο φάσμα Συγκεκριμένα: Κενά στο φάσμα προβολές της C (M, F) Αν C (M, F) δεν έχει προβολές: συνεκτικό φάσμα Μερικές φορές υπάρχει απεικόνιση διάστασης στις προβολές (σχετίζεται με K-θεωρία) Τιμές στο N: λίγες προβολές τιμές σε πυκνό υποσύνολο του R + : πολλές προβολές Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

18 Απόδειξη των θεωρημάτων Αποδείξεις Παραδείγματα Οροκυκλική φυλλώδης δομή: Όχι κενά στο φάσμα Έστω δράση ax + b -ομάδας σε συμπαγή πολλαπλότητα M πχ M = SL(2, R)/Γ όπου Γ διακριτή co-compact ομάδα Φύλλα = τροχιές της x + b ομάδας (έστω πυκνά) Το φάσμα της Λαπλασιανής είναι διάστημα [m, + ) Απόδειξη: Δείχνουμε ότι η C (M, F) δεν έχει προβολές μέτρο της M αναλλοίωτο ως προς ax + b (amenable) = trace της C (M, F) Πιστό γιατί C (M, F) απλή (Fack-Skandalis) Η ax υποομάδα δέχεται δράση της R + στο C (M, F) η οποία διαβαθμίζει το ίχνος Η εικόνα της K 0 είναι αριθμήσιμη υποομάδα του R, αναλλοίωτη ως προς τη δράση του R + Όμοια, η ροή Kronecker: Εικόνα του ίχνους Z + θz Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

19 Η ιδιόμορφη περίπτωση Σχεδόν κανονικές φυλλώδεις δομές 31 Σχεδόν κανονικά αλγεβροειδή Frobenius: εξαρτάται μόνο από δέσμη F T M διανυσμάτων που εφάπτονται στα φύλλα Θεώρημα Serre-Swan Δέσμες = Πεπερασμένα παραγόμενα προβολικά C (M)-πρότυπα E C (M; E) Το πλαίσιο της Debord A: πεπερασμένα παραγόμενο προβολικό υπο-πρότυπο του C (M; TM), κλειστό ως προς αγκύλη Lie Ισοδύναμα: Αλγεβροειδές Lie με A x T x M, 1-1 σε πυκνό υποσύνολο Εικόνα: F x Διάσταση κάτω ημι-συνεχης Παράδειγμα: A =< X > ώστε Int{X = 0} είναι κενό Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

20 Η ιδιόμορφη περίπτωση Σχεδόν κανονικές φυλλώδεις δομές Σχεδόν κανονικά αλγεβροειδή II Θεώρημα (Debord, Pradines- Bigonnet, Crainic-Fernandes) Κάθε σχεδόν κανονικό ομαδοειδές ολοκληρώνεται Άρα προέρχεται από ομαδοειδές Lie Έτσι διαθέτει C -άλγεβρα ψευδοδιαφορικό λογισμό Ελλειπτικοί τελεστές: κανονικοί πολλαπλασιαστές Επιπλέον, καλά ορισμένη Λαπλασιανή Θεωρήματα 1 και 2: Ακριβώς ίδια απόδειξη Θεώρημα 3: Όχι κενά στο φάσμα για πολλαπλότητες με κωνικές ιδιομορφίες που προκύπτουν από μια υποομάδα της SL(2, R) πεπερασμένου covolume Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

21 Η ιδιόμορφη περίπτωση Φυλλώδεις δομές Stefan-Sussmann 32 Φυλλώδεις δομές Stefan-Sussmann Ορισμός (Stefan, Sussmann, A-Skandalis) Μια (ιδιόμορφη) φυλλώδης δομή είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο υποπρότυπο F του C (M; TM), κλειστό ως προς την αγκύλη Lie Όχι προβολικό Νήμα F x = F/I x F: άνω ημι-συνεχής διάσταση Ορίζει διαμέριση σε φύλλα (Stefan-Sussmann) Διαφορετικές φυλλώδεις δομές μπορεί να δίνουν την ίδια διαμέριση σε φύλλα Παραδείγματα 1 R με 3 φύλλα: (, 0), {0}, (0, + ) F παράγεται από x n x Διαφορετική φυλλώδης δομή για κάθε n 2 R 2 με 2 leaves: {0} και R 2 \ {0} F από δράση της GL(2, R), SL(2, R), C Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

22 Γενικεύσεις: Ιδιόμορφες φυλλώδεις δομές Κατασκευές A-Skandalis Κατασκευές A-Skandalis Για τόσο γενικές φυλλώδεις δομές, μπορέσαμε να κατασκευάσουμε: Ομαδοειδές ολονομίας Πολύ ιδιάζον Την C -άλγεβρα της F (και τις αναπαραστάσεις της) Την συνεφαπτόμενη δέσμη F : τοπικά συμπαγής χώρος Ψευδοδιαφορικό λογισμό περίπλοκο 1 0 C (M, F) Ψ (M, F) C 0 (F ) 0 2 Ελλειπτικοί τελεστές τάξης 0 είναι κανονικοί μη-φραγμένοι πολλαπλασιαστές Επίσης Αναλυτικός δείκτης (στοιχείο της KK(C 0 (F ); C (M, F))) Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

23 Γενικεύσεις: Ιδιόμορφες φυλλώδεις δομές Γενίκευση θεωρημάτων Γενίκευση θεωρήματος 1 Θεώρημα 1 (A-Skandalis) Έστω M συμπαγής πολλαπλότητα Έστω X 1,, X N C (M; TM) διανυσματικά πεδία ώστε [X i, X j ] = N k=1 fk ij X k Τότε = X i X i είναι essen ally αυτοσυζυγής (στα L 2 (M) και L 2 (L)) Απόδειξη Αυτός ο τελεστής είναι κανονικός μη φραγμένος πολλαπλασιαστής της C (M, F) Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

24 Γενικεύσεις: Ιδιόμορφες φυλλώδεις δομές Γενίκευση θεωρημάτων Γενίκευση θεωρήματος 2 Θεώρημα (Α-Skandalis) Έστω ότι το (πυκνό και ανοικτό) υποσύνολο Ω M όπου τα φύλλα έχουν μέγιστη διάσταση έχει μέτρο Lebesgue 1 Έστω ότι ο περιορισμός όλων των φύλλων στο Ω είναι πυκνό στο Ω Έστω ότι το ομαδοειδές ολονομίας του περιορισμού στο Ω του F είναι Hausdorff και amenable Τότε τα M και L έχουν το ίδιο φάσμα Απόδειξη Η C -άλγεβρα C (Ω, F) iείναι απλή (Fack-Skandalis) και είναι δίπλευρο ιδεώδες της C (M, F) Τα L 2 (L) και L 2 (M) είναι πιστές αναπαραστάσεις της C (Ω, F) weakly equivalent Οι φυσικές αναπαραστάσεις της C (M, F) στα L 2 (L) και L 2 (M) είναι επεκτάσεις στους πολλαπλασιαστές πιστών αναπαραστάσεων της C (Ω, F) Είναι weakly equivalent Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

25 Γενικεύσεις: Ιδιόμορφες φυλλώδεις δομές Γενίκευση θεωρημάτων Τι γίνεται με το φάσμα? Χρειάζεται να ξέρουμε το σχήμα της K 0 (C (M, F)) 1 σε πολλές περιπτώσεις το ομαδοειδές ολονομίας είναι διαφορίσιμο κατά μήκος των νημάτων και περιορίζεται σε ένα καλό ομαδοειδές 2 Φύλλα συγκεκριμένης διάστασης: τοπικά κλειστά υποσύνολα μακρά ακολουθία της C -άλγεβρας Ερωτήματα Συμβαίνει πάντοτε αυτό? Αν ναι, δώστε μια φόρμουλα για την K-θεωρία: Εικασία Baum Connes Απαντήσεις 1 A - M Zambon: Η διαφορισιμότητα του ομαδοειδούς ολονομίας κατά μήκος των νημάτων ελέγχεται από τις ομάδες αναγκαίας ισοτροπίας που σχετίζονται με κάθε φύλλο Όταν είναι διακριτές το H(F) lείναι λείο κατά μήκος των νημάτων 2 Εικασία: Η Baum-Connes ισχύει για την F ανν ισχύει για κάθε στρώμα Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26

26 Γενικεύσεις: Ιδιόμορφες φυλλώδεις δομές Γενίκευση θεωρημάτων Papers [1] I A and G Skandalis The holonomy groupoid of a singular folia on J Reine Angew Math, 2009 [2] I A and G Skandalis Pseudodifferen al Calculus on a singular folia on J Noncomm Geom, 2011 [3] I A and G Skandalis The analy c index of ellip c pseudodifferen al operators on singular folia ons J K-theory, 2011 [4] I A and M Zambon Smoothness of holonomy covers for singular folia ons and essen al isotropy To appear in Math Zeitschri, 2013 [5] IA and M Zambon Holonomy transforma ons for singular folia ons arxiv: Ι Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Laplacian along a singular folia on & spectrum Αθήνα, Μάρτιος / 26