ZNAKY. Ordinálne znaky = možno usporiadať, ale nie je podstatná veľkosť rozdielu!

Transcript

1 ZNAKY Merateľé = kvatitatíve Majú veľkosť = ordiále Počítateľé = kvalitatíve Bez veľkosti = omiále Číselé charakteristiky (veľkosť, premelivosť, tvar rozdeleia) = možo odhadovať itervalovým odhadom a testovať pomocou parametrickej štatistiky. Ordiále zaky = možo usporiadať, ale ie je podstatá veľkosť rozdielu! Nomiále zaky = zaky v čom sa odlišujú, eexistuje kvatitíva miera veľkosti. Neparametrické odhady (apr. itervalový odhad mediáu) Ak ie je splpeá ejaká podmieka parametrického odhadu (eexistuje bodovy odhad, údaje emajú ormále rozdeleie, chýba ejaký parameter. I

2 Neparametrické testy sú založeé: a skúmaí áhodosti výskytu alteratív, a skúmaí áhodosti striedaia zamieok rozdielov v hodotách alebo a skúmaí poradia veľkosti rozdielov v hodotách, pričom skutočé veľkosti hodôt alebo veľkosti rozdielov ie sú pre test zaujímavé. Základá myšlieka je ROVNOMERNOSŤ rozdelia hodôt. Iteračé testy áhodosti??? Premelivosť výsledkom áhodých/eáhodých faktorov??? (problémy starutia vzoriek, problémy šíreia, a testy zhlukovaia údajov - vzik klastrov). Príliš veľký alebo príliš malý počet zhlukov je NENÁHODNÝ. Iteračé testy áhodosti pre malé súbory 0.. Zvolíme hladiu výzamosti.. Podľa zvoleého kľúča priradíme prvkom v súbore číselé symboly, resp 0 a určíme počet výskytov jedej ( ) aj druhej ( ) alteratívy. 3. Staovíme počet skupí symbolov s jedotkami resp. s ulami (i). Teto údaj (i) je zároveň testovacou charakteristikou. 4. Pomocou tabuľky určíme kritické hodoty (miimály a maximály akceptovateľý počet iterácií, ktorý je ešte štatisticky evýzamý) pre počty stupňov voľosti a. 5. Nulovú hypotézu o úple áhodom usporiadaí prvkov zamieteme, pokiaľ vypočítaá testovacia charakteristika leží mimo itervalu kritických hodôt. II

3 Iteračé testy áhodosti pre veľké súbory ( 0). :. Zvolíme hladiu výzamosti.. Podľa zvoleého kľúča priradíme prvkom v súbore číselé symboly, resp 0 a určíme počet výskytov priazivej ( ) a epriazivej ( ) alteratívy. 3. Staovíme počet skupí symbolov s jedotkami a ulami i, čo je zároveň testovacou charakteristikou. 4. Vypočítame stredú hodotu (x i ) a štadardú odchýlku (s i ) výskytu alteratív. ( ) x i = + s i = + ( + ) ( + ) 5. Vypočítame testovaciu charakteristiku (g), ktorá má ormále rozdeleie. i xi g = si 6. Určíme kritické hodoty rozdeleia pomocou príslušých kvatilov ormovaého ormáleho rozdeleia pre zvoleú hladiu výzamosti. 7. Nulovú hypotézu (o úplej áhodosti) zamieteme, ak vypočítaá testovacia charakteristika eleží v itervale kvatilov až g α / ormovaého ormáleho rozdeleia. g α /. Zamiekové testy Najjedoduchšia variata pre eparametrické porovaie stredej hodoty súboru s referečou hodotou. Zaujímame sa IBA o ZNAMIENKO rozdielu!!! III

4 Zamiekový test pre jedoduché rozdeleie. Zvolíme hladiu výzamosti.. Vypočítame rozdiely medzi hodotou zaku prvkov a referečou hodotou. 3. Zistíme počet jedotlivých kladých ( + ) a záporých ( - ) zamieok rozdielov, pričom N= Pre ďalší postup použijeme mešiu z týchto početostí: x=mi{ +, - } 5. Testovacou charakteristikou je pravdepodobosť výskytu ajviac x priazivých alteratív (súčtová pravdepodobosť) z celkového počtu N prvkov súboru s biomickým rozdeleím pre 50%-ú pravdepodobosť oboch alteratív. Túto pravdepodobosť zistíme z tabuliek alebo príslušým softvérom. 6. Nulovú hypotézu o evýzamom rozdiele zamieteme, pokiaľ je vypočítaá testovacia charakteristika mešia ako zvoleá hladia výzamosti. Párové zamiekové testy Párové zamiekové testy možo použiť pri porovávaí dvoch súborov s rovakým rozsahom. Párový zamiekový test pre malé súbory (do 0 prvkov). Zvolíme hladiu výzamosti.. Vypočítame rozdiely medzi hodotami zaku dvojíc prvkov zo súborov. 3. Zistíme počet kladých ( + ) a záporých ( - ) rozdielov, pričom N= Pre ďalší postup použijeme mešiu z týchto početostí: x=mi{ +, - }. 5. Testovacou charakteristikou je pravdepodobosť výskytu ajviac x priazivých alteratív (súčtová pravdepodobosť) z celkového počtu N prvkov súboru s biomickým rozdeleím pre 50%-ú pravdepodobosť oboch alteratív. Túto pravdepodobosť zistíme z tabuliek alebo príslušým softvérom. 6. Nulovú hypotézu o evýzamom rozdiele pre jedostraý test ezamieteme, pokiaľ je vypočítaá testovacia charakteristika väčšia ako zvoleá hladia výzamosti. IV

5 Párový zamiekový test pre veľké súbory: Np>5 a N(p-)>5 (p=0,5). Zvolíme hladiu výzamosti.. Vypočítame rozdiely medzi hodotami zaku dvojíc prvkov zo súborov. 3. Zistíme počet kladých ( + ) a záporých ( - ) rozdielov, pričom N= Pre ďalší postup použijeme mešiu z týchto početostí: x=mi{ +, - }. 5. Vypočítame testovaciu charakteristiku g, ktorá má ormále rozdeleie. x 0,5N g = 0,5N ( 0,5) 6. Nulovú hypotézu o evýzamom rozdiele ezamieteme, pokiaľ je vypočítaá testovacia charakteristika mešia pre jedostraý test ako príslušý kvatil g -α ormovaého ormáleho rozdeleia pre zvoleú hladiu výzamosti. Poradové testy Poradové testy okrem skúmaia toho či je striedaie zamieok rozdielov medzi porovávaými hodotami štatisticky výzamé resp. evýzamé, využívajú aj relatíve veľkosti týchto rozdielov. Ma-Whiteyov test pre malé vzorky <5. Zvolíme hladiu výzamosti, ulovú a alteratívu hypotézu.. Údaje usporiadame podľa veľkosti od ajmešej po ajväčšiu hodotu. 3. Priradíme im poradové čísla bez ohľadu a to, z ktorého súboru pochádzajú. 4. Sčítame poradové čísla v jedotlivých súboroch a ozačíme ich symbolmi W a W. ( + ) ( + ) U + W U = + W = 5. Testovacou charakteristikou je meší výraz U podľa vyššie uvedeých vzorcov U=mi{U,U }. 6. Ak je vypočítaá testovacia charakteristika U väčšia ako kritická hodota pre zvoleú hladiu výzamosti, ulovú hypotézu o rovosti zamieteme. V

6 Ma-Whiteyov test pre veľké vzorky >5. Zvolíme hladiu výzamosti, ulovú a alteratívu hypotézu.. Údaje usporiadame podľa veľkosti od ajmešej po ajväčšiu hodotu. 3. Priradíme im poradové čísla bez ohľadu a to, z ktorého súboru pochádzajú. 4. Sčítame poradové čísla v jedotlivých súboroch a ozačíme ich symbolmi W a W. 5. Vypočítame výraz U a príslušé parametre rozdeleia µ U a σ U. ( + ) U = + W µ = ( + + ) U σ U = 6. Testovacou charakteristikou je výraz g podľa vyššie uvedeého vzorca. U µ U g = σ U 7. Ak je vypočítaá testovacia charakteristika U väčšia ako kritická hodota pre zvoleú hladiu výzamosti, ulovú hypotézu o rovosti zamieteme. Test možo použiť aj v jedostraej verzii pre alteratívy "meší" alebo "väčší"! Kombiovaé poradové testy Wilcoxoov zamiekový test pre malé vzorky (do 5 prvkov) Na porovaie stredej hodoty súboru so zámou koštatou alebo pre porovaie stredých hodôt dvoch súborov s rovakým rozsahom.. Zvolíme hladiu výzamosti, ulovú a alteratívu hypotézu.. Vypočítame rozdiel (d i ) pre každý pár údajov d i =x i -µ 0 alebo d i =x i -x i. 3. Absolútym hodotám rozdielov priradíme poradové čísla, vyecháme pri tom ulové rozdiely (d i =0). VI

7 4. Vytvoríme súčty poradových čísiel pre kladé a pre záporé rozdiely. 5. Odčítame kritickú hodotu pre zvoleú hladiu výzamosti a pre počet eulových rozdielov (). 6. V prípade obojstraého testu (alteratívou hypotézou je erovosť) zamieteme ulovú hypotézu o zhode súborov, ak je vypočítaá testovacia charakteristika T=mi{T +,T - } (mešia číselá hodota z T + a T - ) mešia alebo rová ako kritická hodota T -α/,. 7. Ak je v jedostraom teste postaveá alteratíva µ<µ0 (µ <µ ) použijeme testovaciu charakteristiku T + zamieteme ulovú hypotézu o zhode súborov, ak je vypočítaá testovacia charakteristika T + mešia alebo rová ako kritická hodota T -α,. 8. Ak je v jedostraom teste postaveá alteratíva µ>µ0 (µ >µ ) použijeme testovaciu charakteristiku T - a zamieteme ulovú hypotézu o zhode súborov, ak je vypočítaá testovacia charakteristika T - mešia alebo rová ako kritická hodota T -α,. Wilcoxoov zamiekový test pre veľké vzorky. Zvolíme hladiu výzamosti, ulovú a alteratívu hypotézu. Vypočítame rozdiel (d i ) pre každý pár údajov d i =x i -µ 0 alebo d i =x i -x i. 3. Absolútym hodotám rozdielov priradíme poradové čísla, vyecháme pri tom ulové rozdiely (d i =0). 4. Vytvoríme súčet poradových čísiel pre kladé rozdiely T Vypočítame parametre rozdeleia ( µ +, σ + ) podľa vyššie uvedeých T T rovíc a pomocou týchto parametrov a súčtu poradových čísiel T + určíme aj testovaciu charakteristiku (g). ( + ) ( + )( + ) µ + = σ + = T T T µ + T g = σ 6. Určíme kritickú hodotu ako príslušý kvatil (podľa toho či ide o jedostraý alebo obojstraý test) ormovaého ormáleho rozdeleia pre zvoleú hladiu výzamosti. 7. V prípade obojstraého testu (alteratívou hypotézou je erovosť) zamieteme ulovú hypotézu o zhode, ak je vypočítaá testovacia charakteristika mimo itrevalu prijatia g<g α/ alebo g>g -α/. T + VII

8 8. Ak je v jedostraom teste postaveá alteratíva µ<µ0 (µ <µ ) zamieteme ulovú hypotézu o zhode, ak je vypočítaá testovacia charakteristika mimo itrevalu prijatia g<g α. 9. Ak je v jedostraom teste postaveá alteratíva µ>µ0 (µ >µ ) zamieteme ulovú hypotézu o zhode, ak je vypočítaá testovacia charakteristika mimo itrevalu prijatia g>g -α. 5 Testy dobrej zhody Možo posúdiť zhodu empirickej distribučej fukcie s referečou distribučou fukciou: ak treba zistiť typ rozdeleia alebo ak treba dokázať, že porovávaé súbory majú rovaký alebo požadovaý typ rozdeleia. Použitie: Testy o predpokladaom type rozdeleia (maipulácia s údajmi?, test ormality ) Testy zhody dvoch rozdeleí Pearsoov test dobrej zhody pre jede výber Testujeme rozdiely medzi empirickými a teoretickými triedymi početosťami.. Zvolíme hladiu výzamosti.. Empirické údaje roztriedime do zvoleých skupí. 3. Vypočítame očakávaé početosti. 4. Vypočítame testovaciu charakteristiku podľa vyššie uvedeej rovice k ( ei oi ) χ = i= oi 5. Zistíme kritickú hodotu ako príslušý kvatil chí-kvadrát rozdeleia pre k-m počet stupňov voľosti 6. Nulovú hypotézu o zhode dvoch rozdeleí prijímame, ak platí χ <χ, čiže ak je testovacia charakteristika z oboru prijatia. VIII

9 Kolmogorovov-Smirovov test pre jede výber. Zvolíme hladiu výzamosti, ulovú a alteratívu hypotézu.. Údaje sa rozdelíme do tried. 3. Staovíme očakávaé početosti. 4. Vypočítame kumulatíve početosti pre experimetále a očakávaé hodoty. 5. Vypočítame absolúte hodoty rozdielov početostí. 6. Vyhľadáme ajväčší rozdiel kumulatívych početostí vydelíme ho rozsahom. Teto podiel je zároveň testovacou charakteristikou. D = max{ E i Oi } 7. Vyhľadáme príslušú kritickú hodotu. 8. Ak je vypočítaá testovacia charakteristika väčšia ako kritická hodota z príslušej tabuľky, zamietame ulovú hypotézu o zhode testovaého a referečého rozdeleia. Kolmogorovov-Smirovov test pre dva výbery :. Zvolíme hladiu výzamosti, ulovú a alteratívu hypotézu.. Údaje rozdelíme do tried. 3. Vypočítame kumulatíve početosti pre oba výbery (E I,i a E II,i ). 4. Ak sú súbory malé =<40, testovacia charakteristika je ajväčší prvok z možiy absolútych hodôt rozdielov zodpovedajúcich kumulatívych početostí z výberových súborov I (EI,i) a II (EII,i). D = max{ E I, i E II, i } 5. Ak testujeme väčšie súbory s >40, vypočítame relatíve kumulatíve početosti (F I,i a F II,i ). D = max{ F I, i FII, i } 6. Vypočítame absolúte hodoty rozdielov kumulatívych početostí. 7. Vyhľadáme ajväčší rozdiel kumulatívych alebo relatívych kumulatívych početostí. Ak sa rozsahy rovajú kumulatívu početosť vydelíme rozsahom. Teto podiel je zároveň testovacou charakteristikou. Ak sa rozsahy erovajú testovacou charakteristikou je ajväčší rozdiel relatívych kumulatívych početostí. IX

10 8. Ak sa rozsahy rovajú vyhľadáme príslušú kritickú hodotu z tabuľky. Ak sa rozsahy erovajú použijeme uvedeé vzťahy pre výpočet kritickej hodoty. + + D;0,05 =, 36 a D;0,0 =, Ak je vypočítaá testovacia charakteristika väčšia ako kritická hodota, zamietame ulovú hypotézu o zhode dvoch rozdeleí. Neparametrické testy vybočujúcich hodôt Deaov-Dixoov eparametrický test vybočujúcich hodôt. Zvolíme hladiu výzamosti.. Prvky súboru usporiadame podľa veľkosti od ajmešej po ajväčšiu hodou. 3. Vypočítame testovacie charakteristiky podľa uvedeých vzťahov. Q = x x x x Q = x x x 4. Vyhľadáme kritickú hodotu pre zvoleú hladiu výzamosti a počet prvkov. 5. Testovaý prvok zo súboru vylúčime, ak platí Q α,ν Q alebo Q α,ν Q. x Testy a overeie homogeity testy a overeie typu rozdeleia testy a overeie rovosti disperzií testy a overeie rovosti stredých hodôt X

11 Kruskalov-Wallisov test (H-test)??? či ezávislé výbery pochádzajú z toho istého základého súboru???. Zvolíme ulovú a alteratívu hypotézu. Zvolíme hladiu výzamosti 3. Priradíme poradové čísla 4. Vypočítame triede súčty (= súčet poradových čísiel v jedotlivých triedach) 5. Vypočítame testovaciu charakteristiku k Ri H = 3( ) ( + ) i= i 6. Odčítame kritickú hodotu pre Chí-kvadrát rozdeleie pre príslušý počet stupňov voľosti k- (k je počet tried) a hladiu výzamosti 7. Nulovú hypotézu zamieteme, pokiaľ vypočítaá testovacia charakteristika je väčšia ako kritická hodota pre Chí-kvardát rozdeleie. Závislosť kvalitatívych zakov Kotigečý test Na vyjadreie miery asociácie (vzťahu) medzi dvoma KVALITATÍVNYMI zakmi. Štatistickú iformáciu ezískavame meraím ale počítaím.. Zvolíme ulovú a alteratívu hypotézu. Zvolíme hladiu výzamosti 3. Vypočítame očakávaé hodoty podľa: Σ( i) Σ( j) o ij = Σ( i, j) 4. Vypočítame testovaciu charakteristiku: XI

12 R S ( oij pij ) 5. χ = o i= j= ij 6. Kritická hodota sa odčítava pre chí-kvadrát rozdeleie pre počet stupňov voľosti (R-)x(S-). A B C I. O ij (p ij )... Σ(I) II. Σ(II) III. Σ(III) Σ(A) Σ(B) Σ(C) Σ(GT) XII

13 Poradová korelácia Spearmaov korelačý koeficiet = či existuje určitá závislosť v poradí hodôt bez ohľadu a ich veľkosť.. Zvolíme ulovú a alteratívu hypotézu H 0 : r S = 0 a H : r S 0.. Každej štatistickej jedotke priradíme poradové číslo podľa veľkosti závislej premeej y * a poradové číslo podľa veľkosti ezávislej premeej x *. 3. Vypočítame rozdiely medzi poradovými číslami prislúchajúcim jedotlivým dvojiciam. 4. Spearmaov koeficiet poradovej korelácie je daý vzťahom: r s 6 = i= * * ( x y ) i ( ) i (IX.0) 5. Hypotézu o ezávislosti skúmame pomocou testovacej charakteristiky: t = r S r S (IX.) 6. Hypotézu o ezávislosti zamietame, ak je vypočítaá charakteristika väčšia ako kritická hodota Studetovho rozdeleia pre daú hladiu výzamosti a - stupňov voľosti. XIII

14 Kritické hodoty pre iteračý test áhodosti test, a=0,05 (Vzhľadom a to, že úplá tabuľka by bola symetrická podľa diagoály uvádzame iba jej dolú časť ) Kritické hodoty pre iteračý test áhodosti test, a=0,0 (Vzhľadom a to, že úplá tabuľka by bola symetrická podľa diagoály uvádzame iba jej dolú časť ) XIV

15 Tabuľka kritických hodôt pre U rozdeleie. a=0,05 obojstraý/jedostraý test (horá/dolá časť tabuľky) j i / / / / / / / / / / / / /7 Tabuľka kritických hodôt pre U rozdeleie. a=0,0 obojstraý/jedostraý test (horá/dolá časť tabuľky) j i / / / / / / / / / / /56 XV

16 Tabuľka kritických hodôt pre Wilcoxoov zamiekový test obsahuje ajväčšie prípusté súčty, ktoré ešte charakterizujú erovosť. hladia výzamosti hladia výzamosti 0,05 0,0 0,05 0, XVI

17 Kritické hodoty pre Kolmogorovov-Smirovov test pre jede výber hladia výzamosti hladia výzamosti 0,05 0,0 0,05 0,0 0,975 0,995 0,87 0,344 0,84 0,99 0,8 0, ,708 0,89 3 0,75 0, ,64 0, ,69 0,33 5 0,563 0, ,64 0,37 6 0,59 0,67 6 0,59 0,3 7 0,483 0, ,54 0, ,454 0,54 8 0,50 0, ,430 0,53 9 0,46 0,95 0 0,409 0, ,4 0,90 0,39 0, ,38 0,85 0,375 0, ,34 0,8 3 0,36 0, ,3 0,77 4 0,349 0, ,7 0,73 5 0,338 0, ,4 0,69 6 0,37 0, , 0,65 7 0,38 0, ,8 0,6 8 0,309 0, ,5 0,58 9 0,30 0, ,3 0,55 0 0,94 0, ,0 0,5 ad 40,36,63 XVII