3. prednáška. Komplexné čísla

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. prednáška. Komplexné čísla"

Ῥεβέκκα Βασιλικός
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 3. predáška Komplexé čísla

2 Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet koreňov kvadra-tickej rovice dostaeme a f x, = ± 4 = ± 4 = ± Hovoríme, že táto rovica emá riešeie v obore reálych čísel. Zavedieme ové "číslo" i (imagiára jedotka), ktoré vyhovuje podmieke i = i = Riešeie kvadratickej rovice má potom tvar x, = ± i Čísla tohto tvaru budeme azývať komplexé. Kvadratická rovica má vždy riešeie v obore komplexých čísel.

3 Základé vlastosti komplexých čísel Nech komplexé číslo má tvar z = x + iy kde i je imagiára jedotka vyhovujúca podmieke i =-. Číslo x je reála časť komplexého čísla a y je imagiára časť komplexého čísla af af Re z = x, Re z = y Komplexé číslo je graficky zázoreé v Gaussovej rovie Mociy imagiárej jedotky i i =, i = i, i =, i = i, i =, i = i,... i i 3 i = = = i, i = =, i = = = i,... 3 i i i i i i i 3

4 Operácie ad komplexými číslami () Absolúta hodota komplexého čísla z=x+iy je ezáporé reále číslo určeé vzťahom z = x + y V Gaussovej rovie absolúta hodota je vzdialeosť medzi bodom-číslom a počiatkom súradicového systému. () Komplexe združeé číslo ku komplexému číslu z=x+iy je určeé vzťahom z = x iy Pre absolútu hodotu komplexého čísla z=x+iy potom platí z = zz z = zz 4

5 (3) Dve komplexé čísla z =x +iy a z =x +iy sa rovajú vtedy a le vtedy ak sa rovajú ich reále časti a imagiáre časti z = z x = x y = y (4) Komplexé číslo z=x+iy je súčtom komplexých čísel z =x +iy a z =x +iy a f a f z = z + z z = x + x + i y + y (5) Komplexé číslo z=x+iy je súčiom reáleho čísla α a komplexého čísla z'=x'+iy' a f z = αz z = α x + iy = αx + iαy (6) Komplexé číslo z=x+iy je súčiom komplexých čísel z =x +iy a z =x +iy a fa f a f z = z z = x + iy x + iy = x x y y + i x y + x y 5

6 (7) Komplexé číslo z=x+iy je podielom komplexých čísel z =x +iy a z =x +iy z z = = z x x + iy + iy = x x + iy + iy x x iy iy = x x x + y y + y + i y x x x y + y Pozameajme, že podiel je defiovaý le pre z >0. (8) Odmocia z komplexého čísla z=x+iy je určeá vzťahom Predpokladajme, že odmocia potom musí platiť z = ± HG x + x + y y + x + x + y z má tvar e j z = a + ib c h a f z = z a + ib = x + iy a b + iab = x + iy Z podmieky rovosti dvoch komplexých čísel dostaeme dve rovice pre "ezáme a a b a b = x ab = y Z druhej rovice dostaeme b=y/(a), dosadeím tohto vzťahu do prvej rovice a vyásobeím a I KJ i 6

7 dostaeme bikvadratickú rovicu pre a 4 a a x y = 0 4 Riešeím tejto rovice zistíme, že a môže mať tieto dve hodoty x + x + y a = ± Dosadeím tohto výsledku do vzťahu b=y/(a) dostaeme ± y b = x + x + y e (9) Operácia komplexého združeia a algebraické operácie defiovaé ad komplexými číslami vyhovujú týmto vzťahom z = z, αz = αz z + z = x, z z = iy, zz = x + y af a f a f a f, a f z z z z cz h af =, = z I HG z KJ z b g = pre z > 0 z z z + z = z + z z z = z z j 7

8 (0) Operácia absolútej hodoty vyhovuje týmto vzťahom z z z = z = z = zz z z = z z, = pre z > z z b g 0 z z z + z z + z 8

9 Goiometrický tvar komplexého čísla Majme komplexé číslo z=x+iy Goiometrický tvar komplexého čísla a x = z cos ϕ, y = z siϕ pre 0 ϕ < π a b z = x + iy = z cosϕ + i siϕ f a f a fg = z cos ϕ + kπ + i si ϕ + kπ f 9

10 Príklad. Vyjadrite v goiometrickom tvare čísla, i, - a -i Absolúte hodoty všetkých štyroch čísel sú a f a f I I K + H + K a f a f I K + H + = cos 0 + kπ + i si 0 + kπ = H + π π i cos kπ i si kπ = cos π + kπ + i si π + kπ = H + 3π 3π i cos kπ i si kπ I K 0

11 Násobeie komplexých čísel v goiometrickom tvare Majme komplexé čísla z a z v goiometrickom tvare a a z = z cosϕ + i siϕ z = z cosϕ + i siϕ Použitím štadardých súčtových vzorcov pre fukcie si a cos dostaeme vzťah pre súči komplexých čísel v goiometrickom tvare b f f a f a fg z z = z z cos ϕ + ϕ + i si ϕ + ϕ

12 Podiel dvoch komplexých čísel v goiometrickom tvare z z zb = cos ϕ ϕ + i si ϕ ϕ z a f a fg Umocňovaie komplexého čísla v goiometrickom tvare Majme komplexé číslo a f z = z cosϕ + i siϕ -tá mocia komplexého čísla z má tvar (Moivrova veta) b a f a fg z = z cos ϕ + i si ϕ

13 -tá odmocia komplexého čísla z má tvar Odmocňovaie komplexého čísla v goiometrickom tvare HG H I K + + H ϕ + kπ ϕ kπ z = z cos i si I K I K J pre k=0,,...,-. Príklad. Vypočítajte (+i) 0 3

14 + = H + π π i cos i si 4 4 Použitím Moivrovej vety pre daú mociu komplexého čísla dostaeme a f I I i = c h H π 0 0 4K + i H π cos si 4K HG I K J = b a f a fg b a f a fg b af afg a f 0 = cos 5π + i si 5π = 0 = cos 4π + π + i si 4π + π = 0 = cos π + i si π = = + 0 = 0 0 I K 4

15 Príklad. Vypočítajte druhú odmociu i. Pre druhú odmociu komplexého čísla z = x + iy existuje explicitý výraz z = ± Dosadeím x=0 a y= dostaeme HG x + x + y y + x + x + y e j = ± H + i i Rovaký výraz musíme dostať aj použitím všeobecého vzťahu pre -tú odmociu komplexého čísla v goiometrickom tvare k k z = z HG + I H K i + + II ϕ π ϕ π cos sih K K J Goiometrický tvar imagiárej jedotky i je i = H πi I cos K + i si H π K I K I KJ i 5

16 a f HG I K J a f = af a f π + kπ π + kπ i = cos i si k 0, HG I K J + π π i cos i si i k c h = = + = + 5π 5π i cos i si i k 4 4 c h = = + = 6

17 Riešeie biomickej rovice x + a = 0 kde a je reále číslo. Riešeie môžeme písať v tvare a f x = a Odmocia sa bude počítať pomocou všeobecého vzťahu pre výpočet -tej odmociy komplexého čísla Uhol ϕ je určeý vzťahom HG H I K + + H ϕ + kπ ϕ kπ z = z cos i si I K I K J 7

18 ϕ R S a f a f = 0 pre a < 0 Tπ pre a > 0 () a<0 a f I a = a k k H π + i π K a f cos si k = 0,,..., () a>0 HG I K J = a f a f a f k + k + a = a π a f + i π cos si k 0,,..., 8

19 Príklad. Riešte biomickú rovicu x 4 +=0 Požitím všeobecého výrazu pre riešeie biomickej rovice pre a= a =4 dostaeme a f a f a f 4 k + π k + π a f = cos + i si k = 0,,, Dosadeím do tejto formule dostaeme da f i 4 π π = x = cos + i si = + i k = da fi x i i k 4 3π 3π = = cos + si = + = 4 4 da fi x i i k 4 5π 5π = 3 = cos + si = = 4 4 da fi x i i k 4 7π 7π = 4 = cos + si = =

20 Expoeciály tvar komplexého čísla Eulerova formula e iϕ = cosϕ + i si ϕ kde ϕ je reále číslo. Dôkaz Eulerovej formule bude môcť byť vykoaý a záver letého semestra pomocou Taylorovho rozvoja fukcií si x a cos x. Pomocou tejto formule môže byť prepísaý goiometrický tvar komplexého čísla do tzv. expoeciáleho tvaru z = z e i ϕ Pomocou tejto formule sa jedoducho dokáže Moivrova veta. 0

21 Príklad. Vypočítajte i i. Expociály tvar imagiáreh jedotky i je i = e i π Ak takto určeú imagiáru jedotku i formále umiocíme a imagiáru jedotku i dostaeme i i i i = H G π I K J π = = π i e e e

Σχετικά έγγραφα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x