Príklady na precvičovanie číselné rady a kritériá ich konvergencie a divergencie

Transcript

1 Príklady a precvičovaie číselé rady a kritériá ich kovergecie a divergecie Ústredým problémom teórie reálych číselých radov je vyšetrovaie ich kovergecie, resp divergecie Ak {a } = je daá postuposť reálych čísiel, potom hovoríme, že ekoečý číselý rad a := a + a + + a + ) = je kovergetý alebo tiež koverguje), ak existuje koečá limita tzv postuposti čiastočých súčtov {s } = radu ), ktorá je defiovaá ako s = a + a + + a = a k, N ) k= Príslušú limitu s := lim s potom azývame súčtom radu ) V opačom prípade, tj, ak postuposť {s } = má evlastú limitu, resp vôbec emá limitu, rad ) je divergetý diverguje) Spolu s radom ) sa často skúma i odpovedajúci rad z absolútych hodôt, tj, rad a 3) = Dá sa ľahko ukázať pomocou Cauchyho Bolzaovho kritéria uvedeého ižšie), že ak koverguje rad 3), potom koverguje i rad ) V takomto prípade hovoríme, že rad ) koverguje absolúte Opačá implikácia eplatí, tj, z kovergecie radu ) evyplýva kovergecia radu 3) O kovergetom rade ) takom, že k emu prislúchajúci rad 3) diverguje, povieme, že koverguje eabsolúte alebo aj relatíve Základé kritérium kovergecie číselých radov je Cauchyho Bolzaovo kritérium Cauchyho Bolzaovo kritérium Rad ) koverguje práve vtedy, keď pre každé kladé číslo ε existuje idex 0 taký, že pre každý idex 0 a pre každé m N platí a + + a + + a a +m < ε

2 Cauchyho Bolzaovo kritérium je uiverzále kritérium, tj, udáva utú i postačujúcu podmieku kovergecie radu Je však pomere ťažkopáde a praktické používaie a má hlave teoretický výzam Uvedieme teraz prehľad základých praktických kritérií kovergecie číselých radov Tieto kritéria umožňujú za istých predpokladov rozhodúť o kovergecii/divergecii radu ) Žiade z ich však ie je uiverzále v tom zmysle ako Cauchyho Bolzaovo kritérium) Nutá podmieka kovergecie radu/postačujúca podmieka divergecie radu Ak rad ) koverguje, potom lim a = 0 Ekvivalete, ak limita lim a je eulová, resp eexistuje, potom rad ) diverguje Porovávacie kritérium Nelimitá verzia: Nech a a b sú dva číselé rady s ezáporými člemi, ktoré spĺňajú a b pre skoro všetky idexy Potom platí b koverguje = a koverguje ekvivalete a diverguje = ) b diverguje Limitá verzia: Nech pre číselé rady a a b s ezáporými člemi existuje limita a L = lim, b L [0, ) { } Potom pre L 0, ) sa obidva rady z hľadiska kovergecie správajú rovako Pre L = 0 platí b koverguje = a koverguje ekvivalete a diverguje = ) b diverguje,

3 kým pre L = platí a koverguje = b koverguje ekvivalete b diverguje = ) a diverguje Podielové D Alembertovo) kritérium Nelimitá verzia: Nech a je číselý rad s eulovými člemi Potom platí ak lim sup a + a < = a koverguje absolúte; ak a + a pre skoro všetky = a diverguje Limitá verzia: Nech pre číselý rad a s eulovými člemi existuje limita L = lim a + a Potom rad a pre L < koverguje absolúte a pre L > diverguje Odmociové Cauchyho) kritérium Nelimitá verzia: Nech a je číselý rad Potom platí ak lim sup a < = a koverguje absolúte; ak a pre ekoeče veľa = a diverguje Limitá verzia: Nech pre číselý rad a existuje limita L = lim a Potom rad a pre L < koverguje absolúte a pre L > diverguje 3

4 Raabeho kritérium Nelimitá verzia: Nech a je číselý rad s kladými člemi Potom platí ak lim if a ) + > = a koverguje absolúte); a ak a ) + pre skoro všetky = a diverguje a Limitá verzia: Nech pre číselý rad a s kladými člemi existuje limita L = lim a ) + a Potom rad a pre L > koverguje absolúte a pre L < diverguje Itegrále Cauchyho) kritérium Nech pre rad a s ezáporými člemi existuje fukcia f : [, ) R s vlastosťami f je ezáporá a erastúca, f) = a pre každé N Potom rad a a evlastý itegrál fx) dx sa z hľadiska kovergecie správajú rovako Leibizovo kritérium pre alterujúce rady Nech pre {a } je erastúca postuposť s kladými člemi Potom alterujúci rad ) a = 4

5 koverguje práve vtedy, keď lim a = 0, tj, keď je spleá utá podmieka kovergecie Nasledujúce dve kritéria Dirichletovo a Abelovo patria medzi pokročilejšie techiky skúmaia radov Často sa využívajú a vyšetrovaie radov zo súčiu dvoch postupostí Poskytujú však iba postačujúce podmieky kovergecie, aviac ie ute absolútej Dirichletovo a Abelovo kritérium Nech {a } a {b } sú dve číselé postuposti, pričom ech {b } je mootóa Nech aviac je spleá aspoň jeda z asledujúcich podmieok Dirichlet) Postuposť čiastočých súčtov {s } radu a je ohraičeá a lim b = 0 Abel) Rad a koverguje a postuposť {b } je ohraičeá Potom rad a b koverguje ie však ute absolúte) Pozámka: Je užitočé si všimúť, ako avzájom súvisia podmieky v Dirichletovom kritériu a Abelovom kritériu Podmieka a postuposť {b } v Dirichletovom kritériu zaručuje jej ohraičeosť samy si dobre premyslite :)) V Abelovom kritériu túto požiadavku zoslabujeme iba a samotú ohraičeosť postuposti {b } premyslite si, že v skutočosti vďaka mootóosti {b } je toto ekvivaleté s existeciou limity lim b, ktorá však emusí byť ulová) Na druhej strae, s podmiekami kladeými a postuposť {a } je to prese aopak Kovergecia radu a tj, existecia koečej limity postuposti {s }) je silejší árok ako ohraičeosť jeho postuposti čiastočých súčtov {s } i toto si dobre premyslite :)) Celková účiosť oboch kritérii je teda viac-meej rovaká Samotý výber kokréteho kritéria závisí od tvaru daého radu, ilustujeme to a príkladoch Jedým zo základých ekoečých číselých radov je geometrický rad, ktorý má tvar a q, a, q R \ {0} 4) = 5

6 Nie je ťažké ukázať, že geometrický rad 4) koverguje absolúte) práve vtedy, keď jeho kvociet q spĺňa q < V tomto prípade máme a q = = a q 5) Ďalším zo základých radov je harmoický rad, tj, rad tvaru = 6) Teto rad je divergetý postuposť jeho čiastočých súčtov koverguje do plus ekoeča) apriek tomu, že je spleá utá podmieka kovergecie Divergecia harmoického radu 6) sa dá dokázať viacerými spôsobmi pozri Príklad 3 ižšie) Jede z ich ukazuje a zaujímavú súvislosť -tého čiastočého súčtu s harmoického radu s prirodzeým logaritmom l Kokréte, dá sa dokázať, že limita rozdielu γ := lim s l ) = lim k= ) k l existuje a je vlastá Reále číslo γ sa azýva Eulerova Mascheroiho koštata a objavuje sa v rozličých oblastiach matematiky i fyziky Hrubo povedaé, udáva o koľko sa líši ekoečý súčet harmoického radu od ekoečej hodoty l :) Z geometrického hľadiska číslo γ predstavuje presú hodotu chyby, akej sa dopustíme, keď obsah plochy pod grafom fukcie y = /x a itervale [, ) aproximujeme hodotou príslušého horého itegráleho súčtu vytvoreého pomocou deleia < < 3 < < < itervalu [, ) úplé premysleie a akresleie vhodého obrázka echávame a čitateľa :)) Tieto pozorovaia umožujú apríklad aproximovať pre veľké hodotu koečého súčtu k= výrazom γ + l O Eulerovej k Mascheroiho koštate sa dodes evie, či je racioála alebo iracioála :) Jej hodota vyčísleá a prvých 50 desatiých miest je γ =

7 Riešeé príklady Príklad Priamo podľa defiície vyšetrime kovergeciu radu = ) Riešeie: Pokúsime sa explicite vyjadriť -tý čiastočý súčet s uvedeého radu Všeobecý čle radu má tvar racioálej lomeej fukcie v premeej Jej rozkladom a parciále zlomky dostaeme Pre s,, potom máme s = k= ) = kk ) = k= k ) k Posledá suma sa zvyke ozačovať prívlastkom teleskopická, pretože všetky jej vútoré čley sa šťastou áhodou vzájome odčítajú :) Skutoče, s = ) + ) ) ) = Iheď už preto vidíme, že lim s =, a teda rad v zadaí príkladu je kovergetý so súčtom, tj, = ) = Príklad porovávacie kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu = 7

8 Riešeie: Využijeme pozorovaie < ), N \ {} overte samy :)) V predchádzajúcom príklade sme dokázali, že rad = ) koverguje Preto podľa elimitého porovávacieho kritéria koverguje i rad v zadaí príkladu Príklad 3 Cauchyho Bolzaovo kritérium) Dokážme divergeciu harmoického radu = Riešeie: Využijeme dôkaz sporom Predpokladajme, že harmoický rad koverguje To podľa Cauchyho Bolzaovho kritéria zameá, že pre každé kladé číslo ε existuje idex 0 tak, že erovosť m < ε platí pre každé 0 a každé m N Zvoľme ε = /3 a ech 0 je k emu prislúchajúci idex V uvedeej erovosti iste môžeme zvoliť = 0 a m = 0 Dostaeme potom < 3 Nakoľko pracujeme s kladými číslami, môžeme odstráiť absolútu hodotu < 0 3 8

9 Každý čle súčtu a ľavej strae posledej erovosti je väčší aajvyš rový) ež zlomok 0 samy sa spresvedčte :)) Preto môžeme ľavu strau erovosti takto zmešiť < < Na ľavej strae posledej erovosti je však prese 0 čleov, takže máme 0 0 < 3 = < 3 spor!!! To zameá, že áš východiskový predpoklad o kovergecii harmoického radu bol esprávy Preto harmoický rad diverguje Príklad 4 porovávacie kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu si = Riešeie: Toto je typický príklad a použitie limitého porovávacieho kritéria Aby sme ašli vhodý rad a porovaie, pozrime sa, čo sa deje s člemi radu v zadaí príkladu pre veľké idexy Z reálej aalýzy fukcií jedej premeej vieme, že výraz si x sa pre maliké x v okolí uly) správa ako x, pretože lim x si x)/x = Nakoľko / 0 pre, máme odhad si pre dostatoče veľké To avádza a myšlieku porovať rad v zadaí príkladu s harmoickým radom / Naozaj, pretože platí si lim 9 =,

10 obidva rady sa z hľadiska kovergecie správajú rovako Teda rad si/) diverguje Hlavým fígľom bolo uvedomiť si, že rad v zadaí príkladu sa pre veľké správa ako harmoický rad, a preto teda aj diverguje pre kovergeciu/divergeciu radu je smerodajé to, čo sa deje s jeho člemi s obrovskými idexami) Príklad 5 porovávacie kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu = l + ) Riešeie: K tomuto príkladu je možé pristúpiť dvomi spôsobmi, obidva využívajú základé vlastosti fukcie l x Z grafu fukcie l x je zrejmé, že pre každé kladé x platí erovosť l x < x samy sa presvedčte :)) Preto pre každé N máme l + ) < + + < l + ) Rad v zadaí príkladu je teda majoratý vzhľadom a harmoický rad Podľa elimitého porovávacieho kritéria preto diverguje Druhý spôsob je založeý a asymptotickom správaí fukcie l x to zameá, ako sa l x správa pre veľmi veľké x) Z Matematickej aalýzy I vieme, že fukcia l x rastie v okolí ekoeča pomalšie ako akákoľvek mociová fukcia x r s kladým expoetom r Prakticky teto okrídleý výrok hovorí samy overte ;)) Pre r = a x = + potom máme l x lim = 0 pre každé r > 0 x x r l + ) lim + = lim + l+) = 0 Posledá limita podľa limitého porovávacieho kritéria implikuje, že rad v zadaí príkladu diverguje dobre si to premyslite; táto limita hovorí, že rad 0

11 v zadaí je pre veľké idexy ekoečekrát väčší ako divergetý harmoický rad) Príklad 6 podielové kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu { φ), páre,, kde φ) := 6 6, epáre = Riešeie: Pre poriadok pozameajme, že sa bavíme o rade Na jeho vyšetrovaie chceme použiť podielové kritérium Skúmajme preto podiel a + /a { a + φ+) a = 6 + φ + ) /, páre, = = φ) 6 /3, epáre φ) 6 samy overte :)) Limita z daého podielu eexistuje, preto emôžeme použiť limitú verziu D Alembertovho kritéria Avšak platí lim sup a + a = <, a preto podľa elimitej verzie rad v zadaí príkladu koverguje absolúte) Príklad 7 podielové kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu =! Riešeie: V tomto prípade pre podiel a + /a dostávame po úpravách) ) a + a = + = = + ) +) + +)!!

12 A keďže lim a + a = lim + ) = e >, podľa limitého D Alembertovho kritéria usúdime, že rad v zadaí príkladu diverguje Príklad 8 odmociové kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu = ) + Riešeie: Za účelom použitia Cauchyho odmociového kritéria preskúmajme výraz a Platí Keďže ) + a = = lim + = + + a = lim = <, podľa limitej verzie kritéria rad v zadaí príkladu koverguje absolúte) Príklad 9 odmociové kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu Riešeie: Pre všeobecý čle a tohto radu zrejme platí { /, epáre, a = /3, páre

13 V tomto prípade emôžeme použiť limitú verziu Cauchyho odmociového kritéria, akoľko { /, epáre, a = /3, páre, a teda limita lim a eexistuje Avšak máme lim sup a = / < Preto podľa elimitej verzie kritéria rad v zadaí príkladu koverguje absolúte) Príklad 0 odmociové kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu = + ) Riešeie: V tomto prípade fuguje limitá verzia Cauchyho kritéria, akoľko platí lim a = lim + ) / = lim ) + Rad v zadaí príkladu preto koverguje absolúte) = < Príklad Raabeho kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu =! + ) + ) + 3) + ) Riešeie: Jedá sa o rad s kladými člemi Potrebujeme sa pozrieť a výraz a ) + a 3

14 Po úpravách postupe dostaeme a ) + = a Nakoľko platí lim = +)! +) +) +3) +) ++)! +) +) +3) +) ) = a ) + = lim a = >, podľa limitej verzie Raabeho kritéria rad v zadaí príkladu koverguje absolúte) Príklad Raabeho kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu = 3 Riešeie: Postupujeme aalogicky ako v predchádzajúcom príklade Opäť máme rad s kladými člemi Platí a ) + a = +) 3 3 ) = 3/ + ) 3/ = [ + ) 3/ 3/] = [ + ) 3/ 3/] + ) 3/ + ) 3/ Ďalej máme lim a ) [ + + ) 3/ 3/] = lim = 3 a + ) 3/ > samy overte :)) To zameá, že rad v zadaí príkladu koverguje absolúte) 4

15 Príklad 3 ťažší) Raabeho kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu = )! e Riešeie: Chceme aplikovať Raabeho limité kritérium Nechávame a čitateľa, aby overil, že platí :) a ) + = [ a e e + ) ] Naším cieľom je zistiť hodotu limity lim a ) + a = lim e [ e + ) ] Za týmto účelom vyšetríme limitu fukcie [ x lim x e e + ) x ] = lim x x e e + Jedá sa zrejme o eurčitosť typu 0/0, pričom čitateľ i meovateľ limitovaého zlomku je diferecovateľý v okolí ekoeča Môžeme preto použiť L Hospitalovo pravidlo Postupe dostávame medzivýpočty pre jedoduchosť vyechávame :)) = lim x e lim x e e + x + x ) x [ l + x x x ) x ) ] x+ = lim x e = lim x x x ) x [ ) e + x ] x) ) + x x e x l + x ) x+ x V posledej limite výraz + x) x /e koverguje do, kým pre limitu druhého zlomku platí l + lim x) ) ) x+ x = 0 0, l + L Hospital = lim x x+ x x ) x 5

16 ) x = lim x = x + Dostávame teda estraťte sa vo výpočtoch ;)) [ x lim x e e + ) x ] = x = To zameá, že existuje i limita príslušej postuposti s hodotou lim a ) [ + = lim a e e + ) ] = < Podľa limitého Raabeho kritéria potom rad v zadaí príkladu diverguje Príklad 4 Itegrále kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu = e Riešeie: Toto je typický príklad a použitie itegráleho kritéria Na základe tvaru čleov vyšetrovaého radu uvažujme fukciu x fx) = e, x x [, ) Fukcia f je iste ezáporá a itervale [, ) Pomocou jej prvej derivácie sa môžeme ľahko presvedčiť, že f klesajúca a [, ) samy overte :)) Sú teda spleé všetky predpoklady itegráleho kritéria, a preto daý rad koverguje práve vtedy, keď koverguje evlastý itegrál fx) dx Elemeárou itegráciou dostaeme overte samy :)) fx) dx = e x x dx = e Preto i rad v zadaí príkladu koverguje absolúte) 6

17 Príklad 5 utá podmieka kovergecie) Dokážme idetity e a) lim!!) = 0 b) lim = 0 Riešeie: Teto príklad ilustruje aplikáciu teórie ekoečých číselých radov pri výpočte limít postupostí Využíva pozatok, že kovergecia radu úzko súvisí s limitou jeho -tého člea V prípade prvej limity uvažujme rad = Pomocou podielového kritéria sa ľahko ukáže jeho kovergecia samy overte :)) Z toho potom vyplýva, že limita jeho -tého člea musí byť ulová, tj, platí rovosť v a) Idetita v b) sa dokáže podobe Kovergeciu radu = e!!) sa pokúsime vyšetriť pomocou Cauchyho odmociového kritéria Máme a =!) Výraz je klesajúci vzhľadom a, akoľko =! ) + )!! = + ) + + }{{} toto je < <! pre každé N samy si dobre premyslite ;)) Preto platí erovosť To zameá, že a =! <! =, N \ {} lim sup a <, 7

18 a teda podľa elimitého Cauchyho kritéria skúmaý rad koverguje absolúte) Táto skutočoť áslede implikuje rovosť v b) detaily si samy zdôvodite :)) Príklad 6 Leibizovo kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu = ) Riešeie: Poďme sa presvedčiť, či je vôbec možé použiť Leibizovo kritérium a vyšetrovaie predložeého radu Jedá sa o alterujúci rad, pričom postuposť {3 + )/ 3)} = je kladá a klesajúca, ako vyplýva z úpravy = Preto môžeme smelo aplikovať Leibizovo kritérium Podľa eho daý rad koverguje práve vtedy, keď spĺňa utú podmieku kovergecie Avšak 3 + lim 3 = 3 0 Preto rad v zadaí príkladu diverguje Príklad 7 Leibizovo kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu = ) Riešeie: Postupujeme aalogicky ako v predchádzajúcom príklade Overeie použiteľosti Leibizovho kritéria echávame a čitateľa :) Zo skutočosti lim = 0 8

19 uzavrieme, že rad v zadaí koverguje, avšak eabsolúte prečo? :)) Príklad 8 absolúta/eabsolúta kovergecia) Vyšetrime kovergeciu radu = ) Riešeie: Podľa Leibizovho kritéria uvedeý rad koverguje samy overte :)) Chceme aviac zistiť, či táto kovergecia je i absolúta Za tým účelom sa pozrieme a odpovedajúci rad absolútych hodôt ) = = Teto rad koverguje, ako sme ukázali v Príklade Preto rad v zadaí príkladu koverguje absolúte = Príklad 9 absolúta/eabsolúta kovergecia) Vyšetrime kovergeciu radu ) = Riešeie: Predložeý rad koverguje samy overte :)) Príslušý rad absolútych hodôt je harmoický, ktorý diverguje Preto rad v zadaí koverguje eabsolúte Pozameajme, že teto rad sa často ozačuje ako Leibizov rad :) Príklad 0 absolúta/eabsolúta kovergecia) Vyšetrime kovergeciu radu )! = 9

20 Riešeie: Ukážeme, že uvedeý rad diverguje Využijeme elimité D Alembertovo kritérium a jede malý trik :) Platí po úpravách) a + a = ) +) +)! )! = + + V posledom výraze si mociu + apíšeme ako + ) + a použijeme biomickú vetu to je te trik; vyzerá dosť laco, ale je celkom užitočý :)) ) ) ) ) = + ) + = Ak v súčte a pravej strae v posledej rovosti echáme le prvé dva čley a a ostaté zabudeme, zrejme sa ám pravá straa zmeší A toto bude platiť pre každé N Vyplýva to z toho, že + > pre každé prirodzeé číslo, takže a pravej strae vždy budeme mať aspoň prvé tri čley dobre si to premyslite ;)) Ako zadarmo sme teda odvodili takúto roztomilú erovosť ) ) > + = + ), N 0 Jej aplikáciou potom dostaeme a + a = + + ) > = pre každý idex + + Podľa elimitej verzie podielového kritéria teda rad v zadaí príkladu diverguje Všimime si, že celý čas sme vlaste vyšetrovali kovergeciu/divergeciu príslušého radu absolútych hodôt a ukázali sme, že diverguje Pokúste sa zdôvodiť, prečo sme v tomto prípade mohli z divergecie radu absolútych hodôt tak ľahkováže usúdiť i divergeciu pôvodého radu, hoci vo všeobecosti to ie je možé zamerajte sa a posledú erovosť a jej súvislosť s utou podmiekou kovergecie radu v zadaí príkladu ;)) Príklad kovergecia/divergecia v závislosti a parametri) Vyšetrime kovergeciu radu ) p + = p 0

21 v závislosti a reálom parametri p Riešeie: Chceme zistiť, pre akú voľbu čísla p daý rad koverguje, resp diverguje K tomuto problému sa dá pristúpiť viacerými spôsobmi Najpriamočiarejší z ich je založeý a baálom pozorovaí, že uvedeý rad je geometrický s kvocietom q = p+ A o tom je záme, že koverguje práve vtedy, keď p q < Možia všetkých hodôt p, pre ktoré bude áš rad kovergovať, je preto určeá erovosťou p + p < Nechávame a čitateľa, aby sám overil, že pre p, /) uvedeý rad koverguje absolúte) a pre p [ /, ) diverguje :) Príklad kovergecia/divergecia v závislosti a parametri) Vyšetrime kovergeciu radu = v závislosti a reálom parametri x + 3 Riešeie: Na teto rad aplikujeme podielové kritérium za čle a teraz berieme celý výraz za sumou, aj s mociou x ) Platí po úpravách) a + a x +) = + x + +) 3 + x = 3 [ + ) + ] + ) 3 + ) x + 3 Podľa limitej verzie podielového kritéria rad v zadaí príkladu koverguje absolúte, ak x x <, resp diverguje, ak > Priebeže teda vieme, že pre x, ) uvedeý rad koverguje absolúte a pre x, ), ) diverguje Použité kritérium ám však edalo odpoveď a otázku, čo sa deje, keď x =, tj, keď x = alebo x = Takáto situácia je typická a je spôsobeá e-uiverzálosťou používaých kritérií, ako sme to spomeuli v x

22 úvode Prípady x = ± budeme musieť preskúmať osobite, a síce priamym dosadeím do radu v zadaí Pre x = dostaeme rad = + 3 = = + 3 Skúseé oko iheď zbadá, že teto rad sa pre veľké správa ako harmoický rad pre skutoče obrovské možo v kľude privrieť obe oči ad mrňavou jedotkou v čitateli ;)), a teda je divergetý V prípade x = máme alterujúci rad = + 3 ) = = ) + 3, o ktorom by áš juák Leibiz pohotovo vyhlásil, že koverguje, a to eabsolúte samy overte, apríklad i pomocou Príkladu 7 ;)) Môžeme teda uzavrieť, že rad v zadaí príkladu koverguje pre x [, ) a diverguje pre x, ) [, ) Naviac, pre x, ) sa jedá o absolútu kovergeciu, kým v bode x = rad koverguje eabsolúte Príklad 3 Dirichletovo kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu = v závislosti a reálom parametri x si x Riešeie: Toto je typický príklad a ilustráciu použitia Dirichletovho kritéria Samy sa presvedčte, že dosiaľ používaé kritéria porovávacie, podielové, odmociové, Raabeho, itegrále) ie sú v tomto prípade použiteľé :-/ Nech x R je zafixovaé reále číslo V súlade s Dirichletovym kritériom a so zadaím príkladu položme a := si x, b :=, N

23 Postuposť {b } je zrejme mootóa a lim b = 0 Potrebujeme ešte ukázať, že koečý súčet s = a k = k= si kx = si x + si x + si 3x + + si x k= sa dá ohraičiť ezávisle a idexe tj, iba v závislosti a x) Pokúsime sa preto staoviť jeho hodotu pre kokréte a pre daé x) Budeme potrebovať klasickú goiometrickú idetitu ) ) α + β α β cos α cos β = si si, 7) platiacu pre každé α, β R jej dôkaz ie je ťažký; stačí si rozsíusovať výrazy a pravej stray a vykoať vhodé úpravy :)) Uvažujme ajprv prípad, keď číslo x ie je celočíselý ásobok π, tj, x lπ pre každé l Z Hodotu s vyásobíme výrazom si x všimime si, že za uvedeých predpokladov je si x 0, teda táto úprava je ekvivaletá) s si x = si x si kx = k= si x k= si kx Súčiy si x si kx, k {,, }, rozpíšeme pomocou idetity 7) s voľbou α := k + ) x, β := k ) x Postupe dostaeme Po dosadeí máme si x si kx = = s si x = [ cos k + ) x cos k ) ] x [ cos k ) x cos k + ) ] x k= [ cos k ) x cos k + ) ] x 3

24 Posledá suma je tzv teleskopická, tj, všetky vútoré čley sa vzájome odčítajú a ostae ám le prvý a posledý kosíus + cos s si x = [ cos x cos 3x + cos 3x cos 5x + cos 5x )x cos + )x ] = [ cos x ] + )x cos Na posledý výraz aplikujeme idetitu 7) s α := x/ a β := + )x/), pričom dostaeme po úpravách) s si x x = si + ) +)x x si ) +)x ) ) ) + )x x + )x = si si = si si Z posledej rovosti už vyplýva koečý výraz pre s ) si +)x si ) x s = si x x ) V prípade, ak x = lπ pre ejaké l Z, potom si kx = si klπ = 0 pre každé k {,, } prečo? :)), a teda s = 0 Pre súčet s teda platí fiály výsledok ) si +)x si ) x s = si kx = si x, x lπ, l Z k= 0, x = lπ, Pomocou tohto výsledku môžeme teraz odvodiť vhodé ohraičeie pre súčty s Kokréte, v prípade x lπ pre každé N dostávame si s = ) +)x si x si x ) = toto je {}}{ toto je ) { + )x }}{ si x ) si si x 4 si x }{{} ezávisí a

25 Prípad x = lπ je triviály samy si zdôvodite :)) Ukázali sme teda, že pre daé x R sú spleé všetky podmieky Dirichletovho kritéria Preto rad v zadaí príkladu koverguje ie však ute absolúte) pre každé reále x Príklad 4 Abelovo kritérium) Vyšetrime kovergeciu radu = si Riešeie: Už a prvý pohľad je vidieť, že i v tomto prípade so základými kritériami epochodíme :-/ Položme a := si, b :=, N Podľa výsledku z predchádzajúceho príkladu s voľbou x =, rad a = si koverguje Ďalej lim b = lim = samy overte :)), teda postuposť {b } je ohraičeá prečo? :)) Ostáva overiť mootóosť postuposti {b } Ukážeme, že pre idexy 3 je klesajúca V Matematickej aalýze I sa pri defiícii Eulerovho čísla e dokazuje, že pre každé N platí + ) < 3 Potom pre každé prirodzeé 3 máme erovosť + ) < samy si dobre premyslite :)) Po vhodých úpravách postupe dostaeme + ) <, + ) < /, + ) < + / ), ) +, 5

26 + ) + < = + + <, 3 Posledá erovosť zameá, že postuposť {b } je od idexu 3 klesajúca Rad v zadaí príkladu teda spĺňa všetky požiadavky Abelovho kritéria, a preto je kovergetý ie však ute absolúte) Nakoiec sa ešte struče zmieime o iečom, čomu sa hovorí sila kritéria kovergecie Teto pojem úzko súvisí so skutočosťou, že každé kritérium kovergecie samozrejme, okrem oslavovaého Cauchyho-Bolzaovho :)) má svoje slabiy, ktoré sa skôr či eskôr predsa le prejavia Prejavia sa v tom zmysle, že jedého pekého dňa sa objaví taký ekoečý a ekoeče diabolský rad, a ktorom si daé kritérium, dovtedy pyšé a eporaziteľé, vyláme všetky svoje zuby :/ Nuž a zhruba povedaé sila kritéria spočíva v tom, koľko takýchto pekelíkov dokáže okabátiť :) Hovoríme, že kritérium K je silejšie ež kritérium K, ak každý rad, ktorý zdoláme rozumej, o kovergecii/divergecii ktorého vieme rozhodúť) pomocou kritéria K, zdoláme i pomocou kritéria K dobre si to premyslite :)) Prakticky to ilustrujeme a kokrétych príkladoch Je záme, že Cauchyho odmociové kritérium je silejšie ako D Alembertovo podielové kritérium V Príklade 6 sme kovergeciu radu ukázali pomocou podielového kritéria Ak a teto rad aplikujeme odmociové kritérium, dostaeme φ) a = 6 = [φ)]/ = 6 / 6, 6 / 6, páre, epáre Keďže platí lim / = = lim 6 /, existujú i limity z príslušých vybraých postupostí, pričom lim páre / = = lim 6 / epáre dôklade si to premyslite :)) To ale zameá, že existuje i lim a a má hodotu [φ)] / lim a = lim = < 6 6 i toto si dobre premyslite :)) Teda o kovergecii daého radu vieme rozhodúť i podľa odmociového kritéria samozrejme s odpoveďou, že koverguje 6

27 :)) Zoberme si teraz rad z Príkladu 9 O ňom sme pomocou odmociového kritéria ukázali, že koverguje Pokúsme sa teraz a teto rad použiť podielové kritérium Máme samy overte :)) Z toho vyplýva, že a + a = lim sup a + a 3 ), páre, 3 3), epáre =, lim if a + a = 0, a + a > pre každé páre, a + < pre každé epáre a samy sa presvedčte :)) Vidíme teda, že emôžeme použiť ai elimité po- a dielové kritérium, a ai limité podielové kritérium limita lim + a eexistuje, prečo? :)) Chudák D Alembert je a teto rad jedoducho prikrátky, evie rozhodúť, či daý rad koverguje alebo diverguje : Vo všeobecosti sa skutočosť, že Cauchyho odmociové kritérium je silejšie ako D Alembertovo podielové kritérium, dá dokázať a základe erovostí lim if a + a lim if a lim sup a lim sup a + a ktoré platia pre každú eulovú postuposť {a } = pokúste sa premyslieť si, ako :)) Väčší silák ež D Alembert je i Raabe Dokoca je iekedy i silejší ako veľký Cauchy Zoberme si apríklad celkom eviý rad z Príkladu Kým D Alembert i Cauchy ho budú le tak rozpačito požužlávať samy sa o tom presvedčte ;)), veľký kápo Raabe ho zhlte ako jedohubku, ako sme toho boli svedkami :) Avšak karta sa môže i obrátiť Z duelu v Príklade 0 vyjde z ašich troch mušketierov víťaze jedie Cauchy, Raabe a D Alembert odídu s dlhými osmi :) Skutoče, pre teto rad totiž máme samy overte :)) a + a = = ) +, páre, 8, epáre Z toho potom dostávame rovako overte samy :)) lim sup a + a =, lim if a + a = 8, teda lim 7 a + a, eexistuje

28 a + a < pre každé páre, a + a > pre každé epáre Nemôžeme preto použiť žiadu z verzií D Alembertovho kritéria Ďalej ) ) lim sup a + a =, lim if a + a =, ) a teda lim a + a eexistuje a + a a + a Zlyháva teda i Raabeho kritérium ) > pre každé páre, ) < pre každé epáre Neriešeé príklady Pomocou vhodého kritéria vyšetrite kovergeciu daých radov a) = + + b) = arctg c) = + d) = si π 3 e) = g)!) = )! f) = h) ) = arctg i) =! + [l+)] + j) = m) = l k) = ) = + + ) l 3 l) ) = 3+ o) = /π p) = ) q) = si + ) π r) = ) + l+) 8

29 Zistite, ktoré rady kovergujú absolúte/eabsolúte a) si = b) ) 6 = ) 4 c) = ) ) ) ) e) = ) tg d) = ) l f) = ) l 3 Vyšetrite kovergeciu radov v závislosti a reálom parametri x a) = e x b) = l x c) = x e x 4 Pomocou itegráleho kritéria preskúmajte kovergeciu tzv zovšeobeceého harmoického radu p = v závislosti a reálom expoete p 5 Dokážte divergeciu radu v Príklade 3 využitím odhadu! e /e), platiacom pre každé N, a výsledku z predchádzajúcej úlohy 6 Pomocou Raabeho kritéria vyšetrite kovergeciu radu ) 3 5 ) 4 6 ) = Zároveň ukážte, že D Alembert je a teto rad prikrátky :) 7 Presvedčte sa, že s harmoickým radom si podielový D Alembert ai odmociový Cauchy evedia rady Zároveň ukážte, že ho apoko zmáke Raabe, ale bude to tak adoraz :) 8 Vyšetreím vhodých číselých radov dokážte daé rovosti a) lim!) = 0 b) lim 9 4)! = 0

30 9 Pomocou Dirichletovho kritéria ukážte, že alterujúci rad ) = koverguje v zhode s výsledkom Príkladu 9) 0* Okrem odmociového a itegráleho kritéria pochádza od Cauchy i ďalšie zaujímavé kritérium kovergecie radov V aglicky písaej literatúre sa ozačuje ako Cauchy codesatio test a hovorí toto Nech {a } = je ezáporá a erastúca postuposť reálych čísiel Potom rad a koverguje práve vtedy, keď koverguje rad = a =0 symbol a ozačuje čle uvažovaej postuposti s idexom ) Naviac, v prípade kovergecie oboch radov platia pre ich súčty s := a, S := = a erovosti S/ s S Pomocou tohto kritéria vyšetrite kovergeciu zovšeobeceého harmoického radu z úlohy 4 v závislosti a expoete p V prípade kovergecie radu odhadite aj jeho súčet * Nech {s } = je postuposť čiastočých súčtov harmoického radu Pomocou pozatku, že existuje vlastá limita =0 lim s l ) pozri do úvodých statí), dokážte divergeciu harmoického radu Výzva pre odvážlivcov: Pokúste sa dokázať existeciu uvedeej limity :) Nebojte sa do toho pustiť :) S tým, čo doteraz z matematiky viete, si bohate vystačíte Pozore si prečítajte pokec v úvode k tomuto problému, je v ňom skrytý ávod, ako a to ;)) * Nech {p } = je postuposť všetkých prvočísiel, tj, p =, p = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 =, O tejto postuposti platí výsledok slávej tzv prvočíselej vety, ktorý predpovedal už 5-ročý budúci pric matematiky C F Gauss a ktorý 30

31 takmer o sto rokov eskôr ezávisle a sebe dokázali matematici J Hadamard a Ch J de la Valleé-Poussi :) Kokréte, platí lim p l = Pomocou tohto pozatku dokážte divergeciu ekoečého radu = = p Teto rad má moho zaujímavých vlastostí Napríklad výzamá Mertesova veta presejšie, druhá Mertesova veta) hovorí, že limita ) M := lim l l p k k= existuje a je koečá :) Reále číslo M sa azýva Meisselova Mertesova koštata a má približú hodotu M Premyslite si, že i teto výsledok ukazuje divergeciu daého radu 3* Pomocou vhodého kritéria rozhodite o kovergecii radu cos = 4* Dokážte, že asledujúce tvrdeie je dôsledkom Abelovho kritéria Ak rad a koverguje, potom i rad a koverguje Išpirujte sa výsledkom a postupom v Príklade 4 ;) 5** Vyšetrite kovergeciu radu = + ) + 3