Príklady na precvičovanie komplexné čísla, postupnosti a funkcie
|
|
- Σαβαώθ Αγγελοπούλου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Príklady a precvičovaie komplexé čísla, postuposti a fukcie Príklad 1 Vypočítajte: Riešeé príklady a) 1 + i 1 i 1 i 1 + i, b) 1 + i)6, c) 1 + i Riešeie: a) Elemetárym vypočtom dostaeme 1 + i 1 i 1 i 1 + i 1 + i 1 i 1 + i 1 + i 1 i 1 + i 1 i 1 i b) Podobe máme 1 + i) 1 i) i 1 + i) 6 [ 1 + i) ] [i] 8i c) Ozačme x + i y 1 + i, kde x, y su ezáme reále čísla Potom 1 + i x + iy) x y + xyi Posledá rovosť je ekvivaletá so sústavou 1 x y, xy Ďalej môžeme postupovať dvomi vzájome rovoceými spôsobmi Jeda možosť je priamo vypočítať ezáme x, y z uvedeej sústavy Platí y /x) a po dosadeí do prvej rovice a mešej úprave dostaeme pre x bikvadratickú rovicu 4x 4 4x 0 Druhý spôsob spočíva v obohateí uvedeej sústavy o ešte jedu rovicu Platí apríklad toto 1 + i x + iy) x + iy x + y 1
2 Máme teda k dispozícii tri rovice pre ezáme x, y, a to x + y, 1 x y, xy Z prvých dvoch okamžite dostaeme x / a y 1/, kým posledá rovosť azačuje, že obe ezáme majú rovaké zamieko Preto [x, y] [ /, 1/ ] alebo [x, y] [ /, 1/ ] Teda 1 + i + i, i Príklad Nájdite všetky hodoty daých odmocí a zapíšte ich v algebraickom tvare a) 1, b) 6 1, c) 1 + i, d) 6 79 Riešeie: Pripomeňme, že ak > 1 je pevé prirodzeé číslo, potom pre každé z C existuje -tá odmocia z a adobúda práve rôzych hodôt, kokréte ) φ + kπ φ + kπ z z [ cos + i si )], k 0, 1,, 1, kde φ ozačuje hlavý argumet argz komplexého čísla z a) Komplexé číslo 1 prepíšeme do goiometrického tvaru Nakoľko 1 1 a arg 1 0, platí 1 1 cos 0 + i si 0) Možia všetkých tretích odmocí z 1 má potom tvar 1 cos kπ kπ + i si, k 0, 1, Postupým výpočtom pre jedotlivé hodoty k dostaeme 1 {1, 1 } ± i
3 b) Aalogicky ako v predchádzajúcom prípade pre možiu všetkých šiestych odmocí z 1 platí 6 1 cos kπ 6 + i si kπ 6 cos kπ + i si kπ Pre jedotlivé hodoty k postupe dostávame k 0 cos 0 + i si 0 1,, k 0, 1,,, 4, 5 k 1 cos π + i si π 1 + i, k cos π + i si π 1 + i, k cos π + i si π 1, k 4 cos 4π + i si 4π cos π i si π 1 i, Teda k 5 cos 5π + i si 5π cos π i si π 1 i { ) )} ±1, ± + i 1, ± i c) Ukážeme dva spôsoby riešeia tohto príkladu Riešeie 1: Je avlas podobé predchádzajúcim dvom prípadom Na oživeie číslo 1 + i teraz prepíšeme do expoeciáleho tvaru 1 + i a arg 1 + i) π/4) Potom platí 1 + i e i π i e i π/4+kπ 6 e i π kπ +i 1, k 0, 1,
4 Pozameajme, že symbol 6 v posledom výraze ozačuje ašu starú dobrú a bezpečú reálu šiestu odmociu z Voľbou parametra k dostaeme k 0 6 e i π 1, k 1 6 e i π 1 +i π 6 e i π 4, k 6 e i π 1 +i 4π 6 e i 17π 6 7π 1 i e 1 V posledej rovosti sme využili skutočosť, že e i 17π 1 e i 7π 1 +π ) e i 7π 1 e πi }{{} 7π i e 1 cos π+i si π1 Platí teda i { e i π 6 1, e i π 6 7π 4, i e 1 } Malá potiaž je v tom, že príslušé tretie odmociy máme vyjadreé v expoeciálom tvare, kým podľa zadaia máme ájsť ich alegebraické vyjadreie Podľa Eulerovho vzorca e iφ cos φ + i si φ, φ R, bude teda uté explicite určiť hodoty kosíusu a síusu v uhloch π/1, π/4 a 7π/1 :-// Pomôžu ám však goiometrické vzorce pre polovičý uhol, akoľko apr π/1 π/6)/ :)) Navyše uhol π/4 určite ebude robiť problémy Tak s chuťou do toho: cos π cos π/6 1 + cos π }{{ 1} + 6 toto je kladé 1 + +, si π si π/6 1 cos π }{{ 1} + 6 toto je kladé 1, 4
5 cos si ) 7π 1 cos 7π cos 7π/6 }{{ 1} toto je záporé, prečo? :) 1 + cos 7π cos ) π + π 6 1 cos π 6, ) 7π 1 si 7π si 7π/6 }{{ 1} toto je kladé, prečo? :) 1 cos ) π + π cos π 6 +, 1 cos 7π 6 cos π 4 1, si π 4 1 Takže ájdeé tretie odmociy z čísla 1 + i možo zapísať v tvaroch 6 ) e i π i 6 + i 6, 6 e i π i ) 1 + i, 6 ) e i 7π i 6 i 6 Riešeie : Druhý spôsob je podobý prvému, až do chvíle, keď sme úteí prevádzať vyššie uvedeé echuté výpočty Je založeý a aoko eviom pozorovaí 1 + i 1 + i) i 1 Výbore, túto rovosť vykrátime výrazom 1 + i a dostaeme 1 1?!?! Letmý pohľad a výsledok prípadu a) vyššie iheď ukazuje, že iečo 5
6 ie je v poriadku Ako to teda je? :) Háčik je v tom, že symbol 1 + i epredstavuje jedu hodotu, ale možiu troch hodôt Podobe i výraz 1 v komplexom poímaí) Takže ešte raz a teraz už správe } 1 {{ + } i } 1 + {{ i 1 } možia všetkých tretích odmocí z 1+i možia všetkých súčiov prvkov z 1+i a 1 Naviac, obidve možiy 1 + i a 1 majú po tri prvky To zameá, že v súlade s výsledkom prípadu a) pre akúkoľvek peve zvoleú hodotu ε 1 + i platí 1 + i { ε 1, ε 1 + i ), ε 1 i Za ε môžeme vziať apríklad hodotu 6 e i π 4, ktorú vieme pomere ľahko vyčísliť ε 1 + i Podľa práve získaého vyjadreia pre 1 + i potom po úpravách) dostaeme 1 + i { 1 + i } , i, + i Pozámka k c): V prvom spôsobe riešeia sme využívali prevaže hrubú silu, kým druhé riešeie je založeé a istom fígli Obidva prístupy majú svoje kladé stráky, už le tým, že poskytujú dva uhly pohľadu a jedu vec Nadôvažok, z dvojakého vyjadreia tretích odmocí z 1 + i ako bous vyplývajú zaujímavé číselé idetity, ktorých overeie je síce triviála záležitosť, ale ich objaveie ie je celkom jedoduché Kokréte, platí a 1 Samy odvoďte porovaím výsledkov v prvom a druhom spôsobe riešeia a potom overte i priamym výpočtom) d) Namiesto priameho útoku využijeme opäť úskok Kedysi si iekto všimol, že 6 79 My však potrebujeme číslo, ktoré po umoceí a šiestu dá míus 79 S číslom epochodíme Čo tak i? Platí i) 6 6 i ) 79 6 )}
7 To je oo! :) Takže i je jeda z hodôt 6 79 Ale my ich chceme mať šesť : Napríklad aj i ám vyhovuje, ale stále je to málo Pomôžeme si príkladom b) otázku, prečo by ás malo apadúť práve toto, ebudeme teraz riešiť :)) Nech ε je ejaká šiesta odmocia z 1, tj, ε 6 1 Potom i ε) 6 i) 6 ε Takto to teda je :) A keďže šiestych odmocí z 1 je práve šesť, platí { 6 79 i ε, ε 6 } 1 Využijúc výsledok z prípadu b) dostaeme { [ )] [ )]} i ±1), i ± + i 1, i ± i { ±i, ± + i ), ± )} + i Samozrejme, te istý výsledok by sme dostali i postupom aplikovaým v prípadoch a), b) Príklad Nech ω je ejaké riešeie rovice x 1, pričom ω 1 Bez zalosti explicitej hodoty ω vyjadrite čísla v tvare a + b ω, kde a, b R ω, ω, ω ω, ω ω, Riešeie: Rozkladom x 1 x 1)x + x + 1) zistíme, že komplexé) číslo ω jedak spĺňa ω 1, a jedak je riešeím kvadratickej rovice ω +ω+1 0 Vhodým bavkaím sa s týmito pozatkami postupe dostávame ω 1 1 } 1 + {{ ω } ω ω ω 0 + 1) ω, }{{} ω teto meovateľ je ω teto meovateľ je 1 7
8 1 1 + ω 1 1 } 1 + {{ ω } ω teto meovateľ je ω ω ω ω 1 + ω, ω ω ω 1) 1 } 1 + {{ ω } teto zlomok je ω ω ω ω 1) ω }{{} teto zlomok je 1+ω ω 1) ω ω 4 }{{} toto je ω ω 1) ω) ω }{{} +ω 1 + ω, toto je 1+ω ω 1) 1 + ω) ω 1) 1 + ω) }{{} toto je ω + }{{} ω ω 1 ω 1 ω toto je 1 ω Príklad 4 Staovte hodotu súčtu 1 + cos x + cos 4x + + cos x, x R, N 0 Riešeie: Pri tejto klasickej úlohe aplikujeme Eulerov vzorec a Moivreovu vetu Kokréte, pre každé x R a k Z platí cos x + i si x e ix, cos x + i si x) k cos kx + i si kx Kombiáciou týchto pozatkov dostaeme vyjadreia overte samy) cos kx eikx + e ikx, si kx eikx e ikx i Nech x R a N 0 sú daé Pre súčet v zadaí príkladu potom máme 1 + cos x + cos 4x + + cos x cos mx m0 ) e imx + e imx m0 8
9 Ak x lπ pre ejaké celé číslo l, potom cos mx cos mlπ cos 0 1 pre každé m 0,, V tomto prípade je teda hľadaý súčet + 1 Predpokladajme, ech x lπ, l Z Platí cos mx m0 ) e imx + e imx 1 m0 m0 e ix ) m + 1 ) e ix m Posledé dve sumy predstavujú súčty koečých geometrických postupostí s kvocietami e ix a e ix Platí m0 e ix ) m 1 e ix+1) 1 e ix Získaý súčet teraz vhode upravíme, resp budeme sa sažiť ho vyjadriť pomocou reálych výrazov obsahujúcich síusy a kosíusy Postupe dostávame 1 e ix+1) eix+1) e ix+1) e ix+1)) 1 e ix e ix e ix e ix ) m0 eix+1) i si + 1)x e ix i si x e ix si + 1)x si x V prvom kroku sme z čitateľa i meovateľa zlomku vyímali pred zátvorku, kým v druhom kroku sme aplikovali vyjadreie fukcie síus odvodeé v úvode príkladu Platí teda ) e ix m e ix m0 si + 1)x si x Aalogickým spôsobom dostaeme pre druhú sumu vyjadreie overte; apríklad aj tak, že v práve odvodeom výraze zameíte x za x ;)) ) e ix m e ix m0 si + 1)x si x Pre súčet v zadaí príkladu potom dostaeme formulu cos mx 1 m0 [ e ix si + 1)x + e ix si x 9 ] si + 1)x si x
10 eix + e ix Zistili sme teda, že platí cos mx m0 si + 1)x si x cos x si + 1)x si x cos x si + 1)x, x lπ, si x + 1, x lπ, l Z Príklad 5 Pre x R vyjadrite si 5x, cos 5x, tg 5x a cotg 5x pomocou mocí si x, cos x, tg x a cotg x Riešeie: Existujú miimále dve cesty, ako postupovať pri tomto príklade V prvej z ich budeme priamo postupe roz-síusovávať, resp roz-kosíusovávať, resp roz-tagesovávať, resp roz-kotagesovávať výrazy si 5x, cos 5x, tg 5x a cotg 5x Síce sa ám tým výraze zlepšia aše mauále počtárske zručosti, ale výdate si tým aj odskáčeme všetku tú špiavú prácu, ktorú matematika so sebou priáša :) Pozor, je to skutoče le pre silé a otrlé žalúdky! My si teraz zvolíme ťahať za trochu ľahší koiec :) Starý Abraham de Moivre a eskôr ešte lepšie ako iak i Leohard Euler) si jedého dňa všimol takúto roztomilú vec cos x + i si x) 5 cos 5x + i si 5x, x R Rovako ako teraz ašich čitateľov i jeho apadlo, že by ebolo od veci rozásobiť ľavú strau spôsobom, ako to robieval Isaac Newto Chalaiská sa totiž veľmi kamošili, už ejedu kovergetú i divergetú párty zažili, takže Abraham dôvere pozal Isaacovu ako sa des hovorí biomickú vetu Skrátka, po koečých úpravách dostal toto cos x + i si x) 5 cos 5 x 10 cos x si x + 5 cos x si 4 x +i5 cos 4 x si x 10 cos x si x + si 5 x) Nuž ale, objaviteľsky vykríkol Moivre, potom musí predsa platiť, že cos 5x cos 5 x 10 cos x si x + 5 cos x si 4 x, 10
11 si 5x 5 cos 4 x si x 10 cos x si x + si 5 x Ľaľa ho, vzrušee si pomädlil ruky Moivre, dve muchy jedou raou A keďže bol povaha dôkladá, zvedavá a hlave ebojáca, eprestal a plý posvätého apätia pokračoval ďalej tg 5x si 5x cos 5x 5 cos4 x si x 10 cos x si x + si 5 x cos 5 x 10 cos x si x + 5 cos x si 4 x cos5 x 5 tg x 10 tg x + tg 5 x) cos 5 x 1 10 tg x + 5 tg 4 x) 5 tg x 10 tg x + tg 5 x 1 10 tg x + 5 tg 4 x Abraham, dojatý ako storočý miliardár, kotemplujúci svoje skromé imaie, si uvedomil, že arazil a zlatý dol a bezostyše sa mu už zbiehali sliky a ďalšie sústo cotg 5x 1 tg 5x 1 10 tg x + 5 tg 4 x 5 tg x 10 tg x + tg 5 x tg5 x cotg 5 x 10 cotg x + 5 cotg x) tg 5 x 5 cotg 4 x 10 cotg x + 1) cotg5 x 10 cotg x + 5 cotg x 5 cotg 4 x 10 cotg x + 1 Príklad 6 Zapíšte a ačrtite v komplexej rovie uvedeé možiy bodov a) z 1 Rez, b) z 1 + z < Riešeie: Využijeme pozorovaie, že každé komplexé číslo z x + iy je možé reprezetovať ako bod [x, y] v euklidovskej) rovie a aopak) Potom v prípade a) máme z 1 Rez, 0 x 1) + iy x, 0 x 1) + y x, x 1) + y x, x y 0 y x 1 Jedá sa teda o možiu bodov vo vútri a a parabole y x 1 V prípade b) si môžeme pomôcť geometrickou iterpretáciou absolútej hodoty 11
12 Vieme, že pre z x + iy výraz z 1 vyjadruje euklidovskú) vzdialeosť bodu [x, y] od bodu [1, 0], resp výraz z vyjadruje euklidovskú) vzdialeosť bodu [x, y] od bodu [, 0] Máme teda ájsť možiu všetkých bdoch v rovie, ktorých súčet vzdialeostí od peve daých bodov [1, 0] a [, 0] je meší ako Takúto vlastosť má práve vútro elipsy s ohiskami v bodoch [1, 0] a [, 0] a s dĺžkou hlavej polosi / Overte, že elipsa s takýmito parametrami skutoče existuje a ájdite jej stred, dĺžku vedľajšej polosi a akoiec i jej aalytické vyjadreie :) Mal by ste dostať výsledok x ) 9/4 + y 5/4 < 1 Príklad 7 Vypočítajte itu postuposti ) i 1 + i Riešeie: V itovao výraze sa pokúsime oddeliť reálu a imagiáru časť Najschodejšie sa ukazuje previesť číslo 1 + i)/ a goiometrický tvar a áslede a jeho -tú mociu aplikovať Moivreho vzorec Platí 1 + i cos π 4 + i si π 4, Potom dostaeme i ) 1 + i i cos π 4 ) 1 + i cos π π + i si 4 4 π ) + i si 4 si π 4 + i π ) cos 4 Pre uvedeú postuposť existuje ita práve vtedy, keď existujú ity z jej reálej i imagiárej časti Avšak si π 4 0 cos π 4, 1
13 ako sa môžeme ľahko presvedčiť Preto i 1 + i ) 0 + i 0 0 Príklad 8 Dokážte 1 + i ) 8 1 Riešeie: Máme vlaste ukázať, že [ ) 1 + i i i )] 0 8 Toto je však ekvivaleté s tým, že ) 1 + i i ) 8 0 dobre si to premyslite :)) Túto itu z reálej postuposti teraz budeme vhode upravovať, pričom ukážeme, že skutoče je ulová Komplexé číslo 1 + i prepíšeme apríklad do expoeciáleho tvaru 1 + i e πi/ Dosadeím postupe dostaeme ) e πi/ ) eπi/ e πi/ eπi/ ) toto je 1 {}}{ e πi/ e 1)πi 1 }{{} toto je 1 1
14 ) ) 0 Príklad 9 Rozhodite o kovergecii ekoečého radu 1 e i π Riešeie: V -tom člee daého radu oddelíme jeho reálu a imagiáru časť 1 e i π cos π/) 1 + i ) si π/) Potrebujeme teda vyšetriť kovergeciu reálych radov Platí 1 cos π/), cos π/) 1 si π/) 1 1 si π/) cos π/) 1, si π/) 1 π Podľa itého porovávacieho kritéria pre reále rady) to zameá, že kosíusový rad sa pre veľké správa ako harmoický rad 1/), a teda diverguje, kým síusový rad sa pre veľké javí ako rad 1/ ), a teda koverguje Preto komplexý rad v zadaí príkladu diverguje Príklad 10 Nájdite súčet ekoečého radu i 0 + i! 14 )
15 Riešeie: Ituitíve cítime, že ak by sa ám pošťastilo určiť súčty radov 0 i, 0 i!, máme vyhraté Prvý z týchto radov je geometrický s kvocietom q i/, a akoľko q i i 1 < 1, je to kovergetý rad so súčtom 0 i i i + i) i 5 Druhý rad je dokoca reály, pretože i 1) Z teórie mociových radov vyplýva, že i! 1) e 1! 0 0 platí e x 0 x /!) pre každé reále x) Preto súčet pôvodého radu v zadaí existuje a spĺňa ) i + i! 0 0 i + 0 i! 4 + i e 1 e i 5 Príklad 11 Určte itu fukcie z i z + 1 z + iz z i Riešeie: Dosadeím z i dostaeme eurčitý výraz 0/0, ako sa možo ľahko presvedčiť Postupujeme preto štadarde ako pri reálych fukciách reálej premeej Platí apríklad z i z + 1 z + iz z i z i z + i)z i) z + i)z 1) z i 15 z i z 1 i
16 Príklad 1 Nájdite body espojitosti fukcie f daej predpisom fz) z Rez z a rozhodite, či sa jedá o odstráiteľé espojitosti Riešeie: Výraz z Rez/ z rozdelíme a jeho reálu a imagiáru časť Pre z x + iy je zrejme Rez x a z Rez z x + iy)x x + y x + iyx x + y x x + y + i xy x + y Reále fukcie ux, y) x x + y, vx, y) xy x + y sú zrejme spojité všade a R okrem bodu [0, 0], kde ai jeda z ich ie je defiovaá Preto fukcia f je spojitá a C \ {0}, a teda má jediý bod espojitosti z 0 Vypočítajme itu f v tomto bode fz) z 0 x,y) 0,0) x x + y + i Úloha sa ám redukuje a určeie reálych ít ) xy x + y x,y) 0,0) x x + y, x,y) 0,0) xy x + y Nasadiac klasický aparát difereciáleho počtu reálych fukcií dvoch reálych premeých apríklad prevod do polárych súradíc), dostaeme x,y) 0,0) x x + y 0 x,y) 0,0) xy x + y 16
17 To zameá, že platí z 0 fz) 0 Fukcia f má preto v bode z 0 odstráiteľú espojitosť, pričom fukcia g defiovaá priradeím z Rez, z 0, gz) z 0, z 0, je už spojitá v celej komplexej rovie Pozámka k Príkladu 1: V príklade sme ukázali, že fukcia f ie je defiovaá v bode z 0, a to je dôvod, prečo ie je v tomto bode spojitá Je potrebé si však uvedomiť, čo je príčiou toho, že f ie je defiovaá v 0 Hlavým dôvodom ie je to, že po dosadeí hodoty z 0 do predpisu fukcie f dostaeme ulu v meovateli Skutočou príčiou je fakt, že f0) je eurčitý výraz, kokréte typu 0/0 Túto divú alchýmiu si bližšie osvetlíme v asledujúcom príklade :) Príklad 1 Vyšetrite spojitosť fukcie ako priradeia kde C : C { } fz) z z + 1 a) f : C C, b) f : C C, Riešeie: a) Fukciu f chápeme ako priradeie z C do C, tj, do f môžeme apchať iba koečé hodoty argumetu z, pričom výsledok fz) musí byť zas le koečý takéto fukcie sa priliehavo azývajú koečé :) ) Z predpisu pre f iheď vido, že problém môžu robiť iba koečé) hodoty z ±i Platí fi) i i + 1 i 0, f i) i i) + 1 i 0, podľa defiičých vlastostí komplexého ekoeča Teda fi), f i) C, tj, hodoty fi), f i) ie sú koečé, a preto fukcia f ie je spojitá v bodoch ±i kokréte, ie je defiovaá v bodoch ±i) 17
18 b) Teraz síce vkladáme do f zas le koečé hodoty z, ale fz) môže byť aj ekoečé Takže ás ijako evzrušuje fakt, že f±i) Fukcia f je defiovaá v bodoch z ±i premyslite si, že okrem iého je to dôsledok faktu, že máme zavedeé le jedo komplexé ekoečo) To však, ako vieme, estačí a jej spojitosť Poďme sa pozrieť a ity f v bodoch ±i toto koverguje do i {}}{ z fz) z i z i z } {{ + 1 } toto koverguje do 0 fz) z i z i toto koverguje do i {}}{ z z + 1 }{{} toto koverguje do 0 i 0 fi), i 0 f i) Žiade prekvapeie Teda v tomto poímaí je f fukciou spojitou v celej komplexej rovie C Uvedeý výpočet ít sa môže zdať veľmi svojvoľý a tak trochu aj účelový, aby ám iečo peké vyšlo :) Pridáme teda korektejší výpočet Určíme itu absolútej hodoty f v bode z i Pozameajme, že f je reála fukcia komplexej premeej) Platí toto koverguje do 1 {}}{ z fz) z i z i z + 1 }{{} toto koverguje do 0 sprava , kde + je staré dobré reále plus ekoečo To zameá, že pre z i sa fukčé hodoty fz) eobmedzee vzďaľujú od začiatku súradicovej sústavy Teda skutoče fz), kde teraz začí jedié komplexé ekoečo Podobý záver platí aj pre itu z i fz) 18
3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie číselné rady a kritériá ich konvergencie a divergencie
Príklady a precvičovaie číselé rady a kritériá ich kovergecie a divergecie Ústredým problémom teórie reálych číselých radov je vyšetrovaie ich kovergecie, resp divergecie Ak {a } = je daá postuposť reálych
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραLimita postupnosti II.
JKPo09-T List Limita postuposti II. Mgr. Jaa Králiková U: Pojem ity by si už mal pozať. Teraz si zopakujeme a rozšírime aše pozatky. Ž: Ak máme daú postuposť {a } =, ktorej hodoty sa blížia k ejakému číslu
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCA
Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCA Vladislav Gajdošík Kozistecia a asymptotická reprezetácia odhadu LWS Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedúci diplomovej
Διαβάστε περισσότεραLimity okolo nás. T (konečná) = 0, U (konečná) = mgr, max. max
Obsh Obsh Úvod 6 Limit okolo ás 7 Limit fukcie Limit rcioálch fukcií Limit ircioálch fukcií 8 5 Limit goiometrických cklometrických fukcií 5 6 Limit epoeciálch logritmických fukcií 7 Limit hperbolických
Διαβάστε περισσότεραPolynómy, algebraické rovnice, korene a rozklad racionálnej funkcie. priesvitka 1
Polyómy, algebraické rovice, koree a rozklad racioálej fukcie priesvitka Polyómy Defiícia: Polyóm -tého stupňa premeej x (komplexej) je defiovaý vzťahom k P( x) = a0 + ax+ ax +... + ax = akx kde a0, a,...,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY TEÓRIA FOURIEROVÝCH RADOV
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY TEÓRIA FOURIEROVÝCH RADOV Bratislava Marti Varísky UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραKombinatorické identity Peter πtr Korcsok
Kobatorcké detty Peter πtr Korcsok ØÖ Øº Tátopredáškapredvádzazákladékobatorckéetódydokazovaa V prvej čast je každá techka struče popísaá a dopleá jedoduchý rešeý príklado, druhú časť poskytuje čtateľov
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότερα1 Koeficient kovariancie
Koreláciou rozumieme vzájomý lieáry vz tah závislos t) dvoch áhodých premeých X a Y 1. Teto vz tah môˇze by t priamy tj. s rastúcimi hodotami jedej premeej rastú hodoty druhej premeej a aopak alebo epriamy
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα6. Mocniny a odmocniny
6 Moci odoci Číslo zýve oceec (leo zákld oci), s zýv ociteľ (leo epoet) Číslo s zýv -tá oci čísl Moci s piodzeý epoeto pe ľuovoľé eále číslo pe kždé piodzeé číslo je v ožie eálch čísel defiová -tá oci
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραJKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková
JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραAlgebraické štruktúry I algebraické štruktúry, grupa, základné vlastnosti grupy, morfizmy
6. kapitola Algebraické štruktúry I algebraické štruktúry, grupa, základé vlastosti grupy, morfizmy 6. Biáre operácie Jede z častých prístupov v matematike je kombiovať elemety možiy, pričom sa požadujú
Διαβάστε περισσότεραAnalýza vlastností funkcií mierky a waveletov v ortogonálnom prípade. - funkcia mierky a wavelet spĺňajúca relácie zmeny rozlíšenia
Aalýza vlastostí fucií miery a waveletov v ortogoálom prípade Ozačeie: ϕ ( t), ψ ( t) - fucia miery a wavelet spĺňajúca relácie zmey rozlíšeia h ( ), g ( ) - zjedodušeé ozačeie oeficietov pre zmeu rozlíšeia
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραRegresná analýza x, x,..., x
Regresá aalýza Základé pojmy Regresá aalýza skúma fukčý vzťah (priebeh závislosti), podľa ktorého sa meí závisle premeá Y pri zmeách ezávislých veličí x, x,..., x k. x = ( x, x,..., x ) i i i i T Y = (Y,
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραKatedra informatiky Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave ÚVOD DO DISKRÉTNYCH ŠTRUKTÚR.
Katedra iformatiky Fakulty matematiky, fyziky a iformatiky Uiverzity Komeského v ratislave ÚVOD DO DISKRÉTNYCH ŠTRUKTÚR Eduard Toma RTISLV 008 OSH EDURD TOMN OSH PREDHOVOR 4 PREHĽD OZNČENÍ 5 ZÁKLDY MTEMTICKEJ
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY FOURIEROVE RADY - PRÍKLADY BAKALÁRSKA PRÁCA 2012 Marti TEFÁNIK UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραd) Rovnici < 0 nevyhovuje žiadne prirodzené íslo.
. A Výroky a operácie s výrokmi. Negácia kvatifikovaých a zložeých výrokov.. Rozhodite o pravdivosti: a) íslo je druhou mociou prirodzeého ísla. b) Eistuje aspo jedo páre prvoíslo. c) Riešeím rovice (
Διαβάστε περισσότεραSignály operácie (OPAKOVANIE) Základné operácie: +, -, *, /,,, urychlenie, spomalenie, posun signalov, otočenie signálov... Pokročilé operácie
Sigály operácie (OPKOVNIE) Základé operácie: +, -, *, /,,, urychleie, spomaleie, posu sigalov, oočeie sigálov... Pokročilé operácie Operácia Vysledok SN sigály DN sigály Skaláry Čislo súči ,, Korelácia,
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE. Matematici vo vetách a definíciách
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE Mrek Vrg Luci Záhumeská Mtemtici vo vetách defiíciách NITRA 008 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED KATEDRA MATEMATIKY Mrek Vrg Luci
Διαβάστε περισσότεραpriradí skalár ( αβ, ) C sa nazýva skalárny súčin vtedy a len vtedy, ak platia tieto 4 axiómy:,
2. predáška lieára algebra II 2. predáška Lieára algebra II skaláry súči, orma, metrika, ortogoálosť, ortoormálosť, ortogoály doplok, lieáre operátory, maticová reprezetácia, hodosť a defekt operátorov
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραp(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie
1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje
Διαβάστε περισσότεραUhol, pod ktorým sa lúč láme závisí len od relatívnych indexov lomu dvojice prostredí a od uhla dopadu podľa Snellovho zákona. n =
Lom svetla. Lom svetla hraolom, optickým kliom a plaparalelou doštičkou Záko lomu Na rozhraí dvoch prostredí sa svetelý lúč láme tak, aby prešiel dráhu z bodu A do bodu B za ajkratší možý čas. Teda v opticky
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch rotačného valca
Ma-Te-03-T List 1 Objem a povrch rotačného valca RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má valec prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný valec vznikne rotáciou, čiže otočením obdĺžnika
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραPríklady k Matematike 1
Príklady k Matematike 1 1. Definícia derivácie 1. Nájdite deriváciu y = + 1) 2 tak, že prejdete od k t = + 1. 2. Zistite z definície, čomu sa rovnajú derivácie funkcií y = 3, y = 1/ 2 a y =. Návod k tretej
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015
riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότερα22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte
Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότερα