1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Transcript

1 17 12 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΙ ΦΙΡΕΣΗ ΔΙΝΥΣΜΤΩΝ Πρόσθεση Διανυσμάτων Έστω δύο διανύσματα και Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα OA = α και στη συνέχεια με αρχή το παίρνουμε διάνυσμα AM = Το διάνυσμα OM λέεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων α και και συμολίζεται με α + Θα αποδείξουμε ότι το άθροισμα των διανυσμάτων α και είναι ανεξάρτητο της επιλοής του σημείου Ο Πράματι, αν O είναι ένα άλλο σημείο και πάρουμε τα διανύσματα O A = α και A M =, επειδή OA = O A = α και AM = A M =, έχουμε O O = AA και A A = MM Επομένως, O O = MM, M που συνεπάεται ότι και OM = O + Μ M + Ο O Το άθροισμα δύο διανυσμάτων ρίσκεται και με το λεόμενο κανόνα του παραλληλόραμμου Δηλαδή, αν με αρχή ένα σημείο Ο πάρουμε τα διανύσματα OA = α και OB =, τότε το άθροισμα α + ορίζεται από τη διαώνιο OΜ του παραλληλόραμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις O και Ο Ο + Μ

2 18 Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων Για την πρόσθεση των διανυσμάτων ισχύουν οι νωστές ιδιότητες της πρόσθεσης πραματικών αριθμών Δηλαδή, αν α,, είναι τρία διανύσματα, τότε: (1) + = + α (ντιμεταθετική ιδιότητα) (2) ( α+ ) + = α+ ( + ) (Προσεταιριστική ιδιότητα) (3) α + 0 = α (4) ( ) = 0 α+ α ΠΟΔΕΙΞΗ πό το προηούμενο σχήμα έχουμε: α + = OA+ AM = OM και Επομένως, α + = + α + α = OB+ BM = OM πό το διπλανό σχήμα έχουμε: ( α + ) + = ( OA+ AB) + BΓ = OB+ BΓ = OΓ και α + ( + ) = OA+ ( AB+ BΓ ) = OA+ AΓ = OΓ + + Επομένως, ( α + ) + = + ( + ) Ο + + Γ Οι ιδιότητες (3) και (4) είναι προφανείς Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να συμολίζουμε καθένα από τα ίσα αθροίσματα ( α + ) + και α + ( + ) με α + +, το οποίο θα λέμε άθροισμα των τριών διανυσμάτων α, και Το άθροισμα περισσότερων διανυσμάτων α α α 1, 2, 3,, α ν, ν 3 ορίζεται επαωικά ως εξής: α1 + α 2 + α 3+ + αν = ( α1 + α 2 + α 3+ + αν 1) + αν

3 19 Για παράδειμα, α α α α α α α = ( ) + α Δηλαδή, ια να προσθέσουμε ν διανύσματα α1, α 2, α 3,, αν, τα καθιστούμε διαδοχικά, οπότε το άθροισμά τους θα είναι το διάνυσμα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου και ως πέρας το πέρας του τελευταίου Επειδή μάλιστα ισχύουν η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, το άθροισμα δε μεταάλλεται αν αλλάξει η σειρά των προσθετέων ή αν μερικοί από αυτούς αντικατασταθούν με το άθροισμά τους φαίρεση Διανυσμάτων Η διαφορά α του διανύσματος από το διάνυσμα α άθροισμα των διανυσμάτων α και Δηλαδή α = α+ ( ) ορίζεται ως + Σύμφωνα με τα παραπάνω, αν έχουμε δύο διανύσματα α και, τότε υπάρχει μοναδικό διάνυσμα x, τέτοιο, ώστε + x = α Πράματι, + x = α ( ) + ( + x) = ( ) + α 0 + x = α + ( ) x = α

4 20 Διάνυσμα Θέσεως Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου Τότε ια κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσμα ΟΜ, το οποίο λέεται διάνυσμα θέσεως του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ Το σημείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου, λέεται σημείο αναφοράς στο χώρο ν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε ια οποιοδήποτε διάνυσμα + AB OB και επομένως OA = Δηλαδή: AB= OB OA O έχουμε Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής Μέτρο θροίσματος Διανυσμάτων Στο διπλανό σχήμα λέπουμε το άθροισμα των διανυσμάτων α και πό την τριωνική ανισότητα νωρίζουμε όμως ότι + ( OA ) ( AB) (OB) ( OA) + ( AB) και επομένως Ο α α + α + ΕΦΡΜΟΓΕΣ 1 Για τέσσερα σημεία, Γ, Δ, να αποδειχτεί ότι + ΔΓ = Δ + Γ

5 21 ΠΟΔΕΙΞΗ ν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε έχουμε: AB ΔΓ = OB OA+ OΓ OΔ + = OB OΔ+ OΓ OA= ΔB+ AΓ Δ 2 Να αποδειχτεί ότι α+ + α + + Γ ΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε α + + = ( α + )+ α + + α + + ΣΚΗΣΕΙΣ 1 Οι δυνάμεις F1, F2,, F5 ασκούνται στο σώμα Σ Ποια δύναμη χρειάζεται, ώστε να μην αφήσει το σώμα Σ να μετακινηθεί από τη θέση του; F 4 F 5 F 1 F 3 Σ F 2 2 Δίνονται τέσσερα σημεία,, Γ και Δ και έστω α,, και δ τα αντίστοιχα διανύσματα θέσεως ως προς ένα σημείο αναφοράς Ο Τι μπορείτε να πείτε ια το τετράπλευρο ΓΔ αν: (i) α+ = + δ (ii) α = δ (iii) α+ = + δ και α = δ 3 Να εκφράσετε το διάνυσμα x σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα ως συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται:

6 22 i) x ii) x iii) x ζ δ ε Ε 4 ν ια δύο τρίωνα Γ και ΔΕ ισχύει + Γ = Δ+, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΓΕ είναι παραλληλόραμμο 5 Δίνονται τέσσερα σημεία,,γ,δ και έστω Ο, το μέσο του τμήματος Γ Να ΔΓ αποδείξετε ότι Ο + ΟΔ = 6 Δίνεται κανονικό εξάωνο ΓΔΕΖ ν διάνυσμα ΓΔ ως συνάρτηση των α και = α και B Γ =, να εκφράσετε το 7 Για ένα τυχαίο εξάωνο P1 P2 P3 P4 P5 P6 να αποδείξετε ότι 1P3 + P2 P4 + P3 P5 + P4 P6 + P5 P1 + P6 P2 = 0 P