Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)"

Transcript

1

2 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

3 Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα A (αρχή) Παρατηρήσεις: Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής του διανύσματος, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας ή τέλος του διανύσματος Το διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β συμβολίζεται με και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινάει από το Α και καταλήγει στο Β Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα λέγεται μηδενικό διάνυσμα Έτσι, για παράδειγμα, το διάνυσμα είναι μηδενικό διάνυσμα Για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούμε πολλές φορές τα μικρά γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφάβητου επιγραμμισμένα με βέλος για παράδειγμα,,,, uv,, AB B Στοιχεία διανύσματος Μέτρο Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματος, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, λέγεται μέτρο ή μήκος του διανύσματος και συμβολίζεται με Αν το διάνυσμα έχει μέτρο 1, τότε λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα Κάθε μηδενικό διάνυσμα έχει μέτρο 0 A B ε Διεύθυνση Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα λέγεται φορέας του Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος μπορούμε να θεωρούμε οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το Α Αν ο φορέας ενός διανύσματος είναι παράλληλος ή συμπίπτει με μια ευθεία ζ, τότε λέμε ότι το είναι παράλληλο προς τη ζ και γράφουμε // AA Α

4 3 Δύο μη μηδενικά διανύσματα και, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα και έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουμε // Φορά Έστω δυο διανύσματα με την ίδια διεύθυνση (παράλληλα) Δύο μη μηδενικά διανύσματα και λέγονται ομόρροπα: α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή β) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα και έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε Δύο μη μηδενικά διανύσματα και λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα και έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε Α Δ Δ Δ Γ Α Α Β Α Α Γ Γ Δ Γ Δ Β Β Α Β Γ Γ Β Β Δ Ίσα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα και είναι ίσα, γράφουμε Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με 0 Παρατηρήσεις : Αν, τότε, και A Α Α B Β Γ Γ Β Δ Δ Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε και αντιστρόφως Γ Δ Α Μ Β

5 4 Αντίθετα Διανύσματα Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα και είναι αντίθετα, γράφουμε ή Είναι φανερό ότι Ειδικότερα, έχουμε A Α B Β Δ Δ Γ Γ Γωνία δύο Διανυσμάτων Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα και Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα και Ο θ Β Α Ο Β Α Β Ο Α Την κυρτή γωνία AOB, που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων και και τη συμβολίζουμε με (, ) ή (, ) ή ακόμα, αν δεν προκαλείται σύγχυση, με ένα μικρό γράμμα, για παράδειγμα θ Εύκολα αποδεικνύεται ότι η γωνία των και είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο Είναι φανερό 0 0 επίσης ότι ή σε ακτίνια 0 και ειδικότερα: 0, αν, αν Αν, τότε λέμε ότι τα διανύσματα και είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε Αν ένα από τα διανύσματα, είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε ως γωνία των και μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία με 0 Έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το μηδενικό διάνυσμα, 0, είναι ομόρροπο ή αντίρροπο ή ακόμη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα Ο Α Β

6 5 Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων Πρόσθεση Διανυσμάτων Έστω δύο διανύσματα και Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα και στη συνέχεια με αρχή το Α παίρνουμε διάνυσμα Το διάνυσμα λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων και και συμβολίζεται με Θα αποδείξουμε ότι το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου Ο Απόδειξη: Πράγματι, αν O είναι ένα άλλο σημείο και πάρουμε τα διανύσματα και, επειδή Ά και AM A M, έχουμε και Επομένως,, που συνεπάγεται ότι και Α β Μ Α β M Ο O Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται και με το λεγόμενο κανόνα του παραλληλόγραμμου Δηλαδή, αν με αρχή ένα σημείο Ο πάρουμε τα διανύσματα και, τότε το άθροισμα ορίζεται από τη διαγώνιο O του παραλληλόγραμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις O και Μ Ο Α Β Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων Για την πρόσθεση των διανυσμάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών Δηλαδή, αν,, είναι τρία διανύσματα, τότε:

7 6 (1) (Αντιμεταθετική ιδιότητα) () ( ) ( ) (Προσεταιριστική ιδιότητα) (3) 0 (Ουδέτερο στοιχείο) (4) ( ) 0 (Αντίθετο στοιχείο) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από το διπλανό σχήμα έχουμε: και Επομένως, Από το διπλανό σχήμα έχουμε: ( ) ( ) και ( ) ( ) Επομένως, ( ) ( ) Οι ιδιότητες (3) και (4) είναι προφανείς Μ Ο Α Ο Α Β Γ Παρατηρήσεις: Λόγω της προσεταιριστικής ιδιότητας έχουμε ( ) = ( ) =, το οποίο θα λέμε άθροισμα των τριών διανυσμάτων, και Το άθροισμα περισσότερων διανυσμάτων 1,, 3,,, 3 ορίζεται επαγωγικά ως εξής: ( ) Αφαίρεση Διανυσμάτων Η διαφορά του διανύσματος από το διάνυσμα ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων και Δηλαδή ( )

8 7 Σύμφωνα με τα παραπάνω, αν έχουμε δύο διανύσματα και, τότε υπάρχει μοναδικό διάνυσμα x, τέτοιο, ώστε x Απόδειξη: x ( ) ( x) ( ) 0 x ( ) x Διάνυσμα Θέσεως Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής Δηλαδή: Απόδειξη: Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου Τότε για κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσμα, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ Το σημείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των O διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου, λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα έχουμε και επομένως Α Β Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το άθροισμα των διανυσμάτων και Από την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουμε όμως ότι ( OA) ( AB) ( OB) ( OA) ( AB) και επομένως Ο Α Β Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα Έστω ένας πραγματικός αριθμός με 0 και ένα μη μηδενικό διάνυσμα Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το και το συμβολίζουμε με ή ένα διάνυσμα το οποίο: είναι ομόρροπο του, αν 0 και αντίρροπο του, αν 0 και έχει μέτρο

9 8 Αν είναι λ=0 ή 0, τότε ορίζουμε ως το μηδενικό διάνυσμα 0 Το γινόμενο 1 το συμβολίζουμε και με Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα Για το γινόμενο πραγματικού αριθμού με διάνυσμα ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: (1) ( ) () ( ) (3) ( ) ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ * (Η απόδειξη των παραπάνω ιδιοτήτων είναι εκτός ύλης) Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουμε: (i) 0 0 ή 0 (ii) ( ) ( ) ( ) (iii) ( - ) - (iv) ( ) (v) Αν και 0, τότε (vi) Αν και 0, τότε Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων και ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής v, όπου, Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσότερων διανυσμάτων Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων ΘΕΩΡΗΜΑ Αν, δύο διανύσματα, με 0, τότε //,

10 9 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Όπως είδαμε, αν δύο διανύσματα και, όπου 0, συνδέονται με τη σχέση, τότε τα διανύσματα αυτά είναι παράλληλα Ισχύει όμως και το αντίστροφο Δηλαδή, αν τα διανύσματα και είναι παράλληλα και 0, τότε υπάρχει μοναδικός αριθμός τέτοιος ώστε Πράγματι, αν θέσουμε, τότε Συνεπώς: Αν, τότε Αν, τότε Αν 0, τότε 0 Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει και μάλιστα μοναδικός (ιδιότητα iv), τέτοιος, ώστε Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος Ας πάρουμε ένα διάνυσμα AB και ένα σημείο αναφοράς Ο Για τη διανυσματική ακτίνα OM του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ έχουμε: OM OA AM και OM OB BM Επομένως, OM OA AM OB BM OA OB Άρα OA OB OM Συντεταγμένες στο επίπεδο Ο Α Μ Β Άξονας Πάνω σε μια ευθεία x x επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Ox Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το i και τον συμβολίζουμε με x x Η ημιευθεία Ox λέγεται θετικός ημιάξονας Ox, ενώ η Ox λέγεται αρνητικός ημιάξονας Ox x Ο Ι Μ(x) x Αν, τώρα, πάνω στον άξονα x x πάρουμε ένα σημείο Μ, επειδή OM // i, θα υπάρχει ακριβώς ένας πραγματικός αριθμός x τέτοιος ώστε

11 10 OM x Τον αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του Μ Αλλά και αντιστρόφως, από την ισότητα OM x προκύπτει ότι σε κάθε πραγματικό αριθμό x αντιστοιχεί μοναδικό σημείο Μ του άξονα x x με τετμημένη x Το σημείο αυτό συμβολίζεται με ( x) Καρτεσιανό Επίπεδο y Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες x x και yy με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα τα i και Μ j Λέμε τότε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή απλούστερα j ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ακόμα ένα x καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy Το Ο i σύστημα Oxy λέγεται ορθοκανονικό, γιατί είναι y ορθογώνιο και κανονικό Ορθογώνιο είναι, γιατί οι άξονες x x και yy είναι κάθετοι, και κανονικό, γιατί τα διανύσματα i και j είναι ισομήκη Πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy παίρνουμε ένα σημείο Μ Από το Μ φέρνουμε την παράλληλη στον yy, που τέμνει τον x x στο M 1, και την παράλληλη στον x x, που τέμνει τον yy στο M Αν x είναι η τετμημένη του M 1 ως προς τον άξονα x x και y η τετμημένη του M ως προς τον άξονα yy, τότε ο x λέγεται τετμημένη του Μ και ο y τεταγμένη του Μ Η τετμημένη και η τεταγμένη λέγονται συντεταγμένες του Μ Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων Αλλά και αντιστρόφως σε κάθε ζεύγος ( x, y ) πραγματικών αριθμών αντιστοιχεί μοναδικό σημείο του επιπέδου, το οποίο βρίσκεται ως εξής: Πάνω στον άξονα x x παίρνουμε το σημείο M ( ) 1 x και στον yy το σημείο M ( y ) Από τα M 1 και M φέρνουμε παράλληλες στους άξονες yy και x x αντιστοίχως, που τέμνονται στο Μ Το σημείο Μ είναι το ζητούμενο Ένα σημείο Μ με τετμημένη x και τεταγμένη y συμβολίζεται και με M ( xy, ) ή απλά με ( x, y ) Μ(x,y) Μ 1 x

12 11 Συντεταγμένες Διανύσματος Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ένα διάνυσμα του επιπέδου Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα OA Αν A 1 και A είναι οι προβολές του Α στους άξονες x x και yy αντιστοίχως, έχουμε: OA OA1OA (1) Αν x, y είναι οι συντεταγμένες του A, τότε ισχύει OA1 x και OA yj Επομένως η ισότητα (1) γράφεται xi yj y Α j Ο i A 1 A x Αποδείξαμε δηλαδή ότι το είναι γραμμικός συνδυασμός των i και j Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθμοί x και y είναι μοναδικοί Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή xi yj Απόδειξη: Πράγματι, έστω ότι ισχύει και xi yj Τότε θα έχουμε: xi yj xi yj ( x x ) i ( y y ) j y y Έστω ότι x x, δηλαδή ότι x x 0, τότε θα ισχύει: i j x x Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι i // j, που είναι άτοπο, αφού τα i και j δεν είναι συγγραμμικά Επομένως x x, που συνεπάγεται ότι και y y Παρατηρήσεις: Τα διανύσματα xi και yj λέγονται συνιστώσες του διανύσματος κατά τη διεύθυνση των i και j αντιστοίχως, Οι αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του στο σύστημα Oxy Ο x λέγεται τετμημένη του και ο y λέγεται τεταγμένη του Από τον τρόπο που ορίστηκαν οι συντεταγμένες ενός διανύσματος προκύπτει ότι: Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες Καθένα από τα ίσα διανύσματα με τετμημένη x και τεταγμένη y, θα το συμβολίζουμε με το διατεταγμένο ζεύγος ( x, y )

13 1 Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Αν ( x1, y1) και ( x, y), τότε έχουμε: ( x1 x, y1 y) και ( x1, y1) ή ισοδύναμα ( x, y ) ( x, y ) ( x x, y y ) ( x, y ) ( x, y ) Απόδειξη: ( x1i y1j) ( xi yj) ( x1 x) i ( y1 y) j ( x i y j) ( x ) i ( y ) j Παρατήρηση: Γενικότερα, για το γραμμικό συνδυασμό έχουμε: ( x, y ) ( x, y ) ( x x, y y ) Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος Αν ( x1, y1) και ( x, y) δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και Μ( x, y ) το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος x1 x y1 y ΑΒ ισχύει: x και y Απόδειξη: Επειδή OM ( x, y), OA ( x1, y1), OB ( x, y), έχουμε 1 OM ( OA OB ) ( x, y) [( x1, y1) ( x, y)] x x, y y x1 x y1 y Επομένως ισχύει x και y y Ο B(x,y ) Μ(x,y) A(x 1,y 1 ) x Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα Οι συντεταγμένες ( x, y ) του διανύσματος AB με άκρα τα σημεία A( x1, y 1) και ( x, y) δίνονται από τις σχέσεις : x x x1 και y y y1

14 13 Απόδειξη: Επειδή,, AB ( x, y), OA ( x1, y1), OB ( x, y), και ABOBOA ( x, y) ( x, y) ( x1, y1) ( x x1, y y1) Δηλαδή τετμημένη του AB τετμημένη του Β τετμημένη του Α τεταγμένη του AB τεταγμένη του Β τεταγμένη του Α y Ο A(x 1,y 1 ) B(x,y ) x Μέτρο Διανύσματος Αν ( x, y), τότε x y (1) Απόδειξη: Έστω OA, 1 και είναι οι προβολές του Α στους άξονες x x και yy αντιστοίχως, επειδή το σημείο Α έχει τετμημένη x και τεταγμένη y, θα ισχύει ( 1) x και ( ) y Έτσι θα έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y y Α Ο A 1 A(x,y) x Απόσταση σημείων Η απόσταση των σημείων ( x1, y1) και ( x, y) είναι ίση με ( ) ( x x ) ( y y ) 1 1 Απόδειξη: Επειδή η απόσταση ( ) των σημείων Α και Β είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος AB( x x1, y y1), σύμφωνα με y B(x,y ) τον τύπο (1) θα ισχύει: ( ) ( x x ) ( y y ) () 1 1 Ο A(x 1,y 1 ) x Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Έστω ( x1, y1) και ( x, y) δύο διανύσματα του καρτεσιανού 1 1 επιπέδου, τότε x y // 0 x y δηλ / / det(, ) 0 Απόδειξη: Αν τα διανύσματα και είναι παράλληλα, τότε x y x y

15 14 Αν τα διανύσματα είναι παράλληλα και υποθέσουμε ότι 0, τότε θα υπάρχει, τέτοιος, ώστε ( x 1, y 1 ) ( x, y ) x1 x x y xy 1 yx 1 xy yx x y y1 y x Αν 0, τότε θα ισχύει 1 y1 x1 y1 0 x y 0 0 x 1 1 Αντιστρόφως, αν 0, τότε τα διανύσματα και θα είναι x y y x1 y1 παράλληλα Πράγματι, επειδή 0 x y, έχουμε x1y xy1 Επομένως, x1 x1 Αν x 0, τότε y1 y, οπότε, αν θέσουμε, θα έχουμε x x x1 x και y1 y Άρα, και συνεπώς // Αν x 0, τότε xy 1 0, οπότε αν x1 0, τα διανύσματα και θα είναι παράλληλα προς τον άξονα των τεταγμένων, άρα και μεταξύ τους παράλληλα, ενώ, αν y 0, τότε το θα είναι το μηδενικό διάνυσμα και άρα, παράλληλο προς το Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Έστω ( x, y) ένα μη μηδενικό διάνυσμα και A το σημείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει OA Τη γωνία, που διαγράφει ο ημιάξονας Ox αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ, την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x x Είναι φανερό ότι 0 A(x,y) Για τη γωνία, όπως είναι γνωστό από την Τριγωνομετρία, αν το δεν y είναι παράλληλο προς τον άξονα yy, ισχύει Το πηλίκο y x x της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος ( x, y), με x 0, το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του και τον συμβολίζουμε με ή y απλώς με λ Επομένως: x Είναι φανερό ότι: y Ο φ x

16 15 Αν y 0, δηλαδή αν //xx, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι ο 0 Αν x 0, δηλαδή αν //yy, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Έστω δύο διανύσματα ( x1, y1) και ( x, y) με συντελεστές διεύθυνσης 1 και αντιστοίχως Τότε: // 1 Απόδειξη: // x y 0 xy xy y y x y x x Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με τον πραγματικό αριθμό, όπου η γωνία των διανυσμάτων και Αν 0 ή 0, τότε ορίζουμε 0 Άμεσες συνέπειες του παραπάνω ορισμού είναι οι εξής: (Αντιμεταθετική ιδιότητα) Αν 0 (, 0) Αν Αν ( το εσωτερικό γινόμενο ) Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επίπεδου ισχύουν: i j ji 0 και i j 1 Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους Δηλαδή: x x y y Απόδειξη: 1 1

17 16 Έστω τα διανύσματα ( x1, y1) και ( x, y) Με αρχή το Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA και OB Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε την ισότητα ( ) ( ) ( ) ( )( ), η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο,Α,Β είναι συνευθειακά Όμως είναι ( ) ( x x ) ( y y ), ( ) x y και 1 1 ( ) x y Επομένως, έχουμε διαδοχικά: ( x x ) ( y y ) x y x y ( )( ) x1 x x1x y1 y y1y x1 y1 x y ( )( ) και επειδή ( )( ), έχουμε τελικά: x x y y 1 1 Β(x,y ) y θ Ο Α(x 1,y 1 ) x Ιδιότητες: ( ) ( ), ( ) (Επιμεριστική Ιδιότητα) 1 1 όπου 1 και, (, yy ) Αποδείξεις: Πράγματι, αν ( x1, y1), ( x, y) και ( x3, y3), τότε έχουμε: ( ) ( x1, y1)( x, y) ( x1) x ( y1) y ( x1x y1y) ( ) και ( ) ( x1, y1)( x, y) x1( x) y1( y) ( x1x y1y) ( ) Άρα, ( ) ( ) ( ) ( ) ( x1, y1)( x x3, y y3) x1( x x3) y1( y y3) ( x1xx1x3) ( y1y y1y3) ( x1x y1y) ( x1x3 y1y3) y1 y 0 xx 1 yy 1 0 yy 1 xx 1 1 x1 x 1 1

18 17 Συνημίτονο Γωνίας δύο Διανυσμάτων Αν ( x1, y1) και ( x, y) είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε και επομένως, Είναι όμως x1x y1y, x1 y1 και x y xx 1 yy 1 Επομένως, x y x y 1 1 Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα Έστω, v δύο διανύσματα του επιπέδου με 0 Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA και OM Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύθυνση του OA και έστω M 1 το ίχνος της καθέτου Το διάνυσμα OM 1 λέγεται προβολή του v στο και συμβολίζεται με Δηλαδή, OM 1 Αποδεικνύεται ότι η προβολή του πάνω στο είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο Για το εσωτερικό γινόμενο των και έχουμε: v ( OM1M1M) OM1M1M OM1 Επομένως: Ο v θ M M 1 A

19 18

20 19 Μέρος Β Ασκήσεις (Τυπολόγιο, ασκήσεις, θέματα πανελλαδικών, θέματα ΟΕΦΕ )

21 0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Διανύσματα χωρίς συντεταγμένες: Πρόσθεση διαδοχικών διανυσμάτων : Πρόσθεση διανυσμάτων με κοινή αρχή (κανόνας παραλ/μου): Μέσο τμήματος : 1 ή ή 0 Διάνυσμα Θέσης : Διανυσματική ακτίνα μέσου τμήματος: Ιδιότητες Πρόσθεσης διανυσμάτων : (Αντιμεταθετική ιδιότητα) ( ) ( ) (Προσεταιριστική ιδιότητα) 0 (Ουδέτερο στοιχείο) ( ) 0 (αντίθετο στοιχείο)

22 1 Αφαίρεση Διανυσμάτων : ( ) Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα Για το γινόμενο πραγματικού αριθμού με διάνυσμα ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ή 0 ( ) ( ) ( ) ( - ) - ( ) Αν και 0, τότε + Αν και 0, τότε Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Αν, δύο διανύσματα, με 0, τότε //, ΣυντεταγμένεςΔιανύσματος j y Α(χ,y) xi yj ( x, y) χ= τετμημένη y= τεταγμένη Ο i χ Συντεταγμένες και πράξεις x, y x, y x x, y y x1, y1 x1, y1 x, y x, y x x, y y

23 Συντεταγμένες Μέσου τμήματος x y 1, 1 x x, y x x 1 y x y 1, y y 1 Συντεταγμένες Διανύσματος με γνωστά άκρα: x y 1, 1 x, y x x, y y 1 1 Μέτρο Διανύσματος x, y Αν x, y τότε ισχύει x y

24 3 Απόσταση δύο σημείων : x, y x x y y 1 1 1, 1 x y Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων: x1 y1 // 0 Αν x1, y1 και x, y : x y : // ( 0) Συντελεστής διεύθυνσης διανυσμάτων: x, y ˆ 0φπ, x, y Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων: ΟΡΙΣΜΟΣ: Αν 0 ή 0 τότε: 0 Αν 0 και 0 τότε:, όπου φ η γωνία των διανυσμάτων και (ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το εσωτερικό γινόμενο είναι αριθμός και όχι διάνυσμα!!!!!!!!!) συντελεστής διεύθυνσης : y ˆ x Αν y=0: // και λ=0 Αν χ=0: // y y και λ= δεν ορίζεται Αν x1, y1 και x, y τότε // 1

25 4 Προφανείς ιδιότητες: (αντιμεταθετική ιδιότητα) 0 i j j i 0 και i j 1 Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου: Αν x, y και x, y τότε : x1x y1y 1 1 Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου (με απόδειξη) (Επιμεριστική Ιδιότητα) 1 1, όπου 1 και με, //y y (ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!!!! Η μόνη ιδιότητα που δεν ισχύει γενικά στα διανύσματα είναι η προσεταιριστική ιδιότητα Συνημίτονο Γωνίας δύο Διανυσμάτων: όταν δεν έχουμε συντεταγμένες : xx 1 yy 1 όταν έχουμε συντεταγμένες : x1 y1 x y Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα: Μ Ο Μ1 Α

26 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Η έννοια του διανύσματος πρόσθεση και αφαίρεση 1) Οι δυνάμεις F1, F,, F5 ασκούνται στο σώμα Σ Ποια δύναμη χρειάζεται, ώστε να μην αφήσει το σώμα Σ να μετακινηθεί από τη θέση του; F 4 F 5 F 1 F 3 Σ F ) Δίνονται τέσσερα σημεία,, και και έστω,, και τα αντίστοιχα διανύσματα θέσεως ως προς ένα σημείο αναφοράς Ο Τι είδος είναι το τετράπλευρο αν: i) ii) iii) και 3) Να εκφράσετε το διάνυσμα x σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα ως συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται: i) x ii) x 4) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι ισχύει 0 5) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να αποδείξετε ότι ισχύει: i) 0 ii) 6) Έστω Μ τυχαίο σημείο του επιπέδου ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ Να δείξετε ότι: α) β) 0 7) Για τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ να αποδειχθεί ότι iii) x

27 6 8) Να αποδειχθεί ότι για έξι τυχαία σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ισχύει: 9) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Μ, Ν, και Ζ, τέτοια ώστε και Να αποδείξετε ότι και 10) Δίνονται τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ και έστω Ο, το μέσο του τμήματος ΑΓ Να αποδείξετε ότι 11) Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Με αρχή το Μ γράφουμε διανύσματα και Να αποδείξετε ότι το Α είναι μέσο του ΔΕ 1) Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε ισχύουν οι ισότητες και να αποδείξετε ότι το Δ είναι μέσο του ΓΕ 13) Σε τρίγωνο ΑΒΓ γράφουμε τα διανύσματα και Να αποδείξετε ότι το Γ είναι μέσο του ΔΕ 14) Αν ισχύει η σχέση, να αποδείξετε ότι το Λ είναι το μέσο του ΒΚ 15) Έστω Α, Β, Γ, Δ, Ε ισχύει η σχέση :, να αποδείξετε ότι τα Δ, Ε ταυτίζονται 16) Στο επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ Αν για το σημείο Ο ισχύει, να αποδείξετε ότι το σημείο Ο ταυτίζεται με το σημείο Α 17) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε σημείο του επιπέδου του ώστε να είναι Να αποδείξετε ότι 18) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές των Δ και Β αντίστοιχα στη διαγώνιο ΑΓ, να αποδειχθεί ότι τα διανύσματα και είναι αντίθετα 19) Αν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ ισχύει, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΔΓΕ είναι παραλληλόγραμμο 0) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ τυχαίο σημείο της ΑΓ Αν το σημείο Ε ορίζονται από τη σχέση, να δείξετε ότι το ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο 1) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, να σημειώσετε τα σημεία Δ, Ε, και Ζ για τα οποίο ισχύει, και, και να αποδείξετε ότι το ΔΖΕΓ είναι παραλληλόγραμμο

28 7 ) Πάνω στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε σημεία Μ και Ν αντίστοιχα και γράφουμε τα διανύσματα και Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΜΕΝ είναι παραλληλόγραμμο 3) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου αυτού τα παραλληλόγραμμα ΑΒΔΕ, ΑΛΚΓ και ΒΓΝΚ Να αποδείξετε ότι ισχύει 0 4) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ α) Να προσδιορίσετε στο επίπεδο του τριγώνου σημεία Κ, Λ και Μ τέτοια, ώστε να ισχύει:, και β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΜΛΓ είναι παραλληλόγραμμο 5) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και έστω ΒΕ και ΓΔ τα ύψη του Φέρνουμε τα διανύσματα και Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΗΖ είναι ισοσκελές 6) Δίνεται κανονικό εξάγωνο Αν και B, να εκφράσετε το διάνυσμα ως συνάρτηση των και 7) Για ένα τυχαίο εξάγωνο PPPPPP να αποδείξετε ότι PP PP PP PP PPPP ) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί σημείο Μ, τέτοιο ώστε 0 9) Να βρεθεί σημείο Μ του επιπέδου του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε : 30) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Να βρεθεί σημείο Ρ τέτοιο ώστε να ισχύει : Β Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα-παράλληλα διανύσματα 31) Αν είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα, να βρεθεί ένα μοναδιαίο διάνυσμα ομόρροπο και ένα αντίρροπο με το 3) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των πλευρών 1 ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι :

29 8 33) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Μ και θεωρούμε σημείο Ο ως αρχή Αν ισχύει η σχέση, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Μ είναι συνευθειακά και ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ 34) Να βρείτε το διάνυσμα x σε καθεμιά από τις περιπτώσεις: i) 1 ( ) 1 x ( x ) 3 ii) x 3( ) 4( ) 3x 35) Σε ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ θεωρούμε εσωτερικό σημείο Μ τέτοιο, 1 ώστε ( ) ( ), να αποδείξετε ότι ( ) 3 36) Στο διπλανό σχήμα έχουμε:,, και i) Να εκφράσετε συναρτήσει των και Β τα διανύσματα,, Ε, και A ii) Από τις εκφράσεις των και ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τα σημεία, και ; 37) Έστω,, 3 και 3 Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Γ και Ε είναι συνευθειακά 38) Αν 3 A 3, να αποδείξετε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά 39) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Μ, Ν τέτοια ώστε να είναι και Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Γ και Ν είναι συνευθειακά 40) Αν ισχύει 3 5 0, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά 41) Δίνονται τα διανύσματα και με και τα σημεία Α, Β, Γ, Ο Αν 3, 5 και 11 3 Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά και ότι ΒΓ=ΑΒ 4) Δίνονται τα σημεία Ο, Α, Β, Γ τέτοια ώστε να μην είναι και τα τέσσερα στην ίδια ευθεία Αν ισχύει, με λ, κ και κ+λ=1 Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Γ Δ

30 9 43) Αν ισχύει ότι : 3 5 να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά 44) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε και Ζ τέτοια ώστε και Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, 3 5 Ε και Ζ είναι συνευθειακά 45) Εάν 3 να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι αντίρροπα 46) Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και δύο σημεία Ε και Ζ τέτοια, ώστε : και, όπου με κ 1 Να 1 αποδείξετε ότι τα σημεία Ε, Γ και Ζ είναι συνευθειακά 47) Δίνεται τρίγωνο Αν A AB A και να αποδείξετε ότι // 48) Αν, και είναι διάμεσοι τριγώνου, να αποδείξετε ότι 0 49) Αν,, είναι τα μέσα των πλευρών,,, αντιστοίχως, τριγώνου, να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει: 50) Αν και είναι τα μέσα των διαγωνίων και, αντιστοίχως, ενός τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι A4 51) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των 1 μη παράλληλων πλευρών του, να αποδείξετε ότι: 5) Αν Κ, Λ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ τυχαίου τετραπλεύρου 1 ΑΒΓΔ, να αποδείξετε ότι : 53) Δίνονται τα διανύσματα και Αν Μ και Μ είναι τα μέσα των και αντίστοιχα να αποδείξετε ότι :

31 30 54) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι : ) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΝ Κ, Λ, Μ είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα και Σ ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου του, να αποδείξετε ότι : 56) Δίνεται τετράπλευρο και έστω και τα μέσα των διαγωνίων του και αντιστοίχως Να αποδείξετε ότι αν 4MN AB, τότε το τετράπλευρο αυτό είναι παραλληλόγραμμο 57) Δίνεται το μη μηδενικό διάνυσμα και σημείο τέτοιο ώστε να ισχύει και Να αποδείξετε ότι 1 58) Στο διπλανό σχήμα είναι 1 1 και Αν G 3 3 είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑGΔΕ είναι παραλληλόγραμμο 59) Να αποδείξετε ότι αν ισχύουν δύο από τις σχέσεις xka ykb zk0, xa yb z0, x y z 0, τότε θα ισχύει και η τρίτη (το σημείο K είναι διαφορετικό από το ) 60) Αν, και r είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων, και αντιστοίχως και, να αποδείξετε ότι αν το είναι εσωτερικό του, τότε r, ενώ αν το είναι εξωτερικό του, τότε r 61) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο, ώστε MAMBMM 6) Δίνονται τα σημεία, και Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο το διάνυσμα 3MA 5MBM είναι σταθερό

32 31 63) Έστω το κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ Να αποδείξετε ότι : 3 64) Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Αν Κ είναι το κέντρο του, και Μ το μέσον του ΚΓ Να δείξετε ότι: 4 65) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ρ τέτοιο ώστε Να αποδείξετε ότι : 0 66) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να προσδιορίσετε σημείο Ρ τέτοιο ώστε να ισχύει: 3 67) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να προσδιορίσετε σημείο Μ του επιπέδου του τριγώνου τέτοιο ώστε να ισχύει: 30 68) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να προσδιορίσετε σημείο Μ τέτοιο ώστε να ισχύει: 69) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ της διαγωνίου ΑΓ έτσι ώστε ΑΕ=ΖΓ= 1 ΑΓ Να δείξετε ότι το ΕΒΖΔ 4 είναι παραλληλόγραμμο 70) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διάμεσος ΑΜ και σημείο Δ στην πλευρά ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΔ=ΔΑ Οι ΒΔ και ΑΜ τέμνονται στο Ε Να αποδειχθεί ότι το Ε είναι μέσο της ΑΜ και ΒΕ=3ΕΔ 71) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Αν Ε είναι σημείο της ΑΒ 1 τέτοιο, ώστε και Σ είναι το σημείο τομής των ΑΓ, ΔΕ Να 3 αποδείξετε ότι 4 Γ Συντεταγμένες στο επίπεδο 7) Στο διπλανό σύστημα συντεταγμένων είναι i και y Ζ j Να εκφράσετε ως συνάρτηση την i j : α) Τα διανύσματα θέσεως των σημείων,,,, και β) Τα διανύσματα,,,,, και 73) Δίνεται το διάνυσμα ( 4, 3 ), Για ποια τιμή του είναι: i) 0 ; Β j Ο i Ε Γ Α Δ Θ Η Κ x

33 3 ii) 0 και //xx; iii) 0 και //yy ; 74) Δίνεται το διάνυσμα ( 3, 1), Για ποια τιμή του είναι: i) 0 ; ii) 0 και //xx; iii) 0 και //yy ; 75) Δίνεται το διάνυσμα ( 9, 5 6), Για ποια τιμή του είναι: i) 0 ; ii) 0 και //xx; iii) 0 και //yy ; 76) Δίνονται τα διανύσματα ( 3, 3 ) και ( 56, 3 7) Να βρείτε το, ώστε να είναι 77) Να βρεθούν οι τιμές των x, y ώστε τα διανύσματα ( xy x y, x y xy ) και (11,30) να είναι ίσα 78) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε τα διανύσματα ( 3, 1) και ( 1, 1) να είναι ίσα 79) Να βρεθούν οι τιμές των x, y ώστε τα διανύσματα ( x y, x y) και ( 3, 1) να είναι αντίθετα 80) Να βρεθούν οι τιμές των x, y ώστε τα διανύσματα 3 3 ( x y, x y) και ( 7, 1) να είναι αντίθετα 81) Να βρεθούν οι τιμές των x, y ώστε τα διανύσματα ( x xy y, x y) και ( 7, 5) να είναι αντίθετα 8) Να γραφεί το διάνυσμα v 4,13 ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων (,3) και ( 1,) 83) Να (1, 4), (,3) και (,) Να αναλύστε το διάνυσμα σε δύο συνιστώσες, μια παράλληλη στο διάνυσμα και μια παράλληλη στο διάνυσμα

34 33 84) Αν u (3,4), να βρεθεί διάνυσμα v που είναι συγγραμμικό με το u και έχει διπλάσιο μέτρο από το u 85) Αν u ( 4,3), να βρεθεί διάνυσμα v που είναι συγγραμμικό με το u και έχει πενταπλάσιο μέτρο από το u 86) Δίνεται το διάνυσμα ( 6,8) Να βρεθεί το μέτρο του,και ένα διάνυσμα αντίρροπο του με μέτρο τριπλάσιο από το 87) Δίνονται τα διανύσματα (,3) και ( 3, ) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος v 3 3 καθώς και η γωνία που σχηματίζει το v με τον άξονα χ χ 88) Να βρεθούν οι τιμές του x ώστε τα διανύσματα (1, x) και ( x,4) να είναι ομόρροπα 89) Να βρεθούν οι τιμές του x ώστε τα διανύσματα (1, x) και ( x,9) να είναι αντίρρροπα 90) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, ώστε τα διανύσματα ( x 1,5) και (5, x 1) να είναι ομόρροπα 91) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, ώστε τα διανύσματα ( x,3) και (4, x ) να είναι αντίρρροπα 9) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε τα διανύσματα ( 1,3) και (, ) να είναι παράλληλα 93) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y, ώστε τα διανύσματα ( x y, y yx1) και (, x y) να είναι συγγραμμικά 94) Να βρείτε το διάνυσμα v, αν είναι γνωστό ότι σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα Οχ, έχει 10,και είναι παράλληλο με 3, 4 το διάνυσμα 95) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος αν ισχύει: 4,8 96) Δίνονται τα σημεία Α(0,4), Β(5,-3) και Γ(-1,-) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ αν ισχύει : 97) α) Να βρεθεί σημείο Μ του άξονα x x το οποίο ισαπέχει απ τα σημεία Α(1,) και Β(3,-4)

35 34 β) Να βρεθεί σημείο Μ του άξονα y y το οποίο ισαπέχει απ τα σημεία Α(1,) και Β(3,-4) 98) α) Να βρεθεί σημείο Μ του άξονα x x το οποίο ισαπέχει απ τα σημεία Α(-1,6) και Β(-9,-) β) Να βρεθεί σημείο Μ του άξονα y y το οποίο ισαπέχει απ τα σημεία Α(-1,6) και Β(-9,-) 99) Να βρεθεί σημείο Μ της ευθείας y=1 το οποίο ισαπέχει απ τα σημεία Α(-,5) και Β(-10,-3) 100) Δίνονται τα σημεία Β(1,) και Γ(-1,6) Να βρείτε σημείο Α του άξονα χ χ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με κορυφή το σημείο Α 101) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(3,7), Β(1,3) και Γ(5,-1) Να βρεθούν τα μέσα Κ, Λ, Μ, των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα καθώς και το μέσο Ν της διαμέσου ΑΛ 10) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(,5) και Β(-1,3) Αν το μέσο της διαμέσου ΑΜ είναι Κ(6,1) να βρεθεί η κορυφή Γ 103) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(,7) και Γ(-1,3) Αν το μέσο της διαμέσου ΑΜ είναι Κ(4,3) να βρεθεί η κορυφή Γ 104) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(1,), Β (-,3) και Γ(λ,λ-3) Αν το μέσο της διαμέσου ΑΜ είναι σημείο του άξονα x x να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ 105) Δίνεται το διάνυσμα με Α(,4) και Β(4,), να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος καθώς και η γωνία που σχηματίζει αυτό με τον άξονα χ χ 106) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(3,7), Β(1,3) και Γ(5,-1) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των μέσων Κ, Λ, Μ των πλευρών ΑΒ,ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα, καθώς και το μέσο της διαμέσου ΑΛ 107) Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α(3,-1) και Β(9,5) Να βρεθούν τα σημεία Μ, Ν του ΑΒ ώστε ΑΜ=ΜΝ=ΝΒ 108) Δίνονται τα σημεία Α(3,-1), Β(,-1) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου Α του Α ως προς το Β 109) Αν Κ, Λ, Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ και είναι Κ(1,3), Λ(3,-), Μ(4,0), να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου

36 35 110) Αν Κ, Λ, Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ και είναι Κ(,-1), Λ(4,-3), Μ(-,-), να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου ) Αν τα σημεία,, 3,, 4,, 3,1 και 3 1, είναι τα μέσα των πλευρών,,, και, αντιστοίχως, του πενταγώνου, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του πενταγώνου 11) Αν Α(-3,5) και Β(1,7) είναι οι διαδοχικές κορυφές ενός παραλληλογράμμου και Μ(1,1) είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, να βρείτε τις άλλες δύο κορυφές του παραλληλογράμμου 113) Αν (,1) και (1, 4) είναι οι δύο κορυφές του παραλληλόγραμμου και (, 3) το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ 114) Δίνονται τα σημεία Α(1,3), Β(6,8) και Δ(-,) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Γ, έτσι ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο 115) Δίνονται τα σημεία Α(4,-1), Β(6,7) και Δ(-,-4) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Γ, έτσι ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο 116) Δίνονται τα σημεία Α(-,1), Β(-3,-) και Γ(6,0) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Δ, έτσι ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο 117) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(,0), Β(-1,1), και Γ(0,-1) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Γ και ισοσκελές 118) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(α,4α), Β(α,6α), και Γ(α+ 3 α,5α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο 119) Να εξετάσετε αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές Α(3,7), Β(8,9), Γ(6,4) και Δ(1,) είναι ρόμβος 10) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές Α(3,), Β(11,8), Γ(8,1) και Δ(0,6) είναι ορθογώνιο 11) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(,), Β(0,-1), Γ(-5,-), Δ(1,7) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο

37 36 1) Για ποιες τιμές του λ το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(-1,1), Β(1,), Γ(3,1) και Δ(λ,λ+1) είναι τραπέζιο; 13) Έστω τα σημεία Α(-,5), Β(6,-1), Γ(3,1) και Δ(5,-1) Να δείξετε ότι το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ και τα σημεία Γ και Δ είναι συνευθειακά 14) Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι Α(-3,-1), Β(-5,-3), Γ(-4,7) και Δ(-,3) α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ τέμνονται β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής Ρ των ΑΒ και ΓΔ 15) Να δείξετε ότι τα σημεία Α(3,) Β(6,-1) και Γ(1,4) είναι συνευθειακά Που βρίσκεται το Α σε σχέση με τα Β και Γ; 16) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού χ ώστε τα σημεία Α(0,1), Β(χ,-3) και Γ(-1,3) να είναι συνευθειακά 17) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού χ ώστε τα σημεία Α(,-1), Β(-3,4) και Γ(χ,5) να είναι συνευθειακά 18) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες τα σημεία (1, 0), (,3) και ( 5,9) είναι συνευθειακά 19) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες τα σημεία (,), (,5) και (,5) είναι συνευθειακά 130) Δίνονται τα σημεία Α(,-1), Β(-3,4) και Γ(χ,5) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού χ ώστε y y 131) Να βρεθεί το χ ώστε το διάνυσμα με Α(,χ+6) και Β(7,3χ+) να είναι παράλληλο με τον άξονα χ χ 13) Να βρεθεί το χ ώστε το διάνυσμα με Α(χ,-5) και Β(-3χ,χ+1) να είναι παράλληλο με τον άξονα y y 133) Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τετμημένες δύο σημείων και είναι οι ρίζες της εξίσωσης x ( 4 3) x17 0 Να βρείτε την τιμή του, ώστε το μέσον του τμήματος να έχει τετμημένη ίση με 4 134) Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τεταγμένες δύο σημείων και είναι οι ρίζες της εξίσωσης x ( 3 ) x19 0 Να βρείτε την τιμή του, ώστε το μέσο του τμήματος να έχει τεταγμένη ίση με 3

38 37 135) Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι συντεταγμένες του σημείου είναι ρίζες της εξίσωσης x ( 3 9) x 0 και οι συντεταγμένες του σημείου είναι οι ρίζες της εξίσωσης x ( ) x3 0 Να βρείτε την τιμή του { 1}, αν για x, y ισχύει και x y 5 το P P 136) Δίνονται τα σημεία 1( 1, 1), (, ), 3( 3, 3) και 4( 4, 4) Να εξετάσετε πότε τα σημεία αυτά είναι τα μέσα των διαδοχικών πλευρών τετραπλεύρου 137) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς 1,, 1,, x, y να αποδείξετε ότι: ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 P P 138) Δίνονται δύο μη συγγραμμικά διανύσματα και ενός επιπέδου Να αποδείξετε ότι οποιοδήποτε διάνυσμα r του επιπέδου αυτού μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των και κατά μοναδικό τρόπο Δ Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων (ΧΩΡΙΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ) : 139) Αν ΑΔ είναι το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ με πλευρά α=4, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) ii) 140) Να αποδείξετε ότι κάθε εγγεγραμμένη γωνία ενός κύκλου η οποία βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή 141) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( 90 ), το ύψος του ΑΔ και τα μέσα Μ, Ν των ΔΓ και ΑΔ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι: ΒΝΑΜ (Υπόδειξη: απ τη γεωμετρία ισχύει ΑΔ =ΒΔΓΔ) 14) Δίνονται διανύσματα και του επιπέδου με 1, και, Να υπολογίσετε : 3 α) το εσωτερικό γινόμενο β) το εσωτερικό γινόμενο u v των διανυσμάτων u και

39 38 v γ) το μέτρο του διανύσματος 143) Δίνονται διανύσματα και του επιπέδου με 1, και, 3 Να υπολογίσετε τα γινόμενα : α) β) γ) δ) 144) Δίνονται διανύσματα, και του επιπέδου με 1,, 4, και,,,, Να 3 3 υπολογίσετε την παράσταση : 145) Δίνονται διανύσματα και του επιπέδου με, 3 και, Να υπολογίσετε : 3 α) το εσωτερικό γινόμενο β) το μέτρο του διανύσματος 3 γ) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων 3 και 146) Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται με τα διανύσματα 5 και 3 0, αν, 3 και (, ) ) Δίνονται διανύσματα και του επιπέδου με 3 3,, Να υπολογίσετε : 4 α) το εσωτερικό γινόμενο β) τα μέτρα των διανυσμάτων u 4 και v γ) το εσωτερικό γινόμενο u v

40 39 148) Δίνονται διανύσματα και του επιπέδου με 1, και, Να υπολογίσετε : 3 α) το εσωτερικό γινόμενο β) τα μέτρα των διανυσμάτων u 4 και v γ) το εσωτερικό γινόμενο u v δ) τη γωνία των διανυσμάτωνu και v 149) Έστω δύο διανύσματα και που έχουν μέτρα 3, 1 και σχηματίζουν γωνία Να βρεθεί το συνημίτονο της 6 γωνίας των διανυσμάτων x και y 150) Δίνονται διανύσματα και του επιπέδου με 3,, 4 Αν 3 να υπολογίσετε τη γωνία, 3 151) Δίνονται διανύσματα και 1 του επιπέδου με, 3,, Αν να υπολογίσετε τη γωνία 3 3, 15) Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα και του επιπέδου με, να αποδείξετε ότι η γωνία των Αν ισχύει διανυσμάτων και είναι ίση με 3 153) Δίνονται διανύσματα και του επιπέδου με, 3 και, 3 Να υπολογίσετε : α) το εσωτερικό γινόμενο β) να βρεθεί η τιμή του κ ώστε τα διανύσματα u 3 και v να είναι κάθετα μεταξύ τους 154) Δίνονται διανύσματα και του επιπέδου με 3, 6 Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε τα διανύσματα u και v να είναι κάθετα μεταξύ τους

41 40 155) Δίνονται διανύσματα και του επιπέδου με 1 Αν τα διανύσματα u και v 5 4 είναι κάθετα μεταξύ τους, να αποδείξετε ότι :, 3 156) Δίνονται τα διανύσματα, και με και 0,,, Να υπολογίσετε τις γωνίες, και 157) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά, για το οποίο ισχύει, και Να αποδείξετε ότι : 6 158) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων και για τα οποία ισχύουν, 3, και 7 159) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων και για τα οποία ισχύουν, 3 και 160) Δίνονται τα διανύσματα, και με 1 και Να αποδείξετε ότι 161) Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου, και Αν είναι και, να αποδείξετε ότι 16) Δίνονται τρία διανύσματα του επιπέδου, και με 1 Να βρεθεί το διάνυσμα x για το οποίο ισχύει: x x 163) Δίνονται τρία διανύσματα του επιπέδου, και με 1 Να βρεθεί το διάνυσμα x για το οποίο ισχύει: x x 164) Αν ισχύει να αποδείξτε ότι 3 165) Αν, 1, 3 και 0, να υπολογίσετε το άθροισμα

42 41 166) Δίνονται τα διανύσματα, και με και 3 0 Να αποδείξετε ότι το είναι ομόρροπο με το, ενώ είναι αντίρροπο με το 167) Δίνονται τα διανύσματα, και με και Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα, και είναι συνευθειακά 168) Δίνονται τα διανύσματα, 3 1 με,, και, να αποδείξετε ότι τα, είναι ομόρροπα 169) Αν τα διανύσματα και είναι μη μηδενικά να αποδείξετε ότι, 170) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u και v είναι κάθετα μεταξύ τους 171) Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα και του επιπέδου Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα u είναι κάθετο στο ενώ το διάνυσμα v είναι κάθετο στο 17) Αν και δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι: ( ) 173) Αν και δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι: 174) Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα και του επιπέδου Να αποδείξετε ότι : 175) Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα και του επιπέδου Να αποδείξετε ότι : 0 176) Να αποδείξετε ότι :

43 4 177) Να αποδείξετε ότι : 178) Να αποδείξετε ότι : ) Να αποδείξετε ότι : ) Αν και δύο διανύσματα του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι: i) ii) ( ) iii)πότε ισχύουν οι ισότητες; 0, για κάθε 181) Να αποδείξετε ότι : λ,μ,όπου, δύο μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα Πότε ισχύει το «=»; 18) Αν να αποδείξετε ότι: 183) Δίνονται τα μη μηδενικά και μη συγραμμικά διανύσματα και Να αποδείξετε ότι: α) Ο φορέας του διανύσματος u διχοτομεί τη γωνία των διανυσμάτων και β) Ο φορέας του διανύσματος u διχοτομεί την παραπληρωματική γωνία των διανυσμάτων και Ε Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων (ΜΕ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ) : 184) Αν ( 1,3) και (,5), τότε: i) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα, ( ) ( 3 ) και ( ) (3 ) ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους,, ώστε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων u (, ) και να είναι ίσο με μηδέν 185) Αν u (1,), v (4,) και w (6,0), να υπολογίσετε τις παραστάσεις: u (7 v w ), u ( v w ), ( u v ) w και ( u v ) w 186) Αν 1, 0 και 1,1, να βρεθούν τα κ, λ ώστε να ισχύει και

44 43 187) Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο u 3, και έχουν μέτρο 1 3, και 4,3, να βρεθεί το κ ώστε : α) β) //,1 και 4,3, να βρεθεί το κ ώστε : α) β) // γ), 4 3, και,, να βρεθεί το λ ώστε : α) β) // γ), 4 x 1 3,x 3,1, να βρεθεί το x ώστε 188) Αν 189) Αν 190) Αν 191) Αν, 3 και 19) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων 1, και 3,1 193) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων, 1 και 1,3 194) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων 1, 1 και 1 3, ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(1,), Β(-,1) και Γ(3,6) Να βρεθεί η γωνία Α του τριγώνου 196) Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(4,3), Β(1,) και Γ(6,7) Να βρεθεί η γωνία Α του τριγώνου 197) Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο u 3, 4 και έχουν μέτρο 5 198) Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο u 6,8 έχουν μέτρο 5 199) Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο u 8, 6 και έχουν μέτρο 1 00) Να βρείτε διάνυσμα με 5,αν γνωρίζουμε ότι σχηματίζει με τον x 01) Αν 1,, 3,4 και,1 να βρεθεί η παράσταση και

45 44, να βρεθεί το λ ώστε να ισχύει 03) Αν,4 να βρεθεί το διάνυσμα που είναι συγγραμμικό προς το και 40 04) Αν 3,4 1 και 3 9, 3, να βρεθεί το λ ώστε να ισχύει 05) Αν,1 και 1,3 να βρεθεί το διάνυσμα ώστε 0 και 14 06) Αν 3,4 και, 5 να βρεθεί το διάνυσμα ώστε 5 και 8 07) Αν x,y είναι δύο πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει 0) Αν 1, και 3,4 x y 5 Να αποδείξετε ότι 6x 8y 50 08) Αν x,y είναι δύο πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει x y 4 Να αποδείξετε ότι 8x 6y 0 09) Αν ( x1, y1) και ( x, y), να αποδειχτεί ότι: i) ii) ( ) iii)πότε ισχύουν οι ισότητες;,, είναι κάθετα και έχουν 10) Αν τα σημεία και μέτρα ίσα με 1, να δείξετε ότι: 1 11) Δίνονται τα σημεία Α(-,3), Β(0,8), Γ(5,3) και Δ(10,5) Να υπολογίσετε : α) το β) το γ) τη γωνία που σχηματίζει το με τον άξονα x x 1) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(0,0), Β(α,β), Γ(α+,β) και Δ(,0) Να αποδείξετε ότι : i) το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο ii) αν ΒΓ=ΑΒ και Μ είναι το μέσο της ΑΔ, τότε ΜΒΜΓ 13) Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ με Α(0,1), Β(1,1), Γ(1,0) και Δ(0,0) Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ θεωρούμε τα σημεία Ζ και Ε αντίστοιχα, έτσι ώστε ΒΖ=ΓΕ Να αποδείξετε ότι ΑΕΔΖ

46 45 14) Δίνονται τα σημεία Α(1,1), Β(5,5), Γ(3,4) και Δ(x,y) Αν και να βρείτε τα x,y 15) Να υπολογίσετε το μήκος της διαγωνίου ΑΓ παραλληλογράμμου 3,5,1 ΑΒΓΔ στο οποίο και ΣΤ Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα 16) Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος v πάνω στο διάνυσμα, 1 αν, v 3 και η γωνία των διανυσμάτων και v είναι ίση με 6 17) Δίνονται τα διανύσματα,, x με 0, τέτοια ώστε x x Να αποδείξετε ότι 18) Έστω ΑΔ το ύψος ενός τριγώνου ΑΒΓ Αν, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 19) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και οι προβολές Ε, Ζ του Δ πάνω στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: 0) Αν 3,1 και 1,, να αναλυθεί το σε δύο κάθετες συνιστώσες, απ τις οποίες η μία να είναι κάθετη στο 1) Αν, 4 και 8,5, να αναλυθεί το σε δύο κάθετες συνιστώσες, απ τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο ) Αν,3 και 1, 4, να αναλυθεί το σε δύο κάθετες συνιστώσες, απ τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο 3) Αν 1,1 και 1,, να αναλυθεί το σε δύο κάθετες συνιστώσες, απ τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο Ζ Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων: ) Προαγωγικές Εξετάσεις Ενιαίου Λυκείου 004 Δίνονται τα διανύσματα 1, και,3 Α Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5 3 Β Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με τον άξονα x x

47 46 Γ Να βρείτε τον αριθμό κ, ώστε το διάνυσμα u, να είναι κάθετο στο 5) Προαγωγικές Εξετάσεις Ενιαίου Λυκείου 001 Δίνονται διανύσματα και του επιπέδου με 1, και, 3 Να υπολογίσετε : α) το εσωτερικό γινόμενο β) τα μέτρα των διανυσμάτων u 3 και v γ) το εσωτερικό γινόμενο u v δ) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v 6) Προαγωγικές Εξετάσεις Ενιαίου Λυκείου 000 Για τα διανύσματα και ισχύουν οι σχέσεις 3 4, και 3 7,8 α) Να δείξετε ότι 1, και, β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, ώστε τα διανύσματα και 3 να είναι κάθετα γ) Να αναλυθεί το διάνυσμα 3, 1 σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα 7) Προαγωγικές Εξετάσεις Ενιαίου Λυκείου 000 (Τεχνολογική) Δίνονται τα διανύσματα 5,3 και 4,4, με κ και λ πραγματικούς αριθμούς α) Για ποιες τιμές των κ και λ τα διανύσματα και είναι ίσα; β) Αν λ=8, κ θετικός και τα διανύσματα και είναι παράλληλα, τότε το κ είναι ίσο με: Α 4 Β1 Γ Δ 3 Ε 5 8) Προαγωγικές Εξετάσεις Ενιαίου Λυκείου 1999 (Θετική) α) Δίνονται τα διανύσματα 1, 1 και 1 4, με λ 0 Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα 1 και 1 είναι κάθετα; Α λ=1 Β λ=3 Γ λ= Δ λ=- Ε λ=-3 u 1, 3 v, 3 w 3,1 β) Δίνονται τα διανύσματα, και Να αντιστοιχίσετε κάθε γωνία της στήλης Α με το μέτρο της στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β 1 γωνία των u και v α π/

48 47 γωνία των u και w β π/6 3 γωνία των v και w γ π/4 δ π/3 ε 3π/4 ζ π/3 9) Επαναληπτικές Προαγωγικές Εξετάσεις Ενιαίου Λυκείου 004 Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy δίνονται τα σημεία Α(,3) και Β(3,-) α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές β) Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα x x, ώστε τα σημεία Α, Μ, Β να είναι συνευθειακά 30) Επαναληπτικές Προαγωγικές Εξετάσεις Ενιαίου Λυκείου 001 Δίνονται τα διανύσματα, και,, λ α) Αν τα και είναι κάθετα τότε: Α λ=1 Β λ=0 Γ λ=- Δ λ= β) Αν τα και είναι ομόρροπα τότε: Α λ=1 Β λ=0 Γ λ=- Δ λ= γ) Αν τα και είναι αντίρροπα τότε: Α λ=-1 Β λ=0 Γ λ=- Δ λ= 31) Επαναληπτικές Προαγωγικές Εξετάσεις Ενιαίου Λυκείου 001 Αν 0 και 6, 3 να δείξετε ότι α) τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά β) το σημείο Γ είναι ανάμεσα στα σημεία Α, Β γ) η γωνία 90 δ) το διάνυσμα v είναι κάθετο στο 3) Επαναληπτικές Προαγωγικές Εξετάσεις Ενιαίου Λυκείου 001 Α) Στη στήλη Α δίνονται οι συντεταγμένες δύο σημείων του επιπέδου και στη στήλη Β οι συντεταγμένες του διανύσματος και η απόσταση (ΑΒ) των σημείων Α και Β Αντιστοιχίστε τα γράμματα της στήλης Α με τον αριθμό της σωστής απάντησης της στήλης Β Στήλη Α Στήλη Β α Α(1,3) και Β(-,5) 1 3, και (ΑΒ)= 15 β Α(,-1) και Β(,-3) 0, και (ΑΒ)= γ Α(4,-3) και Β(6,-3) 3 3, και (ΑΒ)= 13,0 και (ΑΒ)= και Β) Αν x, , y δύο σημεία του επιπέδου και (-5,4) οι

49 48 συντεταγμένες του μέσου Μ του ΚΛ τότε: Α x 1 =1 και y =- Β x 1 =-1 και y = Γ x 1 =-3 και y = Δ x 1 =4 και y =5 Ε κανένα από τα προηγούμενα 33) Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 004 Δίνονται τα διανύσματα, 3,, 3 και 0 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος γ) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τους θετικούς αριθμούς x για τους οποίους x x 17 ισχύει η σχέση 34) Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 003 Δίνονται τα σημεία Α(1,1), Β(μ+1,λ-), Γ(4,0) και Μ(3,), όπου Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και μ, λ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα γ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: 35) Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 00 Δίνονται τα διανύσματα 1,1, 5,7 του επιπέδου α) Να βρείτε τα διανύσματα και 3 β) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ, για την οποία το διάνυσμα x, 6 είναι κάθετο στο διάνυσμα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 1 όπου 36) Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 001 Δίνονται τα διανύσματα 1,,,1 0,7 βρείτε την τιμή του λ για την οποία είναι: 1 3, Να 37) Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 001 Δίνονται τα σημεία Ο(0,0), Α(0,1), και Β(6,8) Να βρείτε: α) τις συντεταγμένες των μέσων Κ και Λ των τμημάτων ΑΟ και ΑΒ αντίστοιχα

50 49 β) το μέτρο του διανύσματος γ) το συντελεστή διεύθυνσης του 38) Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 000 Δίνονται τα διανύσματα 3,3, 1,1 α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και να είναι ίσο με -6 β) Να βρείτε το λ έτσι ώστε τα διανύσματα και να είναι κάθετα 39) Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 000 Η αρχή Ο(0,0) ενός συστήματος συντεταγμένων παριστάνει ένα σταθμό εκπομπής σημάτων, ενώ τα σημεία Α(3,) και Β(5,1) παριστάνουν τις θέσεις δύο πλοίων Η θέση ενός τρίτου πλοίου παριστάνεται από το σημείο Γ για το οποίο ισχύει: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ β) Αν η εμβέλεια του σταθμού εκπομπής (μέγιστη απόσταση στην οποία μπορεί να φτάσει το σήμα) είναι 5 μονάδες, να βρείτε με ποια από τα τρία πλοία μπορεί να επικοινωνήσει ο σταθμός 40) Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 000 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο όταν 5 και η γωνία των διανυσμάτων και είναι 60 β) Αν για τα διανύσματα και ισχύει 1 και =1 τότε ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι η σωστή; Α τα διανύσματα και είναι αντίθετα Β τα διανύσματα και είναι κάθετα Γ η γωνία των διανυσμάτων και είναι ίση με 60 Δ τα διανύσματα και είναι ίσα 41) Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 000 Δίνεται το διάνυσμα 4,3 α) Να υπολογίσετε το μέτρο του β) Αν 1, 5 να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ ώστε τα διανύσματα και να είναι ίσα 4) Επαναληπτικές Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 000 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με και, ενώ Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΔ Να αντιστοιχίσετε τα διανύσματα της

51 50 στήλης Α με την σωστή έκφραση της στήλης Β Στήλη Α Στήλη Β Α 1 Β Γ 3 Δ 4 Ε ) Επαναληπτικές Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 000 Δίνονται τα διανύσματα 4, 3 και 3,4 α) να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων και β) να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο γ) διαλέξτε τη σωστή απάντηση : Α τα διανύσματα και είναι ίσα Β τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Γ τα διανύσματα και είναι κάθετα Δ τα διανύσματα και είναι ομόρροπα Ε τα διανύσματα και είναι αντίρροπα 44) Επαναληπτικές Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 000 Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy, δίνονται τα σημεία Β(,3) και Γ(4,5) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος 3 δ) Αν 10,14 να δείξετε ότι τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά ( ) 45) Επαναληπτικές Προαγωγικές Εξετάσεις Εσπερινού Λυκείου 001 Δίνονται τα σημεία Ο(0,0), Α(0,-3), Β(4,3), Γ(-,-6) και Μ(x,y) το μέσο του τμήματος ΑΒ α) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθύγραμμου

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Διανύσματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / 9 / 0 1 6 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Περιεχόμενα Η Εννοια του διανύσματος Ομόρροπα-Αντίρροπα Διανύσματα Ισα Αντίθετα διανύσματα Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων Διάνυσμα θέσεως Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Βισκαδουράκης Βασίλειος Γαβαλάς Δημήτριος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ 4 13 ΠΛΛΠΛΣΙΣΣ ΡΙΘΥ ΙΝΥΣ ρισμός Πολλαπλασιασμού ριθμού με ιάνυσμα Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με λ 0 και α ένα μη μηδενικό διάνυσμα νομάζουμε γινόμενο του λ με το α και το συμολίζουμε με λ α ή λ α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα.

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Αντίρροπα διανύσµατα. Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων (όλες της οι µορφές). Συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα