1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

Transcript

1 Εσωτερικό Γινόμενο η Μορφή Ασκήσεων: Μας ζητούν να υπολοίσουμε το εσωτερικό ινόμενο δύο διανυσμάτων Έστω α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με α =, β = π ( αβ, ) = Να υπολοισθούν τα εσωτερικά ινόμενα: i α β ii ( α+β) ( α β) iii α β iv α+β α+ β ( ) i α β = α β συν ( α, β) = = α + β α β = α β = α β = 4= ii α β = α β α β = α α β + β = iii = α α β + β = + 4= α + β ( α + β) = α + 4α β + β α + β = = α + 5α β + β = = 5 iv Για να υπολοίσουμε το εσωτερικό ινόμενο δύο διανυσμάτων α β : Α τρόπος Αν νωρίζουμε την ωνία των διανυσμάτων κάνουμε χρήση του τύπου: α β = α β συνφ όπου φ η ωνία των διανυσμάτων α β : 9

2 Έστω ΑΔ το ύψος ενός ισοπλεύρου τριώνου ΑΒΓ με πλευρά α = 4 Να υπολοιστούν οι αριθμοί: i ΑΒ ΒΓ ii ΑΓ ΔΑ i Είναι ΑΒ ΒΓ = ΒΑ ΒΓ = ΒΑ ΒΓ συν ( ΒΑ, ΒΓ ) = π = 44 συν = 6 = 8 ii Είναι ΑΓ ΔΑ = ΑΓ ΑΔ = ΑΓ ΑΔ συν ( ΑΓ, ΑΔ ) = π = 44 συν = 8 = 6 ΑΓ π διότι ΑΔ = ( ΑΓ, ΑΔ ) = 6 Αν α (, ), β (, ), (, ) δ (, ) να βρεθούν οι ( β δ) α ( α δ) β συντεταμένες του διανύσματος u = α β δ Είναι β δ = + ( ) = α δ = + ( ) = 4 οπότε β δ α α δ β =, 4, = ( 4, ) + ( 8, ) = ( 6, 4) = 8, α β = = οπότε α β δ = = 8 (,) (,) ( 4, ), δ = (, ) (, ) = ( 0, 4) 8, Έτσι έχουμε u = = 8 (,) Β τρόπος Αν νωρίζουμε τις συντεταμένες των δύο διανυσμάτων α = ( x, y ) β = ( x, y ) τότε κάνουμε χρήση του τύπου: α β = x x + y y 0

3 4 Αν α β 5= 0 α=, β=, = του αθροίσματος: S = αβ + β + α να βρεθεί η τιμή Η διανυσματική ισότητα α β 5 = 0 ράφεται: α β = 5, α β = 5 9α + 4β α β = 5 α β = 9 α + 4 β 5 = = 7 α β = 6 β + 5 = α, β + 5 = 9α 4β β = 9 α 0β = 9 α 4 β 5 = = 40 β = α 5 = β, 0α = 9 α + 5 4β = = 90 α = Έτσι έχουμε: S = αβ + β + α = 6+ + = η Μορφή Ασκήσεων: Μας ζητούν να υπολοίσουμε το μέτρο ενός διανύσματος που συνήθως δίνεται συναρτήσει άλλων διανυσμάτων Έστω α, β δύο διανύσματα με α= β = Αν τα α, β π σχηματίζουν ωνία θ =, να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος 6 x =α β Αν έχουμ ε μια σχέση των α, β, : α + κβ + μ = 0 () νωρίζου με τα μέτρα τους α, β, θέλουμε να υπολοίσουμε τα εσω- τερικά ινόμενα α β, α, β ακολου- τα θούμε εξής: Παίρνουμε την σχέση () μεταφέρουμε στο δεύτερο μ έλος το μ Κάνουμε πράξεις προκύπτει η τιμή του α β Υψώνουμε τα δύο μέλη στο τετρά- ωνο 4 Όμ οια υπολοίζου- με τα α, β

4 Γενικά ισχύει ότι α = α Έτσι x = x = α β = α + β α β = α + β α β συνθ = = + = 4 = Άρα x = x = Δίνονται τα διανύσματα α, β με α = π ( αβ, ) = Ν α βρεθεί το μέτρο του διανύσματος = α+ β Είναι ( α β) = = + = 9α + α β + 4β = = 9α + α β συν α, β + 4 β = = = 6 Άρα = 6 Αν ια τα διανύσματα: α, β είναι: α β = (), να βρεθεί το β, β = ( α =, α, β ) = π Για να υπολοίσουμε το μέτρο ενός διανύσματος που δίνεται συναρτήσει άλλων διανυσμάτων: Παίρνουμε την ισότητα που μας δίνεται λύνουμε ως προς το διάνυσμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το μέτρο Υψώνουμε τα δύο μέλη στο τετρά- ωνο Από τις δύο λύσεις κάνουμε δεκτή μόνο την θετική Από την () παίρνουμε: α β = α β = 4α α β + 9β = π 4α α β συν + 9 β = 4 β + 9 β = 9 β 6 β + = 0 ( β ) = 0 οπότε: β =

5 4 Αν: α β α+ β α β) α β = 5, να βρεθούν, ( τα μέτρα: α β α β α β = 0 () ( α+ β) ( α β) ( α+ β)( α β) = 0 α 4β = 0 α = 4β () () α β = 5 α β = 0 ( α β) = 0 α αβ+ β = 0 4β + β = 0 5β = 0 β = 4 β = 4 β = Τότε η () α = 4 β α = 4 = 6 α = 4 Για να υπολοίσουμε το μέτρο ενός διανύσματος όταν δεν δίνεται συναρτήσει άλλων διανυσμάτων τότε χρησιμοποιούμε κατάλληλα τις σχέσεις που μας δίνουν Πχ όταν μας δίνουν μια σχέση με μέτρα υψώνουμε τα δύο μέλη στο τετράωνο η Μορφή Ασκήσεων: Μας ζητούν να υπολοίσουμε την ωνία δύο διανυσμάτων Έστω τα διανύσματα α= (, ), β= (,) ( αβ, ) Να βρεθεί η ωνία α β 5 Από συν ( α +, β ) = = = = α β αβ, = 45 0 άρα Δίνεται τρίωνο ΑΒΓ, με Α(, ), Β(, + ), Γ(, 8 ) Αν ΑΜ διάμεσος του ΑΒΓ, να υπολοίσετε τη ωνία ΒΑΜ

6 Αρκεί να υπολοίσουμε το συν( ΑΒ, ΑΜ ) Είναι: συν( ΑΒ ΑΒ ΑΜ, ΑΜ) = ΑΒ ΑΜ Έχουμε: ΑΒ = (,+ ) = (, ) Έστω Μ( x, y ) Είναι: xβ + xγ x = = =,,5 ΑΜ =,5 =, οπότε Μ Ά ρα: y = = 5 Είναι: ΑΒ ΑΜ =,, = + = ΑΒ = + =, ΑΜ = + = Άρα: συν (, ) οπότε (, ) ΑΒ ΑΜ = = π ΑΒ ΑΜ =, επομένως π ΒΑΜ = Τα διανύσματα α, β είναι τέτοια ώστε α= β = π σχηματίζουν ωνία Να βρείτε τη ωνία των διανυσμάτων 6 ν=α+β u =α β Έστω ότι τα διανύσματα ν u σχηματίζουν ωνία θ Τότε θα είναι ν u συνθ = ν u 4

7 Υπολοίζουμε το ν u τα ν u ν u = α +β α β = α β = α β = = Είναι Επίσης είναι π ν = ν = α + β = α + β + α β = α + β + α β συν = 6 = + + = + 6 u u π = = α β = α + β α β = α + β α β συν = 6 = + = 6 Επομένως συνθ = = = = οπότε η θ είναι περίπου 55 ο 4 Αν είναι νωστό ότι α β+ 6= 0 να βρείτε τη ωνία β, α = 6, β =, =, Θα βρούμε πρώτα το εσωτερικό ινόμενο β στη συνέχεια θα β χρησιμοποιήσουμε την ισότητα συν ( β, ) = Από την β υπόθεση προκύπτει ότι β + 6 = α, δηλαδή β 6 = α υψώνοντας στο τετράωνο έχουμε: β 6 = α ή αλλιώς 4β + 6 4β = α ή β = 6 Λύνοντας ως προς β παίρνουμε β = β Έχουμε τώρα συν 0 ( β, ) = = =, οπότε β ( β, ) = 6 0 Για να υπολοίσουμε την ωνία θ δύο διανυσμάτων α, β κάνουμε συνήθως χρήση της σχέσης α β συνθ = α β 5

8 5 Αν ια τα δι ανύσματα α, β ισχύει: i) α=β= ii) ( α+β) ( α β ), ν α βρείτε τη ωνία φ των α, β Ισχύει: ( α+ β) ( α β) ( α+ β) ( α β) = 0 α α β+ α β β = 0 α α β β = 0 α β = α β α β α β συνφ = α β συνφ = α β συνφ = συνφ = φ = π 4 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να αναλύσουμε ένα διάνυσμα σε άλλα διανύσματα Να αναλυθεί το διάνυσμα: = ( 5, 5 ) σ παράλληλες των διανυσμάτων: α= (,) β = (, 4) ε δύο συνιστώσες Έστω: = +, όπου: // α // Τότε: = kα = λβ οπότε η () ράφεται: = kα + λβ ( 5, 5) = k(,) + λ(, 4) ( 5, 5) = ( k, k) + ( λ, 4λ) ( 5, 5) = ( k λ, k 4λ ) απ όπου: k λ = 5 k λ = 5 προσθέτοντας κατά μέλη: k 4λ = 5 k+ 8λ = 0 Έστω διάνυσμα: = x, ψ δύο διανύσματα: α = x, ψ, β = ( x, ψ ) Για να αναλύσουμε το διάνυσμα σε δύο συνιστώσες παρ/λες των α β εραζόμαστε ως εξής: Έστω ότι το αναλύεται σε δύο συνι- στώσες: // α // β Τότε: = kα = λβ, k, λ Από τη σχέση: = + προσδιορίζουμε τα k λ 6

9 5λ = 5 λ = 7 = β = ( 9, ) 7 4,7 k = άρα: = α = Να αναλυθεί το διάνυσ μα: = ( 5, 5) σε δύο συνιστώσες άθετες των διανυσμάτων: α=, β =, 4 κ Έστω : α = (, ) ( α α) β = ( 4,)( β β) = + () όπου: // α // β Τότε: = kα = λβ οπότε η () δίνει: = kα + λβ ( 5, 5) = k(, ) + λ( 4, ) ( 5, 5) = ( k 4 λ,k+ λ) απ όπου: k+ 4λ = 5 k 8λ = 0 ( + ): 5λ = 5 λ = k+ λ = 5 k+ λ = 5 k =, συνε πώς: = (,) = (, ) = ( 4,) = ( 4, ) Να αναλυθεί το διάνυσμα: α = (4, 6) σε δύο συνιστώσες μιας παράλληλης προς το διάνυσμα : β = (, ) μιας κάθετης προς αυτό Θεωρούμε το διάνυσμα μ = (, ) που είναι κάθετο στο β Πράματι β μ = 0 Αναλύουμε τώρα το α σε δύο συνιστώσες α // β α // μ Τότε είναι: α = α+ α με α = λβ α = ρμ Άρα α = λβ + ρμ λ ρ= 4 ( 4,6) = λ(, ) + ρ(, ) ( 4,6 ) = ( λ,λ) + ( ρ, ρ) λ ρ= Λ ύνουμε το παραπάνω σύστημα έχουμε λ = ρ = 5 5 Για να αναλύσουμε το διάνυσμα σε δύο συνιστώσες κάθετες των: α ( x, ψ ) β ( x, ψ ) εραζόμαστε ως εξής: Θεωρούμε τα διανύα: α = ( ψ, x) σματ β = ( ψ, x) που είναι κάθετα στα: α β αντίστοιχα, κατόπιν με το ν τρόπο που είδαμε προη- ουμένως, αναλύουμε το σε δύο συνιστώσες:, παράλληλ ες των: α β 7

10 8 8 6 =, =, Άρα α α = (, ) =, Έσ τω τα διανύσματα α = (, ) β = (4, ) Να βρείτε το λ, ώστε τα διανύσματα λ α α + λβ να είναι κάθετα 5 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που αναφέρονται στην καθετότητα των διανυσμάτων Τα διανύσματα λα α + λ β είναι κάθετα αν μόνο αν ισχύει λα (α + λ β ) = 0 Έ χουμε διαδοχικά: ( λα ) α + ( λα ) ( λβ ) = 0 ή λα + λ + λ α β = 0 () Με παρόμοιο τρόπο αναλύου με το διάνυσμα σε δύο συνιστώσες μία παρ/λη του α κ αι μί α κάθετη του β Βρίσκουμε δηλ το: β β αναλύουμε το σε δύο συνιστώσες παρ/λες των: α β Είναι α = α = ( ) + = 5 άρα η () ράφεται: λ 0 5 λ = 0 ή λ+ 5= 0 λ = α β =, 4, = + 6 =, 4 5+ λ = ή λ( 5 λ) 0 + =, άρα Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα α, β, Να αποδειχτεί η καθετότητα των παρακάτω διανυσμάτων Το ( α β) β β α με το β, ( α β) β Το α με το β, β Το α β+β α με το α β β α 8

11 Είναι ( α β β β ) α β ( α β) β β ( α β) = = 0, άρα κάθετα ( α β) β α β Είναι α β = α β β = α β α β = 0, β β άρα κάθετα Είναι ( α β β α) ( α β β α) ( α β) ( β α) + = = = α β β α = α β β α = 0, άρα κάθετα Για να αποδείξουμε ότι δύο διανυσμάτων α, β είναι κάθετα αρκεί να δείξουμε ότι το εσωτερικό τους ινόμενο είναι μηδέν Για τα μη μηδενικά ν, u, w ισχύει v w = v u, αν μόνο αν τα μη μηδενικά α= ν w u β = w u είναι κάθετα Τα μη μηδενικά α = ν w u β = w u είναι κάθετα αν μόνο αν αβ = 0 ( ν w u) ( w u) = 0 v w w w u v u+ w u+ u = 0 u v u = w v w v + u v u = v + w v w v u = v w v u = v w 4 Έστω τα διανύσματα α, β έτσι ώστε να ισχύει ( κα + λβ) ( λα κβ) ια κάθε κ, λ Να αποδειχτεί ότι α β Κατόπιν να βρεθεί το α, αν είναι νωστό ότι β= Απ ό υπόθεση κα + λβ λα ( κβ ) ( κα + λβ ) ( λα κβ ) = 0 κλα καβ + λαβ κλβ = 0 αβλ + κα β λ καβ = 0 9

12 Το παραπάνω πολυώνυμο ισούται με το 0 ια κάθε λ, άρα είναι μηδενικό πολυώνυμο αυτό συμβαίνει όταν: α β = 0 α β () κ α β = 0 () κ α β = 0, ισχύει λόω () Η σχέση () ισχύει ια κάθε κ αυτό συμβαίνει όταν α β = 0 α = β α = β α = 5 Αν είναι ΑΒ = ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΑΓ = 9, να αποδείξετε ότι Επειδή ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΓ = 0, αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΒ ΒΓ = 0 Πράματι χρησιμοποιώντας διανυσματικές ακτίνες από το Α, έχουμε: ΑΒ ΒΓ = ΑΒ ( ΑΓ ΑΒ ) = ΑΒ ΑΓ ΑΒ = ΑΒ ΑΓ ΑΒ = 9 = 0 Παρατήρηση: Δεν ισχύει η ισοδυναμία αβ = 0 α = 0 ή β = 0 Βέβαια, αν α = 0 ή β = 0, τότε είναι αβ = 0 Όμως είναι δυνατόν να ισχύει αβ = 0 μη μηδ ενικά διανύσματα α, β (αρκεί αυτά να είναι κάθετα) Όπως προαναφέρθηκε, ισχύει α β = 0 α β 6 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε τις συντεταμένες ενός διανύσματος Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο α= (,4) έχουν μέτρο Έστω διάνυσμα ν = ( xy, ), xy, Έχουμε: αν ( x y), με ν = =, 4, = x+ 4 y, τέτοιο ώστε αν = 0 0

13 επειδή ν = ν = 4 x + y = 4, τα x y θα βρεθούν x+ 4y = 0 από τη λύση του συστήματος x + y = 4 Από τη λύση του συστήματος αυτού έχουμε: 8 x=, y = x=, y = Επομένως τα διανύσματα που είναι κάθετα στο α έχουν μέτρο 8 6 είναι τα ν =, 5 5 κ 8 6 αι ν =, 5 5 Να βρεθεί διάνυσμα α με μέτρο, το οποίο να σχηματίζει με τα i j ωνίες 0 ο 60 ο o αντίστοιχα, δηλαδή α,i = 0 α,j = 60 ο Έστω α = ( x, y) με α = Είναι επίσης i = (, 0) j = ( 0,), με i = j = Έχουμε: αi = x + y 0 συν ( α, i) = α i = α j συν ( α, j) x = = x 0 y y = + = = α j α =, Επομένως Για να προσδιορίσουμε ένα διάνυσμα α με την βοήθεια των συντεταμένων του ακολουθούμε τα παρα- κάτω βήματα: Θεωρούμε α= ( x, y) το ζητούμενο διάνυσμα Από τα δεδομένα της άσκησης δημιουρούμε δύο σχέσεις που περιέχουν τις συντεταμένες του διανύσματος α Λύνουμε το σύστημα που προκύπτει οπότε προσδιορίζουμε το α Να βρεθούν διανύσματα ν, u έτσι ώστ ε με τα α = (, ) β = (, 4) να ισχύουν: ν + u =α, ν // α u β Από ν // α ν = λα ν = ( λ, λ) () Από ν + u = α u = α ν u = ( λ, λ ) () u β = 0 ( λ) + ( λ) 4= 0 λ = Έτσι από () ν =, () u = ( 0,0)

14 η 7 Μορφή Ασκήσεων: Αποδεικτικές ασκήσεις Αν α, β δύο μη μηδενικά διανύσματα, να αποδείξετε ότι: i) α β α β Πότε ισχύει το ίσον; ii) α+β + α β = α + β iii) α β= α+β α β 4 4 i) Έστω φ η ωνία των δύο διανυσμάτων Τότε είναι α β = α β συνφ = α β συνφ α β, άρα α β α β Παρατήρηση: Μια άλλη ισοδύναμη έκφραση της α β α β είναι η α β α β Έστω α β = α β Τότε θα έχουμε: α β συνφ = α β ή συ νφ = ή συνφ = ± Η συνφ =± ισχύει μόνο όταν α β ii) Έχουμε: α + β + α β = ( α+ β) + ( α β) = α + β + α β+ α + β α β= = α + β + α + β = α + β iii) Είναι α + β α β = ( α + β) ( α β) = = ( α + β + α β) ( α + β α β) = 4 4 = α + β + α β α β + α β = α β

15 Να αποδείξετε ότι: i) α+β + α β = α + β ii) α +β α β α + β i) Αρχίζοντας από το πρώτο μέλος έχουμε: α + β + α β = ( α + β) + ( α β) = = α + αβ + β + α αβ + β = α + β = α + β ii) Η σχέση που πρέπει να αποδείξουμε διαδοχικά ράφεται: () α + β + α β α + β α β α + β α + β α β α + β α β α + β + α β 0 α + β + α β α + β α β 0 α + β α β, που ισχύει Για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β α+β α β α) συν ( α, β ) = 4 αβ α+β α β β) συν ( α, β ) = αβ να αποδειχθεί ότι: Παρατήρηση: Εφ όσον α = α,πάντα όταν έχουμε σχέση με μέτρο υψώνουμε στο τετράωνο, ώστε να απαλλαούμε από το μέτρο α + β α β ( α + β) ( α β) α) Είναι: = = 4α β 4α β α + β + αβ ( α+ β αβ) αβ = = = συν ( α, β ) 4 α β α β

16 ( α β) α + β α β + α β β) Είναι: = = α β α β α + β + αβ α β αβ αβ = = = = συν ( α, β ) α β α β α β 4 Αν ια τα μη μηδενικά διανύσματα α β ισχύει α α+β = α +αβ, να αποδείξετε ότι α // β α ( α+ β) = ( α + αβ) ( α α + αβ+ β ) = ( α ) + ( α )( αβ) + ( αβ) α α + αβ α + β α = α + α αβ + αβ (όπου φ ( αβ, ) β α = αβ α β = α β συνφ = α β α β συν φ συν φ = ( συνφ = ή συνφ = ) φ 0 ή φ = 80 ο α β ή α β) α // β 0 ( = ) ( = ) Παρατήρηση: Λαμβάνοντας υπόψη τις ισοδυναμίες α β αβ = α β, α β αβ = α β συμπεραίνουμε ότι α β συνθ = α β συνθ= α // β συνθ = ± (δηλαδή συνθ =) 8 η Μορφή Ασκήσεων: Θεωρητικές ασκήσεις Παρατήρηση: Δίνονται τα διανύσματα α, β του επιπέδου με α β Να προσδιορισθεί το διάνυσμα x, ια το οποίο ισχύει α x β= + x α β αβ Δεν ορίζονται οι 4 δυνάμεις α, α κλπ 4

17 Το διάνυ σμα x εμφανίζεται στο πρώτο μέλος στο εσωτερικό ινόμενο α x, απ όπου είναι αδύνατο να απομονωθε ί Επιχειρούμε λ οιπόν να εμφανίσουμε στο δεύτερο μέλος το α x Είναι ( α x) β = + x, οπότε α ( α x) β = α ( + x ) Άρα ( α x)( α β) = α + α x α ( α x) ( α β ) = α α x = διότι α β α β Άρα, η δοσμένη σχέση δίνει: α ( α x) β = + x β = + x α β Η τιμή του x δοσμένη σχέση α x = β α β που βρήκαμε είναι δεκτή, διότι επαληθεύει τη β Αν ισχύουν α+β+ = 0 α= =, να αποδείξετε ότι: 5 i) α β ii) β= 5α = α i) Έστω αρχικά ότι Επειδή ισχύει η ισοδυναμία α β αβ = α β αρκεί να αποδείξουμε ότι α β = α β Από τη σχέση α + β + = 0 παίρνουμε α + β = υψώνοντας στο τετράωνο προκύπτει: α + β = ( ) ή α + β + αβ = 9 ή α + β + αβ = 9 ή λ + ( 5λ) + αβ = 9( λ) ή α β = 0λ ή α β = 5λ Επίσης ισχύει α β = λ 5λ = 5λ Ε πομένως α β = α β, οπότε α β Αν έχουμ ε μια σχέση των α, β, 0 μια σχέση των μέτρων τους πχ α + κβ + μ = 0 () α β = = () λ λ λ θέλουμε να δείξουμε π χ α β ή α β, τότε θέτουμε τους λόους της () ίσον με λ εκφράζουμε τα α, β, συναρτήσει του λ Δηλαδή α β = = = λ, λ λ λ οπότε α = λλ, β = λλ, = λ λ Α ρκεί να δείξο υμε: Για α β ότι: α β = α β Για α β ότι: α β = α β 5

18 ii) Αφού β α β = 5 α, θα είναι β = 5α Αντικαθιστώντας β = 5α στη σχέση α + β + = 0 λύνοντας στη συνέχεια ως προς έχουμε: α + β + = 0 α + 5α + = 0 = 6α = α Έστω x, y δύο πραματικοί αριθμοί ια x + y = 5 Να αποδειχθεί ότι 6x 8y 50 του οποίους ισχύει Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων θεωρούμε τα διανύσματα α = ( x, y ) β = (6, 8) Είναι: α = x + y = 5 = 5 β = 6 + ( 8) = 00 = 0 α β = 6x 8y Όμως ( α β = α β συν α, β = α β συν α, β) α β Άρα α β α β 6x 8y 5 0 6x 8y 50 Παρατηρήσεις: Το εσωτ ερικό ινόμενο α β είναι αριθμός όχι διά- Δεν έχουν νόημα απλοποιήσεις, οπότε νυσμα α β β, α α α β α, β 9 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που αναφέρονται στην προβολή διανύσματος α β α β ( ) α = α α i) Έστω α ένα μη μηδενικό διάνυσμα α) Είναι νωστό ότι προβ β // α Επομένως θα υπάρχει λ, α ώστε προβ β = λα α Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής λ δίνεται αβ από την ισότητα λ= α αβ β) Να αποδείξετε ότι προβ β = α α α ii) Να βρεί τε την προβολή του διανύσματος β= ( 5,0) πάνω στο ιάνυσμα α=, δ Για τα διανύσματα α, β ισχύει ότι ( α β) α β α β α β 6