4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

Transcript

1 1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωνύµου Όταν 0 τότε i) α x β + βx + γ α x+ α ii) α x + βx + γ α(x ρ ), όπου ρ η διπλή ρίζα του τριωνύµου Όταν < 0 τότε α x + βx + γ β α x+ + α 4α 3. Ρίζα τριωνύµου λέγεται κάθε τιµή της µεταβλητής x που µηδενίζει το τριώνυµο. 4. Το πρόσηµο του τριωνύµου Το τριώνυµο α x + βx + γ, α 0 γίνεται : Ετερόσηµο του α, µόνο όταν είναι > 0 και για τις τιµές του x που βρίσκονται µεταξύ των ριζών. Μηδέν, µόνο όταν η τιµή του x είναι κάποια από τις ρίζες του τριωνύµου. Οµόσηµο του α σε κάθε άλλη περίπτωση.

2 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Οι ελλιπείς µορφές τριωνύµου. i) α x + βx α x + βx + 0 ii) α x + γ α x + 0 x + γ. Παραστάσεις της µορφής α x + βxy + γ y µπορούµε να τις θεωρούµε σαν τριώνυµα είτε µε µεταβλητή x, είτε µε µεταβλητή y. 3. Το γινόµενο α(x x 1 )(x x ) µε α 0 είναι τριώνυµο µε ρίζες x 1, x 4. Το γινόµενο α(x ρ ) µε α 0 είναι τριώνυµο µε διπλή ρίζα ρ. 5. Μια σύγχυση. Μη µπερδεύουµε το τριώνυµο α x + βx + γ µε την εξίσωση α x + βx + γ 0. Το µόνο κοινό τους είναι ότι έχουν τις ίδιες ρίζες. 6. Μέθοδος. Για να βρούµε τις ρίζες τριωνύµου α x + βx + γ, λύνουµε την αντίστοιχη εξίσωση α x + βx + γ Ο τύπος x 1, β± α ισχύει και όταν 0

3 3 8. Η κατανόηση του προσήµου τριωνύµου. Ένα παράδειγµα Έστω το τριώνυµο f(x) 1 x 3x 4 µε µεταβλητή x R. Για x 0 η τιµή του τριωνύµου είναι f(0) < 0 ετερόσηµη του α 1 Για x η τιµή του τριωνύµου είναι f( ) ( ) 3 ( ) > 0 οµόσηµη του α 1 Για x 4 η τιµή του τριωνύµου είναι f(4) το 4 είναι ρίζα του τριωνύµου Παρατηρούµε ότι, για κάποιες τιµές του x το τριώνυµο είναι οµόσηµο του α, για κάποιες τιµές του x το τριώνυµο είναι ετερόσηµο του α και για κάποιες τιµές του x το τριώνυµο είναι µηδέν. 9. Μια αδυναµία. ε µπορούµε να έχουµε κανόνα που να µας συµπεραίνει απευθείας το πρόσηµο τριωνύµου. Μπορούµε, όµως, να έχουµε κανόνα που να µας συµπεραίνει, για ποια x το τριώνυµο είναι οµόσηµο του α και για ποια είναι ετερόσηµο του α. 10. Η χρησιµότητα του προσήµου τριωνύµου. Είναι το µοναδικό µέσον επίλυσης των ανισώσεων ου βαθµού. 11. Μέθοδος. Για να λύσουµε ανίσωση ου βαθµού α) τη φέρνουµε στη µορφή α x + βx + γ > 0 ή < 0 β) βρίσκουµε τη διακρίνουσα και τις ρίζες του τριωνύµου γ) κατασκευάζουµε πίνακα τιµών

4 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Το τριώνυµο µία ειδική. x 3x + να γραφεί στη η γενική µορφή τριωνύµου και σε Η η γενική µορφή τριωνύµου είναι Αλλά Άρα βα 3 και x 3x + 1 ( x ) β α x + α 4α ( x ) Επειδή 1 > 0, η ειδική µορφή του τριωνύµου θα είναι α(x x 1 )(x x ) Αλλά x 1, 3 ± 1 3 ± 1 ή 1. Άρα x 3x + (x )(x 1). Το τριώνυµο x + 6x 9 να γραφεί σε µία ειδική µορφή. β , άρα το τριώνυµο γράφεται στη µορφή α x+ α Αλλά βα 6 3 ( 1) Άρα x + 6x 9 1(x 3 ) (x 3 ) 3. ηµιουργήστε δύο τριώνυµα που να έχουν ρίζες τους αριθµούς 3 και Τα ζητούµενα τριώνυµα θα έχουν την ειδική µορφή α(x x 1 )(x x ), α 0 Για α 1, προκύπτει το τριώνυµο (x + 3)(x 1 ) x 1 x + 3x 3 1. Σχόλιο x + 5 x 3 Για α, προκύπτει το τριώνυµο (x + 3)(x 1 ) ( x 1 x + 3x 3 ) ( x + 5 x 3 ) x + 5x 3

5 5 4. ηµιουργήστε δύο τριώνυµα που να έχουν διπλή ρίζα τον αριθµό 4. Λύση Τα ζητούµενα τριώνυµα θα έχουν την ειδική µορφή α(x ρ ), α 0 Για α 1, προκύπτει το τριώνυµο 1(x 4 ) ( x 8x + 16) Σχόλιο 3 x + 8x 16 Για α 3, προκύπτει το τριώνυµο 3(x 4 ) 3( x 8x + 16) 3 x 4x ηµιουργήστε ένα τριώνυµο που να µην έχει ρίζες. β Το ζητούµενο τριώνυµο θα έχει την ειδική µορφή α x+ + α 4α Για α 1, β, 4 (αυθαίρετα) προκύπτει το τριώνυµο 1 x ( ) (x + 1 ) + 1 x + x x + x + 6. Για ποιες τιµές του λ R, η παράσταση τριώνυµο µε µεταβλητή x ; λ Η παράσταση γράφεται Π ( λ 3λ 10) Πρέπει λ 3λ 10 0 (1) ιακρίνουσα του τριωνύµου Σχόλιο 6 Η (1) λ 5 και λ x 3λ x + λx 1 10 x x είναι x + (λ 1)x 1 λ 3λ 10 : ( 3 ) 4. 1( 10) Ρίζες λ 3 ± 49 3 ± 7 5 ή

6 6 7. Για ποιες τιµές του λ R, η παράσταση 3 λ x + λ( x 3 + x x) ( x 3 x 3x 4) είναι τριώνυµο µε µεταβλητή x ; Η παράσταση γράφεται Πρέπει 3 λ x λ x 3 +λ x λx x 3 + x + 3x ( λ λ ) x + (λ + 1) x + ( λ + 3)x + 4 λ λ 0 και λ (1) ιακρίνουσα του τριωνύµου Σχόλιο 6 λ λ : Ρίζες λ 1 ± 9 1 ± 3 Η (1) (λ ή λ 1) και λ 1 λ ή 1 8. Να µετατρέψετε σε γινόµενο την παράσταση Π Θεωρούµε την παράσταση σαν τριώνυµο µε µεταβλητή x. (α + 1 ) 4α α + α + 1 4α α α + 1 (α 1 ) 0 x (α + 1)x + α. Ρίζες : x ( ) α+ 1± α 1 Άρα Π (x α) (x 1) α+ 1 ± ( α 1) α+ 1 + ( α 1) α+ 1+α 1 ή α ή 1 α+ 1 ( α 1) ή α+ 1 α+ 1

7 7 9. Να µετατρέψετε σε τέλειο τετράγωνο την παράσταση 4 x xy + 3 y Θεωρούµε την παράσταση σαν τριώνυµο µε µεταβλητή x. (4 3 y ) y 16 3 y 48 y 0 β Άρα το τριώνυµο θα έχει τη µορφή α x+ α 4 3y Εποµένως 4 x xy +3 y 4 x+ 4 4 x+ 3y ( x+ 3y 4 ) 4 ( x+ 3y) Σχόλιο 10. Να µετατρέψετε σε γινόµενο την παράσταση Π 3α + αβ 4β Θεωρούµε την παράσταση σαν τριώνυµο µε µεταβλητή α. β 4 3 ( 4β ) β + 48β 49β β± 49β Ρίζες : α 3 β± 7β 4β β ή 6 3 Άρα Π 3(α β)(α + 4 3β ) (α β)(3α + 4β) Σχόλιο

8 8 11. Αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί x, y τέτοιοι ώστε να ισχύει αποδείξετε ότι y (, 0] [4, + ). Θεωρούµε τη σχέση x xy + y 0 σαν εξίσωση µε άγνωστο x Επειδή x R (δηλαδή η εξίσωση έχει ρίζα), θα είναι 0 y 4y 0 (1) ιακρίνουσα του τριωνύµου Ρίζες του τριωνύµου y 4y : δ y 4y : 0 ή 4 Πρόσηµο του τριωνύµου y y 4y ( 4) > 0 Η (1) y 0 ή y 4 y (, 0] [4, + ). x xy + y 0, να Σχόλιο Σχόλιο Αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί x, y τέτοιοι ώστε να ισχύει x xy + x + y 1, να αποδείξετε ότι ( 1 3 ] y [ 1+ 3 ) x xy + x + y 1 x + (1 y)x + y 1 0 Θεωρούµε αυτή την ισότητα σαν εξίσωση µε άγνωστο x Επειδή x R (δηλ. η εξίσωση έχει ρίζα), θα είναι 0 4(1 y ) 4 1 ( y 1) 0 ιακρίνουσα του τριωνύµου Ρίζες του τριωνύµου (1 y ) ( y 1) 0 1 y + y + y : δ y + y : y ± 1 y y y y + 0 y + y 0 (1) ± 3 Πρόσηµο του τριωνύµου y y + y Σχόλιο 1± 3 Η (1) ( 1 3 ] y [ 1+ 3 ) Σχόλιο 11

9 9 13. Να προσδιορίσετε το λ R, ώστε να ισχύει (λ ) κάθε x R. x + λx + 3λ 6 > 0 για Πρέπει το τριώνυµο να είναι οµόσηµο (θετικό) του α λ για κάθε x R λ > 0 (1) και < 0 () Η (1) λ > (3) Η () (λ ) 4(λ )(3λ 6) < 0 4λ 4(3λ 6λ 6λ + 1) < 0 λ (3λ 1λ + 1) < 0 λ 3λ + 1λ 1 < 0 λ + 1λ 1 < 0 λ 6λ + 6 > 0 (4) δ ρίζες λ 6 ± 1 6 ± 3 3± 3 Πρόσηµο του τριωνύµου (4) λ λ 6λ Η (4) λ < 3 3 ή λ > (5) Συναλήθευση των (3), (5) : λ > Να προσδιορίσετε το λ R, ώστε να ισχύει κάθε x R. Υπόδειξη ( λ+ 1)( x + 1) > λx (λ + 1)( λ x + λ + και συνεχίζουµε όπως στην άσκηση 13. x + 1) > λx ( λ+ 1)( x + 1) x + 1 λx > 0 (λ + 1) x λx + (λ + 1) > 0 > λx για

10 x + 1 Θεωρούµε το κλάσµα y x + x+ 1 Να αποδείξετε ότι i) το κλάσµα έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού για κάθε x R. ii) 3 y i) Αρκεί να αποδείξετε ότι x + x για κάθε x R < 0 το τριώνυµο x + x + 1 δεν έχει ρίζες x + x ii) y x + 1 y ( x + x + 1) x + 1 x + x+ 1 y x + yx + y x + 1 y x + yx + y x 1 0 (y 1) x + yx + (y 1) 0 (A) Όταν y 1 0, δηλαδή όταν y 1. H (A) (1 1) x + 1 x + (1 1) 0 x 0 ηλαδή, το κλάσµα y παίρνει την τιµή 1, για x 0. Όταν y 1 0, δηλαδή όταν y 1. H (A) είναι εξίσωση ου βαθµού. x R η εξίσωση (Α) έχει ρίζες 0 y 4 (y 1)(y 1) 0 y 4 ( y y + 1) 0 y 4 y + 8y y + 8y y 8y (Β) ιακρίνουσα του τριωνύµου 3 y 8y + 4 : δ Ρίζες του τριωνύµου 3 y 8y + 4 : y 8 ± 4 ή 6 3 Πρόσηµο του τριωνύµου y /3 + 3 y 8y (Β) 3 y