ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΙ EP ΠΙΝΑΚΩΝ ΜΕΣΩ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΔΡΙΒΑΛΙΑΡΗΣ ΑΘΗΝΑ, 24/10/2014

2 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Μαθηματική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες και την Οικονομία» Χαρακτηρισμοί ΕΡ Πινάκων μέσω Παραγοντοποιήσεων Μεταπτυχιακή Διατριβή του Γεωργίου Ν. Ευθυμίου Επιβλέπων Επίκουρος Καθηγητής Δημοσθένης Δριβαλιάρης (Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης - Πανεπιστήμιο Αιγαίου) Αθήνα, 2014

3

4 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Μαθηματική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες και την Οικονομία» Χαρακτηρισμοί ΕΡ Πινάκων μέσω Παραγοντοποιήσεων Μεταπτυχιακή Διατριβή του Γεωργίου Ν. Ευθυμίου Επιτροπή Διατριβής: Δημοσθένης Δριβαλιάρης, Επιβλέπων Σωτήριος Καρανάσιος Νικόλαος Γιαννακάκης Η Μεταπτυχιακή Διατριβή εξετάστηκε και εγκρίθηκε στις.../.../ Δ. Δριβαλιάρης Σ. Καρανάσιος Ν. Γιαννακάκης Επίκουρος Καθηγητής, Καθηγητής, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Αιγαίου Εθνικό Μετσόβιο Εθνικό Μετσόβιο (Επιβλέπων) Πολυτεχνείο Πολυτεχνείο

5 ... Γεώργιος Ν. Ευθυμίου Διπλωματούχος Μηχανικός Οικονομίας και Διοίκησης M.Sc. «Μαθηματική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες και την Οικονομία» Copyright c Γεώργιος Ν. Ευθυμίου, 2014 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος - All rights reserved Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας μεταπτυχιακής διατριβής, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό με κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται η παρούσα σημείωση. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της διατριβής για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτή τη διατριβή εκφράζουν το συγγραφέα και δεν πρέπει να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου.

6 Σε όποιον με υποστήριξε όλα αυτά τα χρόνια

7 Ευχαριστίες Πρώτα από όλα θα ήθελα να ευχαριστήσω τα τρία μέλη της επιτροπής εξέτασης, τον Επίκουρο Καθηγητή Δ. Δριβαλιάρη, τον Καθηγητή Σ. Καρανάσιο και τον Επίκουρο Καθηγητή Ν. Γιαννακάκη, για την καθοδήγηση και την υποστήριξή τους. Αυτή η μεταπτυχιακή διατριβή δεν θα ήταν η ίδια χωρίς τις πολύτιμες οδηγίες του επιβλέποντά μου, Επίκουρου Καθηγητή Δ. Δριβαλιάρη. Ολα αυτά τα χρόνια που τον γνωρίζω είναι μία πραγματική πηγή έμπνευσης για μένα και ειλικρινά ανυπομονώ να συνεργαστώ ξανά μαζί του σύντομα. Εάν ποτέ κατορθώσω να γίνω καθηγητής, θα επιθυμούσα να έχω αρκετές από τις ικανότητές του. Ενα επιπλέον πρόσωπο άξιο αναφοράς είναι η Κατερίνα Αντωνιάδου. Κατερίνα, μοιραστήκαμε πολλά από τα προβλήματα και τις λύσεις μας και πιστεύω πως εν τέλει γίναμε και οι δύο καλύτεροι μέσα από αυτή τη συνεργασία. Οφείλω επίσης ένα μεγάλο ευχαριστώ σε όλη μου την οικογένεια. Μου έδωσαν τα πάντα και μου ζήτησαν (σχεδόν!) τίποτα. Εκτός από αυτούς, θα ήθελα να ευχαριστήσω τη «δεύτερη» οικογένειά μου (δηλαδή τους φίλους μου) για την υποστήριξη και την αγάπη τους. Ενα ιδιαίτερα ευχαριστώ αξίζει στη Βάσια Κ., το Γιώγο Ρ., το Γεράσιμο Β. (γνωρίζει ακριβώς πως νιώθω αυτή τη στιγμή), το Δημήτρη Π., τον Παναγιώτη Τσ. (επίσης γνωρίζει πως νιώθω αυτή τη στιγμή), τον Chris Dim και τον Αντώνη Κ. (το συν-δύτη). Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους μου τους συναδέλφους στη Fine Telecommunicatios Ε.Π.Ε. και την Ελληνικά Πετρέλαια Α.Ε. για την κατανόηση και την υποστήριξή τους κατά τη διάρκεια συγγραφής της παρούσας μεταπτυχιακής διατριβής. v

8 Περίληψη Ενας τετραγωνικός πίνακας A λέγεται ότι είναι EP πίνακας αν R(A) = R(A ). Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή στοχεύει στο να συλλέξει και να παρουσιάσει μέρος της έρευνας που έχει δημοσιευθεί έως σήμερα σχετικά με τους EP πίνακες. Επιπλέον επιδεικνύουμε περιπτώσεις όπου ένας τετραγωνικός πίνακας μπορεί να χαρακτηρισθεί ως EP, μέσω διαφορετικών ειδών παραγοντοποιήσεων. Αυτές οι παραγοντοποιήσεις είναι της γενικής μορφής A = U(A 1 0)U, και A = SA, A = BC D DS A = P SD SDS P. vi

9 Abstract A square matrix A is said to be an EP matrix if R(A) = R(A ). This thesis aims to collect and present part of the work done so far on EP matrices. Moreover we demonstrate cases where a square matrix can be characterized as an EP one, through different kinds of factorizations. These factorizations are of the general form A = U(A 1 0)U, and A = SA, A = BC D DS A = P SD SDS P. vii

10 Περιεχόμενα Ευχαριστίες v Περίληψη vi Abstract vii Περιεχόμενα ix 1 Εισαγωγή 1 2 Προκαταρκτικά και Συμβολισμός Αποτελέσματα από τη Γραμμική Άλγεβρα Διάσταση Ιχνος Συμπληρωματικοί Υπόχωροι Ορθογώνιο Συμπλήρωμα Εικόνα και Μηδενόχωρος Δείκτης ενός Πίνακα Φάσμα Ερμιτιανοί, Φυσιολογικοί, Ορθομοναδιαίοι Πίνακες, Πίνακες Μεταθέσεων και Κύριοι Υποπίνακες Προβολές Ορθογώνιες Προβολές στην Εικόνα και το Μηδενόχωρο Αναλλοίωτοι Υπόχωροι Γενικευμένοι Αντίστροφοι Ο Moore-Penrose Αντίστροφος Ο Drazin Αντίστροφος και ο Group Αντίστροφος ΕΡ Πίνακες 16 4 Παραγοντοποιήσεις ΕΡ Πινάκων Παραγοντοποίηση της μορφής A = U(A 1 0)U Παραγοντοποίηση της μορφής A = SA Παραγοντοποίηση της μορφής A = BC Παραγοντοποίηση της μορφής A = P [ SD D SDS DS viii

11 Βιβλιογραφία 52 ix

12 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Οι EP ή Range-Hermitian πίνακες είναι εκείνοι οι πίνακες για τους οποίους ισχύει ότι R(A) = R(A ) ή ισοδύναμα N (A) = N (A ). Λέγεται ότι το όνομα EP προέρχεται από το equal projection (=ίση προβολή), μία σημαντική ιδιότητα των εν λόγω πινάκων, στην οποία θα επανέλθουμε αργότερα στο κείμενο. Από το 1950, όταν ο H. Schwerdtfeger τους εισήγαγε πρώτος στο [19], οι EP πίνακες έχει αποδειχθεί πως ορίζουν μία αρκετά ενδιαφέρουσα ομάδα πινάκων. Εχει αποδειχθεί ότι ο πίνακας A είναι EP αν και μόνο αν μετατίθεται με τον αντίστοιχό του Moore-Penrose αντίστροφο. Επιπλέον, για έναν EP πίνακα, ο Drazin αντίστροφος και ο Group αντίστροφος συμπίπτουν με τον Moore-Penrose αντίστροφο πίνακα. Ο κύριος στόχος της παρούσας μεταπτυχιακής διατριβής είναι η παρουσίαση της βασικής θεωρίας των EP πινάκων και ο χαρακτηρισμός τέτοιων πινάκων μέσω συγκεκριμένων παραγοντοποιήσεων. Καθ όλη την έκταση του κειμένου υποθέτουμε ότι ο αναγνώστης γνωρίζει τις βασικές έννοιες και συμβολισμό της Γραμμικής Άλγεβρας. Στις επόμενες σειρές ακολουθεί μία σύνοψη των περιεχομένων κάθε κεφαλαίου της μεταπτυχιακής διατριβής. Το Κεφάλαιο 2 αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος παρουσιάζει εν τάχει μερικά θεμελιώδη αποτελέσματα της Γραμμικής Άλγεβρας. Το δεύτερο μέρος ασχολείται με τους Γενικευμένους Αντίστροφους ενός πίνακα και ειδικότερα με τον Moore-Pernrose αντίστροφο. Η ιδέα ενός γενικευμένου αντίστροφου πρωτοσυναντάται στη βιβλιογραφία το 1903 από τον I. Fredholm στο [5], όπου όρισε έναν γενικευμένο αντίστροφο (τον οποίο ο Fredholm ονόμασε ψευδοαντίστροφο) ενός ολοκληρωτικού τελεστή. Η ομάδα όλων των ψευδοαντίστροφων χαρακτηρίστηκε το 1912 από τον W.A. Hurwitz στο [7], ο οποίος χρησιμοποίησε το ότι ο πυρήνας ενός τελεστή Fredholm έχει πεπερασμένη διάσταση για να δώσει μία απλή αλγεβρική κατασκευή. Ο E.H. Moore ( ) όρισε ένα μοναδικό αντίστροφο για κάθε πίνακα και τον ονόμασε general reciprocal, κατά τη διάρκεια της δεκαετίας (βλέπε [11], [12] και [13]). Ο Moore κατασκεύασε τον general 1

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ reciprocal, απέδειξε τη μοναδικότητά του και τις βασικές του ιδιότητες και δικαιολόγησε τις εφαρμογές του στις γραμμικές εξισώσεις. Ο general reciprocal ανακαλύφθηκε εκ νέου από τον R. Penrose το 1955 στο [17] και έτσι σήμερα καλείται Moore-Penrose αντίστροφος. Το Κεφάλαιο 3 επικεντρώνεται στους EP πίνακες. Οπως προαναφέρθηκε, οι EP πίνακες προτάθηκαν αρχικά στο [19] και από τότε έχουν γίνει αντικείμενο αρκετής έρευνας. Σε αυτό το κεφάλαιο, παρουσιάζουμε ένα σύνολο ορισμών, θεωρημάτων, ιδιοτήτων και λημμάτων αναφορικά με τους EP πίνακες. Τα περισσότερα από τα προαναφερθέντα αποτελέσματα δίνονται με την απόδειξή τους. Αυτό το κεφάλαιο, ουσιαστικά, δίνει στον αναγνώστη την ικανότητα να κατανοήσει πλήρως όλα όσα παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 4. Τέλος, στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε τέσσερα διαφορετικά είδη παραγοντοποιήσεων, μέσω των οποίων μπορούμε να χαρακτηρίσουμε έναν πίνακα ως EP. Αυτές οι παραγοντοποιήσεις είναι της γενικής μορφής και A = U(A 1 0)U, A = SA, A = BC D DS A = P SD SDS P. Τα τρία πρώτα είδη παραγοντοποιήσεων έχουν εξεταστεί ενδελεχώς από τους Drivaliaris et. al. στο [4], όσον αφορά στους χαρακτηρισμούς EP τελεστών. Το τελευταίο είδος, είχε αρχικά προταθεί από τον Pearl στο [14] και μελετήθηκε περαιτέρω από τους Katz και Pearl στο [9]. 2

14 Κεφάλαιο 2 Προκαταρκτικά και Συμβολισμός Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζουμε μία ανασκόπηση βασικών αποτελεσμάτων από τη Γραμμική Άλγεβρα και τη θεωρία των Γενικευμένων Αντίστροφων πινάκων, γνώσεις απαραίτητες για την ανάγνωση των δύο επόμενων κεφαλαίων. Για τα αποτελέσματα της Γραμμικής Άλγεβρα θα χρησιμοποιήσουμε τα [10], [3] και [6]. Για τα αποτελέσματα σχετικά στους Γενικευμένους Αντίστροφους πίνακες θα χρησιμοποιήσουμε τα [10], [3] και [1]. Σχετικά συγγράμματα για τους Γενικευμένους Αντίστροφους πίνακες είναι και τα [18] και [21]. 2.1 Αποτελέσματα από τη Γραμμική Άλγεβρα Ολοι οι πίνακες στην παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή ορίζονται στο μιγαδικό χώρο C. Το σύνολο όλων των m n πινάκων στον C θα συμβολίζεται ως C m n. Αν A C m n, τότε με Ã θα συμβολίζουμε το γραμμικό τελεστή από τον C n στον C m που ορίζεται ως Ã(u) = Au, για όλα τα u Cn. Αν A C m n, τότε με rank(a) θα συμβολίζουμε την τάξη του A Διάσταση Αν ο M είναι ένας υπόχωρος στον C n, τότε θα συμβολίζουμε τη διάσταση του M ως dim(m). Θεώρημα 2.1 ([10, (4.4.6), σ. 198]). Εστω M, N υπόχωροι του C n τέτοιοι ώστε M N. Αν dim(m) = dim(n), 3

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ τότε M = N Ιχνος Ορισμός 2.1 ([10, Παράδειγμα 3.3.1, σ. 90]). Εστω A = [a ij ] C n n. Το ίχνος του A είναι n trace(a) = a ii. Θεώρημα 2.2 ([10, Παράδειγμα 3.6.5, σ. 110]). Εστω A C m n και B C n m. Τότε trace(ab) = trace(ba). Θεώρημα 2.3 ([10, Άσκηση , σ. 114]). Εστω A C m n. Τότε i=1 trace(aa ) = 0 trace(a A) = 0 A = Συμπληρωματικοί Υπόχωροι Ορισμός 2.2 ([10, σ. 383]). Εστω M, N υπόχωροι του C n. Λέμε ότι οι M, N είναι συμπληρωματικοί όταν M + N = C n και M N = {0}. Αν οι M, N είναι συμπληρωματικοί, τότε λέμε ότι ο C n είναι το ευθύ άθροισμα των M και N και γράφουμε M N = C n. Θεώρημα 2.4 ([10, σ. 383]). Εστω M, N υπόχωροι του C n. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) M N = C n. (ii) Για κάθε u C n, υπάρχουν μοναδικά v M και w N τέτοια ώστε u = v + w Ορθογώνιο Συμπλήρωμα Ορισμός 2.3 ([10, σ. 403]). Εστω M υπόχωρος του C n. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα M του M είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων στον C n τα οποία είναι κάθετα σε κάθε διάνυσμα του M, δηλαδή M = {v C n u v = 0, για όλα τα u M}. 4

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Θεώρημα 2.5 ([10, (5.11.4), σ. 404]). Εστω M υπόχωρος του C n. Τότε ( M ) = M. Θεώρημα 2.6 ([10, Άσκηση , σ. 409]). Εστω M, N υπόχωροι του C n. Τότε N M = M N. Θεώρημα 2.7 ([10, (5.11.1), (5.11.2), σ. 403]). (i) Εστω M υπόχωρος του C n. Τότε (ii) Εστω M, N υπόχωροι του C n. Αν M M = C n. M N = C n και N M, τότε Αν τότε θα γράφουμε N = M. M N = C n και N M, M N = C n Εικόνα και Μηδενόχωρος Ορισμός 2.4 ([10, σ. 170]). Εστω A C m n. (i) Η εικόνα του A είναι ο υπόχωρος του C m R(A) = {Ax x C n }. (ii) Η εικόνα του A είναι ο υπόχωρος του C n R(A ) = {A y y C m }. Ορισμός 2.5 ([10, σ. 174]). Εστω A C m n. (i) Ο μηδενοχώρος του A είναι ο υπόχωρος του C n N (A) = {x C n Ax = 0}. (ii) Ο μηδενοχώρος του A είναι ο υπόχωρος του C m N (A ) = {y C m A y = 0}. 5

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Θεώρημα 2.8 ([10, (4.4.7), (4.4.8), (4.4.9), (4.4.10), σ. 199]). Εστω A C m n με rank(a) = r. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) dim(r(a)) = r, (ii) dim(n (A)) = n r, (iii) dim(r(a )) = r, (iv) dim(n (A )) = m r. Πόρισμα 2.1. Εστω A C m n με rank A = r. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) R(A) = C m αν και μόνο αν rank(a) = m, (ii) N (A) = {0} αν και μόνο αν rank(a) = n, (iii) R(A ) = C n αν και μόνο αν rank(a) = n, (iv) N (A ) = {0} αν και μόνο αν rank(a) = m. Θεώρημα 2.9 ([10, (4.4.15), σ. 199]). Εστω A C m n. Τότε dim(r(a)) + dim(n (A)) = n. Θεώρημα 2.10 ([10, Άσκηση , σ. 199]). Εστω A C m n και B C n k. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) R(AB) R(A), (ii) N (B) N (AB). Θεώρημα 2.11 ([10, (4.5.5), (4.5.6), σ. 212]). Εστω A C m n. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) R(AA ) = R(A), (ii) R(A A) = R(A ), (iii) N (AA ) = N (A ), (iv) N (A A) = N (A). Θεώρημα 2.12 ([10, (5.11.5), (5.11.6), (5.11.7), σ. 405]). Εστω A C m n. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) R(A) = N (A ), (ii) N (A) = R(A ), (iii) R(A) N (A ) = C m, (iv) R(A ) N (A) = C n Δείκτης ενός Πίνακα Ορισμός 2.6 ([10, σ. 395]). Εστω A C n n. Ο μικρότερος θετικός ακέραιος k για τον οποίο R(A k ) = R(A k+1 ), (2.1) ονομάζεται δείκτης του πίνακα A και συμβολίζεται ως ind(a). 6

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Σημείωση 2.1. (i) Αν A C n n είναι αντιστρέψιμος, τότε ind(a) = 0. (ii) Αν A C n n, τότε ind(a) n. Θεώρημα 2.13 ([10, σσ ]). Εστω A C n n. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ind(a) = k, (ii) ο k είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο N (A k ) = N (A k+1 ), (iii) ο k είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο (iv) R(A k ) N (A k ) = C n Φάσμα rank(a k ) = rank(a k+1 ), Αν A C n n, τότε θα συμβολίζουμε το φάσμα του A ως σ(a). Ορισμός 2.7 ([10, σ. 587]). Εστω A C n n και λ σ(a). Τότε ο δείκτης της ιδιοτιμής λ είναι ind(λ) = ind(a λi). Ορισμός 2.8 ([10, σ. 601]). Εστω A C n n με σ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ s }, k i = ind(λ i ), i = 1, 2,..., s, και έστω f : C C συνάρτηση. Θα λέμε ότι η f(a) ορίζεται αν οι f(λ i ), f (λ i ),..., f (k i 1) (λ i ) υπάρχουν, για i = 1, 2,..., s. Θεώρημα 2.14 ([10, Παράδειγμα 7.9.4, σ. 606]). Εστω A C n n και f : C C συνάρτηση για την οποία η f(a) ορίζεται. Τότε υπάρχει πολυώνυμο p(z) τέτοιο ώστε f(a) = p(a) Ερμητιανοί, Φυσιολογικοί, Ορθομοναδιαίοι Πίνακες, Πίνακες Μεταθέσεων και Κύριοι Υποπίνακες Ορισμός 2.9 ([10, σ. 85]). Εστω A C n n. Λέμε ότι ο A είναι Ερμιτιανός αν A = A. 7

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Ορισμός 2.10 ([10, σ. 547]). Εστω A C n n. Λέμε ότι ο A είναι φυσιολογικός αν AA = A A. Ορισμός 2.11 ([10, σσ ]). Εστω U C n n. Λέμε ότι ο U είναι ορθομοναδιαίος αν ο U είναι αντιστρέψιμος και U 1 = U. Θεώρημα 2.15 ([10, σ. 547]). Εστω A C n n. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) Υπάρχει U C n n ορθομοναδιαίος και D C n n διαγώνιος τέτοιοι ώστε (ii) Ο A είναι φυσιολογικός. U AU = D, Θεώρημα 2.16 ([10, σ. 407]). Εστω A C m n με rank(a) = r. Τότε υπάρχουν ορθομοναδιαίοι πίνακες U C m m και V C n n και αντιστρέψιμος πίνακας C C r r τέτοιοι ώστε [ ] C 0 A = U r (n r) V, 0 (m r) r 0 (m r) (n r) όπου οι πρώτες r στήλες του U ορίζουν μία ορθοκανονική βάση του R(A), οι τελευταίες (m r) στήλες του U ορίζουν μία ορθοκανονική βάση του N (A ), οι πρώτες r στήλες του V ορίζουν μία ορθοκανονική βάση του R(A ) και οι τελευταίες (n r) στήλες του V ορίζουν μία ορθοκανονική βάση του N (A). Θεώρημα 2.17 ([10, σ. 412]). Εστω A C m n με rank(a) = r. Τότε υπάρχουν ορθομοναδιαίοι πίνακες U C m m και V C n n και αντιστρέψιμος διαγώνιος πίνακας D C r r τέτοιοι ώστε [ ] D 0 A = U r (n r) V. 0 (m r) r 0 (m r) (n r) Η αποσύνθεση του A που περιγράφεται στο προηγούμενο θεώρημα ονομάζεται Singular Value Decomposition του A. Ορισμός 2.12 ([6, σ. 32]). Εστω P C m n. Λέμε ότι ο P είναι ένας πίνακας μεταθέσεων αν ακριβώς ένα στοιχείο κάθε γραμμής και στήλης είναι 1 και όλα τα άλλα είναι 0. Ενας πίνακας μεταθέσεων προκύπτει από έναν ίδιων διατάσεων μοναδιαίο πίνακα μεταθέτοντας τις γραμμές του. Ο πολλαπλασιασμός από αριστερά με ένα πίνακα μεταθέσεων μεταθέτει τις γραμμές του πολλαπλασιαζόμενου πίνακα και ο πολλαπλασιασμός από δεξιά με ένα πίνακα μεταθέσεων μεταθέτει τις στήλες του πολλαπλασιαζόμενου πίνακα. 8

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Θεώρημα 2.18 ([6, σ. 32]). Εστω P C n n ένας πίνακας μεταθέσεων. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) P = P, (ii) P 1 = P, (iii) υπάρχει k N τέτοιο ώστε P k = I, (iv) το γινόμενο πινάκων μεταθέσεων είναι ένας πίνακας μεταθέσεων. Ορισμός 2.13 ([10, σ. 494]). Εστω A C n n. Τότε ο B C r r είναι ένας κύριος υποπίνακας του A παράγεται από το ίδιο σύνολο r γραμμών και στηλών Προβολές Ορισμός 2.14 ([10, σ. 386]). Εστω M, N υπόχωροι του C n τέτοιοι ώστε M N = C n. Από το Θεώρημα 2.2 για κάθε u C n υπάρχουν μοναδικά v M και w N τέτοια ώστε u = v+w. Τότε ο τετραγωνικός πίνακας P που ορίζεται ως P u = v, για κάθε u C n ονομάζεται προβολή του M στον N. Θα συμβολίζουμε την προβολή του M στον N ως P M N. Θεώρημα 2.19 ([10, σ. 386, Άσκηση 5.9.7, σ. 391]). Εστω M, N συμπληρωματικοί υπόχωροι του C n και P M N προβολή του M στον N. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) P 2 M N = P M N, (ii) I P M N = P N M, (iii) R(P M N ) = {u C n P M N u = u}, (iv) R(P M N ) = N (I P M N ) = M και N (P M N ) = R(I P M N ) = N. Θεώρημα 2.20 ([10, (5.9.13), σ. 387]). Εστω P C n n. Τότε ο P είναι προβολή αν και μόνο αν P 2 = P. Αν P 2 = P, τότε P = P R(P ) N (P ). Θεώρημα 2.21 ([10, Άσκηση , σ. 392]). Εστω P C n n προβολή. Τότε rank(p ) = trace(p ). Ορισμός 2.15 ([10, σ. 429]). Εστω M υπόχωρος του C n. Θα ονομάζουμε την προβολή του M στον M ορθογώνια προβολή του M και θα τη συμβολίζουμε ως P M. 9

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Θεώρημα 2.22 ([10, σ. 433]). Εστω P C n n προβολή. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) ο P είναι ορθογώνια προβολή, (ii) R(P ) N (P ), (iii) P = P Ορθογώνιες Προβολές στην Εικόνα και το Μηδενόχωρο Ορισμός Εστω A C m n. Θα συμβολίζουμε ως P A την ορθογώνια προβολή P R(A) του R(A) και ως P A την ορθογώνια προβολή P R(A ) του R(A ). Θεώρημα Εστω A C m n. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) I P A = P N (A ), (ii) I P A = P N (A), (iii) R(P A ) = N (P N (A )) = R(A), (iv) N (P A ) = R(P N (A )) = N (A ), (v) R(P A ) = N (P N (A) ) = R(A ), (vi) N (P A ) = R(P N (A) ) = N (A). Απόδειξη. (i): Από τον ορισμό του P A, Θεώρημα 2.12, (i) και το Θεώρημα 2.19, (ii) έχουμε ότι (ii): Από το (i) έχουμε ότι I P A = I P R(A) = I P R(A) N (A ) = P N (A ). I P A = P N ((A ) ) = P N (A). (iii), (iv): Προκύπτουν από το (i) και το Θεώρημα 2.19, (iv). (v), (vi): Προκύπτουν από το (ii) και το Θεώρημα 2.19, (iv). Θεώρημα Εστω A C m n. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) P A A = A, (ii) P A A = A, (iii) A P A = A, (iv) AP A = A, (v) P N (A )A = 0, 10

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ (vi) P N (A) A = 0, (vii) A P N (A ) = 0, (viii) AP N (A) = 0. Απόδειξη. (i): Εστω u C n. Τότε Au R(A). Αφού R(P A ) = R(A), από το Θεώρημα 2.19, (iii) έχουμε ότι Συνεπώς P A Au = Au. P A A = A. (ii): Προκύπτει άμεσα από το (i). (iii): Χρησιμοποιώντας το (i) και το Θεώρημα 2.22, (iii) έχουμε ότι P A A = A = (P A A) = A = A P A = A = A P A = A. (iv): Προκύπτει άμεσα από το (iii). (v): Χρησιμοποιώντας το (i) και το Θεώρημα 2.23, (i) έχουμε ότι P A A = A = A P A A = 0 = (I P A )A = 0 = P N (A )A = 0. (vi): Προκύπτει άμεσα από το (v). (vii): Χρησιμοποιώντας το (iii) και το Θεώρημα 2.23, (i) έχουμε ότι A P A = A = A A P A = 0 = A (I P A ) = 0 = A P N (A ) = 0. Εναλλακτικά μπορούμε να το αποδείξουμε ως εξής: Εστω u C n. P N (A )u N (A ) και άρα A P N (A )u = 0. Συνεπώς A P N (A ) = 0. (viii): Προκύπτει άμεσα από το (vii). Τότε Θεώρημα 2.25 ([4, Λήμμα 5.2, σ. 1564]). 11

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ (i) Εστω S C k m και A C m n. Τότε έχουμε ότι S = SP A N (A ) N (S) R(S ) R(A). (2.2) (ii) Εστω S C m k και A C m n. Τότε έχουμε ότι S = P A S N (A ) N (S ) R(S) N (A). (2.3) Απόδειξη. (i): Υποθέτουμε ότι Από το Θεώρημα 2.23, (iv) έχουμε ότι και άρα S = SP A. x N (A ) = x N (P A ) S = SP A Από την άλλη μεριά, υποθέτουμε ότι = P A x = 0 = SP A x = 0 = Sx = 0 = x N (S), = N (A ) N (S). N (A ) N (S). Εστω x C n. Τότε, από το Θεώρημα 2.23, (i) έχουμε ότι Αφού P N (A )x N (A ), και άρα για όλα τα x C n. Συνεπώς Sx = SP A x S(I P A )x = 0 SP N (A )x = 0. P N (A )x N (S) SP N (A )x = 0, S = SP A. (ii): Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.22, (iii) και (i) έχουμε ότι S = P A S S = (P A S) S = S P A S = S P A N (A ) N (S ) R((S ) ) N (A) R(S) N (A). 12

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Αναλλοίωτοι Υπόχωροι Ορισμός 2.17 ([3, Ορισμός 0.2.1, σ. 4]). Εστω A C n n και M υπόχωρος του C n. (i) Λέμε ότι M είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωρος του A αν AM = {Au u M} M. (ii) Λέμε ότι M είναι ένας reducing υπόχωρος του A αν M είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωρος του A και του A. Θεώρημα 2.26 ([3, Άσκηση 5, σ. 7]). Εστω A C n n και M υπόχωρος του C n. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) αν M είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωρος του A, τότε ο M είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωρος του A, (ii) ο M είναι ένας reducing υπόχωρος του A αν και μόνο M και M είναι αναλλοίωτοι υπόχωροι του A. Θεώρημα 2.27 ([3, Πρόταση 0.2.3, σ. 4]). Εστω A C n n και M υπόχωρος του C n. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) ο M είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωρος του A αν και μόνο αν P M AP M = AP M, (ii) ο M είναι ένας reducing υπόχωρος του A αν και μόνο αν AP M = P M A. 2.2 Γενικευμένοι Αντίστροφοι Ο Moore-Penrose Αντίστροφος Ο πιο διαδεδομένος τύπος γενικευμένου αντίστροφου πίνακα είναι ο Moore- Penrose αντίστροφος πίνακας, ο οποίος περιγράφηκε ανεξάρτητα από τον E- liakim Hastings Moore το 1920 και το 1935 (βλέπε [12], [13]) και τον Roger Penrose το 1955 (βλέπε [17]). Ορισμός 2.18 ([3, Ορισμός 1.1.3, σ. 9]). Εστω A C m n. Τότε ο μοναδικός n m πίνακας A που ικανοποιεί τις ονομάζεται Moore-Penrose αντίστροφος του A. AA A = A, (2.4) A AA = A, (2.5) (AA ) = AA, (2.6) (A A) = A A. (2.7) 13

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Θεώρημα 2.28 ([3, Ορισμός 1.1.2, σ. 9]). Εστω A C m n. παρακάτω ισχύουν: Τότε τα AA = P A, (2.8) A A = P A. (2.9) Θεώρημα 2.29 ([3, Θεώρημα 1.2.1, σ. 11, Θεώρημα 1.2.2, σ. 12]). Εστω A C m n. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) (A ) = A, (ii) (A ) = (A ), (iii) R(A) = R(AA ), (iv) R(A ) = R(A ) = R(A A), (v) N (A ) = N (A ) = N (AA ), (vi) N (A) = N (A A). Θεώρημα 2.30 ([1, Λήμμα 1, σ. 43]). Εστω A C n n αντιστρέψιμος. Τότε A = A 1. Θεώρημα 2.31 ([3, Θεώρημα 2.1.1, σ. 28]). Εστω A C n n και b C n. Τότε ο A b είναι η ελάχιστη λύση ελαχίστων τετραγώνων του Ax = b. Θεώρημα 2.32 ([10, ( ), σ. 423][1, Πόρισμα 1, σ. 207]). (i) Εστω A, C, U και V όπως στο Θεώρημα Τότε C A 1 0 = V U. (ii) Εστω A, Σ, U και V όπως στο Θεώρημα Τότε όπου A = V Σ U, ( 1 Σ = diag,..., 1 ), 0,..., 0. σ 1 σ r Ο Drazin Αντίστροφος και ο Group Αντίστροφος Ορισμός 2.19 ([3, Ορισμός 7.2.3, σ. 122]). Εστω A C n n με ind(a) = k. Αν ο A D C n n ικανοποιεί τις τότε ο A D ονομάζεται Drazin αντίστροφος του A. A D AA D = A D, (2.10) AA D = A D A, (2.11) A k+1 A D = A k, (2.12) 14

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Θεώρημα 2.33 ([3, Πόρισμα 7.2.1, σ. 123]). Εστω A C n n με ind(a) = k. Τότε (i) AA D = A D A = P R(A k ) N (A k ), (ii) R(A D ) = R(A k ), (iii) N (A D ) = N (A k ). Θεώρημα 2.34 ([3, Θεώρημα 7.5.2, σ. 130]). Εστω A C n n. Τότε υπάρχει πολυώνυμο p(z) τέτοιο ώστε A D = p(a). Ορισμός 2.20 ([3, Ορισμός 7.2.4, σ. 124]). Εστω A C n n με ind(a) = 1. Τότε ο A D ονομάζεται Group αντίστροφος του A και συμβολίζεται ως A #. Ο A # ικανοποιεί τις A # AA # = A #, (2.13) AA # = A # A, (2.14) AA # A = A. (2.15) 15

27 Κεφάλαιο 3 ΕΡ Πίνακες Ορίζουμε έναν EP πίνακα όπως ακολουθεί. Ορισμός 3.1. Ενας τετραγωνικός πίνακας A ονομάζεται EP πίνακας ή Range- Hermitian πίνακας αν R(A) = R(A ). (3.1) Αν ο A είναι ένας EP πίνακας και rank(a) = r, τότε λέμε ότι ο A είναι ένας EP r πίνακας. Στο παρακάτω θεώρημα δίνουμε ορισμένες συνθήκες σχετκές με τους R(A), R(A ), N (A) και N (A ) οι οποίες είναι ισοδύναμες με το να είναι ο A EP πίνακας. Θεώρημα 3.1. Εστω A C n n. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) R(A) R(A ), (iii) R(A ) R(A), (iv) N (A) = N (A ), (v) N (A) N (A ), (vi) N (A ) N (A), (vii) N (A) R(A), (viii) N (A ) R(A ), (ix) R(A) N (A) = C n, (x) R(A ) N (A ) = C n. Απόδειξη. (i) = (ii),(iii): Προφανές. (ii) = (i): Από το Θεώρημα 2.8, (i), (iii) ξέρουμε ότι dim(r(a)) = dim(r(a )). 16

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ Άρα, από το Θεώρημα 2.1, συνεπάγεται ότι R(A) R(A ) R(A) = R(A ) και συνεπώς, από τον Ορισμό 3.1, ο A είναι EP πίνακας. (iii) = (i): Παρόμοια με το (ii) = (i). (i) (iv): Χρησιμοποιώντας τον Ορισμό 3.1 και το Θεώρημα 2.12, (i), (ii) έχουμε ότι ο A είναι EP πίνακας R(A) = R(A ) R(A) = R(A ) N (A ) = N (A). (iv) (v): Παρόμοια με το (i) (ii) χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.8, (ii), (iv). (iv) (vi): Παρόμοια με το (iv) (v). (v) (vii): Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.12, (i) έχουμε ότι N (A) N (A ) N (A) R(A) N (A) R(A). (vi) (viii): Παρόμοια με το (v) (vii) χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.12, (ii). (iv) = (ix): Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.12, (iii) έχουμε ότι C n = R(A) N (A ) = R(A) N (A). (ix) = (vii): Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.7, (ii) έχουμε ότι R(A) N (A) = C n = N (A) R(A). (iv) = (x): Παρόμοια με το (iv) = (ix) χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.12, (iv). (x) = (viii): Παρόμοια με το (ix) = (vii). Σημείωση 3.1. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 3.1, τον Ορισμό 3.1 και το Θεώρημα 2.29, (iv), (v) έχουμε ότι αν ο A C n n, τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A είναι EP πίνακας, (xi) R(A) = R(A ), (xii) R(A) R(A ), (xiii) R(A ) R(A), 17

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ (xiv) N (A) = N (A ), (xv) N (A) N (A ), (xvi) N (A ) N (A), (xvii) N (A ) R(A ), (xviii) R(A ) N (A ) = C n. Μία άμεση πρόταση του ορισμού των EP πινάκων είναι η παρακάτω. Πρόταση 3.1. Εστω A C n n. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) ο A είναι EP πίνακας, (iii) ο A είναι EP πίνακας, (iv) ο (A ) είναι EP πίνακας. Απόδειξη. (i) (ii): Από τον Ορισμό 3.1 έχουμε ότι ο A είναι EP πίνακας R(A ) = R(A) R(A ) = R((A ) ) ο A είναι EP πίνακας. (i) (iii): Από τη Σημείωση 3.1 και το Θεώρημα 2.29, (i) έχουμε ότι ο A είναι EP πίνακας R(A ) = R(A) R(A ) = R((A ) ) (iii) (iv): Προκύπτει από το (i) (ii). ο A είναι EP πίνακας. Στις δύο επόμενες προτάσεις δείχνουμε ότι οι φυσιολογικοί και οι αντίστροφοι πίνακες είναι EP πίνακες. Πρόταση 3.2. Εστω A C n n. Αν ο A είναι φυσιολογικός, τότε ο A είναι EP πίνακας. Απόδειξη. Αφού ο A είναι φυσιολογικός, Άρα, από το Θεώρημα 2.11, (i), (ii), AA = A A. R(A) = R(AA ) = R(A A) = R(A ) όπου, από τον Ορισμό 3.1, συνεπάγεται ότι ο A είναι EP πίνακας. 18

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ Πρόταση 3.3. Εστω A C n n. Αν ο A είναι αντιστρέψιμος, τότε ο A είναι EP πίνακας. Απόδειξη. Αφού ο A είναι αντιστρέψιμος, R(A) = C n. Επιπλέον, αφού ο A είναι αντιστρέψιμος, ο A είναι επίσης αντιστρέψιμος. Άρα Ετσι R(A ) = C n. R(A) = R(A ) όπου, από τον Ορισμό 3.1, συνεπάγεται ότι ο A είναι EP πίνακας. Λήμμα 3.1. Εστω A C n n και B C n r. Αν ο A είναι αντιστρέψιμος, τότε ο [ A 0 B 0 ] είναι EP πίνακας αν και μόνο αν B = 0. Απόδειξη. Εχουμε ότι ( ) ( ) A B A B A 0 ο είναι EP πίνακας R = R B 0 C n {0} = C n R(B ) {0} = R(B ) B = 0 B = 0. Το παρακάτω θεώρημα δείχνει ένας πίνακας είναι EP αν και μόνο αν μετατίθεται με τον αντίστοιχό του Moore-Penrose αντίστροφο. Θεώρημα 3.2. Εστω A C n n. Τότε ο A είναι EP πίνακας αν και μόνο αν AA = A A. Απόδειξη. Από τον Ορισμό 3.1 και το Θεώρημα 2.28 έχουμε ότι ο A είναι EP πίνακας R(A) = R(A ) P A = P A AA = A A. Σημείωση 3.2. Εστω A C n n. Από το Θεώρημα 3.2, το Θεώρημα 2.29, (iv) και το Θεώρημα 2.23, (i), (ii), έχουμε ότι τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: 19

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) P A = P A, (iii) P N (A) = P N (A ), (iv) P A = P A, (v) P N (A) = P N (A ). (vi) P A = P (A ), (vii) P N (A ) = P N ((A ) ), (viii) P A = P (A ), (ix) P N (A ) = P N ((A ) ). Στο επόμενο θεώρημα χαρακτηρίζουμε EP πίνακες μέσω ταυτοτήτων των A, A, P A, P A, P N (A) και P N (A ). Θεώρημα 3.3. Εστω A C n n. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) P A A = A, (iii) P A A = A, (iv) A P A = A, (v) AP A = A, (vi) P N (A) A = 0, (vii) P N (A )A = 0, (viii) A P N (A) = 0, (ix) AP N (A ) = 0. Απόδειξη. (i) = (ii), (iii), (iv), (v), (vi), (vii), (viii), (ix): Προκύπτουν από τη Σημείωση 3.2 και το Θεώρημα (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix): Παρόμοια με τη απόδειξη του Θεωρήματος (ii) = (i): Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.24 και το Θεώρημα 3.1 έχουμε ότι P A A = A = R(A) R(A ) = ο A είναι EP πίνακας. Σημείωση 3.3. Από το Θεώρημα 3.3 και το Θεώρημα 2.28 έχουμε ότι αν A C n n, τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) A AA = A, (iii) AA A = A, (iv) A A A = A, (v) AAA = A, 20

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ Στο επόμενο λήμμα δείχνουμε ότι αν ο A είναι EP πίνακας, τότε ind(a) 1. Λήμμα 3.2. Εστω A C n n EP πίνακας. Τότε ind(a) 1. Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουμε ότι R(A 2 ) = R(A). Αφού ο A είναι EP πίνακας, έχουμε ότι R(A 2 ) = A(R(A)) = A(R(A )) = R(AA ) = R(A). Στο επόμενο θεώρημα δείχνουμε ότι EP πίνακες είναι εκείνοι οι πίνακες για τους οποίους ο Drazin αντίστροφος και ο Group αντίστροφος συμπίπτουν με τον Moore-Penrose αντίστροφο πίνακα. Θεώρημα 3.4. Εστω A C n n. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) ind(a) 1 και A # = A, (iii) A D = A. Απόδειξη. (i) = (ii): Υποθέτουμε ότι ο A είναι EP πίνακας. Τότε από το Θεώρημα 3.2 έχουμε ότι AA = A A. Ετσι AA A = A, A AA = A AA = A A. Άρα A = A # και αφού ο A # υπάρχει, ind(a) = 1. (ii) = (iii): Προφανές. (iii) = (i): Αφού A D = A, AA = A A και από το Θεώρημα 3.2 έχουμε ότι ο A είναι EP πίνακας. 21

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ Το παρακάτω λήμμα είναι χρήσιμο για την απόδειξη του Θεωρήματος 3.5. Λήμμα 3.3. Εστω A C n n EP πίνακας. Τότε (i) ο A : R(A) R(A) είναι αντιστρέψιμος, (ii) ο A : R(A) R(A ) είναι αντιστρέψιμος, (iii) ο A : R(A ) R(A) είναι αντιστρέψιμος, (iv) ο A : R(A ) R(A ) είναι αντιστρέψιμος. Θεώρημα 3.5. Εστω A C n n. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) υπάρχουν U C n n ορθομοναδιαίος και A 1 C r r αντιστρέψιμος τέτοιοι ώστε A1 0 A = U U. Απόδειξη. (i) = (ii): Αφού ο A είναι EP πίνακας, R(A) N (A) = C n, (3.2) το οποίο προκύπτει από το Θεώρημα 3.1. Εστω {u 1, u 2,..., u r } ορθοκανονική βάση του R(A) και {u r+1, u r+2,..., u n } ορθοκανονική βάση του N (A). Από την (3.2), B = {u 1, u 2,..., u n } είναι ορθοκανονική βάση του C n. Συνεπώς, ο U = [u 1... u n ] είναι ορθομοναδιαίος πίνακας. Τότε [A] B = U AU, το οποίο προκύπτει από την (4.8.5) του [10, σ. 253]. Από το Λήμμα 3.3, έχουμε ότι ο R(A) είναι αναλλοίωτος υπό τον A. Προφανώς, ο N (A) είναι επίσης αναλλοίωτος υπό τον A. Άρα, από την (4.9.8) του [10, σ. 262], A R(A) 0 [A] B =. 0 A N (A) Εστω A 1 = A R(A) : R(A) R(A), ο οποίος από το Λήμμα 3.3 είναι α- ντιστρέψιμος. Επίσης, έχουμε ότι A N (A) = 0 : N (A) N (A) και γι αυτό υπάρχει U C n n ορθομοναδιαίος και A 1 C r r αντιστρέψιμος τέτοιοι ώστε: U AU = [ A1 0 (ii) = (i): Υποθέτουμε ότι ] A = U A = U A1 0 U. [ A1 0 ] U. Θα αποδείξουμε ότι A A = U U. 22

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ Εχουμε ότι ( )( )( ) A1 0 A U U U U A1 0 U U A1 0 A A1 0 =U U A1 A 1 1 A =U 1 0 U A1 0 =U U, (3.3) όπου η πρώτη ισότητα προκύπτει από το γεγονός ότι U U = I n και η τελευταία από το γεγονός ότι A 1 A 1 1 = I r. Αντίστοιχα, έχουμε ότι ( [ A 1 U 1 0 ] )( U U [ A1 0 ] )( [ A U 1 U 1 0 ] ) [ A U 1 = U 1 0 ] U, (3.4) αφού U U = I n και A 1 1 A 1 = I r. Πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα της (3.3) με το αποτέλεσμα της (3.4) και έχουμε ότι ( )( ) A1 0 A U U U U Ir 0 = U U, αφού U U = I n και A 1 A 1 1 = I r. Παίρνουμε τον Ερμιτιανό του προηγούμενου πίνακα και έχουμε ότι [( U )( [ A1 0 A U 1 U 1 0 ] )] ( ) U Ir 0 = U U I = U r 0 U Ir 0 = U U ( )( [ A1 0 A = U U 1 U 1 0 ] ) U, όπου η πρώτη και η τελευταία ισότητα προκύπτουν από το γεγονός ότι U U = I n και A 1 1 A 1 = I r και η τρίτη από το γεγονός ότι Ir = I r. Αντίστοιχα, πολλαπλασιάζοντας το αποτέλεσμα της (3.4) με το αποτέλεσμα της (3.3) και παίρνοντας τον Ερμιτιανό πίνακα έχουμε ότι ( )( ) A1 0 A U U U U Ir 0 = U U, 23

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ [( U )( [ A1 0 A U 1 U 1 0 ] )] U = ( U αφού U U = I n, A 1 1 A 1 = I r και Ir = I r. Ως εκ τούτου, A A = U U, και από όσα είπαμε προηγουμένως, AA Ir 0 = U U = A A, και συνεπώς ο A είναι EP πίνακας από το Θεώρημα 3.2. )( [ A1 0 A U 1 U 1 0 ] ) U, Σημείωση 3.4. Το Θεώρημα 3.5, (i) = (ii) μπορεί να αποδειχθεί εναλλακτικά όπως ακολουθεί. Απόδειξη. Αφού ο A είναι EP πίνακας, [ τότε από ] το Θεώρημα 3.1, R(A) N (A) = C n. Ετσι ο U : C n C n με U PA x x = P N (A) x, για όλα τα x C n είναι ορθομοναδιαίος. Προφανώς, U : C n C n με U = = P A x + P N (A) x = ] x, [ PA x P N (A) x για όλα τα x C n. Εστω A 1 : R(A) R(A) με A 1 = A R(A), τότε από το Λήμμα 3.3 ο A 1 είναι αντιστρέψιμος. Εστω επίσης ότι x C n, τότε A1 0 U U A1 0 PA x x = U P N (A) x A1 P = U A x 0 APA x = U 0 Ax = U 0 = Ax + 0 = Ax, όπου η πέμπτη ισότητα προκύπτει από το Λήμμα 3.3, αφού ο A είναι EP πίνακας. Άρα, έχουμε ότι A1 0 U U = A. 24

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ Σημείωση 3.5. Εστω A C n n EP πίνακας, U C n n ορθομοναδιαίος και A 1 C r r αντίστροφος τέτοιοι ώστε A = U A 1 0 U. Τότε A1 0 rank A = rank U U A1 0 = rank = rank A 1 = r, όπου η δεύτερη ισότητα προκύπτει από το γεγονός ότι ο U είναι αντιστρέψιμος, η τρίτη από το γεγονός ότι rank ([ X 1 ]) 0 0 X 2 = rank(x1 ) + rank(x 2 ) και η τελευταία από το γεγονός ότι ο A 1 είναι επίσης αντιστρέψιμος. Ετσι, αν A C n n, τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A είναι EP r πίνακας, (ii) υπάρχουν U C n n ορθομοναδιαίος και A 1 C r r αντιστρέψιμος τέτοιοι ώστε A1 0 A = U U. Στην επόμενη σημείωση παρουσιάζουμε δύο εναλλακτικούς τρόπους απόδειξης του (ii) = (i) της απόδειξης του Θεωρήματος 3.5. Σημείωση 3.6. Υποθέτουμε ότι ο A C n n, ο U C n n είναι ορθομοναδιαίος και ο A 1 C r r αντίστροφος, με A = U [ A 1 0 ] U. 25

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ (i) Εχουμε ότι ( ) A1 0 R(A) = R U U A1 0 = U (R(U )) A1 0 = U (C n ) [ ( )] A1 0 = U R = U(R(A 1 ) R(0)) = U(C n {0}) = U(R(A 1) R(0)) [ ( )] A = U R 1 0 A = U 1 0 (C n ) A = U 1 0 (R(U )) ( ) A = R U 1 0 U = R(A ), όπου η τρίτη και η δέκατη ισότητα προκύπτουν από το γεγονός ότι ο U είναι επί (ως ορθομοναδιαίος), η πέμπτη και η όγδοη από το γεγονός ότι R ([ X 1 ]) 0 0 X 2 = R(X1 ) + R(X 2 ), η έκτη από το γεγονός ότι ο A 1 είναι επί (ως αντίστροφος) και η έβδομη από το γεγονός ότι ο A 1 είναι επίσης επί (ως αντίστροφος). Συνεπώς, ο A είναι EP πίνακας. 26

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ (ii) Εχουμε ότι x N (A) Ax = 0 A1 0 U U x = 0 A1 0 U x = 0 ( ) U A1 0 x N U x N (A 1 ) N (0) U x {0} C n U x N (A 1) N (0) ( ) A U x N 1 0 A 1 0 U x = 0 A U 1 0 U x = 0 A x = 0 x N (A ), όπου η τρίτη και η δέκατη ισότητα προκύπτουν από το γεγονός ότι ο U είναι ένα-προς-ένα (ως ορθομοναδιαίος), η πέμπτη και η όγδοη από το γεγονός ότι N ([ X 1 ]) 0 0 X 2 = N (X1 ) + N (X 2 ), η έκτη από το γεγονός ότι ο A 1 είναι ένα-προς-ένα (ως αντίστροφος) και η έβδομη από το γεγονός ότι ο A 1 είναι επίσης ένα-προς-ένα (ως αντίστροφος). Συνεπώς, ο A είναι EP πίνακας. Στο τελευταίο θεώρημα αυτού του κεφαλαίου αποδεικνύουμε ότι ο A είναι EP πίνακας αν και μόνο αν ο A μπορεί να εκφραστεί ως πολυώνυμο του A. Θεώρημα 3.6. Εστω A C n n. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) υπάρχει πολυώνυμο p(x) τέτοια ώστε A = p(a), (iii) υπάρχει συνάρτηση πινάκων f(x) τέτοια ώστε η f(a) μπορεί να ορισθεί και A = f(a). Απόδειξη. (i) = (ii): Εστω s, k R και A s + λ 1 A s λ k A s+k = 0, (3.5) 27

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ το ελάχιστο πολυώνυμο A. Τότε s = 0 ή s = 1. Για να το εξακριβώσουμε, υποθέτουμε ότι s 2 και τότε έχουμε ότι (3.5) = A (A s + λ 1 A s λ k A s+k ) = 0 = (A A)(A s 1 + λ 1 A s + + λ k A s+k 1 ) = 0 = (AA )(A s 1 + λ 1 A s + + λ k A s+k 1 ) = 0 = (AA A)(A s 2 + λ 1 A s λ k A s+k 2 ) = 0 = A(A s 2 + λ 1 A s λ k A s+k 2 ) = 0 = A s 1 + λ 1 A s + + λ k A s+k 1 = 0, (3.6) όπου η τρίτη συνεπαγωγή προκύπτει από το Θεώρημα 3.2 και η πέμπτη από την (2.4). Προφανώς, το προηγούμενο αποτέλεσμα μας οδηγεί σε αντίφαση. Αν s = 0, τότε έχουμε ότι Αφού ο A 1 υπάρχει, έχουμε ότι (3.6) = A 1 + λ 1 I + + λ k A k 1 = 0 Από την άλλη αν s = 1, έχουμε ότι = A 1 = λ 1 I λ 2 A λ k A k 1. A = A 1 = λ 1 I λ 2 A λ k A k 1. (3.7) (3.5) = A (A + λ 1 A 2 + λ 2 A λ k A k+1 ) = 0 = A A = λ 1 A A 2 λ 2 A A 3 λ k A A k+1 = A A = λ 1 A 1 λ 2 A 2 λ k A k = A AA = λ 1 A 1 A λ 2 A 2 A λ k A k A = A = λ 1 I λ 2 A λ k A k 1, όπου η τρίτη συνεπαγωγή προκύπτει από την (3.7) και η πέμπτη από την (2.5). Άρα, A = p(a). (ii) = (i): Εστω k R και Τότε έχουμε ότι A = λ 1 I λ 2 A λ k A k 1. (3.8) (3.8) = AA = A( λ 1 I λ 2 A λ k A k 1 ) = AA = λ 1 A λ 2 A 2 λ k A k = AA = ( λ 1 I λ 2 A λ k A k 1 )A = AA = A A. 28

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΡ ΠΙΝΑΚΕΣ Συνεπώς, από το Θεώρημα 3.2, ο A είναι EP πίνακας. (ii) = (iii): Προφανές. (iii) = (ii): Προφανές αφού κάθε συνάρτηση πινάκων μπορεί να γραφεί σαν πολυώνυμο (βλέπε [10, Παράδειγμα 7.9.4, σ. 198]). 29

41 Κεφάλαιο 4 Παραγοντοποιήσεις ΕΡ Πινάκων Σε αυτό το κεφάλαιο, χαρακτηρίζουμε EP πίνακες μέσω της ύπαρξης τεσσάρων διαφορετικών τύπων παραγοντοποιήσεων. Αντίστοιχη έρευνα στους EP πίνακες και EP τελεστές έχει γίνει στα [14], [15], [16], [8], [9] και [4]. Ειδικότερα, τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στις ενότητες 4.1, 4.2 και 4.3 βασίζονται στο [4] αυτά της ενότητας 4.4 στα [14] και [9]. 4.1 Παραγοντοποίηση της μορφής A = U(A 1 0)U Σε αυτή την ενότητα, παρουσιάζουμε χαρακτηρισμούς EP πινάκων μέσω παραγοντοποιήσεων του A της μορφής A = U(A 1 0)U και μέσω ταυτόχρονων παραγοντοποιήσεων του A και του A ή του A και του A ή του A A και του AA παρόμοιας μορφής. Ξεκινάμε αναφέροντας δύο βασικά λήμματα, χρήσιμα για τις αποδείξεις που ακολουθούν. Λήμμα 4.1. Εστω A 1, A 2 C n n. Τότε ο A 1 A 2 είναι EP πίνακας αν και μόνο αν οι A 1 και A 2 είναι EP πίνακες. 30

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΕΡ ΠΙΝΑΚΩΝ Απόδειξη. Εχουμε ότι οιa 1, A 2 είναι EP πίνακες R(A 1 ) + R(A 2 = R(A 1) + R(A ( ) ( 2) ) A1 0 A R = R A 2 0 A 2 ( ) ( ) A1 0 A1 0 R = R 0 A 2 0 A 2 R(A 1 A 2 ) = R((A 1 A 2 ) ) οa 1 A 2 είναι EP πίνακας. Λήμμα 4.2. Εστω A C n n, G C r r και U C n r με rank(u) = r τέτοιοι ώστε A = UGU. Τότε ο A είναι EP πίνακας αν και μόνο αν ο G είναι EP πίνακας. Απόδειξη. ( = ): Εστω ότι ο A είναι EP πίνακας, τότε έχουμε ότι R(A) = R(A ) R(UGU ) = R(UG U ) R(GU ) = R(G U ) R(G) = R(G ), όπου η δεύτερη ισοδυναμία προκύπτει από το ότι rank(u) = r και η τελευταία από το ότι rank(u ) = n. Συνεπώς, ο G είναι EP πίνακας. ( = ): Εστω ότι ο G είναι EP πίνακας, τότε έχουμε ότι x N (A) Ax = 0 UGU x = 0 GU x = 0 U x N (G) U x N (G ) G U x = 0 UG U x = 0 A x = 0 x N (A ), όπου η τρίτη και η έβδομη ισοδυναμία προκύπτουν από το ότι rank(u) = r. Συνεπώς, ο A είναι EP πίνακας. 31

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΕΡ ΠΙΝΑΚΩΝ Σημείωση 4.1. (i) Το αποτέλεσμα του προηγούμενου λήμματος δεν είναι αληθές αν rank(u) r. Προς επαλήθευση, για τη μία κατεύθυνση έστω ότι A =, G = , U = 1 0 και για την άλλη έστω ότι A = 0 1, G = , U = Οπως παρατηρούμε, στην πρώτη περίπτωση R(G) R(G ) και στη δεύτερη R(A) R(A ). (ii) Ενα άμεσο πόρισμα του προηγούμενου λήμματος, είναι το ότι αν ο G είναι EP πίνακας και ο U ορθομοναδιαίος, τότε ο UGU = UGU 1 είναι επίσης EP πίνακας. Από την άλλη μεριά, αν ο G είναι EP πίνακας και ο U αντιστρέψιμος, τότε δεν είναι γενικά αληθές ότι ο UGU 1 είναι EP πίνακας. Προς επαλήθευση, έστω ότι G = 0 1 0, U = Οπως παρατηρούμε, R(UGU 1 ) R((UGU 1 ) ). Το επόμενο θεώρημα είναι το κύριο θεώρημα της παρούσας ενότητας και στην ουσία αποτελεί επέκταση του Θεωρήματος 3.5. Με τη χρήση του παρακάτω θεωρήματος, μπορούμε να χαρακτηρίζουμε EP πίνακες μέσω παραγοντοποιήσεων της γενικής μορφής A = U(A 1 0)U. Θεώρημα 4.1. Εστω A C n n, n = n 1 + n 2 και r = r 1 + r 2. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A EP πίνακας, (ii) υπάρχουν U 1 C n n ορθομοναδιαίος και A 1 C n 1 n 1 αντιστρέψιμος τέτοιοι ώστε A = U 1 (A 1 0)U1, (iii) υπάρχουν U 2 C n n αντιστρέψιμος και A 2 C n 1 n 1 αντιστρέψιμος τέτοιοι ώστε A = U 2 (A 2 0)U2, (iv) υπάρχουν U 3 C n r με rank(u 3 ) = r και A 3 C r 1 r 1 αντιστρέψιμος τέτοιοι ώστε A = U 3 (A 3 0)U3. 32

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΕΡ ΠΙΝΑΚΩΝ Απόδειξη. (i) = (ii): Βλέπε την απόδειξη του Θεωρήματος 3.5. (ii) = (iii): Προφανές, αφού ένας ορθομοναδιαίος πίνακας είναι αντιστρέψιμος (βλέπε [10, σ. 321]). (iii) = (iv): Προφανές, αφού ένας αντιστρέψιμος πίνακας στην ανοιχτή κλιμακωτή μορφή του είναι ο I, δηλαδή rank(u 3 ) = r (βλέπε [10, (3.7.5), (3.7.7), σ. 116]). (iv) = (i): Αφού ο A 3 είναι αντιστρέψιμος, από την Πρόταση 3.3 έχουμε ότι ο A 3 είναι EP πίνακας. Επιπλέον, από το Λήμμα 4.1, έχουμε ότι ο A 3 0 είναι επίσης EP πίνακας. Συνεπώς, από το Λήμμα 4.2 έχουμε ότι ο A είναι EP πίνακας. Σημείωση 4.2. (i) Οσα αναφέραμε στη Σημείωση 4.1, (i) ισχύουν επίσης για το προηγούμενο θεώρημα. Σαν αποτέλεσμα, αν δεν υποθέσουμε ότι rank(u 3 ) = r, τότε ο A δεν είναι πάντοτε EP πίνακας. (ii) Είναι εύκολο να διακρίνουμε ότι αν A = U(A 1 0)U, με U ορθομοναδιαίο και A 1 αντιστρέψιμο, τότε αντίστοιχα A = U(A 1 1 0)U. Η επαλήθευση μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τις (2.4)-(2.7) ή χρησιμοποιώντας το Γεγονός (6.3.8) του [2, σ. 371] από τη στιγμή που ο A 1 είναι αντιστρέψιμος. Στην επόμενη πρόταση, παρουσιάζουμε ότι η ύπαρξη ταυτόχρονων παραγοντοποιήσεων του A και του A της γενικής μορφής A = V (A 0)S και της A = W (B 0)S, συνεπάγεται ότι ο A είναι EP πίνακας. Μία περίπτωση της παραπάνω γενικής μορφής είναι αυτή όπου A = U(A 0)U και A = U(B 0)U, όπου οι U, A και B έχουν πλήρη τάξη ως προς τη στήλη. Πρόταση 4.1. Εστω A C n n και r = r 1 + r 2. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) υπάρχουν V 1 C n r με rank(v 1 ) = r, W 1 C n r, S 1 C r n, A 1 C r 1 r 1 με rank(a 1 ) = r 1 και B 1 C r 1 r 1 τέτοιοι ώστε A = V 1 (A 1 0)S 1 και A = W 1 (B 1 0)S 1, (iii) υπάρχουν V 2 C n r, W 2 C n r με rank(w 2 ) = r, S 2 C r n, A 2 C r 1 r 1 και B 2 C r 1 r 1 με rank(b 2 ) = r 1 τέτοιοι ώστε A = V 2 (A 2 0)S 2 και A = W 2 (B 2 0)S 2. Απόδειξη. (i) = (ii),(iii): Προκύπτουν από το Θεώρημα

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΕΡ ΠΙΝΑΚΩΝ (ii) = (i): Εχουμε ότι x N (A) = Ax = 0 = V 1 (A 1 0)S 1 x = 0 = (A 1 0)S 1 x = 0 = S 1 x N (A 1 0) = S 1 x {0} C n = W 1 (B 1 0)S 1 x = 0 = A x = 0 = x N (A ), όπου η τρίτη ισοδυναμία προκύπτει από το γεγονός ότι rank(v 1 ) = r. Άρα, N (A) = N (A ) και από το Θεώρημα 3.1, ο A είναι EP πίνακας. (iii) = (i): Παρόμοια με το (ii) = (i) αντικαθιστώντας τον V 1 με τον W 2, τον W 1 με τον V 2, τον A 1 με τον B 2 και τον B 1 με τον A 2. Σημείωση 4.3. (i) Αν στο (ii) της προηγούμενης πρότασης υποθέσουμε μόνο ότι rank(v 1 ) = r ή μόνο ότι rank(a 1 ) = r 1, τότε ο A δεν είναι πάντοτε EP πίνακας. (ii) Χρησιμοποιώντας τη Σημείωση 4.2, (ii) και το Θεώρημα 2.29, (v) παίρνουμε ότι τα αποτελέσματα της προηγούμενης πρότασης ισχύουν επίσης αν αντικαταστήσουμε τον A με τον A. Από όσα αναφέραμε προηγουμένως στη Σημείωση 4.1, (ii), αν αντικαταστήσουμε τον A = U 2 (A 2 0)U2 με τον A = U 2 (A 2 0)U2 1 στο Θεώρημα 4.1, (iii), τότε ο A δεν είναι πάντοτε EP πίνακας. Στην επόμενη πρόταση παρουσιάζουμε ότι η ύπαρξη ταυτόχρονων παραγοντοποιήσεων του A και του A της μορφής A = U(A 0)U 1 και της A = U(B 0)U 1, με U αντιστρέψιμο και έναν από τους A και B επίσης αντιστρέψιμο, συνεπάγεται ότι ο A είναι EP πίνακας. Πρόταση 4.2. Εστω A C n n και n = n 1 +n 2. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) υπάρχουν U 1 C n n, A 1 C n 1 n 1 αντιστρέψιμοι και B 1 C n 1 n 1 τέτοιοι ώστε A = U 1 (A 1 0)U1 1 και A = U 1 (B 1 0)U1 1. Απόδειξη. (i) = (ii): Προκύπτει από το Θεώρημα 4.1. (ii) = (i): Παρόμοια με την απόδειξη της Πρότασης 4.1, (ii) = (i). Σημείωση 4.4. Χρησιμοποιώντας τη Σημείωση 4.2, (ii) και το Θεώρημα 2.29, (v) παίρνουμε ότι τα αποτελέσματα της προηγούμενης πρότασης ισχύουν επίσης αν αντικαταστήσουμε τον A με τον A. 34

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΕΡ ΠΙΝΑΚΩΝ Τέλος, προτείνουμε έναν χαρακτηρισμό EP πινάκων μέσω ταυτόχρονων παραγοντοποιήσεων του A A και του AA. Πρόταση 4.3. Εστω A C n n, n = n 1 + n 2 και r = r 1 + r 2. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) υπάρχουν U 1 C n n ορθομοναδιαίος και A 1 C n 1 n 1 αντιστρέψιμος τέτοιοι ώστε A A = U 1 (A 1A 1 0)U1 και AA = U 1 (A 1 A 1 0)U1, (iii) υπάρχουν V 2 C n r με rank(v 2 ) = r, W 2 C n r, S 2 C r n, A 2 C n 1 n 1 με rank(a 2 ) = n 1 και B 2 C n 1 n 1 τέτοιοι ώστε A A = V 2 (A 2 0)S 2 και AA = W 2 (B 2 0)S 2, (iv) υπάρχουν V 3 C n r, W 3 C n r με rank(w 3 ) = r, S 3 C r n, A 3 C n 1 n 1 ανδ B 3 C n 1 n 1 με rank(b 3 ) = n 1 τέτοιοι A A = V 3 (A 3 0)S 3 και AA = W 3 (B 3 0)S 3, (v) υπάρχουν U 4 C n n αντιστρέψιμος και A 4, B 4 C n 1 n 1 με rank(a 4 ) = n 1 και rank(b 4 ) = n 1 αντίστοιχα τέτοια ώστε A A = U 4 (A 4 0)U4 1 και AA = U 4 (A 4 0)U 1 4. Απόδειξη. (i) = (ii): Προκύπτει από το Θεώρημα 4.1. (ii) = (iii),(iv): Προφανές. (ii) = (v): Προφανές. (v) = (iii),(iv): Προφανές. (iii),(iv) = (i): Παρόμοια με την απόδειξη της Πρότασης 4.1, (ii) = (i) χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.11, (iii), (iv). Σημείωση 4.5. Αν στο (ii) της προηγούμενης πρότασης υποθέσουμε μόνο ότι ο U 1 είναι ορθομοναδιαίος ή μόνο ότι ο A 1 είναι αντιστρέψιμος, τότε ο A δεν είναι πάντοτε EP πίνακας. 4.2 Παραγοντοποίηση της μορφής A = SA Σε αυτή την ενότητα, παρουσιάζουμε χαρακτηρισμούς EP πινάκων μέσω παραγοντοποιήσεων του A της μορφής A = SA, της μορφής A = SA, της μορφής A A = SAA, της μορφής A A = ASA, της μορφής A A = SAA και της μορφής A A = ASA. Ξεκινάμε χαρακτηρίζοντας EP πίνακες μέσω παραγοντοιήσεων της μορφής A = SA. Πρόταση 4.4. Εστω A C n n. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) υπάρχει V 1 C n n αντιστρέψιμος τέτοιος ώστε A = V 1 A, (iii) υπάρχει V 2 C n n αντιστρέψιμος τέτοιος ώστε A = A V 2, 35

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΕΡ ΠΙΝΑΚΩΝ (iv) υπάρχει V 3 C n n αντιστρέψιμος τέτοιος ώστε A = AV 3, (v) υπάρχει V 4 C n n αντιστρέψιμος τέτοιος ώστε A = V 4 A, (vi) υπάρχουν S 1, S 2 C n n τέτοιοι ώστε A = S 1 A και A = S 2 A, (vii) υπάρχουν S 3, S 4 C n n τέτοιοι ώστε A = AS 3 και A = A S 4. Απόδειξη. (i) = (ii): Από το Θεώρημα 4.1, αφού ο A είναι EP πίνακας, έχουμε ότι A = U(A 1 0)U, όπου ο U C n n είναι ορθομοναδιαίος, ο A 1 C n 1 n 1 είναι αντιστρέψιμος και n = n 1 + n 2. Εστω τότε έχουμε ότι V 1 = U(A 1A 1 1 I n2 )U, V 1 A = (U(A 1A 1 1 I n2 )U )(U(A 1 0)U ) = U(A 1A 1 1 I n2 )(A 1 0)U = U = U [ A 1 A I n2 [ A 1 0 ] U = U(A 1 0)U = A, ] [ A1 0 όπου η δεύτερη ισότητα προκύπτει από το γεγονός ότι ο U είναι ορθομοναδιαίος πίνακας. (ii) (iii): Από την Πρόταση 3.1 έχουμε ότι το να είναι ο A EP πίνακας ισοδυναμεί με το να είναι και ο A EP πίνακας. Σαν αποτέλεσμα, έχουμε ότι ] U A = V 1 A = (A ) = (V 1 A) = A = A V 1 = A = A V 2. Το αντίστροφο προκύπτει με παρόμοιο τρόπο. (i) = (iv): Παρόμοια με το (i) = (ii) με V 3 = U(A 1 1 A 1 I n2 )U. (iv) (v): Παρόμοια με το (ii) (iii). (ii) = (vi): Από τη στιγμή που ο V 1 είναι αντιστρέψιμος έχουμε ότι A = V 1 A = A = V 1 1 A. Θέτουμε V 1 = S 1 και V 1 1 = S 2 για να πάρουμε το (vi). (vi) = (i): Από τη σχέση A = S 1 A παίρνουμε ότι N (A) N (A ) και συνεπώς από το Θεώρημα 3.1, ο A είναι EP πίνακας. Θα μπορούσαμε επίσης να καταλήξουμε στη σχέση N (A ) N (A) από την A = S 2 A, κάτι που θα μας οδηγούσε στο ίδιο συμπέρασμα, ότι δηλαδή ο A είναι EP πίνακας. (iv) = (vii): Παρόμοια με το (ii) = (vi). (vii) = (i): Παρόμοια με το (vi) = (i). 36

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΕΡ ΠΙΝΑΚΩΝ Σημείωση 4.6. Αν A = U(A 1 0)U C n n, με U C n n ορθμομοναδιαίο πίνακα, A 1 C n 1 n 1 αντιστρέψιμο και n = n 1 +n 2, τότε οι λύσεις της εξίσωσης A = XA είναι [ A X = U 1 A 1 1 B 0 D ] U, B C n 1 n 2, D C n 2 n 2. Μπορούμε επίσης να γράψουμε, με παρόμοιο τρόπο, τις λύσεις των εξισώσεων A = XA, A = A X και A = AX. Για παρόμοια αποτελέσματα βλέπε [9]. Συνεχίζουμε παρουσιάζοντας μία ανάλογη πρόταση που αφορά το χαρακτηρισμό EP πινάκων μέσω παραγοντοποιήσεων της μορφής A = SA. Πρόταση 4.5. Εστω A C n n. Τότε τα παρακάτω ισχύουν: (i) ο A είναι EP πίνακας, (ii) υπάρχει V 1 C n n αντιστρέψιμος τέτοιος ώστε A = V 1 A = AV 1, (iii) υπάρχει V 2 C n n αντιστρέψιμος τέτοιος ώστε A = V 2 A = A V 2, (iv) υπάρχουν S 1, S 2 C n n τέτοιοι ώστε A = S 1 A και A = S 2 A, (v) υπάρχουν S 3, S 4 C n n τέτοιοι ώστε A = AS 3 και A = A S 4. Απόδειξη. (i) = (ii): Από το Θεώρημα 4.1, αφού ο A είναι EP πίνακας, έχουμε A = U(A 1 0)U, όπου ο U C n n είναι ορθομοναδιαίος πίνακας, ο A 1 C n 1 n 1 αντιστρέψιμος και n = n 1 + n 2. Εστω τότε έχουμε ότι V 1 = U(A 2 1 I n2 )U, V 1 A = (U(A 2 1 I n2 )U )(U(A 1 0)U ) = U(A 2 1 I n2 )(A 1 0)U [ A = U 0 I n2 A 1 = U 1 0 ] [ A1 0 U = U(A 1 1 0)U = A, όπου η δεύτερη ισότητα προκύπτει από το γεγονός ότι ο U είναι ορθομοναδιαίος πίνακας και η τελευταία από τη Σημείωση 4.2, (ii). Από την άλλη μεριά, έχουμε ] U 37

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΕΡ ΠΙΝΑΚΩΝ ότι AV 1 = (U(A 1 0)U )(U(A 2 1 I n2 )U ) = U(A 1 0)(A 2 1 I n2 )U [ A1 0 A 2 = U A = U U = U(A 1 1 0)U = A, I n2 ] U όπου η δεύτερη ισότητα προκύπτει όπως παραπάνω. Συνεπώς, A = V 1 A = AV 1. (i) = (iii): Παρόμοια με το (i) = (ii) με V 2 = U(A 2 I n2 )U. (ii) = (iv): Παρόμοια με την απόδειξη της Πρότασης 4.4, (ii) = (vi). (iii) = (v): Οπως παραπάνω. (iv) = (i): Παρόμοια με την απόδειξη της Πρότασης 4.4, (vi) = (i) και το Θεώρημα 2.29, (v). (v) = (i): Οπως παραπάνω. Σημείωση 4.7. (i) Γενικά δεν είναι πάντοτε αληθές ότι αν ο A είναι EP πίνακας και V είναι αντιστρέψιμος τέτοιοι ώστε A = V A, τότε A = AV. Προς επαλήθευση, έστω A = και V =. 0 1 (ii) Αν A = U(A 1 0)U C n n, με U C n n ορθομοναδιαίο πίνακα, A 1 C n 1 n 1 αντιστρέψιμο και n = n 1 + n 2, τότε οι λύσεις της εξίσωσης A = XA είναι A 2 1 B X = U U, 0 D B C n 1 n 2, D C n 2 n 2. και οι λύσεις της εξίσωσης A = XA = AX είναι A X = U U, D C n 2 n 2, 0 D Μπορούμε επίσης να γράψουμε, με παρόμοιο τρόπο, τις λύσεις των εξισώσεων A = XA και A = XA = A X. Ολοκληρώνουμε αυτή την ενότητα με δύο χαρακτηρισμούς EP πινάκων μέσω παραγοντοποιήσεων της μορφής A A = SAA και A A = ASA. 38