2.5. SKLEPANJA TESTIRANJE HIPOTEZ

Transcript

1 .5. SKLEPANJA TESTIRANJE HIPOTEZ S tatitičim klepajem ugotavljamo, kakše o latoti populacije ali vzorca. Primeri: I. V zadjih 0 deetletjih je bilo a bovškem število glavih potreih ukov: Ali e potrei pojavljajo aključo = Tet ujemaja porazdelitve Poioovo?

2 .5. SKLEPANJA TESTIRANJE HIPOTEZ II. Magmatka kamia je grait, če vebuje 0% kremea. V omih zbrukih kamie Pohorja je % kremeovih zr: 3,5 6,6 5,4 9,3 9,,4 0,9 4,9 Ali je vzorčea kamia grait Tet ujemaja redje vredoti vzorca z eko kritičo (predpiao) vredotjo.

3 .5. SKLEPANJA TESTIRANJE HIPOTEZ III. V horizotih A i B mo izmerili širie školjk: A: 3, 3, 3, 3,3,9,9 3,5 3,0 B: 3, 3,,8 3, 3, 3,0,6 3,0 3,,8 Ali gre v obeh horizotih za ito vrto školjk? So školjke iz horizota A večje od titih iz B? Tet eakoti dveh populacijkih povprečij.

4 .5.. Porazdelitve vzorčeja oce parametrov Vzorčevala porazdelitev je verjetota porazdelitev ocee parametrov populacije. Za podatke, ki izhajajo iz ormale porazdelitve iščemo itervale zaupaja (razpoe vredoti), zotraj katerih verjeto leži reiča vredot ocee: Količia potreba za klepaje o redjih vredotih podatkov Studetov t razmerje med dvema eodviima oceama ite variace Fiherjev F.

5 .5... Studetova porazdelitev t Če želimo uporabiti tadardizirao vredot za vzorec populacije ( x ), moramo uporabiti tadardi odklo populacije, ki ga običajo e pozamo. Oceimo jo tatitiko ali Studetovo t vredotjo: t x

6 .5... Studetova porazdelitev t Porazdelitev te količie i ormala, čeprav je zvoate oblike rediščem pri 0. Je eodvia od ezaega tadardega odkloa i ima e am parameter (za razliko od dveh pri ormali porazdelitvi), ki je odvie le od števila opazovaj, uporabljeih za oceo σ.

7 .5... Studetova porazdelitev t Eaka je deljitelju, ki ga uporabimo pri izračuu ezamakjee ocee variace. ( xi x) Parameter ν topje prototi (d.f. degree of freedom) je Z araščajem števila opazovaj, e porazdelitev t vedo bolj približuje ormali. Če pozamo variaco populacije σ, ali če je 30 i je zaa σ iz vzorca, kot tetotatitiko ameto t uporabimo z.

8

9 .5... Studetova porazdelitev t Primer: Naključi vzorec opazovaj izhaja iz ormale porazdelitve. Katera vredot t bo preežea z verjetotjo 97,5 oz. topjo zaupaja α 0,05 (,5%)? Število topej prototi ν je ν = - = Iz tabele odčitamo, da točki α =,5% i ν = utreza t =,0.

10 .5... Porazdelitev F Preverjaje parov variac omogoča oceiti, ali ju lahko obravavamo kot eodvii ocei ite variace. Primerjavo izvedemo z ikajem razmerja med jima. Rezultirajoča tatitika ima zao verjetoto porazdelitev Fiherjev F. Parametra ν i ν ta eaka številu topej prototi, povezaih z eodviima oceama i, ki izhajata iz vzorcev z i opazovaj.

11 .5... Porazdelitev F Razmerje izhaja iz porazdelitve F, kjer je: ν = ( ) i ν = ( ) i F Porazdelitev je F ν, ν vredoti, preežee topjo zaupaja α F α,ν,ν. Vrti red parametrov je pomembe! Razmerje izhaja iz drugače porazdelitve F kot. V števcu mora vedo biti višja vredot!

12

13 .5... Porazdelitev F Primer: Kakša vredot F 4,0 i kakša F 0, 4 e bo preežea pri 95% verjetoti (α = 0,05)? Iz tabele odčitamo: F 0,05,4,0 = 3,48 F 0,05,0,4 = 5,96

14 .5.. Itervali zaupaja Običajo a zaima razpo vredoti, v katerem z določeo (običajo 95%) topjo zaupaja (verjetoti) pričakujemo, tudi reičo vredot parametra. Tak razpo imeujemo 95% iterval (pa) zaupaja, jegove kraje vredoti pa 95% meje zaupaja. Izračuamo ga a podlagi vzorčevale ocee porazdelitve ali kake jee fukcije.

15 .5... Itervali zaupaja redje vredoti ormale porazdelitve Iterval, v katerem bo pri določei topji zaupaja ležala vredot t, poiščemo iz tabele odtotih točk porazdelitve t. Kateri razpo vredoti μ bo utrezal zahtevaemu itervalu t? Za ajvišjo vredot itervala t velja: x z t 0,05;

16 .5... Itervali zaupaja redje vredoti ormale porazdelitve Pri 95% verjetoti bo torej zgorja meja: z x t 0,05; I podja: x t 0,05;

17 .5... Itervali zaupaja redje vredoti ormale porazdelitve Če odvzamemo veliko število eodviih vzorcev iz dae porazdelitve redjo vredotjo μ i izračuamo 95% paove zaupaja za vakega od jih, bo 95% itervalov vključevalo pravo redjo vredot, 5% pa e.

18 .5... Itervali zaupaja redje vredoti ormale porazdelitve Stopjo zaupaja za dai vzorec povečamo z daljšajem i zmajšamo krajšajem itervala, kar je razvido tudi iz tabel odtotih točk porazdelitve t.

19 .5... Ocea potrebe velikot vzorca Razpo pau zaupaja pri določei verjetoti lahko adzorujemo z utrezo izbrao velikotjo vzorca. Trditev, da ek iterval ( ± K) 95% zaeljivo vključuje redjo vredot, je eaka izjavi, da mo 95% prepričai, da e redja vredot vzorca e razlikuje od dejake redje vredoti za več kot K. x

20 .5... Ocea potrebe velikot vzorca Oceo izračuamo tako, da potavimo zahtevo, da aj odtopaje γ e bo večje od določee vredoti: t 0,05; iz čear ledi: t 0,05;

21 .5... Ocea potrebe velikot vzorca Žal je vredot t 0,05;- odvia od števila opazovaj (), ki ga želimo oceiti, pa e moremo predhodo predvideti. Zato proučimo pilotki vzorec opazovaj, izračuamo začao oceo variace, upoštevamo t utreze velikoti pilotkega vzorca i uporabimo izraz: t 0,05; Če vredot i celo številu, upoštevamo aledje ajvišje celo število kot ajmajše število potrebih opazovaj. Ker mo že obravavali vredoti, potrebujemo le še (- ) opazovaj.

22 .5.3. Preverjaje hipotez Ne glede a to, kaj obravavajo (ormalot porazdelitve, eakot variac, primerjavo redjih vredoti...), imajo vi tatitiči teti eako zaovo: Dve aprotujoči i domevi o obravavaih parametrih Vzorec podatkov Iz vzorca izračuae tatitike (,, ) Teta tatitika z zao verjetoto porazdelitvijo (t, F, X ) Stopja zaupaja (začiloti, verjetoti) teta (α) Uporaba utreze tete tatitike i topje zaupaja - tabelirae, kritiče vredoti, katero primerjamo izračuao vredot ter prejmemo ali ovržemo ičelo hipotezo Prepozavaje apake možoti, da ovržemo veljavo hipotezo ali prejmemo apačo. x

23 Ničela i alterativa hipoteza Naprotujoči i hipotezi lahko potavimo v ei od treh oblik: H 0 : μ μ μ = μ μ μ H : μ > μ μ μ μ < μ eotraki tet dvotraki tet eotraki tet

24 Ničela i alterativa hipoteza H 0 je ičela hipoteza, ki običajo pomei, da i razlike (med dvema redjima vredotima, variacama, od ormale porazdelitve,...) Običajo v ičelo hipotezo potavimo trditev, ki jo želimo ovreči. H je alterativa hipoteza, katere reičot ugotavljamo. Če preizku pokaže, da ičela hipoteza e drži, prejmemo alterativo, pri prej zadai verjetot Pr = - α. Pravimo, da je izid tatitičo začile a ravi začiloti (tvegaja) α.

25 Vrte apak i jihove verjetoti Moži o trije izidi teta hipotez: Pr izračuaa > Pr tabeliraa zavri H 0 Pr izračuaa < Pr tabeliraa prejmi H 0 Pr izračuaa Pr tabeliraa odloži klep Če zaemarimo tretjo možot, imamo opravka z dvema možotima apake: apaka vrte I: zavremo H 0, kadar ta drži; verjetot te apake je α i je topja začilot teta, ki jo ami določimo (5% ali 0,05 pomei 95% verjetot). Napaka vrte II: prejmemo H 0, kadar ta e drži; verjetot te apake je β i je odvia od prave velikoti preizkušaega parametra.

26 Vrte apak i jihove verjetoti Nižja kot je vredot α, majše je območje zavritve H 0, bolj verjeto je, da H re drži. Vedar zmajšaje, premikom razmejitvee točke v deo, zviša β, torej možot, da prejmemo apačo H. Možot apake zmajšamo tako, da zapišemo H 0 tako, da bo predvidoma zavrjea. Obe apaki e zmajšujeta tudi z večajem vzorca. Zavritev ee hipoteze, e potrjuje, da druga drži! Statitiči teti pokažejo le kaj i re i e kaj dejako drži!

27 Domeva, da je redja vredot μ eaka eki umeriči vredoti c Domeva: H 0 : μ c μ = c μ c H : μ > c μ c μ < c Preizkui izraz: t Zavri H 0, če velja t > t α,ν t < -t α/,ν ali t > t α/,ν t < - t α,ν x c oziroma t > t tabelira

28 Domeva, da ta i populacjki variaci eaki Domeva: H 0 : σ σ σ σ H : σ > σ σ σ Preizkui izraz: v števcu je vedo višja Zavri H 0, če velja F > F α,ν-,ν- F F > F α/,ν-,ν- a prvem metu o vedo topje prototi variace, ki je v števcu

29 Domeva, da ta populacijki redji vredoti eaki Domeva: H 0 : μ μ μ = μ μ μ H : μ > μ μ μ μ < μ Najprej opravi tet eakoti populacijkih variac (.5.3.4)! Preizkui izraz: Če je σ = σ Če je σ σ Zavri H 0, če velja t > t α,ν t < -t α/,ν ali t > t α/,ν t < - t α,ν oziroma t > t tabelira x x t ) ( ) ( x x t

30 Preverjaje razporeditve Običajo preverjamo ali e porazdelitev ujema z ormalo Gauovo. Vizualo iz oblike hitograma Tetiraje parametrov aimetričoti ( b ) i ploščeoti (b ) X tet Kolmogorov Smirov tet Stopejka (order) tatitika Uporaba verjetotega papirja grafi ormale verjetoti.

31 Preverjaje razporeditve X tet Primerejši je za ezveze kot zveze porazdelitve. Ne zahteva pozavaja parametrov. Uporabe je v številih drugih tatitičih tetih, kjer primerjamo tito kar pričakujemo, glede a zadai kriterij, titim, kar dejako opazujemo.

32 X tet Potavimo hipotezi: H 0 : podatki iz populacije imajo določea razmerja v vakem od k razredov porazdelitev podatkov e e razlikuje od ormale H :podatki iz populacije imajo določeih razmerij porazdelitev e razlikuje od ormale

33 X tet Teta tatitika X je: k ( O j Pj ) P j j k število razredov (kategorij), kamor uvrščamo opazovaja O j opazovae frekvece (pogototi, preštetja) v j-tem razredu P j pričakovae frekvece v j-tem razredu, če drži H 0 ; v agleških beedilih je ozačba E j (expected) Kvadrat v števcu odtrai težave egativih i pozitivih odtopaj, ki e med eboj izičijo. Deljeje pričakovao frekveco uravoteži učiek velikoti številk i tem omogoči uporabo eotih tabel.

34 X tet Izračuao vredot primerjamo tabelirao vredotjo X pri določei topji zaupaja (običajo α = 0,05) ter utrezih topjah prototi. Porazdelitev X je premakjea v deo, pri čemer topja aimetričoti zavii od parametra ν. Stopje prototi ν o: ν = k (število ocejeih parametrov) H 0 zavremo, kadar je izračuaa vredot X višja od tabelirae.

35 X tet Porazdelitev X je premakjea v deo, pri čemer topja aimetričoti zavii od parametra ν.

36

37 X tet Opozorila:. V vakem razredu moramo pričakovati vaj 5 opazovaj. Pogoju običajo zadotimo z ižajem števila razredov.. Izid je zelo občutljiv a število uporabljeih razredov: verjeteje je, da bo H 0 zavrjea, če je število razredov vioko; pri majhem številu razredov je zavritev H 0 lahko le poledica grobih i epomembih podoboti med podatki i modelom.

38 Kolmogorov - Smirov tet Podatki v vzorcu aj bodo urejei v araščajočem vrtem redu: x (),..., x (). Kumulative relative frekvece (delež podatkov, ki o majši ali eaki tem vredotim) o /, /,...,. Kumulative relative frekvece vzorčeih poodatkov primerjamo z vredotmi teoretiče porazdelitvee fukcije F(x) za porazdelitev, ki jo tetiramo.

39 Kolmogorov - Smirov tet Če podatki izhajajo iz porazdelitve, podae v H 0, e morajo vredoti F(x () ),..., F(x () ), dokaj dobro ujemati z /,...,. Kadar premeljivka ima podje meje, kumulative frekvece ameto z, delimo z +, čimer preprečimo, da bi kumulativa frekveca doegla vredot. Tet je eparametriče v milu, da ičela hipoteza drži, e glede a to kakša je predpotavljea porazdelitev.

40 Kolmogorov - Smirov tet Izračuamo velikot ajvečje razlike med teoretičo i opazovao kumulativo fukcijo ter jo primerjamo tabelirao kritičo vredotjo. H 0 (i odtopaja med porazdelitvama) zavremo, kadar je izračuaa vredot K-S tatitike višja od tabelirae.

41 Kolmogorov - Smirov tet

42 Tet ormalih zadetkov

43 Graf ormale verjetoti Verjetoti papir je izdela tako, da je graf porazdelitvee fukcije ormale porazdelitve rava črta. Vredoti porazdelitvee fukcije aašamo a vzdolžo o, podatke a avpičo. Podatke uredimo v razrede, za katere preštejemo frekvece; te premeimo v kumulative frekvece i izračuamo kumulative frekveče porazdelitve: 00 x kumulativa frekveca/(+) Prilegaje ormalot a grafu lahko le ubjektivo oceimo. Tovrte grafe uporabljamo v edimetologiji pri ejali aalizi. Iz jih odčitamo tudi Folkove parametre velikoti zr.

44 Graf ormale verjetoti

45 Traformacije Veliko tatitičih tetov zahteva, da o podatki ormalo porazdeljei. Kaj torimo, če ugotovimo, da io? Oputimo eormalo razporejeo premeljivko. Problem je, če je premeljivka za obravavai problem bitvea i je i mielo oputiti. Neormalo porazdeljee podatke kušamo kašo od mileih traformacij (logaritmiraje) preveti v ormalo obliko. Pri multivariatih metodah ali, ko primerjamo premeljivke med eboj je pogoto zaželeo, da o te predtavljee v eaki obliki (pr. ve logaritmirae)