ΛΥΣΗ: Από τo σύστηµα πλαστική σφαίρα-πεπιεσµένος αέρας εκκρέει µάζα, οπότε η διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνησή του έχει την µορφή: !

Transcript

1 Μια κοίλη πλαστική σφαίρα µάζας Μ, περιέχει πεπιεσµένο αέρα και φέρει κατάλληλο µηχανισµό, ο οποίος όταν ενερ γοποιηθεί προκαλεί το άνοιγµα στην επιφάνεια της σφαίρας µιας µικρής οπής, από την οποία εκτοξεύεται αέρας µε σταθερό ρυθµό dm/dt=λ. Την χρονική στιγµή t= που ανοίγει η οπή η σφαίρα έχει µηδενική ταχύτητα ως προς το ακίνητο έδαφος, ο δε µηχανισµός εκτο ξεύει τον αέρα µε σταθερή σχετική ταχύτητα v " ως προς την σφαίρα, η οποία ταχύτητα κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Εάν η αρχική µάζα του πεπιεσµένου αέρα είναι Μ, να δείξετε ότι η κατα κόρυφη µετατόπιση h της πλαστικής σφαίρας µέχρις ότου διαφύγει όλος ο αέρας, δίνεται από την σχέση: h = M + v M "# 1 - ln όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας. Η αντίσταση του ατµοσφαιρικού αέρα επί της πλαστικής σφαίρας να θεωρηθεί αµελητέα. ΛΥΣΗ: Από τo σύστηµα πλαστική σφαίρα-πεπιεσµένος αέρας εκκρέει µάζα, οπότε η διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνησή του έχει την µορφή: d v m dt = F "# + v dm % dt d v dt = - v " m # d v m dt = m - v dm "# dt dm dt = - v " 1 m # Σχήµα 1 όπου m Σ η µάζα του συστήµατος την στιγµή t που το εξετάζουµε, v η αντίστοι χη ταχύτητα του κέντρου µάζας του στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, v " η σχετική ταχύτητα του εκτοξευόµενου αέρα ως προς την πλαστική σφαίρα και

2 F " η συνισταµένη εξωτερική δύναµη που δέχεται από το περιβάλλον του, ίση µε το βάρος του m. Όµως για την µάζα m Σ ισχύει m Σ =Μ-λt, οπότε η 1 γρά φεται: d v dt = v "# - M - t Αν δεχθούµε ως θετική φορά της κατακόρυφης διεύθυνσης την προς τα κάτω, τότε η διανυσµάτική σχέση µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών που έχει την µορφή: dv dt = - -v "# M - t = + v "# M - t dv = dt - v "d M - #t M - #t Oλοκληρώνοντας την παίρνουµε: dv = dt + v "#dt M - t v = t - v " ln M - #t + C 4 H σταθερά ολοκληρώσεως C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη v=, οπό τε η 4 δίνει C=v σχ lnm και εποµένως γράφεται: v = t - v " M - #t + v " lnm = t + v " ln M & % M - #t dy dt = t + v M M "ln& dy = tdt + v % M - #t " ln& dt 5 % M - #t Ολοκληρώνοντας την 5 παίρνουµε: h dy = tdt + v "# lnm dt - v "# ln M - tdt t * t * t * h = t t * + v t " * lnm + v " # t * ln M - #td M - #t 6 όπου t * o χρόνος για να διαφύγει όλος ο αέρας από την πλαστική σφαίρα και h η αντίστοιχη κατακόρυφη µετατόπιση της σφαίρας. Όµως από πίνακα βασικών ολοκληρωµάτων µπορούµε να λάβουµε την σχέση: lnxdx = x lnx - 1 οπότε θα έχουµε:

3 t * " ln M - td M - t = M - t ln M - t * - 1 = M - t * t { [ ln M - t - 1] } * = [ ] - M lnm - 1 = = M lnm M lnm - 1 = MlnM + M - MlnM διότι o χρόνος t * είναι ίσος µε Μ/λ. Εποµένως η σχέση 6 γράφεται: h = M + v "#MlnM + v "# M + MlnM - Mln h = M + v "#MlnM + v "#M + v "#MlnM - v "#MlnM h = M + v "#M + v "#MlnM - v "#MlnM h = M + v M "# + v "# M lnm - lnm h = M + v M "# 1 - ln P.M. fysikos Ένα µικρό σώµα µάζας m, εκτοξεύεται κατακόρυ φα προς τα πάνω από σηµείο Ο που βρίσκεται σε σηµαντική απόστα ση από το οριζόντιο έδαφος, µε ταχύτητα µέτρου v. Kατά την κίνησή του το σώµα δέχεται από τον ατµοσφαιρικό αέρα δύναµη R, αντίρρο πη της ταχύτητάς του v, της οποίας το µέτρο έχει την µορφή R=kmv, όπου k θετική και σταθερή ποσότητα. i Θεωρώντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή της εκτόξευ σης του σώµατος και ως θετική φορά του κατακόρυφου άξονα Οz την προς τα πάνω να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την ταχύτητα του σώµατος και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. iii Eάν v είναι η ταχύτητα του σώµατος την στιγµή της επανόδου του στο Ο, να δείξετε την σχέση: v = - v + kv

4 όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Eφαρµόζοντας για το σώµα κατά την ανοδική του κίνηση σχ. τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, έχουµε: m dv dt = -m - kmv dv dt = - - kv dv + kv = -dt dkv = -dt 1 k + k v Σχήµα Σχήµα όπου v η ταχύτητα του σώµατος την στιγµή t που το εξετάζουµε. Ολοκληρώ νοντας την 1 παίρνουµε: dkv = -t + C 1 k + k v 1 k "#% & kv + = -t + C 1 k* Η σταθερά ολοκλήρωσης C 1 θα καθορισθεί από την αρχική συνθήκη v=v, η οποία βάσει της δίνει: 1 k "#% & kv + = C 1 k* οπότε η γράφεται: 1 k "#% & kv + = -t + 1 k* k "#% & kv + k* "#% k/v = - kt + "#% k/v

5 [ ] [ ] µε t t " k/v = " - kt + #%" k/v v = /k" - kt + #%" k/v όπου t α ο χρόνος ανόδου του σώµατος, που θα υπολογιστεί από την θέτοντας v= και t=t α. Έτσι θα έχουµε: [ ] = /k" - kt # + %&" k/v t = 1 k "#%& k/v 4 Για την καθοδική κίνηση του σώµατος σχ. ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα δί νει: m dv dt = -m + kmv dv dt = - - kv dv - kv = -dt dkv = -dt 5 k - k v όπου v η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του σώµατος την στιγµή t που το εξετάζουµε, µε t t α. Η 5 ολοκληρούµενη δίνει: v dkv = - dt k t " - k v t 1 k ln k + kv k - kv = t - t k + kv k - kv = e k t -t 6 Όµως ισχύει γράφεται: k - kv > διότι v< και αν δεχθούµε v > - /k, τότε η 6 k + kv k - kv = e k t -t k + kv = k - kv e - k t-t [ ] = kv 1 + e- k t -t k 1 - e - k t -t v = - k " 1 - e - k t-t % 1 +e - k t-t # &

6 v = - k tanh t - t µε t t " 7 διότι ισχύει: tanh x = sinhx coshx = e x - e - x / e x + e - x / = 1/e -x - e - x 1/e -x + e = 1 - e- x - x 1 + e - x Σχήµα 4 Aπό την 7 προκύπτει ότι για t +, η ταχύτητα v τείνει στην οριακή τιµή - /k. Aκόµη οι σχέσεις και 7 επιτρέπουν να γράψουµε για την ταχύτη τα v την συνάρτηση: + + v = * + + -, [ ], & t t k " - kt + #%" k/v k tanh t - t, t t 8 Η γραφική παράσταση της 8 είναι η καµπύλη γραµµή του σχήµατος 4. ii H σχέση που αντιστοιχεί στην ανοδική κίνηση του σώµατος µπορεί να πάρει την µορφή: dz dt = [ ] = k " - kt + #%" k/v k "- kt + A dz = - k 1 k "- kt + Ad - kt + A 9 όπου τέθηκε A = "#% k/v, Ολοκληρώνοντας την 9 παίρνουµε:

7 z = - 1 t "- kt + Ad - kt + A k # = - 1 k z = 1 "#- kt + A k ln "#A -ln %& - kt + A t * +, * µε t t " 9 Εξάλλου η σχέση 7 που αντιστοιχεί στην καθοδική κίνηση του σώµατος µπο ρεί να πάρει την µορφή: dz dt = - k tanh t - t dz dt = - k " # e k t-t - k t-t - e - k t-t +e e k t-t % & dz d[ k t - t ] = - 1 k k " # e k t-t - k t-t - e - k t-t +e e k t-t % & dz = - 1 " k # e k t-t - k t-t - e - k t-t +e e k t-t [ ] 1 % & d k t - t [ ] z - z max = - 1 t " e k t-t - k t-t - e % k e k t-t - k t-t +e # & d k t - t ** t [ ] z = z max - 1 k ln cosh k t - t z = z max - 1 k ln cosh [ k t - t ] µε t t 11 " Οι σχέσεις 9 και 11 επιτρέπουν να γράψουµε για την z-συντεταγµένη του σώµατος την συνάρτηση: * Ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος γίνεται ως εξής: # "xdx = µx # %&x dx = - %&x d %&x # = -ln %&x ** Ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος γίνεται ως εξής: e x - e - x dx = d ex +e - x = ln e x +e - x = ln cosh x e x +e - x e x +e - x

8 1 "# - kt + A k ln "#A z = z max - 1 ln cosh k k *, t % t & [ t - t & ], t % t & 1 iii H διαφορική εξίσωση της καθοδικής κίνησης του σώµατος µπορεί να πάρει την µορφή: dv dz dz dt = - + kv d kv kdz = - + kv v dv dz = - + kv d - + kv = kdz - + kv Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε: v d - + kv z = k dz - + kv ln - kv z max = k z - z max - kv = e k z-z max 1 - e k z-z max = k v 1 H 1 την χρονική στιγµή της επανόδου του σώµατος στο Ο δίνει: 1 - e - kz max = k v 14 όπου z max η µέγιστη προς τα άνω απόσταση του σώµατος εκ του Ο. Εξάλλου η διαφορική εξίσωση της ανοδικής κίνησης του σώµατος µπορεί να πάρει την µορ φή: dv dz dz dt = - + kv v dv dz = - + kv d kv kdz d + kv = - + kv + kv = -kdz Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε: v d + kv z = k dz + kv ln + kv # & = -kz " + kv % v

9 + kv + kv = e- kz t=t " + kv = e- kz max kv =1 - e- kz max 1 - e - kz max = Συνδυάζοντας τις σχέσεις 14 και 15 έχουµε: kv + kv 15 kv + kv = k v v + kv = v v = - v + kv 16 P.M. fysikos Ένα σφαιρίδιο µάζας m µπορεί να ολισθαίνει χω ρίς τριβή κατά µήκος λεπτού σωλήνα, ο οποίος στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα σε κατακόρυφο επίπεδο, περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο. Το σφαιρίδιο συγκρατείται µε ελατήριο αµελητέου φυσικού µήκους και σταθεράς k, του οποίου το άλλο ακρο είναι στερεωµένο στο Ο όπως φαίνεται στο σχήµα 5. Την χρονική στιγµή t= το σφαιρίδιο βρίσκεται σε απόσταση r από το Ο και η σχετική του ταχύτητα ως προς τον σωλήνα είναι µηδενική. Εάν k/m>ω να εξετάσετε την σχετική κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον περιστρεφόµενο σωλήνα. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας ΛΥΣΗ: Την σχετική κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον στρεφόµενο σωλήνα αντιλαµβάνεται ένας παρατηρητής που µετέχει της περιστροφής του σωλήνα. Ένας τέτοιος παρατηρήτης είναι µη αδρανειακός και αναγνωρίζει ότι το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w, την δύναµη F από το τεντωµένο ελατήριο, την αδρανειακή φυγόκεντρο δύναµη =m" r, όπου r το διάνυσµα που καθορίζει την σχετική του θέση ως προς το κέντρο Ο του σωλήνα, την αδρανειακή δύνα Σχήµα 5 µη Coriolis F C =-m " v της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στον σωλήνα και βρίσκεται στο επίπεδο περιστροφής του, γεγονός που εγγυώνται οι διευθύνσεις της σχετικής ταχύτητας v του σφαιριδίου ως προς τον σωλήνα και της γωνια κής ταχύτητας και τέλος την αντίδραση N των τοιχωµάτων του σωλήνα, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην διεύθυνση του σωλήνα, λόγω της απου

10 σίας τριβής, Είναι προφανές ότι οι δυνάµεις που καθορίζουν την σχετική κίνη ση του σφαιριδίου ως προς τον σωλήνα είναι η συνιστώσα w r του βάρους κατά την διεύθυνση του σωλήνα, η δύναµη F από το ελατήριο και η φυγόκεντρος δύναµη, ενώ η δύναµη N εξουδετερώνει την F C και την κάθετη προς τον σωλήνα συνιστώσα του βάρους. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο ο στρεφόµενος παρατηρητής τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνει στην σχέση: m d r dt = - w r - F + m d r dt = - mµ" - kr + m# r d r dt = - µ" - kr/m + # r d r dt + " k m - % r = - µ 1 # & όπου φ η γωνία του διανύσµατος r µε τον πολικό άξονα Οx. Χωρίς να βλάπτει την γενικότητα µπορούµε να δεχθούµε ότι την χρονική στιγµή t= ο σωλήνας διευθύνεται κατά τον άξονα x, οπότε θα ισχύει φ=ωt και η σχέση 1 γράφεται; d r dt + " k m - % r = - µt # & Η αποτελει µια µη οµογενή διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως για την οποία δοκιµάζουµε ως µερική λύση την: r 1 t = A µ"t όπου Α συντελεστής αναλογίας που πρέπει να προσδιορισθεί. Έτσι από την θα έχουµε: dr 1 dt = A"#t d r 1 dt = -A "µt οπότε η δίνει: -A "µt + A k/m - "µt = -"µt " A k m - % = - A = # & - k/m - 4 H αντίστοιχη προς την οµογενής διαφορική εξίσωση είναι: d r dt + " k m - % r = # & η οποία λόγω της δεδοµένης σχέσεως k/m>ω δέχεται λύση της µορφής: r t = A 1 µ"t + A #%"t µε = k/m - " 5

11 όπου Α 1, Α σταθεροί συντελεστές που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σφαιριδίου. Η γενική λύση rt της είναι το άθροισµα της µερικής λύσεως r 1 t και της λύσεως r t, δηλαδή θα ισχύει: rt = r 1 t + r t rt = A 1 µ"t + A #%"t - µ&t k/m - & 6 Παραγωγίζοντας την 6 ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχετική ταχύτητα του σφαιριδίου ως προς τον σωλήνα, δηλαδή θα έχουµε: v = drt dt = A 1 "#t - A %µt - &"#&t k/m - & 7 Για t= η µεν 6 δίνει r =A η δε 7 δίνει: " = A 1 - k/m - " A = 1 " k/m - = k/m - / Mε βάση τους παραπάνω υπολογισµούς η 6 παίρνει την µορφή: rt = "µ#t k/m - + r "µt %&#t - / k/m - 8 H 8 αποτελεί την εξίσωση της σχετικής κίνησης του σφαιριδίου ως προς τον περιστρεφόµενο σωλήνα, όπως αυτή καταγράφεται από τον περιστρεφόµενο πα ρατηρητή.. P.M. fysikos Oµογενής δίσκος, µάζας m και ακτίνας R φέρει στην περιφέρειά του αυλάκι, κρατείται δε πάνω σε κεκλιµένο επίπε δο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα συγκρατούµενος µε την βοήθεια ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, όπως φαίνεται στο σχήµα 6. Αρχικά το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος και κάποια στιγµή ο δίσκος αφήνεται ελεύθερος και αρχίζει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο κέκλιµένο επίπεδο. i Να βρείτε την µέγιστη ταχύτητα του κέντρου του δίσκου και την µέγιστη επιµήκυνση του ελατηρίου. ii Να εκφράσετε την επιτάχυνση του κέντρου του δίσκου σε συνάρ τηση µε την επιµήκυνση του ελατηρίου και να σχεδιάσετε την γρα φική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. iii Eάν µ είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ του κεκλιµένου επιπέδου και του δίσκου, να βρείτε την αναγκαία συνθήκη που εξασφαλίζει την κύλιση χωρίς ολίσθηση του δίσκου.

12 Δίνεται η ροπή αδράνειας I C =mr / του δίσκου ως προς άξονα κά θετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του και η επιτά χυνση της βαρύτητας. Να δεχθείτε ότι το νήµα που περιτυλίγεται στο αυλάκι του δίσκου είναι µη εκτατό και έχει αµελητέα µάζα. ΛYΣH: i Εάν x είναι η επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσική του κα τάσταση κάποια στιγµή, τότε η αντίστοιχη µετατόπιση του κέντρου του δίσκου ως προς την αρχική του θέση θα είναι x/, διότι κάθε στιγµή η ταχύτητα του σηµείου επαφής Α του νήµατος µε τον δίσκο είναι διπλάσια της ταχύτητας του κέντρου C του δίσκου. Eφαρµόζοντας το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για το σύστηµα κυλιόµενος δίσκος-ελατήριο παίρνουµε την σχέση: = K + U "#. + U %. = m v C + I C - m x "µ# + k x 1 όπου v C η ταχύτητα του κέντρου του δίσκου και η γωνιακή του ταχύτητα κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Όµως λόγω της κύλισεως ισχύει v C =ωr, οπότε η 1 γράφεται: = m v C + mr 4 = mv C 4 v C R - m x µ" + k x - m x µ" + k x kx - mµ" x+ mv C = H αποτελεί εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς x και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, δηλαδή η διακρίνουσά της πρέπει να είναι µη αρνητική, οπότε θα ισχύει: 4m µ " - 4kmv C # v C m "µ # 6k v C "µ# m 6k v Cmax = µ" m 6k Tην στιγµή που η v C γίνεται µέγιστη η αντίστοιχη επιµήκυνση x * του ελατη ρίου είναι η διπλή ρίζα της, δηλαδή ισχύει: x * = mµ" /k 4 Εξάλλου την στιγµή που η επιµήκυνση του ελατηρίου παίρνει την µεγαλύτερη τιµή της x max µηδενίζεται η ταχύτητα v C και η δίνει: kx max - mµ" x max = kx max - mµ" = x max = mµ" / k 5 ii O δίσκος στην διάρκεια της κύλισής του δέχεται το βάρος του w, που

13 αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w y, την πλάγια αντίδραση του κεκλιµένου επιπέ Σχήµα 6 δου, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T και τέλος µέσω του νήµατος την δύναµη F από το τεντωµένο ελατήριο σχ. 6. Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας C του δίσκου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: w x - T - F = ma C mµ" - T - kx = ma C 6 όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου C και x η επιµήκυνση του ελατηρίου την στιγµή που εξετάζουµε τον δίσκο. Εξάλλου συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης την ίδια στιγµή θα ισχύει: TR - FR = I C TR - kxr = mr / T - kx = mr/ T - kx = ma C / 7 όπου η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, για την οποία λόγω της κυλίσεως ισχύει ω =a C /R. Προσθέτοντας κατά µέλη τις 6 και 7 παίρνουµε: µε mµ" - kx = ma C / a C = µ" x x max ή x m"µ# / k - 4kx m Από την 8 προκύπτει ότι η επιτάχυνση a C αλγεβρική τιµή µεταβάλλεται γραµµικά µε την επιµήκυνση x του ελατηρίου, δηλαδή η γραφική της παραστα ση είναι η ευθεία γραµµή του σχήµατος 7. Παρατηρούµε ότι για x= είναι a C =ηµφ/, δηλάδη η επιτάχυνση εκκίνησης του κέντρου του δίσκου είναι ίση µε την επιτάχυνση που αντιστοιχεί στην ελευθερη κύλισή του πάνω στο κεκλι µένο επίπεδο. Επισης παρατηρούµε ότι την στιγµή που είναι x=mηµφ/k, δη λαδή την στιγµή που µεγιστοποιείται η ταχύτητα του κέντρου C µηδενίζεται η επιτάχυνση του και στην συνέχεια η αλγεβρική της τιµή γίνεται αρνητική, δηλαδή αρχίζει η µείωση του µέτρου της ταχύτητας v C µέχρις µηδενισµού της την στιγµή που η επιµήκυνση του ελατηρίου παίρνει την µέγιστη τιµή της mηµφ/k. 8

14 Σχήµα 7 Παρατήρηση: Ξεκινώντας από την µπορούµε να καταλήξουµε στην σχέση ανάµεσα στην επιτάχυνση και στην επιµήκυνση του ελατηρίου σχέση 8, µε τον εξής τρόπο: Διαφορίζοντας την παίρνουµε: 4kxdx - mµ" dx+ 6mv C dv C = 4kx dx dt dx - mµ" dt + 6mv dv C C dt = Όµως το διαφορικό πηλίκο dx/dt εκφράζει το διπλάσιο της αλγεβρικής τιµής της ταχύτητας v C οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: 4kxv C - mµ" v C + 6mv C a C = 8kx - 4mµ" + 6ma C = a C = µ" - 4kx m iii Συνδυάζοντας τις σχέσεις 7 και 8 παίρνουµε: T - kx = m # % µ" - 4kx & T - kx = mµ" m - kx T = mµ" + kx 9 Για να κυλίεται ο δίσκος χωρίς ολίσθηση πρέπει η τριβή για κάθε x x max να ικανοποιεί την σχέση: 9 T µm"#% mµ" + kx # µm%&" η οποία για x=x max γράφεται:

15 mµ" + kx max # µm%&" mµ" + mµ" # µm%&" mµ" # µm%&" µ "# P.M. fysikos Λεπτή στεφάνη µάζας m και αρκετά µεγάλης ακτί νας, φέρει στο κοίλο µέρος της εσωτερική πλευρά ένα µικρό σφαιρί διο µάζας m ενσωµατωµένο µε την στεφάνη. Κάποια στιγµή η στεφά νη φέρεται σε επαφή µε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ και σε τέτοια θέση, ώστε η επιβατική ακτίνα του σφαιριδίου ως προς το κέν τρο της στεφάνης να είναι παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο. Να βρείτε την αναγκαία συνθήκη, ώστε όταν η στεφάνη αφεθεί ελεύθερη ν αρχίσει κυλιόµενη προς τα πάνω. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι την χρονική στιγµή t= που σύστηµα στεφάνη-σφαι ρίδιο αφήνεται ελεύθερο επί του κεκλιµένου επιπέδου η στεφάνη αρχίζει να κύλίεται προς τα πάνω. Την στιγµή αυτή η κύλιση µπορεί να θεωρηθεί ως γνή σια περιστροφή περί το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής, που ταυτίζεται µε το ση µείο επαφής Α της στεφάνης µε το κεκλιµένο επίπεδο. Επί του συστήµατος ενεργεί το βάρος του W =m του οποίου ο φορέας είναι κατακόρυφος και διέρ χεται από το κέντρο µάζας C του συστήµατος που βρίσκεται στο µέσον της ακτίνας ΟΣ και η δύναµη επαφής επί της στεφάνης από το κεκλιµένο επίπεδο, η οποία αναλύεται στην τριβή T και την κάθετη αντίδραση N. Επείδη η περισ τροφή πρέπει να είναι δεξιόστροφη, η τριβή T έχει φορά προς τα πάνω ο δε φορέας του βάρους W πρέπει να βρίσκεται δεξιά του σηµείου Α, ώστε να δηµι Σχήµα 8 ουργεί περί το Α δεξιόστροφη ροπή. Αυτό σηµαίνει ότι η γωνία ΟCB πρέπει να είναι µεγαλύτερη από την γωνία ΟCA, δηλαδή πρέπει να ισχύει: γωνίαοcb>γωνίαοcα π/-φ>π/-θ θ>φ

16 εφθ>εφφ ΟC/OA<εφφ R/R>εφφ εφφ<1/ 1 Aκόµη πρέπει η τριβή T να είναι στατική τριβή, δηλαδή το µέτρο της οφείλει να ικανοποιεί την σχέση: T < nn όπου n o συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ στεφάνης και κεκλιµένου επιπέ δου. Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης περί το Α, παίρνουµε την σχέση: = I A " όπου η γωνιακή επιτάχυνση του συστήµατος την χρονική στιγµή t=, I A η ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο της στεφά νης και διερχόµενο από το Α και τ το µέτρο της ροπής του βάρους W περί το Α. Όµως για το µέτρο τ έχουµε: =Wx = mx = mac"µ[acb] = m R +R /4"µ# - = 5mR"µ# - 4 όπου x η απόσταση του σηµείου Α από τον φορέα του βάρους W. Εξάλλου για την ροπή αδράνειας Ι Α ισχύει: A I A = I "# A + I %& = mr + ma = mr + mr = 4mR 5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 4 και 5 παίρνουµε: 5mR µ" -# = 4mR = 5 "µ# -/ 4R 6 H επιτάχυνση a C του κέντρου µάζας C την χρονική στιγµή t= είναι µόνο επιτρόχια επιτάχυνση, διότι η ταχύτητα του εκείνη τη στιγµή είναι µηδενική, οπότε µηδενική θα είναι και η κεντροµόλος επιτάχυνση του. H a C έχει φορέα κάθετο στην ΑC και αναλύεται στις συνιστώσες a Cx και a Cy κατά τις κάθετες διευθύνσεις Cx και Cy. Εξετάζοντας την χρονική στιγµή t= την κίνηση του κέντρου µάζας κατά τις διευθύνσεις αυτές, παίρνουµε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα τις σχέσεις: T - mµ" = ma Cx & m#%" - N = ma Cy T - mµ" = ma C #%& m#%" - N = ma C µ& T - mµ" = m#ac%& m%&" - N = m#acµ * T - mµ" = m#r 5%& m%&" - N = m#r 5µ * + * 6

17 T = mµ" + 5mRµ# - "%&# /4R N = m%&" - 5mRµ# - "µ# /4R T = mµ" + 5mµ # - "%&# /4 N = m%&" - 5mµ # - "µ# /4 7 Συνδυάζοντας τις σχέσεις και 7 έχουµε την σχέση: mµ"+5mµ #-"%&# /4 < n[m%&"-5mµ #-"µ# /4] 8µ" + 5µ # - "%&# < n[8%&" - 5µ# - "µ#] 5µ" - #%&" + 5nµ " - #µ" < 8n%&# - 8µ# 5µ" - # %&" + nµ" < 8 n%&# - µ# 8 Η σχέσεις 1 και 8 αποτελούν τις αναγκαίες συνθήκες ώστε, όταν η στεφάνη αφεθεί ελεύθερη να αρχίσει κυλιόµενη προς τα πάνω επί του κεκλιµένου επιπέ δου. P.M. fysikos To κεντρο µάζας C ανοµοιγενούς κυκλικού δίσ κου, µάζας m και ακτίνας R, βρίσκεται σε απόσταση α<r από το γεωµετρικό κέντρο Ο του δίσκου. Με κατάλληλη αρχική εξωτερική επέµβαση ο δίσκος τίθεται σε κίνηση πάνω σε µη λείο οριζόντιο έδα φος, η οποία από κάποια στιγµή και µετά είναι κύλιση χωρίς ολίσ θηση στην διάρκεια της οποίας η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι σταθερή µε µέτρο ω. i Nα δείξετε ότι για να είναι ισοταχής η κύλιση του δίσκου πρέπει να δέχεται από το περιβάλλον του ζεύγος δυνάµεων, του οποίου να εκφράσετε την ροπή σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ii Nα βρείτε την συνθήκη, ώστε ο δίσκος να µην αναπηδά από το έδα φος. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛYΣH: i Aς εξετάσουµε κατά πόσο είναι εφικτή η κύλιση χωρίς ολίσθηση του δίσκου µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, υπό την επίδραση µόνο του βά ρους του w, της κάθετης αντίδρασης N και της στατικής τριβής T που δέχεται από το οριζόντιο εδάφος, σε συνδυασµό βέβαια και µε τις αρχικές συνθήκες κίνησης του δίσκου. Εφαρµόζοντας κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων Οx και Οy για το κέντρο µάζας C του δίσκου τον δεύτερο νοµο κίνησης του Νεύτωνα ένας αδρανειακός παρατηρητής που κινείται µε την σταθερή ταχύτη τα v του κέντρου Ο του δίσκου, παίρνει τις σχέσεις:

18 = T = m - N m d x C / dt m d y C / dt # " # 1 όπου x C, y C oι συντεταγµένες του κέντρου µάζας C κατά την χρονική στιγµή που εξετάζουµε τον δίσκο. Αν φ είναι η αντίστοιχη γωνία της επιβατικής ακτίνας ΟC µε τον άξονα Οx, θα ισχύουν οι σχέσεις: x C = "#% y C = &µ% dx C / dt = -"µ#d# / dt dy C /dt = %&#d# / dt dx C / dt = -"#µ dy C /dt = " %& * d x C / dt = -" #%& d y C / dt = - " µ& * Σχήµα 9 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 1 µε τις παίρνουµε: T = - m" #%& m - N = - m" µ& * T = - m" #%& N = m + " µ& * Η πρώτη εκ των σχέσεων εγγυάται ότι κατα το χρονικό διάστηµα που η γωνία φ είναι οξεία η τριβή T έχει αρνητική αλγεβρική τιµή, δηλαδή η φορά της θα είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα 9 και η ροπή της περί το κέντρο µάζας C θα είναι δεξιόστροφή. Όµως δεξιόστροφη είναι και ροπή της κάθετης αντίδρασης N και εποµένως το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών όλων των δυνά µεων που δέχεται ο δίσκος περί το κέντρο µάζας του C δεν θα είναι ίσο µε µηδέν, όπως απαιτεί η κύλιση µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Αυτό µπορεί να εξασφαλιστεί αν ο δίσκος δέχεται από το εξωτερικό του περιβάλλον κατάλληλο ζεύγος * δυνάµεων που η ροπή του συνδυαζόµενη µε τις παραπάνω ροπές δί νουν άθροισµα µηδέν. Έτσι αν είναι η αναγκαία ροπή του ζευγους που εξασ φαλίζει σταθερή γωνιακή ταχύτητα κύλισης του δίσκου, θα πρέπει η αλγεβρική της τιµή να ικανοποιεί την σχέση: + T R - "#µ + N"%& = * Το ζεύγος δυνάµεων δεν επηρεάζει τις εξισώσεις κίνησης του κέντρου µάζας του δίσκου.

19 = - T R - "#µ - N"%& = -m"# %&R - "µ - m + "# µ"%& = m" -# R + # "µ% - - "# µ% &% = -m" # R + %& 4 Αν δεχθούµε ότι την χρονική στιγµή t= η επιβατική ακτίνα ΟC έχει την κατεύθυνση του άξονα Οx, τότε θα ισχύει φ=ωt και η 4 γράφεται: = -m" # R + %&#t 5 ii Ο δίσκος αναπηδά στην θέση εκείνη όπου µηδενίζεται η κάθετη αντίδραση N, δηλαδή στην θέση όπου ισχύει: m + " #µ = µ" = -/# H παραπάνω σχέση είναι αποδεκτή εφ όσον: -1 -/"# +1 /" # 1 "# Eάν εποµένως ισχύει >αω, ο δίσκος δεν θα αναπηδά. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 1 ο δακτύλιος Δ έχει µάζα m και µπορεί να ολισθαίνει κατά µήκος λείου κυκλικού οδηγού ακτίνας R, ο οποίος είναι στερεωµένος µε το επίπεδό του κατακόρυφο. To ελατήριο θεωρείται ιδανικό µε σχεδόν µηδενικό φυ σικό µήκος, το άκρο του Ο είναι ακλόνητο σε απόσταση R/ από το κέντρο Κ του κυκλικού οδηγού, η δε σταθερά του k ικανοποιεί την σχέση k<m/r, όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας. i Να καθορισθoύν οι θέσεις ισορροπίας δακτυλίου και το είδος τους. ii Eάν ο δυκτύλιος ωθείται ελαφρώς ευρισκόµενος στο ανώτατο ση µείο Α του κυκλικού οδηγού, να εκφράσετε το µέτρο της ταχύτητάς του σε συνάρτηση µε την γωνία φ. iii Nά βρεθεί η δύναµη του οδηγού επί του δακτυλίου, όταν αυτός βρεθεί στην κατώτατη θέση του Β. ΛΥΣΗ: i Εξετάζουµε το σύστηµα δακτύλιος-ελατήριο σε µια τυχαία θέση, όπου η επιβατική ακτίνα του δακτυλίου σχηµατίζει µε την κατακόρυφη ακτίνα ΚΒ του οδηγού γωνία φ. Στην θέση αυτή το µήκος L του ελατηρίου είναι:

20 L = O + = R/ + R"#% + R&µ% L = R 4 + R "# + R "# + R %µ = R 5 + 4"# 1 H δυναµική ενέργεια Uφ του συστήµατος στην θέση αυτή είναι ίση µε την βα ρυτική δυναµική ενέργεια του δακτυλίου συν την δυναµική ενέργεια ελαστι κής παραµόφφωσης του ελατηρίου, δηλαδή ισχύει η σχέση: U = mr - R"# + k%l / Όµως η επιµήκυνση ΔL του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση είναι ίση µε L, διότι το φυσικό του µήκος είναι µηδενικό. Συνδυάζοντας τις σχέσεις 1 και παίρνουµε: U = mr1 - "# + kr "# Σχήµα 1 Επειδή µεταξύ του δακτυλίου και του οδηγού δεν υπάρχει τριβή, στην θέση ισορροπίας του συστήµατος πρέπει η πρώτη παράγωγος της Uφ να µηδενίζε ται, δηλαδή πρέπει να ισχύει: du d = d dt % & mr1 - "# + kr "# * = mrµ" - kr µ" = R # m - kr " & µ = % φ= ή φ=π Για να καθορίσουµε το είδος ισορροπίας του συστήµατος εξετάζουµε την δεύ τερη παράγωγο της Uφ, οπότε θα έχουµε:

21 d U = d d dt R " + m - kr * # %, µ & -. = R " m - kr # % /1 4 & Επειδή τα δεδοµένα του προβλήµατος εξασφαλίζουν ότι m>kr/, από την 4 προκύπτουν τα εξής: " d U % # d & = = R* m - kr + - >, που σηµαίνει ότι η θέση φ= είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας του συστήµατος και " d U % # d = -R m - kr, +. < & * - = δηλαδή η θέση φ=π είναι θέση ασταθούς ισορροπίας του συστήµατος. ii Eφαρµόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέρ γειας µεταξύ της αρχικής του θέσεως φ=π και της τυχαίας θέσεώς του, όπου η ταχύτητα του δακτυλίου είναι v, παίρνουµε την σχέση: mr+ kr 8 5+4"# = mv +m R-R"#% + kr 8 5+4"#% mr + kr 8 = mv - mr"# + 5kR 8 + kr "# mr + mr"# - kr - kr mv "# = mr - kr # " & 1 + * % = mv v = 4R - kr * # & # & " m% " % v = R - kr # & * " m% 5 iii H ταχύτητα του δακτυλίου στην κατώτατη θέση του Β θα βρεθεί από την σχέση 5 θέτοντας φ=π, οπότε θα λάβουµε v B = που σηµαίνει ότι ο δακτύλιος θα παραµένει συνεχώς στην θέση αυτή σε κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας. Εάν N B είναι η δύναµη που δέχεται ο δακτύλιος από τον οδηγό στην θέση Β, αυτή θα έχει ακτινική διευθυνση, η δε αλγεβρική της τιµή θα συνδέεται µε τις αλγεβρικές τιµές του βάρους m του δακτυλίου και της δύναµης F " από το τεντωµένο ελατήριο µε την σχέση: N B + F " - m = N B + kr + R/ - m = N B = m - kr/ 6

22 Eάν m>kr/, τότε Ν Β > δηλαδή η δύναµη N B θα κατευθύνεται προς το κέν τρο του οδηγού και το σηµείο Β θα εξακολουθεί να είναι θέση ευσταθούς ισορ ροπίας του δακτυλίου. Eάν m=kr/ τότε Ν Β =, δηλαδή ο δακτύλιος φθάνοντας στην θέση Β χάνει την επαφή του µε τον οδηγό αλλά θα παραµένει στην θέση αυτή µόνιµα σε κα τάσταση ευσταθούς ισορροπίας. Eάν kr/<m<kr/ τότε Ν Β <, δηλαδή η δύναµη N B θα κατευθύνεται ακτινι κά προς το κυρτό µέρος του οδηγού και η θέση Β θα εξακολουθεί να είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας του δακτυλίου. P.M fysikos