που δέχεται το άλλο είναι κεντρική µε κέντρο την θέση Ο του ακινήτου σωµατιδίου. Για την αλγεβρική τιµή της F # " F είναι ελκτική δύναµη,
|
|
- Ηιονη Τρύφαινα Καψής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Δύο σωµατίδια αλληλοεπιδρούν µε δυνάµεις, οι οποίες απορρέουν από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας του συστήµα τος των δύο σωµατιδίων, η οποία έχει την µορφή: U = -U e -/ όπου η απόσταση των σωµατιδίων και U, θετικές και σταθερές ποσότητες. Εάν το ένα εκ των δύο σωµατιδίων είναι ακίνητο, να δείξε τε ότι το άλλο σωµατίδιο µπορεί να ισορροπήσει σε ορισµένη θέση και να βρεθεί το είδος της ισορροπίας του. ΛΥΣΗ: Επειδή η συνάρτηση δυναµικής ενέργειας του συστήµατος των δύο σωµατιδίων εξαρτάται µόνο από την απόστασή τους και επειδή το ένα από τα δύο σωµατίδια είναι ακίνητο, η δύναµη F που δέχεται το άλλο είναι κεντρική µε κέντρο την θέση Ο του ακινήτου σωµατιδίου. Για την αλγεβρική τιµή της F ισχύει η σχέση: F = - du d = - d d -U e-/ ) = -U e -/ - e -/ " % F = -U e -/ 1-1) " % Από την 1) παρατηρούµε τα εξής: Σχήµα 1 i) Για > είναι F<, δηλαδη η F είναι ελκτική δύναµη, ii) Για < είναι F>, δηλαδη η F είναι απωστική δύναµη και iii) Για = είναι F=, δηλαδή το ελεύθερο σωµατίδιο στην θέση αυτή ισορροπεί. Eάν το σωµατίδιο αποµακρυνθεί λίγο από την θέση αυτή η F γίνεται διάφορη
2 του µηδενός, αλλά κατευθύνεται πάντοτε πρός την θέση ισορροπίας Μ του σωµατιδίου, δηλαδή αποτελεί δύναµη επαναφοράς αυτού στην θέση Μ. Το γεγονός αυτό εγγυάται ότι η ισορροπία του σωµατιδίου είναι ευσταθής. Παρατήρηση: Το ότι η ισορροπία του ελεύθερου σωµατιδίου είναι ευσταθής αποδεικνύεται και ως εξής. Προφανώς για = ισχύει: du d = δηλαδή η U) για = παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. Εξάλλου προηγουµένως αποδείχθηκε ότι: du d = -U e-/ 1 - " % d U d = U e -/ U e -/ " % d U d = U e -/ = U e -/ - " % " % Γιά = είναι: d U d = U e -1-1) = U > e που σηµαίνει ότι το τοπικό ακρότατο είναι ελάχιστο, δηλαδή η ισορροπία του ελεύθερου σωµατιδίου είναι ευσταθής. P.M. fysikos Ένα µικρό σώµα κινείται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ µε τον ορίζοντα, διαγράφωντας καµπύλη τροχιά. Στην διάρκεια της κίνησής του το σώµα δέχεται δύναµη τριβής αντίρ ροπη της ταχύτητάς του, ο δε συντελεστής τριβής ολίσθησής του n µε το κεκλιµένο επίπεδο ικανοποιεί την σχέση n=εφφ. Εάν ο φορέας της ταχύτητας v του σώµατος την στιγµή της εκτόξευσής του πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο είναι κάθετος στην γραµµή x µεγίστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου, να δείξετε την σχέση: v = v 1 + " όπου v η ταχύτητα του σώµατος την στιγµή που το διάνυσµά της σχη µατίζει γωνία θ µε την γραµµή µεγίστης κλίσεως x. ΛΥΣΗ: Το σώµα στην διάρκεια της κίνησής του δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην κάθετη επί το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w και στην
3 παράλληλη προς αυτό συνιστώσα w x κατά την διεύθυνση x, καθώς και την δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδ ραση N και στην τριβή ολίσθησης T, της οποίας το διάνυσµα είναι αντίρροπο της ταχύτητάς του v. Εξετάζοντας το σώµα σε µια τυχαία θέση της τροχιάς του, όπου το διάνυσµα της ταχύτητάς του σχηµατίζει γωνία θ µε την γραµµή Σχήµα µεγίστης κλίσεως x του κεκλιµένου επίπέδου σχ. ), παρατηρούµε ότι οι δυνά µεις N και w αλληλοαναιρούνται, διότι το σώµα δεν έχει κίνηση κατά την κάθετη προς το κεκλίµενο επίπεδο διεύθυνση, οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέση: N = w = mg"% 1) όπου m η µάζα του σώµατος και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διευθύν ση της εφαπτοµένης της τροχιάς του και κατά την διεύθυνση x παίρνουµε τις σχέσεις: ma ma x = w x "% - T = w x - T"% ma = mg"µ% - nn ) ma x = mg"µ - nn% * 1) a a x = g"µ% - ng% = g"µ - ng%% ) * όπου a η επιτρόχιος επιτάχυνση του σώµατος και a x η επιτάχυνσή του κατά την διεύθυνση x την στιγµή t που το εξετάζουµε. Όµως δίνεται ότι n=εφφ, οπότε οι σχέσεις ) γράφονται: ) a a x = g"µ% - g% = g"µ - g%% ) * + a = g"µ% - "µ) ) a x = g"µ - "µ%)* a = -a x dv = -dv x dv = -dv x 3) όπου dv η στοιχειώδης µεταβολή του µέτρου της ταχύτητάς του v στον στοιχειώδη χρόνο που θεωρείται µετά την χρονική στιγµή t και dv x η
4 αντίστοιχη µεταβολή του µέτρου της συνιστώσας v x της v κατά την διεύθυνση x. Oλοκληρώνοντας την 3) παίρνουµε: v dv) = - dv x ) v - v = -v x v v x v - v = -v" v + v" = v v = v 1 + " 4) Παρατήρηση: Eάν το κεκλιµένο επίπεδο είναι λείο n=), τότε η επιτάχυνση a x θα είναι στα θερή και η κίνηση του σώµατος κατά την διεύθυνση x της µέγιστης κλίσεως Σχήµα 3 του κέκλιµένου επιπέδου θα είναι οµαλά επιταχυνόµενη µε µηδενική αρχική ταχύτητα, οπότε η µετατόπισή του x σε χρόνο t κατά την διεύθυνση αυτή θα δίνεται από την σχέση: x = a x t / = gt µ"/ 5) Eξάλλου κατά την κάθετη προς την γραµµή µεγίστης κλίσεως διεύθυνση y το σώµα δεν δέχεται καµιά δύναµη που σηµαίνει ότι η κίνησή του κατά την διεύθυνση αυτή είναι οµαλή και η µετατόπισή του y σε χρόνο t θα είναι: y = v t 6) Απαλοίφωντας τον χρόνο t µεταξύ των 5) και 6) παίρνουµε: x = gµ" v y δηλαδή η τροχιά που διαγράφει το σώµα επί του κεκλιµένου επιπέδου είναι παραβολική σχ. 3). P.M. fysikos
5 To ένα άκρο ελατηρίου αµελητέας µάζας σταθεράς k και φυσικού µήκους είναι ακλόνητο σε σηµείο µιας οροφής στο δε άλλο του άκρο είναι στερεωµένο µικρό σφαιρίδιο µάζας m. Eκτρέ πουµε το σφαιρίδιο από την θέση ισορροπίας του, ώστε ο άξονας του ελατηρίου να σχηµατίσει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση και το αφήνουµε ελευθερο. Να µελετηθεί η κίνηση του σφαιριδίου. Να εξετάσετε ειδικώς την περίπτωση που η αρχική εκτροπή φ του σφαιριδίου είναι µικρή. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σφαιρίδιο κατά µια τυχαία στιγµή t που ο άξονας του ελατηρίου σχηµατίζει µε την κατακόρυφή διεύθυνση γωνία φ, το δε µήκος του ελατηρίου είναι. Oι δυνάµεις που δέχεται το σφαιρίδιο είναι το βάρος του w, που αναλύεται στις συνιστώσες w και w κατα την διευθυνση του µοναδιαίου ακτινικού διανύσµατος e και του µοναδιαίου εφαπτοµενικού διανύσµατος e Σχήµα 4 αντιστοίχως και η τάση T του ελατηρίου µε µέτρο k- ). Eφαρµόζοντας για το σφαίριδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά τις διευθύνσεις των µοναδιαίων διανυσµάτων e και e παίρνουµε τις σχέσεις: ma = w - T m d - " d % * ) * + -, - = mg./ - k - ) και d - " d % + k m - ) = g)* 1) " ma = -w m d d + d % = -mgµ d d + d = -g"µ )
6 όπου a, a οι συνιστώσες της επιτάχυνσης του σφαιριδίου σε πολικές συντε ταγµένες. Οι σχέσεις 1) και ) αποτελούν τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης του σφαιριδίου, είναι δε λόγω των όρων ηµφ και συνφ που περιέχουν µη γραµ µικές διαφορικές εξισώσεις. Για τον λόγο αυτόν το σύστηµα τους δεν λύνεται αναλυτικά, αλλά µόνο µε αριθµητική ολοκλήρωση µέσω κατάλληλου µαθηµα τικού προγράµµατος που τρέχει σ ένα καλό ηλεκτρονικό υπολογιστή. Σε περί πτωση µικρών αποκλίσεων του σφαιριδίου από την θέση ισορροπίας του µπο ρούµε µε καλή προσέγγιση να θέσουµε ηµφ φ, συνφ 1 και dφ/)d/), οπότε οι δύο διαφορικές εξισώσεις απλοποιούνται. Συγκεκριµένα η ) παίρνει την µορφή: d + g = d + g = d + g = διότι 3) H 3) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συν τελεστές και δέχεται λύση της µορφής φ=φ συνωt, µε ω =g/, δηλαδή η γωνία φ θα µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο. Εξάλλου στην περίπτωση αυτή η διαφορική εξίσωση 1) γράφεται: d - " d % + k 3) m - ) = g d - - "µ"t ) + k m - ) = g d - " µ "t+ k m - d - g "µ t+ k m - d + k m - ) = g ) = g ) = g 1 + "µ t) d - ) + k m - ) = g 1 + "µ t) 4) Η 4) είναι µια µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστες και έχει αναλυτική λύση. P.M. fysikos Το σφαιρίδιο µαθηµατικού εκκρεµούς έχει µάζα m και φέρει θετικό ηλεκτρικό φορτίο q, το δε νήµα του εκκρεµούς έχει
7 µήκος L. To εκκρεµές βρίσκεται µέσα σε οριζόντιο ηλεκτρικό πεδίο E, του οποίου η αλγεβρική τιµή µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο ακολουθώντας την σχέση: E = E "t όπου Ε, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Να βρείτε την διαφορική εξίσωση της κίνησης του σφαιριδίου. ii) Εάν την χρονική στιγµή t= το νήµα του εκκρεµούς σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση µηδενική γωνία και το σφαιρίδιο έχει µηδενική ταχύτητα, να λύσετε την διαφορική εξίσωση στην περίπτω ση µικρής εκτροπής του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση. Εξετάστε ειδικώς την περίπτωση που ισχύει ω =g/l, όπου g η επιτά χυνση της βαρύτητας. Η αντίσταση του αέρα να θεωρηθεί ασήµαντη. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σφαιρίδιο του εκκρεµούς κατά µια τυχαία στιγµή t που η γωνιακή εκτροπή του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση είναι φ. Το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του w, την τάση T του νήµατος και την ηλεκ τρική δύναµη F οµόρροπη του ηλεκτρικού πεδίου E. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο της κίνησης του Νευτωνα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης ε) της κυκλικής του τροχιάς παίρνουµε την σχέση: m dv = F - w m dl) = Eq"% - mgµ% 1) Σχήµα 5 όπου v η γραµµική ταχύτητα και η γωνιακή ταχύτητα του σφαιριδίου την στιγµή t που το εξετάζουµε. Όµως ισχύει Ω=dφ/ και Ε=Ε συνωt, οπότε η 1) γράφεται: d + " µ = E q ml %"t% µε = g/l )
8 Η ) αποτελεί την διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση του σφαιριδίου του εκκρεµούς. ii) Αν περιοριστούµε σε µικρές εκτροπές του νήµατος από την κατακόρυφη δι εύθυνση, τότε µπορούµε µε καλή προσέγγιση να δεχθούµε ηµφ φ και συνφ 1, οπότε η ) παίρνει την µορφή: d + " = E q %"t 3) ml H 3) είναι µια µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές για την λύση της οποίας ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Δοκι µάζουµε ως µερική λύση της 3) την συνάρτηση: 1 t) = A"µt + B%t 4) οπότε µε διπλή παραγώγιση της συνάρτησης αυτής θα έχουµε: d 1 t) = A"%"t - B"µ"t d 1 t) = -A" µ"t - B" %"t 5) Αντικαθιστώντας στην 3) την τιµή της δεύτερης παραγώγου εκ της 5) παίρ νουµε την σχέση: -A "µt - B %t + A"µt + B%t) = E q%t / ml A - A)"µt + B - B - E q/ml)%t = 6) Επειδή η 6) πρέπει να ισχύει για κάθε t>, θα ισχύουν οι σχέσεις: A - A = " B - B - E q/ml = A - ) = " B - ) = E q/ml A = " B=E q/ml - ) 7) Συνδυάζοντας τις 4) και 7) παίρνουµε: 1 t) = E q"%t ml% -% ) 8) Η λύση της αντίστοιχης οµογενούς της 3) έχει την µορφή: t) = C 1 "µ t + C % t 9) όπου C 1, C σταθεροί συντελεστές, που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συν θήκες κίνησης του σφαιριδίου. Η γενική λύση φt) της 3) θα προκύψει ως άθροισµα των λύσεων φ 1 t) και φ t), δηλάδη:
9 8),9) t) = 1 t) + t) t) = E q"%t ml% -% ) + C 1 µ% t + C "% t 1) Παραγωγίζοντας την 1) ως προς τον χρόνο έχουµε: dt) = - E q"µ"t m" - " ) + C 1 " %" t - C " µ" t 11) Για t= οι σχέσεις 1) και 11) δίνουν: =E q/ml - )+C " =C 1 C =- E q/ml - ) C 1 = " Η τελική εποµένως µορφή της 1) είναι: t) = E q"%t ml% - % ) - E q "% t ml% - % ) t) = E q"%t - "% t) ml% - % ) 1) Όταν ω ω το δευτερο µέλος της 1) καθίσταται απροσδιόριστο και για να αρθεί η απροσδιοριστία του εφαρµόζουµε τον κανόνα de L Ηοspital, οπότε θα έχουµε: %t - % lim t) lim d%t - % t)/d " " - + = * lim d - )/ d " = = lim -tµt) " lim -) " = tµ t Άρα η οριακή µορφή της φt) όταν ω ω, δηλαδή στην κατάσταση συντονι σµού του σφαιριδίου µε το ηλεκτρικό πεδίο, είναι: t) = E q tµ " ml" t ) 14) Η σχέση 14) δεν εκφράζει ηµιτονική µεταβολή µε τον χρόνο της γωνίας φ, αλλα µια πολύπλοκη χρονική εξέλιξη αυτής κατά την οποία παίρνει τιµές που αυξάνονται χρονικά προς το άπειρο και αυτό οφείλεται στον όρο tηµω t). Για να γίνει αυτό αντιληπτό χρησιµοποιούµε την γνωστή σχέση: " ) - 1 "µ t) +1-1 ml" E qt t) +1
10 E - qt " t) " + E qt 15) ml ml Από την 15) παρατηρούµε ότι οι ευθείες φ t)= ±Ε qt/mlω αποτελούν την περιβάλουσα της συνάρτησης 14), η οποία οριοθετεί τις τιµές της γωνίας φ και Σχήµα 6 τις κατευθύνει προς το άπειρο σχήµα 6 ). Είναι προφανές ότι η περίπτωση αυτή από κάποια χρονική στιγµή και µετά αντιβαίνει µε την αρχική παραδοχή των µικρών αποκλίσεων του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση. P.M. fysikos Ένα σωµατίδιο µάζας m κινείται υπό την επίδραση δύναµης F, που έχει την µορφή: F = k v / 3 ) α) όπου k θετική σταθερά, το διάνυσµα θέσεως του σωµατιδίου ως προς την αρχή Ο ενός αδρανειακού συστήµατος και v η ταχύτητα του σωµατιδίου στο σύστηµα αυτό. i) Να δείξετε ότι η κινητική ενέργεια του σωµατιδίου παραµένει αναλ λοίωτη. ii) Να δείξετε ότι, αν θεωρήσουµε το συνδεδεµένο µε την κίνηση του σωµατιδίου διανυσµα L * µε: L * = m v ) - k / β) το διάνυσµα αυτό είναι χρονικά αναλλοίωτο.
11 iii) Να δείξετε ότι: L /) = k γ) * και στην συνέχεια ότι, το σωµατίδιο κινείται στην επιφάνεια ενός κώ νου που η κορυφή του είναι το Ο. ΛΥΣΗ: i) Από την σχέση α) προκύπτει ότι, η δύναµη F που ρυθµίζει την κίνηση του σωµατιδίου είναι διαρκώς κάθετη στην ταχύτητά του v που σηµαί νει ότι η δύναµη αυτή δεν παράγει έργο και σύµφωνα µε το θεώρηµα κινητι κής ενέργειας-έργου η κινητική ενέργεια του σωµατιδίου δεν µεταβάλλεται. ii) Για να αποδείξουµε ότι το διάνυσµα L * είναι χρονικά αναλλοίωτο, αρκεί να δείξουµε ότι η χρονική του παράγωγος είναι µηδενική. Θα έχουµε λοιπόν: d L * =d m v ) -k d " % " = d m % " v + m d v % -k d " % d L * = + F ) - k d " % d L * = F ) - k d όπου το µοναδιαίο διάνυσµα του διανύσµατος θέσεως του σωµατιδίου. Πολλαπλασιάζοντας εξωτερικώς τα µέλη της α) µε το διάνυσµα θα έχουµε: ) = * F ) = k v F Όµως έχουµε: και k v = k " k v ) 3 % + - = k " v., % 3 -. k v 3 ) * - k " v ) ) 3 d ) = k " d + d = k % d v ) k = k v ) 3 = k " d ) % = + k d * Για τον υπολογισµό του δισεξωτερικού γινοµένου που εµφανίζεται στην πιο πάνω σχέση χρησιµοποιήθηκε η διανυσµατική ταυτότητα: [ a b " c " )] = b " a " c " ) - c " b ) a " " 1)
12 = k * ) διότι d / " d + d % +, - = k d + " d % + * - = k ), ) =. Έτσι η σχέση ) παίρνει την µορφή: d ) = k F d + k d - k d = k d 3) Συνδυάζοντας την 1) µε την 3) παίρνουµε: d L * = k d - k d = 4) iii) Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά τα δύο µέλη της β) µε το διάνυσµα / παίρνουµε την σχέση: " % ) L * = m v + * ),. - + k " % = m " % v + k = k L * ) = k L * " = k " = k/l * 5) όπου φ η γωνία του σταθερού διανύσµατος L * µε το διάνυσµα θέσεως του σω µατιδίου. Παρατηρούµε ότι η γωνία φ είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι το σωµα τίδιο κινείται πάνω στην επιφάνεια ενός κώνου που έχει κορυφή την αρχή Ο του αδρανειακού συστήµατος ως προς το οποίο αναφέρεται η κίνησή του, το δε άνοιγµα του κώνου είναι ίσο µε φ. P.M. fysikos Δύο σωµατίδια µε µάζες, m φέρουν αντίθετα ηλεκτρικά φορτία ±q και βρίσκονται σε πολύ µεγάλη απόσταση µετα ξύ τους. Τα σωµατίδια υπό την επίδραση της αµοιβαίας έλξεως αρχί ζουν να πλησιάζουν εκ της ηρεµίας. Εάν κάποια στιγµή η µεταξύ τους απόσταση είναι, να δείξετε ότι η σχετική ταχύτητα v " του ενός ως προς το άλλο ικανοποιεί την σχέση: v v " " ) = k C q % + m m όπου k C η σταθερά του νόµου του Coulomb. ) 1η ΛYΣH: Επειδή οι ηλεκτροστατικές δυνάµεις αλληλοεπίδρασης µεταξύ των δύο υλικών σηµείων είναι συντηρητικές, η µηχανική ενέργεια του συστήµατος θεωρούµενη στο συστήµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους διατηρείται σταθε ρή στην διάρκεια της σχετικής τους κίνησης. Η µηχανική αυτή ενέργεια είναι µηδενική όταν τα υλικά σηµεία βρίσκονται σε µεγάλη απόσταση και εξακολου
13 θεί να παραµένει µηδενική όταν βρεθούν σε απόσταση µεταξύ τους, δηλαδή ισχύει η σχέση: µv " - k Cq = 1) όπου µ η ανηγµένη µάζα του συστήµατος των δύο υλικών σηµείων και v " η αντίστοιχη σχετική ταχύτητα του ενός ως προς το άλλο. Όµως για την ανηγµέ νη µάζα µ έχουµε την σχέση: 1 µ = m µ = m + m οπότε η 1) γράφεται: m " + m % v - k C q = v " = k C q % + m m v v " " ) = k C q % + m m ) ) η ΛYΣH: Έστω v 1, v οι ταχυτήτες των δύο φορτισµένων σωµατιδίων, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, κατά την χρονική στιγµή που η απόστασή τους είναι. Eπειδή οι ηλεκτροστατικές έλξεις Coulomb ανάµεσα στα δύο σωµατίδια αποτελούν εσωτερικές δυνάµεις για το σύστηµά τους, η ορµή του συστήµατος διατηρείται σταθερή, δηλαδη ισχύει η σχέση: v 1 + m v = v 1 = -m v v 1 = m v v 1 = m v / 3) Eξάλλου, oι ηλεκτροστατικές δυνάµεις αλληλεπίδρασης ανάµεσα στα δύο υλικά σηµεία είναι συντηρητικές όποτε ισχύει για το σύστηµα η αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, δηλαδή έχουµε την σχέση: + = m v m v - k C q 3) m v + m v = k C q m m + ) v m = k C q 1 v = k C q ) m + m 4) Συνδυάζοντας εξάλλου την 3) µε την 4) παίρνουµε: v 1 = m k C q ) m + m v 1 = k Cq m ) + m 5)
14 Όµως η σχετική ταχύτητα v " του σωµατιδίου µάζας, ως προς το σωµατίδιο µάζας m, υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: v " = v v ) 5) Eπειδή τα διανύσµατα v 1 και - v είναι αντίρροπα, για τα µέτρα των διανυσ µάτων της σχέσεως 5) έχουµε v σχ =v 1 +v, η οποία µε βάση τις σχέσεις 3) και 4) γράφεται: Σχήµα 7 v " = k C q m ) + k q C + m ) m + m v " = k C q m % + m ) 1 m m v " = k C q m % + m ) + m m v " = k C q % + m m v v " " ) = k C q % + m m ) P.M. fysikos Mια λεπτή ράβδος µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί το ακίνητο άκρο της O, ώστε να διαγράφει την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου, του οποίου ο άξονας είναι κατακόρυφος. Kατά µήκος της ράβδου µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή µια µικρή χάν τρα. Eάν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου είναι και η γωνία που σχηµατίζει η ράβδος µε την κατακόρυφη διεύθυνση είναι φ, να βρείτε: i) την διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση της χάντρας στο σύστηµα αναφοράς της στρεφόµενης ράβδου και ii) την σχετική ταχύτητα µε την οποία πρέπει να εκτοξευθεί η χάντρα ως προς την ράβδο από το πάνω άκρο της κατά µήκος αυτής, ώστε η
15 ελάχιστη απόστασή της από το Ο να είναι L/. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Για ένα παρατηρητή που µετέχει της περιστροφικής κίνησης της ράβδου µη αδρανειακός παρατηρητής) η χάντρα κινείται υπό την επίδραση του βάρους της w, της αδρανειακής φυγόκεντρης δύναµης η οποία διευθύνεται κάθετα στον άξονα περιστροφής της ράβδου µε φορά προς την χάντρα, της αδρα νειακής δύναµης Coiolis F C =- m " v ) της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο επίπεδο των διανυσµάτων v και, όπου v η σχετική ταχύτητα της χάντ ρας ως προς την ράβδο και τέλος της δύναµης επαφής N από την ράβδο, η οποία διευθύνεται κάθετα στην ράβδο και εξουδετερώνει την F C και τις κάθε Σχήµα 8 τες προς την ράβδο συνιστώσες των δυνάµεων w και σχήµα 8). Εφαρµόζον τας ο στρεφόµενος παρατηρητής για την χάντρα τον δεύτερο νοµο κίνησης του Νεύτωνα κατα την διεύθυνση της επιβατικής ακτίνας της χάντρας ως προς το Ο, παίρνει την σχέση: m d = - w m d = Fµ" - mg%" m d = m "µ)"µ - mg% d - "µ = -g% 1) όπου, w οι συνιστώσες των δυνάµεων και w αντιστοίχως κατά την διεύθυνση της ράβδου. Η 1) αποτελεί µιαγραµµική µη οµογενή διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και περιγράφει την σχε τική κίνηση της χάντρας ως προς την περιστρεφόµενη ράβδο. ii) Η 1) µετασχηµατίζεται ως εξής: d - "µ - g% ) =
16 d "µ - g% ) - "µ - g% ) "µ = d x - "µ ) x = d x -k x = ) όπου τέθηκε ωηµφ=k και x=k -gσυνφ. Η ) δέχεται λύση της µορφής: x = Ae kt + Be -kt 3) όπου Α, Β σταθερές ποσότητες που πρέπει να προσδιοριστούν. Παραγωγίζοντας την ) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: dx/ = kae kt - kbe -kt 4) H 3) την στιγµή t= που η χάντρα εκτοξεύεται από το ανώτερο σηµείο της ράβδου µε σχετική ταχύτητα v και κατεύθυνση προς το Ο δίνει: x = A + B 5) µε x =k L-gσυνφ. Tην χρονική t= έχουµε: dx/) t= = "µ d/) t= = -v k οπότε η 4) για t= δίνει: -v k = ka - kb -v k = A - B 6) Aπό τις 5) και 6) προκύπτουν για τις σταθερές Α και Β οι τιµές: A = x - v k και B = x + v k 7) Για να φθάσει η χάντρα σε ελάχιστη απόσταση L/ από το άκρο Ο της ράβδου πρέπει να υπάρξει χρονική στιγµή Τ που η αντίστοιχη σχετική της ταχύτητα ως προς την ράβδο να µηδενιστεί. Τότε θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: d " % t=t = 1 "µ dx ) % t=t = dx " % t=t 4) = και kae kt - kbe -kt = e kt = B/A 8) 3) 8) x) t=t = k L/ - g" Ae kt + Be -kt = k L/ - g" A B A + B A 7) B = k L/ - g" AB = k L/ - g"
17 x - v k) x + v k) = k L/ - g" 4 x - v k ) = k L - g" ) 4k 4 L +4g " -8gLk "-4v k =k 4 L +4g " -4k Lg" 3k 4 L - 4k Lg" = 4v k 3k L /4 - Lg" = v v = 3k L / 4 - gl" = 3% L µ / 4 - gl" 9) Η ταχύτητα v είναι αποδεκτή εφ όσον ισχύει: 3 L "µ 4 > gl% ή 3 L 4g > "% µ % P.M. fysikos
, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση:
Στην κορυφή της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας σφήνας µάζας M, η οποία ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικ ρός κύβος µάζας m. Nα δείξετε ότι η σφήνα κινείται στο σύστη µα αναφοράς του
Διαβάστε περισσότερα. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!
Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή
Διαβάστε περισσότεραόπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!
Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της
Διαβάστε περισσότεραii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο.
Το σύστηµα του σχήµατος αποτελείται από δύο όµοια ελατήρια στα θεράς και φυσικού µήκους α, των οποίων οι άξονες βρίσκονται πάνω στην ευθεία ΑΒ, όπου Α, Β είναι δύο ακλόνητα σηµεία του επιπέδου. Εκτρέπουµε
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1.
Στην διάταξη του σχήµατος 1) οι τροχαλίες τ 1 και τ έχουν την ίδια µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περι φέρειά τους και την ίδια ακτίνα R. Στο αυλάκι της σταθερής τροχα λίας τ έχει περιτυλιχθεί
Διαβάστε περισσότεραi) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες.
Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. ). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί
Διαβάστε περισσότεραii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.
Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας εφαρµόζεται στο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούµε σύστηµα δύο σωµατιδίων Σ 1 και Σ 2 µε αντίστοιχες µάζες m 1 και m 2, τα οποία αλληλοεπιδρούν χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις.
Θεωρούµε σύστηµα δύο σωµατιδίων Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, τα οποία αλληλοεπιδρούν χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις. i) Nα δείξετε ότι η σχετική ορµή P του ενός, λογουχάρη του Σ ως
Διαβάστε περισσότεραη αντίστοιχη ταχύτητα του οχήµατος, θα ισχύει η σχέση:! 0 = m! v + M! V! md! v /dt = -Md!
Tο νήµα µαθηµατικού εκκρεµούς µήκους L, είναι στερεωµένο στην οροφή µικρού οχήµατος µάζας M, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε οριζόντιο επίπεδο (σχήµα 1). i) Eάν το σφαιρίδιο του εκκρεµούς
Διαβάστε περισσότεραΥλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F!
Υλικό σηµείο µάζας, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F (), η οποία ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης από το ελκτι κό κέντρο Ο, δηλαδή περιγράφεται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση.
Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. i) Εάν Κ είναι το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του στερεού κάποια στιγµή και C η αντίστοιχη θέση του κέντρου µάζας
Διαβάστε περισσότερα(τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T!
Επί της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας και ισοσκελούς σφήνας µάζας m, η οποία ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικρός κύβος µάζας m. Μεταξύ του κύβου και της σφήνας δεν υπάρχει τριβή, ενώ
Διαβάστε περισσότεραΈνα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή
Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου V 0 πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος κατευθυνόµενο προς κατακόρυφο τοίχο. Το σώµα κάποια στιγµή συγκρούεται ελα στικά και µετωπικά µε µια µπάλα
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος.
H τροχαλία του σχήµατος () µάζας m και ακτίνας R, ισορροπεί εξαρτηµένη από τα νήµατα ΑΒ και ΓΔ τα οποία είναι ισο κεκλιµένα ως προς την οριζόντια διεύθυνση κατα γωνία φ. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα ΑΒ
Διαβάστε περισσότερα, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση:
Σώµα µάζας m σχήµατος ορθογώνιου κιβωτίου, ισορροπεί πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και στην άνω επιφάνειά του έχει τοποθετηθεί σώµα µάζας m/. Κάποια στιγµή που λαµβάνε ται ως αρχή µέτρησης του χρόνου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m 1, m 2 τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα.
Θεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m, m τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα. i) Εάν είναι το διάνυσµα θέσεως του ενός υλικού σηµείου σε
Διαβάστε περισσότεραΔυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων
Δυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων Θεωρούµε δύο σωµατίδια Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, των οποίων τα διανύσµατα θέσεως ως προς την αρχή Ο ενός αδρανειακού συστή µατος αναφοράς Oxyz
Διαβάστε περισσότεραΔίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10.
Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται
Διαβάστε περισσότεραA! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2
A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό,
Διαβάστε περισσότερατων Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12
Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές ράβδοι OA και AB µήκους L και µάζας m, αρθρώνονται στο σηµείο Α το δε άκρο Ο της ΟΑ αρθρώνεται σε σταθερό υποστήριγµα, ενώ το άκρο Β της ΑΒ µπο ρεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο
Διαβάστε περισσότερααπό τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!
Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο
Διαβάστε περισσότεραΤροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v!
Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v C. Σε σηµείο της περιφέρειας του τροχου έχει αρθρωθεί το ένα άκρο Β µιας λεπτής
Διαβάστε περισσότεραi) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
Δύο σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, είναι στερεωµένα στις άκρες ενός κατακόρυφου αβαρούς ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εξασκούµε στο σώµα Σ κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα κάτω, της
Διαβάστε περισσότεραµε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w!
Το κυκλικό σύρµα του σχήµατος έχει µάζα m/ και είναι κρεµασµένο από κατακόρυφο σπάγκο αµελητέας µάζας αλλά επαρκούς αντοχής. Δύο όµοιες σηµειακές χάντρες, καθε µιά µε µάζα m, αφήνονται ταυτόχρονα από την
Διαβάστε περισσότερα) ω ω. L λίγο πριν. . Nα βρεθούν:
Δύο σφαιρίδια A, B µάζας m το καθένα συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L, ηρεµούν δε πάνω σε οριζόντιο τραπέζι ευρισκόµενα σε απόσταση α
Διαβάστε περισσότεραi) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και
Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση
Διαβάστε περισσότεραακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T!"
Λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, ισορρο πεί εφαπτόµενη σε δύο υποστηρίγµατα A και Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα (1. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της στεφάνης και των υποστη ριγµάτων
Διαβάστε περισσότεραii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας.
Στην διάταξη του σχήµατος () η ράβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξο να, που διέρχεται από σηµείο Ο ευρισκόµενο σε απόσταση 3L/4 από το άκρο της Α. Η τροχαλία
Διαβάστε περισσότερατης οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4.
Οριζόντιος δίσκος µάζας Μ ισορροπεί στηριζόµε νος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο στηρίζεται στο έδαφος (σχήµα 1). Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει
Διαβάστε περισσότεραΘετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R<D), η οποία είναι προσγειωµένη.
Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F
Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k κόβεται σε δύο τµήµατα µε µήκη L και L. Η µία άκρη κάθε τµήµατος συνδέεται στέρεα µε µικρό σφαιρίδιο µάζας m και οι ελέυθερες άκρες τους στερεώνονται σε ακλόνητα σηµεία
Διαβάστε περισσότεραQ του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως!
Αβαρής ράβδος αποτελείται από δύο συνεχόµενα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ που είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Το άκρο Ο της ράβδου είναι αρθρωµένο σε οριζόντιο έδαφος το δε τµήµα της ΟΑ είναι κατακόρυφο και εφάπτεται
Διαβάστε περισσότεραΥλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου, που εξασκεί στην µάζα m δύναµη η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής:
Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου, που εξασκεί στην µάζα m δύναµη η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: U = k 2 x2 + y ) 2 α) όπου k θετική και σταθερή ποσότητα
Διαβάστε περισσότερα! =A'B=C!! C! = R" (1)
Οµογενής κύβος ακµής α ισορροπεί επί ακλό νητης σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R, µε το κέντρο µάζας του ακριβώς πάνω από την κορυφή Α της επιφάνειας. Εάν µεταξύ του κύβου και της σφαιρικής επιφάνειας υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας.
Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, της οποίας η µάζα θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρεια της, κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το δε κέντρο της έχει ταχύτητα v. Kάποια στιγµή η στε φάνη προσκρούει
Διαβάστε περισσότερατα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L!
Στο ένα άκρο ράβδου µήκους L και αµελητέας µά ζας, έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Η ράβδος είναι ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Οxy, µε το σφαιρίδιο στο σηµείο, και το άλλο της άκρο στο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραi) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και
Ένα καροτσάκι που περιέχει άµµο, συνολικής µάζας M, εκτελεί οριζόντια αρµονική ταλάντωση σε λείο επίπεδο, µε τη βοήθεια ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. Ένα σφαιρίδιο µάζας m
Διαβάστε περισσότεραYλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy διαγράφον τας καµπύλη τροχιά, η οποία περιγράφεται από την σχέση:
Yλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy διαγράφον τας καµπύλη τροχιά, η οποία περιγράφεται από την σχέση: y = Αηµωx όπου Α, ω σταθερές και θετικές ποσότητες. Εάν το υλικό σηµείο κατά τον άξονα x κινείται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ Α! του σώ µατος ισχύει η σχέση: η επιβατική ακτίνα ως προς το σηµείο P του τυχαίου υλικού σηµείου του στερεού µάζας m i και v!
ΘΕΩΡΗΜΑ Α Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής στερεού σώµατος, θεωρούµενης περί ένα σηµείο του ή της επεκτάσεώς του και αναφερόµενης σε κάποιο αδρανειακό σύστηµα, είναι κάθε στιγµή ίσος µε την συνολική ροπή
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων
ΜΕΡΟΣ Γ η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Στις άκρες αβαρούς και λεπτής ράβδου µηκούς L, έχουν στερεωθεί δύο όµοιες σφαίρες, µάζας m και ακτίνας R, το δε σύστηµα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί
Διαβάστε περισσότερατης µορφής:! F = -mk! r
Ένα µικρό σώµα µάζας m, κινείται επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας α µέσα σε δυναµικό πεδίο, ελκόµενο από σταθερό ση µείο Ο που αποτελεί το κέντρο της τροχιάς, µε δύναµη F της µορφής: F -mk όπου το διάνυσµα
Διαβάστε περισσότεραΟµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!!
Οµογενής σφαίρα µάζας και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας, της οποίας ο φορέας βρίσκε ται άνωθεν του κέντρου της
Διαβάστε περισσότεραii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου.
Oµογενής ράβδος Γ, βάρους w και µήκους L, είναι αρθρωµένη στο ένα άκρο της όπως φαίνεται στο σχήµα (), ενώ το άλλο άκρο της είναι δεµένο σε νήµα που διέρχεται από µικρή ακίνητη τροχαλία O, η οποία βρίσκεται
Διαβάστε περισσότερα# $ + L " = ml " ml! = ML " $ + ml " $ L " = ML/2(M + m) # $ (1) Eξάλλου, εάν L' α, L' σ είναι οι τελικές αποστάσεις του κέντρου µάζας C του
Mία σανίδα, µήκους L καί µάζας M, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο ένα άκρο της σανίδας πατάει άνθ ρωπος µάζας m και αρχίζει να κινείται προς το άλλο άκρο της. Kατά πόσο θα µετατοπιστεί η
Διαβάστε περισσότερακαι όταν φθάσει στο σηµείο Γ αρχίζει να κινείται στο κυκλικό του τµήµα που έχει την µορφή λείου τεταρτο κυκλίου ακτίνας R.
Το σώµα Σ του σχήµατος (α) έχει µάζα και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m κινείται αρχικά πάνω στο οριζόντιο τµήµα του σώµατος µε ταχύτητα v 0 και όταν φθάσει
Διαβάστε περισσότεραόπου x η συντεταγµένη του σωµατιδίου, θεωρούµενη µε αρχή ένα στα θερό σηµείο Ο του άξονα και α, U 0 σταθερές και θετικές ποσότητες.
Υλικό σωµατίδιο µάζας m κινείται πάνω σε σταθε ρό άξονα x x υπό την επίδραση δύναµης, της οποίας ο φορέας συµπί πτει µε τον άξονα. Η δύναµη απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: Ux) =
Διαβάστε περισσότεραόπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν:
Tο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωµένο στο οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο του άκρο είναι ελεύθερο. Mικρό σφαιρίδιο, µάζας m, αφήνεται σε ύψος h από το άκρο Β. Το σφαιρίδιο πέφτοντας
Διαβάστε περισσότεραv = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότερα1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).
Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση.
Διαβάστε περισσότερα1. Κίνηση Υλικού Σημείου
1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση
ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ενας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιµή
Διαβάστε περισσότερα. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε:
Μια λεπτή λαστιχένια ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση χώρίς να περιστρέφεται και κάποια στιγµή το άκρο της Α συναντά λείο οριζόντιο έδαφος. Την στιγµή αυτή η ράβδος έχει κλίση φ ως
Διαβάστε περισσότεραi) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο,
Tο σφαιρίδιο του σχήµατος ισορροπεί πάνω στο λείο οριζόντιο δαπεδο, ενώ τα οριζόντια ελατήρια είναι τεντωµένα. H απόσταση των σηµείων στήριξης των δύο ελατηρίων είναι 3α, ενώ τα ελατήρια έχουν το ίδιο
Διαβάστε περισσότερατην αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν
Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε, παραµένουν αµετάβλητες µε τον χρόνο. Για την µελέτη της επίπεδης κίνησης στερεού
Διαβάστε περισσότεραi) Να γράψετε τη διαφορική εξίσωση κίνησης του σώµατος και να δείξετε ότι δέχεται λύση της µορφής:
Μικρό σώµα µάζας m στερεώνεται στο ένα άκρο οριζόντιου ιδα νικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο προσδένε ται σε κατακόρυφο τοίχωµα όπως φαίνεται στο σχήµα. Το σώµα µπορεί να ολισθαίνει πάνω
Διαβάστε περισσότεραΈνα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V!
Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V 0. O πιλότος του θέλει ν αλλάξει τη διεύθυνση κίνησης του διαστηµόπλοιου, ώστε η νέα διεύθυνση να γίνει κάθετη προς την αρχική. Για
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου
Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του
Διαβάστε περισσότεραi) Nα δείξετε ότι η περιστροφή των κυλίνδρων δεν επηρεάζει την ισορ ροπία του δοκαριού.
Δύο ακριβώς όµοιοι κύλινδροι µπορούν να στρέ φονται περί τους γεωµετρικούς τους άξονες, οι οποίοι είναι σταθεροί, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν µεταξύ τους από σταση α. Ένα λεπτό ξύλινο
Διαβάστε περισσότεραΣ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1
Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν
Διαβάστε περισσότεραa = M + 2m(1 - #$%") όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
Στην διάταξη του σχήµατος 1 η ορθογώνια σφήνα µάζας Μ, εφάπτεται µε την υποτείνουσα έδρα της λείου οριζόντιου εδάφους και φέρει στην κορυφή της µικρή και ευκίνητη τροχαλία το αυλάκι της οποίας περιβάλλεται
Διαβάστε περισσότερα(ΘΕΜΑ 17ο)
Εισαγωγικά: Με το πρόβληµα της αλληλεπίδρασης δύο µαζών, µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος παρουσία οµογενούς βαρυτικού πεδίου, είχα ασχοληθεί και στο παρελθόν παρουσιάζοντάς το στην ιστοσελίδα µου µε
Διαβάστε περισσότεραπερί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,!
Θεωρούµε µια βαρειά σφαίρα, η οποία ισορροπεί επί σχετικά µαλακού εδάφους, ώστε να προκαλεί σ αυτό µια µικρή παραµόρφωση. Λόγω της συµµετρίας που παρουσιάζει η παραµόρφωση αυτή, ως προς την κατακόρυφη
Διαβάστε περισσότεραδιέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A!
Η οµογενής ράβδος ΑΒ του σχήµατος έχει βά ρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α σε τραχύ κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, ενώ το άλλο της άκρο Β ακουµπάει σε λείο κατακόρυφο
Διαβάστε περισσότερα. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και
Οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R είναι ακίνητη πάνω σε οριζόντιο δοκάρι µάζας Μ και µήκους L, που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή επί οριζοντίου δαπέδου. Η σφαίρα εφάπτεται στο δεξιό άκρο Β του δοκαριού
Διαβάστε περισσότεραΣχήµα 20. οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v! προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T!
Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση και δύο σηµεία αυτού βρίσκονται κάποια στιγµή t στις θέσεις Α(,) και Β(,α) του επιπέδου κίνησής του (x,y) Εάν οι ταχύτητες των σηµείων αυτών έχουν το ίδιο µέτρο v
Διαβάστε περισσότεραi) Xρησιµοποιώντας το θεώρηµα µηχανικής ενέργειας-έργου να δείξε τε ότι η διαφορική εξίσωση της κίνησής του έχει την µορφή:
Ένας γραµµικός αρµονικός ταλαντωτής µάζας m παρουσιάζει σταθε ρά απόσβεσης b, η δε γωνιακή ιδιοσυχνότητα ω 0 της ελεύθερης και αµείωτης ταλάντωσής του ικανοποιεί την σχέση ω 0 >b/m. i) Xρησιµοποιώντας
Διαβάστε περισσότεραΜπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση.
Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Τις προηγούµενες µέρες έγινε στο δίκτυο µια συζήτηση µε θέµα «Πόση είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση;» Θεωρώ αναγκαίο να διατυπώσω µε απλό τρόπο κάποια
Διαβάστε περισσότερα( ) ω ( ) = 0. Aπό τις σχέσεις (2) προκύπτει ή ότι το διάνυσµα v K. είναι κάθετο στα διανύσµα τα r A
Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση και έστω (S) η κύρια* τοµή του στερεού κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t. Να δείξετε ότι το αντίστοιχο προς την κύρια
Διαβάστε περισσότεραi) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και
Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση
Διαβάστε περισσότεραii) Έαν αρχικά ο δίσκος κρατείται στην θέση, όπου η ΟΚ είναι οριζόν τια και αφεθεί ελευθερος να βρεθούν οι επιταχύνσεις a!
Ένας κυκλικός δίσκος ακτίνας R φέρει κυκλική οπή ακτίνας R/, της οποίας το κέντρο Κ βρίσκεται σε απόσταση R/ από το κέντρο Ο του δίσκου, µπορεί δε να κυλίεται σε µη λείο οριζόντιο έδαφος. i) Εκτρέπουµε
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α! Κινηµατική άποψη
ΜΕΡΟΣ Α Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα που κινείται στον χώρο, ενώ ένα σηµείο του Ο είναι διαρκώς ακίνητο ως προς το αδρανειακό σύττηµα από το οποίο εξετάζεται. Η θέση του στερεού καθορίζεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013
ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται
Διαβάστε περισσότεραi) Να βρεθεί ο χρόνος αιώρησης του διαστηµοπλοίου, µέχρις ότου εξαντληθούν τα καύσιµά του.
Ένα διαστηµόπλοιο αιωρείται στον αέρα σε στα θερό ύψος από την επιφάνεια της Γης, εκτοξεύοντας καυσαέρια µε σταθερή ταχύτητα v. Η αρχική µάζα του διαστηµόπλοιου µαζί µε τα καύσιµά του είναι m, η δε µάζα
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 17 Ε_3.ΦλΘ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµπτη 5 Ιανουαρίου 17 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α Α.1. Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορµή
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Γ! 1η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων
ΜΕΡΟΣ Γ 1η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Ένας τροχός, µάζας m η οποία θεωρείται συγ κεντωµενη στην περιφέρειά του, περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα ασήµαντης µάζας, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου
A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη Απριλίου 07 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α - Α4 να γράψετε να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα
Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v.
Το καρούλι του σχήµατος κυλίεται χωρίς ολίσ θηση πάνω σε οριζόντιο δοκάρι, που ολισθαίνει επί οριζοντίου έδα φους µε ταχύτητα v η οποία έχει την κατεύθυνση του δοκαριού. Η κύλιση του καρουλιού επιτυγχάνεται
Διαβάστε περισσότεραΣτροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.
Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου
Διαβάστε περισσότεραΈνθετη θεωρία για την αδρανειακή δύναµη D Alempert
Ένθετη θεωρία για την αδρανειακή δύναµη D Alempert Είναι γνωστό ότι ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα ισχύει µόνο για τα λεγόµενα αδρανεικά συστήµατα αναφοράς, δηλαδή για τα συστήµατα εκείνα που είναι
Διαβάστε περισσότεραδιέρχεται από το σηµείο Ο της ράβδου, υπό την επίδραση των βαρών m 1 από τον άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα!
Θεωρήστε οριζόντια ράβδο αµελητέας µάζας, η οποία µπορεί να περιστρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο. Στα άκρα της υπάρχουν δυο διαφορετικές σηµειακές µάζες m, m, που οι αντίστοιχες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ. Η στροφορμή ενός στερεού σώματος είναι μηδενική, όταν το σώμα δεν περιστρέφεται.
ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Διερεύνηση της σχέσης L=ω Η στροφορμή ενός στερεού σώματος είναι μηδενική, όταν το σώμα δεν περιστρέφεται. Η ροπή αδράνειας Ι
Διαβάστε περισσότεραΤα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ημερομηνία: Πέμπτη 4 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα
Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής
Διαβάστε περισσότερατου σφαιριδίου κατευθύνεται προς τα κάτω και σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ.
Μικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσπίπτει σε σηµεί ο Α της περιφέρειας ενός δακτυλιδιού ακτίνας R, το οποίο µπορεί να περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από ένα σηµείο του Ο. Η ταχύτητα πρόσπτωσης
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό
ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Σάββατο 24 Φλεβάρη 2018 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4
Διαβάστε περισσότεραπου δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T!
Tο κέντρο µάζας ενός επιβατηγού αυτοκινήτου απέχει από το οριζόντιο έδαφος απόσταση h. Δίνεται η µάζα Μ του αυτοκινήτου η µάζα m και η ακτίνα R κάθε τροχού, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και οι αποστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ. ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25) Α1. Σε στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα ενεργεί σταθερή ροπή. Τότε αυξάνεται με σταθερό ρυθμό: α. η ροπή αδράνειας του β. η
Διαβάστε περισσότερααπό την ράβδο (αντίδραση της ράβδου) της οποί ας ο φορέας είναι κάθετος στην ράβδο, αναλύεται δε σε µια κατακόρυφη συνι A x
Mια λεπτή ράβδος µπορεί να στρέφεται περί το ακίνητο άκρο της O, ώστε να διαγράφει την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου του οποίου ο άξονας είναι κατακόρυφος. Kατά µήκος της ράβδου µπορεί να ολισθαίνει
Διαβάστε περισσότεραi) Εάν η κρούση είναι µετωπική και πλαστική, να δείξετε ότι η τρο χιά του συσσωµατώµατος που δηµιουργείται είναι ελλειπτική.
Ένας δορυφόρος µάζας m κινείται περί την Γη επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας και κάποια στιγµή προσκρούει ακτινικά πάνω σ αυτόν σώµα µάζας m και της ίδιας κινητικής ενέργειας µε τον δορυφόρο. i) Εάν η κρούση
Διαβάστε περισσότεραΑ. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής
Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό
Διαβάστε περισσότερα2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης
Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική
Διαβάστε περισσότερα