1. KOMBINATORIKA. n = V k. V 4 2 (sa ponavljanjem):
|
|
|
- Ξενία Θεοτόκης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Verovtoć sttst zbr zdt.. Vrjje. KOMINTORIK Immo su S{,,..., }, N, Vrjj -te lse bez ovljj u suu S je sv ureñe -tor,,..., meñusobo rzlčth elemet su S. roj vrjj bez ovljj od elemet -te lse odreñujemo o formul: V!! Vrjj s ovljjem -te lse u suu S je sv ureñe -tor elemet z su S. roj vrjj s ovljjem od elemet -te lse odreñujemo o formul: V Prmer: S{,,, } V bez ovljj: V s ovljjem:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Zd... U rzredu m uče. N olo č može uče sedet u rvoj lu?!! V !!... N lu su slobod četr mest. N olo č osob može out ov mest?!! V 7!!
2 Verovtoć sttst zbr zdt... Kolo m trofreh brojev oj se sstoje od rzlčth fr? 9! 9! V 9 V ! 7!... Jed studet treb d olže st z 8 d. N olo č to može učt o se z d osledj st olže osmog d? 7! 7! V 7 7 7!!... Odeljeje jedog rzred broj uče. O su meñusobo rzmel fotogrfje. Kolo je uuo odeljeo fotogrfj?!! V 9!!... Od olo rzlčth elemet možemo formrt vrjj druge lse? V!!, ± 8 ± Kolo se brojev može formrt omoću elemet su N oj če sv rost čo broj o trže brojev sdrže o dv rzlčt rost čo? V 7!!!!
3 Verovtoć sttst zbr zdt..8. Rešt jedče: V V, b V : V : V V!!!! / 7, 7 ± 9 ± 7 b V!! :!! 8, ± : V : ± Kolo rzlčth bj dju četr oe z gru? V 9... Kolo se etofreh brojev može st omoću fr oje se mogu ovljt, to d rve dve fre budu? V
4 Verovtoć sttst zbr zdt... Kolo etofreh telefosh brojev m o zmo d su m sve fre ere? V... Odredt broj reč, od slov, oje se mogu st omoću zbue od slov, bez obzr d l se u rečm ovljju sv slov d l se dobjju reč bez zčej. V... Dt je su {,,,, 7}. Odredt broj trofreh brojev oj se mogu obrzovt od elemet su. V... Dt je su E{,,,,, }. Odredt broj četvorofreh brojev većh od, oj se mogu obrzovt od elemet su E. V Kolo se Morzeovh zov može formrt z ob osov z. -, o se jed z sstoj od jvše zov? V V V V V 8... roj vrjj četvrte lse s ovljjem od elemet zos. Odredt broj elemet. V / log log log log log..7. roj vrjj treće lse s ovljjem od elemet već je z 8 od broj vrjj treće lse bez ovljj od stog broj elemet. Odredt broj.
5 Verovtoć sttst zbr zdt.. Permutje Permutj bez ovljj su S{,,..., } s je sv vrjj -te lse bez ovljj u suu S. roj ermutj bez ovljj od elemet odreñujemo o formul: P! Ne je dt su od elemet, od ojh m jedh jede vrste, jedh druge vrste td; m jedh m-te vrste; r čemu je m... m. Sv ler rsored oj se sstoj od svh elemet zove se ermutj s ovljjem. roj ermutj s ovljjem odreñujemo o formul: Prmer:! P,,..., m!!... m S{,,, } S{,,, } PV bez ovljj: P,, s ovljjem:! Zd... N olo rzlčth č mogu d sedu četr osobe o su ostvljee četr stole? P!... Dt je su E{,,..., 8}. Kolo ermutj, oje se mogu obrzovt od elemet su E, očje s:, 8? P7 P P
6 Verovtoć sttst zbr zdt... N olo se č može rsoredt 8 jg jedoj ol? P 8... Odredt broj ermutj od elemet,,, b, b, b,. P 7! 7!!! 7,,... Kolo m sedmofreh brojev obrzovh od fr,,,,,,, e uzmjuć u obzr oe oj očju ulom l ulm?! P,, 9!!!... Kolo ermutj od elemet,,,,, b, b, b,, očje s, s b s? 8! P 8,, 8 7 8!!! 8! b P 8,, 8 7 8!!! 8! P 8, 8 7!!..7. Kolo ermutj od elemet,,,,,,,,,,, očje s, s s? - 9 9! P,,,!!..8. Odredt broj ermutj oje se mogu formrt od svh čl rozvod b...9. N olo se rzlčth č može rzt b o rozvod od osm čl,,, b, b,,,? P 8! 8 7!!! 8,,
7 Verovtoć sttst zbr zdt... roj ermutj od elemet odos se rem broju ermutj od elemet o.:. Odredt. P : P!!./, 8 ±..: 9 ±... roj ermutj od elemet je već ut od broj ermutj od elemet. Odredt.!... Rešt jedču:.!!!, ± ±!... Rešt jedču: 7.! 7 7
8 Verovtoć sttst zbr zdt.. Kombje Kombj -te lse bez ovljj su S{,,..., } je sv jegov odsu od elemet,. roj ombj bez ovljj od elemet -te lse odreñujemo o formul:!!! Kombje -te lse od elemet u ojm se jed elemet može ovljt do ut, zovu se ombje s ovljjem. roj ombj -te lse od elemet s ovljjem odreñujemo o formul: Prmer: S{,,,, } S{,,, } bez ovljj: s ovljjem: Zd... Kolo se rzlčth gru o uče može zbrt od vlfovh uče oj će rerezetovt šolu tmčeju?!!8!... N jedom šhovsom turru učestvuje etest šhst. Sv treb d odgr rtju s svm. Kolo će bt odgro rtj turru?!!! 9 8
9 Verovtoć sttst zbr zdt... Odredt broj djgol ovesog etougl -tougl.!!!!!!... Dt je su {,,..., }. Odredt sve odsuove su oj: e sdrže elemete, ; sdrže sve elemete su. -,, Odredt broj svh odsuov su oj m elemet Z delegju šole treb zbrt, od uče oj govore emč oj govore egles jez, et uče od ojh br jed govor egles. N olo č se može obvt zbor? N jedom šhovsom turru odgro je rtj. Odredt broj učes o se z d je sv učes odgro rtju s svm.!!!, ± 8 ±..8. Rešt jedču:,. 9
10 Verovtoć sttst zbr zdt..9. Rešt jedču: 7. 7!! 7!!!!, ± 9 ± 7... Kolo m trouglov čje duže str mju vredost u suu {,, 7, 8}?!!!... Immo rsolgju utomobl, 9 ljud žel d voz. N olo č se to može zvest o redosled utomobl: je bt; bt je? V roj ombj druge lse od elemet s ovljjem zos 7. Odredt. 7! 7!!... roj ombj treće lse bez ovljj od elemet odos se rem broju ombj treće lse od stog broj elemet s ovljjem o 7:. Odredt Odredt o je: V.
11 Verovtoć sttst zbr zdt.. om obrz o je blo oj rrod broj b blo oj omles brojev, td je: b b b b b b... gde je bom oefjet. Ošt čl u rzvjeom oblu bom b dt je formulom: b T Pslov trougo rzuje oefjete uz - b u rzvoju bom: b b b b b b b b b b Zd... Prmet bomu formulu bom: Odredt et čl u rzvjeom oblu bom:.
12 Verovtoć sttst zbr zdt T... Odredt čl oj e sdrž u rzvjeom oblu bom:. T Pet čl e sdrž.... U rzvjeom oblu bom odredt čl oj osle sreñvj sdrž s zložoem T... Odredt. čl u rzvjeom oblu bom 9, o je bom oefjet trećeg čl jed., 9 8!!! ± T
13 Verovtoć sttst zbr zdt... Zbr oefjet rvog, drugog trećeg čl u rzvjeom oblu bom jed je. Odredt čl oj e sdrž !!!, ± T T..7. om oefjet trećeg čl u rzvjeom oblu bom jed je 78. Odredt čl oj e sdrž., T,..8. Zbr bomh oefjet drugog trećeg čl u rzvjeom oblu bom jed je. Odredt čl oj e sdrž 8.., T,
14 Verovtoć sttst zbr zdt. σ-polje DOGĐJ Ω - su svh mogućh shod dogñj oj se mogu očevt r eom otu. Prmer: ot je bje oe, Ω{,,,,, } ω - elemetr dogñj, ojed shod l rezultt elemet su Ω. Prmer: l je šest. dogñj oj je blo oj odsu su Ω. Prmer: ojv rog broj Sgur dogñj dogñj oj se relzuje uve. Nemoguć dogñj rz odsu Ω, dogñj čj je relzj emoguć. logo reljm oerjm u Teorj suov ovde možemo osmtrt relje: mlj ovlč zč d se relzuje d se relzuje. o u tju su detč dogñj. omlemetr l surot dogñj dogñj l je dogñj oj se relzuje smo o se dogñj e relzuje. rese l rozvod dogñj l zč dogñj oj se relzuje smo d se relzuju dogñj dogñj. uj dogñj l d su dsjut dogñj zč dogñj oj se relzuje o se relzuje br jed od dogñj. rzl dogñj / l zč dogñj oj se relzuje d se relzuju o shod ω oj rdju dogñju, e rdju dogñju. smetrč rzl dogñj --- dsjut dogñj zč d se dogñj e mogu stovremeo ostvrt. Prošreje oerj uje rese očo rebrojvo mogo dogñj: I U dogñj oj se relzuje o se relzuje sv od dogñj,, o je..., j z j, je rstvlje osebh čl. o jhov uj č Ω, dogñj obrzuju otuu gruu dogñj. Kls F dogñj oj se osmtrju od ot s slučjm shodm je σ-olje dogñj l σ- lgebr, o:. Ω F,. F F. F,,,... U F
15 Verovtoć sttst zbr zdt Vž d o rz su rd F od rozvod svh toñe rd F. Vže sledeć dettet: Komuttvost rese uje: ; sojtvost rese uje: ; Dstrbutv zo: ; Zo jede: ; ΩΩ; ; Ω De Morgov zo: ; ; I U ; U I Idemotet zo: ; Ω; ; Ω; ; Ω U Zd.. Četr studet, oj, Dro Mro olžu st. o s,, D M ozčmo jhove usehe stu, zrzt sledeće dogñje: E jed je oložo, F oložl su dv studet, G oložo je smo oj, H - oložl su sv I - oložo je mr jed od jh. E D M F D M DM D M DM D M DM G M D HDM I D M.. ju se stovremeo ovčć umers o, r čemu se regstruje ojv sm grb ovčću, o ojv broj gorjoj str oe. Ost su shod. { Ω P,, P,, P,, P,, P,, P,, G, G,, G,, G,, G,, G,}.. U utju su edulje umerse brojevm,,,. N slučj č se z utje zvlč jed o jed edulj bez vrćj to sve do se e zvuče edulj ojoj je er broj. Ost rostor shod. Ω {,,,,,,,,, }
16 Verovtoć sttst zbr zdt.. se o regstruje broj oj se ojv gorjoj str. Ne je dogñj : d broj mj od, dogñj : d broj mj od. Ost rostor shod, o dogñje. { },,,,, Ω, } { } {,,,,,.. Dozt sledeće jedost z m oje dogñje,,: b ω ω ω ω ω ω ω ω ω b Ω Ω.. Ne je. Urostt zrze:,,,..7. Dozt d dogñj,,, obrzuju otu sstem dogñj. Ω Ω Ω.8. Dozt d dogñj,,, obrzuju otu sstem dogñj o su rozvolj dogñj.
17 Verovtoć sttst zbr zdt 7 Ω Ω Ω.9. Dozt d je M emoguć dogñj... Urostt zrz
18 Verovtoć sttst zbr zdt. DEFINIIJE VEROVTNOĆE DOGĐJ Klsč defj verovtoće Immo rostor elemetrh dogñj Ω { ω ω,..., } dogñj { ω,..., ω }, Ω, gde je < <...< m. Td verovtoću dogñj odreñujemo rem: m gde su: broj svh mogućh shod m broj ovoljh shod z dogñj Sttstč defj verovtoće broj relzj dogñj u ot reltv frevej dogñj f r ω odsu Z dovoljo velo frevej dogñj je soro ostt vredost o se uzm z verovtoću dogñj. m Frevej dogñj tež verovtoć dogñj, d se uvećv, o z rozvoljo mlo ε, verovtoć ejedost ε Geometrjs defj verovtoće tež jed.: ε Prošreje lsče defje verovtoće besoč broj slučjev je geometrjs verovtoć: ovrš g ovrš G gde su: G oblst oju može st slučjo bče tč g oblst čj je ovrš roorol verovtoć d tč de u ju e zvs od obl oložj oblst g G. G g 8
19 Verovtoć sttst zbr zdt Zd.. Kugl je zvuče z utje u ojoj se lz bele, rvee lve ugle. Odredt verovtoću d zvuče ugl: bude bel b bude bel l rve je rve b Slučjo je zbr telefos broj s fr. Kol je verovtoć d su u jemu sve fre rzlčte? V! m V! m... Met se sstoj z zoe čj je verovtoć ogñj redom.,... Koj je verovtoć d se r gñju met romš? ju se dve umerse oe. Odredt verovtoću dogšj : o je zbr 8 : o je rozvod 8. V,,,,,,,,,, m dobje je zbr 8 { } dobje je rozvod 8 {,,,}, m 9
20 Verovtoć sttst zbr zdt.. Št je verovtje dobt r bju dve oe: zbr l zbr? V dobje je zbr {,,, }, m dobje je zbr {, }, m.. Kol je verovtoć d će se dvem bčem om dobt zbr tč l o se to e dogod, d će se r oovljeom bju dobt zbr 8? - zbr :,, zbr 8:,,,,..7. U utj se lz belh rvee ugle. Odjedom se zvlč tr ugle. Nć verovtoću d će se meñu jm ć mr jed bel ugl. P m! 7!! 9 zvuče je rve ugl.8. Ku je uo 7 sjl od W, sjl od W sjle od W. Usut je rzbo sjle. Kol je verovtoć d rzbjee sjle mju uuo 8W? m U rodv je sjl, od ojh je boljeg vltet, l se e z oje su to sjle. o je u uo sjle, oj je verovtoć d je meñu jm tčo dve boljeg vltet?
21 Verovtoć sttst zbr zdt... N rsolgju su duž,,, 7 9 m. Kol je verovtoć d se od slučjo zbre duž može ostrust trougo?, m :,7,79, o ostrušemo jedostrč trougo ve m, ć verovtoću d je rstojje zmeñu teme trougl ee slučjo zbre tče uutr trougl veće od. π. 9.. U vdrt us je rug. Izrčut verovtoću d će slučjo zbr tč vdrt bt v rug. G g r π π π π π.. U rug us je vdrt. Izrčut verovtoću d će slučjo zbr tč u rugu bt u vdrtu. r r. r π π
22 Verovtoć sttst zbr zdt. KSIOMTSKO ZSNIVNJE TEORIJE VEROVTNOĆE Kls F dogñj oj se osmtrju od ot s slučjm shodm je σ-olje dogñj l lgebr dogñj, o: Ω F, F F F,,,... U F Vž d o rz su rd F od rozvod svh toñe rd F. Toñe lgebr dogñj F rdju., Defj: Ne je F σ-olje dogñj R su svh eegtvh relh brojev. Ne je, dlje, reslvje: :F R tvo d su zdovolje sledeć uslov: ormrost Ω U σ-dtvost F, j z j dtvost F,,,,, j z j U Td se troj Ω, F, zv rostor verovtoće. Poslede defje su: F Nejedost u osledjem slučju vž o su dogñj dsjut. o je žemo d je dogñj soro sgur s. s., o je žemo d je dogñj soro emoguć s... Zd.. Kod bj umerse oe, e je dogñj : o je r broj. Odredt σ - lgebru oj sdrž. F {,,}, {,, }, {, {,,},{,, }, {,,,,, }}
23 Verovtoć sttst zbr zdt.. Kod bj umerse oe, e je dogñj : o je r broj, dogñj : o je broj deljv s. Odredt σ - lgebru oj sdrž. } { } { { } { },,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Ω F.. Pozt d z D sled \ D D. \ \ \ \ \ D D D D D D D D D D.. Kolo je D? Uutstvo: odredt rvo. D D D D D D D D D D D D D D D.. Pozte su verovtoće dogñj. Odredt. \ \ \ \ \
24 Verovtoć sttst zbr zdt. USLOVNE VEROVTNOĆE Verovtoć dogñj od uslovom d se relzovo dogñj, / l se odreñuje rem: / Ovm je odreñe ov verovtoć ov rostor Ω, F,. Ov verovtoć zdovoljv uslove some: eegtvost: ormrost: Ω Immo d je: / Toñe sled rvlo možej: / / Nezvs dogñj Dogñj je ezvs od dogñj o je slučju je. Osobe ezvsh dogñj: rozvolj dogñj sgur dogñj Ω su ezvs: Ω Ω ezvs su dogñj :, o su ezvs dogñj, ezvs su, o su ezvs ezvs su,, u tom Odos zmeñu ezvsh dsjuth dogñj: o su dogñj ezvs s oztvm verovtoćm od su dsjut o su dogñj s oztvm verovtoćm dsjut od su zvs dogñj,,..., su ezvs u uuost o ostoj meñusob ezvsost rozvoljh r r tvh dogñj, tj. o z svu oču oleju,,...,,..., r vž: r,...,,... o su dogñj,,..., uzjmo dsjut s oztvm verovtoćm čj je sum Ω, td z svo F vž formul totle verovtoće:... su rore verovtoće ured ozte, su hoteze, su osterore verovtoće
25 Verovtoć sttst zbr zdt jesov formul: j j j / / / / Tumčeje: relzj dogñj je stul od hotezom uzorom. Zd:..Odredt verovtoću d slučjo zbr rrod broj: bude deljv s s, b e bude deljv s l s. : broj deljv s, : broj deljv s,, b D.. o je.9,.8, ozt d je / /.. Iz su S{,,,...,} je slučjo zbr jed broj. o je ozto d je zbr broj deljv s ol je verovtoć d je u tju r broj? / {,,8},,9,,,8 :,,,8,,,,,8, :
26 Verovtoć sttst zbr zdt.. Kol je verovtoć d će se dvem bčem om dobt zbr tč l o se to e dogod, d će se r oovljeom bju dobt zbr 8? - zbr :,, zbr 8:,,,,.... Studet je zšo st zjuć od tj. Istvč je ostvo tj. Koj je verovtoć d studet z sv tr tj? / /.. Čove m ljučev od ojh smo jed otvr vrt. Ključev su o oblu slč h o e rzluje. D b otvoro vrt o rob ljučeve jed z drugm, ljuč oj "e otvr" stvlj stru. Odredt verovtoću d će mu z otvrje vrt trebt,,,, oušj. / / / / / / / / / /.7. Iz utje u ojoj je m belh rh ugl odjedom je zvučeo ugl. Pod redostvom d su sve zvučee ugle ste boje oj je verovtoć d su sve re? - zvučeo je ugl - zvučee su re l bele ugle
27 Verovtoć sttst zbr zdt / m m m m.8. Strel,,, gñju o jedom u lj ezvso jed od drugog, ogñjuć g s verovtoćm.,... Ustovljeo je d je lj ogoñe ut. Št je verovtje d je strel ogodo l romšo?,, - lj je ogodo strel,, D - lj je ogoñe dv ut D... D D.8 / D.7 D D D.8 / D.7. / D > / D Verovtje je d je strel ogodo!.9. Prozvod fbre dolze otrolu srvost od otrolor s verovtoćm... Verovtoć d će rozvod bt roglše srvm od rvog otrolor je.9, od drugog.98. Prozvod je bo srv. Nć verovtoću d je roveru zvršo rv otrolor... /.9 /.98 / /.9 / /. 9.. U gru sortst je fudbler, 8 ošrš ruometš. Verovtoć d će ostć ogod je z fudbler., z ošrš.8 z ruometš.7. Odredt verovtoću d će slučjo odbr sortst ostć ogod. Koj je verovtoć d ošrš oetr? /. 8/. 7
28 Verovtoć sttst zbr zdt /. D\. D\.8 D\.7 D.7 \D.77.. U fbr se % rtl rozvod mš, % mš % mš. Mše,, rve %, % % šrt resetvo. Sv rozvod stvljju se u sto sldšte. Kol je verovtoć d je tj esrv rtl rvlje mš? D. \D... Verovtoć d dv blz budu stog ol je.. Verovtoć rñj mušog detet je.. U slučju rñj dee rzh olov ob redosled su jedo verovt. Nć verovtoću d je drug blz mušog ol o je rv bo mušog ol. M M M M Z M M M / M / M / M M Z Z? Z Z M Z M M Z.8. M. Z...8 Z. / M Z Z.... Predostvlj se d meñu stm brojem mušr že m % dltost mušr % dltost že. Slučjo odbr osob je dltost. Koj je verovtoć d je t osob mušr?. \.7 8
29 Verovtoć sttst zbr zdt. NIZOVI NEZVISNIH OPIT S m dogñj oj se relzuje d se u ezvsh ot dogñj relzuje m ut. Verovtoću dogñj S m odreñujemo rem eruljevoj šem: m verovtoć dogñj m m m m q U oštem slučju eruljev šem m obl:!... m! m!... m! m m m m, m,..., m q verovtoć dogñj U ovom slučju vrš se ezvsh ot u svom od jh se može relzovt smo jed od dogñj,,,..., ; ;.... Odreñujemo verovtoću d se u oovljeh ot dogñj relzovo m ut, dogñj m ut,..., dogñj m ut. q m q Lol Movr-Llsov teorem orst se z rblžo odreñvje verovtoće ojvljvj dtog dogñj m ut u slučju d su vredost vele, z q., odoso z > q>: m e ϕ π ϕ q gde je q m q Fuj ϕ je Gusov fuj, čje su vredost dte u tbel. Ov fuj je r: ϕ ϕ-. Itegrl Movr-Llsov teorem: b π e d Φ b Φ b [, ] q q b gde je vredost fuje φ dt u tbel. Ov fuj je er: φ--φ. Posled ove teoreme je eruljev zo velh brojev. Ne je ε rozvolj oztv broj. m Iteresuje s grč vredost verovtoće dogñj M ε d, gde je m/ reltv frevej dogñj verovtoće : 9
30 Verovtoć sttst zbr zdt m ε π ε q ε q e t dt φ ε q Posov rosmj eruljeve šeme orst se z rete dogñje, d je mlo, tj. <: m m λ m,, λ m m λ e m! λ <λ< Zd.. U serj jedog rozvod m % šrt. Slučjo se ut br o jed rozvod z serje. Nć verovtoću: b d se eće zvuć jed šrt, b d će se jmje ut zvuć šrt.., q.9, m m.., q.9, m,, II č , b.9 q q Φ.9 Φ.9
31 Verovtoć sttst zbr zdt Nome: Vredost z Φ otržt u Tbl I rovert!!!.. Verovtoć ogot lj je.. lj se gñ ut. Koj je verovtoć d je lj bo ogoñe: ut, b br jedut? b., q.7!..7..!!., q Istržvjem je utvrñeo d svh ovoroñečd m deč 8 devojč. U eoj orod m četvoro dee. Kol je verovtoć d meñu jm em vše od devojče..8, q., m,, Vrš se gñju u lj r čemu je verovtoć ogot u jedom gñju.. Odredt verovtoću d broj ogod e bude mj od e već od.,., q.8 q b q.,..8..8,..8 Φ.8 Φ.9
32 Verovtoć sttst zbr zdt.. roj dee u eoj orod je. o je verovtoć rñj mušog detet. odredt verovtoću: d orod m deč devojč b d je broj deč u orod zmeñu 8. b q...., q. q 8 b q., ,.. 8 Φ.897 Φ.7.. Verovtoć d e rozvod e roñe otrolu je.. Odredt verovtoću d od slučjo zbrh rozvod broj oh oj su rošl otrolu bude zmeñu 7.,., q.8 7 q 7..,.8. b., q..8 7 Φ. Φ. Φ. Φ ju se dve oe uzstoo. Kol je verovtoć d će se zbr 8 ojvt vše od, mje od ut?,,,,,, q Φ.98 Φ
33 Verovtoć sttst zbr zdt.8. U rozvodj metlh š je rosečo % esrvh. S ojom verovtoćom se može smtrt d će u serj od slučjo zbrh š bt srvo vše od 99? Nome:,.9, q. Φ.7 Φ.9 jer se u zdtu dt roet esrvh š. Z svo l b oje je veće od može se uzet rblž vredost Φ od...9. Ne je verovtoć ojve dogñj u svom od ezvsh ot.8. Nć verovtoću ojve dogñj od 7 do 9 ut.,.8, q. 7 9 Φ. Φ Nć broj otrebh ovljj ot d b se s verovtoćom e mjom od.9 moglo tvrdt d je rzl zmeñu freveje verovtoće. jvše..?, q.,.9 m m Φ. Φ Φ ε q Φ..... Posejo je zr uuruz. Verovtoć ljj jedog zr je.9. Nć gru solutog odstuj freveje roljlog seme od verovtoće.9 o t gr treb d bude grtov s verovtoćom.99.
34 Verovtoć sttst zbr zdt ε?,,.9, q.,.99 m.9 ε.99 m.9 ε Φ ε Φ.99 Φ ε 8. 8.ε 8.ε.8 ε Odredt verovtoću d r bju ovčć ut reltv frevej ojve grb odstu od verovtoće. vše od. ut. ε.,, q. m..? m.. Φ. Φ m. > U rtj od rozvod m rozvod rve lse. Kol je verovtoć d u uzoru od rozvod bude 7 rozvod rve lse?, m 7,., q. 7 m q 7 ϕ q ϕ U utj je lvh rh ugl. Kol je verovtoć d se u ezvsh zbor s vrćjem ut zvuče lv ugl?
35 Verovtoć sttst zbr zdt, m,, q λ.9.9 m λ e m!.9! λ.9 e... Nć verovtoću d se od slučjo zbrh ljud šestoro rodlo.rl., m, λ.7 m λ e m!,.7! q λ..7 e... Prem odm tehče otrole rosečo od % čsov treb zvršt douso regulsje. b Koj je verovtoć d se 9 od slučjo zbrh čsov e vrš douso regulsje? b o se od čsov ñe jmje od ojh treb zvršt douso regulsje, el rtj se e rhvt. Koj je verovtoć d se rtj rhvt?, m 9,., q.98 λ m λ e m! e! λ λ., m,., q.98 m λ λ e e. m!! Z jed st telefos etrl dobje rosečo ozv. Nć verovtoću d eće bt jedg ozv z vreme trjj od mut.
36 Verovtoć sttst zbr zdt, m, λ. m λ e m!.! λ. e..8. Verovtoć d je jed rozvod defet je.. Iz velog sldšt uzm se rozvod. Nć verovtoću d meñu jm bude tčo defeth., m,. λ m λ e m! e! λ.
37 Verovtoć sttst zbr zdt 7. SLUČJNE PROMENLJIVE Defj - Relzj svog slučjog dogñj može se orterst brojem. Promeljv velč, oj te broje vredost uzm s odreñem verovtoćm, zv se slučjom romeljvom. Slučj romeljv se često defše o fuj, oj svom elemetrom dogñju rdružuje e broj. Dsret slučj romeljv - d slučj romeljv uzm s oztvm verovtoćm oč broj l rebrojvo mogo vredost. Nered slučj romeljv - d slučj romeljv s oztvm verovtoćm može d uzme rozvolju brojevu vredost odreñeom tervlu. 7..Dsret slučj romeljv Dsretu slučju romeljvu defšu, otuo odreñuju: - Zo rsodele verovtoć slučje romeljve je rvlo o ome svoj vredost slučje romeljve rdružujemo odgovrjuću verovtoću. -,,...,... :,... vredost oje može d m slučj romeljv. -,,..., verovtoće s ojm uzm vredost,,...,. Grfč lustrj rsodele verovtoć je olgo rsedele verovtoć. - Verovtoć dogñj <, oj zvs od, tj. fuj je od, zv se fujom rsodele verovtoć l umultvm zoom rsodele verovtoć, ozčv se s F, tj. F < Kod dsrete slučje romeljve fuj rsodele je:,,, F...,..., z < < <... < > 7
38 7.. Nered slučj romeljv Verovtoć sttst zbr zdt f - gust rsodele verovtoć - em uverzl rter, ostoj smo z erede slučje romeljve F - fuj rsodele verovtoć Osobe guste rsodele: f f d f F' b F f t dt b f F b F Zd: 7.. Sstvt zo fuju rsodele verovtoć broj ojvljvj dogñj u ezvs ot o je verovtoć ostvrvj dogñj u svom otu..., q.,, m,,, : F,.,.,.78,, < < < > 7.. Ne ovčć se b ut. Nst zo fuju rsodele slučje romeljve - broj ojve grb. 8
39 Verovtoć sttst zbr zdt., q.,, m,, :... F,.,.7,, < < > 7.. Ne ovčć se b ut. Nst zo fuju rsodele slučje romeljve - broj ojve sm.., q.,, m,,,,, : 7.. Slučj velč m z gustu: f tervlu [-,]. Odredt F. os, π π b f. Odredt, F < <., e 9
40 Verovtoć sttst zbr zdt,, f e. Odredt, F < <. rtg rtg rtg t dt F rtg rtg d π π π π π b s s s s os s s os < < π π π π π π π π F F tdt F d
41 Verovtoć sttst zbr zdt d d d f [ ] < < s d [ ] d 8 π π os,, f. π π,, π Odredt osttu, ć fuju rsodele F, o verovtoću Nered slučj romeljv zd je gustom, F s π Slučj romeljv m ormlu rsodelu N,. Nć: < <. b.7 < <.7 < <. d <. e >. < <. Φ.. b.7 < < Φ.7. 7
42 Verovtoć sttst zbr zdt.7 < <. Φ. Φ d <. Φ.. 89 e >.. Φ.. 9 Nome: Vd DODTK 7.7. Preč mtr oje fbr rozvod je slučj romeljv : N.,.. Nć verovtoću šrt od uslovom d je ros tolerj reč ±. 7. Kol tolerj reč može d se grtuje s verovtoćom.97? Tolerj [.,.9].7.7 < >.7 Φ Φ Φ.97. Φ Pr velom broju merej uočeo je d 7% greš e remšuje.. Zmejujuć freveje ojvljvj greš jhovm verovtoćm, odredt verovto odstuje greš, smtrjuć d su greše merej relzje slučje romeljve : N, σ. <..7.. Φ.7 σ. Φ. σ..7 σ.8 σ 7.9. Dt je slučj romeljv : Nm,σ. Odredt eozte rmetre z uslov:
43 8.9. m. Φ.9 σ 8 m. Φ. σ m m Φ.8.8 σ σ 8 m 8 m Φ.7.9 σ σ m.9, σ. Verovtoć sttst zbr zdt 7.. U rozvodj eh rozvod ros tolerj z jedu dmezju je u grm od do mm. Proet šrt sod doje gre je %, zd gorje je 8 %. Uz redostvu d je osmtr dmezj slučj romeljv :Nm,σ,odredt m σ. m. σ. 7.. Predostvmo d telese teže 8 studet mju ormlu rsodelu s sredjom težom g stdrdm odstujem g. Nć broj studet čj je tež zmeñu 7g. 8 : N, < Φ 7 < 7 Φ Φ.8 Φ % 7.. Mš rozvod metle še duže m, s tolerjom.m. N osovu dužeg osmtrj z se d je σ.. Pod retostvom d duže metlh š mju ormlu rsodelu, zrčut roet metlh š oje će se ć u tervlu tolerje. : N,. 7.. Pozt d je m σ <. Φ Φ. P..7 9%
44 Verovtoć sttst zbr zdt m σ Φ.997 σ Φ.997 < σ
45 Verovtoć sttst zbr zdt 8. DVODIMENZIONLN SLUČJN PROMENLJIV 8.. Dsret dvodmezol slučj romeljv Vredost dvodmezole slučje romeljve se mogu redstvt tčm u rv O; o je slučj tč, u rv. Zo rsodele verovtoć je rvlo o ome svom ru vredost, slučje romeljve, rdružujemo odgovrjuću verovtoću j. Zč, mmo: j verovtoću d slučj romeljv uzme vredost, slučj romeljv vredost j tj., m j j P, j,...,, j,..., m, Toñe, mmo mrgle verovtoće o vrstm o olom j, gde su:,...,,... m. j j... j. j,..., m, m. j P j. j j P j m.. j j Fuj rsodele F, redstvlj verovtoću stovremee relzje dogñj <, <, tj: Grfč terretj fuje rsodele je: F,P<, < j F, je verovtoć d slučj tč, de u besoč vdrt s temeom u tč,. P [, S] P b, d F b, d F b, F, d F,
46 Verovtoć sttst zbr zdt Osobe fuje rsodele. F, je eodjuć fuj svojh rgumet F, F,, F, F,,. F, F, F,. F, P, F F, P, F F F. F,, - odgovrjuće fuje rsodele romeljvh : Mrgle verovtoće: Uslove verovtoće: m. j P,...,, j. j j P j j,..., m, / j j / P P / / j j j. j j. Defj ezvsost dveju slučjh romeljvh: Slučje romeljve su ezvse o je suje relj: j.. j, z rozvolj r brojev, j u dsretom slučju l relje: F / j j /.. j, F F 8.. Nered dvodmezol slučj romeljv Gust rsodele fuj rsodele P [ D] f, D, δ F f, F, δδ, dd - verovtoć d tč, de u oblst D. Ovde mmo ojm elemetre verovtoće f, dd, to je verovtoć d slučj tč, de u rvougo s strm d d jedm temeom u tč,. Sbrjuć elemetre verovtoće o oblst D dobjmo verovtoću d tč, de u oblst D.
47 Osobe guste rsodele f, f, dd Verovtoć sttst zbr zdt, P, f F, dd Mrgle fuje rsodele Mrgle guste rsodele F F F, P, f, F, P, f, f f F f, F f, Mrgle guste rsodele se mogu dobt omoću guste rsodele dvodmezole slučje romeljve, meñutm, obruto e vž. Odoso, d b otuo ortersl dvodmezolu slučju romeljvu, otrebo je ored mrglh rsodel zt zvsost zmeñu jh. Odoso, uslov zo rsodele verovtoć. f f / /, f, f Tumčeje: verovtoć d slučj tč, de u rvougo S je jed verovtoć S d S d f f d d dd dd d o de u ojs od uslovom d je l u ojs. Defj ezvsost dveju slučjh romeljvh: Slučje romeljve su ezvse o je suje relj: l relje: f f f F F, f f f, f f / f / f, F F f, F F b, d P b, d P b P d 7
48 Verovtoć sttst zbr zdt Zd: 8.. Ne u esermetu bj dve oe ozčv broj tč gorjoj str rve oe, broj tč gorjoj str druge oe. Nć verovtoće: b d > 9 e < b d e > 9 < Esermet se sstoj u zvlčeju rte s vrćjem, z šl od rte. o s ozčmo broj zvučeh ečev, s ozčmo broj zvučeh dm rljev, odredt zo rsodele slučjh romeljvh, o mrgle verovtoće. \ j , 97 8, 8 8, ,
49 Verovtoć sttst zbr zdt 8.. Dt je rsodel verovtoć dvodmezole slučje romeljve,. Nć mrgle rsodele slučjh romeljvh, o jhove zoe fuje rsodele. \ \ j : : ,., < F., <, >,.8, <., < F., <.78, <.8 <, > 8.. Dt je rsodel verovtoć dvodmezole slučje romeljve,. Nć mrgle rsodele slučjh romeljvh, o jhove zoe rsodele. \ 7 8 \. / 7/ / / / / / 7/ / / 8/ / / / / 9/.j / / / 8.. Dt je rsodel verovtoć dvodmezole slučje romeljve,. Nć mrgle rsodele slučjh romeljvh, o jhove zoe rsodele verovtoće <,, / >. /
50 Verovtoć sttst zbr zdt / j.., >. <,... / >. >. 8.. Nć mrgle verovtoće, zoe fuje rsodel oordt dvodmezole slučje romeljve, dte tbelom: \ Odredt verovtoće >, o uslove rsodele oordt. \. / 7/ / / / 8/ / / 9/ / / /.j / / / / : > 9 / : 7 / : 7 8 / : 8 / : / : se o ut. Ne slučj romeljv odgovr rezulttu rvog bj oe, slučj romeljv odgovr rezulttu drugog bj oe. Nć rsodelu slučje romeljve Z. :
51 Verovtoć sttst zbr zdt Z
52 Verovtoć sttst zbr zdt 9. FUNKIJE SLUČJNIH PROMENLJIVIH o svoj mogućoj vredost slučje romeljve odgovr jed moguć vredost slučje romeljve, td se zv fujom slučje romeljve u oz: U slučju dsrete slučje romeljve: o je : ϕ ϕ ϕ... ϕ ϕ... ϕ mooto fuj r: ϕ emooto fuj r:, od je P P, od su verovtoće. o je P oh vredost slučje romeljve z oje m jede vredost. P jede zbru U slučju erede slučje romeljve: Ne je ered slučj romeljv defs gustom rsodele verovtoć f z < < b e je fuj ϕ ered dferejbl. Immo slučjeve:. z < < b, ϕ je mootoo rstuć Verovtoć dogñj d se tč, lz delu rve ϕ sod rve :, tj. verovtoć dogñj < jed je verovtoć dogñj < < : G P < P < < F F F ψ F gde su: F fuj rsodele slučje romeljve, ψ verz fuj fuje ϕ. Gust rsodele fuje ϕ je: g f ψ ψ '. z < < b, ϕ je mootoo odjuć G P < P < < b F b F F ψ F b g f ψ ψ ' U slučju mootoost fuje ϕ uzm se jedstve formul z gustu rsodele verovtoć:. Kd ϕ je mooto g f ψ ψ ' G P < P g G' f d
53 Verovtoć sttst zbr zdt Zd: 9.. o slučj romeljv m rsodelu verovtoć... :, ć rsodelu verovtoć slučje romeljve. 7 ϕ ϕ ϕ ϕ... 7 : 9.. o slučj romeljv m rsodelu verovtoć.... :, ć rsodelu verovtoć slučje romeljve. ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ.. : 9.. Ost slučju romeljvu -, o je: 8 8 : : : : 9.. Slučj romeljv ozčv verovtoću ojvljvj dogñj u ezvs ot, r čemu je verovtoć ojvljvj dogñj u jedom otu.. Odredt zo fuju rsodele z slučje romeljve Z.
54 Verovtoć sttst zbr zdt : : Z : o je :. π. π. π. π. π, ć zo rsodele z s.. : o je π : π π π, ć zo rsodele z os. : 9.7. Gust f slučje romeljve defs je tervlu -,. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve, o je.
55 Verovtoć sttst zbr zdt Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ ± ' ' ' ', f f f f g 9.8. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve, o je: tervlu -, b tervlu,. b ' ', f f g Ψ Ψ Ψ Ψ ± ' f g Ψ Ψ 9.9. Gust f slučje romeljve defs je tervlu,. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve, o je: e, b l,, d e b e l l ' l l l f g Ψ Ψ e e f g e e e ' Ψ Ψ
56 Verovtoć sttst zbr zdt d e l ' f g Ψ Ψ ± Ψ ± f g l l l l ' l l 9.. Slučj romeljv defs je gustom rsodel verovtoć e f π tervlu < <. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve. e g ' ', Ψ Ψ Ψ Ψ ± π 9..Slučj romeljv m Košjevu rsodelu verovtoć defsu gustom f π tervlu < <. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve. ' Ψ Ψ g π π 9.. Slučj romeljv m uformu rsodelu verovtoć tervlu, π. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve os.
57 Verovtoć sttst zbr zdt 7 e f,,, π π os ' ' ros, ros ros g Ψ Ψ Ψ Ψ π π π
58 Verovtoć sttst zbr zdt. NUMERIČKE KRKTERISTIKE SLUČJNIH PROMENLJIVIH.. Mtemtčo očevje, medj mod Mtemtčo očevje E sredj vredost slučje romeljve : u slučju dsrete slučje romeljve: E u slučju erede slučje romeljve: E f o je ϕ d, fuj slučje romeljve, td je mtemtčo očevje slučje romeljve jedo: E E ϕ ϕ ϕ f f d u dsretom slučju u eredom slučju Mtemtčo očevje fuje r r,,..., zv se občm mometom red r: m r E r r r f f d u dsretom slučju u eredom slučju Defj: o je F fuj rsodele slučje romeljve, td se rešeje jedče: F zv vrtlom red. Kvrtl red. zv se medjom slučje romeljve, tj. medj Me se dobj o rešeje jedče: F Me F Me.. Pored medj, orste se vrtl..7, rv treć. Defj: o je dsret slučj romeljv, td je mod je jverovtj vredost. o je ered slučj romeljv, td je mod msmum guste rsodele. Osobe mtemtčog očevj E E E E E E E E E E E 8
59 Verovtoć sttst zbr zdt.. Dserzj stdrdo odstuje rmetr oj mere rsturje vredost jedodmezole slučje romeljve oo etr rsturj Defj: Dserzjom slučje romeljve zv se mtemtčo očevje vdrt odstuj slučje romeljve od E: D E σ E E E E E f f Poztv ore z dserzje: d σ D zv se stdrdm odstujem devjjom. - u dsretom slučju -u eredom slučju D b rsturje rzlčth rsodel moglo d se uoreñuje, uvede je reltv mer rsturj, ozt od zvom oefjet vrjje: v σ E etrl momet r-tog red defše se formulom: µ E E r E r r E r E r E f f etrl momet se mogu zrzt omoću občh momet: o je ϕ r µ µ m µ m µ m d m m m m m m u dsretom slučju u eredom slučju m m m fuj slučje romeljve, od je etrl momet r-tog red slučje romeljve jed: µ E r ϕ E ϕ r ϕ E ϕ r ϕ E ϕ f f r d u dsretom slučju u eredom slučju 9
60 Verovtoć sttst zbr zdt Dserzj slučje romeljve je: D E ϕ Osobe dserzje E ϕ D D D D D D D D D..Koefjet orelje rmetr rsodele dvodmezole slučje romeljve etr rsturj vredost dvodmezole slučje romeljve, orters je sredjom tčom M,M, gde su M M mtemtč očevj slučjh romeljvh, oj se u dsretom eredom slučju defšu o: M E j j j j, dd d f, d f f m m. d M E Dlje mmo obče momete red rs: m j f j. j d m rs j m r r s f s j j, dd odle su mtemtč očevj M M obč momet rvog red: M m, M m Ztm, etrl momet red rs: η E rs r E E s j Momet E E E E E E m r E E r s E E f, j s j dd η se zove ovrjs, rzlom η η m M M ρ ρ ; σ σ E E E E σ σ σ σ je oefjet orelje z slučje velče. o su dve slučje romeljve ezvse od su eoreltve, obruto e mor d vž.
61 Verovtoć sttst zbr zdt Zd:.. Slučj velč m sledeć rsored: :. Odredt E D..... E E D E E Ne je :. Odredt, E D E E D E. E Slučj velč m gustu roorolu s tervlu,. Odredt joj E σ., f,,,
62 Verovtoć sttst zbr zdt d 7 E E D σ D 9 d 9 d Dsret slučj romeljv m dve moguće vredost. Pr tome je. o je., E. D.. E.. D. E ,. ±.... : E /... ±.8.8 :..
63 Verovtoć sttst zbr zdt Dte su ezvse slučje romeljve :.... :. Odredt E,D D.... E D D 7. D.77.. Dt su zo rsodel ezvsh slučjh romeljvh. :..9.. :. Nć E D.... E E E. D D D Odredt Me z slučju romeljvu, o je o defs fujom rsodele:, F. e, > F Me. e e Me Me.. / l Me l l Me.8. Odredt mtemtčo očevje, medju modus o slučj velč m fuju, rsodele: F, <., >, f F', < e
64 Verovtoć sttst zbr zdt E f ' d F Me. Me Me Me. 8 em m f, em modus.9. Izrčut oefjet vrjje z rsored zdt u tbel: rzm f f f,-7,, - - 7,-9, 8, ,-, 7, - -,-,, ,-,, - -,-7, 8, 7,-9, 7 8, 7 7 9,-,,,-, 8,,-,, 8 rzm f f f f f,-7,, - -, 8, 7,-9, 8, ,,,7 9,-, 7, - -, 78, 87,,-,, , 7, 78,7,-,, - -, 899,,-7, 8, 7,,, 7,-9, 7 8, 7 7, 9 97, 9,-,,,,,,-, 8,, 9,,-,, 8, 7, 8,
65 Verovtoć sttst zbr zdt f E N f E N D. σ V.7% Odredt E, E, E o je zo rsodele slučjog vetor, dt tblom. d l su ezvse? / /9 /9 /9 /9 /9 /9 / f f /9 /9 / /9 /9 / / /9 /9 / / f / / / - f / / - - E, E / /9 /9 /9 /9 /9 /9 S S f /9 /9 f /9 /9 /9 /9 f /9 /9 /9 E su ezvse jer je: E E E.. Izrčut oefjet orelje z dt dvodmezol rsored. /
66 Verovtoć sttst zbr zdt / f *f *f f 8 8 *f *f S* f * f * 9 8 f * f * f * f * f 7 * 9 9 f 8 * 7 Σ 8 E E 8. D E.7 E 7. 9 D *.7 σ.8 σ. 78 ρ *.8.. Izrčut oefjet orelje z dt dvodmezol rsored. / 7 8 / f f f f 8
67 Verovtoć sttst zbr zdt f 8 8 f 7 S* f 7 7 f 8 f 9 f 8 88 Σ 8 E. E 7. 7 D. 97 E. E. 7 D. 9 σ.8 σ. 9 ρ. 7
68 Verovtoć sttst zbr zdt. NEJEDNKOST ČEIŠEV o slučj romeljv m oču dserzju, od je: D E ε, ODNOSNO E gde je ε rozvolj oztv broj. ε U vez s ovm omje se ejedost Mrov: < ε E >, odoso < > < D > ε E Zd:.... Dsret slučj romeljv m rsodelu verovtoć: :. Oet..8 E <. omoću ejedost Čebšev. E E. D E <.... Slučj romeljv m rsodelu verovtoć: :. Oet E < omoću ejedost Čebšev. E.8 E. D... Iz E <. 9.8 <. 8 ε D.9 odredt ε..9 E < ε.9 ε.9. ε ε.9 ε. 8
69 Verovtoć sttst zbr zdt.. Slučj romeljv m E stdrdo odstuje..pomoću ejedost Čebšev oet.<<.... < Slučj romeljv m E stdrdo odstuje. Pomoću ejedost Čebšev oet -<<7. <. 9.. Mtemtčo očevje E brze vetr dtoj vs je m/h, do je stdrdo odstuje σ, m/h. Kole se brze vetr mogu očevt toj vs s verovtoćom e mjom od,9? E σ. D. ε.9 D..9 ε ε... ε.. ε Slučj romeljv m rsodelu verovtoć: 8 :. Oet < omoću ejedost Mrov. E.. <..8. Sredj ve motor je gode. Oet verovtoću d dt motor eće rdt vše od god. <. 8 9
70 Verovtoć sttst zbr zdt. LINERNE REGRESIJE o je ozt zo rsodele slučjh velč,, odreñujemo uslove verovtoće u dsretom redom slučju: f / j / f f,, f j ;,,... o je zvsost meñu slučjm velčm delmč, rd se o uslovom mtemtčom očevju: oje u dsretom slučju m obl: u eredom: E / R R / f j R / d Slučj lere regresje rosmtv rv je α β. Leru regresju možemo odredt metodom jmjh vdrt. Prmetre α β odreñujemo z uslov d G α, β E α β m mmum. Dobjmo sstem jedč: fuj αe αe βe E β E j G G α β čjm rešvjem dolzmo do zrz z leru regresju. ρ o je rsolgju tč σ E E σ M,, trž se d fuj: m jmju vredost. G α, β α β Odtle je: α β čjom se zmeom u α β dobj ler regresj. 7
71 Verovtoć sttst zbr zdt Zd.. Odredt sredje vdrtu regresou rvu osovu zdte tbele odt: Σ 8 α. β Z odte u tbel.. M, odredt regresju α. β..... Zo rsodele slučjog vetor, dt je tblom. Odredt regresju ρ. / / f f f
72 Verovtoć sttst zbr zdt 8 7 f 9 f f 8 8 S* f f 8 f 8 Σ 8 E E D E 7 E D. σ.89 σ. ρ. E ρ σ E σ Zo rsodele slučjog vetor, dt je tblom. Odredt metodom jmjh vdrt regresju ρ. / / f f f f 7 f f S* f 7 f f 9 Σ 9 7
73 Verovtoć sttst zbr zdt E E E E E α α α α α β β α β α β α β α
74 Verovtoć sttst zbr zdt DODTK - NEKE VŽNE DISKRETNE RSPODELE om rsodel,,, Pusoov rsodel P λ R {, },...,, λ> R q {,,,... } λ! λ e,,...,,,,... Geometrjs rsodel R {,,,... } 7
75 Verovtoć sttst zbr zdt 7 DODTK - NEKE VŽNE RSPODELE NEPREKIDNOG TIP Norml Gusov rsodel N m,σ dt e F m t σ π σ σ π σ m e f Φ Φ Φ Φ Φ σ σ σ σ σ σ m P m P P t t t T t P m b m m P b P.. Uform rsodel b U,, <b b b b F,,, [ ] [ ] b b b f,,,, Gm rsodel b G,, >, b> Γ,, dt e t b F t b b ; Γ,, e b f b b ; N d e b b Γ Γ! Esoejl rsodel E, >,, e F,, e f
Aritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a p e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z p e t u s e d m c u s t v e (u demsoj 009/00 god) 7 Redov s prozvoljm človm (Redov s človm prozvoljog z) Hurt qum crbro, qu dscěre vult selbro [Crpe
Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.
Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 7 Hurt qum rro qu dsěre vult se lro [Crpe vodu stom to žel učt ez jge] LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V I s e d m 7 Redov s prozvoljm človm Redov s človm prozvoljog
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE
MEODE OPIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE Dr Dšć Dr Mloš Stć Grđevsk kultet Uverztet u Beogrdu 4. UVOD FORMULACIJA PROBLEMA Zdtk optmzcje je prolžeje promeljvh pr kojm clj krterjumsk ukcj uzm ekstremu
10.1. Bit Error Rate Test
.. Bt Error Rat Tst.. Bt Error Rat Tst Zadata. Izračuat otrba broj rth formacoh bta u BER tstu za,, ogršo dttovaa bta a rjmu, tao da s u sstmu sa brzoom sgalzacj od Mbs mož tvrdt da j vrovatoća grš rosa
AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE
AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE E Aksomatka teorje verovatoće Polaz se od osovh stavova, tzv. aksoma, a osovu kojh se sve ostale osobe mogu dokazat. Za posmatra prostor el. shoda aksomatzacja daje odgovore
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
SIMULACIJA TOKOVA MATERIJALA
MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - ROGRAMSKI AKETI 7/8 Educto d Culture redvje -3 SIMULACIJA TOKOVA MATERIJALA Modelrje Sstem Jed ojekt se može smtrt sstemom ko sujv sledeće uslove: - ko se može defst solj reoztljv
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s
r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é
ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
P r s r r t. tr t. r P
P r s r r t tr t r P r t s rés t t rs s r s r r t é ér s r q s t r r r r t str t q q s r s P rs t s r st r q r P P r s r r t t s rés t t r t s rés t t é ér s r q s t r r r r t r st r q rs s r s r r t str
ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
x n = z z C, signal na izlazu mreže će biti jednak: ( ) = k ( ) H z y n b x n k a y n k k k k k k M k 1+ a z z + a z 1 p z z p 1+ +
FUKCIJ PREOS DISKREE MREŽE ko ul dskrete mreže čj je muls odv jedk h dovedemo komleksu eksoecjlu sekvecu C sgl lu mreže će bt jedk: k k h h k k h k h k k k k. č kko dskret mrež mjej sgl defs je fukcjom
DINAMIKA. Dinamički sistem - pogon sa motorom jednosmerne struje: N: u f Ulazi Izlazi (?) U opštem slučaju ovaj DS je NELINEARAN!!!!
DINAMIKA Dnčk sste - ogon s otoro jednoserne struje: N: { DS } u u Ulz Izlz (?),,, [ ] θ U ošte slučju ovj DS je NELINEAAN!!!! BLOK DIJAGAM MAEMAIČKOG MODELA POGONA Iz jednčne ndukt u e e Iz Njutnove jednčne
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.
KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Računanje sa približnim brojevima
čuje s prblžm brojevm. IZVOI GEŠK Hemjsko-žejersk prorču u opštem slučju obuhvt dve e: Formulsje eophodh jedč mtemtčkog model ešvje mtemtčkog model Nek je lj prorču određvje eke velče, koj je ukj prmetr
Vježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora
ortorjske vježe z predet ootk uprvljje prozvod sste Vjež Vjež Alz stez sste regulcje rze vrtje stosjerog otor Clj vježe: Stez regultor rze vrtje stosjerog otor pooću etod tehčkog setrčog optu Alzrt dčko
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.
IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Numerička integracija
umerčk tegrcj Zdtk umerčke tegrcje umerčk tegrcj je postupk zrčuvj prlže vredost određeog tegrl: < d. z vredost podtegrle ukcje dt uređeom telom čemu pretpostvljmo d je: pr... Bzr se ko umerčko derecrje
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Jeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 10 i 11 1
Mš fule Beog - Meh 3 Peve lee lče ehe Geele ooe o e o e o elh č č olož e oeđe 3 Deovh oo ( o e elue holooh ecoh žvućh ve ( f α (α e olož e oeđe evh oo ev e o u ouo oeđuu olož elog e u oou vu e geele ooe
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET
TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor
Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor t s st tt r st s s r r t rs t2 t P t rs str t t r 1 t s ér r tr st tr r2 t r r t s t t t r t s r ss r rr t 2 s r r 1 s r r t s s s r t s t
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glv IX : INTEGRAL PO FIGURI U R OJNI TROJNI I IŠESTRUKI INTEGRALI KRIOLINIJSKI I PORŠINSKI INTEGRALI 90 Osov pojmov o tegrlm relh ukcj vše relh promjeljvh U Ižejerskoj
Metoda najmanjih kvadrata
Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj
REDUKCIJA SISTEMA NA TAČKU KOORDINATNOG POČETKA Glavni vektor Glavni moment. = xi. F r. r = j. M i. M r
REUKCIJA ITEA NA TAČKU KOORINATNO POČETKA lvn vekto lvn moment O ) ( j ) ( j O k j k j j j j θ cos cosθ Pme. dt povoljn poston sstem sl speov (l.) sle su defnsne vektom: j k j k 4 j k j j j k k Pojekcje
Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method
Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method Laurent Monasse To cite this version: Laurent Monasse. Analysis of a discrete element method and coupling with a
Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA
RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison
LINEARNI STATISTIČKI MODELI
LINEARNI TATITIČKI MODELI (LIN) Podstk ojmov m I DEO Uvod u toju lh sttstčkh modl GLAVA (Elmt mtč lgb) Dfj - (Rlo olj skl) Rlo olj skl R j sku lh bojv ( b ) ztvo u odosu oj sbj možj lh bojv Nom: ku lh
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21
m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m
ο3 3 gs ftffg «5.s LS ό b a. L Μ κ5 =5 5 to w *! .., TJ ο C5 κ .2 '! "c? to C φ io -Ρ (Μ 3 Β Φ Ι <^ ϊ bcp Γί~ eg «to ιο pq ΛΛ g Ό & > I " CD β U3
I co f - bu. EH T ft Wj. ta -p -Ρ - a &.So f I P ω s Q. ( *! C5 κ u > u.., TJ C φ Γί~ eg «62 gs ftffg «5.s LS ό b a. L κ5 =5 5 W.2 '! "c? io -Ρ ( Β Φ Ι < ϊ bcp «δ ι pq ΛΛ g Ό & > I " CD β U (Ν φ ra., r
ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t
ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FichaCatalografica :: Fichacatalografica https://www3.dti.ufv.br/bbt/ficha/cadastrarficha/visua... Ficha catalográfica preparada
skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom.
Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date: GF F GF F SLE GF F D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
Reverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Couplage dans les applications interactives de grande taille
Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications
Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Robin Genuer To cite this version: Robin Genuer. Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications.
PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
METOD NAJMANJIH KVADRATA
Grđeisi fultet u Beogrdu Ktedr z geodeziju i geoiformtiu MEOD NAJMANJIH KVADRAA Rču izrj osoi urs/ri_ Osoe studije 3. semestr, šols 6/7 Prof. dr Bro Božić, dil.geod.iž. Sdržj Uod Prost ritmetič sredi Ošt
P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke
Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski
Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.
Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje
Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE)
Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE) Khadija Idlemouden To cite this version: Khadija Idlemouden. Annulations de la dette extérieure
! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Matematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Moguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u :
Besoči redovi. BROJEVNI REDOVI Besoči brojevi red umeriči red, red s osttim človim predstvlj sumu u : svih člov eog besočog brojevog iz { } Zbirove u u u u. s u, s u u, K, s u. zivmo prcijli zbirovi. Kžemo
HONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Strukture GMDH u modeliranju i predikciji vremenskih serija. Ivan Ivek
Srukure GMDH u modelrnju predkcj vremenskh serj Ivn Ivek Group Mehod of D Hndlng Ivkhnenko, 966. regresj, esmcj, predkcj, konrol... Dobr svojsv: nskoprmersk lgorm smopodešvnje srukure selekcj ulnh vrjbl
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires
Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires Jerome Dubail To cite this version: Jerome Dubail. Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires. Physique mathématique [math-ph].