Numerička integracija

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Numerička integracija"

Transcript

1 umerčk tegrcj Zdtk umerčke tegrcje umerčk tegrcj je postupk zrčuvj prlže vredost određeog tegrl: < d. z vredost podtegrle ukcje dt uređeom telom čemu pretpostvljmo d je: pr... Bzr se ko umerčko derecrje proksmcj podtegrle ukcje terpolcom polomom: P m m d P d Ako pretpostvmo d se P provlč kroz sve tčke tele m d se... grce tegrcje poklpju s prvom posledjom vredošću ezvso promeljve u tel trže tegrl. rčumo prlžo ko: d P d. grešk metode je jedk tegrlu greške terpolcje R.6: 7

2 d P d R d. Slk. - umerčk tegrcj ukcje slc. lustrov je umerčk tegrcje ukcje tegrcjom terpolcoog polom s ekvdsttm terpolcom čvorovm stepe. Tč vredost tegrl jedk je površ spod krve prlž l umerčk vredost površ spod krve polom P d tervlom tegrcje [ ]. Grešk umerčke tegrcje. jedk je zru grešk tegrcje pojedm podtervlm šre. Grešk metode u ekom podtervlu šre zmeđu dv sused terpolco čvor po psolutoj vredost je jedk površ zmeđu krv P. Vdmo d greške tegrcje u pojedm podtervlm mju rzlčte zke p se u zru delmčo poštvju: dolz do međusoe kompezcje grešk. Tko se z umerčku tegrcju može reć d je: umerčk metod tčj od terpolcje stl l doro uslovlje rčusk proces greške usled gutk zčj cr pojedm podtervlm tkođe se međusoo kompezuju. OSOV TGRACO FORMUL Osove ormule z umerčku tegrcju se dojju z jedče. z mle stepee P s ekvdsttm terpolcom čvorovm. Ovko dojee osove tegrcoe ormule su u ltertur pozte pod meom jut-kotesove ewto-cotes ormule. Oe se prmejuju mlm podtervlm šre ekolko kork tegrl celom tervlu [ ] se od doj ko zr tegrl doje prmeom osov ormul poglvlje.. Kork terpolco čvorov se u kotekstu umerčke tegrcje zv tegrco kork. jut-kotesovu ormulu koj se zr P -tog stepe dojmo prem. tegrcjom JP uz smeu tegrcoe promeljve:. α d dα 75

3 76 Tko zvodmo α α α α α α α d d P! >. z posledje jedče dojmo tr osove tegrcoe ormule: z.5 z.5 z 6 6.5c Grešk jut-kotesov ormul. se prem. doj tegrcjom greške terpolcje.6 što ko smee tegrcoe promeljve dje opšt zrz: d...! α α α α.6. TRAPZO PRAVLO jjedostvj tegrco ormul je osov trpez ormul koj je pozt pod zvom trpezo prvlo. Dojmo g smeom u ormulu.5:.7 Geometrjsk terpretcj ormule.7 je površ trpez s osovm vsom jedkom korku tegrcje slk..

4 P R Slk. - Geometrjsk terpretcj trpezog prvl Prme opšte ormule.6 z grešku trpezog prvl dje:.7. SMPSOOVO PRVO DRUGO PRAVLO Podtegrlu ukcju tervlu tegrcje ] zmejujemo kvdrtm P [ provučem kroz ekvdstte čvorove. Rezultt je ormul.5 koj ko smee zrz z koče rzlke dje prvo Smpsoovo prvlo:.8 Drugo Smpsoovo prvlo se zr zme podtegrle ukcje tervlu tegrcje ] kuom prolom dojmo g s z.5c: [.9 8 Greške Smpsoov prvl Jso je d drugo Smpsoovo prvlo dje tču vredost tegrl ko je ukcj kvdrt l ku polom. Td su sv člov. všeg red o koj sdrže koče rzlke. všeg red u opštoj tegrcooj ormul. koj se zr P -tog stepe 77

5 jedk ul. Medutm prvo Smpsoovo prvlo dje tču vredost tegrl ko je podtegrl ukcj polom. stepe zvljujuc tome što se ktor 6 6 uz u jedč z ulr. Geometrjsk to zč d dolz do poštvj grešk pr umerčkoj tegrcj polom trećeg stepe tervlu [ ] prvom Smpsoovom ormulom slk.. P d P d P P Slk. - lustrcj tčost prvog Smpsoovog prvl ko je P Zključujemo d su Smpsoov prvl prlžo jedko tč ko je Smpsoovo drugo prvlo složeje. Prem opštoj ormul z grešku metode.6 grešk Smpsoovog drugog prvl je proporcol s 5. Može se pokzt d je grešk prvog Smpsoovog prvl tkođe proporcol petom stepeu tegrcoog kork md se osovu.6 očekvlo d o ude proporcol s. Tko se zvod : Kže se d su oe ormule stog red tčost zto prvo Smpsoovo prvlo koje je jedostvje prlžo tčo ko drugo m dleko veću prmeu u prks. Uopšte pokzuje se d je jut-kotesov ormul. koj se zr P prog stepe pr roj stog red tčost ko sledeć po složeost ormul zr P stepe. 78

6 79. TRAPZA SMPSOOVA TGRACOA FORMULA Umesto d se trpezo.7 l Smpsoovo prvo prvlo.8 prmee ceo tervl tegrcje [ ] što dlo loše procee tegrl zog velkog tegrcoog kork - greške su proporcole stepeu kork tervl tegrcje se del vše mj podtervl zuzmjuć slučj ml tervl tegrcje. tegrl se doj ko zr tegrl pojedm podtervlm koj se rčuju prmeom jedog l drugog prvl. Tko se dojju složee tegrcoe ormule l jedostvo tegrcoe ormule. Trpez ormul Delmo tervl tegrcje [] jedk podtervl šre tčkm... prlžu vredost tržeog određeog tegrl ukcje dojmo ko: d d d d gde deks ozčv roj tegrco kork tervlu tegrcje []. Tko trpez ormul gls:. Grešk trpeze ormule jedk je zru grešk trpez prvl.7 pojedm podtervlm: Ako je tervlu tegrcje eprekd ukcj od postoj z koje vž:

7 8 p se sum drug zvod može prkzt ko: z grešku trpeze ormule dojmo :. Smpsoov ormul Pošto se Smpsoovm prvm prvlom.8 umerčk rču tegrl tervlu šre tr tčke tervl tegrcje [ ] delmo m jedk podtervl od koj svk ouvt po dv podtervl šre tj po tr tčke. Očgledo je postupk prmeljv smo ko je ukup roj kork tervlu [ ] pr roj tj. ukup roj tčk epr td mmo: m Td prlžu vredost tržeog tegrl dojmo ko zr prlž vredost tegrl pojedm podtervlm šre doje Smpsoovm prvm prvlom: d ko sređvj dojee sume dolzmo do Smpsoove tegrcoe ormule. gde deks ozčv ukup roj tegrco kork tervlu [ ]. Prv sum u zgrd pretstvlj zr sv»epr«ordt od. do - drug sum zr sv»pr«ordt od. do -:

8 D poovmo d je ogrčeje z prmeu Smpsoove ormule: pr roj podtervl odoso epr roj tčk tervlu tegrcje [ ]. Grešk Smpsoove tegrcoe ormule se doj ko zr grešk Smpsoovog prvog prvl.8 pojedm podtervlm šre :. 8.5 GRŠKA RD TGRACO FORMUL Blo koj tegrco ormul zvede z ekog od jut-kotesov prvl m olk: w. gde su w... eke kostte koje se zovu teže l poder sum u. se zove poders sum. Pr tom sum sv tež je tčo jedk : prmer z Trpezu ormulu w w w w... w Može se zvest d grešk opšte tegrcoe ormule. m olk: > c. gde je c ek kostt koj je pr. z Smsoovu ormulu jedk c 8 osovu zrz. zključujemo: grešk eke metode opd s smjvjem tegrcoog kork što je ekspoet u zrzu z grešku eke metode već utolko je pr dtom tegrcoom korku t metod tčj. Drug zključk je očgled z tegrcoe korke mje od jer je: < < ko je > vd slku. l pošto je > > ko je > 8

9 č se d ko je kork već od vž oruto: ukolko je ekspoet već metod je mje tč. Slk. - Pošje ukcje D se uverl d je drug zključk spv zrzćemo grešku preko ezdmezoe * promeljve z ezdmezoog kork tegrcje des ko: mmo d d z * d dz d d dz d dz d d dz d d d dz dz d p - t zvod podtegrle ukcje po u ekoj tčk u ormul. zmejujemo s: z ζ ζ Kočo ko smee * ormulu. prevodmo u ekvvlet olk: * ζ ζ c. Pošto je po decj * < sd edvosmsleo sled d je tegrco ormul utolko tčj ukolko je ekspoet već. Uočl smo dkle d je grešk eke tegrcoe ormule proporcol s p kd tež ul postje eskočo ml velč stog red ko eskočo ml velč pod uslovom d je - t zvod ogrče u tervlu tegrcje. To zč: z k lm lm k 8

10 pšemo: O Z eku tegrcou ormulu kžemo d je tegrco ormul red ko je je grešk proporcol s. Ko što smo pokzl ukolko je red ormule već o je tčj. Dok je trpez ormul. drugog red sledeć po složeost Smpsoov ormul je četvrtog red dkle zto tčj od trpeze. Zdtk. Procet umerčk vredost tegrl: d π pomoću: Trpeze ormule Smpsoove ormule s korkom tegrcje.. Z oe metode procet grešku dojee vredost tegrl korsteć ormule... Vredost podtegrle ukcje rčut s 5 sgur cr. Rešeje Mtcd: Tc vredost tegrl dt s 5 sgur decml pomocu ukcje roud: : roud π zrcut korstec clculus! Kork tegrcje : Broj podtervl: :.. Fukcje koje relzuju trpezu Smpsoovu ormulu: Trpez : :. : : roud Grce tegrcje: Rcuje vredost podtegrle ukcje s 5 sgur cr korscejem ukcje roud: 5 : : Smpso : 8

11 Procee tegrl 5 zcj cr decml jove greske: T : roud Trpez 5 T : T T.7898 T. Posto je gresk <.5 - trpez ormul je dl proceu s sgure cre S : roud Smpso 5 S : S S.785 S Smpsoov ormul je dl tc rezultt sv 5 zcj cr! Proce grce psolute greske Trpeze ormule osovu ormule. < M M m Tre m jvec vredost. zvod u tervlu []:. zvod jegov grk: d : d 8 d :... d.5 d je mooto ukcj m jvecu psolutu vredost dojoj grc: M : d M Pokz d je d mooto lzom. zvod! Grc greske: Tm : M Tm.667 Prover: Tm > T je rezultt skz ejedkost govor d je o tc. Z etc skz dol. Proce grce psolute greske Smpsoove ormule pomocu: < M M 8 m 8

12 Tre m jvec vredost.zvod u tervlu []:. zvod jegov grk: d : d 8 d 5 88 d Fukcj m jvecu psolutu vredost dojoj grc:.5 M : d M Grc greske : Sm : 8 M Sm. 5 Sm > S Zdtk. Tre zrčut rezdulu etlpju zsćee pre zout 6K prmeom termodmčke relcje: rez RT * p z T p dp p gde je p * po pre zout T 6K p * 5.r. Vredost podtegrle ukcje su dojee u Zdtku. umerčkm derecrjem podtk o koecjetu stšljvost pre zout. umerčko zrčuvje tegrl rešt dv č: Ko zr vše tegrl zrčut z vredost podtegrle ukcje pomoću trpezog prvl l Smsoove ormule des tko d se postge što već tčost. Pr tom edostjuću vredost ukcje z p procet z ostl vredost ukcje ekstrpolcjom pomoću kvdrtog LP-. Ko vredost ukcje z p 5. uzet ou dojeu u Zdtku. ekstrpolcjom z ostl vredost ukcje pomoću psple-. Rčujem tegrl ko zr tr tegrl: 5.` z p T dp p dp p dp p 5. p dp pr čemu se rču prlžo koršćejem Smpsoove ormule tegrcjom kvdrtog LP- s čvorovm: p..5 odoso p. Tko je zegut ekstrpolcj rd dojj vredost 5. ko koršćeje mje tčog trpezog prvl. 85

13 Rešeje Mtcd: Podc: R : 8. T : 6 Vredost podtegrle ukcje vektor dojee su u zdtku.. : : Procejvje ekstrpolcjom Lgrzovm polom stepe: L m L : m j m m j L j j j Y : L Y.78 Prosreje orgl zov s po jedm elemetom pomocu ukcje stck : : stck : stck Y S ozrom d vredost prtsk krjevm tele su ekvdstte tegrl cemo rcut ko zr 5 tegrl: 5.` z p T..5 dp p dp p dp p dp p dp p p dp 86

14 pr cemu cemo. tegrl rcut Smpsoovom ormulom ostle trpezm prvlom.. :. :.5 :. : 5 9 Z prmeu Smpsoove ormule korstcemo ukcju: teg : eopodo je rd prmee ukcje ormrt pomoc z Y cj je prv elemet jedk p posledj jedk 7 p. To mozemo zvest pomocu ukcje sumtr Y : sumtr 9 Prprem z pozv ukcje: : : rows Y 6 Y : teg Y.998 Trze tegrl: :.67 Rezdul etlpj: rez : R T rez.8 tegrl rcumo ko zr tr tegrl prv u grcm - drug - trec u grcm -5.: 5.` z dp p dp p dp p dp p T p 5. Treju m vredost podtegrle ukcje z p. do p. Dojmo z vektor pomocu sumtr: : rows : sumtr : sumtr 87

15 Prv tegrl rcumo tegrcjom LP- provuceog kroz tcke..5 : : L X dx Trec tegrl rcumo tegrcjom LP- provuceog kroz tcke : 5. : L 6 X dx Drug tegrl rcumo Smpsoovm prvlom pomocu ukcje teg: : teg sumtr 6.65 Trze tegrl: :.6 Rezdul etlpj: rez : R T rez.87 Odstupje % zmedju zrcut rezdul etlpj: rez rez δ : rez δ.5.6 PROCA GRŠK MTOD RČARDSOOVOM KSTRAPOLACJOM Procejvje grešk umerčke tegrcje pomoću ormule. je jedostvo jer ztev pozvje -tog zvod podtegrle ukcje jegovog ekstrem ko rezultt dje često zto precejee greške. Rčrdso Rcrdso je predložo sledeć postupk z proceu greške koj se zr pretpostvc d se vredost -tog zvod u ormul. e mej mogo u tervlu tegrcje. ek su: - proce tegrl doje tegrcoom ormulom. s rojem podtervl odoso s korkom je grešk - proce tegrl s duplo mjm korkom / odoso s duplo većm rojem podtervl grešk te procee Zč d je tč vredost tegrl : 88

16 odtle:. Odos grešk te dve procee je uz dtu pretpostvku jedk: c c. mmo dve jedče z koj možemo d đemo greške. z.: sme tog zrz u. dje jedču po z koje dojmo: od z.:.. Tko možemo d procemo tču vredost tegrl:.c Z trpezu ormulu koj je drugog red dojmo zrze z greške proceu tče vredost tegrl smeom u opšte zrze.-c:.5 Z Smpsoovu ormulu smeom dojmo: Zdtk. Procet grešku tegrl zrčutog Trpezom ormulom u Zdtku. Rčrdsoovom ekstrpolcjom. Rešeje Mtcd: Vredost podtegrle ukcje zrcute u Zdtku.: S korkom tegrcje. : u Zdtku. je trpezom ormulom z vredost tegrl dojeo: 89

17 T :.7898 : Potre m je jos jed vredost tegrl doje s duplo mjm l duplo vecm tegrcom korkom. Prktcje je rcuje tegrl s duplo vecm korkom tj. s duplo mjm rojem kork jer e ztev ove vredost podtegrle ukcje.tko je: : T Sled rcuje tegrl s duplo mjm rojem podtervl svk drug ordt tj. smo pre ordte... : 5. U sumu ulz : : rows : : roud Proce greske trpeze ormule.5: :. Doje je rel proce greske! Proce tce vredost tegrl : : roud Doje je tc proce 5 sgur cr! ZADAC. z telr vredost ukcje dte u Zdtku. z smostlo rešvje zdc krju. glve potreo je umerčk odredt vredost tegrl d s preczošću od 5 zčj cr. 9

18 zrčut tegrl pomoću trpeze ormule uporedt s tčom vredošću. Orzložt zšto trpez ormul dje veću vredost tegrl od tče. Procet grcu greške rezultt pomoću ormule. c zrčut tegrl pomoću Smpsoove ormule dskutovt grešku rezultt osovu ormule. d Kolk je grešk tegrcoe ormule red pr umerčkoj tegrcj polom čj je stepe jvše -? Rešeje: Tč vredost 68 Trpez ormul T 7 Drug zvod podtegrle ukcje je poztv celokupom tervlu tegrcje c Smpsoov ormul S 68. Grešk tegrcje je jedk jer u. gurše četvrt zvod kko je ukcj polom trećeg stepe td je četvrt zvod jedk. d Grešk tegrcoe ormule red polom stepe jvše - je jedk ul.. Gruo se može procet d u opštem slučju tegrco kork z trpezu ormulu tre d ude put mj od tegrcoog kork z Smpsoovu ormulu d se trpezom ormulom postgl st tčost ko Smpsoovom. Provert je podcm z pretodog zdtk.. Grešk u rezulttu umerčke tegrcje zvedee s zemrljvm utcjem grešk zokružvj međurezultt pr. u Mtcd-u m dve kompoete: grešk koj potče od grešk u vredostm podtegrle ukcje grešk umerčke metode. Pokzt d se ko telre vredost podtegrle ukcje mju jmje d sgur decml grc prve kompoete ukupe pslute greške rezultt može procet ko: A.5 d gde je roj tegrco kork tervlu tegrcje [ ] z lo koju tegrcou omulu.. Gorj proce u slučju kd je roj kork velk zto precejuje grešku koj potče od etčost telr vredost ukcje. mjuć u vdu d je umerčk tegrcj stl rčusk proces dt relju proceu te greške ko je pozto d telre vredost ukcje mju jmje s sgur cr. s Rešeje: A.5. Dt su podc o koecjetm stšljvost CO tempertur T K rzlčtm prtscm: pr z pr z Potreo je pomoću termodmčke relcje: l ϕ p p * z dp p 9

19 * p - dovoljo ml prtsk kome je ϕ. zrčut koecjete ugctet ϕ ugljedoksd dtoj tempertur prtscm p r. Ko doju grcu tegrl uzet p * r. Tržee ugctete zrčut komujuć trpezu Smpsoovu ormulu tko d se postge jveć tčost komujuć tegrcju kvdrtog LP- Smpsoovu ormulu rd postzj veće tčost uporedt rezultte dojee u. Rešeje: p ϕ.988 p ϕ.95 p ϕ.989 p ϕ.95.5 S podcm z pretodog zdtk potreo je: povećt tčost koecjet ugctet doje postupkom u pretodom zdtku pomoću Rčrdsoove ekstrpolcje. osovu procee greške umerčke metode u mjuć u vdu d su u podcm o koecjetm stšljvost sve cre sgure procet roj sgur cr u dojem koecjetm ugctet. Rešeje: p ϕ.988 p ϕ.95 Grešk tegrcje LP u tervlu p [] se e može preczo procet l se osovu poklpj vredost sgure cre dojee pomoću Trpeze ormule z st tegrl može smtrt d su decmle u prvom tegrlu sgure -.8. z procee greške z tegrl u tervlu p [] sled d jegov vredost -.5 m sve sgure decmle. Zključk je d vredost lφ z p lφ -.68 doje s svm sgurm decmlm odoso s grcom psolute greske A lφ.5 -. Vredost φ z dt prtsk je doje s tolkom reltvom greškom odoso s grcom psolute greške A φ A <.5. Tko može se smtrt d je φ dojeo s sgure cre. lφ φ osovu procee greške z tegrl u tervlu p []. - grešk tegrl u tervlu p [] je. - što zč d jegov vredost m tr sgure decmle. Tko može se smtrt d lφ z p lφ -.5 m tkođe tr sgure decmle. Odtle sled d φ m sgure cre. Upored ove procee s om dojem emprjskm prvlom z proceu roj sgur cr u rezulttu..6 Dte su vredost specč etlpj kj kg prtsku p r rzlčtm temperturm: specč toplot c p kj kgk zot TK: : c p z vredost etlpje zot tempertur T K telr vredost specče toplote tre umerčkom tegrcjom ukcje c p T procet što tčje etlpju p r tempertur T 9K ko roj sgur cr u rezulttu to prmeom trpeze ormule Smpsoove ormule uz Rčrdsoovu ekstrpolcju upored procee s vredošću dtom u tel. Rešeje: 9 sgure cre 9.7 sgure cre.7 Kotkto vreme τ s z rektor delog potskvj u kome se odgrv povrt rekcj : 9

20 k kmol m k.9 s kmol A B R k.8 s m k rču se ko : τ k C A d A M α M C B α C A k k Potreo je zrčut τ z ulze kocetrcje kmol/m : CA 5. CB. 6 stepe koverzje A. tko d što se umerčke metode tče rezultt ude tč sgure cre. Prorču zvest polzeć od podtervl u tervlu tegrcje to trpezom ormulom Smpsoovom ormulom Uporedt rojeve tercje koče velče tegrco kork z dv postupk doje kotkt vreme uporedt s vredošću dojeom umerčkom tegrcjom Mtcd ltom ko reeretom tčom u pogledu greške umerčke metode. Rešeje: Trpez ormul: r. tercj.5 T.±.5 - Smpsoov ormul: r. tercj. S.±.5 - Mtcd rezultt z podtk u Zdtku. zrčut koecjete ugctet CO z sve prtske u tel tegrcjom ukcje dojee z kuog splj z koecjete stšljvost provert osetljvost rezultt zor splj ukcje. prmeru podtk o koecjetu stšljvost uporedt međusoo osetljvost umerčk metod terpolcje derecrj tegrcje st telr podtk. Rešeje Doje tegrl vrrrju trećoj zčjoj cr jmje osetljv je tegrcj jvše derecrje..9 z podtk u Zdtku.6 zrčut etlpje zot prtsku r z sve temperture T - K s korkom T 5K. Uporedt rezultte s rspoložvm telrm vredostm lzrt utcj zor splj ukcje. Rešeje: Sum kvdrt odstupj: Σ sple - tel csple -. psle lsple

METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE

METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE MEODE OPIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE Dr Dšć Dr Mloš Stć Grđevsk kultet Uverztet u Beogrdu 4. UVOD FORMULACIJA PROBLEMA Zdtk optmzcje je prolžeje promeljvh pr kojm clj krterjumsk ukcj uzm ekstremu

Διαβάστε περισσότερα

Računanje sa približnim brojevima

Računanje sa približnim brojevima čuje s prblžm brojevm. IZVOI GEŠK Hemjsko-žejersk prorču u opštem slučju obuhvt dve e: Formulsje eophodh jedč mtemtčkog model ešvje mtemtčkog model Nek je lj prorču određvje eke velče, koj je ukj prmetr

Διαβάστε περισσότερα

Vježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora

Vježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora ortorjske vježe z predet ootk uprvljje prozvod sste Vjež Vjež Alz stez sste regulcje rze vrtje stosjerog otor Clj vježe: Stez regultor rze vrtje stosjerog otor pooću etod tehčkog setrčog optu Alzrt dčko

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glv IX : INTEGRAL PO FIGURI U R OJNI TROJNI I IŠESTRUKI INTEGRALI KRIOLINIJSKI I PORŠINSKI INTEGRALI 90 Osov pojmov o tegrlm relh ukcj vše relh promjeljvh U Ižejerskoj

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x) Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.

Διαβάστε περισσότερα

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos

Διαβάστε περισσότερα

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna Aproksmrnje podtk Aproksmrnje podtk krvuljom Aproksmrnje podtk krvuljom (engl. curve ttng), nzv se još regresjsk nlz (engl. regresson nlss), je postupk uklpnj unkcje u skup točk koje predstvljju određene

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10. Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetički i geometrijski niz

Aritmetički i geometrijski niz Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.

Διαβάστε περισσότερα

PRIJENOS i DISTRIBUCIJA ELEKTRIČNE ENERGIJE

PRIJENOS i DISTRIBUCIJA ELEKTRIČNE ENERGIJE TEHIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJEI Sveučlš dplomsk studj elektrotehke PRIJEOS DISTRIBUIJA ELEKTRIČE EERGIJE. KOSTRUKIJSKI RAD - MEHAIČKI PRORAČU ADZEMIH VODOVA Izrčujte zrdte motže tblce provjes prezj

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 7 Hurt qum rro qu dsěre vult se lro [Crpe vodu stom to žel učt ez jge] LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V I s e d m 7 Redov s prozvoljm človm Redov s človm prozvoljog

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 I N Ž E N J E R S K A M A E M A I K A P r e d v j G L A V A 8 OURIEROVI REDOVI, OURIEROVI INEGRALI I OURIEROVA RANSORMACIJA 8.. U v o d m cresc eudo. [Gs rse šrejem.] Lsk posovc ourerov red je jed od jvžjh

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a p e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a p e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z p e t u s e d m c u s t v e (u demsoj 009/00 god) 7 Redov s prozvoljm človm (Redov s človm prozvoljog z) Hurt qum crbro, qu dscěre vult selbro [Crpe

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIKA. Dinamički sistem - pogon sa motorom jednosmerne struje: N: u f Ulazi Izlazi (?) U opštem slučaju ovaj DS je NELINEARAN!!!!

DINAMIKA. Dinamički sistem - pogon sa motorom jednosmerne struje: N: u f Ulazi Izlazi (?) U opštem slučaju ovaj DS je NELINEARAN!!!! DINAMIKA Dnčk sste - ogon s otoro jednoserne struje: N: { DS } u u Ulz Izlz (?),,, [ ] θ U ošte slučju ovj DS je NELINEAAN!!!! BLOK DIJAGAM MAEMAIČKOG MODELA POGONA Iz jednčne ndukt u e e Iz Njutnove jednčne

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine. KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa, Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište

Διαβάστε περισσότερα

Vektori u ravnini. - Nije bitan redoslijed AB ili BA

Vektori u ravnini. - Nije bitan redoslijed AB ili BA Vektor u rnn. Osnon pomo o ektorm Skup sh tok prc p zmeu ukluuu nh sme ne dužnu Ne tn redosled l e poetn tok e zršn tok odsek n prcu p Defnc: Usmeren odsek od toke ko poetne toke do toke ko zršne toke

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh

Διαβάστε περισσότερα

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

, i= 0,1,2,... n, koje su poređane u rastućem redosledu zadate =, odnosno uređena tabela: i n x. R n (x)

, i= 0,1,2,... n, koje su poređane u rastućem redosledu zadate =, odnosno uređena tabela: i n x. R n (x) Iterpolaca Zadata terpolace Nea su u tačama vredost ee uce,,,, Treba ać polom P,,,,,..., oe su poređae u rastućem redosledu zadate, odoso uređea tabela:,...... P a a a... a o aprosmra ucu P a tervalu [,

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v

Διαβάστε περισσότερα

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006. šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td

Διαβάστε περισσότερα

skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom.

skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom

Διαβάστε περισσότερα

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema

Διαβάστε περισσότερα

IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv

Διαβάστε περισσότερα

SIMULACIJA TOKOVA MATERIJALA

SIMULACIJA TOKOVA MATERIJALA MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - ROGRAMSKI AKETI 7/8 Educto d Culture redvje -3 SIMULACIJA TOKOVA MATERIJALA Modelrje Sstem Jed ojekt se može smtrt sstemom ko sujv sledeće uslove: - ko se može defst solj reoztljv

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTENCIJE α M-- uiverzl zbirk potpuo riješeih zdtk Rješej svih zdtk s kopleti postupko i uput. Koristio

Διαβάστε περισσότερα

REDUKCIJA SISTEMA NA TAČKU KOORDINATNOG POČETKA Glavni vektor Glavni moment. = xi. F r. r = j. M i. M r

REDUKCIJA SISTEMA NA TAČKU KOORDINATNOG POČETKA Glavni vektor Glavni moment. = xi. F r. r = j. M i. M r REUKCIJA ITEA NA TAČKU KOORINATNO POČETKA lvn vekto lvn moment O ) ( j ) ( j O k j k j j j j θ cos cosθ Pme. dt povoljn poston sstem sl speov (l.) sle su defnsne vektom: j k j k 4 j k j j j k k Pojekcje

Διαβάστε περισσότερα

NEJEDNAKOSTI I PRIMENE

NEJEDNAKOSTI I PRIMENE NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske

Διαβάστε περισσότερα

Metoda najmanjih kvadrata

Metoda najmanjih kvadrata Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

Istosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.

Istosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora. Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

x n = z z C, signal na izlazu mreže će biti jednak: ( ) = k ( ) H z y n b x n k a y n k k k k k k M k 1+ a z z + a z 1 p z z p 1+ +

x n = z z C, signal na izlazu mreže će biti jednak: ( ) = k ( ) H z y n b x n k a y n k k k k k k M k 1+ a z z + a z 1 p z z p 1+ + FUKCIJ PREOS DISKREE MREŽE ko ul dskrete mreže čj je muls odv jedk h dovedemo komleksu eksoecjlu sekvecu C sgl lu mreže će bt jedk: k k h h k k h k h k k k k. č kko dskret mrež mjej sgl defs je fukcjom

Διαβάστε περισσότερα

Strukture GMDH u modeliranju i predikciji vremenskih serija. Ivan Ivek

Strukture GMDH u modeliranju i predikciji vremenskih serija. Ivan Ivek Srukure GMDH u modelrnju predkcj vremenskh serj Ivn Ivek Group Mehod of D Hndlng Ivkhnenko, 966. regresj, esmcj, predkcj, konrol... Dobr svojsv: nskoprmersk lgorm smopodešvnje srukure selekcj ulnh vrjbl

Διαβάστε περισσότερα

Svojstvene vrednosti matrice

Svojstvene vrednosti matrice 6 Svojstvee vredosti mtrice 6. LINERN TRNSFORMCIJ VEKTOR ko je... eki skup promeljivih y y... y drugi skup promeljivih koje su s prvim veze ekim relcijm: ili u vektorskoj formi: (... ) i y f... i i y f()

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1 Skript z usmei ispit iz IM T Pojmovi (logičkog) iskz i predikt Defiicij: Sud ili iskz je deklrtiv izjv koj u pogledu istiitosti zdovoljv dv pricip: sud je ili istiit ili eistiit (pricip iskljucej treceg)

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija 5. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković

Ekonometrija 5. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković Ekoometja 5 Ekoometja, Osove studje Pedavač: Aleksada Nojkovć Stuktua pedavaja Klasč dvostuk (všestuk) lea egeso model - metod ONK. Petpostavke všestukog KLM. Koelacja u všestukom KLM. Oča kogova. Dvostuk

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii

Διαβάστε περισσότερα

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v

Διαβάστε περισσότερα

vsota je komutativna, asociativna,skalarno množenje pa distributivno če obstaja tak skalar,da velja a = cb in b = ca, ter če velja da so n

vsota je komutativna, asociativna,skalarno množenje pa distributivno če obstaja tak skalar,da velja a = cb in b = ca, ter če velja da so n . Determt poddetermt dvovrste determte srečmo pr reševju sstemov dve ler eč z dvem ezkm; spodj zrz meujemo determt sstem D. Lstost determte če m mtrk A v stolpc zpse vrstce mtrke A potem velj deta deta

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1 Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY jun 2008.

OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY jun 2008. OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY347 9. ju 008. Priroi rojevi u kup vih pozitivih elih rojev, N {,, 3,...}. Celi rojevi u kup vih pozitivih i etivih elih rojev i ule, Z {...,, 3, 0,,, 3,...}. Rioli rojevi

Διαβάστε περισσότερα

7 neg. ( - ) neg. ( - ) poz. (+ ) poz. (+ )

7 neg. ( - ) neg. ( - ) poz. (+ ) poz. (+ ) X. gimzij Iv Supek Zgre, Klićev 7. lipj 000. godie Mturl zdć iz mtemtike Rješej zdtk. ) Riješi jeddžu 7 Rješeje: Njprije se tre riješiti psolutih vrijedosti tko d z svki izrz uutr psolute vrijedosti odredimo

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

Elementi analitičke geometrije u prostoru R 3

Elementi analitičke geometrije u prostoru R 3 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vldm Tutć Element nltčke geometje u postou R 3 Mste d Nov Sd 00. godn. Sdžj ELEMENTI ANALITIČKE GEOMETRIJE U

Διαβάστε περισσότερα

a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac

a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac ) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β

TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α

Διαβάστε περισσότερα

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ Mliš Žižoviæ Oliver Nikoliæ UNIVERZITET SINGIDUNUM Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić KVANTITATIVNE METODE Šesto izmejeo i dopujeo izdje Beogrd,. KVANTITATIVNE METODE Autori: Prof. dr Mliš Žižović

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x =

0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x = Chpter Odredjen ntegrl Problem Nek je zdn funkcje f : [,b] R, f(x). Kko odredt površnu omedjenu grfom funkcje f(x) x-os? Površn prvokutnk: S = b Površn trokut: S = 1 v Kko defnrt površnu lk čje su strnce

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

4. Relacije. Teorijski uvod

4. Relacije. Teorijski uvod VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2. Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα