Numerička integracija

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Numerička integracija"

Transcript

1 umerčk tegrcj Zdtk umerčke tegrcje umerčk tegrcj je postupk zrčuvj prlže vredost određeog tegrl: < d. z vredost podtegrle ukcje dt uređeom telom čemu pretpostvljmo d je: pr... Bzr se ko umerčko derecrje proksmcj podtegrle ukcje terpolcom polomom: P m m d P d Ako pretpostvmo d se P provlč kroz sve tčke tele m d se... grce tegrcje poklpju s prvom posledjom vredošću ezvso promeljve u tel trže tegrl. rčumo prlžo ko: d P d. grešk metode je jedk tegrlu greške terpolcje R.6: 7

2 d P d R d. Slk. - umerčk tegrcj ukcje slc. lustrov je umerčk tegrcje ukcje tegrcjom terpolcoog polom s ekvdsttm terpolcom čvorovm stepe. Tč vredost tegrl jedk je površ spod krve prlž l umerčk vredost površ spod krve polom P d tervlom tegrcje [ ]. Grešk umerčke tegrcje. jedk je zru grešk tegrcje pojedm podtervlm šre. Grešk metode u ekom podtervlu šre zmeđu dv sused terpolco čvor po psolutoj vredost je jedk površ zmeđu krv P. Vdmo d greške tegrcje u pojedm podtervlm mju rzlčte zke p se u zru delmčo poštvju: dolz do međusoe kompezcje grešk. Tko se z umerčku tegrcju može reć d je: umerčk metod tčj od terpolcje stl l doro uslovlje rčusk proces greške usled gutk zčj cr pojedm podtervlm tkođe se međusoo kompezuju. OSOV TGRACO FORMUL Osove ormule z umerčku tegrcju se dojju z jedče. z mle stepee P s ekvdsttm terpolcom čvorovm. Ovko dojee osove tegrcoe ormule su u ltertur pozte pod meom jut-kotesove ewto-cotes ormule. Oe se prmejuju mlm podtervlm šre ekolko kork tegrl celom tervlu [ ] se od doj ko zr tegrl doje prmeom osov ormul poglvlje.. Kork terpolco čvorov se u kotekstu umerčke tegrcje zv tegrco kork. jut-kotesovu ormulu koj se zr P -tog stepe dojmo prem. tegrcjom JP uz smeu tegrcoe promeljve:. α d dα 75

3 76 Tko zvodmo α α α α α α α d d P! >. z posledje jedče dojmo tr osove tegrcoe ormule: z.5 z.5 z 6 6.5c Grešk jut-kotesov ormul. se prem. doj tegrcjom greške terpolcje.6 što ko smee tegrcoe promeljve dje opšt zrz: d...! α α α α.6. TRAPZO PRAVLO jjedostvj tegrco ormul je osov trpez ormul koj je pozt pod zvom trpezo prvlo. Dojmo g smeom u ormulu.5:.7 Geometrjsk terpretcj ormule.7 je površ trpez s osovm vsom jedkom korku tegrcje slk..

4 P R Slk. - Geometrjsk terpretcj trpezog prvl Prme opšte ormule.6 z grešku trpezog prvl dje:.7. SMPSOOVO PRVO DRUGO PRAVLO Podtegrlu ukcju tervlu tegrcje ] zmejujemo kvdrtm P [ provučem kroz ekvdstte čvorove. Rezultt je ormul.5 koj ko smee zrz z koče rzlke dje prvo Smpsoovo prvlo:.8 Drugo Smpsoovo prvlo se zr zme podtegrle ukcje tervlu tegrcje ] kuom prolom dojmo g s z.5c: [.9 8 Greške Smpsoov prvl Jso je d drugo Smpsoovo prvlo dje tču vredost tegrl ko je ukcj kvdrt l ku polom. Td su sv člov. všeg red o koj sdrže koče rzlke. všeg red u opštoj tegrcooj ormul. koj se zr P -tog stepe 77

5 jedk ul. Medutm prvo Smpsoovo prvlo dje tču vredost tegrl ko je podtegrl ukcj polom. stepe zvljujuc tome što se ktor 6 6 uz u jedč z ulr. Geometrjsk to zč d dolz do poštvj grešk pr umerčkoj tegrcj polom trećeg stepe tervlu [ ] prvom Smpsoovom ormulom slk.. P d P d P P Slk. - lustrcj tčost prvog Smpsoovog prvl ko je P Zključujemo d su Smpsoov prvl prlžo jedko tč ko je Smpsoovo drugo prvlo složeje. Prem opštoj ormul z grešku metode.6 grešk Smpsoovog drugog prvl je proporcol s 5. Može se pokzt d je grešk prvog Smpsoovog prvl tkođe proporcol petom stepeu tegrcoog kork md se osovu.6 očekvlo d o ude proporcol s. Tko se zvod : Kže se d su oe ormule stog red tčost zto prvo Smpsoovo prvlo koje je jedostvje prlžo tčo ko drugo m dleko veću prmeu u prks. Uopšte pokzuje se d je jut-kotesov ormul. koj se zr P prog stepe pr roj stog red tčost ko sledeć po složeost ormul zr P stepe. 78

6 79. TRAPZA SMPSOOVA TGRACOA FORMULA Umesto d se trpezo.7 l Smpsoovo prvo prvlo.8 prmee ceo tervl tegrcje [ ] što dlo loše procee tegrl zog velkog tegrcoog kork - greške su proporcole stepeu kork tervl tegrcje se del vše mj podtervl zuzmjuć slučj ml tervl tegrcje. tegrl se doj ko zr tegrl pojedm podtervlm koj se rčuju prmeom jedog l drugog prvl. Tko se dojju složee tegrcoe ormule l jedostvo tegrcoe ormule. Trpez ormul Delmo tervl tegrcje [] jedk podtervl šre tčkm... prlžu vredost tržeog određeog tegrl ukcje dojmo ko: d d d d gde deks ozčv roj tegrco kork tervlu tegrcje []. Tko trpez ormul gls:. Grešk trpeze ormule jedk je zru grešk trpez prvl.7 pojedm podtervlm: Ako je tervlu tegrcje eprekd ukcj od postoj z koje vž:

7 8 p se sum drug zvod može prkzt ko: z grešku trpeze ormule dojmo :. Smpsoov ormul Pošto se Smpsoovm prvm prvlom.8 umerčk rču tegrl tervlu šre tr tčke tervl tegrcje [ ] delmo m jedk podtervl od koj svk ouvt po dv podtervl šre tj po tr tčke. Očgledo je postupk prmeljv smo ko je ukup roj kork tervlu [ ] pr roj tj. ukup roj tčk epr td mmo: m Td prlžu vredost tržeog tegrl dojmo ko zr prlž vredost tegrl pojedm podtervlm šre doje Smpsoovm prvm prvlom: d ko sređvj dojee sume dolzmo do Smpsoove tegrcoe ormule. gde deks ozčv ukup roj tegrco kork tervlu [ ]. Prv sum u zgrd pretstvlj zr sv»epr«ordt od. do - drug sum zr sv»pr«ordt od. do -:

8 D poovmo d je ogrčeje z prmeu Smpsoove ormule: pr roj podtervl odoso epr roj tčk tervlu tegrcje [ ]. Grešk Smpsoove tegrcoe ormule se doj ko zr grešk Smpsoovog prvog prvl.8 pojedm podtervlm šre :. 8.5 GRŠKA RD TGRACO FORMUL Blo koj tegrco ormul zvede z ekog od jut-kotesov prvl m olk: w. gde su w... eke kostte koje se zovu teže l poder sum u. se zove poders sum. Pr tom sum sv tež je tčo jedk : prmer z Trpezu ormulu w w w w... w Može se zvest d grešk opšte tegrcoe ormule. m olk: > c. gde je c ek kostt koj je pr. z Smsoovu ormulu jedk c 8 osovu zrz. zključujemo: grešk eke metode opd s smjvjem tegrcoog kork što je ekspoet u zrzu z grešku eke metode već utolko je pr dtom tegrcoom korku t metod tčj. Drug zključk je očgled z tegrcoe korke mje od jer je: < < ko je > vd slku. l pošto je > > ko je > 8

9 č se d ko je kork već od vž oruto: ukolko je ekspoet već metod je mje tč. Slk. - Pošje ukcje D se uverl d je drug zključk spv zrzćemo grešku preko ezdmezoe * promeljve z ezdmezoog kork tegrcje des ko: mmo d d z * d dz d d dz d dz d d dz d d d dz dz d p - t zvod podtegrle ukcje po u ekoj tčk u ormul. zmejujemo s: z ζ ζ Kočo ko smee * ormulu. prevodmo u ekvvlet olk: * ζ ζ c. Pošto je po decj * < sd edvosmsleo sled d je tegrco ormul utolko tčj ukolko je ekspoet već. Uočl smo dkle d je grešk eke tegrcoe ormule proporcol s p kd tež ul postje eskočo ml velč stog red ko eskočo ml velč pod uslovom d je - t zvod ogrče u tervlu tegrcje. To zč: z k lm lm k 8

10 pšemo: O Z eku tegrcou ormulu kžemo d je tegrco ormul red ko je je grešk proporcol s. Ko što smo pokzl ukolko je red ormule već o je tčj. Dok je trpez ormul. drugog red sledeć po složeost Smpsoov ormul je četvrtog red dkle zto tčj od trpeze. Zdtk. Procet umerčk vredost tegrl: d π pomoću: Trpeze ormule Smpsoove ormule s korkom tegrcje.. Z oe metode procet grešku dojee vredost tegrl korsteć ormule... Vredost podtegrle ukcje rčut s 5 sgur cr. Rešeje Mtcd: Tc vredost tegrl dt s 5 sgur decml pomocu ukcje roud: : roud π zrcut korstec clculus! Kork tegrcje : Broj podtervl: :.. Fukcje koje relzuju trpezu Smpsoovu ormulu: Trpez : :. : : roud Grce tegrcje: Rcuje vredost podtegrle ukcje s 5 sgur cr korscejem ukcje roud: 5 : : Smpso : 8

11 Procee tegrl 5 zcj cr decml jove greske: T : roud Trpez 5 T : T T.7898 T. Posto je gresk <.5 - trpez ormul je dl proceu s sgure cre S : roud Smpso 5 S : S S.785 S Smpsoov ormul je dl tc rezultt sv 5 zcj cr! Proce grce psolute greske Trpeze ormule osovu ormule. < M M m Tre m jvec vredost. zvod u tervlu []:. zvod jegov grk: d : d 8 d :... d.5 d je mooto ukcj m jvecu psolutu vredost dojoj grc: M : d M Pokz d je d mooto lzom. zvod! Grc greske: Tm : M Tm.667 Prover: Tm > T je rezultt skz ejedkost govor d je o tc. Z etc skz dol. Proce grce psolute greske Smpsoove ormule pomocu: < M M 8 m 8

12 Tre m jvec vredost.zvod u tervlu []:. zvod jegov grk: d : d 8 d 5 88 d Fukcj m jvecu psolutu vredost dojoj grc:.5 M : d M Grc greske : Sm : 8 M Sm. 5 Sm > S Zdtk. Tre zrčut rezdulu etlpju zsćee pre zout 6K prmeom termodmčke relcje: rez RT * p z T p dp p gde je p * po pre zout T 6K p * 5.r. Vredost podtegrle ukcje su dojee u Zdtku. umerčkm derecrjem podtk o koecjetu stšljvost pre zout. umerčko zrčuvje tegrl rešt dv č: Ko zr vše tegrl zrčut z vredost podtegrle ukcje pomoću trpezog prvl l Smsoove ormule des tko d se postge što već tčost. Pr tom edostjuću vredost ukcje z p procet z ostl vredost ukcje ekstrpolcjom pomoću kvdrtog LP-. Ko vredost ukcje z p 5. uzet ou dojeu u Zdtku. ekstrpolcjom z ostl vredost ukcje pomoću psple-. Rčujem tegrl ko zr tr tegrl: 5.` z p T dp p dp p dp p 5. p dp pr čemu se rču prlžo koršćejem Smpsoove ormule tegrcjom kvdrtog LP- s čvorovm: p..5 odoso p. Tko je zegut ekstrpolcj rd dojj vredost 5. ko koršćeje mje tčog trpezog prvl. 85

13 Rešeje Mtcd: Podc: R : 8. T : 6 Vredost podtegrle ukcje vektor dojee su u zdtku.. : : Procejvje ekstrpolcjom Lgrzovm polom stepe: L m L : m j m m j L j j j Y : L Y.78 Prosreje orgl zov s po jedm elemetom pomocu ukcje stck : : stck : stck Y S ozrom d vredost prtsk krjevm tele su ekvdstte tegrl cemo rcut ko zr 5 tegrl: 5.` z p T..5 dp p dp p dp p dp p dp p p dp 86

14 pr cemu cemo. tegrl rcut Smpsoovom ormulom ostle trpezm prvlom.. :. :.5 :. : 5 9 Z prmeu Smpsoove ormule korstcemo ukcju: teg : eopodo je rd prmee ukcje ormrt pomoc z Y cj je prv elemet jedk p posledj jedk 7 p. To mozemo zvest pomocu ukcje sumtr Y : sumtr 9 Prprem z pozv ukcje: : : rows Y 6 Y : teg Y.998 Trze tegrl: :.67 Rezdul etlpj: rez : R T rez.8 tegrl rcumo ko zr tr tegrl prv u grcm - drug - trec u grcm -5.: 5.` z dp p dp p dp p dp p T p 5. Treju m vredost podtegrle ukcje z p. do p. Dojmo z vektor pomocu sumtr: : rows : sumtr : sumtr 87

15 Prv tegrl rcumo tegrcjom LP- provuceog kroz tcke..5 : : L X dx Trec tegrl rcumo tegrcjom LP- provuceog kroz tcke : 5. : L 6 X dx Drug tegrl rcumo Smpsoovm prvlom pomocu ukcje teg: : teg sumtr 6.65 Trze tegrl: :.6 Rezdul etlpj: rez : R T rez.87 Odstupje % zmedju zrcut rezdul etlpj: rez rez δ : rez δ.5.6 PROCA GRŠK MTOD RČARDSOOVOM KSTRAPOLACJOM Procejvje grešk umerčke tegrcje pomoću ormule. je jedostvo jer ztev pozvje -tog zvod podtegrle ukcje jegovog ekstrem ko rezultt dje često zto precejee greške. Rčrdso Rcrdso je predložo sledeć postupk z proceu greške koj se zr pretpostvc d se vredost -tog zvod u ormul. e mej mogo u tervlu tegrcje. ek su: - proce tegrl doje tegrcoom ormulom. s rojem podtervl odoso s korkom je grešk - proce tegrl s duplo mjm korkom / odoso s duplo većm rojem podtervl grešk te procee Zč d je tč vredost tegrl : 88

16 odtle:. Odos grešk te dve procee je uz dtu pretpostvku jedk: c c. mmo dve jedče z koj možemo d đemo greške. z.: sme tog zrz u. dje jedču po z koje dojmo: od z.:.. Tko možemo d procemo tču vredost tegrl:.c Z trpezu ormulu koj je drugog red dojmo zrze z greške proceu tče vredost tegrl smeom u opšte zrze.-c:.5 Z Smpsoovu ormulu smeom dojmo: Zdtk. Procet grešku tegrl zrčutog Trpezom ormulom u Zdtku. Rčrdsoovom ekstrpolcjom. Rešeje Mtcd: Vredost podtegrle ukcje zrcute u Zdtku.: S korkom tegrcje. : u Zdtku. je trpezom ormulom z vredost tegrl dojeo: 89

17 T :.7898 : Potre m je jos jed vredost tegrl doje s duplo mjm l duplo vecm tegrcom korkom. Prktcje je rcuje tegrl s duplo vecm korkom tj. s duplo mjm rojem kork jer e ztev ove vredost podtegrle ukcje.tko je: : T Sled rcuje tegrl s duplo mjm rojem podtervl svk drug ordt tj. smo pre ordte... : 5. U sumu ulz : : rows : : roud Proce greske trpeze ormule.5: :. Doje je rel proce greske! Proce tce vredost tegrl : : roud Doje je tc proce 5 sgur cr! ZADAC. z telr vredost ukcje dte u Zdtku. z smostlo rešvje zdc krju. glve potreo je umerčk odredt vredost tegrl d s preczošću od 5 zčj cr. 9

18 zrčut tegrl pomoću trpeze ormule uporedt s tčom vredošću. Orzložt zšto trpez ormul dje veću vredost tegrl od tče. Procet grcu greške rezultt pomoću ormule. c zrčut tegrl pomoću Smpsoove ormule dskutovt grešku rezultt osovu ormule. d Kolk je grešk tegrcoe ormule red pr umerčkoj tegrcj polom čj je stepe jvše -? Rešeje: Tč vredost 68 Trpez ormul T 7 Drug zvod podtegrle ukcje je poztv celokupom tervlu tegrcje c Smpsoov ormul S 68. Grešk tegrcje je jedk jer u. gurše četvrt zvod kko je ukcj polom trećeg stepe td je četvrt zvod jedk. d Grešk tegrcoe ormule red polom stepe jvše - je jedk ul.. Gruo se može procet d u opštem slučju tegrco kork z trpezu ormulu tre d ude put mj od tegrcoog kork z Smpsoovu ormulu d se trpezom ormulom postgl st tčost ko Smpsoovom. Provert je podcm z pretodog zdtk.. Grešk u rezulttu umerčke tegrcje zvedee s zemrljvm utcjem grešk zokružvj međurezultt pr. u Mtcd-u m dve kompoete: grešk koj potče od grešk u vredostm podtegrle ukcje grešk umerčke metode. Pokzt d se ko telre vredost podtegrle ukcje mju jmje d sgur decml grc prve kompoete ukupe pslute greške rezultt može procet ko: A.5 d gde je roj tegrco kork tervlu tegrcje [ ] z lo koju tegrcou omulu.. Gorj proce u slučju kd je roj kork velk zto precejuje grešku koj potče od etčost telr vredost ukcje. mjuć u vdu d je umerčk tegrcj stl rčusk proces dt relju proceu te greške ko je pozto d telre vredost ukcje mju jmje s sgur cr. s Rešeje: A.5. Dt su podc o koecjetm stšljvost CO tempertur T K rzlčtm prtscm: pr z pr z Potreo je pomoću termodmčke relcje: l ϕ p p * z dp p 9

19 * p - dovoljo ml prtsk kome je ϕ. zrčut koecjete ugctet ϕ ugljedoksd dtoj tempertur prtscm p r. Ko doju grcu tegrl uzet p * r. Tržee ugctete zrčut komujuć trpezu Smpsoovu ormulu tko d se postge jveć tčost komujuć tegrcju kvdrtog LP- Smpsoovu ormulu rd postzj veće tčost uporedt rezultte dojee u. Rešeje: p ϕ.988 p ϕ.95 p ϕ.989 p ϕ.95.5 S podcm z pretodog zdtk potreo je: povećt tčost koecjet ugctet doje postupkom u pretodom zdtku pomoću Rčrdsoove ekstrpolcje. osovu procee greške umerčke metode u mjuć u vdu d su u podcm o koecjetm stšljvost sve cre sgure procet roj sgur cr u dojem koecjetm ugctet. Rešeje: p ϕ.988 p ϕ.95 Grešk tegrcje LP u tervlu p [] se e može preczo procet l se osovu poklpj vredost sgure cre dojee pomoću Trpeze ormule z st tegrl može smtrt d su decmle u prvom tegrlu sgure -.8. z procee greške z tegrl u tervlu p [] sled d jegov vredost -.5 m sve sgure decmle. Zključk je d vredost lφ z p lφ -.68 doje s svm sgurm decmlm odoso s grcom psolute greske A lφ.5 -. Vredost φ z dt prtsk je doje s tolkom reltvom greškom odoso s grcom psolute greške A φ A <.5. Tko može se smtrt d je φ dojeo s sgure cre. lφ φ osovu procee greške z tegrl u tervlu p []. - grešk tegrl u tervlu p [] je. - što zč d jegov vredost m tr sgure decmle. Tko može se smtrt d lφ z p lφ -.5 m tkođe tr sgure decmle. Odtle sled d φ m sgure cre. Upored ove procee s om dojem emprjskm prvlom z proceu roj sgur cr u rezulttu..6 Dte su vredost specč etlpj kj kg prtsku p r rzlčtm temperturm: specč toplot c p kj kgk zot TK: : c p z vredost etlpje zot tempertur T K telr vredost specče toplote tre umerčkom tegrcjom ukcje c p T procet što tčje etlpju p r tempertur T 9K ko roj sgur cr u rezulttu to prmeom trpeze ormule Smpsoove ormule uz Rčrdsoovu ekstrpolcju upored procee s vredošću dtom u tel. Rešeje: 9 sgure cre 9.7 sgure cre.7 Kotkto vreme τ s z rektor delog potskvj u kome se odgrv povrt rekcj : 9

20 k kmol m k.9 s kmol A B R k.8 s m k rču se ko : τ k C A d A M α M C B α C A k k Potreo je zrčut τ z ulze kocetrcje kmol/m : CA 5. CB. 6 stepe koverzje A. tko d što se umerčke metode tče rezultt ude tč sgure cre. Prorču zvest polzeć od podtervl u tervlu tegrcje to trpezom ormulom Smpsoovom ormulom Uporedt rojeve tercje koče velče tegrco kork z dv postupk doje kotkt vreme uporedt s vredošću dojeom umerčkom tegrcjom Mtcd ltom ko reeretom tčom u pogledu greške umerčke metode. Rešeje: Trpez ormul: r. tercj.5 T.±.5 - Smpsoov ormul: r. tercj. S.±.5 - Mtcd rezultt z podtk u Zdtku. zrčut koecjete ugctet CO z sve prtske u tel tegrcjom ukcje dojee z kuog splj z koecjete stšljvost provert osetljvost rezultt zor splj ukcje. prmeru podtk o koecjetu stšljvost uporedt međusoo osetljvost umerčk metod terpolcje derecrj tegrcje st telr podtk. Rešeje Doje tegrl vrrrju trećoj zčjoj cr jmje osetljv je tegrcj jvše derecrje..9 z podtk u Zdtku.6 zrčut etlpje zot prtsku r z sve temperture T - K s korkom T 5K. Uporedt rezultte s rspoložvm telrm vredostm lzrt utcj zor splj ukcje. Rešeje: Sum kvdrt odstupj: Σ sple - tel csple -. psle lsple

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna Aproksmrnje podtk Aproksmrnje podtk krvuljom Aproksmrnje podtk krvuljom (engl. curve ttng), nzv se još regresjsk nlz (engl. regresson nlss), je postupk uklpnj unkcje u skup točk koje predstvljju određene

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINANTE I MATRICE

DETERMINANTE I MATRICE Gimzij: Lucij Vrji Mturl rdj: ETERMINANTE I MATRICE Izrdio: iko Koruić, učeik 4 G Metor: Mile Broić, profesor U Zgreu, 0 siječj 996 SARŽAJ I UVO II ETERMINANTE etermite drugog red etermite trećeg red 3

Διαβάστε περισσότερα

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi T E S T 3 u 6 Ime prezme de :. Potrebo e tovat espermetale podate:.... a Rad grače provere adevatost edostave emprse ormule a potrebo e ucrtat orgale l trasormsae esp. podate u dagram. Pogoda zbor dagrama

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Διεργασίες Μηχανικής Τροφίμων

Βασικές Διεργασίες Μηχανικής Τροφίμων Βασικές Διεργασίες Μηχανικής Τροφίμων Ενότητα 2: Ψυχομετρία, 1ΔΩ Τμήμα: Επιστήμης Τροφίμων και Διατροφής Του Ανθρώπου Σταύρος Π. Γιαννιώτης, Καθηγητής Μηχανικής Τροφίμων Μαθησιακοί Στόχοι Υπολογισμός των

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske operacije

Algebarske operacije Algebrske opercije Poglvlje m e l e 11 Potecije 1 Algebrski izrzi w w r t h e w w w w m e l e r t h e Ciljevi: - rčuti s potecijm cjelobrojog ekspoet - prepozti i rbiti formule z kvdrt biom i rzliku kvdrt

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 7. ELEMENTRNE FUNKIJE Među fukcijm koje su de formulom vžu ulogu imju tkozve elemetre fukcije. Pozvje svojstv elemetrih fukcij omogućit će lkše svldvje

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za ispit znanja trigonometrija pravokutnog trokuta

Priprema za ispit znanja trigonometrija pravokutnog trokuta Pipem z ispit znnj tigonometij pvokutnog tokut 1. Zoj duljin ktet pvokutnog tokut jednk je 12 m, jedn kut tokut iznosi 58⁰. Kolik je duljin hipotenuze ovog tokut? + = 12 = 58⁰ =? S oziom d se u zdnim podim

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ANOVA JEDNOFAKTORSKA NUMERIČKA ANOVA

ANOVA JEDNOFAKTORSKA NUMERIČKA ANOVA ANOVA Aliz vrijse ( ANOVA ) je litički model z testirje zčjosti rzlike i koristi se kd immo više od dve grupe ispitik. Predost ove metode se ogled u tome što u model ulze u obzir svi vrijbiliteti, ko i

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Αθλητικό Ταλέντο και Τιμολογιακή Πολιτική

Κεφάλαιο 6. Αθλητικό Ταλέντο και Τιμολογιακή Πολιτική Κεφάλαιο 6 Αθλητικό Ταλέντο και Τιμολογιακή Πολιτική Σύνοψη Στο παρόν κεφάλαιο η ανάλυση των Κεφαλαίων, 3 και 4 διαμορφώνεται σε ένα ενιαίο πλαίσιο προσδιορισμού, τόσο της βέλτιστης απασχόλησης αθλητικού

Διαβάστε περισσότερα

Επίσημη Εφημερίδα. Πράξεις θεσπισθείσες πριν από την 1η Δεκεμβρίου 2009, δυνάμει της συνθήκης ΕΚ, της συνθήκης ΕΕ και της συνθήκης Ευρατόμ

Επίσημη Εφημερίδα. Πράξεις θεσπισθείσες πριν από την 1η Δεκεμβρίου 2009, δυνάμει της συνθήκης ΕΚ, της συνθήκης ΕΕ και της συνθήκης Ευρατόμ Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης ISSN 1725-2547 L 7 Έκδοση στην ελληνική γλώσσα Νομοθεσία 54ο έτος 11 Ιανουαρίου 2011 Περιεχόμενα II Μη νομοθετικές πράξεις ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ 2011/3/EE: Απόφαση της Επιτροπής,

Διαβάστε περισσότερα

&+, + -!+. " #$$% & # #'( # ) *

&+, + -!+.  #$$% & # #'( # ) * ! &+,+-!+. "#$$%&##'( 0 1 2 #$$% 3! 4 4 &5 -! 3 &-! 4 &5 -!63 &-!6 41 7+ 8 " : 4 ; 4( & 4 # < 4/45 45 4 &- 4= 4 6 % 8 " 8 ' : "#$$%&/#'( > #$$% 8 8 4! " 4 3!??? - "#$$%&=#'( ( #..1@+A >+." (% &+.*+1+.B1.1>6+!#$$=A#$$%(%

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Dobson číst si Dobsona 9. až 12. lekci od 13. lekce už nečíst (minulý čas probírán na stažených slovesech velmi matoucí) Bartoň pořídit si

Διαβάστε περισσότερα

MERCEDES /8 (W114-W115) 190-Serie (W201) A-Class (W168) Single Device PN. Double Device PN. KW HP Manuf. Year

MERCEDES /8 (W114-W115) 190-Serie (W201) A-Class (W168) Single Device PN. Double Device PN. KW HP Manuf. Year /8 (W114-W115) 200 (W115) M 115.926 70 95 01/68-01/77 0800-0175 11,00 200 (W115) M 115.926 63 86 01/68-01/77 0800-0175 11,00 200 D (W115) OM 615.913 40 55 01/68-01/77 0822-8313 237,40 0811-8313 134,20

Διαβάστε περισσότερα

Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων

Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων (γέφυρα μακροσκοπικών και μικροσκοπικών ποσοτήτων) Εμπειρικές σχέσεις Boyle, Gay-Lussac, Charles, υπόθεση Avogadro «όταν δυο ή περισσότερα αέρια έχουν τα ίδια V, P και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγα Τιμολόγηση. },P). Όπου (Ω,F,P) είναι ο χώρος πιθανοτήτων και { F n

Παράγωγα Τιμολόγηση. },P). Όπου (Ω,F,P) είναι ο χώρος πιθανοτήτων και { F n Παράγωγα Τιμολόγηση Αναφέρουμε μερικά εισαγωγικά τα οποία θα χρησιμοποιηθούν μέσω των μαθηματικών εργαλείων σαν υπάρχουσα γνώση για την τιμολόγηση των παραγώγων. Flered pace (Φιλτραρισμένοι Χώροι) Ένας

Διαβάστε περισσότερα

{3k + a : k N a = 1,2}.

{3k + a : k N a = 1,2}. P P 1èt s t rð P Ôst ì t è t Ð Ð t èr è ❼ ❼s t t s s Ð s Ð sô t r s Ð t s Ô ❼r rì ì èq Ð ì r t t èr Ôt r t r trðt rìq r r❼2t r rqðs 1èt s t r t ì s s ❼ ì s èq Ð r❼2t st r t ì st Ôt r ì st trðt ì P t r

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Metod najmanjih kvadrata Srednje kvadratno odstupanje empirijske formule Koeficijent determinacije

6.1 Metod najmanjih kvadrata Srednje kvadratno odstupanje empirijske formule Koeficijent determinacije Sadržaj. Uvod u Ecel..... Startovaje Ecela...3.. Rado okružeje...3.3. Rad papr ćelja...3.4. Upsvaje kretaje po ćeljama...5.5. Formatraje ćelja...6.6. Formatraje decmalh brojeva...6.7 Mejaje boje pozade

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΤ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΡΑΚΤΕΡ ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΚΑΥΣΙΜΟΥ TM 043 TM 044 15009 4115 TM 122 TM 005 15321/3 4115 ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΚΑΥΣΙΜΟΥ

ΣΕΤ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΡΑΚΤΕΡ ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΚΑΥΣΙΜΟΥ TM 043 TM 044 15009 4115 TM 122 TM 005 15321/3 4115 ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΚΑΥΣΙΜΟΥ AGRIFULL 80.50, 80.60, 80.70 AGRIFULL 140, 140 DT TM 043 TM 044 15009 4115 TM 122 TM 005 15321/3 4115 CASE IH 433, 633, 633A, 733, 733A, 833, 833A DEUTZ Agrocompact 3.90FA/VA, 3.90 S Agroxtra DX3.57 TM

Διαβάστε περισσότερα

Modelovanje sistema automatskog upravljanja u prostoru stanja

Modelovanje sistema automatskog upravljanja u prostoru stanja odelovaje tema atomatkog pravljaja protor taja. ocepcja protora taja atematčk model tema protor taja e predtavlja vd kpa derecjalh l derech jedača prvog reda. Ove jedače opj prošlo adašje bdće poašaje

Διαβάστε περισσότερα

x pojedinačnih rezultata:

x pojedinačnih rezultata: ovarjaca koefcjet korelacje Sredja vrjedost stadardo odstupaje Prlkom poavljaja mjereja, uz ste (kolko je to moguće uvjete (st mjertelj, mjer strumet, mjera metoda okol uvjet, eke stale fzkale velče, dobt

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Neodre deni integral

1.1 Neodre deni integral . Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn

Διαβάστε περισσότερα

Επιτραπέζια μίξερ C LINE 10 C LINE 20

Επιτραπέζια μίξερ C LINE 10 C LINE 20 Επιτραπέζια μίξερ C LINE 10 Χωρητικότητα κάδου : 10 lt Ναί Βάρος: 100 Kg Ισχύς: 0,5 Kw C LINE 20 Χωρητικότητα κάδου : 20 lt Βάρος: 105 Kg Ισχύς: 0,7 Kw Ναί Επιδαπέδια μίξερ σειρά C LINE C LINE 10 Χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου. Αν σε χρόνο t γίνονται Ν επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci 3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA

6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 6 poglavlje (korigirao) PRIMJENA DERIVACIJA U ovom poglavlju: Tageta i ormala Stacioare točke ukcije Tablica mootoosti, ekstremi, koveksost i kokavost, ileksije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 4: Περιοδικό σύστημα των στοιχείων

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 4: Περιοδικό σύστημα των στοιχείων Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 4: Περιοδικό σύστημα των στοιχείων Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

TΙΜΟΚΑΤΆΛΟΓΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015

TΙΜΟΚΑΤΆΛΟΓΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015 TΙΜΟΚΑΤΆΛΟΓΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015 LIVINGLIGHT TIMOΚΑΤΑΛΟΓΟΣ 02/2015 1 Μία μοναδική σειρά Τρία χρώματα μηχανισμών: λευκό, γραφίτης, αλουμίνιο tech Τρία design πλαισίων: AIR, τετράγωνo, οβάλ Όλα συνδυάζονται

Διαβάστε περισσότερα

!""#$%!& '% ("#% )'*+, &,!" &, ' %!'"!" &"#"-(5-1-,!&

!#$%!& '% (#% )'*+, &,! &, ' %!'! &#-(5-1-,!& !""#$%!& '% ("#% )'*+, "!,'--"!!./%&-'012'& "-')'3"4',"'""-,, &,!" &, 3. - 5 1 ' %!'"!" &"#"-(5-1-,!&,'--1'#". -'!! "--''!,. 3,"'%'%,,-" '4!, 5 #" "!, '%& " 3--& " 4'%! "#!6,%3 "#!3 ",%3 2,-! "#13 '& "#%-,&"#-"-,"-!3&-',,3"

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος ος Θερμοδυναμικός Νόμος Έργο-Έργο ογκομεταβολής Αδιαβατικό Έργο Εσωτερική ενέργεια, U Πρώτος Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Ολική Ενέργεια Ενθαλπία Θερμοχωρητικότητα Διεργασίες Ιδανικών Αερίων ΕΡΓΟ Κεφάλαιο3,

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

0 500 o Kg / m. sat 1/ παραδοχή της εντοπισμένης χωρητικότητας, και να θεωρήσουμε πως η σφαίρα έχει ομοιόμορφη θερμοκρασία.

0 500 o Kg / m. sat 1/ παραδοχή της εντοπισμένης χωρητικότητας, και να θεωρήσουμε πως η σφαίρα έχει ομοιόμορφη θερμοκρασία. Άσκηση ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Δ. Βαλουγεώργης, Εαρινό εξάμηνο 015-016 ΕΡΓΑΣΙΑ #4: Βρασμός και συμπύκνωση Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 11-05-016 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::... Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το εγχειρίδιο αποτελεί αναπόσπαστο μέρος του σκούτερ και πρέπει να το συνοδεύει σε περίπτωση μεταπώλησης.

Αυτό το εγχειρίδιο αποτελεί αναπόσπαστο μέρος του σκούτερ και πρέπει να το συνοδεύει σε περίπτωση μεταπώλησης. 14 ANC125-3GK29B000.book Page 1 Tuesday, July 16, 2013 7:20 PM Αυτό το εγχειρίδιο αποτελεί αναπόσπαστο μέρος του σκούτερ και πρέπει να το συνοδεύει σε περίπτωση μεταπώλησης. Αυτό το έντυπο περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Δελτίο δεδομένων ασφαλείας σύμφωνα με το 1907/2006/EK, Άρθρο 31

Δελτίο δεδομένων ασφαλείας σύμφωνα με το 1907/2006/EK, Άρθρο 31 Σελίδα: 1/11 * ΤΜΗΜΑ 1: Στοιχεία ουσίας/παρασκευάσματος και εταιρείας/επιχείρησης 1.1 Αναγνωριστικός κωδικός προϊόντος Αριθμός προϊόντος: 456 1.2 Συναφείς προσδιοριζόμενες χρήσεις της ουσίας ή του μείγματος

Διαβάστε περισσότερα

1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ.

1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ. 1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ. (Προτείνόμενοί φυλλομετρητές: Mozllla Firefox, Internet Explorer)

Διαβάστε περισσότερα

Les gouttes enrobées

Les gouttes enrobées Les gouttes enrobées Pascale Aussillous To cite this version: Pascale Aussillous. Les gouttes enrobées. Fluid Dynamics. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI,. French. HAL Id: tel-363 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-363

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Statistika sažetak i popis formula

Statistika sažetak i popis formula Stattka ažetak pop formula Dekrptva tattka Artmetčka reda brojeva,,, : + + + = + + 3 + 4 + 5 5 Na prmjer, artmetčka reda brojeva,,3,4,5 je broj = = 3 5 5 Frekvecja ekog podatka je broj pojavljvaja tog

Διαβάστε περισσότερα

!"#$%&'()*+%,)-$%.')*+)-+/0&"-%.')+.'"-$%.')+

!#$%&'()*+%,)-$%.')*+)-+/0&-%.')+.'-$%.')+ &7'*IJ?; '67'8'%9-%&7'*/&-%''-%' %&'*%-%'*-/&-%''-%' 3%45 *7-R-%R-&*/%-37'&3%ST R'*9U%*7'MWK-%X'& 7-A*&**-*9 39YY[-W%_D37F&-%'D[Y*7-RD33`%L5?5 '-%4;?>@4;?>37-*'/&-%''-%' B'%46'%>>@4;>>D**-%/-*'3F*%'*%*%'

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΣΤΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (ΟΛΥΜΠΙΑΚΗ ΦΛΟΓΑ ΠΥΡΓΟΥ ) ΜΑΝΤΙΚΑΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ (Ο ΜΑΚΕΔΑΝΟΣ) ΣΚΡΙΒΑΝΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ (DO-LING-SUNG ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ)

ΚΩΝΣΤΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (ΟΛΥΜΠΙΑΚΗ ΦΛΟΓΑ ΠΥΡΓΟΥ ) ΜΑΝΤΙΚΑΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ (Ο ΜΑΚΕΔΑΝΟΣ) ΣΚΡΙΒΑΝΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ (DO-LING-SUNG ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ) Kumite Mens -kg ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΠΡΩΤΑΘΛΗΜΑ ΑΝΔΡΩΝ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ (ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΤΩΝ ΠΡΩΤΑΘΛΗΤΩΝ) ΚΙΟΥΡΤΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ (ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ) ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΙΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ (ΑΣΚ) ΓΙΔΑΚΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ (ΑΝΑΤ ΠΟΛ ΤΕΧ ) ΚΩΝΣΤΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Ο.Αθηνών Λαµίας 97, Τ.Κ. 143 42,Ν.Φιλαδέλφεια Τηλ. 210-2510500, Fax 210 2510338 e-mail: dimos@patronas.co. Θερµοστάτης PJEZSNH000.

Ε.Ο.Αθηνών Λαµίας 97, Τ.Κ. 143 42,Ν.Φιλαδέλφεια Τηλ. 210-2510500, Fax 210 2510338 e-mail: dimos@patronas.co. Θερµοστάτης PJEZSNH000. Ε.Ο.Αθηνών Λαµίας 97, Τ.Κ. 143 42,Ν.Φιλαδέλφεια Τηλ. 210-2510500, Fax 210 2510338 e-mail: dimos@patronas.co Θερµοστάτης PJEZSNH000 Οδηγίες χρήσης Ηλεκτρολογικό σχέδιο 4-5 : ρελέ µηχανής 6 (L) : Φάση (230V)

Διαβάστε περισσότερα

Ζήτηση Προσφορά Ελαστικότητα

Ζήτηση Προσφορά Ελαστικότητα Ζήτηση Προσφορά Ελαστικότητα Ασκήσεις Ζήτηση 1 Η ζήτηση των αγαθών Εκφράζει τις ανάγκες και τις επιθυµίες µιας κοινωνίας για ένα αγαθό. Εξαρτάται από: Την τιµή του αγαθού Το εισόδηµα Τις τιµές των συµπληρωµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Πεξηερόκελα. Σρήκαηα. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-1

Πεξηερόκελα. Σρήκαηα. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-1 Πεξηερόκελα 4. ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ - ΚΟΠΧΖ... 4-3 4.1. ΛΤΓΗΜΟ... 4-3 4.1.1. Δηζαγσγή... 4-3 4.1.. Παξαδείγκαηα απώιεηαο επζηάζεηαο... 4-4 4.1.3. Φνξηίν Euler Ακθηέξηζηε Γνθόο... 4-6 4.1.4. Φνξηίν

Διαβάστε περισσότερα

UPUTE ZA IZRADU ZAVRŠNOG RADA 1. STRUKTURA ZAVRŠNOG RADA

UPUTE ZA IZRADU ZAVRŠNOG RADA 1. STRUKTURA ZAVRŠNOG RADA Zvršni rd treb sdržvti: UPUTE ZA IZRADU ZAVRŠNOG RADA 1. STRUKTURA ZAVRŠNOG RADA 1.1. Obrzc z prijvu teme i imenovnje mentor zvršnog rd (kopij obrsc se stvlj ispred Sdržj rd). 1.2. Sdržj zvršnog rd s nslovim

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

2010 Offroad Standard & Flame fixed discs

2010 Offroad Standard & Flame fixed discs New Flame discs March 23/9/2010 2010 2010 Offroad Standard & Flame fixed discs APRILIA APRILIA RXV, MXV 450 450 2005-2010 - - - 110315 97 APRILIA SXV 450 450 2005-2010 - 112067 252-110315 97 APRILIA RXV

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΝΑΤΟΤΗΤΑΣ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΘΕΡΜΩΝ ΝΙΓΡΙΤΑΣ (Ν. ΣΕΡΡΩΝ)

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΝΑΤΟΤΗΤΑΣ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΘΕΡΜΩΝ ΝΙΓΡΙΤΑΣ (Ν. ΣΕΡΡΩΝ) ελτίο της Ελληνικής Γεωλογικής Εταιρίας τοµ. XXXVI, 2004 Πρακτικά 10 ου ιεθνούς Συνεδρίου, Θεσ/νίκη Απρίλιος 2004 Bulletin of the Geological Society of Greece vol. XXXVI, 2004 Proceedings of the 10 th

Διαβάστε περισσότερα

. Το CD περιέχει επίσης τα κείµενα των ιστοριών και τις εικόνες µε ασπρόµαυρα σχέδια για να τις χρωµατίσουν τα παιδιά. χρήσης του CD.

. Το CD περιέχει επίσης τα κείµενα των ιστοριών και τις εικόνες µε ασπρόµαυρα σχέδια για να τις χρωµατίσουν τα παιδιά. χρήσης του CD. Ref O U R m ` d c de i a` _ ^] \[X Z YX WV kj { xyz V } o p b e k d u R ~ O ~ U U } b y a k o { a r ih p g x h v k i o b a` _ r hgkj se k ƒv h o { k se d s oe gk gf c i g s dk zr Uƒl v ` i e`fgh v fg v

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

7 Η ΕΞΕΡΓΕΙΑ. 7.1 Εισαγωγή και ορισμός της έννοιας της εξέργειας. 7.2 Ενέργεια, ύλη και ποιότητα

7 Η ΕΞΕΡΓΕΙΑ. 7.1 Εισαγωγή και ορισμός της έννοιας της εξέργειας. 7.2 Ενέργεια, ύλη και ποιότητα 7 Η ΕΞΕΡΓΕΙΑ 7.1 Εισαγωγή και ορισμός της έννοιας της εξέργειας Όπου υπάρχει υπολογισμός ενεργειακών μεγεθών, υπάρχει παράλληλα μεγάλη σύγχυση στα μεγέθη που πρέπει να μετρηθούν και να εκτιμηθούν. Πολύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ. Ενότητα 3: Συναγωγή. Χατζηαθανασίου Βασίλειος Καδή Στυλιανή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ. Ενότητα 3: Συναγωγή. Χατζηαθανασίου Βασίλειος Καδή Στυλιανή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Συναγωγή Χατζηαθανασίου Βασίλειος Καδή Στυλιανή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Richard Barrett. Hekabe - β. 2005-2011 contralto and ensemble. full score

Richard Barrett. Hekabe - β. 2005-2011 contralto and ensemble. full score chrd Brrtt Hkb - β 200-2011 ctrlt d mbl ull cr Hkb - β (200-11) r lt d mbl cmmd by th Cty vrl rt CONSTUCTION (rtc & v rt ) durt: rxmtly 4 mut t Crl m Itrumtt (ll vc d trumt r ld) lt vc (Hkb) r vc () ml

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτικό μέρος. Μυρτώ Θεοφιλίδη

Πρακτικό μέρος. Μυρτώ Θεοφιλίδη Πρακτικό μέρος Μυρτώ Θεοφιλίδη ΚΑΠΕ, Τμήμα Ανάπτυξης Αγοράς 10 Μαρτίου 2010 Περιεχόμενα Άσκηση 1: Ενσωμάτωση τεχνικών προδιαγραφών / κριτηρίων αξιολόγησης σε προκήρυξη διαγωνισμού για την προμήθεια Λαμπτήρων

Διαβάστε περισσότερα