Numerička integracija
|
|
|
- Ευτέρπη Αλεξάκης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 umerčk tegrcj Zdtk umerčke tegrcje umerčk tegrcj je postupk zrčuvj prlže vredost određeog tegrl: < d. z vredost podtegrle ukcje dt uređeom telom čemu pretpostvljmo d je: pr... Bzr se ko umerčko derecrje proksmcj podtegrle ukcje terpolcom polomom: P m m d P d Ako pretpostvmo d se P provlč kroz sve tčke tele m d se... grce tegrcje poklpju s prvom posledjom vredošću ezvso promeljve u tel trže tegrl. rčumo prlžo ko: d P d. grešk metode je jedk tegrlu greške terpolcje R.6: 7
2 d P d R d. Slk. - umerčk tegrcj ukcje slc. lustrov je umerčk tegrcje ukcje tegrcjom terpolcoog polom s ekvdsttm terpolcom čvorovm stepe. Tč vredost tegrl jedk je površ spod krve prlž l umerčk vredost površ spod krve polom P d tervlom tegrcje [ ]. Grešk umerčke tegrcje. jedk je zru grešk tegrcje pojedm podtervlm šre. Grešk metode u ekom podtervlu šre zmeđu dv sused terpolco čvor po psolutoj vredost je jedk površ zmeđu krv P. Vdmo d greške tegrcje u pojedm podtervlm mju rzlčte zke p se u zru delmčo poštvju: dolz do međusoe kompezcje grešk. Tko se z umerčku tegrcju može reć d je: umerčk metod tčj od terpolcje stl l doro uslovlje rčusk proces greške usled gutk zčj cr pojedm podtervlm tkođe se međusoo kompezuju. OSOV TGRACO FORMUL Osove ormule z umerčku tegrcju se dojju z jedče. z mle stepee P s ekvdsttm terpolcom čvorovm. Ovko dojee osove tegrcoe ormule su u ltertur pozte pod meom jut-kotesove ewto-cotes ormule. Oe se prmejuju mlm podtervlm šre ekolko kork tegrl celom tervlu [ ] se od doj ko zr tegrl doje prmeom osov ormul poglvlje.. Kork terpolco čvorov se u kotekstu umerčke tegrcje zv tegrco kork. jut-kotesovu ormulu koj se zr P -tog stepe dojmo prem. tegrcjom JP uz smeu tegrcoe promeljve:. α d dα 75
3 76 Tko zvodmo α α α α α α α d d P! >. z posledje jedče dojmo tr osove tegrcoe ormule: z.5 z.5 z 6 6.5c Grešk jut-kotesov ormul. se prem. doj tegrcjom greške terpolcje.6 što ko smee tegrcoe promeljve dje opšt zrz: d...! α α α α.6. TRAPZO PRAVLO jjedostvj tegrco ormul je osov trpez ormul koj je pozt pod zvom trpezo prvlo. Dojmo g smeom u ormulu.5:.7 Geometrjsk terpretcj ormule.7 je površ trpez s osovm vsom jedkom korku tegrcje slk..
4 P R Slk. - Geometrjsk terpretcj trpezog prvl Prme opšte ormule.6 z grešku trpezog prvl dje:.7. SMPSOOVO PRVO DRUGO PRAVLO Podtegrlu ukcju tervlu tegrcje ] zmejujemo kvdrtm P [ provučem kroz ekvdstte čvorove. Rezultt je ormul.5 koj ko smee zrz z koče rzlke dje prvo Smpsoovo prvlo:.8 Drugo Smpsoovo prvlo se zr zme podtegrle ukcje tervlu tegrcje ] kuom prolom dojmo g s z.5c: [.9 8 Greške Smpsoov prvl Jso je d drugo Smpsoovo prvlo dje tču vredost tegrl ko je ukcj kvdrt l ku polom. Td su sv člov. všeg red o koj sdrže koče rzlke. všeg red u opštoj tegrcooj ormul. koj se zr P -tog stepe 77
5 jedk ul. Medutm prvo Smpsoovo prvlo dje tču vredost tegrl ko je podtegrl ukcj polom. stepe zvljujuc tome što se ktor 6 6 uz u jedč z ulr. Geometrjsk to zč d dolz do poštvj grešk pr umerčkoj tegrcj polom trećeg stepe tervlu [ ] prvom Smpsoovom ormulom slk.. P d P d P P Slk. - lustrcj tčost prvog Smpsoovog prvl ko je P Zključujemo d su Smpsoov prvl prlžo jedko tč ko je Smpsoovo drugo prvlo složeje. Prem opštoj ormul z grešku metode.6 grešk Smpsoovog drugog prvl je proporcol s 5. Može se pokzt d je grešk prvog Smpsoovog prvl tkođe proporcol petom stepeu tegrcoog kork md se osovu.6 očekvlo d o ude proporcol s. Tko se zvod : Kže se d su oe ormule stog red tčost zto prvo Smpsoovo prvlo koje je jedostvje prlžo tčo ko drugo m dleko veću prmeu u prks. Uopšte pokzuje se d je jut-kotesov ormul. koj se zr P prog stepe pr roj stog red tčost ko sledeć po složeost ormul zr P stepe. 78
6 79. TRAPZA SMPSOOVA TGRACOA FORMULA Umesto d se trpezo.7 l Smpsoovo prvo prvlo.8 prmee ceo tervl tegrcje [ ] što dlo loše procee tegrl zog velkog tegrcoog kork - greške su proporcole stepeu kork tervl tegrcje se del vše mj podtervl zuzmjuć slučj ml tervl tegrcje. tegrl se doj ko zr tegrl pojedm podtervlm koj se rčuju prmeom jedog l drugog prvl. Tko se dojju složee tegrcoe ormule l jedostvo tegrcoe ormule. Trpez ormul Delmo tervl tegrcje [] jedk podtervl šre tčkm... prlžu vredost tržeog određeog tegrl ukcje dojmo ko: d d d d gde deks ozčv roj tegrco kork tervlu tegrcje []. Tko trpez ormul gls:. Grešk trpeze ormule jedk je zru grešk trpez prvl.7 pojedm podtervlm: Ako je tervlu tegrcje eprekd ukcj od postoj z koje vž:
7 8 p se sum drug zvod može prkzt ko: z grešku trpeze ormule dojmo :. Smpsoov ormul Pošto se Smpsoovm prvm prvlom.8 umerčk rču tegrl tervlu šre tr tčke tervl tegrcje [ ] delmo m jedk podtervl od koj svk ouvt po dv podtervl šre tj po tr tčke. Očgledo je postupk prmeljv smo ko je ukup roj kork tervlu [ ] pr roj tj. ukup roj tčk epr td mmo: m Td prlžu vredost tržeog tegrl dojmo ko zr prlž vredost tegrl pojedm podtervlm šre doje Smpsoovm prvm prvlom: d ko sređvj dojee sume dolzmo do Smpsoove tegrcoe ormule. gde deks ozčv ukup roj tegrco kork tervlu [ ]. Prv sum u zgrd pretstvlj zr sv»epr«ordt od. do - drug sum zr sv»pr«ordt od. do -:
8 D poovmo d je ogrčeje z prmeu Smpsoove ormule: pr roj podtervl odoso epr roj tčk tervlu tegrcje [ ]. Grešk Smpsoove tegrcoe ormule se doj ko zr grešk Smpsoovog prvog prvl.8 pojedm podtervlm šre :. 8.5 GRŠKA RD TGRACO FORMUL Blo koj tegrco ormul zvede z ekog od jut-kotesov prvl m olk: w. gde su w... eke kostte koje se zovu teže l poder sum u. se zove poders sum. Pr tom sum sv tež je tčo jedk : prmer z Trpezu ormulu w w w w... w Može se zvest d grešk opšte tegrcoe ormule. m olk: > c. gde je c ek kostt koj je pr. z Smsoovu ormulu jedk c 8 osovu zrz. zključujemo: grešk eke metode opd s smjvjem tegrcoog kork što je ekspoet u zrzu z grešku eke metode već utolko je pr dtom tegrcoom korku t metod tčj. Drug zključk je očgled z tegrcoe korke mje od jer je: < < ko je > vd slku. l pošto je > > ko je > 8
9 č se d ko je kork već od vž oruto: ukolko je ekspoet već metod je mje tč. Slk. - Pošje ukcje D se uverl d je drug zključk spv zrzćemo grešku preko ezdmezoe * promeljve z ezdmezoog kork tegrcje des ko: mmo d d z * d dz d d dz d dz d d dz d d d dz dz d p - t zvod podtegrle ukcje po u ekoj tčk u ormul. zmejujemo s: z ζ ζ Kočo ko smee * ormulu. prevodmo u ekvvlet olk: * ζ ζ c. Pošto je po decj * < sd edvosmsleo sled d je tegrco ormul utolko tčj ukolko je ekspoet već. Uočl smo dkle d je grešk eke tegrcoe ormule proporcol s p kd tež ul postje eskočo ml velč stog red ko eskočo ml velč pod uslovom d je - t zvod ogrče u tervlu tegrcje. To zč: z k lm lm k 8
10 pšemo: O Z eku tegrcou ormulu kžemo d je tegrco ormul red ko je je grešk proporcol s. Ko što smo pokzl ukolko je red ormule već o je tčj. Dok je trpez ormul. drugog red sledeć po složeost Smpsoov ormul je četvrtog red dkle zto tčj od trpeze. Zdtk. Procet umerčk vredost tegrl: d π pomoću: Trpeze ormule Smpsoove ormule s korkom tegrcje.. Z oe metode procet grešku dojee vredost tegrl korsteć ormule... Vredost podtegrle ukcje rčut s 5 sgur cr. Rešeje Mtcd: Tc vredost tegrl dt s 5 sgur decml pomocu ukcje roud: : roud π zrcut korstec clculus! Kork tegrcje : Broj podtervl: :.. Fukcje koje relzuju trpezu Smpsoovu ormulu: Trpez : :. : : roud Grce tegrcje: Rcuje vredost podtegrle ukcje s 5 sgur cr korscejem ukcje roud: 5 : : Smpso : 8
11 Procee tegrl 5 zcj cr decml jove greske: T : roud Trpez 5 T : T T.7898 T. Posto je gresk <.5 - trpez ormul je dl proceu s sgure cre S : roud Smpso 5 S : S S.785 S Smpsoov ormul je dl tc rezultt sv 5 zcj cr! Proce grce psolute greske Trpeze ormule osovu ormule. < M M m Tre m jvec vredost. zvod u tervlu []:. zvod jegov grk: d : d 8 d :... d.5 d je mooto ukcj m jvecu psolutu vredost dojoj grc: M : d M Pokz d je d mooto lzom. zvod! Grc greske: Tm : M Tm.667 Prover: Tm > T je rezultt skz ejedkost govor d je o tc. Z etc skz dol. Proce grce psolute greske Smpsoove ormule pomocu: < M M 8 m 8
12 Tre m jvec vredost.zvod u tervlu []:. zvod jegov grk: d : d 8 d 5 88 d Fukcj m jvecu psolutu vredost dojoj grc:.5 M : d M Grc greske : Sm : 8 M Sm. 5 Sm > S Zdtk. Tre zrčut rezdulu etlpju zsćee pre zout 6K prmeom termodmčke relcje: rez RT * p z T p dp p gde je p * po pre zout T 6K p * 5.r. Vredost podtegrle ukcje su dojee u Zdtku. umerčkm derecrjem podtk o koecjetu stšljvost pre zout. umerčko zrčuvje tegrl rešt dv č: Ko zr vše tegrl zrčut z vredost podtegrle ukcje pomoću trpezog prvl l Smsoove ormule des tko d se postge što već tčost. Pr tom edostjuću vredost ukcje z p procet z ostl vredost ukcje ekstrpolcjom pomoću kvdrtog LP-. Ko vredost ukcje z p 5. uzet ou dojeu u Zdtku. ekstrpolcjom z ostl vredost ukcje pomoću psple-. Rčujem tegrl ko zr tr tegrl: 5.` z p T dp p dp p dp p 5. p dp pr čemu se rču prlžo koršćejem Smpsoove ormule tegrcjom kvdrtog LP- s čvorovm: p..5 odoso p. Tko je zegut ekstrpolcj rd dojj vredost 5. ko koršćeje mje tčog trpezog prvl. 85
13 Rešeje Mtcd: Podc: R : 8. T : 6 Vredost podtegrle ukcje vektor dojee su u zdtku.. : : Procejvje ekstrpolcjom Lgrzovm polom stepe: L m L : m j m m j L j j j Y : L Y.78 Prosreje orgl zov s po jedm elemetom pomocu ukcje stck : : stck : stck Y S ozrom d vredost prtsk krjevm tele su ekvdstte tegrl cemo rcut ko zr 5 tegrl: 5.` z p T..5 dp p dp p dp p dp p dp p p dp 86
14 pr cemu cemo. tegrl rcut Smpsoovom ormulom ostle trpezm prvlom.. :. :.5 :. : 5 9 Z prmeu Smpsoove ormule korstcemo ukcju: teg : eopodo je rd prmee ukcje ormrt pomoc z Y cj je prv elemet jedk p posledj jedk 7 p. To mozemo zvest pomocu ukcje sumtr Y : sumtr 9 Prprem z pozv ukcje: : : rows Y 6 Y : teg Y.998 Trze tegrl: :.67 Rezdul etlpj: rez : R T rez.8 tegrl rcumo ko zr tr tegrl prv u grcm - drug - trec u grcm -5.: 5.` z dp p dp p dp p dp p T p 5. Treju m vredost podtegrle ukcje z p. do p. Dojmo z vektor pomocu sumtr: : rows : sumtr : sumtr 87
15 Prv tegrl rcumo tegrcjom LP- provuceog kroz tcke..5 : : L X dx Trec tegrl rcumo tegrcjom LP- provuceog kroz tcke : 5. : L 6 X dx Drug tegrl rcumo Smpsoovm prvlom pomocu ukcje teg: : teg sumtr 6.65 Trze tegrl: :.6 Rezdul etlpj: rez : R T rez.87 Odstupje % zmedju zrcut rezdul etlpj: rez rez δ : rez δ.5.6 PROCA GRŠK MTOD RČARDSOOVOM KSTRAPOLACJOM Procejvje grešk umerčke tegrcje pomoću ormule. je jedostvo jer ztev pozvje -tog zvod podtegrle ukcje jegovog ekstrem ko rezultt dje često zto precejee greške. Rčrdso Rcrdso je predložo sledeć postupk z proceu greške koj se zr pretpostvc d se vredost -tog zvod u ormul. e mej mogo u tervlu tegrcje. ek su: - proce tegrl doje tegrcoom ormulom. s rojem podtervl odoso s korkom je grešk - proce tegrl s duplo mjm korkom / odoso s duplo većm rojem podtervl grešk te procee Zč d je tč vredost tegrl : 88
16 odtle:. Odos grešk te dve procee je uz dtu pretpostvku jedk: c c. mmo dve jedče z koj možemo d đemo greške. z.: sme tog zrz u. dje jedču po z koje dojmo: od z.:.. Tko možemo d procemo tču vredost tegrl:.c Z trpezu ormulu koj je drugog red dojmo zrze z greške proceu tče vredost tegrl smeom u opšte zrze.-c:.5 Z Smpsoovu ormulu smeom dojmo: Zdtk. Procet grešku tegrl zrčutog Trpezom ormulom u Zdtku. Rčrdsoovom ekstrpolcjom. Rešeje Mtcd: Vredost podtegrle ukcje zrcute u Zdtku.: S korkom tegrcje. : u Zdtku. je trpezom ormulom z vredost tegrl dojeo: 89
17 T :.7898 : Potre m je jos jed vredost tegrl doje s duplo mjm l duplo vecm tegrcom korkom. Prktcje je rcuje tegrl s duplo vecm korkom tj. s duplo mjm rojem kork jer e ztev ove vredost podtegrle ukcje.tko je: : T Sled rcuje tegrl s duplo mjm rojem podtervl svk drug ordt tj. smo pre ordte... : 5. U sumu ulz : : rows : : roud Proce greske trpeze ormule.5: :. Doje je rel proce greske! Proce tce vredost tegrl : : roud Doje je tc proce 5 sgur cr! ZADAC. z telr vredost ukcje dte u Zdtku. z smostlo rešvje zdc krju. glve potreo je umerčk odredt vredost tegrl d s preczošću od 5 zčj cr. 9
18 zrčut tegrl pomoću trpeze ormule uporedt s tčom vredošću. Orzložt zšto trpez ormul dje veću vredost tegrl od tče. Procet grcu greške rezultt pomoću ormule. c zrčut tegrl pomoću Smpsoove ormule dskutovt grešku rezultt osovu ormule. d Kolk je grešk tegrcoe ormule red pr umerčkoj tegrcj polom čj je stepe jvše -? Rešeje: Tč vredost 68 Trpez ormul T 7 Drug zvod podtegrle ukcje je poztv celokupom tervlu tegrcje c Smpsoov ormul S 68. Grešk tegrcje je jedk jer u. gurše četvrt zvod kko je ukcj polom trećeg stepe td je četvrt zvod jedk. d Grešk tegrcoe ormule red polom stepe jvše - je jedk ul.. Gruo se može procet d u opštem slučju tegrco kork z trpezu ormulu tre d ude put mj od tegrcoog kork z Smpsoovu ormulu d se trpezom ormulom postgl st tčost ko Smpsoovom. Provert je podcm z pretodog zdtk.. Grešk u rezulttu umerčke tegrcje zvedee s zemrljvm utcjem grešk zokružvj međurezultt pr. u Mtcd-u m dve kompoete: grešk koj potče od grešk u vredostm podtegrle ukcje grešk umerčke metode. Pokzt d se ko telre vredost podtegrle ukcje mju jmje d sgur decml grc prve kompoete ukupe pslute greške rezultt može procet ko: A.5 d gde je roj tegrco kork tervlu tegrcje [ ] z lo koju tegrcou omulu.. Gorj proce u slučju kd je roj kork velk zto precejuje grešku koj potče od etčost telr vredost ukcje. mjuć u vdu d je umerčk tegrcj stl rčusk proces dt relju proceu te greške ko je pozto d telre vredost ukcje mju jmje s sgur cr. s Rešeje: A.5. Dt su podc o koecjetm stšljvost CO tempertur T K rzlčtm prtscm: pr z pr z Potreo je pomoću termodmčke relcje: l ϕ p p * z dp p 9
19 * p - dovoljo ml prtsk kome je ϕ. zrčut koecjete ugctet ϕ ugljedoksd dtoj tempertur prtscm p r. Ko doju grcu tegrl uzet p * r. Tržee ugctete zrčut komujuć trpezu Smpsoovu ormulu tko d se postge jveć tčost komujuć tegrcju kvdrtog LP- Smpsoovu ormulu rd postzj veće tčost uporedt rezultte dojee u. Rešeje: p ϕ.988 p ϕ.95 p ϕ.989 p ϕ.95.5 S podcm z pretodog zdtk potreo je: povećt tčost koecjet ugctet doje postupkom u pretodom zdtku pomoću Rčrdsoove ekstrpolcje. osovu procee greške umerčke metode u mjuć u vdu d su u podcm o koecjetm stšljvost sve cre sgure procet roj sgur cr u dojem koecjetm ugctet. Rešeje: p ϕ.988 p ϕ.95 Grešk tegrcje LP u tervlu p [] se e može preczo procet l se osovu poklpj vredost sgure cre dojee pomoću Trpeze ormule z st tegrl može smtrt d su decmle u prvom tegrlu sgure -.8. z procee greške z tegrl u tervlu p [] sled d jegov vredost -.5 m sve sgure decmle. Zključk je d vredost lφ z p lφ -.68 doje s svm sgurm decmlm odoso s grcom psolute greske A lφ.5 -. Vredost φ z dt prtsk je doje s tolkom reltvom greškom odoso s grcom psolute greške A φ A <.5. Tko može se smtrt d je φ dojeo s sgure cre. lφ φ osovu procee greške z tegrl u tervlu p []. - grešk tegrl u tervlu p [] je. - što zč d jegov vredost m tr sgure decmle. Tko može se smtrt d lφ z p lφ -.5 m tkođe tr sgure decmle. Odtle sled d φ m sgure cre. Upored ove procee s om dojem emprjskm prvlom z proceu roj sgur cr u rezulttu..6 Dte su vredost specč etlpj kj kg prtsku p r rzlčtm temperturm: specč toplot c p kj kgk zot TK: : c p z vredost etlpje zot tempertur T K telr vredost specče toplote tre umerčkom tegrcjom ukcje c p T procet što tčje etlpju p r tempertur T 9K ko roj sgur cr u rezulttu to prmeom trpeze ormule Smpsoove ormule uz Rčrdsoovu ekstrpolcju upored procee s vredošću dtom u tel. Rešeje: 9 sgure cre 9.7 sgure cre.7 Kotkto vreme τ s z rektor delog potskvj u kome se odgrv povrt rekcj : 9
20 k kmol m k.9 s kmol A B R k.8 s m k rču se ko : τ k C A d A M α M C B α C A k k Potreo je zrčut τ z ulze kocetrcje kmol/m : CA 5. CB. 6 stepe koverzje A. tko d što se umerčke metode tče rezultt ude tč sgure cre. Prorču zvest polzeć od podtervl u tervlu tegrcje to trpezom ormulom Smpsoovom ormulom Uporedt rojeve tercje koče velče tegrco kork z dv postupk doje kotkt vreme uporedt s vredošću dojeom umerčkom tegrcjom Mtcd ltom ko reeretom tčom u pogledu greške umerčke metode. Rešeje: Trpez ormul: r. tercj.5 T.±.5 - Smpsoov ormul: r. tercj. S.±.5 - Mtcd rezultt z podtk u Zdtku. zrčut koecjete ugctet CO z sve prtske u tel tegrcjom ukcje dojee z kuog splj z koecjete stšljvost provert osetljvost rezultt zor splj ukcje. prmeru podtk o koecjetu stšljvost uporedt međusoo osetljvost umerčk metod terpolcje derecrj tegrcje st telr podtk. Rešeje Doje tegrl vrrrju trećoj zčjoj cr jmje osetljv je tegrcj jvše derecrje..9 z podtk u Zdtku.6 zrčut etlpje zot prtsku r z sve temperture T - K s korkom T 5K. Uporedt rezultte s rspoložvm telrm vredostm lzrt utcj zor splj ukcje. Rešeje: Sum kvdrt odstupj: Σ sple - tel csple -. psle lsple
METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE
MEODE OPIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE Dr Dšć Dr Mloš Stć Grđevsk kultet Uverztet u Beogrdu 4. UVOD FORMULACIJA PROBLEMA Zdtk optmzcje je prolžeje promeljvh pr kojm clj krterjumsk ukcj uzm ekstremu
Računanje sa približnim brojevima
čuje s prblžm brojevm. IZVOI GEŠK Hemjsko-žejersk prorču u opštem slučju obuhvt dve e: Formulsje eophodh jedč mtemtčkog model ešvje mtemtčkog model Nek je lj prorču određvje eke velče, koj je ukj prmetr
Vježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora
ortorjske vježe z predet ootk uprvljje prozvod sste Vjež Vjež Alz stez sste regulcje rze vrtje stosjerog otor Clj vježe: Stez regultor rze vrtje stosjerog otor pooću etod tehčkog setrčog optu Alzrt dčko
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glv IX : INTEGRAL PO FIGURI U R OJNI TROJNI I IŠESTRUKI INTEGRALI KRIOLINIJSKI I PORŠINSKI INTEGRALI 90 Osov pojmov o tegrlm relh ukcj vše relh promjeljvh U Ižejerskoj
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna
Aproksmrnje podtk Aproksmrnje podtk krvuljom Aproksmrnje podtk krvuljom (engl. curve ttng), nzv se još regresjsk nlz (engl. regresson nlss), je postupk uklpnj unkcje u skup točk koje predstvljju određene
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
PRIJENOS i DISTRIBUCIJA ELEKTRIČNE ENERGIJE
TEHIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJEI Sveučlš dplomsk studj elektrotehke PRIJEOS DISTRIBUIJA ELEKTRIČE EERGIJE. KOSTRUKIJSKI RAD - MEHAIČKI PRORAČU ADZEMIH VODOVA Izrčujte zrdte motže tblce provjes prezj
α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Aritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 7 Hurt qum rro qu dsěre vult se lro [Crpe vodu stom to žel učt ez jge] LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V I s e d m 7 Redov s prozvoljm človm Redov s človm prozvoljog
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2
I N Ž E N J E R S K A M A E M A I K A P r e d v j G L A V A 8 OURIEROVI REDOVI, OURIEROVI INEGRALI I OURIEROVA RANSORMACIJA 8.. U v o d m cresc eudo. [Gs rse šrejem.] Lsk posovc ourerov red je jed od jvžjh
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a p e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z p e t u s e d m c u s t v e (u demsoj 009/00 god) 7 Redov s prozvoljm človm (Redov s človm prozvoljog z) Hurt qum crbro, qu dscěre vult selbro [Crpe
RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA
RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X
KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
DINAMIKA. Dinamički sistem - pogon sa motorom jednosmerne struje: N: u f Ulazi Izlazi (?) U opštem slučaju ovaj DS je NELINEARAN!!!!
DINAMIKA Dnčk sste - ogon s otoro jednoserne struje: N: { DS } u u Ulz Izlz (?),,, [ ] θ U ošte slučju ovj DS je NELINEAAN!!!! BLOK DIJAGAM MAEMAIČKOG MODELA POGONA Iz jednčne ndukt u e e Iz Njutnove jednčne
Vektori u ravnini. - Nije bitan redoslijed AB ili BA
Vektor u rnn. Osnon pomo o ektorm Skup sh tok prc p zmeu ukluuu nh sme ne dužnu Ne tn redosled l e poetn tok e zršn tok odsek n prcu p Defnc: Usmeren odsek od toke ko poetne toke do toke ko zršne toke
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.
KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
, i= 0,1,2,... n, koje su poređane u rastućem redosledu zadate =, odnosno uređena tabela: i n x. R n (x)
Iterpolaca Zadata terpolace Nea su u tačama vredost ee uce,,,, Treba ać polom P,,,,,..., oe su poređae u rastućem redosledu zadate, odoso uređea tabela:,...... P a a a... a o aprosmra ucu P a tervalu [,
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom.
Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom
= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET
TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v
SIMULACIJA TOKOVA MATERIJALA
MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - ROGRAMSKI AKETI 7/8 Educto d Culture redvje -3 SIMULACIJA TOKOVA MATERIJALA Modelrje Sstem Jed ojekt se može smtrt sstemom ko sujv sledeće uslove: - ko se može defst solj reoztljv
Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTENCIJE α M-- uiverzl zbirk potpuo riješeih zdtk Rješej svih zdtk s kopleti postupko i uput. Koristio
REDUKCIJA SISTEMA NA TAČKU KOORDINATNOG POČETKA Glavni vektor Glavni moment. = xi. F r. r = j. M i. M r
REUKCIJA ITEA NA TAČKU KOORINATNO POČETKA lvn vekto lvn moment O ) ( j ) ( j O k j k j j j j θ cos cosθ Pme. dt povoljn poston sstem sl speov (l.) sle su defnsne vektom: j k j k 4 j k j j j k k Pojekcje
NEJEDNAKOSTI I PRIMENE
NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske
Metoda najmanjih kvadrata
Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj
Reverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
Metode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
Istosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.
Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
x n = z z C, signal na izlazu mreže će biti jednak: ( ) = k ( ) H z y n b x n k a y n k k k k k k M k 1+ a z z + a z 1 p z z p 1+ +
FUKCIJ PREOS DISKREE MREŽE ko ul dskrete mreže čj je muls odv jedk h dovedemo komleksu eksoecjlu sekvecu C sgl lu mreže će bt jedk: k k h h k k h k h k k k k. č kko dskret mrež mjej sgl defs je fukcjom
Strukture GMDH u modeliranju i predikciji vremenskih serija. Ivan Ivek
Srukure GMDH u modelrnju predkcj vremenskh serj Ivn Ivek Group Mehod of D Hndlng Ivkhnenko, 966. regresj, esmcj, predkcj, konrol... Dobr svojsv: nskoprmersk lgorm smopodešvnje srukure selekcj ulnh vrjbl
Svojstvene vrednosti matrice
6 Svojstvee vredosti mtrice 6. LINERN TRNSFORMCIJ VEKTOR ko je... eki skup promeljivih y y... y drugi skup promeljivih koje su s prvim veze ekim relcijm: ili u vektorskoj formi: (... ) i y f... i i y f()
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Skripta za usmeni ispit iz IM1
Skript z usmei ispit iz IM T Pojmovi (logičkog) iskz i predikt Defiicij: Sud ili iskz je deklrtiv izjv koj u pogledu istiitosti zdovoljv dv pricip: sud je ili istiit ili eistiit (pricip iskljucej treceg)
MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore
MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
![c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]](/thumbs/92/108578155.jpg "c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]")
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Ekonometrija 5. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković
Ekoometja 5 Ekoometja, Osove studje Pedavač: Aleksada Nojkovć Stuktua pedavaja Klasč dvostuk (všestuk) lea egeso model - metod ONK. Petpostavke všestukog KLM. Koelacja u všestukom KLM. Oča kogova. Dvostuk
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
vsota je komutativna, asociativna,skalarno množenje pa distributivno če obstaja tak skalar,da velja a = cb in b = ca, ter če velja da so n
. Determt poddetermt dvovrste determte srečmo pr reševju sstemov dve ler eč z dvem ezkm; spodj zrz meujemo determt sstem D. Lstost determte če m mtrk A v stolpc zpse vrstce mtrke A potem velj deta deta
VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje
sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor
A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1
Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d
Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke
Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY jun 2008.
OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY347 9. ju 008. Priroi rojevi u kup vih pozitivih elih rojev, N {,, 3,...}. Celi rojevi u kup vih pozitivih i etivih elih rojev i ule, Z {...,, 3, 0,,, 3,...}. Rioli rojevi
7 neg. ( - ) neg. ( - ) poz. (+ ) poz. (+ )
X. gimzij Iv Supek Zgre, Klićev 7. lipj 000. godie Mturl zdć iz mtemtike Rješej zdtk. ) Riješi jeddžu 7 Rješeje: Njprije se tre riješiti psolutih vrijedosti tko d z svki izrz uutr psolute vrijedosti odredimo
Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu
Elementi analitičke geometrije u prostoru R 3
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vldm Tutć Element nltčke geometje u postou R 3 Mste d Nov Sd 00. godn. Sdžj ELEMENTI ANALITIČKE GEOMETRIJE U
a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Moguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ
Mliš Žižoviæ Oliver Nikoliæ UNIVERZITET SINGIDUNUM Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić KVANTITATIVNE METODE Šesto izmejeo i dopujeo izdje Beogrd,. KVANTITATIVNE METODE Autori: Prof. dr Mliš Žižović
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x =
Chpter Odredjen ntegrl Problem Nek je zdn funkcje f : [,b] R, f(x). Kko odredt površnu omedjenu grfom funkcje f(x) x-os? Površn prvokutnk: S = b Površn trokut: S = 1 v Kko defnrt površnu lk čje su strnce
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.
Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije