ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΜαθηματικάγιαΟικονομολόγουςΙI-Μάθημα 7 ο - ΟΜΟΓΕΝΗΣ-ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR- McLAURIN

2 ΚΛΙΣΗ-GRADIENT Εάν µια συνάρτηση f(x,y) έχει µερικές παραγώγους ρώτης τάξης τότε κλίση της συνάρτησης σε ένα σηµείο λέγεται το διάνυσµα: ur uur uur grandf ( x, y) = f ( x, y) = fxx0 + fyy0 Ισχύουν ότι στάσιµα ή κρίσιµα σηµεία µια συνάρτησης λέγονται τα σηµεία ό ου ur grandf ( x, y) = f ( x, y) = 0 f = f = 0 x y

3 ΚΛΙΣΗ-GRADIENT Η µερική αράγωγος ως ρος Χ µ ορεί να θεωρηθεί ως η αράγωγος κατά την κατεύθυνση των Χ και οµοίως για το Υ. Το ακόλουθο όριο ορίζεται ως αράγωγος ως ρος f ( x+ Sσυνθ, y+ Sηµθ ) f ( x, y) lim S 0 S S y= Sηµθ Θ x= Sσυνθ

4 ΟΜΟΓΕΝΗΣΣΥΝΑΡΤΗΣΗ I Μια συνάρτηση z=f(x,y)/d θα καλείται ομογενής βαθμούκεάνγιακάθεκμεγαλύτεροήισοτου μηδενός ισχύει ότι: n f ( Kx, Ky) = K f ( x, y)

5 ΟΜΟΓΕΝΗΣΣΥΝΑΡΤΗΣΗ II Μια συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερό βαθμό υποκατάστασης(constant returns to scale) όταν αύξηση των εισροών κατά Κ ποσοστό αυξάνει τις εκροές κατά το ίδιο ποσοστό, φθίνοντα βαθμό υποκατάστασης(decreasing returns to scale)εάν έχουμε αύξηση των εκροών κατά μικρότερο ποσοστό Κ και αυξάνοντα βαθμό(increasing returns to scale) εάν οι εκροές αυξάνουν με ποσοστό μεγαλύτερο του Κ.

6 ΟΜΟΓΕΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ III Να δείξετε ότι η παρακάτω συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas a b f ( K, L) = AK L είναι ομογενής. Ποιος ο βαθμός ομοιογένειας; Να δείξετε ότι η προηγούμενη συνάρτηση παραγωγής έχεις CES=1 Μπορείτε να χαρακτηρίσετε ως προς την ομοιογένεια τις παρακάτω συναρτήσεις; 1. f ( x, y) = x+ y 2. f ( x, y) = 3. f ( x, y) x / y x+ y x + y 4. f ( x, y) = x + 3y 2 2

7 ΙΣΟΥΨΕΙΣΚΑΜΠΥΛΕΣ Τα σημεία (x,y) για τα οποία ισχύει ότι f(x,y)=c όπου c είναι μια σταθερά αποτελούν μια καμπύλη στο επίπεδο ΧοΥ που καλείται ισοϋψής. Στην περίπτωση που η συνάρτηση f είναι μια συνάρτηση παραγωγής οι ισοϋψείς καμπύλες καλούνται καμπύλες σταθερής παραγωγής.

8 ΘΕΩΡΗΜΑ EULER Ας θεωρήσουμε μια συνάρτηση z=f(x,y) ορισμένη σε ένα διάστημα D η οποία έχει συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης τάξεως είναι ομογενής n βαθμού. Τότε ισχύει ότι: f f x + y = nf ( x, y) x y

9 ΘΕΩΡΗΜΑ EULER (Συνέχεια...) Oι παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν το θεώρημα του Euler; 1. f ( x, y) = x+ y 2. f ( x, y) = x + y x y f ( x, yz, ) = z / x y f ( x, y) = x + xy+ 3x y + 27y

10 Cobb-Douglas Συνάρτηση Παραγωγής Ειδικότερα για την συγκεκριµένη συνάρτηση αραγωγής CD θα ρέ ει να γνωρίζουµε ότι οι µερικές αράγωγοι ορίζουν την οριακή αραγωγικότητα ως ρος το κεφάλαιο και την εργασία καθώς και ότι το άθροισµα των εκθέτων µας δείχνει τον βαθµό υ οκατάστασης.

11 Συνάρτηση Παραγωγής CD 100 x0.4 y0.9 x0.4 y0.6

12 ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΕΣΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεπλεγμένη συνάρτηση θεωρείται αυτή η οποίαδενδίνεταιάμεσακαισερητήμορφή από την σχέση y=f(x) αλλά ορίζεται έμμεσα μέσω μιας πεπλεγμένης συνάρτησης Φ(x,y)=0. Συνεπώς μια συναρτησιακή εξάρτηση μπορεί νααποδοθείμεμιαρητήήπεπλεγμένημορφή Υπάρχουν στα Οικονομικά τέτοιες συναρτήσεις;

13 ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΕΣΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Οι διάφορες συναρτήσεις µέχρις στιγµής α οδίδονται µε την ρητή τους µορφή y=f(x), z=f(x,y,r,t, m). Μια συναρτησιακή σχέση ωστόσο µ ορεί να δοθεί µε ρητή ή ε λεγµένη µορφή ως εξής f(x,y,t, b)=0. Για αράδειγµα σκεφτείτε την εξίσωση του κύκλου ή άλλων τέτοιων σχηµάτων.

14 ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΕΣΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ p=contourplot3d[x2+y2+z2,{x,- 4,4},{y,4,4},{z,4,4},Contours {1,4,9 },ViewPoint {1,2,1},DisplayFuncti on Identity]

15 ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΕΣΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η f(x,y,z)=0 θα ορίζει µια ε λεγµένη µορφή z=f(x,y)/d εάν για κάθε (x,y) ου ανήκει στο σύνολο D ισχύει ότι f(x,y,f(x,y))=0. ΘΕΩΡΗΜΑ Εστω η συνάρτηση F=f(x,y,z)/D και το σηµείο P(x,y,z) ου ανήκει στο D. 1. Εάν υ άρχει η µερική της f ως ρος z και είναι συνεχής σε µια γειτονιά (P) του P, 1. Η µερική της f ως ρος z είναι διάφορη του µηδέν στο P ενώ f(p)=0 τότε Υ άρχει γειτονιά Π*(x*,y*)=0 στο εσωτερικό της ό ου η f(x,y,z)=0 λύνεται µονοσήµαντα δηλαδή z=z(x,y). Οµαλά ή Κανονικά σηµεία Fx=Fy=Fz=0 Ιδιάζοντα

16 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΕΠΛΕΓΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω η πεπλεγμένη συνάρτηση f(x,y,z)=0 και θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο της z ως προς x. Θεωρώ Ε= f(x,y,z)=0 και ότι z=g(x,y). Μπορώ να υπολογίσω τότε E z z f = fx + fz = = x x x f 0 x z df=0

17 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΕΠΛΕΓΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Χρησιµο οιώντας την ίδια λογική θα µ ορούσαµε να θεωρήσουµε την συνάρτηση f(x,y,z)=0 και να έχουµε την εξής σχέση: z fx z f fxdx+ fydy+ fdz z = 0 =, = x f y f z y z df=0

18 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΕΠΛΕΓΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην περίπτωση της δεύτερης τάξης για μία συνάρτηση f(x,y) θα έχουμε ότι 2 y fxx fy fyx f x fxy fy fyy fx dy = x f y fy dx

19 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΕΠΛΕΓΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ1 Δίνεταιηκαμπύλησταθερώνεξόδωνμετην μορφή pq = c Δίνεται η συνάρτηση f x y z x y z Na (,, ) = = 0 βρεθεί z x Πως θα υπολογίζατε το dq dp

20 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΕΠΛΕΓΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ2 Εάν υποθέσουμε ότι το συνολικό προϊόν μιας επιχείρησης δίνεται ως εξής TP = 4x + 3x y + 2y όπου x ο αριθμός ωρών των ειδικευμένων εργατών και y ο αριθμός των ανειδίκευτων. Ποια η μεταβολή στην ανειδίκευτη εργασία που θα χρειαστεί για να αντισταθμίσει την μεταβολή του αριθμού x κατά 1 μονάδα(ώρα) ώστεηπαραγωγήστοίδιοεπίπεδο(η τρέχουσα παραγωγή απαιτεί x=35, y=15).

21 ΣυστήματαΠεπλεγμένωνΙ Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων f ( x, y, a ) = 0 g ( x, y, a ) = 0 Υπολογίζω το διαφορικό για κάθε εξίσωση: dx dy fxdx + fydy + fada = 0 fx + fy + fa = 0 da da dx dy g xdx + g ydy + gada = 0 g x + g y + ga = 0 da da Οπότε dx fx fy da fa κ α ι g x g = y dy g a da dx da f f a y a x g g dυ =, = f f da f f g g a y a x f f x y x y g g x,y ενδογενής g g x y x y α,εξωγενής

22 ΣυστήματαΠεπλεγμένωνΙΙ Ας θεωρήσουµε το αρακάτω σύστηµα εξισώσεων f ( x, y( x), z( x)) = 0 g( x, y( x), z( x)) = 0 Εάν υ ολογίσουµε τα αντίστοιχα διαφορικά τους θα έχουµε ότι: dx dy dz = = f f f f f f y z z x x y g g g g g g y z z x x y

23 ΙΑΚΩΒΙΑΝΗΟΡΙΖΟΥΣΑ Θεωρούμε τις συναρτήσεις f = f ( x,..., x ), f = f ( x,..., x ),..., f = f ( x,..., x ) n n n n 1 n με κοινό πεδίο ορισμού και υποθέτουμε ότι υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι j Η παρακάτω ορίζουσα καλείται Ιακωβιανή f x i, i, j = 1, 2,..., n f f f... x x x f 2 f 2 f 2 D ( f... 1, f 2,..., fn ) fi = x 1 x 2 xn =, i, j = 1, 2,..., n D ( x 1, x 2,..., xn ) x j f f f... x x x n n n 1 2 n n

24 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση y=f(x1,x2,, xn) θα είναι παραγωγίσιμη εάνκαιμόνοεάνείναιπαραγωγίσιμησεόλατασημεία του πεδίου ορισμού της. Τότε ορίζεται το διάνυσμα μερικών παραγώγων σε κάθε σημείο x του πεδίου ορισμού της ως εξής: gradf f = f f f,,..., x x x 1 2 n

25 ΣΕΙΡΑ TAYLOR Δίνεται η συνάρτηση f(x,y) κλάσης C1 ορισμένη σε μια γειτονιά του(x0,y0). n+ 1 1 r+ s n r ( ) ( ) r ( ) ( ) x x y y f ( x, y ) f ( x, y) = f ( x, y ) + + R, όπου R = o o r s n+ 1 1 r+ s n r! s x y x xo y yo f ( ξ, θ ) r s r! s x y Το σημείο( ξ, θ ) περιέχεται στο τμήμα που ενώνει τα s Εάν παραλείψουμε το υπόλοιπο τότε η συνάρτηση f ισούται με ένα πολυώνυμο κατά προσέγγιση n-βαθμού ως προς τις διαφορές ( xy, ) και ( x, y ) 0 0 s ( xy, ) και ( x, y ) 0 0

26 ΣΕΙΡΑ McLAURIN Δίνεται η συνάρτηση f(x,y) κλάσης C1 ορισμένη σε μια γειτονιά του(x0,y0). ν 1 f ( x, y) f ( x, y) f ( x, y) = f (0,0) + x + y f (0,0) + R λ= 1λ! x y l n+ 1 Να ανα τυχθεί κατά McLaurin η 3ου βαθµού f ( x, y) = e sinx+ siny έως Θυµίζουµε το διώνυµο του Newton ( a b) k + = k n= 0 k! a b n! n k! ( ) k n n

27 ΤΙΝΑΔΙΑΒΑΣΩ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 8 Ο- 9 Ο ΑΠΟΞΕΠΑΠΑΔΕΑ & ΚΕΦΑΛΑΙΑ 11 Ο- 12 Ο ΑΠΟ CHIANG Σημειώσεις Παρουσίασης Σετ Ασκήσεων