ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Νεφέλη Δήμητρα Ζώττου

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Διπλωματική Εργασία στα πλαίσια του μεταπτυχιακού προγράμματος Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Νεφέλη Δήμητρα Ζώττου Επιβλέπων Καθηγητής: Αλεβίζος Παναγιώτης Τριμελής Επιτροπή Αξιολόγησης: Αλεβίζος Παναγιώτης Βραχάτης Μιχάλης Καββαδίας Δημήτρης Πάτρα 0

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε την περίοδο Σεπτέμβριος 0 Ιούνιος 0 στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Πριν από την παρουσίαση της διπλωματικής μου εργασίας πρέπει κατ αρχήν να ευχαριστήσω όλους όσους συνέβαλαν στην πραγματοποίησή της και ιδιαίτερα: Πρέπει να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου Παναγιώτη Αλεβίζο καθώς και τον καθηγητή μου Δημήτρη Καββαδία, των οποίων την καθοδήγηση είχα σε όλα σχεδόν τα φοιτητικά μου χρόνια και αναφέρομαι τόσο στα προπτυχιακά όσο και στα μεταπτυχιακά. Οι γνώσεις που μου προσφέρθηκαν από τους καθηγητές μου για τη θεωρία των Αλγορίθμων και την Πολυπλοκότητά τους, ήταν πολύτιμες και μου μεταδόθηκαν με έναν ιδιαίτερα ελκυστικό τρόπο, ώστε να μου φανούν στην αρχή δελεαστικές και στη συνέχεια να κερδίσουν την αφοσίωσή μου.

3 Εξ άλλου λόγω του ότι η διπλωματική αυτή εργασία ήταν η πρώτη που ανέλαβα, ήταν για εμένα ιδιαίτερα κοπιαστικό και απαιτητικό έργο. Γι αυτό ακριβώς το λόγο, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά την καθηγήτριά μου Αλέκα Καλαπόδη, η οποία απλοποίησε στο μέγιστο βαθμό την πραγματοποίησή της. Δυστυχώς, την γνώρισα σχετικά αργά - κατά τη διάρκεια του μεταπτυχιακού προγράμματος -, γιατί άμα την είχα κοντά μου και στο διάστημα των προπτυχιακών μου σπουδών, είμαι βέβαιη ότι θα είχε κάνει τον κλάδο των θεωρητικών μαθηματικών να μου είναι τόσο αγαπητός όσο και ο κλάδος των υπολογιστικών μαθηματικών. Έτσι, θέλω να την ευχαριστήσω ιδιαίτερα, διότι στήριξε την προσπάθειά μου σε δύσκολες στιγμές με τις πολύτιμες συμβουλές της και με την δημιουργική κριτική της και αφιερώνοντας τον πολύτιμο χρόνο της έκανε δυνατό να φτάσει η εργασία μου στην σημερινή της μορφή. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω την οικογένειά μου, που όλα αυτά τα χρόνια με στήριξε τόσο οικονομικά όσο και ψυχολογικά, καθώς η επιστήμη των μαθηματικών που με κέρδισε ενώ είναι δημιουργική και πνευματικά διεγερτική πολλές φορές γίνεται υπερβολικά απαιτητική και πολύπλοκη. 3 P a g e

4 Περιεχόμενα Πρόλογος... 6 Κεφάλαιο... 0 Βασικές έννοιες Βασικές έννοιες γραφημάτων Βασικά είδη γραφημάτων Βασικές έννοιες γραμμικής άλγεβρας Αλγεβρικές ιδιότητες γραφημάτων Κεφάλαιο... 3 Sudoku και Λατινικά Τετράγωνα... 3 Κεφάλαιο Απαρίθμηση Λατινικών Τετραγώνων και Sudoku Κλάσεις ισοδυναμίας Λατινικών τετραγώνων Απαρίθμηση juor Sudoku puzzle Απαρίθμηση Sudoku puzzle τάξης 9x Απαρίθμηση των -Qua-μαγικών Sudoku Ιδιότητες των υπο-block... 5 Ιδιότητες των συμπληρωμένων μητρών Απαρίθμηση των -Qua μαγικών Sudoku Συμμετρίες των Sudoku puzzle τάξης 9x Μήτρες μετάθεσης των Sudoku Απαγορευμένες θέσεις Κεφάλαιο Sudoku και Κρυπτογραφία Αναπαράσταση Sudoku puzzle σε γράφημα Κρυπτογράφηση και μηδενικής γνώσης αποδείξεις για λύσεις Sudoku puzzle Κεφάλαιο Κωδικοποίηση Sudoku σε SAT Κωδικοποίηση του puzzle Sudoku 9x9 σε SAT μορφή Περιορισμός μη κενών κελιών Sudoku puzzle τάξης 9x Περιορισμός γραμμών Sudoku puzzle τάξης 9x Περιορισμός στηλών Sudoku puzzle τάξης 9x P a g e

5 5. Περιορισμός υπο-block Sudoku puzzle τάξης 9x Βελτιωμένος περιορισμός υπο-block Sudoku puzzle τάξης 9x Κεφάλαιο Παιχνίδι με τραπουλόχαρτα P a g e

6 Πρόλογος Το παιχνίδι Sudoku έχει όπως κάθε παιχνίδι μια ιστορία. Αρχικά, το γεγονός ότι το όνομα του παιχνιδιού αυτού έχει επικρατήσει ως μία ενιαία λέξη Sudoku δημιουργεί λανθασμένη εικόνα, αφού πρόκειται στην πραγματικότητα για δύο νοήματα σε δύο λέξεις. Η λέξη Su στα Ιαπωνικά σημαίνει αριθμός και η λέξη Doku αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη και μοναδική θέση ενός πίνακα puzzle, έτσι ώστε κάθε αριθμός να προορίζεται για μια μόνο θέση. Επομένως, η λέξη Sudoku σημαίνει στην ουσία του παιχνιδιού μοναδικός αριθμός για κάθε θέση, λόγω του περιορισμού της μοναδικότητας ύπαρξης κάθε αριθμού στις γραμμές, στις στήλες και στις υπο-περιοχές του. Ένας τρόπος για να περιγράψει κάποιος αυτό το παιχνίδι είναι Πασιέντζα με αριθμούς καθώς και Ο κύβος του Rubk του ου αιώνα. Ωστόσο, πρόκειται για γλωσσικό αντιδανεισμό, αφού αν και το όνομά είναι Ιαπωνικό, η πραγματική προέλευση του παιχνιδιού είναι αρχικά Ευρωπαϊκή και στη συνέχεια και Αμερικάνικη. Το χαρακτηριστικό που το κάνει τόσο γοητευτικό παιχνίδι, είναι ότι έχει απλούς κανόνες, αλλά η λογική επίλυσής του μπορεί να είναι πολύ δύσκολη. Συγκεκριμένα, τον 8 ο αιώνα ο Ελβετός μαθηματικός Leohard Euler ανέπτυξε την θεωρία των Λατινικών Τετραγώνων, ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα των οποίων είναι ότι οι αριθμοί που περιέχονται σε αυτά εμφανίζονται ακριβώς μια φορά. Αργότερα στα τέλη της δεκαετίας του 70 το περιοδικό Dell στις ΗΠΑ άρχισε να εκδίδει Puzzle ίδια με αυτά που πλέον αποκαλούμε Sudoku χρησιμοποιώντας τη θεωρία του Euler και μια μήτρα τάξης 9 9. Το παιχνίδι αυτό αναπτύχθηκε από έναν ανεξάρτητο παραγωγό puzzle τον Howard Gare και ονομάστηκε Number Place, δηλαδή τοποθετήστε τον αριθμό. Στα μέσα της δεκαετίας του 80, ο πρόεδρος της εταιρίας Ιαπωνικά puzzle Nkol, πρότεινε να δημοσιευτεί μια έκδοση του Number Place, η οποία έγινε πολύ δημοφιλής στην χώρα. Ο Nkol έδωσε στο puzzle το όνομα SU DOKU αλλάζοντας τους περιορισμούς, έτσι ώστε να εμφανίζονται οι αριθμοί συμμετρικά και μοναδικά. Μετά από τις αλλαγές αυτές το παιχνίδι έγινε ανάρπαστο στην Ιαπωνία και υπήρχε σε κάθε ημερήσια εφημερίδα και περιοδικό. Πέρασαν περίπου δύο δεκαετίες για να φιλοξενηθεί και στο περιοδικό Tme του Λονδίνου. Η εξέλιξη αυτή οφείλεται στις προσπάθειες του Waye Gould, ο οποίος ήταν ένας συνταξιούχος δικαστής στο Χονγκ Κονγκ με καταγωγή από την Νέα Ζηλανδία. Η πρώτη του επαφή με το puzzle ήταν από βιβλίο σε ένα ιαπωνικό βιβλιοπωλείο το 997 και στη συνέχεια ασχολήθηκε πολλά χρόνια αναπτύσσοντας ένα πρόγραμμα υπολογιστών για την αυτόματη δημιουργία Sudoku puzzle. Έτσι ο πρώην δικαστής το φθινόπωρο του 00, ήταν πλέον σε θέση να πείσει τους εκδότες του περιοδικού Tme να ξεκινήσουν τη δημοσίευση του παιχνιδιού χρησιμοποιώντας το λογισμικό που είχε 6 P a g e

7 δημιουργήσει. Το πρώτο αυτοματοποιημένο Sudoku παιχνίδι λοιπόν δημοσιεύθηκε στις Νοεμβρίου του 00. Μέσα σε λίγους μήνες, άρχισαν και άλλες βρετανικές εφημερίδες να δημοσιεύουν τα δικά τους puzzle Sudoku. Στη συνέχεια, για άλλη μια φορά η δημοσιότητα των Sudoku διέσχισε τον ωκεανό. Το καλοκαίρι του 005, βασικές ημερήσιες εφημερίδες των ΗΠΑ δημοσίευαν και αυτές puzzle Sudoku σαν καθημερινά σταυρόλεξα. Έτσι στο περιοδικό New York Pot το γνωστό σήμερα Sa Fracco Chrocle στις ΗΠΑ προσφέρoνταν τα Sudoku puzzle στους αναγνώστες του καθημερινά από τον Σεπτέμβριο του 005. Η κλασσική μορφή του puzzle ξεκίνησε με μια μήτρα 9 9 και αργότερα δημιουργήθηκαν πολλές παραλλαγές του παιχνιδιού λόγο εκθετικής ζήτησης. Η έκδοση, η οποία αποτελείται από υπο-block τάξης, είναι η πιο απλή μορφή από τις καθιερωμένες, η οποία κατασκευάστηκε για τους πιο νέους λύτες και για να είναι εφικτή η εφαρμογή του σε ηλεκτρονικές παιχνιδομηχανές. Υπάρχουν εκδόσεις τάξης 5 5, 6 6, 7 7, 6 6, για να μην αναφερθούμε και στις πιο απαιτητικές μορφές όπως η 5 5. Ωστόσο η μελλοντική εξέλιξη του Sudoku είναι άγνωστη. Ήδη, υπάρχουν puzzle Sudoku, τα οποία περιέχουν γράμματα, που σχηματίζουν λέξεις στην τελική τους λύση. Άλλες εκδόσεις αποτελούνται από διάφορους νέους συνδυασμούς περιορισμών και τάξεων. Πού οδηγεί αυτή η ανάπτυξη δεν μπορεί κανείς να υποθέσει, αυτό όμως που είναι προφανές, είναι ότι τα Sudoku είναι αρκετά διασκεδαστικά και προκαλούν κάθε άνθρωπο, οποιασδήποτε ηλικίας και κουλτούρας να καλλιεργήσει την λογική του. Ποιός ξέρει, μπορεί τελικά αυτό το παιχνίδι να κάνει την ανθρωπότητα πιο έξυπνη. Στην παρούσα εργασία προσεγγίζονται τα Sudoku puzzle χρησιμοποιώντας μαθηματικές έννοιες κυρίως από την θεωρία γραφημάτων, την άλγεβρα, τη θεωρία πινάκων αλλά και την κρυπτογραφία και τη θεωρία ανάπτυξης αλγορίθμων, oυσιαστικά χρησιμοποιούνται διάφορες οπτικές γωνίες προκειμένου να απεικονιστεί η μελέτη αυτών των puzzle μέσω των μαθηματικών. Η εργασία χωρίζεται σε έξι βασικά κεφάλαια: Το πρώτο κεφάλαιο περιέχει βασικές έννοιες της άλγεβρας και της θεωρίας γραφημάτων, όπως ο ορισμός της ομάδας, του συνεκτικού γραφήματος, ο βαθμός κορυφής και άλλα, οι οποίες χρησιμοποιούνται επανειλημμένα στην εργασία, έτσι ώστε να μπορεί να γίνει κατανοητή χωρίς να απαιτείται η χρήση άλλων επιστημονικών πηγών. Χωρίζεται σε τέσσερεις βασικές ενότητες οι οποίες παρουσιάζονται με την ακόλουθη σειρά. Η πρώτη ενότητα είναι οι Βασικές Έννοιες Γραφημάτων, η οποία ουσιαστικά αναφέρεται στην βασική ορολογία των γραφημάτων. Η δεύτερη ενότητα είναι τα Βασικά Είδη Γραφημάτων και περιέχει γραφήματα με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά και ιδιότητες, οι οποίες είναι απαραίτητες για την ανάλυση της 7 P a g e

8 παρούσας εργασίας. Στη συνέχεια η τρίτη ενότητα είναι οι Βασικές Έννοιες Γραμμικής Άλγεβρας, η οποία περιέχει συγκεκριμένους ορισμούς κυρίως των ομάδων και των συμμετριών που χρησιμοποιούνται για την απαρίθμηση των Sudoku. Τέλος η τελευταία ενότητα είναι οι Αλγεβρικές Ιδιότητες Γραφημάτων, η οποία περιέχει ορισμούς και αλγεβρικές αλληλεπιδράσεις πάνω στα γραφήματα. Για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με την άλγεβρα και τη θεωρία γραφημάτων, παραπέμπουμε στα [6], [7] και [9]. Το δεύτερο κεφάλαιο περιέχει τους ορισμούς του Sudoku puzzle και των λατινικών τετραγώνων, τα οποία είναι μια γενίκευση των Sudoku puzzle, όπως θα αναφερθεί παρακάτω. Για εκτενέστερη έρευνα πάνω στα λατινικά τετράγωνα παραπέμπουμε στα [3], [0], [], [],[3], [5], [6], [7], [8] και [9]. Στο τρίτο κεφάλαιο απαριθμούνται οι κλάσεις ισοδυναμίας των λατινικών τετραγώνων αρχικά και στη συνέχεια γίνεται απαρίθμηση τριών ειδών Sudoku puzzle, τα οποία είναι τα juor Sudoku puzzle τάξης, τα Sudoku puzzle τάξης 9x9 και τα -Qua-μαγικά Sudoku, τα οποία έχουν έναν παραπάνω περιορισμό σε σχέση με τα συνήθη Sudoku. Τέλος, απαριθμούνται οι συμμετρίες των Sudoku puzzle τάξης 9x9 και γίνεται μια σύντομη ανάλυση των μητρώων μετάθεσής τους. Περαιτέρω πληροφορίες βρίσκονται στα [], [], [], [5], [9], [], [9], [0], [], [], και [6]. Στο τέταρτο κεφάλαιο αλλάζει η αυστηρά αλγεβρική προσέγγιση που υπάρχει στις παραπάνω ενότητες. Εδώ παρουσιάζεται το Sudoku puzzle με μια ισοδύναμη μορφή γραφήματος και γίνεται μια σύντομη παρουσίαση βασικών εννοιών της κρυπτογραφίας, καθώς και μια θεωρητική προσέγγιση της κρυπτογράφησης του Sudoku puzzle, με τη βοήθεια του πρωτοκόλλου της μηδενικής γνώσης. Περαιτέρω πληροφορίες βρίσκονται στα [8], [3] και []. Στο πέμπτο κεφάλαιο αλλάζει πάλι ο επιστημονικός κλάδος, μέσω του οποίου εξετάζουμε τα Sudoku puzzle και επικεντρώνεται στην απεικόνιση ενός στιγμιοτύπου του puzzle Sudoku σε ένα στιγμιότυπο του προβλήματος SAT. Όλοι οι περιορισμοί του Sudoku θα μπορέσουν να διατηρηθούν μέσω των κανονικών συζευκτικών προτάσεων του προβλήματος SAT, οι οποίες έχουν χωριστεί σε πέντε ενότητες. Η καταμέτρηση των κανονικών συζευκτικών προτάσεων του προβλήματος SAT μέσω αναδρομικών τύπων, αποτελεί το πρωτότυπο τμήμα της διπλωματικής καθώς και η ανάλυση των τύπων αυτών, την οποία περιέχει το επισυναπτόμενο CD. Για πιο θεωρητική προσέγγιση προτείνονται τα [5], [6], [7], [30]. Το έκτο κεφάλαιο της εργασίας περιέχει μια διασκεδαστική εφαρμογή κρυπτογράφησης οποιουδήποτε Sudoku puzzle τάξης 9 9. Η εφαρμογή υλοποιείται με τραπουλόχαρτα, έτσι ώστε ο αναγνώστης να είναι σε θέση να κρυπτογραφήσει οποιοδήποτε λύση puzzle Sudoku, χωρίς να είναι υποχρεωμένος να παρουσιάσει τη λύση του στον αντίπαλο, χρησιμοποιώντας μόνο τρείς τράπουλες. Ο στόχος του 8 P a g e

9 τελευταίου κεφαλαίου είναι να κάνει τον επίλογο της εργασίας πιο ευχάριστο και πιο ανάλαφρο ακόμα και για νέους επιστήμονες στο χώρο της κρυπτογραφίας, της θεωρίας γραφημάτων και της άλγεβρας. 9 P a g e

10 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες Ιδανικό εργαλείο ανάλυσης των puzzle Sudoku, είναι τα γραφήματα και οι συσχετισμοί τους. Έτσι στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστούν αρχικά οι βασικοί ορισμοί των γραφημάτων, στη συνέχεια τα είδη που εξυπηρετούν την παρούσα εργασία, καθώς και τα κύρια στοιχεία γραφημάτων με τις ιδιότητές τους. Αναλύονται επίσης οι λειτουργίες των γραφημάτων, οι πίνακες γειτνίασής τους άλλα και αλγεβρικές βασικές έννοιες, ιδιότητες και αλληλεπιδράσεις ώστε να εκφραστούν με μαθηματικό τρόπο οι ιδιότητες ενός puzzle Sudoku... Βασικές έννοιες γραφημάτων Ορισμός.. Γράφημα (graph) ονομάζεται ένα διατεταγμένο ζεύγος G ( V( G), E( G)), όπου V ( G) 0 είναι ένα πεπερασμένο σύνολο, τα στοιχεία του οποίου καλούνται κορυφές (vertce ή ode), και E(G) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο του οποίου τα στοιχεία καλούνται ακμές (edge). Κάθε ακμή αντιστοιχίζεται σε ένα μη διατεταγμένο ζεύγος κορυφών του συνόλου V (G), όχι απαραίτητα ξένων μεταξύ τους, οι οποίες καλούνται άκρα (ed) της ακμής. Το V (G) ονομάζεται σύνολο κορυφών και το E(G) σύνολο ακμών. Η τάξη (order) ενός γραφήματος G, είναι το πλήθος των κορυφών του G και συμβολίζεται ( G) V ( G). Το μέγεθος (ze) ενός γραφήματοςg είναι το πλήθος των ακμών του και συμβολίζεται e( G) E( G). Σε περίπτωση που αναφερόμαστε σε ένα μόνο γράφημα και δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης τότε μπορεί το V (G) να γραφτεί εν συντομία ως V, καθώς και το E (G) ως E. 0 P a g e

11 Για παράδειγμα το ακόλουθο σχήμα είναι γράφημα με σύνολο κορυφών v, v, v, v v E e, e, e, e, e, e, e e, ή με περιγραφή των άκρων V 3, 5 και ακμών , 8 της κάθε ακμής E v, v ),( v, v ),( v, v ),( v, v ),( v v ),( v, v ),( v, v ),( v, ) του είναι ( G) 5 και έχει μέγεθος e ( G) 8 ( , 5 5 v5. Η τάξη Ειδικότερα, κατευθυνόμενο γράφημα (drected graph ή dgraph) ή προσανατολισμένο (oreted) ονομάζεται το γράφημα, που αποτελείται από ένα μη κενό σύνολο κορυφών V και ένα σύνολο ακμών E από διατεταγμένα ζεύγη κορυφών που ονομάζονται τόξα (arc). Σε ένα τόξο ( x, y) οι κορυφές x και y καλούνται τερματικά σημεία της ακμής (αρχή και πέρας, αντίστοιχα) και συμβολίζεται με ένα βέλος, το οποίο ξεκινάει από την κορυφή x και καταλήγει στην y. Για παράδειγμα στο παραπάνω σχήμα απεικονίζονται δύο γραφήματα. Αριστερά το γράφημα είναι κατευθυνόμενο, ενώ δεξιά είναι μη κατευθυνόμενο. Ορισμός.. Γειτονικές κορυφές (adjacet vertce) είναι δύο κορυφές x, y V, αν e ( x, y) E. Δηλαδή είναι γειτονικές αν υπάρχει ακμή e που να τις συνδέει. Στην περίπτωση αυτή, οι x και y ονομάζονται άκρα (edpot) της e, και λέμε ότι η e συνδέει (coect) την x με την y. Επίσης, λέμε ότι η ακμή e προσπίπτει ( cdet) στο καθένα από τα άκρα της x και y. Σύμφωνα με τον ορισμό της γειτνίασης είναι P a g e

12 εύκολο πλέον να οριστεί και το σύνολο ανεξαρτησίας (depedet et) ενός γραφήματος G ( V, E), το οποίο είναι ένα υποσύνολο κορυφών S V(G), τέτοιο ώστε κανένα στοιχείο που το απαρτίζει να μην είναι γειτονικό με κανένα άλλο στοιχείο αυτού του υποσυνόλου. Με άλλα λόγια τα στοιχεία αυτά να είναι ανά δύο μη γειτονικά. Ο μέγιστος πληθάριθμος που μπορεί να έχει ένα σύνολο ανεξαρτησίας καλείται βαθμός ή αριθμός ανεξαρτησίας του γραφήματος (depedece umber). Για παράδειγμα στο ακόλουθο γράφημα οι κορυφές v και v είναι γειτονικές αφού ( v, v ) E, ενώ σύνολα ανεξαρτησίας του είναι τα S v, S v, v, v 5 και άλλα. Είναι προφανές ότι δεν υπάρχει σύνολο ανεξαρτησίας με τέσσερα ή περισσότερα στοιχεία, συνεπώς ο βαθμός ανεξαρτησίας του συγκεκριμένου γραφήματος είναι 3. Ειδικότερα, βρόχος ή ανακύκλωση (loop) είναι μια ακμή, της οποίας τα άκρα συμπίπτουν. Πολλαπλές ακμές (parallel edge) ονομάζονται οι ακμές που έχουν το ίδιο ζεύγος άκρων, ενώ απλό γράφημα (mple graph) είναι κάθε γράφημα που δεν έχει βρόχους η πολλαπλές ακμές. Για παράδειγμα η ακμή e3στο παρακάτω γράφημα είναι βρόχος. Οι ακμές e7 και e8 είναι πολλαπλές ακμές αφού έχουν κοινά άκρα τις κορυφές v και v 5, ενώ δεν είναι απλό γράφημα σε αντίθεση με το προηγούμενο σχήμα. P a g e

13 Ορισμός..3 Βαθμός κορυφής (vertex degree) είναι το πλήθος των ακμών που προσπίπτουν πάνω σε αυτή. Συμβολίζεται με deg( v ) όπου v η τρέχουσα κορυφή. Επειδή κάθε ακμή μετριέται δύο φορές όταν μετρούμε τον βαθμό των κορυφών του G, ισχύει ότι το άθροισμα των βαθμών των κορυφών γραφήματος G ισούται με το διπλάσιο πλήθος των ακμών του G. Δηλαδή deg( v ) E. Λέμε ότι μια κορυφή είναι άρτια (eve) ή περιττή (odd) ανάλογα με το αν ο βαθμός της είναι άρτιος ή περιττός αριθμός αντίστοιχα. Λέμε ότι κορυφή βαθμού μηδέν είναι μεμονωμένη κορυφή (olated vertex), με άλλα λόγια είναι μια κορυφή η οποία δεν έχει καμία προσπίπτουσα ακμή. Για παράδειγμα στο παραπάνω γράφημα η κορυφή v έχει βαθμό 5 δηλαδή deg( v ) 5 ενώ η κορυφή v3 έχει βαθμό δηλαδή deg( v 3 ) και όντως ισχύει ότι deg( v ) E Η κορυφή v είναι περιττή αφού deg( v ) 5, ενώ η κορυφή v 3 είναι άρτια αφού deg( v 3 ). Τέλος η κορυφή v 6 είναι μεμονωμένη κορυφή. Για να πραγματοποιηθεί αφαίρεση κορυφής (vertex cut), διαγράφεται η επιθυμητή κορυφή και όλες οι προσπίπτουσες ακμές της. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για αφαίρεση ακμής (edge cut), όπου σε αυτή την περίπτωση διαγράφεται η επιθυμητή ακμή, αλλά οι κορυφές που αποτελούν τα άκρα αυτής παραμένουν ακόμα και αν δεν υπάρχει άλλη ακμή που προσκπίπτει σε αυτές. 3 P a g e

14 Για παράδειγμα στο ακόλουθο σχήμα αφαιρούνται οι κορυφές u και u5 και παράλληλα διαγράφονται οι ακμές e 7, e6, e5, e, οι οποίες ήταν οι προσπίπτουσες σε αυτές ακμές. Ενώ στο ακόλουθο σχήμα αφαιρούνται οι ακμές e και e 5, αλλά οι κορυφές u,u u3,u 5 παραμένουν στο γράφημα. και Ακολουθία βαθμών (degree equece) ενός γραφήματος G είναι η ακολουθία που προκύπτει από τη διάταξη των βαθμών όλων των κορυφών του G, σε αύξουσα η φθίνουσα σειρά. Για παράδειγμα στο ακόλουθο σχήμα το πρώτο γράφημα έχει S,3,3,3,,5, το δεύτερο γράφημα έχει ακολουθία βαθμών ακολουθία βαθμών S,,,,, και το τρίτο γράφημα έχει ακολουθία βαθμών,,,,, S. 3 P a g e

15 Ορισμός.. Περίπατος (walk) είναι μια ακολουθία «διαδοχικών» ακμών, όπου διαδοχικές ακμές είναι εκείνες που το τελικό άκρο της πρώτης είναι το αρχικό άκρο της δεύτερης. Κλειστός περίπατος (cloe walk) ονομάζεται ο περίπατος, του οποίου τα άκρα ταυτίζονται. Ειδικότερα, μονοκονδυλιά (pe troke) είναι ο περίπατος χωρίς επανάληψη ακμών. (Απλό) μονοπάτι (mple path) είναι ένας περίπατος χωρίς επανάληψη κορυφών (και ακμών). Είναι προφανές ότι υπάρχει περίπατος x y αν και μόνο αν υπάρχει μονοπάτι x y. (Απλός) κύκλος (mple cycle) είναι ένα μονοπάτι που άκρα του ταυτίζονται, δηλαδή ένα κλειστό μονοπάτι. Απόσταση (dtace) d ( x, y) δύο κορυφών x, y V( G) είναι το μήκος του μικρότερου μονοπατιού που τις ενώνει. Αν δύο κορυφές δεν ενώνονται με κάποιο μονοπάτι, τότε η απόσταση θεωρείται ίση με το άπειρο ( d ( x, y) ). Περιφέρεια γραφήματος (grth) G είναι το μήκος του μικρότερου κύκλου. Για να οριστεί πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ενός κύκλος. Συμβολίζεται grth (G). Για παράδειγμα στο ακόλουθο γράφημα ένας περίπατος είναι ο AB BD DB, ενώ μια μονοκονδυλιά είναι η AB BD DC. Ένα μονοπάτι είναι το AB BD DC και η απόσταση d ( A, D). 5 P a g e

16 Στο ακόλουθο γράφημα η διαδρομή AB BD DC CA είναι κλειστή, το μονοπάτι AB BC CA είναι ένας κύκλος ενώ ο κύκλος ABC είναι μήκους 3, άρα grth ( G) 3. Ορισμός..5 Εκκεντρότητα κορυφής (vertex eccetrcty): Για να υπολογιστεί η εκκεντρότητα μιας κορυφής x ενός γραφήματος G ( V, E), υπολογίζονται όλες τις αποστάσεις όλων των υπολοίπων κορυφών του γραφήματος από την x. Η εκκεντρότητα είναι η μεγαλύτερη από αυτές max( d( x, y)). Συμβολίζεται ecc (x). Η διάμετρος (dameter) ενός γραφήματος G είναι η μεγαλύτερη εκκεντρότητα και συμβολίζεται dam (G). Αντίθετα ακτίνα (radu) ενός γραφήματος G είναι η μικρότερη εκκεντρότητα και συμβολίζεται rad (G). Για παράδειγμα στο ακόλουθο γράφημα έχουμε για την κορυφή A σχετικά με τις αποστάσεις της από τις υπόλοιπες κορυφές ότι d ( A, B), d ( A, D), d ( A, C), d ( A, E), d( A, F) και d ( A, G) 3. Άρα ecc ( A) 3. Αντίστοιχα οι εκκεντρότητες όλων των κορυφών είναι ecc ( A) 3, ecc ( B) 3, ecc ( C), ecc ( D), ecc ( E) 3, ecc ( F), ecc ( G) 3, επομένως εδώ rad ( G). y V G 6 P a g e

17 Ορισμός..6 Υπογράφημα (ubgraph) ενός γραφήματος G ( V, E) καλείται ένα γράφημα G ( V, E ), τέτοιο ώστε V V και E E. Ένα γράφημα G ( V, E) είναι συνεκτικό (coected graph) αν για κάθε ζεύγος κορυφών x, y V, υπάρχει μονοπάτι που να τις ενώνει. Διαφορετικά το γράφημα λέγεται μη συνεκτικό. Συνεκτική συνιστώσα (compoet) είναι ένα υπογράφημα του αρχικού γραφήματος το οποίο είναι συνεκτικό. Για παράδειγμα στο ακόλουθο σχήμα το πρώτο γράφημα είναι συνεκτικό ενώ το δεύτερο είναι μη συνεκτικό αφού δεν υπάρχει μονοπάτι μεταξύ των κορυφών C, D. Το υπογράφημα του δεύτερου γραφήματος με σύνολο κορυφών V A, B, C προσπίπτουσες ακμές τους είναι μια συνεκτική συνιστώσα. και τις Ορισμός..7 Γέφυρα (brdge) είναι μια ακμή που αν αφαιρεθεί αυξάνει το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών. Είναι προφανές ότι για να μπορεί να είναι μια ακμή γέφυρα δεν πρέπει να ανήκει σε κύκλο. Σημείο αποκοπής (cut-off pot) ονομάζεται μια κορυφή του γραφήματος, η οποία αν αφαιρεθεί αυξάνεται το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών. 7 P a g e

18 Για παράδειγμα στο ακόλουθο γράφημα οι ακμές ED και DF είναι γέφυρες ενώ η κορυφή D είναι σημείο αποκοπής. Ορισμός..8 Πίνακας γειτνίασης (adjacecy matrx) ενός γραφήματος με κορυφές, είναι ένας πίνακας, ο οποίος περιέχει σε κάθε θέση (, j) το πλήθος των ακμών που ενώνουν τις κορυφές κορυφές, j τότε η θέση (, j) είναι ίση με το μηδέν., j. Αν δεν υπάρχουν ακμές που ενώνουν τις Για παράδειγμα ο παρακάτω πίνακας, είναι πίνακας γειτνίασης του αριστερού γραφήματος. A, j 0 (, j) E( G) (, j) E( G) 8 P a g e

19 Από τον πίνακα γειτνίασης είναι εύκολο να βγουν συμπεράσματα για το αντίστοιχο γράφημα, χωρίς να υπάρχει οπτική επαφή με το γράφημα. Όλοι οι πίνακες γειτνίασης, οποιουδήποτε γραφήματος είναι τετραγωνικοί. Δηλαδή έχουν ίσο αριθμό γραμμών και στηλών. Αν το γράφημα είναι απλό τότε τα στοιχεία του πίνακα είναι είτε το μηδέν είτε η μονάδα. Αν το γράφημα είναι μη κατευθυνόμενο ο πίνακας γειτνίασης είναι συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο. Αν υπάρχει μεμονωμένη κορυφή v τότε η γραμμή και η στήλη είναι μηδενική. Το άθροισμα κάθε γραμμής ή στήλης μας δίνει το βαθμό της αντίστοιχης κορυφής σε μη κατευθυνόμενο γράφημα. Το άθροισμα όλων των στοιχείων του πίνακα για μη κατευθυνόμενα απλά γραφήματα είναι το διπλάσιο του πλήθους των ακμών του. Για παράδειγμα στο ακόλουθο σχήμα φαίνονται οι ιδιότητες που αναφέρθηκαν. Αν τον πίνακα γειτνίασης τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του m φορές τότε το γινόμενο που θα προκύψει θα είναι ένας πίνακας του οποίου το στοιχείο που βρίσκεται στην γραμμή και στην j στήλη, αντιπροσωπεύει το πλήθος των μονοπατιών μήκους m από την στην j κορυφή. Όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα. 9 P a g e

20 .. Βασικά είδη γραφημάτων Ορισμός.. Πλήρες γράφημα (complete graph) είναι ένα απλό γράφημα G, το οποίο έχει ακμή για κάθε ζεύγος κορυφών του. Συμβολίζεται με K, όπου είναι το πλήθος των κορυφών του. Κ-κανονικό γράφημα (k-regular graph) είναι το γράφημα του οποίου κάθε κορυφή έχει βαθμό ίσο με κ. Ένα πλήρες γράφημα κορυφών είναι πάντα κανονικό βαθμού. Τα κανονικά γραφήματα έχουν πίνακες γειτνίασης όπου τα αθροίσματα των γραμμών ή στηλών του είναι όλα ίσα. Αν είναι πλήρες τότε όλα τα στοιχεία του πίνακα είναι μονάδες εκτός από τη διαγώνιο και τα αθροίσματα των γραμμών ή στηλών είναι όλα ίσα μεταξύ τους και ίσα με ( ). Ορισμός.. Κλίκα (clque) H ενός γραφήματος G είναι ένα υποσύνολο κορυφών VH του V G και ένα υποσύνολο ακμών E H του E G, τέτοιο ώστε κάθε δυο κορυφές x, y V να είναι γειτονικές μεταξύ τους. Αριθμός της κλίκας (clque umber) j H συμβολίζεται με (G) και είναι το πλήθος των κορυφών, από το οποίο αποτελείται η μεγαλύτερη δυνατή κλίκα του γραφήματος G. Για παράδειγμα το ακόλουθο αριστερό γράφημα είναι πλήρες και καλείται K 5 και ταυτόχρονα είναι ένα κανονικό γράφημα βαθμού, δηλαδή -κανονικό. Το δεξί γράφημα έχει μια κλίκα { 3,,7,8 }. 0 P a g e

21 Ορισμός..3 Δένδρο (tree) καλείται ένα γράφημα συνεκτικό και άκυκλο. Ισχύει ότι E V. Για παράδειγμα το ακόλουθο γράφημα είναι δένδρο,όπου η κορυφή ονομάζεται ρίζα του δένδρου, οι κορυφές,, ονομάζονται ενδιάμεσοι κόμβοι και οι κορυφές,,,, ονομάζονται φύλλα του δένδρου. Ορισμός.. Γράφημα κύκλος (cycle graph) είναι το γράφημα που όλες του οι κορυφές ανήκουν σε έναν μόνο απλό κύκλο. Τα συμβολίζουμε με C, όπου είναι το πλήθος τον κορυφών του γραφήματος. Για παράδειγμα το ακόλουθο γράφημα είναι κύκλος μήκους 5. P a g e

22 Ορισμός..5 Τροχοειδές γράφημα (wheel graph) είναι ένα γράφημα W, το οποίο περιέχει ένα κύκλο τάξης, δηλαδή το γράφημα C και κάθε κορυφή αυτού του κύκλου συνδέεται με μια άλλη κορυφή που ονομάζεται κομβικό σημείο (hub). Οι ακμές του γραφήματος, των οποίων το ένα τους άκρο είναι το κομβικό σημείο λέγονται ακτίνες (poke). Για παράδειγμα τα ακόλουθα γραφήματα είναι τροχοειδή, με πλήθος κορυφών και 5 αντίστοιχα. Ορισμός..6 Ένα γράφημα G λέγεται διμερές (bpartte) αν το σύνολο κορυφών του V (G) είναι η ένωση δύο ξένων μεταξύ τους συνόλων V ( ) και V ( ), τέτοιων ώστε τα G G άκρα κάθε ακμής του G να μην ανήκουν στο ίδιο υποσύνολο, δηλαδή η μια να βρίσκεται στο V ( ) και η άλλη στο V ( ). Καθένα από τα σύνολα κορυφών V ( ) και G G V ( ) καλείται μερίδιο κορυφών. Πλήρες διμερές γράφημα (complete bpartte) G είναι ένα διμερές γράφημα με σύνολο ακμών, το οποίο περιλαμβάνει όλα τα δυνατά ζεύγη κορυφών, που μπορούν να σχηματιστούν, λαμβάνοντας μια κορυφή από το πρώτο μερίδιο κορυφών και την άλλη κορυφή από το δεύτερο μερίδιο κορυφών. Συμβολίζεται ως K, όπου m είναι το πλήθος των κορυφών του V ( ) και το m πλήθος των κορυφών του V ( ). Τέλος k-μερές γράφημα (k-partte graph) καλείται G G G ένα γράφημα αν το σύνολο των κορυφών του, V (G), είναι η ένωση k συνόλων ανεξαρτησίας, όπου k ο ελάχιστος φυσικός με την ιδιότητα αυτή. P a g e

23 Για παράδειγμα στο ακόλουθο σχήμα το πρώτο γράφημα είναι διμερές γράφημα με ( G) a, a, a3, a, b, b, b3, b ( G) a, a, a3, V ( G) b, b, b3,, ενώ V, V και a b δεν είναι πλήρες αφού η κορυφή a είναι ενωμένη μόνο με τις b3, b και όχι με τις b, b. Για να ήταν δηλαδή πλήρες διμερές θα έπρεπε να προστεθούν οι ακόλουθες ακμές ( a, b),( a, b),( a, b3),( a, b),( a3, b3),( a3, b),( a, b). Το δεύτερο γράφημα είναι 3- μερές. Ορισμός..7 Χρωματισμός ενός γραφήματος (colorg) είναι η απόδοση χρωμάτων στις κορυφές του ώστε να μην υπάρχουν γειτονικές κορυφές με το ίδιο χρώμα. Με άλλα λόγια πρέπει κάθε ακμή να έχει διαφορετικό χρώμα στα άκρα της. Ένα γράφημα χωρίς βρόχους λέγεται k-χρωματίσιμο (k-colorable) αν οι κορυφές του μπορούν να χρωματισθούν με k το πολύ χρώματα. Ένα γράφημα λέγεται k-χρωματικό (k-chromatc) αν οι κορυφές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-. Άρα ένα k-χρωματικό γράφημα δεν είναι (k-)- χρωματίσιμο. Το ελάχιστο πλήθος δυνατών χρωμάτων ( G) k, καλείται χρωματικός αριθμός (chromatc umber). Κορυφές ίδιου χρώματος ανήκουν στο ίδιο σύνολο ανεξαρτησίας. Συνεπώς αν το γράφημα είναι k-μερές, ο χρωματικός αριθμός είναι k. Για παράδειγμα στα ακόλουθα γραφήματα αναγράφονται οι χρωματικοί αριθμοί. 3 P a g e

24 Έστω ότι V (G). Παρατηρείται ότι τα πλήρη γραφήματα K έχουν ( K ), διότι κάθε κορυφή είναι γειτονική με κορυφές. Οι κύκλοι έχουν ( ) αν k και ( ) 3αν k. Το γράφημα, με E 0 και 0, έχει ( G ). Τα πλήρη C διμερή γραφήματα έχουν (, ), για m,. Τα τροχοειδή γραφήματα έχουν K m ( ) αν k και ( ) 3αν k.και τέλος ένα δένδρο έχει ( G ) με W W, αφού ένα δέντρο είναι άκυκλο συνεκτικό γράφημα. Κάθε -χρωματικό γράφημα είναι διμερές γιατί οι κορυφές του μπορούν να διαχωριστούν σε υποσύνολα V και V, έτσι ώστε να μην υπάρχει ακμή που να ενώνει κορυφές του ίδιου συνόλου. Κάθε διμερές γράφημα είναι -χρωματικό. Διμερές γράφημα μπορεί να θεωρηθεί όμως και το γράφημα, με E 0 και 0, το οποίο όμως όπως αναφέρθηκε παραπάνω έχει ( G ), επομένως είναι το μόνο διμερές που είναι -χρωματικό. C Ορισμός..8 Επίπεδο γράφημα (plaar graph) είναι ένα γράφημα, το οποίο μπορεί να σχεδιαστεί στο επίπεδο, έτσι ώστε καμία ακμή μα μην τέμνεται με καμία άλλη. Για παράδειγμα από τα παραπάνω γραφήματα είναι όλα επίπεδα εκτός από το K 6. Έχει αποδειχθεί ότι κάθε επίπεδο γράφημα μπορεί να χρωματιστεί με 6 χρώματα, με 5 χρώματα ή με χρώματα. Αν ένα γράφημα G είναι p-χρωματίσιμο (όπου p (G) ), τότε το γράφημα G είναι και r-χρωματίσιμο (όπου p r (G) ). P a g e

25 Ένα γράφημα καλείται κρίσιμο (crtcal) αν ( H) ( G),H G και καλείται k-κρίσιμο (k-crtcal) αν το G είναι κρίσιμο και k-χρωματικό. Αν το G είναι k-κρίσιμο, τότε d ( G) k, όπου d(g) είναι ο μέγιστος βαθμός των κορυφών του G..3. Βασικές έννοιες γραμμικής άλγεβρας Ορισμός.3. Ομάδα (group) είναι ένα σύνολο G με μία εσωτερική διμελή πράξη που ικανοποιεί τις παρακάτω προϋποθέσεις: Η πράξη είναι κλειστή για όλα τα Υπάρχει ένα στοιχείο, Για κάθε g g g a, b G, δηλαδή a bg. e G (ουδέτερο ή ταυτοτικό) τέτοιο ώστε e g g e g, g G g G,υπάρχει ένα στοιχείο g G (αντίστροφο του g ),τέτοιο ώστε g e. Αν επιπροσθέτως ισχύει g, hg, g h h g (αντιμεταθετικός κανόνας), τότε η ομάδα λέγεται αβελιανή ή αντιμεταθετική (αbela group). Ορισμός.3. Τάξη (order) μιας ομάδας G, είναι ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου G. Συμβολίζεται με G ή O (G).Μία ομάδα καλείται πεπερασμένη (fte group) αν η τάξη της είναι πεπερασμένη. Για παράδειγμα το σύνολο των ωριαίων ενδείξεων στο ρολόι είναι μια πεπερασμένη ομάδα με τάξη. Ορισμός.3.3 Μετάθεση (permutato) ενός συνόλου A λέγεται μια συνάρτηση από το A στο A που είναι ταυτόχρονα ένα προς ένα και επί. Με άλλα λόγια, μια μετάθεση του A είναι μια ένα προς ένα απεικόνιση του A επί του A. Παράδειγμα έστω ότι 3 5 A,,3,,5 και έστω η μετάθεση, δηλαδή ( ), ( ),και ούτω κάθ εξής. Έστω τώρα η μετάθεση, τότε η σύνθεση της 3 5 με την είναι. Παρατηρείται ότι είναι σαν να πολλαπλασιάζονται κλάσματα. Απλούστερα, μετάθεση είναι μία ανακατανομή σειράς σε κάποια σύμβολα, έτσι ώστε αυτά τα σύμβολα να είναι σε μία διαφορετική διάταξη. 5 P a g e

26 Ορισμός.3. Συμμετρικές ομάδες S (ymmetry group): To σύνολο των μεταθέσεων με στοιχεία αποτελεί μία ομάδα. Έστω για παράδειγμα ένα σύνολο με τρία στοιχεία. Έστω x η μετάθεση ( a, b, c) ( b, c, a) και y η μετάθεση ( a, b, c) ( c, b, a). Έστω τώρα η πράξη που ορίζεται ως το x ακολουθούμενο από το y. Τότε x y ( a, b, c) ( b, a, c). Το σύνολο των μεταθέσεων έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: Είναι κλειστό ως προς την πράξη. Όλες οι ανακατατάξεις των τριών στοιχείων είναι επίσης ανακατατάξεις τριών στοιχείων. Αποκλείεται να συμβεί ανακατάταξη του τύπου ( a, b, c) ( a, a, b). Προσεταιριστικότητα (Aocatvty). Αποδεικνύεται με έλεγχο των αντιστοιχιών και στα δύο μέλη της σχέσης. Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου ( ( a, b, c) ( a, b, c) ) Ύπαρξη του αντιστρόφου στοιχείου. Μπορεί να αποδειχτεί με τον αντίστροφο έλεγχο. Αν μεταθέσουμε κάτι μπορούμε προφανώς να πάμε προς τα πίσω, για να πάρουμε αυτό το στοιχείο από το οποίο ξεκινήσαμε. Η ομάδα όλων των μεταθέσεων πάνω σε στοιχεία,,3,...,είναι μία σημαντική ομάδα. Ονομάζεται συμμετρική ομάδα, συμβολίζεται στοιχεία. Παρατηρούμε ότι S! S, δηλαδή είναι η ομάδα όλων των δυνατών μεταθέσεων με.. Αλγεβρικές ιδιότητες γραφημάτων. Ορισμός.. Ισόμορφα γραφήματα (omorphc graph): Το ερώτημα αν δύο γραφήματα είναι ισόμορφα, αντιστοιχεί στο εάν είναι δομικά ισοδύναμα. Συνεπώς δύο γραφήματα G V, ) και G V, ), ονομάζονται ισόμορφα αν και μόνο αν υπάρχει ( E ( E αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση f : G G, ένα προς ένα και επί ως προς τις κορυφές τους (και ως προς τις ακμές τους), έτσι ώστε να διατηρείται η δομή τους, δηλαδή να ισχύει: ( x, y) E ( f ( x), f ( y)) E 6 P a g e

27 Αν δύο γραφήματα G V, ) και G V, ) είναι ισόμορφα, τότε αυτό συμβολίζεται με ( E ( E G G. Για παράδειγμα τα ακόλουθα γραφήματα είναι ισόμορφα, γιατί η : V V f ( u f ( u f ( u f ( u f ( u 3 5 ) u ' ) u ) u ) u ' ) u ' ' 3 ' 5 f με έχει την ιδιότητα ( x, y) E ( f ( x), f ( y)) E. Για παράδειγμα ( u, u ) E και ' ' u, u), (, u) E ( E ' ' ' ' u και ( u, u3) E, ( u, u5) E και ( u3, u5) E κ.τ.λ. ' Αντίθετα τα επόμενα δύο γραφήματα δεν είναι ισόμορφα με f : V V, f u ) u, γιατί Η f : V V είναι όντως ένα προς ένα και επί Η f : V V διατηρεί την γειτνίαση. ( Αλλά δεν διατηρεί τη μη γειτνίαση αφού u, ) είναι γειτονικές ενώ οι ( u ', ' ) δεν είναι γειτονικές. ( u u Με άλλα λόγια δύο γραφήματα G V, ) και G V, ) είναι ισόμορφα αν υπάρχει μια συνάρτηση f : V V, η οποία: ( E ( E 7 P a g e

28 Να είναι ένα προς ένα και επί. Να διατηρεί τη γειτνίαση, επομένως κάθε ζεύγος γειτονικών κορυφών του G V, ) να απεικονίζεται σε ζεύγος γειτονικών κορυφών του G V, ). ( E ( E Να διατηρεί την μη γειτνίαση, δηλαδή κάθε ζεύγος μη γειτονικών κορυφών του G V, ) να πηγαίνει σε ζεύγος μη γειτονικών κορυφών του G V, ). ( E ( E Το πλήθος των ακμών μεταξύ κάθε ζεύγους κορυφών ( x, y) V είναι ίδιο με το πλήθος των ακμών μεταξύ των κορυφών ( f ( x), f ( y)) V. Αναγκαίες συνθήκες ώστε τα γραφήματα G, H να είναι ισόμορφα:. VG VH και EG EH.. Αν u VG τότε deg( u) deg( f ( u)). 3. Τα G, H έχουν ίδια ακολουθία βαθμών.. Αν e EG τότε τα άκρα της e και τα άκρα της εικόνας της έχουν ίδιους βαθμούς. 5. Κάθε περίπατος, μονοπάτι και κύκλος του G, πρέπει να έχει εικόνα περίπατο, μονοπάτι και κύκλο ίδιου μήκους αντίστοιχα στο H. Κάθε περίπατος στο G πρέπει να έχει εικόνα περιπάτου στο H. Για να προσδιορίσουμε στον περίπατο την ιδιότητα ίδιου μήκους, θα πρέπει να ορίσουμε ότι το μήκος του περιπάτου είναι το πλήθος των ακμών όπως εμφανίζονται στην ακολουθία του περιπάτου. Στην διαδρομή, στο μονοπάτι και στον κύκλο δεν χρειάζεται, γιατί το μήκος τους είναι το πλήθος των ακμών τους. l, το πλήθος των διαδρομών, μονοπατιών, κύκλων μήκους l είναι ίδιο και στα δύο γραφήματα. 6. Τα G, H έχουν ίση διάμετρο. ( dam( G) dam( H) ) 7. Τα G, H έχουν ίση ακτίνα. ( rad( G) rad( H) ) 8. Τα G, H έχουν ίση περιφέρεια. ( grth( G) grth( H) ) 9. Έχουν τον ίδιο αριθμό ανεξαρτησίας. 0. Έχουν ίδια τάξη μέγιστου συνόλου ανεξαρτησίας. Ο ισομορφισμός είναι μια σχέση ισοδυναμίας, δηλαδή αυτοπαθής, συμμετρική και μεταβατική. Άρα δημιουργούνται κλάσεις ισοδυναμίας. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα ισόμορφων ή μη γραφημάτων. 8 P a g e

29 Άρα τα παραπάνω γραφήματα δεν είναι ισόμορφα αφού έχουν διαφορετική ακτίνα και διαφορετικό βαθμό ανεξαρτησίας, ενώ τα ακόλουθα γραφήματα δεν είναι ισόμορφα, γιατί έχουν διαφορετική ακτίνα και περιφέρεια. 9 P a g e

30 Ορισμός.. Τροχιά (orbt) ενός γραφήματος G ( V, E), είναι ένα υποσύνολο κορυφών του, οι οποίες ανά ζεύγη αποτελούν πρότυπο εικόνα μέσω ενός αυτομορφισμού. Για παράδειγμα στο ακόλουθο γράφημα οι τροχιές του γραφήματος είναι οι { 3,5},{7,},{,8},{,6}. Με άλλα λόγια πρέπει να βρεθούν τα πιθανά ζεύγη, με τα οποία θα γίνει η αντιστοίχιση. Παρατηρούμε ότι στην ίδια τροχιά θα έχουμε κορυφές που έχουν τους ίδιους βαθμούς και με γειτονικές κορυφές ίδιων βαθμών. 30 P a g e

31 Κεφάλαιο Sudoku και Λατινικά Τετράγωνα Στην ακόλουθη ενότητα παρουσιάζονται αναλυτικά οι ορισμοί των λατινικών τετραγώνων και των Sudoku puzzle. Τα λατινικά τετράγωνα αναφέρονται στην παρούσα εργασία, γιατί είναι το βασικό μαθηματικό υπόβαθρο από το οποίο προέκυψαν τα Sudoku puzzle με την έννοια ότι ο Euler τοποθέτησε τον προβληματισμό της μοναδικότητας γραμμής και στήλης εντός συγκεκριμένου πλαισίου και κυρίως γιατί απασχόλησαν εκτενέστατα την μαθηματική επιστήμη με τις αποδεικτικές έρευνες για αυτά και τις δυνατότητες τους. Η δημιουργία των λατινικών τετραγώνων και κατ επέκταση και των Sudoku puzzle έχουν τις ρίζες τους στους μεσαιωνικούς χρόνους. Ο L.Euler ( ) ήταν ο πρώτος μαθηματικός που τα μελέτησε συστηματικά. Εισήγαγε έναν ιδιαίτερο τύπο λατινικού τετραγώνου (Ελληνο - Λατινικό Τετράγωνο) ως ένα νέο είδος "μαγικού τετραγώνου". Όπως στο Sudoku, στις σειρές και στις στήλες ενός λατινικού τετραγώνου δεν είναι απαραίτητο να τοποθετηθούν αριθμοί. Οποιοδήποτε σύνολο διαφορετικών συμβόλων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται ένα λατινικό τετράγωνο βασισμένο στη λέξη "ΚΟΡΗ". Τα λατινικά τετράγωνα τάξης αποτελούνται από κύρια υποτετράγωνα τάξης όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Ο πρόσθετος περιορισμός σε έναν γρίφο Sudoku είναι τα κύρια υποτετράγωνα να περιέχουν επίσης κάθε ένα από τα τέσσερα ψηφία μειώνοντας τον πλήθος των πιθανών λατινικών τετραγώνων. Η συνηθισμένη μορφή των Sudoku που υπάρχει στα περιοδικά είναι τάξης 99 με αποτέλεσμα οι διαφορετικές λύσεις του puzzle τέτοιας διάστασης να ανέρχονται στις P a g e

32 ύο Λατινικά Τετράγωνα τάξης ονοµάζονται ορθογώνια (orthogoal Lat quare), εάν η υπέρθεσή τους αποτελείται από διαφορετικά ζεύγη συµβόλων ή εάν η υπέρθεσή τους περιλαμβάνει όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των συμβόλων των δύο Λατινικών Τετραγώνων. Ένα ζευγάρι ορθογώνιων Λατινικών Τετραγώνων ονομάζεται Ελληνο-Λατινικό Τετράγωνο. Δηλαδή δύο λατινικά τετράγωνα A a ] και B b ] τάξης είναι ορθογώνια, αν {( a, b ) / 0, j } {(, j) /, j,..., }. Το τετράγωνο που δημιουργείται από j j τη συγχώνευση δύο ορθογώνιων λατινικών τετραγώνων ονομάζεται Ελληνο-Λατινικό Τετράγωνο ή τετράγωνο του Euler. Για παράδειγμα στο ακόλουθο σχήμα τα τετράγωνα A και B είναι Ελληνo- Λατινικά Τετράγωνα τάξης 3. [ j [ j Ο L.Euler, ξεκίνησε την μελέτη με ένα απλό μαθηματικό πρόβλημα γνωστό και ως το πρόβλημα των 36 Αξιωματικών και ειδικότερα έθεσε τα εξής: 3 P a g e

33 Τριάντα έξι αξιωματικοί επιλεγμένοι από έξι διαφορετικούς ιεραρχικούς βαθμούς και έξι διαφορετικά τάγματα στρατού (έναν από κάθε ιεραρχικό βαθμό και από κάθε τάγμα) πρέπει να τοποθετηθούν σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε σε κάθε οριζόντια και κάθετη γραμμή να υπάρχουν έξι αξιωματικοί από κάθε βαθμό και κάθε τάγμα. Καταγράφοντας μονάχα τους βαθμούς των αξιωματικών, το τετράγωνο που προκύπτει είναι ένα Λατινικό Τετράγωνο. Καταγράφοντας μόνο τα τάγματα, είναι και πάλι ένα Λατινικό Τετράγωνο. Αλλά τα δύο Λατινικά Τετράγωνα όταν υπερτεθούν, τα ζευγάρια δεν είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, άρα δεν είναι ορθογώνια. Έτσι ο Euler κατάφερε να κατασκευάσει ζεύγη ορθογώνιων Λατινικών Τετραγώνων για κάθε τάξη περιττού αριθμού και για κάθε τάξη που διαιρείται με το τέσσερα, αλλά δεν κατάφερε να κατασκευάσει κανένα ζεύγος ορθογώνιων Λατινικών Τετραγώνων τάξης k, k 0 όπου k ακέραιος. Προέβλεψε λοιπόν, πως δεν υπάρχουν Ορθογώνια Λατινικά Τετράγωνα τέτοιας τάξης. Η εικασία του για Λατινικά Τετράγωνα έκτης τάξης επαληθεύτηκε τον εικοστό αιώνα και συγκεκριμένα το 900 ο G.Tarry απέδειξε πως η εικασία αυτή είναι σωστή, μέσω εξαντλητικής απαρίθμησης των περιπτώσεων. Μεταγενέστερα, παρουσιάστηκαν λιγότερο μακροσκελείς αποδείξεις. Πολύ αργότερα, το 960 οι R.C.Boe S.S.Shrkhade και E.T.Parker [3] απέδειξαν ότι η εικασία του Euler ήταν λανθασμένη για όλες τις τάξεις της μορφής k εκτός εάν ή 6 παρέχοντας μια κατασκευαστική μέθοδο ζεύγους Ορθογώνιων Λατινικών Τετραγώνων για όλες αυτές τις τάξεις. Η απόδειξή τους ήταν μακροσκελής και εμπεριείχε έννοιες από την θεωρία του πειραματικού σχεδιασμού (expermetal deg). Εντούτοις, υποκίνησε αδιαμφισβήτητα την περαιτέρω έρευνα στη δομή και τις ιδιότητες των Λατινικών Τετραγώνων. Άλλο ένα κίνητρο ήταν το αυξανόμενο ενδιαφέρον στη θεωρία του πεπερασμένου προβολικού επιπέδου (fte projectve plae). Το πολύ γνωστό στον κόσμο, τελευταία, Sudoku, είναι ένα ειδικό Λατινικό Τετράγωνο. Ορισμός. Ένα Λατινικό τετράγωνο (Lat quare) είναι μια μήτρα, της οποίας τα στοιχεία της είναι διαφορετικά σύμβολα, έτσι ώστε κάθε σύμβολο να εμφανίζεται ακριβώς μια φορά σε κάθε γραμμή και ακριβώς μια φορά σε κάθε στήλη, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Αυτά τα Λατινικά τετράγωνα επειδή πάντα είναι τετραγωνικές μήτρες καλούνται τάξης. 33 P a g e

34 Ειδικότερα, ένα λατινικό τετράγωνο θεωρείται κανονικοποιημένο, αν τα στοιχεία της πρώτης σειράς και της πρώτης στήλης είναι σε φυσική σειρά. Κάθε λατινικό τετράγωνο μπορεί να κανονικοποιηθεί κάνοντας αλλαγή γραμμών και στηλών. Επιπλέον, τέλειο Λατινικό τετράγωνο είναι ένα Λατινικό τετράγωνο τάξης, όπου κάθε a για,,...,, εμφανίζεται μια φορά σε κάθε κύριο υποτετράγωνο. Σύμφωνα με αυτά που προαναφέρθηκαν για τις ιδιότητες του Sudoku, εύκολα παρατηρείται ότι ένα puzzle Sudoku είναι ένα τέλειο Λατινικό τετράγωνο. Η αναπαράσταση Λατινικών τετραγώνων υλοποιείται με τον ακόλουθο τρόπο: αν κάθε στοιχείο ενός Λατινικού τετραγώνου τάξης γραφτεί ως μια τριάδα ( r, c, ), όπου r είναι η γραμμή c είναι η στήλη και είναι το σύμβολο, δημιουργείται ένα σύνολο τριάδων, οι οποίες ονομάζονται ορθογώνια αναπαράσταση μήτρας. Για παράδειγμα η ορθογώνια αναπαράσταση της ακόλουθης μήτρας είναι :,,,,,,,3,3,,,,,,3,,3,, 3,,3, 3,,, 3,3, 3 P a g e

35 Ορισμός.: Η παραδοσιακή μορφή ενός Sudoku puzzle είναι μια τετραγωνική μήτρα 9 9, συνολικά δηλαδή μια μήτρα 8 θέσεων. Η μήτρα διαχωρίζεται σε 9 υπο-περιοχές (υπο-block) μεγέθους 3 3. Τα κελιά πριν την επίλυση του puzzle είτε περιέχουν S,,3,,5,6,7,8,9, είτε είναι κενά. Η λύση του Sudoku κάποιον αριθμό από το σύνολο puzzle είναι η συμπλήρωση όλων των κενών κελιών της μήτρας από το σύνολο S, έτσι ώστε να πληρούνται οι ακόλουθοι περιορισμοί: Κάθε γραμμή της μήτρας 99 πρέπει να περιέχει κάθε ψηφίο μόνο μια φορά Κάθε στήλη της μήτρας 9 9 πρέπει να περιέχει κάθε ψηφίο μόνο μια φορά Κάθε μια από τις 9 υπο-περιοχές 3 3 της μήτρας πρέπει να περιέχει κάθε ψηφίο μόνο μια φορά. Οι παραπάνω περιορισμοί/κανόνες, μπορούν να διατυπωθούν και με διαφορετικό τρόπο, δηλαδή κάθε γραμμή, στήλη και υπο-περιοχή της μήτρας 9 9 πρέπει να περιέχει όλα τα στοιχεία του συνόλου,,3,,5,6,7,8,9. Η γενικευμένη μορφή ενός Sudoku puzzle είναι μια τετραγωνική μήτρα. Ο διαχωρισμός της μήτρας είναι σε υπο-περιοχές, οι οποίες η κάθε μια έχει μέγεθος. Οι αριθμοί που περιέχονται στα κελιά ανήκουν στο σύνολο,,...,, έτσι ώστε να διατηρούνται οι περιορισμοί που προαναφέρθηκαν. Μερικά Sudoku puzzle φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα. 35 P a g e

36 Ένα καλώς ορισμένο Sudoku puzzle πρέπει να έχει μοναδική λύση, δηλαδή όλες οι τοποθετήσεις αριθμών στα κενά κελιά πρέπει να είναι αναγκαίες. Επίσης, πρέπει όλα τα στάδια επίλυσης του να στηρίζονται σε λογικές συνεπαγωγές και όχι εικασίες, δηλαδή σε κάθε στάδιο πρέπει να υπάρχει κενό κελί το οποίο δέχεται μόνο μια τιμή ως είσοδο. Τα Sudoku puzzle συχνά διαχωρίζονται σε επίπεδα δυσκολίας, ανάλογα με το πλήθος των αριθμών που έχει δοθεί. Το μικρότερο πλήθος αριθμών που μπορεί να δοθεί για Sudoku τάξης 9 9 είναι 7. Οι Takagouk Gato και Takahro Seta, του πανεπιστημίου του Τόκιο [30] έχουν αποδείξει ότι τα Sudoku puzzle που έχουν τις παραπάνω ιδιότητες είναι p-complete. 36 P a g e

37 Κεφάλαιο 3 Απαρίθμηση Λατινικών Τετραγώνων και Sudoku Στο κεφάλαιο αυτό αναλύεται η μέθοδος απαρίθμησης Λατινικών τετραγώνων, κλάσεων ισοδυναμίας λατινικών τετραγώνων και κατ επέκταση απαρίθμησης διαφόρων μορφών Sudoku puzzle και κλάσεων ισοδυναμίας και συμμετρίας αυτών. 3. Κλάσεις ισοδυναμίας Λατινικών τετραγώνων Μετασχηματισμοί πάνω σε ένα Λατινικό τετράγωνο παράγουν ένα άλλο λατινικό τετράγωνο. Εάν αντιμετατεθούν οι γραμμές με τις στήλες ενός Λατινικού τετραγώνου, τότε παράγεται ένα καινούργιο λατινικό τετράγωνο, το οποίο λέμε ότι είναι ισόμορφο με το αρχικό. Το ερώτημα είναι πόσα λατινικά τετράγωνα μπορεί να περιέχει μια κλάση ισοδυναμίας. Το πλήθος των Λατινικών τετραγώνων τάξης είναι! ( )! l(, ), όπου l(, ) είναι το πλήθος των κανονικοποιημένων Λατινικών τετραγώνων. Ο αριθμός αυτός προκύπτει αφού η πρώτη γραμμή αποτελείται από θέσεις. Άρα υπάρχουν! τρόποι να μετατεθούν τα στοιχεία της πρώτης γραμμής. Για τις υπόλοιπες γραμμές, υπάρχουν ( )! τρόποι αντιμετάθεσης των γραμμών μεταξύ τους. Άρα υπάρχουν για κάθε κανονικοποιημένο Λατινικό τετράγωνο!( )! Λατινικά τετράγωνα. Συνεπώς συνολικά υπάρχουν! ( )! l(, ). Συμβολίζεται αυτός ο αριθμός με L(, )!( )! l(, ). Στον ακόλουθο πίνακα περιέχονται τα πλήθη των λατινικών και κανονικοποιημένων λατινικών τετραγώνων για, μέχρι. 37 P a g e

38 Ακολουθεί ένα παράδειγμα για την κλάση των λατινικών τετραγώνων τάξης 3 με ένα μόνο κανονικοποιημένο Λατινικό τετράγωνο, το οποίο είναι το πρώτο του παρακάτω σχήματος. O Bertram Felgehauer και ο Frazer Jarv ([5] και [7]) απέδειξαν ότι υπάρχουν διαφορετικά Sudoku τάξης 9. Στην πραγματικότητα αυτός ο αριθμός που ισούται με 9! δεν αντιπροσωπεύει την πολυπλοκότητα των Sudoku, γιατί δεν κάνει χρήση των συμμετριών του προβλήματος. Ο Frazer Jarv και ο Ed Ruel ([9]) απέδειξαν ότι οι μη ισομορφικές λύσεις είναι P a g e

39 3. Απαρίθμηση juor Sudoku puzzle. Αντί για της κλασική μορφή του Sudoku puzzle τάξης 9 9 για αρχή θα αναλυθεί η απαρίθμηση Sudoku τάξης. Μπορεί να μετρηθούν όλες οι διαφορετικές λύσεις του κρατώντας το πρώτο υπο-block σταθερό. Στη συνέχεια οποιαδήποτε άλλη λύση ενός Sudoku, μπορεί να βρεθεί κάνοντας μετονομασίες των στοιχείων. Συνεπώς υπάρχουν 3! δυνατοί τρόπους αλλαγής ονομάτων και διαφορετικές λύσεις για Sudoku puzzle με σταθερό το πρώτο υπο-block. Άρα συνολικά υπάρχουν! 88 Sudoku puzzle τάξης. Τελικά όμως μόνο διαφορετικές λύσεις υπάρχουν, έτσι ώστε η μία να μην μπορεί να μετασχηματιστεί στην άλλη με τη βοήθεια επιτρεπτών μετασχηματισμών. Για να υπολογιστεί το πλήθος των Sudoku puzzle τάξης, θα αναφέρονται τα υποblock με ονόματα Β-Β, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα: Υπάρχουν οι ακόλουθοι έξι χειρισμοί, όπου από μια λύση ενός Sudoku puzzle μεταβαίνουμε σε άλλη: Ανταλλαγή ονομάτων των στοιχείων. 39 P a g e

40 Ανταλλαγή των γραμμών και, ή των γραμμών 3 και. Ανταλλαγή των στηλών και, ή των στηλών 3 και. Ανταλλαγή των υπο-block και με τα υπο- block 3 και, ή των υπο-block και 3 με τα υπο-block και. 0 P a g e

41 Περιστροφή 90 με τη φορά του ρολογιού. Ανάκλαση με βάση τη δευτερεύουσα διαγώνιο. Έστω ότι το σύνολο X περιέχει όλες τις λύσεις των Sudoku τάξης, ενώ το σύνολο X είναι το σύνολο των λύσεων που παράγονται από μια συγκεκριμένη λύση του Sudoku puzzle τάξης με τη βοήθεια των παραπάνω έξι μετασχηματισμών και είναι υποσύνολο του συνόλου X. Η ομάδα G είναι το σύνολο των λύσεων που παράγονται με τη βοήθεια των παραπάνω μετασχηματισμών και την μετονομασία των στοιχείων (ανάλογα ορίζεται το υποσύνολο G ). Δύο λύσεις Sudoku θεωρούνται ίδιες, P a g e

42 αν ανήκουν στο ίδιο σύνολο G. Το να απαριθμηθούν οι διαφορετικές λύσεις Sudoku τάξης, είναι ισοδύναμο με το να βρεθούν οι τροχιές του συνόλου X υπό την G. Έστω το σύνολο X x, x,..., x, το οποίο περιέχει όλες τις λύσεις που είναι επιτρεπτοί μετασχηματισμοί της λύσης x, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Αφού το K πρέπει να δημιουργήσει κάθε λύση με το πρώτο υπο-block σταθερό, K e, c, r, cr, όπου r αλλαγή γραμμών 3 και και c αλλαγή τότε έχει τη μορφή στηλών 3 και. Το K είναι η διαδικασία η οποία χωρίζει το σύνολο x, x,..., x σε 3 τροχιές x, x, x x, x, x, x x και x, x, x x 9, 3 0, 5 6 7, 8 X,. Αφού η G περιέχει όλες τις δυνατές μεταθέσεις (μετονομασίες), κάθε G τροχιά του X πρέπει να τέμνει το X fx x, x,..., x. Αυτή η παρατήρηση και σε συνδυασμό ότι το K είναι υποσύνολο του G, οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο αριθμός των G τροχιών του X φράσσεται από τον αριθμό των K τροχιών του X. Συνεπώς υπάρχουν το πολύ 3 τροχιές στο X υπό την G. fx P a g e

43 Οι πιθανές τροχιές στο X υπό την G είναι οι G x, G x και G x5, αλλά με μεταθέσεις αποδείχτηκε ότι το x μετασχηματίζεται στο x 7, όπως φαίνεται ακολούθως, όμως x7 G x5, συνεπώς G x G x5. Για να ερευνηθεί αν οι άλλες δύο τροχιές είναι διαφορετικές μεταξύ τους, θα οριστεί μια ιδιότητα P. Λέγεται ότι ένα puzzle Sudoku τάξης x έχει την ιδιότητα P, εάν κάθε γραμμή των υπο-block,3 και, είναι μια μετάθεση μιας γραμμής του πρώτου υπο-block και κάθε στήλη των υπο-block, 3 και είναι μια μετάθεση μιας στήλης του πρώτου υπο-block. Μπορεί να παρατηρηθεί ότι αν το x X έχει την ιδιότητα P, τότε και οποιοδήποτε παράγωγο του x μέσω της G έχει και αυτό την ιδιότητα P. Σύμφωνα με τα παραπάνω αρκεί να αποδειχθεί, ότι μόνο ένα από τα x και x έχουν την ιδιότητα P. 3 P a g e

44 Όπως φαίνεται και στο παραπάνω σχήμα το x έχει την ιδιότητα P ενώ το x δεν την έχει. Συνεπώς τα x και x δεν μπορούν να ανήκουν στην ίδια τροχιά. Συμπέρασμα, υπάρχουν ακριβώς τροχιές στο X υπό την G και επομένως ακριβώς δύο διαφορετικές λύσεις Sudoku τάξης. 3.3 Απαρίθμηση Sudoku puzzle τάξης 9x9. Θα δειχθεί πόσα (συμπληρωμένα!) 9 9 Sudoku puzzle υπάρχουν, δηλαδή με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί κανείς να γεμίζει μια κενή 9 9 Sudoku μήτρα, έτσι ώστε να διατηρούνται οι κανόνες. Κάθε κελί πρέπει να περιέχει έναν ακριβώς αριθμό από το μέχρι το 9. Δηλαδή να έχει εννιά διαφορετικές δυνατότητες. Σε μερικές περιπτώσεις θα υπάρχουν λιγότερες επιλογές δεδομένου, καθώς θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι κανόνες του παιχνιδιού. Προς το παρόν αγνοούνται οι περιορισμοί και θεωρείται μόνο, ότι κάθε κελί έχει 9 διαφορετικές επιλογές το πολύ, υπάρχουν 8 κελιά, άρα συνολικά υπάρχουν το πολύ 8 9 διαφορετικές 9 9 μήτρες. Αν ληφθεί υπόψη, ότι κάθε γραμμή της μήτρας πρέπει να περιέχει κάθε στοιχείο ακριβώς μια φορά τότε έχουμε μήτρες τάξης 9 9. ( ) (9!) διαφορετικές Ομοίως αν ληφθεί υπόψη, ότι κάθε στήλη της μήτρας πρέπει να περιέχει κάθε στοιχείο ακριβώς μια φορά τότε υπάρχουν διαφορετικές μήτρες τάξης ( ) (9!) P a g e

45 Τέλος αν θεωρηθεί ότι κάθε block της μήτρας πρέπει να περιέχει κάθε στοιχείο ακριβώς μια φορά τότε υπάρχουν μήτρες τάξης 9 9. ( ) (9!) διαφορετικές Τελικά από τους παραπάνω 3 πίνακες μπορεί να βρεθεί πόσες διαφορετικές επιλογές έχει κάθε κελί συμπληρώνοντας ένα κενό Sudoku puzzle από πάνω αριστερά, ανά γραμμή. Είναι προφανές ότι κάθε θέση θα πάρει το μικρότερο δυνατό πλήθος επιλογών που σίγουρα έχει. Συνεπώς δημιουργείται ο ακόλουθος πίνακας: 3 Αν γίνουν οι υπολογισμοί τελικά υπάρχουν.5 0. Βέβαια ο αριθμός αυτός εξακολουθεί να είναι ένα άνω όριο του πλήθος των Sudoku puzzle τάξης P a g e

46 Όπως προαναφέρθηκε μια Sudoku μήτρα είναι μια ειδική περίπτωση λατινικού τετραγώνου, αφού ένα λατινικό τετράγωνο τάξης είναι μια τετραγωνική μήτρα, με τον περιορισμό ότι κάθε γραμμή και στήλη θα περιέχει όλα τα στοιχεία του συνόλου S,,...,. Για να υπολογιστεί το πλήθος των Sudoku puzzle τάξης 9 9, θα αναφέρονται τα υπο-block με ονόματα Β-Β9, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Ο όρος υπο-block αναφέρεται σε κάποια από τις υπο-μήτρες 3 3 της αρχικής μήτρας 9 9. Μια στοίβα θεωρείται ότι είναι κάποια υπο-μήτρα τάξης 9 3, η οποία αποτελείται από 3 κάθετα υπο-block. Μια ζώνη θεωρείται ότι είναι κάποια υπο-μήτρα τάξης 9 3, η οποία αποτελείται από 3 οριζόντια υπο-block. Όπως και στα juor Sudoku μπορεί και εδώ να απλοποιηθεί το πρόβλημα κάνοντας καταμέτρηση του πλήθους των λύσεων ενός Sudoku puzzle κρατώντας σταθερό το Β και στη συνέχεια μπορεί να υπολογιστούν οι υπόλοιπες με την βοήθεια μεταθέσεων (μετονομασίες των ψηφίων πάνω σε έγκυρα Sudoku puzzle με σταθερό Β). Η διαδικασία της μετάθεσης δίνει για κάθε ένα συμπληρωμένο Sudoku με σταθερό Β, 9! νέες ορθές λύσεις. Θα καλείται μια μήτρα Sudoku κανονικοποιημένης μορφής αν το Β είναι ίσο με: 6 P a g e

47 N 0 Αρκεί λοιπόν να υπολογιστεί ο αριθμός N, όπου το N 0 είναι όλες οι 9! λύσεις του Sudoku τάξης 9 9 και N είναι το πλήθος των λύσεων Sudoku σε κανονικοποιημένη μορφή. Το πρώτο βήμα είναι να υπολογιστεί το πλήθος των διαφορετικών Β και Β3 που μπορεί να συμπληρωθούν, έτσι ώστε να τηρούνται οι κανόνες του παιχνιδιού. Τα παρακάτω ζεύγη τριάδων είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί συμπλήρωσης της πρώτης γραμμής των Β και Β3 αντίστοιχα. Παρατηρείται ότι όλες οι τριάδες είναι η δεύτερη ή η τρίτη γραμμή του Β, ή τα στοιχεία της δεύτερης ή της τρίτης γραμμής άλλα με διαφορετική σειρά. Έστω το πρώτο ζευγάρι τριάδων του παραπάνω πίνακα, τα υπόλοιπα στοιχεία των Β και Β3 μπορούν να συμπληρωθούν όπως φαίνεται ακολούθως: Κάθε τριάδα των Β και Β3 δίνει 3! 6 διαφορετικούς τρόπους αναγραφής στοιχείων με διαφορετική σειρά. Αφού υπάρχουν έξι τριάδες τότε υπάρχουν συνολικά 7 P a g e

48 6 ( 3!) διαφορετικά κανονικοποιημένα Sudoku με συμπληρωμένα τα Β, Β και Β3 για το πρώτο ζεύγος τριάδων του πίνακα. Το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα δίνει και το ζεύγος τριάδων του πίνακα { 7,8,9} {,5,6 }. Τα υπόλοιπα 8 ζεύγη έχουν διαφορετικά αποτελέσματα. Έστω για παράδειγμα το ζεύγος {,5,7} {6,8,9 }, (όπου για τα υπόλοιπα 7 έχουμε τα αντίστοιχα αποτελέσματα) η συμπλήρωση των υπόλοιπων στοιχείων των Β και Β3 έχει την παρακάτω μορφή, όπου τα a b και c μπορούν να πάρουν τις τιμές, ή 3: Άρα υπάρχουν για αυτή την περίπτωση αυτό το ζευγάρι τριάδων. 6 3 (3!) διαφορετικά αποτελέσματα για 6 6 Τελικά υπάρχουν (3!) 83(3!) διαφορετικά κανονικοποιημένα Sudoku με συμπληρωμένα τα Β και Β3, και αν ληφθούν υπόψη και οι μετονομασίες υπάρχουν 9! Sudoku με συμπληρωμένα τα Β, Β και Β3. Το επόμενο βήμα δυστυχώς με αυτόν τον τρόπο αντιμετώπισης δυστυχώς είναι να υπολογιστεί για κάθε μια από αυτές τις διαφορετικές περιπτώσεις, πόσοι διαφορετικοί τρόποι συμπλήρωσης υπάρχουν για τα υπόλοιπα block. Θα βρεθούν οι περιπτώσεις που έχουν ακριβώς το ίδιο πλήθος περιπτώσεων, όπως και στο πρώτο βήμα με το μετασχηματισμό των στοιχείων. Για παράδειγμα αν αντικατασταθεί το Β με το Β3, τότε τα αντίστοιχα πλήρη Sudoku είναι η ανταλλαγή του Β5 με Β6 και Β8 με Β9. Πρώτα θα μελετηθούν οι διαφορετικές περιπτώσεις και θα καταταχθούν ως εξής: Αντιμετατίθενται οι στήλες του Β και Β3, έτσι ώστε τα πάνω στοιχεία να είναι σε αύξουσα σειρά. Μετά αντιμετατίθεται το Β με το Β3 στην περίπτωση που το πάνω δεξιά στοιχείο του Β είναι μικρότερο από το αντίστοιχο του Β3. Στο πρώτο βήμα υπάρχουν 6 περιπτώσεις ανταλλαγής στηλών από το Β και άλλες 6 από το Β3, άρα συνολικά 6 36 περιπτώσεις, όσες και οι περιπτώσεις συμπλήρωσης του πλήρες Sudoku. Στη συνέχεια το δεύτερο βήμα, διπλασιάζει αυτό το πλήθος σε 36 7 περιπτώσεις. Έτσι, με αυτή την παρατήρηση από P a g e

49 περιπτώσεις υπάρχουν περιπτώσεις προς μελέτη. Το πλήθος αυτό μπορεί να μειωθεί ακόμα περισσότερο, αν παρατηρηθεί ότι υπάρχουν 6 περιπτώσεις ανταλλαγής των Β, Β και Β3 και 6 διαφορετικοί τρόποι ανταλλαγής στηλών για κάθε block, δηλαδή περιπτώσεις συνολικά. Με αυτό τον τρόπο μερικές περιπτώσεις δεν θα είναι σε κανονικοποιημένη μορφή, αλλά με τη βοήθεια της μετονομασίας των στοιχείων μπορούν να μετατραπούν σε κανονικοποιημένη μορφή, πάρα πολύ εύκολα και να υπολογιστεί το πλήθος των περιπτώσεων σε αυτή την ισοδύναμη μορφή. Κάθε μια από τις. 96 περιπτώσεις δίνει ένα καινούργιο ζεύγος Β- Β. Τελικά από περιπτώσεις πρέπει να εξεταστούν ουσιαστικά μόνο 6 περιπτώσεις για τα block Β και Β3. Ακολουθεί ένα παράδειγμα για την αντιμετώπιση κάθε περίπτωσης με τον τρόπο που προαναφέρθηκε. Η καταμέτρηση των puzzle Sudoku μπορεί να γίνει ακόμα πιο εύκολη αν μειωθεί ακόμα περισσότερο η λίστα των περιπτώσεων, το οποίο μπορεί να γίνει εφικτό με τον ακόλουθο τρόπο. Για τα block Β, Β και Β3 παρατηρείται, από το ακόλουθο παράδειγμα, ότι η αντιστροφή των θέσεων του 8 και του 9 στα block Β και Β3 θα έχει ακριβώς τους ίδιους τρόπους συμπλήρωσης των υπόλοιπων block με το αρχικό. 9 P a g e

50 Το ίδιο ισχύει και για τα ζεύγη (,) στις στήλες και 7, (,) στις στήλες και, ( 5,8) στις στήλες και 9 και τέλος για το ( 6,9) στις στήλες 3 και 6. Με αυτή την παρατήρηση από τις 6 περιπτώσεις πρέπει να εξεταστούν πλέον μόνο 7. Τέλος, μπορούν να μειωθούν περισσότερο οι περιπτώσεις αν βρεθούν τα υποblock των B,B και Β3, στα οποία αν αλλαχθεί η θέση των στοιχείων, τότε προκύπτει μια νέα περίπτωση, η οποία έχει το ίδιο πλήθος λύσεων με την αρχική, όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα: Έτσι, από τις 7 περιπτώσεις, πρέπει πλέον να εξεταστούν μόνο. Το μόνο που πρέπει να γίνει είναι να βρεθεί το πλήθος των λύσεων για κάθε μια από τις αυτές περιπτώσεις, και πόσες ισοδύναμες περιπτώσεις αντιστοιχούν σε κάθε μια από αυτές. Σε αυτό το σημείο λοιπόν η λίστα έχει περιπτώσεις για τις πρώτες τρεις γραμμές του Sudoku. Είναι προφανές ότι οποιοσδήποτε τρόπος συμπλήρωσης των πρώτων τριών γραμμών έχει το ίδιο πλήθος ολοκληρωμένων Sudoku με μια από τις περιπτώσεις. Για παράδειγμα μπορεί να υπολογιστεί ότι οι από τις περιπτώσεις είναι σε κανονικοποιημένη μορφή και έχουν το ίδιο πλήθος λύσεων με το ακόλουθο σχήμα: 50 P a g e

51 Η παραπάνω περίπτωση έχει διαφορετικά πλήρη Sudoku. Το ίδιο γίνεται ακριβώς για τις υπόλοιπες 3 περιπτώσεις. Τέλος, για να υπολογιστεί το τελικό σύνολο ο αριθμός αυτός πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό 9! , για να συμπεριληφθεί η πράξη της μετονομασίας των στοιχείων. Τελικά με τη βοήθεια της μεθόδου που αναλύθηκε παραπάνω υπάρχουν τελικά N έγκυρα Sudoku. 0 0 Ακολουθεί μια διαφορετική προσεγγιστική καταμέτρηση, η οποία είναι αρκετά κοντά στο πραγματικό πλήθος των Sudoku. Είναι προφανές ότι υπάρχουν 9 N (9!) τρόποι να συμπληρωθούν τα block Β- Β9 με ψηφία από το 9. Είναι γνωστό επίσης, ότι για να συμπληρωθούν τα block Β-Β3 έτσι ώστε κάθε block και κάθε μια από τις τρείς γραμμές να έχει τα στοιχεία 9 υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι. Το ίδιο ισχύει και για τα block B-B6 και B7-B9. Έτσι το πλήθος των περιπτώσεων, ώστε κάθε ένα από τα block και κάθε μια από τις 9 γραμμές να περιέχουν όλα τα στοιχεία από το 9, είναι Κατά συνέπεια, όλες οι δυνατές περιπτώσεις έτσι ώστε να πληρείται ο περιορισμός των γραμμών είναι : k (9!) 3 Με την ίδια λογική, για να πληρείται και ο περιορισμός των στηλών, πρέπει να θεωρηθεί ότι είναι ανεξάρτητος από τον περιορισμό των γραμμών, οπότε το σύνολο είναι: Nk (9!) 6 6,6570 Βέβαια, αυτή η απάντηση δεν είναι σωστή, αφού δεν είναι καν ακέραιο το αποτέλεσμα, αλλά είναι μια πολύ καλή πρόβλεψη του πραγματικού αποτελέσματος με λάθος μόνο 0.%. 5 P a g e

52 3. Απαρίθμηση των -Qua-μαγικών Sudoku. Ένα Sudoku είναι ένα 9 9 λατινικό τετράγωνο, διαιρεμένο σε εννιά μη επικαλυπτόμενα 3 3 υπο-block, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, έτσι ώστε κάθε γραμμή, στήλη και υπο-block να περιέχει τιμές του συνόλου S {,,...,9}. Ο πίνακας 9 9 θα υποδιαιρεθεί σε τρείς ζώνες, όπου κάθε μια θα αποτελείται από τρία οριζόντια υπο-block και τρείς στοίβες, όπου κάθε στοίβα θα αποτελείται από τρία κάθετα υποblock. Κάθε 33υπο-block έχει τρείς υπο-γραμμές, οι οποίες θα καλούνται άξονες (ter) και τρείς υπο-στήλες, οι οποίες θα καλούνται πυλώνες (pllar), όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. 5 P a g e

53 Δ-Qua-μαγικό Sudoku είναι ένα Sudoku puzzle με έναν επιπλέον περιορισμό. Ο Δ είναι ένας φυσικός αριθμός, ο οποίος απαιτεί σε κάθε υπο-block το άθροισμα των τριάδων που είναι άξονες, πυλώνες ή διαγώνιοι να είναι ένας ακέραιος, ο οποίος να ανήκει μέσα στο διάστημα [ 5,5 ]. Αυτός ο περιορισμός καλείται περιορισμός αθροίσματος. Έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει Δ-Qua-μαγικό Sudoku όπου το Δ να είναι 0 ή. Στο παραπάνω σχήμα ο 9x 9 πίνακας είναι ένα -Qua-μαγικό Sudoku, αφού τα αθροίσματα των αξόνων και των πυλώνων κυμαίνονται στο διάστημα [ 5,5 ] [3,7]. Σε αυτή την ενότητα θα αναλυθεί η καταμέτρηση των -Qua-μαγικού Sudoku. Η μέθοδος απαρίθμησης των -Qua-μαγικού Sudoku μπορεί να γενικευτεί για 3,,...,9. Έστω, Q ένα -Qua-μαγικό Sudoku και έστω Q a, b το υπο-block της ζώνης a και της στοίβας b.τότε το κελί στον άξονα και στον πυλώνα j του Q a, b ], j Q a, b συμβολίζεται [. Τα κελιά των υπο-block περιγράφονται επιπλέον ως κεντρικά κελιά όταν j, γωνιακά κελιά, j {,3 } και ακριανά κελιά είναι όλα τα υπόλοιπα. Ο 3 3 πίνακας C περιέχει όλες τις τιμές των κεντρικών κελιών των υπο-block, έτσι ώστε C Q ], p q. p, q [ p, q,, Οι συμβολισμοί που αναφέρθηκαν φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα. 53 P a g e

54 Ιδιότητες των υπο-block Όπως προαναφέρθηκε όλες οι τριάδες κάθε υπο-block πρέπει να έχουν άθροισμα έναν ακέραιο, ο οποίος να ανήκει στο διάστημα [ 3,7]. Ακολουθούν άμεσες παρατηρήσεις και ιδιότητες. Παρατήρηση 3..: Κανένα από τα σύνολα {,} και { 8,9} δεν γίνεται να περιέχονται σε οποιαδήποτε τριάδα, οποιουδήποτε υπο-block. Συνεπώς καμία από τις τιμές,, 8 ή 9 δεν μπορεί να βρίσκεται σε κεντρικό κελί. Συνεπώς ο πίνακας C μπορεί να περιέχει μόνο τους αριθμούς 3,,5, 6 και 7. Ο ακόλουθος πίνακας περιέχει τις 6 πράξεις μετάθεσης, οι οποίες δημιουργούν την συμμετρική ομάδα. Επιτρέπεται να εφαρμοστούν σε ένα -Qua-μαγικό Sudoku αν η προκύπτουσα μήτρα έχει τις ίδιες ιδιότητες με την αρχική. Το πλήθος των συμμετριών της ομάδας είναι Παρατηρείται ότι η μεταθέτει και τις τιμές του πίνακα C. Δύο -Qua-μαγικά Sudoku Y και X θα είναι ισόμορφα αν f ( Y) X και f '( X ) Y, όπου f είναι μια πράξη συμμετρίας της ομάδας και η f ' είναι η αντίστροφή της. Λήμμα 3..: Σε οποιοδήποτε υπο-block Q με x, [ για x {3,7 }, οι τιμές a b Q a, b ], {, x,9} εμφανίζονται μόνο στον δεύτερο άξονα ή στον δεύτερο πυλώνα του υπο-block. 5 P a g e

55 Λήμμα 3..3: Εάν [ Qa, b ], 3 και ο δεύτερος άξονας του Q a, περιέχει τις τιμές b {,3,9 }, τότε ο πρώτος και ο τρίτος άξονας θα περιέχουν τις τιμές είτε από το σύνολο {,6,7}, είτε από το σύνολο {,5,8 }. Αυτό καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η διαγώνιο θα περιέχει τις τιμές {,3,8 }. Το ίδιο ισχύει αν η τριάδα {,3,9 } βρίσκεται στον δεύτερο πυλώνα του Q a, b Λήμμα 3..: Καμία γραμμή ή στήλη του C δεν μπορεί να περιέχει ταυτόχρονα και τις δύο τιμές { 3,} ή { 6,7}. Επομένως είναι προφανές ότι κάθε γραμμή ή στήλη του C, περιέχει όλες τις τιμές των συνόλων { 3,5,6 }, { 3,5,7 }, {,5,7}, {,5,6}. Πόρισμα 3..5: Κάθε γραμμή και στήλη του C περιέχει ακριβώς μια τιμή ίση με 5. Λήμμα 3..6: Εάν ο C περιέχει ακριβώς μια φορά την τιμή x σε κάθε γραμμή και στήλη του, τότε οποιοδήποτε υπο-block Q,, όπου [ x, περιέχει μια τιμή x σε μια από τις τέσσερεις γωνίες του. a b Q a, b ], Πόρισμα 3..7: Οποιοδήποτε υπο-block από τις τέσσερεις γωνίες του. Q,, με Q ] 5, περιέχει την τιμή 5 σε μια a b [ a, b, Επομένως, η τοποθέτηση της τιμής 5, τόσο στον πίνακα C, όσο και στο - Qua-μαγικό Sudoku περιορίζεται σε μεγάλο βαθμό. Αυτό επιτρέπει τη δημιουργία περιορισμών και για την τοποθέτηση των υπολοίπων τιμών. Λήμμα 3..8: Αν [ x, όπου x {,5,6 } και οι δύο από τις τιμές {,5,6}\ x Q a, b ], βρίσκονται στον πρώτο ή στον τρίτο άξονα του δεύτερο άξονα του Q a, b. Q a, b, τότε οι τιμές και 9 ανήκουν στο Λήμμα 3..9: Για τις τιμές {,6}. Q, με Q ] 5, ο πρώτος και ο τρίτος άξονας περιέχουν μια από a b [ a, b, Πόρισμα 3..0: Έστω Q ] 5 για κάποια a, b {,,3 }, τότε το {,5,6} είναι μια διαγώνια τριάδα του Q a, b. [ a, b, Πόρισμα 3..: Ακριβώς μια τιμή από κάθε σύνολο {,,3 }, {,5,6} και { 7,8,9 }, βρίσκεται σε κάθε άξονα και σε κάθε πυλώνα ενός Πόρισμα 3..: Έστω C p, q {,5,6},, Q,, όπου Q ] 5. a b [ a, b, p q. Σε όλα τα υπο-block κάθε άξονας και κάθε πυλώνας περιέχει ακριβώς μια τιμή από κάθε σύνολο {,,3 }, {,5,6} και { 7,8,9 }. 55 P a g e

56 Στον ακόλουθο πίνακα ορίζονται πράξεις μετάθεσης, οι οποίες δημιουργούν την ομάδα συμμετρίας. Είναι μεταθέσεις του πρώτου άξονα (ολόκληρη η γραμμή της ζώνης) με τον τρίτο άξονα ή του πρώτου πυλώνα (αντίστοιχα ολόκληρη η πρώτη στήλη της στοίβας) με τον τρίτο πυλώνα. Οι ακόλουθες παρατηρήσεις βασίζονται στις πράξεις της, αλλά επειδή η δεν περιέχει μεταθέσεις τιμών δεν υπάρχουν υπο-block που να δημιουργούνται από την. Οι προηγούμενες παρατηρήσεις σε συνδυασμό με τις ομάδες και χρησιμοποιούνται για την απαρίθμηση των -Qua-μαγικών Sudoku. Από τις παρατηρήσεις είναι προφανές ότι, η τιμή 5 πρέπει να βρίσκεται σε κάθε γραμμή και στήλη του C και κάθε υπο-block κελί. Διαφορετικά κάθε υπο-block Q, με Q ] 5, έχει την τιμή 5 σε κάποιο γωνιακό a b a b [ a, b, Q, με Q ] 5, πρέπει να έχει τις τιμές και 6 σε [ a, b, αντίθετες γωνίες και κάθε άξονας και κάθε πυλώνας πρέπει να περιέχει ακριβώς μια τιμή από κάθε σύνολο {,,3 }, {,5,6} και { 7,8,9 }. Τα δύο τελευταία συμπεράσματα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή ενός υπο-block Q,,, όπου Q ] 5, η οποία a b [ a, b, περιγράφεται παρακάτω. Σύμφωνα με αυτήν την κατασκευή και την συμμετρική ομάδα, αυτά τα υπο-block μπορούν να απαριθμηθούν και να κατηγοριοποιηθούν. Κατασκευή : Έστω μια μήτρα K τάξης 3 3, έτσι ώστε οι τιμές κάθε γραμμής να δίνουν άθροισμα έναν ακέραιο, ο οποίος να βρίσκεται μέσα στο διάστημα [ 3, 7]. Έστω K, K 5 και K 6, τότε αρκεί να τοποθετηθούν οι τιμές {,,3 } με επιτρεπτή,, 3, διάταξη στην πρώτη στήλη και οι τιμές { 7,8,9 } με κάποια επιτρεπτή διάταξη στην τρίτη στήλη. Είναι προφανές ότι με αυτήν την κατασκευή αν κάποια γραμμή περιέχει όλες τις τιμές {,,7 } ή { 3,6,9}, οι τιμές σε αυτές τις γραμμές δεν δίνουν το απαιτούμενο άθροισμα. 56 P a g e

57 Κατασκευή : Έστω δύο μήτρες T και P, οι οποίες έχουν δημιουργηθεί βάσει της κατασκευής, τέτοιες ώστε να έχουν ακριβώς μια ίδια τιμή σε κάθε γραμμή. Τότε θα κατασκευαστεί ένα υπο-block Q a, με b [ Q a, b ], 5, έτσι ώστε [ Q a, b ], x αν T, r x και P j, x, r, {,,3}. Αν η τιμή x είναι στην -οστή γραμμή της T και στην j-οστή γραμμή της P, τότε στο όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα. Q a, b, η τιμή x είναι στον -οστό άξονα και στον j-οστό πυλώνα, Λήμμα 3..3: Κάθε υπο-block Q, με Q ] 5, μπορεί να κατασκευαστεί με τις a b [ a, b, παραπάνω κατασκευές και την ομάδα συμμετρίας. Λήμμα 3..: Αν κάθε γραμμή του T περιέχει ακριβώς μια τιμή από τα σύνολα {,,7 } ή { 3,6,9}, τότε υπάρχει μόνο μια μήτρα P, που μπορεί να δημιουργηθεί από την κατασκευή. Διαφορετικά υπάρχουν δύο αποτιμήσεις για την μήτρα P. Στην συνέχεια τα υπο-block θα διαχωριστούν σε τρείς κατηγορίες. Ένα υποblock καλείται mxed εάν κάθε άξονας και κάθε πυλώνας του περιέχει ακριβώς μια τιμή είτε από το σύνολο {,,7 } είτε από το σύνολο { 3,6,9 }. Ένα υπο-block καλείται double mxed αν κάθε άξονας και κάθε πυλώνας του Q a, b Q a, b περιέχει ακριβώς μια τιμή και από το σύνολο {,,7 } και από το σύνολο { 3,6,9 }. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση θα καλείται pure. Αντίστοιχα mxed γραμμή καλείται μια γραμμή εάν περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο είτε από το σύνολο {,,7 } είτε από το σύνολο { 3,6,9 }.Double mxed γραμμή 57 P a g e

58 καλείται μια γραμμή αν περιέχει ακριβώς μια τιμή και από το σύνολο {,,7 } και από το σύνολο { 3,6,9 }. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση θα καλείται pure γραμμή. Στο ακόλουθο σχήμα υπάρχουν μερικά παραδείγματα αυτής της κατηγοριοποίησης. Οι κατηγοριοποιήσεις pure, mxed και double mxed ισχύουν για οποιοδήποτε υπο-block. Παρ όλα αυτά στην πράξη αν ένα υπο-block Q, έχει το Q ] {,6}, τότε a b [ a, b, δεν μπορεί να είναι double mxed αφού δεν θα πληρείται ο περιορισμός του αθροίσματος. Αν οι τιμές {,,7 } βρίσκονται σε διαφορετικούς άξονες και πυλώνες μέσα σε ένα υπο-block Q, με Q ], τότε οι τιμές της διαγωνίου δεν ικανοποιούν ον a b [ a, b, περιορισμό του αθροίσματος. Ομοίως για το μπορούν να βρίσκονται στην διαγώνιο. Λήμμα 3..5: Το πλήθος των μη ισόμορφων υπο-block Q, με Q ] 6, οι τιμές { 3,6,9 } δεν a b [ a, b, Q, με Q ] 5 σύμφωνα a b [ a, b, με την ομάδα συμμετρίας είναι. Από αυτές τις περιπτώσεις οι 5 είναι pure, οι 6 είναι mxed και μια μόνο είναι double mxed. Παρατήρηση 3..6: Αν ένα υπο-block μεταβάλλεται από την ομάδα συμμετρίας. Q, με Q ] 5 είναι double mxed τότε δεν a b [ a, b, Στη συνέχεια ακολουθούν ορισμένες παρατηρήσεις, οι οποίες ισχύουν για οποιαδήποτε ζώνη ή στοίβα ενός συμπληρωμένου -Qua- μαγικού Sudoku. Λήμμα 3..7: Αν μια γραμμή του πίνακα C περιέχει τις τιμές { 3, x, 5}, όπου x {6,7} τότε για τα Q, με Q ] 5, ο δεύτερος άξονας περιέχει την τιμή 8. a b [ a, b, Πόρισμα 3..8: Αν μια γραμμή του C περιέχει τις τιμές { 3,7,5}, τότε το Q a, b με [ Q a b ],, 5, έχει δημιουργηθεί μέσω της συμμετρικής ομάδας και είναι pure. Παρατήρηση 3..9: Μια ζώνη μπορεί να συμπληρωθεί από μια γραμμή του πίνακα C, που περιέχει τις τιμές { 3,7,5}, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως εναλλακτική 58 P a g e

59 ζώνη, έτσι ώστε να αντιστοιχεί στην γραμμή του C, που περιέχει τις τιμές { 3,6,5 }. Αυτό συμβαίνει μόνο αν και στις δύο ζώνες το υπο-block Q, με Q ] 3, έχει τις τιμές a b [ a, b, {,3,9} στον δεύτερο πυλώνα. Η εναλλακτική ζώνη κατασκευάζεται αλλάζοντας την έκτη γραμμή με την έβδομη και στα δύο υπο-block, όπου Q ] 5. Ακολουθεί ένα παράδειγμα αυτής της παρατήρησης. [ a, b, Λήμμα 3..0: Αν μια γραμμή a του πίνακα C, περιέχει τις τιμές {,5,6} τότε οι ακόλουθοι κανόνες ορίζουν την αντίστοιχη ζώνη: Το πολύ ένα υπο-block Αν a b Q, με Q ] {,6} είναι mxed. a b [ a, b, Q, με Q ] 5 είναι double mxed τότε τα άλλα δύο υπο-block είναι [ a, b, a b [ a, b, pure. Αν Q, με Q ] 5 είναι mxed, τότε ακριβώς ένα από τα άλλα δύο υποblock είναι mxed. Στο ακόλουθο σχήμα φαίνονται οι επιτρεπτοί σχηματισμοί των ζωνών ενός -Qua μαγικού Sudoku. 59 P a g e

60 Ιδιότητες των συμπληρωμένων μητρών. Στη συνέχεια ακολουθούν ορισμένες παρατηρήσεις, οι οποίες ισχύουν για οποιαδήποτε συμπληρωμένα -Qua- μαγικά Sudoku. Οι παρατηρήσεις που διατυπώθηκαν για τα υπο-block και τις ζώνες, θα χρησιμοποιηθούν για την διατύπωση των παρακάτω παρατηρήσεων. Βάσει αυτών, θα γίνει η απαρίθμηση των -Qua μαγικών Sudoku. Λήμμα 3..: Ο πίνακας C, περιέχει το πολύ μια τιμή ίση με 3 και το πολύ μια τιμή ίση με 7. Αν περιέχονται και οι δύο, τότε βρίσκονται στην ίδια γραμμή ή στήλη του πίνακα C. Πόρισμα 3..: Από την παρατήρηση 3..9 και την συμμετρική ομάδα, υπάρχουν τρείς μη ισόμορφοι πίνακες C, οι οποίοι είναι οι ακόλουθοι: Θα καλούνται σύμφωνα με τα στοιχεία της πρώτης γραμμής. Δηλαδή ο πρώτος είναι ο { 3,7,5}, ο δεύτερος είναι ο { 3,6,5 } και ο τρίτος είναι ο {,6,5}. Όπως προαναφέρθηκε η συμμετρική ομάδα, περιέχει 9. 6 στοιχεία. Αυτή η ομάδα θα χρησιμοποιηθεί για την απαρίθμηση των -Qua- μαγικών Sudoku, των οποίων η πάνω γραμμή του πίνακα C, περιέχει τις τιμές { 3, x,5}, όπου x {6,7}, αφού αυτοί οι πίνακες δεν περιέχουν στοιχεία, τα οποία να μπορούν να τοποθετηθούν μέσω της ομάδας. Τα -Qua- μαγικά Sudoku, στα οποία η πρώτη γραμμή του πίνακα C περιέχει τις τιμές {,5,6}, περιέχουν στοιχεία που μπορούν να τοποθετηθούν μέσω της, αλλά όχι στοιχεία που μπορούν να τοποθετηθούν μέσω της, η οποία είναι μια συμμετρική ομάδα, η οποία ορίζεται στον ακόλουθο πίνακα. Για αυτό το λόγο η θα χρησιμοποιηθεί για την απαρίθμηση των -Qua- μαγικών Sudoku, στα οποία ο πίνακας C περιέχει στην πρώτη γραμμή του τις τιμές {,5,6}. Η ομάδα αυτή, περιέχει. 536 συμμετρίες και διαφέρει από την ομάδα στο ότι δεν περιέχει τις μεταθέσεις τιμών ή τις ανταλλαγές ζωνών και στοιβών. Είναι προφανές ότι ο πίνακας C δεν μένει σταθερός μέσω της. 60 P a g e

61 Απαρίθμηση των -Qua μαγικών Sudoku. Βάσει όλων των προαναφερθέντων, η διαδικασία της απαρίθμησης είναι πλέον εφικτή. Το πλήθος των -Qua- μαγικών Sudoku για κάθε έναν από τους τρείς μη ισομορφικούς πίνακες C { 3,7,5}, C { 3,6,5} και C {,6,5} καθορίζεται χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες. Τα λήμματα χρησιμοποιούνται για να καθοριστεί ο συνολικός αριθμός των -Qua- μαγικών Sudoku. Λήμμα 3..3: Αν η πρώτη γραμμή του πίνακα C περιέχει τις τιμές { 3,7,5}, τότε το πλήθος των μη ισόμορφων -Qua- μαγικών Sudoku μέσω της είναι ένα. Λήμμα 3..: Αν η πρώτη γραμμή του πίνακα C περιέχει τις τιμές { 3,6,5 }, τότε το πλήθος των μη ισόμορφων -Qua- μαγικών Sudoku μέσω της είναι δύο. Είναι προφανές ότι μια ζώνη ενός -Qua- μαγικού Sudoku περιέχει pure γραμμές αν και μόνο αν όλα τα υπο-block της ζώνης είναι pure, διαφορετικά περιέχει mxed γραμμές. Τα -Qua- μαγικά Sudoku, των οποίων η πρώτη γραμμή του πίνακα C περιέχει τις τιμές {,6,5} χωρίζονται σε δύο περιπτώσεις: Όταν ένα υπο-block Q a, b με [ Q a, b ], 5 είναι pure, mxed ή double mxed. Όταν οι ζώνες και οι στοίβες συμπληρώνονται χρησιμοποιώντας pure ή mxed γραμμές. Λήμμα 3..5: Αν η πρώτη γραμμή του πίνακα C περιέχει τις τιμές {,6,5} και ένα υποblock Q, με Q ] 5 είναι pure καθώς και οι ζώνες και οι στοίβες έχουν a b [ a, b, 6 P a g e

62 συμπληρωθεί με pure γραμμές, τότε το πλήθος των μη-ισόμορφων -Qua- μαγικών Sudoku μέσω της είναι 05. Λήμμα 3..6: Αν η πάνω γραμμή του πίνακα C περιέχει τις τιμές {,6,5} και ένα υποblock με Q ] 5 είναι pure και επιπλέον αν υπάρχει τουλάχιστον μια ζώνη και μια [ a, b, στοίβα, η οποία να αποτελείται από mxed γραμμές, τότε το πλήθος των μη-ισόμορφων -Qua- μαγικών Sudoku μέσω της είναι 6. Λήμμα 3..7: Αν η πάνω γραμμή του πίνακα C περιέχει τις τιμές {,6,5} και ένα υποblock με Q ] 5 είναι mxed και επιπλέον αν οι ζώνες και οι στοίβες αποτελούνται [ a, b, από mxed γραμμές, τότε το πλήθος των μη-ισόμορφων -Qua- μαγικών Sudoku μέσω της είναι 6. Λήμμα 3..8: Αν η πάνω γραμμή του πίνακα C περιέχει τις τιμές {,6,5} και ένα υποblock με Q ] 5 είναι double mxed και επιπλέον αν οι ζώνες και οι στοίβες [ a, b, αποτελούνται από mxed γραμμές, τότε το πλήθος των μη-ισόμορφων -Qua- μαγικών Sudoku μέσω της είναι 9. Λήμμα 3..9: Αν η πάνω γραμμή του πίνακα C περιέχει τις τιμές {,6,5} και ένα υποblock με Q ] 5 είναι double mxed και επιπλέον αν τουλάχιστον μια ζώνη και μια [ a, b, στοίβα αποτελούνται από pure γραμμές, τότε το πλήθος των μη-ισόμορφων -Quaμαγικών Sudoku μέσω της είναι 8. Τελικά υπάρχει ένα -Qua- μαγικό Sudoku με μια γραμμή του πίνακα C να περιέχει όλες τις τιμές { 3,7,5} (λήμμα 3..3), δύο -Qua- μαγικά Sudoku με μια γραμμή του πίνακα C να περιέχει όλες τις τιμές { 3,6,5 } και άλλα δύο -Qua- μαγικά Sudoku με μια γραμμή του πίνακα C να περιέχει όλες τις τιμές { 7,,5} (λήμμα 3..). Αφού το πλήθος των στοιχείων της συμμετρικής ομάδας είναι 9. 6, τότε υπάρχουν συνολικά Qua- μαγικά Sudoku. Έστω μια γραμμή του πίνακα C, που περιέχει όλες τις τιμές {,6,5}. Τότε υπάρχουν -Qua- μαγικά Sudoku μέσω της βάση των λημμάτων Επομένως αφού το πλήθος των στοιχείων της συμμετρικής ομάδας είναι. 536, τότε υπάρχουν συνολικά Qua- μαγικά Sudoku. Συνεπώς συνολικά υπάρχουν Qua- μαγικά Sudoku. 6 P a g e

63 3.5 Συμμετρίες των Sudoku puzzle τάξης 9x9. Σε αυτό το σημείο της εργασίας θα αναλυθεί μια βελτιωμένη μέθοδος καταμέτρησης των κλάσεων ισοδύναμων Sudoku puzzle τάξης 9 9, δηλαδή πόσες ομάδες διαφορετικών Sudoku puzzle υπάρχουν, έτσι ώστε κανένα πλήρες Sudoku που ανήκει σε μια ομάδα να μην μπορεί να μετασχηματιστεί σε κάποιο Sudoku που ανήκει σε διαφορετική ομάδα, μέσω επιτρεπτών πράξεων, όπως η μετονομασία, η ανάκλαση ως προς την διαγώνιο και η στροφή 90 μοιρών. Οι επιτρεπτές πράξεις είναι οι ακόλουθες: Μετονομασία (μετάθεση) των 9 στοιχείων. Ανταλλαγή των 3 στοιβών. Ανταλλαγή των 3 ζωνών. Ανταλλαγή 3 στηλών με μια στοίβα. Ανταλλαγή 3 γραμμών με μια ζώνη. Οποιαδήποτε ανάκλαση ή περιστροφή. Δύο πλήρη Sudoku καλούνται όμοια, αν μπορούν να μετασχηματιστούν το ένα στη μορφή του άλλου με την βοήθεια των παραπάνω πράξεων. Μας ενδιαφέρουν στη συνέχεια οι συμμετρίες γεωμετρικών αντικειμένων έτσι ώστε αν δοθούν δύο συμμετρίες τότε εφαρμόζοντας την πρώτη και πάνω στο αποτέλεσμά της τη δεύτερη, το τελικό αποτέλεσμα να είναι και αυτό μια συμμετρία. Για παράδειγμα έστω ένα τετράγωνο κατασκευασμένο από σύρμα. Πάνω σε αυτό υπάρχουν οχτώ συμμετρίες:. rot 0 : περιστροφή. rot : περιστροφή. rot : περιστροφή v. rot 3 : περιστροφή κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. v. ref 0 : ανάκλαση ως προς τον οριζόντιο άξονα. v. ref : ανάκλαση ως προς την κύρια διαγώνιο v. ref : ανάκλαση ως προς τον κάθετο άξονα. v. ref 3: ανάκλαση ως προς την δευτερεύουσα διαγώνιο. 63 P a g e

64 Παρατηρείται ότι κάνοντας την rotκαι εν συνεχεία την ref, έχει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα με την εφαρμογή μόνο της πράξης ref 3, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα και το οποίο συμβολίζεται απλά ως ref rot ref 3 : Τώρα θα χρωματιστούν οι ακμές του τετραγώνου με το πολύ δύο χρώματα, όπως φαίνεται ακολούθως για θα υπολογιστεί το πλήθος των διαφορετικών χρωματισμών που υπάρχουν (δύο χρωματισμοί θεωρούνται όμοιοι αν μια πράξη συμμετρίας μετατρέπει τον έναν στον άλλο), με τη βοήθεια ενός μαθηματικού θεωρήματος, γνωστό ως Θεώρημα Burde. Πρέπει να βρεθούν όλοι οι δυνατοί χρωματισμοί, που μπορούν να φτιαχτούν από τις παραπάνω πράξεις συμμετρίας. Ύστερα το πλήθος αυτών είναι η απάντηση στο παραπάνω ερώτημά. Η πράξη συμμετρίας rot0 θα δώσει όλους τους χρωματισμούς, δηλαδή 6χρωματισμούς του τετραγώνου. Η πράξη συμμετρίας rot θα δώσει μόνο χρωματισμούς, δηλαδή όσες περιπτώσεις έχουν όλες τους τις ακμές χρωματισμένες με το ίδιο χρώμα. Η πράξη συμμετρίας rot θα δώσει χρωματισμούς, δηλαδή όσες περιπτώσεις έχουν τη δεξιά με την αριστερή ακμή, χρωματισμένη με το ίδιο χρώμα. Η πράξη συμμετρίας rot3 θα δώσει χρωματισμούς, δηλαδή όσες περιπτώσεις έχουν όλες τους τις ακμές χρωματισμένες με το ίδιο χρώμα. Η πράξη συμμετρίας ref 0 θα δώσει 8 χρωματισμούς, δηλαδή όσες περιπτώσεις έχουν την πάνω με την κάτω ακμή χρωματισμένες με το ίδιο χρώμα. Η πράξη συμμετρίας ref θα δώσει χρωματισμούς, δηλαδή όσες περιπτώσεις έχουν την πάνω με την δεξιά και την κάτω με την αριστερή ακμή, χρωματισμένες με το ίδιο χρώμα. 6 P a g e

65 Η πράξη συμμετρίας ref θα δώσει 8 χρωματισμούς, δηλαδή όσες περιπτώσεις έχουν την αριστερή με την δεξιά ακμή, χρωματισμένες με το ίδιο χρώμα. Η πράξη συμμετρίας ref 3θα δώσει χρωματισμούς, δηλαδή όσες περιπτώσεις έχουν την πάνω με την αριστερή και την κάτω με την δεξιά ακμή, χρωματισμένες με το ίδιο χρώμα. Ακολουθεί αναλυτικό σχήμα των παραπάνω περιπτώσεων. Συνεπώς το αποτέλεσμα σύμφωνα με το θεώρημα Burde είναι ότι υπάρχουν 6 διαφορετικοί χρωματισμοί ακριβώς όπως φαίνεται από τον ακόλουθο τύπο: (6 8 8 ) Με τον ίδιο τρόπο, θα απαριθμηθούν τα διαφορετικά Sudoku puzzle τάξης 9 9. Για να απλοποιηθεί το πρόβλημα, η ομάδα G θα αποτελείται από όλες τις πράξεις που αναφέρονται παραπάνω, εκτός από τις μεταθέσεις. Αυτές οι πράξεις μπορούν να θεωρηθούν ως πράξεις συμμετρίας των 8 τετραγώνων της Sudoku μήτρας, και υπάρχει ένα υπολογιστικό πρόγραμμα, γνωστό ως GAP, το οποίο επιτρέπει σε οποιονδήποτε να χειρίζεται ομάδες που δημιουργούνται από σύνολα μετάθεσης. Για να συμπεριληφθεί και η πράξη της αντιμετάθεσης, ορίζεται ότι δύο πλήρη Sudoku είναι όμοια, αν το ένα μπορεί να μετασχηματιστεί στο άλλο, με την πράξη της αντιμετάθεσης. Έτσι η συμμετρική ομάδα G μπορεί να δράσει πάνω στα πλήρη Sudoku. Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, έτσι και εδώ πρέπει να υπολογιστεί το 65 P a g e

66 πλήθος των όμοιων Sudoku, δηλαδή αυτών που δημιουργούνται από τις πράξεις συμμετρίας. Έχει αποδειχτεί ότι η ομάδα G με τις παραπάνω πράξεις, χωρίς αυτή της 0 μετάθεσης έχει συμμετρίες. Η πράξη της περιστροφής κατά 90 και η πράξη 0 της περιστροφής κατά 70 έχει ακριβώς το ίδιο πλήθος αποτελεσμάτων (όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα rot rot ). Με αυτή την παρατήρηση συμπεραίνεται 3 ότι υπάρχουν 75 κλάσεις συζυγίας (=οποιαδήποτε δύο στοιχεία που ανήκουν στην ίδια κλάση έχουν ακριβώς το ίδιο πλήθος αποτελεσμάτων με την εφαρμογή μετασχηματισμών). Για αρκετές από τις συμμετρίες μπορεί να παρατηρηθεί ότι υπάρχουν μήτρες που δεν μπορούν να μετασχηματιστούν σε όμοιες μήτρες, έτσι ώστε να διατηρούνται οι κανόνες του Sudoku. Για παράδειγμα έστω ένα πλήρες Sudoku όπως το ακόλουθο, το οποίο πρέπει να μετασχηματιστεί σε μια συμμετρική μήτρα ως προς τον οριζόντιο άξονα. Η πέμπτη γραμμή, προφανώς μένει ίδια, και αφού κάθε γραμμή περιέχει και τα 9 στοιχεία, δεν γίνεται να εφαρμοστεί η πράξη της μετονομασίας. Η μήτρα στην οποία εφαρμόζεται η ανάκλαση, δεν πρέπει απλά να οδηγήσει σε μια όμοια μήτρα, αλλά σε μια πανομοιότυπη. Αυτό βέβαια είναι ακατόρθωτο αφού οι δύο είσοδοι στην πρώτη στήλης της ης και 6 ης γραμμής πρέπει να είναι ίδιες για να υπάρχει συμμετρία ως προς τον οριζόντιο άξονα, και αυτό δεν μπορεί να γίνει μιας και ανήκουν στον ίδιο block (Β), και ο κανόνας του παιχνιδιού απαγορεύει να υπάρχει ένας αριθμός σε ένα block πάνω από μια φορά. Είναι προφανές ότι υπάρχουν μήτρες που δεν μπορούν να μετασχηματιστούν σε όμοιες μήτρες, έτσι ώστε να διατηρούνται οι κανόνες του Sudoku για όλες τις P a g e

67 κλάσεις, εκτός από 7. Αυτό που μένει είναι να μετρηθούν οι συμμετρίες που παράγονται από αυτές τις 7 κλάσεις. Παίρνοντας τον μέσο όρο όλων αυτών των συμμετριών, υπολογίζεται τελικά ότι το πλήθος των διαφορετικών Sudoku είναι Αν επιτραπεί η μετονομασία, οι περιστροφές και οι ανταλλαγές στοιβών και ζωνών, αλλά όχι οι ανακλάσεις, η αντίστοιχη ομάδα Η έχει τάξη και 8 κλάσεις συζυγίας. Το θεώρημα Burde δίνει ως αποτέλεσμα ότι υπάρχουν διαφορετικά Sudoku με αυτές τις συμμετρίες. Αν επιτραπεί μόνο η μετονομασία και οι περιστροφές, έτσι ώστε η ομάδα να έχει μόνο στοιχεία (περιστροφή 0, 90, 80 και 70 ), η ίδια μέθοδος δίνει διαφορετικά Sudoku. Αν επιπλέον επιτραπούν και οι ανακλάσεις, έτσι ώστε η ομάδα συμμετρίας να έχει 8 στοιχεία (η ίδια ομάδα συμμετρίας με το τετράγωνο από σύρμα), τότε αποδεικνύεται ότι η ίδια μέθοδος δίνει διαφορετικά Sudoku. 3.6 Μήτρες μετάθεσης των Sudoku. Έστω ένας ακέραιος αριθμός και έστω N. Θεωρούνται πραγματικές μήτρες τάξης μόνο N N, οι οποίες χωρίζονται σε υπο-block, όπου κάθε υπο-block είναι και αυτό μια τετραγωνική μήτρα τάξης.το σύνολο των θέσεων κάθε μήτρας ορίζεται με τον ακόλουθο τύπο: S kl {(, j) : ( k ) k,( l ) j l} Η τετραγωνική μήτρα NxN ονομάζεται P και διαχωρίζεται όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα: 67 P a g e

68 Έτσι κάθε υπο-block Pkl της P έχει μέγεθος. Μια μήτρα μετάθεσης P τάξης N N, η οποία έχει ακριβώς έναν άσσο σε κάθε block Pkl θα ονομάζεται Sudoku μήτρα μετάθεσης, ή πιο απλά S-μήτρα μετάθεσης. Για παράδειγμα αν 3 και N 9, τότε η ακόλουθη μήτρα είναι μια S-μήτρα μετάθεσης. Συνεπώς μια S-μήτρα μετάθεσης περιέχει ακριβώς έναν άσσο σε κάθε γραμμή, σε κάθε στήλη και κάθε σύνολο S, το οποίο καλείται S-block. Στο Sudoku πρέπει όλοι kl οι άσσοι να τοποθετηθούν σε ένα πρότυπο μιας S-μήτρα μετάθεσης. Το ίδιο πρέπει να γίνει και για κάθε ακέραιο k N. Αυτές οι S-μήτρες μετάθεσης πρέπει να μην έχουν τα μη μηδενικά στοιχεία τους στις αντίστοιχα ίδιες θέσεις με τις υπόλοιπες. Με άλλα λόγια πρέπει να είναι ξένες ανά δύο (djot). Αυτό σημαίνει ότι μια μήτρα Sudoku A αναλύεται με τη βοήθεια S-μητρών μετάθεσης με την παρακάτω μορφή: όπου P,..., A P P... N, P PN είναι S-μήτρες μετάθεσης, ξένες ανά δύο. Έτσι υπάρχει μια καινούργια τελείως διαφορετική οπτική γωνία μελέτης των Sudoku puzzle. Έστω N γραμμή του block ως το σύνολο το σύνολο S το σύνολο όλων των S-μητρών μετάθεσης τάξης S... S S S... S l L l (στοίβες). Έστω P N k k k (ζώνες) και η N. Ορίζεται η k l στήλη του block ως το σύνολο όλων των μεταθέσεων του M,,...,. Μια ανισότητα A B δύο μητρών σημαίνει ότι είναι ανισότητα ανά συντεταγμένες (compoetwe). Παρακάτω διατυπώνονται μερικές βασικές ιδιότητες του συνόλου μετάθεσης τάξης N. N των S-μητρών 68 P a g e

69 Πρόταση 3.6.: Το πλήθος των S-μητρών μετάθεσης τάξης τύπο!. N δίνεται από τον Απόδειξη: Μπορεί να απαριθμηθεί το σύνολο N, διαλέγοντας αρχικά τις θέσεις που μπορούν να πάρουν οι άσσοι στην πρώτη block γραμμή, δηλαδή στις πρώτες γραμμές της μήτρας. Αυτό είναι αντίστοιχο με το να προστεθεί μια σειρά στα block έτσι ώστε ο άσσος στην -οστή γραμμή να βρίσκεται στο -οστό S-block που έχουμε επιλέξει. Αυτό μπορεί να γίνει με! διαφορετικούς τρόπους. Επιπλέον για κάθε ένα από αυτά τα block, ο άσσος μπορεί να μπει σε διαφορετικές θέσεις. Έτσι, το συνολικό πλήθος των διαφορετικών συνδυασμών για τις πρώτες γραμμές είναι!. Στη συνέχεια, για κάθε τέτοια επιλογή (των πρώτων γραμμών ), το πλήθος των επιλογών για τις γραμμές,,..., είναι ίσο με! ( ), αφού μια στήλη πρέπει να μην συμπληρώνεται σε κάθε block. Γενικά, αφού έχει οριστεί η θέση των άσσων στις πρώτες γραμμές του block, υπάρχουν oστή block γραμμή ( ). Συνεπώς ισχύει ότι: N!!( )...!! ( ) διαφορετικοί τρόποι για την ( ) -! Ορίζονται τώρα δύο μήτρες: 0 0 L και l 0 0 Μια ανταλλαγή σε μια μήτρα μετάθεσης P, είναι η αντικατάσταση ενός υπο-block τάξης, το οποίο είναι ίσο με το L από το l ή αντίστροφα. Με τον όρο S-ανταλλαγή θεωρείται μια ανταλλαγή όπου το υπο-block μέσα στο οποίο γίνεται η μετάθεση βρίσκεται στην ίδια γραμμή του block ή στην ίδια στήλη. Συνεπώς αν εφαρμοστεί μια S- ανταλλαγή σε μια S-μήτρα μετάθεσης, παράγεται μια άλλη S-μήτρα μετάθεσης. Άρα το σύνολο είναι κλειστό ως προς την πράξη S-ανταλλαγή. N Θεώρημα 3.6.: Έστω A και B δύο S-μήτρες μετάθεσης του N. Τότε το A μπορεί να μετασχηματιστεί στο B από μια ακολουθία το πολύ ( ) S-ανταλλαγών και όλες οι ενδιάμεσες μήτρες είναι S-μήτρες μετάθεσης. Απόδειξη: Δίνεται ένας αλγόριθμος, ο οποίος μετατρέπει την A στην B με μια ακολουθία S-ανταλλαγών. Πρώτα θα καταταχτούν τα block με σειρά 69 P a g e

70 S,...,, S,..., S, S,..., S,..., S S. Έστω A' A. Στην k-οστή επανάληψη το k-οστό block της τρέχουσας μήτρας A ', έχει ληφθεί υπόψη και αυτό το block το έχει μετασχηματιστεί, έτσι ώστε να είναι ίδιο με το αντίστοιχο bock της B χρησιμοποιώντας το πολύ δύο S-ανταλλαγές συμπεριλαμβάνοντας και τα block p k. Με άλλα λόγια, στο k-οστό block ο μοναδικός άσσος της block της B είναι στη θέση ( ', j' ). Αν ' και j j', αυτό το block είναι έτοιμο. A ' είναι στη θέση (, j) και ο άσσος στο k Αν ', τότε η A' πρέπει να περιέχει έναν άσσο στη θέση ( ', ) σε κάποιο block δεξιά από το k block. Έτσι με μια S-ανταλλαγή στην A ', που περιέχει τις θέσεις (, j) και ( ', ), μετασχηματίζεται η A ', έτσι ώστε κάθε άσσος στο k block να βρίσκεται στην ίδια γραμμή ' όπως ο άσσος στο k block του B. Αν j j', χρησιμοποιώντας μια S-ανταλλαγή με ένα block κάτω από το k block, τροποποιείται η της B. A ', έτσι ώστε κάθε k block της A ' να είναι ίσο με κάθε k block Συνεπώς αυτή η διαδικασία απαιτεί το πολύ δύο S-ανταλλαγές και κανένα προηγούμενο bock (τάξης πριν το k) δεν επηρεάζεται. Αφού υπάρχουν block για να μετατραπούν, αυτός ο αλγόριθμος τελικά τελειώνει μόλις μετατραπεί στη μορφή της μήτρας B, μετά από το πολύ ( ) ( ) ( ) S-ανταλλαγές. Παρατηρείται ότι το τελευταίο block με βάση αυτόν τον αλγόριθμο, αυτόματα είναι σωστό. Στο ακόλουθο παράδειγμα γίνεται εφαρμογή του αλγορίθμου. 70 P a g e

71 Παρατηρείται ότι όλες οι ενδιάμεσες μήτρες είναι S-μήτρες μετάθεσης. Η μετατροπή έγινε από το block S, μετά το S, ύστερα το S και τέλος το S ήταν έτοιμο. Μπορεί επίσης το Sudoku να αναπαρασταθεί ως γράφημα G N, το οποίο είναι ένα γράφημα όπου οι κορυφές αντιστοιχούν στις Sudoku μήτρες μετασχηματισμού τάξης N και υπάρχει μια ακμή μεταξύ κορυφών, όταν οι αντίστοιχες δύο S- μήτρες μετάθεσης διαφέρουν με μια S-ανταλλαγή. Τότε το προηγούμενο θεώρημα λέει ότι το G είναι συνεκτικό και η διάμετρος είναι το πολύ ( ). Παρατηρείται ότι η N διάμετρος του G N είναι τουλάχιστον, αφού υπάρχουν μη γειτονικές S-μήτρες μετάθεσης και μια μόνο ανταλλαγή φέρνει το πολύ δύο από τις σε συμφωνία. Απαγορευμένες θέσεις. Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα είναι να εντοπιστεί, αν υπάρχει μια S-μήτρα μετάθεσης P, η οποία να ικανοποιεί την σχέση A P B, όπου A και B είναι δεδομένες μήτρες ( 0,), οι οποίες ικανοποιούν την σχέση A B. Σε αυτό το πρόβλημα, οι θέσεις των άσσων του A καλούνται δοσμένες θέσεις και οι θέσεις των μηδενικών του B καλούνται απαγορευμένες θέσεις. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να θεωρηθεί και σαν πρόβλημα συνόλου ανεξαρτησίας, δηλαδή ενός σταθερού συνόλου R ενός γραφήματος, τέτοιο ώστε να είναι υποσύνολο κορυφών, οι οποίες δεν είναι γειτονικές μεταξύ τους. Έστω το γράφημα G 0 με (, j) κορυφές, για τις οποίες ισχύει ότι, j N και μια ακμή μεταξύ των κορυφών (, j) και των κορυφών ( ', j') αν και μόνο αν ' ή αν j j' ή αν (, j) και ( ', j' ) ανήκουν στο ίδιο S-block. Συνεπώς, οι κορυφές αντιστοιχούν στις θέσεις μιας μήτρας NxN και οι ακμές αντιπροσωπεύουν τις συγκρούσεις μεταξύ των θέσεων, αφού σε μια Sudoku μήτρα δεν μπορεί να μπει ένας άσσος σε δύο θέσεις, των οποίων οι κορυφές να είναι γειτονικές στο G 0. Προφανώς υπάρχει μια ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ των Sudoku μητρών τάξης N και του μέγιστου συνόλου ανεξαρτησίας του G 0, του οποίου ο πληθάριθμος είναι N. Στην συνέχεια τροποποιείται το G0 για απαριθμηθούν οι δοσμένες και οι απαγορευμένες θέσεις. Αν (, j) είναι μια απαγορευμένη θέση, η κορυφή (, j) διαγράφεται από το G 0, μαζί με τις προσπίπτουσες ακμές της. Αν η κορυφή (, j) είναι μια δοσμένη θέση, τότε διαγράφεται αυτή η κορυφή, αλλά και όλες οι γειτονικές κορυφές τις, πάλι με όλες τις αντίστοιχες προσπίπτουσες ακμές αυτών. 7 P a g e

72 Έστω G το γράφημα που προκύπτει. Τότε το να βρεθεί μια S-μήτρα μετάθεσης, η οποία να ικανοποιεί την σχέση A P B, είναι ισοδύναμο με το να βρεθεί το μέγιστο σύνολο ανεξαρτησίας του G, μεγέθους N p(a), όπου p(a) είναι ο αριθμός των άσσων της A. Το γενικό πρόβλημα του μέγιστου συνόλου ανεξαρτησίας είναι NP-hard. Στόχος αυτής της ενότητας είναι να βρεθούν αποτελεσματικοί αλγόριθμοι για ειδικές περιπτώσεις του παραπάνω προβλήματος. Για πιο απλές συνθήκες που αφορούν τις μήτρες A και B μπορεί να βρεθεί S-μήτρα μετάθεσης, που να ικανοποιεί την σχέση A P B. Οι αποδείξεις είναι κατασκευαστικές και δίνουν αλγορίθμους για κατασκευή μητρώων με επιθυμητές ιδιότητες. Έστω η ειδική περίπτωση όπου B J, δηλαδή η μήτρα B έχει σε όλες τις θέσεις της μονάδες, με αποτέλεσμα να μην υπάρχουν καθόλου απαγορευμένες θέσεις. Μια S- υπομεταθετική μήτρα είναι μια μήτρα ( 0,) τάξης N με το πολύ μια μονάδα σε κάθε γραμμή ή στήλη και κάθε υπο-block. Το αποτέλεσμα που ακολουθεί, λέει ότι μια τέτοιου είδους μήτρα μπορεί να αναπαρασταθεί μα μια S-μήτρα μετάθεσης. Θεώρημα 3.6.3: Έστω A μια S-υπομεταθετική μήτρα. Τότε υπάρχει μια S-μήτρα μετάθεσης P, η οποία ικανοποιεί την σχέση A P. Απόδειξη: Έστω ότι η A έχει k άσσους. Αν k N, τότε η A πρέπει να είναι μια S- μήτρα μετάθεσης, έτσι ώστε k N. Τότε η A περιέχει μια μηδενική γραμμή. Αυτή η γραμμή πρέπει να τέμνει ένα S-block S kl, η οποία είναι μηδενική μήτρα, διαφορετικά τα block, τα οποία τέμνουν την γραμμή έχουν όλα έναν άσσο και ένας από αυτούς τους άσσους πρέπει να βρίσκεται σε αυτή την γραμμή, αφού τα block έχουν μέγεθος x. Ομοίως, τουλάχιστον μια από τις στήλες τέμνει το block S kl. Έστω η στήλη j. Αυτή πρέπει να είναι μηδενικό διάνυσμα. Τότε πρέπει να αλλάξει η μηδενική θέση (, j) με έναν άσσο και να παραχθεί μια νέα S-υπομεταθετική μήτρα με k άσσους. Επαναλαμβάνοντας αυτά τα βήματα, αυτή η διαδικασία τελειώνει σε N k επαναλήψεις με μια S-μήτρα μετάθεσης P η οποία ικανοποιεί την σχέση A P. Με την ίδια τακτική έστω ότι δίνεται ένα σύνολο απαγορευμένων θέσεων και πρέπει να βρεθεί μια S-μήτρα μετάθεσης P, η οποία να μην περιέχει καθόλου άσσους στις απαγορευμένες θέσεις. Έστω A 0. Το αποτέλεσμα που ακολουθεί, λέει ότι μια τέτοιου είδους μήτρα μπορεί να αναπαρασταθεί μα μια S-μήτρα μετάθεσης. Θεώρημα 3.6.: Έστω ότι υπάρχουν το πολύ απαγορευμένες θέσεις. Τότε υπάρχει μια S-μήτρα μετάθεσης P, η οποία δεν περιέχει κανέναν άσσο στις απαγορευμένες θέσεις. N 7 P a g e

73 Απόδειξη: Έστω η S-μήτρα μετάθεσης P, όπου ο άσσος στο block l γραμμή και στην k στήλη του block ( k, l ). Στη συνέχει, έστω που παράγεται από την αποτέλεσμα της την S kl βρίσκεται στην P, είναι η μήτρα P μετακινώντας τους άσσους κάθε γραμμής μια θέση δεξιά. Το P είναι πάλι μια S-μήτρα μετάθεσης. Ομοίως η k P μεταθέτοντας τους άσσους μια θέση δεξιά ( k N) k P παράγεται από. Αυτή η διαδικασία φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα για μια S-μήτρα μετάθεσης τάξης N 9.Με αυτόν τον τρόπο υπάρχουν N διαφορετικές S-μήτρες μετάθεσης, οι οποίες είναι μη γειτονικές. Αλλά τότε οι N απαγορευμένες θέσεις δεν μπορούν να συμπέσουν με παραπάνω από N τέτοιες μήτρες και αφού είναι N, τότε μια από αυτές αποφεύγει τις απαγορευμένες θέσεις όπως ήταν επιθυμητό. Είναι προφανές ότι υπάρχουν ανά δύο μη γειτονικές (djot) S-μήτρες μετάθεσης πλήθους N. Ακολουθεί ένα λήμμα,, το οποίο είναι απαραίτητο γα την συνέχεια. Με v ( j ) θα συμβολίζεται η μικρότερη συνιστώσα του διανύσματος v. Λήμμα 3.6.5: Έστω ικανοποιεί τη σχέση v j j v, είναι ένα μη αρνητικό ακέραιο διάνυσμα, το οποίο. Τότε v p p, όπου p. ( ) Απόδειξη: Έστω v ένα διάνυσμα όπως περιγράφεται στην υπόθεση. Έστω και έστω ότι p ( ) p. Τότε v v( j) ( p p. Από αυτό είναι προφανές ότι v p j j ) j p m{( p ) p : p }, άρα v j j, όπου είναι αντίφαση. Άρα v p p. ( ) 73 P a g e

74 Το ακόλουθο θεώρημα αφορά πάλι τις απαγορευμένες θέσεις. Το πρόβλημα έγκειται πάλι στην εύρεση του πλήθους των θέσεων, αλλά τώρα υπάρχει ένα φράγμα για αυτόν τον αριθμό σε κάθε block. Η απόδειξη του θεωρήματος αυτού είναι κατασκευαστική και δίνει έναν αποτελεσματικό αλγόριθμο για την εύρεση μια S-μήτρας μετάθεσης με τις επιθυμητές ιδιότητες. Θεώρημα 3.6.6: Έστω ότι υπάρχουν το πολύ απαγορευμένες θέσεις σε κάθε block. Τότε υπάρχει μια S-μήτρα μετάθεσης, η οποία δεν περιέχει κανέναν άσσο στις απαγορευμένες θέσεις. Προφανώς το πλήθος είναι το καλύτερο δυνατό. Απόδειξη: Η απόδειξη αποτελείται από δύο βήματα, τα οποία καλούνται βήμα στήλης και βήμα γραμμής. Το βήμα στήλης έχει στόχο να βρει μια στήλη σε κάθε block, στην οποία πρέπει να τοποθετηθεί ένας άσσος. Το βήμα γραμμής καθορίζει σε πόσες γραμμές πρέπει να μπουν αυτοί οι άσσοι. Βήμα στήλης: Έστω A είναι μια μήτρα μεγέθους, της οποίας η ( k, j) οστή είσοδο είναι ο αριθμός των απαγορευμένων θέσεων, που βρίσκονται στην j - οστή στήλη και στην k oστή γραμμή block ( k, j ). Έτσι η A είναι μια μη αρνητική ακέραια μήτρα και μπορεί να διαχωριστεί στα διαδοχικά της block με αύξουσα σειρά A [ A A... A ]. Οι είσοδοι στο x block k A θα συμβολίζονται με k a j, για, j και k. Τότε σύμφωνα με την υπόθεση του θεωρήματος, το άθροισμα κάθε γραμμής σε κάθε block k A είναι το πολύ. Αυτή είναι μια πολύ σημαντική ιδιότητα της μήτρας A. Ισχύει ότι υπάρχουν μήτρες μετάθεσης P, P,..., P ( ) τάξης, έτσι ώστε z k (0,,,..., ) όπου () k και z είναι ένα διάνυσμα, το οποίο δεν αυξάνεται και του οποίου οι συνιστώσες είναι οι αριθμοί της k οστής γραμμής του A που αντιστοιχούν στις θέσεις των άσσων της γραμμής k των R.A. Bruald ([]). P, P,..., P. Η απόδειξη βρίσκεται στην εργασία του Βήμα γραμμής: Τώρα κατασκευάζεται μια μήτρα μετάθεσης P, τάξης N, από τις παραπάνω μήτρες μετάθεσης P, P,..., P θα εμφανιστούν στις στήλες, όπως καθορίζονται από μια μήτρα. Οι άσσοι στην k οστή στήλη block της P k P, όπου k. Για την k ακρίβεια, ο άσσος στο block ( r, k) της P καθορίζεται στην j στήλη, όπου p με r k. Αυτό εξασφαλίζει ότι η P παίρνει ακριβώς έναν άσσο σε κάθε στήλη και block, αφού η k P είναι μια μήτρα μετάθεσης. rj 7 P a g e

75 Αυτό που μένει είναι να βρεθεί σε ποιά γραμμή θα τοποθετηθούν αυτοί οι άσσοι. Αυτό το πρόβλημα αναλύεται σε ανεξάρτητα υποπροβλήματα, ένα για κάθε γραμμή block της P. Έστω η k oστή γραμμή για k,,...,. Έστω f, f,..., f είναι το πλήθος των απαγορευμένων θέσεων στις στήλες που επιλέχθηκαν στην k γραμμή block. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορεί να θεωρηθεί ότι f f... f με κατάλληλες μεταθέσεις. Η θέση που πρέπει να βρεθεί μπορεί να περιγραφεί από μια μήτρα μετάθεσης Q τάξης. Πρέπει να επιλεχθεί η Q, έτσι ώστε κάθε άσσος να μην βρίσκεται σε απαγορευμένη θέση. Για να επιτευχθεί αυτό από τον ισχυρισμό ισχύει ότι: f, f,..., f ) (0,,..., ). Η Q κατασκευάζεται στήλη προς στήλη, λαμβάνοντας ( υπόψη τις στήλες με τη σειρά,,...,. Αυτό μπορεί να έχει ήδη γίνει, γιατί κατά τη διάρκεια κατασκευής της στήλης j υπάρχουν j θέσεις, οι οποίες πρέπει να αποφευχθούν, σύμφωνα με τους άσσους που έχουν τοποθετηθεί στις στήλες j, j,...,. Αλλά υπάρχουν j θέσεις στην στήλη j, οι οποίες δεν είναι απαγορευμένες, σύμφωνα με τον τύπο f, f,..., f ) (0,,..., ), συνεπώς τουλάχιστον μια θέση είναι εύκαιρη. ( Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η μήτρα Q μπορεί να κατασκευαστεί και τελικά αυτή να καθορίζει τις επιθυμητές γραμμές για να τοποθετηθούν οι άσσοι στην μήτρα P, έτσι ώστε να μην συγκρούονται. Αυτό δείχνει ότι η μήτρα P είναι μια S-μήτρα μετάθεσης, της οποίας οι άσσοι δεν βρίσκονται στις απαγορευμένες θέσεις. Στο ακόλουθο σχήμα υπάρχει ένα παράδειγμα μιας S-μήτρας μετάθεσης P όπου 3, η οποία κατασκευάστηκε με την παραπάνω μέθοδο. Κάθε συμβολίζει απαγορευμένες θέσεις. Η μήτρα A είναι αυτή που χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή της P, της οποίας τα πράσινα στοιχεία βρέθηκαν από το βήμα γραμμής. 75 P a g e

76 Κεφάλαιο Sudoku και Κρυπτογραφία Το κεφάλαιο αυτό θα αναφερθεί στην απεικόνιση του πίνακα Sudoku σε ισοδύναμο χρωματικό γράφημα και μετά από μία σύντομη αναφορά στις αρχικές έννοιες της κρυπτογραφίας, θα παρουσιαστεί η θεωρητική κρυπτογράφηση του Sudoku με χρήση του πρωτοκόλλου μηδενικής γνώσης.. Αναπαράσταση Sudoku puzzle σε γράφημα. Το παραδοσιακό παιχνίδι Sudoku αποτελείται όπως προαναφέρθηκε από 3 3 τετραγωνικά block, όπου κάθε block έχει 3 3 κελιά. Κάθε κελί μπορεί να είναι άδειο ή να περιέχει έναν αριθμό από το σύνολο S {,,3,,5,6,7,8,9 }. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να γεμίσουν όλα τα κενά κελιά με αριθμούς του συνόλου S, έτσι ώστε κάθε γραμμή, στήλη και block να περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς του συνόλου S. Ένα καλά ορισμένο Sudoku έχει μοναδικό τρόπο συμπλήρωσης των κενών κελιών του. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές τεχνικές επίλυσης για τα Sudoku. Το παιχνίδι αυτό μπορεί να γενικευτεί στο το -Sudoku έχει, το οποίο αποκαλείτε -Sudoku. Έτσι αντί για 3 8 κελιά, κελιά έτσι ώστε οι αριθμοί από το σύνολο {,,..., } να περιέχονται σε κάθε γραμμή, στήλη και block του. S να πρέπει Λόγω της δημοσιότητας αυτού του παιχνιδιού, έχει παρατηρηθεί άνοδος στην μαθηματική έρευνα πάνω σε αυτό. Το Sudoku παρουσιάζει μια πολύ στενή σχέση με τη θεωρία γραφημάτων. Δοθέντος ενός κενού -Sudoku τάξης, το αντίστοιχο γράφημα Sudoku Sud() αποτελείται από κορυφές και παράγεται θέτοντας μια ένα προς ένα απεικόνιση μεταξύ των κορυφών και των κελιών και προσθέτοντας ακμές μεταξύ των κορυφών, μόνο αν τα αντίστοιχα κελιά βρίσκονται στην ίδια γραμμή, στήλη ή block. Οι αριθμοί στα κελιά ενός -Sudoku puzzle μπορούν να απεικονιστούν σαν έναν χρωματισμό κορυφών στο αντίστοιχο Sudoku γράφημα. Έτσι, η διαδικασία επίλυσης ενός Sudoku puzzle τάξης, είναι ισοδύναμη με την λύση του μαθηματικού προβλήματος του χρωματισμού του γραφήματος με χρώματα, δηλαδή με το να είναι ο χρωματικός του αριθμός ίσος με. 76 P a g e

77 Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται η ένα προς ένα αντιστοίχιση ενός -Sudoku puzzle, δηλαδή τάξης σε ένα γράφημα Sud(), το οποίο σύμφωνα με τα παραπάνω αποτελείται από 6 κορυφές, χρωματισμένες με χρώματα. Είναι προφανές, ότι όλα τα γραφήματα, που απεικονίζουν ένα puzzle Sudoku είναι κανονικά και συγκεκριμένα για ένα Sudoku τάξης είναι ένα 3 - κανονικό. Αυτό το συμπέρασμα προκύπτει από το γεγονός, ότι σε οποιαδήποτε κορυφή του ισοδύναμου γραφήματος ενός Sudoku πρέπει να μπουν ακμές για απεικονιστεί ο περιορισμός της γραμμής, στην οποία βρίσκεται το αντίστοιχο στοιχείο του Sudoku, το οποίο απεικονίζει η κορυφή, αφαιρείται δε μια μονάδα από το λόγω του ότι δεν πρέπει να συμπεριληφθεί το τρέχον στοιχείο. Αντίστοιχα, πρέπει να προστεθούν ακμές για να απεικονιστεί ο περιορισμός της στήλης, στην οποία βρίσκεται το αντίστοιχο στοιχείο του Sudoku που απεικονίζει η κορυφή. Τέλος, πρέπει να προστεθούν άλλες ( ) ( ) ακμές για την απεικόνιση του περιορισμού του υπο-block στο οποίο βρίσκεται το στοιχείο και αυτός ο τύπος προκύπτει γιατί τα στοιχεία που βρίσκονται στο ίδιο υπο-block και ταυτόχρονα στην ίδια γραμμή ή στήλη έχουν ήδη ακμή που τα συνδέει με την τρέχουσα κορυφή. Άρα, συνολικά το πλήθος των προσπιπτουσών ακμών για κάθε κορυφή του γραφήματος είναι : ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 3 Για παράδειγμα στο παραπάνω σχήμα το Sudoku είναι τάξης και το αντίστοιχο γράφημα είναι 3 7 -κανονικό. Αντίστοιχα ένα Sudoku τάξης , αντιστοιχεί σε ένα γράφημα το οποίο είναι κανονικό. Στη συνέχεια ακολουθεί ένα παράδειγμα ενός Sudoku που είναι προς λύση και του αντίστοιχου προβλήματος χρωματισμού του γραφήματος. 77 P a g e

78 . Κρυπτογράφηση και μηδενικής γνώσης αποδείξεις για λύσεις Sudoku puzzle. Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται μέθοδοι, οι οποίοι επιτρέπουν ανταλλαγή πληροφοριών ανάμεσα σε δύο άτομα, όπου ο ένας θέλει να πείσει τον άλλον ότι έχει στην κατοχή του τη σωστή λύση, χωρίς όμως να του δώσει ούτε μια πληροφορία για την λύση του puzzle. Το βασικό ενδιαφέρον σε αυτή την προσέγγιση του προβλήματος, είναι πρώτον πως μπορεί ο κάτοχος της λύσης να αποδείξει ότι υπάρχει λύση στο τρέχον πρόβλημα και δεύτερον ότι έχει στην κατοχή του λύση η οποία είναι ορθή. Ακολουθούν μερικά πρωτόκολλα, τα οποία επιτυγχάνουν τους παραπάνω στόχους. Υπάρχουν δύο είδη πρωτοκόλλων, αυτά της κρυπτογραφίας, τα οποία εφαρμόζονται ανάμεσα σε υπολογιστές και τα φυσικά πρωτόκολλα, τα οποία εφαρμόζονται μεταξύ ανθρώπων, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, όπως κάρτες 78 P a g e

79 παρόμοιες με αυτές που χρησιμοποιούνται στις λοταρίες και κατά προτίμηση όχι υπολογιστές. Τα φυσικά πρωτόκολλα μπορούν να γίνουν κατανοητά και από ανθρώπους που δεν είναι εξειδικευμένοι στα μαθηματικά και στην κρυπτογραφία και είναι υλοποιήσιμα χωρίς την χρήση του υπολογιστή. Το γενικό πρόβλημα του Sudoku τάξης x είναι NP-hard, αφού μπορεί να αναχθεί σε πρόβλημα 3-χρωματικότητας καθώς και στο πρόβλημα 3-SAT, το οποίο σημαίνει ότι δοθείσης μιας λύσης, είναι πολύ εύκολο να ελεγχθεί αν είναι σωστή. Έτσι, είναι προφανές ότι, αφού υπάρχουν αποδείξεις μηδενικής γνώσης στην κρυπτογραφία για κάθε πρόβλημα που είναι NP, τότε υπάρχει και για το πρόβλημα Sudoku. Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται ένα πρωτόκολλο κρυπτογράφησης για την προβολή γνώσης μιας λύσης ενός Sudoku puzzle, για το οποίο δεν αποκαλύπτεται οποιαδήποτε άλλη γνώση και διάφορα φυσικά πρωτόκολλα, τα οποία καταφέρνουν τον ίδιο στόχο. Περισσότερα πρωτόκολλα βρίσκονται στο [8] του R. Gradwohl και άλλων. Τα φυσικά πρωτόκολλα είναι εύκολο να εφαρμοστούν με μικρές πιθανότητες λάθους. Συγκεκριμένα, είναι πρωτόκολλα που χρησιμοποιούν κάποια εμπιστοσύνη, έτσι ώστε να υπάρχει μηδενικό λάθος, δηλαδή οποιαδήποτε απάτη από έναν διεφθαρμένο κάτοχο λύσης ταυτίζεται με πιθανότητα ένα. Πρώτα, θα παρουσιαστεί ο ορισμός ενός πρωτόκολλου μηδενικής γνώσης. Στη συνέχεια περιγράφονται δύο πρωτόκολλα κρυπτογραφίας μηδενικής γνώσης, όπου το πρώτο είναι πολύ απλό και άμεσο, ενώ το δεύτερο είναι λίγο πιο αργό. Έπειτα παρουσιάζονται φυσικά πρωτόκολλα με χρήση καρτών και τέλος περιγράφονται περαιτέρω ερευνητικές κατευθύνσεις. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ένα Sudoku καθορίζεται από ένα μέγεθος k μιας μήτρας x, όπου τα υπο-block έχουν μέγεθος kxk. Κάποια από τα κελιά είναι ήδη συμπληρωμένα με τιμές από το σύνολο,...,. Ο στόχος είναι να γεμίσουν όλα τα κελιά, έτσι ώστε να εμφανίζεται κάθε αριθμός του συνόλου ακριβώς μια φορά σε κάθε γραμμή, στήλη και υπο-block της μήτρας. Το συνολικό μέγεθος μιας εισόδου αυτού του προβλήματος είναι O ( log ) bt όπου αυτό είναι και το μέγεθος της λύσης. Λειτουργίες Κρυπτογραφίας: Γενικά, μια απόδειξη μηδενικής γνώσης είναι μια διαδραστική απόδειξη μεταξύ δύο ατόμων, αυτού που θέλει να αποδείξει την ύπαρξη και κατοχή σωστής λύσης, ο οποίος αποκαλείται γνώστης (prover) και αυτού που θέλει να ελέγξει ότι όντως o άλλος του λέει την αλήθεια, ο οποίος αποκαλείται επαληθευτής (verfer). Και οι δύο γνωρίζουν ένα στιγμιότυπο του προβλήματος, ενώ μόνο ο γνώστης γνωρίζει τη λύση του προβλήματος. Οι δύο ομάδες ανταλλάσουν μηνύματα και στο τέλος του πρωτοκόλλου ο επαληθευτής αποδέχεται η απορρίπτει την λύση του γνώστη. Το πρωτόκολλο στηρίζεται στις πιθανότητες. Τα μηνύματα που ανταλλάσσουν οι δύο ομάδες είναι είτε προγράμματα είτε είσοδοι του προβλήματος. Τα πρωτόκολλα πρέπει να έχουν τις ακόλουθες τέσσερεις ιδιότητες, πληρότητα, αρτιότητα, μηδενική γνώση και απόδειξη γνώσης. 79 P a g e

80 Η πληρότητα ενός πρωτοκόλλου είναι η πιθανότητα ενός έντιμου επαληθευτή να δέχεται μια σωστή απόδειξη. Τα πρωτόκολλα που αναφέρονται σε αυτή την ενότητα έχουν τέλεια πληρότητα, δηλαδή μια σωστή λύση γίνεται πάντα αποδεχτή. Η αρτιότητα ενός πρωτοκόλλου είναι η πιθανότητα ένας επαληθευτής να αποδεχτεί μια λάθος λύση. Με αλλά λόγια στο τρέχον πρόβλημα ο γνώστης έχει στην κατοχή του μια λύση, η οποία δεν υπακούει τους κανόνες του παιχνιδιού και προσπαθεί να πέσει τον επαληθευτή ότι η λύση είναι ορθή. Προφανώς η επιθυμητή πιθανότητα της αρτιότητας είναι μηδέν. Ο στόχος είναι να κατασκευαστεί ένα πρωτόκολλο, το οποίο να μην δίνει την δυνατότητα στον επαληθευτή να αποκομίσει καμία πληροφορία από την σωστή λύση, δηλαδή να είναι μηδενικής γνώσης. Για να μπορέσει να κατασκευαστεί ένα τέτοιο πρωτόκολλο, απαιτείται ένας προσομοιωτής, ο οποίος μπορεί να παράσχει στον επαληθευτή μια συζήτηση με τον γνώστη, χωρίς όμως να έχει πρόσβαση στην λύση του. Αφού το πρωτόκολλο είναι πιθανοτικό, πρέπει να ληφθεί υπόψη και η κατανομή των μηνυμάτων που ανταλλάσσονται μεταξύ του γνώστη και του επαληθευτή. Δηλαδή, είναι απαραίτητος ένας προσομοιωτής, έτσι ώστε τα μηνύματα να είναι δυσδιάκριτα μεταξύ τους, έτσι ώστε ο επαληθευτής να μην μπορεί να αποκομίσει πληροφορίες από την αλληλουχία των μηνυμάτων για την λύση του γνώστη παρά μόνο για την πιθανότητα αποδοχής. Το πρωτόκολλο πρέπει επίσης να είναι σε θέση να αποδείξει την ύπαρξη γνώσης της λύσης. Δηλαδή, ο γνώστης μπορεί να πείσει τον επαληθευτή να αποδεχθεί την λύση του, καθώς υπάρχει μια μηχανή, γνωστή ως extractor, η οποία μπορεί να επικοινωνεί με τον γνώστη και να έχει παράλληλα εμπιστευτικά στην κατοχή της την πραγματική λύση. Το μόνο εργαλείο κρυπτογραφίας που χρησιμοποιείται ακολούθως είναι ένα πρωτόκολλο επικοινωνίας. Ένα πρωτόκολλο επικοινωνίας επιτρέπει στην μια ομάδα, η οποία είναι ο γνώστης να στείλει μια τιμή στην άλλη ομάδα, η οποία είναι ο επαληθευτής, έτσι ώστε να μην μάθει τίποτα χρήσιμο για την τιμή αυτή. Αυτό το πρωτόκολλο αποτελείται από δύο βήματα. Το πρώτο βήμα είναι η δέσμευση τιμής, σύμφωνα με το οποίο ο γνώστης δεσμεύει μια τιμή u, έτσι ώστε ο επαληθευτής να μην μπορεί να μάθει τίποτα για αυτήν την τιμή. Ειδικότερα αυτό σημαίνει ότι ο επαληθευτής δεν μπορεί να είναι σε θέση να αναγνωρίσει πότε το u b ή πότε το u b' b,b'. Αυτή η ιδιότητα καλείται απόκρυψη. Στη συνέχεια το δεύτερο βήμα είναι η αποκάλυψη της τιμής και συγκεκριμένα όχι της πραγματικής, αλλά της επιβεβαίωσης ότι η u είναι η πραγματική τιμή και αυτό γίνεται αφού έχει τελειώσει το βήμα της απόκρυψης. Το δεύτερο βήμα λέγεται δέσμευση. Η δέσμευση bt μπορεί να βασίζεται σε οποιαδήποτε μονόδρομη συνάρτηση και είναι αρκετά αποτελεσματική. Ορισμός.. Μονόδρομη Συνάρτηση είναι μια συνάρτηση * * f : εάν: 80 P a g e

81 . Η f είναι και για κάθε * x ισχύει ότι x k f ( x) x k για k 0. Με άλλα λόγια η f (x), είναι το πολύ πολυωνυμικά μεγαλύτερη ή μικρότερη του x.. Η f ανήκει στο FP, δηλαδή υπολογίζεται σε πολυωνυμικό χρόνο. 3. Η f δεν ανήκει στην κλάση FP αλλά στην κλάση FNP-FP, δηλαδή υπάρχει πολυωνυμικός αλγόριθμος ο οποίος ή να υπολογίζει το x δοθέντος του y, έτσι ώστε f ( x) y, ή να απαντά όχι εάν δεν υπάρχει τέτοιο x. Ακολουθεί ένα παράδειγμα μονόδρομης συνάρτησης, το οποίο είναι ευρέως διαδεδομένα στα κυκλώματα της κρυπτογραφίας. Φυσικά πρωτόκολλα: Ενώ η κρυπτογραφία έχει πάρα πολύ καλές βάσεις και περιορισμένες επιλογές, τα φυσικά πρωτόκολλα έχουν πολλές διαφορετικές επιλογές, οι οποίες μπορούν να υλοποιηθούν από τη χρήση μιας τράπουλας για παράδειγμα. Στη συγκεκριμένη εργασία του R.Gradwohl και άλλων [8], χρησιμοποιούνται κλειστοί φάκελοι. Είναι πιο κατανοητό με κάρτες όπως είναι στο παιχνίδι ξυστό, όπου κάθε κάρτα έχει έναν αριθμό από το σύνολο,...,, αλλά αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να φανερωθεί εκτός αν η κάρτα γδαρθεί (η αν ο φάκελος αντίστοιχα ανοιχτεί). 8 P a g e

82 Στην πραγματικότητα δύο από τα ακόλουθα φυσικά πρωτόκολλα με τους φακέλους, μπορούν να αναπαρασταθούν και με τη βοήθεια τραπουλόχαρτων. Αν ο φάκελος είναι σφραγισμένος τότε το αντίστοιχο χαρτί είναι γυρισμένο με τον αριθμό να ακουμπάει στο τραπέζι, ενώ ένας ανοιχτός φάκελος αναπαριστάται με ένα τραπουλόχαρτο, το οποίο είναι γυρισμένο από την αντίθετη πλευρά απ ότι πριν. Πρωτόκολλα κρυπτογραφίας: Ο κοινός κώδικας που χρησιμοποιεί η κρυπτογραφία μηδενικής γνώσης είναι ο ακόλουθος:. Ο γνώστης δεσμεύει διάφορες τιμές.. Ο επαληθευτής απαιτεί από τον γνώστη να ανοίξει κάποιες από τις τιμές που έχει δεσμεύσει και αυτό καλείται πρόκληση. 3. Ο γνώστης ανοίγει τις τιμές που έχει απαιτήσει ο επαληθευτής.. Ο επαληθευτής ελέγχει αν οι τιμές ικανοποιούν τους περιορισμούς και αποδέχεται η απορρίπτει. Για να μην μπορέσει ο επαληθευτής να αποκομίσει καμία πληροφορία για την λύση κατά την διάρκεια των προκλήσεων, πρέπει να δημιουργηθεί ένας προσομοιωτής, ο οποίος να αλλάζει τα αποτελέσματα με τυχαιότητα. Ουσιαστικά, ο προσομοιωτής αλλάζει τα αποτελέσματα και τις αρχικές εισόδους του προβλήματος έτσι ώστε αν στην τρέχουσα πρόκληση ο γνώστης είναι έντιμος, τότε ο επαληθευτής να αποδεχτεί την λύση. Ακολουθεί ένα παράδειγμα το οποίο βασίζεται στην χρωματικότητα, το οποίο είναι ένα πρόβλημα στο οποίο μπορεί να αναχθεί το Sudoku όπως προαναφέρθηκε. Πριν από το παράδειγμα όμως είναι απαραίτητο να αναφερθεί το σύστημα κρυπτογράφησης RSA και της τυχαίας κρυπτογράφησης. Σύστημα κρυπτογράφησης RSA Ο RSA είναι ένας κρυπταλγόριθμος ασύμμετρου κλειδιού, το όνομα του οποίου προέρχεται από τους δημιουργούς του, Ro Rvet, Ad Shamr ad Le Adlema. Επιτρέπει όχι μόνο την κωδικοποίηση μηνυμάτων αλλά μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί και ως ψηφιακή υπογραφή. Ο RSA βασίζεται στη δυσκολία παραγοντοποίησης μεγάλων αριθμών (σήμερα, συνήθως της τάξης των.0 με.08 bt). Χρησιμοποιούνται δυο κλειδιά, ένα δημόσιο κατά τη διάρκεια της κρυπτογράφησης και ένα κρυφό για την αποκρυπτογράφηση. 8 P a g e

83 Δημιουργία των κλειδιών : Επιλογή δυο τυχαίων (μεγάλων) πρώτων αριθμών p και q έτσι ώστε p q. Υπολογισμός του γινομένου. Υπολογισμός της συνάρτηση του Euler ( ) ( p )( q ). ( ) 3. Επιλογή ενός αριθμού e έτσι ώστε e.. Υπολογισμός του αριθμού d έτσι ώστε de mod ( ). Για την εύρεση πρώτων αριθμών χρησιμοποιούνται πιθανολογικοί αλγόριθμοι. Συνηθισμένες επιλογές για το e είναι το 3, 7 και 6. Μικροί αριθμοί οδηγούν σε ταχύτερους υπολογισμούς αλλά και σε πιο αδύναμη ασφάλεια. Τα κλειδιά είναι το δημόσιο κλειδί (, e) και το κρυφό κλειδί (, d). Μπορεί να δημοσιευτεί το πρώτο κλειδί, δίνοντας έτσι τη δυνατότητα σε οποιονδήποτε να στείλει κρυπτογραφημένα μηνύματα στον γνώστη, τα οποία μόνο αυτός μπορεί να αποκρυπτογραφήσει εξαιτίας του κρυφού κλειδιού. Το μήνυμα μπορεί να αντιπροσωπευθεί από έναν αριθμό m. Το κρυπτογραφημένο μήνυμα c υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο: c m e mod Αφού ληφθεί ένα κρυπτογραφημένο μήνυμα c, για να διαβαστεί το αρχικό μήνυμα πρέπει να γίνουν τα ακόλουθα βήματα: m c d e mod ( m ) d mod m ed mod Είναι γνωστό ότι ed (mod p ) και ed (mod q ), όποτε από το μικρό θεώρημα του Φερμά, βγαίνει ο τύπος m ed m ed m m mmod( p ) και mmod( q ) Οι αριθμοί p και q είναι πρώτοι μεταξύ τους, χρησιμοποιώντας το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων ακολουθεί το αποτέλεσμα: pq m ed mmod Το ακόλουθο σχήμα είναι ένα παράδειγμα κρυπτογράφησης RSA όπου η Alce είναι ο αποστολέας, ο Bob είναι ο παραλήπτης και η Eva (evdroper) είναι το άτομο που θέλει να κλέψει το μήνυμα παράνομα. 83 P a g e

84 Τυχαία κρυπτογράφηση Το σύστημα RSA έχει ένα βασικό πρόβλημα. Δεν μπορεί να κρυπτογραφήσει b 0,, μηνύματα, τα οποία είναι μονοψήφια και για την ακρίβεια αν το μήνυμα είναι το τότε το κρυπτογραφεί με τον τύπο b e mod pq, αλλά b e b. Το αποτέλεσμα της ντετερμινιστικής φύσης του συστήματος RSA, κάνει εφικτό για την Eva να παρατηρήσει επαναλήψεις του μηνύματος, το οποίο είναι αρκετά χρήσιμη πληροφορία. Το πρόβλημα αυτό το λύνει η τυχαία κρυπτογράφηση. Η Alce παράγει έναν pq τυχαίο ακέραιο x. Στέλνει στον Bob το y ( x b) mod pq. Ο Bob αντίστοιχα λαμβάνει το κρυπτογραφημένο μήνυμα, χρησιμοποιεί το δικό του κλειδί για να πάρει το x b. Το b είναι το τελευταίο ψηφίο του αποκρυπτογραφημένου ακεραίου. Με αυτή τη διαδικασία η Eva αδυνατεί να βρει το x b. Τα αποτελέσματα του τυχαίου κρυποσυστήματος δημοσίου κλειδιού είναι πολύ πιο αργά σε σχέση με αυτά του RSA βέβαια. Ακολουθεί η κρυπτογράφηση της λύσης ενός Sudoku puzzle, η οποία χρησιμοποιεί το σύστημα RSA και την τυχαία κρυπτογράφηση. Ο αποστολέας, ή η Alce όπως καλείται στην κρυπτογραφία, αναπαριστά κάθε χρώμα του γραφήματος με δυαδικά ψηφία. Για την περίπτωση του γραφήματος που αντιστοιχεί σε Sudoku puzzle, υπάρχουν 9 χρώματα, συνεπώς 9 κωδικοποιήσεις, άρα είναι απαραίτητα ψηφία για κάθε χρώμα, όπου το πρώτο έχει τον κωδικό 0000, το δεύτερο έχει τον κωδικό 000, το τρίτο τον 000 ομοίως και για τα υπόλοιπα, μέχρι το ένατο με κωδικό 000. Στη συνέχεια ανακατεύει τα χρώματα, δηλαδή όπως φαίνεται και στο ακόλουθο παράδειγμα, το οποίο είναι μια απλοποίηση του γενικού προβλήματος με 3 ομάδες κορυφές αντί για 9 (όπου κάθε ομάδα περιέχει ακριβώς 9 κορυφές ίδιου χρώματος), όποια κορυφή είναι πράσινη γίνεται κίτρινη, όποια κορυφή είναι ροζ γίνεται πράσινη και όποια είναι κίτρινη γίνεται ροζ. Ύστερα παράγει τέσσερεις 8 P a g e

85 αριθμούς για κάθε κορυφή του γραφήματος, δηλαδή στην προκειμένη περίπτωση 8 τετράδες αριθμών p, q, d, e ). Για κάθε κορυφή υπολογίζονται τέσσερα ( v v v v κρυπτογραφημένα μηνύματα, ένα για κάθε ψηφίο της κωδικοποίησης του. 0 3 Με άλλα λόγια αν η κωδικοποίηση ενός χρώματος από τα εννιά είναι b b b b και η αντίστοιχη κορυφή έχει τα κλειδιά μηνύματα για αυτή την κορυφή είναι y e e (x b ) mod pq και y (x b ) mod pq Άρα συνολικά η Alce παράγει y p, q, d, e, τότε τα κρυπτογραφημένα e e (x b ) mod pq, y (x b ) mod pq., v κρυπτογραφημένα μηνύματα. Στο ακόλουθο παράδειγμα υπάρχουν μόνο τρία χρώματα, και αυτή είναι η αιτία που τα μηνύματα είναι μόνο v, μιας και η κωδικοποίηση των χρωμάτων σε δυαδική μορφή απαιτεί την χρήση μόνο δύο ψηφίων. Στη συνέχεια ο Bob (επαληθευτής) διαλέγει τυχαία μια ακμή και απαιτεί από την Alce να του στείλει τα αντίστοιχα μηνύματα των κορυφών που είναι άκρα αυτής της ακμής και των κλειδιών αποκωδικοποίησης τους. Αν οι τετραψήφιοι κώδικες των δύο κορυφών είναι ίδιοι απορρίπτει την λύση της Alce, διαφορετικά αποδέχεται την συγκεκριμένη πρόκληση και η διαδικασία ξεκινάει πάλι από την αρχή. 85 P a g e

86 Η Alce και ο Bob επαναλαμβάνουν αυτή τη διαδικασία k E φορές, όπου k είναι μια παράμετρος αναπαράστασης του πόσο αξιόπιστο είναι το πρωτόκολλο. Αν η Alce έχει παράνομο χρωματισμό ο Bob έχει να ανακαλύψει την ακμή όπου x( ) x( j). E Μετά από k E επαναλήψεις, η πιθανότητα του να βρει ο Bob ότι η Alce έχει παράνομο χρωματισμό είναι τουλάχιστον. Είναι προφανές ότι αν η διαδικασία επαναληφθεί όσες φορές είναι το πλήθος των ακμών του γραφήματος (όπου στην 0 v 08 περίπτωση του γραφήματος που αντιστοιχεί σε λύση Sudoku έχει 80 ακμές, αφού όπως προαναφέρθηκε είναι 0-κανονικό) και κάθε πρόκληση γίνει αποδεχτεί από τον Bob τότε η λύση της Alce είναι σωστή με πιθανότητα ένα. E k 86 P a g e

87 Κεφάλαιο 5 Κωδικοποίηση Sudoku σε SAT Έχει δειχθεί ότι το Sudoku είναι -ASP-complete από τους Yato και Seta [30] και κατ επέκτση p-complete. Tα αρχικά ASP είναι συντόμευση των λέξεων Aother Soluto Problem. Για κάθε πρόβλημα, που ανήκει σε αυτήν την κλάση τίθεται το ερώτημα δοθέντος ενός στιγμιοτύπου του προβλήματος x και μιας λύσης y, μπορεί να βρεθεί μια λύση του x διαφορετική από την y; H κλάση -ASP, είναι να βρεθεί μια διαφορετική λύση από τις λύσεις που έχουν δοθεί. Το ερώτημα απόφασης των Yato και Seta είναι δοθέντος ενός στιγμιότυπου του Sudoku και διαφορετικών λύσεων, υπάρχει λύση που να ικανοποιεί τους περιορισμούς του, η οποία να είναι διαφορετική από τις υπόλοιπες ; Το κεφάλαιο αυτό δεν ασχολείται με την πολυπλοκότητα του Sudoku, αλλά γίνεται ανάλυση της απεικόνιστης ενός στιγμιοτύπου του puzzle Sudoku τάξης 9x 9 σε ένα στιγμιότυπο του προβλήματος SAT. Όλοι οι περιορισμοί του Sudoku θα μπορέσουν να διατηρηθούν μέσω των κανονικών συζευκτικών προτάσεων του προβλήματος SAT, οι οποίες έχουν χωριστεί σε πέντε ενότητες, που περιέχονται αναλυτικά στο επισυναπτόμενο CD, έτσι ώστε να είναι εύκολα κατανοητές. Στο τέλος κάθε ενότητας οι τύποι που αντιστοιχούν σε αυτήν γενικεύονται για Sudoku τάξης x, καθώς και αναγράφονται οι γενικοί τύποι καταμέτρησης των προτάσεων του SAT. Κωδικοποίηση του puzzle Sudoku 9x9 σε SAT μορφή Ένα puzzle Sudoku μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα SAT πρόβλημα, αν και απαιτεί ένα μεγάλο αριθμό προτασιακών μεταβλητών. Για το puzzle Sudoku τάξης 9 χρησιμοποιούνται δείκτες από το πεπερασμένο πεδίο ορισμού S {,,3,,5,6,7,8,9 }. Το πλήθος των μεταβλητών που χρειάζονται για να αναπαρασταθεί το συγκεκριμένο puzzle σε μορφή SAT είναι Πιο αναλυτικά για κάθε κελί είναι απαραίτητες 9 μεταβλητές, το Sudoku 9x9 αποτελείτε από 8 κελιά άρα μεταβλητές συνολικά. Αντίστοιχα για το Sudoku puzzle τάξης χρησιμοποιούνται δείκτες από το πεπερασμένο πεδίο ορισμού S {,,3,..., }. Το πλήθος των μεταβλητών που 87 P a g e

88 χρειάζονται για να αναπαρασταθεί το puzzle Sudoku τάξης 3. σε μορφή SAT είναι Για το Sudoku puzzle τάξης 9 όπως και της γενικής του μορφής τάξης, η κάθε μεταβλητή που χρησιμοποιεί το στιγμιότυπο του SAT είναι της μορφής, το οποίος παίρνει την τιμή αν και μόνο αν η είσοδος της γραμμής x και της στήλης y είναι ο αριθμός z. Για παράδειγμα το 83, σημαίνει ότι στη γραμμή και στη στήλη 8 υπάρχει ο αριθμός 3. Προφανώς, οι τιμές που έχουν δοθεί ήδη πριν την επίλυση του Sudoku θα αναπαρασταθούν σε μορφή SAT ως μοναδιαίες προτάσεις. Επομένως όσα περισσότερα δοσμένα στοιχεία υπάρχουν τόσο μειώνονται οι προτάσεις κανονικής συζευκτικής μορφής του SAT. Οι ακόλουθοι τύποι, οι οποίοι είναι σε κανονική συζευκτική μορφή, απεικονίζουν την χειρότερη περίπτωση, η οποία είναι ένα κενό puzzle Sudoku, δηλαδή ένα puzzle, το οποίο δεν περιέχει κανένα δοσμένο στοιχείο, έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η μοναδικότητα κάθε αριθμού σε κάθε γραμμή, στήλη και υποblock του Sudoku. Ο χρόνος πολυπλοκότητας αυτής της κωδικοποίησης είναι O ( ), όπου είναι η τάξη του Sudoku. xyz 5. Περιορισμός μη κενών κελιών Sudoku puzzle τάξης 9x9 Ο πρώτος περιορισμός του Sudoku, ο οποίος πρέπει να αναπαρασταθεί σε μορφή SAT πρέπει να εξασφαλίζει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός από το σύνολο S {,,3,,5,6,7,8,9 } σε κάθε κελί του Sudoku. Έτσι για το πρώτο κελί x η αντίστοιχη πρόταση σε μορφή SAT που πρέπει να διατυπωθεί είναι ( ) 9. Αυτή η πρόταση για να είναι αληθής επιβάλει στο πρώτο κελί να υπάρχει τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς,, 3,, 5, 6, 7, 8 ή 9. Η ίδια ακριβώς διαδικασία επαναλαμβάνεται για τα υπόλοιπα 80 κελιά του Sudoku. Έτσι ο παρακάτω αναδρομικός τύπος κανονικής συζευκτικής μορφής, εξασφαλίζει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός σε κάθε κελί x y z xyz 88 P a g e

89 Για κάθε κελί του puzzle αντιστοιχεί μια πρόταση για κάθε αριθμό από το ένα μέχρι και το 9. Συνεπώς συνολικά ο αναδρομικός τύπος περιέχει x y z 8 προτάσεις, οι οποίες δεν επιτρέπουν κενά κελιά, ή κελιά με στοιχεία που δεν ανήκουν στο σύνολο P {,,3,,5,6,7,8,9 }. Αντίστοιχα ο αναδρομικός τύπος του Sudoku puzzle τάξης είναι και περιέχει x προτάσεις, οι οποίες δεν x y z xyz επιτρέπουν κενά κελιά, ή κελιά με στοιχεία που δεν ανήκουν στο σύνολο P {,,3,..., }. Για παράδειγμα για το Sudoku τάξης x ο αναδρομικός τύπος είναι και οι προτάσεις που δημιουργούνται σε x y z xyz x y z πλήθος 6 όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. xyz xyz ( S ( S ( S ( S ( S ( S ( S ( S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S ) ( S ) ( S ) ( S ) ( S ) ( S ) ( S ) ( S ) ( S 3 3 S S S S S S S S 3 3 S S S S 3 3 S S S S S S S S S S S S ) ) 3 3 ) ) ) ) ) ) 89 P a g e

90 5. Περιορισμός γραμμών Sudoku puzzle τάξης 9x9 Στο ακόλουθο σχήμα κάθε βελάκι απεικονίζει μια πρόταση του SAT που πρέπει να διατυπωθεί έτσι ώστε να απεικονιστούν οι περιορισμοί του Sudoku puzzle τάξης 9 για την πρώτη γραμμή. Η μεταβλητή z μπορεί να πάρει τιμές από το σύνολο S {,,3,,5,6,7,8,9}, έτσι ώστε να τεθούν οι περιορισμοί για όλους τους αριθμούς. Ακολουθούν αναλυτικά οι προτάσεις του SAT οι οποίες όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα συγκρίνουν το πρώτο κελί του παραπάνω πίνακα με τα 8 υπόλοιπα κελιά της πρώτης γραμμής, το δεύτερο κελί με τα υπόλοιπα 7 κελιά της γραμμής και η 90 P a g e

91 ίδια διαδικασία ακολουθείται μέχρι την σύγκριση του όγδοου κελιού με το ένατο της πρώτης γραμμής. Η ίδια ακριβώς διαδικασία επαναλαμβάνεται για τις υπόλοιπες 8 γραμμές του Sudoku. Έτσι ο παρακάτω αναδρομικός τύπος κανονικής συζευκτικής μορφής, εξασφαλίζει ότι κάθε αριθμός εμφανίζεται το πολύ μια φορά σε κάθε γραμμή z k j ( zk zjk ) Για κάθε αριθμό σε κάθε γραμμή είναι απαραίτητες 36 προτάσεις. Άρα συνολικά για κάθε γραμμή υπάρχουν προτάσεις για όλους τους περιορισμούς των 9 P a g e

92 αριθμών από το μέχρι και το 9. Άρα τελικά για κάθε γραμμή και κάθε αριθμό το απαραίτητο σύνολο προτάσεων που προκύπτει από αυτόν τον αναδρομικό τύπο είναι προτάσεις για τους περιορισμούς των γραμμών. Αντίστοιχα ο αναδρομικός τύπος του Sudoku puzzle τάξης για τον περιορισμό των γραμμών είναι z k j ( zk zjk ). Για κάθε αριθμό σε κάθε γραμμή το πλήθος των προτάσεων καθορίζεται ακολούθως. Το πρώτο κελί συγκρίνεται με όλα τα υπόλοιπα της ίδιας γραμμής, συνεπώς συγκρίνεται με άλλα κελιά. Το δεύτερο κελί με τα υπόλοιπα κελιά της ίδιας γραμμής και συνεχίζεται η ίδια διαδικασία μέχρι να συγκριθεί το προτελευταίο κελί με το τελευταίο κελί της γραμμής. Άρα για το πρώτο κελί είναι απαραίτητες προτάσεις, για το δεύτερο κελί και ούτε κάθε εξής, μέχρι το προτελευταίο κελί, για το οποίο είναι απαραίτητη μια πρόταση. Άρα το πλήθος των προτάσεων για κάθε γραμμή είναι το άθροισμα ( ) ( ) ( 3)..., το οποίο είναι αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο το, τελευταίο όρο το, πλήθος όρων και διαφορά, άρα από τον τύπο του αθροίσματος αριθμητικών προόδων το [ ( )]( ) [ ]( ) ( ) σύνολο των προτάσεων είναι S, το οποίο είναι προφανές αν παρατηρήσουμε ότι το αντίστοιχο γράφημα κάθε γραμμής αποτελεί μια κλίκα μεγέθους. Άρα συνολικά για κάθε γραμμή υπάρχουν 3 ( ) ( ) προτάσεις για όλους τους περιορισμούς των αριθμών από το μέχρι και το. Άρα τελικά για κάθε γραμμή και κάθε αριθμό το απαραίτητο σύνολο προτάσεων που προκύπτει από αυτόν τον αναδρομικό τύπο είναι 3 z k j 3 προτάσεις. Για παράδειγμα για το Sudoku τάξης x ο αναδρομικός τύπος είναι ( zk zjk ) ( z k j zk 3 3 πλήθος 96 όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. zjk ) και οι προτάσεις που δημιουργούνται σε 9 P a g e

93 93 P a g e

94 5.3 Περιορισμός στηλών Sudoku puzzle τάξης 9x9 Στο ακόλουθο σχήμα κάθε βελάκι απεικονίζει μια πρόταση του SAT που πρέπει να διατυπωθεί έτσι ώστε να απεικονιστούν οι περιορισμοί του Sudoku puzzle τάξης 9 για την πρώτη στήλη. Η μεταβλητή z μπορεί να πάρει τιμές από το σύνολο S {,,3,,5,6,7,8,9}, έτσι ώστε να τεθούν οι περιορισμοί για όλους τους αριθμούς. Ακολουθούν αναλυτικά οι προτάσεις του SAT οι οποίες όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα συγκρίνουν το πρώτο κελί του παραπάνω πίνακα με τα 8 υπόλοιπα κελιά της πρώτης στήλης, το δεύτερο κελί με τα υπόλοιπα 7 κελιά της στήλης και η ίδια διαδικασία ακολουθείται μέχρι την σύγκριση του όγδοου κελιού με το ένατο της πρώτης στήλης. 9 P a g e

95 Το ίδιο ισχύει για τις υπόλοιπες 8 στήλες. Έτσι ο παρακάτω αναδρομικός τύπος κανονικής συζευκτικής μορφής, εξασφαλίζει ότι κάθε αριθμός εμφανίζεται το πολύ μια φορά σε κάθε στήλη k z jz ( zk jzk ) Η λογική της καταμέτρησης είναι ακριβώς η ίδια με τον παραπάνω τύπο με τη διαφορά ότι σαρώνεται κάθε στήλη. Συνεπώς το πλήθος των προτάσεων είναι και εδώ Αντίστοιχα ο αναδρομικός τύπος του Sudoku puzzle τάξης είναι ο 95 P a g e

96 96 P a g e ) ( jzk zk z j z k. Το σύνολο προτάσεων προκύπτει ακριβώς με την ίδια λογική που ακολουθήθηκε στις γραμμές και επομένως είναι 3 3 προτάσεις. Για παράδειγμα για το Sudoku τάξης x ο αναδρομικός τύπος είναι ) ( ) ( 3 jzk zk z j z k jzk zk z j z k και οι προτάσεις που δημιουργούνται σε πλήθος όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.

97 5. Περιορισμός υπο-block Sudoku puzzle τάξης 9x9 Στο ακόλουθο σχήμα κάθε βελάκι απεικονίζει μια πρόταση του SAT που πρέπει να διατυπωθεί έτσι ώστε να απεικονιστούν οι περιορισμοί του Sudoku puzzle τάξης 9 για του πρώτου υπο-block. Η μεταβλητή z μπορεί να πάρει τιμές από το σύνολο S {,,3,,5,6,7,8,9}, έτσι ώστε να τεθούν οι περιορισμοί για όλους τους αριθμούς. Ακολουθούν αναλυτικά οι προτάσεις του SAT οι οποίες όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα συγκρίνουν το πρώτο κελί του παραπάνω πίνακα με τα 8 υπόλοιπα κελιά του πρώτου υπο-block, το δεύτερο κελί με τα υπόλοιπα 7 κελιά του πρώτου υποblock και η ίδια διαδικασία ακολουθείται μέχρι την σύγκριση του όγδοου κελιού με το ένατο του πρώτου υπο-block 97 P a g e

98 Το ίδιο ισχύει για τα υπόλοιπα 8 υπο-block. Έτσι οι παρακάτω αναδρομικοί τύποι κανονικής συζευκτικής μορφής, εξασφαλίζουν ότι κάθε αριθμός εμφανίζεται το πολύ μια φορά σε κάθε υπο-block. ο υπο-block ( k lm ) j l m ο υπο-block ( k lm ) j l m 98 P a g e

99 99 P a g e 3 ο υπο-block ) ( lm k m l j ο υπο-block ) ( lm k m l j 5 ο υπο-block ) ( lm k m l j 6 ο υπο-block ) ( lm k m l j 7 ο υπο-block ) ( lm k m l j 8 ο υπο-block ) ( lm k m l j 9 ο υπο-block ) ( lm k m l j Η λογική της καταμέτρησης είναι ακριβώς η ίδια με την καταμέτρηση των προτάσεων των γραμμών με τη διαφορά ότι σαρώνεται κάθε τύπος κάθε υπο-block ξεχωριστά. Συνεπώς το πλήθος των προτάσεων είναι και εδώ 3 για κάθε υπο-block, επομένως για όλα τα υπο-block του puzzle. Αντίστοιχα οι αναδρομικοί τύποι του Sudoku puzzle τάξης θα είναι στο πλήθος, όσα δηλαδή και τα υπο-block του. Για το πρώτο block ο αναδρομικός τύπος είναι ) ( lmo ko m l j o. Για παράδειγμα αν το Sudoku είναι τάξης 6 6x τότε ο αντίστοιχος τύπος είναι ) ( ) ( lmo ko m l j o lmo ko m l j o, με αποτέλεσμα οι μεταβλητές m l j,,, να επιβάλουν την σάρωση του πρώτου υπο-block, το οποίο στο Sudoku τάξης 6 6x έχει διαστάσεις x και απαρτίζεται από τα κελιά

100 00 P a g e x x x x x x x x x x x x x x x x ,,,,,,,,,,,,,,,. Για τα δεύτερο υπο-block ο αναδρομικός τύπος είναι παρόμοιος με τη διαφορά ότι οι μεταβλητές j και m αρχίζουν από το μέχρι το, δηλαδή έχει την μορφή ) ( lmo ko m l j o. Για παράδειγμα αν το Sudoku είναι τάξης 6 6x τότε ο αντίστοιχος τύπος είναι ) ( ) ( lmo ko m l j o lmo ko m l j o, με αποτέλεσμα οι μεταβλητές m l j,,, να επιβάλουν την σάρωση του δεύτερου υπο-block, το οποίο στο Sudoku τάξης 6 6x έχει διαστάσεις x και απαρτίζεται από τα κελία x x x x x x x x x x x x x x x x ,,,,,,,,,,,,,,,. Με την ίδια λογική μπορούν να διατυπωθούν και οι υπόλοιποι αναδρομικοί τύποι όλων των υποblock. Το σύνολο των προτάσεων προκύπτει ακριβώς με την ίδια λογική που ακολουθήθηκε στις γραμμές και επομένως είναι 3 3 προτάσεις. Για παράδειγμα για το Sudoku τάξης x ο αναδρομικός τύπος για το πρώτο block είναι: ) ( ) ( lmo ko k m m l l j o lmo ko k m m l l j o Για τα δεύτερο υπο-block ο αναδρομικός τύπος είναι: ) ( ) ( lmo ko k m m l l j o lmo ko k m m l l j o και οι προτάσεις που δημιουργούνται σε πλήθος είναι όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.

101 0 P a g e

102 5.5 Βελτιωμένος περιορισμός υπο-block Sudoku puzzle τάξης 9x9 Στο ακόλουθο σχήμα κάθε βελάκι απεικονίζει μια πρόταση του SAT που πρέπει να διατυπωθεί έτσι ώστε να απεικονιστούν οι περιορισμοί του Sudoku puzzle τάξης 9 για του πρώτου υπο-block χωρίς όμως τις προτάσεις που έχουν συμπεριληφθεί ήδη από τους αναδρομικούς τύπους των γραμμών και των στηλών. Η μεταβλητή z μπορεί να πάρει τιμές από το σύνολο S {,,3,,5,6,7,8,9 }, έτσι ώστε να τεθούν οι περιορισμοί για όλους τους αριθμούς. Ακολουθούν αναλυτικά οι προτάσεις του SAT οι οποίες όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα συγκρίνουν το πρώτο κελί του παραπάνω πίνακα με τα υπόλοιπα κελιά του, τα οποία δεν βρίσκονται ούτε σε ίδια γραμμή ούτε σε ίδια στήλη του υποblock. Στη συνέχεια συγκρίνει το δεύτερο κελί με τα υπόλοιπα κελιά του πρώτου υποblock, τα οποία ομοίως δεν βρίσκονται ούτε σε ίδια γραμμή ούτε σε ίδια στήλη και η ίδια διαδικασία ακολουθείται μέχρι την σύγκριση του έκτου κελιού με το έβδομο και το όγδοο. 0 P a g e

103 03 P a g e Το ίδιο ισχύει για τα υπόλοιπα 8 υπο-block. Έτσι οι παρακάτω αναδρομικοί τύποι κανονικής συζευκτικής μορφής, εξασφαλίζουν ότι κάθε αριθμός εμφανίζεται το πολύ μια φορά σε κάθε υπο-block χωρίς να περιλαμβάνονται οι περιορισμοί των γραμμών και των στηλών. ο υπο-block ) ( lm k k m m l l j ο υπο-block ) ( lm k k m m l l j 3 ο υπο-block ) ( lm k k m m l l j ο υπο-block ) ( lm k k m m l l j

104 0 P a g e 5 ο υπο-block ) ( lm k k m m l l j 6 ο υπο-block ) ( lm k k m m l l j 7 ο υπο-block ) ( lm k k m m l l j 8 ο υπο-block ) ( lm k k m m l l j 9 ο υπο-block ) ( lm k k m m l l j Η λογική της καταμέτρησης σε αυτήν την περίπτωση διαφέρει από τις προηγούμενες τρείς, μιας και αποτελεί μια βελτίωση της παραγράφου 5.. Το πλήθος των προτάσεων για το πρώτο υπο-block για τον αριθμό είναι μόνο 8 προτάσεις, αφού από τις 36, 9 είναι περιορισμοί γραμμών, 9 περιορισμοί στηλών άρα απαραίτητες πλέον είναι μόνο οι προτάσεις. Επομένως και για τους εννιά αριθμούς στο πρώτο υπο-block υπάρχουν πλέον προτάσεις. Άρα για όλα τα υποblock του puzzle Sudoku τάξης 9 υπάρχουν προτάσεις. Δηλαδή το πλήθος των προτάσεων μειώθηκε στις Αντίστοιχα οι αναδρομικοί τύποι του Sudoku puzzle τάξης x θα είναι στο πλήθος, όσα δηλαδή και τα υποblock του. Για το πρώτο block ο αναδρομικός τύπος είναι ) ( lmo ko k m m l l j o. Για τα δεύτερο υπο-block ο αναδρομικός τύπος είναι παρόμοιος με τη διαφορά ότι οι μεταβλητές j και m αρχίζουν από το μέχρι το, δηλαδή έχει την μορφή ) ( lmo ko k m m l l j o. Με την ίδια λογική μπορούν να διατυπωθούν και οι υπόλοιποι αναδρομικοί τύποι όλων των υπο-block. Το σύνολο των προτάσεων που

105 05 P a g e προκύπτει από τους περιορισμούς των γραμμών και των στηλών είναι 3. Το σύνολο των ακμών του αντίστοιχου γραφήματος είναι 3 αφού είναι 3 - κανονικό με κορυφές. Συνεπώς και για τα στοιχεία υπάρχουν 3 προτάσεις. Άρα τελικά το σύνολο των προτάσεων των βελτιωμένων υπο-block είναι Για παράδειγμα για το Sudoku τάξης x ο αναδρομικός τύπος για το πρώτο block είναι: ) ( ) ( lmo ko k m m l l j o lmo ko k m m l l j o Για τα δεύτερο υπο-block ο αναδρομικός τύπος είναι: ) ( ) ( 3 3 lmo ko k m m l l j o lmo ko k m m l l j o και οι προτάσεις που δημιουργούνται σε πλήθος είναι όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα..

106 Αν συνδυαστούν οι προτάσεις των 5., 5., 5.3 και 5. ή των 5., 5., 5.3 και 5.5 σε μια μόνο πρόταση τότε κάθε γραμμή κάθε στήλη και κάθε υπο-block θα περιέχει όλα τα στοιχεία του συνόλου S {,,3,,5,6,7,8,9 } ακριβώς μια φορά το κάθε ένα, το οποίο είναι ακριβώς όλοι οι κανόνες που επιβάλει το Sudoku puzzle. Τελικά το συνολικό πλήθος προτάσεων που χρειάζονται για να κωδικοποιηθεί ένα puzzle Sudoku 9 9 σε κανονική συζευκτική μορφή είναι αν συνδυαστούν οι προτάσεις των παραγράφων 5., 5., 5.3, 5. ενώ αν συνδυαστούν οι προτάσεις των παραγράφων 5., 5., 5.3, 5.5 είναι και σύνολο μεταβλητών και στις δυο περιπτώσεις είναι Αντίστοιχα το συνολικό πλήθος προτάσεων που χρειάζονται για να κωδικοποιηθεί ένα puzzle Sudoku x σε κανονική συζευκτική μορφή αν συνδυαστούν οι προτάσεις των παραγράφων 5., 5., 5.3, 5. είναι: ενώ το συνολικό πλήθος προτάσεων που χρειάζονται για να κωδικοποιηθεί ένα puzzle Sudoku x σε κανονική συζευκτική μορφή αν συνδυαστούν οι προτάσεις των παραγράφων 5., 5., 5.3, 5.5 είναι: και σύνολο μεταβλητών και στις δυο περιπτώσεις είναι ακόλουθο σχήμα. 3 όπως φαίνεται στο 06 P a g e

107 Ο αναγνώστης αν επιθυμεί να δει αναλυτικά τις προτάσεις κάθε αναδρομικού τύπου πρέπει να ανατρέξει στο επισυναπτόμενο CD της παρούσας διπλωματικής. Το CD περιέχει πέντε αρχεία. Το αρχείο με όνομα περιορισμός μη κενών κελιών περιέχει προτάσεις κανονικής συζευκτικής μορφής, έτσι ώστε στο Sudoku puzzle τάξης 9, κάθε κελί του να περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο από το σύνολο S {,,3,,5,6,7,8,9}. Οι προτάσεις περιέχουν όλες 9 μεταβλητές, οι οποίες είναι όλες θετικές. Ο αναδρομικός τύπος που ακολουθεί δημιουργεί τις προτάσεις ανά γραμμή. Αντίστοιχα για το Sudoku puzzle τάξης, ο γενικός αναδρομικός τύπος επιβεβαιώνει ότι κάθε κελί περιέχει ένα στοιχείο από το σύνολο S {,,3,..., }. Οι προτάσεις περιέχουν όλες μεταβλητές, οι οποίες είναι όλες θετικές, καθώς και η δημιουργία προτάσεων από τον αντίστοιχο τύπο γίνεται ανά γραμμή. 07 P a g e

108 Το αρχείο με όνομα περιορισμός γραμμών περιέχει προτάσεις κανονικής συζευκτικής μορφής, έτσι ώστε στο Sudoku puzzle τάξης 9, να υπάρχει μοναδικότητα αριθμού από το σύνολο S {,,3,,5,6,7,8,9 } σε κάθε γραμμή. Οι προτάσεις περιέχουν όλες μεταβλητές, οι οποίες είναι όλες αρνητικές. Ο αναδρομικός τύπος δημιουργεί τις προτάσεις ανά γραμμή και αριθμό. Δηλαδή θέτει τους περιορισμούς για τον αριθμό στην πρώτη γραμμή, για τον αριθμό στην πρώτη γραμμή, μέχρι τον αριθμό 9 και ακολουθεί την ίδια διαδικασία για τις υπόλοιπες γραμμές. Αντίστοιχα για το Sudoku puzzle τάξης, ο γενικός αναδρομικός τύπος υποχρεώνει την ύπαρξη μοναδικότητας αριθμού από το σύνολο S {,,3,..., } σε κάθε γραμμή. Οι προτάσεις περιέχουν όλες μεταβλητές, οι οποίες είναι όλες αρνητικές καθώς και η διαδικασία δημιουργίας προτάσεων είναι ακριβώς η ίδια με το Sudoku τάξης 9. Το αρχείο με όνομα περιορισμός στηλών περιέχει προτάσεις κανονικής συζευκτικής μορφής, έτσι ώστε στο Sudoku puzzle τάξης 9, να υπάρχει μοναδικότητα αριθμού από το σύνολο S {,,3,,5,6,7,8,9 } σε κάθε στήλη. Οι προτάσεις περιέχουν όλες μεταβλητές, οι οποίες είναι όλες αρνητικές. Ο αναδρομικός τύπος δημιουργεί τις προτάσεις ανά στήλη και αριθμό. Δηλαδή θέτει τους περιορισμούς για τον αριθμό στην πρώτη στήλη, για τον αριθμό στην πρώτη στήλη, μέχρι τον αριθμό 9 και ακολουθεί την ίδια διαδικασία για τις υπόλοιπες στήλες. Αντίστοιχα για το Sudoku puzzle τάξης, ο γενικός αναδρομικός τύπος υποχρεώνει την ύπαρξη μοναδικότητας αριθμού από το σύνολο S {,,3,..., } σε κάθε στήλη. Οι προτάσεις περιέχουν όλες μεταβλητές, οι οποίες είναι όλες αρνητικές καθώς και η διαδικασία δημιουργίας προτάσεων είναι ακριβώς η ίδια με το Sudoku τάξης 9. Το αρχείο με όνομα περιορισμοί υπο-block περιέχει προτάσεις κανονικής συζευκτικής μορφής, έτσι ώστε στο Sudoku puzzle τάξης 9, να υπάρχει μοναδικότητα αριθμού από το σύνολο S {,,3,,5,6,7,8,9 } σε κάθε υπό-block. Οι προτάσεις περιέχουν όλες μεταβλητές, οι οποίες είναι όλες αρνητικές. Ο αναδρομικός τύπος δημιουργεί τις προτάσεις ανά υπο-block και αριθμό, όπου κάθε υπο-block διατυπώνεται ανά γραμμή. Δηλαδή θέτει τους περιορισμούς για τον αριθμό στο πρώτο υπο-block, για τον αριθμό στο πρώτο υπο-block, μέχρι τον αριθμό 9 και ακολουθεί την ίδια διαδικασία για τα υπόλοιπα υπο-block. Αντίστοιχα για το Sudoku puzzle τάξης, ο γενικός αναδρομικός τύπος υποχρεώνει την ύπαρξη μοναδικότητας αριθμού από το σύνολο S {,,3,..., } σε κάθε υπο-block. Οι προτάσεις περιέχουν όλες μεταβλητές, οι οποίες είναι όλες αρνητικές 08 P a g e

109 καθώς και η διαδικασία δημιουργίας προτάσεων είναι ακριβώς η ίδια με το Sudoku τάξης 9. Τέλος το αρχείο με όνομα βελτιωμένοι περιορισμοί υπο-block είναι μια βελτίωση του προηγούμενου αρχείου. Δηλαδή περιέχει λιγότερες προτάσεις λόγο του ότι για κάθε γραμμή κάθε υπο-block, οι περιορισμοί αυτοί έχουν ληφθεί υπόψη από την δεύτερη ομάδα. Ομοίως για κάθε στήλη κάθε υπο-block, οι περιορισμοί αυτοί έχουν ληφθεί υπόψη από την τρίτη ομάδα. 09 P a g e

110 Κεφάλαιο 6 Παιχνίδι με τραπουλόχαρτα Ακολουθεί μια εφαρμογή του προτοκόλου μηδενικής γνώσης χρησιμοποιώντας μόνο τραπουλόχαρτα. Το μόνο εργαλείο κρυπτογραφίας που χρησιμοποιείται ακολούθως είναι ένα πρωτόκολλο επικοινωνίας. Ένα πρωτόκολλο επικοινωνίας επιτρέπει στην μια ομάδα, η οποία είναι ο αποστολέας να στείλει μια τιμή στην άλλη ομάδα, η οποία είναι ο αποδέκτης, έτσι ώστε να μην μάθει τίποτα χρήσιμο για την τιμή αυτή. Η τιμή στην προκειμένη περίπτωση είναι η λύση ενός Sudoku puzzle τάξης 9 9. Προφανώς η κωδικοποίηση μπορεί να γενικευτεί για οποιαδήποτε μορφή Sudoku. Απαραίτητα υλικά: Έναν κενό πίνακα Sudoku 0 P a g e

111 Κάρτες από τράπουλα με ίδιο οπισθόφυλλο. Κάθε κάρτα με ίδιο νούμερο πρέπει να εμφανίζεται 7 φορές για κάθε αριθμό του συνόλου,...,9, δηλαδή 3 κάρτες. Οι δύο ομάδες καλούνται γνώστης (κάτοχος της λύσης) και ο επαληθευτής (ελεγκτής της λύσης). Και οι δυο πρέπει να γνωρίζουν τους κανόνες του παιχνιδιού Sudoku, μόνο ο γνώστης ξέρει ή ισχυρίζεται ότι ξέρει τη λύση. Ο γνώστης θέλει να πείσει τον επαληθευτή ότι η λύση του είναι ορθή. Το πρωτόκολλο:. Ο γνώστης τοποθετεί 3 κάρτες σε κάθε κελί. Στα κελιά που υπήρχαν ήδη αριθμοί τοποθετεί ο γνώστης 3 κάρτες έτσι ώστε να φαίνεται ο αριθμός (αυτό μπορεί να γίνει και από τον επαληθευτή). Στα υπόλοιπα κελιά ο γνώστης τοποθετεί τις κάρτες με το οπισθόφυλλο να είναι εμφανές. P a g e

112 P a g e

113 . Για κάθε γραμμή στήλη και υπο-block ο επαληθευτής διαλέγει τυχαία μια από τις τρείς κάρτες της αντίστοιχης γραμμής στήλης και υπο-block και φτιάχνει στοίβες με αυτές τις κάρτες. 3 P a g e

114 3. Ο γνώστης ανακατεύει κάθε ένα από τα 7 πακέτα ξεχωριστά. P a g e