ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Πέτρος Μπογιατζής. ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ Κώστας Παπαζάχος ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ. Παναγιώτης Τσούρλος Παντελής Σουπιός

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Πέτρος Μπογιατζής Δισδιάστατη Αντιστροφή Δεδομένων Τομογραφίας Σεισμικής Διάθλασης ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ Κώστας Παπαζάχος ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Κώστας Παπαζάχος Παναγιώτης Τσούρλος Παντελής Σουπιός ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ 006

2 Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... H3 1. ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΗΣ... H4. ΕΥΘΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ... H5.1 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ... H6.1.1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ... H6.1. ΘΕΩΡΙΑ ΑΚΤΙΝΩΝ... H8.1.3 ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ... H8.1.4 ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΚΤΙΝΑΣ... H9.1.5 ΑΡΧΗ ΤΟΥ FERMAT... H ΝΟΜΟΣ SNELL... H11. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΥΘΕΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ...H1..1 ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ...H1.. ΙΧΝΗΛΑΤΗΣΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ...H ΣΚΟΠΕΥΣΗ (SHOOTING)...H14... ΚΑΜΨΗ (BENDING)...H ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ (GRID BASED)...H16 3. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ.... H ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ...H ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ...H ΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ...H SVD ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ....H ΕΠΙΛΕΓΟΝΤΑΣ ΤΗ ΣΩΣΤΗ ΛΥΣΗ...H ΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ TIKHONOV ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ....H ΚΑΜΠΥΛΗ L...H ΣΥΝΘΗΚΗ PICARD ΓΙΑ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ...H ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ... H ΕΞΟΜΑΛΥΣΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ TIKHONOV ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΤΑΞΕΩΝ...H ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΧΩΡΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ LAGRANGIAN...H30 3. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ...H ΜΕΘΟΔΟΣ NEWTON...H ΜΕΘΟΔΟΣ GAUSS NEWTON...H ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ...H36 4. ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ... H ΕΥΘΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ...H ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ...H ΙΧΝΗΛΑΤΗΣΗ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΑΚΤΙΝΩΝ...H ΠΡΩΤΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ...H ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΑΜΨΗΣ ΜΕ BETA SPLINES...H ΖΩΝΕΣ FRESNEL, ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ «ΠΑΧΙΑΣ ΑΚΤΙΝΑΣ»...H ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 1 ΗΣ ΖΩΝΗΣ FRESNEL APPROXIMATE FRESNEL...H ΑΚΡΙΒΗΣ Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΖΩΝΗ FRESNEL;...H48 4. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ...H ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ...H ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ...H ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΑΘΟΡΥΒΑ ΣΥΝΘΕΤΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ...H ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕ ΘΟΡΥΒΟ....H ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑ...H ΚΕΚΛΙΜΕΝΗ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑ...H ΔΙΑΤΑΞΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΓΕΩΤΡΗΣΕΩΝ (CROSSHOLE)...H63 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ... H67 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΝΑΦΟΡΕΣ... H69 1

3 EQUATION CHAPTER 1 SECTION 1Equation Chapter 1 Section 1

4 Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη διατριβή αυτή αναπτύχθηκαν αλγόριθμοι και διερευνήθηκαν μέθοδοι και εξήχθησαν συμπεράσματα για την επίλυση του ευθέος και του αντιστρόφου προβλήματος στην τομογραφία χρόνων των πρώτων αφίξεων (διάθλασης). Η δομή που ακολουθείται είναι η εξής: 1 ο Κεφάλαιο: Γενικές πληροφορίες για την εφαρμογή των σεισμικών μεθόδων γεωφυσικής διασκόπησης. ο Κεφάλαιο: Γίνεται μία περιεκτική παρουσίαση της φύσης και της φυσικής του ευθέος προβλήματος στις σεισμικές μεθόδους και ειδικότερα στη σεισμική διάθλαση. Παρουσιάζονται η φυσική και μαθηματική θεωρία του προβλήματος, καθώς και οι αριθμητικές προσεγγίσεις πεπερασμένων μαθηματικών που χρησιμοποιούνται για την αλγοριθμική αναπαράσταση του. Από τις τελευταίες τονίστηκαν περισσότερο εκείνες οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία. 3 ο Κεφάλαιο: Περιέχει μια περιεκτική παρουσίαση του αντιστρόφου προβλήματος. Αρχικά αναλύεται το γραμμικό αντίστροφο πρόβλημα που αποτελεί και δομικό λίθο του μη γραμμικού. Αναφέρονται τα μαθηματικά που το περιγράφουν, οι αλγόριθμοι αριθμητικής επίλυσης, οι μέθοδοι σταθεροποίησης και βελτίωσης της λύσης, με έμφαση σε αυτές που χρησιμοποιήθηκαν εδώ. Στη συνέχεια παρουσιάζεται το μη γραμμικό αντίστροφο πρόβλημα, οι ιδιαιτερότητες του και ο τρόπος αντιμετώπισης του. 4 ο Κεφάλαιο: Αποτελείται από δύο μέρη. Στο πρώτο παρουσιάζονται οι μέθοδοι και οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιήθηκαν είτε αναπτύχθηκαν στη συγκεκριμένη διατριβή για την επίλυση του ευθέoς και αντιστρόφου προβλήματος ο καθένας ξεχωριστά αλλά και ως όλον με τη μορφή του ολοκληρωμένου αλγόριθμου επεξεργασίας δεδομένων σεισμικής τομογραφίας. Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζονται ενδεικτικά παραδείγματα όπου καταδεικνύονται τα αποτελέσματα των μεθόδων και τεχνικών που εφαρμόσθηκαν. 5 ο Κεφάλαιο: Παρουσιάζονται συνοπτικά τα συμπεράσματα της διατριβής αυτής 3

5 1. ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΗΣ EQUATION CHAPTER 1 SECTION 11 Οι σεισμικές μέθοδοι ανήκουν στις γεωφυσικές μεθόδους γεωφυσικής διασκόπησης και χρησιμοποιούνται ευρέως στον εντοπισμό κοιτασμάτων, υδροφορέων, γεωθερμικών πεδίων, αρχαιολογικών χώρων και άλλα (Παπαζάχος 1986). Έχουν το πλεονέκτημα ότι είναι μη καταστροφικές, ενώ δίνουν τη δυνατότητα συνεχούς εικόνας κατανομής του διερευνούμενου μεγέθους (πχ. ταχύτητα σεισμικών κυμάτων) σε μια περιοχή, σε αντίθεση με σημειακές δειγματοληπτικές τεχνικές. Επιπλέον έχουν υψηλό λόγο απόδοσης προς κόστος, κάτι που τις κάνει ιδιαίτερα ελκύστηκες σε μια μεγάλη ποικιλία προβλημάτων Οι σεισμικές μέθοδοι συγκεκριμένα εκμεταλλεύονται το γεγονός ότι τα σεισμικά κύματα διαδίδονται με διαφορετικό τρόπο ανάλογα με το μέσο διάδοσης. Γενικά διακρίνονται δυο κύριες κατηγορίες: Οι μέθοδοι που βασίζονται στη σεισμική ανάκλαση και αυτές που βασίζονται στη διάθλαση. Η σεισμική ανάκλαση χρησιμοποιείται κατά κόρον στον εντοπισμό υδρογονανθράκων και γενικά για τη διασκόπηση γεωλογικών σχηματισμών σε μεγάλα βάθη. Αξιοποιεί τα κύματα που προέρχονται από τις ανακλάσεις στις διαχωριστικές επιφάνειες των σχηματισμών. Θεωρείται εξαιρετικά ακριβής μέθοδος ωστόσο δε μπορεί να εφαρμοστεί για τον καθορισμό της δομής πολύ επιφανειακών στρωμάτων ενώ γενικά είναι αρκετά πιο δαπανηρή από τη διάθλαση. Η σεισμική διάθλαση εφαρμόζεται σε διασκοπήσεις μικρού σχετικά βάθους. Αυτό την καθιστά κατάλληλη στην επίλυση γεωτεχνικών προβλημάτων. Εφαρμόζεται συνήθως στα πρώτα στάδια μιας μελέτης, αναγνωριστικά και σε συνδυασμό με άλλες γεωφυσικές μεθόδους. Η διακριτική της ικανότητα είναι γενικά μικρότερη αυτής που επιτυγχάνει η σεισμική ανάκλαση, ωστόσο τα τελευταία χρόνια, η εφαρμογή της σεισμικής τομογραφίας και κυρίως η ανάπτυξη μεθόδων αντιστροφής σε συνδυασμό με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών βελτίωσαν κατακόρυφα τις δυνατότητες της. Στη διατριβή αυτή μελετήθηκε η τομογραφία χρόνων διαδρομής των διαθλώμενων κυμάτων ή αλλιώς η σεισμική τομογραφία πρώτων αφίξεων. 4

6 . ΕΥΘΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ Equation Chapter 1 Section 1Equation Chapter (Next) Section 1 Η επίλυση του ευθέος προβλήματος, έχει στόχο την δημιουργία ενός μαθηματικού μοντέλου το οποίο να περιγράφει όσο το δυνατόν καλύτερα το φαινόμενο που θα μελετηθεί. Έτσι λοιπόν, ας θεωρήσουμε ένα σύνολο παραμέτρων μοντέλου, m, οι οποίες προσομοιάζουν και περιγράφουν τη φυσική πραγματικότητα, καθώς και ένα σύνολο παρατηρημένων δεδομένων, d. Το ευθύ πρόβλημα τότε έγκειται στην εύρεση ενός τελεστή G ο οποίος όταν θα εφαρμόζεται στο μοντέλο, θα παράγει τα παρατηρούμενα δεδομένα. Δηλαδή μια εξίσωσης της μορφής: d = G( m) (.1) Η συγκεκριμένη εξίσωση περιγράφει την συμπεριφορά εξιδανικευμένων, ιδεατών καταστάσεων και σε ότι αφορά το χώρο των δεδομένων και σε ότι αφορά το χώρο του μοντέλου. Στην πραγματικότητα τα δεδομένα, d, πάντοτε περιέχουν ένα ποσοστό θορύβου. Ο θόρυβος αυτός οφείλεται σε δύο κυρίως λόγους. Ένας έχει να κάνει με παράγοντες που δεν έχουν ληφθεί υπόψη στην παραμετροποίηση του μοντέλου, ωστόσο επηρεάζουν τα αποτελέσματα των μετρήσεων. Επίσης σφάλματα υπεισέρχονται εξαιτίας της αναγκαστικά πεπερασμένης ακρίβειας των μετρήσεων (εγγενής ακρίβεια οργάνου μέτρησης, σφάλματα δειγματοληψίας και στρογγυλοποίησης κατά την ψηφιοποίηση των δεδομένων κτλ.). Μπορούμε να θεωρήσουμε επομένως, ότι τα τελικώς παρατηρούμενα δεδομένα, d real, παράγονται από την συνεισφορά των θεωρητικών δεδομένων ενός ιδεατού πειράματος, που περιγράφει η εξίσωση (1.1), αλλά και από έναν παράγοντα θορύβου n (Gauss 1809): dreal = dideal + n = G( m) + n (.) Ένα σημείο που πρέπει να τονιστεί είναι ότι μέχρι τώρα θεωρήθηκε ότι το ευθύ πρόβλημα επιλύεται με απόλυτη ακρίβεια, ή αλλιώς ότι για ένα εξιδανικευμένο δεδομένο μοντέλο m, απαλλαγμένο από θόρυβο παραμετροποίησης, η δράση του τελεστή G θα μας δώσει ακριβώς τα παρατηρούμενα δεδομένα αν δεν υπεισέλθουν σφάλματα σαν αυτά που αναφέρθηκαν παραπάνω. Αυτό όμως κατά κανόνα δεν ισχύει. Δεν είναι δυνατόν να περιγραφεί και να εκτιμηθεί το σύνολο των φυσικών νόμων που ενδεχομένως να επηρεάζουν το πείραμα και τα δεδομένα (Scales και Snieder, 1998). Από την άλλη ακόμα και η αφαιρετική αυτή εκδοχή του τελεστή G ενδέχεται να έχει τη μορφή μιας Συνήθους Διαφορικής Εξίσωσης (ΣΔΕ), μιας Μερικής Διαφορικής Εξίσωσης (ΜΔΕ) ενός συστήματος, γραμμικών ή μη, αλγεβρικών εξισώσεων κλπ. Στις περισσότερες περιπτώσεις, τουλάχιστον, δεν υπάρχει αναλυτική λύση αυτών των εξισώσεων. Αυτό οδηγεί στη χρήση προσεγγιστικών μεθόδων που εισάγουν αναγκαστικά ένα σφάλμα προσέγγισης. Αυτό λοιπόν το σφάλμα του μαθηματικού μοντέλου, που περιγράφει τη φυσική του πειράματος, είναι δύσκολο να υπολογιστεί και να διορθωθεί. 5

7 .1 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ.1.1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ Στο πρόβλημα της διάδοσης σεισμικών κυμάτων εκείνο που πρέπει να προσδιοριστεί είναι ο τρόπος διάδοσης και ο χρόνος άφιξης του σεισμικού κύματος από την πηγή που το παράγει, έως κάποιο δέκτη σε δεδομένη απόσταση από την πηγή. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται Ιχνηλάτηση Σεισμικών Ακτινών (Ray Tracing). Όπως και στη συντριπτική πλειοψηφία τον υπόλοιπων μεθόδων γεωφυσικής έρευνας, το φαινόμενο δεν είναι γραμμικό και για συγκεκριμένες δομές του μέσου διάδοσης μπορεί να χαρακτηριστεί εξαιρετικά μη γραμμικό. Κάνοντας την - ρεαλιστική γενικά - παραδοχή ότι το υπέδαφος μπορεί να θεωρηθεί ως ελαστικό μέσο διάδοσης του οποίου οι ελαστικές σταθερές μεταβάλλονται χωρικά (ανομοιογενής γη), το φαινόμενο περιγράφεται από την Διαφορική Εξίσωση Διάδοσης Κύματος σε Ελαστικό Μέσο (στο εξής ΔΕΔΚΕΜ). u T ρ = λ( u) + μ [ u+ ( u) ] + ( λ + μ) ( u) μ u (.3) t Στην παραπάνω εξίσωση u είναι το διάνυσμα της μετατόπισης, ρ η πυκνότητα του ελαστικού μέσου, μ και λ οι σταθερές Lamé. Οι δύο όροι που περιέχουν τη βαθμίδα ( ) των σταθερών Lamé μ και λ, υπαγορεύουν ότι η εγκάρσια και η επιμήκης κίνηση ενός υλικού σημείου, που οφείλεται στα αντίστοιχα είδη κυμάτων, δεν μπορεί να διαχωριστούν μεταξύ τους σε ανομοιογενή μέσα. Ωστόσο, αν θεωρήσουμε αρκετά μικρά μήκη κύματος σε σχέση με την διακύμανση των μ και λ, τότε η ΔΕΔΚΕΜ, μπορεί να απλοποιηθεί και τελικά να είναι εφικτή η ξεχωριστή μεταχείριση των P και S κυμάτων. Η απλοποιημένη μορφή της (χωρίς τους δυο πρώτους όρους) που ισχύει όταν θεωρήσουμε είτε απολύτως ομοιογενές μέσο είτε πολύ υψηλές συχνότητες είναι η εξής. u ρ = ( λ+ μ) ( u) μ u (.4) t Θεωρώντας την απόκλιση της παραπάνω σχέσης και χρησιμοποιώντας το ότι για κάθε διάνυσμα v, ισχύει ότι v = 0 καταλήγουμε τελικά στην παρακάτω σχέση: u λ+ μ = t ρ ( u ) (.5) η οποία έχει τη γενική μορφή της διαφορικής εξίσωσης κύματος : f t = c f (.6) 6

8 στην παραπάνω σχέση ο όρος c αναπαριστά το τετράγωνο της ταχύτητας διάδοσης α, των P κυμάτων δηλαδή: λ + μ a = (.7) p Αντίστοιχα αν θεωρήσουμε την αντί της απόκλισης, την περιστροφή (curl) της απλοποιημένης μορφής της ΔΕΔΚΕΜ, και χρησιμοποιώντας, το ότι για κάθε βαθμωτή συνάρτηση F, F = 0, έχουμε: ρ t u = μ u (.8) Επιπλέον χρησιμοποιώντας την ταυτότητα των διανυσμάτων: u= ( u) u καταλήγουμε στην σχέση: u μ = ( u ) (.9) t ρ Που επίσης έχει τη γενική μορφή διαφορικής εξίσωσης κύματος (1.6) με c = μ/ρ. Σε αυτή την περίπτωση ο c αναπαριστά την ταχύτητα β των S κυμάτων, επομένως: μ β = (.10) p Από τις σχέσεις αυτές συνεπάγεται, ότι το πρόβλημα του καθορισμού του χρόνου άφιξης, και του τρόπου διάδοσης των κυμάτων, είτε πρόκειται για P είτε για S κύματα, σε ένα ελαστικό μέσο, από την στιγμή που είναι απόρροια της ταχύτητας του κύματος, εξαρτάται απόλυτα από τις κατανομή των ελαστικών ιδιοτήτων και της πυκνότητας μέσα σε αυτό. Στη συγκεκριμένη αλληλεξάρτηση στηρίζεται η εφαρμοσμένη γεωφυσική και εν προκειμένω οι μέθοδοι σεισμικής διασκόπησης, ώστε προσδιορίζοντας την κατανομή των ταχυτήτων μέσα στη γη, να εντοπιστούν οι δομές ενδιαφέροντος. Συχνά η μετατόπιση u συχνά εκφράζεται με το βαθμωτό δυναμικό των P κυμάτων, Φ και το διανυσματικό δυναμικό των S κυμάτων, Ψ (θεώρημα Helmholtz). u = Φ + Ψ (.11) Σε αυτόν τον τρόπο αναπαράστασης, η μετατόπιση είναι το αποτέλεσμα ενός μη περιστροφικού ( ( Φ ) = 0 ) και ενός σωληνοειδούς μέρους ( ( Ψ ) = 0). Αυτό επιτρέπει τον διαχωρισμό της μετατόπισης σε αυτή που παράγει P και S κύματα αντίστοιχα. Στην παρούσα διατριβή μελετήθηκε η σεισμική τομογραφία χρόνων διαδρομής επιμηκών κυμάτων, ωστόσο με μικρές σχετικά μετατροπές μπορεί να επεκταθεί και στην περίπτωση εγκαρσίων κυμάτων. 7

9 .1. ΘΕΩΡΙΑ ΑΚΤΙΝΩΝ Επειδή η αναλυτική επίλυση της ΔΕΔΚΕΜ ακόμα και στην απλοποιημένη της μορφή είναι εξαιρετικά δύσκολη και επίπονη αν όχι αδύνατη υπολογιστικά, αναπτύχθηκε μία εναλλακτική προσέγγιση που γενικά ονομάζεται Θεωρία Ακτίνας (Ray Theory, στο εξής, ΘΑ). Η ΘΑ περιλαμβάνει όλες εκείνες τις μεθόδους προσεγγίσεις που αντί να θεωρούν ολόκληρο το πεδίο κυμάτων (wavefield) μελετούν ένα σημείο του μετώπου διάδοσης του κύματος. Η θεωρία ακτινών χρησιμοποιείται ευρύτατα εξαιτίας της απλότητάς της καθώς και του μεγάλου εύρους των εφαρμογών της. Απαραίτητη προϋπόθεση για την εφαρμογή της είναι οι διακυμάνσεις του μ και λ στο μέσο διάδοσης να είναι κατά πολύ μεγαλύτερες του μήκους κύματος, η όπως αναφέρεται συχνά, να ισχύει η Υπόθεση Υψηλών Συχνοτήτων. Σε χαμηλές συχνότητες η θεώρηση της σεισμικής ακτίνας παύει να είναι έγκυρη, αν και όπως θα δούμε έχουν αναπτυχθεί τεχνικές που διορθώνουν αυτή την ασυμφωνία..1.3 ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Ας θεωρήσουμε ξανά τη διαφορική εξίσωση κύματος για επιμήκη κύματα, σε ετερογενές μέσο: Φ V ( ) = x Φ (.1) t όπου Φ το βαθμωτό δυναμικό του P κύματος και V ( x ) η κατανομή της ταχύτητας του στο ελαστικό μέσο. Η παραπάνω εξίσωση έχει γενική λύση της μορφής: Φ= A( ) i ( T( ) t) e ω x x + (.13) όπου Α(x) είναι το πλάτος του κύματος σε σημείο x, ω η κυκλική συχνότητα και Τ(x) η συνάρτηση φάσης, που περιγράφει την κατανομή στο χώρο επιφανειών σταθερής φάσης. τροφοδοτώντας την αρμονική αυτή λύση στην εξίσωση κύματος και κρατώντας μόνο τα πραγματικούς όρους, καταλήγουμε στην εξής εξίσωση. 1 V( x) T = + A Aω (.14) Κάνοντας την Υπόθεση Υψηλών Συχνοτήτων, δηλαδή για πολύ μεγάλες τιμές κυκλικής συχνότητας, ω, μπορούμε να αγνοήσουμε τον δεύτερο όρο του δεξιού μέρους της (1.14) ο οποίος επειδή περιέχει την ποσότητα 1/ω θα είναι πολύ μικρότερος του πρώτου. Αν επιπλέον αντί της κατανομής των ταχυτήτων θεωρήσουμε το αντίστροφο, δηλαδή την κατανομή των επιβραδύνσεων S(x) τότε καταλήγουμε σε αυτό που είναι γνωστό ως Εικονική Εξίσωση (Eikonal Equation). 8

10 T T T + + = Sxyz (,, ) x y z (.15) Η Εικονική Εξίσωση, είναι μια εξίσωση πεδίου. Περιγράφει την εξάπλωση του μετώπου του κύματος εντός του μέσου διάδοσης. Επιφάνειες στο μέσο με εξίσωση της μορφής Τ(x)=σταθερά, αναπαριστούν ισοδυναμικές επιφάνειες σταθερής φάσης, ή αλλιώς σημεία στα οποία το μέτωπο του κύματος από δεδομένη πηγή θα φθάσει ταυτόχρονα. Η βαθμίδα της παραπάνω ποσότητας T ( x ), αναπαριστά τις εξισώσεις των δυναμικών γραμμών ή αλλιώς των ακτινών των κυμάτων οι ποίες τέμνουν σε κάθε σημείο τους κάθετα τις ισοδυναμικές επιφάνειες (σχήμα 1). Σχήμα 1: Μέτωπα Κύματος με μπλε χρώμα που αντιστοιχούν σε εξισώσεις της μορφής Τ(x)=σταθερά. Με κόκκινο χρώμα παρίστανται οι σεισμικές ακτίνες, που έχουν το ρόλο δυναμικών γραμμών του πεδίου των μετώπων κυμάτων και μαθηματικά περιγράφονται με τη βαθμίδα του πεδίου T ( x )..1.4 ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΚΤΙΝΑΣ Ας θεωρήσουμε ένα στοιχειώδες κομμάτι ακτίνας, dr με r το διάνυσμα θέσης της ακτίνας. τότε κατά μήκος l της ακτίνας ισχύει: dr T = (.16) dl S y x o r o dr r x Με S συμβολίζεται η κατανομή των 0 x επιβραδύνσεων (αντίστροφο των Σχήμα : Στοιχειώδες τμήμα ακτίνας, dr ταχυτήτων) στο μέσο. Το διάνυσμα T, ανάμεσα στα σημεία του χώρου x ο και x, με r ο είναι τοπικά παράλληλο με την ακτίνα, και r τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης. ενώ, όπως προκύπτει από την Εικονική Εξίσωση (1.14) παραπάνω, ο λόγος T / S είναι σταθερός και ισούται με τη μονάδα. Ο ρυθμός μεταβολής του χρόνου άφιξης της σεισμικής ακτίνας (η ισοδύναμα του μετώπου του κύματος) κατά μήκος μιας συγκεκριμένης διαδρομής l, θα δίνεται 9

11 Παίρνοντας της βαθμίδα της παραπάνω σχέσης έχουμε: dt S dl = (.17) d T = S (.18) dl Από την οποία, με τη βοήθεια της (1.16) καταλήγουμε σε μια σχέση που είναι γνωστή με το όνομα, Εξίσωση Ακτίνας (Ray Equation) : d dr S = S dl dl (.19) περιγράφει την διάδοση της ακτίνας στο ελαστικό μέσο. Η εξίσωση αυτή αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο όλων των μεθόδων που βασίζονται στην επίλυση του ευθέος προβλήματος μέσω της «ακτινικής προσέγγισης» του κύματος..1.5 ΑΡΧΗ ΤΟΥ FERMAT Η σεισμική ακτίνα που ενώνει την πηγή με ένα σημείο το χώρου, μπορεί να θεωρηθεί ως το ολοκλήρωμα της καθυστέρησης, S, κατά μήκος της ακτίνας από την πηγή έως και το σημείο αυτό. Για διαφορετικές δυνητικές τροχιές της σεισμικής ακτίνας στο μέσο διάδοσης, μπορούμε να ορίσουμε το Συναρτησιοειδές των χρόνων: Q t = S( x ) dl (.0) PQ P όπου t PQ ο χρόνος διαδρομής από την πηγή P στο σημείο Q. Μια πολύ μικρή διαταραχή της τροχιάς, θα έχει μια αντίστοιχη μεταβολή στο χρόνο διαδρομής: Q Q δ t = δ S ( x ) dl = δ S dl + S δ( dl ) (.1) PQ P Ο πρώτος παράγοντας του δεξιότερου μέλους της παραπάνω, είναι η διαταραχή στο χρόνο άφιξης εξαιτίας της μεταβολής της καθυστέρησης, ενώ ο δεύτερος αποτελεί την αντίστοιχη διαταραχή εξαιτίας της μεταβολής του μήκους της τροχιάς. Για τον δεύτερο λοιπόν παράγοντα, Αν θεωρήσουμε μόνο τη μεταβολή πρώτης τάξης και αγνοήσουμε τις μεταβολές μεγαλύτερης τάξης, τότε το παραπάνω ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται σε: P Q d dr δtpq = S S δ dl P dl dl r (.) 10

12 Το παραπάνω ολοκλήρωμα όμως, από την εξίσωση της ακτίνας (1.19) ισούται με μηδέν. Αυτή είναι και η γενική μορφή της Αρχής του Fermat, η οποία αναφέρει ότι από όλες τις πιθανές τροχιές της ακτίνας μεταξύ δυο σημείων του χώρου πραγματικές τροχιές σεισμικών ακτινών είναι, μόνο αυτές που αντιστοιχούν σε τροχιές «στάσιμου χρόνου». Δηλαδή εκείνες για τις οποίες η μεταβολή πρώτης τάξης στο χρόνο διαδρομής εξαιτίας της μεταβολής στην τροχιά της ακτίνας είναι μηδενική (σχήμα 3). t PQ Πραγματική Σεισμική Ακτίνα Πραγματική Σεισμική Ακτίνα Τροχιές P-Q Σχήμα 3: Η Σεισμική ακτίνα που ενώνει δύο σημεία είναι μία τροχιά στάσιμου χρόνου. Η ασθενής εκδοχή του θεωρήματος αυτού γνωστή ως Αρχή του Fermat αναφέρει ότι από όλες τις πιθανές τροχιές μεταξύ δύο σημείων του χώρου η πραγματική τροχιά της ακτίνας θα είναι αυτή του ελάχιστου χρόνου. Στην αρχή αυτή βασίζονται πολλές αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης του ευθέoς προβλήματος. Σε αυτές τις μεθόδους δεν είναι το ζητούμενο η απευθείας επίλυση των εξισώσεων διάδοσης του κύματος είτε της ακτίνας, αλλά μέσω αλγορίθμων ελαχιστοποίησης επιδιώκεται να βρεθεί η διαδρομή εκείνη στο μέσο διάδοσης που θα αντιστοιχεί στον ελάχιστο χρόνο διαδρομής. Η αρχή του Fermat μας εξασφαλίζει, ότι αυτή θα συμπίπτει (αν εξαιρέσουμε τα αριθμητικά προσεγγιστικά σφάλματα) με την ακτίνα που θα προέκυπτε από την επίλυση των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων..1.6 ΝΟΜΟΣ SNELL V i V 1 Α i 1 Β (x,z ) Ο(X,0) Z=0 t 1 (x 1,z 1 ) Σχήμα 4: Η γεωμετρική απεικόνιση του νόμου του Snell και η κάμψη της σεισμικής ακτίνας όταν περνά από το μέσο με ταχύτητα V σε αυτό με ταχύτητα V 1. t Ο νόμος του Snell περιγράφει τη συμπεριφορά της ακτίνας όταν αυτή περνά από τη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων (Z=0) με διαφορετικές ταχύτητες διάδοσης (V 1, V ) του κύματος. Θεωρούμε ως απαραίτητες προϋποθέσεις για την ισχύ του νόμου η πηγή του κύματος και το σημείο που υπάρχει ο δέκτης να βρίσκονται αρκετά μακριά από τη διαχωριστική επιφάνεια, καθώς επίσης και ότι αμφότερα τα μέσα διάδοσης, είναι ομογενή και ισότροπα. Αν t 1, t οι χρόνοι διαδρομής της ακτίνας στα μέσα με ταχύτητες V 1 και V 11

13 αντίστοιχα, τότε ο συνολικός χρόνος θα δίνεται ως εξής: z1 ( X x1) z ( X x) T = t1+ t = + (.3) V V 1 Ως συνέπεια της αρχής του Fermat ισχύει ότι dt/dx=0, επομένως έχουμε: dt X x X x dx V z X x V z X x 1 = + = 1 1 ( 1) ( ) 0 (.4) Από τη σχέση αυτή μετά από πράξεις καταλήγουμε στο Νόμο του Snell: sin i1 sin i = (.5) V1 V Στη γενικευμένη του μορφή, ο Ν. Snell, απαιτεί ότι ο λόγος sin i j παραμένει V j πάντα σταθερός σε όλο το μήκος της σεισμικής ακτίνας. Ο συγκεκριμένος λόγος ονομάζεται παράμετρος της σεισμικής ακτίνας (p). Χρησιμοποιώντας αυτή την ιδιότητα της σεισμικής ακτίνας, είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε ανά πάσα στιγμή, στο χώρο και το χρόνο, τη θέση της στο μέσο μετάδοσης, αν γνωρίζουμε τη γωνία αναχώρησης της σεισμικής ακτίνας από την πηγή και την κατανομή της ταχύτητας στο μέσο διάδοσης.. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΥΘΕΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Στη συγκεκριμένη διατριβή το ευθύ πρόβλημα επιλύθηκε με δυο διαφορετικούς τρόπους. Επιδιώχθηκε σε κάθε περίπτωση η μέγιστη δυνατή ακρίβεια, λαμβάνοντας παράλληλα υπόψη ωστόσο, την ανάγκη για αποδοτικότητα και ταχύτητα από άποψη υπολογιστικών απαιτήσεων...1 ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Ο στόχος της σεισμικής τομογραφίας είναι ο προσδιορισμός του πεδίου ταχύτητας στο χώρο της έρευνας. Επιπλέον κάθε μέθοδος επίλυσης του ευθέος προβλήματος προϋποθέτει κάποιου είδους περιγραφή του πεδίου αυτού. Είναι προφανές ότι η τοπολογική συνέχεια και συνεκτικότητα του χώρου έχει ως αποτέλεσμα η συνολική πληροφορία που εμπεριέχεται σε αυτόν στην πραγματικότητα, να είναι άπειρη. Το ζητούμενο είναι επομένως, να βρεθεί ένας περιεκτικός και αποδοτικός τρόπος αναπαράστασης μέρους αυτής της πληροφορίας με πεπερασμένο τρόπο. Αυτό επιτυγχάνεται με διάφορες μεθόδους διακριτοποίησης και σύμφωνα πάντα με τους κανόνες δειγματοληψίας και ψηφιοποίησης. Τελικώς το πεπερασμένο σύνολο των πληροφοριών n, που μπορούν να περιγράψουν τη φυσική υπόσταση του προς μελέτη χώρου, μπορούμε να το n αναπαραστήσουμε ως ένα διάνυσμα S του διανυσματικού χώρου. Οι 1

14 συντεταγμένες του διανύσματος αυτού στο εξής θα ονομάζονται παράμετροι του μοντέλου. Η διαδικασία κατά την οποία εξάγουμε αυτό το πεπερασμένο ποσό πληροφορίας από το χώρο στο εξής ονομάζεται παραμετροποίηση του μοντέλου. Στη μέθοδο της σεισμικής τομογραφίας ακολουθήθηκαν δυο κύριες τάσεις όσον αφορά την παραμετροποίηση του μοντέλου. Η πρώτη προσεγγίζει το χώρο με κελιά εντός των οποίων η ταχύτητα των σεισμικών κυμάτων παραμένει σταθερή (σχήμα 5α). Στη συγκεκριμένη περίπτωση οι παράμετροι είναι τα κελιά. Όσο μικρότερα (άρα και περισσότερα) είναι τα κελιά, σύμφωνα με τον ολοκληρωτικό λογισμό, τόσο ακριβέστερη είναι η προσέγγιση της πραγματικότητας. Από την άλλη ο μεγαλύτερος αριθμός παραμέτρων οδηγεί σε πιο επίπονη και χρονοβόρα διαδικασία υπολογισμών, συχνά χωρίς ουσιαστική βελτίωση στην περιγραφή του μοντέλου. S 11 S 1 S 13 S 1 S S 3 S 1n S n S 31 S 3 S 33 S 3n S m1 S m S m3 S mn α S 11 S 1 S 13 S 1n S 1 S 31 S S 3 S n S 3 S 33 S 3n S m1 S m S m3 S mn β Σχήμα 5: α) Παραμετροποίηση του χώρου με κελιά σταθερής καθυστέρησης και β) με πλέγμα κόμβων με γνωστές τιμές καθυστέρησης Η δεύτερη, η οποία και χρησιμοποιήθηκε σε αυτή τη διατριβή, προσεγγίζει το χώρο με ένα πλέγμα (grid) σημείων τα οποία έχουν μια τιμή ταχύτητας καθυστέρησης το κάθε ένα (σχήμα 5β). Τα σημεία του πλέγματος με γνωστές τιμές ταχύτητας ονομάζονται κόμβοι και αποτελούν τις παραμέτρους του μοντέλου στη συγκεκριμένη αναπαράσταση. Για οποιοδήποτε σημείου του χώρου εκτός των κόμβων, η τιμή της ταχύτητας υπολογίζεται με βάση κάποιου είδους παρεμβολή (γραμμική στην παρούσα εργασία) σε σχέση με τους περιβάλλοντες γειτονικούς αυτού του σημείου κόμβους, όπου η ταχύτητα είναι γνωστή. Αυτή η μέθοδος έχει αρκετά πλεονεκτήματα σε σχέση με την προηγούμενη αλλά και ένα σοβαρό μειονέκτημα. Τα πλεονεκτήματα έχουν να κάνουν με το ότι επιτυγχάνεται για τον ίδιο αριθμό παραμέτρων ποιο ρεαλιστική αναπαράσταση των ταχυτήτων αν θεωρήσουμε ότι στη φύση τα μεγέθη αυτά μεταβάλλονται σχετικά ομαλά, κάτι το οποίο γενικά ισχύει. Έτσι για παράδειγμα ανάμεσα σε δύο κόμβους με συγκεκριμένες τιμές ταχύτητας είναι λογικό να υποτεθεί ότι η ταχύτητα θα είναι ένας βαρυκεντρικός μέσος όρος των δύο ακραίων τιμών. Κατά καιρούς διάφοροι ερευνητές προσπάθησαν να τροποποιήσουν τις δύο αυτές μεθόδους κυρίως με την εισαγωγή χωρικής μεταβολής ως προς το μέγεθος ή ως προς το σχήμα και την πυκνότητα, είτε των κελιών είτε του πλέγματος, ανάλογα με το ενδιαφέρον και το ποσό πληροφορίας που υπάρχει για τις διάφορες περιοχές του μοντέλου. Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν η τομογραφία αφορά ένα εκτεταμένο 13

15 χώρο έρευνας στον οποίο όμως οι περιοχές ενδιαφέροντος (και επάρκειας δεδομένων) είναι δυσανάλογα περιορισμένες. Μερικές από τις μεθόδους που χρησιμοποιήθηκαν είναι η τεχνική των πολυγώνων Voronoi και των τριγώνων Delaunay (Böhm et all 1995, 1999, 000, Sambridge και Gudmundsson 1998), επιφανειών που ορίζονται με κυβικά πολυώνυμα Β splines (Rawlinson και Sambridge, 003) κ.τ.λ... ΙΧΝΗΛΑΤΗΣΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ Όπως αναφέρθηκε και πριν, στη σεισμική διάθλαση εκείνο που πρέπει να προσδιοριστεί είναι ο τρόπος διάδοσης και ο χρόνος άφιξης του σεισμικού κύματος από την πηγή που το παράγει σε κάποιον δέκτη σε δεδομένη απόσταση από την πηγή. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται Ιχνηλάτηση Σεισμικών Ακτινών (Ray Tracing). Αναπτύχθηκαν και εφαρμόστηκαν διάφορες μέθοδοι για να επιτύχουν αυτό το σκοπό (Thurber και Kissling, 000). Γενικά μπορούν να κατηγοριοποιηθούν στις ακριβείς (exact) και τις προσεγγιστικές (approximate). Επίσης ανάλογα με τη στρατηγική που ακολουθείται, είναι δυνατόν να διακριθούν σε τεχνικές σκόπευσης (shooting), κάμψης (bending), διαταραχής (perturbation) και πλέγματος (grid based). Παρακάτω περιγράφονται τα κυριότερα χαρακτηριστικά της κάθε κατηγορίας....1 ΣΚΟΠΕΥΣΗ (SHOOTING) Βασίζεται στην επίλυση της Εξίσωσης της Ακτίνας (1.19) ως πρόβλημα αρχικών τιμών. Ως αρχικές τιμές θεωρούνται οι συντεταγμένες της πηγής, η γωνία αναχώρησης και το αζιμούθιο της ακτίνας (όταν η ιχνηλάτηση αφορά τις τρεις χωρικές διαστάσεις). Η επίλυση της ΔΕ της ακτίνας δίνει την τροχιά της συγκεκριμένης ακτίνας p q που χαρακτηρίζεται από το σύνολο αρχικών τιμών q. Δοκιμάζοντας επομένως διαφορετικά σύνολα αρχικών τιμών q, τελικώς καταλήγουμε στην ακτίνα εκείνη η τροχιά της οποίας προσεγγίζει με την επιθυμητή ακρίβεια το σημείο που είναι τοποθετημένος ο δέκτης. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή και ως τεχνική της Δοκιμής και Σφάλματος (trial and error). Στη συγκεκριμένη μέθοδο, συχνά χρησιμοποιείται ο Ν. Snell για τον υπολογισμό της τροχιάς της σεισμικής ακτίνας. Δέκτης Πηγή i τελικό i 1 i i 0 S(x,z) z x Σχήμα 6: Διαδοχικές προσεγγίσεις της ακτίνας που ικανοποιεί την Εξίσωση της Ακτίνας με τη μέθοδο Δοκιμής και σφάλματος. Για δεδομένη πηγή σε δύο διαστάσεις οι διαφορετικές σεισμικές ακτίνες αντιστοιχούν σε διαφορετικές γωνίες αναχώρησης. 14

16 Στα θετικά προσμετράται η εξαιρετική ακρίβεια του αποτελέσματος, εξαιτίας της απευθείας λύσης της διαφορικής εξίσωσης της ακτίνας. Είναι κατάλληλη για εξομαλυσμένα μοντέλα υπεδάφους και ιδιαίτερα για εφαρμογές τομογραφίας μεταξύ γεωτρήσεων. Στα μειονεκτήματά της συγκαταλέγεται η εγγενής αστάθειά της σε πολύπλοκα μοντέλα εξαιτίας της μη γραμμικής φύσης της (η Εξίσωση της Ακτίνας είναι διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης) και της ευαίσθητης εξάρτησης από τις αρχικές συνθήκες που επιδεικνύει. Αυτό σημαίνει ότι σε πολύπλοκα μοντέλα ακτίνες με ελάχιστα διαφορετικές αρχικές συνθήκες (αντίστοιχες του μέτρου του αναμενόμενου θορύβου των μετρήσεων) μετά από ένα διάστημα αποκλίνουν μεταξύ τους δυσανάλογα πολύ, σε σημείο που η πρόβλεψη της τροχιάς της ακτίνας να καθίσταται πρακτικά επισφαλής (Rawlinson και Sambridge 003). Επιπλέον η διαδικασία σύγκλισης στην ακτίνα που περνάει από τον δέκτη είναι δυνατόν να αποβεί ιδιαίτερα χρονοβόρα όταν πρόκειται για πολύπλοκα μοντέλα, ή ακόμα και να καταλήξει σε κάποιο δευτερεύον τοπικό ελάχιστο.... ΚΑΜΨΗ (BENDING) Η φυσική της μεθόδου αυτής στηρίζεται επίσης στην Εξίσωση της Ακτίνας και ιδιαίτερα στην Αρχή του Fermat. Σε αυτή την περίπτωση θεωρούνται γνωστές οι χωρικές συντεταγμένες της πηγής και του δέκτη. Στόχος είναι να επιλεγεί εκείνη η τροχιά από όλες τις πιθανές που να ελαχιστοποιεί το χρόνο διαδρομής από την πηγή στο δέκτη, ή ισοδύναμα αυτή που ικανοποιεί την αρχή του Fermat. Η συνήθης διαδικασία που ακολουθείται είναι η επιλογή μιας αρχικής ακτίνας που θεωρείται ως πρώτη προσέγγιση. Η ακτίνα αυτή διακριτοποιείται σε n σημεία που περιγράφονται n από διάνυσμα x, του διανυσματικού χώρου. Η διακριτοποίηση της ακτίνας είναι τόσο πυκνή όσο υπαγορεύουν οι διαστάσεις του προβλήματος, η τελική επιθυμητή ακρίβεια και γενικότερα οι που περιγράφηκαν στο κεφάλαιο..1. Από αυτό το σημείο και έπειτα, θεωρούμε τo συναρτησιοειδές: Q t = S( x ) dl (.6) PQ P το οποίο και προσπαθούμε να ελαχιστοποιήσουμε, κάμπτοντας την αρχική τροχιά PQ που περιγράφεται από το αρχικό διάνυσμα x. Η διαδικασία σταματάει όταν επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια (σχήμα 7). Η ακρίβεια αποτελεί ένα πολύ βασικό πλεονέκτημα της μεθόδου. Όπως και με τη μέθόδο σκόπευσης, έτσι και εδώ, αυτό οφείλεται στην ικανοποίηση απευθείας της Εξίσωσης της Ακτίνας. Επιπλέον είναι περισσότερο σταθερή σε σχέση με την μέθοδο σκόπευσης, ακόμα και σε πολύπλοκα μοντέλα, ιδιαίτερα όταν η αρχική ακτίνα αποτελεί καλή προσέγγιση της τελικής. Υποφέρει από το κύριο μειονέκτημα των μεθόδων ελαχιστοποίησης, την πιθανότητα δηλαδή η ακτίνα στην οποία θα καταλήξει, να μην είναι ακτίνα του ολικού ελάχιστου χρόνου, αλλά να αντιστοιχεί σε κάποιο τοπικό ελάχιστο. Επίσης συχνά σε μεγάλων διαστάσεων μοντέλα, με μικρές μεταβολές ταχυτήτων, η «αναισθησία» του χρόνου διαδρομής σε μικρές μεταβολές της γεωμετρίας της ακτίνας, δεν παρέχει την αναγκαία από τις περισσότερες μεθόδους ελαχιστοποίησης πληροφορία για το που βρίσκεται το ελάχιστο και επομένως τον τρόπο που πρέπει να 15

17 κάμψουν την ακτίνα ώστε να το προσεγγίσουν. Αυτό έχει ως συνέπεια να τερματίζεται η διαδικασία ελαχιστοποίησης πρόωρα και μακριά από το ολικό ελάχιστο. Και στις δύο αυτές περιπτώσεις, η επιλογή μιας «καλής» αρχικής προσέγγισης είναι εξαιρετικής σημασίας και μπορεί να εξαλείψει από μόνη της τα συγκεκριμένα προβλήματα. Δέκτης Πηγή αρχική S(x,z) βέλτιστη x z Σχήμα 7: Ξεκινώντας με μια αρχική ακτίνα, προσεγγίζεται με διαδοχικά βήματα, η ακτίνα εκείνη που ικανοποιεί την Αρχή του Fermat. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω της κατάλληλης «κάμψης» της αρχικής ακτίνας....3 ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ (GRID BASED) Οι μέθοδοι αυτές μοντελοποιούν το χώρο με την μορφή πλέγματος (grid) και δεδομένης της πηγής του κύματος υπολογίζουν τους χρόνους άφιξης του σε όλα τα υπόλοιπα σημεία του πλέγματος αυτού. Υπάρχουν δύο κυρίως διαφορετικές προσεγγίσεις. Η πρώτη επιλύει αριθμητικά την Εικονική Εξίσωση ως Μερική Διαφορική Εξίσωση, με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών (Vidale 1988, 1990). Οι τελεστές επίλυσης των πεπερασμένων διαφορών προκύπτουν από την παραδοχή ότι το μέτωπο του κύματος είναι επίπεδο, χωρίς να παρουσιάζει καμία καμπυλότητα (εξισώσεις μακρινού πεδίου). Αυτό είναι παραδεκτό για αποστάσεις από την πηγή πολύ μεγαλύτερες από το μήκος κύματος. Στο σχήμα 8 φαίνονται κάποιοι ενδεικτικοί τελεστές επίλυσης (Vidale 1988) με τους οποίους μπορούν να υπολογιστούν διαδοχικά οι χρόνοι άφιξης του μετώπου του κύματος, αρχικά στα σημεία Βi και στη συνέχεια στα σημεία Ci, θεωρώντας γνωστό το χρόνο άφιξης στο σημείο Α (σε περίπτωση που το Α είναι η πηγή τότε ο χρόνος ισούται με 0). C Β3 C3 Β h h Α Β4 C1 Β1 C4 tbi = h ( SBi + SA) t = t + ( hs ) ( t t ) Ci A Ci B B1 Σχήμα 8: Τελεστές επίλυσης (Vidale 1988) με τους οποίους υπολογίζονται διαδοχικά οι χρόνοι άφιξης του μετώπου του κύματος, αρχικά στα σημεία Βi και στη συνέχεια στα σημεία Ci, θεωρώντας γνωστό το χρόνο άφιξης στο σημείο Α. με S συμβολίζεται η τιμή καθυστέρησης στο αντίστοιχο σημείο του πλέγματος. 16

18 Σε κάθε νέο βήμα το εκάστοτε κεντρικό σημείο Α, αποφασίζεται να είναι αυτό που αντιστοιχεί στον μέχρι εκείνο το σημείο ελάχιστο χρόνο διαδρομής. Ο αλγόριθμος συνεχίζεται έως ότου υπολογιστούν οι χρόνοι διαδρομής για όλα τα σημεία του πλέγματος. Διάφορες παραλλαγές της μεθόδου βελτίωσαν την σταθερότητα της μεθόδου καθώς και εξάλειψαν ένα πρόβλημα που εμφανιζόταν συχνά σε πολύπλοκα μοντέλα, αυτό της παραβίασης της αιτιότητας (αρχή της εντροπίας) όταν για τον υπολογισμό του χρόνου άφιξης σε κάποιον κόμβο, λαμβάνονταν υπόψη κόμβοι στους οποίους το μέτωπο του κύματος δεν είχε ακόμη φτάσει. Η άλλη σημαντική μέθοδος πλέγματος, προσεγγίζει διαφορετικά το πρόβλημα. Αντί να επιχειρεί την επίλυση της Εικονικής Εξίσωσης, στοχεύει στην ικανοποίηση της εξίσωσης του κύματος, μέσω της ικανοποίησης της αρχής του Fermat. Βασίζεται στη θεωρία Δικτύων και Γραφημάτων (Graph Theory). Θεωρεί ένα σύνολο σημείων που ονομάζονται κόμβοι, οι οποίοι ορίζουν ένα πλέγμα αναφοράς. πηγή γεώφωνο Sij Σχήμα 9: Με τη μέθοδο της θεωρίας των γραφημάτων το ζητούμενο είναι να βρεθεί εκείνη η διαδρομή που θα ελαχιστοποιεί τον χρόνο και θα ικανοποιεί την αρχή του Fermat. Κάθε ακμή ij συνδέει τους κόμβους i και j και χαρακτηρίζεται από μια τιμή καθυστέρησης S ij, που υποδηλώνει το χρόνο που χρειάζεται η ακτίνα για να ταξιδέψει από τον κόμβο i στον κόμβο j. Οι κόμβοι ενώνονται μεταξύ τους με ακμές. Το πλέγμα που σχηματίζεται ονομάζεται και γράφημα. Τα γραφήματα στα οποία οι ακμές δεν είναι ισοδύναμες, δηλαδή χαρακτηρίζονται από διαφορετικά «βάρη» ονομάζονται βεβαρημένα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση κάθε ακμή χαρακτηρίζεται από μια συγκεκριμένη τιμή καθυστέρησης που υποδηλώνει το χρόνο που χρειάζεται η ακτίνα (ή ισοδύναμα το μέτωπο του κύματος) για να ταξιδέψει μεταξύ των συνδεόμενων από την ακμή αυτή κόμβων. Δεδομένης της αρχής του Fermat το πρόβλημα ανάγεται σε ένα πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής από τον κόμβο που θεωρείται η πηγή μέχρι εκείνον του δέκτη (σχήμα 9). Αν με S ij συμβολίσουμε τον χρόνο που απαιτείται για να ταξιδέψει η ακτίνα κατά μήκος της ακμής που συνδέει τον κόμβο i με τον κόμβο j τότε η αρχή του Fermat υπαγορεύει ότι η σεισμική ακτίνα που θα αντιστοιχεί στην πρώτη άφιξη θα ικανοποιεί τη σχέση: t optimum Δέκτης = min Sij πηγ ή 17

19 Για την εύρεση της συντομότερης διαδρομής έχουν αναπτυχθεί αρκετοί αλγόριθμοι, λαμβάνοντας υπόψη και τις ιδιαιτερότητες του κάθε γραφήματος. Ο αποδοτικότερος αλγόριθμος είναι αυτός που εισήγαγε ο Dijkstra (1956), ο οποίος σε μορφή διαγράμματος ροής παριστάνεται στο σχήμα 10. Αρχή P := Κενό Q : = Ν t(πηγής) := 0 t(i πηγή) := άπειρο P = N Ναι Τέλος Όχι N: Το σύνολο των κόμβων του γραφήματος P: Το σύνολο των κόμβων με Γνωστούς Χρόνους Διαδρομής Q: Το σύνολο των κόμβων με Άγνωστούς Χρόνους Διαδρομής Βρες τον i με το ελάχιστο t(i) Για κάθε j, γειτονικό του i, που ανήκει στο Q : t( j) = min t( j), t( i) + Sij { } Μετέφερε το i από το Q στο P Σχήμα 10: Γενική μορφή του αλγόριθμου Dijkstra για την εύρεση του συντομότερου «μονοπατιού» σε βεβαρημένα γραφήματα όπως χρησιμοποιήθηκε από τον Moser (1991). Ο Moser (1991) εφάρμοσε τη θεωρία γραφημάτων και τον αλγόριθμο του Dijkstra στα προβλήματα ιχνηλάτησης της σεισμικής ακτίνας, εισάγοντας και προσαρμόζοντας μια βελτιστοποιημένη μέθοδο ταξινόμησης των χρόνων διαδρομής (Heap Sort). Λεπτομέρειες για τη μέθοδο παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 4. Στα πλεονεκτήματα των μεθόδων που βασίζονται σε πλέγμα είναι το ότι πάντα συγκλίνουν στο ολικό ελάχιστο και όχι σε τοπικά. Επιπλέον είναι πολύ ταχύτερες καθώς υπολογίζουν ταυτόχρονα τους χρόνους άφιξης του μετώπου του κύματος ταυτόχρονα σε κάθε σημείο του μοντέλου. Γενικά οι μέθοδοι πλέγματος χαρακτηρίζονται από περιορισμένη ακρίβεια εξαιτίας της εγγενούς προσεγγιστικής φύσης τους. Εκτός των σφαλμάτων διακριτοποίησης του χώρου ταχυτήτων που ισχύουν και στις μεθόδους χωρίς πλέγμα, προκύπτουν σφάλματα εξαιτίας της διακριτοποίησης της γωνίας της σεισμικής ακτίνας. Αυτό συμβαίνει επειδή ουσιαστικά επιτρέπουμε στη σεισμική ακτίνα να ταξιδεύει μόνο κατά μήκος των ακμών του πλέγματος. Στις μεθόδους πεπερασμένων διαφορών θα πρέπει να προστεθεί το σφάλμα από την προσεγγιστική επίλυση της Εικονικής εξίσωσης. 18

20 3. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ. Equation Chapter 3 Section ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Όπως αναφέρθηκε στις προηγούμενες παραγράφους το ευθύ γραμμικό πρόβλημα μπορεί αναπαρασταθεί (για διακριτά θορυβώδη δεδομένα) με τη γενική μορφή της H(.), δηλαδή: d= Gm+ e Στην πραγματικότητα, τις περισσότερες φορές στις εφαρμοσμένες θετικές επιστήμες, το ζητούμενο δεν είναι τα δεδομένα d των μετρήσεων αλλά ο καθορισμός του συνόλου των παραμέτρων m, που περιγράφουν το μοντέλο, στο οποίο έδρασε ο τελεστής G και παρήγαγε τα δεδομένα αυτά. Έτσι το σύνηθες είναι να έχουμε μέσω κάποιας διαδικασίας μετρήσεων παρατήρησης ένα σύνολο δεδομένων από τα οποία να προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους του μοντέλου. Η διαδικασία αυτή ισοδυναμεί μαθηματικά με την εύρεση του αντίστροφου του πίνακα G. Επειδή συνήθως ο αριθμός των δεδομένων είναι διαφορετικός από τον αριθμό των παραμέτρων του μοντέλου, ο πίνακας G γενικά δεν είναι τετραγωνικός πίνακας, επομένως ο τυπικός αντίστροφος του δεν υπάρχει. Αντί αυτού χρησιμοποιείται ο γενικευμένος αντίστροφος G -g ο οποίος δρώντας στο διάνυσμα των δεδομένων, παράγει μια εκτίμηση ˆm των παραμέτρων του μοντέλου. g mˆ = G d (3.1) Η εκτίμηση αυτή σχετίζεται με τις πραγματικές παραμέτρους m του μοντέλου μέσω της σχέσης: g g ˆ m= G Gm+ G e (3.) g Ο τελεστής G G ονομάζεται πίνακας διακριτικής ικανότητας (Resolution matrix) και συμβολίζεται με R: g R G G (3.3) Η σχέση H(3.3), περιγράφει την ποιότητα της εκτίμησης του πραγματικού μοντέλου στο αντίστροφο γραμμικό πρόβλημα. Η εκτίμηση αυτή εξαρτάται από την πληρότητα των δεδομένων μετρήσεων που συνιστούν τις εξισώσεις του συστήματος g και περιγράφει ο όρος G Gm. Αν μ είναι οι διαστάσεις του χώρου του μοντέλου, και ν είναι οι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους εξισώσεις (ν μ), τότε όσο το ν προσεγγίζει το μ, τόσο ο πίνακας διακριτικής ικανότητας προσεγγίζει το μοναδιαίο, που είναι και το ζητούμενο ώστε η διαδικασία της αντιστροφής να έχει ως λύση 19

21 μοντέλα που προσεγγίζουν το πραγματικό. Από τα προηγούμενα η σχέση H(3.3), μπορεί να γραφεί ως: g g mˆ = m+ ( G G I) m+ G e (3.4) Στην παραπάνω το αποτέλεσμα της αντιστροφής οφείλεται στο πραγματικό μοντέλο (1 ος όρος), «μολυσμένο» όμως από την περιορισμένη διακριτική ικανότητα εξαιτίας των δεδομένων και της φυσικής της μεθόδου ( ος όρος) και τη διάδοση των σφαλμάτων (3 ος όρος). Δυστυχώς τα σφάλματα δεν μπορούν να προσδιοριστούν νομοτελειακά και ως εκ τούτου η επίδρασή τους δεν μπορεί να αφαιρεθεί απλά από τα δεδομένα. Όταν τα τελευταία είναι ασυσχέτιστα μεταξύ τους και έχουν σφάλματα με τυπική απόκλιση σ i, τότε μπορεί να εκτιμηθεί η τυπική απόκλιση των σφαλμάτων του παραγόμενου μοντέλου μόνο από την αντιστροφή και τη διάδοση των σφαλμάτων ως εξής : σ = ( G σ ) (3.5) g mi ij dj j Στην παραπάνω σχέση φαίνεται ότι τα σφάλματα του μοντέλου εξαρτώνται από το μέτρο του γενικευμένου αντίστροφου. Επομένως υπάρχει μια σχέση ανταγωνιστικότητας (trade off) μεταξύ της διακριτικής ικανότητας της μεθόδου και της διάδοσης των σφαλμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Τα αντίστροφα προβλήματα παρουσιάζουν μια σειρά από θεωρητικές και πρακτικές δυσκολίες στην επίλυσή τους. Το ζητούμενο δεν είναι απλά μια ικανοποιητική μαθηματικά λύση. Κεφαλαιώδους σημασίας είναι να αναλυθεί και να αξιολογηθεί η λύση με κριτήρια της φυσικής πραγματικότητας για το κατά πόσο ευσταθεί ή όχι παρότι μπορεί να χαίρει μαθηματικής αρτιότητας. Παρακάτω αναφέρονται οι τρεις κυριότεροι παράγοντες δυσκολίας και πολυπλοκότητας της λύσης των αντίστροφων προβλημάτων. 1. Ύπαρξη. Από πλευράς καθαρών μαθηματικών σχεδόν κανένα πραγματικό γεωφυσικό αντίστροφο πρόβλημα δεν έχει λύση! Αυτό οφείλεται στο ότι η κάθε φυσική θεωρία που περιγράφει το φαινόμενο αποτελεί προσέγγιση της πραγματικότητας, καθώς και επειδή στα δεδομένα υπεισέρχεται πάντα ένα σημαντικό ποσοστό θορύβου.. Μοναδικότητα. Ακόμα και σε περιπτώσεις που μπορεί να υπάρξει μαθηματική λύση, αυτή μπορεί να μην είναι η μοναδική. Γενικά υπάρχει άπειρο πλήθος λύσεων που ικανοποιούν το ίδιο ή σχεδόν το ίδιο τις εξισώσεις του προβλήματος. Τις περισσότερες φορές αύτη που υιοθετείται, δεν είναι απαραίτητα η καλύτερη δυνατή από μαθηματικής πλευράς. Η μη μοναδικότητα της λύσης οφείλεται ότι ο πίνακας G συνήθως έχει μηδενικό χώρο (null space). Συνεπώς στα γραμμικά αντίστροφα προβλήματα, μοντέλα m o που του μηδενικού χώρου του G, αποτελούν λύσεις της εξίσωσης Gm=0. Ουσιαστικά οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός αυτών των μοντέλων από τον μηδενικό χώρο του G, μπορεί να προστεθεί σε 0

22 οποιοδήποτε μοντέλο που ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση χωρίς να επέλθει η παραμικρή αλλαγή στα δεδομένα. 3. Σταθερότητα. Η διαδικασία για τον υπολογισμό της λύσης, συχνά μπορεί να είναι εξαιρετικά ασταθής. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι η παραμικρή μεταβολή των δεδομένων μπορεί να οδηγήσει σε δυσανάλογα μεγάλη μεταβολή της λύσης. Τα προβλήματα που αντιμετωπίζουν αυτό το πρόβλημα αναφέρονται ως Ασθενώς Καθορισμένα (Ill Posed, Ill Conditioned για συνεχή και διακριτά προβλήματα αντίστοιχα.). Για τη βελτίωση αυτής της κατάστασης, χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι Κανονικοποίησης (Regularization) του προβλήματος ΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Στις περισσότερες περιπτώσεις επίλυσης γεωφυσικών αντίστροφων προβλημάτων, το πλήθος των εξισώσεων είναι μεγαλύτερο από το πλήθος των αγνώστων. Ας θεωρήσουμε επομένως μια τέτοια περίπτωση. Η παρείσφρηση σφαλμάτων στα δεδομένα από θόρυβο οδηγεί σε δεδομένα που δεν μπορούν να ικανοποιήσουν ακριβώς τις εξισώσεις του τύπου d= Gm και όπως ειπώθηκε το σύστημα πλέον περιγράφεται με την εισαγωγή ενός ακόμη όρου e, που περιγράφει τα σφάλματα. Ο Gauss (1809) απέδειξε ότι ο καλύτερος τρόπος για τη εξαγωγή μιας μοναδικής λύσης είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των υπολοίπων. Με τον όρο υπόλοιπα αναφέρεται η ποσότητα dgmη - οποία εκφράζει την απόκλιση των πραγματικών δεδομένων σε σχέση με εκείνα που θα αναμενόταν για ένα συγκεκριμένο μοντέλο m, και συγκεκριμένα στη σεισμική τομογραφία πρώτων αφίξεων καλούνται χρονικά. n p T q = ( d-gm ) ( d-gm ) = d i G m ij j (3.6) i= 1 j= 1 Όπως έχει δειχθεί (πχ Strang, 1988), η λύση που ελαχιστοποιεί το q, είναι εκείνη που ικανοποιεί τις παρακάτω αξισώσεις. T T GGm= Gd (3.7) που ονομάζονται συνήθως και κανονικές εξισώσεις (normal equations). Από αυτές εξάγεται η σχέση υπολογισμού του μοντέλου αυτού, γνωστή και ως λύση ελαχίστων τετραγώνων: T -1 T m LSQ =(G G) G d (3.8) SVD ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ. Η ανάλυση ιδιαζόντων τιμών (Singular Value Decomposition) αποτελεί τη σημαντικότερη μέθοδο επίλυσης προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων. Αποτελεί ένα πολύ ισχυρό μαθηματικό εργαλείο σε περιπτώσεις ασθενώς καθορισμένων 1

23 προβλημάτων. Στηρίζεται στο γεγονός ότι κάθε m επί n πίνακας G μπορεί να αναλυθεί ως γινόμενο τριών πινάκων: T G=USV (3.9) όπου: U: ένας m επί n ορθογώνιος πίνακας, του οποίου οι στήλες αποτελούν μοναδιαία βάση των διανυσμάτων που σχηματίζουν το χώρο των δεδομένων. S: ένας m επί n διαγώνιος πίνακας, του οποίου οι τιμές τις διαγωνίου ονομάζονται ιδιάζουσες τιμές (singular values). V: n επί n ορθογώνιος πίνακας, του οποίου οι στήλες αποτελούν μοναδιαία βάση των διανυσμάτων που σχηματίζουν το χώρο των παραμέτρων του μοντέλου. Επειδή οι ιδιάζουσες τιμές της διαγωνίου του S είναι διατεταγμένες κατά φθίνουσα σειρά, τότε υπάρχει περίπτωση, σε ασθενώς καθορισμένα προβλήματα ή εκεί που ο G είναι ανεπαρκούς βαθμού (Rank deficient), οι τελευταίες να είναι εξαιρετικά μικρές ή και μηδενικές. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να θεωρήσουμε τον πίνακα S p, ο οποίος παράγεται από τον S, αν παραλείψουμε τις στήλες και τις γραμμές των μηδενικών ιδιαζόντων τιμών. Αν κάνουμε το ίδιο και για τους πίνακες V και U, καθώς οι γραμμές και οι στήλες που πολλαπλασιάζονται με τις μηδενικές τιμές του S, εξαλείφονται, τότε μπορούμε να απλοποιήσουμε την H(3.9) ως εξής: T G=UPSPV P (3.10) Η SVD μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του γενικευμένου αντίστροφου του G. Σε αυτή την περίπτωση ο γενικευμένος αντίστροφος ονομάζεται «ψευδοαντίστροφος Moore Penrose». -1 T G = VPSPU P (3.11) Από τη στιγμή που η λύση ιδιαζόντων τιμών είναι μια λύση ελαχίστων τετραγώνων, τότε η λύση που παίρνουμε χρησιμοποιώντας τον ψευδοαντίστροφο Moore Penrose, οφείλει να ικανοποιεί τις κανονικές εξισώσεις, δηλαδή: T T ( GGm ) = Gd (3.1) αφαιρώντας κατά μέλη την H(3.1) από την H(3.7), προκύπτει: T ( GG)( m m ) = 0 (3.13) T επομένως το διάνυσμα ( m m ) βρίσκεται στο μηδενικό χώρο του ( GG) ο οποίος αποδεικνύεται (για μια κομψή απόδειξη, βλέπε Aster et all 004), ότι ταυτίζεται με το μηδενικό χώρο του G. Επομένως η γενική λύση m είναι το άθροισμα της m με ένα οποιοδήποτε διάνυσμα από τον μηδενικό χώρο του G, το οποίο μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων βάσης του τελευταίου.

24 m= m + m 0 n = m + i= p+ 1 a V. i i (3.14) T όπου V. i το ιδιοδιάνυσμα του GG με ιδιοτιμή την s i. Επειδή οι στήλες του V είναι ορθογώνιες (γραμμικώς ανεξάρτητες), παίρνοντας το μέτρο (-norm) και των δύο μελών θα έχουμε: n = m + ai i= p+ 1 m m m (3.15) Η παραπάνω σχέση υπαγορεύει ότι η λύση που δίνει η ανάλυση ιδιαζόντων τιμών είναι η λύση ελαχίστων τετραγώνων ελαχίστου μέτρου ΕΠΙΛΕΓΟΝΤΑΣ ΤΗ ΣΩΣΤΗ ΛΥΣΗ Μία από τις σημαντικότερες δυσκολίες κατά την επίλυση αντίστροφων προβλημάτων είναι όπως αναφέρθηκε, η απουσία μοναδικής λύσης. Η αρχική λύση ελαχίστων τετραγώνων που επιλύει τις κανονικές εξισώσεις επιλέγει ως τελική λύση εκείνη που ελαχιστοποιεί τα υπόλοιπα δηλαδή εκείνη που ελαχιστοποιεί την ποσότητα q της H(3.6): T q = ( d-gm) ( d-gm ) (3.16) Αυτή είναι και η πλέον μαθηματικά ορθή λύση, καθώς η δράση του τελεστή G επάνω της, θα παράγει συνθετικά δεδομένα τα οποία θα προσεγγίσουν όσο το δυνατόν περισσότερο στα πραγματικά. Το ερώτημα είναι αν αυτή η μαθηματικά συνεπής λύση είναι και η σωστή. Συχνά μαθηματικά άρτιες λύσεις είναι ασταθείς, εξωπραγματικές χωρίς καμία φυσική υπόσταση (Snieder και Trampert, 001). Το ζητούμενο σε αυτές τις περιπτώσεις είναι να περιοριστεί με κάποιο τρόπο το σύνολο των δυνητικών λύσεων, σε εκείνες μόνο που είναι φυσικώς αποδεκτές. Επιπλέον συχνά υπάρχουν γνώσεις σχετικά με την περιοχή της έρευνας, οι οποίες σκιαγραφούν ποιοτικά ή και ποσοτικά τα πλαίσια στα οποία μια λύση πρέπει να κυμανθεί. Αυτά τα δεδομένα αναφέρονται στο σύνολό τους με τον όρο a priori πληροφορίες και είναι δυνατόν να ποσοτικοποιηθούν και να εισαχθούν ως περιορισμοί στη λύση ελαχίστων τετραγώνων, κατευθύνοντας την σε μια μαθηματικά συνεπή αλλά και φυσικά ρεαλιστική λύση ταυτόχρονα. Η διαδικασία εισαγωγής περιορισμών είναι ουσιαστικά η προσθήκη επιπλέον εξισώσεων στο σύστημα d= Gmεπεκτείνοντάς το. Οι περιοριστικές εξισώσεις έχουν τη μορφή: d = c Lm (3.17) Όπου L, ένας πίνακας ο οποίος εφαρμόζεται στις παραμέτρους του μοντέλου και παράγει την a-priori πληροφορία που περιέχεται στον πίνακα d c. Πλέον η απαιτούμενη λύση ελαχίστων τετραγώνων πρέπει να ελαχιστοποιεί την ποσότητα: 3

25 q d-gm d-gm a Lm-d Lm-d (3.18) T T c = ( ) ( ) + ( c) ( c) Αυτό οδηγεί σε νέες κανονικές εξισώσεις: ( ) T T T GG+ α LLm= Gd+ a Ld T c (3.19) και τελικά στην ακόλουθη λύση που αξιοποιεί την a-priori πληροφορία: m = G G+ L L G d+ L d (3.0) c T T 1 T T ( α ) ( a c) Ο συντελεστής α, ονομάζεται πολλαπλασιαστής Lagrange και ο ρόλος του είναι να καθορίζει τη βαρύτητα της συμμετοχής της a-priori πληροφορίας στην τελική λύση. Η παραπάνω διαδικασία εισαγωγής a-priori πληροφορίας, αναφέρεται και ως Κανονικοποίηση Tikhonov (Tikhonov Regularization) ΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ TIKHONOV ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ. Η λύση ελαχίστου μέτρου εισάγει ως περιορισμό (a-priori πληροφορία), την καλύτερη δυνατή λύση, η οποία ελαχιστοποιεί τα χρονικά υπόλοιπα και ταυτόχρονα ελαχιστοποιεί το μέτρο (-norm) του διανύσματος των παραμέτρων του μοντέλου. Ο λόγος που καθιστά αυτού του είδους τη λύση επιθυμητή, έχει σχέση να κάνει με τον ανταγωνισμό μεταξύ του μέτρου των παραμέτρων του μοντέλου και του μέτρου της απόκλισης (χρονικών υπολοίπων στη σεισμική τομογραφία). Στην «προσπάθεια» της μεθόδου να ελαχιστοποιήσει την απόκλιση μεταξύ συνθετικών και πραγματικών δεδομένων, ενδεχομένως να παράγει παραμέτρους πολύ μεγάλου μεγέθους, κατά απόλυτη τιμή, οι οποίες όταν συνυπολογίζονται στο μέτρο δίνουν λύσεις υπερβολικά μεγάλου μέτρου. Αντίθετα αν ως στόχος τεθεί η ελαχιστοποίηση του μέτρου του μοντέλου, θα καταλήξουμε σε λύσεις οι οποίες όμως δε θα ταιριάζουν με τα δεδομένα (σχήμα 11). m Gm d Σχήμα 11: καμπύλη ανταγωνισμού μεταξύ των λύσεων που ελαχιστοποιούν το μέτρο του μοντέλου και εκείνων που ελαχιστοποιούν τα χρονικά υπόλοιπα (misfit) 4

26 Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο πίνακας L της εξίσωσης H(3.17), είναι ο μοναδιαίος πίνακας ενώ το d c είναι το μηδενικό διάνυσμα. Το αρχικό επομένως σύστημα, μεταβάλλεται ως εξής: Gm d = a 0 I (3.1) Ο στόχος είναι να ελαχιστοποιηθεί το μέτρο των υπολοίπων της H(3.1), δηλαδή της ποσότητας: min G d a m 0 I (3.) Οι νέες κανονικές εξισώσεις είναι: T T ( GG+ α Im ) = Gd (3.3) από τις οποίες παραγωγίζοντας ως προς m, και απαιτώντας η παράγωγος να ισούται με το μηδέν καταλήγουμε στη λύση ελάχίστου μέτρου. 1 ( T T m= G G+α I) G d (3.4) Η παραπάνω λύση είναι γνωστή ως Dumped Least Squares Solution (DLSQ). Η συγκεκριμένη λύση ταυτίζεται με τη λύση που δίνει η SVD, αν απλώς προσθέσουμε την ποσότητα a στις ιδιάζουσες τιμές, δηλαδή αν αντικαταστήσουμε τον αντίστροφο του πίνακα ιδιαζόντων τιμών ως εξής: S 1 D = S S + a m = ( G G+ α I) G d= VS U d D T 1 T -1 T D = VS U d -1 T ( D ) ( ) (3.5) (3.6) Ένα ερώτημα που ανακύπτει, είναι ποια είναι η βέλτιστη τιμή για τον πολλαπλασιαστή Lagrange. Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα, δεν είναι τετριμμένη. Δεν υπάρχει κανείς αξιόπιστος και αποδοτικός τρόπος για τον υπολογισμό της τιμής του α, εκ των προτέρων. Ο εντοπισμός της βέλτιστης τιμής γίνεται για κάθε περίπτωση, μόνο μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας δοκιμής σφάλματος (trial and error) έως ότου τελικά αποφασιστεί η βέλτιστη επιλογή. Πρέπει ωστόσο να επισημανθεί ότι ακόμη και με αυτή την διαδικασία, υπεισέρχονται πάντα και υποκειμενικοί παράγοντες. Παρακάτω παρουσιάζονται τα κυριότερα μαθηματικά εργαλεία για τον προσδιορισμό της τιμής του συντελεστή Lagrange ΚΑΜΠΥΛΗ L Ένα από τα πλέον διαδεδομένα γραφικά εργαλεία για την ανάλυση διακριτών, ασθενώς ορισμένων προβλημάτων, είναι η καμπύλη L. Αυτή σχηματίζεται αν 5

27 χαρτογραφηθεί το μέτρο της κανονικοποιημένης λύσης, m, των παραμέτρων του μοντέλου, σε σχέση με το μέτρο της διαφοράς μεταξύ παρατηρούμενων και υπολογιζόμενων (συνθετικών) δεδομένων, Gm d. Η καμπύλη του σχήματος 1 είναι μια τέτοια καμπύλη. Οφείλει το όνομά της στο ότι το σχήμα της είναι χαρακτηριστικά ποιοτικά αμετάβλητο ανεξαρτήτως του προβλήματος και μοιάζει με το γράμμα L του λατινικού αλφαβήτου, όταν η χαρτογράφηση γίνεται σε λογαριθμικούς άξονες. λιγότερη Κανονικοποίηση μικρότερα Υπόλοιπα Περιοχή επιλογής βέλτιστου συντελεστή Lagrange log m περισσότερη Κανονικοποίηση μεγαλύτερα Υπόλοιπα log Gm d Σχήμα 1: Καμπύλη L στην οποία φαίνεται ο ανταγωνισμός μεταξύ της ικανοποίησης των πραγματικών δεδομένων (χρονικά υπόλοιπα) και του μέτρου της λύσης (κανονικοποίηση). Η επιλογή του βέλτιστου συντελεστή Lagrange, γίνεται από τις τιμές στην περιοχή του «σπασίματος» της καμπύλης. Η καμπύλη L αποτελείται γενικά από δυο τμήματα: Ένα οριζόντιο και ένα κατακόρυφο. Το οριζόντιο ορίζει την περιοχή όπου το σύστημα είναι εξαιρετικά ευαίσθητο στις αλλαγές του μέτρου της λύσης, επομένως αυξάνοντας έστω και ελάχιστα το συντελεστή Lagrange εκτινάσσεται δυσανάλογα η απόκλιση από τα πραγματικά δεδομένα. Το κατακόρυφο τμήμα ορίζει, αντίστοιχα, την περιοχή στην οποία το σύστημα είναι εξαιρετικά ευαίσθητο στις μεταβολές του μέτρου των υπολοίπων. Η παραμικρή προσπάθεια για επιπλέον βελτίωση του σφάλματος της απόκλισης από τα πραγματικά δεδομένα, προκαλεί τεράστια αύξηση του μέτρου της λύσης. Tα δύο αυτά τμήματα χωρίζονται από ένα σημείο καμπής. Όσο μικρότερη είναι η καμπυλότητα της περιοχής του σημείου καμπής τόσο πιο σαφής είναι η τιμή του βέλτιστου συντελεστή Lagrange (Hansen 1990, 199). Σε αντίθετη περίπτωση, όταν δηλαδή η μετάβαση από το οριζόντιο στο κατακόρυφο τμήμα είναι ομαλή, τιμή αυτή δεν μπορεί να προσδιοριστεί με ακρίβεια και η μέθοδος καθίσταται επισφαλής. 6

28 3.1.7 ΣΥΝΘΗΚΗ PICARD ΓΙΑ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Η τεχνική αυτή βασίζεται επίσης σε γραφική αναπαράσταση αφού γίνεται χαρτογράφηση τριών μεγεθών: Των ιδιαζόντων τιμών που παράγονται από την SVD, S i, της ποσότητας U i T d και της ποσότητας U i T d /S i, για τις διάφορες τιμές του i. Η συνθήκη Picard για διακριτά δεδομένα ορίζεται ως εξής (Hansen 1990, 003): Αν d τα μη διαταραγμένα δεδομένα, τότε αυτά ικανοποιούν την συνθήκη Picard, αν και μόνο αν, για κάθε μη μηδενική αριθμητικά ιδιάζουσα τιμή S i, η αντίστοιχη ποσότητα U i T d, μειώνεται κατά μέσο όρο ταχύτερα από την S i. Γενικά για μη διαταραγμένα δεδομένα, η συνθήκη Picard ικανοποιείται, ωστόσο για μεγαλύτερα i, αμφότερες οι ιδιάζουσες τιμές S i και η ποσότητα U i T d καταλαμβάνονται από θόρυβο εξαιτίας σφαλμάτων στρογγυλοποίησης αφού προσεγγίζεται η τάξη αριθμητικής ακρίβειας των υπολογισμών. Η ιδιάζουσα τιμή S ic, στην οποία παύει να ικανοποιείται η συνθήκη Picard και ταυτόχρονα, ενώ οι τιμές της ποσότητας U i T d /S i σταδιακά αυξάνονται, παρουσιάζουν εκρηκτική άνοδο για κάθε i μεγαλύτερο του ic, είναι η μικρότερη αποδεκτή ιδιάζουσα τιμή που μπορεί να ανακατασκευαστεί. Συνήθως τα συνδυασμένα συμπεράσματα την μεθόδου καμπύλης L και της συνθήκης Picard, μπορούν να καταδείξουν το συντελεστή Lagrange και επομένως το ποσοστό κανονικοποίησης του προβλήματος ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ Ο Franklin (1970) πρότεινε μια μέθοδο αντιστροφής γραμμικών συστημάτων που δεν απαιτούσε την ανάλυση ιδιαζόντων τιμών. Αν C d και C m είναι οι πίνακες συμεταβλητότητας των δεδομένων και του μοντέλου αντίστοιχα πριν την επίλυση, ο S στοχαστικός αντίστροφος τελεστής L δίνεται ως εξής: S T T 1 L = CmG ( GCmG + G d) (3.7) Αν οι πίνακες C d και C m είναι διαγώνιοι της μορφής σ d Ι και σ m Ι αντίστοιχα, τότε η σχέση παίρνει την παρακάτω μορφή: L = G ( GG + ε Ι) S T T 1 σ d, ε = T 1 T = ( GG+ ε Ι) G σ m (3.8) Δηλαδή δεν απαιτείται ανάλυση ιδιαζόντων τιμών αλλά απλώς ο υπολογισμός του T 1 ( GG+ ε Ι ). Είναι προφανές από την H(3.8) ότι η στοχαστική αντίστροφη λύση για ε = 0, εκφυλίζεται στην λύση ελαχίστων τετραγώνων. Αποδεικνύεται ότι ο πίνακας συμεταβλητότητας στη συγκεκριμένη περίπτωση δίνεται ως εξής: S C V V p T m = σ g δ p p ( S p + ε Ι) (3.9) 7

29 Για ε = 0, η σχέση αυτή ταυτίζεται με την αντίστοιχη για τον γενικευμένο αντίστροφο. από την H(3.9) φαίνεται ότι το σφάλμα δεν είναι ανάλογο της ποσότητας -1 S i αλλά της ποσότητας S i (S i +ε ) -1. Συνεπώς όταν µ Si, το σφάλμα είναι περίπου ανάλογο του S -1 i, ενώ όταν µ Si, το σφάλμα είναι ανάλογο του S i. Αυτό φαίνεται και στο σχήμα 13, όπου απεικονίζεται η μεταβολή του σφάλματος των υπολογιζόμενων παραμέτρων με το μέγεθος των ιδιάζουσων τιμών για τη στοχαστική αντίστροφη λύση. Σφάλμα S S i i + ε ~ 1/S i Ιδιάζουσες τιμές S i Σχήμα 13: Μεταβολή του σφάλματος των υπολογιζόμενων παραμέτρων σε σχέση με τις ιδιάζουσες τιμές S i για τη στοχαστική αντίστροφη λύση. Στη συγκεκριμένη μέθοδο ο πίνακας διακριτικής ικανότητας R δίνεται ως εξής: S R = Vp V ( S ) p p + ε Ι T p (3.30) Από τη σχέση H(3.30) συνεπάγεται ότι ο R δεν ταυτίζεται ποτέ με τον I ακόμα και στην περίπτωση όταν V o = O. Η μείωση αυτή της διακριτικής ικανότητας αποτελεί το τίμημα της σταθεροποίησης της λύσης που επιτυγχάνεται με την εισαγωγή της παραμέτρου ε ΕΞΟΜΑΛΥΣΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ TIKHONOV ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΤΑΞΕΩΝ Μέχρι σε αυτό το σημείο εξετάστηκε η κανονικοποίηση που ως a-priori πληροφορία απαιτούσε την ελαχιστοποίηση του μέτρου της λύσης m. Συχνά ωστόσο είναι επιθυμητό η κανονικοποίηση να αφορά διαφορετικές ιδιότητες των παραμέτρων του μοντέλου από το μέτρο τους. Για παράδειγμα σε αρκετές περιπτώσεις είναι φυσικώς αποδεκτό και ρεαλιστικό να θέσουμε ως προαπαιτούμενο η όποια λύση ελαχίστων τετραγώνων να διακατέχεται από εξομαλυσμένη μεταβολή των τιμών των παραμέτρων χωρίς μεγάλες διακυμάνσεις του μοντέλου προς μια ή περισσότερες κατευθύνσεις. Σε ανάλογες περιπτώσεις το κριτήριο είναι η ελαχιστοποίηση της νόρμας κάποιας χωρικής παραγώγου του μοντέλου. Η a-priori πληροφορία ότι η αναμενόμενη λύση δε πρέπει να περιέχει μεγάλες αυξομειώσεις στις τιμές των παραμέτρων, υπαγορεύει για παράδειγμα την 8

30 ελαχιστοποίηση της πρώτης παραγώγου του m ως προς τις (δυο στην περίπτωση τομογραφίας δυο διαστάσεων) διαστάσεις του χώρου. Ο πίνακας L της σχέσης H(3.0) θα έχει την παρακάτω μορφή σε περίπτωση που οι παράμετροι του μοντέλου είναι σε μορφή πίνακα στήλης για μονοδιάστατα προβλήματα: L = (3.31) Οι πίνακες της παραπάνω μορφής ονομάζονται πίνακες εξομάλυνσης και αποτελούν τελεστές πεπερασμένων διαφορών, ώστε η έκφραση Lm να είναι μια προσέγγιση πεπερασμένων διαφορών της πρώτης παραγώγου του m. Στη συγκεκριμένη περίπτωση το ζητούμενο είναι μια λύση ελαχίστων τετραγώνων που να ελαχιστοποιεί την ποσότητα Lm, δηλαδή γενικά τη λύση που ανταποκρίνεται στην ποσότητα: min - +a Gm d Lm (3.3) Η κανονικοποίηση με ελαχιστοποίηση της πρώτης παραγώγου ονομάζεται και κανονικοποίηση Tikhonov πρώτης τάξης. Σε αρκετές περιπτώσεις, οι «επίπεδες» από θέμα αυξομειώσεων των τιμών των παραμέτρων λύσεις, δεν είναι το ζητούμενο καθώς είναι αναμενόμενες μεγάλες διακυμάνσεις στις τιμές των φυσικών παραμέτρων (ταχύτητες κυμάτων, ειδική ηλεκτρική αντίσταση κτλ.). Είναι ωστόσο απαραίτητο, οι διακυμάνσεις αυτές να γίνονται με ομαλό τρόπο και όχι απότομα. Αυτό σημαίνει ότι το μέτρο της δεύτερης παραγώγου του m, πρέπει να τείνει στο μηδέν. Ο πίνακας L της σχέσης H(3.0) για διακριτοποίηση των παραμέτρων παρόμοια με την προηγούμενη περίπτωση θα είναι της μορφής: L = (3.33) που αποτελεί αντίστοιχα έναν τελεστή πεπερασμένων διαφορών για τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου (Hessian matrix). Η λύση αυτή αντιστοιχεί σε εκείνη που ελαχιστοποιεί την ποσότητα H(3.3) αν στη θέση του L, αντικατασταθεί ο παραπάνω πίνακας. Η κανονικοποίηση με ελαχιστοποίηση της δεύτερης παραγώγου αναφέρεται και ως Tikhonov δεύτερης τάξης. 9

31 Πρέπει να σημειωθεί ότι οι πίνακες εξομάλυνσης που χρησιμοποιούνται στα πραγματικά προβλήματα αντιστροφής στη γεωφυσική, είναι κατά τέτοιο τρόπο τροποποιημένοι σε σχέση με τους παραπάνω, ώστε να λαμβάνουν υπόψη τη σχετική διάταξη στο χώρο των παραμέτρων που μπορεί να διαφέρει από την αντίστοιχη στον πίνακα αναπαράστασης m, ανάλογα τον τρόπο διακριτοποίησης και αναπαράστασης του μοντέλου σε κάθε περίπτωση. Στο σχήμα 14 φαίνεται ο τελεστής δεύτερης παραγώγου, για ένα μοντέλο δυο διαστάσεων με 3 x 3 παραμέτρους, (9 σημεία διακριτοποίησης): Σχήμα 14: Γραφική αναπαράσταση του δισδιάστατου τελεστή Hessian για ένα μοντέλο με 3x3 παραμέτρους ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΧΩΡΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ LAGRANGIAN Η εισαγωγή επιπλέον a-priori πληροφοριών στο αντίστροφο πρόβλημα γίνεται όπως αναφέρθηκε, με σκοπό την σταθεροποίηση της διαδικασίας αντιστροφής καθώς και για την καθοδήγησή της σε μια ρεαλιστική λύση, που να συμβαδίζει με τη φυσική πραγματικότητα του προβλήματος. Ένα σημαντικό κοινό στοιχείο πραγματικών αντίστροφων προβλημάτων είναι η ανομοιομορφία στην πυκνότητα πληροφορίας για τις διάφορες περιοχές του χώρου. Αυτό σημαίνει ότι η ανάγκη για κανονικοποίηση και εξομάλυνση της λύσης, είναι επιτακτική μόνο για συγκεκριμένες παραμέτρους του μοντέλου οι οποίες συμβάλουν στη αστάθεια της λύσης. Αντίθετα παράμετροι για τις οποίες η πληροφορία είναι επαρκής, η κανονικοποίηση είναι περιττή έως επιζήμια όσον αφορά την αξιοποίηση της πραγματικής πληροφορίας αφού μειώνεται η διακριτική ικανότητα της αντιστροφής. Στο σχήμα 15 απεικονίζεται μια τέτοια 30

32 περίπτωση όπου υπάρχουν 4 γεώφωνα στην επιφάνεια του εδάφους από το 0 και ανά δύο μέτρα και 11 πηγές σε γεώτρηση από το 0 επίσης ανά δυο μέτρα. Σχήμα 15: Σε αρκετές περιπτώσεις πραγματικών δεδομένων, υπάρχουν περιοχές για τις οποίες η έλλειψη πληροφορίας για την κάτω δεξιά περιοχή του χώρου. Στο αριστερό σχήμα απεικονίζονται οι σεισμικές ακτίνες, ενώ στο δεξί η κατανομή της πυκνότητας δεδομένων. Επεκτείνοντας τον ορισμό του πίνακα διακριτικής ικανότητας, ως ένα επιπλέον κριτήριο για την ικανότητα επίλυσης της αντιστροφής για την κάθε παράμετρο του μοντέλου είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η Συνάρτηση Διασποράς (spread function) των Backus Gilbert (Menke 1984). Η συνάρτηση αυτή αναπαριστά την χωρική διασπορά των διανυσμάτων που ορίζουν οι στήλες του πίνακα διακριτικής ικανότητας, R, των παραμέτρων του μοντέλου. Για την i παράμετρο η Συνάρτηση Διασποράς θα δίνεται ως εξής: N i = { ij(1 ij) ij} (3.34) j= 1 SP w S R Όπου Ν ο αριθμός των παραμέτρων του μοντέλου, w ij, ένας συντελεστής βάρους που εξάγεται από την απόσταση των παραμέτρων i και j. Ο S είναι ένας πίνακας που σκοπό έχει να αναιρεί την επίδραση της εξομάλυνσης ή κάποιας αλλού είδους κανονικοποίησης που ενδέχεται να έχει εισαχθεί στο αρχικό σύστημα. Επομένως το στοιχείο S ij είναι 1 όταν το αντίστοιχο στοιχείο του πίνακα L της σχέσης H(3.19) είναι μη μηδενικό και 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. Με αυτό τον τρόπο, παράμετροι που υποχρεώνονται από τη δομή του L να έχουν μεγάλες τιμές R ij στον υπολογισμό της σχέσης H(3.34) δεν λαμβάνονται υπόψη. Από τη σχέση H(3.34) φαίνεται ότι μεγάλη τιμή της Συνάρτησης Διασποράς για μία παράμετρο σημαίνει υποβαθμισμένη διακριτική ικανότητα για τη συγκεκριμένη παράμετρο και αντιστρόφως. Ο Sasaki (1986) και αργότερα οι Myeong-Jong Yi, Jung-Ho Kim και Seung- Hwan Chung (003) πρότειναν αντί ενός στατικού συντελεστή Lagrange έναν χωρικά μεταβαλλόμενο (Active Constraint Balancing), βασισμένο στη Συνάρτηση Διασποράς της σχέσης H(3.34). Αυτός ο χωρικά μεταβαλλόμενος Lagrangian, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή κατάλληλου πίνακα Λ. Αντικαθιστώντας τον Λ στη 31

33 θέση του βαθμωτού συντελεστή α στη σχέση H(3.18) η ποσότητα προς ελαχιστοποίηση μετατρέπεται στην: T T q = ( d-gm) ( d-gm) + ( Lm-d ) Λ( Lm - d ) (3.35) acb c c από την οποία προκύπτουν οι παρακάτω κανονικές εξισώσεις: T T T T ( GG+ LΛL) m= Gd+ ΛL d (3.36) και τελικά τη λύση ελαχίστων τετραγώνων με μεταβαλλόμενο συντελεστή Lagrange: c T T 1 T macb = ( G G+ L ΛL) G e (3.37) όπου e, το διάνυσμα των χρονικών υπολοίπων. Ο πίνακας Λ, είναι ένας διαγώνιος πίνακας με τιμές διαγωνίου τις τιμές του συντελεστή κανονικοποίησης που αντιστοιχούν σε κάθε μία από τις παραμέτρους ξεχωριστά. Για το σχηματισμό του πίνακα Λ, όπως αναφέρθηκε, χρησιμοποιείται ως κριτήριο η διακριτική ικανότητα της μεθόδου για την κάθε παράμετρο. Αυτό γίνεται με την εισαγωγή στον υπολογισμό των συντελεστών Lagrange, της συνάρτησης Διασποράς. Σε μια παράμετρο για την οποία υπάρχει απουσία επαρκούς πληροφορίας επομένως χαρακτηρίζεται από υψηλή τιμή SP, ανατίθεται μια μεγάλη τιμή Lagrange. Αντίθετα σε μια παράμετρο για την οποία υπάρχει πληθώρα πληροφορίας, η τιμή της SP είναι μικρή όπως ανάλογα και ο συντελεστής Lagrange που θα της ανατεθεί. Σε κάθε περίπτωση οι τιμές των συντελεστών Lagrange, κυμαίνονται ανάμεσα σε μια ελάχιστη λ min και μια μέγιστη τιμή λ max που καθορίζονται εκ των προτέρων. Οι συντελεστές Lagrange που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα διατριβή δίνονται από τη σχέση (Myeong-Jong Yi et all, 003): log( λmax ) log( λmin ) log( λi ) = log( λmin ) + log( SP ) log( SP ) max {log( SP) log( SP )} i min min (3.38) Με την συγκεκριμένη σχέση ανατίθενται σε κάθε παράμετρο συντελεστές Lagrange, οι οποίοι κυμαίνονται σε λογαριθμική κλίμακα ανάμεσα σε δύο ακραίες τιμές. Η λογαριθμική κλίμακα χρησιμοποιείται εξαιτίας της εκθετικής διακύμανσης των τιμών της Συνάρτησης Διασποράς, ώστε να περιορίσει φαινόμενα υπερβολικής εξομάλυνσης σε περιοχές υψηλής διασποράς. 3

34 3. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στις περισσότερες περιπτώσεις τα γεωφυσικά προβλήματα είναι μη γραμμικά. Αυτό σημαίνει ότι δεν είναι δυνατόν να περιγραφούν από εξισώσεις της μορφής d= Gm. Για παράδειγμα στη περίπτωση της σεισμικής διάθλασης που αναφέρεται η συγκεκριμένη εργασία, το ευθύ πρόβλημα μπορεί να τυποποιηθεί ως εξής: 1 ti = dl = S dl U Pi Pi (3.39) Δηλαδή ο χρόνος διαδρομής της σεισμικής ακτίνας i, δίνεται από το ολοκλήρωμα κατά μήκος της διαδρομής P i του πεδίου ταχύτητας ή καθυστέρησης αντίστοιχα. Υπό τη μορφή διακριτών δεδομένων η H(3.39) παίρνει τη παρακάτω μορφή: t l P P j = = Sjlj (3.40) j= 1U j j= 1 Όπου l j τα στοιχειώδη μήκη ακτίνας και U j η ταχύτητα ( μέτωπο του κύματος για να διανύσει το μήκος αυτό. S ) που χρειάστηκε το Ο Gauss πρότεινε πρώτος ότι τα μη γραμμικά προβλήματα θα μπορούσαν να αντιμετωπιστούν ως γραμμικά σε πολύ μικρή (χωρική ή χρονική) κλίμακα. Σε τόσο μικρές κλίμακες, είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι οι διακυμάνσεις των δεδομένων για μικρές μεταβολές του μοντέλου είναι δυνατόν να προσεγγιστούν ικανοποιητικά γραμμικά. Συνεπώς αν και το σύστημα γενικά συμπεριφέρεται μη γραμμικά, οι μεταβολές του συστήματος, όταν αυτές είναι μικρές διακατέχονται σε πολύ μεγάλο βαθμό από γραμμικότητα. Ορμώμενοι από αυτή την παραδοχή, ξεκινώντας από μια πρώτη προσέγγιση του προσδιοριστέου μοντέλου, επιλύνοντας διαδοχικά το σύστημα για μικρές μεταβολές με γραμμική αντιστροφή καταλήγουμε στη λύση του μη γραμμικού αντίστροφου προβλήματος. j 3..1 ΜΕΘΟΔΟΣ NEWTON Έστω ένα μη γραμμικό σύστημα m εξισώσεων και m αγνώστων f ( m ) = 0 (3.41) Στόχος είναι όπως αναφέρθηκε να κατασκευαστεί μια ακολουθία διαδοχικών 0 1 διανυσμάτων m, m, m..., τα οποία θα συγκλίνουν σταδιακά στη λύση του optimum συστήματος m. Αν η f είναι παραγωγίσιμη παντού, τότε είναι δυνατόν να 33

35 κατασκευαστεί μια σειρά Taylor, για την επίδραση μιας διαταραχής του μοντέλου 0 γύρω από την τιμή m f( m ) f( m ) f( m +Δ m) = f( m ) + Δ m+ ( Δ m ) +... (3.4) 1!! Αν θεωρήσουμε ότι η διαταραχή είναι αρκούντως μικρή ώστε να μπορεί να προσεγγιστεί γραμμικά (επομένως η σειρά να συγκλίνει), μπορούμε να απαλείψουμε με ασφάλεια τους όρους δεύτερης ή και μεγαλύτερης τάξης, που περιγράφουν την απόκλιση από τη γραμμική συμπεριφορά του συστήματος. Επομένως η H(3.4) παίρνει την απλοποιημένη (γραμμικοποιημένη) μορφή: f( m +Δ m) f( m ) + f( m ) Δm (3.43) ή αλλιώς για μια άγνωστη τιμή H(3.41) και την H(3.43): * m, και μια γνωστή 0 m, εκμεταλλευόμενοι την * 0 0 f( m ) f( m ) + f( m ) Δm 0 (3.44) Επιλύνοντας ως προς τη διαφορά Δm μεταξύ * m και 0 m έχουμε: 0 0 f( m ) Δm f( m ) (3.45) 0 Ο όρος f ( m ) είναι γνωστός ως Ιακωβιανός (Jacobian) πίνακας και ουσιαστικά κάθε στοιχείο του αναπαριστά την επίδραση της διαταραχής της συγκεκριμένης παραμέτρου του μοντέλου, προς μια συγκεκριμένη διεύθυνση, στο συνολικό σύστημα. 0 0 f1( m ) f1( m )... m1 mm 0 J = f ( m ) = fm( m ) fm( m )... m1 m m (3.46) Ο γενικός αλγόριθμος της μεθόδου Newton επομένως είναι ο εξής: i 1. Ορισμός ενός αρχικού μοντέλου m (πρώτη προσέγγιση i = 0) i i. Επίλυση του συστήματος f( m ) Δm f( m ) i 1 i 3. Αντικατάσταση m + m +Δm, και i i+ 1 i 4. Αν η λύση ικανοποιεί τη σχέση f ( m ) = 0 τέλος. Αλλιώς πήγαινε στο βήμα 1. 34

36 Επομένως για κάθε συνεχή και παραγωγίσιμη (τουλάχιστον σε μια περιοχή γύρω * από ένα m ) συνάρτηση, f, και για J αντιστρέψιμο, η μέθοδος Newton, ξεκινώντας * 0 * από ένα αρκούντως κοντινό στο m, σημείο m, θα συγκλίνει στο m. Η σύγκλιση είναι δευτεροβάθμια, καθώς για μεγάλες τιμές του i, υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε: m + m c m m (3.47) i 1 * i * 3.. ΜΕΘΟΔΟΣ GAUSS NEWTON Η μέθοδος Newton έχει ένα σημαντικό μειονέκτημα. Προϋποθέτει ότι οι εξισώσεις του συστήματος θα είναι όσες και οι άγνωστοι παράμετροι του μοντέλου. Αυτό όπως έχει αναφερθεί και προηγουμένως, δεν ισχύει, καθώς το σύνηθες στην πράξη είναι οι εξισώσεις να είναι περισσότερες των αγνώστων επομένως και οι λύση δεν είναι μοναδική. Τότε καταφεύγουμε σε μεθόδους, όπως αυτή των ελαχίστων τετραγώνων. Με τη μέθοδο Gauss Newton, ουσιαστικά εφαρμόζεται η αρχική μέθοδος Newton αλλά για να ελαχιστοποιήσει την παρακάτω ποσότητα (πχ. ανηγμένα χρονικά υπόλοιπα στη σεισμική τομογραφία): m G( ) i d i f ( m ) = m (3.48) i= 1 σ i αν για χάρη συντομίας και για i από 1 εως m, θέσουμε : G( m) i d fi ( m) = σ i i και (3.49) f1( m) Fm ( ) =... fm( m) τότε αντικαθιστώντας στην H(3.48) και παίρνοντας την βαθμίδα και στα δυο μέλη, έχουμε: ( ) m ( fi ( ) ) i= 1 f m = m (3.50) επομένως για κάθε εξίσωση του συστήματος θα ισχύει: m και συνολικά εκφρασμένο με μορφή πινάκων f( m) = f ( m) F( m ) (3.51) j i j j i= 1 35

37 όπου Jm ( ) ο Ιακωβιανός του συστήματος: T f ( m) = J( m) F( m ) (3.5) f1( m) f1( m)... m1 m n Jm ( ) =... fm( m) fm( m)... m1 m n (3.53) Αντίστοιχα επάγεται ότι παίρνοντας την Λαπλασιανή ( ) αντί της βαθμίδας στη σχέση H(3.48), καταλήγουμε στη σχέση: T m i i i= 1 f( m) = J( m) J( m) + f ( m) f ( m ) (3.54) Στη μέθοδο Gauss Newton αγνοώντας τους όρους δεύτερης τάξης του δευτέρου μέλους της H(3.54) παίρνουμε μια προσέγγιση της Λαπλασιανής, δηλαδή: ( ) ( ) ( ) (3.55) T f m J m J m Τελικά, διαιρώντας και τα δυο μέλη με το, και προκύπτει ότι οι σχέση για διαδοχικές επαναλήψεις της μεθόδου Gauss Newton είναι: i T i i T Jm ( ) Jm ( ) Δm Jm ( ) Fm ( ) (3.56) η οποία είναι εξίσωση της μορφής : T T JJm Δ = J( F ) (3.57) δηλαδή ταυτόσημη με τις κανονικές εξισώσεις (σχέση H(3.7)) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Αν ένα διάνυσμα d, έχει πολυμεταβλητή κατανομή Gauss (Multivariate Normal Distribution), τότε και το γινόμενό του με έναν πίνακα A θα έχει την ίδια κατανομή, ενώ ο πίνακας συμεταβλητότητάς τους θα δίνεται ως εξής: 36

38 T Cov( Ad)= ACov( d) A (3.58) Εφαρμόζοντας αυτή τη σχέση στο γραμμικό σύστημα εξισώσεων d= Gm, που επιλύεται μέσω των κανονικών εξισώσεων, προκύπτει ο πίνακας συμεταβλητότητας του μοντέλου m. T 1 T T 1 m G G G Cov d G G G (3.59) Cov( )=( ) ( ) ( ) Στην απλούστερη περίπτωση της απλής κανονικής κατανομής Gauss με ενιαία τιμή τυπικής απόκλισης σ και ασυσχέτιστα σφάλματα, ισχύει: Επομένως η H(3.59) απλοποιείται και παίρνει τη μορφή: Cov( d)=σ Ι (3.60) T 1 m G G (3.61) Cov( )=σ ( ) Για τα μη γραμμικά προβλήματα, δεν υπάρχει γραμμική σχέση που να συνδέει τα δεδομένα με τις παραμέτρους του μοντέλου. Αυτό έχει ως συνέπεια οι υπολογιζόμενες παράμετροι να μην ακολουθούν κανονική κατανομή και επομένως δεν είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν οι παραπάνω σχέσεις. Θεωρώντας ωστόσο πολύ μικρές μεταβολές στα δεδομένα αντιστοιχούν σε αντίστοιχου εύρους μεταβολές στις παραμέτρους του μοντέλου, μπορούμε να θεωρήσουμε μια γραμμικοποιημένη μορφή της συνάρτησης απόκλισης ( υπόλοιπα ) Fm ( ): Fm ( + Δ m) Fm ( ) + Jm ( ) Δm (3.6) ή αλλιώς μια γραμμική σχέση ανάμεσα στις μεταβολές των παραμέτρων και τις μεταβολές των αποκλίσεων των συνθετικών από τα πραγματικά δεδομένα. ΔF J( m) Δm (3.63) Από τη στιγμή που η Λαπλασιανή (Hessian) είναι δυνατό να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη σχέση H(3.55), ο Jm ( ) μπορεί να θεωρηθεί ο αντίστοιχος,g του γραμμικού αντίστροφου προβλήματος. Η σχέση H(3.63) επομένως είναι η σχέση που χρησιμοποιείται σε κάθε επανάληψη κατά τη διαδικασία μη γραμμικής αντιστροφής, ώστε να προσεγγίζεται διαδοχικά η βέλτιστη λύση. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε κάθε επανάληψη, η εξαγωγή της διόρθωσης του μοντέλου γίνεται με τις μεθόδους γραμμικής αντιστροφής που αναλύθηκαν εκτενώς στο αντίστοιχο κεφάλαιο, από τη στιγμή που η H(3.63) αντιστοιχεί σε σύστημα εξισώσεων της γενικής μορφής d= Gm. 37

39 Αντίστοιχα ο πίνακας συμμεταβλητότητας του μοντέλου, Cov( m ), καθώς η ποσότητες σ i είναι ενσωματωμένες στον όρο f ( m ) (βλέπε H(3.48) και H(3.49)) γίνεται: T 1 m J m J m (3.64) Cov( )=[ ( ) ( )] Πρέπει να τονιστεί ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση, αντίθετα με το γραμμικό αντίστροφο πρόβλημα, ο πίνακας συμεταβλητότητας του μοντέλου (Cov( m )) υπολογίζεται προσεγγιστικά, καθώς εξαρτάται άμεσα από την ακρίβεια της γραμμικοποίησης και το πόσο ασήμαντοι είναι τελικά οι όροι μεγαλύτερων τάξεων που απαλείφονται προκειμένου να δημιουργηθεί ο J. Αυτός ο περιορισμός οδηγεί συχνά σε σημαντική υποτίμηση των πραγματικών (μη γραμμικών) σφαλμάτων του μοντέλου. 38

40 4. ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ Equation Chapter 4 Section 1 Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται η μέθοδος της σεισμικής τομογραφίας πρώτων αφίξεων (διάθλασης) όπως αυτή εφαρμόστηκε στη παρούσα διατριβή. Αρχικά παρουσιάζεται και αναλύεται η μεθοδολογία επίλυσης του ευθέος προβλήματος και οι διαφορετικές προσεγγίσεις για την επίτευξη αυτού του σκοπού, υπογραμμίζοντας τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα κάθε τεχνικής. Στη συνέχεια περιγράφεται το αντίστροφο πρόβλημα, ο αλγόριθμος αντιστροφής που ακολουθήθηκε, καθώς και οι διάφορες μέθοδοι σταθεροποίησης και κανονικοποίησης της λύσης συνοδευόμενες από τα αποτελέσματα και τις διαπιστώσεις που εξάχθηκαν. Παράλληλα παρουσιάζεται ο τρόπος εξαγωγής βέλτιστων τιμών κανονικοποίησης με τις μεθόδους που προαναφέρθηκαν, καθώς και η ευρωστία τους η μη, σε μια ποικιλία προβλημάτων. 4.1 ΕΥΘΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Για την παραγωγή συνθετικών δεδομένων και την επίλυση του ευθέος προβλήματος χρησιμοποιήθηκαν δυο διαφορετικές τεχνικές. Η πρώτη εφαρμόζει τη θεωρία γραφημάτων, και έναν βελτιωμένο αλγόριθμο Dijkstra (Moser 1991), για τον υπολογισμό του χρόνου άφιξης του μετώπου του κύματος που παράγεται από μια πηγή, σε κάθε σημείο του χώρου μελέτης. Ο τελευταίος αναπαριστάται με τη μορφή πλέγματος διακριτών τιμών καθυστέρησης, ενώ οι ενδιάμεσες τιμές υπολογίζονται με γραμμική παρεμβολή. Η δεύτερη ανήκει στις μεθόδους κάμψης της σεισμικής ακτίνας, και αφορά έναν βελτιωμένο αλγόριθμο των Um και Thurber (1987), με τη χρήση κυβικών πολυωνύμων προσέγγισης Beta Splines στη θέση των κλασικών πολυγωνικών προσεγγίσεων της σεισμικής ακτίνας (Moser et all 199, Soupios et all 001). Επιπλέον έγινε εφαρμογή της θεωρίας των πρώτων ζωνών Fresnel που βελτιώνουν την ακρίβεια και αποκαθιστούν την εγκυρότητα της Θεωρίας Ακτινών σε κύματα χαμηλών συχνοτικών περιεχομένων ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Αρχικά ο χώρος έρευνας διακριτοποιείται με τη μορφή πλέγματος κόμβων συγκεκριμένων τιμών καθυστέρησης (ή ταχύτητας ισοδύναμα). Το πλέγμα είναι ορθογώνιο με δυνατότητα διαφορετικής απόστασης των κόμβων κατακόρυφα και οριζόντια. Το τελευταίο επιτρέπει την διαφορετική διακριτική ικανότητα στις δυο διαφορετικές κατευθύνσεις ενώ επιπλέον καθιστούν δυνατή την επιπλέον «καθοδήγηση» της αντιστροφής σε συγκεκριμένες λύσεις που ευνοούν τις οριζόντιες ή κατακόρυφες διακυμάνσεις. Η πυκνότητα του πλέγματος και συνεπώς ο συνολικός αριθμός κόμβων οι οποίοι αποτελούν και τους αγνώστους εξαρτάται από το συνολικό αριθμό εξισώσεων και την ποιότητα των δεδομένων. Περισσότερες εξίσωσες (κατά το δυνατόν γραμμικά ανεξάρτητες) δίνουν την δυνατότητα χρήσης πυκνού πλέγματος και επομένως καλύτερης δυνητικής διακριτικής ικανότητας. 39

41 4.1. ΙΧΝΗΛΑΤΗΣΗ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΑΚΤΙΝΩΝ ΠΡΩΤΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Για κάθε πηγή, εφαρμόζεται η θεωρία γραφημάτων και ένας τροποποιημένος αλγόριθμος Dijkstra όπως παρουσιάστηκε από τον Moser (1991) και αναλύθηκε παραπάνω, με τον οποίο υπολογίζονται οι χρόνοι άφιξης του μετώπου του κύματος σε όλους τους κόμβους του πλέγματος για τη συγκεκριμένη πηγή. Ο αλγόριθμος αυτός χρησιμοποιεί ως βασική δομή δεδομένων για την αποθήκευση Σχήμα 16: Ιεραρχική δομή (δομή δένδρου) η οποία χρησιμοποιείται στη δομή δεδομένων HEAP. Για κάθε κόμβο Α υψηλότερο ιεραρχικά του Β ισχύει: Key( A) key( B) των χρόνων άφιξης στους κόμβους την Ιεραρχική δομή δεδομένων (HEAP). Η τελευταία αποτελεί μια ιεραρχική (tree based) δομή δεδομένων σαν αυτή του σχήματος 17. Για δυο κόμβους i και j, για τους οποίους ο κόμβος i είναι ιεραρχικά ανώτερος του j, η δομή δεδομένων HEAP απαιτεί: Ti () T( j) (4.1) όπου Ti () και T( j) οι χρόνοι άφιξης του μετώπου του κύματος στους αντίστοιχους κόμβους. Το βασικό πλεονέκτημα της συγκεκριμένης τροποποίησης του αλγορίθμου του Dijkstra (1956) έγκειται στην θεαματική μείωση του χρόνου υπολογισμών για μεγάλα πλήθη κόμβων πλέγματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι για την περαιτέρω αύξηση της ακρίβειας, το αρχικό πλέγμα πυκνώνεται με γραμμική παρεμβολή ειδικά και μόνο για τους σκοπούς επίλυσης του ευθέος προβλήματος. Για την περίπτωση σώματος μικρής ταχύτητας (500 m/s) που βρίσκεται σε ομογενές περιβάλλον υψηλής ταχύτητας (3000 m/s) τα αποτελέσματα της μεθόδου φαίνονται στο σχήμα 117 :, όταν η πηγή βρίσκεται στο σημείο (0,0). πηγή απόσταση (m) βάθος (m) Σχήμα 17: Χρόνοι άφιξης του μετώπου του κύματος από την πηγή (0,0) στα διάφορα σημεία του χώρου, που υπολογίσθηκαν με την τροποποιημένη (Moser 1991) μέθοδο Dijkstra. 40

42 Για τον σχηματισμό της ακτίνας διάθλασης που συνδέει την πηγή με τον κάθε κόμβο, απλά ακολουθείται προς τα πίσω πορεία ξεκινώντας από τον κόμβο και επιλέγοντας κάθε φορά από τους γειτονικούς αυτόν με την αμέσως μικρότερη τιμή χρόνου άφιξης. Η Ακτίνα αυτή βασίζεται στους κόμβους του πυκνωμένου πλέγματος και έχει την μορφή διανύσματος p N, Ν στοιχείων, όπου κάθε p i με περιττό δείκτη (i =k+1, k=0,1,,...,ν/-) δηλώνει την οριζόντια απόσταση από την αρχή του πλέγματος, και κάθε p i+1, την αντίστοιχη κατακόρυφη ( βάθος ύψος ) του συγκεκριμένου σημείου. Η πύκνωση αυτή του πλέγματος των παραμέτρων ουσιαστικά αναιρεί ένα σημαντικό πρόβλημα που αντιμετωπίζουν οι υπόλοιπες μέθοδοι πλέγματος αυτό της διακριτοποίησης της ακτίνας. Για τον χαρακτηρισμό των κόμβων ως γειτονικούς ή μη ενός κόμβου i, σχεδιάζεται κάθε φορά μια περιοχή με ακτίνα που καθορίζεται πειραματικά ως ακέραιο πολλαπλάσιο κόμβων. Η περιοχή αυτή του συνόλου των κόμβων που θεωρούνται γειτονικοί ως προς τον εξεταζόμενο κάθε φορά καλείται Forward Star. Στο σχήμα 17 φαίνεται το σχήμα του Forward Star αν επιλεχθούν κόμβοι πρώτης, δεύτερης ή και τρίτης τάξης με χρώματα πράσινο και μπλε αντίστοιχα. Η αύξηση της ακρίβειας ποτ προκαλείται εξαιτίας της μείωσης του βήματος διακριτοποίησης των ακτινών αναχώρησης από τον εξεταζόμενο κόμβο, ανταγωνίζεται την σημαντική αύξηση του χρόνου υπολογισμών, τις απαιτήσεις μνήμης και γενικά την αποδοτικότητα του αλγορίθμου. Επειδή στη συγκεκριμένη διατριβή η μέθοδος γραφημάτων χρησιμοποιείται μόνο για την παραγωγή μιας πρώτης προσέγγισης της σεισμικής ακτίνας, γενικά δεν απαιτούνται μεγάλης τάξης Forward Stars, καθώς η ακτίνα που θα παραχθεί πρόκειται να βελτιστοποιηθεί όπως θα δειχθεί στο επόμενο κεφάλαιο. Σχήμα 18: Η διακριτοποίηση της γωνίας αναχώρησης της ακτίνας από τον κεντρικό κόμβο (κόκκινο χρώμα) εξαρτάται από την επιλογή του Forward Star (Moser 1991). Με πράσινο απεικονίζονται οι κόμβοι πρώτης και δεύτερης τάξης ενώ με μπλε οι κόμβοι τρίτης τάξης. Μεγαλύτερες τάξεις αυξάνουν την ακρίβεια της μεθόδου εκτινάσσοντας όμως ταυτόχρονα τον χρόνο υπολογισμών ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΑΜΨΗΣ ΜΕ BETA SPLINES Στη συνέχεια έχοντας ως αρχική προσέγγιση την ακτίνα που περιγράφεται από το διάνυσμα p N για κάθε ζευγάρι πηγής και δέκτη, εφαρμόστηκε η βελτιωμένη μέθοδος κάμψης, με στόχο την περαιτέρω αύξηση της ακρίβειας επίλυσης του ευθέoς προβλήματος. Πριν γίνει αυτό η ακτίνα αυτή πυκνώνεται ή αραιώνεται με επιπλέον σημεία αν κριθεί απαραίτητο. Η βέλτιστη απόσταση μεταξύ των σημείων ακολουθεί γενικά τους κανόνες διακριτοποίησης, ενώ στην πράξη προσδιορίζεται με τη μέθοδο 41

43 της δοκιμής λάθους. Στη συγκεκριμένη εργασία ως η πλέον κατάλληλη θεωρήθηκε η τιμή ( dx +dz )/10 όπου dx, dz, οι αποστάσεις των κόμβων στο οριζόντιο και κατακόρυφο επίπεδο. Έστω το διάνυσμα p που περιγράφει τη σεισμική ακτίνα που συνδέει συγκεκριμένο ζεύγος πηγής, s και δέκτη, r μετά την πύκνωση αραίωση: p = ( x, z, x, z, x, z,..., x, z ) (4.) k k Ο χρόνος διαδρομής κατά μήκος της ακτίνας μπορεί να υπολογιστεί με τον κανόνα του τραπεζίου ως εξής: k 1 T( p ) = ( Si + Si 1) ( xi xi 1) + ( zi zi 1) (4.3) i= 1 Όπου S i η καθυστέρηση της σεισμικής ακτίνας στο αντίστοιχο σημείο. Ο στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του T, σε συνάρτηση με το p. Ως μέθοδος ελαχιστοποίησης επιλέχθηκε η μέθοδος συζυγούς βαθμίδας (Conjugate Gradient Methods) και συγκεκριμένα η εκδοχή των Polak Reeves (Press, et al. 199). Η συγκεκριμένη μέθοδος προτιμήθηκε εξαιτίας των μικρότερων απαιτήσεων μνήμης καθώς και των εξαιρετικών ιδιοτήτων σύγκλισης. Άλλες μέθοδοι όπως η Newton (Stoer και Bulirsch, 1980) απαιτεί Ο(n ) διαστάσεις χώρου μνήμης ενώ η μέθοδος μέγιστης κλίσης αποτυγχάνει να συγκλίνει στην παρουσία επιμηκυσμένης στενής ζώνης στη συνάρτηση χρόνου διαδρομής (Conte και de Boor, 1980). Σε αυτή τη μέθοδο απαιτείται η δυνατότητα υπολογισμού εκτός της τιμής της συνάρτησης Τ και η τιμή της βαθμίδας της T ( p ) H(4.)για κάθε k διάστατο σημείο k p. Η βαθμίδα του χρόνου διαδρομής ως προς το σημείο p του χώρου είναι: T T T T T T T ( p ) =,,,,...,, (4.4) x0 z0 x1 z1 xk zk Για δεδομένο ζεύγος πηγής δέκτη, το πρώτο και το τελευταίο σημείο της ακτίνας είναι σταθερά, επομένως δ x0 = δz0 = δxk = δzk = 0. Με αριθμητική παραγώγιση της H(4.3) χρησιμοποιώντας κεντρικές διαφορές έχουμε: 3 T( p+ δp) T( p δp) = ( T( p), δp) + O( δp ), δp 0 (4.5) Ας θεωρήσουμε μια προσεγγιστική σχέση για την Τ, με τη μορφή δευτεροβάθμιας εξίσωσης στη διακριτή της μορφή: και επομένως : 1 T( x) c b x+ x A x (4.6) T ( x) b+ A x (4.7) 4

44 Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση g 0, και θέτοντας h0 = g 0 η μέθοδος, κατασκευάζει δύο ακολουθίες διανυσμάτων ως εξής: gi+ 1 = gi λia hi = f ( pi), i = 0,1,,... h = g + γ h i+ 1 i+ 1 i i (4.8) Τα διανύσματα αυτά ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες ορθογωνιότητας και συζυγίας: gi g j = 0 hi A h j = 0 i< g h = 0 Οι ποσότητες λi και γ i δίνονται από τις σχέσεις: i j j (4.9) gi gi gi hi λi = = h A h h A h i j i j g g ( g g ) g i+ 1 i+ 1 i+ 1 i i+ 1 γ i = = gi gi gi gi (4.10) όταν για τον υπολογισμό του γ i χρησιμοποιείται η πρώτη σχέση από τις παραπάνω τότε έχουμε την εκδοχή των Fletcher Reeves ενώ όταν χρησιμοποιείται η δεύτερη, την εκδοχή των Polak Reeves (Press, et al. 199). Η επαναληπτική διαδικασία τερματίζεται όταν η λύση προσεγγίσει μια προεπιλεγμένη τιμή ανοχής για τον ρυθμό σύγκλισης που συνήθως επιλέγεται ίση με την ακρίβεια του μηχανήματος. Για την βελτίωση της ακρίβειας της μεθόδου κάμψης χρησιμοποιήθηκε αντί της γραμμικής παρεμβολής των σημείων της ακτίνας, η παρεμβολή με Beta Splines. Τα Beta Splines είναι κυβικά πολυώνυμα και αποτελούν μια τροποποιημένη μορφή των καμπυλών cubic B splines (Newman και Sproull, 1981). Με τις συγκεκριμένες συναρτήσεις επιτυγχάνεται η δημιουργία ομαλών ακτινών που προσεγγίζουν καλύτερα την φυσική πραγματικότητα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια στον υπολογισμό του χρόνου διαδρομής. Επιπλέον καθίσταται δυνατή η μείωση των σημείων αναπαράστασης της ακτίνας δηλαδή του πλήθους των στοιχείων διανύσματος p της H(4.) και κατόπιν η παρεμβολή τους με Beta Splines. Η καμπύλη που παράγεται από τα Beta Splines χαρακτηρίζεται από τις παρακάτω ιδιότητες: Δεν υπάρχουν περιορισμοί στον τρόπο κάμψης της. Δεν είναι απαραίτητο να περνά από τα σημεία της αρχικής ακτίνας p. Είναι δυνατή η ανακατασκευή ενός τμήματος της ακτίνας χωρίς να απαιτείται αναθεώρηση των ήδη υπολογισθέντων τμημάτων της. Η συμπεριφορά της ελέγχεται από δύο παραμέτρους β 1 και β, οι οποίες περιγράφουν τη συνέχεια της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου στα σημεία εφαρμογής των τμημάτων της. Για παράδειγμα τιμές β 1 = 1 και β = 0 απαιτούν την συνέχεια και της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου, επομένως τα σημεία προσεγγίζονται από μια καμπύλη B spline (ειδική περίπτωση των Beta splines για τις παραπάνω τιμές των παραμέτρων β i ), 43

45 ενώ για τιμές β 1 = β = 0, η ακτίνα προσεγγίζεται με ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα σημεία που περιγράφει το p (σχήμα 19) Σχήμα 19: Ο τρόπος λειτουργίας των Beta Splines. Η μαύρη καμπύλη είναι παρεμβάλει τα σημεία με Beta spline με β 1 = β = 0. Η μπλε καμπύλη αντίστοιχα, παρεμβάλει τα σημεία με B-Spline (β 1 = 1, β = 0) 1 Ο χρόνος διαδρομής κατά μήκος της καμπύλης Beta Spline υπολογίζεται με τον κανόνα του τραπεζίου με την παρακάτω σχέση: k m 1 T( p) = ( Si + Si 1) Qi( uj) Q i( uj 1) (4.11) i= 1 j= 1 Όπου Qi ( u ), είναι σημείο του i οστού τμήματος της καμπύλης Beta Spline με i=1,,, k και και 0 u 1, m, ο αριθμός των σημείων που θα χρησιμοποιηθούν για την ολοκλήρωση κατά μήκος των επιμέρους τμημάτων της (συνήθως u=j/m) ΖΩΝΕΣ FRESNEL, ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ «ΠΑΧΙΑΣ ΑΚΤΙΝΑΣ» Όπως αναφέρθηκε και στην αντίστοιχη παράγραφο προηγουμένου κεφαλαίου, η Θεωρία Ακτίνας για την προσέγγιση την διαφορικής εξίσωσης διάδοσης των σεισμικών κυμάτων, είναι έγκυρη μόνο αν ισχύει η υπόθεση υψηλών συχνοτήτων. στην πράξη όμως και σε προβλήματα σεισμικής διάθλασης μικρής κλίμακας, οι δομές που ερευνούνται έχουν διαστάσεις που μπορεί να οδηγήσουν σε αποκλίσεις από την παραπάνω υπόθεση. Επίσης το συχνοτικό περιεχόμενο των κυμάτων που παράγονται περιέχει και χαμηλές συχνότητες. Σε αυτές τις περιπτώσεις ο χώρος από τον οποίο επηρεάζεται η σεισμική ακτίνα δεν περιορίζεται στα σημεία της μαθηματικής ακτίνας 44

46 που παράγει η Θεωρία Ακτίνας, αλλά εκτείνεται πέραν αυτής, με αποτέλεσμα η συνέπεια και η ακρίβεια της Θεωρίας Ακτίνας να υποβαθμίζονται (Berkhout 1984; Yilmaz 1987, Williamson 1991, Woodward, 199, Červený 001). Η περιοχή αυτή που περικλείει τη μαθηματική ακτίνα, ονομάζεται όγκος Fresnel (first Fresnel volume) ή πρώτη ζώνη Fresnel (Bertoni και συνεργάτες 1979). Για δεδομένο ζεύγος πηγής δέκτη η ζώνη Fresnel εξαρτάται από τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος στο μέσο. Αποτελεί τον γεωμετρικό τόπο όλων των μαθηματικών ακτινών που ξεκινούν από την πηγή και φτάνουν στον δέκτη σε χρόνο που διαφέρει λιγότερο από μισή περίοδο, επομένως συμβάλουν θετικά με την μαθηματική ακτίνα και η ενέργειά τους (μέρος της) συμμετέχει στην καταγραφή. Ειδικότερα ένα σημείο F ανήκει στη πρώτη ζώνη Fresnel δεδομένης μιας πηγής A και ενός δέκτη Β, αν και μόνο αν, ικανοποιεί την παρακάτω σχέση (Červený and Soares, 199): 1 tfa (, ) + tfb (, ) tba (, ) (4.1) f όπου txy, (, ) ο χρόνος διαδρομής από το σημείο x στο σημείο y. Υπάρχουν δυο κύριες μέθοδοι για τον υπολογισμό των ζωνών Fresnel. Ο ακριβείς υπολογισμός της (exact Fresnel volume) επιλύνοντας ακριβώς την σχέση H(4.1), και ο κατά προσέγγιση υπολογισμός της με γεωμετρικό τρόπο (approximate Fresnel volume) ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 1 ΗΣ ΖΩΝΗΣ FRESNEL APPROXIMATE FRESNEL. Για ομογενές μέσο το σχήμα της ζώνης Fresnel είναι μια έλλειψη όπως φαίνεται στο σχήμα 0 (ελλειψοειδές από περιστροφή στον τρισδιάστατο χώρο). Υψηλότερες συχνότητες κυμάτων, ή χαμηλότερες ταχύτητες διάδοσης στο μέσο, παράγουν στενότερους ελλείψεις και αντιστρόφως. Επομένως αν θεωρηθεί η F r A d F ταχύτητα στο μέσο σταθερή είναι δυνατόν να καθοριστεί αν ένα σημείο F του χώρου ανήκει στη ζώνη Fresnel, λαμβάνοντας υπόψη μόνο την απόσταση του από τη μαθηματική ακτίνα, R, καθώς και την απόσταση της προβολής του από την πηγή, d (ή ισοδύναμα τον δέκτη). Ο κατά προσέγγιση υπολογισμός της ζώνης Fresnel εκμεταλλεύεται αυτό το γεγονός, σε συνδυασμό με την υπόθεση ότι το μέσο διάδοσης είναι πάντα ομογενές ακόμα και αν αυτό δεν ισχύει. Οι έδειξαν (Červený και Soares 199, Soupios et al. 001) ότι η προσέγγιση αυτή για μέτρια ανομοιογενή μέσα είναι συνήθως ακριβής, επομένως μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξοικονομώντας μνήμη και χρόνο κατά τους υπολογισμούς σε σχέση με τον ακριβή προσδιορισμό της ζώνης Fresnel. Συγκεκριμένα, αν η ταχύτητα στο μέσο διάδοσης είναι σταθερή τότε η H(4.1) μπορεί να ξαναγραφεί εκφρασμένη μόνο με μήκη: B Σχήμα 0: Τυπική μορφή της πρώτης ζώνης Fresnel για δεδομένο ζεύγος πηγής δέκτη. 45

47 λ l( FA, ) + l( FB, ) l( BA, ) (4.13) όπου lxy, (, ) το μήκος της ακτίνας από το σημείο x στο σημείο y και λ, το μήκος κύματος (λ=c/f). Αναλύοντας στο καρτεσιανό σύστημα και θέτοντας για χάρη απλότητας χωρίς να βλάφτει η γενικότητα τα σημεία Α και Β επάνω στην ευθείας y=0, έχουμε: Ώμως από το σχήμα 0, zf λ (4.14) ( xf xa) yf ( xf xb) yf ( xb xa) = r. Τελικά επιλύνοντας ως προς r, έχουμε: r λ λ + l( AB, ) + l( AB, ) l ( FA, ) + l ( FB, ) λ 4 + l( AB, ) ( ) (4.15) Θεωρώντας την οριακή συνθήκη της ισότητας, μπορούμε να πάρουμε, παίρνουμε τον γεωμετρικό τόπο του τοπολογικού συνόρου του όγκου Fresnel για κάθε F ' που ανήκει στη μαθηματική ακτίνα που ενώνει το Α με το Β. R F' Frenel = λ λ + l( AB, ) + l( AB, ) l ( XA, ) + l ( XB, ) λ 4 + l( AB, ) ( ) (4.16) Για κάθε σημείο της αρχικής ακτίνας, εφαρμόστηκε η παραπάνω σχέση για τον προσδιορισμό των ορίων της ζώνης Fresnel. Στη συνέχεια χρησιμοποιήθηκε παρεμβολή ανάμεσα στα δύο ακραία αντιδιαμετρικά σημεία της ζώνης εκατέρωθεν του κεντρικού (της αρχικής ακτίνας) με απόσταση παρεμβολής τη μετρική του χώρου d = dx + dy. 46

48 Σχήμα 1: Αριστερά είναι τα αποτελέσματα των Červený και Soares 199 που χρησιμοποίησαν τον ακριβή προσδιορισμό ενώ δεξιά η ζώνη που υπολογίστηκε κατά προσέγγιση με τη σχέση (4.16) από τους Soupios et al. (001). Η σύγκρίση δείχνει ότι παρά το κέρδος σε χρόνο υπολογισμών της συγκεκριμένης μεθόδου, η τελευταία παραμένει αποτελεσματική και σε συμφωνία με τον ακριβή υπολογισμό (σχήμα Soupios et al 001). Στο σχήμα 1 (Soupios et al. 001) όπου η ταχύτητα των κυμάτων αυξάνει με το βάθος σύμφωνα με τη σχέση u = z. Οι ζώνες που εμφανίζονται είναι σχεδόν πανομοιότυπες. Αριστερά είναι τα αποτελέσματα των Červený και Soares 199 που χρησιμοποίησαν τον ακριβή προσδιορισμό ενώ δεξιά η ζώνη που υπολογίστηκε με τη σχέση H(4.16) από τους Soupios et al. (001). Η σύγκρίση δείχνει ότι παρά το κέρδος σε χρόνο υπολογισμών της συγκεκριμένης μεθόδου, η τελευταία παραμένει αποτελεσματική και σε συμφωνία με τον ακριβή υπολογισμό. Στην παρούσα διατριβή, η εξασθένηση του πλάτους τις ακτινοβολίας με την απομάκρυνση από το σημείο της μαθηματικής ακτίνας εντός της πρώτης ζώνης Fresnel, περιγράφεται από μια συνάρτηση Bessel μηδενικού βαθμού J 0 (x) ΑΚΡΙΒΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΗΣ ΖΩΝΗΣ FRESNEL EXACT FRESNEL Ο ακριβής υπολογισμός της πρώτης ζώνης Fresnel, γίνεται επιλύνοντας ουσιαστικά τη σχέση H(4.1) για κάθε σημείο του πλέγματος αναφοράς. Αυτό όπως φαίνεται στη συγκεκριμένη σχέση, απαιτεί τη γνώση των χρόνων διαδρομής από την πηγή προς όλα τα σημεία του πλέγματος και αντίστοιχα από το δέκτη προς όλα τα σημεία του πλέγματος. Οι χρόνοι αυτοί υπολογίζονται με τη θεωρία γραφημάτων όπως αυτή παρουσιάστηκε παραπάνω. Επειδή ισχύει η αντιμεταθετικότητα (reciprocity) στους χρόνους διαδρομής μεταξύ δυο οποιονδήποτε σημείων, δηλαδή: taf (, ) = tfa (, ) (4.17) το άθροισμα των χρόνων από το Α στο F και από το B στο F, είναι ο χρόνος διαδρομής της ακτίνας εκείνης που συνδέει τα Α και Β, ενώ διέρχεται και από το F (Harlan 1990, Matsuoka και Ezaka 199). T = t( A, F) + t( B, F) (4.18) P AB 47

49 Αφαιρώντας από τον χρόνο αυτό τον χρόνο της συντομότερης ακτίνας (της μαθηματικής σεισμικής ακτίνας σύμφωνα με την αρχή του Fermat), t( A, B ), για τα σημεία εκείνα που ανήκουν στη ζώνη Fresnel η διαφορά δεν πρέπει να υπερβαίνει κατά απόλυτη τιμή τη μισή περίοδο (1/ f ). Για τη κατανομή της ενέργείας και της συμμετοχής του κάθε σημείου του χώρου στην τελική καταγραφή χρησιμοποιήθηκε μια γραμμική συνάρτηση βάρους για τα σημεία εντός της ζώνης Fresnel, ενώ για όλα τα υπόλοιπα το βάρος είναι μηδενικό ( Watanabe και Matsuoka και Ashida, 1999). 1 1 f ΔΤ, 0 ΔΤ f ω p = 1 0, ΔΤ f (4.19) με P ΔΤ = T t( A, B) (4.0) AB Ας σημειωθεί ότι σε αυτήν τη περίπτωση δε χρειάζεται καθόλου υπολογισμός της ακτίνας διαδρομής καθώς ουσιαστικά συμμετοχή του κάθε σημείου του πλέγματος στο ευθύ πρόβλημα εξάγεται αυτόματα. Παρόλα αυτά στη συγκεκριμένη εργασία υπολογίζεται επιπλέον και η ακτίνα με τη βελτιωμένη μέθοδο κάμψης προς χάριν ακρίβειας, χωρίς να επηρεάζεται ιδιαίτερα ο χρόνος υπολογισμού ΑΚΡΙΒΗΣ Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΖΩΝΗ FRESNEL; Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσματα από την επίλυση του ευθέoς προβλήματος με τρεις διαφορετικούς τρόπους. Χωρίς τη χρήση ζωνών Fresnel, με τη χρήση της γεωμετρικής προσέγγισης (approximate) και τελικά με τον ακριβή υπολογισμού της (exact). Στο σχήμα, φαίνεται η 1 η ζώνη Fresnel που δημιουργείται μεταξύ της πηγής Α και ενός δέκτη Β, γύρω από την μαθηματική ακτίνα. Η απόκλιση της Θεωρίας Ακτίνας από την πραγματικότητα ιδιαίτερα σε περιοχές υψηλών ταχυτήτων είναι εμφανής. 48

50 1000 m/s 000 m/s 5000 m/s 400 m/s 100 m/s Σχήμα : Η προσεγγιστική πρώτη ζώνη Fresnel που δημιουργείται σε μια δομή οριζόντιων ασυνεχειών της ταχύτητας. μεταξύ της πηγής Α και του δέκτη Β, για κύμα συχνότητας 500Hz. Η ευθεία πορτοκαλί γραμμή αντιστοιχεί στη μαθηματική ακτίνα.. Στο σχήμα 3, απεικονίζεται η 1 η ζώνη Fresnel όπως αυτή υπολογίστηκε με τη συγκεκριμένη μέθοδο για σεισμική ακτίνα που διασχίζει περιοχές διαφορετικών ταχυτήτων. Τα όριά της είναι περισσότερο εξομαλυσμένα και δυσδιάκριτα σε σχέση με την περίπτωση του προσεγγιστικού υπολογισμού (προηγούμενη παράγραφος) m/s 000 m/s 5000 m/s 400 m/s 100 m/s Σχήμα 3: Η ακριβής σύμφωνα με την παραπάνω μέθοδο πρώτη ζώνη Fresnel που δημιουργείται σε μια δομή οριζόντιων ασυνεχειών της ταχύτητας. μεταξύ της πηγής Α και του δέκτη Β, για κύμα συχνότητας 500Hz. Η ευθεία πορτοκαλί γραμμή αντιστοιχεί στη μαθηματική ακτίνα. Στο σχήμα 4 φαίνεται άλλο ένα συγκριτικό παράδειγμα μεταξύ του ακριβούς και του προσεγγιστικού υπολογισμού των ζωνών Fresnel. 49

51 .0 km/s km/s.5 km/s.5 km/s Approximate Exact Σχήμα 4: Συγκριτικό παράδειγμα μεταξύ του ακριβούς και του προσεγγιστικού υπολογισμού των ζωνών Fresnel. Τα πλεονεκτήματα του ακριβούς προσδιορισμού είναι εμφανή, χωρίς ωστόσο να επιβάλλουν την απόρριψη του προσεγγιστικού τρόπου Γενικά οι ζώνες Fresnel εισάγουν μια «φυσική εξομάλυνση» στο μοντέλο, καθώς προκαλούν τη διασπορά της ενέργειας σε περισσότερες περιοχές του χώρου. Αυτό, είναι εξαιρετικής σημασίας σε ασθενώς καθορισμένα προβλήματα καθώς αυξάνουν την ποιότητα των εξισώσεων αφού πλέον η παρεχόμενη πληροφορία αφορά περισσότερες περιοχές του μοντέλου, χωρίς αυτό να εισάγεται με τεχνητό τρόπο. 4. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ Για την επίλυση του μη γραμμικού συστήματος που δημιουργείται από τους χρόνους άφιξης των μετωπικών κυμάτων σε συνάρτηση με τις παραμέτρους του μοντέλου και τις συντεταγμένες των ζευγών πηγής δέκτη κάθε φορά, χρησιμοποιήθηκε η διαδικασία γραμμικοποίησης όπως αυτή παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Η διαδικασία αυτή καταλήγει στην ανάγκη διαδοχικών επιλύσεων γραμμικών προβλημάτων της μορφής: ΔT= J( m) Δm (4.1) όπου ΔΤ, τα χρονικά υπόλοιπα μεταξύ πραγματικών και συνθετικών δεδομένων, Δm, η μεταβολή των παραμέτρων του μοντέλου, που αποτελεί και το ζητούμενο και J(m) ο Ιακωβιανός πίνακας. Ο τελευταίος περιέχει τις μερικές παραγώγους που περιγράφουν τη μεταβολή στον χρόνο διαδρομής που θα επέλθεί από την μεταβολή της τιμής καθυστέρησης DT / ds i (ή ισοδύναμα ταχύτητας) σε κάθε κόμβο του πλέγματος. Στην περίπτωση όπου το ευθύ πρόβλημα (συνθετικά δεδομένα) επιλύεται με τη μέθοδο του προσεγγιστικού υπολογισμού των ζωνών Fresnel ή τελείως χωρίς τη χρήση αυτών, ο J, έχει την εξής μορφή: T J ij = = (4.) q i lk S j k = 1 50

52 όπου S j η τιμή της καθυστέρησης στον j κόμβο του μοντέλου (j παράμετρος) και lk το k-στο τμήμα (από σύνολο q τμημάτων) της σεισμικής ακτίνας που επηρεάζεται από τον συγκεκριμένο κόμβο. Επειδή κάθε τμήμα της σεισμικής ακτίνας επηρεάζεται από τουλάχιστον 4 κόμβους οι οποίοι ορίζουν την τιμή της καθυστέρησης στην περιοχή του, στην περίπτωση των Beta Splines που περιγράφηκε προηγουμένως, το μήκος του τμήματος της ακτίνας, αποδίδεται στους κόμβους αυτούς, αντιστρόφως ανάλογα με την απόσταση του κάθε κόμβου από το τμήμα αυτό. Ακόμα περισσότεροι γίνονται οι κόμβοι που συμμετέχουν στην περίπτωση που υπολογιστούν οι ζώνες Fresnel. Από την σχέση H(4.) γίνεται εμφανές ότι οι μερικές παράγωγοι του Ιακωβιανού έχουν μονάδες μήκους. Στην παρούσα διατριβή και στην περίπτωση κατά την οποία χρησιμοποιείται η μέθοδος ακριβούς υπολογισμού των πρώτων ζωνών Fresnel, τα μήκη αντικαθίστανται από τα βάρη w p της σχέσης H(4.19). T L J i i ij = = wj m S (4.3) j wp p= 1 Όπου L i το συνολικό μήκος της ακτίνας και m ο αριθμός των παραμέτρων του μοντέλου ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Για τη σταθεροποίηση της διαδικασίας της αντιστροφής, εφαρμόστηκε η μέθοδος κανονικοποίησης με χρήση χωρικά μεταβαλλόμενου Lagrangian. Αυτό κρίθηκε αναγκαίο καθώς η στατιστική επεξεργασία με τη χρήση της καμπύλης L καθώς και της μεθόδου της συνθήκης Picard, κατέδειξαν ότι δεν είναι πάντα δυνατή η επιλογή μοναδικού Lagrangian. Επιπλέον η φύση της σεισμικής τομογραφίας υπαγορεύει ότι υπάρχουν περιοχές του χώρου με ελάχιστη ή και καθόλου πληροφορία, ενώ άλλες με πληθώρα πληροφορίας. Παρακάτω παρουσιάζονται ενδεικτικά παραδείγματα που καταδεικνύουν την βελτίωση στη σταθερότητα και τα αποτελέσματα της αντιστροφής όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος χωρικά μεταβαλλόμενου Lagrangian, σε σχέση με το σταθερό όπως αυτός προσδιορίζεται από τη συνθήκη Picard και την Καμπύλη L. 51

53 4.3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΑΘΟΡΥΒΑ ΣΥΝΘΕΤΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Η διάταξη των δεκτών (γεωφώνων) στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι επιφανειακή (z=0) ανά δύο μέτρα σε σύνολο 4 δεκτών. Οι πηγές έχουν κατακόρυφη ανάπτυξη, στο σημείο με οριζόντια συντεταγμένη 0 (στην αριστερή πλευρά του μοντέλου) και βυθίζονται ανά ένα μέτρο μέχρι τα 10m, δηλαδή συνολικά 11 πηγές (σχήμα 15α). Ο αριθμός εξισώσεων που δημιουργείται είναι 74. Το ευθύ πρόβλημα επιλύθηκε με τη μέθοδο της γεωμετρικής προσέγγισης των ζωνών Fresnel (approximate Fresnel). Ως στόχος τέθηκε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο σώμα με τιμή ταχύτητας 1.km/s που βρίσκεται σε περιβάλλοντα χώρο ταχύτητας 0.9km/s. Ο χώρος περιγράφεται από πλέγμα με συνολικά 11 παραμέτρους που αποτελούν και τους αγνώστους. Οι κόμβοι του πλέγματος απέχουν 5m οριζόντια και m κατακόρυφα. λ={0.9 11} i=81 S 81 =0.47 α Σχήμα 5: Η καμπύλη L που αντιστοιχεί στο σύστημα. Είναι εμφανές ότι δεν υπάρχει σαφές σημείο καμπής της καμπύλης αλλά μια περιοχή μετάβασης. β)η χαρτογράφηση των διανυσμάτων που υπαγορεύονται από το τεστ της συνθήκης Picard. H τιμή στην οποία παρατηρείται ποιοτική αλλαγή της συμπεριφοράς του συστήματος, είναι η 81 η ιδιάζουσα τιμή. Η καμπύλη L του συστήματος φαίνεται στο σχήμα 5α. Στο επίπεδο 1, απεικονίζεται η καμπύλη L και στο επίπεδο, οι αντίστοιχες τιμές του συντελεστή Lagrange. Είναι προφανής η δυσκολία μονοσήμαντου καθορισμού μιας βέλτιστης τιμής καθώς δεν υπάρχει συγκεκριμένο σημείο καμπής αλλά μια ευρύτερη περιοχή μετάβασης από την περιοχή όπου το σύστημα είναι εξαιρετικά ευαίσθητο στις αλλαγές του μέτρου της λύσης, επομένως αυξάνοντας έστω και ελάχιστα το συντελεστή Lagrange, εκτινάσσεται δυσανάλογα η απόκλιση από τα πραγματικά δεδομένα. Το κατακόρυφο τμήμα ορίζει, αντίστοιχα, την περιοχή στην οποία το σύστημα είναι εξαιρετικά ευαίσθητο στις μεταβολές του μέτρου των χρονικών υπολοίπων. β 5

54 Αντίστοιχα από τη συνθήκη Picard (σχήμα 5β) φαίνεται ότι η ιδιάζουσα τιμή από την οποία διακρίνεται μια ποιοτική αλλαγή της ισορροπίας του συστήματος είναι η 81 η, με τιμή S 81 = Στο σχήμα 6 φαίνονται συγκριτικά τα αποτελέσματα της αντιστροφής ελαχίστων τετραγώνων με κανονικοποίηση Tikhonov ης τάξης ανάμεσα στη χρήση σταθερού συντελεστή Lagrange σε αντιπαραβολή με τη χρήση δυναμικού, χωρικά μεταβαλλόμενου. Τα αποτελέσματα αφορούν την πρώτη επανάληψη. Στην περίπτωση σταθερού συντελεστή Lagrange αυτός έχει τιμή 3.0 η οποία επιλέχθηκε ως η βέλτιστη δυνατή μετά από δοκιμή πολλών τιμών. Στην περίπτωση του μεταβαλλόμενου συντελεστή Lagrange, αυτός ανατίθεται στις παραμέτρους του μοντέλου στο διάστημα τιμών [0.005, 5.0] που επίσης επιλέχθηκε με τη μέθοδο δοκιμής λάθους. 1 η επανάληψη 1 η επανάληψη 3 η επανάληψη 3 η επανάληψη Σχήμα 6: Στην πρώτη σειρά, αριστερά ο στόχος και δεξιά το αρχικό μοντέλο ομογενούς γης. Στη δεύτερη σειρά τα αποτελέσματα της πρώτης αντιστροφής με τη χρήση σταθερού (αριστερά) και δυναμικά μεταβαλλόμενου (δεξιά) Lagrangian. Στην τρίτη σειρά τα αποτελέσματα μετά την τρίτη επανάληψη. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η επίλυση του ευθέoς προβλήματος γίνεται με την γεωμετρική προσέγγιση των ζωνών Fresnel. Η ποιοτική και ποσοτική βελτίωση της λύσης είναι προφανής. Από το σχήμα είναι εμφανής η σημαντική βελτίωση στη σταθερότητα της αντιστροφής καθώς και στην ποιότητα των αποτελεσμάτων. Εξετάζοντας τις διαφορές από την χρήση δυναμικά μεταβαλλόμενου συντελεστή σε σχέση με σταθερού διαπιστώνονται οι εξής βελτιώσεις: 53