Είναι επίσης βολικό σε κάποιες περιπτώσεις να θεωρήσουµε το σύνολο διανυσµάτων x(n), που περιέχουν τις τιµές x(n), x(n-1),,x(n-n+1) ενός σήµατος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Είναι επίσης βολικό σε κάποιες περιπτώσεις να θεωρήσουµε το σύνολο διανυσµάτων x(n), που περιέχουν τις τιµές x(n), x(n-1),,x(n-n+1) ενός σήµατος"

Transcript

1 Ανασκόπηση Γραµµική Άλγεβρα Σε πολλά µαθηµατικά προβλήµατα που θα συναντήσουµε στην φασµατική εκτίµηση και γενικά στην εκτίµηση παραµέτρων θα είναι βολικό να χρησιµοποιούµε διανύσµατα και πίνακες για την αναπαράσταση των σηµάτων και για τις πράξεις που γίνονται σε αυτά. Αυτή η αναπαράσταση θα απλοποιήσει πολλές από τις µαθηµατικές εκφράσεις και χρησιµοποιώντας τεχνικές της γραµµικής άλγεβρας θα µας βοηθήσει να επιλύσουµε αυτές τις εκφράσεις. Παρότι δεν χρειάζεται να γνωρίζουµε σε πολύ µεγάλο βάθος την θεωρία της γραµµικής άλγεβρας είναι σηµαντικό να εξοικειωθούµε µε κάποιους βασικούς ορισµούς και εργαλεία της ανάλυσης διανυσµάτων και πινάκων. 2.1 ιανύσµατα ιάνυσµα είναι µια ακολουθία πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών ή συναρτήσεων. Τα διανύσµατα θα τα συµβολίζουµε µε µικρά έντονα γράµµατα όπως x, a και v. Αν δεν αναφέρεται τι είδους διάνυσµα είναι, τα διανύσµατα αυτά θα θεωρούνται διανύσµατα στήλης. Για παράδειγµα: είναι ένα διάνυσµα στήλης µε Ν βαθµωτούς. Αν τα στοιχεία του x είναι πραγµατικά τότε ονοµάζεται πραγµατικό διάνυσµα ενώ αν είναι µιγαδικά τότε λέγεται µιγαδικό διάνυσµα. Γενικά ένα διάνυσµα µε Ν στοιχεία θα ονοµάζεται Ν-διάστατο. Ο ανάστροφος ενός διανύσµατος x T είναι ένα διάνυσµα γραµµής της ακόλουθης µορφής: Ο ερµιτιανός ανάστροφος x H είναι ο µιγαδικός συζυγής του ανάστροφου του x: Τα διανύσµατα είναι χρήσιµα για την αναπαράσταση των τιµών ενός σήµατος διακριτούχρόνου µε έναν συνοπτικό τρόπο. Παραδείγµατος χάριν, µια πεπερασµένη ακολουθία x(n) που είναι ίση µε µηδέν έξω από το διάστηµα [ 0, Ν-1 ] µπορεί να αναπαρασταθεί µε διανυσµατική µορφή όπως Είναι επίσης βολικό σε κάποιες περιπτώσεις να θεωρήσουµε το σύνολο διανυσµάτων x(n), που περιέχουν τις τιµές x(n), x(n-1),,x(n-n+1) ενός σήµατος Έτσι το διάνυσµα x(n), είναι ένα διάνυσµα Ν στοιχείων παραµετροποιηµένων από τον χρονικό δείκτη n. Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 1

2 Πολλές από τις πράξεις που θα χρειαστεί να γίνουν µε τα διανύσµατα αφορούν την εύρεση του µεγέθους (magnitude) ενός διανύσµατος. Για να υπολογίσουµε το µέγεθος ενός διανύσµατος όµως είναι απαραίτητο να ορίσουµε κάποια νόρµα, δηλαδή Many of µετρική απόστασης. Η ευκλίδεια νόρµα (L2) είναι µια τέτοια µετρική που για ένα διάνυσµα x διάστασης Ν ορίζεται ως εξής: Άλλες χρήσιµες νόρµες είναι η L1 νόρµα: και η νόρµα Συνήθως η νόρµα που χρησιµοποιείται (και θα χρησιµοποιήσουµε στα πλαίσια του µαθήµατος µας) είναι η L2 νόρµα και γι αυτό θα τη συµβολίζουµε απλώς ως x. Ένα διάνυσµα µπορεί να κανονικοποιηθεί µε τέτοιο τρόπο ώστε να έχει µοναδιαίο µέγεθος (unit magnitude). Για να γίνει αυτό διαιρούµε το διάνυσµα µε την νόρµα του. Για παράδειγµα αν υποθέσουµε ότι η νόρµα ενός διανύσµατος x είναι διαφορετική του µηδενός, τότε: είναι το διάνυσµα µοναδιαίας νόρµας το οποίο έχει την ίδια κατεύθυνση µε το αρχικό διάνυσµα x. Για ένα διάνυσµα του οποίου τα στοιχεία εκφράζουν τιµές σήµατος, x(n), το τετράγωνο της νόρµας αναπαριστά την ενέργεια του σήµατος. Για παράδειγµα: Εκτός από το να χρησιµοποιούµε τη νόρµα για τη µέτρηση του µεγέθους ενός διανύσµατος η νόρµα χρησιµοποιείται και για την µέτρηση απόστασης δύο διανυσµάτων: Αν έχουµε δύο µιγαδικά διανύσµατα και το εσωτερικό γινόµενο είναι ένα βαθµωτό ορισµένο ως εξής: Για πραγµατικά διανύσµατα το εσωτερικό γινόµενο είναι: Το εσωτερικό γινόµενο ορίζει µια γεωµετρική σχέση µεταξύ δύο διανυσµάτων. Η σχέση αυτή περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 2

3 όπου θ είναι η γωνία µεταξύ των δύο διανυσµάτων. Έτσι δυο µη µηδενικά διανύσµατα a και b λέγονται ορθογώνια (orthogonal) αν το εσωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν: ύο διανύσµατα που είναι ορθογώνια και έχουν µοναδιαία νόρµα λέγονται ορθοκανονικά (orthonormal). Παράδειγµα: Εσωτερικό Γινόµενο Θεωρήστε τα δύο διανύσµατα µοναδιαίας νόρµας: Το εσωτερικό γινόµενο µεταξύ τους είναι: όπου θ = π/4. Συνεπώς όπως γνωρίζουµε από την ευκλίδεια γεωµετρία τα διανύσµατα σχηµατίζουν γωνία 45 µοιρών το ένα σε σχέση µε το άλλο. Αν τώρα είχαµε τα ακόλουθα διανύσµατα: τότε το εσωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν και τα διανύσµατα λέγονται ορθογώνια. Σηµειώστε ότι από την στιγµή που cos(θ) 1, το εσωτερικό γινόµενο µεταξύ δύο διανυσµάτων περιορίζεται από το γινόµενο των µετρικών τους (magnitudes): όπου η ισότητα στην παραπάνω σχέση ισχύει µόνο και µόνο τότε όταν τα a και b είναι συνγραµµικά (collinear), δηλαδή, a = ab για κάποια σταθερά a. Η παραπάνω σχέση είναι ευρύτερη γνωστή ως ανισότητα Cauchy-Schwarz. Άλλη χρήσιµη ανισότητα είναι η ακόλουθη: όπου η ισότητα ισχύει τότε και µόνο τότε όταν a = b. Η ανισότητα πηγάζει από την παρατήρηση ότι για οποιαδήποτε δύο διανύσµατα a και b ισχύει: Αναλύοντας την νόρµα έχουµε ότι: από όπου πηγάζει τελικά η ανισότητα. Μία από τις χρήσεις του εσωτερικού γινοµένου είναι να αναπαριστά µε περιεκτικό τρόπο την έξοδο ενός ΓΧΑ φίλτρου. Για παράδειγµα αν h(n) είναι η κρουστική απόκριση ενός FIR φίλτρου τάξης N-1 και x(n) είναι ένα σήµα εισόδου στο φίλτρο τότε η έξοδος του φίλτρου είναι η συνέλιξη των h(n) και x(n), Συνεπώς, αν εκφράσουµε το x(n) και h(n) σε διανυσµατική µορφή: τότε η απόκριση του φίλτρου y(n) µπορεί να γραφτεί ως το ακόλουθο εσωτερικό γινόµενο Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 3

4 2.2 Γραµµική ανεξαρτησία, ιανυσµατικοί χώροι και ιανύσµατα Βάσης Οι ιδιότητες της γραµµικής ανεξαρτησίας ή εξάρτησης είναι ιδιαίτερα σηµαντικές στην γραµµική άλγεβρα. Ένα σύνολο n διανυσµάτων λέγεται γραµµικά ανεξάρτητο αν η σχέση: ικανοποιείται µόνο όταν α i = 0 για όλα τα i. Αν υπάρχει κάποιο σύνολο µη µηδενικών α i που να ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη τότε τα διανύσµατα λέγονται γραµµικά εξαρτηµένα. Αν έχουµε γραµµικά εξαρτηµένα διανύσµατα τότε τουλάχιστον κάποιο από αυτά µπορεί να γραφτεί ως γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων διανυσµάτων. Για παράδειγµα θα ισχύει: για κάποιο σύνολο βαθµωτών β i. Σε διανύσµατα διάστασης N δεν µπορούµε να έχουµε περισσότερα από Ν γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα. ηλαδή όταν υπάρχει ένα σύνολο µε περισσότερα από Ν διανύσµατα διάστασης Ν το καθένα τότε τα διανύσµατα του συνόλου αυτού είναι οπωσδήποτε γραµµικά εξαρτηµένα. Παράδειγµα: Γραµµική ανεξαρτησία ίνεται το ακόλουθο ζεύγος διανυσµάτων: Μπορούµε να δείξουµε ότι είναι γραµµικά ανεξάρτητα ως εξής. Αν βρούµε τιµές για τα βαθµωτά α 1 και α 2 τέτοια ώστε να ισχύει: τότε ισχύει: Η µόνη λύση στις παραπάνω εξισώσεις είναι η a 1 = a 2 = 0. Συνεπώς τα διανύσµατα είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αν στο παραπάνω σύνολο διανυσµάτων προσθέσουµε το: τότε το νέο σύνολο διανυσµάτων που προκύπτει είναι γραµµικά εξαρτηµένο γιατί: Έστω το ακόλουθο σύνολο διανυσµάτων Ας θεωρήσουµε το σύνολο των διανυσµάτων U που µπορούν να σχηµατιστούν ως γραµµικοί συνδυασµοί των παραπάνω διανυσµάτων: Τότε το σύνολο αυτό σχηµατίζει ένα διανυσµατικό χώρο (vector space), και τα διανύσµατα v i, λέµε ότι παράγουν (span) τον χώρο U. Αν επιπλέον τα διανύσµατα v i είναι γραµµικά ανεξάρτητα, τότε λέµε ότι αποτελούν την βάση (basis) του διανυσµατικού χώρου U, και ο αριθµός των διανυσµάτων βάσης Ν, αποκαλείται η διάσταση (dimension) του χώρου. Για παράδειγµα, το σύνολο όλων των πραγµατικών διανυσµάτων της µορφής x = [x 1, x 2,...,x N ] T σχηµατίζει ένα N-διάστατο διανυσµατικό χώρο που ονοµάζεται R N, και ο οποίος παράγεται από τα ακόλουθα διανύσµατα βάσης: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 4

5 Κάθε διάνυσµα v = [υ 1, υ 2,..., υ N ] Τ τρόπο ως ακολούθως: του διανυσµατικού χώρου R N µπορεί να παραχθεί µε µοναδικό Θα πρέπει όµως να σηµειωθεί ότι τα διανύσµατα βάσης ενός διανυσµατικού χώρου δεν είναι µοναδικά. Υπόχωρος ενός διανυσµατικού χώρου λέγεται ένα µη κενό υποσύνολο που ικανοποιεί τις ακόλουθες απαιτήσεις: 1) Αν προσθέσουµε δύο διανύσµατα του υπόχωρου το άθροισµα τους x+y περιέχεται στον υπόχωρο 2) Αν πολλαπλασιάσουµε ένα διάνυσµα x του υπόχωρου µε έναν αριθµό c το γινόµενο cx περιέχεται πάλι στον υπόχωρο. 2.3 Πίνακες Ένας n x m πίνακας είναι µια ακολουθία αριθµών (πραγµατικών ή µιγαδικών) ή συναρτήσεων µε n γραµµές και m στήλες. Για παράδειγµα: είναι ένας n x m πίνακας των αριθµών α ij ενώ ο παρακάτω πίνακας: είναι ένας n x m πίνακας των συναρτήσεων α ij (z). Αν n = m, τότε ο A είναι τετραγωνικός πίνακας n γραµµών και n στηλών. Σε µερικές περιπτώσεις θα χρειαστεί να θεωρήσουµε πίνακες µε άπειρο αριθµό γραµµών ή στηλών. Για παράδειγµα η έξοδος ενός FIR ΓΧΑ φίλτρου µε κρουστική απόκριση h(n) µπορεί να γραφεί: Αν x(n) = 0 για n < 0, τότε µπορούµε να εκφράσουµε το y (n) για n > 0 ως: Όπου Χ 0 είναι ο πίνακας συνέλιξης ορισµένος ως εξής: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 5

6 και y = [y(0), y(l), y(2),...] Τ. Σηµειώστε ότι ο πίνακας έχει την ίδια τιµή σε όλες τις διαγώνιους, έχει Ν-1 στήλες και άπειρο αριθµό γραµµών. Οι πίνακες θα ορίζονται µε µεγάλα έντονα γράµµατα όπως: A, B, και H(z). Σε ορισµένες περιπτώσεις θα είναι βολικό να αναπαριστούµε n x m πίνακες σαν ένα σύνολο m διανυσµάτων στήλης: ή σαν σύνολο n διανυσµάτων γραµµής Ένας πίνακας µπορεί επίσης να κατατµηθεί σε υποπίνακες: Π.χ. o n x m πίνακας A: όπου A 11 είναι ένας p x q, A 12 είναι p x (m-q), A 21 είναι (n-p) x q, και A 22 είναι (n-p) x (m- q). Παράδειγµα: Κατάτµηση (partitioning) Πινάκων Θεωρήστε τον παρακάτω 3x3 πίνακα: Ο πίνακας µπορεί να κατατµηθεί ως: όπου 0 = [0, 0] Τ είναι το µηδενικό διάνυσµα µήκους 2 και είναι ένας 2 x 2 πίνακας. Αν A είναι ένας n x m πίνακας τότε ο ανάστροφος του A Τ, είναι ένας m x n πίνακας που προέρχεται από την εναλλαγή γραµµών και στηλών του Α. Έτσι το (i, j) στοιχείο γίνεται το (j, i) στοιχείο και αντίστροφα. Αν ο πίνακας είναι τετραγωνικός τότε ο ανάστροφος του σχηµατίζεται µε απλή ανάκλαση των στοιχείων του A ως προς την διαγώνιο. Για ένα τετραγωνικό πίνακα αν ισχύει: τότε ο A λέγεται συµµετρικός πίνακας. Για µιγαδικούς πίνακες, ο Ερµιτιανός ανάστροφος (Hermitian transpose) είναι ο µιγαδικός συζυγής του ανάστροφου και ορίζεται ως A H. Έτσι: Αν ο τετραγωνικός µιγαδικός πίνακας είναι ίσος µε τον Ερµιτιανό ανάστροφο: τότε ο πίνακας λέγεται Ερµιτιανός (Hermitian). Μερικές ιδιότητες του ερµιτιανού ανάστροφου: Ισοδύναµες ιδιότητες για το απλό ανάστροφο µπορούν να ορισθούν αντικαθιστώντας το Hermitian Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 6

7 ανάστροφο H µε το ανάστροφο T Τέσσερις θεµελιώδεις υπόχωροι Οι υπόχωροι γενικά περιγράφονται µε δύο τρόπους. Ο ένας βασίζεται σε ένα σύνολο διανυσµάτων που παράγουν τον υπόχωρο. Στον δεύτερο τρόπο δίνονται ορισµένοι περιορισµοί που πρέπει να ικανοποιεί ο υπόχωρος. Μας διευκρινίζει δηλαδή όχι ποια διανύσµατα περιέχονται στον υπόχωρο αλλά ποιές συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν. Με βάση αυτούς τους δύο τρόπους περιγραφής υπόχωρων µπορούµε να ορίσουµε τους 4 πλέον θεµελιώδεις: 1) Ο χώρος των στηλών (range space) R(A). Αποτελείται από όλους τους γραµµικούς συνδυασµούς των στηλών ενός πίνακα Α m x n. Είναι υπόχωρος του R m. 2) O χώρος γραµµών (row space) είναι στην ουσία ο χώρος στηλών του A T. Συµβολίζεται µε R(A T ). 3) Ο µηδενοχώρος (null space) ή αλλιώς πυρήνας (kernel) N(A) αποτελείται από όλα τα διανύσµατα x για τα οποία Ax=0. Αυτός είναι υπόχωρος του R n. 4) O αριστερός µηδενόχωρος του Α που είναι ο µηδενόχωρος του A T. Περιέχει όλα τα διανύσµατα y για τα οποία A T y=0. Συµβολίζεται µε Ν(A T ). 2.4 Αντίστροφος Πίνακα Ας υποθέσουµε ότι ο A είναι ένας n x m πίνακας κατατµηµένος σε m διανύσµατα στήλης Η τάξη (rank) του A, ρ(α) ορίζεται ως ο αριθµός των γραµµικών ανεξάρτητων στηλών του Α. Μία από τις ιδιότητες της τάξης είναι ότι η τάξη του πίνακα είναι ίση µε την τάξη του ερµιτιανού ανάστροφου ρ(α)=ρ(α Η ). Συνεπώς αν ο Α κατατµηθεί σε n διανύσµατα γραµµής: τότε η τάξη του A είναι ισοδύναµα ίση µε τον αριθµό των γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων γραµµής. Π.χ. ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων στο σύνολο {r 1,r 2,..., r n }. Μια χρήσιµη ιδιότητα της τάξης ενός πίνακα είναι η ακόλουθη: Ιδιότητα:. Η τάξη του A είναι ίση µε την τάξη του AA H and A Η A, p(a) = p(aa Η ) = p(a Η A) Από τον παραπάνω ορισµό της τάξης του πίνακα προκύπτει ότι αν Α είναι ένας m x n πίνακας τότε: p(a) min(m, n) Αν A είναι m x n πίνακας και p(a) = min(m, n) τότε ο Α λέγεται πλήρους τάξης (full rank). Αν ρ(α)<min(m,n) τότε ο πίνακας λέγεται ανεπαρκούς τάξης (rank deficient). Αν ρ(α)=n m τότε λέγεται πλήρους τάξης στήλης (full column rank). Αν ρ(α)=m n τότε λέγεται πλήρους τάξης γραµµής (full row rank). Aν o A είναι τετραγωνικός πίνακας πλήρους τάξης τότε υπάρχει ένας µοναδικός πίνακας A -1, που ονοµάζεται αντίστροφος του A, τέτοιος ώστε: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 7

8 όπου είναι ο µοναδιαίος πίνακας. Σε αυτή την περίπτωση ο A λέγεται αντιστρέψιµος ή µη ιδιόµορφος (invertible or nonsingular). Αν ο A δεν είναι πλήρους τάξης, p(a) < n, τότε λέγεται µη αντιστρέψιµος ή ιδιόµορφος (noninvertible or singular) και δεν υπάρχει ο αντίστροφος του. Μερικές ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα: 1) αν A και B είναι αντιστρέψιµοι τότε: 2) Ο ερµιτιανός ανάστροφος του αντίστροφου είναι ίσο µε τον αντίστροφο του ερµιτιανού ανάστροφου. 3) Ιδιότητα χρήσιµη για adaptive filtering όπου A είναι n x n, B είναι n x m, C είναι m x m, και D είναι m x n µε τους A και C nonsingular πίνακες. Παρατήρηση 1: Αν πολλαπλασιάσουµε από τα αριστερά ή από τα δεξιά έναν πίνακα Α µε έναν µη ιδιόµορφο η τάξη του πίνακα δεν αλλάζει. Αυτό γιατί οι πολλαπλασιασµοί αυτοί δεν αλλάζουν τον αριθµό των γραµµικώς ανεξάρτητων στηλών (ή γραµµών) του Α. mxn nxp Παρατήρηση 2: Αν A C και B C είναι δύο πίνακες µε τάξη ra και r B αντίστοιχα τότε ισχύει ρ(αβ) min(r A, r B ). Ισχύει γιατί αν πολλαπλασιάσουµε το Β µε το Α από αριστερά δεν αυξάνεται ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητων στηλών του Β οπότε ρ(αβ) r B. Παρόµοια αν πολλαπλασιάσω από τα δεξιά το Α µε το Β δεν αλλάζει ο αριθµός των γραµµικώς ανεξάρτητων στηλών του Α Τ που σηµαίνει ότι ρ(αβ) r A 2.5 Η ορίζουσα και το ίχνος Αν A = α 11 είναι ένας 1x1 πίνακας, τότε η ορίζουσα του ορίζεται ως det(a) = α 11. Η ορίζουσα ενός n x n πίνακα ορίζεται αναδροµικά µε όρους των οριζουσών των (n-1) x (n-1) πινάκων όπως παρακάτω. Για κάθε j όπου A ij είναι ο (n-1) x (n-1) πίνακας που σχηµατίζεται αν σβήσουµε την ι γραµµή και την j στήλη του A. Παράδειγµα: Η ορίζουσα Για τον 2x2 πίνακα η ορίζουσα είναι: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 8

9 και γθα τον 3x3 πίνακα η ορίζουσα είναι: Η ορίζουσα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να δούµε αν ένας πίνακας είναι αντιστρέψιµος ή όχι. Συγκεκριµένα: Ιδιότητα:. Ένας n x n πίνακας A είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν η ορίζουσα του είναι µη µηδενική: det(a) 0 Από την παραπάνω ιδιότητα προέρχεται και ένας τρίτος ορισµός της τάξης του πίνακα. Τάξη ενός πίνακα Α είναι η µέγιστου µεγέθους µη µηδενική ορίζουσα που µπορεί να χτιστεί από τα στοιχεία του πίνακα A Άλλες ιδιότητες της ορίζουσας: Αν οι A και B είναι n x n πίνακες: 1. det(ab) = det(a) det(b). 2. det(a Τ ) = det(a) 3. det(αa) = α n det(a), όπου α σταθερά. 4. det(a -1 ) = 1/det(A), εφόσον ο Α είναι αντιστρέψιµος Μια άλλη χρήσιµη συνάρτηση ενός πίνακα είναι το ίχνος (trace). To ίχνος ενός πίνακα Α µεγέθους n x n ορίζεται ως το άθροισµα των όρων κατά µήκος της διαγωνίου του: 2.6 Γραµµικές Εξισώσεις Πολλά προβλήµατα στατιστικής µοντελοποίησης σήµατος όπως τα Wiener φίλτρα και η εκτίµηση φάσµατος απαιτούν την εύρεση λύσεων σε ένα σύνολο γραµµικών εξισώσεων. Υπάρχουν πολλές τεχνικές και µάλιστα ανάλογα µε την µορφή των εξισώσεων µπορεί να υπάρξουν και γρήγοροι αλγόριθµοι για την επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων. Πέρα όµως από την επίλυση είναι συχνά σηµαντικό να χαρακτηρίζουµε την µορφή των λύσεων υπό την έννοια της ύπαρξης και της µοναδικότητας. Στην παράγραφο αυτή θα κάνουµε µια µικρή περίληψη των συνθηκών κάτω από τις οποίες υπάρχει µια µοναδική λύση και θα συζητήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο µπορούµε να επιβάλουµε περιορισµούς στην περίπτωση που υπάρχουν πολλαπλές λύσεις ή τον τρόπο µε τον οποίο µπορούµε να βρούµε µια προσεγγιστική λύση αν δεν υπάρχει λύση στο σύστηµα των εξισώσεων. To ακόλουθο σύστηµα των n γραµµικών εξισώσεων έχει m άγνωστους x i, i = 1, 2,..., Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 9 Οι εξισώσεις αυτές µπορούν να γραφτούν συµπυκνωµένα ως εξής:

10 m, Όπου A είναι ένας n x m πίνακας µε τα α ij, x είναι ένα m-διάστατο διάνυσµα µε τους αγνώστους x i, και b ένα n-διάστατο διάνυσµα µε τα στοιχεία bi. Η παραπάνω εξίσωση µπορεί να γραφτεί σαν ανάπτυγµα του b και ως ακολούθως: όπου a i είναι διάνυσµα στήλης του πίνακα Α. Η επίλυση της εξίσωσης εξαρτάται από πολλούς παράγοντες όπως το σχετικό µέγεθος των m και n, την τάξη του πίνακα και τα στοιχεία στο διάνυσµα b. Ας θεωρήσουµε πρώτα την περίπτωση ενός τετραγωνικού πίνακα. Τετραγωνικός Πίνακας: m = n. Αν A είναι τετραγωνικός πίνακας n x n τότε η φύση της λύσης της γραµµικής εξίσωσης Ax = b εξαρτάται από το αν ο Α είναι singular. Αν A είναι nonsingular, τότε ο αντίστροφος πίνακας υπάρχει και η λύση είναι µοναδική και ορισµένη ως εξής: Αν όµως ο Α είναι singular, τότε µπορεί είτε να µην υπάρχει λύση είτε να υπάρχουν πολλές λύσεις. Παράδειγµα: Γραµµικές Εξισώσεις - Singular Case Ας θεωρήσουµε το ακόλουθο ζεύγος εξισώσεων µε δύο αγνώστους. Σε µορφή πίνακα οι εξισώσεις γράφονται: Ξεκάθαρα ο πίνακας A είναι singular, det(a) = 0, και δεν υπάρχει λύση. Παρόλα αυτά αν αλλάξουµε την δεύτερη εξίσωση έτσι ώστε: τότε υπάρχουν πολλές λύσεις. Συγκεκριµένα για κάθε σταθερά α το διάνυσµα: θα ικανοποιεί αυτές τις εξισώσεις --- Στην περίπτωση που ο Α είναι singular, οι στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένες και υπάρχουν µη µηδενικές λύσεις στις οµογενείς εξισώσεις: Μάλιστα θα υπάρχουν k = n p(a) γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις στις οµογενείς εξισώσεις. Συνεπώς αν υπάρχει τουλάχιστον ένα διάνυσµα x 0, που να αποτελεί λύση της µη οµογενούς εξίσωσης τότε κάθε διάνυσµα της ακόλουθης µορφής: θα αποτελεί επίσης λύση, όπου z i, i=1,2,.k είναι γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της οµογενούς εξίσωσης. Ορθογώνιος Πίνακας: n < m. Αν n < w, τότε θα υπάρχουν λιγότερες εξισώσεις από τους αγνώστους. Συνεπώς εφόσον οι εξισώσεις δεν είναι αντιφατικές θα υπάρχουν πολλά διανύσµατα που θα ικανοποιούν τις εξισώσεις οπότε η λύση είναι υπο- Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 10

11 καθορισµένη ή ατελώς ορισµένη (underdetermined or incompletely specified). Μια προσέγγιση που χρησιµοποιείται συχνά για να ορίσουµε µοναδική λύση είναι να βρούµε το διάνυσµα που ικανοποιεί τις εξισώσεις και έχει την ελάχιστη νόρµα: min x τέτοια ώστε Ax = b Αν η τάξη του A είναι n (οι γραµµές του A είναι γραµµικά ανεξάρτητες), τότε ο n x n πίνακας AA H είναι αντιστρέψιµος και η λύση ελάχιστης νόρµας είναι η ακόλουθη: Ο πίνακας (1) είναι γνωστός ως ο ψευδο-αντίστροφος του πίνακα Α για το ατελώς ορισµένο πρόβληµα. Τα ακόλουθα παραδείγµατα δείχνουν πως χρησιµοποιείται ο ψευδοαντίστροφος για τη λύση των γραµµικών εξισώσεων. Παράδειγµα Γραµµικές Εξισώσεις: Ατελώς ορισµένη περίπτωση Ας θεωρήσουµε την ακόλουθη εξίσωση µε τους τέσσερις αγνώστους: Η εξίσωση µπορεί να γραφτεί σε µορφή πίνακα: όπου b = 1 και x είναι το διάνυσµα που περιέχει τους άγνωστους. Η λύση είναι ατελώς ορισµένη αφού υπάρχουν πολλές λύσεις που ικανοποιούν την σχέση. Παρόλα αυτά η λύση ελάχιστης νόρµας είναι µοναδική και δίνεται από την εξίσωση (1). Συγκεκριµένα αφού και Τότε η λύση ελάχιστης νόρµας είναι: Αν στην πιο πάνω εξίσωση προσθέσουµε και την ακόλουθη: τότε το σύστηµα µας θα έχει δύο εξισώσεις και τέσσερις αγνώστους µε: και Και πάλι η λύση είναι ατελώς ορισµένη. Αφού τότε και η λύση ελάχιστης νόρµας είναι: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 11

12 Ορθογώνιος Πίνακας: m < n. Αν m < n, τότε υπάρχουν περισσότερες εξισώσεις από τους αγνώστους και γενικά δεν θα υπάρχει λύση. Σε αυτή την περίπτωση οι εξισώσεις είναι αντιφατικές και η λύση λέγεται υπερ-καθορισµένη (overdetermined). Η γεωµετρία του προβλήµατος αυτού φαίνεται στην παρακάτω εικόνα για την περίπτωση 3 εξισώσεων µε δύο αγνώστους. Αφού ένα αυθαίρετο διάνυσµα b δεν µπορεί να αναπαρασταθεί µε όρους γραµµικού συνδυασµού των στηλών του Α, ο στόχος είναι να βρούµε τις συνιστώσες x i που παράγουν την καλύτερη προσέγγιση για το b: Η προσέγγιση που χρησιµοποιείται ευρύτερα σε αυτή την περίπτωση είναι η λύση ελαχίστων τετραγώνων δηλαδή του διανύσµατος x που ελαχιστοποιεί τη νόρµα του Όπως φαίνεται στην εικόνα η λύση ελαχίστων τετραγώνων έχει την ιδιότητα ότι το σφάλµατος: Είναι ορθογώνιο σε κάθε ένα από τα διανύσµατα που χρησιµοποιούνται για την προσέγγιση του b, δηλαδή τα διανύσµατα στήλης του Α. Αυτή η ορθογωνικότητα συνεπάγεται ότι: ή, που είναι γνωστές ώς κανονικές εξισώσεις. Αν οι στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητες (ο Α είναι πλήρους τάξης) τότε ο πίνακας A H A είναι αντιστρέψιµος και η λύση ελαχίστων τετραγώνων γίνεται: ή, Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 12

13 όπου ο πίνακας είναι ο ψευδο-αντίστροφος του πίνακα A για το υπέρ-καθορισµένο πρόβληµα. Επιπλέον η καλύτερη προσέγγιση του διανύσµατος b δίνεται από την προβολή του διανύσµατος b στον υποχώρο που παράγεται από τα διανύσµατα a i. ή όπου ονοµάζεται πίνακας προβολής. Τέλος συνδυάζοντας τη συνθήκη ορθογωνικότητας και την σχέση που ορίζει το τετράγωνο του σφάλµατος βρίσκουµε ότι το ελάχιστο τετραγωνικό σφάλµα είναι: Το ακόλουθο παράδειγµα δείχνει την χρήση του ψευδο-αντίστροφου στην επίλυση υπερκαθορισµένων γραµµικών εξισώσεων. Παράδειγµα: Γραµµικές εξισώσεις Υπερ-καθορισµένη περίπτωση Ας θεωρήσουµε το ακόλουθο σετ εξισώσεων µε 2 αγνώστους. Αφού η τάξη του Α είναι 2 η λύση ελαχίστων τετραγώνων είναι µοναδική. Με και η λύση ελαχίστων τετραγώνων είναι Το σφάλµα, e, είναι και το ελάχιστο τετραγωνικό σφάλµα είναι: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 13

14 Παραδείγµατα µε rank: R1: Πολλαπλασιασµός ενός πίνακα A µε έναν nonsingular πίνακα δεν αλλάζει το rank του Α Απόδειξη: Προέρχεται απευθείας από τον ορισµό του rank(a). Επειδή οι πολλαπλασιασµοί αυτοί δεν αλλάζουν τον αριθµό των γραµµικά ανεξάρτητων στηλών (ή γραµµών) του Α. R2: Αν και είναι δύο πίνακες µε rank ra και rβ αντίστοιχα, τότε ισχύει: Απόδειξη: Χρησιµοποιώντας τον ορισµό του rank και πάλι βρίσκουµε ότι αν πολλαπλασιάσουµε από τα αριστερά τον B µε τον Α δεν αυξάνεται ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητα στηλών του Β και άρα: rank(ab) rb. Παρόµοια αν θεωρήσουµε πολλαπλασιασµό του Α από τα δεξιά µε τον Β τότε δεν αυξάνεται ο αριθµός των γραµµικώς ανεξάρτητων στηλών του Α Τ που σηµαίνει ότι rank(ab) rα. Συνδυάζοντας τα δύο αποτελέσµατα έχουµε την τελική σχέση. R3: Έστω δίνεται από την ακόλουθη σχέση: όπου. Τότε: Απόδειξη: Αφού A µπορεί να γραφτεί: συνεπώς το αποτέλεσµα πηγάζει από το R2. R4: Έστω µε n m,, και rank(a)=n. Τότε rank(ab) = rank(b) Απόδειξη: Αφού rank(a)=n άρα ο A περιέχει ένα nonsingular n x n υποπίνακα. Ο πολλαπλασιασµός του υποπίνακα αυτού από τα δεξιά µε τον Β παράγει ένα block πίνακα µε rank ίσο µε rank(b) (βλέπε R1). Επειδή κάθε υποπίνακας ενός πίνακα έχει µικρότερη ή ίση τάξη µε τον πίνακα συνεπάγεται ότι: rank(ab) rank(b) Όµως από το R2, rank(ab) rank(b) και συνεπώς για να ισχύουν και τα δύο θα πρέπει να ισχύει η ισότητα. Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 14

15 2.7 Ειδικές µορφές πινάκων Περιγράφουµε ορισµένους ειδικούς τύπους πινάκων και συµµετρίες. Ο πρώτος είναι ο διαγώνιος πίνακας που έχει την ακόλουθη µορφή: και µπορεί να γραφτεί συνοπτικά ως εξής: Ένας διαγώνιος πίνακας µε άσσους στην διαγώνιο του ονοµάζεται µοναδιαίος πίνακας και αναπαρίσταται µε I, Αν κατά µήκος της διαγωνίου αντί για αριθµοί υπάρχουν άλλοι πίνακες, τότε ο Α λέγεται block diagonal πίνακας. Πίνακας Εναλλαγής (exchange matrix) ο οποίος είναι συµµετρικός και τα αντι-διαγώνια (cross-diagonal) είναι άσσοι ενώ όλα τα άλλα είναι µηδέν. Αφού J 2 = I τότε J είναι ο αντίστροφος του εαυτού του. Αν πολλαπλασιάσουµε ένα διάνυσµα µε τον πίνακα εναλλαγής αντιστρέφεται η σειρά των στοιχείων του διανύσµατος. Π.χ. : Παροµοίως αν ένας πίνακας πολλαπλασιαστεί µε τον πίνακα εναλλαγής για παράδειγµα: τότε Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 15

16 Αν πολλαπλασιαστεί στα δεξιά του πίνακα A τότε: Τέλος το αποτέλεσµα του γινοµένου J Τ AJ είναι η αντιστροφή των στοιχείων γραµµών και στηλών, δηλαδή ανάκλαση κάθε στοιχείου του Α γύρω από το κεντρικό στοιχείο. Ένας άνω τριγωνικός πίνακας είναι τετραγωνικός πίνακας στον οποίο όλοι οι όροι κάτω από την διαγώνιο είναι µηδέν. Αν A = {a ij } τότε a ij = 0 για όλα τα i > j. Παράδειγµα άνω τριγωνικού πίνακα µεγέθους 4 x 4: Ένας κάτω τριγωνικός είναι τετραγωνικός πίνακας που έχει µηδενικά στα σηµεία πάνω από τη διαγώνιο, δηλαδή a ij = 0 για όλα τα i < j. Ο ανάστροφος ενός κάτω τριγωνικού είναι άνω τριγωνικός και αντίστροφα. Ιδιότητες των άνω και κάτω τριγωνικών πινάκων: 1. Η ορίζουσα ενός κάτω ή άνω τριγωνικού πίνακα είναι ίση µε το γινόµενο των όρων κατά µήκος της διαγωνίου. 2. Ο αντίστροφος ενός άνω (κάτω) τριγωνικού πίνακα είναι άνω (κάτω) τριγωνικός. 3. Το γινόµενο δύο άνω (κάτω) τριγωνικών πινάκων είναι άνω (κάτω) τριγωνικός Ένας πίνακας µε ιδιαίτερη δοµή που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στο µάθηµα είναι ο πίνακας Toeplitz. Ένας n x n πίνακας A λέγεται Toeplitz αν όλα τα στοιχεία κατά µήκος κάθε διαγωνίου έχουν την ίδια τιµή. ηλαδή: Παράδειγµα ενός 4 x 4 Toeplitz πίνακα: a ij = a i+1,j+1 ; για όλα τα i < n and j < n Παρατηρήστε ότι όλες οι τιµές του πίνακα έχουν καθοριστεί πλήρως από τη στιγµή που έχει οριστεί η πρώτη στήλη και η πρώτη γραµµή. Ένας πίνακας συνέλιξης είναι παράδειγµα Toeplitz πίνακα. Ένας άλλος πίνακας µε παρεµφερείς ιδιότητες είναι ο πίνακας Hankel, ο οποίος έχει ίδια στοιχεία κατά µήκος των διαγωνίων που είναι κάθετες στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή, Παράδειγµα ενός 4 x 4 Hankel πίνακα: a ij = a i+1,j-1 ; για όλα τα i < n και j < n. Άλλο παράδειγµα πίνακα Hankel είναι ο πίνακας εναλλαγής J. Οι πίνακες Toeplitz αποτελούν ειδική περίπτωση µιας µεγαλύτερης οµάδας πινάκων γνωστών και ως persymmetric πίνακες. Ένας persymmetric πίνακας είναι συµµετρικός γύρω από τις συν-διαγώνιες, a ij Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 16

17 = a n-j+1,n-i+1. Παράδειγµα persymmetric αλλά όχι Toeplitz πίνακα: Αν ένας Toeplitz πίνακας είναι συµµετρικός ή Hermitian στην περίπτωση µιγαδικού πίνακα τότε όλα τα στοιχεία του πίνακα είναι πλήρως καθορισµένα είτε από την πρώτη γραµµή ή την πρώτη στήλη του πίνακα. Παράδειγµα συµµετρικού Toeplitz πίνακα: Επειδή συχνά θα αναφερόµαστε σε συµµετρικούς Toeplitz και Hermitian Toeplitz πίνακες είναι βολικό να γράφουµε: για έναν Hermitian Toeplitz πίνακα µε στοιχεία α(0), a (1),...,a(p) στην πρώτη στήλη. Για παράδειγµα: Οι συµµετρικοί Toeplitz αποτελούν ειδική περίπτωση µιας µεγαλύτερης οµάδας πινάκων γνωστών ως κεντρο-συµµετρικοί πίνακες (centrosymmetric). Αυτοί οι πίνακες είναι και συµµετρικοί και persymmetric. Παράδειγµα ενός κεντρο-συµµετρικού αλλά όχι Toeplitz πίνακα είναι: Υπάρχουν πολλές ιδιότητες των Toeplitz, persymmetric, και centrosymmetric πινάκων. Π.χ.,αν A είναι συµµετρικός Toeplitz τότε ενώ αν A είναι Hermitian Toeplitz τότε: Ιδιότητες σχετικές µε τον αντίστροφο: Ιδιότητα 1. Ο αντίστροφος ενός συµµετρικού πίνακα είναι συµµετρικός. Ιδιότητα 2. Ο αντίστροφος ενός persymmetric πίνακα είναι persymmetric. Ιδιότητα 3. Ο αντίστροφος ενός Toeplitz πίνακα δεν είναι γενικά Toeplitz. Παρόλα αυτά αφού ένας Toeplitz πίνακας είναι persymmetric, ο αντίστροφος θα είναι πάντα persymmetric. Επιπλέον ο αντίστροφος ενός συµµετρικού Toeplitz πίνακα θα είναι centrosymmetric. Όλες οι ιδιότητες που αναφέραµε περιγράφονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα. Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 17

18 Ένας πραγµατικός n x n πίνακας λέγεται ορθογώνιος αν οι στήλες (και γραµµές) είναι ορθοκανονικές. Έτσι αν: και τότε ο A είναι ορθογώνιος. Παρατηρήστε ότι αν ο Α είναι ορθογώνιος τότε: Συνεπώς ο αντίστροφος ενός ορθογώνιου πίνακα είναι ίσος µε τον ανάστροφο του: Ο πίνακας εναλλαγής είναι ένα παράδειγµα ορθογώνιου πίνακα αφού J Τ J = J 2 = I. Στην περίπτωση µιγαδικού n x n πίνακα, αν οι στήλες (γραµµές) είναι ορθογώνια διανύσµατα: τότε και ο A λέγεται unitary πίνακας. Ο αντίστροφος ενός unitary πίνακα είναι ίσος µε το Hermitian ανάστροφο του. 2.8 ευτεροβάθµιες (quadratic) και Hermitian µορφές πινάκων Η quadratic µορφή ενός πραγµατικού συµµετρικού n x n πίνακα A είναι το βαθµωτό που ορίζεται ώς: όπου είναι ένα διάνυσµα n πραγµατικών µεταβλητών. Παρατηρήστε ότι η δευτεροβάθµια µορφή είναι ένα πολυώνυµο δευτέρου βαθµού µε n µεταβλητές. Για παράδειγµα η δευτεροβάθµια µορφή του: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 18

19 είναι Με παρόµοιο τρόπο για ένα Hermitian πίνακα η Hermitian µορφή ορίζεται ως: Αν η quadratic µορφή ενός πίνακα A είναι θετική για όλα τα µη µηδενικά διανύσµατα x, τότε ο A λέγεται θετικά ορισµένος ( positive definite) και γράφουµε A > 0. Για παράδειγµα, ο πίνακας που έχει quadratic µορφή είναι positive definite αφού για κάθε Αν η quadratic µορφή είναι µη αρνητική για τα µη µηδενικά διανύσµατα x τότε ο A λέγεται positive semidefinite. Για παράδειγµα, ο οποίος είναι positive semidefinite αφού αλλά δεν είναι positive definite αφού 0 για κάθε διάνυσµα x της µορφής. Ένας τρόπος για να διαπιστώσουµε αν ένας πίνακας είναι θετικά ορισµένος είναι µέσω των ιδιοτιµών του όπως θα δούµε παρακάτω. Με παρόµοιο τρόπο ένας πίνακας θα λέγεται αρνητικά ορισµένος (negative definite) αν για όλα τα µη µηδενικά x, ενώ λέγονται negative semidefinite αν για όλα τα µη µηδενικά x. Ένας πίνακας που δεν ανήκει σε καµία από τις παραπάνω περιπτώσεις ονοµάζεται αόριστος (indefinite). Για κάθε n x n πίνακα A και για κάθε n x m πίνακα B full rank, οι A and B H AB πίνακες θα είναι ορισµένοι το ίδιο. Για παράδειγµα αν A > 0 και B είναι full rank, τότε B H AB > 0. Το τελευταίο προκύπτει από το ότι για κάθε διάνυσµα x, όπου v = Bx. Συνεπώς αν A > 0, τότε v Η Av > 0 και Β H AB είναι positive definite (Ο περιορισµός ότι ο B είναι full rank τίθεται για να επιβεβαιώσουµε πως v = Bx είναι διαφορετική του µηδενός για κάθε µη µηδενικό διάνυσµα x). 2.9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα προσφέρουν χρήσιµη και σηµαντική πληροφορία για έναν πίνακα. Για παράδειγµα ξέροντας τις ιδιοτιµές του πίνακα µπορούµε να καθορίσουµε αν είναι ή όχι θετικά ορισµένος. Παράλληλα οι ιδιοτιµές µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να αποφασίσουµε αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος ή όχι όπως και να βρούµε πόσο ευάλωτη είναι η εύρεση του αντιστρόφου σε αριθµητικά λάθη. Οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα προσφέρουν επίσης µια πολύ χρήσιµη αναπαράσταση των πινάκων που είναι ευρύτερα γνωστή σαν eigenvalue decomposition (αποσύνθεση ιδιοτιµής). Η αποσύνθεση αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιµη στην φασµατική εκτίµηση όπως θα δούµε παρακάτω. Η παράγραφος αυτή ξεκινάει µε τους ορισµούς της ιδιοτιµής και του ιδιοδιανύσµατος και συνεχίζει µε βασικές και χρήσιµες ιδιότητες που έχουν. Υποθέστε ότι A είναι ένας n x n πίνακας και ισχύει το ακόλουθο σετ γραµµικών όπου λ είναι µια σταθερά. Η παραπάνω εξίσωση µπορεί ισοδύναµα να εκφραστεί µε το ακόλουθο σετ οµογενών γραµµικών εξισώσεων: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 19 Για να υπάρχει µη µηδενικό διάνυσµα που να αποτελεί λύση της εξίσωσης θα πρέπει ο πίνακας Α-λΙ να είναι singular. Συνεπώς η ορίζουσα του πίνακα θα είναι µηδέν:

20 εξισώσεων: Το p(λ) είναι πολυώνυµο n τάξης ως προς λ. Το πολυώνυµο αυτό ονοµάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α και οι n ρίζες του, λ i για i = 1, 2,...,n, είναι οι ιδιοτιµές του A. Για κάθε ιδιοτιµή λ i, ο πίνακας A-λ i Ι θα είναι singular και θα υπάρχει τουλάχιστον ένα µη µηδενικό διάνυσµα, v i, που θα αποτελεί λύση της εξίσωσης ιδιοτιµών δηλαδή: Τα διανύσµατα v i, λέγονται ιδιοδιανύσµατα του A. Για κάθε ιδιοδιάνυσµα είναι προφανές ότι και το διάνυσµα αv i θα αποτελεί ιδιοδιάνυσµα όπου a µια οποιαδήποτε σταθερά. Συνεπώς τα ιδιοδιανύσµατα συχνά κανονικοποιούνται ώστε να έχουν µοναδιαία νόρµα. v i = 1. Από τα παραπάνω προκύπτει η ακόλουθη ιδιότητα: Ιδιότητα 1. Τα µη µηδενικά ιδιοδιανύσµατα v 1, v 2,..., v n,που αντιστοιχούν σε ξεχωριστές ιδιοτιµές λ 1, λ 2,, λ n είναι γραµµικώς ανεξάρτητα. An o A είναι ένας n x n singular πίνακας, τότε υπάρχουν µη µηδενικές λύσεις στην οµογενή εξίσωση: και συνεπώς η τιµή λ = 0 είναι ιδιοτιµή του A. Αν επιπλέον το rank του A είναι ρ(a), τότε θα υπάρχουν και k = n-ρ(a) γραµµικώς ανεξάρτητες λύσης της παραπάνω εξίσωσης. Άρα ο Α θα έχει ρ(a) µη µηδενικές ιδιοτιµές και n-ρ(a) ιδιοτιµές που είναι ίσες µε το µηδέν. Παράδειγµα (1): Ιδιοτιµές ενός 2x2 Συµµετρικού πίνακα Θεωρήστε τον ακόλουθο 2x2 συµµετρικό πίνακα Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι: Συνεπώς οι ιδιοτιµές του Α είναι οι ρίζες της εξίσωσης: που είναι: Τα ιδιοδιανύσµατα βρίσκονται λύνοντας την εξίσωση ιδιοτιµών µε λ 1 =5 και λ 2 =3. ηλαδή για λ 1 =5: ή Παροµοίως, για βρίσκουµε ότι: Οπότε τα κανονικοποιηµένα ιδιοδιανύσµατα του Α είναι: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 20

21 Στην περίπτωση συµµετρικών και Hermitian πινάκων οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα έχουν µερικές χρήσιµες ιδιότητες: Ιδιότητα 2. Οι ιδιοτιµές ενός Hermitian πίνακα είναι πραγµατικές. Η ιδιότητα αποδεικνύεται εύκολα ως εξής: Αν A είναι Hermitian πίνακας τότε: Πολλαπλασιάζοντας από τα αριστερά: οπότε το Hermitian transpose µας δίνει: και επειδή ο Α είναι Hermitian ισχύει: Συγκρίνοντας τις δύο εξισώσεις πηγάζει ότι δηλαδή οι ιδιοτιµές είναι πραγµατικές Ιδιότητα 3. Ένας Hermitian πίνακας είναι positive definite, A > 0, αν και µόνο αν οι ιδιοτιµές του είναι θετικές Παρόµοιες ιδιότητες προκύπτουν για τους positive semidefinite, negative definite, και negative semidefinite πίνακες. Για παράδειγµα αν A είναι Hermitian και τότε Η ορίζουσα ενός πίνακα σχετίζεται µε τις ιδιοτιµές του ως εξής: Συνεπώς ένας πίνακας είναι αντιστρέψιµος (nonsingular) εάν και µόνο αν όλες οι ιδιοτιµές του είναι µη µηδενικές. Αντίστοιχα αν ένας πίνακας έχει µια ή περισσότερες µηδενικές ιδιοτιµές τότε θα είναι µη αντιστρέψιµος (singular). Σαν αποτέλεσµα των παραπάνω προκύπτει ότι κάθε positive definite πίνακας είναι nonsingular. Αποτέλεσµα R1: Ανf είναι οι ιδιοτιµές του τότε: Απόδειξη: Μπορούµε να γράψουµε: Το δεξί µέρος της εξίσωσης είναι ένα πολυώνυµο ως προς του οποίου η συνιστώσα είναι Από τον ορισµό της ορίζουσας βρίσκουµε ότι το αριστερό µέρος της εξίσωσης είναι Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 21

22 ένα πολυώνυµο του οποίου η συνιστώσα είναι: Οπότε αποδεικνύεται το ζητούµενο. Αποτέλεσµα R1.1: Αν και τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: 1) 2) Ι ΑΒ = Ι-ΒΑ 3) Οι µη µηδενικές ιδιοτιµές του ΑΒ και του ΒΑ είναι ταυτόσηµες. Απόδειξη για (3): Αν λ 0 ιδιοτιµή του ΑΒ τότε: m m m n 0 = AB λi = λ AB / λ I = λ BA / λ I = λ ΒΑ λi όπου η τρίτη ισότητα πηγάζει από το R1.1 (2). Ιδιότητα 4. Τα ιδιοδιανύσµατα ενός Hermitian πίνακα που αντιστοιχούν σε ξεχωριστές ιδιοτιµές είναι ορθογώνια, δηλαδή αν τότε Αν και είναι δύο ξεχωριστές ιδιοτιµές ενός Hermitian πίνακα µε ιδιοδιανύσµατα και αντίστοιχα, τότε: Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση στα αριστερά µε και την δεύτερη µε µας δίνει: Παίρνοντας το Hermitian transpose της δεύτερης εξίσωσης: Αν A είναι Hermitian, τότε και άρα από την ιδιότητα 2 θα είναι: Οπότε: (2.56) Αφαιρώντας την από την πρώτη εξίσωση: Αν τότε και άρα τα ιδιοδιανύσµατα και είναι ορθογώνια. Παρότι αναφερθήκαµε στην περίπτωση των ξεχωριστών ιδιοτιµών είναι επίσης αληθές ότι για κάθε n x n Hermitian πίνακα υπάρχει ένα σετ από n ορθοκανονικά ιδιοδιανύσµατα. Ο πίνακας του οποίου οι στήλες είναι τα ιδιοδιανύσµατα ενός Hermitian πίνακα είναι συνεπώς unitary. Για παράδειγµα ο µοναδιαίος 2x2: ο οποίος έχει δύο ιδιοτιµές ίσες µε την µονάδα. Αφού κάθε διάνυσµα είναι ιδιοδιάνυσµα του Ι τότε και είναι ένα πιθανό σετ από ορθοκανονικά ιδιοδιανύσµατα. Για κάθε n x n πίνακα A που έχει ένα σετ από n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα µπορούµε να κάνουµε αποσύνθεση ιδιοτιµής (eigenvalue decomposition) που εκφράζει τον Α στην µορφή: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 22

23 όπου V είναι ένας πίνακας που περιέχει τα ιδιοδιανύσµατα του A και Λ είναι ένας διαγώνιος πίνακας που περιέχει τις ιδιοτιµές. Η αποσύνθεση γίνεται ως ακολούθως: Αν A είναι ένας n x n πίνακας µε ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα Αυτές οι n εξισώσεις µπορούν να γραφτούν σε µορφή πίνακα: Συνεπώς, µε και η εξίσωση γράφεται: Αν τα ιδιοδιανύσµατα είναι ανεξάρτητα, τότε ο V είναι αντιστρέψιµος και η αποσύνθεση προκύπτει πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές από τα δεξιά µε Αποτέλεσµα R2: Εάν τότε οι Α και Β έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές. Ένα ιδιοδιάνυσµα x του Α αντιστοιχεί σ' ένα ιδιοδιάνυσµα του Β. Απόδειξη: Η απόδειξη είναι άµεση, διότι Η λ είναι και ιδιοτιµή του Β. Το ιδιοδιάνυσµα πολλαπλασιάστηκε µε τον Χρησιµοποιώντας τον κανόνα γινοµένου για ορίζουσες, µπορούµε επίσης να διαπιστώσουµε ότι οι ορίζουσες των και ταυτίζονται: Οι δύο ορίζουσες τα χαρακτηριστικά πολυώνυµα των Α και Β- είναι ίσες. Κατά συνέπεια οι ρίζες τους οι ιδιοτιµές των Α και Β είναι οι ίδιες. Στο επόµενο παράδειγµα βρίσκουµε ορισµένους πίνακες που είναι όµοιοι του Α. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ διαγώνιος µε ιδιοτιµές 1 και 0. Εάν τότε : τριγωνικός µε ιδιοτιµές 1 και 0 Εάν τότε προβολή µε ιδιοτιµές 1 και 0 Εάν τότε οποιοσδήποτε πίνακας µε ιδιοτιµές 1 και 0. Για ένα Hermitian πίνακα η αρµονική αποσύνθεση υποθέτει µια ειδική µορφή. Συγκεκριµένα αφού Α ένας Hermitian πίνακας, θα έχει πάντα ένα ορθοκανονικό σετ ιδιοδιανυσµάτων και άρα V είναι unitary οπότε η αποσύνθεση ιδιοτιµής γίνεται: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 23

24 ρ. Βασί λης ιακ ολου κάς (2.61) Το αποτέλεσµα αυτό είναι γνωστό ως το φασµατικό θεώρηµα (spectral theorem.) Spectral Theorem. Κάθε Hermitian πίνακας A µπορεί να αποσυντεθεί ως εξής: όπου λ i είναι οι ιδιοτιµές του A και v i είναι ένα σετ ορθοκανονικών ιδιοδιανυσµάτων. Σαν εφαρµογή του φασµατικού θεωρήµατος υποθέστε ότι ο A είναι nonsingular Hermitian πίνακας. Χρησιµοποιώντας το φασµατικό θεώρηµα µπορούµε να βρούµε τον αντίστροφο του Α ως εξής: Παρατηρήστε ότι η αντιστρεψιµότητα του A εγγυάται ότι και έτσι το άθροισµα είναι πάντοτε καλά ορισµένο. Σε πολλές εφαρµογές επεξεργασίας σήµατος µπορεί να βρούµε ότι κάποιος πίνακας B Σ τ α τ ι σ τ ι κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή µ α τ ο ς γ ι α Τ η λ ε π 24

25 είναι singular ή ill conditioned (µία ή περισσότερες ιδιοτιµές είναι κοντά στο µηδέν). Σε αυτές τις περιπτώσεις µπορούµε ορισµένες φορές να σταθεροποιήσουµε το πρόβληµα προσθέτοντας µια σταθερά σε κάθε όρο κατά µήκος της διαγωνίου, Το παραπάνω τρυκ έχει σαν αποτέλεσµα ότι παρότι αλλάζουν οι ιδιοτιµές του Β από σε, τα ιδιοδιανύσµατα του παραµένουν τα ίδια. Για να το επιβεβαιώσουµε αυτό παρατηρήστε ότι αν είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του B µε ιδιοτιµή τότε: Συνεπώς το είναι επίσης ιδιοδιάνυσµα του A µε ιδιοτιµή Το αποτέλεσµα αυτό συνοψίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα: Ιδιότητα 5. Αν B είναι ένας n x n πίνακας µε ιδιοτιµές σχετίζεται µε τον Β ως εξής: και A είναι ένας πίνακας που Τότε οι A και B έχουν τα ίδια ιδιοδιανύσµατα και οι ιδιοτιµές του Α είναι Το ακόλουθο παράδειγµα αφορά την εύρεση του αντίστροφου ενός πίνακα της µορφής όπου B είναι µη αντιστρέψιµος Hermitian πίνακας µε rank ένα. Παράδειγµα: Χρησιµοποιώντας το φασµατικό θεώρηµα για να αντιστρέψουµε ένα πίνακα Έστω A ένας n x n Hermitian πίνακας της µορφής: όπου a είναι µια µη µηδενική σταθερά, και όπου u 1 ένα διάνυσµα µοναδιαίας νόρµας, και Αφού B είναι n x n πίνακας µε rank ένα, έχει µόνο µία µη µηδενική ιδιοτιµή, ενώ οι υπόλοιπες είναι ίσες µε το µηδέν. Αφού: βλέπουµε ότι u 1 είναι ιδιοδιάνυσµα του B µε ιδιοτιµή A. Αυτό το διάνυσµα είναι επίσης ιδιοδιάνυσµα του A µε ιδιοτιµή Αφού ο Α είναι Hermitian πίνακας, θα υπάρχει ένα ορθοκανονικό σετ ιδιοδιανυσµάτων, ας το ονοµάσουµε Ένα από αυτά τα ιδιοδιανύσµατα είναι το, οπότε θέτουµε Οι ιδιοτιµές που αντιστοιχούν στα ιδιοδιανύσµατα για είναι ίσα µε Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα φάσµατος βρίσκουµε για τον αντίστροφο του Α: Αφού τα n ορθοκανονικά ιδιοδιανύσµατα του A σχηµατίζουν επίσης ένα ορθοκανονικό σετ ιδιοδιανυσµάτων για τον µοναδιαίο πίνακα I, τότε το θεώρηµα φάσµατος εφαρµόζεται στον Ι και µας δίνει: Συνεπώς ο δεύτερος όρος στην πιο πάνω εξίσωση µπορεί να γραφτεί: και ο αντίστροφος του A γίνεται Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 25

26 που είναι η επιθυµητή λύση. Είναι πολλές φορές χρήσιµο (π.χ. στην ανάπτυξη αλγορίθµων για προσαρµοστικά φίλτρα) να µπορούµε να χαρακτηρίσουµε την γεωµετρία της επιφάνειας που περιγράφεται από την εξίσωση: όπου A είναι συµµετρικός και positive definite. Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα φάσµατος γίνεται: και αλλάζοντας τις µεταβλητές ως εξής: η πιο πάνω εξίσωση γράφεται απλούστερα ως εξής: Η παραπάνω είναι µια εξίσωση που περιγράφει έλλειψη στις n διαστάσεις κεντραρισµένη στην αρχή των αξόνων. Η εξίσωση που περιγράφει την αλλαγή µεταβλητής κάνει µια περιστροφή του συστήµατος συντεταγµένων ώστε οι νέοι άξονες να ευθυγραµµιστούν µε τα ιδιοδιανύσµατα του Α. Υποθέτωντας ότι οι ιδιοτιµές έχουν ταξινοµηθεί µε τέτοιο τρόπο ώστε παρατηρούµε ότι το σηµείο είναι ένα σηµείο της έλλειψης το πιο µακρινό από την αρχή των αξόνων, στο τέλος του κυρίως άξονα της έλλειψης (βλέπε το παρακάτω σχήµα). Επιπλέον το σηµείο αυτό βρίσκεται κατά µήκος της διεύθυνσης του ιδιοδιανύσµατος, δηλαδή: Παροµοίως το σηµείο που είναι πιο κοντά στο κέντρο είναι το: που είναι στο τέλος του δευτερεύοντος άξονα της έλλειψης (αφού A είναι συµµετρικός, τότε τα ιδιοδιανύσµατα v i, σχηµατίζουν ορθοκανονικό σετ και αφού A > 0, τότε οι ιδιοτιµές λ i είναι Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 26

27 θετικές). Τα ενδιάµεσα ιδιοδιανύσµατα αντιστοιχούν στους ενδιάµεσους άξονες. Οπότε έχουµε την ακόλουθη ιδιότητα: Ιδιότητα 6. Για ένα συµµετρικό και positive definite πίνακα A, η εξίσωση ορίζει µια έλλειψη στις n διαστάσεις της οποίας οι άξονες είναι στην διεύθυνση του ιδιοδιανύσµατος του A και το µισό των µηκών των αξόνων αυτών να ισούνται Συχνά (προσαρµοστικά φίλτρα) είναι σκόπιµο να µπορούµε να βρούµε ανώτατα όρια για την µέγιστη ιδιοτιµή ενός πίνακα. Ένα τέτοιο ανώτατο όριο πηγάζει από την ακόλουθη ιδιότητα των ιδιοτιµών: τότε αν ο A είναι positive semi- Αν ορίσουµε ως την µέγιστη ιδιοτιµή ενός πίνακα A ως definite τότε θα ισχύει το ακόλουθο ανώτατο όριο: Ένα άλλο όριο (προκύπτει από το Gershgorin's Circle theorem [strang] ) είναι το ακόλουθο: Ιδιότητα 7. Η µεγαλύτερη ιδιοτιµή σε ένα n x n πίνακα έχει το ακόλουθο ανώτατο όριο τιµής: που σηµαίνει ότι η µέγιστη ιδιοτιµή είναι άνω φραγµένη από τον µέγιστο άθροισµα γραµµής του πίνακα A. Αφού οι ιδιοτιµές ενός πίνακα και του ανάστροφου του είναι οι ίδιες παρόµοια σχέση θα µπορούσε να αφορά για το µέγιστο άθροισµα στηλών. Μία χρήσιµη ιδιότητα που συνδέεται µε τους Hermitian πίνακες είναι η ακόλουθη: Αποτέλεσµα 4: Έστω και Επίσης έστω ότι οι ιδιοτιµές του Α έχουν ταξινοµηθεί µε τον ακόλουθο τρόπο: Τότε: Το πιο πάνω πηλίκο λέγεται το πηλίκο του Rayleigh (quotient). Αφού το πηλίκο παραµένει αµετάβλητο αν πολλαπλασιάσουµε το υ µε οποιονδήποτε µιγαδικό αριθµό, µπορούµε να ξαναγράψουµε την παραπάνω σχέση στην ακόλουθη µορφή: για κάθε όπου και η ισότητα θα ισχύει στην περίπτωση που το υ θα γίνει ίσο µε το ιδιοδιάνυσµα του Α που συνδέεται µε το λm και λ1 αντίστοιχα. Αποτέλεσµα 5: Έστω µε m>n, ένας semi-unitary πίνακας (δηλαδή: ) και έστω ο πίνακας προηγούµενο αποτέλεσµα (4). Τότε: έχει τις ιδιοτιµές του ταξινοµηµένες όπως στο Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 27

28 όπου οι ισότητες επιτυγχάνονται για παράδειγµα όταν οι στήλες του V είναι τα ιδιοδιανύσµατα του Α που αντιστοιχούν στο (λ m-n+1,,λ m ) και αντίστοιχα (λ 1,,λ n ). Το πηλίκο: ονοµάζεται extended Rayleigh quotient Singular Value Decomposition και τελεστές προβολής Για κάθε πίνακα υπάρχουν unitary πίνακες και και ένας διαγώνιος µε µη µηδενικά διαγώνια στοιχεία τέτοιος ώστε: Με κατάλληλη αντιµετάθεση, τα διαγώνια στοιχεία του Σ µπορούν τα ταξινοµηθούν σε µη-αύξουσα σειρά: σ 1 σ 2... σ min(m,n) Η πιο πάνω παραγοντοποίηση λέγεται singular value decomposition (SVD) του A και η ύπαρξη της είναι σηµαντικό αποτέλεσµα τόσο από θεωρητική όσο και πρακτική οπτική γωνία. Οι πίνακες U, Σ και V ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: Η ακόλουθη ορολογία συνδέεται συχνά µε την SVD: Τα left singular διανύσµατα του A είναι οι στήλες του U. Αυτά τα singular διανύσµατα είναι επίσης και ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Τα right singular διανύσµατα του A είναι οι στήλες του V. Τα διανύσµατα αυτά είναι επίσης ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Οι singular τιµές του A είναι τα διαγώνια στοιχεία του Σ. Παρατηρήστε ότι είναι οι τετραγωνικές ρίζες των µεγαλύτερων min(m, n) ιδιοτιµών του ή Το singular triple του A είναι η τριάδα (singular value, left singular vector, and right singular vector) όπου είναι η k-στη στήλη του Άν τότε µπορούµε να δείξουµε ότι: και άρα για ένα πίνακα τάξης r ο SVD µπορεί να γραφτεί ως: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 28

29 όπου είναι nonsingular. Η παραγοντοποίηση του A στην προηγούµενη εξίσωση έχει ένα αριθµό από σηµαντικές ιδιότητες που απορρέουν από αυτή: Ιδιότητα 2: Θεωρήστε την SVD του,όπως στην παραπάνω εξίσωση, όπου r min(m,n). Τότε: (i) είναι µια ορθοκανονική βάση του (ii) είναι µια ορθοκανονική βάση του (iii) είναι µια ορθοκανονική βάση του (iv) είναι µια ορθοκανονική βάση του Απόδειξη: Οι περιπτώσεις (iii) και (iv) προέρχονται από τις (i) και (ii) µε εφαρµογή στο Για να αποδείξουµε τα (i) και (ii), χρειάζεται να δείξουµε ότι: και αντίστοιχα, Για να αποδείξουµε την πρώτη σχέση παρατηρούµε ότι: υπάρχει ένα τέτοιο ώστε και άρα Επίσης: υπάρχει τέτοιο ώστε Και επειδή (από την αρχική εξίσωση): θα ισχύει: που µας λέει ότι Συνδυάζοντας καταλήγουµε ότι R(A)=R(U1). Με παρόµοιο τρόπο αποδεικνύουµε και τα υπόλοιπα: Τώρα κάθε διάνυσµα α µπορεί να γραφτεί: αφού είναι nonsingular. Όµως: οπότε: και Έτσι Τέλος, Τότε: υπάρχει τέτοιο ώστε Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 29

30 που αποδεικνύει αυτό που θέλουµε. Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες 30

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση ιαγωνιοποίηση Σελίδα από 6 Κεφάλαιο ιαγωνιοποίηση Κεφάλαιο... ιαγωνιοποίηση.... ιαγωνιοποίηση.... Εφαρµογές της διαγωνιοποίησης πινάκων....4.. υνάµεις πινάκων...4.. Εξισώσεις διαφορών...5.. ιαφορικές εξισώσεις......4

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α

Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Ι Ω Α Ν Ν Η Σ Μ Α Ρ Ο Υ Λ Α Σ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΕΜΦΕ Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Επιµέλεια : ρ Αδάµ Μαρία ΕΜΠ, 005 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο ρόλος της Γραµµικής Άλγεβρας στις Εφαρµοσµένες Επιστήµες είναι εξαιρετικά σηµαντικός.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ ιανυσµατικοί Χώροι ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούνε µια σύντοµη εισαγωγή στην έννοια του διανύσµατος

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα