ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών ΤΙΤΛΟΣ ΥΠΟΕΡΓΟΥ: ΦΟΡΕΑΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ: ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΕΡΓΟΥ: Αναμόρφωση και προσαρμογή του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών του Τμήματος Σχεδιασμού και Τεχνολογίας Ξύλου και Επίπλου του Τ.Ε.Ι. Λάρισας στις νέες απαιτήσεις Τ.Ε.Ι. Λάρισας Δρ. Βύρων Τάντος Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κολλάτος Γεώργιος Καθηγητής εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2004

2 2 Γεώργιος Κολλάτος Καθηγητής εφαρμογών Καρδίτσα Νοέμβριος 2003 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Στην καθημερινή του ζωή ο άνθρωπος, χρησιμοποιεί τον προφορικό και τον γραπτό λόγο σαν μέσο επικοινωνίας με τους ανθρώπους. Οι τεχνικοί έχουν τον δικό τους τρόπο επικοινωνίας μεταξύ τους, το σχέδιο. Από τους τεχνικούς άλλοι μελετούν τα τεχνικά έργα και άλλοι τα κατασκευάζουν. Για να μπορέσουν λοιπόν να συνεννοηθούν ο μελετητής ενός έργου με τον κατασκευαστή χρησιμοποιούν το σχέδιο. Σχέδιο είναι η παρουσίαση των ιδεών του μελετητή με την βοήθεια γραφικής παράστασης, που μας δίνει με σαφήνεια και με κάθε

3 3 λεπτομέρεια κατά τρόπο παραστατικό την μορφή ενός αντικειμένου, χωρίς να χρειάζεται οποιαδήποτε άλλη πρόσθετη τεχνική περιγραφή. Το τεχνικό σχέδιο διέπετε από διάφορους κανόνες που θα δούμε στη συνέχεια. Εκτός ορισμένων εξαιρέσεων οι κανόνες αυτοί είναι ίδιοι σε όλα τα κράτη και έτσι μπορεί να χαρακτηριστεί το σχέδιο σαν διεθνής τεχνική γλώσσα. Τα τελευταία χρόνια έγινε επανάσταση στην τεχνολογία με την εφαρμογή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η επανάσταση αυτή όπως ήταν φυσικό επηρέασε και το τεχνικό σχέδιο. Μπορούμε σήμερα με την βοήθεια των ηλεκτρονικών υπολογιστών, πατώντας κάποια πλήκτρα να δίνουμε εντολές και να σχεδιάζουμε αυτόματα στο χαρτί, αφού δώσουμε την κατάλληλη εντολή. Παρ ολα αυτά ένα μεγάλο μέρος των γνώσεων που προσφέρει αυτό το μάθημα θα είναι απαραίτητες, γιατί σχέδια θα υπάρχουν πάντα, η σύνθεσή τους θα ακολουθεί τους ίδιους κανόνες και οι τεχνικοί πρέπει και τότε να τα χρησιμοποιούν και να είναι ικανοί να τα διαβάζουν. Σκοπός του μαθήματος του τεχνικού σχεδίου είναι να αποκτήσει ο σπουδαστής βασικές γνώσεις και δεξιότητες σχεδίασης ώστε να μπορέσει να παρακολουθήσει στα επόμενα εξάμηνα το εξειδικευμένο τεχνικό κατασκευαστικό σχέδιο επίπλων και ξυλοκατασκευών. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι 1. Όργανα και υλικά σχεδίασης : Για να σχεδιάσουμε ένα αντικείμενο πρέπει να έχουμε στη διάθεσή μας ορισμένα όργανα και υλικά σχεδίασης. Αυτά είναι: Πινακίδα σχεδίασης διαστάσεων 500Χ700 χιλιοστά. Ταυ ή παραλληλογράφο. Ορθογώνιο τρίγωνο ,μήκος υποτείνουσας 257χιλ. Ορθογώνιο τρίγωνο , μήκος υποτείνουσας 347χιλ. Κανόνας μήκους περίπου 30 χιλ. με διαιρέσεις εκατ. & χιλ. Μοιρογνωμόνιο.

4 4 Καμπυλόγραμμα. Σβηστήρα. Διαβήτες ( ένας μικρός, ένας μεγάλος) με δακτυλίδι. Οδηγός χάραξης γραμμάτων και αριθμών (στένσιλ), Ν ο 5. Μολύβια σκληρότητας B,HB,& F ή μηχανικό μολύβι. Σινική μελάνη Ραπιδογράφος με πενάκια 0,8 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 χιλ. ή 0,7-0,5-0,35-0,18 χιλ. Χαρτί σχεδίασης. 1.1 Πινακίδα σχεδίασης - Σχεδιαστήριο: Η πινακίδα σχεδίασης έχει σχήμα ορθογωνίου με διαστάσεις 500 Χ 700 χιλ.. Οι πινακίδες που χρησιμοποιούνταν παλιά κατασκευάζονταν από μαλακό ξύλο, συνήθως λεύκα ή φλαμουριά, το οποίο έπρεπε να είναι χωρίς ρόζους και λείο, και εκεί πάνω στηριζόταν το χαρτί σχεδίασης με πινέζες. Στις δύο μικρές πλευρές της έφερε ενισχυτικές πήχες επειδή εκεί πάνω στηριζόταν το Ταυ. Σήμερα υπάρχουν τέτοιες πινακίδες αλλά η επιφάνειά τους είναι λεία συνήθως από φορμάικα ή τεχνητή ξυλεία επενδεδυμένη με μελαμίνη (σχ. 1.1). Σήμερα εκτός από τις ανωτέρω πινακίδες χρησιμοποιούνται ειδικά έπιπλα, επάνω στα οποία σχεδιάζεται ένα σχέδιο τα οποία λέγονται σχεδιαστήρια. Αποτελούνται από μια ορθογώνια πινακίδα, η οποία στηρίζεται επάνω σε ένα ικρίωμα που μπορεί να πάρει την κατάλληλη κλίση κάθε φορά έτσι ώστε να διευκολύνει τον σχεδιαστή. Στο κάτω μέρος της πινακίδας υπάρχει κατάλληλη θήκη ώστε να στηρίζονται τα όργανα σχεδίασης. Το χαρτί σχεδίασης στηρίζεται επάνω στο σχεδιαστήριο με συγκολλητική ταινία (σελοτέϊπ), γιαυτό πρέπει η επιφάνεια του, να είναι λεία και σκληρή.

5 Ταυ - παραλληλογράφος : Κατασκευάζεται από σκληρό ξύλο ή πλαστική ύλη και αποτελείται από δύο μέρη: Το στέλεχος, που είναι λεπτό και πρέπει να έχει μήκος λίγο μεγαλύτερο από το μήκος της πινακίδας, και την κεφαλή, που έχει μεγαλύτερο πάχος και είναι στερεά ενωμένη με το στέλεχος και σχηματίζει με αυτό ορθή γωνία. Υπάρχουν ταυ που η κεφαλή τους αποτελείται από δύο ξύλινες πλάκες, η μία τοποθετημένη πάνω στην άλλη και στερεωμένες με τον ίδιο τρόπο. Η μία από τις δύο πλάκες μπορεί να περιστρέφεται γύρω από έναν κοχλία που συνδέει την μία με την άλλη, και έτσι μας διευκολύνει να δίνουμε κλίση στο ταυ, επάνω στην πινακίδα και με αυτό τον τρόπο χαράζουμε γραμμές με κλίση (σχ. 1.2). Το ταυ χρησιμοποιείται για να χαράζουμε ευθείες γραμμές και γραμμές με κλίση. Το ταυ μαζί με τα τρίγωνα μας βοηθάει να χαράξουμε πολλές γραμμές παράλληλες μεταξύ τους ή γραμμές με ορισμένη κλίση. Παραλληλογράφος: Ο παραλληλογράφος είναι μια νεώτερη μορφή του ταυ. Αποτελείται από ένα πλαστικό κανόνα, με μήκος όσο σχεδόν η πινακίδα, και κινείται πάντα παράλληλα προς τον εαυτόν του με την βοήθεια δύο σπάγκων, που είναι στερεωμένοι

6 6 στην δεξιά και αριστερή πλευρά της πινακίδας σχεδίασης, και τεσσάρων μικρών τροχαλιών που βρίσκονται επάνω στον κανόνα (σχ. 1.2α) Τρίγωνα: Συνήθως στη σχεδίαση χρησιμοποιούμε τα παρακάτω είδη τριγώνων σε διάφορα μεγέθη. Το ορθογώνιο τρίγωνο των 45 ο : Είναι από πλαστική ύλη και έχει την κάθε μια από τις δύο οξείες γωνίες του ίση με 45 ο. Το τρίγωνο αυτό λέγεται και ορθογώνιο ισοσκελές. Υπάρχει σε διάφορα μεγέθη και μπορεί να έχει διαιρέσεις σε cm & mm. Το ορθογώνιο τρίγωνο των 60 ο 90 ο 30 ο είναι και αυτό από πλαστική ύλη και υπάρχει στο εμπόριο σε διάφορα μεγέθη και μπορεί να έχει διαιρέσεις σε cm ή mm. (σχ. 1.3 ). Τα τρίγωνα χρησιμοποιούνται είτε μόνα τους είτε μαζί με το ταυ για να χαράζουμε ευθείες παράλληλες και κάθετες ή ευθείες που σχηματίζουν ορισμένη γωνία με κάποια άλλη ευθεία. Τα τρίγωνα με διαιρέσεις τα χρησιμοποιούμε για μέτρηση μηκών.

7 Κανόνας: Είναι από πλαστική ύλη και μπορεί να έχει διαιρέσεις cm ή mm. Κυκλοφορούν στο εμπόριο σε διάφορα μεγέθη. Οι κανόνες με διαιρέσεις μας χρησιμεύουν για να μετρούμε ή να μεταφέρουμε μήκη πάνω στο σχέδιο. Πρέπει να αποφεύγουμε να χαράζουμε γραμμές με βαθμονομημένους κανόνες, γιατί έτσι καταστρέφουμε την βαθμονόμησή τους. (σχ.1.4) Μοιρογνωμόνιο: Είναι ένα ημικύκλιο από πλαστική ύλη, διαφανές, το οποίο φέρει στην ημιπεριφέρειά του δύο διαιρέσεις σε μοίρες από 0 ο 180 ο. Η κάθε μία από τις διαιρέσεις αυτές αρχίζει από το ένα άκρο της ημιπεριφέρειάς της και τελειώνει στο άλλο άκρο.( σχ.1.5).

8 8 Το μοιρογνωμόνιο το χρησιμοποιούμε για να μετρούμε και να χαράζουμε γωνίες Καμπυλόγραμμα: Είναι από πλαστική ύλη ή ξύλινα. Χρησιμοποιούνται στη χάραξη καμπύλων γραμμών, που δεν είναι ούτε κύκλοι ούτε τόξα κύκλων. Για σχέδια επίπλων ο σχεδιαστής χρειάζεται να έχει στη διάθεσή του τουλάχιστον 4-5 καμπυλόγραμμα, τα οποία πρέπει να έχουν ειδικές καμπύλες.(σχ.1.6) Σβηστήρα. Η σβηστήρα πρέπει να είναι καλής ποιότητας ώστε να μην αφήνει ίχνη επάνω στο χαρτί σχεδίασης, επίσης πρέπει να είναι ανάλογης σκληρότητας με το μολύβι που χρησιμοποιούμε κατά την σχεδίαση. Υπάρχουν σβηστήρες ειδικές στο να σβήνουν μελάνη Διαβήτες: Διαβήτης είναι το όργανο εκείνο που έχει δύο σκέλη, και στο επάνω τους μέρος συνδέονται με μια άρθρωση που τα σταθεροποιεί σε μια θέση και έτσι τα άκρα των σκελών να διατηρούν μια

9 9 σταθερή σχέση. Η σταθεροποίηση των σκελών επιτυγχάνεται συνήθως με την τριβή. Για μεγαλύτερη ακρίβεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διαβήτη που ανάμεσα στα σκέλη του έχει κοχλία και έτσι μπορούμε να αυξομειώσουμε το άνοιγμα των σκελών με την βοήθεια του κοχλία. Στο ένα σκέλος υπάρχει ακίδα και στο άλλο μια μύτη μολυβιού. Μπορούμε ακόμη να αφαιρέσουμε την μύτη του μολυβιού και στη θέση της να τοποθετήσουμε ένα ειδικό εξάρτημα (δακτυλίδι) και εκεί να προσαρμόσουμε τον ραπιδογράφο. Έτσι μπορούμε να χαράζουμε γραμμές με μολύβι ή με μελάνη. Υπάρχουν διαβήτες διαφόρων ειδών και μεγεθών. Για τις ανάγκες μας θα χρησιμοποιήσουμε ένα διαβήτη μικρό (πόμπα) και έναν πιο μεγάλο για να μπορούμε να χαράζουμε κύκλους με ακτίνα έως 100 χιλ. περίπου.(σχ.1.8.) Οδηγοί γραφής γραμμάτων και αριθμών (στένσιλ): Οι οδηγοί είναι από πλαστικό υλικό και επάνω τους είναι χαραγμένοι διάφοροι τύποι γραμμάτων και αριθμών τόσο σε όρθια γραφή όσο και σε πλάγια γραφή. Η χάραξη των γραμμάτων και αριθμών με την χρησιμοποίηση των οδηγών γίνεται, με μολύβι ή με ραπιδιγράφο κατάλληλου πάχους. Είναι διαφόρων μεγεθών ανάλογα με το ύψος των γραμμάτων και των αριθμών.(σχ.1.9).

10 Μολύβια: Το πιο απαραίτητο και το πιο πολύ χρησιμοποιούμενο όργανο σε μια σχεδίαση είναι το μολύβι. Η εκλογή του κατάλληλου μολυβιού εξαρτάται από τον σκοπό που πρόκειται να εξυπηρετήσει από την ποιότητα του χαρτιού σχεδίασης και από το εάν το σχέδιο θα μελανωθεί ή όχι. Υπάρχουν δύο κατηγορίες μολυβιών ανάλογα με την σκληρότητά τους, που χαρακτηρίζονται με τα λατινικά γράμματα Η και Β και με ένα αριθμό μπροστά (1,2,3,4,5,6). Έτσι το πιο μαλακό μολύβι της κατηγορίας Β είναι το 6Β και το πιο σκληρό της κατηγορίας Η είναι το 6Η. Οι κατηγορίες αυτές είναι διεθνώς αποδεκτές γιατί περιγράφουν λεπτομερέστερα την σκληρότητα των μολυβιών. Ένα μολύβι μαλακό (2Β,3Β κ.λ.π.) είναι κατάλληλο για ελεύθερο σχέδιο, ενώ μολύβια που χαρακτηρίζονται από τα γράμματα (Β, ΗΒ), είναι κατάλληλα για σχέδια που δεν θα μελανωθούν. Εάν κάποιο σχέδιο θέλει ακρίβεια γραμμών τότε χρησιμοποιούμε πιο σκληρό μολύβι π.χ.( F, H, 2H, κ.λ.π.) γιατί όσο πιο σκληρό είναι ένα μολύβι τόσο πιο λεπτή μύτη μπορεί να αποκτήσει και έτσι έχουμε σχέδια με περισσότερη ακρίβεια. Για σχέδια που θα μελανωθούν χρησιμοποιούμε μολύβια μέσης σκληρότητας (Η, F) και δεν πρέπει να τα πιέζουμε πολύ κατά την σχεδίαση για να μην χαράζεται το χαρτί. Υπάρχουν και μολύβια κατώτερης ποιότητας που χαρακτηρίζονται από τους αριθμούς 1,2,3,4,5 και αντιστοιχούν στις προηγούμενες κατηγορίες ως εξής : Το 1 με το 3Β, το 2 με το Β, το 3 με το F, το 4 με το Η και το 5 με το 3Β.(Πίνακας 1.). Είναι πολύ σημαντικό όταν σχεδιάζουμε το μολύβι μας να είναι καλά ξυσμένο, διότι από αυτό εξαρτάται κατά μεγάλο μέρος η ποιότητα του σχεδίου. Τα μολύβια είναι ξύλινα και ξύνονται με ξύστρες. Μηχανικά μολύβια: Τα μηχανικά μολύβια που αποτελούνται από ένα στέλεχος που δέχεται στο εσωτερικό του μύτες από γραφίτη,

11 11 πάχους (0,2-0,3-0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0) χιλ. είναι πιο πρακτικά και ιδανικά για το τεχνικό σχέδιο γιατί παρουσιάζουν σημαντικά πλεονεκτήματα. α. Δίνουν σταθερή ποιότητα γραμμής. β Οι μύτες τους έχουν διάφορους βαθμούς σκληρότητας όπως οι παραπάνω κατηγορίες. γ. Οι μύτες τους μπορούν να αντικατασταθούν εύκολα. δ.έχουν καλλίτερο πιάσιμο λόγω της κατασκευής και του βάρους τους. ε. Τα πάχη ( 0,2 1,0)χιλ. δεν χρειάζονται ξύσιμο. Στο εμπόριο κυκλοφορούν επίσης μηχανικά μολύβια που χρησιμοποιούνται στη σχεδίαση και δέχονται χοντρές μύτες πάχους 1,2-2,0 χιλ. Αυτές οι μύτες θέλουν συχνό ξύσιμο όπως και τα κοινά μολύβια. Το ξύσιμο γίνεται με ειδικές ξύστρες ή με σμυριδόχαρτο Μελάνη: Για τα σχέδια χρησιμοποιείται μαύρη μελάνη που είναι γνωστή στο εμπόριο ως σινική μελάνη ( μελάνη της Κίνας).

12 12 Κυκλοφορεί σε γυάλινα ή πλαστικά μπουκαλάκια ή και σε έτοιμες αμπούλες που προσαρμόζονται στους ραπιδογράφους. Έχει την ιδιότητα να στεγνώνει γρήγορα και έτσι αποφεύγονται οι μουντζούρες στο σχέδιο. Ακόμη και σε περίπτωση λάθους σβήνεται εύκολα με ειδική σβηστήρα ή ξυραφάκι ξύνοντας ελαφρά το σημείο που έγινε το λάθος Ραπιδογράφος: Το πρώτο όργανο που χρησιμοποιήθηκε για το μελάνωμα του σχεδίου ήταν ο γραμμοσύρτης.(σχ.1.12 ). Αυτός στη συνέχεια αντικαταστάθηκε από τον γράφο.(σχ.1.12α ). Δεν χρησιμοποιούνται πλέον αυτά και έχουν αντικατασταθεί από τον ραπιδογράφο. Ο ραπιδογράφος είναι το πιο σύγχρονο όργανο σχεδίασης που καταλήγει σε ένα σωλήνα με μια τρίχα εσωτερικά, από όπου κατεβαίνει η μελάνη. Ο ραπιδογράφος αποτελείται από τα εξής

13 13 μέρη: Το κάλυμμα (1), το στέλεχος (2), τη μύτη (3), και την αποθήκη μελάνης (4). Η μύτη (3) καταλήγει σε μεταλλικό σωλήνα, η διάμετρος του οποίου δίνει και το πάχος της γραμμής. Μέσα στη μύτη είναι τοποθετημένο το εξάρτημα (3α) και κρατά το σωληνάκι πάντα ανοιχτό και έτσι κατεβαίνει η μελάνη.(σχ. 1.12β). Για κάθε πάχος γραμμής χρειάζεται και διαφορετική μύτη. Με τον ραπιδογράφο μπορούμε να γράψουμε γραμμές, αριθμούς, ή γράμματα. Ακόμη μπορούμε να τον προσαρμόσουμε με ειδικό εξάρτημα στο διαβήτη και να γράψουμε περιφέρειες. (σχ.1. 12γ). Ο ραπιδογράφος είναι ένα λεπτό όργανο που χρειάζεται πάρα πολύ προσοχή στη χρήση και πολύ καλή συντήρηση. Για καλλίτερη προφύλαξη πρέπει να τοποθετείται μέσα στις ειδικές θήκες μετά την χρήση του. Για να έχουμε ομοιόμορφο πάχος γραμμής, πρέπει ο ραπιδιγράφος να είναι σχεδόν κάθετος στο χαρτί σχεδίασης. Όταν χαράζουμε περιφέρειες, πρέπει τα σκέλη του διαβήτη να σπάζουν κατά τέτοιο τρόπο ώστε ο ραπιδογράφος να είναι κάθετος στο επίπεδο σχεδίασης Χαρτί σχεδίασης: Η επιλογή του χαρτιού σχεδίασης στα τεχνικά σχέδια εξαρτάται από τις αξιώσεις για ακρίβεια, και τον τρόπο αναπαραγωγής και διαφύλαξης του σχεδίου. Οι γενικές απαιτήσεις

14 14 είναι, μηχανική ανθεκτικότητα, καταλληλότητα για σινική μελάνη και αντίσταση στα σβησίματα. Γενικά το χαρτί σχεδίασης χωρίζεται σε διαφανές και αδιαφανές. Το αδιαφανές μπορεί να έχει επιφάνεια λεία ή τραχιά, ενώ το διαφανές να έχει γυαλιστερή ή ματ επιφάνεια. Η ποιότητα του χαρτιού σχεδίασης χαρακτηρίζεται από το βάρος του ανά Μ 2. Για τα διαφανή χαρτιά πρέπει να είναι τουλάχιστον gr./m 2, ενώ για τα αδιαφανή gr./m 2. Το αδιαφανές λευκό χαρτί είναι το πιο συνηθισμένο χαρτί σχεδίασης. Δέχεται εύκολα γραμμές από μολύβι και επιτρέπει συχνό σβήσιμο με γομολάστιχα χωρίς να αφήνει ίχνη. Επίσης το γυαλιστερό μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για σχέδια που θα μελανωθούν. Κυκλοφορεί στο εμπόριο σε μεμονωμένα φύλα ή μπλοκ. Το διαφανές χαρτί χρησιμοποιείται κυρίως για αντιγραφή και για σχέδια που θα μελανωθούν. Έχει την ιδιότητα να μην απορροφά μελάνη, επιτρέποντας έτσι σβησίματα και διορθώσεις. Το καλής ποιότητας διαφανές χαρτί έχει λεία επιφάνεια. Κυκλοφορεί στο εμπόριο σε ρολά, μπλοκ ή μεμονωμένα φύλα. (σχ.1.13). Στο εμπόριο επίσης βρίσκουμε μεγάλη ποικιλία χαρτιών με τυπωμένα πλέγματα γραμμών όπως είναι το τετραγωνισμένο και το

15 15 ισομετρικό. Οι γραμμές αυτές έχουν σκοπό να διευκολύνουν τον σχεδιαστή απαλάσοντάς τον από την πρόσθετη εργασία χάραξης οδηγητικών γραμμών. Αυτού του είδους τα χαρτιά χρησιμοποιούνται περισσότερο στο ελεύθερο σχέδιο. Κυκλοφορούν στο εμπόριο σε ρολά, μπλοκ ή μεμονωμένα φύλα.(σχ.1.13α) Διαστάσεις χαρτιών σχεδίασης: Το μέγεθος του χαρτιού σχεδίασης είναι τυποποιημένο σύμφωνα με τον Γερμανικό Οργανισμό τυποποίησης (DIN 476) και Διεθνή Οργανισμό τυποποίησης (ISO). Αφετηρία για τον σχηματισμό των διαφόρων μεγεθών του χαρτιού σχεδίασης, είναι ένα ορθογώνιο που έχει εμβαδόν 1 m 2 και ο λόγος των πλευρών του είναι 1: 2 (σχ ). Αν προσέξουμε θα δούμε ότι διπλώνοντας ένα τυποποιημένο χαρτί σχεδίασης στα δύο, προκύπτει το αμέσως μικρότερο μέγεθος και μάλιστα με την ίδια αναλογία πλευρών 1: 2 (σχ ). Αυτό έχει μεγάλη πρακτική σημασία κυρίως γιατί διευκολύνει την σμίκρυνση και την μεγέθυνση με φωτοτυπικές μεθόδους.

16 16 Τα πιο συνηθισμένα χαρτιά σχεδίασης είναι της σειράς Α και έχουν τις παρακάτω διαστάσεις. (Πίνακας 2). ΠΙΝΑΚΑΣ 2. Μέγεθος χαρτιού Α 0 Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 Α 5 Α 6 Διαστάσεις άκοπου χαρτιού 880 Χ 1230 mm 625 Χ 880 mm 450 Χ 625 mm 330 Χ 450 mm 240 Χ 330 mm 165 Χ 240 mm 120 Χ 165 mm Διαστάσεις Κομμένου χαρτιού 841 Χ 1189 mm 594 Χ 841 mm 420 Χ 594 mm 297 Χ 420 mm 210 Χ 297 mm 148 Χ 210 mm 105 Χ 148 mm Χαρτιά με μέγεθος Α 0 - Α 3 μπορούν να τοποθετηθούν με την μεγάλη ή την μικρή διάσταση ως ύψος. Το υπόμνημα τοποθετείται πάντα στην κάτω δεξιά γωνία. Χαρτιά με μέγεθος Α 4 τοποθετούνται πάντοτε με την μεγάλη πλευρά ως ύψος. (σχ α) Τοποθέτηση του χαρτιού σχεδίασης στην πινακίδα: Κατά την τοποθέτηση του χαρτιού σχεδίασης επάνω στην πινακίδα, προσέχουμε τα εξής: α) Στερεώνεται κοντά στο αριστερό άκρο της πινακίδας ώστε να μειώνεται στο ελάχιστο το σφάλμα που μπορεί να προκύπτει από το παίξιμο του ταυ.(εφόσον δεν υπάρχει παραλληλογράφος). (σχ1.13.2). β) Αρκετά ψηλά στην πινακίδα, ώστε να εξοικονομείται χώρος στο κάτω μέρος για το ταυ ή τον παραλληλογράφο, και για την ξεκούραση των χεριών.

17 17 γ) Έτσι ώστε οι ακμές του να είναι παράλληλες προς τις ακμές της πινακίδας, ή παράλληλες προς τον παραλληλογράφο, όταν αυτός δεν είναι παράλληλος προς τις ακμές της πινακίδας. Η στερέωση του χαρτιού στην πινακίδα γίνεται με ειδική συγκολλητική ταινία, η οποία ξεκολλά εύκολα χωρίς να καταστρέφει το χαρτί Πλαίσιο: Στα χαρτιά σχεδίασης αφού πλέον έχουν τις τελικές διαστάσεις σύμφωνα με την τυποποίηση, δημιουργούμε πλαίσιο και σε απόσταση ανάλογα με το μέγεθός του, από όλες τις αντίστοιχες ακμές του χαρτιού. Για μέγεθος χαρτιού Α 0, Α 1, Α 2, Α 3, η απόσταση είναι 10 χιλ.. Για χαρτιά μεγέθους Α 4, Α 5, Α 6 η απόσταση είναι 5 χιλ. Πολλές φορές το πλαίσιο που συνοδεύει τα χαρτιά σχεδίασης, είναι τυπωμένο εκ των προτέρων. Το πλαίσιο το δημιουργούμε με έντονη γραμμή.(σχ ).

18 Υπόμνημα: Το υπόμνημα είναι ένας χώρος μέσα στο χαρτί σχεδίασης, όπου σ αυτό γράφουμε διάφορες τεχνικές πληροφορίες που δεν μπορούν να αποδοθούν σχεδιαστικά. Το μέγεθος και η μορφή του υπομνήματος είναι τυποποιημένα κατά (DIN 28). Το υπόμνημα τοποθετείται πάντα στην κάτω δεξιά γωνία του χαρτιού σχεδίασης και πατώντας επάνω στο πλαίσιο. Υπάρχουν διάφοροι τύποι υπομνημάτων, θα πρέπει όμως να τηρούνται οι διαστάσεις, σύμφωνα με τις διεθνείς προδιαγραφές που πρέπει πάντα το μήκος του να είναι 185 χιλ και το πλάτος του 55 χιλ. Για τις σχολικές ανάγκες αρκεί ο τύπος υπομνήματος του (σχ ) Στο χώρο 1 γράφουμε σχολή και τμήμα. Στο χώρο 2 τον τίτλο του μαθήματος. Στο χώρο 3 το ονοματεπώνυμο. Στο χώρο 4 ονομασία της άσκησης. Στο χώρο 5 την ομάδα του τμήματος που ανήκει ο σπουδαστής. Στο χώρο 6 την κλίμακα του σχεδίου. Στο χώρο 7 ημερομηνία που σχεδιάστηκε το σχέδιο. Στο χώρο 8 τον αριθμό του σχεδίου.

19 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ 2. Γραμμές σχεδίασης. Το κάθε σχέδιο είναι ένα σύνολο από γραμμές, ευθείες (τις περισσότερες φορές), και καμπύλες. Σε κάθε σχέδιο πρέπει οι γραμμές να χαράζονται με προσοχή και με το κατάλληλο πάχος, σύμφωνα πάντοτε με τους κανόνες τυποποίησης, κατά DIN και ISO. Είναι επομένως απαραίτητο να γνωρίζει ο σχεδιαστής κάποια στοιχεία για τα είδη και πάχη των γραμμών που χρησιμοποιεί, καθώς επίσης και τον τρόπο με τον οποίο χαράζει αυτές. Αν όλες οι γραμμές του σχεδίου είχαν το ίδιο πάχος και την ίδια μορφή, τότε το σχέδιο αυτό θα είχε μια ομοιόμορφη εμφάνιση και θα ήταν πολύ μονότονο και συγχρόνως θα μας δημιουργούσε σύγχυση και δεν θα μπορούσαμε να κατανοήσουμε τι παριστάνει. Σε κάθε σχεδίαση ενός αντικειμένου, απλού ή πολύπλοκου υπάρχουν γραμμές πραγματικές που φαίνονται, γραμμές πραγματικές που δεν φαίνονται, γιατί βρίσκονται στο πίσω μέρος ή στο εσωτερικό του αντικειμένου, γραμμές νοητές, γραμμές διαστάσεων, βοηθητικές γραμμές διαστάσεων, αξονικές κ.λ.π.. Γι αυτό το λόγο στη σχεδίαση χρησιμοποιούμε μια ορισμένη ομάδα από γραμμές που έχουν διαφορετική μορφή και πάχος, ανάλογα με το τι σημαίνει η κάθε μία, σύμφωνα πάντα με την τυποποίηση. (πίνακας 3) Είδη και πάχη γραμμών σχεδίασης χρήση αυτών: α) Συνεχής χοντρή γραμμή: Με αυτό το είδος σχεδιάζονται οι κύριες γραμμές του σχεδίου, (ορατές ακμές αντικειμένων, εξωτερικές διάμετροι, σπειρώματα κοχλιών, εσωτερικές διάμετροι σπειρωμάτων περικοχλίων, ραφές συγκολλήσεων). Το πάχος της κυμαίνεται από

20 20 0,25 1,2 χιλιοστά και εξαρτάται από το μέγεθος του σχεδίου, την κλίμακα σχεδίασης και την πυκνότητα των γραμμών του. Όσο πιο μεγάλο είναι το σχέδιο και όσο πιο λίγες γραμμές έχει, τόσο παχύτερες πρέπει να χαράξουμε τις βασικές γραμμές, για να μην φαίνεται το σχέδιο άτονο και άδειο. β) Συνεχής λεπτή γραμμή: Σχεδιάζουμε τις γραμμές διαστάσεων, βοηθητικές γραμμές διαστάσεων, προεκτάσεις διαστάσεων, παραπομπές, διαγραμμίσεις προκειμένου να δείξουμε ότι πρόκειται για τομή ή να δείξουμε το είδος του υλικού ή το πάχος του. Το πάχος της κυμαίνεται από 0,13 0,40 χιλιοστά ή ίσο προς το 1/4 της εκάστοτε βασικής γραμμής του σχεδίου. γ) Διακεκομμένη γραμμή:χρησιμοποιείται για πραγματικές ακμές του αντικειμένου που δεν είναι ορατές. Οι γραμμές αυτές αποτελούνται από μικρά ευθύγραμμα τμήματα ίσα μεταξύ τους, που έχουν μήκος 5-10 φορές του πάχους της διακεκομμένης και με διάκενα μεταξύ τους. Τα διάκενα είναι και αυτά ίσα μεταξύ τους και έχουν μήκος 2-3 φορές του πάχους της γραμμής. Το πάχος της κυμαίνεται 0,18-0,6χιλιοστά ή ίσο με το 1/2 της εκάστοτε βασικής γραμμής του σχεδίου. Σε μερικές περιπτώσεις που θέλουμε να δείξουμε μια άλλη θέση ενός κινητού στοιχείου, που υπάρχει στο σχέδιο σχεδιασμένο με συνεχή γραμμή, χρησιμοποιούμε διακεκομμένη γραμμή, αλλά με πάχος όσο η συνεχής χοντρή. δ) Αξονική λεπτή γραμμή:σχεδιάζουμε αξονικές γραμμές, άξονες συμμετρίας και κάθετους άξονες σε οπές. Αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα ίσα μεταξύ τους, με μήκος φορές το πάχος τους, που ανάμεσά τους υπάρχουν τελείες ή πολύ μικρά ευθύγραμμα τμήματα, ακριβώς στη μέση των κενών. Τα κενά ανάμεσα στα μεγάλα τμήματα, είναι περίπου ίσα με το 1/5 του μήκους τους. Το πάχος της κυμαίνεται από 0,13 0,35 χιλιοστά ή 1/4 της βασικής. ε) Αξονική παχιά: Χρησιμοποιείται για κατάδειξη επιπέδων τομής και το πάχος της κυμαίνεται από 0,25-0,7 χιλιοστά. στ) Αξονική λεπτή με χοντρά άκρα: Χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των επιπέδων τομής. ζ) Συνεχής λεπτή κυματοειδής: Χρησιμοποιείται για την σχεδίαση θραύσης αντικειμένων και για διαγράμμιση τομών ξύλου. Το πάχος της κυμαίνεται από 0,13 0,40 χιλιοστά ή ίση με το 1/4 της εκάστοτε βασικής. Στο τεχνικό σχέδιο χρησιμοποιούνται τέσσερις ομάδες γραμμών και η κάθε ομάδα περιλαμβάνει έξη είδη γραμμών.

21 21 (πίνακας 4.). Όπως και στα μεγέθη χαρτιού σχεδίασης, έτσι και εδώ η μια ομάδα προκύπτει από την προηγούμενή της με πολλαπλασιασμό επί 2 ή 1,414. Για απλά και μεγάλα αντικείμενα προτιμάται η ομάδα 0,7. Για μικρά αντικείμενα ή αντικείμενα με πολλές λεπτομέρειες προτιμώνται ομάδες μικρότερου πάχους. Σε κάθε σχέδιο χρησιμοποιείται μια ομάδα γραμμών για όλες τις όψεις και τομές. Δεν επιτρέπεται η χρήση πάχους γραμμής που ανήκει σε άλλη ομάδα. Υπάρχει και μια άλλη παλιά σειρά για τα πάχη των γραμμών η οποία εφαρμόζεται ευρέως ακόμη και σήμερα. α) Συνεχής χοντρή γραμμή (1,2 0,8 0,5 0,3 ή 0,2 ) β) Συνεχής λεπτή γραμμή (0,4 0,3 0,2 0,1) γ) Διακεκομμένη γραμμή (0,6 0,4 0,3 0,2) δ) Αξονική λεπτή γραμμή (0,4 0,3 0,2 0,1) ε) Αξονική χοντρή γραμμή (1,2 0,8 0,5 0,3) στ) Γραμμή κυματοειδής με ελεύθερο χέρι ( 0,4 0,3 0,2 0,1) 2.2 Χάραξη γραμμών: Οι γραμμές χαράζονται με τρεις τρόπους. α) Με την βοήθεια οδηγού που μπορεί να είναι κανόνας, ταυ, ή τρίγωνο. β) Με την βοήθεια διαβήτη και γ) Με ελεύθερο χέρι. Οριζόντιες γραμμές: Για να χαράξουμε οριζόντιες γραμμές χρησιμοποιούμε την πάνω πλευρά του ταυ ή του παραλληλογράφου

22 22 και μετακινούμε το μολύβι ή τον ραπιδογράφο από αριστερά προς τα δεξιά κρατώντας τα πάντα στη σωστή θέση. Για να αποκτήσει ο σχεδιαστής την ικανότητα να χαράζει εύκολα και καλής ποιότητας γραμμές, πρέπει να εξασκηθεί πολύ.(σχ. 2.2.α.). Κατακόρυφες γραμμές: Για να χαράξουμε κατακόρυφες γραμμές, χρησιμοποιούμε το ταυ ή τον παραλληλογράφο και ένα τρίγωνο ή με δύο μόνο τρίγωνα. Το μολύβι ή τον ραπιδογράφο τον μετακινούμε από κάτω προς τα πάνω.(σχ. 2.2.β.). Γραμμές με κλίση: Για την χάραξη γραμμών με κλίση χρησιμοποιούμε το ταυ ή τον παραλληλογράφο και τα δύο τρίγωνα, των 45 0 και των Έτσι μπορούμε να χαράξουμε γωνίες 45 0, 60 0, 30 0 και με κάποιους συνδυασμούς των τριγώνων να χαράξουμε γωνίες 15 0, Αυτές οι γωνίες είναι οι πιο συνηθέστερες στα τεχνικά σχέδια.(σχ.2.2γ).

23 23 Παράλληλες γραμμές:για να χαράξουμε παράλληλες γραμμές χρησιμοποιούμε το ταυ ή τον παραλληλογράφο ή τα δύο τρίγωνα. (σχ.2.2δ.). Γενικά Όταν σχεδιάζουμε με μελάνη, για να μην μουντζουρώσουμε το σχέδιο, πρέπει το τρίγωνο ή το ταυ να μην ακουμπάει τελείως στο χαρτί σχεδίασης. Για να το επιτύχουμε αυτό ή χρησιμοποιούμε τρίγωνο με πατούρα, οπότε ο ραπιδογράφος είναι κάθετος προς το χαρτί, ή χρησιμοποιούμε έναν οποιονδήποτε οδηγό, για την χάραξη της γραμμής και κρατάμε τον ραπιδογράφο όχι κάθετα προς το χαρτί, αλλά με κάποια κλίση, ώστε η μύτη του να μην έρχεται σε επαφή με το τρίγωνο ή τον οδηγό.(σχ.2.2δ 1 ).(σχ.2.2δ2).

24 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ 3. Τεχνική σχεδίασης γραμμάτων και αριθμών 3.1. Είδη γραμμάτων και αριθμών - τρόποι χάραξης: Δεν υπάρχει τεχνικό σχέδιο που να μην έχει γράμματα ή αριθμούς, διότι θα χρειασθεί να γράψουμε κάποιες τεχνικές λεπτομέρειες που δεν μπορούμε να τις εκφράσουμε σχεδιαστικά, επίσης να γράψουμε τις διαστάσεις του αντικειμένου που σχεδιάζουμε, οπότε θα χρησιμοποιήσουμε αριθμούς. Έχουμε δύο διαφορετικούς τύπους γραμμάτων και αριθμών. Την όρθια γραφή κεφαλαίων και πεζών (μικρών) γραμμάτων και των αριθμών. (σχ.3.1β). Την πλάγια γραφή ( δηλαδή με κλίση 75 0 από τον οριζόντιο άξονα ή 15 0 από τον κατακόρυφο άξονα.). (σχ.3.1α). Προτιμάται η γραφή κεφαλαίων γραμμάτων για ευκολία. Οι τρόποι σχεδίασης γραμμάτων και αριθμών είναι:

25 25 α) Με ελεύθερο χέρι ή με την χρήση ελάχιστων εργαλείων. β) Με χρήση κάποιων εργαλείων, οπότε γίνεται ακριβή προσχεδίαση και στην συνέχεια μελάνωμα με πολύ προσοχή. γ) Χρησιμοποιώντας οδηγούς (στένσιλ), ή ειδικές συσκευές που διευκολύνουν τον σχεδιαστή. δ) Με επικόλληση Με ελεύθερο χέρι: Για την χάραξη κεφαλαίων γραμμάτων, αρκεί να χαράξουμε δύο παράλληλες γραμμές μεταξύ τους και σε απόσταση η μία από την άλλη, όσο θέλουμε να είναι το ύψος των γραμμάτων. Έστω ότι θέλουμε να χαράξουμε κεφαλαία γράμματα ύψους h=10 χιλιοστά. Χαράζουμε δύο παράλληλες γραμμές σε απόσταση 10 χιλιοστά η μία από την άλλη και εκεί μέσα σχεδιάζουμε τα γράμματα που θέλουμε. Το πάχος της γραμμής του κάθε γράμματος, πρέπει να είναι βάσει τυποποίησης ίσο με το 1/10 του ύψους του. Δηλαδή στην προκειμένη περίπτωση 1 χιλιοστό, και εάν θέλαμε να τα μελανώσουμε θα χρησιμοποιούσαμε ραπιδογράφο πάχους 1,0 χιλ. δηλαδή (Ν ο 1). (σχ.3.2). Αν θέλαμε να χαράξουμε γράμματα πλάγιας γραφής θα κάναμε το ίδιο και επί πλέον, για να επιτύχουμε την κλίση των 75 0, θα δημιουργούσαμε αχνές βοηθητικές γραμμές με κλίση 75 0 και εκεί μέσα θα χαράξουμε κεφαλαία και πεζά, καθώς και αριθμούς. (σχ.3.2α).

26 26 Τα πεζά (μικρά) γράμματα χαράζονται πιο δύσκολα, γιατί αποτελούνται από το κυρίως σώμα, το ανερχόμενο μέρος και το κατερχόμενο μέρος.(σχ.3.2β). Η τεχνική για την χάραξη πεζών γραμμάτων είναι η εξής: Έστω ότι θέλουμε γράμματα ύψους h=10 χιλιοστά. - Χαράζουμε δύο παράλληλες γραμμές σε απόσταση 3/10 του ύψους δηλ. 3 χιλ. - Στη συνέχει χαράζουμε μία τρίτη παράλληλη σε απόσταση από την δεύτερη 7/10 του ύψους, δηλ. 7 χιλ. - Τέλος μία τέταρτη παράλληλη και σε απόσταση από την τρίτη 3/10 του ύψους, δηλ. 3 χιλ. Έτσι μπορούμε να χαράξουμε, με την βοήθεια αυτών των γραμμών, γράμματα πεζά αλλά και κεφαλαία, καθώς και αριθμούς.(σχ.3.2γ). Στην περίπτωση που έχουμε να χαράξουμε γράμματα πεζά πλάγιας γραφής, χαράζουμε πλάγιες βοηθητικές γραμμές με κλίση 75 0, ώστε να μας βοηθήσουν να χαράξουμε τα γράμματα με την ίδια κλίση. Οι αριθμοί χαράζονται όπως και τα κεφαλαία γράμματα. Τι πρέπει να γνωρίζουμε ακόμη: Το πάχος γραμμής του γράμματος να είναι 1/10 του ύψους. Απόσταση μεταξύ των γραμμάτων 2/10 του ύψους. Απόσταση ανάμεσα στις λέξεις 6/10 του ύψους. Απόσταση ανάμεσα στις προτάσεις 20/10 του ύψους. Απόσταση μεταξύ των σειρών 16/10 του ύψους και εάν η γραφή περιλαμβάνει μόνο κεφαλαία 14/10 του ύψους. Όλα τα παραπάνω είναι τυποποιημένα σύμφωνα με τους οργανισμούς τυποποίησης (DIN 6776 & ISO 3098).

27 Γραφή με οδηγό: Υπάρχουν στην αγορά ειδικά όργανα, από πλαστική ύλη (στένσιλ), τα οποία έχουν σχισμές στο σχήμα των γραμμάτων και αριθμών, καθώς και άλλων συμβόλων, και χρησιμοποιούνται σαν οδηγοί όταν θέλουμε να γράψουμε κάποιες λεπτομέρειες στο σχέδιο. Κατά το μελάνωμα, πρέπει ο ραπιδογράφος που θα χρησιμοποιηθεί, να έχει το ίδιο πάχος με το πάχος των γραμμάτων, ώστε να χωράει στις σχισμές. Π.Χ. για ένα στένσιλ Ν 0 5, χρησιμοποιείται ραπιδογράφος πάχους 0,5 χιλ. ή Ν Γραφή με επικόλληση: Ένας καινούργιος τρόπος γραφής γραμμάτων, αριθμών και διαφόρων άλλων συμβόλων είναι η επικόλληση στο σχέδιο έτοιμων αυτοκόλλητων γραμμάτων, αριθμών, συμβόλων. Τα γράμματα αυτά που βρίσκονται σε πλούσια ποικιλία είναι προσωρινά κολλημένα σε διαφανή φύλλα. Για να επικολλήσουμε στο σχέδιο, παίρνουμε ολόκληρο το φύλλο και το τοποθετούμε με τέτοιο τρόπο, ώστε το γράμμα που μας ενδιαφέρει να βρίσκεται στην επιθυμητή θέση. Με μία ειδική σπάτουλα ή με το πίσω μέρος του μολυβιού, πιέζουμε το γράμμα, ώσπου να κολλήσει στο σχέδιο. Στην συνέχεια παίρνουμε το φύλλο με προσοχή και επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία για το επόμενο γράμμα. Η μέθοδος αυτή είναι και κουραστική αλλά και δαπανηρή.(σχ.3.4.)

28 28 4. Κλίμακα σχεδίασης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙV 4.1. Γενικά: Τα αντικείμενα που παριστάνουν τα τεχνικά σχέδια, είναι διαφόρων ειδών και διαστάσεων. Μπορεί π.χ. να είναι ολόκληρες πόλεις ή έργα που εκτείνονται σε μεγάλες αποστάσεις όπως δρόμοι, μεγάλα αρδευτικά δίκτυα, γραμμές μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, μεγάλα κτίρια, πλοία, έπιπλα, μηχανές, αλλά και μικρότερα εξαρτήματα, όπως μικρές βίδες, χειρολαβές, πόμολα, διακόπτες κ.λ.π. Όπως βλέπουμε έχουμε να σχεδιάσουμε πάρα πολύ μεγάλα έργα έως πάρα πολύ μικρά. Θα ήταν καλό να σχεδιάζαμε το κάθε αντικείμενο με το πραγματικό του μέγεθος, δηλαδή τα σχεδιαστικά μήκη (μήκη γραμμών στο σχέδιο) να είναι τα ίδια με τα πραγματικά μήκη (μήκη που μετρούμε στα αντικείμενα). Αυτό όμως είναι αδύνατον. Έτσι αναγκαζόμαστε να σχεδιάζουμε τα αντικείμενα είτε μικρότερα, είτε μεγαλύτερα από ότι είναι στην πραγματικότητα. Για να έχουμε σχέδιο με σωστές αναλογίες, είτε σε φυσικό μέγεθος, είτε σε σμίκρυνση, είτε σε μεγέθυνση, φροντίζουμε να υπάρχει, μία σταθερή σχέση των σχεδιαστικών μηκών προς τα πραγματικά μήκη. Η σχέση αυτή ονομάζεται κλίμακα του σχεδίου. Σχεδιαστικό μήκος ΚΛΙΜΑΚΑ = Πραγματικό μήκος 4.2. Είδη κλιμάκων: Η κλίμακα σχεδίασης παριστάνεται με ένα κλάσμα, ( την γραμμή κλάσματος την αντικαθιστά το σύμβολο της διαίρεσης). Διακρίνουμε τρεις κατηγορίες κλιμάκων: Α) Πραγματική κλίμακα: Το αντικείμενο σχεδιάζεται σε φυσικό μέγεθος, δηλαδή όπως είναι στην πραγματικότητα.

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα 4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1ο Γνωριμία με το σχέδιο

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1ο Γνωριμία με το σχέδιο Περιεχόμενα Πρόλογος Περιεχόμενα Εισαγωγή Κεφάλαιο 1ο Γνωριμία με το σχέδιο 1.1 Ορισμός σχεδίου 1.2 Ελεύθερη σχεδίαση 1.2.1 Γνωριμία με το ελεύθερο σχέδιο 1.2.2 Ιστορική αναδρομή ελεύθερης σχεδίασης 1.2.3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα)

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 20 1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 1.3.1 Ορισµός- Είδη - Χρήση Σκαρίφηµα καλείται η εικόνα ενός αντικειµένου ή εξαρτήµατος που µεταφέρεται σε χαρτί µε ελεύθερο χέρι (χωρίς όργανα σχεδίασης ή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ. Αναγκαιότητα τοποθέτησης διαστάσεων. 29/10/2015 Πολύζος Θωμάς

ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ. Αναγκαιότητα τοποθέτησης διαστάσεων. 29/10/2015 Πολύζος Θωμάς Αναγκαιότητα τοποθέτησης διαστάσεων 29/10/2015 Πολύζος Θωμάς 1 Αναγκαιότητα τοποθέτησης διαστάσεων Σφάλμα μέτρησης που οφείλεται: Σε υποκειμενικό λάθος εκείνου που κάνει την μέτρηση. Σε σφάλμα του οργάνου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Λεμονιά Αμυγδάλου, Ε.Τ.Ε.Π. ΤΜΟΔ (Ειδικό Τεχνικό Εργαστηριακό Προσωπικό) email αποστολής εργασιών: idaegean@gmail.com ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή στην Τεχνική Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II 1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο) ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ - Παράρτημα Καρδίτσας ΤΜΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΞΥΛΟΥ ΕΠΙΠΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ ΙΙ (Μέρος πρώτο) - ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ ΚΟΛΛΑΤΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Γ. Καριώτου ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Μηχανολογικό Σχέδιο

Εισαγωγή. Μηχανολογικό Σχέδιο Εισαγωγή Σχέδιο: Γραφική παράσταση αντικειμένου. Η φωτογραφία είναι ανεπαρκής γιατί αποτελεί την προοπτική αναπαράσταση των αντικειμένων, δηλαδή δεν έχει πραγματικές διαστάσεις και γιατί δεν αποκαλύπτει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 1: Σχέδια από την οικοδομική άδεια ενός κτηνοτροφικού κτηρίου

Εργαστήριο 1: Σχέδια από την οικοδομική άδεια ενός κτηνοτροφικού κτηρίου Εργαστήριο 1: Σχέδια από την οικοδομική άδεια ενός κτηνοτροφικού κτηρίου Περιεχόμενα 1. Στόχος του εργαστηρίου... 3 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ... 3 2.1 Εξοπλισμός σχεδίασης... 3 2.1.1 Μολύβια... 3 2.1.2. Επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΤΟΜΕΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΤΟΜΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΤΟΜΕΣ Διαστασιολόγηση Μια από τις σημαντικότερες εργασίες του σχεδιαστή, αλλά και η πιο δύσκολη και υπεύθυνη, είναι η σωστή τοποθέτηση διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Μαθηματικά Ε Τεύχος 3οο ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝΙΔΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΑΚΡΙΒΟΠΟΥΛΟΥΥ ΓΕΩΡΓΙΑ Μαθηματικά Ε Μαθηματικά Ε Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Μάθημα 34 ο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου.

Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου. Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου. Μέρος Α Θεωρία. 1. Ποια γωνία λέγετε εγγεγραμμένη σε κύκλο; 2. Ποιο είναι το αντίστοιχο τόξο εγγεγραμμένης γωνίας; 3. Με τι είναι ίση κάθε εγγεγραμμένη γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

ιαστασιολόγηση Περιεχόμενα Ορισμός Μηχανολογικός Σχεδιασμός Εισαγωγή Στοιχεία διαστασιολόγησης ιαστασιολόγηση χαρακτηριστικών αντικειμένων

ιαστασιολόγηση Περιεχόμενα Ορισμός Μηχανολογικός Σχεδιασμός Εισαγωγή Στοιχεία διαστασιολόγησης ιαστασιολόγηση χαρακτηριστικών αντικειμένων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Περιεχόμενα Εισαγωγή ιαστασιολόγηση η Στοιχεία διαστασιολόγησης ιαστασιολόγηση χαρακτηριστικών αντικειμένων Πρακτική διαστασιολόγησης Μηχανολογικός

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) (ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Εξάμηνο. αποτύπωση. Εισαγωγικές έννοιες στην και τεκμηρίωση αντικειμένων. Αποτυπώσεις Τεκμηρίωση Αντικειμένων

1 ο Εξάμηνο. αποτύπωση. Εισαγωγικές έννοιες στην και τεκμηρίωση αντικειμένων. Αποτυπώσεις Τεκμηρίωση Αντικειμένων 1 ο Εξάμηνο 2015-2016 Εισαγωγικές έννοιες στην αποτύπωση και τεκμηρίωση αντικειμένων Αποτυπώσεις Τεκμηρίωση Αντικειμένων Μάθημα 1ο Τζώρτζια Πλατυπόδη Αρχιτέκτων Μηχανικός Ε.Μ.Π. MSc Διαχείριση Μνημείων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 2.1α. Πτυσσόμενη και περιελισσόμενη μετρητική ταινία

Σχήμα 2.1α. Πτυσσόμενη και περιελισσόμενη μετρητική ταινία 2. ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΑΡΑΞΗΣ 2.1 Μετρητικές ταινίες Οι μετρητικές ταινίες, πτυσσόμενες (αρθρωτές) ή περιελισσόμενες σε θήκη, είναι κατασκευασμένες από χάλυβα ή άλλο ελαφρύ κράμα και έχουν χαραγμένες υποδιαιρέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ http://www.ikastiko.gr/ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΔΙΩΡΟΦΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ»

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα