ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών ΤΙΤΛΟΣ ΥΠΟΕΡΓΟΥ: ΦΟΡΕΑΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ: ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΕΡΓΟΥ: Αναμόρφωση και προσαρμογή του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών του Τμήματος Σχεδιασμού και Τεχνολογίας Ξύλου και Επίπλου του Τ.Ε.Ι. Λάρισας στις νέες απαιτήσεις Τ.Ε.Ι. Λάρισας Δρ. Βύρων Τάντος Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κολλάτος Γεώργιος Καθηγητής εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2004

2 2 Γεώργιος Κολλάτος Καθηγητής εφαρμογών Καρδίτσα Νοέμβριος 2003 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Στην καθημερινή του ζωή ο άνθρωπος, χρησιμοποιεί τον προφορικό και τον γραπτό λόγο σαν μέσο επικοινωνίας με τους ανθρώπους. Οι τεχνικοί έχουν τον δικό τους τρόπο επικοινωνίας μεταξύ τους, το σχέδιο. Από τους τεχνικούς άλλοι μελετούν τα τεχνικά έργα και άλλοι τα κατασκευάζουν. Για να μπορέσουν λοιπόν να συνεννοηθούν ο μελετητής ενός έργου με τον κατασκευαστή χρησιμοποιούν το σχέδιο. Σχέδιο είναι η παρουσίαση των ιδεών του μελετητή με την βοήθεια γραφικής παράστασης, που μας δίνει με σαφήνεια και με κάθε

3 3 λεπτομέρεια κατά τρόπο παραστατικό την μορφή ενός αντικειμένου, χωρίς να χρειάζεται οποιαδήποτε άλλη πρόσθετη τεχνική περιγραφή. Το τεχνικό σχέδιο διέπετε από διάφορους κανόνες που θα δούμε στη συνέχεια. Εκτός ορισμένων εξαιρέσεων οι κανόνες αυτοί είναι ίδιοι σε όλα τα κράτη και έτσι μπορεί να χαρακτηριστεί το σχέδιο σαν διεθνής τεχνική γλώσσα. Τα τελευταία χρόνια έγινε επανάσταση στην τεχνολογία με την εφαρμογή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η επανάσταση αυτή όπως ήταν φυσικό επηρέασε και το τεχνικό σχέδιο. Μπορούμε σήμερα με την βοήθεια των ηλεκτρονικών υπολογιστών, πατώντας κάποια πλήκτρα να δίνουμε εντολές και να σχεδιάζουμε αυτόματα στο χαρτί, αφού δώσουμε την κατάλληλη εντολή. Παρ ολα αυτά ένα μεγάλο μέρος των γνώσεων που προσφέρει αυτό το μάθημα θα είναι απαραίτητες, γιατί σχέδια θα υπάρχουν πάντα, η σύνθεσή τους θα ακολουθεί τους ίδιους κανόνες και οι τεχνικοί πρέπει και τότε να τα χρησιμοποιούν και να είναι ικανοί να τα διαβάζουν. Σκοπός του μαθήματος του τεχνικού σχεδίου είναι να αποκτήσει ο σπουδαστής βασικές γνώσεις και δεξιότητες σχεδίασης ώστε να μπορέσει να παρακολουθήσει στα επόμενα εξάμηνα το εξειδικευμένο τεχνικό κατασκευαστικό σχέδιο επίπλων και ξυλοκατασκευών. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι 1. Όργανα και υλικά σχεδίασης : Για να σχεδιάσουμε ένα αντικείμενο πρέπει να έχουμε στη διάθεσή μας ορισμένα όργανα και υλικά σχεδίασης. Αυτά είναι: Πινακίδα σχεδίασης διαστάσεων 500Χ700 χιλιοστά. Ταυ ή παραλληλογράφο. Ορθογώνιο τρίγωνο ,μήκος υποτείνουσας 257χιλ. Ορθογώνιο τρίγωνο , μήκος υποτείνουσας 347χιλ. Κανόνας μήκους περίπου 30 χιλ. με διαιρέσεις εκατ. & χιλ. Μοιρογνωμόνιο.

4 4 Καμπυλόγραμμα. Σβηστήρα. Διαβήτες ( ένας μικρός, ένας μεγάλος) με δακτυλίδι. Οδηγός χάραξης γραμμάτων και αριθμών (στένσιλ), Ν ο 5. Μολύβια σκληρότητας B,HB,& F ή μηχανικό μολύβι. Σινική μελάνη Ραπιδογράφος με πενάκια 0,8 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 χιλ. ή 0,7-0,5-0,35-0,18 χιλ. Χαρτί σχεδίασης. 1.1 Πινακίδα σχεδίασης - Σχεδιαστήριο: Η πινακίδα σχεδίασης έχει σχήμα ορθογωνίου με διαστάσεις 500 Χ 700 χιλ.. Οι πινακίδες που χρησιμοποιούνταν παλιά κατασκευάζονταν από μαλακό ξύλο, συνήθως λεύκα ή φλαμουριά, το οποίο έπρεπε να είναι χωρίς ρόζους και λείο, και εκεί πάνω στηριζόταν το χαρτί σχεδίασης με πινέζες. Στις δύο μικρές πλευρές της έφερε ενισχυτικές πήχες επειδή εκεί πάνω στηριζόταν το Ταυ. Σήμερα υπάρχουν τέτοιες πινακίδες αλλά η επιφάνειά τους είναι λεία συνήθως από φορμάικα ή τεχνητή ξυλεία επενδεδυμένη με μελαμίνη (σχ. 1.1). Σήμερα εκτός από τις ανωτέρω πινακίδες χρησιμοποιούνται ειδικά έπιπλα, επάνω στα οποία σχεδιάζεται ένα σχέδιο τα οποία λέγονται σχεδιαστήρια. Αποτελούνται από μια ορθογώνια πινακίδα, η οποία στηρίζεται επάνω σε ένα ικρίωμα που μπορεί να πάρει την κατάλληλη κλίση κάθε φορά έτσι ώστε να διευκολύνει τον σχεδιαστή. Στο κάτω μέρος της πινακίδας υπάρχει κατάλληλη θήκη ώστε να στηρίζονται τα όργανα σχεδίασης. Το χαρτί σχεδίασης στηρίζεται επάνω στο σχεδιαστήριο με συγκολλητική ταινία (σελοτέϊπ), γιαυτό πρέπει η επιφάνεια του, να είναι λεία και σκληρή.

5 Ταυ - παραλληλογράφος : Κατασκευάζεται από σκληρό ξύλο ή πλαστική ύλη και αποτελείται από δύο μέρη: Το στέλεχος, που είναι λεπτό και πρέπει να έχει μήκος λίγο μεγαλύτερο από το μήκος της πινακίδας, και την κεφαλή, που έχει μεγαλύτερο πάχος και είναι στερεά ενωμένη με το στέλεχος και σχηματίζει με αυτό ορθή γωνία. Υπάρχουν ταυ που η κεφαλή τους αποτελείται από δύο ξύλινες πλάκες, η μία τοποθετημένη πάνω στην άλλη και στερεωμένες με τον ίδιο τρόπο. Η μία από τις δύο πλάκες μπορεί να περιστρέφεται γύρω από έναν κοχλία που συνδέει την μία με την άλλη, και έτσι μας διευκολύνει να δίνουμε κλίση στο ταυ, επάνω στην πινακίδα και με αυτό τον τρόπο χαράζουμε γραμμές με κλίση (σχ. 1.2). Το ταυ χρησιμοποιείται για να χαράζουμε ευθείες γραμμές και γραμμές με κλίση. Το ταυ μαζί με τα τρίγωνα μας βοηθάει να χαράξουμε πολλές γραμμές παράλληλες μεταξύ τους ή γραμμές με ορισμένη κλίση. Παραλληλογράφος: Ο παραλληλογράφος είναι μια νεώτερη μορφή του ταυ. Αποτελείται από ένα πλαστικό κανόνα, με μήκος όσο σχεδόν η πινακίδα, και κινείται πάντα παράλληλα προς τον εαυτόν του με την βοήθεια δύο σπάγκων, που είναι στερεωμένοι

6 6 στην δεξιά και αριστερή πλευρά της πινακίδας σχεδίασης, και τεσσάρων μικρών τροχαλιών που βρίσκονται επάνω στον κανόνα (σχ. 1.2α) Τρίγωνα: Συνήθως στη σχεδίαση χρησιμοποιούμε τα παρακάτω είδη τριγώνων σε διάφορα μεγέθη. Το ορθογώνιο τρίγωνο των 45 ο : Είναι από πλαστική ύλη και έχει την κάθε μια από τις δύο οξείες γωνίες του ίση με 45 ο. Το τρίγωνο αυτό λέγεται και ορθογώνιο ισοσκελές. Υπάρχει σε διάφορα μεγέθη και μπορεί να έχει διαιρέσεις σε cm & mm. Το ορθογώνιο τρίγωνο των 60 ο 90 ο 30 ο είναι και αυτό από πλαστική ύλη και υπάρχει στο εμπόριο σε διάφορα μεγέθη και μπορεί να έχει διαιρέσεις σε cm ή mm. (σχ. 1.3 ). Τα τρίγωνα χρησιμοποιούνται είτε μόνα τους είτε μαζί με το ταυ για να χαράζουμε ευθείες παράλληλες και κάθετες ή ευθείες που σχηματίζουν ορισμένη γωνία με κάποια άλλη ευθεία. Τα τρίγωνα με διαιρέσεις τα χρησιμοποιούμε για μέτρηση μηκών.

7 Κανόνας: Είναι από πλαστική ύλη και μπορεί να έχει διαιρέσεις cm ή mm. Κυκλοφορούν στο εμπόριο σε διάφορα μεγέθη. Οι κανόνες με διαιρέσεις μας χρησιμεύουν για να μετρούμε ή να μεταφέρουμε μήκη πάνω στο σχέδιο. Πρέπει να αποφεύγουμε να χαράζουμε γραμμές με βαθμονομημένους κανόνες, γιατί έτσι καταστρέφουμε την βαθμονόμησή τους. (σχ.1.4) Μοιρογνωμόνιο: Είναι ένα ημικύκλιο από πλαστική ύλη, διαφανές, το οποίο φέρει στην ημιπεριφέρειά του δύο διαιρέσεις σε μοίρες από 0 ο 180 ο. Η κάθε μία από τις διαιρέσεις αυτές αρχίζει από το ένα άκρο της ημιπεριφέρειάς της και τελειώνει στο άλλο άκρο.( σχ.1.5).

8 8 Το μοιρογνωμόνιο το χρησιμοποιούμε για να μετρούμε και να χαράζουμε γωνίες Καμπυλόγραμμα: Είναι από πλαστική ύλη ή ξύλινα. Χρησιμοποιούνται στη χάραξη καμπύλων γραμμών, που δεν είναι ούτε κύκλοι ούτε τόξα κύκλων. Για σχέδια επίπλων ο σχεδιαστής χρειάζεται να έχει στη διάθεσή του τουλάχιστον 4-5 καμπυλόγραμμα, τα οποία πρέπει να έχουν ειδικές καμπύλες.(σχ.1.6) Σβηστήρα. Η σβηστήρα πρέπει να είναι καλής ποιότητας ώστε να μην αφήνει ίχνη επάνω στο χαρτί σχεδίασης, επίσης πρέπει να είναι ανάλογης σκληρότητας με το μολύβι που χρησιμοποιούμε κατά την σχεδίαση. Υπάρχουν σβηστήρες ειδικές στο να σβήνουν μελάνη Διαβήτες: Διαβήτης είναι το όργανο εκείνο που έχει δύο σκέλη, και στο επάνω τους μέρος συνδέονται με μια άρθρωση που τα σταθεροποιεί σε μια θέση και έτσι τα άκρα των σκελών να διατηρούν μια

9 9 σταθερή σχέση. Η σταθεροποίηση των σκελών επιτυγχάνεται συνήθως με την τριβή. Για μεγαλύτερη ακρίβεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διαβήτη που ανάμεσα στα σκέλη του έχει κοχλία και έτσι μπορούμε να αυξομειώσουμε το άνοιγμα των σκελών με την βοήθεια του κοχλία. Στο ένα σκέλος υπάρχει ακίδα και στο άλλο μια μύτη μολυβιού. Μπορούμε ακόμη να αφαιρέσουμε την μύτη του μολυβιού και στη θέση της να τοποθετήσουμε ένα ειδικό εξάρτημα (δακτυλίδι) και εκεί να προσαρμόσουμε τον ραπιδογράφο. Έτσι μπορούμε να χαράζουμε γραμμές με μολύβι ή με μελάνη. Υπάρχουν διαβήτες διαφόρων ειδών και μεγεθών. Για τις ανάγκες μας θα χρησιμοποιήσουμε ένα διαβήτη μικρό (πόμπα) και έναν πιο μεγάλο για να μπορούμε να χαράζουμε κύκλους με ακτίνα έως 100 χιλ. περίπου.(σχ.1.8.) Οδηγοί γραφής γραμμάτων και αριθμών (στένσιλ): Οι οδηγοί είναι από πλαστικό υλικό και επάνω τους είναι χαραγμένοι διάφοροι τύποι γραμμάτων και αριθμών τόσο σε όρθια γραφή όσο και σε πλάγια γραφή. Η χάραξη των γραμμάτων και αριθμών με την χρησιμοποίηση των οδηγών γίνεται, με μολύβι ή με ραπιδιγράφο κατάλληλου πάχους. Είναι διαφόρων μεγεθών ανάλογα με το ύψος των γραμμάτων και των αριθμών.(σχ.1.9).

10 Μολύβια: Το πιο απαραίτητο και το πιο πολύ χρησιμοποιούμενο όργανο σε μια σχεδίαση είναι το μολύβι. Η εκλογή του κατάλληλου μολυβιού εξαρτάται από τον σκοπό που πρόκειται να εξυπηρετήσει από την ποιότητα του χαρτιού σχεδίασης και από το εάν το σχέδιο θα μελανωθεί ή όχι. Υπάρχουν δύο κατηγορίες μολυβιών ανάλογα με την σκληρότητά τους, που χαρακτηρίζονται με τα λατινικά γράμματα Η και Β και με ένα αριθμό μπροστά (1,2,3,4,5,6). Έτσι το πιο μαλακό μολύβι της κατηγορίας Β είναι το 6Β και το πιο σκληρό της κατηγορίας Η είναι το 6Η. Οι κατηγορίες αυτές είναι διεθνώς αποδεκτές γιατί περιγράφουν λεπτομερέστερα την σκληρότητα των μολυβιών. Ένα μολύβι μαλακό (2Β,3Β κ.λ.π.) είναι κατάλληλο για ελεύθερο σχέδιο, ενώ μολύβια που χαρακτηρίζονται από τα γράμματα (Β, ΗΒ), είναι κατάλληλα για σχέδια που δεν θα μελανωθούν. Εάν κάποιο σχέδιο θέλει ακρίβεια γραμμών τότε χρησιμοποιούμε πιο σκληρό μολύβι π.χ.( F, H, 2H, κ.λ.π.) γιατί όσο πιο σκληρό είναι ένα μολύβι τόσο πιο λεπτή μύτη μπορεί να αποκτήσει και έτσι έχουμε σχέδια με περισσότερη ακρίβεια. Για σχέδια που θα μελανωθούν χρησιμοποιούμε μολύβια μέσης σκληρότητας (Η, F) και δεν πρέπει να τα πιέζουμε πολύ κατά την σχεδίαση για να μην χαράζεται το χαρτί. Υπάρχουν και μολύβια κατώτερης ποιότητας που χαρακτηρίζονται από τους αριθμούς 1,2,3,4,5 και αντιστοιχούν στις προηγούμενες κατηγορίες ως εξής : Το 1 με το 3Β, το 2 με το Β, το 3 με το F, το 4 με το Η και το 5 με το 3Β.(Πίνακας 1.). Είναι πολύ σημαντικό όταν σχεδιάζουμε το μολύβι μας να είναι καλά ξυσμένο, διότι από αυτό εξαρτάται κατά μεγάλο μέρος η ποιότητα του σχεδίου. Τα μολύβια είναι ξύλινα και ξύνονται με ξύστρες. Μηχανικά μολύβια: Τα μηχανικά μολύβια που αποτελούνται από ένα στέλεχος που δέχεται στο εσωτερικό του μύτες από γραφίτη,

11 11 πάχους (0,2-0,3-0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0) χιλ. είναι πιο πρακτικά και ιδανικά για το τεχνικό σχέδιο γιατί παρουσιάζουν σημαντικά πλεονεκτήματα. α. Δίνουν σταθερή ποιότητα γραμμής. β Οι μύτες τους έχουν διάφορους βαθμούς σκληρότητας όπως οι παραπάνω κατηγορίες. γ. Οι μύτες τους μπορούν να αντικατασταθούν εύκολα. δ.έχουν καλλίτερο πιάσιμο λόγω της κατασκευής και του βάρους τους. ε. Τα πάχη ( 0,2 1,0)χιλ. δεν χρειάζονται ξύσιμο. Στο εμπόριο κυκλοφορούν επίσης μηχανικά μολύβια που χρησιμοποιούνται στη σχεδίαση και δέχονται χοντρές μύτες πάχους 1,2-2,0 χιλ. Αυτές οι μύτες θέλουν συχνό ξύσιμο όπως και τα κοινά μολύβια. Το ξύσιμο γίνεται με ειδικές ξύστρες ή με σμυριδόχαρτο Μελάνη: Για τα σχέδια χρησιμοποιείται μαύρη μελάνη που είναι γνωστή στο εμπόριο ως σινική μελάνη ( μελάνη της Κίνας).

12 12 Κυκλοφορεί σε γυάλινα ή πλαστικά μπουκαλάκια ή και σε έτοιμες αμπούλες που προσαρμόζονται στους ραπιδογράφους. Έχει την ιδιότητα να στεγνώνει γρήγορα και έτσι αποφεύγονται οι μουντζούρες στο σχέδιο. Ακόμη και σε περίπτωση λάθους σβήνεται εύκολα με ειδική σβηστήρα ή ξυραφάκι ξύνοντας ελαφρά το σημείο που έγινε το λάθος Ραπιδογράφος: Το πρώτο όργανο που χρησιμοποιήθηκε για το μελάνωμα του σχεδίου ήταν ο γραμμοσύρτης.(σχ.1.12 ). Αυτός στη συνέχεια αντικαταστάθηκε από τον γράφο.(σχ.1.12α ). Δεν χρησιμοποιούνται πλέον αυτά και έχουν αντικατασταθεί από τον ραπιδογράφο. Ο ραπιδογράφος είναι το πιο σύγχρονο όργανο σχεδίασης που καταλήγει σε ένα σωλήνα με μια τρίχα εσωτερικά, από όπου κατεβαίνει η μελάνη. Ο ραπιδογράφος αποτελείται από τα εξής

13 13 μέρη: Το κάλυμμα (1), το στέλεχος (2), τη μύτη (3), και την αποθήκη μελάνης (4). Η μύτη (3) καταλήγει σε μεταλλικό σωλήνα, η διάμετρος του οποίου δίνει και το πάχος της γραμμής. Μέσα στη μύτη είναι τοποθετημένο το εξάρτημα (3α) και κρατά το σωληνάκι πάντα ανοιχτό και έτσι κατεβαίνει η μελάνη.(σχ. 1.12β). Για κάθε πάχος γραμμής χρειάζεται και διαφορετική μύτη. Με τον ραπιδογράφο μπορούμε να γράψουμε γραμμές, αριθμούς, ή γράμματα. Ακόμη μπορούμε να τον προσαρμόσουμε με ειδικό εξάρτημα στο διαβήτη και να γράψουμε περιφέρειες. (σχ.1. 12γ). Ο ραπιδογράφος είναι ένα λεπτό όργανο που χρειάζεται πάρα πολύ προσοχή στη χρήση και πολύ καλή συντήρηση. Για καλλίτερη προφύλαξη πρέπει να τοποθετείται μέσα στις ειδικές θήκες μετά την χρήση του. Για να έχουμε ομοιόμορφο πάχος γραμμής, πρέπει ο ραπιδιγράφος να είναι σχεδόν κάθετος στο χαρτί σχεδίασης. Όταν χαράζουμε περιφέρειες, πρέπει τα σκέλη του διαβήτη να σπάζουν κατά τέτοιο τρόπο ώστε ο ραπιδογράφος να είναι κάθετος στο επίπεδο σχεδίασης Χαρτί σχεδίασης: Η επιλογή του χαρτιού σχεδίασης στα τεχνικά σχέδια εξαρτάται από τις αξιώσεις για ακρίβεια, και τον τρόπο αναπαραγωγής και διαφύλαξης του σχεδίου. Οι γενικές απαιτήσεις

14 14 είναι, μηχανική ανθεκτικότητα, καταλληλότητα για σινική μελάνη και αντίσταση στα σβησίματα. Γενικά το χαρτί σχεδίασης χωρίζεται σε διαφανές και αδιαφανές. Το αδιαφανές μπορεί να έχει επιφάνεια λεία ή τραχιά, ενώ το διαφανές να έχει γυαλιστερή ή ματ επιφάνεια. Η ποιότητα του χαρτιού σχεδίασης χαρακτηρίζεται από το βάρος του ανά Μ 2. Για τα διαφανή χαρτιά πρέπει να είναι τουλάχιστον gr./m 2, ενώ για τα αδιαφανή gr./m 2. Το αδιαφανές λευκό χαρτί είναι το πιο συνηθισμένο χαρτί σχεδίασης. Δέχεται εύκολα γραμμές από μολύβι και επιτρέπει συχνό σβήσιμο με γομολάστιχα χωρίς να αφήνει ίχνη. Επίσης το γυαλιστερό μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για σχέδια που θα μελανωθούν. Κυκλοφορεί στο εμπόριο σε μεμονωμένα φύλα ή μπλοκ. Το διαφανές χαρτί χρησιμοποιείται κυρίως για αντιγραφή και για σχέδια που θα μελανωθούν. Έχει την ιδιότητα να μην απορροφά μελάνη, επιτρέποντας έτσι σβησίματα και διορθώσεις. Το καλής ποιότητας διαφανές χαρτί έχει λεία επιφάνεια. Κυκλοφορεί στο εμπόριο σε ρολά, μπλοκ ή μεμονωμένα φύλα. (σχ.1.13). Στο εμπόριο επίσης βρίσκουμε μεγάλη ποικιλία χαρτιών με τυπωμένα πλέγματα γραμμών όπως είναι το τετραγωνισμένο και το

15 15 ισομετρικό. Οι γραμμές αυτές έχουν σκοπό να διευκολύνουν τον σχεδιαστή απαλάσοντάς τον από την πρόσθετη εργασία χάραξης οδηγητικών γραμμών. Αυτού του είδους τα χαρτιά χρησιμοποιούνται περισσότερο στο ελεύθερο σχέδιο. Κυκλοφορούν στο εμπόριο σε ρολά, μπλοκ ή μεμονωμένα φύλα.(σχ.1.13α) Διαστάσεις χαρτιών σχεδίασης: Το μέγεθος του χαρτιού σχεδίασης είναι τυποποιημένο σύμφωνα με τον Γερμανικό Οργανισμό τυποποίησης (DIN 476) και Διεθνή Οργανισμό τυποποίησης (ISO). Αφετηρία για τον σχηματισμό των διαφόρων μεγεθών του χαρτιού σχεδίασης, είναι ένα ορθογώνιο που έχει εμβαδόν 1 m 2 και ο λόγος των πλευρών του είναι 1: 2 (σχ ). Αν προσέξουμε θα δούμε ότι διπλώνοντας ένα τυποποιημένο χαρτί σχεδίασης στα δύο, προκύπτει το αμέσως μικρότερο μέγεθος και μάλιστα με την ίδια αναλογία πλευρών 1: 2 (σχ ). Αυτό έχει μεγάλη πρακτική σημασία κυρίως γιατί διευκολύνει την σμίκρυνση και την μεγέθυνση με φωτοτυπικές μεθόδους.

16 16 Τα πιο συνηθισμένα χαρτιά σχεδίασης είναι της σειράς Α και έχουν τις παρακάτω διαστάσεις. (Πίνακας 2). ΠΙΝΑΚΑΣ 2. Μέγεθος χαρτιού Α 0 Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 Α 5 Α 6 Διαστάσεις άκοπου χαρτιού 880 Χ 1230 mm 625 Χ 880 mm 450 Χ 625 mm 330 Χ 450 mm 240 Χ 330 mm 165 Χ 240 mm 120 Χ 165 mm Διαστάσεις Κομμένου χαρτιού 841 Χ 1189 mm 594 Χ 841 mm 420 Χ 594 mm 297 Χ 420 mm 210 Χ 297 mm 148 Χ 210 mm 105 Χ 148 mm Χαρτιά με μέγεθος Α 0 - Α 3 μπορούν να τοποθετηθούν με την μεγάλη ή την μικρή διάσταση ως ύψος. Το υπόμνημα τοποθετείται πάντα στην κάτω δεξιά γωνία. Χαρτιά με μέγεθος Α 4 τοποθετούνται πάντοτε με την μεγάλη πλευρά ως ύψος. (σχ α) Τοποθέτηση του χαρτιού σχεδίασης στην πινακίδα: Κατά την τοποθέτηση του χαρτιού σχεδίασης επάνω στην πινακίδα, προσέχουμε τα εξής: α) Στερεώνεται κοντά στο αριστερό άκρο της πινακίδας ώστε να μειώνεται στο ελάχιστο το σφάλμα που μπορεί να προκύπτει από το παίξιμο του ταυ.(εφόσον δεν υπάρχει παραλληλογράφος). (σχ1.13.2). β) Αρκετά ψηλά στην πινακίδα, ώστε να εξοικονομείται χώρος στο κάτω μέρος για το ταυ ή τον παραλληλογράφο, και για την ξεκούραση των χεριών.

17 17 γ) Έτσι ώστε οι ακμές του να είναι παράλληλες προς τις ακμές της πινακίδας, ή παράλληλες προς τον παραλληλογράφο, όταν αυτός δεν είναι παράλληλος προς τις ακμές της πινακίδας. Η στερέωση του χαρτιού στην πινακίδα γίνεται με ειδική συγκολλητική ταινία, η οποία ξεκολλά εύκολα χωρίς να καταστρέφει το χαρτί Πλαίσιο: Στα χαρτιά σχεδίασης αφού πλέον έχουν τις τελικές διαστάσεις σύμφωνα με την τυποποίηση, δημιουργούμε πλαίσιο και σε απόσταση ανάλογα με το μέγεθός του, από όλες τις αντίστοιχες ακμές του χαρτιού. Για μέγεθος χαρτιού Α 0, Α 1, Α 2, Α 3, η απόσταση είναι 10 χιλ.. Για χαρτιά μεγέθους Α 4, Α 5, Α 6 η απόσταση είναι 5 χιλ. Πολλές φορές το πλαίσιο που συνοδεύει τα χαρτιά σχεδίασης, είναι τυπωμένο εκ των προτέρων. Το πλαίσιο το δημιουργούμε με έντονη γραμμή.(σχ ).

18 Υπόμνημα: Το υπόμνημα είναι ένας χώρος μέσα στο χαρτί σχεδίασης, όπου σ αυτό γράφουμε διάφορες τεχνικές πληροφορίες που δεν μπορούν να αποδοθούν σχεδιαστικά. Το μέγεθος και η μορφή του υπομνήματος είναι τυποποιημένα κατά (DIN 28). Το υπόμνημα τοποθετείται πάντα στην κάτω δεξιά γωνία του χαρτιού σχεδίασης και πατώντας επάνω στο πλαίσιο. Υπάρχουν διάφοροι τύποι υπομνημάτων, θα πρέπει όμως να τηρούνται οι διαστάσεις, σύμφωνα με τις διεθνείς προδιαγραφές που πρέπει πάντα το μήκος του να είναι 185 χιλ και το πλάτος του 55 χιλ. Για τις σχολικές ανάγκες αρκεί ο τύπος υπομνήματος του (σχ ) Στο χώρο 1 γράφουμε σχολή και τμήμα. Στο χώρο 2 τον τίτλο του μαθήματος. Στο χώρο 3 το ονοματεπώνυμο. Στο χώρο 4 ονομασία της άσκησης. Στο χώρο 5 την ομάδα του τμήματος που ανήκει ο σπουδαστής. Στο χώρο 6 την κλίμακα του σχεδίου. Στο χώρο 7 ημερομηνία που σχεδιάστηκε το σχέδιο. Στο χώρο 8 τον αριθμό του σχεδίου.

19 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ 2. Γραμμές σχεδίασης. Το κάθε σχέδιο είναι ένα σύνολο από γραμμές, ευθείες (τις περισσότερες φορές), και καμπύλες. Σε κάθε σχέδιο πρέπει οι γραμμές να χαράζονται με προσοχή και με το κατάλληλο πάχος, σύμφωνα πάντοτε με τους κανόνες τυποποίησης, κατά DIN και ISO. Είναι επομένως απαραίτητο να γνωρίζει ο σχεδιαστής κάποια στοιχεία για τα είδη και πάχη των γραμμών που χρησιμοποιεί, καθώς επίσης και τον τρόπο με τον οποίο χαράζει αυτές. Αν όλες οι γραμμές του σχεδίου είχαν το ίδιο πάχος και την ίδια μορφή, τότε το σχέδιο αυτό θα είχε μια ομοιόμορφη εμφάνιση και θα ήταν πολύ μονότονο και συγχρόνως θα μας δημιουργούσε σύγχυση και δεν θα μπορούσαμε να κατανοήσουμε τι παριστάνει. Σε κάθε σχεδίαση ενός αντικειμένου, απλού ή πολύπλοκου υπάρχουν γραμμές πραγματικές που φαίνονται, γραμμές πραγματικές που δεν φαίνονται, γιατί βρίσκονται στο πίσω μέρος ή στο εσωτερικό του αντικειμένου, γραμμές νοητές, γραμμές διαστάσεων, βοηθητικές γραμμές διαστάσεων, αξονικές κ.λ.π.. Γι αυτό το λόγο στη σχεδίαση χρησιμοποιούμε μια ορισμένη ομάδα από γραμμές που έχουν διαφορετική μορφή και πάχος, ανάλογα με το τι σημαίνει η κάθε μία, σύμφωνα πάντα με την τυποποίηση. (πίνακας 3) Είδη και πάχη γραμμών σχεδίασης χρήση αυτών: α) Συνεχής χοντρή γραμμή: Με αυτό το είδος σχεδιάζονται οι κύριες γραμμές του σχεδίου, (ορατές ακμές αντικειμένων, εξωτερικές διάμετροι, σπειρώματα κοχλιών, εσωτερικές διάμετροι σπειρωμάτων περικοχλίων, ραφές συγκολλήσεων). Το πάχος της κυμαίνεται από

20 20 0,25 1,2 χιλιοστά και εξαρτάται από το μέγεθος του σχεδίου, την κλίμακα σχεδίασης και την πυκνότητα των γραμμών του. Όσο πιο μεγάλο είναι το σχέδιο και όσο πιο λίγες γραμμές έχει, τόσο παχύτερες πρέπει να χαράξουμε τις βασικές γραμμές, για να μην φαίνεται το σχέδιο άτονο και άδειο. β) Συνεχής λεπτή γραμμή: Σχεδιάζουμε τις γραμμές διαστάσεων, βοηθητικές γραμμές διαστάσεων, προεκτάσεις διαστάσεων, παραπομπές, διαγραμμίσεις προκειμένου να δείξουμε ότι πρόκειται για τομή ή να δείξουμε το είδος του υλικού ή το πάχος του. Το πάχος της κυμαίνεται από 0,13 0,40 χιλιοστά ή ίσο προς το 1/4 της εκάστοτε βασικής γραμμής του σχεδίου. γ) Διακεκομμένη γραμμή:χρησιμοποιείται για πραγματικές ακμές του αντικειμένου που δεν είναι ορατές. Οι γραμμές αυτές αποτελούνται από μικρά ευθύγραμμα τμήματα ίσα μεταξύ τους, που έχουν μήκος 5-10 φορές του πάχους της διακεκομμένης και με διάκενα μεταξύ τους. Τα διάκενα είναι και αυτά ίσα μεταξύ τους και έχουν μήκος 2-3 φορές του πάχους της γραμμής. Το πάχος της κυμαίνεται 0,18-0,6χιλιοστά ή ίσο με το 1/2 της εκάστοτε βασικής γραμμής του σχεδίου. Σε μερικές περιπτώσεις που θέλουμε να δείξουμε μια άλλη θέση ενός κινητού στοιχείου, που υπάρχει στο σχέδιο σχεδιασμένο με συνεχή γραμμή, χρησιμοποιούμε διακεκομμένη γραμμή, αλλά με πάχος όσο η συνεχής χοντρή. δ) Αξονική λεπτή γραμμή:σχεδιάζουμε αξονικές γραμμές, άξονες συμμετρίας και κάθετους άξονες σε οπές. Αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα ίσα μεταξύ τους, με μήκος φορές το πάχος τους, που ανάμεσά τους υπάρχουν τελείες ή πολύ μικρά ευθύγραμμα τμήματα, ακριβώς στη μέση των κενών. Τα κενά ανάμεσα στα μεγάλα τμήματα, είναι περίπου ίσα με το 1/5 του μήκους τους. Το πάχος της κυμαίνεται από 0,13 0,35 χιλιοστά ή 1/4 της βασικής. ε) Αξονική παχιά: Χρησιμοποιείται για κατάδειξη επιπέδων τομής και το πάχος της κυμαίνεται από 0,25-0,7 χιλιοστά. στ) Αξονική λεπτή με χοντρά άκρα: Χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των επιπέδων τομής. ζ) Συνεχής λεπτή κυματοειδής: Χρησιμοποιείται για την σχεδίαση θραύσης αντικειμένων και για διαγράμμιση τομών ξύλου. Το πάχος της κυμαίνεται από 0,13 0,40 χιλιοστά ή ίση με το 1/4 της εκάστοτε βασικής. Στο τεχνικό σχέδιο χρησιμοποιούνται τέσσερις ομάδες γραμμών και η κάθε ομάδα περιλαμβάνει έξη είδη γραμμών.

21 21 (πίνακας 4.). Όπως και στα μεγέθη χαρτιού σχεδίασης, έτσι και εδώ η μια ομάδα προκύπτει από την προηγούμενή της με πολλαπλασιασμό επί 2 ή 1,414. Για απλά και μεγάλα αντικείμενα προτιμάται η ομάδα 0,7. Για μικρά αντικείμενα ή αντικείμενα με πολλές λεπτομέρειες προτιμώνται ομάδες μικρότερου πάχους. Σε κάθε σχέδιο χρησιμοποιείται μια ομάδα γραμμών για όλες τις όψεις και τομές. Δεν επιτρέπεται η χρήση πάχους γραμμής που ανήκει σε άλλη ομάδα. Υπάρχει και μια άλλη παλιά σειρά για τα πάχη των γραμμών η οποία εφαρμόζεται ευρέως ακόμη και σήμερα. α) Συνεχής χοντρή γραμμή (1,2 0,8 0,5 0,3 ή 0,2 ) β) Συνεχής λεπτή γραμμή (0,4 0,3 0,2 0,1) γ) Διακεκομμένη γραμμή (0,6 0,4 0,3 0,2) δ) Αξονική λεπτή γραμμή (0,4 0,3 0,2 0,1) ε) Αξονική χοντρή γραμμή (1,2 0,8 0,5 0,3) στ) Γραμμή κυματοειδής με ελεύθερο χέρι ( 0,4 0,3 0,2 0,1) 2.2 Χάραξη γραμμών: Οι γραμμές χαράζονται με τρεις τρόπους. α) Με την βοήθεια οδηγού που μπορεί να είναι κανόνας, ταυ, ή τρίγωνο. β) Με την βοήθεια διαβήτη και γ) Με ελεύθερο χέρι. Οριζόντιες γραμμές: Για να χαράξουμε οριζόντιες γραμμές χρησιμοποιούμε την πάνω πλευρά του ταυ ή του παραλληλογράφου

22 22 και μετακινούμε το μολύβι ή τον ραπιδογράφο από αριστερά προς τα δεξιά κρατώντας τα πάντα στη σωστή θέση. Για να αποκτήσει ο σχεδιαστής την ικανότητα να χαράζει εύκολα και καλής ποιότητας γραμμές, πρέπει να εξασκηθεί πολύ.(σχ. 2.2.α.). Κατακόρυφες γραμμές: Για να χαράξουμε κατακόρυφες γραμμές, χρησιμοποιούμε το ταυ ή τον παραλληλογράφο και ένα τρίγωνο ή με δύο μόνο τρίγωνα. Το μολύβι ή τον ραπιδογράφο τον μετακινούμε από κάτω προς τα πάνω.(σχ. 2.2.β.). Γραμμές με κλίση: Για την χάραξη γραμμών με κλίση χρησιμοποιούμε το ταυ ή τον παραλληλογράφο και τα δύο τρίγωνα, των 45 0 και των Έτσι μπορούμε να χαράξουμε γωνίες 45 0, 60 0, 30 0 και με κάποιους συνδυασμούς των τριγώνων να χαράξουμε γωνίες 15 0, Αυτές οι γωνίες είναι οι πιο συνηθέστερες στα τεχνικά σχέδια.(σχ.2.2γ).

23 23 Παράλληλες γραμμές:για να χαράξουμε παράλληλες γραμμές χρησιμοποιούμε το ταυ ή τον παραλληλογράφο ή τα δύο τρίγωνα. (σχ.2.2δ.). Γενικά Όταν σχεδιάζουμε με μελάνη, για να μην μουντζουρώσουμε το σχέδιο, πρέπει το τρίγωνο ή το ταυ να μην ακουμπάει τελείως στο χαρτί σχεδίασης. Για να το επιτύχουμε αυτό ή χρησιμοποιούμε τρίγωνο με πατούρα, οπότε ο ραπιδογράφος είναι κάθετος προς το χαρτί, ή χρησιμοποιούμε έναν οποιονδήποτε οδηγό, για την χάραξη της γραμμής και κρατάμε τον ραπιδογράφο όχι κάθετα προς το χαρτί, αλλά με κάποια κλίση, ώστε η μύτη του να μην έρχεται σε επαφή με το τρίγωνο ή τον οδηγό.(σχ.2.2δ 1 ).(σχ.2.2δ2).

24 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ 3. Τεχνική σχεδίασης γραμμάτων και αριθμών 3.1. Είδη γραμμάτων και αριθμών - τρόποι χάραξης: Δεν υπάρχει τεχνικό σχέδιο που να μην έχει γράμματα ή αριθμούς, διότι θα χρειασθεί να γράψουμε κάποιες τεχνικές λεπτομέρειες που δεν μπορούμε να τις εκφράσουμε σχεδιαστικά, επίσης να γράψουμε τις διαστάσεις του αντικειμένου που σχεδιάζουμε, οπότε θα χρησιμοποιήσουμε αριθμούς. Έχουμε δύο διαφορετικούς τύπους γραμμάτων και αριθμών. Την όρθια γραφή κεφαλαίων και πεζών (μικρών) γραμμάτων και των αριθμών. (σχ.3.1β). Την πλάγια γραφή ( δηλαδή με κλίση 75 0 από τον οριζόντιο άξονα ή 15 0 από τον κατακόρυφο άξονα.). (σχ.3.1α). Προτιμάται η γραφή κεφαλαίων γραμμάτων για ευκολία. Οι τρόποι σχεδίασης γραμμάτων και αριθμών είναι:

25 25 α) Με ελεύθερο χέρι ή με την χρήση ελάχιστων εργαλείων. β) Με χρήση κάποιων εργαλείων, οπότε γίνεται ακριβή προσχεδίαση και στην συνέχεια μελάνωμα με πολύ προσοχή. γ) Χρησιμοποιώντας οδηγούς (στένσιλ), ή ειδικές συσκευές που διευκολύνουν τον σχεδιαστή. δ) Με επικόλληση Με ελεύθερο χέρι: Για την χάραξη κεφαλαίων γραμμάτων, αρκεί να χαράξουμε δύο παράλληλες γραμμές μεταξύ τους και σε απόσταση η μία από την άλλη, όσο θέλουμε να είναι το ύψος των γραμμάτων. Έστω ότι θέλουμε να χαράξουμε κεφαλαία γράμματα ύψους h=10 χιλιοστά. Χαράζουμε δύο παράλληλες γραμμές σε απόσταση 10 χιλιοστά η μία από την άλλη και εκεί μέσα σχεδιάζουμε τα γράμματα που θέλουμε. Το πάχος της γραμμής του κάθε γράμματος, πρέπει να είναι βάσει τυποποίησης ίσο με το 1/10 του ύψους του. Δηλαδή στην προκειμένη περίπτωση 1 χιλιοστό, και εάν θέλαμε να τα μελανώσουμε θα χρησιμοποιούσαμε ραπιδογράφο πάχους 1,0 χιλ. δηλαδή (Ν ο 1). (σχ.3.2). Αν θέλαμε να χαράξουμε γράμματα πλάγιας γραφής θα κάναμε το ίδιο και επί πλέον, για να επιτύχουμε την κλίση των 75 0, θα δημιουργούσαμε αχνές βοηθητικές γραμμές με κλίση 75 0 και εκεί μέσα θα χαράξουμε κεφαλαία και πεζά, καθώς και αριθμούς. (σχ.3.2α).

26 26 Τα πεζά (μικρά) γράμματα χαράζονται πιο δύσκολα, γιατί αποτελούνται από το κυρίως σώμα, το ανερχόμενο μέρος και το κατερχόμενο μέρος.(σχ.3.2β). Η τεχνική για την χάραξη πεζών γραμμάτων είναι η εξής: Έστω ότι θέλουμε γράμματα ύψους h=10 χιλιοστά. - Χαράζουμε δύο παράλληλες γραμμές σε απόσταση 3/10 του ύψους δηλ. 3 χιλ. - Στη συνέχει χαράζουμε μία τρίτη παράλληλη σε απόσταση από την δεύτερη 7/10 του ύψους, δηλ. 7 χιλ. - Τέλος μία τέταρτη παράλληλη και σε απόσταση από την τρίτη 3/10 του ύψους, δηλ. 3 χιλ. Έτσι μπορούμε να χαράξουμε, με την βοήθεια αυτών των γραμμών, γράμματα πεζά αλλά και κεφαλαία, καθώς και αριθμούς.(σχ.3.2γ). Στην περίπτωση που έχουμε να χαράξουμε γράμματα πεζά πλάγιας γραφής, χαράζουμε πλάγιες βοηθητικές γραμμές με κλίση 75 0, ώστε να μας βοηθήσουν να χαράξουμε τα γράμματα με την ίδια κλίση. Οι αριθμοί χαράζονται όπως και τα κεφαλαία γράμματα. Τι πρέπει να γνωρίζουμε ακόμη: Το πάχος γραμμής του γράμματος να είναι 1/10 του ύψους. Απόσταση μεταξύ των γραμμάτων 2/10 του ύψους. Απόσταση ανάμεσα στις λέξεις 6/10 του ύψους. Απόσταση ανάμεσα στις προτάσεις 20/10 του ύψους. Απόσταση μεταξύ των σειρών 16/10 του ύψους και εάν η γραφή περιλαμβάνει μόνο κεφαλαία 14/10 του ύψους. Όλα τα παραπάνω είναι τυποποιημένα σύμφωνα με τους οργανισμούς τυποποίησης (DIN 6776 & ISO 3098).

27 Γραφή με οδηγό: Υπάρχουν στην αγορά ειδικά όργανα, από πλαστική ύλη (στένσιλ), τα οποία έχουν σχισμές στο σχήμα των γραμμάτων και αριθμών, καθώς και άλλων συμβόλων, και χρησιμοποιούνται σαν οδηγοί όταν θέλουμε να γράψουμε κάποιες λεπτομέρειες στο σχέδιο. Κατά το μελάνωμα, πρέπει ο ραπιδογράφος που θα χρησιμοποιηθεί, να έχει το ίδιο πάχος με το πάχος των γραμμάτων, ώστε να χωράει στις σχισμές. Π.Χ. για ένα στένσιλ Ν 0 5, χρησιμοποιείται ραπιδογράφος πάχους 0,5 χιλ. ή Ν Γραφή με επικόλληση: Ένας καινούργιος τρόπος γραφής γραμμάτων, αριθμών και διαφόρων άλλων συμβόλων είναι η επικόλληση στο σχέδιο έτοιμων αυτοκόλλητων γραμμάτων, αριθμών, συμβόλων. Τα γράμματα αυτά που βρίσκονται σε πλούσια ποικιλία είναι προσωρινά κολλημένα σε διαφανή φύλλα. Για να επικολλήσουμε στο σχέδιο, παίρνουμε ολόκληρο το φύλλο και το τοποθετούμε με τέτοιο τρόπο, ώστε το γράμμα που μας ενδιαφέρει να βρίσκεται στην επιθυμητή θέση. Με μία ειδική σπάτουλα ή με το πίσω μέρος του μολυβιού, πιέζουμε το γράμμα, ώσπου να κολλήσει στο σχέδιο. Στην συνέχεια παίρνουμε το φύλλο με προσοχή και επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία για το επόμενο γράμμα. Η μέθοδος αυτή είναι και κουραστική αλλά και δαπανηρή.(σχ.3.4.)

28 28 4. Κλίμακα σχεδίασης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙV 4.1. Γενικά: Τα αντικείμενα που παριστάνουν τα τεχνικά σχέδια, είναι διαφόρων ειδών και διαστάσεων. Μπορεί π.χ. να είναι ολόκληρες πόλεις ή έργα που εκτείνονται σε μεγάλες αποστάσεις όπως δρόμοι, μεγάλα αρδευτικά δίκτυα, γραμμές μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, μεγάλα κτίρια, πλοία, έπιπλα, μηχανές, αλλά και μικρότερα εξαρτήματα, όπως μικρές βίδες, χειρολαβές, πόμολα, διακόπτες κ.λ.π. Όπως βλέπουμε έχουμε να σχεδιάσουμε πάρα πολύ μεγάλα έργα έως πάρα πολύ μικρά. Θα ήταν καλό να σχεδιάζαμε το κάθε αντικείμενο με το πραγματικό του μέγεθος, δηλαδή τα σχεδιαστικά μήκη (μήκη γραμμών στο σχέδιο) να είναι τα ίδια με τα πραγματικά μήκη (μήκη που μετρούμε στα αντικείμενα). Αυτό όμως είναι αδύνατον. Έτσι αναγκαζόμαστε να σχεδιάζουμε τα αντικείμενα είτε μικρότερα, είτε μεγαλύτερα από ότι είναι στην πραγματικότητα. Για να έχουμε σχέδιο με σωστές αναλογίες, είτε σε φυσικό μέγεθος, είτε σε σμίκρυνση, είτε σε μεγέθυνση, φροντίζουμε να υπάρχει, μία σταθερή σχέση των σχεδιαστικών μηκών προς τα πραγματικά μήκη. Η σχέση αυτή ονομάζεται κλίμακα του σχεδίου. Σχεδιαστικό μήκος ΚΛΙΜΑΚΑ = Πραγματικό μήκος 4.2. Είδη κλιμάκων: Η κλίμακα σχεδίασης παριστάνεται με ένα κλάσμα, ( την γραμμή κλάσματος την αντικαθιστά το σύμβολο της διαίρεσης). Διακρίνουμε τρεις κατηγορίες κλιμάκων: Α) Πραγματική κλίμακα: Το αντικείμενο σχεδιάζεται σε φυσικό μέγεθος, δηλαδή όπως είναι στην πραγματικότητα.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο) ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ - Παράρτημα Καρδίτσας ΤΜΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΞΥΛΟΥ ΕΠΙΠΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ ΙΙ (Μέρος πρώτο) - ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ ΚΟΛΛΑΤΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Μηχανολογικό Σχέδιο

Εισαγωγή. Μηχανολογικό Σχέδιο Εισαγωγή Σχέδιο: Γραφική παράσταση αντικειμένου. Η φωτογραφία είναι ανεπαρκής γιατί αποτελεί την προοπτική αναπαράσταση των αντικειμένων, δηλαδή δεν έχει πραγματικές διαστάσεις και γιατί δεν αποκαλύπτει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ http://www.ikastiko.gr/ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΔΙΩΡΟΦΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ»

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Γενικά. Επιφάνεια σχεδίασης. Όργανα σχεδίασης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Γενικά. Επιφάνεια σχεδίασης. Όργανα σχεδίασης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γενικά Τα περισσότερα στοιχεία αυτού του κεφαλαίου είναι γνωστά στους φοιτητές. Η εκ νέου παράθεσή τους στο παράρτημα γίνεται για λόγους υπενθύμισης και πιο ολοκληρωμένης παρουσίασης. Στην ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Λεμονιά Αμυγδάλου, Ε.Τ.Ε.Π. ΤΜΟΔ (Ειδικό Τεχνικό Εργαστηριακό Προσωπικό) email αποστολής εργασιών: idaegean@gmail.com ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή στην Τεχνική Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά είναι σημαντικό να μελετήσουμε τον τρόπο που σημειώνονται οι αριθμοί που αποδίδουν στα σχέδια τις διαστάσεις του αντικειμένου. Οι γραμμές διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΤΑΞΗ: B ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12 / 6 / 2013 Βαθμός: Ολογράφως: Υπογραφή: Όνομα μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 Tel. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 5 Αν a = 4 και b = 5 +, να υπολογίσετε την τιμή παράστασης: 5 A = a: b b. 5a ΘΕΜΑ ο Έστω α θετικός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ ΕΛΕΝΗ Κ. ΆΓΑ, Επίκουρη Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Μάθημα: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ EΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή Διάλεξη 1η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Εισαγωγή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Λεμονιά Αμυγδάλου, Ε.Τ.Ε.Π. ΤΜΟΔ (Ειδικό Τεχνικό Εργαστηριακό Προσωπικό) (e-mail: lamygdalou@fme.aegean.gr) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή στην Τεχνική Σχεδίαση Όψεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 3663-0367784 - Fax: 0 3640 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Διάλεξη 2η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα