Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ

Transcript

1 Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ Κβαντομηχανική Ι Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώζειρ III: Κβανηικέρ Απσέρ και Κβανηική Μέηπηζη Ζ εξκελεία ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο είλαη όηη ε πηζαλόηεηα λα βξεζεί ην ζσκάηην ζην εύξνο, d δίδεηαη σο: Δπνκέλσο, ε πνζόηεηα d d (.1) (.) είλαη ε «ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο» ην ζσκάηην λα βξεζεί ζηε ʽʽγεηηνληάʼʼ ηνπ ζεκείνπ. Γεδνκέλεο ηεο (.1), ε πηζαλόηεηα ην ζσκάηην λα βξίζθεηαη ζην εύξνο b, δίδεηαη σο Γηα λα ηζρύεη ε εξκελεία ηεο b P d σο πιάηνο ηεο ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο, ζα πξέπεη ε,, λα είλαη πηζαλόηεηα ην ζσκάηην λα βξεζεί θάπνπ ζην ρώξν, δειαδή νπνπδήπνηε ζην 1% : Ζ (.) νλνκάδεηαη ζρέζε θαλνληθνπνίεζεο ηεο νλνκάδεηαη θαλνληθνπνηεκέλε. Έλα θαίξην εξώηεκα είλαη γηαηί παίξλνπκε ηελ θάπνηα άιιε δύλακε ηεο d 1 (.). Ζ δε πνπ πιεξνί ηελ (.) λα δίδεηαη από ηελ, έζησ ηελ πξώηε. Ο ιόγνο είλαη όηη ε θαη όρη από πξέπεη λα πιεξνί ηελ εμίζσζε δηαηήξεζεο ηνπ «ξεύκαηνο» ή εμίζσζε ζπλέρεηαο, δει. λα ππάξρεη πνζόηεηα ώζηε θαη έρνπκε δείμεη όηη γηα ηελ 1. Λύζη εξίζυζηρ Schrödiger t νξηδόκελε σο ζηελ (.), ε δίδεηαη σο: i Σν επόκελν βήκα είλαη λα ιύζνπκε ηελ εμίζσζε Schrödiger γηα θάπνην δπλακηθό, ππνινγίζνπκε ηελ t, : ηέηνηα V, θαη λα 1

2 V i (.4) z t Δπεηδή νη παξάγσγνη σο πξνο θαη t δελ έρνπλ δηαζηαπξνύκελνπο όξνπο, αλαδεηνύκε ιύζεηο ζε κνξθή γηλνκέλνπ: Αληηθαζηζηώληαο ζηελ (.4) παίξλνπκε: Γηαηξώληαο κε t,, t T t T T t V T t i (.5) t ηελ (.5), έρνπκε: 1 1 T V i (.6) T t t Ζ εμίζσζε (.6) εθθξάδεη ηελ ηζόηεηα δπν ζπλαξηήζεσλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ (ησλ θαη t ). Πξόθεηηαη δειαδή γηα κηα εμίζσζε ηεο κνξθήο f g t, ε νπνία πξέπεη λα ηζρύεη γηα θάζε ηηκή ησλ θαη t. Απηό κπνξεί λα ζπκβαίλεη κόλν αλ νη δπν ζπλαξηήζεηο είλαη αλεμάξηεηεο ησλ θαη t, δειαδή είλαη ίζεο κε κηα ζηαζεξά, έζησ E : f g t E Λίγν αξγόηεξα ζα δνύκε όηη ε E είλαη ε ελέξγεηα ηνπ ζσκαηηδίνπ, εμ νπ θαη ε νλνκαζία ηεο κεηαβιεηήο σο «E». Αληηθαζηζηώληαο ζηελ (.6) έρνπκε: 1 T / iet/ iet i E T t T e T t T e / T t Δλώ ε ρσξηθή εμίζσζε γξάθεηαη: d V E d Ζ (.7) νλνκάδεηαη «Υξνλναλεμάξηεηε εμίζσζε Schrödiger». Ζ ιύζε ηεο εμαξηάηαη, πξνθαλώο, από ηε κνξθή ηνπ δπλακηθνύ V.. Το πιο απλό δςναμικό: Απειπόβαθο πηγάδι Σν πην απιό δπλακηθό είλαη ην ζηαζεξό κέζα ζε έλα πεπεξαζκέλν εύξνο θαη άπεηξν παληνύ αιινύ: Μέζα ζην πεγάδη, ε (.7) γξάθεηαη ή V,, V για, d E d (.7) (.8) d E k όπου k d ik ik A k B k Ce De (.9) si cos Οη παξάκεηξνη AB, θαη k βξίζθνληαη από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο.

3 Δθόζνλ ην δπλακηθό ζην εζσηεξηθό ηνπ πεγαδηνύ είλαη άπεηξν, δελ κπνξεί λα ππάξρεη πηζαλόηεηα ην ζσκάηην λα βξεζεί εθεί. Δπνκέλσο γηα θαη : B Asi k k, k θαη επνκέλσο, Asi (.1) όπνπ A ε «ζηαζεξά θαλνληθνπνίεζεο» θαη αθέξαηνο αξηζκόο. ηελ (.1) γξάςακε ηελ κε δείθηε, δηαθνξεηηθέο ιύζεηο (πνπ δίδνληαη γηα δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηνπ )., γηα λα δείμνπκε όηη ππάξρνπλ πνιιέο Πξνθαλώο, ζηελ επίιπζε ηεο (.8) ζα κπνξνύζακε λα είρακε ρξεζηκνπνηήζεη ηελ άιιε κνξθή ησλ ιύζεσλ, δει. ik ik Ce De Δθαξκόδνληαο θαη πάιη ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο, έρνπκε: Δπίζεο ζα κπνξνύζακε λα είρακε ρξεζηκνπνηήζεη ηε δεύηεξε κνξθή ηεο ιύζεο ζηελ (.9): C D D C ik ik ik ik Ce De Ce e ik e 1 ik k Σν κόλν πνπ απνκέλεη είλαη ε θαλνληθνπνίεζε ηεο Αληηθαζηζηώληαο ηελ t, : θαη επνκέλσο, εθ' όζνλ γηα t, δει. ε απαίηεζε λα ηζρύεη:, d 1 iet/ e d 1 θαη, πξέπεη: Σν νινθιήξσκα ζηελ (.11) ππνινγίδεηαη εύθνια θαη έρνπκε A si d 1 (.11) 1 cos / 1 1 A A A cos cos A 1 A θαη επνκέλσο, si (.1) Απνηέιεζκα ησλ ζπλνξηαθώλ ζπλζεθώλ είλαη όηη ε πνζόηεηα E παίξλεη κόλν δηαθξηηέο ηηκέο: k E

4 Απηό είλαη θαη ην πξώην καο παξάδεηγκα εμαγσγήο «θβαληηζκέλεο πνζόηεηαο από ηελ εμίζσζε Schrödiger.. Χπήζη ηηρ κςμαηοζςνάπηηζηρ για ηον ςπολογιζμό μέζυν ηιμών Από ηε ζηηγκή πνπ γλσξίδνπκε ηελ t, κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηε κέζε ηηκή ηεο :, (.1) d t d Γηα έλα ζσκάηην πνπ βξίζθεηαη ζε απεηξόβαζν πεγάδη θαη έρεη θπκαηνζπλάξηεζε ηελ : si d cos d d cos d Σν νινθιήξσκα ζην δεύηεξν όξν δίλεη κεδέλ: θαη επνκέλσο: I cos d d si si 1 Με αθξηβώο ηνλ ίδην ηξόπν κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην ζηε ζέζε ηνπ ζσκαηηδίνπ: Με ιίγε άιγεβξα βγάδνπκε θαη επνκέλσο, 4. Οπμή ηος ζυμαηιδίος 1 si d 1 cos d 1 1 6, θαη επνκέλσο θαη ηε δηαζπνξά Δίλαη πξνθαλέο όηη κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηε κέζε ηηκή νπνηαζδήπνηε ζπλάξηεζεο ηνπ, έζησ f, εθόζνλ απηή δίδεηαη σο πνιπώλπκν, f c c... c 1 f c c... c 1 θαη ν γεληθόο όξνο d (.14) 4

5 Σν κόλν πνπ απνκέλεη είλαη λα ππνινγίζνπκε ηελ νξκή ηνπ ζσκαηηδίνπ. Γεδνκέλεο ηεο άγλνηάο καο ηεο αθξηβήο ζέζεο, αλακέλνπκε λα κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηε κέζε νξκή (θαη όρη ηε ζηηγκηαία-ηνπιάρηζηνλ κε όζα γλσξίδνπκε σο ηώξα). ε αλαινγία κε ηνλ θιαζζηθό νξηζκό ηεο νξκήο, απαηηνύκε d p dt Από ηνλ νξηζκό ηνπ παίξλνπκε:,, t t d (.15) Παξαγσγίδνληαο ηελ (.15) παίξλνπκε: d dt t t (.16) p d Υξεζηκνπνηώληαο ηελ εμίζσζε Schrödiger, ε (.16) γίλεηαη: Με ιίγε άιγεβξα απνδεηθλύεηαη εύθνια όηη: θαη επνκέλσο Με νινθιήξσζε θαηά παξάγνληεο: θαη επνκέλσο, ε (.16) γξάθεηαη σο εμήο: 1 p d i p d i d d i i p d d (.17) Παξαηεξώληαο ηελ (.17), βιέπνπκε όηη ε p ππνινγίδεηαη κέζσ ελόο νινθιεξώκαηνο παξόκνηνπ κε εθείλν ηεο, κόλν πνπ ηώξα ε πνζόηεηα έρεη αληηθαηαζηαζεί από ηνλ ηειεζηή ˆp i. Παξάδεηγκα: ππνινγηζκόο ηεο βξίζθεηαη ζε απεηξόβαζν πεγάδη Ζ κέζε ηηκή ηεο p, p, θαη ε κέζε ηηκή ηεο p ζην απεηξόβαζν πεγάδη. Έζησ ζσκαηίδην κάδαο, πνπ, θαη ηνπ νπνίνπ ε θπκαηνζπλάξηεζε είλαη ε p,. p, ππνινγίδνληαη κε εθαξκνγή ηεο (.16): p si i si d i i si cos d si d 5

6 p d d si si si εκείσζε: ζα κπνξνύζακε λα απνθύγνπκε ηε δηπιή παξαγώγηζε, ρξεζηκνπνηώληαο ηελ εμίζσζε Schrödiger: πνπ δίλεη ακέζσο: p E si d 5. Θεώπημα μέζηρ ηιμήρ, ηελεζηέρ και επμιηιανόηηηα Οη (.1) θαη (.17) κπνξνύλ λα γξαθνύλ σο εμήο:, ˆ, t t, p ˆ, p t t Γεληθόηεξα, ζε θάζε θπζηθή πνζόηεηα, A, αληηζηνηρεί έλαο ηειεζηήο, Â, ηέηνηνο ώζηε ε κέζε ηηκή πνιιώλ κεηξήζεσλ ηεο πνζόηεηαο A, όηαλ ην ζύζηεκα βξίζθεηαη ζε θαηάζηαζε κε θπκαηνζπλάξηεζε t,, λα δίδεηαη σο: A ˆ, A, (.18) t ˆ t Ζ (.18) δελ απνδεηθλύεηαη: απνηειεί ηε δεύηεξε αξρή ηεο θβαληνκεραληθήο, θαη νλνκάδεηαη «Θεώξεκα Μέζεο Σηκήο» (ΘΜΣ). Σν ΘΜΣ γηα νπνηαδήπνηε θπζηθή πνζόηεηα, Q, επηβάιεη κηα ζεκαληηθή ζπλζήθε ζηε κνξθή ηνπ ηειεζηή, ˆQ, πνπ αληηζηνηρεί ζην Q. Δθόζνλ ε κέζε ηηκή είλαη (πξνθαλώο) πξαγκαηηθόο αξηζκόο, ζα πξέπεη λα ηζρύεη Αληηθαζηζηώληαο ην ΘΜΣ, παίξλνπκε Σν δεύηεξν κέινο ζηελ (.19) γξάθεηαη σο ˆ Q Q Qˆ d Q d (.19) ˆ Q Qˆ Qˆ d d d θαη επνκέλσο, ν ηειεζηήο ˆQ πξέπεη λα είλαη ηέηνηνο ώζηε λα ηζρύεη Q (.) Q ˆ d ˆ d 5.1 Τελεζηέρ Γεληθά, έλαο ηειεζηήο είλαη έλαο κεηαζρεκαηηζκόο κηαο (κηγαδηθήο) ζπλάξηεζεο ζπλάξηεζε g. Ζ εμίζσζε f ζε κηα άιιε 6

7 ˆQf g (.1) απνηειεί θαη ηνλ νξηζκό ηνπ ˆQ. Ο θάζε ηειεζηήο, ραξαθηεξίδεηαη από ηηο ηδηνηηκέο θαη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπ, πνπ νξίδνληαη από ηελ εμίζσζε ˆQ q (.) ε πεξίπησζε πνπ ππάξρνπλ πέξαλ ηεο κηαο ηδηνζπλάξηεζεο, ε (.) γξάθεηαη σο ˆQ q (.) όπνπ έλαο δείθηεο πνπ παίξλεη όιεο ηηο ηηκέο 1,..., N όπνπ N ν αξηζκόο ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ. εκεηώλεηαη όηη κπνξεί θάιιηζηα N, δειαδή λα ππάξρνπλ άπεηξεο (έζησ θαη αξηζκήζηκεο) ηδηνζπλαξηήζεηο θαη ηδηνηηκέο. ηελ πεξίπησζε πνπ ππάξρνπλ πνιιέο ηδηνηηκέο πνπ όκσο δελ είλαη αξηζκήζηκεο, γξάθνπκε ˆQ q q q Έλα παξάδεηγκα ηδηνζπλαξηήζεσλ θαη ηδηνηηκώλ, είλαη ε εμίζσζε Schrödiger γηα ην απεηξόβαζν πεγάδη. Δδώ ιύζακε ηελ εμίζσζε κε ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηδηνζπλαξηήζεσλ ηνπ ηειεζηή δειαδή E (.4). Ζ (.4) κπνξεί λα γξαθηεί σο εμίζσζε ηδηνηηκώλ θαη Ĥ Ĥ E (.5) Όπσο έρνπκε δείμεη, ε (.5) έρεη άπεηξεο ιύζεηο κε δηαθνξεηηθά E : E και si Ωο δεύηεξν παξάδεηγκα, ζεσξνύκε ηνλ ηειεζηή ηεο παξαγώγνπ, έζησ ˆD, πνπ νξίδεηαη σο εμήο: df ˆD f (.6) d Ζ (.6) αληηζηνηρεί ζηελ (.1). Γηα λα βξνύκε ηηο ηδηνηηκέο θαη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπ ˆD, πξέπεη λα ιύζνπκε ην αληίζηνηρν ηεο εμίζσζεο (.), δειαδή ˆDf f (.7) όπνπ κηα ζηαζεξά. Από ηηο (.6) θαη (.7), παίξλνπκε: df f f Ae (.8) d Άξα, νη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπ ˆD είλαη όιεο νη ζπλαξηήζεηο ηεο κνξθήο (.8), ελώ νη ηδηνηηκέο είλαη (θαη ππάξρνπλ άπεηξεο ηέηνηεο ηδηνζπλαξηήζεηο). 7

8 5. Ιδιόηηηερ Επμιηιανών Τελεζηών Οη ηειεζηέο πνπ πιεξνύλ ηελ (.) νλνκάδνληαη «Δξκηηηαλνί» θαη έρνπλ δπν πνιύ ζεκαληηθέο ηδηόηεηεο: α) Οη ηδηνηηκέο ηνπο είλαη πξαγκαηηθνί αξηζκνί β) Οη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπο είλαη «θάζεηεο» κεηαμύ ηνπο, κε ηελ έλλνηα όηη γηα. Ζ θαζεηόηεηα ζηελ (β) ζα νξηζζεί ιίγν πην θάησ. f f d Ζ (α) απνδεηθλύεηαη σο εμήο: Από ηνλ νξηζκό ηεο εξκηηηαλόηεηαο ηζρύεη όηη A A ˆ d ˆ d γηα f, δει. f f Â. Παίξλνληαο σο κηα ηδηνζπλάξηεζε ηνπ d d d Ζ (β) απνδεηθλύεηαη σο εμήο: Έζησ δπν δηαθνξεηηθέο ηδηνζπλαξηήζεηο εξκηηηαλνύ ηειεζηή ˆQ, κε ηδηνηηκέο Δθόζνλ ν ˆQ είλαη εξκηηηαλόο, ζα ηζρύεη: Υξεζηκνπνηώληαο ηηο (.9), παίξλνπκε Καη εθ όζνλ qg q f θαη q g αληίζηνηρα: ˆQ f q f ˆQ g f q g Q Q g f ˆ g d ˆ f g d Â, έζησ ηελ f θαη g, ελόο (.9) (.) q f g d q f g d q q f g d g f g f qf, πξέπεη λα ηζρύεη f g d. Μπνξνύκε λα γεληθεύζνπκε ηε ζπδήηεζε, αλ θαληαζηνύκε ηηο δηαθνξεηηθέο ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπ ηειεζηή ˆQ σο «αλύζκαηα» πνπ νξίδνληαη ζην ρώξν ησλ κηγαδηθώλ ζπλαξηήζεσλ. ε απηό ην ρώξν, νξίδνπκε ην «εζσηεξηθό γηλόκελν» δπν «αλπζκάησλ», σο εμήο: f g f g d εκεηώλνπκε όηη ζηε βηβιηνγξαθία ρξεζηκνπνηείηαη ζπρλά θαη ν ζπκβνιηζκόο, f g f g f g d ε αλαινγία κε ηε γιώζζα ησλ αλπζκάησλ, ην «κέηξν» κηαο ηδηνζπλάξηεζεο δίλεηαη σο A A A f f f f f d Θεσξώληαο, δε, όηη όιεο νη ζπλαξηήζεηο ηηο νπνίεο ζπλαληνύκε είλαη ηεηξαγσληθά νινθιεξώζηκεο, ην νινθιήξσκα πνπ αληηζηνηρεί ζην f ππάξρεη θαη επνκέλσο κπνξνύκε πάληα λα πάξνπκε f κέζσ θαλνληθνπνίεζεο: αλ f c 1, παίξλνπκε f f c, θαη, πξνθαλώο, 8

9 f 1 Δπίζεο ζε αλαινγία κε ηα αλύζκαηα, ιέκε όηη δπν ζπλαξηήζεηο f, f, g f g f g d g είλαη θάζεηεο όηαλ Έλα εμαηξεηηθά ζεκαληηθό απνηέιεζκα ηεο νξζνθαλνληθόηεηαο είλαη όηη νπνηαδήπνηε ζπλάξηεζε, έζησ, κπνξεί λα αλαπηπρζεί σο ππέξζεζε ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ελόο Δξκηηηαλνύ ηειεζηή. Έζησ ν ηειεζηήο ˆQ, κε ηδηνηηκέο θαη ηδηνζπλαξηήζεηο πνπ δίδνληαη από ηελ (.). Σόηε, θάζε κπνξεί λα γξαθηεί σο c c c (.1) Ζ απόδεημε ηεο πξόηαζεο (ζεσξήκαηνο) είλαη ε εύξεζε ησλ ζηαζεξώλ c1,..., c,.... Απηό γίλεηαη κε πνιιαπιαζηαζκό ηεο (.1) κε θαη νινθιήξσζε: Ζ νξζνθαλνληθόηεηα ησλ d c d c d... c d... κεδελίδνληαη, κε εμαίξεζε ηνλ όξν Δπνκέλσο, νη ζηαζεξέο c δίδνληαη σο (.) ζεκαίλεη πσο όινη νη όξνη ζηε δεμηά πιεπξά ηεο (.) c d c c d (.) Δθόζνλ ππάξρεη ην νινθιήξσκα ζηελ (.) (θαη ππάξρεη εθόζνλ εμ νξηζκνύ ζεσξνύκε όηη νη θαη ε είλαη ηεηξαγσληθά νινθιεξώζηκεο) ππάξρνπλ νη ζηαζεξέο c νεδ. Ζ σο άλσ αλάιπζε κπνξεί λα γξαθηεί πνιύ πην ζύληνκα κε ρξήζε ηνπ ζπκβόινπ ηνπ αζξνίζκαηνο. Ζ (.1) γξάθεηαη σο c Πνιιαπιαζηάδνληαο κε θαη νινθιεξώλνληαο: d c d Αιιάδνληαο ηε ζεηξά ησλ δπν αζξνηζκάησλ (δει. ηνπ νινθιεξώκαηνο σο πξνο θαη ηνπ αζξνίζκαηνο σο πξνο ) παίξλνπκε 6. Κβανηική μέηπηζη d c d c c Έρνπκε πιένλ όια ηα ζηνηρεία γηα λα απνδείμνπκε ηελ εμήο πξόηαζε: όηαλ ε θπκαηνζπλάξηεζε ελόο ζπζηήκαηνο είλαη ηδηνζπλάξηεζε ελόο ηειεζηή, έζησ ηνπ ˆ, ηόηε κέηξεζε ηνπ ˆ δίλεη 9

10 κε ΒΔΒΑΗΟΣΖΣΑ ηελ ηδηνηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηδηνζπλάξηεζε απηή. Γειαδή, αλ νη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπ ˆ δίδνληαη σο εμήο: ˆ f f θαη έλα θβαληηθό ζύζηεκα έρεη ʽʽθαηαζθεπαζηείʼʼ (ή ʽʽπξνεηνηκαζηείʼʼ) έηζη ώζηε ε θπκαηνζπλάξηεζε ηνπ λα είλαη f Απόδεημε:, ηόηε ε κέηξεζε ηνπ A ζα δώζεη ζίγνπξα. ˆ d f ˆf d f f d f f d Αθνινύζσο, ζα ππνινγίζνπκε ηε δηαζπνξά,. Γη' απηό ρξεηαδόκαζηε ην Ζ δηαζπνξά είλαη ινηπόλ : ˆ d ˆ ˆ d f ˆ f d f f d! Δπνκέλσο, κεηξάκε πάληα είκαζηε ζίγνπξνη όηη κέηξεζε ηνπ A ζα δώζεη. Μήπσο ηζρύεη θαη ην αληίζηξνθν; Θέισ ε κέηξεζε ηνπ ˆ λα δίλεη πάληα. Πνηα πξέπεη λα είλαη ε θπκαηνζπλάξηεζε; Ζ απάληεζε είλαη ε ηδηνζπλάξηεζε πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηδηνηηκή κέηξεζε δίλεη Απόδεημε: εθ' όζνλ δίλεη πάληα κηα ηηκή, ηελ f ˆ, ζα πξέπεη. Δπνκέλσο: d, δει. ε ˆ ˆ d ˆ ˆ d ˆ d Ωζηόζν, ˆ ˆ ˆ. Άξα, γηα λα είλαη ε δηαζπνξά κεδέλ, ε θπκαηνζπλάξηεζε πξέπεη λα είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηνπ Â (κε ηδηνηηκή A ). Καη πνην είλαη ην όηαλ είκαζηε ΗΓΟΤΡΟΗ όηη ε κέηξεζε δίλεη είλαη ή f. ;! ˆ ή Πεπίλητη Όηαλ f Μέηξεζε ηνπ A δίλεη ζίγνπξα. Όηαλ ζέινπκε λα είκαζηε ζίγνπξνη όηη κέηξεζε ηνπ A ζα δώζεη, πξέπεη f. Δλ νιίγνηο: f ΜΔΣΡΖΖ ˆ ΓΗΝΔΗ ΗΓΟΤΡΑ. ε Κβαληνκεραληθή Αξρή: Μέηξεζε θπζηθήο πνζόηεηαο, έζησ Q, κε ηειεζηή ˆQ, δίλεη κηα από ηηο ηδηνηηκέο ηεο ˆQ: q1, q,... q. Ζ δε κέζε ηηκή δίδεηαη σο: 1

11 Qˆ Qˆ d δελ είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηνπ Α; Απάληεζε: ηόηε βξίζθνπκε κηα από ηηο q q κε πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηεο θάζε κηαο πνπ δίδεηαη από ην αλάπηπγκα ηεο, Καη ηη γίλεηαη όηαλ ε ηδηνηηκέο,..., ελώ ε πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηεο ηηκήο είλαη c. Απόδεημε: ˆ Aˆ A Ad c f c f d c f c fd c c f fd (.4) c c c c c Μα αλ νη πηζαλέο ηηκέο κηαο πνζόηεηαο είλαη,...,, 1 ν κέζνο όξνο ηνπ είλαη A p p p (.5) πγθξίλνληαο ηηο (.4) θαη (.5), βιέπνπκε πσο ηαπηίδνληαη αλ εξκελεύζνπκε ηελ αληίζηνηρε πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηεο : p c c σο ηελ Γηα λα ηζρύεη ε εξκελεία (.), ζα πξέπεη λα ηζρύεη p 1 d 1: 7. Παπαδείγμαηα Παξάδεηγκα 7.1 d c c d c c d c. Απηό όλησο ηζρύεη απηόκαηα αλ 1 σκάηην ζε απεηξόβαζν πεγάδη, έρεη θπκαηνζπλάξηεζε 1 1 i 6 όπνπ νη ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο ˆ. Πνηεο νη δπλαηέο ηηκέο ηεο ελέξγεηαο θαη πνηα ε πηζαλόηεηα εκθάληζήο ηνπο; Απάληεζε: ε έρεη ήδε δνζεί σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ θαλνληθνπνηεκέλε: 1 1 i d 6 6 d d d 1i 1 6 d 1 Σν ηξίην θαη ηέηαξην νινθιήξσκα είλαη κεδέλ ιόγσ ηεο νξζνθαλνληθόηεηαο ησλ πξώην θαη δεύηεξν είλαη 1 (γηα ηνλ ίδην ιόγν). Δπνκέλσο νη πηζαλόηεηεο εκθάληζεο είλαη. Δπηπιένλ είλαη, ελώ ην 11

12 Παξάδεηγκα i 11 pe ; pe6 ; pe E E6 σκάηην ζε απεηξόβαζν πεγάδη έρεη θπκαηνζπλάξηεζε Asi cos Πνηεο είλαη νη πηζαλέο ηηκέο ηεο ελέξγεηάο ηνπ θαη κε πνηα πηζαλόηεηα εκθάληζεο; Σξόπνο (α): αλαπηύζζνπκε ηελ σ άζξνηζκα ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ηνπ ηειεζηή πνπ αληηζηνηρεί ζηελ πνζόηεηα πνπ ζέινπκε λα κεηξήζνπκε, δει. ηεο Υακηιηνληαλήο, αθνύ ζέινπκε ηελ ελέξγεηά ηνπ. ην απεηξόβαζν πεγάδη, απηέο είλαη νη γλσζηέο ηεο (.1). Παξαηεξώληαο ηελ βιέπνπκε όηη είλαη έλα απιό άζξνηζκα δπν εκηηόλσλ: si cosb si b si b θαη επνκέλσο, Δπνκέλσο, ζην αλάπηπγκα A 4 A si si 4 c κόλν δπν ζπληειεζηέο, νη c θαη c 4 είλαη κε κεδεληθνί. Άξα νη κόλεο δπλαηέο ηηκέο ηεο ελέξγεηαο είλαη ε E θαη ε E 4. Ζ πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηνπο ζα ήηαλ είρε ππνινγηζζεί κέζσ ηεο θαλνληθνπνίεζεο ηεο E θαη E 4 είλαη pe p E c θαη 4 c αληίζηνηρα, ΑΝ ην A. Δπνκέλσο νη πηζαλόηεηεο εκθάληζεο ησλ c c c c c c 4 4 όπνπ c A θαη c4 A. Δπνκέλσο, Σξόπνο (β): γξάθνληαο c 4 4 p E p E 1, έρνπκε άκεζα όηη c Δπνκέλσο ε πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηεο, E p E είλαη c A si cos si d c εθ' όζνλ βξνύκε ην A : Δδώ βιέπνπκε όηη ην νινθιήξσκα είλαη πνιύ πην δύζθνιν από ηνλ ππνινγηζκό κε ηνλ ηξόπν (α). εκεηώλνπκε όηη απηή ε κέζνδνο "δνπιεύεη" πάληα - δελ είλαη όκσο αλαγθαζηηθά ε πην γξήγνξε ή απνηειεζκαηηθή. 1

13 8. Μαθημαηικό ζςμπλήπυμα Έζησ κεηαβιεηή πνπ παίξλεη ηηο ηηκέο,..., 1 κε πηζαλόηεηα εκθάληζεο p,..., 1 p αληίζηνηρα. Ζ κέζε ηηκή νξίδεηαη σο Ζ (.6) ηζρύεη γηα ηελ πεξίπησζε πνπ ππνινγίδεηαη σο 1p 1... p (.6) i1 p 1. Αλ δελ ηζρύεη απηό, ηόηε ε κέζε ηηκή i p p Αλ ηώξα ε παίξλεη ζπλερείο ηηκέο ζε θάπνην δηάζηεκα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ, ε πηζαλόηεηα εκθάληζεο p,..., 1 p κεηαηξέπεηαη ζε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο: Ζ (.6) ηώξα γξάθεηαη: Αλ ε p δελ είλαη θαλνληθνπνηεκέλε: Γηαζπνξά: Παπάδειγμα 1 Εάξη: q q q pq dp p 1 1 dp p d pd p d p d QM q Δθόζνλ έρνπκε ηελ d q q χρόνου ανάμεσα στο 1.8 και στο 5. p, κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηε κέζε ηηκή ηεο ζέζεο σο p d d εκεηώλεηαη όηη από εδώ θαη πέξα, ηα νινθιεξώκαηα ρσξίο όξηα ζα ηα εξκελεύνπκε σο ηα όξηα ηνπο λα είλαη. 1

14 Παπάδειγμα p q q για q Έζησ ε p q q για q Τπνινγηζκόο ηεο κέζεο ηηκήο: Δπεηδή ε 1 G;, ep Γηαζπνξά q p q qdq p q qdq p q qdq 1 q q q pq δελ είλαη θαλνληθνπνηεκέλε, πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ην νινθιήξσκα: θαη επνκέλσο, ηειηθά: 1 1 pqdq pqdq q q q q qp q dq p q dq ην νπνίν θαη αλακελόηαλ θαη κόλν "θνηηάδνληαο" ηελ μεθηλήζνπκε θαλνληθνπνηώληαο ηελ pq: pq. Δλαιιαθηηθά, ζα κπνξνύζακε λα 1 pqdq 1 1 δει. 1 1 p 1 q q p q q θαη επνκέλσο q 1 Τπνινγηζκόο δηαζπνξάο: q q pqdq q qdq qq dq 6 θαη επνκέλσο 7 q q q q