Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ

Transcript

1 Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ Κβαντομηχανική Ι Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώζειρ V: Διάθοπα δςναμικά (Ι) Σε απηέο ηηο ζεκεηώζεηο παξνπζηάδνπκε ηελ ιύζε ηεο εμίζσζεο Schrodiger γηα δηάθνξα απιά δπλακηθά. Θα ζπγθεληξσζνύκε ζε δέζκηεο θαηαζηάζεηο, κηα θαη απηέο είλαη θαη ζηαζεξέο θαη άξα νδεγνύλ ζε «ηζνξξνπία» θαη παξαηεξνύληαη εθηελώο.. Θεώπημα: Σε μία σωπική διάζηαζη κανένα από ηα ενεπγειακά επίπεδα ενόρ διακπιηού θάζμαηορ δεν είναι εκθςλιζμένο (Υπελζύκηζε: εθθπιηζκό έρνπκε όηαλ ζηελ ίδηα ηδηνηηκή αληηζηνηρνύλ πεξηζζόηεξεο από κία αλεμάξηεηεο ηδηνζπλαξηήζεηο) Απόδεημε: x x Έζησ όηη ζηελ ίδηα ηδηνηηκή E αληηζηνηρνύλ δύν ηδηνζπλαξηήζεηο θαη νη νπνίεο είλαη αλεμάξηεηεο κεηαμύ ηνπο, δειαδή δελ ππάξρεη ζηαζεξά ηέηνηα ώζηε. Από ηηο ζρέζεηο d d E V x και E V x ζα πάξνπκε (πνιιαπιαζηάδνληαο ηηο εμηζώζεηο ζηελ (7.) κε θαη αληίζηνηρα, όηη θαη επνκέλσο όπνπ c κηα ζηαζεξά. d d d d d (7.) (7.) d d c (7.3) (Σεκείσζε: αλ νη δηαζηάζεηο ήηαλ πεξηζζόηεξεο (π.ρ. ηξεηο) ε ζρέζε (7.) ζα έπαηξλε ηε κνξθή: (7.4) Η (7.4) δελ νδεγεί ζην ίδην ζπκπέξαζκα κε ηελ ζρ. (7.3) αθνύ θάζε ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο ηθαλνπνηεί, γηα ηπραία ζπλάξηεζε A, ηελ εμ. (7.4)). Η ζηαζεξά πνπ εκθαλίδεηαη ζηελ ζρ. (7.3) κπνξεί λα πξνζδηνξηζηεί αλ ζθεθηνύκε όηη ζα πξέπεη γηα x νη ζπλαξηήζεηο καο λα κεδελίδνληαη (αθνύ γηα λα έρνπκε δηαθξηηό θάζκα πξέπεη λα έρνπκε δέζκηεο θαηαζηάζεηο ). Δπνκέλσο c θαη ε (7.3) γξάθεηαη d d d d l l l l ζηαθ. (7.5) Απηό είλαη αληίζεην ζηελ ππόζεζε καο θαη επνκέλσο δελ ππάξρεη εθθπιηζκόο. A

2 Μηα άκεζε ζπλέπεηα ηνπ ζεσξήκαηνο απηνύ είλαη ε εμήο: Έζησ όηη ην δπλακηθό ζε θάπνην πξόβιεκα είλαη ζπκκεηξηθό, δει. είλαη ηέηνην ώζηε Μπνξνύκε ηώξα λα δηαπηζηώζνπκε όηη αλ ζηελ εμίζσζε V x V x (7.6) d V x x E x (7.7) θάλνπκε ηελ αιιαγή x x ζα πάξνπκε d V ( x) x E x Αλ επνκέλσο εθαξκόζνπκε ην ζπκπέξαζκα ηνπ ζεσξήκαηνο ζα έρνπκε: Έηζη βιέπνπκε όηη x x x x x (7.8) (7.9) x x (7.) Η ηειεπηαία ζρέζε δειώλεη όηη ζηελ πεξίπησζε πνπ ε Hailtoia παξνπζηάδεηαη ζπκκεηξηθή ζηελ αιιαγή x x νη ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο ζα είλαη είηε άξηηεο είηε πεξηηηέο ζπλαξηήζεηο ηνπ x. Απηό ην δείμακε θαη πξσηύηεξα, κε πην θνξκαιηζηηθό ηξόπν, νξίδνληαο ηνλ ηειεζηή ηεο νκνηηκίαο. Σπγθεθξηκέλα, νξίδνληαο ηνλ ηειεζηή ˆ σο εμήο: ˆf x f x εύθνια βξίζθνπκε ηηο ηδηνηηκέο ηνπ και κέζσ ηεο δηπιήο εθαξκνγήο ηνπ πνπ αθήλεη νπνηαδήπνηε ζπλάξηεζε αλαιινίσηε: ˆ ˆ f x ˆf x f x Σπλδπάδνληαο απηό ην απνηέιεζκα κε ηνλ νξηζκό ησλ ηδηνηηκώλ θαη ηδηνζπλαξηήζεσλ ηνπ ˆ, πνπ νξίδνληαη κέζσ ηεο εμίζσζεο ˆf x f x ζπκπεξαίλνπκε όηη ˆ ˆ f x ˆ f x ˆ f x f x f x Οη ηδηνζπλαξηήζεηο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε απηέο ηηο δύν ηδηνηηκέο είλαη δπγέο θαη πεξηηηέο αληίζηνηρα: ˆf x f x f x f x ˆf x f x f x f x Τν θιεηδί είλαη όηη νη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπ ηειεζηή Ĥ (Φακηιηνληαλή) θαη ηνπ ηειεζηή ˆ ζπκπίπηνπλ, αλ ην δπλακηθό είλαη δπγή ζπλάξηεζε ηεο ζέζεο, δει. αλ είλαη ζπκκεηξηθό σο πξνο ηνλ κεηαζρεκαηηζκό x x. Γηα λα δείμνπκε όηη όλησο ζπκπίπηνπλ, ρξεηάδεηαη λα δείμνπκε όηη νη δύν ηειεζηέο κεηαηίζεληαη: Ĥ, ˆ

3 Η απόδεημε έρεη σο εμήο (ην θάλακε ζην κάζεκα): Ο πξώηνο κεηαζέηεο είλαη ˆ ˆp ˆ ˆ ˆ H, ˆ V, ˆ p ˆ, V, ˆ x x ˆ ˆ ˆ ˆp, x x x x x Ο δεύηεξνο κεηαζέηεο ππνινγίδεηαη κε ηνλ ίδην ηξόπν: ˆV, ˆ ˆ ˆ x V x V x V x x V x x θαη είλαη πξνθαλώο κεδέλ αλ ην δπλακηθό είλαη ζπκκεηξηθό σο πξνο ην x. νεδ.. Πηγάδι με άπειπο βάθορ ζηην μία πλεςπά Θα ππνινγίζνπκε ηηο δέζκηεο θαηαζηάζεηο ελόο ζσκαηηδίνπ ην νπνίν βξίζθεηαη ππό ηελ επήξεηα ηνπ δπλακηθνύ x V x V x L L x Η (ρξνλναλεμάξηεηε) εμίζσζε πνπ έρνπκε λα ιύζνπκε είλαη (πξνθαλώο) ε d V x x E x (7.) Η (7.) νδεγεί ζε δέζκηεο θαηαζηάζεηο κόλν ζηελ πεξηνρή : x L θαη κόλν γηα V E (αλ E θίλεζε έσο ην ζα ήηαλ, πξνθαλώο, επηηξεπηή). Πξάγκαηη, ζηελ πεξηνρή ΙΙ θαη επνκέλσο d V x E x x A si x B cos x, V E V q (7.) (7.3) Σηηο πεξηνρέο I : x θαη I : L x ζα έρνπκε αληίζηνηρα x και x A e qx, q E (7.4) I I I Απαηηώληαο ζπλέρεηα ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο ζηα x θαη x L, θαη ηεο παξαγώγνπ ηεο ζην x L (αθνύ πξνο ηα δεμηά ε αζπλέρεηα ηνπ δπλακηθνύ είλαη πεπεξαζκέλε) παίξλνπκε I B si cos ζπλδπάδνληαο ηηο παξαπάλσ ζρέζεηο βξίζθνπκε (7.5) ql L I L A L AI e (7.6) ql L I L A L qai e (7.7) 3

4 x A si x, ta L (7.8) q Η ηειεπηαία ζρέζε ζα καο πξνζδηνξίζεη ηα επηηξεπηά ελεξγεηαθά επίπεδα θαη κπνξεί λα ιπζεί αξηζκεηηθά. Μπνξνύκε, όκσο, λα βγάινπκε θάπνηα ζπκπεξάζκαηα από ηε κειέηε ηεο. Η (7.8) γξάθεηαη σο εμήο: Γξάθνληαο si L si si L L q q V L ε εμίζσζε πνπ έρνπκε λα ιύζνπκε γίλεηαη, L V si g κε ηελ πξνϋπόζεζε, ιόγσ ηεο (7.8), όηη ta. Η ιύζε βξίζθεηαη «γξαθηθά» ζρεδηάδνληαο ηηο θακπύιεο ζεκεία ηνκήο ηνπο. Όηαλ απηά βξεζνύλ ζα έρνπκε όηη g (7.9) (7.) y si, y g θαη βξίζθνληαο ηα x x A si, E V Vsi L L (7.) H πξνϋπόζεζε ηεο αξλεηηθήο εθαπηνκέλεο ζεκαίλεη όηη,,,3,... (7.) Αλ ζπλδπάζνπκε ηνλ ηειεπηαίν πεξηνξηζκό κε ηελ πξνθαλή απαίηεζε si g g βγάδνπκε ην ζπκπέξαζκα όηη ζα πξέπεη g V 4 4 L (7.3) Με άιια ιόγηα ζην ζπγθεθξηκέλν πξόβιεκα ε ύπαξμε δέζκησλ θαηαζηάζεσλ δελ είλαη δεδνκέλε. Θα πξέπεη ην δπλακηθό λα είλαη αξθεηά "βαζύ" (δειαδή αξθνύλησο ειθηηθό) ώζηε λα ζπκβεί απηό. Η ειάρηζηε ηηκή ηνπ δπλακηθνύ πξνθεηκέλνπ λα δεκηνπξγεζεί κία δέζκηα θαηάζηαζε δηαβάδεηαη από ηελ (7.3) γηα : Γηα απηή ηελ ηηκή ηνπ V, V 8L,i x x A si και E V,i L L 4 Αλ ην βάζνο ηνπ δπλακηθνύ παξακέλεη ζηελ πεξηνρή V 9 8L 8L (7.4) (7.5) (7.6) 4

5 ζα εμαθνινπζήζνπκε λα έρνπκε κόλν κία δέζκηα θαηάζηαζε κε ελέξγεηα E V (7.7) si Τν ειάρηζην βάζνο ώζηε λα έρνπκε δύν δέζκηεο θαηαζηάζεηο ζα ην δηαβάζνπκε από ηε ζρέζε (7.3) γηα : 9 8. Γεληθά όηαλ L ζα έρνπκε δέζκηεο θαηαζηάζεηο. 8L 8L V Τέινο, παξαηεξνύκε όηη ζηελ πεξηνρή x L, ε θπκαηνζπλάξηεζε δίδεηαη σο I x e q E ~ qx, (7.8) ν κε κεδεληζκόο ηεο νπνίαο δειώλεη ηε δπλαηόηεηα λα βξεζεί ην ζσκάηην ζε πεξηνρή όπνπ ε ζπλνιηθή ελέξγεηα E είλαη κηθξόηεξε ηεο "δπλακηθήο" ελέξγεηαο. Σην πιαίζην ηεο θιαζηθήο θπζηθήο κηα ηέηνηα πεξίπησζε ζπληζηά παξάδνμν αθνύ ε θηλεηηθή ελέξγεηα είλαη πάληα ζεηηθή ή κεδέλ. Σηελ θβαληηθή κεραληθή, όκσο, δελ έρεη λόεκα λα κηιάκε μερσξηζηά γηα θαζνξηζκέλε "θηλεηηθή" θαη "δπλακηθή" ελέξγεηα αθνύ νξκή θαη ζέζε δελ κπνξνύλ λα θαζνξηζηνύλ ηαπηόρξνλα. Δπνκέλσο ε δπλαηόηεηα δηείζδπζεο ζηελ θιαζζηθά απαγνξεπκέλε πεξηνρή δελ δεκηνπξγεί πξόβιεκα. 3. Σςμμεηπικό πεπεπαζμένο πηγάδι Δπαλεξρόκαζηε ζηελ εύξεζε ησλ δέζκησλ θαηαζηάζεσλ ελόο ζσκαηηδίνπ ην νπνίν, ηώξα, βξίζθεηαη ππό ηελ επήξεηα ηνπ δπλακηθνύ x L V x V L x L L x Τν πξόβιεκα απηό παξνπζηάδεη νκνηόηεηεο αιιά θαη ζεκαληηθέο δηαθνξέο από ηελ ελόηεηα. Καηαξράο είλαη θαλεξό όηη ζηηο πεξηνρέο I : x L και I : L x ε ιύζε (ε νπνία κεδελίδεηαη ζην ) είλαη x A e x A e q E (7.9) qx qx και, I I I I Σηελ θεληξηθή πεξηνρή ε ιύζε είλαη όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηνπ απεηξόβαζνπ από ηε κηα πιεπξά: x A si x B cosx V E (7.3) Σην ζεκείν απηό κπνξνύκε λα δηεπθνιπλζνύκε πνιύ αλ παξαηεξήζνπκε όηη ζηελ θεληξηθή πεξηνρή ε Hailtoia είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ην (δει. έρεη ηε ζπκκεηξία πνπ αλαθέξακε ζην πξνεγνύκελν ζεώξεκα) θαη επνκέλσο νη ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο ζα είλαη είηε άξηηεο είηε πεξηηηέο ζπλαξηήζεηο ηνπ x. Οη πεξηηηέο ζα είλαη ηεο κνξθήο x A six (7.3) 5

6 ελώ νη άξηηεο ζα έρνπλ ηε κνξθή x B cosx (7.3) Αο μεθηλήζνπκε από ηελ πξώηε πεξίπησζε. Οη απαηηήζεηο ζπλέρεηαο ηεο ζπλάξηεζεο θαη ηεο παξαγώγνπ ηεο ζα καο δώζνπλ I θαη επνκέλσο ζα πξέπεη λα ηζρύεη ql L AI e L A sil ql L qa e L A cosl I I ta L (7.33) (7.34) q (Παξαηεξείζηε θαη ειέγμηε όηη νη ζπλνξηαθέο απαηηήζεηο ζην άιιν άθξν ζα ζαο δώζνπλ αθξηβώο ηελ ίδηα ζπλζήθε-όπσο ζα πεξηκέλαηε ιόγσ ηεο ζπκκεηξίαο ηνπ δπλακηθνύ ζαο). Ο ζπλδπαζκόο ησλ εμ. (7.3) θαη (7.34) δελ είλαη παξά ν ίδηνο πνπ ήδε αληηκεησπίζακε ζηελ πξνεγνύκελε παξάγξαθν: x A six ta L (7.35) q Δπαλαιακβάλνληαο, επνκέλσο, ηα ίδηα βήκαηα ζα θαηαιήμνπκε όηη ηα ελεξγεηαθά επίπεδα ζα πξνζδηνξηζηνύλ από ηελ si g, ta, όποσ L, g L V (7.36) Η δηεξεύλεζε πνπ αθνινπζνύζε ηελ αληίζηνηρε ζρέζε ηνπ πξνεγνπκέλνπ δπλακηθνύ ηζρύεη θαη εδώ αιιά πξηλ αλαθεξζνύκε ζ' απηή αο δνύκε θαη ηελ πεξίπησζε ησλ άξηησλ ζπλαξηήζεσλ. Δδώ νη ζπλνξηαθέο απαηηήζεηο είλαη: I θαη επνκέλσο ζα πξέπεη λα ηζρύεη ql L AI e L B cosl ql L qa e L B sil I I ta L (7.37) q (7.38) Έηζη γηα ηηο άξηηεο ιύζεηο ζα έρνπκε q x B cosx ta L (7.39) Μπνξνύκε ηώξα λα δηαπηζηώζνπκε όηη ή όηη cos L q cos cos L L q V cos g με ηην προϋπόθεζη όηι ta (7.4) Σπλνςίδνληαο: νη ελεξγεηαθέο ζηάζκεο ησλ πεξηηηώλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ζα πξνζδηνξηζηνύλ από ηηο si g, ta και ηων άρηιων από ηις cos g, ta (7.4) 6

7 L, V E, g L V όπνπ Αο θάλνπκε ηώξα κηα δηεξεύλεζε ησλ εμηζώζεσλ (7.4). Ο πεξηνξηζκόο ηεο ζεηηθήο εθαπηνκέλεο ζηε δεύηεξε από ηηο εμηζώζεηο απηέο ηθαλνπνηείηαη ζηελ πεξηνρή,,,3,... (7.4) ελώ ν πεξηνξηζκόο ηεο αξλεηηθήο ηθαλνπνηείηαη (όπσο είδακε θαη ζην πξνεγνύκελν πξόβιεκα) ζηελ πεξηνρή,,,3,... (7.43) Γηα λα ππάξρνπλ, επνκέλσο ηνπιάρηζηνλ άξηηεο δέζκηεο θαηαζηάζεηο ζα πξέπεη cos g ( ) g g ή V L (7.44) Όπσο θαίλεηαη από ηελ ηειεπηαία ζρέζε (θαη αθνύ V ) ην πξόβιεκά καο έρεη ηνπιάρηζηνλ κία δέζκηα θαηάζηαζε. Γηα λα έρνπκε θαη πεξηηηέο δέζκηεο θαηαζηάζεηο ζα πξέπεη (όπσο είδακε θαη ζην πξνεγνύκελν πξόβιεκα) λα είλαη g 4 8L ή V (7.45) θαη επνκέλσο ε ειάρηζηε ηηκή ηνπ δπλακηθνύ γηα λα εκθαληζζεί θαη πεξηηηή δέζκηα θαηάζηαζε είλαη V 8L Μπνξνύκε εύθνια ηώξα λα θάλνπκε ηε γεληθή πεξηγξαθή: αλ ην βάζνο ηνπ δπλακηθνύ είλαη ζηελ πεξηνρή V ή όηαν 8L g (7.46) ε γσληαθή κεηαβιεηή είλαη ζηελ πεξηνρή / θαη έρνπκε μόνο μία δέζμια θαηάζηαζε ε νπνία είλαη άξηηα: Σηελ πεξηνρή x x B E V L L cos με ενέργεια V ή όηαν 8L L g (7.47) (7.48) 7

8 ε γσληαθή κεηαβιεηή είλαη ζηελ πεξηνρή θαη κπνξνύκε λα έρνπκε δύν δέζκηεο θαηαζηάζεηο: κία άξηηα θαη κία πεξηηηή Γεληθά, ζηελ πεξηνρή x x B cos με ενέργεια E V, L L x x A si με ενέργεια E E V, L L L 8L V (7.49) (7.5) Έρνπκε άξηηεο θαη πεξηηηέο δέζκηεο θαηαζηάζεηο νη νπνίεο ελαιιάζζνληαη κεηαμύ ηνπο. Σηελ πεξηνρή 8L L V έρνπκε άξηηεο θαη πεξηηηέο δέζκηεο θαηαζηάζεηο νη νπνίεο ελαιιάζζνληαη κεηαμύ ηνπο. Σε θάζε πεξίπησζε ε θαηάζηαζε ρακειόηεξεο ελέξγεηαο είλαη άξηηα. 4. Σςνάπηηζη δέληα Γπξλάκε ηώξα ζηηο δέζκηεο θαηαζηάζεηο ελόο ζσκαηηδίνπ πνπ βξίζθεηαη ζην δπλακηθό x V x Τν δπλακηθό απηό είλαη νξηαθή πεξίπησζε ηνπ δπλακηθνύ ηνπ πξνεγνπκέλνπ παξαδείγκαηνο όηαλ L θαη V κε ηέηνην ηξόπν ώζηε LV /. Πξάγκαηη, ζηελ πεξίπησζε πνπ ζπδεηάκε ην δπλακηθό είλαη δηάθνξν ηνπ κεδελόο κόλν ζηε ζέζε x θαη έηζη: Σην πξνεγνύκελν πξόβιεκα είρακε V x x L V x V LV νπόηε όηαλ L ζα πξέπεη V κε ηξόπν ώζηε LV /. Η εμίζσζε πνπ έρνπκε λα ιύζνπκε είλαη ε d L x E V x x E x όπνπ ρξεζηκνπνηήζακε ην γεγνλόο όηη γηα δέζκηεο θαηαζηάζεηο E. Γηα x ε (7.5) γίλεηαη θαη ε ιύζε ηεο είλαη d x E x q x (7.5) (7.5) 8

9 qx qx x Ae όηαν x και x Ae όηαν x (7.53) (Ο ζπληειεζηήο είλαη ν ίδηνο ιόγσ ηεο ζπλέρεηαο ηεο ζπλάξηεζεο.) Δπεηδή ζην κεδέλ ε αζπλέρεηα ηνπ δπλακηθνύ είλαη άπεηξε ε παξάγσγνο ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο ζα πξέπεη λα είλαη αζπλερήο. Απηό κπνξνύκε λα ην δηαπηζηώζνπκε ακέζσο αλ νινθιεξώζνπκε ηελ εμίζσζε (7.5) ζηε γεηηνληά ηνπ ζεκείνπ x ή d li x li E x x x (7.54) Σπλδπάδνληαο ηηο εμ. (7.53) θαη (7.54) έρνπκε: qa qa A q E (7.55) Δπνκέλσο έρνπκε κία δέζκηα θαηάζηαζε κε ηελ ελέξγεηα πνπ δειώλεηαη ζηελ πξνεγνύκελε ζρέζε θαη θπκαηνζπλάξηεζε x Aexp x Η ζηαζεξά θαλνληθνπνίεζεο κπνξεί λα ππνινγηζζεί εύθνια: A e A e e A A q qx qx qx q (7.56) (7.57) Τα απνηειέζκαηα απηά ζα κπνξνύζακε λα ηα πάξνπκε θαη από ην πεξαηό πεγάδη ζην όξην L, V. Πξάγκαηη. Ξεθηλώληαο από ηε ζρέζε (7.3) ηνπ πξνεγνπκέλνπ πξνβιήκαηνο ζα έρνπκε: θαη αθνύ ζα πάξνπκε όηη V E E L L V V g L V E g V L Βιέπνπκε, δειαδή, όηη ν αξηζκόο είλαη πνιύ κηθξόο ελώ ν αξηζκόο g πνιύ κεγάινο έηζη ώζηε ην γηλόκελν ηνπο λα είλαη ιίγν κηθξόηεξν από ηε κνλάδα. Έηζη, από ηηο εμηζώζεηο κόλν ε πξώηε έρεη ιύζε: cos g και si g E g E V V cos 9

10 Μία ελδηαθέξνπζα άζθεζε πνπ εθαξκόδεη πνιιά από ηα σο άλσ είλαη ε εμήο: έζησ ζσκάηην πνπ βξίζθεηαη δεζκεπκέλν ππό ηελ επίδξαζε ηνπ δπλακηθνύ x V x (α) Πξνζδηνξίζηε ηελ πηζαλόηεηα λα βξεζεί ζηελ πεξηνρή x πηζαλόηεηα γίλεηαη /. (β) Βξείηε ηε δηαζπνξά ηεο ζέζεο ηνπ ζσκαηίνπ. a θαη βξείηε γηα πνην a ε ελ ιόγσ (γ) Πξνζδηνξίζηε ηελ ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο λα βξεζεί ην ζσκάηην κε νξκή κεηαμύ (δ) Βξείηε ηε δηαζπνξά ηεο νξκήο ηνπ ζσκαηίνπ. Λύζε: x q exp q x, q p και p dp (α) Σηελ αλάιπζε ηνπ δπλακηθνύ-δέιηα βξήθακε όηη (7.58) Δπνκέλσο θαη a a a qx qx qx P x a x q e q e q e (β) Η κέζε ζέζε ηνπ ζσκάηηνπ ζα είλαη a a a a qx qa q e e (7.59) qa P x a / e / a l (7.6) q qx (7.6) x q xe αθνύ ε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο είλαη άξηηα ζπλάξηεζε ηνπ x (ζπκκεηξηθή γύξσ από ην ). Γηα ηε δηαζπνξά ρξεηαδόκαζηε θαη ηελ πνζόηεηα θαη επνκέλσο qx qx! x q x e q x e q (7.6) 3 q q x (7.63) q (γ) Τν πιάηνο πηζαλόηεηαο λα βξεζεί ην ζσκάηην κε νξκή p δίλεηαη από ηε ζρέζε θαη επνκέλσο g p q exp px q exp px g p q x i qx i exp qx i px x e px i (7.64)

11 Η δεηνύκελε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο ζα είλαη: q q q q ip / q ip / q p / g p 3 q (δ) Η κέζε νξκή ηνπ ζσκαηίνπ ζα είλαη κεδέλ: p q p / (7.65) (7.66) dpp g p (7.67) αθνύ ε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο (7.59) είλαη άξηηα ζπλάξηεζε. Σηε ζπλέρεηα κπνξνύκε λα δνύκε όηη q p q q p dpp g p dp q q p / Τν νινθιήξσκα πνπ εκθαλίδεηαη ζην ηειεπηαίν βήκα ππνινγίδεηαη εύθνια: p dp dp b arcta x b a bp a b x ab ab px a/ b a bp θαη επνκέλσο: Απλόρ Απμονικόρ Ταλανηωηήρ p q x p (7.68) (7.69) Τν δπλακηθό ηνπ Απινύ Αξκνληθνύ Ταιαλησηή (ΑΑΤ) είλαη ηεο κνξθήο V x x όπνπ ζεηηθή ζηαζεξά, θαη ν παξάγνληαο έρεη γξαθζεί έηζη ώζηε ε θιαζζηθή ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο λα δίδεηαη σο εμήο: dv F x x x xt Acost Bsit όπνπ θαη AB, δπν ζηαζεξέο πνπ βξίζθνληαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο, π.ρ. ηελ ηηκή ηεο ζέζεο θαη ηεο ηαρύηεηαο ζε θάπνην ρξόλν, έζησ t : x θαη u. Τν δπλακηθό ηνπ ΑΑΤ είλαη εμαηξεηηθά ζεκαληηθό επεηδή όια ηα δπλακηθά πνπ παξνπζηάδνπλ θάπνην ηνπηθό ειάρηζην, γηα κηθξέο κεηαηνπίζεηο γύξσ από ην ειάρηζην έρνπλ ηε κνξθή ηνπ ΑΑΤ. Απηό δείρλεηαη κε κηα αλάπηπμε ηνπ δπλακηθνύ ζην x : Δθόζνλ ε Γειαδή: Vx ζε ζεηξά Taylor γύξσ από ην ειάρηζην, έζησ dv d V xx! xx V x V x x x x x... Vx έρεη ειάρηζην ζην x, dv θαη d V x x ( ζηαζεξόο αξηζκόο).

12 5. ΑΑΤ: Επίλςζη εξίζωζηρ Schrödiger V x V x x x Γπξλάκε ηώξα ζηελ Κβαληηθή Μεραληθή. Αληηθαζηζηώληαο ην δπλακηθό ηνπ ΑΑΤ ζηελ εμίζσζε Schrödiger, έρνπκε: d x x E x (7.7) Μπνξνύκε λα κεηαηξέςνπκε ηελ (7.7) ζε εμίζσζε σο πξνο κηα αδηάζηαηε κεηαβιεηή, y, σο εμήο: Θέηνπκε y x όπνπ d E x x. Οπόηε ε (7.7) γξάθεηαη (7.7) d E y y dy E Ο παξάγνληαο είλαη θαζαξόο αξηζκόο (ρσξίο δηαζηάζεηο): E E θαη επνκέλσο, ε δηαθνξηθή εμίζσζε πνπ έρνπκε λα ιύζνπκε είλαη ε εμήο: (7.7) d y y (7.73) dy κε ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο πνπ απνξξένπλ από ηελ νινθιεξσζηκόηεηα ηεο ύπαξμε ηνπ νινθιεξώκαηνο y, δειαδή από ηελ y dy li y (7.74) y Η επίιπζε ηεο (7.73) δηεπθνιύλεηαη αλ ζεσξήζνπκε ηε ζπκπεξηθνξά ηεο όξην απηό ε (7.73) γξάθεηαη Γνθηκάδνληαο ιύζε ηεο κνξθήο y ζην y. Σην y y y (7.75) y e y θαη αληηθαζηζηώληαο ζηελ (7.75), βξίζθνπκε εύθνια όηη Η ιύζε κε απνθιείεηαη ιόγσ ηεο (7.74). Δπνκέλσο, κπνξνύκε λα γξάθνπκε y y e H y (7.76)

13 όπνπ από ηελ H y κηα ζπλάξηεζε ηνπ y πνπ ζην όξην y ζα πξέπεη λα κελ απμάλεηαη πην γξήγνξα y e. Αληηθαζηζηώληαο ηελ (7.76) ζηελ (7.73) παίξλνπκε κηα δηαθνξηθή εμίζσζε γηα ηελ H y : H y yh y H y (7.77) πνπ είλαη γλσζηή θαη σο δηαθνξηθή εμίζσζε Herite. Η (7.77) κπνξεί λα ιπζεί κε αλάπηπμε ηεο H y ζε ζεηξά: H y a y (7.78) Αληηθαζηζηώληαο ηελ (7.78) ζηελ (7.77) παίξλνπκε: a a a y (7.79) θαη εθόζνλ ε (7.79) ηζρύεη γηα θαηαιήγνπκε ζηε ζπλζήθε πνπ πξέπεη λα πιεξνύλ νη a : Η (7.8) είλαη θαη ε επηζπκεηή ιύζε ηεο y, ν θάζε όξνο ηνπ πνιπσλύκνπ ζα είλαη κεδέλ, θαη επνκέλσο a a H y αθνύ, δεδνκέλνπ ελόο (7.8) a j, κπνξνύκε κέζσ ηεο (7.8) λα ππνινγίζνπκε όινπο ηνπο ππόινηπνπο ζπληειεζηέο. Ωο παξάδεηγκα, δεδνκέλνπ ηνπ a, κπνξνύκε λα βξνύκε, από ηελ (7.8), ηνπο a3, a5,..., a. Αμίδεη λα παξαηεξήζνπκε επίζεο όηη ε H y πξέπεη λα είλαη άξηηα ή πεξηηηή, αθνύ ε y πξέπεη επίζεο λα είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηεο νκνηηκίαο, κηαο θαη ε εμίζσζε Schrödiger (ιόγσ ηνπ δπλακηθνύ) είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ην κεηαζρεκαηηζκό y y. Σπκπεξαίλνπκε όηη αλ a, ηόηε αλαγθαζηηθά a, πνπ ζεκαίλεη..., ελώ αλ a, ηόηε a θαη άξα a3 a5... a. a a4 a Τέινο πξέπεη λα ζηγνπξεπηνύκε όηη ε (7.8) ζπγθιίλεη. Βιέπνπκε όηη a li a πνπ ζεκαίλεη όηη ε αζπκπησηηθή ζπκπεξηθνξά ηεο H y Σε ζπλδπαζκό κε ηελ (7.76), ζπκπεξαίλνπκε όηη πνπ, πξνθαλώο, δελ πιεξνί ηελ (7.74). y H y είλαη y y e e (7.8) Ο κόλνο ηξόπνο λα απνθύγνπκε ην πξόβιεκα απηό είλαη ε ζεηξά (7.78) κε ηνπο ζπληειεζηέο πνπ δίδνληαη από ηελ (7.8) λα κελ είλαη άπεηξε. Απηό ζεκαίλεη όηη ηεξκαηίδεηαη ζε θάπνηα δύλακε ηνπ y, δειαδή γηα θάπνηα ηηκή ηνπ, έζησ ηελ, έρνπκε a a (7.8) 3

14 Από ηελ (7.8) ζπκπεξαίλνπκε όηη θαη άξα (7.83) (7.84) πνπ καο ιέεη όηη γηα λα ηζρύεη ε ζπλνξηαθή ζπλζήθε (7.74), ε παξάκεηξνο πξέπεη λα είλαη ηεο κνξθήο (7.83). Από ηνλ νξηζκό ηνπ (7.7) παίξλνπκε ακέζσο ηηο επηηξεπόκελεο ηηκέο ηεο ελέξγεηαο: θαη άξα ην θάζκα ησλ ελεξγεηώλ ηνπ ΑΑΤ δίδεηαη σο E (7.85) 3 5,,,...,... Όπσο έρνπκε δεη ζην θεθάιαην ηεο ζρέζεο αβεβαηόηεηαο, ην γεγνλόο όηη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ελέξγεηαο ζε έλα ΑΑΤ είλαη, νθείιεηαη ζηε ζεκειηώδε ζρέζε 5. ΑΑΤ: Πολςώνςμα Herite xp (7.86) Οη ηδηνζπλαξηήζεηο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε απηέο ηηο ηδηνηηκέο ηεο ελέξγεηαο βξίζθνληαη κε ρξήζε ηεο (7.8) δεδνκέλνπ ηνπ. Από ηελ αλάιπζε πνπ θάλακε, ζπκπεξαίλνπκε όηη νη y δίδνληαη από ηελ (7.76), όπνπ ε H y είλαη έλα πεξαηό πνιπώλπκν, βαζκνύ. Γξάθνληαο ην αλαιπηηθά: ε H y πιεξνί ηελ εμίζσζε όπνπ,,,... πνιπώλπκα H y yh y H y, θαη ε ιύζε είλαη ην πνιπώλπκν έρνπκε H Για, H y a y Για, H y a a y κε H y a y a από ηελ (7.8). Τα y ιέγνληαη πνιπώλπκα Herite θαη ππνινγίδνληαη εύθνια. Ωο παξάδεηγκα, γηα H y a y a όπνπ δει. H y y 4

15 Καη κε ηνλ ίδην ηξόπν, βξίζθνπκε ηα H3 y,..., H y, αθήλνληαο κόλν έλαλ ειεύζεξν ζπληειεζηή, ην a ή ηνλ a, πνπ ππνινγίδεηαη από ηελ θαλνληθνπνίεζε ηεο Δθαξκόδνληαο ηελ (7.87) γηα, y y : y dy e H y dy (7.87) 4 y e a dy a a Αληίζηνηρα, ππνινγίδνπκε ην a γηα, 4,... θαη ηνλ a γηα ηηο πεξηηηέο ιύζεηο. Να ζεκεηώζνπκε όηη ε θπκαηνζπλάξηεζε σο ζπλάξηεζε ηνπ x έρεη έλαλ πξόζζεην όξν πνπ πξνέξρεηαη από ηελ θαλνληθνπνίεζε x (7.88) Η δηαθνξά ησλ (7.87) θαη (7.88) πξνέξρεηαη από ην δηαθνξηθό ( έλαληη dy ) θαη άξα 5.3 ΑΑΤ: Ιδιόηηηερ ηων λύζεων x 4 x e x Οη ιύζεηο ηνπ ΑΑΤ, έρνπλ ηε κνξθή x H x e. Παξά ηελ πνιππινθόηεηα, νη x έρνπλ ηξεηο πνιύ ζεκαληηθέο ηδηόηεηεο:. Η πην ζεκαληηθή είλαη ε πξνθαλήο: νη ιύζεηο είλαη άξηηεο ή πεξηηηέο, αλάινγα κε ην δείθηε. Απηό απνξξέεη από ηε ζπκκεηξία ηνπ δπλακηθνύ: V x V x. Φξεζηκνπνηώληαο απηό ην ζηνηρείν, ζπκπεξαίλνπκε όηη όπνπ Ωζηόζν, ε x x είλαη ε κέζε ηηκή ηεο ζέζεο ζηελ θαηάζηαζε. [Τν νινθιήξσκα είλαη πεξηηηό]. x είλαη πην δύζθνιε: x x x e H x (7.89) θαη ην νινθιήξσκα (7.89) ζέιεη πνιιή άιγεβξα. Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηέηνησλ νινθιεξσκάησλ, πξνζθέξεηαη ε «αιγεβξηθή κέζνδνο», ηελ νπνία ζα δνύκε ζε ιίγν.. Γεύηεξε ηδηόηεηα είλαη όηη νη ελεξγεηαθέο δηαθνξέο αλάκεζα ζε δηαδνρηθέο θαηαζηάζεηο είλαη ζηαζεξέο θαη ίζεο κε. 3. Η ηξίηε θαη εμαηξεηηθά ζεκαληηθή ηδηόηεηα είλαη όηη ε θαηάζηαζε ειάρηζηεο ελέξγεηαο έρεη E, ζε πιήξε αληίζεζε κε ηελ θιαζζηθή ιύζε! Απηό είλαη απόξξνηα ηεο Αξρήο Αβεβαηόηεηαο ηνπ Heiseberg (όπσο είδακε ζε πξνεγνύκελν θεθάιαην). Η ελέξγεηα απηή νλνκάδεηαη «ελέξγεηα θελνύ». Μπνξνύκε λα ηε κεηξήζνπκε θαη άξα λα 5

16 επαιεζεύζνπκε όηη ζηε ρακειόηεξε δπλαηή ελεξγεηαθή ζηάζκε, E, ρξεζηκνπνηώληαο δπαηνκηθά κόξηα κε δηαθνξεηηθά ηζόηνπα ηνπ ίδηνπ ζηνηρείνπ, π.ρ ην BO, κε B ή B. Η Φακηιηνληαλή γηα ηηο ηαιαληώζεηο έρεη ηε κνξθή pˆb pˆ Hˆ V x ˆ ˆ B,x (7.9) B όπνπ p ˆ ˆ B, x B θαη p ˆ ˆ, x ε νξκή θαη ζέζε ηνπ B θαη ηνπ O αληίζηνηρα, θαη ην δπλακηθό έρεη. ηε κνξθή V x, x C x x B o B o Η (7.9) κπνξεί λα γξαθζεί θαη σο όπνπ ˆp Ĥ Vx (7.9) και x xb xo Σπκπεξαίλνπκε όηη ε θαηάζηαζε ειάρηζηεο ελέξγεηαο ζε έλα ηέηνην κόξην ζα είλαη B O E Δπεηδή δελ γλσξίδνπκε ην (αθνύ δελ έρνπκε ηε ζηαζεξά C ζην δπλακηθό) κπνξνύκε λα κεηξήζνπκε ηε δηαθνξά ζηελ ελέξγεηα ηνληζκνύ. Αλ V i είλαη ην δπλακηθό ζην ειάρηζην, Eio Vi Άξα νη ελέξγεηεο ηνληζκνύ ηνπ BO θαη ηνπ BO ζα είλαη δηαθνξεηηθέο, κνινλόηη ρεκηθά πξόθεηηαη γηα ηελ ίδηα έλσζε. Η δηαθνξά ησλ δπν ελεξγεηώλ ηνληζκνύ καο δίλεη ην. Καη γηαηί δελ ηνλίδνληαη ηα άηνκα ζηηο «ζεξκνθξαζίεο δσκαηίνπ»; Ηιεθηξόλην πεξηνξηζκέλν ζε απόζηαζε a Η ελέξγεηα δηάζπαζεο ηνπ δπλακηθνύ ζα δίδεηαη Θεξκηθή ελέξγεηα: a E e p 6 7eV a a E a E e 4 M p Άξα θαη επνκέλσο E M p E e 6

17 8 E Ee E 4 Η ηαιαλησηηθή ελέξγεηα ζε ζεξκνθξαζία δσκαηίνπ είλαη KT δωμ ev 4 Η ηαρύηεηα πνπ αληηζηνηρεί ζε απηήλ ηελ ελέξγεηα είλαη M M ev 4 M pc ev,5 c 4 c 4 6. Χπονική εξέλιξη Έζησ κηα θαηάζηαζε, x Σε ρξόλν t, ε εμειίζζεηαη ζηελ όπνπ s 5 5 3,5 s 5.5 h x, ελόο ζσκαηηδίνπ ζε ΑΑΤ: x x x, x t x e x e i t i t 3. Η κέζε ζέζε ζε ρξόλν t δίδεηαη σο it i t it i t, x t x x t x x x x x x x e e Θέηνληαο, 7 e x t x x x cos t (7.9) Τν νινθιήξσκα ζηελ (7.9) είλαη απιώο έλαο αξηζκόο, κε δηαζηάζεηο κήθνπο, νπόηε ε (7.9) είλαη απιώο Δίλαη εύθνιν λα βξνύκε ην *, p ˆ, p t x t x t pt : x t x cos t it it d it d it xe e i e e d d d d i x x x e x e i t it d. Τα δπν νινθιεξώκαηα ηεο κνξθήο x,,,... Δπηπιένλ κε νινθιήξσζε θαηά παξάγνληεο d x d x x x x c

18 θαη επνκέλσο d. όπνπ p x d p t si x e e p t i i t i t 7. Εναλλακηική επίλςζη ηος ΑΑΤ: η αλγεβπική μέθοδορ Κνηηάδνληαο ηε δηαδηθαζία επίιπζεο ηνπ ΑΑΤ (δει. ηεο εύξεζεο ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ θαη ηδηνηηκώλ ηεο Ĥ ), βιέπνπκε όηη ε βαζηθή δπζθνιία βξίζθεηαη ζηελ επίιπζε κηαο δηαθνξηθήο εμίζσζεο δεπηέξνπ βαζκνύ. Υπάξρεη κηα κέζνδνο (ε ιεγόκελε θαη «αιγεβξηθή») ε νπνία καο επηηξέπεη λα ιύζνπκε ηνλ ΑΑΤ κέζσ δηαθνξηθήο εμίζσζεο πξώηνπ βαζκνύ, γξάθνληαο, ζρεκαηηθά, ηελ Ĥ σο γηλόκελν δπν ηειεζηώλ, ˆT θαη ˆT, H ˆ TT ˆ ˆ, θαη ν θάζε ˆT έρεη κόλν πξώηε δύλακε ηνπ ˆp. Παξαγνληνπνηώληαο ηελ Ĥ, έρνπκε: Αλ νη ηειεζηέο ˆp θαη ˆx κεηαηίζελην, ε Ωζηόζν, επεηδή ˆx,p ˆ : ˆ pˆ pˆ H xˆ xˆ Ĥ ζα γξαθόηαλ ακέζσο σο ˆ ˆ ip ip xˆ xˆ TT ˆˆ Hˆ TT ˆ ˆ Μπνξνύκε σζηόζν λα πξνζζαθαηξέζνπκε ηνπο δηαζηαπξνύκελνπο όξνπο: Δπνκέλσο, pˆ xp ˆ ˆ px ˆ ˆ xp ˆ ˆ px ˆ ˆ Hˆ TT ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x TT i i i i Hˆ ˆˆ (7.93) aa (7.94) όπνπ γηα ζπληνκία, ζηελ (7.94) νξίζακε θαη δπν ηειεζηέο: ηνλ â : θαη ηνλ εξκηηηαλό ζπδπγή ηνπ, Οη ηειεζηέο â θαη â : aˆ iˆp ˆx iˆp aˆ ˆx â δελ κεηαηίζεληαη κεηαμύ ηνπο: pˆ pˆ pˆ pˆ aˆ, aˆ x ˆ i,xˆ i x, ˆ i i,xˆ i x, ˆ apˆ ii δειαδή ε ˆx,p ˆ i έρεη σο απνηέιεζκα (7.95) (7.96) 8

19 ˆ ˆ Με ηε ρξήζε ηεο (7.97), ε Φακηιηνληαλή γξάθεηαη aa, (7.97) Hˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aa a a a a (7.98) Καηαθέξακε απηό πνπ ζέιακε, δειαδή λα εθθξάζνπκε ηελ Ĥ σο γηλόκελν ηειεζηώλ πνπ έρνπλ ην πνιύ κηα δύλακε ηνπ ˆp. Η εύξεζε ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ θαηά ησλ ηδηνηηκώλ ηνπ ΑΑΤ, απαηηεί επνκέλσο, ηελ επίιπζε Ĥ E Πξνρσξνύκε σο εμήο. Έζησ όηη x είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηεο Ĥ κε ηδηνηηκή E, δει. : Τόηε ε aˆ x Ĥ x E x είλαη επίζεο ηδηνζπλάξηεζε ηεο Ĥ κε ηδηνηηκή E. Γηα λα ην δείμνπκε, δξάκε κε ηελ Ĥ ζηελ ˆ a : Hˆ aˆ H, ˆ ˆ ˆHˆ x a a x (7.99) Ο κεηαζέηεο H,a ˆ ˆ βξίζθεηαη εύθνια: H, ˆ aˆ ˆ a aˆ, aˆ aˆ aa ˆ ˆ aa ˆ ˆ aˆ Φξεζηκνπνηώληαο ηελ (7.99), θαη επνκέλσο Η (7.99) γξάθεηαη Η (7.) απνδεηθλύεη όηη ε πξνθαλέο όηη θαη ε Γηα νπνηνδήπνηε εξκηηηαλό ηειεζηή Â, ηζρύεη: 9 aˆ aˆ aa ˆ ˆ aa ˆ ˆ aˆ, aˆ aˆ H,a ˆ ˆ ˆ a Hˆ aˆ x ae ˆ x Hˆa ˆ x aˆ x aˆ x x E a x ˆ (7.) είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηεο Ĥ κε ηδηνηηκή E. Δίλαη πιένλ x aˆ ζα είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηεο Ĥ κε ηδηνηηκή E. Καη γεληθόηεξα, νπνηαδήπνηε δύλακε ηνπ â, έζησ πνζόηεηα E aˆ x δίδεη ηδηνζπλάξηεζε ηεο Ĥ, αξθεί ε. Η ηειεπηαία απηή ζπλζήθε απνξξέεη από ηελ ζεηηθόηεηα ηεο κέζεο ηηκήο ηεο ελέξγεηαο ζε νπνηαδήπνηε ηδηνζπλάξηεζε ηεο Ĥ : E ˆp ˆx

20 θαη επνκέλσο E. * ˆ * ˆ * ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A A AA A A A Έζησ ηώξα όηη κεηά από πνιιέο εθαξκνγέο ηνπ â, έζησ, θζάλνπκε ζε κηα ηδηνζπλάξηεζε ηνπ Ĥ, ηέηνηα ώζηε ε ελέξγεηά ηεο λα είλαη κηθξόηεξε ηνπ. Αλ ζπκβνιίζνπκε απηή ηελ ηδηνζπλάξηεζε κε x, ζα πξέπεη ε εθαξκνγή ηνπ â ζηελ x aˆ x Απόδειξη: αλ δελ ίζρπε ε (7.), ηόηε ε λα δίλεη κεδέλ: (7.) x â ζα ήηαλ ηδηνζπλάξηεζε ηεο (πνπ απνθιείεηαη). Τη ζα ζπλέβαηλε αλ είρακε αξρίζεη από άιιε ηδηνζπλάξηεζε ηεο x κε ηδηνηηκή E ; Μεηά από ηθαλό αξηζκό εθαξκνγώλ ηνπ â πάλσ ζηελ πάιη ζε κηα ηδηνζπλάξηεζε ηεο Ĥ, ηεο νπνίαο ε ηδηνηηκή ζα είλαη εθαξκνγή ηνπ â ζε απηή ηελ θαηάζηαζε ζα δώζεη λέα ηδηνζπλάξηεζε ηεο Δπαλαιακβάλνληαο ηελ σο άλσ δηαδηθαζία γηα ηνλ Ĥ x E x, ηόηε ˆ H Ĥ κε ηδηνηηκή x Ĥ, έζησ ηελ, ζα θζάλακε. Δπνκέλσο ε επόκελε Ĥ κε ηδηνηηκή. â, είλαη εύθνιν λα απνδείμνπκε όηη αλ ˆ aˆ x E a x (7.) Η δηαδηθαζία είλαη παλνκνηόηππε κε εθείλε ηελ αληίζηνηρε γηα ην ˆ a : H, ˆ aˆ a ˆ aˆ, aˆ aˆ aa ˆ ˆ aˆ aˆ aˆ aˆ aa ˆ ˆ aˆ aˆ aˆ Hˆa ˆ aˆ Hˆ aˆ aˆ E aˆ E aˆ Η ηειεπηαία ζρέζε είλαη απιώο ε (7.): ε ˆ a είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηεο Ĥ κε ηδηνηηκή E. Μαδεύνληαο ηα δπν απνηειέζκαηα, έρνπκε: όπνπ CE θαη C E aˆ C E ˆ E a C E E είλαη δπν αξηζκνί (πνπ κπνξεί λα εμαξηώληαη από ην E ). â c Καη εθόζνλ θάηη ηέηνην δελ επηηξέπεηαη, ζπκπεξαίλνπκε όηη ε ηδηνζπλάξηεζε ηεο, έζησ ε, ζα πξέπεη λα πιεξνί επίζεο ηελ εμίζσζε x x aˆ Ωζηόζν αλ κηα ζπλάξηεζε πιεξνί ηελ (7.), ε ελέξγεηά ηεο είλαη γλσζηή: Μεηά από εθαξκνγέο ηνπ Hˆ ˆ ˆ aa â ζηελ, ζα έρνπκε ηελ x κε ελέξγεηα: Ĥ κε ηδηνηηκή

21 Η δε ηδηνζπλάξηεζε δίδεηαη σο Έζησ πξαγκαηηθό, λα δείμνπκε γηα. E ˆ x a x! aˆ! aˆ aˆ aˆ! a a a * aa a a * ˆ ˆ ˆ Μπνξνύκε λα επηβεβαηώζνπκε όηη νη x απνηεινύλ νξζνθαλνληθό ζύζηεκα: * * a x a x x a a x για Δύθνιν λα βξνύκε ηηο άιιεο ιύζεηο: Μέζε ηηκή ηνπ x : Μέζε ηηκή ηνπ p : u x πεξηηηή ζπλάξηεζε Η a a a a! * u u x x A H u e du p * u u ˆp A H ue i H ue du u p ˆ p a a ˆ i aˆ aˆ, a i x βξίζθεηαη σο ιύζε ηεο a x ζην ππνθεθάιαην 5.), έρνπκε: * * aˆ ˆ a, p ˆ. Κάλνληαο ηελ αιιαγή κεηαβιεηήο u x (όπσο θαη

22 i ˆp i aˆ xˆ xˆ i x u x x u u aˆ u u Ae u Hˆ x aˆ aˆ x x Φξεζηκνπνηώληαο ην ζεώξεκα κε εθθπιηζκνύ ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ηεο Ĥ ζε κηα δηάζηαζε, ζπκπεξαίλνπκε όηη x x (7.): Καη γεληθόηεξα: Πνιπώλπκν Herite: Καλνληθνπνίεζε:, δει. ππάξρεη κόλν κηα θαηάζηαζε ηεο Ĥ πνπ πιεξνί ηελ u u u u u A u e A u u e ua e u Au e u u u e H ue u ˆ u u a aˆ aˆ aˆ * ˆ a * aa a a ˆ a aˆ aˆ aˆ aˆ

23 8. Μαθημαηικό ζςμπλήπωμα Έλα ρξήζηκν νινθιήξσκα: Απόδεημε: Με νινθιήξσζε θαηά παξάγνληεο παίξλνπκε: I x e x x x x x x I d e x e e d x e x I x Δίλαη δε πξνθαλέο όηη Άξα, I I I I 4. 3