Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φσζικής

Transcript

1 Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φσζικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώζεις V: Σσνετές θάζμα Σε απηή ηε δηάιεμε γεληθεύνπκε ην θνκαιηζκό πνπ έρνπκε αλαπηύμεη σο ηώα γηα ζπλερείο θπζηθέο πνζόηεηεο, π.ρ. ηε ζέζε θαη ηελ νκή: ζπκβνιίδνπκε ηελ θαηάζηαζε «ην ζσκαηίδην έρεη ζέζε x» (δει. βίζθεηαη ζηε γεηηνληά ηνπ x ) σο x. Αληίζηνηρα, ε θαηάζηαζε κε νκή p γάθεηαη σο p. Η θαλνληθνπνίεζε ησλ θαηαζηάζεσλ απηώλ, γίλεηαη όπσο ζηελ Κβαληνκεραληθή Ι: x x x x και p p p p (5.) (αληί δειαδή γηα m xx x x ) Καη πσο αλαπηύζζεηαη κηα θαηάζηαζε, π.ρ. ε, ζε ηδηνθαηαζηάζεηο κηαο ζπλερνύο πνζόηεηαο, ; Αλ ε πνζόηεηα ήηαλ δηαθηηή, δειαδή αλ ν ηειεζηήο ηνπ, έζησ ˆQ, είρε αηζκήζηκεο ηδηνθαηαζηάζεηο θαη ηδηνηηκέο, δειαδή ίζρπε: ˆQ (5.) ηόηε ε θάζε θαηάζηαζε κπνεί λα γαθηεί σο γακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ : c (5.3) Αλ ηώα νη δελ είλαη αηζκήζηκεο αιιά ζπλερείο, ηόηε ην άζνηζκα πέπεη λα αληηθαηαζηαζεί από d. Επνκέλσο,, ζην αλάπηπγκα (5.3) dc (5.4) Η δε εκελεία ηεο πνζόηεηαο c είλαη όηη ε πηζαλόηεηα λα βεζεί ζηελ πεηνρή d είλαη c d. Παίλνληαο ην εζσηεηθό γηλόκελν κε : θαη επνκέλσο dc dc c d d Σπκπεαίλνπκε όηη ε κνθή ηνπ ηαπηνηηθνύ ηειεζηή είλαη: Î d (5.5) Πνθαλώο, κπννύκε λα ρεζηκνπνηήζνπκε νπνηαδήπνηε βάζε ηνπ ρώνπ, π.ρ. x Î dx x x (5.6) θαη κπννύκε λα γάςνπκε νπνηαδήπνηε θαηάζηαζε σο ππέζεζε ησλ ηδηνθαηαζηάζεσλ ηεο ζέζεο: dx x x (5.7)

2 . Τελεζηής θέζης Πνηα είλαη ε εκελεία ηνπ x ; Είλαη ην πιάηνο πηζαλόηεηαο λα βεζεί ην ζσκαηίδην πνπ είλαη ζηελ θαηάζηαζε ζηελ θαηάζηαζε x, δει. ζηε ζέζε x. Επνκέλσο, είλαη ε θπκαηνζπλάηεζε ζην ρών ησλ ζέζεσλ! x dx x x x dx x x x x Ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο λα βεζεί ζηε «γεηηνληά ηνπ x»: (5.8) x Η δε πηζαλόηεηα λα βεζεί ζην x, x dx δίδεηαη σο: x (5.9) Γεληθά, ινηπόλ, όηαλ έλα ζώκα βίζθεηαη ζε κηα θαηάζηαζε, x dx x dx (5.0) (5.) dx x x dx x x Όπνπ ζπκβνιίδνπκε ηελ θπκαηνζπλάηεζε, πνπ αληηζηνηρεί ζηελ θαηάζηαζε ζην ρών ησλ ζέζεσλ, σο x. Εθόζνλ ε x είλαη ηδηνθαηάζηαζε ηνπ xˆ xˆ x x x. Επνκέλσο: x ˆx x x x x x x x Με απηό ην δεδνκέλν, κπννύκε λα ππνινγίζνπκε θάζε ζηνηρείν πίλαθα ηνπ ˆx σο πνο νπνηεζδήπνηε δπν θαηαζηάζεηο, έζησ ηηο θαη b, δει. ην b ˆx : b xˆ b dx x x xˆ dx x x dx dx b x x ˆx x x * b dx dx x x x x x * b dx x x x (5.) Με ηνλ ίδην ηόπν θαη εθόζνλ f ˆx x f x x, παίλνπκε: * b f dx x f x x ˆx b (5.3). Τελεζηής ηης ορμής Από ηελ θιαζζηθή κεραληθή, γλσίδνπκε όηη ε νκή είλαη ν γελλήηναο ησλ κεηαζέζεσλ. Άα ζα θνηηάμνπκε ηνλ ηειεζηή πνπ γελλάεη κεηαζέζεηο, ηνλ ηειεζηή κεηάζεζεο/κεηαθνάο, πνπ νίδεηαη x x (5.4) Τα ζηνηρεία πίλαθα ηνπ είλαη x x x x x x (5.5) Ο έρεη ηεηο ηδηόηεηεο πνπ απνένπλ από ηνλ νηζκό ηνπ:

3 Dˆ Dˆ + D D 0 lim Dˆ Dˆ Î ˆI (5.6) Κάζε κνλαδηαίνο ηειεζηήο, ˆQ ˆ, κπνεί λα γαθηεί σο ˆQ e if όπνπ ˆF έλαο εκηηηαλόο ηειεζηήο: ˆ ˆ F ˆ Fˆ ˆˆ i i i QQ e e e ˆI Fˆ Fˆ F F Επνκέλσο, ν κπνεί λα γαθηεί σο: e iâ όπνπ  εκηηηαλόο ηειεζηήο. Από ηηο ηδηόηεηεο ηνπ : Καη γεληθά, D ˆ Dˆ ˆ A Aˆ Aˆ Aˆ Άα, αλ ν  είλαη ζπλερήο, θαη επνκέλσο  iˆk ην νπνίν δίλεη ηειηθά e. Ο είλαη όλησο γελλήηναο ησλ κεηαηνπίζεσλ: απηό ην βιέπνπκε δώληαο ζε κηα ηπραία θαηάζηαζε : Επνκέλσο, κεηά ηε δάζε ηνπ Dˆ Dˆ dx x x dxdˆ x x dx x x dx x x, x x, όπσο άιισζηε πεηκέλακε, αθνύ ν κεηαζρεκαηηζκόο (5.4) αληηζηνηρεί ζε κεηαθίλεζε ηεο αρήο ηνπ άμνλα x θαηά λα αλαπηύμνπκε ζε άπεηε ζεηά (θαηά Tylor): Από ηελ άιιε, x x x... x! x x Εμηζώλνληαο ηηο (5.7) θαη (5.8) παίλνπκε: θαη επνκέλσο πέπεη λα ηζρύεη:. Μπννύκε (5.7) iˆk iˆk x e x (5.8)! iˆk dx x x x ˆk dx x x i x (5.9) Σεκεηώλνπκε όηη ν «ˆk» είλαη ηειεζηήο, όπσο πέπεη, αθνύ ν είλαη ηειεζηήο: 3

4 ˆ ˆ (5.0)! iˆk e ik ik... Μπννύκε ηώα λα ππνινγίζνπκε ην κεηαζέηε ˆx,D ˆ Σην όην 0, xd ˆ ˆ Dˆ xˆ : x xˆ x x x ˆx,D ˆ x x x x x x x Dˆ lim x,d ˆ ˆ x x 0 Ο κεηαζέηεο κπνεί λα ππνινγηζηεί θαη κέζσ ηεο (5.0). Καηώληαο κόλν ηνπο όνπο κέρη έρνπκε: Άα ν γελλήηναο ησλ κεηαζέζεσλ, κέζσ εθακνγώλ ηνπ x,d ˆ ˆ xˆ ikˆ ikˆ xˆ i x,k ˆ ˆ x,k ˆ ˆ i ikˆ. Μηα πεαηή κεηαηόπηζε θαηά dx, γελλάηαη :... kˆ dx dx i ˆk D D i dx e. Από ηελ θιαζζηθή κεραληθή γλσίδνπκε όηη ν γελλήηναο ησλ κεηαηνπίζεσλ είλαη ε νκή. Χεηαδόκαζηε όκσο ηηο κνλάδεο h p p k p p Καη επνκέλσο ε ζρέζε κεηάζεζεο ησλ ηειεζηώλ ζέζεο θαη νκήο γίλεηαη: ˆx,p ˆ i (5.) Ο δε ηειεζηήο κεηαηόπηζεο είλαη ˆp i (5.) Καη επνκέλσο θαηαιήγνπκε ζηελ έθθαζε ˆp dx x i x x (5.3) Τώα κπννύκε λα ππνινγίζνπκε ην ζηνηρείν πίλαθα b ˆp : * b ˆp dx b x x dxb x x i x i x (5.4) Επαλαθηνύκε δειαδή ηε γλσζηή έθθαζε ηεο κέζεο ηηκήο ηεο νκήο, p, πνπ γλσίδνπκε από ην ζεώεκα κέζεο ηηκήο. Γηα ηελ εηδηθή πείπησζε πνπ b x : x ˆp dx x x x dx x x x x i x i x i x ή ζε κνθή ζπλαηήζεσλ, x ˆp i x (5.5) 4

5 Αληίζηνηρα, νίδνπκε ηηο ηδηνθαηαζηάζεηο ηεο νκήο, p : ˆp p p p, p p p p (5.6) Οπνηαδήπνηε θαηάζηαζε κπνεί λα γαθεί σο ππέζεζε ησλ p : Η πνζόηεηα p g p ζην δηάζηεκα p, p dp. Από ηελ (5.5), έρνπκε dp p p είλαη ην πιάηνο ηεο ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο ην ζσκάηην λα έρεη νκή ελώ από ην γεγνλόο όηη ˆp p p p, έρνπκε: g p : ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο p, p dp x ˆp p x p i x (5.7) x ˆp p p x p (5.8) Σπλδπάδνληαο ηηο (5.7) θαη (5.8) παίλνπκε p x p i x x p Η ιύζε ηεο εμίζσζεο (5.9) είλαη x p Ae ip x (5.9) (5.30) Η ζηαζεά A βίζθεηαη κέζσ ηεο θαλνληθνπνίεζεο ησλ p : p p p p Εηζάγνληαο ηνλ ηαπηνηηθό ηειεζηή, ipx ipx p p dx p x x p A dxe e p p x x i p p A d e A p p p p A θαη βίζθνπκε ην γλσζηό απνηέιεζκα, όηη ε θπκαηνζπλάηεζε ζην ρών ησλ ζέζεσλ ελόο ζώκαηνο κε νκή p δίδεηαη σο ipx x p e (5.3) Η (5.3) καο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα γάςνπκε νπνηαδήπνηε θπκαηνζπλάηεζε «γακκηθό ζπλδπαζκό» ησλ ηδηνθαηαζηάζεσλ ηεο νκήο: ipx dp p p x dp x p p dpe g p ipx x dpe g p Καη βεβαίσο, κπννύκε λα γάςνπκε θαη ην αληίζηνθν: x σο (5.3) 5

6 ip x p dx p x x ' dxe x Σεκεηώλνπκε όηη ε (5.33) είλαη ν αληίζηνθνο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier. Τέινο, ππνινγίδνπκε ηελ αλαπαάζηαζε ηνπ ˆp ζηνλ ρών ησλ ζέζεσλ: b pˆ dx dx b x x pˆ x x (5.33) Χεζηκνπνηώληαο x ˆp x : i x i x * b pˆ dx b x x pˆ dx b x x dxb x x i x i x Παράδειγμα: Δείμηε όηη ν ηειεζηήο ηεο ζέζεο ζην ρών ησλ νκώλ έρεη ηε κνθή: Θεσνύκε ην ζηνηρείν πίλαθα: ˆx i p b xˆ dp b p p xˆ Χεηαδόκαζηε ην p ˆx : θαη επνκέλσο p xˆ dx p xˆ x x dxx p x x ip x dx e i x i dx p x x p p i p i g p p p (5.34) * b ˆx dp b p i p dpg b p i g p p p Πνπ δείρλεη όηη ζην ρών ησλ νκώλ, ν ηειεζηήο ηεο ζέζεο παίλεη ηε κνθή ˆx i (5.35) p Καη ηέινο, είλαη εύθνιν λα δείμνπκε όηη, ˆx,p ˆ i αλεμαηήησο ηνπ ρώνπ (ησλ ζέζεσλ ή ηεο νκήο). Παράδειγμα: ππνινγηζκόο ζηνηρείνπ πίλαθα ηεο ζέζεο ζην ρών ησλ νκώλ θαη ηεο νκήο ζην ρών ησλ ζέζεσλ. Έρνπκε ήδε βεη ζηελ (5.5) όηη x ˆp i i x x x Αληηθαζηζηώληαο x, παίλνπκε x ˆp x i x x i x x x x Με αθηβώο ηνλ ίδην ηόπν, μεθηλώληαο από ηελ (5.34), έρνπκε 6

7 Γηα p, παίλνπκε p ˆx i p p p ˆx pˆ i p p i p p p p 7