ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις 07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έκδοση: Μαθηματικός Περιηγητής blogs.sch.gr/iokaragi

2 Προκαταρτικά ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητή μαθήτρια, αγαπητέ μαθητή, Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου γράφτηκε αποκλειστικά για σένα για να να σε βοηθήσει στις Πανελλαδικές Εξετάσεις, ώστε μετά από τη συστηματική μελέτη του να είσαι έτοιμος να γράψεις άριστα. Για να γίνει αυτό απαιτείται η βαθιά κατανόηση των εννοιών και των θεωρημάτων-προτάσεων του σχολικού σου βιβλίου. Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου έχει την φιλοσοφία ότι το βασικό υλικό που πρέπει να μελετήσεις είναι αυτό του σχολικού σου βιβλίου και έπειτα του ψηφιακού βοηθήματος του Υπουργείου. Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου δείχνει τις βασικές μεθοδολογικές προσεγγίσεις χωρίς να «χάνεσαι» μέσα σε τεχνάσματα και «χαώδη θέματα» που σε τίποτα δεν οφελούν. Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου θέλοντας να σε οδηγήσει στην απόλυτη επιτυχία σου προτείνει και επιπλέον θέματα για εξάσκηση και βαθύτερη σκέψη καθώς και συνδυαστικά θέματα. Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου θέλοντας να σου δείξει το δρόμο για την επιτυχία σου προτείνει διαγωνίσματα στο επίπεδο των Πανελλαδικών Εξετάσεων. Σου εύχομαι επιτυχία

3 3

4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) 4

5 ΕΝΟΤΗΤΑ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Έννοια Συνάρτησης Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης Γραφικές Παραστάσεις Ισότητα συναρτήσεων-πράξεις συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Θωρία-Σχόλια-Μεθοδολογικές υποδείξεις-παραδείγματα-ασκήσεις σε κατηγορίες Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Copyriht: Μαθηματικός Περιηγητής Σχολικό Έτος:

6 ΜΑΘΗΜΑ ο Βασικές γνώσεις-επαναλήψεις Τα βασικά σύνολα είναι: Το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν = {0,,, 3,...}, Το σύνολο των ακεραίων αριθμών Ζ = {..., 3,,, 0,,, 3,...}, Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q και είναι όλοι οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή, όπου α, β ακέραιοι με β 0. Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται με τα σημεία ενός άξονα, τ ο υ ά ξ ο ν α τ ω ν π ρ α γ μ α τ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν. Για τα σύνολα Ν, Ζ, Q και R ισχύει: Σχηματικά έχουμε: Πράξεις και διάταξη στο R Οι σπουδαιότερες ιδιότητες της διάταξης των πραγματικών αριθμών είναι οι: 6

7 Αν α β και β γ, τότε α γ Αν α, β 0 και ν ϵ N *, τότε ισχύει η ισοδυναμία: Aν αβ > 0, τότε ισχύει η ισοδυναμία: Διαστήματα πραγματικών αριθμών Αν α, β ϵ R με α < β, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α, β καθένα από τα παρακάτω σύνολα: (α, β) = { ϵ R α < < β } : ανοικτό διάστημα [α, β] = { ϵ R α β } : κλειστό διάστημα [α, β) = { ϵ R α < β } : κλειστό-ανοικτό διάστημα (α, β] = { ϵ R α < β } : ανοικτό-κλειστό διάστημα. (Σχ. 3) 7

8 Αν α ϵ R, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: (α, + ) = { ϵ R > α} [α, + ) = { ϵ R α} (, α) = { ϵ R < α} (, α] = { ϵ R α} (Σχ. 4) Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο R το συμβολίζουμε με (,+ ). Τα σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονται εσωτερικά σημεία του Δ. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που συμβολίζεται με α, ορίζεται ως εξής:, 0, 0 Οι βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής είναι οι εξής: 3 8

9 4 ( 0) 5 6 ( 0) 7 ή ( 0) ή Α. Κατανοώ. Να γράψετε σε ποια σύνολα ανήκουν οι επόμενοι αριθμοί: 3, 4,, 3. Αν και να βρείτε σε ποιο διάστημα ανήκουν οι παραστάσεις: 3. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: 3 και ( 0)

10 4. Να γράψετε σε μορφή διαστήματατος τις επόμενες ανισώσεις: Ανίσωση Διάστημα 5. Να γράψετε τα επόμενα διαστήματα σε μορφή ανισώσεων: Διάστημα (, ) Ανίσωση [, ) ( 3,7] [0, ] 5 3, Β. Εμπεδώνω. Να γράψετε τα παρακάτω σύνολα σε μορφή διαστήματος / 3 B / 0

11 ΜΑΘΗΜΑ ο Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο ϵ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με (). Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: Χρήσιμες παρατηρήσεις : A R () Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με D. Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα ϵ A, λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με A. Είναι δηλαδή: / ( ) A y y ά A ΜΕΘΟΔΟΣ- Εύρεσης του πεδίου ορισμού μίας συνάρτησης Για να βρούμε το πεδίο ορισμού περιπτώσεις: η περίπτωση: Αν D μίας συνάρτησης διακρίνουμε τις επόμενες A( ) ( ), τότε λύνουμε την εξίσωση B( ) 0 και εξαιρούμε από το τα που B( ) μηδενίζουν τον παρονομαστή, δηλαδή το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D / B( ) 0 Σχόλιο: Υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις A( ), B( ) έχουν πεδίο ορισμού το. Αν δεν έχουν πεδίο ορισμού το, τότε βρίσκουμε και γι αυτές το πεδίο ορισμού τους και παίρνουμε την τομή αυτών με το σύνολο D.

12 η περίπτωση: Αν ( ) A( ), τότε λύνουμε την ανίσωση A( ) 0 και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D / A( ) 0 Σχόλιο: Υποθέτουμε ότι οι συνάρτηση A( ) έχει πεδίο ορισμού το. Αν δεν έχει πεδίο ορισμού το, τότε βρίσκουμε και για την A( ) το πεδίο ορισμού της και παίρνουμε την τομή αυτού με το σύνολο D. 3 η περίπτωση: Αν ( ) ln A( ) ή ( ) log A( ), τότε λύνουμε την ανίσωση A( ) 0 και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D / A( ) 0 Σχόλιο: Υποθέτουμε ότι οι συνάρτηση A( ) έχει πεδίο ορισμού το. Αν δεν έχει πεδίο ορισμού το, τότε βρίσκουμε και για την A( ) το πεδίο ορισμού της και παίρνουμε την τομή αυτού με το σύνολο Προφανώς η εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης μπορεί να αποτελεί και συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων. D. Παραδείγματα- Ασκήσεις Λυμένες. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) ( ) 4 ΛΥΣΗ ( η περίπτωση) α) Πρέπει: 3 β) g( ) Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει: D, 3 40 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: Dg. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:,

13 3 α) ( ) 3 β) g ( ) 4 3 ΛΥΣΗ ( η περίπτωση) α) Πρέπει: Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει: D, ή 3 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: g, 3, D 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ΛΥΣΗ (3 η περίπτωση) α) Πρέπει: α) ( ) ln β) g( ) log 3 0 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει:,, D Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι:,, D g 3

14 4. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 9 α) ( ) ln 5 4 ΛΥΣΗ (συνδυαστική περίπτωση) g( ) ln( ) β) 3 3 α) Πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα: ή Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα: 0 ή, 3 3, 4, D Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D, Α. Κατανοώ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α) ( ) 9. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Β) g( ) ln Α) ( ) 5 5 Β) g( ) 5 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 3 Α) ( ) Β) g( )

15 Ασκήσεις από το Σχολικό Βιβλίο /Α. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων; Β. Εμπεδώνω. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α) ( ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Β) g( ) Α) ( ) 3 3 ln 8 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α) 3 ( ) ln 6 5 Β) g( ) g( ) 4 3 ln 4 4 ln( ) Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α), ( ) 0, Β), 0 g( ), 0, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: e ( ) e ln g( ) ln e 6. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) + g( ) (Πεδία Ορισμού με παράμετρο) 7. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ), για κάθε 3 5

16 8. Να βρείτε την τιμή του, ώστε το πεδίο ορισμού των επόμενων συναρτήσεων να είναι το 9. Δίνονται οι συναρτήσεις: α) ( ) ln β) g ( ) 3 ( ) 3 log a, g( ) ln () 0 i) Να βρείτε την τιμή του α ii) Nα βρείτε το πεδίο ορισμου της συνάρτησης iii) Nα βρείτε το πεδίο ορισμου της συνάρτησης g 0. Δίνεται η συνάρτηση: με a και 3 με 5 και 5 4 a, a 6 ( ), 7 i) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ii) Να βρείτε τις τιμές του α και του β. iii), 3 iv) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 3 (Συναρτησιακές σχέσεις). Έστω μια συνάρτηση : 0, με: ln e για κάθε 0 i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ii) Να βρείτε τις τιμές:,,. Έστω μια συνάρτηση : με: ( ) ( ) i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης, για κάθε ii) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g( ) ( ). 6

17 Γραφική παράσταση: Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M(, y) για τα οποία ισχύει των σημείων, ( ) συνήθως με Επομένως, η ΜΑΘΗΜΑ 3 ο Γραφικές Παραστάσεις y, δηλαδή το σύνολο M, A, λέγεται γραφική παράσταση της και συμβολίζεται C. Η εξίσωση, λοιπόν, y = () επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της y είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της. C. Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της το πολύ ένα κοινό σημείο (Σχ. 7α). Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης, αφού υπάρχουν κατακόρυφες ευθείες που έχει δύο κοινά σημεία με τη γραφική του παράσταση. (Σχ. 7β). Οταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε: α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C. β) Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο A των τεταγμένων των σημείων της C. γ) Η τιμή της στο 0 C (Σχ. 8). A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας 0 και της 7

18 Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και όπως στα επόεμνα παραδείγματα: α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης - είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία M (, ()) που είναι συμμετρικά των M(, ()), ως προς τον άξονα. (Σχ. 9). β) Η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα τηςc που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. (Σχ. 0). Μερικές βασικές συναρτήσεις Η πολυωνυμική συνάρτηση () = α + β Η πολυωνυμική συνάρτηση () = α, α 0. 8

19 Η πολυωνυμική συνάρτηση () = α 3, α 0. Η ρητή συνάρτηση a, α 0. Οι συναρτήσεις ( ) και g( ). 9

20 Επειδή, 0 g( ), η γραφική παράσταση της αποτελείται απο δύο, 0 κλάδους. Ο ένας είναι η γραφική παράσταση της y προς τον άξονα y y. και ο άλλος η συμμετρική της ως Οι τριγωνικές συναρτήσεις : () = ημ, () = συν, () = εφ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις () = ημ και () = συν είναι περιοδικές με περίοδο T = π, ενώ η συνάρτηση () = εφ είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. Η εκθετική συνάρτηση () = α, 0 < α. 0

21 Υπενθυμίζουμε ότι: y y a a a 3 y a a a a y a 4 y y a a a ( a 0 ),,, 7 ( ) 8 Αν a, τότε a a 9 Αν 0 a, τότε a a Η λογαριθμική συνάρτηση () = log α, 0 < α. Υπενθυμίζουμε ότι: y log ya a log a a 3 log a a 4 loga 0 5 log log log a a a 6 7 log log log a log a loga 8 lna e 9 Αν a, τότε loga loga 0 Αν 0 a, τότε loga loga a a

22 ΜΕΘΟΔΟΣ Αν ζητείται να βρούμε τις τιμές του ώστε: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) g( ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) g( ). Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g, τότε Χρήσιμα: λύνουμε την εξίσωση ( ) g( ). Αν μία συνάρτηση διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε σημαίνει ότι 0 0 Αν μία συνάρτηση διέρχεται από το σημείο A, 0 y o, τότε σημαίνει ότι y 0 o Α. Κατανοώ Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο 6/Α. Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της σε καθεμιά περίπτωση. Β. Εμπεδώνω. Να βρείτε τα κοινά σημεία ων συναρτήσεων: i) και g( ) ii) ( ) και g( ) ( )

23 . Δίνεται η συνάρτηση:, ( ), a i) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. ii) Με τη βοήθεια του (i) ερωτήματος, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. 3. Δίνεται η συνάρτηση:, g( ), ln, i) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. ii) Με τη βοήθεια του (i) ερωτήματος, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο /Α. Για ποιές τιμές του ϵ R η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, όταν: 3/Α. Για ποιές τιμές του ϵ R η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν: 5/Β. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: Aπό τη γραφική παράσταση της να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της σε καθεμιά περίπτωση. 3

24 /Β. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι : 4

25 ΜΑΘΗΜΑ 4 ο Ισότητα συναρτήσεων-πράξεις συναρτήσεων Ισότητα συναρτήσεων Έστω οι συναρτήσεις: ( ) 3 και g( ) Παρατηρούμε ότι: οι συναρτήσεις, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α = R και για κάθε A ισχύει ( ) g( ), αφού 3 ( ) g( ) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι οι συναρτήσεις, g είναι ίσες Γενικά: OΡΙΣΜΟΣ Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει ( ) g( ). Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες γράφουμε g. Έστω τώρα, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β. Αν για κάθε ϵ Γ ισχύει ( ) g( ), τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες στο σύνολο Γ. (Σχ. ) 5

26 Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις ( ) και g( ) που έχουν πεδία ορισμού τα σύνολα A = R {} και B = R {0} αντιστοίχως, είναι ίσες στο σύνολο Γ = R {0,}, αφού για κάθε ισχύει ( ) g( ). Παράδειγματα-Ασκήσεις Λυμένες (Άσκηση από το σχολικό βιβλίο) 7/Α. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι g. Στις περιπτώσεις που είναι g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει ( ) g( ). ΛΥΣΗ i) ii) iii) ( ) ( ) ( ) και g( ) και g( ) και g( ) i) Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g είναι αντίστοιχα: Επομένως ( ) g( ) D και Dg 0, ( ), για κάθε 0, g( ) και. ii) Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g είναι αντίστοιχα: Έχουμε: D,0 και ( ) και Επομένως ( ) g( ), για κάθε 0. D iii) Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g είναι αντίστοιχα: Έχουμε: D 0,, και Dg 0, g *, 0 g( ), 0 ( ) 6

27 Επομένως Επομένως ( ) g( ), για κάθε 0,,. Πράξεις με συναρτήσεις Έστω οι συναρτήσεις: ( ) και g( ) Το πεδίο ορισμού της είναι A, και της g το B, ορισμού τους, ορίζουμε τις συναρτήσεις:. Στο κοινό πεδίο Άθροισμα των, g : g( ) ( ) g( ) Διαφορά των, g : g( ) ( ) g( ) Γινόμενο των, g : g( ) ( ) g( ) Ειδικά για το πηλίκο των, g ορίζουμε στο κοινό πεδίο ορισμού: ( ) ( ), g( ) 0 g,δηλαδή g( ) ( ), g Το πεδίο ορισμού των g, g, g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το A B, εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(), δηλαδή το σύνολο: / A B, g( ) 0 / A B, g( ) 0 Παραδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες. Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) και g( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g 7

28 ΛΥΣΗ Βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων και g. Έχουμε: Άρα D,. Ακόμα, 0, άρα Dg, 0 Επομένως για την εύρεση των συναρτήσεων g, g, g, εργαζόμαστε για κάθε,. Έχουμε: Για τη συνάρτηση g,, g( ),, g,, g ισχύει αν, πρέπει επιπλέον να είναι g ( ) 0 0, το οποίο. Οπότε:. Δίνονται οι συναρτήσεις:, g,, 0 ( ) και, 0, 0 g( ), 0 Να βρείτε τις συναρτήσεις ΛΥΣΗ g και g. Στην περίπτωση αυτή το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων, g είναι το,0 0,. Για 0 έχουμε: g ( ) g 8

29 Για 0 έχουμε: g ( ) g Για 0 είναι (0), g(0) και άρα: g(0) 3 και g(0) Επομένως:, 0 g( ), 0 3, 0, 0 g, 0, 0 και Α. Κατανοώ Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο 8/Α. Δίνονται οι συναρτήσεις: Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g 9/Α. Ομοίως για τις συναρτήσεις: και g( ) και g( ) Β. Εμπεδώνω. Δίνονται οι συναρτήσεις: Να βρείτε τις συναρτήσεις. Δίνονται οι συναρτήσεις:, 0 ( ), 0, 0 g και g. και, 0 g( ), 0 9

30 ( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις,, g και g. και g( ), 0, 0 3. Δίνονται οι συναρτήσεις, g : με: g ( ) g ( ) 6 5 g ( ) ( ), για κάθε i) Να βρείτε τους τύπους των συναρτήσεων, g ii) Να υπολογίσετε την παράσταση: A ( ) g( ) ( ) 8 30

31 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο Σύνθεση συναρτήσεων Έστω η συνάρτηση ( ). Η τιμή της φ στο μπορεί να οριστεί σε δύο φάσεις ως εξής: α) Στο ϵ R αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y = και στη συνέχεια β) στο y = αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y, εφόσον y = 0. η g( y) y, που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Β = [0, + ) (β φάση). Έτσι, η τιμή της φ στο γράφεται τελικά: ( ) g ( ) Η συνάρτηση λέγεται σύνθεση της με την g και συμβολίζεται με go. Το πεδίο ορισμού της δεν είναι ολόκληρο το πεδίο ορισμού Α της, αλλά περιορίζεται στα A για τα οποία η τιμή ( ) ανήκει στο πεδίο ορισμού Β της g, δηλαδή είναι το σύνολο A = [, + ). Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με go, τη συνάρτηση με τύπο go g ( ) ( ). Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ( ) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο : A A / ( ) B Είναι φανερό ότι η go ορίζεται αν A Ø, δηλαδή αν (A) B Ø. Ερώτηση: Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της og ; 3

32 ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συνέχεια, θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που οι συνθέσεις τους έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων. ΣΧΟΛΙΑ Στην παραπάνω εφαρμογή παρατηρούμε ότι go og. Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι go και og, τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες. Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogo, τότε ορίζεται και η hogo και ισχύει: ho go hog o Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, g, h και τη συμβολίζουμε με hogo. Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις. Παραδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες. Να προσδιορίσετε τη σύνθεση og αν: ( ) e και g( ) ln( ) ΛΥΣΗ Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων, g είναι αντίστοιχα πεδίο ορισμού της og είναι: D και Dg,. Το Για κάθε, og έχουμε:, / ( ), D g. og g e ln( ) ( ) ( ) ln( ) ( ) 3

33 Σημαντική παρατήρηση: Για να βρούμε τη og (ή τη go ) βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού της og (ή της go ) με D og (ή Dgo ) και έπειτα τον τύπο της. Δεν είναι σωστό (και ούτε πάντα το ίδιο) να βρούμε τον τελικό τύπο της og (ή της go ) και από αυτόν να προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της og (ή της go ).. Να προσδιορίσετε τη σύνθεση og και την go αν: ( ) και g( ) ΛΥΣΗ Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων, g είναι αντίστοιχα, D και Dg. Το πεδίο ορισμού της og είναι: og / ( ), / / 0 0, D g Για κάθε 0, έχουμε: og ( ) g( ) Το πεδίο ορισμού της go είναι: Για κάθε, go έχουμε:, / ( ), D go ( ) g( ( )) g( ) 3 3. Έστω η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A 0,. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) ( 4) ii) ( e ) iii) (ln ) iv) ( 4 4) 33

34 ΛΥΣΗ i) Πρέπει: Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A 4,6 4 0, ii) Πρέπει: e e e 0, 0 ln ln Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A, ln iii) Πρέπει: ln 0, 0 ln ln 0 ln e Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A3, e iv) Πρέπει: 4 4 0, ( ) 0 4 0,,0 0, Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A4,0 0, Α. Κατανοώ Άσκηση από το σχολικό βιβλίο: 0/Α. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση go, αν 34

35 /Α. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) και g( ). Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις go και og. Β. Εμπεδώνω Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 7/Α. Δίνονται οι συναρτήσεις () = + και g() = α +. Για ποια τιμή του α ϵ R ισχύει og go ; /Α. Να εκφράσετε τη συνάρτηση ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, αν Προτεινόμενες:. Δίνεται η συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι: με: o ( ), για κάθε i) () ii) ( ) ( ) iii) (0) () 0. Δίνεται η συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι: 3. Δίνονται οι συναρτήσεις: με: i) () o ( ) 3, για κάθε ii) ( ) (3 ) 3 ( ) e, g( ) ln( ), h( ) Να βρεθεί η σύνθεση ogoh 35

36 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Ασκήσεις-Προβλήματα (Επανάληψη) Α. Από το σχολικό βιβλίο 6/Β. Να βρείτε συνάρτηση τέτοια, ώστε να ισχύει : 8/Β. Δίνονται οι συναρτήσεις: α) (()) =, για κάθε ϵ R {α} και β) g(g()) =, για κάθε ϵ [0, ]. 3/Β. Στο επόμενο σχήμα είναι AB =, AΓ = 3 και ΓΔ =. Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του = ΑΜ, όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ. /Β. Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης cm και όγκο 68 cm 3. Το υλικό των βάσεων κοστίζει 4 δρχ. ανά cm, ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας,5 δρχ. ανά cm. Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του. Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίνα βάσης 5 cm, και ύψος 8 cm; 36

37 4/Β. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης ΒΓ = 0cm και ύψους ΑΔ = 5cm. Να εκφράσετε το εμβαδό Ε και την περίμετρο Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του. ΕΡΓΑΣΙΑ: 4/Α. Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν οτι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις: A() =, ,64 (για τους άνδρες) και Γ() =,75 + 7,48 (για τις γυναίκες) όπου σε εκατοστά, το μήκος του βραχίονα. Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους 0,45 m. α) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του; β) Aν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της; 5/Α. Σύρμα μήκους l = 0cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη cm και (0 ) cm. Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο. Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του. 9/Β. Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός Ρ της πόλης είναι εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη χιλιάδες αυτοκίνητα. Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτη από σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα είναι εκατοντάδες χιλιάδες άτομα. i) Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συ-νάρτηση του t. ii) Πότε θα υπάρχουν στην πόλη 0 χιλιάδες αυτοκίνητα.; Προτεινόμενες Ασκήσεις 37

38 . Δίνονται οι συναρτήσεις: ln και g( ) e α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g. β) Να βρείτε τις συναρτήσεις og και go. γ) Να βρείτε τα σημείο τομής των συναρτήσεων και g (αν υπάρχουν). δ) Να βρείτε τα σημείο τομής των και g με τους άξονες.. Δίνονται οι συναρτήσεις: και g( ) α) Να εξετάσετε σε ποιο σύνολο οι συναρτήσεις, g είναι ίσες. β) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. γ) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα. 3. Δίνονται οι συναρτήσεις: και α) Να βρείτε τις συναρτήσεις og και go. g( ) β) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης og βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. γ) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης go βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. δ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων go, και g. 4. Δίνεναι η συνάρτηση : 0, με: Να αποδείξετε ότι: y y, για κάθε, y 0 i) () 0 ii) ( ), 0 iii) ( ) ( y) y,, y 0 38

39 5. Δίνεναι η μη σταθερή συνάρτηση : 0, με: y y, για κάθε, y Να αποδείξετε ότι: i) (0) 0, (), ( ) ii) H είναι άρτια 39

40 Διαγώνισμα στην ενότητα ΘΕΜΑ ο Α. Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς: Α. Πότε δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες; Α. Πότε δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες; (Μονάδες 8) (Μονάδες 7) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.. Αν ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε είναι υποχρεωτικά ίσες. Ισχύει: ho og ho og 3. Αν A είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και B το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της g είναι A B. 4. Αν δύο συναρτήσεις, g έχουν πεδία ορισμού αντίστοιχα A και B με A B, τότε το πεδίο ορισμού της g είναι το B. 5. Αν δύο συναρτήσεις, g έχουν πεδία ορισμού αντίστοιχα A και B, τότε το πεδίο ορισμού της g είναι πάντα το A B. (Μονάδες 5Χ3=5) ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ln( ) και ( ) g e Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των, g (Μονάδες ) Β. Να βρείτε τις συναρτήσεις g και g (Μονάδες 0) Γ. Να ορίσετε τις συναρτήσεις og και go (Μονάδες 8) 40

41 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται οι συναρτήσεις: και g( ) Α. Να εξετάσετε σε ποιο σύνολο οι συναρτήσεις, g είναι ίσες. (Μονάδες 8) Β. Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. (Μονάδες ) Γ. Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα. (Μονάδες 0) 4

42 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) 4

43 ΕΝΟΤΗΤΑ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Συνάρτηση «-» Αντίστροφη Συνάρτησης Θωρία-Σχόλια-Μεθοδολογικές υποδείξεις-παραδείγματα-ασκήσεις σε κατηγορίες Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Copyriht: Μαθηματικός Περιηγητής Σχολικό Έτος:

44 ΜΑΘΗΜΑ 7 ο Μονοτονία συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση λέγεται : γνησίως αύξουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει ( ) ( ) (Σχ. α) γνησίως φθίνουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει ( ) ( ) (Σχ. β) Για να δηλώσουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε Δ (αντιστοίχως Δ). Για παράδειγμα, η συνάρτηση ( ) : είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+ ), αφού για 0 έχουμε ( ) ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0], αφού για 0 έχουμε 0, οπότε 0 ( ) ( ), δηλαδή, δηλαδή 44

45 Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ και η είναι γνησίως μονότονη σ' αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η είναι γνησίως μονότονη. Σημείωση: Μια συνάρτηση λέγεται, απλώς: αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε, ϵ Δ με ισχύει: ( ) ( ) φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε, ϵ Δ με ισχύει: ( ) ( ) ΜΕΘΟΔΟΣ: Πως αποδεικνύουμε ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη Όταν ζητείται να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) τότε βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α και λέμε: «Έστω, A... και κατασκευάζουμε την ανισότητα ( ) ( ) (ή ( ) ( ) αντίστοιχα). ΜΕΘΟΔΟΣ-«Δυσεπίλυτης» ανίσωσης Για να λύσουμε μία ανίσωση της μορφής ( g( )) ( h( )) ή ( g( )) ( h( )) στο Δ αν γνωρίζουμε (ή έχουμε αποδείξει) ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ, τότε: Α) Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ έχουμε: ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) και λύνουμε μία ευκολότερη ανίσωση. Β) Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ έχουμε: 45

46 ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) και λύνουμε μία ευκολότερη ανίσωση. Γ) Αν έχουμε να λύσουμε μία ανίσωση της μορφής ( ) προσπαθούμε να βρούμε με παρατήρηση, τέτοιο ώστε ( a) a ή ( ) και έχουμε: a στο Α, ( ) a ( ) ( ), a ή, ( ) a ( ) ( ), a Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες (Άσκηση από το σχολικό βιβλίο) /Α. Nα βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες ΛΥΣΗ i) ( ) ii) ( ) ln( ) iii) ( ) 3e i) Πρέπει 0 ( ) iv), επομένως το πεδίο ορισμού της είναι D,,, με. Έχουμε:. Έστω ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ii) Πρέπει 0,, με D. επομένως το πεδίο ορισμού της είναι D,. Έχουμε:. Έστω ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο D. 46

47 iii) To πεδίο ορισμού της είναι το. Έστω, με. Έχουμε: e e e e 3 3 3e 3e ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο. iv) To πεδίο ορισμού της είναι το. Έστω, με. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:,, και έχουμε: ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,.,, και έχουμε: ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο,. 4/Α. Να δείξετε ότι: i) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. ii) Αν δύο συναρτήσεις, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. iii) Αν δύο συναρτήσεις, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ( ) 0 και g( ) 0 για κάθε, τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Ανάλογα συμπεράσματα διατυπώνονται, αν οι, g είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ. Α. Κατανοώ. Να εξετάσετε την μονοτονία των συναρτήσεων: 47

48 i) ( ) e 3 3 ii) g( ). Να εξετάσετε την μονοτονία των συναρτήσεων: i) ( ) log(3 ) ii) g Β. Εμπεδώνω ( ) 3ln. Δίνεται η συνάρτηση: 5 3 ( ) 3 6 i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λύσετε την εξίσωση iii) Να λύσετε την ανίσωση e 3e e 6. Δίνεται η συνάρτηση: ( ) a, a i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λύσετε την ανίσωση: 4 a 3. Δίνεται η συνάρτηση: i) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 3 3 ( ) e 3 iii) Να λύσετε την ανίσωση: 3 3 e e 3 4. Δίνονται οι συναρτήσεις, g :. i) Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και η g γνησίως αύξουσα, να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης og. ii) Να λύσετε την ανίσωση: 5. Δίνεται η συνάρτηση : og ( 4 ) og 4 με ( ) e. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. 48

49 ii) Να λύσετε την ανίσωση: 6. Δίνεται η συνάρτηση e e 3 ( ) ln,. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ii) Να λύσετε την ανίσωση: 4 ln Να λύσετε τις επόμενες ανισώσεις, αν γνωρίζετε ότι η συνάρτηση : γνησίως αύξουσα: i) ii) e 4 e 5 iii) ln είναι 49

50 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο Ακρότατα συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι : Παρουσιάζει στο 0 A (Σχ. 7α) A (ολικό) μέγιστο, το ( 0), όταν ( ) ( 0 ) για κάθε Παρουσιάζει στο 0 (Σχ. 7β) A (ολικό) ελάχιστο, το το ( 0), όταν το ( 0) για κάθε ϵ A Για παράδειγμα: Η συνάρτηση () = + (Σχ. 8α) παρουσιάζει μέγιστο στο 0 = 0, το (0) =, αφού () (0) για κάθε ϵ R. Η συνάρτηση () = (Σχ. 8β) παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 =, το () = 0, αφού () () για κάθε ϵ R. 50

51 Η συνάρτηση () = ημ (Σχ. 9α) παρουσιάζει μέγιστο, το y =, σε καθένα από τα σημεία κπ + π/, κ ϵ Z και ελάχιστο, το y =, σε καθένα από τα σημεία κπ π/, κ ϵ Z, αφού ημ για κάθε ϵ R. Η συνάρτηση () = 3 (Σχ. 9β) δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, αφού είναι γνησίως αύξουσα. Άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο. Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται (ολικά) ακρότατα της. Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή των συναρτήσεων: i) ( ) 3 ii) g( ) 4. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) ( ) 5 3 ii) Α. Κατανοώ. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή των συναρτήσεων: 3 i) ( ) ii) ( ). Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: 5

52 i) ( ) 3 ii) g( ). Έστω οι συναρτήσεις, g :. Β. Εμπεδώνω i) Αν η έχει μέγιστο στο o και η g είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση og έχει ελάχιστο στο o. ii) Αν η έχει ελάχιστο στο o και η g είναι γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση og έχει μέγιστο στο o.. Έστω οι συναρτήσεις, g :. i) Αν η έχει μέγιστο στο o, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει ελάχιστο στο o. ii) Αν η έχει ελάχιστο στο o, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με 0 έχει μέγιστο στο o. Οι ασκήσεις με τα ακρότατα λύνονται ευκολότερα με όσα θα μάθουμε στο ο Κεφάλαιο. Για το λόγο αυτό μας αρκεί να καταλάβουμε τις έννοιες τώρα. 5

53 ΜΑΘΗΜΑ 9 ο Συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: «Aν, τότε ( ) ( )» που σημαίνει ότι: "Τα διαφορετικά στοιχεία, D έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες Εναλλακτικά: Μια συνάρτηση : είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: Έστω η συνάρτηση ( ) συνεπαγωγή αν, ( ) ( ). «Αν ( ) ( ), τότε». Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε, 0 ισχύει η ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι «-», αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση () = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς. 53

54 Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση ''-'' Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι - αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση: Μια συνάρτηση που είναι άρτια στο Α δεν είναι και «-» αφού ισχύει ( ) ( ) για κάθε A. Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις είναι «-» στο πεδίο ορισμού τους: ΛΥΣΗ i) ( ) e ii) i) Το πεδίο ορισμού της είναι D. Για κάθε, g( ) ln με έχουμε: e e e e Επομένως η είναι «-» στο. ii) Πρέπει αρχικά να έχουμε: Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) και 0 0 g είναι g, D. 54

55 Για κάθε,, με g g g g έχουμε: ln ln ln ln Επομένως η g είναι «-» στο,.. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις δεν είναι «-» ΛΥΣΗ 3 i) ( ) 3 ii) g( ) 4 Μπορούμε, εκτός από τη γενικότητα, να αποδείξουμε ότι οι συναρτήσεις δεν είναι «-» βρίσκοντας ένα αντιπαράδειγμα, δηλαδή ένα ζεύγος,, με αλλά με ίσες εικόνες. Το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων, g είναι το. i) Αν, 4 έχουμε: Επομένως η είναι «-» στο. ii) Αν 0 ( ) ( ) 0 ( 4) ( ) έχουμε: g( ) g g Επομένως η είναι «-» στο. 3. Έστω συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι η είναι: i) περιττή ii) «-» ΛΥΣΗ με o ( ), για κάθε. i) Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι περιττή θα πρέπει να αποδείξουμε ότι για κάθε, ισχύει ( ) ( ). 55

56 ΜΕΘΟΔΟΣ-Πως αποδεικνύουμε ότι μία συνάρτηση (δεν) είναι «-» Αν ζητείται να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι «συνάρτηση -» βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α (αν δεν δίνεται) και λέμε: «Έστω, A με ( ) ( ).... Αν η παραπάνω διαδικασία οδηγεί σε αδιέξοδο, τότε μπορούμε να δοκιμάσουμε να αποδείξουμε ότι η φθινουσα). είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως Αν ζητείται να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση δεν είναι «συνάρτηση -» βρίσκουμε ένα τουλάχιστον αντιπαράδειγμα, δηλαδή δύο σημεία, του πεδίου ορισμού της με και ( ) ( ). Αν ζητείται να εξετάσουμε αν μία συνάρτηση είναι «συνάρτηση -» βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α (αν δεν δίνεται) και λέμε: «Έστω, A με ( ) ( ). Καταλήγουμε σε σχέση από την οποία αν δεν μπορούμε οπωσδήποτε να έχουμε μόνο, αλλά και κάτι εναλλακτικό, τότε η δεν είναι «-». ΜΕΘΟΔΟΣ-Λύση «δυσεπίλυτης» εξίσωσης Αν έχουμε να λύσουμε μία εξίσωση: Α) Της μορφής ( ) a () με a, τότε αν η συνάρτηση είναι «-» η εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα. Ειδικότερα αν Α είναι το πεδίο ορισμού της και a A η εξίσωση () έχει ακριβώς μία λύση η οποία μορεί να βρεθεί με παρατήρηση ή να αποδειχθεί η ύπαρξη της, όπως θα μάθουμε παρακάτω. Αν a A, τότε η εξίσωση () δεν έχει λύση στο Α. Β) Της μορφής ( g( )) ( h( )) με την να είναι «-» στο Α, τότε έχουμε να λύσουμε την ευκολότερη εξίσωση g( ) h( ). Α. Κατανοώ. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις είναι «-» στο πεδίο ορισμού τους: i) ( ) e ii) g( ) ln. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις δεν είναι «-» 3 i) ( ) 5 ii) g( ) 0 56

57 3. Να εξετάσετε αν οι επόμενες συναρτήσεις είναι «-» 3, 0 i) ( ), 3, 3 ii) g( ), 0 Β. Εμπεδώνω. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) e. Δίνεται η συνάρτηση 7 ii) ln( ) ( ), iii) e 8 i) Να βρείτε το () ii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι «-» iii) Να λύσετε την εξίσωση 3. Έστω συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι: i) H είναι «-» με o ( ) ( ) 3, για κάθε. ii) Να λύσετε την εξίσωση Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση :. i) Να αποδείξετε ότι η σνάρτηση g ( ) 06 δεν είναι «-». ii) Να λύσετε στο, την ανίσωση: g 04 ( ) Να λύσετε τις εξισώσεις, αν γνωρίζετε ότι η συνάρτηση : i) ii) e 4 e 5 6. Δίνεται η συνάρτηση είναι «-» iii) ln ( ) ln,. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ii) Να λύσετε την εξίσωση: 57

58 4 ln Δίνεται η συνάρτηση : με ( ) e. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ii) Να λύσετε την εξίσωση: e e 3 58

59 ΜΑΘΗΜΑ 0 ο Αντίστροφη συνάρτησης Έστω μια συνάρτηση : A R. Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι -, τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, (A), της υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Αγια το οποίο ισχύει () = y. Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g : (A) R με την οποία κάθε y ϵ (A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό ϵ A για το οποίο ισχύει () =y. Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών (A) της, έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της και ισχύει η ισοδυναμία: ( ) y g( y) Αυτό σημαίνει ότι, αν η αντιστοιχίζει το στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y στο και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της. Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της και συμβολίζεται με. Επομένως έχουμε 59

60 ( ) y ( y) ( ), A και ( y) y, y A Λόγω του παραπάνω συμπεράσματος έχουμε: Αν ένα σημείο M(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση C της, τότε το σημείο Μ (α,β) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () = α και g() = log α, 0< α, είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y =. Προφανώς ισχύει. 60

61 ΜΕΘΟΔΟΣ-Εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης και του συνόλου τιμών της Έστω : Για να βρούμε την αντίστροφη συνάρτηση της Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α (αν δεν δίνεται). Κατόπιν αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση που δόθηκε είναι «-» στο Α και επομένως υπάρχει η αντίστροφη της στο Α. Θέτουμε: y ( ) και λύνουμε ως προς [με ( ) ], θέτοντας όλους τους περιορισμούς που προκύπτουν ως προς y και με A. Τέλος εναλλάσουμε τα, y και έχουμε τον τύπο της ). με το πεδίο ορισμού της (δηλαδή το σύνολο τιμών της Με την παραπάνω διαδικασία και θέτοντας όλους τους περιορισμούς ως προς y βρίσκουμε το σύνολο τιμών της ( ή D D ). ΒΑΣΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ Αν λύνοντας την εξίσωση y ( ) ως προς A διαπιστώσουμε ότι έχει: Το πολύ μία ρίζα στο Α για κάθε y ή Μία ακριβώς ρίζα στο Α για κάθε y, τότε η συνάρτηση είναι «-». ΜΕΘΟΔΟΣ-Λύση εξισώσεων και Οι εξισώσεις ( ), και είναι ισοδύναμες μόνο όταν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Ο ισχυρισμός αυτός, όταν χρησιμοποιείται, χρειάζεται απόδειξη αφού δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο. Στην περίπτωση αυτή λύνουμε την πιο εύκολη από τις δύο εξισώσεις. Δηλαδή τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων C και C της και, όταν υπάρχουν, βρίσκονται πάνω στην ευθεία y γνησίως αύξουσα., μόνο όταν η είναι Στη λύση εξισώσεων που περιέχουν όρους της μορφής g( ) απαιτούμε η g( ) D πρέπει να, δηλαδή η g( ) να ανήκει στο σύνολο τιμών της. 6

62 ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ (που μπορεί να χρησιμοποιείται στις ασκήσεις αφού πρώτα αποδειχθεί). «Αν : είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε η στο A.» έχει το ίδιο είδος μονοτονίας Απόδειξη: Έστω ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Έστω y, y A αποδείξουμε ότι y y. Έστω ότι υπάρχουν y, y A τέτοια, ώστε y y έχουμε διαδοχικά: Επομένως y y A. με y y. Θα με y y. Επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα y y y y y y, το οποίο είναι άτοπο. και άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται και η περίπτωση που η : είναι γνησίως φθίνουσα στο Α (τότε και η είναι γνησίως φθίνουσα στο A. Η πρόταση αυτή ενδεχομένως να μας χρειαστεί όταν μας ζητείται η μονοτονία της στο Α και είναι δύσκολη (ή και αδύνατη) η κατασκευή με τις ανισότητες. Τότε πιθανόν η εύρεση της μονοτονίας της αντίστροφης στο A να είναι ευκολότερη. ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ (που μπορεί να χρησιμοποιείται στις ασκήσεις αφού πρώτα αποδειχθεί). «Αν : είναι γνησίως αύξουσα και οι γραφικές παραστάσεις C, C των συναρτήσεων ευθεία y. Απόδειξη, τέμνονται, τότε τα κοινά τους σημεία βρίσκονται πάνω στην Έστω ότι οι γραφικές παραστάσεις C, C των συναρτήσεων σημείο M, το οποίο δεν ανήκει στην ευθεία y έχουμε (), ( ) (), τέμνονται στο, δηλαδή. Ακόμα, αφού το σημείο Μ είναι κοινό σημείο της C, C. Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: 6

63 Αν, τότε έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ), που είναι άτοπο. Αν ( ) ( ), που είναι άτοπο. Επομένως και άρα το κοινό σημείο Μ των C, C ανήκει στην ευθεία y. Άρα αν μας ζητείται να βρούμε τα κοινά σημεία των C, C μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση (Ι) (αν έχουμε βρει την ). Αν όμως έχουμε (ή μπορούμε να αποδείξουμε) ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της,τότε μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση, ( D D ) που πιθανόν να είναι πιο εύκολη από την (Ι) για να βρούμε τα κοινά σημεία τωνc, C χωρίς να βρούμε την επόμενα). Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες (Άσκηση 5 στα /Α. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "-" και για καθεμία απ' αυτές να βρείτε την αντίστροφή της i) ( ) 3 ii) ( ) v) ( ) ln ΛΥΣΗ vi) ( ) e vii) iii) 3 ( ) iv) ( ) e ( ) e viii) ( ) Θα εξετάσουμε αρχικά ποιες από αυτές τις συναρτήσεις είναι «-». i) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το. Έστω, με ( ) ( ).Έχουμε: ( ) ( ) Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. Εύρεση: y ( ) y3 y ή 3 y. 3 Επομένως η αντίστροφή της είναι: ( ), 3 63

64 ii) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε: ( ) ( ) ή Επομένως η δεν είναι «-» και άρα δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση (θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι η δεν είναι «-» με ένα αντιπαράδειγμα όπως π.χ () ( ) 5 iii) To πεδίο ορισμού της ( ) ( ). ( ) είναι το. Έστω, με Έχουμε: ( ) ( ) 3 3 3( ) 0 ( ) 3 0 ή 3 Επομένως η δεν είναι «-» και άρα δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση (θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι η δεν είναι «-» με ένα αντιπαράδειγμα όπως π.χ () () ). 3 iv) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το, ( ) ( ).. Έστω,, με Έχουμε: ( ) ( ) 3 3 Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. Εύρεση: ( ) y y y y ή y 3 Πρέπει όμως : y y y y y 3, Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της είναι η ( ) 3, 0,. 64

65 v) To πεδίο ορισμού της ( ) ln( ) ( ) ( ). Έχουμε: είναι το, D. Έστω, D με ( ) ( ) ln( ) ln( ) Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. Εύρεση: y y ( ) yln( ) y e e ή y e Πρέπει όμως : e y, e y e y 0 y Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της είναι η ( ) e,. vi) To πεδίο ορισμού της ( ) e είναι το. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε: ( ) ( ) e e e e Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. Εύρεση: ( ) ye y e y ln y ln y, με y 0 y ή y ln,. Επομένως η αντίστροφή της είναι: ln, vii) To πεδίο ορισμού της Έχουμε: e ( ) e είναι το. Έστω, με ( ) ( ). 65

66 e e ( ) ( ) e e e e e e e e e e e e e e Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. Εύρεση: e ( ) y ye y e e y y e e y e y e ή y y e ln y y y ln Πρέπει: Επομένως η αντίστροφη της είναι: y 0 0 y y y y ή y ln,,, viii) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε: ( ) ( ) ή ή Επομένως η δεν είναι «-» και άρα δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση.. Δίνεται η συνάρτηση διέρχεται από το σημείο A ln, ln 3. ( ) ln ae, a η γραφική παράσταση της οποίας i) Να βρείτε την τιμή του α. ii) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη. iii) Να βρείτε την αντίστροφη της. 66

67 iv) Να λύσετε την ανίσωση ( ) ln 7. ΛΥΣΗ i) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της από το σημείο Α πρέπει: ln 4 ln ln 3ln ae ln 3ln 4a ln 94a 9a ii) D. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) ln e ln e e e e e Άρα η είναι συνάρτηση «-» και επομένως είναι αντιστρέψιμη. iii) Θέτουμε: y y y e e y ( ) y lne e e e ln Πρέπει: y e 0 y 0 y e e y 0 Άρα e ln, 0. iv) H συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (αυτό θα μπορούσαμε να το έχουμε ήδη αποδείξει στο (ii) ερώτημα και να εξασφαλίζαμε το «-»). Έστω, με. Έχουμε διαδοχικά: e e e e e e ln e ln e ( ) ( ) ln 7 e Επειδή ln 7 ln ln 3 η ανίσωση γίνεται ισοδύναμα: ( ) ln 7 ln e ln 3 e 3 e e 0 3. Δίνεται η συνάρτηση: ( ) ln ln 67

68 i) Nα αποδείξετε ότι η είναι «-». ii) Να βρείτε την αντίστροφη της. iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της με την ευθεία y 3. ΛΥΣΗ i) To πεδίο ορισμού της είναι, Έστω,, D. με ( ) ( ). Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) ln ln ii) Θέτουμε: y y y y y y y e y ( ) y ln e e e e e e y e Πρέπει: e y 0 y 0 y y e e y y 0 0e 0e y 0 y y y e e e Άρα: e, 0 e iii) Έχουμε: e 3 e 3e 3e 3 ln 3 e Επομένως το κοινό σημείο είναι A ln 3, ln 3 ή το ln 3,3 A. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) και g ( ) 4. Να βρεθεί η συνάρτηση go ( ). ΛΥΣΗ 68

69 Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το D, και η g το g,, D. Η go έχει πεδίο ορισμού το: go, / ( ),, / ( ) ( ) D ή Έχουμε: ( ) το οποίο προφανώς ισχύει ή ( ) 4 6 Επομένως το πεδίο ορισμού της go είναι: go, 6 6, D. Για κάθε go ( ) g ( ) g 4 6 Έστω go ( ) h( ) 6. Θα βρούμε την αντίστροφη της ( ) h, δηλαδή την go. Έχουμε: h( ) y 6 y 6 y y 6, με y 0 και y 6 6 y 0 (αληθής για κάθε y ) Επομένως y 6 ή go 6, Δίνεται η συνάρτηση 5 3, i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λύσετε την εξίσωση iii) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία των γραφικων παραστάσεων της και 69

70 ΛΥΣΗ i) Έστω, με () () (3) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (), (), (3) έχουμε.επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο. ή ισοδύναμα ii) Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (άρα και «-» οπότε υπάρχει η θα είναι ισοδύναμη με την, δηλαδή έχουμε: ) η εξίσωση iii) Tα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων της και, αν υπάρχουν, θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία y, δηλαδή θα αποτελούν λύση της εξίσωσης (επειδή η είναι γνησίως αύξουσα). Επομένως είναι το σημείο O0, (0) ή το 0,0 O. 6. Δίνεται η συνάρτηση ln, 0. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. ii) Να λύσετε την ανίσωση. Σημαντική παρατήρηση για τη λύση ανισώσεων της μορφής ( ) ( ) () Βρίσκουμε τα πεδία ορισμού D, D Βρίσκουμε το A. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: των συναρτήσεων και. ( ) A και εξετάζουμε αν υπάρχουν λύσεις της () ή ( ) A και τότε έχουμε: ( ) ( ), ί. ύ ( ) ( ) ( ) ( ), ί. φθίνουσα 70

71 και λύνουμε την ανίσωση που προκύπτει (που πιθανόν είναι ευκολότερη) στην οποία δεν εμφανίζεται η. ΛΥΣΗ i) D 0,. Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (άρα θα είναι και «-» επομένως θα αντιστρέφεται). Έστω, 0, με. Έχουμε: ln ln () () Με πρόσθεση των () και () κατά μέλη έχουμε: ln ln + ( ) ( ) Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο 0,, άρα αντιστρέφεται. ii) Έχουμε: 0, ό 0, 0 ί ή ό ( ) ln ln 0 0, 0 Επομένως η ανίσωση αληθεύει για κάθε,0 0,, 7. Δίνεται η συνάρτηση : i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. 3 για την οποία ισχύει, για κάθε. ii) Να βρείτε την αντίστροφή της (προσέξτε το σημείο αυτό στη λύση). ΛΥΣΗ i) Έστω, με (). Είναι 3 3 μέλη των σχέσεων () και () έχουμε: 3 3 Άρα η είναι «-» και επομένως η αντιστρέφεται. () και με πρόσθεση κατά 7

72 ii) Αφού η δοθείσα σχέση ισχύει για κάθε, θέτουμε όπου το και έχουμε: 3 3 (3) 3 Άρα η συνάρτηση (3) ισχύει μόνο για κάθε A, (I) είναι η αντίστροφη της ; Όχι διότι η σχέση και όχι για κάθε (είναι πιθανή αντίστροφη της ). Άρα οφείλουμε να αποδείξουμε ότι το σύνολο τιμών της είναι το, ώστε η συνάρτηση 3 g( ) να αποτελεί την αντίστροφη της. Αν yo, τότε αν y y έχουμε διαδοχικά: ( 0) y y 3 3 ( ) y y 0 ( ) y y y ( ) y 0 0 Επομένως 3, (I) είναι η αντίστροφη της. Α. Κατανοώ. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "-" και για καθεμία απ' αυτές να βρείτε την αντίστροφή της i) ( ) 3 ii) ( ) 3 iii) 5 ( ) iv) ( ) 3 v) ( ) ln3 5 3 vi) ( ) e 5 vii) e ( ) e. Να βρείτε το σύνολο τιμών των επόμενων συναρτήσεων 3 i) ( ) ln ii) 3 g( ) e viii) ( ) 3 Β. Εμπεδώνω 3 (Άσκηση από το σχολικό βιβλίο) Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g, φ και ψ. 7

73 Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις, g,, έχουν αντίστροφη και για καθεμία απ' αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της.. Δίνεται η συνάρτηση: ln, 0 ( ), Να αποδείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της 3. Δίνεται η συνάρτηση : i) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστέψιμη με () 0 και o ( ) 3 5, για κάθε ii) Να βρείτε το iii) Να λύσετε την εξίσωση: ( ) 5 4. Δίνεται η συνάρτηση: 73

74 e ( ), e Να αποδείξετε ότι: i) H αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της ii) Η εξίσωση ( ) 0 έχει μοναδική ρίζα 5. Δίνεται η συνάρτηση : με 3 ( ) ( ) e, για κάθε. i) Nα αποδείξετε ότι ( ) 0, για κάθε. ii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της με τον άξονα y y. iii) Nα αποδείξετε ότι η είναι «-» iv) Να λύσετε την εξίσωση: e ln 3 ln e a e 6. Δίνεται η συνάρτηση ( ), e το σημείο M ln 3,. a της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από i) Να βρείτε την τιμή του α ii) Να αποείξετε ότι η είναι «-» iii) Να βρείτε την iv) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή. 7. Δίνονται οι συναρτήσεις e ( ) e, g( ) e i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι «-» ii) Να βρείτε την iii) Να βρείτε την go 74

75 8. Δίνεται η συνάρτηση : με 3 ( ) ( ) 0, για κάθε. i) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ii) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη iii) Να βρείτε την 9. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, να αποδείξετε ότι και η αντίστροφή της έχει το ίδιο είδος μονοτονίας στο πεδίο ορισμού της. 0. Δίνεται η συνάρτηση : i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. ii) Να βρείτε την αντίστροφη της. 3 με 3 3 για κάθε.. Δίνονται οι αντιστρέψιμες συναρτήσεις, g : g ( ) ( ). Να βρείτε την συνάρτηση g. με ( ) 4 και 75

76 ΜΑΘΗΜΑ ο Γενική επανάληψη Α. Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους. Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού και ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες.. Μια συνάρτηση : είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση ( ) y έχει ακριβώς μία λύση ως προς. 3. Μία συνάρτηση : είναι συνάρτηση -, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ). 4. Αν η έχει αντίστροφη συνάρτηση και η γραφική παράσταση της έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 5. Αν μια συνάρτηση : είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση και ( ), A Προετοιμάζομαι για τις εξετάσεις y y, y ( A) ισχύει: 6. Αν μια συνάρτηση : είναι, τότε υπάρχουν σημεία της με την ίδια τεταγμένη. 7. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. 8. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα. 9. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. 0. Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη.. Κάθε συνάρτηση, που είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, είναι και -.. Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο 0 A, όταν ( ) ( 0 ), για κάθε A. 3. Δύο συναρτήσεις που έχουν τον ίδιο τύπο εναι πάντα ίσες. 4. Οι συναρτήσεις o και o, όταν ορίζονται, είναι πάντα ίσες. 76

77 Β. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής Στις επόμενες προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι: α. Το β. Το Β γ. Το A B δ. A B. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι: α. A B β. A B / g( ) 0 γ. A B / ( ) 0 δ. Το Α 3. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης go α. A / ( ) B β. B / ( ) A 4. Η εξίσωση y = () επαληθεύεται γ. A B δ. A B α. μόνο από τα σημεία της C β. Από όλα τα σημεία του επιπέδου Oy γ. Μόνο από τα σημεία με 0 δ. Τίποτα από τα προηγούμενα 5. Η συνάρτηση ( ) 4 είναι : α. Γνησίως αύξουσα στο β. Γνησίως φθίνουσα στο γ. «-» δ. Γνησίως αύξουσα στο, 0 Γ. Ασκήσεις Λυμένες ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 3 4 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης. Γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες και y y. Δ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

78 ΛΥΣΗ 3 4 Α. Για το πεδίο ορισμού της ( ) έχουμε: D,0 Επομένως D,0 Β. Για κάθε D έχουμε: ( ) Γ. Η C δεν τέμνει τον άξονα y y. Για τον άξονα έχουμε: 4 ή ή 3 ( ) Επομένως τέμνει τον στο σημείο A,0. Δ. Έχουμε: ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση με. 6 8 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Β. Να απλοποιήσετε τη συνάρτηση h Γ. Αν 4 αντίστροφή της. ΛΥΣΗ Α. Πρέπει:, 4 4 h. να αποδείξετε ότι η h είναι «-» και να βρείτε την Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι D,4 78

79 Β. Έχουμε: h 4 4 ( )( ) 6 8 ( )( 4) 4 Γ. Έστω, 4 με h( ) h( ) h( ) h( ) Άρα η συνάρτηση h είναι «-» και επομένως υπάρχει η αντίστροφή της. Έχουμε: 4y y h y y 4 y 4y, y 4 y Ακόμα πρέπει 4y 4 4 4, που είναι αληθής. y 4 Άρα η αντίστροφη της h είναι η h ( ),. ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνονται οι συναρτήσεις, 4 g με g 3. Α. Nα βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g Β. Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της με τους άξονες και y y Γ. Να απλοποιήσετε τo τύπο της συνάρτησης. Δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g. ΛΥΣΗ Α. Πρέπει: Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι Για τη g είναι Dg 3 0, D, 79

80 Β. Το κοινό σημείο της Για τα κοινά σημεία της Επομένως είναι C με τον άξονα y y είναι το 0, C με τον άξονα έχουμε: A, αφού (0) , 3 B,0,,0 0,. D, έχουμε: 4 3 Η συνάρτηση g έχει κοινό σημείο μόνο με τον άξονα y y, το Γ. Για κάθε Δ. Τα κοινά σημεία των C, C προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης: g g , Επομένως τα κοινά τους σημεία είναι K,,, ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται η συνάρτηση ( ), Α. Να βρείτε τα κ και λ, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από τα σημεία Α(-,-3) και Β(,-) Β. Για,, να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση τέμνει τους άξονες και y y. Γ. Να βρείτε την αντίστροφη της. 80

81 ΛΥΣΗ Α. Για να διέρχεται η συνάρτηση από τα σημεία Α(-,-3) και Β(,-) πρέπει να ισχύει: ( ) 3 3 () 4 () Από τη λύση του συστήματος () και () προκύπτει, Β. Για, η συνάρτηση γίνεται ( ),. Αφού (0) η τέμνει τον άξονα στο σημείο 0, και τον άξονα y y όταν ( ) 0 0, δηλαδή στο σημείο,0. Γ. Αρχικά θα αποδείξουμε ότι η είναι «-» στο. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε: ( ) ( ) Άρα υπάρχει η αντίστροφη της και έχουμε: Επομένως ΘΕΜΑ 5 ο,. Δίνεται η συνάρτηση : y y, y με ( ) 5 3 i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. ii) Να λύσετε την εξίσωση : iii) Να λύσετε την ανίσωση: ΛΥΣΗ i) Θα εξετάσουμε την μονοτονία της (αφού δεν είναι εύκολη η χρήση του ορισμού της «-» συνάρτησης). Έστω, με. Έχουμε: 8

82 5 5 () 3 3 () Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων () και () έχουμε: Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα και άρα και «-». ii) Έχουμε διαδοχικά: iii) Έχουμε διαδοχικά: ή ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση με () Δ. Προτεινόμενες Ασκήσεις ( 7 5)(4 4) 8 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να αποδείξετε ότι () 4 5. Β. Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από τον άξονα ; Γ. Να αποδείξετε ότι (3) 3 8 (4) () 3 5( 7 3) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση με ()= +3+ Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της () B. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η έχει: Β.. θετικές τιμές Β.. αρνητικές τιμές 8

83 Γ. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ΘΕΜ 3 Ο Δίνεται η συνάρτηση : Α. Να αποδείξετε ότι 0, για κάθε. 3 με 3 4e, για κάθε Β. Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τους άξονες και y y. Γ. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι «-». Δ. Να λύσετε την εξίσωση e e ln 5 ln. ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις, g : Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι «-». Β. Αν για κάθε ισχύει. με την og να ορίζεται και να είναι «-» ln g g, να αποδείξετε ότι e για κάθε ΘΕΜΑ 5 Ο Δίνονται οι συναρτήσεις, g : με: και Α. Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη. o ( ) go ( ) 5 για κάθε Β. Να βρείτε την αντίστροφη της στναρτήσει των g,. ΘΕΜΑ 6 ο Δίνεται η συνάρτηση ( ),. Α. Να αποδείξετε ότι η είναι «-». Β. Να λύσετε την ανίσωση ( ( )) Γ. Να λύσετε την εξίσωση ( ( )). 83

84 ΘΕΜΑ 7 ο Δίνεται η συνάρτηση διέρχεται από το σημείο A ln,ln 3. Α. Να βρείτε το α. ( ) ln ae, a της οποίας η γραφική της παράσταση C Β. Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη. Γ. Να βρείτε την αντίστροφη της. Δ. Να λύσετε την ανίσωση ln 7 Δίνεται η συνάρτηση : της ΘΕΜΑ 8 Ο η οποία είναι γνησίως μονότονη και η γραφική παράστασή C διέρχεται από το σημείο 3,, 5,9 A B. Α. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. Β. Να λυθεί η εξίσωση Γ. Να λυθεί η εξίσωση ( ) 9 ( 8 ) ΘΕΜΑ 9 Ο Δίνεται η συνάρτηση : με: () 0 και o ( ) 3 5, για κάθε Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη. Β. Να βρείτε το () Γ. Να λυθεί η εξίσωση ΘΕΜΑ 0 Ο Δίνεται η συνάρτηση 3 5 Α. Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη. Β. Να βρείτε το (3) Γ. Να λύσετε την εξίσωση

85 ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση e ln e i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. iii) Να βρείτε την αντίστροφη iv) Να λύσετε την εξίσωση: ΘΕΜΑ Ο της καθώς και το σύνολο τιμών της. 3 a a a e e 3 a a a e e ln 0 Δίνονται οι συναρτήσεις e και g( ) ln i) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις, g είναι γνησίως μονότονες στο πεδίο ορισμού τους. ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται πάνω από τον άξονα και τα C g βρίσεται κάτω από τον άξονα. iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης g με την ευθεία y e. iv) Να ορίσετε τις συναρτήσεις og και og v) Να λύσετε την ανίσωση 06 a a ln 0 a ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται η συνάρτηση : με: 3 i) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. 3, για κάθε ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. iii) Να βρείτε την αντίστροφη της. 85

86 ΘΕΜΑ 4 Ο Θεωρούμε τη συνάρτηση Α. Να αποδείξετε οτι α. α ln α με 0. Αν 0 Β. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ. Να λύσετε την ανίσωση: για κάθε 0, τότε: ΘΕΜΑ 5 Ο ln ln 3 3 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : με: ( ), (3), g( ) e e ( ) Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι «-». Β. Να λύσετε την εξίσωση go ( ) e e. 86

87 Διαγώνισμα θεωρίας (30 ) ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε γνησίως φθίνουσα συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ; Β. Τι ονομάζουμε συνάρτηση «-» στο πεδίο ορισμού της; Γ. Να δώσετε ένα παράδειγμα συνάρτησης «-» που δεν είναι γνησίως μονότονη. Δ. Πως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της ; ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες.. Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο 0 όταν ( ) ( 0 ), για κάθε A. 3. Κάθε συνάρτηση, που είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, είναι και Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν για κάθε ϵ A ισχύει ( ) g( ). A, 5. Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση () = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς. Β. Στις επόμενες προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτσης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι: α. Το β. Το Β γ. Το A B δ. A B. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι: α. A B β. A B / g( ) 0 γ. A B / ( ) 0 δ. Το Α 3. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης go α. A / ( ) B β. B / ( ) A 4. Η εξίσωση y = () επαληθεύεται γ. A B δ. A B α. μόνο από τα σημεία της C β. Από όλα τα σημεία του επιπέδου Oy γ. Μόνο από τα σημεία με 0 δ. Τίποτα από τα προηγούμενα 87

88 5. Η συνάρτηση ( ) 4 είναι : α. Γνησίως αύξουσα στο β. Γνησίως φθίνουσα στο γ. «-» δ. Γνησίως αύξουσα στο, 0 88

89 Επαναληπτικό Διαγώνισμα στις Συναρτήσεις Θέμα Α Α. Πότε μία συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση - ; (Μονάδες 8) Α. Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ; (Μονάδες 7) Α.3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη. (Μονάδες 5Χ=0). Μια συνάρτηση που είναι «-» σε ένα διάστημα Δ είναι πάντα γνησίως μονότονη. Αν στο Δ. είναι η αντίστροφη συνάρτηση της : είναι το σύνολο τιμών A της., τότε το πεδίο ορισμού της 3. Αν μία συνάρτηση είναι «-» τότε δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. 4. Αν για μια συνάρτηση : ισχύει 05 ( ) 05 για κάθε A, τότε η έχει μέγιστη τιμή το 05 και ελάχιστη τιμή το Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y, που διχοτομεί τις γωνίες Οy και Οy των αξόνων και y y. ΘΕΜΑ Β Έστω η συνάρτηση g : (0, ) R που είναι γνησίως φθίνουσα και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο A,. Αν για την συνάρτηση ισχύει: ( ) ln g( ) για κάθε 0 Β. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο 0,. B. Να λύσετε την ανίσωση: g στο ln 0,. (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) 89

90 Θέμα Γ Έστω : μία συνάρτηση για την οποία ισχύει: Α. Να αποδείξετε ότι: i) H αντιστρέφεται. ( ) 6 ( ) (), για κάθε ii) (3) B. Να λύσετε την εξίσωση: (3) (Μονάδες 8) (Μονάδες 7) (Μονάδες 0) Θέμα Δ Έστω : μία συνάρτηση για την οποία ισχύει: Δ. Να αποδείξετε ότι (0) 0 ή (0). y ( ) ( y) για κάθε, y. Δ. Αν η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων να βρείτε την συνάρτηση. Δ. 3 Αν (0) 0, τότε: (Μονάδες 7) (Μονάδες 8) Δ. 3. Να αποδείξετε ότι ( ) 0 για κάθε. Δ. 3. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) 90

91 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Copyriht: Μαθηματικός Περιηγητής Σχολικό Έτος:

92 ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όριο συνάρτησης στο 0 Ιδιότητες των ορίων Μη πεπερασμένο όριο στο 0 Όριο συνάρτησης στο άπειρο 9

93 ΜΑΘΗΜΑ ο Όριο συνάρτησης στο 0, Εισαγωγή Η έννοια του ορίου γεννήθηκε στην προσπάθεια των μαθηματικών να απαντήσουν σε ερωτήματα όπως: Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού; Tι ονομάζουμε εφαπτομένη μιας καμπύλης σε ένα σημείο της; Τι ονομάζουμε εμβαδό ενός μικτόγραμμου χωρίου; Στις παραγράφους που ακολουθούν, αρχικά προσεγγίζουμε την έννοια του ορίου "διαισθητικά", στη συνέχεια διατυπώνουμε τον αυστηρό μαθηματικό ορισμό του ορίου και μερικές βάσικές ιδιότητές του και τέλος, εισάγουμε την έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης. Η έννοια του ορίου Έστω η συνάρτηση Η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D = R {} και γράφεται: Επομένως, η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία y = + με εξαίρεση το σημείο A(,) (Σχ. 38). Στο σχήμα αυτό, παρατηρούμε ότι: "Καθώς το, κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό, το (), κινούμενο πάνω στον άξονα y y, προσεγγίζει τον 93

94 πραγματικό αριθμό. Και μάλιστα, οι τιμές () είναι τόσο κοντά στο όσο θέλουμε, για όλα τα που είναι αρκούντως κοντά στο ". Στην περίπτωση αυτή γράφουμε; και διαβάζουμε: Γενικά: "το όριο της (), όταν το τείνει στο, είναι ". Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό l, καθώς το προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0, τότε γράφουμε και διαβάζουμε: "το όριο της (), όταν το τείνει στο 0, είναι l " ή"το όριο της () στο 0 είναι l ". ΣΧΟΛΙΟ Από τα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε ότι: Για να αναζητήσουμε το όριο της στο 0, πρέπει η να ορίζεται όσο θέλουμε "κοντά στο 0 ", δηλαδή η να είναι ορισμένη σ' ένα σύνολο της μορφής: a, 0, o ή a, 0ή, o Το 0 μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ. 39α, 39β) ή να μην ανήκει σ' αυτό (Σχ. 39γ). 94

95 Η τιμή της στο 0, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο 0 (Σχ. 39α) ή διαφορετική από αυτό. (Σχ. 39β). Έστω, τώρα, η συνάρτηση: της οποίας η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ημιευθείες του διπλανού σχήματος. Παρατηρούμε ότι: Όταν το προσεγγίζει το από αριστερά (<), τότε οι τιμές της προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: Οταν το προσεγγίζει το από δεξιά (>), τότε οι τιμές της προσεγγίζουν όσο θελουμε τον πραγματικό αριθμό 4. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: Γενικά: Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό l, καθώς το προσεγγίζει το 0 από μικρότερες τιμές ( < 0 ), τότε γράφουμε: και διαβάζουμε: 95

96 "το όριο της (), όταν το τείνει στο 0 από τα αριστερά, είναι l ". Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό l,καθώς το προσεγγίζει το 0 από μεγαλύτερες τιμές ( > 0 ), τότε γράφουμε: και διαβάζουμε: "το όριο της (), όταν το τείνει στο 0 από τα δεξιά, είναι l ". Τους αριθμούς l lim ( ) και 0 l lim ( ) τους λέμε πλευρικά όρια της στο 0 και 0 συγκεκριμένα το l αριστερό όριο της στο 0, ενώ το l δεξιό όριο της στο 0. Από τα παραπάνω σχήματα φαίνεται ότι: Για παράδειγμα, η συνάρτηση (Σχ. 4) δεν έχει όριο στο 0 = 0, αφού: 96

97 και έτσι: Στα προηγούμενα γνωρίσαμε την έννοια του ορίου διαισθητικά. Είδαμε ότι, όταν γράφουμε lim ( ) l, εννοούμε ότι οι τιμές () βρίσκονται όσο θέλουμε κοντά στο l, για όλα τα 0 0 τα οποία βρίσκονται "αρκούντως κοντά στο 0 ". Για να διατυπώσουμε, τώρα, τα παραπάνω σε μαθηματική γλώσσα εργαζόμαστε ως εξής Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση έχει όριο στο 0, τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με lim 0 Στη συνέχεια, όταν γράφουμε lim 0 είναι ίσο με l.., θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο της στο 0 και Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες: Αποδεικνύεται ότι : Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής, 0 o, ισοδυναμία:, τότε ισχύει η Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής ( 0,β), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α, 0 ), τότε ορίζουμε: 97

98 Για παράδειγμα, Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α, 0 ), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής ( 0,β), τότε ορίζουμε: Για παράδειγμα, ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύεται ότι το lim ( ) είναι ανεξάρτητο των άκρων α,β των διαστημάτων (α, 0 ) και 0 ( 0,β) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η. 98

99 Έτσι για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης ( ) στο 0 =0, του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αυτή περιοριζόμαστε στο υποσύνολο, 0 0, παίρνει τη μορφή: Επομένως, όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα, το ζητούμενο όριο είναι lim ( ) 0 ΣΥΜΒΑΣΗ Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση έχει κοντά στο 0 μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες: α) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής, 0 o, και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ. β) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, 0 ), έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής ( 0, β). γ) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( 0, β), έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (α, 0 ). Για παράδειγμα, η συνάρτηση ( ) είναι θετική κοντά στο 0 = 0, αφού ορίζεται στο σύνολο,0 0, και είναι θετική σε αυτό. Όριο ταυτοτικής - σταθερής συνάρτησης Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι : 99

100 Η πρώτη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης () = (Σχ. 47α) στο 0 είναι ίσο με την τιμή της στο 0, ενώ η δεύτερη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της σταθερής συνάρτησης g() = c (Σχ. 47β) στο 0 είναι ίσο με c. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Κατανοώ /Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε το lim ( ) 0 γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι : και το ( 0 ), εφόσον υπάρχουν, όταν η 4/Α (Σχολικό βιβλίο). Δίνεται η συνάρτηση που είναι ορισμένη στο [, + ) και έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να εξετάσετε ποιοι από τους 00

101 επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς. Β. Εμπεδώνω. (Σχολικό βιβλίο). Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και με τη βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το lim ( ), όταν: 0 3. (Σχολικό βιβλίο). Ομοίως όταν : 5. (Σχολικό βιβλίο). Δίνεται μια συνάρτηση ορισμένη στο, 00, lim ( ) 6 0 και lim ( ). Να βρείτε τις τιμές του λ ϵ R, για τις οποίες υπάρχει το 0 με 0

102 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο Ιδιότητες ορίων Όριο και διάταξη Για το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα. ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν Αν lim ( ) 0 0 lim ( ) 0 0, τότε 0, τότε 0 κοντά στο 0 (Σχ. 48α) κοντά στο 0 (Σχ. 48β) ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν οι συναρτήσεις, Ισχύει: g έχουν όριο στο 0 και ισχύει g lim ( ) lim g( ) 0 0 κοντά στο 0, τότε: Έστω τώρα το πολυώνυμο Απόδειξη Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε: 0

103 Επομένως, Για παράδειγμα, Έστω η ρητή συνάρτηση Q( 0 ) 0. Τότε, P( ) ( ), όπου P(), Q() πολυώνυμα του και 0 ϵ R με Q( ) Επομένως, Για παράδειγμα, Κριτήριο παρεμβολής Υποθέτουμε ότι "κοντά στο 0 " μια συνάρτηση "εγκλωβίζεται" (Σχ. 50) ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το τείνει στο 0, οι g και h έχουν κοινό όριο l, τότε, όπως 03

104 φαίνεται και στο σχήμα, η θα έχει το ίδιο όριο l. Αυτό δίνει την ιδέα του παρακάτω θεωρήματος που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεμβολής. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συναρτήσεις, g, h. Αν h() () g() κοντά στο 0 και τότε lim ( ) l 0 Για παράδειγμα, lim 0. 0 Πράγματι, για 0 έχουμε: Οπότε: Επειδή lim lim 0, σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε:

105 Τριγωνομετρικάόρια Το κριτήριο παρεμβολής είναι πολύ χρήσιμο για τον υπολογισμό ορισμένων τριγωνομετρικών ορίων. Αρχικά αποδεικνύουμε ότι:, για κάθε ϵ R (η ισότητα ισχύει μόνο όταν = 0) ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΡΟΤΑΣΗ. Όριο σύνθετης συνάρτησης Με τις ιδιότητες που αναφέρουμε μέχρι τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε τα όρια απλών συναρτήσεων. Αν, όμως, θέλουμε να υπολογίσουμε το lim g( ) 0 συνάρτησης og στο σημείο 0, τότε εργαζόμαστε ως εξής:, της σύνθετης. Θέτουμε u = g().. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u lim g ( ) και Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το l lim ( u). 0 Αποδεικνύεται ότι, αν g() u 0 κοντά στο 0, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με l, δηλαδή ισχύει: Η απόδειξη παραλείπεται αφού είναι εκτός εξεταστέας ύλης. 05

106 ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφής lim g( ) 0 με τα οποία θα ασχοληθούμε θα είναι τέτοια, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη: "g() u 0 κοντά στο 0 " και γιαυτό δεν θα ελέγχεται. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Έύρεση ορίου με ιδιότητες) Να βρείτε το όριο: ΛΥΣΗ Έχουμε: 9 3 lim 0 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΟΡΙΟΥ lim 0 ( Μορφή 0 0 ) η περίπτωση (Ρητή συνάρτηση) Αν P( ), με P( ), Q( ) πολυώνυμα. Παραγοντοποιούμε τους όρους του κλάσματος Q( ) και έχουμε: Επομένως: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε το όριο: P( ) R( ) R( ) Q( ) K( ) K( ) 0 lim lim 0 0 K ( ) lim 0 R( )

107 ΛΥΣΗ Παρατηρούμε όμως ότι για = μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Έχουμε: Επομένως, Τώρα προσπαθώ την άσκηση η περίπτωση (Άρρητη συνάρτηση) Αν A( ) B( ), πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση και έχουμε: P( ) A( ) B( ) A( ) B( ) A( ) B( ) A( ) B( ) P( ) P( ) A( ) B( ) P( ) A( ) B( ).. A( ) B( ) Ή A( ) B( ) A( ) B( ) ( ) ( ) A( ) B( ) ( ) ( )... ( ) ( ) A( ) B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A( ) B( ) ( ) ( ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε το όριο: lim 3 ΛΥΣΗ Για = μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με 3 και έτσι έχουμε: 07

108 Επομένως, Τώρα προσπαθώ την άσκηση. 3 η περίπτωση (τρίτη ρίζα) Αν 3 A( ) 3 B( ) ή ( ) P( ) A( ) B( ), τότε έχοντας υπόψη μας τις ταυτότητες: P( ) πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την παράσταση: 3 A( ) A( ) B( ) B( ) καταλήγουμε: 3 A( ) 3 B( ) A( ) B( ) P( ) A( ) B( ) Q( ) A( ) A( ) B( ) B( ) 3 A( ) 3 A( ) 3 B( ) 3 B( ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρείτε το όριο: ΛΥΣΗ: 3 lim lim lim lim lim Τώρα προσπαθώ την άσκηση 3. 08

109 4 η περίπτωση (Κλαδική συνάρτηση-πλευρικά όρια) Βρίσκουμε τα: Αν l l l Αν l ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ A( ), B( ), 0 lim A... l 0, τότε lim l 0 l, τότε δεν υπάρχει το lim lim B... l 0 Nα βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο 0 = της συνάρτησης: 0 0 ΛΥΣΗ Αν <, τότε () = 3 4, οπότε: Αν >, τότε () = /, οπότε: Επομένως lim Τώρα προσπαθώ την άσκηση 4. 5 η περίπτωση (Κριτήριο της παρεμβολής) Τα όρια της μορφής : A( ) lim g( ) 0 A( ) lim g( ) 0 09

110 υπολογίζονται συνήθως με το Κ.Π. ως εξής: A( ) A( ) g( ) g( ) g( ) Επομένως: A( ) g( ) g( ) g( ) Βρίσκουμε τα lim g( ), lim g( ) 0 0. Αν είναι ίσα ( l ), τότε A( ) lim g( ) l 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρείτε το όριο: 3 lim ΛΥΣΗ Για ευκολία θέτουμε ( ) και έχουμε διαδοχικά: ( ) Δηλαδή: 3 3 ( ) ( I) Έχουμε: 3 3 lim lim Επομένως από το Κριτήριο της παρεμβολής θα είναι: 3 3 lim Γενικότερα το κριτήριο ης παρεμβολής χρησιμοποιείται όταν ζητείται το lim ( ) o και η ( ) μπορεί να «κλειστεί» από δύο άλλες συναρτήσεις που έχουν το ίδιο όριο όταν 0. Τώρα προσπαθώ την άσκηση 5. 0

111 6 η περίπτωση (Τριγωνομετρικά όρια) Έχουμε υπόψη μας τα επόμενα τριγωνομετρικά όρια και μετασχηματίζουμε κατάλληλα το όριο που ζητάμε: lim 0 lim (*) 0 lim (*) 0 lim (*) 0 lim (*) 0 lim 0 0 Όσα σημειώνονται με (*) χρειάζονται απόδειξη πριν την εφαρμογή τους. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρείτε τα όρια: i) lim 0 ii) lim 0 ΛΥΣΗ i) ii) lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim Τώρα προσπαθώ την άσκηση 6. 7 η περίπτωση (Όρια με απόλυτα) Αν ζητείται όριο με μορφή παραπλήσια της ( ), τότε: lim 0 h ( )

112 Αν lim ( ) l 0 ( ) 0, a, 0 0, 0 ( ) ( ) lim lim... h( ) h( ) 0 0, τότε Αν lim ( ) m 0 ( ) 0, a, 0 0, 0 ( ) ( ) lim lim... h( ) h( ) 0 0 Αν 0, τότε lim ( ) 0, τότε κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου για την ( ) και εξετάζουμε τα πλευρικά όρια lim ( ), lim ( ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) i) lim ΛΥΣΗ lim 0, τότε i) Αφού 0 0 ii) lim. 0 «κοντά στο». Επομένως έχουμε: lim lim lim lim ii) Αφού: lim 0 0,, 0,, Έχουμε: lim lim lim lim lim lim Επομένως το όριο lim δεν υπάρχει. Τώρα προσπαθώ την άσκηση 7.

113 8 η περίπτωση (Όρια με παράμετρο) Να βρείτε τα α, β ώστε: g(, a, ) lim l, lim ( ) 0, τότε πρέπει και ( ) 0 0 διαφορετικά το 0 lim g(, a, ) 0 (ΙΙ) διότι 0 g(, a, ) lim.από τη σχέση (ΙΙ) παίρνουμε μια σχέση μεταξύ ( ) των παραμέτρων α και β. Λύνουμε αυτήν τη σχέση ως προς α ή β και αντικαθιστούμε στο g(, a, ) lim ( ) 0 όρος 0 Να υπάρχει το όριο το οποίο στη συνέχεια παραγοντοποιούμε, ώστε να εξαλειφθεί ο. Στο τέλος έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους. lim ( ) l : 0 A(, a, ), ( ) B(, a, ), 0 0 Έχουμε: lim ( ) lim ( ) lim A (, a, ) lim B (, a, ) Από την οποία έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε τα α και β ώστε: i) 3 a 4 lim ii) lim ( ), όπου, ( ) a 3, ΛΥΣΗ i) Επειδή lim 0 πρέπει και lim 3 a 4 a Επομένως έχουμε διαδοχικά: a 4 a 3 a 4 a 3 a 4 lim lim lim a a lim lim a a a lim lim Άρα: a 6 a 5 3

114 ii) Έχουμε: lim ( ) lim a I lim ( ) lim a 3 3 a a Άρα 3 Τώρα προσπαθώ την άσκηση 8. 9 η περίπτωση (Μετασχηματισμός ορίου) Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το lim g( ) 0, τότε εργαζόμαστε ως εξής:. Θέτουμε u = g(). 0. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u0 lim g( ) και o 3. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το l lim ( u). uu o, της σύνθετης συνάρτησης og στο σημείο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε το όριο: i) lim 0 4 ii) 3 lim 0 ΛΥΣΗ i) Θέτουμε u 4, τότε lim u lim 0 0, οπότε 4 4 ii) Είναι: Θέσουμε u = 3, τότε lim u lim3 0, οπότε: 0 0 Τώρα προσπαθώ την άσκηση 9. 4

115 0 η περίπτωση (Η συνάρτηση «κρύβεται») Αν δίνεται lim, ( ) 0 «η συνάρτηση κρύβεται») και ζητείται το l (δηλαδή το όριο μιας παράστασης της ( ) ή όπως λέμε lim ( ), τότε: 0 Θέτουμε, ( ) h () οπότε έχουμε lim h Λύνουμε την () ως προς ( )... 0 l Με τις ιδιότητες των ορίων βρίσκουμε το lim ( )... 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( ) Αν lim, να βρείτε το όριο lim ( ) (αν υποθέσουμε ότι υπάρχει). ΛΥΣΗ ( ) Θέτουμε h( ) και άρα lim h Έχουμε: ( ) h( ) ( ) h( ) Επομένως: lim ( ) lim h( ) lim lim h( ) Τώρα προσπαθώ την άσκηση 0. η περίπτωση (Θεωρητικές ασκήσεις) Στις Θεωρητικές ασκήσεις στα όρια έχουμε υπόψη μας τα επόμενα: Σε ασκήσεις όπου δίνεται σχέση που ιακοποιεί η συνάτηση : Α) y... και αναζητούμε το όριο 0 h 0. Επομένως έχουμε: lim ( ) 0 lim ( ) lim h... 0 h0. Θέτουμε 0 h, οπότε όταν 0 Β) y... και αναζητούμε το όριο lim ( ). Θέτουμε 0 0 h οπότε όταν 0 h. Επομένως έχουμε: 5

116 lim ( ) lim h... 0 h Γ) y και αναζητούμε το όριο lim ( ). Θέτουμε h οπότε 0 h όταν 0 h 0 Επομένως έχουμε: h 0 lim ( ) lim... 0 h ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Αν : μια συνάρτηση με: ( y) ( ) ( y) y για κάθε, y και i) Να βρείτε τις τιμές (0), () lim ( ) 0 ii) Να βρείτε το όριο lim ( ) ΛΥΣΗ i) Έχουμε: y 0 (0 0) (0) (0) 0 (0) 3 (0) (0) 0 0, y (0 ) (0) () 0 () (0) () () (0) () 0 ii) Θέτουμε h h και όταν: h 0. Επομένως έχουμε: lim ( ) lim ( h) lim () ( h) h lim ( h) h lim ( h) lim h 0 h0 h0 h0 h0 h0. Αν : μια συνάρτηση με: i) Να βρείτε τις τιμές (), () ( y) ( ) ( y) y για κάθε, y, και ( ) 0, lim ( ) ii) Να βρείτε το όριο lim ( ) ΛΥΣΗ i) Έχουμε: y () () () () () () () 0 ή και επειδή ( ) 0, θα είναι, y () () () () () 6

117 ii) Θέτουμε h και όταν: h. Επομένως έχουμε: lim ( ) lim ( h) lim () ( h) 4h lim ( h) 4h lim ( h) 4 lim h 4 5 h h h h h Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις,, 3, 4 και 5. /Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια : ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Κατανοώ /Α (Σχολικό βιβλίο).. Έστω μια συνάρτηση με lim ( ) 4. Να βρείτε το lim g( ) αν: 3/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια : Β. Εμπεδώνω 7

118 4/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια : 5/Α (Σχολικό βιβλίο). Να βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της στο 0 αν : 6/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια : 7/Α (Σχολικό βιβλίο). Να βρείτε τα όρια: 8/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε το lim ( ), αν: 0 9/Α (Σχολικό βιβλίο). Δίνεται η συνάρτηση α,β ϵ R, για τις οποίες ισχύει lim ( ) 0. 3 a, 3 ( ). Να βρείτε τις τιμές των 3, 3 8

119 /Β (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια: Β. Εμπεδώνω /Β (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν 4/Β. Να βρείτε το lim ( ), αν : 3. (Σχολικό βιβλίο). Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με γ =. Να υπολογίσετε τα όρια: 9

120 Γ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (που αντιστοιχούν σε κάθε προηγούμενη περίπτωση). Να βρείτε τα όρια: i) 4 lim ii) 3 lim 0. Να βρείτε τα όρια: 3. Να βρείτε τα όρια: i) lim ii) lim Να βρείτε τα όρια: i) lim ii) lim Να βρείτε τα όρια: ( ) 5, 5 5 5, 5 5 i) 5 lim ii) lim ( ), όταν 0 5 ( ), για κάθε, 6. Να βρείτε τα όρια: i) lim 0 ii) lim 0 iii) lim iv) lim 0 7. Να βρείτε τα όρια: i) lim ii) lim Να βρείτε τα α και β όταν: i) 3 lim a 3 3 ii) 4 a 3 a lim 0

121 9. Να βρείτε τα όρια: i) lim ii) lim 3 ( ) 5 0. α) Αν lim 3, να βρείτε το όριο lim ( ) (αν υποθέσουμε ότι υπάρχει). 9 3 β) Αν. Αν : και 0 lim ( ) 3, να βρείτε το όριο lim ( ) (αν υποθέσουμε ότι 3 υπάρχει). lim ( ) 0 Να βρείτε: μια συνάρτηση με: y ( ) ( y) y, για κάθε, y i) To () ii) lim ( ). Έστω η συνάρτηση : με: y ( ) ( y) y για κάθε, y, ( ) 0 για κάθε και i) Να βρείτε τις τιμές (0), (), (). ii) Να αποδείξετε ότι η είναι συνάρτηση «-». ( ) lim 0 ( ), 0 iii) Αν g( ), να βρείτε το α, ώστε να υπάρχει το lim g( ) a, 0 05 : 0, μια συνάρτηση με: 3. Έστω i) Να βρείτε το (). ii) Αν lim () y ( ) ( y), τότε να αποδείξετε ότι 0 4. Έστω : i) Να βρείτε το (0). για κάθε, 0, μια συνάρτηση με: lim ( ) ( ) y. 0 για κάθε 0 0, y ( ) ( y) για κάθε, y ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή. iii) Αν ισχύει lim ( ) ( a ) για κάποιο a, να αποδείξετε ότι: a.

122 α) lim ( ) (0) β) 0 lim ( ) ( ) για κάθε Αν : μια συνάρτηση με: lim ( ) (3) και 3 i) Να βρείτε το (3). ( ) (3) ii) Να βρείτε το όριο A lim. 3 9 (3 h) lim 6 h0 h

123 ΜΑΘΗΜΑ 4ο Μη πεπερασμένο όριο στο 0 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 0 ϵ R Στο σχήμα 54 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης κοντά στο 0. Παρατηρούμε ότι, καθώς το κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό 0, οι τιμές () αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση έχει στο 0 όριο + και γράφουμε: Στο σχήμα 55 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης κοντά στο 0. Παρατηρούμε ότι, καθώς το κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό 0, οι τιμές () ελαττώνονται απεριόριστα και γίνονται μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό M (M >0). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση έχει στο 0 όριο και γράφουμε: 3

124 Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια a,, ισχύουν οι συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής 0 0 παρακάτω ισοδυναμίες: Αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες : Ενώ: ν ϵ N ν ϵ N (Σχ. 57β). Επομένως, δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της ( ), ν ϵ N Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα: ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο αθροίσματος) 4

125 ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γινομένου) Στους πίνακες των παραπάνω θεωρημάτων, όπου υπάρχει ερωτηματικό, σημαίνει ότι το όριο (αν υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουμε. Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή. Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι: και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι: Επειδή g g και Για παράδειγμα: g, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς g αν πάρουμε τις συναρτήσεις ( ) και g( ), τότε έχουμε: και ενώ, 5