ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ο αλγόριθμος του Grover κι ένα πείραμα σε κβαντικό υπολογιστή ΣΑΓΚΟΒΙΤΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΓΚΑΝΟΥΛΗΣ ΝΙΚΟΛΑOΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, ΜΑΪΟΣ 2017

2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζονται, αναλύονται και επεξηγούνται κομμάτια της κβαντικής θεωρίας της φυσικής, και πιο συγκεκριμένα παρουσιάζονται πειράματα, μαθηματικές αναλύσεις και τυποποιήσεις καθώς και έννοιες της επιστήμης κβαντικών υπολογισμών. Αντικειμενικός σκοπός της είναι η πλήρης κατανόηση, από πλευράς του αναγνώστη, βασικών εννοιών της κβαντομηχανικής, αλλά και η περιγραφή και ανάλυση πιο περίπλοκων συστημάτων και αλγορίθμων, για αναγνώστες με εξειδικευμένες γνώσεις. Η εργασία χωρίζεται σε τέσσερα σκέλη. Το πρώτο, που είναι το εισαγωγικό κομμάτι, περιγράφει στο πρώτο κεφάλαιο, συνοπτικά, κάποια συμπεράσματα της κβαντικής θεωρίας, όπως φαίνονται μέσα από ένα θεμελιώδες πείραμα της φυσικής, αυτό των διπλών σχισμών. Στο δεύτερο κεφάλαιο, παρουσιάζεται η μαθηματική τυποποίηση που χρησιμοποιείται κατά σύμβαση στην κβαντομηχανική επιστήμη. Στο τρίτο κεφάλαιο, περιγράφονται τα βασικά σημεία της επιστήμης των κβαντικών υπολογιστών, και πως αυτά διαφέρουν από την κλασική θεωρητική και πρακτική θεμελίωση. Στο δεύτερο σκέλος, παρουσιάζεται ο κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης. Αυτός ο αλγόριθμος, μαζί με τον αλγόριθμο του Shor για την εύρεση της περιόδου, κατέδειξε σε θεωρητικό επίπεδο την πρακτική αξία που θα μπορούσε να έχει ένας καθολικός κβαντικός υπολογιστής μεγάλης κλίμακας, κι έδωσαν μεγάλη ώθηση στο πεδίο της επιστήμης κβαντικών υπολογιστών. Ο αλγόριθμος, αφού περιγραφεί, αναλύεται από διάφορες οπτικές, δίνονται γεωμετρικές και γραφικές απεικονίσεις και αποδεικνύεται ότι είναι ένας βέλτιστος αλγόριθμος. Ακόμη, δίνονται κάποια όρια από τα οποία περιορίζεται. Στο τρίτο κομμάτι της εργασίας, περιγράφεται μια πραγματική, φυσική υλοποίηση ενός κβαντικού υπολογιστή, αυτού που ανέπτυξε η τεχνολογική εταιρία, κολοσσός, IBM. Αναλύονται τα φυσικά, δομικά στοιχεία του και οι αλληλεπιδράσεις ανάμεσα σε αυτά, καθώς και τα πρωτόκολλα στα οποία βασίζεται. Η ΙΒΜ ανέπτυξε αυτόν τον κβαντικό υπολογιστή, και μέσω της πλατφόρμας IBM Quantum Experience, προσπαθεί να ενημερώσει το ευρύ κοινό για τις ιδιότητες και τις προοπτικές του κβαντικού υπολογιστή, ενώ παράλληλα δίνει πρόσβαση στον σε αυτόν τον τοπολογικό κβαντικό υπολογιστή, μέσω cloud υπηρεσίας. Σε αυτά πλαίσια, παρουσιάζεται στο παράρτημα της εργασίας η εκτέλεση του κβαντικού αλγορίθμου αναζήτησης στον κβαντικό υπολογιστή της IBM.

3 ABSTRACT This dissertation thesis presents, analyzes and explains parts of the quantum theory of physics. More specifically experiments, mathematical analyses and standardizations as well as concepts of quantum computer science are presented. Its main purpose is an attempt of understanding and comprehension of basic concepts underlying the quantum mechanics, and also the description and analysis of more complex systems and algorithms. The thesis is divided in four parts. The first one, which is the introductory part, described at chapter one, is presenting some conclusions of quantum theory, as seen from a fundamental experiment of physics, the double slit experiment. In Chapter two the mathematical formulation used by convention at quantum mechanical science is presented. At the third chapter, there is a basic description of quantum computer science and describes how it is different from the classic theoretical and practical foundation. At the second part, the quantum search algorithm is presented. This algorithm, along with Shor s period finding, has demonstrated at a theoretical level, the potential practical value of a universal quantum computer, and has greatly boosted the field of quantum computer science. The algorithm is thoroughly described, it is analyzed from various perspectives, there are given geometrical and graphical visualizations, and it is proven that it is an optimal algorithm. Additionally, there are presented some boundaries which limit its power. The third part describes a real, physical realization of a quantum computer, as developed by the technological company ΙΒΜ. Its physical, structural elements are presented. The interactions amongst them are analyzed, along with the protocols that its operation is based on. IBM has developed this quantum computer, and via the IBM Quantum Experience online platform, aims to inform the public about the properties and prospects of quantum computers, while giving access to this topological quantum computer, through a cloud service. In this context, an execution of the quantum search algorithm at IBM s quantum computer is presented at the appendix of the thesis.

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΩΝ ΔΙΠΛΩΝ ΣΧΙΣΜΩΝ 1 Σύνοψη του πειράματος 2 Παραλλαγές του πειράματος 3 Ερμηνείες του πειράματος 4 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 7 3. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΒΑΝΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ 15 Κλασικά bit (Cbits), Κβαντικά bit (Qubits) και οι καταστάσεις τους 15 Κβαντικές πύλες ενός και πολλαπλών qubits 21 Κβαντικά κυκλώματα Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ GROVER 29 Η φύση της αναζήτησης 29 Το μαντείο 30 Η διαδικασία 33 Γεωμετρική απεικόνιση 34 Απόδοση του αλγορίθμου 36 Βέλτιστος αλγόριθμος αναζήτησης 40 Πολυωνυμικά όρια ΚΑΘΟΛΙΚΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 48 Το transmon 48 Μια πύλη των δυο qubit διεμπλοκής με μικροκύματα 61 Η οικοδόμηση ενός κλιμακούμενου, ανεκτικού σε σφάλματα κβαντικού υπολογιστή 67 Ο κώδικας ανίχνευσης κβαντικών σφαλμάτων 73 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 79 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 80 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 85

5 1. ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΩΝ ΔΙΠΛΩΝ ΣΧΙΣΜΩΝ Η σύγχρονη εκδοχή του πειράματος των διπλών σχισμών (double slit experiment) αποτελεί μια έντονη, ταυτόχρονη παρουσίαση των κυματιδιακών και σωματιδιακών χαρακτηριστικών της ύλης και του φωτός, όπως αυτά ορίζονται κλασικά. Επιπλέον, καταδεικνύει σε μεγάλο Σχήμα 1 βαθμό την θεμελιώδη πιθανοκρατική φύση των κβαντομηχανικών φαινομένων. Αν το φως απαρτιζόταν αυστηρά από συνηθισμένα ή αλλιώς κλασικά σωματίδια, και αυτά τα σωματίδια εκτοξεύονταν σε μια ευθεία γραμμή και μέσα από μια σχισμή ώστε να καταλήξουν σε μια επιφάνεια, θα περιμέναμε να παρατηρήσουμε ένα πρότυπο στην επιφάνεια ανάλογο με το μέγεθος και το σχήμα της σχισμής. Αντίθετα, σε αυτό το πείραμα της «μονής σχισμής», το πρότυπο που σχηματίζεται στην οθόνη είναι ένα πρότυπο διάθλασης κατά το οποίο το φως εξαπλώνεται. Όσο μικρότερη είναι η σχισμή, τόσο μεγαλύτερη είναι και η γωνία διασποράς. Στο σχ. 2 φαίνεται το κεντρικό κομμάτι από το πρότυπο που σχηματίζεται όταν ένα κόκκινο λέιζερ φωτίζει σε μια σχισμή, και αν παρατηρήσει κανείς προσεκτικά, θα δει ότι υπάρχουν δύο αχνές πλευρικές ζώνες. Η διάθλαση εξηγεί το φαινόμενο ως το Σχήμα 2 αποτέλεσμα της συνολικής συμβολής (interference) των κυμάτων φωτός καθώς περνούν από τη σχισμή. Αν κάποιος φωτίσει δύο παράλληλες σχισμές, το φως που περνάει από τις σχισμές και πάλι υπόκειται σε συμβολή. Εδώ η συμβολή έχει ως αποτέλεσμα ένα ακόμα πιο σαφές πρότυπο, με μια σειρά από φωτεινές και σκοτεινές ζώνες (λωρίδες). Το πλάτος των ζωνών σχετίζεται με τη συχνότητα του εκπεμπόμενου φωτός. Όταν ο Thomas Young το 1801 παρουσίασε για πρώτη φορά αυτό το φαινόμενο, αποτελούσε μια ισχυρή υπόδειξη ότι το φως αποτελείται από κύματα, καθώς η κατανομή της φωτεινότητας μπορεί να εξηγηθεί από την εναλλασσόμενη ενισχυτική και καταστρεπτική συμβολή των μετώπων (wavefronts) των κυμάτων. Έτσι, αυτό το πείραμα, αποτέλεσε ένα σημαντικό κομμάτι στην αποδοχή της κυματικής θεωρίας του φωτός, αντικρούοντας την, προτεινόμενη από τον Isaac Newton, μοριακή θεωρία του φωτός, η οποία αποτελούσε το αποδεχόμενο μοντέλο διάδοσης του φωτός κατά 1

6 τον 17 ο και 18 ο αιώνα. Ωστόσο, λίγο αργότερα το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο υπέδειξε ότι υπό διαφορετικές συνθήκες, το φως μπορεί να συμπεριφερθεί σαν να αποτελούνταν από διακριτά σωματίδια. Αυτές οι συγκρουόμενες ανακαλύψεις κατέστησαν αναγκαία μια μετάβαση πέραν από την κλασική φυσική ώστε να ληφθεί και η κβαντική φύση του φωτός υπόψιν. Το πείραμα των διπλών σχισμών (και οι παραλλαγές του) έχει εξελιχθεί σε ένα κλασικό πείραμα σκέψης (thought experiment), λόγο της σαφήνειας με την οποία εκφράζει τα κεντρικά αινίγματα της κβαντομηχανικής. Επειδή παρουσιάζει το θεμελιώδη περιορισμό της ικανότητας ενός παρατηρητή να προβλέψει τα πειραματικά αποτελέσματα, ο Richard Feynman το αποκάλεσε ως «ένα φαινόμενο το οποίο είναι αδύνατον [ ] να εξηγηθεί με οποιονδήποτε κλασικό τρόπο, και το οποίο βρίσκεται στην καρδιά της κβαντομηχανικής.» Σύνοψη του πειράματος Στην πιο απλή μορφή του πειράματος, μια πηγή φωτός, όπως μια ακτίνα λέιζερ, σημαδεύει σε μια αδιάφανη πλάκα η οποία είναι τρύπια με δύο παράλληλες σχισμές, και το φως περνάει από τις σχισμές και παρατηρείται σε μια οθόνη τοποθετημένη πίσω από την πλάκα. Η κυματική φύση του φωτός έχει ως αποτέλεσμα τα κύματα φωτός που περνούν διαμέσου των δύο σχισμών να παρεμβάλλονται μεταξύ τους, παράγοντας στην οθόνη φωτεινές και σκοτεινές λωρίδες, το γνωστό «πρότυπο συμβολής» (interference pattern), ένα αποτέλεσμα μη αναμενόμενο αν κάποιος θεωρούσε ότι το φως αποτελείται από κλασικά σωματίδια. Παρ όλα αυτά, παρατηρείται ότι το φως απορροφάτε στην οθόνη σε διακεκριμένα σημεία, όπως θα συνέβαινε με ανεξάρτητα σωματίδια (όχι με κύματα), και το σχέδιο συμβολής σχηματίζεται μέσω της κυμαινόμενης πυκνότητας των συγκρούσεων των σωματιδίων στην οθόνη. Επίσης, εκδοχές του πειράματος που περιλαμβάνουν ανιχνευτές στις σχισμές δείχνουν ότι κάθε παρατηρούμενο φωτόνιο περνάει μέσα από μια μόνο σχισμή (όπως θα περίμενε κανείς από ένα κλασικό σωματίδιο), και όχι μέσα και από τις δύο σχισμές (όπως θα συνέβαινε στην περίπτωση ενός κύματος). Όμως, τέτοια πειράματα επιδεικνύουν ότι τα σωματίδια δεν σχηματίζουν το σχέδιο συμβολής αν κάποιος ανιχνεύσει από ποιά από τις δύο τρύπες περνάνε. Αυτά τα αποτελέσματα παρουσιάζουν την Αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού. Έχει βρεθεί ότι και άλλες οντότητες ατομικής κλίμακας, όπως τα ηλεκτρόνια, παρουσιάζουν την ίδια συμπεριφορά όταν εκτοξεύονται προς τις δύο σχισμές. Επιπλέον, η ανίχνευση ατομικών, διακριτών συγκρούσεων στην οθόνη παρατηρείται ότι είναι εγγενώς πιθανοκρατική, μια παρατήρηση ανεξήγητη στα πλαίσια της κλασικής μηχανικής. 2

7 Παραλλαγές του πειράματος Συμβολή των ξεχωριστών σωματιδίων Μια σημαντική εκδοχή του πειράματος περιλαμβάνει μοναδικά, ξεχωριστά σωματίδια. Στέλνοντας σωματίδια μέσα από μια συσκευή με δύο σχισμές, ένα σωματίδιο κάθε φορά, έχει ως αποτέλεσμα να εμφανίζονται τα σωματίδια στην οθόνη ένα τη φορά, όπως αναμενόταν. Προς έκπληξη όμως, ένα πρότυπο συμβολής αναδύεται μετά από κάποια ώρα και όταν τα σωματίδια «στοιβαχθεί» ένα προς ένα στην οθόνη (σχ. 3). Έτσι, παρουσιάζεται ο κυματοσωματιδιακός δυϊσμός, ο οποίος αναφέρει ότι η ύλη παρουσιάζει και κυματικές και σωματιδιακές ιδιότητες το σωματίδιο μετράτε σαν ένας μοναδικός παλμός σε μια μοναδική θέση, ενώ το κύμα περιγράφει την πιθανότητα απορρόφησης ενός σωματιδίου σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο του χώρου (στην οθόνη ανιχνευτή). Αυτό το φαινόμενο έχει φανεί ότι είναι συνεπές με ηλεκτρόνια, πρωτόνια, άτομα και ακόμα και με κάποια μόρια. Έτσι, αυτά τα πειράματα προσθέτουν επιβεβαιωτικά στοιχεία στην άποψη ότι τα ηλεκτρόνια, πρωτόνια, νετρόνια αλλά και μεγαλύτερες οντότητες οι οποίες βασικά θεωρούνται και αποκαλούνται σωματίδια, δεν παύουν να έχουν τη δικιά τους κυματική φύση κι ακόμα και κάποιο μήκος κύματος (σχετιζόμενο με την ορμή τους). Η πιθανότητα της ανίχνευσης ισούται με το τετράγωνο του πλάτους του κύματος και μπορεί να υπολογιστεί με τα κλασικά κύματα. Τα σωματίδια δεν φτάνουν στην οθόνη με κάποια προβλέψιμη σειρά, έτσι γνωρίζοντας που εμφανίστηκαν όλα τα Σχήμα 3 προηγούμενα σωματίδια στην οθόνη και με ποια σειρά δεν σημαίνει τίποτα για το που θα ανιχνευθεί κάποιο επόμενο σωματίδιο. Αν υπάρχει κάποια ακύρωση των θεωρούμενων κυμάτων σε κάποιο σημείο του χώρου αυτό δεν σημαίνει ότι ένα σωματίδιο θα εξαφανισθεί θα εμφανισθεί σε κάποιο άλλο σημείο. Από την πρώτη στιγμή που εμφανίστηκε η κβαντομηχανική, πολλοί θεωρητικοί έχουν αναζητήσει τρόπους ώστε να ενσωματώσουν επιπλέον καθοριστικούς παράγοντες ή «κρυμμένες μεταβλητές» όπου, σε περίπτωση που γίνονταν γνωστές, θα ήταν και υπεύθυνες για την συγκεκριμένη τοποθεσία όπου συγκρούεται το κάθε σωματίδιο με το στόχο. 3

8 Πειράματα «ποιας οδού (which-way)» και Αρχή της Συμπληρωματικότητας Ένα πολύ γνωστό πείραμα σκέψης προβλέπει πως αν τοποθετηθούν ανιχνευτές σωματιδίων στις σχισμές, δείχνοντας από ποια σχισμή θα περάσει ένα φωτόνιο, το πρότυπο συμβολής δεν θα εμφανιστεί. Αυτό το πείραμα «ποιας οδού» απεικονίζει την Αρχή της Συμπληρωματικότητας, ότι τα φωτόνια μπορούν να συμπεριφέρονται είτε ως σωματίδια είτε ως κύματα, αλλά δεν μπορούν να παρατηρηθούν ως και τα δύο ταυτόχρονα. Παρά τη μεγάλη σημασία αυτού του πειράματος σκέψης στην έκβαση της κβαντομηχανικής ιστορικά, τεχνικά εφικτές υλοποιήσεις του δεν προτάθηκαν μέχρι το Μέχρι σήμερα, πολλαπλά πειράματα έχουν πραγματοποιηθεί παρουσιάζοντας διάφορες οπτικές της αυτής της Αρχής. Καθυστερημένη επιλογή (delayed choice) και κβαντικός εξαλειπτής (quantum eraser) Το πείραμα του John Archibald Wheeler της καθυστερημένης επιλογής παρουσιάζει το γεγονός πως εξάγοντας πληροφορία ως προς το ποιό μονοπάτι (οδό) ακολούθησε ένα σωματίδιο αφού πέρασε από τη σχισμή φαίνεται πως μπορεί αναδρομικά να επηρεάσει την προηγούμενη συμπεριφορά στις σχισμές. Το πείραμα του κβαντικού εξαλειπτή παρουσιάζει ότι η κυματική συμπεριφορά μπορεί να επαναφερθεί εξαλείφοντας ή αλλιώς κάνοντας μόνιμα μη διαθέσιμη την πληροφορία «ποιάς οδού». Ερμηνείες του πειράματος Όπως και το πείραμα σκέψης «Η γάτα του Schrödinger» έτσι και το πείραμα των διπλών σχισμών χρησιμοποιείται συχνά ώστε να υποδείξει τις διαφορές και ομοιότητες αναμεσά στις διάφορες ερμηνείες της κβαντομηχανικής. Η ερμηνεία της Κοπεγχάγης Διατυπωμένη από μερικούς από τους πρωτοπόρους στο πεδίου της κβαντομηχανικής, η ερμηνεία της Κοπεγχάγης, ισχυρίζεται ότι είναι εσφαλμένη οποιαδήποτε υπόθεση ξεπερνάει το μαθηματικό φορμαλισμό και τα είδη των φυσικών συσκευών και αντιδράσεων τα οποία μας επιτρέπουν να αποκομίσουμε κάποια γνώση για το τι συμβαίνει σε ατομικό επίπεδο. Ένα από τα μαθηματικά εργαλεία το οποίο επιτρέπει στους πειραματιστές να προβλέψουν με μεγάλη ακρίβεια κάποια πειραματικά αποτελέσματα αναφέρεται ως το κύμα πιθανότητας. 4

9 Στη μαθηματική του μορφή είναι ανάλογο με την περιγραφή ενός φυσικού κύματος, αλλά οι «κορυφές» και οι «κοιλάδες» υποδηλώνουν επίπεδα των πιθανοτήτων να παρουσιαστούν ορισμένα φαινόμενα (για παράδειγμα, μια σπίθα φωτός σε ένα συγκεκριμένο σημείο σε μια οθόνη ανίχνευσης) τα οποία μπορούν να παρατηρηθούν στο μακρόκοσμο της συνηθισμένης ανθρώπινης εμπειρίας. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι αυτό το κύμα πιθανότητας «διαδίδεται στο χώρο» επειδή η τιμές των πιθανοτήτων που μπορεί να υπολογίσει κανείς από τη μαθηματική αναπαράσταση είναι χρονικά εξαρτώμενες. Σύμφωνα με τη συγκεκριμένη ερμηνεία και πάλι, θα ήταν λάθος να μιλήσουμε για την τοποθεσία οποιουδήποτε σωματιδίου, όπως ένα φωτόνιο, μεταξύ του χρόνου που εκπέμφθηκε και του χρόνου που παρατηρήθηκε, απλά και μόνο γιατί, για να φτάσουμε στο συμπέρασμα ότι οτιδήποτε, βρίσκεται οπουδήποτε σε κάποια στιγμή, θα πρέπει προηγουμένως να το ανιχνεύσουμε παρατηρήσουμε. Οι προϋποθέσεις για την ενδεχόμενη εμφάνιση ενός προτύπου συμβολής είναι η εκπομπή σωματιδίων, και η παρουσία μιας οθόνης με τουλάχιστον δύο ξεχωριστά μονοπάτια τα οποία μπορεί να ακολουθήσει ένα σωματίδιο από το σημείο εκπομπής ως το σημείο παρατήρησης. Τα πειράματα δεν παρατηρούν απολύτως τίποτα ανάμεσα στο χρόνο από την εκπομπή του σωματιδίου μέχρι την άφιξη του στην οθόνη ανίχνευσης. Διατύπωση της «Ολοκλήρωσης μονοπατιού (Path-integral formulation)» Η ερμηνεία της Κοπεγχάγης είναι παρόμοια με την ολοκλήρωση μονοπατιού της κβαντομηχανικής, όπως προτάθηκε από τον Feynman. Η διατύπωση της ολοκλήρωσης μονοπατιού αντικαθιστά την κλασική ιδέα μιας συγκεκριμένης τροχιάς ενός συστήματος, με το άθροισμα όλων των πιθανών τροχιών. Οι τροχιές προστίθενται χρησιμοποιώντας συναρτησιακή ολοκλήρωση. Κάθε μονοπάτι θεωρείται εξίσου πιθανό, κι έτσι συνεισφέρει το ίδιο ποσό. Όμως, η φάση (phase) της συνεισφοράς σε κάθε σημείο κατά μήκος του μονοπατιού καθορίζεται από τη δράση κατά μήκος του μονοπατιού: A path (x, y, z, t) = e is(x,y,z,t) Όλες αυτές οι συνεισφορές στη συνέχεια προστίθενται, και το μέγεθος του τελικού αποτελέσματος υψώνεται στο τετράγωνο, ώστε να πάρουμε την κατανομή της πιθανότητας για τη θέση ενός σωματιδίου: p(x, y, z, t) e is(x,y,z,t) all paths 2 5

10 Και όπως συμβαίνει συνήθως όταν υπολογίζουμε πιθανότητες, το αποτέλεσμα πρέπει να κανονικοποιηθεί επιβάλλοντας το εξής: p(x, y, z, t)dv = 1 all space Συνοψίζοντας, η κατανομή της πιθανότητας του αποτελέσματος είναι το κανονικοποιημένο τετράγωνο του κανόνα της υπέρθεσης, πάνω σε όλα τα μονοπάτια από το αρχικό σημείο μέχρι το τελικό σημείο, από κύματα διαδιδόμενα ανάλογα με τη δράση κατά μήκος του κάθε μονοπατιού. Οι διαφορές στη συσσωρευμένη δράση κατά μήκος των διαφορετικών μονοπατιών (κι έτσι οι σχετικές φάσεις των συνεισφορών) παράγουν το πρότυπο συμβολής που παρατηρείται στο πείραμα των διπλών σχισμών. Ο ίδιος ο Feynman τόνισε ότι αυτή η τυποποίηση είναι απλά μια μαθηματική περιγραφή, και όχι μια προσπάθεια να περιγραφεί μια πραγματική μετρούμενη διαδικασία. Σχετικιστική ερμηνεία (relational interpretation) Σύμφωνα με τη σχετικιστική ερμηνεία της κβαντομηχανικής, που προτάθηκε πρώτα από τον Carlo Rovelli, παρατηρήσεις όπως αυτές στο πείραμα των διπλών σχισμών είναι αποτέλεσμα που οφείλεται στην αλληλεπίδραση μεταξύ του παρατηρητή (συσκευή μέτρησης) και του υπό παρατήρηση αντικειμένου (με το οποίο έρχεται σε φυσική αλληλεπίδραση ο παρατηρητής), κι όχι κάποια απόλυτη ιδιότητα κατεχόμενη από το ίδιο το αντικείμενο. Στην περίπτωση ενός ηλεκτρονίου, εάν αυτό αρχικά «παρατηρηθεί» σε μια σχισμή, τότε η αλληλεπίδραση παρατηρητή σωματιδίου (φωτονίου ηλεκτρονίου) περιλαμβάνει πληροφορία για τη θέση του ηλεκτρονίου. Αυτό μερικώς περιορίζει την ενδεχόμενη κατάληξη του σωματιδίου στην οθόνη. Εάν «παρατηρηθεί» (μετρηθεί με ένα φωτόνιο) όχι σε μια συγκεκριμένη σχισμή αλλά στην οθόνη, δεν υπάρχει πληροφορία «ποιας οδού» σαν κομμάτι της αλληλεπίδρασης, κι έτσι η «παρατηρούμενη» τοποθεσία του ηλεκτρονίου στην οθόνη καθορίζεται αυστηρά από τη συνάρτηση πιθανότητας (probability function) του. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το πρότυπο στην οθόνη να είναι το ίδιο σαν κάθε ξεχωριστό ηλεκτρόνιο να είχε περάσει μέσα και από τις δύο σχισμές. Επίσης έχει προταθεί ότι ο χώρος και η απόσταση αυτές καθ εαυτές είναι σχετικές, κι ότι ένα ηλεκτρόνιο μπορεί να εμφανίζεται σαν να είναι σε «δύο σημεία ταυτόχρονα» -για παράδειγμα και στις δύο σχισμές- επειδή οι χωρικές του σχέσεις με συγκεκριμένα σημεία στην οθόνη παραμένουν πανομοιότυπες και από τις δύο τοποθεσίες των σχισμών. 6

11 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στους κβαντικούς υπολογισμούς οι ακέραιοι από το 0 μέχρι το Ν σχετίζονται με Ν + 1 ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα σε ένα διανυσματικό χώρο από D = N + 1 διαστάσεις στους μιγαδικούς αριθμούς. Εδώ θα παραθέσουμε κάποιες από τις βασικές ιδιότητες από έναν τέτοιο διανυσματικό χώρο, όπως και κάποιες συσχετίσεις του συμβατικού συμβολισμού των διανυσματικών χώρων με το συμβολισμό Dirac που χρησιμοποιείται στην κβαντική επιστήμη υπολογιστών. Συνήθως η διάσταση D είναι μια δύναμη του 2, ωστόσο αυτή θα είναι μια γενική σύνοψη. Σε συμβατικούς συμβολισμούς ένα τέτοιο σύνολο από D = N + 1 ορθοκανονικά διανύσματα δηλώνεται από σύμβολα όπως φ 0, φ 1, φ 2,..., φ N. Οι προϋποθέσεις ορθογωνικότητας και κανονικότητας εκφράζονται σε όρους των εσωτερικών γινομένων (φ x, φ y ): (φ x, φ y ) = { 0, x y (2.1) 1, x = y Στους κβαντικούς υπολογισμούς οι δείκτες x και y που περιγράφουν τους ακέραιους με τους οποίους σχετίζονται τα διανύσματα, παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο ώστε να υποβαθμίζονται σε μικρά γράμματα στους δείκτες. Ευτυχώς οι κβαντικοί μηχανικοί χρησιμοποιούν ένα συμβολισμό για τα διανύσματα, που εφευρέθηκε από το φυσικό Paul Dirac, και είναι πολύ πιο ταιριαστός ώστε να απεικονίζει τέτοιες πληροφορίες με τον καλύτερο τρόπο. Έτσι, κάποιος θα αντικαθιστούσε τα σύμβολα φ x φ y με x και y, και θα παρουσίαζε το εσωτερικό γινόμενο (φ x, φ y ) με το σύμβολο x y. Η προϋπόθεση ορθοκανονικότητας (2.1) γίνεται: x y = { 0, x y 1, x = y (2.2) Ο διανυσματικός χαρακτήρας αποδίδεται από το σύμβολο, με το συγκεκριμενο διανυσμα να αναγνωριζεται από οτιδήποτε είναι αυτό που μπαίνει ανάμεσα από την κατακόρυφη γραμμή και την κυρτή. Αυτή η στρατηγική συμβολισμού υπενθυμίζει το συμβολισμό για διανύσματα του συνηθισμένου τρισδιάστατου φυσικού χώρου κατά τον οποίο ο διανυσματικός χαρακτήρας εννοείται από ένα οριζόντιο βέλος πάνω από το σύμβολο που υποδηλώνει το συγκεκριμένο διάνυσμα στο οποίο αναφέρεται (r ). Ο διανυσματικός χώρος που περιγράφει τη λειτουργία ενός κβαντικού υπολογιστή αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς ψ από τα Ν + 1 ορθοκανονικά διανύσματα x, x = 0,, N, με συντελεστές αx από το σύνολο των μιγαδικών αριθμών: 7

12 ψ = α α α Ν Ν = a x x (2.3) Ν x=0 Όπου α x = ux + ivx, οι u, x, v είναι πραγματικοί αριθμοί και i = 1. Σε ένα διανυσματικό χώρο στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών το εσωτερικό γινόμενο δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων είναι ένας μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση: x y = y x (2.4) Όπου το σύμβολο * υποδηλώνει τη μιγαδική σύζευξη (complex conjugation): (u + iv) = u iv u, v πραγματικοί. Το εσωτερικό γινόμενο είναι γραμμικό κατά το δεξιόστροφο διάνυσμα, φ αψ ; + βψ 2 = α φ ψ ; + β φ ψ 2 (2.5) Κι επομένως από την (2.4), «αντί - γραμμικό» κατά το αριστερόστροφο διάνυσμα, φ αψ ; + βψ 2 = α φ 1 ψ + β φ 2 ψ (2.6) Το εσωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του είναι ένας πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση: φ φ > 0, φ 0 (2.7) Ακολουθεί από τη συνθήκη ορθοκανονικότητας (2.2) ότι το εσωτερικό γινόμενο του διανύσματος ψ από την (2.3) με ένα άλλο διάνυσμα φ = β β β N Ν = β x x (2.8) δίνεται σε όρους των συντελεστών του αναπτύγματος αx και βχ (που ονομάζονται πλάτη στους κβαντικούς υπολογισμούς) από τη σχέση: x φ ψ = β x α x x (2.9) 8

13 Το τετράγωνο του μέτρου ενός διανύσματος είναι το εσωτερικό γινόμενο με τον εαυτό του, έτσι η (2.9) δίνει για το τετράγωνο του μέτρου ψ ψ = a x 2 (2.10) x όπου u + iv 2 = u 2 + v 2, u, v πραγματικοί. Η μορφή (2.10) δίνει μια σαφή επιβεβαίωση του κανόνα (2.7). Ένας γραμμικός μετασχηματισμός Α σχετίζει με κάθε διάνυσμα ψ ένα άλλο διάνυσμα, το Α ψ, που υπόκειται στον κανόνα (γραμμικότητα) Α(α ψ + β φ ) = αα ψ + βα φ (2.11) Επίσης, θα ήταν χρήσιμο να οριστεί ότι Αψ = Α ψ (2.12) Ένας γραμμικός μετασχηματισμός που διατηρεί τα μέτρα όλων των διανυσμάτων ονομάζεται μοναδιαίος (unitary), επειδή συνεπάγεται από τη γραμμικότητα ότι όλα τα μέτρα θα διατηρούνται αν και μόνο αν μοναδιαία διανύσματα (διανύσματα με μέτρο 1) μετασχηματίζονται σε μοναδιαία διανύσματα. Επίσης συνεπάγεται από τη γραμμικότητα ότι αν ένας γραμμικός μετασχηματισμός U είναι μοναδιαίος τότε πρέπει να διατηρεί όχι μόνο τα εσωτερικά γινόμενα αυθαίρετων διανυσμάτων με τον εαυτό τους, αλλά και τα εσωτερικά γινόμενα από αυθαίρετα ζευγάρια διανυσμάτων. Αυτό συνεπάγεται ευθέως για δύο οποιαδήποτε διανύσματα φ και ψ από το γεγονός ότι ο U διατηρεί τα μέτρα και των δύο, όπως επίσης και τα μέτρα των διανυσμάτων φ + ψ καθως και φ + i ψ. Θα μπορούσε κανείς να συσχετίσει με οποιοδήποτε διάνυσμα φ το γραμμικό συναρτησοειδές (linear functional) το οποίο δέχεται οποιοδήποτε διάνυσμα ψ και το μετατρέπει στον αριθμό φ ψ. Η γραμμικότητα συνεπάγεται από την ιδιότητα (2.5) του εσωτερικού γινομένου. Όλο το σύνολο τέτοιων συναρτησοειδών είναι κι αυτό ένας διανυσματικός χώρος, που ονομάζεται δυικός χώρος (dual space) του αρχικού χώρου. Το συναρτησοειδές που σχετίζεται με το διάνυσμα α φ + β ψ είναι το άθροισμα του α επί το συναρτησοειδές που σχετίζεται με το φ συν το β φορές το συναρτησοειδές που σχετίζεται με το ψ. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι κάθε γραμμικό συναρτησοειδές στον αρχικό χώρο σχετίζεται με κάποιο διάνυσμα στο δυικό χώρο. Ο Dirac ονομάτισε τα διανύσματα του αρχικού χώρου, διανύσματα κετ (ket vectors) και τα διανύσματα στο δυικό χώρο, διανύσματα μπρα (bra vectors). Φαίνεται ότι σημείωσε το bra που σχετίζεται με το ket φ με το σύμβολο φ, έτσι ώστε το σύμβολο φ ψ να μπορεί εξίσου να ερμηνευτεί ως το εσωτερικό γινόμενο των δύο ket φ και ψ ή ως μια 9

14 συντομογραφία της έκφρασης φ ( ψ ), που είναι η δράση του σχετιζόμενου γραμμικού συναρτησοειδούς φ στο διάνυσμα ψ. Ακόμη, ας σημειωθεί η ισότητα αφ + βψ = α φ + β ψ (2.13) Ένας γραμμικός μετασχηματισμός Α στο χώρο των διανυσμάτων ket συνεπάγεται ένα γραμμικό μετασχηματισμό A (ονομάζεται Α-συζυγής (Α-adjoint)) στο δυικό χώρο των διανυσμάτων bra, σύμφωνα με τον κανόνα Αψ = ψ Α (2.14) Η διαδικασία σύζευξης στον τετριμμένο γραμμικό μετασχηματισμό που πολλαπλασιάζει με έναν οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό είναι αυτή του πολλαπλασιασμού με το συζυγή μιγαδικό αυτού του αριθμού. Είναι βολικό να επεκτείνουμε το συμβολισμό «στιλέτου» (dagger notation ) και στα διανύσματα καθ εαυτά, ορίζοντας ( ψ ) = ψ (2.15) έτσι ώστε το δυικό bra σε κάποιο ket να θεωρείται ως το συζυγές σε αυτό το ket. Ο ορισμός (2.14) έτσι γίνεται ( Aψ ) = ψ Α (2.16) ή, με την (2.12), (A ψ ) = ψ Α (2.17) κι έτσι φαίνεται ένα απλό παράδειγμα ενός πολύ γενικού κανόνα, ότι ο συζυγής ενός γινομένου ποσοτήτων είναι το γινόμενο των συζυγών πολλαπλασιαζόμενα όμως κατά την ανάποδη φορά. Άλλη μια περίπτωση που συνεπάγεται από την (2.17) είναι ψ (ΑΒ) = ΑΒφ = Βφ Α = φ Β Α (2.18) Κι αφού η σχέση ισχύει για αυθαίρετο φ θα είναι (ΑΒ) = Β Α (2.19) Παρόλο που ο συζυγής Α ενός γραμμικού μετασχηματισμού Α σε kets είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός σε bras, θα μπορούσε κανείς επίσης να ορίσει τις πράξεις του σε kets. Αυτό γίνεται απαιτώντας ότι η δράση του φ πανω στο Α ψ πρεπει να είναι ίση με τη δράση του φ Α στο ψ. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα ότι το σύμβολο ψ Α ψ θα πρέπει να ερμηνεύεται μόνο με ένα τρόπο. Σε αυτόν τον 10

15 ορισμό υπονοείται το γεγονός ότι ένα διάνυσμα ορίζεται πλήρως εάν δοθεί το εσωτερικό του γινόμενο με όλα τα διανύσματα. Αυτό με τη σειρά του συνεπάγεται από το γεγονός ότι ένα διάνυσμα ψ μπορεί να ορισθεί δίνοντας όλα τα πλάτη αx στο ανάπτυγμα του (2.3) στο συνολικό ορθοκανονικό σύνολο x. Όμως α x = x ψ. Όμοια, ένας γραμμικός τελεστής A ορίζεται πλήρως αν δοθούν τα στοιχεία πίνακα (matrix elements) φ A ψ για αυθαιρεται ζευγαρια διανυσματων, αφου το υποσυνολο x A y είναι ήδη αρκετό ώστε να προσδιορίσουμε τη δράση του πάνω σε ένα γενικευμένο διάνυσμα (2.3). Ας σημειωθεί ότι οποιοδήποτε στοιχείο πίνακα του Α είναι ίσο με το μιγαδικό συζυγή του ανάστροφου (transposed) (με το φ και ψ εναλλαγμένα) στοιχείο πίνακα του Α: φ Α ψ = Aφ ψ = ψ Αφ = ψ Α ψ (2.20) Άμεση συνέπεια του παραπάνω είναι ότι (Α ) = Α (2.21) Εφόσον ένας μοναδιαίος μετασχηματισμός U διατηρεί τα εσωτερικά γινόμενα, θα έχουμε ότι φ ψ = Uφ Uψ = φ U U ψ (2.22) και επομένως, U U = 1 (2.23) όπου 1 είναι ο μοναδιαίος τελεστής (ταυτότητα) που μετατρέπει κάθε διάνυσμα στον εαυτό του. Ακολουθεί από την (2.23) ότι UU U = U (2.24) Σε ένα διανυσματικό χώρο πεπερασμένων διαστάσεων ένας μοναδιαίος μετασχηματισμός U πάντα θα παίρνει μια ορθοκανονική βάση σε μια άλλη ορθοκανονική βάση, έτσι ώστε κάθε U έχει σιγουρά ένα δεξιά αντίστροφο το γραμμικό μετασχηματισμό ο οποίος παίρνει τη δεύτερη βάση πίσω στην πρώτη. Πολλαπλασιάζοντας την (2.24) από δεξιά με αυτόν τον αντίστροφο θα έχει ως αποτέλεσμα ότι UU = 1 (2.25) έτσι ο U κι ο U είναι αντίστροφοι ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία δρουν. Το διάνυσμα ψ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα (eigenvector) του γραμμικού τελεστή Α αν η δράση του Α πάνω στο ψ είναι απλά να το πολλαπλασιάσει με ένα μιγαδικό αριθμό α, ο οποίος ονομάζεται μια ιδιοτιμή (eigenvalue) του Α: 11

16 Α ψ = α ψ (2.26) Αφού ο αριθμός α μπορεί να εκφραστεί ως α = ψ Α ψ / ψ ψ, συνεπάγεται από την (Α.23) ότι αν Α = A (τέτοιοι τελεστές λέγονται ιδιοσυζυγής ή Ερμιτιανοί (Hermitians)) τότε α είναι πραγματικός αριθμός. Οι ιδιοτιμές Ερμιτιανών τελεστών είναι απαραίτητα πραγματικοί αριθμοί. Εφόσον ο Α είναι Ερμιτιανός και ο α πραγματικός αριθμός, συνεπάγεται από την (2.26) (εφαρμόζοντας συζυγείς και από τις δύο μεριές) ότι ψ Α = α ψ (2.27) έτσι το διανυσματικό δυικό σε ένα eigenket ενός Ερμιτιανού τελεστή είναι ένα eigenbra με την ίδια ιδιοτιμή. Άμεσο επακόλουθο είναι ότι αν φ είναι ένα άλλο ιδιοδιάνυσμα του Α με ιδιοτιμή α, τότε a ψ φ = φ Α ψ = a φ ψ (2.28) έτσι ώστε αν α α τότε ψ φ = 0: ιδιοδιανύσματα ενός Ερμιτιανού τελεστή με διαφορετικές ιδιοτιμές είναι ορθογώνια. Μπορεί να δειχθεί ότι για έναν Ερμιτιανό τελεστή Α, μπορεί κάποιος να διαλέξει μια ορθοκανονική βάση για ολόκληρο το χώρο D-διαστάσεων του οποίου τα μέλη είναι ιδιοδιανύσματα του Α. Η βάση είναι μοναδική αν και μόνον αν όλες οι D ιδιοτιμές του Α είναι διακριτές. Στην αντίθετη περίπτωση (στην οποία ο A λέγεται εκφυλισμένος (degenerate)) μπορεί κανείς να διαλέξει αυθαίρετα ορθοκανονικές βάσεις μέσα από τον κάθε υποχώρο που αναπτύσσεται από ιδιοδιανύσματα του Α με ίδιες ιδιοτιμές. Πιο γενικά, εάν Α, B, C, είναι αμοιβαία εναλλασσόμενοι Ερμιτιανοί τελεστές τότε κάποιος μπορεί να διαλέξει μια ορθοκανονική βάση της οποίας τα μέλη είναι ιδιοκαταστάσεις καθενός από αυτούς. 12 Εάν ο Β είναι οποιοσδήποτε γραμμικός τελεστής, τότε οι A 1 = B + B και A 2 = i(b + B ) θα είναι και οι δύο Ερμιτιανοί, και θα αντιμετατίθενται αν οι Β και B αντιμετατίθενται. Εφόσον ένα κοινό ιδιοδιάνυσμα των A 1 και A 2 είναι επίσης κοινό ιδιοδιάνυσμα των Β = A 1 + ia 2 και B = A 1 ia 2, συνεπάγεται ότι αν ο Β αντιμετατίθεται με τον B, τότε κάποιος μπορεί να διαλέξει μια ορθοκανονική βάση μόνο από ιδιοδιανύσματα του Β. Ακόμα πιο συγκεκριμένα, εφόσον ένας μοναδιαίος μετασχηματισμός U ικανοποιεί τη σχέση UU = U U = 1, μπορεί κανείς να επιλέξει μια ορθοκανονική βάση από διανύσματα του U. Κι εφόσον οι μοναδιαίοι μετασχηματισμοί διατηρούν τα μέτρα των διανυσμάτων, οι ιδιοτιμές του U πρέπει να είναι μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1. Στην κβαντική θεωρία τέτοιοι μιγαδικοί αριθμοί συνήθως αποκαλούνται παράγοντες φάσης (phase factors). Δοθέντων δύο διανυσματικών χώρων διαστάσεων D1 και D2 και δύο οποιωνδήποτε διανυσμάτων ψ 1 και ψ 2 στους δύο χώρους, γίνεται να συσχετιστεί με κάθε ζευγάρι διανυσμάτων ένα τανυστικό γινόμενο (tensor product), ψ 1 ψ 2,

17 (συχνά το σύμβολο του τανυστικού γινομένου παραλείπεται) το οποίο είναι διγραμμικό (bilinear): ψ 1 (α ψ 2 + β φ 2 ) = α ψ 1 ψ 2 + β ψ 1 φ 2 (2.29) (α ψ 1 + β φ 1 ) ψ 2 = α ψ 1 ψ 2 + β φ 1 ψ 2 Επιπλέον με τον κανόνα ότι ψ 1 ψ 2 = φ 1 φ 2 μόνο εάν φ 1 και φ 2 είναι βαθμωτά (scalar) πολλαπλάσια των ψ 1 και ψ 2, γίνεται εύκολα αντιληπτό πως το σύνολο όλων των τανυστικών γινομένων των διανυσμάτων από τους δύο χώρους διαμορφώνει ένα διανυσματικό χώρο διάστασης D1D2. Ορίζεται το εσωτερικό γινόμενα του ψ 1 ψ 2 με το φ 1 φ 2 να είναι το απλό γινόμενο ψ 1 φ 1 ψ 2 φ 2 των εσωτερικών γινομένων στους δύο αρχικούς χώρους. Δοθέντων ορθοκανονικών βάσεων για κάθε έναν από τους δύο χώρους, το σύνολο των τανυστικών γινομένων όλων των ζευγαριών από διανύσματα από τις δύο βάσεις σχηματίζουν μια ορθοκανονική βάση στο χώρο των τανυστικών γινομένων. Αν Α 1 και Α 2 είναι γραμμικοί τελεστές στους δύο χώρους, ορίζεται ο τελεστής τανυστικού γινομένου Α 1 Α 2 που ικανοποιεί τη σχέση (Α 1 Α 2 )( ψ 1 ψ 2 ) = Α 1 ψ 1 Α 2 ψ 2 = (Α 1 ψ 1 ) (Α 2 ψ 2 ) (2.30) και είναι φανερό ότι εύκολα επεκτείνεται σε ένα γραμμικό τελεστή σε ολόκληρο το χώρο τανυστικών γινομένων. Όλα αυτά γενικεύονται εύκολα σε ν-οστά τανυστικά γινόμενα από ν διανυσματικούς χώρους. Αν Α είναι ένα γραμμικός τελεστής του οποίου τα ιδιοδιανύσματα συνιστούν μια ορθοκανονική βάση π.χ. αν ο Α είναι Ερμιτιανός ή, πιο γενικά, αν οι Α και Α αντιμετατίθενται και αν f είναι μια συνάρτηση που δέχεται και παράγει μιγαδικούς αριθμούς, τότε γίνεται να οριστεί η f(a) προσδιορίζοντας ότι κάθε ιδιοδιάνυσμα φ του Α, στη βάση με ιδιοτιμή α, θα είναι επίσης ένα ιδιοδιάνυσμα του f(a) με ιδιοτιμή f(α). Αυτό ορίζει την f(a) σε μια βάση, κι επομένως μπορεί να επεκταθεί σε αυθαίρετα διανύσματα προϋποθέτοντας να είναι γραμμικά. Ακολουθεί από αυτόν τον ορισμό ότι αν η f(z) είναι ένα πολυώνυμο ή μια συγκλίνουσα δυναμοσειρά στο z τότε f(a) είναι το αντίστοιχο πολυώνυμο ή συγκλίνουσα δυναμοσειρά στο Α. Κατά το συμβολισμό Dirac ορίζεται το εξωτερικό γινόμενο (outer product) δύο διανυσμάτων φ και ψ ώστε να είναι ο γραμμικός τελεστής, ο οποίος συμβολίζεται ως φ ψ, τέτοιος ώστε να μετασχηματίζει οποιοδήποτε διάνυσμα γ στο φ πολλαπλασιασμένο με το εσωτερικό γινόμενο ψ γ : ( φ ψ ) γ = φ ( ψ γ ) (2.31) Όπως συμβαίνει πάντα με το συμβολισμό Dirac, το νόημα είναι να ορίζονται όλα με τέτοιο τρόπο ώστε η εκτίμηση μιας διφορούμενης έκφρασης όπως η φ ψ γ δεν θα 13

18 εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο κανείς τη διαβάζει, αλλά είναι σχεδιασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε να «επιβάλλει» το συνειρμικό νόμο. Τέλος, πρέπει να διευκρινιστεί ότι είναι ισοδύναμο να σκέφτεται κανείς τα διανύσματα όσων αφορά τα συστατικά τους σε κάποια βάση, και τότε θα μπορούσε να σημειωθεί ότι ένα διάνυσμα (ket) φ, με το ανάπτυγμα (2.3) με πλάτη αx κατά την ορθοκανονική βάση x, μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα διάνυσμα στήλης: α 0 α 1 ψ ( ) (2.32) α Ν Το σχετιζόμενο διάνυσμα bra θα είναι τότε το διάνυσμα στήλης: ψ (α 0 α 1 α Ν ) (2.33) Αν β 0 β φ ( 1 ) (2.34) β Ν τότε το εσωτερικό γινόμενο φ ψ θα δίνεται από το συνηθισμένο γινόμενο πινάκων των διανυσμάτων γραμμών και στηλών φ ψ = (β 0 β 1 β α Ν ) 1 ( ) (2.35) α Ν Το εξωτερικό γινόμενο ψ φ είναι επίσης ένα γινόμενο πινάκων: α 0 α 0 α 1 ψ φ = ( ) (β 0 β 1 β Ν ) (2.36) α Ν 14

19 3. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΒΑΝΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κλασικά bit (Cbits), Κβαντικά bit (Qubits) και οι καταστάσεις τους Ας ξεκινήσουμε δίνοντας έναν ορισμό για τον κβαντικό υπολογιστή, καθώς εσφαλμένα, θα μπορούσε κάποιος να πει ότι ο κβαντικός υπολογιστής είναι ένας υπολογιστής ο οποίος διέπεται από τους νομούς της κβαντομηχανικής. Ωστόσο, όλα τα φυσικά φαινόμενα διέπονται από αυτούς τους νόμους. Έτσι, ο κβαντικός υπολογιστής είναι αυτός του οποίου οι λειτουργίες εκμεταλλεύονται ορισμένους πολύ ειδικούς μετασχηματισμούς της εσωτερικής του κατάστασης, όπως η είναι η αρχή της υπέρθεσης (superposition) και η διεμπλοκή καταστάσεων (entanglement). Για να γίνει πιο κατανοητή η λειτουργία των κβαντικών υπολογιστών, θα εξηγηθούν κάποιες γνωστές λειτουργίες του κλασικού υπολογιστή και των κλασικών bit (classical bit Cbits) που χρησιμοποιεί, με τρόπο όμως που θα βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση των bit που χρησιμοποιούνται από τον κβαντικό υπολογιστή (quantum bits Qubits). Ένας κλασικός υπολογιστής λειτουργεί με βάση κάποιες σειρές από μηδέν και ένα, όπως , και τις μετατρέπει σε διαφορετικές σειρές. Κάθε τέτοια θέση σε αυτή τη σειρά (ή χορδή) ονομάζεται bit, και περιέχει είτε το 0 είτε το 1. Για την αναπαράσταση τέτοιων ομάδων από bit ο υπολογιστής πρέπει να περιέχει μια αντίστοιχη ομάδα από φυσικά συστήματα, κάθε ένα από τα οποία έχει τη δυνατότητα να υπάρχει σε μία από τις δύο σαφώς διακριτές καταστάσεις που συνδέονται με την τιμή (0 ή 1) του αφηρημένου bit που το φυσικό σύστημα αναπαριστά. Τέτοιο σύστημα μπορεί να είναι για παράδειγμα ένας διακόπτης ανοιχτός (0) ή κλειστός (1), ή ένας μαγνήτης του οποίου η πόλωση μπορεί να είναι προσανατολισμένη σε δύο διαφορετικές κατευθύνσεις, «πάνω» (0) ή «κάτω» (1). Επίσης, θα μπορούσαμε να αναπαραστήσουμε την κατάσταση ενός Cbit με το σύμβολο που χρησιμοποιήθηκε για το συμβολισμό των διανυσμάτων στην προηγουμένη ενότητα. Ανάμεσα στις γραμμές τότε θα έχουμε είτε το 0 είτε το 1 για να αναπαραστήσουμε τις δύο καταστάσεις. Άρα οι δύο πλήρως ξεχωριστές και διαχωρίσιμες καταστάσεις ενός Cbit θα αναπαρίστανται από τα σύμβολα 0 και 1. Είναι κοινή πρακτική να ονομάζουμε τα σύμβολα αυτά κατάσταση του Cbit, χρησιμοποιώντας έτσι τον ίδιο όρο τόσο για τη φυσική κατάσταση του Cbit αλλά και για την αφηρημένη έννοια αναπαράστασης της κατάστασης του. Κατά τον ίδιο τρόπο θα μπορούσαμε να πούμε ότι συχνά χρησιμοποιείται ο όρος «θέση» για να αναφερθούμε στο σύμβολο x το οποίο αναπαριστά τη φυσική θέση ενός αντικειμένου. Αυτή η κάπως αόριστη αναφορά γίνεται για να ξεκαθαριστεί ότι στην κβαντική περίπτωση ενός qubit ο όρος «κατάσταση» αναφέρεται μόνο στο σύμβολο αναπαράστασης, καθώς δεν υπάρχει καμία αντίστοιχη εσωτερική ιδιότητα του qubit που να αναπαριστά το σύμβολο. 15

20 Στη συνέχεια, θα χαρακτηρίσουμε τις καταστάσεις των πέντε Cbits που αναπαριστούν τη σειρά 11001, για παράδειγμα, ως (3.1) και θα αναφερόμαστε σε αυτό το αντικείμενο ως την κατάσταση και των πέντε Cbits. Έτσι, ένα ζευγάρι από Cbits μπορεί να έχει (ή να «είναι σε») οποιαδήποτε από τις τέσσερις καταστάσεις 0 0, 0 1, 1 0, 1 1 (3.2) τρία Cbits μπορούν να είναι σε κάποια από τις οκτώ καταστάσεις 0 0 0, 0 0 1, 0 1 0, 0 1 1, 1 0 0, 1 0 1, 1 1 0, (3.3) και ούτω καθεξής. Γίνεται φανερό, ότι στην περίπτωση που έχουμε πάρα πολλά Cbits, αυτή η μορφή θα είναι πιο εύκολα αναγνώσιμη εάν κάποιος συμπεριλάβει όλη τη σειρά από bits σε ένα μεγαλύτερο κουτί της μορφής, αντί να έχει από ένα κουτί για το κάθε Cbit: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 (3.4) Κατά τη χρήση του συμβολισμού Dirac για την αναπαράσταση των καταστάσεων των Cbit και των συνόλων τους, υπονοείται ότι μπορεί να υπάρχει χρησιμότητα εάν σκέφτεται κάποιος τις καταστάσεις σαν διανύσματα. Στην περίπτωση των Cbit ωστόσο αυτό ισχύει σε ένα πολύ μικρό βαθμό, όμως κατά τη γενίκευση στα qubits, γίνεται απολύτως ουσιώδες να τα θεωρούμε σαν διανύσματα, τόσο ουσιώδες που συχνά ο όρος κατάσταση καταλήγει να είναι συνώνυμο με τον όρο διάνυσμα (ή, πιο συγκεκριμένα, «διάνυσμα που αναπαριστά την κατάσταση»). Στη συνέχεια θα εξερευνήσουμε την πολύ ενδιαφέρουσα περίπτωση όπου θα έχουμε τις δύο καταστάσεις 0 και 1 ενός μόνο Cbit να αναπαρίστανται από δύο ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα σε ένα δισδιάστατο χώρο. Αν προτιμάται η έκφραση των διανυσμάτων σε σχέση με τα συστατικά τους, σημειώνεται ότι γίνεται να αναπαραστήσουμε τις δύο ορθογώνιες καταστάσεις ενός Cbit, 0 και 1, σαν διανύσματα στήλης 0 = ( 1 0 ), 1 = (0 1 ) (3.5) Στην περίπτωση των δύο Cbit ο διανυσματικός χώρος είναι τεσσάρων διαστάσεων, με ορθοκανονική βάση 00, 01, 10, 11 (3.6) 16

21 Ο ενναλακτικός συμβολισμός για αυτήν την βάση, 0 0, 0 1, 1 0, 1 1 (3.7) είναι επίτηδες σχεδιασμένος έτσι ώστε να θυμίζει πολλαπλασιασμό, καθώς είναι, στην πραγματικότητα, μια συντομογραφία για το τανυστικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων του κάθε ενός Cbit, που με πιο επίσημο μαθηματικό συμβολισμό θα ήταν 0 0, 0 1, 1 0, 1 1 (3.8) Σε ορούς συστατικών, το τανυστικό γινόμενο a b ενός διανύσματος Μ συστατικών με στοιχεία α μ κι ενός διανύσματος Ν συστατικών με στοιχεία b ν είναι το διάνυσμα (ΜΝ) συστατικών με στοιχεία που θα έχουν ως δείκτες όλα τα ΜΝ πιθανά ζευγάρια δεικτών (μ, ν), και του οποίου το (μ, ν) οστό στοιχείο θα είναι το γινόμενο a μ b ν. Μόλις κάποιος αποφασίσει να θεωρεί τις δύο καταστάσεις ενός Cbit σαν ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα, το τανυστικό γινόμενο είναι όντως ο πιο φυσικός τρόπος ώστε να αναπαρασταθούν καταστάσεις πολλών Cbit, αφού οδηγεί στην προφανή γενίκευση για πολλά Cbit της αναπαράστασης (3.5) από καταστάσεις ενός Cbit ως διανύσματα στήλης. Αν αναπαραστήσουμε τις καταστάσεις 0 και 1 του κάθε ενός Cbit σαν διάνυσμα στήλης, τότε μπορούμε να φτάσουμε στο διάνυσμα στήλης που περιγράφει μια κατάσταση πολλών Cbit εφαρμόζοντας επαναλαμβανόμενα τον κανόνα για τα συστατικά του τανυστικού γινομένου δύο διανυσμάτων. Το αποτέλεσμα που παρουσιάζεται εδώ είναι για ένα τριπλό τανυστικό γινόμενο: 17 ( x 0 x 1 ) ( y 0 y 1 ) ( z 0 z 1 ) = x 0 y 0 z 0 x 0 y 0 z 1 x 0 y 1 z 0 x 0 y 1 z 1 x 1 y 0 z 0 x 1 y 0 z 1 x 1 y 1 z 0 ( x 1 y 1 z 1 ) (3.9) Η κατάσταση ενός Cbit ωστόσο είναι μόνο ένα μικρό δείγμα ενός δισδιάστατου διανύσματος. Τα μόνα διανύσματα με κλασσικό νόημα σε όλο το δισδιάστατο διανυσματικό χώρο είναι τα δύο ορθοκανονικά διανύσματα 0 και 1, αφού αυτές είναι οι μόνες δύο καταστάσεις που μπορεί να έχει ένα Cbit. Ευτυχώς, η φύση μας έχει προμηθεύσει με κάποια φυσικά συστήματα, τα qubit, τα οποία περιγράφονται από καταστάσεις που δεν υποφέρουν από αυτό τον περιορισμό. Η κατάσταση ψ που σχετίζεται με ένα qubit μπορεί να είναι οποιοδήποτε μοναδιαίο διάνυσμα στο δισδιάστατο χώρο που αναπτύσσεται από τα διανύσματα 0 και 1 στους μιγαδικούς αριθμούς. Η γενικευμένη κατάσταση ενός qubit είναι

22 ψ = a a 1 1 = ( α 0 α 1 ) (3.10) Όπου α0 και α1 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί που περιορίζονται από τη συνθήκη ότι το ψ πρέπει να είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα στο μιγαδικό διανυσματικό χώρο, δηλαδή από τη συνθήκη κανονικότητας α α 1 2 = 1 (3.11) Η κατάσταση ψ επομένως λέγεται ότι βρίσκεται σε μια υπέρθεση (superposition) των καταστάσεων 0 και 1 με πλάτη α 0 και α1. Εάν ένα από τα α0 και α1 είναι 0 και το άλλο είναι 1, δηλαδή στην ειδική περίπτωση στην οποία η κατάσταση του qubit είναι μια από τις δύο κλασσικές καταστάσεις 0 ή 1, θα ήταν βολικό να διατηρήσουμε την φρασεολογία των Cbit, ότι δηλαδή το qubit «έχει την τιμή» 0 ή 1. Πιο σωστά όμως κάποιος θα μπορούσε να πει ότι μόνο ότι η κατάσταση του qubit είναι 0 ή 1. Τα qubit, αντίθετα από τα Cbit, δεν μπορεί «να έχουν τιμές». Έχουν, ή καλύτερα περιγράφονται από ή ακόμα πιο σωστά σχετίζονται με καταστάσεις. Ωστόσο συχνά θυσιάζεται κομμάτι της ορθότητας για χάριν της ευκολότερης έκφρασης. Όπως η γενική κατάσταση ενός μόνο qubit είναι οποιαδήποτε κανονικοποιημένη υπέρθεση (3.10) των δύο πιθανών κλασικών καταστάσεων, η γενική κατάσταση Ψ που η φύση μας επιτρέπει να συσχετίζουμε με δύο qubit είναι οποιαδήποτε κανονικοποιημένη υπέρθεση των τεσσάρων ορθογώνιων κλασικών καταστάσεων, α 00 α 01 Ψ = α α α α = ( α ) (3.12) 10 α 11 με τα μιγαδικά πλάτη να περιορίζονται μόνο από τον κανόνα κανονικοποίησης α α α α 11 2 = 1 (3.13) Αυτό γενικεύεται με προφανή τρόπο σε n qubits, των οποίων η γενική κατάσταση μπορεί να είναι οποιαδήποτε υπερκατάσταση των 2 n κλασικών καταστάσεων, με πλάτη των οποίων τα τετράγωνα μέτρα πρέπει να αθροίζονται στη μονάδα: Ψ = α x 0 x<2 n x n (3.14) α x 2 = 1 (3.15) 0 x<2 n 18

23 Στα πλαίσια των κβαντικών υπολογισμών, το σύνολο των 2 n κλασικών καταστάσεων, όλα τα πιθανά τανυστικά γινόμενα των n ξεχωριστών καταστάσεων των qubit 0 και 1, λέγεται υπολογιστική βάση (computational basis). Οι καταστάσεις που χαρακτηρίζουν n Cbits, είναι ένα ιδιαίτερα περιορισμένο υποσύνολο των καταστάσεων από n qubits, οι καταστάσεις υπολογιστών βάσεων, που μπορεί να είναι οποιαδήποτε (κανονικοποιημένη) υπέρθεση με μιγαδικούς συντελεστές από αυτές τις καταστάσεις υπολογιστικών βάσεων. Αν έχουμε δύο qubits, το ένα στην κατάσταση ψ = a a 1 1 και το άλλο στην κατάσταση φ = β β 1 1, τότε η κατάσταση Ψ του ζεύγους, με μια ευθεία γενίκευση του κανόνα για τις καταστάσεις πολλαπλών Cbit, θεωρείται ως το τανυστικό γινόμενο των ξεχωριστών καταστάσεων, 19 Ψ = ψ ψ = (α α 1 1 ) (β β 1 1 ) = α 0 β α 0 β α 1 β α 1 β 1 11 α 0 β 0 α = ( 0 β 1 ) (3.16) α 1 β 0 α 1 β 1 Σημειώνεται ότι μια γενική κατάσταση των δύο qubit (3.12) είναι της ειδικής μορφής (3.16) αν και μόνο αν α 00 α 11 = α 01 α 10. Αφού τα τέσσερα πλάτη στην (3.12) περιορίζονται μόνο από τη συνθήκη κανονικότητας (3.13), αυτή η σχέση δεν χρειάζεται να ισχύει, και η γενική κατάσταση των δύο qubit, αντίθετα από αυτήν των δύο Cbit, δεν είναι ένα γινόμενο από δύο καταστάσεις ενός qubit. Το ίδιο ισχύει και για καταστάσεις από n qubits. Και ενώ η γενική κατάσταση των Cbit μπορεί να είναι μόνο ένα από τα 2 n γινόμενα των 0 και 1, η γενική κατάσταση από n qubits είναι μια υπέρθεση από αυτά τα 2 n γινόμενα καταστάσεων και δεν μπορεί, εν γένει, να εκφραστεί σαν ένα γινόμενο από κάποιο σύνολο από καταστάσεις ενός qubit. Ξεχωριστά qubit κατ επέκταση που διαμορφώνουν ένα σύστημα από qubits, σε αντίθεση με τα ξεχωριστά Cbits, δεν μπορούν πάντα να χαρακτηριστούν ως έχοντα μια ξεχωριστή κατάσταση από μόνα τους. Πιο συγκεκριμένα, δεν έχουν πάντα αυτό που ονομάζεται καθαρή κατάσταση (pure state) από μόνα τους. Είναι συχνά βολικό να δίνεται μια στατιστική περιγραφή ενός ξεχωριστού qubit (ή μιας ομάδας τους) σε όρους ενός πίνακα πυκνότητας (density matrix) ή μικτής κατάστασης (mixed state). Τέτοιες καταστάσεις από δύο ή περισσότερα qubits ονομάζονται διεμπλεκόμενες (entangled) καταστάσεις. Ο όρος προέκυψε από τον Erwin Schrodinger, και ακόμα και στην Αγγλική γλώσσα δεν είναι αυστηρός καθώς υπάρχουν εκτός της λέξης entangled που είναι η επικρατέστερη, οι λέξεις entwined και enfolded. Αντίστοιχα και στα Ελληνικά οι υποψήφιες λέξεις για να περιγράψουν το φαινόμενο είναι η διεμπλοκή, περιπλοκή και εναγκαλισμός. Στην παρούσα εργασία θα προτιμηθεί ο όρος διεμπλοκή. Η κβαντική διεμπλοκή είναι ένα από τα σημαντικότερα και μάλλον το πιο ανεξήγητο από όλα τα φαινόμενα της κβαντικής

24 θεωρίας. Το φαινόμενο αυτό παρουσιάζεται όταν ζευγάρια ή σύνολα από σωματίδια παράγονται ή αλληλοεπιδρούν με τέτοιο τρόπο ώστε το κάθε ένα σωματίδιο δεν μπορεί να περιγραφεί ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα, ακόμα κι αν είναι χωρισμένα από μεγάλη απόσταση αντ αυτού, η κβαντική κατάσταση πρέπει να περιγραφεί για το σύστημα σαν σύνολο. Μετρήσεις από φυσικές ιδιότητες όπως η θέση, η ορμή, το σπιν και η πόλωση, πάνω σε διεμπλεκόμενα σωματίδια βρίσκεται ότι είναι κατάλληλα συσχετισμένες. Για παράδειγμα, αν ένα ζευγάρι από σωματίδια παράχθηκε με τέτοιο τρόπο ώστε το συνολικό σπιν τους να είναι μηδέν, και το ένα σωματίδιο βρέθηκε ότι έχει δεξιόστροφο σπιν σε έναν άξονα, τότε το σπιν του άλλου σωματιδίου, αν μετρηθεί στον ίδιο άξονα, θα βρεθεί ότι έχει αριστερόστροφο σπιν, όπως αναμένεται λόγο της διεμπλοκής τους. Αυτή η συμπεριφορά, ωστόσο, δημιουργεί κάποια παράδοξα φαινόμενα: οποιαδήποτε μέτρηση κάποιας ιδιότητας ενός σωματιδίου μπορεί να θεωρηθεί ως δράση επάνω στο σωματίδιο (για παράδειγμα προκαλώντας την κατάρρευση κάποιων καταστάσεων σε υπέρθεση) κι έτσι προκαλεί κάποιας αλλαγή στην αρχική κβαντική ιδιότητα κατά κάποια άγνωστη ποσότητα άρα στην περίπτωση των διεμπλεκόμενων σωματιδίων, μια τέτοια μέτρηση δρα στο διεμπλεκόμενο σύστημα σαν σύνολο. Σαν αποτέλεσμα, δημιουργείται η εντύπωση ότι το ένα σωματίδιο του διεμπλεκόμενου ζεύγους «γνωρίζει» ποια μέτρηση εκτελέστηκε στο άλλο, και ποιο ήταν το αποτέλεσμα, χωρίς όμως να υπάρχει κάποιος γνωστός τρόπος ώστε αυτή η πληροφορία να μεταφερθεί από το ένα σωματίδιο στο άλλο, τα οποία κατά τη διάρκεια της μέτρησης μπορεί να είναι απομακρυσμένα κατά μια αυθαίρετα μεγάλη απόσταση. Ο ίδιος ο Einstein δεν μπορούσε να κατανοήσει αυτό το φαινόμενο, και το ονόμαζε «περίεργη δράση από απόσταση (spooky action at a distance)», όμως μέχρι και σήμερα παρουσιάζει μια πειραματική συνέπεια και είναι αντικείμενο πολύ έντονης ερευνάς από την επιστημονική κοινότητα. Σε αυτό το σημείο αξίζει να γίνει μια αναφορά στη σφαίρα του Bloch (Bloch Sphere). Στην κβαντομηχανική, η σφαίρα του Bloch (σχ. 4) είναι μια γεωμετρική αναπαράσταση των καθαρών φάσεων ενός κβαντικού συστήματος δύο επιπέδων, όπως είναι το qubit, κι ονομάστηκε έτσι από το φυσικό Felix Bloch. Η μαθηματική τυποποίηση της κβαντομηχανικής γίνεται σε χώρους Hilbert (Hilbert spaces). O χώρος των καθαρών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος δίνεται από ένα μονοδιάστατο υποχώρο του αντίστοιχου χώρου Hilbert. Για ένα χώρο Hilbert δύο διαστάσεων, αυτός ο χώρος καθαρών καταστάσεων είναι η σφαίρα Bloch. Η σφαίρα Bloch είναι μια σφαίρα μονάδας 2, και κάθε ζευγάρι αντικριστών σημείων της επιφάνειας της σφαίρας αντιστοιχεί σε αμοιβαία ορθογώνια διανύσματα κατάστασης. Οι βόρειος και νότιος πόλος έτσι, τυπικά, Σχήμα 4 20

25 επιλέγονται να αντιστοιχούν στην υπολογιστική βάση 0 και 1, αντίστοιχα, τα οποία με τη σειρά τους μπορεί να αντιστοιχούν στις καταστάσεις σπιν-πάνω και σπινκάτω ενός ηλεκτρονίου. Η επιλογές αυτές είναι αυθαίρετες βέβαια. Τα σημεία στην επιφάνεια της σφαίρας αντίστοιχόν στις καθαρές φάσεις του συστήματος, ενώ τα σημεία στο εσωτερικό στις μικτές φάσεις. Κβαντικές πύλες ενός και πολλαπλών qubits Κβαντικές πύλες ενός qubit Οι αλλαγές που συμβαίνουν σε μια κβαντική κατάσταση μπορούν να περιγραφούν με χρήση της γλώσσας των κβαντικών υπολογισμών (quantum computation). Ανάλογα με τον τρόπο που ένας κλασσικός υπολογιστής δομείται από ηλεκτρικά κυκλώματα που αποτελούνται από καλώδια και λογικές πύλες, ο κβαντικός υπολογιστής δομείται από κβαντικά κυκλώματα που αποτελούνται από καλώδια και στοιχειώδεις κβαντικές πύλες, ώστε μεταφέρουν και να διαχειρίζονται την κβαντική πληροφορία. Αν για παράδειγμα, σκεφτούμε τις κλασικές λογικές πύλες ενός Cbit, θα δούμε ότι η μόνη μη τετριμμένη λογική πύλη αυτής της κλάσης είναι η πύλη NOT, της οποίας η λειτουργία ορίζεται από τον πίνακα αλήθειας που τη χαρακτηρίζει, στον οποίο έχουμε ότι 0 1 και 1 0, δηλαδή, οι καταστάσεις 0 και 1 εναλλάσσονται. Κατά τον ίδιο τρόπο μπορεί να οριστεί η κβαντική πύλη NOT για τα qubits. Ωστόσο μια τέτοια πύλη δεν μπορεί απλά να μετατρέπει την κατάσταση 1 0 και αντιστροφως, γιατι τοτε δεν εχουμε καμια πληροφορια για το τι συμβαινει στις υπερθεσεις των 0 και 1. Έτσι, στην πραγματικότητα η κβαντική πύλη NOT δρα γραμμικά, που σημαίνει ότι δέχεται την κατάσταση α 0 + β 1 και τη μετασχηματίζει στην αντίστοιχη κατάσταση που οι ρόλοι των 0 και 1 έχουν εναλλαχθεί, α 1 + β 0. Το γιατί η κβαντική πύλη NOT δρα γραμμικά και όχι με κάποιο μη γραμμικό τρόπο είναι μια ενδιαφέρουσα απορία. Αποδεικνύεται ότι αυτή η γραμμική συμπεριφορά είναι μια γενική ιδιότητα της κβαντομηχανικής, πολύ καλά εμπειρικά τεκμηριωμένη. Επιπλέον, μη γραμμική συμπεριφορά θα οδηγούσε σε εμφανή παράδοξα όπως ταξίδια στο χρόνο, επικοινωνία ταχύτερη από την ταχύτητα του φωτός και παραβάσεις του 2 ου νόμου της θερμοδυναμικής. Υπάρχει ένα βολικός τρόπος να αναπαριστούμε την κβαντική πύλη NOT σε μορφή πίνακα, που προκύπτει άμεσα από τη γραμμικότητα των κβαντικών πυλών. Ας υποθέσουμε ότι ορίζεται ένας πίνακας Χ ο οποίος αναπαριστά την κβαντική πύλη NOT όπως φαίνεται: Χ [ ] (3.17) 21

26 Εάν η κβαντική κατάσταση α 0 + β 1 γραφτεί με διανυσματικό συμβολισμό ως [ α β ], όπου η πάνω είσοδος είναι το πλάτος για το 0 και η κάτω το πλάτος για το 1, τότε η αντίστοιχη έξοδος για την κβαντική πύλη NOT είναι Χ [ α β ] = [β α ] (3.18) Να σημειωθεί ότι η δράση της πύλης NOT είναι να πάρει την κατάσταση 0 και να την αντικαταστήσει με την κατάσταση που αντιστοιχεί στην πρώτη στήλη του πίνακα Χ. Όμοια, η κατάσταση 1 αντικαθίσταται με την κατάσταση που αντιστοιχεί στη δεύτερη στήλη του πίνακα Χ. Επομένως οι κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qubit μπορούν να περιγραφούν από πίνακες 2x2. Ωστόσο ισχύουν κάποιοι περιορισμοί σε αυτούς τους 2x2 πίνακες που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Όπως η συνθήκη κανονικότητας προϋποθέτει ότι α 2 + β 2 = 1 για μια κβαντική κατάσταση α 0 + β 1, το ίδιο πρέπει να ισχύει και για την κβαντική κατάσταση ψ = α 0 + β 1 που προκύπτει μετά από τη δράση της πύλης. Αποδεικνύεται ότι η κατάλληλη συνθήκη για τον πίνακα που αναπαριστά την πύλη είναι ότι ο πίνακας U που περιγράφει την πύλη ενός qubit πρέπει να είναι μοναδιαίος (unitary), αυτό όπως δείξαμε παραπάνω σημαίνει ότι πρέπει να ισχύει η συνθήκη U U = I, όπου I είναι ο 2x2 μοναδιαίος πίνακας. Για παράδειγμα για την πύλη NOT είναι εύκολο να δειχθεί ότι Χ Χ = I. Παραδόξως, η εξασφάλιση αυτής της συνθήκης είναι ο μόνος περιορισμός που πρέπει να ισχύει στις κβαντικές πύλες. Οποιοσδήποτε μοναδιαίος πίνακας συνιστά μια έγκυρη κβαντική πύλη. Αυτό το πολύ ενδιαφέρον συμπέρασμα έρχεται σε αντίθεση με την κλασική περίπτωση, όπου μόνο μια μη τετριμμένη πύλη ενός bit υπάρχει, η πύλη NOT ενώ υπάρχουν πολλές μη τετριμμένες κβαντικές πύλες ενός qubit. Δύο πολύ σημαντικές εξ αυτών είναι η πύλη Ζ: Ζ [ ] (3.19) η οποία αφήνει το 0 ανέπαφο και αντιστρέφει το πρόσημο του 1 ώστε να δώσει - 1, και πύλη Hadamard: Η 1 2 [ ] (3.20) Αυτή η πύλη περιγράφεται κάποιες φορές ως «η τετραγωνική ρίζα του NOT», γιατί μετατρέπει ένα 0 σε ( ) / 2 (πρώτη στήλη του H), «στο μέσο της απόστασης» ανάμεσα από το 0 και το 1, και όμοια το 1 σε ( 0-1 ) / 2 (δεύτερη στήλη του Η), που είναι και πάλι «το μέσο της απόστασης» ανάμεσα στο 0 και στο 1. Πρέπει βέβαια να σημειωθεί ότι, H 2 δεν είναι μια πύλη NOT και, όπως 22

27 φαίνεται από απλή άλγεβρα H 2 = I, κι έτσι εφαρμόζοντας δύο φορές τη Hadamard σε μια κατάσταση την αφήνει ανέπαφη. Η πύλη Hadamard είναι μια από τις πιο χρήσιμες κβαντικές πύλες, και αξίζει να προσπαθήσουμε να οπτικοποιήσουμε τη λειτουργία της αναλογιζόμενοι την εικόνα της σφαίρας Bloch. Από αυτήν την εικόνα φαίνεται πως οι κβαντικές πύλες ενός qubit αντιστοιχούν σε περιστροφές και αντανακλάσεις της σφαίρας. Η λειτουργία Hadamard είναι απλά μια περιστροφή της σφαίρας κατά 90 ο στον y άξονα, ακολουθούμενη από μια περιστροφή στον x άξονα κατά 180 ο (σχ. 5). Σχήμα 5 Υπάρχουν άπειροι πίνακες 2x2, κι επομένως άπειρες πύλες ενός qubit. Όμως, αποδεικνύεται ότι οι ιδιότητες ολοκλήρου του συνόλου μπορούν να γίνουν κατανοητές από τις ιδιότητες ενός πολύ μικρότερου συνόλου. Για παράδειγμα, μια αυθαίρετη μοναδιαία πύλη ενός qubit μπορεί να αποσυντεθεί ως ένα προϊόν από περιστροφές cos γ [ 2 sin γ 2 sin γ cos γ ] (3.21) 2 2 και από μια πύλη που θεωρείται ως περιστροφή κατά τον άξονα z, 23 [ e iβ e iβ ] (3.22) 2 μαζί και με μια (καθολική) ολίσθηση φάσης (phase shift) ένα σταθερό πολλαπλάσιο της μορφής e iα. Αυτές οι πύλες μπορούν να αναλυθούν περαιτέρω δεν είναι απαραίτητο να κατασκευάσουμε αυτές τις πύλες για αυθαίρετα α, β και γ, αλλά γίνεται να κατασκευάσουμε αυθαίρετα καλές προσεγγίσεις αυτών των πυλών, χρησιμοποιώντας μόνο συγκεκριμένες ειδικές σταθερές τιμές των α, β και γ. Με αυτόν τον τρόπο γίνεται να κατασκευάσουμε μια οποιαδήποτε πύλη ενός qubit χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο από κβαντικές πύλες. Ακόμα πιο γενικά,

28 οποιοσδήποτε κβαντικός υπολογισμός πάνω σε οποιοδήποτε αριθμό από qubits μπορεί να παραχθεί από ένα πεπερασμένο σύνολο από πύλες, οι οποίες θα είναι καθολικές (universal) για κβαντικούς υπολογισμούς. Για να συγκεντρώσουμε ένα τέτοιο καθολικό σύνολο χρειάζονται κάποιες κβαντικές πύλες που εμπλέκουν παραπάνω από ένα qubit. Κβαντικές πύλες πολλαπλών qubits Προσπαθώντας να γενικεύσουμε από ένα σε πολλαπλά qubits, παρατίθενται στο σχ. 6 πέντε αξιοσημείωτες κλασικές πύλες πολλαπλών bit, οι πύλες: AND, OR, XOR (exclusive-or), NAND και NOR. Ένα σημαντικό θεωρητικό επακόλουθο είναι ότι οποιαδήποτε λειτουργία σε bit μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο από σύνθεση πυλών NAND, η οποία επομένως χαρακτηρίζεται ως καθολική πύλη. Εν αντιθέσει, η πύλη XOR μόνη της ή ακόμα και μαζί με την NOT δεν μπορεί να έχει καθολικό χαρακτήρα. Ένας τρόπος για να το καταλάβει κανείς αυτό είναι ότι εφαρμόζοντας μια πύλη XOR δεν αλλάζει την συνολική, modulo 2 ισοτιμία των bit (modulo 2 parity), δηλαδή αν δύο είσοδοι x και y έχουν την ίδια ισοτιμία (άρτια ή περιττή), τότε παράγουν έξοδο και πάλι με την ίδια ισοτιμία, περιορίζοντας τις κλάσεις των συναρτήσεων που μπορούν να υπολογιστούν, και άρα αποκλείουν την καθολικότητα. Η πρωτότυπη πολλαπλών-qubit κβαντική λογική πύλη είναι η πύλη ελεγχόμενου-not (controlled-not ή CNOT). Αυτή η πύλη έχει σαν είσοδο δύο qubits, το qubit ελέγχου (control qubit) και το qubit στόχο (target qubit). H κυκλωματική αναπαράσταση για τη CNOT φαίνεται πάνω δεξιά στο σχ. 6. Η πάνω γραμμή αναπαριστά το qubit ελέγχου, ενώ η κάτω γραμμή το qubit στόχο. Η επίδραση της πύλης περιγράφεται ως εξής. Εάν το qubit ελέγχου τεθεί στην τιμή 0, τότε το qubit στόχου παραμένει ως έχει. Εάν το qubit ελέγχου τεθεί στην τιμή 1, τότε το qubit στόχου αλλάζει πρόσημο. Σαν εξίσωση: 00 00, 01 01, 10 11, (3.23) Ένας ακόμα τρόπος για να περιγράψουμε τη CNOT είναι σαν μια γενίκευση της κλασσικής XOR πύλης, αφού η δράση της πύλης συνοψίζεται από τη μαθηματική σχέση Α, Β Α, Β Α, όπου είναι το σύμβολο της πρόσθεσης modulo 2, που είναι ακριβώς αυτό που κάνει και η πύλη XOR. Επομένως, το qubit ελέγχου και το qubit στόχου υπόκεινται μια διαδικασία XOR (exclusive OR) και αποθηκεύονται στο qubit στόχου. Και πάλι θα μπορούσαμε να περιγράψουμε τη δράση της κβαντικής πύλης και με την αντίστοιχη αναπαράσταση πίνακα, όπως φαίνεται κάτω δεξιά στο σχ. 6. Εύκολα μπορεί κανείς να διακρίνει ότι η πρώτη στήλη του U CN περιγράφει το μετασχηματισμό που υφίσταται η κατάσταση 00, και όμοια για τις υπόλοιπες 24

29 υπολογιστικές βάσεις, 01, 10, και 11. Και φυσικά παρατηρούμε ότι ο U CN είναι ένας μοναδιαίος πίνακας, αφού U CN U CN = I. Παρατηρήσαμε ότι η CNOT μπορεί να θεωρηθεί ως ένας τύπος μιας γενικευμένης πύλης XOR. Μπορούν όμως και άλλες κλασικές πύλες όπως οι NAND ή η κανονική πύλη XOR να θεωρηθούν ως μοναδιαίες πύλες με έναν τρόπο παρόμοιο με αυτό που η κβαντική πύλη NOT αναπαριστά την κλασική πύλη NOT ; Αποδεικνύεται πως όχι, και ο λόγος είναι ότι οι πύλες XOR και NAND είναι ουσιαστικά μη αναστρέψιμες (irreversible). Για παράδειγμα, δοσμένης της εξόδου Α Β μιας πυλης XOR, δεν είναι δυνατό προσδιορίσουμε ποιες είναι οι είσοδοι Α και Β, επομένως υπάρχει μια μη επανακτίσημη απώλεια πληροφορίας που σχετίζεται με τη μη αναστρέψιμη δράση της πύλης XOR. Από την άλλη, οι μοναδιαίες κβαντικές πύλες είναι πάντα αναστρέψιμες, εφόσον ο ανάστροφος ενός μοναδιαίου πίνακα είναι επίσης ένας μοναδιαίος πίνακας, κι έτσι μια κβαντική πύλη μπορεί πάντα να Σχήμα 6 αναστραφεί από μια άλλη. Η κατανόηση του πως να εφαρμόσει κάποιος την κλασική λογική με αυτόν τον αναστρέψιμο τρόπο θα είναι ένα πολύ σημαντικό βήμα ώστε να αξιοποιήσουμε την δύναμη της κβαντομηχανικής για υπολογισμούς. Παρ όλα αυτά, υπάρχουν ακόμα πολλές ενδιαφέρουσες κβαντικές πύλες πέραν της CNOT. Ωστόσο, υπό μια έννοια η controlled-not και οι πύλες ενός qubit είναι τα πρωτότυπα για όλες τις άλλες πύλες εξαιτίας του ακόλουθου αξιοσημείωτου αποτελέσματος καθολικότητας: Οποιαδήποτε κβαντική πύλη πολλαπλών qubit μπορεί να συντεθεί από πύλες CNOT και πύλες ενός qubit. Αυτή η δήλωση αποτελεί το κβαντικό ισοδύναμο της καθολικότητας της πύλης NAND. 25

30 Κβαντικά κυκλώματα Ένα απλό κβαντικό κύκλωμα που περιλαμβάνει τρεις κβαντικές πύλες φαίνεται στο σχ. 7. Το κύκλωμα «διαβάζεται» από αριστερά προς τα δεξιά. Κάθε γραμμή στο κύκλωμα αναπαριστά ένα καλώδιο του κβαντικού κυκλώματος. Αυτό το καλώδιο δεν χρειάζεται απαραίτητα να αντιστοιχεί σε ένα φυσικό καλώδιο αντί αυτού μπορεί να αντιστοιχεί στη ροή του χρόνου, ή ενδεχομένως σε κάποιο φυσικό σωματίδιο όπως για παράδειγμα ένα φωτόνιο ένα σωματίδιο φωτός, που κινείται από μια θέση σε κάποια άλλη μέσα στο χώρο. Συμβατικά θεωρούμε ότι η κατάσταση εισόδου στο κύκλωμα είναι κατάσταση υπολογιστικής βάσης, συνήθως η κατάσταση που αποτελείται μόνο από 0. Το κύκλωμα στο σχήμα πραγματοποιεί έναν απλό αλλά χρήσιμο σκοπό εναλλάσσει τις καταστάσεις των δύο qubits. Για να δούμε ότι το κύκλωμα πραγματοποίει τη λειτουργία της εναλλαγής, σημειώνεται ότι η Σχήμα 7 αλληλουχία από τις πύλες έχει την ακόλουθη αλληλουχία από επιδράσεις στην κατάσταση υπολογιστικής βάσης α, β, α, β α, α β α (α β), α β = β, α β β, (α β) β = β, α όπου όλες οι προσθέσεις γίνονται modulo 2. Οπότε το αποτέλεσμα του κυκλώματος είναι να ανταλλάξει τις καταστάσεις των δύο qubits. Υπάρχουν κάποια χαρακτηριστικά που επιτρέπονται στα κλασικά κυκλώματα και τα οποία όμως δεν παρουσιάζονται στα κβαντικά κυκλώματα. Πρώτα από όλα, δεν επιτρέπονται κύκλοι (λούπες), δηλαδή, ανατροφοδότηση από ένα σημείο του κβαντικού κυκλώματος σε ένα άλλο λέμε ότι το κύκλωμα είναι απεριοδικό ή άκυκλο (acyclic). Στη συνέχεια, τα κλασικά κυκλώματα επιτρέπουν στα καλώδια να ενώνονται μεταξύ τους, μια λειτουργία γνωστή ως FANIN, με το μοναδικό καλώδιο που προκύπτει από την ένωση των υπολοίπων να περιέχει το αποτέλεσμα του διάδικου τελεστή OR στις εισόδους. Αυτή προφανώς είναι μια διαδικασία μη αναστρέψιμη και άρα μη μοναδιαία, οπότε δεν επιτρέπεται στα κβαντικά κυκλώματα. Ακόμα, η αντίστροφη διαδικασία, FANOUT, όπου παράγονται διάφορα αντίγραφα ενός bit επίσης δεν επιτρέπεται. Στην πραγματικότητα, αποδεικνύεται ότι η κβαντομηχανική απαγορεύει ρητά την αντιγραφή ενός qubit, κάνοντας έτσι τη λειτουργία FANOUT αδύνατη. 26

31 Θα ήταν σημαντικό να εισαχθεί άλλη μια σύμβαση για τα κβαντικά κυκλώματα. Αυτή η σύμβαση φαίνεται και στο σχήμα 8. Υποθέτουμε ότι ο U είναι ένας οποιοσδήποτε μοναδιαίος πίνακας που δρα σε κάποιο αριθμό n από n qubits, έτσι ο U μπορεί να θεωρηθεί ως μια κβαντική πύλη πάνω σε αυτά τα qubits. Τότε ορίζεται μια πύλη ελεγχόμενου-u (controlled-u) η οποία είναι μια Σχήμα 8 φυσική επέκταση της πύλης CNOT. Μια τέτοια πύλη έχει ένα μόνο qubit ελέγχου, που σημειώνεται από τη γραμμή με τη μαύρη κουκίδα, και n qubit στόχους, που σημειώνονται από το κουτί U. Αν το qubit ελέγχου τεθεί σε 0, τότε δεν συμβαίνει τίποτα στα qubit στόχους. Αν το qubit ελέγχου τεθεί σε 1, τότε εφαρμόζεται η πύλη U στα qubit στόχους. Τo πρωτότυπο Σχήμα 9 παράδειγμα της πύλης ελεγχόμενου-u είναι η πύλη controlled-not (CNOT), η οποία είναι μια πύλη ελεγχόμενου-u με το U = X, όπως φαίνεται στο σχ. 9. Μια ακόμα σημαντική λειτουργία είναι η μέτρηση, που παρουσιάζεται με ένα σύμβολο «μετρητή», όπως φαίνεται στο σχ. 10. Η διαδικασία της μέτρησης είναι αυτή που μετατρέπει την κατάσταση ενός qubit ψ = α 0 + β 1 σε ένα πιθανοκρατικό κλασικό bit Μ (που διαχωρίζεται από το qubit σχεδιαστικά με ένα καλώδιο από δύο γραμμές), που θα είναι 0 με πιθανότητα α 2, ή 1 με πιθανότητα β 2. Η μέτρηση παίζει έναν πολύ σημαντικό ρόλο στην κβαντομηχανική, και η εξήγηση που της δίνει κανείς είναι ανάλογη με την ερμηνεία που δίνει στην ίδια την κβαντομηχανική. Στην κλασική μηχανική, ένα απλό σύστημα από ένα και μόνο σωματίδιο περιγράφεται πλήρως από την ταχύτητα x (t) και την ορμή p (t) του σωματιδίου. Κατά μία αναλογία, στην κβαντομηχανική ένα σύστημα περιγράφεται από την κβαντική του κατάσταση, η οποία περιέχει τις πιθανότητες των πιθανών θέσεων και ορμών. Μαθηματικά, όλες οι πιθανές καθαρές καταστάσεις ενός συστήματος διαμορφώνουν ένα αφηρημένο διανυσματικό χώρο (χώρο Hilbert), και μια καθαρή κατάσταση αναπαρίσταται από ένα διάνυσμα κατάστασης σε αυτόν το χώρο. Μόλις ένα κβαντικό σύστημα προετοιμαστεί σε κάποιο εργαστήριο, διεξάγεται η μέτρηση Σχήμα 10 κάποια μετρήσιμης ποσότητας. Η κατάσταση του συστήματος μετά τη μέτρηση θεωρείται ότι «καταρρέει» σε μια ιδιοκατάσταση του τελεστή που αντιστοιχεί στη μέτρηση. Οι τιμές που προβλέπεται να προκύψουν από τη μέτρηση περιγράφονται από μια κατανομή πιθανότητας, ή ένα «μέσο» (ή μια «αναμενομένη τιμή») του τελεστή μέτρησης με βάση την κβαντική κατάσταση στου προετοιμασμένου συστήματος. Η κατανομή πιθανότητας είναι είτε συνεχής (όπως η θέση ή η ορμή) είτε διακριτή (όπως το σπιν), ανάλογα με τη μετρούμενη ποσότητα. Η διαδικασία της μέτρησης συχνά θεωρείται ως τυχαία και μη-αιτιοκρατική, ανάλογα με την ερμηνεία όμως που δίνει κανείς στην κβαντομηχανική, το αποτέλεσμα μπορεί απλά να φαίνεται τυχαίο και μη-αιτιοκρατικό, ή η μη-αιτιοκρατικότητα να είναι ένα 27

32 κεντρικό και αναπόφευκτο κομμάτι της θεωρίας. Ένα σημαντικό στοιχείο αυτών των ερμηνειών είναι το ζήτημα της «κατάρρευσης της κυματικής συνάρτησης» που σχετίζεται με την αλλαγή της κατάστασης ακολούθως της μέτρησης. Υπάρχουν πολλά φιλοσοφικά ζητήματα και στάσεις, αλλά και σχεδόν καθολική συμφωνία ότι δεν υπάρχει ακόμα πλήρης κατανόηση της κβαντικής πραγματικότητας. Ωστόσο η μέχρι τώρα γνώση μας για την κβαντομηχανική, ότι η περιγραφή της δυναμικής της περιλαμβάνει πιθανότητες κι όχι βεβαιότητες, μας έχει επιτρέψει να την αξιοποιήσουμε ως έναν βαθμό, και να μπορούμε να σκεφτόμαστε τα μελλοντικά οφέλη από την περεταίρω κατανόηση της. Φαίνεται ότι τα κβαντικά κυκλώματα θα είναι χρήσιμα μοντέλα όλων των κβαντικών διαδικασιών όπως οι υπολογισμοί, επικοινωνίες, και ακόμα και ο κβαντικός θόρυβος. 28

33 4. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ GROVER Η φύση της αναζήτησης Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε πως, ακριβώς ένας ακέραιος αριθμός n-ψηφίων ικανοποιεί μια συνθήκη. Επίσης ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια υπορουτίνα σε ένα μαύρο κουτί (χωρίς να γνωρίζουμε παραπάνω πληροφορίες για το τι συμβαίνει μέσα στο κουτί, παρά μόνο παρατηρούμε τις εισόδους και εξόδους του), η οποία δρα στους Ν = 2 n διαφορετικούς ακέραιους από n ψηφία ο καθένας, και δίνει σαν έξοδο 1 αν ο ακέραιος ικανοποιεί τη συνθήκη και 0 σε διαφορετική περίπτωση. Κατά την απουσία οποιασδήποτε άλλης πληροφορίας, και για να βρούμε τον αυτόν τον ειδικό ακέραιο, δεν γίνεται να πετύχουμε κάποιο καλύτερο αποτέλεσμα με έναν κλασικό υπολογιστή από το να εφαρμόσουμε επαναλαμβανόμενα την υπορουτίνα σε διαφορετικούς τυχαίους αριθμούς μέχρι να πετύχουμε αυτόν που ικανοποιεί τη συνθήκη. Αν το εφαρμόσουμε σε Μ διαφορετικούς ακέραιους, η πιθανότητα να βρούμε τον ειδικό αριθμό είναι Μ/Ν. Θα πρέπει να δοκιμάσουμε τουλάχιστον 1 Ν διαφορετικους αριθμους για να έχουμε 2 πιθανότητα επιτυχίας τουλάχιστον 50%. Αν, όμως, διαθέτουμε έναν κβαντικό υπολογιστή με μια υπορουτίνα που πραγματοποιεί έναν τέτοιο έλεγχο, τότε γίνεται να βρεθεί ο συγκεκριμένος ακέραιος με πιθανότητα πολύ κοντά στη μονάδα για μεγάλα N, χρησιμοποιώντας μια μέθοδο που καλεί την υπορουτίνα έναν αριθμό όχι μεγαλύτερο από (π/4) Ν. Αυτή η πολύ γενική δυνατότητα των κβαντικών υπολογιστών είχε ανακαλυφθεί από το Lov Grover, και ονομάζεται «Ο αλγόριθμος αναζήτησης του Grover)» (Grover s search algorithm). Ο αλγόριθμος του Shor για την εύρεση μιας περιόδου και ο αλγόριθμος αναζήτησης του Grover, μαζί με τις διάφορες τροποποιήσεις και επεκτάσεις τους, αποτελούν τα 2 αριστουργήματα στους αλγορίθμους κβαντικών υπολογισμών. Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να κατανοήσει κανείς τον αλγόριθμο του Grover. H υπορουτίνα μπορεί να εκτελεί μαθηματικούς υπολογισμούς ώστε να καθορίζει αν ο ακέραιος εισόδου είναι και αυτός που ζητείται. Για παράδειγμα, αν ένας περιττός αριθμός p μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων m 2 + n 2, τότε αφού πρέπει οπωσδήποτε ένας από τους m και n να είναι άρτιος και ο άλλος περιττός, ο p πρέπει να είναι της μορφής 4k + 1. Ένα στοιχειώδες θεώρημα της θεωρίας αριθμών αναφέρει ότι αν p είναι ένας πρώτος αριθμός της μορφής 4k + 1 τότε μπορεί πάντα να εκφρασθεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων με ακριβώς έναν τρόπο. (Έτσι 5 = 4 + 1, 13 = 9 + 4, 17 = , 29 = , 37 = , 41 = κ. ο. κ) Δοθέντος οποιουδήποτε τέτοιου πρώτου αριθμού p, ο ποιο απλός τρόπος για να βρει κανείς τα δύο αυτά τετράγωνα είναι να επιλέγει τυχαία ακέραιους x με 1 x N, όπου Ν είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι μικρότερος από p/2, μέχρι να βρει 29

34 αυτόν για τον οποίο p x 2 είναι ένας ακέραιος α. Αν ο p είναι της τάξης του τρισεκατομμυρίου τότε, ακολουθώντας αυτή την απλοϊκότατη διαδικασία, θα έπρεπε να υπολογιστεί η έκφραση p x 2 για σχεδόν ένα εκατομμύριο x ώστε η πιθανότητα να βρούμε το ζητούμενο να είναι μεγαλύτερη από 50%. Υλοποιώντας όμως τη διαδικασία του Grover σε έναν κατάλληλα προγραμματισμένο κβαντικό υπολογιστή θα μπορούσαμε να επιτύχουμε με πιθανότητα επιτυχίας πάρα πολύ κοντά στη μονάδα καλώντας την κβαντική υπορουτίνα που εκτιμούσε την έκφραση p x 2 λιγοτερες από χιλιες φορες. Φυσικά, για το συγκεκριμένο παράδειγμα υπάρχουν τρόποι για να υπολογιστεί από έναν κλασικό υπολογιστή πολύ πιο αποδοτικά από τους τυχαίους ελέγχους, αλλά ο κβαντικός αυτός αλγόριθμος επιτρέπει ακόμα και σε μαθηματικά αδαή άτομα με πρόσβαση σε έναν κβαντικό υπολογιστή, να τα καταφέρουν καλύτερα από τους τυχαίους ελέγχους κατά έναν παράγοντα 1/ Ν. Και ο αλγόριθμος του Grover παρέχει αυτή την επιτάχυνση για οσοδήποτε μεγάλα προβλήματα. Ενναλακτικά, το μαύρο κουτί θα μπορούσε να περιέχει qubits στα οποία έχει φορτωθεί ένα σώμα δεδομένων, για παράδειγμα αλφαβητικά ταξινομημένα ονόματα και τηλεφωνικοί αριθμοί, και κάποιος θα μπορούσε να ψάχνει το όνομα που αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο νούμερο. Λόγω τέτοιων εφαρμογών κάποιοι ονομάζουν το συγκεκριμένο αλγόριθμο ως «αναζήτησης βάσεων δεδομένων». Όμως η χρήση πόρων όπως τα qubits απλά και μόνο για την αποθήκευση τέτοιας κλασικής πληροφορίας θα ήταν εξαιρετικά υπερβολική, τουλάχιστον στην παρούσα φάση ή και στο προβλεπόμενο μέλλον, όσων αφορά την δυνατότητα που έχουμε να κατασκευάζουμε qubits. H εύρεση όμως μίας μοναδικής λύσης ή και μίας μικρής ομάδας λύσεων σε κάποιο δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα φαίνεται σαν μια πολλά υποσχόμενα εφαρμογή του αλγορίθμου. Το μαντείο Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εκτελέσουμε μια αναζήτηση σε ένα χώρο από Ν στοιχεία. Αντί να ψάχνουμε για τα στοιχεία απευθείας, θα επικεντρωθούμε στο δείκτη αυτών των στοιχείων, ο οποίος είναι απλά ένας αριθμός από το 0 μέχρι το Ν 1. Για ευκολία, θα θεωρήσουμε ότι Ν = 2 n, έτσι ώστε ο δείκτης να μπορεί να αποθηκευτεί σε n bits, και επίσης το πρόβλημα αναζήτησης να έχει ακριβώς M λύσεις, με 1 Μ N. Μια συγκεκριμένη εκδοχή του προβλήματος αναζήτησης μπορεί εύκολα να παρουσιασθεί από μια συνάρτηση f, η οποία δέχεται σαν είσοδο έναν ακέραιο x, από 0 μέχρι Ν 1. Εξ ορισμού, f(x) = 1 αν ο x είναι μια λύση στο πρόβλημα αναζήτησης και, f(x) = 0 αν ο x δεν είναι κάποια λύση στο πρόβλημα αναζήτησης. Τώρα ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα κβαντικό «μαντείο» (oracle) ένα μαύρο κουτί του οποίου το εσωτερικό δεν μας ενδιαφέρει και δεν θεωρείται σημαντικό σε 30

35 αυτό το σημείο με την ικανότητα να αναγνωρίζει λύσεις στο πρόβλημα αναζήτησης. Αυτή η αναγνώριση σηματοδοτείται από τη χρήση ενός qubit μαντείο (oracle qubit). Πιο συγκεκριμένα, το μαντείο είναι ένας μοναδιαίος τελεστής, Ο, που ορίζεται από τη δράση του στην υπολογιστική βάση: x q O x q f(x) (4.1) Όπου x ο καταχωρητής δείκτη (index register), το σύμβολο σημαίνει πρόσθεση modulo 2, και το qubit μαντείο q είναι ένα μόνο qubit το οποίο αναστρέφεται αν f(x) = 1, αλλιώς παραμένει ως έχει. Μπορούμε να ελέγξουμε αν ο x είναι μια λύση στο πρόβλημα αναζήτησης προετοιμάζοντας την κατάσταση x 0, εφαρμόζοντας το μαντείο, και ελέγχοντας αν το qubit μαντείο έχει αλλάξει σε 1. Στον κβαντικό αλγόριθμο αναζήτησης είναι χρήσιμο να εφαρμόσουμε το μαντείο με το qubit μαντείου αρχικοποιημένο στην κατάσταση ( 0 1 )/ 2. Αν ο x δεν είναι μια λύση στο πρόβλημα, τότε εφαρμόζοντας το μαντείο στην κατάσταση x ( 0 1 ) / 2 δεν θα αλλάξει την κατάσταση. Από την άλλη, αν o x είναι μια λύση στο πρόβλημα, τότε οι καταστάσεις 0 και 1 εναλλάσσονται από τη δράση του μαντείου, δίνοντας σαν τελική κατάσταση την x ( 0 1 ) / 2. Έτσι, η δράση του μαντείου είναι: ( 0 1 ) x 2 O ( 1) f(x) ( 0 1 ) x 2 (4.2) Ας προσέξουμε ότι η κατάσταση του qubit μαντείου δεν αλλάζει. Φαίνεται ότι παραμένει ( 0 1 ) / 2 σε όλη τη διάρκεια του κβαντικού αλγορίθμου αναζήτησης, οπότε γίνεται να παραληφθεί στη συνέχεια, απλοποιώντας την περιγραφή του. Με αυτή τη σύμβαση, η δράση του μαντείου μπορεί να γραφεί ως: x O ( 1) f (x) x (4.3) Τότε λέμε ότι το μαντείο σημαδεύει τη λύση του προβλήματος αναζήτησης, μετατοπίζοντας τη φάση του προβλήματος. Για ένα πρόβλημα αναζήτησης Ν αντικειμένων με Μ λύσεις, αποδεικνύεται ότι χρειάζεται να εφαρμόσουμε το μαντείο αναζήτησης Ο( Ν/Μ) φορές ώστε να έχουμε τη λύση, με τη χρήση ενός κβαντικού υπολογιστή. Αυτή η περιγραφή ενός μαντείου χωρίς τις λεπτομέρειες λειτουργίας του είναι αρκετά αφηρημένη, και ίσως μπερδεμένη. Φαίνεται κατά κάποιο τρόπο σαν το μαντείο να γνωρίζει εκ των προτέρων τη λύση του προβλήματος οπότε γεννάται το ερώτημα, ποια θα ήταν η χρησιμότητα ενός τέτοιου αλγορίθμου o οποίος βασίζεται στην υπόθεση ενός τέτοιου μαντείου. Η απάντηση είναι ότι υπάρχει μια σαφής 31

36 διάκριση ανάμεσα στο να γνωρίζει κανείς τη λύση σε ένα πρόβλημα αναζήτησης και στο να είναι απλά ικανός να την αναγνωρίζει το σημαντικό σημείο είναι ότι είναι δυνατό να γίνει το δεύτερο χωρίς απαραίτητα να μπορεί να γίνει και το πρώτο. Ένα απλό παράδειγμα στο οποίο είναι εμφανής αυτή η διαφορά είναι το πρόβλημα της παραγοντοποιήσης. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν μεγάλο αριθμό, m, και ότι γνωρίζουμε ότι αυτός είναι το γινόμενο δύο πρώτων αριθμών, p και q, η ίδια κατάσταση που προκύπτει όταν θέλει κάποιος να παραβιάσει το κρυπτοσύστημα δημοσίου κλειδιού RSA. Για να προσδιορίσουμε τα p και q, η προφανής μέθοδος σε έναν κλασικό υπολογιστή είναι να αναζητήσουμε σε όλους τους αριθμούς από το 2 μέχρι το m 1/2 για το μικρότερο από τους δύο πρώτους παράγοντες. Που σημαίνει ότι θα κάνουμε διαδοχικές δοκιμαστικές διαιρέσεις του m με κάθε νούμερο από το 2 μέχρι το m 1/2, έως ότου βρούμε το μικρότερο πρώτο παράγοντα. Ο άλλος πρώτος παράγοντας τότε μπορεί να βρεθεί αν διαιρέσουμε το m με τον παράγοντα που ήδη βρήκαμε. Προφανώς, αυτή η μέθοδος με βάση την αναζήτηση χρειάζεται περίπου m 1/2 δοκιμαστικές διαιρέσεις για την εύρεση του παράγοντα σε έναν κλασικό υπολογιστή. Ο κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να επιταχυνθεί αυτή η διαδικασία. Εξ ορισμού, η δράση του μαντείου στην είσοδο της κατάστασης x είναι να διαίρεση το m με το x, και να ελέγξει αν η διαίρεση είναι τέλεια, αναστρέφοντας το qubit μαντείο αν αυτό ισχύει. Εφαρμόζοντας τον κβαντικό αλγόριθμο αναζήτησης με το αυτό το μαντείο παράγεται ο μικρότερος από τους δύο πρώτους με μεγάλη πιθανότητα. Αλλά για να δουλέψει ο αλγόριθμος, πρέπει να κατασκευάσουμε ένα κύκλωμα ικανό ώστε να υλοποιεί αυτό το μαντείο. Αυτή η διαδικασία αποτελεί μια εξάσκηση της τεχνικής του αντιστρεπτού υπολογισμού (reversible computation). Ξεκινάμε ορίζοντας τη συνάρτηση f(x) = 1, αν ο x διαιρεί το m ακριβώς, και f(x) = 0 σε κάθε άλλη περιπτωση. Έτσι η f(x) μας λέει αν η δοκιμαστική διαίρεση ηταν επιτυχής ή όχι. Χρησιμοποιώντας την τεχνική του αντιστρεπτού υπολογισμού, κατασκευάζουμε ένα κλασικό αντιστρεπτό κύκλωμα το οποίο δέχεται την είσοδο (x, q) που αναπαριστούν έναν καταχωρητή εισόδου αρχικοποιημένο στο x κι έναν καταχωρητή εξόδου ενός bit αρχικοποιημένο στο q και τη μετασχηματίζει σε (x, q f (x) ), ρυθμίζοντας το σύνηθες (αντιστρεπτό) κλασικό κύκλωμα ώστε να εκτελεί τη δοκιμαστική διαίρεση. Το κλασικό αυτό αντιστρεπτό κύκλωμα μπορεί άμεσα να μετατραπεί σε ένα κβαντικό κύκλωμα που θα παίρνει το x q σε x q f (x), όπως απαιτείται από το μαντείο. Το σημαντικό σημείο είναι ότι ακόμα και χωρίς να γνωρίζουμε τον πρώτο παράγοντα του m, μπορούμε ρητά να κατασκευάσουμε ένα μαντείο που θα αναγνωρίζει τη λύση στο πρόβλημα αναζήτησης, όταν του δοθεί σαν είσοδος. Χρησιμοποιώντας αυτό το μαντείο και τον κβαντικό αλγόριθμο αναζήτησης μπορούμε να αναζητήσουμε στην ακτίνα από 2 εως m 1/2 χρησιμοποιώντας Ο(m 1/4 ) εφαρμογές του μαντείου. Που σημαίνει ότι χρειάζεται να εκτελέσουμε τις δοκιμαστικές διαιρέσεις περίπου m 1/4 φορές, αντί για m 1/2 φορές που χρειαζόταν ο κλασικός αλγόριθμος. 32

37 Το παράδειγμα της παραγοντοποιήσης εννοιολογικά φαίνεται ενδιαφέρων, δεν είναι όμως πρακτικά. Υπάρχουν κλασικοί αλγόριθμοι για την παραγοντοποίηση που λειτουργούν πολύ γρηγορότερα από την αναζήτηση όλων των πιθανών διαιρετών. Ωστόσο, παρουσιάζει το γενικό τρόπο κατά τον οποίο εφαρμόζεται ο κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης και οι κλασικοί αλγόριθμοι που βασίζονται σε τεχνικές αναζήτησης μπορούν να επιταχυνθούν με τη χρήση του αλγορίθμου. Υπάρχουν βέβαια περιπτώσεις που ο κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης πραγματικά χρησιμεύει στην επιτάχυνση της λύσης προβλημάτων ΝΡ-πληρότητας. Η διαδικασία Σχηματικά, ο αλγόριθμος αναζήτησης λειτουργεί όπως φαίνεται στο σχ. 11. Ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί ένα μόνο καταχωρητή με n qubits. Οι εσωτερικές λειτουργίες του μαντείου, μαζί και η περίπτωση όπου θα χρειάζεται παραπάνω qubits εργασίας, δεν είναι σημαντικά για την ορθή περιγραφή του κβαντικού αλγορίθμου αναζήτησης. Ο στόχος του αλγορίθμου είναι να βρει μια λύση για το πρόβλημα αναζήτησης, χρησιμοποιώντας τον μικρότερο δυνατό αριθμό από εφαρμογές του μαντείου. Ο αλγόριθμος ξεκινά με τον υπολογιστή στην κατάσταση 0 n. Ο μετασχηματισμός Hadamard χρησιμοποιείται ώστε να βάλει τον υπολογιστή στην κατάσταση ίσης υπέρθεσης ψ = 1 N 1 x Ν 1 2 x=1 (4.4) Σχήμα 11 O κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης τότε δομείται από αλλεπάλληλες εφαρμογές μιας κβαντικής υπορουτίνας, γνωστής ως η επανάληψη του Grover (Grover iteration) ή τελεστής Grover, και θα το συμβολίζουμε με G. Η επανάληψη του Grover, της οποίας το κβαντικό κύκλωμα φαίνεται στο σχ. 12, μπορεί να χωριστεί σε τέσσερα κομμάτια: 33

38 1) Εφαρμογή του μαντείου Ο 2) Εφαρμογή του μετασχηματισμού Hadamard H n 3) Εκτέλεση μιας μετατόπισης φάσης υπό συνθήκη στον υπολογιστή, με κάθε υπολογιστική βάση εκτός της 0 να παιρνει μια φαση 1: ψ ( 1) δ xo x 4) Εφαρμογή του μετασχηματισμού Hadamard H n Σχήμα 12 Κάθε μια από τις επαναλήψεις Grover μπορεί να υλοποιηθεί αποδοτικά σε έναν κβαντικό υπολογιστή. Τα βήματα 2 και 4, οι μετασχηματισμοί Hadamard, προϋποθέτουν n = log(n) λειτουργίες το κάθε ένα. Το βήμα 3, η μετατόπιση φάσης, μπορεί να υλοποιηθεί από τεχνικές ελεγχόμενων διαδικασιών, και πρέπει να σημειωθεί σε αυτό το σημείο ότι το πόσες φορές θα χρειαστεί να καλέσουμε το μαντείο εξαρτάται από την συγκεκριμένη εφαρμογή για την οποία τον χρειαζόμαστε η επανάληψη Grover απαιτεί μόνο μια κλήση του μαντείου. Θα ήταν χρήσιμο να σημειωθεί πως το συνδυασμένο αποτέλεσμα των βημάτων 2, 3 και 4 είναι H n (2 0 0 Ι)H n = 2 ψ ψ Ι (4.5) Όπου ψ είναι η υπέρθεση των καταστάσεων (4.4) με ίσα βάρη. Έτσι η επανάληψη Grover, G, μπορεί να γραφεί ως G = (2 0 0 Ι)O. Γεωμετρική απεικόνιση Ποια είναι όμως πραγματικά η λειτουργία της επανάληψης Grover; Έχουμε σημειώσει ότι G = (2 0 0 Ι)O. Στην πραγματικότητα, θα δείξουμε ότι η 34

39 επανάληψη Grover μπορεί να θεωρηθεί ως μια περιστροφή στο δισδιάστατο χώρο που αναπτύσσεται από το αρχικό διάνυσμα ψ και την κατάσταση που αποτελείται από μια ομοιόμορφη υπέρθεση των λύσεων στο πρόβλημα αναζήτησης. Για να φανεί αυτό ακόμα καλύτερα θα ήταν χρήσιμο να υιοθετήσουμε τη σύμβαση ότι x θα υποδηλώνει κάποιο άθροισμα από όλα τα x που αποτελούν λύσεις στο πρόβλημα αναζήτησης, και x κάποιο άθροισμα από όλα τα x που δεν είναι λύσεις στο πρόβλημα αναζήτησης. Ορίζουμε τις κανονικοποιημένες καταστάσεις α = 1 Ν Μ x x (4.6) β = 1 Μ x x (4.7) Με απλή άλγεβρα προκύπτει εύκολα ότι η αρχική κατάσταση ψ μπορεί να εκφραστεί διαφορετικά ως Ν Μ ψ = Ν α + Μ β (4.8) Ν Έτσι, η αρχική κατάσταση του κβαντικού υπολογιστή θα είναι στο χώρο που αναπτύσσεται από τα α και β. Η επίδραση του G μπορεί να γίνει κατανοητή με έναν αρκετά κομψό τρόπο αν γίνει αντιληπτό ότι η εφαρμογή του μαντείου Ο εκτελεί μια αντανάκλαση σχετικά με το διάνυσμα α στο επίπεδο που ορίζεται από τα α και β. Αυτό σημαίνει Ο(a α + b β = α α b β. Όμοια, η 2 ψ ψ Ι επίσης ορίζει μια αντανάκλαση στο επίπεδο που ορίζεται από τα α και β γυρω από το διανυσμα ψ. Και το προϊόν δύο αντανακλάσεων είναι μια περιστροφή. Αυτό μας λέει ότι η κατάσταση G k ψ παραμενει στο χώρο που ορίζεται από τα α και β για όλα τα k. Επίσης μας δίνει τη γωνία περιστροφής. Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε το cos( Θ ) = (Ν Μ)/Ν, τέτοιο ώστε ψ = 2 cos(θ) α + 2 sin(θ ) β. Όπως φαίνεται 2 και στο σχ. 13, οι δύο αντανακλάσεις που περιλαμβάνουν το G παίρνουν το ψ και το μετασχηματίζουν στο G ψ = cos 3θ 2 α + sin 3θ 2 β (4.9) Οπότε η γωνία περιστροφής είναι στην πραγματικότητα θ. Συνεπάγεται ότι συνεχόμενες εφαρμογές του G καταλήγουν στην κατάσταση 35 G k ψ = cos ( 2k θ) α + sin ( 2k + 1 θ) β (4.10) 2

40 Συνοψίζοντας, G σημαίνει μια περιστροφή κατά το δισδιάστατο χώρο που ορίζεται από τα α και β, περιστρεφωντας το χώρο κατά θ ακτίνια (radians) ανά εφαρμογή του G. Επαναλαμβανόμενες εφαρμογές της επανάληψης Grover περιστρέφουν το διάνυσμα κατάστασης κοντά στο β. Όταν αυτό συμβεί, μια παρατήρηση κατά την υπολογιστική βάση παράγει με μεγάλη πιθανότητα ένα από τα αποτελέσματα που βρίσκονται σε υπέρθεση στο β, δηλαδή, μια λύση στο πρόβλημα αναζήτησης. Σχήμα 13 Απόδοση του αλγορίθμου Πόσες φορές χρειάζεται να εφαρμοσθεί η επανάληψη Grover ώστε περιστραφεί το ψ κοντα στο β ; Η αρχική κατάσταση του συστήματος είναι ψ = (Ν Μ)/Ν α + Μ/Ν β, έτσι περιστρέφοντας κατά cos 1 Μ/Ν rads φέρνει το σύστημα στο β. Θεωρούμε ότι η συνάρτηση CI(x) δηλώνει τον ακέραιο που βρίσκεται πιο κοντά στον πραγματικό αριθμό x, όπου κατά σύμβαση στρογγυλοποιούνται τα μισά προς τα κάτω, για παράδειγμα CI(3.5) = 3. Οποτε, εφαρμοζοντας την επαναληψη Grover cos 1 M N R = CI θ ( ) (4.11) φορές θα έχουμε μια περιστροφή του ψ κατά μια γωνια θ/2 π/4 από το β. Η παρατήρηση της κατάστασης στην υπολογιστική βάση οπότε θα δώσει μια λύση στο πρόβλημα αναζήτησης με πιθανότητα τουλάχιστον 50%. Στην πραγματικότητα, για συγκεκριμένες τιμές των Μ και Ν είναι δυνατό να πέτυχουμε ακόμα μεγαλύτερη 36

41 πιθανότητα επιτυχίας. Για παράδειγμα, για Μ Ν εχουμε ότι θ sin θ 2 Μ/Ν, κι έτσι το γωνιακό σφάλμα στην τελική κατάσταση θα είναι το πολύ θ/2 Ν/Μ, δινοντας πιθανότητα σφάλματος το πολύ Μ/Ν. Πρέπει να σημειωθεί ότι το R εξαρτάται από τον αριθμό των λύσεων Μ, αλλά όχι από την ταυτότητα αυτών των λύσεων, οπότε δεδομένου ότι γνωρίζουμε το Μ μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κβαντικό αλγόριθμο αναζήτησης όπως περιεγράφηκε. Ωστόσο, γίνεται να εφαρμοσθεί ο αλγόριθμος ακόμα και χωρίς να ξέρουμε το Μ. O τύπος (4.11) είναι χρήσιμος σαν μια ακριβής έκφραση για τον αριθμό των κλήσεων του μαντείου που πραγματοποιήθηκαν ώστε να εκτελεστεί ο κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης, αλλά θα ήταν ακόμα πιο χρήσιμο αν είχαμε μια πιο απλή έκφραση που να συνοψίζει την ουσιώδη συμπεριφορά του R. Για να το πετύχουμε αυτό, όπως προκύπτει από την (4.11), R π/2θ, έτσι ένα χαμηλότερο όριο στο θ θα δώσει ένα μεγαλύτερο στο R. Κι αν υποθέσουμε ότι για τη δεδομένη στιγμή Μ Ν/2, τοτε θ 2 sin θ 2 = Μ Ν (4.12) από την οποία παίρνουμε ένα κομψό άνω όριο στον αριθμό των επαναλήψεων που απαιτούνται, R [ π 4 Ν Μ ] (4.13) Αυτό σημαίνει ότι, R = O( N/M) επαναλήψεις Grover (και κατ επέκταση κλήσεις του μαντείου) πρέπει να εκτελεστούν ώστε να προκύψει μια λύση στο πρόβλημα αναζήτησης με μεγάλη πιθανότητα, μια τετραγωνική βελτίωση από τις Ο(Ν/Μ) κλήσεις του μαντείου που χρειάζονται κλασικά. Ο κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης συνοψίζεται παρακάτω, για την περίπτωση που Μ = 1. Αλγόριθμος: Κβαντική αναζήτηση Είσοδοι: (1) ένα μαύρο κουτί (μαντείο) Ο το οποίο εκτελεί το μετασχηματισμό Ο x q = x q f (x), όπου f(x) = 0 για κάθε 0 x 2 n εκτός του x0, για το οποίο f(x) = 1 (2) n + 1 qubits στην κατάσταση 0. Έξοδοι: x 0 Χρόνος εκτέλεσης: Ο( 2 n ) επαναλήψεις. Επιτυχία με πιθανότητα Ο(1). 37

42 Διαδικασία: 1. 0 n n 1 x 2 n x=0 [ 0 1 ] 2 3. [(2 ψ ψ Ι)Ο] R 1 2 n 1 x 2 n x=0 [ 0 1 ] 2 x 0 [ ] 4. x 0 Για να γίνει κατανοητή η λειτουργία του αλγορίθμου, θα χρησιμοποιηθεί μια γραφική απεικόνιση όπως περίπου παρουσιάζεται και στην πρωτότυπη εργασία του Lov Grover [8]. Στο 1 ο βήμα φαίνεται η αρχική κατάσταση 0 των qubits. Στο 2 ο βήμα εφαρμόζεται ο μετασχηματισμός Hadamard (H) στα πρώτα n 1 qubits ώστε να προκύψει στο σύστημα τους η συνολική κατάσταση υπέρθεσης ( 1 Ν, 1 Ν, 1 Ν,, 1 Ν ), δηλαδη κάθε μια από τις Ν καταστάσεις να έχει το ίδιο πλάτος a x, και στο τελευταιο qubit εφαρμόζεται η λειτουργία HX, κι αυτό είναι το βοηθητικό qubit μαντείο, που αναφέρθηκε νωρίτερα. Το 3 ο βήμα αποτελεί την καρδιά του αλγορίθμου. Εφαρμόζεται η επανάληψη Grover R π 2 n /4 φορές, και σε κάθε μια από τις εφαρμογές, αυξάνεται το πλάτος της επιθυμητής κατάστασης κατά Ο(1 Ν), με αποτέλεσμα σε Ο( Ν) εφαρμογές της επανάληψης, το πλάτος και κατ επέκταση η πιθανότητα της επιθυμητής κατάστασης να φτάσει Ο(1). Αυτό επιτυγχάνεται μέσω της διαδικασίας της αναστροφής γύρω από το μέσο (inversion about average). Αρχικά σε κάθε επανάληψη εφαρμόζεται τo μαντείο, οπότε κάθε στοιχείο που τον ικανοποιεί δέχεται μια περιστροφή της φάσης του κατά π rads, που σημαίνει ότι το πλάτος του αντιστρέφεται και γίνεται 1 Ν (αυτό επιτυγχάνεται με modulo 2 πρόσθεση με το βοηθητικό qubit μαντείο), ενώ όλα τα υπόλοιπα μένουν ανεπηρέαστα. Στη συνέχεια η λειτουργία 2 ψ ψ Ι εκτελεί την περιστροφή γύρω από το μέσο. Σε αυτήν τη λειτουργία το πλάτος κάθε στοιχείου αυξάνεται (μειώνεται) έτσι ώστε μετά τη λειτουργία να είναι τόσο πάνω (κάτω) από το a x όσο κάτω (πάνω) ήταν πριν από αυτήν (σχ. 14). Όταν εφαρμόζεται, οπότε, σε ένα διάνυσμα όπου όλα τα συστατικά του, εκτός από ένα, είναι ίσα με μια τιμή C (C 1 N ), και η μία διαφορετική τιμή είναι αρνητική, τότε ο μέσος δεν αλλάζει σημαντικά, αφού τα (Ν 1) συστατικα είναι περίπου ίσα με το μέσο. Το ένα συστατικό όμως που ήταν αρνητικό, τώρα γίνεται θετικό και το μέγεθος του αυξάνεται κατά 2C. Τελικά στο 4 ο βήμα θα βρούμε 38

43 την επιθυμητή κατάσταση μετρώντας τα n qubit, μετά τις R επαναλήψεις, η οποία θα είναι και σωστή με πιθανότητα μεγαλύτερη από 50%. Σχήμα 14 Τι γίνεται όμως όταν περισσότερα από τα μισά αντικείμενα είναι λύσεις στο πρόβλημα, δηλαδή, Μ Ν/2; Από την έκφραση θ = sin 1 (2 Μ(Ν Μ/Ν) (4.10) βλέπουμε ότι η γωνία θ γίνεται μικρότερη όσο το Μ κυμαίνεται από Ν/2 μέχρι Ν. Σαν αποτέλεσμα, ο αριθμός των επαναλήψεων που χρειάζονται από την αλγόριθμο αναζήτησης αυξάνεται με το Μ, για Μ Ν/2. Διαισθητικά, αυτή φαίνεται σαν μια ανούσια ιδιότητα για έναν αλγόριθμο αναζήτησης περιμένουμε ότι θα είναι πιο εύκολο να βρούμε μια λύση στο πρόβλημα όσο ο αριθμός των λύσεων αυξάνεται. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τρόποι ώστε να λυθεί αυτό το πρόβλημα. Αν είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι το Μ είναι μεγαλύτερο από Ν/2 τότε μπορούμε απλά να διαλέξουμε τυχαία ένα αντικείμενο από το χώρο αναζήτησης, και μετά να ελέγξουμε ότι είναι λύση χρησιμοποιώντας το μαντείο. Αυτή η προσέγγιση έχει πιθανότητα επιτυχίας τουλάχιστον 50%, και χρειάζεται μόνο μια κλήση του μαντείου. Έχει όμως και το μειονέκτημα, ότι δεν γίνεται πάντα να γνωρίζουμε τον αριθμό των λύσεων Μ εκ των προτέρων. Σε αυτήν την περίπτωση, όπου δεν είναι γνωστό αν Μ Ν/2, μπορει να γίνει μια άλλη προσέγγιση. Η ιδέα είναι να διπλασιάσουμε τον αριθμό των στοιχείων στο χώρο αναζήτησης προσθέτοντας Ν επιπλέον αντικείμενα, κανένα από τα οποία δεν θα είναι λύση. Σαν αποτέλεσμα, λιγότερα από τα μισά αντικείμενα του νέου χώρου θα είναι λύσεις στο πρόβλημα. Αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί με την προσθήκη ενός ακόμα qubit q στο δείκτη αναζήτησης, διπλασιάζοντας τον αριθμό των αντικειμένων προς αναζήτηση σε 2Ν. Ένα επαυξημένο μαντείο Ο χρειάζεται να κατασκευαστεί ο οποίος θα σημαδεύει ένα αντικείμενο μόνο όταν είναι λύση στο πρόβλημα και το επιπλέον bit είναι ορισμένο 0. Προκύπτει εύκολα ότι το μαντείο Ο μπορεί να κατασκευαστεί με μια μόνο κλήση του Ο. Αυτό το νέο πρόβλημα αναζήτησης έχει μόνο Μ λύσεις μέσα από τις 2Ν καταχωρήσεις, έτσι εκτελώντας τον αλγόριθμο αναζήτησης με το νέο μαντείο Ο παρατηρούμε ότι χρειάζονται το πολύ 39

44 R = π/4 2Ν/Μ κλήσεις της Ο, και συνεπάγεται ότι Ο( Ν/Μ) κλήσεις της Ο χρειάζονται ώστε να πραγματοποιηθεί η αναζήτηση. Αν και ο κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί με πολλούς τρόπους, η μεγάλη λειτουργικότητα του ανακύπτει επειδή δεν θεωρούμε κάποια συγκεκριμένη δομή στο πρόβλημα αναζήτησης που επιχειρούμε να λύσουμε. Αυτό είναι και το μεγάλο πλεονέκτημα του να παρουσιάζεται το πρόβλημα σε όρους ενός «μαύρου κουτιού» (μαντείο). Σε πρακτικές εφαρμογές, φυσικά, είναι αναγκαίο να κατανοήσει κανείς πως υλοποιείται το μαντείο. Βέλτιστος αλγόριθμος αναζήτησης Έχουμε δείξει ότι ένας κβαντικός υπολογιστής μπορεί να αναζητήσει Ν αντικείμενα, καλώντας το μαντείο αναζήτησης μόνο Ο( Ν) φορές. Τώρα θα δείξουμε ότι κανένας κβαντικός αλγόριθμος δεν μπορεί εκτελέσει αυτή την εργασία χρησιμοποιώντας λιγότερες από Ω( Ν) προσβάσεις στο μαντείο αναζήτησης, κι έτσι ο αλγόριθμος που παρουσιάσαμε είναι βέλτιστος. Υποθέτουμε ότι ο αλγόριθμος ξεκινά στην κατάσταση ψ. Για λόγους απλότητας, θα αποδείξουμε μόνο το κάτω όριο για την περίπτωση που το πρόβλημα αναζήτησης έχει μοναδική λύση, τη x. Για να προσδιορίσουμε τη x, επιτρέπεται να εφαρμόσουμε ένα μαντείο Ο x ο οποίος δίνει μια μετατόπιση φάσης 1 στη λύση x και αφήνει όλες τις άλλες καταστάσεις αμετάβλητες, Ο x = Ι 2 x x. Υποθέτουμε ότι ο αλγόριθμος ξεκινά στην κατάσταση ψ και εφαρμόζει το μαντείο Ο x ακριβώς k φορές, με μοναδιαίες λειτουργίες U 1, U 2,, U k διαστρωματωμένες ανάμεσα στις λειτουργίες μαντείου. Ορίζονται ψ k x = U k O x U k 1 O x U 1 O x ψ (4.14) ψ k = U k U k 1 U 1 ψ (4.15) Που σημαίνει ότι, ψ k είναι η κατάσταση που προκύπτει όταν εκτελείται η ακολουθία των μοναδιαίων μετασχηματισμών U 1,, U k, χωρίς τις λειτουργίες μαντείου. Έστω ότι ψ 0 = ψ. Ο στόχος μας θα είναι να φράξουμε την ποσότητα D k = ψ k x ψ k 2 (4.16) x όπου χρησιμοποιούμε το σύμβολο ψ αντί του ψ για ευκολία κατά την αποτύπωση των σχέσεων. Διαισθητικά, D k είναι ένα μέτρο της απόκλισης μετά από k βήματα που προκαλείται από το μαντείο, σε σχέση με αυτήν που θα είχε επακολουθήσει χωρίς την λειτουργία του. Αν η ποσότητα είναι μικρή, τότε όλες οι καταστάσεις ψ k x 40

45 είναι περίπου ίδιες, και δεν είναι δυνατό να αναγνωρίσουμε σωστά το x με μεγάλη πιθανότητα. Η στρατηγική για την απόδειξη είναι να παρουσιαστούν δύο στοιχεία: (α) ένα φράγμα του D k που θα δείχνει ότι δεν μπορεί να αυξάνεται γρηγορότερα από Ο(k 2 ), και (β) και μια απόδειξη ότι το D k πρεπει να έχει Ω(Ν) εάν είναι δυνατόν να διαχωριστούν Ν ενναλακτικές. Αυτά τα δύο αποτελέσματα σε συνδυασμό δίνουν το επιθυμητό κάτω όριο. Πρώτα, θα δώσουμε μια επαγωγική απόδειξη για το D k 4k 2. Αυτό προφανώς θα ισχύει για k = 0, οπότε και D k = 0. Σημειώνεται ότι D k = Ο x ψ k x ψ k 2 x = Ο x (ψ k x ψ k ) + (Ο x I)ψ k 2 x (4.17) (4.18) Εφαρμόζοντας b + c 2 b b c + c 2 με b = Ο x (ψ k x ψ k ) και c = (Ο x I)ψ k = 2 x ψ k ψ, έχουμε D k+1 ( ψ x k ψ k ψ x k ψ k x ψ k + 4 ψ k x 2 ) 4.19 x Εφαρμόζοντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz στο δεύτερο όρο του δεξιού μέλους, και σημειώνοντας ότι x x ψ k 2 = 1 θα εχουμε D k+1 D k + 4 ( ψ x k ψ k 2 ) x ) x ( x ψ k D k + 4 D k + 4 (4.20) Από την επαγωγική υπόθεση D k 4k 2 παίρνουμε ότι D k+1 4k 2 + 8k + 4 = 4(K + 1) 2 (4.21) Που ολοκληρώνει την επαγωγή. Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη χρειάζεται να δειχθεί ότι η πιθανότητα επιτυχίας είναι μεγάλη αν το D k έχει Ω(Ν). Υποθέτουμε ότι x ψ k x 2 1/2 για κάθε x, έτσι ώστε μια παρατήρηση θα αποτελεί μια λύση στο πρόβλημα αναζήτησης με πιθανότητα τουλάχιστον 50%. Αντικαθιστώντας το x με e iθ x δεν αλλάζει την πιθανότητα επιτυχίας, έτσι μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς απώλεια της γενικότητας ότι x ψ k x = x ψ k x, και άρα 41 ψ k x x 2 = 2 2 x ψ k x 2 2 (4.22)

46 Ορίζοντας Ε k ψ k x x 2 x παρατηρούμε ότι Ε k (2 2)Ν. Τώρα είμαστε σε θέση να αποδείξουμε ότι το D k έχει Ω(Ν). Αν ορίσουμε ότι F k x ψ k 2 x έχουμε ότι D k = (ψ k x x) + (x ψ k ) 2 x ψ x k x 2 2 ψ x k x x ψ k + x ψ x k 2 x x = E k + F k 2 ψ k x x x ψ k Η ανισότητα Cauchy-Schwarz δίνει x ψ x k x x ψ k έχουμε ότι x x (4.23) (4.24) (4.25) Ε k F k, επομένως θα D k E k + F k 2 E k F k = ( E k F k ) 2 (4.26) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι F k 2Ν 2 Ν. Συνδυάζοντας αυτό με το αποτέλεσμα E k (2 2)Ν παίρνουμε ότι D k cn για αρκούντως μεγάλο Ν, όπου c είναι οποιαδήποτε σταθερά μικρότερη από ( 2 2 2) Εφόσον D k 4k 2 συνεπάγεται ότι k cn 4 (4.27) Συνοψίζοντας, για να καταφέρουμε να έχουμε πιθανότητα επιτυχίας τουλάχιστον 50% στην εύρεση μιας λύσης για το πρόβλημα αναζήτησης πρέπει να καλέσουμε το μαντείο Ω( Ν) φορές. Αυτό το αποτέλεσμα, ότι ο κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης είναι ουσιαστικά βέλτιστος, είναι ταυτόχρονα συναρπαστικό και απογοητευτικό. Συναρπαστικό γιατί μας λέει ότι για αυτό το πρόβλημα, τουλάχιστον, έχουμε εξερευνήσει όλο το βάθος της κβαντομηχανικής του υπόστασης περαιτέρω βελτίωση είναι αδύνατη. Η απογοήτευση προκύπτει επειδή μπορεί να περιμέναμε πολύ καλύτερη επιτάχυνση, σε σχέση με αυτήν της τετραγωνικής ρίζας που επιτυγχάνεται από τον κβαντικό αλγόριθμο αναζήτησης. Ο τύπος αυτού του ιδανικού σεναρίου που θα ελπίζαμε εκ των προτέρων να ίσχυε, θα ήταν να μπορούσαμε να αναζητήσουμε έναν χώρο Ν αντικειμένων χρησιμοποιώντας Ο(logN) κλήσεις του μαντείου. Αν υπήρχε ένας τέτοιος αλγόριθμος, θα μας επέτρεπε να λύσουμε αποδοτικά προβλήματα NP-πληρότητας σε έναν κβαντικό υπολογιστή, αφού θα γινόταν να αναζητήσει όλους τους 2 w(n) πιθανούς μάρτυρες χρησιμοποιώντας περίπου w(n) κλήσεις του μαντείου, όπου το πολυώνυμο w(n) είναι το μήκος του μάρτυρα 42

47 (witness) σε bits. Δυστυχώς, ένας τέτοιος αλγόριθμος είναι αδύνατος. Αυτή είναι μια χρήσιμη πληροφορία για επίδοξους σχεδιαστές αλγορίθμων, αφού επισημαίνει ότι μια αφελής προσέγγιση βασισμένη στη μέθοδο της αναζήτησης για την αντιμετώπιση των προβλημάτων NP-πληρότητας θα ήταν καταδικασμένη να αποτύχει. Αν είχε κάποιο νόημα να μπει κανείς στην ανάλυση διαφόρων απόψεων, θα σημείωνε ότι πολλοί ερευνητές πιστεύουν πως ο βασικός λόγος για την δυσκολία των προβλημάτων NP-πληρότητας έγκειται στο γεγονός ότι ο χώρος αναζήτησης τους ουσιαστικά δεν έχει καμία δομή, και ότι (μέχρι και για πολυωνυμικούς παράγοντες) η καλύτερη πιθανή μέθοδος για την επίλυση ενός τέτοιου προβλήματος θα ήταν μια μέθοδος αναζήτησης. Αν ισχύει αυτή η άποψη, θα σήμαινε άσχημα νέα για τους κβαντικούς υπολογισμούς, αφού υποδεικνύει ότι η κλάση των προβλημάτων που λύνονται εύκολα και αποδοτικά σε έναν κβαντικό υπολογιστή, BQP (bound-error quantum polynomial time), δεν περιέχει τα προβλήματα ΝΡ-πληρότητας. Φυσικά, αυτή είναι μόνο μια άποψη, και προς το παρόν υπάρχει πιθανότητα τα προβλήματα ΝΡ-πληρότητας να περιέχουν κάποια άγνωστη δομή η οποία θα επιτρέψει την αποδοτική λύση τους σε έναν κβαντικό υπολογιστή, ή ακόμα και σε έναν κλασικό υπολογιστή. Ένα καλό παράδειγμα που παρουσιάζει αυτή την κατάσταση είναι το πρόβλημα της παραγοντοποιήσης, που θεωρείται ευρέως ότι ανήκει στην κλάση ΝΡΙ, προβλημάτων μέτριας δυσκολίας ανάμεσα στα προβλήματα Ρ και ΝΡ-πληρότητας. Το κλειδί στη αποδοτική κβαντομηχανική λύση του προβλήματος παραγοντοποιήσης είναι η εκμετάλλευση μιας δομής «κρυμμένης» μέσα στο πρόβλημα, μια δομή που αποκαλύπτεται από την αναγωγή του προβλήματος σε αυτό της εύρεσης της διάταξης (order finding). Ακόμα και η αποκάλυψη αυτής της καταπληκτικής δομής, δεν έχει φανεί αρκετή ώστε να μπορέσει να αναπτυχθεί ένας αποδοτικός κλασικός αλγόριθμος για την παραγοντοποίηση, παρ όλο που κβαντομηχανικά η δομή μπορεί να αξιοποιηθεί ώστε να προσφέρει έναν αποδοτικό κβαντικό αλγόριθμο. Ίσως μιας παρόμοια δομή να παραμονεύει σε άλλα προβλήματα που ενδεχομένως να ανήκουν στην ΝΡΙ κλάση, όπως το πρόβλημα του ισομορφισμού ενός γράφου, ή ακόμα και στα προβλήματα ΝΡ-πληρότητας καθ εαυτά. Πολυωνυμικά όρια Μια γενίκευση του κβαντικού αλγορίθμου αναζήτησης μπορεί να προσδώσει κάποιους διορατικούς φραγμούς στην δύναμη των κβαντικών υπολογισμών. Αρχικά, περιγράψαμε το πρόβλημα αναζήτησης ως την εύρεση ενός ακέραιου x, που αποτελείται n bit, τέτοιος ώστε η συνάρτηση f: {0,1} n {0,1} να προσεγγίζει την f(x) = 1. Με αυτό σχετίζεται το πρόβλημα απόφασης, αν υπάρχει ή όχι κάποιο x τέτοιο ώστε f(x) = 1. Η λύση αυτού του προβλήματος απόφασης είναι ισοδύναμα δύσκολη, και μπορεί να εκφρασθεί ως ο υπολογισμός της Boolean συνάρτησης F(X) = X 0 X 1 X N 1, όπου συμβολίζει το δυαδικό τελεστή OR, X k f(k), και το Χ υποδηλώνει το σύνολο {Χ 0, Χ 1,, X N 1 }. Πιο γενικά, μπορεί να θέλουμε να 43

48 υπολογίσουμε κάποια άλλη συνάρτηση πέραν της OR. Για παράδειγμα, F(X) μπορεί να είναι οι συναρτήσεις AND, PARITY (πρόσθεση κατά υπόλοιπο του 2), ή η MAJORITY (F(X) = 1 αν και μόνο αν πιο πολλά Χ k = 1 από ότι όχι). Θεωρούμε γενικά ότι η F μπορεί να είναι οποιαδήποτε Boolean συνάρτηση. Πόσο γρήγορα (σχετικά με τον αριθμό κλήσεων του μαντείου) μπορεί ένας υπολογιστής, κλασικός ή κβαντικός, να υπολογίσει αυτές τις συναρτήσεις, δοθέντος ενός μαντείου για την f; Μπορεί να φαίνεται δύσκολο να απαντήσουμε τέτοιες ερωτήσεις χωρίς να γνωρίζουμε κάτι για τη συνάρτηση f, αλλά στην πραγματικότητα πολλά μπορούν να απαντηθούν ακόμα και σε αυτό το μοντέλο «μαύρου κουτιού», όπου τα μέσα με τα οποία το μαντείο εκπληρώνει το έργο του θεωρούνται δεδομένα, και η πολυπλοκότητα μετριέται μόνο σε όρους του αριθμού των απαιτούμενων κλήσεων του μαντείου. Η ανάλυση του αλγορίθμου αναζήτησης προηγουμένως παρουσίασε έναν τρόπο αντιμετώπισης τέτοιων προβλημάτων, αλλά μια πιο ισχυρή προσέγγιση ώστε να βρίσκονται οι πολυπλοκότητες των κλήσεων είναι η μέθοδος των πολυωνύμων (method of polynomials), η οποία θα επεξηγηθεί σύντομα. Θα ξεκινήσουμε με κάποιους χρήσιμους ορισμούς. Η ντετερμιστική πολυπλοκότητα των κλήσεων D(F) είναι ο ελάχιστος αριθμός κλήσεων του μαντείου που πρέπει να εκτελέσει ένας κλασικός υπολογιστής ώστε να υπολογίσει με βεβαιότητα την F. Το κβαντικό ισοδύναμο, Q E (F), είναι ο ελάχιστος αριθμός κλήσεων που πρέπει να εκτελέσει ένας κβαντικός υπολογιστής ώστε να υπολογίσει με βεβαιότητα την F. Εφόσον ένας κβαντικός υπολογιστής εκ φύσεως παράγει πιθανοκρατικές εξόδους, μια πιο ενδιαφέρουσα ποσότητα είναι η πολυπλοκότητα οριακού σφάλματος (bounded error complexity), Q 2 (F), ο ελάχιστος αριθμός κλήσεων του μαντείου που χρειάζεται να εκτελέσει ένας κβαντικός υπολογιστής ώστε να παράξει μια έξοδο που προσεγγίζει την F με πιθανότητα τουλάχιστον 2/3. (Ο αριθμός 2/3 είναι αυθαίρετος η πιθανότητα αρκεί να είναι ορισμένη σε κάποια πεπερασμένη απόσταση από το 1/2 ώστε να μπορεί να ενισχυθεί στη μονάδα μετά από επαναλήψεις). Ένα σχετικό μέτρο είναι η πολυπλοκότητα μηδενικού σφάλματος (zero-error complexity) Q 0 (F), ο ελάχιστος αριθμός των κλήσεων του μαντείου που χρειάζεται να εκτελέσει ένας κβαντικός υπολογιστής ώστε να παράξει μια έξοδο που είτε προσεγγίζει την F με βεβαιότητα, είτε με πιθανότητα μικρότερη από 1/2, παραδοχή ενός αδιευκρίνιστου αποτελέσματος. Όλα αυτά τα όρια πρέπει να ισχύουν για οποιαδήποτε συνάρτηση μαντείου f (με άλλα λόγια, για οποιαδήποτε είσοδο Χ με έξοδο F). Να σημειωθεί ότι Q 2 (F) Q 0 (F) Q E (F) D(F) N. Η μέθοδος των πολυωνύμων βασίζεται στις ιδιότητες των πολυγραμμικών πολυωνύμων ελάχιστου βαθμού (στους πραγματικούς αριθμούς) που αναπαριστούν Boolean συναρτήσεις. Όλα τα πολυώνυμα που θα θεωρήσουμε στη συνέχεια είναι συναρτήσεις X k {0,1} κι επομένως είναι πολυγραμμικές, αφού X k 2 = X k. Λέμε ότι ένα πολυώνυμο p R N R αναπαριστά την συνάρτηση F αν p(x) = F(X) για κάθε Χ {0,1} n. Τέτοιο πολυώνυμο p υπάρχει πάντα, εφόσον μπορούμε ρητά να κατασκευάσουμε έναν ταιριαστό υποψήφιο: 44

49 N 1 p(x) = F(Y) [1 (Y k X k ) 2 ] (4.28) Y {0,1} N k=0 O ελάχιστος βαθμός p είναι μοναδικός, και αυτός ο ελάχιστος βαθμός μιας τέτοιας αναπαράστασης F, που σημειώνεται ως deg(f), είναι ένα χρήσιμο μέτρο της πολυπλοκότητας της F. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι deg (OR), deg (AND), και deg (PARITY) είναι όλα ίσα με Ν. Στην πραγματικότητα, είναι γνωστό ότι ο βαθμός των περισσότερων συναρτήσεων είναι της τάξης του Ν. Επιπλέον, έχει αποδειχθεί ότι D(F) 2deg(F) 4 (4.29) Αυτό το αποτέλεσμα θέτει ένα άνω όριο στην απόδοση των ντετερμινιστικών κλασικών υπολογισμών για τον υπολογισμό των περισσότερων Boolean συναρτήσεων. Επεκτείνοντας αυτή την έννοια, εάν ένα πολυώνυμο ικανοποιεί τη σχέση p(x) F(X) 1/3 για κάθε Χ {0,1} Ν, λέμε ότι το p προσεγγίζει την F, και με deg (F) δηλώνουμε τον ελάχιστο βαθμό ενός τέτοιου προσεγγιστικού πολυωνύμου. Τέτοια μέτρα είναι σημαντικά στους τυχαιοποιημένους κλασικούς αλγόριθμους και, όπως θα δούμε, στην περιγραφή της κβαντικής τους περίπτωσης. Είναι γνωστό ότι deg (PARITY) = N, και deg (OR) Θ( Ν) και deg (AND) Θ( Ν) (4.30) D(F) 216deg (F) 6 (4.31) Τα όρια των εξισώσεων (4.29) και (4.31) είναι απλά αυτά που έχουν αποδειχθεί μέχρι σήμερα, αλλά θεωρείται ότι πιο αυστηρά όρια είναι πιθανά, όμως κι αυτά αρκούν για το σκοπό μας. Τα πολυώνυμα πολύ φυσικά, ανακύπτουν κατά την περιγραφή των αποτελεσμάτων των κβαντικών αλγορίθμων. Ας σημειώσουμε την έξοδο ενός κβαντικού αλγορίθμου Q που εκτελεί Τ κλήσεις σε ένα μαντείο Ο ως 2n 1 c k k (4.32) k=0 Θα δείξουμε ότι τα πλάτη c k είναι πολυώνυμα βαθμού το πολύ Τ στις μεταβλητές Χ 0, Χ 1,, X N 1. Οποιοσδήποτε Q μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας το κβαντικό κύκλωμα που φαίνεται στο σχ. 14. Η κατάσταση ψ 0 ακριβώς πριν την 1 η κλήση του μαντείου μπορεί να γραφεί ως 45

50 ψ 0 = (a i0j i 0 + a i1j i 1 ) j (4.33) ij όπου η πρώτη επιγραφή αντιστοιχεί στο n-οστό qubit της κλήσης του μαντείου, η επόμενη σε ένα μόνο qubit στο οποίο το μαντείο αφήνει το αποτέλεσμα του, και η τελευταία στα m n 1 qubits εργασίας που χρησιμοποιούνται από τον Q. Μετά την κλήση του μαντείου, παίρνουμε την κατάσταση ψ 1 = (a i0j i Χ i + a i1j i X i 1 ) j ij (4.34) Αλλά αφού το X i είναι πάντα 0 ή 1, μπορούμε να εκφράσουμε εκ νέου την κατάσταση ψ 1 = [((1 Χ i )a i0j + Χ i a i1j i0 ) + ((1 Χ i )a i1j + X i a i0j ) i1 ] j (4.35) ij Να σημειωθεί ότι στην ψ 0, τα πλάτη των καταστάσεων των υπολογιστικών βάσεων είναι βαθμού 0 στο Χ, ενώ αυτά της ψ 1 είναι βαθμού 1 (γραμμικά στο Χ ). Η σημαντική παρατήρηση είναι ότι οποιαδήποτε μοναδιαία λειτουργία που ο Q εκτελεί πριν ή μετά την κλήση του μαντείου δεν μπορεί να αλλάξει το βαθμό αυτών των πολυωνύμων, αλλά κάθε κλήση του μαντείου μπορεί να αυξήσει το βαθμό το πολύ κατά 1. Έτσι, μετά από Τ κλήσεις, τα πλάτη των πολυωνύμων είναι το πολύ βαθμού Τ. Επιπλέον, μετρώντας την τελική έξοδο (4.32) κατά την υπολογιστική βάση παράγει ένα αποτέλεσμα k με πιθανότητα P k (X) = c k 2, τα οποία είναι πολυώνυμα πραγματικών τιμών στο Χ βαθμού το πολύ 2Τ. Σχήμα 15 Η συνολική πιθανότητα P(X) να πάρουμε το 1 ως έξοδο από τον αλγόριθμο είναι ένα άθροισμα πάνω σε κάποιο υποσύνολο των πολυωνύμων P k (X), κι έτσι έχει επίσης βαθμό το πολύ 2Τ. Στην περίπτωση που ο Q παράξει τη σωστή απάντηση με βεβαιότητα θα πρέπει να ισχύει P(X) = F(X), κι επομένως def(f) 2T, από το οποίο συνεπάγεται ότι Q E (F) deg(f) (4.36) 2 46

51 Στην περίπτωση που ο Q θα παράξει ένα σωστό αποτέλεσμα με οριακή πιθανότητα σφάλματος ακολουθεί ότι η P(X) θα προσεγγίζει την F(X), κι έτσι deg (F) 2T, από το οποίο συνεπάγεται ότι Q 2 (F) deg (F) (4.37) 2 Συνδυάζοντας τις (4.29) και (4.36), βρίσκουμε ότι Q E (F) [ D(F) 1 32 ] 4 (4.38) Όμοια, από τις (4.31) και (4.37), βρίσκουμε Q 2 (F) [ D(F) ] 6 (4.39) Αυτό σημαίνει ότι κατά τον υπολογισμό Boolean συναρτήσεων με τη χρήση μαύρου κουτιού, οι κβαντικοί αλγόριθμοι μπορούν μόνο να παρέχουν μια πολυωνυμική επιτάχυνση σε σχέση με τους κλασικούς αλγορίθμους, στην καλύτερη περίπτωση κι αυτό ακόμα δεν είναι γενικά εφικτό (αφού η deg(f) έχει Ω(Ν) για τις περισσότερες συναρτήσεις). Από την άλλη, είναι γνωστό ότι για F = OR, D(F) = N, και η τυχαιοποιημένη κλασική πολυπλοκότητα της κλήσης R(F) Θ(Ν), όπου συνδυάζοντας τις (4.30) και (4.37), και τη γνωστή απόδοση του κβαντικού αλγορίθμου αναζήτησης, φαίνεται ότι Q 2 (F) Θ( Ν). Αυτή η επιτάχυνση της τετραγωνικής ρίζας είναι ακριβώς αυτό που κατορθώνει ο κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης, και η μέθοδος των πολυωνύμων υποδηλώνει ότι το αποτέλεσμα αυτό μπορεί ενδεχομένως να γενικευθεί σε μια πιο ευρεία κλάση προβλημάτων, αλλά χωρίς περαιτέρω πληροφορίες για τη δομή του μαύρου κουτιού (συνάρτηση μαντείο f), δεν μπορεί να επιτευχθεί καμία εκθετική επιτάχυνση σε σχέση με τους κλασικούς αλγορίθμους. 47

52 5. ΚΑΘΟΛΙΚΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Εδώ και δεκαετίες διεξάγεται μια πολυσύνθετη συζήτηση όσων αφορά τους κβαντικούς υπολογιστές και την πρακτική υλοποίηση τους. Από τα τέλη του 20 ου αιώνα και την περίφημη διάλεξη του Richard Feynman There is plenty of room at the bottom, οι κβαντικοί υπολογιστές έχουν περάσει από τη σφαίρα της φαντασίας και τις επιστημονικές θεωρίες στα εργαστήρια πανεπιστημίων, ιδρυμάτων και εταιριών. Μάλιστα το 2000 o θεωρητικός φυσικός David P. DiVincenzo με την εργασία του «The physical Implementation of Quantum Computation» [3] έθεσε πέντε απολύτως βασικά κριτήρια για την κατασκευή ενός καθολικού κβαντικού υπολογιστή. Αυτά είναι: 1. Ένα κλιμακούμενο φυσικό σύστημα με πλήρως ορισμένα qubits 2. Η δυνατότητα αρχικοποίησης της κατάστασης των qubits σε μια απλή βασική κατάσταση 3. Μεγάλοι σχετικοί χρόνοι αποσυνοχής 4. Ένα «καθολικό» σύνολο από κβαντικές πύλες 5. Η ικανότητα μέτρησης των συγκεκριμένων qubits Έτσι, 16 χρόνια αργότερα, η τεχνολογική εταιρία International Business Machines (IBM) κατάφερε να εκπληρώσει μερικώς αυτά τα κριτήρια και να κατασκευάσει έναν κβαντικό υπολογιστή που μπορεί να χειραγωγεί 5 υπεραγώγιμα qubits και μάλιστα δίνει πρόσβαση σε αυτόν στο ευρύ κοινό μέσω της διαδικτυακής cloud υπηρεσίας Quantum experience. Στη συνέχεια, θα αναλυθούν τα δομικά στοιχεία αυτού του κβαντικού υπολογιστή και θα παρουσιαστεί μια πολύ απλή εκτέλεση του κβαντικού αλγορίθμου αναζήτησης σε αυτόν τον κβαντικό υπολογιστή. Το transmon Μια από τις μεγαλύτερες προκλήσεις στην κβαντική επεξεργασία της πληροφορίας, είναι η σχεδίαση και κατασκευή κβαντικών συστημάτων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη και βαθύτερη κατανόηση των θεμελίων της φυσικής, αλλά και ως κβαντικά bits για τους κβαντικούς υπολογιστές. Ένα τέτοιο πολλά υποσχόμενο φυσικό σύστημα για τους κβαντικούς υπολογιστές είναι το qubit υπεραγώγιμου κόμβου Josephson (superconducting Josephson junction qubit), το οποίο χωρίζεται σε τρεις τύπους, ανάλογα με το σχετικό βαθμό ελευθέριας που προσφέρει: φορτίο, ροή και φάση. Αυτά τα συστήματα έχουν ενδεχομένως άριστη επεκτασιμότητα χάρι στις πολύ καλά εδραιωμένες τεχνικές κατασκευής όπως η λιθογραφία ηλεκτρονικής δέσμης. Δυστυχώς, τα υπεραγώγιμα qubit μέχρι τώρα 48

53 έχουν χρόνους αποσυνοχής (decoherence time) που ακόμα δεν είναι αρκετοί για τη διόρθωση σφαλμάτων και για την κλιμάκωση των κβαντικών υπολογισμών. Υπάρχουν διάφορες στρατηγικές για την ενίσχυση των χρόνων αποσυνοχής στα υπεραγώγιμα qubits. Μια από αυτές τις προσεγγίσεις αφορά στην εξάλειψη της γραμμικής ευαισθησίας θορύβου με την ρύθμιση της λειτουργίας του qubit σε βέλτιστα σημεία. Η λεγομένη λειτουργία «sweet-spot» έχει ήδη παρουσιάσει μια αύξηση στους χρόνους αποσυνοχής σε σχέση με παλαιοτέρα πειράματα η οποία μπορεί να φτάσει και τις τρεις τάξεις μεγέθους, και δείχνει ότι απλές προσαρμογές στα κβαντικά κυκλώματα μπορούν να οδηγήσουν σε μεγάλη ώθηση της απόδοσης των qubits. Ακολουθώντας αυτή τη στρατηγική η IBM το 2007 παρουσίασε για πρώτη φορά ένα νέο υπεραγώγιμο qubit: το qubit διακλαδωμένης γραμμής μεταφοράς ταλάντωσης πλάσματος (transmission line shunted plasma oscillation qubit transmon). Στο σχεδιασμό του, μοιάζει πολύ με ένα άλλο qubit, το Cooper pair box (CPB) qubit. Όμως το transmon λειτουργεί σε εντελώς διαφορετικές αναλογίες της ενέργειας Josephson E J προς την ενέργεια φόρτισης E C. Αυτή η σχεδίαση οδηγεί σε πολύ βελτιωμένους χρόνους αποσυνοχής. Δυο ποσότητες πολύ σημαντικές για τη λειτουργία ενός CPB είναι η αναρμονικότητα και η διασπορά φορτίου των ενεργειακών επιπέδων. Μια αρκούντως μεγάλη αναρμονικότητα χρειάζεται ώστε να αποτραπεί στις λειτουργίες του qubit από το να διεγείρουν άλλες μεταβάσεις στο σύστημα. Η διασπορά φορτίου περιγράφει τις αποκλίσεις των ενεργειακών επιπέδων σε σχέση με τα φορτία αντιστάθμισης του περιβάλλοντος και την τάση της πύλης, και προσδιορίζει την ευαισθησία του CPB στο θόρυβο φορτίου: όσο μικρότερη είναι η διασπορά φορτίου, τόσο λιγότερο η συχνότητα του qubit θα αλλάζει ως ανταπόκριση στις διακυμάνσεις του φορτίου της πύλης. Τα μεγέθη της διασποράς φορτίου και της αναρμονικότητας αμφότερα προσδιορίζονται από το λόγο της ενέργειας Josephson προς την ενέργεια φόρτισης E J /E C. Αυξάνοντας αυτό το λόγο μειώνεται το (σχετικό) επίπεδο αναρμονικότητας (που περιορίζει την ταχύτητα των λειτουργιών του qubit). Όμως, επίσης μειώνεται και η συνολική διασπορά φορτίου κι επομένως η ευαισθησία του CPB στο θόρυβο φορτίου. Το transmon εκμεταλλεύεται ένα αξιοσημείωτο γεγονός: η διασπορά φορτίου μειώνεται εκθετικά στο λόγο E J /E C, ενώ η αναρμονικότητα μειώνεται μόνο αλγεβρικά με έναν αργό νόμο δύναμης στο E J /E C. Σαν αποτέλεσμα, καθώς το transmon λειτουργεί με πολύ μεγαλύτερους λόγους E J /E C από ότι το CPB, γίνεται να επιτευχθεί πολύ μεγάλη μείωση της ευαισθησίας στο θόρυβο φορτίου του qubit, θυσιάζοντας μόνο ένα μικρό ποσό αναρμονικότητας. Στην πραγματικότητα, η διασπορά φορτίου μπορεί να μειωθεί τόσο πολύ ώστε το qubit να γίνει πρακτικά πλήρως ανθεκτικό, δηλαδή η ευαισθησία του να τείνει στο 0. Το transmon όμως καταφέρνει ταυτόχρονα να αυξήσει την ηλεκτρική σύζευξη μεταξύ των qubits, ή ανάμεσα σε ένα qubit και σε μια κοιλότητα γραμμής μεταφοράς που λειτουργεί ως δίαυλος. 49

54 Παρόλο που το transmon έχει τιμές του λόγου E J /E C ανάμεσα σε αυτές ενός τυπικού qubit φορτίου κι ενός τυπικού qubit φάσης, είναι σημαντικό να τονιστεί ότι το transmon είναι πολύ διαφορετικό και από το CPB και από το qubit φάσης, καθώς, η φυσική αναρμονικότητα του συνημητονοειδούς δυναμικού του είναι αυτή που επιτρέπει τις λειτουργίες του qubit. Κι ενώ άλλες συσκευές λειτουργούν σε τιμές του λόγου E J /E C μερικών δεκάδων χιλιάδων, το transmon συνήθως λειτουργεί από μερικές δεκάδες μέχρι λίγες εκατοντάδες. Έτσι, το transmon είναι ένα νέο είδος υπεραγώγιμου qubit το οποίο θα διορθώσει τα κύρια μειονεκτήματα του CPB εμφανίζοντας εκθετικό κέρδος στο θόρυβο φορτίου. Το μοντέλο Παρόμοια με το CPB, το transmon αποτελείται από δυο υπεραγώγιμα νησιά ενωμένα με δυο κόμβους Josephson, αλλά απομονωμένα από το υπόλοιπο κύκλωμα. Αυτή η διάταξη dc-squid (superconducting quantum interference device) επιτρέπει τη ρύθμιση της ενέργειας Josephson E J = E J,max cos(πφ/φ 0 ) μέσω μιας εξωτερικής μαγνητικής ροής Φ. Η σχεδίαση της συσκευής και το αντίστοιχο κβαντικό Σχήμα 15 κύκλωμα φαίνονται στο σχ. 15. Όπως συνηθίζεται, το φορτίο αντιστάθμισης n g της συσκευής, που μετριέται σε μονάδες του φορτίου του ζεύγους Cooper 2e, ελέγχεται από ένα ηλεκτρόδιο πύλης χωρητικά συζευγμένο στο νησί έτσι ώστε n g = Q r 2e + C g V g 2e. Εδώ τα C g και V g δηλώνουν τη χωρητικότητα και την τάση της πύλης, αντίστοιχα, και το Q r φορτίο αντιστάθμισης του περιβάλλοντος. Η κρίσιμη μετατροπή που διαχωρίζει το transmon από το CPB είναι μια διακλαδωμένη σύνδεση των δυο υπεραγωγών μέσω μιας μεγάλης χωρητικότητας C Β, μαζί με μια όμοια αύξηση της χωρητικότητας πύλης C g. Η Χαμιλτονιανή μπορεί να αναχθεί σε μια μορφή πανομοιότυπη με αυτή του CPB συστήματος, H = 4Ε C (n n g ) 2 E J cos φ (5.1) και περιγράφει το κύκλωμα του σχ. 15a κατά την απουσία της σύζευξης στη γραμμή μεταφοράς (δηλαδή αγνοώντας τον τύπο συντονισμού που μοντελοποιείται από τα L r και C r ). Τα σύμβολα n και φ δηλώνουν τον αριθμό των ζευγών Cooper που μεταφέρονται μεταξύ των νησιών και τη βαθμιδωτά αμετάβλητη (gauge-invariant) διαφορά φάσης ανάμεσα στους υπεραγωγούς, αντίστοιχα. Μέσω των επιπλέον 50

55 χωρητικοτήτων C B, η ενέργεια φόρτισης Ε C = e 2 2C Σ (C Σ = C J + C B + C G ) μπορεί να γίνει πολύ μικρή συγκριτικά με την ενέργεια Josephson. Αντίθετα με το CPB, το transmon λειτουργεί στην περιοχή όπου E J E C. Η Χαμιλτονιανή του qubit (5.1) μπορεί να λυθεί με ακρίβεια στη βάση της φάσης σε όρους συναρτήσεων Mathieu. Οι ιδιοενέργιες (eigenenergies) δίνονται από Ε m (n g ) = E C a 2(ng +k(m,n g )) ( E J 2E C ) (5.2) όπου α ν (q) συμβολίζει τη χαρακτηριστική τιμή Mathieu, και k(m, n g ) είναι μια συνάρτηση που ταξινομεί κατάλληλα τις ιδιοτιμές. Σχεδιαγράμματα για τα τρία χαμηλότερα ενεργειακά επίπεδα Ε 0, Ε 1 και Ε 2, σαν συνάρτηση του φορτίου αντιστάθμισης n g φαίνονται στο σχ. 16 για διάφορες τιμές του E J /E C. Φαίνεται ξεκάθαρα (i) ότι τα επίπεδα αναρμονικότητας εξαρτώνται από το λόγο E J /E C και (ii) ότι η συνολική διασπορά φορτίου Σχήμα 16 μειώνεται πολύ γρήγορα με το E J /E C. Και οι δυο παράγοντες (i) και (ii) επηρεάζουν τη λειτουργία του συστήματος σαν qubit. Η διασπορά του φορτίου μεταφράζεται ευθέως ως ευαισθησία του συστήματος σε σχέση με το θόρυβο φορτίου. Μια επαρκώς μεγάλη αναρμονικότητα χρειάζεται για τον επιλεκτικό έλεγχο των μεταβάσεων. Η διασπορά φορτίου του transmon Η ευαισθησία ενός qubit στο θόρυβο μπορεί εύκολα να βελτιστοποιηθεί μέσω της λειτουργίας του συστήματος σε συγκεκριμένα σημεία στο χώρο παραμέτρων («sweet spot»). Ένα παράδειγμα τέτοιου τύπου διάταξης είναι το «sweet spot» που εκμεταλλεύεται το CPB. Σε αυτήν την περίπτωση, η ευαισθησία στο θόρυβο φορτίου μειώνεται πολώνοντας το σύστημα στο σημείο του εκφυλισμού φορτίου (chargedegeneracy) n g = 1/2 (σχ. 16a). Αφού η διασπορά φορτίου δεν έχει κλίση σε εκείνο το σημείο, συνεισφορές γραμμικού θορύβου δεν μπορούν να μεταβάλλουν τη συχνότητα μετάβασης του qubit. Με αυτήν τη διαδικασία, η χαμηλή ευαισθησία των CPB στο θόρυβο φορτίου μπορεί να βελτιωθεί σημαντικά, ενδεχομένως αυξάνοντας τους χρόνους Τ 2 από την τάξη των μικροδευτερολέπτων σε αυτή των νανοδευτερολέπτων. 51

56 Στο transmon λοιπόν φαίνεται ότι μια αύξηση του λόγου E J /E C οδηγεί σε μια εκθετική μείωση της διασποράς φορτίου κι επομένως σε μια συχνότητα μετάβασης του qubit που είναι εξαιρετικά σταθερή σε σχέση με το θόρυβο φορτίου (σχ. 16d). Στην πραγματικότητα, με αρκετά μεγάλο E J /E C, είναι δυνατόν να εκτελεστούν πειράματα χωρίς την ανάγκη μηχανισμού ανατροφοδότησης που να κλειδώνει το σύστημα σε σημείου φορτίου εκφυλισμού. Οι προϋποθέσεις για το μέγεθος του E J /E C φαίνεται ότι γίνονται πιο αυστηρές για μεγαλύτερους δείκτες επιπέδων. Για το transmon, το μεγαλύτερο ενδιαφέρον βρίσκεται στα δυο χαμηλότερα επίπεδα, για τα οποία μια καλή προσέγγιση είναι E J /E C 20. Ασυμπτωτικά, η διαφορική διασπορά φορτίου E 01 n g κυριαρχείται από τη συνεισφορά του πρώτου διεγερμένου επιπέδου, έτσι ώστε E 01 n g πε 1 sin(2πn g ) (5.3) Σαν αποτέλεσμα, τα μέγιστα του [ E 01 n g ] για E J E C = 20, 50, 100 είναι E C, E C και E C αντίστοιχα. Αυτές οι τιμές αντιπαραβάλλονται με τις τυπικές τιμές συμβατικών CPBs τα οποία λειτουργούν στο όριο για E J /E C 1 στο σημείο «sweet spot» n g = 1/2. Σε αυτήν την περίπτωση, η διασπορά φορτίου μπορεί να προσεγγιστεί από Ε 01 = [4Ε C (2n g 1) 2 + E] (5.4) Στο σημείο «sweet spot», το σύστημα είναι ευαίσθητο μόνο σε θόρυβο δευτέρου βαθμού, σε σχέση με την κυρτότητα 2 E 01 n g 2 της διασποράς φορτίου. Αυτό δίνεται από (8Ε C ) 2, το οποίο για E J /E C = 1 και 0.1 δίνει μια κυρτότητα 64Ε C και E J 640Ε C αντίστοιχα. Μια σύγκριση αυτών των αριθμών παρουσιάζει την αξιοσημείωτη ανθεκτικότητα του transmon στο θόρυβο φορτίου. Αυτό απλά αντικατοπτρίζει το γεγονός της αδυναμίας του θορύβου φορτίου να εκτελέσει μια «μέτρηση» στην κατάσταση του qubit κι επομένως να το φέρει σε κατάσταση αποσυνοχής, σημαίνει επίσης ότι μια ανάγνωση της κατάστασης του qubit με βάση το φορτίο του γίνεται αδύνατη. Έτσι πρέπει να βρεθεί μια άλλη μέθοδος για την παρατήρηση της κατάστασης του. Αναρμονικότητα του transmon Το εντυπωσιακό κέρδος στην αντιμετώπιση του θορύβου φορτίου μέσω της αύξησης του λόγου E J /E C αναγκαστικά αντισταθμίζεται από την απώλεια σε αναρμονικότητα. Επαρκής αναρμονικότητα χρειάζεται ώστε μειωθεί το πολυεπίπεδο 52

57 σύστημα ενός qubit, το οποίο τελικά θα θέσει ένα κατώτατο όριο στη διάρκεια των παλμών ελέγχου. Φαίνεται ότι, σε αντίθεση με το τη διασπορά φορτίου, η αναρμονικότητα μειώνεται μόνο με έναν αδύναμο νόμο ισχύος. Επομένως, πρέπει να βρεθεί ένα εύρος του λόγου E J /E C κατά το οποίο θα έχουμε σημαντικά βελτιωμένη ανθεκτικότητα στο θόρυβο φορτίου συγκριτικά με το CPB καθώς και επαρκώς μεγάλη αναρμονικότητα. Ορίζουμε την απόλυτη και σχετική αναρμονικότητα ως α Ε 12 Ε 01, a r a E 01 (5.5) Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (5.2) και (5.5), καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η σχετική αναρμονικότητα εξαρτάται μόνο από το ενεργό φορτίο αντιστάθμισης και από το λόγο ενέργειας E J /E C. Μέσω της αναρμονικότητας που εκτιμάται στο σημείο του φορτίου εκφυλισμού n g = 1 2, γίνεται να ανιχνεύσουμε την πλήρη μετάβαση από την περιοχή του απλού CPB στην περιοχή του transmon. Φαίνεται από το σχ. 17 ότι για E J /E C 9, το α r αλλάζει πρόσημο, υποδεικνύοντας ότι για μεγαλύτερους λόγους E J /E C η ενέργεια μετάβασης Ε 12 γίνεται μικρότερη από την Ε 01. Η σχετική αναρμονικότητα παρουσιάζει ένα ρηχό τοπικό ελάχιστο γύρω από το E J /E C 17.5 και προσεγγίζει ασυμπτωτικά το μηδέν για E J /E C. Αναπτύσσοντας το συνημίτονο της (5.1) γύρω από το φ = 0 μέχρι και Σχήμα 17 την τέταρτη τάξη, παίρνουμε το αποτέλεσμα της προσέγγισης για τις ιδιοενέργιες: Ε m E J + 8E C E J (m ) E C 12 (6m2 + 6m + 3) (5.6) όπου η συχνότητα ω p = 8E C E J /ħ είναι γνωστή και ως συχνότητα πλάσμα του Josephson. Σαν αποτέλεσμα, οι ασυμπτωτικές εκφράσεις για την απολυτή και σχετική αναρμονικότητα είναι, α E C, a r (8E J E C ) 1 2 (5.7) όπως φαίνεται στο σχ. 17a,b. Με αυτές τις σχέσεις και θεωρώντας ότι η συχνότητα μετάβασης έχει τιμή ω 01 2π 10 GHz συνήθως στα πειράματα, μπορούμε να υπολογίσουμε το βέλτιστο εύρος του E J /E C. Σαν αποτέλεσμα, η απόλυτη αναρμονικότητα δίνεται από 53

58 α = ħω 01 α r. Από την διασπορά των συχνοτήτων ενός παλμού περιορισμένου μετασχηματισμού (transform-limited pulse), μπορούμε να εκτιμήσουμε την αντίστοιχη ελάχιστη διάρκεια παλμού ώστε να είναι τ p ~ ω 01 α r 1. Για το συνεκτικό έλεγχο του συστήματος, η διάρκεια του παλμού πρέπει να είναι μικρή συγκριτικά με τα Τ 1 και Τ 2. Αν οι συνολικοί χρόνοι αποσυνοχής για το transmon ήταν της τάξης μερικών εκατοντάδων νανοδευτερολέπτων όπως σε κάποια πειράματα των CPBs, οι αναμενόμενες διάρκειες των παλμών θα ήταν στο εύρος των μερικών δεκάδων νανοδευτερολέπτων. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι σημαντικά μικρότεροι παλμοί μικροκυμάτων είναι δύσκολο να επιτευχθούν, κι επομένως η μεγάλη αναρμονικότητα των CPBs στην πραγματικότητα δεν μπορεί να εκμεταλλευθεί πλήρως. Με τη χρήση ενός τυπικού παλμού των 10ns, χρειαζόμαστε ελάχιστη αναρμονικότητα α min r ~(τ p ω 01 ) 1 ~(10ns 2π 10GHz) 1 = 1 200π (5.8) Από την (5.7) βρίσκουμε ότι ο ενεργειακός λόγος πρέπει να βρίσκεται στην περιοχή 20 E J E C , ανοίγοντας έτσι ένα μεγάλο εύρος με εκθετικά μειωμένη ευαισθησία στο θόρυβο φορτίου και όμως αρκούντως μεγάλη αναρμονικότητα για τις λειτουργίες του qubit. Με άλλα λόγια, η περιοχή του transmon επιτυγχάνεται χωρίς κάποιο ιδιαίτερο κόστος, και οι κοινές τεχνικές παραγωγής παλμών που χρησιμοποιούνται στα CPB qubit μπορούν ευθέως να μεταφερθούν και στα transmon qubit. Αυτό παρουσιάζεται και στο σχ. 17c, όπου αναπαρίσταται γραφικά η ανάστροφη διασπορά φορτίου (που προσδιορίζει το χρόνο Τ 2 ) και η ελάχιστη διάρκεια παλμού τ p. Όπως θα φανεί και παρακάτω, οι χρόνοι αποσυνοχής του transmon αναμένεται να είναι σημαντικά μεγαλύτεροι από αυτούς των CPBs. Με προβαλλομένους χρόνους της τάξης των 20μs (που περιορίζονται κατά πάσα πιθανότητα από τον κρίσιμο θόρυβο του ρεύματος), χρησιμοποιούνται διάρκειες παλμών πολύ μεγαλύτερες από 10ns, κάνοντας εφικτές ακόμα μεγαλύτερες τιμές του λόγου E J /E C και μεγαλύτερη ανθεκτικότητα στο θόρυβο φορτίου. Διαχωρισμός του transmon: Ο βαθμός ελευθερίας της ροής και η ασσυμετρία των κόμβων Στις προηγούμενες ενότητες, αγνοήσαμε το γεγονός ότι η προτεινόμενη σχεδίαση του transmon στην πραγματικότητα περιλαμβάνει δυο κόμβους Josephson. Κατά τον αυστηρό ορισμό τους, δυο κόμβοι είναι κατάλληλοι μόνο όταν είναι πανομοιότυποι (δηλαδή εάν χαρακτηρίζονται από ακριβώς την ίδια ενέργεια σύζευξης Ε J1 = E J2 ). Σε αυτήν την περίπτωση, οι συνεισφορές απλά προστίθενται και η προηγουμένη ανάλυση είναι άκυρη. Όμως, με τις υπάρχουσες τεχνικές κατασκευής, 54

59 οι παράμετροι των κόμβων ποικίλουν και συνήθως οδηγούν σε ασσυμετρίες των κόμβων μέχρι d E J2 E J1 E J1 +E J2 ±10%. Η περίπτωση των ασύμμετρων κόμβων περιγράφεται αντικαθιστώντας τον συνημιτονοειδή όρο στη Χαμιλτονιανή (5.1) με τη Χαμιλτονιανή Josephson H J = E J1 cos φ 1 E J2 cos φ 2 (5.9) Όπου φ 1,2 τώρα περιγράφουν τις μεμονωμένες διαφορές υπεραγώγιμης φάσης κατά τους κόμβους 1 και 2. Το τετριμμένο επιχείρημα του κβαντισμού της ροής τότε οδηγεί στη συνθήκη φ 1 φ 2 = 2πn + 2πΦ Φ 0 (5.10) με ακέραιο n, και Φ, Φ 0 = h/2e υποδηλώνουν τη μαγνητική ροή διάμεσου του δακτυλίου τύπου SQUID και του υπεραγώγιμου κβάντου ροής, αντίστοιχα. Ορίζοντας την ενεργό διαφορά φάσης της συσκευής ως φ = (φ 1 + φ 2 )/2 και Ε JΣ = E J1 + E J2, η Χαμιλτονιανή Josephson μπορεί να περιγραφεί ενναλακτικά ως H J = E JΣ [cos ( πφ Φ 0 ) cos φ + d sin ( πφ Φ 0 ) sin φ (5.11) = E JΣ cos ( πφ Φ 0 ) 1 + d 2 tan 2 ( πφ Φ 0 ) cos( φ Φ 0 ) (5.12) όπου η φάση Φ 0 προσδιορίζεται από tan Φ 0 = d tan (πφ Φ 0 ). Για συνεχή μαγνητική ροή, αυτή η φάση μπορεί να εξαλειφθεί από μια μετατόπιση των μεταβλητών. Επομένως, τα προηγούμενα αποτελέσματα για το συμμετρικό transmon (d = 0) μεταφράζονται στη γενική περίπτωση αντικαθιστώντας την ενέργεια Josephson από Ε J E JΣ cos ( πφ Φ 0 ) 1 + d 2 tan 2 ( πφ Φ 0 ) (5.13) Αρκετό ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι, για ασύμμετρους κόμβους η εξάρτηση της ροής του φ 0 μπορεί να επιτρέψει επιπλέον έλεγχο των qubit, χωρίς να περιλαμβάνεται ο συντονιστής (resonator), εφαρμόζοντας ac μαγνητικά πεδία. Όπως με όλα τα επιπλέον κανάλια ελέγχου, η ασσυμετρία των κόμβων οδηγεί σε ένα επιπλέον κανάλι αποσύνθεσης του qubit από διακυμάνσεις ροής. 55

60 Κυκλωματική κβαντική ηλεκτροδυναμική (QED) για το transmon Κατά αναλογία με την κατάσταση στο CPB, η ενσωμάτωση του transmon σε μια υπεραγώγιμη γραμμή μεταφοράς συντονισμού δίνει τη δυνατότητα ελέγχου και ανάγνωσης της κατάστασης του qubit, ένα σενάριο που περιγράφεται από τον όρο κυκλωματική QED. Η διαδικασία αυτή αρχίζει με τη Χαμιλτονιανή του κβαντικού κυκλώματος συνδεδεμένο σε μια υπεραγώγιμη γραμμή μεταφοράς (σχ. 16a). Με τους κόμβους Josephson στο κέντρο των γραμμών μεταφοράς, το σχετικό επίπεδο συντονισμού είναι το επίπεδο l = 2 (κοιλίες τάσης στο κέντρο του συντονιστή), και μπορεί να περιγραφεί από έναν απλό ταλαντωτή LC. Στο ρεαλιστικό όριο μιας μεγάλης χωρητικότητας συντονισμού C r C Σ, η κβάντωση του κυκλώματος καταλήγει στην ενεργό Χαμιλτονιανή H = 4Ε C (n n g ) 2 E J cos φ + ħω r α α + 2βeV 0 rms n (α + α ) (5.14) Εδώ το ω r = L r C r συμβολίζει τη συχνότητα του συντονιστή, και το α (α ) καταστρέφει (δημιουργεί) ένα φωτόνιο στη γραμμή μεταφοράς. Η ρίζα του μέσου 0 τετραγώνου της τάσης του τοπικού ταλαντωτή συμβολίζεται από V rms = ħω r /2C r. Η παράμετρος β ορίζεται ως ο λόγος της χωρητικότητας της πύλης και του συνολικής χωρητικότητας, β = C g C Σ. Ξαναγράφοντας την Χαμιλτονιανή στη βάση των διαζευγμένων καταστάσεων του transmon i, λαμβάνεται η γενικευμένη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings H = ħ ω j j j + ħω r α α + ħ g ij i j (α + α ) (5.15) j i,j με ενέργειες σύζευξης ħg ij = 2βeV 0 rms i n j = ħg ij (5.16) Η γενική έκφραση (5.15) μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά εξετάζοντας τα στοιχεία πίνακα i n j, και χρησιμοποιώντας την προσέγγιση στρεφόμενου κύματος. Πρώτα, σημειώνεται ότι η ασυμπτωτική συμπεριφορά των στοιχείων πίνακα μπορεί να εκτιμηθεί μέσα στα πλαίσια της θεωρίας διαταραχών. Ασυμπτωτικά, ο αριθμητικός τελεστής λαμβάνει τη μορφή n = i(e J 8E C ) 1 4 (b b )/ 2, έτσι ώστε j + 1 n j j ( E 1 4 J ) 8E C (5.17) E C j + 1 n j E J 0 (5.18) 56

61 με k > 1, και τα b, b δηλώνουν τον καταστρεπτικό και δημιουργικό τελεστή για την αρμονικό ταλαντωτή που προσομοιώνει το transmon. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι τα στοιχεία πίνακα εκτός της κύριας διαγωνίου με άρτια διαφορά k ανάμεσα σε καταστάσεις λιγοστεύουν εκθετικά, κάτι που μπορεί να γίνει αντιληπτό από την οπτική της ισοτιμίας των καταστάσεων, καθώς και από το γεγονός ότι η κύρια αναρμονική διαταραχή (b b ) 4 δεν αναμιγνύει άρτιες και περιττές καταστάσεις. Αντιθέτως, τα στοιχεία του πίνακα με περιττό k > 1 επιδεικνύουν μια πιο αργή αποσύνθεση τύπου νόμου δύναμης καθώς E J E C. Από τις σχέσεις (5.17) και (5.18) συμπεραίνουμε ότι οι μοναδικές σημαντικές συζεύξεις στα όρια για μεγάλα, είναι αυτές οι των κοντινότερων γειτόνων g i,i+1. E J E C Τελικά, χρησιμοποιώντας την προσέγγιση στρεφόμενου κύματος ώστε να εξαλειφθούν οι όροι που περιγράφουν την ταυτόχρονη διέγερση (από-διέγερση) αμφότερων του transmon και του συντονιστή, καταλήγουμε στη γενικευμένη, ενεργό Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings H = ħ ω j j j + ħω r α α + [ħ g i,i+1 i i h. c. ] j i,j (5.19) Η ισχύς σύζευξης του transmon Πάρα την εκθετική μείωση της διασποράς φορτίου για μεγάλα E J /E C, η σύζευξη ανάμεσα στην κοιλότητα (cavity) και στο transmon, που εκφράζεται από τις ενέργειες σύζευξης ħg ij, δεν γίνεται μικρή αλλά στην πραγματικότητα αυξάνεται. Αυτό είναι ένα πολύ κεντρικό χαρακτηριστικό αυτού του qubit, του transmon, και είναι κρίσιμης σημασίας για την υλοποίηση του συστήματος transmon σαν ένα πραγματικό qubit. Μαθηματικά, οι συζεύξεις g ij προσδιορίζονται από έναν παράγοντα που περιέχει την αναλογία χωρητικοτήτων β, την rms τάση του τοπικού ταλαντωτή V 0 rms, και από ένα στοιχείο πίνακα του αριθμητικού τελεστή για τα ζευγάρια Cooper, που εξαρτάται από τον ενεργειακό λόγο E J /E C. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι υπάρχει ένα θεμελιώδες άνω όριο στο μέγεθος του παράγοντα. Ενώ το μέγεθος του παράγοντα περιορίζεται, τα σχετικά στοιχεία του πίνακα αναμάσα σε γειτονικές καταστάσεις των transmon παρουσιάζουν μια κατάλληλη αύξηση νόμου δύναμης σαν συνάρτηση του λόγου E J /E C. Έτσι, οι συζεύξεις g i,i+1 αυξάνονται ασυμπτωτικά. Προκύπτει ότι η αύξηση g i,i+1 μπορεί ευθέως να συσχετιστεί με την αύξηση της διακύμανσης του αριθμού των φορτίων. Τονίζεται ότι οι παράμετροι β και E J /E C μπορούν να ρυθμιστούν ξεχωριστά το β ουσιαστικά προσδιορίζεται από τη γεωμετρία της συσκευής, ενώ ο λόγος E J /E C μπορεί να 57

62 ρυθμιστεί επί τόπου από την εξωτερική μαγνητική ροή έως μιας μέγιστης τιμής που καθορίζεται από το σχεδιασμό της συσκευής. Αυτό το αποτέλεσμα είναι εξαιρετικά αξιοσημείωτο. Ενώ η ευαισθησία του φάσματος του transmon στη dc συνιστώσα του n g μειώνεται εκθετικά, η ac αντίδραση της ταλαντευόμενης πεδιακής κοιλότητας αυξάνεται κατά τον τρόπο του νόμου δύναμης. Με άλλα λόγια, η διασπορά φορτίου και το μέγεθος της ac σύζευξης είναι εντελώς ανόμοια. Αυτή η θεμελιώδης διαφορά ανάμεσα στις dc και ac αντιδράσεις μπορεί να επεξηγηθεί διαισθητικά από τις εικόνες του σχ. 18. Για μεγάλο E J /E C, το transmon Σχήμα 18 μπορεί να ερμηνευτεί ως ένας αρμονικός ταλαντωτής στη βάση φορτίου, με το τετραγωνικό δυναμικό του επικεντρωμένο στο n = n g. O θόρυβος φορτίου συμβαίνει τυπικά στις χαμηλές συχνότητες και άρα μπορεί να αντιμετωπιστεί σαν μια αδιαβατική μετατόπιση του δυναμικού του ταλαντωτή (dc αντίδραση). Κατά τη γενική περίπτωση, αυτό οδηγεί σε αδιαβατικές αλλαγές της συχνότητας του qubit, κι ως εκ τούτου σε αποσυνοχή. Ωστόσο, σε έναν αρμονικό ταλαντωτή η συχνότητα παραμένει ανεπηρέαστη, παρά τη σημαντική αλλαγή της κατάστασης του ταλαντωτή κατά τη μετατόπιση. Έτσι, η διασπορά φορτίου εξαφανίζεται, κατ επέκταση και η αποσυνοχή επίσης εξαφανίζεται. Παραδόξως, το qubit προσεγγίζει αυτό το ιδανικό σημείο ενώ διατηρεί επαρκή αναρμονικότητα. Από την άλλη, η ac αντίδραση αντιστοιχεί στην οδήγηση του ταλαντωτή στη συχνότητα συντονισμού του. Κλασικά, η οδήγηση μεταφέρει ενέργεια στον ταλαντωτή κβαντομηχανικά, προκαλεί μεταβάσεις ανάμεσα σε διαφορετικές καταστάσεις του ταλαντωτή που οδηγούν στη σύζευξη. Αυτό σημαίνει ότι η ισχυρή σύζευξη και η μηδενική (ή εκθετικά μικρή) διασπορά φορτίου στην πραγματικότητα δεν είναι συγκρουόμενες έννοιες. Αυτό είναι και το κεντρικό σημείο του transmon: Έχει υψηλή δυνατότητα πόλωσης και ισχυρή αντίδραση σε ηλεκτρικά πεδία σε όλες τις συχνότητες. Όπως όμως και για έναν αρμονικό ταλαντωτή, η διαβατική αντίδραση σε πεδία χαμηλών συχνοτήτων δεν οδηγεί σε αλλαγές στις συχνότητες μετάβασης. Αντίθετα από τον αρμονικό ταλαντωτή, το transmon παραμένει μέτρια αναρμονικό. Έλεγχος και ανάγνωση: το όριο διασποράς Είναι γνωστό ότι για το CPB ο συνεκτικός έλεγχος και η ανάγνωση του qubit γίνεται μέσω του ορίου διασποράς. Οι λειτουργίες του qubit υλοποιούνται μέσω παλμών μικροκυμάτων, η ανάγνωση αντιστοιχεί σε μια μέτρηση της φάσης ή του πλάτους της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας ενός πεδίου οδήγησης μικροκυμάτων. Φαίνεται ότι αυτές οι λειτουργίες γίνεται ευθέως να μεταφερθούν και στο transmon: 58

63 Η ανάγνωση και ο έλεγχος του transmon λειτουργούν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και στο CPB. Στο όριο διασποράς, οι απορυθμίσεις Δ i = ω i,i+1 ω r ανάμεσα στο transmon και στην κοιλότητα είναι μεγάλες. Σε αυτήν την περίπτωση, γίνεται να εξαλείψουμε τις αλληλεπιδράσεις ανάμεσα σε qubit και κοιλότητα στο χαμηλότερο βαθμό μέσω ενός κανονικοποιημένου μετασχηματισμού. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι εξαιτίας της μειωμένης μη-κανονικότητας, εικονικές μεταβάσεις μέσα από διεγερμένες καταστάσεις του transmon πρέπει να ληφθούν υπόψιν. Μόνο μετά από αυτό γίνεται να περιορίσουμε το χώρο Hilbert του transmon στη θεμελιώδη κατάσταση και στην πρώτη διεγερμένη. Αυτή η διαδικασία οδηγεί στην ενεργό Χαμιλτονιανή H eff = ħω 01 2 σ z + (ħω r + ħχσ z)α α (5.20) Εδώ οι τόνοι σημαίνουν επανακανονικοποιήσεις παραμέτρων και η συχνότητα μετάβασης του qubit και η συχνότητα συντονισμού της κοιλότητας επανακανονικοποιούνται εξαιτίας της αλληλεπίδρασης, ω r = ω r χ 12 2 και ω 01 = ω r + χ 01. Το σημαντικό σημείο της σχέσης (5.20) είναι ότι η μορφή αυτής της Χαμιλτονιανής είναι πανομοιότυπη με τη δυναμική Χαμιλτονιανή μετατόπισης Stark (dynamical Stark-shift Hamiltonian) που συναντάται σε ένα CPB συζευγμένο σε μια γραμμή μεταφοράς συντονισμού. Εντυπωσιακά, παρά τη μειωμένη αναρμονικότητα του, το transmon συμπεριφέρεται με τρόπο παρόμοιο με ένα CPB όταν λειτουργεί στην περιοχή διασποράς. Αυτό είναι πολύ βολικό καθώς υποδηλώνει ότι τεχνικές ελέγχου και ανάγνωσης ανεπτυγμένες για τα CPBs μπορούν να μεταφερθούν και στην περιοχή του transmon. Συγκεκριμένα, η ανάγνωση προέρχεται από την υποβολή της κοιλότητας σε ένα πεδίο μικροκυμάτων κοντά στη συχνότητα συντονισμού. Το φαινόμενο ac Stark προκαλεί μια διασκορπισμένη μετατόπιση της συχνότητας του συντονισμού ανάλογα με την κατάσταση του qubit. Συνεπώς, μια μέτρηση της φάσης ή του πλάτους του εκπεμπόμενου πεδίου είναι αρκετή ώστε να συμπεράνουμε την κατάσταση του qubit. Η μόνη διαφορά ανάμεσα στο transmon και στο CPB αφορά την ενεργό διασκορπισμένη μετατόπιση χ στη σχέση (5.20). δίνεται από με χ = χ 01 χ 12 2 (5.21) χ ij g ij 2 ω ij ω r (5.22) 59

64 και ω ij = ω j ω i. Τονιζεται ότι αυτές οι εκφράσεις μπορούν να προκύψουν είτε από τους κανονικοποιημένους μετασχηματισμούς που αναφέρθηκαν νωρίτερα, είτε από ευθεία εφαρμογή της θεωρίας διαταραχών δευτέρου βαθμού. Σε αντίθεση με την περίπτωση του CPB, η διασκορπισμένη μετατόπιση του transmon αποτελείται από δυο συνεισφορές που εισάγονται με διαφορετικά πρόσημα, και οι οποίες για έναν καθαρό (pure) αρμονικό ταλαντωτή ακριβώς ακυρώνονται μεταξύ τους. Η μερική ακύρωση για ένα σύστημα transmon με χαμηλή αναρμονικότητα αντισταθμίζεται από την αύξηση στην ισχύ της σύζευξης g. Σαν αποτέλεσμα, το μέγεθος της ενεργού διασκορπισμένης μετατόπισης του transmon είναι συγκρίσιμο με αυτή του CPB. Όπως θα δείξουμε τώρα, η συνεισφορά των δυο όρων οδηγεί σε νέα ενδιαφέροντα φυσικά φαινόμενα πέραν του συνηθισμένου φαινομένου ac Stark για την περίπτωση των δυο επιπέδων συγκεκριμένα παρατηρείται αρνητική μετατόπιση αλλά και σημαντικά αυξημένη θετική μετατόπιση, εξαρτώμενες από την απορρύθμιση του qubit. Προκύπτει ότι η σχέση για τη διασκορπισμένη μετατόπιση συχνότητας ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις transmon μπορεί να γραφτεί ως h χ i,i+1 = (2βeV rms 0 ) 2 i n i (5.23) ħδ i Κατά συνέπεια, παίρνουμε την ασυμπτωτική έκφραση για την διασκορπισμένη μετατόπιση συχνότητας, που ισχύει για E J /E C 1 ħ χ (2βeV 0 rms ) 2 ( Ε J ) 2E C 1 2 E C ħδ 0 (ħδ 0 E C ) (5.24) Η πλήρης έκφραση (5.21) απεικονίζεται γραφικά στο σχ. 19. Κατά έναν πολύ ενδιαφέροντα τρόπο, φαίνεται ότι οι αλληλεπιδράσεις από τις συνεισφορές χ 01 και χ 12 2 οδηγούν σε τρεις διακριτές περιοχές στο (Δ 0, Ε J E C ) επίπεδο. Αυτές διαχωρίζονται από τους πόλους της (5.24) [ħδ 0 = 0, ħδ 0 = E C ] όπου το όριο διασποράς καταρρέει. Οι περιοχές χαρακτηρίζονται από διαφορετικά πρόσημα για το χ (σχ. 19b): (i), (ii) για αρνητικές απορυθμίσεις, Δ 0 < 0, και για θετικές απορυθμίσεις που ξεπερνούν την απόλυτη αναρμονικότητα, Δ 0 > E C, η διασπορά της μετατόπισης συχνότητας είναι αρνητική (iii) για μικρές θετικές απορυθμίσεις 0 < Δ 0 < E C, οι οποίες θέτουν τη συχνότητα της κοιλότητας Σχήμα 19 60

65 ανάμεσα στις συχνότητες μετάβασης ω 01 και ω 12, το χ γίνεται θετικό και αποκτά συγκριτικά μεγάλες τιμές. Δεδομένης της ειδικής θέσης του στο χώρο των παραμέτρων, ονομάζουμε αυτήν την περιοχή «straddling regime». Η συγκριτικά μεγάλη διασπορά μετατόπισης καθιστά αυτήν την περιοχή ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα για τις λειτουργίες του qubit και για την ανάγνωση του. Δεν είναι εντελώς προφανές εξαρχής ότι η «straddling regime» μπορεί να καταληφθεί χωρίς να παραβιάζεται ούτε o περιορισμός διασποράς g 01 Δ 0, g 01 Δ 0 + α 1, και χωρίς να χάνεται η ισχυρή σύζευξη η οποία απαιτεί g Γ = max{κ, γ}. Εδώ, τα κ και γ δηλώνουν τους ρυθμούς αποσύνθεσης της κοιλότητας και του qubit αντίστοιχα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας ρεαλιστικές τιμές για τις σχετικές παραμέτρους, παρουσιάζεται ότι η «straddling regime» μπορεί πράγματι να γίνει προσβάσιμη κατά την ισχυρή σύζευξη και στην περιοχή διασποράς, και μπορεί να οδηγήσει σε συνολικά μεγαλύτερες διασπορές μετατοπίσεων χ. Με βάση δεδομένα από άλλα πειράματα, παρατηρείται ότι είναι εφικτοί ρυθμοί αποσύνθεσης της τάξης Γ/2π = 2 MHz. Αυτοί είναι πολύ χαμηλότεροι από την ισχυρή σύζευξη g/2π 100 MHz που παρουσιάστηκε σε πειράματα με το qubit να λειτουργεί σε συχνότητα μετάβασης ω 01 /2π 7 GHz. Ακόμα, θεωρείται ότι η ενέργεια φόρτισης μπορεί να πέσει σε ακόμα χαμηλότερες τιμές της τάξης Ε C /ħ = 300 ΜΗz. Σε μια πρώτη ανάλυση, εξετάζεται η περίπτωση της αρνητικής απορρύθμισης, Δ 0 /2π = 150 MHz, δηλαδή η συχνότητα της κοιλότητας να είναι μεγαλύτερη από από όλες τις συχνότητες μετάβασης του transmon. Θεωρώντας ισχύ σύζευξης g 01 /2π = 20 MHz, οι συνθήκες για ισχυρή σύζευξη και το για το όριο διασποράς ικανοποιούνται, και λαμβάνεται μια αρνητική μετατόπιση διασποράς συχνότητας χ 1.4 ΜΗz. Αυτό αντιπαραβάλλεται με την κατάσταση θετικής απορρύθμισης Δ 0 /2π = 150 MHz στην «straddling regime», όπου δηλαδή η συχνότητα της κοιλότητας βρίσκεται ανάμεσα στις συχνότητες μετάβασης ω 01 και ω 12. Κατά έναν αξιοσημείωτο τρόπο, η αλλαγή του προσήμου της απορρύθμισης οδηγεί σε μια αύξηση της μετατόπισης της διασποράς συχνότητας σε χ = 3.4 ΜΗz. Μια πύλη διεμπλοκής των δυο qubit με μικροκύματα Μια βασική προϋπόθεση για τους κβαντικούς υπολογισμούς, ανεκτικούς σε σφάλματα είναι ένα καθολικό σύνολο από πύλες του ενός και των δυο qubit. Καθώς λειτουργίες του ενός qubit έχουν αποκτήσει μεγάλη αξιοπιστία σε υπεραγώγιμα qubit, και θεωρείται πλέον μια τετριμμένη διαδικασία, η έρευνα έχει επικεντρωθεί στην ανάπτυξη αξιόπιστων και κλιμακούμενων πυλών των δύο qubit. Ήδη, έχει σημειωθεί ραγδαία πρόοδος, που περιλαμβάνει μια controlled-not (CNOT) πύλη με σταθερά συζευγμένα qubits, και ισχυρά διεμπλεκόμενες καταστάσεις των δυο και των τριών qubits, παραγόμενες από τη ρύθμιση των qubits σε σαφείς συγχρονισμούς. 61

66 Παρόλο που η κλιμάκωση των υπεραγώγιμων συστημάτων με πολλές σταθερές αμοιβαίες συζεύξεις ανάμεσα στα qubits είναι σχετικά απλό να σχεδιαστεί, έστω και πειραματικά, φαίνεται ότι η μεγάλη δυσκολία έγκειται στον έλεγχο των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των qubits. Ενναλακτικά, αυτός ο έλεγχος μπορεί να επιτευχθεί είτε ρυθμίζοντας την ενέργεια σύζευξης μεταξύ των qubits είτε αλλάζοντας δυναμικά τις απορυθμίσεις ανάμεσα στα qubits κατά την παρουσία κάποιας μικρής σταθερής σύζευξης. Στην πρώτη περίπτωση, η σύζευξη παίρνει τη μορφή ενός μη-γραμμικού ρυθμιζόμενου υποκυκλώματος το οποίο μπορεί να οδηγηθεί είτε από μικροκύματα είτε από συνεχές ρεύμα. Αυτό το σχέδιο έχει το πλεονέκτημα ότι επιτρέπει στα qubits να λειτουργούν στα βέλτιστα σημεία τους ως προς την συνεκτικότητα. Ωστόσο, οι επιπλέον γραμμές ελέγχου για το ρυθμιζόμενο υποκύκλωμα απορρέουν σε επιπλέον κυκλωματική πολυπλοκότητα. Κατά τη δεύτερη περίπτωση, στην οποία δεν χρειάζεται επιπλέον έλεγχος πέρα από αυτόν για την λειτουργία του κάθε qubit, πύλες των δυο qubit έχουν παρουσιασθεί οι οποίες λειτουργούν μέσω της ρύθμισης ενεργειακών επιπέδων των qubits σε σαφείς συνθήκες συντονισμού. Παρόλο που αυτό το σχέδιο είναι αποτελεσματικό για συστήματα μέχρι και τριών qubits, η ρύθμιση των συχνοτήτων των qubits σε συσκευές με ακόμα περισσότερα qubits μπορεί να οδηγήσει σε ανεπιθύμητη σύζευξη σε υπολογιστικά αδιάφορα ενεργειακά επίπεδα ή σε άλλα σημεία του ηλεκτρομαγνητικού περιβάλλοντος. Έτσι, ιδανικά, για μια κλιμακούμενη σύζευξη ανάμεσα σε qubits θα χρειαζόταν ένας συνδυασμός από τη δυνατότητα παραμετροποίησης της ισχύος σύζευξης μαζί με την απλότητα της σταθερής σύζευξης, σε μια αρχιτεκτονική η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ένα μεγάλο αριθμό από qubits. Εδώ θα παρουσιαστεί μια νέα πύλη των δυο qubits η οποία συνδυάζει την απλότητα των εξαρτημάτων ενός σχήματος με σταθερές συζεύξεις μαζί με τις παραμετροποιήσιμες αλληλεπιδράσεις, ελεγχόμενες από μικροκύματα, όλα ενσωματωμένα σε μια αρχιτεκτονική κβαντικού διαύλου. Δυο χωρητικά διακλαδωμένα qubit ροής (Capacitively shunted flux qubits CSFQs) συζευγμένα μέσω μιας κοιλότητας μικροκυμάτων (microwave cavity) και τοποθετημένα σε σημεία βέλτιστης συνοχής. Παρατηρείται ότι η αλληλεπίδραση ανάμεσα στα δυο qubit αυξάνεται γραμμικά με το μέγεθος ενός εφαρμοζόμενου αντισυντονιστικού (cross-resonant CR) οδηγού, στον οποίο μικροκύματα συντονισμένα με ένα qubit στόχο εφαρμόζονται σε άλλα qubit ελέγχου. Μέχρι και για περιστροφές ενός qubit, η CR πύλη των δύο qubit σχετίζεται με την κανονικοποιημένη CNOT, και τη χρησιμοποιούμε για να παράξουμε διεμπλεκόμενες καταστάσεις με μέγιστα εξαγόμενη συμφωνία της τάξης του Επιπλέον, μια κβαντική τομογραφία της διαδικασίας (quantum process tomography) αποκαλύπτει μια αξιοπιστία της πύλης 62

67 88%, με υπολειπόμενα σφάλματα εξαιτίας των χρόνων συνοχής και της βαθμονόμησης της πύλης ενός qubit. Τα CSFQs είναι μια ταιριαστή επιλογή για τη δοκιμή του πρωτόκολλου CR, αφού έχει φανεί από πειράματα ότι αποδίδουν με συνέπεια μεγάλους χρόνους συνοχής σε ένα κυκλωματικό QED σχήμα. Στο σχ. 20a,b φαίνεται το σχηματικό διάγραμμα μιας πειραματικής ρύθμισης και οπτικές εικόνες της συσκευής, στην οποία δυο qubit είναι συζευγμένα στις αντίθετες άκρες ενός συντονιστή επίπεδου κυματοδηγού (ω r /2π = 9.72 GHz) και γραμμές πολωμένης ροής (flux bias lines FBLs) τοποθετημένες επάνω στο chip χρησιμοποιούνται ώστε να συντονίσουν το κάθε qubit ξεχωριστά στη συχνότητα μετάβασης του «sweet spot» σημείου ροής, (ω 1 /2π = GHz) και (ω 2 /2π = GHz). Για αυτές τις παραμέτρους, παρατηρούνται βέλτιστοι χρόνοι χαλάρωσης [Τ 1 1(2) = 1.6(1.5) μs] Σχήμα 20,1(2) και αποσυνοχής [Τ 1 = 1.6(1.5) μs] και για τα δυο qubits. Κατά τη λειτουργία στην περιοχή διασποράς της κυκλωματικής QED, μετρούνται μετατοπίσεις της κοιλότητας χ 1 /π = 1.1 MHz και χ 2 /π = 0.6 MHz επιτρέποντας μια συνδυασμένη ανάγνωση και των δυο qubits. Για να αποφευχθούν τα σφάλματα εξαιτίας της αναρμονικότητας των qubits, α 1 2π = ω 12 1 ω 01 1 = 224 MHz και α 2 2π = ω 12 2 ω 01 2 = 255 MHz, χρησιμοποιούνται Γκαουσιανές με σχηματισμό παλμών τετραγωνικών παραγώγων σ = 4 ns, συνολικό μήκος πύλης 4σ, για πύλες ενός qubit {X, Y, X ±90, Y ±90 }. Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό Α θ = exp ( iθαπ/360) για μια περιστροφή θ γύρω από το Α, και ο δείκτης δηλώνει τον τελεστή Pauli. H τυπική απόκλιση των Γκαουσιανών σχημάτων είναι σ = 4 ns με συνολικό μήκος πύλης 4 σ και η παράμετρος κλίμακας της παραγώγου πειραματικά προσδιορίζεται ως 1.4 και για τα δυο qubits. Αυτό το σχήμα CR υλοποιείται στη συσκευή με την εφαρμογή μικροκομματικών διεγέρσεων συντονισμένων με τη συχνότητα μετάβασης του απέναντι qubit απευθείας πάνω σε οποιοδήποτε από τα δυο qubits μέσω των FBLs (σχ. 20a). Για να γίνει κατανοητό πως ανακύπτει το αποτέλεσμα του αντισυντονισμού, αρκεί να θεωρήσουμε τη Χαμιλτονιανή για ένα ζευγάρι από qubits τα οποία είναι απορυθμισμένα από τον συντονιστή με Δ i = ω i ω R για i = 1,2, και συζευγμένα το ένα στο άλλο μέσω του συντονιστή, 63

68 H ħ = 1 2 ω 1ΖΙ ω 2ΙΖ + JXX (5.25) όπου {Ι, Χ, Υ, Ζ} 2 είναι οι τελεστές Pauli (μαζί και η ταυτότητα) και οι δείκτες δείχνουν τον αριθμό του qubit. Η σχέση (5.25) μπορεί να διαγωνοποιηθεί και θεωρείται ως ένα νέο σύνολο από δυο qubits με μετατοπισμένες συχνότητες ω 1 = ω 1 + J/Δ 12, ω 2 = ω 2 J/Δ 12 όταν το J είναι Σχήμα 21 μικρό συγκριτικά με την απορρύθμιση qubit qubit, Δ 12 = ω 1 ω 2 (σχ. 21 ένθετο). Σε αυτό το πλαίσιο, μια οδήγηση στο qubit 1 είτε στην ω 1 ειτε στην ω 2 μπορεί να διεγείρει μεταβάσεις στο qubit 1 ή 2, αντίστοιχα. Ωστόσο, το πλάτος της οδήγησης αντισυντονισμού του qubit 2 μειώνεται κατά έναν παράγοντα J/Δ 12 και αποκτά μια φάση που εξαρτάται από την κατάσταση του qubit 1. Η Χαμιλτονιανή οδήγησης τότε παίρνει τη μορφή Η D = ħa(t) cos( ω 2t)(XI J Δ 12 ZX + m 12 IX) (5.26) όπου A(t) είναι το σχηματισμένο μικροκυματικό πλάτος μιας οδήγησης στο qubit 1 και m 12 αναπαριστά κάποια φαινομενική παρεμβολή εξαιτίας τυχαίων συζεύξεων ανάμεσα στο κύκλωμα της συσκευής και στη συσκευασίας της. Έτσι, μια οδήγηση στο qubit 1 στην ω 2 συχνότητα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να εκκινήσει μια ΖΧ αλληλεπίδραση, η οποία είναι θεμελιώδης για την CNOT των δυο qubits. Η ίδια ανάλυση ισχύει συμμετρικά και για μια οδήγηση στο qubit 2. Ο συμβολισμός CR ij (A, t g ) χρησιμοποιείται ώστε να αναπαρασταθεί μια οδήγηση στο qubit i με συχνότητα ω j, πλάτος Α και χρονο πυλης t g. Παρόλο που η ΖΧ αλληλεπίδραση θεωρητικά αντιστοιχεί σε μια περιστροφή Χ στο qubit 2 με την κατεύθυνση να εξαρτάται από την κατάσταση του qubit 1, στην πράξη εξαιτίας του oρου m 12 ~0.5 από τη σχέση (5.26), η CR 12 επίσης προκαλεί ευθέως μια επιπλέον περιστροφή του qubit 2. Αυτή η παράμετρος της φαινομενικής παρεμβολής m 12 προσδιορίζεται από τη σύγκριση των συχνοτήτων Rabi και των δυο qubits όταν οδηγούνται από το ίδιο πλάτος διάμεσου της ίδιας FBL. Αυτό το αποτέλεσμα δεν υποβιβάζει την αλληλεπίδραση των δυο qubits επειδή αντιμετατίθεται με τον όρο ZX. Η ενεργός ισχύς μιας αλληλεπίδρασης J eff τότε 64

69 εκδηλώνεται σαν τη διαφορά στις συχνότητες ταλάντωσης Rabi του qubit 2, Ω R,2, εξαρτώμενες από την κατάσταση του qubit 1. Στο σχ. 21 φαίνεται η πειραματικά μετρούμενη J eff σε σχέση με το Α. Σχηματίζοντας τον παλμό CR 12 σαν μια αργή Γκαουσιανή εκκίνηση με επίπεδη κορυφή και έναν παράγωγο παλμό διόρθωσης στην τετραγωνική (παράμετρος κλίμακας 0.8). Με τη δράση και χωρίς τη δράση μιας πύλης X ενός qubit στο qubit 1, βρίσκουμε διαφορετικά Ω R,2, εξαγόμενα από τις ταλαντώσεις των πληθυσμών των διεγερμένων καταστάσεων του qubit 2, έναντι στο χρόνο του CR 12 παλμού t g. Για μικρά Α, το J eff αυξάνεται γραμμικά. Όμως, με ισχυρότερες οδηγήσεις, η ισχύς των αλληλεπιδράσεων αυξάνεται σε ένα μέγιστο των 1.4 ΜΗz, το οποίο βρίσκεται σε συμφωνία με τη θεωρία δυο επιπέδων και είναι εξαιτίας της εκτός του συντονισμού οδήγησης του όρου ΧΙ στην (5.26). Κατά τις ισχυρότερες οδηγήσεις η μετρούμενη J eff δεν συμφωνεί με τη θεωρία δυο επιπέδων εξαιτίας της παρουσίας υψηλότερων επιπέδων στα qubits και της κατάρρευσης της απλοποιημένης διόρθωσης σχηματισμών παραγώγων παλμών που χρησιμοποιείται. Μη κλασικές καταστάσεις γίνεται να παραχθούν και να μετρηθούν χρησιμοποιώντας το πρωτόκολλο που φαίνεται στο σχ. 22a, κατά το οποίο μια πύλη Χ +90 δημιουργεί μια κατάσταση υπέρθεσης του qubit ελέγχου, ακολουθούμενη από την πύλη CR 12 πριν η γίνει η συνδυασμένη μέτρηση ώστε να πραγματοποιηθεί τομογραφία καταστάσεων και να ανακατασκευαστεί ο πίνακας πυκνότητας ρ των δυο qubit. Η τεχνική συνδυασμένης ανάγνωσης έχει φανεί ότι είναι ικανή να μετρά ταυτόχρονα σύνολα και των δυο ξεχωριστών καταστάσεων αλλά και της ισχυρά διεμπλεκόμενης κατάστασης των δυο qubits. H κοινή ανάγνωση θεωρεί το μετρούμενο σύνολο να είναι M = β ΙΙ + β ΙΖ ΙΖ + β ΖΙ ΖΙ + β ΖΖ ΖΖ. H βαθμονόμηση του αποτελέσματος δίνει [β ΙΙ, β ΙΖ, β ΖΙ, β ΖΖ ] = [1, 0.77, 0.72, 0.6]. Χρησιμοποιείται προσέγγιση μέγιστης πιθανότητας ώστε να εξαχθεί ο ρ από ένα σύνολο μετρήσεων που περιλαμβάνει δεκαπέντε διαφορετικές λειτουργίες ενός qubit εφαρμοσμένες σε μια κατάσταση των δυο qubits ακριβώς πριν τη μέτρηση. Μια τυπική μετρική της διεμπλοκής, η συμφωνία (concurrence) C, μπορεί να υπολογιστεί για τους πίνακες ρ που έχουν προκύψει από τις μετρήσεις κι έχουν παραχθεί με χρήση πρωτοκόλλου πύλης για διαφορετικά t g και Α. Στο σχ. 22b-e φαίνεται η εξέλιξη του C με το t g για τέσσερα διαφορετικά Α. Βρίσκεται ότι το C ταλαντώνεται με περίοδο 1/J eff. Τα σημεία του μέγιστου C αντιστοιχούν σε t g = 1 2J eff, όπου CR 12 είναι μια [ZX] +90 λειτουργία των δυο qubit η οποία παράγει μέγιστα διεμπλεκόμενες καταστάσεις κατά τη βάση Bell. Οι γραμμές στο σχ. 22b-e αντιστοιχούν σε προσομοιώσεις δυο επιπέδων της κύριας εξίσωσης λαμβάνοντας υπόψιν τους χρόνους πύλης και συνοχής. 65

70 Στο σχ. 22f φαίνεται ένας μετρούμενος πίνακας ρ για μια από τις μέγιστα διεμπλεκόμενες καταστάσεις της βάσης Bell ψ Bell = 1/ 2( ), που Σχήμα 22 παράχθηκε από μια πύλη CR 12 με t g = 220 ns και πλάτος Α/2π = 553 ΜΗz που δίνει το μέγιστο C στις ταλαντώσεις που φαίνονται στο σχ. 22e. Όπως αναφέρθηκε και προηγούμενα, εξαιτίας φαινομενικής παρεμβολής στο qubit 2 κατά τη διάρκεια της πύλης, συνήθως εκτελείται μια επιπλέον περιστροφή του qubit 2. Παρόλο που αυτή η επιπλέον περιστροφή μπορεί απλά να αναστραφεί με τη δράση μιας ακόμα πύλης ενός qubit, για το συγκεκριμένο t g και Α, η επιπλέον περιστροφή από την παρεμβολή είναι Χ +90, που όταν συνδυαστεί με την [ZX] +90 αφήνει τα δυο qubits στην κανονικοποιημένη κατάσταση Bell ψ Bell. H αξιοπιστία αυτής της μετρούμενης κατάστασης κατά την ιδανική ψ Bell βρίσκεται ότι είναι F = ψ Bell ρ ψ Bell = 90% ± 0.04 με μια συμφωνία C = 0.88 ± Η πύλη CR 12 χαρακτηρίζεται τελικά με τη χρήση της κβαντικής τομογραφίας καταστάσεων (quantum process tomography QPT). Αρχικά, κατασκευάζονται οι καταστάσεις εισόδου που αντιστοιχούν στην εφαρμογή συνδυασμών από πύλες ενός qubit {I, X ±90, Y ±90, X} και στα δυο qubits. Μετά εφαρμόζεται η CR 12 (A, t g ) και στις 36 καταστάσεις εισόδου και στη συνέχεια εκτελείται τομογραφία των καταστάσεων. Έτσι, εξάγεται ο πίνακας διαδικασίας (process matrix) χ και συγκρίνεται με τον ιδανικό χ ideal (σχ. 23) ώστε να προκύψει η αξιοπιστία της διαδικασίας F p = 0.77 και η αξιοπιστία της πύλης F g = 0.81, τιμές συνεπείς με την αντίστοιχη προσομοίωση για την αξιοπιστία της πύλης με F g,sim = 0.86 που λαμβάνει υπόψιν τους μετρούμενους χρόνους συνοχής. Η διαφορά στις τιμές αποδίδεται σε σφάλματα ρυθμίσεων κατά την προετοιμασία και την ανάλυση των πυλών. 66

71 Έτσι, αναπτύχθηκε ένα σχήμα για μια καθολική πύλη των δυο qubit, αποκλείστηκα βασισμένη σε μικροκύματα, ικανή να παράγει ισχυρά διεμπλεκόμενες καταστάσεις με υπεραγώγιμα qubits. Επιπλέον, η υποκείμενη αλληλεπίδραση των δυο qubit είναι ρυθμιζόμενη απλά αυξάνοντας το πλάτος ενός οδηγού μικροκυμάτων. Το πρωτόκολλο σύζευξης αντισυντονισμού χαρακτηρίζεται από ελάχιστη πολυπλοκότητα ως προς την υλοποίηση καθώς δεν απαιτεί επιπρόσθετα υποκυκλώματα ή ελέγχους πέρα από αυτούς που χρειάζονται για το χειρισμό του κάθε qubit ξεχωριστά. Η πύλη αυτή μπορεί να κλιμακωθεί ώστε να παραχθούν μέγιστα διεμπλεκόμενες καταστάσεις σε συστήματα με περισσότερα από δυο qubits και ώστε να συζευχθούν μη γειτονικά qubits κατά συχνότητα. Έτσι, το πρωτόκολλο αντισυντονισμού είναι έτοιμο ώστε να αποτελέσει ένα χρήσιμο εργαλείο για επεξεργαστές κβαντικής πληροφορίας μεγάλης κλίμακας. Σχήμα 23 Η οικοδόμηση ενός κλιμακούμενου, ανεκτικού σε σφάλματα κβαντικού υπολογιστή Η κβαντική διόρθωση σφαλμάτων είναι ένα κομβικό βήμα προς την υλοποίηση κλιμακούμενων κβαντικών υπολογιστών. Θεωρητικά, είναι εφικτό να επιτευχθεί αυθαίρετα μεγάλη προστασία της κβαντικής πληροφορίας από αλλοίωση εξαιτίας της αποσυνοχής ή του ελλιπή ελέγχου, όσο ο ρυθμός των σφαλμάτων παραμένει κάτω από μια τιμή κατωφλίου (threshold value). Ωστόσο, οι περισσότερες από τις αρχικές προτάσεις για κβαντικούς υπολογιστές ανεκτικούς σε σφάλματα ήταν καθαρά θεωρητικά κατασκευάσματα τα οποία δεν γινόταν να υλοποιηθούν πρακτικά σε φυσικά συστήματα. O δισδιάστατος κώδικας επιφάνειας (surface code SC) είναι ένας τoπολογικός κώδικας διόρθωσης σφαλμάτων που επιτυγχάνει υψηλά κατώφλια σφαλμάτων ~1% σε ένα δισδιάστατο πλέγμα από qubits το οποίο υποστηρίζει αλληλεπιδράσεις των κοντινότερων γειτόνων. Σύμφωνα με τις τρέχουσες βελτιώσεις των χρόνων συνοχής, και της αξιοπιστίας της απόδοσης των πυλών και της ανάγνωσης να προσεγγίζουν τις σχετικές τιμές κατωφλίου, τα υπεραγώγιμα qubits θεωρούνται εξαιρετικοί υποψήφιοι για την κλιμάκωση προς αρχιτεκτονικές ανεκτικές σε σφάλματα. Το σχήμα 67

72 που θα παρουσιαστεί για την κατασκευή ενός δικτύου από υπεραγώγιμα qubits χρησιμοποιεί συντονιστές μικροκυμάτων ως συνδέσμους, καθώς έχει φανεί πως οι συντονιστές μπορούν να χρησιμοποιηθούν επιτυχημένα ως κβαντικοί δίαυλοι ώστε να μεσολαβήσουν για τις αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στα qubits, και ότι πολλοί συντονιστές μπορούν να συζευχθούν σε ένα qubit. Μελλοντικά, μεγαλύτερα συστήματα και δίκτυα υπεραγώγιμων qubits θα βοηθήσουν στην κατεύθυνση της υλοποίησης τεχνικών ενσωματωμένων κυκλωμάτων σε συνδυασμό με αρχιτεκτονικές στέρεας κατάστασης (solid-state integrated circuit architecture). Η αρχική SC διάταξη περιλαμβάνει qubits διατεταγμένα σε ένα τετραγωνικό πλέγμα, με τα qubits του πλέγματος να χωρίζονται σε δυο κατηγορίες, είτε σε qubits κωδικοποίησης (code qubits), τα οποία μεταφέρουν λογική πληροφορία, είτε σε qubits συνδρομής (syndrome qubits), τα οποία χρησιμοποιούνται ώστε να μετρούν τους τελεστές σταθεροποίησης των περιβαλλόντων qubit κωδικοποίησης. Η εκτέλεση ενός κύκλου διόρθωσης σφαλμάτων στον SC συνίσταται στην εφαρμογή πυλών ελεγχόμενου-νοτ (CNOT) ώστε να χαρτογραφηθεί η ισοτιμία των περιβαλλόντων qubit κωδικοποίησης στις καταστάσεις των qubit συνδρομής, τα οποία στη συνέχεια μετρούνται ώστε να προσδιοριστούν τα σωματίδια της πλακέτας. Με τη χρήση υπεραγώγιμων συντονιστών, ως τους συνδέσμους του πλέγματος, είναι δυνατό να οικοδομηθεί μια SC αρχιτεκτονική που θα περιλαμβάνει υπεραγώγιμα qubits σε κάθε κορυφή μαζί με τη δυνατότητα σύζευξης του κάθε qubit σε τέσσερις συντονιστές. Καθώς είναι σημαντικό να μπορεί κανείς να διαβάζει και να απευθύνεται σε κάθε qubit μεμονωμένα, μπορεί να χρειάζεται κι ένας πέμπτος συντονιστής ανά qubit. Η διάταξη αυτή αρχικά είχε προταθεί από τον DiVincenzo, και ο αριθμός των συντονιστών ανά qubit ήταν μόνο δυο (τρεις με τη μέτρηση). Ωστόσο, κάθε qubit κωδικοποίησης και συνδρομής σε αυτό το σχέδιο, αντικαθίσταται από τέσσερα qubits, με αποτέλεσμα μια τετραπλάσια αύξηση στον αριθμό των πυλών των δυο qubits. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται ένα υποτμήμα αυτού του βελτιστοποιημένου πλέγματος, το οποίο δεν κουβαλάει το επιπλέον φορτίο όπως η αρχική πρόταση του DiVincenzo. Σε αυτό, περιλαμβάνονται τρία transmon qubits, όπου τα δυο ανεξάρτητα εξωτερικά qubits κωδικοποίησης ενώνονται με ένα κεντρικό qubit συνδρομής μέσω δυο ανεξάρτητων δίαυλων συντονιστών. Συνδυάζοντας πύλες ενός και δυο qubits, με χαρακτηριστικά την αποκλειστική χρήση μικροκυμάτων, την Σχήμα 24 68

73 υψηλή αξιοπιστία και τη λειτουργία κοντινότερου γείτονα, και με μέτρηση υψηλής αξιοπιστίας του qubit συνδρομής, γίνεται να προσδιοριστεί αιτιοκρατικά η ισοτιμία των qubits κωδικοποίησης. Αυτό το πρωτόκολλο δοκιμάζεται στην περίπτωση της υπέρθεσης των qubits κωδικοποίησης, και είναι εφικτό να ανιχνευθούν τα εξωτερικά qubits κωδικοποίησης είτε σε άρτια, είτε σε περιττή ισοτιμία της κατάστασης Bell, ανάλογα με το qubit συνδρομής. Ο πλήρης χαρακτηρισμός της ανίχνευσης της ισοτιμίας γίνεται με την υλοποίηση ενός πρωτοκόλλου τομογραφικής μέτρησης ώστε να προκύψει μια μετρική της αξιοπιστίας (90% για την αρτια κι 91% για την περιττή). Σαν αποτέλεσμα προκύπτει ένα ξεκάθαρο μονοπάτι για την επέκταση των υπεραγώγιμων κυκλωμάτων προς μεγαλύτερα δίκτυα SC, και τελικά μια πρώιμη υλοποίηση λογικών qubit. Για το τροποποιημένο αυτό SC πλέγμα με υπεραγώγιμα qubits, εισάγεται μια ευθεία χαρτογράφηση «ένα προς ένα» του SC σε ένα δισδιάστατο πλέγμα (σχ. 24) που δεν χρειάζεται το επιπλέον φορτίο από qubits και πύλες όπως το αρχικό που είχε προταθεί από τον DiVincenzo. Αντί να χρειάζονται δώδεκα qubits ώστε να παρουσιαστεί η λειτουργία ενός μόνο «νήματος» μισής πλακέτας από το συνολικό «ύφασμα» της επιφάνειας, αυτή η διάταξη το κατορθώνει με μόνο τρία qubits. Τα qubits συνδρομής μπορούν να χρησιμοποιηθούν είτε ως έλεγχοι Χ ισοτιμίας (κόκκινοι κύκλοι) είτε ως έλεγχοι Ζ ισοτιμίας (πράσινοι κύκλοι) των τεσσάρων περιβαλλόντων qubit κωδικοποίησης. Το κομμάτι των πέντε qubits που αποτελείται από ένα Χ (Ζ) qubit συνδρομής και τέσσερα περιβάλλοντα qubits κωδικοποίησης ορίζει μια πλακέτα κελιού μονάδας Χ (Ζ). Ένα πλεονέκτημα αυτής της αρχιτεκτονικής πλέγματος είναι ότι τηρεί ορισμένες αναλογίες με πειράματα τα οποία παρουσιάστηκαν προηγουμένως, και στα οποία ένα μόνο qubit μπορεί να συζευχθεί με δυο συντονιστές, ένας μόνο δίαυλος χρησιμοποιείται ώστε να συζευχθούν μέχρι και τρία qubits, και μια ανεξάρτητη ανάγνωση χρησιμοποιείται ώστε να μετρηθεί ένα qubit το οποίο είναι συζευγμένο με ένα άλλο qubit μέσω ενός συντονιστή διαύλου. Τα πειράματα που παρουσιάζονται στη συνέχεια εκτελούνται σε ένα υποτμήμα μισής πλακέτας, που αποτελείται από τρία qubits (όλα με ατομικούς συντονιστές ανάγνωσης) και δυο συντονιστές διαύλους, και φαίνεται στο σχ. 24 από το ροζ τετράγωνο, όπου παρουσιάζονται όλες οι απαραίτητες λειτουργίες πύλης και μετρήσεις που συνιστούν το πρωτόκολλο του κώδικα επιφάνειας (surface code protocol). Η συσκευή μισής πλακέτας (σχ. 24a) περιέχει τρεις κόμβους με transmon qubits που ενώνονται από δυο συντονιστές συνεπίπεδου κυματοδηγού (coplanar waveguide CPW) που εξυπηρετούν ως δίαυλοι, και κάθε qubit είναι συζευγμένο στο δικό του ξεχωριστό CPW συντονιστή για ανεξάρτητη ανάγνωση και έλεγχο. Εδώ θα σημειώσουμε τα qubits κωδικοποίησης ως Q1 και Q3, και το μεσαίο qubit, Q2, θα εξυπηρετεί ως qubit συνδρομής. Ένα απλοποιημένο διάγραμμα ελέγχου και ανάγνωσης φαίνεται επίσης στο σχ. 25a, με όλες τις πηγές μικροκυμάτων για τις πύλες του ενός και των δυο qubits και της ανεξάρτητης ανάγνωσης να είναι 69

74 σημειωμένες. Το Q2 διαβαζεται με τη βοήθεια ενός παραμετρικού ενισχυτή Josephson (Josephson parametric amplifier JPA) για υψηλής αξιοπιστίας διάκριση καταστάσεων με μια δοκιμή (single-shot), το οποίο είναι ένα κρίσιμο συστατικό για την παρουσίαση του SC πρωτοκόλλου ελέγχου της ισοτιμίας. Όλοι οι έλεγχοι του ενός qubit εκτελούνται σε 40 ns και χαρακτηρίζονται από μέση αξιοπιστία πύλης > 99.7% μεσω ταυτόχρονων τυχαιοποιημένων συγκριτικών αξιολογήσεων (simultaneous randomized benchmarking). Στην ουσία του SC πρωτοκόλλου βρίσκεται η ανίχνευση της ισοτιμίας των qubit κωδικοποίησης. Στο σχ. 25b φαίνεται το πρωτόκολλο ελέγχου ισοτιμίας (parity check protocol PCP) σε μια κυκλωματική απεικόνιση πάνω σε κάποια αυθαίρετη κατάσταση ψ από τα Q1 και Q3, με την ισοτιμία να σημειώνεται από την κλασική ανάγνωση ενός bit ένδειξης, το b 2. Το PCP υλοποιείται σε ένα σύστημα από τρία Σχήμα 25 qubits μέσω του κβαντικού κυκλώματος που φαίνεται στο σχ. 25c, όπου η κατάσταση ισοτιμίας ψ των Q1 και Q3 χαρτογραφείτε πάνω στο qubit συνδρομής Q2 μέσω δυο πυλών CNOΤ, ανάμεσα στα Q1 και Q2, Q3 και Q2, και εν συνεχεία το κλασικό bit b 2 βρίσκεται από μια κβαντική μέτρηση του Q2. Οι υψηλής αξιοπιστίας πύλες διεμπλοκής CNOT είναι πολύ σημαντικές για το PCP. Για να πραγματοποιηθούν αυτές οι CNOT στην συσκευή, πρέπει να υλοποιηθούν πύλες διεμπλοκής ΖΧ 90 χρησιμοποιώντας την αλληλεπίδραση αντισυντονισμού. Οδηγώντας τότε το Q1 (Q3) στη συχνότητα μετάβασης ω 2 του Q2, χρησιμοποιείται μια απλή ακολουθία αποσύζευξης ώστε να υλοποιηθεί η πύλη των δυο qubit ΖΧ 90 αναμεσά στα Q2 και Q1 (Q3). Η πύλη ΖΧ 90 είναι ισοδύναμη με μια 70

75 CNOT μέχρι και τις περιστροφές ενός qubit, όπως φαίνεται και στο σχ. 25d, κι έτσι μπορούν να χρησιμοποιούν ενναλακτικά στο PCP. Και τα δυο ζευγάρια από πύλες διεμπλοκής ΖΧ 90 χαρακτηρίζονται από τυχαιοποιημένες συγκριτικές αξιολογήσεις. Με έναν συνολικό χρόνο πυλών στα 350 ns, η πύλη ΖΧ 90 ανάμεσα στα Q2 και Q1 (Q3) πειραματικά φαίνεται να έχει μια αξιοπιστία ± (0.957 ± 0.001). Οι τιμές αξιοπιστίας είναι συνεπείς με τους χρόνους πύλης και συνοχής του συστήματος. Για να προσδιοριστεί η συλλογική κατάσταση όλων των qubits του συστήματος, μπορούμε να εκτελέσουμε ανεξάρτητες αναγνώσεις του κάθε qubit μέσω των ξεχωριστών συζευγμένων συντονιστών. Το qubit συνδρομής, Q2, διαβάζεται με τη βοήθεια του JPA, και τα qubits κωδικοποίησης με χρήση της υψηλής ισχύος μη-γραμμικότητας Josephson των κοιλοτήτων ανάγνωσης. Για να παρατηρήσουμε τη δράση του τμήματος με τις πύλες του PCP, στο οποίο δρουν πύλες CNOT (στην περίπτωση μας ΖΧ 90 ) ανάμεσα στο qubit συνδρομής και κωδικοποίησης, θα ήταν χρήσιμο να εκτελέσουμε τομογραφική ανακατασκευή του πλήρες συστήματος των τριών qubits. Η τομογραφία καταστάσεων στο σύστημα επιτυγχάνεται μέσω της συσχέτισης των μεμονωμένων παρατηρήσεων και από τις τρεις ξεχωριστές αναγνώσεις, Μ i, i [1,3]. Στο σχ. 26 φαίνονται κάποια ανακατασκευασμένα διανύσματα κατάστασης Pauli τριών qubits για τις διαδικασίες διεμπλοκής που είναι απαραίτητες για το PCP. Στο σχ. 26a, μια λειτουργία διεμπλοκής ΖΧ 90 ανάμεσα στο Q3 και στο Q2 υλοποιείται δίνοντας μια αξιοπιστία κατάστασης F state = ± (SDP) ± (raw), οπου SDP αναφέρεται σε μια ημί-ορισμένη ανακατασκευή της κατάστασης από λογισμικό και raw σημαίνει η αναστροφή της διαδικασίας χωρίς περιορισμούς. H διαφορά ανάμεσα στις SDP και raw εκτιμήσεις ξεπερνάει το στατιστικό σφάλμα που υπολογίζεται από το λόγο του σήματος προς το θόρυβο στην ανάγνωση και υπονοεί ότι η κύρια πηγή σφάλματος 71 Σχήμα 26

76 στο πείραμα είναι συστηματική. Εκτιμάται ότι τα συστηματικά σφάλματα είναι της τάξης ~2 3%. Κάποιο αυστηρό όριο του σφάλματος στην αξιοπιστία κατά την παρουσία συστηματικού θορύβου αποτελεί αντικείμενο μελλοντικής μελέτης. Στο σχ. 26b, υλοποιείται μια ΖΧ 90 λειτουργία διεμπλοκής ανάμεσα στα Q1 και Q2 (F state = ± (SDP) ± (raw)) και τελικά, στο σχ. 26c και οι δυο πύλες ΖΧ 90 εφαρμόζονται ταυτόχρονα, παράγοντας μια μέγιστα διεμπλεκόμενη κατάσταση GHZ και των τριών qubits (F state = ± (SDP) ± (raw)). Σαν αποτέλεσμα, παρουσιάζεται η ικανότητα της διανομής της διεμπλοκής κατά μήκος του πλήρους συστήματος, πρώτα ανάμεσα στα qubits κοντινότερους γείτονες Q3 και Q2 ή Q1 και Q2, και στη συνέχεια κατά μήκος του συστήματος με την κατάσταση GHZ, που συνδέει και τους δυο συντονιστές διαύλους. Μετά την θεμελιακή πύλη υψηλής αξιοπιστίας ΖΧ 90 που παρουσιάστηκε, το επόμενο βήμα είναι η παρατήρηση της μεμονωμένης ανάγνωσης (single-shot readout) του qubit συνδρομής Q2 που σημειώνει την ισοτιμία των qubit κωδικοποίησης Q1 και Q3. Αυτό επιτυγχάνεται προσλαμβάνοντας ένα ιστόγραμμα βαθμονόμησης της ανάγνωσης του qubit συνδρομής (σχ. 27a). Στη συνέχεια, προετοιμάζονται οι απλές καταστάσεις υπολογιστικής βάσης, 00, 01, 10, 11, ως είσοδοι για τα qubits κωδικοποίησης και παρατηρείται η ορθή ανάθεση της ισοτιμίας μέσω του PCP, που φαίνεται στο ιστόγραμμα M2 του σχ. 27b. Θέτοντας ένα κατώφλι στα αποτελέσματα των μετρήσεων του Μ2 με βάση τα ίχνη βαθμονόμησης της ανάγνωσης, ανακατασκευάζεται η κατάσταση Q1 και Q3 με βάση το Μ2 χρησιμοποιώντας τυπικές τεχνικές κβαντικής τομογραφίας καταστάσεων. Για την περίπτωση των τεσσάρων υπολογιστικών καταστάσεων, υπολογίζεται η αξιοπιστία F SDP = 0.984, 0.987, 0.989, και F raw = 0.975, 0,989, 0,999, 0,905 αντιστοιχα. Ένα πιο ολοκληρωμένο τεστ αντοχής του PCP είναι η παρατήρηση της λειτουργίας του πάνω στις μέγιστα διεμπλεκόμενες καταστάσεις υπέρθεσης των Q1 και Q3. Το πρωτόκολλο πύλης σε αυτήν την περίπτωση μιμείται αυτό της παραγωγής 72 Σχήμα 27

77 της GHZ κατάστασης του σχ. 26c, και μετά από επανειλημμένες προετοιμασίες των καταστάσεων και μετρήσεις του qubit συνδρομής, Μ2, εξάγεται ένα δίτροπο ιστόγραμμα, και σημειώνεται ότι παρουσιάζονται περιπτώσεις και των δυο ισοτιμιών (σχ. 27c). Παρατηρώντας την πιθανοκρατική διεμπλοκή είτε των περιττών είτε των άρτιων καταστάσεων Bell ψ odd = ( )/ 2 ή ψ even = ( )/ 2 σε σχέση με το Μ2. Για αυτές τις διεμπλεκόμενες καταστάσεις, βρίσκεται η αξιοπιστία F odd = (raw) (SDP) και F even = (raw) (SDP). Σε κάποια περίπτωση χωρίς σφάλματα, αυτή η αξιοπιστία δεν πρέπει να ξεπερνά την αξιοπιστία ανάθεσης ωστόσο, εξαιτίας των συστηματικών σφαλμάτων είναι πιθανόν οι τιμές να αποκλίνουν. Η παρατηρούμενη απόκλιση ανάμεσα στην αξιοπιστία της ανάθεσης και στην αξιοπιστία των καταστάσεων είναι μέσα στο εκτιμώμενο συστηματικό σφάλμα. Παρ όλα αυτά, η ικανότητα να παράγονται αυτές οι διεμπλεκόμενες καταστάσεις των μη-κοντινότερων γειτονικών qubits Q1 και Q3 σε δυο ξεχωριστούς διαύλους συντονιστών είναι ένα κρίσιμο στοιχείο για την επέκταση προς μεγαλύτερα κβαντικά δίκτυα. Τελικά, για να προσδιοριστεί πλήρως η εξιδανικευμένη προβολική φύση του PCP, εκτελείται η τομογραφία των μετρήσεων. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω της κβαντικής τομογραφίας της διαδικασίας των qubits κωδικοποίησης. Με βάση τη μέτρηση Μ2, προκύπτουν οι δυο χάρτες για τους προβολικούς τελεστές της άρτιας και περιττής ισοτιμίας που φαίνονται στο σχ. 27f,h (οι εξιδανικευμένοι χάρτες στο σχ. 27i,k). Για την ποσοτικοποίηση της απόδοσης του PCP, εισάγεται μια μετρική αξιοπιστίας της διαδικασίας της μέτρησης, η οποία λαμβάνει υπ όψη της την πλήρη κβαντική δυναμική της μέτρησης. Έτσι, λαμβάνεται η αξιοπιστία των μετρήσεων F odd meas = ± και F even meas = ± Η απώλεια στην αξιοπιστία των μετρήσεων αντιστοιχεί κυρίως στην ανάθεση αξιοπιστίας 91% στο Μ2, που φαίνεται καλυτέρα από τον χάρτη στο σχ. 28g και έχει αξιοπιστία μέτρησης F meas = Το πείραμα που περιεγράφηκε υλοποιεί ένα υποτμήμα της ανεκτικής σε σφάλματα SC αρχιτεκτονικής. Συνδυάζοντας qubit transmon υψηλής συνοχής, πύλες κοντινότερου γείτονα των δυο qubits υψηλής αξιοπιστίας και κβαντική ανάγνωση μιας δοκιμής, υψηλής αξιοπιστίας, χρησιμοποιείται ένα qubit συνδρομής ώστε να προσδιοριστεί η ισοτιμία των γειτονικών του qubits. Με αυτήν τη συσκευή, παρουσιάζεται η ευελιξία των υπεραγώγιμων qubits στην εκτεταμένη αρχιτεκτονική κβαντικού δίαυλου για την εφαρμογή του προς μια μεγαλύτερη συσκευή κβαντικών υπολογισμών ανεκτικών σε σφάλματα. Ο κώδικας ανίχνευσης κβαντικών σφαλμάτων Τα σφάλματα είναι αναπόφευκτα σε οποιονδήποτε πραγματικό επεξεργαστή πληροφοριών. Οι κβαντικοί υπολογιστές είναι ιδιαίτερα επιρρεπείς σε σφάλματα καθώς τα κβαντικά συστήματα έχουν μεγάλη ευαισθησία σε φαινόμενα θορύβου 73

78 πολύ διαφορετικά από το απλό σφάλμα της αναστροφής ενός bit που υφίσταται στους κλασικούς υπολογιστές. Έτσι, η υλοποίηση ενός κβαντικού υπολογιστή ανεκτικού σε σφάλματα είναι μια σημαντική πρόκληση που προϋποθέτει την κωδικοποίηση της πληροφορίας σε έναν κώδικα διόρθωσης των κβαντικών σφαλμάτων. Ακόμα χειροτέρα, η απευθείας εξαγωγή (μέτρηση) της πληροφορίας καταστρέφει το σύστημα, οπότε γίνονται απαραίτητα κάποια βοηθητικά συστήματα τα οποία θα μπορούν να εκτελούν μη καταστρεπτικές μετρήσεις της κωδικοποιημένης κατάστασης. Ο κώδικας επιφανείς (surface code) είναι μια πολλά υποσχόμενα εφαρμογή προς την επίτευξη κλιμακούμενων κβαντικών υπολογιστών εξαιτίας της διάταξης κοντινότερων γειτόνων και των κατωφλιών ανεκτικών σε σφάλματα (fault tolerant thresholds). Ο SC είναι ένα παράδειγμα ενός κώδικα σταθεροποίησης, δηλαδή ενός κώδικα του οποίου η κατάσταση ορίζεται μοναδικά από την μέτρηση ενός συνόλου από παρατηρητές που λέγονται σταθεροποιητές. Τα qubit κωδικοποίησης στον SC τοποθετούνται στις κορυφές μιας δισδιάστατης διάταξης και κάθε σταθεροποιητής περιλαμβάνει τέσσερα γειτονικά qubit κωδικοποίησης. Επομένως, οι σταθεροποιητές του SC είναι γεωμετρικά τοπικοί και μπορούν να μετρηθούν με ένα μόνο qubit συνδρομής, κατά τρόπο ανεκτικό σε σφάλματα. Η ανίχνευση σφαλμάτων σε ένα πλέγμα από qubit κωδικοποίησης επιτυγχάνεται μέσω της χαρτογράφησης των τελεστών σταθεροποίησης πάνω στο συμπληρωματικό πλέγμα από qubit συνδρομής, ακολουθούμενη από την κλασική συσχέτιση των μετρούμενων αποτελεσμάτων. Μεταξύ των qubit συνδρομής γίνεται μια διάκριση ανάμεσα στη συνδρομή αναστροφής bit (bit-flip ή Ζ-συνδρομή) και αναστροφής φάσης (phase-flip ή Χ-συνδρομή). Κάθε qubit κωδικοποίησης στον SC συζευγνύεται με δυο qubit Χσυνδρομής και δυο Ζ -συνδρομής, και με τη σειρά τους κάθε qubit συνδρομής συζευγνύεται με τέσσερα qubit κωδικοποίησης. Θα ακολουθήσει μια πειραματική παρουσίαση ενός πλήρη αλγορίθμου που συνιστά έναν κώδικα ανίχνευσης κβαντικών σφαλμάτων ο οποίος ανιχνεύει αυθαίρετα σφάλματα ενός qubit κατά έναν μη-καταστρεπτικό τρόπο μέσω μετρήσεων συνδρομής. Το σχήμα αυτό υλοποιείται με ένα πλέγμα από υπεραγώγιμα qubit το οποίο αναπαριστά το θεμελιακό στοιχείο για τον SC. Η φυσική συσκευή (σχ. 28a,b) αποτελείται από ένα 2 2 πλέγμα από υπεραγώγιμα qubit transmon, κάθε ένα από τα οποία είναι συζευγμένο με του δυο κοντινότερους γείτονες του μέσω δυο ανεξάρτητων συντονιστών συνεπίπεδου κυματοδηγού (CPW) που εξυπηρετούν ως κβαντικοί δίαυλοι (σχ. 1b μπλε). Κάθε qubit είναι επίσης συζευγμένο μέσω ενός ανεξάρτητου συντονιστή CPW με κάθε qubit ελέγχου και ανάγνωσης. Τα σήματα ανάγνωσης του κάθε qubit ενισχύονται από ξεχωριστούς ενισχυτές Josephson (JPA) δίνοντας υψηλής αξιοπιστίας αναγνώσεις μιας δοκιμής (single shot). Υλοποιούνται πύλες των δυο qubit αντισυντονισμού με ηχώ (echo cross-resonance ECR), ECR = ZX 90 XI, οι οποίες είναι θεμελιώδεις για την κατασκευή ελεγχόμενων-νοτ (CNOT) διαδικασιών. Δεδομένης της πλεγματικής 74

79 δομής της συσκευής, υλοποιούνται τέσσερις τέτοιες διαφορετικές πύλες, ECR ij ανάμεσα στα qubit Q i (ελέγχου) και Q j (στόχου), με ij {12,23,34,41}. Σε αυτήν την διάταξη, χρησιμοποιούνται τα Q 1 και Q 3 (σχ. 28b μωβ) ως qubit κωδικοποίησης, το Q 2 ως qubit Z-συνδρομής (σχ. 28b πράσινο) και το Q 4 ως qubit X-συνδρομής (σχ. 28b κίτρινο). Όλες οι ECR πύλες αξιολογούνται συγκριτικά με τιμές αξιοπιστίας ανάμεσα σε 0.93 και Οι πύλες ενός qubit αξιολογούνται με αξιοπιστία πάνω από Οι τέσσερις μετρήσεις μιας δοκιμής παράγουν αποτελέσματα με αξιοπιστία πάνω από Σχήμα 28 Το τετραγωνικό πλέγμα των τεσσάρων qubit είναι ένα μη τετριμμένο κομμάτι της SC διάταξης (κυκλωμένο στο σχ. 28a) και χρησιμοποιείται ώστε να παρουσιαστεί και η ΖΖ και η ΧΧ ισοτιμία. Ο ΧΧ (ΖΖ) σταθεροποιητής μετράτε από το qubit Χσυνδρομής (Ζ-συνδρομής). Αν και στην προηγουμένη παρουσίαση υλοποιήθηκε ο έλεγχος ισοτιμίας σε μια γραμμική διάταξη των qubit, αυτό το πείραμα περιλαμβάνει και την άλλη επίπεδη διάσταση. Η επιπλέον διάσταση επιτρέπει την παρουσίαση του κώδικα [[2,0,2]], ο οποίος περιέχει 2 φυσικά qubit, 0 λογικά, κι έχει απόσταση 2, που σημαίνει ότι αυθαίρετα σφάλματα ενός qubit είναι ανιχνεύσιμα. Η κωδικολέξη είναι η διεμπλεκόμενη κατάσταση των δυο qubit ψ = = , η οποία προστατεύεται από οποιοδήποτε σφάλμα ενός qubit στον κωδικοχώρο μέσω της ανίχνευσης συνδρομής. Κάποιο αυθαίρετο σφάλμα εμφανίζεται στον σταθεροποιητή συνδρομής αφού μια αναστροφή bit (φάσης) απλά θέτει το ψ σε μια αρνητική ιδιοκατάσταση του ΧΧ (ΖΖ), και μια κοινή αναστροφή bit και φάσης (περιστροφή Υ) θέτει το ψ σε μια αρνητική ιδιοκατάσταση αμφότερων των ΧΧ και ΖΖ. Κωδικοποιώντας και τους ΧΧ και τους ΖΖ σταθεροποιητές στο πλέγμα των τεσσάρων qubit, γίνεται εφικτή η προστασία μιας μέγιστα διεμπλεκόμενης κατάστασης των δυο qubit κωδικοποίησης απέναντι σε κάποιο αυθαίρετο σφάλμα. Για να παρουσιαστεί το πρωτόκολλο μέτρησης του σταθεροποιητή του SC υποπλέγματος (σχ. 28c), πρέπει πρώτα να προετοιμαστούν τα δυο qubit κωδικοποίησης στην κατάσταση κωδικολέξης ψ, η οποία είναι μια μέγιστα διεμπλεκόμενη κατάσταση Bell. Επακολούθως, ο σταθεροποιητής ΖΖκωδικοποιείται 75

80 στο qubit Z -συνδρομής Q 2, το οποίο είναι αρχικοποιημένο στη θεμελιώδη κατάσταση 0. Ο σταθεροποιητής ΧΧ κωδικοποιείται στο qubit Χ-συνδρομής Q 4, το οποίο είναι αρχικοποιημένο στην κατάσταση + = ( )/ 2. Εφόσον πραγματοποιούνται μετρήσεις των qubit συνδρομής κατά τη Ζ βάση μέτρησης, το Q 4 υφίσταται ένα μετασχηματισμό Hadamard H ακριβώς πριν τη μέτρηση. Το πλήρες κύκλωμα που φαίνεται στο σχ. 28c θα ανιχνεύσει ένα αυθαίρετο σφάλμα ενός qubit ε στα qubit κωδικοποίησης μέσω της προβολικής μέτρησης των qubit συνδρομής. Επιλέγεται να εφαρμοσθεί το σφάλμα στο Q 1, αλλα δεν υπάρχει απώλεια της γενικότητας αν εφαρμοσθεί στο Q 3, αντίστοιχα. Κάθε ένα από τα τέσσερα πιθανά αποτελέσματα των μετρήσεων των qubit συνδρομής προβάλλει τα qubit κωδικοποίησης σε μια από τις τέσσερις μέγιστα διεμπλεκόμενες καταστάσεις Bell. Αν δεν υπάρχει κάποιο σφάλμα στη διαδικασία, και τα δυο qubit συνδρομής βρίσκονται στην αρχική τους κατάσταση μετά τη μέτρηση, και η κατάσταση κωδικολέξης των qubit κωδικοποίησης διατηρείται. Για να εισαχθούν αυθαίρετα σφάλματα στη διεμπλεκόμενη κατάσταση των qubit κωδικοποίησης, εφαρμόζονται περιστροφές ενός qubit στο Q 1 της μορφής ε = U θ, όπου το U ορίζει τον άξονα περιστροφής και θ είναι η γωνιά περιστροφής (όταν δεν δίνεται η γωνία θεωρείται θ = π). Μετά το πρωτόκολλο ανίχνευσης σφάλματος που φαίνεται στο σχ. 28c, προσλαμβάνονται μετρήσεις μιας δοκιμής των qubit συνδρομής και συσχετίζονται οι μεμονωμένες μετρήσεις γύρω από τους διάφορους άξονες των qubit κωδικοποίησης για την κβαντική τομογραφία καταστάσεων. Πρώτα, για την περίπτωση ε = U 0, όπου δεν προστίθεται κάποιο σφάλμα, τα δύο qubit συνδρομής πρέπει να μετρηθούν ώστε να βρίσκονται στη θεμελιώδη κατάσταση τους, και από τη συσχέτιση των μετρήσεων μιας δοκιμής, Μ 2 και Μ 4, εξάγεται ο χάρτης του σχ. 29a. Φαίνεται επομένως ότι, η πλειοψηφία των αποτελεσμάτων βρίσκεται στο κάτω αριστερά τεταρτημόριο και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός {Μ 2, Μ 4 } = {0, +}, όπου και τα δυο qubit συνδρομής σηματοδοτούν μια ανίχνευση στη θεμελιώδη κατάσταση (σημειώνεται ότι η μέτρηση του Q 4 Σχήμα 29 76

81 στη θεμελιώδη του κατάσταση ανιχνεύεται από την κατάσταση + δεδομένου του μετασχηματισμού Η πριν από τη μέτρηση). Δεδομένης της κατάστασης {0, +}, πραγματοποιείται η τομογραφία καταστάσεων των qubit κωδικοποίησης, με μια ανακατασκευασμένη τελική κατάσταση (της οποίας το διάνυσμα Pauli φαίνεται στο σχ. 29a), πανόμοια με την αρχικά προετοιμασμένη κατάσταση κωδικολέξης με αξιοπιστία ± Στη συνέχεια, για την περίπτωση του σφάλματος αναστροφής bit στο Q 1, ή ε = Χ π, εξάγεται σαν αποτέλεσμα το ιστόγραμμα του qubit συνδρομής που φαίνεται στο σχ. 29b, όπου η πλειοψηφία των αποτελεσμάτων αντιστοιχεί στο {1, +}, όπου το qubit Ζ -συνδρομής Q 2 είναι διεγερμένο στην κατάσταση 1 και το qubit Χ-συνδρομής παραμένει στη θεμελιώδη του κατάσταση. Άρα με δεδομένη την κατάσταση {1, +}, το ανακατασκευασμένο τελικό διάνυσμα κατάστασης Pauli των qubit κωδικοποίησης θα είναι τώρα ( )/ 2 = ( )/ 2, επαληθεύοντας το σφάλμα ισοτιμίας αναστροφής του bit. Μετά, για την περίπτωση του σφάλματος αναστροφής φάσης στο Q 1, ή ε = Ζ π, βρίσκεται ότι τα qubit συνδρομής δίνουν {0, }, με το qubit Χ-συνδρομής να έχει αλλάξει την κατάσταση του (σχ. 29c). Αντίστοιχα, για την κατάσταση {0, }, η κατάσταση των qubit κωδικοποίησης βρίσκεται σε συμφωνία με την ( )/ 2 = ( )/ 2, όπου φαίνεται το σφάλμα φάσης. Τέλος, ένα σφάλμα ε = Υ π, έχει σαν αποτέλεσμα την αναστροφή και των δυο qubit συνδρομής, {1, }, όπως φαίνεται στο σχ. 29d με το αντίστοιχο διάνυσμα Pauli των qubit κωδικοποίησης να συμφωνεί με μια ταυτόχρονη αναστροφή του bit και της φάσης της αρχικής κατάστασης κωδικολέξης ( )/ 2 = ( )/ 2. Οι ανακατασκευασμένες καταστάσεις αποκαλύπτουν σημαντικές πληροφορίες για το σύστημα. Κατά πρώτον, η αξιοπιστία της μετρούμενης κατάστασης (~ ) παρουσιάζεται μεγαλύτερη από την αναμενόμενη (~0.75), όπως προκύπτει από τη μετρούμενη αξιοπιστία των πέντε πυλών των δυο qubit και των δυο ανεξάρτητων μετρήσεων μιας δοκιμής. Αυτό συμβαίνει επειδή οι πύλες που χρησιμοποιήθηκαν για την προετοιμασία της κωδικολέξης δεν συνεισφέρουν στην συσσωρευμένη απώλεια της αξιοπιστίας της κατάστασης, αλλά αντίθετα αποκαλύπτονται ως μετρούμενα σφάλματα. Κατά δεύτερον, οι ανακατασκευασμένες καταστάσεις μετά τις μετρήσεις, έχουν λιγοστό έως μηδενικό βάρος στον υποχώρο του ενός qubit. Αυτό υποδηλώνει την ύπαρξη αμελητέας ποσότητας σφαλμάτων παρεμβολής (γεγονός αναμενόμενο αφού τα qubit κωδικοποίησης δεν συνδέονται άμεσα μέσω κάποιου διαύλου). Είναι δυνατή η παρακολούθηση των αποτελεσμάτων των qubit συνδρομής καθώς μεταβάλλεται αργά η γωνία θ σε ένα εφαρμοσμένο σφάλμα ε = Υ θ μεταξυ του π και του +π (σχ. 30). Η κατάσταση του πληθυσμού των τεσσάρων καταστάσεων των qubit συνδρομής, {0, +} (μαύρες τελείες), {1, +} (κόκκινες τελείες), {0, } (πράσινες τελείες) και {1, } (μπλε τελείες), αναπαρίστανται γραφικά σε σχέση με τη γωνία θ. Για ένα σφάλμα που εισάγεται από μια μοναδιαία λειτουργία, τα δεδομένα εξηγούνται από συνημίτονα (συμπαγείς γραμμές στο σχ. 77

82 30). Για θ κοντά στο 0, και στα δυο qubit συνδρομής βρίσκεται, όπως αναμενόταν, η θεμελιώδης κατάσταση, {0, +}, ενώ για θ ~π, βρίσκεται η κατάσταση {1, }. Για να παρουσιαστεί η ανίχνευση αυθαίρετων σφαλμάτων, κατασκευάζονται σφάλματα ε από συνδυασμούς Χ και Υ σφαλμάτων. Σε κάθε πλαίσιο του σχ. 31 φαίνεται μια γαλάζια μπάρα που αντικατοπτρίζει τον πειραματικά εξαγόμενο πληθυσμό κάθε ενός από τα τέσσερα πιθανά αποτελέσματα της μέτρησης των qubit συνδρομής για το σύνολο των σφαλμάτων {Υπ 3 όπου R = Υ π/2 X π/2 και H είναι η λειτουργία, Χπ 3, ΧπΥπ, ΥπΥ2π, Χ2πΥπ , Χ2π 3 Υ2π 3, R, H} Hadamard. Συνολικά, βρίσκονται καλές συμφωνίες ανάμεσα στους πειραματικούς και τους εξιδανικευμένους πληθυσμούς των αποτελεσμάτων (σκούρες μπλε μπάρες). Τελικά, οι μετρήσεις σταθεροποιητών, απαραίτητοι για σε ανεκτικούς σε σφάλματα κβαντικούς κώδικες ανίχνευσης σφαλμάτων, παρουσιάζονται με επιτυχία σε σφάλματα αναστροφής bit και φάσης σε μια κατάσταση κωδικολέξης. Η μη-καταστρεπτική φύση του πρωτοκόλλου επιβεβαιώνεται από την Σχήμα 30 διατήρηση της διεμπλεκόμενης κατάστασης που συνιστά την κωδικολέξη μέσα από μετρήσεις συνδρομής υψηλής αξιοπιστίας, κατά την παρουσία ενός αυθαίρετου σφάλματος. Αυτό το πείραμα ανίχνευσης σφαλμάτων αποτελεί ένα ορόσημο κλειδί για την υλοποίηση του κώδικα επιφάνειας (SC), καθώς οι λειτουργίες επεκτείνονται στο επίπεδο της δισδιάστατης επιφάνειας και φαίνεται ότι είναι εφικτός ο ταυτόχρονος έλεγχος της ισοτιμίας σε bit και φάση. Επιπλέον, παρουσιάζεται η δυνατότητα κατασκευής δομών από υπεραγώγιμα qubit τα οποία δεν είναι συγγραμμικά, αλλά δομημένα σε ένα πλέγμα κι όλα αυτά διατηρούνται κατά τις διάφορες λειτουργίες υψηλής αξιοπιστίας. Όλα αυτά τα 78 Σχήμα 31

83 αποτελέσματα υποστηρίζουν το ενδεχόμενο της υιοθέτησης των πλεγμάτων από υπεραγώγιμα qubit για την κατασκευή κβαντικών υπολογιστών μεγάλης κλίμακας ανεκτικών σε σφάλματα. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι κβαντικοί υπολογιστές έχουν τη δυνατότητα να φέρουν επανάσταση στην τεχνολογία πληροφοριών όπως τη γνωρίζουμε, δίνοντας λύση σε ορισμένα ιδιαίτερα ενδιαφέροντα προβλήματα, χρησιμοποιώντας θεμελιωδώς λιγότερους πόρους (αριθμό υπολογιστικών βημάτων) συγκριτικά με τους πιο γρήγορους κλασικούς υπερυπολογιστές που υπάρχουν. Ωστόσο, αυτό γίνεται να επιτευχθεί με τη χρήση ειδικών κβαντικών αλγορίθμων που θα υλοποιούν διαφορετική λογική σε σχέση με τη λογική των κλασικών που υπάρχουν σήμερα. Ένας τέτοιος είναι ο αλγόριθμος του Grover, για την κβαντική αναζήτηση αντικειμένων από ένα σύνολο χωρίς συγκεκριμένη δομή. Ο αλγόριθμος αυτός παρουσιάζει μια τετραγωνική επιτάχυνση συγκριτικά με έναν κλασικό τρόπο αναζήτησης (πλήθος βημάτων Ο( Ν) αντι για Ο(Ν), όπου Ν είναι το σύνολο των αντικειμένων). Αυτή η επιτάχυνση δεν είναι τόσο δραματική όσο θα περίμενε κανείς, ωστόσο μπορεί να αποφέρει μεγάλο όφελος στη λύση συγκεκριμένων προβλημάτων, όπως σε δύσκολα μαθηματικά προβλήματα. Ο αλγόριθμος επίσης είναι βέλτιστος, δηλαδή μας δίνει τον καλύτερο τρόπο αναζήτησης. Για την αξιοποίηση όμως αυτών των αλγορίθμων, καθώς με τον καιρό έρχονται όλο και περισσότεροι στην επιφάνεια, χρειάζονται συστήματα καθολικών κβαντικών υπολογισμών, οι οποίοι θα εκμεταλλεύονται κβαντισμένα συστήματα, ώστε να μπορούν να υλοποιούν τα αξιοπερίεργα φαινόμενα της κβαντομηχανικής. Αυτοί οι κβαντικοί υπολογιστές, τα τελευταία χρόνια αποτελούν αντικείμενο εντατικής έρευνας, και σε αυτά τα πλαίσια η εταιρία IBM το 2016 κατασκεύασε το δικό της πειραματικό κβαντικό υπολογιστή, βασισμένο στο υπεραγώγιμο qubit transmon, και σε αλληλεπιδράσεις με μικροκύματα. Αυτός ο υπολογιστής, παρουσιάζει στοιχεία ενός καθολικού κβαντικού υπολογιστή, ωστόσο αυτό συμβαίνει σε πολύ περιορισμένο βαθμό, καθώς μπορεί να μεταχειρίζεται μόνο πέντε qubits. Με το πρόγραμμα IBM Quantum Experience, η εταιρία θέλει να ενημερώσει την κοινότητα για τις λειτουργίες και την προοπτική των κβαντικών υπολογιστών, καθώς επίσης και να δώσει πρόσβαση στον κβαντικό υπολογιστή τους για τη διεξαγωγή πειραμάτων, κι έτσι έχουν ήδη προκύψει οι πρώτες δημοσιευμένες εργασίες πάνω στον υπολογιστή της ΙΒΜ. Αυτή τη στιγμή, οι υπάρχοντες πειραματικοί κβαντικοί υπολογιστές δεν μπορούν να προσφέρουν κάποιο σημαντικό έργο, ωστόσο φαίνεται ότι αν συνεχιστούν με αυτό το ρυθμό οι έρευνες γύρω από τα διάφορα κομβικά σημεία όσων αφορά την κατασκευή κλιμακούμενων κβαντικών υπολογιστών ανεκτικών σε σφάλματα, πολύ σύντομα οι κβαντικοί υπολογιστές θα 79

84 πάρουν τη σκυτάλη από τους κλασικούς, με συνέπειες που κανείς δεν μπορεί να προβλέψει. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Στο παράρτημα αυτής της εργασίας θα εκτελεστεί ο κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης σε έναν τοπολογικό κβαντικό υπολογιστή, αυτόν της IBM, στον οποίο δίνεται πρόσβαση διαδικτυακά, μέσω ενός γραφικού περιβάλλοντος, στην πλατφόρμα IBM Quantum Experience [5]. Σε αυτή τη φάση ο υπολογιστής διαθέτει συνολικά πέντε qubits, ωστόσο για αυτήν την πολύ απλή εκδοχή του αλγορίθμου, θα χρειαστούν μόνο τα δυο από αυτά, δηλαδή Ν = 2 2 = 4. Στο κβαντικό κύκλωμα θα χρησιμοποιηθούν συνολικά τέσσερα στοιχεία, τα οποία και εξηγούνται στη συνέχεια: [1]. Η πύλη αυτή (Pauli X) εκτελεί μια π περιστροφή γύρω από τον άξονα Χ και έχει την ιδιότητα Χ Χ, Ζ Ζ. Επίσης αναφέρεται ως πύλη αναστροφής bit (bit-flip). [2]. H πύλη Hadamard έχει την ιδιότητα Χ Ζ, Ζ Χ. Η χρήση της είναι αναγκαία για τη δημιουργία υπερθέσεων. [3]. Η πύλη ελεγχόμενου-νοτ (CNOT): Μια πύλη των δυο qubit η οποία αναποδογυρίζει το qubit στόχο (δηλαδή εφαρμόζει μια Pauli X) εάν το qubit ελέγχου είναι στην κατάσταση 1. Η πύλη αυτή χρειάζεται ώστε να παραχθεί η διεμπλοκή και είναι η φυσική πύλη των δυο qubit. [4]. Η λειτουργία μιας μέτρησης κατά την υπολογιστική (τυπική) βάση (Ζ) Στο επόμενο σχήμα (σχ.32) φαίνεται το κενό κβαντικό κύκλωμα, τα πέντε qubit δηλαδή, το καθένα από τα οποία είναι αρχικοποιημένο στην κατάσταση 0. Στην τελευταία γραμμή φαίνεται ένα κλασσικό bit το οποίο χρησιμεύει για τις μετρήσεις. 80 Σχήμα 32

85 Οι μόνες ειδικές καταστάσεις που χρειάζεται να θεωρήσουμε είναι η επιθυμητή κατάσταση w και η κατάσταση ομοιόμορφης υπέρθεσης s. Οι δυο αυτές καταστάσεις αναπτύσσουν ένα δισδιάστατο επίπεδο στο διανυσματικό χώρο C Ν. Αυτές οι δυο καταστάσεις όμως δεν είναι ορθογώνιες, για αυτό και εισάγεται άλλη μια κατάσταση, η s, που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο και είναι κάθετη στην w. Όπως είδαμε, το πρώτο βήμα του αλγορίθμου είναι η δημιουργία της κατάστασης ομοιόμορφης υπέρθεσης στα δυο qubit που επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της πύλης Hadamard και στα δυο qubit. Οπότε για t = 0, η αρχικη κατασταση θα είναι ψ 0 = s = H Σχήμα 33 Στη συνέχεια, εκτελείται η επανάληψη Grover. Αρχικά υλοποιείται η αντανάκλαση μαντείου U f στην κατάσταση U f ψ t = ψ t (σχ. 34). Γεωμετρικά, αυτή αντιστοιχεί σε μια αντανάκλαση στον αρχικό χώρο της κατάστασης ψ t κατά την κατάσταση s. Στην κατάσταση που προκύπτει, έχει αναστραφεί μόνο η φάση του επιθυμητού στοιχείου και έχει γίνει αρνητική, ενώ των υπολοίπων δεν έχει αλλάξει. Η λειτουργία αυτή θέτει την επιθυμητή κατάσταση ως 11 για το παράδειγμα που παρουσιάζεται, και υλοποιείται κυκλωματικά με μια πύλη CNOT ανάμεσα από δυο πύλες Hadamard, και το αποτέλεσμα είναι μια διαδικασία ελεγχόμενης- Ζ (controlled- Z ) περιστροφής (η πύλη Pauli Z έχει την ιδιότητα Χ Χ, Ζ Ζ). Σχήμα 34 Μετά, εφαρμόζεται μια ακόμα αντανάκλαση, U s = 2 s s 1, κατά την κατάσταση s. Αυτός ο μετασχηματισμός φέρνει την κατάσταση στην U s ψ t και ολοκληρώνει το μετασχηματισμό ψ t+1 = U s U f ψ t. Δυο αντανακλάσεις 81

86 αντιστοιχούν πάντα σε μια περιστροφή, οπότε ο μετασχηματισμός U s U f περιστρέφει την αρχική κατάσταση s πιο κοντά στην επιθυμητή κατάσταση w. Η κυκλωματική υλοποίηση φαίνεται στο σχ. 35, και όπως περιεγράφηκε και στο κομμάτι του αλγορίθμου, ο μετασχηματισμός αυτός πάντα ξεκινάει και τελειώνει με εφαρμογή της πύλης Hadamard. Ενδιάμεσα εκτελείται η λειτουργία της μετατόπισης φάσης υπό συνθήκη, με κάθε υπολογιστική βάση εκτός της 0 να παίρνει μια φάση 1. Αυτό επιτυγχάνεται από την εφαρμογή της ελεγχόμενης-ζ διαδικασιας ανάμεσα σε πύλες Pauli X. Σχήμα 35 Μετά από t εφαρμογές της επανάληψης Grover η κατάσταση θα έχει μετασχηματιστεί στην ψ t = (U s U f ) t ψ 0. Ωστόσο στο παράδειγμα που παρουσιάζεται, με μία μόνο εφαρμογή του αλγορίθμου, και μετά την εφαρμογή των λειτουργιών της μέτρησης (σχ. 36), βρίσκουμε την επιθυμητή κατάσταση με πιθανότητα 1. Σχήμα 36 Τα αποτελέσματα που προκύπτουν μετά από την εκτέλεση του αλγορίθμου 8192 φορές φαίνονται στο σχ. 37. Όπως φαίνεται, τα bit στις θέσεις [1] και [2] αντιστοιχούν στα qubit q[1] και q[2] που χρησιμοποιούνται για τους υπολογισμούς, και φαίνεται ότι από τις 8192 φορές που εκτελέστηκε ο αλγόριθμος βρέθηκε με πιθανότητα 82.6% στην κατάσταση 11 ενώ πολύ μικρότερες είναι οι πιθανότητες με τις οποίες βρίσκεται στις άλλες τρεις καταστάσεις. Με μικρές τροποποιήσεις στο κβαντικό κύκλωμα, μπορούμε να υλοποιήσουμε τον αλγόριθμο και για τις υπόλοιπες τρεις περιπτώσεις, με επιθυμητές 82