Έλεγχος Κβαντικών Καταστάσεων στους Κβαντικούς Υπολογιστές

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ Έλεγχος Κβαντικών Καταστάσεων στους Κβαντικούς Υπολογιστές ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαρία Παυλίδου Επιβλέπων: Κωνσταντίνος Δασκαλογιάννης Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος 2015

2

3 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ Έλεγχος Κβαντικών Καταστάσεων στους Κβαντικούς Υπολογιστές ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαρία Παυλίδου Επιβλέπων: Κωνσταντίνος Δασκαλογιάννης Καθηγητής Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 2 α Νοεμβρίου Ι. Αντωνίου Καθηγητής Α.Π.Θ. Κ. Δασκαλογιάννης Καθηγητής Α.Π.Θ. Χ. Πάνος Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος 2015

4 .. Μαρία Παυλίδου Πτυχιούχος Μαθηματικός Α.Π.Θ. Copyright Μαρία Παυλίδου, Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ.

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Μία από τις βασικότερες ανάγκες για έλεγχο των κβαντικών συστημάτων είναι η υλοποίηση κβαντικών καταστάσεων. Στόχος είναι να βρεθεί το σύστημα σε μία επιθυμητή κατάσταση και η επίτευξή του μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, όπως η μεταβολή καταστάσεων, δηλαδή αλλαγή από μία αρχική σε μία τελική κατάσταση, η σταθεροποίηση μίας κατάστασης παρουσία θορύβου ή διαταραχής του περιβάλλοντος και άλλα. Μέσα στις κύριες στρατηγικές τέτοιου ελέγχου είναι και μέθοδοι βασισμένες σε γεωμετρικές ιδέες και ανάλυση των ομάδων Lie. Αυτό το είδος ελέγχου εξετάζεται στην εργασία αυτή. Στο πρώτο κεφάλαιο κάνουμε μία ιστορική αναδρομή στις ρίζες της κβαντικής πληροφορικής, καθώς και στους πρώτους, αλλά βασικούς κβαντικούς αλγόριθμους. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγουμε ορισμούς και μαθηματικές έννοιες, απαραίτητες για την κατανόηση των κβαντικών τελεστών, όπως οι ομάδες Lie κι οι unitary τελεστές. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται θεμελιώδη στοιχεία της κβαντομηχανικής και των κβαντικών υπολογιστών. Παρουσιάζεται η περιγραφή μίας κβαντικής κατάστασης ως διάνυσμα, η μαθηματική έκφραση των στοιχειωδών μονάδων πληροφορίας των κβαντικών υπολογιστών και η σφαίρα του Bloch. Στο τέταρτο κεφάλαιο εισάγουμε την ανάλυση κατά Euler unitary τελεστών. Παρουσιάζεται η διαδικασία στροφής μίας κατάστασης σε μία άλλη χρησιμοποιώντας στροφές σε δύο άξονες. Παρατίθενται ένας αλγόριθμος για τον υπολογισμό γενικευμένων γωνιών Euler και ένας αλγόριθμος για την ανάλυση ενός τελεστή σε ακολουθία στροφών γύρω από δύο άξονες. Στο πέμπτο κεφάλαιο δίνεται ένα σχέδιο ελέγχου βασισμένο σε υπερσφαιρικές συντεταγμένες. Παρατίθενται ένας αλγόριθμος υπολογισμού υπερσφαιρικών συντεταγμένων ενός διανύσματος, ένας αλγόριθμος για την ακολουθία στροφών από μία αρχική σε μία τελική κατάσταση χρησιμοποιώντας την ανάλυση που στηρίζεται στις συντεταγμένες αυτές και μία γενίκευση που αφορά σε πύλες. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Κβαντικοί υπολογισμοί, κβαντικός έλεγχος, γενικευμένες γωνίες Euler, υπερσφαιρικές συντεταγμένες, ομάδες Lie. 5

6 ABSTRACT One of the primary tasks for quantum control is quantum state engineering. The objective is to prepare the system in a desired state and this can be achieved with various ways, as state transfer, meaning altering the initial to a final state, the stabilization of a state in the presence of noise or disturbance of the environment and more. Among the main strategies of this kind of control are methods based on geometric ideas and Lie group decomposition. This type of control is discussed in this thesis. In the first chapter we present the historical background of quantum computing, its progress and the first, but important quantum algorithms. In the second chapter, we introduce definitions and mathematical concepts, necessary for the interpretation of quantum operators, as Lie groups and unitary operators. In the third chapter fundamentals of quantum mechanics and quantum computation are presented. We introduce the quantum state as a vector, the representation of qubits and the Bloch sphere. In the fourth chapter the Euler decomposition is shown. We present the steering from an initial state to another state, using rotations of two axes and we include two algorithms; one for computing of generalized Euler angles and another for decomposing an operator to a sequence of rotations around two axes. In the fifth chapter we show a control scheme that is based on hyperspherical coordinates. We present an algorithm to calculate the hyperspherical coordinates of a vector, a second one that gives the sequence of rotations from an initial to a final state using those coordinates and finally a generalisation for quantum operators. KEY WORDS Quantum computation, Quantum control, Generalised Euler angles, hyperspherical coordinates, Lie groups. 6

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία συντάχθηκε στα πλαίσια του προγράμματος μεταπτυχιακών σπουδών στην ειδίκευση «Θεωρητική Πληροφορική και Θεωρία Συστημάτων και Ελέγχου» του τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ. Θα ήθελα να ευχαριστήσω πρώτα τον επιβλέποντα καθηγητή μου, κ. Κωνσταντίνο Δασκαλογιάννη για την πρότασή του στη μελέτη των κβαντικών υπολογισμών, ένα ιδιαίτερα ενδιαφέρον και πρωτόγνωρο θέμα για εμένα. Η μελέτη του θέματος ήταν πολύ εποικοδομητική. Πολλές πτυχές των μαθηματικών και της θεωρητικής πληροφορικής θα μου παρέμεναν άγνωστες αν δεν είχα ασχοληθεί με αυτό το πεδίο. Επίσης, τον ευχαριστώ για την εξαιρετική συνεργασία, την υποστήριξη και την καθοδήγησή του. Επίσης, θέλω να ευχαριστήσω τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς επιτροπής, κ. Αντωνίου και κ. Πάνο για τα όσα με δίδαξαν στα πλαίσια του μεταπτυχιακού ως καθηγητές και για την προσεκτική αξιολόγηση της εργασίας ως εξεταστές. Αισθάνομαι ευγνωμοσύνη για την ευκαιρία που μου έδωσαν να μάθω καινούργια πράγματα και διεύρυναν τους ορίζοντές μου. Η υποστήριξη των φίλων και συμφοιτητών είναι ομολογουμένως εκτιμημένη. Η ενθάρρυνσή τους καθόλη την διάρκεια των σπουδών και τη συγγραφική περίοδο ήταν πραγματικά καθοριστική. Φυσικά, δεν θα μπορούσα να παραλείψω την οικογένειά μου, η οποία συνέβαλε με τον δικό της, μοναδικό τρόπο ώστε να βοηθήσει να τελειώσω τις σπουδές μου. Τέλος, ένα ιδιαίτερο ευχαριστώ στον καθηγητή κ. Hirvensalo, του οποίου τα σεμινάρια κέντρισαν το ενδιαφέρον μου να ασχοληθώ με την κβαντική πληροφορική. Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος 2015 Παυλίδου Μαρία 7

8 8

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 5 ABSTRACT... 6 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: AΛΓΕΒΡΕΣ ΚΑΙ ΟΜΑΔΕΣ LIE, ΧΩΡΟΙ HILBERT Άλγεβρες Lie και ομάδες Lie Ομομορφισμοί και Ισομορφισμοί Ομάδες και Χώροι Hilbert ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Τα αξιώματα της κβαντομηχανικής Περιγραφή κβαντικών καταστάσεων Κβαντικά bit (Qubit) Pure και mixed states Η σφαίρα του Bloch Πίνακας πυκνότητας Κβαντικές πύλες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΩΝ ΠΥΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΓΩΝΙΩΝ EULER Εισαγωγή στους τελεστές two level συστημάτων κβαντομηχανικής Γενικευμένες γωνίες Euler για έλεγχο καταστάσεων Γενικευμένες γωνίες Euler για την κατασκευή πυλών Συμπεράσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΒΑΝΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΕΡΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Μεταβολή pure state Μιγαδικές υπερσφαιρικές συντεταγμένες Διαδικασία αλλαγής κατάστασης

10 5.5 Αναπαράσταση unitary τελεστών με υπερσφαιρικές συντεταγμένες Συμπεράσματα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Τριγωνομετρική μορφή SU(2)

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ιστορία της Κβαντικής Πληροφορικής έχει τις ρίζες της στα τέλη της δεκαετίας του 50. Στην διάσημη ομιλία του, There s Plenty of Room at the Bottom, ο Richard Feynman παρουσίασε την ιδέα ότι τα πάντα είναι κβαντική μηχανική. Αφού υπάρχει πιθανότητα να διαχειριστεί η ύλη σε ατομικό επίπεδο, επομένως θα ήταν πιθανό να αποθηκευθούν bit πληροφορίας σε άτομα ή ηλεκτρόνια. Από άποψη μοντέρνας Κβαντικής Πληροφορικής, ο Paul Benioff το 1980 παρουσίασε τις πρώτες ιδέες υπολογισμού σε μικροσυστήματα που υπακούουν την κβαντομηχανική [13]. Στις αρχές του 1982, ο Feynman δημοσίευσε την εργασία του σχετικά με τα φαινόμενα στο χώρο της κβαντομηχανικής που δεν μπορούν να εξομοιωθούν πλήρως από ένα κλασικό υπολογιστικό σύστημα [15]. Όμως, η κατασκευή κβαντικών υπολογιστών ή τουλάχιστον αλγορίθμων οι οποίοι θα πραγματοποιούνταν με τη χρήση ενός κβαντικού υπολογιστή φαινόταν δύσκολη υπόθεση τότε. Το επόμενο σημαντικό βήμα έγινε από τον David Deutsch. Το 1985 απάντησε στο ερώτημα αν μπορεί να βρεθεί υπολογιστικό μοντέλο, το οποίο θα λύνει ένα υπολογιστικό πρόβλημα που δεν έχει ικανοποιητική λύση από έναν κλασικό υπολογιστή [5]. Παρουσίασε το πρώτο μοντέλο κβαντικού υπολογιστή, μία καθολική κβαντική μηχανή Turing, με δυνατότητες που δεν έχει το κλασικό ανάλογο. Ενδιαφέροντες κβαντικοί αλγόριθμοι παρουσιάστηκαν από τους Deutsch και Jozsa, Shor και Grover. Το 1992 ο David Deutsch και ο Richard Jozsa πρότειναν τον πρώτο κβαντικό αλγόριθμο, ο οποίος τρέχει γρηγορότερα από το κλασικό του ανάλογο. Ο αλγόριθμος Deutsch-Jozsa αποφαίνεται αν μία συνάρτηση είναι constant (ισούται με ή για κάθε input) ή balanced (ισούται με για τα μισά input και για τα άλλα μισά). Το 1994 ο Peter Shor δημοσίευσε μία εργασία όπου περιέγραφε έναν κβαντικό αλγόριθμο πολυωνυμικής πολυπλοκότητας για την παραγοντοποίηση ακέραιων αριθμών, δίνοντας σημαντικό πλεονέκτημα στην επίλυση ενός προβλήματος που θεωρούνταν από τους περισσότερους μαθηματικούς αδύνατο να λυθεί αποτελεσματικά με χρήση κλασικών μεθόδων. Λίγα χρόνια νωρίτερα είχε αποδειχθεί ότι ένας κλασικός 11

12 αλγόριθμος μπορεί να λειτουργήσει σε έναν κβαντικό υπολογιστή σε αντίστοιχο χρόνο. Ο Shor απέδειξε λοιπόν ότι ένας κβαντικός υπολογιστής είναι σίγουρα ισχυρότερος από οποιονδήποτε κλασικό υπολογιστή. Το 1996 ο Lov Grover δημιούργησε έναν αλγόριθμο για αναζήτηση σε αταξινόμητη βάση δεδομένων με πλήθος. Κλασικά, η αναζήτηση μίας αταξινόμητης βάσης δεδομένων απαιτεί γραμμική αναζήτηση, δηλαδή χρόνο κατά μέσο όρο. Ο αλγόριθμος του Grover χρειάζεται αλγόριθμος για αυτήν τη δουλειά. χρόνο και είναι ο ταχύτερος δυνατός κβαντικός Η ισχύς ενός κβαντικού υπολογιστή έγκειται στο γεγονός ότι μπορεί να πραγματοποιεί παράλληλους υπολογισμούς, χωρίς αυτό να προκαλεί εκθετική αύξηση του απαιτούμενου χώρου (κάτι που συμβαίνει στην κλασική περίπτωση). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο χώρος καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος είναι διαφορετικός από ότι στο κλασικό σύστημα. Ο συμβατικός υπολογιστής λειτουργεί σε -διάστατο χώρο, ο οποίος αποτελείται από ακολουθίες και, τα -bits. Το κβαντικό ανάλογο είναι ένα σύστημα από -qubits, το οποίο περιγράφεται σαν ένα μοναδιαίο διάνυσμα του χώρου διάστασης. Το φαινόμενο της υπέρθεσης καταστάσεων σε έναν τέτοιο χώρο προκαλεί την εκθετική αύξηση στο πλήθος των υπολογισμών που μπορούν να πραγματοποιηθούν σε δεδομένο χρόνο. Είναι πια κοινή αντίληψη ότι η κβαντική θεωρία είναι καθολική. Οι νόμοι της περιγράφουν τις ιδιότητες της ύλης και ερμηνεύουν τη λειτουργία του σύμπαντος, με την κλασική μηχανική να περιορίζεται στην ερμηνεία των τοπικών συμπεριφορών κβαντικών φαινομένων. Τα κβαντικά φαινόμενα που σχετίζονται με εφαρμογές στην πληροφορική, συχνά περιλαμβάνουν αλλαγές μεταξύ των καταστάσεων και των γραμμικών υπερθέσεών τους. Τα αξιώματα της κβαντομηχανικής υποστηρίζουν ότι η κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος περιγράφεται πλήρως, κατά τον χρόνο, από ένα μοναδιαίο διάνυσμα σε χώρο Hilbert. Η εξέλιξη του καθορίζεται από την, όπου είναι ένας unitary τελεστής εξέλιξης. Η δυναμική του δίνεται από την εξίσωση Schrödinger με, όπου είναι ο Χαμιλτονιανός του συστήματος. Η δημιουργία μίας κβαντικής λειτουργίας σημαίνει να 12

13 βρεθεί ένα στοιχείο ελέγχου, τέτοιο ώστε η τροχιά που παράγεται από την εξίσωση Schrödinger να καταλήξει σε έναν προκαθορισμένο unitary τελεστή σε συγκεκριμένο χρόνο τερματισμού. Αυτό μπορεί να τεθεί ως πρόβλημα κατεύθυνσης στη θεωρία ελέγχου. Ο χώρος καταστάσεων αυτού του συστήματος ελέγχου είναι η ομάδα Lie, η οποία αποτελείται από όλους τους κβαντικούς τελεστές σε ένα σύστημα -qubit. Επειδή κάθε κβαντικός τελεστής σε οσοδήποτε μεγάλο κβαντικό σύστημα μπορεί να αναλυθεί σε συνδυασμό τελεστών και qubit, χρειάζεται μόνο να μελετηθεί ο έλεγχος απλών two-level συστημάτων ή ζευγών two-level συστημάτων, γεγονός το οποίο περιορίζει το πρόβλημα στις unitary ομάδες Lie και αντίστοιχα. Οι κβαντικοί υπολογιστές και η κβαντική πληροφορική έχουν ως αντικείμενο τη μελέτη της επεξεργασίας της πληροφορίας, τις υπολογιστικές διαδικασίες και την κατασκευή υπολογιστών, χρησιμοποιώντας συστήματα. Στους κβαντικούς υπολογιστές, η στοιχειώδης μονάδα πληροφορίας, το qubit (quantum bit), δεν παίρνει μόνο τιμές και όπως το κλασικό bit, αλλά είναι μία υπέρθεση των καταστάσεων και. Με την πραγματοποίηση κβαντικής μέτρησης, η υπέρθεση των καταστάσεων παύει και το qubit μεταπίπτει σε μία από τις ιδιοκαταστάσεις του συστήματος. Η ιδέα των κβαντικών υπολογιστών άνθισε κατά την δεκαετία του 90, έπειτα από την αναγνώριση ότι σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να προσφέρει πλεονεκτήματα που οι κλασικοί υπολογιστές δεν μπορούν. Ωστόσο, οι εξελίξεις επικεντρώνονταν κυρίως στην θεωρητική πληροφορική, παρά στην εφαρμογή της στα φυσικά συστήματα. Η ανάγκη για την υλοποίηση κβαντικών υπολογιστών προκάλεσε κάποια ερωτήματα: Πώς θα αρχικοποιούνται οι κβαντικές καταστάσεις στον υπολογιστή; Πώς θα διαχειρίζονται και πώς θα μετρώνται στο τέλος; Πώς θα απομονώνεται το σύστημα από το περιβάλλον ώστε η κβαντική πληροφορία να διατηρεί τη συνεκτικότητά (coherence) της; Παρόλο που οι κβαντικοί υπολογιστές είναι τόσο ισχυροί, η διαχείριση των υπολογισμών τους δέχεται αυστηρούς περιορισμούς. Οι παρατηρήσεις προκαλούν αποσύζευξη (decoherence) της κατάστασης, δηλαδή την προβολή της σε κάποιο από τα 13

14 διανύσματα βάσης του χώρου καταστάσεων μέσω της κατανομής πιθανότητας μίας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Έτσι, γεννάται η ανάγκη για κβαντικό έλεγχο. 14

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: AΛΓΕΒΡΕΣ ΚΑΙ ΟΜΑΔΕΣ LIE, ΧΩΡΟΙ HILBERT 2.1 Άλγεβρες Lie και ομάδες Lie Συγκεντρώνουμε σε αυτό το κεφάλαιο ορισμούς που αφορούν στις άλγεβρες και στις ομάδες Lie. Θα αναφερθούν κάποια βασικά στοιχεία της γραμμικής άλγεβρας [1, 3, 9, 19, 21]. Ορισμός 2.1. Ένας διανυσματικός χώρος πάνω από ένα σώμα είναι ένα σύνολο εφοδιασμένο με δύο πράξεις, αυτή της πρόσθεσης που συμβολίζεται και αυτή του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που συμβολίζεται και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: i) Προσεταιριστική (associative): ii) iii) iv) Ύπαρξη μηδενικού στοιχείου (zero element): Υπάρχει στοιχείο Ύπαρξη αντίθετου στοιχείου (opposite element): Υπάρχει στοιχείο Αντιμεταθετική (commutative): v) Επιμεριστική (distributive): και vi) vii) Ύπαρξη μοναδιαίου στοιχείου (unit element): Υπάρχει στοιχείο Τα στοιχεία του διανυσματικού χώρου λέγονται διανύσματα. Ορισμός 2.2. Μία προσεταιριστική άλγεβρα είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από ένα σώμα εφοδιασμένος με πολλαπλασιασμό, δηλαδή, που ικανοποιεί τις ιδιότητες: i) ii) 15

16 iii) για κάθε και κάθε. Ορισμός 2.3. Ένα σώμα είναι ένα σύνολο, με τουλάχιστον δύο στοιχεία, εφοδιασμένο με δύο πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, οι οποίες απεικονίζουν τα στοιχεία κάθε και που ανήκουν στο στα στοιχεία και αντίστοιχα, τα οποία ανήκουν επίσης στο και ικανοποιούν τα εξής αξιώματα. i) και, ii) και, iii) Υπάρχει μοναδικό στοιχείο, τέτοιο ώστε, iv) Υπάρχει μοναδικό στοιχείο, τέτοιο ώστε, v) Υπάρχει μοναδικό στοιχείο, τέτοιο ώστε, vi) Υπάρχει μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο, τέτοιο ώστε, vii), Ορισμός 2.4. Μία ομάδα είναι ένα μη κενό σύνολο εφοδιασμένο με μία πράξη που έχει απεικόνιση, η οποία είναι: i) Προσεταιριστική: ii) Έχει μοναδικό ουδέτερο στοιχείο : iii) Έχει μοναδικό συμμετρικό στοιχείο : Αν επιπλέον, η πράξη είναι αντιμεταθετική, δηλαδή, τότε η ομάδα ονομάζεται αβελιανή. Ορισμός 2.5. Μία άλγεβρα Lie πάνω από ένα σώμα ή είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το εφοδιασμένος με μία πράξη. Αυτή η πράξη μεταξύ δύο στοιχείων του δίνει ένα στοιχείο του, το που ονομάζεται Lie bracket και ικανοποιεί τις ιδιότητες: 16

17 i) Διγραμμικότητα: ii) iii) Ταυτότητα Jacobi: Παρατηρείται ότι το Lie bracket δεν είναι ούτε αντιμεταθετική ούτε προσεταιριστική πράξη, δηλαδή και. Ειδικότερα, θα αναφερθούν οι άλγεβρες Lie πινάκων, στις οποίες η πράξη πινάκων : είναι η διαφορά των γινομένων δύο Παραδείγματα αλγεβρών Lie είναι η γενική γραμμική άλγεβρα (αντίστοιχα και ) που αποτελείται από όλους τους τετράγωνους πίνακες με πραγματικά (μιγαδικά) στοιχεία και η ειδική (special unitary) άλγεβρα Lie που είναι η άλγεβρα Lie των αντιερμητιανών (skew-hermitian) unitary πινάκων με μιγαδικά στοιχεία και ίχνος 0. Ιδιαίτερο ρόλο παίζει η άλγεβρα Lie που αποτελείται από πίνακες με μηδενικό ίχνος. Το απλούστερο, αλλά πολύ σημαντικό παράδειγμα είναι η, η οποία παράγεται από τους πίνακες Pauli: (2.1) Οι πίνακες Pauli ικανοποιούν τις σχέσεις: (2.2) Μεγαλύτερο ενδιαφέρον για εμάς έχουν οι ομάδες Lie μοναδιαίων πινάκων διάστασης και των μοναδιαίων πινάκων διάστασης με ορίζουσα ίση με. Η πρώτη κατηγορία ονομάζεται ομάδα unitary και συμβολίζεται και η δεύτερη ονομάζεται special unitary και συμβολίζεται. 17

18 Ορισμός 2.6. Ένας πίνακας συζυγή ανάστροφό του: είναι μοναδιαίος αν ο αντίστροφός του ισούται με τον (2.3) Δηλαδή,, όπου είναι ο συζυγής ανάστροφος του. Ορισμός 2.7. Έστω ένας τετράγωνος πίνακας. Ορίζεται σαν ίχνος του πίνακα το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων του Ισχύουν οι ιδιότητες, με τον ανάστροφο πίνακα του και. Ορισμός 2.8. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα με στοιχεία από το συμβολίζεται και είναι το πολυώνυμο (2.4) Ο είναι ο ταυτοτικός πίνακας και το στοιχείο, το οποίο είναι ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, λέγεται ιδιοτιμή του [18, 20]. 2.2 Ομομορφισμοί και Ισομορφισμοί Ορισμός 2.9. Έστω δύο ομάδες Lie. Η απεικόνιση λέγεται ομομορφισμός των ομάδων Lie αν έχει τις ιδιότητες (2.5) (2.6) για κάθε. Οι πράξεις αριστερά και δεξιά αναφέρονται σε πράξεις των ομάδων και αντίστοιχα. 18

19 Ένας ένα προς ένα και επί ομομορφισμός των ομάδων Lie ονομάζεται ισομορφισμός και οι δύο ομάδες Lie λέγονται ισόμορφες αν υπάρχει τέτοιος ισομορφισμός. 2.3 Ομάδες και Η άλγεβρα Lie που σχετίζεται με την ομάδα είναι η των αντιερμητιανών (skew-hermitian) πινάκων που παράγεται από τους πίνακες Pauli (2.1) και ικανοποιούν τις σχέσεις (2.2). Η είναι επίσης εφοδιασμένη με εσωτερικό γινόμενο που δίνεται από τη σχέση (2.7) Με αυτό το εσωτερικό γινόμενο οι είναι ορθογώνιοι μεταξύ τους. Έστω ένας διανυσματικός χώρος πάνω στους μιγαδικούς και ένα διάνυσμα του χώρου αυτού. Μία περιστροφή στο χώρο αυτό μετασχηματίζει το διάνυσμα στο σύμφωνα με μία σχέση του τύπου (2.8) όπου ένα στοιχείο της και τα είναι μιγαδικοί. Οπότε, αφού και, πρέπει να ισχύουν τα εξής: (2.9α) Έστω, τότε από την τέταρτη σχέση της (2.9α), προκύπτει ότι και λόγω της τρίτης,, πράγμα που σημαίνει ότι και ο είναι διαγώνιος με. Έστω τώρα και χρησιμοποιώντας την τρίτη σχέση της (2.9α), το γράφεται ως, οπότε προκύπτουν και. Επομένως,. Αφού οι είναι μιγαδικοί, μπορούν να γραφούν ως: 19

20 (2.9β) Χρησιμοποιώντας ξανά το και αντικαθιστώντας τους παραπάνω τύπους, προκύπτει ότι. Παίρνοντας την τελευταία σχέση της (2.9α) και εφαρμόζοντας τις σχέσεις (2.9β), φαίνεται ότι, άρα, και. Επομένως, και. Έτσι, γενικότερα, κάθε στοιχείο της μπορεί να γραφεί ως (2.10) με. Η ομάδα είναι μία ομάδα ορθογώνιων πινάκων με ορίζουσα ίση με. Η ομάδα αυτή ονομάζεται και ομάδα στροφών (rotation group). Η άλγεβρα Lie με την οποία σχετίζεται είναι η, δηλαδή η άλγεβρα Lie των αντιερμητιανών (skew-hermitian) πινάκων. Παράγεται από τους πίνακες (2.11) που ικανοποιούν τις σχέσεις: (2.12) Κάθε πίνακας της που εφαρμόζεται σε ένα διάνυσμα αναπαριστά μία στροφή του γύρω από έναν άξονα. Κάθε, εκτός από τον μοναδιαίο πίνακα, έχει ακριβώς μία ιδιοτιμή ίση με ένα. Το αντίστοιχο διάνυσμα για το οποίο είναι ο άξονας περιστροφής, δηλαδή δίνει την κατεύθυνση των διανυσμάτων που δεν αλλάζουν από τον. Επίσης, σημαντική είναι η σχέση μεταξύ των ομάδων και. Από τα όσα αναφέρθηκαν, προκύπτει ότι υπάρχει μία απεικόνιση που είναι ομομορφισμός. Οι δύο αυτές ομάδες είναι τοπικά ισόμορφες, αλλά γενικά συνδέονται με μία σχέση ομομορφισμού. Η παρακάτω απόδειξη στηρίζεται στο [2]. 20

21 Απόδειξη Για κάθε πραγματικό διάνυσμα, θεωρούμε έναν πίνακα που είναι γραμμικός συνδυασμός των τριών πινάκων Pauli: (2.13) όπου. Η ορίζουσα του είναι και το ίχνος του. Εξετάζοντας τον μετασχηματισμό ομοιότητας: (2.14) με τον πίνακα, σύμφωνα με την (2.9), όπου και για τον οποίο ισχύει, έχουμε Δηλαδή, Συνεπώς,. Άρα ο πίνακας διατηρεί την ορίζουσα και το ίχνος. και Έτσι, υπάρχει μία απεικόνιση, με την οποία ο πίνακας απεικονίζεται στο στοιχείο της που αντιστοιχεί στην 21

22 Αφού, η απεικόνιση είναι ομομορφισμός. Οπότε, υπάρχει μία ομομορφική απεικόνιση της στην, όπου ο πυρήνας του ομομορφισμού αποτελείται από τους πίνακες. Οι ομάδες και είναι λοιπόν τοπικά ισόμορφες. 2.4 Χώροι Hilbert Ορισμός Ένας χώρος Hilbert είναι ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο, μία πράξη δηλαδή, η οποία ικανοποιεί τις ιδιότητες: i) ii) iii), iv), με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν όπου δηλώνει τον συζυγή ανάστροφο του. Η νόρμα (norm) ενός διανύσματος, ορίζεται ως και αποτελεί τη μετρική του χώρου και η απόσταση μεταξύ δύο διανυσμάτων δίνεται από τη σχέση. Ο χώρος Hilbert είναι πλήρης ως προς τη μετρική αυτή, δηλαδή, κάθε ακολουθία Cauchy στον (για την οποία ισχύει αν και ) συγκλίνει σε στοιχείο του. Προτού μεταβούμε στα στοιχεία της κβαντομηχανικής, είναι χρήσιμο να παρουσιάσουμε τον συμβολισμό Dirac [3, 12]. Σύμφωνα με αυτόν, ένα διάνυσμα στήλη συμβολίζεται ως και λέγεται ket, ενώ ένα διάνυσμα γραμμή συμβολίζεται ως λέγεται bra. Έτσι, (2.15) (2.16) 22

23 για κάθε διάνυσμα, με τα συζυγή μιγαδικά των. Για κάθε διατεταγμένο ζεύγος, ορίζεται η μιγαδική ποσότητα που λέγεται bra-ket και η οποία πληροί τις προϋποθέσεις: i) για (2.17) ii) για (2.18) iii) (2.19) Επίσης, ορίζεται το μέτρο και είναι πεπερασμένο. Σημειώνεται ότι το bra-ket είναι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων, ενώ το ket-bra, το εξωτερικό γινόμενο. Ορισμός Έστω δύο διανυσματικοί χώροι Hilbert. Ένας γραμμικός τελεστής είναι μία γραμμική απεικόνιση από τον στον. Ορισμός Έστω δύο διανυσματικοί χώροι πάνω από το. Μία γραμμική απεικόνιση είναι μία απεικόνιση για την οποία ισχύει η ιδιότητα Έστω δύο (ή περισσότεροι) γραμμικοί τελεστές και. Το άθροισμα τελεστή αθροίσματος που δρα στο ket δίνει: Αν και γραμμικός τελεστής, τότε ο τελεστής ορίζεται ως: Επίσης, υπάρχει το γινόμενο δύο γραμμικών τελεστών, ο γραμμικός τελεστής ορίζεται ως που Ορισμός Ερμητιανός συζυγής (Hermitian adjoint) ή απλά συζυγής ενός τελεστή ονομάζεται ο τελεστής, ο οποίος έχει τις παρακάτω ιδιότητες: i) 23

24 ii) iii) iv) όπου. Ορισμός Ένας τελεστής αυτοσυζυγής (self-adjoint) αν. λέγεται ερμητιανός (Hermitian) ή, ενώ αντιερμητιανός (skew-hermitian) αν Ορισμός Ένας γραμμικός τελεστής τελεστής αν ικανοποιεί την σχέση (2.3). του χώρου Hilbert λέγεται unitary 24

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 3.1 Τα αξιώματα της κβαντομηχανικής Στο σημείο αυτό θα αναφερθούν κάποιες βασικές αρχές της κβαντομηχανικής, των αξιωμάτων της και του μαθηματικού φορμαλισμού της. [3, 7], [10, p ] [12, 22]. Αξίωμα 1: Ο χώρος των «καθαρών» καταστάσεων είναι ένας χώρος Hilbert με norm ίση με. Με τον όρο κβαντική κατάσταση εννοείται εκείνο το μαθηματικό αντικείμενο που περιγράφει πλήρως την κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία καθορισμένη στιγμή το κβαντικό σύστημα. Από μαθηματικής απόψεως, η κβαντική κατάσταση είναι ένα διάνυσμα του χώρου Hilbert. Όλες οι δυνατές καταστάσεις του συστήματος πρέπει και μπορούν να υπάρχουν μέσα στο χώρο αυτό. Ορισμός 3.1. Παρατηρήσιμο (observable) ορίζεται κάθε ιδιότητα του φυσικού συστήματος, η οποία μπορεί να μετρηθεί με τις μεθόδους της Φυσικής. Αξίωμα 2: Τα παρατηρήσιμα μεγέθη ενός κβαντικού συστήματος αναπαρίστανται από Ερμητιανούς τελεστές. Αξίωμα 3: Η μέτρηση ενός παρατηρήσιμου δυνατά αποτελέσματα τις ιδιοτιμές του. (υπό την έννοια της πιθανότητας) έχει ως Αξίωμα 4: Η χρονική εξέλιξη μίας κατάστασης του κβαντικού συστήματος περιγράφεται από την εξίσωση Schrödinger: όπου είναι η «Χαμιλτονιανή» του συστήματος, δηλαδή ο αυτοσυζυγής τελεστής που παριστά την ενέργεια του συστήματος και η σταθερά Plank διαιρεμένη με το. 25

26 3.2 Περιγραφή κβαντικών καταστάσεων Η κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος περιγράφεται από το αντίστοιχο καταστατικό διάνυσμα του χώρου Hilbert, το λεγόμενο διάνυσμα ket κατά το συμβολισμό Dirac [22]. Ένα απλό σύστημα με δύο καταστάσεις μπορεί να βρεθεί σε μία γραμμική υπέρθεση των δύο βασικών συνιστωσών: (3.1) όπου οι συντελεστές είναι μιγαδικοί αριθμοί με την ιδιότητα, ενώ τα μέτρα τους εκφράζουν την πιθανότητα να είναι το σύστημα στην κατάσταση και τα διανύσματα σχηματίζουν μία πλήρη ορθοκανονική βάση για το καταστατικό διάνυσμα. Ο όρος «πλήρης» ορθοκανονική βάση σημαίνει ότι οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου Hilbert μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των. Τα ορίζουν ένα σύστημα αξόνων στον χώρο, όπως τα μοναδιαία διανύσματα ορίζουν ένα σύστημα αξόνων για τα συνήθη διανύσματα στον Ευκλείδειο χώρο. Το διάνυσμα περιέχει όλες τις πληροφορίες για το αντίστοιχο σύστημα. Η υπέρθεση (superposition) είναι μία γενίκευση της έννοιας του γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων και μπορεί να επεκταθεί πέρα από ένα σύστημα δύο καταστάσεων. Στη γενική περίπτωση, αν το σύστημα μπορεί να βρεθεί σε διαφορετικές καταστάσεις, τότε αυτό μπορεί να περιγραφεί από την κυματοσυνάρτηση, η οποία είναι μία γραμμική υπέρθεση όλων των βασικών καταστάσεων: (3.2) όπου οι συντελεστές βάρους είναι μιγαδικοί αριθμοί. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε όλες αυτές τις καταστάσεις συγχρόνως. Ορισμός 3.2. Ένα κβαντικό σύστημα είναι συνεκτικό (coherent) αν βρίσκεται σε γραμμική υπέρθεση των βασικών καταστάσεών του. Ορισμός 3.3. Άρση συνεκτικότητας (decoherence) ονομάζεται η εξής διαδικασία. Αν το σύστημα αλληλεπιδράσει με το περιβάλλον του με κάποιο τρόπο (π.χ. γίνεται μέτρηση), τότε η υπέρθεση καταστρέφεται και το σύστημα παρατηρείται σε μία μόνο 26

27 βασική κατάσταση. Το μέτρο των συντελεστών της (3.2) δίνει την πιθανότητα η να καταρρεύσει στην κατάσταση όταν υφίσταται αλληλεπίδραση με το περιβάλλον. 3.3 Κβαντικά bit (Qubit) Η μονάδα πληροφορίας στην κβαντική πληροφορική είναι το qubit. Ουσιαστικά πρόκειται για ένα κβαντικό σύστημα (π.χ. πυρηνικό spin, πολωμένο φωτόνιο, κβαντική τελεία κλπ.), στο οποίο οι δυαδικές καταστάσεις Boole και αναπαρίστανται από ένα ζεύγος κανονικοποιημένων και αμοιβαία ορθογώνιων καταστάσεων και, οι οποίες ορίζουν και την υπολογιστική βάση. Κάθε κατάσταση του qubit είναι μία υπέρθεση των καταστάσεων βάσης: (3.3) έτσι ώστε, με. Είναι ενδιαφέρον να γίνει μία σύγκριση μεταξύ κβαντικών και κλασικών bit. Αντίθετα με το κλασικό bit που μπορεί να είναι σε μία μόνο από τις διακριτές καταστάσεις και κάθε φορά, το κβαντικό bit (qubit) μπορεί να είναι και συγχρόνως. Τα qubit παίρνουν τιμές, οι οποίες καθορίζονται από τα πλάτη πιθανότητας και, μία ιδιαιτερότητα που φαίνεται καλύτερα στη λεγόμενη σφαίρα του Bloch. Επιπλέον, η μέτρηση ενός κλασικού bit, δεν επηρεάζει την κατάσταση του φυσικού συστήματος. Στην περίπτωση όμως του κβαντικού bit, η μέτρηση έχει σαν αποτέλεσμα την κατάσταση με πιθανότητα και την κατάσταση με πιθανότητα. Γενικά, η μέτρηση διαταράσσει μη αντιστρέψιμα το κβαντικό σύστημα και έτσι οδηγεί σε κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης. Η μέτρηση ενός κβαντικού συστήματος μπορεί να δώσει ένα αποτέλεσμα, ή. Τέλος, αντίθετα με το bit, το qubit δεν μπορεί να κλωνοποιηθεί, δηλαδή να παραχθεί ένα πανομοιότυπο αντίγραφό του. Ισχύει το θεώρημα μη-κλωνισμού των Wootters και Zurek [16], το οποίο αποδεικνύει ότι είναι αδύνατο να παραχθούν πανομοιότυπα αντίγραφα άγνωστων κβαντικών καταστάσεων. 27

28 3.4 Pure και mixed states Έστω ένας διανυσματικός χώρος Hilbert διάστασης και η βάση του. Μία αμιγής κατάσταση (pure state) του κβαντικού συστήματος περιγράφεται από ένα μοναδιαίο διάνυσμα (3.4) όπου και (3.5) Οι αριθμοί λέγονται μέτρα πιθανοτήτων. Στην πραγματικότητα, τα κβαντικά συστήματα δεν είναι πλήρως απομονωμένα από το περιβάλλον, συνεπώς διαταράσσονται μη αντιστρέψιμα και έτσι παρουσιάζονται αβεβαιότητες στο σύστημα. Όταν η γνώση για μία κατάσταση δεν είναι ολοκληρωμένη, διότι είναι γνωστές μόνο οι πιθανότητες μεμονωμένων αποτελεσμάτων (όπως για παράδειγμα η οριζόντια πόλωση ενός φωτονίου με πιθανότητα και κατακόρυφη με πιθανότητα ), και πάλι μία τέτοια κατάσταση μπορεί να εκφραστεί κβαντικά. Κάθε σύστημα μπορεί να βρεθεί σε μία από πολλές, αλλά πεπερασμένου πλήθους, πιθανές καταστάσεις με πιθανότητα για κάθε. Έστω ένα κβαντικό σύστημα και μία κατάστασή του που εμφανίζεται με πιθανότητα. Αυτή η περίπτωση λέγεται μίξη καταστάσεων ή mixed state. Η mixed state μπορεί να προέρχεται είτε επειδή δεν υπάρχει ολοκληρωμένη γνώση για το σύστημα ή γιατί το σύστημα είναι συζευγμένο (entangled) με άλλα συστήματα. Για παράδειγμα, έστω ένα qubit στην κατάσταση (3.6) 28

29 Αν γίνει μέτρηση σε αυτό, το qubit βρίσκεται σε μία από τις δύο καταστάσεις και με πιθανότητα. Για τον παρατηρητή, πριν τη μέτρηση, το qubit βρίσκεται στη μικτή κατάσταση (3.7) Γενικά, κάθε μικτή κατάσταση γράφεται στη μορφή (3.8) όπου είναι pure states. Μία μικτή κατάσταση (mixed state) είναι η κατανομή πιθανοτήτων πάνω από τις pure states. Είναι το στατιστικό σύνολο των pure states και αναπαριστάται με πίνακες πυκνότητας (density matrices). Αυτό το είδος συνδυασμών καταστάσεων, βασισμένων σε πιθανότητες λέγεται mixture of states και η κατάσταση που προκύπτει από αυτές (και περιγράφεται από τον ) είναι η mixed state. Μία μίξη καταστάσεων είναι διαφορετική από την υπέρθεση και δεν πρέπει να συγχέεται με αυτή. Η υπέρθεση δίνει ένα συγκεκριμένο διάνυσμα κατάστασης, ενώ μία μίξη δεν δίνει. Αντίθετα με τα qubit που βρίσκονται σε pure state, όπου η κατάστασή τους απεικονίζεται με ένα διάνυσμα κατάστασης, όταν ένα qubit βρίσκεται σε mixed state, ο τελεστής πυκνότητας χρησιμοποιείται για να εκφράσει την κατάστασή του. Στην πραγματικότητα, οι δύο αυτές εκφράσεις είναι μαθηματικά ισοδύναμες, αλλά έχουν διαφορετικές, αν και όμοιες, φυσικές ερμηνείες. Οι αρχές που δημιουργούν τη βάση της θεωρίας της κβαντομηχανικής μπορούν να διατυπωθούν με οποιαδήποτε από τις δύο προσεγγίσεις: διανύσματα κατάστασης ή τελεστές πυκνότητας. 3.5 Η σφαίρα του Bloch Χρησιμοποιώντας την αναπαράσταση σε μορφή πινάκων, οι ορθογώνιες καταστάσεις και αντιστοιχούν στα ορθογώνια διανύσματα: 29

30 (3.9) Η φυσική κατάσταση ενός σωματιδίου μπορεί επομένως να γραφεί: (3.10) όπου και. Οι αριθμοί και αποτελούν τις σφαιρικές συντεταγμένες και ορίζουν ένα σημείο στην τριδιάστατη σφαίρα. Αυτή είναι η σφαίρα του Bloch (Bloch sphere). Οι κβαντικές καταστάσεις με αυθαίρετες τιμές του παριστάνονται στο ίδιο σημείο της σφαίρας του Bloch, διότι ο παράγοντας (γνωστός ως global phase) δεν έχει επίδραση στον υπολογισμό των μέσων τιμών των παρατηρούμενων μεγεθών και έτσι μπορεί κάποιος να γράψει: (3.11) Η σφαίρα του Bloch παρέχει μία οπτικοποίηση της κατάστασης ενός qubit. Εικόνα 3.1: Σφαίρα του Bloch Ο βόρειος και ο νότιος πόλος στη σφαίρα του Bloch έχουν επιλεγεί τυπικά για να ανταποκρίνονται στα διανύσματα βάσης και αντίστοιχα, τα οποία με τη σειρά τους μπορεί να ανταποκρίνονται στις καταστάσεις άνω spin και κάτω spin ενός ηλεκτρονίου. Αυτή η επιλογή ωστόσο είναι αυθαίρετη. 30

31 Η κατάσταση οποιουδήποτε two level κβαντικού συστήματος παρουσιάζεται με ένα βέλος από την αρχή των αξόνων ως ένα σημείο στη μοναδιαία σφαίρα. Τα σημεία πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας αφορούν στις αμιγείς καταστάσεις (pure states), ενώ τα σημεία στο εσωτερικό της αφορούν στις μεικτές καταστάσεις (mixed states). Το διάνυσμα μιας mixed state έχει μήκος αυστηρά μικρότερο του 1, δηλαδή το πέρας του είναι στο εσωτερικό της σφαίρας. Το πέρας της pure state είναι στην επιφάνεια της σφαίρας του Bloch. Όλα τα διανύσματα, στο εσωτερικό και στην επιφάνεια της σφαίρας, ονομάζονται διανύσματα Bloch. Οι pure states περιγράφονται από τη σχέση (3.11), ενώ οι mixed states περιγράφονται από τον πίνακα συχνότητας. 3.6 Πίνακας πυκνότητας Ο πίνακας πυκνότητας (τελεστής πυκνότητας) περιέχει όλες τις δυνατές πληροφορίες που μπορεί να έχει το σύστημα. Είναι ένας Ερμητιανός πίνακας, θετικά ορισμένος, τέτοιος ώστε το ίχνος του να είναι και ικανοποιεί την ανισότητα, με την ισότητα να ισχύει για αμιγείς καταστάσεις. Ξεκινώντας από την περίπτωση που το σύστημα περιγράφεται από την pure state πίνακας πυκνότητας ορίζεται ως:, ο (3.12) Αυτός ο πίνακας περιγράφει την κατάσταση του συστήματος. Παράδειγμα 3.1. Έστω η κατάσταση (3.13) Αυτή έχει πίνακα πυκνότητας 31

32 (3.14) Το μεγαλύτερο πλεονέκτημα όμως των πινάκων πυκνότητας είναι στην αναπαράσταση των μικτών καταστάσεων. Η γενική περίπτωση μίας μικτής κατάστασης είναι η, όπου οι αμιγείς καταστάσεις. Για κάθε mixed state ορίζεται ο πίνακας πυκνότητας : (3.15) όπου και. Ο τελεστής πυκνότητας είναι ένας αυτοσυζυγής (Ερμητιανός) θετικά ορισμένος τελεστής. (3.16) (3.17) (3.18) Για το κβαντικό σύστημα ενός qubit, ο αντίστοιχος τελεστής πυκνότητας ανήκει στο μιγαδικό διανυσματικό χώρο, ο οποίος αποτελείται από το σύνολο όλων των τελεστών που παράγονται από τους πίνακες Pauli. Συνεπώς, ο τελεστής πυκνότητας μπορεί να αναλυθεί σε γραμμικό συνδυασμό των πινάκων Pauli, χρησιμοποιώντας μιγαδικούς συντελεστές: (3.19) 32

33 όπου. Οι μιγαδικοί συντελεστές μπορούν να γίνουν πιο συγκεκριμένοι σύμφωνα με τους περιορισμούς που ισχύουν για τους τελεστές πυκνότητας. Πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις (3.16)-(3.18). Οπότε, η παραπάνω εξίσωση μπορεί να μετασχηματιστεί έτσι ώστε να συμφωνεί με μία γεωμετρική αναπαράσταση: (3.20) όπου είναι το τριδιάστατο διάνυσμα των πινάκων Pauli και το μοναδιαίο διάνυσμα Bloch. (3.21) (3.22) Πράγματι, στην προσπάθεια να συσχετιστούν οι unitary τελεστές μιας κβαντικής κατάστασης με στροφές πάνω στη σφαίρα του Bloch είναι βασικό να χρησιμοποιηθεί ο αντίστοιχος τελεστής πυκνότητας: όπου, οπότε και χρησιμοποιώντας βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες: Τότε, ομαδοποιώντας τους όρους ως προς τη βάση { } έπεται Έτσι προκύπτει η σχέση της (3.20). 33

34 Αν ισχύει, τότε έχουμε μία pure κατάσταση, ενώ αν, τότε έχουμε μία mixed κατάσταση. Συνεπώς, οι pure καταστάσεις είναι σημεία πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας, ενώ οι mixed είναι σημεία στο εσωτερικό της σφαίρας. 3.7 Κβαντικές πύλες Ορισμός 3.4. Η πύλη είναι ένα λογικό κύκλωμα, το οποίο παράγει ένα λογικό σήμα εξόδου (λογικό-1 ή λογικό-0) αν ικανοποιούνται οι κατάλληλες λογικές συνθήκες εισόδου. Στην γενική περίπτωση μία πύλη έχει έναν ορισμένο αριθμό εισόδων και εξόδων όχι απαραίτητα ίσων μεταξύ τους. Το κάθε σήμα, είτε εισόδου, είτε εξόδου, παριστάνει και μία μεταβλητή που μεταφέρει ένα bit πληροφορίας. Οι κβαντικές λογικές πύλες (quantum logic gates) ορίζονται σαν «κυκλώματα», τα οποία πραγματοποιούν καθορισμένες unitary πράξεις πάνω σε συγκεκριμένα qubit και για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Σε αντίθεση με τις κλασικές λογικές πύλες, οι κβαντικές πύλες θα πρέπει υποχρεωτικά να είναι αντιστρεπτές, οπότε θα πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμό εισόδων και εξόδων. Η απλούστερη μορφή κβαντικής πύλης είναι αυτή που αφορά σε επεξεργασία ενός qubit και αφορά σε κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων. Η πύλη αυτή θα εκτελεί έναν unitary μετασχηματισμό, δηλαδή θα είναι στην ουσία ένας unitary τελεστής. V Εικόνα 3.2: Πύλη ενός qubit (1-qubit gate) Μία από τις πιο συνηθισμένες πύλες ενός qubit είναι η πύλη Hadamard, η οποία ορίζεται ως εξής: (3.23) Η πύλη είναι αυτή που πραγματοποιεί αντιστροφή του qubit εισόδου από σε και από σε. Ορίζεται ως 34

35 (3.24) και είναι ο πίνακας Pauli. Γενικά, στο σύστημα δύο καταστάσεων, οι τελεστές,,, και οι γραμμικοί συνδυασμοί τους δίνουν όλους τους δυνατούς τελεστές. Μέσω αυτών μπορούν να οριστούν οι πίνακες Pauli, οι οποίοι είναι εξαιρετικά πρακτικοί στην κβαντική μηχανική. Για παράδειγμα, ισχύει (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) Φυσικά υπάρχουν και πύλες άνω του ενός qubit. Θα αναφερθούμε μόνο και στις πύλες 2-qubit καθώς οι πύλες μεγαλύτερων διαστάσεων προκύπτουν ανάλογα. Η συνηθέστερη μορφή πύλης 2-qubit είναι η ελεγχόμενη πύλη. Σε μερικές περιπτώσεις μάλιστα, δημιουργούν entangled καταστάσεις, όπως για παράδειγμα η πύλη που δημιουργεί σύζευξη [6]. Εικόνα 3.3: Δράση της πύλης. To συμβολίζει την πρόσθεση κατά Η κβαντική πύλη αντιπροσωπεύει μια unitary διαδικασία της μορφής, δίνεται από τον πίνακα (3.29) και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παράγει σύζευξη μεταξύ ασυσχέτιστων προηγουμένως qubit. Το πρώτο qubit της πύλης αυτής λέγεται qubit ελέγχου και το δεύτερο qubit στόχος. Από την οπτική πλευρά της υπολογιστικής βάσης, το qubit 35

36 ελέγχου είναι σταθερό και το qubit στόχος αλλάζει αν και μόνο αν το qubit ελέγχου έχει την τιμή. 36

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΩΝ ΠΥΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΓΩΝΙΩΝ EULER 4.1 Εισαγωγή στους τελεστές two level συστημάτων κβαντομηχανικής Η πιο γενική μορφή του Χαμιλτονιανού για ένα two level σύστημα μπορεί να γραφεί ως εξής [8]: (4.1) όπου ο μοναδιαίος πίνακας και οι πίνακες Pauli (2.1). Οι πίνακες Pauli ικανοποιούν τις σχέσεις: (4.2) Δηλαδή, η βάση είναι ισόμορφη με τη βάση των quaternion, αν Οι ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τη βάση των quaternion, τα οποία συνδέονται άμεσα με στροφές στον τριδιάστατο χώρο, είναι και ισχύουν και με κυκλική εναλλαγή των. Μπορούμε να εισάγουμε ένα εσωτερικό γινόμενο αν τότε 37

38 Αν, τότε λέμε ότι τα και είναι ορθογώνια. Μπορούμε να υπολογίσουμε τα ίχνη των πινάκων Pauli και παρατηρούμε ότι Επομένως, οι είναι αμοιβαία ορθογώνιοι. Επιπλέον, ισχύουν: Ο όρος της (4.1) συνήθως παραλείπεται γιατί εξυπηρετεί μόνο ως παράγοντας φάσης, όταν υπολογίζουμε τον τελεστή εξέλιξης. Όσον αφορά στην εκθετική μορφή ενός διανύσματος, αν, με, είναι Έστω διάνυσμα με μέτρο και το κανονικοποιημένο διάνυσμα. Κάθε unitary τελεστής μπορεί να γραφεί ως: (4.3) όπου,, γνωστή ως παραμετροποίηση Cayley-Klein. Επειδή, ισχύει: (4.4) Υποθέτουμε ότι και είναι οι πολικές συντεταγμένες των και αντίστοιχα, τότε 38

39 (4.5) και (4.6) με, λόγω των σχέσεων (4.5). Συνεπώς, για την υλοποίηση ενός unitary τελεστή όπως ορίζεται στη σχέση (4.3), αρκεί να επιλεγούν κατάλληλα και, έτσι ώστε, και. Εξαιτίας των ισοτήτων (4.7α) (4.7β) (4.7γ) προκύπτει ότι: 39

40 (4.8) Έτσι το προσδιορίζεται. Επίσης, από τις σχέσεις (4.7β) και (4.7γ) δίνονται οι: και Αντικαθιστώντας αυτές στην σχέση, προκύπτει ότι (4.9) πράγμα που καθορίζει το σε βαθμό προσήμου, συνεπώς, καθορίζονται τα και, όπως επίσης και το. Οπότε, αν δεν υπάρχουν περιορισμοί ως προς τις τιμές των, κάθε πύλη μπορεί να υλοποιηθεί σε αυθαίρετα μικρό χρόνο. Ωστόσο, αυτό είναι μάλλον απίθανο να συμβεί. Για τα περισσότερα φυσικά συστήματα, ο Χαμιλτονιανός αποτελείται από έναν Χαμιλτονιανό ολίσθησης (drift Hamiltonian) και έναν Χαμιλτονιανό ελέγχου (control Hamiltonian), ο οποίος εξαρτάται από εξωτερικά πεδία ελέγχου και πολύ συχνά ο Χαμιλτονιανός ελέγχου είναι τέτοιος που δεν γίνεται να ακυρωθεί η ολίσθηση ή η ελεύθερη εξέλιξη του Χαμιλτονιανού, ανεξαρτήτως των ελέγχων που μπορούν να εφαρμοστούν. Για την υλοποίηση κβαντικών πυλών ενός qubit, ο unitary τελεστής που αντιστοιχεί στον Χαμιλτονιανό του συστήματος μπορεί να παραγοντοποιηθεί σύμφωνα με την ανάλυση κατά Euler για τελεστές : (4.10) 40

41 όπου και. Ωστόσο, η ανάλυση κατά Euler δεν είναι πολύ χρήσιμη για την κατασκευή πυλών ενός qubit, διότι ενώ ο έλεγχος για την εφαρμογή διάφορων Χαμιλτονιανών μπορεί να είναι επαρκής, η υλοποίηση ορθογώνιων Χαμιλτονιανών δεν είναι. Επομένως, απαιτείται μία γενίκευση της ανάλυσης κατά Euler που να μπορεί να χρησιμεύσει σε πιο γενικούς Χαμιλτονιανούς. Παρακάτω, χρησιμοποιώντας την ισοδυναμία των και κατά modulo, θα θεωρήσουμε αναλύσεις της ομάδας. Κάθε κβαντική κατάσταση ενός two level συστήματος αναπαριστάται από έναν τελεστή πυκνότητας (4.11) με, και. Ορίζεται μοναδική απεικόνιση: (4.12) μεταξύ των πινάκων πυκνότητας και των σημείων της σφαίρας του των αμιγών καταστάσεων (για τις οποίες ισχύει ή μάλλον μεταξύ ) και των σημείων στη σφαίρα ακτίνας του. Η εξέλιξη του κάτω από την επίδραση του Χαμιλτονιανού αντιστοιχεί σε μία στροφή του διανύσματος Bloch γύρω από τον μοναδιαίο άξονα. Επιπλέον, κάθε τελεστής ισοδυναμεί (κατά modulo ) με στροφή που δρα στο διάνυσμα Bloch με, και. Θέτοντας και ομοίως για τα και, έχουμε: (4.13) Αρχικά, παρουσιάζουμε το πρόβλημα στροφής μίας κατάστασης που αναπαριστάται από ένα διάνυσμα μήκους, σε μία άλλη κατάσταση που έχει ίδια 41

42 απόσταση από την αρχή των αξόνων, χρησιμοποιώντας μόνο στροφές γύρω από δύο σταθερούς άξονες, οι οποίοι δίνονται από τα μοναδιαία διανύσματα και. Υποθέτοντας ότι τα διανύσματα και είναι αυθαίρετα, με, ορίζουμε αρχικά το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων : (4.14) Εικόνα 4.1: Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων βάσει των διανυσμάτων και Με τη βοήθεια της παραπάνω εικόνας (εικ.4.1), μπορούμε να βρούμε τους τύπους των σφαιρικών συντεταγμένων του συστήματος (4.14). Για κάθε, με ορίζουμε το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα και τις σφαιρικές συντεταγμένες ως προς το σύστημα συντεταγμένων. Είναι λοιπόν, 42

43 Επομένως, τα διανύσματα είναι (4.15α) (4.15β) (4.15γ) όπου και. Με υπολογισμούς προκύπτουν τα εξής: (4.16α) (4.16β) Άρα, από τις (4.16α) και (4.16β), είναι (4.17) Οπότε: (4.18α) (4.18β) όπου (4.19) 43

44 Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό των πολικών συντεταγμένων του ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ( ) είναι ο ακόλουθος. σύμφωνα με το 44

45 Αλγόριθμος 1: Είσοδος: μοναδιαία διανύσματα Έξοδος: πολικές συντεταγμένες του if ( ) if ( ) else else if ( ) else 45

46 4.2 Γενικευμένες γωνίες Euler για έλεγχο καταστάσεων Στόχος του ελέγχου καταστάσεων είναι η στροφή του συστήματος από μία γνωστή αρχική κατάσταση στη σφαίρα ακτίνας σε μία τελική κατάσταση στην ίδια σφαίρα, χρησιμοποιώντας μία ακολουθία στροφών γύρω από τους άξονες και. Στην περίπτωση που, θα παραλείπεται το, δηλαδή θα αρκεί ο συμβολισμός. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω. Η ακολουθία στροφών που μεταφέρει την κανονικοποιημένη κατάσταση στην, θα μεταφέρει αυτόματα την στην, δεδομένου ότι και οι δύο ανήκουν στην ίδια σφαίρα ακτίνας. Σε περίπτωση που οι και ανήκουν σε διαφορετικές σφαίρες, η ακολουθία στροφών θα μεταφέρει την σε μία κατάσταση όσο το δυνατόν πλησιέστερα στην. Αυτό είναι χρήσιμο αν η τελική κατάσταση είναι για παράδειγμα pure state, αλλά η πραγματική αρχική κατάσταση έχει, περίπτωση στην οποία είναι αδύνατο να μεταφερθεί το σύστημα στην τελική κατάσταση με έναν unitary μετασχηματισμό, αλλά η ακολουθία στροφών θα δώσει το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα. Αν, δηλαδή οι άξονες περιστροφής είναι κάθετοι, μπορούμε να μεταβούμε σε κάθε τελικό σημείο από οποιοδήποτε αρχικό σημείο, χρησιμοποιώντας το πολύ 2 στροφές γύρω από τους 2 άξονες. (4.20) ή ισοδύναμα (4.21) Δηλαδή, σύμφωνα με την (4.20) και όπως φαίνεται στην εικόνα 4.2α, μπορούμε να πραγματοποιήσουμε μία στροφή γύρω από τον άξονα κατά τη διαφορά των γωνιών του αρχικού και τελικού διανύσματος και έπειτα, όπως φαίνεται στην εικόνα 4.2β, μία στροφή γύρω από τον άξονα κατά την διαφορά των αντίστοιχων γωνιών. Ανάλογα, η σχέση (4.21) περιγράφει την ίδια διαδικασία ξεκινώντας όμως με στροφή γύρω από τον άξονα, την οποία διαδέχεται η στροφή γύρω από τον άξονα. Παραστατικά, αυτό περιγράφεται από τις εικόνες 4.3α και 4.3β. 46

47 Εικόνα 4.2α Εικόνα 4.2β Εικόνα 4.3α Εικόνα 4.3β Εικόνες 4.2α 4.3β: Απεικόνιση στροφών γύρω από δύο κάθετους άξονες. Ως οριζόντιος είναι ο άξονας και ως κατακόρυφος ο. Με κόκκινο χρώμα απεικονίζεται το αρχικό διάνυσμα κατάστασης και με μπλε το τελικό. Σύμφωνα με το θεώρημα στροφών του Euler, για την περιγραφή της μεταβολής της θέσης ενός διανύσματος, χρησιμοποιούμε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων σημείο αναφοράς. Η θέση του διανύσματος καθορίζεται από έναν πίνακα στροφής, ο οποίος εκφράζεται ως το γινόμενο με 47

48 τριών διαδοχικών περιστροφών γύρω από τους άξονες και. Οι γωνίες και καλούνται γωνίες Euler. Οι πίνακες και ορίζονται ως: Η διαδικασία που εφαρμόζεται για να πραγματοποιηθεί η στροφή είναι η εξής. Αρχικά, στρέφουμε ως προς τον άξονα κατά γωνία (βλ. εικ.4.4α), χρησιμοποιώντας τον πίνακα, στη συνέχεια ως προς τον νέο άξονα, τον κατά γωνία (βλ. εικ.4.4β), με τον πίνακα και τέλος ως προς τον νέο άξονα κατά γωνία (βλ. εικ.4.4γ), χρησιμοποιώντας τον. Εικόνα 4.4α Εικόνα 4.4β Εικόνα 4.4γ Κάθε κατάσταση μπορεί να περιγραφεί από τις γωνίες Euler. Ωστόσο, η παραγοντοποίηση με την χρήση των γωνιών Euler δεν είναι πάντα η βέλτιστη. Για αυτόν το λόγο γίνεται η χρήση των γενικευμένων γωνιών Euler, γωνίες οι οποίες ελαχιστοποιούν το πλήθος των στροφών που απαιτούνται για τη μεταβολή μίας κατάστασης. Όπως παρουσιάζεται και αποδεικνύεται στο [4], υπάρχει μία παραγοντοποίηση της μορφής (4.22) με τον ελάχιστο αριθμό παραγόντων. Οι πίνακες και είναι γραμμικά ανεξάρτητοι και μπορούν να οριστούν χωρίς βλάβη της γενικότητας ως και, με τους πίνακες και της (2.11). Οι παράμετροι ονομάζονται γενικευμένες γωνίες Euler. Ο πίνακας μετασχηματίζει τον «νότιο πόλο» της μοναδιαίας σφαίρας σε ένα σημείο. Στην σχέση (4.22) ο όρος 48

49 χρησιμοποιείται για την μετακίνηση μέσα σε ένα υποσύνολο της που αφήνει το αναλλοίωτο, ενώ οι υπόλοιποι παράγοντες για μεταβάσεις από ένα σημείο στη σφαίρα σε ένα άλλο. Στη σφαίρα, κάθε στοιχείο της μορφής αντιστοιχεί σε στροφή γύρω από τον άξονα, ενώ κάθε στοιχείο σε στροφή γύρω από τον άξονα που ορίζεται από το διάνυσμα. Σύμφωνα με αυτά, εφαρμόζοντας τον πίνακα, το σημείο της σφαίρας ακολουθεί μία τροχιά σε κύκλο που είναι η τομή της σφαίρας με ένα οριζόντιο επίπεδο, ως εκ τούτου η συντεταγμένη του σημείου δεν αλλάζει, ενώ εφαρμόζοντας τον πίνακα, το σημείο της σφαίρας ακολουθεί μία τροχιά σε κύκλο που είναι η τομή της σφαίρας με το επίπεδο που είναι κάθετο στο διάνυσμα. Αν ή, όπου είναι η γωνία μεταξύ των αξόνων, τότε υπάρχει πάντα ένα βέλτιστο μονοπάτι για να μεταβούμε από οποιοδήποτε αρχικό σημείο σε κάθε τελικό σημείο, το πολύ σε βήματα, όπου είναι ο μικρότερος ακέραιος που είναι μεγαλύτερος από. Ο πραγματικός αριθμός βημάτων εξαρτάται από την αρχική και τελική κατάσταση και την διαδικασία που ακολουθεί. Μία γενική στρατηγική για μετάβαση από ένα σημείο στη (μοναδιαία) σφαίρα σε ένα άλλο με το ελάχιστο πλήθος στροφών γύρω από δύο μη ορθογώνιους άξονες και, αντίστοιχα, περιγράφεται από τον D Alessandro [4]. Η βασική ιδέα είναι η εξής. Πραγματοποιούμε μία στροφή γύρω είτε από τον είτε από τον κατά κατάλληλη γωνία για να απεικονίσουμε την κατάσταση σε ένα σημείο στον μεγάλο κύκλο του επιπέδου, ακολούθως, στροφές κατά, εναλλάσσοντας τους και άξονες και μία τελευταία στροφή γύρω από τον άξονα με τον οποίο ξεκινήσαμε, υπό κατάλληλη γωνία (βλ. εικ.4.5). Η εναρκτήρια στροφή εξαρτάται από τη θέση του τελικού σημείου. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρώντας και, αν το τελικό σημείο ανήκει στη ζώνη, οι στροφές ξεκινούν από τον άξονα, ενώ αν ανήκει στη ζώνη, ξεκινούν από τον άξονα. 49

50 Εικόνα 4.5: Προβολή της μοναδιαίας σφαίρας και των αξόνων περιστροφής στον επίπεδο. Οι διακεκομμένες γραμμές δείχνουν την ακολουθία στροφών ξεκινώντας με τον άξονα, ενώ οι συνεχείς ξεκινώντας με τον άξονα. Αν, ανταλλάσσουμε το αρχικό και το τελικό σημείο και αντιστρέφουμε τη διαδικασία στροφών για να πάμε από το τελικό στο αρχικό σημείο. Η μόνη διαφορά μεταξύ των δύο μονοπατιών είναι ακριβώς μία στροφή αν το τελικό σημείο είναι στην ή ζώνη, διαφορετικά ο αριθμός των βημάτων είναι ανεξάρτητος της πρώτης στροφής. Ο αριθμός των στροφών εξαρτάται από τη διαφορά «ύψους» της αρχικής και τελικής κατάστασης και από την γωνία μεταξύ των αξόνων. Στον αλγόριθμο 2 παρατίθεται ένας εξειδικευμένος αλγόριθμος για τον υπολογισμό των γενικευμένων γωνιών Euler για βέλτιστη ανάλυση, δεδομένων των. Η διαδικασία είναι η εξής. Έστω και. Αν, τότε μεταβαίνουμε από το στο σε δύο βήματα, είτε στρέφοντας την γύρω από τον άξονα κατά γωνία και έπειτα γύρω από τον άξονα κατά γωνία (βλ. υπορουτίνα ) είτε στρέφοντας γύρω από τον άξονα κατά γωνία και έπειτα γύρω από τον άξονα κατά γωνία (βλ. υπορουτίνα ). Αν, τότε μεταβαίνουμε από το αρχικό σημείο σε ένα νέο αρχικό σημείο με, μέσω μίας ακολουθίας στροφών κατά γύρω από τους άξονες και όπως περιγράφεται παραπάνω. Το εξαγόμενο του αλγορίθμου είναι μία ακολουθία στροφών, όπου η γενικευμένη γωνία Euler και ή ο άξονας περιστροφής κάθε φορά. 50

51 Για και, η εφαρμογή του αλγορίθμου για την είσοδο, οδηγεί στην ακολουθία (4.23) όπου και οι γωνίες που ορίζονται από τις σχέσεις: (4.24α) (4.24β) αν χρησιμοποιηθεί η, και (4.25) όπου και οι γωνίες που ορίζονται από τις σχέσεις: (4.26α) (4.26β) αν χρησιμοποιηθεί η. Σε κάθε περίπτωση, (4.27) Αν και, τότε ανταλλάσσουμε τα αρχικά και τελικά σημεία θέτοντας και, εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο για είσοδο, για την οποία ισχύει, και έπειτα αντιστρέφουμε την ακολουθία στροφών. Τέλος, αν, ορίζουμε, και, εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο για είσοδο, αν ή για είσοδο, αν και αντικαθιστούμε ή με ή, με, με, με και με. 51

52 Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό της ακολουθίας στροφών γύρω από αυθαίρετους άξονες και για μετάβαση από ένα σημείο της μοναδιαίας σφαίρας σε άλλο είναι ο ακόλουθος. 52

53 Αλγόριθμος 2: Είσοδος:, : πολικές συντεταγμένες αρχικού και τελικού σημείου σύμφωνα με το σύστημα συντεταγμένων (4.14) Έξοδος: διαδικασία στροφών που ορίζει τις στροφές κατά γωνία γύρω από άξονα, με, για μετάβαση από την αρχική στην τελική κατάσταση if ( ) else if ( ) ζεύγη else if ( or ( and ) ) ζεύγη else ζεύγη 53

54 4.3 Γενικευμένες γωνίες Euler για την κατασκευή πυλών Σε αυτό το μέρος θα γίνει αναφορά στο πρόβλημα επέκτασης του αλγόριθμου ελέγχου κατάστασης για εφαρμογή σε αυθαίρετη στροφή. Σημειώνεται ότι για να οριστεί πλήρως μία στροφή στον, οι εικόνες δύο μη αντιδιαμετρικών σημείων είναι απαραίτητες ώστε να οριστεί ο αρχικός και ο τελικός προσανατολισμός (βλ. παράρτημα Β). Έστω, δύο ζεύγη σημείων (αρχικό και τελικό αντίστοιχα). Υποθέτουμε ότι η απόσταση μεταξύ του ζεύγους αρχικής και τελικής κατάστασης είναι ίδια. Μία απλή στρατηγική για να μεταβούμε από τα αρχικά στα τελικά σημεία στη σφαίρα χρησιμοποιώντας το σχέδιο μετάβασης της προηγούμενης ενότητας είναι: 1. Χρήση του αλγορίθμου μεταφοράς κατάστασης και υπολογισμός της σειράς στροφών που μεταφέρει το στο. 2. Χρήση του αλγορίθμου μεταφοράς κατάστασης και υπολογισμός της σειράς στροφών που μεταφέρει το στον «βόρειο πόλο» του συστήματος συντεταγμένων (4.14). 3. Υπολογισμός της διαφοράς μεταξύ των γωνιών των και χρησιμοποιώντας την εξίσωση (4.18β). 4. Μετάβαση από το ζεύγος στο με την σειρά στροφών που δίνεται: (4.28α) (4.28β) όπου η αντίστροφη σειρά στροφών. Χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο, το μεταβαίνει στο με μία σειρά στροφών. Η ίδια διαδικασία μεταφέρει το σημείο στο, το οποίο δεν είναι κατ ανάγκη το σημείο, αλλά έχει ίση απόσταση από το με την απόσταση μεταξύ των και. Η τελική θέση του πρώτου σημείου μετακινείται περαιτέρω, μέσω μίας σειράς στροφών, στον «βόρειο πόλο» της σφαίρας, σύμφωνα με το σύστημα συντεταγμένων (4.14). Η ίδια ακολουθία στροφών απεικονίζει τα σημεία και στα και αντίστοιχα, τα οποία θα πρέπει να έχουν ίση απόσταση από τον «βόρειο πόλο» 54