Το συμπτωτικό πολυώνυμο Τελεστές Διαφορών Διακριτικοποίηση της παραγώγου Παραγώγιση του προσεγγιστικού πολυωνύμου

Transcript

1 Πεπερασμένες Διαφορές και Παραγώγιση: Σχέση διαφορών και τελεστών Το συμπτωτικό πολυώνυμο Τελεστές Διαφορών Διακριτικοποίηση της παραγώγου Παραγώγιση του προσεγγιστικού πολυωνύμου Newton s orward Stirling Newton s bacward Χρήση του αναπτύγματος Talor

2 Πεπερασμένες Διαφορές Έστω ακολουθία τιμών που αντιστοιχούν σε ανισαπέχοντα ορίσματα. Ο τελεστής προς τα πίσω διαφορών Δ δρα επί των στοιχείων της ακολουθίας { } και αποδίδει μια νέα ακολουθία {Δ } = { + - }. Άλλοι τελεστές

3 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Δ Αν = c σταθερή για κάθε, τότε Δ = Ο τελεστής είναι γραμμικός, δηλαδή Δ[C + C ] = C Δ + C Δ Γραμμικός συνδυασμός τελεστών Δ + Δ = Δ + Δ Γινόμενο τελεστών Δ Δ = ΔΔ = Δ + - = = Δ + - Δ = =

4 . ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Δ Λόγος τελεστών. Δ[ / v ] = [v Δ - Δv ]/ + v ΔC =C C- ειδική περίπτωση όταν C=, τότε Δ κ = κ Δυο τελεστές L και L είναι αντίστροφοι ανν. L L = L L = Ι. Π.χ. αν L = L - και L = L τότε L - L =.

5 . ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Δ Να δείξετε ότι Δsin = sin/cos+/ Δcos = -sin/sin+/

6 . ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Δ Δlog = log+/ Δlog / Όταν το / είναι πολύ μικρό

7 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΤΑΞΕΩΣ n n io i n i ni Παρατηρείται ότι οι διαφορές ανώτερης τάξης έχουν αναπτύγματα ανάλογα Με εκείνα του δυωνύμου του Newton.

8 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΤΑΞΕΩΣ Δείξτε ότι Δ = - + -

9 . ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΤΑΞΕΩΣ Θεωρούνται οι παρατηρήσεις ενός σταθερού φαινομένου, που για κάποιο λόγο μετά την η παρατήρηση υπεισήρθε μοναδιαίο σφάλμα που παρέμεινε στις επόμενες παρατηρήσεις. Δ Δ Δ Δ 4 Δ 5 Δ 6 Δ

10 Τελεστές Διαφορών D D : : : : : : / / Προς τα εμπρός διαφορές Μετατόπιση Προς τα πίσω διαφορές Μέση τιμή Κεντρική διαφορά Τελεστής παραγωγήσεως Σχέσεις που συνδέουν τελεστές E

11 Newton-Gregor Εάν το μέγεθος των δεδομένων είναι μεγάλο, τότε ο πίνακας διαιρεμένων διαφορών θα είναι πολύ μεγάλος. Ας υποθέσουμε ότι η επιθυμητή ενδιάμεση τιμή για την οποία ζητείται να εκτιμηθεί η τιμή της συνάρτησης βρίσκεται προς το τέλος και πάντως στο δεύτερο ήμισυ του συνόλου δεδομένων, τότε μπορεί να είναι καλύτερο για να ξεκινήσει η διαδικασία εκτίμησης από το τελευταίο σημείο του συνόλου των δεδομένων. Γι 'αυτό πρέπει να χρησιμοποιούν προς τα πίσω διαφορές και να σχηματοποιηθεί ο πίνακας των προς τα πίσω διαφορών. Ας προσδιοριστούν πρώτα οι προς πίσω διαφορές για να δημιουργήσουν τον πίνακα των προς τα πίσω διαφορών για το σύνολο δεδομένων. Με χρήση των προς τα πίσω διαφορών το συμπτωτικό πολυώνυμο Newton-Gregor θα γίνει

12 Περισσότερα Συμπωτικά Πολυώνυμα Τύπος Gauss orward Τύπος Gauss bacward Τύπος Stirling Τύπος Everet Τύπος Bessel Κανόνας Ζικ-Ζακ.

13 Παράδειγμα

14 Παράδειγμα p Να εφαρμόσετε το ίδιο με τον τύπο Newton προς τα εμπρός.

15 Διακριτικοποίηση της παραγώγου

16 Διακριτικοποίηση της παραγώγου d d

17 Διακριτικοποίηση της παραγώγου Αν = και = -, τότε d d F Η προς τα εμπρός προσέγγιση της παραγώγου

18 Παράδειγμα d d Η προς τα εμπρός προσέγγιση της παραγώγου της συνάρτησης =a+b Στο σημείο = είναι: a b a b b b Ενώ το σφάλμα είναι τάξεως Ο=b Η ακριβής έκφραση της παραγώγου είναι b

19 Διακριτικοποίηση της παραγώγου Κεντρική Διαφορά d d

20 Παράδειγμα Η προσέγγιση της παραγώγου της συνάρτησης =a+b με κεντρικές Διαφορές στο σημείο = είναι: 4 b b b a b a d d Ενώ το σφάλμα είναι τάξεως Ο= Η ακριβής έκφραση της παραγώγου είναι b

21 Διακριτικοποίηση της παραγώγου Πεπερασμένες διαφορές προς τα πίσω. d d

22 Διακριτικοποίηση της παραγώγου Πεπερασμένες διαφορές προς τα πίσω. Αν = και = -, τότε d d Η προς τα πίσω προσέγγιση της παραγώγου

23 Παράδειγμα Η προς τα πίσω προσέγγιση της παραγώγου της συνάρτησης =a+b Είναι: b b b a b a d d Ενώ το σφάλμα είναι Ο τάξεως Η ακριβής έκφραση της παραγώγου είναι b

24 Το προσεγγιστικό πολυώνυμο Newton Προς τα εμπρός διαφορές n i i p...!......! n n n n p ή αλλιώς

25 n i i p !!!!!!!!!... p, ', ή

26 Παραγώγιση του προσεγγιστικού πολυωνύμου Newton s orward ' p p... 4 p

27 Παράδειγμα Δ Δ Δ Δ 4, ,5, ,, ,5, ,, ,5,8 4,,48 Με = και =, 6 p' 6... p',95,7, 54,47

28 Χρήση του αναπτύγματος Talor Το ανάπτυγμα Talor στο σημείο + της συνάρτησης, που δίνεται με την έκφραση =, είναι :

29 Χρήση του αναπτύγματος Talor Το ανάπτυγμα Talor στο σημείο + της συνάρτησης, που δίνεται με την έκφραση =, είναι : '!...

30 Χρήση του αναπτύγματος Talor Το ανάπτυγμα Talor στο σημείο + της συνάρτησης, που δίνεται με την έκφραση =, είναι : '!... Η προσέγγιση της παραγώγου στο σημείο με βήμα γίνεται :

31 Χρήση του αναπτύγματος Talor Το ανάπτυγμα Talor στο σημείο + της συνάρτησης, που δίνεται με την έκφραση =, είναι : '!... Η προσέγγιση της παραγώγου στο σημείο με βήμα γίνεται : ' '!!...

32 Χρήση του αναπτύγματος Talor Το ανάπτυγμα Talor στο σημείο + της συνάρτησης, που δίνεται με την έκφραση =, είναι : '!... Η προσέγγιση της παραγώγου στο σημείο με βήμα γίνεται : '!!... όπου '

33 Χρήση του αναπτύγματος Talor Άρα: ' ' O

34 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της παραγώγου σε σημείο Μια καλλίτερη προσέγγιση είναι εκείνη που επιτυγχάνεται με τη χρήση δύο γειτονικών στο σημείων. Το ανάπτυγμα Talor στα σημεία αυτά θα είναι :

35 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της παραγώγου σε σημείο Μια καλλίτερη προσέγγιση είναι εκείνη που επιτυγχάνεται με τη χρήση δύο γειτονικών στο σημείων. Το ανάπτυγμα Talor στα σημεία αυτά θα είναι : '' ''' ' O 6 4

36 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της παραγώγου σε σημείο Μια καλλίτερη προσέγγιση είναι εκείνη που επιτυγχάνεται με τη χρήση δύο γειτονικών στο σημείων. Το ανάπτυγμα Talor στα σημεία αυτά θα είναι : '' ''' ' O 6 4 Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει :

37 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της παραγώγου σε σημείο Μια καλλίτερη προσέγγιση είναι εκείνη που επιτυγχάνεται με τη χρήση δύο γειτονικών στο σημείων. Το ανάπτυγμα Talor στα σημεία αυτά θα είναι : 6 ''' '' ' 4 O Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει : 6 ''' ' O

38 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της παραγώγου σε σημείο Μια καλλίτερη προσέγγιση είναι εκείνη που επιτυγχάνεται με τη χρήση δύο γειτονικών στο σημείων. Το ανάπτυγμα Talor στα σημεία αυτά θα είναι : 6 ''' '' ' 4 O Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει : 6 ''' ' O Σφάλμα αποκοπής

39 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της παραγώγου σε σημείο Εξετάζεται και πάλι η =b+a Η εκτίμηση της τιμής της παραγώγου είναι η ίδια με εκείνη που βρήκαμε με χρήση της κεντρικής διαφοράς Το σφάλμα προκύπτει από την παράγωγο τρίτης τάξης, που είναι μηδέν ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν η αποκοπή γίνει στο τετραγωνικό όρο, τότε η εκτίμηση συμπίπτει με την τιμή της παραγώγου στο σημείο

40 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της ης παραγώγου σε σημείο

41 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της ης παραγώγου σε σημείο Από το ανάπτυγμα Talor στο

42 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της ης παραγώγου σε σημείο 6 ''' '' ' 4 O Από το ανάπτυγμα Talor στο

43 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της ης παραγώγου σε σημείο 6 ''' '' ' 4 O Από το ανάπτυγμα Talor στο ή

44 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της ης παραγώγου σε σημείο 6 ''' '' ' 4 O Από το ανάπτυγμα Talor στο ή 6 ''' '' ' 4 O

45 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της ης παραγώγου σε σημείο 6 ''' '' ' 4 O Από το ανάπτυγμα Talor στο ή 6 ''' '' ' 4 O Με πρόσθεση κατά μέλη:

46 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της ης παραγώγου σε σημείο 6 ''' '' ' 4 O Από το ανάπτυγμα Talor στο ή 6 ''' '' ' 4 O Με πρόσθεση κατά μέλη: '' O

47 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της ης παραγώγου σε σημείο 6 ''' '' ' 4 O Από το ανάπτυγμα Talor στο ή 6 ''' '' ' 4 O Με πρόσθεση κατά μέλη: '' O και

48 Παράδειγμα Χρήσης του αναπτύγματος Talor για την εκτίμηση της ης παραγώγου σε σημείο 6 ''' '' ' 4 O Από το ανάπτυγμα Talor στο ή 6 ''' '' ' 4 O Με πρόσθεση κατά μέλη: " O '' 4 O και

49 Ο τύπος του Stirling Ο τύπος του Stirling προκύπτει από τους τύπους του Gauss n n n n n p n n

50 Παραγώγιση του τύπου Stirling... 6 ' 4 p

51 Παραγώγιση του τύπου Stirling p 6 4 '... '

52 Παραγώγιση του τύπου Stirling p 4...

53