Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2008, Θεσσαλονίκη

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2008, Θεσσαλονίκη"

Transcript

1

2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ , ISBN Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 008, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.11/199 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη και συγγραφέα κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Bιβλιοπωλείο Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ. 171 Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: (10 γραμ.) - Fax: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ , Fax

3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύνεται σε φοιτητές Θετικών Επιστημών και Πολυτεχνείου και περιέχει την ύλη του μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης (ή των Υπολογιστικών Μαθηματικών). Αριθμητική Ανάλυση είναι ο κλάδος της μαθηματικής επιστήμης που σχεδιάζει και κατασκευάζει αριθμητικές μεθόδους για την κατά προσέγγιση επίλυση διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων. Η ανάπτυξή της συνδέεται άμεσα με την ανάπτυξη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Εφαρμόζεται σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους, όπως είναι η Στατιστική, η Μηχανική, η Μετεωρολογία. Μερικά από τα προβλήματα που επιλύει προσεγγιστικά είναι τα εξής: Η επίλυση γραμμικών συστημάτων με μεγάλο αριθμό εξισώσεων και αγνώστων. Ο υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων, όταν το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμα δεν εκφράζεται με στοιχειώδεις συναρτήσεις. Η επίλυση διαφορικών εξισώσεων, όταν η γενική λύση είναι αδύνατο να βρεθεί ή είναι περίπλοκη. Τα κεφάλαια που αναπτύσσονται είναι: 1. Βασικές έννοιες. Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων. Πολυωνυμική παρεμβολή. Πολυωνυμική προσέγγιση 5. Αριθμητική ολοκλήρωση 6. Επίλυση γραμμικών συστημάτων 7. Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων 8. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων.

4 Αριθμητική Ανάλυση Ακολουθούν ανακεφαλαίωση κατά κεφάλαιο, γενικά παραδείγματα και σύντομες λύσεις των ασκήσεων. Ιανουάριος 008 Θ. Ξένος

5 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες 1.1 Σφάλματα Μετάδοση των σφαλμάτων κατά τους υπολογισμούς Πεπερασμένες διαφορές Μετάδοση σφαλμάτων σε πίνακα διαφορών Γραμμικοί τελεστές... Προτεινόμενες ασκήσεις στο πρώτο κεφάλαιο...6 Κεφάλαιο Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων.1 Η μέθοδος της διχοτόμησης (Bolzano)...9. Γενική επαναληπτική μέθοδος (Picard - Peano).... Η μέθοδος Νewton - Raphson.... Η μέθοδος της τέμνουσας (Regula - Falsi)...8 Προτεινόμενες ασκήσεις στο δεύτερο κεφάλαιο...1 Κεφάλαιο Πολυωνυμική παρεμβολή.1 Παρεμβολή Lagrange.... Πολυώνυμο παρεμβολής σε μορφή Νewton...7. Πολυώνυμο παρεμβολής με πεπερασμένες διαφορές Μέθοδος Aiten...5 Προτεινόμενες ασκήσεις στο τέταρτο κεφάλαιο...56

6 6 Αριθμητική Ανάλυση Κεφάλαιο Πολυωνυμική Προσέγγιση.1 Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Εκθετική προσέγγιση με τη μέθοδο ελάχιστων τετραγώνων...6 Προτεινόμενες ασκήσεις στο τέταρτο κεφάλαιο...65 Κεφάλαιο 5 Αριθμητική Ολοκλήρωση 5.1 Ο κανόνας του τραπεζίου Ο κανόνας Simpson Ο κανόνας των Η μέθοδος Romberg Γενικευμένα ολοκληρώματα...85 Προτεινόμενες ασκήσεις στο πέμπτο κεφάλαιο...90 Κεφάλαιο 6 Επίλυση γραμμικών συστημάτων 6.1 Μέθοδος απαλοιφής του Gauss Διόρθωση της λύσης ενός γραμμικού συστήματος Μέθοδοι παραγοντοποίησης (Crout και Cholesi) Επαναληπτικές μέθοδοι (Jacobi και Gauss - Seidel) Μέθοδος Thomas Μέθοδος SOR Προτεινόμενες ασκήσεις στο έκτο κεφάλαιο Κεφάλαιο 7 Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων 7.1 Βασικές έννοιες Η μέθοδος Euler... 10

7 Περιεχόμενα 7 7. Η μέθοδος Taylor Οι μέθοδοι Runge - Kutta Μέθοδοι πρόβλεψης - διόρθωσης...19 Προτεινόμενες ασκήσεις στο έβδομο κεφάλαιο...1 Κεφάλαιο 8 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων 8.1 Στοιχεία από τη Γραμμική Άλγεβρα Η μέθοδος της δύναμης Ο μετασχηματισμός Householder Η παραγοντοποίηση QR Εύρεση όλων των ιδιοτιμών ενός πίνακα...15 Προτεινόμενες ασκήσεις στο όγδοο κεφάλαιο Ανακεφαλαίωση Γενικά παραδείγματα Σύντομες λύσεις των ασκήσεων Βιβλιογραφία...05 Ευρετήριο όρων...07

8 1.1: Σφάλματα 9 1 ο Kεφάλαιο Βασικές έννοιες 1.1 Σφάλματα ΘΘ... ΞΞ έ ν οο ς Σε πολλές περιπτώσεις είναι πρακτικά αδύνατο να βρεθεί η ακριβής αριθμητική τιμή ενός μεγέθους και χρησιμοποιούμε μια προσεγγιστική τιμή. Αν η προσεγγιστική τιμή είναι μεγαλύτερη από την πραγματική τιμή, τότε ονομάζεται προσέγγιση με υπέρβαση ή υπεροχή, ενώ αν είναι μικρότερη από την πραγματική, ονομάζεται προσέγγιση με έλλειψη. Για παράδειγμα, ο αριθμός = 1,7º έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία. Μια προσέγγιση αυτού με έλλειψη είναι το 1,7 και με υπέρβαση το 1,7. Με την αριθμητική προσέγγιση της λύσης ενός προβλήματος δημιουργούνται σφάλματα. Η διαφορά μεταξύ της πραγματικής και της προσεγγιστικής τιμής ενός μεγέθους ονομάζεται σφάλμα προσέγγισης ή απλώς σφάλμα. Αν συμβολίσουμε με x (ή x ή x*) μια προσέγγιση του x, τότε η ποσότητα ex = x- x ονομάζεται απόλυτο σφάλμα (ή απλώς σφάλμα) της προσέγγισης x, ενώ η ποσότητα e x x- x δ = =, xπ 0 x x ονομάζεται απόλυτο σχετικό σφάλμα (ή απλώς σχετικό σφάλμα) της προσέγγισης x και συχνά εκφράζεται με ποσοστό %. Στην πράξη δε γνωρίζουμε το απόλυτο σφάλμα, εφόσον δε γνωρίζουμε την πραγματική τιμή x. Το απόλυτο σφάλμα έχει ένα προκαθορισμένο όριο ανοχής, δηλαδή, με άλλα λόγια, έχει ένα άνω φράγμα σ.

9 10 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Έτσι, έχουμε και συχνά γράφουμε x- x σ ή x- σ x x+ σ x= x± σ. Λέμε τότε ότι το x είναι μια προσεγγιστική τιμή του x με ακρίβεια προσέγγισης σ. Για παράδειγμα, αν έχουμε x= 7,± 0,, αυτό σημαίνει ότι 7, - 0, x 7, + 0,, δηλαδή 7, x 7,6. Ο αριθμός σ ε = x είναι ένα άνω φράγμα (όριο ανοχής) του σχετικού σφάλματος. Η ισότητα x= x± σ γράφεται και ως εξής x= x(1± ε) και το ε ονομάζεται σχετική ακρίβεια προσέγγισης. Για παράδειγμα, έστω ότι μετράμε το μήκος l ενός τμήματος με ακρίβεια σ= 0,9cm και βρίσκουμε l = 5± 0,9 cm. Ένα άνω φράγμα του σχετικού σφάλματος της προσέγγισης 5 cm είναι και έτσι γράφουμε l = 5(1 ± 0,0) cm. σ 0,9 ε= = = 0,0= % l 5 Αν η προσεγγιστική τιμή x του x γράφεται ως δεκαδικός αριθμός, τότε ένα ψηφίο αυτού θεωρείται βέβαιο ή σωστό, όταν το απόλυτο σφάλμα δεν υπερβαίνει τη μονάδα της θέσης στην οποία βρίσκεται το ψηφίο. Για παράδειγμα, στην τιμή x= 8,1± 0,0 το ψηφίο 8, που δηλώνει μονάδες, είναι βέβαιο, επειδή σ= 0,0< 1. Το ψηφίο 1 (δέκατα) είναι κι αυτό βέβαιο, επειδή 0,0 < 0,1, ενώ το ψηφίο (εκατοστά) δεν είναι βέβαιο, επειδή 0,0 > 0,01. Για να δηλώσουμε ότι όλα τα ψηφία μιας προσεγγιστικής τιμής x της x είναι βέβαια, γράφουμε xª x και αυτό σημαίνει ότι το απόλυτο σφάλμα δεν υπερβαίνει τη μονάδα της θέσης του τελευταίου ψηφίου του x, το οποίο μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο κατά μία μονάδα από το αναγραφόμενο. Για παράδειγμα, η γραφή xª 1, σημαίνει ότι x= 1,± 0,01, δηλαδή 1, x 1,. Επίσης, η γραφή xª 7,106 σημαίνει ότι x = 7,106± 0,0001.

10 1.1: Σφάλματα 11 Η προσεγγιστική τιμή γράφεται συχνά με τυποποιημένη ή εκθετική μορφή, ν δηλαδή με τη μορφή α10, όπου 1 α < 10 και ν ακέραιος αριθμός. 9 9 Για παράδειγμα, η γραφή xª 5,110 σημαίνει ότι x = (5,1± 0,1) 10, ενώ η γραφή xª 7, 10-7 σημαίνει ότι x = (7,± 0,01) Κάθε ψηφίο ενός αριθμού που δεν είναι μηδενικό στην αρχή του αριθμού, ονομάζεται σημαντικό ψηφίο. Έτσι, ο αριθμός 85, έχει σημαντικά ψηφία, ενώ ο αριθμός 0,080 έχει σημαντικά ψηφία (αφού δεν προσμετρούνται τα δύο πρώτα μηδενικά). Στην πράξη συνήθως χρησιμοποιούμε ένα συγκεκριμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων κι επομένως κάνουμε στρογγυλοποίηση (ή στρογγύλευση) του αριθμού. Έτσι, στους υπολογισμούς υπεισέρχεται το λεγόμενο σφάλμα στρογγυλοποίησης. Για παράδειγμα, αν x=,56 και y = 0,781, η στρογγυλοποίηση σε δύο δεκαδικά ψηφία (στρογγυλοποίηση εκατοστού) δίνει και 0,8. Το απόλυτο σφάλμα στρογγυλοποίησης στην πρώτη περίπτωση είναι 0,00, ενώ στη δεύτερη περίπτωση είναι 0, Γενικά, ισχύει e = x- x < 0,5 10 -ν, όταν γίνεται στρογγυλοποίηση σε ν δεκαδικά ψηφία. Αν η στρογγυλοποίηση γίνεται με ν σημαντικά ψηφία, τότε x- x -ν δ= < x x x x Αν σε μια σειρά, όπως είναι η e = 1+ x + + +º, μας ενδιαφέρουν αριθμητικοί υπολογισμοί, δε μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλοι οι όροι της, οπότε!! αποκόπτονται άπειροι όροι και έχουμε το λεγόμενο σφάλμα αποκοπής. Γενικά, τα σφάλματα αυτά δημιουργούνται, όταν άπειρες μαθηματικές διαδικασίες α- ντικαθιστώνται με πεπερασμένο αριθμό διαδικασιών. Με άλλα λόγια, έχουμε μετάβαση από το μαθηματικό μοντέλο στο διακριτό μοντέλο. Εκτός από τα σφάλματα στρογγυλοποίησης και αποκοπής υπάρχουν και άλλα είδη σφαλμάτων, τα οποία εμφανίζονται στα αριθμητικά δεδομένα ή αναπτύσσονται στη διάρκεια των υπολογισμών.

11 1 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Παράδειγμα 1.1 Να υπολογισθεί το απόλυτο και το σχετικό σφάλμα στην προσέγγιση 1 α) του x = από το x= 0, και β) του x= e από το x=,718. Λύση α) Απόλυτο σφάλμα: x - x = - 0, = - 0, x x 1 Απόλυτο σχετικό σφάλμα: - 0,001 = 0,1 %. x 900 β) Αν θεωρήσουμε την τιμή του e με προσέγγιση 5 δεκαδικών ψηφίων, e =,7188, τότε το απόλυτο σφάλμα είναι,7188-,718 = 0,0008 και το απόλυτο σφάλμα είναι 0,0008 0,0001 0,7188. Παράδειγμα 1. Να βρεθεί σε ποιο διάστημα μεταβάλλεται ο x ώστε ο x=, να τον προσεγγίζει με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων. Λύση Πρέπει να ισχύει x- x < 0, ή - 0,005 < x -, < 0,005 ή,5 < x <,5 Παράδειγμα 1. Ποιοι αριθμοί βρίσκονται κοντά στο 0,0 με ακρίβεια δύο σημαντικών ψηφίων; Λύση Πρέπει να ισχύει x x 0,0 1- < 0,05 x ή ή 0,0 0,95 < < 1,05 x ή Επομένως, 0,019 < x < 0,01. - x < - 510, οπότε έχουμε 0,0-0,05 < 1- < 0,05 x < x <

12 1.: Μετάδοση των σφαλμάτων κατά τους υπολογισμούς 1 1. Μετάδοση των σφαλμάτων κατά τους υπολογισμούς ΘΘ... ΞΞ έ ν οο ς Θεωρούμε τις προσεγγιστικές τιμές x,y δύο αριθμών x, y και τα αντίστοιχα σφάλματα ex = x- x, ey = y- y. α) Για την προσέγγιση x+ x+ y έχουμε σφάλμα e x + y με ex+ y ex + ey (1) β) Για την προσέγγιση x- x- y έχουμε σφάλμα ex - y με ex- y ex + ey () Η αιτιολόγηση των (1) και () προκύπτει από τις ισότητες e x+ y = (x+ y) -(x+ y) = (x- x) + (y- y) = ex + ey, δηλαδή ex+ y = ex + ey e x- y = (x-y)-(x- y) = (x-x)-(y- y) = ex - ey, δηλαδή ex- y = ex - ey. γ) Το σφάλμα της προσέγγισης x y είναι δ) Το σφάλμα της προσέγγισης x ey + y ex. x είναι y y e ye -xe x x y y Η μέγιστη τιμή του απόλυτου σχετικού σφάλματος για το γινόμενο και το πηλίκο είναι το άθροισμα των απόλυτων σχετικών σφαλμάτων των αριθμών, δηλαδή δxy δx + δy και δx δx + δy. Γενικά, για το σφάλμα e μιας ποσότητας f(x, y) ισχύει ο τύπος f f ex + ey x y, όπου οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο (x, y). y

13 1 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Παράδειγμα 1. Να βρεθεί το μέγιστο απόλυτο σφάλμα της έκφρασης z=,x+ 1,y, αν οι x και y είναι στρογγυλοποιημένοι σε δύο δεκαδικά ψηφία. Λύση Αν τα σφάλματα στρογγυλοποίησης των x και y είναι e x και e y αντίστοιχα, τότε το σφάλμα της έκφρασης z είναι z z e = e. + e =,e + 1,e x y z x y x y. Επειδή, όμως οι x και y είναι στρογγυλοποιημένοι σε δύο δεκαδικά ψηφία, ισχύει e 0, και x e 0, y Επομένως, z x y - e, e + 1, e (, + 1,) 0,5 10 = 0,0185 Παράδειγμα 1.5 Αν τα απόλυτα σχετικά σφάλματα των x και y έχουν μέγιστη τιμή 0, και 0, αντίστοιχα, να βρεθεί η μέγιστη τιμή του απόλυτου σχετικού σφάλματος του z= x y. Λύση Αν e x,e y,e z είναι τα σφάλματα των x, y, z αντίστοιχα και δ x,δ y,δ z τα σχετικά σφάλματα αυτών, τότε έχουμε z z ez = ex + ey = ex xy+ ey x x y και και e xy e z x + x ey e e x y z x y δ = = = + = δ + δ. z x y x y Επομένως, δz δx + δx = 0,+ 0,= 0,7.

14 1.: Πεπερασμένες διαφορές Πεπερασμένες διαφορές ΘΘ... ΞΞ έ ν οο ς Η έννοια των πεπερασμένων διαφορών είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην προσέγγιση μιας συνάρτησης με πολυώνυμο, η οποία θα παρουσιαστεί στο τρίτο κεφάλαιο. Θεωρούμε τα διακεκριμένα σημεία x,x, 1 º,xν του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης f(x). Οι διαφορές Δf = f(x + 1) - f(x ) ή Δy = y + 1- y ή Δf = f+ 1- f ονομάζονται προς τα εμπρός διαφορές πρώτης τάξης, ενώ οι διαφορές = = = Δ f Δ(Δf ) Δf(x ) Δf(x ) f f f ονομάζονται προς τα εμπρός διαφορές δεύτερης τάξης. Γενικά, οι προς τα εμπρός διαφορές n τάξης, ορίζονται από τη σχέση n n-1 n-1 n Δf = Δ(Δ f ) = Δ f - Δ f, όπου με το συμβολισμό f εννοούμε την τιμή f(x ) x f(x) Δ x 1 f 1 Δf 1 Δ Δ x f Δf 1 Δf Δf 1 x f Δf Δf Δf x f Δf Δf Δf x 5 f 5 Δf x 6 f 6 Δf 5 Δ Δf 1 Δf 5 Δ 5 Δf 1 Οι διαφορές f f(x ) f(x - 1 ) f f - 1 = - = - ή y = y - y -1

15 16 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες ονομάζονται προς τα πίσω διαφορές πρώτης τάξης, ενώ οι προς τα πίσω διαφορές n τάξης ορίζονται από τον αναγωγικό τύπο x f(x) n n 1 n 1 n 1 f = ( - f ) = - f - - f-1 x 1 f 1 f x f f f f x f f f5 f 5 f 5 f6 x f f5 f6 x 5 5 x 6 f 6 f 5 f f6 f 6 f 6 Οι διαφορές δf = f(x )- f(x ) = f - f ονομάζονται κεντρικές διαφορές πρώτης τάξης στο σημείο x + 1. Οι διαφορές δf = δ(δf ) = δf - δf ονομάζονται κεντρικές διαφορές δεύτερης τάξης στο σημείο x. Γενικά, οι κεντρικές διαφορές περιττής και άρτιας τάξης ορίζονται από τους αναγωγικούς τύπους n - 1 n n n 1 = - 1 = δ f δ(δ f ) δ f δ f και n n 1 n 1 n 1 = - = δ f δ(δ f ) δ f δ f

16 1.: Πεπερασμένες διαφορές 17 x f(x) δ δ δ δ 5 δ x 1 f 1 δf x f δf δf 5 δf 5 x f δf δf 7 δf 7 x f δf δf 9 δf 9 x 5 f 5 δf 5 x 6 f 6 δf 11 δf δf 5 δf 7 Για τις τιμές x 0,x 1,x, º,xn και τις εικόνες τους f(x ) ορίζουμε τις διαιρεμένες διαφορές ως εξής: i) Διαιρεμένη διαφορά πρώτης τάξης f(x 1) - f(x 0) f(x 0,x 1) = x - x ii) Διαιρεμένη διαφορά δεύτερης τάξης iii) Διαιρεμένη διαφορά n τάξης Αν οι τιμές ισχύει 1 0 f(x 1,x ) - f(x 0,x 1) f(x 0,x 1,x ) =. x - x 0 f(x 1,x, º,x n) - f(x 0,x 1,x, º,x n-1) f(x 0,x 1,x, º,x n) =. x - x n 0 x ισαπέχουν μεταξύ τους, δηλαδή x+1 -x =h για κάθε, τότε

17 18 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες n 0 Δf f(x 0,x 1,x, º,x n) = n. h n! Ο αριθμός h ονομάζεται βήμα της πινακοποίησης. Παράδειγμα 1.6 Να εκφραστεί η διαφορά ης τάξης Δ y 0 συναρτήσει των τιμών y 0,y 1,y,y και y μιας συνάρτησης y= f(x). Λύση Έχουμε και 0 = 1-0, 0 = 1-0 = = Δy Δy Δy Δy Δy Δy (Δy Δy ) (Δy Δy ) Δy Δy Δy = (y-y ) -(y- y 1) + (y1- y 0) = y- y+ y1- y0 1= - 1= = Δy Δy Δy (Δy Δy ) (Δy Δy ) Δy Δy Δy = (y -y ) -(y- y ) + (y- y 1) = y - y+ y- y1. Επομένως, Δ y 0 = (y - y + y -y 1 )-(y - y + y 1 - y 0 ) = y - y + 6y - y 1 + y 0. Γενικά, με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, διαπιστώνουμε ότι Για παράδειγμα έχουμε n n Ênˆ 0 =  - Á n- Ë = 0 Δy ( 1) y. 5 5 ʈ 5 ʈ 5 ʈ 5 ʈ 5 ʈ 5 ʈ 5 0 =  - 5- = Ë Á Ë Á 1 Ë Á Ë Á Ë Á Ë Á 5 = 0 Δ y ( 1) y y y y y y y = y5-5y + 10y- 10y+ 5y1- y0. Παράδειγμα 1.7 Να κατασκευαστούν οι πίνακες διαφορών Δ,, δ μέχρι και τρίτης τάξης της συνάρτησης f(x) = x - 1 για τις ακέραιες τιμές του x από 1 έως 6.

18 1.: Πεπερασμένες διαφορές 19 Λύση Από τους ορισμούς που δώσαμε για τις προς τα μπρος διαφορές, τις προς τα πίσω διαφορές και τις κεντρικές διαφορές, καθώς και τους πίνακες που κατασκευάσαμε γι αυτές, συμπεραίνουμε ότι Δf = f = δf και γενικά n n+ 1 1 n+ n = n+ = n+ Δf f δf. Έτσι, βρίσκοντας τις προς τα μπρος διαφορές, γνωρίζουμε και τα άλλα δύο είδη διαφορών, αφού έχουμε τις ίδιες τιμές στις ίδιες θέσεις, με μόνη διαφορά το συμβολισμό. x y= f(x) f f f (Κάθε στοιχείο της ης, ης και ης στήλης ισούται με τη διαφορά των δύο πλησιέστερων στοιχείων της προηγούμενης στήλης). Παρατηρούμε ότι οι διαφορές δεύτερης τάξης είναι όλες ίσες με, ενώ οι διαφορές τρίτης τάξης είναι 0. Γενικά, οι διαφορές τάξης ενός πολυωνύμου βαθμού είναι σταθερές, ενώ οι διαφορές τουλάχιστον +1 τάξης είναι μηδέν. Παράδειγμα 1.8 Να αποδειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει Δc = c (c- 1). Λύση Έχουμε

19 0 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες + 1 c+ 1 Δ c = Δ(Δc ) = Δ(c - c ) = Δc - Δc = (c -c )-(c - c ) = c - c + c = c (c - c + 1) = c (c - 1). Παράδειγμα 1.9 Για ένα πολυώνυμο f(x) τρίτου βαθμού να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας διαφορών. x f(x) Δf Δf Δf Λύση Επειδή το f(x) είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού, οι διαφορές τρίτης τάξης θα είναι σταθερές, δηλαδή όλες ίσες με 6. Έτσι, έχουμε Δf = 6. Αλλά Δf = Δf - Δf, οπότε 6= Δ f -, δηλαδή Δf = 0. Ακόμη, έχουμε Δ f = Δf 5 - Δf ή 0 = Δf5-60 ή Δf5 = 90. Τέλος, επειδή Δf5 = f6- f5, έχουμε f6 = = 10.

20 1.: Μετάδοση σφαλμάτων σε πίνακα διαφορών 1 1. Μετάδοση σφαλμάτων σε πίνακα διαφορών ΘΘ... ΞΞ έ ν οο ς Αν κάποια από τις τιμές μιας συνάρτησης y= f(x) είναι λανθασμένη και κατασκευάσουμε τον πίνακα διαφορών, τότε μεταδίδεται το σφάλμα στις διαφορές ανώτερης τάξης με διωνυμικούς συντελεστές. Υποθέτουμε ότι υπάρχει σφάλμα ε στην τιμή y5 = f(x 5) και κατασκευάζουμε έναν πίνακα διαφορών. x f(x) Δy x1 y1 Δy 1 x Δy Δy y Δy 1 Δy Δy 1 x y Δy Δy Δy x y Δy ε Δy ε x5 y5 Δy ε Δy ε Δy5 ε Δy x6 y 6 Δy 5 ε Δy 6 x7 y 7 Δy 6 Δy 7 x8 8 x9 y9 y Δy 7 Δy 8 Δy 5 Δy 6 ε ε ε ε Δy Δy 1 Δy Δy Δy Δy 5 ε ε 6ε ε ε Παρατηρούμε ότι το σφάλμα επηρεάζει μια τριγωνική περιοχή και δημιουργεί τους n συντελεστές του αναπτύγματος του (α - β) στις διαφορές ανώτερης τάξης, πολλαπλασιασμένους επί το σφάλμα ε. Στον παραπάνω πίνακα το μέγιστο απόλυτο σφάλμα είναι 6ε και η λανθασμένη τιμή της συνάρτησης βρίσκεται στην ίδια οριζόντια ευθεία με το 6ε. Σε περίπτωση που δύο διαφορές περιέχουν το μέγιστο απόλυτο σφάλμα (όπως στον πίνακα οι διαφορές Δ περιέχουν μέγιστο απόλυτο σφάλμα ε ), τότε η λανθασμένη τιμή της συνάρτησης βρίσκεται μεταξύ των διαφορών αυτών.

21 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Παράδειγμα 1.10 Στον πίνακα που ακολουθεί υπάρχει μια λανθασμένη τιμή του τριτοβάθμιου πολυωνύμου f(x). Να διορθωθεί η τιμή αυτή. x f(x) Λύση Κατασκευάζουμε πρώτα τον πίνακα διαφορών μέχρι ης τάξης. x f(x) Δ Επειδή το f(x) είναι τριτοβάθμιο πολυώνυμο, οι διαφορές Δy θα έπρεπε να ήταν όλες μηδέν, ενώ τώρα είναι ίσες με τα γινόμενα του σφάλματος ε επί τους συντελεστές 1,, 6,, 1 του διωνύμου (α - β), οπότε είναι ε=. Το μέγιστο απόλυτο σφάλμα 1 βρίσκεται στην ίδια οριζόντια ευθεία με την τιμή f(1) = 1, στην οποία υπάρχει σφάλμα ε=. Άρα, η σωστή τιμή είναι f(1) = 1- =- 1. Δ Δ Δ

22 1.5: Γραμμικοί τελεστές 1.5 Γραμμικοί τελεστές ΘΘ... ΞΞ έ ν οο ς Τα σύμβολα Δ, και δ που γνωρίσαμε στην παράγραφο 1. ονομάζονται τελεστές διαφορών. Αν L είναι ένας απ αυτούς, τότε για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f(x), g(x) και οποιεσδήποτε σταθερές λ, μ ισχύει Lλf(x) ( + μg(x) ) = λlf(x)) ( + μl(g(x) ) και γι αυτό ο L ονομάζεται και γραμμικός τελεστής. Άλλοι γνωστοί γραμμικοί τελεστές είναι α) ο τελεστής μετατόπισης Ε, που ορίζεται από τη σχέση Ef(x) = f(x + h) ή Ey = y + 1 και β) ο διαφορικός τελεστής D, που ορίζεται από τη σχέση df(x) Df(x) = f (x) =. dx Δύο τελεστές L 1 και L ονομάζονται ίσοι, όταν για κάθε συνάρτηση f(x) ισχύει Lf(x) = Lf(x). 1 Άθροισμα των τελεστών L 1 και L ονομάζεται ο τελεστής L1+ L με (L1+ L )f(x) = L1f(x) + Lf(x) για κάθε συνάρτηση f(x). Ομοίως, για τη διαφορά L1- L ισχύει (L1- L )f(x) = L1f(x) - Lf(x). Γινόμενο των τελεστών L 1 και L, με τη σειρά αυτή, ονομάζεται ο τελεστής LL 1 με ( ) (L1L )f(x) = L1 Lf(x). Προφανώς, ισχύει LL 1 π LL 1. Δύο τελεστές L,L 1 ονομάζονται αντίστροφοι, 1 όταν ισχύει LL 1 = LL 1= 1 και τότε γράφουμε L L - 1 = 1 ή L1= L -. Οι τελεστές Δ,, δ και D εκφράζονται συναρτήσει του τελεστή Ε ως εξής: Δ= Ε- 1, Υπενθυμίζουμε ότι = 1-E -1, 1 1 δ= Ε - Ε - και 1 D= lne. h h h Δf(x) = f(x + h) - f(x), f(x) = f(x) -f(x- h) και δf(x) = f Á Ê x + ˆ -f Ê x - ˆ Ë Á Ë θεωρώντας ότι δύο οποιεσδήποτε διαδοχικές τιμές του x διαφέρουν κατά h.

23 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Παράδειγμα 1.11 Να αποδειχθούν οι ισότητες 1 α) Δ= Ε- 1, β) ΕΔ = ΔΕ και γ) Δ= δε. Λύση α) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f(x) έχουμε Δf(x) = f(x + h) - f(x) = Ef(x) - f(x) = (E- 1)f(x) που σημαίνει ότι Δ= Ε- 1. β) Ισχύει ( ) ΕΔf(x) = E( Δf(x) ) = E f(x+ h) - f(x) = Ef(x+ h) -Ef(x) και = f ((x + h) + h) - f(x + h) = f(x + h) - f(x + h) ΔΕf(x) = Δ( Ef(x) ) = Δf(x+ h) = f(x+ h) - f(x+ h), οπότε EΔ = ΔΕ. γ) Έχουμε 1 1 h h h h h δεf(x) δ Ε Ê Ê ˆˆ ÊÊ ˆ ˆ ÊÊ ˆ ˆ = ( f(x) ) = δáf x+ = f x+ + - f x+ - Ë Á Ë Á Ë Á Ë Á Á ËË = f(x+ h) - f(x) = Δf(x) κι επομένως 1 δε = Δ. Παράδειγμα 1.1 Να αποδειχθεί ότι: α) Ε y 0 y =, β) y ʈ n = Á Δ y0 Ën n= 0  και γ) nêˆ 0 = - Á -n Ën n= 0 Δy  ( 1) y. Λύση α) Ισχύει Ey 0 = Ε(Εy) 0 = Εy1= y, αφού Ey0 = y1 και Εy1= y. Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο ισχύει 0 y E y =, τότε έχουμε

24 1.5: Γραμμικοί τελεστές E y = Ε(Ε y ) = Εy = y. Άρα, για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει 0 y E y =. β) Έχουμε y Ε y0 = και που αποδεικνύει το ζητούμενο. γ) Έχουμε ʈ n -n Ê ˆ n  Â, Ε = (Δ+ 1) = Á Δ 1 = Δ Ën Á Ën n= 0 n= 0 ʈ -n n nê ˆ 0 = - 0 = Á - 0 = - -n Ën Á Ën n= 0 n= 0  Â, Δ y (Ε 1) y E ( 1) y ( 1) y επειδή ισχύει -n 0 - n E y = y. Παράδειγμα 1.1 Για τον τελεστή μέσης τιμής μ = (Ε + Ε ), να αποδειχθεί ότι 1 μ = 1+ δ. Λύση Για τον τελεστή μέσης τιμής έχουμε Ê Ê hˆ Ê hˆˆ μf(x) = ( E f(x) + E f(x) ) = f x + + f x - Ë Á Ë Á Á Ë Η ζητούμενη σχέση είναι άμεση συνέπεια των ισοτήτων μ = (Ε + Ε ) = (E+ E Ε + Ε ) = (E+ + E ) και δ = (E - E ) = E- + E.

25 6 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Προτεινόμενες ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο Άσκηση 1.1 Ποια από τις προσεγγίσεις α) 50 ± 0,5 m, β) 5 ± 0,0 m, γ),5 ± 0,01 m έχει το μικρότερο άνω φράγμα για το απόλυτο σχετικό σφάλμα; Άσκηση 1. Χρησιμοποιώντας τον προσεγγιστικό τύπο 1-, x σε rad, να υπολογιστεί το απόλυτο σφάλμα και ένα άνω φράγμα του σχετικού σφάλματος στον υπο- π λογισμό του συν. x Άσκηση 1. Να υπολογισθεί το μέγιστο απόλυτο σφάλμα της έκφρασης x- y+,5z, αν οι αριθμοί x, y και z είναι στρογγυλοποιημένοι σε τρία δεκαδικά ψηφία. Άσκηση 1. Να υπολογισθεί το μέγιστο απόλυτο σφάλμα του 0,55+ 6,- 17,, αν όλοι οι αριθμοί είναι στρογγυλοποιημένοι σε τρία σημαντικά ψηφία. Άσκηση 1.5 Να βρεθεί το μέγιστο απόλυτο σχετικό σφάλμα του γινομένου 6,50 5,, αν οι δύο παράγοντες είναι στρογγυλοποιημένοι σε τρία σημαντικά ψηφία. Άσκηση 1.6 Οι αριθμοί 1,5 και είναι στρογγυλοποιημένοι σε δύο δεκαδικά ψηφία. Να υπολογισθεί το μέγιστο απόλυτο σφάλμα της παράστασης z= x- y+ xy. Άσκηση 1.7 Ο παρακάτω πίνακας τιμών

26 Προτεινόμενες ασκήσεις στο 1 ο κεφάλαιο 7 x f(x) ; αναφέρεται σ ένα πολυώνυμο f(x) τετάρτου βαθμού. Να βρεθεί η τιμή f(6). Άσκηση 1.8 Στον πίνακα που ακολουθεί υπάρχει μια λανθασμένη τιμή για το πολυώνυμο f(x), το οποίο έχει βαθμό. Να εντοπισθεί το σφάλμα και να διορθωθεί η λανθασμένη τιμή. x f(x) Άσκηση 1.9 Αν z xy =, με = 1,,, º, να αποδειχθεί ότι Δz = xδy + y + 1Δx. Άσκηση 1.10 Να αποδειχθεί ότι οι τελεστές Δ,, Ε, δ και μ αντιμετατίθενται ανά δύο.

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 11 Κεφάλαιο 1o: Εισαγωγικά... 15 1.1 Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση... 15 1.2 Πηγές Σφαλμάτων... 17 1.2.1 Εισόδου... 17 1.2.2 Αριθμητικής Υπολογιστών... 18 1.2.3

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ. 310.348.086, e-mail: thaasisxeos@yahoo.gr ISBN 978-960-456-08-4 Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 010,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ISBN 978-960-456-259-6 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων.

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων. Πανεπιστήµιο Κύπρου Το µάθηµα περιλαµβάνει Αριθµητικές και Υπολογιστικές Μεθόδους για Μηχανικούς, µε έµφαση στις µεθόδους: αριθµητικής ολοκλήρωσης/παραγώγισης, αριθµητικών πράξεων µητρώων, λύσεων µητρώων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σφάλματα 1.1 Εισαγωγή...17 1.2 Αρχικά Σφάλματα (σφάλματα μετρήσεων)...18 1.2.1 Απλές μετρήσεις...18 1.2.2 Σύνθετες μετρήσεις...19 1.2.3 Σημαντικά ψηφία και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από τη συγγραφέα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη

Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη 2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 960-431-953-1 Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή, ακρίβεια και σφάλματα υπολογισμών

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή, ακρίβεια και σφάλματα υπολογισμών Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή, ακρίβεια και σφάλματα υπολογισμών Σύνοψη Στο πρώτο αυτό κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στο αντικείμενο της Αριθμητικής Ανάλυσης και εξετάζεται το θέμα της ακρίβειας και των σφαλμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 19 εκεµβρίου 2015 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή

Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μέθοδος της Αριθμητικής Παρεμβολής, δηλαδή η εύρεση της τιμής y k μιας συνάρτησης για ένα δεδομένο x k, όταν δεν γνωρίζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Πολλοί επιστημονικοί κλάδοι, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν πρακτικά προβλήματα κάνουν χρήση μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης. Οι μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση. Σημειώσεις από τις παραδόσεις. Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes

Αριθμητική Ανάλυση. Σημειώσεις από τις παραδόσεις. Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes Αριθμητική Ανάλυση Σημειώσεις από τις παραδόσεις Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 017 Τελευταία ενημέρωση: 15 Ιουνίου 017 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων 05-10-1 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; ( μον.) ii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Χ. Α. Αλεξόπουλος Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών Πάτρα 2014 Αφιερωµένο σε δύο εκλεκτούς ανθρώπους, πανεπιστηµιακούς δασκάλους

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Ακολουθίες Γεννήτριες Συναρτήσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακολουθία: αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο 1 Εισαγωγή Έντυπα εγχειρίδια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΚΡΙΒΗΣ Γ.Δ., ΔΟΥΓΑΛΗΣ Β.Α. Αριθμητική ανάλυση με εφαρμογές σε matlab & mathematica,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ. 30.348.086, e-mail: thanasisxenos@yahoo.gr ISBN 978-960-456-3- Copyright, 0, Eκδόσεις ZHTH, Θανάσης Ξένος Tο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Γραφική Απεικόνιση Μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης για την Προσέγγιση κάποιων τιμών ή κάποιας Συνάρτησης με Πολυωνυμική Παρεμβολή

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Γραφική Απεικόνιση Μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης για την Προσέγγιση κάποιων τιμών ή κάποιας Συνάρτησης με Πολυωνυμική Παρεμβολή ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γραφική Απεικόνιση Μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης για την Προσέγγιση κάποιων τιμών ή κάποιας Συνάρτησης με Πολυωνυμική Παρεμβολή Του φοιτητή Κωνσταντίνου Αδαμίδη Αρ. Μητρώου: 0466 Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ Εισαγωγή 2 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Αριθμητική παραγώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία,

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, θα σου φανεί χρήσιμο τις τελευταίες ημέρες της προετοιμασίας σου για τις πανελλαδικές εξετάσεις. Τα περιεχόμενά

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 1: Συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα