Složenost. Programiranje 2-1. Analiza programa. Vreme. Izračunavanje T. Prostor. D. Vitas
|
|
- Ἄμμων Κουντουριώτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Programiranje 2-1 Složenost D. Vitas Analiza programa... obuhvata procenu vremena i prostora potrebnog da se taj program izvrši. Primer 1. Sravnjivanje niski (gruba sila n*m) Primer 2. Izračunavanje vrednosti polinoma Vreme... se izražava kao funkcija T( algoritam, p) gde su p podaci na koje se primenjuje algoritam. Ako je L domen vrednosti za p, onda je T : L ---> R { + T(p) - vreme izvršavanja programa, T(p) = + ako program sadrži beskonačnu petlju! Prostor... je iznos memorije potreban za izvršavanje programa. Izražava se kao funkcija: Ako je L domen vrednosti za p, onda je S : L ---> N { + N P (p) - prostor potreban za izvršavanja programa P za podatke p Izračunavanje T... u najjednostavnijim slučajevima na sledeći način: a. Za svaki osnovni iskaz (npr. dodela) i logički izraz (npr. u if), vreme izvršavanja ne zavisi od vrednosti promenljivih, odn. važi da je T x=α (p) = const. T B (p) = const. b. Ako su P; Q dve bloka iskaza, onda T P;Q (p) = T P (p) + T Q (p) 1
2 Izračunavanje T Primer - celobrojno deljenje c. T if B then P else Q (p) = = if B then T B (p)+t P (p) else T B (p) + T Q (p) d. T for(i=e1; B; e2) P (p) = = T B (e1)+t P (B) +T P (e2) +Σ T P (f(p)) gde je f(p) transformacija koju podaci p ostvaruju kroz petlju. e. T while(b) P (p) = = (n(p)+1)*t B (p)+σ T P (f(p)) (n(p) - broj prolazaka kroz petlju) DIV: r = a; q = 0; while( r >= b ) { r = r - b; q = q - 1; T DIV = T r = a + T q = 0 + ([a/b]+1)*t r >=b + [a/b](t r=r-b + T q=q-1 ) = k1*[a/b] + k2 ~ [a/b] Izračunavanje T T zavisi od podataka p. Razlikujemo: MAX( Algo, n ) = max(t(prog, p)), gde su p - podaci obima n MIN( Algo, n ) = min(t(prog, p)) AVG( Algo, n ) = Σ p(p)*t(prog, p) gde je p(p) verovatnoća podatka p. MIN <= AVG <= MAX Poređenje vremena T(n) = O(f(n)) ako postoji c>0 i N>0 takvo da je za svako n > N: T(n) <= c*f(n) Primer. T(Div) = O(1) Detaljnije - 4. godina R-smera Poređenje vremena T(n) 2n 2 n n Sortiranje nizova Log n 1 n 2
3 Problem sortiranja - primer Urediti u rastućem poretku niz N = { 5, 3, 4, 2, 3, 5, 8, 1 Rezultat: N = { 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 8 Podela metoda Metode sortiranja delimo na: metode internog sortiranja (u unutrašnjoj memoriji - nizovi, liste,...) metode eksternog sortiranja (podaci u datotekama!= niza!!!) Osnovne operacije: poređenje dva elementa razmena mesta (swap) izbor pozicije u nizu Klasifikacija metoda internog sortiranja Elementarna selekcija, umetanje, mehuri (bubble) O(n 2 ) Binarne brzi sort (quicksort), fuzija Preko struktura drveta Uređivanjem leksikografsko drvo O(n) O(n*log(n)) O(n*log(n)) Ključ Petar 1.82m 70k Ana 1.60m 53k Jelena 1.76m 72k Ključ visina Jelena 1.76m 72k Milan 1.76m 75k Milan 1.76m 75k Ana 1.60m 53k Petar 1.82m 70k Petar 1.82m 70k Ana 1.60m 53k Jelena 1.76m 68k Ključ težina, Petar 1.82m 70k Milan 1.76m 75k pa visina Jelena 1.76m 72k Ana 1.60m 53k Milan 1.76m 75k Petar 1.82m 70k Ana 1.60m 53k Jelena 1.76m 72k Ključ visina, Milan 1.76m 70k Milan 1.76m 70k pa težina Jelena 1.76m 72k Ana 1.60m 53k Petar 1.82m 70k Princip sortiranja Sortiranje Dato: Niz N = (e1, e2,...en) tipa T Na T definisana relacija poretka Ključ: element uređen skup Problem: Izračunati permutaciju p od { 1, 2,..., n takvu da Ključ(e p1 ) Ključ(e p2 )... Problem stabilnosti: permutacija p je stabilna ako za i < j i Ključ(e pi ) Ključ(e pj ) važi p i < p j (tj. elementi sa istim ključem ne razmenjuju mesta) 1 Petar 1.82m 70k 1 Ana 1.60m 53k 2 Jelena 1.76m 72k Ključ visina, 2 Milan1.76m 70k 3 Milan 1.76m 70k pa težina 3 Jelena 1.76m72k 4 Ana 1.60m 53k 4 Petar1.82m 70k p p
4 traženje min sekvencijalno MIN Izbor mesta (selekcija) t swap t za sortiranje Primer Selekcija 0. korak A B R A K A D A B R A 1. korak A B R A K A D A B R A 2. korak A A R B K A D A B R A 3. korak A A A B K R D A B R A 4. korak A A A A K R D B B R A 5. korak A A A A A R D B B R K... void selection( int a[], int N ) { int i, j, min, t; Implementacija for(i = 0; i < N-1; i++ ) { min = i; for(j = i+1; j < N; j++ ) if(a[j] < a[min] ) min = j; // indeks minimuma swap( &a[min], &a[i] ); // razmena mesta Složenost: prostor O(1) select.exe vreme O(n 2 ) (O(n 2 ) poređenja, n-1 razmena mesta) selection Metoda umetanja (insertion) Još jedan primer... nalik na ređanje karata u ruci. Uzima se karta sleva i dovodi na svoje mesto... i to se ponavlja dok karte ne budu poređane po redu. Primer. (crveno = sortirani delovi) 0. korak A B R A K A D A B R A 1. korak A B R A K A D A B R A 2. korak A B R A K A D A B R A 3. korak A A B R K A D A B R A 4. korak A A B K R A D A B R A Složenost: prostor O (1 ) vreme O (n²) O (n²) poređenja O (n²) dodela 4
5 Implementacija void insertion( int a[], int N ) { int i, j, v; for(i = 1; i < N; i++ ) { v = a[i]; j = i; while( a[j-1] > v ) { a[j] = a[j-1]; j--; a[j] = v; Modifikacija - Shellsort void Shellsort( int r[], int l, int d ) { int x, i, j; int tempr; for ( x=d-l+1; x>1; ) { if (x<5) x = 1; else x = (5*x-1)/11; /*** Linearno umetanje sa korakom d ***/ for ( i=d-x; i >=l; i-- ) { // print r tempr = r[i]; for ( j=i+x; j <= d && (tempr >r[j] ); j+=x ) r[j-x] = r[j]; r[j-x] = tempr; // print t shellsort.exe Mehurasti sort (bubble) Moguće implementacije - bubble1... isteruje na početak niza najmanji, ali tako što ga "potiskuje" sa mesta na kome se nalazi ka početku. Primer void bubble1( int t[], int n ) { int i, j, mark; /* mark = 1 ako se vrsi razmena mesta; inace = 1 */ do { i = 0; while( t[i] <= t[i+1] && i < n ) i = i + 1; // traži se min. if( i < n-1 ) { swap( &t[i], &t[i+1] ); mark = 1; else mark = 0; while (mark == 1 ); bubble1.exe bubble2 void bubble2( int t[], int n ) { int i, j, k; for( j = n-1; j>=0; j--) { for( i = 0; i < j; i++ ) if( t[i] > t[i+1] ) trampa( &t[i], &t[i+1] ); bubble2.exe bubble3 void bubble3( int t[], int donja, int gornja ){ int i, j, k; while (gornja > donja) { j = donja; for ( i = donja; i < gornja; i++ ) if ( t[i] > t[i+1] ) { trampa( &t[i], &t[i+1]; j = i; gornja = j; for ( i = gornja; i > donja; i-- ) if ( t[i] < t[i-1] ) { trampa( &t[i], &t[i-1] ); j = i; donja = j; bubble3.exe 5
6 Trobojka Problem. Dat je (a) niz f od N elemenata. Svaki element je ili crven ili beo ili plav. (b) predikati C(i), B(i), P(i). Ovaj predikat je tačan ako je i-ti elemen niza redom crven, beo, plav. (c) primitivni iskaz swap koji razmenjuje mesto elementima niza f sa indeksima i i j. Urediti niz u redosledu plavo-belo-crveno uz uslov da se svaki od predikata C,B,P izračunava najviše jednom za svaki od elemenata niza. Takođe, kako je swap skup, treba ga koristiti što je manje moguće. ft P B C P C C B P B C B P Trobojka f' Rešenje 1 Rešenje 1 Kako se predikati smeju konsultovati za dato i najviše jednom, to znači da svaki f i mora da se nađe na pravom mestu kada se utvrdi koje je boje. Pretpostavimo da je posle k koraka nastala situacija: P B X C gde je X još neispitani deo. Odavde je uslov izlaska "zona X je prazna". Neka p, b, c budu tri indeksa i to p - prvi posle plave zone b - pvi posle bele zone (prvi od X) c - prvi pre crvene zone (poslednji od X) Ovakvo stanje izračunavanja se može opisati kao P p,b,c : (0 i < p P(i)) (p i < b B(i)) (c < i N C(i)) Program se završava kada je P p,b,c (b = c+1) i mora imati sledeći oblik: inicijalizacija; while(b!= c + 1) { telo petlje u kome važi P p,b,c (Niz f još ne učestvuje u konstrukciji programa!) p = b = 0; c = N-1; Rešenje 1 while( b <= c ) { /* Ispitujemo element sa indeksom b */ if( B[ b ] ) b = b + 1; // Beli element else if( P[ b ] ) { // Plavi element swap(f: p, b); p = p + 1; b = b + 1; else /* C(b) je tačno */ // Crveni element { swap(f:c,b); c = c - 1; Petlja se izršava N puta, a broj swap: #P + #C. Popravka Kada je C(b) tačno, može se desiti da i C(c) bude tačno, pa se treba pomaći ulevo do prvog elementa koji nije crven: if( C[ b ] ) while( C[ c ] ) && b < c ) c = c -1; swap( f: c,b); c = c - 1; 6
7 Rešenje 2 Zaključak Kako se petlja u oba rešenja izvršava N puta, to se u svakom prolazu najviše jednom računaju C, B, P. Sada je izlazni kriterijum c > N. Kod je sličan - proučiti! Petlja se izvršava N puta i ima #B+2*#P swap-poziva. Kada je 1, a kada 2. rešenje podesnije? Kada se sortiranje završi, boje svih elemenata su poznate jer važi P p,b,c (b = c+1). Sledi da se u svakom prolazu ispitivanje vrši za druge elemente niza (svaki najviše jednom). Složenost O(n)! Podudarnost nizova Data su dva strogo rastuća niza, F i G. Zadatak je da se pronađe broj onih vrednosti koje se javljaju u oba niza. Interpretacija: F i G su dve uređene reprezentacije skupova celih brojeva, a rezultat treba da pruži kardinalnost preseka ta dva skupa. Traži se oni k takvi da važi: Razrada 0 m < M && 0 n < N && F(m) = G(n) Inicijalizacija je (k, m, n) = (0, 0, 0) Izlazni uslov je vezan za m = M && n = N. Problem: kada se m i n povećavaju za 1, postoji više puteva od (0,0) do (M,N). Neka F ima M, a G N elemenata. Razrada Biramo put do (m,n) pretpostavljajući da su sva podudaranja u tačkama (i,j) (i<m, j<m): F(i) = G(j) pre tačke (m,n) već otkrivena. Kada je za neko (m,j), F(m)!= G(j), k se ne uvećava, tj. k= 0 akko za svako j: 0 j < n: F(m)!= G(j) Ako je F(m) = G(n), onda F(m) > G(n-1). Slično važi i za G, pa imamo uslov F(m) > G(n-1) && G(n) > F(m-1) Rešenje int k, n, m; k = m = n = 0; while( (m!= M) && (n!= N) ) { if( G[n] > F[m] ) m++; else if( G[n] < F[m] ) n++; else /* G[n] == F[m] */ {k++; m++; n++; 7
8 Primer F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 M = 7 G = {2, 4, 6, 8, 9 N = 5 k=m=n=0:!= M,!= N G[0] = 2 > F[0] = 0 --> m = 1; G[0] = 2 > F[1] =1 --> m = 2; G[0] = 2 == F[2] = 2 --> k = 1; m = 3; n = 1 G[1] = 4 > F[3] = 3 --> m = 4; G[1] = 4 == F[4] = 4 --> k = 2; m = 5; n = 2 G[2] = 6 > F[5] = 5 --> m = 6; G[2] = 6 == F[6] = 4 --> k = 3; m = 7; n = 3 m == M --> KRAJ Rotacija niza Problem. Dat je niz X. Uvedimo oznake: K je podniz X(j) (0 j < k) H je podniz X(j) (k j < N) Niz X se može zapisati kao: X = K H. Problem rotacije je da se formira niz X = H K, odnosno da podnizovi H i K razmene mesta. Razrada Uvedimo za proizvoljan niz R, oznaku rev(r) koja označava niz čiji su elementi u obrnutom poretku od R. Važi: rev(rev(r)) = R, za svako R rev(h K) = rev(k) rev(h) Rešenje globalne promenljive int N... int X[N]... int k... /* a - početak i b - kraj niza R */ void rev( int a, int b ){ int x, y; x = a; y = b; while( x < y ) { swap(& X[x], &X[y]); x++; y++ Rešenje Drukčije rešenje int main( ) { int x, y; /* X = H * K */ x = 0; y = N-1; rev( x, y ); /* X = rev(x) = H * K */ x = k; y = N-1; rev( x, y ); /* X = rev(h) */ x = 0; y = k-1; rev( x, y ); /* X = rev(k) */ /* X = K * H */... Niz X oblika H K treba transformisati u oblik K H. Pretpostavimo da je podniz H ima bar onoliko elemenata koliko ih ima u K. Tada se H može zapisati u obliku: H = H0 H1 gde je H0 iste dužine kao K. Polazni zadatak se formuliše u transformaciju iz H0 H1 K ---> K H0 H1. 8
9 Postupak 1. korak: kako su H0 i K iste dužine, prva transformacija je H0 H1 K ---> K H1 H0 Ovo je swap elemenata sa početaka i kraja niza. 2. korak je transformacija K H1 H0 ---> K H0 H1 Zadatak. Implementirati uz uslov da broj poziva funkcije swap bude minimalan. Pretraživanje Problem Dat je niz, npr. 1. Petar 1.82m 70k 2. Jelena 1.76m 72k 3. Milan 1.76m 75k 4. Ana 1.60m 53k Treba utvrditi da li se ključ k javlja u nizu ili ne. Npr. ključ visina --> k = 1.60m Odgovor: Da ključ težina --> k = 100k Odgovor: Ne ključ ime --> k = Milan Odgovor: Da Identifikacija ključa omogućava da se pronađe informacija koja je pridružena ključu. 1. struct element { int kljuc; int info; 2. struct element a[100]; Opis podataka 3. Implementacije pretraživanja // char, char[], struct,... a.k Linerano pretraživanje N = Ključ je kljuc = 7. Polazeći od pozicija i =1, ispitujemo da li je a.k[ i ] == kljuc (jeste, za i = 4) Ako jeste, ključ je prisutan u nizu i uzimamo a.info [ i ]. Inače se upućuje poruka da ključ nije u nizu (tada su moguće različite akcije, npr. umetanje ključa). 1 Implementacija int N; struct element a[n ]; // Niz koji se pretrazuje... int lin_pretraga( int kljuc) { int i; for( i = 0; i < N; i++ ) if( a[i].k == kljuc ) return i; return -1; (Funkcija vraća indeks prvog elementa niza koji je jednak ključu.) 9
10 Linerano pretraživanje sa umetanjem a. Sa ulaza stižu podaci o objektima tipa T koje upisujemo u niz a. b. Na početku je niz prazan (funkcija init: N = 0). c. Potrebno je formirati niz od ovih objekata umećući svaki sledeći na kraj niza (funkcija lininsert). d. U fazi pretrage, tražimo (počev od kraja niza) da li se ključ nalazi u nizu ili ne (funkcija linpretraga). N = 3 a.niz ključ k = 6 Postupak umetanja a.kljuc[4] = 6 vrednost k = 6 nije u prva četiri elementa niza. ----> dodajemo je na kraj (pozicija 4) i povećavamo N. lininsert(5,info); lininsert(4,info), lininsert(2,info);... Postupak pretrage Implementacija Obezbediti da ključ uvek bude u nizu (stražar): Ključ se postavi na pozicuju 0-tog elementa. (Poziciju stražara će definisati funkcija init) Pretraživanje sa umetanjem Ako je ključ u nizu, biće pronađen pre stražara v. kljuc = 9 (funkcija lininsert) static struct element { // static - globalni zivotni vek int k; // Kljuc int info; // Informacija a[ 100]; // Niz koji se pretrazuje static int N; // Pozicija strazara void init( void ); // Definisanje pozicije strazara int linpretraga( int ); // void lininsert( int, int ); // Umetanje kljuca i informacija // na kraj niza (alternativno void lininsert( struct element ); Implementacija void init() { N = 0; // Ne postavlja vrednost ključa void lininsert( int v, int info ) { a[ ++N ].k = v; // Upisuje ključ na sledeću poziciju a[ N ].info = info; // Upisuje informaciju Primer. Rezultat niza poziva init(); lininsert(5,info1); lininsert(4,info2), lininsert(2,info3); je niz od 4 elementa u kome su ključevi???, 5, 4, 2. int linpretraga( int v ) { int x = N+1; Implementacija a[0].k = v; // Stražar: vrednost ključa a[0].info = -1; // Indikator da ključ nije u nizu while( v!= a[ --x ].k ); return a[x].info; 10
11 Primer Primer init(); lininsert(5, 1); lininsert(4, 2); lininsert(2, 3); r = linpretraga( 4 ); N = 0 N = 1, a[1].k = 5 a[1].info = 1 N = 2 a[2].k = 4 a[2].info = 2 N = 3 a[3].k = 2 a[3].info = 3 N = 3 a[0].k = 4 r = 2 a[0].info = -1 init(); lininsert(5, 1); lininsert(4, 2); lininsert(2, 3); r = linpretraga( 7 ); N = 0 N = 1, a[1].k = 5 a[1].info = 1 N = 2 a[2].k = 4 a[2].info = 2 N = 3 a[3].k = 2 a[3].info = 3 N = 3 a[0].k =7 r = -1 a[0].info = -1 Komentari Uloga stražara : obezbeđuje da ključ uvek nađe u nizu, a preko izabrane vrednost info (npr, -1) saopštava da ga nema. Komponenta info može da bude vrlo složena struktura (npr. ime, datum, JMBG,...) Postupak ne zavisi od tipa ključa. Npr. ako int ključ zamenimo sa char *kljuc, a u while poređenje obezbedimo preko strcmp, funkcija linpretraga pretraživaće niske!!! Složenost: za neuspelo pretraživanje N+1 poređenja kod uspešnog pretraživanja N/2 poređenja Binarno pretraživanje Princip "Podeli, pa vladaj" Osnovna pretpostavka: niz je sortiran u odnosu na neki poredak pridružen tipu niza. Princip: a kljuc= N = l (l+d)/2 d int binsearch( int v ) { int l = 0, d = N -1, x; Implementacija while( d > l ) { x = ( l + d )/2; if( v == a[x].k ) return a[x].info; if( v < a[x].k ) d = x - 1; else l = x + 1; return -1; i a: a: Primer N = 8, v = 13 l = 0; d = 8 x = 4 --> a[x].k = 9 < v l = 5; d = 8 x = 6 --> a[x].k = 13 = v Složenost: najviše log N + 1 poređenja, bez obzira da li je uspešno ili ne 11
12 Interpolirano pretraživanje Princip linearnog pretraživanja... slično binarnom (drukčije je određivanje indeksa člana sa kojim se vrši poređenje) int intsearch( int v ) { int l = 1, d = N, x; while( ( a[d].k >= v ) && ( v > a[l].v ) ) { x = ( (v-a[l].k) / (a[d].k-a[l].k) *(d-l) ) + l; if( v > a[x].k) l = x + 1; else if(v > a[x].k) d = x - 1; else l = x; if( v == a[l].k ) return a[l].info; else return -1; //Indeks // Na desno // Na levo // Pronađen Neka B(x) bude izraz o nekom celobrojnom x 0 koji nije netačan za svako takvo x. Tada, treba naći najmanje x takvo da važi B(x). Rešenje (princip lineranog pretraživanja): int x = 0; while(!b(x) ) x = x + 1; Primer Zadatak. Sastaviti program koji, za dato x 0, izračunava z = [ sqr( x ) ]. 2. rešenje (Knuth) Polazeći od činjenice da je 1. rešenje z = (int) sqrt( x ); (2n+1) = (n+1) 2 za svako n > 0 Problem: funkcija sqrt "prikriva" proces izračunavanja... izračunavanje korena se može svesti na aditivne operatore. Knutovo rešenje Knutovo rešenje Promenljiva y1 čuva vrednost brojača i Promenljiva y3 čuva tekući neprani broj 2*i+1 Promenljiva y2 čuva zbir nepranih brojeva do i S druge strane, ako je z celobrojni deo korena x, onda se traži najmanje z takvo da važi: x 0 && z 2 x (z+1) 2 Odavde se izvodi sledeći program: int x = 100; int main() { int y1 = 0; // Prolazi skup neparnih int y2 = 0; // Pamti zbir prvih n neparnih int y3 = 1; // Sledeci neparni broj while( y2 <= x ) { y1 = y 1 + 1; // Brojac y3 = y3 + 2; // Sledeci neparni y2 = y2 + y3; // Zbir neparnih printf("[koren(%d)] = %d\n", x, y1 ); knuth.exe 12
13 3. rešenje (E. W. Dijkstra) Ovo rešenje se izvodi neposredno iz uslova zadatka primenom principa linearnog pretraživanja: int x = 0; while(!b(x) ) x = x + 1; gde iz uslova Q: x 0 && z 2 x (z+1) 2 dobijamo: int z = 0; while( (z+ 1)*(z+1) <= x) z = z + 1; printf("koren(%d) = %d", x, z); koren1.exe 3. rešenje Prednost: rešenje izvedeno iz uslova zadatka, bez "trikova" Nedostaci sporo (linarno traženje rešenja - skupo u zahtevanom vremenu) skupo (koriste se multiplikativni operatori) Može li se ovo rešenje popraviti? 1. popravka U uslovu z 2 x && x < (z+1) 2, zamenimo z nekim a, a z+1 nekim b tako da uslov Q postane uslov P: P: a 2 x && x < b 2 && 0 a < b Sada važi da P && b = a + 1 Q. pa se umesto uslova iz 1. rešenja, kao uslov while-petlje može uzeti uslov b == a + 1 Ostaje da se konstruiše pogodno b tako da važi P. Ako se b konstruiše primenom principa linearnog pretraživanja, nema dobitka u vremenu! Zato... Logaritamska redukcija... koja se sastoji u određivanju b kao stepena broja 2. { int a = 0, b = 1; while( b * b <= x ) b = 2*b; // b*b <= x < (b+1)*(b+1) while( b!= a + 1 ) { int c; c = (a+b)/2; // Logaritamska if( c * c <= x ) a = c; // redukcija else b = c; // vremena Priroda redukcije U koraku primene principa linearnog pretraživanja: Eliminacija b i c U rešenju sa logaritamskom redukcijom a = 0 U koraku logaritamske redukcije: a = 0 x b = 2 n c x Vreme potrebno za 2. while-petlju je reda O( log n ) Prvi korak (formiranje b) ne menja složenost - potrebno vreme je takođe reda O( log n) iz polaznog rešenja je izvedeno efikasno, ali skupo rešenje (i dalje je prisutan multiplikativni operator * u uslovima: b * b <= x; c * c <= x ) Pokušajmo da ih eliminišemo. 13
14 Uvedimo smenu: Eliminacija b i c l = b - a ---> l - dužina intervala { int a = 0, l = 1; while( l * l <= x ) l = 2*l; // l*l <= x < (l+1)*(l+1) while( l > 1 ) { l = l/2; if( (a+l)*(a+l) <= x ) a = a+l; koren3.exe I dalje je prisutan multiplikativni operator *. Da li moguće upotrebu * svesti na aditivne operatore i množenje i deljenje sa 2? Ideja zamene: Eliminacija * x - (a+l) 2 = y + z Uvedimo nove promenljive u, y, z takve da važi: u = l*l posle 1. petlje C: (u = l*l) && (y = x - a*a) && (z =l*l +*a*l) posle dodele l = l/2 u 2. petlji. Posledice: (a) u = l 2 && l 2 x u x (b) (a+l) 2 x z y Dalja transformacija Rešenje { int a, l, u, y, z; a = 0; l = 1; u = 1; while( u <= x ) { l = 2*l; u = 4*u; while( l > 1) { a = z/2; α; l = l/2; if( z <= y ) β // tako da važi uslov C // Tražena vrednost { int a, l, u, y, z; a = 0; l = 1; u = 1; while( u <= x ) { l = 2*l; u = 4*u; while( l > 1) { u = u/4; z = z/2 - u; l = l/2; if( z <= y ) {y = y - z; z = z + 2*u; a = a + l; a = z/2; Konačna transformacija Promenljiva a nije potrebna pre završne dodele (jer se inicijalizacija vrši počev od u = 1). Promeljiva l nije potrebna jer je l > 1 ekvivalentno sa uslovom u > 1. Odavde sledi sledeće neočekivano rešenje: Konačna transformacija { int u, y, z; u = 1; while( u <= x ) u = 4*u; y = x; z = u; while( u > 1) { u = u/4; z = z/2 - u; if( z <= y ) { y = y - z; z = z + 2*u; a = z/2; 14
15 { int u, y, z; u = 1; while( u <= x ) u = 4*u; y = x; z = u; while( u > 1) { u = u/4; z = z/2 - u; if( z <= y ) { y = y - z; z = z + 2*u; a = z/2; Primer Broj koraka 4 x = 100 u = > u = 256 y = 100, z = u = 64, z = 64 < y = 100 y = 36, z = u = 16, z= 80 > y = u = 4, z = 36 = 10 <= y = 36 y = 0, z = u = 1, z = 21 > y a = 10 koren5.exe Konačno - bitovski operatori { int u, y, z; u = 1; while( u <= x ) u = u<<2; y = x; z = u; while( u > 1) { register int t; u = u>>2; t = z>>1 z = t1 - u; if( z <= y ) { y = y - z; t = u<<1; a = z>>1; shift.cpp // z = (z>>1) - u shift.exe z = z + t; koren6.exe 15
EXIT. Programski jezik C - 6. deo. Funkcija exit. (materijal sa predavanja D. Vitasa)
Programski jezik C - 6. deo (materijal sa predavanja D. Vitasa) EXIT Funkcija exit Funkcija exit se nalazi u sa prototipom void exit( status ); Izaziva normalan završetak programa (zatvaranje
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi i strukture podataka - 1.cas
Algoritmi i strukture podataka - 1.cas Aleksandar Veljković October 2016 Materijali su zasnovani na materijalima Mirka Stojadinovića 1 Složenost algoritama Približna procena vremena ili prostora potrebnog
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet. Informatika2. 4. Ciklična algoritamska struktura 5. Jednodimenzionalno polje.
Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet Informatika2 4. Ciklična algoritamska struktura 5. Jednodimenzionalno polje Milica Ćirić Ciklična algoritamska struktura Ciklična struktura (petlja)
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα1. Pojam fazi skupa. 2. Pojam fazi skupa. 3. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici. 4. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici
Meko računarstvo Student: Indeks:. Poja fazi skupa. Vrednost fazi funkcije pripadnosti je iz skupa/opsega: a) {0, b) R c) N d) N 0 e) [0, ] f) [-, ] 2. Poja fazi skupa 2. Na slici je prikazan grafik: a)
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMetode sortiranja nizova
Metode sortiranja nizova Sortiranje niza u neopadajućem ili nerastućem poretku podrazumeva nalaženje jedne permutacije elemenata niza u kojoj se elementi pojavljuju u neopadajućem tj. nerastućem poretku.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραKonstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati:
Staša Vujičić Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati: pseudo jezikom prirodnim jezikom dijagramom toka. 2
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi i strukture podataka (450)
Algoritmi i strukture podataka (450) Analiza složenosti algoritama Sadržaj Algoritmi Analiza složenosti algoritma T(N) složenost algoritma Određivanje reda algoritma Algoritmi i strukture podataka 2 1
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi zadaci za kontrolni
Algoritmi zadaci za kontrolni 1. Nacrtati algoritam za sabiranje ulaznih brojeva a i b Strana 1 . Nacrtati algoritam za izračunavanje sledeće funkcije: x y x 1 1 x x ako ako je : je : x x 1 x x 1 Strana
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα