II DEO DINAMIKA PROCESA I DRUGIH ELEMENATA SISTEMA UPRAVLJANJA

Transcript

1 .. Diamika itema u vremekom domeu II DEO DINMIK PROCES I DRUGIH ELEMENT SISTEM UPRVLJNJ Pri upravljaju proceima, od poebog začaja je pozavaje jihovih karakteritika koje defiišu jihovo poašaje u etacioarom režimu rada pri kome e javljaju vremeke promee proceih veličia. Ove karakteritike e podrazumevaju pod pojmom diamika procea. Da bi e izvršila aaliza poašaja proceog itema i da bi e dali odgovori a pitaja koja e potavljaju pri projektovaju itema za jegovo upravljaje, potrebo je da e fizičko-hemijki feomei koji e javljaju u proceu matematički preave, odoo da e ačii jegov matematički model. Potavljajem matematičkog modela vrši e idetifikacija procea. Matematički model koji opiuje item u etacioarom režimu rada aziva e diamički model. Pozavaje diamičkog modela procea koji preavlja objekat upravljaja je vrlo važo za pravila izbor i projektovaje elemeata itema automatkog upavljaja, da bi e potigao željei kvalitet upravljaja. Začaj diamike procea je aročito poratao poledjih deceija a ekpazijom račuarke tehike koja omogućuje projektovaje vrlo ložeih i ofiticiraih itema upravljaja uz korišćeje račuara. Pri projektovaju ovakvih itema upravljaja, dobro pozavaje diamike procea je ajzačajiji faktor. Pored diamike procea, potrebo je pozavaje i diamike otalih elemeata itema upravljaja, jer vi oi zajedo utiču a poašaje čitavog itema. Pri tome e pravila izbor otalih elemeata itema upravljaja u pogledu jihove diamike, zaiva a pozavaju diamike amog procea. Iako će u ovom poglavlju ajveća pažja biti povećea diamici procea, a aglakom da pecifičim karakteritikama objekata upravljaja koji e javljaju u potrojejima procee idutrije, ve što će biti rečeo u vezi a dobijajem diamičkih modela, klaifikaciji itema i diamičkim poašajem itema, može e praktičo primeiti a a bilo koji elemet itema upravljaja ili a item u celii. Kako e izbor i projektovaje regulatora u itemu upravljaja zaiva upravo a defiiaim zahtevima u pogledu jegove diamike, o diamici regulatora će biti više govora u poglavljima koja e odoe a projektovaje različitih kofiguracija itema upravljaja. Diamički modeli itema e ajčešće prikazuju u četiri različita domea koji zavie od ačia defiiaja ezavio i zavio promeljivih: u vremekom, komplekom ili Laplaovom (Laplace), frekvetom i dikretom domeu. U vremekom domeu diamički model e prikazuje u obliku jede ili itema diferecijalih jedačia koji daje vezu između izlazih promeljivih (zavio promeljive) i vremea (ezavio promeljiva). U Laplaovom (komplekom) domeu diamički model e prikazuje u obliku preoe fukcije itema koja e dobija primeom Laplaove traformacije a model u vremekom domeu. U ovom modelu, ezavio promeljiva je Laplaova kompleka promeljiva. U frekvetom domeu diamički model e prikazuje u obliku frekvetih, odoo, amplitudo-fazih karakteritika, koje e ajčešće prikazuju grafički u obliku Bodeovih, Nikvitovog ili Nikolovog dijagrama. Nezavio promeljiva je frekvecija (učetaot).

2 .. Diamika itema u vremekom domeu U dikretom domeu diamički modeli e prikazuju u obliku fukcija dikretog preoa. Nezavio promeljiva je kompleka promejiva z-traformacije z... DINMIK SISTEM U VREMENSKOM DOMENU Pošto defiiše poašaje itema u etacioarom režimu, diamički model e uvek dobija u obliku jede ili itema diferecijalih jedačia, kod kojih e kao jeda ezavia promeljiva obavezo javlja vreme. Defiiajem početih ulova za ve promeljive i vremekih promea ulazih promeljivih, itegracijom e dobijaju vremeke promee izlazih promeljivih, koje e azivaju odzivi itema.... Klaifikacija diamičkih modela Prema ačiu dobijaja, diamički modeli e mogu podeliti a teorijke i empirijke. Teorijki modeli e dobijaju potavljajem matematičkih zavioti zaovaih a teorijkoj aalizi feomea koji e javljaju u itemu. Empirijki modeli e dobijaju fitovajem ekperimetalih podataka matematičkim izrazima defiiaog oblika. Empirijki modeli e mogu dobiti amo za iteme koji u već fizički realizovai. Na oovu rigorozoti, modeli e mogu podeliti a determiitičke i tohatičke. Determiitički modeli u oi kod kojih e vakoj promeljivoj ili parametru može dodeliti određei broj, ili erija određeih brojeva, za bilo koji zadati et ulova. Stohatički modeli u oi kod kojih promeljive ili parametri koji e korite za defiiaje odoa između ulaza i izlaza iu pozati tačo, već a određeom, pozatom, verovatoćom. Pored toga, može e izvršiti klaifikacija itema a oovu vrte i oblika modela:. Na oovu broja ezavio promeljivih koje e javljaju u modelu, itemi e dele a iteme a agomilaim parametrima i iteme a rapoređeim parametrima. Sitemi a agomilaim (kocetriaim) parametrima u oi kod kojih e može matrati da u ve procee veličie uiforme u celoj zapremii itema, ili u pojediim delovima zapremie itema i da e e moraju pomatrati jihove promee po protorim koordiatama, tako da je vreme jedia ezavio promeljiva. Diamički modeli ovakvih itema e dobijajaju u obliku jede ili itema običih diferecijalih jedačia. Tipiči primeri ovakvih itema u vi udovi a mešajem (mešači, grejači a mešajem, reaktori a mešajem), kao i uređaji a tupjevima (koloe a podovima i ličo). Sitemi a rapoređeim (ditribuiraim) parametrima u oi kod kojih je eophodo uzeti u obzir i promee proceih veličia po protorim koordiatama, tako da e kao ezavio promeljive javljaju vreme i jeda ili više protorih koordiata. Diamički modeli ovakvih itema e prikazuju jedom ili itemom parcijalih diferecijalih jedačia. Tipiči primeri ovakvih itema u uređaji a klipim ili približo klipim trujajem (razmejivači toplote tipa cev u cevi ili omotač i cevi, cevi reaktor i ličo), kao i uređaji a pakovaim lojem (aporpcioe, rektifikacioe i ektrakcioe koloe a pujejem, adorpcioe koloe, katalitički reaktori a pakovaim lojem i ličo).. Na oovu liearoti modela, itemi e dele a lieare i elieare. Lieari itemi u oi koji e mogu opiati jedom ili itemom liearih diferecijalih jedačia a liearim graičim ulovima. alogo, ako e diamički model itema defiiše preko operatora H koji daje vezu između izlaza i ulaza: y H x (.-) item će biti lieara ukoliko je operator H lieara, odoo ako važi: y H ( x + x ) H x + H x (.-) Nelieari itemi u oi koji e opiuju eliearim diferecijalim jedačiama, odoo eliearim operatorima. 3. Na oovu reda jedačie kojom je opia diamički model itema, itemi e dele a:

3 .. Diamika itema u vremekom domeu - iteme prvog reda - iteme drugog reda - iteme višeg reda. 4. Na oovu oblati defiiaiaoti modeli itema mogu biti kotiuali ili dikreti. Kotiuali modeli u oi kod kojih u promeljive taja defiiae za ve vredoti vremeke promeljive. Dikreti modeli u oi kod kojih u promeljive taja defiiae amo za određee, dikrete vredoti vremeke promeljive. Na oovu feomea koji e u proceu odigravaju, u potrojejima procee idutrije e ajčešće javljaju: - procei a preoom količie kretaja - procei a preoom toplote - procei a preoom mae - procei a imultaim preoom toplote i mae - procei a hemijkom i/ili biohemijkom reakcijom - ložei procei u kojima e itovremeo javlja više feomea. U ovoj kjizi ćemo e uglavom baviti determiitičkim modelima itema koji e ajčešće javljaju u potrojejima procee idutrije. Uglavom ćemo e ograičiti a kotiuale, lieare iteme a agomilaim parametrima.... Formiraje teorijkih determiitičkih modela Formiraju teorijkog determiitičkog modela e pritupa u lučajevima kada u pozati fizičko-hemijki feomei koji e odigravaju u pomatraom itemu. Teorijki model e atoji od matematičkih jedačia kojima e adekvato opiuju ovi feomei. Da bi e teorijki defiiao item i jegovo poašaje, potrebo je defiiati:. kup fudametalo međuobo zaviih veličia čije vredoti opiuju taje itema, koje e azivaju veličie taja;. kup jedačia koje povezuju veličie taja i daju jihovu zaviot od ezavio promeljivih (vremea i protorih koordiata), koje e azivaju jedačie taja. Jedačie taja e dobijaju matematičkom formulacijom oovih fizičko-hemijkih zakoa koji važe za taj item. Pri potavljaju matematičkog modela koji opiuje poašaje itema u etacioarom taju (diamičkog modela), prvo treba defiiati bilae jedačie koje e mogu prikazati ledećim ajopštijim oblikom: (ULZ)- (IZLZ)+(IZVOR)- (PONOR) KUMULCIJ S obzirom a feomee koji e u jima javljaju, za procee hemijke i rodih idutrija, u pricipu ajpre treba defiiati ledeće bilae jedačie: () Jedačiu ukupog materijalog bilaa (jedačiu kotiuiteta. () Jedačie materijalih bilaa pojediih kompoeata. Za N-kompoeti item, treba defiiati N- jedačiu ovog oblika (plu jedačiu ukupog materijalog bilaa). (3) Jedačiu eergetkog bilaa. (4) Jedačiu kretaja (bila količie kretaja. Treba aglaiti da ači potavljaja vih bilaih jedačia koje u apred pomeute zavii od toga da li e radi o itemu a agomilaim ili a rapoređeim parametrima. Naime, za iteme a agomilaim parametrima bilae jedačie e potavljaju u odou a ukupu zapremiu itema, odoo deo zapremie u kome u ve promeljive uiforme, pri čemu e kao rezultat dobijaju običe diferecijale jedačie. Kod itema a rapoređeim parametrima, bilai e potavljaju za mali elemet zapremie itema, tako da e pole uzimaja graičih vredoti kada taj elemet potaje bekoačo mali, dobijaju parcijale diferecijale jedačie. (5) Traporte jedačie koje defiišu brzie preoa količie kretaja, toplote i mae. Jedačie molekukog preoa i jedačie ukupog preoa. (6) Jedačie hemijke termodiamike, kojima e defiišu gutie i etalpije vih faza, u fukciji pritika,

4 .. Diamika itema u vremekom domeu temperature i atava. (7) Jedačie ravoteže, koje mogu da budu: jedačie hemijke ravoteže i jedačie ravoteže faza. (8) Jedačie hemijke kietike koje defiišu brziu hemijke reakcije. PRIMER.-. Potavljaje jedačia ukupog materijalog bilaa za item a agomilaim i a rapoređeim parametrima Potaviti jedačie ukupog materijalog bilaa za protoči item (a) a agomilaim parametrima i (b) a rapoređeim parametrima u koji ulazi truja fluida a promeljivim protokom. (a) Kao item a agomilaim parametrima ćemo pomatrati protoči ud u kome potoji idealo mešaje, šematki prikaza a lici P-..-. Jedačia ukupog materijalog bilaa ima oblik: F i i d - Fρ ( ρv) ρ (P-..-) Slika P-.--. Šematki prikaz uda a idealim mešajem U gorjoj jedačii i a lici P-..-. u korišćee ledeće ozake: t - vreme, V - zapremia tečoti u udu, F i - ulazi protok, F - izlazi protok, ρ i - gutia ulaze truje, ρ - gutia tečoti u udu i u izlazoj truji i - površia poprečog preeka uda. Za većiu tečih itema, može e matrati da je gutia približo kotata, tako da e ova jedačia vodi a: dv - F F i (P-..-) odoo, ako je površia poprečog preeka uda kotata, a: dh Fi - F (P-..-3) gde je h viia tečoti u udu. (b) Kao item a rapoređeim parametrima ćemo pomatrati cev u kojoj e javlja klipo trujaje fluida, šematki prikazau a lici P-..-. Kod ovog itema, materijali bila e potavlja za mali elemet zapremie, prikaza ivom površiom a lici, pri čemi e dobija ledeća diferecijala jedačia: d (vρ ) z - (vρ ) z+ Δz (ρδz) P-..-4) Slika P-..-. Šematki prikaz elemeta a klipim trujajem Kada zapremia, odoo dužia pomatraog elemeta z teži uli, jedačia (P-..-4) prelazi u parcijalu diferecijalu jedačiu, koja preavlja matematički model pomatraog itema a rapoređeim parametrima: ρ + ( ρv) 0 t z (P-..-5) U jedačiama (P-..-4) i (P-..-5) i a lici P-..-. korišćee u ledeće ozake: t - vreme, z - akijala koordiata, v - brzia trujaja fluida, ρ - gutia fluida, - površia poprečog preeka cevi kroz koju truji fluid.

5 .. Diamika itema u vremekom domeu PRIMER.-. Materijali bilai po kompoetama, za item a agomilaim i a rapoređeim parametrima Potaviti materijale bilae po kompoeti, za lučaj izoterme reakcije -tog reda, tipa 6B, u reaktoru a idealim mešajem (item a agomilaim parametrima) i idealom cevom reaktoru (item a rapoređeim parametrima). (a) Za reaktor a idealim mešajem, prikaza a lici P-..-., u kome e odigrava reakcija -tog reda, jedačia materijalog bilaa po kompoeti e može apiati u ledećem obliku: d F i c i - F c -V k c (V c ) (P-..-) d t Slika P-..-. Šematki prikaz reaktora a idealim mešajem gde je c i kocetracija kompoete u ulazoj truji, c kocetracija kompoete u reaktoru i izlazoj truji i k kotata brzie reakcije (otale ozake u idetiče kao u primeru.-(a)). Ukoliko je item dvokompoeta ( i B) jedačia (P-..-), zajedo a jedačiom ukupog materijalog bilaa (P-..-), odoo (P-..-3), potpuo opiuje ovaj item. (b) Za ideali cevi reaktor (lika P-..-.) u kome e odigrava reakcija -tog reda, jedačia materijalog bilaa po kompoeti, za elemet zapremie z e može apiati u obliku: Slika P-..-. Šematki prikaz cevog reaktora d c Δz (v c ) z - (v c ) z+ Δ z - k c Δz (P-..-) Delejem ove jedačie a z i alažejem graiče vredoti kada elemet zapremie koji pomatramo potaje bekoačo mali ( z60), dobija e model u obliku parcijale diferecijale jedačie: c t (v c - z ) - k c (P-..-3) Pri potavljaju matematičkog modela itema e četo javljaju problemi, čiji u ajčešći uzroci edovoljo pozavaje fizičko-hemijkih feomea, edovolja pouzdaot vredoti različitih parametara u modelu i veličia i ložeot dobijeog modela...3. Liearizacija modela i promeljive oupaja..3.. Liearizacija Većia realih itema koji e javljaju u proceoj idutriji u elieari. Međutim, rad a eliearim modelima i rešavaje eliearih diferecijalih jedačia preavlja vrlo komplikova problem. S druge trae, aparat lieare aalize je vrlo razvije i lako primeljiv. Zbog toga e pri ipitivaju eliearih itema pritupa liearizaciji modela, kad god je to moguće. Najčešće korišće i ajjedotaviji ači liearizacije modela e vodi a razvijaje vih eliearih člaova u modelu u Tejlorov (Taylor) red i zaemarivaje vih kvadratih i člaova višeg reda u ovom razvoju. Za lučaj elieare fukcije jede promeljive, f(x), potupak liearizacije je ledeći: f(x) df f( x )+ dx x d f (x - x )+ dx x (x - x! ) +... df f( x )+ dx x (x - x ) (.-9)

6 .. Diamika itema u vremekom domeu Na lici.-. je ilutrovao geometrijko začeje liearizacije elieare fukcije jede promeljive. Liearizacijom zapravo eliearu fukciju f(x) aprokimiramo jeom tagetom u tački x oko koje e vrši razvijaje u Tejlorov red. U okolii te tačke, ova aprokimacija je dota dobra, da bi a udaljavajem (a povećavajem razlike (x-x )) potajala ve lošija. Kada e vrši liearizacija diamičkog modela procea, razvijaje u Tejlorov red e vrši oko rade tačke koja je defiiaa vredotima promeljivih koje odgovaraju optimalom tacioarom taju u kome treba održavati rad procea. Ukoliko je rad itema zadovoljavajući, odoo ukoliko vredoti promeljivih e oupaju začajo od vojih iprojektovalih optimalih vredoti, aprokimacija eliearih fukcija Tejlorovim redom prvog tepea će Slika.-. Geometrijka iterpretacija liearizacije elieare fukcije biti zadovoljavajuća, odoo moći ćemo a dovoljom pouzdaošću da izvodimo zaključke o diamici eliearog itema a oovu jegovog liearizovaog modela. Za eliearu fukciju dve promeljive f(x,y), jedačia (.-9) e može geeralizovati: f(x, y) f( x, y f )+ x f + y x,y x,y f( x, y f (x - x )+ y (y - y! ) f )+ x f + x y x,y x,y (y - y (x - x )(y - y f (x - x )+ y f )+ x (y - y )+... U ovom lučaju, rada tačka je defiiaa vredotima promeljivih x i y u tacioarom taju u kome treba voditi proce (x, y ). Izraz za liearizaciju elieare fukcije e može dalje geeralizovati za fuciju tri i više promeljivih. x,y x,y x,y ) (x - x! ) (.-0) PRIMER.-3. Liearizacija materijalog bilaa po kompoeti, za izotermi protoči reaktor a idealim mešajem i kotatom zapremiom, u kome e odigrava reakcija -tog reda Jedačiu materijalog bilaa izotermog protočog reaktora a idealim mešajem i reakcijom -tog reda, po kompoeti mo izveli u primeru.-. (jedačia (P-..-)). Za lučaj kotate zapremie, ova jedačia e može apiati u obliku: dc V F c i - F c -V k c (Za Vcot, a oovu jedačie ukupog bilaa izvedee u primeru.-. (jedačia (P-..-)) je F i F.) U ovoj jedačii, pored vremea kao ezavio promeljive, imamo tri promeljive: dve ulaze, F i c i, i jedu izlazu, c. Dea traa jedačie (P-..3-) e atoji od tri člaa, od kojih prva dva adrže promeljivi parametar F, a treći je elieara. Da bi e ova jedačia prevela u liearu diferecijalu jedačiu a kotatim koeficijetima, koja e jedotavo rešava, treba izvršiti liearizaciju va tri člaa a deoj trai jedačie. Potupak liearizacije je prikaza ledećim jedačiama: - za prvi čla (Fc i ): - za drugi čla (Fc ): (P-..3-) F c i f (F,ci ) F ci, + F ( ci - ci, )+ ci, (F - F ) (P-..3-)

7 .. Diamika itema u vremekom domeu F c f (F,c ) F c, + F ( c - c, )+ c,(f - F ) (P-..3-3) Vkc - za treći čla (Vkc ): f3( c) Vkc, + Vkc, ( c c, ) (P-..3-4) Zameom ovih liearih aprokimacija u jedačiu (P-..3-) dobijamo liearizovau jedačiu izotermog reaktora a idealim mešajem i reakcijom -tog reda: - [ F dc V [ F c c, + F ( c - c, i, + F ( c )+c, i - c i, )+c i, (F - F )] -V k[ c (F - F, + c )] -, ( c - c, )] (P-..3-5) Iako ova jedačia a prvi pogled izgleda komplikovaija od polaze elieare jedačie (P-..3-), jeo rešavaje je mogo jedotavije. PRIMER.-4. Liearizacija materijalog bilaa po kompoeti, za eizotermi protoči reaktor a idealim mešajem, kotatom zapremiom i reakcijom -tog reda Ukoliko imamo eizotermi reaktor, kotata brzie reakcije k ije kotata, već je fukcija temperature defiiaa reijuovom jedačiom: k a e -E a /RT gde je T temperatura, E a eergija aktivacije, R uiverzala gaa kotata i a predekpoecijali faktor. U ovom lučaju, jedačia materijalog bilaa protočog reaktora a idealim mešajem po kompoeti ima oblik: dc -E a /RT V F ci - F c -V a e c (P-..4-) Treba primetiti da je za kompleta diamički model ovog itema eophodo defiiati i jedačiu toplotog bilaa. U jedačii (P-..4-) imamo četiri promeljive (F, c i, c i T). Prva dva člaa a deoj trai ove jedačie u idetiči kao u prethodom primeru, dok e treći razlikuje i fukcija je dve promeljive (c i T). Liearizacijom ovog člaa e dobija ledeći izraz: V a -Ea /RT e c V a e -Ea /RT V k c, c, +V +V k a -Ea /RT e c -, (c c -, -c )+V V )+ k E a c RT (T-T (k je kotata brzie reakcije koja odgovara temperaturi u radoj tački.) Zameom liearizovaih člaova defiiaih jedačiama (P-..3-), (P-..3-3) i (P-..4-) u jedačiu (P-..4-), dobija e liearizovai oblik jedačie materijalog bilaa eizotermog protočog reaktora a idealim mešajem i reakcijom -tog reda: (c, -c,, a -Ea /RT e ) c, Ea RT (T-T ) (P-..4-) dc V [ F c i, + F ( c i - c i, )+ c i,(f - F )] (P-..4-3) - c, E a - [ F c, + F ( c - c, )+ c, (F - F )] -V k c, [ c, + ( c - c, )+ (T - T )] RT..3.. Promeljive oupaja Vrlo četo je pri aalizi diamike itema mogo pogodije umeto pravih vredoti promeljivih korititi jihova oupaja od tacioarog taja, koja e defiišu a ledeći ači:

8 .. Diamika itema u vremekom domeu p x (t) x(t) - x (.-) Ovako defiiae promeljive azivamo promeljive oupaja. Ove promeljive e četo azivaju i perturbacioe ili devijacioe promeljive. Pošto u tvare promeljive u itemu fukcije vremea, to ito važi i za promeljive oupaja. Grafički prikaz jede tvare i odgovarajuće promeljive oupaja je dat a lici.-. Oovi razlozi za uvođeje promeljivih oupaja u što e dobijee liearizovae diferecijale jedačie pojedotavljuju, i to a dva ačia:. člaovi jedačie koji u kotati otpadaju. ako e pomatra item koji e a početku alazi u tacioarom taju kojim je defiiaa rada tačka, početi ulovi za promeljive oupaja u jedaki uli. Da bi ovo ilutrovali, liearizovae jedačie modela, dobijee u primerima.-3. i.-4. ćemo izraziti preko promeljivih oupaja. Slika.-. Poređeje tvare i promeljive oupaja PRIMER.-5. Liearizovaa jedačia materijalog bilaa po kompoeti, za izotermi protoči reaktor a idealim mešajem, kotatom zapremiom i reakcijom -tog reda, izražea preko promeljivih oupaja ko e u jedačii (P-..3-5) ve promeljive izraze u obliku zbira odgovarajuće promeljive oupaja i vredoti u tacioarom taju: F F p + F c +c dobija e ledeća jedačia: dc V p + dc,, c i [ F c p i i, + F i, c, p i c +c c i, p F +c p ], - [ F (P-..5-) ] -V k[ c ] (P-..5-) ko e podetimo da je c, kotata, tako da je je izvod po vremeu jedak uli, i ako grupišemo ve kotate člaove a deoj trai jedačie, dobijamo: p dc V [ F c i, - F c, -Vkc, ] + F c p i + c i, Čla u uglatoj zagradi, a deoj trai ove jedačie, zapravo preavlja akumulaciju kompoete u tacioarom taju, i jedak je uli. Tako dobijamo koači oblik liearizovae jedačie materijalog bilaa po kompoeti, za reaktor a idealim mešajem i reakcijom -tog reda: c F, p + F - F c c p p +c +c,, F F p p -V k c -,, c p + c -, c p (P-..5-3) V p dc F c p i +c i, F p - F c p +c, F p -V kc -, c p (P-..5-4) PRIMER.-6. Liearizovaa jedačia materijalog bilaa po kompoeti, za eizotermi protoči reaktor a idealim mešajem, kotatom zapremiom i reakcijom -tog reda, izražea preko promeljivih oupaja Na potpuo aaloga ači kao u prethodom primeru, diferecijala jedačia (P-..4-3), kojom je defiia liearizovai materijali bila eizotermog reaktora a idealim mešajem, može e preveti

9 .. Diamika itema u vremekom domeu u oblik defiia preko promeljivih oupaja: dc V F c p i +c i, F p - F c p +c, F p -V k -V k Na oovu prethodih primera e može zaključiti da e prelakom a promeljive oupaja dobija diferecijala jedačia koja e od polaze razlikuje amo po odutvu kotatih člaova i po početim ulovima koji u jedaki uli. ZKLJUČK: Većia proceih itema koji e javljaju u idutriji u elieari. Međutim, ukoliko diamički model treba da opiše etacioari proce u okolii rade tačke kojom je defiiao optimalo tacioaro taje, može e izvršiti jegova liearizacija bez velikih poledica po verodotojot modela. Ukoliko e zatim, u liearizovaom modelu umeto tvarih promeljivih uvedu jihova oupaja od vredoti u tacioarom taju, približi model itema a agomilaim parametrima e u opštem lučaju može prikazati itemom običih liearih diferecijalih jedačia a kotatim koeficijetima, koje e adrže kotate člaove i za koje u vi početi ulovi jedaki uli. Ovakav item jedačia e uvek može veti a jedu običu liearu diferecijalu jedačiu -tog reda a kotatim koeficijetima, koja povezuje izlazu promeljivu y a ulazom promeljivom x: Važo je apomeuti da za ve reale iteme važi: m (.-3) c U jedačii (.-) u zbog jedotavoti izotavljei gorji ideki p, kojima e ozačava da e radi o promeljivim oupaja. Kada e pecificira vremeka zaviot promee ulaza x(t), rešavajem jedačie (.-) dobija e približi odziv itema y(t), a oovu koga e može jao agledati i predvideti diamičko poašaje itema. Rešavaje običe lieare diferecijale jedačie a kotatim koeficijetima, tipa jedačie (.-), je uvek moguće i relativo je jedotavo. Jeda od ajčešće korišćeih metoda za rešavaje liearih diferecijalih jedačia a kotatim koeficijetima pri izučavaju diamike procea e zaiva a primei Laplaove (Laplace) traformacije. Pored jedotavog rešavaja liearih diferecijalih jedačia, Laplaova traformacija omogućuje vrlo jedotavo prikazivaje diamike itema, u obliku preoih fukcija koje u zato pogodije od diferecijalih jedačia, i razvoj različitih metoda aalize i iteze itema upravljaja u Laplaovom (komplekom) domeu, koje u zato jedotavije od odgovarajućih metoda u vremekom domeu. Zbog toga će ledeće poglavlje ove kjige biti povećeo Laplaovoj traformaciji i diamičkim modelima itema koje e dobijaju jeim korišćejem. -, c p c, E a RT T p (P-..6-) - m m- d y d y dy d x d x dx + a a + a0 y bm +bm b +b x (.-) - m m- a 0.. DINMIK SISTEM U LPLSOVOM DOMENU Korišćeje Laplaove traformacije daje vrlo jedotava i elegata metod za rešavaje liearih ili liearizovaih diferecijalih jedačia koje e dobijaju kao rezultat matematičkog modelovaja procea u etacioarom režimu. Primeom Laplaove traformacije, običa lieara diferecijala jedačia e traformiše u algebarku, a lieara parcijala diferecijala jedačia u običu liearu diferecijalu jedačiu. Laplaova traformacija takođe omogućuje: - jedotavo prikazivaje diamičkog modela itema koji daje direktu vezu izlaza i ulaza i koji je vrlo pogoda za korišćeje u upravljaju proceima; - direktu kvalitativu aalizu reakcije itema a različite poljašje uticaje. U atavku ćemo dati oove Laplaove traformacije (defiiciju, ajvažije oobie i korišćeje).

10 { f f (t) } L { f (t)} { f (t) } () L C (t)+ C C +C L C F ()+C F (.-).. Diamika itema u vremekom domeu... Laplaova traformacija... Defiicija Laplaove traformacije Laplaova traformacija je lieara traformacija koja e defiiše ledećim itegralom: 0 -t L {f(t)} F() f(t) e (.-) Pomoću Laplaove traformacije prelazimo iz vremekog domea, u kome je ezavio promeljiva vreme t, u kompleki, odoo Laplaov dome, u kome je ezavio promeljiva kompleka promeljiva (koja e četo aziva Laplaova promeljiva). Na taj ači e oblat defiiaoti vih fukcija prevodi iz jedodimezioale u dvodimezioalu. Fukcija f(t) e aziva origial, a fukcija F() je jea lika, odoo jea Laplaova traformacija. Zbog jeotavijeg praćeja, u daljem izlagaju će u ajvećem broju lučajeva origiali biti ozačei malim lovima, a jihove like odgovarajućim velikim lovima. Izuzeci će biti procee promeljive koje e tadardo ozačavaju velikim lovima (a primer tepmeratura - T ili protok - F), koje će i u vremekom i u Laplaovom domeu biti ozačee velikim lovom.... Laplaove traformacije ekih jedotavih fukcija Na ekoliko primera ćemo prikazati alažeje Laplaovih traformacija ekih jedotavih, ali začajih fukcija, po defiiciji. PRIMER.-. Laplaova traformacija jediiče tepeate fukcije Jeda od ajčešće korišćeih ulazih fukcija za ipitivaje diamike procea je Heviajdova (Heaviide) fukcija, koja e četo aziva jediiča tepeata ili jediiča odkoča fukcija. Ova fukcija e matematički može izraziti a ledeći ači: 0, t < 0 u(t) (P-..-), t 0 Nje grafički prikaz je dat a lici P-... Slika P-... Jediiča tepeata (Heviajdova) fukcija Nalažeje Laplaove traformacije ove fukcije primeom defiicije (jedačia (.-)) je vrlo jedotavo: -t -t -t U ( ) L { u( t)} u(t)e e - e - (0 ) (P-..-) Najvažije oobie Laplaove traformacije Primea Laplaove traformacije a ložee fukcije ili jedačie e zato pojedotavljuje korišćejem ekih važih oobia i teorema koje za ju važe i koje avodimo u daljem tektu.. Liearot Najvažija oobia Laplaove traformacije je da je lieara. To zači da je Laplaova traformacija lieare kombiacije fukcija jedaka liearoj kombiaciji Laplaovih traformacija tih fukcija. Za liearu kombiaciju dve fukcije, ova oobia e može izraziti a ledeći ači: a za liearu kombiaciju fukcija:

11 .. Diamika itema u vremekom domeu { Ci f i(t) } Ci L { f i ( t) } Ci F i() L (.-3) i i i. Traformacija izvoda Kako e Laplaova traformacija koriti za rešavaje liearih diferecijalih jedačia, jeda od vrlo važih oobia je traformacija izvoda. Laplaova traformacija prvog izvoda fukcije f(t) e dobija a ledeći ači: gde je F() Laplaova traformacija fukcije f(t), a f(0) početi ulov za fukciju f(t). Kao što e vidi, primeom Laplaove traformacije, difereciraje e zamejuje možejem a. Jedačia (.-4) e može geeralizovati za -ti izvod: f (0) f(t) F()- d - - (-) (-) f (i) ozačava i-ti izvod po vremeu fukcije f(t), izračuat za t0. 3. Izvod traformacije 4.Traformacija itegrala f(0) - df(t) L F()- f(0) (.-4) f (0) - L (.-5) () (- ) F () t { f(t) } t f(t) F() 0 L (.-6) L (.-7) f (0) 5. Itegral traformacije f(t) F()d L (.-8) t 6. Teorema koače vredoti ko je F() Laplaova traformacija od f(t), tada važi: lim t [ f(t) ] [ F() ] lim 0 (.-9) 7. Teorema počete vredoti lim t 0 [ f(t) ] [ F( ) ] lim (.-0) 8. Tralacija traformacije (teorema pomeraja) α { f(t) } F( - α ), α Re L (.-) e t 9. Tralacija fukcije (teorema kašjeja) -t0 { f(t - )} F() t 0 e L (.-)

12 .. Diamika itema u vremekom domeu 0. Traformacija periodiče fukcije ko je fukcija f(t) periodiča a periodom T: f(t +T) f(t) (.-3) tada je: T -t F() L{ f(t) } e f(t) -T - (.-4) e 0 Korišćeje Laplaove traformacije e običo vodi a korišćeje pozatih traformacija ajčešće korišćeih fukcija, koje e mogu aći u tablicama Laplaovih traformacija. Najčešće korišćee fukcije u oovom kuru iz oblati automatkog upravljaja proceima i jihove Laplaove traformacije, date u u tabeli.-. Šire i kompletije tablice Laplaovih traformacija date u u Prilogu. TBEL.-. Laplaove traformacije ajvažijih fukcija f(t) F() δ(t) u(t) / t / t (,,...)!/ + e -αt /(+α) t e -αt!/(+α) + i(ωt) ω/( +ω ) co(ωt) /( +ω ) h(ωt) ω/( -ω ) ch(ωt) /( -ω ) e -αt i(ωt) ω/((+α) +ω ) e -αt co(ωt) (+α)/((+α) +ω ) Fukcija δ(t), aziva e jediiča impula fukcija ili Dirakova (Dirac) fukcija, i defiiše e a ledeći ači: 0, t 0 δ(t) i δ(t) (.-5), t 0 - Lako e može pokazati da Dirakova fukcija preavlja prvi izvod Heviajdove fukcije: δ (t) u (t) (.-6)...4. Rešavaje običih liearih diferecijalih jedačia korišćejem Laplaove traformacije; iverza Laplaova traformacija Potupak rešavaja običih liearih diferecijalih jedačia pomoću Laplaovih traformacija bi e mogao šematki prikazati likom.-.

13 .. Diamika itema u vremekom domeu Slika.-. Šematki prikaz rešavaja diferecijalih jedačia korišćejem Laplaove traformacije Ključi i ajteži korak pri rešavaju liearih diferecijalih jedačia korišćejem Laplaove traformacije je alažeje iverze Laplaove traformacije. Iverza Laplaova traformacija je takođe lieara i defiiše e ledećim itegralom: α+ j t f(t) L {F()} e F()d πj (.-7) α- j Međutim, ova defiicija e retko koriti za praktičo alažeje iverze Laplaove traformacije. Najčešće e koriti metod Heviajdove ekpazije, koji e atoji u ledećem. Fukcija F(), čiju iverzu Laplaovu traformaciju treba aći, e prikazuje u obliku zbira jedotavih fukcija čije e iverze traformacije mogu aći direkto, pregledom tablica Laplaovih traformacija: F() F ()+ F ()+...+ F N () (.-8) Zatim e, zahvaljujući oobii liearoti iverze Laplaove traformacije, iverza Laplaova traformacija polaze fukcije F() dobija kao zbir iverzih Laplaovih traformacija pojediih abiraka u jedačii (.-8): f(t) L - {F()} L { F ()}+ L f (t)+ f Pri rešavaju običih liearih diferecijalih jedačia, fukcija F() čiju iverzu Laplaovu traformaciju treba aći, dobija e kao odo dva polioma po : F() Z P M N () () ko e izvrši faktorizacija polioma u imeiocu: F() ( - Z M () p )( - p )...( - p { F ()}+...+ L (t)+...+ f (t) gde u p i (i,...,n) ule polioma P N (), i ako u ve ove vredoti različite, fukcija F() e može izraziti kao zbir parcijalih razlomaka od N člaova: B F() + - p - p N Nepozate kotate, B,..., W, e mogu odrediti a ledeći ači: ) W p N - N - { F N ()} (.-9) (.-0) (.-) (.-)

14 .. Diamika itema u vremekom domeu lim [( - p p B lim [( - p p W lim [( - p p N N )F()] )F()] )F()] ko e eka ula polioma P N, a primer p, poavlja puta: F() ( - Z M () p ) ( - p )...( - p N ) fukcija F() e može razviti u zbir parcijalih razlomaka a ledeći ači: F() ( - p + ) ( - p ) - B W p - p - p N (.-3) (.-4) (.-5) Koeficijeti,..., e određuju a oovu ledeće opšte formule: m m- d lim ( - p ) F()) m- (.-6) p d (m - )! Četo e, kod jedotavih fukcija, umeto korišćeja jedačia (.-3), odoo (.-6), dea traa jedačie (.-), odoo (.-5) vodi a zajedički imeilac, a epozate kotate, B,..., W e određuju izjedačavajem koeficijeata uz ite tepee po polioma koji e dobija u brojiocu i polioma Z M (). Potupak rešavaja običih liearih diferecijalih jedačia pomoću Laplaovih traformacija ćemo ilutrovati a dva jedotava primera. PRIMER.-5. Rešavaje običe lieare diferecijale jedačie korišćejem Laplaove traformacije Rešiti diferecijalu jedačiu: d x 3 dx x 0 za počete ulove: x(0) 0, x (0) 0.5 REŠENJE: Najpre primejujemo Laplaovu traformaciju a levu i deu trau date diferecijale jedačie, koriteći pri tome oobiu liearoti: L d x dx + 5 L + L 3 Kada e ađu Laplaove traformacije pojediih člaova u gorjoj jedačii, uz korišćeje pravila o traformaciji izvoda, dobija e: gde je: {} x L {} 0 3 [ X() - x(0)- x (0)] + 5 [ X() - x(0)] + X() 0 X() L { x(t) }

15 .. Diamika itema u vremekom domeu Zameom početih ulova u prethodu jedačiu, dobija e: ( ) X().5 Ovo je algebarka jedačia koja daje vezu između zavio promeljive X() i Laplaove promeljive. Njeim rešavajem po X() e dobija:.5 X() što preavlja rešeje polaze diferecijale jedačie u Laplaovom domeu. Da bi e dobilo rešeje u vremekom domeu treba aći iverzu Laplaovu traformaciju ovog izraza. U tom cilju treba prvo izvršiti faktorizaciju polioma u imeiocu. Nule polioma u imeiocu u - i -/3, tako da e gorja jedačia može apiati u obliku: X() + 3(+)(+ /3) (+)(+ /3) + Prikazaćemo dva ačia za određivaje kotati i B: I ači: korišćejem jedačie (.-3): 0.5 lim ( +) - ( +)( + /3) 0.5 B lim ( + /3) -/3 ( +)( + /3) II ači: Svođejem zbira parcijalih razlomaka a zajedički imeilac: B /3 Brojilac ovog izraza mora da bude idetičo jedak 0.5, što zači da mora da bude zadovolje ledeći item jedačia: + B 0 /3+ B 0.5 Rešavajem ovog itema jedačia dobija e: -.5, B.5 Sada mo dobili rešeje jedačie u Laplaovom domeu X(), kao zbir dva parcijala razlomka: X().5 + /3 za koje je jedotavo aći iverzu Laplaovu traformaciju, korišćejem tabele.-: x(t).5 L Rešeje polaze diferecijale jedačie, za date počete ulove je: - t -t x(t).5 e - e 3 PRIMER.-6. Rešavaje običe lieare diferecijale jedačie primeom Laplaove traformacije Rešiti diferecijalu jedačiu: /3 (+ /3)+ B(+) (+)(+ /3) /3 - L /3+ B + /3 (+ B) +(/3+ B) (+)(+ /3) -.5 e + t e -t

16 .. Diamika itema u vremekom domeu x 5 d + x za počete ulove: x(0) 0, x (0) 0 REŠENJE: Primeom Laplaove traformacije a levu i deu trau gorje jedačie: d x 5 L + L {x} L {} i zameom početih ulova, dobija e: (5 +) X() Rešeje polaze difercijale jedačie u Laplaovom domeu je: /5 X() (5 +) ( +/5) Opet ćemo prikazati dva ačia alažeja iverze Laplaove traformacije ovog izraza. I ači: Izvršićemo potpuu faktorizaciju polioma u imeiocu i prikazati X() u obliku zbira parcijalih razlomaka: /5 X() ( +/5j)( - /5j) + B +/5 C - /5 Koeficijete, B i C ćemo odrediti korišćejem jedačie (.-3): Tako da e X() dobija kao ledeći zbir parcijalih razlomaka: Primeom iverze Laplaove traformacije, dobija e: Ovaj izraz e može pojedotaviti, jer zadja dva člaa mogu da e prikažu kao co(t/5): + j /5 lim ( +/5j)( - /5j) 0 /5 B lim ( +/5j) -/5j ( +/5j)( - /5j) /5 C lim ( - /5j) /5j ( +/5j)( - /5j) y(t) K x(t) /5 (/5j)(-/5j) x(t) L - L - L +/5j - exp - jt - exp jt 5 5 x(t) - co t 5 II ači: Kada e u imeiocu javlja kvadrati čla čiji u korei kompleki, uobičajeo je da e fukcija prikaže u obliku zbira parcijalih razlomaka ledećeg oblika: j /5 /5 /5 (-/5j)(-/5j) /5 - - /5 /5 /5 - (/5j)(/5j) - /5 -/5j

17 .. Diamika itema u vremekom domeu B +C X() + +/5 Svođejem ovog izraza a zajedički imeilac: ( +/5)+ +C (+ B) +C +(/5) X() B ( +/5) ( +/5) i a oovu čijeice da brojilac ovako dobijeog izraza mora da bude idetičo jedak /5, dobija e ledeći item od tri jedačie kojima u defiiae vredoti kotati, B i C: + B 0 C čijim e rešavajem dobija:, B -, C 0 Sada e X() može apiati u obliku: X() - +/5 Rešeje polaze diferecijale jedačie u vremekom domeu može e dobiti tražejem iverze Laplaove traformacije ovog izraza čla po čla, direkto a oovu pregleda tablica Laplaovih traformacija (tabela.-): - - x(t) L - L - co t +(/5 ) 5... Diamički model itema u Laplaovom domeu - preoa fukcija itema U poglavlju.. mo pokazali da e pole liearizacije i prelaka a promeljive oupaja, model itema -tog reda a agomilaim parametrima a jedim ulazom i jedim izlazom može prikazati liearom diferecijalom jedačiom -tog reda a kotatim koeficijetima: - m m- d y d y dy d x d x dx a + a a + a0 y bm + bm b +b0 x (.-7) - m m- Kada e a ovu jedačiu primei Laplaova traformacija, dobija e algebarki izraz koji povezuje izlazu i ulazu promeljivu: ( 0 - m m- a +a a +a0 )Y()( bm +bm b +b )X() (.-8) U ovoj jedačii X() preavlja Laplaovu traformaciju oupaja ulaza od jegove vredoti u tacioarom taju, a Y() Laplaovu traformaciju oupaja izlaza od jegove vredoti u tacioarom taju. Pošto je jedačia (.-7) apiaa preko promeljivih oupaja, vi početi ulovi u jedaki uli, zbog čega e u jedačii (.-8) e javljaju vredoti x i y i jihovih izvoda za t0. Odo Laplaove traformacije promeljive oupaja izlaza Y() i Laplaove traformacije promeljive oupaja ulaza X(): Y() G() X() m bm +b a +a m- - m b +b a +a0 (.-9) aziva e preoa fukcija itema i preavlja jeda od ajpogodijih i ajčešće korišćeih oblika diamičkog modela itema. Pri defiiaju preoe fukcije dolazi do izražaja predot korišćeja

18 .. Diamika itema u vremekom domeu promeljivih oupaja, jer, zahvaljujući ovakvom defiiaju promeljivih, preoa fukcija e zavii od početih ulova, čime dobija a opštoti. Treba e podetiti da je za ve reale iteme m#, odoo da tepe polioma u brojiocu e može biti veći od tepea polioma u imeiocu preoe fukcije. Takođe treba zapaziti da e diferecijala jedačia -tog reda, pole primee Laplaove traformacije vodi a preou fukciju čiji je imeilac poliom -tog tepea. Na taj ači e red itema može odrediti direkto a oovu preoe fukcije itema. VŽN NPOMEN: Kada e poliom u imeiocu preoe fukcije izjedači a ulom, dobija e algebarka jedačia koja je idetiča a karakteritičom jedačiom polaze diferecijale jedačie: - + a a + a 0 (.-30) a 0 Ova jedačia e aziva karakteritiča jedačia itema. Preoa fukcija itema a agomilaim parametrima e dobija u obliku algebarkog izraza koji zavii od Laplaove promeljive, i zbog toga je vrlo jedotava i pogoda za korišćeje. Pošto e defiiše kao odo izlaza i ulaza, preoa fukcija preavlja diamički model koji povezuje amo jeda izlaz iz itema i amo jeda ulaz u item. Oa je vrlo pogoda za prikazivaje diamike itema a jedim ulazom i jedim izlazom. Međutim, za iteme koji imaju više ulaza i više izlaza eophodo je defiiati preoe fukcije za vaku kombiaciju izlaza i ulaza koja je od iterea. U tom lučaju e četo korite matrice preoih fukcija. Preoa fukcija preavlja diamičku karakteritiku itema i e zavii i od početih ulova, i od oblika ulaze promee. Za defiiau ulazu promeu x(t), odziv itema e dobija jedotavo, možejem preoe fukcije itema a Laplaovom traformacijom oupaja ulaza od tacioarog taja, alažejem iverze Laplaove traformacije i dodavajem vredoti izlaza u tacioarom taju: { G() X() } - y(t) y + L (.-3) ko e u izrazu kojim je defiiaa preoa fukcija itema kao odo dva polioma po (jedačia (.-9)) izvrši faktorizacija polioma u brojiocu i imeiocu, dobija e oblik koji je vrlo četo u upotrebi: bm ( - z )( - z )...( - zm ) G() (.-3) a ( - p )( - p )...( - p ) Vredoti ula polioma u brojiocu preoe fukcije, z,...,z m, azivaju e ule itema, dok e vredoti ula polioma u imeiocu preoe fukcije, p,...,p, azivaju polovi itema. Pošto je za ve reale iteme m#, broj ula itema ikada ije veći od broja polova itema..3. DINMIK JEDNOSTVNIH - ELEMENTRNIH SISTEM Procei koji e javljaju u potrojejima procee idutrije u vrlo različiti i ložei. Međutim, veliki broj procea, kao i drugih elemeata itema upravljaja, može e tačo ili približo prikazati različitim kombiacijama ekoliko oovih, elemetarih preoih fukcija kojima e mogu opiati diamičke karakteritike ajjedotavijih itema. Ti oovi, elemetari itemi u:. proporcioali elemet. item prvog reda (elemet a vremekom kotatom) 3. kapacitivi elemet (itegrator) 4. item drugog reda 5. elemet a mrtvim vremeom (čito kašjeje) 6. diferecijali elemet..3.. Proporcioali elemet Kod proporcioalog elemeta, izlaz je proporcioala ulazu u vakom treutku vremea: y(t) K x(t) (.3-) što zači da je iercija itema zaemarljiva.

19 .. Diamika itema u vremekom domeu Pošto je jedačia (.3-) algebarka, oa zadržava iti oblik pole primee Laplaove traformacije. Preoa fukcija proporcioalog elemeta je kotata: Y() G() K X() a jegova tatička i diamička karakteritika u idetiče. (.3-) U potrojejima procee idutrije e vrlo retko javljaju procei kojima odgovara ovakav matematički model. Međutim, eki delovi itema e poašaju kao proporcioali elemeti. Pored toga, elemeti mero-regulacioog itema e četo kotruišu a zahtevom da imaju ovakvu karakteritiku. Evo ekoliko karakteritičih primera proporcioalog elemeta Cevovod a lamiarim trujajem etišljivog fluida Jeda od pozatih relacija iz diamike fluida je oa koja daje vezu između razlike pritiaka i protoka fluda kroz pravu horizotalu cev kotatog prečika. Za lučaj lamiarog trujaja etišljivog fluida, ova veza je lieara i aziva e Hage-Poazejev zako: 4 D π F Δp K Δp 8μL U ovoj jedačii izlaza promeljiva je protok F, dok je ulaza promeljiva razlika pritiaka koja izaziva trujaje p. Pojačaje itema K zavii od prečika cevovoda D, vikozoti fluida m i dužie cevovoda L. Treba primetiti da je Hage-Poazejev zako prikaza jedačiom (.3-3) potpuo aaloga Omovom (Ohm) zakou koji defiiše vezu između jačie električe truje i apoa: kojom e defiiše električi otporik kao proporcioali elemet Peumatki item pločica-mlazica (.3-3) i u (.3-4) R Jeda od oovih kompoeata vih peumatkih uređaja je item pločica-mlazica koji je šematki prikaza a lici.3-(a). Slika.3-. Šematki prikaz peumatkog itema pločica-mlazica (a) i zaviot pritika u mlazici od udaljeoti od pločice (b) U mlazicu a kojoj potoji užeje (otporot) i otvor malog prečika dovodi e itrumetali vazduh kotatog pritika p (.4 bar). Blizu otvora mlazice je ormalo a pravac trujaja vazduha potavljea metala pločica učvršćea a jedom kraju. Pomeraje drugog kraja pločice x izaziva

20 .. Diamika itema u vremekom domeu promeu ratojaja između otvora mlazice i pločice δ, što a druge trae izaziva promeu povratog pritika u mlazici p (kada je otvor mlazice potpuo zatvore ovaj pritiak je jedak p, dok e a povećajem ratojaja δ pritiak u mlazici majuje). Zaviot povratog pritika u mlazici p i ratojaja δ je u pricipu elieara (kao što je prikazao a lici.3-(b)), ali e u ukom opegu ratojaja δ koji je od praktičog iterea, može aprokimirati liearom vezom: p - Cδ (.3-5) Ratojaje između pločice i mlazice δ e može izraziti a oovu dužia b i a a lici.3-(a) koje preavljaju udaljeot učvršćeog i lobodog kraja pločice od mlazice i mehaičkog pomeraja lobodog kraja mlazice x koje preavlja ulazu promeljivu za pomatrai item: b δ x (.3-6) a +b Kombiovajem jedačia (.3-5) i (.3-6) dobija e direkta veza između pomeraja lobodog kraja pločice x (ulaz) i povratog pritika u mlazici p (izlaz): b C p - x K x (.3-7) a+b Treba primetiti da e pojačaje itema pločica-mlazica K može jedotavo mejati promeom dužia a i b, odoo promeom položaja mlazice Operacioi pojačavač Operacioi pojačavač, koji je šematki prikaza a lici.3-., preavlja jedu od oovih kompoeata električih elemeata meroregulacioe opreme. Satoji e od apokog pojačavača vrlo velikog pojačaja () koji je poveza a red a otporikom R i paralelo a otporikom R. Matematički model ovog itema e dobija Slika.3-. Šema operacioog pojačavača jedotavo, defiiajem jačia truje kroz otporike R i R (i i i, repektivo): ei - e e -, eo i i (.3-8) R R Kada je pojačaje apokog pojačavača vrlo veliko, ema proticaja električe truje kroz jega i važi: i i, e 0 (.3-9) tako da e dobija: ei R eo - (.3-0) R odoo lieara algebarka veza između izlazog apoa e o i ulazog apoa e i : R eo - ei K ei (.3-) R Jedačia (.3-) potvrđuje da je operacioi pojačavač proporcioali elemet. Pojačaje operacioog pojačavača K e može jedotavo mejati promeom otporoti otporika R ili R. GENERLIZCIJ: Izraz za zaviot izlazog i ulazog apoa kod operacioog pojačavača (jedačia (.3-)) e može uopštiti za lučaj kada e umeto otporika R i/ili R alazi bilo kakva kombiacija otporika i kodezatora, pri čemu umeto otporoti treba korititi odgovarajuće

21 .. Diamika itema u vremekom domeu impedae. Najpogodije je preaviti impedae u Laplaovom domeu, pri čemu je impedaa otporika a otporošću R: I R R, kodezatora a kapacitivošću C: I C /C, dok e impedae rede i paralele veze dobijaju a idetiča ači kao za otporike: I redo I I, + (.3-) I paralelo I I Geeralizovai oblik jedačie (.3-) bi e u Laplaovom domeu tako mogao prikazati ledećom jedačiom: Eo() - I Ei() I (.3-3).3.. Sitem prvog reda (elemet a vremekom kotatom) Sitem prvog reda je item čiji e diamički model može prikazati jedom diferecijalom jedačiom prvog reda. Međutim, pod itemom prvog reda e običo podrazumeva item koji e može opiati jedom običom liearom ili liearizovaom diferecijalom jedačiom prvog reda a kotatim koeficijetima: dy dy τ τ a, K b0 a + a0 y b0 x _ + y K x (.3-4) a0 a0 Primeom Laplaove traformacije, dobija e preoa fukcija itema prvog reda: Y() X() τ K + (.3-5) Sitem prvog reda je defiia a dva parametra modela, τ i K. Parametar τ ima dimezije vremea i aziva e vremeka kotata, dok parametar K preavlja pojačaje, odoo tatičku karakteritiki itema prvog reda. Sitem prvog reda e četo aziva i elemet a vremekom kotatom. Sitemi koji e mogu prikazati ovakvim diamičkim modelom e četo javljaju u potrojejima procee idutrije. Mogi procei (objekti upravljaja) e mogu tačo ili približo prikazati kao jeda, ili češće, kao kombiacija više redo vezaih itema prvog reda. Takođe, mogi meri i izvrši elemeti e mogu matrati itemima prvog reda, kao i moge kompoete peumatkih i električih elemeata meroregulacioe opreme. U daljem tektu ćemo izveti preoe fukcije ekoliko karakteritičih primera itema prvog reda Protoči rezervoar a tečošću (ivo item prvog reda) Pomatramo protoči rezervoar kotate površie poprečog preeka koji je šematki prikaza a lici.3-3., kroz koji protiče tečot kotate gutie i kod koga je celokupi otpor iticaju kocetria u liearom vetilu a izlazom vodu. Materijali bila ovog itema e može prikazati u obliku: dh(t) C F i (t) - F o(t) (.3-6) Slika.3-3. Nivo item kao primer itema prvog reda Na oovu pretpotavke o liearom vetilu u kome je kocetria otpor iticaja dobija e lieara zaviot između izlazog protoka F o i pogoke ile za iticaje, viie ivoa h: h(t) F o (t) (.3-7) R U jedačiama (.3-6) i (.3-7) i a lici.3-3., F i je ulazi a F o izlazi protok (m 3 /), h (m) je viia ivoa, C (m ) površia poprečog preeka uda, kojom je defiiaa jegova kapacitivot, i R (/m ) je

22 .. Diamika itema u vremekom domeu otporot iticaja. Zameom F o iz jedačie (.3-7) u jedačii (.3-6) dobija e ledeća običa lieara diferecijala jedačia prvog reda a kotatim koeficijetima: dh(t) h(t) C F i (t) - (.3-8) R Pošto e u jedačii (.3-8) e javljaju kotati člaovi, pri prelaku a promeljive oupaja, ova jedačia će otati epromejea. Primeom Laplaove traformacije a jedačiu apiau preko promeljivih oupaja, pole možeja čitave jedačie a R, dobija e: RC H()+ H() R F i () (.3-9) Ova jedačia povezuje Laplaovu traformaciju viie ivoa u udu H(), koja preavlja izlaz, a Laplaovom traformacijom ulazog protoka F i (), koji preavlja ulazu promeljivu. Proizvod otporoti iticaja i kapacitivoti uda: τ R C (.3-0) koji ima dimezije vremea, preavlja vremeku kotatu ivo itema prvog reda. Nalažejem odoa H() i F i (), dobija e preoa fukcija protočog rezervoara: H() R F i() τ + (.3-) Za item prikaza a lici.3-3. e mogu defiiati dve izlaze promeljive: pored viie h, to je i izlazi protok F o. Preoa fukcija koja defiiše odo izlazog i ulazog protoka e dobija a oovu jedačie (.3-7) koja povezuje viiu ivoa u udu i izlazi protok. Pošto je ova jedačia algebarka, oa zadržava potpuo iti oblik i u Laplaovom domeu. Zameom H() a oovu jedačie (.3-7) u preooj fukciji defiiaoj jedačiom (.3-), dobija e: F o() F i() τ + (.3-) NPOMEN: Lieara zaviot između izlazog protoka i viie ivoa, prikazaa jedačiom (.3-7), koja e četo podrazumeva, važi amo u lučaju da je a izlazom vodu ugrađe vetil a liearom protočom karakteritikom i da je ukupi otpor iticaja kocetria u ovom vetilu. U većii realih lučajeva, veza između izlazog protoka i viie koja preavlja pogoku ilu za iticaje je oblika: F o β h (.3-3) koji važi za turbuleto trujaje (β je hidraulička kotata iticaja). Materijali bila za rezervoar e a taj ači dobija u obliku jede običe elieare diferecijale jedačie prvog reda: dh C + β h F i (.3-4) Pole liearizacije i prevođeja a promeljive oupaja, ova jedačia prelazi u oblik: dh β C + h F i (.3-5) h gde je h vredot viie ivoa u tacioarom taju oko koga je vršea liearizacija. Pole primee Laplaove traformacije a jedačiu (.3-5), dobija e preoa fukcija koja odgovara itemu prvog reda: H() h/ β F i() (C h/ β ) + K τ + (.3-6) Ovaj model je približa, obzirom da je dobije liearizacijom. Treba primetiti da pojačaje i vremeka kotata itema zavie od vredoti h, odoo od tacioarog taja oko koga je vršea liearizacija.

23 .. Diamika itema u vremekom domeu.3... Termometar a tečošću Kugla termometra a tečošću je šematki prikazaa a lici.3-4. Ovaj termometar e dota dobro može prikazati modelom a agomilaim parametrima koji podrazumeva da je ukupi otpor preou toplote kocetria u filmu fluida oko termometra, dok je celokupi toploti kapacitet kocetria u mai termometarke tečoti. ko je T f temperatura fluida koju treba izmeriti, a T t temperatura termometarke tečoti koja zapravo preavlja temperaturu koju pokazuje termometar, toploti bila ovog itema e može prikazati ledećom jedačiom: d T t m c p h ( T f - T t ) (.3-7) gde je m maa termometarke tečoti, c p jea pecifiča toplota kapacitivot, površia kugle termometra kroz koju e vrši preo toplote između okolog fluida i termometra i h koeficijet preoa toplote između okolog fluida i površie termometra. Ova jedačia povezuje temperaturu okolog fluida T f koja preavlja ulazu promeljivu i temperaturu koju pokazuje termometar T t koja preavlja izlazu promeljivu iz itema. Pri prelaku a promeljive oupaja, ova jedačia zadržava idetiča oblik. Kada e a ovu jedačiu primei Laplaova traformacija i ađe odo Laplaovih traformacija izlaza i ulaza, dobija e preoa fukcija termometra a tečošću ledećeg oblika: T T () () t f Veličia: mc h + preavlja proizvod toplote kapacitivoti termometra i otporoti preou toplote, ima dimezije vremea i preavlja vremeku kotatu termometra. NPOMEN: Treba primetiti da vremeka kotata termometra zavii od koeficijeta preoa toplote, koji, kao što je pozato, zavii od brzie trujaja okolog fluida i od fizičkih parametara fluida. Zbog toga će vremeka kotata itog termometra biti različita u različitim lučajevima (pr. vremeka kotata termometra je za oko red veličie maja pri mereju temperature vode ego pri mereju temperature vazduha; vremeka kotata termometra koji meri temperaturu fluida koji truji turbuleto je zato maja u odou a mereje temperature itog fluida u taju mirovaja i l.). Treba takođe primetiti da parametri fluida (aročito vikozot) zavie od temperature, tako da bi pri egzaktoj aalizi termometar morao da e pomatra kao elieara item. Međutim, u realim lučajevima e termometri korite za mereje temperature u relativo ukom opegu, tako da je ovaj uticaj zaemarljiv. Izvedei diamički model itema prvog reda e može primeiti i a druge kotakte termometre (pr. termoelemet, termootpori i ličo) Proce mešaja p τ + (.3-8) Slika.3-4. Termometar a tečošću kao item prvog reda mc p τ (.3-9) h ko pomatramo protoči ud a mešajem, kotate zapremie V, u koji e uvodi teča truja kotatog protoka F, ali promeljivog atava c i (t) (lika.3-5.), tada e materijali bila po kompoeeti može apiati u obliku: dc(t) V F c i (t) - F c (t) (.3-30)

24 .. Diamika itema u vremekom domeu Ova jedačia daje vezu između atava izlaze truje c (izlaz) i atava apoje truje c i (ulaz). Pole prelaka a promeljive oupaja i primee Laplaove traformacije, diamički model ovog itema e može prikazati u obliku preoe fukcije: C C i () () V + F, τ + τ V F (.3-3) gde u C () i C i () Laplaove traformacije promeljivih c (t) i c i (t). Vremeka kotata ovog itema τ defiiaa je odoom zapremie tečoti u rezervoaru V i zapremikog protoka F, i idetiča je a kotaktim vremeom rezervoara Izotermi prtotoči reaktor a idealim mešajem ko e u itemu prikazaom a lici.3-5. odigrava reakcija prvog reda: B a kotatom brzie k, materijali bila po kompoeti e, za lučaj kotate zapremie V i kotatog protoka reakcioe meše F, dobija u ledećem obliku: dc(t) V Fc i (t) - Fc (t) -Vkc (t) Kada e, pole prelaka a promeljive oupaja, a ovu jedačiu primei Laplaova traformacija, dobija e ledeća algebarka jedačia: ( V + F + k V ) () iz koje e dobija preoa fukcija reaktora: C C i () F () V + F +k V Slika.3-5. Proce mešaja kao item prvog reda (.3-3) C () F C i (.3-33) F F +k V V F +k V + K τ + (.3-34) Kao što e vidi, izotermi protoči reaktor a idealim mešajem, kotatom zapremiom, kotatim protokom reakcioe meše i reakcijom prvog reda je item prvog reda, čije pojačaje K i vremeka kotata τ zavie amo od kotate brzie reakcije k i kotaktog vremea reaktora τ c V/F: F K F + k V + k V/F + k τc V V/F τc τ F + k V + k V/F + k τc (.3-35) Elatiči meh Elatiči meh, šematki prikaza a lici.3-6, je jeda od vrlo četo korišćeih elemeata u itemima upravljaja potrojejima procee idutrije. Može e korititi kao ezor u elemetima za mereje pritika ili kao jeda od kompoeata peumatkih elemeata (tramitera, regulatora i pretvarača igala). Izrađuje e ajčešće od bakra, zbog jegove dobre toplote provodoti i dobrih elatičih oobia. Pri promei pritika u ulazom vodu p i dolazi do promee pritika u mehu p i do elatičog itezaja (kupljaja) meha u pravcu x koordiate. Najčešće e može matrati da je otpor trujaju gaa kocetria u prigušici ugrađeoj a ulazom vodu (lika.3-6.), a kapacitet u zapremii meha V i da je šireje, odoo kupljaje meha poro, tako da je u vakom treutku upotavljea ravoteža ila koje deluju a meh. U tom lučaju, elatiči meh preavlja item prvog reda.

25 .. Diamika itema u vremekom domeu Sile koje deluju a meh u ila pritika, koja teži da izvrši deformaciju meha, i elatiča ila, koja e toj deformaciji uprottavlja. Ravoteža ovih ila e može prikazati ledećom jedačiom: p k x (.3-36) gde je površia poprečog preeka meha, k kotata elatičoti meha i x dimezija meha u x- pravcu. Materijali bila za meh e može prikazati u obliku: dm q m (.3-37) gde je m maa gaa u mehu, a q m maei protok gaa kroz ulazi vod. ko je otporot prigušice R L lieara, q pi - p RL m (.3-38) ovaj protok e može prikazati kao: dok e maa gaa u mehu, u lučaju da e može matrati da e radi o idealom gau, može izraziti kao: pv m Rg T g (.3-39) Slika.3-6. Šematki prikaz elatičog meha V je zapremia meha, T g temperatura gaa u mehu i R g gaa kotata. Kako je Vx i pkx/ (iz jedačie (.3-36)), jedačia materijalog bilaa (.3-37) e može prikazati u obliku: d k x Rg T g R L kx pi - (.3-40) Ovaj matematički model je izvede za lučaj porih promea u itemu, tako da e može podrazumevati da je item izoterma. Jedačia materijalog bilaa (.3-40) e može prikazati u ledećem obliku koji povezuje ulazi pritiak p i (ulaza promeljiva) a dužiom meha x (izlaza promeljiva): dx Rg T k x RL g kx pi - (.3-4) Treba primetiti da je jedačia (.3-4) elieara, jer a levoj trai adrži proizvod izlaze promeljive x i jeog izvoda. Pole liearizacije i prevođeja a promeljive oupaja, ova jedačia e može prikazati u obliku: R R L g x T g dx + x k p i (.3-4) (x je dužia meha u tacioarom taju oko koga je vršea liearizacija). Primeom Laplaove traformacije, dobija e tadardi oblik preoe fukcije itema prvog reda: X() K, P i() τ + τ R R L g x T g, K k (.3-43) kojom je defiia odo Laplaove traformacije promee dimezije meha u x-pravcu X() i Laplaove traformacije promee pritika u ulazom vodu P i () RC-električo kolo Tipiča primer itema prvog reda koji e javlja u elektrotehici je takozvao RC-kolo koje e dobija redom ili paralelom vezom jedog otporika i jedog kodezatora. Na lici.3-7. je data šema RCkola a redom vezom kod koga je ulaz ukupi apo e i, a izlaz pad apoa a kodezatoru e o. Diamički model ovog itema e dobija potavljajem ekoliko oovih jedačia:

26 .. Diamika itema u vremekom domeu e v + e - Jedačie kojom e defiiše ukupa pad apoa u itemu: i o (.3-44) U ovoj jedačii v je pad apoa a otporiku R koji e može izraziti a oovu Omovog zakoa vri (i je jačia truje koja protiče kroz kolo, a R električa otporot). - Jedačie kojom e defiiše veza između pada apoa i količie elektriciteta kod kodezatora: Q C eo (.3-45) (Q je količia elektriciteta, a C električa kapacitivot kodezatora). - Defiicije jačie električe truje: dq i Kombiovajem ovih jedačia dobija e diamički model RC-kola u obliku jede običe lieare diferecijale jedačie prvog reda a kotatim koeficijetima: deo RC + eo ei koja e, primeom Laplaove traformacije može preveti u ledeću preou fikciju: Eo(), Ei() τ + τ RC (E i () i E o () u Laplaove traformacije vremekih fukcija e i (t) i e o (t).) Slika.3-7. RC kolo (.3-46) (.3-47) (.3-48) Treba primetiti da i u ovom lučaju vremeka kotata RC-kola kao itema prvog reda preavlja proizvod otporoti i kapacitivoti. Ovaj e zaključak može uopštiti a ve primere itema prvog reda, pri čemu e ači defiiaja otporoti i kapacitivoti razlikuje u različitim itemima u kojima e javljaju različiti feomei Kapacitivi elemet (itegrator) Prema defiiciji da je item prvog reda oaj koji e može matematički opiati jedom običom liearom diferecijalom jedačiom prvog reda a kotatim koeficijetima, kapacitivi elemet bi takođe mogao da e vrta u ovu grupu itema. Međutim, ako je u jedačii (.3-4) koeficijet uz y, a 0 0, dobija e pecijala oblik diferecijale jedačie prvog reda: dy C x (.3-49) koji opiuje item koji preavlja čit itegrator čije je diamičko poašaje pecifičo. Zbog toga e ovaj item, koji e ajčešće aziva kapacitivi elemet, poebo razmatra. Primeom Laplaove traformacije, dobija e ledeći oblik preoe fukcije kapacitivog elemeta: Y() X() C (.3-50) Parametar C aziva e kapacitet itema. Priutvo kapacitivog elemeta u itemu izaziva pojavu atatizma, tako da e itemi koji adrže itegrator četo azivaju atatki itemi. Tipiča primer kapacitivog elemeta je električi kodezator. Njegov hidraulički aalog je rezervoar za tečot čiji ćemo diamički model izveti.

27 .. Diamika itema u vremekom domeu Rezervoar za kladišteje tečoti Na lici.3-8. je šematki prikaza rezervoar kotate površie poprečog preeka C u koji tečot utiče a protokom F. Ovaj item e može opiati jedačiom materijalog bilaa: dv dh C F (.3-5) U ovom diamičkom modelu, ulazi protok F preavlja ulazu, a zapremia u rezervoaru V, ili još češće viia ivoa tečoti h, izlazu promeljivu. Jedačia (.3-5) je lieara i e adrži kotate člaove, tako da će je oblik otati potpuo iti prilikom prelaka a promeljive oupaja. (Treba primetiti da će rezervoar biti u tacioarom taju amo ako je protok F jedak uli, a viia ivoa h kotata.) Primeom Laplaove traformacije a Slika.3-8. Rezervoar kao kapacitivi elemet jedačiu (.3-5) izražeu preko promeljivih oupaja (za koju u vi početi ulovi jedaki uli), dobija e: F() C H() (.3-5) gde u F() i H() Laplaove traformacije od F(t) i h(t). Preoa fukcija rezervoara e koačo dobija u obliku: H() F() C (.3-53) koji je idetiča a jedačiom (.3-50). Treba primetiti da je kapacitet rezervoara određe jegovom površiom poprečog preeka Operacioi pojačavač - itegrator Pri projektovaju mero-regulacioe opreme, aročito regulatora, četo je eophodo da eke kompoete otvaruju itegracioo dejtvo. Jeda od primera ovakvih kompoeata je operacioi pojačavač - itegrator koji e četo javlja kao kompoeta električih itema upravljaja. Ovaj elemet, čija je električa šema prikazaa a lici.3-9., atoji e od jedog apokog pojačavača velikog pojačaja koji je veza a red a Slika.3-9. Operacioi pojačavač - itegrator otporikom otporoti R i paralelo a kodezatorom kapacitivoti C. Njegova preoa fukcija e može ajjedotavije dobiti primeom jedačie (.3-3). Impedae ovog itema u: R, I I C (.3-54) tako da je ukupa preoa fukcija: Eo() - Ei() RC (.3-55) Kao što e vidi, diamički kapacitet ovog elemeta je proizvod električe otporoti R i električe kapacitivoti C.

28 .. Diamika itema u vremekom domeu.3.4. Sitem drugog reda Pod itemom drugog reda e podrazumeva item koji e može opiati itemom od dve zavie običe lieare diferecijale jedačie prvog reda a kotatim koeficijetima: dy a dy a y y +a +a y y +b +b x x (.3-56) ili jedom običom liearom diferecijalom jedačiom drugog reda a kotatim koeficijetima: d y dy +a +a y bx (.3-57) dy a 0 ko e jedačia (.3-57) podeli a a 0 dobija e tadardi oblik diferecijale jedačie koji e ajčešće koriti za prikazivaje diamike itema drugog reda u vremekom domeu: d y dy τ + ξτ + y Kx (.3-58) Pole primee Laplaove traformacije, dobija e tadardi oblik preoe fukcije itema drugog reda: Y() X() K K τ + ξτ + ξ + + ω ω (.3-59) Za defiiaje itema drugog reda e, pored pojačaja K, korite još dva parametra: vremeka kotata τ i koeficijet prigušeja ξ. Četo e umeto vremeke kotate τ koriti jea reciproča vredot ω koja e aziva priroda (optvea) frekvecija itema. Svaka kombiacija dva itema prvog reda preavlja item drugog reda. Sitemi u kojima e javljaju dva kuplovaa efekta prvog reda (pr. dve paralele ili koekutive reakcije prvog reda, imultai preo toplote i mae, eizoterma reakcija i ličo), takođe preavljaju iteme drugog reda, kao i itemi kod kojih e javljaju iercioe ile, odoo ubrzaja. Za razliku od kombiacije dva itema prvog reda, itemi drugog reda koji e e mogu razložiti a elemete e četo azivaju ihereti itemi drugog reda. Neki od ovih iheretih itema drugog reda pokazuju ocilatoro poašaje, zbog čega e item drugog reda četo aziva ocilatori elemet. U atavku ćemo izveti diamičke modele za ekoliko primera itema drugog reda Dva ivo itema prvog reda vezaa a red bez međuobog dejtva Pod redom vezom dva itema bez međudejtva podrazumevamo takav ložei item od dva elemeta kod koga izlaz iz prvog elemeta preavlja ulaz u drugi elemet, ali ema ikakvog povratog dejtva drugog elemeta a prvi. U tom lučaju je vaki elemet itema ezavita i jegov diamički model e može defiiati poebo. Dva ivo itema prvog reda vezaa a red bez međuobog dejtva, prikazaa u šematki a lici.3-0. Pošto u ova dva ivo itema potpuo ezavia, preoa fukcija vakog od jih e može dobiti poebo.

29 .. Diamika itema u vremekom domeu Svaki od ovih rezervoara je praktičo idetiča itemu prikazaom a lici.3-3. (poglavlje.3...), tako da e preoa fukcija vakog od jih može izraziti jedačiom (.3-). Pri tome treba voditi račua da je za prvi rezervoar ulaz protok F, a izlaz protok F, dok je za drugi rezervoar ulaz protok F, a izlaz protok F 3. F () F () τ + F 3() F () τ + τ ad τ u vremeke kotate prvog i drugog rezervoara, repektivo: τ RC, τ RC (.3-6) Ukupa preoa fukcija koja e defiiše kao odo Laplaovih traformacija izlazog protoka iz drugog F 3 () i ulazog protoka u prvi rezervoar F () e može jedotavo dobiti možejem jedačia (.3-60) i (.3-6): Ukoliko a itereuje preoa fukcija defiiaa odoom Laplaovih traformacija viie ivoa u drugom udu H () i ulazog protoka F (), oa e može dobiti ako e ikoriti lieara zaviot između viie ivoa i izlazog protoka: tako da je: (.3-60) (.3-6) F 3() F () ( τ +)( τ +) τ τ H () F 3 () R H () R F () ( τ +)( τ +) +( τ+ τ ) + Slika.3-0. Sitem drugog reda atavlje od dva ivo itema prvog reda vezaa a red bez međudejtva (.3-63) (.3-64) Kao što e vidi, za redu vezu dva itema prvog reda bez međuobog dejtva, ukupa preoa fukcija e dobija jedotavim možejem pojediačih preoih fukcija. Poređejem preoe fukcije defiiae jedačiom (.3-63) a tadardim izrazom za preou fukciju drugog reda (jedačia (.3-59)), dobijaju e izrazi za optveu frekveciju i koeficijet prigušeja rede veze dva itema prvog reda bez međudejtva: ξ ( τ + τ ) ττ, τ + τ ω ξ, ω ω ττ ττ Pošto je aritmetička redia dva broja ikad ije maja od geometrijke redie, koeficijet prigušeja koji odgovara ovom itemu ikad ije maji od jeda (ξ>). / (.3-65) GENERLIZCIJ: Izvedei zaključci o preooj fukciji rede veze dva itema prvog reda bez međudejtva e mogu geeralizovati i a redu vezu drugih itema prvog reda, kao i a iteme koji preavljaju redu vezu itema prvog reda. Ovakvi itemi e vrlo četo javljaju u potrojejima procee idutrije (pr. kakada izotermih reaktora a idealim mešajem u kojima e odigrava jedotava reakcija prvog reda, uređaji za preo mae a tupjevima a itotrujim tokom i l.). Pored toga, kakada itema prvog reda e četo koriti kao aprokimacija itema a rapoređeim parametrima. Šematki prikaz rede veze itema prvog reda bez međudejtva dat je a lici.3-.

30 .. Diamika itema u vremekom domeu Slika.3-. Šematki prikaz kakade od elemeata prvog reda ko je preoa fukcija i-tog elemeta u eriji: Y i() Y X i() Y i () K i () τi + i- (.3-66) oda će preoa fukcija koja defiiše izlaz iz -tog elemeta u eriji i ulaza u prvi elemet biti: Za lučaj kada u vi elemeti u eriji idetiči (vremeke kotate i pojačaja vih itema prvog reda Y () K K...K G() X() ( τ +)( τ +)...( τ +) u izu jedake), preoa fukcija ovog itema ima oblik: Y () K G() X() ( τ + ) (.3-67) (.3-68) Reda veza dva ivo itema prvog reda a međuobim dejtvom Reda veza dva itema a međudejtvom e dobija u lučajevima kada potoji povrato dejtvo drugog itema a prvi. Tipiča primer ovakvog itema je reda veza dva ivo itema prvog reda a međuobim dejtvom koja je prikazaa a lici.3.. U ovom lučaju rezervoari iu međuobo ezavii, jer izlazi protok iz prvog rezervoara zavii e amo od viie ivoa u prvom rezervoaru h, već i od viie ivoa u drugom rezervoaru h. Da bi došlo do preoe fukcije ovog itema treba potaviti materijale bilae za prvi i drugi rezervoar: Slika.3-. Sitem drugog reda atavlje od dva ivo itema prvog reda vezaa a red a međudejtvom dh(t) C F (t) - F (t) (.3-69) dh(t) C F (t) - F 3(t) (.3-70) Da bi e potpuo defiiao model, pored ove dve jedačie, treba defiiati i protoke F i F 3, kao odoe odgovarajućih pogokih ila i liearih otporoti iticaja: h(t) - h(t) F (t) R (.3-7) h(t) F 3 (t) R (.3-7) Zameom jedačia (.3-7) i (.3-7) u jedačiama materijalog bilaa (.3-69) i (.3-70) i primeom Laplaove traformcije (pole prelaka a promeljive oupaja), dobija e ledeći item od dve algebarke jedačie:

31 .. Diamika itema u vremekom domeu H ()- H () C H () F ()- R (.3-73) H () - H () H () C H () - R R (.3-74) Preoa fukcija koja a ajčešće itereuje je oa koja povezuje Laplaove traformacije promee viie ivoa u drugom udu H () i promee ulazog protoka F (). Da bi e dobila ova preoa fukcija, iz itema jedačia (.3-73)-(.3-74) treba elimiiati promeljivu H (). Kao rezultat ovog potupka dobija e ledeća preoa fukcija: H () F () τ τ R +( τ+ τ+c R ) + (.3-75) U ovoj preooj fukciji τ i τ preavljaju vremeke kotate rezervoara i kada bi egzitirali zaebo: τ RC, τ RC (.3-76) Preoa fukcija koja daje vezu između izlazog i ulazog protoka dobija e u obliku: F 3() F () τ τ +( τ+ τ+c R ) + (.3-77) Poređejem jedačie (.3-77) i jedačie (.3-63) kojom je defiia item bez međudejtva, vidi e da e u imeiocu preoe fuckije itema a međudejtvom javlja dodati čla C R kojim je kvatifikovao međudejtvo Termometar a zaštitom oblogom U idutrijkim ulovima, termometri e ajčešće ugrađuju a zaštitom oblogom. Na taj ači, termometar koji bez zaštite obloge preavlja item prvog reda (poglavlje.3...), potaje item drugog reda. Šematki prikaz termometra a zaštitom oblogom a kome u prikazai vi toploti otpori i kapaciteti i profil temperatura, dat je a lici.3-3. Diamički model ovog itema e dobija potavljajem toplotih bilaa za am termometar: d T t mt c pt t ht( T o - T t ) (.3-78) i za oblogu: Slika.3-3. Šematki prikaz termometra a zaštitom oblogom d T o mo c po o ho( T f - T o ) - t ht( T o - T t ) (.3-9) U ovim jedačiama i a lici.3-3. u korišćee ledeće ozake: m t c pt - toplota kapacitivot termometra, m o c po - toplota kapacitivot obloge, h t - koeficijet preoa toplote između obloge i termometra, t - odgovarajuća površia za preo toplote (površia termometra), h o -koeficijet prelaza toplote između okolog fluida i obloge, o - odgovarajuća površia za preo toplote (poljašja površia obloge), T f - temperatura fluida, T t - temperatura termometra, T o - temperatura obloge. Može e primetiti da diamički model termometra a zaštitom oblogom ima liča oblik kao model rede veze dva ivo itema prvog reda a međudejtvom, odoo da i ovaj item preavlja redu vezu dva itema prvog reda a međudejtvom. Pole primee Laplaove traformacije i elimiiaja temperature obloge T o (), dobija e preoa fukcija termometra a zaštitom oblogom kao odo Laplaovih traformacija temperature koju pokazuje termometar T t () i temperature okolog fluida T f ():