6ο Μάθημα Πιθανότητες
|
|
- Φιλομήνα Βούλγαρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 6ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 1 / 35
2 Άδειες Χρη σης Το παρο ν εκπαιδευτικο υλικο υπο κειται σε α δειες χρη σης Creative Commons. Για εκπαιδευτικο υλικο, ο πως εικο νες, που υπο κειται σε α λλου τυ που α δεια χρη σης, η α δεια χρη σης αναφε ρεται ρητω ς. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 2 / 35
3 Χρηματοδο τηση Το παρο ν εκπαιδευτικο υλικο ε χει αναπτυχθει στα πλαι σια του εκπαιδευτικου ε ργου του διδα σκοντα. Το ε ργο Ανοικτα Ακαδημαι κα Μαθη ματα για το Πανεπιστη μιο Πατρω ν ε χει χρηματοδοτη σει μο νο την αναδιαμο ρφωση του εκπαιδευτικου υλικου. Το ε ργο υλοποιει ται στα πλαι σια του επιχειρησιακου προγρα μματος Εκπαι δευση και Δια Βι ου Μα θηση και συγχρηματοδοτει ται απο την Ευρωπαι κη Ένωση (Ευρωπαι κο Κοινοτικο Ταμει ο) και απο εθνικου ς πο ρους. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 3 / 35
4 Περιεχο μενα 6ης Δια λεξης 1 Ανισο τητα Markov 2 Διασπορα 3 Συνδιασπορα 4 Ανισο τητα Chebyshev 5 Παραδει γματα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 4 / 35
5 1 Ανισο τητα Markov 2 Διασπορα 3 Συνδιασπορα 4 Ανισο τητα Chebyshev 5 Παραδει γματα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 5 / 35
6 1. Ανισο τητα Markov Θεω ρημα Χ μη αρνητικη t > 0 } : Pr{X t } E(X) t Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 6 / 35
7 1. Ανισο τητα Markov Θεω ρημα Χ μη αρνητικη t > 0 } : Pr{X t } E(X) t Φυσικη σημασι α t = 2 µ Pr{X 2 µ} µ 2 µ = 1 2 t = 3 µ Pr{X 3 µ} 1 3 Γενικα : Pr{X t µ} 1 t Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 6 / 35
8 1. Ανισο τητα Markov - Απο δειξη E(X) = x Pr{X = x} x Pr{X = x} x x t t Pr{X = x} = t Pr{X = x} = t Pr{X t} x t x t Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 7 / 35
9 1 Ανισο τητα Markov 2 Διασπορα 3 Συνδιασπορα 4 Ανισο τητα Chebyshev 5 Παραδει γματα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 8 / 35
10 2. Διασπορα - Ορισμο ς Ορισμο ς διασπορα ς (variance) [ Var(X) = E (X µ) 2] = (x µ) 2 Pr{X = x} x ο που µ = E(X) σ = Var(X) (τυπικη απο κλιση) Φυσική σημασία: με τρο αποκλι σεων απο τη με ση τιμη (με ση τιμη τετραγω νου αποκλι σεων απο τη με ση τιμη - πιθανοτικα ζυγισμε νο α θροισμα αυτω ν των αποκλι σεων) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 9 / 35
11 2. Variance - Ιδιο τητες Ιδιο τητες 1) Var(X) = (X 2 ) E 2 (X) 2) Αν X, Y ανεξα ρτητες Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) (προσθετικο τητα) 3) Var(c X) = c 2 Var(X) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 10 / 35
12 2. Variance - Ιδιο τητες Απόδειξη 1) [ Var(X) = E (X µ) 2] = E [ X 2 2 µ X + µ 2] = = E(X 2 ) 2 µ E(X) + E(µ 2 ) = E(X 2 ) 2 µ 2 + µ 2 = E(X 2 ) µ 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 11 / 35
13 2. Variance - Ιδιο τητες Απόδειξη 2) Var(X + Y) = E [ (X + Y) 2] E 2 (X + Y) = E [ X X Y + Y 2] [E(X) + E(Y)] 2 = E(X 2 ) + 2 E(X Y) + E(Y 2 ) E 2 (X) 2 E(X) E(Y) E 2 (Y) = (λο γω ανεξαρτησι ας ισχυ ει: E(X Y) = E(X) E(Y)) = E(X 2 ) E 2 (X) + E(Y 2 ) E 2 (Y) = = Var(X) + Var(Y) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 12 / 35
14 3. Συνδιασπορα - Ορισμο ς Ορισμο ς συνδιασπορα ς (covariance) Καλου με συνδιασπορα (covariance) δυ ο τυχαι ων μεταβλητω ν X, Y την: Cov(X, Y) = E[(X E(X)) (Y E(Y))] Βασικη ιδιο τητα: Ει ναι Cov(X, Y) = E[XY E(X)Y E(Y)X + E(X)E(Y)] = = E(XY) E(X)E(Y) E(Y)E(X) + E(X)E(Y) Άρα Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y) Φυσικη σημασι α: Αν X,Y ανεξα ρτητες E(XY) = E(X)E(Y) Cov(X, Y) = 0 Δηλαδη η συνδιασπορα ει ναι με τρο της εξα ρτησης δυ ο τ.μ. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 13 / 35
15 3. Συνδιασπορα - Παρατη ρηση Παρατη ρηση: Το αντι στροφο δεν ισχυ ει! δηλαδη η συνδιασπορα μπορει να ει ναι 0 ακο μα και ο ταν οι τυχαι ες μεταβλητε ς ει ναι εξαρτημε νες. πχ. Pr{X = 0} = Pr{X = 1} = Pr{X = 1} = 1 3 { 0, αν X 0 και ε στω Y = 1, αν X = 0 Οπο τε προφανω ς X Y = 0, οπο τε E(XY) = 0. Αλλα E(X) = = 0 και E(Y) = 0 Pr{X 0} + 1 Pr{X = 0} = 1 3 Άρα Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y) = 0 ενω οι X και Y ει ναι προφανω ς εξαρτημε νες. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 14 / 35
16 3. Συνδιασπορα - Ιδιο τητες Ιδιο τητες (i) Cov(X, Y) = Cov(Y, X) (ii) Cov(X, X) = Var(X) n n (iii) Var( X i ) = Var(X i ) + i i=1 i=1 Cov(X i, X j ) j i Απο δειξη της (ιι): Cov(X, X) = E(X X) E(X)E(X) = = E(X 2 ) E 2 (X) = = Var(X) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 15 / 35
17 1 Ανισο τητα Markov 2 Διασπορα 3 Συνδιασπορα 4 Ανισο τητα Chebyshev 5 Παραδει γματα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 16 / 35
18 4. Ανισο τητα Chebyshev Θεω ρημα Pr{ X µ t} Var(X) t 2 Φυσική σημασία: Var(X) Pr{ X µ t} μικρε ς αποκλι σεις, υψηλη συγκε ντρωση γυ ρω απο τη με ση τιμη π.χ. Pr{ X µ 2 σ} σ2 4 σ 2 = 1 4 Pr{ X µ 2 σ} 0.75 (δηλαδη οποιαδη ποτε τ.μ. συγκεντρω νεται ± 2 τυπικε ς αποκλι σεις γυ ρω απο τη με ση τιμη με πιθανο τητα 0.75). Επι σης: Pr{ X µ 3 σ} σ2 9 σ 2 = 1 9 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 17 / 35
19 4. Ανισο τητα Chebyshev [ Απόδειξη: Var(X) = E (X µ) 2] = x (x µ) 2 f(x) (x µ) 2 Pr {X = x} t 2 Pr {X = x} x µ t x µ t = t 2 Pr {X = x} = t 2 Pr { X µ t} x µ t Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 18 / 35
20 4. Ανισο τητα Chebyshev - Παρα δειγμα Ένα παρα δειγμα ο που η Chebyshev δι νει ακριβε ς αποτε λεσμα X = k, 1 2 k 2 k, 1 2 k 2 0, 1 1 k 2 1 µ = k 2 k 2 k 1 2 k = 0 Var(X) = (k 0) k 2 +( k 0)2 2 k 2 +(0 0)2 = = 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 19 / 35
21 4. Ανισο τητα Chebyshev - Παρα δειγμα (Συνε χεια) Απο την Chebyshev ε χω: Pr{ X k} = Pr{ X µ k} Var(X) k 2 = 1 k 2 Απο την pdf ε χω: Pr{ X k} = Pr{X k} + Pr{X k} = Pr{X = k} + Pr{X = k} = 1 2 k k 2 = 1 k 2 δηλαδη το α νω φρα γμα ει ναι ακριβε ς. Αλλα πολλε ς φορε ς τα α νω φρα γματα της Chebyshev δεν ει ναι πολυ ακριβη μελετα με υψηλο τερες ροπε ς Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 20 / 35
22 1 Ανισο τητα Markov 2 Διασπορα 3 Συνδιασπορα 4 Ανισο τητα Chebyshev 5 Παραδει γματα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 21 / 35
23 5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35
24 5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35
25 5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35
26 5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35
27 5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35
28 5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Ει ναι E(X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35
29 5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Ει ναι E(X 2 ) = = 91 6 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35
30 5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Ει ναι E(X 2 ) = = 91 6 Άρα Var(X) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35
31 5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Ει ναι E(X 2 ) = = 91 6 Άρα Var(X) = E(X 2 ) E 2 (X) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35
32 5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Ει ναι E(X 2 ) = = 91 6 Άρα Var(X) = E(X 2 ) E 2 (X) = 91 6 ( ) 7 2 = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35
33 5. Παρα δειγμα 2 Η τ.μ. X ε χει με ση τιμη μ και διασπορα σ 2. Να βρεθου ν η με ση τιμη και η διασπορα της Y = X µ σ Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 35
34 5. Παρα δειγμα 2 Η τ.μ. X ε χει με ση τιμη μ και διασπορα σ 2. Να βρεθου ν η με ση τιμη και η διασπορα της Y = X µ σ Λυ ση: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 35
35 5. Παρα δειγμα 2 Η τ.μ. X ε χει με ση τιμη μ και διασπορα σ 2. Να βρεθου ν η με ση τιμη και η διασπορα της Y = X µ σ Λυ ση: ( ) X µ E(Y) = E σ = 1 (E(X) µ) = 0 σ = 1 σ E(X µ) = 1 [E(X) E(µ)] = σ Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 35
36 5. Παρα δειγμα 2 Η τ.μ. X ε χει με ση τιμη μ και διασπορα σ 2. Να βρεθου ν η με ση τιμη και η διασπορα της Y = X µ σ Λυ ση: ( ) X µ E(Y) = E σ = 1 σ E(X µ) = 1 [E(X) E(µ)] = σ = 1 (E(X) µ) = 0 σ [ (X ) ] µ 2 E(Y 2 ) = E = 1 σ σ 2 E [ (X µ) 2] = 1 σ 2 Var(X) = 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 35
37 5. Παρα δειγμα 2 Η τ.μ. X ε χει με ση τιμη μ και διασπορα σ 2. Να βρεθου ν η με ση τιμη και η διασπορα της Y = X µ σ Λυ ση: ( ) X µ E(Y) = E σ = 1 σ E(X µ) = 1 [E(X) E(µ)] = σ = 1 (E(X) µ) = 0 σ [ (X ) ] µ 2 E(Y 2 ) = E = 1 σ σ 2 E [ (X µ) 2] = 1 σ 2 Var(X) = 1 Οπο τε Var(Y) = E(Y 2 ) E 2 (Y) = = 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 35
38 5. Παρα δειγμα 3 Έστω τ.μ. X, Y : X Y (δηλαδη σε κα θε σημει ο του δειγματοχω ρου η X παι ρνει τιμη μεγαλυ τερη η ι ση απο την Y). Να δει ξετε ο τι E(X) E(Y) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 35
39 5. Παρα δειγμα 3 Έστω τ.μ. X, Y : X Y (δηλαδη σε κα θε σημει ο του δειγματοχω ρου η X παι ρνει τιμη μεγαλυ τερη η ι ση απο την Y). Να δει ξετε ο τι E(X) E(Y) Απο δειξη: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 35
40 5. Παρα δειγμα 3 Έστω τ.μ. X, Y : X Y (δηλαδη σε κα θε σημει ο του δειγματοχω ρου η X παι ρνει τιμη μεγαλυ τερη η ι ση απο την Y). Να δει ξετε ο τι E(X) E(Y) Απο δειξη: X Y X Y 0 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 35
41 5. Παρα δειγμα 3 Έστω τ.μ. X, Y : X Y (δηλαδη σε κα θε σημει ο του δειγματοχω ρου η X παι ρνει τιμη μεγαλυ τερη η ι ση απο την Y). Να δει ξετε ο τι E(X) E(Y) Απο δειξη: X Y X Y 0 Αλλα (X Y) = (x y)p(x, y) y x ο που P(x, y) η απο κοινου pdf Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 35
42 5. Παρα δειγμα 3 Έστω τ.μ. X, Y : X Y (δηλαδη σε κα θε σημει ο του δειγματοχω ρου η X παι ρνει τιμη μεγαλυ τερη η ι ση απο την Y). Να δει ξετε ο τι E(X) E(Y) Απο δειξη: X Y X Y 0 Αλλα (X Y) = (x y)p(x, y) y x ο που P(x, y) η απο κοινου pdf Άρα (X Y) 0 E(X) E(Y) 0 E(X) E(Y) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 35
43 5. Παρα δειγμα 4 Να δει ξετε την ανισο τητα του Boole χρησιμοποιω ντας με σες τιμε ς δεικνυουσω ν μεταβλητω ν. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 35
44 5. Παρα δειγμα 4 Να δει ξετε την ανισο τητα του Boole χρησιμοποιω ντας με σες τιμε ς δεικνυουσω ν μεταβλητω ν. Απο δειξη: Έστω γεγονο τα A 1, A 2,..., A n. Θε λουμε να δει ξουμε ο τι: n Pr{ n i=1a i } Pr{A i } i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 35
45 5. Παρα δειγμα 4 Να δει ξετε την ανισο τητα του Boole χρησιμοποιω ντας με σες τιμε ς δεικνυουσω ν μεταβλητω ν. Απο δειξη: Έστω γεγονο τα A 1, A 2,..., A n. Θε λουμε να δει ξουμε ο τι: n Pr{ n i=1a i } Pr{A i } i=1 Έστω τ.μ. X 1, X 2,..., X n που δει χνουν αν συνε βη η ο χι κα θε ε να απο τα A i, δηλαδη : { 1, αν συνε βη το Ai X i = 0, διαφορετικα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 35
46 5. Παρα δειγμα 4 Να δει ξετε την ανισο τητα του Boole χρησιμοποιω ντας με σες τιμε ς δεικνυουσω ν μεταβλητω ν. Απο δειξη: Έστω γεγονο τα A 1, A 2,..., A n. Θε λουμε να δει ξουμε ο τι: n Pr{ n i=1a i } Pr{A i } i=1 Έστω τ.μ. X 1, X 2,..., X n που δει χνουν αν συνε βη η ο χι κα θε ε να απο τα A i, δηλαδη : { 1, αν συνε βη το Ai X i = 0, διαφορετικα n Έστω X = X i οπο τε η X μετρα ει τον αριθμο των γεγονο των i=1 που πραγματοποιη θηκαν. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 35
47 5. Παρα δειγμα 4 - Συνε χεια Έστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικα δηλαδη η Y δει χνει αν πραγματοποιη θηκε η ο χι τουλα χιστον ε να γεγονο ς. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 35
48 5. Παρα δειγμα 4 - Συνε χεια Έστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικα δηλαδη η Y δει χνει αν πραγματοποιη θηκε η ο χι τουλα χιστον ε να γεγονο ς. Προφανω ς X Y Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 35
49 5. Παρα δειγμα 4 - Συνε χεια Έστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικα δηλαδη η Y δει χνει αν πραγματοποιη θηκε η ο χι τουλα χιστον ε να γεγονο ς. Προφανω ς X Y Άρα E(X) E(Y) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 35
50 5. Παρα δειγμα 4 - Συνε χεια Έστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικα δηλαδη η Y δει χνει αν πραγματοποιη θηκε η ο χι τουλα χιστον ε να γεγονο ς. Προφανω ς X Y Άρα E(X) E(Y) ( n ) Αλλα (X) = E X i = i=1 n E(X i ) = i=1 n 1 Pr{A i } i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 35
51 5. Παρα δειγμα 4 - Συνε χεια Έστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικα δηλαδη η Y δει χνει αν πραγματοποιη θηκε η ο χι τουλα χιστον ε να γεγονο ς. Προφανω ς X Y Άρα E(X) E(Y) ( n ) Αλλα (X) = E X i = i=1 n E(X i ) = i=1 n 1 Pr{A i } i=1 και (Y) = 1 Pr{X 1} = Pr{X 1} = Pr{ n i=1a i } Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 35
52 5. Παρα δειγμα 5 Μι α γραμματε ας βα ζει τυχαι α n επιστολε ς σε n φακε λους. Ποια ει ναι η με ση τιμη του αριθμου των επιστολω ν που μπαι νουν στο σωστο φα κελο? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 35
53 5. Παρα δειγμα 5 Μι α γραμματε ας βα ζει τυχαι α n επιστολε ς σε n φακε λους. Ποια ει ναι η με ση τιμη του αριθμου των επιστολω ν που μπαι νουν στο σωστο φα κελο? Λυ ση: Έστω δεικνυ ουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : { 1, αν η επιστολη i μπαι νει στο σωστο φα κελο X i = 0, διαφορετικα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 35
54 5. Παρα δειγμα 5 Μι α γραμματε ας βα ζει τυχαι α n επιστολε ς σε n φακε λους. Ποια ει ναι η με ση τιμη του αριθμου των επιστολω ν που μπαι νουν στο σωστο φα κελο? Λυ ση: Έστω δεικνυ ουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : { 1, αν η επιστολη i μπαι νει στο σωστο φα κελο X i = 0, διαφορετικα Άρα X = n X i ει ναι ο αριθμο ς των επιστολω ν σε σωστο φα κελο. i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 35
55 5. Παρα δειγμα 5 Μι α γραμματε ας βα ζει τυχαι α n επιστολε ς σε n φακε λους. Ποια ει ναι η με ση τιμη του αριθμου των επιστολω ν που μπαι νουν στο σωστο φα κελο? Λυ ση: Έστω δεικνυ ουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : Άρα X = { 1, αν η επιστολη i μπαι νει στο σωστο φα κελο X i = 0, διαφορετικα n X i ει ναι ο αριθμο ς των επιστολω ν σε σωστο φα κελο. i=1 Ει ναι E(X i ) = 1 Pr{ επιστολη i σε σωστο φα κελο} = (n 1)! = = 1 n! n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 35
56 5. Παρα δειγμα 5 Μι α γραμματε ας βα ζει τυχαι α n επιστολε ς σε n φακε λους. Ποια ει ναι η με ση τιμη του αριθμου των επιστολω ν που μπαι νουν στο σωστο φα κελο? Λυ ση: Έστω δεικνυ ουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : Άρα X = { 1, αν η επιστολη i μπαι νει στο σωστο φα κελο X i = 0, διαφορετικα n X i ει ναι ο αριθμο ς των επιστολω ν σε σωστο φα κελο. i=1 Ει ναι E(X i ) = 1 Pr{ επιστολη i σε σωστο φα κελο} = (n 1)! = = 1 n! n Άρα E(X) = E ( n i=1 X ) i = n i=1 E(X i) = n i=1 1 n = n 1 n = 1 Άρα κατα με ση τιμη 1 επιστολη θα μπει σε σωστο φα κελο. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 35
57 5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35
58 5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35
59 5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Ει ναι X = n X i, ο που X i = i=1 { 1, με πιθανο τητα p = 1 n 0, με πιθανο τητα 1 p Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35
60 5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Ει ναι X = n X i, ο που X i = i=1 { 1, με πιθανο τητα p = 1 n 0, με πιθανο τητα 1 p Ει ναι Var(X i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35
61 5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Ει ναι X = n X i, ο που X i = i=1 { 1, με πιθανο τητα p = 1 n 0, με πιθανο τητα 1 p Ει ναι Var(X i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Επι σης Cov(X i, X j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35
62 5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Ει ναι X = n X i, ο που X i = i=1 { 1, με πιθανο τητα p = 1 n 0, με πιθανο τητα 1 p Ει ναι Var(X i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Επι σης Cov(X i, X j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ) Αλλα E(X i X j ) = 1 Pr{X i = 1 X j = 1} = = Pr{X i = 1}Pr{X j = 1 X i = 1} = 1 n 1 n 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35
63 5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Ει ναι X = n X i, ο που X i = i=1 { 1, με πιθανο τητα p = 1 n 0, με πιθανο τητα 1 p Ει ναι Var(X i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Επι σης Cov(X i, X j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ) Αλλα E(X i X j ) = 1 Pr{X i = 1 X j = 1} = = Pr{X i = 1}Pr{X j = 1 X i = 1} = 1 n 1 ( ) n Άρα Cov(X i, X j ) = n(n 1) 1 = n n 2 (n 1) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35
64 5. Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 29 / 35
65 5. Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια Οπο τε απο τη σχε ση n n Var( X i ) = Var(X i ) + i=1 i=1 i Cov(X i, X j ) j i Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 29 / 35
66 5. Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια Οπο τε απο τη σχε ση n n Var( X i ) = Var(X i ) + Cov(X i, X j ) i=1 i=1 i j i Προκυ πτει ο τι Var(X) = n n 1 1 n 2 + n(n 1) n 2 (n 1) = n n n = 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 29 / 35
67 5. Παρα δειγμα 7 (the weak law of large numbers) Έστω X 1, X 2,... μι α ακολουθι α ανεξα ρτητων τ.μ. με την ι δια κατανομη και ι δια πεπερασμε νη με ση τιμη E(X i ) = µ και διασπορα { Var(X i ) = σ 2. Το τε, } ϵ > 0 : X X n Pr µ n ϵ 0 καθω ς n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 35
68 5. Παρα δειγμα 7 (the weak law of large numbers) Έστω X 1, X 2,... μι α ακολουθι α ανεξα ρτητων τ.μ. με την ι δια κατανομη και ι δια πεπερασμε νη με ση τιμη E(X i ) = µ και διασπορα { Var(X i ) = σ 2. Το τε, } ϵ > 0 : X X n Pr µ n ϵ 0 καθω ς n Απο δειξη: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 35
69 5. Παρα δειγμα 7 (the weak law of large numbers) Έστω X 1, X 2,... μι α ακολουθι α ανεξα ρτητων τ.μ. με την ι δια κατανομη και ι δια πεπερασμε νη με ση τιμη E(X i ) = µ και διασπορα { Var(X i ) = σ 2. Το τε, } ϵ > 0 : X X n Pr µ n ϵ 0 καθω ς n Απο δειξη: ( ) X1 + + X n Ει ναι E = 1 n n n E(X i ) = 1 n n µ = µ i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 35
70 5. Παρα δειγμα 7 (the weak law of large numbers) Έστω X 1, X 2,... μι α ακολουθι α ανεξα ρτητων τ.μ. με την ι δια κατανομη και ι δια πεπερασμε νη με ση τιμη E(X i ) = µ και διασπορα { Var(X i ) = σ 2. Το τε, } ϵ > 0 : X X n Pr µ n ϵ 0 καθω ς n Απο δειξη: ( ) X1 + + X n Ει ναι E = 1 n n και (λο γω ανεξαρτησι ας): ( ) X1 + + X n Var = 1 n n 2 n i=1 n E(X i ) = 1 n n µ = µ i=1 Var(X i ) = 1 n 2 n σ2 = σ2 n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 35
71 5. Παρα δειγμα 7 (the weak law of large numbers) Έστω X 1, X 2,... μι α ακολουθι α ανεξα ρτητων τ.μ. με την ι δια κατανομη και ι δια πεπερασμε νη με ση τιμη E(X i ) = µ και διασπορα { Var(X i ) = σ 2. Το τε, } ϵ > 0 : X X n Pr µ n ϵ 0 καθω ς n Απο δειξη: ( ) X1 + + X n Ει ναι E = 1 n n n E(X i ) = 1 n n µ = µ και (λο γω ανεξαρτησι ας): ( ) X1 + + X n Var = 1 n n n 2 Var(X i ) = 1 n 2 n σ2 = σ2 n i=1 { } X X n σ Άρα: Pr µ 2 n ϵ n ϵ 2 0 i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 35
72 Φυσικη σημασι α Φυσικη σημασι α: Ο με σος ο ρος μιας ακολουθι ας n ανεξα ρτητων τυχαι ων μεταβλητω ν με ι δια κατανομη και με ση τιμη συγκεντρω νεται ισχυρα γυ ρω απο αυτη τη με ση τιμη, καθω ς το n μεγαλω νει και τει νει στο α πειρο. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 35
73 Φυσικη σημασι α Φυσικη σημασι α: Ο με σος ο ρος μιας ακολουθι ας n ανεξα ρτητων τυχαι ων μεταβλητω ν με ι δια κατανομη και με ση τιμη συγκεντρω νεται ισχυρα γυ ρω απο αυτη τη με ση τιμη, καθω ς το n μεγαλω νει και τει νει στο α πειρο. π.χ. αν { ρι ξω n φορε ς ε να νο μισμα και 1, αν αποτε λεσμα κεφαλη X i = 0, αν αποτε λεσμα γρα μματα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 35
74 Φυσικη σημασι α Φυσικη σημασι α: Ο με σος ο ρος μιας ακολουθι ας n ανεξα ρτητων τυχαι ων μεταβλητω ν με ι δια κατανομη και με ση τιμη συγκεντρω νεται ισχυρα γυ ρω απο αυτη τη με ση τιμη, καθω ς το n μεγαλω νει και τει νει στο α πειρο. π.χ. αν { ρι ξω n φορε ς ε να νο μισμα και 1, αν αποτε λεσμα κεφαλη X i = 0, αν αποτε λεσμα γρα μματα το τε E(X i ) = = 1 2 = µ και επομε νως: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 35
75 Φυσικη σημασι α Φυσικη σημασι α: Ο με σος ο ρος μιας ακολουθι ας n ανεξα ρτητων τυχαι ων μεταβλητω ν με ι δια κατανομη και με ση τιμη συγκεντρω νεται ισχυρα γυ ρω απο αυτη τη με ση τιμη, καθω ς το n μεγαλω νει και τει νει στο α πειρο. π.χ. αν { ρι ξω n φορε ς ε να νο μισμα και 1, αν αποτε λεσμα κεφαλη X i = 0, αν αποτε λεσμα γρα μματα το τε { E(X i ) = = 1 2 = µ και επομε νως: X X n Pr 1 } n 2 ϵ 0 καθω ς n δηλαδη ο αριθμο ς των αποτελεσμα των κεφαλη σε n επαναλη ψεις συγκεντρω νεται πολυ κοντα στο n 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 35
76 Φυσικη σημασι α Φυσικη σημασι α: Ο με σος ο ρος μιας ακολουθι ας n ανεξα ρτητων τυχαι ων μεταβλητω ν με ι δια κατανομη και με ση τιμη συγκεντρω νεται ισχυρα γυ ρω απο αυτη τη με ση τιμη, καθω ς το n μεγαλω νει και τει νει στο α πειρο. π.χ. αν { ρι ξω n φορε ς ε να νο μισμα και 1, αν αποτε λεσμα κεφαλη X i = 0, αν αποτε λεσμα γρα μματα το τε { E(X i ) = = 1 2 = µ και επομε νως: X X n Pr 1 } n 2 ϵ 0 καθω ς n δηλαδη ο αριθμο ς των αποτελεσμα των κεφαλη σε n επαναλη ψεις συγκεντρω νεται πολυ κοντα στο n 2 Παρατη ρηση: Ωστο σο, σε κα θε ρι ψη η πιθανο τητα για κεφαλη ει ναι πα ντα 1 2 ανεξαρτη τως της ιστορι ας! π.χ. Pr{ κεφαλη κεφαλη στις 100 τελευται ες ρι ψεις} = 1 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 35
77 Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Ένας ισχυρο τερος νο μος: Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Με πιθανο τητα 1, X X n n µ καθω ς n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 32 / 35
78 Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Ένας ισχυρο τερος νο μος: Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Με πιθανο τητα 1, X X n µ καθω ς n n Φυσικη σημασι α: Σε ανεξα ρτητες επαναλη ψεις ενο ς πειρα ματος, ε στω{ 1, αν το γεγονο ς Ε συμβαι νει στην i-οστη επανα ληψη X i = 0, διαφορετικα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 32 / 35
79 Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Ένας ισχυρο τερος νο μος: Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Με πιθανο τητα 1, X X n µ καθω ς n n Φυσικη σημασι α: Σε ανεξα ρτητες επαναλη ψεις ενο ς πειρα ματος, ε στω{ 1, αν το γεγονο ς Ε συμβαι νει στην i-οστη επανα ληψη X i = 0, διαφορετικα και ε στω P(E) η πιθανο τητα να συμβει το E. Προφανω ς E(X i ) = P(E), α ρα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 32 / 35
80 Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Ένας ισχυρο τερος νο μος: Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Με πιθανο τητα 1, X X n µ καθω ς n n Φυσικη σημασι α: Σε ανεξα ρτητες επαναλη ψεις ενο ς πειρα ματος, ε στω{ 1, αν το γεγονο ς Ε συμβαι νει στην i-οστη επανα ληψη X i = 0, διαφορετικα και ε στω P(E) η πιθανο τητα να συμβει το E. Προφανω ς E(X i ) = P(E), α ρα #πραγματοποιη σεων του E P(E) με πιθανο τητα 1 καθω ς ο #επαναλη ψεων αριθμο ς των επαναλη ψεων τει νει στο α πειρο. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 32 / 35
81 Η Διαφορα των δυ ο νο μων Η Διαφορα των δυ ο νο μων: Ο ασθενη ς νο μος λε ει ο τι για οποιοδη ποτε μεγα λο n, ο με σος ο ρος των αποτελεσμα των των πρω των n επαναλη ψεων θα ει ναι κοντα στη με ση τιμη µ. Δεν εξασφαλι ζει ο μως ο τι για περισσο τερες του n επαναλη ψεις οι αποκλι σεις θα παραμε νουν μικρε ς, δηλαδη μεγα λες αποκλι σεις μπορει να εμφανιστου ν α πειρες φορε ς (αν και σε αραια διαστη ματα) Ισχυρο ς νο μος: μεγα λες αποκλι σεις μο νο σε πεπερασμε νο αριθμο επαναλη ψεων, με πιθανο τητα 1. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 33 / 35
82 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
83 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
84 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
85 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
86 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
87 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
88 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
89 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
90 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
91 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = ( 3) = 28 Άρα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
92 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = ( 3) = 28 Άρα Pr{ X 1 X 2 > 15} = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
93 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = ( 3) = 28 Άρα Pr{ X 1 X 2 > 15} = Pr{ X 1 X 2 0 > 15} Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
94 5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = ( 3) = 28 Άρα Pr{ X 1 X 2 > 15} = Pr{ X 1 X 2 0 > 15} Var(X 1 X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35
95 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 35 / 35
Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5
5ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα2ο Μάθημα Πιθανότητες
2ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω
Διαβάστε περισσότεραThe Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 7: The Janson Inequality
The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 7: The Janson Inequality Sotiris Nikoletseas Associate Professor Computer Engineering and Informatics Department 2014-2015 Sotiris Nikoletseas,
Διαβάστε περισσότεραLecture 8: Random Walks
Randomized Algorithms Lecture 8: Random Walks Sotiris Nikoletseas Associate Professor CEID - ETY Course 2016-2017 Sotiris Nikoletseas, Associate Professor Randomized Algorithms - Lecture 8 1 / 33 Overview
Διαβάστε περισσότεραΘεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 05 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 99 / 0 Χρωματισμο ς Ακμω ν k-χρωματισμός ακμών: Η ανα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 107 / 122 Δε νδρα Δένδρο: Ένα γρα φημα το οποι ο
Διαβάστε περισσότερα10ο Μάθημα Πιθανότητες
10ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 10ο Μάθημα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ
ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη
Διαβάστε περισσότεραΤι μπορεί να δει κάποιος στο μουσείο της Ι.Μ. Μεγάλου Μετεώρου
18/05/2019 Τι μπορεί να δει κάποιος στο μουσείο της Ι.Μ. Μεγάλου Μετεώρου / Ιερές Μονές Η μο νή του Με γά λου Με τε ώ ρου δι α μόρ φω σε μί α σει ρά α πό πε ρι κα λείς μου σεια κούς χώ ρους, για την α
Διαβάστε περισσότεραα κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε
Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 211 / 228 απεικόνιση γραφήματος στο επίπεδο (Embedding):
Διαβάστε περισσότεραΘεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 143 / 167 Hamiltonian γραφη ματα κύκλος Hamilton:
Διαβάστε περισσότεραΦορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΘεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 23 / 47 Βαθμοι Κορυφω ν Βαθμός κορυφής: d G (v) =
Διαβάστε περισσότεραd u d dt u e u d dt e u d u 1 u dt e 0 2 e
Ρ ΤΟ Θ ΜΑ Μ. Α ΑΠΟ ε ΞεΤε ΤΙ ΑΝΑΓΚΑ Α ΚΑΙ ΙΚΑΝ ΣΥΝΘ ΚΗ ΣΤε ΝΑ Ι ΝΥΣΜΑ u t 0 ΝΑ ΠΑΡΑΜ ΝεΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΟ ΠΡΟ ΜΙΑ ε ΟΜ ΝΗ ευθε Α ε ΝΑΙ u t u 0 Π ειξη Α ΑΠΟ ε ΞΟΥΜε ΤΟ ΙΚΑΝ ΗΛΑ ΑΝ ε ΝΑΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΟ ΠΡΟ ε ΟΜ ΝΗ ευθε
Διαβάστε περισσότεραThe Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 8: Markov Chains
The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 8: Markov Chains Sotiris Nikoletseas Chistoforos Raptopoulos Computer Engineering and Informatics Department 205-206 Chistoforos Raptopoulos
Διαβάστε περισσότεραΌ λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ.
σελ. 13 σελ. 17 σελ. 21 σελ. 49 σελ. 79 σελ. 185 σελ. 263 σελ. 323 σελ. 393 σελ. 453 σελ. 483 σελ. 509 σελ. 517 Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει
Διαβάστε περισσότεραΒασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων Α ντι κείμε νο του κε φα λαί ου εί ναι: Να κα τα νο ή σου με τα βα σι κά χαρα κτη ρι στι κά των α ριθ μη τι κών δεδο μέ νων (τά ση, δια σπο ρά, α συμ
Διαβάστε περισσότεραΚα λόν ύπ νο και όνειρ α γλυκά
Κα λόν ύπ νο και όνειρ α γλυκά Οδηγίες ανάγνωσης Προσοχή! Μη διαβάσετε ποτέ μεγαλόφωνα το βιβλίο αυτό σε κάποιον που οδηγεί αυτοκίνητο ή άλλο όχημα, διότι το παραμύθι έχει ως σκοπό να αποκοιμίσει αυτόν
Διαβάστε περισσότεραο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο
Ἐκλογή ἀργοσύντοµος εἰς τὴν Ἁγίν Κυρικήν, κὶ εἰς ἑτέρς Γυνίκς Μάρτυρς. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Ἦχος Νη ε Κ ι δυ υ υ υ ν µι ις Α λ λη λου ου ου ι ι ι ι ο Θε ος η η µων κ τ φυ γη η κι δυ υ υ ν µις βο η θο
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17
Διαβάστε περισσότεραΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ
Κεφάλαιο 2 ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Τι ει ναι ποιο τητα και γιατι ει ναι σημαντικη για κα θε επιχει ρηση; Τι ει ναι διοι κηση ολικη ς ποιο τητας;
Διαβάστε περισσότεραΗ ΑΜΟΤΟΕ προκηρυ σσει για το 2019, Πανελλη νιο Πρωτα θλημα Dragster αποτελου μενο απο 6 αγω νες, με το παρακα τω προ γραμμα:
Προκη ρυξη Πανελληνιόυ Πρωταθλη ματος Dragster 2019 Η ΑΜΟΤΟΕ προκηρυ σσει για το 2019, Πανελλη νιο Πρωτα θλημα Dragster αποτελου μενο απο 6 αγω νες, με το παρακα τω προ γραμμα: 1ος ΑΓΩΝΑΣ 13-14/04/2019
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Θέμα Α Στις ερωτη σεις Α1 Α4 να γρα ψετε στο τετρα διο σας τον αριθμο της ερω τησης και
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17
Διαβάστε περισσότερα1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ ΤΟ ΙΚΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ... 21 ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ 1 o Η ΑΛΙΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ 1.1 Η Α λιεί α ως Οι κο νο μι κή ρα στη ριό τη τα...25 1.2 Η Κοι νο τι κή Α λιευ τι κή Πο λι τι κή...28
Διαβάστε περισσότερακαλύψουν τα έξοδα µετάβασης-µετακίνησης στον τόπο άσκησης των καθηκόντων τούς.
καλύψουν τα έξοδα µετάβασης-µετακίνησης στον τόπο άσκησης των καθηκόντων τούς. Επιπλέον, σε συνεργασία µε το συναρµόδιο Υπουργείο Οικονοµικών Θα πρέπει να εξευρεθεί λύση στη διαδικασία ως προς την άµεση
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ
Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΗΜΟΣΙΟΥ ΜΕΙΟΔΟΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ
Λάρισα, 5/9/2018 Αρ. πρωτ.: 2223 ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΗΜΟΣΙΟΥ ΜΕΙΟΔΟΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Η Διοικουb σα Επιτροπηb του ΤΕΕ Τμηb ματος Κεντρικής & Δυτικής Θεσσαλίας, εbχοντας υπ οb ψιν τις διαταb ξεις του Π.Δ. 715/1979
Διαβάστε περισσότερατων Κοι νω νι κών λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στις Νευ ρο ψυ χι α τρι κές κλι νι κές Α θη νών & περιχώρων Ot02R03
των Κοι νω νι κών λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στις Νευ ρο ψυ χι α τρι κές κλι νι κές Α θη νών & περιχώρων Ot02R03 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚOΙ ΝΩΩ ΝΙ ΚΩΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΠΡΑΣΙΝΟ ΤΑΜΕΙΟ - ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟ ΓΡΑΦΕΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗ ΑΠΕ ΣΕ ΝΗΣΙΩΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
POWERPOINT 2011 ΡΥΘΜΙΣΤΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΧΩΡΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΕΩΝ ΑΙΟΛΙΚΩΝ ΠΑΡΚΩΝ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΤΟΠΙΟΥ ΣΕ ΝΗΣΙΑ ΤΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ Για την υποστη ριξη του ε ργου
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Ιδιότητες του cov(x, Y) Ιδιότητες των εκτιμητών Παράδειγμα. 1 Συσχέτιση Μεταβλητών. 2 Εκτιμητές και κατάλοιπα
Περιεχόμενα 1 Συσχέτιση Μεταβλητών Ιδιότητες του cov(x, Y 2 Ιδιότητες των εκτιμητών BEΠ (UPatras Γραμμικά Μοντέλα 4η, 5η Διάλεξη, 2018-19 1 / 12 Συσχέτιση Μεταβλητών Ιδιότητες του cov(x, Y Ένα μέτρο της
Διαβάστε περισσότεραΗ εταιρεία Kiefer. ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις. μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων. Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες
Η εταιρεία Kiefer ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες Πηγε ς Ενε ργειας στην Ελλα δα. Αναλαμβα νει ε ργα ως EPC
Διαβάστε περισσότεραΧαιρετισμοί. Περιεχόμενα Ενότητας
Χαιρετισμοί Περιεχόμενα Ενότητας Χαιρετισμός του Διευθυντή Μέσης Τεχνικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης, κ. Ηλία Μαρκάτζιη Χαιρετισμός από τον Πρόεδρο του Συνδέσμου Γονέων και Κηδεμόνων της Σχολής, κ.
Διαβάστε περισσότεραΠ α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον. Ἕτερον. Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη.
Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Κυ ρι ε ε λε η σον Ἦχος Πα Α µην Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι ον Ἕτερον. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ υ ρι ι ον 1 ΙΩΑΝΝΟΥ Α. ΝΕΓΡΗ
Διαβάστε περισσότεραΑρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να
. Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α. Ά ρης Δια μα ντό που λος, Ψυχο λό γος, Δι δά κτω ρ Φι λο σο φί ας χή, στο σώ μα και στο πνεύ μα, 84 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ
Διαβάστε περισσότερα( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,,
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Μορφή 0 με 0. Λύση: 0 ( ) 0 0 ή 0... Μορφή 0 με 0 Λύση: 0.. Μορφή 0 με 0 Λύση: Βρίσκουμε,, και τη διακρίνουσα 4 Αν 0 (ή, ετερόσημοι) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
Διαβάστε περισσότεραΕυγενία Κατσιγιάννη* & Σπύρος Κρίβας**
ÅðéóôçìïíéêÞ Åðåôçñßäá Ðáéäáãùãéêïý ÔìÞìáôïò Ä.Å. Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 20 (2007), 41-55 Ευγενία Κατσιγιάννη* & Σπύρος Κρίβας** Αντιλήψεις γονέων και δασκάλων απέναντι στην κοινωνική ένταξη των ατόμων
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΚΤΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗ 2015
1.5 ΔΗΜΟΣ ΠΑΦΟΥ 1. Διαγωνισμο ς για την Ανα πλαση του Παραδοσιακου Εμπορικου Κε ντρου και της Πλατειάς Κε ννεντυ στην Πα φο. - Αρ. Διαγωνισμου 23/2015. Τον Σεπτε μβριο 2015, με επιστολη μας προς τον Δη
Διαβάστε περισσότεραΠρώϊος Μιλτιάδης. Αθαναηλίδης Γιάννης. Ηθική στα Σπορ. Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά
Πρώϊος Μιλτιάδης Αθαναηλίδης Γιάννης Ηθική στα Σπορ Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 1 ΗΘΙΚΗ ΣΤΑ ΣΠΟΡ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΗΘΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ : Εκδόσεις Χριστοδουλίδη Α. & Π.
Διαβάστε περισσότερατων Κοι νω νι κών Λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στους ι δι ω τι κούς παι δι κούς σταθ µούς όλης της χώρας O21R09
των Κοι νω νι κών Λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στους ι δι ω τι κούς παι δι κούς σταθ µούς όλης της χώρας O21R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚOΙ ΝΩΩ ΝΙ ΚΩΩΝ ΛΕΙ
Διαβάστε περισσότεραΑυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα
Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα Ιο νιο Πανεπιστη μιο, Κε ρκυρα 17-5-2012 Παύλος Σταμπουλι δης, Με λος ΔΣ Hellenic Startup
Διαβάστε περισσότερατων ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09
των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΕΡ ΓΑ ΤO ΤΕ ΧΝΙ ΤΩΩΝ ΕΡ ΓO ΣΤΑ ΣΙ ΩΩΝ ΤΣΙ ΜΕ ΝΤO ΛΙ ΘΩΩΝ, ΤΣΙ
Διαβάστε περισσότεραΠολυμεταβλητή Στατιστική Ανάλυση. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Πολυμεταβλητή Στατιστική Ανάλυση Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Στην πρα ξη τα δεδομένα ενο ς ερευνητη ει ναι απο τη φυ ση τους
Διαβάστε περισσότεραΟι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο
ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΟΙΝΩΝΙΟ Λ. Β Χερουβικόν σε ἦχο πλ. β. Ἐπιλογές Ἦχος Μ Α µη η η η ην Οι τ Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο
Διαβάστε περισσότεραF h, h h 2. Lim. Lim. f h, h fyx a, b. Lim. h 2 y 2. Lim. Lim. Lim. x 2 k 2. h 0
ΜΑ 1 Μ.2 Ν ΟΙ ΠΑΡ ΓΩΓΟΙ fx ΚΑΙ fy ΥΠ ΡΧΟΥΝ ΚΑΙ ε ΝΑΙ ΙΑφΟΡ ΣΙΜε Σε Κ ΠΟΙΑ ΠεΡΙΟΧ ΤΟΥ a, b Τ Τε ΝΑ ΑΠΟ ειχθε ΤΙ fxy fyx. Α εξετ ΣεΤε ΑΝ fxy fyx ΣΤΟ 0, 0 ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ f x, y xy x2 y 2 ΓΙΑ x, y 0, 0
Διαβάστε περισσότεραΔομές Ελέγχου και Επανάληψης
Εργαστήριο 3 ο Δομές Ελέγχου και Επανάληψης Εισαγωγή Σκοπο ς του εργαστηρι ου αυτου ει ναι η εισαγωγη στην εκτε λεση εντολω ν υπο συνθη κη και στις δομές επανάληψης. Δομές Ελέγχου Η ικανότητα να μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-. Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω F X, F Y οι συναρτήσεις κατανομής των τ.μ. X, Y και F X,Y η από κοινού συνάρτηση κατανομής τους. Αποδείξτε ότι (i)
Διαβάστε περισσότερα[...]. [...] [...] [...] [...]»
L 225/16 EL Επ σηµη Εφηµερ δα των Ευρωπαϊκ ν Κοινοτ των 12. 8. 98 Ο ΗΓΙΑ 98/59/ΕΚ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 20 Ιουλ ου 1998 για προσ γγιση των νοµοθεσι ν των κρατ ν µελ ν που αφορο ν τι οµαδικ απολ σει ΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΑποτελεσματικός Προπονητής
ÐÝñêïò Ι. ÓôÝ öá íïò & Χριστόπουλος Β. Γιάννης Αποτελεσματικός Προπονητής Ένας οδηγός για προπονητές όλων των ομαδικών αθλημάτων Θεσσαλονίκη 2011 Ðå ñéå ü ìå íá Ðñü ëï ãïò...6 Åé óá ãù ãþ...11 Êå öü ëáéï
Διαβάστε περισσότεραVAGONETTO. Ωρες: 09:00 17:00. t: (+30) e: w: Kρατήσεις: Fokis Mining Park Μεταλλευτικό Πάρκο Φωκίδας
VAGONETTO Fokis Mining Park Μεταλλευτικό Πάρκο Φωκίδας Ωρες: 09:00 17:00 Kρατήσεις: t: (+30) 2265 078819 e: info@vagonetto.gr w: www.vagonetto.gr 5 1 o χ λ μ Ε. Ο. Λ α μ ί α ς Ά μ φ ι σ σ α ς Τ. Κ. 3 3
Διαβάστε περισσότερατων ερ γα ζο µέ νων σε ε πι χει ρή σεις Έ ρευ νας - Ε ξό ρυ ξης, Με λε τών και Δ ιΰ λι σης Αρ γού Πε τρε λαί ου ό λης της χώ ρας K65R10
των ερ γα ζο µέ νων σε ε πι χει ρή σεις Έ ρευ νας - Ε ξό ρυ ξης, Με λε τών και Δ ιΰ λι σης Αρ γού Πε τρε λαί ου ό λης της χώ ρας K65R10 2 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΕΡ ΓΑΖO ΜΕ ΝΩΩΝ ΣΕ
Διαβάστε περισσότεραΛο γι στών & Βοη θών Λο γι στών βι ο µη χα νι κών και λοι πών ε πι χει ρή σε ων όλης της χώρας O23R09
Λο γι στών & Βοη θών Λο γι στών βι ο µη χα νι κών και λοι πών ε πι χει ρή σε ων όλης της χώρας O23R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΛO ΓΙ ΣΤΩΩΝ ΚΑΙ ΒOΗ ΘΩΩΝ ΛO ΓΙ ΣΤΩΩΝ
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΌ λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ.
σελ. 13 σελ. 17 σελ. 21 σελ. 49 σελ. 79 σελ. 185 σελ. 263 σελ. 323 σελ. 393 σελ. 453 σελ. 483 σελ. 509 σελ. 517 Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότερατων Δ εν δρο αν θοκηπουρών Ξενοδοχειακών επιχειρήσεων O08R12
των Δ εν δρο αν θοκηπουρών Ξενοδοχειακών επιχειρήσεων O08R12 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ Δ ΕΝΔ ΡΟΑΝΘΟΚΗΠΟΥΡΩΩΝ ΞΕ ΝO Δ O ΧΕΙ Α ΚΩΩΝ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕ ΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ
Διαβάστε περισσότερα1 ο Κεφά λαιο. Πώς λειτουργεί η σπονδυλική στήλη;...29
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Οδηγός χρησιμοποίησης του βιβλίου και των τριών ψηφιακών δίσκων (DVD)...11 Σκο πός του βι βλί ου και των 3 ψηφιακών δί σκων...15 Λί γα λό για α πό το Σχο λι κό Σύμ βου λο Φυ σι κής Α γω γής...17
Διαβάστε περισσότεραΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA
ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA Α. Γενικά Η VOLTERRA, ως Προμηθευτη ς Ηλεκτρικη ς Ενε ργειας και ε χοντας ως αντικειμενικο στο
Διαβάστε περισσότεραΧΑΙ ΡΕ ΤΙ ΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟ Ε ΔΡΟΥ ΤΗΣ Ο ΤΟ Ε
ÊËÁÄÉÊÅÓ ÓÕËËÏÃÉÊÅÓ ÓÕÌÂÁÓÅÉÓ ΧΑΙ ΡΕ ΤΙ ΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟ Ε ΔΡΟΥ ΤΗΣ Ο ΤΟ Ε σ. Σταύ ρου Κού κου. Κυ ρί ες και κύ ριοι, Συ να δέλ φισ σες και συ νά δελ φοι, Η σημερινή εκδήλωση του Ινστιτούτου Εργασίας της ΟΤΟΕ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ (EEY) ESCO s και ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (ΣΕΑ)
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ (EEY) ESCO s και ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (ΣΕΑ) Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ Θεσσαλονίκη, 9 Σεπτεμβρίου 2014 Κώστας ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Δρ. Μηχανολόγος Μηχανικός Διευθυντής
Διαβάστε περισσότεραΕ ΓΚΛΗ ΜΑ ΤΑ ΚΑΙ ΔΗ Ω ΣΕΙΣ ΚΑΤΟ ΧΙ ΚΗΣ ΠΕ ΡΙΟ ΔΟΥ ΣΤΗ ΔΙΑΡ ΚΕΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΝΟ ΜΟ Α ΧΑ Ϊ ΑΣ ΜΕ ΒΑ ΣΗ ΤΟ ΑΡ ΧΕΙΟ ΤΗΣ ΔΙΣ
ΓΚΛΗ ΜΑ ΤΑ ΔΗ Ω ΣΕΙΣ 1941-1944 Ε ΓΚΛΗ ΜΑ ΤΑ ΔΗ Ω ΣΕΙΣ 19 Ε ΓΚΛΗ ΜΑ ΤΑ ΚΑΙ ΔΗ Ω ΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΡ ΚΕΙΑ ΤΗΣ ΚΑΤΟ ΧΙ ΚΗΣ ΠΕ ΡΙΟ ΔΟΥ 1941-1944 ΣΤΟ ΝΟ ΜΟ Α ΧΑ Ϊ ΑΣ ΜΕ ΒΑ ΣΗ ΤΟ ΑΡ ΧΕΙΟ ΤΗΣ ΔΙΣ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ:
Διαβάστε περισσότεραΠ Ε Ρ Ι E Χ Ο Μ Ε Ν Α
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγικό μέρος Πρόλο γος της Ελ λη νι κής Έκ δο σης...11 Κλιμάκωση των Βημάτων για Επιτυχία στο Ποδόσφαιρο...12 Ôï Ü èëç ìá του Ποδοσφαίρου...13 Το Γήπε δο του Πο δο σφαίρου...15 Εξοπλισμός...16
Διαβάστε περισσότεραFAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1
Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37
Διαβάστε περισσότεραΔ.Ε.Υ.Α. ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Σελίδα 1
ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΟΛΗ ΤΩΝ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ, ΠΕΡΙΟΧΗ ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΙΑ. Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΥΛΟΠΟΙΗΘΗΚΕ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΟΡΓΑΝΟΥ ΓΕΩΡΑΝΤΑΡ GSSI UTILITYSCAN DF. 28/7/17 ΙΩΑΝΝΙΝΑ Δ.Ε.Υ.Α. ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΗ Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ. της ζω ής
Η Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ ΨΥ ΧΗ η αν θο δέ σµη της ζω ής ΚΕΙΜΕΝΟ: Υ πτγος ε.α. Ά ρης Δια μα ντό που λος, Διδάκτωρ Φιλοσοφίας-Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΙ ΚΕΣ ΕΝ ΝΟΙΕΣ Ό πως υ πάρ χει
Διαβάστε περισσότεραΤῇ Τρίτῃ τῆς Διακαινησίμου. Μνήμην ἐπιτελοῦμεν. τῶν Ἁγίων ἐνδόξων νεοφανῶν καί Θαυματουργῶν. Ὁσιομαρτύρων Ραφαήλ και Νικολάου,
Τῇ Τρίτῃ τῆς ιακαινησίμου Μνήμην ἐπιτελοῦμεν τῶν Ἁγίων ἐνδόξων νεοφανῶν καί Θαυματουργῶν Ὁσιομαρτύρων Ραφαήλ και Νικολάου, καί τῆς Ἁγίας αρθενομάρτυρος Εἰρήνης, τῶν ἐν Θερμῇ τῆς Λέσβου ΕΝ Τῼ ΜΕΓΑΛῼ ΕΣΕΡΙΝῼ
Διαβάστε περισσότερατων Oι κο δό µων συ νερ γεί ων O32R09
των Oι κο δό µων µο νί µων συ νερ γεί ων O32R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ OΙ ΚO Δ O ΜΩΩΝ ΜO ΝΙ ΜΩΩΝ ΣY ΝΕΡ ΓΕΙ ΩΩΝ ΒΙ O ΜΗ ΧΑ ΝΙ ΩΩΝ - ΒΙ O ΤΕ ΧΝΙ ΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α. ΓΙΑ
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότεραΝικολέττα Ισπυρλίδου* & Δημήτρης Χασάπης**
ÅðéóôçìïíéêÞ Åðåôçñßäá Ðáéäáãùãéêïý ÔìÞìáôïò Ä.Å. Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 20 (2007), 23-39 Νικολέττα Ισπυρλίδου* & Δημήτρης Χασάπης** Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση
Διαβάστε περισσότεραΚυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ο ος σε ε ει σα
ΤΗ Ζ ΤΟΥ ΜΗΝΟΣ ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΤΟΥ ΟΣΙΟΥ ΚΑΙ ΘΕΟΦΟΡΟΥ ΠΑΤΡΟΣ ΗΜΩΝ ΝΙΚΑΝΟΡΟΣ ΤΟΥ ΘΑΥΜΑΤΟΥΡΓΟΥ Ἡ µουσική καταγραφή τῶν µελῶν ἔγινε ἀπό τὰ χειρόγραφα µουσικά κείµενα τοῦ π. Χρίστου Κυριακοπούλου Μετὰ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΙΚΙΑ & ΘΕΟΤΟΚΙΑ ΕΣΠΕΡΑΣ 1-15 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ. Παρασκευή 1/08/2014 Ἑσπέρας Ψάλλοµεν τὸ Ἀπολυτίκιο τῆς 2/8/2014. Ἦχος.
ΑΟΛΥΤΙΚΙΑ & ΘΕΟΤΟΚΙΑ ΕΣΕΡΑΣ 1-15 ΑΥΟΥΣΤΟΥ αρασκευή 1/08/2014 Ἑσπέρας Ψάλλοµεν τὸ Ἀπολυτίκιο τῆς 2/8/2014 δ Ταχὺ προκατάλαβε ι α σι λει ον δι α δη µα ε στε φθη ση κο ρυ φη εξ α θλων ων υ πε µει νας υ περ
Διαβάστε περισσότεραΚε φά λαιο. Έννοιες, Ο ρι σμοί και Βα σι κές Προ ϋ πο θέ σεις. Αναπηρία και ειδική φυσική αγωγή
Κε φά λαιο 1 Έννοιες, Ο ρι σμοί και Βα σι κές Προ ϋ πο θέ σεις Αναπηρία και ειδική φυσική αγωγή Η έν νοια της α ναπη ρί ας εί ναι πολυ διά στα τη και α ντι κα το πτρί ζει την αλ λη λε πί δρα ση του ε κά
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότεραε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια
ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α Άρης Διαμαντόπουλος, Διδάκτορας Φιλοσοφίας - Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Α ξί α Οι κο γέ νειας Ό,τι εί ναι το κύτ τα ρο
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΡΜΑΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ -ΕΚΠΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΡΜΑΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ -ΕΚΠΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Για την απο κτηση πτυχι ου, κα θε φοιτητη ς / φοιτη τρια οφει λει να συγγρα
Διαβάστε περισσότεραΦοιτητικό στεγαστικό επίδομα - Νέα Κ.Υ.Α.
Φοιτητικό στεγαστικό επίδομα - Νέα Κ.Υ.Α. Κοινή Υπουργική απόφαση εξέδωσαν τα υπουργεία Παιδείας και Οικονομικών με την οποία επανακαθορίζονται οι διαδικασίες και τα δικαιολογητικά για τη χορήγηση του
Διαβάστε περισσότερατων Καθηγητών Φροντιστηρίων Ξένων γλωσσών όλης της χώρας O18R11
των Καθηγητών Φροντιστηρίων Ξένων γλωσσών όλης της χώρας O18R11 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚΑ ΘΗ ΓΗ ΤΩΩΝ ΦΡO ΝΤΙ ΣΤΗ ΡΙ ΩΩΝ ΞΕ ΝΩΩΝ ΓΛΩΩΣ ΣΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α.
Διαβάστε περισσότερατων εργαζοµένων στα Συµβολαιογραφεία όλης της χώρας K67R09
των εργαζοµένων στα Συµβολαιογραφεία όλης της χώρας K67R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΕΡ ΓΑΖO ΜΕ ΝΩΩΝ ΣΤΑ ΣYΜ ΒO ΛΑΙ O ΓΡΑ ΦΕΙ Α O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΩ
Διαβάστε περισσότεραR t. H t n t Σi = l. MRi n t 100
30. 12. 98 EL Επ σηµη Εφηµερ δα των Ευρωπαϊκ ν Κοινοτ των L 356/1 Ι (Πρ ξει για την ισχ των οπο ων απαιτε ται δηµοσ ευση) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 2818/98 ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ τη 1η εκεµβρ ου
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότεραΜάνατζμεντ και Μάνατζερς
Κ Ε ΦΑ ΛΑΙΟ 1 Μάνατζμεντ και Μάνατζερς Κά θε μέ ρα ε πι σκε πτό μα στε διά φο ρους ορ γα νισμούς με γά λους ή μι κρούς και ερ χό μα στε σε επα φή με τους υ παλ λή λους και τους μά να τζερ ς. Α νά λο γα
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ
Περιεχόμενα ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 1 ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ: ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1.1 Επιχειρησιακε ς Λειτουργι ες και Παραγωγικο τητα 4 1.1.1 Διοι κηση Επιχειρησιακω ν Λειτουργιω
Διαβάστε περισσότεραΘ Ρ Η Σ Κ Ε Ι Α- Π Ο Λ Ι Τ Ι Σ Μ Ο Σ & Α Ξ Ι Ε Σ
Θ Ρ Η Σ Κ Ε Ι Α- Π Ο Λ Ι Τ Ι Σ Μ Ο Σ & Α Ξ Ι Ε Σ Στον πο λι τι σμό των μη χα νών έ χει δι α φα νεί ο ρι στι κά ό τι δεν προβλέ πε ται θέ ση γι α τη λει τουρ γί α της ψυ χής. Τους δύ ο τε λευ ταίους αι
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότερατων Ξε να γών Ρόδου Ot04R14
των Ξε να γών Ρόδου Ot04R14 να γούς που εργάζονται στη Ρόδο, οι οποίοι πα ρέ χουν τις υπηρεσίες τους στους εργοδότες τους τουριστικούς πράκτορες πραγµατικά µε σχέση εξηρτηµένης εργασίας Δ. ΚΑ ΘO ΡΙ ΣΜOΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες
Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΩΝ ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες ΚΕΙΜΕΝΟ: Α να στά σιος Γ. Ρούσ σης Κοι νω νιο λό γος - Ε γκλη μα το λό
Διαβάστε περισσότεραΣκελετοί, μυστικά και η εορτή της αλή θειας
Σκελετοί, μυστικά και η εορτή της αλή θειας Είναι αλή θεια ό τι, ό ταν έχεις πίσω σου σαρά ντα χρό νια αδιά κοπης και αξιό λογης καλλιτεχνικής παραγωγής, πρέπει να μπορείς κά θε φορά να διαχειρίζεσαι τον
Διαβάστε περισσότεραBOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO
BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ
Διαβάστε περισσότεραΧει ρι στών Μη χα νη µά των Λα το µεί ων Μαρµάρου, Πέτρας & Χώ µα τος ό λης της χώρας O53R10& O54R10
Χει ρι στών Μη χα νη µά των Λα το µεί ων Μαρµάρου, Πέτρας & Χώ µα τος ό λης της χώρας O53R10& O54R10 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΧΕΙ ΡΙ ΣΤΩΩΝ ΕΚ ΣΚΑ ΠΤΙ ΚΩΩΝ, Α ΝY
Διαβάστε περισσότερα