A. CÂMPUL ELECTROSTATIC

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "A. CÂMPUL ELECTROSTATIC"

Transcript

1 A. CÂMPUL ELECTROSTATIC. Natura electricității. Fenomenele electrice sunt procese din natură care se manifestă asupra corpurilor încărcate cu sarcină electrică. În Fig. puteți vedea câteva exemple de fenomene electrice care se produc frecvent în natură și care sunt ușor vizibile. Teoria electricității, ca și a magnetismului, este mult mai recentă decât optica sau mecanica. Mirajul electricității a stârnit imaginația oamenilor încă din antichitate. Se pare că primele studii de electricitate au fost efectuate în sec. al VI-lea î.cr. de Tales din Milet, care observat că unele substanțe pot atrage corpuri mai ușoare după ce sunt frecate de alte materiale. Explicarea naturii electricității s-a lăsat îndelung așteptată. Studii aprofundate de electricitate s-au produs începând cu sec. al XVII-lea. Progresele fizicii în acest domeniu încep să fie evidente spre sfârșitul secolului al XVIII-lea și începutul secolului al XIX-lea, când au fost întreprinse experiențe mai numeroase, mai ingenioase, iar apoi prin elaborarea teoriei electricității pe baza unui aparat matematic din ce în ce mai complex. Ceea ce au întâlnit cercetătorii la sfârșitul sec. al XVII-lea și începutul sec. al XVIII-lea erau fenomene complicate, precum electrizarea prin frecare, producerea de scântei, influența umezelii aerului asupra fenomenului de electrizare, etc., fenomene pe care nu puteau să și le explice, datorită lipsei noțiunilor fundamentale în domeniul electrostaticii. Totuși din această perioadă datează o serie de observații calitative cum ar fi deosebirea dintre conductorii electrici și izolatori, influența corpurilor încărcate cu electricitate asupra conductorilor izolați, sau existența celor două tipuri de sarcină electrică: pozitivă și negativă. Corpurile care prin frecare căpătă proprietatea de a atrage alte corpuri au fost numite corpuri electrizate, iar ceea ce conferă corpurilor această proprietate a fost numită electricitate. În limitele unor concepții naive se admitea existența a două fluide, unul pozitiv și altul negativ, care ar conferi corpului electrizat tipul de electricitate. Mai târziu Benjamin Franklin a presupus că electrizarea corpului este efectul prezenței sau absenței unui singur tip de fluid. Prezența lui în exces, peste starea electrizată, conferă corpului o electricitate negativă, iar absența lui indică o încărcare cu electricitate pozitivă. Franklin a mai presupus că fluidul negativ este compus din particule, indicând astfel modul de electrizare a sticlei și a ebonitei, cu 00 de ani înaintea descoperirii electronului! Teoria electricității macroscopice a început să se dezvolte abia după conturarea mecanicii clasice și perfecționarea aparatului matematic și se poate considera încheiată în cursul sec. al XIX-lea. Clarificarea naturii electricității, a purtătorului microscopic de sarcină electrică, a devenit o realitate la sfârșitul acestui secol, odată cu semnarea actului de naștere al fizicii atomice. Din punct de vedere al capacității de mișcare există sarcini libere și sarcini legate. Primele se pot mișca pe spații limitate în solide, lichide, gaze. Corpurile în care numărul de sarcini libere este constant și nu depinde de temperatură se numesc conductoare. Aceasta este situația metalelor și a majorității aliajelor, în care electronii sunt sarcini libere, sau a electroliților în care ionii pozitivi și negativi sunt sarcini libere. Dacă punem sarcini în exces acestea se vor distribui pe suprafață.

2 Corpurile în care sarcinile sunt legate de anumite poziții sunt numite corpuri izolatoare. Materialele izolatoare pot exista în toate stările de agregare: gaze inerte, cum sunt He, Ne, Ar (sarcinile sunt legate la nivelul atomului), gaze moleculare și lichide moleculare, cum sunt hidrogenul, oxigenul, respectiv apa, cu sarcini legate la nivelul moleculei sau solide formate din ioni, cum este clorura de sodiu. Etimologic vorbind, termenul de electricitate provine din limba greacă ήλεκτρον (electron) = chihlimbar și se datorează faptului că primele observații ale fenomenului de electrizare au avut ca obiect de studiu un bețișor de chihlimbar.. Electrizarea corpurilor. Sarcina electrică. Se poate constata experimental că prin anumite metode, de exemplu prin frecare, corpurile pot fi aduse într-o stare care determină modificarea proprietăților mediului în care acestea se află. Această nouă proprietate a corpului se numește stare de electrizare și este descrisă de mărimea fizică scalară sarcina electrică. Mărimea fizică sarcina electrică se notează cu literele Q sau q și se măsoară în Coulombi, după numele fizicianului francez Ch. A. Coulomb: [Q, q] SI = C = A s () C reprezintă sarcina electrică transportată prin secțiunea transversală a unui conductor de un curent staționar cu intensitatea de A, în timp de s. Ulterior, oameni au descoperit că electrizarea corpurilor se poate și prin contact și prin influență. În metale, purtătorii mobili de sarcină sunt electronii. Electronul este cel mai mic purtător de sarcină electrică. Sarcina electrică a unui electron este: e =,6 0-9 C () Mecanismul electrizării constă în primirea sau acceptarea de electroni. Corpurile care primesc electroni se încarcă cu sarcină electrică negativă, iar corpurile care cedează electroni se încarcă cu sarcină pozitivă. Cantitatea de sarcină primită sau cedată de un corp este proporțională cu numărul de electroni primiți sau cedați de corp. Sarcina electrică are următoarele proprietăți: a) Se conservă. Legea conservării sarcinii a fost formulată de B. Franklin în 747: Suma algebrică a sarcinilor electrice ale unui sistem izolat de corpuri este constantă. b) Este cuantificată. Sarcina electrică a unui corp este un multiplu întreg de sarcini elementare Q = n e (3) Relație cunoscută și sub numele de relația de cuantificare a sarcinii, iar n este un număr întreg. c) Este invariantă. Valoarea ei nu depinde de sistemul de referință ales, în care se face măsurarea. 3. Legea lui Coulomb A fost enunțată de Ch. A. Coulomb în anul 785 ca rezultat al unor studii experimentale, efectuate cu ajutorul unei balanțe de torsiune Legea lui Coulomb este o lege experimentală care afirmă că forţa de interacţiune dintre două sarcini punctiforme acţionează de-a lungul dreptei ce uneşte centrele celor două sarcini, este direct proporţională cu produsul sarcinilor şi invers proporţională cu pătratul distanţei dintre ele. Forţa coulombiană este de atracţie dacă sarcinile sunt de semne contrare şi de respingere dacă sarcinile sunt de acelaşi semn, Fig.. Relația scalară, cantitativă, a forței coulombiene este dată de relația: Q q F = k r unde cu k am notat o constantă de proporționalitate, a cărei valoare depinde de mediul în care se află sarcinile: k = (5) 4πε (4)

3 Cu ε am notat mărimea fizică ce caracterizează proprietățile electrice ale mediului, numită permitivitatea electrică absolută. Această mărime are o valoare pentru fiecare mediu în parte. Pentru vid, de exemplu, permitivitatea electrică absolută are valoarea: ε 0 = 8, F m Raportul dintre permitivitatea electrică absolută a mediului și permitivitatea electrică absolută a vidului se numește permitivitate electrică relativă: ε r = ε ε 0 (6) Cu aceste notații forța electrostatică se poate scrie: F = Qq 4πε 0 ε r r Putem face notația, efectuând efectiv calculele matematice, notație necesară în rezolvarea problemelor: Nm 9 = 9 0 (8) 4πε 0 C Rel. (4) se poate scrie vectorial utilizând versorul vectorului r, n = r : F = r Qq n (9) 4πε 0 ε r r Rel. () confirmă că forța coulombiană acționează pe direcția razei r, a distanței dintre centrele celor două sarcini, Fig.. 4. Câmpul electric. Câmpul electrostatic. Câmpul electric este o formă de existență a materiei care se manifestă prin forțe de interacțiune electrice asupra corpurilor încărcate cu sarcină electrică. Câmpul electrostatic este un câmp electric caracterizat de mărimi invariabile în timp și ne însoțit de transformări de energie, sau altfel spus nu este însoțit de curenți electrici. În acest caz, fenomenele electrice se produc independent de cele magnetice şi ca urmare studiul câmpurilor electrice și magnetice se poate face separat. Câmpul electrostatic este caracterizat de o mărime fizică vectorială, notată cu E, numită intensitatea câmpului electrostatic și definită prin relația: E = F q unde F este forța de interacțiune electrostatică, iar q este sarcina de probă. Prin convenție q > 0. Precizare: sarcina de probă este sarcina electrică a unui corp cu ajutorul căreia punem în evidență, probăm existența, câmpului electrostatic. Cu ajutorul corpului de probă se pot stabili punctual proprietățile câmpului electrostatic, fără a-l perturba. Dacă avem în vedere rel. (9), rel. (0) devine: E = Q n 4πε 0 ε r r Direcția vectorului E este aceeași cu direcția vectorului F, adică direcția ce unește corpul generator de câmp, de sarcină Q, cu punctul respectiv. Sensul vectorului E depinde de semnul sarcinii Q, Fig. 3 și 4. Modulul lui E depinde doar de valoarea sarcinii Q, a corpului generator de câmp și distanța de la punctul considerat și această sarcină, rel. (). Deoarece E nu depinde de valoarea sarcinii de probă, q, rezultă că acesta este o mărime care caracterizează câmpul electric în fiecare punct. 3 (0) () (7)

4 Câmpul electric al Pământului. În atmosfera terestră se manifesta un câmp electric creat de ionii rezultați din fenomenul de ionizare a moleculelor de gaz bombardate de radiațiile cosmice. Astfel se formează o pătură sferică conductoare de electricitate la altitudini înalte în jurul Pământului. Dar Pământul conține o anumita cantitate de sarcini electrice, fiind totodată și un foarte bun conducător de electricitate. Pământul și straturile joase ale atmosferei formează o sferă conductoare. Între sfera conductoare formată de Pământ și pătura sferică a ionilor de la altitudini înalte exista o pătură sferică de circa 50 km grosime, care nu este un bună conductoare electric. La suprafața Pământului se poate măsura un câmp electrostatic având intensitatea de circa E = 00V/m. Considerând raza sferei terestre de 5000 km, se poate determina sarcina electrica superficială pe care o are Pământul, de circa C. Principiul superpoziției. Intensitatea unui câmp electric, într-un punct al spațiului, generat de n sarcini electrice punctiforme izolate, q i, cu i=,,, n, este egală cu suma vectorială a câmpurilor electrice individuale, produse de cele n sarcini electrice, pe care le-ar crea fiecare, independent de prezența celorlalte. n E = E + E + + E n = i= E i () Este cazul să remarcăm că distribuția sarcinilor este spațială. Cazul în care sarcinile se află într-un plan este un caz particular, folosit pentru a explica și a înțelege mai ușor fenomenul. În Fig. 3 am reprezentat principiul superpoziției pentru cazul a două sarcini punctiforme, în rel. () i=. Câmpul electric al unor sarcini electrice punctiforme izolate. Linii și spectre de câmp electrostatic. Câmpul electrostatic este reprezentat grafic cu ajutorul unor linii imaginare, tangente în fiecare punct al spațiului la direcția locală a vectorului intensitatea câmpului electrostatic, E, numite linii de câmp electrostatic, Fig. 4 și 5. Ansamblul liniilor de câmp, din reprezentarea grafică, se numește spectrul liniilor de câmp. Noțiunea de linie de câmp a fost introdusă de fizicianul englez Michael Faraday. Câmpul electrostatic radial În Fig. 4 am reprezentat distribuția liniilor de câmp electric în cazul unor sarcini electrice, punctiforme, izolate, aflate la distanță mare de alte sarcini electrice. Observați că sensul liniilor de câmp este dinspre sarcina pozitivă, iese din sarcina pozitivă, Fig. 4 a) și spre sarcina negativă, intră în sarcina negativă, Fig. 4 b). Se observă că distribuția liniilor de câmp sunt pe direcția unor raze. Din acest caz, câmpul electrostatic generat de o sarcină electrică punctiformă izolată, aflată la distanță mare de alte sarcini electrice se numește câmp radial. În Fig. 5 am reprezentat distribuția liniilor de câmp electric a două sarcini electrice punctiforme izolate aflate în imediata apropiere. Observați spectrul liniilor de câmp în cazul în care sarcinile sunt de semn contrar, este un spectru de linii închise, Fig. 5 a) și în cazul în care sarcinile au același semn, este un spectru de linii deschise, Fig. 5 b). OBSERVAȚIE: În Fig. 4 și 5 spectrele liniilor de câmp sunt desenate în plan. În realitatea aceste spectre au o distribuție spațială, ca un arici ghemuit! 4

5 Câmpul electrostatic uniform. Un câmp electrostatic în care intensitatea câmpului este aceeaşi în toate punctele sale se numeşte câmp electric uniform, Fig. 6. Câmpul electric uniform are următoarele caracteristici:. intensitatea câmpului electrostatic are aceeași valoare în fiecare punct al câmpului;. liniile de câmp sunt paralele și echidistante; 3. vectorul intensitatea câmpului electrostatic este orientat dinspre distribuţia de sarcină pozitivă spre cea negativă. Câmp uniform poate fi obţinut şi în spaţiul delimitat de două conductoare plane, de dimensiune mare, încărcate cu sarcini egale ca valoare şi de semn opus, sarcina fiind distribuită uniform pe fiecare dintre conductori (fiecărui element de arie îi revine aceeaşi sarcină electrică). Observaţie : pentru planele de dimensiune mică, numai în regiunile depărtate de marginile acestora se manifestă câmp uniform. La capete apar distorsiuni ale câmpului ca în Fig. 5 a) sau b) 5. Fluxul câmpului electric. Pentru a descrie proprietățile câmpului electric referitor la un ansamblu de puncte ale mediului, aflate pe o suprafață, este utilizată mărimea fizică scalară numită fluxul câmpului electric, sau fluxul electric: Φ = E S = B S cos α (3) unde cu Φ am notat mărimea fizică scalară fluxul electric, cu S aria suprafeței considerate, cu E vectorul intensitatea câmpului electric, cu n normala la suprafața considerată. Referitor la vectorul n considerăm relația: S = n S Termenul de flux provine din limba latină: fluxus = curgător și își are originea în teoria fluidelor, unde fluxul reprezintă debitul de fluid care străbate o suprafață oarecare. Altfel spus: fluxul electric reprezintă totalitatea liniilor de câmp electric care străbate o suprafață oarecare. Fluxul câmpului electric prin suprafața considerată depinde de orientarea acesteia în raport cu direcția liniilor de câmp, Fig. 7. Fluxul câmpului electric este maxim atunci când suprafața S este așezată normal (perpendicular) pe direcția liniilor de câmp, α = 0. Fluxul câmpului electric este minim atunci când suprafața S este paralelă cu direcția liniilor de câmp, α = 90. Unitatea de măsură pentru fluxul electric este: N m [Φ] S.I. = = V m (4) C 6. Teorema lui Gauss Să considerăm o sferă de rază r, în centrul căreia este în repaus un corp punctiform de sarcină q, Fig. 8. Ținând cont de rel. (), și de faptul că distribuția liniilor de câmp pentru o sarcină electrică punctiformă izolată este radială, suprafața Σ sferei reprezintă locul geometric al punctelor din spațiu pentru care modulul vectorului intensitatea câmpului electrostatic are aceeași valoare. n În acest caz: n n Φ = E i S i = E i S i cos 0 = E S i = q (5) 4πεr 4πr = q ε i= i= Acest rezultat obținut în baza legii lui Coulomb a fost generalizat pentru orice suprafață Σ închisă și pentru orice distribuție spațială de sarcină electrică de către Karl Friederich Gauss: Fluxul câmpului electric printr-o suprafață închisă este egal cu 5 i=0

6 raportul dintre sarcina totală aflată în interiorul suprafeței și permitivitatea electrică a mediului în care se află suprafața considerată. Φ = q int. (5 ) ε OBSERVAȚIE:. Dacă în interiorul unei suprafețe închise, aflată întru-n câmp electric, nu există sarcini, sau sarcina totală este nulă, fluxul prin suprafața totală este zero.. Dacă sarcina electrică se află în afara suprafeței, fluxul electric prin suprafața totală este zero: numărul liniilor de câmp care intră în suprafață este egal cu numărul liniilor câmp care ies din suprafață. 3. Liniile de câmp au, în mod obligatoriu, capetele pe sarcini. 7. Potențialul electric. Lucrul mecanic în câmp electrostatic. Considerăm că sarcina +q se deplasează, de-a lungul unei linii ce câmp, din punctul A în punctul B, în câmpul creat de sarcina +Q, Fig. 9. Conform definiției L = F d, relație valabilă pentru cazul în care F=const. și paralelă cu deplasarea. În cazul nostru forța este paralelă cu deplasarea, dar nu este constantă. Forța electrică depinde de distanță, rel. 7. Pentru a calcula lucrul mecanic, vom apela la un artificiu matematic. Vom calcula forța medie pe distanța AB = d = r B r A. Având în vedere expresia forței, rel. 7, cel mai bine ne-ar avantaja o medie geometrică: Cu aceste precizări: F medie = F A F B = Qq 4πεr Qq A 4πεr = Qq B 4πεr A r B L = F medie (r B r A ) = Qq (r 4πεr A r B r A ) = Qq B 4πε ( ) r A r B (6) (7) OBSERVAȚIE:. Lucrul mecanic în câmp electric depinde de sarcina generatoare de câmp, Q, sarcina de probă, q și de punctele inițial și final între care se deplasează sarcina de probă.. Deoarece lucrul mecanic în câmp electrostatic nu depinde de drum, câmpul electric generat de două sarcini electrice punctiforme, aflate în repaus este un câmp conservativ. În consecință, forța electrică este o forță conservativă. Deși este o mărime de proces, lucrul mecanic al unei forțe conservative depinde doar de stare inițială și finală a sistemului. 7. Energia potențială electrică. În cazul sistemelor conservative de forțe se poate defini energia potențială. Variația energiei potențiale a unui sistem în care acționează forțe conservative este dată de relația: W p = L forțe conservative (8) adică: ) W (9) pb W pa = Qq Qq 4πεr B 4πεr A Dacă considerăm că deplasarea sarcinii q s-a făcut între punctele r A = r și r B, energia potențială electrică este dată de relația: W p = Qq (0) 4πεr + C Unde C este o constantă arbitrară pe care o vom considera egală cu zero: C=0. În consecință, energia potențială electrică a unui sistem format din două corpuri punctiforme, încărcate cu sarcină electrică Q și q, aflate la distanța r una de cealaltă, este dată de relația: W p = Qq 4πεr (0 ) 6

7 8. Tensiunea electrică. Diferența de potențial. Definim tensiunea electrică, sau diferența de potențial raportul: U = V A V B = L q = De aici rezultă că potențialul unui punct este dat de relația: V = Q 4πεr Q 4πε ( r A r B ) () () Unitatea de măsură pentru tensiunea electrică este aceeași ca și pentru potențialul electric, voltul, simbol V: [U] (3) S.I. = [V] S.I = J C = V OBSERVAȚIE: Potențial unui câmp generat de o sarcină Q are semnul sarcinii Q. În cazul unui câmp electric uniform, Fig. 6, diferența de potențial este dată de relația: U = E d (4) De unde rezultă și unitatea de măsură preferată pentru intensitatea câmpului electric: [E] S.I. = V m Datorită caracterului aditiv al energiei, într-un punct oarecare al câmpului electric, rezultat prin suprapunerea câmpurilor generate de mai multe sarcini electrice punctiforme, potențialul electric are și el caracter aditiv și este egal cu suma algebrică a potențialelor câmpurilor generate independent de fiecare sarcină electrică: n V = i= V i (5) Suprafețe echipotențiale. Suprafața echipotențială este locul geometric al punctelor dintr-un câmp electric în care potențial electric are aceeași valoare. Forma unei suprafețe echipotențiale depinde de distribuția sarcinilor care generează câmpul respectiv. Există însă o proprietate generală a suprafețelor echipotențiale: Liniile de câmp, în punctele de intersecție cu suprafețele echipotențiale, sunt perpendiculare pe aceste suprafețe. În cazul unor sarcini electrice punctiforme suprafețele sunt suprafețe sferice, Fig. a) și b), iar în cazul unui câmp electric uniform suprafețele echipotențiale sunt suprafețe plane, Fig. 0 c) Remarcăm faptul că sensul vectorului E, deci și al liniilor de câmp, este de la punctele cu potențial mai mare, spre punctele cu potențial mai mic. Semnul sarcinii negative schimbă sensul lui E! Conductor izolat în câmp electrostatic. Un conductor electrizat este în echilibru electrostatic dacă sarcina sa liberă este în repaus. O astfel de stare pentru un sistem fizic se numește regim electrostatic. În cazul unui conductor izolat, aflat în câmp electrostatic, echilibrul electrostatic este posibil doar dacă sarcina lui liberă, în cazul nostru electronii, nu se deplasează în interiorul conductorului. Dacă sarcina liberă nu se deplasează înseamnă că, în interiorul conductorului, nu există curent electric. Curentul electric este un ansamblu de sarcini electrice în mișcare, iar mișcarea sarcinilor electrice se face sub influența câmpului electric. Concluzie: În interiorul unui conductor aflat în echilibru electrostatic, inclusiv în eventualele 7

8 cavități, intensitatea câmpului electric este nulă, E = 0. Dacă E = 0, din definiția fluxului electric și ținând cont de teorema lui Gauss rezultă că în interiorul conductorului și sarcina electrică este nulă, q = 0. Deoarece am stabilit că în conductor există totuși sarcină electrică liberă, rezultă că sarcină electrică liberă se distribuie numai la suprafața conductorului. Dacă sarcina electrică liberă este în repaus, înseamnă că și lucrul mecanic efectuat este nul, L = 0. Din rel. (), relația de definiție a tensiunii electrice, diferența de potențial: L = e (V A -V B ) = 0, rezultă că în interiorul conductorului electrizat, aflat în echilibru în câmp electrostatic potențialul este constant, inclusiv pe suprafața sa, V A = V B = V. De aici putem deduce că suprafața unui conductor izolat este o suprafață echipotențială. Proprietatea conductorilor în electrizați, în echilibru electrostatic, de a nu avea în interior nici sarcină electrică, nici câmp electric se numește ecranare. 9. Capacitatea electrică a unui conductor izolat. Capacitatea electrică a unui conductor izolat și departe de alte corpuri este o mărime fizică scalară și pozitivă, definită prin relația: C = Q (6) V unde Q este sarcina pe conductor, iar V este potențialul său. Unitatea de măsură pentru capacitatea electrică este: [C] S.I = [Q] S.I [V] S.I = C V = F(farad) F este capacitatea unui conductor izolat, departe de alte corpuri, care se încarcă cu sarcina de C iar potențialul său este de V. Condensatorul electric. Condensatorul electric este un dispozitiv electric proiectat și construit pentru a înmagazina sarcină electrică. Capacitatea condensatorului electric se definește prin relația: unde am notat cu V și V potențialele celor două armături. Cel mai simplu condensator electric este condensatorul plan, Fig.. Condensatorul plan este un ansamblu format din două suprafețe metalice, plane, numite armături, separate printr-un mediu dielectric. Mediile dielectrice sunt materiale izolatoare în care poate apărea un câmp electric, numit câmp electric de polarizare, atunci când sunt plasați într-un câmp electric exterior. Capacitatea condensatorului plan este dată de relația: C = C = ε S d Q V V = Q U Unde cu ε am notat permitivitatea electrică absolută a mediului dielectric, cu S suprafața unei armături, iar cu d distanța dintre armături. Rel. (9) a fost determinată experimental. Gruparea condensatorilor. a) Gruparea serie. Sarcina Q este distribuită în mod identic pe fiecare condensator. Cele două armături, ale fiecărui condensator, se vor polariza alternativ, + Q și Q, Fig.. Capacitatea echivalentă a grupării serie este capacitatea unui condensator C S care preia sarcina Q, a grupării, la diferența totală de potențial U. Observați că diferența de potențial U se distribuie pe cei trei condensatori, corespunzător capacității fiecăruia: U, U, U 3, cu condiția: U = U + U + U 3. (30) Relație care exprimă legea conservării energiei! 8 (7) (8) (9)

9 Din rel. (8), scrisă pentru fiecare condensator, avem: U = Q, U respectiv (3) C = Q, U C 3 = Q, U = Q C 3 C S Dacă înlocuim rel. (3) în rel. (30) și simplificăm Q obținem formula capacității grupării serie, C S : C S = C + C + C + sau = (3) C S C i unde cu i am notat numărul de condensatori din grupare. În cazul nostru i = 3. b) Gruparea paralel. În acest caz toți condensatorii sunt legați la același potențial U. Sarcina Q se distribuie pe fiecare condensator, în funcție de capacitatea fiecăruia, cu condiția: Q = Q + Q + Q 3 (33) Relație care exprimă legea conservării sarcinii electrice! Cele două armături, ale fiecărui condensator, se vor polariza alternativ, + Q și Q, Fig. 3. Capacitatea echivalentă a grupării paralel este capacitatea unui condensator C P care preia toată sarcină Q, a grupării, la aceeași diferența de potențial U. Din rel. (8), scrisă pentru fiecare condensator, avem: Q = U C, Q = U C, Q = U C respectiv Q = U C P (34) Dacă înlocuim rel. (34) în rel. (33) și simplificăm U obținem formula capacității grupării paralel, C P : n C P = C + C +C 3 sau C p = i= C i (35) unde cu i am notat numărul de condensatori din grupare. În cazul nostru i = 3. Energia câmpului electric între armăturile unui condensator. Densitatea de energie a câmpului electrostatic. Pentru încărcarea unui condensator se efectuează un lucru mecanic de către o sursă exterioară de energie. Sarcinile, existente pe armătura condensatorului, vor exercita o forță de respingere asupra sarcinilor, de același semn, care sunt aduse pe armătura condensatorului. Deci, un condensator încărcat este un sistem caracterizat de o energie W. Variația energiei electrice de la zero la valoarea maximă W se măsoară prin lucrul mecanic efectuat pentru încărcarea condensatorului: W = L = Q U mediu (36) U mediu se calculează ca o medie aritmetică între valoarea potențialului în cazul condensatorului descărcat U = 0 și valoarea lui când condensatorul este încărcat maxim cu sarcină U = U maxim. Rezultă imediat că: U mediu = U. Ținând cont de definiția capacității electrice, rel. (8): Pentru un condensator plan, Fig., W = Q U = C U C = ε S d (37) iar U = E d, rel. (4) și (9) și W devine: W = ε S (38) d E d = ε S d E Observați că V = S d, este volumul dielectricului. Definim, în acest caz mărimea fizică densitatea volumică de energie: w = W (39) V = ε E Această relație, deși a fost dedusă în cazul condensatorului plan, pentru un câmp electric uniform, ea este valabilă pentru orice câmp electrostatic. 9 n i=

10 BIBLIOGRAFIE: D. Borșan, A. Costescu, M. Petrescu-Prahova, M. Sandu Fizică, manual pentru clasa a X-a, EDITURA DIDACTICĂ ȘI PEDAGOGICĂ, R.A. BUCUREȘTI, 966. N. Gherbanovschi FIZICĂ, manual pentru clasa a X-a, F, editura NICULESCU, 004 M. von Laue Istoria fizicii, Editura științifică, București,

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

1. ELECTROMAGNETISM NEA ELECTROSTATICĂ

1. ELECTROMAGNETISM NEA ELECTROSTATICĂ 1. ELECTROMAGNETISM 1.1. SARCINA ELECTRICĂ, INTERACŢIU- NEA ELECTROSTATICĂ Cuvinte cheie Interacţiune electrostatică Sarcina electrică Principiul conservării sarcinii electrice Sarcina electrică elementară

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

ELECTROMAGNETISM.

ELECTROMAGNETISM. ELECTROMAGNETISM http://rumble.com/viral/p935765-the-power-of-nature-expressed-by-electricity.html http://openstockblog.com/incredible-faces-of-naturephotography-by-evan-ludes/electric-tsunami-ii/ ELECTROMAGNETISM

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Câmpul electric. Suprafețe echipotențiale

Câmpul electric. Suprafețe echipotențiale Câmpul electric. Suprafețe echipotențiale Obiective Scopul aceste lucrări de laborator este determinarea experimentală a curbelor de echipotențial și reprezentarea linilor de câmp electric în cazul a două

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic. Puterea mecanică.

Lucrul mecanic. Puterea mecanică. 1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Electrotehnică. Conf. dr. ing. ec. Adina RĂCĂŞAN

Electrotehnică. Conf. dr. ing. ec. Adina RĂCĂŞAN Electrotehnică Conf. dr. ing. ec. Adina RĂCĂŞAN http://users.utcluj.ro/~adina/ Facultatea de Inginerie Electrică / Departamentul de Electrotehnică şi Măsurări Tel.: 0264 401 468, Email: Adina.Racasan@et.utcluj.ro

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 2013

ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 2013 ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 8. Un conductor de cupru ( ρ =,7 Ω m) are lungimea de m şi aria secţiunii transversale de mm. Rezistenţa conductorului este: a), Ω; b), Ω; c), 5Ω; d) 5, Ω; e) 7, 5 Ω; f) 4, 7 Ω. l

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Curentul electric stationar

Curentul electric stationar Curentul electric stationar 1 Curentul electric stationar Tensiunea electromotoare. Legea lui Ohm pentru un circuit interg. Regulile lui Kirchhoft. Lucrul si puterea curentului electric continuu 1. Daca

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

ELECTRICITATE SI MAGNETISM

ELECTRICITATE SI MAGNETISM ELECTCTTE S MGNETSM. Sarcina electrica Sarcina electrica (Q sau q) este o marime fizica ce caracterizeaza starea de electrizare a unui corp. Metode de electrizare care conduc la aparitia sarcinii electrice:

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

III. ELECTROMAGNETISMUL

III. ELECTROMAGNETISMUL Alexandru RUSU Spiridon RUSU CURS DE FIZICĂ III. ELECTROMAGNETISMUL Ciclu de prelegeri Chişinău 15 UNIVERSITATEA TEHNICĂ A MOLDOVEI Facultatea Inginerie şi Management în Electronică şi Telecomunicaţii

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

UnităŃile de măsură pentru tensiune, curent şi rezistenńă

UnităŃile de măsură pentru tensiune, curent şi rezistenńă Curentul Un circuit electric este format atunci când este construit un drum prin care electronii se pot deplasa continuu. Această mişcare continuă de electroni prin firele unui circuit poartă numele curent,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei I. Forţa I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei Interacţionăm cu lumea în care trăim o lume în care toate corpurile acţionează cu forţe unele asupra altora! Întrebările indicate prin: * 1 punct

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Curs nr. 1. Teoria Campului Electromagnetic. Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca

Curs nr. 1. Teoria Campului Electromagnetic. Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca Curs nr. 1 Teoria Campului Electromagnetic Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca http://users.utcluj.ro/~lcret/ Despre Curs Scop Familiarizarea studentilor cu notiuni despre electromagnetism Obiective

Διαβάστε περισσότερα

2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE

2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE 2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE CONDENSATOARELOR 2.2. MARCAREA CONDENSATOARELOR MARCARE

Διαβάστε περισσότερα

VERIFICAREA LEGII DE CONSERVARE A SARCINII. GRUPAREA CONDENSATOARELOR ÎN SERIE SI PARALEL

VERIFICAREA LEGII DE CONSERVARE A SARCINII. GRUPAREA CONDENSATOARELOR ÎN SERIE SI PARALEL UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCURESTI CATEDRA DE FIZICĂ LABORATORUL ELECTRICITATE SI MAGNETISM BN 9 VERIFICAREA LEGII DE CONSERVARE A SARCINII. GRUPAREA CONDENSATOARELOR ÎN SERIE SI PARALEL 007 VERIFICAREA

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Studiul câmpului magnetic în exteriorul unui conductor liniar foarte lung parcurs de un curent electric. Verificarea legii lui Biot şi Savart

Studiul câmpului magnetic în exteriorul unui conductor liniar foarte lung parcurs de un curent electric. Verificarea legii lui Biot şi Savart Legea lui Biot şi Savart Studiul câmpului magnetic în exteriorul unui conductor liniar foarte lung parcurs de un curent electric. Verificarea legii lui Biot şi Savart Obiectivul experimentului Măsurarea

Διαβάστε περισσότερα

1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1.

1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1. . (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t.5t (m/s). Să se calculeze: a) dependența de timp a spațiului străbătut

Διαβάστε περισσότερα

Curs 9 FENOMENE MAGNETICE

Curs 9 FENOMENE MAGNETICE Curs 9 FENOMENE MAGNETICE Existenţa proprietăţilor magnetice a fost descoperită încă din antichitate, numele de magnet provenind de la numele unei regiuni din Asia Mică - Magnesia - unde se găseau roci

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar

FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

este sarcina electrică ce traversează secţiunea transversală a conductorului - q S. I.

este sarcina electrică ce traversează secţiunea transversală a conductorului - q S. I. PRODUCRA ŞI UTILIZARA CURNTULUI CONTINUU 1. CURNTUL LCTRIC curentul electric Mişcarea ordonată a purtătorilor de sarcină electrică liberi sub acţiunea unui câmp electric se numeşte curent electric. Obs.

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe

III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe reprezintă totalitatea forțelor care acționează simultan asupra unui corp, Fig. 1. În Fig.

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

II. Dinamica (2) Unde F și F sunt forța de acțiune respectiv de reacțiune, Fig. 1.

II. Dinamica (2) Unde F și F sunt forța de acțiune respectiv de reacțiune, Fig. 1. II. Dinamica 1. Principiile mecanicii clasice (sau principiile mecanicii newtoniene, sau principiile dinamicii). 1.1 Principiul I, (al inerției): Un corp își păstrează starea de repaus relativ sau de mișcare

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul si energia mecanica

Lucrul si energia mecanica Lucrul si energia mecanica 1 Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare: Daca forta este constanta, atunci dl = F dr. L 1 = F r 1 cos α, unde r 1 este modulul

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Cuprins ELECTROSTATICA... 5

Cuprins ELECTROSTATICA... 5 ELECTOTEHNICĂ Cuprins ELECTOSTATICA... 5. Introducere... 5. Sarcina electrică... 6.3 Câmpul electric... 8.4 Potențialul electric....5 Tensiunea electrică... 3.6 Lucrul mecanic în câmpul electrostatic...

Διαβάστε περισσότερα

CURS 8 Capitolul VII. ELECTROSTATICĂ (continuare)

CURS 8 Capitolul VII. ELECTROSTATICĂ (continuare) CUR 8 Capitolul II. ELECTROTATICĂ (continuare) 8.1 Dielectrici în câmp electric Dielectricii (izolatorii) sunt medii în care nu apare curent electric în prezenţa unui câmp electric extern. Cu toate acestea

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα