1. ELECTROMAGNETISM NEA ELECTROSTATICĂ

Transcript

1 1. ELECTROMAGNETISM 1.1. SARCINA ELECTRICĂ, INTERACŢIU- NEA ELECTROSTATICĂ Cuvinte cheie Interacţiune electrostatică Sarcina electrică Principiul conservării sarcinii electrice Sarcina electrică elementară Dacă trecem prin păr un pieptene din material plastic, vom observa că acesta va atrage cu uşurinţă mici bucăţele de hârtie. Punem astfel în evidenţă, pe cale experimentală, existenţa unui tip de interacţiune, denumită interacţiune electrostatică. Sursa interacţiunii electrostatice este sarcina electrică. Sarcina electrică este un mod de existenţă şi de organizare a materiei, care poate fi evidenţiat pe cale experimentală. Interacţiunea electrostatică se manifestă prin existenţa unor forţe de interacţiune între corpurile electrizate. Studiul experimental al sarcinilor electrice ne relevă următoarele proprietăţi ale acestora : Sarcina electrică totală a unui sistem fizic izolat de exterior este constantă în timp. Această proprietate are importanţa unui principiu al fizicii, denumit principiul conservării sarcinii electrice. Sarcina electrică conţinută de un corp electrizat este întotdeauna egală cu un multiplu întreg al sarcinii electrice elementare e. Există două tipuri de sarcini electrice, denumite convenţional sarcini pozitive sau sarcini negative. Sarcina electrică poate fi măsurată, mărimea fizică corespunzătoare se numeşte cantitate de sarcină electrică, are simbolul Q şi unitatea de măsură coulomb. Coulombul se defineşte ca fiind cantitatea de electricitate transportată de un curent electric cu intensitatea de un amper în timp de o secundă : 1C = 1A 1s. Sarcina electrică elementară are valoarea : e = 1, C. 1.. LEGEA LUI COULOMB Dacă se studiază experimental un sistem format din două corpuri electrizate, situate la o distanţă mult mai mare decât dimensiunile lor geometrice, se obţin următoarele informaţii referitoare la forţa de interacţiune : 3

2 ea este proporţională cu cantitatea de electricitate a fiecăruia dintre corpuri +Q F 1, mărimea forţei este invers proporţională cu pătratul distanţei dintre centrele corpurilor +Q 1 r 1, mărimea forţei depinde de natura mediului în care sunt plasate corpurile forţa are direcţia dreptei ce uneşte centrele corpurilor forţa este de atracţie dacă sarcinile corpurilor au semne opuse, sau de respingere în caz contrar Toate aceste proprietăţi pot fi reprezentate prin următoarea relaţie matematică : F1, 1 = k qq r1, Legea lui Coulomb 1, r r1, Constanta de proporţionalitate k depinde de natura mediului în care sunt plasate corpurile. În Sistemul Internaţional constanta de proporţionalitate are forma : k = 1 4πε unde ε se numeşte permitivitatea electrică absolută a mediului. Permitivitatea electrică se măsoară în F/m (farad pe metru). Permitivitatea electrică absolută a vidului are valoarea : ε o = 8,856 F/m Un mod uzual de a exprima permitivitatea electrică a unui mediu este acela de a arăta de câte ori este aceasta mai mare decât permitivitatea vidului, conform relaţiei: ε = ε r ε o unde ε r se numeşte permitivitate electrică relativă a mediului considerat INTENSITATEA CÂMPULUI ELECTRIC Să ne imaginăm următorul experiment : aducem într-o zonă vidă a spaţiului un corp electrizat şi observăm, în acest caz, că asupra corpului nu acţionează forţe electrice. dacă aducem în apropiere un al doilea corp electrizat, vedem că de această dată asupra corpurilor se exercită forţe electrice, deşi corpurile nu vin în contact direct. Concluzia este că : Prezenţa sarcinii electrice într-un punct din spaţiu, determină modificarea proprietăţilor fizice ale spaţiului înconjurător. 4

3 Spaţiul cu proprietăţi fizice modificate din preajma corpurilor încărcate Cuvinte cheie electric a primit denumirea de câmp electric, reprezentând şi el o formă de existen- Câmp electric Intensitatea câmpului electric ţă a materiei. Experimentul descris anterior oferă şi o soluţie în ceea ce priveşte modalitatea de a măsura câmpul electric : măsurăm mai întâi forţa care acţionează asupra celui de-al doilea corp electrizat (denumit corp de probă) împărţim apoi valoarea forţei la cantitatea de electricitate a corpului de probă. Definim astfel o mărime fizică E vectorială, independentă de corpul de probă, care caracterizează câmpul electric generat de un corp electrizat într-un r punct al mediului înconjurător. Această +Q mărime fizică se numeşte intensitatea câmpului electric, se notează cu simbolul E şi are relaţia de definiţie: F E r = () q proba Adică : intensitatea câmpului electric într-un punct din spaţiu este mărimea fizică vectorială numeric egală cu forţa ce acţionează asupra unui corp de probă cu sarcină electrică egală cu unitatea, adus în acel punct. În Sistemul Internaţional intensitatea câmpului electric se măsoară în volt pe metru : <E> SI = V/m. Reprezentarea grafică a câmpului electric se face utilizând liniile de câmp. Acestea se definesc după cum urmează : sunt tangente în fiecare punct la vectorul intensitatea câmpului electric sunt orientate în acelaşi sens cu vectorul intensitate numărul de linii de câmp trasate pe unitatea de suprafaţă este proporţional cu valoarea intensităţii câmpului electric INTENSITATEA CÂMPULUI ELECTRIC AL SARCINII PUNCTIFORME Dacă dimensiunile geometrice ale corpului electrizat sunt foarte mici în comparaţie cu distanţa de la care observăm câmpul său electric, corpul poate fi aproximat cu un punct material, denumit sarcină electrică punctiformă. Fie o sarcină electrică punctiformă q p având vectorul de poziţie r şi un punct din spaţiu cu vectorul de poziţie r. Dacă aducem în acest al doilea punct o sarcină de 5

4 probă punctiformă q, putem scrie, conform legii lui Coulomb, expresia forţei ce acţionează asupra sarcinii de probă : F proba = 1 qq p r rp q 4πε r r r r p p r p -r r p Utilizând definiţia intensităţii câmpului electric r rezultă : E (r) Fproba 1 q r rp E () r = = q 4πε r r p r rp Raportu l E/E în funcţie de raportu l d/d Aceasta este expresia vectorului intensitatea câmpului electric al unei sarcini electrice punctiforme. Un asemenea tip de câmp este denumit câmp cu simetrie radială deoarece valoarea intensităţii câmpului: 1 q E( r ) = 4πε r r depinde doar de distanţa de la sarcina q la punctul considerat, şi nu de orientarea acestei distanţe: E(r) = E( r-r o ) = E(d) Rezultă de aici că în toate punctele unei suprafeţe sferice, concentrice cu sarcina q, intensitatea câmpului electric are aceeaşi valoare numerică. În plus, vectorul intensitate este orientat paralel cu raza sferei. Reprezentarea prin linii de câmp are aspectul unui număr de drepte ce se intersectează în punctul în care se află sarcina punctiformă. Sensul liniilor de câmp este orientat spre exterior dacă sarcina q este pozitivă, respectiv spre interior în caz contrar. Intensitatea câmpului electric scade invers proporţional cu pătratul distanţei până la sarcina electrică care-l generează DISTRIBUŢII DE SARCINĂ ELECTRICĂ Cuvinte cheie Distribuţii discrete de sarcină Distribuţii continue de sarcină Să ne imaginăm un sistem format din două sfere electrizate, aşezate la o distanţă oarecare. Sarcina electrică a fiecărei sfere este un multiplu al sarcinii elementare. Deoarece valoarea sarcinii elementare este extrem de mică în comparaţie cu sarcina electrică care poate fi pusă în evidenţă prin metode experimentale obişnuite, rezultă că sarcinile totale ale sferelor sunt constituite dintr-un număr imens de sarcini electrice elementare. p p 6

5 Astfel, dacă o sarcină electrică de 1,6 r-r µc s-ar distribui uniform într-un volum de q M 1 m 3, fiecare dintre cei un miliard de milimetri cubi ai acestui volum ar conţine câ- r r r-r 1 te 1 de sarcini electrice elementare. În O r 1 aceste condiţii putem descrie repartizarea q 1 sarcinii printr-o funcţie matematică continuă, deşi din punct de vedere microscopic repartizarea sarcinii se face discontinuu. Vorbim în acest caz de o distribuţie continuă de sarcină electrică. Distribuţiile continue de sarcină sunt caracterizate de mărimea fizică scalară denumită densitate de sarcină electrică. Relaţia de definiţie a densităţii de sarcină electrică este următoarea : dq ρ() r = dv Densitatea volumică de sarcină este mărimea fizică scalară numeric egală cu cantitatea de electricitate conţinută în unitatea de volum. Unitatea de măsură a densităţii volumice de sarcină se numeşte C/m 3 (coulomb pe metru cub). Revenind cu discuţia la sistemul celor două sfere electrizate, ne putem pune problema de a determina intensitatea câmpului electric într-un punct M, situat la distanţe mari faţă de cele două sfere. În acest caz putem considera cele două sfere ca două corpuri electrizate punctiforme, ocupând poziţii bine determinate în spaţiu. Această aproximaţie a realităţii nu mai corespunde unei distribuţii continue de sarcină, ci unei distribuţii discrete de sarcină electrică, care nu mai poate fi descrisă de o funcţie matematică continuă. Calculul intensităţii câmpului electric se poate face în modul următor : presupunem că aducem în punctul M o sarcină de probă asupra acesteia vor acţiona simultan două forţe coulombiene : 1 qq1 r r1 F1 = p 4πε r r r r F 1 = 4πε qq p 1 r r rezultanta acestor forţe este : F = F 1 + F intensitatea se calculează, conform definiţiei, ca raportul dintre forţa electrică rezultantă şi cantitatea de electricitate conţinută de sarcina de probă : Er ( ) F 1 q1 = = q 4πε r r p 1 r r 1 r r r r1 1 q + r r 4πε r r Comparând expresia obţinută cu expresia intensităţii câmpului electric generat de o sarcină punctiformă, obţinem : E = E 1 + E Generalizând pentru o distribuţie discretă, formată din n sarcini punctiforme, se găseşte relaţia: 7 1 r r r r

6 E n n i i= 1 i= 1 4πε r r r i () r = Ei = 1 q r ri r Această expresie reprezintă formularea matematică a teoremei de superpoziţie. care se enunţă astfel : într-un punct din spaţiu, aflat în vecinătatea unei distribuţii de sarcini electrice discrete, intensitatea câmpului electric este dată de suma vectorială a intensităţilor câmpurilor electrice generate de fiecare dintre sarcinile distribuţiei în acel punct. r volum) dv V dq r o - r r o M de i Să discutăm acum modalitatea prin care se poate afla intensitatea câmpului electric al unei distribuţii continue de sarcină. Vom considera pentru aceasta un corp macroscopic, electrizat, caracterizat de densitatea volumică de sarcină ρ(r). În continuare procedăm astfel: împărţim volumul corpului electrizat în părţi de mici dimensiuni (elemente de calculăm sarcina electrică conţinută de un element de volum : dq = ρ(r) dv aflăm intensitatea câmpului electric individual pe care-l determină în punctul M un anumit element de volum : 1 dq r r der ( ) = 4πε r r r r adunăm contribuţiile tuturor elementelor de volum : 1 ρ ( ) ( r) r r E r = dv 4πε r r r r V Cu această relaţie putem calcula, în principiu, intensitatea câmpului electric în orice punct din vecinătatea oricărui corp electrizat FLUXUL INTENSITĂŢII CÂMPULUI ELECTRIC, TEOREMA LUI GAUSS S' S Să considerăm un câmp electric reprezentat prin linii de câmp şi două suprafeţe S şi S' (ca în figura alăturată). Ce au în comun cele două suprafeţe? După cum se poate constata nici mărimea suprafeţelor, nici orientarea lor nu sunt asemănătoare, dar, în schimb, ele sunt traversate de acelaşi număr de linii de 8

7 câmp. Spunem în acest caz că fluxul intensităţii câmpului electric prin cele două suprafeţe este egal. Ca reprezentare intuitivă fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă dată este egal cu numărul de linii de câmp ce traversează suprafaţa. Este evident că acest număr este cu atât mai mare cu cât : numărul de linii de câmp aflate în zona suprafeţei este mai mare (adică cu cât intensitatea câmpului electric este mai mare) mărimea suprafeţei este mai mare suprafaţa este astfel aşezată încât să intercepteze un număr mai mare de linii de câmp Putem sintetiza aceste observaţii în următoarea ds α formulă matematică : E dψ = E ds cos(α) unde : dψ este fluxul intensităţii câmpului electric prin suprafaţa elementară ds, suprafaţă suficient de mică pentru a putea considera că intensitatea câmpului electric are aceeaşi valoare şi formează acelaşi unghi cu normala la suprafaţă în toate punctele acesteia ds este aria suprafeţei considerate α este unghiul dintre normala la suprafaţă şi vectorul intensitatea câmpului electric Un mod mai compact de a scrie relaţia E E E ds E E precedentă este următorul : dψ = E ds adică : fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă elementară este dat de produsul scalar dintre vectorul intensitatea câmpului electric şi vectorul suprafaţă. Pentru a calcula fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă oarecare, este suficient s-o împărţim în mici suprafeţe elementare, să calculăm fluxul prin fiecare dintre acestea şi să însumăm rezultatele : Ψ= E ds S Fie sarcina q, aflată în interiorul suprafeţei închise S. Obţinem : q Teorema lui Gauss dψ= E ds= r ds cos α 4πε Cuvinte cheie 9

8 ds α ds E Deoarece, prin definiţie, elementul de unghi solid este dat de relaţia : dscosα dω= r putem scrie : q α E q d Ψ = dω 4πε E 1 Prin integrare obţinem : dω 4π ds 1 α 1 Ψ = Ω = q q q q d 4π = 4πε 4πε ε Fie acum sarcina q plasată în exteriorul suprafeţei închise S. Avem : dψ= E1 ds1 + E ds = E1ds1cosα1 + Eds cosα sau, ţinând cont că în definiţia elementului de unghi solid intervine suplementul unghiului α 1 : dψ = E ds cos π α + E ds cosα ( ) q q dψ = d Ω+ d Ω= 4πε 4πε Să considerăm acum o distribuţie de sarcini discrete q 1, q,...q n. Conform teoremei de superpoziţie : ( ) = E( r) Er n i i = 1 În acest caz formula fluxului intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă elementară este : ( r) = dψi ( r) () dψ = E ds= E r ds dψ n i = 1 Integrând pe o suprafaţă închisă, obţinem: Ψ = n i = 1 n Ψi i= 1 Deoarece Ψ i = q i /ε atunci când sarcina este închisă în interiorul suprafeţei şi Ψ i = atunci când sarcina este în exterior, rezultă : q int,j qint Ψ = = ε ε Obţinem astfel expresia matematică a legii lui Gauss. j În cazul în care distribuţia de sarcină este continuă, putem exprima sarcina aflată în interiorul suprafeţei printr-o integrală: i 1

9 S S V V S V S dv () r V q int V ( ) = ρ r d V Atribuind densităţii superficiale de sarcină o valoare nulă în afara volumului corpului electrizat, putem extinde integrarea la întreg volumul mărginit de suprafaţa S : q = int ρ ( r ) d V V S Utilizând şi relaţia matematică de definiţie a fluxului intensităţii câmpului electric, putem rescrie teorema lui Gauss sub forma integrală : ρ E ds = d Teorema lui Gauss sub formă integrală ε Enunţul teoremei este următorul : Fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă închisă este direct proporţional cu sarcina electrică aflată în interiorul suprafeţei, depinde de proprietăţile electrice ale mediului, dar nu depinde nici de forma şi nici de mărimea suprafeţei închise. Făcând apel la teorema Gauss-Ostrogradski (sau relaţia flux-divergenţă), putem scrie: ( ) E ds = E dv S V S Înlocuind în expresia teoremei lui Gauss, se obţine : ρ( r) E dv = ε sau : () r V S ρ E () r = Teorema lui Gauss sub formă locală ε Această relaţie reprezintă expresia matematică a teoremei lui Gauss sub formă locală, enunţul fiind următorul : Divergenţa intensităţii câmpului electric este direct proporţională cu densitatea volumică de sarcină Câmpul electric al unui conductor liniar, foarte lung, încărcat electric Considerăm un conductor electric rectiliniu, foarte lung, încărcat cu sarcină electrică. 11

10 Distribuţia de sarcină este descrisă prin densitatea liniară de sarcină, care are valoare constantă de-a lungul conductorului. Ne propunem să determinăm intensitatea câmpului electric într-un punct situat la distanţa l faţă de conductor. Conductorul fiind foarte lung, putem face următoarele n consideraţii, bazate pe simetria sistemului de S 1 E sarcini: valoarea intensităţii câmpului electric este aceeaşi h l în toate punctele egal depărtate de conductor : n E(r) = E(l) E S vectorul intensitatea câmpului electric este radial (deci perpendicular pe conductor) S Dacă utilizăm aceste proprietăţi de simetrie, putem rezolva problema pe care ne-am propus-o cu ajutorul teoremei lui Gauss. Vom proceda astfel : mai întâi este necesar să ne stabilim o suprafaţă închisă S pentru calcularea fluxului intensităţii câmpului electric : Ψ= E ds = E nds ( S) ( S) fluxul prin orice suprafaţă plană, perpendiculară pe conductor, este nul, deoarece : E n = E cos9 = fluxul printr-o suprafaţă cilindrică, coaxială cu cilindrul, de înălţime h, poate fi calculat astfel : Scil ( ) sin 9 o ( ) E n ds = E l ds = E l ds Scil cum toate punctele acestei suprafeţe cilindrice sunt egal depărtate faţă de conductorul liniar, intensitatea câmpului electric este constantă de-a lungul suprafeţei şi deci : Scil ( ) ( ) Scil E nds = E l ds = E l π lh Scil suprafaţa închisă o vom considera ca fiind formată din suprafaţa cilindrică la care ataşăm două suprafeţe plane (S 1 şi S ) prin care fluxul este nul : E ds= E ds+ E ds+ E ds= πlhe l ( S) ( Scil ) ( S1) ( S ) în al doilea rând trebuie calculată sarcina aflată în interiorul suprafeţei închise deoarece distribuţia de sarcină este uniformă, rezultă : q = λh potrivit teoremei lui Gauss : rezultând de aici : Ψ= q ε ( ) 1

11 El () = λ πεl Concluzia este aceea că intensitatea câmpului electric generat de un conductor liniar, foarte lung, este proporţională cu cantitatea de sarcină electrică distribuită pe unitatea de lungime a conductorului, invers proporţională cu distanţa până la conductor şi depinde de natura mediului în care se găseşte conductorul Câmpul electric al unei suprafeţe plane, de mari dimensiuni, încărcată electric Fie o suprafaţă plană, de mari dimensiuni, încărcată electric. Distribuţia sarcinii electrice este descrisă prin densitatea superficială de sarcină σ, care are valoare constantă în toate punctele suprafeţei. Ne propunem să determinăm intensitatea câmpului electric într-un punct situat n E la S S E n n E h h distanţa h faţă de suprafaţă. Se pot face următoarele consideraţii legate de simetria distribuţiei de sarcină : valoarea intensităţii câmpului electric este aceeaşi în toate punctele egal depărtate de suprafaţă : E(r) = E(h) vectorul intensitatea câmpului electric este orientat perpendicular pe suprafaţă În aceste condiţii : fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă plană S, paralelă cu suprafaţa încărcată şi situată la distanţa h faţă de aceasta este : ( ) E ds= E nds= E h cos o ds= E h ds= E h S ( S) ( S) ( S) ( S) fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă cilindrică, perpendiculară pe suprafaţa încărcată, este : ( ) E ds= E nds= E cos 9 ds= ( Scil ) ( Scil ) ( Scil ) dacă considerăm suprafaţa închisă formată din suprafaţa cilindrică mărginită de două discuri plane, paralele cu suprafaţa încărcată, aşezate simetric faţă de aceasta, de suprafaţă S fiecare, obţinem : Ψ= E ds= E ds+ E nds= E h S ( S) ( Scil ) ( S ) sarcina electrică conţinută în interiorul acestei suprafeţe este : o ( ) ( ) 13

12 q = σ S conform teoremei lui Gauss rezultă : sau : ( ) EhS Eh ( ) S = σ ε σ q = = ε εs Intensitatea câmpului electric generat de o suprafaţă plană de mari dimensiuni este direct proporţională cu cantitatea de sarcină electrică distribuită pe unitatea de suprafaţă, depinde de natura mediului înconjurător, dar nu depinde de distanţa până la suprafaţa încărcată Câmpul electric al unei sfere electrizate Considerăm o sferă de rază R încărcată electric. Distribuţia sarcinii electrice o caracterizăm prin densitatea volumică de sarcină : nr e E ext q q ρ = = 3 V 4πR 3 Dorim să determinăm expresia intensităţii S câmpului electric în funcţie de distanţa r până la int centrul sferei, atât în punctele cuprinse în interiorul nr i E int R S ext ei, cât şi în cele aflate în exterior. Simetria distribuţiei de sarcină ne face să remarcăm următoarele aspecte: direcţia liniilor de câmp este radială valoarea intensităţii câmpului electric depinde doar de distanţa până la centrul sferei, nu şi de orientarea acesteia : E(r) = E(r) Considerând suprafaţa sferică S int, de rază r < R, concentrică cu sfera încărcată, putem calcula fluxul intensităţii câmpului electric astfel : Ψ= E ds = E ds = E ds = E int int int int Sint Sint Sint Sarcina electrică conţinută în interiorul suprafeţei S int este : 3 r q r q int = 4π = 4π ρ R = q r 3 3 4π 3 R 3 Conform teoremei lui Gauss, rezultă : πr 14

13 sau: E r q r int 4 1 π = ε R qr Eint = 4 3 πεr 3 3 adică: în interiorul sferei electrizate uniform, intensitatea câmpului electric creşte liniar cu distanţa până la centrul sferei, fiind nulă în centru şi maximă pe suprafaţa acesteia. Dacă luăm acum suprafaţa sferică S ext, de rază r > R, de asemenea concentrică cu sfera electrizată, obţinem : Ψ= E ext d s = Eext 4π r Sext Obţinem şi q ext = q, deoarece în interiorul sferei S ext este conţinută întreaga sarcină electrică. Rezultă conform teoremei lui Gauss : q Eext 4πr = ε sau : q Eext = 4 πεr adică: câmpul electric generat de o sferă uniform electrizată în spaţiul ce o înconjoară nu poate fi deosebit de câmpul electric al unei sarcini electrice punctiforme, încărcată cu aceeaşi cantitate de electricitate ca şi sfera, plasată în centrul sferei. intensitatea campului raportul r/r Reprezentarea grafică a intensităţii câmpului electric al sferei uniform electrizate în funcţie de distanţa până la centrul acesteia, arată că valoarea câmpului este maximă în imediata vecinătate a suprafeţei sferei. Expresia vectorială a intensităţii câmpului este: q r r R 3 E ( r ) = 4πεR q r r > R 3 4πεr 15

14 1.7. LUCRUL MECANIC ÎN CÂMPUL ELEC- TRIC AL UNEI SARCINI PUNCTIFORME ENERGIA POTENŢIALĂ A UNUI SISTEM DE DOUĂ SARCINI PUNCTIFORME Ne propunem să studiem un sistem de două sarcini electrice punctiforme : q şi q'. Sarcina q este fixă, în timp ce sarcina q' se deplasează de-a lungul traiectoriei C, din punctul M în punctul N. q A r A' F q r A r A' r A dr q' A' α F Fie un punct oarecare A al traiectoriei C, având vectorul de poziţie r. Forţa electrostatică ce acţionează asupra sarcinii q', în punctul A este : qq' r F = 4πεr r Putem observa cu uşurinţă că atât valoarea, cât şi orientarea forţei F variază de-a lungul curbei C. Dorim să calculăm lucrul mecanic pe care-l face forţa electrostatică la deplasarea sarcinii q' din M în N. Deoarece forţa F este variabilă este necesar să împărţim traiectoria în porţiuni elementare, astfel încât, de-a lungul lor, să putem folosi aproximaţiile : fiecare porţiune elementară poate fi considerată un segment de dreaptă forţa electrostatică este constantă ca valoare sau ca orientare pe fiecare porţiune elementară În aceste condiţii lucrul mecanic elementar efectuat de forţa F, în cursul deplasării AA' este : dl = F( r) AA' cos α = F( r) dr sau: qq' r dl = dr 4πεr r Observăm că : 16

15 r = r r ( ) ( ) d r = d r r = r dr+ dr r = r dr ( r ) r dr 1 d 1 1 = = d d 3 3 r r ( r ) 1 = r Rezultă : qq' 1 dl = d 4πε r Lucrul mecanic total se calculează prin însumarea valorilor obţinute pe toate porţiunile elementare : sau : L MN r r N = L MN M qq' 1 qq' 1 d = 4πε r 4πε r qq' 1 = 4πε rm 1 r Lucrul mecanic efectuat de forţa electrostatică la deplasarea relativă a două sarcini electrice punctiforme este proporţional cu cantitatea de electricitate a fiecăreia dintre sarcini, cu diferenţa între inversele distanţelor, iniţială şi finală, dintre sarcini, depinzând totodată de proprietăţile electrice ale mediului în care se află sarcinile. Lucrul mecanic nu depinde nici de forma traiectoriei urmate de sarcini, nici de legea de mişcare a acestora pe traiectorie. Această ultimă proprietate a lucrului mecanic ne arată că forţa electrostatică este o forţă conservativă, iar câmpul electrostatic un câmp conservativ. După cum se ştie, într-un câmp conservativ este posibilă definirea unei energii potenţiale, a cărei valoare caracterizează sistemele de corpuri care interacţionează prin respectiva forţă conservativă. Se ştie de asemenea că în general variaţia de energie potenţială este definită ca lucrul mecanic, luat cu semn schimbat, efectuat la schimbarea configuraţiei sistemului de corpuri, de către forţele conservative prin care interacţionează acestea : W final W initial N = L Dacă aplicăm această definiţie sistemului format din sarcinile q şi q', rezultă : qq' 1 1 WN WM = 4πε rm rn r r N M sau : W N qq' 4πεr N = W M qq' 4πεr M 17

16 Cum cele două configuraţii, în care sarcinile sunt separate prin distanţele r N, respectiv r M, sunt configuraţii oarecare, rezultă : qq' W N = const 4πε r sau : qq' W N = + const 4πε r Energia potenţială a unui sistem format din două sarcini electrice punctiforme este proporţională cu cantitatea de electricitate a fiecăreia dintre ele, invers proporţională cu distanţa dintre ele şi depinde de proprietăţile electrice ale mediului, fiind definită până la o constantă aditivă arbitrară. Prin operaţia denumită etalonare se poate fixa o valoare constantei arbitrare. Astfel considerând că energia potenţială a sistemului de sarcini este nulă dacă distanţa dintre ele este foarte mare : W( ) = rezultă : qq' Energia potenţială a unui sistem de două W () r = sarcini electrice punctiforme 4πε r r q r r1 Dacă vectorii de poziţie ai celor două sarcini sunt r 1, respectiv r, obţinem : qq' W 1, = 4πεr r 1 Mai putem observa că : energia potenţială a unui sistem de sarcini este o măsură a lucrului mecanic făcut pentru a stabili configuraţia respectivă, sarcinile aflându-se iniţial la distanţă foarte mare una de alta q' energia potenţială este o mărime care descrie întreg sistemul de sarcini împreună cu mediul în care se găsesc acestea, şi nu doar una sau alta dintre sarcini POTENŢIALUL ELECTRIC Să studiem o distribuţie de sarcini electrice. Putem face afirmaţiile : distribuţia de sarcini determină existenţa unui câmp electrostatic câmpul electrostatic determină forţa ce acţionează asupra unei sarcini de probă, adusă într-un punct oarecare al câmpului această forţă face lucru mecanic la aducerea sarcinii în punctul considerat 18

17 lucrul mecanic efectuat nu depinde de traiectoria urmată şi de legea de mişcare a sarcinii de probă, dar depinde de poziţia iniţială şi finală a acesteia în raport cu distribuţia de sarcină considerată prin urmare, lucrul mecanic efectuat este doar o măsură a interacţiunii dintre sarcina de probă şi sarcinile electrice din sistem, conform relaţiei : sau : L MN ( r ) N ( r ) () r ( r ) = F dr = q L M MN ( r ) N ( r ) N ( r ) M () = q p E r dacă facem raportul dintre lucrul mecanic şi cantitatea de electricitate a sarcinii de probă, se obţine o mărime care caracterizează doar câmpul electrostatic al distribuţiei de sarcini şi se numeşte tensiune electrică : U MN M ( r ) ( r ) p N LMN = = E r q p Tensiunea electrică între două puncte ale unui câmp electrostatic este mărimea fizică scalară numeric egală cu lucrul mecanic efectuat la deplasarea unităţii de sarcină electrică între cele două puncte ale câmpului. În Sistemul Internaţional de unităţi de măsură unitatea de măsură a tensiunii electrice este denumită volt : 1 V = 1 J/1 C (volt = joule/coulomb) Să alegem un punct de referinţă R. Pentru că lucrul mecanic nu depinde de forma drumului urmat de N corpul de probă, rezultă că : L MAN = L MRN = L MR + L RN Inversând sensul deplasării corpului, lucrul mecanic îşi A modifică semnul : R L MR = -L RM Rezultă : M L MAN = -L RM + L RN sau : U MN = L MAN /q p = L RN /q p - L RM /q p Să considerăm acum că punctul de referinţă R se află la distanţă foarte mare faţă de distribuţia de sarcini. În acest caz lucrul mecanic L RN sau L RM reprezintă lucrul mecanic necesar constituirii şi aducerii într-o anumită configuraţie a sistemului fizic format din distribuţia de sarcini şi corpul de probă. Cu alte cuvinte, acest lucru mecanic reprezintă energia potenţială a acestui sistem fizic, luată cu semn schimbat : L RN = -W N ; L RM = -W M M () E r dr () dr dr 19

18 Rezultă : U MN W = q M p W q Putem da următoarea definiţie : Se numeşte potenţial electric generat de o distribuţie de sarcini într-un punct din spaţiu, mărimea fizică scalară numeric egală cu energia potenţială a sistemului format din distribuţia de sarcini şi unitatea de sarcină electrică plasată în acel punct : W V r = Conform acestei definiţii : sau : V M () q p U MN = V M - V N ( r ) N ( r ) () VN = E r Unitatea de măsură a potenţialului electric este aceeaşi cu unitatea de măsură a tensiunii electrice. Vom discuta în cele ce urmează câteva cazuri particulare de distribuţii de sarcină electrică. M N p dr Potenţialul sarcinii punctiforme q r O r-r r M Fie sarcina punctiformă q, caracterizată de vectorul de poziţie r. Fie un punct M, cu vectorul de poziţie r. Dacă aducem în punctul M o sarcină de probă q p, energia potenţială a sistemului ce se formează este : qq p W = 4πε r r Conform definiţiei potenţialului, se poate scrie : V ( r; q, r ) = W q p = q 4πε r r Potenţialul electric al unei sarcini punctiforme Rezultă de aici că potenţialul sarcinii q are o simetrie sferică, adică toate punctele din spaţiu situate la aceeaşi distanţă de sarcina q au acelaşi potenţial. Locul geometric al acestor puncte (o sferă de rază egală cu distanţa până la sarcină) formează aşa-numita suprafaţă echipotenţială.

19 1.8.. Potenţialul distribuţiei discrete de sarcină r O q 1 r-r 1 r M r-r q Fie o distribuţie discretă de sarcină, constituită din sarcinile punctiforme q 1 şi q (având vectorii de poziţie r 1, respectiv r ). Fie şi punctul M cu vectorul de poziţie r. Aducând o sarcină de probă q p de la infinit în punctul M, se face un lucru mecanic : ( r ) M L = q ( ) p () E r dr Conform teoremei de superpoziţie a intensităţii câmpului electric putem scrie : E(r) = E 1 (r) + E (r) Deci : ( r ) M ( ) ( r ) M p E1() r dr + q pe + L L = q ( ) () r dr = L1 Observăm că lucrul mecanic total este suma dintre lucrul mecanic efectuat în câmpul generat de q 1 (independent de prezenţa sarcinii q ) şi lucrul mecanic în câmpul lui q (de asemenea independent de prezenţa lui q 1 ). Deoarece sarcina de probă este adusă dintr-un punct de referinţă situat la infinit, rezultă că relaţia anterioară este echivalentă cu următoarea relaţie între energiile potenţiale : -W = -W 1 - W Împărţind la cantitatea de electricitate a sarcinii de probă obţinem : V( r; q1, q, r1, r) = V1( r; q1, r1) + V( r; q, r ) Dacă generalizăm pentru un sistem format din n sarcini discrete, obţinem : V r; q,q... q, r, r... r = V r; q, r + V r; q, r V r; q, r ( ) ( ) ( ) ( 1 n 1 V n ( r; q,q... q, r, r... r ) 1 1 n n = q n i i= 1 4πεri r Potenţialul electric generat de o distribuţie discretă de sarcini electrice într-un punct al spaţiului este dat de suma algebrică a potenţialelor electrice pe care le generează fiecare dintre sarcinile distribuţiei, independent de prezenţa celorlalte, în acel punct. Acest enunţ, ca şi formula matematică corespunzătoare, poartă denumirea de teorema de superpoziţie a potenţialului electric. n n n ) 1

20 Potenţialul distribuţiei continue de sarcină Pentru a calcula potenţialul unei distribuţii continue de sarcini, procedăm în modul ur- dv, dq mător: împărţim corpul electrizat în elemente de r-r volum r calculăm sarcina electrică a fiecărui element de volum V M r dq = ρ(r)dv calculăm potenţialul generat de fiecare element de volum în punctul M : dq( r) dv ( r ) = 4πε r r adunăm, conform teoremei de superpoziţie, potenţialele date de toate elementele de volum: ρ( r) V ( r ) = dv 4πε r r ( V ) Relaţia anterioară exprimă potenţialul unei distribuţii continue de sarcină LEGĂTURA ÎNTRE VECTORUL INTEN- SITATEA CÂMPULUI ELECTRIC ŞI POTENŢIA- LUL ELECTRIC, PROBLEMA GENERALĂ A ELECTROSTATICII Potenţialul electric V este o mărime care poate fi utilizată pentru a descrie cantitativ câmpul electric, la fel ca şi vectorul intensitatea câmpului electric E. Evident, cele două mărimi fizice nu pot fi independente, deoarece se referă la acelaşi fenomen fizic. Am arătat deja că : V M V N = ( r ) N ( r ) Această relaţie poartă numele de relaţia integrală de legătură între intensitatea câmpului electric şi potenţialul electric. Diferenţa de potenţial între două puncte ele unui câmp electric este numeric egală cu circulaţia intensităţii câmpului electric pe curba care uneşte cele două puncte, luată cu semn schimbat. M E () r dr

21 Pe de altă parte, mai putem observa că : deoarece forţele electrostatice sunt forţe conservative, potenţialul electric este din punct de vedere matematic o funcţie care admite diferenţială totală exactă : V V = dv( r ) M N cu : dv ( r ) = dv ( x, V y, z) = x dx + V y dy + V z dz gradientul potenţialului este definit prin relaţia : V V V V ( r) = i + j + k x y z produsul scalar dintre gradientul potenţialului şi diferenţiala vectorului de poziţie are expresia : V( r ) d r V V = + + ( + + ) = + + i V V dx dy dz x j y k z i j k x dx V y dy V z dz în aceste condiţii putem scrie : ( rn ) VM VN = V( r) dr ( rm ) cu ajutorul relaţiei integrale între intensitatea câmpului electric şi potenţial, rezultă : ( rn ) ( Er ( ) + V( r) ) dr= ( rm ) sau : Er ( ) = V ( r) Această formulă este numită relaţia diferenţială sau locală de legătură între intensitatea câmpului electric şi potenţial. Putem enunţa : Vectorul intensitatea câmpului electric este egal cu gradientul potenţialului electric, luat cu semn schimbat. În concluzie : Dacă cunoaştem expresia intensităţii câmpului electric, putem afla prin integrare diferenţa de potenţial între oricare două puncte ale câmpului, iar dacă cunoaştem expresia potenţialului electric, putem, calculându-i gradientul, găsi intensitatea câmpului electric. Aşa cum am arătat anterior, legea lui Coulomb are două caracteristici principale : Forţa de interacţiune între două sarcini punctiforme este invers proporţională cu pătratul distanţei dintre ele V V N M 3

22 Forţa de interacţiune este orientată de-a lungul dreptei ce uneşte sarcinile Consecinţele acestor două proprietăţi sunt : Fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă închisă este proporţional cu cantitatea de electricitate conţinută în interiorul suprafeţei : ρ( r) Er ( ) = ε Forţele electrostatice sunt forţe conservative (câmpul electrostatic are caracter potenţial) : Er ( ) = V ( r) Dacă înlocuim în prima ecuaţie intensitatea câmpului electric prin gradientul potenţialului, obţinem : ρ( r) V V V = ( ( r) ) = i + j + k i j k ε V + V + V V x y z x y z sau : Utilizând notaţia : obţinem : ρ( ) ε r V V V = x y z + + = (operatorul lui Laplace) x y z ( r) ρ V = - ε Această ecuaţie este numită ecuaţia lui Poisson şi este o consecinţă a ambelor proprietăţi ale forţei coulombiene. Calculând rotorul intensităţii câmpului electric obţinem : i j k E = ( V ) = x y z V V V x y z sau: V V V V V V E= i j k = yz zy zx xz xy yx (derivatele mixte de ordinul al doilea au valori egale indiferent de ordinea de derivare deoarece potenţialul electric admite diferenţială totală exactă). 4

23 Rezultă că perechea de proprietăţi ale forţei coulombiene se regăseşte într-o pereche de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de ordinul întâi, care privesc vectorul intensitatea câmpului electric : ρ( r ) E = ε E = sau într-o singură ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea, care se referă la potenţialul electric : ( ) V=- ρ r ε Rezolvând primele două ecuaţii sau pe cea de-a treia, în condiţiile în care cunoaştem repartizarea sarcinii electrice în interiorul domeniului de integrare, precum şi valorile câmpului electric sau ale potenţialului, ca şi primele derivate ale acestora, pe frontiera domeniului de integrare, obţinem soluţia problemei generale a electrostaticii. Teoria matematică ne asigură că această soluţie există şi este unică DIPOLUL ELECTRIC : POTENŢIALUL ŞI INTENSITATEA CÂMPULUI Dipolul electric este un sistem format din două sarcini electrice punctiforme q şi -q, aflate la o distanţă l, mult mai mică decât distanţa r de la care facem observarea. Potenţialul electric în punctul M se poate scrie conform te- z M r + oremei de superpoziţie astfel : q r q q V ( r ) = θ 4πεr+ 4πεr O y sau : q r r+ V l/ r - ( r ) = 4πε rr + x dacă notăm cu θ unghiul -q făcut de raza vectoare r cu axa Oz, obţinem : 5

24 + r l l = r r + cosθ o ( θ) l l r = r r + cos 18 sau : r+ r = lrcosθ deoarece l << r putem face aproximaţiile : r r = r r r + r r r r ( )( ) ( ) rr + r rezultând : q lcosθ V ( r ) = 4 πε r considerând distanţa l dintre sarcini ca un vector orientat de la sarcina negativă la sarcina pozitivă, observăm că : r l = rl cosθ deci : q l r V ( r) = 3 4πε r Produsul dintre sarcina q şi vectorul l a primit numele de moment electric dipolar, fiind notat cu p : p = ql Rezultă : p r V () r = 3 4πεr Se observă că potenţialul dipolului electric este caracterizat de o simetrie axială, în jurul axei dipolului. De asemenea în toate punctele unui plan perpendicular pe axa dipolului, trecând prin centrul acestuia, potenţialul electric este nul (p r = ). Se mai poate remarca că potenţialul de dipol fiind proporţional cu 1/r este mult mai slab decât potenţialul sarcinii punctiforme. Pentru a calcula intensitatea câmpului electric al dipolului utilizăm relaţia : V V V E= V = i + j + k x y z putem scrie : pxx + py y + pz z V = 3 4πε( x + y + z ) derivata parţială în raport cu x este : 6

25 V x = 4πε p x ( x + y + z ) 3 ( p x + p y + p z) 3 x 4πε y ( x + y + z ) z x V px 3p r = x 3 5 x 4πεr 4πεr prin analogie, rezultă : V V V ipx + jpy + kpz 3p r i + j + k = i x+ j y+ k z 3 5 x y z 4πεr 4πεr În final, rezultă : p 3 () ( p r) r E r = πεr 4πεr 5 ( ) Câmpul electric al dipolului este un câmp cu rază scurtă de acţiune, deoarece este proporţional cu inversul cubului distanţei dintre dipol şi punctul de observare. Cuvinte cheie Dipolul în câmp electric, energia potenţială q l +q θ F E Fie un câmp electric uniform şi omogen de intensitate E = ie (E = const). Conform relaţiei de legătură între potenţial şi intensitatea câmpului electric, putem scrie : ( x ) V ( ) V = 1 x ( x ) ( x ) 1 E dr = x x1 Edx = E ( x x ) Dacă un dipol electric se află în acest câmp, energia sa potenţială este egală cu suma energiilor potenţiale ale celor doi purtători de sarcină : W = W+ + W = qv ( x ) + ( q) V ( x1 ) = q( V ( x ) V ( x1 )) = q( x x ) E W 1 -F O x După cum se observă în figura alăturată, diferenţa dintre coordonatele x şi x 1 este : x x1 = l cos θ Rezultă : W = qle cosθ = pe cosα = p E Energia potenţială a unui dipol aflat în câmp electric extern este numeric egală cu produsul scalar dintre momentul de dipol p şi intensitatea câmpului electric E, luat cu semn schimbat. Dacă direcţia şi sensul momentului de dipol coincid cu acelea ale intensităţii câmpului electric, energia potenţială are valoare minimă (ceea ce corespunde unei stări de echilibru stabil). Dacă sensurile celor doi vectori sunt opuse energia potenţială este maximă (echilibru instabil). 1 7

26 1.11. CONDENSATORI ELECTRICI Condensatorii electrici sunt sisteme fizice constituite din doi conductori, izolaţi electric, încărcaţi cu sarcini electrice egale în modul şi de semn contrar. Se poate constata experimental că raportul dintre sarcina electrică distribuită pe unul dintre conductori şi dife- V + V renţa de potenţial dintre acesta şi cel deal doilea este o mărime constantă, care q -q E depinde doar de mărimea şi forma geometrică a conductorilor, de poziţia lor relativă şi de proprietăţile electrice ale mediului. Suntem astfel îndreptăţiţi să caracterizăm condensatorul printr-o mărime fizică scalară, denumită capacitate electrică şi definită matematic prin relaţia : q q C = = V+ V U În Sistemul Internaţional capacitatea electrică se măsoară în farad: 1C 1F = 1V Ne propunem în cele ce urmează să determinăm pe cale teoretică expresia capacităţii electrice a unor condensatori cu forme geometrice particulare Condensatorul plan Condensatorul plan este S O M un sistem fizic format din doi +q conductori plani, paraleli, având h dimensiuni transversale mult mai P mari decât distanţa ce-i desparte, -q E + N separaţi printr-un mediu dielectric. E - x Intensitatea câmpului electric într-un punct P, aflat între cele două plăci, este suma vectorială între câmpul electric al plăcii pozitive şi câmpul electric al plăcii negative : E = E + + E - Deoarece plăcile au dimensiuni mari în comparaţie cu distanţa dintre ele, putem aproxima câmpul electric al fiecăreia dintre ele cu câmpul generat de o suprafaţă plană infinită, electrizată cu densitatea superficială de sarcină σ = q/s : 8

27 q E+ = E = ε S Ţinând cont şi de orientarea celor doi vectori, rezultă : q q q E = + = εs εs εs Între plăcile unui condensator plan câmpul electric este uniform, adică valoarea şi orientarea intensităţii câmpului electric dintre plăcile condensatorului plan nu depind de poziţia punctului considerat. Pentru a calcula tensiunea electrică U MN între cei doi conductori putem utiliza relaţia : U MN ( N ) ( M ) ( ) = Er d r Deoarece tensiunea nu depinde de forma drumului de integrare, putem să alegem ca drum de integrare segmentul MN paralel cu liniile de câmp şi cu axa Ox. În aceste condiţii rezultă : ( N ) ( M ) ( ) Er h qh dr= Edx = S ε Utilizând relaţia de definiţie a capacităţii se obţine : q εs C = = U MN h Capacitatea electrică a condensatorului plan este proporţională cu suprafaţa conductorilor, invers proporţională cu distanţa dintre ei şi depinde de natura dielectricului ce-i separă Condensatorul cilindric h -q r 1 r M +q E N Ox Condensatorul cilindric este alcătuit din doi conductori cilindrici, de raze r 1 şi r, coaxiali, de lungime h mult mai mare decât cele două raze, separaţi printr-un mediu dielectric. Intensitatea câmpului electric dintre conductori poate fi aproximată prin intensitatea unui conductor liniar foarte lung, cu densitatea liniară de sarcină λ = q/h : q Er ( ) = πεhr 9

28 Câmpul electric are simetrie radială. De aceea, pentru a calcula tensiunea electrică U MN între conductori, putem alege un drum de integrare paralel cu axa radială Ox : ( N ) U ( ) d E( x) dx qhx dx q r MN = Er r= = = πε πεh ln r ( M ) r r 1 Rezultă : q πεh C = = U r MN ln r1 Putem observa că dacă r - r 1 = d şi d << r 1, r se poate face aproximaţia : r r1 + d d d ln = ln = ln 1 + r1 r1 r1 r1 şi : πεhr1 εs C = d d unde S = πr 1 h este suprafaţa laterală a cilindrului interior. Rezultă că dacă razele celor doi conductori cilindrici sunt foarte apropiate ca valoare, condensatorul cilindric se comportă ca un condensator plan Condensatorul sferic Condensatorul sferic este constituit din doi conductori sferici, concentrici, de raze R 1, respectiv R, sepa- R +q E R 1 Ox raţi printr-un mediu dielectric. O Într-un punct P situat între conductori, intensitatea câmpului electric corespunde aceleia M N -q calculate pentru spaţiul exterior al unei distribuţii sferice de sarcină (cea de pe conductorul interior): q Er ( ) = 4 πεr Câmpul are simetrie sferică, iar tensiunea între conductori poate fi calculată urmând un drum de integrare de-a lungul axei radiale Ox : Rezultă : U MN ( N ) ( M ) R ( ) d qx dx q 1 1 = Er r= = 4πε 4πε R R C = R 1 q U MN 1 r r 1 4πε = 1 1 R R 1 1 3

29 1.1. ENERGIA CÂMPULUI ELECTRIC +q q E + E + E + E - E - E - F Fie un condensator plan, încărcat cu sarcina electrică q. Dacă suprafaţa armăturilor S este suficient de mare, iar distanţa x dintre ele este suficient de mică, fiecare dintre armături poate fi considerată ca un plan infinit, încărcat uniform cu sarcină electrică. După cum am arătat anterior, intensitatea câmpului electric al unui astfel de plan este : q E x = ε S Între armături, intensitatea totală a câmpului electric este suma intensităţilor create de fiecare dintre armături, iar în afara armăturilor intensitatea câmpului electric este egală cu zero. În concluzie, în cazul unui condensator plan, câmpul electric este concentrat doar în spaţiul dintre armături. Câmpul dintre armături este omogen şi uniform. Forţa de atracţie cu care armătura pozitivă acţionează asupra armăturii negative este : q F = qe+ = εs Lucrul mecanic efectuat de această forţă la deplasarea armăturii negative pe o distanţă dx este : o q dl = E dxcos18 = E dx = dx εs Lucrul mecanic total efectuat de forţa electrostatică la distanţarea celor două armături de la la h este : h h q q h L = Fdx = dx = εs εs Forţa electrostatică este forţă conservativă. Prin urmare, lucrul mecanic pe care-l face în cursul unui proces, luat cu semn schimbat, este egal cu variaţia energiei potenţiale : L AB = W B W A. Considerând că dacă plăcile se suprapun (x = ) energia potenţială este egală cu zero, rezultă că energia potenţială a unui condensator plan are expresia : q h W = εs 31

30 unde h este distanţa dintre armături, iar S suprafaţa acestora. Dacă mai ţinem cont că expresia capacităţii condensatorului plan este : C = εs h rezultă : q W = Energia potenţială a unui condensator C Energia electrostatică acumulată de un condensator electric este direct proporţională cu pătratul sarcinii electrice stocate în condensator şi invers proporţională cu capacitatea electrică a condensatorului. Se poate pune întrebarea : unde este repartizată această cantitate de energie? În aparenţă, conform formulei precedente, energia s-ar găsi doar în zona în care există sarcină electrică, adică pe armăturile condensatorului. Nu este însă de neglijat observaţia conform căreia separarea de sarcină între cele două armături are ca efect modificarea proprietăţilor fizice ale spaţiului cuprins între armături (modificare care constă în apariţia câmpului electric). De aceea, este firesc să considerăm că energia electrostatică este repartizată în tot acest spaţiu cu proprietăţi fizice modificate. Pornind de la această observaţie, vom încerca să exprimăm energia electrostatică în funcţie de intensitatea câmpului electric : q q E = E+ + E = = εs εs q = εse ( εes) q h h εe W = = = εs εs unde V este volumul spaţiului dintre armături. εe Sh = V Deoarece câmpul dintre armături este uniform, rezultă că şi energia electrostatică este repartizată uniform în volumul dintre armături. Pentru a măsura local distribuţia de energie electrostatică trebuie definită o nouă mărime fizică, denumită densitate de energie electrostatică. Prin definiţie densitatea de energie electrostatică este numeric egală cu energia electrostatică conţinută în unitatea de volum : w = dw/dv. Conform acestei definiţii, putem scrie : W εe w = = Densitatea de energie a câmpului electrostatic V Densitatea de energie a câmpului electrostatic este direct proporţională cu pătratul intensităţii câmpului şi depinde de natura mediului. 3

31 1.13. CONDUCTORI ÎN CÂMP ELECTRIC EXTERN Substanţele conductoare se caracterizează prin aceea că în structura lor se află un e număr important de sarcini electrice libere, care se pot deplasa sub acţiunea unui câmp E ext electric. Astfel, conductorii metalici au o structură formată din ioni pozitivi, imobili, aşezaţi în nodurile reţelei cristaline şi din F' e F e e electroni, care pot circula liber în interiorul reţelei cristaline. E ind E ext Să urmărim ce se întâmplă dacă un conductor metalic este plasat într-un câmp electric extern : asupra electronilor şi a ionilor pozitivi vor acţiona forţe electrice F' e F e e ionii sunt imobili şi, prin urmare, nu se vor deplasa sub acţiunea forţei electrice E ind E ext electronii, asupra cărora acţionează forţa : F e = -ee ext se vor deplasa în sens contrar liniilor de câmp deplasarea electronilor se face doar în interiorul reţelei cristaline, astfel încât zona în care liniile de câmp pătrund în conductor va căpăta un exces de sarcină negativă, iar zona în care liniile de câmp părăsesc conductorul se va încărca pozitiv (prin absenţa electronilor) această deplasare şi separare de sarcină electrică este sursa unui nou câmp electric: E indus, de sens contrar câmpului exterior E ext conform teoremei de superpoziţie : E = E ext + E indus iar : F = -ee = -ee ext - ee indus = F e + F' e sau : F = F e - F' e mişcarea electronilor continuă în acelaşi sens cât timp F e > F' e pe măsură ce separarea sarcinilor se amplifică forţa F' e creşte echilibrul va fi atins atunci când: F e = F' e sau : E ext = E indus E = 33

32 la echilibru tensiunea electrică dintre două puncte oarecare din interiorul conductorului va fi : sau : ( ) V1 V = E d r = ( 1) V 1 = V V = const. adică : potenţialul electric este constant în tot volumul unui conductor electric aflat în echilibru electrostatic. De asemenea, tot în condiţii de echilibru şi tot în punctele din interiorul conductorului, este valabilă relaţia : ρ = ε E = adică : densitatea de sarcină electrică este nulă în interiorul unui conductor aflat la echilibru electrostatic. Să ne ocupăm acum de punctele aflate pe suprafaţa conductorului : deoarece în interiorul conductorului F t ds σ e - n E n E t densitatea de sarcină electrică este nulă, dar cu toate acestea s-a produs separarea de sarcină electrică, rezultă că suprafaţa conductorului este încărcată cu sarcină electrică pozitivă sau negativă, distribuţie de sarcină descrisă prin densitatea superficială de sarcină σ în aceste condiţii, concluzia este aceea că intensitatea totală a câmpului electric de la suprafaţa conductorului nu este nulă vectorul intensitatea câmpului electric poate avea două componente : - o componentă normală - o componentă tangenţială, care determină acţiunea unor forţe ce duc la deplasarea sarcinilor libere de-a lungul suprafeţei conductorului în condiţii de echilibru deplasarea de ansamblu a sarcinilor electrice încetează, rezultând de aici că forţele tangenţiale la suprafaţă trebuie să se anuleze : F t = E t = 1 E n σ ds E n deci : vectorul intensitatea câmpului electric este normal la suprafaţa exterioară a unui conductor aflat la echilibru electrostatic. dacă considerăm o suprafaţă cilindrică închisă, perpendiculară pe suprafaţa conductorului, având bazele paralele cu suprafaţa, aplicând teorema lui Gauss obţinem : 34

33 sau : E n ds ds= σ ε E n σ = ε deci : intensitatea câmpului electric în imediata apropiere a unui conductor aflat la echilibru electrostatic este proporţională cu densitatea superficială de sarcină. diferenţa de potenţial dintre două puncte de pe suprafaţa conductorului se scrie astfel : ( ) V 1 V = E dr alegând un drum de integrare de-a lungul suprafeţei şi având în vedere că vectorul intensitatea câmpului este perpendicular pe suprafaţă, rezultă: E n dr = sau : V 1 = V V = const. () 1 E n σ E ext ρ= E= V=ct E n deci : toate punctele aflate pe suprafaţa unui conductor aflat la echilibru electrostatic au acelaşi potenţial electric (altfel spus, suprafaţa conductorului aflat la echilibru electrostatic este o suprafaţă echipotenţială). Rezumând observaţiile anterioare, putem afirma că, în prezenţa unui câmp electric extern şi a unui conductor electric neutru, se petrec următoarele fenomene : se produce o separare a sarcinilor pozitive şi negative, astfel încât suprafaţa conductorului se încarcă electric, dar interiorul său rămâne neutru intensitatea totală a câmpului electric este nulă în interiorul conductorului şi nenulă la suprafaţă, fiind orientată perpendicular pe suprafaţă potenţialul electric are aceeaşi valoare în toate punctele conductorului prezenţa conductorului perturbă câmpul electric iniţial Electrizarea conductorului sub acţiunea câmpului electric extern se numeşte electrizare prin influenţă. Faptul că intensitatea câmpului electric este nulă în interiorul unui conductor, indiferent de valoarea intensităţii câmpului electric extern, este cunoscut sub numele de ecranare electrostatică. 35

34 1.14. IZOLATORI ÎN CÂMP ELECTRIC Substanţele izolatoare se mai numesc şi dielectrici. Dielectricii sunt formaţi din molecule, neutre din punct de vedere electric, care conţin totuşi sarcini electrice pozitive şi negative în număr egal. Spre deosebire de conductori, în interiorul unui dielectric, nu există practic sarcini electrice libere, ci doar sarcini electrice legate. Moleculele dielectricilor pot fi de două tipuri : molecule nepolare, adică molecule cu structură simetrică, cum ar fi, de exemplu, molecula de metan (CH 4 ). Datorită simetriei, în absenţa unui câmp electric H extern, centrul de simetrie al sarcinii electrice negative şi centrul de C H simetrie al sarcinii pozitive coincid. Dacă, însă, p H se aplică un câmp electric extern, distribuţiile de sarcini pozitive şi de sarcini negative se deformează, molecula E ext H alungindu-se în direcţia liniilor de câmp. Molecula se polarizează, formându-se astfel un dipol electric. Momentul dipolar indus de câmpul electric extern este în general proporţional cu intensitatea acestuia: p = αε o E unde α se numeşte coeficient de polarizabilitate moleculară, iar ε o reprezintă permitivitatea electrică a vidului. H O H p moleculele polare, adică moleculele cu structură nesimetrică (cum ar fi molecula apei H O). În acest caz distribuţiile de sarcini pozitive sau negative nu au acelaşi centru de simetrie, astfel încât molecula polară are un moment de dipol permanent p. Dacă câmpul electric extern este absent, dipolii moleculari sunt orientaţi haotic, astfel încât suma proiecţiilor momentelor dipolare moleculare pe orice direcţie este nulă. În prezenţa câmpului extern, dipolii moleculari au tendinţa de a se roti, ocupând poziţii paralele cu liniile de câmp. Suma proiecţiilor momentelor dipolare pe direcţia liniilor de câmp nu va mai fi nulă, fiind în general proporţională cu intensitatea câmpului electric extern. 36

35 p p p p E Orientarea dipolilor moleculari la stabilirea câmpului electric extern Rezultă că, indiferent de natura polară sau nepolară a moleculelor lor, dielectricii expuşi câmpului electric au o comportare asemănătoare : suma proiecţiilor momentelor dipolare ale moleculelor lor pe direcţia câmpului extern este proporţională cu intensitatea câmpului electric extern : dp = p i E Putem defini mărimea fizică vectorială, numită vector polarizare, prin relaţia : P = d P dv Mărimea vectorului polarizare reprezintă momentul dipolar total al unităţii de volum a dielectricului. Putem scrie: P = χε o E Adică : într-un punct al unui dielectric aflat în câmp electric, vectorul polarizare este proporţional cu intensitatea câmpului electric. Constanta de proporţionalitate χ se numeşte susceptibilitate electrică a dielectricului. Deci, vectorul polarizare este proporţional cu intensitatea câmpului electric local, existând o relaţie de legătură cu valoarea intensităţii câmpului extern. Pentru a găsi această relaţie vom proceda astfel: considerăm un condensator plan, ale cărui armături sunt încărcate cu sarcinile electrice +Q şi -Q (respectiv, cu densităţile superficiale de sarcină +σ şi -σ ) introducem între plăci un material dielectric observaţiile experimentale făcute în acest caz arată că în absenţa dielectricului intensitatea câmpului electric dintre armături este : E = σ ε 37

36 devenind în prezenţa dielectricului : E = σ ε Ne punem întrebarea : de ce se modifică intensitatea câmpului electric la aducerea dielectricului între armături? Pentru a răspunde, facem următoarele consideraţii : în prezenţa câmpului extern dipolii moleculari se orientează paralel cu liniile de câmp în acest mod, lângă faţa materialului dielectric aflată în vecinătatea plăcii pozitive vom găsi E doar capete negative de dipol, în vreme ce faţa opusă cuprinde doar capete pozitive E p rezultă că feţele dielectricului se încarcă electric, în timp ce volumul său rămâne neutru (această polarizare a feţelor dielectricului este similară unei deplasări de sarcină pozitivă de la placa pozitivă la placa negativă) Q -Q sarcina electrică localizată pe una dintre feţe se poate calcula astfel: Q p = Nq l l unde N este numărul dipolilor distribuiţi în dreptul acestei feţe, iar q este sarcina electrică a unui dipol numărul dipolilor este : N = nv unde n este numărul dipolilor din unitatea de volum, iar V este volumul stratului încărcat electric volumul stratului încărcat este : V = Sl unde S este suprafaţa armăturii, iar l este lungimea dipolului molecular Rezultă : Q p = nslq = nsp = SP unde p este momentul dipolar al moleculei şi P este mărimea vectorului polarizare densitatea superficială de sarcină de polarizare este : Qp σ p = = P S adică : vectorul polarizare este o măsură a câmpului electric al sarcinilor electrice legate (E p = σ p /ε o = P/ε o ) câmpul electric total se poate calcula, utilizând teorema de superpoziţie, ca suma dintre câmpul electric produs de sarcina de pe plăci (în absenţa dielectricului) : E = σ ε 38

37 şi câmpul electric produs de sarcina de polarizare (tot ca şi cum mediul ar fi vidul) : σ p P E p = = ε ε astfel încât : σ σ p σtotal E = E E p = = ε ε adică : intensitatea câmpului electric E este o măsură a efectului produs de sarcina totală, compusă din sarcina liberă de pe plăci şi sarcina legată din dielectric putem scrie şi : P σ P E = E Ep = E = ε ε ε sau : εe + P = σ Observăm că factorul (ε o E + P) este o măsură a câmpului electric al sarcinii electrice libere, fapt pentru care s-a definit prin el o nouă mărime fizică vectorială, denumită vector deplasare sau vector inducţie electrică : D = ε o E + P în fine, utilizând relaţia între vectorul polarizare şi intensitatea câmpului electric, putem scrie şi : P χεe E = E Ep = E = E ε ε sau : E = E(1 + χ) folosind relaţia găsită experimental, rezultă : σ σ = ( 1+ χ) ε ε sau : ε = ε o (1 + χ) În concluzie : valoarea diferită a intensităţii câmpului electric, generat de o distribuţie de sarcini electrice libere, în interiorul unui material dielectric, comparativ cu câmpul generat de aceeaşi distribuţie de sarcini în vid, se datorează polarizării dielectricului, diferenţa fiind cu atât mai pronunţată cu cât susceptibilitatea electrică a dielectricului este mai mare. Să considerăm acum o sarcină electrică q introdusă în interiorul unui material dielectric şi o suprafaţă închisă S care înconjoară sarcina. Câmpul electric generat de sarcina q are ca efect polarizarea dielectricului. Sarcina totală cuprinsă în interiorul suprafeţei S este : 39

38 S q t = q - q p Sarcina de polarizare este cuprinsă într-o coajă de grosime l (lungimea dipolului), mărginită de suprafaţa închisă S şi având volumul : V = Sl Valoarea sarcinii de polarizare este : q p = nv q = nslq = PS unde q este sarcina electrică a dipolului, n este concentraţia dipolilor moleculari, iar P este mărimea vectorului polarizare. sau : sau : S Conform teoremei lui Gauss : qt q P q 1 E ds= = S = P ds ε ε ε ε ε ( ) ε E+ P ds = q S D ds= q S S adică : fluxul vectorului inducţie electrică printr-o suprafaţă închisă este egal cu cantitatea de electricitate liberă cuprinsă în interiorul suprafeţei închise. Acesta este enunţul teoremei lui Gauss, sub formă integrală, pentru medii dielectrice. Dacă utilizăm relaţia flux-divergenţă, obţinem : De asemenea : S D ds = DdV VS ( ) q= ρ r dv VS Din cele două relaţii putem extrage expresia locală a teoremei lui Gauss : D = ρ Densitatea de sarcină liberă este numeric egală cu divergenţa vectorului inducţie electrică. 4

39 1.15. CURENTUL ELECTRIC STAŢIONAR Curentul electric este definit ca fiind mişcarea ordonată a purtătorilor de sarcină electrică. Putem distinge mai multe tipuri de curent electric : curentul electric de convecţie, adică mişcarea ordonată a corpurilor macroscopice, încărcate electric curentul electric de conducţie, adică mişcarea ordonată a sarcinilor electrice microscopice, libere, din interiorul unei substanţe conductoare curentul electric de deplasare, adică efectul reorientării dipolilor electrici întrun dielectric supus acţiunii câmpului electric fasciculele de particule încărcate electric care se deplasează în vid. Natura purtătorilor de sarcină liberi depinde de mediul conductor. Astfel, în metale, conducţia este realizată prin intermediul electronilor de conducţie. În soluţiile de electrolit, purtătorii de sarcină liberi sunt ionii pozitivi şi negativi. În fine, în semiconductori, la conducţie participă electronii din banda de conducţie şi golurile din banda de valenţă Ecuaţia de continuitate Cuvinte cheie Viteza de drift Densitatea de sarcină de conducţie Densitatea curentului de sarcini de conducţie Ne vom ocupa de curentul electric de conducţie din interiorul unui conductor metalic. Din punct de vedere structural conductorul metalic este format din ioni pozitivi, care sunt supuşi unor mişcări de vibraţie în jurul nodurilor reţelei cristaline, şi din electronii de conducţie, care se pot deplasa liberi în interiorul reţelei cristaline. Mişcarea electronilor de conducţie în interiorul reţelei cristaline este o mişcare de agitaţie termică, perfect dezordonată. Vom nota viteza electronului care participă la agitaţia termică cu v t. Dacă în interiorul conductorului există şi un câmp electric, atunci electronii de conducţie se vor afla şi sub acţiunea unor forţe electrice, care determină o mişcare ordonată, caracterizată de viteza v ord, care se suprapune peste mişcarea dezordonată : v = v t + v ord Din punct de vedere macroscopic mişcarea sarcinilor libere este percepută ca o medie a mişcărilor individuale: v = vt + vord 41

40 Deoarece media vitezei termice este nulă, rezultă: v v = ord Viteza medie a electronilor este rezultatul mişcării lor ordonate şi se numeşte viteză de drift : vd = vord şi are semnificaţia unei viteze (constante), comună tuturor purtătorilor microscopici de sarcină. Prezenţa sarcinilor electrice libere în interiorul conductorului este măsurată prin mărimea fizică scalară, denumită densitate volumică de sarcină de conducţie : dqc ρ c = d V Densitate de sarcină de conducţie este cantitatea de sarcină electrică de conducţie din unitatea de volum. Nu trebuie confundată densitatea de sarcină de conducţie cu densitatea totală de sarcină electrică (care în general este nulă, deoarece conductorii sunt neutri din punct de vedere electric). Mişcarea ordonată a sarcinilor electrice este caracterizată cantitativ printr-o mărime fizică vectorială, denumită densitate de curent, notată j şi definită ca fiind cantitatea de sarcină electrică care trece în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţă normală pe viteza de drift. Conform acestei definiţii, putem scrie : dqc j = dtdsn Din figura alăturată observăm că toate sarcinile de conducţie aflate în interiorul volumului : q dv = ds n v d dt v vor părăsi acest volum, prin suprafaţa ds n, în intervalul de timp dt. Cantitatea de electricitate pe care o d ds transportă este : n v d dt dq c = q dn unde q este cantitatea de electricitate a unui purtător de sarcină individual, iar dn este numărul purtătorilor de sarcină din volumul dv. Putem scrie: dn = n dv unde n este numărul purtătorilor de sarcină din unitatea de volum. Rezultă : qndsnvddt j = = qnv d dtdsn Factorul q n reprezintă sarcina de conducţie din unitatea de volum, adică densitatea volumică de sarcină de conducţie ρ c. Rezultă : j = ρ c v d 4

41 Cuvinte cheie Ecuaţia de continuitate Curent electric staţionar Intensitatea curentului electric Vom încerca în continuare să determinăm care sunt consecinţele principiului conservării sarcinii electrice în cazul unui curent electric. Să considerăm un element de volum : dv = dxdydz în interiorul unui conductor străbătut de curent electric. Considerăm de asemenea un interval de timp dt, şi facem bilanţul încărcării electrice a elementului de volum. Cantitatea de electricitate care pătrunde în elementul de volum este : dq' c = ( jx ( x,y,z) ds x + j y ( x,y,z) ds y + jz ( x,y,z) ds z )dt Cantitatea de electricitate care părăseşte elementul de volum este : dq" = ( j ( x + dx, y,z) ds + j ( x,y + dy,z) ds + j ( x,y,z dz) ds )dt c x x y y z + Cantitatea de electricitate care se acumulează în elementul de volum, conducând la creşterea densităţii volumice de sarcină de conducţie este : ( ρc ( x,y,z,t + dt) ρc ( x, y,z,t) ) dv = dq' c dq" c sau : ρ x, y,z,t + dt ρ x, y,z,t dxdydz = dz j j x(x,y,z) x j z(x,y,z) dx j z(x,y,z+dz) j y(x,y,z) ds z j y(x,y+dy,z) j x(x+dx,y,z) dy ρ c ( c ( ) c ( )) = ( jx ( x + dx,y,z) jx ( x,y,z) ) ( j y ( x,y + dy, z) j y ( x,y,z) ) j ( x,y,z + dz) j ( x,y,z) ( )dxdydt z Putem observa că : x, y,z,t + dt ρ x, y,z,t ( ) ( ) = ρ = jx c c ρ t z = z dydzdt dzdxdt ρ t c c ( x, y,z,t) + dt +... ρ ( x, y,z,t) dt x ( x + dx, y,z) j ( x,y,z) ( ) + dx +... j ( x,y,z) x j j y z x,y,z j x ( x,y + dy,z) j ( x,y,z) x jy dy y j z z ( x,y,z + dz) j ( x,y,z) dz z x c jx dx x Rezultă : sau : ρ t dtdxdydz = jx dxdydzdt jy dydzdxdt j z dzdxdydt c x y z ρ t j j j = x y z c x y z 43

42 sau : ρ c t + j = Ecuaţia de continuitate Conservarea sarcinii electrice implică faptul că suma dintre viteza de variaţie a densităţii volumice de sarcină de conducţie şi divergenţa densităţii de curent este nulă în orice punct din interiorul unui conductor parcurs de curent electric. Această lege poartă numele de ecuaţia de continuitate. Dacă densitatea volumică a sarcinii electrice de conducţie este constantă în timp, adică ρ c =, atunci starea de încărcare electrică a conductorului este staţionară, iar t curentul electric care străbate conductorul se numeşte curent electric staţionar. Ne rămâne din ecuaţia de continuitate egalitatea : j = care reprezintă ecuaţia fundamentală a curenţilor staţionari, având enunţul : Divergenţa densităţii de curent a curentului electric staţionar este nulă în toate punctele conductorului. j S V c j j Dacă considerăm o suprafaţă închisă S şi calculăm integrala de volum a divergenţei densităţii de curent pe volumul mărginit de suprafaţa închisă, obţinem: j dv = Utilizând teorema flux-divergenţă rezultă: j ds= Fluxul densităţii de curent prin orice suprafaţă închisă, din interiorul unui conductor, este nul, dacă curentul electric considerat este staţionar. Fluxul densităţii de curent printr-o suprafaţă dată se mai numeşte intensitatea curentului electric şi se notează cu litera I : I = S j ds Unitatea de măsură a intensităţii curentului electric se numeşte amper, fiind una dintre unităţile fundamentale ale Sistemului Internaţional de unităţi de măsură. Utilizând noţiunea de intensitate a curentului electric, putem re-enunţa legea fundamentală a curenţilor staţionari, sub denumirea de prima teoremă a lui Kirchhoff : Intensitatea unui curent electric staţionar prin orice suprafaţă închisă (în particular suprafaţa ce mărgineşte un nod de circuit) este nulă. V S S 44

43 Legile experimentale ale curenţilor electrici de conducţie Legea lui Ohm Experimental se constată că între tensiunea electrică de la bornele unui conductor şi intensitatea curentului electric care îl străbate există o relaţie de proporţionalitate : U = R I Constanta de proporţionalitate se numeşte rezistenţă electrică. Unitatea de măsură a rezistenţei electrice în Sistemul Internaţional se numeşte ohm : 1 1Ω= V 1A Legea rezistenţei electrice a unui conductor filiform Experimental se constată că rezistenţa electrică a unui conductor filiform este : proporţională cu lungimea conductorului l invers proporţională cu aria secţiunii transversale a conductorului S funcţie de natura materialului din care este confecţionat conductorul Formula corespunzătoare este : l R = σ S unde σ se numeşte conductivitate electrică a conductorului, fiind o constantă de material Legea variaţiei conductivităţii cu temperatura Experimental se constată că la modificarea temperaturii conductivitatea unui conductor scade invers proporţional cu variaţia de temperatură: σ σ = 1 + α T unde σ este conductivitatea la temperatura T, σ este conductivitatea la temperatura de referinţă T, iar α se numeşte coeficient termic al conductivităţii şi este o constantă de material. 45

44 I Legea lui Ohm pentru un circuit simplu R E, r Un circuit simplu este format dintr-o sursă de curent electric, caracterizată de tensiunea electromotoare E şi rezistenţa internă r, şi un conductor de rezistenţă electrică R, legate prin fire de conexiune de rezistenţă electrică neglijabilă. Tensiunea electromotoare a sursei de curent este măsurată la bornele acesteia în gol (adică în situaţia în care prin sursă nu trece curent electric), iar rezistenţa internă este măsurată în regim de scurtcircuit (când rezistenţa circuitului exterior este nulă), fiind definită de raportul: r = E I sc unde E este tensiunea electromotoare, iar I sc este intensitatea curentului de scurtcircuit. Experimentele arată că intensitatea curentului I, prin circuitul simplu, este numeric egală cu raportul dintre tensiunea electromotoare a sursei şi suma dintre rezistenţa internă şi rezistenţa electrică a circuitului exterior: I = E R+r Legea lui Joule Experimentele arată că trecerea unui curent electric printr-un conductor este însoţită, după un anumit interval de timp, de degajarea unei cantităţi de căldură direct proporţională cu pătratul intensităţii curentului, cu rezistenţa electrică a conductorului şi cu intervalul de timp considerat : W = I Rt Folosind legea lui Ohm putem rescrie legea lui Joule şi sub forma următoare : W = UIt sau : U W = t R Puterea electrică disipată în circuit este : W P = = UI t 46

45 Teoria electronică a conducţiei în metale, forma locală a legii lui Ohm şi a legii lui Joule, interpretarea energetică a legii lui Ohm pentru un circuit simplu Se poate considera că electronii care se deplasează în interiorul unui conductor se află într-un câmp electric uniform E. Forţa electrostatică care acţionează asupra E f r f e v d unui electron are expresia: f e = -ee Sub acţiunea acestei forţe electronii îşi măresc viteza. Pe de altă parte, mişcarea electronilor este împiedicată prin ciocnirile plastice pe care le suferă cu ionii din nodurile reţelei cristaline. În urma unei ciocniri plastice electronul se opreşte, după care este din nou accelerat de câmpul electric, suferă o nouă ciocnire ş.a.m.d. Pierderile de energie în urma acestor procese pot fi echivalate cu cele produse prin acţiunea unei forţe constante de rezistenţă f r, proporţională cu viteza de drift a electronilor şi orientată în sens opus. Staţionaritatea mişcării electronilor se realizează în momentul în care forţa de rezistenţă anulează forţa electrostatică : f e + f r = -ee - cv d = rezultând : ee vd = = µ E c unde µ se numeşte mobilitate şi depinde de masa electronului şi de distanţa medie parcursă de acesta între două ciocniri consecutive. Deoarece viteza de drift depinde de densitatea de curent : j v d = ρc (ρ c fiind densitatea volumică de sarcină de conducţie), iar : ρ c = -n e e unde n e este numărul de electroni de conducţie din unitatea de volum a materialului, rezultă : j = en e µe sau : j = σe adică : Densitatea de curent electric într-un punct al unui conductor este proporţională cu intensitatea câmpului electric în acel punct. 47

46 Constanta σ, denumită conductivitate electrică, depinde atât de proprietăţile fizice ale electronului (masă, sarcină), cât şi de proprietăţile structurale ale conductorului, fiind, deci, o constantă de material. Această expresie constituie forma locală a legii lui Ohm, aşa cum se poate arăta cu uşurinţă în modul următor : luăm în discuţie o porţiune dintr-un conductor U electric filiform S E scriem tensiunea electrică la bornele acestuia în funcţie de intensitatea câmpului electric j uniform din interior : U = E d = Eh h scriem intensitatea curentului din conductor în funcţie de densitatea de curent : I = j d = js înlocuim expresiile densităţii de curent şi intensităţii câmpului electric în legea lui Ohm sub formă locală şi obţinem expresia integrală a acesteia : I U h = σ U= I S h σs U=RI Energia disipată sub formă de căldură prin lucrul mecanic al forţei de rezistenţă care acţionează asupra unui electron este : dw e = f r dh = cv d dh Dar : dh = v d dt rezultând : dw e = cv d dt Căldura totală rezultată prin frânarea a dn electroni este : dw = cvddn = cvdnedv dt Rezultă : dw ee nee E = cnevd = cne = dtdv c c Observând că : ne e = nc e µ = σ c şi că raportul din membrul stâng are semnificaţia de căldură degajată în unitatea de timp, în unitatea de volum a conductorului (deci este o densitate de putere), obţinem : p = σe = j E adică : 48

47 Densitatea de putere disipată la trecerea curentului electric printr-un conductor este proporţională cu pătratul intensităţii câmpului electric din conductor. Această formulă este expresia locală a legii lui Joule. Să cercetăm în continuare deplasarea f e unui electron pe un drum închis, într-un circuit f i f r electric simplu. Electronul se deplasează de la polul negativ al sursei (A) spre polul pozitiv A B (B), trecând prin punctul M. De-a lungul acestui traseu atât forţa electrostatică f e, cât şi forţa v d de rezistenţă f r efectuează lucru mecanic. f e Deoarece viteza electronului este constantă rezultă : f r M L e,amb + L r,amb = Pentru a ajunge din punctul B în punctul A electronul are nevoie de ajutor, deoarece atât forţa electrostatică, cât şi forţa de rezistenţă se opun deplasării. Ajutorul constă într-o forţă de natură neelectrostatică, f i, numită forţă imprimată, care acţionează în sensul deplasării. Bilanţul lucrului mecanic este : L i,ba + L e,ba + L r,ba = Adunând cele două relaţii, obţinem : (L e,amb + L e,ba ) + (L r,amb + L r,ba ) + L i,ba = Suma (L e,amb + L e,ba ) reprezintă lucrul mecanic al forţelor electrostatice de-a lungul unei curbe închise şi este, ca o consecinţă a faptului că forţa electrostatică este conservativă, nul. Termenii (L r,amb + L r,ba ) reprezintă căldura medie, luată cu semn schimbat, generată prin acţiunea forţelor de rezistenţă la deplasarea unui electron pe curba închisă : -(W o,amb + W o,ba ). În aceste condiţii, vom rescrie relaţia precedentă astfel : L i,ba = W o,amb + W o,ba Sumând pentru toţi electronii antrenaţi de curentul electric, obţinem : L BA = W AMB + W BA Exprimând cele două cantităţi de căldură conform legii lui Joule, rezultă : L BA = I Rt + I rt Unde : I este intensitatea curentului, R este rezistenţa electrică a circuitului exterior, r este rezistenţa internă a sursei, iar t este intervalul de timp cât trece curentul electric. Observând că It = q c, unde q c este sarcina totală de conducţie transportată în timpul t printr-o secţiune oarecare a circuitului, rezultă : LBA = I( R + r) qc Din punct de vedere dimensional, raportul L BA /q c are semnificaţia unei tensiuni electrice (nefiind totuşi o tensiune de natură electrostatică). De aceea el se numeşte tensiune imprimată sau tensiune electromotoare şi se notează E : LBA E = q c 49

48 rezultând : E = I (R + r), adică chiar legea lui Ohm pentru un circuit simplu. Concluzia celor discutate este că legea lui Ohm pentru un circuit simplu derivă din legea conservării energiei, arătând că energia cheltuită de sursa de curent pentru întreţinerea deplasării sarcinilor electrice se regăseşte în căldura disipată în întreg circuitul la trecerea curentului electric. Generalizarea acestei constatări este obiectul celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff, care arată că de-a lungul oricărei porţiuni închise de circuit electric suma algebrică a tensiunilor electromotoare egalează suma algebrică a căderilor de tensiune. Mai putem arăta că : ( A) ( A) fi LiBA = fi dr E = dr e ( B) Raportul f i /e are semnificaţia intensităţii unui câmp electric neelectrostatic, numit câmp imprimat, astfel încât putem scrie : adică : E = ( A) E ( B) i d r Tensiunea electromotoare a unei surse de curent electric este numeric egală cu circulaţia intensităţii câmpului electric imprimat între bornele sursei. ( B) ELECTROLIZA Electroliza se produce la trecerea curentului electric printr-o soluţie de electrolit. În timpul procesului, la electrozi se separă componentele moleculei de electrolit (de exemplu, electroliza apei permite separarea oxigenului la anod şi a hidrogenului la catod). Legile electrolizei au fost stabilite de Faraday. Prima lege a electrolizei arată că masa de substanţă care se separă la un electrod este direct proporţională cu intensitatea curentului electric şi cu durata procesului : m = kit. Constanta de proporţionalitate k se numeşte echivalent electrochimic. A doua lege a electrolizei precizează că echivalentul electrochimic este direct proporţional cu masa molară a substanţei şi invers proporţională cu valenţa acesteia : k = µ/(nf). Constanta de proporţionalitate se numeşte numărul lui Faraday şi are valoarea F = 965 C/mol. 5

49 1.17. CÂMPUL MAGNETIC AL CURENŢILOR STAŢIONARI Fenomenele magnetice sunt cunoscute încă din antichitate. Ele constau din interacţiunile, manifestate prin forţe de atracţie sau de respingere, între corpurile magnetizate. Se constată că prezenţa corpurilor magnetizate modifică proprietăţile fizice ale spaţiului înconjurător. Spaţiul cu proprietăţi fizice modificate din jurul corpurilor magnetizate este o formă de existenţă a materiei şi se numeşte câmp magnetic. Câmpul magnetic poate fi pus în evidenţă pe cale experimentală, utilizând, de exemplu, un ac magnetic. Deoarece poziţia S N B în care se stabileşte acul magnetic depinde de aşezarea în preajma sa a corpurilor magnetizate, rezultă că pentru a caracteriza cantitativ câmpul magnetic trebuie utilizată o mărime vectorială. Mărimea fizică vectorială folosită pentru a măsura câmpul magnetic se numeşte vector inducţie magnetică şi se notează B. S-a convenit ca orientarea vectorului inducţie magnetică să fie aceeaşi cu a unui ac magnetic, sensul vectorului B fiind dinspre polul sud al acului magnetic spre polul nord. În anul 1819, Öersted a făcut descoperirea că un ac magnetic aflat în apropierea B unui conductor parcurs de curent electric staţionar se orientează perpendicular pe direcţia conductorului. A rezultat că, pe lângă I corpurile magnetizate, curenţii electrici staţionari sunt surse de câmp magnetic. Cu alte cuvinte, există o legătură între fenomenele electrice şi fenomenele magnetice Legile experimentale ale câmpului magnetic al curenţilor staţionari Legea forţei electromagnetice, vectorul inducţie magnetică Se constată experimental că dacă un conductor rectiliniu, parcurs de un curent electric staţionar, este adus într-un câmp magnetic uniform, asupra sa va acţiona o forţă având următoarele proprietăţi : 51

50 mărimea forţei este proporţională cu intensitatea I a curentului electric din conductor mărimea forţei este proporţională cu lungimea l a conductorului mărimea forţei este proporţională cu sinusul unghiului α dintre liniile de câmp magnetic şi direcţia conductorului mărimea forţei nu depinde de natura materialului din care este confecţionat conductorul forţa este perpendiculară pe planul format de conductor şi direcţia liniilor de câmp Expresia matematică corespunzătoare este : F Ilsinα Cuvinte cheie Vectorul inducţia câmpului magnetic Conform observaţiilor experimentale relatate mai sus, putem afirma că valoarea constantei de proporţionalitate nu poate depinde decât de caracteristicile câmpului magnetic în care se află conductorul. Rezultă de aici posibilitatea de a realiza o măsurătoare cantitativă a câmpului magnetic. În acest sens, prin definiţie, inducţia câmpului magnetic se scrie ca : F B = Il sinα adică : inducţia câmpului magnetic este mărimea fizică vectorială numeric egală cu forţa ce acţionează asupra unităţii de lungime a unui conductor parcurs de un curent electric staţionar cu intensitatea de 1 amper, aşezat perpendicular pe liniile de câmp magnetic. În Sistemul Internaţional unitatea de măsură a inducţiei magnetice se numeşte tesla şi are următoarea relaţie de definiţie : 1N 1T = 1A 1m În aceste condiţii, legea forţei electromagnetice se scrie sub forma : I F = BIlsinα F exprimându-se vectorial astfel : B F = I l B Forţa electromagnetică ce acţionează asupra unui conductor liniar aflat într-un câmp magnetic uniform este proporţională cu produsul dintre intensitatea curentului electric din conductor şi valoarea numerică a produsului vectorial dintre lungimea conductorului (orientată în sensul intensităţii curentului) şi vectorul inducţie magnetică, având direcţia şi sensul acestui produs vectorial. 5

51 Forţa Lorentz S q f v Dacă un corp electrizat, de mici dimensiuni, se f B deplasează în câmp magnetic de inducţie B, s-a constatat v q că asupra sa acţionează o forţă având următoarele caracteristici : mărimea sa este direct proporţională cu cantitatea de electricitate q cu care este încărcat corpul mărimea sa este proporţională cu valoarea v a vitezei corpului mărimea sa este proporţională cu inducţia magnetică B mărimea sa este direct proporţională cu sinusul unghiului α dintre vectorul viteză şi vectorul inducţie magnetică direcţia forţei este perpendiculară pe planul format de vectorul viteză şi vectorul inducţie magnetică Expresia matematică corespunzătoare este : f = q v B Această forţă poartă numele de forţa Lorentz. Forţa electromagnetică este efectul însumării F B forţelor individuale care acţionează asupra purtătorilor de sarcină în mişcare din interiorul conductorului. Să luăm în considerare un conductor parcurs de curent electric, plasat perpendicular pe liniile câmpului magnetic. Forţa Lorentz care acţionează asupra unui purtător de sarcină ce se deplasează cu o viteză egală cu viteza de drift este : l f = qvdb Intensitatea curentului electric din conductor se poate exprima de asemenea în funcţie de viteza de drift : I = js = ρcvds = nqvds unde n este numărul purtătorilor de sarcină de conducţie din unitatea de volum a conductorului : n = iar N este numărul total de purtători de sarcină din conductor antrenaţi de curentul electric. Din aceste relaţii rezultă : N S l 53

52 f = q I B N Sl qs sau : Nf = BIl relaţie ce probează afirmaţia anterioară. Ţinând cont de echivalenţa între legea forţei electromagnetice şi legea forţei Lorentz, rezultă că aceasta din urmă poate fi utilizată de asemenea ca o relaţie de definiţie a vectorului inducţie magnetică Efectul Hall Fie conductorul parcurs F e de curentul I (figura alăturată). În prezenţa câmpului U h magnetic de inducţie B, forţele Lorentz care acţionează E e - v asupra electronilor de conducţie determină polarizarea l B F z L I electrică a feţelor inferioară şi superioară ale conductorului (efectul Hall). Separarea de sarcină are ca efect apariţia unui câmp electrostatic de intensitate E. Polarizarea continuă până când forţa Lorentz care acţionează asupra unui electron este egalată de forţa electrostatică : Fe = FL evb = ee E = vb Intensitatea curentului electric I depinde de viteza de drift a electronilor : I = envs (e modulul sarcinii electronului, n concentraţia de electroni de conducţie, v - viteza de drift, S aria secţiunii transversale a conductorului, S = lh). Tensiunea între faţa superioară şi faţa inferioară poate fi calculată conform relaţiei : h h h h IB IB U = E dz = vb dz = dz = dz enlh enlh Rezultă : IB U = Tensiunea generată prin efect Hall enl Tensiunea Hall este direct proporţională cu intensitatea curentului electric şi cu inducţia câmpului magnetic, şi invers proporţională cu sarcina elementară, concentraţia de purtători de sarcină de conducţie şi lăţimea porţiunii de conductor aflată în câmpul magnetic. 54

53 Forţa de interacţiune între conductorii paraleli parcurşi de curent electric staţionar, legea Biot-Savart Să ne imaginăm următorul experiment : I 1 l I două conductoare rectilinii, foarte lungi, sunt aşezate paralel, la distanţa r unul faţă de celălalt prin conductoare circulă curenţii electrici staţionari B I 1, respectiv I mediul în care sunt plasate conductoarele este omogen Se poate constata studiind acest experiment F 1, F,1 că asupra celor două conductoare se exer- cită forţe egale în modul, paralele şi de sens contrar. Aceste forţe de interacţiune au următoarele proprietăţi : mărimea forţei este direct proporţională cu lungimea conductoarelor mărimea forţei este direct proporţională cu fiecare dintre intensităţile curenţilor electrici din cele două conductoare forţa este invers proporţională cu distanţa dintre conductoare forţa este de atracţie dacă curenţii au acelaşi sens şi de respingere în caz contrar forţa depinde de proprietăţile magnetice ale mediului ce înconjoară conductoarele Aceste observaţii pot fi reunite într-o formulă matematică, care în Sistemul Internaţional se scrie sub forma : µ I1I F 1, = l π r Constanta de proporţionalitate µ se numeşte permeabilitate magnetică absolută şi caracterizează proprietăţile magnetice ale mediului. În Sistemul Internaţional unitatea de măsură a permeabilităţii magnetice absolute este : µ SI H = = m henry metru Permeabilitatea magnetică absolută a vidului are valoarea : µ = 4π 1-7 H/m Putem observa că raportul : F 1, Il corespunde relaţiei de definiţie a unei inducţii magnetice B 1, rezultând pentru aceasta expresia : 55

54 Cum în zona în care se desfăşoară experimentul nu au fost instalate alte surse de câmp magnetic şi cum B 1 depinde de intensitatea curentului electric din primul conductor, rezultă că această relaţie exprimă valoarea inducţiei câmpului magnetic generat de un conductor liniar foarte lung, parcurs de curent electric staţionar. Relaţia a primit denumirea de legea Biot-Savart şi se enunţă astfel : inducţia câmpului magnetic generat de un curent electric staţionar care străbate un conductor liniar foarte lung este proporţională cu intensitatea curentului electric, invers proporţională cu distanţa până la conductor şi depinde de proprietăţile magnetice ale mediului în care se află conductorul. I r B Inducţia câmpului magnetic generat de conductor este perpendiculară pe planul format de conductor şi de perpendiculara coborâtă din punctul de observare pe conductor. Linia de câmp magnetic are formă circulară, fiind cuprinsă într-un plan perpendicular pe direcţia conductorului. Sensul liniei de câmp este acelaşi cu sensul în care trebuie rotit un şurub drept, aşezat paralel cu conductorul, astfel încât să înainteze în sensul curentului electric Legea Biot-Savart-Laplace Vom compara două situaţii fizice diferite, caracterizate însă de legi asemănătoare formal : în cazul unui conductor foarte lung, parcurs de curent electric staţionar cu intensitatea I, inducţia câmpului magnetic B generat de acesta la distanţa h are expresia : λ B I = µ πh în cazul unui conductor foarte lung, încărcat electric cu densitatea liniară de sarcină λ, intensitatea câmpului electric E la distanţa h are expresia : dl E α = λ πεh h r de E de d de = λ l α 4πεr sin E = λ πεh Din figurile alăturate se observă că se pot face următoarele asocieri : I λ (sursa câmpului) µ 1/ε (proprietăţile mediului) h h dl j B α I = µ πh h db=? r B db 56

55 Pe de altă parte, în cazul câmpului electric, valoarea intensităţii se obţine însumând contribuţiile tuturor micilor porţiuni de conductor, aproximate ca sarcini punctiforme. Contribuţia unei asemenea porţiuni de conductor la câmpul electric total este: λdl de = sin α 4πεr unde dl este lungimea porţiunii de conductor considerate, r este raza vectoare a punctului de observare în raport cu elementul de volum, iar α este unghiul dintre conductor şi raza vectoare. Deoarece câmpul magnetic al conductorului se obţine tot prin însumarea contribuţiilor unor porţiuni foarte mici ale acestuia, putem face ipoteza că inducţia magnetică elementară are expresia (obţinută cu ajutorul tabelului de asocieri) : Idl db = µ α 4πr sin Exprimând intensitatea curentului în funcţie de densitatea de curent : I = js unde S este aria secţiunii transversale a conductorului, rezultă : Sdl db = µ jr sin α 3 4πr Observăm că : produsul S dl este volumul porţiunii de conductor considerate : dv = S dl vectorul inducţie magnetică depinde de două mărimi vectoriale : j şi r cantitatea j r sinα reprezintă modulul produsului vectorial j r sau r j vectorul db are acelaşi sens cu vectorul j r şi putem scrie în consecinţă : µ j r db = dv 3 4π r Dacă extindem acest rezultat la cazul unui conductor oarecare parcurs de curent electric şi considerăm un element de volum dv având vectorul de poziţie r, precum şi un punct de observare M, având vectorul de poziţie r, rezultă : µ j ( r r) db( r ) = dv 3 4π r r j dv O r r - r db M Adunând contribuţiile tuturor elementelor de volum ale conductorului se obţine inducţia câmpului magnetic în punctul M : µ j ( r r) B( r ) = dv 3 4π r r V Aceasta este expresia legii Biot-Savart-Laplace care permite, în principiu, determinarea inducţiei câmpului magnetic a oricărei distribuţii de curent electric staţionar. 57

56 Inducţia câmpului magnetic generat de un conductor liniar finit Fie un conductor de lungime finită l o, ale cărui capete se văd din punctul de observare M, aflat la distanţa h faţă de conductor, α M sub unghiurile α 1, respectiv α. j I Conductorul este străbătut de curentul r db electric staţionar I, a cărui densitate de curent l α dl este : I j = S unde S este aria secţiunii transversale a conductorului. l α 1 Fie un element de lungime dl. Conform S legii Biot-Savart-Laplace inducţia magnetică elementară din punctul M, generată de elementul de lungime, este : µ j r db = dv 3 4π r Inducţia magnetică este perpendiculară pe planul format de vectorul densitate de curent j şi vectorul de poziţie r. Prin urmare, oricare ar fi poziţia elementului de lungime, vectorul inducţie magnetică are aceeaşi orientare. Rezultă că va fi suficient să integrăm modulul vectorului db : jr db = µ sinα Sdl 3 4π r Observăm că : putem exprima valoarea lui r în funcţie de h şi α : h r = sin α putem exprima valoarea elementului de lungime dl tot în funcţie de h şi α : l=h ctg α h ctg α dα dl = h = sin α 1 hdα sin α Rezultă : Integrând obţinem : I sinα µ db S S hd α µ = = I sin αdα 4π h sin α 4πh sin α 58

57 α I I B = µ µ sin αdα = cos cos 4πh 4πh α1 ( α α ) 1 deci : inducţia magnetică generată de un conductor liniar, de lungime finită, este direct proporţională cu intensitatea curentului electric din conductor, invers proporţională cu distanţa de la punctul de observare la conductor, depinde de unghiurile sub care se văd capetele conductorului din punctul de observare şi de proprietăţile magnetice ale mediului înconjurător. Mai putem remarca că dacă lungimea conductorului este mare, unghiurile α 1 şi α tind către valorile : α 1 =, respectiv α = π, rezultând : adică exact expresia legii Biot-Savart. B I = µ πh Inducţia câmpului magnetic pe axul de simetrie al unei porţiuni de spiră circulară z Considerăm o porţiune de spiră circulară, de rază R, parcursă de un curent electric db de intensitate I. (R +z ) 1/ Alegem un sistem de axe de coordonate db α astfel încât : y R originea se află în centrul spirei axa Oz este axa de simetrie a spirei axa Oy împarte spira în două porţiuni 9 -ϕ egale x j dl Considerăm un punct de observare M, S pe axa Oz. Vectorul de poziţie al acestuia este : r = kz (k fiind versorul axei Oz) Alegem un element de volum dv = Sdl într-un punct oarecare al spirei. Conform legii Biot-Savart-Laplace, inducţia magnetică în punctul M are expresia : µ j ( r r) db = dv 3 4π r r Observăm că : pentru toate punctele spirei: astfel încât, deoarece j (r - r), rezultă : r r = R + z 59

58 j db = µ 4π R + z Sdl componenta inducţiei magnetice paralelă cu axa Oz este : µ I dbii = db sinα = sinαdl 4π R + z ( ) unghiul α are aceeaşi valoare în orice punct al spirei, rezultând prin integrare : µ I µ Il sinα B = sinα dl = 4π 4π l ( R + z ) ( R + z ) sinusul unghiului α se exprimă ca : R sin α= R + z iar : l = Rϕ unde ϕ este unghiul la centru care delimitează porţiunea de spiră, se obţine în final : µ IR ϕ Bz = BII = 4π R + z 3 db x db -ϕ / B B x y db y R ϕ ϕ / ϕ ( R + z ) 3 ϕ π( R + z ) y ( ) componenta perpendiculară pe axa Oz este : µ Iz db = db cosα = dl 4π R + z 3 ( ) şi are, la rândul ei, componentele : db = db sinϕ db x y = db cosϕ deoarece dl = Rdϕ, rezultă prin integrare : µ IzR µ IzR ϕ ϕ = sinϕϕ d = cos cos = 4π 4 3 ϕ ϕ IzR IzR IzR = d = µ sin µ µ ϕ ϕ cosϕϕ sin sin = 4π ( R + z ) 3 ( R + z ϕ π ) π( R z ) 3 Deci, câmpul magnetic este orientat simetric faţă de porţiunea de spiră, iar în centrul acesteia (z = ) este are direcţie paralelă cu axa Oz. În cazul în care spira este un cerc întreg unghiul ϕ este egal cu π rezultă : B x = B y = µ IR Bz = + ( R z ) 3 6

59 În centrul spirei inducţia câmpului magnetic este : I B = µ R Dacă câmpul magnetic este generat de o sarcină electrică q care se roteşte cu perioada T pe un cerc de rază R, atunci intensitatea curentului electric echivalent este : q I = T iar inducţia magnetică în centrul de rotaţie are valoarea : µ q µνq B = = RT R unde ν este frecvenţa de rotaţie Legea circulaţiei magnetice (legea lui Ampère) Prin analogie cu relaţia de proporţionalitate între inducţia câmpului electric D şi intensitatea câmpului electric E, D = εe, se poate defini o mărime denumită intensitatea câmpului magnetic, notată cu H : B = µh De asemenea prin analogie cu circulaţia intensităţii câmpului electric imprimat : E = E d r (numită şi tensiune electromotoare) se poate defini tensiunea magnetomotoare ca fiind circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o anumită curbă : F = H d r Ne propunem ca în cele ce urmează să găsim modul în care depinde circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o curbă închisă de curenţii electrici care generează câmpul magnetic. Să considerăm pentru început un conductor liniar, perpendicular pe planul foii de hârtie, parcurs de curentul electric I. I Fie de asemenea o curbă închisă C, H dϕ care înconjoară conductorul. Circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o porţiune mică a curbei, în jurul r dl o punctului M este : α dl df = H dl = H dl cosα M Putem observa că : dl = dl cosα unde dl este lungimea porţiunii de linie de câmp cuprinsă între laturile unghiului dϕ, care mărginesc şi segmentul de curbă dl. Deoarece linia de câmp este un cerc : 61

60 dl = r dϕ unde r este distanţa de la conductor la punctul M. Înlocuind în expresia circulaţiei intensităţii câmpului magnetic şi utilizând legea Biot-Savart, rezultă : µ I d r I F = π rd ϕ = d µ π ϕ Integrând pe toată curba obţinem : π π π I I I F = H dl = d = d = = I π ϕ ϕ ϕ π π Circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o curbă închisă, ce înconjoară un conductor parcurs de curent electric, este numeric egală cu intensitatea curentului electric din conductor. Fie acum conductorul aşezat în afara curbei dl H închise. Circulaţia totală a intensităţii câmpului H 1 magnetic pe porţiunile de curbă delimitate de unghiul dϕ este : df = H 1 dl 1 + H dl dϕ dl 1 sau : I df = H 1 dl 1 cosα 1 + H dl cosα Observând că α 1 > 9 şi α < 9, astfel încât cosα 1 < şi cosα >, şi procedând la fel ca la calculul anterior, rezultă : I I d F = d + d = π ϕ π ϕ Integrând pe toată curba rezultă : F = Circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o curbă închisă este nulă dacă prin suprafaţa mărginită de curbă nu trece curent electric. Reunind cele două concluzii obţinute până acum, rezultă enunţul legii lui Ampère : circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o curbă închisă nu depinde nici de forma, nici de dimensiunile curbei, fiind egală cu intensitatea curentului electric prin suprafaţa delimitată de curbă. Matematic putem scrie : F = I int Utilizând relaţiile integrale care definesc circulaţia intensităţii câmpului magnetic şi intensitatea curentului electric obţinem forma integrală a legii lui Ampère : H dl = j ds Dacă recurgem la teorema lui Stokes, mai putem scrie : ( c) S c 6

61 S c n j ( c) ( H) H dl = S c d s Substituind în legea lui Ampère obţinem : H ds = j ds sau : H = j ( ) S c S c Forma locală a legii lui Ampère dl H (C) Rotorul intensităţii câmpului magnetic într-un punct din spaţiu este egal cu densitatea de curent electric din acel punct Inducţia câmpului magnetic în interiorul unui solenoid foarte lung Un solenoid (sau o bobină) poate fi I construită prin înfăşurarea unui fir conductor pe un miez (care uzual are formă N cilindrică sau paralelipipedică). M Solenoidul este caracterizat prin numărul total de spire, lungimea şi aria h transversală, precum şi prin proprietăţile magnetice ale miezului său. B P Un solenoid lung este solenoidul de lungime mult mai mare decât dimensiunile sale transversale. I O Dacă solenoidul este parcurs de curent electric staţionar, liniile câmpului magnetic generat vor fi curbe închise, fiecare dintre ele având o porţiune cuprinsă în interiorul solenoidului şi o alta aflată în exterior. Atunci când solenoidul este lung putem face următoarele consideraţii: în exteriorul solenoidului, în spaţiul infinit, densitatea liniilor de câmp este foarte redusă (adică inducţia magnetică este practic nulă) în interiorul solenoidului liniile de câmp sunt paralele atât între ele, cât şi cu axa de simetrie a solenoidului, inducţia magnetică fiind constantă în toate punctele unei linii de câmp În aceste condiţii, alegând conturul închis MNOPM putem scrie : N M B dl= deoarece inducţia magnetică este perpendiculară pe drumul de integrare 63

62 O N P O B dl= deoarece inducţia magnetică este nulă B dl= din nou inducţia este perpendiculară pe drumul de integrare Rezultă : M P M B dl= Bdlcos o = B dl = Bh P B dl= Bh MNOPM Intensitatea totală a curentului electric prin suprafaţa MNOP este : I t = nhi unde n este numărul de spire pe unitatea de lungime a solenoidului, iar I este intensitatea curentului electric prin solenoid. Conform legii lui Ampère rezultă egalitatea : B = µni adică : inducţia magnetică în miezul unui solenoid lung este proporţională cu intensitatea curentului electric prin solenoid, cu numărul de spire pe unitatea de lungime a solenoidului, depinde de proprietăţile magnetice ale miezului, dar nu depinde de distanţa până la axa de simetrie. Câmpul magnetic în interiorul solenoidului este prin urmare un câmp uniform, liniile de câmp fiind paralele şi echidistante Divergenţa şi fluxul inducţiei magnetice, potenţialul vector M P Să considerăm câmpul magnetic generat de un conductor parcurs de curent electric staţionar într-un punct M care are vectorul de poziţie r. Să calculăm divergenţa inducţiei magnetice în acest punct : Br ( ) Conform legii Biot-Savart-Laplace obţinem : µ j ( r ) ( ) r µ j r r Br ( ) = dv = 3 dv 3 4π r r 4π V V r r sau: µ ( r ) r Br ( ) = j dv 3 4π V r r Calculul se desfăşoară astfel : 64

63 r ( r r) r 3 = z z y x (( x x) + ( y y) + ( z z) ) 3 y y z ( ( x x) + ( y y) + ( z z) ) ( r ) r ( )( ) ( )( ) = 3 z z y y + 3 y y z z = 3 r r (( ) + ( ) + ( ) ) 5 x x x y y z z Se poate arăta în mod analog că şi celelalte două componente ale rotorului sunt nule, rezultând în final : B r ( ) = Divergenţa inducţiei câmpului magnetic al curenţilor electrici staţionari este nulă în orice punct al spaţiului. Dacă integrăm această relaţie pe un volum mărginit de o suprafaţă închisă obţinem : V ( ) BrdV= Ţinând cont de teorema flux-divergenţă rezultă : B ds = S Fluxul inducţiei magnetice generate de curenţii electrici staţionari prin orice suprafaţă închisă este nul. I B Această proprietate este o consecinţă directă a faptului că liniile câmpului magnetic sunt curbe închise, astfel că numărul intersecţiilor acestora cu suprafaţa închisă este întotdeauna par sau nul. Din punct de vedere matematic, am B putea considera că divergenţa inducţiei magnetice este nulă deoarece aceasta se exprimă ca rotorul unei alte mărimi fizice, numită potenţial vector. În adevăr : A A A A A z y x z y Ax ( A) = + + = x y z y z x z x y Rezultă că putem scrie : B = A 65 3

64 În aceste condiţii, cealaltă lege fundamentală a magnetismului, legea lui Ampère, devine : j H 1 B 1 [ ( A 1 = = = )] = [ ( A ) A ] µ µ µ Sau : A ( A) = µ j Concluzia este aceea că, similar cazului electrostaticii, legile fundamentale ale câmpului magnetic al curenţilor staţionari pot fi reunite într-o singură ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea. Câmpul magnetic fiind descris de potenţialul vector A se spune că are caracter rotaţional, spre deosebire de câmpul electrostatic, care fiind descris de un potenţial scalar are caracter potenţial Ecuaţiile fundamentale ale magnetostaticii, problema generală a magnetostaticii Observaţiile experimentale făcute asupra câmpului magnetic al curenţilor staţionari au relevat două proprietăţi ale acestuia : liniile de câmp sunt curbe închise inducţia magnetică a unui conductor foarte lung, parcurs de curent electric staţionar, este invers proporţională cu distanţa dintre punctul de observaţie şi conductor Consecinţele acestor două proprietăţi sunt : divergenţa inducţiei magnetice este nulă : B = B d s = rotorul inducţiei magnetice este proporţional cu densitatea de curent : B = µ j B dl = µ j ds Utilizând potenţialul vector, cele două legi pot fi reunite într-una singură : A ( A) = µ j Rezultă din cele spuse problema generală a câmpului magnetic al curenţilor staţionari : în condiţiile în care se cunoaşte distribuţia spaţială a curentului electric, precum şi valorile inducţiei magnetice (sau ale potenţialului vector) şi derivatelor sale pe frontiera domeniului de integrare, câmpul magnetic din orice punct se poate determina ca soluţie unică a unui set de două ecuaţii vectoriale cu derivate parţiale de primul ordin, sau ca soluţie unică a unei ecuaţii vectoriale cu derivate parţiale de ordinul doi. ( C) S S C 66

65 1.18. ELECTRODINAMICA Fenomenul de inducţie electromagnetică, legea lui Faraday După efectuarea unui mare număr de experimente s-au putut trage următoarele concluzii : Într-un circuit electric închis, în care nu este intercalată nici-o sursă de curent electric, circulă totuşi curent electric dacă, separat sau simultan: suprafaţa circuitului este deplasată, rotită sau deformată în prezenţa unui câmp magnetic staţionar sursa de câmp magnetic este deplasată în raport cu circuitul câmpul magnetic nu este staţionar (adică variază în timp) dacă circuitul electric nu este închis, în toate cazurile menţionate, la bornele sale apare o tensiune electrică B Acest tip de fenomene a primit numele de v inducţie electromagnetică. f v Pentru a determina formula matematică a fenomenului de inducţie electromagnetică vom discuta următorul experiment : f o bară dintr-un material conductor este deplasată cu viteza constantă v într-o direcţie perpendiculară pe lungimea l a B v E ind barei deplasarea se face într-un câmp magnetic uniform, ale cărui linii de câmp sunt perpendiculare atât pe vectorul viteză, cât şi pe lungimea barei f Măsurătorile efectuate arată că în această situaţie între B capetele barei apare o diferenţă de potenţial electric. Se pot v E face următoarele consideraţii : ind existenţa diferenţei de potenţial poate fi atribuită producerii unei separări de sarcină electrică această separare de sarcină se poate produce numai prin deplasarea sarcinilor electrice libere între capetele conductorului cauza deplasării este forţa Lorentz : f = qv B pe măsură ce sarcinile electrice se deplasează în interiorul barei, unul dintre capetele ei se încarcă pozitiv, iar celălalt se încarcă negativ 67

66 ca urmare, se instalează în conductor şi un câmp electric indus E ind, astfel încât un purtător de sarcină se va afla atât sub acţiunea forţei Lorentz, cât şi sub acţiunea unei forţe electrostatice : F e = qe ind atâta timp cât cele două forţe nu sunt egale separarea sarcinii continuă, iar câmpul electric se intensifică starea de echilibru (deci şi separarea maximă de sarcină) se stabileşte dacă forţa Lorentz şi forţa electrostatică îşi fac echilibrul : qv B + qe ind = sau : E ind = v B Termenul v B are semnificaţia unui câmp electric imprimat, adică a unui câmp electric de natură neelectrostatică, sub acţiunea căruia se produce separarea de sarcină : E impr = v B Tensiunea electromotoare se defineşte ca fiind circulaţia câmpului electric im- P s N primat de-a lungul unei curbe. În cazul nostru, tensiunea electromotoare între l punctele M şi N se poate calcula conform relaţiei : dl ( N ) ( N ) ds E MN = E ( M ) impr dl = ( v B) dl ( M ) Considerând conturul închis MNPQM, Q constituit de poziţia iniţială a barei, traiectoriile celor două capete şi poziţia finală, M dx x observăm că pe porţiunea NPQM nu există purtători de sarcină liberi (ceea ce echivalează cu a lua v = ), astfel încât putem scrie : Deci: ( N ) ( ) d ( ) ( M ) ( P) ( N ) ( Q) ( P) ( M ) ( Q) ( N ) ( M ) ( ) v B l= v B dl+ + + = v B d l ( N ) ( ) ( ) impr E = E dl= v B dl= v B d l= E ( M ) Deoarece atât v cât şi B sunt vectori constanţi pe curba MN, rezultă : ( N ) ( M ) ( ) ( ) ( N ) ( M ) ( ) v B dl= v B dl= v B l În conformitate cu proprietăţile produsului mixt al vectorilor, putem scrie : ( N ) ( M ) ( ) ( ) v B dl= B v l Vectorii B şi l nu depind de timp, iar v = dx/dt, astfel încât rezultă : ( N ) dx d ( v B) dl= B l = [ B ( x l )] ( M ) dt dt Dar : 68 MN

67 Iar : x l= S= d s S MNPQM ( ) B x l = B d s S MNPQM Câmpul magnetic este uniform şi, prin urmare, constant pe suprafaţa S MNPQM, ceea ce implică : B ds = B ds= Φ S MNPQM S MNPQM Φ fiind fluxul de inducţie magnetică prin suprafaţa mărginită de conturul MNPQM. Concluzia acestui calcul poate fi scrisă sub o formă matematică mai condensată : E = d Φ dt sau sub una mai explicită : d Eimpr dl= B ds C dt SC Tensiunea electromotoare indusă în lungul unei curbe închise este numeric egală cu viteza de variaţie a fluxului de inducţie magnetică prin suprafaţa mărginită de curbă, luată cu semn schimbat. Acesta este enunţul legii inducţiei ds electromagnetice, numită şi legea lui Faraday. B Conform teoremei lui Stokes putem scrie : (C) dl E ( Eimpr ) Eimpr dl= ds C S C De asemenea, dacă considerăm că suprafaţa mărginită de contur nu variază în timp, iar inducţia magnetică depinde atât de timp cât şi de poziţia elementului de suprafaţă ds, putem scrie : d B d d dt B s = s S C SC t Cu aceste două observaţii se obţine relaţia locală : B Eimpr = t Intensitatea totală a câmpului electric este suma vectorială dintre intensitatea câmpului electrostatic şi intensitatea câmpului imprimat : E= E + E Deoarece : Rezultă : e_ static impr E e_ static = E= E + E = E e_ static impr impr 69

68 Sau : B E = t relaţie care reprezintă forma locală a legii lui Faraday (sau legea Maxwell- Faraday). Forma integrală a acestei ecuaţii este : d E dl= B ds C dt S C Energia câmpului magnetic Fie un circuit electric simplu, constituit k R dintr-o sursă de curent electric continuu, un rezistor, un întrerupător şi conductoare de legătură. i B La închiderea circuitului, curentul electric, E iniţial nul, va începe să crească, având la un moment dat valoarea i. Curentul electric ce trece prin conductoarele de legătură generează un câmp magnetic şi, implicit, un flux de inducţie magnetică prin suprafaţa mărginită de circuit. S-a constatat că fluxul de inducţie magnetică prin suprafaţa circuitului este proporţional cu intensitatea curentului electric, depinzând de asemenea de forma şi dimensiunile circuitului, ca şi de proprietăţile magnetice ale mediului înconjurător. Putem scrie : Φ = Li unde constanta de proporţionalitate L înglobează informaţiile despre circuit şi mediu şi se numeşte inductanţa circuitului. În Sistemul Internaţional inductanţa se măsoară în henry, cu simbolul H. În conformitate cu legea lui Faraday, dacă circuitul sau mediul nu se modifică în timp, rezultă că la variaţia intensităţii curentului electric din circuit se induce o tensiune electromotoare : dφ d( Li) E = = = L di dt dt dt adică : tensiunea electromotoare autoindusă într-un circuit electric închis este proporţională cu viteza de variaţie a intensităţii curentului electric din circuit. Această lege poartă numele de legea autoinducţiei. Aplicând a doua teoremă a lui Kirchhoff în circuitul electric descris anterior, obţinem : E + E = Ri sau : E L di = Ri dt În timpul (foarte scurt) dt prin circuit se transportă cantitatea de electricitate : 7

69 dq = i dt Înmulţind relaţia corespunzătoare teoremei lui Kirchhoff cu cantitatea de electricitate transportată prin circuit, obţinem : E idt Lidi = Ri dt Semnificaţia termenilor este următoarea : E idt : lucrul mecanic cheltuit de sursa de curent electric pentru transportarea prin circuit a sarcinii dq Ri dt : căldura degajată în rezistor la trecerea curentului electric i pe durata intervalului de timp dt Lidi : are semnificaţie fizică de energie, reprezentând diferenţa dintre energia cedată de sursa de curent şi energia pierdută sub formă de căldură. Deoarece depinde de inductanţă, acest termen este în legătură cu câmpul magnetic generat de curentul din circuit şi poate fi considerat o măsură a energiei câmpului magnetic. Integrând termenul de energie magnetică, se obţine : W m I LI = Lidi = adică : energia câmpului magnetic generat de un curent electric staţionar este proporţională cu pătratul intensităţii curentului şi cu inductanţa circuitului. Ca şi energia câmpului electric, energia câmpului magnetic este repartizată în întreg spaţiul ocupat de câmpul magnetic. Putem demonstra această afirmaţie considerând un solenoid foarte lung, parcurs de curent electric staţionar. Inducţia câmpului magnetic din solenoid este : NI B = µ l unde µ este permeabilitatea magnetică a miezului solenoidului, N este numărul de spire al solenoidului, iar I este intensitatea curentului electric prin fiecare spiră. Fluxul de inducţie magnetică prin solenoid se obţine prin însumarea fluxurilor magnetice prin fiecare dintre spire : Φ = NBS S fiind suprafaţa unei spire. Înlocuind în această relaţie expresia inducţiei magnetice obţinem : Φ= µn S I l Rezultă de aici expresia inductanţei unui solenoid : N S L = µ l Energia câmpului magnetic este dată de relaţia : LI N SI NI Wm = = µ l = 1 µ l Sl µ 71

70 Observăm că Sl = V = volumul cuprins în interiorul solenoidului şi totodată zona în care câmpul magnetic este nenul. Deci : W B m = µ V Energia magnetică a unităţii de volum, numită şi densitate de energie magnetică, are expresia : Wm B wm = = V µ adică : densitatea de energie magnetică într-un punct din spaţiu este proporţională cu pătratul inducţiei magnetice şi invers proporţională cu permeabilitatea magnetică în acel punct Inducţia magnetoelectrică, curentul de deplasare Să analizăm o experienţă simplă : se realizează un circuit electric închis, conţinând o H sursă de curent electric alternativ, un condensator, conductoare de legătură şi un ampermetru C la închiderea circuitului, ampermetrul indică trecerea unui curent electric, de intensitate i A E în acelaşi timp un ac magnetic, plasat în apropierea circuitului, indică prezenţa câmpului magnetic i Câmpul magnetic are linii de câmp închise. Putem calcula circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe curba închisă C care este în acelaşi timp şi linie de câmp : F = H dl S 1 j c C H S ( C) 7 În continuare, să considerăm în primul rând suprafaţa S 1, mărginită de conturul C, care intersectează conductorul de legătură. Conform legii lui Ampère obţinem : F = H dl= jc ds= i ( C) ( S 1 ) Putem utiliza pentru integrare şi suprafaţa S, mărginită tot de conturul C. Această suprafaţă trece printre armăturile condensatorului şi nu intersectează conductorii de legătură. Deoarece în

71 spaţiul dintre armăturile condensatorului se află un mediu dielectric, care nu permite trecerea curentului electric, rezultă că densitatea de curent în orice punct al suprafeţei S este nulă. Utilizând din nou legea lui Ampère, obţinem : F = H dl= ds= ( C) ( S ) După cum se observă, cele două rezultate sunt contradictorii, ceea ce pune la îndoială valabilitatea legii lui Ampère şi, în general, a cunoştinţelor de magnetism. Ce ar fi de făcut pentru a elimina contradicţia şi a găsi o expresie corectă a legii lui Ampère? Soluţia acestei probleme constă, formal, în a presupune existenţa unui nou tip de curent electric, numit curent de deplasare, care trebuie să se bucure de următoarele proprietăţi : densitatea totală de curent este suma dintre densitatea curentului de conducţie şi densitatea curentului de deplasare: j= jc + jd legea lui Ampère trebuie să includă contribuţia densităţii totale de curent şi nu numai cea a densităţii de curent de conducţie: H dl= j ds ( C) ( S C ) curentul de deplasare trebuie să aibă valori neglijabile în interiorul unui conductor parcurs de curent electric de conducţie: j ds= j ds+ j ds j ds= ( S ) ( S ) c ( S ) d ( S ) c i între plăcile condensatorului curentul de deplasare nu mai este neglijabil, iar: j ds= j ds= ( S ) ( S ) d i Dacă aceste condiţii sunt îndeplinite, contradicţia generată prin integrarea pe suprafeţele S 1 şi S este înlăturată, dar ne rămâne problema atribuirii unui sens fizic noţiunii de curent de deplasare. Explicaţia modernă a curentului de deplasare poate fi înţeleasă analizând evoluţia în timp a acumulării de sarcini de pe plăcile condensatorului şi a intensităţii câmpului electric în spaţiul dintre ele : fie un interval scurt de timp dt curentul electric de conducţie i c transportă în acest timp o sarcină dq = i c dt pe placa pozitivă densitatea superficială de sarcină creşte pe placa pozitivă cu cantitatea : dq dσ= S S fiind aria suprafeţei plăci 73

72 modificarea densităţii de sarcină determină o variaţie a câmpului electric dintre plăci : E de = dσ σ -σ ε unde ε este permitivitatea electrică a dielectricului dintre armături. Având în vedere definiţia vectorului inducţie electrică D = εe, i c i c putem scrie : σ+dσ i c E+dE -σ-dσ i c dd = dq S modificarea sarcinii electrice a armăturilor este echivalentă trecerii prin spaţiul dintre armături a curentului de deplasare i d, astfel încât : dq = iddt = jdsdt Înlocuind în expresia vectorului inducţie electrică, rezultă : i d dd jd dt Curentul de deplasare reprezintă de fapt viteza de variaţie a inducţiei câmpului electric dintre plăcile condensatorului. Această concluzie se poate generaliza pentru cazul oricărui câmp electric variabil în timp şi spaţiu, obţinându-se : D j= jc + t Noua formă a legii lui Ampère va fi : D H dl = j s s ( ) d + ( ) d C S c C ( SC) t sau : d H dl= j s D s ( ) d + ( ) d C S c C dt ( SC) Într-o formă simplificată se poate scrie : F = I + dφ e dt Tensiunea magnetomotoare de-a lungul unei curbe închise este numeric egală cu suma dintre intensitatea curentului electric de conducţie prin suprafaţa mărginită de curbă şi viteza de variaţie a fluxului de inducţie electrică prin aceeaşi suprafaţă. Această lege poartă denumirea de legea Maxwell-Ampère. 74

73 Se poate remarca că legea Maxwell-Ampère este asemănătoare legii Maxwell-Faraday, în sensul că pune în evidenţă un fenomen de inducţie, şi anume apariţia tensiunii magnetomotoare într-un circuit magnetic în care variază fluxul de inducţie electrică. Din acest motiv legea Maxwell-Ampère se mai numeşte legea inducţiei magnetoelectrice (similar denumirii de legea inducţiei electromagnetice în cazul legii Maxwell-Faraday) Dacă se utilizează teorema lui Stokes : ( ) H dl= H ds ( C) ( S C ) rezultă forma locală a legii Maxwell-Ampère : D H= jc + t ECUAŢIILE LUI MAXWELL Concluziile obţinute după studierea experimentală a fenomenelor electrice şi magnetice sunt cuprinse într-un grup de patru ecuaţii, numite în ansamblul lor ecuaţiile lui Maxwell. Merită remarcat faptul că meritul lui Maxwell a fost acela de a sintetiza în structura acestor ecuaţii un lung şir de rezultate experimentale şi de ipoteze făcute asupra naturii fenomenelor electromagnetice. În acest sens, contribuţia sa la dezvoltarea electromagnetismului poate fi comparată cu rolul pe care l-a avut Newton la edificarea mecanicii moderne sau Einstein la construirea mecanicii relativiste. Iată, pe scurt, forma matematică şi semnificaţia fizică a acestor ecuaţii : forma locală : D = ρ forma integrală : D ds= ρdv S V forma locală : S B = forma integrală : S B ds= Ecuaţia Maxwell-Gauss Enunţ : fluxul de inducţie electrică printr-o suprafaţă închisă este numeric egal cu cantitatea de sarcină electrică conţinută în interiorul suprafeţei Semnificaţie : ecuaţia arată că sursa câmpului electrostatic o constituie sarcinile electrice libere, distribuţia lor fiind descrisă de densitatea volumică de sarcină liberă ρ. Enunţ : fluxul de inducţie magnetică printr-o suprafaţă închisă este întotdeauna nul Semnificaţie : ecuaţia arată că nu există sarcină magnetică liberă. Cu alte cuvinte este imposibil să divizăm un magnet astfel încât să separăm un pol sud de un pol nord. 75

74 C forma locală : E = B t forma integrală : d E dl= B ds dt S C forma locală : H= j+ D t forma integrală : d H dl= j ds+ D ds dt C S S C C Ecuaţia Maxwell-Faraday Enunţ : tensiunea electromotoare indusă de-a lungul unei curbe închise este numeric egală cu viteza de variaţie a fluxului de inducţie magnetică prin suprafaţa mărginită de curbă Semnificaţie : ecuaţia arată că un câmp magnetic variabil în timp este sursă de câmp electric neelectrostatic Ecuaţia Maxwell-Ampère Enunţ : tensiunea magnetomotoare indusă de-a lungul unei curbe închise este numeric egală cu suma dintre intensitatea curentului electric de conducţie prin suprafaţa mărginită de curbă şi viteza de variaţie a fluxului de inducţie electrică prin aceeaşi suprafaţă Semnificaţie : ecuaţia arată că un câmp electric variabil în timp este sursă de câmp magnetic, dar şi curenţii electrici staţionari produc câmp magnetic Acestor patru relaţii care sintetizează proprietăţile câmpului electromagnetic li se adaugă un număr de alte patru ecuaţii, care vor fi discutate în continuare: q ( ) F= E+ v B D= εe B = µ H Forţa Lorentz Semnificaţie : ecuaţia reprezintă, în fapt, relaţia de definiţie a intensităţii câmpului electric şi a inducţiei câmpului magnetic, bazate, ca modalitate practică, pe măsurarea forţei ce acţionează asupra unei sarcini electrice de probă Semnificaţie : ecuaţiile reprezintă relaţii de material, care descriu legătura între mărimile ce caracterizează câmpul electric (intensitatea E şi inducţia D) sau câmpul magnetic (intensitatea H şi inducţia B). În cazul cel mai general ε şi µ nu sunt simpli coeficienţi de proporţionalitate. În funcţie de natura substanţei considerate, ei pot fi mărimi tensoriale, iar valoarea lor poate depinde şi de intensitatea câmpului. ρ t + j = Ecuaţia de continuitate Semnificaţie : ecuaţia de continuitate este expresia matematică a principiului conservării sarcinii electrice. În principiu, în condiţiile în care distribuţiile de sarcini şi de curenţi electrici sunt cunoscute împreună cu constantele de material, ecuaţiile lui Maxwell permit determinarea valorilor câmpului electromagnetic în toate punctele spaţiului. 76

75 1.. UNDE ELECTROMAGNETICE Să considerăm câmpul electromagnetic în vid. În acest caz nu există sarcini electrice libere şi nici curenţi electrici. Ecuaţiile lui Maxwell, adaptate la vid, au forma : B D= E= t D B= H= t Deoarece în vid : D= ε E B= µ H ne rămâne : H E= E= µ t E H= H= ε t Să calculăm expresia : ( E ). Observăm că sunt posibile două căi de lucru ( E) = ( E) E= ( ) = H E µ = E t Comparând rezultatele, obţinem : E E µε = t Această ecuaţie este similară ecuaţiei de propagare a undelor : 1 E E = c t corespunzător unei viteze de fază : 1 c = µε E = µ ( H) = µε t t În mod analog se poate obţine relaţia: H H µε = t Concluzia este aceea că în vid, o perturbaţie electrică sau magnetică, produsă într-un anumit punct din spaţiu, se va propaga din aproape în aproape, cu viteza de fază c, prin intermediul câmpurilor electrice şi magnetice variabile, care se generează reciproc. Ia naştere în acest mod o undă electromagnetică. 77

76 Fie în cele ce urmează o undă electromagnetică plană : µε E E = x t Se poate arăta că soluţia acestei ecuaţii (funcţia de undă) este de forma : E= E( u ) unde : u = x ct Vom studia în continuare proprietăţile acestei soluţii : conform ecuaţiei : Ex( x ct) Ey( x ct) Ez( x ct) E = + + = x y z rezultă : Ex( x ct) = x sau : Ex = const Deoarece unda electromagnetică se propagă doar graţie câmpurilor electrice şi magnetice variabile, o componentă constantă nu prezintă importanţă, astfel încât putem alege : Ex = E= Eyj+ E z k Vectorul intensitatea câmpului electric al undei electromagnetice plane este perpendicular pe direcţia de propagare a undei. Pentru simplificare vom folosi în continuare un sistem de axe de coordonate, astfel orientat încât vectorul E să fie paralel cu axa Ox : E= E y j conform ecuaţiei : rezultă : sau : i j k H H E = µ = µ t x y z t E x ct y ( ) ( ) H ( x ct) H ( x ct) H ( x ct) E x ct y x y z k x k = µ i+ j+ t t H H x y ( x ct) t ( x ct) t = = H H x y = const = const t 78

77 ( x ct) E y ( x ct) H z µ = t x Din aceleaşi motive pe care le-am prezentat anterior, putem lua H x = H y =, astfel încât : H= H z k Intensitatea câmpului magnetic este perpendiculară atât pe direcţia de propagare a undei electromagnetice, cât şi pe direcţia vectorului intensitatea câmpului electric. E Cei trei vectori care caracterizează unda electromagnetică c (viteza de fază), E şi H sunt perpendiculari doi câte doi, formând un triedru drept. c Putem observa că : Ey( x ct) dey( u) u dey( u) H = = x du x du Ey( x ct) dey( u) u ( ) c de y = = u t du t du sau : Ey( x ct) 1 Ey( x ct) = x c t Atunci : ( ) ( ) µ H x ct E x ct z y = = = µ 1 1 H E H t x t c µ c E Înlocuind expresia vitezei de fază, se obţine : z y z y Cum : rezultă : H z = ε µ E = E + E + E = E H = H + H + H = H E x y z y ; x y z z y H = ε µ E Intensitatea câmpului magnetic şi intensitatea câmpului electric ale unei unde electromagnetice sunt proporţionale. Densitatea de energie magnetică a undei electromagnetice este egală cu densitatea de energie electrică, aşa cum rezultă din calculul următor : 79

78 w m µ H µ ε εe = = E = = w µ Densitatea totală de energie a undei electromagnetice este : w= we + wm = we = wm = ε E Y(x) dz Y(x+dx) Să considerăm în continuare un element de volum dv = dxdydz, străbătut de unda electromagnetică. Notăm densitatea curentului de energie al undei cu Y. Prin definiţie, densitatea curentului de energie reprezintă cantitatea de energie transportată de undă în unitatea dx dy de timp, normal prin unitatea de suprafaţă : dw Y = dtds n În elementul de volum dv pătrunde în intervalul de timp dt cantitatea de energie: dw1 Y( x t) dydzdt şi iese cantitatea de energie : dw = Y( x + dx, t) dydzdt Bilanţul de energie arată că în urma acestor procese densitatea de energie din elementul de volum trebuie să crească cu cantitatea : dw dw [ Y( x, t) Y( x + dx, t) ] dydzdt 1 wxt (, + dt) wxt (, ) = = dv dxdydz Dezvoltând în serie şi limitându-ne la prima aproximaţie, rezultă : w Y = t x Având în vedere că în cazul undei plane : u d c d u d d = = ; = = t t du du x x du du putem rescrie relaţia între densitatea de energie şi densitatea curentului de energie sub forma : Integrând, obţinem : c dw du = dy du Y = wc Y= wc Deci : densitatea curentului de energie al undei electromagnetice este proporţional cu densitatea de energie a undei şi cu viteza sa de fază. Mai putem observa că : 8 e

79 we wm w E H= EH y zj k = i= i= wc ε µ εµ Deci : Y= E H Densitatea curentului de energie al undei electromagnetice mai poartă denumirea de vectorul Poynting. Vectorul Poynting poate fi calculat ca produsul vectorial dintre intensitatea câmpului electric al undei electromagnetice şi intensitatea câmpului ei magnetic Clasificarea undelor electromagnetice Formele şi manifestările radiaţiei electromagnetice sunt foarte numeroase. Cu toate acestea, elementul comun este interacţiunea radiaţiei cu sarcinile electrice sau, invers, generarea radiaţiei de către sarcinile electrice în mişcare. La frecvenţe relativ mici (sub 1 1 Hz) interacţiunea radiaţie-sarcină are loc la nivelul electronilor de conducţie din metale sau al electronilor liberi şi ionilor din mediu. În acest caz, fenomenele tipice sunt undele radio, undele radar sau microundele. Între 1 1 Hz şi 1 14 Hz (domeniul radiaţiilor infraroşii) interacţiunile privesc rotaţiile şi vibraţiile moleculelor, ca şi oscilaţiile atomilor din nodurile reţelei cristaline. Fenomenele legate de tranziţiile pe care le suferă electronii componenţi ai atomilor corespund frecvenţelor începând cu domeniul vizibil şi terminând cu razele X. În fine, radiaţiile gamma sunt asociate fenomenelor la care participă sarcinile conţinute în nucleul atomic. 81