ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α"

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε διαδοχικά ένα νόµισµα και ένα ζάρι ιιι) Ρίχνουµε ένα άσπρο και ένα κόκκινο ζάρι ιv) Από µία κάλπη που περιέχει ελαττωµατικά και καλά CD παίρνουµε CD µέχρι να πάρουµε καλό και µέχρι 3 φορές. Έστω ένα π.τ. µε δ.χ. Ω{ 0,1,,3,4,5,6} και τα ενδεχόµενα Α{ 0,3,5,6} και Β{ 1,5,4}. Να βρείτε τα παρακάτω καθώς και τις πιθανότητές τους. A, B, A B, ( A B), A B, A B, A B, ( A B) ( B A) 1 3. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύουν Ρ(Α )1/3, P( A B) 5/ 6 και Ρ(Β)/5. Να βρείτε τις πιθανότητες: Ρ(Α), P( A B), Ρ(Α-Β) 4. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύουν Ρ(Α )/3, P( A B) 1/ 6 και Ρ(Β)/5. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: ι) να πραγµατοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α, Β. ιι) να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα Α, Β ιιι) να πραγµατοποιηθεί µόνο το Α. iv) να µην πραγµατοποιηθεί το Β και να πραγµατοποιηθεί το Α. v) να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα Α, Β εφαρµογή της παραπάνω άσκησης: Σε µία µάντρα µεταχειρισµένων αυτοκινήτων τα /3 δεν έχουν τζάµια, τα /5 έχουν λάστιχα και το 1/6 έχουν λάστιχα και τζάµια.. Επιλογή ενός αυτοκινήτου στην τύχη. Σε ένα λύκειο τα /3 των αγοριών δεν παίζουν ποδόσφαιρο /5 παίζουν µπάσκετ και το 1/6 παίζουν και τα δύο αθλήµατα. Επιλογή ενός αγοριού από το λύκειο στην τύχη. Σε ένα τµήµα λυκείου τα /3 των µαθητών δεν έγραψαν πάνω από τη βάση στα Μαθηµατικά, τα /5 αρίστευσαν στα Αρχαία και το 1/6 έγραψε πάνω από τη βάση στα Μαθηµατικά και αρίστευσε στα Αρχαία. Επιλογή ενός µαθητή από το λύκειο στην τύχη. 5. Έστω ο δ.χ. Ω{ ω 1, ω, ω 3, ω 4 } ενός π.τ. και τα ενδεχόµενα Α{ ω 1, ω } και Β{ ω, ω 3, ω 4 } µε Ρ(Α)3/8, Ρ(Β)7/8 και Ρ(ω 3 )1/. να βρείτε τις πιθανότητες : Ρ(ω 1 ), Ρ(ω ), Ρ(ω 4 )

2 6. Έστω ένα π.τ. µε δ.χ. Ω{ -0, -19, -18,, 0}. Να γράψετε µε αναγραφή τα παρακάτω ενδεχόµενα του Ω και να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί καθένα από αυτά. Α{ χ Ω / x 5 10 } Β{ χ Ω / x 5 > 10 } Γ{ λ Ω / η εξίσωση χ -λχ-10 να είναι αδύνατη στο R} { λ Ω / η εξίσωση χ -λχ-10 να έχει δύο πραγµατικές ρίζες} Ε{χ Ω / χ-5>0 και 3χ<15+4χ } Ζ{ χ Ω / χ D f όπου f x ( ) x 16 } Η{ χ Ω / x 3 } 1 Θ{ χ Ω / χ D f όπου } Ι{ χ Ω / χ πολλαπλάσιο του και του 3 } x + 4 Ακολουθίες 1. Στις ακολουθίες : (αν):, 5/, 3, και (β ν ): -, 4, -8, να βρείτε : τη διαφορά ω και το λόγο λ, τον νοστό όρο, το άθροισµα των 10 πρώτων όρων, τον όρο α ν που ισούται µε 1, τον όρο β ν που ισούται µε 64, το άθροισµα +5/ το άθροισµα , το άθροισµα των όρων της (αν) µεταξύ του 10 ου και του 1 ου όρου της. 3. Να βρείτε την Α.Π. µε α 10-5 και α Να βρείτε τη Γ.Π. µε α 4 15 και α 10 15/64 5. Να βρείτε το χ ώστε: α) οι χ-4, χ+1, 3χ-19 να είναι διαδοχικοί όροι µιας Α.Π. Β) οι -, χ, χ-4 να είναι διαδοχικοί όροι σε Γ.Π. Εξισώσεις ανισώσεις απόλυτα ρίζες - συναρτήσεις 1. Να γίνουν οι πράξεις : (χ-) - (χ+1)(χ-1) +χ(χ-3). Να λύσετε τις εξισώσεις: α) χ 3-100χ0 β) χ +4χ 5 γ) (χ-)(χ+1) 3 +(-4χ+8)(χ+1)0 3. Αν η εξίσωση : (λ-)χκ+1 έχει άπειρες λύσεις ως προς χ, ν.δ.ο. η εξίσωση (3λ-6)χκ-3 δεν έχει λύσεις ως προς χ. 4. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων x 1 x και χ< Αν - χ 4 και 1 ψ να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή της παράστασης : 1 χ-7ψ+5 α b 6. Αν 0 a b νδο... < 1+ a 1+ b 7. Αν 1<χ<3 να απλοποιήσετε την παράσταση: Α x x + x 5 + x 8. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x +1 0 β) x + 4 x+ 1 γ) x 1 δ) x 1 x ε) x 4 + x x 0 στ) x 1+ x 9. Να λύσετε τις ανισώσεις α) d (x, 0) < β) d (x, 1) γ) x +5<0 δ) d (x+1, 3) < ε) 1 + x x 1 x 3 3

3 10. Να απλοποιηθούν οι ρίζες: ς 3 Α 3 4 ( 5), Β 46 5, Γ , Να δείξετε ότι τετραγωνική ρίζα του είναι ο αριθµός Να γίνουν οι πράξεις: Να αποδείξετε ότι: ( 8 3)( 18+ 1) Ν.δ.ο a) 16 b) Να λυθούν οι εξισώσεις x 5 43 x 7-3 x 6 56 x 8-4 x 5-3x 0 (3x-1) 5-3(3x-1) ) Να λυθούν οι εξισώσεις : α) 9χ -6χ+10 β) χ -5χ+60 γ) (x-1) +3 x 1-40 δ) x + ( 3 ) x 6 0 ε) χ 1-4χ Να βρείτε την εξίσωση µε ρίζες α) τους αριθµούς 3 και 5. β) τους αριθµούς χ 1 + και χ + όπου χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης χ -5χ Να λυθούν οι ανισώσεις χ -5χ+6<0 9χ -6χ+1>0 χ -3χ+5<0 χ -4<0 χ +4>0 (χ-)(χ+1)<0 -χ +χ>0 19. Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας 1. που περνά από τα σηµεία: α) Α(1, -) και Β(,3) β) Α(,1) και Β(,-4) γ) Α(3,5) και Β(1,5). που έχει κλίση ¾ και περνά από το Α(1,4) 3. που σχηµατίζει γωνία 135 ο µε τον χ χ και τέµνει τν ψ ψ στο Α(0,) 4. που είναι // µε την ευθεία ψχ-1 και περνά από το Α(1,) 5. που περνά από τα σηµεία τοµής της f(x)χ -6χ+9 µε τους άξονες 0. ίνονται τα σηµεία Α(λ+3,λ) και Β(λ+1,3λ-). Να βρείτε το λ ώστε: α) το Α να βρίσκεται στον ηµιάξονα Οχ β) το Β να βρίσκεται στον ηµιάξονα Οψ γ) το Β να βρίσκεται στο 4 ο τεταρτηµόριο 1. Έστω f(χ)3χ-7 και g(χ) χ+4.να βρείτε ι) τα κοινά σηµεία της g µε τους άξονες ii) τα κοινά σηµεία των συναρτήσεων iιι) τα διαστήµατα του χ που η f βρίσκεται : α) πάνω από τη g β) κάτω από τη g γ) πάνω από τον χχ

4 . Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση δύο συναρτήσεων f, g. Ψ Να βρείτε τα κοινά σηµεία των δύο συναρτήσεων f g Να λύσετε την εξίσωση f(x)g(x)...1. Να λύσετε την ανίσωση f(x)>g(x) χ Να λύσετε την ανίσωση f(x) g(x) χ 3. Να συµπληρώσετε την φ(χ) ώστε να είναι άρτια και στη συνέχεια να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα την φ(χ) φ(χ) χ 0 χ 4. Να σχεδιάσετε τις γραµµές α)ψ-3χ+ β) ψ -3χ γ) ψ5/χ σε διαφορετικά συστήµατα αξόνων. (δεν είναι απαραίτητος ο πίνακας τιµών) 5. a) Αν f(x)x -5x+1, να βρείτε το f(3) και να εξετάσετε αν το σηµείο Α(1,) βρίσκεται στη γραφική παράσταση της f(x) b) Αν h(x)αχ-4, να βρείτε το α αν h()6 c) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των φ(χ) χ 3 +χ -χ και σ(χ) χ 3

5 Β ΟΜΑ Α 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση η οποία και να υπολογιστεί. 5. Έστω οι ευθείες ε: ψ3(-λ )χ++7λ και δ: ψ(λ +)χ-5. Να βρείτε το λ ώστε ε//δ. 3. Να βρεθεί το λ ώστε το σύστηµα : ( χ-λψλ, λχ-ψ0 ) να έχει τη µοναδική λύση (χ ο,ψ ο ) (1,) 4. ίνεται το σύστηµα : (λ-1)χ+ψ3 και (λ +λ-)χ+λψλ+ α) να βρείτε τις τιµές του λ ώστε το σύστηµα να έχει µία µόνο λύση β) να βρείτε τη µοναδική λύση του συστήµατος όταν λ γ) να εξετάσετε αν υπάρχει τιµή του λ ώστε το σύστηµα να είναι αόριστο 5. α) Να δείξετε ότι οι ευθείες ε: λχ+ψ και δ: χ-λψ-1 τέµνονται για κάθε λεr και να βρεθεί το σηµείο τοµής τους (χ ο, ψ ο ). β) Να βρείτε το λ ώστε χ ο +ψ ο α) Να βρείτε το πρόσηµο του χ+5χ+7 για τις διάφορες τιµές του χ. β) Να βρείτε το Π.Ο. της f x x x x ( ) γ) Να λυθεί η εξίσωση [ + 3x 1] 7 7. α) Να βρεθεί το πρόσηµο του -3χ +6χ για τις διάφορες τιµές του χ β) να βρεθεί το Π.Ο. της 8 x x 3 γ) αν χε[0,] να λυθεί η εξίσωση : [( x 3) ] 3x + 6x + 3x 8. ίνονται οι ευθείες (ε): ψ(λ -1)χ +λ και (δ): ψ(-3λ-3)χ-. Α. να βρείτε το λ ώστε: α) (ε)//χ χ β) (δ)//(ε) γ) η (ε) να περνά από το σηµείοα(1,1) δ) αν 1<λ<1 και η (ε) τέµνει τον χ χ στο Β και τον ψ ψ στο Γ, τότε το εµβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ να είναι τ.µ. Β. για λ0 να βρεθεί η απόσταση του Μ(,-1) από το σηµείο τοµής Κ των ε, δ Γ. να βρείτε την ευθεία που περνά από τα σηµεία Κ,Μ. να βρεθεί η ευθεία που περνά από το Α και σχηµατίζει µε τον χ χ γωνία 45 ο x 9. Έστω ανίσωση f(x) 1 x+ x x 1,να βρείτε το Π.Ο.,να απλοποιήσετε τον τύπο της και να λύσετε την 10. Έστω ( x 1) x 1+ α) να βρεθεί το Π.Ο. β) να βρείτε τα κοινά σηµεία της f µε την ευθεία ψ1 γ) ν.δ.ο. f(-x)f(x+)

6 δ) να λυθεί η ανίσωση f(-x)+f(x+)> 11. α) Να βρεθεί το πρόσηµο του χ +5χ-6 β) να βρεθεί το Π.Ο. της x 3 1 x + 5x x 1 γ) να λυθεί η εξίσωση ( ) x 4 1 δ) να λυθεί η εξίσωση ( ) 6 x x 4 1. Έστω οι συναρτήσεις f(x)x -3,g(x)5x-9 α) να βρείτε τα σηµεία τοµής τους µε τους άξονες β) να βρείτε τα σηµεία τοµής των f,g 6 γ) να βρείτε τα διαστήµατα που η C f είναι κάτω από τη C g 13. Αν χ 1,χ ρίζες της εξίσωσης χ -3χ-50 να βρεθεί η εξίσωση µε ρίζες τις: ρ 1 χ 1-4 και ρ χ Έστω η εξίσωση x x λ α) να βρεθεί το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες χ 1,χ άνισες β) αν χ 1 χ να βρεθούν τα χ 1,χ,λ. 15. Έστω f x x + + x x ( ) ( 1)) 6 α) να βρείτε το Π.Ο. β) να βρείτε το πρόσηµο του χ -χ-6 για τις διάφορες τιµές του χ γ) να απλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης δ) να λυθεί η εξίσωση f(x)-x Έστω ( x 1 ) + x 3 x 5 α) να βρεθεί το Π.Ο. β) να λυθεί η εξίσωση f(x)1 17. Μία βιοµηχανία παράγει χ µονάδες ενός προϊόντος ηµερησίως µε κέρδος σε εκατοντάδες ευρώ που δίνεται από τη συνάρτηση : f(x)-x +400x. α) να βρείτε πόσες µονάδες χ πρέπει να παράγει ώστε να έχει µέγιστο κέρδος και ποιο είναι το µέγιστο κέρδος. β) να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση του ηµερησίου κέρδους. γ) να βρείτε µέχρι πόσες µονάδες χ το πολύ πρέπει να παράγει ηµερησίως ώστε να µην έχει ζηµιά 18. ίνεται η συνάρτηση f x t x tx ( ) ( 6) α) να λυθεί η εξίσωση f ( x ) 0 αν t 1 β) ν.δ.ο. για κάθε tε R η εξίσωση f ( x ) 0έχει δύο λύσεις γ) να βρείτε αν υπάρχει tε Rώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες αντίθετες δ) να βρείτε αν υπάρχει tε Rώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες αντίστροφες 19. ίνεται η ευθεία (ε) : ψ+5λχλ χ+3 α) αν το σηµείο Α(1,-1) ανήκει στην ευθεία να βρείτε το λ β) για τις τιµές του λ που βρήκατε στο α ερώτηµα: β 1 )ν.δ.ο. η (ε) ψ 1 4 χ+006

7 β )να βρείτε το κ ώστε η ευθεία (δ): ψ--κ 5χ να είναι παράλληλη στην (ε) Έστω f x x x ( ) α) Να βρεθεί το Π.Ο. β) Ν.δ.ο. ( f (5) + f ( ))( 13 6) [ f (3)] γ) Ν.δ.ο. f () 3 ( )(5+ ) 3 f (0) 1 f (0) + 1 δ) να βρείτε την εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθµούς f(0)+1 και f(0)-1 1. α) Να γράψετε το χ +3χ- σαν γινόµενο δύο παραγόντων 1 4x 1 β) Να λύσετε την εξίσωση x 3x + 4x 1 + x +. Έστω η 6x x 9x 4 Να βρεθεί το Π.Ο., να απλοποιηθεί ο τύπος της και να λυθεί η ανίσωση 1 3. ίνεται η x+ + x x+ x Να βρείτε το Π.Ο., ν.δ.ο. είναι περιττή και να γράψετε τον τύπο της χωρίς τα απόλυτα. 4. Ένα πλοίο κινείται σε ευθεία γραµµή και οι συντεταγµένες του ως προς ένα ορθοκανονικό σύστηµα µε αρχή των αξόνων τον θάλαµο επιχειρήσεων του Υπουργείου Ναυτιλίας, είναι : (6t,8t+3), όπου t ο χρόνος σε ώρες από τη στιγµή της αναχώρησης του από το λιµάνι Λ. α) να βρείτε τη θέση του λιµανιού Λ β) να βρείτε την απόσταση του πλοίου από το λιµάνι µία ώρα µετά την αναχώρηση του ( η µονάδα µέτρησης στο σύστηµα είναι το µίλι) γ) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας της πορείας του πλοίου 4 ε) αν η πορεία ενός άλλου πλοίου δίνεται από την εξίσωση ψ 14 3 x +, υπάρχει περίπτωση να συγκρουστούν τα πλοία; 5. Έστω η συνάρτηση f x α) να βρείτε το Π.Ο. της f(x) β) να βρείτε το ρ ώστε : ε//χ χ ( ) x 9 f (5) f ( 5) και η ευθεία (ε): ψ... x+ 7 ρ 1 γ) αν g(x) (λ-)χ + (µ-λ-f(3))χ + [f(4)] -κ, να βρείτε τους κ,λ, µ ώστε η g(x) να είναι i) σταθερή ii) ταυτοτική 6. ίνεται η εξίσωση (1): χ -(λ+)χ+λ-10,λεr. α) ν.δ.ο. έχει δύο άνισες ρίζες για κάθε λεr β) αν χ 1,χ ρίζες της (1),να βρεθεί το λ ώστε να ισχύει: (χ 1 + χ ) 3χ 1 χ +9

8 γ) αν λ να βρείτε εξίσωση µε ρίζες : ρ 1 1/ χ 1 και ρ 1/ χ 8 7. ίνεται το τριώνυµο φ(χ)(κ-λ-1)χ +(3λ-)χ+κ-3 Αν το φ(χ) έχει µοναδική ρίζα το 1 να αποδείξετε ότι κ και λ1 8. Έστω f(x)x -4x+3 Α) Να βρείτε το πρόσηµο της f(x) για τις διάφορες τιµές του χ Β) Αν χε[,3) και A Γ) Να λύσετε την ανίσωση Α< -1 ) Να αποδείξετε ότι x x x x 9 να αποδείξετε ότι [ f ( )] 19 f ( f (3)) 40 x A x Έστω 3 3 A ( 6 ) και Α) Να αποδείξετε ότι A 3 και B 1 3 Β) Να λύσετε την εξίσωση B( x 1) 4 3 Γ) Να σχεδιάσετε την ευθεία ψ ( B+ 3) x 3 B 11 A **. ίνονται οι ευθείες (ε): ψ(λ -λ)x+λ και (δ): ψ λ λ ( + + ) x Α) Να βρείτε το λ ώστε : ε // χ χ Β) Να εξετάστε αν υπάρχει λ<0 έτσι ώστε ε // δ Γ) Για λ- να βρείτε τα σηµεία τοµής (δ) µε τους άξονες και στη συνέχεια την απόσταση των παραπάνω σηµείων ) Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε τα σηµεία Μ της ευθείας (δ) που έχουν τετµηµένη χ1 να βρίσκονται στο 1 ο τεταρτηµόριο των αξόνων 31. ίνεται η συνάρτηση f(x)x -x-1. Να βρείτε τα: f ( ) f (3), f ( x+ ), f ( α 1),, f ( f ()) f ( 3) 3. Έστω f(x)x 3 +kx. α) Να βρείτε το κ αν : f()4 β) Να λύσετε την εξίσωση : f(χ)0 γ) Να λύσετε την εξίσωση : f(χ-1) f(χ)0 δ) Να λύσετε την ανίσωση : f(χ)-8f(χ)<χ, στο (0, + ) 33. Έστω f(χ)(α -1)χ +(α-1)χ+3α Να βρείτε το α ώστε η f(χ) να είναι σταθερή και στη συνέχεια να βρείτε το f(8) και f(1956)

9 34. Έστω α x 1, x 1 4 α x β, x> 1 ι) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f ιι) Να βρείτε τα α,β ώστε f(0)+ f(1)0 και f()64 ιιι) Αν α4 και β0 να λύσετε την εξίσωση: f ( 1) x f (3/ ) 9 α x 4, x< Έστω x β 1 + α x, x 0 Αν η γραφική της παράσταση τέµνει τον χχ στο - και τον ψψ στο 3,να βρείτε ι) τα α και β ιι) τον τύπο της ιιι) το λ ώστε το σηµείο Α(λ, -)εc f 36. Ποιές από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις δεν είναι συναρτήσεις και γιατί; (µον 16) Α ψ Β ψ ψ Γ χ 0 χ χ 0 χ χ 0 χ ψ 0 x ψ Ε 0 χ Από αυτές που είναι συναρτήσεις να αντιστοιχίσετε τα γραφήµατά τους µε τους σωστούς τύπους α) x+ β) f(x) -x +x γ) f(x) x 3 -x

10 37. Στο παρακάτω σχήµα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις έξι ευθειών. Να αντιστοιχίσετε την κάθε ευθεία στο σωστό της τύπο ΤΥΠΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ε 1 ε ψ ε 3 ε 4 α : ψχ β : ψ - ε 5 γ : ψ χ-3 χ 0 χ δ : ψ ε : ψ-χ-5 στ : χ ε 6 ψ Ευθεία ε 1 ε ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 Τύπος ευθείας 38. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης φ. Να συµπληρώσετε τη σωστή απάντηση στα παρακάτω 5 ψ χ χ ψ α) το πεδίο ορισµού της φ είναι το β) το σύνολο τιµών είναι το γ) οι ρίζες της συνάρτησης είναι οι. δ) φ(3). φ(0) φ(7).. ε) αν φ(α) τότε α.. στ) η εξίσωση φ(χ)4 έχει : µία - δύο - τρείς - ή τέσσερις λύσεις ; ζ) η λύση της ανίσωσης φ(χ)>0 είναι :. η) η λύση της ανίσωσης φ(χ) είναι :. θ) η φ είναι γν. αύξουσα στα διαστήµατα και γν φθίνουσα στα ι) η φ παρουσιάζει ελάχιστο στο χ. το.. και µέγιστο στο χ.. το.

11 39. ΓΕΝΙΚΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 η ίνονται οι συναρτήσεις f(x)x -4x+3, g(x)(x-1) +(x-)(x+), h(x)x +x-8 1. N.d.o. g(x)x -x-5. Να βρείτε τα σηµεία τοµής της f(x) µε τους άξονες 3. Να βρείτε το πρόσηµο της f(x) για τις διάφορες τιµές του x 4. Να βρείτε τα διαστήµατα του χ χ που η f(x) είναι πάνω από αυτόν. 5. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των g kai h 6. Να βρείτε τα διαστήµατα του χ χ που η g είναι πάνω από την h. 7. Να βρείτε το κ ώστε η f(x) να περνά από το σηµείο Α(, 3κ-4). 8. Ν.δ.ο. η συνάρτηση t( x) x+ 5 είναι σταθερή για κάθε χ 1 x 1 9. Να λύσετε την εξίσωση 7+ 4x όταν 1<x< Ν.δ.ο. (1 + h( )) (4 g( )) 17 η. ψ f(x) (ε) χ χ -1 ψ Στο παραπάνω δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f(x) και µιας ευθείας (ε) Αφού το µελετήσετε προσεκτικά, να απαντήσετε στα παρακάτω µε δικαιολόγηση. 1. να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι η : ψ x+. να υπολογίσετε το f(1) 3. να βρείτε τις ρίζες της f(x) 4. να λύσετε την ανίσωση : f(x)<0 5. να λύσετε την ανίσωση : f(x)<x+ 6. να βρείτε το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης : f(x)4 7. να γράψετε τη µονοτονία της f(x) 8. να γράψετε το ακρότατο της f(x) 9. να γράψετε αν η f(x) είναι άρτια ή περιττή ή τίποτα από τα δύο.

12 40. ίνεται το τριώνυµο φ(χ)λχ (λ-1)χ + λ-1, λ 0 Α. Να βρείτε τη διακρίνουσα και να τη γράψετε σαν γινόµενο παραγόντων Β. Να βρείτε το πρόσηµο της για τις διάφορες τιµές του λ. Γ. Να βρείτε τις τιµές του λ έτσι ώστε: το τριώνυµο φ(χ) : 1. να έχει δύο ρίζες άνισες. να έχει µία διπλή ρίζα η οποία και να υπολογιστεί 3. να µην έχει πραγµατικές ρίζες 4. να αναλύεται σε γινόµενο δύο πρωτοβάθµιων παραγόντων 5. να είναι τέλειο τετράγωνο και να γράψετε τη µορφή του 6. να είναι πάντα θετικό 7. να είναι πάντα αρνητικό 8. να είναι µη αρνητικό 9. να έχει ετερόσηµες ρίζες 10. να έχει αντίθετες ρίζες 11. να έχει ρίζα το χ 1. να έχει µοναδική ρίζα η οποία και να υπολογιστεί. Να βρείτε τις τιµές του λ έτσι ώστε: η παραβολή ψφ(χ) 1.να τέµνει τον χ χ σε δύο σηµεία.να µην τέµνει τον χ χ 3.να είναι πάνω από τον χ χ 4.να είναι κάτω από τον χ χ 5.να µην είναι πάνω από τον χ χ 6.να µην είναι κάτω από τον χ χ 7.να είναι γνησίως αύξουσα στο (-οο, 5] 8.να είναι γνησίως αύξουσα στο [5,+οο) 9.να έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία χ7 10. να έχει ελάχιστο στο χ10 11.να έχει µέγιστο στο χ10 1.να έχει µέγιστο το ψ0 13.να έχει ελάχιστο το ψ0 14.να περνά από το σηµείο Α(1,) 15.να εφάπτεται στον χ χ και να βρεθεί το σηµείο επαφής 16.να έχει σύνολο τιµών το (-οο, 1/4λ] 17.να έχει σύνολο τιµών το [0, +οο) 18.να έχει κορυφή το σηµείο Κ(,0) 1

13 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 13 ΘΕΜΑ 1 ίνεται το σύστηµα λχ+4ψ8 και χ+λψ4 α) Για ποιες τιµές του λ το σύστηµα έχει µοναδική λύση β) >> >> >> η µοναδική λύση (χ ο,ψ ο ) ικανοποιεί την εξίσωση χ+ψλ+1 ΘΕΜΑ ίνεται το φ(χ)-χ +3χ-3 α) Ν.δ.ο. φ(χ)<0 για κάθε χεr b) Να λυθεί η ανίσωση x + 3x 3 x 3 ΘΕΜΑ 3 ίνεται η συνάρτηση x x 3 1 x α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της β) Να λυθεί η εξίσωση f(x)0 γ) Να λυθεί η εξίσωση 4 x 6x+ 1 1 x ΘΕΜΑ 4 ίνεται η συνάρτηση φ(χ)λχ +κ α) ΝΑ βρεθούν τα κ,λ ώστε η γραφ. παρ. της φ να περνά από σηµεία Α(-1,-3) και Β(-1/,-) β) Για λ και κ-1 να βρείτε τα σηµεία στα οποία τέµνει η φ τους άξονες γ) Να βρεθεί η εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς κ,λ του ερωτήµατος α) ΘΕΜΑ 5 ίνεται η εξίσωση x x λ (1) α) Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε η (1) να έχει πραγµατικές ρίζες β)αν χ 1,χ οι ρίζες της (1) και ισχύει χ 1 χ,να βρείτε τις ρίζες ΘΕΜΑ 6 ίνεται η συνάρτηση f x ( ) ( x+ ) 1 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της β) Να γράψετε την f(x) σε πιο απλή µορφή γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)0 ΘΕΜΑ 7 Α) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης x x x x αν x x 3 x+ 4 3 Β) Να λυθεί η ανίσωση ( x) 7 ΘΕΜΑ 8 Έστω το φ(χ)-3χ +9χ-6 α) Να λυθεί εξίσωση φ(χ)0

14 β) Να βάλετε το κατάλληλο σύµβολο <, >, στα παρακάτω µε αιτιολόγηση σε κάθε περίπτωση φ(004).0 φ ( )...0 γ) Να λυθεί η ανίσωση φ(χ).(χ+3) 0 ΘΕΜΑ 9 ίνονται οι συναρτήσεις x 4x+ 3 και g( x) x φ ( )...0 φ(1) α) να βρεθεί το πεδίο ορισµού της ΘΕΜΑ 10 ίνεται η ευθεία (ε) : ψ λχ +µ h( x) β) αν x 1να απλοποιηθεί η h(x) g( x) α) να βρεθούν τα λ,µ αν η ευθεία περνά από τα σηµεία Α(1,5) και Β(-,-1) β) να βρεθεί το κ ώστε η ευθεία µε εξίσωση : ψ(κ -5κ+)χ+κ+3 να είναι // µε την (ε) ΘΕΜΑ 11 ίνεται η συνάρτηση 10 x + x α) να βρείτε το πεδίο ορισµού της β) ν.δ.ο. f (0) γ) να λυθεί η εξίσωση ( x 5)[ ] 1 ΘΕΜΑ 1 ίνονται οι συναρτήσεις f x x g x x ( ), ( ) 9 Να βρείτε το πεδίο ορισµού τους και να λύσετε την εξίσωση [ ] [ g( x)] 13 ΘΕΜΑ 13 x 4 ίνεται το σύστηµα + ψ λ x + λψ και η ανίσωση x < λ+ 5 Α) Για ποιες τιµές του λ το σύστηµα έχει µοναδική λύση η οποία και να βρεθεί Β) Για την τιµή του λ που το σύστηµα δεν έχει µοναδική λύση να λύσετε την παραπάνω ανίσωση ΘΕΜΑ 14 Έστω Α(χ) χ +6χ+9 και Β(χ) -χ -7χ-1 Α) Να γίνουν γινόµενα τα Α(χ) και Β(χ) Β) Αν Α( x) να βρεθεί το π.ο. και να απλοποιηθεί ο τύπος της Β ( x) Γ) Να λυθεί η ανίσωση Α ( x) < 008 ) Να λυθεί η ανίσωση 0

15 ΘΕΜΑ 15 Έστω οι ευθείες (ε): ψ(λ -5λ -)χ + µ 3 (δ): ψ(λ +4)χ-00 και (η): χ+ψ λ,µεr 15 Α) Να βρείτε το λ ώστε ε // δ Β) Να βρείτε το µ ώστε η ε να περνά από το σηµείο Μ(0,5) Γ) Υπάρχει τιµή του λ ώστε η δ // χ χ ; ) Σε ποια σηµεία τέµνει η ευθεία (η) τους άξονες και ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσής της ; ΘΕΜΑ 16 α) Να λυθεί η εξίσωση : χ -5χ+40 β) Αν ρ 1 η µικρότερη και ρ η µεγαλύτερη ρίζα της παραπάνω εξίσωσης και το ζεύγος (χ,ψ)(ρ 1, ρ ) είναι λύση του συστήµατος : ΘΕΜΑ 17 α x+ βψ 3α, να βρείτε τα α, β. α x βψ 5β+ 4 Α) Να λυθεί η ανίσωση ( x 1) < Β) Γι α -1<χ<3 να απλοποιηθεί η παράσταση : A x + x+ x x+ 1 + ( x 4) ΘΕΜΑ 18 Έστω + x x 7x 6 και το σηµείο Α(3, -1) Α) να βρεθεί το Π.Ο. και να απλοποιηθεί ο τύπος της f(x) Β) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το Α και είναι // στην ευθεία ψ -χ+3 Γ) να βρείτε το µ ώστε η συνάρτηση ΘΕΜΑ 19 f (0) µ g( x) x+ 007 να είναι σταθερή f (3) 4 Έστω η εξίσωση χ -(λ -3λ)χ-λ+10 (1). Να βρείτε το λ ώστε: Α) η (1) να έχει δύο ρίζες ετερόσηµες Β) µία ρίζα της (1) να είναι 0 αριθµός - Γ) αν χ 1,χ οι ρίζες της (1) να ισχύει: > 1 x x 1

16 Θέµα 0 Έστω f η συνάρτηση της ο οίας η γραφική αράσταση φαίνεται στο σχήµα. 16 Να βρείτε: α) το πεδίο ορισµού της f β) το σύνολο τιµών της f γ) τους αριθµούς f (0), f (8), f (4) δ) το µήκος του τµήµατος ΑΒ ε) την τιµή του λ για την ο οία το σηµείο Κ(16, λ -1) ανήκει στη γραφική αράσταση της f. Θέµα 1 ίνεται το τριώνυµο x + x 15, x R. α) Να βρεθεί το πρόσηµο του τριωνύµου. x β) Να λυθεί η ανίσωση: 0 x + x 15 γ) Να λυθεί η εξίσωση: (x 1) x Θέµα ίνεται η συνάρτηση 3x 5x+. α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. β) Να αποδείξετε ότι : ( f (5) f ( ))( 13 6) [ f (3)] +. γ) Να βρείτε την εξίσωση η οποία έχει ρίζες τους αριθµούς : ρ 1 1 f (0) 1 και ρ 1 f (0).

17 Θέµα 3 17 Έστω η συνάρτηση x 9 1 x 3 Να βρείτε το πεδίο ορισµού της, να την απλοποιήσετε καi να λυθεί η f(x)>5 Θέµα 4 ίνεται η εξίσωση χ +χ-κ 0 (1),κεR Ν.δ.ο.η (1) έχει δύο πραγµατικές ρίζες για κάθε τιµή του κ Αν ρ 1, ρ οι ρίζες της (1) τότε: Ν.δ.ο. ρ 1 + ρ -1 και ρ 1.ρ -κ και να βρείτε το αν ρ 1 (κ+ρ )+κρ >-6 Θέµα 5 ίνεται το τριώνυµο f(x)x +5x-3 1. Να λυθεί η ανίσωση f(x)<0. Aν χε(-3,1/) να λυθεί η εξίσωση x (x 6) 3. Αν χ<-3 να απλοποιήσετε το κλάσµα ( x 9)(1 x) Θέµα 6 ίνονται τα σηµεία Κ(0,) και Λ(-1,3) Α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΚΛ Β) Αν η ΚΛ έχει εξίσωση ψ -χ+ και τα Κ,Λ, Μ είναι συνευθειακά και Μ(1-λ, 4λ-3), α) ν.δ.ο. λ β) υπολογίσετε τη γωνία που σχηµατίζει η ευθεία ε: ψ+8χλ 3 χ-5 µε τον χ χ. Θέµα 7 Έστω η συνάρτηση x 4 x + x 6 Α. Να βρείτε το π.ο. της f(x). Β. Ν.δ.ο. x+ x+ 3 Γ. Να λυθεί η εξίσωση ( x + 3) 3. Να λυθεί η ανίσωση 10 x + 6 Θέµα 8 ίνονται οι συναρτήσεις f(x)x +5x-3, g(x)x -9, h(x)4x+1 1. Να γίνει το f(x) γινόµενο παραγόντων. Να βρείτε το π.ο. της 3. Να απλοποιήσετε την Κ(χ) K ( x) 4. Να λύσετε την εξίσωση K( x ) 3/ 4 5. Να λύσετε την ανίσωση 4 K( x) 5 g( x) h( x)

18 18 Θέµα 9 Έστω οι ευθείες ε: ψ(λ +4)χ+4 και δ: ψ0χ+λ,λεr 1. Να βρεθεί το λ αν ε//δ 6. Για λ -4 ν.δ.ο λ Θέµα 30 ίνεται η συνάρτηση f x x x ( ) Να βρεθεί το π.ο. της. Αν x < 1να απλοποιήστε την παράσταση Θέµα 31 και να λυθεί η εξίσωση Α(χ)7-4χ A x f x x x ( ) [ ( )] Για την τιµή του λ που η εξίσωση (λ -4)λλ -3λ+ είναι αόριστη, να λυθεί η ανίσωση d(x,λ)<5. Αν α η µεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης χ 5-81χ0, ν.δ.ο. Θέµα 3 Έστω το σηµείο Μ(λ -7λ+6, λ 1-3) 1. Να βρεθεί το λ ώστε το Μ να ανήκει στον θετικό ηµιάξονα Οψ α + 1 α 1. Να βρεθεί το λ ώστε το Μ να βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο των αξόνων 3. Αν λ να βρείτε: Θέµα 33 Α) Το συµµετρικό του Μ ως προς τον ψ ψ Β) Το συµµετρικό του Μ ως προς τη διχοτόµο ψχ Γ) Την απόσταση του Μ από το σηµείο Α(8, -7) ίνεται η συνάρτηση f(x)(λ+)χ -5λχ - µε λ Α) Αν λ1 : να λυθεί η ανισότητα 0 και να βρείτε τα πρόσηµα των f(-),f(-/3), f(5/), f (1/ ) Β) Αν χ 1, χ οι ρίζες της f(x)0 και S, P το άθροισµα και το γινόµενό τους τότε: 1. Ν.δ.ο. (S- χ 1 )(S- χ )P. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε να ισχύει : (S- χ 1 )(S- χ ) S α

19 ΘΕΜΑ 34 f x λ+ 1 x λ+ 1 x+ λ µε λ 1. ίνεται το τριώνυµο ( ) ( ) ( ) 1. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) 0 για τις διάφορες τιµές του λ R..Αν η εξίσωση ( ) 0 ( x x x x) 1 1 f x έχει δυο ρίζες x1, x, να απλοποιηθεί η παράσταση 19 Μονάδες 9 + λ 1 λ 5λ+ 6. Μονάδες 8 3. Για 0 λ, να λυθεί η ανίσωση f ( x) x Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 35 Β1. Να λύσετε την ανίσωση Β. Αν 3 x 9 x 3< < < να δείξετε ότι η συνάρτηση x 3 x 9 x 10 1 Β3. Να βρείτε την αριθµητική τιµή της παράστασης f ( x ) 15. ΘΕΜΑ 36 Μονάδες είναι σταθερή. 3 f Β 0 f x ( ) (,010) 5 όπου Μονάδες 9 Μονάδες 8 ίνεται η συνάρτηση f( x) λ x ( λ 1) x +λ 1, λ R. 010 f( x) Α. Αν λ0, να βρείτε για ποιες τιµές του x ορίζεται το κλάσµα : Κ(x), και στη συνέχεια να x + 9x 5 το απλοποιήσετε. Β. Έστω λ 0. Να δείξετε ότι αν η εξίσωση f( x) 0 έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες,τότε λ< 1. Γ. α)αν λ R { 0} και λ< 1,να υπολογίσετε το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών της f( x) 0 ως συνάρτηση του λ. β) Αν x1, x µε x1 xείναι οι ρίζες της εξίσωσης f( x) 0, να βρείτε για ποιες τιµές του λ R { 0}, ισχύει : x1 + x x1x > 0. ΘΕΜΑ 36. ίνεται η συνάρτηση f µε x f ( ) f ( 3) Λ +. f ( 3) f ( ) f ( 3) + f ( ) Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Β. Να αποδείξετε ότι Κ και Λ 5. Γ. Να προσδιορίσετε το R y Κ x+λ. Μονάδες και οι παραστάσεις f ( ) f ( ) f ( ) µ ώστε το σηµείο Μ( 1, ) Κ + και µ µ να ανήκει στην ευθεία ε :

20 . Να προσδιορίσετε το R 010 λ ώστε η ευθεία η µε εξίσωση y ( λ ) + 1 x+ 009 να είναι παράλληλη µε την ευθεία ε. Μονάδες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; y = x. εξαρτάται από το α.

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; y = x. εξαρτάται από το α. BAΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν α ρ τ η σ η : f ( x ) = a / x. Πεδιο Ορισμου: Α = =(-,0) (0, + ) (αφου πρεπει x 0) * 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον;. Aν α, θετικοι. Συνολο Τιμων: f(α) = (αφου,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ 5 ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου αχ +βχ+γ βρίκουμε την διακρίνουσα Δ=β - 4αγ και αν: Δ>0,το τριώνυμο έχει δυο ρίζες χ 1,χ και το προσημό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Θα ασχοληθούµε µε συναρτήσεις πραγµατικές πραγµατικής µεταβλητής που θα τις

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Θα ασχοληθούµε µε συναρτήσεις πραγµατικές πραγµατικής µεταβλητής που θα τις ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονοµάζουµε τη διαδικασία εκείνη όπου κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα και µόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β Το σύνολο Α ονοµάζεται πεδίου ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα