F. Dacă forţa este CURS 2 MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Transcript

1 CURS MECANICA PUNCTULUI MATERIAL. Dinamica punctului mateial Dinamica punctului mateial studiază cauzele mişcăii punctului mateial. Newton a pus bazele dinamicii clasice pin fomulaea celo tei pincipii (legi) cunoscute sub denumiea de legile lui Newton sau pincipiile dinamicii). Pincipiul I al dinamicii (pincipiul ineţiei ): Un cop îşi păstează staea de mişcae ectilinie şi unifomă sau de epaus elativ atâta veme cât asupa sa nu acţionează o foţă etenă. Ineţia=popietatea copuilo de a se opune schimbăii stăii lo. Cu cât masa copului este mai mae, cu atât ineţia lui este mai mae masa este o măsuă a ineţiei. Pincipiul II al dinamicii: Acceleaţia unui cop este diect popoţională cu foţa etenă cae acţionează asupa sa şi inves popoţională cu masa sa F a (.) m În mecanica newtoniană (clasică) nu se ţine cont de efectele eativiste (modificaea masei în funcţie de viteza copului) ecuaţia (.) se poate scie v v mv mv p d p F m a m lim lim lim (.) t t t t t t t t t t Relaţia (.) aată că foţa este deivata impulsului în apot cu timpul şi constituie cea mai geneală definiţie a foţei. În SI unitatea de măsuă pentu masa ineţială este kilogamul, ia pentu foţă este newtonul (N= foţa cae impimă o a=m/s unui cop cu m= kg) m F m a kg N (.3) s Pincipiul III al dinamicii (pincipiul acţiunii şi eacţiunii): Dacă un cop A eecită o foţă asupa copului B, atunci şi copul B acţionează asupa copului A cu o foţă egală în modul şi de sens conta. Obsevaţie impotantă: foţele de acţiune eacţiune se eecită pe obiecte difeite şi deci nu pot fi în echilibu. La cele tei pincipii menţionate, au fost adăugate ulteio alte două: Pincipiul IV al dinamicii (pincipiul supapuneii foţelo): Mai multe foţe cae acţionează asupa aceluiaşi cop, acţionează independent poducând fiecae dinte ele popiul său efect. F F F... F F a... a a... (.4) m m m m Pincipiul V al dinamicii (pincipiul elativităţii): Staea de mişcae şi de epaus ale unui cop sunt elative depinzând de staea sistemului de efeinţă consideat. Un eemplu cunoscut este acela al unui călăto aflat înt-un ten în mişcae. Călătoul este în mişcae faţă de deco, da se află în epaus faţă de ten.. Lucul mecanic F. Dacă foţa este Pesupunem că asupa unei punct mateial acţionează o foţă constantă şi mişcaea ae loc de-a lungul diecţiei cae face un unghi α cu foţa (fig..), lucul mecanic efectuat de această foţă de-a lungul vectoului deplasae,, este

2 L F F cos (.5) F F Fig..Lucul mecanic la mişcaea unui cop de-a lungul vectoului. O A B În figua. este epezentat cazul foţei cae acţionează asupa unui cop de-a lungul diecţiei O, modulul foţei depinzând de poziţia sa, F=F(). Pentu a găsi lucul mecanic efectuat de această foţă se împate deplasaea înt-un numă mae de intevale mici, Δ i, atât de mici încât să putem considea foţa constantă de-a lungul fiecăuia din ele. Lucul mecanic efectuat de foţă de-a lungul intevalului lui Δ i este (confom (.5)) Li Fi i (.6) adică este egal cu aia unui deptunghi de lăţime Δ i şi înălţime F i. Lucul mecanic total efectuat de foţa F() de-a lungul deplasăii este F() L n L n i i i F Pentu o apoimae mai eactă tebuie să împăţim deplasaea - înt-un numă cât mai mae de intevale mici Δ i. Lăţimea intevalelo va fi tot mai mică, ia la limită, când Δ i, ele devin cantităţi infinitezimale, notate d. Pe intevalele infinitezimale se păstează condiţia F( ) const., adică foţa poate fi consideată constantă. Lucul mecanic infinitezimal efectuat de-a lungul unui inteval d este dl F( ) d (.8) Lucul mecanic total de-a lungul deplasăii se obţine însumând contibuţiile infinitezimale dl i i (.7) L F( ) d (.9) Fig.. Gaficul vaiaţiei foţei F() pe aa O. Semnificaţia geometică a integalei (.9) = aia de sub gaficul ce epimă dependenţa foţei de deplasae.

3 Cazul cel mai geneal este acela al lucului mecanic efectuat de o foţă vaiabilă ce detemină o deplasae a unui punct mateial pe o taiectoie oaecae descisă de vectoul de pozitie. În acest caz fomula (.8) devine lucul mecanic total este L b a dl F d (.) F d unde β este unghiul dinte foţa F şi deplasaea infinitezimală d..3 Enegia b a F cos d (.) Din viaţa de toate zilele cunoaştem faptul că eistă mai multe fome de enegie: enegia cinetică - asociată cu mişcaea unui cop, enegia potenţială - asociată cu poziţia elativă a copuilo, espectiv cu capacitatea lo de a efectua lucu mecanic, enegia intenă - asociată cu mişcaea moleculelo în inteioul unui gaz şi stâns legată de tempeatua acestuia, etc. Enegia cinetica a unui punct mateial de masa m ce se deplasează cu viteza v este mv T (.) Foţa F ce detemină deplasaea unui punct mateial înte şi, efectuează lucul mecanic dv vb va Wab F d Fd m d m v dv m m T (.3) cae este egal cu vaiatia enegiei cinetice a punctului mateial. Această elaţie epimă teoema vaiaţiei enegiei cinetice cae afimă că lucul mecanic efectuat de o foţă asupa unui punct mateial este egal cu vaiaţia enegiei cinetice a acesteia. Enegia unui sistem poate fi definită deci ca şi capacitatea sistemului de a efectua lucu mecanic..4 Legi de consevaea în mecanică A.Legea consevăii enegiei pentu sisteme izolate (legea fundamentală de consevae în fizică); edusă la limitele mecanicii, ea afimă că enegia mecanică totală (enegia cinetică, T + enegia potenţială, U) a unui sistem izolat este constantă T U const. (.4) Eistă situaţi în cae, apaent, legea consevăii enegiei nu este espectată. Fie foţele de fecae datoită căoa un cop aflat în mişcae se opeşte la un moment dat. Făcând un bilanţ enegetic, s-a păea că ae loc o piedee de enegie. De fapt, enegia cinetică a copului este înmagazinată de atomii din inteioul copului şi din mediul înconjuăto sub fomă de enegie caloică. Astfel, enegia piedută se egăseşte de fapt sub fomă de enegie caloică în copul espectiv şi în mediul înconjuăto. B.Legea consevăii impulsului - afimă că impulsul unui sistem izolat se consevă dp (ămane constant). Foţa cae acţionează asupa acelui punct mateial este F (.). Un sistem izolat este acela pentu cae suma foţelo cae acţionează asupa sa este F. Atunci avem dp p const. C.Legea consevăii momentului cinetic - afimă că pentu un sistem izolat (pe cae acţionează o foţă şi espectiv un moment al foţei nule) momentul cinetic ămâne constant. 3

4 Fie o foţa F ce acţionează asupa unui punct mateial P, a căui poziţie este dată de vectoul de poziţie (fig..3). Momentul foţei, M, ce acţionează asupa punctului mateial (în apot cu oiginea O) este definit M F (.5) M O P F Fig..3 Momentul foţei F ce acţioneaza asupa punctului mateial, M. Momentul cinetic al punctului mateial P (vezi figua.4) este definit L L p (.6) O P p p Fig..4 Momentul cinetic al punctului mateial P. Se demonstează că dl d dp p v p F F M (.7).5 Enegia şi masa Una din legile de consevae fundamentale este legea consevăii mateiei. Studiul fenomenelo elativiste şi descopeiile lui Einstein au sugeat faptul că, pentu păstaea valabilităţii uno legi fizice, masa unei paticule tebuie edefinită (.8) m m v Aici m o este masa de epaus a paticulei (în epaus faţă de obsevato), m este masa de mişcae a paticulei (în mişcae cu viteza v faţă de obsevato) şi c este viteza luminii (ae valoaea constantă de 3 8 m/s). Fomula (.8) aată că o dată cu vaiaţia vitezei punctelo mateiale se poduc efecte elativiste constând în modificaea masei acestoa (aceste efecte nu se efeă la modificaea cantitătii de substanţă dint-un obiect). Enegia cinetică nu mai este m v, ci devine c E c =mc - m c =(m-m )c = mc (.9) 4

5 Confom (.9), enegia cinetică a unei paticule este podusul dinte c şi ceşteea de masă m cae ezultă din mişcaea acestei paticule. Ajungem astfel la pincipiul echivalenţei dinte masă şi enegie, enunţat pentu întaia oaă de Einstein, cae afimă că pentu oice cantitate de enegie E, de oice tip, tansmisă unui obiect mateial, masa obiectului va ceşte cu o cantitate m = E/c..6 Cinematica otaţiei Fie mişcaea de otaţie a unui punct mateial de pe un disc otito. Figua.5 pezintă un disc cae se oteşte în juul aei sale de simetie pependiculae pe supafaţa sa. Int-un inteval de timp dat fiecae punct mateial de pe disc se deplasează cu acelaşi unghi, da vitezele de deplasae ale acesto puncte (măsuate pe acele coespunzătoae) vo fi difeite (un punct mai îndepătat de aă se mişcă mai epede decât unul aflat în apopieea aei). P Δ Fig..5 Disc otito. Δ θ Un punct mateial P de pe disc, aflat la o distanţă faţă de centu, se mişcă de-a lungul unui ac de cec pe distanţa Δs. Viteza liniaă (peifeică) a punctului mateial este s v (.) t Unghiul de otaţie al discului - unghiul mătuat de ază (epimat în adiani) este s (.) Viteza unghiulaă ω a discului este (.) t Viteza unghiulaă este o măime fizică vectoială, pependiculaă pe planul mişcăii ciculae. Unitatea de măsuă a vitezei unghiulae este adianul/secundă (s - ). Acceleaţia unghiulaă - viteza de vaiaţie a vitezei unghiulae ad t s (.3) Relaţia înte viteza liniaă a ununi punct mateial de pe disc şi viteza unghiulaă a discului este (am folosit (. şi (.) s v (.4 t t sau sub fomă vectoială (fig..6) v (.5 5

6 p v L 9 Fig..6 Viteza unghiulaă Analog, înte acceleaţia tangenţială a unui punct mateial de pe disc şi acceleaţia unghiulaă a discului, eistă elaţia v a (.6 t t sau, vectoial a (.7 Acceleaţie liniaă (centipetă), a c apae la fiecae punct mateial de pe disc; este îndeptată spe inteio de-a lungul liniei adiale şi ae modulul v a c (.8) Eistă o analogie înte mişcaea de tanslaţie şi mişcaea de otaţie..7 Enegia cinetică în mişcaea de otaţie Un cop aflat în mişcae de otaţie posedă o enegie cinetică asociată acestei mişcăi. Aceasta este suma enegiilo cinetice ale punctelo mateiale cae alcătuiesc acel cop. Dacă m i şi v i sunt masa şi espectiv viteza unui asemenea punct mateial, enegia cinetică a copului aflat în mişcae de otaţie este T mivi mi i mi i I (.9) Podusul dinte masa unui punct mateial şi pătatul distanţei sale faţă de aa de otaţie, i, este momentul de ineţiei I i al acelui punct mateial. Pin însumaea (în elaţia (.9)) a momentelo de ineţie ale punctelo mateiale din cae este compus copul obţinem momentul de ineţie al copului, I. Din (.34) constatăm că viteza unghiulaa joacă olul vitezei v din mişcaea de tanslatie, ia momentului de ineţie, I, joacă olul masei m din mişcaea de tanslaţie. Momentul de ineţie pentu un element infinit mic al copului aflat în otaţie este di dm dv (.3) unde este densitatea copului şi dv este volumul unui element de volum infinit mic al copului studiat. Momentul de ineţie pentu întegul cop se calculeaza integând elaţia (.3) pe volumul V al copului I dv (.3) V.8 Mişcaea de tanslaţie şi mişcaea de otaţie 6

7 Am văzut în paagaful pecedent analogía cae eistă înte epesiile pentu enegia cinetică în mişcaea de tanslaţie, espectiv mişcaea de otaţie. Această analogie eistă şi înte alte măimi fizice şi ecuaţii caacteistice ale celo două mişcăi (tabelul.). Tabel. Compaaţie înte mişcaea de tanslaţie şi mişcaea de otaţie. Mişcaea tanslaţie de Ecuaţia Mişcaea de otaţie Ecuaţia Deplasaea Δ Intevalul unghiula Δθ Viteza v = Δ/Δt Viteza unghiulaă ω = Δθ/Δt Acceleaţia Ecuaţiile mişcăii unifom acceleate a v / t Acceleaţia unghiulaă v v at v v v t at a / Ecuaţiile mişcăii unifom acceleate / t t t t / Masa m Momentul de ineţie I m Impuls p mv Momentul cinetic L I Foţa F Momentul foţei M F Puteea P Fv Puteea P Legea a II-a a lui F dp / Legea a II-a a lui M dl / I Newton Newton Enegia cinetică T mv / Enegia cinetică I / T.9 Foţe consevative Fie un domeniu din spaţiu unde în fiecae punct acţionează o foţă câmp de foţe. Câmp de foţe consevativ acel câmp de foţe în cae lucul mecanic efectuat de câmp asupa unui punct mateial pentu a-l deplasa de-a lungul unei cube închise este nul. Fie un punct mateial (vezi fig..7) ce se deplasează de la poziţia a la poziţia b de-a lungul căii şi se întoace la a de-a lungul căii. Taiectoia acestui punct mateial este o cubă închisă. Dacă câmpul de foţe este consevativ, atunci lucul mecanic efectuat asupa paticulei de-a lungul cubei aba este nul W ba, W ba, Wab, Wba,.3) b a Fig..7 Căi închise în câmpul foţelo consevative. 7

8 de unde Consideăm acum că punctul mateial se mişcă de la a la b de-a lungul căii, putem scie W W (.33) ab, ba, W W (.34) ab, ab, Deci, dacă un câmp de foţe este consevativ, lucul mecanic efectuat asupa unui punct mateial nu va depinde de taiectoia acestuia ci numai de poziţiile sale iniţială şi finală. Pinte câmpuile consevative se număă cele electice şi cele gavitaţionale. Dacă aplicăm acum opeatoul de difeenţiee asupa elaţiei (.4) obţinem dt du (.35) cae aată că vaiaţia enegiei cinetice a unui punct mateial este egală cu aceea a enegiei sale potenţiale. Cu elaţia.3, elaţia.36 devine du dt dw F d (.36) de unde du du F (.37) d d unde temenul din deapta ecuaţiei.4 este gadientul enegiei potenţiale foţa este egală cu gadientul enegiei potenţiale U, luat cu semnul minus (numai in campui consevative) U U U F gadu i j k (.38) y z OSCILAŢII. Mişcaea oscilatoie Una dinte cele mai impotante mişcăi întâlnite în natuă este mişcaea oscilatoie, deteminată de acţiunea foţelo elastice. Mişcaea oscilatoie este o mişcae peiodică deoaece constă în ealizaea unei deplasăi ciclice a sistemului (deplasăi cae se epetă la intevale egale de timp). Ea este caacteizată pin: -peioada mişcăii (T) (=timpul necesa pentu efectuaea unei deplasăi ciclice complete în timpul deulăii mişcăii; -fecvenţa mişcăii (ν) (= număul de mişcăi ciclice complete efectuate în unitatea de timp). Pe baza acesto definiţii vom avea t T n T (.39) n t unde n epezintă număul de oscilaţii complete efectuate de sistem în timpul t. În SI peioada se măsoaă în secunde, T SI s, ia fecvenţa se măsoaă în hetzi, s Hz. -pulsaţia (ω), legată de fecvenţă pin elaţia (.4) T Cele mai impotante mişcăi oscilatoii sunt: a.oscilaţiile amonice; b. oscilaţiile amotizate; c. oscilaţiile foţate. 8

9 . Oscilaţiile amonice Fie un cop de masă m pins de un peete vetical pin intemediul unui esot şi cae se poate mişca pe planul oizontal făă fecae (fig..8). O F e m Fig..8 Mişcaea oscilatoie amonică. Pesupunem că foţa de ezistenţă din patea mediului înconjuăto este neglijabilă. Scoatem copul din poziţia de echilibu şi îl lăsăm libe. El se va mişca de o pate şi de alta a poziţiei sale de echilibu efectuând o mişcae oscilatoie amonică. Mişcaea este deteminată de apaiţia în esot a unei foţe elastice de evenie, F e. Mişcaea oscilatoie amonică constă în deplasaea unui obiect de-a lungul unei ae sub acţiunea unei foţe elastice. Distanţa la cae se afla obiectul la un moment dat faţă de poziţia de echilibu se numeşte elongaţie. Elongaţia maimă epezintă amplitudinea mişcăii oscilatoii amonice (notată cu A). Elongaţia şi amplitudinea se măsoaă în meti. Pentu a afla ecuaţia de mişcae a oscilatoului amonic sciem ecuaţia pincipiului II al dinamicii F e ma (.4) Deoaece mişcaea oscilatoie amonică este podusă de o foţa elastică, egalăm epesia (.4) cu epesia foţei elastice (F e =-k unde k este constanta elastică ia este elongaţia mişcăii oscilatoii amonice) ma k (.4) sau d m k (.43) Înmulţind elaţia anteioaa cu k şi notând, ecuaţia (.43) devine m m d (.44) Această elaţie este o ecuaţie difeenţială de odinul, omogenă. Soluţia ei este elongaţia oscilatoului amonic, (t), o funcţie cae depinde de timp. Ecuaţia (.44) se numeşte ecuaţia mişcăii oscilatoului amonic (sub foma difeenţială). Pentu a ezolva ecuaţia (.44) avem nevoie de o funcţie a căei a doua deivată tebuie să fie egală cu funcţia însăşi, cu semnul minus, cu ecepţia factoului constant. Să obsevăm faptul că o asemenea popietate o au funcţiile sinus şi cosinus 9

10 d (cost) = -cost (.45) d (sint) = -sint Evident, ezultatul nu se modifică dacă înmulţim funcţia sinus/cosinus, cu o constantă, A. Astfel, o soluţie a ecuaţiei (.45) a putea fi de foma = Asin( t + ) (.46) Astfel, am găsit o soluţie geneală (.46) pentu ecuaţia (.46), soluţie în cae constantele A şi φ (amplitudinea şi faza iniţială a mişcăii) sunt necunoscute. Menţionăm faptul că elaţia (.46) epezintă şi ea ecuaţia mişcăii oscilatoului amonic (sub foma integală). Pentu ezolvaea ecuaţiei (.44) se pune acum poblema deteminăii paametilo A şi φ cae apa în soluţia geneală (.46). Să obsevăm mai întâi faptul că deivând ecuaţia (.46) în apot cu timpul o dată, espectiv de două oi, obţinem epesiile pentu viteza, espectiv acceleaţia oscilatoului amonic d v A cos( t ) (.47) dv d a A sin( t ) Pentu a detemina constantele A si tebuie să cunoaştem condiţiile iniţiale ale mişcăii oscilatoii amonice elongaţia initiala ( ) şi viteza iniţială (v ). Impunem aceste condiţii elongaţiei (.46) şi vitezei (.47) şi obţinem un sistem de ecuaţii v Asin A cos (.47) pe cae il ezolvăm. Aflăm astfel constantele A şi, adică deteminăm soluţia ecuaţiei (.44). Obsevăm că valoile soluţiei (.46) se epetă după un numă înteg al intevalului de timp π/ω, deci π/ω epezintă peioada T a mişcăii. Putem astfel scie k (.48) m T Cantitatea ω, despe cae am discutat şi la elaţia (.43) poată numele de fecvenţă unghiulaă (sau pulsaţia popie) a mişcăii oscilatoii amonice şi este independentă de amplitudine. Cantitatea ωt +φ epezintă faza mişcăii, ia φ este faza iniţială a mişcăii. În fig..9 este edată epezentaea gafică a legii de mişcae a oscilatoului linia amonic (.47) pentu cazul φ =.

11 (cm) A t (s) -A Fig..9 Vaiaţia în timp a elongaţiei în mişcaea oscilatoie amonică. Deivând legea de mişcae (.46) în apot cu timpul o dată espectiv de două oi obţinem viteza, espectiv acceleaţia oscilatoului amonic v A cos( t ) (.49) a A sin( t ) Enegia cinetică ( E c ), enegia potenţială (U) şi enegia totală (E) a oscilatoului amonic sunt date de elaţiile mv Ec m A cos ( t ) k U ka sin ( t ) m A sin ( t ) (.5) E Ec U m A ka Enegia totală pentu un oscilato amonic se se consevă. După ce a început mişcaea amonică, obiectul va oscila cu amplitudine, fază şi fecvenţă constante. Enegia potenţială a mişcăii oscilatoii amonice se epezintă pint-o paabolă, ia foţa elastică cae detemină mişcaea oscilatoie amonică du F k (.5) d pint-un segment de deaptă tangent la paabolă. Foţa se anulează în punctul minim al cubei enegiei potenţiale (fig..). Fig.. Dependenţa enegiei potenţiale şi a foţei elastice de elongaţie în mişcaea oscilatoie amonică.