CINEMATICA. Cursul nr.2
|
|
- Ειδοθεα Κυπραίος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Cusul n. CINEMATICA Cinematica este capitolul mecanicii clasice cae studiaza miscaea copuilo faa a tine cont de cauzele cae stau la baza miscaii. Temenului cinematica vine de la cuvantul gecesc kinematmiscae. 1. Notiuni fundamentale ale cinematicii 1.1 Punctul mateial Pentu a descie miscaea in spatiu a unui cop este necesa sa se utilizeze notiuni din geometie, cum a fi: punctul, pozitia unui punct in spatiu, cuba, distanta dinte doua puncte, etc. Deoaece geometia opeeaza cu concepte abstacte, faa coespondent in lumea fizica eala, este necesa sa se ecuga la unele simplificai cae sa pemita tataea ealitatii fizice cu ajutoul matematicii. De exemplu, datoita faptului ca un cop eal ae dimensiuni spatiale finite nu este posibil sa se pecizeze pozitia lui in spatiu utilizand coodonatele cateziene x,y,z, cae detemina pozitia unui punct geometic in spatiu in timp ce spatiul ocupat de cop contine o infinitate de puncte. Din acest motiv copul mateial este asimilat cu un punct geometic in cae este concentata toata masa, m, a copului. Astfel studiul miscaii copului se educe la descieea miscaii unui punct geometic in spatiu. Aceasta simplificae poata denumiea de apoximatia punctului mateial, ia punctul geometic cu cae este asimilat copul se numeste punct mateial. In geneal, aceasta simplificae ae sens in cazul in cae dimensiunile obiectului sunt mult mai mici decat distantele pacuse de el. Figua.1. Apoximatia punctului mateial 1
2 1. Pozitia punctului mateial in spatiu. Raza vectoae In matematica pozitia unui punct in spatiu este descisa de coodonatele Cateziene x,y,z, asa cum este ilustat in figua 1.a. Deoaece in majoitatea cazuilo studiate in fizica avem de-a face cu maimi vectoiale spatiale, este mai comod sa se defineasca pozitia unui punct in spatiu cu ajutoul unei maimi vectoiale decat pin setul de maimi scalae (x,y,z) din descieea cateziana. Deteminaea pozitiei cu ajutoul unui vecto este pezentata in figua.b. Vectoul poata denumiea de aza vectoae. Vectoul defineste in mod unic pozitia punctului in spatiu deoaece el ae modulul, diectia si sensul deteminate de pozitia punctului. Figua.. Deteminaea pozitiei unui punct in spatiu cu ajutoul coodonatelo cateziene (a) si cu ajutoul azei vectoae (b). Inte coodonatele cateziene (x,y,z) si aza vectoae exista umatoaea elatie, xi + yj + zk, (1) i, j si k sunt vectoii vesoi ai diectiilo x,y si z. Modulul vectoilo unde vesoi este egal cu unitatea.
3 Aceasta elatie demonsteaza echivalenta dinte cele modalitati de a defini pozitia unui punct in spatiu Taiectoia miscaii, distanta si vectoul deplasae. Ecuatiile de miscae Taiectoia miscaii este cuba descisa de punctul mateial in timpul miscaii sale (Fig..3). Sa pesupunem ca la momentul initial t i punctul mateial se gasea in punctul A, caacteizat de vectoul de pozitie i, ia la momentul final t f al miscaii el ajunge in punctul B, caacteizat de vectoul de pozitie f. In intevalul de timp t t f ti vectoul de pozitie al se defineste punctului mateial vaiaza de la i la f. Vectoul deplasae ca fiind difeenta dinte vectoul f si i : f i. () Figua.3. Totalitatea punctelo din planul x-y pin cae tece punctul mateial in miscae definesc taiectoia miscaii. Distanta pacusa de punctul mateial este egala cu lungimea segmentului de cuba AB. Modulul vectoului deplasae poata denumiea de deplasae. Lungimea, s, a segmentului de taiactoie inte punctele A si B este distanta pacusa de punctul mateial. Este de emacat ca, in geneal, 3
4 deplasaea nu este egala cu distanta. De exemplu, in cazul unei taiectoii inchise punctul mateial pleaca din punctul A si dupa pacugeea taiectoiei evine in punctul A. Este evident ca in acest caz deplasea este egal cu zeo, 0. In schimb, distanta pacusa s este egala cu lungimea taiectoiei inchise. Deoaece pozitia punctului mateial se modifica in timp ezulta ca coodonatele acestuia x, y, z sunt functii continue si unifome de timp: x x( t); y y( t); z z( t). (3) Setul de ecuatii (3) poata denumiea de ecuatiile de miscae. Pin eliminaea timpului din ecuatiile de miscae se obtine ecuatiile taiectoiei sub foma: F ( x, y, z) 0 si ( x, y, z) 0 1 F. (4) 1 De fapt, cele doua ecuatii definesc doua plane a cao intesectie este chia taiectoia Cubua si aza de cubua a taiectoiei Sa consideam doua puncte A si B pe o taiectoie cubilinie oaecae, asa cum este indicat in Fig..4. Vesoii tangentelo la taiectoie in aceste puncte ii notam cu τ si, espectiv, τ. Nomalele la tangetele din punctel A A B si B se intesecteaza in punctul C. Este uso de obseava ca atunci cand punctul B tinde spe punctul A, acul de cuba s se supapune peste acul de cec de aza R cu centul in C. Tinand cont de aceasta obsevatie se defineste aza de cubua a taiectoiei in punctul A ca fiind: R θ 0 s θ ds dθ lim. (5) Invesul azei de cubua poata denumiea de cubua : dθ C 1. (6) R ds 4
5 Figua.4. Raza de cubua a unei taiectoii oaecae Nomala la cuba in punctul A este pependiculaa la tangenta. Din punct de vedee matematic exista o infinitate de nomale la cuba in punctul A. Totusi din punct de vedee fizic pezinta intees numai doua diectii ale nomalei. Pima diectie este de-a lungul azei R, ia vesoul n al nomalei este indeptat inspe centul de cubua, C. Aceasta nomala poata denumiea de nomala pincipala. A doua nomala, case numeste binomala si ae vesoul definit de podusul vectoial: b τ n. (7) Din figua.4 ezulta ca θ τ τ sin θ (in adiani), unde am tinut cont ca atunci cand A tinde spe B si (8) τ A τ B τ, ia τ 1. In acest caz τ devine pependicula pe τ. Astfel, τ dτ dτ n lim n sau. θ 0 θ dθ ds R (9) 5
6 Aceste elatii poata denumiea de fomulele lui Fénet Viteza Pentu a studia miscaea unui mobil pe taiectoie este necesaa cunoasteea diectiei si sensului miscaii pecum si modul in cae pozitia pe taiectoie a mobilului se modifica in timp. Din aceasta cauza pe langa taiectoie, vectoul deplasae si distanta, este necesaa intoduceea uno maimi fizice cae sa contina infomatii cu pivie la modificaea in timp a pozitiei mobilului pe taiectoie. Aceste maimi sunt viteza si acceleatia. Viteza scalaa este viteza medie pe o potiune de taiectoie AB de lungime s si se defineste pin apotul s v, (10) t unde t este intevalul de timp in cae a fost pacus intevalul AB. Viteza instantanee sau momentana scalaa in punctul A la momentul t se defineste ca fiind apotul dinte distanta ds pacusa de mobil si intevalul de timp infinit mic in cae a fost pacusa: s ds v lim. (11) t 0 t Vectoul viteza medie se defineste ca fiind vaiatia vectoului deplasae in unitate de timp: v. (1) t Asa cum se poate obseva din figua.5, vectoul viteza medie ae aceiasi diectie si sens cu vectoul deplasae. Vectoul viteza instantanee sau momentana se obtine la limita t 0, atunci cand punctul A B, si se de fineste ca fiind: 6
7 v lim t 0 t d. (13) Figua.5. Vectoul viteza si vectoul viteza medie pentu o miscae cubilinie oaecae. Deoaece, la limita A B, vectoul d este tangent la taiectoie si tinand cont ca in acest caz acul este egal cu coada, d ds, elatia (13) poate fi scisa sub foma, d ds v d τ τ vτ, (14) unde vectoul τ este vesoul tangentei la taiectoie in sensul cesteii acului ds. Este de notat ca, spe deosebie de cazul vectoului viteza, modulul vectoului viteza instantanee este egal cu viteza instantanee scalaa. Din aceasta cauza in mod cuent nu se face distinctia explicita inte vectoul viteza instantanee si viteza instantanee scalaa, utilizandu-se notiunea geneala de viteza instantanee. Astfel, viteza instantanee este o maime vectoiala tangenta la taiectoie a caui modul este egal cu distanta pacusa de mobil apotata la intevalul de timp infinitezimal,, in cae a fost pacusa. 7
8 Obsevatie. Deoaece in mod cuent ne inteeseaza distanta pacusa de un mobil s, nu deplasaea lui, in pactica se utilizeaza temenul de viteza scalaa si instantanee definite de elatiile (10),(11) si (14). 1.6 Acceleatia Int-o miscae cubilinie oaecae viteza v vaiaza si ca maime (modul) si ca diectie. O maime a aceste vaiatii este vectoul acceleatie. Analog vectoului viteza, acceleatia medie si acceleatia momentana se definesc cu ajutoul umatoaelo elatii: Acceleatia medie: v t Acceleatia momentana: a (15) v a lim t 0 t dv d. (16) Asa cum ezulta din elatia (16) acceleatia a este deivata de udinul unu a vitezei sau deivata de odinul doi a vectoului de pozitie in apot cu timpul. Pentu a detemina diectia vectoului acceleatie instantanee, sa deivam in apot cu timpul elatia (16) tinand cont ca viteza instantanee este data de elatia (14): a dv d ( vτ ) dv dτ τ + v dv dτ ds τ + v ds. (17) Tinand cont de fomulele lui Fénet (9), aceasta elatie devine: a dv v τ + n aτ + a n t n R, (18) unde dv d s a n, (19) 8
9 ia a n v R. (0) Figua.6. Acceleatia nomala si tangentiala int-o miscae cubilinie oaecae. Acceleatia tangentiala a a τ dv τ t t d s τ este tangenta la taiectoie si ae aceiasi diectie si sens cu viteza v fiind datoata vaiatiei in timp a modulului vitezei. Acceleatia nomala a n a n n v n R este nomala la taiectoie find indeptata spe inteioul acesteia si este datoata vaiatiei diectiei vitezei in timp. Asa cum se poate obseva din elatia (18), vectoul acceleatie ae doua componente. O componenta tangenta la cuba, a caui modul este egal cu a t, si una nomala la cuba de modul a n. Ele poata poata denumiea de acceleatie tangentiala (a t ) si, espectiv, acceleatie nomala (a n ). Componenta tangentiala este datoata vaiatiei modulului vitezei, ia cea nomala este datoata vaiatiei diectiei vectoului viteza, asa cum este ilustat in Fig..6. In concluzie, este impotant de emacat ca vaiatiei oicaui dinte paametii cae definesc vectoul viteza (modul si diectie) ii coespunde o acceleatie specifica. 9
10 EXEMPLE 1. Miscaea unifoma vaiata. Daca acceleatia tangentiala at a mobilului pe taiectoie este constanta in timp, miscaea se numeste unifom vaiata. In cazul in cae taiectoia este o linie deapta, miscaea se numeste ectilinie unifom vaiata. In cazul unei miscai ectilinii unifome acceleatia tangentiala este egala cu acceleatia totala,, deoaece in acest caz acceleatia nomla este egala cu zeo, a a a 0 t n. Acest lucu este uso de demonstat daca se tine cont ca aza de cubua a unei depte tinde la infinit, R. Din elatia (16), cae leaga viteza momentana de acceleatie, ezulta d v a. (1) Pin integaea acestei elatii obtinem pentu viteza instantanee expesia dv sau at + C a v, () unde C este o constanta de integae. Constanta de integae tebuie astfel deteminata, incat legea vitezei () sa satisfaca conditiile intiale ale miscaii. Daca pesupunem ca la inceputul miscaii t 0 viteza mobilului ea v 0, atunci v 0 a. 0 + C, sau v0 C. (3) Tinand cont de aceasta valoae a constantei de integae, obtinem pentu dependenta de timp a vitezei instantanee umatoaea expesie: v v 0 + at. (4) Temenul at epezinta cu cat s-a modificat viteza in timpul t. Astfel viteza v la momentul t este egala cu viteza la momentul initial al miscaii v 0, plus modificae vitezei at. 10
11 In mod simila, integand ecuatia obtinem ds v si tinand cont ca v v + at, 0 1 s + s + v t at, (5) 0 0 unde s 0 epezinta spatiul la momentul initial, t 0. Eliminand timpul inte ecuatile vitezei (4) si a spatiului (5) se obtine ecuatia lui Galileu: v + a( s s ). (6) v 0 0 Ecuatiile (4), (5) si (6) poata denumiea de ecuatiile miscaii unifome vaiate. Obsevatie!!! In aplicaea ecuatiilo miscaii unifom vaiate tebuie sa se tina cont daca miscaea este acceleata sau deceleata (incetinita). In cazul miscaii acceleate acceleatia este pozitiva ( a > 0 ) ia in cazul miscaii incetinite acceleatia este negativa ( a < 0 ).Acest lucu poate fi facut in doua modui : (1) fie la scieea ecuatiilo (4-6) se pune in fata temenului cae contine acceleatia semnul ±, tinand in continuae cont ca pentu miscaea acceleata semnul este plus ia pentu cea incetinita minus. In acest caz valoaea numeica a acceleatiei este intotdeauna pozitiva, () fie se sciu ecuatiile cu semnul plus, ia atunci cand se inlocuieste acceleatia cu valoaea sa numeica se tine cont ca aceasta este pozitiva pentu miscaea acceleata si negativa pentu miscaea incetinita. In cazul miscaii unifom vaiate ecuatia de miscae (5) este o paabola in planul s t (Fig..7). Tangenta la paabola este chia viteza instantanee. Gafic ecuatia vitezei este ecuatia unei depte. Panta deptei este acceleatia, ia aia maginita de deapta este spatiul s pacus de mobil in intevalul de timp t. Atentie!!! Sa nu se confunde cuba atasata ecuatiei de miscae in planul s t cu taiectoia. Mentionam ca planul s t nu este un plan in spatiul eal, in timp ce taiectoia este o cuba in spatiul fizic xyz. 11
12 Figua.7. Repezentae in planul s t a ecuatia de miscae s(t) si ecuatia vitezei v( t ) pentu o miscae unifom vaiata..miscaea ciculaa In miscaea ciculaa taiectoia este un cec de aza R (Fig..8). In acest caz in oice punct de pe taiectoie aza de cubua este egala cu aza cecului. Viteza instantanee este tangenta la cec si este data de elatia: ( Rα ) ds d dα v R Rω, (7) unde dα ω (8) este viteza unghiulaa instantanee si epezinta unghiul descis de aza in ω. unitate de timp, [ ] SI ad / s Peioada, T, a miscaii ciculae este egala cu timpul in cae mobilul executa o otatie completa. Tinand cont de definitia vitezei unghiulae (8) si de 1
13 Figua.8. Acceleatia centipeta si tangentiala in miscaea ciculaa. faptul ca unghiul descis de aza cecului pentu o otatie completa este de π ad, obtinem pentu peioada umatoaea elatie: π T. (9) ω Fecventa,ν, miscaii ciculae epezina numaul de otati complete efectuate de mobil int-o peioada : 1 ω ν. (30) T π In SI peioada se masoaa in secunde ia fecventa in Hetzi, [ ] [ ν ] s 1 Hz. SI Acceleatia tangentiala, vitezei v si este data de elatia T SI s ia a t, este datoata vaiatiei in timp a modulului d dω a t v R Rε, (31) unde 13
14 dω d α ε. (3) este acceleatia unghiulaa in miscaea ciculaa, [ ω ] SI ad s. Confom elatiei (0), acceleatia nomala sau centipeta este v a n vω ω R. (33) R Este de notat ca acceleatia nomala este datoata modificaii in timp a diectiei vectoului viteza, v. Unitatea de masua in SI atat pentu a t, cat si pentu a n este m s. In cazul miscaii ciculae unifome modulul vitezei este constant in timp, pin umae si viteza unghilaa este constanta ωconstant. In v constant acest caz ε0, a t 0, da a n 0. In miscaea ciculaa unifom vaiata acceleatia unghilaa este constanta ε ct. La fel ca si in cazul miscaii ectilinii unifom vaiate pin integaea ecuatiei (3), se obtine ecuatia vitezei unghiulae si ecuatia de miscae sub umatoaea foma: ω ω 0 + εt (34) si 1 α + t α 0 + ω 0 t ε. (35) Ecuatiile (34) si (35) sunt similae cu ecuatiile (4-5) din cazul miscaii ectilinii unifom vaiate. Pentu a detemina vectoul viteza unghiulaa, ω, vom tine cont ca ds Rdθ ωr. (36) 14
15 Pentu unghiui mici, unde ds dl, elatia (36) devine dl ωr. (37) Figua.9. Vectoul viteza unghiulaa, ω. Asa cum se poate obseva din figua.9 coada si aza cecului sunt maimi vectoiale ( dl si R ), ia elatia dinte modulele acesto maimi si modulul vitezei unghiulae ω este data de expesia (37). In mod nomal se pune umatoaea intebae: cum se defineste vectoul ω a caui modul sa fie dat de elatia (37). Din figua.9 ezulta ca daca vectoul ω este definit ca fiind un vecto a caui diectie este pependiculaa pe planul cecului cu sensul dat de egula bughiului, atunci elatia (37) nu este altceva decat modulul podusului vectoial dl ω R. (38) Tinand cont de aceasta elatie, se obtine pentu vectoul viteza, v, si acceleatie, a, expesiile: dl v ω R (39) si 15
16 dv d a ( ω R) ε R + ω ( ω R), (40) dl dr unde am tinut cont ca. In cazul unei miscaii ciculae unifome ε 0, ia elatia (40) devine a ω ω. (41) ( R) 16
r d r. r r ( ) Curba închisă Γ din (3.1 ) limitează o suprafaţă de arie S
- 37-3. Ecuaţiile lui Maxwell 3.. Foma integală a ecuaţiilo lui Maxwell Foma cea mai geneală a ii lui Ampèe (.75) sau (.77) epezintă pima ecuaţie a lui Maxwell: d H dl j ds + D ds (3.) S dt S sau: B dl
Διαβάστε περισσότερα4. CÂTEVA METODE DE CALCUL AL CÂMPULUI ELECTRIC Formule coulombiene
Patea II. Electostatica 91 4. CÂTEVA METOE E CALCUL AL CÂMPULUI ELECTIC i) Cazul 4.1. Fomule coulombiene Fie o sacină electică punctuală, situată înt-un mediu omogen nemăginit, de pemitivitate ε. Aplicăm
Διαβάστε περισσότεραINTRODUCERE CAPITOLUL II CINEMATICA. II. 1. Cinematica punctului material
INTRODUCERE Cel mai eident si fundamental fenomen pe cae îl obseãm în juul nostu este miscaea; expeientele au demonstat faptul cã miscaea unui cop este influentatã de copuile cae-l înconjoaã, adicã de
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα3.5. Forţe hidrostatice
35 oţe hidostatice 351 Elemente geneale lasificaea foţelo hidostatice: foţe hidostatice e suafeţe lane Duă foma eeţilo vasului: foţe hidostatice e suafeţe cube deschise foţe hidostatice e suafeţe cube
Διαβάστε περισσότεραFIZICĂ. Bazele fizice ale mecanicii cuantice. ş.l. dr. Marius COSTACHE
FIZICĂ Bazele fizice ale mecanicii cuantice ş.l. d. Maius COSTACHE 1 BAZELE FIZICII CUANTICE Mecanica cuantică (Fizica cuantică) studiază legile de mişcae ale micoaticulelo (e -, +,...) şi ale sistemelo
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραDinamica sistemelor de puncte materiale
Dinamica sistemelo de puncte mateiale Definitie: Pin sistem mateial (notat S) intelegem o multime finita de puncte mateiale (cente de masa ale uno copui) afate in inteactiune (micaea fiecaui punct depinde
Διαβάστε περισσότεραFIZICĂ. Câmpul magnetic. ş.l. dr. Marius COSTACHE 1
FIZICĂ Câmpul magnetic ş.l. d. Maius COSTACHE 1 CÂMPUL MAGNETIC Def Câmpul magnetic: epezentat pin linii de câmp închise caacteizat pin vectoul inducţie magnetică Intensitatea câmpului magnetic H, [ H
Διαβάστε περισσότερα2. ELEMENTE DE MECANICĂ NEWTONIANĂ
3. Elemente de mecanică newtoniană. ELEMENTE DE MECANICĂ NEWTONIANĂ Mecanica newtoniană studiază mişcaea copuilo macoscopice ce se deplasează cu viteze mici în compaaţie cu viteza luminii, cauzele acestei
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραF. Dacă forţa este CURS 2 MECANICA PUNCTULUI MATERIAL
CURS MECANICA PUNCTULUI MATERIAL. Dinamica punctului mateial Dinamica punctului mateial studiază cauzele mişcăii punctului mateial. Newton a pus bazele dinamicii clasice pin fomulaea celo tei pincipii
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2. Elemente de mecanica
apitolul lemente de mecanica T..1. ae sunt legile miscaii ectilinii si unifome? T... ae sunt legile miscaii ectilinii unifom vaiate? T..3. ae sunt legile miscaii ciculae unifome? T..4. entu miscaea cubilinie
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραProbleme. c) valoarea curentului de sarcină prin R L şi a celui de la ieşirea AO dacă U I. Rezolvare:
Pobleme P Pentu cicuitul din fig P, ealizat cu amplificatoae opeaţionale ideale, alimentate cu ±5V, să se detemine: a) elaţia analitică a tensiunii de ieşie valoile tensiunii de ieşie dacă -V 0V +,8V -V
Διαβάστε περισσότεραC10. r r r = k u este vectorul de propagare. unde: k
C10. Polaizaea undelo electomagnetice. După cum s-a discutat, lumina este o undă electomagnetică şi constă în popagaea simultană a câmpuilo electic E şi B ; pentu o undă amonică plană legatua dinte câmpui
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραDinamica punctului material supus la legaturi
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Am studiat miscaea punctuui mateia ibe, adica miscaea punctuui mateia numai sub actiunea foteo exteioae diect apicate. Exista situatii in cae punctu mateia este
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραV. CÂMPUL ELECTROMAGNETIC
Câmpul magnetic se manifestă pin acţiunea pe cae o execită asupa: sacinilo electice în mişcae conductoilo pacuşi de cuent magneţilo pemanenţi. Câmpului magnetic se caacteizează pint-o măime vectoială numită
Διαβάστε περισσότεραCURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA NAłIONALĂ DE FIZICĂ Râmnicu Vâlcea, 1-6 februarie Pagina 1 din 5 Subiect 1 ParŃial Punctaj Total subiect 10 a) S 2.
Rânicu Vâlcea, -6 febuaie 9 Pagina din 5 Subiect PaŃial Punctaj Total subiect a T T S S G G,75 G + S S T ( G+ S S T (,75 T T 5,5 S S G G G + S S T (,75 G + S S T (4,75 Cobinând cele atu elații ezultă:
Διαβάστε περισσότεραMinisterul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
Eamenul de bacalaueat 0 Poba E. d) Poba scisă la FIZICĂ BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Vaianta 9 Se punctează oicae alte modalităńi de ezolvae coectă a ceinńelo. Nu se acodă facńiuni de punct. Se acodă
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραAcţiunea fluidelor în repaus asupra suprafeţelor solide
Acţiunea fluidelo în eaus asua suafeţelo solide Pin analogie cu mecanica clasică se oate considea că acţiunea fluidului oate fi caacteizată de o foţă ezultantă şi un moment ezultant ce fomează îmeună un
Διαβάστε περισσότερα2. Bazele experimentale ale opticii electromagnetice
- 4 -. Bazele expeimentale ale opticii electomagnetice.. Legea lui Coulomb În expeienţa lui Coulomb s-a stabilit că în uul unui cop încăcat cu sacină electică apae un câmp de foţă, cae acţionează asupa
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότερα1. CAPITOLUL 1. Elemente de calcul vectorial şi geometrie analitică. AB se poate face de la A spre B sau AB sunt definite două sensuri (opuse).
CPITOLUL Elemente de clcul vectoil şi geometie nlitică Vectoi în pln Definiţii O măime este sclă dcă pentu detemie ei este suficientă indice unui singu numă O măime este vectoilă dcă este detemintă de
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραConţinutul modulului:
Modulul FUNDAMENTELE MECANICII Conţinutul odulului:. Noţiuni geneale. Pincipiile fundaentale ale dinaicii.3 Teoee geneale în dinaica punctului ateial.4 Enegia ecanică şi teoeele enegiei Evaluae:. Definiea
Διαβάστε περισσότερα7.1. Legile lui Kepler. Legea atracţiei universale (gravitaţionale)
7. Gavitaţia Studiul mişcăii planetelo îşi ae începutuile în astonomie, în obsevaţiile şi analizele asupa taiectoiilo Soaelui, a Lunii şi a celo cinci planete vizibile cu ochiul libe (Mecu, Venus, Mate,
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραMetrologie, Standardizare si Masurari
7 Metologie, Standadizae si Masuai 7. PÞI DE MÃSAE Puntile sunt mijloace de masuae a cao functionae se bazeaza pe metoda de zeo (compensatie) si se utilizeaza, cu pecadee, la masuaea ezistentelo da nu
Διαβάστε περισσότερα1.1. Locul şi rolul fizicii în cadrul ştiinţei, în general, şi al ştiinţelor naturii în special
Intoducee 9 INTRODUCERE Locul şi olul iicii în cadul ştiinţei în geneal şi al ştiinţelo natuii în special Fiica ca oice disciplină poate i înţeleasă şi abodată în dieite modui Impotanţa iicii eidă în pimul
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS PREFAŢĂ... BIBLIOGRAFIE
PREFAŢĂ Lucaea de faţă se adesează în pimul ând studenţilo din învăţământul supeio tehnic cu pofilul mecanic da poate fi folosită şi de studenţii de la alte pofilui cae au în planuile de învăţământ discipline
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραLaborator de Fizica STUDIUL EFECTULUI HALL
Laboato de Fizica STUDIUL EFECTULUI ALL I. Scopul Lucaii 1. Puneea in evidenta a Efectului all. Masuaea tensiunii all si deteminaea constantei all. II. Consideatii teoetice Figua 1 Efectul all consta in
Διαβάστε περισσότεραMiscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότεραMăsurarea intensităţii câmpului electric 1 şi a potenţialul electric 2 dintr-un condensator
Intensitatea câmpului electic şi potenţialul electic înt-un condensato 1 Măsuaea intensităţii câmpului electic 1 şi a potenţialul electic 2 dint-un condensato Scopul lucăii - Deteminaea intensităţii câmpului
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραSTATICA FLUIDELOR. Fluid în echilibru (repaus) = rezultanta forţelor care acţionează asupra masei de fluid este nulă.
STATICA FLUIDELOR Se ocupă cu: STATICA FLUIDELOR legile epausului fluidelo, inteacţiunile dinte fluide şi supafeţele solide cu cae acestea vin în contact. Fluid în echilibu (epaus) ezultanta foţelo cae
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραCursul 14 ) 1 2 ( fg dµ <. Deci fg L 2 ([ π, π]). Prin urmare,
D.Rs, Teoia măsii şi integala Lebesge 6 SERII FOURIER ÎN L ([, ]) Csl 4 6 Seii Foie în L ([, ]) Consideăm spaţil c măsă ([, ], M [,], µ), nde M este σ-algeba mlţimilo măsabile Lebesge, ia µ este măsa Lebesge.
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραFENOMENE MAGNETICE. MĂRIMI ŞI LEGI SPECIFICE
7 FENOMENE MAGNETICE. MĂRIMI ŞI EGI SPECIFICE 1... Măimi şi legi specifice fenomenelo magnetice 1...1. Efecte ale câmpului magnetic asupa cuentului electic. Măimi magnetice In ceea ce piveşte câmpul magnetic,
Διαβάστε περισσότεραTRANZISTORUL BIPOLAR IN REGIM VARIABIL
DE I Înduma de laboato Tanzistoul bipola în egim vaiabil Lucaea n. 3 TRANZITORL BIPOLAR IN REGIM VARIABIL upins I. copul lucăii II. Noţiuni teoetice III. Desfăşuaea lucăii IV. Temă de casă V. imulăi VI.
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραBAZELE MECANICII APLICATE
4 NIULAE MANAFI BAZELE MEANIII APLIATE PARTEA V-a DINAMIA SLIDULUI RIGID NȚINUT 6. MMENTE DE INERȚIE MEANIE... 6 6. Genealități... 6 6. Vaiația oentelo de ineție față de ae paalele... 8 6. Vaiația oentelo
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα4.2. Formule Biot-Savart-Laplace
Patea IV. Câmp magnetc staţona 57 4.2. Fomule Bot-Savat-Laplace ) Cazul 3 evenm la ecuaţle câmpulu magnetc în egmul staţona (Cap.): ot H (4.4) dv B 0 (4.5) B H (4.6) n elaţa (4.5), ezultă că putem sce
Διαβάστε περισσότεραCURS 7 Capitolul VII. ELECTROSTATICĂ
CUR 7 Capitolul VII. LCTROTATICĂ 7. acina electică lectostatica stuiaă fenomenele geneate e sacinile electice aflate în epaos. acina electică este o măime fiică scalaă cae măsoaă staea e electiae a unui
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότερα