CUPRINS PREFAŢĂ... BIBLIOGRAFIE

Transcript

1

2 PREFAŢĂ Lucaea de faţă se adesează în pimul ând studenţilo din învăţământul supeio tehnic cu pofilul mecanic da poate fi folosită şi de studenţii de la alte pofilui cae au în planuile de învăţământ discipline ca: fundamente de ingineie mecanică mecanică cinematica şi dinamica oboţilo industiali dinamica maşinilo vibaţii mecanice calculul dinamic al stuctuilo etc Deoaece la toate facultăţile şi colegiile univesitae din învăţământul supeio tehnic se pedă cel puţin una din aceste discipline în geneal se caută ca în limita oelo de cus şi aplicative disponibile să se pezinte studenţilo cât mai multe noţiuni şi metode de studiu ale fenomenelo mecanice ce apa în divese domenii tehnice Această tendinţă a cadelo didactice poate să conducă la fomaea uno specialişti bine pegătiţi şi cu un oizont lag în divese domenii ale tehnicii şi poducţiei cu condiţia ca noţiunile legile mecanicii şi metodele de studiu pezentate la cus să fie foate bine înţelese de studenţi Se poate apecia că lucaea de faţă vine în spijinul cadelo didactice şi studenţilo tocmai pentu ealizaea acestui dezideat Pezenta culegee de pobleme a fost stuctuată pe pogamele analitice ale disciplinelo de mecanică şi de vibaţii mecanice pedate studenţilo de la Facultatea de Mecanică la specializăile cu pofil mecanic Încadaea pe capitole a poblemelo din această culegee umăeşte fixaea cunoştinţelo din capitolele coespunzătoae ale cusuilo pedate pecum şi din capitolele pecedente În fiecae capitol sunt pezentate câteva pobleme ezolvate alese astfel încât să ajute al apofundaea pincipalelo noţiuni şi cunoştinţe din capitolul coespunzăto pedat la cus ia apoi sunt date enunţuile uno pobleme neezolvate înt-o succesiune logică de la simplu la conex la cae se dau ăspunsuile la întebăile din enunţ La unele pobleme ezolvate se dau mai multe metode de ezolvae pentu a se justifica ecomandaea de folosie a uneia dinte metodele pezentate în funcţie de anumite condiţii Se poate apecia că toate poblemele cupinse în pezenta culegee sunt sugestive pentu apofundaea cunoştinţelo de mecanică şi în cea mai mae pate au fost elaboate de autoi în vedeea ealizăii acestui dezideat Autoii

3 CUPRINS PREFAŢĂ Statica Reduceea sistemelo de foţe Cente de geutate 5 Echilibul punctului mateial 6 4 Echilibul copului igid 47 5 Echilibul sistemelo mateiale 6 Cinematica 85 Cinematica punctului mateial 85 Cinematica vibatiilo 5 Cinematica copului igid 6 4 Cinematica mecanismelo plane 7 5 Mişcaea elativă a punctului mateial 5 6 Compunei de mişcăi ale copului igid 59 Dinamica 7 Dinamica punctului mateial 7 Momente de inetie 9 Dinamica sistemelo mateiale 99 4 Ciocnii şi pecuţii 5 Mecanică analitică 4 Vibaţii mecanice 49 4 Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un gad de libetate 49 4 Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 77 4 Metode apoximative pentu studiul vibaţiilo BIBLIOGRAFIE

4 Reduceea sistemelo de foţe Să se educă sistemul de 5 foţe concuente dat mai jos pin expesiile analitice ale foţelo faţă de sistemul de efeinţă catezian tiotogonal dept Oxyz F i + 4j+ 5k F i + 4j 5k F i 4j+ 5k F4 i + 4j+ 5k F5 6i 8j+ 5k [ N] Rezolvae Metoda I Se pot detemina valoile absolute F i ale foţelo F i pecum şi unghiuile α ij dinte foţele F i F j ale sistemului consideat ( i j 5 ; i < j) pe baza elaţiilo cunoscute: XX i j + YY i j + ZZ i j Fi Xi + Yi + Zi α ij accos FF i j astfel încât ezultă: F F F F4 5 77N F N π α 5 α α accos 9 accos 5 α 6 4 accos α accos α α 5 accos 5 4 accos 5 α 4 π α 5 9 accos α 45 accos 5 5 Cu acestea se calculează valoaea absolută a ezultantei: pecum şi unghiuile α i 5 5 R F + FF cosα 5N i i j ij i ij i< j dinte ezultantă şi foţele F i pe baza elaţiei:

5 4 Statica - 5 Fjcosα ij j α i accos R din cae ezultă: α α α π π 5 α α 5 accos Metoda II Poiecţiile ezultantei pe axele de coodonate ale sistemului de efeinţă Oxyz sunt: X 5 X i Y 5 Y i Z 5 Z i 5 N i astfel încât ezultă: R 5k N [ ] i i π R 5 N α β γ unde α β ( sunt unghiuile făcute de ezultantă cu axele de coodonate Se obsevă că pentu educeea unui sistem de n foţe concuente este mai avantajoasă această metodă dacă n > deoaece compotă un volum de calcul mai edus faţă de pima metodă pentu deteminaea valoii absolute şi a diecţiei ezultantei Să se descompună foţa F 5i + j+ 9 k[ N] după diecţiile ( Δ ) Δ ( Δ ) date pin vectoii unitai: e ( i + j) e ( i j) e ( j+k) ( ) Rezolvae Metoda I Din condiţia: F Fe + Fe+ Fe pin poiectae pe axele de coodonate se obţin ecuaţiile: ( F+ F) 5 ( F F + F ) F 9 din cae ezultă: F 9 N F 6 N F 9 N

6 - Reduceea sistemelo de foţe 5 Expesiile analitice ale celo componente ale foţei F diijate după diecţiile necoplanae date devin: F 9 i F 6 i j F 9 j+ k N diecţiile date: ( + j) ( ) ( ) [ ] Metoda II Din datele poblemei se pot detemina uşo unghiuile α dinte π α α pecum şi unghiuile α i dinte foţa unitai e i : Fe accos accos F π π α F şi diecţiile expimate analitic pin vectoii 9 Fe α α accos accos F Fe 7 α accos accos F unde F 5 N este valoaea absolută a foţei F Pe baza elaţiei: Fjcosαij Ficosαi j dând lui i valoile se obţin ecuaţiile: F 7 F F F F + F + F din cae ezultă aceleaşi valoi F i ale componentelo foţei F diijate după diecţiile date Deoaece pentu a apecia diecţia foţei F faţă de cele componente ale sale după diecţiile necoplanae date este necesa ca şi la pima metodă să se calculeze ij unghiuile gad de dificultate α i se obsevă că cele două metode pezintă apoximativ acelaşi Placa semiciculaă cu centul O şi de ază OA OB OD R este otită cu unghiul α ca în fig în juul diametului său AB situat pe axa Ox În punctul P de pe peifeia plăcii deteminat pin unghiul β faţă de aza OD din planul Oyz acţionează foţa F pependicula pe planul plăcii Să se detemine momentul foţei în apot cu punctul O

7 6 Statica - Rezolvae Fig Metoda I Pe baza definiţiei momentului unei foţe în apot cu un punct ezultă imediat că momentul foţei F în apot cu punctul O este vectoul M epezentat în fig situat în planul plăcii pependicula pe aza OP şi având valoaea M FR Descompunând mai întâi acest vecto după diecţiile azelo OB şi OD pependiculae înte ele se obţine expesia sa analitică: M FRcosβi FRcosαsinβj+ FRsin αsinβk Metoda II Foţa F este pependiculaă pe axa Ox astfel încât se poate descompune uşo după diecţiile celolalte două axe de coodonate: F F j + F k Astfel momentele foţei F F Fsin α F Fcosα în apot cu axele de coodonate ezultă: M x F PP M F OP M x M y y M z F OP FR cosβ FR cosαsinβ M z FR sin αsinβ unde P este poiecţia punctului P pe axa Ox Se obsevă că momentele foţei faţă de axele de coodonate sunt chia poiecţiile pe aceste axe ale momentului foţei în apot cu oiginea axelo Metoda III Deoaece coodonatele punctului P de aplicaţie a foţei sunt: x OP R sinβ y PP cosα R cosαcosβ z PP sin α R sin αcosβ din definiţia momentului unei foţe în apot cu un punct se obţine:

8 M - Reduceea sistemelo de foţe 7 i j k i j k x y z Rsinβ Rcosαcosβ Rsinαcosβ F F Fsinα Fcosα FRcosβ( cos α sin α) i FRcosαsinβj + FRsinαsinβk FRcosβi FRcosαsinβj + FRsin αsinβk Obsevaţie În această poblemă este mai uşo de aplicat pima metodă deoaece foţa este pependiculaă pe vectoul de poziţie OP În geneal se ecomandă aplicaea celei de-a doua metode atât pentu calculul momentului unei singue foţe în apot cu un punct dacă baţul foţei se detemină mai geu cât şi pentu calculul momentului ezultant al unui sistem de foţe 4 Asupa unei piamide egulate având ca bază pătatul ABCD vâful V şi toate muchiile de lungime l 5m acţionează ca în fig 4 un sistem de 7 foţe expimate pin: F λav F λ DV F λ VB F 4 λvc F 5 λca F 6 λbd F λ 7 OV unde O este centul bazei ia λ 6 N m a) Să se detemine elementele tosoului de educee în O b) Să se aate că sistemul de foţe dat se educe la o ezultantă unică şi să se detemine axa centală c) La ce se educe un nou sistem de foţe aplicat piamidei obţinut pin adăugaea la sistemul de foţe iniţial a foţei F 8 λab în punctul O? Cae vo fi ecuaţiile axei centale în acest caz? Rezolvae a) Se obsevă că tiunghiuile Fig 4 isoscele VAC şi VBD sunt deptunghice în V pin umae OV l Faţă de sistemul de efeinţă Oxyz epezentat în fig 4 expesiile analitice ale foţelo sunt:

9 8 Statica - ( i + j k) l l F λ i + + j + l k + l l F λ + i + + j + l k ( i + j + k) l l F λ i + j + l k ( i + j k) l l F 4 λ i + j + l k ( i + j k) l l l l F5 λ + i + j 4 ( i j ) l l l l F6 λ i + j 4 ( i j ) F 7 λ l k k [ N] Pentu a detemina mai simplu elementele tosoului de educee în O ale sistemului de foţe dat se dau în continuae două metode de calcul bazate pe împăţiea acestuia în subsisteme de foţe Metoda I Se obsevă că pimele 4 foţe sunt concuente în V ia celelalte în O astfel încât sistemul de foţe dat se poate descompune în două subsisteme de foţe concuente cae se educ la câte o ezultantă: R F+ F + F + F4 8 j R F5 + F6 + F7 8 j+ k [ N] Momentul ezultant faţă de O al sistemului de foţe dat va fi egal cu momentul ezultantei R aplicată în V deci elementele tosoului de educee în O sunt: R + R k N R M O OV R R [ ] l i i [ Nm] Metoda II Se obsevă că subsistemele fomate din foţele F F 4 şi F 5 espectiv F F şi F 6 se educ la câte un cuplu de foţe deoaece ezultantele lo sunt:

10 F F F AV VC CA - Reduceea sistemelo de foţe 9 F + F + F λ DV+ VB+ BD λ( + + ) ( ) 6 Pentu a calcula momentele acesto cuplui de foţe cae sunt vectoi libei pentu fiecae subsistem se calculează momentul unei foţe în apot cu punctul de intesecţie al celolalte două astfel încât ezultă: i j k M VO F5 4 5 ( i j) 5 i j k M VO F ( i + j) [ Nm] Rezultanta sistemului de foţe dat va fi egală cu F 7 ia momentul ezultant faţă de O este egal cu suma vectoială a momentelo celo două cuplui obţinându-se astfel aceleaşi elemente ale tosoului de educee ca şi pin metoda pecedentă b) Deoaece podusul scala dinte ezultantă şi momentul ezultant este nul sistemul de foţe dat se educe la ezultanta unică R pe axa centală Pentu deteminaea axei centale se poate folosi teoema lui Vaignon din cae ezultă: y x x y 5 m este: c) Expesia analitică a foţei F 8 adăugată în O la sistemul de foţe iniţial F 8 λl j astfel încât elementele tosoului de educee în O ale noului sistem de foţe devin: R R+ F8 ( j+ k) [ N] M O MO i [ Nm] Se obsevă că şi în acest caz podusul scala dinte ezultantă şi momentul ezultant este nul deci şi noul sistem de foţe se educe la ezultanta unică R pe noua axă centală cae se poate detemina tot cu ajutoul teoemei lui Vaignon: ( y z) x x z y+ 5 [ m] j [ N]

11 Statica - 5 Asupa unui cub cu muchiile de lungime l acţionează un sistem de foţe pentu cae momentele ezultante în apot cu vâfuile sale A C şi E sunt: M λ A EC M λ C BC ME λ OA unde λ λ şi λ sunt constante pozitive (vezi fig 5) a) Să se detemine elaţiile dinte λ λ şi λ din condiţia ca cele momente Fig 5 ezultante să veifice popietăţile vaiaţiei tosoului de educee cu punctul de educee b) Pentu λ λ λ F să se detemine tosoul de educee în O tosoul minimal şi axa centală c) Să se detemine tosoul de educee în O tosoul minimal şi axa centală pentu un nou sistem de foţe obţinut pin adăugaea la sistemul de foţe iniţial a foţei F B F BA aplicată în vâful B al cubului l Rezolvae a) În apot cu sistemul de efeinţă Oxyz din fig 5 expesiile analitice ale celo momente ezultante sunt: MA λl( j k) MC λli ME λli cae tebuie să veifice popietăţile vaiaţiei tosoului de educee cu punctul de educee pentu un sistem de foţe aplicat unui cop igid Deoaece ezultanta încă nu se cunoaşte se poate veifica numai popietatea confom căeia poiecţiile momentelo ezultante în apot cu două puncte de educee pe deapta ce uneşte cele două puncte sunt egale Această popietate este veificată pentu peechea de puncte de educee C şi E deci mai tebuie să fie impusă pentu celelalte două peechi Pentu aceasta se calculează vesoii diecţiilo EA şi AC : EA AC e ( i k) e ( i + j) EA AC apoi se impun condiţiile: M e M E A e λ λ l l M M A C e e λ λ l l

12 - Reduceea sistemelo de foţe din cae ezultă: λ λ λ b) Pe baza fomulei de vaiaţie a momentului ezultant în apot cu două puncte de educee se pot scie elaţiile: MA MC CA R ME MC CE R MA MC AC R ME MC EC R din cae ezultă ecuaţiile: lz Fl l Z Fl ly lx Fl lz + ly Fl lx lx având ca necunoscute poiecţiile X Y Z ale ezultantei R pe axele de coodonate De aici se detemină: X Y Z F R F j+ k ( ) astfel încât se poate calcula şi momentul ezultant în apot cu oiginea axelo de coodonate: MO MC CO R Fl i + F l i Rezultă că sistemul de foţe ce acţionează asupa cubului se educe la ezultanta unică R pe axa centală ( Δ ) cae tece pin punctele O şi D aşa cum s-a epezentat în fig 5 c) Pentu noul sistem de foţe elementele tosoului de educee în O devin: R R + FB F( j + k) F j Fk M O MO + OB FB Fl k Deoaece se obsevă că cele două elemente ale tosoului de educee în O sunt coliniae având diecţia axei Oz ezultă că ele epezintă chia elementele tosoului minimal ia noua axă centală este Oz 6 Asupa unui paalelipiped deptunghic având sistemul de efeinţă Oxyz şi dimensiunile geometice epezentate în fig 6 acţionează 4 subsisteme de foţe paalele şi distibuite după cum umează: ) foţele paalele cu a doua bisectoae a planului Oyz unifom distibuite pe supafaţa OAHG de intensitate p F 6l ;

13 Statica - ) foţele paalele cu axa Oz distibuite pe supafaţa OABC astfel încât pe fâşiile paalele cu axa Ox sunt linea distibuite ia pe fâşiile paalele cu axa Oy sunt unifom distibuite de intensitate maximă p F 4l pe muchia AB; ) foţele paalele cu pima bisectoae a planului Oyz linea distibuite pe muchia GD de intensitate maximă p F l în punctele G şi D; 4) foţele paalele cu axa Oy distibuite după o semisinusoidă pe muchia CD de intensitate maximă πf la mijlocul muchiei l p 4 a) Să se Fig 6 efectueze educeea celo 4 subsisteme de foţe paalele şi distibuite b) Să se detemine tosoul de educee în O tosoul minimal şi axa centală pentu sistemul de foţe ce acţionează asupa paalelipipedului c) Ce foţă F 5 tebuie aplicată în vâful I al paalelipipedului astfel încât noul sistem de foţe ce acţionează asupa lui să se educă la un cuplu unic? Cae va fi momentul cuplului ezultant în acest caz? Rezolvae a) ) Pimul subsistem de foţe paalele şi unifom distibuite se educe la ezultanta F în centul lo C (ll ) pentu cae ezultă: F ps da p 4l l F F F e F ( j k) F( j k) ) Al doilea subsistem de foţe paalele şi distibuite se va educe la ezultanta F F k în centul C ( x l) Pentu deteminaea valoii F a acestei ezultante şi a coodonatei x a centului foţelo paalele se alege ca element de supafaţă o fâşie paalelă cu axa Oy pe cae foţele paalele sunt unifom distibuite Ca umae se obţine:

14 p ( x) x ps( x) da x 6l 4l 4l xp ( x) da 4l s p 6l 8l x x dx p ( x) da 4l F ps s - Reduceea sistemelo de foţe 4l F p F dx ) Al teilea subsistem de foţe paalele şi distibuite se educe la un cuplu de foţe deoaece pe segmentul de deaptă GE se obţine ezultanta F Fe în centul C( y l) ia pe segmentul de deaptă ED se obţine ezultanta F în centul 6l Ca umae ezultă: C ( y l) l p p pl ( y) ( l y) F ( y) dy F l l l ypl( y) dy l p l l F pl( y) dy l ( l y) l y y dy ( j + k) F( j k) F F e F + C C F F 4l i 4Fl i M 4) Pentu al patulea subsistem se obţine: πz pl4() z p4 sin l πz F4 p4 sin dz F l deci acesta se educe la ezultanta F 4 F j în centul foţelo paalele C 4 ( 6l l ) b) Elementele tosoului de educee în O sunt: R F + F + F4 F( j k) + Fk F j Fk MO OC F + OC F + M + OC4 F4 5Fl i 4Fl j + 4Fl k Deoaece R MO 4F l ezultă că sistemul de foţe consideat se educe la un toso minimal complet având elementele: R Fk M ( M k) 4F k R O l l

15 4 Statica - În acest caz poiecţiile pe axele Ox şi Oy ale ezultantei sunt nule astfel încât ecuaţiile axei centale ezultă din condiţiile: M x yz 5Fl Fy x 4l M y + xz 4Fl + Fx y 5l c) Din condiţia ca noul sistem de foţe să se educă la un cuplu se obţine: F R Fk deci momentul cuplului ezultant devine: M + OI F Fl i + 4Flk M O 5 5 Obsevaţie Axa centală ( Δ ) a sistemului iniţial de foţe se află în planul l de acesta Pin adăugaea ( Δ) M Fl i pin umae momentul cuplului ezultant pentu supafeţei ABIH fiind paalelă cu muchia IB la distanţa F 5 foţei în I cae ae ca supot muchia IB aceasta şi ezultanta de pe fomează un cuplu de moment noul sistem de foţe se poate calcula mai uşo ca suma vectoială dinte acest moment şi momentul minimal 7 Asupa unui punct mateial acţionează un sistem de foţe ale căo poiecţii pe axele sistemului de efeinţă Oxyz sunt date în tabelul de mai jos i X a) Să se detemine valoaea ezultantei i [N] Y i [N] Z i [N] sistemului de foţe şi unghiuile fomate de aceasta - cu cele foţe ale sistemului folosind ambele metode analitice pentu educeea foţelo concuente b) Ce foţă F4 paalelă cu planul Oxy tebuie aplicată suplimenta punctului mateial astfel încât noua ezultantă să fomeze cu cele foţe date iniţial unghiuile α α α accos( )? Ce unghiui fomează noua ezultantă cu foţa F 4 şi cu axele de coodonate? Răspunsui a) R N α 5 accos α accos 9 α accos

16 + j α b) F4 4( i ) 4 - Reduceea sistemelo de foţe 5 π α β γ accos 55 8 Asupa unui cop igid apotat la sistemul de efeinţă Oxyz acţionează un sistem de 4 foţe aplicate în punctele P ( m m ) P ( m ) P( m ) P ( 4 m m ) având expesiile analitice: F ( i 4 j ) F 8( i + 4 j) F 4( i + 4 j ) F i 4 j N ( ) [ ] 4 a) Să se aate că cele 4 foţe sunt paalele înte ele şi să se calculeze ezultanta lo b) Să se detemine coodonatele centului foţelo paalele şi ecuaţiile axei centale c) Ce foţă F 5 tebuie aplicată suplimenta înt-un punct Q al axei centale astfel încât noul sistem de foţe ce acţionează asupa copului să fie în echilibu? Răspunsui 4 a) R ( i 4 j) e [ N ] e i j 5 5 b) C( m m ) z 4x+ y 57 [ m] c) F5 i + 4 j e ( ) Fig 9 Fig

17 6 Statica - 9 Asupa tetaedului OABC având muchiile OA 4 a OB 8 a şi OC 6a pependiculae înte ele acţionează ca în fig 9 un sistem de 5 foţe cae se expimă pin: F λ OC F λ CA F λ AD F λ 4 DE F5 λ EO unde D şi E sunt mijloacele muchiilo AB espectiv BC ia λ este o constantă pozitivă a) Să se aate că sistemul de foţe consideat se educe la un cuplu de foţe şi să se calculeze momentul cuplului ezultant b) La ce se educe un nou sistem de foţe aplicat tetaedului obţinut pin adăugaea la vechiul sistem a foţei F 6 λ IJ în C? Punctul I se află pe muchia OA la distanţa OI a ia J se află pe OB la distanţa OJ a În acest caz să se detemine elementele tosoului de educee în O tosoul minimal şi axa centală a) b) Răspunsui M 6a λ( i + j+4 k) R aλi + aλj M O 4a λ k z x+ y 4a Se consideă pisma deaptă din fig având ca baze hexagoanele egulate cu centele O şi O pentu cae se cunosc lungimile muchiilo AB a şi AA a Asupa pismei acţionează un sistem de foţe aplicate în vâfui ale pismei ca în fig cae se expimă pin elaţiile: F λ AA F λ A D F λ DA F 4 λ BE F 5 λ EE F 6 λ E B F7 λ CC F8 λ C H F9 λ H C F λ HE F λ BD unde λ este o constantă pozitivă a) Să se aate că pimele 9 foţe ale sistemului sunt în echilibu b) Să se detemine elementele tosoului de educee în O tosoul minimal şi axa centală pentu sistemul de foţe ce acţionează asupa pismei c) Ce foţă F tebuie aplicată suplimenta în punctul O astfel încât noul sistem de foţe să se educă la un cuplu unic? Cae va fi momentul cuplului ezultant în acest caz? Răspunsui a) Pimele 9 foţe din sistemul consideat se educ la cuplui de foţe având momentele: M DA F M BE F5 M H C F7 a căo sumă vectoială este nulă R aλi + 5aλj M O z 5x+ y b) F aλi 5aλ j M a λ 5i + j ( )

18 - Reduceea sistemelo de foţe 7 Asupa unui cub având muchiile de lungime acţionează sistemul de 6 foţe din fig toate foţele având aceeaşi valoae F a) Să se detemine elementele tosoului de educee în O momentul minimal şi axa centală pentu sistemul de foţe dat b) Dacă la sistemul de foţe consideat se adaugă un cuplu de foţe având foţele sale situate în planul feţei OABC a cubului ce valoae şi ce sens tebuie să aibă momentul M al acestui cuplu astfel încât noul sistem de foţe să se educă la o ezultantă unică? Cae va fi axa centală în acest caz? l Răspunsui a) R 4 Fk M O Fli Fl j + Flk M R Fl l k x y b) M Flk l x y Fig Asupa unui cub având muchiile de lungime l acţionează un sistem de foţe fomat din 4 foţe aplicate în vâfui ale cubului ca în fig pecum şi dint-un cuplu de foţe având foţele sale situate în planul feţei OABC a cubului şi momentul M Se cunosc: F 4 F F F F F F4 λ F M Fl λ fiind un paametu înteg pozitiv a) Pentu λ să se detemine elementele tosoului de educee în O momentul minimal şi axa centală b) Pentu ce valoae a paametului λ sistemul de foţe se educe la o ezultantă unică? Cae va fi axa centală? c) Dacă λ 5 ce foţă F 5 tebuie adăugată în E la sistemul de foţe consideat astfel încât noul sistem de foţe să se educă la un cuplu unic? Cae va fi momentul acestui Fig cuplu?

19 8 Statica - Răspunsui a) R 4Fj Fk M O 5Fl i + Flk R 4Fj Fk M O 5Fl i + Flk l x y + 4z 5l 5 b) λ5 c) l l l M R 9F 5 x z F5 4 Fj M M + OE F O O 5 M O Un sistem de foţe ( ) S cae acţionează asupa unui cop igid se educe la un toso minimal complet având elementele R F i şi M Fdi pe axa centală ( Δ ) cae tece pin oiginea sistemului de efeinţă Oxyz Un alt sistem de foţe (S ) se educe la ezultanta unică R de valoae F pe axa centală (Δ ) cae este situată în planul Oxy tece pin O şi fomează unghiul α cu axa Ox Un al teilea sistem de foţe se educe la un cuplu unic de moment M paalel cu planul Oxy ( ) S de valoae Fd şi fomând unghiuile π cu ( Δ ) espectiv π α ( ) + cu Dacă asupa copului igid acţionează simultan cele tei sisteme de foţe se obţine un nou sistem de foţe ( S) a) Pentu ce valoae α ( π ) se educe sistemul de foţe ( S ) la foma cea mai simplă? În acest caz să se detemine elementele tosoului de educee în O tosoul minimal şi axa centală b) Pentu ce valoae α ( π ) noul sistem de foţe se educe la un cuplu unic? Cae va fi momentul cuplului ezultant în acest caz? c) Pentu ce valoae ( π ) axa centală a sistemului de foţe ( S ) tece pin O? La ce se educe sistemul de foţe S în acest caz? α ( ) Δ

20 - Reduceea sistemelo de foţe 9 Răspunsui π F F a) α R i + j MO Fd( ) i j M R y x z d b) α π M M O 4π F F c) α R i j M O MO M Fd R y x z 4 Asupa unui cop igid apotat la sistemul de efeinţă Oxyz acţionează un sistem de foţe ( S ) cae se educe la un toso minimal complet cu elementele R F i şi M Fdi pe axa centală ( Δ ) ce tece pin punctul A ( d ) Un alt sistem de foţe ( S ) se educe la ezultanta unică R F j pe axa centală ( Δ ) ce tece pin punctul A ( d) Un al teilea sistem de foţe ( S ) se educe la un cuplu unic de moment M Fd i +λj+k unde λ este un paametu ( ) aţional Dacă asupa copului igid acţionează simultan cele tei sisteme de foţe se fomează un nou sistem ( S) a) Pentu ce valoae λ a paametului λ noul sistem de foţe se educe la foma cea mai simplă? În acest caz să se detemine elementele tosoului de educee în O tosoul minimal şi axa centală b) Pentu ce valoae λ a paametului λ axa centală a sistemului de foţe ( S ) tece pin O? Să se detemine şi în acest caz elementele tosoului de educee în O tosoul minimal şi axa centală a) λ y R F( i j) d x z Răspunsui MO Fd i + j M R

21 Statica - b) λ i j M R 5Fd R R M O Fd( i j) y x z 5 Asupa unui cub cu muchiile de lungime acţionează un sistem de foţe Reducând acest sistem de foţe în vâfuile sale B D şi E se obţin momentele ezultante: MB λ BC MD λ CD ME λ HE unde λ λ λ sunt constante pozitive (vezi fig 5) a) Să se stabilească elaţiile dinte λ λ şi λ din condiţia ca cele momente ezultante să veifice popietăţile vaiaţiei tosoului de educee cu punctul de educee b) Pentu λ λ λ F să se detemine ezultanta sistemului de foţe momentul ezultant în apot cu O momentul minimal şi axa centală Să se calculeze coodonatele punctului Q din planul Oxy pin cae tece axa centală c) Ce foţă F Q tebuie adăugată sistemului iniţial de foţe în punctul Q astfel Fig 5 încât noul sistem de foţe să se educă la un cuplu unic? Cae va fi momentul cuplului ezultant? l Răspunsui a) λ λ λ b) R F( i + j k) M O Fl( i + j) M R Fl 5 z l 4l 5l y 5 x + 4y Q F F( Q i j+ k ) Fl ( i j k c) M M + ) R

22 - Reduceea sistemelo de foţe 6 Se consideă piamida egulată VABCD având ca bază pătatul ABCD vâful V şi toate muchiile de lungime l asupa căeia acţionează un sistem de foţe Momentele ezultante ale acestui sistem de foţe în apot cu vâfuile A B şi C ale piamidei se expimă pin elaţiile: M λ A AV M λ B AB + λ AD M C FAC unde λ λ şi λ sunt constante pozitive a) Să se detemine paametii λ λ λ şi să se expime analitic cele momente ezultante în apot cu sistemul de efeinţă Oxyz cu oiginea în centul bazei având axele Ox şi Oy paalele şi de acelaşi sens cu vectoii DA espectiv AB b) Pentu sistemul de foţe consideat să se detemine elementele tosoului de educee în O momentul minimal şi axa centală Răspunsui a) b) λ λ λ F M A Fl ( i + j + k) MB MC Fl ( i + j) R Fi M O Fl ( i + j + k) M R Fli l l y z 7 Asupa unui cop igid apotat la sistemul de efeinţă Oxyz acţionează un sistem de foţe Dacă se educe acest sistem de foţe în O se obţine o ezultantă unică Dacă se efectuează educeea în punctul A ( l l) se obţine momentul ezultant M A de valoae M A 4Fl cae fomează cu axa Ox unghiul α π B l 4l ezultă un Făcând educeea sistemului de foţe în punctul ( ) B α accos ( 8 ) 4 moment ezultant M ce fomează cu axa Ox unghiul detemine: a) ezultanta sistemului de foţe şi valoaea ei; b) expesiile analitice ale momentelo ezultante M A şi M B ; c) ecuaţiile axei centale Să se a) Răspunsui R F( i + 4j+ k) R 7F 4F ;

23 Statica - B 4 ; b) M A Fl( i k) M F( i + j) c) z x y 4 8 Asupa unui cop igid apotat la sistemul de efeinţă Oxyz acţionează un sistem de foţe pentu cae se dau momentele ezultante în apot cu punctele A B şi C după cum umează: A ( l l ) M A Fl ( i + 4 j + 4k) ( l l l) M B Fl 4i + 4 j + 7k ( l l) Fl 8i + 5 j + 8k B ( ) C ( ) M C Să se detemine: a) elementele tosoului de educee în O; b) momentul minimal şi axa centală; c) foţa suplimentaă F E şi punctul ei de aplicaţie E de pe axa Ox adăugată sistemului iniţial de foţe astfel încât noul sistem să se educă la o ezultantă unică paalelă cu Oz şi tecând pin punctul ( ) ezultantă şi noua axă centală D l În acest caz să se detemine noua Răspunsui a) R F( i + j+ k) M O Fl ( i + 5k) ; 4 b) M R 6Fl z l 4x y ( y l ) x ; 5 5 c) F F i Fj x l E 5 R Fk x y l E 9 Pentu amenajaea hidoenegetică a unui âu de munte se constuieşte un baaj din beton amat având foma unei pisme depte cu secţiunea tansvesală de fomă tapezoidală şi cu dimensiunile geometice din fig 9 Se cunosc: lungimea baajului l m înălţimea a 7 5 m lăţimea b 65 m densitatea medie a betonului amat ρ b 74 kg m densitatea apei ρ a kg m adâncimea apei în amonte H 5 m în aval h 5 m acceleaţia gavitaţională g m s 5 şi pesiunea atmosfeică p N m a) Să se educă cele sisteme de foţe paalele distibuite ce acţionează asupa baajului şi anume foţele distibuite volumetic datoită geutăţilo volumelo

24 - Reduceea sistemelo de foţe elementae din compoziţia baajului pecum şi foţele distibuite pe supafeţele plane lateale ale baajului datoită pesiunii apei din amonte şi aval b) Pentu întegul sistem de foţe ce acţionează asupa baajului să se detemine ezultanta momentul ezultant faţă de centul O al bazei baajului pecum şi axa centală Să se veifice stabilitatea baajului deteminând distanţa OI şi compaând-o cu b I fiind punctul de intesecţie dinte axa centală şi planul bazei c) Pentu cazul cel mai defavoabil de solicitae a baajului în cae în amonte apa ucă până la înălţimea baajului să se veifice Fig 9 din nou stabilitatea baajului deteminând distanţa până la O a punctului J de intesecţie dinte noua axă centală şi planul bazei baajului Răspunsui a) G64 6 N xc 89 m zc 7778 m 6 F 4 N x 6 m z 6 m 6 F N x 65 m z 6 49 m b) R ( 74 77i k) [ 6 N] MO 65 j [ 6 Nm] 65 64x z 6 5 [ m ] OI 8 m << b c) ( R 86i k) [ 6 N] M O 5 j [ 6 Nm] OJ 957 m < b Asupa unui cadu spaţial de geutate neglijabilă apotat la sistemul de efeinţă Oxyz având foma şi dimensiunile din fig acţionează 5 sisteme de foţe distibuite pecum şi foţa concentată F 6 aplicată în A paalelă cu axa Ox de valoae 5F Foţele unifom distibuite pe acul de cec IJ sunt concuente în O ia foţele unifom distibuite pe segmentul de deaptă DE sunt paalele cu axa Oz cae este a doua bisectoae a planului Oyz a) Să se educă cele 5 sisteme de foţe distibuite deteminând ezultantele lo şi coodonatele punctelo lo de aplicaţie faţă de sistemul de efeinţă consideat

25 4 Statica - b) Pentu întegul sistem de foţe ce acţionează asupa cadului să se detemine elementele tosoului de educee în O momentul minimal şi axa centală Fig a) ( ) b) Răspunsui F 4F j k C a a F Fk C 4 a a F Fj C a a F4 F 9 ( j+ k) C4 ( a a a) F5 4Fk C5( a a a) R F 5 i + j 5 MO Fa i j k M R x 5y 4a z a

26 Cente de geutate Să se detemine coodonatele faţă de sistemul de efeinţă Oxyz din figa) ale centului de geutate pentu un sfet de spiă dint-o elice cilindică confecţionat din sâmă cae ae ecuaţiile paametice: x Rcosθ y Rsinθ z Rθtgα θ [ π ] unde R este aza cilindului de înfăşuae ia α este unghiul de pantă al elicei cilindice Rezolvae Fig Metoda I În fig a este epezentat acul de elice cilindică AD coespunzăto unui sfet de spiă pecum şi cilindul de înfăşuae al elicei cilindice Deoaece lungimea elementaă a acului este: R ds ( dx) + ( dy) + ( dz) d cosα θ se calculează uşo cu ajutoul integalelo atât lungimea acului coespunzăto unui sfet de spiă: π π R πr L ds dθ cosα cosα

27 6 Statica - cât şi coodonatele centului său de geutate: π π x L xds cosα R R C d R cos θθ π cosα π π π y L yds cosα R R C d R sin θθ π cosα π π π z L zds cosα Rtgα R C d tg πr α θθ π α cos 4 x C Metoda II Abscisa şi odonata ale centului de geutate C al acului de elice cilindică AD coincid cu cele ale poiecţiei sale C pe planul Oxy cae mai epezintă şi centul de geutate al acului de cec AB din figa) cae este un sfet de cec de ază R Ca umae ezultă: sinπ 4 R OC R π 4 π R xc yc OC cos π 4 π Cota z C a lui C coincide cu cea a poiecţiei sale C pe ax Oz cae este şi poiecţia pe Oz a centului de geutate al segmentului de deaptă AD din figb epezentând desfăşuaea plană a acului coespunzăto de elice cilindică Deoaece în această desfăşuae segmentul de deaptă AB ae lungimea acului de cec coespunzăto se obţine: πr BD ABtg α tg α πr zc BD tg α 4 y C Se consideă o placă spaţială omogenă de foma şi dimensiunile din fig apotată la sistemul de efeinţă Oxyz Să se detemine: a) coodonatele x şi y ale centului de geutate al supafeţei din planul Oxy a plăcii; b) volumele V şi V ale copuilo de otaţie obţinute pin otiea completă a supafeţei din planul Oxy a plăcii în juul axelo Ox espectiv Oy; c) coodonatele centului de geutate al plăcii

28 Rezolvae - Cente de geutate 7 a) Luând ca element de supafaţă o fâşie paalelă cu axa Oy de gosime infinitezimală dx se obţine: 4a x 8 A x+ 5a dx a 4a x 4a A x x x+ 5a dx a a 7 4 4a x y x 5a dx a A + 4a 7 b) Pe baza celei de-a doua teoeme a lui Guldin ezultă: 4π V πya a 5 8π V πxa a c) Pentu a folosi fomulele de calcul ale coodonatelo centului de geutate în funcţie de cele ale centelo de geutate paţiale este necesa să se descompună supafaţa plăcii în 6 păţi cae Fig se numeotează după cum umează: - supafaţa din planul Oxy ; - supafaţa deptunghiului OBDE ; - supafaţa tiunghiului OAE ; 4 - supafaţa semicecului cu centul în H de ază a ; 5 - supafaţa sfetului de cec cu centul în O de ază a ; 6 - supafaţa sfetului de cec cu centul în O de ază a Pentu efectuaea cu acuateţe a calculelo este ecomandabil să se completeze tabelul umato

29 8 Statica - N A ct i x i y i z i A i x i A i y i A i z i 8 a 7 a 7 a 4 a 6 5 a 5 a a a 5a 4a 4 4 8a a a a a π 8 4 πa a a 6 6πa 8π + a π πa a π π a 8 a 8 a 6 π 4 4 a a a 4 π π a a 448 9π 7 a a 96 9π 5 a ( 5 8π) a Din tabel ezultă imediat: π A Ai a 7 a i 6 x A Ax 84a C i i 87 a i 448 9π 6 4a 96 9π yc Ay i i 56 a A i π 6 a( 5 8π) zc Az i i a A i 448 9π Se consideă copul omogen de otaţie având geutatea G epezentat în fig în semisecţiune mediană cu planul vetical Oyz Volumul său se obţine pin otiea completă a supafeţei plane haşuate în juul axei Oz Pe lângă geutatea sa asupa copului mai acţionează ca în figuă 4 foţe concentate având valoile: F F G F G F4 λ G Să se detemine: a) înălţimea h a cilindului gol având semisecţiunea mediană OBDE astfel încât centul său de geutate să coincidă cu centul de geutate al copului; b) distanţa d de la centul de geutate al supafeţei haşuate la axa Oz; c) valoaea paametului λ pentu ca axa centală a sistemului de foţe ce acţionează asupa copului să teacă pin O

30 Răspunsui - Cente de geutate 9 a) b) c) h ; 9 d 5 λ ( π + 4) 764 ; Fig Fig 4 4 Pentu fiecae pla că plană omogenă având foma şi dimensiunile dint-una din fig 4 să se detemine coodonatele centului de geutate faţă de sistemul de efeinţă Oxy din figuă 4 R ăspunsui x C yc a 9 6π a π ( π ) a π 56 a

31 Statica - Fig 5 Fig 6 Fig 7 Fig a 7 xc 46 a 8 9+ π ( ) a x 9π + 4 C 6 a π a yc 5a 9 9+ π 8( π + )a y C a π 7 x C ( 7π 64) 9 ( π) a 7a yc a π 9 a π

32 - Cente de geutate Fig 9 Fig 8 a π xc 46 π 56a y C a 5π a π 9 a x 8 a C a yc π ( π) ( ) 88a x C a 4 6π 6a 9 π a 9π yc a 9 4 π Fig Fig x C a 8 5π 5 8 π 74 a y C 6a 8 π 86 a

33 Statica - 44a 5a xc 7 a y C 97 a ln ( + ln ) Se consideă un ac de paabol ă omogen apotat la sistemul de efeinţă plan Oxy având ecuaţia y x a pentu x a a) Să se detemine coodonatele centului său de geutate b) Să se calculeze aiile lateale ale copuilo de otaţie obţinute pin otiea completă a acului de paabolă consideat în juul axelo Ox espectiv Oy Răspunsui a) b) x C a 5 5+ ln + 5 ( ) 7 a ( 5) y C 8 5 ln + A πlyc π a 5 4a 8 5 A π LxC π a 66a ( ) ( ) a 8 5 ln ln a 4 O linie plană omogenă confecţionată din sâm ă apotată la sistemul de efeinţă Oxy este constituită din acul de paabolă de ecuaţie y ax pentu x a şi din segmentul de deaptă de ecuaţie x+ y 4 a pentu a x 4a a) Să se detemine coodonatele centului său de geutate b) Să se calculeze aia copului de otaţie obţinut pin otiea completă a liniei în juul axei Ox Răspunsui a) x C ( + 5) ( ) a ln ln a

34 b) a y + 5 C ln + 5 ( ) + A 5 LyC a π π 4 45a - Cente de geutate 4 a 5 O placă plană omogenă apotată la sistemul de efeinţă Oxy ae supafaţa sa cupinsă înte paabolele de ecuaţii y x a x+ a şi y x a 7x a a) Să se detemine coodonatele centului său de geutate b) Să se calculeze volumele V şi V ale copuilo de otaţie obţinute pin otiea completă a supafeţei sale în juul axelo Ox espectiv Oy Răspunsui a) xc 5 a yc a b) V π 5 a V π a 5 6 O placă plană omogenă apotată la sistemul de efeinţă Oxy ae supafaţa sa cupinsă înte axele de coodonate şi acul din pimul cadan al elipsei de ecuaţie x a + y b coespunzătoae unui sfet de elipsă a) Să se detemine coodonatele centului său de geutate b) Să se calculeze volumele V şi V ale copuilo de otaţie obţinute pin otiea completă a supafeţei sale în juul axelo Ox espectiv Oy Răspunsui a) a xc 4 π y b C 4 π πab b) V πa b V

35 4 Statica - 7 Să se detemine aia totală şi volumul unui to semicicula obţinut pin otiea completă a unui semicec de ază în juul unei axe din planul său cae este paalelă cu diametul său la distanţa a 4 π Răspunsui 6π A 4 ( π + 4) V Asupa cadului spaţial din fig 8 constituit dint-o baă omogenă îndoită ca în figuă apotat la sistemul de efeinţă Oxyz cu axa Oz veticală acţionează pe lângă geutatea popie de valoae G λf două subsisteme de foţe unifom distibuite pe lungimile acului de cec AB şi a segmentului de deaptă DE pecum şi foţa concentată F de valoae F aplicată în E după diecţia deptei EB λ + π 4 8 Cunoscând ( ) λ 68 şi λ 69 să se detemine: a) coodonatele centului de geutate C al cadului; Fig 8 b) ezultantele celo două subsisteme de foţe distibuite şi coodonatele punctelo lo de aplicaţie; c) elementele tosoului de educee în O momentul minimal şi axa centală pentu întegul sistem de foţe ce acţionează asupa cadului Răspunsui a) 4a a a xc 9a yc 8a zc λ λ λ b) F 68 F( j+ k ) C a a 456a ;

36 c) F R 78Fj ; C ( a a) Fi M Fa( 4 8 O i + 4 j k ) y 68 a z a - Cente de geutate 5 76 M 48 Fai R Fig 9 9 Se consideă placa plană omogenă din fig 9 cu geutatea de valoae G apotată la sistemul de efeinţă Oxy cu axa Oy veticală Supafaţa plăcii este delimitată de acele de cec OA şi AB având centele în B espectiv în O pecum şi de segmentul de deaptă OB Pe lângă geutatea popie asupa plăcii mai acţionează foţe concentate în planul său aplicate ca în figuă în punctele P Q şi în centul de geutate C al plăcii Cunoscând OA OB AB l PQ l F F F G să se detemine: a) coodonatele centului de geutate C al plăcii; b) elementele tosoului de educee în O şi ecuaţia axei centale pentu sistemul de foţe aplicat plăcii l Răspunsui 5 a) x C l y C 678l ; 4π R G i j 78Gl k x + y 78l b) ( ) M O

37 Echilibul punctului mateial Un punct mateial de geutate G se află pe supafaţa unui cilindu paabolic cu geneatoaea oizontală având ecuaţia z y a faţă de sistemul de efeinţă Oxyz cu axa Oz veticală oientată în sens ascendent Dacă se cunoaşte coeficientul de fecae μ dinte punctul mateial şi legătuă să se detemine: a) poziţiile de echilibu ale punctului mateial pe legătuă; b) eacţiunile legătuii asupa punctului mateial în poziţiile sale de echilibu la limită Rezolvae Metoda I a) Faţă de sistemul de efeinţă consideat se expimă uşo analitic f x y z cât şi ezultanta foţelo diect aplicate atât ecuaţia legătuii sub foma ( ) cae este geutatea punctului mateial Din datele poblemei ezultă: y z a R d Gk astfel încât pe baza condiţiei de echilibu: X f x Y f + + Z f y z X + Y + Z f f + x y + μ f + z pecum şi a ecuaţiei legătuii se obţine: Ga G y + a +μ z μ a b) Notând cu T x T y T z poiecţiile pe axele de coodonate ale foţei de fecae cae sunt necunoscute se obţin condiţiile de echilibu la limită:

38 - Echilibul punctului mateial 7 y y T x Ty λ Tz + λ G + a a T T y z Tx + Ty + Tz μλ y + a a din cae ţinând seama şi de ecuaţia legătuii ezultă: a y a z μ Ga G μ λ y + a + μ f N x λ f N x G λ y y μ m + μ N f G λ z z + μ Gay G T ± μ y y + a + μ T Gy μ G z y + a + N G + μ μ μg F f + μ Metoda II Se obsevă că poiecţiile pe axa Ox ale foţelo ce acţionează asupa punctului mateial sunt nule astfel încât se poate studia echilibul său numai în planul vetical Oyz Condiţiile de echilibu ale punctului mateial aflat în oice poziţie P( x y z) pe legătuă se vo expima la fel ca şi în cazul când x Condiţiile de echilibu ale punctului mateial în planul Oyz ţinând seama de fig devin: Nsin θ + F f cosθ Ncosθ + F f sin θ G dz y y tgθ z dy a a Fig Ff μ N astfel încât ezultă: y μ a a) Ff N tgθ N y μ a z ; a G G μg b) tgθ μ cosθ N F + μ cos ( + tg ) f θ θ + μ + μ Se obsevă că această metodă conduce mai apid la aceleaşi ezultate

39 8 Statica - Pe o cicumfeinţă din sâmă situată înt-un plan vetical se află două inele A şi B fiecae de geutate G legate înte ele pint-un fi inextensibil de geutate neglijabilă Cunoscând unghiul la centu α coespunzăto fiului întins şi coeficientul de fecae μ tg ϕ dinte inele şi cicumfeinţă să se detemine: a) valoile unghiului θ dinte veticală şi deapta ce uneşte centul O al cecului cu mijlocul D al fiului întins pentu echilibul inelelo pe cicumfeinţă; b) eacţiunile cicumfeinţei asupa inelelo şi efotul din fi în cazul echilibului la limită al inelelo dacă α π 4 şi < ϕ < π 4 Rezolvae a) În fig s-au epezentat foţele ce acţionează asupa inelelo în poziţia lo de echilibu la limită când tendinţa de mişcae a sistemului fomat de ele este în sensul de coboâe al inelului A pe cec Din condiţiile de echilibu la limită pentu acest caz se va detemina valoaea maximă a unghiului θ ia valoaea sa minimă ezultă luând în consideae tendinţa de mişcae în sens conta astfel încât pentu echilibul inelelo este necesa ca θ să ia valoi cupinse înte θ max şi θ min Ţinând seama de fig Fig ecuaţiile de poiecţii ale foţelo ce acţionează asupa fiecăui inel pe tangentele la cec şi pe nomalele coespunzătoae sunt: Gsin( α+ θ) Ntgϕ Scos α N Ssinα Gcos ( α+ Scosα Ntgϕ Gsin ( α θ) N Ssinα Gcos ( α θ) din cae se detemină: N Ssinα+ Gcos( α+ θ ) N Ssinα + Gcos( α θ ) sin( α ϕ+ θ) sin( α+ ϕ θ) sinϕ S G G tgθ max cos( α ϕ) cos( α+ ϕ) cosα+ cosϕ Pentu tendinţa de mişcae în sens conta a sistemului fomat de cele două inele se obţin aceleaşi ecuaţii de echilibu la limită da poiecţiile foţelo de fecae pe

40 - Echilibul punctului mateial 9 tangentele coespunzătoae vo avea semne contae faţă de cazul pecedent De aici ezultă imediat θmi n θ max b) Pentu α π 4 se obţin umătoaele ezultate: θmax ϕ S G θ min ϕ S G N G( + cosϕ sinϕ) N G( + cos + sin ) ϕ ϕ N G( + cosϕ+ sinϕ) N G + cosϕ sinϕ ia foţele de fecae au valoile maxime μn espectiv μn ( ) În absenţa câmpului gavitaţional un punct mateial este atas de vâfuile unui paalelipiped deptunghic având muchiile de lungimi a b şi c cu foţe popoţionale cu distanţele de la punctul mateial la aceste vâfui factoul de popoţionalitate fiind λ> a) Să se detemine ezultanta sistemului de foţe ce acţionează asupa punctului mateial în funcţie de coodonatele sale faţă de sistemul de efeinţă Oxyz având oiginea în unul din vâfuile paalelipipedului şi axele de coodonate oientate după muchiile coespunzătoae b) Să se afle poziţia de echilibu a punctului mateial c) Să se studieze echilibul punctului mateial în cazul în cae foţele ce acţionează asupa lui din patea vâfuilo paalelipipedului nu mai sunt de atacţie ci de espingee Răspunsui a) b) c) a c R y j zk + b + 8λ x i 8λ 8λ 8λ PM Pxyz ( ) M a b c a b c x y z R 8λ PM

41 4 Statica - 4 Pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de oizontală se află un cop B de geutate P legat ca în fig 4 pint-un fi ideal de punctul cel mai de sus A al planului înclinat şi pint-un alt fi ideal de un cop de geutate Q poţiunea până la scipetele mic din figuă a acestui fi fiind oizontală a) Să se detemine eacţiunea planului înclinat asupa copului B şi efotul din fiul AB b) Pentu ce valoi ale geutăţii Q copul B se despinde de planul înclinat? Răspunsui a) N Pcosα Qsinα T Psinα + Qcosα b) Q> Pctgα Fig 4 Fig 5 5 Un cop de geutate G se află în echilibu pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de oizontală fiind ţinut în poziţia din fig 5 pin două fie ideale paalele cu planul înclinat cae fomează unghiuile β şi γ cu linia de cea mai mae pantă a planului a) Să se detemine eacţiunea planului înclinat asupa copului şi efotuile din fie b) Pentu ce valoi ale coeficientului de fecae μ dinte planul înclinat şi cop acesta este menţinut în echilibu pe plan şi în cazul în cae fiele sunt tăiate? Răspunsui a) N Gcosα b) μ tg α T A G sinα sin γ sin + ( β γ) T B G sin α sinβ sin ( β+ γ)

42 - Echilibul punctului mateial 4 6 Un inel de geutate G se poate mişca făă fecae pe un cec din sâmă situat înt-un plan vetical De inel este legat un fi inextensibil şi de geutate neglijabilă cae este tecut peste un scipete mic situat în punctul A cel mai de sus al cecului şi ae legat la celălalt capăt un cop de geutate Q (vezi fig 6) Să se detemine poziţiile de echilibu ale inelului şi eacţiunea legătuii asupa sa pentu fiecae din poziţiile de echilibu deteminate Pentu ce valoi ale geutăţii Q există aceste poziţii de echilibu ale inelului? Răspunsui Fig 6 θ ± π N Q G Q ; θ ± acsin Q N G G Q< G Fig 7 7 O bilă mică de geutate P se spijină făă fecae pe o supafaţă semisfeică la cae planul diametal ce conţine şi diametul AB este oizontal De bilă este legat un fi ideal cae tece peste un scipete mic fixat în A şi ae la celălalt capăt un cop de geutate Q (vezi fig 7) Să se detemine poziţia de echilibu a bilei elaţia dinte P şi Q pentu existenţa echilibului pecum şi eacţiunea legătuii asupa bilei în poziţia sa de echilibu Răspunsui θ accos Q Q P 4P Q + 8P Q N 8P P Q ( ) 8P Q Q+ Q + 8 P

43 4 Statica - 8 Două bile mici A şi B având geutăţile G espectiv G > G legate înte ele pint-o tijă igidă de geutate neglijabilă şi de lungime l se află în echilibu făă fecae în inteioul unei semisfee de ază R > l aşa cum este epezentat în fig 8 în secţiunea cu planul vetical median unde diametul DE este oizontal Să se detemine valoaea unghiului Fig 8 θ dinte tijă şi oizontală la echilibu eacţiunile supafeţei asupa bilelo pecum şi efotul din tijă în poziţia de echilibu Caz paticula: G G şi R l Răspunsui G G θ actg G + G N A Caz paticula: l R l RG( G + G ) ( G + G ) 4l π 4 R G G N B T π β T G N A G N B G 6 θ R R lgg ( G + G ) 4l G RG ( G + G ) ( G + G ) 4l GG G Fig 9 9 Un semicec din sâmă situat înt-un plan vetical este fixat ca în fig 9 de un peete la capătul A al diametului său AB cae fomează unghiul α π cu oizontala Pe semicec se află un inel de geutate G de cae este legat un fi ideal ce tece peste un scipete mic fixat în B şi ae la celălalt capăt un cop de geutate P a) Dacă fecaea dinte inel şi semicec este neglijabilă şi P G să se detemine poziţiile de echilibu ale inelului şi eacţiunea legătuii asupa sa în aceste poziţii

44 - Echilibul punctului mateial 4 b) Dacă fecaea dinte inel şi semicec este caacteizată de unghiul de fecae ϕ dat să se detemine valoile geutăţii P pentu cae inelul ămâne în echilibu pe semicec în poziţia sa în cae θ α Pentu ce valoi ale unghiuilo α şi ϕ această poziţie de echilibu este posibilă? c) Pentu α ϕ π 8 şi P G să se afle poziţiile de echilibu ale inelului pe semicec ( + ϕ) ( + ) Răspunsui α a) θ π α N θ π N G sin α cos α b) P G α ϕ π ϕ α α π sin ( ) c) actg + θ π Fig Pe baa fixă OABD din fig îndoită în unghi dept în A şi B înt-un plan vetical espectiv înt-un plan oizontal având latua OA veticală se află culisoaele P şi P de aceeaşi geutate G legate înte ele pint-un fi inextensibil de lungime l AB a Cunoscând coeficientul de fecae μ dinte baă şi culisoae să se detemine valoile posibile ale distanţei d P B pentu echilibul culisoaelo pe baă pecum şi eacţiunile legătuilo la cae sunt supuse cele două culisoae în cazul echilibului lo la limită Răspunsui d a T N N G F F G f f

45 44 Statica - 7 Un inel de geutate G este supus la legătua pe un ac de cubă plană aspă confecţionat din sâmă având ecuaţia: x y asin x π a a x π π y acos a x a a x y x x a a 4 y a x a x a x a 5 y a e x ( a] x y 6 + a x a 4a a x x 7 y x a x 4a a a faţă de planul vetical Oxy cu axa Oy veticală oientată în sensul pozitiv ascendent Cunoscând coeficientul de fecae la alunecae μ 5 dinte inel şi cubă să se detemine poziţiile de echilibu ale inelului pe legătuă pecum şi eacţiunile legătuii asupa sa în poziţiile sale de echilibu la limită Răspunsui 4 5 x a π π 4π π U 5 N 5 5 G Ff 5 G 5 x a π π 6 6 N 5 5 G Ff 5 G 5 x a N 5 5 G Ff 5 G 5 x a 8 8 N 5 G Ff 5 G 5 5 x a ln N 5 5 G Ff 5 G 5

46 6 7 - Echilibul punctului mateial 45 y a U N 5 G Ff 5 G 5 5 x a U N 5 G 5 Ff 5 G 5 8 Un punct mateial de geutate G este supus la legătua bilateală pe supafaţa unui elipsoid cu ecuaţia: x y z + + 4a 4a a faţă de sistemul de efeinţă Oxyz având axa Oz veticală Cunoscând unghiul de fecae ϕ π 4 dinte punctul mateial şi legătuă să se detemine: a) poziţiile de echilibu ale punctului mateial pe legătuă şi eacţiunile supafeţei asupa sa în poziţiile sale de echilibu la limită; b) poziţiile de echilibu în cazul în cae legătua punctului mateial pe supafaţa elipsoidului este unilateală; c) eacţiunile supafeţei asupa punctului mateial în poziţiile sale în cae z a Să se aate că în aceste poziţii punctul mateial se află în echilibu Răspunsui a) z a 5 5 U N F f G ; 5 5 b) z a 5 z 5 a 5 sau ; 5 c) N 7 G 7 Ff G 7 α actg < ϕ 9 În punctele A B şi C ale unui tavan oizontal cae fomează un tiunghi echilateal cu latuile de lungime a sunt legate acui elicoidale identice având constanta elastică k fiecae Celelalte capete ale acuilo sunt legate de un cop punctifom P de geutate G Ştiind că în poziţia de echilibu a copului figua geometică PABC este un tetaedu egulat să se detemine lungimea acuilo în stae nedefomată

47 46 Statica - Răspuns l 6 G a 6 k Pe catetele OA şi OB ale unui tiunghi deptunghic confecţionat din sâmă situat înt-un plan vetical având ipotenuza AB oizontală şi unghiul α π 4 dat se află inelele P şi P de geutăţi G espectiv G legate înte ele pint-un fi inextensibil de geutate neglijabilă (vezi fig ) a) Dacă fecaea dinte inele şi Fig legătui este neglijabilă să se detemine valoaea unghiului θ dinte fi şi oizontală pecum şi eacţiunile legătuilo asupa inelelo în poziţia lo de echilibu Cae tebuie să fie apotul G G pentu ca în poziţia de echilibu a inelelo fiul să fie oizontal? Cae este valoaea unghiului θ pentu G G? b) Dacă fecaea dinte inele şi legătui este caacteizată de unghiul de fecae ϕ < α acelaşi pentu ambele inele să se afle valoile unghiului θ pentu echilibul lo c) Pentu cazul paticula în cae G G G α π 4 şi ϕ π să se detemine poziţiile de echilibu ale inelelo şi valoaea efotului din fi în poziţiile lo de echilibu la limită Răspunsui a) θ actg G cosα G sinα α T G cos α + G ( ) N G + G sinα π θ α N ( G G ) + cosα ; sin α G G ; tg α

48 4 - Echilibul copului igid 47 ( ) ( ) b) actg G ( ) actg G cos α+ ϕ cos α ϕ α+ ϕ θ ϕ α+ G sin( α+ ϕ) G sin( α ϕ) π π c) θ 6 6 T G 4 Echilibul copului igid 4 O baă omogenă de geutate G şi lungime l se află în echilibu înt-un plan vetical în poziţia în cae unghiul fomat cu planul oizontal este α fiind simplu ezemată în punctele sale O B şi D ca în fig 4 Cunoscând distanţa BD a < l să se detemine eacţiunile eazemelo Rezolvae Metoda I Ecuaţiile de poiecţii ale Fig 4 foţelo ce acţionează asupa baei faţă de sistemul de efeinţă plan Oxy sunt: NBsinα NDsinα NO G NBcosα + N D cosα din cae ezultă: NB ND NO G Se obsevă că foţele ce acţionează asupa baei fomează două cuplui de foţe astfel încât ecuaţia de momente pentu echilibul baei se poate expima în apot cu oice punct Din această condiţie de echilibu se detemină valoaea comună a eacţiunilo N B şi N D : N B a Gl cosα N B l ND G cosα a Metoda II În locul sistemului de efeinţă Oxy se va considea Ox y cu axa Ox diijată după axa baei faţă de cae ecuaţiile de poiecţii ale foţelo devin:

49 48 Statica - NO sinα Gsinα NOcosα NB + ND Gcosα din cae se obţin aceleaşi ezultate Se constată că cele două metode pezintă acelaşi gad de dificultate da în geneal se ecomandă alegeea sistemului de efeinţă Ox y deoaece în ecuaţia de poiecţii pe axa Ox dispa necunoscute adică eacţiunile şi N D cae sunt pependiculae pe baă N B 4 Baa omogenă OA de lungime 4a şi geutate G îndoită la mijlocul său B sub unghiul π α dinte cele două latui ale sale se află în echilibu înt-un plan vetical fiind încastată în O în poziţia în cae latua sa OB este oizontală Pe lângă geutatea popie asupa baei mai acţionează ca în fig 4 în planul său un subsistem de foţe paalele şi linea distibuite pe latua BA cae sunt pependiculae pe această latuă şi au intensitatea maximă p în A o Fig 4 foţă concentată de valoae F aplicată la mijlocul latuii OB sub unghiul α faţă de ea pecum şi un cuplu de foţe de moment M Să se detemine: a) ezultanta F a subsistemului de foţe distibuite şi poziţia C pe latua AB a punctului său de aplicaţie; b) eacţiunile încastăii Date numeice: a 6 m α π G N p 6 N m F 5 kn M 44 Nm Rezolvae a) În apot cu axa Bx diijată după latua BA a baei se obţine: F a px a dx pa x C F a px a xdx 4a

50 4 - Echilibul copului igid 49 b) În fig 4 s-au epezentat eacţiunile încastăii şi foţele diect aplicate ce acţionează asupa baei unde în locul geutăţii baei aplicată în centul său de geutate s-au consideat geutăţile paţiale ale latuilo sale ale căo puncte de aplicaţie se detemină mai uşo Condiţiile de echilibu ale baei faţă de sistemul de efeinţă Oxy devin: XO + Fsinα + Fcosα YO Fcosα + Fsin α G MO + M Ga G( a+ acosα) F( acosα+ x C) + Fasinα din cae ezultă: XO pasin α + F cosα YO pacosα + G F sinα 4 MO Ga( + cosα) + pa cosα+ F asinα M Pentu datele numeice din enunţ se obţine: X O N Y N O 7 MO Nm 4 Să se studieze echilibul unui toliu omogen de geutate G având azele tambuilo şi R aşezat pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de planul oizontal asupa căuia acţionează ca în fig 4 o foţă F paalelă cu linia de cea mai mae pantă a planului înclinat aplicată la capătul unui fi ideal înfăşuat pe tambuul de ază al toliului Se cunosc coeficienţii de fecae de alunecae μ şi de ostogolie s dinte toliu şi planul înclinat Fig 4 Rezolvae În fig 4 s-au epezentat sensuile pentu foţa de fecae de alunecae şi pentu momentul de ostogolie M coespunzătoae tendinţei de mişcae cu alunecae şi ostogolie a toliului în sus pe planul înclinat Se alege sistemul de efeinţă Oxy din figuă în planul vetical de echilibu al toliului cu oiginea în punctul său de contact cu planul înclinat faţă de cae ecuaţiile de echilibu sunt: F Gsinα F N Gcosα FR+ GRsinα M f + Din aceste ecuaţii se detemină eacţiunile: ( ) F f

51 5 Statica - α M F R+ GRsin α N Gcos F F Gsin α ( ) f cae tebuie să veifice condiţiile de echilibu cu fecae: F Gsin Gcos FR+ GRsinα sgcosα α μ α ( ) Notând cu ϕ a actgμ unghiul de fecae de alunecae şi cu ϕ actg s R un unghi de fecae echivalent coespunzăto ezistenţei la ostogolie din aceste condiţii ezultă: sin( α ϕa ) sin( α+ ϕa ) G F G cosϕ cosϕ a ( α ϕ ) GR sin( α+ ϕ ) GR sin F R+ cosϕ R+ a cosϕ Deoaece în geneal s este foate mic apotul s/r va fi mult mai mic decât μ astfel încât pentu echilibul toliului pe planul înclinat foţa F tebuie să ia valoi cupinse înte cel coespunzătoae echilibului la limită luând în consideae numai cele două tendinţe opuse de ostogolie ale toliului Pentu acest caz întâlnit fecvent în aplicaţii condiţiile de echilibu se pot expima sub foma: sin( α ϕa ) GR sin( α ϕ ) GR sin( α+ ϕ ) sin( α+ ϕa ) G F G cosϕ a R+ cosϕ R+ cosϕ cosϕ a pe baza căoa se pot analiza posibilităţile de mişcae ale toliului pe planul înclinat 44 Pe un plan înclinat cu unghiul α π 4 faţă de oizontală este fixat igid un stâlp OA de lungime a pependicula pe planul înclinat La capătul A al stâlpului este legată pint-o aticulaţie sfeică făă fecae baa omogenă AB de lungime 4a şi geutate G cae se spijină cu capătul B pe planul înclinat Cunoscând coeficientul de fecae μ dinte baă şi planul înclinat să se detemine: a) valoile unghiului θ dinte Fig 44 linia de cea mai mae pantă a planului înclinat şi deapta OB pentu echilibul baei; b) poziţiile de echilibu ale baei şi eacţiunile legătuilo asupa sa în poziţiile sale de echilibu la limită dacă valoaea coeficientului de fecae este μ ( + 5) şi α π 4

52 4 - Echilibul copului igid 5 Rezolvae a) În fig 44 s-au epezentat foţa diect aplicată G şi foţele de legătuă ce acţionează asupa baei înt-o poziţie de echilibu în cae s-a ţinut seama că foţa de fecae F f este pependiculaă pe deapta OB în planul înclinat deoaece se opune tendinţei de alunecae pe planul înclinat a capătului B al baei Faţă de sistemul de efeinţă Oxyz din figuă având axa Ox după linia de cea mai mae pantă a planului înclinat şi axa Oz pependiculaă pe acesta ecuaţiile de poiecţii ale foţelo pe axele de coodonate sunt: X Ff sinθ + Gsinα Y+ F f cosθ Z+ N Gcosα Pentu a putea calcula uşo momentele eacţiunii nomale N şi al foţei de fecae faţă de axele de coodonate este util să se calculeze baţele acesto foţe: OB 6a a 5a BB 5a sinθ OB 5a cosθ De asemenea pentu calculul momentelo geutăţii G faţă de axele de coodonate este util să se descompună această foţă după axele planului vetical Oxz şi să se detemine coodonatele centului de geutate C al baei: 5 5 a xc OC a cosθ yc C C a sinθ zc CC Ca umae ecuaţiile de momente faţă de axele de coodonate pentu echilibul baei devin: 5 5Nasinθ Ya Gacosαsinθ 5 Xa 5Na cosθ+ Ga sinα + Ga cosαcosθ 5 5Fa f Gasinαsinθ Din aceste ecuaţii şi din pimele ecuaţii de poiecţii ale foţelo se detemină: G Ff sinαsinθ X G sinαsin θ Gsinα G N G 5 Y sinαsinθcosθ cosα sinαcosθ 5 astfel încât pe baza condiţiei de echilibu cu fecae de alunecae ezultă:

53 5 Statica - G G 5 sinαsinθ μ cosα sinαcosθ θ min θ θ max 5 θ max 5μctgα acsin actg 5+ μ μ θmin θmax 5 b) Pentu valoile date pentu μ şi α se obţin ezultatele: ( 5) π π θ N G 7 G Ff G 8 X 7 6 G 6 G Y± G ± 5 G 6 6 Z + G 6 G G 45 Baa omogenă OA de lungime l şi geutate G se află în echilibu înt-un plan vetical fiind aticulată în O şi legată în A cu un fi tecut peste un scipete mic B fiul având atânat la celălalt capăt un cop de geutate Q ca în fig 45 Scipetele B şi aticulaţia O se află pe aceeaşi oizontală la distanţa OB l Neglijând fecăile în aticulaţii să se detemine valoile unghiului θ Fig 45 dinte baă şi oizontală pentu echilibul baei eacţiunea aticulaţiei în poziţiile sale de echilibu şi să se pecizeze valoile geutăţii Q pentu cae există aceste poziţii de echilibu Răspunsui + + accos Q Q G G θ + accos Q Q G G θ G Q Q

54 4 - Echilibul copului igid 5 G Q Q Q G V m + O G Q H G Q O Q Q m + G G Fig 46 cuba ( Γ ) deteminată 46 Baa omogenă AB de lungime l şi geutate G se află în echilibu în planul vetical Oxy fiind ezemată făă fecae la extemităţile sale pe axa veticală Oy şi pe o cubă plană ( Γ) din acest plan ca în fig 46 Să se detemine: Γ faţă de sistemul de a) ecuaţia cubei ( ) efeinţă Oxy astfel încât baa să se afle în echilibu în oice poziţie deteminată de unghiul θ π dinte ea şi veticală; [ ) b) eacţiunile eazemelo în funcţie de θ şi în funcţie de abscisa x a punctului B pentu Răspunsui a) b) l y - N A G tg x - l l x ; θ G x G G 4 - x N B 4 + tg θ l - x l l - x Fig Copul omogen de otaţie din fig 47 având geutatea G şi dimensiunile geometice din figuă este simplu ezemat în B pe un peete vetical şi legat în A de punctul fix D apaţinând aceluiaşi peete vetical pint-un fi inextensibil de lungime egală cu aza cecului diametal al semisfeei şi cu aza cecului de la baza conului cae fomează copul consideat Să se detemine: a) valoaea înălţimii h a conului expimată în funcţie de astfel încât centul de geutate al copului să fie în punctul O centul cecului bazei conului comun cu cel diametal al semisfeei;

55 54 Statica - b) valoile unghiuilo ϕ şi α la echilibul copului; c) eacţiunea eazemului şi efotul din fi în poziţia de echilibu a copului Răspunsui a) h ; b) ϕ α π ; 6 c) N G T G Fig 48 echilibu a baei 48 Baa neomogenă AB de lungime l şi geutate G având densitatea popoţională cu distanţa de la un punct cuent al baei la extemitatea sa A se află în echilibu înt-un plan vetical fiind simplu ezemată ca în fig 48 pe un peete vetical şi pe supafaţa inteioaă a unui cilindu cicula de ază R > l cu geneatoaea oizontală Să se detemine: a) poziţia centului de geutate C al baei; b) valoaea unghiului θ dinte baă şi veticală pentu echilibul baei şi valoile lungimii l pentu existenţa acestei poziţii de echilibu; c) eacţiunile eazemelo în poziţia de l a) AC ; b) θ accos l ( R l ) 4l G 9 R c) N A R l N B Răspunsui R l < R ; G R R l

56 4 - Echilibul copului igid 55 Fig O placă plană omogenă de geutate G având foma şi dimensiunile din fig 49 se află în echilibu înt-un plan vetical cu latua sa OA oizontală fiind aticulată în O şi legată în A de punctul fix B pint-un ac elicoidal vetical de constantă elastică k Să se detemine: a) coodonatele centului de geutate al plăcii faţă de sistemul de efeinţă Oxy cu axa Ox după latua sa OA şi axa Oy veticală oientată în sens pozitiv ascendent; b) defomaţia acului până în poziţia de echilibu a plăcii; c) eacţiunea aticulaţiei în poziţia de echilibu a plăcii 5 + 9π a) xc a 97a 6 ( + π) 8a yc 875a ; 6 + π xc G G b) Δl 5854 ; 5a k k c) V O 446G H O Răspunsui 4 O placă plană omogenă de geutate G având foma şi dimensiunile din fig 4 se află în echilibu înt-un plan vetical cu latua sa OA oizontală fiind aticulată în O şi legată în B de punctul fix E pint-un fi inextensibil cae fomează unghiul α cu veticala Patulateul OABD este un tapez deptunghic ia tangenta în B la acul de cec cae delimitează placa este veticală Să se detemine: a) coodonatele centului de geutate al plăcii faţă de sistemul de efeinţă Oxy având axele diijate după deptele OA espectiv OD; b) valoile unghiului α [ π ) pentu ca placa să poată fi în echilibu în poziţia consideată; c) eacţiunea aticulaţiei şi efotul din fi

57 56 Statica - Răspunsui Fig 4 l π a) x C 6l π l π y C 56l ; π π b) α < ; 6 55G c) T π sin α 6 55cosα 6cosα+ sinα 55sinα VO G G G HO G π cosα sinα π sin α sin α Baa omogenă AL de geutate G şi lungime având atânată geutatea Q la capătul său L este aticulată în A de un peete vetical şi ţinută în echilibu în poziţia pependiculaă pe peetele vetical pin fiele inextensibile DE şi DF legate înte mijlocul D al baei şi punctele fixe E espectiv F apaţinând peetelui vetical Ştiind că deptele CE şi BF sunt veticale că punctele A B şi C se află pe aceeaşi oizontală şi cunoscând unghiuile α α β şi β din fig 4 să se detemine efotuile din fie şi eacţiunea aticulaţiei l ( Q G) Răspunsui T + sinα cosβ E sin α sinβ cosβ + sin α sinβ cosβ ( Q G) sin αcosβ T + F sinαsinβ cosβ + sin α sinβcosβ XA TEcosαcosβ+ TFcosα cosβ YA TFsinαcosβ TEsinαcosβ Z Q+ G T sinβ T sinβ A E F

58 4 - Echilibul copului igid 57 Fig 4 4 Placa omogenă ABH din fig 4 de foma unui tiunghi deptunghic isoscel şi de geutate G este aticulată în A de un peete vetical şi ţinută în poziţia de echilibu oizontală pin fiele inextensibile BD BE şi HE cae leagă placa de punctele fixe D şi E din acelaşi peete vetical În pelungiea latuii HB a plăcii este legat un alt fi cae este tecut peste un scipete mic fixat în K şi ae atânată geutatea Q la celălalt capăt Ştiind că patulateele ABHF şi ADEF sunt pătate să se detemine efotuile din fie şi eacţiunea aticulaţiei A Pentu ce valoi ale geutăţii Q placa ămâne în echilibu în poziţia dată? Răspunsui Fig 4 T BD ( G Q) T BE ( Q G) THE G Q G XA YA G ZA G G G Q 4 Baa omogenă AB de lungime l şi geutate G având atânată geutatea Q la capătul său B se află în echilibu înt-un plan vetical în poziţia în cae fomează unghiul α cu oizontala fiind spijinită ca în fig 4 pe două eazeme

59 58 Statica - aspe D şi E Cunoscând distanţa dinte eazeme a < să se detemine valoile coeficientului de fecae μ dinte baă şi eazeme pecum şi cele ale geutăţii Q pentu echilibul baei în poziţia consideată dacă eazemul E se află la capătul său A l Răspunsui Fig 4 Se notează l a λ > Dacă μ tgα ( λ ) consideată Dacă μ α ( λ ) 4 baa nu poate fi în echilibu în poziţia tg baa va fi în echilibu pentu oice valoae a geutăţii Q Înte aceste valoi tebuie să fie îndeplinite condiţiile: tgα tgα tgα μ( λ ) μ Q G > 4λ < < λ μ 4λ tgα ( ) 44 Baa omogenă AB de lungime l şi geutate G se află în echilibu înt-un plan vetical Oxy fiind ezemată făă fecae în D pe supafaţa unui semicilindu cicula de ază R < l şi cu fecae în A pe un plan oizontal unde coeficientul de fecae Fig 44 este μ Centul O al semicecului de intesecţie a supafeţei cilindice cu planul vetical de echilibu se află pe aceeaşi oizontală cu capătul A al baei în cae este legat un fi oizontal tecut ca în fig 44 peste un scipete mic S având atânată geutatea Q la celălalt capăt al său Să se detemine: a) valoile apotului QG pentu echilibul baei în poziţia sa în cae unghiul fomat cu oizontala este α dat;

60 4 - Echilibul copului igid 59 b) eacţiunile eazemelo pentu condiţiile de echilibu la limită al baei în poziţia consideată Răspunsui Q a) λsin α μ( λsin αcosα) λsin α + μ( λsin αcos α) G l < λ < ; R sin α λ b) ND Gλsin α NA G sin α Ff μ NA 45 Un toliu omogen de geutate G având azele tambuilo R şi este ţinut în echilibu pe un peete vetical aspu cu ajutoul unui fi inextensibil legat înte centul O al toliului şi punctul fix B din acelaşi peete vetical Pe tambuul de ază al toliului este înfăşuat un alt fi cae tece peste un scipete mic S şi ae legat la celălalt capăt un cop de geutate Q În fig 45 s- a epezentat toliul împeună cu legătuile sale în poziţia sa de echilibu şi anume în planul vetical pependicula pe peetele vetical de spijin în cae unghiuile dinte pimul fi şi oizontală espectiv dinte Fig 45 poţiunea înclinată a celui de al doilea fi şi veticală au aceiaşi valoae α dată Cunoscând coeficientul de fecae μ < dinte toliu şi peetele vetical de spijin să se detemine: a) valoile geutăţii Q şi ale unghiului α pentu echilibul toliului b) eacţiunile eazemului din A şi efotul din fiul OB în cazul echilibului la limită al toliului a) Q GμR cosα Răspunsui ( sin α μcosα) μr cosα π α < π ; 4

61 b) G( + μr sin α) ( sin α μcosα) μr cosα T Ff μ N N G cosα sinα μcosα μrcosα ( ) 5 Echilibul sistemelo mateiale 5 Se consideă sistemul de copui omogene din fig 5) epezentat în secţiunea cu planul său vetical de echilibu Oxy în cae se găsesc: baa BD axa de simetie a copului cilindic centul de geutate C al platfomei deptunghiulae încastată în O în poziţie oizontală cei doi scipeţi pecum şi toate fiele de legătuă dinte copui Pentu fiecae cop sunt indicate pe figuă geutatea sa şi dimensiunile sale geometice Fiul legat în I de copul cilindic este oizontal ia toate celelalte fie sunt veticale Fecăile dinte baa BD şi copul cilindic pecum şi cele din aticulaţiile scipeţilo sunt neglijabile Cunoscând a l G 7G G 6G G 4G G4 4G Q 9G Q 84G Q 8G să se detemine: a) unghiul θ dinte baă şi oizontală la echilibu; b) valoaea maximă a azei R şi valoaea minimă a coeficientului de fecae μ pentu echilibul la limită al copului cilindic pe platfomă; c) eacţiunile încastăii pentu R şi μ 5 Rezolvae Metoda I Metoda cea mai geneală pentu studiul echilibului unui sistem de copui este metoda sepaăii copuilo cu ajutoul căeia se detemină atât poziţiile de echilibu ale sistemului cât şi eacţiunile legătuilo exteioae şi inteioae în poziţiile sale de echilibu dacă poblema este static deteminată Pentu aplicaea acestei metode în această poblemă nu mai este necesa să fie sepaate copuile de geutăţi Q Q Q şi scipetele fix de geutatea G deoaece eacţiunile legătuilo la cae sunt supuse aceste copui au valoi ce ezultă în mod evident în poziţiile lo de echilibu cae sunt de asemenea evidente Pentu celelalte 4 copui ale sistemului epezentate sepaat în fig 5) 5) sub acţiunea foţelo diect aplicate cae sunt geutăţile popii espectiv a eacţiunilo legătuilo ecuaţiile de echilibu sunt: NB NEsinθ NE cosθ G Q 8 NE ( G + Q) cosθ cosθ l N N Q F Esinθ B + f

62 5 - Echilibul sistemelo mateiale 6 N NE cosθ G NB( h 8 tgθ) + λg RQ hne sin θ ( 4 λ) NE cosθ H A Q V A G Q Ff HO HA V N+ Q V G M + aq a+ λ N ag 4aV O A 4 O ( ) 4 din cae se detemină: G+ Q N E 8 ( G + Q) NB ( G + Q ) tgθ cos θ cosθ l( G + Q) A ( G + Q )( + tg θ) N G+ G + Q F Q RQ + 4 f G + G + Q H A Q VA G + Q HO Q Q VO G + G + G + G 4 + Q + Q Q MO ag4 + 4a( G + Q) + ( a+ λ)( G+ G + Q) aq λ Fig 5 Se obsevă că toate eacţiunile legătuilo ezultă ca funcţii de geutăţile copuilo sistemului şi de paametii de poziţie θ şi λ cae se expimă în funcţie de datele poblemei Răspunsuile la întebăile din enunţ se obţin pin paticulaizae pentu valoile date ale acesto geutăţi şi ale dimensiunilo geometice ale copuilo

63 6 Statica - a) Pentu l G 7G şi Q 9G se obţine: 8( 7G+ 9G) 64 4 cos o θ θ accos 7 7G+ 8G 5 5 ( ) b) Pentu echilibul copului cilindic pe platfomă în poziţia consideată a sistemului este necesa să se impună condiţiile: < λ 5 < Ff μ N din cae pentu θ deteminat şi valoile geutăţilo din enunţ ezultă: R+ 7 λ 5 Ff 8G μ G R μ Valoile exteme pentu R şi μ coespunzătoae echilibului la limită se obţin luând egalitatea în ultimele elaţii de mai sus c) Pentu R a şi valoile geutăţilo din enunţ se detemină λ V O şi M O deoaece H O astfel încât ezultă: λ 9 4 V O MO G( ) 768 G Metoda II În această poblemă nu se ce eacţiunile legătuilo inteioae pin umae volumul de calcul va fi mult mai mic dacă se aplică metoda sepaăii paţiale pin cae se sepaă subsisteme de copui din sistemul dat având legătuile inteioae igidizate şi solidaizate de copuile subsistemului consideat pentu ezolvaea fiecăui punct al poblemei a) Pimul subsistem tebuie să fie constituit numai din baa BD cae este în echilibu în panul vetical Bx y sub acţiunea foţelo din fig 5) Deoaece nu se ce eacţiunile eazemelo din B şi E este suficient să se scie ecuaţia de poiecţii ale foţelo pe axa By şi ecuaţia de momente faţă de B din cae după eliminaea eacţiunii N E ezultă θaccos4 5 Acest ezultat ne aată că centul de geutate al baei se află chia în punctul E în poziţia sa de echilibu deoaece BE 8 cosθ l b) În fig 56) s-a epezentat al doilea subsistem de copui constituit din baa BD şi copul cilindic aflat la limita ăstunăii în juul punctului K şi la limita alunecăii impimate de foţa oizontală Q Condiţiile de echilibu la limită devin: Q F f N G G Q 5G + G 7Q RQ Ff μn din cae se detemină: G( ) F f 8G N G R G max μ min 8G G 4 c) Deoaece valoile date pentu R şi μ îndeplinesc condiţiile de echilibu ale copului cilindic pe platfomă sistemul de copui se va afla în echilibu în poziţia sa

64 5 - Echilibul sistemelo mateiale 6 în cae unghiul θ ae valoaea deteminată Pentu deteminaea eacţiunilo încastăii al teilea subsistem de copui va fi constituit din toate copuile sistemului ămase după tăieea fiului vetical legat în J de platfomă Subsistemul consideat tebuie să fie în echilibu sub acţiunea eacţiunilo încastăii a geutăţilo copuilo sale şi a efotului Q din fiul tăiat aşa cum este epezentat în fig 5) în cae tebuie să se ţină seama de faptul că geutatea G este aplicată chia în punctul E unde se află mijlocul baei BD în poziţia sa de echilibu Pin umae ecuaţiile de echilibu devin: H O V G G G O G Q + Q Q 4 MO + aq ag ( a+ 4) G ( a+ ) Q ag4 4aG ( 4a+ R) Q din cae ezultă VO HO ia momentul încastăii va fi: M G G O ( ) 5 Sistemul de copui omogene din fig 5 în cae sunt indicate dimensiunile geometice ale copuilo se află în echilibu în planul vetical Oxy sub acţiunea geutăţii G a toliului aticulat la capătul A al ginzii oizontale OA de geutate neglijabilă a geutăţii Q a sacinii a foţelo paalele oizontale de intensitate maximă p distibuite ca în figuă pe baa veticală BD de geutate neglijabilă pecum şi a foţei F aplicată sub unghiul α la capătul E al pâghiei DE de asemenea de geutate neglijabilă cae este aticulată Fig 5 în D şi se găseşte în poziţie oizontală atunci când fiul inextensibil înfăşuat pe tambuul de ază al toliului este întins Neglijând fecăile din aticulaţii şi cunoscând coeficientul de fecae μ ln7 π dinte tambuul de ază al toliului şi fiul înfăşuat pe el să se detemine: a) ezultanta F şi centul C pentu foţele paalele distibuite; b) valoaea minimă a foţei F pentu echilibul sistemului; c) eacţiunile încastăii din O a ginzii pentu F F min Date numeice: αactg 5 cm G N Q 8 kn p kn m

65 64 Statica - Rezolvae a) În apot cu axa veticală By din fig 5 diijată după baa BD ezultă: 5 p 7 F y dy + pdy p p p + y C y C F 5 py ( ) ydy pydy + p + 8p 7p b) Pentu deteminaea valoii minime a foţei F coespunzătoae echilibului la limită al toliului datoită fecăii fiului înfăşuat pe tambuul său de ază sub unghiul la centu de 8 a tebui să fie sepaate copuile înte cae este legat acest fi adică toliul şi pâghia DE În această poblemă nu se ce eacţiunile din aticulaţiile A şi D ale copuilo amintite astfel încât este suficient să se considee tăiate poţiunile veticale ale acestui fi şi să se scie ecuaţiile de momente faţă de aticulaţii ale celolalte foţe ce acţionează asupa acesto copui în afaa eacţiunilo din aticulaţii înte cae se număă şi efotuile T şi T din fi aşa cum sunt epezentate în fig 5 Pin umae condiţiile de echilibu la limită ale acesto copui devin: 7Fsinα T 5T T T Q T T e μπ din cae pentu valoaea lui μ dată în enunţ se detemină: Q 7Q Q T T Fmin 7 sin α c) Pentu deteminaea eacţiunilo încastăii se impune aplicaea metodei igidizăii sistemului în poziţia sa de echilibu deoaece nu se ce eacţiunile legătuilo inteioae Pin aplicaea acestei metode se obţin umătoaele ecuaţii: HO + F+ Fcos α V O G Q + F sinα MO Fy C 6G 7Q 5Fcosα + Fsinα din cae pentu F F min şi cu valoile F min F y C deteminate anteio ezultă: 7 6 HO p+ Qctgα 7 6 V G Q Q G Q O ctgα MO p + 6G+ 7Q+ Qctgα Q p+ 6G+ Q

66 5 - Echilibul sistemelo mateiale 65 Pentu datele numeice din enunţ se obţin umătoaele valoi ale eacţiunilo încastăii: HO 5 kn VO 6 N M 95 Nm O 5 Un fi omogen de geutate specifică lineaă γ se află în echilibu în planul vetical Oxy ca în fig 5) un capăt al său fiind legat în punctul fix A poţiunea sa BD fiind spijinită făă fecae pe peifeia unui disc cicula fix situat în planul de echilibu al fiului având centul O şi aza R ia ultima sa poţiune DE atână pe veticală Cunoscând odonatele punctelo O şi P din figuă P fiind punctul cel mai de jos al poţiunii AB al fiului α 5π β 5π 6 şi efotul T γr în fi în punctul P să se detemine: a) lungimea b a poţiunii DE a fiului; b) lungimea totală a fiului; c) abscisa x C a centului de geutate C al întegului fi aflat în poziţia sa de echilibu Fig 5

67 66 Statica - Rezolvae a) Se ştie că ecuaţia cubei plane de echilibu a unui fi omogen geu faţă de sistemul de efeinţă Oxy situat în planul său vetical de echilibu având axa Ox oizontală la distanţa a de punctul P cel mai de jos al fiului şi axa Oy veticală ce tece pin P este y ach( x a) ia efotul în fi în punctul său cuent Px ( y) este T γ y De aici ezultă imediat T γa γ R deci a R Ca umae efotul în fi la capătul B al poţiunii sale AB tebuie să fie: R TB γyb γ + R sin( π β) γ R Pe de altă pate aceeaşi valoae a efotului T B tebuie să ezulte din studiul echilibului poţiunii de fi DB cae este supusă la legătua făă fecae pe o supafaţă cilindică În fig 5) s-a sepaat această poţiune de fi în poziţia sa de echilibu pe legătuă unde T D γb epezintă geutatea G a poţiunii DE Asupa unui element de fi de lungime ds Rdθ acţionează geutatea sa dg γ ds eacţiunea nomală dn a legătuii pecum şi efotuile din fi la capetele elementului consideat diijate după tangentele coespunzătoae la cuba de echilibu a fiului Deoaece aici nu se cee vaiaţia eacţiunii nomale N a legătuii cu unghiul θ cae este paametul de poziţie al elementului de fi consideat pentu echilibul său este mai uşo să se scie ecuaţia de momente ale foţelo ce acţionează asupa lui în apot cu O astfel încât ezultă: TR + γr R cosθdθ R( T + dt) TB T D + γr cosθdθ γ b+ În uma compaăii acestui ezultat cu valoaea deteminată anteio pentu obţine b R 5π 6 T B se b) Lungimea totală a fiului se compune din lungimea l a poţiunii sale AB din lungimea l a acului de cec BD cu unghiul la centu β şi din lungimea l a poţiunii sale DE Deoaece l b R şi l Rβ 5πR 6 mai ămâne de deteminat l pentu cae se pezintă în continuae metode Metoda I Ecuaţia cubei de echilibu a poţiunii AB a fiului fiind cunoscută se poate detemina l efectuând integala din ds pe această cubă înte punctele B şi A astfel încât se obţine:

68 5 - Echilibul sistemelo mateiale 67 l x A A dy + dx dx x B R x x B x x A ch dx a sh a a ( + ) + R( + ) x sh a B R y R A + y R B unde odonata punctului A s-a deteminat din condiţiile: TA cosα T γr TA R ya ( + ) R γ cosα Metoda II Deoaece geutatea poţiunii de fi AB este G γl se poate detemina mai uşo lungimea sa din ecuaţiile de poiecţii pe oizontală şi pe veticală ale foţelo ce acţionează asupa sa în poziţia sa de echilibu cae sunt efotuile din fi la capetele sale şi geutatea G În fig 5) s-au epezentat aceste foţe în cazul în cae fiul este secţionat în B şi poţiunea sa AB este igidizată în poziţia sa de echilibu Din această figuă ezultă: γ y A cosα γr sin( π β) γy A sin α + γr cos π β γl ( ) ( ) ya + R l ( + )R Lungimea l a întegului fi va avea valoaea: 5π l R ( ) R c) Ecuaţia de momente ale foţelo ce acţionează asupa poţiunii de fi AB în apot cu poiecţia B a punctului B pe axa Oy este: γ yax A sin α + γrx B cos( π β) γr( ya R) γ l x din cae după deteminaea absciselo x A şi x B : y x A A R ag ch Rln R ( ) ( ) x R ag B ch R ln + se obţine: ( + ) ln( ) ln( + ) ( 6 + ) x R 66R + ( )

69 68 Statica - Abscisa x a centului de geutate al acului de cec BD şi abscisa x a celui al poţiunii veticale a fiului vo fi: R β β x xb Rcos( π β) sin cos β ( ) R ln R 5π x xb Rcos R R ln R astfel încât ezultă: xl + x l + xl ( + ) 66 ( 5π 6) 5 8 xc R 77R l 958 ( π β) ( ) Fig Baa omogenă OA de lungime şi geutate G este aticulată în O şi se spijină pe capătul B al baei identice BD cae este aticulată la mijlocul său C şi ae atânată geutatea Q la celălalt capăt Ştiind că aticulaţiile O şi C se află pe aceeaşi veticală la distanţa OC l şi neglijând fecăile să se detemine: a) valoile unghiului θ dinte baa OA şi veticală în poziţiile de echilibu ale sistemului şi valoile geutăţii Q pentu existenţa acesto poziţii de echilibu; b) eacţiunile legătuilo în poziţiile de echilibu deteminate l Răspunsui a) θ θ π Q ; θ a ccos G 4Q Q > G ; 4 b) θ θ : H O H C N B V O G V G+ Q C ; θ θ : N B 6Q G G HO HC 6Q G 8 Q

70 5 - Echilibul sistemelo mateiale 69 V G Q G + O 8Q V G Q G + C 8Q Fig Baele omogene AB şi BC de geutăţi G espectiv G aticulate înte ele în B şi la celelalte capete în punctele fixe A espectiv C se află în echilibu ca în fig 55 unde aticulaţiile A şi C sunt situate în planul oizontal Oxy ia aticulaţia B se spijină pe peetele vetical Oxz în punctul coespunzăto de pe axa Oz Ştiind că punctele O A B şi C pot fi consideate ca vâfui ale unui cub să se detemine eacţiunile tutuo legătuilo dacă eazemul din B este aplicat: a) baei AB; b) baei BC; c) fusului aticulaţiei comune pentu cele două bae Răspunsui G+ G G + G N B XA XC YC Y A Z G G A + Z G C ; a) X Y B B b) X B Y B G Z B ; G + G c) X X Y Y G + G G Z B ; Z Z G

71 7 Statica - 56 Baa AB de lungime l şi geutate neglijabilă este aticulată în punctul fix A dint-un plan oizontal şi se spijină pe un disc cicula omogen de ază R şi geutate G cae la ândul lui este ezemat în punctul E pe acelaşi plan oizontal şi în punctul D pe muchia unui pag de înălţime h< R Sistemul astfel fomat se află în echilibu înt-un plan vetical ca în fig56 în cae unghiul α < π dinte baă şi oizontală este cunoscut sub acţiunea unei foţe oizontale F aplicată la capătul B al baei a) Să se detemine valoile foţei F şi ale înălţimii h pentu cae sistemul de copui se află în echilibu în poziţia dată b) Pentu ce valoi ale înălţimii h a pagului sistemul se află în echilibu oicât de mae a fi valoaea foţei F? c) Pentu α π 6 şi h R să se Fig 56 detemine eacţiunile tutuo legătuilo a) RG < F lsin α b) cos α c) h R( ) lf Răspunsui h( R h) ( R h) sin α h( R h) cosα h< R( cos α) F lf N C ND N G H A l 4R V A R 4R 4R E ( ) 57 Ginda cu zăbele din fig 57 având dimensiunile geometice din figuă la cae latuile paalele ale tapezului isoscel ABCD sunt oizontale se află în echilibu înt-un plan vetical sub acţiunea geutăţii Q a unui cop atânat în A Să se detemine: a) eacţiunile legătuilo exteioae; b) efotuile din bae cu metoda sepaăii noduilo; c) efotuile din baele 4 5 şi 6 cu metoda secţiunilo

72 5 - Echilibul sistemelo mateiale 7 Răspunsui a) H H Q V Q V Q ; b) 5 T Q T Q T Q T4 T8 Q 4 T5 5 Q T6 Q T7 Q 4 4 Fig 5 7 Fig Pentu ginda cu zăbele din fig 58 având toate baele de aceeaşi lungime aflată în echilibu înt-un plan vetical sub acţiunea foţelo exteioae oizontale sau veticale din figuă să se detemine: a) eacţiunile legătuilo exteioae din O şi A; b) efotuile din baele 4 5 şi 6 espectiv 8 9 şi folosind metoda secţiunilo

73 7 Statica - Răspunsui a) HO F VO F NA F ; b) T 4 F T5 F T 6 F T9 T8 T F 59 Un cop de geutate G se spijină pe un peete vetical aspu pe cae este apăsat datoită unei foţe oizontale F aplicată la capătul B al baei AB aticulată în A al căei efect de apăsae se tansmite pin altă baă OC aticulată la capete înte mijlocul C al baei AB şi centul de geutate al copului Sistemul astfel fomat se află în echilibu înt-un plan vetical în poziţia din fig 59 în cae aticulaţiile O şi A se află pe acee aşi oizontală AB OC ia unghiul α dinte bae şi oizontală este dat Neglijând fecăile în aticulaţii şi geutăţile baelo şi cunoscând coeficientul de fecae μ dinte cop şi peetele vetical să se detemine: a) valoile foţei F pentu echilibul sistemului de copui în poziţia consideată; b) eacţiunile aticulaţiilo O C şi A pecum şi ale peetelui vetical asupa copului dacă foţa F ae valoaea minimă coespunzătoae echilibului sistemului în poziţia dată Răspunsui Fig 59 a) G G F tg α+ μ tgα μ μ< tg α ; b) G HO HC N tgα+ μ H A Gtgα VO VC VA tgα+ μ μg Ff tgα+ μ 5 Un disc cicula omogen de ază R şi geutate G se spijină pe un peete vetical aspu pe cae este apăsat datoită unei foţe veticale F aplicată la capătul B al baei AB aticulată în A al căei efect de apăsae se tansmite pin altă

74 5 - Echilibul sistemelo mateiale 7 baă OC aticulată la c apete înte mijlocul C al baei AB şi centul discului Sistemul de copui astfel fomat se află în echilibu înt-un plan vetical în pozi ţ ia din fig 5 în cae aticulaţiile O şi A sunt situate pe aceeaşi oizontală AB OC ia unghiul α dinte bae şi oizontal ă este dat Cunoscând coeficie ntul de fec ae de a lunecae μ şi cel de ostogolie s< μ R dinte disc şi peetele vetical ia geutăţile baelo şi fecăile din aticulaţii fiind neglijabile să se detemine: a) valoile foţei F pentu echilibul sistemului de copui în poziţia consideată; b) eacţiunile tutuo legătuilo pentu valoaea minimă a foţei F coespunzătoae echilibului la limită al sistemului în poziţia dată; c) eacţiunile legătuilo pentu F G Răspunsui Fig 5 RGtgα RGtgα a) F Rtgα + s Rtgα s s< Rtgα μ < tg α ; RG b) HO HC HA ND Rtgα + s RGtgα VO VC V A Rtgα + s sg Ff < μ N D M snd ; Rtgα + s c) HO HC HA ND Gctgα V V V F M O C G A f 5 Sistemul de copui omogene din fig 5 fomat din baa AB de lungime l şi geutate G şi dint-un disc cicula de ază R şi geutate 9G aticulate înte ele în centul discului şi la capătul B al baei se află în echilibu înt-un plan vetical astfel încât unghiul dinte baă şi oizontală ae valoaea α accos( R l) Discul se spijină pe un plan oizontal aspu ia fecăile din eazemul A al baei pe un peete vetical şi din aticulaţia B sunt neglijabile a) Ce valoi tebuie să fi e asiguate pentu coeficienţii de fecae de alunecae μ şi de ostogolie s dinte disc şi planul oizontal astfel încât sistemul să se găsească în echilibu în poziţia dată?

75 74 Statica - b) Să se detemine eacţiunile tutuo legătuilo pentu echilibul la limită al sistemului în poziţia consideată l R R a) μ R ( l ) R l R s ( l R ) Răspunsui GR l R b) NA HB Ff V B G NC G l R GR l R M l R Fig 5 Fig 5 5 Sistemul de bae omogene din fig 5 de lungime l şi geutate G fiecae aticulate înte ele la câte un capăt şi având celălalt capăt aticulat în punctul fix O espectiv ezemat în B pe un plan oizontal se află în echilibu înt-un plan vetical astfel încât unghiuile dinte bae şi oizontală au valoile α şi β date pentu cae tgα > tgβ

76 5 - Echilibul sistemelo mateiale 75 a) Neglijând fecăile să se detemine valoaea foţei oizontale F aplicată la capătul B al baei AB pentu echilibul sistemului în poziţia dată b) În absenţa foţei F pentu ce valoi ale coeficientului de fecae μ dinte baa AB şi planul oizontal va ămâne sistemul în echilibu în poziţia consideată? c) Pentu α 5π β π şi μ ( + ) 4 să se veifice dacă sistemul se află în echilibu ia în caz afimativ să se detemine eacţiunile legătuilo în această poziţie de echilibu Răspunsui G a) F tgα tgβ b) μ tgα tgβ c) μ μ min Ff HA HO G VA G 6 G N B ( ) G VO ( + ) 5 Două copui paalelipipedice de geut ăţi G espectiv sunt legate pin aticulaţii cilindice făă fecae în centele lo de geutate la capetele tijei omogene AB de geutate G şi se spijină pe două plane înclinate cu unghiuile α espectiv β faţă de oizontală pentu cae sunt date α π 4 şi β π α Sistemul de copui astfel fomat se află în echilibu înt-un plan vetical ca în fig 5 a) Dacă fecăile dinte copui şi planele înclinate sunt neglijabile să se detemine valoaea unghiului θ dinte tijă şi oizontală în poziţia de echilibu a sistemului pecum şi eacţiunile legătuilo inteioae şi exteioae sistemului Ce elaţie tebuie să fie veificată înte geutăţile celo copui astfel încât sistemul să fie în echilibu în poziţia în cae tija este oizontală? Cae este valoaea unghiului θ în poziţia de echilibu a sistemului pentu G G G? Fig 5 G

77 76 Statica - b) Dacă fecăile dinte copui şi planele înclinate sunt caacteizate de unghiul de fecae ϕ< α acelaşi pentu ambele eazeme să se afle valoile unghiului θ pentu echilibul sistemului c) Pentu cazul paticula în cae G G G α π 4 şi ϕ π să se detemine valoile unghiului θ şi eacţiunile legătuilo în poziţiile de echilibu la limită ale sistemului Răspunsui ( ) θ + α actg G G cos a) ( G+ G ) α α HA HB ( G+ G + G ) sin VA ( G+ G+ G) cos α G ( ) N ( G+ G + G ) cosα N ( G+ G + G ) sinα ; b) G+ G G+ G actg G tg α ; θ π α sinαcosα VB G+ G + G sin α G ( + G ) cos( α+ ϕ) ( G+ G ) cos( α ϕ) ( α+ ϕ) θ actg ( G+ G ) sin( α+ ϕ) ( G+ G ) n( α ϕ) si π c) θmax HA HB G VA G V B 6 G G ( + ) Ff ( ) N G G π N ( + ) Ff ( ) ; θmin 6 G HA HB G VB G N ( + ) G G G Ff ( ) N ( + ) Ff ( ) + ϕ α 54 Sistemul de copui omogene din fig 54 se află în echilibu întun plan vetical în poziţia sa în cae unghiul fomat cu oizontala de baa OA aticulat ă la capete în punctul fix O şi în centul de geutate al copului ae valoaea α dată Cunoscând geutăţile G G G ale celo copui coeficientul de fecae μ dinte copul şi planul oizontal pe cae se eazemă coeficientul de fecae μ dinte copuile şi şi neglijând fecăile din aticulaţii să se detemine:

78 5 - Echilibul sistemelo mateiale 77 a) valoile foţei oizontale F aplicată ca în figuă asupa copului pentu echilibul sistemului în poziţia dată; b) valoaea foţei F şi eacţiunile aticulaţiilo pentu echilibul la limită al sistemului î n poziţia consideată dacă: G G G G G 4G μ μ 5 Răspunsui Fig 54 a) F G + G μ + μ + G + μtg α μ ; G( 4+ tgα) b) F + tgα G HA HO + tgα G( tg ) V α A + tgα G( + tgα ) V O + tgα Fig Se consideă sistemul de copui omogene din fig 5 5 aflat în echilibu întn plan vetical în poziţia din u figuă în cae baa OA de geutate G aticulată în O este ţinută în poziţie oizontală pint-un fi ideal legat la capete în punctele sale A şi C şi înfăşuat sub unghiul la centu de 8 pe tambuul de ază al unui toliu cu axă fixă oizontală fecaea dinte acest fi şi tambu fiind caacteizată de coeficientul de fecae μ ln7 π Pe tambuul de ază al toliului este înfăşuat un alt fi ideal cae este tecut peste scipeţi de geutate

79 78 Statica - neglijabilă ca în figuă şi ae atânat la celălalt capăt un cop de geutate Q Ştiind că poţiunile ectilinii ale fielo sunt oizontale sau veticale cunoscând dimensiunile geometice din figuă şi neglijând fecăile din aticulaţii să se detemine valoile geutăţii Q pentu echilibul sistemului în poziţia dată pecum şi eacţiunile aticulaţiei O în cazul echilibului la limită al sistemului Ră spunsui Q G HO G 5 5 G VO 56 Ginda omogenă OA de lungime şi geutate G este încastată în O în poziţie oizontală şi de ea sunt legate ca în fig 56 pin aticulaţiile cilindice B şi D cu fusele oizontale sau pin fie pefect flexibile şi inextensibile mai multe copui omogene de geutăţi şi dimensiuni geometice indicate pe figuă Consideând fecăile neglijabile cu excepţia fecăii dinte tambuul de ază al toliului şi fiul înfăşuat pe el sub unghiul la centu de 8 caacteizată de coeficientul de fecae μ ln π să se detemine valoile geutăţii Q pentu echilibul sistemului în planul vetical din figuă pecum şi eacţiunile încastăii în cazul Fig 56 echilibului la limită al sistemului Răspunsui Q 85G HO G VO G MO 68 G

80 5 - Echilibul sistemelo mateiale Se consideă sistemul de copui omogene din fig 57 aflat în echilibu în poziţia din figuă în cae pâghia O A de geutate neglijabilă este oizontală şi axa pivotului tonconic de geutate G este veticală Pentu modificaea foţei de apăsae P a pivotului pe lagăul de pivotae coespunzăto se aşează geutatea G pe pâghie la distanţa b de O ia pentu impimaea tendinţei de pivotae a pivotului se atână geutatea G la un capăt al unui fi pefect flexibil şi inextensibil cae tece peste un scipete ideal şi este înfăşua pe alt scipete solida cu axa pivotului Cunoscând distanţa OO a azele R R unghiul α şi coeficientul de fecae de alunecae μ dinte pivot şi lagă să se detemine: a) momentul maxim al fecăii de pivotae în funcţie de P; b) valoaea foţei de apăsae P în funcţie de G G a şi b valoaea geutăţii G şi eacţiunile aticulaţiilo Fig 57 O şi O pentu echilibul la limită al sistemului consideat Răspunsui μp R a) M max ; sinα R b) P G+ a+ b G G HO a b H O VO G a V O ( ) ag + a + b G R μ ar sinα R 58 Ginda omogenă OA de geutate G G este încastată în O în poziţie oizontală şi de ea sunt legate pin aticulaţii cilindice făă fecae pâghia BD de geutate neglijabilă espectiv toliul omogen de geutate 5G având azele G

81 8 Statica - tambui lo şi Pe tambuul de ază al toliului este înfăşuat un fi de cae este atânată o sacină de geutate Q G ia pe tambuul său de ază se spijină cu fecae un sabot de fână de foma din fig 58 solidaizat de pâghie pint-o baă de geutate neglijabilă având gosimea λ geutatea G şi unghiul la centu al acului de cec coespunzăto α π Sistemul de copui astfel fomat se află în echilibu întun plan vetical sub acţiunea unei foţe F aplicată pependicula pe pâghie la capătul său D datoită fecăii dinte sabotul de fână şi tambuul de ază al toliului caacteizată de coeficientul de fecae μ Cunoscând dimensiunile geometice din figuă să se detemine: a) gosimea λ a sabotului de fână astfel încât centul său de geutate să se afle pe supafaţa sa de contact cu tambuul; b) valoaea foţei F şi eacţiunile încastăii în cazul echilibului la limită al sistemului în poziţia consideată Fig 58 Fig 59 ( ) Răspunsui a) λ π 6 + ( π )( π+ 6) 85 ; b) F 5 G HO 5 G VO 4 G M 6 O G 59 Discul cicula cu centul O din fig 59 este acţionat de un cuplu de moment M şi este fânat datoită fecăii cu un sabot de fână solidaizat ca în figuă

82 5 - Echilibul sistemelo mateiale 8 de o păghie oizontală cae impimă sabotului foţa de apăsae pe disc pin intemediul unui palan difeenţial acţionat de foţa activă P Neglijând geutăţile pâghiei a sabotului a discului a scipetelui mobil fecăile din aticulaţii igiditatea fielo şi cunoscând coeficientul de fecae μ dinte sabot şi disc pecum şi dimensiunile geometice din figuă să se detemine valoaea foţei P şi eacţiunile aticulaţiei O pentu echilibul la limită al sistemului în planul vetical din figuă Răspunsui M a μc R P μr a+ b R M H O V R M O μr 5 Să se detemine valoile foţei active P pentu echilibul sistemului din fig 5 dacă se cunosc geutatea Q şi cifa λ a fiecăuia din cei tei scipeţi de geutate neglijabilă ia copul de geutate Q este menţinut în poziţia din figuă cu ajutoul uno ghidaje veticale făă fecae cae nu au mai fost epezentate Răspuns Fig 5 Q λ Q P λ+ λ + λ λ λ ( ) + ( + ) 5 Să se detemine valoile geutăţii P pentu echilibul sistemului din fig 5 ştiind că toţi scipeţii de geutate neglijabilă au aceeaşi cifă λ cunoscând geutatea Q şi coeficientul de fecae μ dinte aceasta şi eazemul său oizontal dacă baa AB de asemenea de geutate neglijabilă este menţinută în poziţie oizontală cu ajutoul uno ghidaje veticale făă fecae cae nu au mai fost epezentate

83 8 Statica - Răspuns P λμq λ 4 λ 5 Un toliu omogen de geutate P este montat pin intemediul uno aticulaţii cilindice cu fecae în inteioul unui bloc cubic de geutate G astfel încât centele de geutate ale celo două copui să coincidă Pe tambuul de ază al toliului este înfăşuat un fi având celălalt capăt legat de un tavan ia pe tambuul său de ază R este înfăşuat alt fi având legat la celălalt capăt un cop de geutate Q Cunoscând cifa toliului λ şi neglijând fecăile din ghidajele veticale ale blocului cubic să se detemine valoile geutăţii Q pentu echilibul sistemului de copui în poziţia sa din fig 5 Fig 5 Fig 5 ( + G) λp ( + G) P λr Q R λ R> λ Răspuns

84 5 - Echilibul sistemelo mateiale 8 5 Pentu mecanismul de idicat din fig 5 pevăzut cu o fână cu sabot se cunosc dimensiunile geometice din figuă unghiul α coeficientul de fecae μ dinte sabotul de fână şi toliu cifa λ a scipeţilo şi a toliului geutatea Q a Fig 5 sacinii şi se neglijează geutăţile celolalte copui din sistem Să se detemine valoaea foţei veticale F de acţionae a fânei şi eacţiunile legătuilo din O A C şi D pentu echilibul la limită al sistemului Răspunsui F V min A M D ( μc) N ( + λ)( + ) Q( b + μc) R ( + λ)( a+ b) Q a μrλ a b VD μ λ hh D C H Q μrλ O ( + λ) ( λ cosα ) Rλ ( + λ) Q R F H H f A D V O Q Q Rλ ( + λ) ( μλrsinα ) μrλ ( + λ) 54 Pentu sistemul de copui din fig 54 la cae culisoul solida cu baa oizontală de lungime l se poate mişca făă fecae pe tija veticală OO se cunosc azele toliului cifa λ a toliului şi a scipeţilo geutatea Q şi se neglijează geutăţile celolalte copui din sistem Să se detemine valoile foţei active P pentu echilibul sistemului şi înălţimea h a culisoului pentu ca suma eacţiunilo tijei asupa sa să nu depăşească valoaea nq ştiind că fiele de legătuă dinte toliu şi scipeţi fomează cu veticala unghiui foate mici

85 84 Statica - ( λ ) ( λ ) QR Q R R P λλ λλ+ R ( + ) ( ) Răspunsui l h n Fig 54 Fig Un fi omogen geu pefect flexibil şi inextensibil având geutatea G şi lungimea l este legat la capete de două inele mici de geutate neglijabilă cae se spijină ca în fig 55 pe o tijă oizontală aspă coeficientul de fecae fiind μ tg ϕ Pentu echilibul la limită al inelelo pe tijă să se detemine distanţa d dinte ele săgeata maximă h a fiului efotul minim T şi efotuile la capete ale fiului ϕ d l μln ctg h Răspunsui l( sin ϕ) G T cosϕ μ G T T cosϕ A B

86 Cinematica punctului mateial Legea de mişcae a unui punct mateial în coodonate cateziene este dată pin: x 5cosλ t y 4( + sinλ t ) z ( sinλt ) unde şi λ sunt constante pozitive Să se detemine taiectoia viteza acceleaţia vitezele aeolae faţă de oiginea axelo de coodonate şi faţă de punctul C( 4 ) în mişcaea dată a punctului mateial pecum şi aza de cubuă a taiectoiei sale Rezolvae Pin eliminaea timpului din legea de mişcae a punctului mateial se obţin ecuaţiile analitice ale taiectoiei sale: y+ 4z 4 ( 4 ) ( ) x + y + z 5 cae este cecul cu centul în C şi de ază R 5 situat înt-un plan paalel cu axa Ox ce intesectează planul Oyz după diametul său AB extemităţile acestui diametu având coodonatele A( 8 ) espectiv B( 6) Pentu deteminaea vitezei punctului mateial la un moment t al mişcăii sale se calculează poiecţiile vitezei pe axele de coodonate: v x & x t sin λ λt v y & 8 y t cos λ λt v z & 6 z t cos λ λt de unde se obţine valoaea absolută a vitezei: v v + v + v tλ 5sin λt + 6cos λt + 9cos λt tλ x y z Diecţia şi sensul vitezei punctului mateial se pot detemina uşo calculând cosinuşii diectoi ai diecţiei sale faţă de axele de coodonate da în mişcaea ciculaă a unui punct mateial este mai impotantă apotaea lo la sistemul de

87 86 Cinematica - ( ) efeinţă intinsec al taiectoiei sale cu oiginea în poziţia sa cuentă P x y z Faţă de acest sistem de efeinţă se poate scie: v ω ρ Rωτ ω ωb ρ CP C Rn unde τ n b sunt vesoii tangentei nomalei pincipale şi binomalei astfel încât ezultă: v ρ 5cosλt i + 4sinλt j sinλt k ω λt R 4 τ sinλt i + cosλt j cosλt k n cosλt i sinλt j+ sinλt k b τ n ( cos λt + sin λt ) j+ ( sin λt + cos λt ) k ( j+ 4 k) Se obsevă că vectoul unita al binomalei după cae este diijat vectoul viteză unghiulaă în mişcaea ciculaă a punctului mateial ae diecţia nomalei la planul taiectoiei sale Pentu deteminaea acceleaţiei punctului mateial se pezintă în continuae două metode Metoda I Se calculează poiecţiile pe axele de coodonate ale acceleaţiei utilizând sistemul de efeinţă Oxyz: ax v& x λsinλt t λ cos λt ay v& y 8λcosλt 6t λ sin λt az v& z 6λcosλt + t λ sin λt de unde se obţine valoaea absolută a acceleaţiei: a a + a + a λ + 4t 4 x y z λ Dacă se calculează cosinuşii diectoi ai diecţiei acceleaţiei faţă de axele acestui sistem de efeinţă se obţin expesii complicate din cae nu se detemină uşo diecţia şi sensul acceleaţiei în poziţia cuentă a punctului mateial pe taiectoie De aici ezultă că este mai util să se detemine diecţia şi sensul acceleaţiei punctului mateial faţă de aza cuentă ρ şi faţă de viteza sa v deci în apot cu nomala pincipală espectiv cu tangenta la taiectoie în poziţia sa cuentă Notând cu φ unghiul dinte acceleaţie şi nomala pincipală măsuat în planul taiectoiei se pot expima elaţiile:

88 - Cinematica punctului mateial 87 ρ λ cos( π ϕ) cos ϕ a t ar 4 + λ π cos ϕ sin ϕ 4t a v av 4 + 4t λ astfel încât se obţine: tgϕ ϕ actg t λ t λ de unde se detemină mai uşo diecţia şi sensul acceleaţiei punctului mateial în oice moment al mişcăii sale Metoda II În coodonate intinseci ezultă imediat: ε εb ε ω& λ aτ εr λ a ω n R t λ 4 a R ε + ω λ + 4t 4 λ ε tgϕ ω t λ deci mişcaea ciculaă a punctului mateial este unifom acceleată având acceleaţia unghiulaă constantă ε λb Pentu deteminaea vitezelo aeolae ceute în enunţ se calculează în pimul ând viteza aeolaă faţă de C: Ω C ρ v R ωb 5t λ( j+ 4k) după cae se obţine uşo viteza aeolaă faţă de O: ΩO v C v + ΩC t λcosλt i + 5t λ( sinλt ) j + + t λ + sin λt k ( ) Ştiind că mişcaea punctului mateial este ciculaă este evident că aza de cubuă a taiectoiei sale este constantă şi egală cu aza R 5 a cecului Dacă nu se obsevă că mişcaea sa este ciculaă se poate detemina aza de cubuă a taiectoiei sale cunoscând valoile absolute ale vitezei şi acceleaţiei calculate în uma studiului mişcăii în coodonate cateziene Înt-adevă cu aceste valoi cunoscute se obţine succesiv: a v& λ τ a a a t λ n τ R v tλ 5 a tλ n

89 88 Cinematica - Se dă legea de mişcae în mişcaea plană a unui punct mateial pin coodonatele cateziene: x cosλ t y cosλ t expimate ca funcţii de timp unde şi λ sunt constante pozitive a) Să se detemine taiectoia viteza şi acceleaţia punctului mateial pecum şi aza de cubuă a taiectoiei sale expimată în funcţie de timp şi apoi în funcţie de abscisa adimensională ξ x b) Să se calculeze valoile exteme ale vitezei punctului mateial şi apoi să se detemine poziţiile şi acceleaţiile sale la momentele în cae viteza sa ae valoi exteme Cum se explică poziţiile acesto acceleaţii faţă de taiectoie? c) Să se aate că mişcaea punctului mateial este peiodică şi apoi să se detemine poziţiile P i pe taiectoie vitezele v i şi acceleaţiile a i la momentele t coespunzătoae unei peioade a mişcăii pentu cae t t πλ t π λ t π λ t 4 π λ ti+ 4 ti + π λ i Rezolvae a) Pe baza elaţiei cunoscute: cosα 4cos α cosα se poate elimina uşo timpul din legea mişcăii astfel încât ezultă: x x y x deoaece cosλt Pin umae taiectoia punctului mateial este un ac de paabolă cubică situat în inteioul Fig deptunghiului deteminat de deptele de ecuaţii x ± şi y ± aşa cum este epezentată în fig Pentu deteminaea vitezei şi acceleaţiei punctului mateial se calculează poiecţiile acestoa pe axele de coodonate: v x λ sinλt vy λ sin λt a x λ cosλt 9 a y λ cos λt de unde ezultă: v λ 4sin λt+ 9sin λt a λ 4cos λt+ 8cos λt

90 - Cinematica punctului mateial 89 Cunoscând valoile absolute ale vitezei şi acceleaţiei puntului mateial expimate ca funcţii de timp pentu aza de cubuă a taiectoiei se obţine succesiv: λ ( 4sinλtcosλt+ 7sinλtcosλt) aτ v& 4sin λt+ 9sin λt λ ( cosλt) sinλt 48λ sin λtcosλt an a aτ t+ t 4sin λ 9sin λ cos λt v R c a 48 n ( ) ( + ( t ) ) 4 9 4cos λ ( 4+ 9( ξ ) ) cosλt 4 b) Din condiţia de extem a vitezei &v ezultă succesiv: sinλtcosλt sinλt k λtk kπ t k π k Ν λ Pentu k 4n n N punctul mateial se află în poziţia P din fig cu viteza minimă nulă şi ae acceleaţia tangentă la taiectoie de valoae maximă a 85λ Pentu k 4n+ punctul mateial se va găsi în poziţia P având viteza tangentă la taiectoie de valoae maximă v ξ λ şi acceleaţia minimă nulă Pentu k 4n+ acesta se află în poziţia P 4 cu viteza nulă şi cu acceleaţia maximă tangentă la taiectoie ia pentu k 4n+ el ajunge din nou în P cu şi acceleaţia nulă şi viteza maximă tangentă la taiectoie da având sensul conta faţă de viteza v din figuă Se mai pot detemina nişte valoi de extem intemedia pentu viteza punctului din condiţia &v pentu cae avem: cos λt 4cos λt ( )( ) din cae ezultă: cos4λt 54 jπ t j ± λ 4λ accos 54 j N În poziţiile coespunzătoae acesto momente acceleaţia punctului mateial va fi nomală la taiectoie deoaece acceleaţia sa tangenţială a τ v& este nulă În poziţiile P şi P 4 acceleaţia sa nomală este nulă deoaece în aceste poziţii viteza sa ae valoaea minimă nulă ia acceleaţia sa tangenţială este difeită de zeo deoaece vaiaţia în timp a vitezei sale va fi nenulă în aceste poziţii punctul

91 9 Cinematica - mateial schimbându-şi sensul de mişcae pe taiectoie Înt-adevă de exemplu în se obţine: P vt ( + Δt) vt ( ) λ cosλt 4+ 7( 4cos λt )( 4cos λt ) a lim lim t Δt t Δt 4+ 9( 4cos λt ) ( ) 85λ La momentele în cae punctul mateial tece pin P acceleaţia sa este nulă adică ambele componente ale acceleaţiei sale în coodonate intinseci sunt nule deoaece: v max &v a v ( P ) Rc( P) a ( P ) τ n c) Din analiza vaiaţiei vitezei punctului mateial efectuată la punctul pecedent ezultă că mişcaea sa este peiodică cu peioada T π λ aceeaşi cu peioada de vaiaţie a abscisei x şi a poiecţiilo pe axa Ox ale vitezei şi acceleaţiei sale cae este de oi mai mae decât peioada π λ de vaiaţie a odonatei y espectiv a poiecţiilo pe această axă ale vitezei şi acceleaţiei sale De asemenea la punctul pecedent s-au deteminat poziţiile sale P i pe taiectoie valoile v i şi a i ale vitezei şi acceleaţiei sale la momentele t i coespunzătoae indicelui i pa pecum şi poziţiile acesto vectoi faţă de taiectoie Mai ămâne să se detemine aceste elemente ale mişcăii punctului mateial la momentele t i pentu indicele i impa pentu cae se obsevă că sinλt i deci cosλt i ± Ca umae la aceste momente punctul mateial se va găsi în poziţia P ( ) sau P ( ) cu viteza paalelă cu axa Ox de valoae v v v5 v7 λ ia valoile coespunzătoae ale acceleaţiei sale se pot calcula după cum umează: π t ax( t) λ ay( t) 9λ λ π t ax( t) λ ay( t) 9λ λ 4π t5 ax( t5) λ ay( t5) 9λ λ 5π t7 ax( t7) λ ay( t7 ) 9λ λ a a a a 8λ 5 7 Având calculate poiecţiile pe axele de coodonate ale acceleaţiei punctului mateial în poziţiile sale P P7 şi P P5 se poate detemina uşo oientaea vectoilo coespunzătoi ai acceleaţiei atât faţă de sistemul de efeinţă Oxy cât şi faţă de taiectoie

92 - Cinematica punctului mateial 9 Mecanismul din fig fomat din manivela AB de lungime R şi baa BD de lungime 4R aticulate înte ele în B se mişcă în planul Oxy astfel încât manivela se oteşte în juul aticulaţiei fixe A după legea θ λt unde λ este o constantă pozitivă dată ia baa tece pint- aticulat în O la un manşon Fig distanţa AO R măsuată pe axa Ox Ştiind că unghiul θ este măsuat înte diecţia negativă a axei Oy şi manivelă să se detemine: a) legea mişcăii capătului D al baei şi ecuaţia taiectoiei sale în coodonate polae; b) componentele adiale şi tansvesale pecum şi valoile absolute ale vitezei şi acceleaţiei punctului D la momentele tk kπ 6 λ k N coespunzătoae unei otaţii complete a manivelei Rezolvae a) Coodonatele polae ale punctului D vo fi aza vectoae OD şi unghiul pola ν dinte baă şi axa Ox Pentu expimaea lo ca funcţii de timp se pot scie elaţiile: OBsinϕ Rcosθ OBcosϕ + Rsinθ R din cae ezultă: cosθ tgϕ sinθ OB R 5 4s inθ astfel încât legea mişcăii punctului D în coodonate polae va fi: R( 4 5 4sin λt) R R cosλt π π actg ϕ ϕ sinλt 6 6 Pentu eliminaea timpului din această lege de mişcae în pimul ând se expimă în funcţie de timp cos ϕ cae este stict pozitiv după cae se poate detemina sinλt ca funcţie de ϕ Pin umae ecuaţia taiectoiei punctului D în coodonate polae se obţine din umăto aele calcule succesive:

93 9 Cinematica - cosϕ + tg ϕ sinλt 5 4sinλt sin λt 4sin ϕsinλt+ 4sin ϕ cos ϕ sinλt sin ϕ± cosϕ 4 sin ϕ R 4 8cos ϕ m 4cosϕ 4cos ϕ unde toate expesiile de sub adicali sunt pozitive pentu ν cupins înte π 6 π 6 În fig s-a epezentat şi această taiectoie pe baza ecuaţiei sale în coodonate polae cae este expimată de ultima elaţie din cele de mai sus b) Pentu deteminaea elementelo mişcăii ceute în enunţ este necesa ca în pimul ând să se calculeze pima şi a doua deivată în apot cu timpul pentu coodonatele polae şi ν cae sunt: Rλcosλt Rλ ( sinλt)( sinλt) & && 5 4sinλt ( 5 4sinλt) ( sin t) ϕ& λ λ cosλt ϕ&& 6λ 5 4sinλt 5 4sinλt după cae ezultă: v v ϕ& ϕ ϕ& & a && a & ϕ& + ϕ&& ϕ ( ) v v + v ϕ a a + a ϕ Valoile acesto elemente ale mişcăii punctului D la momentele date în enunţ pentu o otaţie completă a manivelei sunt calculate în tabelul de mai jos şi k /R v /Rλ v φ/rλ v/rλ a /Rλ a φ /Rλ a/rλ Se obsevă c ă punctul considea t se miş că în acelaş i sens pe taie ctoia sa cae este o cubă plană închis ă simetică faţă de axa Ox Ca umae mişcaea sa va fi peiodică având peioada T π λ egală cu intevalul de timp necesa unei otaţii complete a manivelei Se obsevă de asemenea că viteza punctului D nu se

94 - Cinematica punctului mateial 9 anulează având valoi exteme în poziţiile sale în cae aza vectoae ae valoi exteme şi ϕ adică: max R vmax Rλ R min R v min λ Fig 4) 4 Mecanismul bielămanivelă excentic din fig 4) fomat din manivela AB de lungime R şi biela BC de lungime R aticulate înte ele în B se mişcă în planul Oxy astfel încât manivela se oteşte în juul aticulaţiei fixe A( R) după legea θ λt unde λ este o constantă pozitivă dată ia culisoul C aticulat la celălalt capăt al bielei se mişcă pe axa Ox ae şi legea de vaiaţie a a) Să se detemine legea de mişc vitezei culisoului b) Să se taseze diagamele legii de mişcae şi vitezei culisoului epezentând gafic abscisa sa adimensională xr şi viteza sa adimensională v λ R ca funcţii de unghiul θ dinte manivelă şi diecţia negativă a axei Oy cae este dat popoţional cu timpul c) Să se detemine valoile exteme ale vitezei culisoului valoile unghiului θ şi momentele la cae viteza sa atinge aceste valoi exteme Rezolvae a ) Se notează cu B poiecţia punctului B pe axa Ox şi cu ϕ unghiul dinte bielă şi aceeaşi axă Pe baza fig 4) se pot expima elaţiile geometice şi tigonometice: OB Rsin θ θ θ BB OBsin Rsin Rsinϕ θ sinϕ sin ( cosθ) cosϕ± sin ϕ ± ( + cosθ) + sin θ astfel încât legea mişcăii ectilinii a culisoului se detemină din condiţia:

95 94 Cinematica - x ABsinθ BCcosϕ Rsinθ Rcosϕ din cae ezultă: sinλt ( + cosλt) + sin t [ kt t + kt] U [ t + kt ( k+ ) T] x R( sin λt+ ( + cos λt ) +sin λt) t [ t + kt t + kt] unde k N t π λ t π λ ia T π λ este peioada mişcăii sale coespunzând la două otaţ ii complete ale manivelei Pin deivaea acestei expesii în apot cu timpul se obţine legea de vaiaţie a vitezei culisoului: λr cosλt+ x λr cosλt sinλt( cosλt) t kt t + kt t + kt k+ T ( + t) + t cos λ sin λ sinλt( cosλt) t [ t + kt t + kt] ( + t) + t cos λ sin λ [ ] U [ ( ) ] Fig 4) b) Diagamele ceute în enunţ sunt epezentate în fig 4) pe baza expesiilo deteminate la punctul pecedent pentu legea de mişcae şi legea de vaiaţie a vitezei culisoului Mişcaea sa fiind peiodică aceste diagame s-au epezentat numai pentu o peioadă a mişcăii după cae se epetă atât vaiaţia abscisei x a culisoului cât şi cea a vitezei sale Se obsevă că aceste diagame sunt continue la momentele t + kt şi t + kt la cae le coespund unghiuile de otaţie ale manivelei θ + 4k π espectiv θ + 4k π unde θ π şi θ π De asemenea se obsevă că aceste diagame veifică popietăţile diagamelo mişcăilo ectilinii ale punctului mateial deoaece elongaţia x ceşte în intevalele de timp în cae viteza este pozitivă scade în intevalele de timp în cae aceasta devine negativă ia la momentele

96 - Cinematica punctului mateial 95 t + k T şi t + kt la cae le coespund unghiuile θ + 4k π espectiv θ + 4k π când viteza se anulează se ating valoile exteme ale elongaţiei cae sunt: θ π+ accos ( θ ) xmax x R θ 4π accos xmin x( θ ) R c) Din diagama vitezei culisoului se obţine imediat: k vmax λr t π λ θ k π ( ) λ ( ) vei R 8 λr t t kt + θ ( 4 + ) k π vmin + λr 48 λ R t t + kt θ 4k + π ( ) unde v ei epezintă valoaea de exte m intemedia a vitezei Aceleaşi puncte de extem din diagama vitezei se pot detemina pe baza legii de vaiaţie în timp a acceleaţiei culisoului cae ae expesia în funcţie de θ λt dată de: sinθ( 4 cosθ) 4λ Rsinθ θ kπ k+ π + π + ( + )( ) cosθ cosθ a sinθ( 4 cosθ) 4λ Rsinθ + θ [( 4k+ ) π 4( k+ ) π] ( + cosθ)( cosθ) [ 4 ( 4 ) ] U ( 4k ) 4( k ) [ π] 5 Un punct mateial se mişcă unifom cu viteza v dată pe elicea cilindică de ecuaţii paametice: x Rcosθ y Rsin θ z Rθtgα expimate în coodonate cateziene unde aza R a cilindului de înfăşuae al elicei cilindice şi unghiul său de pantă α < π 4 sunt cunoscute Ştiind că la momentul iniţial t al mişcăii θ şi &θ> să se detemine legea mişcăii viteza aeolaă şi acceleaţia punctului mateial la un moment t al mişcăii sale pecum şi aza de cubuă a taiectoiei sale studiind mişcaea sa: a) în coodonate cateziene; b) în coodonate cilindice

97 96 Cinematica - Răspunsui vt vt a) x Rcos cos α y Rsin cos α z v t R R sinα ; b) ρr θ vt α R cos z v t sinα ; Ω + Rv vt R si n α v a cos α R R c R cos α 6 Mişcaea unui punct mateial pe taiectoia sa cunoscută este dată pin legea oaă: πt st () πt+ cos [ m] 6 unde timpul t se expimă în secunde a) Să se detemine poziţia punctului mateial pe taiectoie la momentul tf 5 s şi să se calculeze lungimea dumului pacus de el de la momentul iniţial t până la momentul t f b) Dacă taiectoia punctului mateial este elicea cilindică de ază R π m şi unghi de pantă α π 6 să se detemine valoile vitezei şi acceleaţiei sale la momentul t f ) ( ) Răspunsui a sf s tf 5π 47 m l s + s s + s s + s s 5978m s s f s( t ) t ( ) k k+ k+ k + k + 6 k v v b) v π 4 m s a τ an a cos α 75 ms R R c

98 - Cinematica punctului mateial 97 7 Se dă legea mişcăii plane a unui punct mateial în coodonate cateziene pin funcţiile de timp: x sinλ t y cos λt în cae şi λ sunt constante pozitive a) Să se detemine taiectoia viteza viteza aeolaă acceleaţia şi aza de cubuă a taiectoiei în funcţie de timp şi în funcţie de abscisa x în mişcaea consideată a punctului mateial b) La ce momente şi în cae poziţii pe taiectoie viteza punctului mateial ae valoi exteme? Să se calculeze aceste valoi exteme ale vitezei sale c) Să se detemine acceleaţia punctului mateial şi diecţia acceleaţiei faţă de taiectoie în poziţiile în cae viteza sa ae valoi exteme Cum se explică aceste ezultate? Răspunsui x a) y 4 x y v λ cosλ t + sin λ t Ω λ cosλt + sin λt k a λ sin λt+cos λt b) t ( ) RC ( + sin λt) + P k k λ k N ; P ( ) ( ) v min x 4 v c) a a n λ a a aτ λ P max λ ; ( ) 8 Un inel se mişcă pe paabola din sâmă de ecuaţie y px faţă de sistemul de efeinţă plan Oxy astfel încât acceleaţia sa este paalelă cu axa Ox tot timpul mişcăii sale Ştiind că la momentul iniţial t al mişcăii sunt date y şi &y v > să se detemine legea de mişcae viteza şi acceleaţia inelului şi să se expime aza de cubuă a taiectoiei sale în funcţie de timp şi de coodonatele sale cateziene

99 98 Cinematica - Răspunsui vt v x y v t ; v p v + vt ; a ; p p p x y RC p + p + vt p + p p p 9 Un inel se mişcă pe paabola din sâmă de ecuaţie y px faţă de sistemul de efeinţă plan Oxy astfel încât acceleaţia sa ae valoaea constantă a şi este paalelă cu axa Ox tot timpul mişcăii sale Ştiind că la momentul iniţial t al mişcăii sale sunt date y şi &y > să se detemine legea mişcăii în coodonate cateziene viteza şi viteza aeolaă a inelului şi să se expime aza de cubuă a taiectoiei sale în funcţie de timp şi în funcţie de coodonatele sale Răspunsui at x y t pa v a p+ at at x y Rc p + p p p + + p p ( ) Ω at 4 pa k ; Un inel se mişcă pe lănţişoul din sâmă de ecuaţie y dch( x d) faţă de sistemul de efeinţă plan Oxy astfel încât acceleaţia sa este paalelă cu axa Oy tot timpul mişcăii sale Ştiind că la momentul iniţial t al mişcăii sunt date x şi &x v > să se detemine legea de mişcae viteza şi acceleaţia inelului şi să se expime aza de cubuă a taiectoiei sale în funcţie de timp şi în funcţie de coodonatele sale cateziene Răspunsui x v t y dch vt vt v v ch d d R dch vt dch x y c d d d a v d ch vt d Un inel se mişcă pe lănţişoul din sâmă de ecuaţie y dch( x d) faţă de sistemul de efeinţă plan Oxy astfel încât acceleaţia sa este paalelă cu axa Oz şi valoaea acceleaţiei sale este popoţională cu odonata sa y în oice moment

100 - Cinematica punctului mateial 99 al mişcăii sale factoul de popoţionalitate fiind λ Ştiind că la momentul iniţial t al mişcăii sale sunt date x şi &x > să se detemine legea mişcăii în coodonate cateziene viteza viteza aeolaă şi acceleaţia inelului şi să se expime aza de cubuă a taiectoiei sale în funcţie de timp şi în funcţie de coodonatele sale Ră spunsui x a λdt y dch t λdchλt λ ; v λdch λ t Ω ( λtshλt λ ) R d ch t d ch x y c λ d d λd ch t k ; Fig Răspunsui Mecanismul bielă- din fig fomat din manivelă manivela OA de lungime l şi biela AB de aceeaşi lungime aticulate înte ele în A se mişcă în planul Oxy astfel încât manivela se oteşte în juul aticulaţiei fixe O după legea θ λt unde λ este o constantă pozitiv ă dată ia culisoul B aticulat la celălalt capăt al bielei se mişcă pe axa Ox a) Pentu mijlocul M al bielei să se detemine legea de mişcae în coodonate cateziene taiectoia viteza acceleaţia viteza aeolaă şi aza de cubuă a taiectoiei b) La ce momente şi în cae poziţii pe taiectoie viteza punctului M ae valoi exteme? Să se calculeze aceste valoi exteme ale vitezei sale c) Să se detemine acceleaţia punctului M şi diecţia acesteia faţă de taiectoie în poziţiile în cae viteza sa ae valoi exteme Cum se explică aceste ezultate? x y a) x l cosλt y l sin λt ; + 9 a λ l + 8cos λt ; v λl + 8sin λt ; l l Ω λl ; R ( ) c + 8sin λt l

101 Cinematica - k b) t k π k N ; M ( l) M ( l ) λ v v vmin λl M ( l) M ( l) v v v max λl c) a a a a λ l ; a a a a λ l ; a v& n max n min τ Un disc cicula cu centul C şi de ază R se mişcă în planul Oxy astfel încât se ostogoleşte făă alunecae pe axa Ox ia centul său se mişcă pe deapta y R după legea xc λ Rt unde λ este o constantă pozitivă dată a) Pentu punctul P de pe peifeia discului cae la momentul iniţial t s e află în O să se detemine legea de mişcae în coodonate cateziene taiectoia viteza acceleaţia şi aza de cubuă a taiectoiei b) Notând cu I punctul de contact al discului cu axa Ox şi cu θ unghiul dinte azele sale CI şi CP să se veifice elaţiile: v &θ k IP a θ & CP R c IP Răspunsui ( λ t) y R( cosλt) a) x R λt sin Legea de mişcae a punctului P epezintă şi ecuaţiile paametice ale taiectoiei sale cae este o cicloidă λt t v λrsin aλ R Rc 4Rsin λ b) Deo aece θ λt se pot veifica imediat elaţiile din enunţ calculând vectoii IP şi CP ca funcţii de θ 4 Mecanismul din fig 4 fomat din baele de lungimi OF l + b ED l AB b şi FC l + b aticulate înte ele ca în figuă unde patulateul EFBD epezintă un omb de latuă l < b se mişcă în planul Oxy astfel încât manivela OF ae o Fig 4

102 - Cinematica punctului mateial mişcae de otaţie unifomă în juul aticulaţiei fixe O după legea θ λt ia culisoaele A şi C aticulate la celelalte capete ale baelo AB espectiv FC se mişcă pe axa Ox Să se detemine legile de mişcae taiectoiile vitezele şi acceleaţiile punctelo B şi D Răspunsui l y bsinλ t ; Pentu B: x ( b + ) cosλt x ( b + l) + y b ; ( b + ) sin λ t + b cos λt a λ ( b + l) Pentu D: x ( b + l) cosλt y ( b ) sin λt v λ l ; cos λt + b sin λ t x + y ( b + l) ( b l) a λ b + l + blcosλt l ; ; v λ b + l blcosλt 5 În mişcaea plană a unui punct mateial se dă legea sa de mişcae în coodonate polae: vt θ ω t unde v şi ω sunt constante pozitive Să se detemine taiectoia viteza acceleaţia şi viteza aeolaă a punctului mateial şi să se expime aza de cubuă a taiectoiei sale în funcţie de timp şi în funcţie de unghiul pola θ Răspunsui Taiectoia de ecuaţie v θ ω este o spială a lui Ahimede; v v + ω t ; a v ω 4 + ω t ; Ω v ω t ; v R + c ω ( ω t ) ( + ωt ) v ω ( + θ ) ( + θ )

103 Cinematica - 6 În mişcaea plană a unui punct mateial se dă legea sa de mişcae în coodonate polae: t e λ θ λt unde şi λ sunt constante pozitive Să se detemine taiectoia viteza acceleaţia şi viteza aeolaă a punctului mateial şi să se expime aza de cubuă a taiectoiei sale în funcţie de timp şi în funcţie de aza vectoae Răspunsui Taiectoia de ecuaţie e θ este o spială logaitmică; v e t λ λ ; a e t λ λ ; Ω λ e λt λt ; R e c 7 Ştiind că în mişcaea plană a unui punct mateial P în oice moment al mişcăii sale viteza şi viteza aeolaă faţă de un punct O din planul mişcăii veifică elaţiile: v λ Ω λ unde OP OP este aza vectoae iniţială la momentul t ia λ este o constantă pozitivă dată să se detemine legea sa de mişcae în coodonate polae măsuând unghiul pola de la aza vectoae iniţială ecuaţia taiectoiei viteza acceleaţia şi aza de cubuă a taiectoiei sale Răspunsui θ + λ t θ ln + λt ; e ; a λ ( + λt) ( λ ) ; Rc + t v λ + λt ; 8 Sistemul fomat din două bae AM şi MB de aceeaşi lungime l aticulate înte ele în M se mişcă în planul Oxy astfel încât celelalte extemităţi ale baelo se mişcă pe axa Ox după legile: kl x lf( t) x B ft A ()

104 - Cinematica punctului mateial unde funcţia adimensională de timp f(t) şi constanta pozitivă k se consideă cunoscute a) Să se detemine legea de mişcae a punctului M în coodonate polae şi ecuaţia taiectoiei sale în coodonate cateziene b) Pentu k să se afle expesia funcţiei f(t) astfel încât puntul M să se mişte unifom cu viteza λl pe un ac al taiectoiei deteminate În acest caz să se pecizeze acul de taiectoie pe cae se mişcă punctul consideat şi să se calculeze valoaea acceleaţiei sale Răspunsui a) R l + k π b) ft () cos λt ± 4cos π π θ a λ l k θ accos l () + () f t ; x + y R R f t π λt π t λ 9 Cadul plan din fig 9 constituit din baele depte AB şi CE solidaizate în C şi pependiculae înte ele se mişcă în planul Oxy astfel încât cele două bae tec pin manşoanele aticulate în O espectiv în punctul D de pe axa Ox ia unghiul dinte baa AB şi axa Ox vaiază în timp după legea θ λt unde λ este o constantă pozitivă dată Cunoscând OD CB d să se detemine legea de mişcae a punctului B în coodonate polae ecuaţia taiectoiei sale pecum şi valoile absolute ale vitezei şi acceleaţiei sale la un moment t al mişcăii De asemenea să se expime aza de cubuă a taiectoiei sale în funcţie de timp şi de aza vectoae d( + t) d( + ) Răspunsui cosλ θ λt ; cosθ epezintă ecuaţia unei cadioide în coodonate polae; λt v λdcos ; Fig 9 a λ d 5+ 4cos λt ; d R c ( + t) d cosλ

105 4 Cinematica - Mecanismul din fig fomat din baa AB ce tece pint-un manşon aticulat în O şi manivela CD de lungime l aticulate înte ele în D se mişcă în planul Oxy astfel încât manivela se oteşte în juul punctului fix C de pe axa Ox după legea ϕ λt unde λ este o constantă pozitivă dată Cunoscând OC l şi BD b l să se detemine legea de mişcae a punctului B în coodonate polae ecuaţia taiectoiei sale şi valoile absolute ale vitezei şi acceleaţiei acestui punct la un moment t al mişcăii sale De asemenea pentu b l să se expime aza de cubuă a taiectoiei sale Fig în funcţie de timp şi în funcţie de unghiul pola θ din figuă b + lcosλt θ λt ; l b + cosθ Răspunsui epezintă ecuaţia unui melc al lui Pascal în coodonate polae; v λ 4l + b + 4lbcosλt ; a λ 6l + b + 8lbcosλt R c ( 5 + 4cosλt) ( + cosλt) l ( 5 + 4cosθ) l + cosθ ;

106 - Cinematica vibaţiilo 5 Cinematica vibaţiilo Un mobil ae o mişcae ectilinie dată de legea: π( t ) x sin [ m] π unde timpul se măsoaă în secunde Legea mişcăii ectilinii a unui alt mobil se poate expima în funcţie de cea a pimului mobil pin: π π && x x x + x & + + kx &&& [ m] 5 a) Pentu k să se detemine amplitudinea A a mişcăii ezultante a celui de-al doilea mobil pecum şi defazajul ψ faţă de mişcaea pimului mobil folosind atât epezentaea vectoială cât şi cea pin numee complexe a măimilo amonice b) Să se detemine valoaea constantei k pentu ca mişcăile celo două mobile să fie în fază şi în acest caz să se scie legea mişcăii ezultante a celui de-al doilea mobil Rezolvae Fig a) Legea mişcăii ectilinii a pimului mobil se mai poate expima sub foma: x π π t π t sin cos [ m] π π deci vibaţia sa amonică ae amplitudinea x π [ m] pulsaţia ω π [ ] s şi faza iniţială ϕ Ca umae deivata de odinul n în apot cu timpul a acestei legi de mişcae va fi o măime amonică cu aceeaşi pulsaţie defazată înaintea mişcăii cu unghiul nπ şi având n amplitudinea x ω Pentu k şi n în fig s-au epezentat cei vectoi otitoi în planul Oxy în juul oiginii axelo cae coespund

107 6 Cinematica - celo tei componente amonice de aceeaşi pulsaţie ale mişcăii ezultante a celui de-al doilea mobil Din figuă ezultă imediat: A m + tgψ ψ π Dacă se foloseşte epezentaea pin numee complexe a măimilo amonice legea de mişcae a pimului mobil va fi epezentată de număul complex: t t z i e i t + cos π sin π π π π Număul complex ce epezintă vibaţia amonică a celui de-al doilea mobil ezultă succesiv: π π π π π π z z + z& + && z z + i z z z + i 5 π iπt iπ i( πt + π ) e e e π de unde se obţin aceleaşi valoi pentu A şi ψ b) În fig s-a epezentat cu linie înteuptă şi cel de-al patulea vecto coespunzăto celei de-a pata componente amonice a mişcăii mobilului al doilea dacă constanta k este difeită de zeo şi pozitivă Din condiţia ca vibaţia sa amonică să fie în fază cu cea a pimului mobil ezultă: kπ 8 k 5π t t x cos π π 5 cos [ m] O foţă petubatoae ce acţionează înt-un sistem vibant ae vaiaţia în timp din fig cae se poate expima analitic pin: Ft Fsign sinω t F ( ) ( ) unde şi ω sunt constante pozitive date Această foţă fiind peiodică cu peioada T π ω să se dezvolte în seie Fouie Rezolvae Dezvoltaea în seie Fouie a foţei petubatoae date este: a Ft () + ( ancosnωt+ bnsin nω t) n

108 - Cinematica vibaţiilo 7 pentu cae coeficienţii se calculează cu fomulele cunoscute: πω πω πω ω ω ω a F() t dt an F() t n td π π cos ω t bn F() t sin nωtdt π Deoaece în pima peioadă de vaiaţie a foţei aceasta se poate expima sub foma: Fig () Ft F t π ω π π t ω ω π π F t ω ω coeficienţii şi ezultă nuli ia pentu b n se obţine: ωf n k k N πω πω bn ( cosnωt + cosnωt ) 4F πω π nω n k nπ Ca umae dezvoltaea în seie Fouie a foţei date va fi: 4F sin( k ) ωt F Ft () t t t k sinω sinω sin 5ω π π 5 k a a n Un punct execută o vibaţie amonică pe axa Ox după legea x Acos ωt+ ϕ Ştiind că peioada mişcăii este T s şi că la momentul ( ) 4 t s 6 punctul ae elongaţia x 5 m şi viteza v 785 m s să se expime numeic legea sa de mişcae măsuând elongaţia în meti şi timpul în secunde Răspuns x t cos π 4 π [ m] 4 Un punct execută o vibaţie amonică pe axa Ox după legea x Asinωt Ştiind că la momentele t şi t din pima peioadă a mişcăii elongaţia şi viteza punctului sunt x şi v espectiv x şi v să se detemine:

109 8 Cinematica - a) amplitudinea A pulsaţia Τ şi cele două momente; b) legea mişcăii şi momentele t t pentu datele numeice: x x 866 m v v m s Răspunsui a) A vx v ω t actg x ω v x sint m b) [ ] t vx ω v π t 47 s v x v x ω t actg x ω v ; 5 Vibaţia amonică a unui punct este descisă de legea: x x cos( 5t+ ψ ) [ mm] în cae timpul se expimă în secunde a) Dacă la momentul iniţial t al mişcăii punctului sunt date elongaţia x şi viteza x& 5 [ m s] să se detemine amplitudinea x şi faza iniţială ψ b) Ştiind că mişcaea deteminată este ezultanta compuneii a două vibaţii amonice coliniae de aceeaşi pulsaţie dinte cae pima componentă este x 5cos5 t mm să se afle cea de-a doua componentă [ ] Răspunsui a) x mm π ψ π b) x cos 5t+ [ mm]

110 - Cinematica vibaţiilo 9 6 Un mobil ae o vibaţie ectilinie amonică dată de legea x xcosωt Legea mişcăii ectilinii a unui alt mobil se poate expima în funcţie de cea a pimului mobil pin: t x ω xdt+ x + x& + &x& ω ω Să se detemine legea mişcăii ezultante a celui de-al doilea mobil folosind atât epezentaea vectoială cât şi cea pin numee complexe a măimilo amonice Răspuns x xcos ωt π 4 7 Un mobil ae o vibaţie ectilinie amonică dată de legea x xcosωt Legea mişcăii ectilinii a unui alt mobil se poate expima în funcţie de cea a pimului mobil pin: x x + x& + && x x + &&& ω ω ω Să se detemine legea mişcăii ezultante a celui de-al doilea mobil folosind atât epezentaea vectoială cât şi cea pin numee complexe a măimilo amonice Răspuns π x x cos ωt+ 8 Legea mişcăii ectilinii a unui mobil este: π x sin t [ cm] unde timpul se măsoaă în secunde Ştiind că legea mişcăii ectilinii a unui alt mobil se poate expima în funcţie de cea a pimului mobil pin:

111 Cinematica - t x 4 xdt+ x + x& + x& 4 să se detemine această lege de mişcae şi defazajul mişcăii pimului mobil faţă de aceasta folosind cele două epezentăi cunoscute ale măimilo amonice x t π cos cm [ ] Răspunsui π ΔΦ 4 9 Legea mişcăii ectilinii a unui mobil este: t x π sin [ cm] unde timpul se măsoaă în secunde Ştiind că legea mişcăii ectilinii a unui alt mobil se poate expima în funcţie de cea a pimului mobil pin: x x+ x& && x 8&&& x să se detemine această lege de mişcae şi defazajul acesteia faţă de mişcaea pimului mobil folosind cele două epezentăi cunoscute ale măimilo amonice Răspunsui t 5π x cos + [ cm] π ΔΦ 4 Un punct mateial ae o mişcae ectilinie compusă din două vibaţii amonice coliniae ale căei componente sunt: x xsinω t x x sin ω t x unde şi ω sunt constante pozitive cunoscute Să se detemine valoile exteme ale amplitudinii mişcăii ezultante momentele la cae sunt atinse peioada de vaiaţie a amplitudinii şi peioada mişcăii ezultante

112 - Cinematica vibaţiilo Răspunsui Amax 5x t kπ k A x ω min ( k ) π ω t k * k N T T π ω Un punct mateial ae o mişcae ectilinie compusă din două vibaţii amonice coliniae ale căei componente sunt: x 4x cosω t x xcosω t unde x şi ω sunt constante pozitive cunoscute Să se detemine: a) valoile exteme ale amplitudinii mişcăii ezultante momentele la cae sunt atinse peioada de vaiaţie a amplitudinii şi peioada mişcăii ezultante; b) valoile exteme ale vitezei punctului mateial şi poziţiile sale la momentele în cae sunt atinse Răspunsui a) Amax 5x kπ π * t k A min x t k ( k ) k N T T π ω ω ω ; ω xv max x b) v x max ( ) v min xv ( min ) x Un mobil ae o mişcae ectilinie compusă din două vibaţii amonice coliniae cu pulsaţiile de valoi apopiate ale căei componente sunt: x 7 π sin 5πt+ π x cos 5 πt 6 [ m] unde timpul se măsoaă în secunde Să se detemine valoile exteme ale amplitudinii mişcăii ezultante momentele la cae sunt atinse peioada bătăilo şi peioada mişcăii ezultante

113 Cinematica - Răspunsui A m t k k Amin 6 m 5(k ) k N max T s T s t k Un mobil ae o mişcae ectilinie compusă din două vibaţii amonice coliniae cu pulsaţiile de valoi apopiate ale căei componente sunt: x 64 π sin 69πt+ 6 x 6 π cos 8πt [ m] unde timpul se măsoaă în secunde Să se detemine valoile exteme ale amplitudinii mişcăii ezultante momentele la cae sunt atinse peioada bătăilo şi peioada mişcăii ezultante Răspunsui A m max k t k Amin 8 m t k k k N T T [] s 4 Un mobil ae o mişcae ectilinie compusă din două vibaţii amonice coliniae cu pulsaţiile de valoi apopiate ale căei componente sunt: π x 5 cost x 5 cos πt+ [ m] 4 unde timpul se măsoaă în secunde Să se detemine valoile exteme ale amplitudinii mişcăii ezultante momentele la cae sunt atinse peioada bătăilo şi să se aate că mişcaea ezultantă nu este peiodică A m max t k ( 8k + ) π 4( π ) Răspunsui A m min t k ( k ) 4( π ) 8 π k N π T T [] s Mişcaea ezultantă nu este peiodică pentu că apotul π T este iaţional ω ω π

114 - Cinematica vibaţiilo 5 Pentu vibaţia ectilinie amotizată a unui punct se cunosc: pseudopeioada T 5 s decementul logaitmic δ poziţia iniţială x 5 m şi viteza iniţială v m s Să se detemine legea mişcăii punctului şi ecuaţiile cubelo pe cae sunt situate punctele de extem din diagama mişcăii sale dacă timpul se expimă în secunde Răspunsui 4 t x 5e cos 4 t π x e 4 t ± 4e [ m] 6 Un punct execută o vibaţie amotizată pe axa Ox după legea εt x Ae sinωt Ştiind că la momentele t şi t > t date în diagama mişcăii punctului se ating pimul maxim de valoae x > espectiv pimul minim de valoae x < valoi de asemenea cunoscute cae veifică elaţia: πt πt π sin sin să se detemine: t t t t x π + ln x a) valoile pentu constantele pozitive A ε şi Τ; b) legea mişcăii punctului pentu datele numeice: t 5 s t 5 s π 4 5π 4 x e 645dm x e 8 dm timpul fiind măsuat în secunde Răspunsui a) ω t π t t A x x t π x T t - ε ( ) t πt πt b) x e sin [ ] π t x + ln ; x dm t t x ln x

115 4 Cinematica Un punct execută o vibaţie amotizată pe axa Ox după legea x x e ε t cos pt Cunoscând pseudopeioada T şi decementul logaitmic δ şi ştiind că la un moment t < T 4 al mişcăii punctului sunt date elongaţia x > şi viteza sa v < să se de temine: a) momentul t elongaţia x şi viteza v la momentul t t + T; b) legea mişcăii punctului şi ecuaţiile cubelo pe cae sunt situate punctele de extem din diagama mişcăii sale pentu datele numeice: T 4 s δ 4 5 π x 5 e 67 m v + x m s timpul fiind măsuat în secunde Răspunsui a) T v t actg T δ x x π πx π e δ b) t t x e π cos x e e t ± 99 v v < ; e δ Fig 8) Fig 8) mişcaea tachetului este peiodică cu peioada Fouie 8 În fig 8) este epezentat un mecanism cu camă la cae cama ae o mişcae de otaţie unifomă în juul aticulaţiei O cu viteza unghiulaă ω Pofilul camei este astfel ealizat încât tachetul mecanismului ae o mişcae ectilinie după legea dată pin diagama din fig 8) h şi Τ fiind cunoscute Deoaece T π ω să se dezvolte în seie

116 () xt h 4h π + ( k ) Răspuns ( 4k ) - Cinematica vibaţiilo 5 ( cos( 4k ) ωt+ sin( 4k ) ωt) + ( 4k ) cos( 4k ) ωt+ ( cos( 4k ) ωt sin ( 4k ) ωt) k 9 Pentu mecanismul cu camă din fig 8) pofilul camei epezentat cu linie discontinuă este astfel ealizat încât tachetul său ae o mişcae ectilinie după legea dată pin diagama din fig 9 unde h şi Τ sunt cunoscute Mişcaea tachetului fiind peiodică cu peioada T π ω să se dezvolte în seie Fouie xt () Răspuns h h n t h h t t sin ω n + sinω + sinω π π n Fig 9 Fig Momentul cuplului tansmis de cilindul unei pompe cu piston cu simplu efect aboelui pincipal al pompei vaiază în timp după legea din fig cae se expimă analitic sub foma: nπ ( n + ) π M sin ωt t ω ω M ( n + ) π ( n + ) π t ω ω unde n N ia M şi Τ sunt constante pozitive cunoscute Acest moment având o vaiaţie peiodică cu peioada T π ω să se dezvolte în seie Fouie Mt () M π k Răspuns coskωt M t k cos ω 4 π

117 Cinematica copului igid În mişcaea unui cop igid având sistemul de efeinţă legat de el Oxyz se cunosc în oice moment al mişcăii vitezele punctelo sale AR ( ) B( R R R) şi C( R ) expimate pin: v λ A R( j + k) sinλ t v λ R( B i + j + k) sinλt v λ R( i + C j + k) sin λ t unde λ este o constantă pozitivă dată a) Să se aate că vitezele acesto puncte veifică popietăţile geneale ale distibuţiei de viteze ale unui cop igid b) Să se studieze distibuţiile de viteze şi de acceleaţii ale igidului la un moment t al mişcăii sale deteminând paametii cinematici viteza şi acceleaţia de alunecae pecum şi axele instantanee pentu distibuţiile de viteze şi de acceleaţii ale igidului Rezolvae a) Deoaece viteza unghiulaă a igidului nu este cunoscută se poate veifica numai popietatea confom căeia poiecţiile vitezelo a două puncte din igid pe deapta cae le uneşte sunt egale Pentu aceasta se calculează vesoii celo tei depte deteminate de câte două din punctele A B şi C: AB AC e ( j+ k) e ( i + j) CB e ( i + k) AB AC BC cu ajutoul căoa se veifică această popietate după cum umează: va e λr( + ) sinλt vb e λrsin λt va e λrsinλt vc e λr( + ) sin λt vb e λr( + ) sin λt vc e

118 - Cinematica copului igid 7 b) Pentu studiul distibuţiei de viteze a igidului în pimul ând este necesa să se detemine paametii cinematici coespunzătoi adică vectoul viteză unghiulaă ω al igidului şi viteza v O a oiginii sistemului de efeinţă legat de el Pentu aceasta se aplică fomula geneală de distibuţie a vitezelo punctelo A B şi C ale căo viteze sunt date alegând ca nou punct de efeinţă punctul C adică: va vc + ω CA vb vc + ω CB Poiectând aceste elaţii pe axele sistemului de efeinţă legat de igid se obţin ecuaţiile: λrsinλt+ Rωz λrsinλt λrsinλt + Rω z ωx + ωy ω λ λ λ λ + ( ω ω ) R y din cae ezultă: ω x Rsin t Rsin t R z x Rω y ω ω λ sinλt y z ω λsin λt Vectoul viteză unghiulaă al igidului fiind astfel deteminat se poate calcula viteza oiginii sistemului de efeinţă legat de el: v v + ω CO λr j+ k O C sinλ t ( ) pecum şi viteza de alunecae: ω ω u vo o λr sin λt k ω ω cu ajutoul căeia se analizează cazuile posibile de distibuţie a vitezelo igidului la un moment t al mişcăii sale Se obsevă că la momentele tk kπ λ k N atât viteza unghiulaă cât şi viteza de alunecae sunt nule deci la aceste momente igidul va avea o distibuţie de viteze de epaus La oice moment t t k distibuţia de viteze a igidului va fi de ototanslaţie deoaece viteza unghiulaă şi viteza de alunecae sunt coliniae şi difeite de zeo Pentu a detemina axa instantanee de ototanslaţie Δ coespunzătoae distibuţiei de viteze a igidului la momentele t t k se impune condiţia ca viteza unui punct cuent Q de pe ea să fie egală cu viteza de alunecae adică: v + ω u O de unde ezultă: yλ sinλt λrsinλt+ xλ sinλt ; x R y Pentu studiul distibuţiei de acceleaţii a igidului tebuie deteminaţi mai întâi paametii cinematici coespunzătoi adică vectoul acceleaţie unghiulaă ε al igidului şi acceleaţia a O a oiginii sistemului de efeinţă legat de el cunoscând paametii cinematici pentu distibuţia vitezelo Expesiile analitice ale acesto vectoi devin: Q k

119 8 Cinematica - dω ω ε λ cosλt k dt t vo a O + ω vo λ R( j + k ) cosλt λ R sin λt i t λ R( sin λt i + cosλt j + cosλt k) Se obsevă că vectoii viteză şi acceleaţie unghiulaă sunt coliniai şi nu se anulează simultan astfel încât cazuile de distibuţie a acceleaţilo igidului la un moment t al mişcăii sale se analizează în funcţie de acceleaţia de alunecae cae este: ω w ao ao R t ω ε ε λ cos λ k ω ω ε ε La momentele tn ( n + ) π λ n N acceleaţia de alunecae se anulează deci la aceste momente igidul va avea o distibuţie de acceleaţii de otaţie în juul unei axe deoaece viteza unghiulaă este difeită de zeo La oice moment t t n acceleaţia de alunecae este nenulă şi distibuţia de acceleaţii a igidului va fi de ototanslaţie În ambele cazui axa instantanee de otaţie sau ototanslaţie Δ va fi aceeaşi deoaece ecuaţiile ei se obţin din condiţia ca acceleaţia unui punct cuent P de pe ea să fie egală cu acceleaţia de alunecae adică: ao + ε P + ω ( ω P) w de unde ezultă: λ Rsin λt yλ cosλt xλ sin λt λ Rcosλ t+ xλ cosλt yλ sin λt ; x R y Se obsevă că axele instantanee Δ şi Δ coincid deci mişcaea absolută a igidului va fi o mişcae de ototanslaţie faţă de axa fixă Oz paalelă cu Oz pe cae se mişcă punctele sale de coodonate ( R z) în apot cu sistemul de efeinţă legat de el Mai mult alegând sistemul de efeinţă fix astfel încât la momentul iniţial t al mişcăii punctul O să se afle pe axa Ox la distanţa R de O ezultă că igidul ae o mişcae de şuub punctul său O mişcându-se pe elicea cilindică de ecuaţii paametice: x O Rcos θ y O Rsin θ zo Rθ în cae unghiul θ dinte axele Ox şi Ox măsuat înt-un plan pependicula pe axa de ototanslaţie Oz vaiază în timp după legea:

120 t t - Cinematica copului igid 9 [ ] θ ωdt λ sinλtdt cosλt Rad Legea de mişcae a unui cop igid este dată pin legea de mişcae a oiginii sistemului de efeinţă Oxyz legat de el faţă de sistemul de efeinţă fix şi pin expimaea unghiuilo lui Eule ca funcţii de timp sub foma: Oxyz xo Rcosω t yo Rsinω t z O ψ ω t θ π ϕ λ ωt unde R ω şi λ sunt constante pozitive cunoscute a) Să se studieze distibuţia de viteze a igidului la un moment t al mişcăii sale deteminând paametii cinematici coespunzătoi viteza de alunecae şi ecuaţiile axei instantanee de ototanslaţie faţă de sistemul de efeinţă fix şi faţă de cel legat de igid b) Să se detemine axoidele mişcăii igidului c) Pentu λ să se studieze distibuţia de acceleaţii a igidului deteminând paametii cinematici coespunzătoi şi polul acceleaţiilo d) În condiţia de la punctul c) să se calculeze viteza şi acceleaţia punctului P de pe diecţia pozitivă a axei Ox situat la distanţa R de O la momentele tk ( k + ) πω k N Rezolvae a) Maticea de tansfe a igidului este: cosωtcosλωt cosωtsin λωt sin ωt [ A] [ A ][ A ][ A ] t t t t t ψ θ ϕ sinω cosλω sinω sinλω cosω sin λω t cosλω t astfel încât paametii cinematici pentu studiul distibuţiei de viteze se pot expima atât pin poiecţii pe axele sistemului de efeinţă legat de igid: Rω sin ωt ωsinλωt T { v } [ A] O Rω cosωt { ω} ω cosλω t R ω λω cât şi pin poiecţii pe axele sistemului de efeinţă fix: Rω sin ωt λω sin ωt ( ) () { vo } Rω cosωt { ω } [ A]{} ω λω cosωt ω

121 Cinematica - De aici ezultă imediat valoaea algebică a vitezei de alunecae: ω λrω u vo ω + λ deci la oice moment al mişcăi igidului distibuţia sa de viteze va fi de ototanslaţie faţă de axa instantanee (Δ) ale căei ecuaţii se detemină din condiţia: vo + ω u ω Δ ω Poiectând această ecuaţie pe axele sistemului de efeinţă mobil legat de igid se obţin ecuaţiile coespunzătoae ale axei (Δ): R z xcosλω t ysinλω t+ xsinλω t ycosλω t + λ + () λ Pentu a detemina ecuaţiile axei (Δ) faţă de sistemul de efeinţă fix se înlocuieşte în ecuaţia sa vectoială: după cae pin poiectaea ei pe axele fixe ezultă: Δ Δ λ R xcosωt+ ysinωt x sinω t ycosω t λz () + λ b) Ecuaţia axoidei fixe se obţine pin eliminaea timpului înte ecuaţiile () ale axei instantanee de ototanslaţie faţă de sistemul de efeinţă fix De asemenea ecuaţia axoidei mobile se detemină din ecuaţiile () pin eliminaea timpului Ca umae ecuaţiile axoidelo ezultă: 4 λ R (AF) x + y λ z + + λ (AM) x z + y + λ ( ) R ( + λ ) Se obsevă că ambele axoide sunt hipeboloizi de otaţie cu o pânză axoida fixă (AF) având centul O şi axa de simetie Oz ia axoida mobilă (AM) ae centul O şi axa de simetie Oz c) Distibuţia de acceleaţii a igidului la un moment t al mişcăii sale se va studia iniţial faţă de sistemul de efeinţă mobil legat de el Pentu λ paametii cinematici necesai pentu studiul distibuţiei de acceleaţii devin: Rω t R t cosω ω cosω T { ao} [ A] Rω sinωt Rω sinωt

122 - Cinematica copului igid ω sin ωt ω cosωt { ω} ω cosωt {} ε ω sin ωt ω Deoaece podusul vectoial: ω ε ω ( sin ω t i + cosω t j - k) nu se poate anula ezultă că în oice moment al mişcăii igidului distibuţia sa de acceleaţii va fi de otaţie în juul unui pol J a căui poziţie se detemină din condiţia: ao + ε J + ω ( ω J) Poiectând această ecuaţie pe axele sistemului de efeinţă legat de igid se obţine sistemul linea şi neomogen de ecuaţii algebice: xj( + cos ωt) + yjsinωtcosωt Rcos ω t xjsinωtcosωt+ yj( + sin ωt) Rsin ωt xjsinωt+ yjcos ωt zj cae ae deteminantul ω ε deci ezultă soluţia unică: R R xj cosω t yj sin ω t z J Coodonatele polului acceleaţiilo faţă de sistemul de efeinţă fix se pot detemina pe baza elaţiei maticeale cunoscute: Rcosω t cosω t cosω t ( ) ( ) R R { J } { O} + [ A]{ J} Rsinω t + sinω t sinω t deci polul acceleaţiilo se va găsi la mijlocul segmentului de deaptă OO la oice moment al mişcăii igidului d) Pentu deteminaea vitezei şi acceleaţiei punctului P de coodonate ( R ) faţă de sistemul de efeinţă legat de igid este mai uşo să se aplice fomulele geneale: v v + ω O P a a + ε + ω ( ω ) O P P cae se vo poiecta pe axele acestui sistem de efeinţă În condiţia de la punctul c) deci pentu λ ezultă: v Rωj Rω( + cosω t) k Rω ( + cosω t + cos ω t) i + Rω ( + cosω t) sin ω t j + Rω sin ω t k a

123 Cinematica - t k ( cosω ) v Rω + + t ( cosω ) a Rω t astfel încât la momentele viteza şi acceleaţia punctului devin: v t R j a t Rω i având valoi minime ( ) ω ( ) k k P La un moment al mişcăii tetaedului egulat VABC cu muchiile de lungime l viteza vâfului său A ae valoaea v A λl diecţia AV şi sensul spe V viteza vâfului B este oientată după muchia AB cu sensul de la A spe B ia viteza vâfului C este situată în planul feţei ABC a) Să se detemine valoile vitezelo punctelo B şi C pecum şi unghiul α dinte viteza punctului C şi latua BC în planul feţei ABC b) Să se studieze distibuţia de viteze a tetaedului la momentul consideat deteminând paametii cinematici coespunzătoi viteza de alunecae şi ecuaţiile axei instantanee faţă de sistemul de efeinţă Oxyz legat de el având oiginea în centul bazei ABC axa Ox după OC şi Oz după OV Răspunsui 5 v C λl o a) v B λl α actg 4 ad 7 λ λl b) ω ( 6 i + j + k) ; vo ( i + j k) ; 8 λl u ( 4 i + 4 j + 6 k) ; y z l 7 y 6 z l sau 97 x 8 z 6l x z l 4 Piamida deaptă VABCD aflată în mişcae ae ca bază pătatul ABCD şi toate muchiile de lungime l La un moment al mişcăii sale vâful său A ae viteza

124 - Cinematica copului igid de valoae v A λl oientată după muchia AV cu sensul spe V viteza vâfului B este diijată după muchia AB ia viteza vâfului C este situată în planul bazei sale a) Să se expime analitic vitezele punctelo B şi C faţă de sistemul de efeinţă Oxyz legat de piamidă având oiginea în centul bazei sale şi axele de coodonate Ox DA Oy AB Oz OV b) Să se studieze distibuţia de viteze a piamidei la momentul consideat deteminând paametii cinematici coespunzătoi viteza de alunecae şi ecuaţiile axei instantanee faţă de sistemul de efeinţă legat de piamidă Răspunsui a) v B λl j v C λl j b) λl ω -λ( i + k) ; vo (- i + j + k) ; u ; l l y x z 5 La momentul t π [] s al mişcăii unui cub de muchie l 5m se ştie că vitezele v v v ale vâfuilo sale A A espectiv A sunt oientate după unele muchii ale sale aşa cum sunt epezentate în fig 5 a) Să se detemine elaţiile înte valoile vitezelo consideate din condiţia ca acestea să veifice popietăţile geneale ale distibuţiei de viteze a unui cop igid b) Pentu v v v m s să se studieze distibuţia de viteze a cubului la momentul t deteminând paametii cinematici Fig 5 coespunzătoi viteza de alunecae şi ecuaţiile axei instantanee faţă de sistemul de efeinţă Oxyz legat de cub epezentat în figuă c) Ştiind că în tot timpul mişcăii cubului viteza vâfului său A este diijată după muchia AB şi că valoaea algebică a acestei viteze expimată pin poiecţia ei pe axa Oy vaiază în timp după legea v ( sin t+ cost) [ ] acceleaţia a a punctului A la momentul t m s să se detemine

125 4 Cinematica - d) Dacă tot timpul mişcăii cubului vectoii viteză şi acceleaţie unghiulaă sunt coliniai să se studieze distibuţia de acceleaţii a cubului la momentul t deteminând paametii cinematici coespunzătoi acceleaţia de alunecae şi ecuaţiile axei instantanee faţă de sistemul de efeinţă legat de cub Cae tebuie să fie mişcaea absolută a cubului în acest caz? Răspunsui a) v v v b) v O j [ m s ] ; ω4i [ Rad s ] ; u ; y z l c) a j k [ m s + 8 ] ao j+ k ε 4i Rad s ; w ; y z l d) 8 [ m s ] ; [ ] Mişcaea absolută a cubului tebuie să fie de otaţie în juul muchiei fixe CD cu viteza unghiulaă ω 4sin ( t+ cost) i [ Rad s ] şi acceleaţia unghiulaă ε 4 cost sint i Rad s timpul fiind măsuat în secunde ( ) [ ] 6 În mişcaea unui cop igid se cunosc vaiaţiile în timp ale vitezelo punctelo sale P P şi P expimate pin poiecţii faţă de sistemul de efeinţă Oxyz legat de igid după cum umează: ; 6 P ( l ) v λlsin λt k ; P ( l l l) v λl( j + sin λt k) ( ) λl i + j + sin λt k ; P l v ( ) P ( l ) v λl( cosλt i + k) ; P ( l) λl( cosλt j + k) P ( l ) λl( cosλt i cosλt j + k) 7 v v ; ; πt 8 P ( l) v λ l j + sin k ; P ( l l l) πt πt v λl i + j + sin k ; P ( l ) v λl i + sin k ; πt 9 P ( l ) v λl( i + k) cos ; P ( l) πt πt v λl( i + k) cos ; P ( l) v λlcos i ;

126 P ( l ) v λl ln( + sin λt)k ; P ( l ) v λ ln( + sin λt)k ; P ( l ) v λ i j l - Cinematica copului igid 5 ( ) ln( + sin λt) l P ( l ) v λl ln( + cosλt)i ; P ( l ) λlln( + cosλt)j l λl i j ln + cosλt v ; ( ) P ( ) ( ) unde timpul se măsoaă în secunde şi λ este o constantă pozitivă dată Să se studieze distibuţiile de viteze şi de acceleaţii ale igidului la un moment t al mişcăii sale deteminând paametii cinematici coespunzătoi viteza şi acceleaţia de alunecae pecum şi ecuaţiile axelo instantanee pentu distibuţiile de viteze şi de acceleaţii în apot cu sistemul de efeinţă legat de igid v ; ; Răspunsui v λl( i + sin t k) λ ( j + cos t k) 6 ω λk ; ε ; O λ ; a O l λ ; u λlsin λt k ; w λ lcosλt k ; x y l ( cosλt i cosλt j k) 7 ω λcosλt k ; ε λ sin λt k ; vo λl + ; a O λ l( cos λt sin λt) i + λ l( cos λt + sin λt) j ; u λl k ; w ; x y l ω λk 8 ; x y πt πt ε ; v O u λlsin k ; a O w πλl cos k ; π 9 ω λcos t πλ π j ; ε sin t πt j ; v O λlcos i ; πλl πt πt a O sin i + λ lcos k ; u w ; x z l ω λ( i + j) ln ( +sinλ ) t ; u w ; x y z λ ε ( i + j cosλt ) + sinλt v a ; ; O O

127 6 Cinematica - λ ω λln( + cosλt) sinλt k ; ε k + cosλt v λl i j ln + cosλt ; O ( ) ( ) ; a O sin λt λ l + ln + cosλt u w ; x y l sin λt + cosλt ; ( + cosλt) i + λ l + ln ( + cosλt) j Un cop igid ae o mişcae de ototanslaţie în apot cu axa fixă Oz fiind pus în mişcae de un şuub legat de igid cae se mişcă înt-o piuliţă fixă Se cunosc aza medie R a filetului şuubului unghiul său de pantă α π 6 şi valoaea constantă în timp a vitezei unui punct A al filetului şuubului va λ R Consideând sistemul de efeinţă Oxyz legat de igid cu axa Oz legată de axa şuubului aflată în mişcae pe Oz şi cu axa Ox tecând pin A să se detemine: a) ecuaţia locului geometic al punctelo igidului cae au unghiul dinte vitezele lo şi planul pependicula pe axa şuubului de valoae π ; b) ecuaţia locului geometic al punctelo igidului cae au vitezele pependiculae pe viteza punctului A; c) ecuaţia locului geometic al punctelo igidului ale căo acceleaţii fomează unghiul α cu acceleaţia punctului A a) x + y R ; b) R x ; c) x± y Răspunsui Un cop igid cu punctul fix O ae o mişcae de pecesie egulată în cae unghiuile lui Eule au expesiile: ψ λt λ fiind o constantă pozitivă cunoscută π θ ϕ λt

128 - Cinematica copului igid 7 a) Să se detemine vectoii viteză şi acceleaţie unghiulaă ai igidului la un moment t al mişcăii sale b) Să se calculeze vitezele şi acceleaţiile punctelo P ( l ) şi P ( l ) din igid la un moment t al mişcăii sale c) Să se detemine ecuaţiile axo idelo mişcăii igidului pecum şi ecuaţiile centoidelo geneate de punctul Q al axei instantanee situat la distanţa OQ 5l de O Răspunsui a) ω λ( sin λt i + cosλt j + k) ; ε λ ( cos t i sin t j) λ λ b) λl( j cosλt k) ; v λl( i + sin λt k) ; λ ( 4 + cos t) i 4sin t k) λ + sin λt cosλt j + λ λ l( sin λ t cosλt i ( 4 + sin t) j 4sin t k) λ + λ v a a ; c) (AM) (CM) x x z + y ; (AF) x + y ( z ) ; + y l z ± l ; (CF) x + y ( l) z ± l 4 a) Să se detemine vectoii viteză şi acceleaţie unghiulaă ai unui cop igid ştiind că la un moment t al mişcăii sale viteza şi acceleaţia oiginii sistemului de efeinţă Oxyz legat de igid se expimă pin: λr sin λt i + cosλt j a λ R cosλ t i + sin λt j v O ( ) ( ) unde λ şi R sunt constante pozitive cunoscute b) Alegând sistemul de efeinţă fix Oxyz astfel încât la momentul iniţial t coodonatele punctului O să fie x O R yo zo să se detemine legea P x y z din igid de mişcae taiectoia viteza şi acceleaţia unui punct ( ) O Răspunsui a) ω ε

129 8 Cinematica - b) x x+ Rcosλt y y+ Rsin λ t z z ; ( ) ( ) x x + y y R z z ; v vo λ R ; a ao λ R 5 Ştiind că oiginea sistemului de efeinţă Oxyz legat de un igid aflat în mişcae se mişcă unifom pe pima bisectoae a planului fix Oyz cu viteza de valoae v O λl şi că în acelaşi timp igidul se oteşte unifom în juul axei Oz paalelă cu Oz cu viteza unghiulaă de valoae ω λ să se studieze distibuţiile de viteze şi de acceleaţii ale igidului deteminând paametii cinematici coespunzătoi viteza şi acceleaţia de alunecae pecum şi axele instantanee pentu distibuţia de viteze (Δ ) espectiv pentu cea de acceleaţii (Δ ) ω λ λ l ( j + ) Răspunsui k k ; v O λ k ; u λl k ; ε ao w ; (Δ ) x l y z ; (Δ ) x y z 6 La oice moment t al mişcăii unui cop igid poiecţiile pe axele sistemului de efeinţă Oxyz legat de igid ale vitezei oiginii sale şi unghiuile lui Eule au expesiile: v O x λrsin 4λt vo y λrcos4 λt v Oz ; π ψ t λ θ ϕ 4λt în cae R şi λ sunt constante pozitive cunoscute a) Să se studieze distibuţiile de viteze şi de acceleaţii ale igidului deteminând paametii cinematici coespunzătoi viteza de alunecae ecuaţiile axei instantanee de ototanslaţie pentu distibuţia de viteze faţă de sistemul de efeinţă Oxyz pecum şi polul acceleaţiilo b) Cae tebuie să fie mişcaea absolută a punctului O? c) Să se calculeze viteza şi acceleaţia punctului AR ( ) din igid la un moment t şi la momentul t π8λ

130 - Cinematica copului igid 9 Răspunsui a) ω λ( sin 4λt i + cos4λt j) + 4λ k ; λ ( cos4 t i sin 4 t j) λ λ λr a O ; u ( sin 4λt i + cos4λt j + 4k) ; ε ; 5 x 75zsin 4λt + 6R cos4λt 5 x cos4λ t 5ysin 4λt + 4R ; J b) vo λ R a O ( j cos4λt k) va( t) R( i + 4 j) c) () t λr sin 4λt i + ( 4 + cos4λt) v A a a A A λ R 4 ( t ) 8λ R 9 ( 6 + 9cos 4λt) i + sin8λt j + sin 4λt k ( i + k) λ ; 7 Baa OA de lungime R se mişcă în planul fix Ox y astfel încât capătul său O ae o mişcae ciculaă unifomă ca în fig 7 aza taiectoiei OO R şi valoaea v O a vitezei sale fiind cunoscute ia tot timpul mişcăii sale baa tece pin manşonul aticulat în BR ( ) a) Să se studieze distibuţiile de viteze şi de acceleaţii ale baei la un moment t al mişcăii sale când unghiul dinte axa Ox legată de ea şi axa Ox ae valoaea θ( t ) deteminând paametii cinematici coespunzătoi centul instantaneu de Fig 7 otaţie şi polul acceleaţiilo b) Să se detemine baza şi ulanta în mişcaea plană a baei c) Să se calculeze valoile vitezelo şi acceleaţiilo punctelo D D şi D A de pe baă ( OD DD D D ) la momentul în cae unghiul θ ae valoaea π 6

131 Cinematica - Răspunsui a) ω v O ; ε ; R OI O I R ; OJ 4 R OJ R b) x + y R ; x c) v v a a ( R) + y vo 5 9v O v v O 5 v O vo 6 8v O ; vo vo vo vo a 5 6 4R R R R vo vo 5 5 4R R 8 Baa OA se mişcă în planul fix Oxy ca în fig 8 astfel încât capătul său O ae o mişcae ectilinie şi unifomă pe axa Ox cu viteza de valoae v O cunoscută şi tot timpul mişcăii se spijină pe muchia B a unui pag de înălţime OB hdată a) Să se studieze distibuţiile de viteze şi de acceleaţii ale baei la un moment t al mişcăii sale când unghiul dinte axa Oy legată de ea şi axa Oy ae valoaea θ( t ) deteminând paametii cinematici coespunzătoi centul instantaneu de otaţie şi polul acceleaţiilo b) Să se detemine baza şi ulanta în Fig 8 mişcaea plană a baei c) Să se calculeze valoile vitezei şi acceleaţiei punctului D de pe baă (OD h ) la momentul în cae θ ae valoaea π

132 a) ω v O cos θ ; ε v θcos θ ; h ho sin h x I htgθ y ; J cos θ I - Cinematica copului igid Răspunsui b) c) y h v x + ; h D 4 v O x y y y> h h 9v O ; a D vo vo 5 8 h h 9 Baa OA se mişcă în planul fix Oxy ca în fig 9 astfel încât capătul său O ae o mişcae ectilinie şi unifomă pe axa Ox cu viteza de valoae v O cunoscută şi tot timpul mişcăii se spijină pe peifeia unui disc semicicula de ază R cu centul în O şi cu diametul după axa Ox a) Să se studieze distibuţiile de viteze şi de acceleaţii ale baei la un moment t al mişcăii sale când unghiul dinte axa Oy legată de ea şi axa Oy ae Fig 9 valoaea θ( t ) deteminând paametii cinematici coespunzătoi centul instantaneu de otaţie şi polul acceleaţiilo b) Să se detemine ecuaţiile centoidelo în mişcaea plană a baei c) Să se calculeze valoile vitezelo şi acceleaţiilo punctelo D şi D de pe baă (OD DD R ) la momentul în cae unghiul θ ae valoaea π 4 a) ω v O R cos θ sinθ v ; ε R O Răspunsui ( + θ) sin cos sin θ θ

133 Cinematica - R R x I yi cosθ sinθ cos θ x b) y x R c) ; J x > x y R ; R R 6 4 v vo 89 vo v v O 6v O ; vo vo vo vo a 58 a 6 R R R R Un disc cicula cu centul O şi de ază R se ostogoleşte făă alunecae în planul fix Oxy pe cecul cu centul în O şi de ază R în exteioul acestuia astfel încât unghiul dinte deapta OO şi axa Ox vaiază în timp după legea θ λt λ fiind o constantă pozitivă cunoscută a) Să se studieze distibuţiile de viteze şi de acceleaţii ale discului la un moment t al mişcăii sale deteminând paametii cinematici coespunzătoi centul instantaneu de otaţie şi polul acceleaţiilo b) Să se detemine baza şi ulanta în mişcaea plană a discului c) Să se calculeze valoile vitezelo şi acceleaţiilo punctelo A A A şi A 4 de pe peifeia discului pentu cae diametele AA şi AA 4 sunt pependiculae înte ele A fiind punctul de tangenţă dinte disc şi cec la un moment t al mişcăii Răspunsui a) ω 4 λ ε ; IO IO R ; JO b) x + y ( R) ; x + y R 5R 4 JO R 4 c ) v v v4 4 λ R v 8λR ; a λ R a a 4 7λ R 65 λ R a λ R 4 Un disc cicula cu centul O şi de ază R se ostogoleşte făă alunecae în planul fix Oxy pe cecul cu centul în O şi de ază R în inteioul

134 - Cinematica copului igid acestuia astfel încât unghiul dinte deapta OO şi axa Ox vaiază în timp după legea θ λt λ fiind o constantă pozitivă cunoscută a) Să se studieze distibuţiile de viteze şi de acceleaţii ale discului la un moment t al mişcăii sale deteminând paametii cinematici coespunzătoi centul instantaneu de otaţie şi polul acceleaţiilo b) Să se detemine baza şi ulanta în mişcaea plană a discului c) Să se calculeze valoile vitezelo şi acceleaţiilo punctelo A A A şi A 4 de pe peifeia discului pentu cae diametele AA şi AA 4 sunt pependiculae înte ele A fiind punctul de tangenţă dinte disc şi cec la un moment t al mişcăii discului a) ω λ ε ; b) IO IO R ; x + y ( R) R JO Răspunsui ; x + y R JO R c) v v v λ R v 4λR 4 ; a 6λ R a a 5λ R 4 λ a λ R 4 5 R Un toliu cu centul O şi cu azele tambuilo R espectiv R se ostogoleşte făă alunecae în planul fix Oxy pe axa Ox fiind pus în mişcae pint-un fi înfăşuat pe tambuul de ază R al toliului al căui capăt A se mişcă pe o deaptă paalel ă cu axa Ox Pentu R m şi ştiind că la un moment dat al mişcăii toliului capătul A al fiului ae viteza şi acceleaţia de valoi va 5 m s espectiv aa 75 m s oientate ca în fig să se detemine: a) paametii cinematici pentu studiul distibuţiilo de viteze şi de acceleaţii ale toliului la momentul consideat centul instantaneu de otaţie şi Fig polul acceleaţiilo;

135 4 Cinematica - b) valoile vitezelo şi acceleaţiilo punctelo A A A şi A 4 de pe peifeia tambuului de ază R al toliului pentu ca e la momentul consideat diametul AA este paalel cu axa Oy ia diametul AA 4 este paalel cu axa Ox ; c) viteza polului acceleaţiilo şi acceleaţia centului instantaneu de otaţie expimate pin poiecţii faţă de sistemul de efeinţă fix a) 5k [ Rad s] Răspunsui ε ; v m s ; ω ; 65k[ Rad s ] a 5 O m s ; OI R j ; OJ R( i j ) O ; b) v 5 m s v v4 5 5 m s v 5 m s ; a a 5 95 m s a a m s ; v i j m s a j m s c) 5 J ( ) [ ] ; I 5 [ ] Baa AOB de lungim îndoită în unghi dept la mijlocul său O se mişcă în planul fix Oxy astfel încât punctul A ae o mişcae ectilinie şi unifomă e l pe axa Oy ca în fig valoaea v A a vitezei sale fiind cunoscută ia latua OB tece pin manşonul aticulat în punctul B de pe axa Ox pentu cae O D l a) Să se studieze distibuţiile de viteze şi de acceleaţii ale baei la un moment t al mişcăii sal e când unghiul dinte axa Ox legată de latua OB a baei şi axa Ox ae valoaea θ( t ) deteminând viteza unghiulaă acceleaţi a unghiulaă centul instantaneu de otaţie şi polul acceleaţiilo b) Să se detemine baza şi ulanta în mişcaea plană a baei c) Să se calculeze Fig valoile vitezelo şi acceleaţiilo punctelo O şi B ale baei la momentul în cae θ π 6

136 - Cinematica copului igid 5 Răspunsui va va a) ω ( + sin θ) ; ε ( + sin θ) cosθ ; l l b) y + l l l x + ly x IA ID + 7 c) vo va va v 6 6 v B A 85 v A ; va v ao 6 A 6 va va a B 675 l l l l l sin θ ; J A 4 Un con cicula dept cu aza bazei de lungime R şi unghiul la vâf α se ostogoleşte făă alunecae pe planul fix Ox y astfel încât centul A al bazei sale ae viteza de valoae constantă va λ R oientată ca în fig 4 În apot cu sistemul de efeinţă Ox y z având axele Oz Oz şi Oy după deapta OP P fiind punctul de contact al bazei conului Fig 4 cu planul Ox y să se detemine: a) viteza şi acceleaţia unghiulaă a conului; b) vitezele şi acceleaţiile punctelo P P P şi P 4 de pe cicumfeinţa bazei conului pentu cae diametele PP şi PP 4 sunt pependiculae înte ele Răspunsui a) λ ω j ; cosα λ sin α ε i ; cos α

137 6 Cinematica - b) v λr i v ( cosα i + k ) λr v 4 cosα λ R a ( sin α j + k ) cos α λ R a 4 ( i sin α j ) cos α ( cosα i + k ) λr v cosα λ R ; a k cos α λ R a i + sin α j cos α ( ) 5 Un cop igid cu punctul fix O situat pe axa fixă Oz la distanţa OO R este ealizat pin sudaea baei OA de lungime h în centul A al unui disc cicula de ază R în poziţia în cae baa este pependiculaă pe planul discului Discul se ostogoleşte făă alunecae pe planul fix Oxy astfel încât viteza punctului A ae valoaea constantă va λ R şi este oientată ca în fig 5 În apot cu sistemul de efeinţă Ox y z având axele Oz O z şi Oy după axa baei să se detemine: Fig 5 a) viteza şi acceleaţia unghiulaă a igidului; b) vitezele şi acceleaţiile punctelo P P P şi P 4 de pe peifeia discului pentu cae diametele PP şi PP 4 sunt pependiculae înte ele P fiind punctul de contact al discului cu planul fix pe cae se ostogoleşte Răspunsui λr λ R a) ω λ j + k ; ε i ; h h b) v v λr i R v λr i + j + k h R v 4 λr i + j + k ; h

138 4 - Cinematica mecanismelo plane 7 a R R h j k R λ + a λ R + h j k a R h R + R i h h j λ + a R h R + R i h h j 4 λ 4 Cinematica mecanismelo plane 4 Discul cicula cu centul O şi de ază R se ostogoleşte făă alunecae în planul fix Ox y pe axa Ox În punctul A al discului situat la distanţa R de O este aticulat un capăt al baei AB de lungime 5R ia celălalt capăt se mişcă pe axa Ox La un moment t al mişcăii mecanismului în cae se cunosc: OA Rj Fig 4) vo λ Ri ao λ Ri unde λ este o constantă pozitivă dată să se detemine: a) viteza unghiulaă şi acceleaţia unghiulaă a discului; b) viteza şi acceleaţia punctului A acceleaţia centului instantaneu de otaţie şi viteza polului acceleaţiilo pentu disc; c) viteza unghiulaă şi acceleaţia unghiulaă a baei; d) viteza şi acceleaţia punctului B Rezolvae Metoda I a) Din fig 4) şi din enunţ ezultă imediat: vo ω IO Rωi λri ω λ < dv O a O Rω& i λ Ri ε ω & λ > dt

139 8 Cinematica - b) Cunoscând paametii cinematici pentu studiul distibuţiilo de viteze şi de acceleaţii ale discului la momentul t al mişcăii mecanismului se pot detemina viteza şi acceleaţia punctului A şi acceleaţia centului instantaneu de otaţie pe baza fomulelo geneale: va vo + ω OA ω IA λri a A a O + ε OA ω OA λ R( i + j ) + ε OI ω OI λ Rj a I a O Pentu deteminaea vitezei polului acceleaţiilo este necesa în pimul ând să se afle poziţia acestuia la momentul consideat Ca umae se calculează unghiul ϕ dinte acceleaţia oicăui punct al discului şi deapta ce uneşte acel punct cu polul acceleaţiilo: ε λ tgϕ ϕ π ω λ 4 pecum şi distanţa de la O la polul acceleaţiilo: a O λ R OJ R 4 ε + ω λ de unde ezultă imediat poziţia punctului J aşa cum se aată în fig 4) În această figuă s-a epezentat cu linie înteuptă şi cecul inflexiunilo pentu disc cae ae centul în A la mijlocul diametului său OI Acum se poate calcula şi viteza polului acceleaţiilo la momentul consideat: v ω IJ λr i + j J ( ) c) Punctul B având o mişcae ectilinie după axa Ox viteza sa va fi paalelă cu viteza celuilalt capăt A al baei la momentul t astfel încât la momentul consideat viteza unghiulaă ω a baei tebuie să fie nulă deoaece pependiculaele pe aceste viteze în punctele espective sunt de asemenea paalele înte ele şi nu se pot intesecta Pentu deteminaea acceleaţiei unghiulae ε a baei se calculează acceleaţia punctului B în funcţie de acceleaţia cunoscută a punctului A şi se pune condiţia ca aceasta să fie diijată după axa Ox astfel încât ezultă: λ a a + ε AB ω AB R ε λ i R 4ε + λ j ε 4 B A ( ) ( ) d) Deoaece ω vitezele tutuo punctelo de pe baă sunt egale ca vectoi ia după deteminaea acceleaţiei unghiulae ε se pot detemina acceleaţiile tutuo punctelo de pe baă astfel încât se obţin elementele ceute în enunţ:

140 4 - Cinematica mecanismelo plane 9 va vb λ Ri 5 a B a A + ε AB λ Ri 4 Dacă s-a cee studiul distibuţiei de acceleaţii a baei al momentul a fi necesa să se detemine poziţia polului acceleaţiilo J şi unghiul ϕ dinte acceleaţia oicăui punct al baei şi deapta ce uneşte acel punct cu Deoaece ω ezultă ϕ ± π deci poziţia lui J se poate detemina gafic ca intesecţia deptelo ( Δ ) pependiculaă pe acceleaţia lui A şi ( Δ ) pependiculaă pe Ox aşa cum este indicat în fig 4) După deteminaea vitezei unghiulae ω a baei se mai pot detemina acceleaţia unghiulaă ε şi valoaea a B a acceleaţiei punctului B la momentul t diecţia ei fiind cunoscută dacă se calculează acceleaţia elativă a lui B faţă de A: a AB a B a A ε AB ω AB ε AB cae se poiectează pe diecţia AB şi pe diecţia pependiculaă: ab cosα λ Rcosα λ Rsin α ab sinα λ Rsinα+ λ Rcos α 5Rε de unde ezultă: 5 λ λ ab λ R+ λ R λ R ε Metoda II Pentu deteminaea vitezelo unghiulae şi a acceleaţiilo unghiulae ale celo două copui la momentul t se poate studia mişcaea mecanismului după momentul t în funcţie de un paametu de poziţie ales convenabil după cae se paticulaizează pentu valoaea acestui paametu la momentul Consideând ca paametu de poziţie al mecanismului unghiul β dinte axa Ox legată de disc ce tece pin A şi diecţia Fig 4) pozitivă a axei Oy cae la momentul t este nul se pot alege sistemele de efeinţă Oxy legat de disc şi Bx y legat de baă ca în fig 4) pentu cae se pot expima uşo paametii de poziţie în funcţie de β După deteminaea acesto elemente ale mişcăii mecanismului ceuta la punctele a) şi c) calculul vitezelo şi acceleaţiilo oicăo puncte ale sale se face la fel ca pin metoda pecedentă t J t

141 4 Cinematica - a) Deoaece la oice moment t al mişcăii mecanismului poziţia centului instantaneu de otaţie I al discului este cunoscută din fig 4) ezultă imediat: π θ( t ) β () t ω( t) β & ( t) ε( t) β && ( t) vo() t R& β ( t) i ao( t ) R β &&( t ) i &β( t ) λ> &&β( ) λ t < ω λ < ε t λ > ( t ) ( ) c) Notând cu A poiecţia punctului A pe axa Ox pe baza fig 4) se poate scie elaţia: AA R + R cosβ 5R sinθ din cae la oice moment al mişcăii mecanismului ezultă succesiv: + cosβ( t) β& ( t) β θ acsin ω() t θ& sin 5 5 ( + cosβ) β&& () t sinβ 5 β ( + β)( + ) ε() t ω& β& cos cos cosβ () t 5 + cosβ 5 + cosβ Paticulaizând pentu β cinematici ceuţi în enunţ: ( ) ( ( ) ) ( t ) &β( t ) λ şi β && ( t ) λ ω ( t ) ε ( t ) θ ( ) 4 se obţin paametii λ t α acsin 5 4 Un mecanism plan cae se mişcă în planul fix Oxy este fomat din manivelele OO de lungime R aticulată în O espectiv AB de lungime R aticulată în punctul A de pe axa Oy la distanţa OA R la celelalte capete ale acestoa fiind aticulată biela OB de lungime 5R Ştiind că la un moment dat al mişcăii mecanismului când manivela OO este diijată după axa Ox viteza unghiulaă şi acceleaţia unghiulaă ale manivelei AB au valoile algebice ω λ şi ε λ λ fiind o constantă pozitivă cunoscută pentu momentul consideat să se detemine: a) vitezele unghiulae şi acceleaţiile unghiulae pentu bielă şi cealaltă manivelă; b) poziţia polului acceleaţiilo al bielei şi acceleaţia mijlocului său C

142 4 - Cinematica mecanismelo plane 4 Rezolvae Fig 4 a) Din enunţ ezultă că la momentul consideat mecanismul se află în poziţia din fig 4 cu cele două manivele paalele înte ele şi pependiculae pe axa Oy astfel încât se pot scie elaţiile: vb ω AB λr j a B ε AB ωab λ ( 4i j ) R + vo vb + ω BO ωr j a O a B + ε BO - ω BO ( Rε - Rω - 4λ R)i + ( Rε + Rω - λ R) j R( - ω i + ε j ) din cae se detemină paametii cinematici ceuţi: ω ω λ ε λ ε b) Pentu acceleaţia punctulu i O acum se pot expima elaţiile: a λ Ri ε JO λ y i + λ R x j O J ( J ) de unde ezultă coodonatele polului acceleaţiilo faţă de sistemul de efeinţă fix: x J R y J R poziţia sa fiind epezentată în fig 4 Pentu deteminaea acceleaţiei punctului C se poate folosi sau fomula geneală de distibuţie a acceleaţiilo: 7 a C a O + ε OC ω OC λ R i + j ac λ R 64 λ R sau fomula de distibuţie de otaţie faţă de polul acceleaţiilo: a C ε JC ω JC ε JC a C R R λ λ 5 4 Mecanismul din fig 4 cae se mişcă în planul fix Oxy este fomat din manivela OD de lungime R baa AB de lungime 4R baa BC de lungime R şi culisoae dinte cae două se mişcă pe axa Ox şi unul pe Oy Cunoscând

143 4 Cinematica - OD DA R şi va iaţia în timp a unghiului dinte manivelă şi axa Ox dată de θ π λt unde λ este o constantă pozitivă să se detemine: a) vitezele unghiulae acceleaţiile unghiulae centele instantanee de otaţie şi polii acceleaţiilo pentu baele AB şi BC; b) ecuaţiile bazelo şi ulantelo pentu cele două bae faţă de sistemele de efeinţă din figuă; c) valoile vitezelo şi acceleaţiilo punctelo P de pe baa AB şi P de pe baa BC pentu cae BP BP R Fig 4 b) x + y ( R) x + ( y R) R ; x + y ( 6R) ( x + R) + ( y ) ( R) c) Răspunsui a) ω AB ω λ ω C ω B λ ; ε ε ; OI DI R x Rsinλt ; v λr + 8cos λ t v λr + 4cos λ t ; a λ R + 8sin λt a λ R + 4sin λt I 6 I 6 y Rcosλt ; J J O ; 44 Dacă pentu mecanismul din fig 4 la momentul în cae ocupă poziţia din figuă se cunosc ω λ şi ε λ având sensuile contae celo din figuă s ă se detemine aceleaşi elemente ale mişcăii sale la momentul consideat

144 4 - Cinematica mecanismelo plane 4 Răspunsui a) ω ω λ ; ε λ ε λ ; b) x J y J R ; 7 85 a λ C R i+ j ac λ R 46 λ R 45 Mecanismul de idicat cu dublă acţionae din fig 45 fomat din scipeţi de aceeaşi ază R şi din sacina Q se mişcă înt-un plan vetical astfel încât cei doi scipeţi cu axă fixă oizontală se otesc după legile θ λt şi θ λt λ fiind o constantă pozitivă cunoscută şi cele două unghiui de otaţie având sensuile din figuă a) Să se detemine viteza unghiulaă acceleaţia unghiulaă centul instantaneu de otaţie şi polul acceleaţiilo pentu scipetele mobil Fig 45 b) Să se calculeze valoile vitezelo şi acceleaţiilo sacinii şi ale punctelo A A A A 4 de pe peifeia scipetelui mobil pentu cae la un moment dat al mişcăii mecanismului diametul AA este oizontal şi AA 4 vetical Răspunsui a) λ ω ; ε ; IA IA 4R ; J O b) vq R λ v R λ v R R R 4 λ 8 λ ; a Q R a a a a4 λ 4

145 44 Cinematica - 46 Dacă pentu mecanismul de idicat din fig 45 unghiuile de otaţie consideate vaiază în timp după legile θ λt + λ t şi θ λt λ t λ fiind o constantă pozitivă cunoscută să se detemine aceleaşi elemente ale mişcăii sale la un moment dat t Răspunsui R a) ω λ t ; ε λ ; IO ; J O λ t b) vq λr v λr( + λ t) v λr λ t v v λr + λ t 4 ; 4 4 a Q a a a a λ R + 4λ t 4 47 Baele OA şi OB de lungime l fiecae aticulate înte el în O se mişcă în planul fix Oxy astfel încât celelalte capete ale lo se mişcă pe axa Ox după legile: x A l cosλt x B 6l cosλt unde λ este o constantă pozitivă cunoscută (vezi fig 47) a) Să se detemine vitezele unghiulae acceleaţiile unghiulae centele instantanee de otaţie şi polii acceleaţiilo pentu cele două bae b) Să se scie ecuaţiile centoidelo Fig 47 celo două bae şi ecuaţia taiectoiei punctului O alegând sistemele de efeinţă legate de bae astfel încât axa Ax să fie diijată după AO ia By după BO c) Să se calculeze valoile vitezelo şi acceleaţiilo mijloacelo C şi D ale baelo la un moment t al mişcăii Răspunsui a) ω OA ω λ ω OB ω λ ; ε ε ;

146 4 - Cinematica mecanismelo plane 45 b) c) x I l cos t l sin λ ; 6lcos t 6l sin t ; λ J J O x x y I t + y ( l) ( x + l) + ( y ) l ; + y ( l) ( x ) + ( y l ) ( l) 6 x y + 4l l v C a C ; x I λ λl + 8sin λt v λl + 4sin λt ; λ l + 8cos λt a D D λ l + 4cos λt y I λ 48 Dacă pentu mecanismul din fig 47 legile de mişcae ectilinie ale capetelo A şi B ale baelo sunt: x A l sin λt x B 5l sin λt λ fiind o constantă pozitivă cunoscută să se detemine aceleaşi elemente ale mişcăii sale ca în poblema pecedentă Răspunsui a) ω λ ω λ ; ε ε ; x I lsin λt y I 5l sin t 5l cos t ; J J O b) x I x x λ y I λ l + y l x + + ( y ) + y ( l) ( x ) 5 y x + l l l 5l 5l + y c) v λl + cos λt + 5cos C vd λl λt ; a C λ l + sin λt a λ l + 5sin λt D ; ; lcosλt ; 49 Mecanismul din fig 49 cae se mişcă în planul fix Oxy este fomat din discul cicula de ază R cu centul în O biela OA de lungime 4R şi

147 46 Cinematica - ma nivela OA de acee aşi lungim e cele copui ale sale fiind ati culate înte el e ca în figu ă Ş tiind că discul se ostogole şte fă ă alunecae pe deapta ( Δ ) paalelă cu axa Ox astfel încât centul său O ae o mişcae ectil inie şi u nifomă pe Ox cu viteza de valoae v O 8λ R cunoscu tă să se detemine: a) vitezele unghi ulae acceleaţiile unghiulae centele instantanee de otaţie şi polii acceleaţiilo pentu bielă şi disc; b ) ecuaţiile bazei şi ulantei Fig 49 pentu bie lă dacă sistemul de efeinţă legat de ea se alege cu axa Oy diijată după OA; c) valoile vitezelo şi acceleaţiilo pu nctelo M M M de pe peifeia discului şi M 4 de la mijlocul bielei la momentul în cae ung hiul θ dinte manivelă şi axa Ox ae valoaea π 4 Răspunsui a) ω λ OA ω ω d ω 8 λ ; sinθ λ cosθ ε ε ; sin θ OI AI 8R x I 8Rcosθ y I R ; J J O ; b) x ( 8 R) + y x + ( y 4R) ( 4R) ; c) v v 8 λ R v 6λ R v4 λ R ; a a a 64λ R a 4 4 λ R 4 Dacă pentu mecanismul din fig 49 se dă legea de mişcae ectilinie pe axa Ox a centului discului sub foma xo 8Rsin λt unde λ este o constantă

148 4 - Cinematica mecanismelo plane 47 pozitivă cunoscută să se detemine elementele mişcăii sale ceute la punctele a) şi c) din poblema pecedentă poziţia polului acceleaţiilo al discului tebuind pecizată la momentul în cae θ π 4 Răspunsui a) ω λ ω 8λcosλt ; ε ε 8λ sinλt ; OI AI 8R x I 8Rsinλ t y I R ; J O OJ R 74R ϕ actg ; 8 c) v v 8λ R v 8 λ R v4 5λ R; a 8λ R λ R a 4 λ R a 8λ R λ R a 5λ R 4 Fig 4 4 Mecanismul din fig 4 fomat din 4 bae aticulate înte el ca în figuă se mişcă în planul fix Ox y astfel încât culisoul D ae o mişcae ectilinie pe o axă paalelă cu O y la distanţa l de aceasta Cunoscând lungimile baelo O A OB CD l AC l distanţa O O AB l şi vaiaţia în timp θ λt a unghiului dinte OA şi axa Ox unde λ este o constantă pozitivă pentu baa CD să se detemine: a) viteza unghiulaă acceleaţia unghiulaă centul instantaneu de otaţie şi polul acceleaţiilo; b) ecuaţiile bazei şi ulantei alegând sistemul de efeinţă legat de baă cu axa Cy

149 48 Cinematica - diijată după ea; c) valoile vitezei şi acceleaţiei mijlocului său M la momentul în cae unghiul θ ae valoaea π Răspunsui a) ω λ ; ε ; x I l + 4lcosλt y I 4lsin λt ; x J l y J ; b) ( x l ) + y ( 4l) x + y ( l) ; c) v M λl a λ l M 7 4 Mecanismul din fig 4 cae se mişcă în planul fix Oxy este fomat din bae aticulate înte el ca în figuă şi din culisoae având mişcăi ectilinii pe axa Ox culisoul C fiind aticulat la mijlocul baei AB Cunoscând lungimile baelo O A BD l AB l şi vaiaţia în timp a unghiului dinte OA şi axa Ox dată de θ λt λ fiind o constantă pozitivă să se detemine: a) vitezele unghiulae acceleaţiile unghiulae centele Fig 4 instantanee de otaţie şi polii acceleaţiilo pentu baele AB şi BD; b) ecuaţiile bazelo şi ulantelo pentu aceleaşi bae consideând sistemele de efeinţă legate de ele cu axa Cy după CA espectiv cu axa Bx după BD; c) valoile vitezei şi acceleaţiei mijlocului M al baei BD la momentul în cae θ π

150 4 - Cinematica mecanismelo plane 49 Răspunsui a) ω A B ω λ ω BD ω λ ; ε ε ; O I AI l ; x I 4l cosλt J J O ; b) ( ) x + y l x + ( y l ) l ; x ( ) + y 4 ( x + ) + ( y ) ( l) l l ; 7 c) vm λl 4λl ; a M l 8λ l λ y I λ 4 sin t l ; Fig 4 ectilinie şi unifomă pe Ox cu viteza de valoae figuă să se detemine: 4 Mecanismul din fig 4 cae se mişcă în planul fix Oxy este fomat din discul cicula de ază R cu centul în D baa BD de lungime l şi baa AB de lungime l cele copui ale sale fiind aticulate înte ele ca în figuă Ştiind c ă punctul A se mişcă pe axa Oy că mijlocul C al baei AB ae o mişcae ectilinie pe axa Ox şi că discul se ostogoleşte făă alunecae pe deapta (Δ) paalelă cu Ox astfel încât centul său ae o mişcae v D cunoscută şi oientată ca în a) vitezele unghiulae acceleaţiile unghiulae centele instantanee de otaţie şi polii acceleaţiilo pentu cele copui ale mecanismului în funcţie de unghiul θ dinte baa AB şi axa Oy ; b) valoile vitezelo şi acceleaţiilo punctelo A A A şi A 4 de pe peifeia discului pentu cae diametul AA este paalel cu axa Oy ia A şi A 4 se află pe axa Ox la momentul consideat; c) expesiile analitice faţă de sistemul de efeinţă fix ale vitezelo şi acceleaţiilo punctelo A B şi C în funcţie de unghiul θ

151 5 Cinematica - Răspunsui a) ω ω d v D R ω ω AB θ& ω ω ; BD ω v D l cosθ vd sin θ ε ε ε ; 9l cos θ I A y I DI l cosθ J J D J C ; y I cosθ CI l ; D b) v v v D v v4 v D ; a a a a4 ; R v D c) va tgθ j v B v D ( i + tg j ) v D θ vc i ; v D a C ab aa j 9cosθ l v 44 Mecanismul eli psogaf din fig 44 cae se mişcă în planul fix Oxy este fomat din 4 bae de lungimi O D l OC BD l şi OA l aticulate înte ele ca în figuă aticulaţia O mişcându-se pe axa Ox Ştiind că OC CD OB BE EA şi că unghiul dinte baa OD şi axa Ox vaiază în timp dup ă legea Fig 44 θ λt λ fiind o constantă pozitivă cunoscută să se detemine: a) vitezele unghiulae acceleaţiile unghiulae centele instantanee de otaţie şi polii acceleaţiilo pentu baele OC BD şi OA; b) valoile vitezelo şi acceleaţiilo punctelo O B E şi A la momentul în cae θ π pentu datele numeice: l m λ 5 s

152 5 - Mişcaea elativă a punctului mateial 5 Răspunsui a) ωoc ω ω BD ω λ ω OA ω λ ; ε ε ε ; I D O I DI 4l x I l cosλt y I l sin λt ; J J J O ; b) v 7 O m s v 65 m s B v 74 m s E v 458 A m s ; a O 5m s a 87 m s B a E m s a 87 A m s 5 Mişcaea elativă a punctului mateial Fig 5 5 Mecanismul din fig 5 fomat din 5 bae aticulate înte ele ca în figuă de lungimi OO OA OA OB R şi DE R pentu cae DB BC CA AE şi OO R se mişcă în planul fix Oxy astfel încât unghiul dinte manivela OO şi axa Ox vaiază în timp după legea θ λt λ fiind o constantă pozitivă cunoscută Pe baa DE se mişcă un culiso P după legea ( ) CP s t R t sinλ Să se detemine taiectoia viteza şi acceleaţia în mişcaea absolută a culisoului

153 5 Cinematica - Rezolvae Din fig 5 şi din enunţ se obsevă imediat că tiunghiul OAB de bae aticulate cae fomează un sistem igid este deptunghic în O şi isoscel astfel încât axele sistemului de efeinţă Oxy legat de el ămân paalele cu axele fixe tot timpul mişcăii Rezultă că baa DE ae o mişcae de tanslaţie ciculaă cu viteza şi acceleaţia punctului O cae sunt elemente ale mişcăii de tanspot a culisoului în mişcaea sa absolută Ca umae viteza absolută şi acceleaţia absolută pentu culiso se detemină după cum umează: va v + v t v s& λrcosλ t vt λ R π π v λr + a cos λt cosλtcos + λ t λ Rcosλt sin λ t 4 aa a + at + ac a v& λ Rsinλ t at λ R a c a R + t + π a t + λ λ λ λ t λ sin sin cos Rsin λ t+ cos λ t 4 Pentu deteminaea taiectoiei absolute a culisoului se expimă ca funcţii de timp coodonatele sale faţă de sistemul de efeinţă fix: R R R x + Rsinλt+Rcosλt y R sinλ t + R sinλ t de unde ezultă că mişcaea absolută a culisoului este ectilinie pe o deaptă paalelă cu axa la distanţa Rde aceasta Se obsevă că se obţin aceleaşi valoi absolute Ox pentu v a şi a a pin deivaea în apot cu timpul a abscisei x a culisoului 5 Baa OAB din fig 5 având latuile OA şi EB pependiculae înte ele se mişcă în planul fix astfel încât punctul său E ae o mişcae ciculaă pe Oxy cecul cu centul în punctul O de pe axa Oy de ază OE OO R ia latua sa EB tece pint-un manşon aticulat de culisoul C cae se mişcă pe axa Ox Baa CD este solidaizată de culiso în poziţia sa în cae este pependiculaă pe axa culisoului şi punctul său de intesecţie cu latua OA a pimei bae este mateializat pint-un inel P Ştiind că legea mişcăii ectilinii a culisoului este expimată pin OC x C R( + λ t) unde λ este o constantă pozitivă cunoscută să se detemine elementele mişcăilo elative faţă de cele două bae ale inelului şi elementele mişcăii sale absolute

154 5 - Mişcaea elativă a punctului mateial 5 Rezolvae Ca paametu de poziţie pentu mecanismul fomat de cele două bae se poate alege unghiul θ dinte latua OA a pimei bae şi diecţia pozitivă a axei Ox Notând θ θ din fig 5 se obsevă că unghiuile fomate de latua comună OC a tiunghiuilo deptunghice conguente OCE şi OCO cu catetele coespunzătoae au valoile: π π θ θ π ϕ θ Fig astfel încât ezultă: OC EC π Rctg 4 + tgθ Rcosθ θ R tg θ sinθ R EC OP R + ECtgθ CP ; sinθ cosθ Rθ& vc x& C λr ω θ & λ( sinθ) ; sinθ Rθ& cos θ λrcosθ λrθ v v & ; a a 4λ R ; ( sinθ) sinθ sinθ v v cosθ i + sinθ j ; a a cosθ i + sinθ j ( ) t ( ) unde ω epezintă viteza unghiulaă a pimei bae Vitezele şi acceleaţiile de tanspot ale inelului faţă de cele două bae vo fi: v ωop λr v v sinθ i + cosθ j ; ( ) t t ( ) ε ω& 4λ cosθ sinθ τ n a εop 4λ Rcos θ a ω O P 4λ R( sin θ ) t t

155 54 Cinematica - τ n at at( sin θi + cosθj) at( cosθi + sin θj ) ; vt vc λri at ac ia acceleaţiile sale complementae devin: a ω v 4λ R sinθ i + cos θ j a ( ) c c astfel încât ezultă: cosθ va v+ vt v + vt λr i+ j v sinθ a a + a + a a 4λ Rj a t c a λr sinθ ; Pentu deteminaea taiectoiei absolute a inelului se expimă coodonatele sale faţă de sistemul de efeinţă fix ca funcţii de timp pin intemediul paametului de poziţie θ : Rcosθ R x xc y CP sinθ sinθ de unde se obţine ecuaţia sa: R x y + R cae epezintă o paabolă cu axa de simetie paalelă cu Oy Se obsevă că se obţin aceleaşi expesii pentu viteza absolută şi acceleaţia absolută ale inelului dacă se deivează în apot cu timpul coodonatele sale x şi y şi se ţine seama de valoaea deteminată a vitezei unghiulae ω θ& 5 Cicumfeinţa din sâmă cu centul O şi de ază R din fig 5 se mişcă în planul fix Oxy fiind antenată de manivelele OB şi OD aticulate la capetele diametului său BD pentu cae se cunosc: OB OD OO R θ λt λ fiind o constantă pozitivă dată Pe cicumfeinţă se mişcă inelul A după legea θ λt unghiul θ dinte azele OB şi OA având sensul din figuă Să se detemine elementele mişcăilo elativă de tanspot şi absolută ale inelului Răspunsui v λr vt λr va vt v λ R ; a λ R at λ R a c aa at a λ R ;

156 5 - Mişcaea elativă a punctului mateial 55 ( ) ( ) Γ a x R + y R Fig 5 Fig Cicumfeinţa din sâmă cu centul O şi de ază R din fig 54 se oteşte în planul său cu viteza unghiulaă ω constantă în juul punctului său fix O cae este situat pe o deaptă fixă din planul mişcăii sale Al doilea punct de intesecţie dinte deapta fixă şi cicumfeinţă este mateializat pint-un inel M Să se detemine vitezele şi acceleaţiile elative de tanspot şi absolute ale inelului la un moment dat al mişcăii când unghiul dinte aza O O şi deapta fixă ae valoaea θ cunoscută Răspunsui vt Rωcosθ v Rω va Rω sinθ ; at Rω cosθ a a c 4Rω aa at Rω cosθ 55 Un avion zboaă unifom spe nod după un meidian al Pământului cu viteza elativă v 7 km h Cunoscând aza medie a meidianului pe cae se mişcă avionul R 64 km să se detemine valoile vitezei şi acceleaţiei absolute ale sale la momentul în cae ajunge la latitudinea λ ţinând seama de mişcaea de otaţie a Pământului în juul axei sale pentu cae să se calculeze viteza unghiulaă Răspunsui ω 77 5 s va 45 m s a a 7 5 m s

157 56 Cinematica - 56 Un avion zboaă unifom de la vest spe est după o paalelă a Pământului cae ae latitudinea nodică λ cu viteza elativă v 7 km h Ştiind că avionul zboaă la o înălţime pentu cae distanţa medie până la centul Pământului este R 64 km să se calculeze valoile vitezelo şi acceleaţiilo sale elative de tanspot şi absolute ţinând seama de mişcaea de otaţie a Pământului în juul axei sale Răspunsui v v m s vt Rω cosλ 4 m s va 6 m s ; v a 7 ms at ω R cosλ 9 m s Rcosλ a v c ω 9 m s a a 65 m s 57 Un punct mateial poneşte din vâful unui con cicula cu unghiul la vâf α şi se mişcă unifom cu viteza elativă u pe o geneatoae a conului Ştiind că în acelaşi timp conul se oteşte unifom acceleat făă viteză unghiulaă iniţială cu acceleaţia unghiulaă ε în juul axei sale de simetie să se detemine valoile vitezei şi acceleaţiei absolute ale punctului mateial la un moment t de la începutul mişcăii Răspunsui v a u + ε t 4 sin α 4 a a εutsin α 9 + ε t 58 Un punct mateial poneşte din vâful unui con cicula cu unghiul la vâf α şi se mişcă unifom acceleat făă viteză iniţială cu acceleaţia elativă w pe o geneatoae a conului Ştiind că în acelaşi timp conul se oteşte unifom cu viteza unghiulaă ω în juul axei sale de simetie să se detemine valoile vitezei şi acceleaţiei absolute ale punctului mateial la un moment t de la începutul mişcăii wt va 4 + ω t Răspunsui w sin α a a 4+ ω t ( + ω t ) sin α

158 5 - Mişcaea elativă a punctului mateial Semicecul din sâmă din fig 59 având centul O şi aza R se mişcă în planul fix Ox y astfel încât capetele diametului său BD se mişcă pe axele de coodonate şi unghiul dinte axa Oy tecând pin B şi axa vaiază în timp după legea Fig 59 Oy θ λt unde λ este o constantă pozitivă cunoscută Pe semicec se mişcă un inel A astfel încât unghiul dinte azele OA şi OB vaiază în timp după legea θ λt Să se detemine elementele mişcăilo elativă şi absolută ale inelului ( ) Γ x y R + ( ) Răspunsui Γ a x + y 4R ; v v λr ; a 4 λ R aa a t λ R a 5 Baa ABD sub fomă de T din fig 5 având latuile AB şi OD pependiculae înte ele şi AO OB se mişcă în planul fix Oxy astfel încât capetele sale A şi B se mişcă pe axele de coodonate ia unghiul dinte latua sa AB de lungime R şi axa Oy vaiază în timp după legea θ πt6 Pe latua sa OD se mişcă un culiso C după legea: OC x( t) R( cos πt ) Pentu R 5 m să se calculeze valoile vitezei şi acceleaţiei absolute ale culisoului la momentul t s şi să se expime ecuaţiile paametice ale taiectoiei sale absolute în funcţie de θ Să se veifice că valoile Fig 5 vitezei şi acceleaţiei absolute ale culisoului la momentul t se pot obţine şi pin deivaea în apot cu timpul a coodonatelo sale faţă de sistemul de efeinţă fix

159 58 Cinematica - Răspunsui πr R va ms a a ms ; 6 π x Rsin θ+4rsin θcosθ y Rcosθ+4Rsin θ 5 Baele OA şi BD se mişcă în planul fix Oxy astfel încât OA se oteşte unifom în juul aticulaţiei O după legea θ λt şi BD ae o mişcae de tanslaţie ectilinie după legea OO xo Rcos λt în poziţia în cae ămâne paalelă cu axa Oy punctul său O mişcându-se pe axa Ox Dacă punctul de intesecţie dinte cele două bae este mateializat pin inelul M să se detemine elementele mişcăii absolute ale inelului şi elementele mişcăilo sale elative faţă de cele bae alegând sistemele de efeinţă Fig 5 legate de bae cu axele O x după OA şi Oy după OB Răspunsui x OM Rcosλt y ; v Rλsin λti x y OM Rsinλt ; v Rλcosλtj a 4R λ sinλtj ; ( ) ( ) a λ a 4 a Rλ Γ a x R + y R v R a R λ cosλti ;

160 6 - Compunei de mişcăi ale copului igid 59 6 Compunei de mişcăi ale copului igid 6 Baa AB de lungime 4R se mişcă în planul fix Ox y astfel încât capetele sale se mişcă pe axele de coodonate şi unghiul dinte axa Oy legată de ea şi Oy vaiază în timp după legea θ λt λ fiind o constantă pozitivă cunoscută La mijlocul său O este aticulat un capăt al baei OD de lungime 5R ia celălalt capăt D al acesteia este legat pint-un inel de o cicumfeinţă din sâmă de ază R şi cu centul în C pe axa Oz cae este situată înt-un plan paalel cu Oxy la distanţa OC R a) Să se detemine paametii cinematici pentu baa OD în mişcăile sale elativă faţă de AB de tanspot şi absolută b) Să se calculeze valoile vitezelo şi acceleaţiilo elative şi absolute ale punctelo P P şi P de pe baa OD pentu cae OP P P P P P D Rezolvae Fig 6a) a) În fig 6a) s- au epezentat mecanismul fomat de cele două bae şi sistemele de efeinţă legate de ele Oxyz espectiv Oxyz Se obsevă că distanţa OO R ămâne constantă tot timpul mişcăii mecanismului astfel încât poiecţia D a punctului D pe planul Oxy este diametal opusă punctului O pe taiectoia sa cae este tot o cicumfeinţă de ază R având centul în O

161 6 Cinematica - Deoaece OD D D + D O ezultă că deptunghiul DD OD legat de baa OD ae o mişcae elativă faţă de AB de otaţie în juul latuii OD paalelă cu Oz după cae s-au oientat axele Oz legată de AB şi Oz legată de OD Ca umae paametii cinematici în mişcaea elativă a baei OD faţă de AB vo fi: π π θ θ λt ω θ& k λ k ε Paametii cinematici în mişcaea de tanspot a baei OD sunt paametii cinematici coespunzătoi mişcăii absolute a baei AB cae evident este o mişcae plană în planul Oxy Se obsevă imediat că unghiul dinte axa Ox paalelă cu Ox Fig 6b) şi axa Ox legată de AB este θ astfel încât ezul tă: ω θ& k λ k ε OI OI 4R J O unde cu I şi J s-au notat centul instantaneu de otaţie espectiv polul acceleaţiilo pentu baa AB În uma deteminăii paametilo cinematici pentu cele două mişcăi componente ale baei OD se obsevă că mişcaea sa absolută este compuneea a două mişcăi de otaţie faţă de axe paalele înte ele cae poate fi o mişcae plană sau mai paticulaă Ca umae paametii cinematici în mişcaea sa absolută vo fi: ω ω ω + ω λk ε OI ωoo + ω OI λ R+ λ 4R I J O deci mişcaea sa absolută este de otaţie în juul axei fixe Oz cu viteza unghiulaă ω constantă b) Elementele ceute în enunţ ale mişcăilo elative şi absolute ale punctelo P P şi P vo fi aceleaşi cu cele ale poiecţiilo lo pe planul Oxy cae împat segmentul de deaptă mobil OD de lungime 4R în 4 păţi egale Ca umae ezultă: v ω R λr v 4λ R v 6λ R ;

162 v 6 - Compunei de mişcăi ale copului igid 6 v ω R λ R a a 4 v a ; a ω R λ R a 8λ R a λ R ; a a aa ω R λ R a a Se obsevă că punctul P de pe baa OD ae viteza absolută ca şi acceleaţia absolută nule deci se poate obţine aceeaşi mişcae a mecanismului dacă se fixează acest punct pint-o aticulaţie pe axa Oz la distanţa OP R Fig 6 6 Să se studieze mişcaea mecanismului din fig 4 consideând mişcaea absolută a baei BD ca fiind compusă din otaţii în juul uno axe instantanee paalele înte ele şi anume otaţia baei BD faţă de AB a baei AB faţă de OA şi a manivelei OA faţă de sistemul de efeinţă fix Pentu aceasta cunoscând vaiaţia în timp a unghiului θ dată în poblema 4 să se expime ca funcţii de timp unghiuile de otaţie coespunzătoae celo otaţii componente ale mişcăii absolute a baei BD şi să se detemine:

163 6 Cinematica - a) vitezele unghiulae şi acceleaţiile unghiulae în mişcăile elative şi absolute ale celo bae; b) centele instantanee elative şi absolute ale baelo; c) polii acceleaţiilo în mişcăile elative şi absolute ale baelo; d) vitezele şi acceleaţiile elative şi absolute ale mijlocului M al baei BD la momentul t πλ Rezolvae Pentu a se utiliza notaţiile consacate în cazul compuneii mai multo mişcăi ale unui cop igid sistemul de efeinţă fix la cae se apotează mişcaea mecanismului din fig 4 tebuie să fie notat cu Ox z ia unghiul θ devine θ Alegând sistemele de efeinţă legate de bae ca în fig 6 unde axa Ax este paalelă cu Bx vaiaţia în timp a unghiuilo de otaţie coespunzătoae celo otaţii componente ale mişcăii absolute a baei BD ezultă: π π θ θ λt π θ λt θ λ t a) Cu notaţiile cunoscute vitezele şi acceleaţiile unghiulae ale baelo în mişcăile lo elative şi absolute devin: ω θ & λ ω λ θ& ω ω θ& λ ω ω + ω ω ω ω + ω λ ω ω + ω λ ; ε ε ε ε ε ε unde elementele mişcăilo absolute ale baelo s-au notat cu un singu indice ia pentu mişcaea absolută a baei BD de cae este legat sistemul de efeinţă Bxy indicele a fost supimat b) Deoaece mişcaea absolută a baei BD este compusă din otaţii în juul axelo paalele Bz Az şi Oz ezultă că centele instantanee elative I şi I coincid cu aticulaţiile dinte baele espective adică I B şi I A ia mişcaea elativă a baei BD faţă de OA este de tanslaţie ciculaă datoită faptului că ω ε şi AB const Se obsevă că teoema colineaităţii a cente l instantanee elative este veificată deoaece centul instantaneu elativ I cae a

164 6 - Compunei de mişcăi ale copului igid 6 tebui să se găsească la intesecţia deptelo AB şi II este auncat la infinit cele două depte fiind paalele înte ele Cunoscând poziţia centului instantaneu absolut I O pentu baa OA şi cele două cente instantanee elative aflate în poziţiile momentane ale aticulaţiilo A şi B se pot detemina poziţiile centelo instantanee absolute I şi I pentu celelalte bae pin constucţia gafică din fig 6 de unde ezultă: II II ω ω A AI l ; I I O I I ω ω I B BI l c) Polii acceleaţiilo J J şi J în mişcăile elative ale baelo coincid cu centele instantanee coespunzătoae deoaece pimele mişcăi elative sunt de otaţie în juul uno axe ia a teia este de tanslaţie Cunoscând vitezele şi acceleaţiile unghiulae ale baelo în mişcăile lo absolute se obsevă imediat că polii acceleaţiilo în aceste mişcăi coincid cu O pentu toate baele mecanismului d) Viteza şi acceleaţia elativă a punctului M faţă de baa AB la oice moment vo fi: v ω l BM v λ λl a l ωbm a 4λ λ l ia elementele coespunzătoae ale mişcăii sale elative faţă de OA vo fi expimate de viteza şi acceleaţia elativă a punctului B în mişcaea baei AB faţă de OA : v ω AB v λ l 4λ l a ωab a 4λ l 8λ l Pentu deteminaea elementelo ceute în enunţ ale mişcăii absolute a punctului M se pot calcula elementele mişcăilo de tanspot ale baelo AB şi OA pecum şi acceleaţiile complementae după cae se aplică fomulele de compunee a vitezelo şi acceleaţiilo în mişcaea elativă a unui punct mateial Deoaece s-au deteminat paametii cinematici în mişcaea absolută a baei BD este mai uşo să se calculeze viteza şi acceleaţia absolută a punctului M pe baza distibuţiilo de viteze şi acceleaţii în mişcaea plană a acestei bae astfel încât la momentul t ezultă: v a ω IM 7 v λ l a ; a a ω JM a λ a l Obsevaţie Se pot păsta paţial notaţiile din fig 4 pentu sistemul de efeinţă fix Ox y în loc de Oxy şi pentu unghiul θ dacă se face o numeotae invesă a baelo mecanismului şi a unghiuilo de otaţie coespunzătoae În acest caz manivela O A devine pimul cop al mecanismului şi de ea se leagă sistemul de

165 64 Cinematica - efeinţă Oxy al doilea cop va fi baa AB cu sistemul de efeinţă legat de ea Bx y ia cel de-al teilea cop este baa BD de cae se leagă sistemul Bx y în loc de Bxy De exemplu vitezele unghiulae elative şi absolute ale baelo se vo nota astfel: ω ; ω ω ω ω ω ω ω ω ω 6 Cubul OABCDEHI cu muchiile de lungime ae o mişcae compusă din 5 mişcăi instantanee de ototanslaţie cu axele diijate după diagonala sa OI espectiv după diagonalele BO DO HO şi IE ale feţelo sale coespunzătoae după cae s-au ales vesoii diecţiilo acesto axe ca în fig 6 Cunoscând valoile algebice momentane ale paametilo cinematici pentu distibuţiile de viteze în cele 5 mişcăi componente ale cubului expimate pin: ω λsinλ t u λl cosλt ω ω ω4 λsin λt ω5 λ u u u 4 u5 λl cosλt unde λ este o constantă pozitivă dată să se detemine: a) paametii cinematici pentu distibuţiile de viteze şi acceleaţii în mişcaea absolută a cubului; b) vitezele şi acceleaţiile absolute ale vâfuilo cubului la un moment t al mişcăii sale Rezolvae l a) Din enunţ ezultă că mişcaea absolută a cubului de cae s-a legat sistemul de efeinţă Oxyz ca în fig 6 este compusă din mişcaea sa elativă de ototanslaţie faţă de un sistem mobil Oxyz cu axa diijată după e din mişcaea acestuia de asemenea de ototanslaţie faţă de alt sistem mobil Oxyz cu axa diijată după e şamd ultima sa mişcae componentă fiind tot de Fig 6 ototanslaţie faţă de sistemul de efeinţă fix Oxyz cu axa diijată după e 5 Cu notaţiile folosite la compuneea mai multo

166 6 - Compunei de mişcăi ale copului igid 65 mişcăi ale unui cop igid paametii cinematici pentu distibuţiile de viteze în mişcăile componente ale cubului devin: ( ω ωe λ i + j+ k) sinλt u u e λl ( i + j + k) cosλt ( ) ( ω ωe λ i j sinλt λ i + j) sinλt u u54 λl ( i + j) cosλt ( ω λ j+ k) sinλ t u λl ( j + k) cosλt ( ω4 λ i + k) sinλt u 4 λl ( i + k) cosλt ω λ + u λl i + j cosλt 54 ( i j) 54 ( ) u astfel încât în mişcaea sa absolută paametii cinematici pentu distibuţiile de viteze şi acceleaţii vo fi: 4 ω ω ω ω λ + 5 i i 54 i j) i + 4 v5 ( ui+ i + ωi + i i ) u54 + ω54 i ( ( cosλt) i + ( cosλt) j) v ( i j ) u λ ( i + j) cosλt ( IO λl + O ω vo ε a O + ω vo λ l ( sin λti + sin λtj + k) t t deoaece se obsevă că pimele 4 mişcăi instantanee de ototanslaţie componente ale mişcăii absolute ale cubului au axele concuente în O şi sumele vectoiale ale paametilo cinematici pentu distibuţiile de viteze ale acestoa sunt nule Ca umae mişcaea absolută a cubului va fi de ototanslaţie faţă de axa fixă (Δ) tecând pin punctele sale I şi E cu paametii cinematici pentu distibuţiile de viteze şi acceleaţii expimaţi pin: ω λ + l l ε w λ ( i + j) sin λt Evident la momentele în cae se anulează viteza de alunecae distibuţia de viteze a cubului în mişcaea sa absolută va fi de otaţie în juul axei (Δ) ia la momentele în cae se anulează acceleaţia de alunecae distibuţia sa de acceleaţii va fi de otaţie în juul aceleiaşi axe b) Vitezele absolute ale vâfuilo cubului vo fi: vo vb λl( ( + cosλt) i + ( cosλt) j) λ + cosλt i + cosλt j k v A l( ( ) ( ) )

167 66 Cinematica - v C λl ( ( + cosλt) i + ( cosλt) j + k) v D λl ( ( i + j) cosλt + k) ve vi λl ( i + j) cosλt vh λl ( i + j) cosλt + k) ia acceleaţiile lo absolute ezultă: a O a B λ l ( i + j) sin λt + k) a A λ l( + sin λt) i + ( + sin λt) j + k) a C λ l( + sin λt) i + ( + sin λt) j + k) a D λ l ( + sin λ t) i + ( + sin λt) j) a a λ i + j sin λ a H λ + sin λt i + + sin λt j E I ( ) t ( ) l l ( ) ( ) 64 O placă plană având ecuaţia cubei ce o delimitează faţă de planul de efeinţă Oxy legat de ea expimată pin y f( x) ae o mişcae de tanslaţie ectilinie în planul fix Oxy astfel încât axa Ox se mişcă pe Ox după legea OO l( λt) λ fiind o constantă pozitivă cunoscută Manivela OA de lungime l este aticulată în O şi se spijină cu celălalt capăt pe cuba ce delimitează placa plană consideată a) Să se detemine viteza unghiulaă a Fig 64 manivelei în funcţie de abscisa x a punctului A şi să se expime x ca funcţie de timp şi de f b) Să se detemine funcţia f astfel încât viteza unghiulaă a manivelei să fie y f x constantă de valoae λ dacă O se află pe cuba ( ) Răspunsui a) b) λlf ω f f + l f f x + acsin + l l l ( λt ) f x l + l f l 65 Un disc cicula de ază R se ostogoleşte făă alunecae în planul Oxz pe axa Ox astfel încât centul său O poneşte de pe axa Oz şi se mişcă

168 6 - Compunei de mişcăi ale copului igid 67 unifom pe o deaptă paalelă cu Ox cu viteza de valoae v O λ R În acelaşi timp planul mişcăii discului ae o mişcae de otaţie unifomă în juul axei fixe Oz Oz după legea θ λt unghiul θ fiind măsuat în planul fix Oxy înte Fig 65 axele Ox şi Ox ca în fig 65 La un moment t al mişcăii discului să se detemine: a) viteza unghiulaă acceleaţia unghiulaă centul instantaneu de otaţie şi polul acceleaţiilo în mişcaea sa elativă; b) viteza unghiulaă şi acceleaţia unghiulaă în mişcaea sa absolută; c) valoile vitezelo şi acceleaţiilo absolute ale punctelo sale A A A şi A 4 situate la momentul consideat pe peifeia sa la capetele diametelo AA Oz şi AA 4 Ox a) Răspunsui ω λj ε I A J O ; ω j + k a λ ε a λ i ; b) ( ) c) v λ Rt v λ R t ( t+ ) 4 +λ v λr + ( t ) λ v4 λr + λ ; a R +λ t λ a R + t λ 7 λ R 4 ( λ λ t ) λ 4+ ( t+ ) a + a4 R λ 66 Baa AB de lungime 4R de cae s-a legat sistemul de efeinţă Ox y z ca în fig 66 se mişcă în planul fix Ox y astfel încât capetele sale se mişcă pe axele de coodonate şi unghiul dinte axele Oy şi Oy vaiază în timp după legea θ λt unde λ este o constantă pozitivă cunoscută La mijlocul O al baei este montat pint-un ulment cu bile un disc cicula de ază R cae ae o mişcae de otaţie unifomă faţă de baă cu viteza unghiulaă ω λ oientată ca în figuă a) Să se detemine viteza unghiulaă acceleaţia unghiulaă centul instantaneu de otaţie şi polul acceleaţiilo în mişcaea de tanspot a discului

169 68 Cinematica - b) Să se expime viteza unghiulaă şi acceleaţia unghiulaă în mişcaea absolută a discului pin poiecţii pe axele sistemului de efeinţă legat de baă c) Să se calculeze valoile vitezelo şi acceleaţiilo absolute ale punctelo sale A A A şi A 4 de pe peifeia discului la momentul t π 4λ când A şi A se găsesc pe axa Oz ia A şi A 4 pe Ox Fig 66 Fig 67 a) b) ωt λk ε t OI t OIt 4R Jt O ωa λj + λk ε λ i a Răspunsui c) v v λ R v λ R v4 5λ R ; a a 6λ R a λ R a 7λ R 4 67 Un cub cu muchiile de lungime l ae o mişcae compusă din 5 otaţii în juul uno axe diijate după muchii ale sale ca în fig 67 şi dint-o mişcae instantanee de ototanslaţie în apot cu axa diijată după diagonala sa DA Ştiind că paametii cinematici pentu distibuţiile de viteze în mişcăile componente ale cubului au valoile: ω ω ω4 ω5 λ ω λ ω6 λ u λl unde λ este o constantă pozitivă cunoscută să se detemine paametii cinematici pentu distibuţiile de viteze şi de acceleaţii în mişcaea sa absolută

170 ( i j ) 6 - Compunei de mişcăi ale copului igid 69 Răspunsui ω ε v O λl + k v O λl a O 68 Un cub cu muchiile de lungime l ae o mişcae compusă din 6 otaţii în juul uno axe diijate după muchii ale sale ca în fig 68 Ştiind că vitezele unghiulae în mişcăile componente ale cubului au aceeaşi valoae constantă λ dată să se detemine: a) paametii cinematici pentu distibuţiile de viteze şi de acceleaţii în mişcaea sa absolută expimaţi pin poiecţii pe axele sistemului de efeinţă Oxyz legat de cub având axa Ox diijată după ω şi celelalte axe după celelalte muchii concuente în O; b) viteza absolută şi acceleaţia absolută de alunecae a cubului pecum şi ecuaţiile axelo instantanee de ototanslaţie sau Fig 68 de otaţie faţă de sistemul de efeinţă legat de el a) ω 4λk ε v O λl( i j + k) b) u λ k w ; l ( Δ ) ( Δ ) Răspunsui 8λ ( i j) l a O x y l + ; 69 Mecanismul din fig 69 fomat din bae identice de lungime fiecae se mişcă în planul fix Oxy astfel încât unghiuile din figuă vaiază în timp după legile: θ θ λt θ λt unde λ este o constantă pozitivă cunoscută l

171 7 Cinematica - a) Să se detemine viteza unghiulaă acceleaţia unghiulaă centul instantaneu de otaţie şi polul acceleaţiilo în mişcaea absolută a baei AB b) Să se aate că mişcaea absolută a baei BD este de tanslaţie şi să se calculeze viteza absolută şi acceleaţia absolută a unui punct M de pe ea la un moment t al mişcăii Răspunsui Fig 69 a) ω ω + ω λ ε O I I A l O J J A b) ω ε v M λ a M λ l l 5 + 4cos λt 7 + 8cos λt l 6 Mecanismul din fig 6 fomat din 5 bae identice de lungime 4l fiecae se mişcă în planul fix Oxy astfel încât unghiuile din figuă vaiază în timp după legile: θ θ θ4 θ5 λt θ 4λ t unde λ este o constantă pozitivă cunoscută Fig 6 Să se detemine: a) vitezele unghiulae elative şi absolute ale baelo; b) centele instantanee de otaţie şi polii acceleaţiilo pentu baele (AB) (BC) şi 4 (CD) în mişcăile lo elative una faţă de alta pecum şi în mişcăile lo absolute;

172 6 - Compunei de mişcăi ale copului igid 7 c) valoile vitezei şi acceleaţiei absolute ale unui punct M de pe baa 5 (DE) la un moment t al mişcăii Răspunsui a) ω ω45 ω56 λ ω 4 4λ ω 4 ω 5 λ ω5 ω6 λ ω 6 λ ω 46 λ ; ω λ ω λ ω λ ω 4 λ ω 5 ; b) I J B I J C I J 4 4 l B CI 4 BI 4 ; I AI l J O A AJ l O ( cos λ t + cos λt) + ( sin λt + λ ) BI BI l sin t J J I 8l cos λt + 8l cos λt8l sin λt + 6l sin λt 4 ( ) ( 4 l cos λt) ; J4 ( ) ( ) c) v M 8λl sin λt + sin λt a 8λ l cos λt 4 cos λt M +

173 Dinamica punctului mateial Să se demonsteze legile lui Keple enunţate mai jos pivind mişcaea planetelo în juul Soaelui pe baza studiului mişcăii unui punct mateial sub acţiunea unei foţe centale de atacţie newtoniană a) Taiectoia oicăei planete este o elipsă având Soaele înt-unul din focaele sale b) Raza vectoae a unei planete descie aii egale în intevale de timp egale c) Rapotul dinte pătatul timpului de evoluţie şi cubul semiaxei mai a taiectoiei este acelaşi pentu toate planetele Rezolvae Cea de-a doua lege a lui Keple enunţată la b) ezultă imediat din legea aiilo valabilă în mişcaea unui punct mateial sub acţiunea oicăei foţe centale Confom acestei legi mişcaea unui punct mateial sub acţiunea unei foţe centale este plană având viteza aeolaă constantă de valoae c Pentu deteminaea taiectoiei punctului mateial aflat în mişcae sub acţiunea unei foţe de atacţie newtoniană se aplică ecuaţia lui Binet cae expimă ecuaţia difeenţială a taiectoiei în coodonate polae În cazul mişcăii unei planete în juul Soaelui ecuaţia lui Binet devine: d kmm + dθ mc unde k este constanta atacţiei univesale M este masa Soaelui ia m este masa planetei Se obsevă că în membul dept al acestei ecuaţii se obţine o constantă pozitivă cae se notează cu p astfel încât ezultă: ε + cos p p ( θ θ ) p () + εcos θ θ ( ) c p km unde ε şi θ sunt constante de integae Relaţia () epezintă ecuaţia unei conice în coodonate polae având focaul în centul atactiv O excenticitatea ε şi paametul p Natua conicii depinde de excenticitatea sa cae este o constantă de integae astfel încât pentu deteminaea ei se consideă ca poziţie iniţială a planetei o poziţie în cae

174 - Dinamica punctului mateial 7 unghiul pola θ este luat nul şi aza vectoae viteza v şi unghiul α dinte ele sunt pesupuse cunoscute Deoaece viteza adială a planetei se poate expima pin: v d d c c & θ ( ) ε εsin θ θ sin( θ θ ) dθ dt p p condiţiile iniţiale consideate conduc la ecuaţiile: p cε vcosα sinθ +εcosθ p din cae ezultă: p v εcosθ εsinθ p ctgα p sin α km tgθ v sinαcosα v α sin km ε + v km v sin α km Pe baza elaţiei () se poate detemina natua conicii: pentu v km şi α ± π se obţine ε deci taiectoia planetei este un cec; pentu km < v < km () se obţine < ε < deci taiectoia planetei va fi o elipsă; pentu km ezultă ε deci un punct mateial cae atinge sau v depăşeşte această viteză în sistemul sola va păăsi acest sistem pe o amuă tinzând spe infinit a unei paabole espectiv a unei hipebole Taiectoiile planetelo din sistemul sola nu pot avea amui tinzând spe infinit astfel încât aceste taiectoii pot fi numai elipse Înt-adevă pe baza obsevaţiilo şi măsuătoilo astonomice s-a constatat că în oice poziţie a unei planete pe taiectoia sa sunt veificate elaţiile () În cazul planetei Mecu cae este cea mai apopiată de Soae se obţine o valoae foate mică a excenticităţii deci taiectoia sa este foate apopiată de un cec Pentu a demonsta cea de-a teia lege a lui Keple enunţată la c) este necesa să se calculeze lungimea a a semiaxei mai a taiectoiei unei planete şi timpul său T de evoluţie Pe baza elaţiei () pentu cos( θ θ) ± se pot detemina valoile exteme ale azei vectoae astfel încât ezultă: () p p p a + + ε ε ε p a ε p b a ε ε ap unde b este lungimea semiaxei mici Peioada de evoluţie a planetei se detemină din legea aiilo:

175 74 Dinamica - π dθ c T dt c d πab a a c c π c km π km a θ de unde pin idicae la pătat şi împăţie cu această lege a se obţine elaţia cae demonstează Un cop punctifom paalelipipedic de masă m este auncat cu viteza iniţială de valoae v pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de planul oizontal Se cunosc unghiul β dinte viteza iniţială şi oizontala coespunzătoae a planului înclinat pecum şi coeficientul de fecae μ dinte cop şi planul înclinat a) Să se stabilească popietăţile mişcăii copului pe planul înclinat în funcţie de β ( π ] şi μ ( tg α] b) Pentu β π şi μ tg α să se detemine legea de mişcae a copului pe planul înclinat c) Pentu α π 6 β π şi μ să se aate că taiectoia copului admite o asimptotă paalelă cu linia de cea mai mae pantă a planului înclinat şi să se detemine ecuaţia asimptotei şi viteza copului pe amua asimptotică a taiectoiei sale Rezolvae a) În fig s-a epezentat sistemul de efeinţă fix Oxyz legat de planul înclinat cu oiginea în poziţia iniţială a copului şi cu axa Oy diijată după linia de cea mai mae pantă a planului înclinat în sens ascendent Înt-o poziţie oaecae a copului pe planul înclinat asupa sa acţionează geutatea popie mg eacţiunea nomală N a planului înclinat şi foţa de fecae F f cae este situată în planul Oxy este diijată după tangenta la taiectoie în poziţia cuentă P a copului în sensul opus vitezei sale v şi ae valoaea Fig

176 - Dinamica punctului mateial 75 μn Ca umae aplicând legea fundamentală a dinamicii ecuaţia difeenţială vectoială a mişcăii copului pe planul înclinat devine: ma mg N N v + μ v ale căei poiecţii pe axele sistemului de efeinţă consideat sunt ecuaţii difeenţiale nelineae geu de integat Se obţin ecuaţii difeenţiale mai uşo de integat dacă se studiază mişcaea copului pe planul înclinat în coodonate intinseci faţă de taiectoia sa plană necunoscută pentu cae se consideă ca paametu de poziţie unghiul θ dinte tangenta la taiectoie şi axa Ox măsuat în planul Oxy Aceste ecuaţii ezultă: mv& mgsinαsinθ μ N mv mgsinαcosθ R c N mgcosα ia după înlocuiea valoii N din ultima ecuaţie în pima ele devin: dv g( sinαsinθ+ μcosα ) () dt v gsinαcosθ () unde cu R c R c s-a notat aza de cubuă a taiectoiei Pentu a se putea intega aceste ecuaţii difeenţiale în pimul ând este necesa să se expime în funcţie de θ Pentu aceasta notând cu δ unghiul dinte nomala pincipală PP a taiectoiei şi axa Ox din fig ezultă: π δ θ R ds ds dt dt c v dδ dt dθ dθ Înlocuind în () valoaea deteminată pentu R c şi apoi eliminând timpul pin împăţiea membu cu membu a ecuaţiei () la cea cae ezultă se obţin ecuaţiile: v d θ gsinαcosθ () dt dv λ tgθ + (4) vdθ cosθ unde λ μ ctgα este o constantă adimensională ce ia valoi în intevalul ( când μ ae valoile din enunţ Ecuaţia (4) ae vaiabilele sepaabile deci se poate intega uşo da chia făă integaea ei se pot stabili popietăţile mişcăii copului pe planul înclinat în funcţie de β şi λ în loc de μ pe baza ecuaţiilo () () şi () R c ]

177 76 Dinamica - Pentu β π se obsevă că mişcaea copului este ectilinie pe axa Oy deci θ π şi din () ezultă: ( ) v v gt sinα + μ cosα (5) gt y vt ( sinα+ μcosα) (6) Legea mişcăii (6) este valabilă în timpul mişcăii ascendente a copului pentu t [ t u ] unde timpul de ucae t u se detemină din (5) pentu v Dacă λ ( ; ) deci μ ( tgα) în mişcaea descendentă a copului se schimbă sensul foţei de fecae şi acceleaţia coespunzătoae se obţine din () pentu θ π şi μ în loc de μ Dacă λ [ ; ] copul se opeşte la momentul t u şi nu va mai avea mişcae descendentă Pentu β ( π ) taiectoia copului în mişcaea sa pe planul înclinat va fi o cubă plană cae tebuie să veifice ecuaţiile () () şi () Din () ezultă cosθ egalitatea fiind îndeplinită numai dacă R c deoaece foţa de fecae nu poate detemina schimbaea sensului de mişcae pe taiectoie astfel încât viteza nu se poate anula decât în cazul în cae β π Ca umae din () se obţine dθ ceea ce aată că θ scade în timpul mişcăii copului de la valoaea iniţială β la π deci taiectoia sa va fi o cubă plană cu o asimptotă paalelă cu axa Oy Din () ezultă că pe amua ascendentă a taiectoiei când θ scade de la β la viteza scade de la valoaea iniţială v la o valoae ce se poate detemina în uma integăii ecuaţiei (4) de la θ β la θ Pe amua descendentă a taiectoiei copului viteza sa continuă să scadă până când se anulează membul dept al ecuaţiei () adică pentu sinθ λ Pentu λ ( ; ) se obţine θ ( π ) pentu cae viteza copului este minimă după cae aceasta ceşte de la valoaea minimă la o valoae tinzând spe infinit pe amua asimptotică a taiectoiei sale Înt-adevă în uma integăii ecuaţiei (4): λ ( + sin θ) λ ( θ) v θ λ ln tgθ + dθ ln + v β cosθ cos θ β se obţine: lim π θ λ ( + sin θ) λ+ ( cosθ) v v lim π θ + sinθ cosβ + sinβ cosθ λ λ ( + sin θ) ( λ + )( cosθ) λ λ+ cosθ λ λ sin θ λ + (7) cosθ lim π + sin θ θ λ

178 - Dinamica punctului mateial 77 λ λ θ θ tg tg λ λ lim lim λ + π θ θ π θ θ λ θ tg tg + tg Pentu λ ezultă θ π şi limita de mai sus ae valoaea finită deci mişcaea copului pe amua asimptotică a taiectoiei sale va fi unifomă Dacă λ ( ] se obsevă că membul dept al ecuaţiei () nu se poate anula da limita de mai sus este nulă deoaece λ < astfel încât în acest caz viteza copului scade tot timpul mişcăii sale până când pe amua descendentă a taiectoiei sale viteza sa devine nulă şi copul se opeşte pe planul înclinat înt-o poziţie cae se poate detemina Se obsevă că popietăţile mişcăii copului punctifom consideat pe un plan înclinat aspu sunt similae celo ale mişcăii unui punct mateial geu în ae numai dacă λ b) În condiţiile din enunţ din (5) şi (6) ezultă că legea mişcăii copului pe axa Oy va fi: v y vt gt deci copul se opeşte în poziţia: sinα t [ t ] u t y v max y( tu ) 4gsinα u gsinα c) Pentu datele din enunţ se obţine λ şi din analiza efectuată la punctul a) ezultă că taiectoia copului admite o asimptotă paalelă cu axa Oy cae va avea ecuaţia x x a Pentu a detemina abscisa x a a asimptotei şi viteza v a a copului pe amua asimptotică a taiectoiei sale se folosesc ecuaţiile () şi (7) din cae ezultă: vd v d dx v dt v θ 7 cosθ cosθ θ gsinαcosθ g sinθ v x 7 g x a θ π ( ) d v ( u) ( u) θ 7 ( sinθ) g ( u) + θ tg u v v x 4 lim 78 va v v v u 6 g g lim π 67 4 θ u

179 78 Dinamica - O placă pătată de gosime cunoscută ae o mişcae de tanslaţie ectilinie şi unifom acceleată înt-un plan vetical pe linia de cea mai mae pantă a unui plan înclinat cu unghiul α π 6 faţă de planul oizontal Pe placă este pacticat un canal cicula de ază R cu centul în centul său O în cae se poate mişca făă fecae o bilă de masă m Ştiind că acceleaţia plăcii ae valoaea a g g fiind acceleaţia gavitaţională să se detemine poziţia de epaus elativ a bilei eacţiunea canalului asupa sa în poziţia sa de epaus elativ pecum şi peioada micilo oscilaţii în juul poziţiei sale de epaus elativ dacă mişcaea plăcii pe planul înclinat ae loc în sensul: a) ascendent; b) descendent Rezolvae Fig ( ) ( ) a) În fig s-au epezentat foţele ce acţionează asupa bilei în timpul unei mişcăi elative faţă de placă în cazul în cae placa se mişcă pe planul înclinat în sensul ascendent Ca paametu de poziţie al bilei în timpul mişcăii sale elative s-a consideat unghiul ϕ dinte aza cuentă OP şi nomala la planul înclinat În acest caz legea fundamentală a dinamicii mişcăii elative a unui punct mateial se expimă pin: ma mg + N + F I t unde foţa ineţială de tanspot ae valoaea ma Poiecţiile acestei ecuaţii vectoiale pe tangenta şi pe nomala pincipală la taiectoia elativă conduc la ecuaţiile: mrϕ&& macosϕ mgsin ϕ α () mrϕ& N ma sinϕ mgcos ϕ α din cae pentu poziţia de epaus elativ a bilei şi datele din enunţ ezultă: π cosϕ sinϕ + cosϕ ϕ N( ϕ ) mg

180 - Dinamica punctului mateial 79 Pentu deteminaea peioadei micilo oscilaţii ale bilei în juul poziţiei sale de epaus elativ în ecuaţia () se înlocuieşte ϕ ϕ + θ unde θ este un nou paametu de poziţie astfel încât ezultă: R && g cos θ θ sin θ sin θ cos θ && g θ+ sinθ R sinθ θ θ && g + θ R ω g R T R π g b) Dacă placa se mişcă pe planul înclinat în sensul descendent foţele ce acţionează asupa bilei în timpul mişcăii sale elative vo fi aceleaşi numai sensul foţei ineţiale de tanspot se schimbă aceasta având sensul conta celui din fig În acest caz ecuaţiile difeenţiale ale mişcăii elative a bilei devin: din cae se detemină: R&& ϕ gcosϕ gsin ϕ π () 6 π mrϕ& N + mgsinϕ mgcos ϕ 6 π cosϕ sinϕ + cosϕ ϕ ia pentu această poziţie de epaus elativ din () ezultă: 6 N( ) ϕ m g ϕ θ π R && g cos θ θ sin + θ+ sin θ cos θ 6 && g θ+ sinθ sin θ θ && g θ+ θ R R ω g R T R π g Obsevaţie Poziţia de epaus elativ a bilei în fiecae din cele două cazui de mişcae a plăcii pe planul înclinat se mai poate detemina cu ajutoul constucţiei geometice a ezultantei dinte geutatea bilei şi foţa ineţială de tanspot cae va fi un vecto constant şi în poziţia de epaus elativ tebuie să fie echilibată de eacţiunea nomală a canalului asupa bilei Astfel în cazul a) această ezultantă ae valoaea mg şi fomează unghiul π cu nomala la planul înclinat Se mai poate detemina şi peioada micilo oscilaţii ale bilei în juul poziţiei sale de epaus elativ cae tebuie să fie egală cu peioada micilo oscilaţii ale unui pendul matematic de lungime R înt-

181 8 Dinamica - un câmp gavitaţional unifom cu acceleaţia g Pentu cazul b) aceste elemente ale mişcăii elative a bilei se pot detemina în mod analog 4 În absenţa câmpului gavitaţional un punct mateial se mişcă în planul Oxy sub acţiunea unei foţe de atacţie din patea axei Ox cae este popoţională cu masa m a punctului şi cu distanţa la axa Ox factoul de popoţionalitate fiind k Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii punctul mateial se găseşte în poziţia A( h) şi ae viteza iniţială de valoae v paalelă cu axa Ox să se detemine: a) legea mişcăii punctului mateial şi ecuaţia taiectoiei sale; b) valoile exteme ale vitezei punctului mateial şi poziţiile sale coespunzătoae pe taiectoie Ce diecţie faţă de taiectoie şi ce valoae ae acceleaţia sa în aceste poziţii? Răspunsui a) x v t y hcoskt ; kx y hcos ; v b) v v în poziţiile A( min h) π v π A h A v 4 h ; k k πv π v 5π v vmax v + k h în poziţiile A A A5 h k k k În poziţia în cae viteza punctului mateial este minimă acceleaţia sa ae valoae maximă a max k h şi este diijată după nomala la taiectoie deoaece în aceste poziţii a v& În poziţiile în cae viteza punctului este maximă acceleaţia τ sa ae valoaea minimă a min deoaece în aceste poziţii şi acceleaţia sa nomală v a n este nulă ( R C ) R C 5 În absenţa câmpului gavitaţional un punct mateial se mişcă în planul Oxy sub acţiunea uno foţe de atacţie din patea axelo de coodonate cae sunt popoţionale cu masa m a punctului şi cu distanţele coespunzătoae la axele de coodonate factoul de popoţionalitate fiind Ştiind că la momentul iniţial al k

182 mişcăii punctul mateial se află în poziţia A ( h ) - Dinamica punctului mateial 8 şi ae viteza iniţială de valoae v kh paalelă cu axa Oy să se detemine: a) legea mişcăii punctului mateial şi ecuaţia taiectoiei sale; b) valoile exteme ale vitezei punctului mateial şi poziţiile sale coespunzătoae pe taiectoie Ce diecţie faţă de taiectoie şi ce valoae ae acceleaţia sa în aceste poziţii? a) x hcoskt y hsin kt ; x Răspunsui h + y ; 4h b) v max v O kh în poziţiile A( h ) şi A ( h) ; vmin kh în poziţiile A ( h ) şi A( h) În aceste poziţii avem acceleaţia tangenţială a punctului a v& τ deci acceleaţia sa va fi diijată după nomala pincipală la taiectoia sa eliptică şi va avea una din cele două valoi exteme: a k h espectiv a k h min max 6 Un punct mateial P de masă m se mişcă în planul vetical Oxy cu axa Ox veticală oientată în sens descendent sub acţiunea geutăţii sale şi a unei foţe de natuă elastică expimată pin F kop Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii punctul mateial se află în epaus în poziţia A( d) să se detemine: a) legea mişcăii punctului mateial şi ecuaţia taiectoiei sale; b) intevalul de timp al mişcăii sale din poziţia iniţială până în poziţia B în cae taiectoia intesectează axa Ox valoile vitezei şi acceleaţiei sale în poziţia B Răspunsui g k cos ω y dcosω t ω ; ω m a) x ( t) b) t AB π ω g d v + ω B ω 4 a B ω y d g x ;

183 8 Dinamica - 7 Un punct mateial P de masă m se mişcă în planul vetical Oxy cu axa Oy veticală oientată în sens ascendent sub acţiunea geutăţii sale şi a două foţe de natuă elastică expimate pin F ka P şi F kbp punctele A şi B fiind situate pe axa Ox la aceeaşi distanţă d de O Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii punctul mateial se află în O cu viteza iniţială veticală oientată în sens ascendent de valoae ( ) v g m k să se detemine: a) legea mişcăii punctului mateial şi ecuaţia taiectoiei sale; b) momentele la cae viteza sa se anulează şi poziţiile sale pe taiectoie la aceste momente Ce valoi ae acceleaţia punctului mateial în aceste poziţii? Răspunsui g sinω cosω ω ω a) x y ( t+ t ) π tn ( 4n+ ) 4 ω n N ; b) g g y max ( ) min ω ( + ) a min g a g max y ; ω k m ; 8 Un mobil este auncat de la supafaţa Pământului cu viteza iniţială de valoae v cae fomează unghiul α cu planul oizontal În timpul mişcăii sale mobilul întâmpină ezistenţa aeului popoţională cu masa şi cu viteza sa factoul de popoţionalitate fiind k a) Să se detemine legea de mişcae a mobilului şi legea de vaiaţie a vitezei sale b) Să se veifice popietăţile geneale ale mişcăii unui punct mateial geu în ae Răspunsui tk cosα ( ) y k( kg + v )( e sinα ) kgt a) x kv e tk v ( kg + v sin α) t k t k x v cosα e vy e kg b) xa limx kv cosα c lim vy kg t t ;

184 - Dinamica punctului mateial 8 9 Un mobil este lăsat libe de la o înălţime h 6 m faţă de supafaţa Pământului Ştiind că în timpul mişcăii sale mobilul întâmpină ezistenţa aeului popoţională cu masa şi cu pătatul vitezei sale factoul de popoţionalitate fiind 65 m să se detemine legea sa de mişcae şi valoaea vitezei sale la momentul în cae ajunge la supafaţa Pământului Se va considea acceleaţia gavitaţională g m s Răspunsui t x 6ln ch [ m] vf 7 64 m s 4 Un mobil este auncat de la supafaţa Pământului pe veticală în sus cu viteza iniţială v 4 m s Ştiind că în timpul mişcăii sale mobilul întâmpină ezistenţa aeului popoţională cu masa şi cu pătatul vitezei sale factoul de popoţionalitate fiind m să se detemine legea mişcăii sale ascendente şi înălţimea maximă până la cae ajunge Se va considea acceleaţia gavitaţională g m s ( cos t 4sin t)[ m] Răspunsui x ln + h 4 66 m max Un punct mateial de masă m se mişcă sub acţiunea unei foţe centale cae este popoţional ă cu masa sa şi cu aza vectoae faţă de centul O factoul de popoţionalitate fiind k Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii viteza sa iniţială de valoae v este pependiculaă pe aza vectoae să se detemine legea de mişcae taiectoia şi legea de vaiaţie a vitezei sale în coodonate cateziene luând axa Ox după dacă foţa centală este: a) de atacţie; b) de espingee Să se veifice în ambele cazui că viteza aeolaă a punctului mateial este constantă

185 84 Dinamica - Răspunsui v a) x coskt y x sin kt ; k v k sin kt v y v cos kt ; x ky + ; v v b) x ch kt y x ky sh kt ; ; k v v k sh kt v v ch kt ; x y Ω v Taiectoia unui punct mateial de masă m aflat în mişcae sub acţ iunea unei foţe centale de atacţie este un cec de ază R ce tece pin centul atactiv O Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii punctul mateial se află în poziţia A diametal opusă faţă de O şi ae viteza iniţială de valoae v să se expime valoile foţei centale şi vitezei sale în funcţie de aza vectoae faţă de O Răspunsui mv R F 4 vr v 4 5 Fig Un punct mateial de masă m este auncat pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de planul oizontal cu viteza iniţială oizontală de valoae v a) Să se scie ecuaţiile difeenţiale ale mişcăii punctului mateial pe planul înclinat în coodonate cateziene faţă de sistemul de efeinţă din fig ţinând seama de fecaea de alunecae dinte el şi legătuă caacteizată pin coeficientul de fecae μ cunoscut b) Pentu μ să se detemine legea de mişcae a punctului mateial ecuaţia taiectoiei şi legea de vaiaţie a vitezei sale în coodonate cateziene

186 - Dinamica punctului mateial 85 c) Pentu μ tg α să se aate că taiectoia punctului mateial admite o asimptotă paalelă cu linia de cea mai mae pantă a planului înclinat şi să se detemine ecuaţia asimptotei şi viteza punctului mateial pe amua asimptotică a taiectoiei sale a) && x + x& &x + y& b) x v t y gx y v c) x v a v g sin α μg cosα && y + gt sinα ; Răspunsui x& y& + y& sinα ; vx v vy gtsinα a v μgcosα gsin α 4 Un punct mateial de masă m este lansat cu viteza iniţială oizontală de valoae v din poziţia A coespunzătoae punctului cel mai înalt al supafeţei exteioae a unei sfee fixe cu centul O şi de ază R aşezată pe un plan oizontal ca în fig 4 unde gosimea supotului în punctul cel mai de jos al sfeei este neglijabilă a) Să se detemine valoaea v astfel încât punctul mateial să păăsească legătua înt-o poziţie B pe sfeă dată pin unghiul la centu α faţă de veticală măsuat în planul vetical al mişcăii b) Pentu valoaea v deteminată să se calculeze valoaea vitezei finale a punctului mateial în momentul în cae ajunge pe planul oizontal Fecaea de alunecae dinte punctul mateial şi sfeă pecum şi ezistenţa aeului se consideă neglijabile Fig 4 Fig 5

187 86 Dinamica - Răspunsui a) v gr( ) b) v gr( ) cosα f cosα + 5 Un punct mateial de masă m este lăsat libe din poziţia A( p p ) pe supafaţa unui cilindu paabolic cu geneatoaea oizontală cae ae ecuaţia y px faţă de sistemul de efeinţă Oxyz cu axa Oy veticală oientată în sens pozitiv ascendent ca în fig 5 Neglijând fecaea de alunecae a punctului mateial pe legătuă să se detemine poziţia B în cae acesta păăseşte legătua ( p ) Bp Răspuns 6 Un inel de masă m se poate mişca făă fecae pe paabola din sâmă de ecuaţii x şi y pz faţă de sistemul de efeinţă Oxyz cu axa Oz veticală având sensul pozitiv ascendent Pe lângă geutatea popie asupa inelului mai acţionea ză o foţă F ale căei poiecţii pe axele de coodonate sunt: yz X k xz xy x+ Y k y+ Z k z+ p p p unde k este o constantă pozitivă cunoscută a) Să se aate că foţa F este consevativă şi să se calculeze lucul mecanic efectuat de foţele ce acţionează asupa inelului în deplasaea sa pe paabol ă din O în poziţia A( p p) b) Dacă inelul este lansat din O cu viteza iniţială de valoae v să se detemine v şi m astfel încât acesta să ajungă în A cu viteza şi acceleaţia nule c) În condiţiile de la punctul b) să se detemine eacţiunea paabolei asupa inelului când acesta ajunge în poziţia A a) L 8 kp mgp OA Răspunsui

188 b) v gp m kp 6 g N kp 4 A i j + k c) ( ) - Dinamica punctului mateial 87 7 Un inel de masă m se poate mişca făă fecae pe elipsa din sâmă de ecuaţie x a + y b faţă de planul vetical Oxy cu axa Oy veticală având sensul pozitiv ascendent a) Să se detemine lucul mecanic al geutăţii inelului în deplasaea sa din poziţia Aa în poziţia B b ( ) ( ) b) Dacă inelul este lansat din A cu viteza iniţială de valoae să se detemine v şi m astfel încât acesta să ajungă în B cu viteza nulă c) În condiţiile de la punctul b) şi pentu a b R să se expime valoaea eacţiunii legătuii asupa inelului în funcţie de odonata sa y în timpul mişcăii sale din A în B v a) LAB mgb b) v gb mg N y b R c) ( ) Răspunsui Fig 8 Fig 9

189 88 Dinamica - 8 Un inel de masă m este lăsat libe din poziţia A pe astoida din sâmă epezentată în fig 8 cae ae ecuaţia x + y R faţă de planul vetical Oxy din figuă în cae axa Oy este veticală Neglijând fecaea de alunecae dinte inel şi legătuă să se detemine: a) viteza cu cae ajunge în B; b) intevalul de timp al mişcăii sale din A în B Răspunsui a) v B g b) t AB 6 R g 9 În fig 9 este epezentat un cop igid executat din sâmă de oţel cae ae o miş cae de otaţie unifomă cu viteza unghiulaă ω în juul unei axe fixe veticale faţă de cae latua sa OA fomeaz ă unghiul α dat Pe această latuă se mişcă făă fecae inelul M de masă m cae se află iniţial în poziţia sa de epaus elativ din cae este lansat cu viteza iniţială elativă v spe A Să se detemine legea mişcăii elative a inelului şi eacţiunea legătuii asupa sa în timpul mişcăii sale elative Răspunsui gcosα v OM + sh ω sin α ωsin α ( ω sin ) x α mg N y + mωv cosαsh( ωtsin α) sin α mωv sin α ch ωtsin α ( ) Nz t ; Discul cicula cu cent ul O şi de ază R se oteşte unifom în planul său oizontal în juul aticulaţiei din O cu viteza unghiulaă ω La distanţa h de O este pacticat un canal ectiliniu î n cae se mişcă făă fecae culisoul A de masă m legat de maginile canalului pin acui elicoidale de constantă elastică echivalentă k ca în fig La momentul iniţial al mişcăii elative culisoul se află la mijlocul O

190 - Dinamica punctului mateial 89 al canalului în poziţia în cae acuile sunt nedefomate unde i se impimă viteza iniţială elativă v a) Dacă ω ω km cae va fi poziţia de epaus elativ a culisoului? Da dacă ω ω? b) Pentu ω< ω să se detemine legea mişcăii elative a culisoului şi componentele eacţiunii canalului asupa sa în timpul mişcăii sale elative Răspunsui a) ω ω x x ( R h R h ) ; ω ω x ; v x sin( t ω ω ) ω ω v b) x ( t ω ω ) ω ω ( ) sin ; N y m v t ω cos ω ω mω h N z mg Fig Fig Cicumfeinţa din sâmă cu centul O şi de ază R se oteşte în juul diametului său vetical cu viteza unghiulaă ω constantă Pe cicumfeinţă se poate

191 9 Dinamica - mişca făă fecae un inel M de masă m pentu cae se consideă ca paametu de poziţie al mişcăii sale elative unghiul θ dinte aza mobilă OM şi aza veticală OA aşa cum este epezentat în fig a) Să se detemine toate poziţiile de epaus elativ ale inelului pe cicumfeinţă şi valoile coespunzătoae ale eacţiunii legătuii asupa sa b) Să se studieze stabilitatea poziţiilo de epaus elativ deteminate expimând legea de mişcae a inelului în cazul micilo oscilaţii în juul acesto poziţii de epaus elativ Răspunsui g a) θ θ π θ 4 ±accos ; N mg Rω N mrω 4 Paabola din sâm ă de ecuaţie y x p faţă de sistemul de efein ţă din fig se oteşte în juul axei sale de simetie veticale Oy cu viteza unghiulaă ω constant ă Pe paabolă se mişcă făă fecae inelul A de masă m cae este lansat din vâful O al paabolei cu viteza iniţială elativă v Să se detemine: a) poziţia de epaus elativ şi eacţiunea legătuii asupa inelului în poziţia sa de epaus elativ dacă ω ω gp; b) poziţia de epaus elativ şi eacţiunea legătuii asupa inelului în poziţia sa de epaus elativ dacă ω ω ; c) expesia vitezei elative a inelului în funcţie de poziţia sa pe paabolă în timpul mişcăii sale elative dacă ω ω Fig Răspunsui a) xy R x y p mg x p + ; p b) x y N mg c) v + ( ω ω ) v + p( ω ω ) v x y

192 - Momente de ineţie 9 Momente de ineţie Să se detemine momentele de ineţie axiale polae şi centifugale pentu copuile omogene de masă m având foma şi dimensiunile geometice din fig în apot cu sistemele de efeinţă din fiecae figuă unde cu C s-a notat centul de geutate al copului şi cu indicele zeo sunt notate axele pincipale de ineţie coespunzătoae oiginii sistemului de efeinţă consideat Rezolvae În cele ce umează se pezintă două metode pentu ezolvaea completă a poblemei la celelalte pobleme dându-se numai ăspunsuile la întebăile din enunţ În fig nu s-au mai epezentat sistemele de efeinţă Oxyz şi Cxyz pentu a nu se complica figua ia supafaţa de secţiune a copului cu planul său de simetie Oyz a fost haşuată Metoda I Calculul momentelo de ineţie axiale şi centifugale în apot cu sistemul de efeinţă Oxyz se poate face pe baza descompuneii copului consideat în copui la cae se cunosc fomule de calcul ale momentelo de ineţie în apot cu axe paalele cu oiginea în centul de geutate al fiecăui cop paţial ezultat în uma descompuneii Copul din fig se poate descompune în două paalelipipede deptunghice cu centele de geutate C şi C pecum şi în cubul cu centul O consideat ca cea de-a teia pate a copului dat iniţial Deoaece densitatea acestui cop este: m m m m m m m m ρ V V V V 8a 4a 8a a se obţine: m m m m m 5 5 astfel încât momentele de ineţie axiale ale celo păţi faţă de sistemele de efeinţă din figuă ezultă:

193 9 Dinamica - Fig Fig Fig Fig 4 Fig 5 Fig 6 Fig 7 Fig 8

194 - Momente de ineţie 9 Fig 9 Fig Fig

195 94 Dinamica - J ( ) m 7 x ( a a ) ma 6 + J ( ) m ma y ( a a ) ( ) m J z ( a a ) ma ; J ( ) m ( ) ma a a x + 4 ( ) m J y ( a a ) ma J ( ) m ma z ( a a 4 + ) ; 5 ( ) ( ) ( ) m Jx Jy Jz ( a a ) ma ia toate momentele de ineţie centifugale sunt nule axele de coodonate fiind axe de simetie pentu fiecae cop paţial Cu ajutoul fomulelo lui Steine pentu întegul cop ezultă: ( ) a ( ) a ( ) 8 Jx Jx + m a + + Jx + m a + + Jx m a ( ) ( ) ( ) J J m a y y + Jy m ( a) Jy ma ( ) ( ) ( ) J J m ( a) J m a z z + + z + Jz m 4 + a ( ) 9 JO Jx + Jy + Jz ma 5 J J xy zx a a Jyz m ( a) + m ( a) 4 ma 5 Pentu deteminaea axelo pincipale şi a momentelo pincipale de ineţie în apot cu punctul O este necesa să se caute axele espective din planul Oyz deoaece se obsevă că axa Ox este pincipală de ineţie Pentu aceasta se consideă axa (Δ) ce tece pin O vaiabilă în acest plan faţă de cae momentul de ineţie al copului va fi: J J + ma y J Δ z J cos θ sin θ yzsinθcosθ ( cosθ + 6sinθ ) 5 Din condiţia de extem a acestui moment de ineţie ezultă: tgθ θ actg 7 θ θ de unde se obţin momentele pincipale de ineţie în apot cu punctul O: J Jx 547 ma J JΔ ( θ) 78ma J JΔ ( θ) 4 855ma

196 - Momente de ineţie 95 Centul de geutate al copului se va găsi în planul său de simetie Oyz deci coodonatele sale vo fi: my C + my C x C yc a m z mz C + mzc a C m 5 Pe baza fomulelo lui Steine ezultă: a 5 Jx Jx m a + ma 5 6 J J m a y y ma J J m a z z ma 7 a 9 JC JO m a + ( Jx + Jy + Jz ) ma 5 J J xy zx Jyz Jyz myczc 5 ma 5 Axele şi momentele pincipale centale de ineţie ale copului se detemină în mod analog astfel încât pe baza valoilo calculate mai sus şi cu notaţiile din fig ezultă: JΔ Jy cos θ + Jz sin θ Jy z sinθ cosθ ma ( cosθ + 6sin θ ) 6 4 tgθ θ 5 θ 67 5 J Jx 4 7ma J JΔ ( θ) 7 ma J JΔ ( θ) 6 ma Metoda II Metoda cea mai geneală pentu calculul momentelo de ineţie axiale şi centifugale ale unui cop în apot cu un sistem de efeinţă Oxyz este cu ajutoul integalelo de volum pe domeniul volumetic ocupat de cop deoaece nu întotdeauna se poate efectua o descompunee convenabilă a copului în păţi astfel încât pentu fiecae pate să se poată detemina uşo momentele de ineţie în apot cu axele paalele ce tec pin centul de geutate al păţii espective Pentu copul din fig gadul de dificultate pentu efectuaea acesto calcule pin această metodă geneală este acelaşi ca şi pin metoda pecedentă deoaece integalele de volum coespunzătoae se pot efectua elativ uşo după cum umează:

197 96 Dinamica - a a m a J x ρ ( y + z ) dxdydz ρ ( y + z ) dydz dx + az dz + a a a a a a a az dz + + 4az dz ma 5 a a a a m a J y ( x + z ) dxdydz + az dydz z adz a + ρ ρ + a a a a + + z adz+ + z adz ma 4 5 a a J z ρ x + y dxdydz + a a a a 5a a 4 + dz + a + dz ma 4 a a a m ( ) ρ ay dydz J ρ xydxdydz ρ ydydz xdx xy a a a a dz + a a a m a a J yz yzdxdydz yzdydz dx ρ ρ zdz + zdz + a a a a 5a a 4 + zdz ma 5 zx a J ρ xzdxdydz ρ zdydz xdx a a unde s-au efectuat mai întâi integalele în apot cu x şi apoi cele în apot cu y cae s- a a5 a Se obsevă că se obţin au descompus pe intevalele [ ] [ a ] espectiv [ ] aceleaşi ezultate ia mai depate calculele pentu deteminaea celolalte momente de ineţie ceute în enunţ se efectuează la fel ca în pima metodă a Jx Jsin + sin Răspunsui α( α ) J J α( +cosα) y cos Jz JO Jx + Jy J( + sin + cos ) α α

198 - Momente de ineţie 97 Jxy J sinαcosα J J ma yz zx J + sinα+ cosα ; ( ) J Jz m Jy Jx +4Jxy J J z ( ) mr Jx Jy Jx Jy Jz J O Jx + Jy Jx + Jy mr J J J J xy x y yz zx mb J ma x J m y J J a z O + b mab J xy Jyz Jzx ; m J ( ) a b a b + m + a b J J z ; ( ) mb J x 8 J ma y m Jz JC a + b 8 mab J xy Jyz J zx 6 ( ) 8 mr mr 4 Jx Jy Jx Jz JC 4 mr J y 5 mr Jz JO 4 J J xy x y ma 5 J x 9 ma J xy 8 ma J 5 y 6 ; ma Jz JO 5 8 J 45 ma ma J 6 J Jz 944ma 6 J J J J m H R x y + Jz J Jz J 4 J m H R O + mr

199 98 Dinamica - m H Jx Jy J J + R 4 m H J +R C 6 mr 7 Jx Jy Jz J J J 5 mr J O 5 m 8 Jx Jy J J H + R Jz J Jz J ( R ) m J O H + m J J J J ( H x y + R 4 ) 8 m J ( H C + R 8 ) Jx Jy J J mr Jz J Jz J mr 4 mr JO mr 6 Jx Jy J J mr 8 JC 87 mr 8 7 J x Jz J J mr 5 64 Jy J Jy J mr 5 JO mr 5 6 J x Jz J J mr 6 JC 48 mr

200 - Dinamica sistemelo mateiale 99 Dinamica sistemelo mateiale poziţie θ Fig al sistemului consideat Sistemul de patu copui omogene din fig cae se mişcă făă fecae în planul vetical Oxy cu axa Oy veticală având sensul pozitiv ascendent este fomat din manivela de lungime l şi masă m m din baa 4 de lungime l şi masă m 4 6m aticulată la mijlocul său C de capătul coespunzăto al manivelei pecum şi din culisoaele şi de mase m m m cae se mişcă pe axele de coodonate şi sunt aticulate la capetele A şi B ale baei Ştiind că sistemul este lăsat libe din poziţia sa iniţială în cae unghiul θ dinte baă şi axa Oy ae valoaea θ mică să se expime viteza unghiulaă şi acceleaţia unghiulaă a baei în funcţie de paametul de Rezolvae Deoaece fecăile sunt neglijabile toate legătuile sunt ideale şi asupa sistemului acţionează numai geutăţile copuilo sale ca foţe diect aplicate cae sunt foţe consevative deci sunt îndeplinite condiţiile pentu aplicaea teoemei consevăii enegiei mecanice pentu sisteme mateiale Pentu calculul enegiei cinetice E cii a sistemului la un moment oaecae t al mişcăii sale este necesa să se expime vitezele unghiulae ale copuilo şi 4 şi vitezele culisoaelo la momentul t în funcţie de paametul de poziţie θ al sistemului Din fig în cae s-a notat cu I centul instantaneu al baei şi cu ω viteza sa unghiulaă ezultă imediat: ω θ & π θ θ ω θ& θ& v ωia lθ& cosθ v ωib lθ& sin θ v ωic lθ& C astfel încât se obţine:

201 Dinamica - EcII Jω + mv + mv + m4vc + J4ω ml m m 6m 4 θ& + 4 θ& cos θ + 4 θ& sin θ + 6m θ& l l l l + θ& ml θ& Pentu calculul enegiei potenţiale E pii a sistemului în poziţia sa de la momentul t deteminată de unghiul θ se consideă poziţia sa de efeinţă pentu cae enegia potenţială este nulă poziţia în cae θ ae valoaea π deci θ Deoaece culisoul se mişcă pe axa oizontală Ox enegia potenţială a sistemului va fi dată numai de geutăţile copuilo şi 4 astfel încât se obţine: l 9 EpII mg cos θ + mg lcosθ + m4glcosθ mgl cosθ Pentu momentul iniţial t θ ae valoaea dată şi & când θ θ ezultă: 9 E ci EpI mglcosθ Aplicând teoema consevăii enegiei mecanice: EcII + EpII EcI + EpI se detemină viteza unghiulaă a baei: ω θ & 9g ( cosθ cosθ) l după cae pin deivae în apot cu timpul se obţine şi acceleaţia sa unghiulaă: 9g θ& θ ε && sin 9g θ sin θ l cosθ cosθ 6l cae se expimă în funcţie de paametul de poziţie θ aşa cum se cee în enunţ Baa omogenă AOB de geutate 6G şi lungime îndoită în unghi dept la mijlocul său O se poate oti făă fecae în juul latuii sale veticale OB cae este fixată în această poziţie pin intemediul lagăelo din B şi D ca în fig Pe latua sa OA se poate mişca făă fecae un culiso P de geutate G La momentul iniţial al mişcăii când culisoul este legat pint-un fi scut la o distanţă foate mică de O se impimă sistemului viteza unghiulaă ω şi se taie fiul a) Să se expime viteza unghiulaă şi acceleaţia unghiulaă a baei ca funcţii de poziţia culisoului pe latua OA şi de viteza sa elativă l

202 - Dinamica sistemelo mateiale b) Să se detemine viteza şi acceleaţia absolută a culisoului la momentul în cae ajunge la capătul A al baei c) Să se afle vaiaţia în funcţie de poziţia culisoului pe latua OA a momentului unui cuplu exteio de foţe cae tebuie aplicat baei astfel încât viteza sa unghiulaă să fie menţinută constantă în timpul mişcăii elative a culisoului Rezolvae a) În fig s-au epezentat foţele exteioae diect aplicate ce acţionează asupa sistemului cae sunt geutăţile copuilo sale pecum şi sistemul de efeinţă Oxyz legat de baă cae ae o mişcae de otaţie în juul axei fixe Oz Se obsevă că nici aceste foţe şi nici eacţiunile din lagăe nu dau momente faţă de această axă fixă veticală astfel încât se poate aplica teoema de consevae paţială a momentului cinetic total al sistemului în apot cu o axă fixă: G g l G G l ω + x ωx g Fig l ω ω l + x de unde ezultă: l ω & xx ε ω & ( l + x ) în cae x este paametul de poziţie al mişcăii elative a culisoului ia viteza sa elativă g ω &x epezintă b) Poiecţia pe axa Ox a ecuaţiei difeenţiale a mişcăii elative a culisoului conduce la ecuaţiile: 4 G g && x G x g ω ( l ωx & x l + x ) Din ultima ecuaţie se poate detemina o integală pimă pe baza substituţiei: dx& dx& dx d x& && x dt dx dt dx astfel încât după sepaaea vaiabilelo ezultă:

203 Dinamica - Pentu x l l l 4 x& ω ω + x& ( l + x ) lω x l + x se obţine: v lω i ω ω k lω v t OA lω ω j v ( ) i j a + ; lω a ω lω i ε k ω k 4 l 4 lω a t ε OA ω OA ( i + j) 4 a c ω v lω j a a lω j 4 c) Dacă viteza unghiulaă a baei este menţinută la valoaea constantă ω în timpul mişcăii elative a culisoului din ecuaţia difeenţială a mişcăii sale elative se obţine: x& &&xω x d ωx dx &x ω x Ca umae momentul cinetic total al sistemului faţă de punctul fix O va avea expesia: G l G G KO ω k + OP ( x& i + ω k OP) ( l + x ) ω k g g g ia deivata sa în apot cu timpul devine: & G G KO ωx x& k ωx k g g Pe baza teoemei momentului cinetic total pentu sisteme ezultă că pentu a se menţine constantă viteza unghiulaă a baei în timpul mişcăii elative a culisoului este necesa să se aplice baei un cuplu de foţe de moment diijat după axa fixă Oz şi cu vaiaţia în funcţie de x dată de: G Mx ( ) ω x g

204 - Dinamica sistemelo mateiale Sistemul de tei copui omogene din fig în cae sunt date geutăţile copuilo şi azele tambuilo toliului espectiv a discului cicula se mişcă înt-un plan vetical ponind din epaus astfel încât copuile şi se ostogolesc făă alunecae pe un plan oizontal ia baa de lungime R aticulată la un capăt în centul C la discului alunecă cu celălalt capăt A pe acelaşi plan oizontal Se consideă că cei doi tambui ai toliului au aceeaşi gosime se neglijează fecăile de ostogolie şi fecaea din aticulaţie şi se dau valoile pentu momentul cuplului aplicat toliului M 5 GR espectiv pentu coeficientul de fecae de alunecae dinte capătul A al baei şi planul oizontal μ 5 Fig Să se detemine: a) legea de mişcae a centului C al toliului; b) eacţiunile tutuo legătuilo exteioae şi inteioae; c) valoile minime ale coeficienţilo de fecae de alunecae μ şi μ dinte copuile espectiv şi planul oizontal astfel încât să fie îndeplinită condiţia de ostogolie făă alunecae a acestoa Rezolvae a) Metoda I Metoda cea mai geneală pentu ezolvaea poblemelo de dinamică a sistemelo mateiale este metoda sepaăii copuilo asociată cu aplicaea pincipiului lui d Alembet pentu fiecae cop sepaat În fig s-au epezentat foţele şi momentele exteioae şi inteioae ce acţionează asupa copuilo sistemului pecum şi ezultantele şi momentele ezultante ale foţelo de ineţie pentu fiecae cop în pate Pentu simplificaea desenelo nu s-au mai epezentat sepaat copuile

205 4 Dinamica - şi eacţiunile X şi Y din figuă ale aticulaţiei se consideă că sunt aplicate asupa baei asupa discului ele vo acţiona în sensui contae Sistemul având un singu gad de libetate în pimul ând este necesa să se stabilească elaţiile cinematice înte paametii de poziţie ai copuilo alegând ca paametu de poziţie independent deplasaea x pe oizontală a centului C al toliului măsuată de la începutul mişcăii sistemului Cu notaţiile din fig ezultă imediat: &x θ& IC Rθ& 4R θ& 4Rθ & x& x & θ& IC Rθ& ; θ θ x R x x x unde s-a consideat că toţi paametii de poziţie se măsoaă de la începutul mişcăii sistemului Pe baza acesto elaţii cinematice se pot calcula ezultantele şi momentele ezultante în apot cu centele de geutate ale foţelo de ineţie pentu fiecae cop din sistem şi pin aplicaea pincipiului lui d Alembet se obţin ecuaţiile: G GR && x N G Ff T && x GR RT RF 4 g f g R ; N 4G Y T G X F 4 && f g x GR && x RT + RF 8 f g R ; 5 N + Y G X N G 5 && x RN + R N + RX RY g 8 unde s-a ţinut seama că foţa de fecae F f ae valoaea maximă μ N N 8 Rezolvaea acestui sistem de ecuaţii se face mai uşo începând cu ultimele ecuaţii astfel încât ezultă: X G x g && Y G 8 + && 4 g x N G && x g N G x T G && + x 4 g 6 94 && g N G F F G && x 6 g f G + && x 6 g f G G G G G x G x 6 && && && g x 4 g 6 8 g 9g g m && x s Ca umae legea de mişcae a centului de geutate al toliului va fi:

206 x - Dinamica sistemelo mateiale 5 9g t + Kt + K K K 78 t x 5 [ m] Metoda II Deoaece sistemul de copui consideat ae un singu gad de libetate legea sa de mişcae se mai poate detemina şi pe baza teoemei enegiei cinetice pentu sisteme mateiale aplicată sub foma sa difeenţială: d l i de dl + dl + dl c Având în vedee faptul că legătuile inteioae sunt ideale se obţine dl i Pentu l calculul lucului mecanic elementa dl al eacţiunilo legătuilo exteioae se obsevă că foţele de fecae F f şi F f sunt aplicate în centele instantanee de otaţie I espectiv I deci nu dau lucu mecanic astfel încât numai F f va efectua lucu mecanic Pentu calculul acestui lucu mecanic elementa este necesa să se detemine eacţiunea nomală N cae se obţine uşo din ecuaţia de momente faţă de C pentu baă: 5 G R 6RN R && 5 μ N + + x R G 4 g 4 N G && x g Ca umae ezultă: l G dl μ N dx x dx && 8 g dl Md GR dx d θ Gdx ; R G E g x + G R G R x G c x g & 4 4 & + + g 9R & g 9 4G 4R x& 5 G 4 G + + x x & & g 9R 4 g 9 g G de c xdx & & g G && x x& dx& G + dx g 4 8g ;

207 6 Dinamica - dx de unde împăţind cu dt şi simplificând cu x& > se obţine aceeaşi acceleaţie dt & x& ca şi pin metoda pecedentă deci se obţine aceeaşi lege de mişcae ca şi pin metoda pecedentă b) Reacţiunile legătuilo se detemină pin înlocuiea în elaţiile coespunzătoae obţinute pin pima metodă a valoii constante a acceleaţiei centului toliului deci ezultă: N G F f 6 G 65 G 78 N 4 59 G 76G F f G G N G F f 75G T 7 G 8G X G 46G Y G N 4G 6G c) Pentu a fi îndeplinită condiţia de ostogolie făă alunecae a copuilo şi pe planul oizontal este necesa ca foţele de fecae F f şi F f să nu depăşească valoaea lo maximă μ N espectiv μ N astfel încât ezultă: F μ f 65 N F μ f 44 N Obsevaţie Dacă acceleaţia centului de geutate al toliului atinge sau depăşeşte valoaea 9g se obsevă că eacţiunea nomală N devine nulă deci capătul A al baei nu se mai spijină pe planul oizontal Valoaea coespunzătoae a momentului M aplicat toliului se obţine uşo cu ajutoul teoemei enegiei cinetice deoaece în acest caz foţa de fecae F f va fi şi ea nulă şi ezultă de asemenea dl l Ca umae se obţine: G M Mg 9g xdx & & dx & x &&x M 7GR g R 6GR Pentu a se ealiza mişcaea sistemului cu o acceleaţie atât de mae valoile minime ale coeficienţilo de fecae μ şi μ vo ezulta mult mai mai din condiţia de ostogolie făă alunecae a copuilo şi pe planul oizontal C

208 - Dinamica sistemelo mateiale 7 4 Sistemul de copui omogene din fig 4 în cae sunt date dimensiunile geometice şi geutăţile copuilo poneşte din epaus din poziţia din figuă pentu cae poţiunea de fi dinte scipeţii S şi S este oizontală şi paalelă cu axa Ox legată de placa deptunghiulaă antenată în mişcae de otaţie în juul axei fixe veticale Oz Ştiind că fecăile din aticulaţii şi geutăţile scipeţilo sunt neglijabile că fiul este pefect flexibil şi inextensibil şi că placa se mişcă înt-un mediu ezistent ce espectă legea lui Newton pivind ezistenţa mediului ( df kv da ) să se detemine: a) expesiile vitezei şi acceleaţiei copului de geutate 4G în funcţie de deplasaea sa q pe veticală măsuată de la începutul mişcăii; b) viteza limită a copului de geutate 4G şi viteza unghiulaă limită a plăcii după un timp foate mae de la începutul mişcăii; c) eacţiunile din lagăele O şi O la Fig 4 momentul în cae placa a efectuat un numă înteg N de otaţii complete Rezolvae Înainte de a tece efectiv la ezolvaea poblemei este necesa să se efectueze educeea foţelo ezistente paalele înte ele şi distibuite după legea lui Newton pivind ezistenţa mediului pe supafaţa plăcii la un moment oaecae al mişcăii sistemului Consideând ca paametu de poziţie al sistemului deplasaea q a copului de geutate 4G unghiul θ de otaţie a plăcii viteza sa unghiulaă ω şi viteza v a unui punct al elementului de aie da din fig 4 vo fi: θ q ω θ & &q v x qx & ω astfel încât ezultă:

209 8 Dinamica - 4 q& x k df k 6 dx q& x dx F df k q& 4 4 M x df 96k q& M xc F unde s-a ţinut seama de faptul că ezultanta F a foţelo ezistente este oientată în sensul negativ al axei Oy şi poate fi aplicată în centul C al acesto foţe paalele a) Metoda I Deoaece scipetele fix S este ideal şi ae masa neglijabilă efotuile dinamice din cele două poţiuni ale fiului tecut peste acest scipete vo fi egale având valoaea comună notată cu T în fig 4 Aplicând ecuaţia de mişcae a unui cop cu axă fixă pentu placă şi legea fundamentală a dinamicii pentu copul de geutate 4G se obţin ecuaţiile: G 6 && 4G θ T 96k q& q&& 4 G T g g din cae ezultă: G T 4 G 4 && g q g q& && q 4 c c G k dq& & q&& dq dq dt d dq dt dq q (& ) q& c ln c g q &q c e λ q g kg λ 8 c G &&q g e λq 4 Metoda II Sistemul consideat având un singu gad de libetate pentu studiul mişcăii sale se poate aplica teoema enegiei cinetice sub foma difeenţială: d G dec dl E 6 g + 4G g q G & 8 g q c &θ & G de 6 g qdq q& c & & dl d 4Gdq + Mdθ 4G c din cae se obţine aceeaşi ecuaţie difeenţială a mişcăii sale dq b) Pentu un timp foate mae de mişcae al sistemului se poate considea că q tinde la infinit deci viteza limită a copului de geutate 4G va fi egală cu constanta c Viteza unghiulaă limită a plăcii ezultă imediat: c G ω limω lim &q q q 4 k

210 - Dinamica sistemelo mateiale 9 c) Pentu un numă N de otaţii complete ale plăcii ezultă: θ πn q 4πN θ & c γ && g θ γ π λ γ 4 N e 8 unde γ este o constantă adimensională pozitivă cunoscută având valoaea mai mică decât Deoaece la momentul consideat placa va fi de asemenea în poziţia din fig 4 ca şi la momentul iniţial al mişcăii aplicând pincipiul lui d Alembet pentu placă şi expimând poiecţiile pe axele sistemului de efeinţă Oxyz legat de placă mai puţin ecuaţia de momente faţă de axa fixă Oz se obţin ecuaţiile: X X T G &θ g Y Y F G + g &&θ Z G 4Y 4Y 5T 4X 4X G din cae se detemină eacţiunile din lagăe: X G c 8 g + + T G( ) 4 γ G c γ γ g ( γ) ( γ ) X + ( ) 8 γ ) F G( Y Y ( γ) G 4 Z G 5 Regulatoul centifugal de constucţie cât mai simplă epezentat schematic în fig 5 ae umătoaele elemente componente: tija sa veticală pe cae sunt aticulate două bae omogene identice fiecae de geutate G şi lungime l pecum şi manşonul D de geutate Q cae este menţinut înt-o anumită poziţie pe tijă pin intemediul a două fie inextensibile de aceeaşi lungime l legate în punctele B şi B de bae pentu cae OB OB l Neglijând fecăile să se detemine paametul de poziţie λ OD al manşonului pe tijă în funcţie de viteza unghiulaă ω constantă a egulatoului consideat Rezolvae Fig 5 Din datele poblemei ezultă că patulateul OBDB este un omb cu

211 Dinamica - l lungimea latuilo pentu cae unghiul ϕ din fig 5 va depinde de viteza unghiulaă ω constantă a egulatoului când se ealizează echilibul elativ al baelo faţă de tija egulatoului Pentu a detemina această dependenţă este necesa să se aplice teoema momentului cinetic faţă de punctul fix O pentu bae astfel încât în ecuaţiile coespunzătoae să nu apaă eacţiunile aticulaţiei O cae nu sunt ceute în enunţ În pimul ând mai este necesa să se detemine efotuile dinamice din fie cae datoită simetiei faţă de axa fixă Oz vo avea aceeaşi valoae T Din condiţia de epaus elativ al manşonului pe tijă se obţine: Q Tcosϕ Q T cosϕ Pe baza simetiei menţionate se obsevă că este suficient să se aplice teoema momentului cinetic numai pentu una din cele două bae şi în fig 5 s-a ales baa OA Pentu calculul momentului cinetic al baei consideate în apot cu punctul său fix O în fig 5 s-a epezentat şi sistemul de efeinţă Oxyz legat de ea ale căui axe tebuie să fie pincipale de ineţie Faţă de acest sistem de efeinţă ezultă: ωx ω cos ϕ ω y ω sin ϕ ω ϕ G & z ; J x J y Jz l ; g k G K J x x i + J yωy j + J z z ( sin j & O ω ω l ω ϕ + ϕk) g dk K G O O + ω KO l ( ω ϕ & cosϕj + ( ϕ&& ω sin ϕcosϕ) k) dt t g Pin aplicaea teoemei momentului cinetic se obţin ecuaţiile: G l ϕ & l ( ϕ& ω ϕcosϕ) sin Gsin ϕ ltsin ϕ g din cae după înlocuiea valoii deteminate a efotului T ezultă: ( G + 4Q) g ( G + 4Q) g cosϕ λ 4 lcosϕ 6G ω G ω l 6 Se consideă mecanismul de idicat din fig 6 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae sunt date geutăţile şi azele scipeţilo ia fecăile se consideă neglijabile Pentu idicaea la o înălţime h a sacinii de geutate Q 47 G în etape se aplică scipetelui fix un cuplu de moment M cu umătoaele valoi constante în fiecae etapă a mişcăii: - în pima etapă M pentu cae sacina atinge viteza v m s în intevalul de timp t 5s ;

212 - Dinamica sistemelo mateiale - în a doua etapă M pentu mişcaea unifomă a sacinii cu duata t s ; - în etapa a teia M pentu cae sacina se opeşte la înălţimea h în intevalul de timp 5s t Consideând acceleaţia gavitaţională g m s să se detemine: a) elaţiile cinematice expimând paametii de poziţie din fig 6 în funcţie de deplasaea x a sacinii pe veticală; b) valoile momentului M în cele etape şi înălţimea h; c) efotuile dinamice din fie în etapa a teia a mişcăii Răspunsui a) x x θ x R x x θ x R θ 4 x R ; 55 5 b) M GR M GR 4 M 45 4 GR h 74m ; c) T 4 4G T G T 6G T4 49G T5 4G Fig 6 Fig 7

213 Dinamica - 7 Se consideă mecanismul de idicat din fig 7 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae sunt date geutăţile copuilo şi azele scipeţilo ia fecăile se consideă neglijabile Ştiind că mecanismul poneşte din epaus sub acţiunea unui cuplu moto de moment M 6GR aplicat scipetelui fix să se detemine: a) legea de mişcae a copului de geutate Q G ; b) efotuile dinamice din fie Răspunsui x a) gt ; 5 b) T G 4G T 4G T 99G 5 T 4 7G T 5 G 6G 5 G 5 T 6 8 Se consideă mecanismul de idicat din fig 8 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae se dau geutăţile şi azele tambuilo toliului cu axă fixă oizontală geutatea şi aza scipetelui mobil pecum şi geutatea sacinii Q ia fecăile sunt neglijabile Ştiind că mecanismul poneşte din epaus sub acţiunea unui cuplu moto de moment toliului să se detemine: a) legea de mişcae a sacinii; b) efotuile dinamice din fie M GR aplicat Fig 8 Răspunsui a) x 5 gt ; 56 b) T G 8 86G 7 8 T G 4G 7 85 T G 4G 7

214 - Dinamica sistemelo mateiale 9 Se consideă sistemul de copui omogene din fig 9 pentu cae sunt date geutăţile copuilo şi azele scipeţilo Fiele se consideă pefect flexibile şi inextensibile ia fecăile din aticulaţii şi fecaea de ostogolie pe planul oizontal a scipetelui cae se ostogoleşte făă alunecae sunt neglijabile Ştiind că sistemul poneşte din epaus sub acţiunea unui cuplu moto de moment M 8 GR aplicat Fig 9 scipetelui să se detemine: a) legea de mişcae a copului de geutate Q G; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea minimă a coeficientului de fecae de alunecae μ dinte scipetele şi planul oizontal pentu a fi îndeplinită condiţia de ostogolie făă alunecae a acestuia Răspunsui a) x gt ; b) T G 46G T G 85G T G 85G T 46 G 4G ; T4 5 5 c) μ 46 6 Un toliu omogen cu tambui este suspendat înte două ghidaje veticale înte cae se poate mişca făă fecae pint-un fi vetical pefect flexibil şi

215 4 Dinamica - inextensibil înfăşuat pe tambuul său de ază R Pe tambuul său de ază R este înfăşuat un alt fi ideal cae ae legat la celălalt capăt un cop de geutate Q G (vezi fig ) a) Să se detemine acceleaţia a Q a copului de geutate Q acceleaţia a O a centului O al toliului şi efotuile dinamice din fie b) Să se detemine aceleaşi elemente dacă fiul de suspendae al toliului este înfăşuat pe tambuul său de ază R ia celălalt fi pe tambuul de ază R Răspunsui 5g 78 a) a 6ms Q 44 ao g 89 m s ; T G 79G 84 T G 7 66G 7g b) aq ao 856 ms ; T G 54G T G 7 68G 7 7 Fig Fig Dacă se idică o sacină de geutate mică Q G cu ajutoul mecanismului de idicat din fig acţionat de un cuplu moto de moment M 4GR neglijând fecăile şi igiditatea fielo să se detemine:

216 - Dinamica sistemelo mateiale 5 a) acceleaţia sacinii; b) efotuile dinamice din fie Răspunsui 4 a) aq g 8 m s ; 7 8 b) T G T G T G Se consideă sistemul de copui omogene din fig pentu cae se cunoaşte μ 6 şi se ştie că toliul se ostogoleşte făă alunecae pe un plan oizontal Dacă sistemul poneşte din epaus şi se neglijează fecaea din aticulaţia O fecaea de ostogolie a toliului şi igiditatea fielo să se Fig detemine: a) legea de mişcae a copului de geutate Q 4 G; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea minimă a coeficientului de fecae μ pentu a fi îndeplinită condiţia de ostogolie făă alunecae a toliului Răspunsui a) 5 x gt 4t [ m] ; b) T G 76G T G 876G T G G ; 8 c) μ 78 66

217 6 Dinamica - Un disc cicula omogen de geutate G şi ază R se ostogoleşte făă alunecae pe linia de cea mai mae pantă a unui plan înclinat cu unghiul α faţă de planul oizontal În centul O al discului este legat un fi ideal tecut peste un scipete fix identic cu discul astfel ca poţiunea sa coespunzătoae să fie paalelă cu linia de cea mai mae pantă a planului înclinat ia la celălalt capăt al fiului este legat un cop de geutate Q G (vezi fig ) Neglijând fecaea din aticulaţia O şi fecaea de ostogolie a discului să se detemine: a) acceleaţia copului de geutate Q; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea minimă a coeficientului de fecae μ pentu a fi îndeplinită condiţia de ostogolie făă alunecae a discului a) g aq ( ) 5 sinα ; G T 5 sinα μ cosα Răspunsui G 9+ 7sinα ; b) ( +sinα ) T ( ) c) Fig Fig 4 4 Se consideă sistemul de copui omogene din fig 4 pentu cae datele sunt notate pe figuă Ştiind că discul cicula cu centul O se ostogoleşte făă

218 - Dinamica sistemelo mateiale 7 alunecae pe un plan oizontal aspu şi neglijând fecaea din aticulaţia şi igiditatea fielo să se detemine: a) acceleaţia copului de geutate Q; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea minimă a coeficientului de alunecae μ pentu a fi îndeplinită condiţia de ostogolie făă alunecae a discului O a) a Q g( RQ sg) ; ( + Q+ G) PR + G( R + s) RP Q b) T R P + Q + G ( P + Q) T G RQ + s R P + Q + ; G + ( + + G) ( + Q+ G) RQ s P Q c) μ RP Răspunsui 5 Se consideă sistemul de copui omogene din fig 5 acţionat de un cuplu moto de moment M 6GR aplicat scipetelui fix cu centul O pentu cae datele sunt notate pe figuă Neglijând masa scipetelui mic S fecăile din aticulaţii şi igiditatea fielo să se detemine: a) acceleaţia copului cae ucă pe planul înclinat; b) efotuile dinamice din fie Răspunsui a) 4g a ( sinα μcosα) sin cos 7 α + μ α < ; G 4 7 G T sin + cos G 5 7 G sinα+ μcosα b) T ( + sinα+ μcos α ) T ( + sinα+ μcosα ) ( α μ α ) T ( ) 4

219 8 Dinamica - Fig 5 Fig 6 6 Pentu sistemul de copui omogene din fig 6 se neglijează igiditatea fielo şi toate fecăile cu excepţia fecăii de alunecae dinte cele două copui paalelipipedice supapuse aşezate pe un plan oizontal luciu caacteizată pin coeficientul de fecae μ de valoae mică Să se detemine: a) acceleaţia copului de geutate Q G şi efotuile dinamice din fie la începutul mişcăii sistemului; b) valoaea maximă a coeficientului de fecae μ pentu ca să alunece copul paalelipipedic supeio peste celălalt pecum şi noua acceleaţie a copului de geutate Q după ce acest cop paalelipipedic cade pe planul oizontal Răspunsui 8g 75 a) aq 5 9ms T G 8G 48 4 T G 865G T 4 G 8 G ; 8g b) a Q 5 4 8ms μ< T G 895G

220 - Dinamica sistemelo mateiale 9 7 Se consideă sistemul de copui omogene din fig 7 pentu cae datele sunt notate pe figuă şi se neglijează igiditatea fielo fecaea din aticulaţia O şi fecaea de alunecae dinte copul paalelipipedic de geutate G şi planul oizontal Pentu valoi mai ale coeficientului de fecae μ dinte cele două copui paalelipipedice pentu cae nu ae loc alunecaea lo elativă să se detemine: a) acceleaţia copului de geutate Q G; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea minimă a coeficientului de fecae μ pentu a fi îndeplinită condiţia din enunţ Răspunsui Fig 7 6g a) a Q 8ms 5 4 b) T G 4G 5 7 T G 7G ; 5 c) μ ; 8 O paletă sub foma unui disc cicula cu centul B de geutate G şi ază R se mişcă înt-un mediu ezistent ce espectă legea lui Newton pivind ezistenţa mediului ( df kv da v fiind viteza elementului de aie da din fig 8) Baţul paletei de lungime R şi masă neglijabilă este solidaizat la mijlocul O al axei veticale OO de lungime R în poziţie pependiculaă pe axă cae este montată la capetele sale în două lagăe cu fecăile neglijabile ca în fig 8 Cunoscând coeficientul de ezistenţă a mediului: G k 7 λ 8πgR unde λ este o constantă adimensională dată să se detemine: a) ezultanta F şi centul C al foţelo paalele de ezistenţă a mediului distibuite pe supafaţa paletei în funcţie de viteza unghiulaă momentană ω a paletei; b) legea de mişcae a paletei expimând unghiul său de otaţie θ ca funcţie de timp dacă la momentul iniţial al mişcăii i se impimă viteza unghiulaă ω ;

221 Dinamica - c) eacţiunile dinamice din lagăe la un moment t al mişcăii paletei; d) număul N de otaţii executat de paletă până când viteza sa unghiulaă scade la jumătate din cea iniţială Fig 8 Răspunsui a) F b) 89 5 G g R λ ω θ ln( + λω t ) ; λ 8 xc OC R 7 ; c) X G( γ ) X G( + γ ) 5 G Y Y λγ Rω Z G γ ; 4 g + λω t d) N ln πλ ( )

222 4 - Ciocnii şi pecuţii 9 Baa omogenă AOB de lungime şi geutate G îndoită în unghi dept în O astfel încât OB AO este aticulată în O pint-o aticulaţie cilindică făă fecae de o axă fixă veticală ca în fig 9 În poziţia în cae unghiul dinte latua AO a baei şi axa fixă ae valoaea ϕ dată se impimă sistemului o viteză unghiulaă ω astfel încât aceasta să ămână constantă în timpul mişcăii sale ulteioae dacă fecăile din lagăe sunt neglijabile a) Să se expime ω în funcţie de ϕ b) Să se calculeze valoile componentelo V şi H ale eacţiunii aticulaţiei O pentu valoaea deteminată a vitezei unghiulae ω Fig 9 l Răspunsui a) ω g 7l b) V G 4cosϕ sin ϕ sin ϕ G 4cosϕ sinϕ H 4 sinϕ ( ) < ϕ < actg 4 4 Ciocnii şi pecuţii 4 Un disc cicula omogen de masă m şi ază se ostogoleşte făă alunecae pe un plan oizontal astfel încât viteza v O a centului său O este constantă ca vecto La un moment dat discul se ciocneşte ca în fig 4 de un pag de înălţime h< Ştiind că ciocniea este pefect plastică şi neglijând fecăile să se detemine: a) viteza unghiulaă a discului şi viteza centului său O la sfâşitul ciocniii; b) pecuţia aplicată discului în timpul ciocniii; c) valoaea minimă a vitezei v O pentu ca discul să poată săi peste pag în uma ciocniii

223 Dinamica - Rezolvae a) Mişcaea dată în enunţ a discului înainte de ciocnie se ealizează numai dacă asupa discului acţionează doa geutatea popie şi eacţiunea nomală a planului oizontal În timpul ciocniii sale de pag aceste foţe au valoae medie neglijabilă faţă de valoaea medie a eacţiunii nomale a muchiei pagului asupa sa De asemenea ţinând seama de faptul că pentu h< valoaea componentei tangenţiale a vitezei punctului de contact A al discului cu pagul la începutul ciocniii este Fig 4 mică se poate neglija şi efectul pecutant al foţei de fecae din A Ca umae în timpul ciocniii asupa discului acţionează numai pecuţia P aplicată în A după diecţia nomalei comune după cae s-a oientat axa Ox a sistemului de efeinţă Oxyz legat de disc Deoaece tot timpul ciocniii distibuţia de viteze a discului va fi de mişcae plană pe baza legilo ciocniilo este necesa să se detemine componentele u şi w din fig 4 ale vitezei centului O al discului la sfâşitul ciocniii pecum şi viteza sa unghiulaă coespunzătoae ω cunoscând paametii cinematici v şi ωv la începutul ciocniii Poiectând legile ciocniilo pentu disc pe axele sistemului de efeinţă consideat se obţin ecuaţiile: mu ( + v O cosα) P mw ( v O sin α) J z ( ω ω ) la cae tebuie adăugată condiţia ca ciocniea să fie pefect plastică din cae ezultă u Pin umae paametii cinematici ai discului ceuţi în enunţ vo fi: ω ω v O v w v h O Osinα vo b) Din pima dinte ecuaţiile de mai sus ezultă: h( h) P mvocosα mv O c) Dacă se neglijează fecaea din A şi ezistenţa aeului după ciocnie discul va avea o mişcae plană în planul vetical pependicula pe muchia pagului astfel încât viteza sa unghiulaă se menţine constantă ia centul său se va mişca la fel ca în mişcaea făă fecae a unui inel pe un ac de cec cu viteza iniţială w Pentu a săi peste pag este necesa ca centul discului să ajungă cu viteza nulă sau mai mae ca zeo înt-o astfel de poziţie pe taiectoia sa încât să uce pe veticală cu o înălţime

224 4 - Ciocnii şi pecuţii egală cu h Aplicând teoema enegiei cinetice pentu disc de la sfâşitul ciocniii până la momentul în cae centul său se idică pe veticală cu înălţimea h în condiţiile consideate se obţine: m m ( v ) J O z ( v O) J + ω z ω mgh h gh v O ( v O) gh v O g h vo h Obsevaţie Dacă fecaea din A nu poate fi neglijată foţa de fecae coespunzătoae va avea o valoae medie mae în timpul ciocniii şi va poduce o pecuţie tangenţială P t aplicată în A după diecţia şi sensul axei Oy cae ae ca efect anulaea şi a componentei tangenţiale a vitezei punctului de contact A în timpul ciocniii În acest caz pe baza legilo ciocniilo se obţin ecuaţiile: mu + cos mw v sinα P ( v O α) P ( O ) J ( ω ω ) P z la cae se adaugă condiţiile: u w ω astfel încât ezultă: h h v O w vo ω vo h( h) P mvo P mv h t O Deoaece după ciocnie discul va avea o mişcae de otaţie în juul axei fixe Az paalelă cu Oz până când centul său ajunge pe aceeaşi veticală cu A pin aplicaea teoemei enegiei cinetice se obţine: ( ) Jz ω Jz ( ω ) mgh ω ( ω ) 4gh gh v O h În continuae mişcaea discului va fi o mişcae plană de ostogolie făă alunecae pe planul oizontal supeio al pagului cu viteza unghiulaă ω constantă Dacă valoaea coeficientului de fecae de alunecae este foate mică această mişcae a discului va fi de ostogolie cu alunecae având paametii cinematici deteminaţi anteio t t 4 Sistemul de două copui omogene din fig 4 fomat din baa OA de lungime l şi geutate G şi din placa ABD de geutate G sub fomă de tiunghi echilateal cu lungimea latuilo l se află în echilibu înt-un plan vetical copuile fiind aticulate înte ele în A şi baa în punctul fix O pin aticulaţii cilindice făă

225 4 Dinamica - fecae La un moment dat la mijlocul latuii AB a plăcii se aplică o pecuţie dată P ca în figuă pependiculaă în planul plăcii pe latua sa AB a) Să se detemine vitezele unghiulae ale copuilo la sfâşitul ciocniii şi pecuţiile de legătuă din aticulaţii în timpul ciocniii b) Să se calculeze aceleaşi elemente ale ciocniii pentu datele numeice: l m G 5 N P 4 kgm s Rezolvae a) În fig 4 s-au epezentat sistemele de efeinţă Ox y z espectiv Cxyz legate de cele două copui unde oiginea celui de-al doilea sistem de efeinţă s-a luat în centul de geutate C al plăcii deoaece aceasta ae o distibuţie de viteze de mişcae plană cu paametii cinematici vaiabili în timpul ciocniii De asemenea făă a se efectua sepaaea copuilo s-au epezentat componentele Fig 4 veticale şi oizontale ale pecuţiilo de legătuă din aticulaţii notate cu indicele supeio v espectiv o pentu aticulaţia inteioaă din A fiind folosită linia continuă pentu componentele aplicate plăcii şi linia înteuptă pentu cele acţionând asupa baei Aplicând legile ciocniilo pentu fiecae cop în pate se obţin ecuaţiile: P v G o o P v A C P PA Jzω lpa ; g v v G o o o PA P v O C PA PO Jz ω lpa g în cae se pot calcula imediat: G 4 G Jz l Jz l v C l ω v C lω g g l ω + astfel încât ezultă: Pg Pg ω ω 56 Gl 4 Gl P o A P P o O v v P PA PO P 8 56

226 4 - Ciocnii şi pecuţii 5 b) Pentu datele numeice din enunţ şi g 98 m s se obţin umătoaele valoi ale elementelo ciocniii: ω 5 5 s ω 9 6 s o P 866 o A kgm s PO v v 4 kgm s PA PO 7 kgm s 4 Un cop igid cu centul de simetie O este ealizat pin solidaizaea ca în fig 4 a unei bae AB de geutate G şi lungime 4R de un disc cicula de ază R şi geutate G Copul astfel fomat este aticulat în O pint-o aticulaţie cilindică făă fecae ia înte fusul aticulaţiei şi cop este montat un ac spial de constantă elastică la tosiune K cae este nedefomat în poziţia oizontală a baei Se oteşte copul în juul aticulaţiei cu un unghi θ faţă de oizontală şi se lasă libe ia la momentele în cae baa ajunge din nou în poziţie oizontală au loc ciocnii epetate cu un opito fix în punctul D al baei pentu cae DB R Cunoscând coeficientul de estituie la ciocnie de valoae 5 acelaşi pentu toate ciocniile Fig 4 să se detemine: a) vitezele unghiulae ale copului la începutul şi sfâşitul celei de-a n-a ciocnie; b) pecuţia aplicată baei de opito în timpul celei de-a n-a ciocnie; c) duata mişcăii copului până la sfâşitul celei de-a n-a ciocnie Răspunsui a) θω ω n n θ ω ω Kg n R 5G n b) θ KG P 5 n g ; c) π tn ( n ) ω

227 6 Dinamica - Fig Baa omogenă OA de lungime l şi geutate G aticulată în punctul fix O pint-o aticulaţie cilindică făă fecae este lăsată libe din poziţia în cae unghiul θ fomat cu veticala ae valoaea α La momentul în cae ajunge în poziţia veticală baa se ciocneşte cu un opito fix în punctul său D pentu cae OD d Ştiind că după ciocnie baa se idică până la un unghi θ maxim de valoae α < α aşa cum este epezentat în fig 44 să se detemine: a) coeficientul de estituie la ciocnie; b) pecuţia aplicată baei de opito în timpul ciocniii; c) distanţa d pentu ca pecuţia de legătuă din aticulaţie să fie nulă (D să fie centu de pecuţie) Răspunsui α sin a) R ; α sin l l G α α b) P sin + sin ; d g c) l d 45 Baa omogenă OA de lungime şi geutate G aticulată în punctul fix O pint-o aticulaţie cilindică făă fecae este lăsată libe din poziţia în cae fomează unghiul α cu oizontala La momentul în cae ajunge în poziţie oizontală baa se ciocneşte cu un opito fix în punctul său D pentu cae OD d Ştiind că după ciocnie baa se idică până la un unghi maxim α < α faţă de oizontală aşa cum este epezentat în fig 45 să se detemine: a) coeficientul de estituie la ciocnie; l

228 4 - Ciocnii şi pecuţii 7 b) pecuţia aplicată baei de opito în timpul ciocniii; c) distanţa d pentu ca pecuţia de legătuă din aticulaţie să fie nulă (D să fie centu de pecuţie) Răspunsui Fig 45 a) R sinα sinα Gl l b) P ( sin α + ) c) d l d g ; sin α ; 46 Baa omogenă AB de geutate G şi lungime l cade pe veticală ămânând în poziţie oizontală La un moment dat al acestei mişcăi de tanslaţie ectilinie când viteza de tanslaţie a baei ae valoaea v aceasta se ciocneşte ca în fig 46 de un opito fix în punctul său D pentu cae BD l 4 Ştiind că ciocniea este pefect plastică să se detemine: a) viteza centului de geutate C al baei şi viteza sa unghiulaă la sfâşitul ciocniii; Fig 46 b) pecuţia aplicată baei de opito în timpul ciocniii a) v C v 7 ω v ; 7l G b) P 4 7g v Răspunsui

229 8 Dinamica - 47 Baa omogenă OA de lungime l şi geutate G aticulată în punctul fix O pint-o aticulaţie cilindică făă fecae este lăsată libe din poziţia în cae fomează unghiul α cu veticala La momentul în cae ajunge în poziţie veticală baa se ciocneşte în capătul său A cu un cop paalelipipedic de geutate G aflat în epaus pe un plan oizontal aspu fecaea de alunecae dinte cop şi plan fiind caacteizată de coeficientul de fecae μ (vezi fig 47) Ştiind că după ciocnie baa se oteşte în sens conta până la un unghi Fig 47 maxim α < α faţă de veticală ia copul pacuge distanţa d pe planul oizontal până la opie să se detemine: a) coeficientul de estituie la ciocnie; b) elaţiile înte datele poblemei pentu ca ciocniea să se poducă în condiţiile consideate; c) coeficientul de estituie la ciocnie distanţa d şi pecuţia aplicată copului de baă în timpul ciocniii pentu datele numeice: G N 8m μ α α acsin l ( ) Răspunsui a) b) μd + sin R l α sin α α sin + sin α ; μ d l α α μd sin sin l ; c) R d 7 m P 5 kgm s

230 4 - Ciocnii şi pecuţii 9 48 Baa omogenă OA de lungime şi geutate G aticulată în punctul fix O pint-o aticulaţie cilindică făă fecae este lăsată libe din poziţia sa în cae fomează unghiul α faţă de oizontală La momentul în cae ajunge în poziţie veticală baa se ciocneşte în capătul său A cu o bilă de geutate G aflată în epaus pe un plan oizontal (vezi fig 48) Cunoscând coeficientul de estituie la ciocnie R 5 să se detemine: a) viteza bilei şi viteza unghiulaă a baei la sfâşitul ciocniii; b) deviaţia maximă β faţă de veticală a baei după ciocnie; c) pecuţia din A şi pecuţia de legătuă din aticulaţie în timpul ciocniii l a) v 9 Răspunsui gl ω b) β acsin ; c) PA 9G l g P O 9G 4 g l ; l g Fig 48 fix O 49 Baa omogenă OA de lungime şi geutate G aticulată în punctul pint-o aticulaţie cilindică făă fecae este lăsată libe din poziţia sa l veticală epezentată cu linie înteuptă în fig 49 La momentul în cae baa OA ajunge în poziţie oizontală capătul său A se ciocneşte cu capătul B al unei alte bae omogene BC de lungime l şi geutate G aticulată la mijlocul său în punctul fix O pin altă aticulaţie cilindică făă fecae şi aflată în epaus în poziţie oizontală Cunoscând coeficientul de estituie la ciocnie R / să se detemine: a) vitezele unghiulae ale baelo la sfâşitul ciocniii; b) pecuţiile de legătuă din aticulaţii în timpul ciocniii

231 Dinamica - Fig 49 g a) 5 g ω ; ω 9 l 9 l Răspunsui b) 5G l P 9 g P G l 9 g 4 Sistemul de două bae omogene din fig 4 având geutatea G şi lungimea l fiecae se află în echilibu ca în figuă fiind aticulate înte ele în A şi baa OA în punctul fix O pin aticulaţii cilindice făă fecae La un moment dat la mijlocul C al baei AB se ciocneşte o bilă de geutate G cae ae la începutul ciocniii viteza oizontală de valoae 5v ia la sfâşitul ciocniii viteza sa ae aceeaşi diecţie sensul conta şi valoaea v Să se detemine: a) vitezele unghiulae ale baelo la sfâşitul ciocniii; b) coeficientul de estituie la ciocnie; c) pecuţiile de legătuă din aticulaţii în timpul ciocniii Răspunsui Fig 4 a) 9 v ω 4 l 9 v ω ; 7 l

232 4 - Ciocnii şi pecuţii 5 b) R 7 74 ; G c) P 7 g v A P G O v 4 g 4 Sistemul de două bae omogene din fig 4 având lungimea l şi masa m fiecae se află în echilibu ca în figuă fiind aticulate înte ele în A şi baa OA în punctul fix O pin aticulaţii cilindice făă fecae La un moment dat la mijlocul C al baei AB se aplică pecuţia dată P oizontală Să se detemine: a) vitezele unghiulae ale baelo la sfâşitul ciocniii; b) pecuţiile de legătuă din aticulaţii în timpul ciocniii Răspunsui Fig 4 a) b) P P ω 7 ml P A 7 6 P ω 7 ml P PO 4 ; 4 Sistemul de două plăci plane omogene din fig 4 unde placa deptunghiulaă ae lungimea OA l lăţimea l şi geutatea 6G ia cea sub fomă de tiunghi echilateal ABD ae lungimea latuilo l şi geutatea G se află în echilibu întun plan vetical plăcile fiind aticulate înte ele în A şi cea deptunghiulaă în O pin aticulaţii cilindice făă fecae Ştiind că la un moment dat se aplică pimei plăci pecuţia dată P ca în figuă să se detemine: a) vitezele unghiulae ale plăcilo la sfâşitul ciocniii; Fig 4 b) pecuţiile de legătuă din aticulaţii în timpul ciocniii

233 Dinamica - Răspunsui a) ω Pg 9 Gl ω 8 9 Pg Gl ; b) PA P 9 PO 7 P 9 4 Sistemul de două copui omogene din fig 4 fomat din discul cicula de ază a şi geutate G şi din baa AB de lungime a şi geutate G se află în echilibu înt-un plan vetical copuile fiind aticulate înte ele în A şi discul în punctul fix O pin aticulaţii cilindice făă fecae Ştiind că la un moment dat se aplică discului pecuţia dată P ca în figuă să se detemine: a) vitezele unghiulae ale copuilo la sfâşitul ciocniii; b) pecuţiile de legătuă din aticulaţii în timpul ciocniii; c) valoaea pecuţiei P dacă aceasta apae în timpul ciocniii discului cu o bilă de geutate G având viteza la începutul ciocniii de valoae v şi coeficientul de estituie la ciocnie fiind R 4 Răspunsui Fig 4 a) ω Pg 6 Ga ω b) P P PA PO 5 4 ; 4 Pg Ga ; c) P G g v

234 5 - Mecanică analitică 44 Sistemul de două copui omogene din fig 44 fomat din baa OA de lungime 4a şi geutate G şi dint-un disc cicula de ază a şi geutate 4G se află în echilibu înt-un plan vetical copuile fiind aticulate înte ele în A şi baa în punctul fix O pin aticulaţii cilindice făă fecae Ştiind că la un moment dat se aplică discului o pecuţie P ca în figuă sub un unghi α dat faţă de oizontală să se detemine: a) vitezele unghiulae ale copuilo la sfâşitul ciocniii; b) componentele veticale şi oizontale ale pecuţiilo de legătuă din aticulaţii în timpul ciocniii Răspunsui Fig 44 Pgcosα a) ω ω ; 8Ga o o v v b) PA PO Pcosα PA PO Psinα 7 5 Mecanică analitică 5 Se consideă sistemul de 7 copui omogene din fig 5 pentu cae se cunosc geutăţile copuilo şi azele scipeţilo sau ale tambuilo toliului notate pe figuă pecum şi lungimea R a baei CA geutatea sa G şi momentul M 75GR 4 al cuplului moto aplicat toliului Ştiind că toliul şi discul cicula se ostogolesc făă alunecae pe planele oizontale din figuă ia igiditatea fielo fecăile din aticulaţii fecăile de ostogolie şi fecaea de alunecae a capătului A al baei sunt neglijabile să se detemine: a) acceleaţiile centelo de geutate C C şi C 6 ale copuilo espectiv 6; b) efotuile dinamice din fie; c) valoile minime ale coeficienţilo de fecae μ şi μ pentu a fi îndeplinită condiţia de ostogolie făă alunecae a copuilo espectiv

235 4 Dinamica - Fig 5 Rezolvae Se obsevă că sistemul consideat ae două gade de libetate Înainte de a tece efectiv la ezolvaea poblemei este necesa să se stabilească elaţiile cinematice pin cae se expimă paametii de poziţie ai copuilo în funcţie de cei doi paameti de poziţie independenţi cae se aleg în mod avantajos ca fiind deplasăile pe oizontală x şi x ale centelo de geutate ale copuilo espectiv Dacă toţi paametii de poziţie din fig 5 sunt măsuaţi de la începutul mişcăii sistemului ezultă:

236 5 - Mecanică analitică 5 x θ θ x R R θ x R x 4x x + 4 x5 x6 θ 6 4 4R x θ 4 x R x7 x a) Pentu studiul mişcăii sistemelo mecanice supuse la legătui olonome aşa cum este şi sistemul consideat în cadul mecanicii analitice se folosesc ecuaţiile lui Lagange de speţa a doua Pentu stabiliea lo în pimul ând tebuie să se calculeze enegia cinetică a sistemului la un moment oaecae al mişcăii sale cae va fi: G E 6 g x + G R G R x G g & g R g x G R x& c & + & g R ( ) ( ) G R x& G R x& G x& x& G x& x& g 4R g R g 6 g 6 (& + & ) G R x 4x G G x & x& x& x& x& g 6R g g 8 din cae se detemină: E G c 5 x & x & E G c x x x& g 4 & & +4 x& g În continuae tebuie să se calculeze lucul mecanic elementa vitual al foţelo şi momentelo diect aplicate sistemului având în vedee faptul că foţele de fecae F f şi nu efectuează lucu mecanic fiind aplicate în centele instantanee de otaţie espectiv I Ca umae se obţine: d 69 δl Mδθ G δx5 G δx 6 G δx + δx 8 din cae se detemină foţele genealizate: 69 Q G Q G 8 Cu aceste elemente calculate ecuaţiile lui Lagange devin: G 5 && x && x 69 G G && x + 4&& x G g 4 8 g din cae ezultă: g && x 4&& x &&x g &&x && x F f I

237 6 Dinamica - b) Pentu deteminaea eacţiunilo legătuilo exteioae şi inteioae ale unui sistem mecanic în cadul mecanicii analitice se aplică pincipiul deplasăilo vituale pentu copui sau subsisteme de copui sepaate din sistem luând în consideae şi lucul mecanic elementa vitual al ezultantei foţelo de ineţie şi al momentului lo ezultant pentu fiecae cop în pate În cazul sistemului consideat pentu deteminaea efotuilo dinamice din fie se poate începe cu sepaaea pimului cop pentu cae se dau pe ând deplasaea vituală δy de tanslaţie ectilinie pe veticală în sus deplasaea vituală δx de tanslaţie ectilinie pe oizontală şi deplasaea vituală δθ de otaţie în juul centului de geutate C Aplicând pincipiul deplasăilo vituale se obţin ecuaţiile: I Nδy 6Gδy ( Ff T R) δx ( M+ RT RF M I f ) δθ din cae se detemină: N 6G F 75 G f G G && x G T 75 G && x 9 G 4 g 4 4 g 4 În continuae se sepaă copuile 5 6 şi 4 în această odine pentu fiecae cop dându-se o singuă deplasae vituală după cum umează: de otaţie cu δθ de tanslaţie ectilinie pe veticală cu δx 5 de otaţie cu δθ 6 espectiv de otaţie cu δθ 4 Pin aplicaea în mod analog a pincipiului deplasăilo vituale se obţin celelalte efotui dinamice din fie: 75 G 7 T G 7 && x G T G G 5 + && x5 G 4 g 4 g G 5 G T4 T (&& x + 4&& x ) G T T4 && x G 4g 4 g 4 c) Foţa de fecae F f şi eacţiunea nomală N cae acţionează asupa toliului datoită legătuii sale pe planul oizontal în condiţiile consideate au fost deja deteminate astfel încât ezultă: F μ f 75 N 8 Se obsevă că valoaea minimă a acestui coeficient de fecae este mae şi vo fi necesae măsui speciale pentu măiea fecăii de alunecae dinte toliu şi eazemul său cum a fi pacticaea uno zimţi pe peifeia tambuului său de ază R Foţa de fecae F f cae împiedică alunecaea discului pe planul oizontal pe cae este ezemat se poate detemina dând o deplasae vituală de tanslaţie ectilinie cu δx după diecţia oizontală subsistemului fomat de copuile şi 7 pentu cae se obţine:

238 5 - Mecanică analitică 7 I I 5G G Tδx Ff δx Rδx R7δx Ff T && x g Pentu a detemina eacţiunea nomală N G+ Y unde componenta veticală Y a eacţiunii aticulaţiei inteioae C epezentată în fig 5 ca acţionând asupa baei ae valoaea Y G N7 se obsevă că este necesa să se afle mai întâi valoaea eacţiunii nomale N 7 a planului oizontal asupa capătului A al baei Pentu aceasta se consideă deplasaea vituală de otaţie a baei cu δθ 7 în sens tigonometic în juul aticulaţiei C pentu cae se obţine ecuaţia: N R R R I 7 δθ7 + 7 δθ7 G Rδθ7 din cae ezultă: G G 7G N 7 && x > N + G 6 G 8 g F f 8 μ N Obsevaţie Aplicaea pincipiului deplasăilo vituale pentu deteminaea eacţiunilo dinamice aşa cum s-a aătat mai sus este echivalentă cu aplicaea pincipiului lui d Alembet pentu copui sau subsisteme de copui sepaate din sistemul mecanic dat 5 Se consideă sistemul fomat dint-o pană tiunghiulaă de geutate G cae alunecă făă fecae pe un plan oizontal cu una din catetele sale pecum şi dint-un cop paalelipipedic de geutate Q cae alunecă făă fecae pe ipotenuza penei unghiul α dinte ipotenuză şi cateta oizontală fiind cunoscut Ştiind că sistemul poneşte din epaus din poziţia sa în cae paametii de poziţie din fig 5 au valoi nule să se detemine Fig 5 legile de mişcae ale celo două copui

239 8 Dinamica - x 4 Qgsinα ( G+ Qsin α) t x Răspunsui ( G+ ) Q gsinα ( G+ Qsin α) t 5 Un disc cicula omogen de masă şi ază este aticulat pint-o aticulaţie cilindică făă fecae în centul său O de un culiso de masă neglijabilă cae se mişcă făă fecae pe o axă veticală Pe peifeia discului este înfăşuat un fi pefect flexibil şi inextensibil cae este tecut peste un scipete mic ideal şi legat la celălalt capăt de un cop paalelipipedic de masă m aşezat pe un plan oizontal luciu (vezi fig 5) Să se detemine acceleaţia centului O al discului acceleaţia copului paaleli- Fig 5 pipedic şi efotul dinamic din fi m Răspunsui &&x T m m + m + m g mmg m + m mg && x m + m 54 Două discui ciculae omogene cu centele O şi O având aceeaşi ază R da masele difeite m espectiv m sunt legate înte ele ca în fig 54 pint-un fi pefect flexibil şi inextensibil tecut peste un scipete mic ideal Ştiind că pimul disc se ostogoleşte făă alunecae pe un plan oizontal fecaea de ostogolie fiind neglijabilă ia centul O al celui de-al doilea disc se mişcă făă fecae pe o axă fixă veticală să se detemine: a) acceleaţiile centelo discuilo;

240 5 - Mecanică analitică 9 b) efotul dinamic din fi; c) valoaea minimă a coeficientului de fecae μ pentu a fi îndeplinită condiţia de ostogolie făă alunecae a pimului disc Răspunsui a) &&x &&x 4mg 9m + 8m 6m + 8m m + m g ; 9 8 b) T mmg 9m + 8m ; Fig 54 m c) μ 9m + 8m 55 Se consideă sistemul de 7 copui omogene din fig 55 pentu cae se cunosc datele notate pe figuă epezentând geutăţile copuilo azele scipeţilo sau ale tambuilo toliului coeficienţii de fecae de alunecae μ şi de ostogolie s cunoscuţi pecum şi momentul M al cuplului moto aplicat toliului Neglijând fecăile din aticulaţii şi igiditatea fielo ştiind că toliul şi discul cicula 5 se ostogolesc făă alunecae pe două plane oizontale aspe şi că sistemul poneşte din epaus Fig 55

241 4 Dinamica - să se detemine: a) acceleaţia centului de geutate C al toliului acceleaţia copului pe planul oizontal coespunzăto şi legea de mişcae a copului 7 pe veticală în sus; b) efotuile dinamice din fie; c) valoile minime ale coeficienţilo de fecae μ şi μ 5 pentu a fi îndeplinită condiţia de ostogolie făă alunecae a copuilo şi 5 a) &&x 4 9 g &&x 67 g x7 59 gt ; Răspunsui b) T 8 5G T 9 7G T 8G T 6 4G 4 T5 6G T6 7G ; c) μ 57 μ Se consideă sistemul de 7 copui omogene din fig 56 cae poneşte din epaus şi pentu cae se cunosc datele notate pe figuă epezentând geutăţile copuilo sau ale tambuilo toliului azele scipeţilo espectiv ale tambuilo toliului coeficienţii de fecae de alunecae μ μ şi de ostogolie s Neglijând

242 5 - Mecanică analitică 4 fecăile din aticulaţii şi igiditatea fielo şi ştiind că toliul se ostogoleşte făă alunecae pe un plan oizontal aspu să se detemine: a) acceleaţiile copuilo şi pe planele oizontale coespunzătoae şi legea de mişcae a copului 7 pe veticală în jos; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea minimă a coeficientului de fecae μ pentu a fi îndeplinită condiţia de ostogolie făă alunecae a toliului Răspunsui a) &&x 4 g &&x 45 g x 75gt ; b) T 4 G T 75G T 465G T4 885G T5 85G T6 45 G ; c) μ Un toliu omogen având azele şi geutăţile celo doi tambui indicate în fig 57 este aticulat pint-o aticulaţie cilindică făă fecae după axa sa de simetie în centul de geutate O al unui bloc paalelipipedic de geutate G cae se poate mişca făă fecae înte două ghidaje veticale Pe tambuul de ază R al toliului este înfăşuat un fi pefect flexibil şi inextensibil cu celălalt capăt fixat ca în figuă ia pe tambuul său de ază R este înfăşuat un alt fi ideal având o poţiune veticală şi cealaltă poţiune înfăşuată pe peifeia unui disc cicula omogen de geutate Q şi ază R al căui centu O se poate mişca făă fecae pe o axă fixă veticală Ştiind că sistemul poneşte din epaus să se detemine: a) acceleaţiile centelo de geutate O şi O ; b) valoile geutăţii Q pentu cae centul de geutate O al blocului paalelipipedic ucă pe veticală; c) legile de mişcae ale centelo O şi O şi efotuile dinamice din fie pentu Q 9 G Fig 57 a) &&x Răspunsui g( 8G Q) g( 5G+ Q) &&x 6G+ Q 6G+ Q ;

243 4 Dinamica - b) Q> 8 G ; gt 4gt c) x x ; 67 T G 6 G 45 T G 7G 58 Două discui ciculae omogene având azele şi geutăţile indicate în fig 58 se mişcă înt-un plan vetical astfel încât centele lo O şi O se mişcă făă fecae pe două axe fixe veticale discuile fiind legate înte ele şi discul cu centul O de un punct fix pin două fie veticale pefect flexibile şi inextensibile Ştiind că sistemul poneşte din epaus să se detemine: a) legile de mişcae ale centelo O şi O ; b) efotuile dinamice din fie a) x 5 t g x 45 t ; b) T 7G T G Răspunsui Fig 58 Fig 59

244 5 - Mecanică analitică 4 59 Tei scipeţi omogeni identici având aza R şi geutatea G fiecae sunt legaţi înte ei ca în fig 59 pin fie veticale pefect flexibile şi inextensibile Asupa pimului scipete fix cu centul O acţionează un cuplu moto de moment constant M cel de-al doilea scipete fix este aticulat în centul său O la un capăt al unui stâlp de geutate 8G cae este încastat la celălalt capăt O în poziţie veticală ia centul O al celui de-al teilea scipete se mişcă făă fecae pe o axă fixă veticală Ştiind că sistemul poneşte din epaus şi neglijând fecăile din aticulaţii să se detemine: a) acceleaţia unghiulaă a pimului scipete şi acceleaţia centului celui deal teilea scipete pe veticală în jos; b) valoile momentului M pentu cae centul O se mişcă pe axa veticală în sus; c) legile de mişcae ale celui de-al teilea scipete efotuile dinamice din fie şi eacţiunile dinamice ale încastăii O pentu M GR Răspunsui ( M GR) ( R M) a) θ && g 4GR g G 4GR b) M> GR ; c) x θ gt R T G T G VO G HO MO ; 5 Se consideă sistemul de copui omogene din fig 5 în cae se dau masele copuilo şi aza R a celo doi scipeţi fiele veticale de legătuă dinte copui fiind pefect flexibile şi inextensibile Ştiind că sistemul poneşte din epaus şi neglijând fecăile să se detemine: a) acceleaţia unghiulaă a scipetelui fix şi acceleaţia centului O al scipetelui mobil pe veticală în jos; b) legile de mişcae ale scipeţilo şi efotuile dinamice din fie pentu m m m m g( m m ) ( + + ) a) θ && R m m 6m Răspunsui

245 44 Dinamica - &&x b) θ gm ( + m + m) ( 6 ) R m+ m + m gt x ; gt R T T mg θ Fig 5 Fig 5 5 Doi scipeţi omogeni de aceeaşi geutate G şi aceeaşi ază R sunt legaţi înte ei pint-un fi vetical pefect flexibil şi inextensibil Centul O al scipetelui mobil se mişcă făă fecae pe o axă fixă veticală ia la peifeia scipetelui fix aticulat în centul său O pint-o aticulaţie cilindică făă fecae acţionează o foţă veticală de valoae constantă F ca în fig 5 Ştiind că sistemul poneşte din epaus să se detemine: a) acceleaţiile unghiulae ale scipeţilo; b) valoile foţei F pentu cae scipetele fix se oteşte în sens oa; c) valoile foţei F pentu cae scipetele fix se oteşte în sens tigonometic ia centul scipetelui mobil coboaă pe veticală; d) valoile foţei F pentu cae centul scipetelui mobil ucă pe veticală; e) legile de mişcae ale scipeţilo şi efotul dinamic din fi pentu F G

246 5 - Mecanică analitică 45 Răspunsui ( G) ( G) a) θ && g F && g F+ θ 5GR 5GR ; b) F < G ; G c) < F< G ; d) F> G ; e) θ θ gt R x T G 5 Sistemul de două copui omogene din fig 5 este fomat dint-un toliu cu geutăţile şi azele tambuilo notate pe figuă cae se ostogoleşte făă alunecae pe un plan oizontal pecum şi dint-un disc cicula cu geutatea şi aza notate de asemenea pe figuă al căui centu O se mişcă făă fecae pe o axă fixă veticală cele două copui fiind legate înte ele ca în figuă pint-un fi pefect flexibil şi inextensibil tecut Fig 5 peste un scipete mic ideal Ştiind că sistemul poneşte din epaus şi neglijând fecaea de ostogolie a toliului să se detemine: a) legile de mişcae ale centelo de geutate O şi O ale celo două copui; b) efotul dinamic din fi; c) valoaea minimă a coeficientului de fecae μ dinte toliu şi planul oizontal pentu a fi îndeplinită condiţia de mişcae impusă în enunţ a acestuia

247 46 Dinamica - a) 4 x gt x gt ; 9 9 b) T G ; 9 c) μ 7 Răspunsui 5 Pentu sistemul de copui omogene din fig 5 se cunosc masele copuilo notate pe figuă coeficienţii de fecae de alunecae μ dinte copul de masă m şi planul oizontal şi μ dinte cele două copui paalelipipedice supapuse pecum şi aza a discului cicula de masă m al căui centu O se mişcă făă fecae pe o axă fixă veticală Copul de masă m şi discul sunt legate înte ele ca în figuă pint-un fi pefect flexibil şi inextensibil tecut peste un scipete mic ideal Ştiind că sistemul poneşte din epaus să se detemine: Fig 5 a) legile de mişcae ale copuilo efotul dinamic din fi şi valoaea minimă a coeficientului de fecae μ pentu cae cele două copui paalelipipedice nu alunecă unul faţă de celălalt; în acest caz să se pecizeze valoile coeficientului de fecae μ pentu cae copul de masă m alunecă pe planul oizontal; b) acceleaţiile celo două copui paalelipipedice şi a centului discului dacă μ μ a) x ( m + ) ( m + m ) Răspunsui m μ m x gt m + ( )( + ( m m + μ m + m x gt m + m ) )

248 ( + μ)( m m ) m + ( m ) Mecanică analitică 47 ( + μ )( + ) θ gt + m m + ( m+ m) μ b) &&x ( ) ( m ) m μ m + m m + + m mg m + m ; &&x T mg m m μ < &&x m ( m + m ) ( + ) g m m m + m ; 54 Pentu sistemul de copui omogene din fig 54 se cunosc masele copuilo notate pe figuă coeficientul de fecae de alunecae μ dinte copul de masă m şi planul oizontal pecum şi aza a discului cicula de masă m cae se ostogoleşte făă alunecae pe copul de masă m în planul vetical al mişcăii sistemului Copuile de mase m şi m sunt legate înte ele pint-un fi pefect flexibil şi inextensibil tecut peste un scipete mic ideal Ştiind că sistemul poneşte din Fig 54 epaus şi neglijând fecaea de ostogolie a discului să se detemine: a) legile mişcăilo absolute ale copuilo şi valoile coeficientului de fecae μ pentu cae ae loc mişcaea sistemului în condiţiile consideate; b) efotul dinamic din fi; c) valoaea minimă a coeficientului de fecae μ pentu a fi îndeplinită condiţia de ostogolie făă alunecae a discului; d) acceleaţia copului de masă m şi efotul dinamic din fi după ce discul cade pe planul oizontal

249 48 Dinamica - Răspunsui a) x m ( m + m ) m ( ) gt ( ) μ m + m x + m + m m + ( m + m ) μ x m gt ( m + m ) ( m + m) μ( m + m ) ( m + m ) m μ m θ μ < m + m m b) T c) μ d) &&x gt m + + m + m + ( m m ) ( m ) m μ + m + + m ; ( μ ) gm m m + m m g mmg( ) + μ T m + m ; ;

250 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 49 4 Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate Fig 4 nu alunece pe peifeia scipeţilo 4 Se consideă sistemul mecanic de copui omogene din fig 4 pentu cae datele sunt notate alătuat Un fi pefect flexibil şi inextensibil este legat la capătul A al baei OA apoi este înfăşuat pe peifeiile celo 4 scipeţi sub unghiuile la centu π π π π espectiv π ia la celălalt capăt al fiului este atânat copul de geutate G Fecăile din aticulaţii sunt neglijabile ia paametul de poziţie θ se măsoaă din poziţia de echilibu static a sistemului în cae cele două bae se află în poziţie oizontală Să se detemine: a) legea de mişcae θ θ() t ştiind că la momentul iniţial se oteşte baa OA în juul aticulaţiei cilindice O cu unghiul θ ad după cae sistemul este lăsat libe; b) efotuile dinamice din poţiunile fiului specificate în figuă ştiind că în poziţia de echilibu static a sistemului efotuile T T şi T au aceeaşi valoae statică T G; c) valoaea minimă a coeficientului de fecae μ dinte fi şi scipeţi pentu ca acesta să Rezolvae a) Deoaece unghiul θ este foate mic având apoximativ valoaea 575 gade ezultă că sistemul consideat va avea mici oscilaţii libee şi neamotizate în juul poziţiei sale de echilibu static Din figuă se obsevă că dacă fiul nu alunecă pe

251 5 Vibaţii mecanice - 4 peifeia scipeţilo cei doi scipeţi aticulaţi în centele C şi C ale baelo nu se otesc faţă de bae şi în consecinţă fomează cop comun cu acestea Ca umae sistemul dat ae un singu gad de libetate paametul de poziţie fiind unghiul θ de otaţie a copuilo în juul aticulaţiilo fixe astfel încât pentu stabiliea ecuaţiei difeenţiale a mişcăii se poate folosi ecuaţia lui Lagange de speţa a doua sub foma: d E E E c c p dt θ& + θ θ Pentu calcului enegiei cinetice a sistemului se ţine seama de faptul că acesta efectuează mici oscilaţii în juul poziţiei sale de echilibu şi că se poate considea ca fiind fomat din copui cu axă fixă la cae se adaugă copul de geutate G aflat în mişcae de tanslaţie ectilinie pe veticală Cu datele notate pe figuă se obţine: J 6G 6R 4G R 4G G R R 8G R + + ( ) 5 J g g g g g ( R ) E G c J + J + θ & θ & &θ G θ& g 44 g R G g R 4 de unde se obsevă că enegia cinetică a sistemului în cazul micilo sale oscilaţii nu depinde de coodonata genealizată θ Notând cu ΔL defomaţia acului elicoidal până în poziţia de echilibu static a sistemului enegia sa potenţială devine: E k( R + L) G R p 4 θ Δ θ G Rθ k( ΔL) G ( ) ( ) R R L GR G R L θ Δ θ Δ Defomaţia statică ΔL a acului se detemină din condiţiile ca atât E p ( θ) cât şi E p θ să fie nule în poziţia de echilibu static a sistemului deci pentu θ Pima condiţie este îndeplinită pentu oice ΔL ia din a doua ezultă: E p G 45 4R θ R Ecuaţia difeenţială a mişcăii se obţine succesiv: ( 4Rθ + ΔL) GR 7GRθ ΔL R 8 G 88 R &&θ+ 7 GR θ R &&θ+ 5ω θ

252 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 5 unde s-a notat ω gr Ţinând seama de condiţiile iniţiale date soluţia ultimei ecuaţii difeenţiale ezultă: θ cos5ω t ad [ ] b) Pentu a detemina efotuile dinamice din poţiunile de fi specificate în figuă pin secţionae se sepaă cele 5 copui cae ezultă şi pentu fiecae cop în pate se aplică pincipiul lui d Alembet Deoaece nu se ce eacţiunile aticulaţiilo nu se sepaă cei doi scipeţi mobili aticulaţi la mijlocul baelo ia pentu cele 4 copui cu axă fixă se sciu numai ecuaţiile de momente faţă de aticulaţiile fixe Ca umae se pot scie umătoaele ecuaţii de echilibu dinamic: G 45 4 R R θ+ 8 4R + T R T 4 R T 5 R G R + Jθ&& R G T5 G+ R&&θ T R T R J &&θ g T R T R+ J && θ T R T R G R+ J θ&& 4 din cae se detemină: G G G T G T T T T g R 5 6 && θ g R 4 && θ g R 8 && θ G G T + 7Gθ + R&& θ + G T 58 R& θ g g T4 + G Se obsevă că ultima din elaţiile de mai sus conduce la aceeaşi ecuaţie difeenţială a mişcăii sistemului din cae se poate detemina pe o altă cale legea sa de mişcae De asemenea se obsevă că efotul dinamic T nu se poate detemina cu ajutoul legilo mecanicii clasice deoaece atât copuile cât şi toate legătuile sunt consideate nedefomabile Cu toate acestea în acest caz se poate considea că apotul dinte efotuile dinamice T 4 şi T ămâne tot timpul mişcăii cel de la echilibul static al sistemului cae este Din această condiţie ezultă: G G T 58 R && θ+ G T θ&& g g R G 6 T G 4 R&& θ g Înlocuind în elaţiile găsite && θ 5ω θcos 5ω t g 5 cos5ω R t se detemină cele 5 efotui dinamice ceute:

253 5 Vibaţii mecanice - 4 T G+ 5Gcos5ω t T G+ 5Gcos5ω t T G+ 5Gcos5ω t T 4G+ 5Gcos5ω t 4 T G+ 5Gcos5ω t 5 Se obsevă că toate poţiunile de fi sunt întinse tot timpul mişcăii sistemului ia valoile efotuilo statice din aceste poţiuni sunt cele cae ezultă din enunţ: T T T T T G T T 4G 5 4 c) Fiul a putea să alunece pe peifeia scipeţilo numai pin poţiunea sa înfăşuată sub unghiul la centu π pe toată peifeia scipetelui aticulat în C pe baa OA sau pin cea înfăşuată sub unghiul π pe scipetele aticulat în C pe baa OA Deoaece confom ipotezei consideate apotul T4 T ămâne constant tot timpul mişcăii sistemului condiţia ca pima din cele două poţiuni ale fiului să nu alunece este dată de elaţia lui Eule pentu fecaea fielo astfel încât avem: T T 4 ln e πμ μ π Pentu cealaltă poţiune de fi cae poate să alunece ezultă: T4 T5 T4 T max max min 5min ln 65G e πμ μ G 7 π 5G ln e πμ μ 5G π Ca umae valoaea minimă a coeficientului de fecae dinte fi şi scipeţi pentu ca fiul să nu alunece pe peifeia lo este μ min 4 Se consideă sistemul mecanic de copui omogene din fig 4 pentu cae datele sunt notate alătuat Fiele se consideă pefect flexibile şi inextensibile ia fecăile sunt neglijabile Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii sistemului se impimă copului de geutate G viteza iniţială v vetical în jos în poziţia sa de echilibu static să se detemine: a) legea de mişcae a copului de geutate G;

254 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 5 b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea maximă a vitezei iniţiale v pentu ca toate fiele să fie întinse tot timpul mişcăii sistemului Rezolvae a) Din figuă se obsevă că deoaece fiele sunt pefect flexibile şi inextensibile toliul mobil ae o mişcae de otaţie instantanee în juul unei axe oizontale cae este pependiculaă în I pe planul vetical în cae ae loc mişcaea sistemului Întadevă dacă în B se desfăşoaă pe tambuul de ază R al toliului o lungime x de fi numai în această condiţie se înfăşoaă în D şi se desfăşoaă în A aceeaşi lungime x/ de fi De aici ezultă că la o deplasae cu x pe veticală a copului de geutate G toliul şi scipetele fix se otesc în acest plan vetical în juul punctelo I espectiv O cu Fig 4 unghiuile θ θ x 4R ia centul de geutate C al toliului ae o deplasae pe veticală egală cu x4 Ca umae sistemul consideat ae un singu gad de libetate ia ca paametu de poziţie se ia deplasaea x pe veticală a copului de geutate G măsuată din poziţia de echilibu static a sistemului deoaece se cee legea de mişcae a acestui cop Pentu stabiliea ecuaţiei difeenţiale a mişcăii sistemului se poate folosi ecuaţia lui Lagange de speţa a doua sub foma: d E E E c c p + dt x& x x Deoaece sistemul consideat este compus din copui din cae unul ae o mişcae de tanslaţie ectilinie ia celelalte două au mişcăi de otaţie în juul unei axe fixe sau instantanee pentu calculul enegiei cinetice a sistemului este necesa să se calculeze momentele de ineţie J şi J ale acesto două copui faţă de axele lo de otaţie Cu datele notate pe figuă acestea devin: J G R 6G 9R 8G g g g R G g R J 4G 4R G 8 g g R astfel încât ezultă:

255 54 Vibaţii mecanice - 4 G E g x J J c & + θ & + θ & G G x G x G x + R & R & x & & g g 6R g 6R 8 g Se obsevă că enegia cinetică a sistemului nu depinde de x Notând cu Δθ defomaţia unghiulaă a acului spial până în poziţia de echilibu static a sistemului enegia potenţială devine: E p K ( θ + Δθ) Gx 8G K( Δθ) x GR + Δθ 4R x 4 Gx GR( Δθ) Defomaţia unghiulaă statică Δθ a acului spial se poate detemina din condiţia E x pentu x deci se obţine: p E p GR x 5 G 6 + Δθ G x x 4R 4R 4 R Δθ ad 5 5 o Ca umae ecuaţia difeenţială a mişcăii se poate scie succesiv: 5 G 5 G && x + x 4 g 4 g ω g R &&x+ ω x unde ω este pulsaţia popie a sistemului soluţia ultimei ecuaţii difeenţiale ezultă: Ţinând seama de condiţiile iniţiale date v x sinω t ω b) Pentu deteminaea efotuilo dinamice din fie se sepaă copul de geutate G şi toliul pin secţionaea fielo ia pentu fiecae cop sepaat se aplică pincipiul lui d Alembet Deoaece toliul ae mişcae plan-paalelă momentul ezultant al foţelo de ineţie pentu acest cop tebuie calculat faţă de centul său de geutate C deci avem nevoie de momentul de ineţie J faţă de axa paalelă cu axa

256 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 55 instantanee de otaţie ce tece pin C Acest moment de ineţie se poate calcula diect sau cu fomula lui Steine pentu momente de ineţie axiale: G R 6G 9R 8G G J + J R 8 R g g g g Astfel se obţin umătoaele ecuaţii: T G g x G 8G && x + && T + T T 8G+ g 4 T R T R+ T R J θ && din cae se detemină: T G T G G v && x G + g Rω + 7 G 4 g && x G Gsin ω t 7 v 4 Rω 5 9 G 5 9 v T G && x G + 4 g 4 Rω Gsin ω t Gsin ω t Dacă se scie şi ecuaţia de momente faţă de aticulaţia fixă O din pincipiul lui d Alembet aplicat scipetelui fix cae este sepaat pin secţionaea fielo se obsevă că se poate obţine aceeaşi ecuaţie difeenţială a mişcăii sistemului c) Valoile minime ale efotuilo dinamice din fie sunt: v min G Rω T v G min 6 7 Rω 4 T v G min 9 Rω 4 T astfel încât din condiţiile Tjmin j ezultă: v 6 Rω v Rω 7 v Rω 9 Ca umae valoaea maximă a vitezei iniţiale pentu ca toate fiele să fie întinse tot timpul mişcăii este:

257 56 Vibaţii mecanice - 4 v 6 Rω max Rg 4 Un cop paalelipipedic de geutate G se poate mişca făă fecae înte două ghidaje veticale ca în fig 4a Înte centul de geutate al copului şi punctele fixe A şi B sunt montate două acui elicoidale identice cae au fiecae lungimea l în stae nedefomată Se cunosc d b l b ş i se ştie că sub acţiunea geutăţii sale copul se deplasează pe veticală cu distanţa b din poziţia în cae acuile sunt nedefomate până Fig 4a în poziţia sa de echilibu static notată cu O a) Să se detemine constanta elastică k a acuilo defomaţia lo Δ l până în poziţia de echilibu static şi unghiul α fomat de ele cu veticala în poziţia de echilibu static b) Să se epezinte gafic caacteistica elastică a sistemului de acui şi să se afle constanta elastică echivalentă k e în cazul micilo oscilaţii în juul poziţiei de echilibu static c) Să se detemine legea de mişcae a copului dacă la momentul iniţial al mişcăii acesta s e deplasează pe veticală în jos cu distanţa mică x 5 b din poziţia de echilibu static după cae este lăsat libe Rezolvae a) Notând cu C poziţia centului de geutate al copului în cae acuile sunt nedefomate distanţa CC se poate detemina din datele poblemei: CC l d b b astfel încât ezultă: CO 5b + b 6 b Ca umae unghiul α fomat de acui cu veticala şi defomaţia lo Δ l la echilibu static devin:

258 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 57 α actg d actg Δl d + CO CO ( 6 5 ) b 464b l Constanta elastică k se detemină succesiv din condiţia de echilibu static: kδl cosα G k G 5 G G Δlcosα 6 G 57 ( 5 ) b b b Fig 4b c) b) Sistemul de acui din fig 4a este echivalent cu un ac nelinea cae va avea constanta elastică echivalentă k e numai în cazul micilo oscilaţii ale copului în juul poziţiei sale de echilibu static Ca umae se poate folosi modelul mecani c din fig 4b unde este necesa să se detemine caacteistica elastică a acului nelinea Pentu aceasta este necesa să se expime foţa elastică F e diijată după axa Ox aplicată copului din patea sistemului de acui în funcţie de deplasaea sa x din poziţia de echilibu static Ţinând seama de fig 4a şi notând cu ΔL DE defomaţia suplimentaă coespunzătoae a acuilo această foţă elastică (luată cu semn opus) devine: G Fe kδlcosβ 6b 6b + x G 6b BO BD ( BD BO) 6b + x BD Folosind măimile adimensionale Fe G şi ξ x 6 b se poate scie: F e ( + ξ ) G 5 ( ξ) 4+ + ceea ce epezintă caacteistica elastică a acului nelinea aceeaşi cu a sistemului de acui epezentată gafic în fig 4c Din această figuă se obsevă că acul nelinea se poate considea ca fiind linea numai în cazul micilo oscilaţii în juul poziţiei de echilibu static pentu cae tebuie să fie unificate condiţiile: ξ sau 6 b x 6 b În acest caz deoaece din fig 4a se obsevă că β α şi ΔL xcosα se poate scie:

259 58 Vibaţii mecanice - 4 F e kx cos α deci constanta elastică echivalentă a acului nelinea la mici oscilaţii este: G G ke kcos α 74 b b Acelaşi ezultat se obţine dacă se dezvoltă caacteistica elastică nelineaă Fe ( x) în seie de putei şi se păstează numai temenul linea kx e în cazul micilo oscilaţii d) Deoaece x < 6b este îndeplinită condiţia ca să avem mici oscilaţii ale copului în juul poziţiei sale de echilibu static Ca umae ecuaţia difeenţială a mişcăii se poate scie succesiv: G && x + kex g G G && x + g 74 b x && x+ 74 ω x ω g b de unde ţinând seama şi de condiţiile iniţiale date ezultă legea miş căii: x n ω x cosω t 5b cos(6 t) Fig 4c Obsevaţia Sistemul de acui din această poblemă epezintă o soluţie constuctivă fecvent folosită pentu izolaea vibaţiilo deoaece pezintă avantaje impotante faţă de alte soluţii constuctive În pimul ând acest sistem de acui ae o caacteistică elastică nelineaă ceea ce conduce la evitaea peicolului ezonanţei în cazul vibaţiilo foţate chia şi pentu o amotizae vâscoasă neglijabilă În al doilea

260 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 59 ând tehnologia de ealizae a acestui sistem de acui este mult mai simplă decât cea pentu fabicaea alto elemente elastice cu caacteistică nelineaă Al teilea avantaj constă în faptul că se poate micşoa foate uşo constanta elastică echivalentă k e a sistemului de acui la mici oscilaţii pin măiea distanţei d pin cae ceşte unghiul α şi scade cosα Acest ultim avantaj este foate impotant pentu izolaea vibaţiilo deoaece aşa cum se ştie pentu o bună izolae a vibaţiilo în egimul nomal de funcţionae cu pulsaţia ω a foţei petubatoae este necesa ca apotul ωω n să fie cât mai mae faţă de deci ω n tebuie să fie cât mai mic este: Obsevaţia Ecuaţia difeenţială a mişcăii copului pentu oscilaţii mai G G 6 5 && ( ) b g x + 6b+ x 6b 44b + 6b+ x ( ) cae se poate expima în funcţie de vaiabila adimensională ξ sub foma: && ξ+ 57 ω ( + ξ 5 ) 4+ + ( ξ) Se obsevă că această ecuaţie difeenţială este nelineaă şi nu se poate intega complet pin funcţii analitice decât în cazul micilo oscilaţii în juul poziţiei de echilibu static Totuşi o integală pimă se poate obţine folosind substituţia: cu ajutoul căeia ezultă: & ξ + 5 7ω & & & & && dξ dξ dξ & dξ d ξ ξ ξ dt dξ dt d ξ d ξ ( + ξ) ( + ξ ) ( ξ) ω 5 4+ ( + ξ) unde ξ x 6b Acelaşi ezultat se obţine dacă se aplică teoema de consevae a enegiei mecanice cae este valabilă în cazul vibaţiilo libee şi neamotizate pentu oice sistem mecanic De aici se poate expima viteza x& 6bξ & ca funcţie de ξ sub foma:

261 6 Vibaţii mecanice - 4 &x b ( + + )( ) 6 ω + ( + ) + ( + ) 57 ξ ξ ξ ξ 5 4 ξ 4 ξ b ( + + )( 5 6 ω 57 ) ξ ξ ξ ξ 4+ ( + ξ ) + 4+ ( + ξ) de unde ezultă că în oice moment al mişcăii tebuie să fie îndeplinită condiţia ξ ξ deci x x Fig 44a 44 Elementul elastic al sistemului vibant din fig 44a este constituit dint-un ac elicoidal linea de constantă elastică k da a căui masă m nu se poate neglija având o valoae apopiată de masa copului atânat la capătul său libe Ţinând seama de masa acului şi ştiind că paametul de poziţie x se măsoaă din poziţia de echilibu static a sistemului să se detemine: x x t ştiind că la momentul a) legea de mişcae ( ) iniţial al mişcăii se impimă copului viteza iniţială v ca în fig 44a; b) legea vibaţiei foţate a copului dacă supotul acului vibează pe veticală după legea f sinω t unde ω k m ; c) legea completă de mişcae a copului dacă la începutul vibaţiei supotului după legea dată anteio acesta se află în epaus în poziţia sa de echilibu static Rezolvae Fig 44b a) Pentu stabiliea ecuaţiei difeenţiale a mişcăii în cazul vibaţiilo libee şi neamotizate ale sistemului consideat se poate aplica ecuaţia lui Lagange de speţa a doua sub foma sa cea mai simplă coespunzătoae sistemelo mecanice lineae şi consevativ e cu un singu gad de libetate Pentu calculul enegiei cinetice a sistemului ţinând seama şi de masa acului în pimul ând tebuie calculată

262 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 6 a enegia cinetică E c a acestuia Dacă la un moment dat al mişcăii sistemului când viteza copului este &x lungimea acului defomat este L atunci vitezele spielo acului se distibuie linea pe lungimea sa ca în fig 44b Ca umae un element de ac de lungime dy situat la distanţa y de capătul O fixat al acului de masă dm m L dy &x Ly Astfel se obţine: ( ) va avea viteza ( ) E a c L x& mx& L L 6 L y dm y dy mx& ia enegia cinetică a sistemului devine: a Ec Ec + mx 5 m & + mx 8 mx 5 & & Pentu calcului enegiei potenţiale a sistemului în poziţia sa în cae copul ae o deplasae x pe veticală din poziţia de echilibu static se ţine seama de faptul că la o defoma ţie ΔL a acului centul său de geutate se deplasează pe veticală cu distanţa ΔL deci lucul mecanic al geutăţii sale mg va avea valoaea mgδl Ca umae notând cu Δ l defomaţia acului până în poziţia de echilibu static a sistemului enegia sa potenţială devine: ( ) x E ( ) p k x + Δl mg 5mgx k Δl Defomaţia statică Δ l a acului se detemină din condiţia ca în poziţia de echilibu static a sistemului enegia sa potenţială să fie minimă astfel încât ezultă: E p k( x + Δ l ) mg kx x mg Δl k Având calculate enegia cinetică şi cea potenţială a sistemului cu ajutoul ecuaţiei lui Lagange de speţa a doua se obţine ecuaţia difeenţială a mişcăii: 6 ω k mx && + kx sau &&x+ ω n x unde ω n 4 4 m Impunând condiţiile iniţiale date p entu soluţia geneală: ω ω x Ccosωnt+ Csinω nt sau x C cos t+ C sin t 4 4

263 6 Vibaţii mecanice - 4 se detemină legea de mişcae ceută: v v ω x sin ω t x 4 sin n sau t ω 4 n b) Aşa cum s-a aătat la ezolvaea pimului punct al poblemei faptul că se ţine seama de masa acului influenţează numai calcului enegiei cinetice a sistemului pentu cae la masa copului tebuie adăugată o teime din masa acului Faptul că geutatea acului este distibuită pe lungimea sa nu influenţează calcului enegiei potenţiale a sistemului cae se mai poate expima sub foma Ep kx cu x măsuat din poziţia de echilibu static ci numai calcului defomaţiei statice Δl Dacă şi capătul O al acului se deplasează împeună cu supotul său pe veticală în jos cu distanţa f atunci la o deplasae cu x în acelaşi sens din poziţia de echilibu static a celuilalt capăt al acului defomaţia sa va fi x f Ca umae enegia cinetică a sistemului ămâne cea calculată la punctul pecedent deoaece &x este viteza absolută a copului da enegia sa potenţială devine: E k( x f) p Cu aceste măimi calculate în acest caz se obţine o nouă ecuaţie difeenţială a mişcăii: ω 6 ( ) mx && + k x f sau 6 mx && + kx k sinω t cae obsevând că ω ω se mai poate expima sub foma: ω ω && x+ x sinω t 6 6 () Legea vibaţiei foţate a copului este o soluţie paticulaă a ecuaţiei difeenţiale () cae aşa cum se ştie tebuie să fie de foma membului dept Ca umae impunând condiţia ca x x sin ω t să fie o soluţie paticulaă a ecuaţiei () ezultă: p ω ω ω 6 x x 6 o 5 p () 5 sin( ω t + π) x c) Legea completă de mişc ae a copului este x x p + x O unde x p este soluţia paticulaă () a ecuaţiei difeenţiale () ia x O este componenta tanzitoie a mişcăii expimată de soluţia geneală a ecuaţiei omogene Ca umae constantele de integae A şi B din soluţia geneală:

264 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 6 ω ω x Acos t+ Bsin t sinω t tebuie deteminate din noile condiţii iniţiale cae sunt confom enunţului condiţii iniţiale nule Pentu aceasta se calculează viteza: ω ω ω ω ω x& Asin t+ Bcos t cosω t astfel încât ezultă: A ω ω B B deci legea completă de mişcae a copului este: unde ω ω k m x t t 5 4 ω sin sinω 4 45 Se consideă sistemul vibant din fig 45 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate alătuat Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii se impimă copului de geutate Q viteza iniţială v pe veticală în jos în poziţia de echilibu static a sistemului să se detemine: a) legea de mişcae a copului de geutate Q; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea maximă a vitezei iniţiale v pentu ca fiele să fie întinse tot timpul mişcăii Răspunsui T Fig 45 G v ω g a) v kg x sinω n t ω n ω n G b) vω n T G + si nω nt g sin v nt T G 7 ω n sinω nt 4 g n ω ; ;

265 64 Vibaţii mecanice - 4 c) ( v ) 6 g max 7 ω n 7 Gg k 46 Se consideă sistemul vibant din fig 46 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate alătuat Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii se impimă copului de geutate Q viteza iniţială v pe veticală în sus în poziţia de echilibu static a sistemului să se detemine: a) legea de mişcae a copului de geutate Q; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea maximă a vitezei iniţiale v pentu ca fiele să fie întinse tot timpul mişcăii Fig 46 v kg a) x sinω n t ω n ; ω G n Răspunsui vω n b) T G sin ω nt T G g v 5 ω 4 g T c) ( v ) v G ω 6 g 6 g max ω n n 8 sin ω t n ; Gg 46 k n sin ω nt 47 Se consideă sistemul vibant din fig 47 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate alătuat Toliul mobil se ostogoleşte făă alunecae pe planul oizontal alunecaea sa fiind împiedicată de un fi ce se înfăşoaă sau se desfăşoaă pe tambuul său de ază R Neglijând fecăile şi ştiind că la momentul iniţial al mişcăii sistemul este lăsat libe după ce se deplasează copul de geutate Q pe veticală în jos cu x din poziţia de echilibu static a sistemului în cae acul vetical este petensionat Fig 47 cu T să se detemine:

266 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 65 a) legea de mişcae a copului de geutate Q; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea minimă a efotului T de petensionae a acului vetical pentu ca fiele să fie întinse tot timpul mişcăii Ră spunsui a) x 9 kg x cosω nt ω n 7 G ; 9 b) T T + G+ kxcosω nt T T + G+ kxcosω nt T ( T + G) + kxcosω nt ; 7 c) ( T ) 45 kx G min Se consideă sistemul vibant din fig 48 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate alătuat Toliul mobil se ostogoleşte făă alunecae cu tambuul său de ază R pe o platfomă oizontală alunecaea sa fiind împiedicată de existenţa fecăii de alunecae caacteizată de coeficientul de fecae μ Neglijând celelalte fecăi şi ştiind că la momentul iniţial al mişcăii se impimă copului de geutate Q viteza iniţială v pe veticală în jos în poziţia de echilibu static a sistemului să se detemine: a) legea de mişcae a copului de geutate Q; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea maximă a vitezei iniţiale v pentu ca fiele să fie întinse tot timpul mişcăii şi valoaea minimă a coeficientului de fecae μ pentu ca toliul să aibă o mişcae de ostogolie făă alunecae Răspun sui a) x v ω n kg sin ω nt ω n ; G

267 66 Vibaţii mecanice - 4 vω b) T G + g c) ( v ) n sin ω nt T 5 vω G + 4 g n sin ω nt ; 4g Gg v n 8 F t max f 4G + 9 ω sin ω n 5ω n k 8 g ω μ v n > min 6 g Fig 48 Fig Se consideă sistemul vibant din fig 49 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate alătuat Neglijând fecăile şi ştiind că la momentul iniţial al mişcăii siste mul este lăsat libe după ce se deplasează copul de geutate Q pe veticală în jos cu x din poziţia de echilibu static a sistemului în cae acul elicoidal este petensionat cu T G să se detemine: a) legea de mişcae a copului de geutate Q; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea maximă a deplasăii iniţiale x pentu ca fiele să fie întinse tot timpul mişcăii Răspunsui a) kg x x cosω nt ω n G ; b) T 6G+ kxcos ω nt T 4G+ kxcosω nt T 4G+ kx cosω nt ;

268 c) 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 67 4G ( x) max k 4 Se consideă sistemul vibant din fig 4 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate alătuat Neglijând fecăile şi ştiind că la momentul iniţial al mişcăii sistemul este lăsat libe după ce se deplasează copul de geutate Q pe veticală în jos cu x din poziţia de echilibu static a sistemului în cae acul elicoidal este nedefomat să se detemine: a) legea de mişcae a copului de geutate Q; b) efotuile dinamice din fie; Fig 4 c) valoaea maximă a deplasăii iniţiale x pentu ca fiele să fie întinse tot timpul mişcăii Răspunsui a) kg x x cos ω nt ω n ; G b) 9 T 4G kx cosω nt T 4G kx cosω nt T 4G kxc osω nt ; c) G ( x ) 44 max 9k 4 Se consideă sistemul vibant din fig 4 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate alătuat Neglijând fecăile şi ştiind că la momentul iniţial al mişcăii se impimă scipetelui fix viteza unghiulaă iniţială ω ca în figuă în poziţia de echilibu static a sistemului în cae acul elicoidal este nedefomat să se detemine: a) legea mişcăii centului C al scipetelui mobil; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea maximă pentu ω astfel încât fiele să fie întinse tot timpul mişcăii

269 68 Vibaţii mecanice - 4 Răspunsui Fig 4 a) ω x R 6kg sin ω nt ω n ω n G b) 9 ω T G+ kr sin ω nt ω n T G kr ω + si nω t n ; ω n c) ω ( ω ) G n max 9 kr ; 4 5 Se consideă sistem ul vibant din fig 4-5 fomat din 4 copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt n otate alătuat Neglijând fecăile şi ştiind că la momentul iniţial al mişcăii se impimă toliului viteza unghiulaă iniţială ω ca în figuă în poziţia de echilibu static a sistemului în cae acul elicoidal este nedefomat să se detemine: a) legea de mişcae a copului de geutate Q; b) efotuile dinamice din fie; c) valoaea maximă pentu ω astfel încât fiele să fie întinse tot timpul mişcăii Răspunsui a) 4 ω x R sin ω nt ω n kg ω n 7G ; b) 78 ω 5 ω T 4G+ kr sin ω nt T 4G+ kr sin ω nt 7 ω n 7 ω n T 4G kr 5 ω s inω nt 4 4 kr sin ω nt ; 7 ω ω c) ( ω ) 4G ω max 9kR Gg R k n n n

270 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 69 Fig 4 Fig 4 4 kg a) x ω R sin ω nt ω n ; ω n G ω 5 ω b) T G kr sin ω nt T G kr sin ω nt 4 ω n ω n 5 5 ω 5 9 ω T G kr sin ω nt T4 G kr sin ω nt ; 4 ω 4 ω c) ( ω ) G ω max 9kR 786 Gg R k n n n Fig 44 Fig 45

271 7 Vibaţii mecanice a) x ω kg R sin ω nt ω n ; ω n G ω 9 5 ω b) T 5G kr sin ω nt T G kr sin ω nt ω n ω n 9 4 ω 9 5 ω T G kr sinω nt T4 G kr sin ω nt ; ω n ω n c) ( ω ) max 7 G 56 Gg ω kr R k n 45 R ω kg ) x ω n a sin ω t n ω G n ; ω ω b) T G+ kr sin ω nt T G T G+ kr sin ω nt 8 ω n 8 ω n 7 7 ω T4 G T5 G kr sin ω nt ; ω n c) ( ω ) max 6G 886 ω kr R Gg k n 46 O placă plană omogenă de masă m este aticulată în punctul fix O pint-o aticulaţie cilindică făă fecae având fusul oizontal Momentul de ineţie masic al plăcii faţă de axa de otaţie este J ia distanţa de la centul său de geutate C la axa de otaţie este d Înte fusul aticulaţiei şi placă este montat un ac spial cu constanta elastică la tosiune K astfel încât în poziţia de echilibu static a plăcii unghi ul dinte deapta OC şi veticală este α (fig 46) Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii se oteşte placa cu un unghi θ foate mic din poziţia sa de echilibu static după cae aceasta este lăsată libe să se detemine:

272 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 7 a) ecuaţia difeenţială a micilo oscilaţii ale plăcii în juul pozi ţiei sale de echilibu static şi defomaţia statică unghiulaă θ st a acului spial; b) pulsaţia popie şi legea de mişcae a plăcii; c) pulsaţia popie în cazuile paticulae α şi α π Fig 46 Răspunsui a) Jθ & + ( K + mgd cosα) θ mgd sinα θst ; K & K+ mgdcosα b) ω n J θ θ cosω nt ; K+ mgd c) α ω n J α π K ω n J ; 47 Se consideă sistemul vibant din fig 47 fomat din două copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate alătuat Se neglijează fecaea în aticulaţia cilindică O (AO OC R) şi se consideă că sistemul efectuează mici oscilaţii în j uul poziţiei sale de ech ilibu static în cae baa este oizontală şi acuile elicoidale sunt nedefomate Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii în poziţia de echilibu static a sistemului se impimă baei viteza unghiulaă iniţială foate mică ω ca în figuă să se detemine: a) ecuaţia difeenţială a micilo oscilaţii ale sistemului şi defomaţia statică unghiulaă θ st a acului spial; b) legea de mişcae t şi valoile vitezei Fig 47 θ θ( ) unghiulae iniţiale ω pentu cae sistemul ae oscilaţii foate

273 7 Vibaţii mecanice - 4 mici (amplitudinea θ θ st ); c) efotuile dinamice din fie şi să se veifice că acestea sunt întinse tot timpul mişcăii Răspunsui a) G 6 θ+ 6 Rθ g R && G GR θ st 7 ad 7 ; 6GR b) ω θ ω ω n g g n ω 6ωn 6 n R R ; c) ω T G 5 sin ω nt T G 5 nt ω ω sin ω ω ω max T min G 5 ( ω n n 9)G G > n 48 Se consideă sistemul vibant din fig 48a fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate alătuat Se neglijează fecaea din aticulaţia scipetelui fix şi cea de ostogolie a toliului da fecaea de alunecae a tambuului de ază R al toliului pe Fig 48a) Fig 48b) planul oizontal nu este neglijabilă Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii sistemul este lăsat libe după ce se deplasează copul de geutate G pe veticală în jos cu x R din poziţia de echilibu static în cae acul spial este nedefomat să se detemine:

274 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 7 a) ecuaţia difeenţială a mişcăii sistemului pulsaţia sa popie pentu vibaţiile sale făă amotizae defomaţia statică Δ l a acului elicoidal până la echilibul static şi deplasaea coespunzătoae y st a copului de geutate G; b) diagama mişcăii copului de geutate G şi număul n de semioscilaţii până la opie; c) efotuile dinamice din fie şi să se veifice că acestea sunt întinse tot timpul mişcăii Răspunsui R a) && x+ ωnx ωnsignx& 4 ω n g R Δ l R y st R ; b) diagama mişcăii este epezentată în fig 48b; n 6 ; G c) T G R x t j G + jcosω n T G G( ) R x t jcosω n j G T 8G+ 4G( ) + 7 x cosω t j 6 ; R j n se obsevă că toate efotuile sunt pozitive chia şi în pima semioscilaţie în cae x 75R 49 Se consideă sistemul vibant din fig49 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate ală tuat Se neglijează fecăile şi se ştie că în poziţia de echilibu static a sistemului toate efotuile din fie au aceeaşi valoae statică T 6G La un moment dat supotul infeio al acului elicoidal începe să vibeze pe veticală după legea f sin ωt unde ω g / R Să se detemine: a) ecuaţia difeenţială a mişcăii sistemului pulsaţia sa popie şi defomaţiile statice Δx şi Δθ ale celo acui; b) legea de mişcae x x(t) coespunzătoae vibaţiei foţate a centului C al scipetelui mobil; Fig 49

275 74 Vibaţii mecanice - 4 c) efotuile dinamice din fie şi valoaea maximă a amplitudinii pentu ca acestea să fie întinse tot timpul mişcăii Răspunsui G G g a) 5 && x + 6 x G sin ωt ω n ω g R R R R o Δ x Δθ - ad 955 ; b) x sin ωt ; 5 c) T 6G + G sin ω t T 6G + G sin ωt 45 R 45 R 4 5 T 6G + G sin ωt ; max R R 45 R 4 Se consideă sistemul vibant din fig4 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate alătuat Se neglijează fec ăile şi se ştie că în poziţia de echilibu static a sistemului în cae baa OD este fixată în poziţie oizontală şi baa AB aticulată în acelaşi punct fix O (AO OC R) se află în poziţie veticală efotuile din fie au aceeaşi valoae statică T G Înte cele două bae este montat un ac spial de constantă elastică la tosiune K La un moment dat baa OD începe să vibeze după legea ϕ ϕ sin ωt unde ω g / R Să se detemine: a) ecuaţia difeenţială a micilo oscilaţii foţate ale sistemului pulsaţia sa popie şi defomaţiile statice θ st şi x st ale celo două acui; b) legile de mişcae θ θ(t) şi x Fig 4 x(t) coespunzătoae vibaţiei foţate a baei AB espectiv a centului C al

276 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu un singu gad de libetate 75 scipetelui mobil pecum şi valoaea amplitudinii φ pentu ca baa AB să efectueze mici oscilaţii de otaţie cu amplitudinea θ π / 7 ; c) efotuile dinamice din fie şi să se veifice dacă ele sunt întinse tot timpul mişcăii Răspun sui G a) 5 R & θ + 5GRθ GR sin ω t g 4 o θ st ad x st R b) θ ϕ sin( ω t + π) g ω R ϕ n ω 7 7R x ϕ sin( ωt + π) 5 5 5π o ϕ 56 ad 9 ; 54 c) G( 5ϕ sin t T ω T G + 546ϕ sin ωt ) ( ) G( + ϕ sin t) G( 4ϕ sin t) T ω T T min min 454 G > T 67 G > T min 4 min T4 ω 5 G > 978 G > 4 Sistemul vibant din fig4 pentu cae datele sunt notate alătuat este fomat din bae omogene identice fiecae de geutate G şi lungime 4l aticulate la mijloacele lo în punctele fixe O şi O pin aticulaţii cilindice făă fecae Se cunosc A D AD EB l şi se ştie că în poziţia de echilibu static a sistemului în cae baele sunt Fig 4 oizontale acul elicoidal cu

277 76 Vibaţii mecanice - 4 supotul fixat este nedefomat şi efotul din fiul inextensibil ae valoaea statică T 4G La un moment dat supotul acului elicoidal începe să vibeze pe veticală după legea sin ω t unde ω g / l f Să se detemine: a) ecuaţia difeenţială a micilo oscilaţii ale sistemului în juul poziţiei sale de echilibu static pulsaţia sa popie făă amotizae factoul de amotizae la tosiune şi defomaţiile statice unghiulae ale acuilo spiale ; b) legile mişcăilo coespunzătoae vibaţiilo foţate ale baelo şi valoaea amplitudinii a vibaţiei supotului pentu ca amplitudinea vibaţiei foţate a baei A B să fie θ π / 6 ; c) efotul dinamic din fi Răspunsui G 5 G a) 5 & θ + ωl θ& + 5G Gsin ωt g g lθ ω ω ε θ st ad θ st ad ; 4 l n ω g l b) θ sin( ωt ψ) θ sin( ωt ψ) 5 l 5 l ψ π actg π actg > ; 5 π 7 l 7l ; πg 5 4G + cos ω t ψ + sin ω t ψ 6 T c) ( ) ( )

278 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 77 4 Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 4 Se consideă sistemul vibant din fig4 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae datele sunt notate alătuat Se neglijează fecăile în aticulaţii ia patametii de poziţie x şi x se măsoaă din poziţia de echilibu static a sistemului x fiind deplasaea pe veticală a centului de geutate C al scipetelui mobil Ştiind că la momentul iniţial al mişcăii în poziţia de echilibu static a sistemului se impimă copului de masă m viteza iniţială k v R pe veticală în jos să se m detemine: a) enegia cinetică a sistemului enegia sa potenţială şi ecuaţiile difeenţiale ale mişcăii sub fomă maticeală; b) pulsaţiile popii vectoii popii nomaţi şi maticea modală nomată; c) legile de mişcae x x(t) x x(t) şi foma lo maticeală Fig 4 Rezolvae a) Din fig4 se obsevă imediat elaţiile cinematice: din cae ezultă: x x θ θ θ R R xa x x x x θ IA IC IB R

279 78 Vibaţii mecanice - 4 IC Rx x x IA IC - R R x x A x x x x x Cu ajutoul acesto elaţii se pot calcula enegia cinetică a sistemului şi enegia sa potenţială: E c mx& mr + E p 9kx kx + kx 4mR mr x& R 5 mx& + mx& + m x R ( x& x& ) + 4k + k ( Rθ x ) ( x 4x ) A + kx 6mx && mx & + 7kx kx - mx && + mx & kx + 8kx + mr x& R (& x& ) 7kR θ + mx& Folosind ecuaţiile lui Lagange de speţa a doua pentu sisteme lineae şi consevative se obţin ecuaţiile difeenţiale ale mişcăii: + cae cu notaţia ω k se pot expima sub foma maticeală: m 6 && x 7 - x + ω && x - 8 x b) Ştiind că această ecuaţie difeenţială maticeală ae soluţii amonice de foma {} x {} μ cos( pt + ϕ) unde {μ} este un vecto popiu nomat se ajunge la ecuaţia maticeală: 7ω ( ) μ 6p ω p ( ω p ) 8ω p μ

280 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 79 Pentu a avea soluţii difeite de soluţia banală deteminantul acestui sistem de ecuaţii lineae şi omogene tebuie să fie nul astfel încât se obţine ecuaţia caacteistică: 7 4 p 65 p 4 4 ω + ω din cae se detemină cele două pulsaţii popii: 59 4 p 7 p ω ω ω ω 7 Deoaece pentu fiecae din cele două pulsaţii popii cele două ecuaţii algebice sunt linea dependente ia vectoii popii tebuie să fie nomaţi se consideă μ pentu şi ia μ ezultă din elaţiile: p 6p 7 ω ω μ p 8 p ω ω 5 5 Se obţin μ şi μ -5/ deci cei doi vectoi popii nomaţi şi maticea modală nomată coespunzătoae devin: {} {} [ ] μ μ μ c) Soluţia geneală a ecuaţiei difeenţiale maticeale se poate expima sub foma {x} [μ] {ξ} în funcţie de coodonatele nomale sau sub foma maticeală: + + t sin p B t cosp A t sin p B t cosp A 5 x x în cae constantele de integae se detemină din condiţiile iniţiale: { } { } ω R x x t & Se obţin valoile:

281 8 Vibaţii mecanice - 4 Rω Rω A A B 4R B R 4p 5p cu cae se pot scie legile de mişcae ceute şi foma lo maticeală: x ω 4 R sin7ω t + R sin 59 t x ω 4 R sin7ω t 75sin 59 t x 4 R sin 7 ω t 5 R sin 59 ω t x Obsevaţie: Aici nu se mai pune poblema de a veifica dacă fiele sunt întinse tot timpul mişcăii deoaece ele pot fi petensionate cu ajutoul acuilo elicoidale de constante elastice k şi k 4 Pe un plan înclinat cu unghiul α π/ 6 faţă de oizontală se ostogoleşte făă alunecae un disc cicula omogen de ază R şi masă 6m În centul O al discului este aticulată o baă omogenă OA de masă m şi lungime 4R pint-o aticulaţie făă fecae ia înte fusul aticulaţiei şi un peete fix este montat un ac elicoidal paalel cu planul înclinat de constantă elastică k 9 mg/r La momentul iniţial al mişcăii se deplasează centul discului cu x paalel cu planul înclinat în jos din poziţia de echilibul static a sistemului baa fiind menţinută în poziţie veticală după cae sistemul este lăsat libe Să se detemine: a) enegia cinetică enegia potenţială şi ecuaţiile difeenţiale ale mişcăii sistemului pentu oscilaţii mai în funcţie de paametii de poziţie x şi x Rθ măsuaţi din poziţia de echilibu static; b) enegia cinetică Fig 4 enegia potenţială ecuaţiile

282 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 8 difeenţiale ale mişcăii pulsaţiile popii şi vectoii popii pentu sistem în cazul micilo oscilaţii în juul poziţiei sale de echilibu static; c) legile de mişcae foma lo maticeală şi valoile deplasăii iniţiale x pentu o θ 5 ca sistemul să efectueze mici oscilaţii ( ) Rezolvae a) Se obsevă că cele copui ale sistemului au fiecae câte o mişcae plană în planul vetical din fig4 Pentu disc se cunoaşte poziţia centului instantaneu de otaţie I deoaece confom enunţului acesta se ostogoleşte făă să alunece pe planul înclinat deci se obţine θ & x& / R Pentu baă nu este necesa să se detemine poziţia centului instantaneu de otaţie deoaece viteza sa unghiulaă este θ & x& / R ia viteza centului său de geutate C se poate detemina pe baza fomulei geneale de distibuţie a vitezelo unui cop igid astfel încât ezultă: x π Vc V + ωxoc Vc x& + x& + x& x& cos + R 6 Cu aceste elaţii cinematice se poate calcula enegia cinetică a sistemului: 6mR x& x Ec 6mx& + + m x& + x& + x& x& cos R R m 6R x& x π + 6mx& + mx& + mx& x& cos + 4R R 6 π Notând cu x st defomaţia acului până în poziţia de echilibu static a sistemului enegia sa potenţială devine: E p π x k st 6 R ( x + x ) 9mgx sin + mg R cos kx st Defomaţia statică x st se detemină din condiţia ca în poziţia de echilibu static a sistemului pentu cae x x enegia sa potenţială să fie minimă deci ezultă: p 9 9mg Ep k( x + xst ) mg x xst R x R x E x mg sin R

283 8 Vibaţii mecanice - 4 Pentu stabiliea ecuaţiilo difeenţiale ale mişcăii se folosesc ecuaţiile lui Lagange de speţa a doua sub fomă: cu ajutoul căoa ezultă: d dt E E Ep c c + j x & j x j x j x π m x π 9mg mx && + mx && cos + x& sin + + x R 6 R R 6 R x π x mx && cos + + 4mx & + mgsin R 6 R Se obsevă că în cazul oscilaţiilo mai ale sistemului ecuaţiile difeenţiale ale mişcăii sale sunt pofund neliniae O integală pimă a acesto ecuaţii difeenţiale se poate obţine aplicând teoema consevăii enegiei mecanice da aceasta nu pezintă intees pentu sisteme cu mai multe gade de libetate b) În cazul micilo oscilaţii în juul poziţiei de echilibu static a sistemului enegia sa cinetică şi cea potenţială se expimă ca fome pătatice şi omogene de vitezele genealizate x & x& espectiv de coodonatele genealizate x x deci ezultă: π E c 6mx& + mx& + mx& x& cos 6mx& + mx& + mx& x& 6 9mg x 9mg mg E p x + 6mgR x + x R 4R 4R 4R Ca umae ecuaţiile difeenţiale ale mişcăii devin: 9mg mx && + mx & + x R mg mx && + 4mx & + x R cae folosind notaţia g ω se pot expima sub foma maticeală: R

284 4 - Viba 8 ţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate + ω x x 9 x x 4 && && Acelaşi ezultat se obţine dacă se lineaizează diect ecuaţiile difeenţiale nelineae ale mişcăii stabilite în cazul oscilaţiilo mai ale sistemului Pulsaţiile popii ale sistemului se detemină din ecuaţia caacteistică: 4 7 p 6 p p p p p ω + ω ω ω din cae ezultă: 8 9 p m ω 65 5 p ω ω 775 p ω 5 ω Cei doi vectoi popii cae tebuie să fie nomaţi se detemină din ecuaţia maticeală: 4p p p p 9 μ ω ω din cae ezultă μ şi μ Ca umae vectoii popii nomaţi şi maticea metodă nomată coespunzătoae devin: {} {} [ ] μ μ μ c) Soluţia geneală a ecuaţiilo difeenţiale ale mişcăii în cazul micilo oscilaţii se poate expima sub foma maticeală:

285 84 Vibaţii mecanice - 4 {} [ ]{} + + ξ μ t sin p B t cosp A t sin p B t cosp A x în cae constantele de integae se detemină din condiţiile iniţiale: {} {} x x x t & Se obţin valoile: B B x A A cu ajutoul căoa se pot expima legile de mişcae ceute pecum şi foma lo maticeală: t cos x t cos x x ω + ω 5 t cos x t cos x x ω ω 5 ω ω t cos x t cos x x x 5 Pentu a detemina valoile ceute în enunţ ale deplasăii iniţiale x > este necesa să se expime în funcţie de x amplitudinea θ a oscilaţiilo mici de otaţie ale baei Pentu aceasta se calculează:

286 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 85 x θ R x 4R x 4R cos + cos 5 ωt cos ωt 5 ωt cos 5 ωt + ψ unde s-a folosit fomula de calcul a amplitudinii mişcăii ezultante la compuneea a două vibaţii amonice de pulsaţii difeite astfel încât ezultă: x π π θ x R R 6 54 R Obsevaţie: Alunecaea discului pe planul înclinat poate fi împiedicată numai de foţa de fecae de alunecae coespunzătoae cae se poate detemina aplicând pincipiul lui d Alembet pentu întegul sistem 4 În fig4 este epezentat modelul de tanslaţie al unui sistem vibant cu gade de libetate pentu cae se dau masele constantele elastice şi coeficienţii de amotizae vâscoasă pentu cae există elaţiile: f k ω c m mk Paametii de poziţie din figuă se măsoaă din poziţia de echilibu static a Fig 4 sistemului în cae supotul din deapta este fixat şi acuile elicoidale sunt petensionate cu acelaşi efot static Să se detemine: a) pulsaţiile popii vectoii popii şi maticea modală nomată pentu sistemul făă amotizae; b) legile de mişcae şi foma lo maticeală pentu vibaţiile libee cu amotizaee vâscoasă ale sistemului dacă la momentul iniţial al mişcăii în poziţia de echilibu static se impimă copului de masă m viteza iniţială v pe oizontală spe deapta; c) legile de mişcae foţată şi foma lo maticeală pentu vibaţiile foţate cu amotizae vâscoasă ale sistemului dacă la un moment dat supotul din deapta începe să vibeze pe oizontală după legea sin ω t Rezolvae

287 86 Vibaţii mecanice - 4 a) Folosind notaţiile maticeale cunoscute ecuaţiile difeenţiale ale vibaţiilo libee şi neamotizate ale sistemului se expimă pin foma maticeală: m && x + k x unde maticele de ineţie şi de igiditate sunt: [ ]{} [ ]{} {} [ k] m m m [ m] m 5k k 5 k 4k k k 4 k 5k 5 Pulsaţiile popii ale sistemului se detemină din ecuaţia caacteistică: [ k] p [ m] 5k mp k k 4k mp k 4 ( 5k mp )( m p 7mkp + 6k ) k 5k mp din cae ezultă: p ω p 5ω p 6ω Vectoii popii nomaţi se detemină din ecuaţia maticeală: 5k mp k k 4k mp k k 5k mp μ μ astfel încât aceştia şi maticea modală nomată devin:

288 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 87 {} {} {} [ ] μ μ μ μ m k b) Ecuaţiile difeenţiale ale vibaţiilo libee cu amotizae vâscoasă ale sistemului se expimă sub foma lo maticeală: x x x 5k k k 4k k k 5k x x x 5c c c 4c c c 5c x x x m m m & & & && && && de unde se obsevă că sistemul ae amotizae popoţională deoaece elementele maticei de amotizae [c] sunt popoţionale cu cele ale maticei de igiditate [k] Ca umae tecând la coodonatele nomale {ξ} cu tansfomaea de coodonate unde [μ] este maticea modală nomată pentu sistemul făă amotizae se ajunge la maticele modale de ineţie de amotizae espectiv de igiditate cae ezultă toate diagonale astfel încât ecuaţiile difeenţiale în coodonate nomale se decuplează Înt-adevă dacă după efectuaea tansfomăii de coodonate se înmulţeşte la stânga ecuaţia maticeală cu [μ] T şi se înlocuiesc şi atunci se obţin maticele modale: {} [ ]{} ξ μ x ω m c ω [ ] [ ] [ ][ ] 5 m m m m 5 m M T μ μ

289 88 Vibaţii mecanice - 4 [ ] [ ] [ ][ ] 5 m - 5-5c c - c - 4c c - c - 5c 5 c C T ω μ μ [ ] [ ] [ ][ ] 5 m - 5-5k k - k - 4k k - k - 5k 5 k K T ω μ μ Ecuaţiile difeenţiale în coodonate nomale devin: ω ξ + ω ξ + ξ ω ξ + + ω ξ ξ ω ξ + + ω ξ ξ & && & && & && astfel încât soluţia geneală pentu vibaţiile libee cu amotizae vâscoasă ale sistemului se poate expima sub foma maticeală: ( ) ( ) ( ) σ σ σ t sin h B t h cos A e t sin h B t h cos A e t sin h B t h cos A e 5 x x x t - t - t - în cae factoii de amotizae şi pseudopulsaţiile vibaţiilo amotizate ezultă: 4 p h p h 999 p h 5 5 ω σ ω σ ω σ ω σ ω σ ω σ

290 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 89 Constantele de integae se detemină din condi { } { } v x x t & ţiile iniţiale: din cae se obţin: 6v 4v B 4v v B B A A A h h 5 Legile de mişcae ceute şi foma lo maticeală devin: t sin 4 e 6v t sin e 4v x ω ω nde s-au apoximat h ω şi h 4 ω foţate cu amotizae vâscoasă ale istem t sin 4 e 8v t sin e 8v x t sin 4 e 6v t sin e 4v x t t 5 t t 5 t t 5 ω + ω ω ω ω ω ω ω ω ω t sin 4 e t sin 4 e 4v 5 x x t 5 t 5 ω ω ω ω - 6v x u c) Ecuaţiile difeenţiale ale vibaţiilo s ului se expimă sub foma maticeală: F(t) x x x 5k k k 4k k k 5k x x x 5c c c 4c c c 5c x x x m m m & & & && && &&

291 9 Vibaţii mecanice - 4 unde foţa petubatoae tansmisă pin ac şi amotizo datoită vibaţiei supotului lo comun este F(t) kf + cf& mω sin ωt + mω cosωt ( ω t + ϕ) F sin F mω ϕ actg Sistemul având amotizae popoţională se pot detemina mai uşo atât vibaţiile sale libee cât şi cele foţate tecând la coodonate nomale cu tansfomaea de coodonate { x} [ μ]{} ξ Foţele petubatoae modale se obţin sub foma maticeală: P mω - sin( ωt + ϕ) 5 F() t T { () t } [ μ] { F() t } astfel încât ecuaţiile difeenţiale în coodonate nomale devin: && ξ + ωξ& + ωξ ωsin && ξ + ωξ& + ωξ ωsin 5&& ξ + 5ω ξ& + 5ω ξ ω ( ωt + ϕ) ( ωt + ϕ) sin( ω t + ϕ) Soluţiile paticulae ale acesto ecuaţii difeenţiale vo fi de foma: ξ ξ ξ p p p ξ ξ ξ sin ( ωt + ϕ ψ) ( ω t + ϕ + ψ ) sin sin( ω t + ϕ ψ ) ia din condiţia ca acestea să veifice ecuaţiile difeenţiale ezultă: ξ ψ π ; ξ ψ actg5 ; ξ ψ actg

292 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 9 Ca umae legile de mişcae foţată se pot expima uşo sub foma lo maticeală: {} [ μ]{} ξ ( ωt + ϕ) ( ωt + ϕ + ψ ) ( ω t + ϕ + ψ ) - cos x p p 5 84 sin 8 sin de unde ezultă imediat legile de mişcae pentu fiecae cop al modelului de tanslaţie consideat Obsevaţie: Amplitudinea cea mai mae a vibaţiilo foţate ale sistemului se obţine pentu pimul mod natual de vibaţie ξ deoaece pulsaţia ω a foţei petubatoae este egală cu pulsaţia fundamentală p a sistemului făă amotizae ia factoii de amotizae sunt mult mai mici decât pulsaţiile popii coespunzătoae Se consideă sistemul vibant cu două gade de libetate din fig44 44 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile pentu cae se cunosc datele notate alătuat şi ω k / m Neglijând fecăile şi ştiind că paametii de poziţie independenţi din figuă se măsoaă din poziţia de echilibu static a sistemului să se detemine: a) enegia cinetică a sistemului enegia sa potenţială şi ecuaţiile difeenţiale ale mişcăii sub fomă maticeală ; b) pulsaţiile popii şi vectoii popii ; c) soluţia geneală a ecuaţiilo difeenţiale ale mişcăii sub fomă maticeală Fig 44 Fig 45 Fig 46

293 9 Vibaţii mecanice - 4 Fig 47 Fig 48 Fig 49 Fig 4 Fig 4 Fig 4

294 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 9 Fig 4 Fig 44 Rezultatele sunt date în tabelul umăto la punctul a) fiind dată numai foma maticeală a ecuaţiilo difeenţiale ale mişcăii sistemului

295 94 Vibaţii mecanice - 4

296 4 - Vi baţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 95

297 96 Vibaţii mecanice - 4

298 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 97

299 98 Vibaţii mecanice Se consideă sistemul vibant cu două gade de libetate din fig45 45 fomat din copui omogene legate înte ele pin legătui ideale pentu cae se cunosc datele notate alătuat înte aceste date existând elaţiile notate pe figuă Ştiind că paametii de poziţie independenţi din figuă se măsoaă din poziţia de echilibu static a sistemului să se detemine: a) enegia cinetică a sistemului enegia sa potenţială şi ecuaţiile difeenţiale ale mişcăii în cazul oscilaţiilo mai în juul poziţiei sale de echilibu static ; b) ecuaţiile difeenţiale ale mişcăii sub fomă maticeală în cazul micilo oscilaţii ale sistemului în juul poziţiei sale de echilibu static; c)pulsaţiile popii ale sistemului vectoii popii şi maticea modală nomată în cazul micilo oscilaţii Fig 45 Fig 46 Fig 47 Fig 48

300 4 - Vibaţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate 99 Fig 49 Fig 4 Fig 4 Fig 4 Fig 4 Fig 44 Fig 45 Rezultatele sunt date în tabelul umăto La punctul a) nu sunt date ecuaţiile difeenţiale ale mişcăii cae se obţin uşo aplicând ecuaţiile lui Lagange de speţa a doua pentu sisteme consevative ia la punctul c) nu sunt explicitaţi vectoii popii cae se egăsesc în maticea modală nomată pe coloane

301 Vibaţii mecanice - 4

302 4 - Vi baţii lineae ale sistemelo mecanice cu mai multe gade de libetate

303 Vibaţii mecanice - 4

304 4 - Metode apoximative pentu studiul vibaţiilo 4 Metode apoximative pentu studiul vibaţiilo 4 Se consideă sistemul vibant din fig4 fomat din copui omogene legate înte ele pin fie pefect flexibile şi inextensibile şi pin acui elicoidale de masă neglijabilă pentu cae datele sunt notate alătuat Se neglijează fecăile şi foţele de amotizae ia paametii de poziţie x x Rθ şi x din figuă se măsoaă din poziţia de echilibu static a sistemului Să se detemine pulsaţiile popii şi vectoii popii nomaţi cu zecimale exacte pentu sistemul consideat folosind metoda iteaţiei maticeale cu maticea dinamică şi cu invesa ei pecum şi elaţiile de otogonalitate ale vectoilo popii cu maticea de ineţie Fig 4 Rezolvae Deoaece scipetele mobil cae se află înt-o mişcae plană în planul vetical al mişcăii sistemului ae centul instantaneu de otaţie în I se pot calcula uşo enegia cinetică şi cea potenţială pentu întegul sistem: x& Ec 5mx& + mr θ& + mx& + mr R mx& mx& + mx& + mx& E p kx + 4k x x + k x x + kx ( ) ( ) + Din aceste expesii se pot scie diect maticea de ineţie [m] şi cea de igiditate [k] cae ezultă aplicând ecuaţiile lui Lagange de speţa a doua:

305 4 Vibaţii mecanice [ m] m [ k] k ia invesele lo devin: m [ m] 9 [ k] 46k Maticea dinamică [D] şi invesa ei ezultă: [ D] [ k] [ m] - [ D] [ m] [ k] ω 8 9 ω unde s-a notat ω k / m Pentu a detemina pulsaţia popie fundamentală p şi pimul vecto popiu {µ} se efectuează iteaţii cu maticea dinamică începând cu vectoul iniţial () T { μ } { }

306 Metode apoximative pentu studiul vibaţiilo T După 7 iteaţii se obţine { } { 8 94 } μ cu zecimale exacte pentu μ ia pentu a se asigua această pecizie s-a lucat cu 4 zecimale astfel încât eoaea absolută la deteminaea coeficientului de distibuţie μ este mai mică decât -4 Pulsaţia popie fundamentală se detemină din condiţia λ astfel încât ezultă: p ω p p 86 ω Pentu a detemina cea mai mae pulsaţie popie p şi vectoul popiu coespunzăto {μ} se fac iteaţii cu invesa maticei dinamice ponind de la vectoul () T iniţial { μ } { }

307 6 Vibaţii mecanice Se obţine cu zecimale exacte pentu μ tot după 7 iteaţii ia pentu pulsaţia popie p ezultă: {} { } T μ 674 p p ω ω ω λ 9

308 4 - Metode apoximative pentu studiul vibaţiilo 7 Pentu a detemina vectoul popiu {μ} se folosesc elaţiile de otogonalitate ale acestuia cu ceilalţi doi vectoi popii deteminaţi cae pentu maticea de ineţie [m] se expimă pin: T T { } [ ]{} μ { μ} [ m]{ μ} μ m T Consideând { μ } {μ μ } se obţin ecuaţiile: 9 μ + 94μ + 9 9μ 64μ + 9 din cae ezultă μ - şi μ Pulsaţia popie p se poate detemina cel mai uşo după o singuă iteaţie cu maticea dinamică sau cu invesa ei da aici pentu veificaea exactităţii calculelo se foloseşte apotul lui Rayleigh: p T {}[ μ k]{} μ T {}[ μ m]{} μ 4k ω p 4m ω 4 În fig4 este epezentat modelul de tanslaţie al unui sistem vibant linea cu gade de libetate pentu cae se cunosc masele copuilo aflate în mişcae de tanslaţie ectilinie pe veticală şi constantele elastice ale acuilo elicoidale pecum şi ω k m Paametii de poziţie independenţi x x x se măsoaă din poziţia de echilibu static a sistemului în cae acul de constantă elastică 59k este nedefomat ia f f f sunt deplasăile pe veticală ale copuilo din poziţia în cae celelalte acui sunt nedefomate până în poziţia de echilibu static a sistemului a) Să se detemine pulsaţia popie fundamentală p şi vectoul popiu coespunzăto {μ} cu metoda iteaţiei maticeale cu eoae absolută mai mică decât -4 pentu μ ponind de la vectoul iniţial Fig 4 () { } T { 4 / } T b) Să se veifice că { } { } μ μ epezintă tanspusa celui de al doilea vecto popiu şi să se afla valoaea exactă a pulsaţiei popii coespunzătoae p c) Să se detemine cel de al teilea vecto popiu