Conţinutul modulului:

Transcript

1 Modulul FUNDAMENTELE MECANICII Conţinutul odulului:. Noţiuni geneale. Pincipiile fundaentale ale dinaicii.3 Teoee geneale în dinaica punctului ateial.4 Enegia ecanică şi teoeele enegiei Evaluae:. Definiea ăiilo fizice şi a unităţilo de ăsuă. Enunţul şi foula legilo fizice studiate 3. Răspunsui la întebăile finale. Noţiuni geneale Mecanica este acea pate a fizicii cae studiază işcaea copuilo şi condiţiile de echilibu al acestoa. După ăiea vitezei de deplasae a copuilo, se distinge ecanica clasică (coespunzând vitezelo de deplasae ult ai ici ca viteza luinii în vid, ( v << c ) şi ecanica elativistă (viteze copaabile cu viteza luinii în vid). In funcţie de caacteul pobleelo abodate, ecanica clasică cupinde tei păţi: - statica - acea pate cae studiază condiţiile de echilibu al copuilo; - cineatica - studiază işcae copuilo făă să ţină seaă de cauzele cae o deteină; - dinaica - studiază işcae copuilo având în vedee inteacţiunile acestoa în decusul işcăii. Studiul işcăii copuilo pesupune localizaea lo în spaţiu şi în tip. Pentu aceasta se alege un siste de efeinţă, cae epezintă un cop ales ca epe şi un ceasonic, cu ajutoul căoa se pot deteina poziţia şi duata. In geneal, sisteul de efeinţă este epezentat de un siste tiotogonal de axe în sens geoetic şi un ceasonic. Un punct ateial epezintă un cop ale căui diensiuni pot fi neglijate. Punctul ateial în işcae este denuit obil, ia totalitatea punctelo succesive pin cae tece obilul în decusul işcăii sale foează taiectoia acestuia. Poziţia unui punct ateial M, la un oent dat, pe taiectoia sa este dată de vectoul de poziţie, (fig..), cae este, în geneal, funcţie de tip: = xi + yj + zk (.)

2 Deplasaea punctului ateial în decusul işcăii este dată de vectoul deplasae (fig..): = (.) z z M y x x Fig.. Fig.. Viteza edie a punctului ateial se defineşte pin: v = (.3) t ia viteza oentană se defineşte pin d v = li = = &, (.4) t o t punctul din ultia expesie fiind o notaţie uzuală în fizică pentu deivata unei ăii în apot cu tipul.vectoul viteză oentană este în peanenţă tangent la taiectoie. In SI viteza se ăsoaă în /s: [] v SI =. Cu ajutoul coponentelo sale, viteza (oentană) s se expiă în foa: v = & = xi & + yj & + zk & = vxi + v y j + vzk (.5) In od aseănăto, acceleaţia edie a obilului este definită pin : v a = (.6) t ia acceleaţia oentană pin: v dv d a = li = = = && xi + && yj + && zk = axi + a y j + azk. (.7) t o t Unitatea de ăsuă a acceleaţiei în SI este /s.. Pincipiile fundaentale ale dinaicii Poblea fundaentală a dinaicii şi totodată una din pobleele pincipale ale ecanicii constă în deteinaea legii de işcae a fiecăui punct ateial al unui siste ecanic dat, adică a dependenţei de tip a vectoului de poziţie, (t), espectiv a

3 3 coponentelo acestuia x ( t), y( t), z( t), cae epezintă în acelaşi tip şi ecuaţia paaetică a taiectoiei; pin eliinaea paaetului tip se obţine ecuaţia taiectoiei f ( x, y, z) = 0. Rezolvaea acestei poblee se bazează pe câteva pincipii fundaentale obţinute pin genealizaea obsevaţiilo expeientale. 0. Pincipiul ineţiei sau pia lege a dinaicii (foulat de căte Galilei) afiă că oice cop asupa căuia nu acţionează alt cop îşi păstează staea de işcae ectilinie şi unifoă sau de epaus elativ. Mişcaea unui cop asupa căuia nu acţionează un alt cop se nueşte işcae ineţială. Fiecae işcae ecanică este elativă, deoaece caacteul işcăii depinde de sisteul de efeinţă ales. Acelaşi cop poate fi în epaus faţă de un siste de efeinţă, se işcă ectiliniu şi unifo faţă de altul sau acceleat faţă de un al teilea siste. Acele sistee de efeinţă în cae este valabil pincipiul ineţiei se nuesc sistee ineţiale. 0. Pincipiul foţei sau a doua lege a dinaicii (Newton) afiă că o foţă cae acţionează asupa unui cop îi ipiă acestuia o acceleaţie popoţională cu foţa F şi inves popoţională cu asa copului : F = a = & (.8) sau pe coponente: Fx = ax = x && ; Fy = a y = y && ; (.8 ) Fz = az = z &&; În SI asa se ăsoaă în kg ia foţa în N; N = kg. s Aşada foţa este o ăie vectoială cae ăsoaă inteacţiunea dinte copui, cauză a odificăii stăii de işcae a acestoa sau a defoăii lo. In ecanica clasică, asa copuilo este constantă, nu depinde de staea de işcae a acestoa. În elaţiile (.8) şi (.8 ) coponentele foţei F depind, în geneal, atât de tip cât şi de coodonatele x, y, z Ecuaţia (.8), sau ecuaţiile echivalente (.8 ), epezintă ecuaţia difeenţială a işcăii copului (ecuaţia de işcae) ia soluţiile coespunzătoae constituie legea de işcae. În soluţiile obţinute pin integaea ecuaţiilo difeenţiale (.8 ) intevin constante abitae. Deteinaea copletă a legilo de işcae necesită aflaea acesto constante ceea ce se poate face dându-se condiţiile iniţiale ale işcăii, adică poziţia şi viteza punctului ateial la oentul t= Pincipiul acţiunii şi eacţiunii sau legea a teia a dinaicii (Newton) afiă că dacă un cop acţionează asupa altuiacu o foţă, cel de al doilea va acţiona asupa celui dintâi cu o foţă egală în odul şi opusă: F = F (.9)

4 Pincipiul independenţei acţiunii foţelo afiă că fiecae dinte foţele la cae este supus un cop acţionează independent de celelalte foţe aplicate. Din acest pincipiu ezultă posibilitatea înlocuiii unui ansablu de foţe F, F,... Fn acţionând asupa unui cop, pint-o ezultantă R, egală cu sua vectoială a foţelo date: R = n (.0) F i i= 5 0. Pincipiul elativităţii clasice (Galilei) afiă că legile fenoenelo ecanice ăân neschibate faţă de oicae siste de efeinţă ineţial. foulae echivalentă este: pin nici o expeienţă ecanică efectuată în inteioul unui siste de efeinţă ineţial nu se poate pune în evidenţă işcaea ectilinie şi unifoă sau staea de epaus elativ a acestuia faţă de alte efeenţiale ineţiale. Fie două sistee de efeinţă ineţiale S şi S (fig..3), sisteul S consideat fix şi sisteul S în işcae ectilinie şi unifoă cu viteza v faţă de S. z (s) z' (s') ' M x x' v t ' y y' Fig..3 ţinând seaa că în ecanica newtoniană tipul este absolut (nu ' depinde de sisteul de efeinţă) şi dacă la t = t = 0 cele două oigini şi coincid, se poate scie: ' = ' + vt ; t = t (.) Aceste elaţii constituie gupul de tansfoăi Galilei şi se pot scie şi sub foă scalaă: ' ' ' x t y = y + v yt ; z = z + vzt ; t = x = x + v ; t (. ) Deivând pia ecuaţie (.) în apot cu tipul se obţine legea de copunee a vitezelo în ecanica clasică: & & = ' + v sau u = u' + v (.) şi după o nouă deivae în apot cu tipul: & & = & &' sau a = a' (.3) In ecanica newtoniană asa unui cop, acceleaţia sa pecu şi foţele cae o deteină sunt aceleaşi faţă de oice efeenţial ineţial. '

5 5 La viteze ai, cae se apopie de viteza luinii în vid, 8 c 3 0 / s, tansfoăile lui Galilei nu ai sunt adecvate, ele se înlocuiesc cu tansfoăile lui Loentz. Pincipiile ecanicii clasice pot fi aplicate şi sisteelo de puncte ateiale cu condiţia să se ţină seaa că în acest caz pot acţiona două tipui de foţe (fig..4): (i) - foţe inteioae, F, cu cae fiecae punct ateial actionează asupa celolalte puncte din siste; (e) - foţe exteioae, F, cae acţionează din exteioul sisteului asupa fiecăui punct din siste. Astfel, legea a doua a lui Newton pentu un punct k al sisteului de n puncte ateiale se scie: ( e) F F ( e) 3 3 F F F 3 F F 3 F 3 3 Fig..4 F ( e) n e i = F ( & ) ( ) + F (.4) k k k (i) unde F kj este foţa inteioaă cu cae punctul j din siste actionează asupa punctului k. j= j k kj.3 Teoee geneale în dinaica punctului ateial Teoeele geneale din dinaica punctului ateial (nuite uneoi şi legi) sunt consecinţe diecte ale pincipiilo fundaentale ale dinaicii. Teoea ipulsului.se nueşte ipuls al punctului ateial cu asa cae se işcă cu viteza v ăiea: p = v (.5)

6 6 În SI ipulsul se ăsoaă în kg. Legea a doua a dinaicii pentu s un punct ateial se poate scie: dv d( v) F = a = =, dp deci: F =, (.6) adică foţa cae acţionează asupa punctului ateial este egală cu vaiaţia ipulsului acestuia în unitatea de tip, ceea ce constituie teoea ipulsului. În dinaica clasică ecuaţiile (.6) şi (.8) sunt echivalente deoaece asa este constantă şi poate fi tecută sub opeatoul de deivae, da ecuaţia (.6) este ai geneală, fiind valabilă şi în cazul în cae asa copului vaiază în tipul işcăii. Dacă ezultanta foţelo cae acţionează asupa punctului ateial este nulă, F = 0, atunci din (.6) ezultă p = constant, ceea ce constituie teoea (legea) consevăii ipulsului pentu punctul ateial. Teoea ipulsului se extinde şi asupa unui siste de puncte ateiale. Ţinând seaa că ipulsul unui punct k din siste este p k = kv k = k & k, ecuaţia (.5) devine: dp n k e i = F ( ) ( ) k + Fkj j = j k Sciind astfel de elaţii pentu toate punctele sisteului şi însuând, obţine: n dp n n n k ( e) = Fk + Fkj k = k = k = j = j k Sua dublă se anulează, deoaece în baza pincipiului acţiunii şi eacţiunii F kj = F jk ; sua ipulsuilo paticulelo din siste este ipulsul sisteului: n dp d n k dpsist. = pk = k = k = n ( e) ( e) ia F = F este ezultanta foţelo exteioae ce acţionează k= k asupa sisteului. Atunci se obţine: dp sist. ( e) = F (.7) cae epezintă teoea ipulsului pentu sisteul de puncte (e) ateiale. Dacă ezultanta foţelo exteioae este nulă, F = 0, din dp (.7) se obţine sist. =0; p sist. = const. ceea ce expiă legea de consevae a ipulsului. Teoea oentului cinetic. Moentul cinetic al unui punct ateial sau oentul ipulsului (denuit şi oent unghiula) faţă

7 7 de un punct (pol, în paticula oiginea sisteului de efeinţă) este vectoul J = p = v (.8) unde este vectoul de poziţie al punctului ateial (având oiginea în pol).în SI, oentul cinetic se ăsoaă în kg. s F v p α 90 b Fig..5 Fig..6 Moentul unei foţe cae acţionează asupa unui punct ateial în apot cu un pol este vectoul: M = F (.9) În SI, oentul foţei se ăsoaă în N. Legea a doua pentu punctul ateial se scie: dv dp F = = Înulţind vectoial la stânga cu : dp d F = = ( p) d deoaece p = v v = 0, cei doi vectoi ai podusului vectoial fiind coliniai. Ţinând seaa de definiţiile ăiilo J şi M, se obţine: dj M = (.0) cae constituie teoea oentului cinetic: vaiaţia oentului cinetic al unui punct ateial în unitatea de tip este egală cu oentul foţei cae acţionează asupa punctului ateial. Dacă oentul foţei este nul, ezultă din (.0) că oentul cinetic al punctului este constant, J = const., aceasta constituind teoea consevăii oentului cinetic. elaţie aseănătoae cu (.0) poate fi scisă şi pentu un siste de puncte ateiale.

8 8.4 Enegia ecanică. Teoeele enegiei Descieea dinaică a evoluţiei unui punct ateial ţine seaa din foţele cae acţionează asupa acestuia în fiecae punct al spaţiului şi la fiecae oent de tip. Regiunea de spaţiu, liitată sau neliitată, unde în fiecae punct se face siţită acţiunea unei foţe asupa punctului ateial foează un câp de foţe. Câpul de foţe cae nu depinde de tip se nueşte staţiona. Dacă diecţia foţelo câpului în fiecae punct al său tece eeu pin acelaşi punct atunci câpul se nueşte cental. d + d Fig..7 Să consideă un punct ateial în işcae înt-un câp de foţe şi să pesupune că pe duul eleenta d acţionează foţa F (cae poate fi ezultanta ai ulto foţe şi în geneal este vaiabilă). Măiea dl = Fd (.) se nueşte lucul ecanic eleenta al foţei F. Lucul ecanic la o deplasae finită înte două puncte şi de-a lungul unei taiectoii se obţine pin integae L = Fd (.) Ca uae a acţiunii foţei F pe duul d, viteza punctului ateial vaiaza cu dv, astfel că pute scie: dv v dl = Fd = d = vdv = d = de c (.3) v Pin definiţie ăiea E c = epezintă enegia cinetică a copului cae se işcă cu viteza v. Rezultatul obţinut dl = de c (.4) sau, pentu o vaiaţie finită: L dec = Ec Ec = (.5)

9 9 expiă teoea vaiaţiei enegiei cinetice: lucul ecanic (eleenta) al ezultantei foţelo cae acţionează asupa unui cop este egal cu vaiaţia (eleentaă) a enegiei cinetice a copului. Se defineşte puteea foţelo cae acţionează asupa copului ca fiind lucul ecanic efectuat de foţe în unitatea de tip: dl P = = F v (.6) Atunci, îpăţind (.4) cu se obţine: dl dec P = = = E& c (.7) In SI puteea se ăsoaă în watt (W) altă foă a teoeei vaiaţiei enegiei cinetice: vaiaţia enegiei cinetice în unitatea de tip este egală cu puteea foţelo cae acţionează. A B Fig..8 Dacă lucul foţelo câpului la deplasaea înte oicae două puncte ale unui câp staţiona nu depinde de du (fig..8), ci nuai de poziţia acesto puncte atunci câpul se nueşte potenţial, ia foţele se nuesc consevative (deivă din potenţial): L = Fpd = Fpd (.8) ( A) ( B) Este evident că lucul ecanic al foţelo consevative de-a lungul unei taiectoii închise (acată pin cecul supapus peste sibolul integalei) este nul: F d = 0 p AB (.9) Ţinând seaă de definiţia (.8), lucul ecanic efectuat de foţele unui câp potenţial la deplasaea înte două puncte se poate scie: L = F d = U ) U ( ) (.30) p ( sau, pentu o deplasae infinitesială (eleentaă) :

10 0 dl = Fpd = du, (.3) în cae ăiea fizică U ( ) epezintă, pin definiţie, enegia potenţială a punctului ateial aflat în câpul potenţial. Expesia (.30) sau (.3) epezintă teoea vaiaţiei enegiei potenţiale: lucul ecanic al foţelo consevative este egal cu vaiaţia enegiei potenţiale luată cu sen schibat. Se obsevă din (.30) că enegia potenţială a punctului ateial înt-un punct al câpului este deteinată nuai dacă se alege ca efeinţă enegia înt-un punct abita.exeple de câpui potenţiale: - câpul gavitaţional, în cae foţa de atacţie gavitaţională este consevativă; expesia enegiei potenţiale în câp gavitaţional unifo, cu acceleaţia gavitaţională g, la înălţiea h faţă de nivelul de efeinţă esteu = gh. - câpul electostatic, ceat de sacini electice; enegia potenţială a unei sacini electice q în punctul cu potenţialul electic V este U = qv ; - câpul foţelo elastice; enegia potenţială a unui siste cu constanta elastică k defoat cu elongaţia x este U = kx /. Enegia ecanică totală a unui punct ateial (siste) este dată de sua dinte enegia cinetică şi cea potenţială a punctului ateial (sisteului): E = Ec + U. (.3) In geneal asupa unui punct ateial (siste) acţionează atât foţe consevative cât şi foţe neconsevative; lucul ecanic al ezultantei acestoa este: dl = Fpd + Fn d = du + Fn d = dec (.33) şi din ultia egalitate se obţine: dln = Fnd = dec + du = de (.34) sau pe o taiectoie finită: Ln = Fn d = de = E E = E (.35) adică lucul ecanic al foţelo neconsevative este egal cu vaiaţia enegiei totale a punctului ateial (sisteului).exeple de foţe neconsevative: foţa de fecae (lucul ecanic al acesteia este negativ şi duce la scădeea enegiei totale), foţa de tacţiune (lucul ecanic este pozitiv şi duce la ceşteea enegiei totale). Dacă asupa punctului ateial (sisteului) nu acţionează foţe neconsevative enegia totală a sisteului ăâne constantă - legea consevăii enegiei ecanice. Intebăi pentu veificaea însuşiii cunoştinţelo şi

11 pentu evaluae:. Definiţi viteza şi acceleaţia unui obil.. Daţi enunţul şi expesia legii a doua a dinaicii. 3. Definiţi ipulsul unui punct ateial şi enunţaţi teoea ipulsului. 4. Ce este oentul cinetic al unui punct ateial şi ce este oentul unei foţe? 5. Enunţaţi teoea oentului cinetic şi cea de consevae a oentului cinetic. 6. Cu se expiă teoea vaiaţiei enegiei cinetice? 7. Ce este puteea unei foţe şi cae este unitatea ei de ăsuă? 8. Enunţaţi teoea vaiaţiei enegiei potenţiale. 9. Ce este enegia ecanică totală? Consevaea ei.