Σφάλματα και στατιστική επεξεργασία πειραματικών μετρήσεων. Γραφικές παραστάσεις, κλίση καμπύλης, μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σφάλματα και στατιστική επεξεργασία πειραματικών μετρήσεων. Γραφικές παραστάσεις, κλίση καμπύλης, μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων."

Transcript

1 ΘΕ Σφάλματα και στατιστική επεξεργασία πειραματικών μετρήσεων. Γραφικές παραστάσεις, κλίση καμπύλης, μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. ΑΝΤΙ ΠΡΟΛΟΓΟΥ ΟΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ή ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΠΟΛΛΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΓΙΑ ΝΑ ΛΥΘΕΙ ΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο Καθ. E. Rutherford ) πρόεδρος της Βασιλικής Ακαδημίας Επιστημών και κάτοχος του βραβείου Νόμπελ 1908) αφηγείται, σε πρώτο πρόσωπο, την ακόλουθη ενδιαφέρουσα ιστορία: Πριν από καιρό δέχτηκα ένα τηλεφώνημα από συνάδελφο - καθηγητή. Επρόκειτο να βαθμολογήσει με μηδέν ένα σπουδαστή για την απάντησή του σε μια ερώτηση διαγωνίσματος Εργαστηριακής Φυσικής ενώ ταυτόχρονα ο σπουδαστής διαφωνούσε, διεκδικώντας ένα καλό βαθμό. Ο βαθμολογητής αλλά και ο σπουδαστής συμφώνησαν για ένα τρίτο, αμερόληπτο κριτή και έτσι εγώ βρέθηκα να έχω επιλεγεί για αυτόν τον σκοπό. Η κρίσιμη ερώτηση του συγκεκριμένου διαγωνίσματος ήταν: «Δείξτε πως είναι δυνατόν να προσδιοριστεί το άγνωστο ύψος ενός ψηλού κτιρίου με την βοήθεια ενός βαρόμετρου». Ο σπουδαστής λοιπόν είχε απαντήσει: «Αφήνω σιγά - σιγά το βαρόμετρο από την ταράτσα του κτιρίου να προσεγγίσει την επιφάνεια του εδάφους αφού πρώτα το δέσω με την άκρη ενός λεπτού νήματος με μεγάλο μήκος. Στην συνέχεια τυλίγω το νήμα και από το μήκος του υπολογίζω ακριβώς το άγνωστο ύψος του κτιρίου». Ο σπουδαστής είχε πράγματι σοβαρές αξιώσεις για μια καλή βαθμολόγηση καθώς - κατά την γνώμη του - είχε απαντήσει πλήρως και σωστά. Από την άλλη, εάν του είχε δοθεί ένας πολύ καλός βαθμός αυτός θα συνεισέφερε στην συνολική βαθμολογία του σπουδαστή για την Φυσική και θα επιβεβαίωνε έτσι την επάρκειά του σε αυτό το μάθημα. Όμως η απάντηση που είχε δώσει δεν εδραίωνε αλλά ούτε και δικαιολογούσε, σύμφωνα με τον καθηγητή του, ένα τέτοιο γεγονός. Υποστήριξα πως ο σπουδαστής θα έπρεπε να έχει την δυνατότητα μιας ακόμη σχετικής προσπάθειας. Έδωσα στον σπουδαστή έξη λεπτά για να απαντήσει εκ νέου, στην ίδια ακριβώς ερώτηση, με την απαραίτητη υπενθύμιση ότι θα πρέπει η νέα απάντηση να υποδεικνύει απαραίτητα κάποιες γνώσεις του στη Φυσική. Μέχρι και το τέλος των πέντε πρώτων λεπτών δεν είχε γράψει τίποτε, τον ρώτησα εάν ήθελε να εγκαταλείψει την προσπάθεια και μου είπε ότι είχε ήδη πολλές απαντήσεις σε αυτό το πρόβλημα και απλά σκέπτεται ποια να επιλέξει ως την καλλίτερη δυνατή. Ζήτησα συγνώμη για την ενόχληση και τον παρακάλεσα να συνεχίσει την εργασία του. Η απάντηση ήρθε αστραπιαία το επόμενο ακριβώς λεπτό, σας την καταθέτω : «Παίρνω το βαρόμετρο στην ταράτσα του κτιρίου και το τοποθετώ στην άκρη του στηθαίου, το αφήνω να πέσει στο έδαφος ενώ χρονομετρώ την διάρκεια t της πτώσης. Αξιοποιώντας 1 Σε αυτό το σημείο ρώτησα τον συνάδελφο - εξεταστή εάν εδώ μπορούσε να σταματήσει αυτή η Αραβαντινός Α. 1

2 διαδικασία. Αυτός συμφώνησε, βαθμολόγησε μάλιστα τον σπουδαστή με ένα αρκετά καλό βαθμό. Ενώ εγκαταλείπαμε μαζί με τον σπουδαστή το γραφείο όπου έγινε η επαναληπτική εξέταση θυμήθηκα πως μου είχε αναφέρει πως είχε κατά νου και άλλες απαντήσεις στο ίδιο ακριβώς πρόβλημα, έτσι γεμάτος περιέργεια, τον ρώτησα ποιες μπορούσαν να είναι αυτές. «Μάλιστα» είπε ο σπουδαστής «Υπάρχουν πολλοί τρόποι να μετρήσεις το άγνωστο ύψος ενός μεγάλου κτιρίου με την βοήθεια ενός βαρόμετρου. Για παράδειγμα μπορείς να βγεις με το βαρόμετρο έξω στον ήλιο και από το ύψος του κατακόρυφου σωλήνα του βαρόμετρου, το μήκος της σκιάς του και το μήκος της σκιάς του κτιρίου χρησιμοποιώντας απλές αναλογίες υπολογίζεις το ύψος του κτιρίου». «Μάλιστα, συνέχισε ακάθεκτος ο σπουδαστής, υπάρχει μια βασική πειραματική μέθοδος που βολεύει αρκετούς. Σε αυτή τη μέθοδο παίρνεις το βαρόμετρο και αρχίζεις να ανεβαίνεις ένα - ένα τα σκαλιά προς την ταράτσα. Καθώς τα ανεβαίνεις σημειώνεις το ίχνος του μήκους του βαρόμετρου καθ' ύψος στον κατακόρυφο τοίχο. Στη συνέχεια μετράς τον συνολικό αριθμό των ιχνών και αυτό θα σου δώσει το ακριβές ύψος του κτιρίου μετρημένο όμως σε μονάδες μήκους σωλήνα βαρόμετρου». Είναι μια πολύ άμεση μέθοδος μέτρησης, απάντησα. «Φυσικά, εάν όμως θέλεις μια περισσότερο πολύπλοκη μέθοδο μπορείς να δέσεις το βαρόμετρο στην άκρη ενός κοντού σχετικά νήματος και να το χειριστείς σαν απλό εκκρεμές υπολογίζοντας την τιμή της επιτάχυνσης βαρύτητας στο επίπεδο του δρόμου αλλά και στην ταράτσα του κτιρίου. Από την αναμενόμενη διαφορά των δυο τιμών μπορεί επίσης να προσδιοριστεί το ζητούμενο άγνωστο ύψος. Εξάλλου μπορείς ακόμη αφού ανέβεις στην ταράτσα να δέσεις το βαρόμετρο με ένα μακρύ νήμα και αφού το κατεβάσεις έτσι ώστε μόλις να εφάπτεται στην επιφάνεια του δρόμου το κινείς σαν να ήταν ένα εκκρεμές. Έτσι προσδιορίζεις το ύψος του κτιρίου από την μέτρηση της περιόδου για αυτή την κίνηση». «Τελικά συμπέρανε, υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι για να λύσεις ένα πρόβλημα. Ίσως βέβαια ο καλύτερος θα είναι να πάρεις το βαρόμετρο στο ισόγειο και αφού χτυπήσεις την πόρτα του διευθυντή - ιδιοκτήτη του κτιρίου, και εφ' όσον σου ανοίξει, να του πεις: Κύριε διευθυντά αυτό το πολύ ακριβό εργαστηριακό όργανο θα γίνει δικό σου εάν μου αποκαλύψεις ποιο είναι το ύψος αυτού του κτιρίου». Σε αυτό το σημείο ήταν σειρά μου να ρωτήσω τον σπουδαστή εάν πραγματικά δεν γνώριζε την συμβατική απάντηση σε αυτή τη συγκεκριμένη ερώτηση. Την απάντηση δηλαδή που «εμπλέκει» την βαρομετρική σχέση: πίεση - ύψος, έτσι ώστε γνωρίζοντας την διαφορά της ατμοσφαιρικής πίεσης να υπολογίζεται το άγνωστο ύψος. Αμέσως παραδέχτηκε ότι και αυτή τη γνώριζε όμως ταυτόχρονα μου ομολόγησε ότι ήταν αρκετά ενοχλημένος από τον τρόπο μερικών εκπαιδευτικών που προσπαθούν να διδάξουν τους σπουδαστές τους πως ακριβώς πρέπει να σκέπτονται. Η παραπάνω ιστορία είναι πέρα για πέρα αληθινή και το όνομα του «άγνωστου» σπουδαστή είναι Niels Bohr ), πρόκειται για τον μετέπειτα παγκόσμια γνωστό, Δανό Φυσικό που μάλιστα βραβεύθηκε και με το Νόμπελ Φυσικής το 19. Ο N. Bohr έγινε γνωστός για το ότι πρότεινε το μοντέλο του ατόμου που συνίσταται από τον πυρήνα πρωτονίων, νετρονίων ενώ σε διαφορετικές ενεργειακές στάθμες βρίσκονται τα περιφερόμενα ηλεκτρόνια. Πρόκειται για την πολύ γνωστή σε όλους εικόνα του μικροσκοπικού πυρήνα που περιβάλλεται από ένα μικρό αριθμό ελλειπτικών τροχιών. Ο Niels Bohr υπήρξε ένα φωτισμένο μυαλό, ένας πραγματικός καινοτόμος στην θεμελίωση της Κβαντικής Θεωρίας. Απόδοση στα Ελληνικά Α. Αραβαντινός Αραβαντινός Α. 2

3 ΘΕ1 Σφάλματα και στατιστική επεξεργασία πειραματικών μετρήσεων. 1 Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεματολογίες όπως: σφάλματα, στατιστική επεξεργασία πειραματικών μετρήσεων και παρουσιάσεις αποτελεσμάτων. Είναι άσκηση εισαγωγικού χαρακτήρα της οποίας η κατανόηση θα βοηθήσει σημαντικά στη σωστή διεξαγωγή των εργαστηριακών ασκήσεων που ακολουθούν. 2 Θεωρία Η παρακολούθηση της εξέλιξης ενός φαινομένου μπορεί να είναι είτε ποιοτική είτε και ποσοτική. Η γνώση που παρέχεται από την ποιοτική ερμηνεία του φαινομένου είναι μάλλον επιφανειακή ενώ η ποσοτική θεωρείται πιο θεμελιωμένη. Ποσοτικές σχέσεις όμως μεταξύ διαφόρων μεταβλητών προυποθέτουν απαραίτητα την μέτρησή τους. 2.1 Μετρήσεις φυσικών μεγεθών. Μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους λέγεται η σύγκριση του με ένα άλλο ιδίου είδους και καθιερωμένης αριθμητικής τιμής που χρησιμοποιείται σαν πρότυπο δηλαδή πρόκειται για μονάδα μετρήσεως). Μία μέτρηση λέγεται άμεση αν προκύπτει από την απευθείας σύγκριση προς το πρότυπο π.χ. η μέτρηση ενός μήκους με τον κανόνα, η μέτρηση της έντασης ρεύματος με το αμπερόμέτρο κλπ). Μία μέτρηση λέγεται έμμεση όταν προκύπτει από την άμεση μέτρηση άλλων φυσικών μεγεθών που συνδέονται με το ζητούμενο μέγεθος από μία μαθηματική σχέση π.χ. η μέτρηση της αντίστασης ενός αγωγού μετρώντας την τάση στα άκρα του με ένα βολτόμετρο και την ένταση του ρεύματος που περνάει από τον αγωγό με ένα αμπερόμετρο. Σε όλες τις περιπτώσεις δεν είναι δυνατόν να γίνει μέτρηση κάποιας φυσικής ποσότητας που να είναι απαλλαγμένη από κάποιο σφάλμα. Αυτό οφείλεται στην έλλειψη τελειότητας των ανθρωπίνων αισθήσεων καθώς και στην έλλειψη τελειότητας των μετρητικών οργάνων. Επίσης η διαδικασία της μέτρησης συνεπάγεται διαταραχή της αρχικής κατάστασης του μετρούμενου μεγέθους. Δυο όροι που χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε σχέση με την εν γένει «ποιότητα» των πειραματικών δεδομένων είναι η ακρίβεια accuracy) και η επαναληψιμότητα precision) της κάθε μετρητικής διαδικασίας. 2.2 Ακρίβεια. Η ακρίβεια ή ορθότητα) περιγράφει την ορθότητα ενός πειραματικού αποτελέσματος. Βέβαια το μόνο είδος μέτρησης που μπορεί να είναι απόλυτα ακριβές είναι αυτό που περιλαμβάνει απαριθμούμενα αντικείμενα, οι υπόλοιπες μετρήσεις περιλαμβάνουν διάφορα σφάλματα και έτσι δίνουν μια προσέγγιση μόνο της αλήθειας. Η ακρίβεια εκφράζεται είτε ως απόλυτο σφάλμα ή ως σχετικό σφάλμα. Το απόλυτο σφάλμα της μέσης τιμής ενός μικρού αριθμού επαναλαμβανόμενων μετρήσεων δίνεται από τη σχέση: Όπου είναι μια αποδεκτή τιμή της ποσότητας που μετρείται. Συχνά όμως είναι περισσότερο χρήσιμο η ακρίβεια να εκφράζεται με το αντίστοιχο σχετικό σφάλμα δηλαδή τη ποσότητα: Αραβαντινός Α. 3

4 [ ] Είναι προφανές ότι το απόλυτο αλλά και το σχετικό σφάλμα διαθέτουν πρόσημο που υποδηλώνει ότι το μετρούμενο μέγεθος είναι μεγαλύτερο από το πραγματικό θετικό πρόσημο) ή όταν ισχύει το αντίθετο αρνητικό). 2.3 Επαναληψιμότητα. Η επαναληψιμότητα ή πιστότητα ή αξιοπιστία) είναι μια έννοια που περιγράφει τον βαθμό συγκέντρωσης των μετρήσεων γύρω από μια κεντρική τιμή, με άλλα λόγια τον βαθμό συμφωνίας μεταξύ των αριθμητικών τιμών για δυο ή και περισσότερες πανομοιότυπα επαναλαμβανόμενες μετρήσεις που έχουν όμως ληφθεί υπό τις ίδιες ακριβώς πειραματιστικές συνθήκες. Τρεις επί μέρους όροι χρησιμοποιούνται προκειμένου να περιγράψουν την επαναληψιμότητα μιας ομάδας πειραματικών δεδομένων και αυτοί είναι: η τυπική απόκλιση standard deviation), η μεταβλητότητα ή διακύμανση variance) καθώς και ο συντελεστής μεταβλητότητας ή διακύμανσης coefficient of variation). Κατά την στατιστική επεξεργασία δεδομένων υποτίθεται ότι τα λιγοστά αποτελέσματα που προκύπτουν από τις πειραματικές μετρήσεις συνιστούν ένα πολύ μικρό κλάσμα του άπειρου αριθμού των αποτελεσμάτων που θα μπορούσαν να ληφθούν εάν υπήρχε άπειρος χρόνος αλλά και διάθεση για μετρήσεις. Τα λιγοστά αυτά δεδομένα είναι το πειραματικό «δείγμα» και φυσικά πρόκειται για υποσύνολο όλων των δεδομένων που υπάρχουν στη πραγματικότητα. Οι νόμοι της στατιστικής ισχύουν αυστηρά και μόνο σε άπειρο πλήθος δεδομένων και για αυτό όταν εφαρμόζονται σε δείγματα εργαστηριακών μετρήσεων υποθέτουμε καταχρηστικά, ότι το δείγμα αυτό είναι πραγματικά αντιπροσωπευτικό του άπειρου πληθυσμού. Βέβαια επειδή δεν υπάρχει εγγύηση ότι η υπόθεση αυτή ισχύει οι εκφράσεις για τυχαία σφάλματα είναι εκ των πραγμάτων αβέβαιες και πρέπει να διατυπώνονται αποκλειστικά με όρους πιθανοτήτων. Στην συνέχεια θα υπάρξει διεξοδική αναφορά σε δυο ξεχωριστές κατηγορίες σφαλμάτων τα συστηματικά και τα τυχαία. 2.4 Συστηματικά σφάλματα Τα συστηματικά σφάλματα έχουν καθορισμένη τιμή, προσδιορίσιμη αιτία και είναι ίδιου πρόσημου και μεγέθους για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις πανομοιότυπου χαρακτήρα. Μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε τρία κυρίως είδη : οργανολογίας, προσωπικά και μεθοδολογικά. Οργανολογικά σφάλματα Τυπικά σφάλματα αυτής της κατηγορίας είναι : φαινόμενα ολίσθησης των ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, οι μικρές διαρροές σε συστήματα κενού, οι επιδράσεις της θερμοκρασίας σε ανιχνευτές, οι νεκροί χρόνοι ανιχνευτικών διατάξεων, τα επαγόμενα ρεύματα στα κυκλώματα, οι μειώσεις στις τάσεις των μπαταριών κατά την συνεχή χρήσης τους και άλλα. Τα συστηματικά σφάλματα των μετρητικών συσκευών συχνά ανακαλύπτονται και διορθώνονται μέσω βαθμονομήσεων με κατάλληλες πρότυπες διατάξεις. Προσωπικά σφάλματα Τα προσωπικά σφάλματα προέρχονται από τις εκτιμήσεις που πρέπει να κάνει ο εκτελών το πείραμα. Σχετικά παραδείγματα είναι: ο προσδιορισμός της θέσης μιας κινούμενης βελόνας οργάνου μεταξύ δυο διαδοχικών υποδιαιρέσεων κλίμακας, η εκτίμηση της σχετικής έντασης του Αραβαντινός Α. 4

5 φωτός από δυο διαφορετικές φωτεινές δέσμες, η ταχύτητα αντίδρασης - ενεργοποίησης στο πάτημα ενός χρονομέτρου για τις μετρήσεις άγνωστου χρονικού διαστήματος κ. α. Είναι προφανές ότι τα προσωπικά σφάλματα διαφέρουν σημαντικά από άτομο σε άτομο μάλιστα μια σχεδόν γενικευμένη αιτία προσωπικών σφαλμάτων είναι και η προκατάληψη. Οι περισσότεροι πειραματιστές έχουν μια φυσική τάση να εκτιμούν τις αναγνώσεις κλιμάκων προς την κατεύθυνση εκείνη που βελτιώνει την επαναληψιμότητα σε μια σειρά δεδομένων ή οδηγεί τα αποτελέσματα πλησιέστερα προς την επιθυμητή τιμή. Τα περισσότερα προσωπικά σφάλματα μπορούν να ελαχιστοποιηθούν μόνο με την απαραίτητη προσοχή αλλά και αυτοπεποίθηση κατά την εκτέλεση των πειραματικών μετρήσεων. Μεθοδολογικά σφάλματα Πρόκειται για σφάλματα που προέρχονται από την μη ιδανική συμπεριφορά των μερών μιας σύνθετης πειραματικής διαδικασίας. Για παράδειγμα η μη ολοκλήρωση της μελετούμενης διαδικασίας π.χ. ατελής αποκατάσταση θερμικής ισορροπίας σε μικτά διαλύματα), η ύπαρξη κρούσεων υποβάθρου που λανθασμένα θεωρούνται πραγματικές και αποδίδονται στο καταμετρούμενο ραδιενεργό δείγμα, η μη αμελητέα τριβή στην άσκηση της αεροτροχιάς που εσφαλμένα θεωρεί την κίνηση χωρίς τριβή, είναι σφάλματα αυτής της κατηγορίας. Τα συστηματικά μεθοδολογικά σφάλματα είναι συχνά δύσκολο να ανιχνευτούν και έτσι να διορθωθούν. Ένας καλός τρόπος είναι η επιβεβαίωση της μεθόδου αξιοποιώντας για παράδειγμα) πρότυπα δείγματα ή και σχετικές διατάξεις αναφοράς. 2.5 Τυχαία σφάλματα Αυτά οφείλονται σε ακανόνιστα αίτια και κύρια εμφανίζονται όταν απαιτηθεί ορισμένη ακρίβεια στις μετρήσεις. Τα τυχαία σφάλματα αποτελούν την κύρια αιτία ανακρίβειας όταν τα συστηματικά σφάλματα έχουν απαλειφθεί ή και ελαττωθεί στο ελάχιστο δυνατό. Όταν οι μετρήσεις επαναλαμβάνονται τότε τα δεδομένα που λαμβάνονται είναι διάσπαρτα λόγω ύπαρξης τυχαίων αλλά και συστηματικών σφαλμάτων. Η ύπαρξη τυχαίων σφαλμάτων αντανακλά στην σχετική έλλειψη επαναληψιμότητας μικρή ή μεγάλη) των αποτελεσμάτων. Ένα αποτέλεσμα θα θεωρείται ορθό όταν τα συστηματικά σφάλματα παραμέ3νουν κατά το δυνατόν μικρά και ακριβές όταν τα τυχαία σφάλματα παραμένουν μικρά. Η λέξη μικρό θα πρέπει να αναφέρεται σε σχέση με την τιμή του μετρούμενου φυσικού μεγέθους. Η κατανομή των τυχαίων σφαλμάτων στα αποτελέσματα αυτά γίνεται καλύτερα κατανοητή εάν οργανωθούν σε ισάριθμες ομάδες δεδομένων ή κυψελίδων). Η σχετική συχνότητα εμφάνισης των δεδομένων σε κάθε κυψελίδα παρουσιάζεται γραφικά στο σχήμα 1 με την μορφή ιστογραμ μάτων. Είναι λογικό να υποθέσει κανείς πως εάν ο αριθμός των πειραματικών προσπαθειών ήταν πολύ μεγαλύτερος και ότι εάν το μέγεθος των κυψελίδων ήταν πολύ μικρότερο τότε θα δημιουργείτο μια σχεδόν ομαλή συνεχής γραμμή Σχήμα 2-1. Σχετική εμφάνιση δεδομένων με όπως αυτή του σχήματος. την μορφή ιστογραμμάτων Μια ομαλή, συνεχής καμπύλη αυτού του είδους ονομάζεται καμπύλη Gauss ή κανονική καμπύλη σφαλμάτων). Εμπειρικά βρίσκεται ότι τα αποτελέσματα επαναλαμβανομένων πειραματικών μετρήσεων κατανέμονται περίπου κατά μια κανονική ή Gaussian μορφή. Αραβαντινός Α. 5

6 Η κατανομή Gauss έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά : Το συχνότερο παρατηρούμενο αποτέλεσμα είναι η μέση τιμή μ σειράς δεδομένων. Τα πειραματικά αποτελέσματα συγκεντρώνονται συμμετρικά γύρω από την μέση τιμή. Μικρές αποκλίσεις από την μέση τιμή παρατηρούνται πολύ συχνότερα από ότι οι αντίστοιχες μεγάλες αποκλίσεις, και τέλος Εάν απουσιάζουν συστηματικά σφάλματα η μέση τιμή ενός μεγάλου αριθμού πειραματικών δεδομένων προσεγγίζει την πραγματική τιμή. Το τυχαίο σφάλμα της μέσης τιμής x ενός μικρού αριθμού πειραματικών προσπαθειών δίνεται από την σχέση:. 3 Μέθοδος Στην συνέχεια θα διατυπωθούν μερικοί χρήσιμοι όροι που αξιοποιούνται στην στατιστική θεωρία των τυχαίων σφαλμάτων. 3.1 Στατιστική επεξεργασία τυχαίων σφαλμάτων Α. Μέση τιμή. Σχήμα 2. Η κατανομή Gauss Μέση τιμή δείγματος είναι η μέση τιμή ή ο μέσος όρος) ενός δεδομένου αριθμού πειραματικών αποτελεσμάτων: Β. Τυπικό σφάλμα μέσης τιμής. Το τυπικό σφάλμα μέσης τιμής δείγματος με περιορισμένο μέγεθος δίνεται από τη σχέση: και οι υπόλοιπες τιμές εκτός αυτής της περιοχής Αυτό σημαίνει ότι από τις 100 μετρήσεις ενός φυσικού μεγέθους οι 67 θα βρίσκονται μέσα στην περιοχή Αραβαντινός Α. 6

7 και οι υπόλοιπες 33 μετρήσεις εκτός. Γ. Σχετικό σφάλμα. Το σχετικό σφάλμα είναι το πηλίκο του τυπικού σφάλματος της μέσης τιμής προς την μέση τιμή και εκφράζεται επί τοις εκατό ως εξής: Δ. Τελικό αποτέλεσμα. Τα αποτελέσματα μίας σειράς μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους x θα πρέπει να διατυπώνονται με τις εξής δύο εκφράσεις: 3.2 Αριθμητική εφαρμογή. Ας θεωρηθεί μία απλή μέτρηση π.χ. της μάζας ενός σώματος. Επαναλαμβάνεται η μέτρηση της άγνωστης μάζας δέκα φορές και καταρτίζεται ο παρακάτω πίνακας: i) m gr) gr) Στην δεύτερη στήλη του πίνακα δίνονται οι δέκα μετρήσεις τιμές) του πίνακα. Βρίσκεται η α- ριθμητική μέση τιμή και εν συνεχεία η απόκλιση διαφορά) της κάθε τιμής από την μέση τιμή. Στην τελευταία στήλη σχηματίζονται τα τετράγωνα των διαφορών αυτών και υπολογίζεται το άθροισμά τους. Επομένως το τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής για τον παραπάνω πίνακα μετρήσεων είναι: Το σχετικό σφάλμα θα είναι: Αραβαντινός Α. 7

8 Τελικά: Παρατηρήσεις: 1. Στον υπολογισμό της μέσης τιμής κατά την συμπλήρωση του πίνακα θα γράφεται ένα σημαντικό ψηφίο περισσότερο από το πλήθος των σημαντικών ψηφίων των επί μέρους μετρήσεων της δεύτερης στήλης. Αυτό οφείλεται στο ευνόητο γεγονός ότι στην μέση τιμή αποδίδεται μεγαλύτερη εμπιστοσύνη από την κάθε επί μέρους μέτρηση.. Όταν το πλήθος των μετρήσεων είναι μεταξύ του 4) και του 0) δηλαδή τότε η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής στρογγυλοποιείται σε ένα μόνο σημαντικό ψηφίο. Εάν ο αριθμός των μετρήσεων είναι μεγαλύτερος του 0) δηλαδή τότε η τυπική απόκλιση στρογγυλοποιείται στα δύο σημαντικά ψηφία. 3. Στην τελική μορφή που δίνεται για το προς μέτρηση μέγεθος η μέση τιμή θα πρέπει να στρογγυλοποιείται στην θέση εκείνη που εμφανίζεται το σημαντικό ψηφίο της τυπικής απόκλισης της μέσης τιμής. 3.3 Σημαντικά ψηφία. Η αριθμητική τιμή οποιουδήποτε φυσικού μεγέθους που προέρχεται από μέτρηση δεν μπορεί να είναι απόλυτα σωστή. Η ακρίβεια της οποιασδήποτε μέτρησης περιορίζεται από την αξιοπιστία των μετρητικών οργάνων η οποία ποτέ δεν είναι απόλυτη. Ας υποτεθεί ότι μετριέται το μήκος ενός στυλό ως αποτέλεσμα της σύγκρισής του με ένα κανόνα. Η τιμή που προκύπτει είναι 16.7 cm. Σχήμα 3) Αυτό σημαίνει ότι το άγνωστο μήκος μετρήθηκε με ακρίβεια ενός δεκάτου του cm. Στην μέτρηση αυτή τα δύο πρώτα ψηφία 1 και 6) είναι βέβαιον ότι είναι σωστά ενώ το τελευταίο 7) είναι κατ εκτίμηση και η επιλογή του καθορίζει την ακρίβεια της μέτρησης. Σχήμα 3. Η μέτρηση του μήκους ενός στυλό ως αποτέλεσμα της σύγκρισής του με ένα κανόνα. Σημαντικά ψηφία σε μία μέτρηση θεωρούνται εκείνα τα ψηφία που είναι βέβαιον ότι είναι αξιόπιστα συν ένα κατ εκτίμηση ψηφίο όχι με την έννοια ότι είναι αξιόπιστο αλλά με το ότι εξασφαλίζει την αξιοπιστία των προηγουμένων ψηφίων. Στην προηγούμενη μέτρηση ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων είναι 3) τρία εκ των οποίων τα δύο πρώτα 1 και 6) είναι σίγουρα σωστά και το τρίτο 7) είναι κατ εκτίμηση. Αραβαντινός Α. 8

9 3.4 Τα μηδενικά ως σημαντικά ψηφία. Μία μάζα είναι ίση με 64 gr και επομένως εκφράζεται με δύο σημαντικά ψηφία 6 και 4). Αν η ίδια μάζα γραφόταν Kgr θα εκφραζόταν πάλι με δύο σημαντικά ψηφία. Δηλαδή τα μηδενικά πού υπάρχουν στην αρχή ενός αριθμού δεν λαμβάνονται ως σημαντικά ψηφία επειδή έχουν σκοπό να ορίσουν την ακριβή θέση της υποδιαστολής. Η τιμή όμως Kgr εκφράζεται με τέσσερα σημαντικά ψηφία 1, 0, 6 και 4) ενώ η τιμή με πέντε σημαντικά ψηφία 1, 0, 6, 4 και 0). Δηλαδή τα μηδενικά πού υπάρχουν στο «εσωτερικό» ενός αριθμού καθώς και στο τέλος μετά από υποδιαστολή θεωρούνται σημαντικά ψηφία. Το γεγονός τώρα ότι ένα σώμα έχει βάρος 6400 Nt δεν δηλώνει αναμφισβήτητα και την ακρίβεια της μέτρησης ούτε κατ επέκταση και τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων. Τα δύο τελευταία ψηφία μπορεί να έχουν τοποθετηθεί για να δηλώσουν απλά την τάξη μεγέθους του βάρους. Αν το σώμα έχει μετρηθεί με ακρίβεια εκατοντάδας του Nt τότε το βάρος του πρέπει να γραφεί με δύο μόνο σημαντικά και για τον λόγο αυτό γράφεται υπό μορφή δυνάμεως του δέκα ήτοι:. Αν το σώμα έχει μετρηθεί με ακρίβεια δεκάδας του Nt τότε το βάρος του πρέπει να γραφεί με τρία σημαντικά και για τον λόγο αυτό γράφεται υπό μορφή δυνάμεως του δέκα ήτοι:. Αν το σώμα έχει μετρηθεί με ακρίβεια μονάδας του Nt τότε το βάρος του πρέπει να γραφεί με τέσσερα σημαντικά και για τον λόγο αυτό γράφεται υπό μορφή δυνάμεως του δέκα ήτοι:. Στις δύο τελευταίες περιπτώσεις τα μηδενικά έχουν τοποθετηθεί για να δηλώσουν θέσεις σημαντικών ψηφίων αφού η παρουσία τους δεν είναι απαραίτητη για να υποδηλώσουν κάποια θέση υποδιαστολής. 3.5 Πράξεις με αριθμούς διαφορετικών σημαντικών ψηφίων. Συνήθως είναι πρόβλημα που εμφανίζεται κατά τον υπολογισμό σύνθετου σφάλματος δηλαδή στις έμμεσες μετρήσεις. Α. Πρόσθεση ή αφαίρεση. Στην περίπτωση πρόσθεσης ή αφαίρεσης οι αριθμοί στρογγυλοποιούνται έτσι ώστε το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων του αριθμού πού προκύπτει ως αποτέλεσμα να είναι ίσο με το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων του αριθμού με το μικρότερο πλήθος δεκαδικών. Αριθμητικό παράδειγμα: = εσφαλμένο) =787.4 ορθό). Β. Πολλαπλασιασμός ή διαίρεση. Αν υποτεθεί ότι η ανακρίβεια ενός αριθμού εκφράζεται με μία μονάδα στο τελευταίο σημαντικό ψηφίο του τότε ως σχετική ορθότητα καλείται το πηλίκο της ανακρίβειας του αριθμού δια τού αριθμού αυτού. Για παράδειγμα η σχετική ορθότητα του αριθμού 9.98 θα είναι: Στην περίπτωση πολλαπλασιασμού, διαίρεσης, δυνάμεων και ριζών το αποτέλεσμα γράφεται με το ίδιο πλήθος σημαντικών ψηφίων ή ένα παραπάνω από το πλήθος των σημαντικών ψηφίων με την μικρότερη σχετική ορθότητα. Αραβαντινός Α. 9

10 Αριθμητικό παράδειγμα: Ποιό το γινόμενο των αριθμών 11.1 και 3. 5; Πως γράφεται το αποτέλεσμα; Η σχετική ορθότητα του αριθμού 11.1 είναι 1% ενώ του 3,35 είναι 0.04%. Άρα: 3.6 Στρογγυλοποίηση. Η στρογγυλοποίηση ενός αριθμού γίνεται με απόρριψη ορισμένων σημαντικών ψηφίων πού βρίσκονται στα δεξιά. Όταν το πρώτο ψηφίο από δεξιά πού απορρίπτεται είναι μικρότερο του 5, τότε το προηγούμενο ψηφίο μένει αναλλοίωτο ενώ αν είναι μεγαλύτερο του 5, τότε θα προστίθεται μία μονάδα στο τελευταίο ψηφίο που μένει. Αν είναι ακριβώς 5, τότε προστίθεται μία μονάδα στο τελευταίο ψηφίο πού μένει εφ όσον αυτό είναι περιττός ενώ αυτό μένει ως έχει εφ όσον είναι άρτιος. Αριθμητικό παράδειγμα Να στρογγυλοποιηθούν με διαδοχική διαδικασία οι αριθμοί α) και β) μέχρις ότου διαθέτουν ένα σημαντικό ψηφίο ή Συνήθως στρογγυλοποιήσεις απαιτούνται μετά από πράξεις μεταξύ διαφόρων αριθμών. 3.7 Νόμος κανονικής κατανομής σφάλματος Στη στατιστική Gauss τα αποτελέσματα επαναλαμβανόμενων μετρήσεων που προκύπτουν από την ύπαρξη απροσδιόριστων τυχαίων) σφαλμάτων θεωρούνται ότι κατανέμονται σύμφωνα με τον νόμο της κανονικής κατανομής σφάλματος. Ο νόμος αυτός δηλώνει ότι: Το κλάσμα εμφάνισης πληθυσμού μετρήσεων dn / N με τιμές που βρίσκονται στη περιοχή x έως x+dx δίνεται από την σχέση: όπου μ και σ είναι αντίστοιχα η μέση τιμή του πληθυσμού και σ η τυπική απόκλιση ενώ Ν ο αριθμός των πειραματικών προσπαθειών. Αραβαντινός Α. 10

11 4 Υπολογιστική διαδικασία Προκειμένου να γίνουν περισσότερο κατανοητές οι έννοιες που διαπραγματεύεται η συγκεκριμένη θεωρητική άσκηση προτείνεται η πραγματοποίηση μερικών ή και όλων) από τις παρακάτω υπολογιστικές διαδικασίες. Πρόκειται για ανεξάρτητες περιπτώσεις με «έτοιμες» πειραματικές μετρήσεις στις οποίες θα χρειαστεί να υπολογίσετε μέσες τιμές και σφάλματα, να προσδιορίσετε το πλήθος των σημαντικών ψηφίων, να πραγματοποιήσετε πράξεις αλλά και στρογγυλοποιήσεις αριθμών που είναι αποτέλεσμα πειραματικής μέτρησης κ. α. 1. Να σημειωθεί το πλήθος n των σημαντικών ψηφίων που έχει ο καθένας από τους παρακάτω αριθμούς και να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: Αριθμός n Αριθμός x x n. Να στρογγυλοποιηθούν οι παρακάτω αριθμοί σε αντίστοιχους με ή και 3 σημαντικά ψηφία, να συμπληρωθεί ο πίνακας που ακολουθεί. Αριθμός n = 2 n = 3 Αριθμός x n = 2 n = 3 3. Να επιλεγεί το κατάλληλο αποτέλεσμα σε κάθε μια από τις παρακάτω πράξεις και να εξηγηθεί αναλυτικά το γιατί έγινε η συγκεκριμένη επιλογή = 0.9 ή 1 ή = 1 ή 0.86 ή x 1 = 0.35 ή 0.4 ή x = ή ή = ή 9.3 ή = ή 13.8 ή Άγνωστη αντίσταση R μετρήθηκε πειραματικά με σκοπό να υπολογιστεί η μέση τιμή της καθώς και το αντίστοιχο σφάλμα. Εάν ο αριθμός των προσπαθειών που έγιναν ήταν δέκα 10) να χαρακτηριστούν οι παρακάτω εκφράσεις του τελικού αποτελέσματος : ) Ω ) Ω ) Ω ) Ω ) Ω ) Ω Αραβαντινός Α. 11

12 Ποια από τις παραπάνω εκφράσεις είναι η σωστή εάν ο αριθμός των προσπαθειών τριπλασιαστεί ενώ η μέση τιμή έστω ότι παραμείνει ακριβώς η ίδια ; 5. Από τις έξι 6) επαναληπτικές μετρήσεις μιας άγνωστης αντίστασης R προέκυψαν οι εξής τιμές σε Ω): 40.6, 40.8, 40.78, 40.70, και Να δημιουργηθεί ο κατάλληλος πίνακας μετρήσεων υπολογισμών και να υπολογιστούν: η μέση τιμή, το τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής καθώς και το αντίστοιχο σχετικό σφάλμα. Να γραφούν οι τελικές εκφράσεις: καθώς και. 4.1 Θεματολογικές ερωτήσεις κατανόησης 1. Σε ποια κατηγορία σφαλμάτων θα τοποθετούσατε τη χρήση της προσεγγιστικής σχέσης για τον υπολογισμό ενός φυσικού μεγέθους; 5 Απαραίτητες γνώσεις Μονάδες φυσικών μεγεθών, αλγεβρικές πράξεις, εκθέτες, δυνάμεις αριθμών, συναρτήσεις. Αραβαντινός Α. 12

13 ΘΕ2 Γραφικές παραστάσεις, κλίση καμπύλης, μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. 1 Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεματολογίες που αφορούν την δημιουργία γραφικών παραστάσεων καθώς και προσεγγίσεις αυτών με μαθηματικές συναρτήσεις Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων). Είναι άσκηση εισαγωγικού χαρακτήρα της οποίας η κατανόηση θα βοηθήσει σημαντικά στην σωστή διεξαγωγή των εργαστηριακών ασκήσεων που ακολουθούν. 2 Θεωρία Στα φυσικά φαινόμενα υπάρχει συνήθως μια θεωρητική ή ακόμη και εμπειρική σχέση η οποία συνδέει το αποτέλεσμα μιας μέτρησης π.χ. το φυσικό μέγεθος y με μια ή και περισσότερες αιτίες π.χ. τα μεγέθη δηλαδή υπάρχει η σχέση:. Στην προηγούμενη σχέση τα μεγέθη ονομάζονται ανεξάρτητες μεταβλητές ενώ το μέγεθος y εξαρτημένη μεταβλητή. Είναι προφανές ότι το μέγεθος y μεταβάλλεται κάθε φορά ανάλογα με τις τιμές των επί μέρους ανεξάρτητων μεταβλητών του από i = 1 έως ν. Συνήθως σε μια πειραματική μέτρηση ο παρατηρητής ελέγχει μια μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή έστω την ) ενώ τις υπόλοιπες μεταβλητές τις θεωρεί ως σταθερές. Στην περίπτωση αυτή η εξάρτηση της μεταβλητής y από την ανεξάρτητη μεταβλητή δίνεται από την σχέση: y = f x) με σταθερές. Εάν τώρα είναι γνωστή η σχέση που συνδέει τα μεγέθη y και ή x) τότε προσδιορίζονται θεωρητικά όλοι εκείνοι οι κανόνες και οι νόμοι που χαρακτηρίζουν το φυσικό φαινόμενο από το οποίο προκύπτει η σχέση: y = f x). Αντίθετα εάν δεν είναι γνωστή η αναλυτική αυτή σχέση ενώ είναι δυνατόν να μετρηθούν τα μεγέθη x και y τότε με την απεικόνιση των ζευγών x, y) σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να προσδιοριστεί αφ' ενός η άγνωστη τις περισσότερες φορές) σχέση: y = f x) αφ' ετέρου οι νόμοι που προσδιορίζουν το προς μελέτη φυσικό αυτό φαινόμενο διαδικασία δημιουργίας μαθηματικού μοντέλου). Η απεικόνιση αυτή χαρακτηρίζει τη γραφική παράσταση της συναρτήσεως y = f x). Είναι φανερό λοιπόν ότι η γραφική παράσταση αποτελεί κάθε φορά την οπτική παρουσίαση του τρόπου εξάρτησης ενός αποτελέσματος από την αντίστοιχη του αιτία, στο μελετούμενο φυσικό φαινόμενο. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις επιτυγχάνονται κυρίως τα εξής : Δημιουργία ενιαίας εικόνας για την συνολική πορεία της συμπεριφοράς του φαινόμενου και της αλληλεξάρτησης των μεταβλητών του. Γίνεται άμεση εκτίμηση της κλίμακας των αριθμητικών τιμών για τα μεγέθη που συμμετέχουν και τέλος Διερευνάται η ύπαρξη κάποιας ένδειξης για τη μαθηματική σχέση που μπορεί να συνδέει τις μεταβλητές αυτές. Αραβαντινός Α. 13

14 3 Μέθοδος 3.1 Η Τεχνική της Δημιουργίας των Γραφικών Παραστάσεων. Το πρώτο πράγμα στη δημιουργία μιας γραφικής παράστασης - σε χιλιοστομετρικό χαρτί - είναι η κατάλληλη επιλογή της κλίμακας και για τους δυο άξονες. Σημειώνεται ότι δεν είναι αναγκαίο η κλίμακα αυτή να είναι η ίδια για τον οριζόντιο και τον κατακόρυφο άξονα. Απεναντίας πολύ σπάνια είναι η περίπτωση όπου η ίδια κλίμακα και στους δυο άξονες δημιουργεί μια ικανοποιητική γραφική παράσταση. Ουσιαστικό κριτήριο για την επιλογή της κλίμακας σε κάθε άξονα είναι αφ' ενός μεν η συνολική διάσταση που επιθυμούμε να έχει το χιλιοστομετρικό χαρτί π.χ. 14 x 10 cm) και αφ' ετέρου η μεταβολή του μεγέθους που απεικονίζεται στον συγκεκριμένο άξονα. Θα πρέπει η κλίμακα που επιλέγεται για κάθε υποδιαίρεση του χιλιοστομετρικού χαρτιού να είναι ίση ή ακέραιο πολλαπλάσιο των αριθμών, 5 ή και 10. Έτσι γίνεται περισσότερο εύκολος ο προσδιορισμός σημείων που αντιστοιχούν σε ενδιάμεσες τιμές όχι μόνο κατά την δημιουργία της γραφικής παράστασης αλλά και κατά το στάδιο της μετέπειτα αξιοποίησής της. Κάθε ζεύγος των μεγεθών x, y) αποτυπώνεται στο επίπεδο σε σημείο στο κέντρο ενός μικρού κύκλου ή τετραγώνου) ή και από μια τομή δυο μικρών ευθύγραμμων τμημάτων. Θα πρέπει ακόμη και οι δυο άξονες να συμβολίζονται με το φυσικό μέγεθος που απεικονίζουν όπως επίσης και με την αντίστοιχη μονάδα μέτρησης. Τέλος, η κάθε γραφική παράσταση θα πρέπει να συμβολίζεται αξιοποιώντας τα διεθνώς καθιερωμένα σύμβολα των φυσικών μεγεθών και για τους δυο άξονες π.χ. v = f t) ή s = f t). 3.2 Χάραξη της Πειραματικής Καμπύλης. Με δεδομένη την διασπορά των πειραματικών σημείων στη γραφική παράσταση η πειραματική καμπύλη που τελικά θα χαραχθεί οφείλει να είναι όσο το δυνατόν πιο ομαλή. Σε περιπτώσεις όπου δεν επιδιώκεται απόλυτη μαθηματική ακρίβεια, η εκτίμηση για την καλύτερη καμπύλη καθορίζεται προσεγγιστικά με το μάτι έτσι ώστε τα πειραματικά σημεία να κατανέμονται ισόρροπα γύρω από την χαραχθείσα ομαλή καμπύλη. Δηλαδή, το ίδιο περίπου πλήθος πειραματικών σημείων θα πρέπει να βρίσκονται αριστερά ή και δεξιά της συγκεκριμένης πειραματικής καμπύλης. Εάν τα πειραματικά σημεία φαίνεται να ανήκουν σε ευθεία γραμμή χαράσσουμε ευθεία με τον χάρακα, ενώ εάν η κατανομή τους συμφωνεί με κάποια μορφή καμπύλης, τότε χαράσσουμε την καμπύλη αυτή με καμπυλόγραμμο ή και με ελεύθερο χέρι. Κατά την σχεδίαση δεν θα πρέπει να ενώσουμε στην τύχη ή και διαδοχικά όλα τα πειραματικά σημεία. Καμπύλες όπως του σχήματος 4α) που ακολουθεί κάτω αριστερά) δεν δίνουν σωστή πληροφορία για τα μεταβαλλόμενα μεγέθη, ενώ η ομαλοποιημένη καμπύλη του δίπλα ακριβώς σχήματος 4β), αν και δεν διέρχεται από όλα τα πειραματικά σημεία, εν τούτοις θεωρείται ότι περιγράφει ικανοποιητικότερα το φαινόμενο. α) β) Σχήμα 4. Σχεδίαση γραφικών παραστάσεων από πλήθος πειραματικών σημείων. Αραβαντινός Α. 14

15 Αξίζει να σημειωθεί ότι τα προηγούμενα σχήματα αντιστοιχούν στην ίδια ακριβώς χωρική κατανομή πειραματικών σημείων με διαφορετική όμως χάραξη της αντίστοιχης πειραματικής καμπύλης. α) β) Σχήμα 5. Χάραξη ευθείας διά μέσου πειραματικών σημείων. Όμοια το αριστερά σχήμα 5α) ακριβώς επάνω χαρακτηρίζεται λάθος διότι η «προτεινόμενη» πειραματική ευθεία «υποχρεώθηκε» να περάσει από την αρχή των αξόνων χωρίς αυτό να είναι υποχρεωτικά αναγκαίο όπως φαίνεται στο σχήμα 5β). 3.3 Υπολογισμός της Κλίσης σε Γραφική Παράσταση. Η κλίση αποτελεί ένα ιδιαίτερα σημαντικό φυσικό μέγεθος το οποίο προκύπτει από την γραφική παράσταση των μεταβλητών παραμέτρων ενός φυσικού φαινόμενου. Από πλευρά ορισμού η κλίση εκφράζει τον τρόπο μεταβολής της εξαρτημένης μεταβλητής y σε μια δεδομένη μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής x και αναφέρεται σε συγκεκριμένο σημείο μικρής περιοχής της καμπύλης κάθε γραφικής παράστασης. Η κλίση m λοιπόν μιας πειραματικής καμπύλης σε ένα σημείο Δ Δ ορίζεται ως το πηλίκο: Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η ευθεία ε) είναι η εφαπτομένη ευθεία της πειραματικής καμπύλης στο σημείο και με την χάραξή της δημιουργείται το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ. Σχήμα 6) Σχήμα 6. Υπολογισμός κλίσης καμπύλης γραμμής. Αραβαντινός Α. 15

16 Το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ έχει ως υποτείνουσα την εφαπτομένη ευθεία ε) ενώ το σημείο Α βρίσκεται περί το μέσον της υποτείνουσας ΚΜ. Οι όροι του κλάσματος και δεν αφορούν τα «γεωμετρικά μήκη» των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου αλλά είναι οι αντίστοιχες διαφορές των συντεταγμένων στους δυο άξονες. Η κλίση λοιπόν είναι το πηλίκο της κατακόρυφης μεταβολής Δ προς την αντίστοιχη οριζόντια Δ και μάλιστα η τιμή της είναι ανεξάρτητη της επιλογής των κορυφών Κ και Μ του ορθογώνιου τριγώνου ΚΛΜ. Σημειώνεται ότι η τιμή της κλίσης για την συγκεκριμένη καμπύλη δεν είναι σταθερή αλλά εξαρτάται κάθε φορά από την επιλογή της περιοχής του σημείου Α. Δηλαδή, η κλίση της ίδιας καμπύλης σε άλλο σημείο θα είναι διαφορετική. Για παράδειγμα στο προηγούμενο σχήμα η κλίση της καμπύλης στη περιοχή του σημείου Β είναι μηδέν. Βέβαια σε περίπτωση όπου η πειραματική καμπύλη ταυτίζεται με ευθεία - και η γραφική αναπαράσταση γίνεται σε χιλιοστομετρικό χαρτί - τότε η κλίση παραμένει σταθερή για οποιοδήποτε σημείο της πειραματικής αυτής ευθείας. Στις γραφικές παραστάσεις που συνοδεύουν μια πειραματική διαδικασία οι όροι Δ και Δ αντιπροσωπεύουν φυσικά μεγέθη με συγκεκριμένες μονάδες μέτρησης. Έτσι η κλίση της καμπύλης δεν μπορεί να είναι καθαρός αριθμός αλλά διαθέτει μονάδες που προέρχονται απλά από το πηλίκο των επί μέρους μονάδων στους δυο άξονες. Για παράδειγμα σε προβλήματα κινηματικής η κλίση της καμπύλης ταχύτητα - χρόνου: έχει μονάδες m/s 2, πρόκειται δηλαδή για το γνωστό φυσικό μέγεθος της επιτάχυνσης. Γίνεται λοιπόν κατανοητό ότι εν προκειμένω η κλίση δεν μπορεί, και δεν πρέπει, να ταυτίζεται με την εφαπτομένη μιας γωνίας. Η ταύτιση αυτή συμβαίνει μόνο στη πολύ σπάνια) περίπτωση που και οι δυο άξονες αντιστοιχούν στα ίδια ακριβώς φυσικά μεγέθη και μάλιστα οι άξονες αυτοί έχουν μοιραστεί με την ίδια κλίμακα. Για επιπλέον επιβεβαίωση των ανωτέρω θα πρέπει να αναφερθεί ότι η κλίση είναι ανεξάρτητη από την επιλογή της κλίμακας των επί μέρους αξόνων για την χάραξη της καμπύλης. Στην συνέχεια παρουσιάζεται ένας πίνακας πέντε 5) μετρήσεων χρόνου - ταχύτητας που αντιστοιχεί σε ένα τυπικό πρόβλημα κινηματικής. Στα σχήματα που ακολουθούν γίνεται η ταυτόχρονη γραφική παράσταση του προηγούμενου πίνακα με διαφορετική όμως επιλογή της κλίμακας του κατακόρυφου άξονα της ταχύτητας. α/α t sec) υ ) Εύκολα λοιπόν διαπιστώνει κανείς ότι αν και οι δυο προκύπτουσες πειραματικές ευθείες δεν είναι παράλληλες διαφορετική η «γεωμετρική» κλίση), εν τούτοις η κλίση που κάθε φορά ανεξάρτητα υπολογίζεται είναι η ίδια και ίση με 4 m/s 2. Πρόκειται δηλαδή για την απεικόνιση της περιγραφής μιας ευθύγραμμης κίνησης ομαλά επιταχυνόμενης. Αραβαντινός Α. 16

17 α) β) Σχήμα 7 Χάραξη ευθείας με διαφορετικές επιλογές κλίμακας κατακόρυφου άξονα. Παρατηρείται επίσης ότι οι προεκτάσεις των πειραματικών ευθειών - και στις δυο περιπτώσειςδιέρχονται από το ίδιο σημείο των 4 m/s 2 στον κατακόρυφο άξονα, πρόκειται για τιμή που αντιστοιχεί στην αρχική ταχύτητα t = 0 sec) του κινητού για το συγκεκριμένο πρόβλημα. 3.4 Κατηγορίες γραφικών παραστάσεων Προφανώς γραφικές παραστάσεις δεν γίνονται μόνο σε χιλιοστομετρικά χαρτιά. Υπάρχουν χαρτιά ειδικής χρήσης με μη γραμμική χάραξη των αξόνων των συντεταγμένων τους. Τέτοια χαρτιά είναι τα ημιλογαριθμικά, τα πλήρη) λογαριθμικά, τα πολικά κ.α. Η δημιουργία γραφικών παραστάσεων σε τέτοιου είδους χαρτιά με ιδιαίτερη χάραξη πραγματοποιείται σε σχετικά μικρό αριθμό πειραματικών μετρήσεων. Τα χαρτιά λογαριθμικής χάραξης αξιοποιούνται ιδιαίτερα στις περιπτώσεις όπου οι τιμές των πειραματικών δεδομένων εκτείνονται σε ένα πολύ μεγάλο εύρος για παράδειγμα δυο, τριών ή και τεσσάρων τάξεων μεγέθους). Η απεικόνιση των συγκεκριμένων τιμών σε συνηθισμένο χιλιοστομετρικό χαρτί θα είχε δυσμενείς επιπτώσεις στην ευκρίνεια του διαγράμματος αλλά και στην ακρίβεια της γραφικής παράστασης. Αραβαντινός Α. 17

18 Στα ανωτέρω σχήματα παρουσιάζονται ενδεικτικά τα χαρτιά της σχεδίασης που συνήθως χρησιμοποιούνται σε εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής. Συγκεκριμένα παρουσιάζονται κατά σειρά: χιλιοστομετρικό, πολικό, ημιλογαριθμικό και πλήρες λογαριθμικό χαρτί. Το χαρτί με γραμμική χάραξη στους άξονες των συντεταγμένων είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για γραφικές παραστάσεις γραμμικών ή ακόμη και μη γραμμικών συναρτήσεων χωρίς κανένα μαθηματικό μετασχηματισμό. Στο ημιλογαριθμικό χαρτί ο οριζόντιος άξονας έχει γραμμική χάραξη ενώ ο κατακόρυφος είναι χαραγμένος λογαριθμικά. Σε αυτό το χαρτί γίνονται γραφικές παραστάσεις της γενικής μορφής: οι οποίες - αν και είναι καμπύλες σε γραμμική αναπαράσταση - εδώ «μετατρέπονται» γραφικά σε ευθείες. Ημιλογαριθμικά χαρτιά υπάρχουν στο εμπόριο σε ποικιλίες ενός, δυο, τριών ή και ακόμη περισσότερων κύκλων. Το πλήρες λογαριθμικό χαρτί έχει και τους δυο άξονες χαραγμένους λογαριθμικά, είναι πολύ χρήσιμο για γραφικές παραστάσεις τις μορφής: πρόκειται για καμπύλες) τις οποίες και πάλι «μετατρέπει» απεικονιστικά σε ευθείες. 4 Μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων Least squares method ) Πρόκειται για την μέθοδο που εφαρμόζει την γενική μαθηματική αρχή των ελαχίστων τετραγώνων του Legendre. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται στην περίπτωση όπου χρειάζεται να σχεδιαστεί η καλλίτερη δυνατή ευθεία που διέρχεται από συγκεκριμένη κατανομή πειραματικών σημείων. Στο σχήμα 8) που ακολουθεί παρουσιάζεται η περίπτωση ευθείας με χαρακτηριστική εξίσωση: y = mx + b και η οποία προσδιορίζεται από τις συγκεκριμένες θέσεις των πειραματικών σημείων. Η ευθεία αυτή είναι έτσι ιδανικά χαραγμένη ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των πειραματικών τιμών από αυτή να είναι το ελάχιστο δυνατό. Αραβαντινός Α. 18

19 Σχήμα 8. Χάραξη ευθείας με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ο προσδιορισμός των άγνωστων παραμέτρων m και b της ζητούμενης ευθείας γίνεται αποκλειστικά και μόνο από τις τιμές και των πειραματικών μετρήσεων. Με σκοπό τον αναλυτικό προσδιορισμό θα πρέπει πρώτα να δημιουργηθεί ο πίνακας των πέντε 5) στηλών που ακολουθεί. Η τελευταία γραμμή του συγκεκριμένου πίνακα αντιστοιχεί στο σχετικό άθροισμα του περιεχομένου της υπερκείμενης στήλης. i Σύμφωνα με την μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων αποδεικνύεται ότι οι άγνωστοι παράμετροι Αραβαντινός Α. 19

20 Τα αντίστοιχα σφάλματα δm και δb των παραμέτρων m και b υπολογίζονται από τις σχέσεις: ) 5 Υπολογιστική διαδικασία Προκειμένου να γίνουν περισσότερο κατανοητές οι έννοιες που διαπραγματεύεται η συγκεκριμένη θεωρητική άσκηση προτείνεται η πραγματοποίηση μερικών ή και όλων) από τις παρακάτω υπολογιστικές διαδικασίες. Πρόκειται για ανεξάρτητες περιπτώσεις με «έτοιμες» πειραματικές μετρήσεις στις οποίες θα χρειαστεί να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις, ο υπολογισμός της κλίσης σε κάποιες καμπύλες κ.τ.λ. 1. Οι πειραματικές τιμές που προέκυψαν για μια μεταβλητή τάση V, σε σχέση με τον χρόνο t, δίνονται από τον πίνακα που ακολουθεί. Να γίνει η γραφική παράσταση V = f t) και να βρεθεί η κλίση m της καμπύλης στο σημείο που αντιστοιχεί σε τιμή τάσης V o /4 όπου V o η τιμή της τάσης την χρονική στιγμή t = 0. α/α t sec) V V0lts) Κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση και το διανυόμενο διάστημα S σε σχέση με τον αντίστοιχο χρόνο t δίνεται από τον πίνακα μετρήσεων που ακολουθεί. Να γίνουν τα διαγράμματα, και. Σημειώνεται ότι η ταχύτητα υ καθώς και η επιτάχυνση γ ικανοποιούν από ορισμού) τις σχέσεις: και. Τι ακριβώς κίνηση εκτελεί το συγκεκριμένο κινητό; Μπορείτε να την χαρακτηρίσετε και να δικαιολογήσετε τον χαρακτηρισμό σας; α/α t sec) Sm) Σύστημα δυο μεταβλητών πυκνωτών συνδέεται σε σειρά έτσι ώστε η συνολική χωρητικότητα του συστήματος να διατηρείται σταθερή. Στο πίνακα που ακολουθεί δίδονται τα διάφορα ζευγάρια τιμών για τις χωρητικότητες και. Να συμπληρωθούν οι στήλες του συγκεκριμένου πίνακα, να γίνει η γραφική παράσταση και να υπολογιστεί γραφικά η άγνωστη συνολική χωρητικότητα. Αραβαντινός Α. 20

21 Επιβεβαιώνεται η προηγούμενη σχέση υπολογισμού της ; από την γραφική παράσταση α/α Σε άσκηση υπολογισμού της επιτάχυνσης βαρύτητας g με μαθηματικό εκκρεμές δημιουργήθηκε ο πίνακας μετρήσεων που ακολουθεί. Να συμπληρωθεί ο πίνακας μετρήσεων - υπολογισμών και να γίνει η γραφική παράσταση. Πόση είναι η επιτάχυνση βαρύτητας στον τόπο που έγινε το πείραμα; Σημειώνεται ότι τα l, Τ συμβολίζουν το μήκος και την περίοδο του μαθηματικού εκκρεμούς αντίστοιχα. Τα μεγέθη αυτά ικανοποιούν τη μαθηματική σχέση: α/α l m) T sec) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης με τη μεταβλητή x να μεταβάλλεται στο διάστημα σε χιλιοστομετρικό αλλά και ημιλογαριθμικό χαρτί τριών κύκλων. Τι παρατηρείτε; Γιατί διαφέρουν οι καμπύλες στις δυο παραστάσεις; Να υπολογίσετε γραφικά) και στις δυο προηγούμενες περιπτώσεις την κλίση στα σημεία x = και x = 5. Τι ακριβώς παρατηρείτε; Γνωρίζοντας ότι η κλίση ταυτίζεται με την μαθηματική παράγωγο ) μπορείτε να υπολογίσετε θεωρητικά την τιμή της κλίσης στις δυο προηγούμενες περιοχές των σημείων και 5; 6. Ο πίνακας που ακολουθεί παρουσιάζει τις τιμές του δείκτη διάθλασης n γυαλιού για διάφορα μήκη κύματος στο κενό) λ προσπίπτοντος σε αυτό φωτός. Να γίνει προσεκτικά η γραφική παράσταση, να υπολογιστεί γραφικά η κλίση της καμπύλης στις περιοχές των 400 nm και 700 nm αντίστοιχα. Σε ποια περιοχή του ορατού φάσματος από τις δυο προηγούμενες) ο δείκτης διάθλασης μεταβάλλεται πιο γρήγορα; λ nm) n Η γραφική παράσταση του σχήματος που προηγήθηκε στη Μέθοδο των Ελαχίστων Αραβαντινός Α. 21

22 τετραγώνων προήλθε από μια κατανομή πέντε 5) πειραματικών σημείων που χαρακτηρίζονται από τις συντεταγμένες x, y) του πίνακα που ακολουθεί. Να συμπληρωθεί ο προηγούμενος πίνακας μετρήσεων - υπολογισμών και αφού αξιοποιηθούν οι σχέσεις για τις παραμέτρους m και b να αποδειχθεί ότι η ζητούμενη πειραματική ευθεία είναι η:. i Θεματολογικές ερωτήσεις κατανόησης. 1. Ποια είναι η κλίση μιας ευθείας που όλα της τα πειραματικά σημεία κατανέμονται οριζόντια στην γραφική της παράσταση; 2. «Οι κατακόρυφες ευθείες σε γραφικές παραστάσεις δεν έχουν κλίση» να δικαιολογήσετε τον προηγούμενο ισχυρισμό. 3. Να αποδειχθεί ότι σε δυο ευθείες κάθετες μεταξύ τους το γινόμενο των κλίσεων τους ισούται με -1, δηλαδή ισχύει:. 4. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο και έχει κλίση m ικανοποιεί την εξίσωση:. 5. «Το πρόβλημα εύρεσης της εφαπτομένης σε μια καμπύλη είναι το γενικότερο αλλά και χρησιμότερο πρόβλημα που θέλω όσο τίποτε άλλο να λύσω». Πρόκειται για μια δήλωση - επιθυμία του φημισμένου μαθηματικού Rene Descartes. Περιγράφει την σημαντική δυσκολία που υπάρχει στην ακριβή χάραξη της εφαπτομένης σε μια τυχαία καμπύλη. Θεωρείτε υπερβολική μια τέτοια διατύπωση ή όχι ; δικαιολογήστε τους όποιους ισχυρισμούς σας. 7 Απαραίτητες Γνώσεις Συναρτήσεις, όρια και συνέχεια συναρτήσεων, παράγωγος συνάρτησης, λογάριθμος. Αραβαντινός Α. 22

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Δείκτες Επιτυχίας (Γνώσεις και υπό έμφαση ικανότητες) Παρεμφερείς Ικανότητες (προϋπάρχουσες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά)

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά) ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31/05/2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 07:30 10:00 π.μ. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:... ΤΜΗΜΑ:...

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Επιτάχυνση της Βαρύτητας g = 10m/s 2

Επιτάχυνση της Βαρύτητας g = 10m/s 2 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΗΣ ΠΡΟΤΕΙΟΜΕΕΣ ΑΠΑΤΗΣΕΙΣ Σχολική Χρονιά:2014-2015 αθμός :. ΔΙΑΓΩΙΣΜΑ κατ. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΥΑΜΕΩ-ΚΙΗΜΑΤΙΚΗ-ΔΥΑΜΙΚΗ-ΤΡΙΗ Υπ. Κηδεμόνα :.. Μάθημα : ΦΥΣΙΚΗ Όνομα μαθητή/τριας: Ημερομηνία : Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 9η Ολυμπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Β φάση) Κυριακή 9 Μαρτίου 01 Ώρα:.00-1.00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Το δοκιμιο αποτελειται απο εννεα (9) σελιδες και επτα (7) θεματα.. Να απαντησετε σε ολα τα θεματα του δοκιμιου.. Μαζι

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-15 Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου 1) Να γράψετε 3 διανυσματικά μεγέθη και 2 μονόμετρα μεγέθη καθώς και τις μονάδες μέτρησής τους (στο

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη των χαρακτηριστικών της β - ραδιενεργού εκποµπής

Μελέτη των χαρακτηριστικών της β - ραδιενεργού εκποµπής ΑΠ2 Μελέτη των χαρακτηριστικών της β - ραδιενεργού εκποµπής 1. Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση µελετά τα χαρακτηριστικά της β - ακτινοβολίας. Πιο συγκεκριµένα υπολογίζεται πειραµατικά η εµβέλεια των

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Φυσική Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΡΑΠΕΖΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:...

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:... ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: Φυσική ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΊΑ: 27 Μαίου 2011 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΩΡΑ: 11.00 1.00 ΒΑΘΜΟΣ: Αριθμητικά:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.3 β. Μονάδες 5 1.4 Μονάδες 5

Μονάδες 5 1.3 β. Μονάδες 5 1.4 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 1 ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 29 ΜΑΪΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΠΤΑ (7) Για τις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες 8)

ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1 Β1. Στο σχολικό εργαστήριο μια μαθήτρια περιεργάζεται ένα ελατήριο και λέει σε συμμαθητή της: «Θα μπορούσαμε να βαθμολογήσουμε αυτό το ελατήριο και με τον τρόπο αυτό να κατασκευάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη Ιουνίου 9 11. 14. ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος.

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος. Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1o A Λυκείου 22 Μαρτίου 28 Στις ερωτήσεις Α,Β,Γ,Δ,E μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής απάντησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα.

Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. Α2 Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. 1 Σκοπός Στο πείραμα αυτό θα μελετηθεί η συμπεριφορά των στάσιμων ηχητικών κυμάτων σε σωλήνα με αισθητοποίηση του φαινομένου του ηχητικού συντονισμού. Επίσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Δύο χορδές μιας κιθάρας Χ1, Χ2

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Παλμογράφος. ω Ν. Άσκηση 15:

Παλμογράφος. ω Ν. Άσκηση 15: Άσκηση 15: Παλμογράφος Σκοπός: Σε αυτή την άσκηση θα μάθουμε τις βασικές λειτουργίες του παλμογράφου και το πώς χρησιμοποιείται αυτός για τη μέτρηση συνεχούς και εναλλασσόμενης τάσης, συχνότητας και διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1 H θέση ενός κινητού που κινείται σε ένα επίπεδο, προσδιορίζεται κάθε στιγμή αν: Είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κινητού (x,y) ως συναρτήσεις του χρόνου Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός συγγραφής αναφοράς

Οδηγός συγγραφής αναφοράς ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Οδηγός συγγραφής αναφοράς Για τις εργαστηριακές ασκήσεις της Φυσικής Για τις Σχολές ΜΠΔ, ΜΗΧΟΠ και ΜΗΠΕΡ Επιμέλεια: Δρ. Ναθαναήλ Κορτσαλιουδάκης, Φυσικός ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Θέμα Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

Φαινόμενα ανταλλαγής θερμότητας: Προσδιορισμός της σχέσης των μονάδων θερμότητας Joule και Cal

Φαινόμενα ανταλλαγής θερμότητας: Προσδιορισμός της σχέσης των μονάδων θερμότητας Joule και Cal Θ2 Φαινόμενα ανταλλαγής θερμότητας: Προσδιορισμός της σχέσης των μονάδων θερμότητας Joule και Cal 1. Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί, με αφορμή τον προσδιορισμό του παράγοντα μετατροπής της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας Εισαγωγή Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η εισαγωγή στην τεχνογνωσία των οπτικών ινών και η μελέτη τους κατά τη διάδοση μιας δέσμης laser. Συγκεκριμένα μελετάται η εξασθένιση που υφίσταται το σήμα στην

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 15 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Μαΐου 15 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Μετρήσεις μήκους Η μέση τιμή. 1. Ποια μεγέθη λέγονται φυσικά μεγέθη; Πως γίνεται η μέτρησή τους; Οι ποσότητες που μπορούν να μετρηθούν ονομάζονται φυσικά μεγέθη. Η μέτρησή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα που t x t x σχηματίζουν το y1 = A. hm2 p ( - ), y2 = A. hm2 p ( + ) T l T l στάσιμο Εξίσωση στάσιμου c κύματος y = 2 A. sun 2 p. hm2p t l T Πλάτος ταλάντωσης c A = 2A sun 2p l Κοιλίες,

Διαβάστε περισσότερα

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης.

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης. Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ακίνητο ένα μήλο μάζας Μ = 200 g. Ένα μικρό βέλος μάζας m = 40 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου, υ 1 = 10 m / s, χτυπά το μήλο με αποτέλεσμα να το διαπεράσει. Αν γνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1 Απόκλιση στον πυκνωτή (σωλήνας Braun)

Σχήμα 1 Απόκλιση στον πυκνωτή (σωλήνας Braun) Άσκηση Η3 Επαλληλία κινήσεων (Μετρήσεις με παλμογράφο) Εκτροπή δέσμης ηλεκτρονίων Όταν μια δέσμη ηλεκτρονίων εισέρχεται με σταθερή ταχύτητα U0=U,0 (παράλληλα στον άξονα z) μέσα σε έναν πυκνωτή, του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ - 1 - ΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ Σελ. ερ. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Μονόμετρα και διανυσματικά μεγέθη. 4 0,5 1.2 Το Διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2.21. σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Στις ερωτήσεις 4 να σημειώσετε την σωστή. ) Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η συνολική δύναμη που δέχεται: (α) είναι σταθερή.

Διαβάστε περισσότερα

Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις

Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις 1. Σκοπός Σκοπός της εισαγωγικής άσκησης είναι η εξοικείωση του σπουδαστή με τη χρήση του πολύμετρου για τη μέτρηση βασικών μεγεθών ηλεκτρικού κυκλώματος, όπως μέτρηση της έντασης

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα. Σημαντικά ψηφία Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι 2.99792458 x 10 8 m/s. Η τιμή αυτή είναι δοσμένη σε 9 σημαντικά ψηφία. Τα 9 σημαντικά ψηφία είναι 299792458. Η τιμή αυτή μπορεί να δοθεί και με 5 σημαντικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της ακτινοβολίας γ µε τη βοήθεια απαριθµητή Geiger - Muller

Μελέτη της ακτινοβολίας γ µε τη βοήθεια απαριθµητή Geiger - Muller ΑΠ1 Μελέτη της ακτινοβολίας γ µε τη βοήθεια απαριθµητή Geiger - Muller 1. Σκοπός Στην άσκηση αυτή γίνεται µελέτη της εξασθενήσεως της ακτινοβολίας γ (ραδιενεργός πηγή Co 60 ) µε την βοήθεια απαριθµητή

Διαβάστε περισσότερα