ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ"

Transcript

1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 42 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου ΜΕΡΟΣ ΕΥΤΕΡΟ ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ Ιωάννης Ντζούφρας Τµήµα Στατιστικής Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Χιαστός λόγος των πιθανοτήτων που εµφανίζονται σε ένα 2 2 πίνακα συνάφειας Ονοµάζεται και «λόγος σταυρωτού ή χιαστού πολλαπλάσιου» crossproduct ratio Στην Ιατρική Στατιστική χρησιµοποιούνται και οι όροι : «προσεγγιστικός σχετικός κίνδυνος» ή «σχετικός λόγος» ή απλά «σχετικός κίνδυνος» καθώς επίσης «σχετικός λόγος συµπληρωµατικών πιθανοτήτων» για λεπτοµέρειες ϐλ Τριχόπουλος, Τζώνου και Κατσουγιάννη, 2000, σελ Στους 2 2 πίνακες συνάφειας ο λόγος σχετικών πιθανοτήτων ΛΣΠ εκτιµάται από τον εκτιµητή ÔR p p 22 n n 22 p 2 p 2 n 2 n 2 δηλαδή από το λόγο των χιαστών πολλαπλάσιων του πίνακα συχνοτήτων Αθήνα, 3 Νοεµβρίου 2006 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 4 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Σύγκριση Σχετικών πιθανοτήτων µε τη χρήση του Odds Ratio ΟΡΙΣΜΟΣ Ο «λόγος σχετικών πιθανοτήτων» ``odds ratio δίνεται από το λόγο των σχετικών πιθανοτήτων εµφάνισης της νόσου για διαφορετικά επίπεδα του παράγοντα κινδύνου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Λόγος σχετικών πιθανοτήτων της νόσου για τους εκτεθειµένους έναντι των µη εκτεθειµένων στον παράγοντα κινδύνου OR odds E π E π E odds E π E π E ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : odds ratio σε 2 2 πίνακες Λόγος σχετικών πιθανοτήτων του X έναντι του X 2: oddsx OR oddsx 2 π i/π 2 i π /π 2 π π 22 3 π i2 /π 2 i2 π 2 /π 22 π 2 π 2 2 Ο ΛΣΠ χρησιµοποιείται ευρέως κυρίως στην Ιατρική Η δηµοτικότητα του ΛΣΠ οφείλεται στη σχετικά εύκολη ερµηνεία του, στο γεγονός ότι µπορεί να υπολογιστεί και σε προοπτικές και σε αναδροµικές µελέτες στο ότι είναι σχεδόν ίσος µε το σχετικό κίνδυνο σε συγκεκριµένες περιπτώσεις στο ότι αναφέρεται συγκρίσεις σχετικών πιθανοτήτων odds στο ότι προκύπτει άµεσα από τις παραµέτρους των µοντέλων λογιστικής παλινδρόµησης που ϑα εξετάσουµε στα επόµενα κεφάλαια

2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 44 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 46 Ανεξαρτησία και odds ratio Η σύνδεση το odds ratio µε την έννοια της ανεξαρτησίας σε πίνακες 2 2 είναι άµεση αφού «ανεξαρτησία» OR για το λόγο αυτό ο έλεγχος µπορεί να γραφτεί και ως H 0 : OR έναντι της εναλλακτικής H : OR Αν OR > ο επίπεδο της κατηγορικής µεταβλητής δηλαδή η γραµµή του πίνακα είναι πιο πιθανή από το 2ο επίπεδο Πχ αν OR 4 το ο επίπεδο της µεταβλητής X έχει σχετική πιθανότητα τετραπλάσια της σχετικής πιθανότητας του δεύτερου επιπέδου της µεταβλητής X Πχ αν OR /4 η 2η γραµµή του πίνακα X 2 έχει σχετική πιθανότητα τετραπλάσια της σχετικής πιθανότητας της ης γραµµής X ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ ΣΤΙΣ ΙΑΤΡΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ Αν OR a η σχετική πιθανότητα της νόσου Y όταν ένα άτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναι ίση µε a ϕορές την ίδια σχετική πιθανότητα όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Η ισοδύναµα : η σχετική πιθανότητα µη εµφάνισης της νόσου Y 2ότανένα άτοµο δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 είναι ίση µε a ϕορές την ίδια σχετική πιθανότητα όταν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Αν OR a> η σχετική πιθανότητα της νόσου Y ότανέναάτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναιa ή {a }00% ϕορές µεγαλύτερη της ίδιας σχετικής πιθανότητας όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 3 Αν OR a< η σχετική πιθανότητα της νόσου Y ότανέναάτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναι a ή { a}00% ϕορές µικρότερη της ίδιας σχετικής πιθανότητας όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 45 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 47 ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο ΛΣΠ αλλάζει και η αντίστοιχη ερµηνεία του αν αλλάξουµε τη σειρά των επίπεδων της µιας από τις δύο µεταβλητές Αν όµως αλλάξουµε τη σειρά και στις δυο µεταβλητές τότε ο ΛΣΠ δεν µεταβάλλεται ΛΣΠ + Σχετικός κίνδυνος στενά συνδεδεµένοι διότι, κάτω από προϋποθέσεις, αποτελεί προσεγγιστική εκτίµηση του στις µελέτες µαρτύρων-ασθενών ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ «η σχετική πιθανότητα του Y όταν X είναι ίση µε OR ϕορές την αντίστοιχη συπληρωµατική πιθανότητα όταν X 2» «η σχετική πιθανότητα του Y 2όταν X 2είναι ίση µε OR ϕορές την αντίστοιχη συπληρωµατική πιθανότητα όταν X» Επιβαρυντικός παράγοντας κινδύνου Οταν OR > : παρουσία του παράγοντα X κίνδυνος Προστατευτικός παράγοντας κινδύνου Οταν OR < : παρουσία του X κίνδυνος

3 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 48 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 50 Λογαριθµοποίηση odds ratio Στην στατιστική πολλές ϕορές χρησιµοποιούµε και το λογάριθµο του ΛΣΠ Μπορούµε να ϐρούµε ποιό εύκολα την κατανόµή του λογάριθµου του δειγµατικού odds ratio Χρησιµοποιείται στα µοντέλα λογιστικής παλινδρόµησης Στην περίπτωση αυτή η υπόθεση της ανεξαρτησίας µπορεί να γραφεί ως H 0 :logor 0 έναντι της εναλλακτικής H :logor 0 Σχέση ΛΣΠ νόσου και έκθεσης στον κίνδυνο σε 2 2 Πίνακες Σε2 2 πίνακες οι δύο ΛΣΠ συµπίπτουν Σαν να ϐλέπουµε το ίδιο αντικείµενο από διαφορετική οπτική γωνία Συνεπώς αν αλλάξουµε τη διάταξη των µεταβλητών σε ένα 2 2 πίνακα δηλαδή ποια µεταβλητή καθορίζει τις γραµµές και ποια µεταβλητή τις στήλες του πίνακα ο ΛΣΠ ϑα παραµείνει αµετάβλητος Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 49 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 5 Λόγος σχετικής πιθανότητας µιας νόσου disease odds ratio Ο παραπάνω ΛΣΠ ϐασίζεται στη νόσο ως µεταβλητή απόκρισης Επιτυχία:ηεµφάνισητηςνόσου, συγκρίνει τις σχετικές πιθανότητες της νόσου µεταξύ των ατόµων που έχουν ή όχι εκτεθεί σε ένα παράγοντα κινδύνου Ο λόγος των σχετικών πιθανοτήτων εµφάνισης µιας νόσου για άτοµα διαφορετικής έκθεσης σε ένα παράγοντα κινδύνου ονοµάζεται και λόγος σχετικής πιθανότητας µιας νόσου disease odds ratio, Rosner, 994, σελ 365 ΛΣΠ έκθεσης σε ένα παράγοντα κινδύνου exposure odds ratio Επιτυχία : έκθεση στον κίνδυνο 345 Εκτίµηση του σχετικούκινδύνου και του ΛΣΠ µε τη Χρήση SPSS Στο SPSS µπορούµε να υπολογίσουµε το σχετικό κίνδυνο και το λόγο σχετικών πιθανοτήτων για πίνακες 2 2 Αυτό µπορεί να γίνει στο µενού Analyze>Descriptive Statistics>Crosstabs Αφού εισάγουµε τις µεταβλητές που επιθυµούµε στις στήλες και στις γραµµές, επιλέγουµε το δεύτερο σε σειρά κουτί επιλογών που εµφανίζεται στο κάτω µέρος της οθόνης µε τίτλο Statistics και τσεκάρουµε την εκτύπωση των δεικτών κινδύνου µε ένδειξη Risk Προσοχή οι δείκτες κινδύνου σχετικός κίνδυνος και λόγος σχετικών πιθανοτήτων υπολογίζονται µόνο για 2 2 πίνακες Υπολογίζουµε το λόγο των σχετικών πιθανότητων έκθεσης στον κίνδυνο για τους ασθενείς και µάρτυρες ΛΣΠ έκθεσης σε ένα παράγοντα exposure odds ratio, Rosner, 994, σελ 366

4 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 52 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 54 Γιατί ο RR δεν υπολογίζεται σε Αναδροµικές µελέτες ; 35 Σχέση ΣχετικούΚινδύνου και ΛΣΠ Odds Ratio ΛΣΠ έγινε δηµοφιλής στην Ιατρική στατιστική ή Βιοστατιστική γιατί ο ΛΣΠ µπορεί να υπολογιστεί και στους δύο τύπους µελετών προοπτικές και αναδροµικές ο σχετικός κίνδυνος µπορεί να υπολογιστεί µόνο σε προόπτικες µελέτες ΛΣΠ είναι ασυµπτωτικά ίσος µε το σχετικό κίνδυνο όταν ηπι- ϑανότητα εµφάνισης της νόσου είναι µικρή δηλαδή στις σπάνιες αρρώστιες Για RR χρειαζόµαστε την πιθανότητα εµφάνισης της νόσου π j και π j 2 εν µπορούν να εκτιµηθούν από µελέτες µαρτύρων-ασθενών γιατί το µέγεθος τόσο των ασθενών όσο και των µαρτύρων είναι προκαθορισµένο λόγω του σχεδιασµού της µελέτης Αντίθετα στις προοπτικές µελέτες, όπου λαµβάνεται δείγµα αντιπροσωπευτικό του υπό µελέτη πληθυσµού, αυτές οι ποσότητες µπορούν να εκτιµηθούν άρα να υπολογιστεί και ο σχετικός κίνδυνος ΛΣΠ της νόσου δίνεται από τον τύπο OR odds E odds E π E π E π E π E π j π j2 2 π j 2 π j2 ο οποίος προαπαιτεί την εκτίµηση αυτών των πιθανοτήτων π E και π E Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 53 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 55 Γιατί odds ratio RR; OR Odds E OddsX Odds E OddsX 2 π j /π j2 π j π j2 π j 2 /π j2 2 π j 2 π j2 2 RRY RRY 2 Αν το γεγονός που εξετάζουµε νόσος έχει πιθανότητα εµφάνισης πολύ µικρή πχ σπάνια ασθένεια τότε καταλήγοντας στο αποτέλεσµα π j2 και π j2 2 RRY 2 OR RRY Εχουµε ικανοποιητική προσέγγιση όταν ο επιπολασµός της νόσου είναι µικρότερος του 00 ϐλ Rosner, 994, σελ 368 Αναλύοντας όµως τον παραπάνω τύπο έχουµε OR π i/π 2 i π i2 /π 2 i2 π π 22 π 2 π 2 π i π π i2 2 π 2 π i 2 π 2π i2 π OR π i π i2 2 π i 2 π i2 δηλ ο ΛΣΠ έκθεσης στον κίνδυνο! 4 Συνεπώς ΛΣΠ ορίζεται επαρκώς αν αντί για τις δεσµευµένες πιθανότητες π j i χρησιµοποιήσουµε τις πιθανότητες π i j οι οποίες µπορούν να εκτιµηθούν από µια µελέτη µαρτύρων-ασθενών ΑΡΑ ο ΛΣΠ µπορεί να εκτιµηθεί χωρίς πρόβληµα ανεξαρτήτως ποια από τις δύο µεταβλητές X ή Y ϑα είναι τυχαία Συνεπώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί και να υπολογιστεί και στις αναδροµικές και στις προοπτικές µελέτες

5 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 56 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Υπολογισµός του ΣχετικούΚινδύνου στις Μελέτες Μαρτύρων-Ασθενών RR PA E PA E π E π E Στις µελέτες µαρτύρων-ασθενών κατανοµή των ασθενών A και µαρτύρων A είναι προκαθορισµένη οι παραπάνω πιθανότητες και ο RR δεν µπορούν να εκτιµηθούν Θα χρησιµοποιήσουµε το ϑεώρηµα του Bayes για να εκφράσουµε το RR ως συνάρτηση των πιθανοτήτων του παράγοντα κινδύνου X δηλαδή E και E RR PA E PA, E/PE PA E PA, E/PE PE APA/PE PE APA/PE PE A PE A PE PE Στην παραπάνω ισότητα, η πιθανότητα έκθεσης και µη έκθεσης αναφέρεται στο γενικό πληθυσµό 37 Παραδείγµατα 37 Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια και Αντισύλληψη Μελέτη Μαρτύρων-Ασθενών Παράδειγµα 3 Τα δεδοµένα του 2 2 Πίνακα 59 προέρχονται από την ερευνητική δουλειά των Mann et al 975, Brit J Med Στη έρευνα αυτή 58 γυναίκες κάτω των 45 χρονών µε µυοκαρδιακή ανεπάρκεια εξετάσθηκαν ως προς τη χρήση ή όχι αντισυλληπτικού χαπιού Το δείγµα προερχόταν από δύο νοσοκοµεία της Αγγλίας και της Ουαλίας την περίοδο Επίσης επιλέχτηκε περίπου τριπλάσιος αριθµός µαρτύρων από τα ίδια νοσοκοµεία που δεν είχαν την νόσο της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Τα δεδοµένα αυτά δίνονται επίσης στις σελ 3 από τον Agresti 990 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 57 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 59 Σε µία µελέτη µαρτύρων ασθενών, λόγω της δειγµατοληψίας, αυτή πιθανότητα δεν εκτιµάται σωστά Αρά µε τη χρήση του ϑεωρήµατος της ολικής πιθανότητας µπορούµε να γράψουµε Ε ΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ RRA PE A PE A PE APA+PE APA PE APA+PE APA PE A PE A [ PE A]PA+[ PE A][ PA] PE APA+PE A[ PA] X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X Στην παραπάνω ισότητα πρέπει να γνωρίζουµε τις πιθανότητες έκθεσης στον παράγοντα κινδύνου δεδοµένου ότι κάποιος έχει ή όχι τη νόσο δηλαδή είναι ασθενής ή µάρτυρας - πιθανότητες PE A και PE A που υπολογίζονται σε αναδροµικές µελέτες 2 τον επιπολασµό της νόσου PA ο οποίος δεν µπορεί να εκτιµηθεί από µια µελέτη µαρτύρων-ασθενών αλλά από µία συγχρονική ή προοπτική µελέτη µε τυχαίο δείγµα από το γενικό πληθυσµό : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y Πίνακασ : εδοµένα Παραδείγµατος 3: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια και Αντισυλληπτικό Χάπι Mann et al, 975

6 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 60 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 62 X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι 37 Από κοινούκαι δεσµευµένες Συναρτήσεις Πιθανότητας Η από κοινού συνάρτηση κατανοµής δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί π π π : Οχι π π π ΠερΚατ Y π π : Ναί π i π 2 i : Οχι π i π 2 i ΠερΚατ Y π π Συνεπώς στον παραπάνω πίνακα ϑέλουµε να συγκρίνουµε τις πιθανότητες εµφάνισης της νόσου στις δύο οµάδες δηλαδή το 0404 µε το 020 Η σύγκριση αυτή είναι ισοδύναµη µε το έλεγχο της ισότητας των πιθανοτήτων της µη εµφάνισης της νόσου δηλαδή του 0596 µε το 079 ΠΡΟΣΟΧΗ : Στο παραπάνω πρόβληµα η κατανοµή της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας είναι σταθερή προκαθορισµένη από το σχεδιασµό του πειράµατος - µελέτης η εξέταση των παραπάνω κατανοµών δεν έχει νόηµα µπορούµε να ελέγξουµε αν οι κατανοµές PX Y εφόσον το X είναι όντως τυχαίο χωρίς όµως να µπορεί να µας µεταφέρει όλη τη επιθυµητή πληροφορία Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 6 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 63 Μεταβλητή απόκρισης είναι η µυοκαρδιακή ανεπάρκεια Μας ενδιαφέρει να συγκρίνουµε την κατανοµή της νόσου µεταξύ των ατόµων που χρησιµοποίησαν αντισύλληψη µε την αντίστοιχη κατανοµή στην οµάδα των ατόµων που χρησιµοποιησαν αντισύλληψη Η σύγκριση αυτή ϑα µας δώσει και την επίδραση της χρήσης αντισυλληπτικού χαπιού στην πιθανότητα εµφάνισης της νόσου Θα συγκρίνουµε τις δεσµευµένες κατανοµές PY X και PY X 2για τις οµάδες που χρησιµοποιούν ή όχι αντισυλληπτικό χάπι αντίστοιχα Οι δεσµευµένες κατανοµές της χρήσης του χαπιού στους µάρτυρες και τους ασθενείς δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα : X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί π j π j π : Οχι π 2 j π 2 j π Ετσι οι δεσµευµένες κατανοµές της νόσου δίνονται από τον ακόλουθο πίνακα : X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι : Ναί π i π 2 i : Οχι π i π 2 i ΠερΚατ Y π π Μπορούµε να συγκρίνουµε το ποσοστό των ασθενών που χρησιµοποιούν αντισυλληπτικό χάπι 397% µε το αντίστοιχο ποσοστό των µαρτύρων 205% Με χρήση του ϑεωρήµατος του Bayes µπορούµε να υπολογίσουµε και τις δεσµευµένες κατανοµές PY X που µας ενδιαφέρουν αλλά χρειαζόµαστε να ξέρουµε το ποσοστό της ασθένειας στον πληθυσµό επιπολασµός

7 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 64 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Εκτίµηση ΛΣΠ και Συνάρτησης Κινδύνου Το επόµενο ϐήµα είναι να υπολογίσουµε το ΛΣΠ X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y Σχετικός και Αποδιδόµενος κίνδυνος Εδω ϑα υπολογίσουµε και ερµηνεύσουµε το σχετικό και αποδιδόµενο κίνδυνο ΠΡΟΣΟΧΗ : Σε µελέτες µαρτύρων-ασθενών όπως και εδώ δεν µπορούµε να τα υπολογίσουµε γιατί δεν εκτιµούν σωστά τα ακόλουθα δειγµατικά µέτρα Εδώ τα υπολογίζουµε και τα ερµηνεύουµε µόνο ως παράδειγµα ÔR Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 65 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 67 ΕΡΜΗΝΕΙΑ OR 255 Η σχετική πιθανότητα της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Y µιας γυναίκας που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X είναι ίση µε 255 ϕορές την αντίστοιχη πιθανότητας µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 2 2 Αν αλλάξουµε τη σειρά των κατηγοριών και στις δύο µεταβλητές τότε δεν αλλάζει ο ΛΣΠ: Η σχετική πιθανότητα µη εµφάνισης της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Y 2σε µια γυναίκα που δεν χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 2 είναι ίση µε 255 ϕορές την αντίστοιχη πιθανότητα µιας γυναίκας που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 3 Πιο απλά ϑα µπορούσαµε να πούµε ότι η χρήση του αντισυλληπτικού χαπιού από τις γυναίκες αυξάνει τη σχετική πιθανότητα ή τον κίνδυνο εµφάνισης µυοκαρδιακής ανεπάρκειας 4 Η χρήση του αντισυλληπτικού χαπιού αποτελεί επιβαρυντικό παράγοντα κινδύνου για τη µυοκαρδιακή ανεπάρκεια X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y RRY RRmyocard 23/57 35/ Η πιθανότητα µυοκαρδιακής ανεπάρκειας για µια γυναίκα που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι είναι 93% υψηλότερη από την αντιστοιχή πιθανότητα µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί τέτοιο είδος αντισύλληψης

8 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 68 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 70 X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y RRY 2RRmyocard 2 34/57 52/ Η πιθανότητα να µην εµφανίσει τη νόσο της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας µια γυναίκα που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι είναι 24% µικρότερη της αντίστοιχης πιθανότητας µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί τέτοιου είδους αντισύλληψη ARY 2ARmyocard [Το αποτέλεσµα είναι ίδιο όπως πρίν µε διαφορετικό πρόσηµο] Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 69 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 7 X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y Συµπερασµατολογία και Ελεγχοι Υπόθεσης για 2 2 Πίνακες Συνάφειας 38 Ισότητα ύο ιωνυµικών Ποσοστών 38 Αποδιδόµενος κίνδυνος ίτιµη µεταβλητή απόκρισης Y έχει ή όχι τη νόσο, A και A ARY ARmyocard % των γυναικών που χρησιµοποίησαν αντισυλληπτικό χάπι δε ϑα είχαν µυοκαρδιακή ανεπάρκεια αν δεν έκανα χρήση αυτού του είδους της αντισύλληψης 2 οµάδες µε διαφορετική έκθεση στον κίνδυνο E και E Μας ενδιαφέρει να ελέγξουµε αν η πιθανότητα εµφάνισης της νόσου είναι ίδια στις δύο οµάδες

9 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 72 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 74 Συνεπώς H 0 : PA E PA E έναντι της εναλλακτικής H : PA E PA E H 0 : π E π E έναντι της εναλλακτικής H : π E π E Συνεπώς έχουµε H 0 : PA E PA E 0 H : PA E PA E 0 H 0 : π E π E 0 H : π E π E 0 Y E Binπ E, και Y E Binπ E, H 0 : AR 0 H : AR 0 Από τα παραπάνω µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη διωνυµική κατανοµή για να ελέγξουµε κατά πόσο ο αποδιδόµενος κίνδυνος είναι µηδέν ή όχι ελέγχου γίνεται ÂR z N0, π π + Αντικαθιστούµε το κοινό π µε την αντίστοιχη εκτίµηση του p + / + οπότε ÂR z p E N0, p p + p p + Εφόσον ο αποδιδόµενος κίνδυνος µπορεί να εκτιµηθεί µόνο στις προοπτικές µελέτες, µόνο εκεί µπορούµε να εφαρµώσουµε την παραπάνω προσέγγιση Στις αναδροµικές µελέτες, η παραπάνω σύγκριση µπορεί να γίνει ανάποδα για να συγκρίνουµε την έκθεση στον κίνδυνο για τους µάρτυρες και τους ασθενείς, δηλαδή να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : PE A PE A έναντι της εναλλακτικής H : PE A PE A Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 73 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 75 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το κεντρικό οριακό ϑεώρηµα και να ϕτιάξουµε ένα z test Αν π E, π E, π E και π E 5 N π E, π E π E και p N π E, π E π E E όπου και είναι τα δειγµατικές αναλογίες εµφάνισης της νόσου για τις οµάδες µε έκθεση ή όχι στον παράγοντα κινδύνου Αν τώρα πάρουµε τις διαφορές ϑα έχουµε π E π E ÂR N π E π E, + π E π E Άρα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για τον παραπάνω έλεγχο τη συνάρτηση ελέγχου : ÂR AR z N0, π E π E + πe π E Αν ισχύει η H 0 τότε AR π E π E 0και π E π E π συνεπώς η συνάρτηση H 0 : π E π E ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ AR έναντι της εναλλακτικής H : π E π E H 0 : AR 0 έναντι της εναλλακτικής H : AR 0 z AR p p + p + + Απορρίπτουµε την H 0 όταν z AR <Z α/2

10 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 76 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 78 Το κοινό ποσοστό εκτιµάται ίσο µε ΤΥΠΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΑΣ AR ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Από τα παραπάνω επίσης προκύπτει ότι µπορούµε να ϕτιάξουµε 00 α% διαστήµατα εµπιστοσύνης για τον αποδιδόµενο κίνδυνο το οποίο ϑα δίνεται από τον τύπο ÂR ± z α/2 + p E p E p n n n + n 2 n + n 2 + n 2 + n 22 Επιπλέον το τυπικό σφάλµα του αποδιδόµενου κινδύνου, εάν η H 0 ισχύει, ϑα είναι ίση µε seâr p p nn2 n 2 n + n 2 nn2 n 2 n + n 2 n n2 n n 2 nn n 2 n + n 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 77 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 79 Αποδιδόµενος κίνδυνος σε πίνακες 2 2: ΕΚΤΙΜΗΣΗ AR Στους πίνακες 2 2 όπου η σειρα των ενδεχοµένων για τις δύο µεταβλητές είναι E, E και A, A ο αποδιδόµενος κίνδυνος δίνεται από τον τύπο και εκτιµάται AR π E π E π π 2 ÂR p p 2 n n n 2 n 2 n n + n 2 n 2 n 2 + n 22 n n 2 + n n 22 n 2 n n 2 n 2 n + n 2 n 2 + n 22 n n 22 n 2 n 2 n + n 2 n 2 + n 22 n n 22 n 2 n 2 n n 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ AR Συνεπώς η συνάρτηση ελέγχου δίνεται από τον τύπο Z n n +n 2 n2 n 2+n 22 n n2 n n n 2 n n 22 n 2 n 2 n n n2n n 2 n n 22 n 2 n 2 n n n 2 n2 n n n 2 Οι παραπάνω τύποι δε ϑα αλλάξουν αν χρησιµοποιήσουµε αντίστροφα όπως είναι και ο συνηθισµένος τρόπος τα ενδεχόµενα των δύο µεταβλητών δηλαδή έχουµε X E, E και Y A, A

11 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 80 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Σχετικός κίνδυνος Σχετικός κίνδυνος λόγος των πιθανοτήτων εµφάνισης κινδύνου για τις δύο οµάδες διαφορετικής έκθεσης στον κίνδυνο δηλαδή RR π E /π E Μας ενδιαφέρει η κατανοµή δειγµατοληψίας του δειγµατικού σχετικού κινδύνου RR / την οποία µπορούµε να τη χρησιµοποιήσουµε για την κατασκευή διαστηµάτων εµπιστοσύνης και ελέγχων υποθέσεων Για την ακρίβεια ϑα ασχοληθούµε µε την κατανοµή δειγµατοληψίας του λογαρίθµου του σχετικού κινδύνου : log RR logpe log γνωρίζοντας ότι Συνεπώς µε ϐάση τους τρεις πρώτους όρους της σειρά Taylor έχουµε EhX hµ+h µ VX 2 5 Οµοια µπορούµε να υπολογίσουµε τη διακύµανση ϐασιζόµενοι στους δύο πρώτους όρους της σειράς Ετσι έχουµε EhX {h µ} 2 VX 6 Binπ E, Binπ E,, όπου Binp, n είναι η διωνυµική κατανοµή µε πιθανότητα επιτυχίας p και αριθµό επαναλήψεων n Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 8 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 83 Γυρνώντας στην περίπτωση του σχετικού κινδύνου, έχουµε X, hx log, Από τα προηγούµενα είδαµε ότι για αρκετά µεγάλο δείγµα πιο συγγεκριµένα για,,, 5 µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η κατανοµή του προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανοµή Συνεπώς έχουµε π E π E π N π E, και N π E, E π E EX π E και VX π E π E / Συνεπώς Elog log π E π E π E π 2 logπ E π E E 2 2 π E log π E για µεγάλο Συνεπώς το log είναι ασυµπτωτικά αµερόληπτος εκτιµητής του log π E Οµοια από τον τύπο 6 προκύπτει ότι Vlog π E π E π 2 π E E π E

12 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 84 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 86 Συνεπώς προκύπτει ότι ασυµπτ log N π E log π E, π E Με ακριβώς τα ίδια επιχειρήµατα ϐρίσκουµε και την ασυµπτωτική κατανοµή του log ηοποίαδίνεταιως ασυµπτ π log N log π E, E π E Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει και η κατανοµή δειγµατοληψίας του λογαρίθµου υποθέτοντας ανεξαρτησία των δύο οµάδων έκθεσης στον κίνδυνο η οποία ϑα δίνεται από τον τύπο ασυµπτ log RR logpe log N π E log RR, + π E π E π E ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Ενα 00 α% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του σχετικού κινδύνου ϑα δίνεται από τις τιµές log RR ± z α/2 Vlog RR δηλαδή log RR ± z α/2 + r E r E όπου z q είναι το 00q ποσοστηµόριο της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής Αντίστοιχα για το σχετικό κίνδυνο το αντίστοιχο διάστηµα εµπιστοσύνης προκύπτει από τις τιµές log RR±z α/2 + r E r n e E E όπου e 27 είναι η ϐάση των ϕυσικού λογαρίθµου Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική µόνο αν 5 και 5 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 85 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 87 Στην πράξη εκτιµούµε το τυπικό σφάλµα χρησιµοποιώντας του τις δειγµατικές αναλογίες και από τον τύπο Vlog RR + r E + r E r E r E + r E r E όπου r E και r E είναι ο παρατηρούµενος αριθµός των ασθενών στις οµάδες µε ή χωρίς έκθεση στον κίνδυνο αντίστοιχα ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Αν ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας µεταξύ νόσου και παράγοντα κινδύνου τότε µπορούµε να κάνουµε τον έλεγχο : H 0 :logrr 0έναντι της εναλλακτικής H :logrr 0 Χρησιµοποιούµε τη συνάρτηση ελέγχου log RR Z + N0, re ne r n E E Αν Z <Z α/2 τότε δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας σε επίπεδο σηµαντικότητας 00α% αλλιώς απορρίπτουµε την H 0

13 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 88 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 90 Επιπλέον πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει και αν ένας παράγοντας είναι επιβαρυντικός ή προστατευτικός H : RR > επιβαρυντικός παράγοντας H : RR < προστατευτικός παράγοντας Οι παραπάνω εναλλακτικές υποθέσεις αναφέρονται σε ελέγχους µίας ουράς one sided tests όπου απορρίπτουµε την H 0 Περιοχή απόρριψης : Z>Z α όταν ελέγχουµε αν ο παράγοντας είναι επιβαρυντικός H : RR > Z<Z α όταν ελέγχουµε αν ο παράγοντας είναι προστατευτικός H : RR < και 383 Λόγος σχετικών Πιθανοτήτων Ο λόγος σχετικών πιθανοτήτων ΛΣΠ ή Odds Ratio ή OR δίνεται από τον τύπο OR Odds E π E/ π E Odds E π E / π E π E π E π E π E και εκτιµάται από το ÔR / / Οπως και στις προηγούµενες περιπτώσεις δουλεύουµε µε το λογάριθµο δηλαδή µε log ÔR log p log E Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 89 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 9 Ακολουθούµε την ίδια προσέγγιση όπως στην κατανοµή δειγµατοληψίας του σχετικού κινδύνου µε X h log log Σχετικός κίνδυνος σε 2 2 Πίνακες : Σε 2 2 πίνακες το τυπικό σφάλµα του selog RR + n n n 2 n 2 log RR είναι ίσο µε h p E + /[ ] και h p 2 E + 2 Ετσι έχουµε E V log log log Odds E + Odds E Odds E log Odds E για µεγάλο + r E Οµοια είναι τα αποτελέσµατα για τια την οµάδα των µη εκτεθειµένων στον κίνδυνο αντικαθιστούµε το E µε E

14 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 92 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 94 Συνεπώς π E π Elog ÔR log log E logodds E log Odds π E π E logor E Vlog ÔR r E r E r E r E άρα για, αρκετά µεγάλα έχουµε log ÔR ασυµπτ N log OR, r E r E r E r E Η παραπάνω απόδειξη µπορεί να προκύψει ως άµεσο αποτέλεσµα από την κατανοµή δειγµατοληψίας του σχετικού κίνδυνου αν γράψουµε το ΛΣΠ ως log ÔR log π E π E log π E π E log RR log RR Στην προηγούµενη ενότητα έχουµε υπολογίσει την κατανοµή του log RR ενώ η κατανοµή του log RR log π E προκύπτει µε τον ίδιο τρόπο αφού είναι ο σχετικός π E κίνδυνος του συµπληρωµατικού ενδεχοµένου A ενώ ο RR εξετάζει το A ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Αν ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας µεταξύ νόσου και παράγοντα κινδύνου τότε µπορούµε να κάνουµε τον έλεγχο : H 0 :logor 0έναντι της εναλλακτικής H :logor 0 Χρησιµοποιούµε τη συνάρτηση ελέγχου log ÔR Z + N0, re r E + + r E r E Αν Z <Z α/2 τότε δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας σε επίπεδο σηµαντικότητας 00α% αλλιώς απορρίπτουµε την H 0 Οµοια µε τους αντίστοιχους ελέγχους του σχετικού κινδύνου µπορούµε να ελέγξουµε αν ένας παράγοντας είναι προστατευτικός H : OR < ή επιβαρυντικός H : OR > Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 93 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 95 ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Ενα 00 α% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του ΛΣΠ ϑα δίνεται από τις τιµές log ÔR ± z α/2 Vlog ÔR δηλαδή log ÔR ± z α/ r E r E r E r E όπου z q είναι το 00q ποσοστηµόριο της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής Αντίστοιχα για το ΛΣΠ το αντίστοιχο διάστηµα εµπιστοσύνης προκύπτει από τις τιµές log ÔR±z α/ r E r E r n r e E E E όπου e 27 είναι η ϐάση των ϕυσικού λογαρίθµου Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική µόνο αν 5 και 5 ΛΣΠ σε 2 2 Πίνακες : Σε 2 2 πίνακες ο παραπάνω τύπος απλοποιείται σε log ÔR ασυµπτ N log OR, n n 2 n 2 n 22 ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ log n n 22 ± z α/ log ÔR±z α/ r E r E r n r e E E E n 2 n 2 n n 2 n 2 n 22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Z logn n 22 logn 2 n 2 N0, n + n 2 + n 2 + n 22

15 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 96 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 98 Εστω και µια συχνότητα σε ένα κελί 0 ΠΡΟΒΛΗΜΑ : ΛΣΠ 0 ή Τυπικό σφάλµα ΛΥΣΗ : Προσθέτουµε την ποσότητα δ 05 σεόλατακελιάκαινα ξαναυπολογίζουµε τον εκτιµητή και τη διακύµανση του δηλαδή ÔR cor n + δn 22 + δ n 2 + δn 2 + δ Varlog ÔR cor n + δ + n 2 + δ + n 2 + δ + n 22 + δ Οταν όλα τα n ij είναι σχετικά µεγάλα τότε ο παραπάνω εκτιµητής διαφέρει ελάχιστα του αρχικού εκτιµητή Μπορούµε να υπολογίσουµε όλα τα µέτρα κινδύνου AR, RR και OR α Αποδιδόµενος κίνδυνος : ÂR Επιθυµούµε να δούµε αν η διαφορά ϑνησιµότητας είναι στατιστικά σηµαντική, συνεπώς ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : AR 0έναντι της εναλλακτικής H : AR 0 Αν η µηδενική υπόθεση ισχύει έχουµε VÂR H 0 p p seâr H Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 97 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Παράδειγµα Παράδειγµα 32 Σε µια προοπτική µελέτη κατά την οποία εξετάσθηκαν 368 άνδρες καπνιστές ηλικίας κάτω των 60 ετών οι οποίοι έπαθαν µια καρδιακή ανακοπή και επιβίωσαν Μετά από 2 έτη εξετάσθηκαν πόσοι από αυτούς είχαν επιβιώσει και τους χωρίσαµε ανάλογα εάν είχαν κόψει το τσιγάρο ή όχι Ετσι εδώ µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε αν το σταµάτηµα του καπνίσµατος X είχε ευνοϊκή επίδραση στην επιβίωση µετά από δύο έτη Y Τα δεδοµένα δίνονται στον 2 2 Πίνακα που ακολουθεί X: Y: Επιβίωση σε 2 χρόνια ΠερΚατ Συνέχισαν το κάπνισµα ; : Πεθαµένος 2: Ζωντανός X : Ναί 9 23% % 54 2: Οχι 5 70% % 24 ΠερΚατ Y 34 92% % 368 ÂR 0053 seâr H z 00503/ <z δεν απορρίπτουµε την H 0 δεν υπάρχει στατιστική διαφορά της ϑνησιµότητας ανάλογα αν ο ασθενής συνεχίσει το κάπνισµα το σταµάτηµα του καπνίσµατος δεν επηρεάζει τη ϑνησιµότητα ΠΡΟΣΟΧΗ : Η διαφορά είναι στατιστικά σηµαντική για α 00 Σηµείωση : ισχύει η προϋπόθεση > 5 και > 5 Πίνακασ 2: εδοµένα Παραδείγµατος 32: Κάπνισµα και Επιβίωση σε Ασθενείς Καρδιακής Ανεπάρκειας Daly et al, 983

16 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 00 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 02 γ Λόγος σχετικών πιθανοτήτων : Γιαναϐρούµετο95% διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζουµε πρώτα το τυπικό σφάλµα seâr + p E p E συνεπώς το 95% Ε δίνεται από τον τύπο 0053 ± , ÔR log ÔR log selog ÔR % Ε :γιαlog OR ± , % Ε :γιαor e 00867, e , Ελεγχος υπόθεσης : H 0 : ORR έναντι της εναλλακτικής H : OR Z OR 06244/ <z 0975 δεν απορρίπτουµε την H 0 για α 5% η σχετική πιθανότητα ϑανάτου δεν διαφοροποιείται σηµαντικά για τα άτοµα που συνέχισαν να καπνίζουν σε σχέση µε τα άτοµα που σταµατήσαν το κάπνισµα Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 0 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 03 ϐ Σχετικός κίνδυνος : RR 023/ log RR log selog RR % Ε :γιαlog RR ± , % Ε :γιαrr e 0079, e , 3353 Ελεγχος υπόθεσης : H 0 : RR έναντι της εναλλακτικής H : RR Z RR 05654/ <z 0975 δεν απορρίπτουµε την H 0 για α 5% τα ποσοστά ϑνησιµότητας δεν αλλάζουν για τα άτοµα που συνέχισαν να καπνίζουν σε σχέση µε τα άτοµα που σταµατήσαν το κάπνισµα 382 Ελεγχος Ανεξαρτησίας χ 2 του του Pearson Οι προηγούµενοι έλεγχοι αναφέρονται στον έλεγχος της σχέσης εξάρτησης δύο δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών δηλ ισότητα 2 διωνυµικών αναλογιών - ποσοστών Οταν ϑέλουµε να ελέγξουµε γενικότερα την ισότητα της πιθανότητας εµφάνισης της νόσου σε πολλές διαφορετικές οµάδες ή γενικότερα µεταξύ δύο κατηγορικών µεταβλητών µε πολλά επίπεδα έλεγχος ανεξαρτησίας του Pearson

17 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 04 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 06 Εχουµε X και Y κατηγορικές µεταβλητές µε I και J επίπεδα Ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : «Ανεξαρτησία µεταξύ X και Y» έναντι της εναλλακτικής H : «X και Y είναι εξαρτηµένες µεταβλητές» Ανεξαρτησία π ij π iπj Πρακτικά στο δείγµα χρησιµοποιούµε τα αντίστοιχα δειγµατικά µέτρα : παρατηρούµενη συχνότητα n ij κάθε κελιού i, j εκτιµούµενη από το δείγµα αναµενόµενη τιµή e ij κάθε κελιού i, j Συνεπώς έχουµε I J χ 2 n ij e ij 2 obs 8 e i j ij Απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας όταν χ 2 obs >χ2 I J,095 Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική για e ij 5 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 05 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 07 Αναµενόµενες τιµές των κελιών i, j κάτω από την υπόθεση της ανεξαρτησίας : EN ij H 0 ε ij nπ iπj οι οποίες ϑα εκτιµηθούν στο δείγµα από τις ποσότητες e ij n n i n nj n Υποθέτοντας ότι N ij Poissonε ij Nij εij εij 2 Nij ε ij ασυµ εij χ 2 n inj n ασυµ N0, το άθροισµα τους ακολουθεί τη χ 2 κατανοµή µε I J ϐαθµούς ελευθερίας I i j J N ij ε ij 2 ε ij ασυµ χ 2 I J Πίνακες Συνάφειας Σε 2 2 πίνακες συνάφειας ο έλεγχος απλοποιείται ως χ 2 nn n 2 n 2 n 2 2 n n 2 n n 2 z 2 9 Ελεγχος ανεξαρτησίας του Pearson στους 2 2 πίνακες είναι ισοδύναµος µε τον έλεγχο για τον αποδιδόµενο κίνδυνο που περιγράψαµε στην ενότητα 38 Στους πίνακες 2 2 για λόγους καλύτερης προσέγγισης χρησιµοποιείται το χ 2 τεστ µε τη διόρθωση του Yates το οποίο δίνεται από τον τύπο : χ 2 Yates 2 i j 2 n ij e ij /2 2 e ij χ 2 0

18 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 08 Παράδειγµα 32 συνέχεια: χ 2 Στο παράδειγµά µας άρα δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας <χ Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο 8 οπότε e 34 54/ e e e χ p value Τέλος αν χρησιµοποιήσουµε το χ 2 µε τη διόρθωση του Yates έχουµε χ 2 Yates / / / / p value 09 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 0 I J Πίνακες Συνάφειας H 0 : «X,Y ανεξάρτητες µεταβλητές» έναντι της H : «X,Y εξαρτηµένες µεταβλητές» H εκτιµούµε όλες τις από κοινού πιθανότητες π ij d IJ αφαιρούµε µία επειδή ισχύει ότι I i J j π ij άρα εκτιµούµε µία λιγότερη αφού την τελευταία την υπολογίζουµε απλά ως συνάρτηση των υπολοίπων H 0 εκτιµούµε τις περιθωριακές κατανοµές π i και πj d 0 I + J I + J 2 d d 0 IJ I J +2 IJ I J + IJ J I J Επιπλέον, υποθέτοντας πολυωνυµική κατανοµή έχουµε L 0 L I J π iπj Nij log L 0 I J i j i j I J I J π Nij ij log L N ij log π ij i j i j N ij log π i + I i j J N ij log πj Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 09 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 383 Ελεγχος Μεγίστης Πιθανοφάνειας Το 935 ο Wilks απέδειξε G 2 2log L 0 L χ 2 d d 0 L k είναι η πιθανοφάνεια του µοντέλου µας ή της H k υπόθεσης d k είναι ο αριθµός των εκτιµώµενων παραµέτρων κάτω από από την υπόθεση H k k 0, G 2 2log L 0 log L G 2 obs I J i j I J i j N ij log ε ij/n π ij n ij log e ij n ij I J i j I J i j N ij log π iπj π ij N ij log ε ij nπ ij Απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας αν G 2 obs >χ2 I J, α Προϋπόθεση n/ij 5 δεν είναι τόσο αυστηρή όσο οι προϋποθέσεις του ελέγχου ανεξαρτησίας του Pearson G 2 µέτρο απόκλισης παρατηρούµενων n ij & αναµενόµενων e ij συχνοτήτων Αν υποθέσουµε κατανοµή Poisson ή διωνυµική Ιδιο αποτέλεσµα Οταν H 0 αληθής χ 2 δοκιµασία του Pearson + έλεγχος πιθανοφάνειας ϑα ίδιο συµπέρασµα

19 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Ακριβής Ελεγχος Ανεξαρτησίας του Fisher Οι παραπάνω έλεγχοι είναι ασυµπτωτικοί δείγµα ικανοποιητικά µεγάλο Ακριβής exact έλεγχος δε ϐασίζεται σε ασυµπτωτικά αποτελέσµατα δεν προαπαιτεί την ισχύ προϋποθέσεων για το µέγεθος/σύνθεση του δείγµατος Οι ασυµπτωτικοί έλεγχοι χρησιµοποιούνται διότι ϐασίζονται στην κανονική και στις παράγωγες της κατανοµές όπως για παράδειγµα τη χ 2 κριτικές τιµές και τα p value και µπορούν να υπολογιστούν εύκολα Εδώ ϑα ασχοληθούµε µε τον ακριβή έλεγχο του Fisher Fisher s exact test ϐασίζεται στο αποτέλεσµα : ανεξαρτησία + σταθερές τις περιθωριακές συχνότητες N ϑα ακολουθεί υπεργεωµετρική κατανοµή Μπορούµε να υπολογίσουµε όλους τους πιθανούς πίνακες που αντιστοιχούν στις συγκεκριµένες περιθωριακές συχνότητες και τις αντίστοιχες πιθανότητες µε ϐάση την υπεργεωµετρική κατανοµή Υπολογίζουµε το p value ως άθροισµα των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν σε πίνακες µε χειρότερη ή ίση τιµή ελεγχοσυνάρτησης από αυτή που έχουµε παρατηρήσει Y ΠερΚατ Πίνακας Α X A A X E 3 4 n 3 E 3 4 ΠερΚατ Y OR 9 Y ΠερΚατ Πίνακας Β X A A X E n 4 E ΠερΚατ Y OR ή OR cor 8 Y ΠερΚατ Πίνακας Γ X A A X E n 2 E ΠερΚατ Y OR Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 5 Παράδειγµα 33 Εστω ότι έχουµε παρατηρήσει τον πίνακα Y ΠερΚατ X A A X E 3 4 E 3 4 ΠερΚατ Y και µας ενδιαφέρει να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : OR έναντι της H : OR > Φυσικά δε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις παραπάνω ασυµπτωτικές διαδικασίες αλλά ϑα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε την ακριβή δοκιµασία του Fisher Εφόσον οι περιθωριακές συχνότητες είναι σταθερές οι πιθανές τιµές του n είναι 0,, 2, 3, 4 Άρα πιθανοί πίνακες είναι Y ΠερΚατ Πίνακας X A A X E n E ΠερΚατ Y OR /9 0 Y ΠερΚατ Πίνακας Ε X A A X E n 0 E ΠερΚατ Y OR 0ή OR cor /8 002

20 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 6 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 8 Για να υπολογίσουµε το p value ϑα ϐρούµε τις πιθάνότητες των πινάκων µε OR µεγαλύτερο ή ίσο του 9 που παρατηρήσαµε στο δείγµα Συνεπώς p value PA+PB PA+PB / / συνεπώς δεν απορρίπτουµε την H Πίνακες Συνάφειας Στους 2 2 πίνακες η πιθανότητα ενός πίνακα δίνεται και από τον τύπο Pn,n 2,n 2,n 22 n,n2,n,n 2 n!n2!n!n 2!, n!n!n 2!n 2!n 22! για λεπτοµέρειες παραπέµπουµε στο ϐιβλίο του Rosner 994, σελ 37 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 7 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 9 Αν κάνουµε τον έλεγχο δύο ουρών τότε p value PΠίνακες µε OR 9 + PΠίνακες µε OR / PA + PB+ P + PE PΓ εν απορρίπτουµε την H 0 ούτε στον έλεγχο των δύο ουρών Ελεγχος Fisher σε 4 ϐήµατα Κατασκευάζουµε όλους τους πιθανούς πίνακες που αντιστοιχούν στις περιθωριακές συχνότητες που έχουµε παρατηρήσει 2 Υπολογίζουµε την συνάρτηση ελέγχου για κάθε πίνακα 3 Υπολογίζουµε την πιθανότητα εµφάνισης για τους πίνακες µε χειρότερη πιο αποµακρυσµένη ή ίση τιµή ελεγχοσυνάρτησης από αυτή που παρατηρήσαµε στο δείγµα µας 4 Υπολογίζουµε το p-value α Αν H : π E π E ή H : OR τότε p-value 2min{PN n,pn n } ϐ Αν H : π E >π E ή H : OR > τότε p-value PN n γ Αν H : π E <π E ή H : OR < τότε p-value PN n Οι ακριβείς έλεγχοι ισχύου πάντα αλλά τους εφαρµόζουµε µόνο αν e ij < 5 όποτε δε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τους αντίστοιχους ασυµπτωτικούς ελέγχους

21 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Μόντε Κάρλο Ελεγχοι Ανεξαρτησίας Στις περισσότερες περιπτώσεις, όταν χρειάζεται να υπολογίσουµε τα ακριβή τεστ, ο αριθµός των πιθανών πινάκων είναι µεγάλος Εναλλακτικά µπορούµε να προσοµοιώσουµε έναν αριθµό από αυτούς δηλάδη να κατασκευάσουµε ένα τυχαίο δείγµα έτσι ώστε να εκτιµήσουµε το πραγµατικό p value Το µέγεθος του δείγµατος που προσοµοιώνουµε είναι µεγάλο πχ 0000 πίνακες έτσι ώστε να εκτιµήσουµε µε ακρίβεια το p value Αποτέλεσµα διάστηµα εµπιστοσύνης συνήθως 99% γιατοp value Απορρίπτουµε H 0 άν όλο το διάστηµα εµπιστοσύνης να είναι µικρότερο του α Αν το α εµπεριέχεται στο Ε του p value δεν µπορούµε να αποφασίσουµε για την H 0

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT KINGSTON UNIVERSITY ICBS Business College ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ν. ΣΤΑΜΟΥΛΗΣ Ανάλυση δεδοµένων και βασικές έννοιες Για τον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα . ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα ξεκίνησε τον 7 ο αιώνα. Το κλειδί σ αυτή την εξέλιξη υπήρξε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία

Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία Ιωάννης Ντζούφρας Τµήµα Στατιστικής Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Άρης Περπέρογλου Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση

Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση Στο προηγούµενο κεϕάλαιο µελετήσαµε τη διάδοση του σϕάλµατος από µια τυχαία µεταβλητή X σε µια τ.µ. Y που δίνεται ως συνάρτηση της X. Σε αυτό το κεϕάλαιο ϑα διερευνήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Βασικά Σηµεία ιάλεξης Ορισµός Επένδυσης Μελλοντική Αξία Επένδυσης Παρούσα Αξία Επένδυσης Αξιολόγηση Επενδυτικών Έργων Ορθολογικά Κριτήρια Μέθοδος της Καθαρής

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 3 ΙΙ. ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ. Σχολείο Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Συχνότητα Γυµνάσιο 773 37.93% Λύκειο 1006 49.36% ΤΕΕ 259 12.71%

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχοι: (a) να δοθεί µια εισαγωγή στη θεωρία της στατιστικής συµπερασµατολογίας ελέγχων υποθέσεων, (b) να παρουσιάσει τις βασικές εφαρµογές αυτών των ελέγχων: µέσης τιµής, ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 4 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια Κεφάλαιο 7 Μη Παραµετρικά Κριτήρια Παραµετρικά Κριτήρια Τα παραµετρικά κριτήρια είναι στατιστικά κριτήρια που απαιτούν την ικανοποίηση συγκεκριµένων προϋποθέσεων είτε αναφορικά µε συγκεκριµένες παραµέτρους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39 41 Περιεχόμενα Ξενάγηση στο βιβλίο 25 Ξενάγηση στο συνοδευτικό CD 27 Εισαγωγή 29 Ευχαριστίες 33 Οι βασικές διαφορές μεταξύ του SPSS 16 και των προηγούμενων εκδόσεων 35 Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37 1 Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ανδρομάχη Σκουφά Επιβλέπουσα:

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρα σχέσης. Ιωάννα Τζουλάκη Λέκτορας Επιδημιολογίας Υγιεινή και Επιδημιολογία

Μέτρα σχέσης. Ιωάννα Τζουλάκη Λέκτορας Επιδημιολογίας Υγιεινή και Επιδημιολογία Μέτρα σχέσης Ιωάννα Τζουλάκη Λέκτορας Επιδημιολογίας Υγιεινή και Επιδημιολογία Στο τέλος...(learning outcomes) Να γνωρίζετε τα κυριότερα μέτρα σχέσης που χρησιμοποιούνται για μετρήσουμε μια συσχέτηση μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) 9.1. Εισαγωγή Μέχρι τώρα αναφερθήκαµε στο κόστος κεφαλαίου µε τη γενικότερη µορφή του και

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

«Πρόβλεψη» «Forecasting»

«Πρόβλεψη» «Forecasting» «Πρόβλεψη» «Forecasting» Σηµειώσεις για το µάθηµα του 6 ου εξαµήνου «Αρχές ιοίκησης και Οργάνωση Παραγωγής» 2005 Μιχάλης Βαϊδάνης 1 I. Πρόβλεψη (Forecasting) Η πρόβλεψη είναι µια από τις σηµαντικότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα