ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ"

Transcript

1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 42 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου ΜΕΡΟΣ ΕΥΤΕΡΟ ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ Ιωάννης Ντζούφρας Τµήµα Στατιστικής Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Χιαστός λόγος των πιθανοτήτων που εµφανίζονται σε ένα 2 2 πίνακα συνάφειας Ονοµάζεται και «λόγος σταυρωτού ή χιαστού πολλαπλάσιου» crossproduct ratio Στην Ιατρική Στατιστική χρησιµοποιούνται και οι όροι : «προσεγγιστικός σχετικός κίνδυνος» ή «σχετικός λόγος» ή απλά «σχετικός κίνδυνος» καθώς επίσης «σχετικός λόγος συµπληρωµατικών πιθανοτήτων» για λεπτοµέρειες ϐλ Τριχόπουλος, Τζώνου και Κατσουγιάννη, 2000, σελ Στους 2 2 πίνακες συνάφειας ο λόγος σχετικών πιθανοτήτων ΛΣΠ εκτιµάται από τον εκτιµητή ÔR p p 22 n n 22 p 2 p 2 n 2 n 2 δηλαδή από το λόγο των χιαστών πολλαπλάσιων του πίνακα συχνοτήτων Αθήνα, 3 Νοεµβρίου 2006 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 4 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Σύγκριση Σχετικών πιθανοτήτων µε τη χρήση του Odds Ratio ΟΡΙΣΜΟΣ Ο «λόγος σχετικών πιθανοτήτων» ``odds ratio δίνεται από το λόγο των σχετικών πιθανοτήτων εµφάνισης της νόσου για διαφορετικά επίπεδα του παράγοντα κινδύνου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Λόγος σχετικών πιθανοτήτων της νόσου για τους εκτεθειµένους έναντι των µη εκτεθειµένων στον παράγοντα κινδύνου OR odds E π E π E odds E π E π E ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : odds ratio σε 2 2 πίνακες Λόγος σχετικών πιθανοτήτων του X έναντι του X 2: oddsx OR oddsx 2 π i/π 2 i π /π 2 π π 22 3 π i2 /π 2 i2 π 2 /π 22 π 2 π 2 2 Ο ΛΣΠ χρησιµοποιείται ευρέως κυρίως στην Ιατρική Η δηµοτικότητα του ΛΣΠ οφείλεται στη σχετικά εύκολη ερµηνεία του, στο γεγονός ότι µπορεί να υπολογιστεί και σε προοπτικές και σε αναδροµικές µελέτες στο ότι είναι σχεδόν ίσος µε το σχετικό κίνδυνο σε συγκεκριµένες περιπτώσεις στο ότι αναφέρεται συγκρίσεις σχετικών πιθανοτήτων odds στο ότι προκύπτει άµεσα από τις παραµέτρους των µοντέλων λογιστικής παλινδρόµησης που ϑα εξετάσουµε στα επόµενα κεφάλαια

2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 44 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 46 Ανεξαρτησία και odds ratio Η σύνδεση το odds ratio µε την έννοια της ανεξαρτησίας σε πίνακες 2 2 είναι άµεση αφού «ανεξαρτησία» OR για το λόγο αυτό ο έλεγχος µπορεί να γραφτεί και ως H 0 : OR έναντι της εναλλακτικής H : OR Αν OR > ο επίπεδο της κατηγορικής µεταβλητής δηλαδή η γραµµή του πίνακα είναι πιο πιθανή από το 2ο επίπεδο Πχ αν OR 4 το ο επίπεδο της µεταβλητής X έχει σχετική πιθανότητα τετραπλάσια της σχετικής πιθανότητας του δεύτερου επιπέδου της µεταβλητής X Πχ αν OR /4 η 2η γραµµή του πίνακα X 2 έχει σχετική πιθανότητα τετραπλάσια της σχετικής πιθανότητας της ης γραµµής X ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ ΣΤΙΣ ΙΑΤΡΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ Αν OR a η σχετική πιθανότητα της νόσου Y όταν ένα άτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναι ίση µε a ϕορές την ίδια σχετική πιθανότητα όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Η ισοδύναµα : η σχετική πιθανότητα µη εµφάνισης της νόσου Y 2ότανένα άτοµο δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 είναι ίση µε a ϕορές την ίδια σχετική πιθανότητα όταν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Αν OR a> η σχετική πιθανότητα της νόσου Y ότανέναάτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναιa ή {a }00% ϕορές µεγαλύτερη της ίδιας σχετικής πιθανότητας όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 3 Αν OR a< η σχετική πιθανότητα της νόσου Y ότανέναάτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναι a ή { a}00% ϕορές µικρότερη της ίδιας σχετικής πιθανότητας όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 45 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 47 ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο ΛΣΠ αλλάζει και η αντίστοιχη ερµηνεία του αν αλλάξουµε τη σειρά των επίπεδων της µιας από τις δύο µεταβλητές Αν όµως αλλάξουµε τη σειρά και στις δυο µεταβλητές τότε ο ΛΣΠ δεν µεταβάλλεται ΛΣΠ + Σχετικός κίνδυνος στενά συνδεδεµένοι διότι, κάτω από προϋποθέσεις, αποτελεί προσεγγιστική εκτίµηση του στις µελέτες µαρτύρων-ασθενών ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ «η σχετική πιθανότητα του Y όταν X είναι ίση µε OR ϕορές την αντίστοιχη συπληρωµατική πιθανότητα όταν X 2» «η σχετική πιθανότητα του Y 2όταν X 2είναι ίση µε OR ϕορές την αντίστοιχη συπληρωµατική πιθανότητα όταν X» Επιβαρυντικός παράγοντας κινδύνου Οταν OR > : παρουσία του παράγοντα X κίνδυνος Προστατευτικός παράγοντας κινδύνου Οταν OR < : παρουσία του X κίνδυνος

3 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 48 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 50 Λογαριθµοποίηση odds ratio Στην στατιστική πολλές ϕορές χρησιµοποιούµε και το λογάριθµο του ΛΣΠ Μπορούµε να ϐρούµε ποιό εύκολα την κατανόµή του λογάριθµου του δειγµατικού odds ratio Χρησιµοποιείται στα µοντέλα λογιστικής παλινδρόµησης Στην περίπτωση αυτή η υπόθεση της ανεξαρτησίας µπορεί να γραφεί ως H 0 :logor 0 έναντι της εναλλακτικής H :logor 0 Σχέση ΛΣΠ νόσου και έκθεσης στον κίνδυνο σε 2 2 Πίνακες Σε2 2 πίνακες οι δύο ΛΣΠ συµπίπτουν Σαν να ϐλέπουµε το ίδιο αντικείµενο από διαφορετική οπτική γωνία Συνεπώς αν αλλάξουµε τη διάταξη των µεταβλητών σε ένα 2 2 πίνακα δηλαδή ποια µεταβλητή καθορίζει τις γραµµές και ποια µεταβλητή τις στήλες του πίνακα ο ΛΣΠ ϑα παραµείνει αµετάβλητος Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 49 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 5 Λόγος σχετικής πιθανότητας µιας νόσου disease odds ratio Ο παραπάνω ΛΣΠ ϐασίζεται στη νόσο ως µεταβλητή απόκρισης Επιτυχία:ηεµφάνισητηςνόσου, συγκρίνει τις σχετικές πιθανότητες της νόσου µεταξύ των ατόµων που έχουν ή όχι εκτεθεί σε ένα παράγοντα κινδύνου Ο λόγος των σχετικών πιθανοτήτων εµφάνισης µιας νόσου για άτοµα διαφορετικής έκθεσης σε ένα παράγοντα κινδύνου ονοµάζεται και λόγος σχετικής πιθανότητας µιας νόσου disease odds ratio, Rosner, 994, σελ 365 ΛΣΠ έκθεσης σε ένα παράγοντα κινδύνου exposure odds ratio Επιτυχία : έκθεση στον κίνδυνο 345 Εκτίµηση του σχετικούκινδύνου και του ΛΣΠ µε τη Χρήση SPSS Στο SPSS µπορούµε να υπολογίσουµε το σχετικό κίνδυνο και το λόγο σχετικών πιθανοτήτων για πίνακες 2 2 Αυτό µπορεί να γίνει στο µενού Analyze>Descriptive Statistics>Crosstabs Αφού εισάγουµε τις µεταβλητές που επιθυµούµε στις στήλες και στις γραµµές, επιλέγουµε το δεύτερο σε σειρά κουτί επιλογών που εµφανίζεται στο κάτω µέρος της οθόνης µε τίτλο Statistics και τσεκάρουµε την εκτύπωση των δεικτών κινδύνου µε ένδειξη Risk Προσοχή οι δείκτες κινδύνου σχετικός κίνδυνος και λόγος σχετικών πιθανοτήτων υπολογίζονται µόνο για 2 2 πίνακες Υπολογίζουµε το λόγο των σχετικών πιθανότητων έκθεσης στον κίνδυνο για τους ασθενείς και µάρτυρες ΛΣΠ έκθεσης σε ένα παράγοντα exposure odds ratio, Rosner, 994, σελ 366

4 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 52 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 54 Γιατί ο RR δεν υπολογίζεται σε Αναδροµικές µελέτες ; 35 Σχέση ΣχετικούΚινδύνου και ΛΣΠ Odds Ratio ΛΣΠ έγινε δηµοφιλής στην Ιατρική στατιστική ή Βιοστατιστική γιατί ο ΛΣΠ µπορεί να υπολογιστεί και στους δύο τύπους µελετών προοπτικές και αναδροµικές ο σχετικός κίνδυνος µπορεί να υπολογιστεί µόνο σε προόπτικες µελέτες ΛΣΠ είναι ασυµπτωτικά ίσος µε το σχετικό κίνδυνο όταν ηπι- ϑανότητα εµφάνισης της νόσου είναι µικρή δηλαδή στις σπάνιες αρρώστιες Για RR χρειαζόµαστε την πιθανότητα εµφάνισης της νόσου π j και π j 2 εν µπορούν να εκτιµηθούν από µελέτες µαρτύρων-ασθενών γιατί το µέγεθος τόσο των ασθενών όσο και των µαρτύρων είναι προκαθορισµένο λόγω του σχεδιασµού της µελέτης Αντίθετα στις προοπτικές µελέτες, όπου λαµβάνεται δείγµα αντιπροσωπευτικό του υπό µελέτη πληθυσµού, αυτές οι ποσότητες µπορούν να εκτιµηθούν άρα να υπολογιστεί και ο σχετικός κίνδυνος ΛΣΠ της νόσου δίνεται από τον τύπο OR odds E odds E π E π E π E π E π j π j2 2 π j 2 π j2 ο οποίος προαπαιτεί την εκτίµηση αυτών των πιθανοτήτων π E και π E Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 53 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 55 Γιατί odds ratio RR; OR Odds E OddsX Odds E OddsX 2 π j /π j2 π j π j2 π j 2 /π j2 2 π j 2 π j2 2 RRY RRY 2 Αν το γεγονός που εξετάζουµε νόσος έχει πιθανότητα εµφάνισης πολύ µικρή πχ σπάνια ασθένεια τότε καταλήγοντας στο αποτέλεσµα π j2 και π j2 2 RRY 2 OR RRY Εχουµε ικανοποιητική προσέγγιση όταν ο επιπολασµός της νόσου είναι µικρότερος του 00 ϐλ Rosner, 994, σελ 368 Αναλύοντας όµως τον παραπάνω τύπο έχουµε OR π i/π 2 i π i2 /π 2 i2 π π 22 π 2 π 2 π i π π i2 2 π 2 π i 2 π 2π i2 π OR π i π i2 2 π i 2 π i2 δηλ ο ΛΣΠ έκθεσης στον κίνδυνο! 4 Συνεπώς ΛΣΠ ορίζεται επαρκώς αν αντί για τις δεσµευµένες πιθανότητες π j i χρησιµοποιήσουµε τις πιθανότητες π i j οι οποίες µπορούν να εκτιµηθούν από µια µελέτη µαρτύρων-ασθενών ΑΡΑ ο ΛΣΠ µπορεί να εκτιµηθεί χωρίς πρόβληµα ανεξαρτήτως ποια από τις δύο µεταβλητές X ή Y ϑα είναι τυχαία Συνεπώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί και να υπολογιστεί και στις αναδροµικές και στις προοπτικές µελέτες

5 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 56 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Υπολογισµός του ΣχετικούΚινδύνου στις Μελέτες Μαρτύρων-Ασθενών RR PA E PA E π E π E Στις µελέτες µαρτύρων-ασθενών κατανοµή των ασθενών A και µαρτύρων A είναι προκαθορισµένη οι παραπάνω πιθανότητες και ο RR δεν µπορούν να εκτιµηθούν Θα χρησιµοποιήσουµε το ϑεώρηµα του Bayes για να εκφράσουµε το RR ως συνάρτηση των πιθανοτήτων του παράγοντα κινδύνου X δηλαδή E και E RR PA E PA, E/PE PA E PA, E/PE PE APA/PE PE APA/PE PE A PE A PE PE Στην παραπάνω ισότητα, η πιθανότητα έκθεσης και µη έκθεσης αναφέρεται στο γενικό πληθυσµό 37 Παραδείγµατα 37 Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια και Αντισύλληψη Μελέτη Μαρτύρων-Ασθενών Παράδειγµα 3 Τα δεδοµένα του 2 2 Πίνακα 59 προέρχονται από την ερευνητική δουλειά των Mann et al 975, Brit J Med Στη έρευνα αυτή 58 γυναίκες κάτω των 45 χρονών µε µυοκαρδιακή ανεπάρκεια εξετάσθηκαν ως προς τη χρήση ή όχι αντισυλληπτικού χαπιού Το δείγµα προερχόταν από δύο νοσοκοµεία της Αγγλίας και της Ουαλίας την περίοδο Επίσης επιλέχτηκε περίπου τριπλάσιος αριθµός µαρτύρων από τα ίδια νοσοκοµεία που δεν είχαν την νόσο της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Τα δεδοµένα αυτά δίνονται επίσης στις σελ 3 από τον Agresti 990 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 57 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 59 Σε µία µελέτη µαρτύρων ασθενών, λόγω της δειγµατοληψίας, αυτή πιθανότητα δεν εκτιµάται σωστά Αρά µε τη χρήση του ϑεωρήµατος της ολικής πιθανότητας µπορούµε να γράψουµε Ε ΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ RRA PE A PE A PE APA+PE APA PE APA+PE APA PE A PE A [ PE A]PA+[ PE A][ PA] PE APA+PE A[ PA] X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X Στην παραπάνω ισότητα πρέπει να γνωρίζουµε τις πιθανότητες έκθεσης στον παράγοντα κινδύνου δεδοµένου ότι κάποιος έχει ή όχι τη νόσο δηλαδή είναι ασθενής ή µάρτυρας - πιθανότητες PE A και PE A που υπολογίζονται σε αναδροµικές µελέτες 2 τον επιπολασµό της νόσου PA ο οποίος δεν µπορεί να εκτιµηθεί από µια µελέτη µαρτύρων-ασθενών αλλά από µία συγχρονική ή προοπτική µελέτη µε τυχαίο δείγµα από το γενικό πληθυσµό : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y Πίνακασ : εδοµένα Παραδείγµατος 3: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια και Αντισυλληπτικό Χάπι Mann et al, 975

6 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 60 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 62 X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι 37 Από κοινούκαι δεσµευµένες Συναρτήσεις Πιθανότητας Η από κοινού συνάρτηση κατανοµής δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί π π π : Οχι π π π ΠερΚατ Y π π : Ναί π i π 2 i : Οχι π i π 2 i ΠερΚατ Y π π Συνεπώς στον παραπάνω πίνακα ϑέλουµε να συγκρίνουµε τις πιθανότητες εµφάνισης της νόσου στις δύο οµάδες δηλαδή το 0404 µε το 020 Η σύγκριση αυτή είναι ισοδύναµη µε το έλεγχο της ισότητας των πιθανοτήτων της µη εµφάνισης της νόσου δηλαδή του 0596 µε το 079 ΠΡΟΣΟΧΗ : Στο παραπάνω πρόβληµα η κατανοµή της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας είναι σταθερή προκαθορισµένη από το σχεδιασµό του πειράµατος - µελέτης η εξέταση των παραπάνω κατανοµών δεν έχει νόηµα µπορούµε να ελέγξουµε αν οι κατανοµές PX Y εφόσον το X είναι όντως τυχαίο χωρίς όµως να µπορεί να µας µεταφέρει όλη τη επιθυµητή πληροφορία Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 6 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 63 Μεταβλητή απόκρισης είναι η µυοκαρδιακή ανεπάρκεια Μας ενδιαφέρει να συγκρίνουµε την κατανοµή της νόσου µεταξύ των ατόµων που χρησιµοποίησαν αντισύλληψη µε την αντίστοιχη κατανοµή στην οµάδα των ατόµων που χρησιµοποιησαν αντισύλληψη Η σύγκριση αυτή ϑα µας δώσει και την επίδραση της χρήσης αντισυλληπτικού χαπιού στην πιθανότητα εµφάνισης της νόσου Θα συγκρίνουµε τις δεσµευµένες κατανοµές PY X και PY X 2για τις οµάδες που χρησιµοποιούν ή όχι αντισυλληπτικό χάπι αντίστοιχα Οι δεσµευµένες κατανοµές της χρήσης του χαπιού στους µάρτυρες και τους ασθενείς δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα : X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί π j π j π : Οχι π 2 j π 2 j π Ετσι οι δεσµευµένες κατανοµές της νόσου δίνονται από τον ακόλουθο πίνακα : X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι : Ναί π i π 2 i : Οχι π i π 2 i ΠερΚατ Y π π Μπορούµε να συγκρίνουµε το ποσοστό των ασθενών που χρησιµοποιούν αντισυλληπτικό χάπι 397% µε το αντίστοιχο ποσοστό των µαρτύρων 205% Με χρήση του ϑεωρήµατος του Bayes µπορούµε να υπολογίσουµε και τις δεσµευµένες κατανοµές PY X που µας ενδιαφέρουν αλλά χρειαζόµαστε να ξέρουµε το ποσοστό της ασθένειας στον πληθυσµό επιπολασµός

7 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 64 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Εκτίµηση ΛΣΠ και Συνάρτησης Κινδύνου Το επόµενο ϐήµα είναι να υπολογίσουµε το ΛΣΠ X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y Σχετικός και Αποδιδόµενος κίνδυνος Εδω ϑα υπολογίσουµε και ερµηνεύσουµε το σχετικό και αποδιδόµενο κίνδυνο ΠΡΟΣΟΧΗ : Σε µελέτες µαρτύρων-ασθενών όπως και εδώ δεν µπορούµε να τα υπολογίσουµε γιατί δεν εκτιµούν σωστά τα ακόλουθα δειγµατικά µέτρα Εδώ τα υπολογίζουµε και τα ερµηνεύουµε µόνο ως παράδειγµα ÔR Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 65 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 67 ΕΡΜΗΝΕΙΑ OR 255 Η σχετική πιθανότητα της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Y µιας γυναίκας που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X είναι ίση µε 255 ϕορές την αντίστοιχη πιθανότητας µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 2 2 Αν αλλάξουµε τη σειρά των κατηγοριών και στις δύο µεταβλητές τότε δεν αλλάζει ο ΛΣΠ: Η σχετική πιθανότητα µη εµφάνισης της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Y 2σε µια γυναίκα που δεν χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 2 είναι ίση µε 255 ϕορές την αντίστοιχη πιθανότητα µιας γυναίκας που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 3 Πιο απλά ϑα µπορούσαµε να πούµε ότι η χρήση του αντισυλληπτικού χαπιού από τις γυναίκες αυξάνει τη σχετική πιθανότητα ή τον κίνδυνο εµφάνισης µυοκαρδιακής ανεπάρκειας 4 Η χρήση του αντισυλληπτικού χαπιού αποτελεί επιβαρυντικό παράγοντα κινδύνου για τη µυοκαρδιακή ανεπάρκεια X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y RRY RRmyocard 23/57 35/ Η πιθανότητα µυοκαρδιακής ανεπάρκειας για µια γυναίκα που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι είναι 93% υψηλότερη από την αντιστοιχή πιθανότητα µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί τέτοιο είδος αντισύλληψης

8 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 68 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 70 X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y RRY 2RRmyocard 2 34/57 52/ Η πιθανότητα να µην εµφανίσει τη νόσο της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας µια γυναίκα που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι είναι 24% µικρότερη της αντίστοιχης πιθανότητας µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί τέτοιου είδους αντισύλληψη ARY 2ARmyocard [Το αποτέλεσµα είναι ίδιο όπως πρίν µε διαφορετικό πρόσηµο] Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 69 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 7 X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y Συµπερασµατολογία και Ελεγχοι Υπόθεσης για 2 2 Πίνακες Συνάφειας 38 Ισότητα ύο ιωνυµικών Ποσοστών 38 Αποδιδόµενος κίνδυνος ίτιµη µεταβλητή απόκρισης Y έχει ή όχι τη νόσο, A και A ARY ARmyocard % των γυναικών που χρησιµοποίησαν αντισυλληπτικό χάπι δε ϑα είχαν µυοκαρδιακή ανεπάρκεια αν δεν έκανα χρήση αυτού του είδους της αντισύλληψης 2 οµάδες µε διαφορετική έκθεση στον κίνδυνο E και E Μας ενδιαφέρει να ελέγξουµε αν η πιθανότητα εµφάνισης της νόσου είναι ίδια στις δύο οµάδες

9 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 72 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 74 Συνεπώς H 0 : PA E PA E έναντι της εναλλακτικής H : PA E PA E H 0 : π E π E έναντι της εναλλακτικής H : π E π E Συνεπώς έχουµε H 0 : PA E PA E 0 H : PA E PA E 0 H 0 : π E π E 0 H : π E π E 0 Y E Binπ E, και Y E Binπ E, H 0 : AR 0 H : AR 0 Από τα παραπάνω µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη διωνυµική κατανοµή για να ελέγξουµε κατά πόσο ο αποδιδόµενος κίνδυνος είναι µηδέν ή όχι ελέγχου γίνεται ÂR z N0, π π + Αντικαθιστούµε το κοινό π µε την αντίστοιχη εκτίµηση του p + / + οπότε ÂR z p E N0, p p + p p + Εφόσον ο αποδιδόµενος κίνδυνος µπορεί να εκτιµηθεί µόνο στις προοπτικές µελέτες, µόνο εκεί µπορούµε να εφαρµώσουµε την παραπάνω προσέγγιση Στις αναδροµικές µελέτες, η παραπάνω σύγκριση µπορεί να γίνει ανάποδα για να συγκρίνουµε την έκθεση στον κίνδυνο για τους µάρτυρες και τους ασθενείς, δηλαδή να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : PE A PE A έναντι της εναλλακτικής H : PE A PE A Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 73 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 75 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το κεντρικό οριακό ϑεώρηµα και να ϕτιάξουµε ένα z test Αν π E, π E, π E και π E 5 N π E, π E π E και p N π E, π E π E E όπου και είναι τα δειγµατικές αναλογίες εµφάνισης της νόσου για τις οµάδες µε έκθεση ή όχι στον παράγοντα κινδύνου Αν τώρα πάρουµε τις διαφορές ϑα έχουµε π E π E ÂR N π E π E, + π E π E Άρα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για τον παραπάνω έλεγχο τη συνάρτηση ελέγχου : ÂR AR z N0, π E π E + πe π E Αν ισχύει η H 0 τότε AR π E π E 0και π E π E π συνεπώς η συνάρτηση H 0 : π E π E ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ AR έναντι της εναλλακτικής H : π E π E H 0 : AR 0 έναντι της εναλλακτικής H : AR 0 z AR p p + p + + Απορρίπτουµε την H 0 όταν z AR <Z α/2

10 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 76 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 78 Το κοινό ποσοστό εκτιµάται ίσο µε ΤΥΠΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΑΣ AR ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Από τα παραπάνω επίσης προκύπτει ότι µπορούµε να ϕτιάξουµε 00 α% διαστήµατα εµπιστοσύνης για τον αποδιδόµενο κίνδυνο το οποίο ϑα δίνεται από τον τύπο ÂR ± z α/2 + p E p E p n n n + n 2 n + n 2 + n 2 + n 22 Επιπλέον το τυπικό σφάλµα του αποδιδόµενου κινδύνου, εάν η H 0 ισχύει, ϑα είναι ίση µε seâr p p nn2 n 2 n + n 2 nn2 n 2 n + n 2 n n2 n n 2 nn n 2 n + n 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 77 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 79 Αποδιδόµενος κίνδυνος σε πίνακες 2 2: ΕΚΤΙΜΗΣΗ AR Στους πίνακες 2 2 όπου η σειρα των ενδεχοµένων για τις δύο µεταβλητές είναι E, E και A, A ο αποδιδόµενος κίνδυνος δίνεται από τον τύπο και εκτιµάται AR π E π E π π 2 ÂR p p 2 n n n 2 n 2 n n + n 2 n 2 n 2 + n 22 n n 2 + n n 22 n 2 n n 2 n 2 n + n 2 n 2 + n 22 n n 22 n 2 n 2 n + n 2 n 2 + n 22 n n 22 n 2 n 2 n n 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ AR Συνεπώς η συνάρτηση ελέγχου δίνεται από τον τύπο Z n n +n 2 n2 n 2+n 22 n n2 n n n 2 n n 22 n 2 n 2 n n n2n n 2 n n 22 n 2 n 2 n n n 2 n2 n n n 2 Οι παραπάνω τύποι δε ϑα αλλάξουν αν χρησιµοποιήσουµε αντίστροφα όπως είναι και ο συνηθισµένος τρόπος τα ενδεχόµενα των δύο µεταβλητών δηλαδή έχουµε X E, E και Y A, A

11 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 80 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Σχετικός κίνδυνος Σχετικός κίνδυνος λόγος των πιθανοτήτων εµφάνισης κινδύνου για τις δύο οµάδες διαφορετικής έκθεσης στον κίνδυνο δηλαδή RR π E /π E Μας ενδιαφέρει η κατανοµή δειγµατοληψίας του δειγµατικού σχετικού κινδύνου RR / την οποία µπορούµε να τη χρησιµοποιήσουµε για την κατασκευή διαστηµάτων εµπιστοσύνης και ελέγχων υποθέσεων Για την ακρίβεια ϑα ασχοληθούµε µε την κατανοµή δειγµατοληψίας του λογαρίθµου του σχετικού κινδύνου : log RR logpe log γνωρίζοντας ότι Συνεπώς µε ϐάση τους τρεις πρώτους όρους της σειρά Taylor έχουµε EhX hµ+h µ VX 2 5 Οµοια µπορούµε να υπολογίσουµε τη διακύµανση ϐασιζόµενοι στους δύο πρώτους όρους της σειράς Ετσι έχουµε EhX {h µ} 2 VX 6 Binπ E, Binπ E,, όπου Binp, n είναι η διωνυµική κατανοµή µε πιθανότητα επιτυχίας p και αριθµό επαναλήψεων n Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 8 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 83 Γυρνώντας στην περίπτωση του σχετικού κινδύνου, έχουµε X, hx log, Από τα προηγούµενα είδαµε ότι για αρκετά µεγάλο δείγµα πιο συγγεκριµένα για,,, 5 µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η κατανοµή του προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανοµή Συνεπώς έχουµε π E π E π N π E, και N π E, E π E EX π E και VX π E π E / Συνεπώς Elog log π E π E π E π 2 logπ E π E E 2 2 π E log π E για µεγάλο Συνεπώς το log είναι ασυµπτωτικά αµερόληπτος εκτιµητής του log π E Οµοια από τον τύπο 6 προκύπτει ότι Vlog π E π E π 2 π E E π E

12 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 84 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 86 Συνεπώς προκύπτει ότι ασυµπτ log N π E log π E, π E Με ακριβώς τα ίδια επιχειρήµατα ϐρίσκουµε και την ασυµπτωτική κατανοµή του log ηοποίαδίνεταιως ασυµπτ π log N log π E, E π E Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει και η κατανοµή δειγµατοληψίας του λογαρίθµου υποθέτοντας ανεξαρτησία των δύο οµάδων έκθεσης στον κίνδυνο η οποία ϑα δίνεται από τον τύπο ασυµπτ log RR logpe log N π E log RR, + π E π E π E ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Ενα 00 α% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του σχετικού κινδύνου ϑα δίνεται από τις τιµές log RR ± z α/2 Vlog RR δηλαδή log RR ± z α/2 + r E r E όπου z q είναι το 00q ποσοστηµόριο της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής Αντίστοιχα για το σχετικό κίνδυνο το αντίστοιχο διάστηµα εµπιστοσύνης προκύπτει από τις τιµές log RR±z α/2 + r E r n e E E όπου e 27 είναι η ϐάση των ϕυσικού λογαρίθµου Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική µόνο αν 5 και 5 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 85 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 87 Στην πράξη εκτιµούµε το τυπικό σφάλµα χρησιµοποιώντας του τις δειγµατικές αναλογίες και από τον τύπο Vlog RR + r E + r E r E r E + r E r E όπου r E και r E είναι ο παρατηρούµενος αριθµός των ασθενών στις οµάδες µε ή χωρίς έκθεση στον κίνδυνο αντίστοιχα ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Αν ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας µεταξύ νόσου και παράγοντα κινδύνου τότε µπορούµε να κάνουµε τον έλεγχο : H 0 :logrr 0έναντι της εναλλακτικής H :logrr 0 Χρησιµοποιούµε τη συνάρτηση ελέγχου log RR Z + N0, re ne r n E E Αν Z <Z α/2 τότε δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας σε επίπεδο σηµαντικότητας 00α% αλλιώς απορρίπτουµε την H 0

13 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 88 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 90 Επιπλέον πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει και αν ένας παράγοντας είναι επιβαρυντικός ή προστατευτικός H : RR > επιβαρυντικός παράγοντας H : RR < προστατευτικός παράγοντας Οι παραπάνω εναλλακτικές υποθέσεις αναφέρονται σε ελέγχους µίας ουράς one sided tests όπου απορρίπτουµε την H 0 Περιοχή απόρριψης : Z>Z α όταν ελέγχουµε αν ο παράγοντας είναι επιβαρυντικός H : RR > Z<Z α όταν ελέγχουµε αν ο παράγοντας είναι προστατευτικός H : RR < και 383 Λόγος σχετικών Πιθανοτήτων Ο λόγος σχετικών πιθανοτήτων ΛΣΠ ή Odds Ratio ή OR δίνεται από τον τύπο OR Odds E π E/ π E Odds E π E / π E π E π E π E π E και εκτιµάται από το ÔR / / Οπως και στις προηγούµενες περιπτώσεις δουλεύουµε µε το λογάριθµο δηλαδή µε log ÔR log p log E Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 89 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 9 Ακολουθούµε την ίδια προσέγγιση όπως στην κατανοµή δειγµατοληψίας του σχετικού κινδύνου µε X h log log Σχετικός κίνδυνος σε 2 2 Πίνακες : Σε 2 2 πίνακες το τυπικό σφάλµα του selog RR + n n n 2 n 2 log RR είναι ίσο µε h p E + /[ ] και h p 2 E + 2 Ετσι έχουµε E V log log log Odds E + Odds E Odds E log Odds E για µεγάλο + r E Οµοια είναι τα αποτελέσµατα για τια την οµάδα των µη εκτεθειµένων στον κίνδυνο αντικαθιστούµε το E µε E

14 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 92 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 94 Συνεπώς π E π Elog ÔR log log E logodds E log Odds π E π E logor E Vlog ÔR r E r E r E r E άρα για, αρκετά µεγάλα έχουµε log ÔR ασυµπτ N log OR, r E r E r E r E Η παραπάνω απόδειξη µπορεί να προκύψει ως άµεσο αποτέλεσµα από την κατανοµή δειγµατοληψίας του σχετικού κίνδυνου αν γράψουµε το ΛΣΠ ως log ÔR log π E π E log π E π E log RR log RR Στην προηγούµενη ενότητα έχουµε υπολογίσει την κατανοµή του log RR ενώ η κατανοµή του log RR log π E προκύπτει µε τον ίδιο τρόπο αφού είναι ο σχετικός π E κίνδυνος του συµπληρωµατικού ενδεχοµένου A ενώ ο RR εξετάζει το A ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Αν ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας µεταξύ νόσου και παράγοντα κινδύνου τότε µπορούµε να κάνουµε τον έλεγχο : H 0 :logor 0έναντι της εναλλακτικής H :logor 0 Χρησιµοποιούµε τη συνάρτηση ελέγχου log ÔR Z + N0, re r E + + r E r E Αν Z <Z α/2 τότε δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας σε επίπεδο σηµαντικότητας 00α% αλλιώς απορρίπτουµε την H 0 Οµοια µε τους αντίστοιχους ελέγχους του σχετικού κινδύνου µπορούµε να ελέγξουµε αν ένας παράγοντας είναι προστατευτικός H : OR < ή επιβαρυντικός H : OR > Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 93 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 95 ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Ενα 00 α% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του ΛΣΠ ϑα δίνεται από τις τιµές log ÔR ± z α/2 Vlog ÔR δηλαδή log ÔR ± z α/ r E r E r E r E όπου z q είναι το 00q ποσοστηµόριο της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής Αντίστοιχα για το ΛΣΠ το αντίστοιχο διάστηµα εµπιστοσύνης προκύπτει από τις τιµές log ÔR±z α/ r E r E r n r e E E E όπου e 27 είναι η ϐάση των ϕυσικού λογαρίθµου Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική µόνο αν 5 και 5 ΛΣΠ σε 2 2 Πίνακες : Σε 2 2 πίνακες ο παραπάνω τύπος απλοποιείται σε log ÔR ασυµπτ N log OR, n n 2 n 2 n 22 ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ log n n 22 ± z α/ log ÔR±z α/ r E r E r n r e E E E n 2 n 2 n n 2 n 2 n 22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Z logn n 22 logn 2 n 2 N0, n + n 2 + n 2 + n 22

15 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 96 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 98 Εστω και µια συχνότητα σε ένα κελί 0 ΠΡΟΒΛΗΜΑ : ΛΣΠ 0 ή Τυπικό σφάλµα ΛΥΣΗ : Προσθέτουµε την ποσότητα δ 05 σεόλατακελιάκαινα ξαναυπολογίζουµε τον εκτιµητή και τη διακύµανση του δηλαδή ÔR cor n + δn 22 + δ n 2 + δn 2 + δ Varlog ÔR cor n + δ + n 2 + δ + n 2 + δ + n 22 + δ Οταν όλα τα n ij είναι σχετικά µεγάλα τότε ο παραπάνω εκτιµητής διαφέρει ελάχιστα του αρχικού εκτιµητή Μπορούµε να υπολογίσουµε όλα τα µέτρα κινδύνου AR, RR και OR α Αποδιδόµενος κίνδυνος : ÂR Επιθυµούµε να δούµε αν η διαφορά ϑνησιµότητας είναι στατιστικά σηµαντική, συνεπώς ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : AR 0έναντι της εναλλακτικής H : AR 0 Αν η µηδενική υπόθεση ισχύει έχουµε VÂR H 0 p p seâr H Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 97 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Παράδειγµα Παράδειγµα 32 Σε µια προοπτική µελέτη κατά την οποία εξετάσθηκαν 368 άνδρες καπνιστές ηλικίας κάτω των 60 ετών οι οποίοι έπαθαν µια καρδιακή ανακοπή και επιβίωσαν Μετά από 2 έτη εξετάσθηκαν πόσοι από αυτούς είχαν επιβιώσει και τους χωρίσαµε ανάλογα εάν είχαν κόψει το τσιγάρο ή όχι Ετσι εδώ µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε αν το σταµάτηµα του καπνίσµατος X είχε ευνοϊκή επίδραση στην επιβίωση µετά από δύο έτη Y Τα δεδοµένα δίνονται στον 2 2 Πίνακα που ακολουθεί X: Y: Επιβίωση σε 2 χρόνια ΠερΚατ Συνέχισαν το κάπνισµα ; : Πεθαµένος 2: Ζωντανός X : Ναί 9 23% % 54 2: Οχι 5 70% % 24 ΠερΚατ Y 34 92% % 368 ÂR 0053 seâr H z 00503/ <z δεν απορρίπτουµε την H 0 δεν υπάρχει στατιστική διαφορά της ϑνησιµότητας ανάλογα αν ο ασθενής συνεχίσει το κάπνισµα το σταµάτηµα του καπνίσµατος δεν επηρεάζει τη ϑνησιµότητα ΠΡΟΣΟΧΗ : Η διαφορά είναι στατιστικά σηµαντική για α 00 Σηµείωση : ισχύει η προϋπόθεση > 5 και > 5 Πίνακασ 2: εδοµένα Παραδείγµατος 32: Κάπνισµα και Επιβίωση σε Ασθενείς Καρδιακής Ανεπάρκειας Daly et al, 983

16 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 00 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 02 γ Λόγος σχετικών πιθανοτήτων : Γιαναϐρούµετο95% διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζουµε πρώτα το τυπικό σφάλµα seâr + p E p E συνεπώς το 95% Ε δίνεται από τον τύπο 0053 ± , ÔR log ÔR log selog ÔR % Ε :γιαlog OR ± , % Ε :γιαor e 00867, e , Ελεγχος υπόθεσης : H 0 : ORR έναντι της εναλλακτικής H : OR Z OR 06244/ <z 0975 δεν απορρίπτουµε την H 0 για α 5% η σχετική πιθανότητα ϑανάτου δεν διαφοροποιείται σηµαντικά για τα άτοµα που συνέχισαν να καπνίζουν σε σχέση µε τα άτοµα που σταµατήσαν το κάπνισµα Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 0 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 03 ϐ Σχετικός κίνδυνος : RR 023/ log RR log selog RR % Ε :γιαlog RR ± , % Ε :γιαrr e 0079, e , 3353 Ελεγχος υπόθεσης : H 0 : RR έναντι της εναλλακτικής H : RR Z RR 05654/ <z 0975 δεν απορρίπτουµε την H 0 για α 5% τα ποσοστά ϑνησιµότητας δεν αλλάζουν για τα άτοµα που συνέχισαν να καπνίζουν σε σχέση µε τα άτοµα που σταµατήσαν το κάπνισµα 382 Ελεγχος Ανεξαρτησίας χ 2 του του Pearson Οι προηγούµενοι έλεγχοι αναφέρονται στον έλεγχος της σχέσης εξάρτησης δύο δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών δηλ ισότητα 2 διωνυµικών αναλογιών - ποσοστών Οταν ϑέλουµε να ελέγξουµε γενικότερα την ισότητα της πιθανότητας εµφάνισης της νόσου σε πολλές διαφορετικές οµάδες ή γενικότερα µεταξύ δύο κατηγορικών µεταβλητών µε πολλά επίπεδα έλεγχος ανεξαρτησίας του Pearson

17 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 04 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 06 Εχουµε X και Y κατηγορικές µεταβλητές µε I και J επίπεδα Ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : «Ανεξαρτησία µεταξύ X και Y» έναντι της εναλλακτικής H : «X και Y είναι εξαρτηµένες µεταβλητές» Ανεξαρτησία π ij π iπj Πρακτικά στο δείγµα χρησιµοποιούµε τα αντίστοιχα δειγµατικά µέτρα : παρατηρούµενη συχνότητα n ij κάθε κελιού i, j εκτιµούµενη από το δείγµα αναµενόµενη τιµή e ij κάθε κελιού i, j Συνεπώς έχουµε I J χ 2 n ij e ij 2 obs 8 e i j ij Απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας όταν χ 2 obs >χ2 I J,095 Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική για e ij 5 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 05 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 07 Αναµενόµενες τιµές των κελιών i, j κάτω από την υπόθεση της ανεξαρτησίας : EN ij H 0 ε ij nπ iπj οι οποίες ϑα εκτιµηθούν στο δείγµα από τις ποσότητες e ij n n i n nj n Υποθέτοντας ότι N ij Poissonε ij Nij εij εij 2 Nij ε ij ασυµ εij χ 2 n inj n ασυµ N0, το άθροισµα τους ακολουθεί τη χ 2 κατανοµή µε I J ϐαθµούς ελευθερίας I i j J N ij ε ij 2 ε ij ασυµ χ 2 I J Πίνακες Συνάφειας Σε 2 2 πίνακες συνάφειας ο έλεγχος απλοποιείται ως χ 2 nn n 2 n 2 n 2 2 n n 2 n n 2 z 2 9 Ελεγχος ανεξαρτησίας του Pearson στους 2 2 πίνακες είναι ισοδύναµος µε τον έλεγχο για τον αποδιδόµενο κίνδυνο που περιγράψαµε στην ενότητα 38 Στους πίνακες 2 2 για λόγους καλύτερης προσέγγισης χρησιµοποιείται το χ 2 τεστ µε τη διόρθωση του Yates το οποίο δίνεται από τον τύπο : χ 2 Yates 2 i j 2 n ij e ij /2 2 e ij χ 2 0

18 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 08 Παράδειγµα 32 συνέχεια: χ 2 Στο παράδειγµά µας άρα δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας <χ Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο 8 οπότε e 34 54/ e e e χ p value Τέλος αν χρησιµοποιήσουµε το χ 2 µε τη διόρθωση του Yates έχουµε χ 2 Yates / / / / p value 09 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 0 I J Πίνακες Συνάφειας H 0 : «X,Y ανεξάρτητες µεταβλητές» έναντι της H : «X,Y εξαρτηµένες µεταβλητές» H εκτιµούµε όλες τις από κοινού πιθανότητες π ij d IJ αφαιρούµε µία επειδή ισχύει ότι I i J j π ij άρα εκτιµούµε µία λιγότερη αφού την τελευταία την υπολογίζουµε απλά ως συνάρτηση των υπολοίπων H 0 εκτιµούµε τις περιθωριακές κατανοµές π i και πj d 0 I + J I + J 2 d d 0 IJ I J +2 IJ I J + IJ J I J Επιπλέον, υποθέτοντας πολυωνυµική κατανοµή έχουµε L 0 L I J π iπj Nij log L 0 I J i j i j I J I J π Nij ij log L N ij log π ij i j i j N ij log π i + I i j J N ij log πj Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 09 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 383 Ελεγχος Μεγίστης Πιθανοφάνειας Το 935 ο Wilks απέδειξε G 2 2log L 0 L χ 2 d d 0 L k είναι η πιθανοφάνεια του µοντέλου µας ή της H k υπόθεσης d k είναι ο αριθµός των εκτιµώµενων παραµέτρων κάτω από από την υπόθεση H k k 0, G 2 2log L 0 log L G 2 obs I J i j I J i j N ij log ε ij/n π ij n ij log e ij n ij I J i j I J i j N ij log π iπj π ij N ij log ε ij nπ ij Απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας αν G 2 obs >χ2 I J, α Προϋπόθεση n/ij 5 δεν είναι τόσο αυστηρή όσο οι προϋποθέσεις του ελέγχου ανεξαρτησίας του Pearson G 2 µέτρο απόκλισης παρατηρούµενων n ij & αναµενόµενων e ij συχνοτήτων Αν υποθέσουµε κατανοµή Poisson ή διωνυµική Ιδιο αποτέλεσµα Οταν H 0 αληθής χ 2 δοκιµασία του Pearson + έλεγχος πιθανοφάνειας ϑα ίδιο συµπέρασµα

19 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Ακριβής Ελεγχος Ανεξαρτησίας του Fisher Οι παραπάνω έλεγχοι είναι ασυµπτωτικοί δείγµα ικανοποιητικά µεγάλο Ακριβής exact έλεγχος δε ϐασίζεται σε ασυµπτωτικά αποτελέσµατα δεν προαπαιτεί την ισχύ προϋποθέσεων για το µέγεθος/σύνθεση του δείγµατος Οι ασυµπτωτικοί έλεγχοι χρησιµοποιούνται διότι ϐασίζονται στην κανονική και στις παράγωγες της κατανοµές όπως για παράδειγµα τη χ 2 κριτικές τιµές και τα p value και µπορούν να υπολογιστούν εύκολα Εδώ ϑα ασχοληθούµε µε τον ακριβή έλεγχο του Fisher Fisher s exact test ϐασίζεται στο αποτέλεσµα : ανεξαρτησία + σταθερές τις περιθωριακές συχνότητες N ϑα ακολουθεί υπεργεωµετρική κατανοµή Μπορούµε να υπολογίσουµε όλους τους πιθανούς πίνακες που αντιστοιχούν στις συγκεκριµένες περιθωριακές συχνότητες και τις αντίστοιχες πιθανότητες µε ϐάση την υπεργεωµετρική κατανοµή Υπολογίζουµε το p value ως άθροισµα των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν σε πίνακες µε χειρότερη ή ίση τιµή ελεγχοσυνάρτησης από αυτή που έχουµε παρατηρήσει Y ΠερΚατ Πίνακας Α X A A X E 3 4 n 3 E 3 4 ΠερΚατ Y OR 9 Y ΠερΚατ Πίνακας Β X A A X E n 4 E ΠερΚατ Y OR ή OR cor 8 Y ΠερΚατ Πίνακας Γ X A A X E n 2 E ΠερΚατ Y OR Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 5 Παράδειγµα 33 Εστω ότι έχουµε παρατηρήσει τον πίνακα Y ΠερΚατ X A A X E 3 4 E 3 4 ΠερΚατ Y και µας ενδιαφέρει να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : OR έναντι της H : OR > Φυσικά δε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις παραπάνω ασυµπτωτικές διαδικασίες αλλά ϑα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε την ακριβή δοκιµασία του Fisher Εφόσον οι περιθωριακές συχνότητες είναι σταθερές οι πιθανές τιµές του n είναι 0,, 2, 3, 4 Άρα πιθανοί πίνακες είναι Y ΠερΚατ Πίνακας X A A X E n E ΠερΚατ Y OR /9 0 Y ΠερΚατ Πίνακας Ε X A A X E n 0 E ΠερΚατ Y OR 0ή OR cor /8 002

20 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 6 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 8 Για να υπολογίσουµε το p value ϑα ϐρούµε τις πιθάνότητες των πινάκων µε OR µεγαλύτερο ή ίσο του 9 που παρατηρήσαµε στο δείγµα Συνεπώς p value PA+PB PA+PB / / συνεπώς δεν απορρίπτουµε την H Πίνακες Συνάφειας Στους 2 2 πίνακες η πιθανότητα ενός πίνακα δίνεται και από τον τύπο Pn,n 2,n 2,n 22 n,n2,n,n 2 n!n2!n!n 2!, n!n!n 2!n 2!n 22! για λεπτοµέρειες παραπέµπουµε στο ϐιβλίο του Rosner 994, σελ 37 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 7 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 9 Αν κάνουµε τον έλεγχο δύο ουρών τότε p value PΠίνακες µε OR 9 + PΠίνακες µε OR / PA + PB+ P + PE PΓ εν απορρίπτουµε την H 0 ούτε στον έλεγχο των δύο ουρών Ελεγχος Fisher σε 4 ϐήµατα Κατασκευάζουµε όλους τους πιθανούς πίνακες που αντιστοιχούν στις περιθωριακές συχνότητες που έχουµε παρατηρήσει 2 Υπολογίζουµε την συνάρτηση ελέγχου για κάθε πίνακα 3 Υπολογίζουµε την πιθανότητα εµφάνισης για τους πίνακες µε χειρότερη πιο αποµακρυσµένη ή ίση τιµή ελεγχοσυνάρτησης από αυτή που παρατηρήσαµε στο δείγµα µας 4 Υπολογίζουµε το p-value α Αν H : π E π E ή H : OR τότε p-value 2min{PN n,pn n } ϐ Αν H : π E >π E ή H : OR > τότε p-value PN n γ Αν H : π E <π E ή H : OR < τότε p-value PN n Οι ακριβείς έλεγχοι ισχύου πάντα αλλά τους εφαρµόζουµε µόνο αν e ij < 5 όποτε δε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τους αντίστοιχους ασυµπτωτικούς ελέγχους

21 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Μόντε Κάρλο Ελεγχοι Ανεξαρτησίας Στις περισσότερες περιπτώσεις, όταν χρειάζεται να υπολογίσουµε τα ακριβή τεστ, ο αριθµός των πιθανών πινάκων είναι µεγάλος Εναλλακτικά µπορούµε να προσοµοιώσουµε έναν αριθµό από αυτούς δηλάδη να κατασκευάσουµε ένα τυχαίο δείγµα έτσι ώστε να εκτιµήσουµε το πραγµατικό p value Το µέγεθος του δείγµατος που προσοµοιώνουµε είναι µεγάλο πχ 0000 πίνακες έτσι ώστε να εκτιµήσουµε µε ακρίβεια το p value Αποτέλεσµα διάστηµα εµπιστοσύνης συνήθως 99% γιατοp value Απορρίπτουµε H 0 άν όλο το διάστηµα εµπιστοσύνης να είναι µικρότερο του α Αν το α εµπεριέχεται στο Ε του p value δεν µπορούµε να αποφασίσουµε για την H 0

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ 1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 20062007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 9 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables) Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πρότυπο Πρόγραµµα Master Εξάµηνο Σπουδών Κωδικός Τίτλος Μαθήµατος ιδακτικές Μονάδες 1 ο Εξάµηνο ΜΑΣ650 Μαθηµατική Στατιστική 10 ΜΑΣ655 ειγµατοληψία 10 ΜΑΣ658 Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικό κριτήριο χ 2

Στατιστικό κριτήριο χ 2 18 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Στατιστικό κριτήριο χ 2 Ο υπολογισµός του κριτηρίου χ 2 γίνεται µέσω του µενού [Statistics => Summarize => Crosstabs...]. Κατά τη συγκεκριµένη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Βασίλης Βασδέκης - Στέλιος Ψαράκης Αθήνα 005 Πείραµα Είναι µια δοκιµή ή ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτες αναλυτικής επιδημιολογίας στηδιερεύνησηεπιδημιών

Μελέτες αναλυτικής επιδημιολογίας στηδιερεύνησηεπιδημιών Μελέτες αναλυτικής επιδημιολογίας στηδιερεύνησηεπιδημιών Μελέτες ασθενών-μαρτύρων (case-control studies) Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και διερεύνηση επιδημιών ΕΣΔΥ ΚΕΕΛΠΝΟ, 2010

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodness of fit tests)

Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodness of fit tests) Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodess of ft tests) Ένα σηµαντικό πρόβληµα στην στατιστική είναι η εξεύρεση πληροφορίας σχετικά µε την µορφή της κατανοµής από την οποία προέρχεται ένα τυχαίο δείγµα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές

Διαβάστε περισσότερα

if(συνθήκη) {... // οµάδα εντολών } C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 5 ο Κεφάλαιο

if(συνθήκη) {... // οµάδα εντολών } C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 5 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 5 ο Έλεγχος Προγράµµατος Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Η εντολή if (Ι) Η εντολή if είναι µία από τις βασικότερες δοµές ελέγχου ροής στη C, αλλά και στις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα