ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ"

Transcript

1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 42 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου ΜΕΡΟΣ ΕΥΤΕΡΟ ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ Ιωάννης Ντζούφρας Τµήµα Στατιστικής Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Χιαστός λόγος των πιθανοτήτων που εµφανίζονται σε ένα 2 2 πίνακα συνάφειας Ονοµάζεται και «λόγος σταυρωτού ή χιαστού πολλαπλάσιου» crossproduct ratio Στην Ιατρική Στατιστική χρησιµοποιούνται και οι όροι : «προσεγγιστικός σχετικός κίνδυνος» ή «σχετικός λόγος» ή απλά «σχετικός κίνδυνος» καθώς επίσης «σχετικός λόγος συµπληρωµατικών πιθανοτήτων» για λεπτοµέρειες ϐλ Τριχόπουλος, Τζώνου και Κατσουγιάννη, 2000, σελ Στους 2 2 πίνακες συνάφειας ο λόγος σχετικών πιθανοτήτων ΛΣΠ εκτιµάται από τον εκτιµητή ÔR p p 22 n n 22 p 2 p 2 n 2 n 2 δηλαδή από το λόγο των χιαστών πολλαπλάσιων του πίνακα συχνοτήτων Αθήνα, 3 Νοεµβρίου 2006 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 4 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Σύγκριση Σχετικών πιθανοτήτων µε τη χρήση του Odds Ratio ΟΡΙΣΜΟΣ Ο «λόγος σχετικών πιθανοτήτων» ``odds ratio δίνεται από το λόγο των σχετικών πιθανοτήτων εµφάνισης της νόσου για διαφορετικά επίπεδα του παράγοντα κινδύνου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Λόγος σχετικών πιθανοτήτων της νόσου για τους εκτεθειµένους έναντι των µη εκτεθειµένων στον παράγοντα κινδύνου OR odds E π E π E odds E π E π E ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : odds ratio σε 2 2 πίνακες Λόγος σχετικών πιθανοτήτων του X έναντι του X 2: oddsx OR oddsx 2 π i/π 2 i π /π 2 π π 22 3 π i2 /π 2 i2 π 2 /π 22 π 2 π 2 2 Ο ΛΣΠ χρησιµοποιείται ευρέως κυρίως στην Ιατρική Η δηµοτικότητα του ΛΣΠ οφείλεται στη σχετικά εύκολη ερµηνεία του, στο γεγονός ότι µπορεί να υπολογιστεί και σε προοπτικές και σε αναδροµικές µελέτες στο ότι είναι σχεδόν ίσος µε το σχετικό κίνδυνο σε συγκεκριµένες περιπτώσεις στο ότι αναφέρεται συγκρίσεις σχετικών πιθανοτήτων odds στο ότι προκύπτει άµεσα από τις παραµέτρους των µοντέλων λογιστικής παλινδρόµησης που ϑα εξετάσουµε στα επόµενα κεφάλαια

2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 44 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 46 Ανεξαρτησία και odds ratio Η σύνδεση το odds ratio µε την έννοια της ανεξαρτησίας σε πίνακες 2 2 είναι άµεση αφού «ανεξαρτησία» OR για το λόγο αυτό ο έλεγχος µπορεί να γραφτεί και ως H 0 : OR έναντι της εναλλακτικής H : OR Αν OR > ο επίπεδο της κατηγορικής µεταβλητής δηλαδή η γραµµή του πίνακα είναι πιο πιθανή από το 2ο επίπεδο Πχ αν OR 4 το ο επίπεδο της µεταβλητής X έχει σχετική πιθανότητα τετραπλάσια της σχετικής πιθανότητας του δεύτερου επιπέδου της µεταβλητής X Πχ αν OR /4 η 2η γραµµή του πίνακα X 2 έχει σχετική πιθανότητα τετραπλάσια της σχετικής πιθανότητας της ης γραµµής X ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ ΣΤΙΣ ΙΑΤΡΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ Αν OR a η σχετική πιθανότητα της νόσου Y όταν ένα άτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναι ίση µε a ϕορές την ίδια σχετική πιθανότητα όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Η ισοδύναµα : η σχετική πιθανότητα µη εµφάνισης της νόσου Y 2ότανένα άτοµο δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 είναι ίση µε a ϕορές την ίδια σχετική πιθανότητα όταν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Αν OR a> η σχετική πιθανότητα της νόσου Y ότανέναάτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναιa ή {a }00% ϕορές µεγαλύτερη της ίδιας σχετικής πιθανότητας όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 3 Αν OR a< η σχετική πιθανότητα της νόσου Y ότανέναάτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναι a ή { a}00% ϕορές µικρότερη της ίδιας σχετικής πιθανότητας όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 45 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 47 ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο ΛΣΠ αλλάζει και η αντίστοιχη ερµηνεία του αν αλλάξουµε τη σειρά των επίπεδων της µιας από τις δύο µεταβλητές Αν όµως αλλάξουµε τη σειρά και στις δυο µεταβλητές τότε ο ΛΣΠ δεν µεταβάλλεται ΛΣΠ + Σχετικός κίνδυνος στενά συνδεδεµένοι διότι, κάτω από προϋποθέσεις, αποτελεί προσεγγιστική εκτίµηση του στις µελέτες µαρτύρων-ασθενών ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ «η σχετική πιθανότητα του Y όταν X είναι ίση µε OR ϕορές την αντίστοιχη συπληρωµατική πιθανότητα όταν X 2» «η σχετική πιθανότητα του Y 2όταν X 2είναι ίση µε OR ϕορές την αντίστοιχη συπληρωµατική πιθανότητα όταν X» Επιβαρυντικός παράγοντας κινδύνου Οταν OR > : παρουσία του παράγοντα X κίνδυνος Προστατευτικός παράγοντας κινδύνου Οταν OR < : παρουσία του X κίνδυνος

3 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 48 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 50 Λογαριθµοποίηση odds ratio Στην στατιστική πολλές ϕορές χρησιµοποιούµε και το λογάριθµο του ΛΣΠ Μπορούµε να ϐρούµε ποιό εύκολα την κατανόµή του λογάριθµου του δειγµατικού odds ratio Χρησιµοποιείται στα µοντέλα λογιστικής παλινδρόµησης Στην περίπτωση αυτή η υπόθεση της ανεξαρτησίας µπορεί να γραφεί ως H 0 :logor 0 έναντι της εναλλακτικής H :logor 0 Σχέση ΛΣΠ νόσου και έκθεσης στον κίνδυνο σε 2 2 Πίνακες Σε2 2 πίνακες οι δύο ΛΣΠ συµπίπτουν Σαν να ϐλέπουµε το ίδιο αντικείµενο από διαφορετική οπτική γωνία Συνεπώς αν αλλάξουµε τη διάταξη των µεταβλητών σε ένα 2 2 πίνακα δηλαδή ποια µεταβλητή καθορίζει τις γραµµές και ποια µεταβλητή τις στήλες του πίνακα ο ΛΣΠ ϑα παραµείνει αµετάβλητος Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 49 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 5 Λόγος σχετικής πιθανότητας µιας νόσου disease odds ratio Ο παραπάνω ΛΣΠ ϐασίζεται στη νόσο ως µεταβλητή απόκρισης Επιτυχία:ηεµφάνισητηςνόσου, συγκρίνει τις σχετικές πιθανότητες της νόσου µεταξύ των ατόµων που έχουν ή όχι εκτεθεί σε ένα παράγοντα κινδύνου Ο λόγος των σχετικών πιθανοτήτων εµφάνισης µιας νόσου για άτοµα διαφορετικής έκθεσης σε ένα παράγοντα κινδύνου ονοµάζεται και λόγος σχετικής πιθανότητας µιας νόσου disease odds ratio, Rosner, 994, σελ 365 ΛΣΠ έκθεσης σε ένα παράγοντα κινδύνου exposure odds ratio Επιτυχία : έκθεση στον κίνδυνο 345 Εκτίµηση του σχετικούκινδύνου και του ΛΣΠ µε τη Χρήση SPSS Στο SPSS µπορούµε να υπολογίσουµε το σχετικό κίνδυνο και το λόγο σχετικών πιθανοτήτων για πίνακες 2 2 Αυτό µπορεί να γίνει στο µενού Analyze>Descriptive Statistics>Crosstabs Αφού εισάγουµε τις µεταβλητές που επιθυµούµε στις στήλες και στις γραµµές, επιλέγουµε το δεύτερο σε σειρά κουτί επιλογών που εµφανίζεται στο κάτω µέρος της οθόνης µε τίτλο Statistics και τσεκάρουµε την εκτύπωση των δεικτών κινδύνου µε ένδειξη Risk Προσοχή οι δείκτες κινδύνου σχετικός κίνδυνος και λόγος σχετικών πιθανοτήτων υπολογίζονται µόνο για 2 2 πίνακες Υπολογίζουµε το λόγο των σχετικών πιθανότητων έκθεσης στον κίνδυνο για τους ασθενείς και µάρτυρες ΛΣΠ έκθεσης σε ένα παράγοντα exposure odds ratio, Rosner, 994, σελ 366

4 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 52 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 54 Γιατί ο RR δεν υπολογίζεται σε Αναδροµικές µελέτες ; 35 Σχέση ΣχετικούΚινδύνου και ΛΣΠ Odds Ratio ΛΣΠ έγινε δηµοφιλής στην Ιατρική στατιστική ή Βιοστατιστική γιατί ο ΛΣΠ µπορεί να υπολογιστεί και στους δύο τύπους µελετών προοπτικές και αναδροµικές ο σχετικός κίνδυνος µπορεί να υπολογιστεί µόνο σε προόπτικες µελέτες ΛΣΠ είναι ασυµπτωτικά ίσος µε το σχετικό κίνδυνο όταν ηπι- ϑανότητα εµφάνισης της νόσου είναι µικρή δηλαδή στις σπάνιες αρρώστιες Για RR χρειαζόµαστε την πιθανότητα εµφάνισης της νόσου π j και π j 2 εν µπορούν να εκτιµηθούν από µελέτες µαρτύρων-ασθενών γιατί το µέγεθος τόσο των ασθενών όσο και των µαρτύρων είναι προκαθορισµένο λόγω του σχεδιασµού της µελέτης Αντίθετα στις προοπτικές µελέτες, όπου λαµβάνεται δείγµα αντιπροσωπευτικό του υπό µελέτη πληθυσµού, αυτές οι ποσότητες µπορούν να εκτιµηθούν άρα να υπολογιστεί και ο σχετικός κίνδυνος ΛΣΠ της νόσου δίνεται από τον τύπο OR odds E odds E π E π E π E π E π j π j2 2 π j 2 π j2 ο οποίος προαπαιτεί την εκτίµηση αυτών των πιθανοτήτων π E και π E Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 53 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 55 Γιατί odds ratio RR; OR Odds E OddsX Odds E OddsX 2 π j /π j2 π j π j2 π j 2 /π j2 2 π j 2 π j2 2 RRY RRY 2 Αν το γεγονός που εξετάζουµε νόσος έχει πιθανότητα εµφάνισης πολύ µικρή πχ σπάνια ασθένεια τότε καταλήγοντας στο αποτέλεσµα π j2 και π j2 2 RRY 2 OR RRY Εχουµε ικανοποιητική προσέγγιση όταν ο επιπολασµός της νόσου είναι µικρότερος του 00 ϐλ Rosner, 994, σελ 368 Αναλύοντας όµως τον παραπάνω τύπο έχουµε OR π i/π 2 i π i2 /π 2 i2 π π 22 π 2 π 2 π i π π i2 2 π 2 π i 2 π 2π i2 π OR π i π i2 2 π i 2 π i2 δηλ ο ΛΣΠ έκθεσης στον κίνδυνο! 4 Συνεπώς ΛΣΠ ορίζεται επαρκώς αν αντί για τις δεσµευµένες πιθανότητες π j i χρησιµοποιήσουµε τις πιθανότητες π i j οι οποίες µπορούν να εκτιµηθούν από µια µελέτη µαρτύρων-ασθενών ΑΡΑ ο ΛΣΠ µπορεί να εκτιµηθεί χωρίς πρόβληµα ανεξαρτήτως ποια από τις δύο µεταβλητές X ή Y ϑα είναι τυχαία Συνεπώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί και να υπολογιστεί και στις αναδροµικές και στις προοπτικές µελέτες

5 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 56 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Υπολογισµός του ΣχετικούΚινδύνου στις Μελέτες Μαρτύρων-Ασθενών RR PA E PA E π E π E Στις µελέτες µαρτύρων-ασθενών κατανοµή των ασθενών A και µαρτύρων A είναι προκαθορισµένη οι παραπάνω πιθανότητες και ο RR δεν µπορούν να εκτιµηθούν Θα χρησιµοποιήσουµε το ϑεώρηµα του Bayes για να εκφράσουµε το RR ως συνάρτηση των πιθανοτήτων του παράγοντα κινδύνου X δηλαδή E και E RR PA E PA, E/PE PA E PA, E/PE PE APA/PE PE APA/PE PE A PE A PE PE Στην παραπάνω ισότητα, η πιθανότητα έκθεσης και µη έκθεσης αναφέρεται στο γενικό πληθυσµό 37 Παραδείγµατα 37 Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια και Αντισύλληψη Μελέτη Μαρτύρων-Ασθενών Παράδειγµα 3 Τα δεδοµένα του 2 2 Πίνακα 59 προέρχονται από την ερευνητική δουλειά των Mann et al 975, Brit J Med Στη έρευνα αυτή 58 γυναίκες κάτω των 45 χρονών µε µυοκαρδιακή ανεπάρκεια εξετάσθηκαν ως προς τη χρήση ή όχι αντισυλληπτικού χαπιού Το δείγµα προερχόταν από δύο νοσοκοµεία της Αγγλίας και της Ουαλίας την περίοδο Επίσης επιλέχτηκε περίπου τριπλάσιος αριθµός µαρτύρων από τα ίδια νοσοκοµεία που δεν είχαν την νόσο της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Τα δεδοµένα αυτά δίνονται επίσης στις σελ 3 από τον Agresti 990 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 57 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 59 Σε µία µελέτη µαρτύρων ασθενών, λόγω της δειγµατοληψίας, αυτή πιθανότητα δεν εκτιµάται σωστά Αρά µε τη χρήση του ϑεωρήµατος της ολικής πιθανότητας µπορούµε να γράψουµε Ε ΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ RRA PE A PE A PE APA+PE APA PE APA+PE APA PE A PE A [ PE A]PA+[ PE A][ PA] PE APA+PE A[ PA] X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X Στην παραπάνω ισότητα πρέπει να γνωρίζουµε τις πιθανότητες έκθεσης στον παράγοντα κινδύνου δεδοµένου ότι κάποιος έχει ή όχι τη νόσο δηλαδή είναι ασθενής ή µάρτυρας - πιθανότητες PE A και PE A που υπολογίζονται σε αναδροµικές µελέτες 2 τον επιπολασµό της νόσου PA ο οποίος δεν µπορεί να εκτιµηθεί από µια µελέτη µαρτύρων-ασθενών αλλά από µία συγχρονική ή προοπτική µελέτη µε τυχαίο δείγµα από το γενικό πληθυσµό : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y Πίνακασ : εδοµένα Παραδείγµατος 3: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια και Αντισυλληπτικό Χάπι Mann et al, 975

6 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 60 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 62 X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι 37 Από κοινούκαι δεσµευµένες Συναρτήσεις Πιθανότητας Η από κοινού συνάρτηση κατανοµής δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί π π π : Οχι π π π ΠερΚατ Y π π : Ναί π i π 2 i : Οχι π i π 2 i ΠερΚατ Y π π Συνεπώς στον παραπάνω πίνακα ϑέλουµε να συγκρίνουµε τις πιθανότητες εµφάνισης της νόσου στις δύο οµάδες δηλαδή το 0404 µε το 020 Η σύγκριση αυτή είναι ισοδύναµη µε το έλεγχο της ισότητας των πιθανοτήτων της µη εµφάνισης της νόσου δηλαδή του 0596 µε το 079 ΠΡΟΣΟΧΗ : Στο παραπάνω πρόβληµα η κατανοµή της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας είναι σταθερή προκαθορισµένη από το σχεδιασµό του πειράµατος - µελέτης η εξέταση των παραπάνω κατανοµών δεν έχει νόηµα µπορούµε να ελέγξουµε αν οι κατανοµές PX Y εφόσον το X είναι όντως τυχαίο χωρίς όµως να µπορεί να µας µεταφέρει όλη τη επιθυµητή πληροφορία Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 6 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 63 Μεταβλητή απόκρισης είναι η µυοκαρδιακή ανεπάρκεια Μας ενδιαφέρει να συγκρίνουµε την κατανοµή της νόσου µεταξύ των ατόµων που χρησιµοποίησαν αντισύλληψη µε την αντίστοιχη κατανοµή στην οµάδα των ατόµων που χρησιµοποιησαν αντισύλληψη Η σύγκριση αυτή ϑα µας δώσει και την επίδραση της χρήσης αντισυλληπτικού χαπιού στην πιθανότητα εµφάνισης της νόσου Θα συγκρίνουµε τις δεσµευµένες κατανοµές PY X και PY X 2για τις οµάδες που χρησιµοποιούν ή όχι αντισυλληπτικό χάπι αντίστοιχα Οι δεσµευµένες κατανοµές της χρήσης του χαπιού στους µάρτυρες και τους ασθενείς δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα : X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί π j π j π : Οχι π 2 j π 2 j π Ετσι οι δεσµευµένες κατανοµές της νόσου δίνονται από τον ακόλουθο πίνακα : X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι : Ναί π i π 2 i : Οχι π i π 2 i ΠερΚατ Y π π Μπορούµε να συγκρίνουµε το ποσοστό των ασθενών που χρησιµοποιούν αντισυλληπτικό χάπι 397% µε το αντίστοιχο ποσοστό των µαρτύρων 205% Με χρήση του ϑεωρήµατος του Bayes µπορούµε να υπολογίσουµε και τις δεσµευµένες κατανοµές PY X που µας ενδιαφέρουν αλλά χρειαζόµαστε να ξέρουµε το ποσοστό της ασθένειας στον πληθυσµό επιπολασµός

7 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 64 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Εκτίµηση ΛΣΠ και Συνάρτησης Κινδύνου Το επόµενο ϐήµα είναι να υπολογίσουµε το ΛΣΠ X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y Σχετικός και Αποδιδόµενος κίνδυνος Εδω ϑα υπολογίσουµε και ερµηνεύσουµε το σχετικό και αποδιδόµενο κίνδυνο ΠΡΟΣΟΧΗ : Σε µελέτες µαρτύρων-ασθενών όπως και εδώ δεν µπορούµε να τα υπολογίσουµε γιατί δεν εκτιµούν σωστά τα ακόλουθα δειγµατικά µέτρα Εδώ τα υπολογίζουµε και τα ερµηνεύουµε µόνο ως παράδειγµα ÔR Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 65 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 67 ΕΡΜΗΝΕΙΑ OR 255 Η σχετική πιθανότητα της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Y µιας γυναίκας που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X είναι ίση µε 255 ϕορές την αντίστοιχη πιθανότητας µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 2 2 Αν αλλάξουµε τη σειρά των κατηγοριών και στις δύο µεταβλητές τότε δεν αλλάζει ο ΛΣΠ: Η σχετική πιθανότητα µη εµφάνισης της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Y 2σε µια γυναίκα που δεν χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 2 είναι ίση µε 255 ϕορές την αντίστοιχη πιθανότητα µιας γυναίκας που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 3 Πιο απλά ϑα µπορούσαµε να πούµε ότι η χρήση του αντισυλληπτικού χαπιού από τις γυναίκες αυξάνει τη σχετική πιθανότητα ή τον κίνδυνο εµφάνισης µυοκαρδιακής ανεπάρκειας 4 Η χρήση του αντισυλληπτικού χαπιού αποτελεί επιβαρυντικό παράγοντα κινδύνου για τη µυοκαρδιακή ανεπάρκεια X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y RRY RRmyocard 23/57 35/ Η πιθανότητα µυοκαρδιακής ανεπάρκειας για µια γυναίκα που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι είναι 93% υψηλότερη από την αντιστοιχή πιθανότητα µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί τέτοιο είδος αντισύλληψης

8 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 68 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 70 X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y RRY 2RRmyocard 2 34/57 52/ Η πιθανότητα να µην εµφανίσει τη νόσο της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας µια γυναίκα που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι είναι 24% µικρότερη της αντίστοιχης πιθανότητας µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί τέτοιου είδους αντισύλληψη ARY 2ARmyocard [Το αποτέλεσµα είναι ίδιο όπως πρίν µε διαφορετικό πρόσηµο] Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 69 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 7 X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί : Οχι ΠερΚατ Y Συµπερασµατολογία και Ελεγχοι Υπόθεσης για 2 2 Πίνακες Συνάφειας 38 Ισότητα ύο ιωνυµικών Ποσοστών 38 Αποδιδόµενος κίνδυνος ίτιµη µεταβλητή απόκρισης Y έχει ή όχι τη νόσο, A και A ARY ARmyocard % των γυναικών που χρησιµοποίησαν αντισυλληπτικό χάπι δε ϑα είχαν µυοκαρδιακή ανεπάρκεια αν δεν έκανα χρήση αυτού του είδους της αντισύλληψης 2 οµάδες µε διαφορετική έκθεση στον κίνδυνο E και E Μας ενδιαφέρει να ελέγξουµε αν η πιθανότητα εµφάνισης της νόσου είναι ίδια στις δύο οµάδες

9 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 72 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 74 Συνεπώς H 0 : PA E PA E έναντι της εναλλακτικής H : PA E PA E H 0 : π E π E έναντι της εναλλακτικής H : π E π E Συνεπώς έχουµε H 0 : PA E PA E 0 H : PA E PA E 0 H 0 : π E π E 0 H : π E π E 0 Y E Binπ E, και Y E Binπ E, H 0 : AR 0 H : AR 0 Από τα παραπάνω µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη διωνυµική κατανοµή για να ελέγξουµε κατά πόσο ο αποδιδόµενος κίνδυνος είναι µηδέν ή όχι ελέγχου γίνεται ÂR z N0, π π + Αντικαθιστούµε το κοινό π µε την αντίστοιχη εκτίµηση του p + / + οπότε ÂR z p E N0, p p + p p + Εφόσον ο αποδιδόµενος κίνδυνος µπορεί να εκτιµηθεί µόνο στις προοπτικές µελέτες, µόνο εκεί µπορούµε να εφαρµώσουµε την παραπάνω προσέγγιση Στις αναδροµικές µελέτες, η παραπάνω σύγκριση µπορεί να γίνει ανάποδα για να συγκρίνουµε την έκθεση στον κίνδυνο για τους µάρτυρες και τους ασθενείς, δηλαδή να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : PE A PE A έναντι της εναλλακτικής H : PE A PE A Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 73 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 75 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το κεντρικό οριακό ϑεώρηµα και να ϕτιάξουµε ένα z test Αν π E, π E, π E και π E 5 N π E, π E π E και p N π E, π E π E E όπου και είναι τα δειγµατικές αναλογίες εµφάνισης της νόσου για τις οµάδες µε έκθεση ή όχι στον παράγοντα κινδύνου Αν τώρα πάρουµε τις διαφορές ϑα έχουµε π E π E ÂR N π E π E, + π E π E Άρα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για τον παραπάνω έλεγχο τη συνάρτηση ελέγχου : ÂR AR z N0, π E π E + πe π E Αν ισχύει η H 0 τότε AR π E π E 0και π E π E π συνεπώς η συνάρτηση H 0 : π E π E ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ AR έναντι της εναλλακτικής H : π E π E H 0 : AR 0 έναντι της εναλλακτικής H : AR 0 z AR p p + p + + Απορρίπτουµε την H 0 όταν z AR <Z α/2

10 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 76 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 78 Το κοινό ποσοστό εκτιµάται ίσο µε ΤΥΠΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΑΣ AR ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Από τα παραπάνω επίσης προκύπτει ότι µπορούµε να ϕτιάξουµε 00 α% διαστήµατα εµπιστοσύνης για τον αποδιδόµενο κίνδυνο το οποίο ϑα δίνεται από τον τύπο ÂR ± z α/2 + p E p E p n n n + n 2 n + n 2 + n 2 + n 22 Επιπλέον το τυπικό σφάλµα του αποδιδόµενου κινδύνου, εάν η H 0 ισχύει, ϑα είναι ίση µε seâr p p nn2 n 2 n + n 2 nn2 n 2 n + n 2 n n2 n n 2 nn n 2 n + n 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 77 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 79 Αποδιδόµενος κίνδυνος σε πίνακες 2 2: ΕΚΤΙΜΗΣΗ AR Στους πίνακες 2 2 όπου η σειρα των ενδεχοµένων για τις δύο µεταβλητές είναι E, E και A, A ο αποδιδόµενος κίνδυνος δίνεται από τον τύπο και εκτιµάται AR π E π E π π 2 ÂR p p 2 n n n 2 n 2 n n + n 2 n 2 n 2 + n 22 n n 2 + n n 22 n 2 n n 2 n 2 n + n 2 n 2 + n 22 n n 22 n 2 n 2 n + n 2 n 2 + n 22 n n 22 n 2 n 2 n n 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ AR Συνεπώς η συνάρτηση ελέγχου δίνεται από τον τύπο Z n n +n 2 n2 n 2+n 22 n n2 n n n 2 n n 22 n 2 n 2 n n n2n n 2 n n 22 n 2 n 2 n n n 2 n2 n n n 2 Οι παραπάνω τύποι δε ϑα αλλάξουν αν χρησιµοποιήσουµε αντίστροφα όπως είναι και ο συνηθισµένος τρόπος τα ενδεχόµενα των δύο µεταβλητών δηλαδή έχουµε X E, E και Y A, A

11 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 80 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Σχετικός κίνδυνος Σχετικός κίνδυνος λόγος των πιθανοτήτων εµφάνισης κινδύνου για τις δύο οµάδες διαφορετικής έκθεσης στον κίνδυνο δηλαδή RR π E /π E Μας ενδιαφέρει η κατανοµή δειγµατοληψίας του δειγµατικού σχετικού κινδύνου RR / την οποία µπορούµε να τη χρησιµοποιήσουµε για την κατασκευή διαστηµάτων εµπιστοσύνης και ελέγχων υποθέσεων Για την ακρίβεια ϑα ασχοληθούµε µε την κατανοµή δειγµατοληψίας του λογαρίθµου του σχετικού κινδύνου : log RR logpe log γνωρίζοντας ότι Συνεπώς µε ϐάση τους τρεις πρώτους όρους της σειρά Taylor έχουµε EhX hµ+h µ VX 2 5 Οµοια µπορούµε να υπολογίσουµε τη διακύµανση ϐασιζόµενοι στους δύο πρώτους όρους της σειράς Ετσι έχουµε EhX {h µ} 2 VX 6 Binπ E, Binπ E,, όπου Binp, n είναι η διωνυµική κατανοµή µε πιθανότητα επιτυχίας p και αριθµό επαναλήψεων n Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 8 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 83 Γυρνώντας στην περίπτωση του σχετικού κινδύνου, έχουµε X, hx log, Από τα προηγούµενα είδαµε ότι για αρκετά µεγάλο δείγµα πιο συγγεκριµένα για,,, 5 µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η κατανοµή του προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανοµή Συνεπώς έχουµε π E π E π N π E, και N π E, E π E EX π E και VX π E π E / Συνεπώς Elog log π E π E π E π 2 logπ E π E E 2 2 π E log π E για µεγάλο Συνεπώς το log είναι ασυµπτωτικά αµερόληπτος εκτιµητής του log π E Οµοια από τον τύπο 6 προκύπτει ότι Vlog π E π E π 2 π E E π E

12 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 84 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 86 Συνεπώς προκύπτει ότι ασυµπτ log N π E log π E, π E Με ακριβώς τα ίδια επιχειρήµατα ϐρίσκουµε και την ασυµπτωτική κατανοµή του log ηοποίαδίνεταιως ασυµπτ π log N log π E, E π E Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει και η κατανοµή δειγµατοληψίας του λογαρίθµου υποθέτοντας ανεξαρτησία των δύο οµάδων έκθεσης στον κίνδυνο η οποία ϑα δίνεται από τον τύπο ασυµπτ log RR logpe log N π E log RR, + π E π E π E ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Ενα 00 α% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του σχετικού κινδύνου ϑα δίνεται από τις τιµές log RR ± z α/2 Vlog RR δηλαδή log RR ± z α/2 + r E r E όπου z q είναι το 00q ποσοστηµόριο της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής Αντίστοιχα για το σχετικό κίνδυνο το αντίστοιχο διάστηµα εµπιστοσύνης προκύπτει από τις τιµές log RR±z α/2 + r E r n e E E όπου e 27 είναι η ϐάση των ϕυσικού λογαρίθµου Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική µόνο αν 5 και 5 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 85 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 87 Στην πράξη εκτιµούµε το τυπικό σφάλµα χρησιµοποιώντας του τις δειγµατικές αναλογίες και από τον τύπο Vlog RR + r E + r E r E r E + r E r E όπου r E και r E είναι ο παρατηρούµενος αριθµός των ασθενών στις οµάδες µε ή χωρίς έκθεση στον κίνδυνο αντίστοιχα ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Αν ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας µεταξύ νόσου και παράγοντα κινδύνου τότε µπορούµε να κάνουµε τον έλεγχο : H 0 :logrr 0έναντι της εναλλακτικής H :logrr 0 Χρησιµοποιούµε τη συνάρτηση ελέγχου log RR Z + N0, re ne r n E E Αν Z <Z α/2 τότε δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας σε επίπεδο σηµαντικότητας 00α% αλλιώς απορρίπτουµε την H 0

13 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 88 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 90 Επιπλέον πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει και αν ένας παράγοντας είναι επιβαρυντικός ή προστατευτικός H : RR > επιβαρυντικός παράγοντας H : RR < προστατευτικός παράγοντας Οι παραπάνω εναλλακτικές υποθέσεις αναφέρονται σε ελέγχους µίας ουράς one sided tests όπου απορρίπτουµε την H 0 Περιοχή απόρριψης : Z>Z α όταν ελέγχουµε αν ο παράγοντας είναι επιβαρυντικός H : RR > Z<Z α όταν ελέγχουµε αν ο παράγοντας είναι προστατευτικός H : RR < και 383 Λόγος σχετικών Πιθανοτήτων Ο λόγος σχετικών πιθανοτήτων ΛΣΠ ή Odds Ratio ή OR δίνεται από τον τύπο OR Odds E π E/ π E Odds E π E / π E π E π E π E π E και εκτιµάται από το ÔR / / Οπως και στις προηγούµενες περιπτώσεις δουλεύουµε µε το λογάριθµο δηλαδή µε log ÔR log p log E Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 89 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 9 Ακολουθούµε την ίδια προσέγγιση όπως στην κατανοµή δειγµατοληψίας του σχετικού κινδύνου µε X h log log Σχετικός κίνδυνος σε 2 2 Πίνακες : Σε 2 2 πίνακες το τυπικό σφάλµα του selog RR + n n n 2 n 2 log RR είναι ίσο µε h p E + /[ ] και h p 2 E + 2 Ετσι έχουµε E V log log log Odds E + Odds E Odds E log Odds E για µεγάλο + r E Οµοια είναι τα αποτελέσµατα για τια την οµάδα των µη εκτεθειµένων στον κίνδυνο αντικαθιστούµε το E µε E

14 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 92 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 94 Συνεπώς π E π Elog ÔR log log E logodds E log Odds π E π E logor E Vlog ÔR r E r E r E r E άρα για, αρκετά µεγάλα έχουµε log ÔR ασυµπτ N log OR, r E r E r E r E Η παραπάνω απόδειξη µπορεί να προκύψει ως άµεσο αποτέλεσµα από την κατανοµή δειγµατοληψίας του σχετικού κίνδυνου αν γράψουµε το ΛΣΠ ως log ÔR log π E π E log π E π E log RR log RR Στην προηγούµενη ενότητα έχουµε υπολογίσει την κατανοµή του log RR ενώ η κατανοµή του log RR log π E προκύπτει µε τον ίδιο τρόπο αφού είναι ο σχετικός π E κίνδυνος του συµπληρωµατικού ενδεχοµένου A ενώ ο RR εξετάζει το A ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Αν ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας µεταξύ νόσου και παράγοντα κινδύνου τότε µπορούµε να κάνουµε τον έλεγχο : H 0 :logor 0έναντι της εναλλακτικής H :logor 0 Χρησιµοποιούµε τη συνάρτηση ελέγχου log ÔR Z + N0, re r E + + r E r E Αν Z <Z α/2 τότε δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας σε επίπεδο σηµαντικότητας 00α% αλλιώς απορρίπτουµε την H 0 Οµοια µε τους αντίστοιχους ελέγχους του σχετικού κινδύνου µπορούµε να ελέγξουµε αν ένας παράγοντας είναι προστατευτικός H : OR < ή επιβαρυντικός H : OR > Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 93 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 95 ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Ενα 00 α% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του ΛΣΠ ϑα δίνεται από τις τιµές log ÔR ± z α/2 Vlog ÔR δηλαδή log ÔR ± z α/ r E r E r E r E όπου z q είναι το 00q ποσοστηµόριο της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής Αντίστοιχα για το ΛΣΠ το αντίστοιχο διάστηµα εµπιστοσύνης προκύπτει από τις τιµές log ÔR±z α/ r E r E r n r e E E E όπου e 27 είναι η ϐάση των ϕυσικού λογαρίθµου Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική µόνο αν 5 και 5 ΛΣΠ σε 2 2 Πίνακες : Σε 2 2 πίνακες ο παραπάνω τύπος απλοποιείται σε log ÔR ασυµπτ N log OR, n n 2 n 2 n 22 ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ log n n 22 ± z α/ log ÔR±z α/ r E r E r n r e E E E n 2 n 2 n n 2 n 2 n 22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Z logn n 22 logn 2 n 2 N0, n + n 2 + n 2 + n 22

15 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 96 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 98 Εστω και µια συχνότητα σε ένα κελί 0 ΠΡΟΒΛΗΜΑ : ΛΣΠ 0 ή Τυπικό σφάλµα ΛΥΣΗ : Προσθέτουµε την ποσότητα δ 05 σεόλατακελιάκαινα ξαναυπολογίζουµε τον εκτιµητή και τη διακύµανση του δηλαδή ÔR cor n + δn 22 + δ n 2 + δn 2 + δ Varlog ÔR cor n + δ + n 2 + δ + n 2 + δ + n 22 + δ Οταν όλα τα n ij είναι σχετικά µεγάλα τότε ο παραπάνω εκτιµητής διαφέρει ελάχιστα του αρχικού εκτιµητή Μπορούµε να υπολογίσουµε όλα τα µέτρα κινδύνου AR, RR και OR α Αποδιδόµενος κίνδυνος : ÂR Επιθυµούµε να δούµε αν η διαφορά ϑνησιµότητας είναι στατιστικά σηµαντική, συνεπώς ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : AR 0έναντι της εναλλακτικής H : AR 0 Αν η µηδενική υπόθεση ισχύει έχουµε VÂR H 0 p p seâr H Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 97 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Παράδειγµα Παράδειγµα 32 Σε µια προοπτική µελέτη κατά την οποία εξετάσθηκαν 368 άνδρες καπνιστές ηλικίας κάτω των 60 ετών οι οποίοι έπαθαν µια καρδιακή ανακοπή και επιβίωσαν Μετά από 2 έτη εξετάσθηκαν πόσοι από αυτούς είχαν επιβιώσει και τους χωρίσαµε ανάλογα εάν είχαν κόψει το τσιγάρο ή όχι Ετσι εδώ µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε αν το σταµάτηµα του καπνίσµατος X είχε ευνοϊκή επίδραση στην επιβίωση µετά από δύο έτη Y Τα δεδοµένα δίνονται στον 2 2 Πίνακα που ακολουθεί X: Y: Επιβίωση σε 2 χρόνια ΠερΚατ Συνέχισαν το κάπνισµα ; : Πεθαµένος 2: Ζωντανός X : Ναί 9 23% % 54 2: Οχι 5 70% % 24 ΠερΚατ Y 34 92% % 368 ÂR 0053 seâr H z 00503/ <z δεν απορρίπτουµε την H 0 δεν υπάρχει στατιστική διαφορά της ϑνησιµότητας ανάλογα αν ο ασθενής συνεχίσει το κάπνισµα το σταµάτηµα του καπνίσµατος δεν επηρεάζει τη ϑνησιµότητα ΠΡΟΣΟΧΗ : Η διαφορά είναι στατιστικά σηµαντική για α 00 Σηµείωση : ισχύει η προϋπόθεση > 5 και > 5 Πίνακασ 2: εδοµένα Παραδείγµατος 32: Κάπνισµα και Επιβίωση σε Ασθενείς Καρδιακής Ανεπάρκειας Daly et al, 983

16 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 00 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 02 γ Λόγος σχετικών πιθανοτήτων : Γιαναϐρούµετο95% διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζουµε πρώτα το τυπικό σφάλµα seâr + p E p E συνεπώς το 95% Ε δίνεται από τον τύπο 0053 ± , ÔR log ÔR log selog ÔR % Ε :γιαlog OR ± , % Ε :γιαor e 00867, e , Ελεγχος υπόθεσης : H 0 : ORR έναντι της εναλλακτικής H : OR Z OR 06244/ <z 0975 δεν απορρίπτουµε την H 0 για α 5% η σχετική πιθανότητα ϑανάτου δεν διαφοροποιείται σηµαντικά για τα άτοµα που συνέχισαν να καπνίζουν σε σχέση µε τα άτοµα που σταµατήσαν το κάπνισµα Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 0 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 03 ϐ Σχετικός κίνδυνος : RR 023/ log RR log selog RR % Ε :γιαlog RR ± , % Ε :γιαrr e 0079, e , 3353 Ελεγχος υπόθεσης : H 0 : RR έναντι της εναλλακτικής H : RR Z RR 05654/ <z 0975 δεν απορρίπτουµε την H 0 για α 5% τα ποσοστά ϑνησιµότητας δεν αλλάζουν για τα άτοµα που συνέχισαν να καπνίζουν σε σχέση µε τα άτοµα που σταµατήσαν το κάπνισµα 382 Ελεγχος Ανεξαρτησίας χ 2 του του Pearson Οι προηγούµενοι έλεγχοι αναφέρονται στον έλεγχος της σχέσης εξάρτησης δύο δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών δηλ ισότητα 2 διωνυµικών αναλογιών - ποσοστών Οταν ϑέλουµε να ελέγξουµε γενικότερα την ισότητα της πιθανότητας εµφάνισης της νόσου σε πολλές διαφορετικές οµάδες ή γενικότερα µεταξύ δύο κατηγορικών µεταβλητών µε πολλά επίπεδα έλεγχος ανεξαρτησίας του Pearson

17 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 04 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 06 Εχουµε X και Y κατηγορικές µεταβλητές µε I και J επίπεδα Ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : «Ανεξαρτησία µεταξύ X και Y» έναντι της εναλλακτικής H : «X και Y είναι εξαρτηµένες µεταβλητές» Ανεξαρτησία π ij π iπj Πρακτικά στο δείγµα χρησιµοποιούµε τα αντίστοιχα δειγµατικά µέτρα : παρατηρούµενη συχνότητα n ij κάθε κελιού i, j εκτιµούµενη από το δείγµα αναµενόµενη τιµή e ij κάθε κελιού i, j Συνεπώς έχουµε I J χ 2 n ij e ij 2 obs 8 e i j ij Απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας όταν χ 2 obs >χ2 I J,095 Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική για e ij 5 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 05 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 07 Αναµενόµενες τιµές των κελιών i, j κάτω από την υπόθεση της ανεξαρτησίας : EN ij H 0 ε ij nπ iπj οι οποίες ϑα εκτιµηθούν στο δείγµα από τις ποσότητες e ij n n i n nj n Υποθέτοντας ότι N ij Poissonε ij Nij εij εij 2 Nij ε ij ασυµ εij χ 2 n inj n ασυµ N0, το άθροισµα τους ακολουθεί τη χ 2 κατανοµή µε I J ϐαθµούς ελευθερίας I i j J N ij ε ij 2 ε ij ασυµ χ 2 I J Πίνακες Συνάφειας Σε 2 2 πίνακες συνάφειας ο έλεγχος απλοποιείται ως χ 2 nn n 2 n 2 n 2 2 n n 2 n n 2 z 2 9 Ελεγχος ανεξαρτησίας του Pearson στους 2 2 πίνακες είναι ισοδύναµος µε τον έλεγχο για τον αποδιδόµενο κίνδυνο που περιγράψαµε στην ενότητα 38 Στους πίνακες 2 2 για λόγους καλύτερης προσέγγισης χρησιµοποιείται το χ 2 τεστ µε τη διόρθωση του Yates το οποίο δίνεται από τον τύπο : χ 2 Yates 2 i j 2 n ij e ij /2 2 e ij χ 2 0

18 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 08 Παράδειγµα 32 συνέχεια: χ 2 Στο παράδειγµά µας άρα δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας <χ Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο 8 οπότε e 34 54/ e e e χ p value Τέλος αν χρησιµοποιήσουµε το χ 2 µε τη διόρθωση του Yates έχουµε χ 2 Yates / / / / p value 09 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 0 I J Πίνακες Συνάφειας H 0 : «X,Y ανεξάρτητες µεταβλητές» έναντι της H : «X,Y εξαρτηµένες µεταβλητές» H εκτιµούµε όλες τις από κοινού πιθανότητες π ij d IJ αφαιρούµε µία επειδή ισχύει ότι I i J j π ij άρα εκτιµούµε µία λιγότερη αφού την τελευταία την υπολογίζουµε απλά ως συνάρτηση των υπολοίπων H 0 εκτιµούµε τις περιθωριακές κατανοµές π i και πj d 0 I + J I + J 2 d d 0 IJ I J +2 IJ I J + IJ J I J Επιπλέον, υποθέτοντας πολυωνυµική κατανοµή έχουµε L 0 L I J π iπj Nij log L 0 I J i j i j I J I J π Nij ij log L N ij log π ij i j i j N ij log π i + I i j J N ij log πj Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 09 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 383 Ελεγχος Μεγίστης Πιθανοφάνειας Το 935 ο Wilks απέδειξε G 2 2log L 0 L χ 2 d d 0 L k είναι η πιθανοφάνεια του µοντέλου µας ή της H k υπόθεσης d k είναι ο αριθµός των εκτιµώµενων παραµέτρων κάτω από από την υπόθεση H k k 0, G 2 2log L 0 log L G 2 obs I J i j I J i j N ij log ε ij/n π ij n ij log e ij n ij I J i j I J i j N ij log π iπj π ij N ij log ε ij nπ ij Απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας αν G 2 obs >χ2 I J, α Προϋπόθεση n/ij 5 δεν είναι τόσο αυστηρή όσο οι προϋποθέσεις του ελέγχου ανεξαρτησίας του Pearson G 2 µέτρο απόκλισης παρατηρούµενων n ij & αναµενόµενων e ij συχνοτήτων Αν υποθέσουµε κατανοµή Poisson ή διωνυµική Ιδιο αποτέλεσµα Οταν H 0 αληθής χ 2 δοκιµασία του Pearson + έλεγχος πιθανοφάνειας ϑα ίδιο συµπέρασµα

19 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Ακριβής Ελεγχος Ανεξαρτησίας του Fisher Οι παραπάνω έλεγχοι είναι ασυµπτωτικοί δείγµα ικανοποιητικά µεγάλο Ακριβής exact έλεγχος δε ϐασίζεται σε ασυµπτωτικά αποτελέσµατα δεν προαπαιτεί την ισχύ προϋποθέσεων για το µέγεθος/σύνθεση του δείγµατος Οι ασυµπτωτικοί έλεγχοι χρησιµοποιούνται διότι ϐασίζονται στην κανονική και στις παράγωγες της κατανοµές όπως για παράδειγµα τη χ 2 κριτικές τιµές και τα p value και µπορούν να υπολογιστούν εύκολα Εδώ ϑα ασχοληθούµε µε τον ακριβή έλεγχο του Fisher Fisher s exact test ϐασίζεται στο αποτέλεσµα : ανεξαρτησία + σταθερές τις περιθωριακές συχνότητες N ϑα ακολουθεί υπεργεωµετρική κατανοµή Μπορούµε να υπολογίσουµε όλους τους πιθανούς πίνακες που αντιστοιχούν στις συγκεκριµένες περιθωριακές συχνότητες και τις αντίστοιχες πιθανότητες µε ϐάση την υπεργεωµετρική κατανοµή Υπολογίζουµε το p value ως άθροισµα των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν σε πίνακες µε χειρότερη ή ίση τιµή ελεγχοσυνάρτησης από αυτή που έχουµε παρατηρήσει Y ΠερΚατ Πίνακας Α X A A X E 3 4 n 3 E 3 4 ΠερΚατ Y OR 9 Y ΠερΚατ Πίνακας Β X A A X E n 4 E ΠερΚατ Y OR ή OR cor 8 Y ΠερΚατ Πίνακας Γ X A A X E n 2 E ΠερΚατ Y OR Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 5 Παράδειγµα 33 Εστω ότι έχουµε παρατηρήσει τον πίνακα Y ΠερΚατ X A A X E 3 4 E 3 4 ΠερΚατ Y και µας ενδιαφέρει να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : OR έναντι της H : OR > Φυσικά δε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις παραπάνω ασυµπτωτικές διαδικασίες αλλά ϑα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε την ακριβή δοκιµασία του Fisher Εφόσον οι περιθωριακές συχνότητες είναι σταθερές οι πιθανές τιµές του n είναι 0,, 2, 3, 4 Άρα πιθανοί πίνακες είναι Y ΠερΚατ Πίνακας X A A X E n E ΠερΚατ Y OR /9 0 Y ΠερΚατ Πίνακας Ε X A A X E n 0 E ΠερΚατ Y OR 0ή OR cor /8 002

20 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 6 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 8 Για να υπολογίσουµε το p value ϑα ϐρούµε τις πιθάνότητες των πινάκων µε OR µεγαλύτερο ή ίσο του 9 που παρατηρήσαµε στο δείγµα Συνεπώς p value PA+PB PA+PB / / συνεπώς δεν απορρίπτουµε την H Πίνακες Συνάφειας Στους 2 2 πίνακες η πιθανότητα ενός πίνακα δίνεται και από τον τύπο Pn,n 2,n 2,n 22 n,n2,n,n 2 n!n2!n!n 2!, n!n!n 2!n 2!n 22! για λεπτοµέρειες παραπέµπουµε στο ϐιβλίο του Rosner 994, σελ 37 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 7 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 9 Αν κάνουµε τον έλεγχο δύο ουρών τότε p value PΠίνακες µε OR 9 + PΠίνακες µε OR / PA + PB+ P + PE PΓ εν απορρίπτουµε την H 0 ούτε στον έλεγχο των δύο ουρών Ελεγχος Fisher σε 4 ϐήµατα Κατασκευάζουµε όλους τους πιθανούς πίνακες που αντιστοιχούν στις περιθωριακές συχνότητες που έχουµε παρατηρήσει 2 Υπολογίζουµε την συνάρτηση ελέγχου για κάθε πίνακα 3 Υπολογίζουµε την πιθανότητα εµφάνισης για τους πίνακες µε χειρότερη πιο αποµακρυσµένη ή ίση τιµή ελεγχοσυνάρτησης από αυτή που παρατηρήσαµε στο δείγµα µας 4 Υπολογίζουµε το p-value α Αν H : π E π E ή H : OR τότε p-value 2min{PN n,pn n } ϐ Αν H : π E >π E ή H : OR > τότε p-value PN n γ Αν H : π E <π E ή H : OR < τότε p-value PN n Οι ακριβείς έλεγχοι ισχύου πάντα αλλά τους εφαρµόζουµε µόνο αν e ij < 5 όποτε δε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τους αντίστοιχους ασυµπτωτικούς ελέγχους

21 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου Μόντε Κάρλο Ελεγχοι Ανεξαρτησίας Στις περισσότερες περιπτώσεις, όταν χρειάζεται να υπολογίσουµε τα ακριβή τεστ, ο αριθµός των πιθανών πινάκων είναι µεγάλος Εναλλακτικά µπορούµε να προσοµοιώσουµε έναν αριθµό από αυτούς δηλάδη να κατασκευάσουµε ένα τυχαίο δείγµα έτσι ώστε να εκτιµήσουµε το πραγµατικό p value Το µέγεθος του δείγµατος που προσοµοιώνουµε είναι µεγάλο πχ 0000 πίνακες έτσι ώστε να εκτιµήσουµε µε ακρίβεια το p value Αποτέλεσµα διάστηµα εµπιστοσύνης συνήθως 99% γιατοp value Απορρίπτουµε H 0 άν όλο το διάστηµα εµπιστοσύνης να είναι µικρότερο του α Αν το α εµπεριέχεται στο Ε του p value δεν µπορούµε να αποφασίσουµε για την H 0

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. StatXact. ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ StatXact

StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. StatXact. ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ StatXact ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ 1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson Έλεγχος Ανεξαρτησίας x του Parso Έστω ότι λαμβάνουμε δείγμα μεγέθους. Η πιθανότητα π εμφάνισης ενός χαρακτηριστικού να βρεθεί στο κελί (i,j) κάτω από την υπόθεση Η 0 της ανεξαρτησίας δίνεται από την σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 20062007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 9 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables) Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: το στατιστικό κριτήριο χ 2. Προϋποθέσεις για τη χρήση του τεστ. ιαφορές ή συσχέτιση.

Κεφάλαιο 16. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: το στατιστικό κριτήριο χ 2. Προϋποθέσεις για τη χρήση του τεστ. ιαφορές ή συσχέτιση. Κεφάλαιο 16 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: το στατιστικό κριτήριο χ 1 Προϋποθέσεις για τη χρήση του τεστ ιαφορές ή συσχέτιση Κλίµακα µέτρησης Σχεδιασµός Σηµείωση ιαφορές Κατηγορική Ανεξάρτητα δείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική Επιδηµιολογία. Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση

Κλινική Επιδηµιολογία. Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση Κλινική Επιδηµιολογία Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση Σύγκριση µεταξύ διαφορετικών πληθυσµών ως προς την έκθεση (exposure) Σύγκριση της κατανοµής της συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α Κάθε µια από τις παρακάτω φράσεις (1α, 1β, 1γ, 2α κτλ) µπορεί να είναι σωστή ή λανθασµένη. Ποιες είναι σωστές και ποιες όχι;

ΜΕΡΟΣ Α Κάθε µια από τις παρακάτω φράσεις (1α, 1β, 1γ, 2α κτλ) µπορεί να είναι σωστή ή λανθασµένη. Ποιες είναι σωστές και ποιες όχι; 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. ΣΚΟΠΟΣ στο τέλος της ενότητας είναι να γνωρίζετε - Τι είναι η «δειγµατοληπτική κατανοµή» π.χ. της µέσης τιµής - τι είναι και σε τι χρησιµεύει το «τυπικό σφάλµα της µέσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ

Διαβάστε περισσότερα

Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας

Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας Ο όρος συνάφεια προέρχεται από τον Pearso (1904) όπου ορίζεται για ένα πίνακα IJ ως ένα μέτρο της συνολικής απόκλισης της ταξινόμησης από την ανεξάρτητη πιθανότητα. Από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

(X1 X 2 ) 2}. ( ) f 1 (x i ; θ) = θ x i. (1 θ) n x i. x i log. i=1. i=1 t2 i

(X1 X 2 ) 2}. ( ) f 1 (x i ; θ) = θ x i. (1 θ) n x i. x i log. i=1. i=1 t2 i ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I: ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ 8 Ιουνίου 005 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 005 ΘΕΜΑΤΑ Εστω X = (X,, X n ), n, τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoull B(, θ), θ Θ = (0, ) (α) (0 µονάδες) Να δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με τις τεχνικές εκτίμησης παραμέτρων για ένα πληθυσμό όπως: τον Μέσο µ και το ποσοστό p Θα συνεχίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

1.Γ.2 Αποτελέσµατα ΜΕΡΟΣ Γ: Ο ΠΟΛΕΜΟΣ ΣΤΟ ΙΡΑΚ Γ.1 Εισαγωγή...196

1.Γ.2 Αποτελέσµατα ΜΕΡΟΣ Γ: Ο ΠΟΛΕΜΟΣ ΣΤΟ ΙΡΑΚ Γ.1 Εισαγωγή...196 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο...188 ΜΕΡΟΣ Α: Η ΚΡΙΣΗ ΣΤΟ ΙΡΑΚ...188 1.Α.1 Εισαγωγή...188 1.Α.2 Αποτελέσµατα...188 ΜΕΡΟΣ Β: Η ΣΥΝΟ ΟΣ ΚΟΡΥΦΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΙΡΑΚ...194 1.Β.1 Εισαγωγή...194 1.Β.2

Διαβάστε περισσότερα

1991 US Social Survey.sav

1991 US Social Survey.sav Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική Επιδηµιολογία

Κλινική Επιδηµιολογία Κλινική Επιδηµιολογία Ρυθµιστικοί παράγοντες Συγχυτικοί παράγοντες Ενδιάµεσοι παράγοντες Πρέπει να πιστέψουµε τις µετρήσεις µας; Κάπνισµα Καρκίνος Πνεύµονα OR = 9.1 Πραγµατική σχέση αιτιολογική µη-αιτιολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΙΝΑΚΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (THE ANALYSIS OF CROSS-TABULATIONS) Απαρίθμηση και Ταξινόμηση Σύγκριση Δύο ποσοστών Συχνά,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι δυό βασικές κατευθύνσεις της ανάλυσης των δεδοµένων της έρευνας, επιχειρούν ανιχνεύοντας τους παράγοντες που προσδιορίζουν την πρόσβαση στις υπηρεσίες υγείας,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Copyright 2009 Cengage Learning 15.1 Ένα Κοινό Θέμα Τι πρέπει να γίνει; Τύπος Δεδομένων; Πλήθος Κατηγοριών; Στατιστική Μέθοδος; Περιγραφή ενός πληθυσμού Ονομαστικά Δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Άσκηση 1 η Ένας παραγωγός σταφυλιών ισχυρίζεται ότι τα κιβώτια σταφυλιών που συσκευάζει

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πρότυπο Πρόγραµµα Master Εξάµηνο Σπουδών Κωδικός Τίτλος Μαθήµατος ιδακτικές Μονάδες 1 ο Εξάµηνο ΜΑΣ650 Μαθηµατική Στατιστική 10 ΜΑΣ655 ειγµατοληψία 10 ΜΑΣ658 Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα