Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα"

Transcript

1 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ , 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 2x2xk2 xk 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα Έλεγχος σχέση δίτιµων µεταβλητών σε δυο εξαρτηµένα δειγµάτα (ή ζευγαρωτών τιµών). Τέτοια δείγµατα εµφανίζονται συχνά στην Ιατρική έρευνα λόγω τη εξοµοίωσης (matching) των ασθενών και των µαρτύρων σύµφωνα µε κάποιους σηµαντικούς συγχυτικούς παράγοντες (συνήθως ηλικία και φύλο). 1 3 Περιεχόµενα 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες A. Ανάλυση µεταβλητών για 2 εξαρτηµένα δείγµατα (Έλεγχος McNemar, δείκτης συµφωνίας κάπα) B. Συγχυτικοί παράγοντες και στρωµατοποίηση C. Έλεγχος ανεξαρτησίας Mantel-Haenzel για κάθε επίπεδο συγχυτικού παράγοντα D. ιαφοροποίηση επιδράσεων και έλεγχος οµοιογένειας ΛΣΠ E. Εκτιµητής Mantel-Haenzel κοινού ΛΣΠ για τα επίπεδα ενός συγχυτικού παράγοντα F. Εκτίµηση ΛΣΠ σε εξαρτηµένα δείγµατα 2 Σύγκριση δύο χηµειοθεραπειών για την αντιµετώπιση του καρκίνου του µαστού στις γυναίκες. Οι δύο οµάδες θεραπείας πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο όµοιες όσον αφορά τους παράγοντες κινδύνου. Για να επιτευχθεί αυτό εξοµοιώνουµε (ταιριάζουµε) τις δύο οµάδες ανάλογα µε την ηλικία (σε οµάδες εύρους 5 ετών) και την κλινική κατάσταση. Σε κάθε ασθενή της 1ης οµάδας θεραπείας αντιστοιχεί ένας ασθενής της 2ης οµάδας στην ίδια ηλικιακή κατηγορία και κλινική κατάσταση. Οι ασθενείς παρακολουθούνται για 5 έτη Μεταβλητή απόκρισης = η επιβίωσή τους στο τέλος των 5 ετών (ΝΑΙ/ΟΧΙ). 4 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 1 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 2

2 1.3 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες Αν δε λάβουµε υπόψη την εξοµοίωση τότε θα προκύψει ο ακόλουθος πίνακας: Πίνακας 1: εδοµένα καρκίνου του µαστού Παραδείγµατος 1(Rosner 1994, p 377) ΘΕΡΑΠΕΙΑ 1: Α 2: Β Περ Κατ Υ ΕΠΙΒΙΩΣΗ ΣΤΑ 5 ΕΤΗ 1: Ναι : Όχι Περ Κατ Χ Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες Οι µεταβλητές που θα χρησιµοποιήσουµε στον πίνακα θα είναι οι συνδυασµοί της επιβίωσης για τις δύο θεραπείες. Έτσι τα δυνατά αποτελέσµατα θα είναι τέσσερα: 1. επιβίωση των ασθενών και στις δύο θεραπείες, 2. κατάληξη και στις δύο θεραπείες, 3. επιβίωση στη θεραπεία Α αλλά όχι στη Β και 4. επιβίωση στη θεραπεία Β αλλά όχι στη Α Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες 1.6 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες Pearson s χ 2 => µη στατιστικά σηµαντική σχέση (σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%) µεταξύ επιβίωσης και θεραπείας (p-value = 0.44) OR = 1.14 Στην παραπάνω ανάλυση δε λάβαµε υπόψη ότι η δειγµατοληψία είναι εξαρτηµένη (ζεύγη παρατηρήσεων µε παρόµοια χαρακτηριστικά) Για να κάνουµε σωστή ανάλυση πρέπει να λάβουµε ως µονάδα µελέτης το εξοµοιωµένο ζευγάρι των ασθενών =>µέγεθος δείγµατος: Λαµβάνοντας εποµένως υπόψη τα ζεύγη τιµών, προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας: Πίνακας 2: Ζεύγη τιµών από δεδοµένα καρκίνου του µαστού Παραδείγµατος 1 (Rosner 1994, p 377) ΘΕΡΑΠΕΙΑ Α ΕΠΙΒΙΩΣΗ 1: Ναι 2: Όχι Περ Κατ Υ 2 ΘΕΡΑΠΕΙΑ Β ΕΠΙΒΙΩΣΗ ΣΤΑ 5 ΕΤΗ 1: Ναι : Οχι Περ Κατ Υ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 3 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 4

3 1.7 Στόχος ανάλυσης 1.9 ιατύπωση υπόθεσης ελέγχου Μας ενδιαφέρει το ποσοστό επιβίωσης των δύο οµάδων/θεραπειών να είναι ίσο. ηλαδή: P(Επιβίωση ασθενών Θεραπείας Α) = P(Επιβίωση ασθενών Θεραπείας Β) π 1. =π.1 n 12 =n 21 Συνεπώς, σε ένα 2 x 2 πίνακα συνάφειας, στην ουσία συγκρίνουµε τις συχνότητες της 2ης διαγωνίου του που δείχνουν την ασυµφωνία των ζευγαριών ως προς τη µεταβλητή απόκρισης. Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση Η 0 : p=1/2 vs. Η 1 : p ½, µε p = η πιθανότητα το δυσαρµονικό ζευγάρι να είναι τύπου Α (δηλαδή το άτοµο της θεραπείας Α του ζεύγους τιµών να έχει το γεγονός, ενώ το αντίστοιχο άτοµο της θεραπείας Β να µην έχει το γεγονός) Ορισµοί Αρµονικό ζευγάρι (concordant pair) σε µία εξοµοιωµένη µελέτη είναι το ζεύγος των παρατηρήσεων όπου το αποτέλεσµα (δηλαδή η µεταβλητή απόκρισης) είναι το ίδιο και για τα δυο άτοµα του ζεύγους. υσαρµονικό ζευγάρι (disconcordant pair) σε µία εξοµοιωµένη µελέτη είναι το ζεύγος των παρατηρήσεων όπου το αποτέλεσµα (δηλαδή η µεταβλητή απόκρισης) διαφέρει για τα δυο άτοµα του ζεύγους. Εναλλακτικές ονοµασίες: «συµφωνούντα» και «διαφωνούντα» ζεύγη αντίστοιχα ιατύπωση υπόθεσης ελέγχου Αν η H 0 ισχύει τότε n 21 ~ Binomial(1/2, n D ) Όπου n D ο αριθµός των δυσαρµονικών ζευγαριών Συνεπώς Ε(n 21 ) = n D /2 και V(n 21 ) = n D /4. Υπό την προϋπόθεση ότι npq>= 5 δηλαδή n D >=20 µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την κανονική προσέγγιση, οπότε: 12 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 5 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 6

4 1.11 Έλεγχος McNemar Υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει ο έλεγχος McNemar που χρησιµοποιεί τη συνάρτηση ελέγχου: όπου n D είναι το σύνολο των δυσαρµονικών ζευγαριών δηλαδή n D =n 12 +n 21 Σε µερικές περιπτώσεις για λόγους διόρθωσης χρησιµοποιείται και ο τύπος: (1.1) (1.2) Εφαρµογή ελέγχου McNemar 2. Υπολογίζουµε τη παρατηρούµενη συνάρτηση ελέγχου του McNemara χ 2 obs από τον τύπο (1.1) ή (1.2). Απορρίπτουµε την H 0 : «ποσοστό εµφάνισης νόσου είναι το ίδιο στις δύο οµάδες» αν χ 2 obs > χ 2 1, 1-a. Εναλλακτικά υπολογίζουµε το p-value = P( X 2 >= χ 2 obs) και απορρίπτουµε την µηδενική υπόθεση αν p-value<a. Σηµείωση: ο παραπάνω ασυµπτωτικός έλεγχος ισχύει για n D >= Εφαρµογή ελέγχου McNemar 1.14 Αποτελέσµατα παραδείγµατος 1 Η διαδικασία εφαρµογής του ελέγχου McNemar µπορεί να περιγραφεί από τα ακόλουθα βήµατα: 1. Κατασκευάζουµε τον 2x2 πίνακα συνάφειας για τα ζεύγη των εξοµοιωµένων παρατηρήσεων. Γραµµές => το αποτέλεσµα (µεταβλητή απόκρισης) των ασθενών που ακολουθούσαν την θεραπεία Α. Στήλες => το αποτέλεσµα των ασθενών που ακολούθησαν την θεραπεία Β. Εφόσον ο αριθµός των δυσαρµονικών ζευγών n D =16+5=21>=20 µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την παραπάνω διαδικασία οπότε: συνεπώς απορρίπτουµε την υπόθεση ότι οι δύο θεραπείες είναι ίδιες ΠΡΟΣΟΧΗ: υποθέτοντας ανεξάρτητα δείγµατα είχαµε καταλήξει σε διαφορετικό αποτέλεσµα ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 7 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 8

5 1.15 Αποτελέσµατα παραδείγµατος 1 Αν θέλουµε να υπολογίζουµε το p-value τότε Για n D <20 θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τον ακριβή έλεγχο ο οποίος βασίζεται στη ιωνυµική κατανοµή. Έτσι το p-value υπολογίζεται από τον τύπο: 2. 2 είκτης συµφωνίας κάπα Στις περιπτώσεις αυτές συµπεριλαµβάνουµε την επαναλαµβανόµενη µέτρηση µιας κατηγορικής µεταβλητής σε σύντοµο χρονικό διάστηµα. Άλλη περίπτωση είναι αυτή που θέλουµε να ελέγξουµε την αξιοπιστία µιας µέτρησης µε µηχάνηµα σε σχέση µε µια µέτρηση αναφοράς εµπιστευόµαστε (π.χ. ηλεκτρονικό µηχάνηµα µέτρησης αρτηριακής πίεσης και µέτρηση πίεσης από Ιατρό) ή τη συµφωνία δύο εξεταστών, βαθµολογητών ή Ιατρών είκτης συµφωνίας κάπα (kappa) 2.3 είκτης συµφωνίας κάπα Στην προηγούµενη ενότητα ελέγξαµε τη σχέση µεταξύ δύο δίτιµων µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα (εξοµοιωµένα ζευγάρια). Σε µερικές περιπτώσεις ξέρουµε εκ των προτέρων ότι υπάρχει σχέση µεταξύ των µεταβλητών οπότε στόχος είναι να ποσοτικοποιήσουµετο βαθµό της συµφωνίας. Αυτό κυρίως συµβαίνει στις µελέτες αξιοπιστίας µετρήσεων (reliability studies) όπου σκοπός είναι να µετρήσουµε την αναπαραγωγισιµότητα ή επαναληπτότητα µιας µεταβλητής (reproducibility & reliability). 18 Τα δεδοµένα όλων των παραπάνω περιπτώσεων συνοψίζονται σε ΙxI πίνακες (οι δύο µετρήσεις έχουν τον ίδιο αριθµό επιπέδων αφού µετρούν το ίδιο χαρακτηριστικό), ενώ µας ενδιαφέρει το ποσοστό συµφωνίας π ο = i ii το οποίο εκτιµάται από το παρατηρούµενο ποσοστό συµφωνίας p o = I i = nii / n 1 I = 1 π 20 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 9 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 10

6 2.4 είκτης συµφωνίας κάπα 2.6 είκτης συµφωνίας κάπα Υπό την υπόθεση της ανεξαρτησίας των δύο µετρήσεων (συνεπώς πλήρη έλλειψη αναπαραγωγισιµότητας) αναµένουµε ποσοστό συµφωνίας ίσο µε I π e = = π i i π 1 i. ο οποίος δίνεται στο δείγµα από την ποσότητα I 2 p e = n n n i = 1 i i. δηλαδή το άθροισµα των αναµενόµενων κελιών συµφωνίας. Έτσι µπορούµε να διαιρέσουµε µε το max(π o -π e )=1-π e εφόσον η καλύτερη δυνατή περίπτωση είναι π o =1 όταν έχουµε πλήρη συµφωνία και προκύπτει ο δείκτης συµφωνίας Κάπα του Cohen (1960): είκτης συµφωνίας κάπα 2.7 είκτης συµφωνίας κάπα Αυτή η αναλογία συµφωνίας οφείλεται σε τυχαίους παράγοντες και για το λόγο αυτό µπορεί να θεωρηθεί ως σηµείο αναφοράς και σύγκρισης. Άρα ένα µέτρο συµφωνίας είναι η διαφορά π ο -π e όπου το µηδέν δείχνει µηδενική ή τυχαία αναπαραγωγισιµότητα. Εµείς όµως θα επιθυµούσαµε να είχαµε ένα µέτρο το οποίο να είναι φραγµένο και η ανώτατη τιµή του να υποδεικνύει πλήρη συµφωνία ή αναπαραγωγισιµότητα. 22 ο οποίος εκτιµάται από: Μέγιστη τιµή τιµή του kappa: 1 (πλήρη συµφωνία). Τιµή 0: όταν το παρατηρούµενο ποσοστό συµφωνίας είναι ίσο µε αυτό που αναµένουµε όταν υπάρχει ανεξαρτησία (άρα οφείλεται σε τυχαιότητα). Αρνητικές τιµές: εµφανίζονται όταν η παρατηρούµενη αναλογία συµφωνίας είναι µικρότερη της συµφωνίας που περιµένουµε λόγω της τυχαιότητας. Αρνητικές τιµές σύµφωνα τον Agresti (1990, σελ ) εµφανίζονται σπάνια στην πράξη. 24 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 11 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 12

7 2.8 είκτης συµφωνίας κάπα Η διακύµανση του παραπάνω εκτιµητή δίνεται από τον τύπο Παράδειγµα 2 Ερωτηµατολόγιο διατροφικής συχνότητας Μελέτες αξιοπιστίας: κυρίως στην Ψυχολογία/ Ψυχιατρική αλλά και στη διατροφική επιδηµιολογία (µετρήσεις από ερωτηµατολόγια). Στις µελέτες καταγραφής διατροφικών συνηθειών δίνεται ερωτηµατολόγιο διατροφικών συχνοτήτων (Food Frequency Questionaire) όπου ο ερωτώµενος καλείται να θυµηθεί και να καταγράψει ποια τρόφιµα κατανάλωσε τον τελευταίο µήνα ή χρόνο. Μεγάλο σφάλµα µέτρησης (λόγω προβληµατικής ανάκλησης πληροφορίας) Ασυµπτωµατικός έλεγχος για κάπα Ένας ασυµπτωτικός έλεγχος της υπόθεσης H 0 : κ=0 έναντι της εναλλακτικής H 1 : κ>0 µπορεί να γίνει χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση ελέγχου η οποία ακολουθεί ασυµπτωτικά τη Ν(0,1) κατανοµή όταν η H 0 ισχύει. Σηµείωση: µας ενδιαφέρει ο µονόπλευρος έλεγχος αφού οι αρνητικές τιµές δεν έχουν αξιόλογη ερµηνεία και συνήθως λαµβάνονται ως έλλειψη συµφωνίας και επαναληπτότητας Παράδειγµα 2- συνέχεια Στο παράδειγµα που ακολουθεί ερωτήθηκαν 537 γυναίκες για το εάν καταναλώνουν περισσότερες της µιας µερίδας µοσχαρίσιο κρέας ανά εβδοµάδα. Οι µετρήσεις έγιναν δύο φορές µε απόσταση µερικών µηνών. Τα αποτελέσµατα δίνονται στον Πίνακα που ακολουθεί. 28 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 13 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 14

8 2.12 Παράδειγµα 2 συνέχεια 2.14 Αποτελέσµατα παραδείγµατος 2 Πίνακας 3: Επαναλαµβανόµενες µετρήσεις σε ερωτηµατολόγιο διατροφικής συχνότητας Παραδείγµατος 2 Υ1: Πρώτη µέτρηση 1: <= 1 µερίδα/εβδ 2: > 1 µερ/εβδ Περ Κατ Υ 2 Υ2: εύτερη µέτρηση 1: <= 1 µερίδα/εβδ : > 1 µερ/εβδ Περ Κατ Υ Υπολογίζουµε το κάπα: p o = ( )/537 = 376/537 = 0.70 p e = 205 x 228/ x 309/537 2 = 0382 x x = ˆ κ = = se( ˆ) κ = => z= 0.378/0.040=8.799>1.65 => απορρίπτουµε Η 0 (κ=0) έλλειψης αναπαραγωγισιµότητας Ερώτηµα παραδείγµατος Συµπεράσµατα παραδείγµατος 2 Το ερώτηµα που µας ενδιαφέρει να απαντήσουµε είναι αν υπάρχει αναπαραγωγισιµότητα; δηλαδή αν το FFQ που δίδεται έχει τη δυνατότητα να αντλήσει τις ίδιες πληροφορίες από τα ίδια άτοµα σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγµές. Στο παραπάνω παράδειγµα είδαµε ότι δεν απορρίψαµε τη µηδενική υπόθεση, εποµένως υπάρχει κάποια αναπαραγωγισιµότητα ή συµφωνία άλλα αυτό δε σηµαίνει ότι είναι υψηλή. Γενικά η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται για σχετικά χαµηλές τιµές του κˆ ειδικά για µεγάλα δείγµατα (ανάλογη είναι η περίπτωση του δείκτη γραµµικής συσχέτισης του Pearson και του αντίστοιχου ελέγχου για ρ=0) ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 15 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 16

9 2.16 Εµπειρικός πίνακας για τιµές κ 2.18 ιαφορές κάπα από McNemar Για τον λόγο αυτό οι Landis & Koch (1977) δίνουν έναν εµπειρικό πίνακα για τις τιµές του κ: 1. Αν κˆ >0.75 τότε έχουµε έξοχη αναπαραγωγισιµότητα και επαναληπτότητα (ή υψηλή συµφωνία) <= κˆ <= 0.75 τότε έχουµε καλή αναπαραγωγισιµότητα και επαναληπτότητα (ή ικανοποιητική συµφωνία). 3. Αν 0 <= κˆ < 0.4 τότε έχουµε οριακή αναπαραγωγισιµότητα και επαναληπτότητα (ή χαµηλή συµφωνία). 33 ιαφορές µεταξύ της δοκιµασίας McNemar και του δείκτη κάπα: Σκοπός της δοκιµασίας McNemar: να ελέγξει αν οι περιθωριακές κατανοµές είναι ίσες. Έτσι σε 2x2 πίνακες που προκύπτουν από εξοµοιωµένα ζεύγη µε διαφορετική θεραπεία σε σχέση µε την επιβίωση, µας ενδιαφέρει αν η πιθανότητα επιβίωσης είναι η ίδια για τις δύο θεραπείες Χρήση είκτη κ 2.19 ιαφορές κάπα από McNemar Σύµφωνα µε τον Rosner (1994, σελ. 426) ο δείκτης κάπα θα πρέπει να προτιµάται για τη µέτρηση της αξιοπιστίας µιας µεταβλητής ή ερωτήµατος άρα όταν έχουµε επαναλαµβανόµενες µετρήσεις της ίδιας κατηγορικής µεταβλητής. Στις περιπτώσεις σύγκρισης µιας µέτρησης µε µία µέτρηση αναφοράς προτείνει τη χρήση της ειδικότητας και ευαισθησίας. Αντίθετα ο δείκτης κάπα κρίνει κατά πόσο τα αποτελέσµατα των δύο θεραπειών σχετίζονται-συµφωνούν µεταξύ τους. αναφέρεται κυρίως στην εκ-των-προτέρων γνωστή εξάρτηση των δειγµάτων λόγω εξοµοίωσης ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 17 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 18

10 2.19 ιαφορές κάπα από McNemar 3.1 Συγχυτικοί παράγοντες Συχνά έχουµε µεγάλο ποσοστό συµφωνίας (λόγω εξοµοίωσης) αλλά και στατιστικά σηµαντική διαφοροποίηση ως προς την αποτελεσµατικότητα της κάθε θεραπείας (σκεφτείτε κατά αναλογία τη σχέση του δείκτη συσχέτισης του Pearson και του t-test ανά ζεύγη: υψηλή συσχέτιση δε σηµαίνει και ίσους µέσους). Συγχυτικός Παράγοντας (Confounding factor) είναι µία µεταβλητή που σχετίζεται και µε την ασθένεια αλλά και µε τον παράγοντα κινδύνου που εξετάζουµε. Οι συγχυτικοί παράγοντες πρέπει να λαµβάνονται υπόψη πριν τον έλεγχο της σχέσης «ασθένεια - παράγοντας κινδύνου» ιαφορές κάπα από McNemar Επίσης άλλη βασική διαφορά είναι τα κελιά από τα οποία αντλεί πληροφορία η κάθε διαδικασία: McNemar βασίζεται στα µη-διαγώνια στοιχεία (δυσαρµονικά ζεύγη τιµών) ενώ είκτης κάπα βασίζεται στα διαγώνια στοιχεία (αρµονικά ζεύγη τιµών). 3.2 Αδρανοποίηση Συγχυτικού παράγοντα Η αδρανοποίηση (ή ο έλεγχος) ενός συγχυτικού παράγοντα µπορεί να γίνει: 1. µέσω του σχεδιασµού του πειράµατος µε εξοµοίωση (matching), 2. µε τυποποίηση ή προτυποποίηση (standardization) των αποτελεσµάτων ως προς το συγχυτικό παράγοντα, 3. µε ειδική στατιστική ανάλυση ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 19 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 20

11 3.3 Αδρανοποίηση συγχυτικού παράγοντα 3.5 Στρωµατοποιηµένη ανάλυση (ορισµοί) Η αδρανοποίηση των επιδράσεων ενός συγχυτικού παράγοντα ονοµάζεται έλεγχος του συγχυτικού παράγοντα (controlling for a confounding factor), ενώ για τα αποτελέσµατα λέµε ότι είναι διορθωµένα ως προς τον συγχυτικό παράγοντα (confounder adjusted results) 41 Θετικός Συγχυτικός Παράγοντας (Positive confounder) είναι ένας συγχυτικός παράγοντας θετικά (ή αρνητικά) συσχετισµένος και µε τη νόσο και µε τον παράγοντα κινδύνου. Αρνητικός Συγχυτικός Παράγοντας (Negative confounder) είναι ένας συγχυτικός παράγοντας που ικανοποιεί µία από τις ακόλουθες συνθήκες: 1. Είναι θετικά συσχετισµένος µε τη νόσο και αρνητικά µε τον παράγοντα κινδύνου. 2. Είναι αρνητικά συσχετισµένος µε τη νόσο και ικά µε τον παράγοντα κινδύνου Στρωµατοποιηµένη ανάλυση (ορισµοί) Η µελέτη της σχέσης ασθένειας - παράγοντα κινδύνου για διαφορετικές οµάδες δεδοµένων (συνήθως επίπεδα ενός ή περισσοτέρων συγχυτικών παραγόντων) ονοµάζεται στρωµατοποίηση ή στρωµατοποιηµένη ανάλυση (stratification ή stratified analysis). 3.6 Αιτιολογική δίοδος Ένας συγχυτικός παράγοντας ονοµάζεται αιτιολογική δίοδος (causal pathway) αν ο παράγοντας κινδύνου επηρεάζει το συγχυτικό παράγοντα και αυτός µε τη σειρά του τη νόσο ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 21 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 22

12 3.7 Παράδειγµα 3 καρκίνος πνεύµονα και αλκοόλ 3.9 Στατιστική ανάλυση παραδείγµατος 3 Παράδειγµα 3: Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να µελετήσουµε τη σχέση µεταξύ καρκίνου του πνεύµονα και υψηλής κατανάλωσης αλκοόλ (ορισµένης ως µεγαλύτερης ή ίσης των δύο ποτών ηµερησίως). Τα αποτελέσµατα µιας προοπτικής µελέτης δίνονται στον ακόλουθο Πίνακα Εφόσον πρόκειται για σπάνια ασθένεια µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το ΛΣΠ ως µέτρο σχετικού κινδύνου. O ΛΣΠ είναι ίσος µε 1.667, στατιστικά σηµαντικός σε επίπεδο σηµαντικότητας α=10% (ακριβής χ 2 ελέγχος p=0.065). Στην παραπάνω ανάλυση - σχέση όµως δε λάβαµε υπόψη µας ένα πολύ ισχυρό συγχυτικό παράγοντα: το κάπνισµα του ίδιου του ατόµου που εξετάζουµε εδοµένα παραδείγµατος Στρωµατοποιηµένη ανάλυση Πίνακας 4: εδοµένα Καρκίνου του Πνεύµονα Παραδείγµατος 3 (Rosner, 1994, σελ ). Χ: Καταναλ Αλκοόλ 1: >= 2 ποτών 2: < 2 ποτών Περ Κατ Υ Υ: Καρκίνος του πνεύµονα 1: ναι : όχι Περ Κατ Χ Έτσι λοιπόν η σωστή προσέγγιση είναι να κάνουµε στρωµατοποιηµένη ανάλυση ανάλογα µε το αν κάποιος καπνίζει ή όχι. Έτσι έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 23 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 24

13 3.11 Στρωµατοποιηµένα δεδοµένα παραδ Προτυποποίηση Πίνακας 5: Στρωµατοποιηµένα δεδοµένα ως προς κάπνισµα, καρκίνου του πνεύµονα Παραδείγµατος 3 (Rosner, 1994, σελ ). Χ: Καταναλ Αλκοόλ 1: >= 2 ποτών 2: < 2 ποτών Περ Κατ Υ Ζ: Καπνιστές (1) Υ: Καρκίνος πνεύµονα 1: ναι : όχι Περ Κατ Χ Ζ: Μη Καπνιστές (2) Υ: Καρκίνος πνεύµονα 1: ναι : όχι Περ Κατ Χ Προτυποποίηση: µέθοδος που χρησιµοποιείται για να κάνει τους δείκτες θνησιµότητας δύο πληθυσµών ή δειγµάτων συγκρίσιµους, λαµβάνοντας υπόψη κάποιους συγχυτικούς παράγοντες (πχ φύλο και ηλικία). Υπολογίζουµε το δείκτη (συνήθως την αναλογία) µίας νόσου υποθέτοντας ότι οι πληθυσµοί ή τα δείγµατα που συγκρίνουµε έχουν την ίδια κατανοµή ως προς το συγχυτικό παράγοντα Αποτελέσµατα από στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Αν υπολογίσουµε το ΛΣΠ στον κάθε ένα από τους δύο πίνακες θα βρούµε ότι είναι ίσοι µε 1 συνεπώς δεν υπάρχει σχέση µεταξύ των δύο υπό εξέταση µεταβλητών, δηλαδή της υψηλής κατανάλωσης αλκοόλ και καρκίνου του πνεύµονα κάπνισµα δρα ως συγχυτικός παράγοντας 4.2 Προτυποποίηση Αν p i είναι οι δειγµατικές αναλογίες εµφάνισης µιας νόσου για το i επίπεδο ενός συγχυτικού παράγοντα µε I επίπεδα τότε η τυποποιηµένη αναλογία της νόσου υπολογίζεται από τον τύπο Όπου n i* :ο συν. αριθµός ατόµων του πρότυπου πληθυσµού που ανήκουν στο i επίπεδο του συγχυτικού παράγοντα, n * :ο συν. αριθµός ατόµων του πρότυπου πληθυσµού και w i* =n i* / n * : αναλογία ατόµων του πρότυπου πληθυσµού που ανήκουν στο i επίπεδο του συγχυτικού παράγοντα ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 25 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 26

14 4.3 Προτυποποίηση 5.1 Παράδειγµα 4 Η τυποποιηµένη αναλογία p st µπορεί να ερµηνευτεί ως η αναλογία ατόµων που θα είχαν τη νόσο αν ο πληθυσµός µας είχε την ίδια κατανοµή του συγχυτικού παράγοντα όπως ο πρότυπος πληθυσµός (ή πληθυσµός αναφοράς). Ως πρότυπος πληθυσµός συνήθως λαµβάνεται ο πληθυσµός µίας χώρας στον οποίο πιθανώς ανήκουν οι υπό-σύγκριση πληθυσµοί ή απλά το άθροισµα των πληθυσµών που συγκρίνουµε. Ένας πιθανόςσυγχυτικόςπαράγοντας είναι το κάπνισµα του ίδιου του ατόµου που εξετάζουµε, αφού προφανώς συνδέεται µε τη νόσο αλλά και µε το κάπνισµα της συζύγου (άρα και το παθητικό κάπνισµα όπως ορίστηκε στη µελέτη αυτή). Τα δεδοµένα δίνονται στον ακόλουθο πίνακα Συµπερασµατολογία για στρωµατοποιηµένα κατηγορικά δεδοµένα Παράδειγµα 4: Μια µελέτη το 1985 εντόπισε 518 περιπτώσεις καρκίνου σε νοσοκοµεία των ΗΠΑ και 518 µάρτυρες µέσω ταχυδροµείου (βλ. Sandler et al, 1985, Amer J Epidem). Κύριος σκοπός της µελέτης ήταν η εξέταση του παθητικού καπνίσµατος στην εµφάνιση του καρκίνου του πνεύµονα. Το παθητικό κάπνισµα ορίστηκε ως «έκθεση στο κάπνισµα του/της συζύγου που κάπνιζε τουλάχιστον 1 τσιγάρο την ηµέρα για τους τελευταίους 6 µήνες» Στρωµατοποιηµένα δεδοµένα παραδείγµατος 4 Πίνακας 6: Στρωµ/µένα δεδοµένα ως προς κάπνισµα, µελέτης σχέσης παθητικού καπνίσµατος και καρκίνου του πνεύµονα παραδ.4 (Rosner, 1994, σελ ). Χ: Καρκίνος 1:Ασθενής 2: Μάρτυρας Περ Κατ Υ OR (95% CI) Ζ: Μη Καπνιστές (1) Υ: Παθ Καπνιστής 1: ναι (1.72, 2.47) 2: όχι Περ Κατ Χ Ζ: Καπνιστές (2) Υ: Παθ. Καπνιστής 1: ναι (0.95, 1.64) 2: όχι Περ Κατ Χ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 27 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 28

15 5.3 Ανάλυση παραδείγµατος 4 Από τον περιθωριακό πίνακα (αγνοώντας το ατοµικό κάπνισµα) ΛΣΠ=1.64 (95% Ε= ). Αντίθετα από τα στρωµατοποιηµένα δεδοµένα: στους καπνιστές η σχέση δεν είναι στατιστικά σηµαντική, ενώ αντίθετα για τους µη καπνιστές ο κίνδυνος είναι σηµαντικά αυξηµένος (περίπου διπλάσιος για τα άτοµα που εκτίθενται σε παθητικό κάπνισµα). 5.4 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων (2x2xK πίνακες) Γενικά στην ενότητα αυτή αναφερόµαστε σε 2x2xK πίνακες, όπου K είναι τα επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα για τον οποίο θέλουµε να διορθώσουµε/ ελέγξουµε τα αποτελέσµατα («να λάβουµε υπόψη µας»). Η υπό έλεγχο υπόθεση είναι: Η 0 : «ανεξαρτησία των µεταβλητών X και Y για όλα τα επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα Z», δηλαδή Η 0 : OR 1 =OR 2 =...=OR K = Ανάλυση παραδείγµατος 4 Ερώτηµα: πως θα συνδυάσουµε τους παραπάνω στρωµατοποιηµένους εκτιµητές σε έναν, που θα λαµβάνει υπόψη του και το συγχυτικό παράγοντα; 5.5 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων (2x2xK πίνακες)συνέχεια Για κάθε επίπεδο k έχουµε τον ακόλουθο πίνακα ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 29 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 30

16 5.6 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Υποθέτοντας σταθερές περιθώριες κατανοµές και ανεξαρτησία συνεπάγεται Όπου HyperGeometric (m, n, N) είναι η υπεργεωµετρική κατανοµή µε συνάρτηση πιθανότητας 5.8 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Αν ισχύει η H 0, o συνολικός αριθµός (αθροίζοντας ως προς το συγχυτικό παράγοντα) των κελιών 11 θα δίνεται ως και το οποίο θα πρέπει να συγκριθεί µε τη αντίστοιχη παρατηρούµενη ποσότητα Ο=n 11. = K = n k 1 11 k K Υπό την Η 0, Ε(Ο)=Ε και V(O)= = V ( n =. k k V 1 11 ) Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Με µέση τιµή Ε(Χ)= Νp = N και διακύµανση 5.9 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Κατασκευάζουµε τον έλεγχο Mantel-Haenszel µε τη χρήση της συνάρτησης ελέγχου: Συνεπώς, υπό την Η 0 έχουµε: ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 31 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 32

17 5.10 Ανάλυση παραδείγµατος 4 Με βάση τα παραπάνω, για το παράδειγµα 4 έχουµε: 6. ιαφοροποίηση Επιδράσεων (Effect Modification) Στον προηγούµενο έλεγχο εξετάσαµε την ύπαρξη ή όχι ανεξαρτησίας νόσου-παράγοντα κινδύνου για κάθε επίπεδο ενός συγχυτικού παράγοντα. Αν απορριφθεί η υπό-συνθήκη ανεξαρτησία νόσουπαράγοντα κινδύνου µας ενδιαφέρει να δούµε κατά πόσο η σχέση παραµένει ίδια για τα διάφορα επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα. Σε αυτή την ενότητα θα δούµε τη δοκιµασία για τον έλεγχο της οµοιογένειας των ΛΣΠ Συνεπώς 5.11 Συµπέρασµα παραδείγµατος 4 p-value= , άρα απορρίπτουµε την µηδενική υπόθεση και υπάρχει σχέση παθητικού καπνίσµατος και καρκίνου, ακόµα και αν ελέγξουµε/διορθώσουµε για το ατοµικό κάπνισµα (ή, αλλιώς, αν λάβουµε υπόψη µας το προσωπικό κάπνισµα). 6.1 ιαφοροποίηση Επιδράσεων Ορισµός Ορισµός: Αν η µορφή και η ισχύς της σχέσης νόσου-παράγοντα κινδύνου αλλάζει για διαφορετικά επίπεδα ενός συγχυτικού παράγοντα τότε υπάρχει αλληλεπίδραση παράγοντα κινδύνου και συγχυτικού παράγοντα πάνω στη νόσο ή αλλιώς διαφοροποίηση της επίδρασης του παράγοντα στη νόσο για διαφορετικά επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα (effect modification). Αυτός ο συγχυτικός παράγοντας ονοµάζεται διαφοροποιητής επιδράσεων (effect modifier) του παράγοντα κινδύνου στη νόσο ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 33 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 34

18 6.2 ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα Στο παράδειγµα 4 φαίνεται ότι το ατοµικό κάπνισµα διαφοροποιεί τις επιδράσεις του παθητικού καπνίσµατος στον καρκίνο εφόσον οι δύο ΛΣΠ απέχουν αρκετά µεταξύ τους 1.3 για τους καπνιστές και 2.1 για τους µη καπνιστές. Αν κάνουµε τον έλεγχο οµοιογένειας ΛΣΠ που ακολουθεί θα δούµε ότι η διαφορά είναι οριακά στατιστικά σηµαντική δηλαδή σηµαντική σε επίπεδο σηµαντικότητας 10% αλλά όχι σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. 69 Ο έλεγχος οµοιογένειας των ΛΣΠ χρησιµοποιεί τον ακόλουθο τύπο: ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα 6.5 ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα Ελέγχουµε την υπόθεση H 0 : OR 1 =OR 2 =...=OR K έναντι της εναλλακτικής H 1 : OR i OR j για κάποιο συνδυασµό επιπέδων i j του συγχυτικού παράγοντα. Εναλλακτικός τύπος είναι ο ακόλουθος ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 35 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 36

19 6.6 ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα Εφαρµόζοντας τον τελευταίο τύπο έχουµε: 6.8 Εκτίµηση κοινού ΛΣΠ για στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Όταν ο έλεγχος οµοιογένειας (ή ισότητας) των ΛΣΠ δεν απορριφθεί τότε µας ενδιαφέρει να εκτιµήσουµε τον κοινό ΛΣΠ λαµβάνοντας όµως υπόψη και το συγχυτικό παράγοντα. Αυτό γίνεται µε τον εκτιµητή κοινου ΛΣΠ των Mantel-Haenszel και δίνεται από τον τύπο Συνεπώς 6.7 Παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα 6.9 Εκτίµηση κοινού ΛΣΠ για στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Η διακύµανση του λογαρίθµου του παραπάνω εκτιµητή δίνεται από τον ακόλουθο τύπο Εφόσον δεν απορρίπτουµε την Η 0 ότι οι ΛΣΠ της σχέσης παθητικού καπνίσµατος και καρκίνου είναι ίσοι για τους καπνιστές και µη καπνιστές, σε επίπεδο σηµαντικότητας 5% ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 37 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 38

20 6.10 Εκτίµηση κοινού ΛΣΠ για στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Και φυσικά υπολογίζουµε ένα (1-α)100% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του ΛΣΠ από τον τύπο Ενώ για το ΛΣΠ δίνεται από το διάστηµα 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Υπάρχει άµεση σχέση της δοκιµασίας McNemar και της προσέγγισης των Mantel-Haenszel. Στις εξοµοιωµένες µελέτες έχουµε ζευγάρια ατόµων µε ίδια χαρακτηριστικά όσον αφορά τους συγχυτικούς παράγοντες. Άρα φανταστείτε τους 2 x 2 πίνακες που σχηµατίζονται για κάθε εξοµοιωµένο ζευγάρι δηλαδή k=1,2,,n, όπου n είναι το σύνολο των εξοµοιωµένων ζευγών Παράδειγµα 4, εκτίµηση κοινού ΛΣΠ 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Έτσι θα πρέπει να υπολογίσουµε 78 όπου Ν ijk είναι ο αριθµός των ατόµων σε κάθε ζευγάρι που αντιστοιχεί στο συνδυασµό i,j των µεταβλητών οµάδα/θεραπεία νόσος για το k εξοµοιωµένο ζευγάρι (χρησιµοποιούµε Ν ijk για τα δεδοµένα κάθε ζεύγους και n ij για τα δεδοµένα του συνολικού πίνακα των εξοµοιοµένων τιµών). 80 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 39 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 40

21 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Σε αυτή την περίπτωση έχουµε για τα ζευγάρια των ασθενών οµάδας/θεραπείας Α και Β τους ακόλουθους συνδυασµούς: έχουν τη νόσο και οι δύο ασθενείς (1,1), έχει τη νόσο µόνο ο Α ασθενής (1,2), έχει τη νόσο µόνο ο Β ασθενής (2,1) και κανένας από τους δύο δεν έχει τη νόσο (2,2). 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Από τον οποίο προκύπτει ότι: Όπου n ij είναι το πλήθος των ζευγών των ατόµων των οµάδων Α και Β µε αποτέλεσµα (νόσο) i και j αντίστοιχα. Συνεπώς Ενώ η διακύµανση του λογαρίθµου του παραπάνω εκτιµητή δίνεται από τον τύπο Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Έτσι έχουµε τον παρακάτω πίνακα 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Χρησιµοποιώντας τα παραπάνω µπορούµε να υπολογίσουµε 100(1-α)% διαστήµατα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του ΛΣΠ από τον τύπο και για το ΛΣΠ από τον τύπο ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 41 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 42

22 Υπολογισµός ΛΣΠ στο Παράδειγµα 1 Γυρίζοντας στο παράδειγµα 1, Πίνακα 2 βρίσκουµε ότι ο ΛΣΠ είναι ίσος µε OR=16/5=3.2 συνεπώς «η συµπληρωµατική πιθανότητα επιβίωσης για την οµάδα/θεραπεία Α είναι (περίπου) τριπλάσια της αντίστοιχης συµπληρωµατικής πιθανότητας για την οµάδα Β». Επιπλέον Var(logOR)=1/5+1/16= ενώ το 95% Ε για το Var(log OR) δίνεται από τον τύπο Υπολογισµός ΛΣΠ στο Παράδειγµα 1 (ή εναλλακτικά) «η συµπληρωµατική πιθανότητα θανάτου για την οµάδα/θεραπεία Α είναι περίπου 70% µικρότερη της αντίστοιχης συµπληρωµατικής πιθανότητας για την οµάδα Β». Το Ε για την ποσότητα αυτή είναι ίσο µε Υπολογισµός ΛΣΠ στο Παράδειγµα 1 και το 95% Ε για το ΟR δίνεται από τον τύπο Παρόµοια είναι η διαδικασία αν πάρουµε τον αντίστροφο ΛΣΠ. Συνεπώς =5/16= «η συµπληρωµατική πιθανότητα επιβίωσης για την οµάδα/θεραπεία Β είναι περίπου 70% µικρότερη της αντίστοιχης συµπληρωµατικής πιθανότητας για την οµάδα Α» 86 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 43 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 44

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 20062007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 9 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. StatXact. ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ StatXact

StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. StatXact. ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ StatXact ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική Επιδηµιολογία

Κλινική Επιδηµιολογία Κλινική Επιδηµιολογία Ρυθµιστικοί παράγοντες Συγχυτικοί παράγοντες Ενδιάµεσοι παράγοντες Πρέπει να πιστέψουµε τις µετρήσεις µας; Κάπνισµα Καρκίνος Πνεύµονα OR = 9.1 Πραγµατική σχέση αιτιολογική µη-αιτιολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 42 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ 1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson Έλεγχος Ανεξαρτησίας x του Parso Έστω ότι λαμβάνουμε δείγμα μεγέθους. Η πιθανότητα π εμφάνισης ενός χαρακτηριστικού να βρεθεί στο κελί (i,j) κάτω από την υπόθεση Η 0 της ανεξαρτησίας δίνεται από την σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables) Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

(Confounders) Δύο κύρια θέματα. Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες

(Confounders) Δύο κύρια θέματα. Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες Κάπνισμα = 11,6 Καρκίνος παγκρέατος Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και διερεύνηση επιδημιών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ. Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ

Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ. Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ Αναλογία Λόγος Πηλίκο Αναλογία Proportion Αναλογία (Proportion) Ο αριθµητής ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΤΑΙ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΣ στον παρανοµαστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

Τροποποιητές - Διαστρωμάτωση

Τροποποιητές - Διαστρωμάτωση DEPARTMENT OF HYGIENE AND EPIDEMIOLOGY Τροποποιητές - Διαστρωμάτωση Κώστας Τσιλίδης, tsilidi@cc.uoi.gr http://users.uoi.gr/tsilidi/teaching Ιωαννίδης: κεφάλαιο 7: 118-120, κεφάλαιο 9: 139-143 Ahlbom: κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: το στατιστικό κριτήριο χ 2. Προϋποθέσεις για τη χρήση του τεστ. ιαφορές ή συσχέτιση.

Κεφάλαιο 16. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: το στατιστικό κριτήριο χ 2. Προϋποθέσεις για τη χρήση του τεστ. ιαφορές ή συσχέτιση. Κεφάλαιο 16 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: το στατιστικό κριτήριο χ 1 Προϋποθέσεις για τη χρήση του τεστ ιαφορές ή συσχέτιση Κλίµακα µέτρησης Σχεδιασµός Σηµείωση ιαφορές Κατηγορική Ανεξάρτητα δείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ 4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED RANDOM SAMPLING) Στην τυχαία δειγµατοληψία κατά στρώµατα ο πληθυσµός των Ν µονάδων (πρόκειται για τον στατιστικό πληθυσµό και τις στατιστικές µονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

1.Γ.2 Αποτελέσµατα ΜΕΡΟΣ Γ: Ο ΠΟΛΕΜΟΣ ΣΤΟ ΙΡΑΚ Γ.1 Εισαγωγή...196

1.Γ.2 Αποτελέσµατα ΜΕΡΟΣ Γ: Ο ΠΟΛΕΜΟΣ ΣΤΟ ΙΡΑΚ Γ.1 Εισαγωγή...196 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο...188 ΜΕΡΟΣ Α: Η ΚΡΙΣΗ ΣΤΟ ΙΡΑΚ...188 1.Α.1 Εισαγωγή...188 1.Α.2 Αποτελέσµατα...188 ΜΕΡΟΣ Β: Η ΣΥΝΟ ΟΣ ΚΟΡΥΦΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΙΡΑΚ...194 1.Β.1 Εισαγωγή...194 1.Β.2

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 Πρόλογος... xv Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 1.1.Ιστορική Αναδρομή... 1 1.2.Βασικές Έννοιες... 5 1.3.Πλαίσιο ειγματοληψίας (Sampling Frame)... 9 1.4.Κατηγορίες Ιατρικών Μελετών.... 11 1.4.1.Πειραµατικές

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας

Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας Ο όρος συνάφεια προέρχεται από τον Pearso (1904) όπου ορίζεται για ένα πίνακα IJ ως ένα μέτρο της συνολικής απόκλισης της ταξινόμησης από την ανεξάρτητη πιθανότητα. Από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι Επιδηµιολογία;

Τι είναι Επιδηµιολογία; ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Τι είναι Επιδηµιολογία; ΜΑΘΗΜΑ 2 ΕΙ ΙΚΕΣ ΙΑΤΡΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΗΜΙΟΛΟΓΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ Ως Επιδηµιολογία ορίζουµε την Επιστήµη που µελετάει την κατανοµή και της εξέλιξη διαφόρων νοσηµάτων ή χαρακτηριστικών

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i)

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i) Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιανουαρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική 7..8. [] Ο ανθρώπινος οργανισμός χρειάζεται καθημερινά από έως 6 mg (mllgrams) καλίου. Η ποσότητα καλίου που περιέχεται στα τρόφιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία vs. συστηµατικά σφάλµατα (random vs. systematic errors)

Τυχαία vs. συστηµατικά σφάλµατα (random vs. systematic errors) Τυχαία vs. συστηµατικά σφάλµατα (random vs. systematic errors) Εσωτερική & εξωτερική εγκυρότητα Εσωτερική εγκυρότητα Σχεδιασµός της µελέτης Εξωτερική εγκυρότητα (δυνατότητα γενίκευσης) Πολύ επιλεγµένος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο των επιδημιολογικών μελετών

Αντικείμενο των επιδημιολογικών μελετών Αντικείμενο των επιδημιολογικών μελετών Ο μεγάλος δρόμος για την εύρεση αιτιακών σχέσεων είναι γεμάτος σφάλματα Αιτιακή σχέση Τυχαίο σφάλμα Συγχυτές Συστηματικό σφάλμα επιλογής Συστηματικό σφάλμα Συστηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα . ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα ξεκίνησε τον 7 ο αιώνα. Το κλειδί σ αυτή την εξέλιξη υπήρξε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ορεστιάδα 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Παράγωγες κατανοµές

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας Β. Περιθώριοι µέσοι παράγοντα Β

Παράγοντας Β. Περιθώριοι µέσοι παράγοντα Β Παραγοντικά Πειράµατα Fctoril Design Τα παραγοντικά πειράµατα αναλύουν την επίδραση δύο ή περισσοτέρων παραγόντων στην εξαρτηµένη µεταβλητή. Τα πλεονεκτήµατα που παρουσιάζουν έναντι των άλλων µεθόδών που

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΔΥΟ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΑΡΞΗΣ Ή ΟΧΙ ΣΧΕΣΗΣ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΦΥΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ CROSSTABS ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Ο πίνακας συνάφειας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Πολλαπλές συγκρίσεις Στην ανάλυση διακύμανσης ελέγχουμε την ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α Κάθε µια από τις παρακάτω φράσεις (1α, 1β, 1γ, 2α κτλ) µπορεί να είναι σωστή ή λανθασµένη. Ποιες είναι σωστές και ποιες όχι;

ΜΕΡΟΣ Α Κάθε µια από τις παρακάτω φράσεις (1α, 1β, 1γ, 2α κτλ) µπορεί να είναι σωστή ή λανθασµένη. Ποιες είναι σωστές και ποιες όχι; 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. ΣΚΟΠΟΣ στο τέλος της ενότητας είναι να γνωρίζετε - Τι είναι η «δειγµατοληπτική κατανοµή» π.χ. της µέσης τιµής - τι είναι και σε τι χρησιµεύει το «τυπικό σφάλµα της µέσης

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Ερώτηση. Ποιο μέτρο συχνότητας υπολογίστηκε;

Ερώτηση. Ποιο μέτρο συχνότητας υπολογίστηκε; Ερώτηση Σε μια συγχρονική μελέτη μετρήθηκε ο δείκτης μάζας σώματος 5000 αγοριών και 5500 κοριτσιών ηλικίας 14-17 ετών. Το 15% των αγοριών και το 8% των κοριτσιών ήταν υπέρβαρα. Ποιο μέτρο συχνότητας υπολογίστηκε;

Διαβάστε περισσότερα

Aιτιότητα. Ιωάννα Τζουλάκη

Aιτιότητα. Ιωάννα Τζουλάκη Aιτιότητα Ιωάννα Τζουλάκη Αιτιότητα Αναλυτική επιδημιολογία: έλεγχο υποθέσεων Συσχέτιση έκθεσης σε κάποιο παράγοντα και εμφάνιση της νόσου Συσχέτιση (στατιστική) δεν συνεπάγεται την σχέση αίτιου αποτελέσματος

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο των επιδημιολογικών μελετών

Αντικείμενο των επιδημιολογικών μελετών Αντικείμενο των επιδημιολογικών μελετών Εάν το αντικείμενο μιας μελέτης είναι ο υπολογισμός του λόγου των επιπτώσεων-πυκνοτήτων του καρκίνου του πνεύμονα στους καπνιστές σε σχέση με τους μη καπνιστές,

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία

Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία Ιωάννης Ντζούφρας Τµήµα Στατιστικής Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Άρης Περπέρογλου Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων Βασίλης Αγγελής Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Λύση. Επίπτωση-πυκνότητα κ+ =ID κ+ 0,05 (έτη) -1. Επίπτωση-πυκνότητα κ- =ID κ- 0,01 (έτη) -1. ID κ+ - ID κ- 0,05-0,01=0,04 (έτη) -1

Λύση. Επίπτωση-πυκνότητα κ+ =ID κ+ 0,05 (έτη) -1. Επίπτωση-πυκνότητα κ- =ID κ- 0,01 (έτη) -1. ID κ+ - ID κ- 0,05-0,01=0,04 (έτη) -1 Άσκηση Σ έναν μελετώμενο πληθυσμό καπνιστών και μη καπνιστών διερευνήθηκε η σχέση μεταξύ καπνιστικής συνήθειας και συχνότητας εμφάνισης καρκίνου του πνεύμονα. Η επίπτωση-πυκνότητα μεταξύ των καπνιστών

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτες ασθενών οµάδας ελέγχου

Μελέτες ασθενών οµάδας ελέγχου Μελέτες ασθενών οµάδας ελέγχου Μελέτες ασθενών οµάδας ελέγχου ως µέθοδος αναπτύχθηκε στις αρχές του 50 διερεύνηση παραγόντων κινδύνου σε ασθένειες µε µακρά λανθάνουσα περίοδο, όπου οι µελέτες κοόρτης δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική Επιδηµιολογία. Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση

Κλινική Επιδηµιολογία. Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση Κλινική Επιδηµιολογία Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση Σύγκριση µεταξύ διαφορετικών πληθυσµών ως προς την έκθεση (exposure) Σύγκριση της κατανοµής της συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια διαφορετική κατανοµή των λυκείων µπορούµε να πάρουµε αν µελετήσουµε την κατηγορία του λυκείου ανάλογα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα