Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα"

Transcript

1 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ , 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 2x2xk2 xk 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα Έλεγχος σχέση δίτιµων µεταβλητών σε δυο εξαρτηµένα δειγµάτα (ή ζευγαρωτών τιµών). Τέτοια δείγµατα εµφανίζονται συχνά στην Ιατρική έρευνα λόγω τη εξοµοίωσης (matching) των ασθενών και των µαρτύρων σύµφωνα µε κάποιους σηµαντικούς συγχυτικούς παράγοντες (συνήθως ηλικία και φύλο). 1 3 Περιεχόµενα 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες A. Ανάλυση µεταβλητών για 2 εξαρτηµένα δείγµατα (Έλεγχος McNemar, δείκτης συµφωνίας κάπα) B. Συγχυτικοί παράγοντες και στρωµατοποίηση C. Έλεγχος ανεξαρτησίας Mantel-Haenzel για κάθε επίπεδο συγχυτικού παράγοντα D. ιαφοροποίηση επιδράσεων και έλεγχος οµοιογένειας ΛΣΠ E. Εκτιµητής Mantel-Haenzel κοινού ΛΣΠ για τα επίπεδα ενός συγχυτικού παράγοντα F. Εκτίµηση ΛΣΠ σε εξαρτηµένα δείγµατα 2 Σύγκριση δύο χηµειοθεραπειών για την αντιµετώπιση του καρκίνου του µαστού στις γυναίκες. Οι δύο οµάδες θεραπείας πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο όµοιες όσον αφορά τους παράγοντες κινδύνου. Για να επιτευχθεί αυτό εξοµοιώνουµε (ταιριάζουµε) τις δύο οµάδες ανάλογα µε την ηλικία (σε οµάδες εύρους 5 ετών) και την κλινική κατάσταση. Σε κάθε ασθενή της 1ης οµάδας θεραπείας αντιστοιχεί ένας ασθενής της 2ης οµάδας στην ίδια ηλικιακή κατηγορία και κλινική κατάσταση. Οι ασθενείς παρακολουθούνται για 5 έτη Μεταβλητή απόκρισης = η επιβίωσή τους στο τέλος των 5 ετών (ΝΑΙ/ΟΧΙ). 4 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 1 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 2

2 1.3 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες Αν δε λάβουµε υπόψη την εξοµοίωση τότε θα προκύψει ο ακόλουθος πίνακας: Πίνακας 1: εδοµένα καρκίνου του µαστού Παραδείγµατος 1(Rosner 1994, p 377) ΘΕΡΑΠΕΙΑ 1: Α 2: Β Περ Κατ Υ ΕΠΙΒΙΩΣΗ ΣΤΑ 5 ΕΤΗ 1: Ναι : Όχι Περ Κατ Χ Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες Οι µεταβλητές που θα χρησιµοποιήσουµε στον πίνακα θα είναι οι συνδυασµοί της επιβίωσης για τις δύο θεραπείες. Έτσι τα δυνατά αποτελέσµατα θα είναι τέσσερα: 1. επιβίωση των ασθενών και στις δύο θεραπείες, 2. κατάληξη και στις δύο θεραπείες, 3. επιβίωση στη θεραπεία Α αλλά όχι στη Β και 4. επιβίωση στη θεραπεία Β αλλά όχι στη Α Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες 1.6 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες Pearson s χ 2 => µη στατιστικά σηµαντική σχέση (σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%) µεταξύ επιβίωσης και θεραπείας (p-value = 0.44) OR = 1.14 Στην παραπάνω ανάλυση δε λάβαµε υπόψη ότι η δειγµατοληψία είναι εξαρτηµένη (ζεύγη παρατηρήσεων µε παρόµοια χαρακτηριστικά) Για να κάνουµε σωστή ανάλυση πρέπει να λάβουµε ως µονάδα µελέτης το εξοµοιωµένο ζευγάρι των ασθενών =>µέγεθος δείγµατος: Λαµβάνοντας εποµένως υπόψη τα ζεύγη τιµών, προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας: Πίνακας 2: Ζεύγη τιµών από δεδοµένα καρκίνου του µαστού Παραδείγµατος 1 (Rosner 1994, p 377) ΘΕΡΑΠΕΙΑ Α ΕΠΙΒΙΩΣΗ 1: Ναι 2: Όχι Περ Κατ Υ 2 ΘΕΡΑΠΕΙΑ Β ΕΠΙΒΙΩΣΗ ΣΤΑ 5 ΕΤΗ 1: Ναι : Οχι Περ Κατ Υ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 3 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 4

3 1.7 Στόχος ανάλυσης 1.9 ιατύπωση υπόθεσης ελέγχου Μας ενδιαφέρει το ποσοστό επιβίωσης των δύο οµάδων/θεραπειών να είναι ίσο. ηλαδή: P(Επιβίωση ασθενών Θεραπείας Α) = P(Επιβίωση ασθενών Θεραπείας Β) π 1. =π.1 n 12 =n 21 Συνεπώς, σε ένα 2 x 2 πίνακα συνάφειας, στην ουσία συγκρίνουµε τις συχνότητες της 2ης διαγωνίου του που δείχνουν την ασυµφωνία των ζευγαριών ως προς τη µεταβλητή απόκρισης. Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση Η 0 : p=1/2 vs. Η 1 : p ½, µε p = η πιθανότητα το δυσαρµονικό ζευγάρι να είναι τύπου Α (δηλαδή το άτοµο της θεραπείας Α του ζεύγους τιµών να έχει το γεγονός, ενώ το αντίστοιχο άτοµο της θεραπείας Β να µην έχει το γεγονός) Ορισµοί Αρµονικό ζευγάρι (concordant pair) σε µία εξοµοιωµένη µελέτη είναι το ζεύγος των παρατηρήσεων όπου το αποτέλεσµα (δηλαδή η µεταβλητή απόκρισης) είναι το ίδιο και για τα δυο άτοµα του ζεύγους. υσαρµονικό ζευγάρι (disconcordant pair) σε µία εξοµοιωµένη µελέτη είναι το ζεύγος των παρατηρήσεων όπου το αποτέλεσµα (δηλαδή η µεταβλητή απόκρισης) διαφέρει για τα δυο άτοµα του ζεύγους. Εναλλακτικές ονοµασίες: «συµφωνούντα» και «διαφωνούντα» ζεύγη αντίστοιχα ιατύπωση υπόθεσης ελέγχου Αν η H 0 ισχύει τότε n 21 ~ Binomial(1/2, n D ) Όπου n D ο αριθµός των δυσαρµονικών ζευγαριών Συνεπώς Ε(n 21 ) = n D /2 και V(n 21 ) = n D /4. Υπό την προϋπόθεση ότι npq>= 5 δηλαδή n D >=20 µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την κανονική προσέγγιση, οπότε: 12 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 5 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 6

4 1.11 Έλεγχος McNemar Υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει ο έλεγχος McNemar που χρησιµοποιεί τη συνάρτηση ελέγχου: όπου n D είναι το σύνολο των δυσαρµονικών ζευγαριών δηλαδή n D =n 12 +n 21 Σε µερικές περιπτώσεις για λόγους διόρθωσης χρησιµοποιείται και ο τύπος: (1.1) (1.2) Εφαρµογή ελέγχου McNemar 2. Υπολογίζουµε τη παρατηρούµενη συνάρτηση ελέγχου του McNemara χ 2 obs από τον τύπο (1.1) ή (1.2). Απορρίπτουµε την H 0 : «ποσοστό εµφάνισης νόσου είναι το ίδιο στις δύο οµάδες» αν χ 2 obs > χ 2 1, 1-a. Εναλλακτικά υπολογίζουµε το p-value = P( X 2 >= χ 2 obs) και απορρίπτουµε την µηδενική υπόθεση αν p-value<a. Σηµείωση: ο παραπάνω ασυµπτωτικός έλεγχος ισχύει για n D >= Εφαρµογή ελέγχου McNemar 1.14 Αποτελέσµατα παραδείγµατος 1 Η διαδικασία εφαρµογής του ελέγχου McNemar µπορεί να περιγραφεί από τα ακόλουθα βήµατα: 1. Κατασκευάζουµε τον 2x2 πίνακα συνάφειας για τα ζεύγη των εξοµοιωµένων παρατηρήσεων. Γραµµές => το αποτέλεσµα (µεταβλητή απόκρισης) των ασθενών που ακολουθούσαν την θεραπεία Α. Στήλες => το αποτέλεσµα των ασθενών που ακολούθησαν την θεραπεία Β. Εφόσον ο αριθµός των δυσαρµονικών ζευγών n D =16+5=21>=20 µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την παραπάνω διαδικασία οπότε: συνεπώς απορρίπτουµε την υπόθεση ότι οι δύο θεραπείες είναι ίδιες ΠΡΟΣΟΧΗ: υποθέτοντας ανεξάρτητα δείγµατα είχαµε καταλήξει σε διαφορετικό αποτέλεσµα ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 7 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 8

5 1.15 Αποτελέσµατα παραδείγµατος 1 Αν θέλουµε να υπολογίζουµε το p-value τότε Για n D <20 θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τον ακριβή έλεγχο ο οποίος βασίζεται στη ιωνυµική κατανοµή. Έτσι το p-value υπολογίζεται από τον τύπο: 2. 2 είκτης συµφωνίας κάπα Στις περιπτώσεις αυτές συµπεριλαµβάνουµε την επαναλαµβανόµενη µέτρηση µιας κατηγορικής µεταβλητής σε σύντοµο χρονικό διάστηµα. Άλλη περίπτωση είναι αυτή που θέλουµε να ελέγξουµε την αξιοπιστία µιας µέτρησης µε µηχάνηµα σε σχέση µε µια µέτρηση αναφοράς εµπιστευόµαστε (π.χ. ηλεκτρονικό µηχάνηµα µέτρησης αρτηριακής πίεσης και µέτρηση πίεσης από Ιατρό) ή τη συµφωνία δύο εξεταστών, βαθµολογητών ή Ιατρών είκτης συµφωνίας κάπα (kappa) 2.3 είκτης συµφωνίας κάπα Στην προηγούµενη ενότητα ελέγξαµε τη σχέση µεταξύ δύο δίτιµων µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα (εξοµοιωµένα ζευγάρια). Σε µερικές περιπτώσεις ξέρουµε εκ των προτέρων ότι υπάρχει σχέση µεταξύ των µεταβλητών οπότε στόχος είναι να ποσοτικοποιήσουµετο βαθµό της συµφωνίας. Αυτό κυρίως συµβαίνει στις µελέτες αξιοπιστίας µετρήσεων (reliability studies) όπου σκοπός είναι να µετρήσουµε την αναπαραγωγισιµότητα ή επαναληπτότητα µιας µεταβλητής (reproducibility & reliability). 18 Τα δεδοµένα όλων των παραπάνω περιπτώσεων συνοψίζονται σε ΙxI πίνακες (οι δύο µετρήσεις έχουν τον ίδιο αριθµό επιπέδων αφού µετρούν το ίδιο χαρακτηριστικό), ενώ µας ενδιαφέρει το ποσοστό συµφωνίας π ο = i ii το οποίο εκτιµάται από το παρατηρούµενο ποσοστό συµφωνίας p o = I i = nii / n 1 I = 1 π 20 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 9 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 10

6 2.4 είκτης συµφωνίας κάπα 2.6 είκτης συµφωνίας κάπα Υπό την υπόθεση της ανεξαρτησίας των δύο µετρήσεων (συνεπώς πλήρη έλλειψη αναπαραγωγισιµότητας) αναµένουµε ποσοστό συµφωνίας ίσο µε I π e = = π i i π 1 i. ο οποίος δίνεται στο δείγµα από την ποσότητα I 2 p e = n n n i = 1 i i. δηλαδή το άθροισµα των αναµενόµενων κελιών συµφωνίας. Έτσι µπορούµε να διαιρέσουµε µε το max(π o -π e )=1-π e εφόσον η καλύτερη δυνατή περίπτωση είναι π o =1 όταν έχουµε πλήρη συµφωνία και προκύπτει ο δείκτης συµφωνίας Κάπα του Cohen (1960): είκτης συµφωνίας κάπα 2.7 είκτης συµφωνίας κάπα Αυτή η αναλογία συµφωνίας οφείλεται σε τυχαίους παράγοντες και για το λόγο αυτό µπορεί να θεωρηθεί ως σηµείο αναφοράς και σύγκρισης. Άρα ένα µέτρο συµφωνίας είναι η διαφορά π ο -π e όπου το µηδέν δείχνει µηδενική ή τυχαία αναπαραγωγισιµότητα. Εµείς όµως θα επιθυµούσαµε να είχαµε ένα µέτρο το οποίο να είναι φραγµένο και η ανώτατη τιµή του να υποδεικνύει πλήρη συµφωνία ή αναπαραγωγισιµότητα. 22 ο οποίος εκτιµάται από: Μέγιστη τιµή τιµή του kappa: 1 (πλήρη συµφωνία). Τιµή 0: όταν το παρατηρούµενο ποσοστό συµφωνίας είναι ίσο µε αυτό που αναµένουµε όταν υπάρχει ανεξαρτησία (άρα οφείλεται σε τυχαιότητα). Αρνητικές τιµές: εµφανίζονται όταν η παρατηρούµενη αναλογία συµφωνίας είναι µικρότερη της συµφωνίας που περιµένουµε λόγω της τυχαιότητας. Αρνητικές τιµές σύµφωνα τον Agresti (1990, σελ ) εµφανίζονται σπάνια στην πράξη. 24 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 11 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 12

7 2.8 είκτης συµφωνίας κάπα Η διακύµανση του παραπάνω εκτιµητή δίνεται από τον τύπο Παράδειγµα 2 Ερωτηµατολόγιο διατροφικής συχνότητας Μελέτες αξιοπιστίας: κυρίως στην Ψυχολογία/ Ψυχιατρική αλλά και στη διατροφική επιδηµιολογία (µετρήσεις από ερωτηµατολόγια). Στις µελέτες καταγραφής διατροφικών συνηθειών δίνεται ερωτηµατολόγιο διατροφικών συχνοτήτων (Food Frequency Questionaire) όπου ο ερωτώµενος καλείται να θυµηθεί και να καταγράψει ποια τρόφιµα κατανάλωσε τον τελευταίο µήνα ή χρόνο. Μεγάλο σφάλµα µέτρησης (λόγω προβληµατικής ανάκλησης πληροφορίας) Ασυµπτωµατικός έλεγχος για κάπα Ένας ασυµπτωτικός έλεγχος της υπόθεσης H 0 : κ=0 έναντι της εναλλακτικής H 1 : κ>0 µπορεί να γίνει χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση ελέγχου η οποία ακολουθεί ασυµπτωτικά τη Ν(0,1) κατανοµή όταν η H 0 ισχύει. Σηµείωση: µας ενδιαφέρει ο µονόπλευρος έλεγχος αφού οι αρνητικές τιµές δεν έχουν αξιόλογη ερµηνεία και συνήθως λαµβάνονται ως έλλειψη συµφωνίας και επαναληπτότητας Παράδειγµα 2- συνέχεια Στο παράδειγµα που ακολουθεί ερωτήθηκαν 537 γυναίκες για το εάν καταναλώνουν περισσότερες της µιας µερίδας µοσχαρίσιο κρέας ανά εβδοµάδα. Οι µετρήσεις έγιναν δύο φορές µε απόσταση µερικών µηνών. Τα αποτελέσµατα δίνονται στον Πίνακα που ακολουθεί. 28 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 13 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 14

8 2.12 Παράδειγµα 2 συνέχεια 2.14 Αποτελέσµατα παραδείγµατος 2 Πίνακας 3: Επαναλαµβανόµενες µετρήσεις σε ερωτηµατολόγιο διατροφικής συχνότητας Παραδείγµατος 2 Υ1: Πρώτη µέτρηση 1: <= 1 µερίδα/εβδ 2: > 1 µερ/εβδ Περ Κατ Υ 2 Υ2: εύτερη µέτρηση 1: <= 1 µερίδα/εβδ : > 1 µερ/εβδ Περ Κατ Υ Υπολογίζουµε το κάπα: p o = ( )/537 = 376/537 = 0.70 p e = 205 x 228/ x 309/537 2 = 0382 x x = ˆ κ = = se( ˆ) κ = => z= 0.378/0.040=8.799>1.65 => απορρίπτουµε Η 0 (κ=0) έλλειψης αναπαραγωγισιµότητας Ερώτηµα παραδείγµατος Συµπεράσµατα παραδείγµατος 2 Το ερώτηµα που µας ενδιαφέρει να απαντήσουµε είναι αν υπάρχει αναπαραγωγισιµότητα; δηλαδή αν το FFQ που δίδεται έχει τη δυνατότητα να αντλήσει τις ίδιες πληροφορίες από τα ίδια άτοµα σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγµές. Στο παραπάνω παράδειγµα είδαµε ότι δεν απορρίψαµε τη µηδενική υπόθεση, εποµένως υπάρχει κάποια αναπαραγωγισιµότητα ή συµφωνία άλλα αυτό δε σηµαίνει ότι είναι υψηλή. Γενικά η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται για σχετικά χαµηλές τιµές του κˆ ειδικά για µεγάλα δείγµατα (ανάλογη είναι η περίπτωση του δείκτη γραµµικής συσχέτισης του Pearson και του αντίστοιχου ελέγχου για ρ=0) ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 15 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 16

9 2.16 Εµπειρικός πίνακας για τιµές κ 2.18 ιαφορές κάπα από McNemar Για τον λόγο αυτό οι Landis & Koch (1977) δίνουν έναν εµπειρικό πίνακα για τις τιµές του κ: 1. Αν κˆ >0.75 τότε έχουµε έξοχη αναπαραγωγισιµότητα και επαναληπτότητα (ή υψηλή συµφωνία) <= κˆ <= 0.75 τότε έχουµε καλή αναπαραγωγισιµότητα και επαναληπτότητα (ή ικανοποιητική συµφωνία). 3. Αν 0 <= κˆ < 0.4 τότε έχουµε οριακή αναπαραγωγισιµότητα και επαναληπτότητα (ή χαµηλή συµφωνία). 33 ιαφορές µεταξύ της δοκιµασίας McNemar και του δείκτη κάπα: Σκοπός της δοκιµασίας McNemar: να ελέγξει αν οι περιθωριακές κατανοµές είναι ίσες. Έτσι σε 2x2 πίνακες που προκύπτουν από εξοµοιωµένα ζεύγη µε διαφορετική θεραπεία σε σχέση µε την επιβίωση, µας ενδιαφέρει αν η πιθανότητα επιβίωσης είναι η ίδια για τις δύο θεραπείες Χρήση είκτη κ 2.19 ιαφορές κάπα από McNemar Σύµφωνα µε τον Rosner (1994, σελ. 426) ο δείκτης κάπα θα πρέπει να προτιµάται για τη µέτρηση της αξιοπιστίας µιας µεταβλητής ή ερωτήµατος άρα όταν έχουµε επαναλαµβανόµενες µετρήσεις της ίδιας κατηγορικής µεταβλητής. Στις περιπτώσεις σύγκρισης µιας µέτρησης µε µία µέτρηση αναφοράς προτείνει τη χρήση της ειδικότητας και ευαισθησίας. Αντίθετα ο δείκτης κάπα κρίνει κατά πόσο τα αποτελέσµατα των δύο θεραπειών σχετίζονται-συµφωνούν µεταξύ τους. αναφέρεται κυρίως στην εκ-των-προτέρων γνωστή εξάρτηση των δειγµάτων λόγω εξοµοίωσης ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 17 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 18

10 2.19 ιαφορές κάπα από McNemar 3.1 Συγχυτικοί παράγοντες Συχνά έχουµε µεγάλο ποσοστό συµφωνίας (λόγω εξοµοίωσης) αλλά και στατιστικά σηµαντική διαφοροποίηση ως προς την αποτελεσµατικότητα της κάθε θεραπείας (σκεφτείτε κατά αναλογία τη σχέση του δείκτη συσχέτισης του Pearson και του t-test ανά ζεύγη: υψηλή συσχέτιση δε σηµαίνει και ίσους µέσους). Συγχυτικός Παράγοντας (Confounding factor) είναι µία µεταβλητή που σχετίζεται και µε την ασθένεια αλλά και µε τον παράγοντα κινδύνου που εξετάζουµε. Οι συγχυτικοί παράγοντες πρέπει να λαµβάνονται υπόψη πριν τον έλεγχο της σχέσης «ασθένεια - παράγοντας κινδύνου» ιαφορές κάπα από McNemar Επίσης άλλη βασική διαφορά είναι τα κελιά από τα οποία αντλεί πληροφορία η κάθε διαδικασία: McNemar βασίζεται στα µη-διαγώνια στοιχεία (δυσαρµονικά ζεύγη τιµών) ενώ είκτης κάπα βασίζεται στα διαγώνια στοιχεία (αρµονικά ζεύγη τιµών). 3.2 Αδρανοποίηση Συγχυτικού παράγοντα Η αδρανοποίηση (ή ο έλεγχος) ενός συγχυτικού παράγοντα µπορεί να γίνει: 1. µέσω του σχεδιασµού του πειράµατος µε εξοµοίωση (matching), 2. µε τυποποίηση ή προτυποποίηση (standardization) των αποτελεσµάτων ως προς το συγχυτικό παράγοντα, 3. µε ειδική στατιστική ανάλυση ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 19 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 20

11 3.3 Αδρανοποίηση συγχυτικού παράγοντα 3.5 Στρωµατοποιηµένη ανάλυση (ορισµοί) Η αδρανοποίηση των επιδράσεων ενός συγχυτικού παράγοντα ονοµάζεται έλεγχος του συγχυτικού παράγοντα (controlling for a confounding factor), ενώ για τα αποτελέσµατα λέµε ότι είναι διορθωµένα ως προς τον συγχυτικό παράγοντα (confounder adjusted results) 41 Θετικός Συγχυτικός Παράγοντας (Positive confounder) είναι ένας συγχυτικός παράγοντας θετικά (ή αρνητικά) συσχετισµένος και µε τη νόσο και µε τον παράγοντα κινδύνου. Αρνητικός Συγχυτικός Παράγοντας (Negative confounder) είναι ένας συγχυτικός παράγοντας που ικανοποιεί µία από τις ακόλουθες συνθήκες: 1. Είναι θετικά συσχετισµένος µε τη νόσο και αρνητικά µε τον παράγοντα κινδύνου. 2. Είναι αρνητικά συσχετισµένος µε τη νόσο και ικά µε τον παράγοντα κινδύνου Στρωµατοποιηµένη ανάλυση (ορισµοί) Η µελέτη της σχέσης ασθένειας - παράγοντα κινδύνου για διαφορετικές οµάδες δεδοµένων (συνήθως επίπεδα ενός ή περισσοτέρων συγχυτικών παραγόντων) ονοµάζεται στρωµατοποίηση ή στρωµατοποιηµένη ανάλυση (stratification ή stratified analysis). 3.6 Αιτιολογική δίοδος Ένας συγχυτικός παράγοντας ονοµάζεται αιτιολογική δίοδος (causal pathway) αν ο παράγοντας κινδύνου επηρεάζει το συγχυτικό παράγοντα και αυτός µε τη σειρά του τη νόσο ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 21 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 22

12 3.7 Παράδειγµα 3 καρκίνος πνεύµονα και αλκοόλ 3.9 Στατιστική ανάλυση παραδείγµατος 3 Παράδειγµα 3: Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να µελετήσουµε τη σχέση µεταξύ καρκίνου του πνεύµονα και υψηλής κατανάλωσης αλκοόλ (ορισµένης ως µεγαλύτερης ή ίσης των δύο ποτών ηµερησίως). Τα αποτελέσµατα µιας προοπτικής µελέτης δίνονται στον ακόλουθο Πίνακα Εφόσον πρόκειται για σπάνια ασθένεια µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το ΛΣΠ ως µέτρο σχετικού κινδύνου. O ΛΣΠ είναι ίσος µε 1.667, στατιστικά σηµαντικός σε επίπεδο σηµαντικότητας α=10% (ακριβής χ 2 ελέγχος p=0.065). Στην παραπάνω ανάλυση - σχέση όµως δε λάβαµε υπόψη µας ένα πολύ ισχυρό συγχυτικό παράγοντα: το κάπνισµα του ίδιου του ατόµου που εξετάζουµε εδοµένα παραδείγµατος Στρωµατοποιηµένη ανάλυση Πίνακας 4: εδοµένα Καρκίνου του Πνεύµονα Παραδείγµατος 3 (Rosner, 1994, σελ ). Χ: Καταναλ Αλκοόλ 1: >= 2 ποτών 2: < 2 ποτών Περ Κατ Υ Υ: Καρκίνος του πνεύµονα 1: ναι : όχι Περ Κατ Χ Έτσι λοιπόν η σωστή προσέγγιση είναι να κάνουµε στρωµατοποιηµένη ανάλυση ανάλογα µε το αν κάποιος καπνίζει ή όχι. Έτσι έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 23 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 24

13 3.11 Στρωµατοποιηµένα δεδοµένα παραδ Προτυποποίηση Πίνακας 5: Στρωµατοποιηµένα δεδοµένα ως προς κάπνισµα, καρκίνου του πνεύµονα Παραδείγµατος 3 (Rosner, 1994, σελ ). Χ: Καταναλ Αλκοόλ 1: >= 2 ποτών 2: < 2 ποτών Περ Κατ Υ Ζ: Καπνιστές (1) Υ: Καρκίνος πνεύµονα 1: ναι : όχι Περ Κατ Χ Ζ: Μη Καπνιστές (2) Υ: Καρκίνος πνεύµονα 1: ναι : όχι Περ Κατ Χ Προτυποποίηση: µέθοδος που χρησιµοποιείται για να κάνει τους δείκτες θνησιµότητας δύο πληθυσµών ή δειγµάτων συγκρίσιµους, λαµβάνοντας υπόψη κάποιους συγχυτικούς παράγοντες (πχ φύλο και ηλικία). Υπολογίζουµε το δείκτη (συνήθως την αναλογία) µίας νόσου υποθέτοντας ότι οι πληθυσµοί ή τα δείγµατα που συγκρίνουµε έχουν την ίδια κατανοµή ως προς το συγχυτικό παράγοντα Αποτελέσµατα από στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Αν υπολογίσουµε το ΛΣΠ στον κάθε ένα από τους δύο πίνακες θα βρούµε ότι είναι ίσοι µε 1 συνεπώς δεν υπάρχει σχέση µεταξύ των δύο υπό εξέταση µεταβλητών, δηλαδή της υψηλής κατανάλωσης αλκοόλ και καρκίνου του πνεύµονα κάπνισµα δρα ως συγχυτικός παράγοντας 4.2 Προτυποποίηση Αν p i είναι οι δειγµατικές αναλογίες εµφάνισης µιας νόσου για το i επίπεδο ενός συγχυτικού παράγοντα µε I επίπεδα τότε η τυποποιηµένη αναλογία της νόσου υπολογίζεται από τον τύπο Όπου n i* :ο συν. αριθµός ατόµων του πρότυπου πληθυσµού που ανήκουν στο i επίπεδο του συγχυτικού παράγοντα, n * :ο συν. αριθµός ατόµων του πρότυπου πληθυσµού και w i* =n i* / n * : αναλογία ατόµων του πρότυπου πληθυσµού που ανήκουν στο i επίπεδο του συγχυτικού παράγοντα ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 25 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 26

14 4.3 Προτυποποίηση 5.1 Παράδειγµα 4 Η τυποποιηµένη αναλογία p st µπορεί να ερµηνευτεί ως η αναλογία ατόµων που θα είχαν τη νόσο αν ο πληθυσµός µας είχε την ίδια κατανοµή του συγχυτικού παράγοντα όπως ο πρότυπος πληθυσµός (ή πληθυσµός αναφοράς). Ως πρότυπος πληθυσµός συνήθως λαµβάνεται ο πληθυσµός µίας χώρας στον οποίο πιθανώς ανήκουν οι υπό-σύγκριση πληθυσµοί ή απλά το άθροισµα των πληθυσµών που συγκρίνουµε. Ένας πιθανόςσυγχυτικόςπαράγοντας είναι το κάπνισµα του ίδιου του ατόµου που εξετάζουµε, αφού προφανώς συνδέεται µε τη νόσο αλλά και µε το κάπνισµα της συζύγου (άρα και το παθητικό κάπνισµα όπως ορίστηκε στη µελέτη αυτή). Τα δεδοµένα δίνονται στον ακόλουθο πίνακα Συµπερασµατολογία για στρωµατοποιηµένα κατηγορικά δεδοµένα Παράδειγµα 4: Μια µελέτη το 1985 εντόπισε 518 περιπτώσεις καρκίνου σε νοσοκοµεία των ΗΠΑ και 518 µάρτυρες µέσω ταχυδροµείου (βλ. Sandler et al, 1985, Amer J Epidem). Κύριος σκοπός της µελέτης ήταν η εξέταση του παθητικού καπνίσµατος στην εµφάνιση του καρκίνου του πνεύµονα. Το παθητικό κάπνισµα ορίστηκε ως «έκθεση στο κάπνισµα του/της συζύγου που κάπνιζε τουλάχιστον 1 τσιγάρο την ηµέρα για τους τελευταίους 6 µήνες» Στρωµατοποιηµένα δεδοµένα παραδείγµατος 4 Πίνακας 6: Στρωµ/µένα δεδοµένα ως προς κάπνισµα, µελέτης σχέσης παθητικού καπνίσµατος και καρκίνου του πνεύµονα παραδ.4 (Rosner, 1994, σελ ). Χ: Καρκίνος 1:Ασθενής 2: Μάρτυρας Περ Κατ Υ OR (95% CI) Ζ: Μη Καπνιστές (1) Υ: Παθ Καπνιστής 1: ναι (1.72, 2.47) 2: όχι Περ Κατ Χ Ζ: Καπνιστές (2) Υ: Παθ. Καπνιστής 1: ναι (0.95, 1.64) 2: όχι Περ Κατ Χ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 27 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 28

15 5.3 Ανάλυση παραδείγµατος 4 Από τον περιθωριακό πίνακα (αγνοώντας το ατοµικό κάπνισµα) ΛΣΠ=1.64 (95% Ε= ). Αντίθετα από τα στρωµατοποιηµένα δεδοµένα: στους καπνιστές η σχέση δεν είναι στατιστικά σηµαντική, ενώ αντίθετα για τους µη καπνιστές ο κίνδυνος είναι σηµαντικά αυξηµένος (περίπου διπλάσιος για τα άτοµα που εκτίθενται σε παθητικό κάπνισµα). 5.4 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων (2x2xK πίνακες) Γενικά στην ενότητα αυτή αναφερόµαστε σε 2x2xK πίνακες, όπου K είναι τα επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα για τον οποίο θέλουµε να διορθώσουµε/ ελέγξουµε τα αποτελέσµατα («να λάβουµε υπόψη µας»). Η υπό έλεγχο υπόθεση είναι: Η 0 : «ανεξαρτησία των µεταβλητών X και Y για όλα τα επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα Z», δηλαδή Η 0 : OR 1 =OR 2 =...=OR K = Ανάλυση παραδείγµατος 4 Ερώτηµα: πως θα συνδυάσουµε τους παραπάνω στρωµατοποιηµένους εκτιµητές σε έναν, που θα λαµβάνει υπόψη του και το συγχυτικό παράγοντα; 5.5 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων (2x2xK πίνακες)συνέχεια Για κάθε επίπεδο k έχουµε τον ακόλουθο πίνακα ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 29 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 30

16 5.6 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Υποθέτοντας σταθερές περιθώριες κατανοµές και ανεξαρτησία συνεπάγεται Όπου HyperGeometric (m, n, N) είναι η υπεργεωµετρική κατανοµή µε συνάρτηση πιθανότητας 5.8 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Αν ισχύει η H 0, o συνολικός αριθµός (αθροίζοντας ως προς το συγχυτικό παράγοντα) των κελιών 11 θα δίνεται ως και το οποίο θα πρέπει να συγκριθεί µε τη αντίστοιχη παρατηρούµενη ποσότητα Ο=n 11. = K = n k 1 11 k K Υπό την Η 0, Ε(Ο)=Ε και V(O)= = V ( n =. k k V 1 11 ) Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Με µέση τιµή Ε(Χ)= Νp = N και διακύµανση 5.9 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Κατασκευάζουµε τον έλεγχο Mantel-Haenszel µε τη χρήση της συνάρτησης ελέγχου: Συνεπώς, υπό την Η 0 έχουµε: ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 31 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 32

17 5.10 Ανάλυση παραδείγµατος 4 Με βάση τα παραπάνω, για το παράδειγµα 4 έχουµε: 6. ιαφοροποίηση Επιδράσεων (Effect Modification) Στον προηγούµενο έλεγχο εξετάσαµε την ύπαρξη ή όχι ανεξαρτησίας νόσου-παράγοντα κινδύνου για κάθε επίπεδο ενός συγχυτικού παράγοντα. Αν απορριφθεί η υπό-συνθήκη ανεξαρτησία νόσουπαράγοντα κινδύνου µας ενδιαφέρει να δούµε κατά πόσο η σχέση παραµένει ίδια για τα διάφορα επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα. Σε αυτή την ενότητα θα δούµε τη δοκιµασία για τον έλεγχο της οµοιογένειας των ΛΣΠ Συνεπώς 5.11 Συµπέρασµα παραδείγµατος 4 p-value= , άρα απορρίπτουµε την µηδενική υπόθεση και υπάρχει σχέση παθητικού καπνίσµατος και καρκίνου, ακόµα και αν ελέγξουµε/διορθώσουµε για το ατοµικό κάπνισµα (ή, αλλιώς, αν λάβουµε υπόψη µας το προσωπικό κάπνισµα). 6.1 ιαφοροποίηση Επιδράσεων Ορισµός Ορισµός: Αν η µορφή και η ισχύς της σχέσης νόσου-παράγοντα κινδύνου αλλάζει για διαφορετικά επίπεδα ενός συγχυτικού παράγοντα τότε υπάρχει αλληλεπίδραση παράγοντα κινδύνου και συγχυτικού παράγοντα πάνω στη νόσο ή αλλιώς διαφοροποίηση της επίδρασης του παράγοντα στη νόσο για διαφορετικά επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα (effect modification). Αυτός ο συγχυτικός παράγοντας ονοµάζεται διαφοροποιητής επιδράσεων (effect modifier) του παράγοντα κινδύνου στη νόσο ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 33 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 34

18 6.2 ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα Στο παράδειγµα 4 φαίνεται ότι το ατοµικό κάπνισµα διαφοροποιεί τις επιδράσεις του παθητικού καπνίσµατος στον καρκίνο εφόσον οι δύο ΛΣΠ απέχουν αρκετά µεταξύ τους 1.3 για τους καπνιστές και 2.1 για τους µη καπνιστές. Αν κάνουµε τον έλεγχο οµοιογένειας ΛΣΠ που ακολουθεί θα δούµε ότι η διαφορά είναι οριακά στατιστικά σηµαντική δηλαδή σηµαντική σε επίπεδο σηµαντικότητας 10% αλλά όχι σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. 69 Ο έλεγχος οµοιογένειας των ΛΣΠ χρησιµοποιεί τον ακόλουθο τύπο: ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα 6.5 ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα Ελέγχουµε την υπόθεση H 0 : OR 1 =OR 2 =...=OR K έναντι της εναλλακτικής H 1 : OR i OR j για κάποιο συνδυασµό επιπέδων i j του συγχυτικού παράγοντα. Εναλλακτικός τύπος είναι ο ακόλουθος ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 35 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 36

19 6.6 ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα Εφαρµόζοντας τον τελευταίο τύπο έχουµε: 6.8 Εκτίµηση κοινού ΛΣΠ για στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Όταν ο έλεγχος οµοιογένειας (ή ισότητας) των ΛΣΠ δεν απορριφθεί τότε µας ενδιαφέρει να εκτιµήσουµε τον κοινό ΛΣΠ λαµβάνοντας όµως υπόψη και το συγχυτικό παράγοντα. Αυτό γίνεται µε τον εκτιµητή κοινου ΛΣΠ των Mantel-Haenszel και δίνεται από τον τύπο Συνεπώς 6.7 Παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα 6.9 Εκτίµηση κοινού ΛΣΠ για στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Η διακύµανση του λογαρίθµου του παραπάνω εκτιµητή δίνεται από τον ακόλουθο τύπο Εφόσον δεν απορρίπτουµε την Η 0 ότι οι ΛΣΠ της σχέσης παθητικού καπνίσµατος και καρκίνου είναι ίσοι για τους καπνιστές και µη καπνιστές, σε επίπεδο σηµαντικότητας 5% ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 37 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 38

20 6.10 Εκτίµηση κοινού ΛΣΠ για στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Και φυσικά υπολογίζουµε ένα (1-α)100% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του ΛΣΠ από τον τύπο Ενώ για το ΛΣΠ δίνεται από το διάστηµα 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Υπάρχει άµεση σχέση της δοκιµασίας McNemar και της προσέγγισης των Mantel-Haenszel. Στις εξοµοιωµένες µελέτες έχουµε ζευγάρια ατόµων µε ίδια χαρακτηριστικά όσον αφορά τους συγχυτικούς παράγοντες. Άρα φανταστείτε τους 2 x 2 πίνακες που σχηµατίζονται για κάθε εξοµοιωµένο ζευγάρι δηλαδή k=1,2,,n, όπου n είναι το σύνολο των εξοµοιωµένων ζευγών Παράδειγµα 4, εκτίµηση κοινού ΛΣΠ 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Έτσι θα πρέπει να υπολογίσουµε 78 όπου Ν ijk είναι ο αριθµός των ατόµων σε κάθε ζευγάρι που αντιστοιχεί στο συνδυασµό i,j των µεταβλητών οµάδα/θεραπεία νόσος για το k εξοµοιωµένο ζευγάρι (χρησιµοποιούµε Ν ijk για τα δεδοµένα κάθε ζεύγους και n ij για τα δεδοµένα του συνολικού πίνακα των εξοµοιοµένων τιµών). 80 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 39 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 40

21 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Σε αυτή την περίπτωση έχουµε για τα ζευγάρια των ασθενών οµάδας/θεραπείας Α και Β τους ακόλουθους συνδυασµούς: έχουν τη νόσο και οι δύο ασθενείς (1,1), έχει τη νόσο µόνο ο Α ασθενής (1,2), έχει τη νόσο µόνο ο Β ασθενής (2,1) και κανένας από τους δύο δεν έχει τη νόσο (2,2). 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Από τον οποίο προκύπτει ότι: Όπου n ij είναι το πλήθος των ζευγών των ατόµων των οµάδων Α και Β µε αποτέλεσµα (νόσο) i και j αντίστοιχα. Συνεπώς Ενώ η διακύµανση του λογαρίθµου του παραπάνω εκτιµητή δίνεται από τον τύπο Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Έτσι έχουµε τον παρακάτω πίνακα 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Χρησιµοποιώντας τα παραπάνω µπορούµε να υπολογίσουµε 100(1-α)% διαστήµατα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του ΛΣΠ από τον τύπο και για το ΛΣΠ από τον τύπο ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 41 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 42

22 Υπολογισµός ΛΣΠ στο Παράδειγµα 1 Γυρίζοντας στο παράδειγµα 1, Πίνακα 2 βρίσκουµε ότι ο ΛΣΠ είναι ίσος µε OR=16/5=3.2 συνεπώς «η συµπληρωµατική πιθανότητα επιβίωσης για την οµάδα/θεραπεία Α είναι (περίπου) τριπλάσια της αντίστοιχης συµπληρωµατικής πιθανότητας για την οµάδα Β». Επιπλέον Var(logOR)=1/5+1/16= ενώ το 95% Ε για το Var(log OR) δίνεται από τον τύπο Υπολογισµός ΛΣΠ στο Παράδειγµα 1 (ή εναλλακτικά) «η συµπληρωµατική πιθανότητα θανάτου για την οµάδα/θεραπεία Α είναι περίπου 70% µικρότερη της αντίστοιχης συµπληρωµατικής πιθανότητας για την οµάδα Β». Το Ε για την ποσότητα αυτή είναι ίσο µε Υπολογισµός ΛΣΠ στο Παράδειγµα 1 και το 95% Ε για το ΟR δίνεται από τον τύπο Παρόµοια είναι η διαδικασία αν πάρουµε τον αντίστροφο ΛΣΠ. Συνεπώς =5/16= «η συµπληρωµατική πιθανότητα επιβίωσης για την οµάδα/θεραπεία Β είναι περίπου 70% µικρότερη της αντίστοιχης συµπληρωµατικής πιθανότητας για την οµάδα Α» 86 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 43 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 44

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 20062007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 9 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 42 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ 1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables) Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ. Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ

Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ. Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ Αναλογία Λόγος Πηλίκο Αναλογία Proportion Αναλογία (Proportion) Ο αριθµητής ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΤΑΙ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΣ στον παρανοµαστή

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

(Confounders) Δύο κύρια θέματα. Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες

(Confounders) Δύο κύρια θέματα. Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες Κάπνισμα = 11,6 Καρκίνος παγκρέατος Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και διερεύνηση επιδημιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι Επιδηµιολογία;

Τι είναι Επιδηµιολογία; ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Τι είναι Επιδηµιολογία; ΜΑΘΗΜΑ 2 ΕΙ ΙΚΕΣ ΙΑΤΡΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΗΜΙΟΛΟΓΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ Ως Επιδηµιολογία ορίζουµε την Επιστήµη που µελετάει την κατανοµή και της εξέλιξη διαφόρων νοσηµάτων ή χαρακτηριστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία

Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία Ιωάννης Ντζούφρας Τµήµα Στατιστικής Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Άρης Περπέρογλου Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πρότυπο Πρόγραµµα Master Εξάµηνο Σπουδών Κωδικός Τίτλος Μαθήµατος ιδακτικές Μονάδες 1 ο Εξάµηνο ΜΑΣ650 Μαθηµατική Στατιστική 10 ΜΑΣ655 ειγµατοληψία 10 ΜΑΣ658 Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα . ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα ξεκίνησε τον 7 ο αιώνα. Το κλειδί σ αυτή την εξέλιξη υπήρξε

Διαβάστε περισσότερα

Αιτιότητα και τυχαίο σφάλμα στις επιδημιολογικές μελέτες

Αιτιότητα και τυχαίο σφάλμα στις επιδημιολογικές μελέτες Αιτιότητα και τυχαίο σφάλμα στις επιδημιολογικές μελέτες Αιτιότητα Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και διερεύνηση επιδημιών ΕΣΔΥ ΚΕΕΛΠΝΟ, 2007 "Ευτυχισμένος είναι αυτός που κατόρθωσε

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτες ασθενών-μαρτύρων

Μελέτες ασθενών-μαρτύρων Μελέτες ασθενών-μαρτύρων Η πρώτη ΜΑΜ δημοσιεύθηκε το 1920 και αφορούσε τη σχέση καπνιστικής συνήθειας και επιθηλιώματος των χειλιών (μορφή καρκίνου του δέρματος) Το 1950, δημοσιεύθηκαν οι πρώτες 4 μελέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 3 ΙΙ. ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ. Σχολείο Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Συχνότητα Γυµνάσιο 773 37.93% Λύκειο 1006 49.36% ΤΕΕ 259 12.71%

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Βασίλης Βασδέκης - Στέλιος Ψαράκης Αθήνα 005 Πείραµα Είναι µια δοκιµή ή ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια Κεφάλαιο 7 Μη Παραµετρικά Κριτήρια Παραµετρικά Κριτήρια Τα παραµετρικά κριτήρια είναι στατιστικά κριτήρια που απαιτούν την ικανοποίηση συγκεκριµένων προϋποθέσεων είτε αναφορικά µε συγκεκριµένες παραµέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών Κεφάλαιο 8 Ο είκτης Συσχέτισης 1 Η έννοια της Αλληλεξάρτησης Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών ηλαδή, µας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 1 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 Β. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑ 1. Γενικά Έννοιες.. 2 2. Πρακτικός Οδηγός Ανάλυσης εδοµένων.. 4 α. Οδηγός Λύσεων στο πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Ας θεωρήσουμε ότι είναι γνωστό από στοιχεία της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας ότι οι τιμές χοληστερίνης στον πληθυσμό έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 4 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων

Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων Αθηνά Λινού Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ιατρική Σχολή, Πανεπιστήµιο Αθηνών Βασικές αρχές της θεωρίας των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Η δημιουργία και η πιλοτική εφαρμογή ενός πρωτοκόλλου αξιολόγησης νευρογενών διαταραχών κατάποσης.

Η δημιουργία και η πιλοτική εφαρμογή ενός πρωτοκόλλου αξιολόγησης νευρογενών διαταραχών κατάποσης. Α.Τ.Ε.Ι. ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΟΘΕΡΑΠΕΙΑΣ Η δημιουργία και η πιλοτική εφαρμογή ενός πρωτοκόλλου αξιολόγησης νευρογενών διαταραχών κατάποσης. Σπουδαστές: Κάτανα Ελευθερία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html ΑΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html Παίρνω στο ένα µου χέρι τα 2 kg σίδερο και στο άλλο τα 2 kg ξύλο. Αισθάνοµαι

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΚΧΑΡΩΔΗΣ ΔΙΑΒΗΤΗΣ και ΚΑΡΚΙΝΟΣ: συνύπαρξη ή αιτιολογική σχέση;

ΣΑΚΧΑΡΩΔΗΣ ΔΙΑΒΗΤΗΣ και ΚΑΡΚΙΝΟΣ: συνύπαρξη ή αιτιολογική σχέση; ΣΑΚΧΑΡΩΔΗΣ ΔΙΑΒΗΤΗΣ και ΚΑΡΚΙΝΟΣ: συνύπαρξη ή αιτιολογική σχέση; Δ. Καραγιάννη, Β. Κουρκούμπας, Δ. Μπαλτζής, Γ. Κοτρώνης, Ε. Κιντιράκη, Χ.Τρακατέλλη, Α. Παυλίδου, Μ. Σιών Γ Παθολογική Κλινική ΑΠΘ, ΓΠΝΘ

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Ένα Ερευνητικό Παράδειγμα Σκοπός της έρευνας ήταν να διαπιστωθεί εάν ο τρόπος αντίδρασης μιας γυναίκας απέναντι σε φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Διαστρωμάτωση Mantel-Haenszel test Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας επιδημιολογίας Λεπτοσπείρωση Πιο πολλά κρούσματα στις αγροτικές περιοχές; Πόσο επί τις εκατό του πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα