Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα"

Transcript

1 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ , 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 2x2xk2 xk 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα Έλεγχος σχέση δίτιµων µεταβλητών σε δυο εξαρτηµένα δειγµάτα (ή ζευγαρωτών τιµών). Τέτοια δείγµατα εµφανίζονται συχνά στην Ιατρική έρευνα λόγω τη εξοµοίωσης (matching) των ασθενών και των µαρτύρων σύµφωνα µε κάποιους σηµαντικούς συγχυτικούς παράγοντες (συνήθως ηλικία και φύλο). 1 3 Περιεχόµενα 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες A. Ανάλυση µεταβλητών για 2 εξαρτηµένα δείγµατα (Έλεγχος McNemar, δείκτης συµφωνίας κάπα) B. Συγχυτικοί παράγοντες και στρωµατοποίηση C. Έλεγχος ανεξαρτησίας Mantel-Haenzel για κάθε επίπεδο συγχυτικού παράγοντα D. ιαφοροποίηση επιδράσεων και έλεγχος οµοιογένειας ΛΣΠ E. Εκτιµητής Mantel-Haenzel κοινού ΛΣΠ για τα επίπεδα ενός συγχυτικού παράγοντα F. Εκτίµηση ΛΣΠ σε εξαρτηµένα δείγµατα 2 Σύγκριση δύο χηµειοθεραπειών για την αντιµετώπιση του καρκίνου του µαστού στις γυναίκες. Οι δύο οµάδες θεραπείας πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο όµοιες όσον αφορά τους παράγοντες κινδύνου. Για να επιτευχθεί αυτό εξοµοιώνουµε (ταιριάζουµε) τις δύο οµάδες ανάλογα µε την ηλικία (σε οµάδες εύρους 5 ετών) και την κλινική κατάσταση. Σε κάθε ασθενή της 1ης οµάδας θεραπείας αντιστοιχεί ένας ασθενής της 2ης οµάδας στην ίδια ηλικιακή κατηγορία και κλινική κατάσταση. Οι ασθενείς παρακολουθούνται για 5 έτη Μεταβλητή απόκρισης = η επιβίωσή τους στο τέλος των 5 ετών (ΝΑΙ/ΟΧΙ). 4 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 1 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 2

2 1.3 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες Αν δε λάβουµε υπόψη την εξοµοίωση τότε θα προκύψει ο ακόλουθος πίνακας: Πίνακας 1: εδοµένα καρκίνου του µαστού Παραδείγµατος 1(Rosner 1994, p 377) ΘΕΡΑΠΕΙΑ 1: Α 2: Β Περ Κατ Υ ΕΠΙΒΙΩΣΗ ΣΤΑ 5 ΕΤΗ 1: Ναι : Όχι Περ Κατ Χ Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες Οι µεταβλητές που θα χρησιµοποιήσουµε στον πίνακα θα είναι οι συνδυασµοί της επιβίωσης για τις δύο θεραπείες. Έτσι τα δυνατά αποτελέσµατα θα είναι τέσσερα: 1. επιβίωση των ασθενών και στις δύο θεραπείες, 2. κατάληξη και στις δύο θεραπείες, 3. επιβίωση στη θεραπεία Α αλλά όχι στη Β και 4. επιβίωση στη θεραπεία Β αλλά όχι στη Α Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες 1.6 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες Pearson s χ 2 => µη στατιστικά σηµαντική σχέση (σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%) µεταξύ επιβίωσης και θεραπείας (p-value = 0.44) OR = 1.14 Στην παραπάνω ανάλυση δε λάβαµε υπόψη ότι η δειγµατοληψία είναι εξαρτηµένη (ζεύγη παρατηρήσεων µε παρόµοια χαρακτηριστικά) Για να κάνουµε σωστή ανάλυση πρέπει να λάβουµε ως µονάδα µελέτης το εξοµοιωµένο ζευγάρι των ασθενών =>µέγεθος δείγµατος: Λαµβάνοντας εποµένως υπόψη τα ζεύγη τιµών, προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας: Πίνακας 2: Ζεύγη τιµών από δεδοµένα καρκίνου του µαστού Παραδείγµατος 1 (Rosner 1994, p 377) ΘΕΡΑΠΕΙΑ Α ΕΠΙΒΙΩΣΗ 1: Ναι 2: Όχι Περ Κατ Υ 2 ΘΕΡΑΠΕΙΑ Β ΕΠΙΒΙΩΣΗ ΣΤΑ 5 ΕΤΗ 1: Ναι : Οχι Περ Κατ Υ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 3 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 4

3 1.7 Στόχος ανάλυσης 1.9 ιατύπωση υπόθεσης ελέγχου Μας ενδιαφέρει το ποσοστό επιβίωσης των δύο οµάδων/θεραπειών να είναι ίσο. ηλαδή: P(Επιβίωση ασθενών Θεραπείας Α) = P(Επιβίωση ασθενών Θεραπείας Β) π 1. =π.1 n 12 =n 21 Συνεπώς, σε ένα 2 x 2 πίνακα συνάφειας, στην ουσία συγκρίνουµε τις συχνότητες της 2ης διαγωνίου του που δείχνουν την ασυµφωνία των ζευγαριών ως προς τη µεταβλητή απόκρισης. Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση Η 0 : p=1/2 vs. Η 1 : p ½, µε p = η πιθανότητα το δυσαρµονικό ζευγάρι να είναι τύπου Α (δηλαδή το άτοµο της θεραπείας Α του ζεύγους τιµών να έχει το γεγονός, ενώ το αντίστοιχο άτοµο της θεραπείας Β να µην έχει το γεγονός) Ορισµοί Αρµονικό ζευγάρι (concordant pair) σε µία εξοµοιωµένη µελέτη είναι το ζεύγος των παρατηρήσεων όπου το αποτέλεσµα (δηλαδή η µεταβλητή απόκρισης) είναι το ίδιο και για τα δυο άτοµα του ζεύγους. υσαρµονικό ζευγάρι (disconcordant pair) σε µία εξοµοιωµένη µελέτη είναι το ζεύγος των παρατηρήσεων όπου το αποτέλεσµα (δηλαδή η µεταβλητή απόκρισης) διαφέρει για τα δυο άτοµα του ζεύγους. Εναλλακτικές ονοµασίες: «συµφωνούντα» και «διαφωνούντα» ζεύγη αντίστοιχα ιατύπωση υπόθεσης ελέγχου Αν η H 0 ισχύει τότε n 21 ~ Binomial(1/2, n D ) Όπου n D ο αριθµός των δυσαρµονικών ζευγαριών Συνεπώς Ε(n 21 ) = n D /2 και V(n 21 ) = n D /4. Υπό την προϋπόθεση ότι npq>= 5 δηλαδή n D >=20 µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την κανονική προσέγγιση, οπότε: 12 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 5 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 6

4 1.11 Έλεγχος McNemar Υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει ο έλεγχος McNemar που χρησιµοποιεί τη συνάρτηση ελέγχου: όπου n D είναι το σύνολο των δυσαρµονικών ζευγαριών δηλαδή n D =n 12 +n 21 Σε µερικές περιπτώσεις για λόγους διόρθωσης χρησιµοποιείται και ο τύπος: (1.1) (1.2) Εφαρµογή ελέγχου McNemar 2. Υπολογίζουµε τη παρατηρούµενη συνάρτηση ελέγχου του McNemara χ 2 obs από τον τύπο (1.1) ή (1.2). Απορρίπτουµε την H 0 : «ποσοστό εµφάνισης νόσου είναι το ίδιο στις δύο οµάδες» αν χ 2 obs > χ 2 1, 1-a. Εναλλακτικά υπολογίζουµε το p-value = P( X 2 >= χ 2 obs) και απορρίπτουµε την µηδενική υπόθεση αν p-value<a. Σηµείωση: ο παραπάνω ασυµπτωτικός έλεγχος ισχύει για n D >= Εφαρµογή ελέγχου McNemar 1.14 Αποτελέσµατα παραδείγµατος 1 Η διαδικασία εφαρµογής του ελέγχου McNemar µπορεί να περιγραφεί από τα ακόλουθα βήµατα: 1. Κατασκευάζουµε τον 2x2 πίνακα συνάφειας για τα ζεύγη των εξοµοιωµένων παρατηρήσεων. Γραµµές => το αποτέλεσµα (µεταβλητή απόκρισης) των ασθενών που ακολουθούσαν την θεραπεία Α. Στήλες => το αποτέλεσµα των ασθενών που ακολούθησαν την θεραπεία Β. Εφόσον ο αριθµός των δυσαρµονικών ζευγών n D =16+5=21>=20 µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την παραπάνω διαδικασία οπότε: συνεπώς απορρίπτουµε την υπόθεση ότι οι δύο θεραπείες είναι ίδιες ΠΡΟΣΟΧΗ: υποθέτοντας ανεξάρτητα δείγµατα είχαµε καταλήξει σε διαφορετικό αποτέλεσµα ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 7 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 8

5 1.15 Αποτελέσµατα παραδείγµατος 1 Αν θέλουµε να υπολογίζουµε το p-value τότε Για n D <20 θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τον ακριβή έλεγχο ο οποίος βασίζεται στη ιωνυµική κατανοµή. Έτσι το p-value υπολογίζεται από τον τύπο: 2. 2 είκτης συµφωνίας κάπα Στις περιπτώσεις αυτές συµπεριλαµβάνουµε την επαναλαµβανόµενη µέτρηση µιας κατηγορικής µεταβλητής σε σύντοµο χρονικό διάστηµα. Άλλη περίπτωση είναι αυτή που θέλουµε να ελέγξουµε την αξιοπιστία µιας µέτρησης µε µηχάνηµα σε σχέση µε µια µέτρηση αναφοράς εµπιστευόµαστε (π.χ. ηλεκτρονικό µηχάνηµα µέτρησης αρτηριακής πίεσης και µέτρηση πίεσης από Ιατρό) ή τη συµφωνία δύο εξεταστών, βαθµολογητών ή Ιατρών είκτης συµφωνίας κάπα (kappa) 2.3 είκτης συµφωνίας κάπα Στην προηγούµενη ενότητα ελέγξαµε τη σχέση µεταξύ δύο δίτιµων µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα (εξοµοιωµένα ζευγάρια). Σε µερικές περιπτώσεις ξέρουµε εκ των προτέρων ότι υπάρχει σχέση µεταξύ των µεταβλητών οπότε στόχος είναι να ποσοτικοποιήσουµετο βαθµό της συµφωνίας. Αυτό κυρίως συµβαίνει στις µελέτες αξιοπιστίας µετρήσεων (reliability studies) όπου σκοπός είναι να µετρήσουµε την αναπαραγωγισιµότητα ή επαναληπτότητα µιας µεταβλητής (reproducibility & reliability). 18 Τα δεδοµένα όλων των παραπάνω περιπτώσεων συνοψίζονται σε ΙxI πίνακες (οι δύο µετρήσεις έχουν τον ίδιο αριθµό επιπέδων αφού µετρούν το ίδιο χαρακτηριστικό), ενώ µας ενδιαφέρει το ποσοστό συµφωνίας π ο = i ii το οποίο εκτιµάται από το παρατηρούµενο ποσοστό συµφωνίας p o = I i = nii / n 1 I = 1 π 20 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 9 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 10

6 2.4 είκτης συµφωνίας κάπα 2.6 είκτης συµφωνίας κάπα Υπό την υπόθεση της ανεξαρτησίας των δύο µετρήσεων (συνεπώς πλήρη έλλειψη αναπαραγωγισιµότητας) αναµένουµε ποσοστό συµφωνίας ίσο µε I π e = = π i i π 1 i. ο οποίος δίνεται στο δείγµα από την ποσότητα I 2 p e = n n n i = 1 i i. δηλαδή το άθροισµα των αναµενόµενων κελιών συµφωνίας. Έτσι µπορούµε να διαιρέσουµε µε το max(π o -π e )=1-π e εφόσον η καλύτερη δυνατή περίπτωση είναι π o =1 όταν έχουµε πλήρη συµφωνία και προκύπτει ο δείκτης συµφωνίας Κάπα του Cohen (1960): είκτης συµφωνίας κάπα 2.7 είκτης συµφωνίας κάπα Αυτή η αναλογία συµφωνίας οφείλεται σε τυχαίους παράγοντες και για το λόγο αυτό µπορεί να θεωρηθεί ως σηµείο αναφοράς και σύγκρισης. Άρα ένα µέτρο συµφωνίας είναι η διαφορά π ο -π e όπου το µηδέν δείχνει µηδενική ή τυχαία αναπαραγωγισιµότητα. Εµείς όµως θα επιθυµούσαµε να είχαµε ένα µέτρο το οποίο να είναι φραγµένο και η ανώτατη τιµή του να υποδεικνύει πλήρη συµφωνία ή αναπαραγωγισιµότητα. 22 ο οποίος εκτιµάται από: Μέγιστη τιµή τιµή του kappa: 1 (πλήρη συµφωνία). Τιµή 0: όταν το παρατηρούµενο ποσοστό συµφωνίας είναι ίσο µε αυτό που αναµένουµε όταν υπάρχει ανεξαρτησία (άρα οφείλεται σε τυχαιότητα). Αρνητικές τιµές: εµφανίζονται όταν η παρατηρούµενη αναλογία συµφωνίας είναι µικρότερη της συµφωνίας που περιµένουµε λόγω της τυχαιότητας. Αρνητικές τιµές σύµφωνα τον Agresti (1990, σελ ) εµφανίζονται σπάνια στην πράξη. 24 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 11 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 12

7 2.8 είκτης συµφωνίας κάπα Η διακύµανση του παραπάνω εκτιµητή δίνεται από τον τύπο Παράδειγµα 2 Ερωτηµατολόγιο διατροφικής συχνότητας Μελέτες αξιοπιστίας: κυρίως στην Ψυχολογία/ Ψυχιατρική αλλά και στη διατροφική επιδηµιολογία (µετρήσεις από ερωτηµατολόγια). Στις µελέτες καταγραφής διατροφικών συνηθειών δίνεται ερωτηµατολόγιο διατροφικών συχνοτήτων (Food Frequency Questionaire) όπου ο ερωτώµενος καλείται να θυµηθεί και να καταγράψει ποια τρόφιµα κατανάλωσε τον τελευταίο µήνα ή χρόνο. Μεγάλο σφάλµα µέτρησης (λόγω προβληµατικής ανάκλησης πληροφορίας) Ασυµπτωµατικός έλεγχος για κάπα Ένας ασυµπτωτικός έλεγχος της υπόθεσης H 0 : κ=0 έναντι της εναλλακτικής H 1 : κ>0 µπορεί να γίνει χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση ελέγχου η οποία ακολουθεί ασυµπτωτικά τη Ν(0,1) κατανοµή όταν η H 0 ισχύει. Σηµείωση: µας ενδιαφέρει ο µονόπλευρος έλεγχος αφού οι αρνητικές τιµές δεν έχουν αξιόλογη ερµηνεία και συνήθως λαµβάνονται ως έλλειψη συµφωνίας και επαναληπτότητας Παράδειγµα 2- συνέχεια Στο παράδειγµα που ακολουθεί ερωτήθηκαν 537 γυναίκες για το εάν καταναλώνουν περισσότερες της µιας µερίδας µοσχαρίσιο κρέας ανά εβδοµάδα. Οι µετρήσεις έγιναν δύο φορές µε απόσταση µερικών µηνών. Τα αποτελέσµατα δίνονται στον Πίνακα που ακολουθεί. 28 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 13 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 14

8 2.12 Παράδειγµα 2 συνέχεια 2.14 Αποτελέσµατα παραδείγµατος 2 Πίνακας 3: Επαναλαµβανόµενες µετρήσεις σε ερωτηµατολόγιο διατροφικής συχνότητας Παραδείγµατος 2 Υ1: Πρώτη µέτρηση 1: <= 1 µερίδα/εβδ 2: > 1 µερ/εβδ Περ Κατ Υ 2 Υ2: εύτερη µέτρηση 1: <= 1 µερίδα/εβδ : > 1 µερ/εβδ Περ Κατ Υ Υπολογίζουµε το κάπα: p o = ( )/537 = 376/537 = 0.70 p e = 205 x 228/ x 309/537 2 = 0382 x x = ˆ κ = = se( ˆ) κ = => z= 0.378/0.040=8.799>1.65 => απορρίπτουµε Η 0 (κ=0) έλλειψης αναπαραγωγισιµότητας Ερώτηµα παραδείγµατος Συµπεράσµατα παραδείγµατος 2 Το ερώτηµα που µας ενδιαφέρει να απαντήσουµε είναι αν υπάρχει αναπαραγωγισιµότητα; δηλαδή αν το FFQ που δίδεται έχει τη δυνατότητα να αντλήσει τις ίδιες πληροφορίες από τα ίδια άτοµα σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγµές. Στο παραπάνω παράδειγµα είδαµε ότι δεν απορρίψαµε τη µηδενική υπόθεση, εποµένως υπάρχει κάποια αναπαραγωγισιµότητα ή συµφωνία άλλα αυτό δε σηµαίνει ότι είναι υψηλή. Γενικά η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται για σχετικά χαµηλές τιµές του κˆ ειδικά για µεγάλα δείγµατα (ανάλογη είναι η περίπτωση του δείκτη γραµµικής συσχέτισης του Pearson και του αντίστοιχου ελέγχου για ρ=0) ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 15 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 16

9 2.16 Εµπειρικός πίνακας για τιµές κ 2.18 ιαφορές κάπα από McNemar Για τον λόγο αυτό οι Landis & Koch (1977) δίνουν έναν εµπειρικό πίνακα για τις τιµές του κ: 1. Αν κˆ >0.75 τότε έχουµε έξοχη αναπαραγωγισιµότητα και επαναληπτότητα (ή υψηλή συµφωνία) <= κˆ <= 0.75 τότε έχουµε καλή αναπαραγωγισιµότητα και επαναληπτότητα (ή ικανοποιητική συµφωνία). 3. Αν 0 <= κˆ < 0.4 τότε έχουµε οριακή αναπαραγωγισιµότητα και επαναληπτότητα (ή χαµηλή συµφωνία). 33 ιαφορές µεταξύ της δοκιµασίας McNemar και του δείκτη κάπα: Σκοπός της δοκιµασίας McNemar: να ελέγξει αν οι περιθωριακές κατανοµές είναι ίσες. Έτσι σε 2x2 πίνακες που προκύπτουν από εξοµοιωµένα ζεύγη µε διαφορετική θεραπεία σε σχέση µε την επιβίωση, µας ενδιαφέρει αν η πιθανότητα επιβίωσης είναι η ίδια για τις δύο θεραπείες Χρήση είκτη κ 2.19 ιαφορές κάπα από McNemar Σύµφωνα µε τον Rosner (1994, σελ. 426) ο δείκτης κάπα θα πρέπει να προτιµάται για τη µέτρηση της αξιοπιστίας µιας µεταβλητής ή ερωτήµατος άρα όταν έχουµε επαναλαµβανόµενες µετρήσεις της ίδιας κατηγορικής µεταβλητής. Στις περιπτώσεις σύγκρισης µιας µέτρησης µε µία µέτρηση αναφοράς προτείνει τη χρήση της ειδικότητας και ευαισθησίας. Αντίθετα ο δείκτης κάπα κρίνει κατά πόσο τα αποτελέσµατα των δύο θεραπειών σχετίζονται-συµφωνούν µεταξύ τους. αναφέρεται κυρίως στην εκ-των-προτέρων γνωστή εξάρτηση των δειγµάτων λόγω εξοµοίωσης ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 17 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 18

10 2.19 ιαφορές κάπα από McNemar 3.1 Συγχυτικοί παράγοντες Συχνά έχουµε µεγάλο ποσοστό συµφωνίας (λόγω εξοµοίωσης) αλλά και στατιστικά σηµαντική διαφοροποίηση ως προς την αποτελεσµατικότητα της κάθε θεραπείας (σκεφτείτε κατά αναλογία τη σχέση του δείκτη συσχέτισης του Pearson και του t-test ανά ζεύγη: υψηλή συσχέτιση δε σηµαίνει και ίσους µέσους). Συγχυτικός Παράγοντας (Confounding factor) είναι µία µεταβλητή που σχετίζεται και µε την ασθένεια αλλά και µε τον παράγοντα κινδύνου που εξετάζουµε. Οι συγχυτικοί παράγοντες πρέπει να λαµβάνονται υπόψη πριν τον έλεγχο της σχέσης «ασθένεια - παράγοντας κινδύνου» ιαφορές κάπα από McNemar Επίσης άλλη βασική διαφορά είναι τα κελιά από τα οποία αντλεί πληροφορία η κάθε διαδικασία: McNemar βασίζεται στα µη-διαγώνια στοιχεία (δυσαρµονικά ζεύγη τιµών) ενώ είκτης κάπα βασίζεται στα διαγώνια στοιχεία (αρµονικά ζεύγη τιµών). 3.2 Αδρανοποίηση Συγχυτικού παράγοντα Η αδρανοποίηση (ή ο έλεγχος) ενός συγχυτικού παράγοντα µπορεί να γίνει: 1. µέσω του σχεδιασµού του πειράµατος µε εξοµοίωση (matching), 2. µε τυποποίηση ή προτυποποίηση (standardization) των αποτελεσµάτων ως προς το συγχυτικό παράγοντα, 3. µε ειδική στατιστική ανάλυση ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 19 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 20

11 3.3 Αδρανοποίηση συγχυτικού παράγοντα 3.5 Στρωµατοποιηµένη ανάλυση (ορισµοί) Η αδρανοποίηση των επιδράσεων ενός συγχυτικού παράγοντα ονοµάζεται έλεγχος του συγχυτικού παράγοντα (controlling for a confounding factor), ενώ για τα αποτελέσµατα λέµε ότι είναι διορθωµένα ως προς τον συγχυτικό παράγοντα (confounder adjusted results) 41 Θετικός Συγχυτικός Παράγοντας (Positive confounder) είναι ένας συγχυτικός παράγοντας θετικά (ή αρνητικά) συσχετισµένος και µε τη νόσο και µε τον παράγοντα κινδύνου. Αρνητικός Συγχυτικός Παράγοντας (Negative confounder) είναι ένας συγχυτικός παράγοντας που ικανοποιεί µία από τις ακόλουθες συνθήκες: 1. Είναι θετικά συσχετισµένος µε τη νόσο και αρνητικά µε τον παράγοντα κινδύνου. 2. Είναι αρνητικά συσχετισµένος µε τη νόσο και ικά µε τον παράγοντα κινδύνου Στρωµατοποιηµένη ανάλυση (ορισµοί) Η µελέτη της σχέσης ασθένειας - παράγοντα κινδύνου για διαφορετικές οµάδες δεδοµένων (συνήθως επίπεδα ενός ή περισσοτέρων συγχυτικών παραγόντων) ονοµάζεται στρωµατοποίηση ή στρωµατοποιηµένη ανάλυση (stratification ή stratified analysis). 3.6 Αιτιολογική δίοδος Ένας συγχυτικός παράγοντας ονοµάζεται αιτιολογική δίοδος (causal pathway) αν ο παράγοντας κινδύνου επηρεάζει το συγχυτικό παράγοντα και αυτός µε τη σειρά του τη νόσο ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 21 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 22

12 3.7 Παράδειγµα 3 καρκίνος πνεύµονα και αλκοόλ 3.9 Στατιστική ανάλυση παραδείγµατος 3 Παράδειγµα 3: Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να µελετήσουµε τη σχέση µεταξύ καρκίνου του πνεύµονα και υψηλής κατανάλωσης αλκοόλ (ορισµένης ως µεγαλύτερης ή ίσης των δύο ποτών ηµερησίως). Τα αποτελέσµατα µιας προοπτικής µελέτης δίνονται στον ακόλουθο Πίνακα Εφόσον πρόκειται για σπάνια ασθένεια µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το ΛΣΠ ως µέτρο σχετικού κινδύνου. O ΛΣΠ είναι ίσος µε 1.667, στατιστικά σηµαντικός σε επίπεδο σηµαντικότητας α=10% (ακριβής χ 2 ελέγχος p=0.065). Στην παραπάνω ανάλυση - σχέση όµως δε λάβαµε υπόψη µας ένα πολύ ισχυρό συγχυτικό παράγοντα: το κάπνισµα του ίδιου του ατόµου που εξετάζουµε εδοµένα παραδείγµατος Στρωµατοποιηµένη ανάλυση Πίνακας 4: εδοµένα Καρκίνου του Πνεύµονα Παραδείγµατος 3 (Rosner, 1994, σελ ). Χ: Καταναλ Αλκοόλ 1: >= 2 ποτών 2: < 2 ποτών Περ Κατ Υ Υ: Καρκίνος του πνεύµονα 1: ναι : όχι Περ Κατ Χ Έτσι λοιπόν η σωστή προσέγγιση είναι να κάνουµε στρωµατοποιηµένη ανάλυση ανάλογα µε το αν κάποιος καπνίζει ή όχι. Έτσι έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 23 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 24

13 3.11 Στρωµατοποιηµένα δεδοµένα παραδ Προτυποποίηση Πίνακας 5: Στρωµατοποιηµένα δεδοµένα ως προς κάπνισµα, καρκίνου του πνεύµονα Παραδείγµατος 3 (Rosner, 1994, σελ ). Χ: Καταναλ Αλκοόλ 1: >= 2 ποτών 2: < 2 ποτών Περ Κατ Υ Ζ: Καπνιστές (1) Υ: Καρκίνος πνεύµονα 1: ναι : όχι Περ Κατ Χ Ζ: Μη Καπνιστές (2) Υ: Καρκίνος πνεύµονα 1: ναι : όχι Περ Κατ Χ Προτυποποίηση: µέθοδος που χρησιµοποιείται για να κάνει τους δείκτες θνησιµότητας δύο πληθυσµών ή δειγµάτων συγκρίσιµους, λαµβάνοντας υπόψη κάποιους συγχυτικούς παράγοντες (πχ φύλο και ηλικία). Υπολογίζουµε το δείκτη (συνήθως την αναλογία) µίας νόσου υποθέτοντας ότι οι πληθυσµοί ή τα δείγµατα που συγκρίνουµε έχουν την ίδια κατανοµή ως προς το συγχυτικό παράγοντα Αποτελέσµατα από στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Αν υπολογίσουµε το ΛΣΠ στον κάθε ένα από τους δύο πίνακες θα βρούµε ότι είναι ίσοι µε 1 συνεπώς δεν υπάρχει σχέση µεταξύ των δύο υπό εξέταση µεταβλητών, δηλαδή της υψηλής κατανάλωσης αλκοόλ και καρκίνου του πνεύµονα κάπνισµα δρα ως συγχυτικός παράγοντας 4.2 Προτυποποίηση Αν p i είναι οι δειγµατικές αναλογίες εµφάνισης µιας νόσου για το i επίπεδο ενός συγχυτικού παράγοντα µε I επίπεδα τότε η τυποποιηµένη αναλογία της νόσου υπολογίζεται από τον τύπο Όπου n i* :ο συν. αριθµός ατόµων του πρότυπου πληθυσµού που ανήκουν στο i επίπεδο του συγχυτικού παράγοντα, n * :ο συν. αριθµός ατόµων του πρότυπου πληθυσµού και w i* =n i* / n * : αναλογία ατόµων του πρότυπου πληθυσµού που ανήκουν στο i επίπεδο του συγχυτικού παράγοντα ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 25 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 26

14 4.3 Προτυποποίηση 5.1 Παράδειγµα 4 Η τυποποιηµένη αναλογία p st µπορεί να ερµηνευτεί ως η αναλογία ατόµων που θα είχαν τη νόσο αν ο πληθυσµός µας είχε την ίδια κατανοµή του συγχυτικού παράγοντα όπως ο πρότυπος πληθυσµός (ή πληθυσµός αναφοράς). Ως πρότυπος πληθυσµός συνήθως λαµβάνεται ο πληθυσµός µίας χώρας στον οποίο πιθανώς ανήκουν οι υπό-σύγκριση πληθυσµοί ή απλά το άθροισµα των πληθυσµών που συγκρίνουµε. Ένας πιθανόςσυγχυτικόςπαράγοντας είναι το κάπνισµα του ίδιου του ατόµου που εξετάζουµε, αφού προφανώς συνδέεται µε τη νόσο αλλά και µε το κάπνισµα της συζύγου (άρα και το παθητικό κάπνισµα όπως ορίστηκε στη µελέτη αυτή). Τα δεδοµένα δίνονται στον ακόλουθο πίνακα Συµπερασµατολογία για στρωµατοποιηµένα κατηγορικά δεδοµένα Παράδειγµα 4: Μια µελέτη το 1985 εντόπισε 518 περιπτώσεις καρκίνου σε νοσοκοµεία των ΗΠΑ και 518 µάρτυρες µέσω ταχυδροµείου (βλ. Sandler et al, 1985, Amer J Epidem). Κύριος σκοπός της µελέτης ήταν η εξέταση του παθητικού καπνίσµατος στην εµφάνιση του καρκίνου του πνεύµονα. Το παθητικό κάπνισµα ορίστηκε ως «έκθεση στο κάπνισµα του/της συζύγου που κάπνιζε τουλάχιστον 1 τσιγάρο την ηµέρα για τους τελευταίους 6 µήνες» Στρωµατοποιηµένα δεδοµένα παραδείγµατος 4 Πίνακας 6: Στρωµ/µένα δεδοµένα ως προς κάπνισµα, µελέτης σχέσης παθητικού καπνίσµατος και καρκίνου του πνεύµονα παραδ.4 (Rosner, 1994, σελ ). Χ: Καρκίνος 1:Ασθενής 2: Μάρτυρας Περ Κατ Υ OR (95% CI) Ζ: Μη Καπνιστές (1) Υ: Παθ Καπνιστής 1: ναι (1.72, 2.47) 2: όχι Περ Κατ Χ Ζ: Καπνιστές (2) Υ: Παθ. Καπνιστής 1: ναι (0.95, 1.64) 2: όχι Περ Κατ Χ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 27 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 28

15 5.3 Ανάλυση παραδείγµατος 4 Από τον περιθωριακό πίνακα (αγνοώντας το ατοµικό κάπνισµα) ΛΣΠ=1.64 (95% Ε= ). Αντίθετα από τα στρωµατοποιηµένα δεδοµένα: στους καπνιστές η σχέση δεν είναι στατιστικά σηµαντική, ενώ αντίθετα για τους µη καπνιστές ο κίνδυνος είναι σηµαντικά αυξηµένος (περίπου διπλάσιος για τα άτοµα που εκτίθενται σε παθητικό κάπνισµα). 5.4 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων (2x2xK πίνακες) Γενικά στην ενότητα αυτή αναφερόµαστε σε 2x2xK πίνακες, όπου K είναι τα επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα για τον οποίο θέλουµε να διορθώσουµε/ ελέγξουµε τα αποτελέσµατα («να λάβουµε υπόψη µας»). Η υπό έλεγχο υπόθεση είναι: Η 0 : «ανεξαρτησία των µεταβλητών X και Y για όλα τα επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα Z», δηλαδή Η 0 : OR 1 =OR 2 =...=OR K = Ανάλυση παραδείγµατος 4 Ερώτηµα: πως θα συνδυάσουµε τους παραπάνω στρωµατοποιηµένους εκτιµητές σε έναν, που θα λαµβάνει υπόψη του και το συγχυτικό παράγοντα; 5.5 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων (2x2xK πίνακες)συνέχεια Για κάθε επίπεδο k έχουµε τον ακόλουθο πίνακα ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 29 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 30

16 5.6 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Υποθέτοντας σταθερές περιθώριες κατανοµές και ανεξαρτησία συνεπάγεται Όπου HyperGeometric (m, n, N) είναι η υπεργεωµετρική κατανοµή µε συνάρτηση πιθανότητας 5.8 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Αν ισχύει η H 0, o συνολικός αριθµός (αθροίζοντας ως προς το συγχυτικό παράγοντα) των κελιών 11 θα δίνεται ως και το οποίο θα πρέπει να συγκριθεί µε τη αντίστοιχη παρατηρούµενη ποσότητα Ο=n 11. = K = n k 1 11 k K Υπό την Η 0, Ε(Ο)=Ε και V(O)= = V ( n =. k k V 1 11 ) Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Με µέση τιµή Ε(Χ)= Νp = N και διακύµανση 5.9 Ανάλυση στρωµατοποιηµένων δεδοµένων Κατασκευάζουµε τον έλεγχο Mantel-Haenszel µε τη χρήση της συνάρτησης ελέγχου: Συνεπώς, υπό την Η 0 έχουµε: ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 31 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 32

17 5.10 Ανάλυση παραδείγµατος 4 Με βάση τα παραπάνω, για το παράδειγµα 4 έχουµε: 6. ιαφοροποίηση Επιδράσεων (Effect Modification) Στον προηγούµενο έλεγχο εξετάσαµε την ύπαρξη ή όχι ανεξαρτησίας νόσου-παράγοντα κινδύνου για κάθε επίπεδο ενός συγχυτικού παράγοντα. Αν απορριφθεί η υπό-συνθήκη ανεξαρτησία νόσουπαράγοντα κινδύνου µας ενδιαφέρει να δούµε κατά πόσο η σχέση παραµένει ίδια για τα διάφορα επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα. Σε αυτή την ενότητα θα δούµε τη δοκιµασία για τον έλεγχο της οµοιογένειας των ΛΣΠ Συνεπώς 5.11 Συµπέρασµα παραδείγµατος 4 p-value= , άρα απορρίπτουµε την µηδενική υπόθεση και υπάρχει σχέση παθητικού καπνίσµατος και καρκίνου, ακόµα και αν ελέγξουµε/διορθώσουµε για το ατοµικό κάπνισµα (ή, αλλιώς, αν λάβουµε υπόψη µας το προσωπικό κάπνισµα). 6.1 ιαφοροποίηση Επιδράσεων Ορισµός Ορισµός: Αν η µορφή και η ισχύς της σχέσης νόσου-παράγοντα κινδύνου αλλάζει για διαφορετικά επίπεδα ενός συγχυτικού παράγοντα τότε υπάρχει αλληλεπίδραση παράγοντα κινδύνου και συγχυτικού παράγοντα πάνω στη νόσο ή αλλιώς διαφοροποίηση της επίδρασης του παράγοντα στη νόσο για διαφορετικά επίπεδα του συγχυτικού παράγοντα (effect modification). Αυτός ο συγχυτικός παράγοντας ονοµάζεται διαφοροποιητής επιδράσεων (effect modifier) του παράγοντα κινδύνου στη νόσο ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 33 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 34

18 6.2 ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα Στο παράδειγµα 4 φαίνεται ότι το ατοµικό κάπνισµα διαφοροποιεί τις επιδράσεις του παθητικού καπνίσµατος στον καρκίνο εφόσον οι δύο ΛΣΠ απέχουν αρκετά µεταξύ τους 1.3 για τους καπνιστές και 2.1 για τους µη καπνιστές. Αν κάνουµε τον έλεγχο οµοιογένειας ΛΣΠ που ακολουθεί θα δούµε ότι η διαφορά είναι οριακά στατιστικά σηµαντική δηλαδή σηµαντική σε επίπεδο σηµαντικότητας 10% αλλά όχι σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. 69 Ο έλεγχος οµοιογένειας των ΛΣΠ χρησιµοποιεί τον ακόλουθο τύπο: ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα 6.5 ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα Ελέγχουµε την υπόθεση H 0 : OR 1 =OR 2 =...=OR K έναντι της εναλλακτικής H 1 : OR i OR j για κάποιο συνδυασµό επιπέδων i j του συγχυτικού παράγοντα. Εναλλακτικός τύπος είναι ο ακόλουθος ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 35 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 36

19 6.6 ιαφοροποίηση επιδράσεων στο παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα Εφαρµόζοντας τον τελευταίο τύπο έχουµε: 6.8 Εκτίµηση κοινού ΛΣΠ για στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Όταν ο έλεγχος οµοιογένειας (ή ισότητας) των ΛΣΠ δεν απορριφθεί τότε µας ενδιαφέρει να εκτιµήσουµε τον κοινό ΛΣΠ λαµβάνοντας όµως υπόψη και το συγχυτικό παράγοντα. Αυτό γίνεται µε τον εκτιµητή κοινου ΛΣΠ των Mantel-Haenszel και δίνεται από τον τύπο Συνεπώς 6.7 Παράδειγµα 4 - αποτελέσµατα 6.9 Εκτίµηση κοινού ΛΣΠ για στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Η διακύµανση του λογαρίθµου του παραπάνω εκτιµητή δίνεται από τον ακόλουθο τύπο Εφόσον δεν απορρίπτουµε την Η 0 ότι οι ΛΣΠ της σχέσης παθητικού καπνίσµατος και καρκίνου είναι ίσοι για τους καπνιστές και µη καπνιστές, σε επίπεδο σηµαντικότητας 5% ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 37 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 38

20 6.10 Εκτίµηση κοινού ΛΣΠ για στρωµατοποιηµένα δεδοµένα Και φυσικά υπολογίζουµε ένα (1-α)100% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του ΛΣΠ από τον τύπο Ενώ για το ΛΣΠ δίνεται από το διάστηµα 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Υπάρχει άµεση σχέση της δοκιµασίας McNemar και της προσέγγισης των Mantel-Haenszel. Στις εξοµοιωµένες µελέτες έχουµε ζευγάρια ατόµων µε ίδια χαρακτηριστικά όσον αφορά τους συγχυτικούς παράγοντες. Άρα φανταστείτε τους 2 x 2 πίνακες που σχηµατίζονται για κάθε εξοµοιωµένο ζευγάρι δηλαδή k=1,2,,n, όπου n είναι το σύνολο των εξοµοιωµένων ζευγών Παράδειγµα 4, εκτίµηση κοινού ΛΣΠ 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Έτσι θα πρέπει να υπολογίσουµε 78 όπου Ν ijk είναι ο αριθµός των ατόµων σε κάθε ζευγάρι που αντιστοιχεί στο συνδυασµό i,j των µεταβλητών οµάδα/θεραπεία νόσος για το k εξοµοιωµένο ζευγάρι (χρησιµοποιούµε Ν ijk για τα δεδοµένα κάθε ζεύγους και n ij για τα δεδοµένα του συνολικού πίνακα των εξοµοιοµένων τιµών). 80 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 39 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 40

21 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Σε αυτή την περίπτωση έχουµε για τα ζευγάρια των ασθενών οµάδας/θεραπείας Α και Β τους ακόλουθους συνδυασµούς: έχουν τη νόσο και οι δύο ασθενείς (1,1), έχει τη νόσο µόνο ο Α ασθενής (1,2), έχει τη νόσο µόνο ο Β ασθενής (2,1) και κανένας από τους δύο δεν έχει τη νόσο (2,2). 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Από τον οποίο προκύπτει ότι: Όπου n ij είναι το πλήθος των ζευγών των ατόµων των οµάδων Α και Β µε αποτέλεσµα (νόσο) i και j αντίστοιχα. Συνεπώς Ενώ η διακύµανση του λογαρίθµου του παραπάνω εκτιµητή δίνεται από τον τύπο Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Έτσι έχουµε τον παρακάτω πίνακα 7. Εκτίµηση ΛΣΠ σε Μελέτες εξοµοιωµένων ζευγών Χρησιµοποιώντας τα παραπάνω µπορούµε να υπολογίσουµε 100(1-α)% διαστήµατα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του ΛΣΠ από τον τύπο και για το ΛΣΠ από τον τύπο ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 41 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 42

22 Υπολογισµός ΛΣΠ στο Παράδειγµα 1 Γυρίζοντας στο παράδειγµα 1, Πίνακα 2 βρίσκουµε ότι ο ΛΣΠ είναι ίσος µε OR=16/5=3.2 συνεπώς «η συµπληρωµατική πιθανότητα επιβίωσης για την οµάδα/θεραπεία Α είναι (περίπου) τριπλάσια της αντίστοιχης συµπληρωµατικής πιθανότητας για την οµάδα Β». Επιπλέον Var(logOR)=1/5+1/16= ενώ το 95% Ε για το Var(log OR) δίνεται από τον τύπο Υπολογισµός ΛΣΠ στο Παράδειγµα 1 (ή εναλλακτικά) «η συµπληρωµατική πιθανότητα θανάτου για την οµάδα/θεραπεία Α είναι περίπου 70% µικρότερη της αντίστοιχης συµπληρωµατικής πιθανότητας για την οµάδα Β». Το Ε για την ποσότητα αυτή είναι ίσο µε Υπολογισµός ΛΣΠ στο Παράδειγµα 1 και το 95% Ε για το ΟR δίνεται από τον τύπο Παρόµοια είναι η διαδικασία αν πάρουµε τον αντίστροφο ΛΣΠ. Συνεπώς =5/16= «η συµπληρωµατική πιθανότητα επιβίωσης για την οµάδα/θεραπεία Β είναι περίπου 70% µικρότερη της αντίστοιχης συµπληρωµατικής πιθανότητας για την οµάδα Α» 86 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 43 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ 44

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι Επιδηµιολογία;

Τι είναι Επιδηµιολογία; ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Τι είναι Επιδηµιολογία; ΜΑΘΗΜΑ 2 ΕΙ ΙΚΕΣ ΙΑΤΡΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΗΜΙΟΛΟΓΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ Ως Επιδηµιολογία ορίζουµε την Επιστήµη που µελετάει την κατανοµή και της εξέλιξη διαφόρων νοσηµάτων ή χαρακτηριστικών

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία

Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία Εισαγωγή στην Βιοστατιστική και την Επιδηµιολογία Ιωάννης Ντζούφρας Τµήµα Στατιστικής Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Άρης Περπέρογλου Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 3 ΙΙ. ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ. Σχολείο Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Συχνότητα Γυµνάσιο 773 37.93% Λύκειο 1006 49.36% ΤΕΕ 259 12.71%

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα . ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα ξεκίνησε τον 7 ο αιώνα. Το κλειδί σ αυτή την εξέλιξη υπήρξε

Διαβάστε περισσότερα

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών Κεφάλαιο 8 Ο είκτης Συσχέτισης 1 Η έννοια της Αλληλεξάρτησης Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών ηλαδή, µας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 4 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια Κεφάλαιο 7 Μη Παραµετρικά Κριτήρια Παραµετρικά Κριτήρια Τα παραµετρικά κριτήρια είναι στατιστικά κριτήρια που απαιτούν την ικανοποίηση συγκεκριµένων προϋποθέσεων είτε αναφορικά µε συγκεκριµένες παραµέτρους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Διαστρωμάτωση Mantel-Haenszel test Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας επιδημιολογίας Λεπτοσπείρωση Πιο πολλά κρούσματα στις αγροτικές περιοχές; Πόσο επί τις εκατό του πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Χαράλαµπος Κ. Μαµουλάκης

Χαράλαµπος Κ. Μαµουλάκης Τα λάθη στο δείγµα και τη στατιστική ανάλυση Χαράλαµπος Κ. Μαµουλάκης Επικουρος Καθηγητής Ουρολογίας Ουρολογική Κλινική Πανεπιστηµιακό Γενικό Νοσοκοµείο Ηρακλείου Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Ιατρικής Σύγκρουση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΚΧΑΡΩΔΗΣ ΔΙΑΒΗΤΗΣ και ΚΑΡΚΙΝΟΣ: συνύπαρξη ή αιτιολογική σχέση;

ΣΑΚΧΑΡΩΔΗΣ ΔΙΑΒΗΤΗΣ και ΚΑΡΚΙΝΟΣ: συνύπαρξη ή αιτιολογική σχέση; ΣΑΚΧΑΡΩΔΗΣ ΔΙΑΒΗΤΗΣ και ΚΑΡΚΙΝΟΣ: συνύπαρξη ή αιτιολογική σχέση; Δ. Καραγιάννη, Β. Κουρκούμπας, Δ. Μπαλτζής, Γ. Κοτρώνης, Ε. Κιντιράκη, Χ.Τρακατέλλη, Α. Παυλίδου, Μ. Σιών Γ Παθολογική Κλινική ΑΠΘ, ΓΠΝΘ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΝΟΣΗΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΝΗΣΟ ΜΗΛΟ ΕΚΘΕΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ

ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΝΟΣΗΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΝΗΣΟ ΜΗΛΟ ΕΚΘΕΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΝΟΣΗΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΝΗΣΟ ΜΗΛΟ ΕΚΘΕΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ ΣΥΝΟΨΗ Η παρούσα μελέτη αποτελεί συνέχεια της αρχικής φάσης της μελέτης νοσηρότητας και θνησιμότητας στη νήσο Μήλο που πραγματοποιήθηκε το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχοι: (a) να δοθεί µια εισαγωγή στη θεωρία της στατιστικής συµπερασµατολογίας ελέγχων υποθέσεων, (b) να παρουσιάσει τις βασικές εφαρµογές αυτών των ελέγχων: µέσης τιµής, ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Επιστηµονική Επιµέλεια: ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Καταρχήν Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι εν απαιτούν κανονικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 (Basic Sampling Techniques and Questionnaire Analysis using

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT KINGSTON UNIVERSITY ICBS Business College ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ν. ΣΤΑΜΟΥΛΗΣ Ανάλυση δεδοµένων και βασικές έννοιες Για τον

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΥΓΕΙΑ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΡΟΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ

Η ΥΓΕΙΑ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΡΟΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΙΑΤΡΙΚΗΣΧΟΛΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΓΙΕΙΝΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΗΜΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Η ΥΓΕΙΑ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΡΟΑΓΩΓΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τα συστηματικά σφάλματα στις επιδημιολογικές μελέτες Κάθε επιδημιολογική μελέτη πρέπει να θεωρείται ως μια άσκηση μέτρησης

Τα συστηματικά σφάλματα στις επιδημιολογικές μελέτες Κάθε επιδημιολογική μελέτη πρέπει να θεωρείται ως μια άσκηση μέτρησης Τα συστηματικά σφάλματα στις επιδημιολογικές μελέτες Κάθε επιδημιολογική μελέτη πρέπει να θεωρείται ως μια άσκηση μέτρησης Kenneth J. Rothman, 2002 Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων

Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων Αθηνά Λινού Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ιατρική Σχολή, Πανεπιστήµιο Αθηνών Βασικές αρχές της θεωρίας των

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1.1 Εισαγωγή. Τι είναι Στατιστική 1.2 Μεθοδολογία Ερευνας 1.3 Τι είναι το SPSS 1.4 οµή του προγράµµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση-

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση- Μάθηµα 3 Προχωρηµένες ιδιότητες πεδίων Μάσκες εισαγωγής Οι ιδιότητες Μορφή και Μάσκα εισαγωγής περιγράφονται µαζί γιατί έχουν κοινά χαρακτηριστικά που αφορούν την εµφάνιση. Με την ιδιότητα Μορφή καθορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρούµε να εξάγουµε τις συνιστώσες της µαθητικής επίδοσης, χρησιµοποιώντας παραγοντική

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εισαγωγή στο P.A.S.W. Υποχρεωτικό μάθημα 4 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39 41 Περιεχόμενα Ξενάγηση στο βιβλίο 25 Ξενάγηση στο συνοδευτικό CD 27 Εισαγωγή 29 Ευχαριστίες 33 Οι βασικές διαφορές μεταξύ του SPSS 16 και των προηγούμενων εκδόσεων 35 Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37 1 Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α.

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α. Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Κ Ρ Η Τ Η Σ Π Α Ι Δ Α Γ Ω Γ Ι Κ Ο Τ Μ Η Μ Α Δ Η Μ Ο Τ Ι Κ Η Σ Ε Κ Π Α Ι Δ Ε Υ Σ Η Σ Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ (Β06Σ03) ΤΙΤΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΠΕΡΙΕΧOΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση Πρόλογος στην πρώτη έκδοση Εισαγωγή Τι είναι η μεθοδολογία έρευνας Οι μέθοδοι έρευνας ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙO 1: Γενικά για την επιστημονική

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Αρμάου Ανδριάνα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Αρμάου Ανδριάνα ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Τίτλος εργασίας: Πόσες ώρες εξωσχολικών μαθημάτων έχουν οι μαθητές του Λυκείου ανάλογα με την τάξη που βρίσκονται και το φύλο τους και πως κατανέμονται οι ώρες αυτές. Αρμάου Ανδριάνα

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοπιστία Εγκυρότητα της Μέτρησης. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2012-2013

Αξιοπιστία Εγκυρότητα της Μέτρησης. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2012-2013 Αξιοπιστία Εγκυρότητα της Μέτρησης Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2012-2013 Η παρουσίαση βασίζεται σε υλικό από - Cohen, L., Manion, L. & Keith, M.

Διαβάστε περισσότερα

3. Παρακαλώ σηµειώστε µε Χ το βαθµό συµφωνίας ή διαφωνίας σας µε τις παρακάτω δηλώσεις:

3. Παρακαλώ σηµειώστε µε Χ το βαθµό συµφωνίας ή διαφωνίας σας µε τις παρακάτω δηλώσεις: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έρευνα µάρκετινγκ είναι η λειτουργία η οποία διασυνδέει τον καταναλωτή, τον πελάτη και το κοινό µε τον υπεύθυνο µάρκετινγκ, µέσω της πληροφόρησης, η οποία χρησιµοποιείται για την αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΘΝΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΥΓΕΙΑΣ: Έτος 2009

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΘΝΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΥΓΕΙΑΣ: Έτος 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 15 Ιουλίου 2011 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΘΝΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΥΓΕΙΑΣ: Έτος 2009 Η Εθνική Έρευνα Υγείας πραγµατοποιήθηκε το τελευταίο τρίµηνο του έτους 2009 σε ολόκληρη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΙ ΡΟΥΝ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΙ ΡΟΥΝ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΙ ΡΟΥΝ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με την ολοένα και ταχύτερη ανάπτυξη των τεχνολογιών και των επικοινωνιών και ιδίως τη ραγδαία, τα τελευταία

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα