Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)"

Transcript

1 Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ φύλου (άντρας γυναίκα και καπνίσµατος (µη καπνιστής, περιστασιακός καπνιστής, καπνιστής ή την σχέση µεταξύ της λήψης ενός φαρµάκου (λήψη φαρµάκου, µη λήψη φαρµάκου και της βελτίωσης της υγείας ενός ασθενούς (βελτίωση, µη βελτίωση κ.ο.κ. Για τον σκοπό αυτό λαµβάνεται δείγµα µεγέθους και για κάθε ένα άτοµο του δείγµατος καταγράφονται οι τιµές των δύο αυτών µεταβλητών, δηλαδή λαµβάνεται ένα δείγµα της µορφής (Χ,Υ, (Χ,Υ,, (Χ,Y όπου οι Χ i, Y i είναι κατηγορικές µεταβλητές (λαµβάνουν πεπερασµένο πλήθος τιµών. Για το παράδειγµα που αφορά τη σχέση µεταξύ φύλου - καπνίσµατος, έστω ότι λαµβάνεται δείγµα 00 (ενήλικων ανθρώπων και για το i-άτοµο καταγράφεται το φύλο (Χ i Γ: γυναίκα ή Α: άνδρας και το αν είναι καπνιστής (Υ i : µη καπνιστής, : περιστασιακός καπνιστής, 3: καπνιστής, i,,,. Το δείγµα µπορεί π.χ. να έχει την µορφή: (Γ,, (Γ,, (Α,3, (Α,, (Α,, (Γ,, κ.ο.κ. Για την καλύτερη παρουσίαση των αποτελεσµάτων µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν πίνακα που να δείχνει συγκεντρωτικά πόσες φορές εµφανίστηκε κάθε µια από τις 3 6 διαφορετικές περιπτώσεις: (Γ, (γυναίκα µη καπνίστρια, (Γ, (γυναίκα περιστασιακή καπνίστρια, (Γ,3 (γυναίκα καπνίστρια, (Α, (άνδρας µη καπνιστής, (Α, (άνδρας περιστασιακός καπνιστής, (Α,3 (άνδρας καπνιστής. Ο πίνακας αυτός, ο οποίος καλείται πίνακας συνάφειας, π.χ. θα έχει την µορφή (πρόκειται για φανταστικά δεδοµένα : Φύλο Κάπνισµα µη καπνιστής περιστασιακός καπνιστής καπνιστής Σύνολο Γυναίκα Άνδρας Σύνολο Μπορούµε µε βάση το δείγµα αυτό (στο οποίο παρατηρήθηκαν 8 γυναίκες µη καπνίστριες, 6 άνδρες µη καπνιστές κ.τ.λ. να πούµε ότι υπάρχει σχέση µεταξύ φύλου και καπνίσµατος (σε ε.σ. 5%; Πριν απαντήσουµε σε αυτή την ερώτηση ας εξετάσουµε το πρόβληµα γενικότερα µέσα από δύο µοντέλα. 4.. Έλεγχος ανεξαρτησίας σε πίνακες συνάφειας εν είναι λίγες οι περιπτώσεις όπου οι µεταβλητές Χ i, Y i µπορούν να θεωρηθούν τυχαίες µεταβλητές. Για ευκολία ας υποθέσουµε ότι λαµβάνουν τιµές στα σύνολα {,,,} και {,,,} αντίστοιχα (µπορούµε να υποθέσουµε οποιαδήποτε πεπερασµένα σύνολα. Θεωρούµε τα ζεύγη των τ.µ. (Χ,Υ,,(Χ,Y ανεξάρτητα µεταξύ τους και ισόνοµα µε κοινή από κοινού συνάρτηση πιθανότητας και περιθώριες σ.π. P( X i j, Yi j, j,,...,,,,..., P( X i j P( X i j, Yi j j, j,,..., P( Yi P( X i j, Yi j,,,..., j j Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 40

2 Σε µορφή πίνακα η διδιάστατη κατανοµή των Χ, Υ θα είναι: Y... margial... X margial... Με βάση τώρα το τ.δ. µεγέθους λαµβάνουµε τον πίνακα συνάφειας όπου Y... Total Ν Ν... Ν Κ X Ν Ν... Ν Κ Ν Ν... Ν Κ Total... #{ i : ( X, Y ( j, } j i i εκφράζει το πλήθος των ατόµων (από τα Ν τα οποία «ταξινοµούνται» στο κελί (j, (έχουν (Χ i, Y i (j,. Κάθε άτοµο ταξινοµείται στην θέση (j, του πίνακα συνάφειας µε πιθανότητα ij. Όµοια µε παραπάνω συµβολίζουµε µε, τα αθροίσµατα των γραµµών και των στηλών αντίστοιχα. Επιθυµούµε να ελέγξουµε αν οι Χ, Υ είναι ανεξάρτητες, δηλαδή την υπόθεση H :, για κάθε j,. 0 j Για τον έλεγχο της υπόθεσης αυτής µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το χ τεστ (χ του Pearso που περιγράψαµε σε προηγούµενη ενότητα (Παρ. 3. διότι είναι σαν να έχουµε έλεγχο καλής προσαρµογής της διδιάστατης κατανοµής j στην. Σύµφωνα µε το χ τεστ θα πρέπει να χρησι- µοποιήσουµε τη στατιστική συνάρτηση T ( j j η οποία (βλ. σχετική πρόταση στην Παρ 3.. κάτω από την H 0 : j, ακολουθεί (προσεγγιστικά κατανοµή χ µε β.ε. (θα πρέπει οι αναµενόµενες συχνότητες σε καθένα από τα I κελιά να είναι τουλάχιστον 5. υστυχώς όµως οι περιθώριες πιθανότητες, δεν είναι γνωστές και εποµένως θα πρέπει να τις εκτιµήσουµε από τα δεδοµένα (βλ. Παρατήρηση στην Παρ. 3.. Οι εκτιµήσεις τους είναι j, j,,...,,,,,..., και άρα τελικά θα χρησιµοποιήσουµε την στατιστική συνάρτηση (Pearso s Chi-Square statistic Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 4

3 T j ( j j ( j η οποία, υπό την Η 0 ακολουθεί (προσεγγιστικά χ κατανοµή µε ( ( ( ( β.ε. διότι ουσιαστικά εκτιµήσαµε τα,,..., ( j και τα,,..., ( ( και εκτιµήσεις αντίστοιχα. Υπό την H : j, (οι X,Y είναι εξαρτηµένες η παραπάνω στατιστική συνάρτηση θα λαµβάνει µεγάλες τιµές και εποµένως απορρίπτουµε την Η 0 (σε ε.σ. a όταν T j ( j > χ ( ( µε αντίστοιχο -value (αν t είναι η τιµή της T από τα δεδοµένα: Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 4 ( a : άνω a-σηµείο της χ κατανοµής µε ( ( β.ε value P T > t / H F (. χ ( ( ( 0 t Παρατήρηση. Ένας ασυµπτωτικά ισοδύναµος έλεγχος προκύπτει χρησιµοποιώντας το γενικευ- µένο λόγο πιθανοφανειών (του δείγµατος υπό την Η 0 και Η 0 Η αντίστοιχα. Συγκεκριµένα, αποδεικνύεται ότι η στατιστική συνάρτηση (Lielihood Ratio statistic L j j l j ακολουθεί και αυτή (ασυµπτωτικά, υπό την Η 0 κατανοµή χ µε ( ( β.ε. ενώ υπό την Η λαµβάνει µεγάλες τιµές. Συνεπώς απορρίπτουµε την Η 0 όταν L > χ ( µε αντίστοιχο value P L > l / H F (. χ ( I ( a ( ( ( 0 l Σηµειώνεται ότι οι L, T είναι ίσες ασυµπτωτικά (. Η κατανοµή της τ.µ. T συνήθως συγκλίνει πιο γρήγορα στην κατανοµή χ από ότι η κατανοµή της L. H χ προσέγγιση της κατανοµής του L δεν είναι καλή όταν / I < 5. Αντίθετα, το T προσεγγίζεται καλύτερα από την χ ακόµη και για / I µε την προϋπόθεση ο πίνακας να µην περιέχει πολύ µικρές ή σχετικά µεγάλες αναµενό- µενες συχνότητες. Εφαρµογή. (συνέχεια παραπάνω παραδείγµατος. Σε µία έρευνα για τη σχέση καπνίσµατος φύλου επιλέχθηκαν τυχαία 00 άτοµα σε κάθε ένα από τα οποία καταγράφηκε το φύλο και το αν είναι καπνιστής. Συγκεκριµένα έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: Κάπνισµα µη καπνιστής ( περιστασιακός καπνιστής ( καπνιστής (3 Σύνολο Γυναίκα (F Φύλο Άνδρας (M Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι υπάρχει σχέση µεταξύ των µεταβλητών φύλου καπνίσµατος; Είδαµε ότι στην συγκεκριµένη περίπτωση έχουµε ένα δείγµα µεγέθους 00 στο οποίο βρέθηκαν 8 γυναίκες µη καπνίστριες, 8 γυναίκες περιστασιακές καπνίστριες κ.ο.κ. Εδώ έχουµε 00 περιπτώσεις cases και δυο µεταβλητές:

4 - geder µε τιµές «Female», «Male» και - smoig µε τιµές «o smoig», «occasioally smoig», «smoig» Για να εισάγουµε τα δεδοµένα στο SPSS κανονικά θα πρέπει να περάσουµε τα 00 αυτά cases σε 00 γραµµές 8 από τις οποίες θα έχουν τιµές στις δυο µεταβλητές Female, o smoig, 6 θα έχουν τιµές Μale, o smoig κ.ο.κ. Είδαµε σε τέτοιες περιπτώσεις (όπου επαναλαµβάνονται γραµµές είναι προτιµότερο να χρησιµοποιούµε βάρη. Για το λόγο αυτό περνάµε µόνο τα 6 διαφορετικά cases και σε µια νέα µεταβλητή w τα αντίστοιχα βάρη: Ενεργοποιούµε τα βάρη (Data/weight cases by w και στη συνέχεια εκτελούµε Aalyze/Descritive Statistics/ Crosstabs/Rows:geder, Colums:smoig επιλέγοντας στα Cells:exected couts, total ercetages και στα Statistics: Chi-square. Λαµβάνονται οι πίνακες: GEDER * SMOIG Crosstabulatio GEDER Total Female Male % of Total % of Total % of Total SMOIG occasioaly o smoig smoig smoig Total ,3 5,8 0,9 58,0 8,0% 8,0%,0% 58,0% 6 4 4,7 4, 5, 4,0 6,0%,0% 4,0% 4,0% ,0 0,0 36,0 00,0 54,0% 0,0% 36,0% 00,0% και Pearso Chi-Square Lielihood Ratio of Valid Cases Chi-Square Tests Asym. Sig. Value df (-sided,968 a,7 3,5,07 00 a. cells (6,7% have exected cout less tha 5. The miimum exected cout is 4,0. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 43

5 Ο πρώτος πίνακας είναι ο γνωστός από την ενότητα πίνακας crosstabulatio που εδώ ουσιαστικά είναι ο πίνακας συνάφειας µαζί µε τις αναµενόµενες τιµές ( j / στο (j, κελί και τα ποσοστά των παρατηρήσεων σε κάθε κελί. Ο δεύτερος πίνακας είναι αυτός που µας δίνει την τιµή της στατιστικής συνάρτησης T (Pearso chi-square και της L (Lielihood Ratio. Οι βαθµοί ελευθερίας είναι ( (. Τα αντίστοιχα -value είναι 0.7 και 0.07 και εποµένως µε βάση τα συγκεκριµένα στοιχεία δεν µπορούµε να απορρίψουµε ότι οι δυο µεταβλητές είναι ανεξάρτητες. 4.. Έλεγχος οµογένειας σε πίνακες συνάφειας Σε αρκετές εφαρµογές, µόνο η µια µεταβλητή (π.χ. η Υ {,,,} µπορεί να θεωρηθεί τυχαία ενώ η άλλη µεταβλητή (η Χ {,,,} δεν µπορεί. Αυτό συµβαίνει όταν έχει προαποφασιστεί ότι θα επιλεγούν Ν άτοµα µε Χ, Ν άτοµα µε Χ,, Ν άτοµα µε Χ, δηλαδή έχουµε καθορισµένα αθροίσµατα γραµµών (ή ισοδύναµα στηλών. Π.χ. σε παραπάνω παράδειγµα που αφορά τη σχέση φύλου - καπνίσµατος το δείγµα µπορεί να επιλεγεί από τον ερευνητή έτσι ώ- στε να περιέχονται σε αυτό ακριβώς 58 γυναίκες και 4 άνδρες. Ή στο παράδειγµα που αφορά την σχέση µεταξύ της λήψης ενός φαρµάκου και της βελτίωσης της υγείας ενός ασθενούς, είναι σύνηθες να προκαθορίζεται ο αριθµός των ασθενών στους οποίους θα δοθεί το φάρµακο. Σε αυτές τις περιπτώσεις η µεταβλητή Χ µπορεί να θεωρηθεί ως «ερµηνευτική» και η άλλη (η τ.µ. Υ ως «µεταβλητή απόκρισης». Κάτω από αυτές τις συνθήκες δεν έχει νόηµα η διδιάστατη κατανοµή j που περιγράψαµε στην προηγούµενη παράγραφο. Εδώ, η πιθανότητα να ταξινοµηθεί ένα άτοµο στην (j, θέση του πίνακα συνάφειας είναι P( Y X. j j Σε µορφή πίνακα η κατανοµή της Υ για τις διάφορες «στάθµες» της Χ θα είναι: Y... Total... X Σε αυτές τις περιπτώσεις µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν η κατανοµή της Υ αλλάζει όταν αλλάζει τιµές η Χ. Πιο συγκεκριµένα µας ενδιαφέρει ο έλεγχος της υπόθεσης H...,,,..., 0 : δηλαδή ότι η Υ έχει την ίδια κατανοµή (,, Κ σε όλες τις γραµµές (σε όλες τις στάθµες της Χ. Ο έλεγχος αυτός καλείται έλεγχος οµογένειας (των κατανοµών της Y στις στάθµες της Χ. Από τα δεδοµένα, κατασκευάζουµε και πάλι τον ίδιο πίνακα συνάφειας (µε της Παρ. µόνο που τώρα τα αθροίσµατα των γραµµών Ν, Ν,, Ν δεν θεωρούνται τυχαία αλλά προκαθορισµένα. Και για τον έλεγχο αυτής της υπόθεσης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το Χ τεστ (Χ του Pearso. Συγκεκριµένα, η στατιστική συνάρτηση T j ( j η οποία αφορά την j-γραµµή, ακολουθεί (ασυµπτωτικά, υπό την Η 0 την χ κατανοµή µε Κ β.ε. Το άθροισµα των παραπάνω στατιστικών συναρτήσεων Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 44

6 T j T j ( j j θα αφορά όλον τον πίνακα και θα ακολουθεί και αυτό χ κατανοµή µε (Κ β.ε. (πρόκειται για άθροισµα ανεξάρτητων χι-τετράγωνο κατανοµών. υστυχώς και πάλι οι πιθανότητες (που εκφράζουν την κοινή κατανοµή της Y σε όλες τις στάθµες της Χ δεν είναι γνωστές και εποµένως θα πρέπει να εκτιµηθούν από τα δεδοµένα. Οι εκτιµήσεις τους θα είναι,,,..., και συνεπώς θα χρησιµοποιήσουµε την στατιστική συνάρτηση T j ( j j ( j η οποία ακολουθεί (ασυµπτωτικά, υπό την Η 0 την χ κατανοµή µε (Κ (Κ ( (Κ β.ε. (διότι έγιναν Κ εκτιµήσεις. Άρα τελικά για τον έλεγχο οµογένειας θα χρησιµοποιήσουµε ακριβώς την ίδια στατιστική συνάρτηση που χρησιµοποιήσαµε και για τον έλεγχο ανεξαρτησίας µε ίδια κρίσιµη περιοχή και ίδιο -value value P T > t / H F (. χ ( ( ( 0 t Εφαρµογή. (Παραλλαγή Εφαρµογής Σε µία έρευνα για τη σχέση καπνίσµατος φύλου αποφασίστηκε να επιλεχθούν τυχαία 58 γυναίκες και 4 άνδρες. Σε κάθε ένα από τα άτοµα αυτά καταγράφηκε το αν είναι καπνιστής ή όχι. Συγκεκριµένα έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: Κάπνισµα µη καπνιστής ( περιστασιακός καπνιστής ( καπνιστής (3 Σύνολο Γυναίκα (F Φύλο Άνδρας (M Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι οι άνδρες συµπεριφέρονται το ίδιο µε τις γυναίκες όσον αφορά το κάπνισµα (δηλ. η κατανοµή των µη καπνιστών, περιστ. καπνιστών, καπνιστών είναι ίδια στους άνδρες και στις γυναίκες; Τα δεδοµένα εδώ είναι ακριβώς τα ίδια µε αυτά της Εφαρµογής µε µόνη διαφορά ότι τώρα τα αθροίσµατα των γραµµών είναι προκαθορισµένα ενώ εδώ ουσιαστικά ζητείται έλεγχος οµογένειας (στο κάπνισµα µεταξύ ανδρών - γυναικών. Η επεξεργασία µε το SPSS είναι ακριβώς η ίδια µε αυτήν που περιγράφηκε στον έλεγχο ανεξαρτησίας (Εφαρµογή αφού όπως είδαµε παραπάνω η στατιστική συνάρτηση και το -value που χρησιµοποιούµε είναι ίδια είτε πρόκειται για έλεγχο οµογένειας είτε για έλεγχο ανεξαρτησίας. Κάτι που ίσως θα µας ενδιέφερε περισσότερο εδώ είναι τα (δειγµατικά ποσοστά ανά γραµµές (row ercetages διότι αυτά δείχνουν την κατανοµή της µεταβλητής smoig στις γυναίκες και στους άνδρες (αν φαίνεται ότι διαφέρουν «πολύ» οι δυο κατανοµές τότε περιµένουµε το τεστ χ να απορρίψει την υπόθεση της οµογένειας. Όπως λοιπόν γίνεται φανερό οι έλεγχοι ανεξαρτησίας και οµογένειας (σε πίνακα συνάφειας είναι τεχνικά οι ίδιοι, αλλάζει µόνο η ερµηνεία. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 45

7 4.3. Το ακριβές τεστ του Fisher (Fisher s exact test Στην περίπτωση που έχουµε έναν πίνακα συνάφειας µπορούµε να κάνουµε τους παραπάνω ελέγχους χρησιµοποιώντας το ακριβές τεστ του Fisher. Ο πίνακας συνάφειας έχει τη µορφή Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 46 X Y Total Ν Ν Ν Ν Total και µας ενδιαφέρει να ελέγξουµε κατά πόσο θεωρείται «τυχαία» µια πραγµατοποίηση του (δηλ. κατά πόσον είναι τυχαίες οι τιµές των Ν,Ν,Ν,Ν δεδοµένων των αθροισµάτων των γραµµών, και των στηλών,. Παρατηρούµε ότι αρκεί να ελέγξουµε κατά πόσο ήταν τυχαίο το Ν που εµφανίστηκε διότι δεδοµένων των αθροισµάτων των γραµµών και των στηλών τα Ν,Ν,Ν µπορούν να εξαχθούν από το. Έστω λοιπόν ότι από το δείγµα που πήραµε βρέθηκε ότι Ν. Η πιθανότητα να έχει συµβεί αυτό τυχαία δεδοµένου ότι,,, είναι (υπεργεωµετρική κατανοµή + διότι είναι σαν να τοποθετούµε τυχαία Ν + σφαίρες στα 4 κελιά έτσι ώστε στην πρώτη γραµµή να έχουµε σφαίρες και στην πρώτη στήλη σφαίρες και να ζητάµε την πιθανότητα να βρεθούν ακριβώς σφαίρες στο κελί (,. Αλλά ας δούµε πως µπορούµε να τοποθετήσουµε τυχαία + σφαίρες στα 4 κελιά έτσι ώστε στην πρώτη γραµµή να έχουµε σφαίρες και στην πρώτη στήλη σφαίρες: από τις + σφαίρες επιλέγουµε σφαίρες και τις «µαρκάρουµε» ως «Λευκές» (είναι οι σφαίρες που θα τοποθετηθούν στην πρώτη γραµµή και τις υπόλοιπες ως «Μαύρες». Στη συνέχεια ανακατεύουµε τις σφαίρες και από τις + επιλέγουµε τυχαία σφαίρες τις οποίες θα πρέπει να τοποθετήσουµε στην πρώτη στήλη. Όσες σφαίρες από αυτές είναι «Λευκές» θα τοποθετηθούν στην πρώτη γραµµή (κελί (, και οι υπόλοιπες στην δεύτερη γραµµή (κελί (,. Εποµένως, η πιθανότητα να βρεθούν σφαίρες στο κελί (, είναι η πιθανότητα να υπάρχουν «Λευκές» σφαίρες ανάµεσα στις οι οποίες επιλέχθηκαν τυχαία από «Λευκές» και «Μαύρες» σφαίρες. ηλαδή πρόκειται για το γνωστό µοντέλο της υπεργεωµετρικής κατανοµής. Το -value του ελέγχου της υπόθεσης Η 0 : το αποτέλεσµα στα 4 κελιά είναι τυχαίο (δεδοµένων των αθροισµάτων των γραµµών και των στηλών είναι ίσο µε την πιθανότητα (υπό την H 0 να εµφανιστεί το δείγµα που εµφανίστηκε και ακόµη πιο «ακραίο» από αυτό, δηλαδή i i value, ή i value i 0 + i i, + ανάλογα µε το αν < E( ή > E( αντίστοιχα. Το παραπάνω -value αντιστοιχεί σε µονόπλευρο έλεγχο. Για δίπλευρο έλεγχο συνήθως λαµβάνεται το

8 i i i i value + (εάν <, i i [ 0.5] και ανάλογα αν. Παρατήρηση. Για πίνακες ο Yates (934 πρότεινε αντί της στατιστικής συνάρτησης ( Observed Exected T Exected που χρησιµοποιείται για το χ τεστ, να χρησιµοποιείται η «διορθωµένη»: ( Observed Exected 0.5 T corr Exected Η «διόρθωση» αυτή δεν γίνεται για να πάρουµε καλύτερη προσέγγιση της χ κατανοµής (εξάλλου αποδεικνύεται ότι για αυτό το σκοπό, η T είναι καλύτερη από την Τ corr, αλλά για να πάρουµε - value πιο κοντά στο -value που προκύπτει από το Fisher s exact test. Εποµένως, η διόρθωση αυτή γίνεται όταν θέλουµε και δεν µπορούµε να υπολογίσουµε το -value του Fisher s exact test. Πάντως, σήµερα µε την χρήση των Η/Υ ο ακριβής υπολογισµός του -value του Fisher s exact test είναι εφικτός ακόµη και για µεγάλα δείγµατα και εποµένως η διόρθωση αυτή έχει µικρότερη αξία από αυτήν που είχε στο παρελθόν. Εφαρµογή 3. Προκειµένου να εξετασθεί αν ένα σκεύασµα Α µειώνει τα επίπεδα χοληστερίνης στον οργανισµό επιλέχθηκαν 00 άτοµα, στα 60 από τα οποία χορηγήθηκε το σκεύασµα Α ενώ στα υπόλοιπα 40 χορηγήθηκε lacebo (ανενεργό σκεύασµα όµοιο εξωτερικά µε το Α. Και στα 00 ά- τοµα καταγράφηκε το επίπεδο χοληστερίνης (σε δύο στάθµες: χαµηλό υψηλό. Τα αποτελέσµατα καταγράφονται στον παρακάτω πίνακα: Επίπεδο Χοληστερίνης Χαµηλό Υψηλό Σύνολο Σκεύασµα Α lacebo 8 40 Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης; Εδώ έχουµε 00 περιπτώσεις cases και δυο µεταβλητές: - chol µε τιµές «low», «high» και - drug µε τιµές «A», «lacebo» Εδώ ουσιαστικά πρόκειται για έλεγχο οµογένειας (τα αθροίσµατα των γραµµών είναι προκαθορισµένα. Για να εισάγουµε τα δεδοµένα στο SPSS θα χρησιµοποιήσουµε βάρη. Περνάµε µόνο τα 4 διαφορετικά cases και σε µια νέα µεταβλητή w τα αντίστοιχα βάρη: Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 47

9 Ενεργοποιούµε τα βάρη (Data/weight cases by w και στη συνέχεια εκτελούµε Aalyze/Descritive Statistics/ Crosstabs/Rows: drug, Colums: chol επιλέγοντας στα Cells:exected couts, row ercetages και στα Statistics: Chi-square. Λαµβάνονται οι πίνακες: DRUG * CHOL Crosstabulatio DRUG Total A lacebo % withi DRUG % withi DRUG % withi DRUG CHOL high low Total ,4 48,6 60,0,7% 88,3% 00,0% ,6 3,4 40,0 30,0% 70,0% 00,0% ,0 8,0 00,0 9,0% 8,0% 00,0% και Pearso Chi-Square Cotiuity Correctio a Lielihood Ratio Fisher's Exact Test of Valid Cases Chi-Square Tests Asym. Sig. Value df (-sided 5,4 b,0 4,8,04 5,48,03 00 a. Comuted oly for a x table Exact Sig. (-sided Exact Sig. (-sided,036,0 b. 0 cells (,0% have exected cout less tha 5. The miimum exected cout is 7,60. Ο πρώτος πίνακας είναι ο πίνακας συνάφειας µαζί µε τις αναµενόµενες τιµές και τα ποσοστά των παρατηρήσεων σε κάθε κελί (µε άθροισµα 00% ανά γραµµή. Ο δεύτερος πίνακας δίνει την τιµή της στατιστικής συνάρτησης T (Pearso chi-square, της T µε «διόρθωση» (cotiuity correctio, βλ. Παρατήρηση και της L (Lielihood Ratio. Οι βαθµοί ελευθερίας είναι ( (. Τα αντίστοιχα -value είναι 0.0, 0.04 και Επίσης δίνεται και η τιµή του -value (0.036 το δίπλευρο και 0.0 το µονόπλευρο που προκύπτει από το Fisher s exact test. Εποµένως, µε βάση τα παραπάνω απορρίπτουµε ότι οι υπάρχει οµογένεια του επιπέδου χοληστερίνης στις δυο «στάθ- µες» της drug (ε.σ. 5%. Με άλλα λόγια κρίνουµε ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης (µε ε.σ. 5%. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 48

10 4.4. Έλεγχος για τη διαφορά ποσοστών από ζευγαρωτές παρατηρήσεις (Mcemar τεστ. Στην παράγραφο.3. είδαµε πως µπορούµε να κάνουµε έλεγχο για τη διαφορά των µέσων όταν έχουµε ζευγαρωτές παρατηρήσεις. Συγκεκριµένα, είχαµε παρατηρήσεις (από την κανονική κατανοµή που αφορούν τα ίδια άτοµα «πριν» (X,X,,X και «µετά» (Y,Y,,Y την επίδραση κάποιου παράγοντα (π.χ. «θεραπείας» και επιθυµούσαµε να εξετάσουµε αν η διαφορά δ E(Y i E(X i είναι µηδενική (προφανώς τα Χ,Χ,,Χ και Υ,Υ,,Υ δεν είναι ανεξάρτητα και εποµένως δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε t τεστ για ανεξάρτητα δείγµατα. Σε εκείνη την περίπτωση συνεχίζαµε την ανάλυση χρησιµοποιώντας τις (ανεξάρτητες διαφορές Z i Y i X i, i,,,. Κάτι ανάλογο µπορεί να εµφανιστεί και όταν εξετάζουµε ποσοστά (π.χ. ενός κόµµατος «πριν» και «µετά» την επίδραση κάποιου παράγοντα (π.χ. ενός τηλεοπτικού debate. Πιο συγκεκρι- µένα, έστω Χ, Χ,, Χ δίτιµες (0- παρατηρήσεις «πριν» (µε P(X i P(X i 0 Χ και Υ, Υ,, Υ δίτιµες (0- παρατηρήσεις «µετά» (µε P(Υ i P(Υ i 0 Υ την επίδραση κάποιου παράγοντα (Π.χ. Χ, Y i 0 αν το i-άτοµο υποστήριζε το κόµµα Α «πριν» και όχι το κόµµα Α «µετά» το debate κ.ο.κ. και επιθυµούµε να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : X Y (ίδιο ποσοστό «πριν» και «µετά» την επίδραση. Οι δυνατές περιπτώσεις εδώ είναι 4 ((Χ,Υ {(0,0, (,0, (0,, (,} και για µια πιο εποπτική παρουσίαση των αποτελεσµάτων µπορούµε να κατασκευάσουµε τον πίνακα «µετά» (Υ 0 Total «πριν» (Χ 0 a b a + b c d c + d Total a + c b + d a + b + c + d Όπου a είναι το πλήθος των «ατόµων» του δείγµατος που είχαν 0 «πριν» και 0 «µετά» την επίδραση (πλήθος από (X i, Y i που είναι ίσα µε (0, 0 κ.ο.κ. Για να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : Χ Υ θα ακολουθήσουµε την ίδια µέθοδο που χρησιµοποιήσαµε για τον έλεγχο των µέσων ζευγαρωτών παρατηρήσεων. Θεωρώντας τις διαφορές Ζ i Y i X i, i,,, για µεγάλο δείγµα ισχύει ότι η στατιστική συνάρτηση T i Z E( Z ~ (0, V ( Z i ακολουθεί τυπική κανονική κατανοµή. Επειδή τώρα, i i i i i Z Y X b c, i και E ( Z E( Y E( X Y X 0 ( Z E( Z ( P( Z + 0 P( Z 0 + P( Z P( Y 0, X + P( Y, X V i η οποία εκτιµάται από το c/ + b/, θα ισχύει, για µεγάλο και υπό την H 0, ότι T Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 49 i H0 Zi E( Z ( b c ~ (0, V ( Z b + c ή ισοδύναµα (προσεγγιστικά, ( b c T ~ χ b + c Όταν ισχύει η Η : Χ Υ, η T λαµβάνει µεγάλες τιµές και εποµένως θα απορρίπτεται (σε ε.σ. α η Η 0 όταν 0

11 ( b c T > χ ( a : άνω α-σηµείο της χ µε β.ε. b + c µε αντίστοιχο -value (από δείγµα που έδωσε T τ: value P( T ( b c > τ F ( τ F (. χ χ b + c Παρατήρηση 3. Παρατηρούµε ότι το παραπάνω τεστ βασίζεται σε µια στατιστική συνάρτηση η οποία εξαρτάται µόνο από τα b, c (και όχι και στα a, d όπως θα περίµενε κανείς. Με βάση αυτή την παρατήρηση, ένας εναλλακτικός τρόπος για τον έλεγχο της υπόθεσης Η 0 : Χ Υ γίνεται δεσµεύοντας ως προς το άθροισµα αυτών των δύο ποσοτήτων. εσµεύοντας λοιπόν ως προς το * b + c και υπό την Η 0, το b ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους * και /. Θα απορρίπτεται η Η 0 όταν το b διαφέρει «αρκετά» από την αναµενόµενή του τιµή * / (υπό την H 0, και εποµένως το -value (που είναι η πιθανότητα να εµφανιστεί το δείγµα που εµφανίστηκε, και ακόµη πιο ακραίο από αυτό θα είναι, * b * * * * i i i i value + ( ( (αν b < * / * i 0 i i b i και ανάλογα αν b > * /. Για µεγάλo * το παραπάνω -value συγκλίνει στο -value που περιγράφηκε στην προηγούµενη παράγραφο, F χ (( b c /( b + c. Το συγκεκριµένο τεστ ή το ισοδύνα- µό του για µεγάλο * (δηλ. το τεστ της Παραγράφου 4.4 είναι γνωστό και ως Mcemar τεστ. Εφαρµογή 4. (Παραλλαγή της Εφαρµογής 3 Προκειµένου να εξετασθεί αν ένα σκεύασµα Α µειώνει τα επίπεδα χοληστερίνης στον οργανισµό επιλέχθηκαν 00 άτοµα, στα οποία µετρήθηκε το επίπεδο χοληστερίνης (χαµηλό, υψηλό. Στη συνέχεια τους χορηγήθηκε το σκεύασµα Α και µετά από κάποιο χρονικό διάστηµα καταγράφηκαν το νέα επίπεδα χοληστερίνης (χαµηλό, υψηλό στα 00 αυτά άτοµα. Τα αποτελέσµατα καταγράφονται στον παρακάτω πίνακα: «µετά» τη χορήγηση του Α Χαµηλό Υψηλό Σύνολο «πριν» τη χορήγηση του Α Χαµηλό Υψηλό 8 40 Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης; Εδώ έχουµε 00 περιπτώσεις cases και δυο µεταβλητές: - c_before µε τιµές «low», «high» και - c_after µε τιµές «low», «high» Εδώ ουσιαστικά πρόκειται για έλεγχο για τη διαφορά ποσοστών «πριν» και «µετά» τη χορήγηση ενός φαρµάκου. Για να εισάγουµε τα δεδοµένα στο SPSS θα χρησιµοποιήσουµε και πάλι βάρη. Περνάµε µόνο τα 4 διαφορετικά cases και σε µια νέα µεταβλητή w τα αντίστοιχα βάρη: Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 50

12 Ενεργοποιούµε τα βάρη (Data/weight cases by w και στη συνέχεια εκτελούµε Aalyze/Descritive Statistics/ Crosstabs/Rows: c_before, Colums: c_after επιλέγοντας στα Cells:exected couts και στα Statistics: Mc-emar. Λαµβάνονται οι πίνακες: C_BEFORE * C_AFTER Crosstabulatio C_BEFORE Total high low C_AFTER high low Total ,6 3,4 40, ,4 48,6 60, ,0 8,0 00,0 και Chi-Square Tests Value Mcemar Test of Valid Cases 00 a. Biomial distributio used. Exact Sig. (-sided,00 a Ο πρώτος πίνακας είναι και πάλι ο πίνακας συνάφειας µαζί µε τις αναµενόµενες τιµές. Ο δεύτερος πίνακας δίνει την τιµή του -value για το Mcemar τεστ (έχει υπολογιστεί χρησιµοποιώντας την διωνυµική κατανοµή, βλ. Παρατήρηση 3. Σύµφωνα µε το -value απορρίπτουµε την υπόθεση ότι η πιθανότητα υψηλού επιπέδου χοληστερίνης «πριν» και «µετά» τη χορήγηση του σκευάσµατος Α είναι ίδια. ηλαδή, µπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης (ε.σ. 5%. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 5

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodness of fit tests)

Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodness of fit tests) Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodess of ft tests) Ένα σηµαντικό πρόβληµα στην στατιστική είναι η εξεύρεση πληροφορίας σχετικά µε την µορφή της κατανοµής από την οποία προέρχεται ένα τυχαίο δείγµα.

Διαβάστε περισσότερα

Η εύρεση της πιθανής σχέσης μεταξύ δύο ποιοτικών μεταβλητών επιτυγχάνεται

Η εύρεση της πιθανής σχέσης μεταξύ δύο ποιοτικών μεταβλητών επιτυγχάνεται ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ Εξέταση της σχέσης δυο μεταβλητών Μία στατιστική ανάλυση δεν περιορίζεται ποτέ στη μελέτη μίας μεταβλητής, αλλά πάντοτε απαιτείται η μελέτη της σχέσης μεταξύ δύο ή και περισσότερων μεταβλητών.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικό κριτήριο χ 2

Στατιστικό κριτήριο χ 2 18 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Στατιστικό κριτήριο χ 2 Ο υπολογισµός του κριτηρίου χ 2 γίνεται µέσω του µενού [Statistics => Summarize => Crosstabs...]. Κατά τη συγκεκριµένη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχοι: (a) να δοθεί µια εισαγωγή στη θεωρία της στατιστικής συµπερασµατολογίας ελέγχων υποθέσεων, (b) να παρουσιάσει τις βασικές εφαρµογές αυτών των ελέγχων: µέσης τιµής, ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια Κεφάλαιο 7 Μη Παραµετρικά Κριτήρια Παραµετρικά Κριτήρια Τα παραµετρικά κριτήρια είναι στατιστικά κριτήρια που απαιτούν την ικανοποίηση συγκεκριµένων προϋποθέσεων είτε αναφορικά µε συγκεκριµένες παραµέτρους

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 20062007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 9 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 42 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

«ΘΥΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΦΟΒΟΣ ΤΟΥ ΕΓΚΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ»

«ΘΥΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΦΟΒΟΣ ΤΟΥ ΕΓΚΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ» Ελληνική Εταιρεία Μελέτης της Διαταραχής Εθισμού στο Διαδίκτυο 3ο Πανελλήνιο Διεπιστημονικό Συνέδριο E-LIFE 2013 Κινηματογράφος ΔΑΝΑΟΣ - Αθήνα, 1-2 Νοεμβρίου 2013 «ΘΥΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΦΟΒΟΣ ΤΟΥ ΕΓΚΛΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Επιστηµονική Επιµέλεια: ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Καταρχήν Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι εν απαιτούν κανονικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ 1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Εκτίμηση χαρακτηριστικών ελέγχων υποθέσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Εκτίμηση χαρακτηριστικών ελέγχων υποθέσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Εκτίμηση χαρακτηριστικών ελέγχων υποθέσεων Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε μία εφαρμογή της τεχνικής της προσομοίωσης στους στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων. Συγκεκριμένα θα δούμε πως μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΟΘΕΡΑΠΕΙΑΣ. Μεγγίσογλου Ευθυμία Ξενογιώργη Αικατερίνη Σβολιανίτη Χριστίνα

ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΟΘΕΡΑΠΕΙΑΣ. Μεγγίσογλου Ευθυμία Ξενογιώργη Αικατερίνη Σβολιανίτη Χριστίνα ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΟΘΕΡΑΠΕΙΑΣ Σπουδάστριες Γιαννιού Λαμπρινή Μεγγίσογλου Ευθυμία Ξενογιώργη Αικατερίνη Σβολιανίτη Χριστίνα Εισηγητής Ταφιάδης Χρ.Διονύσης «Η γλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγική Στατιστική. Εισαγωγή Βασικές έννοιες

Επαγωγική Στατιστική. Εισαγωγή Βασικές έννοιες Επαγωγική Στατιστική Εισαγωγή Βασικές έννοιες Επαγωγική Στατιστική Πως μπορούμε να συγκρίνουμε μεταβλητές μεταξύ τους? Διαφορά συγκρίνοντας το μέσο μιας μεταβλητής (λόγος ή διάστημα) στις ομάδες πχ. t-test

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39 41 Περιεχόμενα Ξενάγηση στο βιβλίο 25 Ξενάγηση στο συνοδευτικό CD 27 Εισαγωγή 29 Ευχαριστίες 33 Οι βασικές διαφορές μεταξύ του SPSS 16 και των προηγούμενων εκδόσεων 35 Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37 1 Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Ας θεωρήσουμε ότι είναι γνωστό από στοιχεία της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας ότι οι τιμές χοληστερίνης στον πληθυσμό έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 3 ΙΙ. ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ. Σχολείο Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Συχνότητα Γυµνάσιο 773 37.93% Λύκειο 1006 49.36% ΤΕΕ 259 12.71%

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα