Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)"

Transcript

1 Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ φύλου (άντρας γυναίκα και καπνίσµατος (µη καπνιστής, περιστασιακός καπνιστής, καπνιστής ή την σχέση µεταξύ της λήψης ενός φαρµάκου (λήψη φαρµάκου, µη λήψη φαρµάκου και της βελτίωσης της υγείας ενός ασθενούς (βελτίωση, µη βελτίωση κ.ο.κ. Για τον σκοπό αυτό λαµβάνεται δείγµα µεγέθους και για κάθε ένα άτοµο του δείγµατος καταγράφονται οι τιµές των δύο αυτών µεταβλητών, δηλαδή λαµβάνεται ένα δείγµα της µορφής (Χ,Υ, (Χ,Υ,, (Χ,Y όπου οι Χ i, Y i είναι κατηγορικές µεταβλητές (λαµβάνουν πεπερασµένο πλήθος τιµών. Για το παράδειγµα που αφορά τη σχέση µεταξύ φύλου - καπνίσµατος, έστω ότι λαµβάνεται δείγµα 00 (ενήλικων ανθρώπων και για το i-άτοµο καταγράφεται το φύλο (Χ i Γ: γυναίκα ή Α: άνδρας και το αν είναι καπνιστής (Υ i : µη καπνιστής, : περιστασιακός καπνιστής, 3: καπνιστής, i,,,. Το δείγµα µπορεί π.χ. να έχει την µορφή: (Γ,, (Γ,, (Α,3, (Α,, (Α,, (Γ,, κ.ο.κ. Για την καλύτερη παρουσίαση των αποτελεσµάτων µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν πίνακα που να δείχνει συγκεντρωτικά πόσες φορές εµφανίστηκε κάθε µια από τις 3 6 διαφορετικές περιπτώσεις: (Γ, (γυναίκα µη καπνίστρια, (Γ, (γυναίκα περιστασιακή καπνίστρια, (Γ,3 (γυναίκα καπνίστρια, (Α, (άνδρας µη καπνιστής, (Α, (άνδρας περιστασιακός καπνιστής, (Α,3 (άνδρας καπνιστής. Ο πίνακας αυτός, ο οποίος καλείται πίνακας συνάφειας, π.χ. θα έχει την µορφή (πρόκειται για φανταστικά δεδοµένα : Φύλο Κάπνισµα µη καπνιστής περιστασιακός καπνιστής καπνιστής Σύνολο Γυναίκα Άνδρας Σύνολο Μπορούµε µε βάση το δείγµα αυτό (στο οποίο παρατηρήθηκαν 8 γυναίκες µη καπνίστριες, 6 άνδρες µη καπνιστές κ.τ.λ. να πούµε ότι υπάρχει σχέση µεταξύ φύλου και καπνίσµατος (σε ε.σ. 5%; Πριν απαντήσουµε σε αυτή την ερώτηση ας εξετάσουµε το πρόβληµα γενικότερα µέσα από δύο µοντέλα. 4.. Έλεγχος ανεξαρτησίας σε πίνακες συνάφειας εν είναι λίγες οι περιπτώσεις όπου οι µεταβλητές Χ i, Y i µπορούν να θεωρηθούν τυχαίες µεταβλητές. Για ευκολία ας υποθέσουµε ότι λαµβάνουν τιµές στα σύνολα {,,,} και {,,,} αντίστοιχα (µπορούµε να υποθέσουµε οποιαδήποτε πεπερασµένα σύνολα. Θεωρούµε τα ζεύγη των τ.µ. (Χ,Υ,,(Χ,Y ανεξάρτητα µεταξύ τους και ισόνοµα µε κοινή από κοινού συνάρτηση πιθανότητας και περιθώριες σ.π. P( X i j, Yi j, j,,...,,,,..., P( X i j P( X i j, Yi j j, j,,..., P( Yi P( X i j, Yi j,,,..., j j Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 40

2 Σε µορφή πίνακα η διδιάστατη κατανοµή των Χ, Υ θα είναι: Y... margial... X margial... Με βάση τώρα το τ.δ. µεγέθους λαµβάνουµε τον πίνακα συνάφειας όπου Y... Total Ν Ν... Ν Κ X Ν Ν... Ν Κ Ν Ν... Ν Κ Total... #{ i : ( X, Y ( j, } j i i εκφράζει το πλήθος των ατόµων (από τα Ν τα οποία «ταξινοµούνται» στο κελί (j, (έχουν (Χ i, Y i (j,. Κάθε άτοµο ταξινοµείται στην θέση (j, του πίνακα συνάφειας µε πιθανότητα ij. Όµοια µε παραπάνω συµβολίζουµε µε, τα αθροίσµατα των γραµµών και των στηλών αντίστοιχα. Επιθυµούµε να ελέγξουµε αν οι Χ, Υ είναι ανεξάρτητες, δηλαδή την υπόθεση H :, για κάθε j,. 0 j Για τον έλεγχο της υπόθεσης αυτής µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το χ τεστ (χ του Pearso που περιγράψαµε σε προηγούµενη ενότητα (Παρ. 3. διότι είναι σαν να έχουµε έλεγχο καλής προσαρµογής της διδιάστατης κατανοµής j στην. Σύµφωνα µε το χ τεστ θα πρέπει να χρησι- µοποιήσουµε τη στατιστική συνάρτηση T ( j j η οποία (βλ. σχετική πρόταση στην Παρ 3.. κάτω από την H 0 : j, ακολουθεί (προσεγγιστικά κατανοµή χ µε β.ε. (θα πρέπει οι αναµενόµενες συχνότητες σε καθένα από τα I κελιά να είναι τουλάχιστον 5. υστυχώς όµως οι περιθώριες πιθανότητες, δεν είναι γνωστές και εποµένως θα πρέπει να τις εκτιµήσουµε από τα δεδοµένα (βλ. Παρατήρηση στην Παρ. 3.. Οι εκτιµήσεις τους είναι j, j,,...,,,,,..., και άρα τελικά θα χρησιµοποιήσουµε την στατιστική συνάρτηση (Pearso s Chi-Square statistic Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 4

3 T j ( j j ( j η οποία, υπό την Η 0 ακολουθεί (προσεγγιστικά χ κατανοµή µε ( ( ( ( β.ε. διότι ουσιαστικά εκτιµήσαµε τα,,..., ( j και τα,,..., ( ( και εκτιµήσεις αντίστοιχα. Υπό την H : j, (οι X,Y είναι εξαρτηµένες η παραπάνω στατιστική συνάρτηση θα λαµβάνει µεγάλες τιµές και εποµένως απορρίπτουµε την Η 0 (σε ε.σ. a όταν T j ( j > χ ( ( µε αντίστοιχο -value (αν t είναι η τιµή της T από τα δεδοµένα: Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 4 ( a : άνω a-σηµείο της χ κατανοµής µε ( ( β.ε value P T > t / H F (. χ ( ( ( 0 t Παρατήρηση. Ένας ασυµπτωτικά ισοδύναµος έλεγχος προκύπτει χρησιµοποιώντας το γενικευ- µένο λόγο πιθανοφανειών (του δείγµατος υπό την Η 0 και Η 0 Η αντίστοιχα. Συγκεκριµένα, αποδεικνύεται ότι η στατιστική συνάρτηση (Lielihood Ratio statistic L j j l j ακολουθεί και αυτή (ασυµπτωτικά, υπό την Η 0 κατανοµή χ µε ( ( β.ε. ενώ υπό την Η λαµβάνει µεγάλες τιµές. Συνεπώς απορρίπτουµε την Η 0 όταν L > χ ( µε αντίστοιχο value P L > l / H F (. χ ( I ( a ( ( ( 0 l Σηµειώνεται ότι οι L, T είναι ίσες ασυµπτωτικά (. Η κατανοµή της τ.µ. T συνήθως συγκλίνει πιο γρήγορα στην κατανοµή χ από ότι η κατανοµή της L. H χ προσέγγιση της κατανοµής του L δεν είναι καλή όταν / I < 5. Αντίθετα, το T προσεγγίζεται καλύτερα από την χ ακόµη και για / I µε την προϋπόθεση ο πίνακας να µην περιέχει πολύ µικρές ή σχετικά µεγάλες αναµενό- µενες συχνότητες. Εφαρµογή. (συνέχεια παραπάνω παραδείγµατος. Σε µία έρευνα για τη σχέση καπνίσµατος φύλου επιλέχθηκαν τυχαία 00 άτοµα σε κάθε ένα από τα οποία καταγράφηκε το φύλο και το αν είναι καπνιστής. Συγκεκριµένα έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: Κάπνισµα µη καπνιστής ( περιστασιακός καπνιστής ( καπνιστής (3 Σύνολο Γυναίκα (F Φύλο Άνδρας (M Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι υπάρχει σχέση µεταξύ των µεταβλητών φύλου καπνίσµατος; Είδαµε ότι στην συγκεκριµένη περίπτωση έχουµε ένα δείγµα µεγέθους 00 στο οποίο βρέθηκαν 8 γυναίκες µη καπνίστριες, 8 γυναίκες περιστασιακές καπνίστριες κ.ο.κ. Εδώ έχουµε 00 περιπτώσεις cases και δυο µεταβλητές:

4 - geder µε τιµές «Female», «Male» και - smoig µε τιµές «o smoig», «occasioally smoig», «smoig» Για να εισάγουµε τα δεδοµένα στο SPSS κανονικά θα πρέπει να περάσουµε τα 00 αυτά cases σε 00 γραµµές 8 από τις οποίες θα έχουν τιµές στις δυο µεταβλητές Female, o smoig, 6 θα έχουν τιµές Μale, o smoig κ.ο.κ. Είδαµε σε τέτοιες περιπτώσεις (όπου επαναλαµβάνονται γραµµές είναι προτιµότερο να χρησιµοποιούµε βάρη. Για το λόγο αυτό περνάµε µόνο τα 6 διαφορετικά cases και σε µια νέα µεταβλητή w τα αντίστοιχα βάρη: Ενεργοποιούµε τα βάρη (Data/weight cases by w και στη συνέχεια εκτελούµε Aalyze/Descritive Statistics/ Crosstabs/Rows:geder, Colums:smoig επιλέγοντας στα Cells:exected couts, total ercetages και στα Statistics: Chi-square. Λαµβάνονται οι πίνακες: GEDER * SMOIG Crosstabulatio GEDER Total Female Male % of Total % of Total % of Total SMOIG occasioaly o smoig smoig smoig Total ,3 5,8 0,9 58,0 8,0% 8,0%,0% 58,0% 6 4 4,7 4, 5, 4,0 6,0%,0% 4,0% 4,0% ,0 0,0 36,0 00,0 54,0% 0,0% 36,0% 00,0% και Pearso Chi-Square Lielihood Ratio of Valid Cases Chi-Square Tests Asym. Sig. Value df (-sided,968 a,7 3,5,07 00 a. cells (6,7% have exected cout less tha 5. The miimum exected cout is 4,0. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 43

5 Ο πρώτος πίνακας είναι ο γνωστός από την ενότητα πίνακας crosstabulatio που εδώ ουσιαστικά είναι ο πίνακας συνάφειας µαζί µε τις αναµενόµενες τιµές ( j / στο (j, κελί και τα ποσοστά των παρατηρήσεων σε κάθε κελί. Ο δεύτερος πίνακας είναι αυτός που µας δίνει την τιµή της στατιστικής συνάρτησης T (Pearso chi-square και της L (Lielihood Ratio. Οι βαθµοί ελευθερίας είναι ( (. Τα αντίστοιχα -value είναι 0.7 και 0.07 και εποµένως µε βάση τα συγκεκριµένα στοιχεία δεν µπορούµε να απορρίψουµε ότι οι δυο µεταβλητές είναι ανεξάρτητες. 4.. Έλεγχος οµογένειας σε πίνακες συνάφειας Σε αρκετές εφαρµογές, µόνο η µια µεταβλητή (π.χ. η Υ {,,,} µπορεί να θεωρηθεί τυχαία ενώ η άλλη µεταβλητή (η Χ {,,,} δεν µπορεί. Αυτό συµβαίνει όταν έχει προαποφασιστεί ότι θα επιλεγούν Ν άτοµα µε Χ, Ν άτοµα µε Χ,, Ν άτοµα µε Χ, δηλαδή έχουµε καθορισµένα αθροίσµατα γραµµών (ή ισοδύναµα στηλών. Π.χ. σε παραπάνω παράδειγµα που αφορά τη σχέση φύλου - καπνίσµατος το δείγµα µπορεί να επιλεγεί από τον ερευνητή έτσι ώ- στε να περιέχονται σε αυτό ακριβώς 58 γυναίκες και 4 άνδρες. Ή στο παράδειγµα που αφορά την σχέση µεταξύ της λήψης ενός φαρµάκου και της βελτίωσης της υγείας ενός ασθενούς, είναι σύνηθες να προκαθορίζεται ο αριθµός των ασθενών στους οποίους θα δοθεί το φάρµακο. Σε αυτές τις περιπτώσεις η µεταβλητή Χ µπορεί να θεωρηθεί ως «ερµηνευτική» και η άλλη (η τ.µ. Υ ως «µεταβλητή απόκρισης». Κάτω από αυτές τις συνθήκες δεν έχει νόηµα η διδιάστατη κατανοµή j που περιγράψαµε στην προηγούµενη παράγραφο. Εδώ, η πιθανότητα να ταξινοµηθεί ένα άτοµο στην (j, θέση του πίνακα συνάφειας είναι P( Y X. j j Σε µορφή πίνακα η κατανοµή της Υ για τις διάφορες «στάθµες» της Χ θα είναι: Y... Total... X Σε αυτές τις περιπτώσεις µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν η κατανοµή της Υ αλλάζει όταν αλλάζει τιµές η Χ. Πιο συγκεκριµένα µας ενδιαφέρει ο έλεγχος της υπόθεσης H...,,,..., 0 : δηλαδή ότι η Υ έχει την ίδια κατανοµή (,, Κ σε όλες τις γραµµές (σε όλες τις στάθµες της Χ. Ο έλεγχος αυτός καλείται έλεγχος οµογένειας (των κατανοµών της Y στις στάθµες της Χ. Από τα δεδοµένα, κατασκευάζουµε και πάλι τον ίδιο πίνακα συνάφειας (µε της Παρ. µόνο που τώρα τα αθροίσµατα των γραµµών Ν, Ν,, Ν δεν θεωρούνται τυχαία αλλά προκαθορισµένα. Και για τον έλεγχο αυτής της υπόθεσης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το Χ τεστ (Χ του Pearso. Συγκεκριµένα, η στατιστική συνάρτηση T j ( j η οποία αφορά την j-γραµµή, ακολουθεί (ασυµπτωτικά, υπό την Η 0 την χ κατανοµή µε Κ β.ε. Το άθροισµα των παραπάνω στατιστικών συναρτήσεων Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 44

6 T j T j ( j j θα αφορά όλον τον πίνακα και θα ακολουθεί και αυτό χ κατανοµή µε (Κ β.ε. (πρόκειται για άθροισµα ανεξάρτητων χι-τετράγωνο κατανοµών. υστυχώς και πάλι οι πιθανότητες (που εκφράζουν την κοινή κατανοµή της Y σε όλες τις στάθµες της Χ δεν είναι γνωστές και εποµένως θα πρέπει να εκτιµηθούν από τα δεδοµένα. Οι εκτιµήσεις τους θα είναι,,,..., και συνεπώς θα χρησιµοποιήσουµε την στατιστική συνάρτηση T j ( j j ( j η οποία ακολουθεί (ασυµπτωτικά, υπό την Η 0 την χ κατανοµή µε (Κ (Κ ( (Κ β.ε. (διότι έγιναν Κ εκτιµήσεις. Άρα τελικά για τον έλεγχο οµογένειας θα χρησιµοποιήσουµε ακριβώς την ίδια στατιστική συνάρτηση που χρησιµοποιήσαµε και για τον έλεγχο ανεξαρτησίας µε ίδια κρίσιµη περιοχή και ίδιο -value value P T > t / H F (. χ ( ( ( 0 t Εφαρµογή. (Παραλλαγή Εφαρµογής Σε µία έρευνα για τη σχέση καπνίσµατος φύλου αποφασίστηκε να επιλεχθούν τυχαία 58 γυναίκες και 4 άνδρες. Σε κάθε ένα από τα άτοµα αυτά καταγράφηκε το αν είναι καπνιστής ή όχι. Συγκεκριµένα έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: Κάπνισµα µη καπνιστής ( περιστασιακός καπνιστής ( καπνιστής (3 Σύνολο Γυναίκα (F Φύλο Άνδρας (M Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι οι άνδρες συµπεριφέρονται το ίδιο µε τις γυναίκες όσον αφορά το κάπνισµα (δηλ. η κατανοµή των µη καπνιστών, περιστ. καπνιστών, καπνιστών είναι ίδια στους άνδρες και στις γυναίκες; Τα δεδοµένα εδώ είναι ακριβώς τα ίδια µε αυτά της Εφαρµογής µε µόνη διαφορά ότι τώρα τα αθροίσµατα των γραµµών είναι προκαθορισµένα ενώ εδώ ουσιαστικά ζητείται έλεγχος οµογένειας (στο κάπνισµα µεταξύ ανδρών - γυναικών. Η επεξεργασία µε το SPSS είναι ακριβώς η ίδια µε αυτήν που περιγράφηκε στον έλεγχο ανεξαρτησίας (Εφαρµογή αφού όπως είδαµε παραπάνω η στατιστική συνάρτηση και το -value που χρησιµοποιούµε είναι ίδια είτε πρόκειται για έλεγχο οµογένειας είτε για έλεγχο ανεξαρτησίας. Κάτι που ίσως θα µας ενδιέφερε περισσότερο εδώ είναι τα (δειγµατικά ποσοστά ανά γραµµές (row ercetages διότι αυτά δείχνουν την κατανοµή της µεταβλητής smoig στις γυναίκες και στους άνδρες (αν φαίνεται ότι διαφέρουν «πολύ» οι δυο κατανοµές τότε περιµένουµε το τεστ χ να απορρίψει την υπόθεση της οµογένειας. Όπως λοιπόν γίνεται φανερό οι έλεγχοι ανεξαρτησίας και οµογένειας (σε πίνακα συνάφειας είναι τεχνικά οι ίδιοι, αλλάζει µόνο η ερµηνεία. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 45

7 4.3. Το ακριβές τεστ του Fisher (Fisher s exact test Στην περίπτωση που έχουµε έναν πίνακα συνάφειας µπορούµε να κάνουµε τους παραπάνω ελέγχους χρησιµοποιώντας το ακριβές τεστ του Fisher. Ο πίνακας συνάφειας έχει τη µορφή Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 46 X Y Total Ν Ν Ν Ν Total και µας ενδιαφέρει να ελέγξουµε κατά πόσο θεωρείται «τυχαία» µια πραγµατοποίηση του (δηλ. κατά πόσον είναι τυχαίες οι τιµές των Ν,Ν,Ν,Ν δεδοµένων των αθροισµάτων των γραµµών, και των στηλών,. Παρατηρούµε ότι αρκεί να ελέγξουµε κατά πόσο ήταν τυχαίο το Ν που εµφανίστηκε διότι δεδοµένων των αθροισµάτων των γραµµών και των στηλών τα Ν,Ν,Ν µπορούν να εξαχθούν από το. Έστω λοιπόν ότι από το δείγµα που πήραµε βρέθηκε ότι Ν. Η πιθανότητα να έχει συµβεί αυτό τυχαία δεδοµένου ότι,,, είναι (υπεργεωµετρική κατανοµή + διότι είναι σαν να τοποθετούµε τυχαία Ν + σφαίρες στα 4 κελιά έτσι ώστε στην πρώτη γραµµή να έχουµε σφαίρες και στην πρώτη στήλη σφαίρες και να ζητάµε την πιθανότητα να βρεθούν ακριβώς σφαίρες στο κελί (,. Αλλά ας δούµε πως µπορούµε να τοποθετήσουµε τυχαία + σφαίρες στα 4 κελιά έτσι ώστε στην πρώτη γραµµή να έχουµε σφαίρες και στην πρώτη στήλη σφαίρες: από τις + σφαίρες επιλέγουµε σφαίρες και τις «µαρκάρουµε» ως «Λευκές» (είναι οι σφαίρες που θα τοποθετηθούν στην πρώτη γραµµή και τις υπόλοιπες ως «Μαύρες». Στη συνέχεια ανακατεύουµε τις σφαίρες και από τις + επιλέγουµε τυχαία σφαίρες τις οποίες θα πρέπει να τοποθετήσουµε στην πρώτη στήλη. Όσες σφαίρες από αυτές είναι «Λευκές» θα τοποθετηθούν στην πρώτη γραµµή (κελί (, και οι υπόλοιπες στην δεύτερη γραµµή (κελί (,. Εποµένως, η πιθανότητα να βρεθούν σφαίρες στο κελί (, είναι η πιθανότητα να υπάρχουν «Λευκές» σφαίρες ανάµεσα στις οι οποίες επιλέχθηκαν τυχαία από «Λευκές» και «Μαύρες» σφαίρες. ηλαδή πρόκειται για το γνωστό µοντέλο της υπεργεωµετρικής κατανοµής. Το -value του ελέγχου της υπόθεσης Η 0 : το αποτέλεσµα στα 4 κελιά είναι τυχαίο (δεδοµένων των αθροισµάτων των γραµµών και των στηλών είναι ίσο µε την πιθανότητα (υπό την H 0 να εµφανιστεί το δείγµα που εµφανίστηκε και ακόµη πιο «ακραίο» από αυτό, δηλαδή i i value, ή i value i 0 + i i, + ανάλογα µε το αν < E( ή > E( αντίστοιχα. Το παραπάνω -value αντιστοιχεί σε µονόπλευρο έλεγχο. Για δίπλευρο έλεγχο συνήθως λαµβάνεται το

8 i i i i value + (εάν <, i i [ 0.5] και ανάλογα αν. Παρατήρηση. Για πίνακες ο Yates (934 πρότεινε αντί της στατιστικής συνάρτησης ( Observed Exected T Exected που χρησιµοποιείται για το χ τεστ, να χρησιµοποιείται η «διορθωµένη»: ( Observed Exected 0.5 T corr Exected Η «διόρθωση» αυτή δεν γίνεται για να πάρουµε καλύτερη προσέγγιση της χ κατανοµής (εξάλλου αποδεικνύεται ότι για αυτό το σκοπό, η T είναι καλύτερη από την Τ corr, αλλά για να πάρουµε - value πιο κοντά στο -value που προκύπτει από το Fisher s exact test. Εποµένως, η διόρθωση αυτή γίνεται όταν θέλουµε και δεν µπορούµε να υπολογίσουµε το -value του Fisher s exact test. Πάντως, σήµερα µε την χρήση των Η/Υ ο ακριβής υπολογισµός του -value του Fisher s exact test είναι εφικτός ακόµη και για µεγάλα δείγµατα και εποµένως η διόρθωση αυτή έχει µικρότερη αξία από αυτήν που είχε στο παρελθόν. Εφαρµογή 3. Προκειµένου να εξετασθεί αν ένα σκεύασµα Α µειώνει τα επίπεδα χοληστερίνης στον οργανισµό επιλέχθηκαν 00 άτοµα, στα 60 από τα οποία χορηγήθηκε το σκεύασµα Α ενώ στα υπόλοιπα 40 χορηγήθηκε lacebo (ανενεργό σκεύασµα όµοιο εξωτερικά µε το Α. Και στα 00 ά- τοµα καταγράφηκε το επίπεδο χοληστερίνης (σε δύο στάθµες: χαµηλό υψηλό. Τα αποτελέσµατα καταγράφονται στον παρακάτω πίνακα: Επίπεδο Χοληστερίνης Χαµηλό Υψηλό Σύνολο Σκεύασµα Α lacebo 8 40 Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης; Εδώ έχουµε 00 περιπτώσεις cases και δυο µεταβλητές: - chol µε τιµές «low», «high» και - drug µε τιµές «A», «lacebo» Εδώ ουσιαστικά πρόκειται για έλεγχο οµογένειας (τα αθροίσµατα των γραµµών είναι προκαθορισµένα. Για να εισάγουµε τα δεδοµένα στο SPSS θα χρησιµοποιήσουµε βάρη. Περνάµε µόνο τα 4 διαφορετικά cases και σε µια νέα µεταβλητή w τα αντίστοιχα βάρη: Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 47

9 Ενεργοποιούµε τα βάρη (Data/weight cases by w και στη συνέχεια εκτελούµε Aalyze/Descritive Statistics/ Crosstabs/Rows: drug, Colums: chol επιλέγοντας στα Cells:exected couts, row ercetages και στα Statistics: Chi-square. Λαµβάνονται οι πίνακες: DRUG * CHOL Crosstabulatio DRUG Total A lacebo % withi DRUG % withi DRUG % withi DRUG CHOL high low Total ,4 48,6 60,0,7% 88,3% 00,0% ,6 3,4 40,0 30,0% 70,0% 00,0% ,0 8,0 00,0 9,0% 8,0% 00,0% και Pearso Chi-Square Cotiuity Correctio a Lielihood Ratio Fisher's Exact Test of Valid Cases Chi-Square Tests Asym. Sig. Value df (-sided 5,4 b,0 4,8,04 5,48,03 00 a. Comuted oly for a x table Exact Sig. (-sided Exact Sig. (-sided,036,0 b. 0 cells (,0% have exected cout less tha 5. The miimum exected cout is 7,60. Ο πρώτος πίνακας είναι ο πίνακας συνάφειας µαζί µε τις αναµενόµενες τιµές και τα ποσοστά των παρατηρήσεων σε κάθε κελί (µε άθροισµα 00% ανά γραµµή. Ο δεύτερος πίνακας δίνει την τιµή της στατιστικής συνάρτησης T (Pearso chi-square, της T µε «διόρθωση» (cotiuity correctio, βλ. Παρατήρηση και της L (Lielihood Ratio. Οι βαθµοί ελευθερίας είναι ( (. Τα αντίστοιχα -value είναι 0.0, 0.04 και Επίσης δίνεται και η τιµή του -value (0.036 το δίπλευρο και 0.0 το µονόπλευρο που προκύπτει από το Fisher s exact test. Εποµένως, µε βάση τα παραπάνω απορρίπτουµε ότι οι υπάρχει οµογένεια του επιπέδου χοληστερίνης στις δυο «στάθ- µες» της drug (ε.σ. 5%. Με άλλα λόγια κρίνουµε ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης (µε ε.σ. 5%. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 48

10 4.4. Έλεγχος για τη διαφορά ποσοστών από ζευγαρωτές παρατηρήσεις (Mcemar τεστ. Στην παράγραφο.3. είδαµε πως µπορούµε να κάνουµε έλεγχο για τη διαφορά των µέσων όταν έχουµε ζευγαρωτές παρατηρήσεις. Συγκεκριµένα, είχαµε παρατηρήσεις (από την κανονική κατανοµή που αφορούν τα ίδια άτοµα «πριν» (X,X,,X και «µετά» (Y,Y,,Y την επίδραση κάποιου παράγοντα (π.χ. «θεραπείας» και επιθυµούσαµε να εξετάσουµε αν η διαφορά δ E(Y i E(X i είναι µηδενική (προφανώς τα Χ,Χ,,Χ και Υ,Υ,,Υ δεν είναι ανεξάρτητα και εποµένως δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε t τεστ για ανεξάρτητα δείγµατα. Σε εκείνη την περίπτωση συνεχίζαµε την ανάλυση χρησιµοποιώντας τις (ανεξάρτητες διαφορές Z i Y i X i, i,,,. Κάτι ανάλογο µπορεί να εµφανιστεί και όταν εξετάζουµε ποσοστά (π.χ. ενός κόµµατος «πριν» και «µετά» την επίδραση κάποιου παράγοντα (π.χ. ενός τηλεοπτικού debate. Πιο συγκεκρι- µένα, έστω Χ, Χ,, Χ δίτιµες (0- παρατηρήσεις «πριν» (µε P(X i P(X i 0 Χ και Υ, Υ,, Υ δίτιµες (0- παρατηρήσεις «µετά» (µε P(Υ i P(Υ i 0 Υ την επίδραση κάποιου παράγοντα (Π.χ. Χ, Y i 0 αν το i-άτοµο υποστήριζε το κόµµα Α «πριν» και όχι το κόµµα Α «µετά» το debate κ.ο.κ. και επιθυµούµε να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : X Y (ίδιο ποσοστό «πριν» και «µετά» την επίδραση. Οι δυνατές περιπτώσεις εδώ είναι 4 ((Χ,Υ {(0,0, (,0, (0,, (,} και για µια πιο εποπτική παρουσίαση των αποτελεσµάτων µπορούµε να κατασκευάσουµε τον πίνακα «µετά» (Υ 0 Total «πριν» (Χ 0 a b a + b c d c + d Total a + c b + d a + b + c + d Όπου a είναι το πλήθος των «ατόµων» του δείγµατος που είχαν 0 «πριν» και 0 «µετά» την επίδραση (πλήθος από (X i, Y i που είναι ίσα µε (0, 0 κ.ο.κ. Για να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : Χ Υ θα ακολουθήσουµε την ίδια µέθοδο που χρησιµοποιήσαµε για τον έλεγχο των µέσων ζευγαρωτών παρατηρήσεων. Θεωρώντας τις διαφορές Ζ i Y i X i, i,,, για µεγάλο δείγµα ισχύει ότι η στατιστική συνάρτηση T i Z E( Z ~ (0, V ( Z i ακολουθεί τυπική κανονική κατανοµή. Επειδή τώρα, i i i i i Z Y X b c, i και E ( Z E( Y E( X Y X 0 ( Z E( Z ( P( Z + 0 P( Z 0 + P( Z P( Y 0, X + P( Y, X V i η οποία εκτιµάται από το c/ + b/, θα ισχύει, για µεγάλο και υπό την H 0, ότι T Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 49 i H0 Zi E( Z ( b c ~ (0, V ( Z b + c ή ισοδύναµα (προσεγγιστικά, ( b c T ~ χ b + c Όταν ισχύει η Η : Χ Υ, η T λαµβάνει µεγάλες τιµές και εποµένως θα απορρίπτεται (σε ε.σ. α η Η 0 όταν 0

11 ( b c T > χ ( a : άνω α-σηµείο της χ µε β.ε. b + c µε αντίστοιχο -value (από δείγµα που έδωσε T τ: value P( T ( b c > τ F ( τ F (. χ χ b + c Παρατήρηση 3. Παρατηρούµε ότι το παραπάνω τεστ βασίζεται σε µια στατιστική συνάρτηση η οποία εξαρτάται µόνο από τα b, c (και όχι και στα a, d όπως θα περίµενε κανείς. Με βάση αυτή την παρατήρηση, ένας εναλλακτικός τρόπος για τον έλεγχο της υπόθεσης Η 0 : Χ Υ γίνεται δεσµεύοντας ως προς το άθροισµα αυτών των δύο ποσοτήτων. εσµεύοντας λοιπόν ως προς το * b + c και υπό την Η 0, το b ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους * και /. Θα απορρίπτεται η Η 0 όταν το b διαφέρει «αρκετά» από την αναµενόµενή του τιµή * / (υπό την H 0, και εποµένως το -value (που είναι η πιθανότητα να εµφανιστεί το δείγµα που εµφανίστηκε, και ακόµη πιο ακραίο από αυτό θα είναι, * b * * * * i i i i value + ( ( (αν b < * / * i 0 i i b i και ανάλογα αν b > * /. Για µεγάλo * το παραπάνω -value συγκλίνει στο -value που περιγράφηκε στην προηγούµενη παράγραφο, F χ (( b c /( b + c. Το συγκεκριµένο τεστ ή το ισοδύνα- µό του για µεγάλο * (δηλ. το τεστ της Παραγράφου 4.4 είναι γνωστό και ως Mcemar τεστ. Εφαρµογή 4. (Παραλλαγή της Εφαρµογής 3 Προκειµένου να εξετασθεί αν ένα σκεύασµα Α µειώνει τα επίπεδα χοληστερίνης στον οργανισµό επιλέχθηκαν 00 άτοµα, στα οποία µετρήθηκε το επίπεδο χοληστερίνης (χαµηλό, υψηλό. Στη συνέχεια τους χορηγήθηκε το σκεύασµα Α και µετά από κάποιο χρονικό διάστηµα καταγράφηκαν το νέα επίπεδα χοληστερίνης (χαµηλό, υψηλό στα 00 αυτά άτοµα. Τα αποτελέσµατα καταγράφονται στον παρακάτω πίνακα: «µετά» τη χορήγηση του Α Χαµηλό Υψηλό Σύνολο «πριν» τη χορήγηση του Α Χαµηλό Υψηλό 8 40 Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης; Εδώ έχουµε 00 περιπτώσεις cases και δυο µεταβλητές: - c_before µε τιµές «low», «high» και - c_after µε τιµές «low», «high» Εδώ ουσιαστικά πρόκειται για έλεγχο για τη διαφορά ποσοστών «πριν» και «µετά» τη χορήγηση ενός φαρµάκου. Για να εισάγουµε τα δεδοµένα στο SPSS θα χρησιµοποιήσουµε και πάλι βάρη. Περνάµε µόνο τα 4 διαφορετικά cases και σε µια νέα µεταβλητή w τα αντίστοιχα βάρη: Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 50

12 Ενεργοποιούµε τα βάρη (Data/weight cases by w και στη συνέχεια εκτελούµε Aalyze/Descritive Statistics/ Crosstabs/Rows: c_before, Colums: c_after επιλέγοντας στα Cells:exected couts και στα Statistics: Mc-emar. Λαµβάνονται οι πίνακες: C_BEFORE * C_AFTER Crosstabulatio C_BEFORE Total high low C_AFTER high low Total ,6 3,4 40, ,4 48,6 60, ,0 8,0 00,0 και Chi-Square Tests Value Mcemar Test of Valid Cases 00 a. Biomial distributio used. Exact Sig. (-sided,00 a Ο πρώτος πίνακας είναι και πάλι ο πίνακας συνάφειας µαζί µε τις αναµενόµενες τιµές. Ο δεύτερος πίνακας δίνει την τιµή του -value για το Mcemar τεστ (έχει υπολογιστεί χρησιµοποιώντας την διωνυµική κατανοµή, βλ. Παρατήρηση 3. Σύµφωνα µε το -value απορρίπτουµε την υπόθεση ότι η πιθανότητα υψηλού επιπέδου χοληστερίνης «πριν» και «µετά» τη χορήγηση του σκευάσµατος Α είναι ίδια. ηλαδή, µπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης (ε.σ. 5%. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 5

Ενότητα 2: Έλεγχοι υποθέσεων για µέσες τιµες πληθυσµών (T-tests) µέσω SPSS

Ενότητα 2: Έλεγχοι υποθέσεων για µέσες τιµες πληθυσµών (T-tests) µέσω SPSS Ενότητα : Έλεγχοι υποθέσεων για µέσες τιµες πληθυσµών (T-tests) µέσω SPSS.. Έλεγχος υποθέσεων για το µέσο µ ενός πληθυσµού Έστω ότι θέλουµε να ελέγξουµε αν ο µέσος µ ενός κανονικού πληθυσµού (µε άγνωστή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: το στατιστικό κριτήριο χ 2. Προϋποθέσεις για τη χρήση του τεστ. ιαφορές ή συσχέτιση.

Κεφάλαιο 16. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: το στατιστικό κριτήριο χ 2. Προϋποθέσεις για τη χρήση του τεστ. ιαφορές ή συσχέτιση. Κεφάλαιο 16 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: το στατιστικό κριτήριο χ 1 Προϋποθέσεις για τη χρήση του τεστ ιαφορές ή συσχέτιση Κλίµακα µέτρησης Σχεδιασµός Σηµείωση ιαφορές Κατηγορική Ανεξάρτητα δείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική και Θεωρία Πιθανοτήτων (ΓΓ04) ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Εαρινό Εξάμηνο

Στατιστική και Θεωρία Πιθανοτήτων (ΓΓ04) ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Εαρινό Εξάμηνο Εαρινό εξάμηνο 2009-2010 Στατιστική και Θεωρία Πιθανοτήτων (ΓΓ04) ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Εαρινό Εξάμηνο 2009-2010 Στατιστική και Θεωρία Πιθανοτήτων users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodness of fit tests)

Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodness of fit tests) Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodess of ft tests) Ένα σηµαντικό πρόβληµα στην στατιστική είναι η εξεύρεση πληροφορίας σχετικά µε την µορφή της κατανοµής από την οποία προέρχεται ένα τυχαίο δείγµα.

Διαβάστε περισσότερα

Η εύρεση της πιθανής σχέσης μεταξύ δύο ποιοτικών μεταβλητών επιτυγχάνεται

Η εύρεση της πιθανής σχέσης μεταξύ δύο ποιοτικών μεταβλητών επιτυγχάνεται ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ Εξέταση της σχέσης δυο μεταβλητών Μία στατιστική ανάλυση δεν περιορίζεται ποτέ στη μελέτη μίας μεταβλητής, αλλά πάντοτε απαιτείται η μελέτη της σχέσης μεταξύ δύο ή και περισσότερων μεταβλητών.

Διαβάστε περισσότερα

1991 US Social Survey.sav

1991 US Social Survey.sav Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Fisher test. Fisher test : Είναι ένας µη παραµετρικός έλεγχος :

Fisher test. Fisher test : Είναι ένας µη παραµετρικός έλεγχος : FISHER S EXACT TEST Fisher test : Είναι ένας µη παραµετρικός έλεγχος : Ανάλυση διακριτών δεδοµένων όταν τα δύο ανεξάρτητα δείγµατα έχουν µικρό µέγεθος. Tα αποτελέσµατα αυτών των δειγµάτων αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

Μαντζούνη, Πιπερίγκου, Χατζή. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο

Μαντζούνη, Πιπερίγκου, Χατζή. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δύο δείγματα από κανονική κατανομή Έστω Χ= ( Χ, Χ,..., Χ ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) μεγέθους n και 1 n 1 1 Y = (Y, Y,...,Y ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) 1 n 1 Χ Y ( µ µ ) S σ Τ ( Χ,Y)

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή Έστω Χ= ( Χ, Χ,..., Χ ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) μεγέθους n και 1 n 1 1 Y = (Y, Y,..., Y ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) 1 n 1 Χ Y ( µ µ )

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικό κριτήριο χ 2

Στατιστικό κριτήριο χ 2 18 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Στατιστικό κριτήριο χ 2 Ο υπολογισµός του κριτηρίου χ 2 γίνεται µέσω του µενού [Statistics => Summarize => Crosstabs...]. Κατά τη συγκεκριµένη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος ανεξαρτησίας μεταξύ δύο ποιοτικών μεταβλητών (Crosstabs - Chi-Square Tests)

Έλεγχος ανεξαρτησίας μεταξύ δύο ποιοτικών μεταβλητών (Crosstabs - Chi-Square Tests) Έλεγχος ανεξαρτησίας μεταξύ δύο ποιοτικών μεταβλητών (Crosstabs - Chi-Square Tests) Σε αρκετές περιπτώσεις απαιτείται να ελεγχθεί αν η συχνότητα εμφάνισης κάποιων συγκεκριμένων τιμών (κατηγοριών) μιας

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Εξέταση της σχέσης δυο μεταβλητών Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ Εξέταση της σχέσης δυο μεταβλητών Μία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 3. Στατιστική Συµπερασµατολογία για ποιοτικές µεταβλητές

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 3. Στατιστική Συµπερασµατολογία για ποιοτικές µεταβλητές ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 3. Στατιστική Συµπερασµατολογία για ποιοτικές µεταβλητές Η έννοια της Στατιστικής Συµπερασµατολογίας (Statistical Inference) Συµπερασµατολογία (Inference): εξαγωγή συµπεράσµατος µε βάση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί έλεγχοι του Χ 2

Στατιστικοί έλεγχοι του Χ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 30-10-015 Στατιστικοί έλεγχοι του Χ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αν. Καθ. Μαρί-Νοέλ Ντυκέν ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 30-10-015 1. Στατιστικός έλεγχος του Χ Ανάλυση με μια κατηγορική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES. Daily calorie intake

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES. Daily calorie intake ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES 5000 Daily calorie

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Άσκηση 1 η Ένας παραγωγός σταφυλιών ισχυρίζεται ότι τα κιβώτια σταφυλιών που συσκευάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης ιαστήµατα εµπιστοσύνης και έλεγχοι υποθέσεων για τη µέση τιµή Για µια ποσοτική µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson Έλεγχος Ανεξαρτησίας x του Parso Έστω ότι λαμβάνουμε δείγμα μεγέθους. Η πιθανότητα π εμφάνισης ενός χαρακτηριστικού να βρεθεί στο κελί (i,j) κάτω από την υπόθεση Η 0 της ανεξαρτησίας δίνεται από την σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχοι: (a) να δοθεί µια εισαγωγή στη θεωρία της στατιστικής συµπερασµατολογίας ελέγχων υποθέσεων, (b) να παρουσιάσει τις βασικές εφαρµογές αυτών των ελέγχων: µέσης τιµής, ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 20062007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 9 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 5Α: ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟ Χ 2 Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ορεστιάδα 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Παράγωγες κατανοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 42 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια Κεφάλαιο 7 Μη Παραµετρικά Κριτήρια Παραµετρικά Κριτήρια Τα παραµετρικά κριτήρια είναι στατιστικά κριτήρια που απαιτούν την ικανοποίηση συγκεκριµένων προϋποθέσεων είτε αναφορικά µε συγκεκριµένες παραµέτρους

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουµε την απόδοση και την επιτυχία των υποψηφίων η µερησίων δηµοσίων και ιδιωτικών λυκείων

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11 ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 34 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: 17 Οικονομετρικά Εργαστήριο 15/5/11 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σκοπός του παρόντος µαθήµατος είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας

Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας Ο όρος συνάφεια προέρχεται από τον Pearso (1904) όπου ορίζεται για ένα πίνακα IJ ως ένα μέτρο της συνολικής απόκλισης της ταξινόμησης από την ανεξάρτητη πιθανότητα. Από

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό διερευνούµε αν το να είναι κανείς υποψήφιος παλαιοτέρων ετών, που έχει δώσει τουλάχιστον µια φορά εξετάσεις, του προσδίδει

Διαβάστε περισσότερα

1.Γ.2 Αποτελέσµατα ΜΕΡΟΣ Γ: Ο ΠΟΛΕΜΟΣ ΣΤΟ ΙΡΑΚ Γ.1 Εισαγωγή...196

1.Γ.2 Αποτελέσµατα ΜΕΡΟΣ Γ: Ο ΠΟΛΕΜΟΣ ΣΤΟ ΙΡΑΚ Γ.1 Εισαγωγή...196 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο...188 ΜΕΡΟΣ Α: Η ΚΡΙΣΗ ΣΤΟ ΙΡΑΚ...188 1.Α.1 Εισαγωγή...188 1.Α.2 Αποτελέσµατα...188 ΜΕΡΟΣ Β: Η ΣΥΝΟ ΟΣ ΚΟΡΥΦΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΙΡΑΚ...194 1.Β.1 Εισαγωγή...194 1.Β.2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Copyright 2009 Cengage Learning 15.1 Ένα Κοινό Θέμα Τι πρέπει να γίνει; Τύπος Δεδομένων; Πλήθος Κατηγοριών; Στατιστική Μέθοδος; Περιγραφή ενός πληθυσμού Ονομαστικά Δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με τις τεχνικές εκτίμησης παραμέτρων για ένα πληθυσμό όπως: τον Μέσο µ και το ποσοστό p Θα συνεχίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΙΝΑΚΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (THE ANALYSIS OF CROSS-TABULATIONS) Απαρίθμηση και Ταξινόμηση Σύγκριση Δύο ποσοστών Συχνά,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Στατιστική. 7 ο Μάθημα: Ο Έλεγχος Χ 2. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Στατιστική. 7 ο Μάθημα: Ο Έλεγχος Χ 2. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 7 ο Μάθημα: Ο Έλεγχος Χ 2 Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

«ΘΥΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΦΟΒΟΣ ΤΟΥ ΕΓΚΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ»

«ΘΥΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΦΟΒΟΣ ΤΟΥ ΕΓΚΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ» Ελληνική Εταιρεία Μελέτης της Διαταραχής Εθισμού στο Διαδίκτυο 3ο Πανελλήνιο Διεπιστημονικό Συνέδριο E-LIFE 2013 Κινηματογράφος ΔΑΝΑΟΣ - Αθήνα, 1-2 Νοεμβρίου 2013 «ΘΥΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΦΟΒΟΣ ΤΟΥ ΕΓΚΛΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman 3.4. Ο Συντελεστής ρ του Spearma Έστω (, ), (, ),..., (, ) ένα δείγμα παρατηρήσεων πάνω στο τυχαίο διάνυσμα (, ). Έστω ( ) ο βαθμός ή η τάξη μεγέθους της μεταβλητής όταν αυτή συγκρίνεται με τις άλλες Χ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος Εισαγωγή Αριθμητικά δεδομένα αντιστοιχούν σε πραγματοποιήσεις τυχαίων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια διαφορετική κατανοµή των λυκείων µπορούµε να πάρουµε αν µελετήσουµε την κατηγορία του λυκείου ανάλογα

Διαβάστε περισσότερα

Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική

Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική Στατιστικοί έλεγχοι για συνεχή και κατηγορικά δεδομένα Διδάσκοντες: Ευάγγελος Ευαγγέλου, Kωνσταντίνος Τσιλίδης, Ιωάννης

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Management Information Systems Εργαστήριο 2 Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΑ Η συλλογή των στατιστικών δεδοµένων αποτελεί σηµαντικό στάδιο κάθε Στατιστικής έρευνας. Απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή, διότι,

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Έστω ότι έχουµε δοχεία αριθµηµένα από το ως και σφαίρες αριθµηµένες από ως. Οι σφαίρες τοποθετούνται τυχαία στα δοχεία ανά µία. Εάν µία σφαίρα και το δοχείο

Διαβάστε περισσότερα