Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)"

Transcript

1 Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ φύλου (άντρας γυναίκα και καπνίσµατος (µη καπνιστής, περιστασιακός καπνιστής, καπνιστής ή την σχέση µεταξύ της λήψης ενός φαρµάκου (λήψη φαρµάκου, µη λήψη φαρµάκου και της βελτίωσης της υγείας ενός ασθενούς (βελτίωση, µη βελτίωση κ.ο.κ. Για τον σκοπό αυτό λαµβάνεται δείγµα µεγέθους και για κάθε ένα άτοµο του δείγµατος καταγράφονται οι τιµές των δύο αυτών µεταβλητών, δηλαδή λαµβάνεται ένα δείγµα της µορφής (Χ,Υ, (Χ,Υ,, (Χ,Y όπου οι Χ i, Y i είναι κατηγορικές µεταβλητές (λαµβάνουν πεπερασµένο πλήθος τιµών. Για το παράδειγµα που αφορά τη σχέση µεταξύ φύλου - καπνίσµατος, έστω ότι λαµβάνεται δείγµα 00 (ενήλικων ανθρώπων και για το i-άτοµο καταγράφεται το φύλο (Χ i Γ: γυναίκα ή Α: άνδρας και το αν είναι καπνιστής (Υ i : µη καπνιστής, : περιστασιακός καπνιστής, 3: καπνιστής, i,,,. Το δείγµα µπορεί π.χ. να έχει την µορφή: (Γ,, (Γ,, (Α,3, (Α,, (Α,, (Γ,, κ.ο.κ. Για την καλύτερη παρουσίαση των αποτελεσµάτων µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν πίνακα που να δείχνει συγκεντρωτικά πόσες φορές εµφανίστηκε κάθε µια από τις 3 6 διαφορετικές περιπτώσεις: (Γ, (γυναίκα µη καπνίστρια, (Γ, (γυναίκα περιστασιακή καπνίστρια, (Γ,3 (γυναίκα καπνίστρια, (Α, (άνδρας µη καπνιστής, (Α, (άνδρας περιστασιακός καπνιστής, (Α,3 (άνδρας καπνιστής. Ο πίνακας αυτός, ο οποίος καλείται πίνακας συνάφειας, π.χ. θα έχει την µορφή (πρόκειται για φανταστικά δεδοµένα : Φύλο Κάπνισµα µη καπνιστής περιστασιακός καπνιστής καπνιστής Σύνολο Γυναίκα Άνδρας Σύνολο Μπορούµε µε βάση το δείγµα αυτό (στο οποίο παρατηρήθηκαν 8 γυναίκες µη καπνίστριες, 6 άνδρες µη καπνιστές κ.τ.λ. να πούµε ότι υπάρχει σχέση µεταξύ φύλου και καπνίσµατος (σε ε.σ. 5%; Πριν απαντήσουµε σε αυτή την ερώτηση ας εξετάσουµε το πρόβληµα γενικότερα µέσα από δύο µοντέλα. 4.. Έλεγχος ανεξαρτησίας σε πίνακες συνάφειας εν είναι λίγες οι περιπτώσεις όπου οι µεταβλητές Χ i, Y i µπορούν να θεωρηθούν τυχαίες µεταβλητές. Για ευκολία ας υποθέσουµε ότι λαµβάνουν τιµές στα σύνολα {,,,} και {,,,} αντίστοιχα (µπορούµε να υποθέσουµε οποιαδήποτε πεπερασµένα σύνολα. Θεωρούµε τα ζεύγη των τ.µ. (Χ,Υ,,(Χ,Y ανεξάρτητα µεταξύ τους και ισόνοµα µε κοινή από κοινού συνάρτηση πιθανότητας και περιθώριες σ.π. P( X i j, Yi j, j,,...,,,,..., P( X i j P( X i j, Yi j j, j,,..., P( Yi P( X i j, Yi j,,,..., j j Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 40

2 Σε µορφή πίνακα η διδιάστατη κατανοµή των Χ, Υ θα είναι: Y... margial... X margial... Με βάση τώρα το τ.δ. µεγέθους λαµβάνουµε τον πίνακα συνάφειας όπου Y... Total Ν Ν... Ν Κ X Ν Ν... Ν Κ Ν Ν... Ν Κ Total... #{ i : ( X, Y ( j, } j i i εκφράζει το πλήθος των ατόµων (από τα Ν τα οποία «ταξινοµούνται» στο κελί (j, (έχουν (Χ i, Y i (j,. Κάθε άτοµο ταξινοµείται στην θέση (j, του πίνακα συνάφειας µε πιθανότητα ij. Όµοια µε παραπάνω συµβολίζουµε µε, τα αθροίσµατα των γραµµών και των στηλών αντίστοιχα. Επιθυµούµε να ελέγξουµε αν οι Χ, Υ είναι ανεξάρτητες, δηλαδή την υπόθεση H :, για κάθε j,. 0 j Για τον έλεγχο της υπόθεσης αυτής µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το χ τεστ (χ του Pearso που περιγράψαµε σε προηγούµενη ενότητα (Παρ. 3. διότι είναι σαν να έχουµε έλεγχο καλής προσαρµογής της διδιάστατης κατανοµής j στην. Σύµφωνα µε το χ τεστ θα πρέπει να χρησι- µοποιήσουµε τη στατιστική συνάρτηση T ( j j η οποία (βλ. σχετική πρόταση στην Παρ 3.. κάτω από την H 0 : j, ακολουθεί (προσεγγιστικά κατανοµή χ µε β.ε. (θα πρέπει οι αναµενόµενες συχνότητες σε καθένα από τα I κελιά να είναι τουλάχιστον 5. υστυχώς όµως οι περιθώριες πιθανότητες, δεν είναι γνωστές και εποµένως θα πρέπει να τις εκτιµήσουµε από τα δεδοµένα (βλ. Παρατήρηση στην Παρ. 3.. Οι εκτιµήσεις τους είναι j, j,,...,,,,,..., και άρα τελικά θα χρησιµοποιήσουµε την στατιστική συνάρτηση (Pearso s Chi-Square statistic Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 4

3 T j ( j j ( j η οποία, υπό την Η 0 ακολουθεί (προσεγγιστικά χ κατανοµή µε ( ( ( ( β.ε. διότι ουσιαστικά εκτιµήσαµε τα,,..., ( j και τα,,..., ( ( και εκτιµήσεις αντίστοιχα. Υπό την H : j, (οι X,Y είναι εξαρτηµένες η παραπάνω στατιστική συνάρτηση θα λαµβάνει µεγάλες τιµές και εποµένως απορρίπτουµε την Η 0 (σε ε.σ. a όταν T j ( j > χ ( ( µε αντίστοιχο -value (αν t είναι η τιµή της T από τα δεδοµένα: Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 4 ( a : άνω a-σηµείο της χ κατανοµής µε ( ( β.ε value P T > t / H F (. χ ( ( ( 0 t Παρατήρηση. Ένας ασυµπτωτικά ισοδύναµος έλεγχος προκύπτει χρησιµοποιώντας το γενικευ- µένο λόγο πιθανοφανειών (του δείγµατος υπό την Η 0 και Η 0 Η αντίστοιχα. Συγκεκριµένα, αποδεικνύεται ότι η στατιστική συνάρτηση (Lielihood Ratio statistic L j j l j ακολουθεί και αυτή (ασυµπτωτικά, υπό την Η 0 κατανοµή χ µε ( ( β.ε. ενώ υπό την Η λαµβάνει µεγάλες τιµές. Συνεπώς απορρίπτουµε την Η 0 όταν L > χ ( µε αντίστοιχο value P L > l / H F (. χ ( I ( a ( ( ( 0 l Σηµειώνεται ότι οι L, T είναι ίσες ασυµπτωτικά (. Η κατανοµή της τ.µ. T συνήθως συγκλίνει πιο γρήγορα στην κατανοµή χ από ότι η κατανοµή της L. H χ προσέγγιση της κατανοµής του L δεν είναι καλή όταν / I < 5. Αντίθετα, το T προσεγγίζεται καλύτερα από την χ ακόµη και για / I µε την προϋπόθεση ο πίνακας να µην περιέχει πολύ µικρές ή σχετικά µεγάλες αναµενό- µενες συχνότητες. Εφαρµογή. (συνέχεια παραπάνω παραδείγµατος. Σε µία έρευνα για τη σχέση καπνίσµατος φύλου επιλέχθηκαν τυχαία 00 άτοµα σε κάθε ένα από τα οποία καταγράφηκε το φύλο και το αν είναι καπνιστής. Συγκεκριµένα έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: Κάπνισµα µη καπνιστής ( περιστασιακός καπνιστής ( καπνιστής (3 Σύνολο Γυναίκα (F Φύλο Άνδρας (M Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι υπάρχει σχέση µεταξύ των µεταβλητών φύλου καπνίσµατος; Είδαµε ότι στην συγκεκριµένη περίπτωση έχουµε ένα δείγµα µεγέθους 00 στο οποίο βρέθηκαν 8 γυναίκες µη καπνίστριες, 8 γυναίκες περιστασιακές καπνίστριες κ.ο.κ. Εδώ έχουµε 00 περιπτώσεις cases και δυο µεταβλητές:

4 - geder µε τιµές «Female», «Male» και - smoig µε τιµές «o smoig», «occasioally smoig», «smoig» Για να εισάγουµε τα δεδοµένα στο SPSS κανονικά θα πρέπει να περάσουµε τα 00 αυτά cases σε 00 γραµµές 8 από τις οποίες θα έχουν τιµές στις δυο µεταβλητές Female, o smoig, 6 θα έχουν τιµές Μale, o smoig κ.ο.κ. Είδαµε σε τέτοιες περιπτώσεις (όπου επαναλαµβάνονται γραµµές είναι προτιµότερο να χρησιµοποιούµε βάρη. Για το λόγο αυτό περνάµε µόνο τα 6 διαφορετικά cases και σε µια νέα µεταβλητή w τα αντίστοιχα βάρη: Ενεργοποιούµε τα βάρη (Data/weight cases by w και στη συνέχεια εκτελούµε Aalyze/Descritive Statistics/ Crosstabs/Rows:geder, Colums:smoig επιλέγοντας στα Cells:exected couts, total ercetages και στα Statistics: Chi-square. Λαµβάνονται οι πίνακες: GEDER * SMOIG Crosstabulatio GEDER Total Female Male % of Total % of Total % of Total SMOIG occasioaly o smoig smoig smoig Total ,3 5,8 0,9 58,0 8,0% 8,0%,0% 58,0% 6 4 4,7 4, 5, 4,0 6,0%,0% 4,0% 4,0% ,0 0,0 36,0 00,0 54,0% 0,0% 36,0% 00,0% και Pearso Chi-Square Lielihood Ratio of Valid Cases Chi-Square Tests Asym. Sig. Value df (-sided,968 a,7 3,5,07 00 a. cells (6,7% have exected cout less tha 5. The miimum exected cout is 4,0. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 43

5 Ο πρώτος πίνακας είναι ο γνωστός από την ενότητα πίνακας crosstabulatio που εδώ ουσιαστικά είναι ο πίνακας συνάφειας µαζί µε τις αναµενόµενες τιµές ( j / στο (j, κελί και τα ποσοστά των παρατηρήσεων σε κάθε κελί. Ο δεύτερος πίνακας είναι αυτός που µας δίνει την τιµή της στατιστικής συνάρτησης T (Pearso chi-square και της L (Lielihood Ratio. Οι βαθµοί ελευθερίας είναι ( (. Τα αντίστοιχα -value είναι 0.7 και 0.07 και εποµένως µε βάση τα συγκεκριµένα στοιχεία δεν µπορούµε να απορρίψουµε ότι οι δυο µεταβλητές είναι ανεξάρτητες. 4.. Έλεγχος οµογένειας σε πίνακες συνάφειας Σε αρκετές εφαρµογές, µόνο η µια µεταβλητή (π.χ. η Υ {,,,} µπορεί να θεωρηθεί τυχαία ενώ η άλλη µεταβλητή (η Χ {,,,} δεν µπορεί. Αυτό συµβαίνει όταν έχει προαποφασιστεί ότι θα επιλεγούν Ν άτοµα µε Χ, Ν άτοµα µε Χ,, Ν άτοµα µε Χ, δηλαδή έχουµε καθορισµένα αθροίσµατα γραµµών (ή ισοδύναµα στηλών. Π.χ. σε παραπάνω παράδειγµα που αφορά τη σχέση φύλου - καπνίσµατος το δείγµα µπορεί να επιλεγεί από τον ερευνητή έτσι ώ- στε να περιέχονται σε αυτό ακριβώς 58 γυναίκες και 4 άνδρες. Ή στο παράδειγµα που αφορά την σχέση µεταξύ της λήψης ενός φαρµάκου και της βελτίωσης της υγείας ενός ασθενούς, είναι σύνηθες να προκαθορίζεται ο αριθµός των ασθενών στους οποίους θα δοθεί το φάρµακο. Σε αυτές τις περιπτώσεις η µεταβλητή Χ µπορεί να θεωρηθεί ως «ερµηνευτική» και η άλλη (η τ.µ. Υ ως «µεταβλητή απόκρισης». Κάτω από αυτές τις συνθήκες δεν έχει νόηµα η διδιάστατη κατανοµή j που περιγράψαµε στην προηγούµενη παράγραφο. Εδώ, η πιθανότητα να ταξινοµηθεί ένα άτοµο στην (j, θέση του πίνακα συνάφειας είναι P( Y X. j j Σε µορφή πίνακα η κατανοµή της Υ για τις διάφορες «στάθµες» της Χ θα είναι: Y... Total... X Σε αυτές τις περιπτώσεις µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν η κατανοµή της Υ αλλάζει όταν αλλάζει τιµές η Χ. Πιο συγκεκριµένα µας ενδιαφέρει ο έλεγχος της υπόθεσης H...,,,..., 0 : δηλαδή ότι η Υ έχει την ίδια κατανοµή (,, Κ σε όλες τις γραµµές (σε όλες τις στάθµες της Χ. Ο έλεγχος αυτός καλείται έλεγχος οµογένειας (των κατανοµών της Y στις στάθµες της Χ. Από τα δεδοµένα, κατασκευάζουµε και πάλι τον ίδιο πίνακα συνάφειας (µε της Παρ. µόνο που τώρα τα αθροίσµατα των γραµµών Ν, Ν,, Ν δεν θεωρούνται τυχαία αλλά προκαθορισµένα. Και για τον έλεγχο αυτής της υπόθεσης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το Χ τεστ (Χ του Pearso. Συγκεκριµένα, η στατιστική συνάρτηση T j ( j η οποία αφορά την j-γραµµή, ακολουθεί (ασυµπτωτικά, υπό την Η 0 την χ κατανοµή µε Κ β.ε. Το άθροισµα των παραπάνω στατιστικών συναρτήσεων Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 44

6 T j T j ( j j θα αφορά όλον τον πίνακα και θα ακολουθεί και αυτό χ κατανοµή µε (Κ β.ε. (πρόκειται για άθροισµα ανεξάρτητων χι-τετράγωνο κατανοµών. υστυχώς και πάλι οι πιθανότητες (που εκφράζουν την κοινή κατανοµή της Y σε όλες τις στάθµες της Χ δεν είναι γνωστές και εποµένως θα πρέπει να εκτιµηθούν από τα δεδοµένα. Οι εκτιµήσεις τους θα είναι,,,..., και συνεπώς θα χρησιµοποιήσουµε την στατιστική συνάρτηση T j ( j j ( j η οποία ακολουθεί (ασυµπτωτικά, υπό την Η 0 την χ κατανοµή µε (Κ (Κ ( (Κ β.ε. (διότι έγιναν Κ εκτιµήσεις. Άρα τελικά για τον έλεγχο οµογένειας θα χρησιµοποιήσουµε ακριβώς την ίδια στατιστική συνάρτηση που χρησιµοποιήσαµε και για τον έλεγχο ανεξαρτησίας µε ίδια κρίσιµη περιοχή και ίδιο -value value P T > t / H F (. χ ( ( ( 0 t Εφαρµογή. (Παραλλαγή Εφαρµογής Σε µία έρευνα για τη σχέση καπνίσµατος φύλου αποφασίστηκε να επιλεχθούν τυχαία 58 γυναίκες και 4 άνδρες. Σε κάθε ένα από τα άτοµα αυτά καταγράφηκε το αν είναι καπνιστής ή όχι. Συγκεκριµένα έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: Κάπνισµα µη καπνιστής ( περιστασιακός καπνιστής ( καπνιστής (3 Σύνολο Γυναίκα (F Φύλο Άνδρας (M Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι οι άνδρες συµπεριφέρονται το ίδιο µε τις γυναίκες όσον αφορά το κάπνισµα (δηλ. η κατανοµή των µη καπνιστών, περιστ. καπνιστών, καπνιστών είναι ίδια στους άνδρες και στις γυναίκες; Τα δεδοµένα εδώ είναι ακριβώς τα ίδια µε αυτά της Εφαρµογής µε µόνη διαφορά ότι τώρα τα αθροίσµατα των γραµµών είναι προκαθορισµένα ενώ εδώ ουσιαστικά ζητείται έλεγχος οµογένειας (στο κάπνισµα µεταξύ ανδρών - γυναικών. Η επεξεργασία µε το SPSS είναι ακριβώς η ίδια µε αυτήν που περιγράφηκε στον έλεγχο ανεξαρτησίας (Εφαρµογή αφού όπως είδαµε παραπάνω η στατιστική συνάρτηση και το -value που χρησιµοποιούµε είναι ίδια είτε πρόκειται για έλεγχο οµογένειας είτε για έλεγχο ανεξαρτησίας. Κάτι που ίσως θα µας ενδιέφερε περισσότερο εδώ είναι τα (δειγµατικά ποσοστά ανά γραµµές (row ercetages διότι αυτά δείχνουν την κατανοµή της µεταβλητής smoig στις γυναίκες και στους άνδρες (αν φαίνεται ότι διαφέρουν «πολύ» οι δυο κατανοµές τότε περιµένουµε το τεστ χ να απορρίψει την υπόθεση της οµογένειας. Όπως λοιπόν γίνεται φανερό οι έλεγχοι ανεξαρτησίας και οµογένειας (σε πίνακα συνάφειας είναι τεχνικά οι ίδιοι, αλλάζει µόνο η ερµηνεία. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 45

7 4.3. Το ακριβές τεστ του Fisher (Fisher s exact test Στην περίπτωση που έχουµε έναν πίνακα συνάφειας µπορούµε να κάνουµε τους παραπάνω ελέγχους χρησιµοποιώντας το ακριβές τεστ του Fisher. Ο πίνακας συνάφειας έχει τη µορφή Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 46 X Y Total Ν Ν Ν Ν Total και µας ενδιαφέρει να ελέγξουµε κατά πόσο θεωρείται «τυχαία» µια πραγµατοποίηση του (δηλ. κατά πόσον είναι τυχαίες οι τιµές των Ν,Ν,Ν,Ν δεδοµένων των αθροισµάτων των γραµµών, και των στηλών,. Παρατηρούµε ότι αρκεί να ελέγξουµε κατά πόσο ήταν τυχαίο το Ν που εµφανίστηκε διότι δεδοµένων των αθροισµάτων των γραµµών και των στηλών τα Ν,Ν,Ν µπορούν να εξαχθούν από το. Έστω λοιπόν ότι από το δείγµα που πήραµε βρέθηκε ότι Ν. Η πιθανότητα να έχει συµβεί αυτό τυχαία δεδοµένου ότι,,, είναι (υπεργεωµετρική κατανοµή + διότι είναι σαν να τοποθετούµε τυχαία Ν + σφαίρες στα 4 κελιά έτσι ώστε στην πρώτη γραµµή να έχουµε σφαίρες και στην πρώτη στήλη σφαίρες και να ζητάµε την πιθανότητα να βρεθούν ακριβώς σφαίρες στο κελί (,. Αλλά ας δούµε πως µπορούµε να τοποθετήσουµε τυχαία + σφαίρες στα 4 κελιά έτσι ώστε στην πρώτη γραµµή να έχουµε σφαίρες και στην πρώτη στήλη σφαίρες: από τις + σφαίρες επιλέγουµε σφαίρες και τις «µαρκάρουµε» ως «Λευκές» (είναι οι σφαίρες που θα τοποθετηθούν στην πρώτη γραµµή και τις υπόλοιπες ως «Μαύρες». Στη συνέχεια ανακατεύουµε τις σφαίρες και από τις + επιλέγουµε τυχαία σφαίρες τις οποίες θα πρέπει να τοποθετήσουµε στην πρώτη στήλη. Όσες σφαίρες από αυτές είναι «Λευκές» θα τοποθετηθούν στην πρώτη γραµµή (κελί (, και οι υπόλοιπες στην δεύτερη γραµµή (κελί (,. Εποµένως, η πιθανότητα να βρεθούν σφαίρες στο κελί (, είναι η πιθανότητα να υπάρχουν «Λευκές» σφαίρες ανάµεσα στις οι οποίες επιλέχθηκαν τυχαία από «Λευκές» και «Μαύρες» σφαίρες. ηλαδή πρόκειται για το γνωστό µοντέλο της υπεργεωµετρικής κατανοµής. Το -value του ελέγχου της υπόθεσης Η 0 : το αποτέλεσµα στα 4 κελιά είναι τυχαίο (δεδοµένων των αθροισµάτων των γραµµών και των στηλών είναι ίσο µε την πιθανότητα (υπό την H 0 να εµφανιστεί το δείγµα που εµφανίστηκε και ακόµη πιο «ακραίο» από αυτό, δηλαδή i i value, ή i value i 0 + i i, + ανάλογα µε το αν < E( ή > E( αντίστοιχα. Το παραπάνω -value αντιστοιχεί σε µονόπλευρο έλεγχο. Για δίπλευρο έλεγχο συνήθως λαµβάνεται το

8 i i i i value + (εάν <, i i [ 0.5] και ανάλογα αν. Παρατήρηση. Για πίνακες ο Yates (934 πρότεινε αντί της στατιστικής συνάρτησης ( Observed Exected T Exected που χρησιµοποιείται για το χ τεστ, να χρησιµοποιείται η «διορθωµένη»: ( Observed Exected 0.5 T corr Exected Η «διόρθωση» αυτή δεν γίνεται για να πάρουµε καλύτερη προσέγγιση της χ κατανοµής (εξάλλου αποδεικνύεται ότι για αυτό το σκοπό, η T είναι καλύτερη από την Τ corr, αλλά για να πάρουµε - value πιο κοντά στο -value που προκύπτει από το Fisher s exact test. Εποµένως, η διόρθωση αυτή γίνεται όταν θέλουµε και δεν µπορούµε να υπολογίσουµε το -value του Fisher s exact test. Πάντως, σήµερα µε την χρήση των Η/Υ ο ακριβής υπολογισµός του -value του Fisher s exact test είναι εφικτός ακόµη και για µεγάλα δείγµατα και εποµένως η διόρθωση αυτή έχει µικρότερη αξία από αυτήν που είχε στο παρελθόν. Εφαρµογή 3. Προκειµένου να εξετασθεί αν ένα σκεύασµα Α µειώνει τα επίπεδα χοληστερίνης στον οργανισµό επιλέχθηκαν 00 άτοµα, στα 60 από τα οποία χορηγήθηκε το σκεύασµα Α ενώ στα υπόλοιπα 40 χορηγήθηκε lacebo (ανενεργό σκεύασµα όµοιο εξωτερικά µε το Α. Και στα 00 ά- τοµα καταγράφηκε το επίπεδο χοληστερίνης (σε δύο στάθµες: χαµηλό υψηλό. Τα αποτελέσµατα καταγράφονται στον παρακάτω πίνακα: Επίπεδο Χοληστερίνης Χαµηλό Υψηλό Σύνολο Σκεύασµα Α lacebo 8 40 Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης; Εδώ έχουµε 00 περιπτώσεις cases και δυο µεταβλητές: - chol µε τιµές «low», «high» και - drug µε τιµές «A», «lacebo» Εδώ ουσιαστικά πρόκειται για έλεγχο οµογένειας (τα αθροίσµατα των γραµµών είναι προκαθορισµένα. Για να εισάγουµε τα δεδοµένα στο SPSS θα χρησιµοποιήσουµε βάρη. Περνάµε µόνο τα 4 διαφορετικά cases και σε µια νέα µεταβλητή w τα αντίστοιχα βάρη: Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 47

9 Ενεργοποιούµε τα βάρη (Data/weight cases by w και στη συνέχεια εκτελούµε Aalyze/Descritive Statistics/ Crosstabs/Rows: drug, Colums: chol επιλέγοντας στα Cells:exected couts, row ercetages και στα Statistics: Chi-square. Λαµβάνονται οι πίνακες: DRUG * CHOL Crosstabulatio DRUG Total A lacebo % withi DRUG % withi DRUG % withi DRUG CHOL high low Total ,4 48,6 60,0,7% 88,3% 00,0% ,6 3,4 40,0 30,0% 70,0% 00,0% ,0 8,0 00,0 9,0% 8,0% 00,0% και Pearso Chi-Square Cotiuity Correctio a Lielihood Ratio Fisher's Exact Test of Valid Cases Chi-Square Tests Asym. Sig. Value df (-sided 5,4 b,0 4,8,04 5,48,03 00 a. Comuted oly for a x table Exact Sig. (-sided Exact Sig. (-sided,036,0 b. 0 cells (,0% have exected cout less tha 5. The miimum exected cout is 7,60. Ο πρώτος πίνακας είναι ο πίνακας συνάφειας µαζί µε τις αναµενόµενες τιµές και τα ποσοστά των παρατηρήσεων σε κάθε κελί (µε άθροισµα 00% ανά γραµµή. Ο δεύτερος πίνακας δίνει την τιµή της στατιστικής συνάρτησης T (Pearso chi-square, της T µε «διόρθωση» (cotiuity correctio, βλ. Παρατήρηση και της L (Lielihood Ratio. Οι βαθµοί ελευθερίας είναι ( (. Τα αντίστοιχα -value είναι 0.0, 0.04 και Επίσης δίνεται και η τιµή του -value (0.036 το δίπλευρο και 0.0 το µονόπλευρο που προκύπτει από το Fisher s exact test. Εποµένως, µε βάση τα παραπάνω απορρίπτουµε ότι οι υπάρχει οµογένεια του επιπέδου χοληστερίνης στις δυο «στάθ- µες» της drug (ε.σ. 5%. Με άλλα λόγια κρίνουµε ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης (µε ε.σ. 5%. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 48

10 4.4. Έλεγχος για τη διαφορά ποσοστών από ζευγαρωτές παρατηρήσεις (Mcemar τεστ. Στην παράγραφο.3. είδαµε πως µπορούµε να κάνουµε έλεγχο για τη διαφορά των µέσων όταν έχουµε ζευγαρωτές παρατηρήσεις. Συγκεκριµένα, είχαµε παρατηρήσεις (από την κανονική κατανοµή που αφορούν τα ίδια άτοµα «πριν» (X,X,,X και «µετά» (Y,Y,,Y την επίδραση κάποιου παράγοντα (π.χ. «θεραπείας» και επιθυµούσαµε να εξετάσουµε αν η διαφορά δ E(Y i E(X i είναι µηδενική (προφανώς τα Χ,Χ,,Χ και Υ,Υ,,Υ δεν είναι ανεξάρτητα και εποµένως δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε t τεστ για ανεξάρτητα δείγµατα. Σε εκείνη την περίπτωση συνεχίζαµε την ανάλυση χρησιµοποιώντας τις (ανεξάρτητες διαφορές Z i Y i X i, i,,,. Κάτι ανάλογο µπορεί να εµφανιστεί και όταν εξετάζουµε ποσοστά (π.χ. ενός κόµµατος «πριν» και «µετά» την επίδραση κάποιου παράγοντα (π.χ. ενός τηλεοπτικού debate. Πιο συγκεκρι- µένα, έστω Χ, Χ,, Χ δίτιµες (0- παρατηρήσεις «πριν» (µε P(X i P(X i 0 Χ και Υ, Υ,, Υ δίτιµες (0- παρατηρήσεις «µετά» (µε P(Υ i P(Υ i 0 Υ την επίδραση κάποιου παράγοντα (Π.χ. Χ, Y i 0 αν το i-άτοµο υποστήριζε το κόµµα Α «πριν» και όχι το κόµµα Α «µετά» το debate κ.ο.κ. και επιθυµούµε να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : X Y (ίδιο ποσοστό «πριν» και «µετά» την επίδραση. Οι δυνατές περιπτώσεις εδώ είναι 4 ((Χ,Υ {(0,0, (,0, (0,, (,} και για µια πιο εποπτική παρουσίαση των αποτελεσµάτων µπορούµε να κατασκευάσουµε τον πίνακα «µετά» (Υ 0 Total «πριν» (Χ 0 a b a + b c d c + d Total a + c b + d a + b + c + d Όπου a είναι το πλήθος των «ατόµων» του δείγµατος που είχαν 0 «πριν» και 0 «µετά» την επίδραση (πλήθος από (X i, Y i που είναι ίσα µε (0, 0 κ.ο.κ. Για να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : Χ Υ θα ακολουθήσουµε την ίδια µέθοδο που χρησιµοποιήσαµε για τον έλεγχο των µέσων ζευγαρωτών παρατηρήσεων. Θεωρώντας τις διαφορές Ζ i Y i X i, i,,, για µεγάλο δείγµα ισχύει ότι η στατιστική συνάρτηση T i Z E( Z ~ (0, V ( Z i ακολουθεί τυπική κανονική κατανοµή. Επειδή τώρα, i i i i i Z Y X b c, i και E ( Z E( Y E( X Y X 0 ( Z E( Z ( P( Z + 0 P( Z 0 + P( Z P( Y 0, X + P( Y, X V i η οποία εκτιµάται από το c/ + b/, θα ισχύει, για µεγάλο και υπό την H 0, ότι T Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 49 i H0 Zi E( Z ( b c ~ (0, V ( Z b + c ή ισοδύναµα (προσεγγιστικά, ( b c T ~ χ b + c Όταν ισχύει η Η : Χ Υ, η T λαµβάνει µεγάλες τιµές και εποµένως θα απορρίπτεται (σε ε.σ. α η Η 0 όταν 0

11 ( b c T > χ ( a : άνω α-σηµείο της χ µε β.ε. b + c µε αντίστοιχο -value (από δείγµα που έδωσε T τ: value P( T ( b c > τ F ( τ F (. χ χ b + c Παρατήρηση 3. Παρατηρούµε ότι το παραπάνω τεστ βασίζεται σε µια στατιστική συνάρτηση η οποία εξαρτάται µόνο από τα b, c (και όχι και στα a, d όπως θα περίµενε κανείς. Με βάση αυτή την παρατήρηση, ένας εναλλακτικός τρόπος για τον έλεγχο της υπόθεσης Η 0 : Χ Υ γίνεται δεσµεύοντας ως προς το άθροισµα αυτών των δύο ποσοτήτων. εσµεύοντας λοιπόν ως προς το * b + c και υπό την Η 0, το b ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους * και /. Θα απορρίπτεται η Η 0 όταν το b διαφέρει «αρκετά» από την αναµενόµενή του τιµή * / (υπό την H 0, και εποµένως το -value (που είναι η πιθανότητα να εµφανιστεί το δείγµα που εµφανίστηκε, και ακόµη πιο ακραίο από αυτό θα είναι, * b * * * * i i i i value + ( ( (αν b < * / * i 0 i i b i και ανάλογα αν b > * /. Για µεγάλo * το παραπάνω -value συγκλίνει στο -value που περιγράφηκε στην προηγούµενη παράγραφο, F χ (( b c /( b + c. Το συγκεκριµένο τεστ ή το ισοδύνα- µό του για µεγάλο * (δηλ. το τεστ της Παραγράφου 4.4 είναι γνωστό και ως Mcemar τεστ. Εφαρµογή 4. (Παραλλαγή της Εφαρµογής 3 Προκειµένου να εξετασθεί αν ένα σκεύασµα Α µειώνει τα επίπεδα χοληστερίνης στον οργανισµό επιλέχθηκαν 00 άτοµα, στα οποία µετρήθηκε το επίπεδο χοληστερίνης (χαµηλό, υψηλό. Στη συνέχεια τους χορηγήθηκε το σκεύασµα Α και µετά από κάποιο χρονικό διάστηµα καταγράφηκαν το νέα επίπεδα χοληστερίνης (χαµηλό, υψηλό στα 00 αυτά άτοµα. Τα αποτελέσµατα καταγράφονται στον παρακάτω πίνακα: «µετά» τη χορήγηση του Α Χαµηλό Υψηλό Σύνολο «πριν» τη χορήγηση του Α Χαµηλό Υψηλό 8 40 Σύνολο Μπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε (σε ε.σ. 5% ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης; Εδώ έχουµε 00 περιπτώσεις cases και δυο µεταβλητές: - c_before µε τιµές «low», «high» και - c_after µε τιµές «low», «high» Εδώ ουσιαστικά πρόκειται για έλεγχο για τη διαφορά ποσοστών «πριν» και «µετά» τη χορήγηση ενός φαρµάκου. Για να εισάγουµε τα δεδοµένα στο SPSS θα χρησιµοποιήσουµε και πάλι βάρη. Περνάµε µόνο τα 4 διαφορετικά cases και σε µια νέα µεταβλητή w τα αντίστοιχα βάρη: Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 50

12 Ενεργοποιούµε τα βάρη (Data/weight cases by w και στη συνέχεια εκτελούµε Aalyze/Descritive Statistics/ Crosstabs/Rows: c_before, Colums: c_after επιλέγοντας στα Cells:exected couts και στα Statistics: Mc-emar. Λαµβάνονται οι πίνακες: C_BEFORE * C_AFTER Crosstabulatio C_BEFORE Total high low C_AFTER high low Total ,6 3,4 40, ,4 48,6 60, ,0 8,0 00,0 και Chi-Square Tests Value Mcemar Test of Valid Cases 00 a. Biomial distributio used. Exact Sig. (-sided,00 a Ο πρώτος πίνακας είναι και πάλι ο πίνακας συνάφειας µαζί µε τις αναµενόµενες τιµές. Ο δεύτερος πίνακας δίνει την τιµή του -value για το Mcemar τεστ (έχει υπολογιστεί χρησιµοποιώντας την διωνυµική κατανοµή, βλ. Παρατήρηση 3. Σύµφωνα µε το -value απορρίπτουµε την υπόθεση ότι η πιθανότητα υψηλού επιπέδου χοληστερίνης «πριν» και «µετά» τη χορήγηση του σκευάσµατος Α είναι ίδια. ηλαδή, µπορούµε µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα να πούµε ότι το σκεύασµα Α επιδρά στο επίπεδο χοληστερίνης (ε.σ. 5%. Boutsias M.V. (004, Σηµειώσεις µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα» 5

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχοι: (a) να δοθεί µια εισαγωγή στη θεωρία της στατιστικής συµπερασµατολογίας ελέγχων υποθέσεων, (b) να παρουσιάσει τις βασικές εφαρµογές αυτών των ελέγχων: µέσης τιµής, ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια Κεφάλαιο 7 Μη Παραµετρικά Κριτήρια Παραµετρικά Κριτήρια Τα παραµετρικά κριτήρια είναι στατιστικά κριτήρια που απαιτούν την ικανοποίηση συγκεκριµένων προϋποθέσεων είτε αναφορικά µε συγκεκριµένες παραµέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Επιστηµονική Επιµέλεια: ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Καταρχήν Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι εν απαιτούν κανονικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39 41 Περιεχόμενα Ξενάγηση στο βιβλίο 25 Ξενάγηση στο συνοδευτικό CD 27 Εισαγωγή 29 Ευχαριστίες 33 Οι βασικές διαφορές μεταξύ του SPSS 16 και των προηγούμενων εκδόσεων 35 Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37 1 Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT KINGSTON UNIVERSITY ICBS Business College ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ν. ΣΤΑΜΟΥΛΗΣ Ανάλυση δεδοµένων και βασικές έννοιες Για τον

Διαβάστε περισσότερα

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 3 ΙΙ. ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ. Σχολείο Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Συχνότητα Γυµνάσιο 773 37.93% Λύκειο 1006 49.36% ΤΕΕ 259 12.71%

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA) Γενικά Επέκταση της σύγκρισης µέσων τιµών µεταβλητής ανάµεσα σε 2 δείγµατα (οµάδες ήστάθµες): Σύγκριση πολλών δειγµάτων (K>2) µαζί Σχέση ανάµεσα σε µια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

if code='1' then type='fixed'; else if code='2' then type='variable'; else type='unknown'; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

if code='1' then type='fixed'; else if code='2' then type='variable'; else type='unknown'; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Πολλές φορές, αντί να χρησιμοποιούμε μια σειρά από IF-THEN εντολές, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εντολή ELSE, για να δηλώσουμε μια εναλλακτική ενέργεια όταν η συνθήκη στην IF-THEN εντολή δεν ικανοποιείται.

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ»

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ» ΡΑΣΗ «Υποστήριξη των Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρούµε να εξάγουµε τις συνιστώσες της µαθητικής επίδοσης, χρησιµοποιώντας παραγοντική

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD Σε ορισµένες περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµη η δηµιουργία ιστοσελίδων ενηµερωτικού περιεχοµένου οι οποίες στη συνέχεια µπορούν να δηµοσιευθούν σε κάποιο τόπο

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ο 12.1 Λογιστική Παλινδρόµηση 12.2 Η εξίσωση της Λογιστικής Παλινδρόµησης. 12.3 Βήµατα δηµιουργίας του

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΟΓΗ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΕΠΙΛΟΓΗ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Εθνική Σχολή Δημόσιας Υγείας Τομέας Οικονομικών της Υγείας ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΜΕΡΟΣ 3 Ο ΕΠΙΛΟΓΗ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΑΘΗΝΑ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2006 1 ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών Κεφάλαιο 8 Ο είκτης Συσχέτισης 1 Η έννοια της Αλληλεξάρτησης Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών ηλαδή, µας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΗ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΧΡΗΣΗ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Εθνική Σχολή Δημόσιας Υγείας Τομέας Οικονομικών της Υγείας ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΟΙΝΗΣ ΓΝΩΜΗΣ: ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΜΕΡΟΣ 2 Ο ΧΡΗΣΗ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

«Πρόβλεψη» «Forecasting»

«Πρόβλεψη» «Forecasting» «Πρόβλεψη» «Forecasting» Σηµειώσεις για το µάθηµα του 6 ου εξαµήνου «Αρχές ιοίκησης και Οργάνωση Παραγωγής» 2005 Μιχάλης Βαϊδάνης 1 I. Πρόβλεψη (Forecasting) Η πρόβλεψη είναι µια από τις σηµαντικότερες

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

«ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΓΧΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΕΠΙΛΗΨΙΑ»

«ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΓΧΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΕΠΙΛΗΨΙΑ» Π.Μ.Σ. ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Διπλωματική Εργασία με θέμα: «ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΓΧΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΕΠΙΛΗΨΙΑ» Επιβλέπων Καθηγητής: Πολίτης Κων/νος Φοιτήτρια: Κατσίπη

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ο 10.1 Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση 10.2 Η εφαρµογή της Πολλαπλής Γραµµικής Παλινδρόµησης 10.3 Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα . ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα ξεκίνησε τον 7 ο αιώνα. Το κλειδί σ αυτή την εξέλιξη υπήρξε

Διαβάστε περισσότερα

22 Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας

22 Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας Χρήστος Κατσάνος και Νικόλαος Αβούρης Πανεπιστήµιο Πατρών Σκοπός Το παρόν κεφάλαιο, συµπληρωµατικό του κυρίως υλικού του βιβλίου, περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα